На отрезке [−1; 2] наугад выбрали число. Случайная величина 𝑋 − абсолютная величина выбранного числа. Найти функцию

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16306
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

На отрезке [−1; 2] наугад выбрали число. Случайная величина 𝑋 − абсолютная величина выбранного числа. Найти функцию распределения, медиану и математическое ожидание случайной величины 𝑋.

Решение

Функция распределения вероятностей 𝐹(𝑥) равномерно распределенной величины имеет вид:  При  получим:  Функция плотности распределения вероятностей 𝑓(𝑥) имеет вид:  Построим график величины  для 𝑥 в интервале  и определим диапазон значений 𝑌:  В зависимости от числа 𝑘 обратных функций выделим следующие интервалы для 𝑌:  На интервалах  обратные функции не существуют, следовательно, . В интервале  две обратных функции:  Вычислим модули производных обратных функций В интервале  одна обратная функция , следовательно,  В интервале  В интервале  Таким образом, плотность вероятности величины 𝑌 − абсолютной величины выбранного на отрезке  числа, равна:  По условию задачи требовалось обозначение, через букву 𝑋, тогда плотность вероятности величины 𝑋 − абсолютной величины выбранного на отрезке  числа, равна:  По свойствам функции распределения: Тогда функция распределения случайной величины 𝑋 имеет вид 𝐹 Медианой является такое значение 𝑋, для которого плотность вероятности слева и справа равны . Медиану 𝑀𝑒 найдем из равенства: Тогда  Математическое ожидание 𝑀(𝑋) равно: