На отрезке 𝐴𝐵 длиной 1 поставили наугад 2 точки 𝐿 и 𝑀. Найти вероятность того, что расстояние между точками 𝐿 и 𝑀 меньше половины

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

На отрезке 𝐴𝐵 длиной 1 поставили наугад 2 точки 𝐿 и 𝑀. Найти вероятность того, что расстояние между точками 𝐿 и 𝑀 меньше половины длины отрезка 𝐴𝐵.

Решение

Основное событие 𝐴 − расстояние между точками 𝐿 и 𝑀 меньше половины длины отрезка 𝐴𝐵. Обозначим координату первой точки через 𝑥, второй точки – через 𝑦. Они расположены на отрезке [0; 1] (по условию). Пусть 𝑇 = 1. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства:  Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат 𝑂𝑥𝑦. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной 𝑇. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру 𝐺, координаты точек которой представляют все возможные значения координат двух точек. Так как расстояние между точками должно быть меньше Событие 𝐴 произойдет, если: при  (2) Неравенство (1) выполняется для координат тех точек фигуры 𝐺, которые лежат выше прямой 𝑦 = 𝑥 и ниже прямой  неравенство (2) верно для точек, расположенных ниже прямой 𝑦 = 𝑥 и выше прямой Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (1) и (2) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру 𝑔, координаты точек которой являются благоприятствующими для события 𝐴. Вероятность события 𝐴 по геометрическому определению вероятностей, равна отношению площадей заштрихованной области к площади квадрата. Площадь заштрихованной области 𝑔 определим как разность площади квадрата 𝐺 со стороной 1 и площадями двух прямоугольных треугольников со сторонами  Ответ: