На [𝑂𝐴] длины 𝐿 числовой оси наудачу поставлены две точки:  Найти вероятность того, что длина [𝐵𝐶] < длины [𝑂𝐵].

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

На [𝑂𝐴] длины 𝐿 числовой оси наудачу поставлены две точки:  Найти вероятность того, что длина [𝐵𝐶] < длины [𝑂𝐵].

Решение

Обозначим расстояние от точки 𝑂 до точки 𝐵 через 𝑥, расстояние от точки 𝑂 до точки 𝐶 через 𝑦. Пусть точка 𝑂 лежит в начале координат, тогда в силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства:  Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат 𝑂𝑥𝑦. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей половине квадрата (выше прямой 𝑦 = 𝑥) со стороной 𝐿 (вследствие заданного условия  Таким образом, треугольник на рисунке можно рассматривать как фигуру 𝐺, координаты точек которой представляют все возможные значения координат точек 𝐵 и 𝐶. Длины отрезков [𝐵𝐶] и [𝑂𝐵] равны: Тогда длина [𝐵𝐶] < длины [𝑂𝐵] при:  Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют заданным ограничениям, принадлежат заштрихованному треугольнику. Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру 𝑔, координаты точек которой являются благоприятствующими условиями события 𝐴. Вероятность события 𝐴 – длина [𝐵𝐶] < длины [𝑂𝐵], равна отношению площадей заштрихованной области к площади половины квадрата. Площадь заштрихованной области 𝑔 определим как разность площади половины квадрата 𝐺 со стороной 𝐿 и площади прямоугольного треугольника со сторонами Ответ: