По радиоканалу в течение промежутка времени (0;1) передаются два сигнала длительностью. Каждый из них с одинаковой возможностью

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

По радиоканалу в течение промежутка времени (0;1) передаются два сигнала длительностью. Каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала (0; 1 − 𝑇). Если сигналы перекрывают друг друга хотя бы частично, оба они искажаются и приняты быть не могут. Найти вероятность того, что сигналы приняты без искажений.

Решение

Обозначим момент появления первого сигнала через 𝑥, второго − через 𝑦. Они могут перекрыться в течение 1 времени (по условию промежуток времени (0;1)). В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат 𝑂𝑥𝑦. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной 1 − 𝑇 (учитываем, что каждый из сигналов может появиться только в момент времени. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру 𝐺, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов перекрытия сигналов. Так как появившийся первым сигнал будет занимать канал в течение времени 𝑇, после чего освободит канал, то 𝑡1 = 𝑇. Так как появившийся первым второй сигнал будет занимать канал в течение времени 𝑇, после чего освободит канал. Они перекроются, если:   (2) Неравенство (1) выполняется для координат тех точек фигуры 𝐺, которые лежат выше прямой 𝑦 = 𝑥 и ниже прямой  неравенство (2) верно для точек, расположенных ниже прямой 𝑦 = 𝑥 и выше прямой  Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (1) и (2) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру 𝑔, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени 𝑥 и 𝑦, когда сигналы перекроются. Вероятность события 𝐴 – сигналы приняты без искажений, равна отношению площади отмеченной на рисунке серым цветом области к площади квадрата. Площадь области серого цвета определим как сумму площадей двух прямоугольных треугольников со сторонами

Ответ: