1. Вычислить числовые характеристики выборки: 𝑥̅, 𝑠 2 , s, V, 𝐴 𝑠 , 𝐸x, 𝑀e, 𝑀o. 2. Сделать предварительную проверку выборки на нормальность распределения. 3. Построить эмпирическую функцию

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16401
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

1. Вычислить числовые характеристики выборки: 𝑥̅, 𝑠 2 , s, V, 𝐴 𝑠 , 𝐸x, 𝑀e, 𝑀o. 2. Сделать предварительную проверку выборки на нормальность распределения. 3. Построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон частот. n  30 3195; 3159; 3160; 3161; 3126; 3112; 3111; 3124; 3125; 3113; 3120; 3109; 3109; 3135; 3110; 3062; 3072; 3070; 3071; 3096; 3084; 3086; 3097; 3094; 3095; 3123; 3034; 3032; 3031; 3026.

Решение

Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания: Найдем размах выборки 𝑅𝑥.  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджесса:  где n − объём выборки, то есть число единиц наблюдения. В данном примере . Получим:  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем . За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала  чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В данном случае за нижнюю границу интервала возьмём . В результате получим следующие границы интервалов:  Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Относительные частоты 𝑚∗ определим по формуле:  Номер интервала Интервал Середина интервала Частота 𝑚 Относительная частота  Выборочное среднее вычисляется по формуле:  Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:  Исправленная дисперсия: Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:  Коэффициент вариации равен:  Определим центральный момент третьего порядка:  Коэффициент асимметрии равен:  Определим центральный момент четвертого порядка:  Эксцесс равен:  Медианой в статистике называют варианту, расположенную в середине вариационного ряда. Для интервального ряда медиану определяют по формуле:  где  – нижняя граница интервала, в котором находится медиана; ℎ – размах интервала;  – накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;  – частота в медианном интервале. Медианный интервал – это тот, на который приходится середина ранжированного ряда, т.е. в нашем случае  Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле:  где  – нижнее значение модального интервала; – частота в модальном интервале;  – частота в предыдущем интервале;  – частота в следующем интервале за модальным; ℎ – размах интервала. Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой, т.е. в нашем случае  Тогда  2. С помощью некоторых числовых характеристик можно определить, является ли выборочное распределение близким к нормальному. Если выборочное распределение близко к нормальному (или является таковым), то: 1) Для него выполняется правило одного, двух и трёх сигма:  с вероятностью  с вероятностью  с вероятностью  В данном случае: Все правила выполнены. 2) В не слишком маленькой выборке величина коэффициента вариации 𝑉 должна быть не более. В данном случае:  Условие выполнено. 3) Оценка эксцесса и коэффициента асимметрии  должны быть близки к нулю. В данном случае:  Условие выполнено. 4) Выборочное среднее  В данном случае:  Условие выполнено. 3. Эмпирическая функция распределения выглядит следующим образом  Построим график эмпирической функции распределения. Построим гистограмму и полигон частот.