Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Выражения и уравнения

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения, и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например, Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Есть ли коэффициент в выражении Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения? Да. Он равен 1, поскольку Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок называется раскрытием скобок. Например: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Обратным действием в этом примере является вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки сводят подобные слагаемые:

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Правила раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок

  1. Если перед скобками стоит знак Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;
  2. Если перед скобками стоит знак Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1) Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения; 2)Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1. Перед скобками стоит знак Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

2. Перед скобками стоит знак Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяются на противоположные: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Для раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Если Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то знаки слагаемых Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения не изменяют. Если Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то знаки слагаемых Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1)Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения 2) Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1. Множитель Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения перед скобками является положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

2. Множитель Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения перед скобками является отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяем на противоположные: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

  1. Слово «сумма» происходит от латинского summа, что значит «итог», «общее количество».
  2. Слово «плюс» происходит от латинского plus, что значит «больше», а слово «минус» — от латинского minus, что значит «меньше». Знаки Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввёл чешский учёный И. Видман в 1489 г в книге «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев»(рис. 138).

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Уравнения. Основные свойства уравнений

Вы уже знаете, что такое уравнение, корень уравнения. Вспомним основные формулировки.

Определение:

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти.

Неизвестное число в уравнении обозначают буквой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, или Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и т.п. Например, запись Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения является

уравнением, где Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения — неизвестное и является искомым.

Определение:

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Так, корнем уравнения Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения является число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, поскольку Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Уравнение может иметь больше одного корня. Например, уравнение Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет бесконечно много корней, так как любое число обращает уравнение в верное числовое равенство. С уравнениями, имеющими два, три или более корней, вы ознакомитесь позднее.

Уравнение может не иметь корней. Например, уравнение Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней, так как не существует числа, которое в произведении с числом Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения даёт число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Определение:

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что уравнение не имеет ни одного корня.

В 5 классе вы находили корень уравнения как неизвестный компонент арифметического действия. При решении более сложных уравнений опираются на свойства равенств. Рассмотрим основные из них.

Посмотрите на рисунок 139. Вы видите, что на левой чаше весов находится арбуз неизвестной массы, а на правой — гири массой 5 кг и 3 кг. Если на обе чаши весов положить по гире массой 3 кг, то весы останутся в равновесии (рис. 140). Понятно, что, сняв эти гири или поставив навесы одинаковые гири другой массы, снова получим равновесие на весах. Этот пример иллюстрирует следующее свойство равенств.

Определение: Если к обеим частям равенства прибавить (из обеих частей равенства вычесть) одно и то же число, то равенство не изменится.Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решите уравнение: 1) Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

К левой и правой частям уравнения прибавим число 12 и упростим полученное равенство:

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Решая уравнение, в левой его части «уединили неизвестное». Такой же результат получим, если число 12 перенесём из левой части в правую, изменив при этом его знак.

Определение:

Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак этого слагаемого на противоположный.

Пример:

Можно ли переносить в другую часть уравнения слагаемое, содержащее неизвестное? Да.

Посмотрите на рисунок 141. Вы видите, что масса пакета муки равна 2 кг. Понятно, что масса трёх таких пакетов втрое больше (рис. 142). Этот пример иллюстрирует другое свойство равенств.

Определение: Если обе части равенства умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то равенство не изменится. Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения Данное свойство используют для решения уравнений. Рассмотрим пример.

Пример:

Решите уравнение Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим на 3 обе части уравнения: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Основные свойства уравнений

Основные свойства уравнений

  1. Корни уравнения не изменятся, если к обеим частям уравнения прибавить (из обеих частей уравнения вычесть) одно и то же число.
  2. Корни уравнения не изменятся, если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля.

Считают, что язык алгебры — это уравнения. «Чтобы решить вопросы. относящиеся к числам или к абстрактным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий И. Ньютон (1643-1727) в своём учебнике по алгебре, названном «Общая арифметика».

Применение уравнений к решению задач

В 5 классе с помощью уравнений вы решали задачи на нахождение суммы двух величин или их разности.

В 6 классе будем рассматривать особый вид задач — на равенство двух величин. В таких задачах тоже сравнивают две величины, например, количество книг на первой и второй полках. Значения же выражений с этими двумя величинами приравнивают.

Пример:

На первой полке книг в 3 раза больше, чем на второй. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на обеих полках их станет поровну. Сколько книг на каждой полке?

Решение:

Составим краткую запись задачи в виде таблицы 23

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения — количество книг на второй полке, тогда Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения — количество книг на первой полке. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на первой полке их станет Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, а на второй — Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. По условию, это количество книг одинаково. Составим уравнение: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Решим уравнение: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, на первой полке 36 книг, а на второй — 12 книг.

Первым произведением, содержащим исследование алгебраических вопросов, считают трактат «Арифметика» Диофанта (середина IV в.). Из 13 книг, составляющих полное собрание трудов Диофанта, до нас дошло только 6. В них предложено решение сложных алгебраических задач. Основная часть трактата — сборник задач (в первых шести книгах их 189) с решениями и удачно подобранными иллюстрациями к способам решения.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Перпендикулярные и параллельные прямые

Вы знаете, что прямая — это геометрическая фигура. Две прямые могут по-разному размещаться на плоскости. В 6 классе вы узнаете о перпендикулярных и параллельных прямых.

Перпендикулярные прямые

Посмотрите па перекрёсток дорог на рисунке 143. Вы видите, что дороги напоминают пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом. В тетради по математике клеточки образуются перпендикулярными прямыми.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Определение:

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 144 изображены прямые Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, которые пересекаются в точке О под прямым углом, то есть являются перпендикулярными.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решенияЗаписывают: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, а на рисунке обозначают знаком прямого угла Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения(см. рис. 145). Говорят: «Прямая Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения перпендикулярна прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения».

Если прямая Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения перпендикулярна прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то и прямая Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения перпендикулярна прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Иначе говорят: прямые Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решениявзаимно перпендикулярны.

Пример:

Бывают ли перпендикулярными отрезки? лучи? Да, если они являются частями соответствующих перпендикулярных прямых (рис. 145—146).

Для построения перпендикулярных прямых используют транспортир или угольник. На рисунке 147 вы видите, как строили прямую Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, перпендикулярную прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, с помощью транспортира, а на рисунке рис. 148 — с помощью угольника.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решенияВыражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Параллельные прямые

Посмотрите на рисунок 149. Вы видите рельсы трамвайных путей, напоминающие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это пример параллельных прямых. Вокруг нас много других примеров параллельных прямых. Так, в тетради в клеточку горизонтальные линии параллельны. То же самое можно сказать и про вертикальные линии. Противоположные края парты, противоположные стороны оконной рамы, троллейбусные штанги также параллельны.

Определение:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 150 изображены параллельные прямые Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решенияЗаписывают: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Говорят: «Прямая Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения параллельна прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения».

Если прямая Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения параллельна прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то и прямая Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения параллельна прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Однако для параллельных прямых термин «взаимно параллельные» не применяют.

Пример:

Бывают ли параллельными лучи? отрезки? Да, если они являются частями соответствующих параллельных прямых.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решенияВыражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 151 вы видите, как с помощью линейки и угольника через точку Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения провели прямую Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, параллельную прямой Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Название «перпендикулярный» происходит от латинского слова «perpendicufaris», которое означает «отвесный». Знак Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения предложил Пьер Еригон (1580—1643) — французский математик и астроном.

Название «параллельный» происходит от греческого слова «раralelos» — «идущий рядом». Символ параллельности Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения известен с античных времён Его использовали Герои и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, чтобы избежать путаницы, символ был повёрнут вертикально Уильямом Отредом в 1677 году

Координатная плоскость

Вы уже знаете, что такое координатная прямая (рис. 162). На ней точка Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения — начало отсчёта, стрелка показывает направление возрастания чисел, а цена деления составляет одну единицу.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Однако на практике часто приходится пользоваться ориентирами не только вдоль прямой, но и на плоскости.

Вы знаете, что в игре «Морской бой» положение корабля определяют с помощью «координат» из цифр и «координат» из букв (рис. 163). В зависимости от выбранной буквы передвигаются на определённое количество клеточек вправо или влево, а цифра указывает, на сколько клеточек нужно сместиться вверх или вниз. Итак, место корабля на поле боя определяют двумя « координатами».

Чтобы определить место в зале кинотеатра, также нужно знать две «координаты»: номер ряда и номер кресла в этом ряду (рис. 164). Причём порядок «координат» в такой паре является строго определённым. Действительно, например, пары чисел 3 и 12 и 12 и 3 направят нас в совершенно разные места зала: в 3-й ряд на 12-е место или в 12-й ряд на 3-е место. В отличие от предыдущего примера, для ориентирования в зале кинотеатра порядок координат не меняют, поскольку неудобно сначала искать номер места в ряду, а лишь затем — сам ряд.

Итак, чтобы охарактеризовать размещение точки на плоскости, нужно задать две координатные прямые с равными единичными отрезками, одна из которых задаёт направление вправо-влево, а вторая — вверх-вниз. Для этого координатные прямые изображают перпендикулярно друг к другу и так, чтобы начала отсчёта на них совпадали (рис. 165). Одну из этих прямых (как правило, горизонтальную) считают первой, а другую — второй. Такая пара координатных прямых образует прямоугольную систему координат.

Первую координатную прямую называют осью абсцисс. Её обозначают Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Вторую координатную прямую называют осью ординат. Её обозначают Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Общее начало отсчёта координатных прямых называют началом координат (рис. 166).

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решенияВыражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Плоскость с заданной на ней системой координат называют координатной плоскостью.

Каждой точке на плоскости можно поставить в соответствие пару чисел, взятых в определённом порядке, и наоборот, каждой паре чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Такая упорядоченная пара чисел называется координатами точки в данной системе координат. Координату по оси абсцисс называется абсциссой точки, а координату по оси ординат — ординатой точки.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКратко записывают: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Читают: «Точка Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения с координатами Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения», «Точка Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения с координатами 3 и 2» или «3 — абсцисса точки Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, 2 — её ордината».

Пример:

На координатной плоскости постройте точку: 1) Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения; 2) Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Введём прямоугольную систему координат на плоскости (рис. 167).

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

1. У точки Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения абсцисса равна 3, а ордината — 2. На оси абсцисс отметим точку, соответствующую числу 3, а на оси ординат — точку, соответствующую числу 2. Через точки, построенные на осях координат, проведём две прямые, параллельные осям (рис. 167). Точка пересечения построенных прямых— искомая точка Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

2. Поскольку ордината точки Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения равна 0, то эта точка лежит на оси абсцисс и соответствует числу 5 на этой оси.

Обратите внимание:

  • точка лежит на оси абсцисс, если её ордината равна нулю, и наоборот;
  • точка лежит на оси ординат, если её абсцисса равна нулю, и наоборот;
  • начало координат — точка Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, имеет координаты Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Как определить координаты точки, построенной на координатной плоскости, например, точки Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения на рисунке 168? Для этого нужно через эту точку провести прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси ординат, пересекает ось абсцисс в точке, которая соответствует числу Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Значит, первой координатой этой точки Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения является число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает ось ординат в точке, которая соответствует числу -4. Значит, другой координатой точки Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения является число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Тогда точка Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет координаты Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то есть Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части. Их называют координатными четвертями и обозначают так: I четверть, II четверть, III четверть, IV четверть (рис. 169).

Точки I четверти имеют положительную абсциссу и положительную ординату. И наоборот, если абсцисса и ордината точки положительные, то она лежит в I четверти, как, например, точка Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Аналогично рассуждая, можно выяснить, что точки II четверти имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату, точки III четверти — отрицательную абсциссу и отрицательную ординату, а точки IV четверти — положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решенияВыражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 170 показаны знаки координат точек, лежащих в соответствующих четвертях.

Положение любой точки на поверхности Земли определяется двумя координатами: географической широтой и географической долготой.

Географические координаты ввёл древнегреческий учёный Гиппарх во И в. до н.э. Географические координаты применяют для определения положения точек земной поверхности относительно экватора и начального (нулевого) меридиана. Например, Киев имеет следующие географические координаты: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения восточной долготы, Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения северной широты.

Графики зависимостей между величинами

Вы знаете, что стоимость товара зависит от его количества: чем большее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Например, если цена одного килограмма конфет составляет 35 грн, то за 2 кг нужно заплатить 70 грн, за 3 кг — 105 грн и т.п. Вы знаете, что такое соответствие можно наглядно отобразить на диаграмме (рис. 174). Однако по диаграмме трудно определить, сколько стоит 2,5 кг конфет или иное их количество. Изобразим данные о стоимости конфет не в виде столбиков, а вертикальными отрезками в системе координат (рис. 175). Поскольку величины «масса конфет» и «стоимость покупки» являются прямо пропорциональными, то верхние концы столбиков диаграммы можно соединить отрезками. Получим линию, показывающую, как изменяется стоимость покупки в зависимости от массы конфет. Такая линия называется графиком зависимости величины «стоимость покупки» от величины «масса конфет».

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

все точки графика зависимости прямо пропорциональных величин лежат на одной прямой.

Вы знаете, что расстояние и время на его преодоление являются прямо пропорциональными величинами. Поэтому все точки графика движения лежат на одной прямой.

Пример:

Поезд Харьков — Львов выходит из Харькова около Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и прибывает во Львов около Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Скорость поезда составляет Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, на маршруте он делает 5 остановок, запланированных через каждые 3 часа. На рисунке 176 показан график движения этого поезда.

1) В котором часу новых суток поезд делает первую остановку? Какая это станция?

2) Что показывает число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения на оси абсцисс? А число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения?

3) На каких расстояниях от первой остановки поезд останавливается на других станциях?

4) Что показывает число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения на оси ординат? А число Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения?

5) Каковы координаты конечных точек маршрута?

Решение:

По условию задачи, движение поезда начинается в Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, а заканчивается в Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения следующего дня.

1. Начало новых суток поезд встречает недалеко от станции Лубны, а первую остановку делает в Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения именно на этой станции.

2. Поскольку движение поезда началось в предыдущие сутки, то по оси абсцисс время его отправления из Харькова можно выразить отрицательным числом Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Действительно, в Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения предыдущих суток до начала новых суток должно пройти именно Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Аналогично, времени остановки поезда в Полтаве на оси абсцисс соответствует отрицательное числоВыражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

3. Остановки запланированы через каждые Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку скорость поезда составляет Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то за Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения он преодолевает Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, поезд останавливается на таких расстояниях от Полтавы: Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

4. При помощи отрицательных чисел Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения на оси ординат показано, что в Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения предыдущих суток поезд находился на расстоянии 300 км. не доезжая до станции Лубны, а в Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения предыдущих суток — на расстоянии Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, не доезжая до этой станции.

5. Конечные результаты точки маршрута поезда имеют координаты Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Обязательно ли выбирать конечные точки маршрута для построения графика движения? Нет. График можно построить по любым двум его точкам. Но концы маршрута нужно отметить обязательно.

Обратите внимание:

график движения является прямой (или её частью), поэтому такой график можно построить по любым двум его точкам.

С помощью графиков можно решать целый класс задач. Рассмотрим задачу.

Пример:

Из пунктов Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения, расстояние между которыми составляет 420 км. навстречу друг другу выехали два автомобиля. Красный автомобиль выехал в 6 ч из пункта Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и прибыл в пункт Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения в 15 ч. Синий автомобиль выехал в 5 ч из пункта Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения и прибыл в пункт Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения в 11 ч. В котором часу встретятся автомобили?

Решение:

Построим в прямоугольной системе координат графики движения автомобилей (рис. 177). Красный отрезок — график движения красного автомобиля, синий — синего автомобиля. Точке пересечения этих отрезков соответствует время — 9 ч. Итак, автомобили встречаются в 9 ч. Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения