Сформулируйте условие появления не менее 4 энергетических уровней в одномерной прямоугольной потенциальной яме.

		Физика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16510
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Сформулируйте условие появления не менее 4 энергетических уровней в одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Решение

Рассмотрим частицу в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной a и конечной глубины (рис. 1). Рис. 1. Одномерная прямоугольная потенциальная яма Потенциальная энергия частицы 𝑈(𝑥) имеет вид: (область III). Исходя из условия задачи, достаточно рассмотрения случая, когда энергия частицы так как только в этом случае движение частицы финитно, а, следовательно, спектр является дискретным и можно говорить о количестве энергетических уровней. Если же то движение инфинитно и спектр будет непрерывным, т.е. количество энергетических уровней будет бесконечно. Общий вид стационарного уравнения Шрёдингера для одномерной задачи: волновая функция, 𝑚 – масса частицы, ℏ – постоянная Планка. Теперь рассмотрим уравнение Шрёдингера отдельно во всех областях. 1. ОБЛАСТИ I И III В данных областях  Следовательно, уравнение Шрёдингера (1) имеет вид: (2) Введём обозначение Тогда уравнение (2) запишется в виде: и его решением является следующая волновая функция: – константы. Следовательно, в областях I и III волновая функция имеет вид: Заметим сразу, что, в силу ограниченности волновой функции, должны выполняться условия: действительно (поскольку выполнение данных условий возможно только в том случае, когда  Следовательно: 2. ОБЛАСТЬ II В данной области Следовательно, уравнение Шрёдингера (1) имеет вид: (3) Введём обозначение Тогда уравнение (3) запишется в виде: и его решением является следующая волновая функция: – константы. Таким образом, волновая функция во всех трёх областях имеет вид: Для нахождения констант воспользуемся свойством непрерывности волновой функции и её производной. Это означает, что должны выполняться условия:. (4) Таким образом, мы «сшиваем» волновую функцию и её производную в точках  Для записи условий (4) найдём производную волновой функции во всех областях: Тогда из условий (4) «сшивки» волновой функции и её производной; Из первого и третьего уравнений получаем, что а из второго и четвёртого: Тогда: (5) Уравнение (5) и определяет квантование энергетических уровней в одномерной потенциальной яме с конечной глубиной, поскольку, а, значит: Найдём условие появления не менее 4 энергетических уровней в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Воспользуемся формулой:  для выражения tg(𝛼2 ) =  2 . Заметим, что: Тогда:  и, в итоге: (6) Уравнение (6) является трансцендентным уравнением относительно Заметим, что значения 𝑛 ≤ 0 не удовлетворяют условию задачи, так как левая часть  неотрицательна. Следовательно: 𝑛 = 1,2, … Также, из-за того, что аргумент арксинуса не может быть больше 1, получим: Таким образом, значения ограничены сверху величиной Решим графически трансцендентное уравнение (6). Для этого построим на одном графике левую часть  и правые части. Их пересечения (рис 2) и определяют корни уравнения (6), а, следовательно, количество корней определяет количество энергетических уровней. Рис. 2. Графическое решение трансцендентного уравнения Из рис. 2 видно, что для того, чтобы в одномерной прямоугольной потенциальной яме появилось как минимум 𝑛 уровней, необходимо, чтобы выполнялось условие:  Подставляя получаем:  В нашем случае 𝑛 = 4, следовательно:  Ответ: Для того, чтобы в одномерной прямоугольной потенциальной яме появилось как минимум 4 уровня, необходимо, чтобы выполнялось условие: 𝑈0𝑎 2 ≥ 8ℏ 2𝜋 2 𝑚