Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра — одна из древнейших, интереснейших и важнейших наук. Она изучается в каждом классе общеобразовательной школы, в средних специальных и высших учебных заведениях, поскольку математические знания необходимы каждому. Эта страница по алгебре поможет вам овладеть алгеброй, поможет научиться решать задания и выполнять задачи по алгебре. Я постаралась кратко и доступно изложить все темы по предмету алгебра, данный курс лекций по алгебре поможет вам самостоятельно изучить все темы. Желаю Вам успехов!

Содержание:

Целые выражения

Решение многих задач по математике, физике, химии связано с необходимостью проводить определенные преобразования выражений.

В данной главе мы узнаем, что такое выражение, целое выражение, тождественное преобразование выражения; изучим основные формулы, на основании которых можно осуществлять преобразование выражений.

Выражения с переменными

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Длина прямоугольного участка равна 42 м, а ширина — на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ширина участка равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачм2.

Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит букву Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, и такое выражение мы называли буквенным выражением.

Букве Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно придавать разные значения, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач может равняться 0,8; 5; 7,2; 10 и т. д., то есть значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно менять. Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют переменной, а выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — выражением с переменной

Задача 2. Длина прямоугольного участка равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач м, а ширина — на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач м меньше длины. Записать в виде выражения площадь участка.

Ширина участка равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач м, а площадь — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач м2.

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач м2.

Буквы Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач также могут приобретать разные значения, поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменные, а выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — выражение с двумя переменными.

Выражение с переменными образуют из переменных, чисел, знаков действий и скобок. Выражением с переменной считают и отдельно взятую переменную.

Если в выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо переменной подставить определенное число, например, число 12, то получим числовое выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач значение которого равно: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Полученное число 1260 называют значением выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для значения переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равно: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим выражение с переменной: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач . Значение этого выражения можно найти для любого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то делитель (знаменатель) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю, а на ноль делить нельзя. Говорят, что для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, а для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла.

Целые выражения

Сравним выражения

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

с выражениями

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выражения первой группы не содержат действия деления на выражение с переменными. Такие выражения называют целыми.

Выражения второй группы содержат действие деления на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными.

Формулы: выражения с переменными используют для записи формул.

Например:

  • Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — формула для вычисления площади прямоугольника;
  • Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число) задают четные числа, а формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетные.

Формулами можно задать целые числа, которые при делении на заданное натуральное число дают тот же остаток.

Рассмотрим сначала пример деления двух натуральных чисел. Поделим 48 на 5 с остатком:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили: 9 — неполное частное, 3 — остаток.

Поделив 48 на 5, мы нашли два числа — 9 и 3 (неполное частное и остаток), используя которые, число 48 можно записать в виде

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Деление любого целого числа на натуральное с остатком сводится к нахождению подобного равенства.

Разделить целое число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на натуральное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с остатком значит найти такие целые числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, чтобы выполнялось равенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В этих условиях число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют неполным частным, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — остатком от деления Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Остатков от деления целых чисел на натуральное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем для примера остаток от деления числа –17 на число 3. Для этого запишем число –17 в виде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целые числа, к тому же Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач лежало в пределах от 0 до 2, нужно взять Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда легко найти, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем верное равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, число –17 при делении на 3 дает в остатке 1.

Целые числа при делении на 3 могут давать остатка 0, 1 или 2. В соответствии с этим их можно разделить на 3 группы.

Целые числа Остаток при делении на 3 Вид чисел
...—9; –6; –3; 0; 3; 6; 9;... 0 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
...—–8; –5; —2; 1; 4; 7; 10;... 1 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
... –7; –4; –1; 2; 5; 8; 11;... 2

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, формулами Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное целое число, задают все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке соответственно 0, 1, 2. Про числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач еще говорят, что они делятся (нацело) на 3. Так, –9 делится на 3.

Пример №1

Записать в виде выражения:

а) произведение числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и суммы чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач;

б) частное разности чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и числа 7;

в) разность числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и произведения чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

а) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; б) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачв) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание. Читая словами числовые выражения или выражения с переменными, первым называют последнее по порядку выполнения действие, потом предпоследнее и т. д.

Пример №2

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. –80.

Пример №3

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №4

Записать в виде выражения число, которое имеет 9 сотен, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач десятков, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождественно равные выражения

Найдем значения выражений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Значения выражений для данных значений переменных равны друг другу
(говорят: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соответствующие значения выражений равны друг другу). Из распределительного свойства умножения относительно вычитания следует, что и для любых других значений переменных соответствующие значения выражений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже равны друг другу. Такие выражения называют тождественно равными.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если для любых значений переменных соответствующие значения этих выражений равны друг другу.

Рассмотрим теперь выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соответствующие значения этих выражений равны друг другу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если же Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соответствующие значения этих выражений разные:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, значения выражений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для одних значений переменных равны друг другу, а для других — нет. Такие выражения не тождественно равны.

Тождества

Если два тождественно равные выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соединить знаком «=», то получим равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое является верным для любых значений переменных. Такое равенство называют тождеством.

Определение. Равенство, которое является верным для всех значений переменных, называют тождеством.

Примерами тождеств являются равенства, выражающие основные свойства
сложения и умножения чисел:

переместительное свойство: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач;

сочетательное свойство: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач;

распределительное свойство: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождествами являются также равенства, выражающие правила раскрытия скобок:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождественными являются и такие равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тождественные преобразования выражений

В выражении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приведем подобные слагаемые Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач заменили тождественно равным ему выражением Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замену одного выражения тождественно равным ему выражением называют
тождественным преобразованием выражения.

В математике часто приходится упрощать выражение, то есть заменять
его тождественно равным выражением, которое имеет более короткую запись или, как говорят, является «более компактным». Рассмотрим примеры.

Пример №5

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №6

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Упрощение выражений используют при решении уравнений. Рассмотрим пример.

Пример №7

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Упростим выражение в левой части уравнения: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Перенесем слагаемое —6 в правую часть уравнения. Тогда: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 2.

Доказательство тождеств

Тождественные преобразования используют и для доказательства тождеств.

Чтобы доказать тождество, можно использовать один из следующих способов:

  1. левую часть тождества путем тождественных преобразований привести к правой части;
  2. правую часть привести к левой части;
  3. обе части привести к одному и тому же выражению;
  4. образовать разность левой и правой частей и доказать, что она равна нулю.

Рассмотрим примеры.

Пример №8

Доказать тождество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Преобразуем левую часть равенства: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №9

Доказать тождество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Преобразуем правую часть равенства: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Путем тождественных преобразований правую часть равенства привели к левой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №10

Доказать тождество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Преобразуем отдельно левую и правую части равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Путем тождественных преобразований левую и правую части равенства свели к одному и тому же выражению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №11

Доказать тождество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Образуем разность левой и правой частей и упростим ее:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разность левой и правой частей равенства равна нулю, поэтому данное равенство является тождеством.

Одночлены

Одночлен (или моном) — простое математическое выражение, прежде всего рассматриваемое и используемое в элементарной алгебре, а именно, произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной целой степени.

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение двух или трех одинаковых множителей, каждый из которых равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, — это соответственно квадрат или куб числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; 52 — квадрат числа 5;

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; 53 — куб числа 5.

Квадрат числа 5 называют еще второй степенью этого числа, а куб —
третьей степенью.

Соответственно произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и называют четвертой
степенью числа 5. Читают: «пять в четвертой степени». В выражении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач число 5
называют основанием степени, число 4 — показателем степени, а все выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют степенью.

Определение. Степенью числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с натуральным показателем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, большим 1, называется произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач множителей, каждый из которых равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Степенью числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с показателем 1 называют само число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Степень с основанием Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и показателем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, читают: "Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в степени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач», или "Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач-я степень числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач".

Итак, по определению

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним знак степени с натуральным показателем.

  1. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — любая натуральная степень числа 0 равна 0.
  2. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — любая натуральная степень положительного числа есть число положительное.
  3. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач . Степень отрицательного числа с четным показателем является числом положительным, поскольку произведение четного числа отрицательных чисел положительное. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является числом отрицательным, поскольку произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательное.

Возводить числа в степень с натуральным показателем можно с помощью калькулятора. Вычислить, например, значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачможно по схеме:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

или по более удобной схеме:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим значение степени: 1838,265625.

Возведение в степень — действие третьей ступени. Напомним: если выражение
без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высшей ступени, затем — более низших. Так, чтобы найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, действия нужно выполнять в такой последовательности: 1) возведение в степень; 2) умножение; 3) вычитание.

Примеры решения упражнений

Упражнение 1. Вычислить: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выполняя вычисления, можно:
а) записывать каждое действие отдельно: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) записывать вычисления в строку:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. –496.

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведения двух степеней с основанием Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач,
получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этих примерах произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен сумме показателей степеней. Такое свойство имеет произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство 1. Для любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и любых натуральных чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Учитывая определение степени, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из свойства 1, которое еще называют основным свойством степени, вытекает правило умножения степеней:
Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание
оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Например:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правило умножения степеней распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из этого равенства по определению частного имеем: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно переписать так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В этом примере частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 2. Для любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и любых натуральных чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, выполняется равенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по определению частного имеем: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из доказанного свойства вытекает правило деления степеней.
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а от показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возведение степени в степень

Возведем степень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в куб:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из примера видно: чтобы возвести квадрат числа в
куб, нужно оставить то же самое основание и взять показатель, равный произведению показателей. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 3. Для любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и любых натуральных чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из свойства 3 вытекает правило возведения степени в степень.
Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Например: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возведение произведения в степень

Возведем произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в куб:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из примера видно: чтобы возвести в куб произведение, нужно возвести в куб каждый множитель и результаты перемножить. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 4. Для любых чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и любого натурального числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получаем следующее правило.
Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Это правило распространяется на произведение трех и более множителей. Например: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание. Доказанные тождества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, выражающие свойства степени, позволяют не только заменять выражения, стоящие в их левых частях, выражениями, стоящими в правых частях, но и наоборот:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №12

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №13

Вычислить:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №14

Представить Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде степени с основанием Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №15

Представить в виде степени произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Одночлен и его стандартный вид

Рассмотрим две группы выражений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Какова особенность выражений первой группы? Чем они отличаются от выражений второй группы?

Выражения первой группы — это переменные, числа, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами.

Определение. Одночленом называют произведение чисел, переменных и их степеней.

Выражения второй группы не являются одночленами, так как содержат действия сложения или вычитания.

Рассмотрим одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Он содержит только один числовой множитель, который стоит на первом месте, и степени различных переменных. Такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Определение. Одночленом стандартного вида называют такой одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени различных переменных.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называют коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Считают, что коэффициенты одночленов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно равны 1 и —1, ибо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не является одночленом стандартного вида, так как содержит две степени с основанием Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Умножив Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, этот одночлен можно записать в виде одночлена стандартного вида: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Умножение одночленов

Перемножим одночлены Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя свойства действия умножения и свойства степеней, получим: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, произведением одночленов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вообще, произведением любых одночленов является одночлен.

Возведение одночлена в степень

Возведем одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в куб.  Используя свойства степеней, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, кубом одночлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач есть одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Вообще, натуральной степенью любого одночлена является одночлен.

Степень одночлена

У одночлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач сумма показателей степеней всех переменных равна 2 + 1 + 3 = 6. Эту сумму называют степенью одночлена, говорят, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен шестой степени.

Определение. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него.

Если одночленом является число, отличное от нуля, то считают, что степень такого одночлена равна нулю. Если одночленом является число 0, то степень такого одночлена не определена. 

Например: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— одночлен девятой степени; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен второй степени; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен первой степени; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен нулевой степени.

Пример №16

Записать выражение в виде одночлена стандартного вида:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращенная запись: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращенная запись: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №17

Представить одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде:

а) произведения двух одночленов стандартного вида;
б) произведения двух одночленов, одним из которых является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач;
в) квадрата одночлена стандартного вида.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и т.д.);

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Многочлены

Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является суммой одночленов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и 5. Такое выражение называют многочленом.

Определение. Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и 5. 

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Соответственно,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — двучлены;

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Подобные члены многочлена

Рассмотрим многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Два его члена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются подобными слагаемыми, ибо отличаются лишь числовыми множителями. Члены —6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена. 

Приведем в многочлене  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач его подобные члены:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Приведение подобных членов многочлена можно записать так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Степень многочлена

Многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет подобных членов, и его образуют одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — многочлен четвертой степени.

Определение. Степенью многочлена, который не имеет подобных членов, называют наибольшую из степеней одночленов, которые образуют данный многочлен.

По этому определению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — многочлены первой степени; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — многочлен второй степени; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — многочлен шестой степени.

Если некоторый многочлен состоит лишь из одного одночлена, то степень многочлена равна степени этого одночлена. Например: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — многочлен четвертой степени, 2 — многочлен нулевой степени, 0 — многочлен, степень которого не определена. Последний многочлен называют еще нуль-многочленом.

Члены многочлена можно записывать в произвольной последовательности. Для многочленов, содержащих одну переменную, члены, как правило, упорядочивают по убыванию или возрастанию показателей степеней. Например:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — не многочлены, ибо они не являются суммами одночленов.

Пример №18

Привести подобные члены многочлена:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение многочленов

Сложим многочлены Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким же образом складывают три и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычитаем из многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Пример №19

Найти сумму многочленов:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №20

Найти разность многочленов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №21

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. —1,5.

Пример №22

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.
Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Сумма этих трех чисел

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

делится на 3, ибо имеет делителем число 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя распределительное свойство умножения, получим: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, произведением одночлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  и многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Имеем такое правило.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведение любого одночлена и многочлена всегда можно записать в виде многочлена. 

Пример №23

Выполнить умножение:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращенная запись: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращенная запись:  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №24

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №25

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,5.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Приведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вернувшись к замене Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, произведением многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мы получили бы сразу, если бы умножили Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, потом Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить, если умножить каждый член многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждый член многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и полученные произведения сложить.

Имеем такое правило.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В каждом из приведенных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Пример №26

Выполнить умножение:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а затем полученное произведение умножим на третий многочлен:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №27

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. —1,8.

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В шестом классе мы раскладывали на множители числа. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Говорят, что число 60 разложено на два множителя 12 и 5.

Раскладывать на множители можно и многочлены. Например,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Записав многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде произведения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, говорят, что многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разложен на два множителя Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждый из этих множителей является многочленом (первый многочлен состоит лишь из одного члена).

Разложить многочлен на множители означает представить его как произведение нескольких многочленов.

Сравните

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач умножили одночлен на многочлен;
результат — многочлен
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

разложили многочлен на множители;
результат — произведение одночлена и многочлена

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители.

Выполним умножение одночлена на многочлен: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разложили на два множителя Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы разложить многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на множители, достаточно в его членах Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выделить общий множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Описанный способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Разложим на множители многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и —18. Если коэффициентами являются целые числа, то за общий числовой множитель принимают, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второй — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то общим множителем для степеней с основанием Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, за скобки можно вынести Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, за скобки можно вынести одночлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы вынести в многочлене общий множитель за скобки, нужно каждый член многочлена представить в виде произведения, которое содержит общий множитель, и вынести его за скобки.

Пример №28

Разложить на множители многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

Разложить на множители Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вынесем этот множитель за скобки:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №30

Разложить на множители Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Слагаемые имеют множители Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые отличаются только знаками. В выражении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач вынесем за скобки —1, тогда второе слагаемое будет иметь вид Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, и оба слагаемых будут иметь общий множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №31

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Разложим сначала многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на множители: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №32

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разложим левую часть уравнения на множители:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю лишь тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0; —1,25.

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с примера на умножение многочленов. Выполним умножение двучлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на двучлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проводя преобразования в обратном порядке, многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить на два множителя Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— общий множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, для группы Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— общий множительАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем общий множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выносим его за скобки и получаем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Описанный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. Применяя этот способ, нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общий множитель для всех групп, который опять же нужно вынести за скобки.

Многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить на множители, группируя его члены по-другому:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравните

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач умножили многочлен на многочлен;
результат —многочлен
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

разложили многочлен на множители;
результат — произведение многочленов

Пример №33

Разложить на множители многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №34

Разложить на множители трехчлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Представим второй член Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на сумму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют ее так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на сумму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности тоже равно разности квадратов этих выражений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №35

Выполнить умножение:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №36

Вычислить: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Она является формулой сокращенного умножения, ибо позволяет возводить к квадрату сумму произвольных двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

При возведении суммы Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в квадрат, промежуточные преобразования можно выполнять устно: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, имеем такую формулу квадрата разности:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны друг другу: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому при возведении в квадрат выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно пользоваться формулами:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выведем эти формулы.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Пример №37

Возвести в квадрат выражение:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач поменяем местами левую и правую части: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов дает возможность разложить на множители двучлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ее используют для разложения на множители разности квадратов двух произвольных выражений. Например:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравните

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач умножили разность двух выражений на их сумму;
результат — многочлен (разность квадратов двух выражений)
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разложили на множители разность квадратов двух выражений;
результат — произведение разности выражений и их суммы

Пример №38

Разложить на множители:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №39

Вычислить: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №40

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 9; —3.

Разложение многочленов на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а вторая — трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №41

Разложить на множители трехчлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №42

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем сначала трехчлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде квадрата двучлена:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Раскладывая на множители разность кубов двух выражений, используют формулу разности кубов:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем это тождество, перемножив выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В формуле разности кубов трехчлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют неполным квадратом суммы выражений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач иАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (он напоминает трехчлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, который является "полным" квадратом суммы выражений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач иАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач). Итак, формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Раскладывая на множители сумму кубов двух выражений, используют формулу суммы кубов:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем это тождество:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Трехчлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют неполным квадратом разности выражений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач иАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, 

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Пример №43

Разложить на множители:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто, раскладывая многочлен на множители, нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Разложим на множители многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сначала вынесли общий множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все члены многочлена имеют общий множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Вынесем его за скобки:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разложим на множители способом группировки:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №44

Разложить на множители трехчлен: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Если к выражению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавить З2, то есть 9, то получим выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое является квадратом двучлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №45

Разложить на множители многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №46

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложим левую часть уравнения на множители:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение преобразований выражений

Нам уже попадалось немало задач, для решения которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. По большей части мы использовали преобразования выражений, когда решали уравнения, доказывали тождества, находили значения выражений. Рассмотрим еще некоторые задачи, связанные с преобразованиями выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №47

Доказать, что многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает только положительные значения. 

Выделив из трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрат двучлена, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и 2. Слагаемое Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает лишь неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительное. Поэтому выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает только положительные значения. Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, полученного в предыдущем примере, можно указать наименьшее значение многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Оно равно 2, к тому же, это наименьшее значение многочлен приобретает, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №48

Найти наибольшее значение многочлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразуем данный многочлен так: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №49

Доказать, что значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на 8 для любого целого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Упростим данное выражение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для любого целого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на 8, а потому и значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью калькулятора

Пример №50

С помощью калькулятора найти значение многочлена

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то схема вычислений такова:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Функции

Все в природе меняется и развивается. Изучая явления, связанные с этой неотъемлемой чертой природы, ученые пришли к понятию переменной величины и функции.

В данном разделе мы узнаем, что такое функция, график функции, что такое линейная функция и ее свойства.

Функции и способы их задания

Пусть сторона квадрата равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач см, а его периметр — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Зная сторону Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти соответствующее ей значение периметра Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например,

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Видим, что значения периметра зависят от того, какие значения мы придавали длине стороны квадрата. Заметим также, что каждому значению длины стороны соответствует одно определенное значение периметра. Значению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, значению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В данном примере имеем две зависимые переменные Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — длину стороны
квадрата и его периметр. Значение переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выбрать произвольно, а значения переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач зависят от выбранных значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют независимой переменной, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — зависимой переменной. 

Рассмотрим еще один пример зависимости между величинами.

Водитель решил проследить за счетчиком, какой путь он проедет за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 4,5 ч, 5 ч. Результаты наблюдений он записал в виде таблицы:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачч 1 2 3 4 4,5 5
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 82 170 225 300 335 380

В данном примере имеем две переменные: время Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и путь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, пройденный за это время. Значения пути зависят от значений времени. К тому же, каждому значению времени соответствует одно определенное значение пути. Времени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует значение пути Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, времени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — значение пути Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В данном случае Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является независимой переменной, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а
зависимую переменную — буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. При таких условиях для зависимости между переменными используют термин «функция».

Определение. Зависимость переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач от переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют функцией, если каждому значению переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственное определенное значение переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для переменных Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач есть специальные термины: независимую переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют аргументом, а зависимую переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  функцией. Говорят: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач есть функция от аргумента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, в рассмотренных примерах:

периметр Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрата является функцией от длины его стороны Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; здесь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — функция, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— аргумент;

путь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией от времени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; здесь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — функция; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — аргумент.

Чтобы задать функцию, нужно указать как для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Первая из рассмотренных нами функций задана формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, по которой для каждого значения аргумента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти соответствующее значение функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вторая функция задана таблицей, в которой для каждого значения аргумента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач указано соответствующее значение функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Область определения и область значений функции

Все значения, которых приобретает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые приобретает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Итак, область определения функции, задаваемой формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, образуют все значения, которых может принимать переменная Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку эта переменная определяет длину стороны квадрата, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать лишь положительные значения. Итак, область определения этой функции образуют все положительные числа.

Область значений функции, задаваемой формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, образуют все значения, которых может принимать зависимая переменная Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Периметр Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не может равняться отрицательному числу или нулю, однако может равняться любому положительному числу. Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач может равняться 2, ибо 2 — это периметр квадрата со стороной 0,5. Следовательно, область значений этой функции образуют все положительные числа.

Область определения функции, заданной таблицей, образуют числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа первой строки таблицы); область значений этой функции образуют числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа второй строки таблицы).

Рассмотрим функцию, заданную формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Такая запись означает, что область определения функции образуют все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющие неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция задана формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и не указано, каких значений можно придавать аргументу, то считают, что область определения функции образуют все числа.

Существуют функции, которые на отдельных частях области определения заданы различными формулами. Например, если функция задана в виде

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

то это значит, что для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач значение функции нужно находить по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то имеем: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №51

Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, преодолевает за Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач ч путь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км . Задать формулой функцию — зависимость Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач от Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти значения функции, которые соответствуют значениям аргумента: 2; 2,5.

За Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач ч автомобиль проедет Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км, поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомая формула. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №52

Начиная с третьего часа, через каждый час измеряли атмосферное давление и записывали данные в таблицу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, ч 3 4 5 6 7 8 9
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, мм рт. ст. 746 748 751 752 752 755 756

Зависимость между какими переменными задает эта таблица? Задает ли таблица функцию? Какое давление в миллиметрах ртутного столба было в 4 ч? в 8 ч? Какова область определения функции; область значений?

Таблица задает зависимость между часами Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач суток и атмосферным давлением Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта зависимость является функцией, потому что каждому значению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственное значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по таблице находим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, в 4 часа атмосферное давление было 748 мм рт. ст. Аналогично в 8 часов — 755 мм рт. ст. Область определения функции образуют числа 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а область значений — числа 746, 748, 751, 752, 755 и 756.

Пример №53

Функция задана формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Составить таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, предоставив аргументу следующие значения: –6; –3; –2; 0; 2; 3; 6. 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач –6 –3 –2 0 2 3 6
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 33 6 1 —3 1 6 33

Пример №54

Для каких значений аргумента значение функции равно –3, если функция задана формулой:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Чтобы найти значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, решим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, функция приобретает значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

б) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач    Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция приобретает значение –3, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

в) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение корней не имеет. Значение –3 данная функция не приобретает.

График функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и занесем результаты в таблицу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —3 —2 —1 0 1 2
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 4,5 2 0,5 0 0,5 2

Значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мы выбрали так, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Поэтому говорят, что таблица значений функции составлена с шагом 1.

Обозначим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны выбранным значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции (рис. 3).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подбирая другие значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющие неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, и вычисляя соответствующие значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим другие пары значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждой из этих пар также соответствует определенная точка на координатной плоскости. Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции, заданной формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4). 

График функции образуют точки координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ задания функции

Имея график функции, можно находить ее значение по известному значению аргумента и наоборот: находить значение аргумента по известному значению функции.

Рассмотрим, например, функцию, график которой изображен на рисунке 5. О такой функции говорят, что она задана графически.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем с помощью графика значение функции, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого через точку оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с абсциссой 4 проведем прямую, параллельную оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точка ее пересечения с графиком функции имеет координаты (4; 8). Итак, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то значение функции равно 8.

Найдем с помощью этого же графика значения аргумента, для которых значение функции равно 6. Для этого через точку оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с ординатой 6 проведем прямую, параллельную оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим две точки пересечения с графиком функции: (2; 6) и (8; 6). Следовательно, функция приобретает значение 6, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Некоторая линия на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, которая параллельна оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, пересекает эту линию не более чем в одной точке. Используя такую линию для каждого значения переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно найти только одно значение переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Глядя на график, изображенный на рисунке 5, можно отметить некоторые свойства функции, заданной этим графиком.

  1. Область определения функции образуют все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющие неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Наибольшее значение функции равно 9 (это значение функция приобретает, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач).
  3. Наименьшее значение функции равно –2 (это значение функция приобретает, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач).
  4. Область значений функции образуют все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющие неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Значение функции равно нулю, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Те значения аргумента, для которых значения функции равны нулю, называют нулями функции. Следовательно, значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является нулем данной функции.
  6. Функция приобретает положительные значения, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; отрицательные значения — если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция как математическая модель реальных процессов

Вам, пожалуй, уже приходилось видеть модели лодки, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее назначения, отражает определенные свойства оригинала.

Математическая модель — это описание какого-то реального объекта или процесса языком математики.

Рассмотрим рисунок 6, на котором изображен график изменения температуры воды в течение 20 мин.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из графика следует, что начальная температура воды была равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; в течение первых 8 мин. температура воды повысилась до Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, затем в течение 6 мин. (от 8 мин. до 14 мин.) температура воды не менялась, а в течение следующих 6 мин. — снизилась до Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция, график которой изображен на рисунке 6, описывает реальный процесс изменения температуры воды. Говорят, что эта функция моделирует данный процесс, или что она является математической моделью данного процесса.

Если тело движется равномерно со скоростью 15 м/с, то путь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач м, пройденный им за время Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с, можно вычислить по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае функция, заданная формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, является математической моделью равномерного движения.

В седьмом и последующих классах мы ознакомимся со многими функциями, которые можно использовать для моделирования реальных процессов и зависимостей между различными величинами.

Кроме функций, есть и другие виды математических моделей, с которыми мы ознакомимся при дальнейшем изучении алгебры.

Пример №55

Построить график функции, заданной формулой:

а) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач составив таблицу значений функции с шагом 1;
б) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

а) Составим таблицу значений функции:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости. Если к этим точкам приложить линейку, то можно увидеть, что все они лежат на одной прямой. Соединим отрезком крайние обозначенные точки. Этот отрезок и является графиком функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис.7).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Составим таблицу значений функции:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —2 —1 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 1 2
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —3 0 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 1 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 —3

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Имеем график функции, заданной формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8).

Пример №56

Принадлежит ли графику функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Точка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач будет принадлежать графику данной функции, если значение функции для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 9. 

Находим: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение функции равно 9. Итак, точка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач графику функции не принадлежит.

Для точки Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  принадлежит графику функции.

Пример №57

На рисунке 9 изображен график функции. Пользуясь графиком, заполнить таблицу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —6 —2 8
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —4 —1,5 1

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заполним таблицу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —6 —2 8 —6 —5; 8 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 6
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —4 1 —1,5 —4 —1,5 1

Линейная функция

Что такое линейная функция:

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 20 м/с и направление его движения совпадает с направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 21). Если в начальный момент движения тело находилось на расстоянии 35 м от начала отсчета, то через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с тело будет находиться на расстоянии Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач метров от него.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в бассейн через трубу ежеминутно вливается 2,5 м3 воды. Если в начальный момент времени в бассейне было 70 м3 воды, то объем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач воды (в м3), которая будет в бассейне через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мин, можно вычислить по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Формулами Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — независимая переменная, задаются функции, которые называют линейными.

Определение. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — независимая переменная, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа. 

В формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно придавать любые значения, поэтому область определения линейной функции образуют все числа.

График линейной функции

Построим график линейной функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для этого составим таблицу нескольких значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующих значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —5 —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 5
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —3,5 —3 —2,5 —2 —1,5 —1 —0,5 0 0,5 1 1,5

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

На координатной плоскости обозначим точки, координаты которых представлены в таблице (см. рис. 22). Приложив линейку, убеждаемся, что все обозначенные точки лежат на одной прямой. Если бы для любого другого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислили соответствующее значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначили бы точку с такими координатами на координатной плоскости, то и она лежала бы на этой прямой.

Через обозначенные точки проведем прямую. Она является графиком линейной функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты только двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Так, чтобы построить график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно было взять две точки, например (0; — 1) и (2 ; 0) и провести через них прямую.

Угловой коэффициент

В формуле линейной функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициент возле переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительный: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач График этой функции образует острый угол с положительным направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 22). На рисунке 23 изображен график линейной функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этой функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее график образует тупой угол с положительным направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, от коэффициента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит угол, который образует график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с положительным направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют угловым коэффициентом прямой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач образует с положительным направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  острый угол, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, — тупой угол.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то формула, которой задается линейная функция имеет вид Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такая функция для всех значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает то же значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, линейная функция Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает значение 2. Поэтому графиком функции является прямая, образованная точками (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2), где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число. Эта прямая параллельна оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 24).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы построить график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно было обозначить на оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  точку с ординатой 2 и провести через нее прямую, параллельную оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства линейной функции

Свойства линейной функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Область определения функции образуют все числа.

2) Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то область значений функции образуют все числа; если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция приобретает лишь одно значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Графиком функции является прямая.

4) График функции образует с положительным направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач острый угол, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тупой угол — если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то график параллельный оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, в частности, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то он совпадает с осью Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

В формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которой задается линейная функция, положим Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачПолучим формулу Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, какой задается функция, которая является отдельным, но довольно важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов. Рассмотрим примеры.

1. Пусть тело движется со скоростью 20 м/с. Тогда путь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач м, пройденный им за время Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с, можно вычислить по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта формула задает зависимость пути Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач от времени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Плотность железа равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Массу Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач г железа, объем которого равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно вычислить по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта формула задает зависимость массы Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач от объема Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Перейдя в примерах к принятым обозначениям аргумента и функции, будем иметь функции, задаваемые формулами Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть формулами вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — независимая переменная, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое число, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Эта прямая проходит через начало координат (ибо если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Построим график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем координаты какой-либо точки графика, отличной от начала координат: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим на координатной плоскости точку (3; 1) и проведем через нее и начало координат прямую (рис. 25). Эта прямая является графиком функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На рисунке 26 изображены графики функций вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для разных значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач размещен в первой и третьей координатных четвертях, а если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, — во второй и четвертой четвертях.

Для тех, кто хочет знать больше

Точки пересечения графиков функций

На рисунке 27 изображены графики двух линейных функций Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функции приобретают одно и то же значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, графики функций имеют общую точку (4; 3). Еще говорят, что графики пересекаются в точке (4; 3).

Вообще, графики двух функций имеют общую точку, если существует значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого обе функции приобретают одно и то же значение.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Взаимное расположение графиков линейных функций

Рассмотрим две линейные функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, формулы которых имеют разные коэффициенты при Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выясним, пересекаются ли графики этих функций (рис. 28). Для этого проверим, существует ли значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого обе функции приобретают одно и то же значение; другими словами: существует ли значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого выполняется равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решим данное уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то обе функции приобретают одно и то же значение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, графики функций пересекаются в точке (–30; –17).

Рассмотрим две линейные функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, формулы которых имеют одинаковые коэффициенты при Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней. Поэтому прямые, являющиеся графиками функций Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 29), не имеют общих точек (эти прямые параллельны).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вообще, графики функций вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (коэффициенты при х разные), и параллельные, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (коэффициенты при х одинаковы) и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №58

Построить график функции, заданной формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пользуясь графиком, найти:

а) значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое соответствует Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач;
б) значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которому соответствует Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Строим график функции.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 2
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 2 —1

а) Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Через точку (—1; 0) проводим прямую, параллельную оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (—1; 3,5). Следовательно, значению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

б) Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Через точку (0; —2,5) проводим прямую, параллельную оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, и находим точку пересечения этой прямой с графиком. Это точка (3; —2,5). Итак, значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует значению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №59

Дана функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Не строя график функции, найти координаты точек его пересечения с осями координат и нули функции.

Точки пересечения графика с осями координат — это точки графика, абсцисса или ордината которых равна нулю.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.
(0; — 6) — точка пересечения графика с осью Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
(2,5; 0) — точка пересечения графика с осью Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Значение функции равно нулю (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач), если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, нулем функции является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №60

Найти значение функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сравнить данные значения аргумента и соответствующие значения функции.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сравним значение аргумента: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; сравним соответствующие значения функции: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Линейные уравнения и их системы

Алгебра долгое время была частью арифметики — одной из древнейших математических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого языка означает «искусство чисел». Алгебру же, после выделения ее в отдельную науку, рассматривали как искусство решать уравнения.

В данном разделе мы выясним, что такое линейное уравнение с одной переменной и с двумя переменными, что значит решить уравнение, что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными, какие основные способы решения систем уравнений, как решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.

Уравнения с одной переменной

Рассмотрим задачу.

Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали втрое больше массы малой. Какая масса малой детали?

Пусть масса малой детали равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач г, тогда масса большой — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач г. Масса 15 малых деталей равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач г, а 4 больших — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (г). По условию задачи, сумма этих масс равна 270 г:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы получили равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (еще говорят: равенство содержит переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач). Чтобы решить задачу, нужно найти значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным числовым равенством.

Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным).

Корень уравнения

Рассмотрим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставляя вместо переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например:

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое является верным;
если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое является неверным.

Значение переменной, для которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения.

Следовательно, число 3 является корнем уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а число 4 — нет.

Количество корней уравнения

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например:

уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет лишь один корень — число 3;
уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два корня — числа 2 и 6;
уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет любое число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; говорят, что это уравнение имеет множество корней.

Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Итак, какое число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мы не взяли бы, равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней.

Решение уравнений

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет. 

Решим уравнение, составленное выше, по условию задачи о больших и малых деталях:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, масса малой детали равна 10 г.

Решение уравнения в основном сводится к выполнению определенных преобразований, в результате которых данное уравнение заменяют более простым.

Решим, например, уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Раскроем скобки:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Перенесем слагаемые с переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, поменяв их знаки на противоположные:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Поделим обе части уравнения на 2:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, уравнение (1) имеет единственный корень — число 4.

Решая уравнение (1), мы выполняли определенные преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений:

Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.
Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, указанных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и начальное уравнение.

Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4.

Пример №61

Является ли число 2,5 корнем уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то:
значение левой части уравнения равно: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
значение правой части равно: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение левой части уравнения равно значению правой части, поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень данного уравнения.

Пример №62

Сколько корней имеет уравнение:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Произведение равно нулю лишь тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Итак, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Два корня.

б) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Квадрат числа не может равняться отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример №63

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножив обе части уравнения на 14, получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 15

Пример №64

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделив обе части уравнения на 25, получим:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1,6.

Линейные уравнения с одной переменной

Рассмотрим уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Левая часть каждого из этих уравнений является произведением некоторого числа и переменной, а правая часть — некоторым числом. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые известные числа, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют коэффициентами линейного уравнения.

Когда, решая уравнения, выполняют определенные преобразования, приводя данное уравнение к более простому, то во многих случаях этим «простым» уравнением является именно линейное уравнение.

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Для этого рассмотрим сначала следующие три уравнения:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Чтобы решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно обе его части разделить на 3. Получим один корень: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) В уравнении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач значение левой части равно 0 для любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Правая же часть уравнения отлична от нуля. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

3) Равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным для любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому корнем уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является любое число (уравнение имеет множество корней).

В общем случае для линейного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь:

  • если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение имеет единый  корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение корней не имеет;
  • если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то корнем уравнения является любое число (уравнение имеет множество корней).

Итог: количество корней линейного уравнения

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — линейное уравнение Коэффициенты Корни
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — 

единственный корень

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач корней нет 
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач корнем является любое число (уравнение имеет множество корней)

Уравнения с модулями

Напомним, что модулем положительного числа и числа 0 является то же самое число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Модуль любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является неотрицательным числом, то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называют уравнениями с модулем.

Уравнение вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Решая уравнение вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатной прямой.

Рассмотрим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач На координатной прямой существуют две точки, расположенные на расстоянии 2 единицы от начала отсчета. Это точки, соответствующие числам 2 и –2 (рис. 37). Поэтому уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два корня: 2 и –2.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет один корень — число 0, а уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней (модуль любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является неотрицательным числом и не может быть равен –2).

В общем случае уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • имеет два корня Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и —Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • имеет один корень 0, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • не имеет корней, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа

Решим уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение нельзя свести к виду Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое число. Для его решение рассмотрим два случая.

1. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — неотрицательное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и уравнение (1) приобретает вид Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число 1 — неотрицательное (удовлетворяет неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач), поэтому оно является корнем уравнения (1).

2. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — отрицательное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и уравнение (1) приобретает вид Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Число 2 не является отрицательным (не удовлетворяет неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач), поэтому оно не является корнем уравнения (1).

Итак, уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет один корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №65

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. –3.

Пример №66

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Пример №67

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Корнем уравнения является любое число.

Пример №68

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножив обе части уравнения на 36 (36 — наименьшее общее кратное знаменателей дробей), получим:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 6.

Итог. Решая уравнения, которые сводятся к линейным, следует соблюдать следующие шаги:

  1. Если в уравнении есть выражения с дробными коэффициентами, то умножить обе его части на наименьший общий знаменатель дробей.
  2. Раскрыть скобки.
  3. Перенести все слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной — в другую часть (в правую).
  4. Привести подобные слагаемые.
  5. Разделить обе части уравнения на коэффициент возле переменной, если он отличен от нуля. Если же он равен 0, то уравнение либо не имеет корней, или его корнем является любое число.

Пример №69

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если модуль числа равен 3, то этим числом является 3 или –3. Поэтому возможны два случая:
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 3; 0.

Пример №70

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. –4; 4.

Решение задач с помощью уравнений

Решая задачи с помощью уравнений, в основном придерживаются такой схемы:

  1. выбирают неизвестное и обозначают его буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (или какой-либо другой буквой);
  2. используя условие задачи, составляют уравнение;
  3. решают уравнение и отвечают на поставленные в задаче вопросы.

Рассмотрим примеры.

Пример №71

В двух цистернах хранится 66 т бензина, к тому же, в первой бензина в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько бензина в каждой цистерне?

Пусть во второй цистерне есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач т бензина, тогда в первой — 1,2Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач т. В двух цистернах вместе находится Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач т бензина, что, по условию, равно 66 т.

Имеем уравнение: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим это уравнение: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, во второй цистерне имеется 30 т бензина, а в первой — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (т).

Ответ. 36 т, 30 т.

Замечание. Чтобы решить эту задачу, можно рассуждать и так. Пусть во второй цистерне есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач т бензина, тогда в первой — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач т. В первой цистерне бензина в 1,2 раза больше, чем во второй, потому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее остается решить это уравнение и записать ответ к задаче.

Пример №72

Из города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин. навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 25 км/ч больше, чем скорость грузового. Автомобили встретились через 1,3 ч после выезда грузового автомобиля из города А. Найти расстояние между городами, если за все время движения грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой.

Пусть скорость грузового автомобиля равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, тогда скорость легкового — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч.

К моменту встречи грузовой автомобиль был в пути 1,3 ч, а легковой на 30 мин. = 0,5 ч меньше: 1,3 ч — 0,5 ч = 0,8 ч. За 1,3 ч грузовой автомобиль проехал 1,3Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км, а легковой за 0,8 ч — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км. Поскольку грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, то разность пути 1,3Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км равна 10 км. 

Скорость, км/ч Время, ч Путь, км
Грузовой автомобиль Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 1,3 1,3Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Легковой автомобиль Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0,8 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем уравнение: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим это уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.

Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые проехали оба автомобиля, то есть (1,3Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач + Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) км. Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 146 км.

Примечание. Опираясь на решение рассмотренных задач, проанализируем первые два шага приведенной выше схемы решения задач с помощью уравнений.

1) Выбор неизвестного, которое мы обозначали буквой, в решениях этих задач был разный. В первой задаче мы обозначили через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач т одну из искомых величин (массу бензина во второй цистерне). Во второй задаче искомой величиной является расстояние между городами. Если эту величину обозначить через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км, то, составляя уравнение, придется провести довольно сложные рассуждения. Мы же через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч обозначили неизвестную скорость грузового автомобиля, выразили через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач пути, которые проехали автомобили, и составили уравнение, зная, что разность путей равна 10 км.

Итак, обозначать через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (или какой-нибудь другой буквой) желательно ту неизвестную величину, через которую легче выражаются величины, значения которых можно приравнять.

2) Чтобы составить уравнение, сначала выражаем через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач те величины, значения которых будем приравнивать. После этого записываем уравнение.

Уравнение как математическая модель реальных процессов

Опишем на языке математики задачу из примера. Ища скорость грузового автомобиля в этой задаче, мы обозначили ее через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч. Скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше, чем скорость грузового, что на языке математики записывают так: скорость легкового автомобиля равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч.

На языке математики расстояние, которое проехал грузовой автомобиль, записывают: 1,3Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км, а расстояние, которое проехал легковой автомобиль, — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км.

По условию задачи грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, что языком математики можно выразить так: разность расстояний, которые проехали грузовой и легковой автомобили, равняется 10 км и записать: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное уравнение и является математической моделью задачи на движение автомобилей. Построив математическую модель, мы свели задачу на движение к математической задаче — решить уравнение.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Уравнение с двумя переменными

Вы уже умеете решать линейные уравнения с одной переменной и уравнения, сводящиеся к линейным. Напомним, что линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменная.

Рассмотрим пример, который приводит к уравнению с двумя переменными.

Пусть известно, что сумма некоторых двух чисел равна 8. Если одно из чисел обозначить через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второе — через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

содержащее две переменные: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такое уравнение называют уравнением с двумя переменными.

Уравнения

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

тоже являются уравнениями с двумя переменными. Первые два из этих уравнений являются уравнениями вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнения вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменные, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа (коэффициенты уравнения).

Коэффициенты Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют еще коэффициентами при переменных, а коэффициент Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — свободным членом.

Решение уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то это уравнение превращается в верное числовое равенство 2 + 6 = 8. Говорят, что пара значений переменных Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением  уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, для которых уравнение превращается в верное числовое равенство.

Решениями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются и такие пары чисел:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращенно эти решения записывают так: (4; 4); (4,5; 3,5); (10; –2). В этих парах чисел на первом месте пишут значения переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на втором — значения переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это связано с тем, что переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач условно считают первой переменной, а переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — второй.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, можно подставить в уравнение произвольное значение одной переменной и, решив полученное уравнение с одной переменной, найти соответствующее значение другой переменной. Для примера найдем еще несколько решений уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы нашли два решения (7; 1) и (–3; 11). Давая переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач другие значения, получим другие решения уравнения. Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет множество решений.

Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач также имеет множество решений — его решениями являются любые пары чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач). Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач решений, явно, не имеет.

Вообще, линейное уравнение с двумя переменными или имеет множество решений, или не имеет никакого решения.

Свойства уравнений с двумя переменными

Свойства уравнений с двумя переменными такие же, как и уравнений с одной переменной, а именно:

  1. В любой части уравнения можно выполнить тождественные преобразования выражений (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые).
  2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
  3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Рассмотрим уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя свойства уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого перенесем слагаемое Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в правую часть, изменив его знак на противоположный: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим обе части полученного уравнения на 2:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно найти сколько угодно решений данного уравнения. Для этого достаточно взять произвольное значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислить соответствующее значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пары некоторых соответствующих значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач представим в виде таблицы. 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 10,5 9 7,5 6 4,5 3 1,5 0 –1,5

Пары чисел каждого столбца — решения уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №73

Найти значения коэффициента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых одним из решений уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является пара чисел (–1; 2).

Если пара чисел (–1; 2) является решением уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то должно  выполняться равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим полученное уравнение с переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решениями этого уравнения являются, например, пары чисел (0; —1) и (2; 2). Этим решениям на координатной плоскости соответствуют точки с координатами (0; –1) и (2; 2). Если на координатной плоскости изобразим все точки, координаты которых являются решениями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим график этого уравнение.

График уравнения с двумя переменными образуют все точки координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.

Чтобы выяснить, что является графиком уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выразим из него переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач задают линейную функцию, графиком которой является прямая. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Проведя через точки (0; —1) и (2; 2) прямую (рис. 38), получим график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта прямая является и графиком уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вообще, графиком уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в котором хотя бы один из коэффициентов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач отличен от нуля, является прямая.

Чтобы построить график такого уравнения, можно: 1) выразить переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (если это возможно) и построить график соответствующей линейной функции или 2) найти два решения уравнения, обозначить на координатной плоскости точки, соответствующие этим решениям, и провести через них прямую.

На рисунках 39 и 40 изображены графики линейных уравнений, у которых один из коэффициентов при переменных равняется 0:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графиком уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть прямая, параллельная оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящая через точку (0; 2).

Решениями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) являются все пары чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач), у которых Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное число. Точки координатной плоскости, соответствующие таким решениям, образуют прямую, параллельную оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и  проходящую через точку (3; 0).

Выясним размещение графика уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в зависимости от его коэффициентов.

1) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет угловой коэффициент Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа разных знаков, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и график уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач образует острый угол с положительным направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа одного знака, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, и угол, образующий график с положительным направлением оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, — тупой.

2) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Графиком уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельная оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Графиком уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая, параллельная оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Решением уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является любая пара чисел, а его графиком — вся координатная плоскость.

5) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, решений не имеет и его график не содержит ни одной точки.

Пример №74

Построить график уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сначала найдем два решения уравнения.

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — решение.

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — решение.

Решения уравнения можно представить в виде таблицы.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 2
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 2 –3

На координатной плоскости отмечаем точки (0; 2) и (2; –3) и проводим через них прямую. Эта прямая является искомым графиком.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №75

Построить график уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В данном уравнении имеем одну переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если нужно построить график такого уравнения, то считают, что это линейное уравнение с двумя переменными Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором коэффициент возле переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 0, то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Графиком уравнения является прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которая параллельна оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и проходит, например, через точку (0; –1,5).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Рассмотрим задачу:

В 7-А и 7-Б классах учатся вместе 56 учеников, к тому же, в 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б. Сколько учеников в каждом классе?

Для решения задачи обозначим количество учеников 7-А класса через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а количество учеников 7-Б класса — через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. По условию задачи, в 7-А и 7-Б классах вместе учатся 56 учеников, то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. В 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б, поэтому разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равна 4: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем два линейных уравнения с двумя переменными:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

И в первом, и во втором уравнениях переменные обозначают те же величины — количества учеников 7-А и 7-Б классов. Поэтому нужно найти следующие значения переменных, которые обращают в верное числовое равенство и первое, и второе уравнения, то есть нужно найти общие решения этих уравнений.

Если нужно найти общие решения двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки. Так, систему двух линейных уравнений с двумя переменными, составленную по условию нашей задачи, записывают:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общим решением обоих уравнений этой системы является пара значений переменных Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, ибо равенства 30+ 26 = 56 и 30 — 26 = 4 являются верными. Эту пару чисел называют решением системы уравнений.

Определение. Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, для которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение систем линейных уравнений графическим способом

Решим систему уравнений

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений системы. На рисунке 44 прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — график уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — график уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Координаты любой точки прямой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются решением первого уравнения системы, а координаты любой точки прямой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются решением второго уравнения. Любая общая точка этих прямых имеет координаты, которые являются решением как первого, так и второго уравнений, то есть являются решением системы. Так как прямые Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в единственной точке Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, то система уравнений имеет единственное решение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это решение можно записывать и в виде пары (—2; 1).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ решения систем линейных уравнений, который мы только что использовали, называют графическим.

Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, надо построить графики уравнений системы в одной системе координат и найти координаты общих точек этих графиков.

Если в каждом из двух линейных уравнений системы хотя бы один из коэффициентов возле переменных отличен от нуля, то графиками таких уравнений являются прямые. Поскольку две прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельными, то такие системы линейных уравнений могут иметь одно решение, множество решений или не иметь решений.

Количество решений системы двух линейных уравнений зависит от коэффициентов уравнений. Для произвольной системы уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой все коэффициенты второго уравнения отличны от нуля, верными являются утверждения:

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (коэффициенты при переменных не пропорциональны), то система уравнений имеет единое решение;

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны), то система уравнений имеет множество решений;

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам), то система уравнений решений не имеет.

Пример №76

Решить графически систему уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим графики уравнений системы.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 1 3
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —3 2

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 —3
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 1 0

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графики пересекаются в единственной точке — точке Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, система уравнений имеет единственное решение (3; 2). 

Примечание. Чтобы не ошибиться, определяя по графикам координаты точки Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, стоит проверить, действительно ли найденные координаты являются решением системы. Проверим: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — верные равенства. Пара (3; 2) является решением системы.

Пример №77

Сколько решений имеет система уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим графики уравнений системы.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 —1
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 2 0

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 —1
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 2 0

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графики совпадают. Система уравнений имеет множество решений.

Пример №78

Сколько решений имеет система уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим графики уравнений системы.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 3
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 3 0

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 1,5
Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 1,5 0

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графиками уравнений являются параллельные прямые (ибо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач). Система уравнений решений не имеет.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим верное равенство 7 + 2 = 9. Если в этом равенстве число 2 заменить числовым выражением 2(3 — 2), значение которого равно 2, то получим верное равенство 7 + 2(3 — 2) = 9. Наоборот, если в верном равенстве 7 + 2(3 — 2) = 9 выражение 2(3 — 2) заменить его значением 2, то получим верное равенство 7 + 2 = 9.

На этих свойствах числовых равенств базируется решение систем линейных уравнений способом подстановки. Рассмотрим пример.

Пусть нужно решить систему уравнений

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первого уравнения системы выразим переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим во второе уравнение системы вместо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим систему

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Системы (1) и (2) имеют одинаковые решения (доказательство — в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше"). Второе уравнение системы (2) имеет только одну переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решим его:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первое уравнение системы (2) подставим вместо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач число 2 и найдем соответствующее значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Пара чисел (2; –1) — решение системы (2), а также и системы (1).

Способ, использованный для решения системы (1), называют способом подстановки.

Чтобы решить систему линейных уравнений способом подстановки, надо:

  1. выразить из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;
  2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
  3. решить полученное уравнение с одной переменной;
  4. найти соответствующее значение другой переменной.

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одинаковые решения.

Пусть пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) — произвольное решение системы (1), тогда верными являются числовые равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а следовательно, и равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заменим в равенстве Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выражением Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим верное равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются верными, то пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) есть решением системы (2). Мы показали, что произвольное решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) — произвольное решение системы (2). Тогда верными являются числовые равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заменим в равенстве Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач числом Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим верное равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются верными, то пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) является решением системы (1). Мы показали, что произвольное решение системы (2) является решением системы (1).

Следовательно, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одно и те же решения, называют равносильными. Итак, решая систему уравнений (1), мы заменили ее равносильной системой (2).  

Пример №79

Решить систему уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выразим из первого уравнения переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим во второе уравнение системы вместо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и решим полученное уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем соответствующее значение переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. (–2; –3).

Пример №80

Для каких значений коэффициента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач система уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решения?

Выразим из второго уравнения переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив в первое уравнение системы вместо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим уравнение 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дальше получим: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее уравнение не имеет корней лишь в случае, когда коэффициент при Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач система уравнений не имеет решения.

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №81

Графиком функции является прямая, проходящая через точки А (—1; 2) и В (2; 5). Задать эту функцию формулой.

Прямая является графиком линейной функции. Пусть искомая линейная функция задается формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — пока что неизвестные числа. Поскольку график функции проходит через точки А(— 1; 2) и В(2; 5), то должны выполняться два равенства

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив систему Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, функция задается формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим два правильных равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложим почленно эти равенства: левую часть с левой и правую с правой:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Снова получили правильное равенство. Это свойство верных числовых равенств лежит в основе способа решения систем уравнений, который называют способом сложения. Рассмотрим пример.

Пусть нужно решить систему уравнений

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим систему

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Системы (1) и (2) имеют одни и те же решения (доказательство представлено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше»). Решим систему (2). Из первого уравнения находим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставив это значение во второе уравнение, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пара чисел (5; 3) — решение системы (2), а также и системы (1).

Решая систему (1), мы воспользовались тем, что в уравнениях коэффициенты при переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются противоположными числами, и после почленного сложения уравнений, получили уравнения с одной переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решим еще одну систему уравнений

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этой системе уравнений коэффициенты при переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и коэффициенты при переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются противоположными числами. Однако, умножив обе части первого уравнения на 2, а второго — на –3, получим систему

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

в которой коэффициенты при Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — противоположные числа. Сложим почленно уравнения последней системы, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в первое уравнение системы (3), находим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, решением системы (3) является пара чисел (—4; 6).

Чтобы решить систему линейных уравнений способом сложения, надо:

  1. умножить обе части уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;
  2. сложить почленно левые и правые части уравнений;
  3. решить полученное уравнение с одной переменной;
  4. найти соответствующее значение другой переменной.

Докажем, что системы уравнений (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) — произвольное решение системы (1), тогда верными являются числовые равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сложив эти равенства, получим верное равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются верными, то пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) является решением системы (2). Мы показали, что произвольное решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) — произвольное решение системы (2), тогда верными являются числовые равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вычитаем из первого из этих равенств второе. Получим верное равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются верными, то пара чисел (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) является решением системы (1). Мы показали, что произвольное решение системы (2) является решением системы (1).

Следовательно, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пример №82

Решить способом сложения систему уравнений

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим обе части первого уравнения системы на –2. Получим систему

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Почленно сложив уравнения последней системы, получим: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим в первое уравнение системы вместо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач число 3 и решим полученное уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. (–2; 3).

Решение задач с помощью систем уравнений

Вы уже решали задачи с помощью уравнений с одной переменной. Решим задачу, составив систему уравнений.

Пример №83

Скорость моторной лодки по течению реки равна 24 км/ч, а против течения — 19 км/ч. Какова скорость лодки в стоячей воде и какова скорость течения реки?

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, а скорость течения реки — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч. Скорость лодки по течению реки (24 км/ч) равна сумме его скорости в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому имеем уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость лодки против течения реки (19 км/ч) равна разности скорости лодки в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы ответить на вопросы задачи, нужно найти следующие значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые удовлетворяли бы и первое, и второе уравнения, то есть которые удовлетворяли бы систему этих уравнений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив систему, получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Скорость лодки в стоячей воде равна 21,5 км/ч; скорость течения реки — 2,5 км/ч.

Решая задачу, мы получили систему уравнений и задачу на движение привели к математической задаче — решить систему уравнений. Итак, в качестве математических моделей реальных процессов могут выступать не только функции и уравнения, но и системы уравнений.

Отметим, что для моделирования задачи можно было бы использовать уравнение с одной переменной. Однако для составления такого уравнения пришлось бы провести более сложные рассуждения.

Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, поступают так:

  1. обозначают некоторые две неизвестные величины буквами;
  2. используя условие задачи, составляют два уравнения с выбранными неизвестными;
  3. записывают систему этих уравнений и решают ее;
  4. отвечают на поставленные в задаче вопросы.

Пример №84

Если открыть кран горячей воды на 7 мин., а затем кран холодной — на 3 мин., то в ванну нальется 54 л воды. Если же открыть кран горячей воды на 8 мин., а затем кран холодной — на 6 мин., то в ванну нальется 72 л воды. Сколько литров воды наливается в ванну через каждый кран за минуту? 

Пусть за 1 мин. через первый кран (горячей воды) наливается Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач л воды, а через второй кран (холодной воды) — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач л. Тогда за 7 мин. через первый кран нальется 7Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач л воды, а через второй кран за 3 мин. — ЗАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач л. В результате, по условию задачи, в ванне будет 54 л воды. Имеем уравнение: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во втором случае за 8 мин. через первый кран нальется 8Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач л воды, а через второй кран за 6 мин. — 6Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач л, что, по условию задачи, равно 72 л воды. Имеем второе уравнение:  

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили систему уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим эту систему способом сложения: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первого уравнения системы находим Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 6 л; 4 л.

Рациональные выражения и рациональные дроби

Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными. Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.

Целые, дробные и рациональные выражения

В седьмом классе мы учили целые выражения. Примеры таких выражений: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вспомним: целые выражения могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, а также действие деления, но только на число, отличное от нуля. 

Каждое целое выражение можно записать в виде многочлена. Например,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим выражения

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти выражения отличаются от целых выражений тем, что содержат действие деления на выражение с переменной. Такие выражения называют рациональными выражениями.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим рациональные выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Они являются частями двух выражений, к тому же, действие деления записано с помощью черты дроби. Такие выражения называют дробями

Если имеем дробьАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где А и В — некоторые числовые выражения или выражения с переменными, то выражение А называют числителем дроби, а выражение В знаменателем.

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — дробь с числителем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и знаменателем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой А и В — многочлены, называют рациональной дробью. Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональные дроби.

Допустимые значения переменных

Рассмотрим дробное выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то значение этого выражения равно: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то значение выражения равно: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти для любого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то знаменатель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю, а на нуль делить нельзя. Говорят: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, а если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла. Значения переменных, для которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных

Определение. Допустимыми значениями переменных выражения называют такие их значения, для которых выражение имеет смысл.

Так, для выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач допустимыми значениями переменной являются все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Допустимыми значениями переменных  любого целого выражения являются все значения переменных. Допустимыми значениями переменных дробного рационального выражения являются все значения переменных, кроме тех, для которых равен нулю знаменатель хотя бы одной из дробей, которые входят в данное выражение

Тождественно равные выражения

Рассмотрим целое выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

то для любого значения переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующие значения выражений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равны друг другу. Такие целые выражения мы называли тождественно равными. 

А какие два не целых выражения считают тождественно равными?

Рассмотрим дробные выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Допустимыми значениями обоих являются все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти выражения имеют одинаковые знаменатели и тождественно равные числители. Поэтому для каждого допустимого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующие значения выражений равны друг другу. Такие выражения называют тождественно равными.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если для любых допустимых для них значений переменных соответствующие значения выражений равны друг другу.

Если два тождественно равных выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соединить знаком Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое является верным для всех допустимых значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Такое равенство называют тождеством.

Определение. Равенство, которое является верным для всех допустимых значений переменных, входящих в него, называют тождеством.

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — тождества.

Замену одного выражения тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием выражения.

Пример №85

Найти значения выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №86

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если:

а) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач б) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Упростим данное выражение: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — не имеет смысла 

Пример №87

Указать допустимые значения переменной в выражении:

а) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач б) Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в)Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Допустимыми являются все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Найдем значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых знаменатель дроби равен нулю:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Допустимыми являются все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Для любого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач значение знаменателя Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не меньше, чем 8, а поэтому не равно нулю. Следовательно, допустимыми являются все значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Основное свойство дроби

Вспомним основное свойство обычных дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натурально число, то получим дробь, которая равна данной. Следовательно, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральные числа, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогичное свойство справедливо для любых дробей. А именно:

Для любых значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняются равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Данные равенства являются тождествами и выражают основное свойство дроби, которое можно сформулировать так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на выражение, не тождественно равное нулю, то получим дробь, тождественно равную данной.

Сокращение дробей

С помощью тождества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно заменить на дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно сократить на общий множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач числителя и знаменателя. Например,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются тождествами, то есть они являются верными для всех допустимых значений переменных (первое — для всех значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач второе — для всех значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) выделить общий множитель числителя и знаменателя дроби;

2) выполнить сокращение на общий множитель.

Приведение дробей к общему знаменателю

С помощью тождества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно привести к новому знаменателю. Например, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — привели дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач к знаменателю Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любые дроби с разными знаменателями, как и обычные дроби, можно привести к общему знаменателю. Рассмотрим примеры.

Пример №88

Привести к общему знаменателю дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общим знаменателем данных дробей является произведение их знаменателей, то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Дополнительным множителем для первой дроби является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для второй — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №89

Привести к общему знаменателю дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знаменатели обеих дробей являются одночленами, поэтому общий знаменатель будем искать в виде одночлена, к тому же как можно меньшей степени. В качестве коэффициента этого одночлена возьмем наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей данных дробей,  то есть 24, а каждую переменную возьмем с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей, то есть возьмем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда общим знаменателем будет Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Дополнительным множителем для первой дроби является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для второй — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач так как  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю дроби, знаменателями которых являются одночленами, нужно:

  1. найти наименьшее общее кратное (НОК) коэффициентов знаменателей;
  2. образовать общий знаменатель в виде произведения НОК и степеней переменных с наибольшим показателем, с которым они входят в знаменатели;
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. (Чтобы найти дополнительный множитель для дроби, нужно записать общий знаменатель в виде произведения двух одночленов, одним из которых является знаменатель данной дроби. Тогда другой одночлен будет дополнительным множителем.)

Пример №90

Привести к общему знаменателю дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложим на множители знаменатель каждой дроби:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общим знаменателем дробей является произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачДополнительным множителем для первой дроби является выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для второй — выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю дроби, знаменателями которых являются многочлены, нужно:

  1. разложить на множители знаменатель каждой дроби;
  2. образовать общий знаменатель в виде произведения полученных множителей с наибольшим показателем, с которым они входят в знаменатели;
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Изменение знака числителя или знаменателя дроби

Рассмотрим верное числовое равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Его можно прокомментировать так: если изменить знак в числителе дроби и знак перед дробью, то получим дробь, которая равна данной. 

Таким же способом изменяют знак числителя или знаменателя любой дроби, используя тождества:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если изменить знак в числителе или знаменателе  дроби и знак перед дробью, то получим дробь, тождественно равную  данной. 

Докажем основное свойство дробей. Покажем, что равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является тождеством, то есть что оно выполняется для любых значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению частного имеем: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножив обе части полученного равенства на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим верное равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В таком случае из равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , опять-таки по определению частного, получимАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №91

Выделить общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократить дробь:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №92

Сократить дробь 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №93

Привести дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач к знаменателю Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то умножив числитель и знаменатель данной дроби на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №94

Привести к общему знаменателю дроби  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Общим знаменателем дробей является произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Дополнительным множителем для первой дроби является 1, для второй — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть первую дробь оставляем без изменений, а для второй дроби имеем: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают так же, как и обычные дроби с одинаковыми знаменателями, то есть складывают их числители, а знаменатель оставляют тем же:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство (1) является тождеством, то сеть оно является верным для любых значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из тождества  (1) следует такое правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. 

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняют на основе тождества

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из тождества (2) следует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.

Записывание дроби в виде суммы или разности дробей

В каждом из тождеств (1) и (2) поменяем местами левую и правую части:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученные тождества можно использовать, если нужно записать дробь в виде суммы или разности дробей.

Пример №95

Сложить дроби

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №96

Отнять дроби:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Изменив знак знаменателя второй дроби, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №97

Записать дробь в виде суммы или разности целого числа и дроби:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю и сложить или вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Таким же способом складывают и вычитают любые дроби с разными знаменателями. 

Пусть нужно сложить дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которые имеют разные знаменатели. Приведем эти дроби к общему знаменателю Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а второй дроби — на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычитают дроби с разными знаменателями аналогично, а именно:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:

  1. привести дроби к общему знаменателю;
  2. сложить или вычесть полученные дроби с одинаковым знаменателем.

Пример №98

Выполнить сложение (вычитание) дробей:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Общим знаменателем является произведение их знаменателей. Поэтому дополнительный множитель для первой дроби — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а для второй — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Общим знаменателем дробей является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Дополнительным множителем для первой дроби является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  для второй — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Разложив на множители знаменатели дробей, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №99

Представить в виде дроби выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач запишем в виде дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №100

Доказать тождество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразуем левую часть равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством. 

Примечание. Напоминаем, что для доказательства тождеств одну часть тождества приводят  к другой части, или обе части приводят к одному и тому же выражению, или создают разность левой и правой частей и доказывают, что она равно нулю.

Умножение дробей

Когда умножают обычные дроби, то отдельно умножают их числители и знаменатели и первое произведение записывают числителем дроби, а второй — знаменателем. Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точно так же умножают любые дроби: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство (1) является тождеством, то есть оно является верным для любых значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из тождества (1) следует правило умножения дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить отдельно их  числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Это правило распространяется на случай умножения трех и более дробей.

Возведение дроби в степень

Используя правило умножения дробей, возведем дробь до n-ной степени:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Следовательно, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из тождества (2) следует правило возведения дробей в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать числителем, а второй — знаменателем дроби.

Пример №101

Выполнить умножение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №102

Умножить дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Записав многочлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращенная запись: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №103

Возвести в квадрат дробь — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращенная запись: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Деление дробей

Когда делят обычные дроби, то первую дробь умножают на дробь,  обратную ко второй. Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким же способом делят любые дроби:Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее равенство является тождеством, то есть оно является верным для всех значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Из этого тождества следует правило деления дробей:

Чтоб разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй.

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №104

Выполнить деление:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тождественные преобразования рациональных выражений

В курсе алгебры нам уже попадалось немало заданий, для решения которых необходимо было преобразовать то или иное выражение. В частности, преобразование целых рациональных выражений мы использовали для решения уравнений, доказательства тождеств, нахождения значений выражений. Рассмотрим некоторые задачи, связанные с тождественными преобразованиями дробных рациональных выражений.

Пример №105

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сначала представим выражения в каждой скобке в виде дробей, а потом найдем их частное:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведенные преобразования можно записать в строку:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рациональное выражение в данном примере мы привели к рациональной дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Вообще, любое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. 

Пример №106

Доказать, что для всех допустимых значений переменных выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает одно и то же значение.

Упростим данное выражение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, для всех допустимых значений переменных, значение выражения равно одному и тому же числу (числу 2).

Пример №107

Доказать тождество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Упростим левую часть равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение — это такой вид уравнения, в которой левая и правая части являются рациональными выражениями. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому.

Целые и дробные рациональные уравнения

Рассмотрим уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Левая и правая части каждого из этих уравнений являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями.

Определение. Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Рациональные уравнения делят на целые и дробные. Если обе части рационального уравнения являются целыми выражениями, то такое уравнение называют целым рациональным уравнением. Рациональное уравнение, у которого хотя бы одна часть является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением.

  • Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое рациональное уравнение;
  • Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое рациональное уравнение;
  • Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— дробное рациональное уравнение;
  • Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач —  дробное рациональное уравнение.

Решение дробных рациональных уравнений на основании условия равенства дроби нулю

Вспомним: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда  ее числитель равен нулю,  а знаменатель отличный от нуля. 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Данное утверждение можно использовать для решения дробных рациональных уравнений. Рассмотрим примеры.

Пример №108

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используем условие, при котором дробь равна нулю. Приравняем числитель дроби к нулю:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проверим, отличен ли от нуля знаменатель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для найденных чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень уравнения.

Ответ 0.

Пример №109

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем данное уравнение к уравнению, левая часть которого является дробью, а правая — нулем:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравняем числитель дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач к нулю:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то знаменатель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач дроби отличный от нуля. Действительно:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень данного уравнения.

Ответ. –18.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение на основании условия равенства дроби нулю, необходимо:

  1. привести его к виду Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целые рациональные выражения;
  2. приравнять к нулю числитель дроби и решить полученное целое рациональное уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. исключить из его корней те, для которых знаменатель дроби равен нулю.

Равносильность уравнений

Решая предыдущий пример, мы имели цепочку уравнений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое из этих уравнений имеет один корень — число 0, второе и третье уравнения имеют два одинаковых корня — числа 0 и 2.

Определение. Два уравнения, которые имеют одинаковые корни, называют равносильными. Два уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными.

Следовательно,

  • уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильные;
  • уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не равносильные.

Уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильные, так как каждое из них не имеет корней.

Поскольку решение уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится к решению уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и проверке условия Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Решением этой системы, как мы уже выяснили, является число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы уже рассматривали преобразование уравнений, выполняя которые, получают уравнения с одними и теми же корнями. Следовательно, эти преобразования переводят уравнение в равносильное ему уравнение. С ними связаны такие основные свойства уравнений.

Свойство 1. Если в какой-либо части уравнения выполнить тождественное преобразование, которое не изменяет допустимые значения переменной, то получим уравнение, равносильное данному.

Свойство 2. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Свойство 3. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Умножение обоих частей уравнения на выражение  с переменной

Рассмотрим пример.

Пример №110

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то общим знаменателем всех дробей, которые входят в уравнение, является Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножив обе части уравнения на общий знаменатель, при условии, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень уравнения.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не является корнем уравнения.

Ответ. 0.

Обратим внимание, что уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет один корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а полученное в решении уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  — два корня Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, умножив обе части дробного уравнения на общий знаменатель, мы потеряли его корень, но получили посторонний относительно этого уравнения корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Верным является утверждение:

Если обе части какого-либо уравнения умножить на целое выражение с переменной, то можно получить уравнение, не равносильное данному. Полученное уравнение имеет такие свойства: 1) его корнями являются все корни данного уравнения; 2) оно может иметь посторонние корни относительно данного уравнения.

Посторонними корнями могут быть значения переменной, для которых целое выражение, на которое мы умножаем обе части уравнения, становится равным 0. Эти посторонние корни можно отбросить, сделав проверку. 

Чтобы решить дробное рационально уравнение, можно:

  1. умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и заменить его целым рациональным уравнением;
  2. решить полученное целое рациональное уравнение;
  3. исключить из его корней те, для которых общий знаменатель дробей равен нулю.

Пример №111

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. –1. 

Пример №112

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем рассматривать равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач как пропорцию. Согласно основному свойству пропорции, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим полученное уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач условие Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не выполняется. Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — не корень уравнения.

Ответ. Корней нет.

Пример №113

Из города А в город В , расстояние между которыми равно 21 км, выехал велосипедист, а через 20 минут вслед за ним — мотоциклист, скорость которого втрое больше, чем скорость велосипедиста. Найти скорость велосипедиста, если известно, что мотоциклист приехал в город В на 40 минут раньше, чем велосипедист.

Пусть скорость велосипедиста равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, тогда скорость мотоциклиста — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч. Расстояние 21 км велосипедист преодолел за Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач часов, а мотоциклист  — за Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (часов). Поскольку велосипедист был в дороге на 20 мин. + 40 мин. = 60 мин. = 1 час дольше, чем мотоциклист, то получим уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Решим это уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 14 км/ч.

Степень с целым показателем

Когда говорят о степени с целым показателем, это означает, что число "n" должно быть величиной не дробной. Если данный показатель имеет отрицательное значение, то для начала необходимо избавиться от минуса перед показателем степени, а затем производить действия над степенью.

Степень с натуральным показателем

Степени с натуральным показателем мы уже изучали ранее. Напоминаем, что степенью числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с натуральным показателем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач множителей, каждый из которых равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В выражении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач число 4 называют основанием степени, число 3 — показателем степени, а все выражение — степенью. Степенью числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачс показателем 1 называют само число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Степени с натуральными показателями часто используют для записи  больших чисел и больших значений величин в компактном виде. Например,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если значение величины маленькое, то ее задают с помощью степеней, показатели которых не являются натуральными числами. Например, из справочной литературы можно узнать, что масса молекулы воды равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Чтобы понять подобные задания величин, расширим действие возведения в степень. Рассмотрим, что означает возведение в степень с нулевым и целым отрицательным показателем. 

Степень с нулевым и целым отрицательным показателем

Рассмотрим степень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с натуральным показателем. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то эту степень можно представить как часть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если равенство (1) распространить на случай Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Именно число 1 считают нулевой степенью любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Степень числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с нулевым показателем, где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равна 1.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Степень числа 0 с нулевым показателем не определена, то есть запись Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла.

Распространим равенство (1) для случаев Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для следующих целых отрицательных значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач должны быть: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. Следовательно, целесообразно принять по определению, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число.

Определение. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число, то степенью числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с целым отрицательным показателем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  — натуральное число)

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Степень числа 0 с целым отрицательным показателем не определена. Поэтому, запись Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла.

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести в отрицательную степень дробь, можно использовать равенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число.

Это равенство следует из таких преобразований:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №114

Вычислить:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №115

Используя отрицательный показатель, представить дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде произведения.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №116

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №117

Представить в виде рациональной дроби выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство степени с целым показателем

Степени с целым показателем имеют все свойства, установленные для степеней с натуральным показателем, а именно:

для любого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и любых целых чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливы равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

для любых чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и любого целого числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливы равенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства этих свойств используют определение степени с целым показателем и свойства степени с натуральным показателем. 

Покажем, например, что равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным, если показатели степеней являются целыми отрицательными числами. В этом случае показатели степеней можно записать в виде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральные числа. Осталось доказать, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точно так же можно доказать, что равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным, когда один из показателей степени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачили Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является отрицательным, а другой — положительным, когда один или оба показателя равны нулю.

Пример №118

Вычислить:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №119

Представить выражение в виде степени с основанием Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №120

Представить степень в виде выражения, которое не содержит степени с отрицательным показателем:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №121

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Стандартный вид числа

В науке и технике приходится иметь дело с величинами, значения которых очень большие или очень маленькие. Например:

  • площадь Мирового океана равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • диаметр молекула воды равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • масса молекулы воды равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Указанные значения трудно прочитать, а выполнение с ними определенных действий приводит к громоздким записям. Чтобы эффективнее оперировать с большими и маленькими положительными числами, их удобно записывать с помощью степеней числа 10. Например:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

О числах Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач говорят, что они записаны в стандартном виде. 

Определение. Стандартным видом положительного числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют его написание в виде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число.

Число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют порядком числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, порядок числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 14, а порядок числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен –23. Порядок числа дает представление про то, насколько большим или маленьким является это число.

Обратим внимание на особенность числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то в целой части десятичной записи числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть только одна цифра, к тому же отличающаяся от нуля.

В стандартном виде можно записать любое положительное число.

Например, запишем число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в стандартном виде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Чтобы получить число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач перенесем в числе Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачзапятую на 2 цифры влево: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Число а в Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач раз меньше, чем число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другой пример: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (В числе Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач перенесли запятую вправо на 4 цифры, получили число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое в Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач больше, чем число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №122

Записать в стандартном виде число:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №123

Выполнить действия и записать результат в стандартном виде:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Слагаемое, содержащее большую степень числа 10 (первое слагаемое), оставим без изменений, а в другом выделим множитель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ранее мы рассматривали прямую пропорциональность — функцию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция является отдельным, но важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов. Например, если тело двигается со скоростью 10 м/с, то путь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач пройденный им за время Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно вычислить по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Обратим внимание, что зависимость пути Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач от времени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямой пропорциональностью, так как если увеличим (уменьшим) время Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в несколько раз, то во столько же раз увеличится (уменьшится) путь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Существуют зависимости между величинами, имеющими другой, но несколько схожий характер. Рассмотрим примеры.

Пример №124

Пусть тело двигается равномерно и прямолинейно. Если путь 24 м тело проходит за время Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то скорость его движения равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующие им значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — вдвое большему времени отвечает вдвое меньшая скорость. В целом, если увеличим (уменьшим) время Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в несколько раз, то во столько же раз уменьшится (увеличится) скорость Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №125

Пусть площадь прямоугольника равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а длина одной из его сторон — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда длина другой стороны прямоугольника равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Если увеличивать (уменьшать) значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в несколько раз, то во столько же раз уменьшится (увеличится) значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В обоих примерах имеем зависимости между величинами с такой особенностью: если увеличивать (уменьшать) одну величину в несколько раз, то во столько же раз уменьшается (увеличивается) вторая величина. Каждую из таких зависимостей называют обратной пропорциональностью.

В первом примере скорость Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией от времени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а во втором примере длина у второй стороны прямоугольника является функцией от длины Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач первой стороны. Обе функции можно задать формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — независимая переменная, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое число, называют обратной пропорциональностью.

Построим график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим таблицу для нескольких значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующих значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (рис. 1).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если для каждого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислили соответствующее значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначили точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которую называют гиперболой (рис 2.). Она состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. 

В целом, график любой обратной пропорциональности называют гиперболой.

На рисунке 3 изображена гипербола, которая является графиком функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Она состоит из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (обратной пропорциональности).

  1. Область определения функции создают все числа, кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Область значений функции создают также все числа, кроме Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Графиком функции является гипербола, которая состоит из двух ветвей.
  4. График функции расположен в Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач координатных четвертях, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач во Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач координатных четвертях, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  5. График функции симметричный относительно начала координат.

Доказательство свойства 5 представлено в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше".

Докажем, что график обратной пропорциональности симметричен относительно начала координат (свойство 5).

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка, которая принадлежит графику функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда справедливо равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножив обе части этого равенства на –1, получим верное равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач из которого следует, что графику принадлежит и точка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка, симметричная точке Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно начала координат.

Пример №126

Решить графически уравнениеАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

УравнениеАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно уравнению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Строим в одной системе координат графики функций Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4). Эти графики пересекаются в точках с абсциссами Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью проверки устанавливаем, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются корнями уравнения.

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратные корни и действительные числа 

В предыдущих классах мы рассматривали натуральные, целые и рациональные числа. Оказывается, что для практических и теоретических задач таких чисел мало. Среди них, например, нет числа, которое выражало бы длину диагонали квадрата со стороной 1.

В данной лекции мы расширим понятие числа: будем рассматривать иррациональные и действительные числа. Выясним также, что такое квадратный корень, какие свойства имеет квадратный корень.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция y = x2

Вы знаете, что площадь квадрата вычисляют по формуле Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина стороны квадрата. Поскольку каждому значению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственное значение площади Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией от Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Переходя к принятым обозначениям аргумента и функций, получим функцию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее будем рассматривать функцию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно придавать любые значения. 

Построим график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого сначала составим таблицу для нескольких значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующих значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной плоскости точки (рис. 5), координаты которых представлены в таблице. Если для каждого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислили соответствующее значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначили бы точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которая является графиком функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6). Эту линию называют параболой.

Функция Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет такие свойства:

  • Область определения функции образуют все числа.
  • Графиком функции является парабола.
  • Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из свойства 3 следует, что график функции проходит через точку (0; 0). Эту точку называют вершиной параболы. Вторая часть свойства означает, что все точки параболы, кроме ее вершины, расположены выше оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • Область значений функции образуют все неотрицательные числа.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • График функции симметричный относительно оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, противоположным значениям  аргумента соответствует одно и то же значение функции. Например, противоположным значениям аргумента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует одно и то же  значение функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, если графику принадлежит точка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то ему принадлежит и точка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Это и означает, что парабола симметрична относительно оси Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №127

Сколько корней имеет уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Строим в одной системе координат графики функций Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти графики пересекаются в одной точке с абсциссой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, данное уравнение имеет один корень.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Один корень.

Квадратный корень

Рассмотрим задачу: найти сторону квадрата, площадь которого равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть сторона квадрата равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда его площадь составит Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач что по условию задачи равно Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим полученное уравнение графически. Парабола Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает прямую Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачв двух точках с абсциссами 3 и —3 (см. рис. 7). Поэтому корнями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются два числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина стороны квадрата не может выражаться отрицательным числом. Следовательно, искомая сторона равна 3 см.

Решая задачу, мы нашли числа 3 и –3, квадраты которых равны 9. Каждое их этих чисел называют квадратным корнем из числа 9

Определение. Квадратным корнем из числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое число, квадрат которого равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Квадратными корнями из числа 9, как мы уже показали, являются два числа: 3 и –3.

Квадратными корнями из числа 6,25 являются числа 2,5 и –2,5, так как Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратными корнями из числа 0 является только число 0, так как только квадрат нуля равен нулю.

Квадратных корней из числа –9 не существует, так как нет чисел, квадраты которых равнялись бы отрицательному числу.

Арифметический квадратный корень

Мы установили, что числа 3 и –3 являются квадратными корнями из числа 9. Неотрицательный из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим квадратным корнем из числа 9.

Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Арифметический квадратный корень из числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — знак арифметического квадратного корня). Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач читают:  квадратный корень из Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (правильно было бы: арифметический квадратный корень из Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач но во время чтения слово "арифметический" опускают).

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: квадратный корень из девяти равен трем).

По определению арифметического квадратного корня:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач так как число 11 неотрицательное Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В общем случае равенство 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

является верным, если выполняются два условия:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Корней из числа –1 не существует, поэтому не существует и арифметического квадратного корня из этого числа. Говорят, что выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла.

В целом, выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

ТождествоАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Это тождество следует из определения арифметического квадратного корня. Действительно, поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Извлечение квадратного корня

Нахождение значение арифметического квадратного корня иногда называют извлечением квадратного корня. Извлекать квадратные корни из натуральных чисел, которые являются точными квадратами, можно по таблице квадратов. Пусть необходимо найти Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По таблице квадратов находим, что число 5476 является квадратом числа 74, поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что по таблице квадратов нельзя найти значение квадратного корня из натурального числа, которое не является точным квадратом или квадрат которого не помещен в таблицу. 

Для извлечения квадратного корня из числа можно использовать калькулятор. Для этого необходимо ввести число в калькулятор, а потом нажать клавишу Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачНа экране появится значение корня.

Найдем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Введем в калькулятор число 111,9 и нажмем клавишу Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач На экране появится число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — приближенное значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Полученный результат округляют до нужного числа знаков. Например, округлив результат до тысячных, получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачВведем в калькулятор число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи нажмем клавишу Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач На экране появится число 3456 — точное значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №128

Доказать, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число 0,2 — неотрицательное и его квадрат равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №129

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение  x= a

Решим графически уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого в одной системе координат построим графики функций Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямые Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач На рисунке 8 изображена парабола Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямые Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для трех случаев: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает параболу в двух точках с абсциссами Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому в данном случае корнями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим прямую Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которая имеет с параболой одну общую точку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то прямая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не пересекает параболу. В данном случае уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней. 

Следовательно, уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) имеет два корня Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) имеет единый корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) не имеет корней, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, 

  • уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два корня Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два корня Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней.

Пример №130

Решить уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение корней не имеет, так как Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Корней нет.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовые множества

Натуральные и целые числа: Из курса математики нам известно, что натуральные числа 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

используют в большинстве для счета.

Целые числа

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

— это натуральные числа, противоположные им числа и число 0.

Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а все целые числа — множество целых чисел, которое обозначают буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Термин "множество" используют, когда речь идет о наборе, совокупности любых объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество учеников школы, множество деревьев в парке, множество букв алфавита, множество планет Солнечной системы и тому подобное. Понятие "множество" относится к основным понятиям математики, таких как "число", "точка", "прямая", поэтому его не определяют.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества. Так, число 5 — элемент множества натуральных чисел. Для обозначения множеств используют большие буквы латинского алфавита Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а для обозначения элементов множества — малые буквы Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если элемент Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является элементом множества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то записывают: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач). Запись Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что элемент Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит множеству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Например:

пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество простых чисел; тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество букв русского алфавита, которые обозначают гласные звуки; тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тот факт, что число 3 является целым, а число 0,5 — нет, можно записать так: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Записывая множество, которое состоит из конечного количества элементов, эти элементы берут в фигурные скобки. Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — множество, которое состоит из трех элементов — чисел 1, 3, и 5. Тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое натуральное число является целым. Поэтому множество натуральных чисел является частью (подмножеством) множества целых чисел. 

В целом, если любой элемент множества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является элементом множества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачто множество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют подмножеством множества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и записывают Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является подмножеством Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Например, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач так как оба элемента — 1 и 1 множества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются элементами множества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач На рисунке 9 показано схематично, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рациональные числа

Рациональные числа, как мы знаем, — это целые и дробные числа. Примерами рациональных чисел являются Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  и так далее.

Множество всех рациональных чисел обозначают буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждое натуральное и каждое целое число  являются рациональным числом, поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любое рациональное число можно представить в виде дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное. Например, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому говорят, что рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное.

Рациональные числа, как мы знаем, можно представить также в виде десятичных дробей. Например,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рациональное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач представлено в виде конечной десятичной дроби 0,375, а рациональное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — виде бесконечной десятичной периодической дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с периодом 27.

Конечную десятичную дробь 0,375 можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В целом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и наоборот: любая бесконечная десятичная периодическая дробь является записью некоторого рационального числа. Например,

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы убедиться, что данные равенства являются верными, достаточно рациональные числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач представить в виде бесконечных десятичных дробей.

Иррациональные числа

Рассмотрим пример.

Пусть имеем квадрат Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач сторона которого равна единичному отрезку (рис. 10).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим длину диагонали Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач через Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач На этой диагонали построим квадратАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач как показано на рисунке. Площадь квадрата Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равна 1, площадь треугольника Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — половине площади квадрата Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач, а площадь квадрата Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач С другой стороны, площадь квадрата Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равна квадрату стороны Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили, что длина Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть положительным числом, квадрат которого равен 2. Однако среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2 (доказательство — в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше").

Следовательно, число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое определяет длину диагонали квадрата со стороной 1, не является рациональным числом. 

Поскольку число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является положительным, и его квадрат равен 2, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — не рациональное число, то есть его нельзя представить в виде дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  — целое число, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное.

Число, которое нельзя представить виде дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное, называют иррациональным числом.

Префикс "ир" означает отрицание: иррациональное — не рациональное.

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— иррациональное число. Если искать значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью калькулятора, то получим приближенное значение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точное же значение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

представляется в виде бесконечной десятичной непериодической дроби (эта дробь не может быть периодической, так как Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — не рациональное число).

В целом, любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примерами иррациональных чисел являются: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В целом, если натуральное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не является точным квадратом, то числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются иррациональными.

Иррациональными являются также числа:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое выражает отношение длины окружности к ее диаметру;

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (количество нулей между пятерками последовательно увеличивается на 1).

Действительные числа

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которое обозначают буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое действительное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачможно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь периодическая, то действительное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является рациональным; если же эта дробь непериодическая, то действительное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является иррациональным. Понятно, что множества натуральных, целых и иррациональных чисел являются подмножествами множества действительных чисел (см. рис. 11).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (на отличные от нуля числа), возводить в степень, к тому же для этих действий выполняются свойства, установленные для действий над рациональными числами. В частности, для действий сложения и умножения справедливы свойства перемещения, сочетания и распределения:

  • свойство перемещения:  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • свойство сочетания:  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • свойство распределения:  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — любые действительные числа.

Например: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любые два действительных числа можно сравнить. Если числа записаны в виде бесконечных десятичных дробей, то их сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как данные числа имеют одинаковые целые части, одинаковое число десятых, но второе число содержит большее число сотых.

Этапы развития понятия числа

В истории развития понятия числа точкой отсчета являются натуральные числа, которые возникли очень давно и служили для подсчета количества предметов. Каждое следующее расширение и обобщение понятия числа проходило под влиянием практических потребностей, а также под влиянием потребностей самой математики.

Так, необходимость точнее измерять размеры земельных участков, определять время, вести торговые расчеты и так далее привели к введению понятия "дробное положительное число".

Идея введения отрицательного числа больше связана с потребностями самой математики — отрицательные числа были нужны для решения уравнений.

Введение иррациональных и действительных чисел решило проблему измерения длины отрезка, так как по выбранной единице измерения действительным числом выражается длина любого отрезка.

Докажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что рациональное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрат которого равен 2, существует. Представим число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде несократимой дроби Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, а Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное. Тогда:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число. Тогда и число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач должно быть четным  (если бы число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачбыло нечетным, то и число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач было бы нечетным). Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число. Подставив в равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задаччисло Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Из равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а с ним и число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное.  Поскольку числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач четные, то дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно сократить на 2. Однако, это противоречит тому, что дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач несократимая.

Следовательно, предположение, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2, не верное. Поэтому верным является утверждение, которое и требовалось доказать.

Пример №131

Сравнить числа:

 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) С помощью калькулятора находим Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Вспомним: из двух отрицательных чисел большим является то число, модуль которого меньше. Поскольку, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №132

Найти приближенное значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач округлив предварительно значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) до сотых;   б) до тысячных.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №133

Записать все двухэлементные подмножества Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №134

В классе у 12 девочек черные брови, у 10 девочек — карие глаза, у 7 девочек — черные брови и карие глаза. У скольких девочек черные брови или карие глаза?

Пусть С — множество тех девочек, у которых черные брови, а К — множество тех девочек, у которых карие глаза. Схематично изобразим эти множества на рисунке.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

При условии, что черные брови и карие глаза у 7 девочек, множества С и К содержат 7 общих элементов. Поскольку у 12 девочек черные брови, у 7 девочек — черные брови и карие глаза, то только черные брови у Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (девочек). Только карие глаза у Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач(девочек). Следовательно, черные брови или карие глаза у Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (девочек).

Ответ. 15 девочек.

Свойства арифметического квадратного корня

Напомним сначала, как мы доказываем равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку, 1) правая часть равенства является неотрицательным числом Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и 2) квадрат правой части равен выражению под корнем в левой части (Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным. Такие размышления будем использовать для доказательства свойств арифметического квадратного корня, сформулированных в виде теорем.

Квадратный корень из произведения

Теорема 1.  Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей:

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1) Выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл. Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает неотрицательные значения, и квадрат этого выражения равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным.

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя теорему 1, можно находить квадратный корень из произведения, которое содержит три и более неотрицательных множителя. Например, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В целом, квадратный корень из произведения нескольких неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей.

Квадратный корень из дроби

Теорема 2. Квадратный корень из дроби, числитель которой является неотрицательным, а знаменатель — положительным, равен квадратному корню из числителя, поделенного на квадратный корень из знаменателя:

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Доказательство. 1) Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл. Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным.

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратный корень из степени

Теорема 3. Квадратный корень из степени Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  — натуральное число, равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1) Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным.

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тождество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Докажем, что для любого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает неотрицательные значения, и квадрат этого выражения равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным. 

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №135

Найти значения выражений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №136

Найти значение выраженияАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №137

Найти значения выражений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №138

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №139

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тождественные преобразования выражений, которые содержат квадратные корни

Рассмотрим преобразования, связанные со сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением в степень выражений, которые содержат квадратные корни:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вынесение множителя из-под знака корня

Рассмотрим преобразование:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполненное преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае вынесен из-под знака корня множитель 3.

Вынесем множитель из-под знака корня в выражениях Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим преобразование:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. Заменив выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач мы внесли под знак корня множитель 3.

Внесем множитель под знак корня в выражении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем множитель под знак корня в выражении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби

Рассмотрим преобразования, которые позволяют избавиться от корней в знаменателях или числителях дробей:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполненные преобразования называют избавлением от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Каждое такое преобразование сводится к умножению числителя и знаменателя дроби на определенное выражение.

Пример №140

Упростить выражения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №141

Разложить на множители:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет смысл, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для таких значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Учитывая, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №142

Упростить выражение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Разложив числитель и знаменатель дроби на множители, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №143

Упростить выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Избавившись от иррациональности в знаменателях дробей, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция y = √x

Если известна площадь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрата, то для нахождения его стороны Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно воспользоваться формулой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку каждому значению площади Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственное значение стороны Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией от Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Переходя к принятым обозначениям функции и аргумента, получим функцию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому областью определения функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество всех неотрицательных действительных чисел.

Построим график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач составив таблицу для некоторых значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующих значений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (см. рис. 12). Если для каждого неотрицательного значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислили соответствующее значение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначили бы точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которая является графиком функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

График функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют правой ветвью параболы. График функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить, если эту ветвь симметрично отобразить относительно прямой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поэтому и график функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют ветвью параболы.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет следующие свойства:

  1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел.
  2. Областью значений функции также является множество всех неотрицательных действительных чисел. Действительно, значения функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не могут быть отрицательными. В то же время любое неотрицательное число является значением функции. Например, число 10 является значением функции Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для значения аргумента Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Графиком функции является ветвь параболы.
  4. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть график проходит через начало координат. График расположен в первой четверти координатной плоскости.

Уравнение √x = a

Рассмотрим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое число.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то, по определению арифметического квадратного корня, равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач будет верным только при условии, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В данном случае уравнение имеет один корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение корней не имеет, так как арифметический квадратный корень не может быть равен  отрицательному числу. 

Следовательно, уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) имеет один корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) не имеет корней, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет один корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней.

Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является примером иррационального уравнения (так называют всякое уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня). Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то его можно решить путем возведения обеих частей уравнения в квадрат: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №144

Решить уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 16.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратные уравнения 

Существует много задач, решая которые, получают уравнения, содержащие квадрат переменной.

В данной лекции мы выясним, что такое квадратное уравнение, сколько корней может иметь квадратное уравнение и как их находить. Познакомимся также с уравнениями, которые приводятся к квадратным, и задачами, которые решают с помощью квадратных уравнений и уравнений, которые приводятся к квадратным.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ранее мы рассматривали линейные уравнения с одной переменной, то есть уравнения вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменная, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа (коэффициенты уравнения). Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит переменную Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач только в первой степени, и если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то же самое уравнение называют еще уравнением первой степени с одной переменной. 

Рассмотрим задачу, которая приводит к уравнению, содержащему переменную во второй степени (в квадрате).

Пример №145

Площадь участка прямоугольной формы равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Длина участка на 10 м больше, чем ширина. Найти ширину участка.

Пусть ширина участка равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда длина участка равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а площадь — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию задачи эта площадь равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому получим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное уравнение называют квадратным.

Определение. Квадратным уравнением называют  уравнение вида

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменная, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа, причем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют коэффициентами квадратного уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — первый коэффициент; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — второй коэффициент; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — свободный член.

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — квадратное уравнение, в котором первый коэффициент Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач второй коэффициент Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач свободный член Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в квадратном уравнении первый коэффициент равен 1, то такое уравнение называют приведенным квадратным уравнением. Так, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  —приведенное квадратное уравнение.

Любое квадратное уравнение, которое не является приведенным, можно преобразовать в равносильное ему приведенное квадратное уравнение. Например, квадратное уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не является приведенным. Разделив обе его части на первый коэффициент, получим приведенное квадратное уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачхотя бы один из коэффициентов Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, уравнения

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

являются неполными квадратными уравнениями. В первом уравнении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач во втором — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в третьем — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, существует три  вида неполных квадратных уравнений:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение неполных квадратных уравнений

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в виде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Первый множитель равен нулю, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач второй — тоже, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому иногда говорят, что уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два равных корня Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №146

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №147

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула корней квадратного уравнения

Выведем формулы, которые позволят искать корни любого квадратного уравнения, зная его коэффициенты. Для этого решим в общем виде квадратное уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим обе части уравнения на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим равносильное ему уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В левой части уравнения выделим квадрат двучлена:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют дискриминантом квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают буквой Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая данное обозначение, уравнение (2) можно записать так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наличие корней уравнения и их количество зависит от знака числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим три возможных случая: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачто из уравнения (3) получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то квадратное уравнение (1) имеет два разных корня

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти две формулы для корней можно объединить в одну:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученную формулу называют формулой корней квадратного уравнения.

2) Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то из уравнения (3) получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученный корень можно найти и по формуле корней квадратного уравнения. Действительно, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому иногда говорят:  если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение имеет два равных корня, каждый из которых равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то квадратное уравнение (1) имеет один корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (или два равных корня, каждый из которых равен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач).

3) Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение (3) не имеет корней, так как его левая часть приобретает неотрицательные значения, а правая часть является отрицательным числом. 

Следовательно, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то квадратное уравнение (1) не имеет корней.

Итог: корни квадратного уравнения

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решать квадратное уравнение целесообразно так:

1) Вычислить дискриминант Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и сравнить его с нулем.

2) Если дискриминант положительный или равен нулюАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если дискриминант отрицательный, то записать, что уравнение не имеет корней.

Формула корней приведенного квадратного уравнения

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, для приведенного квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим такую формулу корней:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя эту формулу, найдем корни уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №148

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №149

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

Пример №150

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Данное уравнение имеет один корень Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №151

Существуют ли значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней?

Найдем дискриминант уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то данное уравнение для любого значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни.

Ответ. Не существуют.

Теорема Виета

Рассмотрим приведенные квадратные уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем корни каждого из этих уравнений, а также сумму корней и их произведение. Результаты занесем в таблицу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы видно, что сумма корней каждого из уравнений равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это верно для любого приведенного квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое имеет корни.

Теорема (Виета). Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — его корни. Тогда

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Поскольку уравнение имеет корни, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач)

Найдем сумму и произведение корней:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни приведенного квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказанную теорему называют "теоремой Виета" по фамилии французского математика Франсуа Виета (1540—1603), который первый заметил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

На основании теоремы Виета можно, не находя корней квадратного уравнения, искать их сумму и произведение. Использовать теорему Виета можно только для квадратных уравнений, которые имеют корни.

Рассмотрим, например, уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Оно имеет корни, так как Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения, то, по теореме Виета:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Пусть некоторое приведенное квадратное уравнение имеет корни. Из уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач следует: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то эти корни оба положительные или оба отрицательные; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то корни имеют разные знаки.

Замечание 2. Если коэффициенты уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются целыми числами, то из равенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что целыми корнями такого уравнения могут быть только числа, на которые делится (без остатка) свободный член Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, целыми корнями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач могут быть только числа 1, 5,  —1, или —5.

Сумма и произведение корней произвольного квадратного уравнения

Мы доказали теорему Виета для приведенного квадратного уравнения. Рассмотрим теперь произвольное квадратное уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое имеет корни Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Данное уравнение равносильно уравнению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное квадратное уравнение уже является приведенным, а поэтому для него выполняется теорема Виета: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни квадратного уравнения

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Если сумма двух чисел равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а их произведение равно Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то эти числа являются корнями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач такие, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставим значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим равносильное ему уравнение

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим полученное уравнение так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются корнями уравнения (2), а поэтому и корнями уравнения (1). Теорема доказана.

На основании теоремы, обратной теореме Виета, можно:

  1. проверить, являются ли некоторые два числа корнями заданного квадратного уравнения;
  2. решить квадратное уравнение путем подбора его корней;
  3. составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются некоторые заданные два числа.

Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример №152

Являются ли числа —3 и 5 корнями уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем сумму чисел —3 и 5 и их произведение: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Сумма чисел равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, числа —3 и 5 являются корнями данного уравнения.

Пример №153

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач путем подбора его корней.

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения. Тогда

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проверим, могут ли корнями уравнения быть целые числа. Равенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным для таких пар целых чисел: —1 и 8; —2 и 4; —4 и 2; —8 и 1.Из этих пар только сумма чисел третьей пары равна —2. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, числа —4 и 2 являются корнями данного квадратного уравнения. Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. —4; 2.

Пример №154

Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа —11 и 4.

Искомое уравнение должно иметь вид Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, получим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №155

Не решая уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач найти сумму и произведение его корней.

Найдем дискриминант уравнения: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то данное уравнение имеет корни. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения, то по формулам Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач находим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №156

Найти коэффициенты приведенного квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если его корнями являются числа 3 и —6.

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения. По теореме Виета

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №157

Найти значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Виета Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. —61.

Пример №158

Корни Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач отвечают условию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти эти корни и коэффициент Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Виета Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая условие Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим систему уравнений Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения. Тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. —4; —6 — корни уравнения; Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратный трехчлен и его корни

Рассмотрим выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждое из них является многочленом второй степени и содержит три члена. Такие выражения называют квадратными трехчленами.

Определение. Квадратным трехчленом называют многочлен вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачгде Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач— переменная, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые известные числа, причем Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение квадратного  трехчленаАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. Говорят, что число 1 является корнем этого трехчлена. 

Определение. Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, для которого значение трехчлена равно нулю.

Чтобы найти все корни квадратного трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, данный квадратный трехчлен имеет два корня: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и 1.

Дискриминант Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют и дискриминантом квадратного трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то квадратный трехчлен имеет два корня, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — один корень, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то квадратный трехчлен корней не имеет.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Зная корни квадратного трехчлена, его можно разложить на множители на основании такой теоремы:

Теорема. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни квадратного трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Корни Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач данного трехчлена являются корнями квадратного уравнения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому по теореме Виета

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая эти равенства, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку корнями квадратного трехчлена Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и 1, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы разложили квадратный трехчлен Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на два множителя, каждый из которых является многочленом первой степени. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, которые являются многочленами первой степени.

Пример №159

Разложить на множители квадратный трехчлен:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Решим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Решим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение имеет два равных корня, поэтому:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №160

Сократить дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложим квадратный трехчлен  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на множители:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дробные рациональные уравнения

Решение некоторых дробных рациональных уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Рассмотрим пример.

Пример №161

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перенесем дробь Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в левую часть уравнения и запишем полученную разность в одной дроби:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем значения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых числитель дроби равен нулю:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то знаменатель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен нулю. Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения.

Ответ. 2; 7.

Биквадратные уравнения

Определение. Уравнение вида Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют биквадратным уравнением.

С помощью замены Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач) биквадратное уравнение можно привести к квадратному уравнению Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №162

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сделаем замену Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим квадратное уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого уравнения:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаясь к замене Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Путем замены Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач решение биквадратного уравнения сводится к решению квадратного уравнения. Используя подобные замены, аналогичным способом можно решать и некоторые другие уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример №163

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Относительно переменной Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим квадратное уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Его корнями являются числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая замену, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку дискриминант отрицательный, то уравнение корней не имеет.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. —1; 4.

Пример №164

Решить уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач корнями которого являются числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая замену, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение корней не имеет;  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 16.

Решение задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, которые приводятся к квадратным

Вы уже решали задачи с помощью линейных уравнений с одной переменной и систем линейных уравнений с двумя переменными. Рассмотрим задачи, решение которых приводит к квадратным уравнениям.

Пример №165

Длина классной доски на 1,3 м больше чем ширина. Найти размеры доски, если ее площадь равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пусть ширина доски равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда длина доски равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а площадь — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию задачи площадь доски равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим уравнение: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Корнями полученного уравнения являются числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, ширина доски равна 1,2 м, а длина — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №166

Моторная лодка за 2 часа прошла 15 км по течению реки и 14 км против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, тогда скорость лодки по течению реки равна Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, а против течения — Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч.

Расстояние 15 км по течению реки лодка прошла за Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач часов, а расстояние 14 км против течения — за Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач часов. На весь путь лодка потратила Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач часов, что по условию задачи равно 2 часа. Получим уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим полученное уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число —0,5 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.

Ответ. 15 км/ч.

Пример №167

Две автоматических линии, работая вместе, произвели заказанную партию упаковок за 4 дня. За сколько дней может выполнить заказ каждая линия, работая отдельно, если первая может это делать на 6 дней быстрее, чем вторая?

По условию задачи составим таблицу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим уравнение: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим полученное уравнение:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число –4 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первая линия может выполнить заказ за 6 дней, а вторая — за 6 + 6 = 12 (дней).

Ответ. 6 дней; 12 дней.

Пример №168

Поезд был задержан в дороге на 20 мин. Для того чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 160 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найти начальную скорость поезда.

По условию задачи составим таблицу:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

20 мин. = Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач часа.

Получим уравнение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим уравнение, умножив обе его части на Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому данные числа являются корнями уравнения.

Число –96 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, начальная скорость поезда была равна 80 км/ч.

Ответ. 80 км/ч.

Неравенства

Есть немало задач, для решения которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, которые удовлетворяют некоторое неравенство.

В этой лекции мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовые неравенства

Вы знаете, что записи

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа.

Известно, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разность положительная.

Найдем разность левой и правой частей неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разность отрицательная.

Из равенства 15 = 15 имеем:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разность равна нулю.

То есть , существует зависимость между соотношениями Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и значением левой и правой частей соответственного неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.

Определение:

  • Число a больше числа b, если разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительное число;
  • Число a меньше числа b, если разность  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач отрицательное число;
  • Число a равно числу b, если разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю.

Поскольку разность чисел a и b может быть только положительной, отрицательной или равной нулю, то для произвольных чисел a и b выполняется одно и только одно из трёх соотношений: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя данное определение, сравним числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого найдем их разность:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разность данных чисел Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач число положительное, поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть, для сравнения двух чисел a и b достаточно определить разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и выяснить, является ли она положительным числом, отрицательным числом или равна нулю. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит справа от точки, которая изображает меньшее число (см. рис. 1).

 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач                   Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис.1

В неравенствах используют знаки: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач больше, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше или равно (не больше),  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач больше или равно (не меньше).

Неравенства, составленные с помощью знаков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют строгими неравенствами, а неравенства, составленные с помощью знаков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют нестрогими.

Из определения соотношений "больше", "меньше", "равно" вытекает,

что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовые неравенства могут быть верными и неверными.

Например, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач верные неравенства,  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач неверное неравенство.

Доказательство неравенств

Докажем, что для любого числа a является верным неравенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Еще говорят: докажем неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого  запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее :

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является отрицательной для любого числа a,  то неравенство  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным также для любого числа a.

Пример №169

Доказать неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач еслиАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

 Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разность мы представили в виде дроби, числитель которой не отрицательный, потому что является квадратом некоторого числа, а знаменатель Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительный, как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, не отрицательные: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, неравенство  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным для любых положительных чисел a и b.

Если в доказанном неравенстве взять Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим верное неравенство: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, сума двух положительных  взаимно обратных чисел не меньше 2.

Пример №170

Доказать неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для положительных чисел a и b число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство

 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

является верным и для любых положительных чисел a и b. Следовательно, среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического. 

Пример №171

Доказать, что неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным для любых действительных чисел a и b .

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых действительных чисел a и b, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Примечание. Чтобы доказать неравенство при помощи определения соотношений "больше", "меньше" или "равно", разность левой и правой частей неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности. 

Выражение, полученное после преобразований, приобретает неотрицательное значение, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п.

Выражение приобретает отрицательное значение, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п. 

Свойства числовых неравенств

Свойство 1. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительное число. Противоположное ему число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является отрицательным. Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство 2. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. По условию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач   отрицательные числа. Сума двух отрицательных чисел является отрицательным числом, поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрическая иллюстрация свойства показана на рисунке 3.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно доказать утверждение: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство 3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач любое число. Докажем, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим разность  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично проводим доказательство для случая Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и любого числа c.

Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачверное неравенство. Прибавим к обеим его частям число –с, получим верное  неравенство а + (–с) < b + c + (–с) или а – с < b. Следовательно, если перенести слагаемое с в левую часть неравенства, изменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство. 

Свойство 4. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  Докажем, чтоАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительное число, и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач отрицательное число. Рассмотрим разность:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то в произведении Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач первый множитель положительный, а второй — отрицательный. Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В данном случае Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительное, как произведение двух отрицательных множителей. Тогда и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично проводим доказательство, если имеется неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Верной является и та часть свойства, которая касается деления двух частей неравенства на некоторое число, поскольку деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

Следствие. Если a и b — положительные числа и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачто Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Разделим обе части неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачна положительное число Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  Имеем:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это следствие можно использовать для сравнения чисел, обратных данным. Например, поскольку  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примечание. Двойное неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в виде двух неравенств: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  то для любого числа m верными являются неравенства: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Аналогично можно обосновать утверждение:

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №172

Известно, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Оценить значение выражения.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Прибавим ко всем частям неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим все части неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим все части заданного неравенства на 2, получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число –5, получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №173

Доказать, что если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем его:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является неотрицательным. По условию Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавим к обеим частям этого неравенства число 1, получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачнеравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным.

Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами.

Сложение числовых неравенств

Пусть имеются верные числовые неравенства с одинаковым знаком: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач . Почленно сложим эти неравенства. Получим верное неравенство с тем же знаком, а именно: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач В общем случае имеет место такое свойство:

Свойство 5. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, оставив их общий знак, то  получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Нужно доказать, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Чтобы получить сумму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавим к обеим частям первого неравенства число c, а чтобы получить суму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получаем верные неравенства: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству 2 из последних двух неравенств вытекает, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно доказать: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач тоАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Умножение числовых неравенств

Пусть имеются верные неравенства: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач. Почленно перемножим эти неравенства. Получим верное неравенство  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Почленно перемножим неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим верное неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем такое свойство.

Свойство 6. Если почленно  перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, оставив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительные числа. Нужно доказать, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим обе части неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на положительное число c, а обе части неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач на положительное число b. Получим верные неравенства: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству 2 из последних двух неравенств вытекает, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно доказать: если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительные числа, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач  положительные числа, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачнатуральное число, то Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Для доказательства следствия достаточно взять n неравенств Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и почленно их перемножить.

Оценивание значений выражений

Рассмотрим пример.

Пример №174

Дано: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачОценить: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачсумму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач              Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачпроизведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач    Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач частное Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Оценим сумму Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим к неравенствам Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач свойство почленного сложения неравенств. Получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Применим это же свойство к неравенствам Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачПолучим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Результат запишем в виде двойного неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Коротко эти преобразования записывают так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общая схема оценки суммы выглядит так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Оценим разницу Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная, как оценивается сумма, представим разность Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачв виде суммы Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Сначала оценим значение выражения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим все части неравенства  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству почленного сложения неравенств получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общая схема оценки разности выглядит так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Оценим произведение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач положительные числа. Применим к неравенствам Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач свойство почленного умножение неравенств.

Получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Применим это же свойство к неравенствам Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Результат запишем в виде двойного неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коротко эти преобразования записывают так: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общая схема оценки произведения выглядит так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Оценим частное Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Представим частное Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде произведения Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству почленного умножения неравенств получаем: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общая схема оценки частного выглядит так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №175

Доказать неравенствоАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используем известное неравенство  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим обе части каждого неравенства на 2:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Почленно перемножив эти неравенства, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примечание. Для доказательства неравенства примера мы использовали известное неравенство, которое доказали раньше. Суть примененного способа доказательства неравенств заключается в том, что:

  1. записываем несколько неравенств, которые доказали раньше;
  2. перемножив (или сложив) эти неравенства, приходим к неравенству, которое требовалось доказать.

Понятие неравенства с одной переменной и его решение

Рассмотрим неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Для одних значений данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, для других — в неверное. Например, если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим верное числовое неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач получим неверное числовое неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если нужно найти все значения x, для которых неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным, то говорят, что нужно решить неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое имеет одну переменную x.

Если Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачнеравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства, или удовлетворяет данное неравенство.

Определение:

Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое превращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенство с одной переменной обычно имеет несколько решений. Так, решениями неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее. Множество решений неравенств иногда можно записывать в виде числовых промежутков.

Числовые промежутки

Рассмотрим несколько примеров.

1) Неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют все действительные числа, которые больше –2 и меньше 3, следовательно все действительные числа, которые лежат на числовой прямой между числами –2 и 3. Множество всех чисел, которые удовлетворяют двойному неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач называют числовым промежутком, или просто промежутком, и обозначают (–2; 3) (читают: "промежуток от –2 до 3"). На координатной прямой его изображают так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Промежуток заштриховывают, точки –2 и 3 изображают "пустыми" ("выколотыми") .

Число 2,2 удовлетворяет двойному неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач ему не удовлетворяет. Говорят, что число 2,2 принадлежит промежутку (–2; 3), а число 4 ему не принадлежит.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между –2 и 3, или равны числам –2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач( читают: "промежуток от –2 до 3, включая –2 и 3"). На координатной прямой его изображают так: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Множество чисел, которые удовлетворяют двойные неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают соответственно Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач: "промежуток от —2 до 3, включая —2" и "промежуток от —2 до 3, включая 3"). Эти промежутки изображают на координатной прямой так: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют все действительные числа  больше 4. На координатной прямой эти числа изображают точками, которые лежат правее точки с координатой 4. Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач изображают полупрямой, расположенной правее точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности  и обозначают  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач: "промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4").

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и читают "промежуток от минус бесконечности до 8". Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и читают: "промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8". На координатной прямой эти числовые промежутки изображают так:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объединение и пересечение числовых промежутков

Рассмотрим два промежутка :Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Промежуток Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют все числа, которые принадлежат промежутку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или промежутку  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Говорят, что промежуток Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является объединением промежутков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Записывают: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачзнак объединения.

Определение:

Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков.

Промежуток (2; 4) образует все общие числа из промежутков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачи (2; 7), то есть все числа, которые принадлежат каждому из промежутков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Говорят, что промежуток  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется пересечением  промежутков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Записывают: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач где Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачпересечения.

Определение:

Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, которые принадлежат каждому из этих промежутков.

Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Чисел, которые принадлежат обоим этим промежуткам, нет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество.

Его обозначают символом Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Записывают: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Объединением промежутков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое не является числовым промежутком (оно "состоит" из двух промежутков).

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для промежутков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач множество общих чисел имеет только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Записывают:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Легко определить, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №176

Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, которые принадлежат промежутку:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач наибольшего действительного числа, которое принадлежит этому промежутку, нет. (Это вытекает из таких рассуждений. Допустим, что Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач наибольшее число промежутка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачможно рассматривать промежуток Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач любое число которого больше Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть, в промежутке Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач 3  не является наибольшим.); Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач наименьшего числа нет; 4, 8;  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет.

Пример №177

Изобразить на координатной прямой множество чисел, которые удовлетворяют неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков:  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Модулем числа x является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число x на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, которым отвечают точки координатной прямой,  размещенные от начала отсчета на расстоянии,  не превышающем 5.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, решениями неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются все числа, которые принадлежат промежутку [–5; 5].

б) Решениями неравенства |x| ≥ 5 являются числа, которым соответствуют точки координатной прямо, размещенные от начала отсчета на расстоянии, не меньшем 5 (большем 5 или равном 5), следовательно значения x, которые удовлетворяет неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит, множеством решений неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач является объединение промежутков Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение неравенств с одной переменной

Пример №178

Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 метров длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, если для его ограждения хватило сетки длинною 46 метров? 

Пусть длина меньшей стороны участка равна x метров, тогда длина большей  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач , а периметр участка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию периметр не превышает 46 метров, то есть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы найти длины сторон участка, нужно решить неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач с одной переменной x.  

Решая неравенство, его преображают, заменяя простыми неравенствами с теми же решениями. 

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, которые не имеют решений, также называют равносильными. 

Замену неравенства равносильными ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:

  1. если выполнить тождественные преобразования некоторой части неравенства, которые не изменяют допустимые значения переменной, то получим неравенство, равносильное данному;
  2. если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
  3. если обе части неравенства умножить  или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному;
  4. если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Используя эти свойства, решим неравенство:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим неравенство 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

которое равносильно заданному неравенству.

В правой части неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач приведем подобные слагаемые, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть, неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно неравенству Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и ему удовлетворяют все числа, не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили x метров. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то x может принимать значение промежутка Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть, меньшая сторона участка не должна превышать 9 метров, большая же сторона на 5 метров длиннее нее.

Решая неравенство:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, поменяв его знак на противоположный. Получили неравенство

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны.

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное решение неравенства (1), тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачверное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, поменяв его знак на противоположный, получим правильное числовое неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Из того, что последнее неравенство является верным, вытекает, что число a является решением неравенства (2).

Пусть Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное решение неравенства (2), тогда Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задачверное числовое неравенство. Перенесем слагаемое –10 из правой части неравенства в левую, поменяв его знак на противоположный, получим верное числовое неравенствоАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Из того, что последнее неравенство является верным, вытекает, что число b является решением неравенства (1).

Мы показали, что произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, следовательно являются равносильными.

Равносильность неравенств Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач а также неравенств Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач доказывают аналогично.

Пример №179

Решить неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач и изобразить на координатной прямой множество его решений.

Раскроем скобки: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а другие — в правую часть: 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

приведем подобные слагаемые:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

поделим обе части неравенства на 3:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или по=другому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №180

Решить неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач изобразить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, которые входят в неравенство, то есть на 18. Получаем:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №181

Решить неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим все части неравенства на 2:  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прибавим ко всем частям неравенства число 1:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделим все части неравенства на 3, получим: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или по=другому Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №182

Решить неравенство:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Решением неравенства Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа, которые удовлетворяют двойному неравенству 

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим все части неравенства на 2:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Модуль числа — число неотрицательное, поэтому модуль числа не может быть меньше –4. Неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач Выражение Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач которое стоит под знаком модуля, должно приобретать значения меньше –5 или больше 5. То есть, Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если нужно найти все значения x, которые удовлетворяют неравенствоАлгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или неравенство  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач говорят, что нужно решить совокупность неравенств, которую записывают так: Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая каждое неравенство совокупности, получаем:

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решениями совокупности являются значения x, которые удовлетворяют неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач или Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков:  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейные неравенства с одной переменной

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №183

Решить неравенство Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множеством решений неравенства является числовой промежуток Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ.  Алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №184