Произведено три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Рассмотрим события 𝐴 = {три попадания в цель

		Высшая математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16112
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		225 руб.

Произведено три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Рассмотрим события 𝐴 = {три попадания в цель}, 𝐵 = {два попадания в цель}, 𝐶 = {хотя бы два попадания в цель}. Найдите вероятности событий 𝐴 + 𝐶, 𝐴 ∙ 𝐶, 𝐶̅. Являются ли события 𝐴 + 𝐵 и 𝐶 несовместными? Являются ли события 𝐴 ∙ 𝐶 и 𝐴̅противоположными?

Решение

Обозначим события: 𝐴1 − при первом выстреле произошло попадание в цель; 𝐴2 − при втором выстреле произошло попадание в цель; 𝐴3 − при третьем выстреле произошло попадание в цель; 𝐴1 ̅̅̅ − при первом выстреле не произошло попадания в цель; 𝐴2 ̅̅̅ − при втором выстреле не произошло попадания в цель; 𝐴3 ̅̅̅ − при третьем выстреле не произошло попадания в цель. По условию вероятности этих событий равны: Тогда По формулам сложения и умножения вероятностей: Найдем вероятности событий Поскольку событие 𝐴 = {три попадания в цель} полностью входит в событие 𝐶 = {хотя бы два попадания в цель}, то вероятность суммы этих событий (т.е. произойдет одно из них или оба) равна вероятности события 𝐶: При этом вероятность произведения этих событий (вероятность того, что оба события происходят одновременно), равна вероятности события 𝐴: Вероятность события 𝐶̅равна: Определим, являются ли события 𝐴 + 𝐵 и 𝐶 несовместными. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое. Событие 𝐴 + 𝐵 = {два попадания в цель, либо три попадания в цель}. Событие 𝐶 = {хотя бы два попадания в цель}. Очевидно, что события 𝐴 + 𝐵 и 𝐶 описывают один и тот же исход, и не могут быть несовместными. Определим, являются ли события 𝐴 ∙ 𝐶 и 𝐴̅противоположными. Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Событие 𝐴 ∙ 𝐶 = {три попадания в цель}. Событие 𝐴̅= {не три попадания в цель}. Эти события противоположны.