С целью изучения миграции населения в данной области было проведено выборочное обследование 9 0 8 3 10 5 14 6 14 1 3 4 10 5 4 11 4 14 13 13 12 2 1 3 9

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

С целью изучения миграции населения в данной области было проведено выборочное обследование 70 мелких населенных пунктов из 350 имеющихся в области (выборка бесповторная). Получены следующие данные о количестве зарегистрированных мигрантов: 

Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже изобразить гистограмму и полигон частот. По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду и медиану. Найти: а) вероятность того, что среднее количество мигрантов во всей области отличается от их среднего количества в выборке не более чем на 1 чел; б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля всех населенных пунктов области, где количество мигрантов превышает 8 человек. в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего количества мигрантов, что и в п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение

Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания:  Найдем размах выборки  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджесса: объём выборки, то есть число единиц наблюдения. В данном примере. Получим:  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Относительные частоты 𝑚∗ определим по формуле: 𝑚∗ = 𝑚 𝑛 Номер интервала Интервал Середина интервала Частота 𝑚 Относительная частота  Эмпирическая функция распределения выглядит следующим образом Построим график эмпирической функции распределения. На одном чертеже изобразим гистограмму (черным) и полигон частот. По сгруппированным данным вычислим выборочные числовые характеристики: среднее арифметическое 𝑥̅, исправленную выборочную дисперсию 𝑆 2 , среднее квадратичное отклонение 𝜎, коэффициент вариации 𝑉, асимметрию 𝑎, эксцесс 𝑒, моду и медиану.  Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:  Среднее квадратическое отклонение равно:  Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:  Определим центральный момент третьего порядка: Коэффициент асимметрии равен:  Определим центральный момент четвертого порядка:  Эксцесс равен:  Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле:  нижнее значение модального интервала;  частота в модальном интервале;  частота в предыдущем интервале;  частота в следующем интервале за модальным; ℎ – размах интервала. Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой, т.е. в данном случае . Тогда  Для интервального ряда медиану определяют по формуле:  нижняя граница интервала, в котором находится медиана; ℎ – размах интервала;  накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; 𝑓𝑀𝑒 – частота в медианном интервале. Медианный интервал – это тот, на который приходится середина ранжированного ряда, т.е. в данном случае  Найдем: а) вероятность того, что среднее количество мигрантов во всей области отличается от их среднего количества в выборке не более чем на 1 чел; Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины 𝑋 от своего математического ожидания 𝑎 меньше любого положительного 𝑚, равна  функция Лапласа. Тогда:  б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля всех населенных пунктов области, где количество мигрантов превышает 8 человек. Выборочная доля всех населенных пунктов области, где количество мигрантов превышает 8 человек, равна  Предельная ошибка для доли  такое значение аргумента функции Лапласа, при котором. По таблице функции Лапласа находим t из равенства:  Получаем  и тогда  Тогда границы доли всех населенных пунктов области, где количество мигрантов превышает 8 человек, имеют вид:  в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего количества мигрантов, что и в п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,95. Объем повторной выборки при оценке генеральной доли определяется соотношением:  аргумент функции Лапласа, соответствующий доверительной вероятности  и определяет точность полученных результатов. Для заданной доверительной вероятности  по таблице функции Лапласа находим, что значение ее аргумента будет равно тогда (округление производим всегда в большую сторону):  Зная объем повторной выборки и объем генеральной совокупности, вычисляем объем бесповторной выборки по формуле: Заменив неизвестные параметры генеральной совокупности соответственно их наилучшими выборочными оценками, по данным задачи 4, используя 2- критерий Пирсона на уровне значимости  проверить две гипотезы о том, что изучаемая случайная величина ξ – число мигрантов в данном населенном пункте – распределена: а) по нормальному закону распределения; б) по равномерному закону распределения