В течение 25 лет наблюдался подъем уровня воды в реке во время паводков. Получены следующие данные (в см.): 266 278

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16401
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В течение 25 лет наблюдался подъем уровня воды в реке во время паводков. Получены следующие данные (в см.): 266 278 315 336 347 354 368 368 391 408 411 416 427 437 444 448 457 462 481 483 495 512 518 536 576 Требуется: а) найти выборочную среднюю; б) составить интервальное распределение выборки с шагом ℎ, взяв за начало первого интервала 𝑥0; в) построить полигон и гистограмму частот; г) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости 𝛼 гипотезу о том, что случайная величина 𝜇 – количественный признак генеральной совокупности – имеет нормальное распределение; д) найти с надёжностью 𝛾 доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака 𝜇 генеральной совокупности. 𝛼 = 0,05; 𝛾 = 0,96; 𝜎 = 65; ℎ = 50; 𝑥0 = 250

Решение

а) Найдем выборочную среднюю.  б) Составим интервальное распределение выборки с шагом , взяв за начало первого интервала . Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Номер интервала Интервал Середина интервала Частота,  в) Построим полигон частот (синим) и гистограмму частот (черным). г) Выборочная дисперсия:  Исправленная дисперсия:  Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:  Вероятность попадания случайной величины в каждый интервал равна приращению функции распределения:  Теоретические частоты определим по формуле  и вычислим значения  Результаты запишем в таблицу Интервал  Получили . Число степеней свободы . По таблице при уровне значимости  находим  Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости. д) Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины равен:  где  – значение, определяемое по таблице квантилей распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы  и доверительной вероятности. По таблице квантилей распределения Стьюдента находим:  и искомый доверительный интервал имеет вид: