Лабораторная работа 9 Задание. Для заданной непрерывной случайной величины 𝑋: 1) записать и построить функцию плотности 𝑓(𝑥); 2) записать и построить

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16290
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Лабораторная работа 9 Задание. Для заданной непрерывной случайной величины 𝑋: 1) записать и построить функцию плотности 𝑓(𝑥); 2) записать и построить функцию распределения 𝐹(𝑥); 3) проверить выполнение свойств 𝑓(𝑥) и 𝐹(𝑥). 4) найти характеристики: математическое ожидание (𝑚), дисперсию (𝐷), среднее квадратическое отклонение (𝑆), моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс; 5) найти 𝑝(|𝑋 − 𝑚| < 𝑆) и 𝑝(|𝑋 − 𝑚| < 3 ∙ 𝑆). На график нанести 𝑚 и интервалы, указанные в 5. 𝑓(𝑥) = { 1 𝜋 ∙ √𝑐 2 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ (−𝑐; 𝑐) 0, иначе 𝑐 =?

Решение

Значение параметра 𝑐 находим из условия нормировки: Тогда Тогда заданная функция 𝑓(𝑥) при всех значениях 𝑐 > 0 будет являться плотностью вероятности некоторого распределения. 1) Пусть 𝑐 = 1, тогда плотность распределения вероятностей имеет вид: иначе 2) По свойствам функции распределения: Тогда функция распределения имеет вид: 3) Убедимся, что заданная функция 𝑓(𝑥) является функцией плотности распределения некоторой случайной величины, проверив свойства 𝑓(𝑥). Основные свойства функции плотности распределения: Свойство 1. Плотность распределения 𝑓(𝑥) – неотрицательная функция, т.е. 𝑓(𝑥) ≥ 0. По заданному уравнению функции 𝑓(𝑥) это свойство выполняется:  иначе Свойство 2. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку (−∞; +∞) от функции плотности вероятностей равен единице: Для заданной функции 𝑓(𝑥) это свойство выполняется:  Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку так как вне этого промежутка 𝑓(𝑥) = 0. Для заданной функции 𝑓(𝑥) это свойство выполняется: Убедимся, что заданная функция 𝐹(𝑥) является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства 𝐹(𝑥). Основные свойства функции распределения: Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:  По заданному уравнению функции 𝐹(𝑥) это свойство выполняется Свойство 2. Если неубывающая функция своего аргумента. На заданной области определения [−1; 1] функция задана уравнением которая возрастает при всех 𝑥 ∈ [−1; 1] Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [𝑎; 𝑏] то: l)  при 𝑥 > 𝑏. В общем случае:  Для заданной функции  это условие выполняется, поскольку при 𝑥 ≤ −1 имеем 𝐹(𝑥) = 0, а при 𝑥 ≥ 1 имеем 𝐹(𝑥) = 1. Свойство 4. Функция распределения в любой точке непрерывна слева: Заданная функция определена на каждом из промежутков и может иметь точки разрыва только в точках 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 1. В точке  В точке  Сама функция на заданной области определения [−1; 1] в любой точке непрерывна слева: 4) Найдем математическое ожидание 𝑚 и дисперсию Вычислим неопределенный интеграл:  Воспользуемся заменой Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение 𝑆 равно: 2 Модой 𝑀0 непрерывного распределения является такое значение 𝑋, которое соответствует максимуму функции плотности распределения. Поскольку функция плотности вероятности максимальна при 𝑥 → ±1 мода 𝑀0 → ±1. Медиана 𝑀𝑒 непрерывного распределения – это решение уравнения: Тогда Коэффициент вариации равен: Найдем центральный момент 3 и 4 порядка: Коэффициент асимметрии равен: Эксцесс равен: 5) Вероятность попадания в промежуток (𝑎; 𝑏) равна приращению функции распределения на этом промежутке:  На график плотности 𝑓(𝑥) нанесем 𝑚 и интервалы, указанные в 5.