Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра — одна из древнейших, интереснейших и важнейших наук. Она изучается в каждом классе общеобразовательной школы, в средних специальных и высших учебных заведениях, поскольку математические знания необходимы каждому. Эта страница по алгебре поможет вам овладеть алгеброй, поможет научиться решать задания и выполнять задачи по алгебре. Я постаралась кратко и доступно изложить все темы по предмету алгебра, данный курс лекций по алгебре поможет вам самостоятельно изучить все темы. Желаю Вам успехов!

Содержание:

Целые выражения

Решение многих задач по математике, физике, химии связано с необходимостью проводить определенные преобразования выражений.

В данной главе мы узнаем, что такое выражение, целое выражение, тождественное преобразование выражения; изучим основные формулы, на основании которых можно осуществлять преобразование выражений.

Выражения с переменными

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Длина прямоугольного участка равна 42 м, а ширина — на

Ширина участка равна 

Ответ. м².

Выражение  содержит букву , и такое выражение мы называли буквенным выражением.

Букве  можно придавать разные значения,  может равняться 0,8; 5; 7,2; 10 и т. д., то есть значение  можно менять. Поэтому  называют переменной, а выражение  — выражением с переменной. 

Задача 2. Длина прямоугольного участка равна  м, а ширина — на  м меньше длины. Записать в виде выражения площадь участка.

Ширина участка равна  м, а площадь —  м².

Ответ. м².

Буквы  и  также могут приобретать разные значения, поэтому  и  — переменные, а выражение  — выражение с двумя переменными.

Выражение с переменными образуют из переменных, чисел, знаков действий и скобок. Выражением с переменной считают и отдельно взятую переменную.

Если в выражение  вместо переменной подставить определенное число, например, число 12, то получим числовое выражение  значение которого равно: . Полученное число 1260 называют значением выражения для значения переменной . 

Значение выражения  для ,  равно: 

. 

Рассмотрим выражение с переменной:  . Значение этого выражения можно найти для любого значения , кроме . Если , то делитель (знаменатель)  равен нулю, а на ноль делить нельзя. Говорят, что для  выражение  имеет смысл, а для  не имеет смысла.

Целые выражения

Сравним выражения

с выражениями

.

Выражения первой группы не содержат действия деления на выражение с переменными. Такие выражения называют целыми.

Выражения второй группы содержат действие деления на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными.

Формулы: выражения с переменными используют для записи формул.

Например:

•  — формула для вычисления площади прямоугольника;
•  — формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Формулой  (где  — целое число) задают четные числа, а формулой  — нечетные.

Формулами можно задать целые числа, которые при делении на заданное натуральное число дают тот же остаток.

Рассмотрим сначала пример деления двух натуральных чисел. Поделим 48 на 5 с остатком:

Получили: 9 — неполное частное, 3 — остаток.

Поделив 48 на 5, мы нашли два числа — 9 и 3 (неполное частное и остаток), используя которые, число 48 можно записать в виде

.

Деление любого целого числа на натуральное с остатком сводится к нахождению подобного равенства.

Разделить целое число  на натуральное число  с остатком значит найти такие целые числа  и , чтобы выполнялось равенство

.

В этих условиях число  называют неполным частным, а  — остатком от деления  на .

Остатков от деления целых чисел на натуральное число  может быть :

.

Найдем для примера остаток от деления числа –17 на число 3. Для этого запишем число –17 в виде , где  и  — целые числа, к тому же . Чтобы число  лежало в пределах от 0 до 2, нужно взять . Тогда легко найти, что . Имеем верное равенство . Следовательно, число –17 при делении на 3 дает в остатке 1.

Целые числа при делении на 3 могут давать остатка 0, 1 или 2. В соответствии с этим их можно разделить на 3 группы.

Целые числа	Остаток при делении на 3	Вид чисел
...—9; –6; –3; 0; 3; 6; 9;...	0
...—–8; –5; —2; 1; 4; 7; 10;...	1
... –7; –4; –1; 2; 5; 8; 11;...	2

Итак, формулами ,  и , где  — произвольное целое число, задают все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке соответственно 0, 1, 2. Про числа еще говорят, что они делятся (нацело) на 3. Так, –9 делится на 3.

Пример №1

Записать в виде выражения:

а) произведение числа  и суммы чисел  и ;

б) частное разности чисел  и  и числа 7;

в) разность числа  и произведения чисел  и .

а) ; б) ; в) .

Замечание. Читая словами числовые выражения или выражения с переменными, первым называют последнее по порядку выполнения действие, потом предпоследнее и т. д.

Пример №2

Найти значение выражения , если . 

Если , то

.

Ответ. –80.

Пример №3

Найти значение выражения , если .

Если , то

.

Ответ. .

Пример №4

Записать в виде выражения число, которое имеет 9 сотен,  десятков,  единиц.

.

Тождественно равные выражения

Найдем значения выражений и , если , :

.

Значения выражений для данных значений переменных равны друг другу
(говорят: если , , то соответствующие значения выражений равны друг другу). Из распределительного свойства умножения относительно вычитания следует, что и для любых других значений переменных соответствующие значения выражений и  тоже равны друг другу. Такие выражения называют тождественно равными.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если для любых значений переменных соответствующие значения этих выражений равны друг другу.

Рассмотрим теперь выражения  и . Если  и , то соответствующие значения этих выражений равны друг другу:

.

Если же , , то соответствующие значения этих выражений разные:

.

Итак, значения выражений  и  для одних значений переменных равны друг другу, а для других — нет. Такие выражения не тождественно равны.

Тождества

Если два тождественно равные выражения и  соединить знаком «=», то получим равенство , которое является верным для любых значений переменных. Такое равенство называют тождеством.

Определение. Равенство, которое является верным для всех значений переменных, называют тождеством.

Примерами тождеств являются равенства, выражающие основные свойства
сложения и умножения чисел:

переместительное свойство: ; ;

сочетательное свойство: ; ;

распределительное свойство: .

Тождествами являются также равенства, выражающие правила раскрытия скобок:

.

Тождественными являются и такие равенства:

Тождественные преобразования выражений

В выражении приведем подобные слагаемые и :

.

Выражение  заменили тождественно равным ему выражением .

Замену одного выражения тождественно равным ему выражением называют
тождественным преобразованием выражения.

В математике часто приходится упрощать выражение, то есть заменять
его тождественно равным выражением, которое имеет более короткую запись или, как говорят, является «более компактным». Рассмотрим примеры.

Пример №5

Упростить выражение .

.

Пример №6

Упростить выражение .

.

Упрощение выражений используют при решении уравнений. Рассмотрим пример.

Пример №7

Решить уравнение .

Упростим выражение в левой части уравнения: .

Перенесем слагаемое —6 в правую часть уравнения. Тогда: 

.

Ответ. 2.

Доказательство тождеств

Тождественные преобразования используют и для доказательства тождеств.

Чтобы доказать тождество, можно использовать один из следующих способов:

1. левую часть тождества путем тождественных преобразований привести к правой части;
2. правую часть привести к левой части;
3. обе части привести к одному и тому же выражению;
4. образовать разность левой и правой частей и доказать, что она равна нулю.

Рассмотрим примеры.

Пример №8

Доказать тождество .

Преобразуем левую часть равенства: 

.

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №9

Доказать тождество .

Преобразуем правую часть равенства: 

.

Путем тождественных преобразований правую часть равенства привели к левой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №10

Доказать тождество .

Преобразуем отдельно левую и правую части равенства:

Путем тождественных преобразований левую и правую части равенства свели к одному и тому же выражению . Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №11

Доказать тождество .

Образуем разность левой и правой частей и упростим ее:

Разность левой и правой частей равенства равна нулю, поэтому данное равенство является тождеством.

Одночлены

Одночлен (или моном) — простое математическое выражение, прежде всего рассматриваемое и используемое в элементарной алгебре, а именно, произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной целой степени.

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение двух или трех одинаковых множителей, каждый из которых равен , — это соответственно квадрат или куб числа . Например:

; 5² — квадрат числа 5;

; 5³ — куб числа 5.

Квадрат числа 5 называют еще второй степенью этого числа, а куб —
третьей степенью.

Соответственно произведение  обозначают  и называют четвертой
степенью числа 5. Читают: «пять в четвертой степени». В выражении число 5
называют основанием степени, число 4 — показателем степени, а все выражение  называют степенью.

Определение. Степенью числа  с натуральным показателем , большим 1, называется произведение множителей, каждый из которых равен . Степенью числа с показателем 1 называют само число .

Степень с основанием  и показателем  записывают так: , читают: " в степени », или "-я степень числа ".

Итак, по определению

Выясним знак степени с натуральным показателем.

1. , тогда  — любая натуральная степень числа 0 равна 0.
2. , тогда — любая натуральная степень положительного числа есть число положительное.
3. , тогда  . Степень отрицательного числа с четным показателем является числом положительным, поскольку произведение четного числа отрицательных чисел положительное. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является числом отрицательным, поскольку произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательное.

Возводить числа в степень с натуральным показателем можно с помощью калькулятора. Вычислить, например, значение можно по схеме:

или по более удобной схеме:

Получим значение степени: 1838,265625.

Возведение в степень — действие третьей ступени. Напомним: если выражение
без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высшей ступени, затем — более низших. Так, чтобы найти значение выражения , действия нужно выполнять в такой последовательности: 1) возведение в степень; 2) умножение; 3) вычитание.

Примеры решения упражнений

Упражнение 1. Вычислить: .

Выполняя вычисления, можно:
а) записывать каждое действие отдельно: 
б) записывать вычисления в строку:

.

Ответ. –496.

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведения двух степеней с основанием . Учитывая, что ,
получим:

.

Итак, . В этих примерах произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен сумме показателей степеней. Такое свойство имеет произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство 1. Для любого числа  и любых натуральных чисел  и  выполняется равенство

.

Доказательство. Учитывая определение степени, получим:

.

Из свойства 1, которое еще называют основным свойством степени, вытекает правило умножения степеней:
Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание
оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Например:

.

Правило умножения степеней распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим равенство , где . Из этого равенства по определению частного имеем: . Равенство  можно переписать так:

.

В этом примере частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 2. Для любого числа  и любых натуральных чисел  и , где , выполняется равенство

.

Доказательство. Поскольку , то есть , то по определению частного имеем: .

Из доказанного свойства вытекает правило деления степеней.
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а от показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например: .

Возведение степени в степень

Возведем степень  в куб:

.

Следовательно, . Из примера видно: чтобы возвести квадрат числа в
куб, нужно оставить то же самое основание и взять показатель, равный произведению показателей. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 3. Для любого числа  и любых натуральных чисел  и  выполняется равенство

.

Доказательство.

.

Из свойства 3 вытекает правило возведения степени в степень.
Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Например: . 

Возведение произведения в степень

Возведем произведение  в куб:

.

Следовательно, . Из примера видно: чтобы возвести в куб произведение, нужно возвести в куб каждый множитель и результаты перемножить. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 4. Для любых чисел и и любого натурального числа  выполняется равенство

.

Доказательство. 

.

Получаем следующее правило.
Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Это правило распространяется на произведение трех и более множителей. Например: 

.

Замечание. Доказанные тождества  , выражающие свойства степени, позволяют не только заменять выражения, стоящие в их левых частях, выражениями, стоящими в правых частях, но и наоборот:

.

Пример №12

Упростить выражение ..

Пример №13

Вычислить:

Пример №14

Представить  в виде степени с основанием ..

Пример №15

Представить в виде степени произведение .

.

Одночлен и его стандартный вид

Рассмотрим две группы выражений:

Какова особенность выражений первой группы? Чем они отличаются от выражений второй группы?

Выражения первой группы — это переменные, числа, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами.

Определение. Одночленом называют произведение чисел, переменных и их степеней.

Выражения второй группы не являются одночленами, так как содержат действия сложения или вычитания.

Рассмотрим одночлен . Он содержит только один числовой множитель, который стоит на первом месте, и степени различных переменных. Такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Определение. Одночленом стандартного вида называют такой одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени различных переменных.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называют коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена  равен . Считают, что коэффициенты одночленов  и  соответственно равны 1 и —1, ибо  и .

Одночлен  не является одночленом стандартного вида, так как содержит две степени с основанием . Умножив  на , этот одночлен можно записать в виде одночлена стандартного вида: .

Умножение одночленов

Перемножим одночлены  и . Используя свойства действия умножения и свойства степеней, получим: 

.

Следовательно, произведением одночленов  и  является одночлен . Вообще, произведением любых одночленов является одночлен.

Возведение одночлена в степень

Возведем одночлен  в куб.  Используя свойства степеней, получим:

.

Следовательно, кубом одночлена  есть одночлен .  Вообще, натуральной степенью любого одночлена является одночлен.

Степень одночлена

У одночлена  сумма показателей степеней всех переменных равна 2 + 1 + 3 = 6. Эту сумму называют степенью одночлена, говорят, что  — одночлен шестой степени.

Определение. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него.

Если одночленом является число, отличное от нуля, то считают, что степень такого одночлена равна нулю. Если одночленом является число 0, то степень такого одночлена не определена. 

Например: — одночлен девятой степени;  — одночлен второй степени;  — одночлен первой степени;  — одночлен нулевой степени.

Пример №16

Записать выражение в виде одночлена стандартного вида:

а) 

Сокращенная запись: 

Сокращенная запись: 

Пример №17

Представить одночлен  в виде:

а) произведения двух одночленов стандартного вида;
б) произведения двух одночленов, одним из которых является ;
в) квадрата одночлена стандартного вида.

 и т.д.);

;

.

Многочлены

Выражение  является суммой одночленов , ,  и 5. Такое выражение называют многочленом.

Определение. Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена  являются , ,  и 5. 

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Соответственно,

 — двучлены;

 — трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Подобные члены многочлена

Рассмотрим многочлен . Два его члена  и  являются подобными слагаемыми, ибо отличаются лишь числовыми множителями. Члены —6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена. 

Приведем в многочлене   его подобные члены:

.

Приведение подобных членов многочлена можно записать так:

.

Степень многочлена

Многочлен  не имеет подобных членов, и его образуют одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак,  — многочлен четвертой степени.

Определение. Степенью многочлена, который не имеет подобных членов, называют наибольшую из степеней одночленов, которые образуют данный многочлен.

По этому определению  и  — многочлены первой степени;  — многочлен второй степени;  — многочлен шестой степени.

Если некоторый многочлен состоит лишь из одного одночлена, то степень многочлена равна степени этого одночлена. Например:  — многочлен четвертой степени, 2 — многочлен нулевой степени, 0 — многочлен, степень которого не определена. Последний многочлен называют еще нуль-многочленом.

Члены многочлена можно записывать в произвольной последовательности. Для многочленов, содержащих одну переменную, члены, как правило, упорядочивают по убыванию или возрастанию показателей степеней. Например:

.

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения  — не многочлены, ибо они не являются суммами одночленов.

Пример №18

Привести подобные члены многочлена:

.

Сложение многочленов

Сложим многочлены  и : 

.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов   и  является многочлен .

Таким же образом складывают три и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычитаем из многочлена  многочлен :

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов  и  является многочлен .

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Пример №19

Найти сумму многочленов:

Пример №20

Найти разность многочленов  и .

Пример №21

Решить уравнение .

.

Ответ. —1,5.

Пример №22

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.
Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является , где  — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа —  и .
Сумма этих трех чисел

делится на 3, ибо имеет делителем число 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен  на многочлен . Используя распределительное свойство умножения, получим: 

Итак, произведением одночлена   и многочлена  является многочлен . Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Имеем такое правило.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например: 

Произведение любого одночлена и многочлена всегда можно записать в виде многочлена. 

Пример №23

Выполнить умножение:

Сокращенная запись: 

Сокращенная запись:  

Пример №24

Упростить выражение 

Пример №25

Решить уравнение 

Ответ. 0,5.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен  на многочлен . Приведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен  через . Тогда:

Вернувшись к замене , получим:

Итак, произведением многочлена  и многочлена  является многочлен :

Выражение  мы получили бы сразу, если бы умножили на и , потом на и  и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение  можно получить, если умножить каждый член многочлена  на каждый член многочлена  и полученные произведения сложить.

Имеем такое правило.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен  на многочлен .

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать: 

В каждом из приведенных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Пример №26

Выполнить умножение:

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а затем полученное произведение умножим на третий многочлен:

 

Пример №27

Решить уравнение .

Ответ. —1,8.

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В шестом классе мы раскладывали на множители числа. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Говорят, что число 60 разложено на два множителя 12 и 5.

Раскладывать на множители можно и многочлены. Например,

Записав многочлен  в виде произведения , говорят, что многочлен разложен на два множителя  и . Каждый из этих множителей является многочленом (первый многочлен состоит лишь из одного члена).

Разложить многочлен на множители означает представить его как произведение нескольких многочленов.

Сравните

	умножили одночлен на многочлен; результат — многочлен
	разложили многочлен на множители; результат — произведение одночлена и многочлена

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители.

Выполним умножение одночлена на многочлен: 

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Многочлен  разложили на два множителя  и . Чтобы разложить многочлен  на множители, достаточно в его членах  и  выделить общий множитель : , а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов  и .

Описанный способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Разложим на множители многочлен .

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и —18. Если коэффициентами являются целые числа, то за общий числовой множитель принимают, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием  входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит , а второй — , то общим множителем для степеней с основанием  является  (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители  и , за скобки можно вынести . Следовательно, за скобки можно вынести одночлен :

Чтобы вынести в многочлене общий множитель за скобки, нужно каждый член многочлена представить в виде произведения, которое содержит общий множитель, и вынести его за скобки.

Пример №28

Разложить на множители многочлен .

Пример №29

Разложить на множители 
Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение . Вынесем этот множитель за скобки:

Пример №30

Разложить на множители .
Слагаемые имеют множители  и , которые отличаются только знаками. В выражении  вынесем за скобки —1, тогда второе слагаемое будет иметь вид , и оба слагаемых будут иметь общий множитель .

Следовательно, 

Пример №31

Найти значение выражения , если .
Разложим сначала многочлен  на множители: 

Если , то: 

Пример №32

Решить уравнение 
Разложим левую часть уравнения на множители:

Произведение  равно нулю лишь тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

 или , отсюда  или 

Ответ. 0; —1,25.

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с примера на умножение многочленов. Выполним умножение двучлена  на двучлен :

Проводя преобразования в обратном порядке, многочлен  можно разложить на два множителя  и :

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель , для группы — общий множитель.
В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности  имеем общий множитель . Выносим его за скобки и получаем 

Описанный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. Применяя этот способ, нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общий множитель для всех групп, который опять же нужно вынести за скобки.

Многочлен  можно разложить на множители, группируя его члены по-другому:

Сравните

	умножили многочлен на многочлен; результат —многочлен
	разложили многочлен на множители; результат — произведение многочленов

Пример №33

Разложить на множители многочлен .

Пример №34

Разложить на множители трехчлен .

Представим второй член  в виде . Тогда:

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность  на сумму :

Итак, 

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде . Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют ее так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность  на сумму .

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности тоже равно разности квадратов этих выражений:

Пример №35

Выполнить умножение:

Пример №36

Вычислить: .

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму :

Итак,

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Она является формулой сокращенного умножения, ибо позволяет возводить к квадрату сумму произвольных двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена . Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму :

При возведении суммы  в квадрат, промежуточные преобразования можно выполнять устно: 

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность :

Итак, имеем такую формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны друг другу: . Поэтому при возведении в квадрат выражения  и , можно пользоваться формулами:

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Выведем эти формулы.

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Пример №37

Возвести в квадрат выражение:

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве  поменяем местами левую и правую части: 

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов дает возможность разложить на множители двучлен . Ее используют для разложения на множители разности квадратов двух произвольных выражений. Например:

Сравните

	умножили разность двух выражений на их сумму; результат — многочлен (разность квадратов двух выражений)
	разложили на множители разность квадратов двух выражений; результат — произведение разности выражений и их суммы

Пример №38

Разложить на множители:

Пример №39

Вычислить: .

Пример №40

Решить уравнение 

Ответ. 9; —3.

Разложение многочленов на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена , а вторая — трехчлена . Например:

Пример №41

Разложить на множители трехчлен .

Пример №42

Найти значение выражения , если 

Запишем сначала трехчлен  в виде квадрата двучлена:

Если , то: 

Если , то: 

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов: . Раскладывая на множители разность кубов двух выражений, используют формулу разности кубов:

Докажем это тождество, перемножив выражения  и :

В формуле разности кубов трехчлен  называют неполным квадратом суммы выражений  и (он напоминает трехчлен , который является "полным" квадратом суммы выражений  и). Итак, формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Раскладывая на множители сумму кубов двух выражений, используют формулу суммы кубов:

Докажем это тождество:

Трехчлен  называют неполным квадратом разности выражений  и. Итак, 

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Пример №43

Разложить на множители:

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто, раскладывая многочлен на множители, нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Разложим на множители многочлен 

Сначала вынесли общий множитель  за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен 

Все члены многочлена имеют общий множитель  Вынесем его за скобки:

Многочлен  разложим на множители способом группировки:

Итак, 

Пример №44

Разложить на множители трехчлен: 

а) Если к выражению  прибавить З², то есть 9, то получим выражение , которое является квадратом двучлена  Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Пример №45

Разложить на множители многочлен 

Пример №46

Решить уравнение 

Разложим левую часть уравнения на множители:

Имеем уравнение

отсюда:, или , или ,  , или , или .

Ответ. 

Применение преобразований выражений

Нам уже попадалось немало задач, для решения которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. По большей части мы использовали преобразования выражений, когда решали уравнения, доказывали тождества, находили значения выражений. Рассмотрим еще некоторые задачи, связанные с преобразованиями выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №47

Доказать, что многочлен  приобретает только положительные значения. 

Выделив из трехчлена  квадрат двучлена, получим:

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых  и 2. Слагаемое  для любых  приобретает лишь неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительное. Поэтому выражение  приобретает только положительные значения. Поскольку , то и выражение  приобретает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства , полученного в предыдущем примере, можно указать наименьшее значение многочлена . Оно равно 2, к тому же, это наименьшее значение многочлен приобретает, если 

Пример №48

Найти наибольшее значение многочлена 

Преобразуем данный многочлен так: 

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №49

Доказать, что значение выражения  делится на 8 для любого целого значения .

Упростим данное выражение:

Для любого целого значения  произведение  делится на 8, а потому и значение выражения  делится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью калькулятора

Пример №50

С помощью калькулятора найти значение многочлена

 если 

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

Если , то схема вычислений такова:

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Функции

Все в природе меняется и развивается. Изучая явления, связанные с этой неотъемлемой чертой природы, ученые пришли к понятию переменной величины и функции.

В данном разделе мы узнаем, что такое функция, график функции, что такое линейная функция и ее свойства.

Функции и способы их задания

Пусть сторона квадрата равна  см, а его периметр —  см. Зная сторону , по формуле  можно найти соответствующее ей значение периметра . Например,

если , то

если , то 

если , то 

Видим, что значения периметра зависят от того, какие значения мы придавали длине стороны квадрата. Заметим также, что каждому значению длины стороны соответствует одно определенное значение периметра. Значению  соответствует значения , значению  — значения 

В данном примере имеем две зависимые переменные и  — длину стороны
квадрата и его периметр. Значение переменной можно выбрать произвольно, а значения переменной зависят от выбранных значений . Поэтому  называют независимой переменной, а  — зависимой переменной. 

Рассмотрим еще один пример зависимости между величинами.

Водитель решил проследить за счетчиком, какой путь он проедет за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 4,5 ч, 5 ч. Результаты наблюдений он записал в виде таблицы:

ч	1	2	3	4	4,5	5
	82	170	225	300	335	380

В данном примере имеем две переменные: время  и путь , пройденный за это время. Значения пути зависят от значений времени. К тому же, каждому значению времени соответствует одно определенное значение пути. Времени  соответствует значение пути , времени  — значение пути .
В данном случае является независимой переменной, а  — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой , а
зависимую переменную — буквой . В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. При таких условиях для зависимости между переменными используют термин «функция».

Определение. Зависимость переменной от переменной  называют функцией, если каждому значению переменной  соответствует единственное определенное значение переменной .

Для переменных  и есть специальные термины: независимую переменную   называют аргументом, а зависимую переменную  — функцией. Говорят: есть функция от аргумента .

Итак, в рассмотренных примерах:

периметр квадрата является функцией от длины его стороны ; здесь — функция, — аргумент;

путь является функцией от времени ; здесь  — функция;  — аргумент.

Чтобы задать функцию, нужно указать как для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Первая из рассмотренных нами функций задана формулой , по которой для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции . Вторая функция задана таблицей, в которой для каждого значения аргумента указано соответствующее значение функции .

Область определения и область значений функции

Все значения, которых приобретает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые приобретает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Итак, область определения функции, задаваемой формулой , образуют все значения, которых может принимать переменная . Поскольку эта переменная определяет длину стороны квадрата, то может принимать лишь положительные значения. Итак, область определения этой функции образуют все положительные числа.

Область значений функции, задаваемой формулой , образуют все значения, которых может принимать зависимая переменная . Периметр не может равняться отрицательному числу или нулю, однако может равняться любому положительному числу. Например, может равняться 2, ибо 2 — это периметр квадрата со стороной 0,5. Следовательно, область значений этой функции образуют все положительные числа.

Область определения функции, заданной таблицей, образуют числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа первой строки таблицы); область значений этой функции образуют числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа второй строки таблицы).

Рассмотрим функцию, заданную формулой , где  Такая запись означает, что область определения функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству 

Если функция задана формулой  и не указано, каких значений можно придавать аргументу, то считают, что область определения функции образуют все числа.

Существуют функции, которые на отдельных частях области определения заданы различными формулами. Например, если функция задана в виде

то это значит, что для  значение функции нужно находить по формуле , а для  — по формуле . Если , то имеем: ; если , то 

Пример №51

Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, преодолевает за  ч путь  км . Задать формулой функцию — зависимость  от . Найти значения функции, которые соответствуют значениям аргумента: 2; 2,5.

За  ч автомобиль проедет  км, поэтому  — искомая формула. Если ,  то ; если , то 

Пример №52

Начиная с третьего часа, через каждый час измеряли атмосферное давление и записывали данные в таблицу:

, ч	3	4	5	6	7	8	9
, мм рт. ст.	746	748	751	752	752	755	756

Зависимость между какими переменными задает эта таблица? Задает ли таблица функцию? Какое давление в миллиметрах ртутного столба было в 4 ч? в 8 ч? Какова область определения функции; область значений?

Таблица задает зависимость между часами суток и атмосферным давлением . Эта зависимость является функцией, потому что каждому значению  соответствует единственное значение . Если , то по таблице находим: . Итак, в 4 часа атмосферное давление было 748 мм рт. ст. Аналогично в 8 часов — 755 мм рт. ст. Область определения функции образуют числа 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а область значений — числа 746, 748, 751, 752, 755 и 756.

Пример №53

Функция задана формулой . Составить таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, предоставив аргументу следующие значения: –6; –3; –2; 0; 2; 3; 6. 

	–6	–3	–2	0	2	3	6
	33	6	1	—3	1	6	33

Пример №54

Для каких значений аргумента значение функции равно –3, если функция задана формулой:

а) Чтобы найти значения , для которых , решим уравнение . Итак, функция приобретает значение , если .

б)     

Функция приобретает значение –3, если  или .

в)  — уравнение корней не имеет. Значение –3 данная функция не приобретает.

График функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой , где . Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и занесем результаты в таблицу:

	—3	—2	—1	0	1	2
	4,5	2	0,5	0	0,5	2

Значение мы выбрали так, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Поэтому говорят, что таблица значений функции составлена с шагом 1.

Обозначим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны выбранным значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции (рис. 3).

Подбирая другие значения , удовлетворяющие неравенству , и вычисляя соответствующие значения , получим другие пары значений и . Каждой из этих пар также соответствует определенная точка на координатной плоскости. Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции, заданной формулой , где  (рис. 4). 

График функции образуют точки координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ задания функции

Имея график функции, можно находить ее значение по известному значению аргумента и наоборот: находить значение аргумента по известному значению функции.

Рассмотрим, например, функцию, график которой изображен на рисунке 5. О такой функции говорят, что она задана графически.

Найдем с помощью графика значение функции, если . Для этого через точку оси с абсциссой 4 проведем прямую, параллельную оси . Точка ее пересечения с графиком функции имеет координаты (4; 8). Итак, если , то значение функции равно 8.

Найдем с помощью этого же графика значения аргумента, для которых значение функции равно 6. Для этого через точку оси с ординатой 6 проведем прямую, параллельную оси . Получим две точки пересечения с графиком функции: (2; 6) и (8; 6). Следовательно, функция приобретает значение 6, если  или .

Некоторая линия на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, которая параллельна оси , пересекает эту линию не более чем в одной точке. Используя такую линию для каждого значения переменной , можно найти только одно значение переменной .

Глядя на график, изображенный на рисунке 5, можно отметить некоторые свойства функции, заданной этим графиком.

1. Область определения функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству .
2. Наибольшее значение функции равно 9 (это значение функция приобретает, если ).
3. Наименьшее значение функции равно –2 (это значение функция приобретает, если ).
4. Область значений функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству .
5. Значение функции равно нулю, если . Те значения аргумента, для которых значения функции равны нулю, называют нулями функции. Следовательно, значение  является нулем данной функции.
6. Функция приобретает положительные значения, если ; отрицательные значения — если .

Функция как математическая модель реальных процессов

Вам, пожалуй, уже приходилось видеть модели лодки, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее назначения, отражает определенные свойства оригинала.

Математическая модель — это описание какого-то реального объекта или процесса языком математики.

Рассмотрим рисунок 6, на котором изображен график изменения температуры воды в течение 20 мин.

Из графика следует, что начальная температура воды была равна ; в течение первых 8 мин. температура воды повысилась до , затем в течение 6 мин. (от 8 мин. до 14 мин.) температура воды не менялась, а в течение следующих 6 мин. — снизилась до .

Функция, график которой изображен на рисунке 6, описывает реальный процесс изменения температуры воды. Говорят, что эта функция моделирует данный процесс, или что она является математической моделью данного процесса.

Если тело движется равномерно со скоростью 15 м/с, то путь м, пройденный им за время с, можно вычислить по формуле . В этом случае функция, заданная формулой , является математической моделью равномерного движения.

В седьмом и последующих классах мы ознакомимся со многими функциями, которые можно использовать для моделирования реальных процессов и зависимостей между различными величинами.

Кроме функций, есть и другие виды математических моделей, с которыми мы ознакомимся при дальнейшем изучении алгебры.

Пример №55

Построить график функции, заданной формулой:

а) , где  составив таблицу значений функции с шагом 1;
б) , где .

а) Составим таблицу значений функции:

	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
	–1	–0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости. Если к этим точкам приложить линейку, то можно увидеть, что все они лежат на одной прямой. Соединим отрезком крайние обозначенные точки. Этот отрезок и является графиком функции , где  (рис.7).

б) Составим таблицу значений функции:

	—2	—1		0		1	2
	—3	0		1		0	—3

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Имеем график функции, заданной формулой , где  (рис. 8).

Пример №56

Принадлежит ли графику функции  точка ?

Точка  будет принадлежать графику данной функции, если значение функции для  равно 9. 

Находим: если , то . Значение функции равно 9. Итак, точка  графику функции не принадлежит.

Для точки  будем иметь: если , то . Точка   принадлежит графику функции.

Пример №57

На рисунке 9 изображен график функции. Пользуясь графиком, заполнить таблицу:

	—6	—2	8
				—4	—1,5	1

Заполним таблицу:

	—6	—2	8	—6	—5; 8	6
	—4	1	—1,5	—4	—1,5	1

Линейная функция

Что такое линейная функция:

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 20 м/с и направление его движения совпадает с направлением оси (рис. 21). Если в начальный момент движения тело находилось на расстоянии 35 м от начала отсчета, то через с тело будет находиться на расстоянии метров от него.

Пусть в бассейн через трубу ежеминутно вливается 2,5 м³ воды. Если в начальный момент времени в бассейне было 70 м³ воды, то объем  воды (в м³), которая будет в бассейне через мин, можно вычислить по формуле .

Формулами , , где — независимая переменная, задаются функции, которые называют линейными.

Определение. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида , где — независимая переменная, и — некоторые числа. 

В формуле  переменной  можно придавать любые значения, поэтому область определения линейной функции образуют все числа.

График линейной функции

Построим график линейной функции .

Для этого составим таблицу нескольких значений и соответствующих значений :

	—5	—4	—3	—2	—1	0	1	2	3	4	5
	—3,5	—3	—2,5	—2	—1,5	—1	—0,5	0	0,5	1	1,5

На координатной плоскости обозначим точки, координаты которых представлены в таблице (см. рис. 22). Приложив линейку, убеждаемся, что все обозначенные точки лежат на одной прямой. Если бы для любого другого значения вычислили соответствующее значение и обозначили бы точку с такими координатами на координатной плоскости, то и она лежала бы на этой прямой.

Через обозначенные точки проведем прямую. Она является графиком линейной функции .

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты только двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Так, чтобы построить график функции , достаточно было взять две точки, например (0; — 1) и (2 ; 0) и провести через них прямую.

Угловой коэффициент

В формуле линейной функции  коэффициент возле переменной  положительный:  График этой функции образует острый угол с положительным направлением оси (см. рис. 22). На рисунке 23 изображен график линейной функции . Для этой функции  и ее график образует тупой угол с положительным направлением оси .

Итак, от коэффициента зависит угол, который образует график функции с положительным направлением оси . Поэтому число называют угловым коэффициентом прямой .

Если , то прямая  образует с положительным направлением оси   острый угол, если , — тупой угол.

Если , то формула, которой задается линейная функция имеет вид , то есть . Такая функция для всех значений приобретает то же значение . Например, линейная функция  для всех значений приобретает значение 2. Поэтому графиком функции является прямая, образованная точками (; 2), где  — любое число. Эта прямая параллельна оси (рис. 24).

Чтобы построить график функции , достаточно было обозначить на оси   точку с ординатой 2 и провести через нее прямую, параллельную оси .

Свойства линейной функции

Свойства линейной функции .

1) Область определения функции образуют все числа.

2) Если , то область значений функции образуют все числа; если , то функция приобретает лишь одно значение .

3) Графиком функции является прямая.

4) График функции образует с положительным направлением оси острый угол, если , тупой угол — если . Если , то график параллельный оси , в частности, если  и , то он совпадает с осью .

Функция  

В формуле , которой задается линейная функция, положим . Получим формулу , какой задается функция, которая является отдельным, но довольно важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов. Рассмотрим примеры.

1. Пусть тело движется со скоростью 20 м/с. Тогда путь м, пройденный им за время с, можно вычислить по формуле . Эта формула задает зависимость пути от времени .

2. Плотность железа равна . Массу  г железа, объем которого равен , можно вычислить по формуле  Эта формула задает зависимость массы от объема .

Перейдя в примерах к принятым обозначениям аргумента и функции, будем иметь функции, задаваемые формулами  и , то есть формулами вида , где .

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида , где  — независимая переменная, — некоторое число, , называют прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Эта прямая проходит через начало координат (ибо если , то ).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Построим график функции . Найдем координаты какой-либо точки графика, отличной от начала координат: если , то . Обозначим на координатной плоскости точку (3; 1) и проведем через нее и начало координат прямую (рис. 25). Эта прямая является графиком функции .

На рисунке 26 изображены графики функций вида для разных значений .

Если , то график функции размещен в первой и третьей координатных четвертях, а если , — во второй и четвертой четвертях.

Для тех, кто хочет знать больше

Точки пересечения графиков функций

На рисунке 27 изображены графики двух линейных функций и . Если , то функции приобретают одно и то же значение . Следовательно, графики функций имеют общую точку (4; 3). Еще говорят, что графики пересекаются в точке (4; 3).

Вообще, графики двух функций имеют общую точку, если существует значение , для которого обе функции приобретают одно и то же значение.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Рассмотрим две линейные функции  и , формулы которых имеют разные коэффициенты при . Выясним, пересекаются ли графики этих функций (рис. 28). Для этого проверим, существует ли значение , для которого обе функции приобретают одно и то же значение; другими словами: существует ли значение , для которого выполняется равенство . Решим данное уравнение:

Если , то обе функции приобретают одно и то же значение:

Итак, графики функций пересекаются в точке (–30; –17).

Рассмотрим две линейные функции  и , формулы которых имеют одинаковые коэффициенты при . Уравнения  не имеет корней. Поэтому прямые, являющиеся графиками функций  и  (рис. 29), не имеют общих точек (эти прямые параллельны).

Вообще, графики функций вида  и  пересекаются, если  (коэффициенты при х разные), и параллельные, если  (коэффициенты при х одинаковы) и 

Пример №58

Построить график функции, заданной формулой . Пользуясь графиком, найти:

а) значение , которое соответствует ;
б) значение , которому соответствует .

Строим график функции.

	0	2
	2	—1

а) Пусть . Через точку (—1; 0) проводим прямую, параллельную оси , и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (—1; 3,5). Следовательно, значению  соответствует значение .

б) Пусть . Через точку (0; —2,5) проводим прямую, параллельную оси , и находим точку пересечения этой прямой с графиком. Это точка (3; —2,5). Итак, значение  соответствует значению .

Пример №59

Дана функции . Не строя график функции, найти координаты точек его пересечения с осями координат и нули функции.

Точки пересечения графика с осями координат — это точки графика, абсцисса или ордината которых равна нулю.

Если , то .
(0; — 6) — точка пересечения графика с осью .

Если , то: 
(2,5; 0) — точка пересечения графика с осью .

Значение функции равно нулю (), если , откуда . Итак, нулем функции является . 

Пример №60

Найти значение функции , если  и . Сравнить данные значения аргумента и соответствующие значения функции.

Если , то  если , то . Сравним значение аргумента: ; сравним соответствующие значения функции: . Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Линейные уравнения и их системы

Алгебра долгое время была частью арифметики — одной из древнейших математических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого языка означает «искусство чисел». Алгебру же, после выделения ее в отдельную науку, рассматривали как искусство решать уравнения.

В данном разделе мы выясним, что такое линейное уравнение с одной переменной и с двумя переменными, что значит решить уравнение, что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными, какие основные способы решения систем уравнений, как решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.

Уравнения с одной переменной

Рассмотрим задачу.

Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали втрое больше массы малой. Какая масса малой детали?

Пусть масса малой детали равна  г, тогда масса большой —  г. Масса 15 малых деталей равна  г, а 4 больших —  (г). По условию задачи, сумма этих масс равна 270 г:

Мы получили равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (еще говорят: равенство содержит переменную ). Чтобы решить задачу, нужно найти значение , для которого равенство  является верным числовым равенством.

Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным).

Корень уравнения

Рассмотрим уравнение . Подставляя вместо переменной некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например:

если , то получим равенство , которое является верным;
если , то получим равенство , которое является неверным.

Значение переменной, для которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения.

Следовательно, число 3 является корнем уравнения , а число 4 — нет.

Количество корней уравнения

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например:

уравнение  имеет лишь один корень — число 3;
уравнение  имеет два корня — числа 2 и 6;
уравнение  удовлетворяет любое число ; говорят, что это уравнение имеет множество корней.

Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение . Для любого числа значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Итак, какое число мы не взяли бы, равенство  будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней.

Решение уравнений

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет. 

Решим уравнение, составленное выше, по условию задачи о больших и малых деталях:

Следовательно, масса малой детали равна 10 г.

Решение уравнения в основном сводится к выполнению определенных преобразований, в результате которых данное уравнение заменяют более простым.

Решим, например, уравнение:

1. Раскроем скобки:

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

3. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, поменяв их знаки на противоположные:

4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

5. Поделим обе части уравнения на 2:

Итак, уравнение (1) имеет единственный корень — число 4.

Решая уравнение (1), мы выполняли определенные преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений:

Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.
Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, указанных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и начальное уравнение.

Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4.

Пример №61

Является ли число 2,5 корнем уравнения ?

Если , то:
значение левой части уравнения равно: 
значение правой части равно: 

Значение левой части уравнения равно значению правой части, поэтому — корень данного уравнения.

Пример №62

Сколько корней имеет уравнение:

а) Произведение равно нулю лишь тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Итак,  или , отсюда  или 

Ответ. Два корня.

б)  Квадрат числа не может равняться отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример №63

Решить уравнение 

Умножив обе части уравнения на 14, получим: 

Ответ. 15

Пример №64

Решить уравнение 

Разделив обе части уравнения на 25, получим:

Ответ. 1,6.

Линейные уравнения с одной переменной

Рассмотрим уравнение:

Левая часть каждого из этих уравнений является произведением некоторого числа и переменной, а правая часть — некоторым числом. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида , в котором и  — некоторые известные числа, а — переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Числа  и  называют коэффициентами линейного уравнения.

Когда, решая уравнения, выполняют определенные преобразования, приводя данное уравнение к более простому, то во многих случаях этим «простым» уравнением является именно линейное уравнение.

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Для этого рассмотрим сначала следующие три уравнения:

1) Чтобы решить уравнение , достаточно обе его части разделить на 3. Получим один корень: 

2) В уравнении  значение левой части равно 0 для любого числа . Правая же часть уравнения отлична от нуля. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

3) Равенство  является верным для любого числа . Поэтому корнем уравнения  является любое число (уравнение имеет множество корней).

В общем случае для линейного уравнения  будем иметь:

• если , то уравнение имеет единый  корень 
• если , то уравнение корней не имеет;
• если  и , то корнем уравнения является любое число (уравнение имеет множество корней).

Итог: количество корней линейного уравнения

— линейное уравнение	Коэффициенты	Корни
		—  единственный корень
	и	корней нет
	и	корнем является любое число (уравнение имеет множество корней)

Уравнения с модулями

Напомним, что модулем положительного числа и числа 0 является то же самое число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число:

 если  если 

Так,  Модуль любого числа является неотрицательным числом, то есть 

Уравнения  содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называют уравнениями с модулем.

Уравнение вида  Решая уравнение вида  где — некоторое известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число  на координатной прямой.

Рассмотрим уравнение На координатной прямой существуют две точки, расположенные на расстоянии 2 единицы от начала отсчета. Это точки, соответствующие числам 2 и –2 (рис. 37). Поэтому уравнение  имеет два корня: 2 и –2.

Уравнение имеет один корень — число 0, а уравнение не имеет корней (модуль любого числа является неотрицательным числом и не может быть равен –2).

В общем случае уравнение

• имеет два корня и — , если
• имеет один корень 0, если ;
• не имеет корней, если 

Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа

Решим уравнение

Это уравнение нельзя свести к виду где  — некоторое число. Для его решение рассмотрим два случая.

1. Если — неотрицательное число то и уравнение (1) приобретает вид откуда . Число 1 — неотрицательное (удовлетворяет неравенство ), поэтому оно является корнем уравнения (1).

2. Если — отрицательное число то  и уравнение (1) приобретает вид , откуда Число 2 не является отрицательным (не удовлетворяет неравенство ), поэтому оно не является корнем уравнения (1).

Итак, уравнение имеет один корень .

Пример №65

Решить уравнение 

Ответ. –3.

Пример №66

Решить уравнение   

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Пример №67

Решить уравнение 

Ответ. Корнем уравнения является любое число.

Пример №68

Решить уравнение 

Умножив обе части уравнения на 36 (36 — наименьшее общее кратное знаменателей дробей), получим:

Ответ. 6.

Итог. Решая уравнения, которые сводятся к линейным, следует соблюдать следующие шаги:

1. Если в уравнении есть выражения с дробными коэффициентами, то умножить обе его части на наименьший общий знаменатель дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Перенести все слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной — в другую часть (в правую).
4. Привести подобные слагаемые.
5. Разделить обе части уравнения на коэффициент возле переменной, если он отличен от нуля. Если же он равен 0, то уравнение либо не имеет корней, или его корнем является любое число.

Пример №69

Решить уравнение 

Если модуль числа равен 3, то этим числом является 3 или –3. Поэтому возможны два случая:

Ответ. 3; 0.

Пример №70

Решить уравнение 

Ответ. –4; 4.

Решение задач с помощью уравнений

Решая задачи с помощью уравнений, в основном придерживаются такой схемы:

1. выбирают неизвестное и обозначают его буквой (или какой-либо другой буквой);
2. используя условие задачи, составляют уравнение;
3. решают уравнение и отвечают на поставленные в задаче вопросы.

Рассмотрим примеры.

Пример №71

В двух цистернах хранится 66 т бензина, к тому же, в первой бензина в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько бензина в каждой цистерне?

Пусть во второй цистерне есть т бензина, тогда в первой — 1,2 т. В двух цистернах вместе находится  т бензина, что, по условию, равно 66 т.

Имеем уравнение: 

Решим это уравнение:

Итак, во второй цистерне имеется 30 т бензина, а в первой —  (т).

Ответ. 36 т, 30 т.

Замечание. Чтобы решить эту задачу, можно рассуждать и так. Пусть во второй цистерне есть  т бензина, тогда в первой —  т. В первой цистерне бензина в 1,2 раза больше, чем во второй, потому  Далее остается решить это уравнение и записать ответ к задаче.

Пример №72

Из города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин. навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 25 км/ч больше, чем скорость грузового. Автомобили встретились через 1,3 ч после выезда грузового автомобиля из города А. Найти расстояние между городами, если за все время движения грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой.

Пусть скорость грузового автомобиля равна км/ч, тогда скорость легкового —  км/ч.

К моменту встречи грузовой автомобиль был в пути 1,3 ч, а легковой на 30 мин. = 0,5 ч меньше: 1,3 ч — 0,5 ч = 0,8 ч. За 1,3 ч грузовой автомобиль проехал 1,3 км, а легковой за 0,8 ч —  км. Поскольку грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, то разность пути 1,3 км и  км равна 10 км. 

	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Грузовой автомобиль		1,3	1,3
Легковой автомобиль		0,8

Имеем уравнение: 

Решим это уравнение:

Следовательно, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.

Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые проехали оба автомобиля, то есть (1,3 + ) км. Поскольку , то получим:

Ответ. 146 км.

Примечание. Опираясь на решение рассмотренных задач, проанализируем первые два шага приведенной выше схемы решения задач с помощью уравнений.

1) Выбор неизвестного, которое мы обозначали буквой, в решениях этих задач был разный. В первой задаче мы обозначили через т одну из искомых величин (массу бензина во второй цистерне). Во второй задаче искомой величиной является расстояние между городами. Если эту величину обозначить через км, то, составляя уравнение, придется провести довольно сложные рассуждения. Мы же через км/ч обозначили неизвестную скорость грузового автомобиля, выразили через пути, которые проехали автомобили, и составили уравнение, зная, что разность путей равна 10 км.

Итак, обозначать через (или какой-нибудь другой буквой) желательно ту неизвестную величину, через которую легче выражаются величины, значения которых можно приравнять.

2) Чтобы составить уравнение, сначала выражаем через те величины, значения которых будем приравнивать. После этого записываем уравнение.

Уравнение как математическая модель реальных процессов

Опишем на языке математики задачу из примера. Ища скорость грузового автомобиля в этой задаче, мы обозначили ее через км/ч. Скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше, чем скорость грузового, что на языке математики записывают так: скорость легкового автомобиля равна км/ч.

На языке математики расстояние, которое проехал грузовой автомобиль, записывают: 1,3 км, а расстояние, которое проехал легковой автомобиль, —  км.

По условию задачи грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, что языком математики можно выразить так: разность расстояний, которые проехали грузовой и легковой автомобили, равняется 10 км и записать:

Полученное уравнение и является математической моделью задачи на движение автомобилей. Построив математическую модель, мы свели задачу на движение к математической задаче — решить уравнение.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Уравнение с двумя переменными

Вы уже умеете решать линейные уравнения с одной переменной и уравнения, сводящиеся к линейным. Напомним, что линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида , где и — некоторые числа, а  — переменная.

Рассмотрим пример, который приводит к уравнению с двумя переменными.

Пусть известно, что сумма некоторых двух чисел равна 8. Если одно из чисел обозначить через , а второе — через , то получим уравнение

содержащее две переменные: и . Такое уравнение называют уравнением с двумя переменными.

Уравнения

тоже являются уравнениями с двумя переменными. Первые два из этих уравнений являются уравнениями вида  где ,  и  — числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнения вида где и — переменные, ,  и  — некоторые числа (коэффициенты уравнения).

Коэффициенты  и  называют еще коэффициентами при переменных, а коэффициент — свободным членом.

Решение уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение . Если то это уравнение превращается в верное числовое равенство 2 + 6 = 8. Говорят, что пара значений переменных является решением  уравнения .

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, для которых уравнение превращается в верное числовое равенство.

Решениями уравнения  являются и такие пары чисел:

Сокращенно эти решения записывают так: (4; 4); (4,5; 3,5); (10; –2). В этих парах чисел на первом месте пишут значения переменной , а на втором — значения переменной . Это связано с тем, что переменную условно считают первой переменной, а переменную — второй.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, можно подставить в уравнение произвольное значение одной переменной и, решив полученное уравнение с одной переменной, найти соответствующее значение другой переменной. Для примера найдем еще несколько решений уравнения .

Пусть , тогда  откуда 

Пусть , тогда  откуда 

Мы нашли два решения (7; 1) и (–3; 11). Давая переменной другие значения, получим другие решения уравнения. Уравнение имеет множество решений.

Уравнение также имеет множество решений — его решениями являются любые пары чисел (; ). Уравнение  решений, явно, не имеет.

Вообще, линейное уравнение с двумя переменными или имеет множество решений, или не имеет никакого решения.

Свойства уравнений с двумя переменными

Свойства уравнений с двумя переменными такие же, как и уравнений с одной переменной, а именно:

1. В любой части уравнения можно выполнить тождественные преобразования выражений (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые).
2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Рассмотрим уравнение

Используя свойства уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например, через . Для этого перенесем слагаемое в правую часть, изменив его знак на противоположный: 

Поделим обе части полученного уравнения на 2:

Пользуясь формулой , можно найти сколько угодно решений данного уравнения. Для этого достаточно взять произвольное значение  и вычислить соответствующее значение . Пары некоторых соответствующих значений и представим в виде таблицы. 

	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
	10,5	9	7,5	6	4,5	3	1,5	0	–1,5

Пары чисел каждого столбца — решения уравнения

Пример №73

Найти значения коэффициента , для которых одним из решений уравнения является пара чисел (–1; 2).

Если пара чисел (–1; 2) является решением уравнения , то должно  выполняться равенство  Решим полученное уравнение с переменной :

Ответ. .

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение

Решениями этого уравнения являются, например, пары чисел (0; —1) и (2; 2). Этим решениям на координатной плоскости соответствуют точки с координатами (0; –1) и (2; 2). Если на координатной плоскости изобразим все точки, координаты которых являются решениями уравнения то получим график этого уравнение.

График уравнения с двумя переменными образуют все точки координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.

Чтобы выяснить, что является графиком уравнения выразим из него переменную через переменную :

Формулой задают линейную функцию, графиком которой является прямая. Если , то если , то  Проведя через точки (0; —1) и (2; 2) прямую (рис. 38), получим график функции . Эта прямая является и графиком уравнения

Вообще, графиком уравнения  в котором хотя бы один из коэффициентов или  отличен от нуля, является прямая.

Чтобы построить график такого уравнения, можно: 1) выразить переменную через переменную  (если это возможно) и построить график соответствующей линейной функции или 2) найти два решения уравнения, обозначить на координатной плоскости точки, соответствующие этим решениям, и провести через них прямую.

На рисунках 39 и 40 изображены графики линейных уравнений, у которых один из коэффициентов при переменных равняется 0:

Графиком уравнения  является график функции , то есть прямая, параллельная оси , проходящая через точку (0; 2).

Решениями уравнения (или ) являются все пары чисел (; ), у которых , а — произвольное число. Точки координатной плоскости, соответствующие таким решениям, образуют прямую, параллельную оси  и  проходящую через точку (3; 0).

Выясним размещение графика уравнения  в зависимости от его коэффициентов.

1) Тогда: . Прямая имеет угловой коэффициент . Поэтому если и  — числа разных знаков, то и график уравнения образует острый угол с положительным направлением оси , если и  — числа одного знака, то , и угол, образующий график с положительным направлением оси , — тупой.

2) Графиком уравнения является прямая , параллельная оси .

3) Графиком уравнения является прямая, параллельная оси .

4) Решением уравнения является любая пара чисел, а его графиком — вся координатная плоскость.

5) Уравнение , где , решений не имеет и его график не содержит ни одной точки.

Пример №74

Построить график уравнения

Сначала найдем два решения уравнения.

Пусть , тогда: — решение.

Пусть , тогда: — решение.

Решения уравнения можно представить в виде таблицы.

	0	2
	2	–3

На координатной плоскости отмечаем точки (0; 2) и (2; –3) и проводим через них прямую. Эта прямая является искомым графиком.

Пример №75

Построить график уравнения

В данном уравнении имеем одну переменную . Если нужно построить график такого уравнения, то считают, что это линейное уравнение с двумя переменными и , в котором коэффициент возле переменной  равен 0, то есть  Графиком уравнения является прямая которая параллельна оси и проходит, например, через точку (0; –1,5).

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Рассмотрим задачу:

В 7-А и 7-Б классах учатся вместе 56 учеников, к тому же, в 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б. Сколько учеников в каждом классе?

Для решения задачи обозначим количество учеников 7-А класса через , а количество учеников 7-Б класса — через . По условию задачи, в 7-А и 7-Б классах вместе учатся 56 учеников, то есть . В 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б, поэтому разность  равна 4: .

Имеем два линейных уравнения с двумя переменными:

И в первом, и во втором уравнениях переменные обозначают те же величины — количества учеников 7-А и 7-Б классов. Поэтому нужно найти следующие значения переменных, которые обращают в верное числовое равенство и первое, и второе уравнения, то есть нужно найти общие решения этих уравнений.

Если нужно найти общие решения двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки. Так, систему двух линейных уравнений с двумя переменными, составленную по условию нашей задачи, записывают:

Общим решением обоих уравнений этой системы является пара значений переменных , ибо равенства 30+ 26 = 56 и 30 — 26 = 4 являются верными. Эту пару чисел называют решением системы уравнений.

Определение. Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, для которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение систем линейных уравнений графическим способом

Решим систему уравнений

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений системы. На рисунке 44 прямая — график уравнения , а прямая — график уравнения . Координаты любой точки прямой являются решением первого уравнения системы, а координаты любой точки прямой являются решением второго уравнения. Любая общая точка этих прямых имеет координаты, которые являются решением как первого, так и второго уравнений, то есть являются решением системы. Так как прямые и пересекаются в единственной точке , то система уравнений имеет единственное решение . Это решение можно записывать и в виде пары (—2; 1).

Способ решения систем линейных уравнений, который мы только что использовали, называют графическим.

Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, надо построить графики уравнений системы в одной системе координат и найти координаты общих точек этих графиков.

Если в каждом из двух линейных уравнений системы хотя бы один из коэффициентов возле переменных отличен от нуля, то графиками таких уравнений являются прямые. Поскольку две прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельными, то такие системы линейных уравнений могут иметь одно решение, множество решений или не иметь решений.

Количество решений системы двух линейных уравнений зависит от коэффициентов уравнений. Для произвольной системы уравнений  в которой все коэффициенты второго уравнения отличны от нуля, верными являются утверждения:

если (коэффициенты при переменных не пропорциональны), то система уравнений имеет единое решение;

если (коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны), то система уравнений имеет множество решений;

если (коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам), то система уравнений решений не имеет.

Пример №76

Решить графически систему уравнений 

Построим графики уравнений системы.

	1	3
	—3	2

	0	—3
	1	0

Графики пересекаются в единственной точке — точке . Итак, система уравнений имеет единственное решение (3; 2). 

Примечание. Чтобы не ошибиться, определяя по графикам координаты точки , стоит проверить, действительно ли найденные координаты являются решением системы. Проверим: если и  — верные равенства. Пара (3; 2) является решением системы.

Пример №77

Сколько решений имеет система уравнений 

Построим графики уравнений системы.

	0	—1
	2	0

	0	—1
	2	0

Графики совпадают. Система уравнений имеет множество решений.

Пример №78

Сколько решений имеет система уравнений 

Построим графики уравнений системы.

	0	3
	3	0

	0	1,5
	1,5	0

Графиками уравнений являются параллельные прямые (ибо ). Система уравнений решений не имеет.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим верное равенство 7 + 2 = 9. Если в этом равенстве число 2 заменить числовым выражением 2(3 — 2), значение которого равно 2, то получим верное равенство 7 + 2(3 — 2) = 9. Наоборот, если в верном равенстве 7 + 2(3 — 2) = 9 выражение 2(3 — 2) заменить его значением 2, то получим верное равенство 7 + 2 = 9.

На этих свойствах числовых равенств базируется решение систем линейных уравнений способом подстановки. Рассмотрим пример.

Пусть нужно решить систему уравнений

Из первого уравнения системы выразим переменную через переменную :

Подставим во второе уравнение системы вместо выражение  Получим систему

Системы (1) и (2) имеют одинаковые решения (доказательство — в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше"). Второе уравнение системы (2) имеет только одну переменную . Решим его:

В первое уравнение системы (2) подставим вместо число 2 и найдем соответствующее значение :

Пара чисел (2; –1) — решение системы (2), а также и системы (1).

Способ, использованный для решения системы (1), называют способом подстановки.

Чтобы решить систему линейных уравнений способом подстановки, надо:

1. выразить из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;
2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение другой переменной.

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одинаковые решения.

Пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (1), тогда верными являются числовые равенства  и , а следовательно, и равенство . Заменим в равенстве число выражением , получим верное равенство . Поскольку равенства  и являются верными, то пара чисел (; ) есть решением системы (2). Мы показали, что произвольное решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (2). Тогда верными являются числовые равенства и . Заменим в равенстве  выражение числом , получим верное равенство . Из равенства следует, что . Поскольку равенства и  являются верными, то пара чисел (; ) является решением системы (1). Мы показали, что произвольное решение системы (2) является решением системы (1).

Следовательно, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одно и те же решения, называют равносильными. Итак, решая систему уравнений (1), мы заменили ее равносильной системой (2).  

Пример №79

Решить систему уравнений 

Выразим из первого уравнения переменную через переменную :

Подставим во второе уравнение системы вместо выражение  и решим полученное уравнение:

Найдем соответствующее значение переменной :

Ответ. (–2; –3).

Пример №80

Для каких значений коэффициента система уравнений  не имеет решения?

Выразим из второго уравнения переменную через переменную : 

Подставив в первое уравнение системы вместо выражение , получим уравнение 

Дальше получим: 

Последнее уравнение не имеет корней лишь в случае, когда коэффициент при  равен нулю:  Для этого значения система уравнений не имеет решения.

Ответ. 

Пример №81

Графиком функции является прямая, проходящая через точки А (—1; 2) и В (2; 5). Задать эту функцию формулой.

Прямая является графиком линейной функции. Пусть искомая линейная функция задается формулой , где и  — пока что неизвестные числа. Поскольку график функции проходит через точки А(— 1; 2) и В(2; 5), то должны выполняться два равенства

Решив систему найдем: Итак, функция задается формулой 

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим два правильных равенства:

Сложим почленно эти равенства: левую часть с левой и правую с правой:

Снова получили правильное равенство. Это свойство верных числовых равенств лежит в основе способа решения систем уравнений, который называют способом сложения. Рассмотрим пример.

Пусть нужно решить систему уравнений

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением  Получим систему

Системы (1) и (2) имеют одни и те же решения (доказательство представлено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше»). Решим систему (2). Из первого уравнения находим: Подставив это значение во второе уравнение, получим:

Пара чисел (5; 3) — решение системы (2), а также и системы (1).

Решая систему (1), мы воспользовались тем, что в уравнениях коэффициенты при переменной являются противоположными числами, и после почленного сложения уравнений, получили уравнения с одной переменной .

Решим еще одну систему уравнений

В этой системе уравнений коэффициенты при переменной и коэффициенты при переменной не являются противоположными числами. Однако, умножив обе части первого уравнения на 2, а второго — на –3, получим систему

в которой коэффициенты при  — противоположные числа. Сложим почленно уравнения последней системы, получим:

Подставив значение в первое уравнение системы (3), находим:

Итак, решением системы (3) является пара чисел (—4; 6).

Чтобы решить систему линейных уравнений способом сложения, надо:

1. умножить обе части уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;
2. сложить почленно левые и правые части уравнений;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение другой переменной.

Докажем, что системы уравнений (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (1), тогда верными являются числовые равенства  и . Сложив эти равенства, получим верное равенство  Поскольку равенства  и  являются верными, то пара чисел (; ) является решением системы (2). Мы показали, что произвольное решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (2), тогда верными являются числовые равенства и . Вычитаем из первого из этих равенств второе. Получим верное равенство  Поскольку равенства и  являются верными, то пара чисел (; ) является решением системы (1). Мы показали, что произвольное решение системы (2) является решением системы (1).

Следовательно, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пример №82

Решить способом сложения систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения системы на –2. Получим систему

Почленно сложив уравнения последней системы, получим: 

Подставим в первое уравнение системы вместо число 3 и решим полученное уравнение:

Ответ. (–2; 3).

Решение задач с помощью систем уравнений

Вы уже решали задачи с помощью уравнений с одной переменной. Решим задачу, составив систему уравнений.

Пример №83

Скорость моторной лодки по течению реки равна 24 км/ч, а против течения — 19 км/ч. Какова скорость лодки в стоячей воде и какова скорость течения реки?

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна км/ч, а скорость течения реки —  км/ч. Скорость лодки по течению реки (24 км/ч) равна сумме его скорости в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому имеем уравнение

Скорость лодки против течения реки (19 км/ч) равна разности скорости лодки в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому

Чтобы ответить на вопросы задачи, нужно найти следующие значения и , которые удовлетворяли бы и первое, и второе уравнения, то есть которые удовлетворяли бы систему этих уравнений:

Решив систему, получим:

Ответ. Скорость лодки в стоячей воде равна 21,5 км/ч; скорость течения реки — 2,5 км/ч.

Решая задачу, мы получили систему уравнений и задачу на движение привели к математической задаче — решить систему уравнений. Итак, в качестве математических моделей реальных процессов могут выступать не только функции и уравнения, но и системы уравнений.

Отметим, что для моделирования задачи можно было бы использовать уравнение с одной переменной. Однако для составления такого уравнения пришлось бы провести более сложные рассуждения.

Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, поступают так:

1. обозначают некоторые две неизвестные величины буквами;
2. используя условие задачи, составляют два уравнения с выбранными неизвестными;
3. записывают систему этих уравнений и решают ее;
4. отвечают на поставленные в задаче вопросы.

Пример №84

Если открыть кран горячей воды на 7 мин., а затем кран холодной — на 3 мин., то в ванну нальется 54 л воды. Если же открыть кран горячей воды на 8 мин., а затем кран холодной — на 6 мин., то в ванну нальется 72 л воды. Сколько литров воды наливается в ванну через каждый кран за минуту? 

Пусть за 1 мин. через первый кран (горячей воды) наливается л воды, а через второй кран (холодной воды) — л. Тогда за 7 мин. через первый кран нальется 7 л воды, а через второй кран за 3 мин. — З л. В результате, по условию задачи, в ванне будет 54 л воды. Имеем уравнение: 

Во втором случае за 8 мин. через первый кран нальется 8 л воды, а через второй кран за 6 мин. — 6 л, что, по условию задачи, равно 72 л воды. Имеем второе уравнение:  

Получили систему уравнений 

Решим эту систему способом сложения: 

Из первого уравнения системы находим :

Ответ. 6 л; 4 л.

Рациональные выражения и рациональные дроби

Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными. Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.

Целые, дробные и рациональные выражения

В седьмом классе мы учили целые выражения. Примеры таких выражений: 

Вспомним: целые выражения могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, а также действие деления, но только на число, отличное от нуля. 

Каждое целое выражение можно записать в виде многочлена. Например,

Рассмотрим выражения

Эти выражения отличаются от целых выражений тем, что содержат действие деления на выражение с переменной. Такие выражения называют рациональными выражениями.

Рассмотрим рациональные выражения  Они являются частями двух выражений, к тому же, действие деления записано с помощью черты дроби. Такие выражения называют дробями. 

Если имеем дробь где А и В — некоторые числовые выражения или выражения с переменными, то выражение А называют числителем дроби, а выражение В — знаменателем.

Следовательно,  — дробь с числителем  и знаменателем 

Дробь  в которой А и В — многочлены, называют рациональной дробью. Например,  — рациональные дроби.

Допустимые значения переменных

Рассмотрим дробное выражение 

Если  то значение этого выражения равно: 

если  то значение выражения равно: 

Значение выражения  можно найти для любого значения  кроме  

Если  то знаменатель  равен нулю, а на нуль делить нельзя. Говорят: если  то выражение  имеет смысл, а если  не имеет смысла. Значения переменных, для которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. 

Определение. Допустимыми значениями переменных выражения называют такие их значения, для которых выражение имеет смысл.

Так, для выражения  допустимыми значениями переменной являются все значения  кроме 

Допустимыми значениями переменных  любого целого выражения являются все значения переменных. Допустимыми значениями переменных дробного рационального выражения являются все значения переменных, кроме тех, для которых равен нулю знаменатель хотя бы одной из дробей, которые входят в данное выражение. 

Тождественно равные выражения

Рассмотрим целое выражение  Поскольку

то для любого значения переменной  соответствующие значения выражений  и  равны друг другу. Такие целые выражения мы называли тождественно равными. 

А какие два не целых выражения считают тождественно равными?

Рассмотрим дробные выражения  и  Допустимыми значениями обоих являются все значения  кроме  Эти выражения имеют одинаковые знаменатели и тождественно равные числители. Поэтому для каждого допустимого значения  соответствующие значения выражений равны друг другу. Такие выражения называют тождественно равными.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если для любых допустимых для них значений переменных соответствующие значения выражений равны друг другу.

Если два тождественно равных выражения  и  соединить знаком  то получим равенство  которое является верным для всех допустимых значений  Такое равенство называют тождеством.

Определение. Равенство, которое является верным для всех допустимых значений переменных, входящих в него, называют тождеством.

Например,  — тождества.

Замену одного выражения тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием выражения.

Пример №85

Найти значения выражения  если 

 Если  то 

Если 

Пример №86

Найти значение выражения  если:

а)  б) 

Упростим данное выражение: 

а) Если 

б) Если  — не имеет смысла 

Пример №87

Указать допустимые значения переменной в выражении:

а)  б)  в)

а) Допустимыми являются все значения  кроме 

б) Найдем значения  для которых знаменатель дроби равен нулю:

 или  или 

Допустимыми являются все значения  кроме  и 

в) Для любого значения  значение знаменателя  не меньше, чем 8, а поэтому не равно нулю. Следовательно, допустимыми являются все значения  

Основное свойство дроби

Вспомним основное свойство обычных дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натурально число, то получим дробь, которая равна данной. Следовательно, если  и  — натуральные числа, то  и 

Аналогичное свойство справедливо для любых дробей. А именно:

Для любых значений и  где  и  выполняются равенства:

Данные равенства являются тождествами и выражают основное свойство дроби, которое можно сформулировать так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на выражение, не тождественно равное нулю, то получим дробь, тождественно равную данной.

Сокращение дробей

С помощью тождества  дробь  можно заменить на дробь  то есть дробь  можно сократить на общий множитель  числителя и знаменателя. Например,

Равенства  и  являются тождествами, то есть они являются верными для всех допустимых значений переменных (первое — для всех значений  и  где  второе — для всех значений  и  где ).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) выделить общий множитель числителя и знаменателя дроби;

2) выполнить сокращение на общий множитель.

Приведение дробей к общему знаменателю

С помощью тождества  дробь  можно привести к новому знаменателю. Например, 

 — привели дробь  к знаменателю 

Любые дроби с разными знаменателями, как и обычные дроби, можно привести к общему знаменателю. Рассмотрим примеры.

Пример №88

Привести к общему знаменателю дроби  и 

Общим знаменателем данных дробей является произведение их знаменателей, то есть  Дополнительным множителем для первой дроби является  для второй —  Тогда:

Пример №89

Привести к общему знаменателю дроби  и 

Знаменатели обеих дробей являются одночленами, поэтому общий знаменатель будем искать в виде одночлена, к тому же как можно меньшей степени. В качестве коэффициента этого одночлена возьмем наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей данных дробей,  то есть 24, а каждую переменную возьмем с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей, то есть возьмем  и  Тогда общим знаменателем будет  Дополнительным множителем для первой дроби является  так как  для второй —  так как   Получим:

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю дроби, знаменателями которых являются одночленами, нужно:

1. найти наименьшее общее кратное (НОК) коэффициентов знаменателей;
2. образовать общий знаменатель в виде произведения НОК и степеней переменных с наибольшим показателем, с которым они входят в знаменатели;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. (Чтобы найти дополнительный множитель для дроби, нужно записать общий знаменатель в виде произведения двух одночленов, одним из которых является знаменатель данной дроби. Тогда другой одночлен будет дополнительным множителем.)

Пример №90

Привести к общему знаменателю дроби  и 

Разложим на множители знаменатель каждой дроби:

Общим знаменателем дробей является произведение Дополнительным множителем для первой дроби является выражение  для второй — выражение  Умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, получим:

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю дроби, знаменателями которых являются многочлены, нужно:

1. разложить на множители знаменатель каждой дроби;
2. образовать общий знаменатель в виде произведения полученных множителей с наибольшим показателем, с которым они входят в знаменатели;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Изменение знака числителя или знаменателя дроби

Рассмотрим верное числовое равенство  Его можно прокомментировать так: если изменить знак в числителе дроби и знак перед дробью, то получим дробь, которая равна данной. 

Таким же способом изменяют знак числителя или знаменателя любой дроби, используя тождества:

Если изменить знак в числителе или знаменателе  дроби и знак перед дробью, то получим дробь, тождественно равную  данной. 

Докажем основное свойство дробей. Покажем, что равенство  является тождеством, то есть что оно выполняется для любых значений  и  где  и 

Пусть  По определению частного имеем:  Умножив обе части полученного равенства на  получим верное равенство  или  Поскольку  и  то  В таком случае из равенства  , опять-таки по определению частного, получим Следовательно, 

Пример №91

Выделить общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократить дробь:

Пример №92

Сократить дробь 

Пример №93

Привести дробь  к знаменателю 

Поскольку  то умножив числитель и знаменатель данной дроби на  получим: 

Пример №94

Привести к общему знаменателю дроби   и 

 Общим знаменателем дробей является произведение  Дополнительным множителем для первой дроби является 1, для второй —  То есть первую дробь оставляем без изменений, а для второй дроби имеем: 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают так же, как и обычные дроби с одинаковыми знаменателями, то есть складывают их числители, а знаменатель оставляют тем же:

Равенство (1) является тождеством, то сеть оно является верным для любых значений  и  где 

Из тождества  (1) следует такое правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. 

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняют на основе тождества

Из тождества (2) следует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.

Записывание дроби в виде суммы или разности дробей

В каждом из тождеств (1) и (2) поменяем местами левую и правую части:

Полученные тождества можно использовать, если нужно записать дробь в виде суммы или разности дробей.

Пример №95

Сложить дроби

Пример №96

Отнять дроби:

б) Изменив знак знаменателя второй дроби, получим:

Пример №97

Записать дробь в виде суммы или разности целого числа и дроби:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю и сложить или вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Таким же способом складывают и вычитают любые дроби с разными знаменателями. 

Пусть нужно сложить дроби  и  которые имеют разные знаменатели. Приведем эти дроби к общему знаменателю  Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на  а второй дроби — на  Получим:

Зная, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями, получим:

Следовательно,

Вычитают дроби с разными знаменателями аналогично, а именно:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:

1. привести дроби к общему знаменателю;
2. сложить или вычесть полученные дроби с одинаковым знаменателем.

Пример №98

Выполнить сложение (вычитание) дробей:

а) Общим знаменателем является произведение их знаменателей. Поэтому дополнительный множитель для первой дроби —  а для второй — 

б) Общим знаменателем дробей является  Дополнительным множителем для первой дроби является   для второй — 

в) Разложив на множители знаменатели дробей, получим:

Пример №99

Представить в виде дроби выражение 

Выражение  запишем в виде дроби  Тогда:

Пример №100

Доказать тождество 

Преобразуем левую часть равенства:

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством. 

Примечание. Напоминаем, что для доказательства тождеств одну часть тождества приводят  к другой части, или обе части приводят к одному и тому же выражению, или создают разность левой и правой частей и доказывают, что она равно нулю.

Умножение дробей

Когда умножают обычные дроби, то отдельно умножают их числители и знаменатели и первое произведение записывают числителем дроби, а второй — знаменателем. Например, 

Точно так же умножают любые дроби:  и 

Равенство (1) является тождеством, то есть оно является верным для любых значений  и  где  и 

Из тождества (1) следует правило умножения дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить отдельно их  числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Это правило распространяется на случай умножения трех и более дробей.

Возведение дроби в степень

Используя правило умножения дробей, возведем дробь до n-ной степени:

 

Следовательно, 

Из тождества (2) следует правило возведения дробей в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать числителем, а второй — знаменателем дроби.

Пример №101

Выполнить умножение:

Пример №102

Умножить дробь  на многочлен 

Записав многочлен  в виде дроби  получим:

Сокращенная запись: 

Пример №103

Возвести в квадрат дробь — 

Сокращенная запись: 

Деление дробей

Когда делят обычные дроби, то первую дробь умножают на дробь,  обратную ко второй. Например, 

Таким же способом делят любые дроби: и 

Последнее равенство является тождеством, то есть оно является верным для всех значений  и  где  и  Из этого тождества следует правило деления дробей:

Чтоб разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй.

Например, 

Пример №104

Выполнить деление:

Тождественные преобразования рациональных выражений

В курсе алгебры нам уже попадалось немало заданий, для решения которых необходимо было преобразовать то или иное выражение. В частности, преобразование целых рациональных выражений мы использовали для решения уравнений, доказательства тождеств, нахождения значений выражений. Рассмотрим некоторые задачи, связанные с тождественными преобразованиями дробных рациональных выражений.

Пример №105

Упростить выражение 

Сначала представим выражения в каждой скобке в виде дробей, а потом найдем их частное:

Проведенные преобразования можно записать в строку:

Рациональное выражение в данном примере мы привели к рациональной дроби  Вообще, любое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. 

Пример №106

Доказать, что для всех допустимых значений переменных выражение  приобретает одно и то же значение.

Упростим данное выражение:

Следовательно, для всех допустимых значений переменных, значение выражения равно одному и тому же числу (числу 2).

Пример №107

Доказать тождество 

Упростим левую часть равенства:

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение — это такой вид уравнения, в которой левая и правая части являются рациональными выражениями. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому.

Целые и дробные рациональные уравнения

Рассмотрим уравнения:

Левая и правая части каждого из этих уравнений являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями.

Определение. Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Рациональные уравнения делят на целые и дробные. Если обе части рационального уравнения являются целыми выражениями, то такое уравнение называют целым рациональным уравнением. Рациональное уравнение, у которого хотя бы одна часть является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением.

•  — целое рациональное уравнение;
•  — целое рациональное уравнение;
• — дробное рациональное уравнение;
•  —  дробное рациональное уравнение.

Решение дробных рациональных уравнений на основании условия равенства дроби нулю

Вспомним: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда  ее числитель равен нулю,  а знаменатель отличный от нуля. 

 тогда и только тогда, когда  и 

Данное утверждение можно использовать для решения дробных рациональных уравнений. Рассмотрим примеры.

Пример №108

Решить уравнение 

Используем условие, при котором дробь равна нулю. Приравняем числитель дроби к нулю:

 или 

Проверим, отличен ли от нуля знаменатель  для найденных чисел .

Если  то  Поэтому  — корень уравнения.

Ответ 0.

Пример №109

Решить уравнение 

Приведем данное уравнение к уравнению, левая часть которого является дробью, а правая — нулем:

Приравняем числитель дроби  к нулю:

Если  то знаменатель  дроби отличный от нуля. Действительно:

Следовательно,  — корень данного уравнения.

Ответ. –18.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение на основании условия равенства дроби нулю, необходимо:

1. привести его к виду  где  и  — целые рациональные выражения;
2. приравнять к нулю числитель дроби и решить полученное целое рациональное уравнение 
3. исключить из его корней те, для которых знаменатель дроби равен нулю.

Равносильность уравнений

Решая предыдущий пример, мы имели цепочку уравнений:

Первое из этих уравнений имеет один корень — число 0, второе и третье уравнения имеют два одинаковых корня — числа 0 и 2.

Определение. Два уравнения, которые имеют одинаковые корни, называют равносильными. Два уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными.

Следовательно,

• уравнения  и  равносильные;
• уравнения  и  не равносильные.

Уравнения  и  равносильные, так как каждое из них не имеет корней.

Поскольку решение уравнения  приводится к решению уравнения  и проверке условия  то говорят, что уравнение  равносильно системе  Решением этой системы, как мы уже выяснили, является число 

Уравнение  равносильно системе 

Мы уже рассматривали преобразование уравнений, выполняя которые, получают уравнения с одними и теми же корнями. Следовательно, эти преобразования переводят уравнение в равносильное ему уравнение. С ними связаны такие основные свойства уравнений.

Свойство 1. Если в какой-либо части уравнения выполнить тождественное преобразование, которое не изменяет допустимые значения переменной, то получим уравнение, равносильное данному.

Свойство 2. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Свойство 3. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Умножение обоих частей уравнения на выражение  с переменной

Рассмотрим пример.

Пример №110

Решить уравнение 

Поскольку,  то общим знаменателем всех дробей, которые входят в уравнение, является  Умножив обе части уравнения на общий знаменатель, при условии, что  получим:

 или 

Если  то  Поэтому  — корень уравнения.

Если  то  Поэтому  не является корнем уравнения.

Ответ. 0.

Обратим внимание, что уравнение  имеет один корень  а полученное в решении уравнение   — два корня  и  Следовательно, умножив обе части дробного уравнения на общий знаменатель, мы потеряли его корень, но получили посторонний относительно этого уравнения корень 

Верным является утверждение:

Если обе части какого-либо уравнения умножить на целое выражение с переменной, то можно получить уравнение, не равносильное данному. Полученное уравнение имеет такие свойства: 1) его корнями являются все корни данного уравнения; 2) оно может иметь посторонние корни относительно данного уравнения.

Посторонними корнями могут быть значения переменной, для которых целое выражение, на которое мы умножаем обе части уравнения, становится равным 0. Эти посторонние корни можно отбросить, сделав проверку. 

Чтобы решить дробное рационально уравнение, можно:

1. умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и заменить его целым рациональным уравнением;
2. решить полученное целое рациональное уравнение;
3. исключить из его корней те, для которых общий знаменатель дробей равен нулю.

Пример №111

Решить уравнение 

Ответ. –1. 

Пример №112

Решить уравнение 

Будем рассматривать равенство  как пропорцию. Согласно основному свойству пропорции, получим:

 при условии, что  и 

Решим полученное уравнение:

Если  то  то есть для  условие  не выполняется. Поэтому  — не корень уравнения.

Ответ. Корней нет.

Пример №113

Из города А в город В , расстояние между которыми равно 21 км, выехал велосипедист, а через 20 минут вслед за ним — мотоциклист, скорость которого втрое больше, чем скорость велосипедиста. Найти скорость велосипедиста, если известно, что мотоциклист приехал в город В на 40 минут раньше, чем велосипедист.

Пусть скорость велосипедиста равна  км/ч, тогда скорость мотоциклиста —  км/ч. Расстояние 21 км велосипедист преодолел за  часов, а мотоциклист  — за  (часов). Поскольку велосипедист был в дороге на 20 мин. + 40 мин. = 60 мин. = 1 час дольше, чем мотоциклист, то получим уравнение

 Решим это уравнение:

Ответ. 14 км/ч.

Степень с целым показателем

Когда говорят о степени с целым показателем, это означает, что число "n" должно быть величиной не дробной. Если данный показатель имеет отрицательное значение, то для начала необходимо избавиться от минуса перед показателем степени, а затем производить действия над степенью.

Степень с натуральным показателем

Степени с натуральным показателем мы уже изучали ранее. Напоминаем, что степенью числа  с натуральным показателем  где   называют произведение  множителей, каждый из которых равен  Например, 

В выражении  число 4 называют основанием степени, число 3 — показателем степени, а все выражение — степенью. Степенью числа с показателем 1 называют само число 

Степени с натуральными показателями часто используют для записи  больших чисел и больших значений величин в компактном виде. Например,

Если значение величины маленькое, то ее задают с помощью степеней, показатели которых не являются натуральными числами. Например, из справочной литературы можно узнать, что масса молекулы воды равна  Чтобы понять подобные задания величин, расширим действие возведения в степень. Рассмотрим, что означает возведение в степень с нулевым и целым отрицательным показателем. 

Степень с нулевым и целым отрицательным показателем

Рассмотрим степень  с натуральным показателем. Если  то эту степень можно представить как часть  Следовательно, 

 где  — натуральное число  

Если равенство (1) распространить на случай  то получим:

Именно число 1 считают нулевой степенью любого числа  где 

Определение. Степень числа  с нулевым показателем, где  равна 1.

Например,  Степень числа 0 с нулевым показателем не определена, то есть запись  не имеет смысла.

Распространим равенство (1) для случаев  и 

Для следующих целых отрицательных значений  должны быть:  и т. д. Следовательно, целесообразно принять по определению, что  где  — натуральное число.

Определение. Если  и  — натуральное число, то степенью числа  с целым отрицательным показателем  называют число  то есть 

 (  — натуральное число)

Например, 

Степень числа 0 с целым отрицательным показателем не определена. Поэтому, запись  не имеет смысла.

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести в отрицательную степень дробь, можно использовать равенство

 где  — натуральное число.

Это равенство следует из таких преобразований:

Например: 

Пример №114

Вычислить:

Пример №115

Используя отрицательный показатель, представить дробь  в виде произведения.

Пример №116

Упростить выражение 

Пример №117

Представить в виде рациональной дроби выражение 

Свойство степени с целым показателем

Степени с целым показателем имеют все свойства, установленные для степеней с натуральным показателем, а именно:

для любого числа  и любых целых чисел  и  справедливы равенства:

для любых чисел  и  и любого целого числа  справедливы равенства:

Для доказательства этих свойств используют определение степени с целым показателем и свойства степени с натуральным показателем. 

Покажем, например, что равенство  является верным, если показатели степеней являются целыми отрицательными числами. В этом случае показатели степеней можно записать в виде  где  и  — натуральные числа. Осталось доказать, что 

Действительно, поскольку  то:

Точно так же можно доказать, что равенство  является верным, когда один из показателей степени или  является отрицательным, а другой — положительным, когда один или оба показателя равны нулю.

Пример №118

Вычислить:

Пример №119

Представить выражение в виде степени с основанием 

Пример №120

Представить степень в виде выражения, которое не содержит степени с отрицательным показателем:

Пример №121

Упростить выражение 

Стандартный вид числа

В науке и технике приходится иметь дело с величинами, значения которых очень большие или очень маленькие. Например:

• площадь Мирового океана равна 
• диаметр молекула воды равен 
• масса молекулы воды равна 

Указанные значения трудно прочитать, а выполнение с ними определенных действий приводит к громоздким записям. Чтобы эффективнее оперировать с большими и маленькими положительными числами, их удобно записывать с помощью степеней числа 10. Например:

О числах  говорят, что они записаны в стандартном виде. 

Определение. Стандартным видом положительного числа  называют его написание в виде  где  и  — целое число.

Число  называют порядком числа  Например, порядок числа  равен 14, а порядок числа  равен –23. Порядок числа дает представление про то, насколько большим или маленьким является это число.

Обратим внимание на особенность числа  поскольку  то в целой части десятичной записи числа  должна быть только одна цифра, к тому же отличающаяся от нуля.

В стандартном виде можно записать любое положительное число.

Например, запишем число  в стандартном виде  

Чтобы получить число  перенесем в числе запятую на 2 цифры влево:  Число а в  раз меньше, чем число  поэтому  

Другой пример:  (В числе  перенесли запятую вправо на 4 цифры, получили число  которое в  больше, чем число  Поэтому 

Пример №122

Записать в стандартном виде число:

Пример №123

Выполнить действия и записать результат в стандартном виде:

в) Слагаемое, содержащее большую степень числа 10 (первое слагаемое), оставим без изменений, а в другом выделим множитель 

Тогда:

Функция 

Ранее мы рассматривали прямую пропорциональность — функцию  где  Эта функция является отдельным, но важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов. Например, если тело двигается со скоростью 10 м/с, то путь  пройденный им за время  можно вычислить по формуле  Обратим внимание, что зависимость пути  от времени  является прямой пропорциональностью, так как если увеличим (уменьшим) время  в несколько раз, то во столько же раз увеличится (уменьшится) путь 

Существуют зависимости между величинами, имеющими другой, но несколько схожий характер. Рассмотрим примеры.

Пример №124

Пусть тело двигается равномерно и прямолинейно. Если путь 24 м тело проходит за время  то скорость его движения равна  Возьмем значения и  и соответствующие им значения и  — вдвое большему времени отвечает вдвое меньшая скорость. В целом, если увеличим (уменьшим) время  в несколько раз, то во столько же раз уменьшится (увеличится) скорость 

Пример №125

Пусть площадь прямоугольника равна  а длина одной из его сторон —  тогда длина другой стороны прямоугольника равна  Если увеличивать (уменьшать) значение  в несколько раз, то во столько же раз уменьшится (увеличится) значение 

В обоих примерах имеем зависимости между величинами с такой особенностью: если увеличивать (уменьшать) одну величину в несколько раз, то во столько же раз уменьшается (увеличивается) вторая величина. Каждую из таких зависимостей называют обратной пропорциональностью.

В первом примере скорость  является функцией от времени  а во втором примере длина у второй стороны прямоугольника является функцией от длины  первой стороны. Обе функции можно задать формулой 

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида   где  — независимая переменная,  — некоторое число, называют обратной пропорциональностью.

Построим график функции  Составим таблицу для нескольких значений  и соответствующих значений  

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (рис. 1).

Если для каждого значения  кроме  вычислили соответствующее значение  и обозначили точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которую называют гиперболой (рис 2.). Она состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. 

В целом, график любой обратной пропорциональности называют гиперболой.

На рисунке 3 изображена гипербола, которая является графиком функции  Она состоит из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Свойства функции  (обратной пропорциональности).

1. Область определения функции создают все числа, кроме 
2. Область значений функции создают также все числа, кроме 
3. Графиком функции является гипербола, которая состоит из двух ветвей.
4. График функции расположен в  и  координатных четвертях, если  во  и  координатных четвертях, если 
5. График функции симметричный относительно начала координат.

Доказательство свойства 5 представлено в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше".

Докажем, что график обратной пропорциональности симметричен относительно начала координат (свойство 5).

Пусть  — произвольная точка, которая принадлежит графику функции  Тогда справедливо равенство  Умножив обе части этого равенства на –1, получим верное равенство  из которого следует, что графику принадлежит и точка  — точка, симметричная точке  относительно начала координат.

Пример №126

Решить графически уравнение

Уравнение равносильно уравнению  Строим в одной системе координат графики функций  и  (рис. 4). Эти графики пересекаются в точках с абсциссами  и 

С помощью проверки устанавливаем, что  и  являются корнями уравнения.

Ответ. 

Квадратные корни и действительные числа 

В предыдущих классах мы рассматривали натуральные, целые и рациональные числа. Оказывается, что для практических и теоретических задач таких чисел мало. Среди них, например, нет числа, которое выражало бы длину диагонали квадрата со стороной 1.

В данной лекции мы расширим понятие числа: будем рассматривать иррациональные и действительные числа. Выясним также, что такое квадратный корень, какие свойства имеет квадратный корень.

Функция y = x²

Вы знаете, что площадь квадрата вычисляют по формуле  где  — длина стороны квадрата. Поскольку каждому значению  соответствует единственное значение площади  то  является функцией от . Переходя к принятым обозначениям аргумента и функций, получим функцию 

Далее будем рассматривать функцию  в которой переменной  можно придавать любые значения. 

Построим график функции  Для этого сначала составим таблицу для нескольких значений  и соответствующих значений 

Обозначим на координатной плоскости точки (рис. 5), координаты которых представлены в таблице. Если для каждого значения  вычислили соответствующее значение  и обозначили бы точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которая является графиком функции  (рис. 6). Эту линию называют параболой.

Функция  имеет такие свойства:

• Область определения функции образуют все числа.
• Графиком функции является парабола.
• Если  то  если  то 

Из свойства 3 следует, что график функции проходит через точку (0; 0). Эту точку называют вершиной параболы. Вторая часть свойства означает, что все точки параболы, кроме ее вершины, расположены выше оси 

• Область значений функции образуют все неотрицательные числа.

• График функции симметричный относительно оси 

Действительно, противоположным значениям  аргумента соответствует одно и то же значение функции. Например, противоположным значениям аргумента  и  соответствует одно и то же  значение функции  Следовательно, если графику принадлежит точка  то ему принадлежит и точка  Это и означает, что парабола симметрична относительно оси 

Пример №127

Сколько корней имеет уравнение 

Строим в одной системе координат графики функций  и  Эти графики пересекаются в одной точке с абсциссой  Следовательно, данное уравнение имеет один корень.

Ответ. Один корень.

Квадратный корень

Рассмотрим задачу: найти сторону квадрата, площадь которого равна 

Пусть сторона квадрата равна  Тогда его площадь составит  что по условию задачи равно  Следовательно, 

Решим полученное уравнение графически. Парабола  пересекает прямую в двух точках с абсциссами 3 и —3 (см. рис. 7). Поэтому корнями уравнения  являются два числа  и 

Длина стороны квадрата не может выражаться отрицательным числом. Следовательно, искомая сторона равна 3 см.

Решая задачу, мы нашли числа 3 и –3, квадраты которых равны 9. Каждое их этих чисел называют квадратным корнем из числа 9

Определение. Квадратным корнем из числа  называют такое число, квадрат которого равен .

Квадратными корнями из числа 9, как мы уже показали, являются два числа: 3 и –3.

Квадратными корнями из числа 6,25 являются числа 2,5 и –2,5, так как  и 

Квадратными корнями из числа 0 является только число 0, так как только квадрат нуля равен нулю.

Квадратных корней из числа –9 не существует, так как нет чисел, квадраты которых равнялись бы отрицательному числу.

Арифметический квадратный корень

Мы установили, что числа 3 и –3 являются квадратными корнями из числа 9. Неотрицательный из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим квадратным корнем из числа 9.

Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа  называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Арифметический квадратный корень из числа  обозначают  ( — знак арифметического квадратного корня). Выражение  читают:  квадратный корень из  (правильно было бы: арифметический квадратный корень из  но во время чтения слово "арифметический" опускают).

Следовательно,  (читают: квадратный корень из девяти равен трем).

По определению арифметического квадратного корня:

 так как число 11 неотрицательное 

В общем случае равенство 

является верным, если выполняются два условия:

Корней из числа –1 не существует, поэтому не существует и арифметического квадратного корня из этого числа. Говорят, что выражение  не имеет смысла.

В целом, выражение  имеет смысл, если 

Тождество :

Это тождество следует из определения арифметического квадратного корня. Действительно, поскольку  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен  то:

Например, 

Извлечение квадратного корня

Нахождение значение арифметического квадратного корня иногда называют извлечением квадратного корня. Извлекать квадратные корни из натуральных чисел, которые являются точными квадратами, можно по таблице квадратов. Пусть необходимо найти  По таблице квадратов находим, что число 5476 является квадратом числа 74, поэтому  Понятно, что по таблице квадратов нельзя найти значение квадратного корня из натурального числа, которое не является точным квадратом или квадрат которого не помещен в таблицу. 

Для извлечения квадратного корня из числа можно использовать калькулятор. Для этого необходимо ввести число в калькулятор, а потом нажать клавишу На экране появится значение корня.

Найдем  Введем в калькулятор число 111,9 и нажмем клавишу  На экране появится число  — приближенное значение  Полученный результат округляют до нужного числа знаков. Например, округлив результат до тысячных, получим: 

Найдем Введем в калькулятор число и нажмем клавишу  На экране появится число 3456 — точное значение 

Пример №128

Доказать, что 

Число 0,2 — неотрицательное и его квадрат равен  Поэтому 

Пример №129

Найти значение выражения 

Уравнение  x² = a

Решим графически уравнение  Для этого в одной системе координат построим графики функций  и прямые  На рисунке 8 изображена парабола  и прямые  для трех случаев:  и 

Если  то прямая  пересекает параболу в двух точках с абсциссами  и  Поэтому в данном случае корнями уравнения  являются числа  и 

Если  то получим прямую  которая имеет с параболой одну общую точку  Следовательно, уравнение  имеет единственный корень 

Если  то прямая  не пересекает параболу. В данном случае уравнение  не имеет корней. 

Следовательно, уравнение 

1) имеет два корня  и  если 

2) имеет единый корень  если 

3) не имеет корней, если 

Например, 

• уравнение  имеет два корня  и 
• уравнение  имеет два корня  и 
• уравнение  не имеет корней.

Пример №130

Решить уравнения:

 или 

Ответ. 

 — уравнение корней не имеет, так как 

Ответ. Корней нет.

Ответ. 

Числовые множества

Натуральные и целые числа: Из курса математики нам известно, что натуральные числа 

используют в большинстве для счета.

Целые числа

— это натуральные числа, противоположные им числа и число 0.

Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой  а все целые числа — множество целых чисел, которое обозначают буквой 

Термин "множество" используют, когда речь идет о наборе, совокупности любых объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество учеников школы, множество деревьев в парке, множество букв алфавита, множество планет Солнечной системы и тому подобное. Понятие "множество" относится к основным понятиям математики, таких как "число", "точка", "прямая", поэтому его не определяют.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества. Так, число 5 — элемент множества натуральных чисел. Для обозначения множеств используют большие буквы латинского алфавита  а для обозначения элементов множества — малые буквы 

Если элемент  является элементом множества  то записывают:  (читают:  принадлежит ). Запись  означает, что элемент  не принадлежит множеству  Например:

пусть  — множество простых чисел; тогда 

пусть  — множество букв русского алфавита, которые обозначают гласные звуки; тогда 

Тот факт, что число 3 является целым, а число 0,5 — нет, можно записать так: 

Записывая множество, которое состоит из конечного количества элементов, эти элементы берут в фигурные скобки. Например,  — множество, которое состоит из трех элементов — чисел 1, 3, и 5. Тогда 

Каждое натуральное число является целым. Поэтому множество натуральных чисел является частью (подмножеством) множества целых чисел. 

В целом, если любой элемент множества  является элементом множества то множество  называют подмножеством множества  и записывают  (читают:  является подмножеством ).

Например, если  то  так как оба элемента — 1 и 1 множества  являются элементами множества  На рисунке 9 показано схематично, что 

Рациональные числа

Рациональные числа, как мы знаем, — это целые и дробные числа. Примерами рациональных чисел являются   и так далее.

Множество всех рациональных чисел обозначают буквой  Каждое натуральное и каждое целое число  являются рациональным числом, поэтому 

Любое рациональное число можно представить в виде дроби  где  — целое число, а  — натуральное. Например, 

Поэтому говорят, что рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби  где  — целое число, а  — натуральное.

Рациональные числа, как мы знаем, можно представить также в виде десятичных дробей. Например,

Рациональное число  представлено в виде конечной десятичной дроби 0,375, а рациональное число  — виде бесконечной десятичной периодической дроби  с периодом 27.

Конечную десятичную дробь 0,375 можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей:

В целом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и наоборот: любая бесконечная десятичная периодическая дробь является записью некоторого рационального числа. Например,

Чтобы убедиться, что данные равенства являются верными, достаточно рациональные числа  и  представить в виде бесконечных десятичных дробей.

Иррациональные числа

Рассмотрим пример.

Пусть имеем квадрат  сторона которого равна единичному отрезку (рис. 10).

Обозначим длину диагонали  через  На этой диагонали построим квадрат как показано на рисунке. Площадь квадрата  равна 1, площадь треугольника  равна  — половине площади квадрата , а площадь квадрата  —  С другой стороны, площадь квадрата  равна квадрату стороны  то есть 

Поэтому  Получили, что длина  диагонали  должна быть положительным числом, квадрат которого равен 2. Однако среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2 (доказательство — в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше").

Следовательно, число  которое определяет длину диагонали квадрата со стороной 1, не является рациональным числом. 

Поскольку число  является положительным, и его квадрат равен 2, то  Таким образом,  — не рациональное число, то есть его нельзя представить в виде дроби  где   — целое число, а  — натуральное.

Число, которое нельзя представить виде дроби  где  — целое число, а  — натуральное, называют иррациональным числом.

Префикс "ир" означает отрицание: иррациональное — не рациональное.

Следовательно, — иррациональное число. Если искать значение  с помощью калькулятора, то получим приближенное значение

Точное же значение

представляется в виде бесконечной десятичной непериодической дроби (эта дробь не может быть периодической, так как  — не рациональное число).

В целом, любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примерами иррациональных чисел являются: 

В целом, если натуральное число  не является точным квадратом, то числа  и  являются иррациональными.

Иррациональными являются также числа:

 которое выражает отношение длины окружности к ее диаметру;

 (количество нулей между пятерками последовательно увеличивается на 1).

Действительные числа

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которое обозначают буквой 

Каждое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь периодическая, то действительное число  является рациональным; если же эта дробь непериодическая, то действительное число  является иррациональным. Понятно, что множества натуральных, целых и иррациональных чисел являются подмножествами множества действительных чисел (см. рис. 11).

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (на отличные от нуля числа), возводить в степень, к тому же для этих действий выполняются свойства, установленные для действий над рациональными числами. В частности, для действий сложения и умножения справедливы свойства перемещения, сочетания и распределения:

• свойство перемещения:  
• свойство сочетания:  
• свойство распределения:  

где  и  — любые действительные числа.

Например: 

Любые два действительных числа можно сравнить. Если числа записаны в виде бесконечных десятичных дробей, то их сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например, 

так как данные числа имеют одинаковые целые части, одинаковое число десятых, но второе число содержит большее число сотых.

Этапы развития понятия числа

В истории развития понятия числа точкой отсчета являются натуральные числа, которые возникли очень давно и служили для подсчета количества предметов. Каждое следующее расширение и обобщение понятия числа проходило под влиянием практических потребностей, а также под влиянием потребностей самой математики.

Так, необходимость точнее измерять размеры земельных участков, определять время, вести торговые расчеты и так далее привели к введению понятия "дробное положительное число".

Идея введения отрицательного числа больше связана с потребностями самой математики — отрицательные числа были нужны для решения уравнений.

Введение иррациональных и действительных чисел решило проблему измерения длины отрезка, так как по выбранной единице измерения действительным числом выражается длина любого отрезка.

Докажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что рациональное число  квадрат которого равен 2, существует. Представим число  в виде несократимой дроби  где  — целое число, а  — натуральное. Тогда:

Из равенства  следует, что  — четное число. Тогда и число  должно быть четным  (если бы число было нечетным, то и число  было бы нечетным). Пусть  где  — целое число. Подставив в равенство  вместо число  получим:

 Из равенства  следует, что число  а с ним и число  — четное.  Поскольку числа  и  четные, то дробь  можно сократить на 2. Однако, это противоречит тому, что дробь  несократимая.

Следовательно, предположение, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2, не верное. Поэтому верным является утверждение, которое и требовалось доказать.

Пример №131

Сравнить числа:

  и  и  и 

а) С помощью калькулятора находим  Поскольку  то 

б) Вспомним: из двух отрицательных чисел большим является то число, модуль которого меньше. Поскольку, 

а поэтому 

в) Поскольку 

Пример №132

Найти приближенное значение выражения  если  округлив предварительно значения  и 

а) до сотых;   б) до тысячных.

Пример №133

Записать все двухэлементные подмножества 

Пример №134

В классе у 12 девочек черные брови, у 10 девочек — карие глаза, у 7 девочек — черные брови и карие глаза. У скольких девочек черные брови или карие глаза?

Пусть С — множество тех девочек, у которых черные брови, а К — множество тех девочек, у которых карие глаза. Схематично изобразим эти множества на рисунке.

При условии, что черные брови и карие глаза у 7 девочек, множества С и К содержат 7 общих элементов. Поскольку у 12 девочек черные брови, у 7 девочек — черные брови и карие глаза, то только черные брови у  (девочек). Только карие глаза у (девочек). Следовательно, черные брови или карие глаза у  (девочек).

Ответ. 15 девочек.

Свойства арифметического квадратного корня

Напомним сначала, как мы доказываем равенство  Поскольку, 1) правая часть равенства является неотрицательным числом  и 2) квадрат правой части равен выражению под корнем в левой части ( то равенство  является верным. Такие размышления будем использовать для доказательства свойств арифметического квадратного корня, сформулированных в виде теорем.

Квадратный корень из произведения

Теорема 1.  Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей:

если   то 

Доказательство. 1) Выражения  и  для  и  имеют смысл. Поскольку  и 

Следовательно, выражение  приобретает неотрицательные значения, и квадрат этого выражения равен  Поэтому равенство  является верным.

Например, 

Используя теорему 1, можно находить квадратный корень из произведения, которое содержит три и более неотрицательных множителя. Например, если 

В целом, квадратный корень из произведения нескольких неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей.

Квадратный корень из дроби

Теорема 2. Квадратный корень из дроби, числитель которой является неотрицательным, а знаменатель — положительным, равен квадратному корню из числителя, поделенного на квадратный корень из знаменателя:

если  

Доказательство. 1) Выражение  и  имеет смысл. Поскольку  и  Следовательно, равенство  является верным.

Например, 

Квадратный корень из степени

Теорема 3. Квадратный корень из степени  где  и   — натуральное число, равен 

Доказательство. 1) Поскольку  Следовательно, равенство  является верным.

Например, 

Тождество  :

Докажем, что для любого значения  выполняется равенство:

Действительно, выражение  принимает неотрицательные значения, и квадрат этого выражения равен  (если  и  если  Следовательно, равенство  является верным. 

Например, 

Пример №135

Найти значения выражений:

Пример №136

Найти значение выражения

Пример №137

Найти значения выражений:

Пример №138

Упростить выражение  где 

Поскольку  Поэтому 

Пример №139

Найти значение выражения  если 

Если 

Если 

Тождественные преобразования выражений, которые содержат квадратные корни

Рассмотрим преобразования, связанные со сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением в степень выражений, которые содержат квадратные корни:

Вынесение множителя из-под знака корня

Рассмотрим преобразование:

Выполненное преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае вынесен из-под знака корня множитель 3.

Вынесем множитель из-под знака корня в выражениях  где  и  где 

 (если 

 (если 

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим преобразование:

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. Заменив выражение  на выражение  мы внесли под знак корня множитель 3.

Внесем множитель под знак корня в выражении  где  Поскольку  Поэтому 

Внесем множитель под знак корня в выражении  где Поскольку  откуда  Поэтому 

Избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби

Рассмотрим преобразования, которые позволяют избавиться от корней в знаменателях или числителях дробей:

Выполненные преобразования называют избавлением от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Каждое такое преобразование сводится к умножению числителя и знаменателя дроби на определенное выражение.

Пример №140

Упростить выражения:

Пример №141

Разложить на множители:

 где 

б) Выражение   имеет смысл, если  Для таких значений  справедливо равенство  поэтому:

в) Учитывая, что  получим:

Пример №142

Упростить выражение:

б) Разложив числитель и знаменатель дроби на множители, получим:

Пример №143

Упростить выражение 

Избавившись от иррациональности в знаменателях дробей, получим:

Функция y = √x

Если известна площадь  квадрата, то для нахождения его стороны  можно воспользоваться формулой  Поскольку каждому значению площади  соответствует единственное значение стороны  то  является функцией от  Переходя к принятым обозначениям функции и аргумента, получим функцию 

Выражение  имеет смысл, если  Поэтому областью определения функции  является множество всех неотрицательных действительных чисел.

Построим график функции  составив таблицу для некоторых значений  и соответствующих значений 

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (см. рис. 12). Если для каждого неотрицательного значения  вычислили соответствующее значение  и обозначили бы точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которая является графиком функции 

График функции  где  называют правой ветвью параболы. График функции  можно получить, если эту ветвь симметрично отобразить относительно прямой   Поэтому и график функции  называют ветвью параболы.

Функция  имеет следующие свойства:

1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел.
2. Областью значений функции также является множество всех неотрицательных действительных чисел. Действительно, значения функции  не могут быть отрицательными. В то же время любое неотрицательное число является значением функции. Например, число 10 является значением функции  для значения аргумента 
3. Графиком функции является ветвь параболы.
4. Если  то есть график проходит через начало координат. График расположен в первой четверти координатной плоскости.

Уравнение √x = a

Рассмотрим уравнение  где  — некоторое число.

Если  то, по определению арифметического квадратного корня, равенство  будет верным только при условии, что  В данном случае уравнение имеет один корень 

Если  то уравнение корней не имеет, так как арифметический квадратный корень не может быть равен  отрицательному числу. 

Следовательно, уравнение 

1) имеет один корень  если 

2) не имеет корней, если 

Например, уравнение  имеет один корень  уравнение  не имеет корней.

Уравнение  является примером иррационального уравнения (так называют всякое уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня). Если  то его можно решить путем возведения обеих частей уравнения в квадрат: 

Пример №144

Решить уравнения:

Ответ. 16.

 — уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Ответ. 

Квадратные уравнения 

Существует много задач, решая которые, получают уравнения, содержащие квадрат переменной.

В данной лекции мы выясним, что такое квадратное уравнение, сколько корней может иметь квадратное уравнение и как их находить. Познакомимся также с уравнениями, которые приводятся к квадратным, и задачами, которые решают с помощью квадратных уравнений и уравнений, которые приводятся к квадратным.

Ранее мы рассматривали линейные уравнения с одной переменной, то есть уравнения вида  где  — переменная,  и  — некоторые числа (коэффициенты уравнения). Уравнение  содержит переменную  только в первой степени, и если  то же самое уравнение называют еще уравнением первой степени с одной переменной. 

Рассмотрим задачу, которая приводит к уравнению, содержащему переменную во второй степени (в квадрате).

Пример №145

Площадь участка прямоугольной формы равна  Длина участка на 10 м больше, чем ширина. Найти ширину участка.

Пусть ширина участка равна  Тогда длина участка равна  а площадь —  По условию задачи эта площадь равна  поэтому получим уравнение  откуда

Полученное уравнение называют квадратным.

Определение. Квадратным уравнением называют  уравнение вида

где  — переменная,  и  — некоторые числа, причем 

Числа  и  называют коэффициентами квадратного уравнения:

 — первый коэффициент;  — второй коэффициент;  — свободный член.

Например,  — квадратное уравнение, в котором первый коэффициент  второй коэффициент  свободный член 

Если в квадратном уравнении первый коэффициент равен 1, то такое уравнение называют приведенным квадратным уравнением. Так,   —приведенное квадратное уравнение.

Любое квадратное уравнение, которое не является приведенным, можно преобразовать в равносильное ему приведенное квадратное уравнение. Например, квадратное уравнение  не является приведенным. Разделив обе его части на первый коэффициент, получим приведенное квадратное уравнение 

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов  или  равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, уравнения

являются неполными квадратными уравнениями. В первом уравнении  во втором —  в третьем —  и 

Следовательно, существует три  вида неполных квадратных уравнений:

Решение неполных квадратных уравнений

Замечание. Уравнение  можно записать в виде  Первый множитель равен нулю, если  второй — тоже, если  Поэтому иногда говорят, что уравнение  имеет два равных корня  и 

Пример №146

Решить уравнение 

 Отсюда  или: 

Ответ. 

Пример №147

Решить уравнение 

Ответ. 

Формула корней квадратного уравнения

Выведем формулы, которые позволят искать корни любого квадратного уравнения, зная его коэффициенты. Для этого решим в общем виде квадратное уравнение

Умножим обе части уравнения на  (поскольку  Получим равносильное ему уравнение:

В левой части уравнения выделим квадрат двучлена:

Выражение  называют дискриминантом квадратного уравнения  и обозначают буквой  то есть 

Учитывая данное обозначение, уравнение (2) можно записать так:

Наличие корней уравнения и их количество зависит от знака числа  Рассмотрим три возможных случая: 

1) Если то из уравнения (3) получим:

  или 

 или 

 или 

Следовательно, если  то квадратное уравнение (1) имеет два разных корня

Эти две формулы для корней можно объединить в одну:

Полученную формулу называют формулой корней квадратного уравнения.

2) Если  то из уравнения (3) получим:

Полученный корень можно найти и по формуле корней квадратного уравнения. Действительно, если  то  Поэтому иногда говорят:  если  то уравнение имеет два равных корня, каждый из которых равен 

Следовательно, если  то квадратное уравнение (1) имеет один корень  (или два равных корня, каждый из которых равен ).

3) Если  то уравнение (3) не имеет корней, так как его левая часть приобретает неотрицательные значения, а правая часть является отрицательным числом. 

Следовательно, если  то квадратное уравнение (1) не имеет корней.

Итог: корни квадратного уравнения

Решать квадратное уравнение целесообразно так:

1) Вычислить дискриминант  и сравнить его с нулем.

2) Если дискриминант положительный или равен нулю то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения 

Если дискриминант отрицательный, то записать, что уравнение не имеет корней.

Формула корней приведенного квадратного уравнения

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение  Для этого уравнения  Если 

Следовательно, для приведенного квадратного уравнения  получим такую формулу корней:

Используя эту формулу, найдем корни уравнения 

Пример №148

Решить уравнение 

Ответ. 

Пример №149

Решить уравнение 

Поскольку  то данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

Пример №150

Решить уравнение 

Данное уравнение имеет один корень 

Ответ. 

Пример №151

Существуют ли значения  для которых уравнение  не имеет корней?

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку  для любого значения  то данное уравнение для любого значения  имеет корни.

Ответ. Не существуют.

Теорема Виета

Рассмотрим приведенные квадратные уравнения:

Найдем корни каждого из этих уравнений, а также сумму корней и их произведение. Результаты занесем в таблицу:

Из таблицы видно, что сумма корней каждого из уравнений равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это верно для любого приведенного квадратного уравнения  которое имеет корни.

Теорема (Виета). Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение  и пусть  и  — его корни. Тогда

 где 

(Поскольку уравнение имеет корни, то )

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно,  Теорема доказана.

Если  — корни приведенного квадратного уравнения  то:

Доказанную теорему называют "теоремой Виета" по фамилии французского математика Франсуа Виета (1540—1603), который первый заметил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

На основании теоремы Виета можно, не находя корней квадратного уравнения, искать их сумму и произведение. Использовать теорему Виета можно только для квадратных уравнений, которые имеют корни.

Рассмотрим, например, уравнение  Оно имеет корни, так как  Если  и  — корни уравнения, то, по теореме Виета:

Замечание 1. Пусть некоторое приведенное квадратное уравнение имеет корни. Из уравнения  следует: если  то эти корни оба положительные или оба отрицательные;  то корни имеют разные знаки.

Замечание 2. Если коэффициенты уравнения  являются целыми числами, то из равенства  следует, что целыми корнями такого уравнения могут быть только числа, на которые делится (без остатка) свободный член 

Например, целыми корнями уравнения  могут быть только числа 1, 5,  —1, или —5.

Сумма и произведение корней произвольного квадратного уравнения

Мы доказали теорему Виета для приведенного квадратного уравнения. Рассмотрим теперь произвольное квадратное уравнение  которое имеет корни  и  Данное уравнение равносильно уравнению 

Полученное квадратное уравнение уже является приведенным, а поэтому для него выполняется теорема Виета: 

Если  — корни квадратного уравнения

 то:

Теорема. Если сумма двух чисел равна  а их произведение равно  то эти числа являются корнями уравнения 

Доказательство. Пусть числа  и  такие, что  тогда   Подставим значения  и  в уравнение

получим равносильное ему уравнение

Решим полученное уравнение так:

откуда  или  Числа  и  являются корнями уравнения (2), а поэтому и корнями уравнения (1). Теорема доказана.

На основании теоремы, обратной теореме Виета, можно:

1. проверить, являются ли некоторые два числа корнями заданного квадратного уравнения;
2. решить квадратное уравнение путем подбора его корней;
3. составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются некоторые заданные два числа.

Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример №152

Являются ли числа —3 и 5 корнями уравнения 

Найдем сумму чисел —3 и 5 и их произведение:  Сумма чисел равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, числа —3 и 5 являются корнями данного уравнения.

Пример №153

Решить уравнение  путем подбора его корней.

Пусть  и  — корни уравнения. Тогда

Проверим, могут ли корнями уравнения быть целые числа. Равенство  является верным для таких пар целых чисел: —1 и 8; —2 и 4; —4 и 2; —8 и 1.Из этих пар только сумма чисел третьей пары равна —2. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, числа —4 и 2 являются корнями данного квадратного уравнения. Следовательно, 

Ответ. —4; 2.

Пример №154

Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа —11 и 4.

Искомое уравнение должно иметь вид  где

Следовательно, получим уравнение 

Ответ. 

Пример №155

Не решая уравнение  найти сумму и произведение его корней.

Найдем дискриминант уравнения: 

Поскольку  то данное уравнение имеет корни. Если  и  — корни уравнения, то по формулам  находим:

Ответ. 

Пример №156

Найти коэффициенты приведенного квадратного уравнения  если его корнями являются числа 3 и —6.

Пусть  и  — корни уравнения. По теореме Виета

Ответ. 

Пример №157

Найти значение выражения  где  и  — корни уравнения 

По теореме Виета  Тогда:

Ответ. —61.

Пример №158

Корни  и  уравнения  отвечают условию  Найти эти корни и коэффициент 

По теореме Виета  Учитывая условие  получим систему уравнений  откуда 

Следовательно,  — корни уравнения. Тогда 

Ответ. —4; —6 — корни уравнения; 

Квадратный трехчлен и его корни

Рассмотрим выражения   Каждое из них является многочленом второй степени и содержит три члена. Такие выражения называют квадратными трехчленами.

Определение. Квадратным трехчленом называют многочлен вида где — переменная,  и  — некоторые известные числа, причем 

Значение квадратного  трехчлена для   равно нулю. Говорят, что число 1 является корнем этого трехчлена. 

Определение. Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, для которого значение трехчлена равно нулю.

Чтобы найти все корни квадратного трехчлена  нужно решить уравнение  Получим:

Следовательно, данный квадратный трехчлен имеет два корня:  и 1.

Дискриминант  квадратного уравнения  называют и дискриминантом квадратного трехчлена  Понятно: если  то квадратный трехчлен имеет два корня, если  — один корень, если  то квадратный трехчлен корней не имеет.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Зная корни квадратного трехчлена, его можно разложить на множители на основании такой теоремы:

Теорема. Если  и  — корни квадратного трехчлена  то 

Доказательство. Корни  и  данного трехчлена являются корнями квадратного уравнения  Поэтому по теореме Виета

откуда

Учитывая эти равенства, получим:

Поскольку корнями квадратного трехчлена  являются числа  и 1, то 

Мы разложили квадратный трехчлен  на два множителя, каждый из которых является многочленом первой степени. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, которые являются многочленами первой степени.

Пример №159

Разложить на множители квадратный трехчлен:

а) Решим уравнение 

Следовательно, 

Ответ. 

б) Решим уравнение 

Уравнение имеет два равных корня, поэтому:

Ответ. 

Пример №160

Сократить дробь 

Разложим квадратный трехчлен   на множители:

Поэтому 

Следовательно, 

Ответ. 

Дробные рациональные уравнения

Решение некоторых дробных рациональных уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Рассмотрим пример.

Пример №161

Решить уравнение 

Перенесем дробь  в левую часть уравнения и запишем полученную разность в одной дроби:

Найдем значения  для которых числитель дроби равен нулю:

Если  или  то знаменатель  не равен нулю. Следовательно,  — корни уравнения.

Ответ. 2; 7.

Биквадратные уравнения

Определение. Уравнение вида  где  называют биквадратным уравнением.

С помощью замены  (тогда ) биквадратное уравнение можно привести к квадратному уравнению 

Пример №162

Решить уравнение 

Сделаем замену  Получим квадратное уравнение:

Для этого уравнения:

Возвращаясь к замене  получим:

 откуда 

 откуда 

Ответ. 

Путем замены  решение биквадратного уравнения сводится к решению квадратного уравнения. Используя подобные замены, аналогичным способом можно решать и некоторые другие уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример №163

Решить уравнение 

Пусть  Относительно переменной  получим квадратное уравнение  Его корнями являются числа 

Учитывая замену, получим:

Поскольку дискриминант отрицательный, то уравнение корней не имеет.

Ответ. —1; 4.

Пример №164

Решить уравнение 

Пусть  тогда  Получим уравнение  корнями которого являются числа 

Учитывая замену, получим:

 — уравнение корней не имеет;  

Ответ. 16.

Решение задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, которые приводятся к квадратным

Вы уже решали задачи с помощью линейных уравнений с одной переменной и систем линейных уравнений с двумя переменными. Рассмотрим задачи, решение которых приводит к квадратным уравнениям.

Пример №165

Длина классной доски на 1,3 м больше чем ширина. Найти размеры доски, если ее площадь равна  

Пусть ширина доски равна Тогда длина доски равна  а площадь —  По условию задачи площадь доски равна  Получим уравнение:  откуда  Корнями полученного уравнения являются числа  и  Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, ширина доски равна 1,2 м, а длина — 

Ответ. 

Пример №166

Моторная лодка за 2 часа прошла 15 км по течению реки и 14 км против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна  км/ч, тогда скорость лодки по течению реки равна  км/ч, а против течения —  км/ч.

Расстояние 15 км по течению реки лодка прошла за  часов, а расстояние 14 км против течения — за  часов. На весь путь лодка потратила  часов, что по условию задачи равно 2 часа. Получим уравнение:

Решим полученное уравнение:

Число —0,5 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.

Ответ. 15 км/ч.

Пример №167

Две автоматических линии, работая вместе, произвели заказанную партию упаковок за 4 дня. За сколько дней может выполнить заказ каждая линия, работая отдельно, если первая может это делать на 6 дней быстрее, чем вторая?

По условию задачи составим таблицу:

Получим уравнение: 

Решим полученное уравнение:

Число –4 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первая линия может выполнить заказ за 6 дней, а вторая — за 6 + 6 = 12 (дней).

Ответ. 6 дней; 12 дней.

Пример №168

Поезд был задержан в дороге на 20 мин. Для того чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 160 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найти начальную скорость поезда.

По условию задачи составим таблицу:

20 мин. =  часа.

Получим уравнение 

Решим уравнение, умножив обе его части на 

Если  или  то  поэтому данные числа являются корнями уравнения.

Число –96 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, начальная скорость поезда была равна 80 км/ч.

Ответ. 80 км/ч.

Неравенства

Есть немало задач, для решения которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, которые удовлетворяют некоторое неравенство.

В этой лекции мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы.

Числовые неравенства

Вы знаете, что записи

являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа.

Известно, что  Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:

 разность положительная.

Найдем разность левой и правой частей неравенства 

 разность отрицательная.

Из равенства 15 = 15 имеем:

 разность равна нулю.

То есть , существует зависимость между соотношениями  и значением левой и правой частей соответственного неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.

Определение:

• Число a больше числа b, если разность  положительное число;
• Число a меньше числа b, если разность   отрицательное число;
• Число a равно числу b, если разность  равна нулю.

Поскольку разность чисел a и b может быть только положительной, отрицательной или равной нулю, то для произвольных чисел a и b выполняется одно и только одно из трёх соотношений:  или 

Используя данное определение, сравним числа  и  Для этого найдем их разность:

Разность данных чисел  число положительное, поэтому 

То есть, для сравнения двух чисел a и b достаточно определить разность  и выяснить, является ли она положительным числом, отрицательным числом или равна нулю. Если  то ; если  то  если  то 

На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит справа от точки, которая изображает меньшее число (см. рис. 1).

                    

Рис.1

В неравенствах используют знаки:  меньше,  больше,  меньше или равно (не больше),   больше или равно (не меньше).

Неравенства, составленные с помощью знаков  или  называют строгими неравенствами, а неравенства, составленные с помощью знаков  или   называют нестрогими.

Из определения соотношений "больше", "меньше", "равно" вытекает,

что  если  если 

Числовые неравенства могут быть верными и неверными.

Например,  верные неравенства,   неверное неравенство.

Доказательство неравенств

Докажем, что для любого числа a является верным неравенство

(Еще говорят: докажем неравенство 

Для этого  запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее :

Поскольку разность  является отрицательной для любого числа a,  то неравенство   является верным также для любого числа a.

Пример №169

Доказать неравенство  если 

 Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

  

Разность мы представили в виде дроби, числитель которой не отрицательный, потому что является квадратом некоторого числа, а знаменатель  положительный, как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, не отрицательные:  Следовательно, неравенство   является верным для любых положительных чисел a и b.

Если в доказанном неравенстве взять  то получим верное неравенство: 

Следовательно, сума двух положительных  взаимно обратных чисел не меньше 2.

Пример №170

Доказать неравенство  если 

Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Следовательно, 

Для положительных чисел a и b число  называют их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство

 

является верным и для любых положительных чисел a и b. Следовательно, среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического. 

Пример №171

Доказать, что неравенство  является верным для любых действительных чисел a и b .

Поскольку   для любых действительных чисел a и b, то  

Примечание. Чтобы доказать неравенство при помощи определения соотношений "больше", "меньше" или "равно", разность левой и правой частей неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности. 

Выражение, полученное после преобразований, приобретает неотрицательное значение, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п.

Выражение приобретает отрицательное значение, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п. 

Свойства числовых неравенств

Свойство 1. Если  то 

Доказательство. если  то  положительное число. Противоположное ему число  является отрицательным. Поскольку  то 

Свойство 2. Если  и   то 

Доказательство. По условию  и поэтому  и    отрицательные числа. Сума двух отрицательных чисел является отрицательным числом, поэтому  Поскольку 

Геометрическая иллюстрация свойства показана на рисунке 3.

Аналогично можно доказать утверждение: если  и  то 

Свойство 3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть  и  любое число. Докажем, что 

Рассмотрим разность   Поскольку  то  То есть, поэтому 

Аналогично проводим доказательство для случая  и любого числа c.

Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть верное неравенство. Прибавим к обеим его частям число –с, получим верное  неравенство а + (–с) < b + c + (–с) или а – с < b. Следовательно, если перенести слагаемое с в левую часть неравенства, изменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство. 

Свойство 4. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть   Докажем, что если  положительное число, и  если  отрицательное число. Рассмотрим разность:

По условию  поэтому  Если  то в произведении  первый множитель положительный, а второй — отрицательный. Поэтому  В данном случае  откуда 

Если  то произведение  положительное, как произведение двух отрицательных множителей. Тогда и  откуда 

Аналогично проводим доказательство, если имеется неравенство  

Верной является и та часть свойства, которая касается деления двух частей неравенства на некоторое число, поскольку деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

Следствие. Если a и b — положительные числа и то 

Доказательство. Разделим обе части неравенства на положительное число   Имеем:

следовательно 

Это следствие можно использовать для сравнения чисел, обратных данным. Например, поскольку  

Примечание. Двойное неравенство  можно записать в виде двух неравенств:  и  Поскольку:  и   то для любого числа m верными являются неравенства: и  откуда  Следовательно, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Аналогично можно обосновать утверждение:

если  и 

если  и  то есть 

Пример №172

Известно, что  Оценить значение выражения.

 Прибавим ко всем частям неравенства  получим:  откуда 

 Умножим все части неравенства  получим:

 или  

 Умножим все части заданного неравенства на 2, получим:  Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число –5, получим:  откуда 

Пример №173

Доказать, что если 

Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем его:

 

Значение выражения  является неотрицательным. По условию  прибавим к обеим частям этого неравенства число 1, получим:  Поэтому 

То есть, если неравенство  является верным.

Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами.

Сложение числовых неравенств

Пусть имеются верные числовые неравенства с одинаковым знаком:  и  . Почленно сложим эти неравенства. Получим верное неравенство с тем же знаком, а именно:  или  В общем случае имеет место такое свойство:

Свойство 5. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, оставив их общий знак, то  получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть  и  Нужно доказать, что  Чтобы получить сумму  прибавим к обеим частям первого неравенства число c, а чтобы получить суму  прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получаем верные неравенства:  По свойству 2 из последних двух неравенств вытекает, что 

Аналогично можно доказать: если  и  то 

Умножение числовых неравенств

Пусть имеются верные неравенства: и . Почленно перемножим эти неравенства. Получим верное неравенство   или 

Почленно перемножим неравенства  и  Получим верное неравенство 

В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем такое свойство.

Свойство 6. Если почленно  перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, оставив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть  и  где  и  положительные числа. Нужно доказать, что  Умножим обе части неравенства  на положительное число c, а обе части неравенства  на положительное число b. Получим верные неравенства:  По свойству 2 из последних двух неравенств вытекает, что 

Аналогично можно доказать: если  и  где  и  положительные числа, то 

Следствие. Если  и   положительные числа, натуральное число, то  

Для доказательства следствия достаточно взять n неравенств  и почленно их перемножить.

Оценивание значений выражений

Рассмотрим пример.

Пример №174

Дано:  и Оценить: 

сумму                разность 

 произведение      частное 

 Оценим сумму 

Применим к неравенствам  и  свойство почленного сложения неравенств. Получим:  Применим это же свойство к неравенствам  и  Получим:  Результат запишем в виде двойного неравенства  

Коротко эти преобразования записывают так:

Общая схема оценки суммы выглядит так:

 Оценим разницу 

Зная, как оценивается сумма, представим разность в виде суммы  Сначала оценим значение выражения  Умножим все части неравенства   получим:  или  По свойству почленного сложения неравенств получим:

Общая схема оценки разности выглядит так:

 Оценим произведение 

Поскольку  и  и  положительные числа. Применим к неравенствам  и  свойство почленного умножение неравенств.

Получим:  Применим это же свойство к неравенствам  и  Получим:  Результат запишем в виде двойного неравенства 

Коротко эти преобразования записывают так: 

Общая схема оценки произведения выглядит так:

 Оценим частное 

Представим частное  в виде произведения  Поскольку   или   По свойству почленного умножения неравенств получаем: 

следовательно 

Общая схема оценки частного выглядит так:

Пример №175

Доказать неравенство где 

Используем известное неравенство   где  Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства: 

Умножим обе части каждого неравенства на 2:

Почленно перемножив эти неравенства, получим:

Примечание. Для доказательства неравенства примера мы использовали известное неравенство, которое доказали раньше. Суть примененного способа доказательства неравенств заключается в том, что:

1. записываем несколько неравенств, которые доказали раньше;
2. перемножив (или сложив) эти неравенства, приходим к неравенству, которое требовалось доказать.

Понятие неравенства с одной переменной и его решение

Рассмотрим неравенство  Для одних значений x данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, для других — в неверное. Например, если  получим верное числовое неравенство  а если  получим неверное числовое неравенство 

Если нужно найти все значения x, для которых неравенство  является верным, то говорят, что нужно решить неравенство  которое имеет одну переменную x.

Если неравенство  является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства, или удовлетворяет данное неравенство.

Определение:

Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое превращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенство с одной переменной обычно имеет несколько решений. Так, решениями неравенства  являются числа  и так далее. Множество решений неравенств иногда можно записывать в виде числовых промежутков.

Числовые промежутки

Рассмотрим несколько примеров.

1) Неравенство  удовлетворяют все действительные числа, которые больше –2 и меньше 3, следовательно все действительные числа, которые лежат на числовой прямой между числами –2 и 3. Множество всех чисел, которые удовлетворяют двойному неравенству  называют числовым промежутком, или просто промежутком, и обозначают (–2; 3) (читают: "промежуток от –2 до 3"). На координатной прямой его изображают так:

Промежуток заштриховывают, точки –2 и 3 изображают "пустыми" ("выколотыми") .

Число 2,2 удовлетворяет двойному неравенству  ему не удовлетворяет. Говорят, что число 2,2 принадлежит промежутку (–2; 3), а число 4 ему не принадлежит.

2) Неравенство  удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между –2 и 3, или равны числам –2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: ( читают: "промежуток от –2 до 3, включая –2 и 3"). На координатной прямой его изображают так: 

3) Множество чисел, которые удовлетворяют двойные неравенства  и  обозначают соответственно  и : "промежуток от —2 до 3, включая —2" и "промежуток от —2 до 3, включая 3"). Эти промежутки изображают на координатной прямой так: 

4) Неравенство  удовлетворяют все действительные числа  больше 4. На координатной прямой эти числа изображают точками, которые лежат правее точки с координатой 4. Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  изображают полупрямой, расположенной правее точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности  и обозначают  

Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают : "промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4").

Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  записывают  и читают "промежуток от минус бесконечности до 8". Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  записывают  и читают: "промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8". На координатной прямой эти числовые промежутки изображают так:

6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так: 

Объединение и пересечение числовых промежутков

Рассмотрим два промежутка : и 

Промежуток  образуют все числа, которые принадлежат промежутку  или промежутку   Говорят, что промежуток  является объединением промежутков  и  Записывают:  где знак объединения.

Определение:

Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков.

Промежуток (2; 4) образует все общие числа из промежутков и (2; 7), то есть все числа, которые принадлежат каждому из промежутков  и  Говорят, что промежуток  является пересечением  промежутков  и  Записывают:  где пересечения.

Определение:

Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, которые принадлежат каждому из этих промежутков.

Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки  и  Чисел, которые принадлежат обоим этим промежуткам, нет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество.

Его обозначают символом  Записывают:  Объединением промежутков  и  является множество  которое не является числовым промежутком (оно "состоит" из двух промежутков).

Для промежутков  и  множество общих чисел имеет только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так:  Записывают:

 Легко определить, что 

Пример №176

Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, которые принадлежат промежутку:

 наибольшего действительного числа, которое принадлежит этому промежутку, нет. (Это вытекает из таких рассуждений. Допустим, что  наибольшее число промежутка  Поскольку можно рассматривать промежуток  любое число которого больше  То есть, в промежутке  3  не является наибольшим.);  наименьшего числа нет; 4, 8;   ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет.

Пример №177

Изобразить на координатной прямой множество чисел, которые удовлетворяют неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков:  

 Модулем числа x является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число x на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, которым отвечают точки координатной прямой,  размещенные от начала отсчета на расстоянии,  не превышающем 5.

Следовательно, решениями неравенства  являются все числа, которые принадлежат промежутку [–5; 5].

б) Решениями неравенства |x| ≥ 5 являются числа, которым соответствуют точки координатной прямо, размещенные от начала отсчета на расстоянии, не меньшем 5 (большем 5 или равном 5), следовательно значения x, которые удовлетворяет неравенству  или неравенству 

Значит, множеством решений неравенства  является объединение промежутков  и  то есть 

Решение неравенств с одной переменной

Пример №178

Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 метров длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, если для его ограждения хватило сетки длинною 46 метров? 

Пусть длина меньшей стороны участка равна x метров, тогда длина большей   , а периметр участка  По условию периметр не превышает 46 метров, то есть 

Чтобы найти длины сторон участка, нужно решить неравенство  с одной переменной x.  

Решая неравенство, его преображают, заменяя простыми неравенствами с теми же решениями. 

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, которые не имеют решений, также называют равносильными. 

Замену неравенства равносильными ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:

1. если выполнить тождественные преобразования некоторой части неравенства, которые не изменяют допустимые значения переменной, то получим неравенство, равносильное данному;
2. если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
3. если обе части неравенства умножить  или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному;
4. если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Используя эти свойства, решим неравенство:

Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим неравенство 

которое равносильно заданному неравенству.

В правой части неравенства  приведем подобные слагаемые, получим:

Поделим обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство 

То есть, неравенство  равносильно неравенству  и ему удовлетворяют все числа, не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка 

Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили x метров. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то x может принимать значение промежутка  То есть, меньшая сторона участка не должна превышать 9 метров, большая же сторона на 5 метров длиннее нее.

Решая неравенство:

мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, поменяв его знак на противоположный. Получили неравенство

Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны.

Пусть  произвольное решение неравенства (1), тогда верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, поменяв его знак на противоположный, получим правильное числовое неравенство  Из того, что последнее неравенство является верным, вытекает, что число a является решением неравенства (2).

Пусть  произвольное решение неравенства (2), тогда верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое –10 из правой части неравенства в левую, поменяв его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство Из того, что последнее неравенство является верным, вытекает, что число b является решением неравенства (1).

Мы показали, что произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, следовательно являются равносильными.

Равносильность неравенств  и  а также неравенств  и  доказывают аналогично.

Пример №179

Решить неравенство  и изобразить на координатной прямой множество его решений.

Раскроем скобки: 

перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а другие — в правую часть: 

приведем подобные слагаемые:

поделим обе части неравенства на 3:

Ответ.  или по=другому 

Пример №180

Решить неравенство  изобразить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, которые входят в неравенство, то есть на 18. Получаем:

Ответ. 

Пример №181

Решить неравенство 

Умножим все части неравенства на 2:  

Прибавим ко всем частям неравенства число 1:

Разделим все части неравенства на 3, получим: 

Ответ.  или по=другому 

Пример №182

Решить неравенство:

а) Решением неравенства  являются числа, которые удовлетворяют двойному неравенству 

Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим:

Поделим все части неравенства на 2:

Ответ. 

 Модуль числа — число неотрицательное, поэтому модуль числа не может быть меньше –4. Неравенство  не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

 Выражение  которое стоит под знаком модуля, должно приобретать значения меньше –5 или больше 5. То есть,  или 

Если нужно найти все значения x, которые удовлетворяют неравенство или неравенство   говорят, что нужно решить совокупность неравенств, которую записывают так: 

Решая каждое неравенство совокупности, получаем:

Решениями совокупности являются значения x, которые удовлетворяют неравенство  или неравенство 

Ответ.  или  (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков:  

Линейные неравенства с одной переменной

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №183

Решить неравенство 

            

Множеством решений неравенства является числовой промежуток