Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Колебательный контур:

Явление возникновения ЭДС индукции при изменении магнитного потока через площадь, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Под явлением самоиндукции понимают возникновение в контуре ЭДС индукции, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре. Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им собственный магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение внешнего магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую конденсатор электроемкостью С и катушку (соленоид) индуктивностью L (рис. 15). Такая цепь называется идеальным колебательным контуром или LC-контуром.

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

В отличие от реального колебательного контура, который всегда обладает некоторым электрическим сопротивлением (RКолебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Пусть в начальный момент времени (t = 0) конденсатор С заряжен так, что на его первой обкладке находится заряд +Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами, а на второй —Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами. При этом конденсатор обладает энергией Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

С течением времени конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток, сила l(t) которого будет меняться с течением времени. Поскольку при прохождении такого электрического тока в катушке индуктивности возникнет изменяющийся во времени магнитный поток, то это вызовет появление ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению силы тока.

Вследствие этого сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до максимального значения в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

В момент полной разрядки конденсатора (q = 0) сила тока в катушке I(t) достигнет своего максимального значения Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами. В соответствии с законом сохранения энергии первоначально запасенная в конденсаторе энергия электростатического поля перейдет в энергию магнитного поля, запасенную в этот момент в катушке:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

После разрядки конденсатора сила тока в катушке начнет убывать. Это также произойдет не мгновенно, поскольку вновь возникающая ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца создаст индукционный ток. Он будет иметь такое же направление, как и уменьшающийся ток в цепи, и поэтому будет «поддерживать» его. Индукционный ток, создаваемый ЭДС самоиндукции катушки, перезарядит конденсатор до начального напряжения обратной полярности — знак заряда на каждой обкладке окажется противоположным начальному.

Соответственно, к моменту исчезновения тока заряд конденсатора достигнет максимального значения Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами. При этом его обкладка, первоначально заряженная положительно, будет заряжена отрицательно (см. рис. 15). Далее процесс повторится с той лишь разницей, что электрический ток будет проходить в противоположном направлении.

Таким образом, в идеальном LC-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока и напряжения, причем полная энергия контура будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением в катушке ЭДС самоиндукции, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд q(t) конденсатора и сила тока I(t) в катушке достигают своих максимальных значений Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами и Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами в различные моменты времени (см. рис. 15).

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Получим эту формулу, используя закон сохранения энергии. Поскольку полная энергия идеального LC-контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами (1)

Поскольку закономерности гармонических колебаний носят универсальный характер, то можно сравнить колебания в LC-контуре с колебаниями пружинного маятника.

Для пружинного маятника полная механическая энергия в любой момент времени    2 ,

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами (2)

и период его колебаний

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Проанализируем соотношения (1) и (2). Сравним выражения для энергии электростатического поля конденсатора Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами и потенциальной энергии упругой деформации пружины Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами энергии магнитного поля катушки Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами и кинетической энергии груза Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами Аналогом координаты x(t) при колебаниях в электрическом контуре является заряд конденсатора q(t), а аналогом проекции скорости груза Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами служит сила тока I(t) в колебательном контуре.

Следуя аналогии, заменим в формуле для периода колебаний пружинного маятника т на L и k на Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами, тогда для периода свободных колебаний в LC-контуре получим формулу Томсона: 

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Несложные дальнейшие рассуждения позволяют установить аналогии между физическими величинами при электромагнитных и механических колебаниях (табл. 4).

Таблица 4

Сопоставление физических величин, характеризующих электромагнитные и механические колебания

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами
Соответственно, зависимость заряда конденсатора от времени будет иметь такой же характер, как и зависимость координаты (смещения) тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Также по гармоническому закону (но с другими начальными фазами) будут изменяться сила тока в цепи, напряжение на конденсаторе.

Для определения начальной фазы Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами и амплитуды колебаний заряда Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами необходимо знать заряд конденсатора и силу тока в катушке в начальный момент времени (t = 0).

Полная энергия идеального колебательного контура (R = 0) с течением времени сохраняется, поскольку в нем при прохождении тока теплота не выделяется.

Как уже отмечалось, реальный колебательный контур всегда имеет некоторое сопротивление R, обусловленное сопротивлением катушки, соединительных проводов и т. д. Это приводит к тому, что электромагнитные колебания в реальном контуре с течением времени затухают, тогда как в идеальном контуре они «будут происходить» сколь угодно долго.

Таким образом, механическим аналогом идеального колебательного контура является пружинный маятник без трения, а механическим аналогом реального колебательного контура — пружинный маятник с трением.

Пример №1

При изменении емкости конденсатора идеального LC-контура на Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами = 50 пФ частота свободных электромагнитных колебаний в нем увеличилась с Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами = 100 кГц до Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами= 120 кГц. Определите индуктивность L контура.

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Решение

Частота колебаний в контуре

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Поскольку частота колебаний в контуре увеличилась (Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами), то электроемкость должна уменьшится, т. е. Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами.

Из условия задачи получаем систему уравнений

Откуда Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами
 

Вычитая из первого уравнения второе, получаем

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Откуда находим

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Ответ: L = 0,015 Гн.

Пример №2

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400пФ и катушки индуктивностью L=10 мГн. Определите амплитудное значение силы тока Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами в контуре, если амплитудное значение напряжения на конденсаторе Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами = 500 В.

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Решение

Максимальная энергия электростатического поля конденсатора

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

а максимальная энергия магнитного поля катушки

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Так как контур идеальный (R = 0), то его полная энергия не меняется с течением времени. Кроме того, в момент, когда заряд конденсатора максимален, сила тока в катушке равна нулю, а в момент, когда заряд конденсатора равен нулю, сила тока в ней максимальна. Это позволяет утверждать, что максимальные энергии в конденсаторе и катушке равны: Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами, т. е.

откуда Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Ответ: Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами.

Колебательный контур и свободные электромагнитные колебания в контуре

Явление возникновения ЭДС в любом контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Под явлением самоиндукции понимают возникновение в замкнутом проводящем контуре ЭДС индукции, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре.

Правило Ленца: возникающий в замкнутом проводящем контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора электроемкостью Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами и катушки (соленоида) индуктивностью Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами (рис. 29, а), называемую идеальным колебательным контуром или Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами-контуром. Электрическое сопротивление идеального контура считают равным нулю Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального колебательного контура.

Подключив (при помощи ключа Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами источник тока, зарядим конденсатор до напряжения Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами сообщив ему заряд Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами (рис. 29, б). Следовательно, в начальный момент времени Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами конденсатор заряжен так, что на его обкладке 1 находится заряд Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами а на обкладке 2 — заряд Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами При этом электростатическое поле, создаваемое зарядами обкладок конденсатора, обладает энергией Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами
Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Рассмотрим процесс разрядки конденсатора в колебательном контуре. После соединения заряженного конденсатора с катушкой (при помощи ключа Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами (рис. 30) он начнет разряжаться, так как под действием электрического поля, создаваемого зарядами на обкладках конденсатора, свободные электроны будут перемещаться по цепи от отрицательно заряженной обкладки к положительно заряженной. На рисунке 30 стрелкой показано начальное направление тока в электрической цепи.

Таким образом, в контуре появится нарастающий по модулю электрический ток, сила Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами которого будет изменяться с течением времени (рис. 31, а). Но мгновенная разрядка конденсатора невозможна, так как изменение магнитного поля катушки, создаваемое нарастающим по модулю током, вызывает возникновение вихревого электрического поля. Действительно, в катушке индуктивности возникнет изменяющийся во времени магнитный поток, который вызовет появление ЭДС самоиндукции. Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции стремится противодействовать вызвавшей ее причине, т. е. увеличению силы тока по модулю.

Вследствие этого модуль силы тока в колебательном контуре будет в течение некоторого промежутка времени плавно возрастать от нуля до максимального значения Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами определяемого индуктивностью катушки и электроемкостью конденсатора (рис. 31, б).
Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

При разрядке конденсатора энергия его электростатического поля превращается в энергию магнитного поля катушки с током. Согласно закону сохранения энергии суммарная энергия идеального колебательного контура остается постоянной с течением времени (уменьшение энергии электростатического поля конденсатора равно увеличению энергии магнитного поля катушки):

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

где Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами — мгновенное значение заряда конденсатора и Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами — сила тока в катушке в некоторый момент времени Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами после начала разрядки конденсатора.

В момент полной разрядки конденсатора Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами сила тока в катушке Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами достигнет своего максимального по модулю значения Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами (см. рис. 31, б). В соответствии с законом сохранения энергии запасенная в конденсаторе энергия электростатического поля перейдет в энергию магнитного поля, запасенную в этот момент в катушке:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

После разрядки конденсатора сила тока в катушке начинает убывать по модулю. Это также происходит не мгновенно, поскольку вновь возникающая ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца создает индукционный ток. Он имеет такое же направление, как и уменьшающийся по модулю ток в цепи, и поэтому «поддерживает» его. Индукционный ток, создаваемый ЭДС самоиндукции катушки, перезаряжает конденсатор до начального напряжения Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами но знак заряда на каждой обкладке оказывается противоположным знаку начального заряда. Соответственно, к моменту исчезновения тока заряд конденсатора достигнет максимального значения Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами При этом его обкладка, первоначально заряженная положительно, будет заряжена отрицательно. Далее процесс повторится с той лишь разницей, что электрический ток в ко туре будет проходить в противоположном направлении, что отражено на рисунке 31, а.

Таким образом, в идеальном Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока и напряжения, причем полная энергия контура будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без пополнения энергии от внешних источников.

Таким образом, существование свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора, вызванной возникновением ЭДС самоиндукции в катушке. Заметим, что заряд Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами конденсатора и сила тока Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами в катушке достигают своих максимальных значений Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами в различные момента времени (см. рис. 31 а, б).

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальным значениям заряда на каждой из обкладок), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Получим формулу для периода свободных электромагнитных колебаний в контуре, используя закон сохранения энергии. Поскольку полная энергия идеального Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами-контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство: 
Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами 

Процессы, происходящие в колебательном контуре, аналогичны колебаниям пружинного маятника. Для полной механической энергии пружинного маятника в любой момент времени:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

где Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами — жесткость пружины, Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами — масса груза, Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами — проекция смещения тела от положения равновесия, Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами — проекция его скорости на ось Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Период его колебаний:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Проанализируем соотношения (1) и (2). Видно, что энергия электростатического поля конденсатора Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами является аналогом потенциальной энергии упругой деформации пружины Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами Соответственно, энергия магнитного поля катушки Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами которая обусловлена упорядоченным движением зарядов, является аналогом кинетической энергии груза Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами Следовательно, аналогом координаты Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами пружинного маятника при колебаниях в электрическом контуре является заряд конденсатора Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами Тогда, соответственно, аналогом проекции скорости груза будет сила тока в колебательном контуре, поскольку сила тока характеризует скорость изменения заряда конденсатора с течением времени.

Следуя проведенной аналогии, заменим в формуле для периода колебаний пружинного маятника массу Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами на индуктивность Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами и жесткость Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами тогда для периода свободных колебаний в Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами-контуре получим формулу:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

которая называется формулой Томсона.

Несложные дальнейшие рассуждения позволяют установить аналогии между физическими величинами при электромагнитных и механических колебаниях (табл. 4).

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерамиДля наблюдения и исследования электромагнитных колебаний применяют электронный осциллограф, на экране которого получают временную развертку колебаний (рис. 32).

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Зависимость заряда конденсатора от времени имеет такой же вид, как и зависимость координаты (проекции смещения) тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Также по гармоническому закону изменяются сила тока (но с другой начальной фазой) в цепи и напряжение на конденсаторе.

Для определения начальной фазы Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами и максимального заряда Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами необходимо знать заряд конденсатора и силу тока в катушке в начальный момент времени Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Отметим, что колебательный контур, в котором происходит только обмен энергией между конденсатором и катушкой, называется закрытым.

Полная энергия идеального колебательного контура Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами с течением времени сохраняется, поскольку в нем при прохождении тока теплота не выделяется. Реальный колебательный контур всегда имеет некоторое электрическое сопротивление Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами которое обусловлено сопротивлением катушки и соединительных проводов. Это приводит к тому, что электромагнитные колебания в реальном контуре с течением времени затухают, тогда как в идеальном контуре они будут происходить сколь угодно долго.

Таким образом, механическим аналогом идеального колебательного контура является пружинный маятник без учета трения, а механическим аналогом реального колебательного контура — пружинный маятник с учетом трения.

Пример решения задачи:

Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами пФ и катушки индуктивностью Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами мГн. Определите максимальное значение силы тока Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами в контуре, если максимальное значение напряжения на конденсаторе Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами
Дано:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами
Решение

Максимальная энергия электростатического поля конденсатора:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами
а максимальная энергия магнитного поля катушки:

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Так как контур идеальный Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами то его полная энергия сохраняется с течением времени. По закону сохранения энергии Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами т. е.

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами

Отсюда

Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами
Ответ: Колебательный контур в физике - формулы и определения с примерами