Случайная величина 𝑋 задана плотностью распределения 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 в интервале (0; 𝜋 2 ); вне этого интервала 𝑓(𝑥) = 0. Найти математическое ожидание

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16309
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Случайная величина 𝑋 задана плотностью распределения 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 в интервале  вне этого интервала 𝑓(𝑥) = 0. Найти математическое ожидание функции 

Решение

Изобразим схематически график функции Так как функция монотонна на участке (0; 𝜋 2 ), то применяется формула: где 𝜓 − функция, обратная функции 𝜑. Определим диапазон значений 𝑌 по графику: В зависимости от числа обратных функций 𝑘 выделим следующие интервалы для интервалах (−∞; 0] и [ 𝜋 2 4 ; +∞) обратные функции не существуют, следовательно, плотность вероятности Решение задачи оформим в виде двух столбцов: в левом будут помещены обозначения функции, принятые в общем решении задачи, в правом – конкретные функции, соответствующие данному примеру: Таким образом, плотность распределения вероятности величины 𝑌 равна: Математическое ожидание случайной величины 𝑌 равно: Воспользуемся заменой тогда При получим Тогда Найдем отдельно неопределенный интеграл вида используя формулу интегрирования по частям Тогда: Ответ: 𝑀(𝑌) = 𝜋 2−8 4