Из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону, извлечена выборка объема 𝑛 = 60. 50 52 68 29 23 58 45 43 36 46 91 80 44

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону, извлечена выборка объема 𝑛 = 60. 50 52 68 29 23 58 45 43 36 46 91 80 44 12 52 94 50 57 96 43 67 80 20 31 3 6 6 26 57 79 81 79 5 46 93 99 80 28 50 51 50 77 71 60 47 4 31 23 93 42 49 33 10 55 60 75 14 60 64 65 1) Построить интервальный вариационный ряд. 2) Построить полигон, гистограмму, кумуляту и эмпирическую функцию распределения. 3) Определить моду, медиану и размах выборки. 4) Вычислить следующие числовые характеристики: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс. 5) При уровне значимости 𝛼 = 0,05 проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Решение

Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания: Найдем размах выборки  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджесса: объём выборки, то есть число единиц наблюдения. В нашем примере. Получим:  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем. За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала  чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В данном случае за нижнюю границу интервала возьмём 2. Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Относительные частоты 𝑚∗ определим по формуле:  Номер интервала Интервал Середина интервала Частота 𝑚 Относительная частота  Накопление частоты  2) Построим полигон, гистограмму, кумуляту и эмпирическую функцию распределения. 3) Определим моду, медиану и размах выборки. Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле: нижнее значение модального интервала; 𝑓𝑀𝑜 – частота в модальном интервале; 𝑓𝑀𝑜−1 – частота в предыдущем интервале; 𝑓𝑀𝑜+1 – частота в следующем интервале за модальным; ℎ – размах интервала. Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой, т.е. в данном случае 44 – 58. Тогда  Медианой в статистике называют варианту, расположенную в середине вариационного ряда. Для интервального ряда медиану определяют по формуле: нижняя граница интервала, в котором находится медиана; ℎ – размах интервала;  накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; 𝑓𝑀𝑒 – частота в медианном интервале. Медианный интервал – это тот, на который приходится середина ранжированного ряда, т.е. в данном случае.  Размах выборки определен выше: 4) Вычислим следующие числовые характеристики: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс. Выборочное среднее вычисляется по формуле:  Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:  Среднее квадратическое отклонение равно:  Исправленная дисперсия: Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:  Определим центральный момент третьего порядка:  Коэффициент асимметрии равен:  Определим центральный момент четвертого порядка:  Эксцесс равен:  5) При уровне значимости проверим по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Вычислим вероятности попадания случайной величины в каждый интервал  Число степеней свободы  По таблице при уровне значимости  находим  Так как  то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости.