На основе данных о результатах 49-ти измерений содержания солода в пиве «Балтика №6» сформировать таблицу значений относительных частот
Теория вероятностей | ||
Решение задачи | ||
Выполнен, номер заказа №16412 | ||
Прошла проверку преподавателем МГУ | ||
Напишите мне в чат, пришлите ссылку на эту страницу в чат, оплатите и получите файл! |
Закажите у меня новую работу, просто написав мне в чат! |
На основе данных о результатах 49-ти измерений содержания солода в пиве «Балтика №6» сформировать таблицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.
Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения. Вычислить выборочную среднюю выборки, ее дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей 𝑓(𝑥) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность 𝛾 = 0,95 и 0,99. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределениям выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
Решение
Найдем размах выборки Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, задан в условии: Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле: Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем. За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В данном случае за нижнюю границу интервала возьмём 3,4. Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Сформируем сводную таблицу, где укажем интервал, число вариант, относительные частоты , плотность относительной частоты 𝜔 ∗ , которые определим по формуле: Номер интервала Интервал Частота 𝑚 Относительная частота 𝑚∗ Плотность относительной частоты Сформируем сводную таблицу эмпирической функции распределения, где укажем интервал, середину интервала и накопление относительной частоты 𝑚∗ . Номер интервала Интервал Середина интервала Относительная частота 𝑚∗ Накопление относительной частоты По данным таблиц построим полигон относительных частот. По данным таблиц построим гистограмму относительных частот. По данным таблиц построим график эмпирической функции распределения. Выборочное среднее вычисляется по формуле: Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:Среднее квадратическое отклонение равно: Определим центральный момент третьего порядка: Коэффициент асимметрии равен: Определим центральный момент четвертого порядка: Эксцесс равен: Отобразим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот. Исправленная дисперсия: Исправленное среднее квадратическое отклонение равно: Плотность распределения вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид получим Рассчитаем теоретические относительные частоты Номер интервала Интервал Середина интервала Относительная частота 𝑚∗ Теоретическая частота Построить график плотности распределения на нормированной гистограмме относительных частот. Теоретические относительные частоты покажем на полигоне относительных частот. Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины равен: где 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором . При по таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства: Получаем, и искомый доверительный интервал имеет вид: При по таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства: Получаем, и искомый доверительный интервал имеет вид: Доверительный интервал для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения 𝜎 нормально распределенной случайной величины с надежностью 𝛾 имеет вид: где 𝑞1, 𝑞2 − величины, определяемые по таблице значений 𝑞 в зависимости от надежности 𝛾 и объема выборки 𝑛. При и по таблице значений 𝑞 получаем Тогда доверительный интервал для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения 𝜎 с надежностью имеет вид: При 𝛾 = 0,99 и 𝑛 = 49 по таблице значений 𝑞 получаем 𝑞1 = 0,793; 𝑞2 = 1,336 Тогда доверительный интервал для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения 𝜎 с надежностью 𝛾 = 0,95 имеет вид: Вероятность попадания случайной величины в каждый интервал равна приращению функции распределения: Теоретические частоты определим по формуле и вычислим значения Результаты запишем в таблицу Интервалы Получили. Число степеней свободы . По таблице при уровне значимости 1 находим. Так как, то гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости принимаем. По таблице при уровне значимости находим. Так как , то гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости принимаем.
Похожие готовые решения по теории вероятности:
- По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; - построить на масштабно-координатной бумаге формата 6.83 4.02 5.32 -0.08 2.47 5.76 4.35 4.34 7.49 4.22 4.72 6.66 5.96 3.64 3.91 6.34 4.45 6.77 3.81 6.25 5.37 7.81 3.18 6.76 6.27 3.75
- По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; - построить на масштабно-координатной бумаге 0.31 -0.03 -5.99 -2.44 -6.20 2.89 1.89 -0.24 -1.78 -0.20 -6.59 -5.26 -2.52 -1.58 -3.16 -8.01 -1.44 -3.34 6.25 3.68 -4.13 -4.47 -3.51 -4.95 1.22 -0.69
- По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; -9.50 -6.20 -1.91 0.28 -1.85 -2.09 -5.52 -1.25 -8.68 -7.24-11.11 -5.76 -0.04 -2.20 -3.92-10.43 -2.07 -8.27 -1.73 -3.52
- По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; 1.96 -0.55 1.78 1.24 1.00 -0.24 1.00 -0.43 -0.23 1.57 0.20 -0.41 1.93 0.21 1.01 1.26 1.08 -0.06 -0.26 0.62 0.92 -1.28 -0.78
- Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность
- -1,1 2,7 1,7 0,7 -0,5 4,1 2,0 0,0 -3,8 3,4 -0,7 1,8 0,8 2,2 2,4 1,0 4,5 2,0 0,2 2,9 7,0 3,9 3,3 3,3 -1,6 1,6 1,7 0,6 2,8 1,3 2,6 4,6 6,4 -1,5 -1,9 4,2 3,3 -0,4 4,2 3,5 4,3 2,9 2,8 -0,1 6,2 -3,3 2,6 2,2 1,5 2,5 По заданной выборке требуется
- По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; 0,21 0,47 0,07 0,31 0,040 0,06 0,52 0,10 0,75 0,19 0,11 0,03 0,15 0,18
- Для изучения некоторого количественного признака 𝑋 генеральной совокупности получена выборка. 28. 1,90 1,88 1,79 1,86 1,93 1,96 1,98 1,96 1,90 1,92 1,94 1,93 1,91 1,86
- В секретном замке банковского сейфа на общей оси 5 дисков. Каждый диск имеет 6 секторов, на которых написаны
- В коробке 6 одинаковых занумерованных шаров. Наудачу по одному извлекают все шары. Найти вероятность
- Из множества чисел 1,2…, n выбирают два, возможно одинаковые. Найти вероятность того, что второе
- В таблице приведены результаты анализа эффективности работы 110 промышленных предприятий области по величине роста