Электрическая ёмкость и ее расчет

Содержание:

Электротехника и ее теоретические основы:

Одной из основных задач техники является преобразование при родных энергетических запасов в используемые виды энергии — в механическую, тепловую, световую и т. п., что требует транспортировки энергетического сырья к месту его использования.

Электрическая энергия легко передается на большие: расстояния и с высоким коэффициентом полезного действия преобразуется в другие виды энергии. Общепринятым является преобразование природных энергетических запасов в электрическую энергию с помощью так называемых генераторов и ее передача посредством проводов к месту потребления, где в преобразователях и приемниках она преобразуется в нужный вид энергии. Беспроводная передача энергии осуществляется с помощью радиосвязи.

Преимущества генерирования, передачи, распределения и преобразования электрической энергии обеспечили широкое применение электротехники.
Новые производственные отношения в нашей стране, отсутствие частной собственности на запасы энергетического сырья, средства и орудия производства, государственное планирование являются мощным фактором развития электротехники и всеобъемлющего охвата ею всех отраслей нашего народного хозяйства, быта и культуры.

Составленный под руководством В. И. Ленина план ГОЭЛРО построения 30 электростанций общей мощностью 1,75 млн. кет был выполнен в решающих позициях за 10 лет.

В послевоенные годы электрификация СССР развивается невиданными темпами: в 1960 г. мощность электростанций составила 66,7 млн. кет, а за пятилетку 1966— 1970 гг. введены 54 млн. кет, в том числе самая мощная в мире Красноярская гидроэлектростанция (6 млн. кет) и Белоярская атомная электростанция (600 тыс. кет). В Директивах XXIV съезда КПСС по пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1971— 1975 гг. предусмотрено ввести в действие электростанции мощностью 65—67 млн. кет, в том числе 6—8 млн. кет на атомных электростанциях. Соответственно увеличилась и увеличится мощность потребителей — устройств, преобразующих электрическую энергию в другие виды.

Электрическая энергия — это энергия электромагнитного поля, являющегося видом материи. Поле имеет две составляющие — электрическое и магнитное поля, что можно показать на примере линии передачи постоянного тока (рис. В. 1).

При передаче энергии провода линии, изолированные друг от друга, находятся под напряжением U. Следовательно, между проводами возникает электрическое поле, изображенное пунктиром на рис. В.1 в виде силовых линий, В проводах протекает ток 7, следовательно, в проводах и вне их создается магнитное поле, показанное сплошными линиями. На рис. В.1 видно характерное различие между электрическим и магнитным полями: силовые линии электрического поля незамкнуты, они начинаются и оканчиваются на заряженных проводах; магнитные силовые линии всегда замкнуты; они не имеют ни начала, ни конца.

Как известно из курса физики, электрическое поле в каждой точке
характеризуется вектором напряженности Е, равным силе, воздействующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку, и вектором электрического смещения

Электрическое поле в проводящей среде создает ток, характеризуемый в
каждой точке поля вектором плотности тока где — удельная
проводимость среды. Ток сопровождается появлением магнитного поля и переходом части энергии электромагнитного поля в тепло, причем мощность этого процесса в единице объема

Магнитное поле в каждой точке характеризуется вектором магнитной индукции В, величина которого равна силе, действующей на движущийся единичный положительный заряд, скорость которого равна единице, а направление В — перпендикулярно этой силе и скорости, а также вектором напряженности

где , — магнитная проницаемость среды.

Передача, генерирование, преобразование и потребление электрической энергии, равной (где t — время), возможны лишь при наличии электрического и магнитного полей, т. е. при существовании электромагнитного поля. Примером могут служить рассмотренные поля линии электропередачи. При беспроводной передаче движение энергии также связано с существованием электромагнитного поля в пространстве между передающей и приемной антеннами.

В науке об электричестве связь электрических и магнитных явлений была установлена в двадцатых годах прошлого века, когда Ампер и Эрстед доказали, что электрический ток сопровождается возникновением магнитного поля; окончательно связь электрического и магнитного полей была подтверждена Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции (1831 г.).

Электротехника, зародившаяся в тридцатых годах прошлого века, вначале развивалась как техника постоянного тока. Только после создания М. О. Доливо-Добровольским системы трехфазного тока и трехфазного двигателя (1891 г.) переменный ток стал вытеснять постоянный. Передача электрической энергии стала осуществляться также трехфазным током.
Теория электромагнитного поля в законченной математической форме была создана Максвеллом в 1873 г. Подтвержденная многочисленными опытами ряда ученых, она была окончательно принята в начале нашего века.

Введенное Максвеллом представление об электромагнитных волнах, экспериментально подтвержденное работами Герца, позволило А. С. Попову в 1895 г. осуществить передачу сигнала без проводов, что послужило началом новой области электротехники — радиотехники.

Электротехника и ее теоретические основы непрерывно развиваются. Например, совершенствуются электронные, ионные и полупроводниковые приборы и аппараты, с помощью которых осуществляют прямые и обратные преобразования переменного тока в постоянный, усиление напряжения и мощности и создают электронные вычислительные машины. Увеличивается дальность и возможности проводной связи, радиотехники и телевидения, развивается электроавтоматика, в энергетике осуществляется переход к большим напряжениям (1500 кв) и мощностям генераторов (1 200 ООО кет и выше), разрабатываются и испытываются магнитогидродинамические прямые преобразователи тепловой энергии в электрическую и т. д.

Так как все электротехнические устройства основаны на использовании электромагнитного поля их систем, состоящих из заряженных тел и контуров с токами, для решения многих задач необходимо привлечение теории этого поля со сложными математическими зависимостями. Однако в большинстве устройств используются ограниченные пути электрического тока и магнитного потока — изолированные проводники малого сопротивления и магнитопроводы из материала с высокой магнитной проницаемостью, называемые электрическими и магнитными цепями. Их расчеты могут быть значительно упрощены, так как не требуют знания составляющих поля в каждой точке устройств. Теория этих цепей основана на использовании интегральных величин: напряжения , заряда Q = , тока магнитного потока Ф = , намагничивающей силы (н. с.) F = (I — длина, S — площадь) взамен Е, D, Н и В, характеризующих поле. Взамен характеристик среды е, используются интегральные характеристики носителей полей: электрического — емкость C = , магнитного — индуктивность L = ( потокосцепление), а также преобразователя энергии поля в тепловую энергию — сопротивление .

Эти величины можно называть параметрами цепей.

Если эти параметры не зависят от токов и напряжений, уравнения теории цепей, связывающие интегральные величины, будут линейными; такие цепи называют линейными.

В ряде случаев, весьма важных для современной электротехники, эти параметры являются функциями напряжений и токов; тогда уравнения и цепи становятся н нелинейными.

Осуществление грандиозных планов дальнейшей электрификации нашей страны, эксплуатация существующих и создание новых электротехнических устройств требуют от инженера-электрика глубокого понимания физических процессов и умения производить их технический расчет. Фундаментом электротехнического образования является курс теоретических основ электротехники (ТОЭ), базирующийся на сведениях, сообщенных в курсах физики, математики и механики.

Настоящее учебное пособие ТОЭ построено в соответствии с изложенным. Вначале даны параметры цепей, потом основы теории источников и приемников электрической энергии. Затем следует анализ электрических и магнитных цепей при постоянном и переменном токе — линейных и на их основе нелинейных. Курс завершается теорией постоянного и переменного электромагнитного поля.

В книге принята Международная система единиц СИ и рационализованная форма написания уравнений, предложенная Хевисайдом, в которой основные соотношения для электрического и магнитного полей имеют симметричный вид, а множители 4 π и 2 π входят лишь в те соотношения, где они соответствуют характеру симметрии — сферической (4 π) и осевой (2 π).

Параметры электрических и магнитных цепей

Электрической цепью называется совокупность устройств, состоящая из источников, преобразователей и приемников электрической энергии и соединяющих их проводов, образующих замкнутые пути для электрического тока.

Часть цепи, не содержащая источников электрической энергии, называется пассивной, а часть цепи, содержащая источники, называется активной.

Как было показано во введении на примере линии передачи, электрическая цепь характеризуется тремя параметрами: сопротивлением R, емкостью С и индуктивностью L. Этими параметрами обладают все элементы цепей, например резисторы, в которых основную роль играет их сопротивление, конденсаторы с основным параметром — емкостью, и катушки индуктивности, в которых основной является их индуктивность.

Из изложенного вo введении очевидно, что параметры линии передачи равномерно распределены по всей длине линии. Параметры распределены также в отдельных элементах цепи. Например, в катушке индуктивности сопротивление, индуктивность и емкость распределены по ее длине, так как каждый виток с током имеет сопротивление и создает магнитное поле, а отдельные витки изолированного проводника обладают друг по отношению к другу некоторой емкостью.

Этим свойством обладают все реальные электрические цепи—они являются цепями с распределенными параметрами. Так как в ряде технически важных задач не требуется знания электромагнитных процессов в каждой точке всей цепи и ее элементов, необходимо учесть только их интегральные свойства; такие цепи могут быть представлены в виде цепей с сосредоточенными параметрами, состоящих из сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Например, катушка индуктивности может быть представлена в виде схемы с последовательным соединением сопротивления R, индуктивности L и с параллельно приключенной к ним емкостью С.

При включении цепи на постоянное напряжение в течение короткого времени от источника потребляется энергия на создание электромагнитного поля. После этого запасенная в С и L энергия сохраняет свою величину неизменной и не отражается на работе цепи, а источники доставляют энергию только на покрытие тепловых потерь в сопротивлениях. Поэтому при расчете цепей постоянного тока следует учитывать только сопротивление R.

В цепях переменного тока энергия, запасаемая в С и L, и мощность потерь в R непрерывно изменяются. Поэтому при расчете этих цепей необходимо учитывать все три параметра.

Многие электрические цепи нелинейны. Так, например, температура, а следовательно, и сопротивление проводника при прохождении по нему тока изменяются; индуктивность катушки со стальным сердечником зависит от тока, так как с величиной тока будет меняться магнитная проницаемость р, сердечника, а следовательно, и индуктивность L. Однако в большинстве случаев цепи можно рассматривать как линейные, считая параметры R, L и С постоянными.

В устройствах современной электротехники главным образом используется энергия магнитного поля, поэтому их основным параметром является индуктивность L. Для этих устройств вводится понятие магнитной цепи как совокупности тел, большей частью ферромагнитных, в которых создается магнитный поток.

При постоянном токе методы анализа магнитных цепей аналогичны методам расчета электрических цепей, содержащих лишь один параметр — сопротивление R. Его аналогом в магнитных цепях является магнитное сопротивление .

Эта глава посвящена элементарным методам расчета параметров устройств, поля которых имеют простые виды симметрии. Более сложные случаи рассматриваются в теории электромагнитного поля.

Электрическая ёмкость и ее расчет

Для электрических цепей наибольший интерес представляет система двух проводящих тел в диэлектрической среде, заряды + Q и —Q которых отличаются только знаком, являющаяся по существу конденсатором. Емкость конденсатора равна отношению его заряда Q, под которым понимается абсолютное значение разноименных зарядов, к напряжению U между обкладками:

Емкость конденсатора, определяемая размерами и формой тел и их взаимным расположением, пропорциональна диэлектрической проницаемости е среды между обкладками. Емкость измеряется Б фарадах (ф), заряд в кулонах (к), напряжение в вольтах (в).

Для расчета емкости конденсатора по заряду и напряжению необходимо предварительно рассчитать его электрическое поле, исходя из общих соотношений для электрического поля.

Связь между зарядом и вектором смещения определяется обобщенной теоремой Гаусса:

справедливой для линейных и нелинейных сред и являющейся основным соотношением для электрического поля. В правой части этого равенства стоит суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности, в левой — поток вектора смещения. Смещение измеряется в к/м2, напряженность электрического поля — в в/м, диэлектрическая проницаемость в ф/м.

Поле в каждой точке характеризуется потенциалом ; его производная по любому направлению со знаком минус равна составляющей напряженности поля по этому направлению.

Напряжение между точками А и В, имеющими потенциалы , равно:

Потенциал также измеряется в вольтах.

Так как сумма напряжений по замкнутому пути равна нулю, то что является вторым основным соотношением для электрического поля.

Емкость коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель представляет собой два проводящих соосных
цилиндра с радиусом внутреннего цилиндра r1 внутренним радиусом
внешнего цилиндра г2, длиной цилиндров I (рис. 1.1).

Пусть внутренний цилиндр — жила кабеля — заряжен положительно и изолирован диэлектриком с проницаемостью е от оболочки — обратного провода, являющегося внешним цилиндром и несущим заряд обратного знака, а напряжение между жилой и оболочкой равно U.

При выполнении условия , можно пренебречь искажением поля у концов кабеля и считать, что заряды распределены равномерно с линейной плотностью , а векторы напряженности поля и смещения направлены в каждой точке по радиусу и зависят от его величины; τ измеряется в к/м.
Для цилиндрической поверхности радиуса г, охватывающей заряженную жилу (на рис. 1.1 указана пунктиром), можно применить теорему Гаусса. Из- за радиального направления вектора смещения потоки через основания цилиндра равны нулю; остается лишь поток через боковую поверхность S.
Так как при неизменном радиусе смещение D остается постоянным, то

откуда

В последние выражения не входит радиус жилы, благодаря чему поле вне ее может рассчитываться как поле электрической оси с тем же зарядом т, совпадающей с геометрической осью жилы.

Напряжение на кабеле

откуда емкость кабеля

После подстановки из предпоследнего равенства

в выражение для напряженности поля получим

т .е . напряженность поля обратно пропорциональна радиусу, а ее максимальное значение у поверхности жилы

Исследование на минимум показывает, что наименьшее значение
максимальной напряженности при заданных напряжении и радиусе
внешней оболочки будет при

т. е. при так как вторая производная больше нуля.
При таком соотношении радиусов кабель, очевидно, обладает наибольшей электрической прочностью.

Емкость двухпроводной линии

Широко используемые в электротехнике двухпроводные линии передачи представляют собой систему двух прямых параллельных проводов кругового сечения (рис. 1.2). Провода оказываются заряженными разноименно, когда линия включена на напряжение.

Так как длина проводов I велика по сравнению с расстоянием d между их осями, искажением электрического поля у концов заряженных проводов можно пренебречь. Поэтому распределение поля в пространстве остается неизменным в любой плоскости, перпендикулярной осям проводов.

Пусть двухпроводная линия подвешена настолько высоко, что влиянием земли можно пренебречь. Напряжение на линии равно U, величина заряда на единицу длины — τ, радиус проводов — .

В отличие от коаксиального кабеля, где вследствие равномерного распределения заряда по поверхности жилы ее электрическая ось совпадает с геометрической, плотность зарядов на проводах линии больше на частях их поверхностей, обращенных друг к другу из-за притяжения разноименных зарядов. Поэтому расстояние между электрическими осями проводов становится тем меньше расстояния между их геометрическими осями, чем меньше отношение
Для воздушных линий и электрические и геометрические оси можно считать совпадающими. В точке М, лежащей на линии центров сечений проводов на расстоянии г от оси левого провода, напряженности поля, создаваемые каждым из проводов, совпадают по направлению, поэтому суммарная напряженность в этой точке

где — диэлектрическая проницаемость воздуха, а напряжение между ближайшими точками на поверхностях проводов

Отсюда емкость двухпроводной воздушной линии

Взаимоёмкость и ее расчёт

Для многих технических задач представляет интерес рассмотрение электрического поля, созданного системой нескольких пар разноименно заряженных тел. Заряды этих тел и напряжения связаны между собой линейными уравнениями.

В системе из двух конденсаторов (1-1' и 2-2' на рис. 1.3) все четыре тела связаны электрическим полем, поэтому заряд каждого из конденсаторов зависит от их напряжений и ; поле на рис. 1.3 показано для случая, когда потенциал тела I больше потенциалов тел 2 и 2', а последние больше потенциала тела . Если заряд одного конденсатора, обусловленный
напряжением второго, совпадает по знаку с зарядом, создаваемым собственным напряжением, суммарные заряды обоих конденсаторов будут:

где — собственные емкости конденсаторов;
— взаимоемкость между первым и вторым конденсатором; — между вторым и первым; можно показать, что
Собственные емкости конденсаторов

определяются всеми четырьмя телами системы и отличаются от емкости каждого из этих конденсаторов, определенной при отсутствии другого.

При определении ёмкости условие = 0 означает, что второй конденсатор замкнут накоротко; при этом под воздействием поля первого конденсатора обкладки второго получили разноименные заряды.

Соответственно, при определении накоротко замыкается первый конденсатор.

Взаимоемкость:

т. е. равна отношению заряда на обкладках накоротко замкнутого одного конденсатора, когда его заряд создается напряжением другого, к этому напряжению.

Взаимоемкость определяется конфигурацией тел, образующих конденсаторы, их взаимным расположением и пропорциональна диэлектрической проницаемости среды.

При несовпадении знаков собственных зарядов, обусловленных емкостью, и взаимных зарядов, обусловленных взаимоемкостью, знак перед вторыми членами в выражениях (1.2) будет отрицательным. Взаимоемкость также измеряется в фарадах (ф).

Для системы многих конденсаторов, соответственно, заряд Qk
конденсатора k определяется всеми напряжениями:

где — собственная емкость конденсатора к; — взаимоемкость между конденсаторами k и р.

Взаимоемкость между конденсаторами k и р равна отношению заряда конденсатора k, созданного напряжением конденсатора р, к этому напряжению. При этом все конденсаторы, кроме p -того, замкнуты накоротко.

Взаимоемкость двух параллельных двухпроводных линий

Примером системы из четырех тел, рассматриваемой как совокупность двух конденсаторов, могут служить две параллельные линии, расположенные симметрично одна над другой (рис. 1.4).

Пусть радиус проводов расстояния между проводами в каждой линии
и расстояние между плоскостями обеих линий d, длина линий
Заряды на проводах первой линии замкнутой накоротко можно найти как разность зарядов, создаваемых напряжением через емкости Са между парами проводов на одной стороне линий с расстоянием между этими проводами а = между парами противолежащих проводов с расстоянием Каждая из пар одинаковых емкостей соединена последовательно и их общая емкость вдвое меньше.

Тогда, соответственно формуле (1.1), получается

Поэтому взаимоемкость

а собственная емкость первой линии при учете второй линии равна

Такая задача представляет технический интерес, позволяя определить влияние линии передачи 2 на линию связи 1 (рис. 1.4).

Это влияние состоит в наведении на проводах линии связи заряда взаимоемкости Так как отношение этого заряда к собственному заряду равно

а напряжение линии передачи во много раз превышает напряжение
линии связи, то для уменьшения наведенного заряда необходимо увеличивать расстояние d между линиями и уменьшать расстояние
между проводами линии связи.