Класс точности некоторого измерительного прибора такой, что он обеспечивает среднюю квадратическую погрешность измерений

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16401
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Класс точности некоторого измерительного прибора такой, что он обеспечивает среднюю квадратическую погрешность измерений 𝜎𝑥 = 0,25. Распределение считать нормальным. При измерении некоторой постоянной величины были получены следующие значения: 5,26 5,24 5,30 5,32 5,23 5,27 5,24 5,27 5,27 5,25 5,26 5,22 5,28 5,25 5,29 5,26 1. Составить сгруппированный вариационный ряд. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения вероятностей. 2. Определить моду. 3. Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью 0,98. 4. Сколько раз нужно было измерить эту постоянную величину, чтобы с вероятностью не меньшей чем 0,95 можно было утверждать, что эмпирическое математическое ожидание отклоняется от истинного математического ожидания на величину не большую, чем 0,1? 5. Пусть средняя квадратическая ошибка прибора является неизвестной. Требуется построить доверительный интервал для измеряемой величины при уровне значимости 0,05.

Решение

1. Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания:  Построим сгруппированный вариационный ряд распределения в виде таблиц частот – зависимость частоты варианты 𝑛𝑖 от значения 𝑥𝑖 :  Построим гистограмму частот. Относительные частоты (частости) 𝑤𝑖 определим по формуле: где  – общее число значений.  Эмпирическая функция распределения выглядит следующим образом: . Поскольку наибольшая вероятность (3) достигается при значениях , то мода принимает эти два значения: . 3. Выборочное среднее значение 𝑥̅в равно:  Доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины равен:  где  – значение, определяемое по таблице квантилей распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы  и доверительной вероятности По таблице квантилей распределения Стьюдента находим:  и искомый доверительный интервал имеет вид:  4. По условию отклонение 𝑡𝜎𝑥 √𝑛 не должно превышать , с вероятностью не меньшей чем . При этом 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором . По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Получаем . Тогда  5. Пусть средняя квадратическая ошибка прибора является неизвестной. Выборочная дисперсия равна:  Несмещенная (исправленная) оценка генеральной дисперсии  Доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины равен:  где  – значение, определяемое по таблице квантилей распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы  и доверительной вероятности . По таблице квантилей распределения Стьюдента находим:  и искомый доверительный интервал имеет вид: