По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд -1.74 -1.15 -0.37 -2.78 0.91 -2.13 0.72 0.14 -2.06 0.60 -1.03 -3.55 0.84 -1.11 -1.92 0.66 -1.50 0.09 -3.26 -0.36 -1.12 0.88 0.52

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; - построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x); - построить гистограмму равноинтервальным способом; - построить гистограмму равновероятностным способом; - вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии; - вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ= 0,95); - выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе. -1.74 -1.15 -0.37 -2.78 0.91 -2.13 0.72 0.14 -2.06 0.60 -1.03 -3.55 0.84 -1.11 -1.92 0.66 -1.50 0.09 -3.26 -0.36 -1.12 0.88 0.52 0.18 -2.70 -0.36 -3.29 -0.09 -1.47 -1.37 -0.29 0.05 0.33 -2.23 0.80 -0.59 0.22 -3.22 -0.45 0.15 -1.63 0.50 -2.03 -1.29 -2.13 -3.00 -2.65 -0.97 -0.31

Решение

Построим вариационный ряд (выборку в порядке возрастания) Построим график эмпирической функции распределения F*(x). Эмпирическая функция распределения определяется формулой где x - аргумент (неслучайная величина ); n - объем выборки; mx - количество значений в выборке или вариационном ряду, строго меньших x. На числовой оси x выделим полуинтервалы, на которых функция F*(x) не изменяет своего значения. Границы полуинтервалов определяем соседними отличающимися значениями вариационного ряда. На каждом полуинтервале по формуле (1) вычисляем значение функции. Так как является неубывающей функцией, то все ступеньки графика F x * имеют одинаковую величину 49 1 . Построим гистограмму равноинтервальным способом. Шаг  Данные интервала, число выборочных значений и среднюю плотность вероятности для каждого интервала сведем в таблицу 1. Среднюю плотность вероятности для каждого интервала вычислим по формуле  Таблица 1. Интервал Число значений 𝛾𝑖 Плотность вероятности  Построим гистограмму Построим гистограмму равновероятностным способом. Определим границы интервалов, в каждом из которых 7 выборочных значений. Данные интервала и среднюю плотность вероятности для каждого интервала сведем в таблицу 2. Среднюю плотность вероятности для каждого интервала вычислим по формуле  Таблица 2. Интервал Число значений 𝛾𝑖 Плотность вероятности Построим гистограмму Найдем оценки математического ожидания и дисперсии. Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания равна Смещенная состоятельная оценка дисперсии  Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ= 0,95). Найдем доверительный интервал для математического ожидания Для записи доверительного интервала для дисперсии, по числу получим коэффициенты  Выдвигая по виду гистограммы гипотезу о равномерном распределении, проверим ее по критерию согласия «𝜒 2 − Пирсона» при уровне значимости 𝛼 = 0,05. Теоретические частоты 𝑛′ 𝑖 найдем по формулам: оценки параметров равномерного распределения. Тогда  Значение  Получили. Число степеней свободы  = 7 – 3 = 4. (7 – число интервалов выборки, а цифра 3 – это 1 плюс число параметров предполагаемого распределения (для равномерного распределения число параметров равно 2)). По таблице при уровне значимости  находим. Так как, то гипотеза о равномерном законе распределения согласуется с опытными данными. Выдвигая по виду гистограммы гипотезу о равномерном распределении, проверим ее по критерию согласия «𝜆 − Колмогорова». В таблицу 1 запишем значения 𝐹 ∗ (𝑥) функции распределения заданной выборки и значения функции равномерного распределения, а так же найдем разность. Таблица 3 Интервал Частота  График гипотетической функции распределения F0(x) построим совместно с графиком F*(x). По таблице:  Значение критерия Колмогорова  Тогда из таблицы вероятностей Колмогорова выберем критическое значение. Поскольку, то гипотеза о равномерном законе распределения согласуется с опытными данными.