Рассматриваются три случайные величины, имеющие соответственно равномерное, показательное и нормальное распределение с одним и тем же математическим

		Математическая статистика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16457
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Рассматриваются три случайные величины, имеющие соответственно равномерное, показательное и нормальное распределение с одним и тем же математическим ожиданием 𝑀 и с одинаковой дисперсией 𝐷. Написать выражение плотности для каждой случайной величины и построить их графики. Найти вероятности того, что каждая из них попадет в интервал, отстоящий в ту или другую сторону от математического ожидания на единицу, и оставаясь при этом положительной. Сделать заключение, какая из них наиболее вероятно попадает на этот интервал, а какая – наименее вероятно. 𝑀 = 1,09; 𝐷 = 1,19

Решение

1. Для равномерного распределения на отрезке По заданным значениям и 𝐷 = 1,19 определим интервал  − противоречит условию  Функция плотности распределения вероятностей  равномерно распределенной величины имеет вид:  Коэффициент 𝑐 находим из условия: Откуда  График найденной функции плотности вероятности равномерного распределения имеет вид: Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал [𝛼; 𝛽] равна Тогда вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина 𝑋 попадет в интервал, отстоящий в ту или другую сторону от математического ожидания на единицу, и оставаясь при этом положительной, равна: 2) Для показательного закона  откуда параметр распределения 𝜆 равен  Функция плотности распределения вероятностей 𝑓(𝑥) случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:  График найденной функции плотности вероятности имеет вид: Вероятность попадания случайной величины в интервал [𝑎; 𝑏] равна  Тогда вероятность того, что случайная величина 𝑋, распределенная по показательному закону попадет в интервал, отстоящий в ту или другую сторону от математического ожидания на единицу, и оставаясь при этом положительной, равна: 3) Плотность распределения вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид По заданным значениям  определим:  График найденной функции плотности вероятности имеет вид: Вероятность попадания случайной величины в интервал [𝑎; 𝑏] равна  Тогда вероятность того, что случайная величина 𝑋, распределенная по нормальному закону попадет в интервал, отстоящий в ту или другую сторону от математического ожидания на единицу, и оставаясь при этом положительной, равна: Сделаем заключение, какая из рассмотренных случайных величин наиболее вероятно попадает на этот интервал, а какая – наименее вероятно. Для рассматриваемых случайных величин, имеющих соответственно равномерное, показательное и нормальное распределение с одним и тем же математическим ожиданием 𝑀 и с одинаковой дисперсией 𝐷, соответственно получили вероятности: Следовательно, наиболее вероятно в заданный интервал попадет величина с показательным распределением и наименее вероятно – с равномерным распределением.