Двумерная случайная величина распределена в круге радиуса 𝑅 = 1. Определить: а) выражение совместной плотности и функции распределения

		Математическая статистика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16444
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Двумерная случайная величина распределена в круге радиуса 𝑅 = 1. Определить: а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (𝑋, 𝑌); б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих 𝑋 и 𝑌; в) вероятность того, что расстояние от точки (𝑋, 𝑌) до начала координат будет меньше 1 3 .

Решение

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом 1 имеет уравнение: Поскольку не указано иное, положим, что случайная величина имеет равномерное распределение в круге радиуса 𝑅 = 1. Площадь указанной области 𝐷 равна:  Тогда совместная плотность распределения вероятности (случайной величины, имеющей равномерное распределение в области 𝐷) имеет вид:  Совместная функция распределения имеет вид: Этот интеграл с точностью до множителя 1 𝜋 совпадает с площадью области 𝐷 − области пересечения круга  бесконечным квадрантом, лежащим левее и ниже точки 𝑀(𝑋, 𝑌). Например, при 𝑥  получим , так как в этом случае область 𝐷 пустая, а при  получим  так как при этом область 𝐷 полностью совпадает с кругом на котором плотность распределения 𝑓(𝑥, 𝑦) отлична от нуля. б) Найдем плотности распределения одномерных составляющих 𝑋 и 𝑌: Таким образом: