Предполагается, что проведен некоторый эксперимент, в результате которого получен набор данных. Требуется: 136 146 123 144 138 127 152 140 126 166 159 148 146 140 124

Предполагается, что проведен некоторый эксперимент, в результате которого получен набор данных. Требуется: 1. Построить вариационный ряд частот или относительных частот; 2. Изобразить геометрически вариационный ряд, построив гистограмму частот; 3. Вычислить точечные оценки параметров распределения; 4. Высказать гипотезу о виде закона распределения признака и применить критерий согласия хи-квадрат Пирсона на 5%-м уровне значимости; 5. Считая полученный набор данных генеральной совокупностью, сделать из этой совокупности выборку объема 10, для которой: а) вычислить точечные оценки параметров распределения – выборочную среднюю арифметическую и исправленную выборочную дисперсию, сравнить полученные значения с соответствующими характеристиками генеральной совокупности; б) найти доверительный интервал для генеральной средней на уровне значимости 𝛼 = 0,05 при неизвестной и известной дисперсии; в) найти доверительный интервал для генеральной дисперсии. Выработка продукции предприятиями в сравнении с предыдущей пятилеткой дается таблицей (в %): 136 146 123 144 138 127 152 140 126 166 159 148 146 140 124 141 134 143 138 150 126 143 137 155 142 141 138 114 142 152 146 139 135 132 118 130 154 138 137 134 150 161 142 132 135 140 157 131 140 136 128 158 138 158 126 137 128 139 132 120 143 134 145 133 141 133 145 131 145 139

Решение

Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания:  Найдем размах выборки  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджесса:объём выборки, то есть число единиц наблюдения. В данном примере  Получим: Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем ℎ = 7,6. За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала  чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В нашем случае за нижнюю границу интервала возьмём 113,4. Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Относительные частоты 𝑚∗ определим по формуле: 𝑚∗ = 𝑚 𝑛 Номер интервала Интервал Середина интервала Частота 𝑚 Относительная частота  2. Изобразим геометрически вариационный ряд, построив гистограмму частот. 3. Вычислим точечные оценки параметров распределения. Выборочное среднее вычисляется по формуле:  Выборочная дисперсия вычисляется по формуле: Среднее квадратическое отклонение равно: Исправленная дисперсия: Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:  4. По виду гистограммы частот выдвинем гипотезу о нормальном законе распределения признака и применим критерий согласия хи-квадрат Пирсона на 5%-м уровне значимости для проверки выдвинутой гипотезы. Критерий Пирсона применяется при условии, что все группы ряда включают частоты не меньшие 5 . Если частота группы ряда менее 5, то эту группу следует объединить с соседней. В данном случае объединим первые две и последние две группы. Расчёты проверки критерия Пирсона поместим в таблице. Вычислим вероятности попаданий случайной величины в каждый интервал Интервалы  По таблице при уровне значимости Так как то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении. 5. Считая полученный набор данных генеральной совокупностью, сделаем из этой совокупности выборку объема Для полученной выборки: а) вычислим точечные оценки параметров распределения – выборочную среднюю арифметическую и исправленную выборочную дисперсию. Выборочное среднее вычисляется по формуле: Сравним полученные значения с соответствующими характеристиками генеральной совокупности. Математическое ожидание, которое характеризует среднее значение случайной величины, практически совпало. Дисперсия случайной величины, которая характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания, во втором случае оказалась меньше, за счет уменьшения числа значений. б) Найдем доверительный интервал для генеральной средней на уровне значимости 𝛼 = 0,05 при неизвестной и известной дисперсии. 1) Пусть дисперсия генеральной совокупности не известна. Доверительный интервал для математического ожидания 𝑎 случайной величины равен:  По таблице распределения Стьюдента находим:  Тогда 2) Пусть известна дисперсия генеральной совокупности . Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины равен:  такое значение аргумента функции Лапласа, при котором  По таблице функции Лапласа находим t из равенства: Получаем 𝑡 = 1,96, и искомый доверительный интервал имеет вид:  в) Найдем доверительный интервал для генеральной дисперсии по формуле: