В приведенной ниже таблице задана выборка объема 𝑛 = 30: 1. Задать статистический ряд и построить полигон частот; 2. Составить интервальный ряд, рассчитав оптимальное

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16401
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В приведенной ниже таблице задана выборка объема 𝑛 = 30: 1. Задать статистический ряд и построить полигон частот; 2. Составить интервальный ряд, рассчитав оптимальное число интервалов и построить гистограмму частот; 3. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; 4. С доверительной вероятностью 𝛾 = 0,99 найти доверительные интервалы: a. Для математического ожидания в случае известной дисперсии, полагая 𝐷(𝑋) = 𝑠̅ 2 (дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии); b. Для математического ожидания в случае неизвестной дисперсии; c. Для среднего квадратического отклонения. 84 102 72 86 104 74 90 98 88 80 90 92 88 86 94 76 94 96 92 80 88 74 78 92 84 102 90 86 90 96

Решение

1. Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания: Составим статистический ряд распределения – зависимость частоты варианты 𝑛𝑖 от значения 𝑥𝑖 :  Построим полигон частот. 2. Найдем размах выборки 𝑅𝑥.  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджесса:  где n − объём выборки, то есть число единиц наблюдения. В данном примере . Получим:  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем . За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала  чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В данном случае за нижнюю границу интервала возьмём . В результате получим следующие границы интервалов:  Подсчитаем середины интервалов 𝑥𝑖 и частоту каждого интервала 𝑛𝑖 , то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Номер интервала Интервал Середина интервала Частота  Построим гистограмму частот. 3. Найдем выборочное среднее 𝑥̅, выборочную дисперсию 𝐷в , исправленную выборочную дисперсию 𝑠̅ 2 , выборочное среднее квадратическое отклонение 𝜎в , исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение 𝑠.  Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:  Среднее квадратическое отклонение равно:  Исправленная дисперсия:  Исправленное среднее квадратическое отклонение равно: 4. С доверительной вероятностью найдем доверительные интервалы. a. Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии 𝑠̅ 2 равен:  где 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором . По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Получаем , и искомый доверительный интервал имеет вид:  b. Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии равен:  где – значение, определяемое по таблице квантилей распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы  и доверительной вероятности. По таблице квантилей распределения Стьюдента находим:  и искомый доверительный интервал имеет вид:  c. Доверительный интервал для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения 𝜎 нормально распределенной случайной величины с надежностью 𝛾 имеет вид:  где  − величины, определяемые по таблице значений 𝑞 в зависимости от надежности 𝛾 и объема выборки 𝑛. При  по таблице значений 𝑞 получаем  Тогда доверительный интервал для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения 𝜎 с надежностью  имеет вид: