Даны результаты наблюдений случайной величины 𝑋. Разделив интервал значений 𝑋 на десять равных частей 9,2 8,8 1,5 2,7 19,0 2,3 0,1 0,6 6,3 11,0 10,4 3,2 15,4 3,8 2,1 3,1 10,1

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Даны результаты наблюдений случайной величины 𝑋. Разделив интервал значений 𝑋 на десять равных частей, построить группировку, гистограмму, эмпирическую функцию распределения, найти оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины. На основе этих построений выдвинуть гипотезу о законе распределения 𝑋 и на графике гистограммы изобразить выравнивающую кривую. На уровне значимости 𝛼 = 0,05 по критерию 𝜒 2 Пирсона установить согласие или несогласие выдвинутой гипотезы с результатами наблюдений. 9,2 8,8 1,5 2,7 19,0 2,3 0,1 0,6 6,3 11,0 10,4 3,2 15,4 3,8 2,1 3,1 10,1 16,2 0,6 5,0 7,1 9,4 13,3 14,5 12,3 11,3 0,2 8,6 13,5 4,6 4,4 9,5 15,5 14,8 23,8 19,1 17,0 5,1 6,1 8,5 6,2 3,0 5,0 0,1 3,7 20,3 19,2 5,8 21,4 0,8 0,3 3,1 16,8 0,5

Решение

Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания:  Найдем размах выборки  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, заданы в условии:  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Относительные частоты 𝜔 определим по формуле:  Плотность относительной частоты для каждого интервала вычислим по формуле:  Номер интервала Интервал Середина интервала Частота 𝑛𝑖 Относительная частота  Построим гистограмму относительных частот. Эмпирическая функция распределения: Построим график эмпирической функции распределения. Найдем выборочную среднюю 𝑥̅в и выборочную дисперсию 𝐷 Найдем несмещенную оценку дисперсии 𝑆 2 . 𝑆 2 = 𝑛 𝑛 − 1 𝐷в = 54 54 − 1 ∙ 40,328 = 41,09 По виду гистограммы, построенной равноинтервальным способом, выдвинем гипотезу о показательном законе распределения. Функция плотности распределения вероятности 𝑓(𝑥) случайной величины 𝑋, имеющей показательное распределение, имеет вид:  Параметр распределения 𝜆 определим, используя метод моментов, по формуле:  Построим на графике гистограммы выравнивающую кривую:  Проверим выдвинутую гипотезу о законе распределения случайной величины с помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости 0,05. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равна приращению функции распределения:  Вычислим вероятности попаданий случайной величины 𝑋 в каждый интервал, найдем теоретические частоты и вычислим значения Результаты запишем в таблицу Интервал Здесь объединены интервалы 5-6 и 7-10, чтобы выполнялось условие. В итоге получили 𝑚 = 6 интервалов, число степеней свободы для 2 распределения равно. По таблице при уровне значимости  находим. Так как, то при заданном уровне значимости гипотеза о показательном распределении принимается.