В результате эксперимента получены данные, записанные в виде таблицы. Требуется, приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность,

		Математическая статистика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16475
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде таблицы. Требуется, приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости

Решение

Объём заданной выборки  велик, поэтому оценки параметров нормального распределения a и для заданной выборки найдём, составив интервальный статистический ряд. Для удобства работы с выборкой перепишем заданные варианты в порядке возрастания (в таблице по столбцам): Количество интервалов в статистическом ряду находим по формуле Стерджесса: Число интервалов должно быть целым числом, поэтому, округляя, получаем: Наибольшее значение в выборке а наименьшее Тогда длина каждого интервала равна: Округлим полученную длину интервала до ближайшего большего целого числа, т.е. примем В качестве начала первого интервала выберем величину, меньшую, чем но такую, чтобы все 8 интервалов покрывали выборку. Используем формулу Тогда начало второго интервала Рассуждая аналогично, получаем: Конец последнего, восьмого интервала равен: Подсчитаем, сколько вариант в выборке попадают в каждый из интервалов – получим значения частот Варианты попадают на границу интервалов. Считая, что нижняя граница интервалов формируется по принципу "включительно", а верхняя – по принципу "исключительно", включаем эти варианты в интервалы, для которых они служат левыми концами. Результаты заносим в таблицу – интервальный статистический ряд (табл. 2). Табл. 5. Интервальный статистический ряд Интерва Точечной оценкой математического ожидания a является выборочная средняя которое в случае сгруппированных по интервалам данных вычисляется по формуле: середины интервалов в интервальном ряду. Середины интервалов находим как среднее арифметическое их концов: Таким образом, В качестве точечной оценки среднего квадратического отклонения выберем выборочное среднее квадратическое отклонение равное квадратному корню из выборочной дисперсии DВ , которую в случае сгруппированных данных можно найти по формуле: Получаем: Проверим по критерию Пирсона при уровне значимости нулевую гипотезу генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение. В качестве оценки математического ожидания a нормального распределения выбираем выборочную среднюю а в качестве оценки среднего квадратического отклонения выборочное среднее квадратическое отклонение Вычислим теоретические частоты в случае нормального распределения, для чего составим расчётную таблицу (табл. 3). Так как значение частот мало (меньше 5), то объединим первый интервал с соседним вторым интервалом, суммируя частоты. Получаем интервалов В первый столбец табл. 3 поместим номер интервала  во втором укажем границы интервалов, в третий поместим новые частоты  Расчёт теоретических частот  Далее, для нормирования случайной величины в четвёртый и пятый столбцы внесём соответственно величины являющиеся концами интервалов при переходе к нормированной величине При этом наименьшее значение 0 полагаем равным наибольшее остальные значения рассчитываем по формуле В шестой и седьмой столбцы внесём значения функции Лапласа в точках соответственно, используя таблицу значений данной функции, учитывая нечётность функции Лапласа и равенства В восьмой столбец поместим теоретические вероятности попадания в интервалы В девятом столбце получаем теоретические частоты Для сравнения полученных теоретических частот с эмпирическими частотами составим заполним расчётную таблицу (табл. 4). В первый, второй и третий столбец поместим соответственно номер интервала и значения  Четвёртый столбец заполним значениями пятый – значениями шестой – значениями Расчёт наблюдаемого значения статистики Пирсона Суммируя значения в последнем столбце, получаем наблюдаемое значение критерия Пирсона: Число интервалов Для нормального распределения число неизвестных параметров  (параметры Следовательно, число степеней свободы По таблице критических точек распределения для уровня значимости  и количества степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области:Так как  то гипотеза не отвергается, т.е. принимается при уровне значимости Ответ. Гипотеза не отвергается при уровне значимости