Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Содержание:

Всякая поверхность в пространстве задается в декартовых координатах уравнением вида F(x, у, z)= 0.

Если F(х9 у, z) - многочлен n -й степени, то соответствующая поверхность называется алгебраической поверхностью n-го порядка или просто поверхностью n-го порядка.

Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени:

Ax + By + Cz + D = 0 (6.1)

определяет плоскость. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Вектор Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор n называют нормальным вектором плоскости (6.1).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Очевидно, что уравнение (6.1) имеет смысл только тогда, когда хотя бы один из коэффициентов А, В, С не равен нулю.

Рассмотрим частные случаи.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

  1. Если A = 0, то уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох, так как вектор нормали к этой плоскости Плоскость - определение, виды и правила с примерами перпендикулярен оси Ох (проекция ненулевого вектора на ось равна нулю тогда, когда он перпендикулярен этой оси).
  2. Аналогично, если В = 0, то уравнение Ax + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оу.
  3. Если С = 0. То уравнение Ax + By + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Oz.
  4. Если А = B = 0, то уравнение Cz + D = 0 или Плоскость - определение, виды и правила с примерамиопределяет плоскость, параллельную плоскости хОу. В этом случае вектор нормали п = (о, 0, с) перпендикулярен к осям Од- и Оу, т.е. к плоскости хОу.
  5. При A = С = 0 имеем By + D=0 или Плоскость - определение, виды и правила с примерами - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости xOz.
  6. Если B = С = 0, то уравнение Ax+D = 0 или Плоскость - определение, виды и правила с примерами определяет плоскость, параллельную плоскости yOz.

II. D = 0.

  1. Если D = 0, то уравнение Ax + By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки O (0, 0, 0) удовлетворяют этому уравнению.
  2. Если A = D = 0, то уравнение By+ Cz = 0 определяет плоскость, вектор нормали которой Плоскость - определение, виды и правила с примерами. Эта плоскость проходит через ось Ох.
  3. Аналогично, если B = D = 0, то уравнение Ax + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Оу.
  4. Если C = D = 0, то уравнение Ах + By = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Oz.
  5. Если A = B = D = 0, то уравнение Cz = 0 или 2 = 0 определяет плоскость хОу. Аналогично, уравнения x = 0 и у = 0 определяют соответственно плоскости yOz и xOz.

Если в уравнении (6.1) все коэффициенты А, B, С, D отличны от нуля, то это уравнение может быть преобразовано к уравнению плоскости в отрезках:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами (6.3)

Здесь а, b, с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется уравнение: Плоскость - определение, виды и правила с примерами (6.4)

гдеПлоскость - определение, виды и правила с примерами - углы между перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, и положительным направлением осей координат, а p- расстояние от плоскости до начала координат.

Нормальное уравнение отличается от общего уравнения тем, что в нем коэффициенты при x, у, z являются координатами единичного вектора Плоскость - определение, виды и правила с примерами перпендикулярного плоскости, а свободный член - отрицательный.

Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду умножением его на нормирующий множитель Плоскость - определение, виды и правила с примерами при этом знак выбирается противоположным знаку свободного члена D (если D = 0, знак можно выбрать любой).

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Отклонением Плоскость - определение, виды и правила с примерами точки Плоскость - определение, виды и правила с примерами, от плоскости называется ее расстояние d от плоскости, взятое со знаком плюс, если точка Плоскость - определение, виды и правила с примерамии начало координат О лежат по разные стороны от плоскости (Рис. 6.1), и со знаком минус - если Плоскость - определение, виды и правила с примерамии О лежат по одну сторону от плоскости.

Отклонение точки Плоскость - определение, виды и правила с примерамиот плоскости определяется по формуле Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Следовательно, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо привести уравнение плоскости к нормальному виду и в его левую часть вместо х, у, z подставить координаты точки Плоскость - определение, виды и правила с примерами. Получим отклонение Плоскость - определение, виды и правила с примерами. А расстояние Плоскость - определение, виды и правила с примерами.

Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны плоскости Плоскость - определение, виды и правила с примерами и Плоскость - определение, виды и правила с примерами. Угол между ними равен углу между перпендикулярными к ним векторам Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Косинус этого угла вычисляется по формуле:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами(6.5)

Плоскости параллельны, если Плоскость - определение, виды и правила с примерами коллинеарны, т.е.:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами (6.6) Условие перпендикулярности плоскостей -Плоскость - определение, виды и правила с примерами, т.е.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами (6.7)

Если даны три плоскости:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами (6.8)

, то их общие точки определяются системой уравнений (6.8).

В случае, если перпендикулярные этим плоскостям векторы

Плоскость - определение, виды и правила с примераминекомпланарны, три плоскости имеют единственную общую точку.

В самом деле, тогда смешанное произведение

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

а записанный определитель является определителем системы уравнений (6.8), и, следовательно, система (6.8) имеет единственное решение.

Плоскость в высшей математике

Плоскость в пространстве также можно задать разными способами (тремя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости). В зависимости от этого рассматриваются различные виды ее уравнений.

1. В пространстве Oxyz составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку Плоскость - определение, виды и правила с примерами перпендикулярно вектору n=(А,В,С) (нормальному вектору плоскости) (рис.9). Рис.9

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Возьмем любую точку M(x,y,z), лежащую на плоскости, и рассмотрим вектор Плоскость - определение, виды и правила с примерамиТак как векторы Плоскость - определение, виды и правила с примерами являются взаимно перпендикулярными, их скалярное произведение равно нулю:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

или в координатной форме:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Уравнение Ax+By+Cz+D=0, где А, В и С не равны одновременно нулю Плоскость - определение, виды и правила с примераминазывается общим уравнением плоскости.

2. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки Плоскость - определение, виды и правила с примерами не лежащие на одной прямой. Пусть M(x,y,z) - произвольная точка этой плоскости. Рассмотрим векторы

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Эти векторы компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю: Плоскость - определение, виды и правила с примерами Условие компланарности трех векторов в координатной форме запишется так: Плоскость - определение, виды и правила с примерами Это и есть искомое уравнение плоскости.

Задачи на прямую и плоскость

Прямая как пересечение двух плоскостей

Рассмотрим две непараллельные плоскости, заданные общими уравнениями. В этом случае плоскости пересекаются по прямой, определяемой уравнениями

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

которые называются общими уравнениями прямой.

Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений, т.к. через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей.

Пример №1

Общие уравнения прямой привести к каноническому виду:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Решение:

Векторы Плоскость - определение, виды и правила с примерами=(2,-1,-2) и Плоскость - определение, виды и правила с примерами=(4,-2,-3) являются нормальными векторами плоскостей. Направляющий вектор прямой можно вычислить по формуле Плоскость - определение, виды и правила с примерами

т.к. он принадлежит обеим плоскостям и, следовательно, удовлетворяет условиям:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами Найдем точку на прямой. Положив в общих уравнениях, например, х=0, получим систему уравнений:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

По точке на прямой (0,-13,9) и направляющему вектору s=(-l,-2,0) составим канонические уравнения прямой:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами Т.к. деление на нуль невозможно, то уравнения прямой примут вид:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами Задача решена.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть заданы прямая на плоскости своим общим уравнением Ах+Ву+С=0 и точка Плоскость - определение, виды и правила с примерами не лежащая на этой прямой.

Найдем расстояние d от точки до данной прямой. Проведем из точки Плоскость - определение, виды и правила с примерами перпендикуляр Плоскость - определение, виды и правила с примерами на прямую l (рис. 10).

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Искомое расстояние d есть модуль вектора Плоскость - определение, виды и правила с примерами который коллинеарен вектору n=(А,В). Из определения скалярного произведения следует: Плоскость - определение, виды и правила с примерами или в координатной форме:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами А так как Плоскость - определение, виды и правила с примерами то

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Аналогично находится расстояние от точки до плоскости. Если заданы плоскость своим общим уравнением Ax+By+Cz+D=0 и точка Плоскость - определение, виды и правила с примерами не принадлежащая этой плоскости, то расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Пример №2

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А( 1,1 ,-1), В(2,1,-3), С(-1,1,1) и D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание АВС.

Решение:

Искомая высота есть расстояние от точки D до плоскости АВС. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В и С. Возьмем любую точку M(x,y,z), принадлежащую этой плоскости. Тогда векторы АМ=(х-l,y-l,z+l), АВ=(1,0,-2) и АС=(-2,0,2) будут лежать в плоскости АВС и, следовательно, их смешанное произведение будет равно нулю:

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

у-1=0 - общее уравнение плоскости АВС. Применяя формулу расстояния от точки до плоскости, получим

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Задача решена.

Пусть Плоскость - определение, виды и правила с примерами - направляющие векторы двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми есть угол между их направляющими векторами, т.е.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Условие параллельности двух прямых: Плоскость - определение, виды и правила с примерами т.е.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами Условие перпендикулярности двух прямых: Плоскость - определение, виды и правила с примерами т е-

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Пусть Плоскость - определение, виды и правила с примерами - нормальные векторы двух плоскостей в пространстве. Угол между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами, т.е.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Условие параллельности двух плоскостей: Плоскость - определение, виды и правила с примерами- т.е.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Условие перпендикулярности двух плоскостей: Плоскость - определение, виды и правила с примерами т.е.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

а плоскость Р - общим уравнением

Ax+By+Cz+D=0.

Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между пря-мои и ее проекцией на плоскость. Он является дополнительным до Плоскость - определение, виды и правила с примерами к углу между векторами Плоскость - определение, виды и правила с примерами (рис.11):

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Тогда Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: Плоскость - определение, виды и правила с примерамит.е.

Плоскость - определение, виды и правила с примерами

Условие параллельности прямой и плоскости: Плоскость - определение, виды и правила с примерами т.е. Am+Bn+Cp=0.