По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; 1.96 -0.55 1.78 1.24 1.00 -0.24 1.00 -0.43 -0.23 1.57 0.20 -0.41 1.93 0.21 1.01 1.26 1.08 -0.06 -0.26 0.62 0.92 -1.28 -0.78

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; - построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F * (x); - построить гистограмму равноинтервальным способом; - построить гистограмму равновероятностным способом; - вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии; - вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95); - выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F * (x) в той же системе координат и на том же листе. Одномерная выборка: 1.96 -0.55 1.78 1.24 1.00 -0.24 1.00 -0.43 -0.23 1.57 0.20 -0.41 1.93 0.21 1.01 1.26 1.08 -0.06 -0.26 0.62 0.92 -1.28 -0.78 -0.31 1.93 -1.09 1.81 2.35 -0.88 0.67 0.34 -0.02 -0.00 0.15 0.83 -0.73 0.66 -0.66 -0.79 1.29 -0.41 -0.51 0.36 -1.36 1.15 -0.98 -0.50 2.08 1.79

Решение

Построим вариационный ряд (выборку в порядке возрастания)  Построим график эмпирической функции распределения. Эмпирическая функция распределения определяется формулой  где x - аргумент (неслучайная величина); n - объем выборки;   количество значений в выборке или вариационном ряду, строго меньших x. На числовой оси x выделим полуинтервалы, на которых функция F*(x) не изменяет своего значения. Границы полуинтервалов определяем соседними отличающимися значениями вариационного ряда. На каждом полуинтервале по формуле (1) вычисляем значение функции . Так как  является неубывающей функцией, то все ступеньки графика имеют одинаковую величину 1 . Построим гистограмму равноинтервальным способом. Шаг  Данные интервала, число выборочных значений и среднюю плотность вероятности для каждого интервала сведем в таблицу 1. Среднюю плотность вероятности для каждого интервала вычислим по формуле  Таблица 1. Интервал Число значений 𝛾𝑖 Плотность вероятности  Построим гистограмму Построим гистограмму равновероятностным способом. Определим границы интервалов, в каждом из которых 7 выборочных значений. Данные интервала и среднюю плотность вероятности для каждого интервала сведем в таблицу 2. Среднюю плотность вероятности для каждого интервала вычислим по формуле  Таблица 2. Интервал Число значений 𝛾𝑖 Плотность вероятности  Построим гистограмму Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания равна Смещенная состоятельная оценка дисперсии  Вычислим интервальные оценки математического ожидания такое значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(𝑧𝛾) = 1 2 𝛾. По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Получаем, и доверительные интервалы имеют вид:  По виду графика эмпирической функции распределения  и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины. H0 – величина X распределена по равномерному закону: величина X не распределена по равномерному закону . Определим оценки неизвестных параметров 𝑎 и 𝑏 гипотетического (нормального) закона распределения:  Таким образом, получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:  Теоретические вероятности 𝑝𝑖 попадания в интервалы равноинтервального статистического ряда равномерной случайной величины с параметрами  вычислим по формуле.  и вычислим значения Результаты запишем в таблицу. Таблица 3 Интервал  Получили. Получили. Число степеней свободы   число интервалов выборки, а цифра 3 – это 1 плюс число параметров предполагаемого распределения (для равномерного распределения число параметров равно 2)).По таблице при уровне значимости  находим.Так как, то гипотеза о равномерном законе распределения согласуется с опытными данными. Выдвигая по виду гистограммы гипотезу о равномерном распределении, проверим ее по критерию согласия «𝜆 − Колмогорова». Построим график  в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения . В качестве опорных точек для графика  используем 7 значений  из таб.3. По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями  Значение критерия Колмогорова Тогда из таблицы вероятностей Колмогорова выберем критическое значение. Поскольку , то гипотеза о равномерном законе распределения согласуется с опытными данными.