Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здравствуйте! Вы начинаете изучать предмет геометрия

Геометрия — одна из самых древних наук. Ее название можно объяснить тем, что развитие геометрии было тесно связано с разнообразной практической деятельностью человека: обозначением границ, строительством дорог, зданий и других сооружений. На странице в виде лекций для всех классов школы изложен теоретический и практический материал по всем темам геометрии, к каждой теме подобраны примеры с выполнением заданий и решением задач. 

Желаю вам успехов в изучении предмета "Геометрия" и удовольствия от учёбы!

Содержание:

Геометрические фигуры. Точка, прямая, луч

Из уроков математики вам уже известны некоторые геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок, луч, угол (рис. 1), треугольник, прямоугольник, круг (рис. 2). На уроках геометрии вы расширите и углубите знания об этих фигурах, ознакомитесь с новыми важными фигурами и их свойствами.

Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур.

Самая простая геометрическая фигура — это точка.

Из точек складываются все другие геометрические фигуры. Итак, любое множество точек является геометрической фигурой.

Часть геометрической фигуры также является геометрической фигурой.

Геометрической фигурой является и объединение нескольких геометрических фигур. На рисунке 3 фигура состоит из прямоугольника и двух треугольников.

Одной из основных геометрических фигур является плоскость. Представление о части плоскости дает поверхность стола, стекла, потолка и т. д.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1                                                                                     Рис. 2

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 3                                             Рис. 4                                           Рис. 5

Плоскость в геометрии считают ровной и неограниченной; она не имеет края и не имеет толщины. Вы будете изучать часть школьного курса геометрии, которая называется планиметрией. Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Прямые можно проводить с помощью линейки (рис. 4). При этом изображаем часть прямой, а всю прямую воображаем бесконечной в обе стороны. Прямые чаще всего обозначают маленькими латинскими буквами a, b, c, d, ..., а точки — большими латинскими буквами A, B, C, D...

На рисунке 5 изображена прямая a и точки A, B, C. Точки A и B лежат на прямой a; говорят также, что точки A и B принадлежат прямой a, или что прямая a проходит через точки A и B. Точка С не лежит на прямой a; иначе говоря, точка C не принадлежит прямой a, или прямая a не проходит через точку C.

Какой бы не была прямая, существуют точки, которые принадлежат этой прямой, и точки, которые ей не принадлежат.

Для удобства вместо слов «точка A принадлежат прямой a» пользуются записью Aa, а вместо слов «точка C не принадлежат прямой  a» — записью C ∉ a. Обратим внимание, что через точки A и B нельзя провести другую прямую, которая не совпадает с прямой a.

Через любые две точки можно провести прямую, и к тому же только одну.

Здесь и дальше, говоря о «двух точках», «двух прямых» считаем, что эти точки, прямые — разные. Прямую, на которой обозначены две точки, например A и B, можно записать двумя буквами: AB или BA. На рисунке 5 точка C не принадлежит прямой AB (это записывают так CAB), говорят также, что точки A, B и C не лежат на одной прямой. Точки M, K и P лежат на одной прямой (рис. 6), причём точка K лежит между точками M и P.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 6                                                                        Рис. 7

Из трёх точек на прямой одна, и только одна лежит между двумя другими.

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке. На рисунке 7 прямые a и b пересекаются в точке T, а прямые m и n не пересекаются. Проведём прямую и обозначим на ней точку A (рис. 8). Эта точка делит прямую на две части, каждую из которых вместе с точкой A называют лучом, который выходит из точки A. Точка A называется началом каждого из лучей. Лучи обозначают двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — некую точку на луче (например, луч OK на рисунке 9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 8                                                     Рис. 9                                    Рис. 10

Два луча, которые имеют общее начало и дополняют один другого до прямой, называют дополнительными. На рисунке 10 луч BC является дополняющим для луча BD, и наоборот, луч BD является дополняющим для луча BC.

Отрезок. Измерение отрезков. Расстояние между двумя точками

Отрезком называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой,  лежащих между двумя её точками, вместе с этими точками. Эти точки называют концами отрезка.

На рисунке 16 изображен отрезок AB; точки A и B — его концы. На рисунке  17 точка M  принадлежит отрезку CD, а точка  ему не  принадлежит. На рисунке 18 отрезки KL и FN  имеют единственную общую точку O. Говорят, что отрезки KL и FN пересекаются в точке O.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 16                                             Рис. 17                                  Рис. 18

На практике часто приходится измерять отрезки, то есть находить их длины. Для этого необходимо иметь единичный отрезок (единицу измерения). Единицами измерения длины являются 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Для измерения отрезков используют разные измерительные инструменты. Одним из таких инструментов является линейка с делениями. На рисунке 19 длина отрезка AB равна 3 см, а на рисунке 20 длина отрезка CD — 1 см 5 мм, или 1,5 см, или 15 мм. Записывают это так: AB = 3 см, CD = 1,5 см = 15 мм.

Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля.

Другими инструментами, которыми можно измерять длины отрезков, являются складной метр (рис. 21), рулетка (рис. 22), клеёнчатый сантиметр (рис. 23).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 19                                                                                Рис.20

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 21                                                                 Рис. 22

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 24

На рисунке 24 изображен отрезок AB. Точка делит его на два отрезка: AC и CB. Видим, что AC = 4 см, CB = 1 см, AB = 5 см. Таким образом, AC + CB = AB.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается какой-либо его точкой.

Длину отрезка называют также расстоянием между его концами. На рисунке 24 расстояние между точками A и  равно 4 см.

Два отрезка называют равными, если равны их длины.

Из двух отрезков большим считают тот, длина которого больше. На рисунке 25 длина отрезка MN  равна длине отрезка AB, поэтому эти отрезки равны. Можно записать: MN = AB. На этом же рисунке длина отрезка MN больше, чем длина отрезка PL. Говорят, что отрезок MN больше, чем отрезок PL, записывают так: MN > PL. На рисунках равные отрезки принято обозначать одинаковым количеством чёрточек, а неравные — разным количеством чёрточек. Точку отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка, называют серединой отрезка.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25

На рисунке 26 AC = 2 см, CB = 2 см, тому С — середина отрезка AB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 26

Угол. Измерение углов. Биссектриса угла

Угол это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые выходят из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. На рисунке 32 изображён угол с вершиной O и сторонами OA и OB. Такой угол можно назвать по-разному: углом O, или углом AOB, или углом BOA. Во втором и  третьем вариантах названия угла буква О, которая обозначает его вершину, ставится посередине. Слово «угол» можно заменить знаком ∠, записав угол так: ∠O, или ∠AOB, или ∠BOA.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются дополнительными лучами (рис. 33).

Любой угол делит плоскость на две части. Если угол не является развёрнутым, то одну из частей называют внутренней, а вторую — внешней областью этого угла (рис. 34).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 32                                                                                   Рис. 33

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 34                                                                                              Рис. 35

На рисунке 35 точки A, B иC  принадлежат внутренней области угла (лежат в середине угла), точки M и N принадлежат сторонам угла, а точки P и Q  принадлежат внешней области угла (лежат вне  угла). Если угол является развёрнутым (равен 180°), то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла. За единицу измерения углов принимают градус — угол, который составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач развёрнутого угла. Обозначают градус знаком °. Для измерения углов используют транспортир (рис. 36).

На рисунке 37 градусная мера угла AOB равна 50°, а угла COD — 110°. Коротко говорят: «угол AOB  равен 50°, угол COD равен 110°»; записывают так: ∠ AOB = 50°, ∠COD = 110°.

Каждый угол имеет определённую градусную меру, больше нуля. Развёрнутый угол равен 180°.

Очень маленькие углы измеряют в минутах и секундах. Минута — это Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач часть градуса, секунда — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач часть минуты. Минуты обозначают знаком +, секунды — знаком ++. Итак, 1° = 60+, 1+ = 60++. На местности углы измеряют астролябией (рис. 38).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 36                                                                                         Рис. 37

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 38                                                                                       Рис. 39

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 40

На рисунке 39 луч OK выходит из вершины угла AOB  и лежит в его внутренней области, то есть луч OK проходит между сторонами угла AOB. На рисунке 40 луч OM делит угол AOB на два угла: BOM  и MOA. Видим, что ∠BOM = 40°, ∠MOA = = 80°, ∠AOB = 120°. Таким образом, ∠AOB = ∠BOM + ∠MOA.

Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, который проходит между его сторонами.

Два угла называются равными, если их градусные меры равны.

Из двух углов большим считают тот, градусная мера которого больше. На рисунке 41 градусная мера угла M  равна 50°,  градусная мера угла K также равна 50°. Поэтому эти углы равны. Можно записать: ∠M = ∠K. На этом же рисунке градусная мера угла P  равна 70°, поэтому угол P больше угла M.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 41

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 42

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 43

Записывают это так: ∠P > ∠M. На рисунках равные углы принято обозначать одинаковым количеством дужек, неравные — разным количеством дужек.

Угол называется прямым, если его градусная мера равна 90°, острым — если он меньше  прямого, тупым — если он больше  прямого, но меньше  развёрнутого (рис. 42). Прямой угол на рисунках обозначают значком Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит его на два равных угла.

На рисунке 43 луч OP — биссектриса угла AOB.

Взаимное размещение прямых на плоскости

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Аксиомы, определения, теоремы

Аксиомы геометрии — это утверждения об основных свойствах простейших геометрических фигур, принятые как исходные положения.

В переводе с греческого слово «аксиома» означает «принятое положение».

Напомним некоторые уже известные вам аксиомы

  • І. Какой бы не была прямая, существуют точки, которые принадлежат этой прямой, и точки, которые не принадлежат ей.
  • ІІ. Через любые две точки можно провести прямую, и к тому же только одну.
  • ІІІ. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  • IV. Каждый отрезок имеет определённую длину, больше  нуля.
  • V. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  • VI. Каждый угол имеет определённую градусную меру, больше  нуля. Развёрнутый угол равен 180°.
  • VII. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами.

Утверждение, в котором объясняется содержание того или иного понятия (название), называют определением. Вам уже известны некоторые определения, например, определение отрезка, угла, биссектрисы угла.

Математическое утверждение, справедливость которого устанавливается с помощью рассуждений, называют теоремой, сами рассуждения называют доказательством теоремы.

Каждая теорема содержит условие (то, что дано) и вывод (то, что необходимо доказать). Условие теоремы принято записывать после слова «дано», а вывод — после слова «доказать». Доказывая теорему, можно использовать аксиомы, а также ранее доказанные теоремы. Никакие другие свойства геометрических фигур (даже если они кажутся нам очевидными) использовать нельзя.

Смежные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны этих углов являются дополняющими лучами.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 54

На рисунке 54 углы AOK и KOB — смежные, сторона OK у них — общая, а OA и OB являются дополнительными лучами.

Теорема (свойство смежных углов). Сумма смежных углов равна 180°.

 Доказательство. Пусть ∠ AOK и ∠ KOB — смежные углы (рис. 54). Поскольку лучи OA и OB образуют развёрнутый угол, то ∠AOK + ∠KOB  = ∠AOB = 180°. Следовательно, сумма смежных углов равна 180°. Теорема доказана.

Утверждения, которые вытекают непосредственно из аксиом или теорем, называют следствиями.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом,— прямой.

 Следствие 2. Угол, смежный с острым углом,— тупой, а смежный с тупым углом,— острый.

Задача №1

Найти меры смежных углов, если один из них на 56° больше  другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через x, тогда градусная мера большего угла будет x + 56°. Поскольку сумма смежных углов равна 180°, то можно составить уравнение x + x + 56° = 180°. Решив его, получаем x = 62°. Значит, один из искомых углов равен 62°, а второй 62° + 56° = 118°.

Ответ. 62° и 118°.

Вертикальные углы. Угол между двумя пересекающимися прямыми

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.

На рисунке 59 прямые AB и CD пересекаются в точке K. Углы AKC и DKB — вертикальные, углы AKD  и CKB  тоже вертикальные.

Теорема (свойство вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 59                                                                                              Рис. 60

Доказательство. Пусть AKC и DKB вертикальные углы (рис. 59). Поскольку углы AKC и AKD смежные, то ∠AKC + ∠AKD = 180°. Также смежные углы AKD и DKB, поэтому ∠AKD + ∠DKB = 180°. Имеем:

AKC = 180° – ∠AKD и ∠DKB = 180° – ∠AKD.

Правые части этих равенств равны, поэтому равными являются и левые части. Значит, ∠AKC = ∠DKB. Теорема доказана

Задача №2

Два из четырёх углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, относятся  как 4 : 5. Найти градусную меру каждого из образовавшихся углов.

Решение. Два угла, образовавшиеся в результате пересечения двух прямых, или смежные, или вертикальные (рис. 60). Поскольку вертикальные углы равны ∠ AKD = ∠ CKB, ∠ AKC = ∠ BKD, то углы, о которых идёт речь в задаче,— это смежные углы. Например, ∠ AKD и ∠ AKC. Поскольку ∠ AKD : ∠ AKC = 4 : 5, то можем обозначить ∠ AKD = 4x, ∠ AKC = 5x. По свойству смежных углов: 4x + 5x = 180°. Отсюда x = 20°. Тогда ∠AKD = 4•20° = 80°, ∠AKC = 5•20° = 100°. Далее: ∠CKB = ∠AKD = 80°, ∠BKD = ∠AKC = 100°.

Ответ. 80°; 100°; 80°; 100°.

Углом между пересекающимися прямыми  называют меньший из углов,  образованных при пересечении этих прямых.

Например, угол между прямыми AB и DC из предыдущей задачи равен 80°. Угол между прямыми не может превышать 90°.

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 68

Пусть при пересечении двух прямых a и b один из образованных углов равен 90° (угол 1 на рис. 68). Тогда ∠3 = 90° (как вертикальный с углом 1).Угол 2 является смежным с углом 1, тогда ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 90° = 90°. Угол 4 вертикальный с углом 2, поэтому ∠4 = ∠2 = 90°. Значит, если один из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 90°, то остальные из этих углов  тоже прямые. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, или что они перпендикулярны.

Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 68 прямые a и b перпендикулярны. Перпендикулярность прямых можно записать с помощью знака ⊥. Запись ab читаем так: «прямая a перпендикулярна прямой b».

Для построения перпендикулярных прямых используют чертёжный треугольник (угольник). На рисунке 69 через точку B, которая не принадлежит прямой a, проведена прямая b, перпендикулярная  прямо a. На рисунке 70 проведена прямая c, перпендикулярная  прямой a, через точку C, которая принадлежит прямой a. В обоих случаях построена единственная прямая, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна прямой a.

Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. На рисунке 71 отрезок AB перпендикулярен отрезку CD, на рисунке 72 луч KL перпендикулярен  отрезку MN, а на рисунке 73 луч PQ перпендикулярен лучу OS. Для записи перпендикулярности отрезков лучей также используют знак ⊥.

Перпендикуляром к прямой, проведённым из данной точки, называют отрезок прямой, перпендикулярной данной, один из концов которого — данная точка, а второй — точка пересечения прямых. Длину этого отрезка называют расстоянием от точки до прямой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 69                                                                                      Рис. 70

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 71                                                       Рис. 72                                    Рис. 73

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачm

Рис. 74

На рисунке 74 из точки A проведён перпендикуляр AB к прямой m. Точку B называют основанием перпендикуляра. Длина отрезка AB — расстояние от точки A до прямой.

Параллельные прямые

Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 84 прямые a и b параллельны. Параллельность прямых записывают с помощью знака ||. Запись a || b читают так: «прямая a параллельна прямой b».

Для построения параллельных прямых используют угольник и линейку. На рисунке 85 через точку B, которая не принадлежит прямой a, проведена прямая b, параллельная прямой a.

Издавна истинной считают такую аксиому, которая выражает основное свойство параллельных прямых.

VIII. Через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Эту аксиому называют аксиомой параллельности прямых или аксиомой Эвклида. Именно этот учёный первым предложил её как пятый постулат. (Постулат — допущение, исходное положение, которое принимают без доказательства; аксиома.)

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 84                                                                                  Рис. 85

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 86                                                     Рис. 87                                       Рис. 88

Отрезки или лучи называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 86 отрезок AB параллельный отрезку MN, на рисунке 87 отрезок CD параллельный лучу PK, а на рисунке 88 луч GN параллельный лучу FL. Для записи параллельности отрезков и лучей также используют знак ||.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 89

Задача №3

Доказать, что когда прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Доказательство. Пусть a и b — параллельные прямые, и прямая c пересекает прямую в точке K (рис. 89).

Допустим, что прямая c не пересекает прямую a, то есть является параллельной a. Тогда выходит, что через точку K проходят две прямые c и b, параллельные a. Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Наше предположение неправильное (ошибочное), поэтому прямая c пересекает прямую a. Утверждение доказано.

Заметим, что способ рассуждений, которым мы доказали утверждение предыдущей задачи, называется доказательством от противного. Чтобы доказать, что прямые a и c пересекаются, мы предположили противоположное тому, что нужно доказать, то есть предположили, что a и c не пересекаются. Исходя из этого предположения, в процессе рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллельности прямых. Это означает, что наше предположение неправильное, и поэтому с пересекает a.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки параллельности прямых

Прямая c называется секущей  относительно прямых a и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 97). При пересечении прямых a и b секущей c образовалось восемь углов, обозначенных на рисунке 97. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

внутренние односторонние углы: 4 и 5; 3 и 6; внутренние разносторонние углы: 4 и 6; 3 и 5; соответственные углы: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8.

Рассмотрим признаки параллельности прямых.

Признак (в геометрии) — это теорема, которая утверждает, что при выполнении определённых условий можно установить параллельность прямых, равенство фигур, принадлежность  фигур к определённому классу и т. д.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 97                                                              Рис. 98

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 99                                                                                           Рис. 100

Теорема (признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых AB и CD секущей KL образовались равные соответственные углы ∠ KMB = ∠ MND = α (рис. 98).

Предположим, что данные прямые AB и CD не параллельны, а пересекаются в некой точке F (рис. 99). Не изменяя меры угла KMB, перенесём его так, чтобы вершина угла — точка M — совпала с точкой N, луч MK совпал с лучом NM, а луч MB занял положение луча NF1 (рис. 100). Тогда ∠ MNF1 = ∠ KMF = α. Поскольку луч NF1 не совпадает с лучом NF, так как F NF1, то ∠MNF1 ≠ ∠MNF. Но  мы установили, что ∠MNF = α  и ∠MNF1 = α.

Пришли к противоречию. Поэтому наше предположение о том, что прямые AB и CD не параллельны,— неверно. Значит, прямые AB и CD параллельны, что и требовалось доказать.

Дальше рассмотрим следствия из доказанной теоремы. Следствие — это утверждение, которое вытекает непосредственно из теоремы.

Следствие 1. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние разносторонние углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей c внутренние разносторонние углы равны, например ∠1 = ∠2 (рис. 101). Поскольку углы 1 и 3 — вертикальные, то они равны: ∠1 = ∠3. Следовательно, ∠2 = ∠3. Эти углы — соответственные, поэтому по признаку параллельности прямых имеем: a || b.

Следствие 2. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых и секущей c сумма внутренних односторонних углов равна 180°, например ∠ 1 + ∠ 2 = 180° (рис. 102). Углы 2 и 3 — смежные, поэтому ∠3 + ∠2 = 180°.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 101                                                                              Рис. 102

Из этих двух равенств вытекает, что ∠ 1 = ∠ 3. Эти углы являются соответственными, а поэтому прямые a и b — параллельны по признаку параллельности прямых.

Следствие 3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

На рисунке 103: ac и bс. Учитывая следствие 2, имеем: a || b.

Заметим, что следствия 1–3 можно также рассматривать как признаки параллельности прямых.

Задача №4

Параллельны ли прямые AB и MN на рисунке 104?

Решение. ∠BCD = ∠ACK (как вертикальные). ∠BCD = = 27°. Поскольку 27° + 153° = 180°, то сума внутренних односторонних углов BCD и CDN равна 180°. Поэтому, по следствию 2, AB || MN.

Ответ. Да.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 103                                                                                 Рис. 104

Свойство параллельных прямых. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

Рассмотрим свойство параллельных прямых.

Теорема 1 (свойство параллельных прямых). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Докажем, что a || b.

Применим доказательство от противного. Допустим что прямые a и b не параллельны, а пересекаются в некоторой точке N (рис. 131). Значит, через точку проходят две прямые a и b, параллельные c. Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, наше предположение неверное. Поэтому a || b. Теорема доказана.

Далее рассмотрим свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема 2 (свойство соответственных углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей). Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство. Пусть параллельные прямые AB и CD пересечены секущей NK (рис. 132). Докажем, что ∠NAB = ∠ACD. Допустим, что ∠NAB ≠ ∠ACD. Проведём прямую AB1 так, чтобы выполнялось равенство  ∠ NAB1 = ∠ ACD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 131                                                                               Рис. 132

По признаку параллельности прямых прямые AB1 и CD параллельны. Но по условию  AB || CD. Пришли к тому, что через точку A проходят две прямые AB и AB1, параллельные CD, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Наше предположение ошибочно. Поэтому соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны: ∠NAB = ∠ACD.

Теорема о свойстве соответственных углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, является обратной признаку параллельности прямых.

Поясним, как это следует понимать. Каждая теорема содержит условие и вывод. Если поменять местами условие и вывод теоремы, то получим новое утверждение (верное или неверное), условием которого будет вывод данной теоремы, а выводом — условие данной теоремы. Если полученное при этом утверждение является истинным, его называют теоремой, обратной данной.

У теоремы, которая выражает признак параллельности прямых, условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны» (это дано), а выводом — вторая часть: «прямые параллельны» (это нужно доказать). Легко увидеть, что последняя рассмотренная нами теорема и есть обратная признаку параллельности прямых. Условие этой теоремы: «прямые параллельны» (это дано), а вывод — «соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны» (это нужно доказать).

Не у каждой теоремы есть обратная. Например, теорема о вертикальных углах: «вертикальные углы равны» не имеет обратной  теоремы. Утверждение: «если два угла равны, то они вертикальны» — ошибочное.

Рассмотрим дальше следствия из теоремы 2.

Следствие 1 (свойство внутренних разносторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей). Внутренние разносторонние углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 133                                           Рис. 134                                      Рис. 135

Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (рис. 133). Докажем, что внутренние разносторонние углы, например 1 и 2, равны. Поскольку a || b, то соответственные углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠3 вытекает, что ∠1 = ∠2.

Следствие 2 (свойство внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей). Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°.

Доказательство.  Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (рис. 134). Докажем, что сумма внутренних односторонних углов, например 1 и 2, равна 180°. Поскольку a || b, то соответственные углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 — смежные, поэтому ∠3 + ∠2 = 180°, но ведь ∠1 = ∠3. Поэтому ∠1 + ∠2 = 180°. Теорему 2 и её следствия 1 и 2 можно также рассматривать, как свойства параллельных прямых.

Задача №5

Найти неизвестный угол x по рисунку 135.

Решение. Поскольку внутренние разносторонние углы, образованные при пересечении секущей c прямых a и b, равны (оба по 80°), то a || b. Соответственные углы, образованные при пересечении секущей d параллельных прямых a и b, равны. Поэтому x = 70°.

Треугольники

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, которая состоит из трёх точек,  не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. 

Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. На рисунке 176 изображен треугольник ABC. Его вершинами являются точки A, B и C, а сторонами — отрезки AB, BC иCA. Запись со знаком Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , а именно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  ABC читается так: «треугольник ABC».

Углами треугольника ABC называют углы BAC, ABC и BCA. Часто их обозначают одной буквой ∠ A, ∠ B  и ∠ C. Стороны треугольника также можно обозначать маленькими буквами латинского алфавита a, b и c соответственно обозначениям противоположных углов. Каждый треугольник имеет три вершины, три стороны и три угла.

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром. Периметр обозначают буквой P, например, периметр треугольника  ABC можно обозначить так: PГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC. Получаем: PГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC = AB + BC + CA.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 176

Задача №6

Одна из сторон треугольника на 7 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найти стороны треугольника, если его периметр равен 47 см.

Решение. Обозначим длину одной стороны треугольника — x см, тогда длина второй будет равна (x + 7) см, а третьей — 2x см. По условию x + (x + 7) + 2x = 47. Решив это уравнение, получим x = 10 (см). Следовательно, длина одной стороны треугольника равна 10 см, второй — 17 см, третьей — 20 см.

Ответ. 10 см, 17 см, 20 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 177                              Рис. 178                                   Рис. 179

В зависимости от углов различают такие виды треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. У остроугольного  треугольника все углы острые (рис. 177), прямоугольный треугольник имеет прямой угол (рис. 178), а тупоугольный треугольник имеет тупой угол (рис. 179)

Равенство геометрических фигур

Напомним, что два отрезка называются равными, если равны их длины, а два угла называются равными, если равны их градусные меры.

Рассмотрим два равных отрезка AB и KL, длина каждого из которых 2 см (рис. 184). Представим себе, что, например, отрезок AB начертили на прозрачной плёнке. Перемещая плёнку, отрезок AB можно совместить с отрезком KL. Следовательно, равные отрезки AB  и KL можно совместить наложением.

Так же можно совместить наложением два равных угла (рис. 185). Таким образом приходим к общему обозначению равных фигур:

две геометрические фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 184                                                                                      Рис. 185

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 186

Заметим, что это определение не противоречит определениям равных отрезков и равных углов, которые вы уже знаете. 

Рассмотрим вопрос равенства треугольников. На рисунке 186 изображены равные треугольники ABC и KLM. Каждый из них можно наложить на другой так, что они полностью совместятся. При этом попарно совместятся их вершины A и K, B  и L, C  и M, а значите, и стороны этих треугольников AB и KL, AC и KM, BC и LM  и углы A и K, B и L, C и M. Таким образом, если треугольники  равны, то элементы (то есть стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника: AB = KL, AC = KM, BC = ML, ∠ A = ∠ K, ∠ B = ∠ L, ∠ C = ∠ M.

Для обозначения равенства треугольников используют обычный знак равенства: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачKLM. Заметим, что имеет значение порядок записи вершин треугольника. Запись Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KLM означает, что ∠ A = ∠ K, ∠ B = ∠ L, ∠ C = ∠ M, а запись Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC =  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачLKM другое: ∠ A = ∠ L, ∠ B = ∠ K, ∠ C = ∠ M.

Первый и второй признаки равенства треугольников

Равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Это важно для практики, например для установления равенства двух земельных участков треугольной формы, которые нельзя наложить один на другой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 193                                                       Рис. 194

При решении многих теоретических и практических задач удобно использовать  признаки равенства треугольников.

Теорема 1 (первый признак равенства треугольников ). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, AC = A1C1 и ∠ A = ∠ A1 (рис. 193).

Поскольку ∠ A = ∠ A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1Cтак, что вершина A совместится с вершиной A1, сторона AB накладывается на луч A1B1, а сторона AC — на луч A1C1. Поскольку AB = A1B1 и AC = A1C1, то совместятся точки B и B1, C и C1. В  результате три вершины треугольника ABC совместились с соответствующими вершинами треугольника A1B1C1. Следовательно,  треугольники ABC  и A1B1C1 полностью совместились. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач A1B1C1. Теорема доказана.

Задача №7

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что точка O является серединой каждого из них. Доказать равенство  треугольников AOC и BOD.

Доказательство (рис. 194). По условию задачи AO = OB  и CO = OD. Кроме того, ∠ AOC = ∠ BOD (как вертикальные). Поэтому по первому признаку равенства треугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач AOC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BOD.

Теорема 2 (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие  треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC  и A1B1C1, у которых AB = A1B1, ∠ A = ∠ A1  и ∠ B = ∠ B1 (рис. 195).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 195                                                                                  Рис. 196

Поскольку AB = A1B1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, а вершины C и Cокажутся по одну сторону от прямой A1B1. ∠ A = ∠ Aи ∠ B = ∠ B1, поэтому при наложении луч AC накладывается на луч A1C1, а луч BC — на луч B1C1. Тогда точка C — общая точка лучей AC и BC — совместится с точкой C1 — общей точкой лучей A1C1 и B1C1. Значит, три вершины треугольника ABC совместились с соответственными вершинами треугольника A1B1C1; треугольники ABC  и A1B1C1 полностью совместились. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABCГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1. Теорема доказана.

Задача №8

Доказать равенство углов A и C (рис. 196), если ∠ ADB = ∠ CDB  и ∠ ABD = ∠ CBD.

Доказательство. Сторона BD — общая сторона треугольников ABD и CBD. По условию ∠ ADB = ∠ CDB и ∠ ABD = ∠ CBD. Поэтому по второму признаку равенства треугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABD = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач CBD. Равны и все соответственные элементы этих треугольников. Значит, ∠ A = ∠ C.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.

Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а его третью сторону — основанием. На рисунке 217 изображен равнобедренный треугольник ABC, AB — его основа, AC и BC — боковые стороны.

Треугольник, все стороны которого имеют разные длины, называют разносторонним. Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 218 изображен разносторонний треугольник KLM, а на рисунке 219 — равносторонний треугольник EFT.

Следовательно, в зависимости от сторон, различают такие виды треугольников: разносторонние, равнобедренные равносторонние.

Рассмотрим свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Теорема 1 (свойство углов равнобедренного треугольника ). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 217). Докажем, что у него ∠ A = ∠ B.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ACB = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BCA (по первому признаку), поскольку AC = , СB = CA и ∠ C — общий для треугольников ACB и BCA. Из равенства треугольников  вытекает, что ∠ A = ∠ B. Теорема доказана.

Следствие. В равностороннем треугольнике все углы равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 217                                  Рис. 218                                         Рис. 219

Доказательство. Рассмотрим равносторонний треугольник EFT (рис. 219), у которого EF = FT = ET. Поскольку EF = FT, то его можно считать равнобедренным с основанием ET. Поэтому ∠ E = ∠ T. Аналогично (считая основанием FT), имеем, что ∠ F = ∠ T. Следовательно, ∠ E = ∠ T = ∠ F.

Задача №9

На рисунке 220 AB = BC; AD = EC. Доказать, что ∠ BDE = ∠ BED.

Доказательство. 1) Поскольку AB = BC, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC — равнобедренный с основанием AC. Поэтому ∠ BAC = ∠ BCA.

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BAD = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BCE (по первому признаку). Поэтому BD = BE.

3) Значит, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BDE — равнобедренный с основой DE. Поэтому ∠ BDE = ∠ BED, что и требовалось доказать.

Теорема 2 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник , у которого ∠ A = ∠ B (рис. 221). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ACB = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BCA (по второму признаку), так как ∠ A = ∠ B, ∠ B = ∠ A и AB — общая сторона для треугольников ACB и BCA. Из равенства треугольников вытекает, что AC = BC. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC — равнобедренный с основанием AB. Теорема доказана.

Заметим, что рассмотренная теорема является обратной теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника.

Следствие. Если у треугольника все углы  равны, то он равносторонний.

Доказательство. Пусть в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC : ∠ A = ∠ B = ∠ C. Поскольку ∠ A = ∠ B, то AC = BC. Поскольку ∠ A = ∠ C, то AB = BC. Следовательно, AC = BC = AB, таким образом  треугольник ABC — равносторонний.

Задача №10

На рисунке 222 ∠ 1 = ∠ 2. Доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KLM — равнобедренный.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 220                                                        Рис. 221                                 Рис. 222

Доказательство. ∠ KLM = ∠ 1 (как вертикальные), ∠ KML = ∠ 2 (как вертикальные). Но по условию ∠ 1 = ∠ 2. Поэтому ∠ KLM= ∠ KML. Следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KLM — равнобедренный.

Медиана, биссектриса и высота треугольника. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

У каждого треугольника есть несколько отрезков, которые имеют специальные названия.

Медианой треугольника называют отрезок, который соединяет вершину треугольника со серединой противоположной стороны.

На рисунке 231 отрезок AM1 — медиана треугольника ABC. Точку M1 называют основанием медианы AM1. Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 232 отрезки AM1, BM2, CM3 — медианы треугольника ABC. Медианы треугольника имеют интересное свойство.

В любом  треугольнике медианы пересекаются в одной точке (она называется центроидом треугольника) и в этой точке делятся в отношении 2:1, начиная от вершины.

На рисунке 232 точка M — центроид треугольника.

Это свойство будет доказано в старших классах.

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

На рисунке 233 отрезок AL1 — биссектриса треугольника ABC. Точку L1 называют основанием биссектрисы AL1. Любой  треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 234 отрезки AL1, BL2, CL3 — биссектрисы треугольника.

Мы докажем, что в любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке (она называется инцентром).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 231                                                                               Рис. 232

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 233                                                                           Рис. 234

На рисунке 234 точка I — инцентр треугольника.

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, которая содержит его противоположную сторону.

На рисунке 235 отрезок AH1 — высота треугольника ABC. Точку H1 называют основанием высоты AH1. Любой треугольник имеет три высоты. На рисунке 236 отрезки AH1, BH2, CH3 — высоты остроугольного треугольника ABC, на рисунке 237 эти отрезки — высоты прямоугольного  треугольника ABC с прямым углом C, а на рисунке 238 эти отрезки — высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом A.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 235                                                                                       Рис. 236

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 237                                                                                       Рис. 238

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 239

В старших классах будет доказано, что в любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке (она называется ортоцентром треугольника). На рисунках 236 и 238 точка H — ортоцентр треугольника, на рисунке 237 ортоцентр треугольника совпадает с точкой C — вершиной прямого угла треугольника ABC.

Рассмотрим ещё одно важное свойство равнобедренного треугольника.

Теорема (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника). В равнобедренном  треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, AN — его биссектриса (рис. 239). Докажем, что AN является также медианой и высотой.

1) Поскольку ∠ BAN = ∠ NAC, AB = AC, а отрезок AN — общая сторона треугольников ABN и CAN, то эти треугольники равны по первому признаку.

2) Поэтому BN = NC. Следовательно, AN — медиана треугольника.

3) Также имеем ∠ BNA = ∠ CNA. Так как эти углы смежные и равны, то ∠ BNA = ∠ CNA = 90°. Следовательно, AN является также высотой.

Теорема доказана.

Поскольку биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают, то справедливы такие следствия из теоремы.

Следствие 1. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Следствие 2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию,  является медианой и биссектрисой.

Третий признак равенства треугольников

Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного  треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 — два треугольника, у которых AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C(рис. 246). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1. Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы вершина Aсовместилась с вершиной A, вершина C1 — с вершиной C, а вершины B1 и B были бы по разные стороны от прямой AC. Возможны три варианта: луч BB1 проходит в середине угла ABC (рис. 247), луч BB1 совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 248), луч BB1 проходит вне угла ABC (рис. 249). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно). Поскольку по условию AB =A1B1 и BC = B1C1, то треугольники ABB1 и CBB1 — равнобедренные с основанием BB1. Тогда ∠ ABB1 = ∠AB1B и ∠ CBB1 = ∠ CB1B. Поэтому ∠ ABC = ∠ AB1C.

Следовательно, AB = A1B1, BC = B1C1, ∠ ABC = ∠ A1B1C1. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1 по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 246                                                                          Рис. 247

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 248                                                                          Рис. 249

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 250

Задача №11

На рисунке 250 AC = AD и BC = BD. Докажите, что CO = OD.

Доказательство. 1) У треугольников ABC и ABD сторона AB — общая и AC = AD, BC = BD. Поэтому эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

2) Тогда ∠ CAB = ∠ DAB, AB — биссектриса угла CAD.

3) Поэтому AO — биссектриса равнобедренного треугольника ACD, проведённая к основанию. Эта биссектриса является также медианой. Следовательно, CO = OD, что и требовалось доказать.

Сумма углов треугольника

Докажем одну из важнейших теорем геометрии.

Теорема (о сумме углов треугольника). Сумма углов треугольника равна 180°.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 265.

 Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и докажем, что ∠ A  + ∠ B + ∠ C = 180°.

1) Проведём через вершину A прямую MN, параллельную BC (рис. 265). Обозначим ∠ B = ∠ 1, ∠ C = ∠ 2, ∠ BAC = ∠ 3, образовавшиеся углы ∠ MAB = ∠ 4, ∠ NAC = ∠ 5. Углы 1 и 4 — внутренние разносторонние углы при пересечении параллельных прямых BC и MN секущей AB, а углы 2 и 5 — внутренние разносторонние углы при пересечении этих же прямых секущей AC. Поэтому ∠ 1 = ∠ 4 и ∠ 2 = ∠ 5.

2) Углы 3, 4 и 5 в сумме равны развёрнутому:

∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 = 180°.

Тогда, учитывая, что ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 5, имеем

∠ 3 + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°, или

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, что и требовалось доказать.

Следствие. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые; треугольник не может иметь больше одного прямого или тупого угла.

Доказательство. Допустим, что у треугольника только один острый угол. Тогда сумма двух других углов (не острых) не меньше 180°. Это противоречит доказанной теореме. Наше предположение неверно. Следовательно, у каждого треугольника по крайней мере два угла острые, а потому треугольник не может иметь больше одного прямого или тупого угла.

Учитывая это следствие, можно  сказать, что остроугольный  треугольник имеет три острых угла; прямоугольный  треугольник имеет один прямой и два острых угла; тупоугольный треугольник имеет один тупой и два острых угла.

Задача №12

Пусть биссектрисы углов B и C пересеклись в точке I.

Доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. ∠ ICB =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; ∠ IBC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 266). Тогда ∠ ВIС = 180° – (∠ ICB + ∠ IBC) = 180° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180° –Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180° –Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180° – 90° +Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90° +Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (использовали то, что сумма углов каждого из треугольников BCI и ABC  равна 180°), что и требовалось доказать.

Задача №13

Пусть высоты BH2 и CH3 остроугольного треугольника ABC пересеклись в точке H. ∠ A = α (рис. 267). Найти ∠ BHC.

Решение. Рассмотрим треугольник H2BC. ∠ H2BC = 180° – (90° + ∠ АCB) = 90° – ∠ ACB. В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач H3CB: ∠ H3CB = 180° – (90° + ∠ ABC) = 90° – ∠ ABC. Тогда в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачHCB: ∠ BHC = 180° – (∠ HBC + ∠ HCB) = 180° – (90° – ∠ ACB + +90° – ∠ ABC) = ∠ ACB + ∠ ABC = 180° – ∠ A = 180° – α.

Значит, ∠ BHC = 180° – α.

Ответ. 180° – α

Задача №14

Медиана CN треугольника ABC равна половине стороны AB. Доказать, что треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C.

Доказательство (рис. 268). Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и N — середина отрезка AB, то CN = AN = BN.Следовательно, треугольники ANC и CNB — равнобедренные. Поэтому ∠ A = ∠ AСN; ∠ B = ∠ BСN. Таким образом,∠ C = ∠ A + ∠ B. Но ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°. Поэтому ∠ A + ∠ B = = 180° – ∠ C. Значит, ∠ C = 180° – ∠ C. Отсюда ∠ C = 90°. Треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C, что и требовалось доказать.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 266                                  Рис. 267                                                Рис. 268

Внешний угол треугольника и его свойства

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 276 угол BAK — внешний угол треугольника ABC.

Чтобы не путать угол треугольника с внешним углом, его иногда называют внутренним углом.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 276

Теорема 1 (свойство внешнего угла треугольника). Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Пусть ∠ BAK — внешний угол треугольника ABC (рис. 276). Учитывая свойство смежных углов , получаем: ∠ BAK = 180° – ∠ BAC.

С другой стороны, учитывая теорему о сумме углов треугольника, ∠ B + ∠ C = 180° – ∠ BAC. Поэтому ∠ BAK = ∠ B +  ∠ C, что и требовалось доказать.

Следствие. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Задача №15

Один из внешних углов треугольника равен 120°. Найти внутренние углы, не смежные с ним, если они относятся как 3:5.

Решение. Пусть ∠ BAK — внешний угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC (рис. 276), ∠ BAK = 120°. Поскольку ∠B : ∠C = 3 : 5, то можем обозначить ∠ B = 3x, ∠ C = 5x. Используя теорему о внешнем угле треугольника, имеем: 3x + 5x = 120°, отсюда x = 15°. Тогда ∠ B = 3•15° = 45°, ∠ C = 5•15° = 75°.

Рассмотрим ещё одно важное свойство треугольника.

Теорема 2 (о соотношении между сторонами и углами треугольника). В треугольнике: 1) напротив большей стороны лежит больший угол; 2) напротив большего угла лежит большая сторона.

Доказательство. 1) Пусть в треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC (рис. 277). Докажем, что ∠ С > ∠ B. Отложим на стороне AB отрезок AK, который равен отрезку AC (рис. 278). Поскольку AB > AC, то точка K принадлежит отрезку AB. Поэтому угол ACK является частью угла ACB и ∠ ACK < ∠ ACB.

Треугольник AKC — равнобедренный, поэтому ∠ AKC = ∠ ACK. Но угол AKC — внешний угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KBC. Поэтому ∠ AKC > ∠ B. Значит, и ∠ ACK > ∠ B, а поэтому ∠ ACB > ∠ B.

2) Пусть в треугольнике ABCС > ∠ B (рис. 277). Докажем, что AB > AC. Допустим противоположное, то есть что AB = AC или AB < AC. Если AB = AC, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC — равнобедренный, и тогда ∠ C = ∠ B. Это противоречит условию. Если же допустить, что AB < AC, то по первой части этой теоремы получаем, что ∠ C < ∠ B, что также противоречит условию . Наше предположение ошибочно. Следовательно, AB > AC. Теорема доказана.

Прямоугольные треугольники. Свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 283

Напомним, что треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой. На рисунке 283 — прямоугольный треугольник ABC, у него ∠ C = 90°. Сторону прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называют гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников.

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно, сумма углов треугольника равна  180°, прямой угол составляет 90°. Поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна: 180° – 90° = 90°.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.

Это свойство является следствием теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника, поскольку прямой угол больше острого.

3. Катет прямоугольного треугольника , который лежит напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC  с прямым углом C и углом A, равным 30° (рис. 284). Приложим к треугольнику ABC  треугольник ACD, равный ему. Тогда ∠ B = ∠ D = 90° – 30° = 60° и ∠ DAB = 30° + 30° = 60°. Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABD — равносторонний. Поэтому DB AB. Поскольку BC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BD, то BC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачAB, что и требовалось доказать.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 284                                                                     Рис. 285

4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, который лежит напротив этого катета, равен 30°.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет BC равен половине гипотенузы AB (рис. 285). Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ACD. Поскольку BC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач AB, то BD = AB = AD. Имеем равносторонний треугольник ABD, поэтому ∠ B = 60°. В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABCBAC = 90° – 60° = 30°, что и требовалось доказать.

Рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников.

Из первого признака равенства треугольников вытекает:

  • если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Из второго признака равенства треугольников вытекает:

  • если катет и прилегающий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилегающему к нему углу  другого, то такие треугольники равны.

Если у двух прямоугольных треугольников есть одна пара равных острых углов, то другая пара острых углов — также равные углы (это вытекает из свойства 1 прямоугольных треугольников ). Поэтому имеем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников:

  • если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны;
  • если катет и противоположный угол одного прямоугольного треугольника  соответственно равны катету и противоположному углу другого, то такие треугольники равны .

Теорема (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе). Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны .

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 — прямые и AC = A1C1, AB = A1B1 (рис. 286). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1.

Приложим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, а вершина C — с вершиной C1 (рис. 286, слева). Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABB1 — равнобедренный, поскольку AB = AB1. AC — высота этого равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Отсюда AC является также медианой, поэтому BC = CB1. Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1Cпо третьему признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь ещё одно свойство прямоугольного треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

Доказательство. Из точки B проведём перпендикуляр BK к стороне BC так, что BK = CA (рис. 287). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачKCB — прямоугольные, к тому же BC — общий катет этих треугольников и AC = BK (по построению). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачKCB (по двум катетам), тогда ∠ АВС = ∠ KСВ. Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачNBC — равнобедренный и BN = CN. Аналогично можно доказать, что CN = AN. Таким образом, BN  = CN = AN. Поэтому CN — медиана и CNГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , что и требовалось доказать.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 286                                                                                             Рис. 287

Неравенство треугольника

Теорема (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника  меньше суммы двух других сторон.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC  и докажем, что сторона треугольника, например AB, меньше суммы двух других сторон AC и CB.

1) Отложим на продолжении на стороны AC отрезок CK, равный стороне BC (рис. 300). В равнобедренном треугольнике BCKCBK = ∠ CKB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 300

2) ∠ ABK > ∠ CBK, поэтому ∠ ABK > ∠ AKB. Поскольку в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, то AB < AK. Но AK = AC + CK = AC + BC. Значит,

AB < AC + BC.

Аналогично можно доказать, что AC < AB + BC, BC < AB + AC. Теорема доказана.

Следствие. Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Доказательство. Отняв от обеих частей неравенства  AB < AC + BC, например AC, получим ABAC < BC. Значит, BC > ABAC. Аналогично имеем: AC > BCAB, AB > BC AC.

Поскольку, например, BC > ABAC  и BC > ACAB, то, обобщая, получаем BC > | ABAC |.

Из теоремы о неравенстве треугольника и следствия из неё получаем важное соотношение между сторонами треугольника:

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности.

Например, | ABAC | < BC < AB + AC.

Задача №16

Две стороны треугольника равны 0,7 см и 1,7 см. Какова длина третьей стороны, если она измеряется целым числом сантиметров?

Решение. Пусть неизвестная сторона треугольника равна a см. Тогда 1,7 – 0,7 < a < 1,7 + 0,7 или 1 < a < 2,4. Поскольку a — целое число, то a = 2 (см).

Ответ. 2 см.

Задача №17

Периметр равнобедренного треугольника 60 см, а две его стороны относятся, как 2:5. Найти стороны треугольника .

Решение. Обозначим стороны треугольника, отношение которых 2:5, 2x см и 5x см. Поскольку неизвестно, какая  из них — основание, а какая — боковая сторона, то рассмотрим два случая.

1. Основание равно 5x см, а боковая сторона — 2x см. Тогда вторая боковая сторона также равна 2о см. Но в этом случае не выполняется неравенство треугольника. Действительно, 2x + 2x < 5x. Этот вариант невозможен.

2. Основание равно 2x см, а боковая сторона — 5x см. Тогда другая боковая сторона также равна 5x см. В этом случае неравенство треугольника выполняется.

Значит, по условию задачи имеем уравнение: 2x + 5x + 5x = 60, x = 5 (см). Основание треугольника равна 2•5 = 10 (см), а боковая сторона: 5•5 = 25 (см).

Ответ. 10 см; 25 см; 25 см.

Окружность и круг. Геометрические построения

Окружностью называют геометрическую фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.

Отрезок, который соединяет центр с любой точкой окружности, называют радиусом. На рисунке 320 изображена окружность с центром в точке О и радиусом OK. Из определения окружности вытекает, что все радиусы имеют одну и ту же длину. Радиус окружности часто обозначают буквой r.

Отрезок, который соединяет две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 321 отрезок MN — хорда окружности, а отрезок AB — её диаметр. Поскольку диаметр окружности состоит из двух радиусов (например, диаметр AB состоит из радиусов OA и OB), то его длина вдвое больше длины радиуса. Кроме того, центр окружности является серединой любого диаметра.

Окружность на бумаге изображают с помощью циркуля (рис. 322). На местности для построения окружности можно использовать верёвку (рис. 323).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 320                                     Рис. 321                                       Рис. 322

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 323                                                                                Рис. 324

Часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью, называют кругом (рис. 324). Центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, которая является границей данного круга.

Рассмотрим некоторые свойства элементов окружности.

Теорема 1 (о сравнении диаметра и хорды). Диаметр — наибольшая из хорд.

Доказательство. Пусть AB — произвольный диаметр окружности, радиус которой равен r, а MN — хорда окружности, отличная от диаметра (рис. 325). Докажем, что AB > MN.

AB = 2r. В треугольнике MON, исходя из неравенства треугольника, имеем  MN < MO + ON. Значит, MN < 2r. Поэтому AB > MN. Теорема доказана.

Теорема 2 (об угле, под которым виден диаметр из точки окружности). Диаметр из любой точки окружности виден под прямым углом.

Доказательство. Докажем, что ∠ APB = 90°.

1) В треугольнике AOP AO = PO (как радиусы). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач AOP — равнобедренный и ∠OAP = ∠OPA.

2) Аналогично ∠OPB = ∠OBP.

3) Значит, ∠ APB = ∠ A + ∠ B. Но в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач APB: ∠ APB +  ∠ A + ∠ B = 180°. Поэтому ∠ APB + ∠APB = 180°; 2•∠ APB  = 180°; ∠ APB = 90°. Теорема доказана.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 325                                                                                             Рис. 326

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 327                                                                          Рис. 328

Теорема 3 (свойство диаметра окружности, перпендикулярного хорде). Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит её пополам.

Доказательство. Пусть диаметр AB окружности перпендикулярен хорде MN, которая отлична от диаметра (рис. 327). Докажем, что ML = LN, где L — точка пересечения AB и MN.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач MON — равнобедренный, т. к. MO = ON (как радиусы). OL — высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Поэтому OL также является медианой. Значит, ML = LN.

Если MN — диаметр окружности, то утверждение теоремы очевидно. Теорема доказана.

Теорема 4 (свойство диаметра окружности, проходящего через середину хорды). Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, которая не является другим диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Доказательство. Пусть диаметр AB проходит через точку L — середину хорды MN, которая не является другим  диаметром окружности (рис. 328). Докажем, что ABMN.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачMON — равнобедренный, т. к. MO = (как радиус). OL— медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Поэтому OL также является высотой. Следовательно, OL MN, а поэтому и AB MN. Теорема доказана.

Касательная к окружности, её свойства

Прямая и окружность могут иметь две общие точки (рис. 335), одну общую точку (рис. 336) или не иметь общих точек (рис. 337).

Прямую, которая имеет две общие точки с окружностью, называют секущей. На рисунке 335 OK — расстояние от центра окружности — точки О — до секущей. В прямоугольном треугольнике OKA сторона OK является катетом, а AO — гипотенузой. Поэтому OK < OA. Следовательно, расстояние от центра окружности до секущей меньше радиуса.

Касательной к окружности  называют прямую, которая имеет одну общую точку с окружностью. Эту точку называют точкой касания.

На рисунке 336 прямая а — касательная к окружности, точка K — точка касания.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 335                                            Рис. 336                                              Рис. 337

Если прямая и окружность не имеют общих точек, то расстояние OK больше радиуса окружности OA (рис. 337). Расстояние от центра окружности до прямой, которая не пересекает эту окружность, больше радиуса.

Теорема 1 (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство. Пусть прямая a — касательная к окружности с центром в точке О, точка K — точка касания (рис. 338). Докажем, что прямая а перпендикулярна OK. Допустим, что прямая а не перпендикулярна OK. Проведём из точки О перпендикуляр OM к прямой a. Поскольку у прямой и окружности только одна общая точка K, то точка M, которая принадлежит прямой, лежит за окружностью. Поэтому длина отрезка OM больше длины отрезка OA, который является радиусом окружности. Поскольку OA = OK (как радиусы), то OM > OK. Но, по предположению, OM — катет прямоугольного треугольника KOM, а OK — его гипотенуза. Пришли к противоречию со свойством прямоугольного треугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 338                                                                            Рис. 339

Наше предположение ошибочно. Значит, aOK. Теорема доказана.

Следствие. Расстояние от центра окружности до касательной к этой окружности равно радиусу окружности. 

Теорема 2 (обратная теорема о свойстве касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, который лежит на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство. Пусть OK — радиус окружности с центром в точке О. Прямая а проходит через точку K так, что aOK (рис. 339). Докажем, что OK — касательная к окружности. Допустим, что прямая а имеет с окружностью ещё одну общую точку — точку M. Тогда OK = OM (как радиусы) и треугольник OMK — равнобедренный. ∠ OMK = ∠ OKM = 90°. Поэтому ∠ OMK + ∠ OKM = 180°, что противоречит  теореме о сумме углов треугольника.

Наше предположение ложно. Прямая а не имеет других общих точек с окружностью, кроме точки K. Поэтому прямая а — касательная к окружности. Теорема доказана.

Задача №18

Через данную точку P окружности с центром О провести касательную к этой окружности (рис. 340).

Решение. Проведём радиус OP, а потом построим прямую m, перпендикулярную радиусу (например, с помощью угольника). По теореме 2 прямая m является касательной к окружности.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром в точке О, которые проходят через точку А и касаются окружности в точках B и C (рис. 341). Отрезки AB и AC называют отрезками касательных, проведенными из точки А.

Теорема 3 (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки). Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 340                                                                              Рис. 341

Доказательство. На рисунке 341 треугольники OBA и OCA — прямоугольные, OB = OC (как радиусы), OA — общая сторона этих треугольников. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач OBA = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач OCA (по катету и гипотенузе). Поэтому AB = AC. Теорема доказана.

Окружность, вписанная в треугольник

Рассмотрим важное свойство биссектрисы угла.

Теорема 1 (свойство биссектрисы угла). Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Доказательство. Пусть AK — биссектриса угла A, KB и KC — перпендикуляры, проведённые из точки K к стороне угла (рис. 348). Докажем, что KB = KC.

Поскольку ∠ BAK = ∠ KAC и AK — общая сторона прямоугольных треугольников ABK и ACK, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABK = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачACK (по гипотенузе и острому углу). Поэтому KB = KC. Теорема доказана.

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

При этом треугольник называется описанным вокруг окружности.

Теорема 2 (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать окружность.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 348                                                                              Рис. 349

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть биссектрисы углов A и B этого треугольника пересекаются в точке I (рис. 349). Докажем, что эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

1) Поскольку точка I принадлежит биссектрисе угла A, то она равноудалена от сторон AB и AC: IM = IK, где M и K — основы перпендикуляров, опущенных из точки I на стороны AC и AB соответственно.

2) Аналогично, IK = IL, где L — основа перпендикуляра, опущенного из точки I на сторону BC.

3) Значит, IM = IK = IL. Поэтому окружность с центром в точке I и радиусом IM проходит через точки M, K и L. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках M, K и L, поскольку они перпендикулярны радиусам OM, OK иOL.

4) Поэму окружность с центром в точке I  и радиусом IM является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказана.

Следствие 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. По доказательству предыдущей теоремы точка І — точка пересечения биссектрис углов А и В треугольника ABC. Докажем, что биссектриса угла С также проходит через точку І. Рассмотрим прямоугольные треугольники CMI и CLI (рис. 349). Поскольку IM = IL, а CI — общая сторона этих треугольников, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачCMIГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачCLI (по катету и гипотенузе). Поэтому ∠ MCI = ∠ LCI, CI — биссектриса угла C треугольника ABC. Значит, биссектрисы всех трёх углов треугольника проходят через точку I, поэтому все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке I. Следствие доказано.

Напомним, что точку пересечения биссектрис треугольника называют инцентром

Следствие 2. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Задача №19

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке K,  стороны BC в точке L, а стороны CA в точке M. Доказать, что:

AK = AM = p BC; BK = BL = pAC; CM = CL = p AB, где — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач полупериметр треугольника ABC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 350

Доказательство. Используя свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, имеем AM = AK, BK = BL , CL CM (рис. 350). Обозначим AM =AK = x, BK = BL = y, CL = CM = z.

Тогда периметр треугольника P = 2x + 2y + 2z = 2 (x + y + z), поэтому p = x + y + z. Следовательно, x = p – (y+z); x = p – BC. Получаем AM = AK= p BC.

Аналогично доказывают, что BK = BL = p АC, CM = CL = p AB.

Окружность, описанная вокруг треугольника

Серединным перпендикуляром к отрезку называют прямую, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

На рисунке 355 прямая l — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 355

Теорема 1 (свойство серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство. Пусть прямая l — серединный перпендикуляр к отрезку AB, K — середина этого отрезка (рис. 355). Рассмотрим произвольную точку P серединного перпендикуляра и докажем, что PA = PB.

Если точка P совпадает с K, то равенство PA = PB очевидно. Если точка P отлична от K, то прямоугольные треугольники PKA и PKB равны по двум катетам. Поэтому PA = PB. Теорема доказана.

Окружность называют описанной вокруг треугольника, если она проходит через все вершины треугольника.

При этом треугольник называют вписанным в окружность.

Теорема 2 (об окружности, описанной вокруг треугольника). Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC этого треугольника пересеклись в точке О (рис. 356). Докажем, что эта точка является центром описанной вокруг треугольника окружности.

1) Поскольку точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне AB, то она равноудалена от вершин A и B: OA = OB.

2) Аналогично, OA = OC, поскольку точка O принадлежит серединному перпендикуляру к стороне .

3) OA = OB = OC. Поэтому окружность с центром в точке O и радиусом OA проходит через вершины A, B и C  треугольника ABC. Значит, эта окружность описана вокруг треугольника  ABC. Теорема доказана.

Следствие 1. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Опустим из точки O перпендикуляр OK на сторону BC (рис. 356). Этот перпендикуляр является высотой равнобедренного треугольника OBC, которая проведена к основанию BC. Поэтому он также является медианой. OK принадлежит серединному перпендикуляру к стороне BC. Значит, все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке O. Следствие доказано.

Следствие 2. Центром окружности, описанной вокруг треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Задача №20

Доказать, что центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC — прямоугольный (∠ C = 90°), CO — его медиана (рис. 357). Поскольку медиана  прямоугольного треугольника , которая проведена к гипотенузе, равна половине гипотенузы , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но AO = OB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 356                                                                                            Рис. 357

Поэтому AO = BO = CO. Значит, точка O  равноудалена от вершин треугольника ABC. Поэтому окружность, центр которой точка O, а радиус OA, проходит через все вершины треугольника ABC. Значит, окружность, центр которой — середина гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы, является описанной вокруг прямоугольного треугольника ABC.

Взаимное расположение окружностей

Рассмотрим взаимное расположение двух окружностей, центры которых точки O1 и O2, а радиусы соответственно r1 и r2.

І. Две окружности не пересекаются, то есть не имеют общих точек (рис. 366 и 367). Возможны два варианта расположения:

1. (Рис. 366). Расстояние между центрами окружностей O1O2 = O1A1 + A1A2 + A2O2 = r1 + A1A2 + r2 > r1 + r2. Следовательно, O1O2 > r1 + r2;

2. (Рис. 367). O1A1 = O1O2 + O2A2 + A2A1;

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 366

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 367                                                                               Рис. 368

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 369                                                                                            Рис. 370

r1 = O1O2 + r2 + A2A1. Поэтому O1O2 = (r1 r2) – A2A1 < r1r2. Значит, O1O2 < r1 r2, где r1 > r2.

Две окружности называют концентрическими, если они имеют общий центр (рис. 368). В этом случае O1O2 = 0.

ІІ. Две окружности имеют одну общую точку (рис. 369 и 370). В этом случае говорят, что окружности касаются, а общую точку называют точкой касания окружностей. Возможны два варианта расположения:

1. (Рис. 369). Касание двух окружностей называют внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей точки. В этом случае:

1) O1O2 = O1A + AO2 = r1 + r2;

2) в точке А существует общая касательная l  к двум окружностям;

3) lO1O2.

2. (Рис. 370). Касание двух окружностей называют внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей точки. В этом случае:

1) O1O2 = O1AO2A = r1r2, где r1 > r2;

2) в точке А существует общая касательная l  к двум окружностям;

3) lO1O2.

ІІІ. Две окружности имеют две общие точки (рис. 371). В этом случае говорят, что окружности пересекаются. Применяя в треугольнике O1B1O2 неравенство треугольника и следствие из него, получим:

r1r2 < O1O2 < r1 + r2, где r1 r2.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 371

Задача №21

Расстояние между центрами двух окружностей O1O2 = 10 см. Определить взаимное расположение этих окружностей , если их радиусы равны:

1) r1 = 6 см, r2 = 4 см;

2) r1 = 8 см, r2 = 4 см;

3) r1 = 5 см, r2 = 3 см.

Решение: 1) 10 = 6 + 4, O1O2 = r1 + r2; внешнее касание окружностей;

2) 8 – 4 < 10 < 8 + 4, r1r2 < O1O2 < r1 + r2; окружности пересекаются;

3 ) 10 > 5 + 3 , O1O2 > r1 + r2; окружности не пересекаются.

Задачи на построение и их решение

Во время изучения курса геометрии мы не единожды выполняли различные геометрические построения: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, строили углы и т. д. При этом использовали линейку с делениями, транспортир, чертёжный треугольник, циркуль. Теперь рассмотрим построения фигур, которые можно осуществить с помощью «классических» инструментов: линейки без делений и циркуля. Эти инструменты  использовали ещё в Древней Греции.

Что можно делать с помощью двух упомянутых инструментов? Линейка даёт возможность провести произвольную прямую, построить прямую, проходящую через заданную точку, и прямую, проходящую через две заданные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, окружность с центром в данной точке и радиусом, который равен данному отрезку. В некоторых случаях вместо окружности нам нужна будет некая её часть (дуга окружности). Заметим, что никаких других построений в задачах на построение выполнять не разрешается. Например, с помощью линейки (даже с делениями) не разрешается откладывать отрезок заданной длины, нельзя использовать угольник для построения перпендикулярных прямых.

Решить задачу на построение означает указать последовательность простейших построений, после выполнения которых получим заданную фигуру; затем — доказать, что построенная фигура имеет свойства, предусмотренные условием, то есть является искомой фигурой.

Рассмотрим простейшие задачи на построение.

Построение отрезка, равного данному

Задача №22

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Решение. Изобразим фигуры, заданные условием задачи: отрезок AB  и луч с началом в точке K (рис. 376). Построим циркулем окружность с центром в точке K и радиусом AB (рис. 377). Эта окружность пересечёт луч в некоторой точке D. Очевидно, что KDAB. Поэтому KD — искомый отрезок.

Заметим, что вместо окружности, можно было провести некоторую её часть (дугу), которая наверняка бы пересекала луч (рис. 378).

Построение треугольника по трём сторонам.

Задача №23

Построить треугольник с заданными сторонами a, b и c.

Решение. Пусть заданы три отрезка a, b и c (рис. 379).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 376                                 Рис. 377                                         Рис. 378

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 379                                                                               Рис. 380

1) С помощью линейки проведём произвольную прямую р и обозначим на ней произвольную точку B ((1) на рис. 380).

2)  С помощью циркуля отложим на прямой p отрезок BC = a (дуга (2) на рис. 380).

3) Раствором циркуля, равным b, опишем дугу (3) окружности с центром в точке C (рис. 380).

4) Раствором циркуля, равным c, опишем дугу (4) окружности с центром в точке  B (рис. 380).

5) Точка A — точка пересечения дуг (3) и (4). Треугольник ABC — искомый.

Доказательство этого факта является очевидным, поскольку стороны треугольника ABC равны заданным отрезкам a, b и c: BC = a, AC = b, AB = c.

Примечание. Если бы построенные дуги (3) и (4) не пересеклись, то треугольник построить было бы невозможно. Из неравенства треугольника: каждая из сторон должна быть меньше суммы двух других.

Построение угла, равного данному

Задача №24

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение. Пусть заданы угол A и луч с началом в точке O (рис. 385). Нужно построить угол, равный углу A, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом.

1) Возьмём на сторонах угла A произвольные точки B и C (рис. 385).

2) Построим треугольник OKM, равный треугольнику ABC, так, чтобы AB = OK, AC = OM, BC = KM (рис. 386).

3) Тогда ∠ KOM = ∠ BAC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 385                                                                                             Рис. 386

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 387

4) Значим, ∠ KOM — искомый. Доказательство этого вытекает из построения, т. к. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачOKM = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC, поэтому ∠ KOM = ∠ A.

Построение биссектрисы данного угла

Задача №25

Построить биссектрису данного угла.

Решение. Пусть задан угол А, необходимо построить его биссектрису (рис. 387).

1) Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке A (дуга (1) на рис. 387), которая пересекает стороны угла в точках B и C.

2) Из точек  и C опишем дуги с такими же радиусами (дуги (2) и (3)) до их пересечения в середине угла (точка D).

3) Луч AD — искомая биссектриса угла A.

Доказательство. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABD = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачACD (по трём сторонам), поэтому ∠ BAD = ∠ CAD, значит AD — биссектриса A.

Деление данного отрезка пополам

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 390

Задача №26

Построить середину данного отрезка.

Решение. Пусть AB — заданный отрезок, необходимо построить его середину (рис. 390).

1) Из точки A раствором циркуля, большим, чем половина отрезка AB, опишем дугу (1) (рис. 390).

2) Из точки B таким же раствором циркуля опишем дугу (2) до пересечения с дугой (1) в точках M и N.

3) MN пересекает AB в точке P. P —искомая точка.

Доказательство. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачAMN = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачBMN (по трём сторонам). Поэтому ∠ AMP = ∠ BMP. MP — биссектриса равнобедренного треугольника AMB с основанием AB, поэтому она является также медианой. Значит, P — середина AB.

Построение прямой, перпендикулярной данной прямой

Задача №27

Через данную точку М провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 391                                                                                         Рис. 392

Решение. Возможны два варианта:

1. Точка M принадлежит прямой а:

1) на данной прямой a произвольным раствором циркуля отложим от точки M два равных отрезка MK = ML (дуги (1) на рис. 391);

2) из центров K и L раствором циркуля, равным KL, опишем дуги (2) и (3) до их пересечения в точке B;

3) прямая BM перпендикулярна прямой a.

Доказательство. BM — медиана равностороннего треугольника BKL, поэтому она является также высотой. Значит, BMa.

2. Точка M не принадлежит прямой а:

1) из точки M произвольным радиусом (большим, чем расстояние от точки M к прямой a) проведём дугу (1), которая пересекает прямую a в точках B и C (рис. 392);

2) из центров B и C этим же раствором циркуля опишем дуги (2) и (3) к их пересечению в точке N (отличной от точки M);

3) прямая MN перпендикулярна прямой a.

Доказательство. Пусть точка F — точка пересечения прямых BC и MN. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачBMN = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачCMN (по трём сторонам). Поэтому ∠ BMN = ∠ CMN. MF — биссектриса равнобедренного треугольника BМC, проведенная к его основанию. Поэтому MF является также высотой. Значит, MFBC, поэтому MNa.

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Одним из методов решения более сложных задач на построение является метод геометрических мест.

Геометрическим местом точек называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, которые имеют определённую особенность. Рассмотрим несколько геометрических мест точек плоскости.

1. Геометрическое место точек, равноудалённых од данной точки на заданное расстояние, — окружность, радиус которой равен заданному расстоянию.

2. Геометрическое место точек, расстояние от которых до данной точки не превышает заданного расстояния,— круг, радиус которого равен заданному расстоянию.

3. Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, — биссектриса этого угла.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 395                                                                                     Рис. 396

Доказательство. 1) Пусть точка K равноудалена от сторон AB  и AC  угла A (рис. 395). То есть перпендикуляры KB и KC, опущенные из этой точки на стороны угла, — равны. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABK = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачACK (по катету и гипотенузе).

Поэтому ∠ BAK = ∠ CAK. Значит, AK — биссектриса угла.

2) Пусть точка K принадлежит биссектрисе угла. По свойству биссектрисы угла: KB = KC.

Следовательно, доказали, что геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.

4. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Доказательство. 1) Пусть точка P  равноудалена от концов отрезка AB, то есть PA = PB (рис. 396). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABP — равнобедренный с основанием AB, поэтому медиана этого треугольника PK является его высотой. Значит, AK = KB и PKAB. Поэтому PK — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

2) Пусть точка P  принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB. По свойству серединного перпендикуляра: PA = PB.

Следовательно, доказали, что геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

5. Геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на заданное расстояние, — две прямые, параллельные данной прямой, каждая точка которых находится на заданном расстоянии от прямой.

Доказательство. 1) Докажем, что когда пряма b параллельна прямой a, то две произвольные точки прямой b равноудалены от прямой a.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 397                                                                                 Рис. 398

Пусть M1 и N1 — произвольные точки прямой b. Опустим перпендикуляры M1M и N1N на прямую a (рис. 397). ∠M1MN = ∠N1NM = 90°. Поскольку a || b, то ∠MM1N1 = ∠NN1M1 = 90°. Проведём секущую MN1. Тогда ∠ N1MN = ∠ M1N1M (как внутренние разносторонние). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачMM1N1 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачN1NM (по гипотенузе и острому углу), отсюда M1M = N1N, то есть точки M1 и N1 прямой b равноудалены от прямой a.

2) Докажем, что когда две произвольные точки M1 и N1 прямой b лежат на одинаковом расстоянии от прямой a и по одну сторону от нее, то прямая b параллельна прямой a (рис. 398).

Пусть M1M и N1N — перпендикуляры к прямой a. По условию M1M = N1N.

Поскольку ∠ M1MN = ∠ N1NK, то MM|| NN1. Поэтому ∠MM1N  = ∠N1NM(внутренние разносторонние углы). Значит, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачMM1N = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачN1NM1 (по І признаку). Поэтому ∠M1N1N = ∠M1MN = 90°. Но углы M1N1N и N1NK — внутренние разносторонние для прямых a и b. Поэтому a || b.

Таким образом, геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на заданное расстояние d, являются две прямые, параллельные данной, каждая точка которых находится на заданном расстоянии от прямой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 399

На рисунке 399: b1 || a, b2 || a, M1M = M2M = d. Расстояние d также называют расстоянием между параллельными прямыми (например, b1 и a).

Суть метода геометрических мест в задачах на построение состоит в следующем. Пусть необходимо построить точку A, которая удовлетворяет двум условиям. Строим геометрическое место точек, которое удовлетворяет первому условию — фигура F1, и геометрическое место точек, которое удовлетворяет второму условию — фигура F2. Искомая точка A принадлежит как F1, так и F2, а потому является точкой их пересечения.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 400                                                                                                Рис. 401

Задача №28

В данный угол вписать окружность данного радиуса.

Решение. Пусть дан угол A (рис. 400), в который нужно вписать окружность с радиусом r (то есть такую окружность с радиусом r, которая касается сторон угла).

Сначала найдём центр этой окружности— точку O. Эта точка удовлетворяет двум условиям: 1) принадлежит биссектрисе угла (т. к. равноудалена от сторон угла); 2) находится на расстоянии r, например от стороны угла AC.

Отсюда построение:

1) строим биссектрису угла A — луч AK (рис. 401);

2) строим прямую, перпендикулярную прямой AC, которая проходит через некоторую точку M, что лежит в середине угла;

3) обозначим на построенной прямой точку P, которая находится на расстоянии r от прямой AC;

4) проводим через P прямую PT, перпендикулярную прямой PN; тогда прямые PT и AC — параллельны, каждая точка прямой PT находится на расстоянии r от прямой AC;

5) прямая PT пересекает луч AK в точке O. Эта точка и есть центр окружности, вписанной в угол A, с радиусом r;

6) описываем окружность с радиусом r и центром в точке O, она касается сторон угла.

Доказательство этого вытекает из построения.

Четырехугольники

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.

Простая замкнутая ломаная

Ломаная:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть дано конечное число точек, например, пять (рис. 1, а). Последовательно совместим данные точки отрезками в последовательности: АВСDE
(рис. 1, б). Получили фигуру, которую называют ломаной ABCDE. На рис. 1, в) данные точки совместили в другой последовательности и получили ломаную ADСВE.
Определение. 
Ломаной называют фигуру, которая состоит из конечного числа точек — вершин и отрезков, их последовательных соединений —звеньев, и при этом никакие три последовательные вершины не лежат на одной прямой.

Обозначают ломаные по вершинам в последовательности их соединения. Первую и последнюю вершины называют концами ломаной. Два звена, имеющих общую вершину, называют соседними. Например, в ломаной ABCDE (рис. 1, б) АВ и ВС — соседние звенья, АВ и СD — не соседние.

Простая ломаная

В ломаной ABCDE (рис. 1, б) нет точек самопересечения: никакие два ее не соседних звена не имеют общей точки. Такую ломаную называют простой. Ломаная ADСВE (рис. 1, в) имеет точку самопересечения: два не соседних звена АD и ВЕ пересекаются. Эта ломаная не является простой.

Определение.

Простой ломаной называют ломаную, у которой  не соседние звенья  не имеют общих точек.

Замкнутая ломаная:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если соединить отрезком АD  концы ломаной ABCD (рис. 2, а), то получим новую ломаную с теми же вершинами и добавленным звеном АD (рис. 2, б). Концы в новой ломаной совпадают. Естественно, такую ломаную называют замкнутой.

Определение.

Замкнутой ломаной называют ломаную, у которой совпадают концы.

Обозначая замкнутую ломаную, каждую вершину записывают один раз. В
замкнутой ломаной звеньев столько, сколько вершин. Например, закрытая ломаная MOPKL состоит из пяти вершин: M, O, P, K и L и пяти звеньев: MO, ОР,
РK, KL
и LM.

Четырехугольник и его элементы

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 3, а) - в) изображены фигуры, каждая из которых состоит из четырех
отрезков, образующих простую замкнутую ломаную, и части плоскости, ограниченной этой ломаной. Такие фигуры называют четырехугольниками.

Определение.

Четырехугольником называют фигуру, которая состоит из простой замкнутой ломаной, образованной четырьмя звеньями, и частями площади, которую ограничивает ломаная.

Вершины и стороны

Звенья ломаной, которые образуют четырехугольник, называют сторонами
четырехугольника
, а их концы — его вершинами. Из определения простой замкнутой ломаной следует, что никакие три вершины четырехугольника не лежат на одной прямой. Часть плоскости, ограниченную сторонами четырехугольника, называют внутренней областью четырехугольника. Обозначают четырехугольник по вершинам, как и соответствующую ломаную. Например, на рисунке 3 а) изображен четырехугольник ABCD.
Две вершины четырехугольника, которые являются концами одной его стороны, называют соседними, а вершины, не являющиеся концами одной стороны, — противоположными.

Стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, называют соседними, а
стороны, не имеющие общей вершины, — противоположными. У каждого четырехугольника две пары противоположных вершин и две пары противоположных сторон.

На рис. 3 а) изображен четырехугольник ABCD. Точки A, B, C и D — его вершины, отрезки АВ, ВС, СD и — стороны. Внутренняя область закрашена. A и C, B и D — пары противоположных вершин; АВ и СD, АD и ВС — пары противоположных сторон. В любом четырехугольнике каждая сторона меньше суммы трех других сторон (см. Примеры решения задач на с. 15).
Периметром четырехугольника называют сумму длин всех его сторон.
Обозначают буквой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Диагонали и их обозначение

Диагональю четырехугольника называют отрезок, который соединяет его противоположные вершины.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач


В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD, а в четырехугольнике MOPK
диагонали MP и OK (рис. 4).

Углы

Пусть дан четырехугольник ABCD (рис. 5, а). При вершине А построим угол, сторонами которого являются лучи АВ и АD, содержащий внутренние точки четырехугольника (рис. 5, б). Такой угол называют углом четырехугольника АВСD при вершине А. На рис. 5, в) изображен угол четырехугольника ABCD при вершине B.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
У каждого четырехугольника есть четыре угла. Углы при двух противоположных
вершинах называют противоположными, а углы при соседних вершинах — соседними или прилегающими к одной стороне.
Угол, смежный с углом четырехугольника, называют внешним углом
четырехугольника.

Выпуклые и невыпуклые четырехугольники

Четырехугольники разделяют на выпуклые и невыпуклые (вогнутые).
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 6 а) - г) изображен четырехугольник ABCD. Он лежит в одной полуплоскости (с одной стороны): относительно прямой AB (рис. 6, а), прямой (рис. 6, б), прямой CD (рис. 6, в) и прямой AD (рис. 6, г). Можно сказать иначе: ни одна из прямых, содержащая стороны четырехугольника, не разделяет его на части. Такой четырехугольник называют выпуклым.

Определение

Выпуклым четырехугольником называют четырехугольник, который лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Четырехугольник MOPK, изображенный на рис. 7 а) - г), относительно прямых MO и MK лежит в одной полуплоскости (рис. 7 а) - б). В отношении же прямых OP и PK четырехугольник MOPK лежит в разных полуплоскостях (рис. 7 в) - г), то есть прямые OP и PK разделяют его на две части.
Невыпуклым (вогнутым) четырехугольник называют четырехугольник, для
которого существует прямая, содержащая его сторону и в отношении которой он лежит в разных полуплоскостях.
Далее мы будем изучать только выпуклые четырехугольники.

Теорема о сумме углов четырехугольника

Теорема. Сумма углов четырехугольник равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник
(рис. 8). Докажем, что ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Проведем одну из его диагоналей, например, AC. Она разделит четырехугольник ABCD на два треугольника ABC и ADC. Углы, на которые диагональ разделяет
углы четырехугольника, обозначим как 1-4. По теореме о сумме углов треугольника: ∠1 + ∠В + ∠3 = 180° (для треугольника ABC), ∠2 + ∠D + ∠4 = 180° (для
треугольника ADC). По частям добавим полученные равенства:
∠1 + ∠В + ∠3 + ∠2 + ∠D + ∠4 = 180° + 180°.
(∠1 + ∠2) + ∠B + ∠D + (∠3 + ∠4) = 360° ∠A + ∠B + ∠D + ∠C = 360°.

Задача №29

Доказать, что в любом четырехугольнике каждая сторона меньше суммы трех других сторон.

Доказательство. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник (рис. 9). Докажем, например, что AB < BC + CD + AD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например, AC. Из треугольника АВС по неравенству треугольника имеем:
AB < BC + AC;                                                                                             (1)
из треугольника ACD:
AC < CD + AD.                                                                                             (2)
Если в неравенстве (1) заменить длину стороны АС большей суммой длин отрезков CD и AD (2), то AB < BC + CD + AD.

Задача №30

Найти углы четырехугольника, если они пропорциональны числам  1, 2, 3 и 4.
Решение
Обозначим углы данного четырехугольника x°, 2x°, 3x° и 4x°. Поскольку сумма углов четырехугольника равна 360°, то x + 2x + 3x + 4x = 360 получаем:
10x = 360; x = 36 Тогда 2x = 72; 3x = 108; 4x = 144.
Ответ: 36°; 72°; 108°; 144°.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

В выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 10) диагональ АС принадлежит ему и разделяет его на два треугольника: ABС и АСD. Аналогично диагональ BD принадлежит ему и разделяет его на два треугольника: ABD и CBD. В невыпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 11) такое свойство присуще только для одной диагонали — диагонали BD; диагональ АС не разделяет четырехугольник на два треугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. В выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник (рис. 10). Каждая из диагоналей принадлежит четырехугольнику и разделяет его на два треугольника. Докажем, что диагонали AC и BD пересекаются.
Из того, что диагональ четырехугольника разделяет его на два треугольника, следует, что противоположные вершины выпуклого четырехугольника лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины. А это значит, что отрезок AC пересекает прямую BD, а отрезок BD пересекает прямую AC. Отсюда следует, что прямые AC и BD пересекаются, а их общая точка принадлежит каждому из отрезков AC и BD. Итак, диагонали AC и BD пересекаются, что и требовалось доказать

Замечание. В невыпуклом четырехугольнике (рис. 11) один из углов больше
развернутого. Диагонали невыпуклого четырехугольника не пересекаются, одна из диагоналей принадлежит четырехугольнику и разделяет его на два треугольника.

Параллелограмм

Определение параллелограмма

На рис. 13 пара параллельных прямых a и b пересекается другой парой
параллельных прямых c и d. В результате пересечения образовался четырехугольник ABCD. Такой четырехугольник называют параллелограммом.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Параллелограмм является выпуклым четырехугольником, поэтому он имеет все его свойства. В частности, каждая диагональ разделяет его на треугольники, диагонали пересекаются, сумма всех его углов равна 360°. Установим другие свойства параллелограмма.

Свойства углов и сторон параллелограмма

Из определения параллелограмма следует такое утверждение.

Следствие. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к любой его
стороне, равна 180°.

Действительно, углы, прилегающие к одной стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними при пересечении параллельных прямых секущей, и по свойству параллельных прямых их сумма равна 180°. В параллелограмме ABCD (рис. 13): ∠А + ∠B = 180°, ∠В + ∠С = 180°, ∠С + ∠D = 180° и ∠D + ∠А = 180°.

Теорема. У параллелограмма противоположные стороны и углы равны.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный параллелограмм (рис. 14, а). Докажем, что AB = CD, BC = AD и ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем одну из диагоналей параллелограмма, например, AC. Она
разделяет параллелограмм на два треугольника: ΔABC и ΔCDA (рис. 14, б). Для удобства углы, на которые диагональ АС разделяет углы A и C, обозначим как 1-4.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. В них AC — общая сторона, ∠1 = ∠3 как внутренние разносторонние при AB || CD и секущей AC, ∠2 = ∠4 как внутренние разносторонние при || AD и секущей AC. Итак, ΔABC = ΔCDA по стороне и двум прилегающим углам (второй признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что AB = CD, BC = AD и ∠B = ∠как соответствующие элементы равных треугольников (рис. 14, в).
4. Углы A и C равны как суммы равных углов: ∠A = ∠1 + ∠2, ∠С = ∠3 + ∠4.
Теорема доказана. 

Свойство диагоналей параллелограмма

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный параллелограмм. Проведем его
диагонали AC и BD, которые по свойству параллелограмма пересекаются (рис. 15). Обозначим точку их пересечения через O. Докажем, что АО = ОС и BО = ОD.
1. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника. Рассмотрим два из них, которые содержат противоположные стороны параллелограмма, например, ΔАОD = ΔСOВ. В них AD = BC (доказанное свойство) ∠1 = ∠3 как внутренние разносторонние при AD || BC и секущей AC, ∠2 = ∠4 как внутренние разносторонние при AD || BC и секущей BD. Итак, ΔАОD = ΔСOВ.
2. Из равенства треугольников следует, что АО = ОС и = ОD.
Теорема доказана. 
 

Высоты параллелограмма

На рис. 16 изображен параллелограмм ABCD и параллельные прямые a и b,
которым принадлежат противоположные стороны AD и BC параллелограмма. MN, BP, ST и LO — общие перпендикуляры к прямым a и b. Все они равны и каждый из них называют высотой параллелограмма.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.
Высотой параллелограмма
называют общий перпендикуляр к прямым, содержащий противоположные стороны параллелограмма. Высотой параллелограмма называют также и длину перпендикуляра.

В основном высоты параллелограмма проводят из его вершин. В параллелограмме ABCD на рис. 17 а) проведения высоты BN и BM с вершины B, а на рис. 17, б) — высоты CK и CP из вершины C.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Признаки параллелограмма

Определение параллелограмма дает основной признак–условие, по которому можно установить, является ли данный четырехугольник параллелограммом — параллельность противоположных сторон. Установим другие признаки параллелограмма.

1. Признак параллелограмма по паре противоположных сторон.
Построим параллельные прямые (рис. 19, а). Отложим на них равные отрезки: AD = BC (рис. 19, б). Проведем отрезки AB и CD (рис. 19). Получим четырехугольник ABCD, у которого две стороны параллельны и равны. Будет ли он параллелограммом? Ответ на этот вопрос дает теорема.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и
параллельны, то он параллелограмм.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны, например, AB = CD и AB || CD (рис. 20). Докажем,
что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например, AC. По
свойству выпуклого четырехугольника, она разделит его на два треугольника:
ABC и DCA.
2. ΔABC = ΔCDA — по двум сторонам и углу между ними (второй признак
равенства треугольников). В этих треугольниках AC — общая сторона, AB = CD
по условию, ∠BAC = ∠DCA как внутренние разносторонние при AB || CD и
секущей AC.
3. Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что ∠BCA = ∠DAC как
соответствующие углы равных треугольников

4. Поскольку углы BCA и DAC — внутренние разносторонние при прямых BC
и AD и секущей AC, то из их равенства следует параллельность прямых BC и AD.
5. Итак, четырехугольник ABCD — параллелограмм по определению (AB || CD
по условию, BC || AD — доказано). 

Признак параллелограмма по равенству противоположных сторон

Построим угол A, меньше развернутого, и отложим на его сторонах отрезки АВ = a; AD = b (рис. 21, а). Опишем окружность с центром в точке В, радиус которой равен b, и окружность с центром в точке D, радиус которой равен a (рис. 2,1 б). С — точка пересечения окружностей.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соединяем точку C с точками B и D (рис. 21, в). Получаем четырехугольник, у которого противоположные стороны равны. Будет ли четырехугольник, противоположные стороны которого равны, параллелограммом? Ответ на этот вопрос дает теорема.

Теорема. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, у которого противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Докажем, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например, BD (рис. 22, а). Она разделяет его на два треугольника BAD и DCB,  равные по трем сторонам.
2. Для удобства обозначим углы как 1-4 , на которые диагональ BD делит углы B и D четырехугольника (рис. 22, б). Из равенства треугольников следует, что ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
3. Поскольку углы 1 и 2 — внутренние разносторонние при прямых AD и BC и
секущей BD, то из их равенства следует, что AD || BC (по признаку параллельности
прямых). Поскольку углы 3 и 4 — внутренние разносторонние при прямых AB и CD и секущей BD, то из их равенства следует, что AB || CD.
4. Итак, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны параллельны, а следовательно, по определению, он  является параллелограммом. Теорема доказана. 

Признак параллелограмма по диагоналями

Проведем прямые a и b, которые пересекаются в точке О (рис. 23, а). Отложим на прямой a равные отрезки OA и OC, а на прямой b — равные отрезки OB и OD (рис. 23, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательно соединим отрезками точки A, B, C и D (рис. 23 в).
Будет образованный четырехугольник ABCD параллелограммом? Ответ на
этот вопрос дает теорема.
Теорема. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся
пополам, то он параллелограмм.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник, у которого диагонали пересекаются в точке О и каждый из них точка пересечения делит пополам: ОA = ОC, OB = OD (рис. 24, а). Докажем, что ABCD — параллелограмм.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = OC, BO = OD — по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные).
2. Из равенства треугольников AOB и COD следует равенство углов BAO и DCO (рис. 24, б). Поскольку эти углы — внутренние разносторонние при прямых AB и CD и секущей AC, то прямые AB и CD — параллельны.
3. Аналогично, из равенства треугольников AOD и COB следует параллельность АD и BC (рис. 24, в).
4. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны параллельны (AB || CD и AD || BC). Итак, ABCD — параллелограмм (по определению).

Задача №31

Найти углы параллелограмма, если разность двух из них равна 120°.
Решение
Поскольку заданные углы равны, то они не могут быть противоположными.
Итак, эти углы прилегающие к одной стороне, поэтому их сумма равна 180°.
Пусть х — градусная мера меньшего угла, тогда х + 120° — градусная мера большего угла. Получаем уравнение: х + х + 120 = 180; 2х = 60; х = 30; х + 120 = 150. Итак, 30° — меньший угол; 150° — больший угол.
Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то углы данного параллелограмма равны 30°; 150°; 30°; 150°.
Ответ: 30°; 150°; 30°; 150°.

Задача №32

Найти стороны параллелограмма, если одна из них вдвое больше другой, а периметр параллелограмма равен 42 см.
Решение
Поскольку заданные стороны равны, то они не противоположные. Таким образом, данные стороны соседние. Их сумма равна полупериметру, то есть 42 : 2 = 21 (см). Пусть х — меньшая сторона (в см), тогда 2х — большая сторона (в см).
Получаем уравнение: х + 2х = 21; 3х = 21; х = 7; 2х = 14; х = 7.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то стороны данного параллелограмма равны 7 см; 14 см; 7 см; 14 см.
Ответ: 7 см; 14 см; 7 см; 14 см

Задача №33

Доказать, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство. Пусть АВСD — параллелограмм (рис. 25), у которого
биссектриса угла А, точка М лежит на стороне АС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. ∠ВАМ = ∠DAM — по определению биссектрисы.
2. ∠AMB = ∠DAM — как внутренние разносторонние при параллельных прямых AD и ВС и секущей АМ.
3. Поскольку углы АМВ и ВАМ равны углу DAM, то они равны между собой.
4. Итак, треугольник АВМ — равнобедренный (признак по углам).

Задача №34

Доказать, что угол между высотами параллелограмма, проведенный из вершины тупого (острого) угла параллелограмма равен острому (тупому) углу параллелограмма.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда высоты проведены из вершины
тупого угла. Пусть ВМ и BK — высоты, проведенные из вершины тупого угла В
параллелограмма АВСD (рис. 26).
Обозначим острый угол параллелограмма через α, то есть ∠А = ∠C = α.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Треугольники АВМ и СВK прямоугольные (∠М = ∠K = 90°), следовательно,
АВМ = 90° – α и ∠CBK = 90° – α. Тогда ∠MBK = ∠АВС – (∠АВМ + ∠СBK) = ∠ABC – (90° – α + 90° – α) = ∠ABC – (180° – 2α). Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180°, то получаем: ∠АВС = 180° – α. Итак, ∠MBK = 180° – α – (180° – 2α) = 180° – α – 180° + 2α = α, то есть ∠MBK = ∠А, что и требовалось доказать. Случай, когда высоты проведены с вершины острого угла, доказывают аналогично.

Задача №35

Если в четырехугольнике противоположные углы равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть АBCD — четырехугольник, у которого ∠А = ∠С = α и
В = ∠D = β (рис. 27).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме о сумме углов четырехугольника имеем: α + β + α + β = 360°
2 (α + β) = 360° α + β = 180°. Итак, ∠А + ∠В = 180° и ∠А + ∠D = 180°. Углы А и В — внутренние односторонние при прямых AD и ВС и секущей АВ. Поскольку
А + ∠В = 180°, то по признаку параллельности, AD || ВС. Углы А и D — внутренние односторонние при прямых АВ и СD и секущей АD. Поскольку ∠А + ∠D = 180°, то АВ || CD. Таким образом, в четырехугольнике ABCD АВ || CD и ВС || АD. Итак, ABCD —параллелограмм.

Прямоугольник

Определение и свойства прямоугольника
На рис. 33 изображены параллелограммы, у которых один из углов прямой. По
свойствам параллелограмма все остальные его углы тоже прямые. Такие параллелограммы называют прямоугольниками.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.

Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Основное свойство прямоугольника по определению — все его углы прямые, а следовательно, равны.
По рисункам прямоугольников легко выявить характерное свойство их диагоналей: они равны.

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный прямоугольник. Докажем, что
его диагонали AC и BD — равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и DCA, гипотенузами у которых являются соответственно диагонали прямоугольника BD и CA (рис. 34). У этих треугольников катет AD — совместный, катеты AB и CD равны как противоположные стороны прямоугольника. Итак, ΔABD = ΔDCA по двум катетам.
2. Из равенства треугольников ABD и DCA следует равенство их гипотенуз BD и
CA. Итак, BD = CA.

Следствие. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена
от всех вершин.

Признак прямоугольника

Определение прямоугольника содержит основной признак–условие, по которому параллелограмм является прямоугольником: углы параллелограмма должны быть прямыми. Установим признак прямоугольника с диагоналями.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим точку O и проведем через нее прямые a и b (рис. 35, а). Отложим от точки O на этих прямых равные отрезки OA, ОВ, OC и OD (рис. 35, б). Последовательно совместим точки A, B, C и D отрезками. Очевидно, что образованный четырехугольник является прямоугольником. Докажем это.

Теорема. Если в четырехугольнике диагонали равны и точка пересечения делит их пополам, то данный четырехугольник является прямоугольным.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, в котором диагонали AC и BD равны, O — точка их пересечения и AO = OC, BO = OD (рис. 35, в).
Докажем, что ABCD — прямоугольник.
1. Из условия AO = OC и BO = OD следует, что данный четырехугольник ABCD
является параллелограммом (теорема–признак параллелограмма по диагоналям)

2. Докажем, что углы A и D параллелограмма ABCD равны, а значит, и прямые. Рассмотрим треугольники BAD и CDA, содержащие эти углы. В треугольниках
BAD и СDA сторона AD — общая, AB = CD (как стороны параллелограмма), AC = BD — по условию. Итак, ΔBAD = ΔCDA по трем сторонам.
3. Из равенства треугольников BAD и CDA следует, что ∠BAD = ∠CDA.
Поскольку ∠BAD + ∠СDA = 180° (свойство соседних углов параллелограмма),
то ∠BAD = ∠CDA = 90°. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то все остальные углы параллелограмма ABCD тоже являются прямыми. Следовательно, он является прямоугольником. Теорема доказана.

Ромб

Определение и свойства ромба
На рис. 36 изображен параллелограмм ABCD, у которого соседние стороны AB и
AD равны. По свойству сторон параллелограмма все остальные стороны параллелограмма тоже равны. Такой параллелограмм называют ромбом.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны.

Поскольку ромб является параллелограммом, то он имеет все его свойства. Основное свойство ромба по определению — равенство его сторон.
Установим другие характерные свойства ромба, по которым он отличается от параллелограмма, который не является ромбом.

Теорема (свойство диагоналей ромба).
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный ромб, О — точка пересечения его
диагоналей AC и BD (рис. 37). Докажем, что AC перпендикулярна BD, а углы, на которые разделяет диагональ ромба его угол, равны. Например, ∠ABD = ∠CBD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим треугольник ABС. По определению ромба, AB = BC. Итак,
ΔABC — равнобедренный с основанием AC.
2. По свойству диагоналей параллелограмма, O — середина AC. Итак,
BO — медиана равнобедренного треугольника ABC.

3. По свойству медианы равнобедренного треугольника, BO — высота и
биссектриса треугольника ABC. Итак, AC, а значит, ACBD и ∠ABO =
= ∠CBO. Теорема доказана. 
 

Признаки ромба

Определение ромба содержит основной признак ромба — условие, при выполнении которого параллелограмм является ромбом — равенство всех его сторон. Установим другие признаки ромба.
Непосредственно с признаками параллелограмма по равенству противоположных сторон из определения ромба следует признак ромба.

Признак. Если в четырехугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Установим признак ромба с диагоналями. Проведем две перпендикулярные прямые a и b, которые пересекаются в некоторой точке О (рис. 38, а).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отложим на прямой а равные отрезки OA и ОС, а на прямой bОВ и OD (рис. 38, б). Последовательно соединяем точки A, B, C и D отрезками. Имеем следующий признак ромба.

Теорема. Если диагонали четырехугольника перпендикулярны и в точке
пересечения делятся пополам, то четырехугольник является ромбом.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, у которого диагонали AC и BD перпендикулярны и в точке O — пересечения диагоналей — делятся пополам: AO = OС, ВО = OD. Докажем, что четырехугольник ABCD (рис. 38, в) является ромбом.
1. Поскольку AO = OC и BO = OD, то по признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2. ΔAОВ = ΔСОВ — по двум катетами. Итак, AB = ВС.
3. Поскольку ABCD является параллелограммом, то AB = CD и ВС = AD. Значит, все
стороны параллелограмма ABСD равны. Следовательно, он является ромбом.

Квадрат

На рис. 39 изображен ромб ABCD, у которого угол A прямой, а значит и все другие углы прямые. Такой ромб называют квадратом. Его можно рассматривать и как прямоугольник, у которого все стороны равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение Квадратом называют ромб, у которого все углы прямые; или
прямоугольник, у которого все стороны равны.

Поскольку квадрат является одновременно и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он имеет все свойства.

Задача №36

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине.

Доказательство. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С, в
котором СМ — медиана, то есть АМ = МВ (рис. 40, а). Проведем луч СМ и отложим на нем от точки М отрезок MD = CM (рис. 40, б). Соединим точку D с точками А и В.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Образованный четырехугольник CADB — параллелограмм (признак по диагоналям) (рис. 40, в). По свойству углов параллелограмма ∠АDВ = ∠ACB = 90°,
СAD = 180° – ∠ACB = 180°– 90° = 90°; ∠СВD = ∠CAD = 90°. Итак, в параллелограмме CADB все углы прямые, и он является прямоугольником. По свойству диагоналей прямоугольника, AB = CD. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №37

Найти углы ромба, у которого высота, опущенная из вершины тупого угла, делит противоположную сторону пополам.
Решение.
Пусть ABCD — ромб, у которого точка М — середина AD и BMAD, то есть ВМ — высота (рис. 41, а).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем диагональ BD (рис. 41, б). Имеем: ΔАВМ = ΔDBM — по двум катетам (ВМ — совместный, АМ = MD — по условию). Из равенства треугольников следует, что AB = BD.
2. Поскольку AB = AD (как стороны ромба), то у треугольника ABD все стороны равны, то есть он является  равносторонним. Тогда ∠А = 60° как угол равностороннего треугольника.
3. ∠А = ∠С = 60° (как противоположные углы ромба). Углы B и D равны
180° – 60° = 120°.
Ответ: 60°; 120°; 60°; 120 °. 

Задача №38

Точка М принадлежит прямой, содержащей диагональ параллелограмма и не является точкой пересечения диагоналей. Она равноудалена от концов другой диагонали. Доказать, что параллелограмм является ромбом.

Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, О — точка пересечения его
диагоналей. Точка М, принадлежащая прямой АС, равноудалена от точек В и D,
то есть МВ = МD (рис. 42). Докажем, что ABCD — ромб.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Треугольник BMD — равнобедренный (МВ = МD — по условию).
2. За свойством диагоналей параллелограмма точка О — середина BD. Итак, отрезок МО является медианой треугольника BMD, а значит, и его высотой (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Отсюда следует, что
MABD, или CABD.
3. Таким образом, в параллелограмме ABCD диагонали СА и BD перпендикулярны. Итак, по признаку ромба параллелограмм ABCD является ромбом.

Теорема Фалеса

Рассмотрим некоторые теоремы, основанные на свойствах параллелограмма.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Даны параллельные прямые a и b. На прямой a последовательно отложим равные отрезки, например Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 43, а). Через концы отрезков проведем параллельные прямые, которые пересекают прямую b в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Какими по длине являются отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 43 б)? Ответить на вопрос легко, опираясь на свойство параллелограмма. Образованные четырехугольники Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпо определению являются параллелограммами. По свойству параллелограмма, их противоположные стороны равны:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем прямую c, не параллельную прямой a (рис. 43, в). Будут ли в
таком случае равными отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпрямой c?
Ответ на вопрос дает теорема.

Теорема Фалеса
Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла, то на другой стороне образуются равные между собой отрезки.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть на одной стороне произвольного угла A отложены равные отрезки, например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Через концы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямые, пересекающие
вторую сторону угла соответственно в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 44, а) Докажем, что
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство.
1. Проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую с, параллельную другой стороне угла.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— точки пересечения прямой с соответственно с прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
(рис. 44, б).
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— как противоположные стороны параллелограммов
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3.Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по стороне и двум прилегающим углам:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач∠1 = ∠2 как вертикальные, ∠3 = ∠4 как внутренние разносторонние приГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и секущей с.
4. Из равенства треугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачследует равенство отрезков
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана. 
 

Разделение отрезка на равные части

На основе теоремы Фалеса можно делить отрезок на равные части.
 

Задача №39

Разделить данный отрезок АВ на Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равных частей (рис. 45, а).
Пусть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                                     Построение
1. Проводим произвольный луч АМ (рис. 45, б).
2. Отложим на луче АМ равные отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 45, в).
3. Проводим отрезок А5В.
4. Через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпроведем прямые, параллельные отрезку
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки их пересечения с отрезком AB (рис. 45, г).
5. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по теореме Фалеса). Итак, отрезок АВ разделен на 5 равных частей.

Средняя линия треугольника

На рис. 46, а отрезок МK соединяющей точки М и K — середины сторон АВ и
ВС треугольника АВС. Такой отрезок называют средней линией треугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Средней линией треугольника называют отрезок, который
соединяет середины двух его сторон.

На рисунке 46, б) проведены все три средние линии треугольника. Легко увидеть, что каждая из средних линий параллельная одной из сторон треугольника и
равна ее половине. Докажем это утверждение на основе теоремы Фалеса и
свойств параллелограмма.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине.

Доказательство. Пусть АВС — произвольный треугольник (рис. 47, а). Точка
М — середина стороны АВ. Проведем через точку М прямую  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 47, б).
Она пересекает сторону ВС в точке K.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Фалеса, точка K — середина стороны ВС. Итак, МK — средняя линия треугольника — является отрезком прямой а и параллельна стороне АС, то есть МK || АС. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1. Проведем через точку K прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 47, г). По теореме Фалеса, она пересечет сторону АС в точке Р, которая является серединой АС. Итак,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. В четырехугольнике АМKР противоположные стороны параллельны, то есть он параллелограмм. По свойству сторон параллелограмма МK = AР (рис. 47, г).
3. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Задача №40

В треугольнике АВС через точку М — середину стороны АВ, и точку Р — середину отрезка МВ, проведены прямые, параллельные стороне АС, пересекающие сторону ВС соответственно в точках K и А (рис. 48). Найти длину стороны АС, если РО = 12 см.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Фалеса, точка K — середина отрезка ВС, а точка В — середина отрезка ВK. Итак, МK — средняя линия треугольника АВС, а РО — средняя линия треугольника МВK. По свойству средней линии МK = 2РО = 2 · 12 = 24 (см). АС = 2МK = 2 · 24 = 48 (см).
Ответ: АС = 48 см. 

Задача №41

В треугольнике АВС проведены медианы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которые пересекаются в точке О (рис. 49). Точка М — середина отрезка ОВ, а точка K — середина отрезка ОС. Доказать, что четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является параллелограммом.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является средней линией треугольника АВС. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Отрезок МК является средней линией треугольника ОВС. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. По условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, выходит, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Из равенств Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выходит, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, по свойству параллелограмма, четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является параллелограммом.

Задача №42

Доказать, что середины сторон четырехугольника являются вершинами
параллелограмма.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1. Отрезок MN является средней линией треугольника АВС
(рис. 50). Итак, MN || ΑС и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Отрезок PK является средней линией треугольника АDС. Итак, PK || ΑС и
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. Из условий MN || и PK || следует, что MN || PK.
4. Из равенств Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачследует, что MN = PK. Таким образом, по признаку параллелограмма четырехугольник МNKP является параллелограммом.

Трапеция

Определение трапеции и ее свойства:
На рис. 51 изображены четырехугольники, у которых две стороны параллельные, а две другие — непараллельные. Такие четырехугольники называют трапециями.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие — непараллельные.

Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные —
боковыми сторонами.
1. В любой трапеции основания неравны: если бы основания были равны, то четырехугольник был бы параллелограммом и боковые стороны были бы параллельными, что невозможно по определению.
2. В любой трапеции при большем основании один или оба углы острые.
Доказательство этого утверждения приведено в «примерах решения задач».
Трапецию, в которой один из углов при основании прямой, называют прямоугольной трапецией.
3. В любой трапеции сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°. Сумма углов, прилегающих к основанию, не равна 180° (если эта сумма
равнялась бы 180°, то боковые стороны были бы параллельными).

Средняя линия трапеции

На рис. 52 ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Точки М и N — середины соответственно боковых сторон АВ и CD. Отрезок MN называют средней
линией трапеции.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

На основе теоремы Фалеса и теоремы о средней линии треугольника докажем свойство средней линии трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их
полусумме.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольная трапеция с основаниями AD и BC,
MN — ее средняя линия (рис. 53). Докажем, что: а) MN || AD (MN || BC)
б) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем через вершину B и точку N прямую. Поскольку BC || AD, то
прямая BN пересекает прямую AD. Пусть T — точка пересечения прямых BN и AD.
2. Рассмотрим треугольники NCB и NDT. В них CN = ND по условию, ∠CNB = ∠DNT (как вертикальные), ∠NCB = ∠NDT (как внутренние разносторонние при параллельных прямых BC и AD и секущей CD). Итак, ΔNCB = ΔNDT по стороне и двум прилегающим углам.
3. Из равенства треугольников NCB и NDT следует, что BC = DT и BN = NT.
4. В треугольнике ABT точка M — середина AB, а точка N — середина ВТ, поэтому MN — средняя линия треугольника ABT. По теореме о средней линии
треугольника:
1) MN || , а, следовательно, MN || AD и MN || BC (так AD || BC).

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку DT = BC, то получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Высота трапеции

На рис. 54 ST, BK, FL, CM и OP — общие перпендикуляры к параллельным прямым и b, которым принадлежат основания трапеции ABCD. Каждый из перпендикуляров называют высотой трапеции.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.
Высотой трапеции
называют общий перпендикуляр к параллельным прямым, которым принадлежат основания трапеции. Высотой называют также и длину этого перпендикуляра.

Проводят высоты трапеции преимущественно из вершин при меньшем основании.

Равносторонняя трапеция

На рис. 55 изображена трапеция ABCD, в которой боковые стороны AB и CD равны. Такую трапецию называют равносторонней или равнобедренной.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Равносторонней трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны.

Можно предположить, что углы при основании трапеции равны. Докажем этот факт.

Теорема. У равносторонней трапеции углы при основании равны.

Доказательство. Пусть АВСD — произвольная равносторонняя трапеция с большим основанием AD (рис. 56, а). Докажем, что: а) ∠A = ∠D; б) ∠B = ∠C.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Отложим на большем основании AD отрезок AP, равный меньшему
основанию BC.
2. Образовавшийся четырехугольник ABCP является параллелограммом (признак по паре противоположных сторон) (рис. 56, б). Итак, AB || и по свойству сторон параллелограмма AB = CP.

3. Из равенств AB = CP и AB = CD (по условию) следует, что CP = CD. Итак, ΔPCD — равнобедренный с основанием РD (рис. 56, в).
4. ∠CPD = ∠D как углы при основании равнобедренного треугольника PCD.
CPD = ∠A как соответствующие углы при параллельных прямых AB и и секущей AP.
Итак, ∠A = ∠D, то есть углы при большем основании равны.
5. Поскольку ∠B = 180° – ∠A и ∠C = 180° – ∠D и ∠A = ∠D, то ∠B = ∠C, то есть углы трапеции при меньшем основании тоже равны. Теорема доказана.

Теорема. Диагонали равносторонней трапеции равны.

Доказательство. Пусть АВСD — равносторонняя трапеция с большим основанием
AD. Докажем, что диагонали AC и BD равны (рис. 57).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA, сторонами которых являются диагонали BD и AC. ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними: AD — общая;
AB = CD (по определению равносторонней трапеции) ∠BAD = ∠CDA (доказано свойство углов).
2. Из равенства треугольников ABD и DCA следует, что BD = AC (как соответствующие стороны треугольников). Теорема доказана.

Задача №43

Доказать, что в любой трапеции хотя бы один угол при большем основании острый.
Доказательство. Пусть ABCD — произвольная трапеция (рис. 58). Отложим
на большем основании AD отрезок АМ, равный меньшему основанию ВС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Образуем четырехугольник АВСМ, который является параллелограммом (признак по парной противоположности сторон АМ = ВС — по построению, АD || ВС — как основания трапеции). Итак, АВ || СМ.
2. ∠CMD = ∠А — как соответствующие углы при АВ || СМ и секущей AD.
3. Поскольку в любом треугольнике по  крайней мере два угла острые, то среди углов треугольника CMD хотя бы один из углов М или D острый.
4. Поскольку ∠CMD = ∠А, то и среди углов А и D хотя бы один угол острый. 

Задача №44

Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

Доказательство. 1. Пусть ABCD — произвольная трапеция с основаниями AD = а и
ВС = b (рис. 59). Проведем ее среднюю линию РK.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку РK параллельна основам трапеции AD и ВС, то она пересечет диагональ АС в точке — середине АС (по теореме Фалеса для угла ВАС), а
диагональ BD в точке N — середине BD (по теореме Фалеса для угла АBD).
Таким образом, отрезок MN, который соединяет середины диагоналей, принадлежит средней линии трапеции, а следовательно, параллелен ее основаниям.

2. Поскольку PK = PM + MN + NK, то MN = PK – (PM + NK).
3. Отрезок РМ является средней линией треугольника АВС, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачОтрезок NK является средней линией треугольника BCD, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как средняя линия трапеции ABCD. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №45

Найти периметр равносторонней трапеции, у которой высота и средняя линия соответственно равны 12 см и 23 см, а угол при основании — 30°.
Решение.
Пусть ABCD — равносторонняя трапеция, у которой ∠А = 30°, средняя линия
MN = 23 см, а высота ВK = 12 см (рис. 60).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству средней линии Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Из треугольника АВКГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (свойство катета ,  который лежит напротив угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач );

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 94 см.

Задача №46

Доказать, что точка пересечения диагоналей равносторонней трапеции
равноудалена от концов большего основания (меньшего основания).

Доказательство. Пусть в равносторонней трапеции ABCD (AB = CD) диагонали
АС и BD пересекаются в точке О. Проведем BKAD и CMAD (рис. 61).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку ΔBKD = ΔCMA (по гипотенузе АС = BD и катетам BK = CM), то ∠BDK = ∠CAM. Итак, треугольник AOD равнобедренный, поэтому AO = DO. Из равенства диагоналей АС = BD и их частей AO = DO следует, что ВО = СО. Тогда точка О является равноудаленной от концов большего основания и равноудалена от концов меньшего основания, что и требовалось доказать.

Задача №47

Доказать, что в равносторонней трапеции перпендикуляр, опущенный из вершины меньшего основания к большему, делит ее на части, большая из которых равна средней линии трапеции.

Доказательство. Пусть ABCD — равносторонняя трапеция (AD || BC) и АВ = СD.
Проведем AD и CKAD. MN — средняя линия трапеции (рис. 62).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку прямоугольные треугольники АВЕ и DCK равны (по гипотенузе
АВ = СD и острым углам ∠А = ∠D), то АЕ = DK. Четырехугольник BCKE является прямоугольником, поэтому EK = BC. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задаччто и требовалось доказать.

Задача №48

Доказать: если диагонали равносторонней трапеции перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна ее высоте.

Доказательство. Пусть в равносторонней трапеции ABCD (AD || BC, АВ = DC) диагонали АС и BD пересекаются в точке О под углом 90°, KL — средняя линия
(рис. 63).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Образующиеся треугольники AOD и BOC прямоугольные и равнобедренные
(см. задачу выше). Поскольку в треугольнике АOD АО = OD, то ∠OAD = 45°. Аналогично, из треугольника BOCОВМ = 45°. Проведем через точку В высоту
трапеции MN. Образовались прямоугольные треугольники с острым углом 45°, то есть треугольники AON и BOM равнобедренные: AN = ON, BM = OM. Получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задаччто и требовалось
доказать.

Углы, связанные с кругом. Вписанные и описанные четырехугольники

Центральные углы, дуги и их угловые меры

На рис. 64 изображены углы, вершинами которых  является центр круга. Соответственно и называют такие углы центральными.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Центральным углом называют угол, вершиной которого является центр данного круга.
Центральный угол может быть меньше развернутого (рис. 64, а), развернутым (рис. 64, б) и больше развернутого (рис. 64, в).
Стороны центрального угла пересекают круг в двух точках, которые разделяют круг на части — дуги. Одна из дуг принадлежит центральному углу, а другая — не принадлежит. Чтобы отличать две дуги с одинаковыми концами, на одной из них или на обоих указывают некоторую промежуточную точку. Обозначают дуги по концам или концам и промежуточной точки, используя знак Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 65, а) центральному углу принадлежит дуга АСВ Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи не принадлежит дуга ADB Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач О дуге, которая принадлежит центральному углу, говорят, что она соответствует центральному углу, или, наоборот, центральный угол соответствует дуге.

Определение. Каждая дуга на окружности имеет угловую (градусную) меру. Угловой степенью дуги является градусная мера, соответствующая центральному углу.

На рис. 65, а) ∠AOB = 90°, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 65, б) ∠MOK = 225°,
следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловая (градусная) мера окружности равна 360°, полукруга — 180°, четверти круга — 90°. Сумма мер двух дуг, которые дополняют друг друга в круге, равна
360°. На рис. 65, а) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 65, б) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вписанный угол

На рис. 66, а) изображены угол BAC, вершиной которого является точка окружности, а его стороны AB и AC пересекают этот круг. Угол BAC называют вписанным в круг.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают этот круг, называют углом, вписанным в круг.

Центр окружности может лежать внутри вписанного угла (рис. 66, а), на его стороне (рис. 66, б) или вне угла (рис. 66, в).
Стороны и вершина вписанного угла разделяют круг на три дуги. Одна из
них относится к  углу, а две другие — не принадлежат. В случае, когда дуга принадлежит вписанному углу, говорят, что угол опирается на эту дугу. На рис. 66, а) вписанный угол ВАС опирается на дугу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторой соответствует центральный угол ВОС. Говорят, что вписанному углу ВАС отвечает центральный угол ВОС.

Теорема.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен половине центрального угла, который ему соответствует.

Доказательство. Пусть дана произвольная окружность с центром О. ∠АВС — вписанный угол, тогда соответствующий ему центральный угол ∠АОС.
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассматриваем три случая размещения центра окружности относительно угла АВС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1 случай. Центр окружности В принадлежит одной из сторон угла АВС, например, стороне ВС (рис. 67, а).
1. ΔАВО — равнобедренный с основанием АВ (ОА = ОВ как радиусы).
2. ∠АОС — внешний угол треугольника АВО: ∠AОС = ∠ВАО + ∠АВО = 2∠АВС.

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2 случай. Центр окружности В лежит внутри угла АВС (рис. 67, б). Проведем луч , который пересекает дугу АС в точке D. Луч ВD разделяет угол АВC на вписанные углы АВD и СBD, сторона BD проходит через центр круга. Поэтому согласно результатам, полученным в случае 1, получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3 случай. Центр окружности В лежит вне угла АВС (рис. 67, в). Через центр окружности О проведем луч BD. Получаем, что луч ВС принадлежит углу АВD и разделяет его на два угла. Поэтому согласно результатам, полученным в случае 1, получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Следствия.
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
(рис. 68, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на полукруг (диаметр), является прямым
(рис. 68, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 68, а) углы АМВ, ANB, AKB вписаны и опираются на дугу АВ.
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 68, б) АВ — диаметр круга. Вписанные углы АМВ, ANB и AKB опираются на диаметр АВ. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вписанный четырехугольник

Вписанный четырехугольник и его свойства
На рис. 69, а) дана окружность с центром О, все вершины четырехугольника АВСD лежат на круге.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой четырехугольник называют вписанным в круг, или вписанным четырехугольником.

Определение. Четырехугольник, все вершины которого лежат на окружности, называют вписанным четырехугольником.

Если четырехугольник вписан в круг, то центр круга равноудален от вершин четырехугольника и является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам (рис. 69, б).

Теорема. Если четырехугольник вписан в круг, то сумма его противоположных углов равна 180°.

Доказательство. Пусть дана окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD, вписанный в этот круг (рис. 70). Докажем, что ∠A + ∠С = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Противоположные углы любого вписанного четырехугольника опираются на
дуги, которые дополняют друг друга в круге. Например, угол А опирается на
дугу BCD, а угол С — на дугу BAD. Суммой дуг BCD и BAD является круг. По теореме о степени вписанного угла получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана. 
Из теоремы следует: если сумма противоположных углов четырехугольника не равна 180°, то вокруг него нельзя описать круг. Например, можно описать круг вокруг параллелограмма с острым углом, в частности, вокруг ромба.

Признак вписанного четырехугольника

Имеет место и теорема, обратная доказанной. Она устанавливает, при каких
условиях вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Теорема.
Если в выпуклом четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то вокруг четырехугольника можно описать круг.

Cледствия.
1. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.
2. Вокруг каждой равносторонней трапеции можно описать круг.

Доказательство теоремы представлено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше».

Описанный четырехугольник

Описанный четырехугольник и его свойства

Пусть окружность с центром О касается всех сторон четырехугольника АВСD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой четырехугольник называют описанным вокруг круга, или описанным
четырехугольником.

Определение. Описанным четырехугольником называют четырехугольник, все стороны которого касаются круга.

Такой четырехугольник изображен на рис. 71, а). Если четырехугольник описан вокруг окружности, то центр окружности равноудален от всех сторон четырехугольника и является точкой пересечения биссектрис углов четырехугольника (рис. 71, б).

Теорема. Если четырехугольник описан, то суммы его противоположных
сторон равны.

Доказательство. Пусть ABCD — описанный четырехугольник (рис. 71, б). Докажем, что АВ + СD = AD + BC.
Обозначим точки касания сторон четырехугольника в круге через M, N, Р и K. Известно, что отрезки касательных, проведенные из одной точки в круг, равны.
Есть АМ = АK, МВ = BN, DP = KD, PC = NC.
Сложим по частям эти равенства АМ + МB + DР + РС = АK + BN + KD + NС; АВ + DC = AK + KD + BN + NС; АВ + DC = AD + BС

Признак описанного четырехугольника

Справедливая и обратная теорема, выражающая признак описанного четырехугольника.

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника
равны, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Следствие. Круг можно вписать в любой ромб.

Центром круга вписанного в ромб, является точка пересечения диагоналей, а его диаметр равен высоте ромба. Доказательство теоремы представлено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше».

Задача №49

Доказать, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекают круг, измеряется полуразностью дуг, которые лежат между его сторонами.

Доказательство. Пусть S — точка, которая лежит вне данного круга (рис. 72).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем из точки S два луча, которые пересекают окружность в точках А и С,
B и D. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем хорду СВ (или AD). Имеем: ∠АСВ = ∠ASB + ∠CBS (как внешний угол треугольника CBS). Отсюда ∠ASB = ∠ACB – ∠CBS. Поскольку
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(по свойству вписанных углов), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.

Задача №50

Доказать, что равные хорды стягивают равные дуги.

Доказательство. Пусть в круге с центром О проведены равные хорды АВ и CD
(рис. 73).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соединим концы хорд с центром круга. Треугольники АОВ и DOC равны по трем сторонами (АВ = CD, OA = OB = OC = OD как радиусы круга). Из равенства треугольников следует равенство углов АОВ и COD. Эти углы являются центральными.
Итак, дуги Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачимеют одинаковую градусную меру.

Задача №51

Доказать, что угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой дуг, одна из которых лежит между сторонами угла, а другая — между их продолжениями.

Доказательство. Пусть даны окружность с центром в точке О и точка М, лежащая внутри соответствующего круга (рис. 74).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка М является вершиной угла АМВ. Начертим лучи, дополняющие к
сторонам этого угла, до их пересечения с окружностью. Получим точки С и D. Проведем хорду ВС. Поскольку угол АМВ — внешний угол треугольника ВМС, то
АМВ = ∠1 + ∠2. По свойству вписанного угла имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №52

Доказать, что угол между касательной и хордой, которые имеют общую точку на окружности, равны половине угловой меры дуги, которая лежит внутри этого угла.

Доказательство. Пусть дан круг с центром в точке О, проведем касательную ВА
(А — точка касания) и через точку А проведем хорду АС (рис. 75, а). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем через точку А диаметр AD, который образует с касательной АВ прямой угол (свойство касательной к окружности) (рис. 75, б). Соединим точки D и С.
АСD = 90°, поскольку он опирается на диаметр круга. Из треугольника ACD:
DAC + ∠CDA = 90°. ∠BAD = ∠DAC + ∠CAB = 90°. Отсюда ∠CDA = ∠CAB.
Поскольку угол CDA вписан в круг, то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
что и требовалось доказать.

Задача №53

Доказать, что любая трапеция, вписанная в круг, является равносторонней.

Доказательство. Пусть ABCD — вписанная трапеция (рис. 76).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По свойству вписанного четырехугольника ∠A + ∠C = 180°, то есть
C = 180° — ∠A (1). По свойству углов, прилегающих к боковой стороне трапеции, ∠A + ∠В = 180°, то есть ∠В = 180° – ∠А (2). Из равенств (1) и (2) следует, что ∠В = ∠C, а следовательно, и ∠A = ∠D. Поскольку углы при основании трапеции равны, то она равносторонняя (признак равносторонней трапеции с углами при основании).

Задача №54

В описанном четырехугольнике ABCD AB : BC : CD = 3 : 5 : 7. Найти стороны четырехугольника, если его периметр равен 30 см.
Решение.
Обозначим стороны АВ, ВС и CD через 3k см, 5k см и 7k см. По свойству описанного четырехугольника AB + CD = BC + DA. Итак, 3k + 7k = 5k + .
Откуда DA = 3k + 7k – 5k = 5k. Получаем уравнение 3k + 5k + 7k + 5k = 30;
20k = 30; k = 30 : 20 = 1,5. Таким образом, АВ = 3 · 1,5 = 4,5 (см), ВС =
= 5 · 1,5 = 7,5 (см), CD = 7 · 1,5 = 10,5 (см). AD = 5 · 1,5 = 7,5 (см).
Ответ: 4,5 см; 7,5 см; 10,5 см; 7,5 см.

Для тех, кто хочет знать больше

Теорема. Если в выпуклом четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть АВСD — произвольный четырехугольник, у которого одна из сумм противоположных углов равна 180°. Например, ∠А + ∠С = 180°. Тогда по теореме о сумме углов четырехугольника ∠В + ∠D = 360° – 180° = 180°. Докажем, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать круг.
Через любые три вершины четырехугольника, которые могут быть вершинами треугольника, всегда можно провести окружность. Пусть окружность проведена, например, через вершины А, В и С. Возможны три случая размещения четвертой вершины D относительно круга. Точка D лежит: а) внутри круга (рис. 77, а) б) вне круга (рис. 77, б) в) на окружности (рис. 77, в).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Предположим, что точка D лежит внутри круга. Продолжим отрезок AD по
прямой до пересечения с окружностью. Е — точка пересечения прямой AD и окружности. Соединим точки С и Е. Образуется вписанный четырехугольник АВСЕ. Имеем: ∠В + ∠Е = 180° (по доказанному свойству вписанного четырехугольника), ∠В + ∠D = 180° (по условию). Отсюда ∠Е = ∠D, что невозможно, так как угол D — наружный угол треугольника DCE, а следовательно, ∠D > ∠E. Таким образом, точка D не может лежать внутри круга.
б) Предположим, что точка D лежит вне круга. Обозначим буквой Р точку пересечения отрезка AD с окружностью и соединим ее отрезком с точкой С. Образовавшийся  круг вписан в  четырехугольник ABCP. Имеем: ∠В + ∠Р = 180° (по свойству вписанного четырехугольника), ∠В + ∠D = 180° (по условию). Отсюда ∠Р = ∠D, что невозможно, так как угол Р — внешний угол треугольника РСD, а значит, ∠Р > ∠D. Таким образом, точка D не может лежать вне круга.
Из а) и б) следует, что точка D лежит на окружности. Итак, существует круг, который проходит через все вершины четырехугольника ABCD.

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть АВСD — произвольный четырехугольник, у которого АВ + CD = BС + AD. Докажем, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Проведем в четырехугольнике биссектрисы двух соседних углов, например, А и В. Тогда точка O пересечения биссектрис равноудалена от трех сторон AD, AB и BC четырехугольника и поэтому можно провести окружность с центром О, которая касается этих трех сторон. Для четвертой стороны CD возможны три случая размещения относительно данного круга.
Сторона CD: а) пересекает круг (рис. 78, а), б) лежит вне круга (рис. 78, б),
в) является касательной к окружности (рис. 78, в).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Предположим, что СD является секущей в круге. Проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную СD и касательную к кругу. Тогда имеем: АВ + СD = ВС + АD (по условию),
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству описанного четырехугольника). Выполнив по частям вычитание равенств, получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИтак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем в четырехугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что сторона Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна сумме трех других
его сторон, что  невозможно. Итак, СK не может быть секущей для круга.
б) Аналогичными соображениями устанавливается невозможность второго случая: сторона СD вне круга. Итак, круг, касаясь трех сторон четырехугольника, касается и четвертой его стороны. Теорема доказана.

Пропорциональные отрезки

Отношение двух отрезков

Определение. Отношением двух отрезков называют число, равное отношению длин этих отрезков.
Поскольку длины отрезков являются положительными числами, то их отношение является положительным числом.
Отношение отрезков Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают в виде дроби Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или частного AB : СD. Если, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пример. Пусть AB = 4 см, CD = 6 см. Имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Сравнение отрезков по их отношению

Если известно отношение двух отрезков, то можно сравнить их длину.
Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач больше, чем отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач раз). Например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в 4,5 раза больше, чем отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше, чем отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть длина отрезка АВ составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач длины отрезка CD.
2. Пропорциональные отрезки.
Даны четыре отрезка AB = 3 см, CD = 5 см, MN = 6 см и PK = 10 см (рис. 80).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть отношения отрезков АВ и CD и отрезков MN и PK равны. В таком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK.

Определение. Два отрезка называют пропорциональными к двум другим отрезкам, если отношение первой пары отрезков равно отношению отрезков второй пары, или, по-другому, их отношения равны.

По определению, отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если их длины образуют верную числовую пропорцию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку в пропорции можно менять местами средние или крайние члены, то пропорциональность отрезков AB и CD  к отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать и в виде пропорции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса).
На рис. 81 через точки A, B и C прямой а проведены параллельные прямые,
пересекающие прямую b соответственно в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будут ли отрезки прямой a пропорциональны соответствующим отрезкам прямой b, например, отрезки AB и BC к отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Ответ на вопрос дает такая теорема.

Теорема.
Если две прямые пересечь параллельными прямыми, то любые два образованных отрезка одной прямой пропорциональны соответствующим отрезкам другой прямой.

Теорема справедлива как в случаях, когда отношение отрезков является частью целых чисел, так и в случаях, когда отношения не являются частью целых чисел. Ограничимся доказательством теоремы, когда отношение является частью целых чисел.
Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Через произвольные точки прямой а, например А, В и С, проведем параллельные прямые, которые пересекают прямую b соответственно в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что, например, отрезки АВ и ВС пропорциональны отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(m и n — целые числа). Поделим отрезок ВС на n равных частей, тогда отрезок АВ разделится на m таких частей (рис. 82). Отрезок АС будет разделен на (m + n) равных частей-отрезков.
Через точки деления проведем прямые, параллельные прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Фалеса отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет разделен на m равных частей, а отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на n равных частей. Отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет разделен на (m + n) равных частей (отрезков). Обозначим длину одного из этих отрезков через l. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИтак,Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  отрезки АВ и ВС пропорциональны отрезкам  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об отрезках параллельных прямых

На рис. 84, а) стороны угла C пересечены параллельными прямыми. Есть ли на сторонах угла отрезки, пропорциональные отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельных прямых?

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ на этот вопрос дает теорема.

Теорема.
Если стороны угла пересечь параллельными прямыми, то отрезки этих параллельных прямых с концами на сторонах угла пропорциональны отрезкам, лежащим на сторонах угла, начиная от вершины к соответствующим параллельным прямым.

Доказательство. Пусть даны угол C и параллельные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в которых точки А и В лежат на одной стороне угла, а точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на другой его стороне. Докажем, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую a || BC. Есть прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересеченные параллельными прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и BC. По обобщенной теореме Фалеса: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку четырехугольник  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллелограмм, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак,Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку по обобщенной теореме Фалеса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Задача №55

Основания трапеции равны 14 см и 21 см. Боковые стороны, равные 5 см и 12 см, продлены до пересечения. Вычислить периметр треугольника, образованного меньшим основанием и продолжением боковых сторон трапеции.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — данная по условию трапеция, у которой продолжения боковых сторон пересекаются в точке М (рис. 85). По теореме об отрезках параллельных прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть МВ = а см и МС = b см. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: 48 см. 

Задача №56

Даны отрезки а, b и с (рис. 86 а). Построить отрезок х такой, что а : b = с : х.

Решение.
Дано: a, b, c — заданные отрезки.
Построить: отрезок х такой, что а : b = с : х.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Строим произвольный угол ВАС (рис. 86, б). На стороне АВ последовательно откладываем отрезки АМ = а и МР = b, а на стороне АС — отрезок AN = с.
2. Проведем прямую MN, а через точку Р — прямую PK такую, что PK || MN (K — точка пересечения прямых АС и PK). По обобщенной теореме Фалеса
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТаким образом, NK — искомый отрезок х.

Задача №57

(Теорема о биссектрисе треугольника). Доказать, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство. Пусть BD — биссектриса треугольника АВС (∠1 = ∠2) (рис. 87). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Через вершину С проведем прямую с, параллельную прямой BD. Точка М — точка пересечения прямых с и АВ. В образованном треугольнике ВМС углы,
прилегающие к стороне СМ, обозначим как 3 и 4.
2. Имеем: ∠3 = ∠2 как внутренние разносторонние при BD || СМ и секущей ВС, ∠4 = ∠1 как соответствующие углы при BD || СМ и секущей АМ. Поскольку ∠1 = ∠2, то и ∠3 = ∠4. Итак, треугольник ВСМ — равнобедренный (признак по углами). Итак, ВС = ВМ.
3. Поскольку BD || СМ, то по обобщенной теореме Фалеса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Заменив в полученной пропорции отрезок ВМ равным ему отрезком ВС,
имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Задача №58

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника.

Доказательство. Пусть О — точка пересечения двух медиан (AD и BE) треугольника АВС (рис. 88).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим четырехугольник MNDE, где M и N — середины отрезков АО и ВО. Поскольку отрезок MN является средней линией треугольника АОВ, то MN || AB
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отрезок DE является средней линией треугольника АВС, поэтому DE || AB и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отсюда следует, что MN || DE и MN = DE, то есть четырехугольник MNDE —параллелограмм с диагоналями MD и NE. Итак, МО = OD, и поскольку МО = АМ,
то АМ = МО = OD. Таким образом, точка О делит медиану AD в отношении AO : OD = 2 : 1. В таком же отношении эта точка делит и медиану ВЕ. Третья медиана по аналогичным соображениям точкой ее пересечения как с первой, так и со второй медианой тоже должна делиться в отношении 2 : 1. При этом третья медиана не может пересекать медианы AD и BE в точках, отличных от О, поскольку тогда на ней было бы две разные точки, делящие бы ее в отношении 2 : 1, начиная от вершины, что было бы  невозможно.

Подобные треугольники

Определение подобных треугольников
На рисунке 90 а) - в) изображены пары фигур, одна из которых образована растяжением или сжатием другой без изменения формы и пропорций.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

О таких фигурах говорят, что они одинаковой формы и разных размеров, и
называют их подобными.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Треугольники ABC и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач изображены на рис. 91, тоже можно назвать подобными. Удвоив стороны треугольника ABC, не меняя его формы (углов), можно получить треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В этих треугольниках попарно равны углы (∠A = ∠A1Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ), а стороны, лежащие против равных углов, попарно пропорциональны: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы попарно равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Если треугольник  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подобный треугольнику ABC, то записывают:
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что выполняются равенства: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Коэффициент пропорциональности сторон называют коэффициентом подобия
треугольников.
На рис. 91 треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подобный треугольнику ABC с
коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это можно записать так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Треугольник ABC подобен треугольнику Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с коэффициентом подобия
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Основная теорема о подобных треугольниках

Всегда ли существуют треугольники, подобные данному? Как построить треугольник, подобный данному? Ответы на эти вопросы дает теорема о подобии треугольников.

Теорема.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Доказательство. Пусть ABC — произвольный треугольник. Прямая a пересекает
его стороны AB и BC соответственно в точках M и K. a || AC. Докажем, что ΔBMK ~ ΔBAC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим треугольники BMK и BAC (рис. 92). У них ∠B — общий, ∠M = ∠A как соответствующие углы при MK || AC и секущей AB. ∠K = ∠C как соответствующие углы при MK || AC и секущей BC.
2. По доказанному свойству отрезков параллельных прямых: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, ΔBMK ~ ΔBAC по определению.

Признаки подобия треугольников

Для установления подобия треугольников необязательно проверять равенство всех углов и пропорциональность всех сторон. Достаточно проверить только некоторые из них. Условия, достаточные для подобия треугольников, называют признаками подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 93). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. На стороне BA треугольника ABC (или на ее продолжении) откладываем отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, параллельную прямой AC, которая пересекает сторону BC в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по теореме о подобии треугольников.
3. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по стороне и двум прилегающим углам. У них: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  по построению, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как углы, равные углу A.
4. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Следствие. Если в прямоугольных треугольниках есть по одинаковому острому углу, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Теорема.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть в треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и ABC  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 94). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Аналогично доказательства первого признака, строим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Для этого на стороне AB треугольника ABC откладываем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводим
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачОтсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по двум сторонам и углу между ними. У них:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по построению, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Третий признак подобия треугольников

Теорема.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть в треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и ABC, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (1) (рис. 95). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Как и для доказательства первых двух признаков, строим вспомогательный треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подобный треугольнику ABC, и доказываем, что он равен треугольнику  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Откладываем на стороне AB треугольника ABC отрезок
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По теореме о сходстве:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Из равенств (1) и (2) следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Задача №59

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки, которые относятся как 2 : 3. Найти основания трапеции, если ее средняя линия равна 15 см.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — трапеция, в которой О — точка пересечения диагоналей.
ОС : ОА = 2 : 3 (рис. 98), MN — средняя линия, MN = 15 см.
1. ΔAOD ~ ΔСОВ по двум углам: ∠ВОС = ∠DOA как вертикальные;
ОСВ = ∠OAD как внутренние разносторонние при AD || BC и секущей АС.
2. Из подобия треугольников следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3.  По  свойству средней линии трапеции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда
AD + BC = 2MN = 2 · 15 = 30 (см).
4. Пусть ВС равна х см, тогда АD равна (30 – х) см. Складываем пропорцию: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИмеем 3х = 2 (30 – х); 3х + 2х = 60; 5х = 60; х = 12. Следовательно, ВС = 12 см, тогда АС = 30 – 12 = 18 (см).
Ответ: 12 см; 18 см.

Задача №60

Если две секущие окружности пересекаются в некоторой точке, и не принадлежат кругу, то произведение расстояний от этой точки до точек пересечения каждой секущей с кругом есть величина постоянная.

Доказательство. Пусть к окружности с центром в точке О проведены две секущие
АВ и CD, которые пересекаются в точке М. Докажем, что МА · МВ = МС · MD. Рассмотрим два случая размещения точки М: 1) точка М находится в круге (рис. 99, а); 2) точка М находится вне круга (рис. 99, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1 случай. Пусть в круге с центром О хорды АВ и CD пересекаются в точке М.
1. В треугольниках МАС и MDB углы при вершине М равны как вертикальные
(∠АМС = ∠DMΒ). ∠A = ∠D, поскольку каждый из них опирается на ту же дугу ВmС. Итак, ΔМАС ~ ΔMDB по первому признаку подобия.
2. Из подобия треугольников имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или МА · МВ = МС · MD.
2 случай. Пусть точка М находится вне круга.
1. В треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
M — общий для этих треугольников. Итак, ΔМВС ~ ΔMDA по двум углам.
2.  Из подобия треугольников имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или МА · МВ = МС · MD.

Задача №61

Если из точки, взятой снаружи круга, проведены в него секущая и касательная, то произведение секущей и ее внешней части равно квадрату касательной.

Доказательство. Пусть в круг с центром в точке О проведена касательная KA (А — точка касания) и сечение KB, пересекающая окружность в точках С и В (рис. 100).
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Угол KAC, образованный касательной KA и хордой АС. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Угол АВС — вписанный. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. В треугольниках KAC и KBAK — совместный и ∠KAC = ∠KAB. Итак, ΔKAC ~ ΔKBA по двум углам.
4. Из подобия треугольников имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что
и требовалось доказать.

Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике

Для прямоугольного треугольника верно еще одно утверждение: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы.

Перпендикуляр, наклонная и проекция

Установим ряд теорем, которые выражают соотношение между элементами
прямоугольного треугольника. Рассмотрим сначала понятие, через которые раскрывается суть этих теорем.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть дана прямая a и точка A, которая ей не принадлежит (рис. 102, а). Проведем через точку A прямую b, перпендикулярную прямой a. Пусть B — точка пересечения прямых a и b. Тогда, как известно, отрезок AB называют перпендикуляром, опущенным из точки на прямую a, точку Bоснованием этого перпендикуляра. Отрезок AC, соединяющий точку A и точку C прямой и не являющийся перпендикуляром к прямой а, называют наклонной к прямой a. Точку C наклонной, принадлежащей прямой а, называют основанием наклонной. Отрезок BC, который соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной, называют проекцией наклонной на прямую (рис. 102, б). На рис. 102 в) MK — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую m. MP и ML— наклонные к прямой m. PK и LK — их проекции.

Определение.
Наклонной к прямой
, проведенной из данной точки, называют отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямой и который не является перпендикуляром к этой прямой. Конец, принадлежащий данной прямой, называют основанием наклонной. Если из одной точки к прямой провели перпендикуляр и наклонную, то проекцией наклонной называют отрезок, соединяющий основание наклонной и основание перпендикуляра.

  1. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести один и только один перпендикуляр к этой прямой (поскольку через данную точку можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную к данной прямой).
  2. Перпендикуляр к прямой и проекция наклонной меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, что и перпендикуляр (наклонная лежит в прямоугольном треугольнике против большего угла — прямого угла, а перпендикуляр и проекция лежат против острых углов).

Теоремы о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике

Среднее пропорциональное двух чисел (величин).
Пусть есть два отличных от нуля числа a и b. Число c, при котором является верной пропорция Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют средним пропорциональным (геометрическим) к числам a и b. По основным свойствам пропорции имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение. Средним пропорциональным (геометрическим) двух чисел называют число, квадрат которого равен произведению этих чисел.

Например, для чисел 4 и 9 средним пропорциональным является число 6, так как 4 * 9 = 36 = 62 или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Среднее пропорциональное (геометрическое) двух чисел равно арифметическому квадратному корню из произведения этих чисел.
Установим элементы прямоугольного треугольника, которые являются средними пропорциональными между другими элементами.

Теорема.
В прямоугольном треугольнике:

  • 1) высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она разделяет гипотенузу;
  • 2) катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Доказательство. Пусть ABC — произвольный прямоугольный треугольник с прямым углом C и острым углом A, равным α. Обозначим буквой a катет, который лежит против угла A, буквой b — катет, лежащий против угла B, с — гипотенузу (рис. 103, а).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем CD — высоту треугольника, обозначим ее через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 103, б). Поскольку CD является перпендикуляром к прямой AB, а CB и AC — наклонные к
ней, то отрезки BD и AD являются их проекциями. Обозначим BD как Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (проекция катета a на гипотенузу с), AD — как Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (проекция катета b на гипотенузу с).
Докажем, что:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высота CD разделяет прямоугольный треугольник ABC с острым углом α на
два прямоугольных треугольника: ADC и CDB, в которыхГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть в каждом из треугольников один из острых
углов равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому по следствию из первого признака подобия треугольников ΔADC ~ ΔСDВ и каждый из этих треугольников подобен треугольнику AСB.

1. Рассматриваем подобные треугольники: ADC и CDB. По определению подобных треугольников катеты CD и AD треугольника АDС пропорциональны катетам DB
и CD треугольника CDB (как противоположные равных углов).
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. а) Рассматриваем подобные треугольники ACB и CDB. По определению подобных треугольников катет СВ и гипотенуза АВ треугольника АСВ пропорциональны катету DB и гипотенузе СВ треугольника CDB. Имеем:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) рассматриваем подобные треугольники ADC и ACB. По определению подобных
треугольников катет AD и гипотенуза АC треугольника АDС пропорциональны катету AC и гипотенузе AB треугольника ACB. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Теорема Пифагора

Следствием теоремы о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике является теорема, которая устанавливает зависимость между гипотенузой и катетами произвольного прямоугольного треугольника. Названа эта теорема в честь выдающегося греческого математика Пифагора.

Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Доказательство. Пусть АВС — произвольный прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD — высота треугольника (рис. 104). Обозначим BC = a, AC = b,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложим по частям равенства: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезки гипотенузы и их
сумма равна гипотенузе с, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТеорема
доказана.

Следствия.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов катетов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Катет прямоугольного треугольника равен квадратному корню из разности квадратов его гипотенузы и другого катета:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №62

Найти катет прямоугольного треугольника, если его проекция на гипотенузу равна 8 см, а другой катет — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С отрезок CD — высота (рис. 106), AD = 8 см и СВГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Найдем АС.
1. Обозначим длину DB через х см, тогда АВ = (х + 8) см. По теореме о катетах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку х + 4 > 0, то х + 4 = 6; х = 2. Следовательно, BD = 2 см и АВ = 2 + 8 = 10 (см).
2. По теореме о катетах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №63

В равносторонней трапеции большее основание равно 15 см, боковая сторона — 5 см, а высота — 3 см. Найти меньшее основание трапеции.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — равносторонняя трапеция (рис. 107), в которой AD = 15 см, AB = CD = 5 см. BM и CK — высоты, ВМ = СK = 3 см.
1. Высоты ВМ и СK разделяют трапецию ABCD на два равных прямоугольных
треугольника ABM и DCK (по гипотенузе и катету) и прямоугольник МВСK. Итак, АМ = KD и МK = ВС. Отсюда следует, что BС = AD – 2AM.
2. Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора находим
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТаким образом, ВС = 15 – 2 · 4 = 7 (см).
Ответ: 7 см. 

Задача №64

Основания трапеции равны 4 см и 17 см, а диагонали — 13 см и 20 см. Найти высоту трапеции.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — трапеция (рис. 108) с основаниями AD = 17 см и ВС = 4 см, диагоналями АС = 13 см и BD = 20 см и высотами ВМ и СK (ВМ = СK).
Высоту трапеции, например, СK, можно определить на основе теоремы Пифагора из треугольника АСK, но для этого нужно найти длину отрезка АК. Найдем ее с помощью уравнения. Поскольку МВСK — прямоугольник, то МK = ВС = 4 см. Пусть АМ = х см, тогда АК = (х + 4) см, MD = (17 – х) см. Из треугольника АСKГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из треугольника DBMГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, АМ = 1 см, тогда АК = 5 см и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачСK = ВМ = 12 см.
Ответ: 12 см.

Задача №65

Даны отрезки a и b (рис. 109). Построить отрезок х такой, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Дано: a и b — отрезки.
Построить: отрезок х такой, что а : х = х : b.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отрезок х является средним пропорциональным между отрезками а и b. Строим его как высоту прямоугольного треугольника, который  делит гипотенузу на отрезки а и b.
1. На произвольной прямой m последовательно откладываем AD = а и DB = b. Получаем отрезок АВ = а + b (рис. 110).
2. Находим точку В — середину отрезка АВ — и описываем окружность с центром О, радиус которой равен ОА.
3. Через точку D проводим прямую с, перпендикулярную АВ; обозначаем точку С — точку пересечения прямой с и окружности. Отрезок CD — искомый.
Поскольку вписанный угол АСВ опирается на диаметр, то он является прямым. Итак, CD — высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Задача №66

(Теорема, обратная теореме Пифагора). Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, у которого СВ = а, АС = b и
АВ = с, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 111).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим прямоугольный треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с прямым углом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и катетами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Пифагора его гипотенуза Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, данный треугольник АВС и построенный Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой, то и угол С — прямой.
Теорема доказана.

Задача №67

Сторона равностороннего треугольника равна а. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности и радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть АВС — равносторонний треугольник со стороной а. Проведем высоту ВН (рис. 112). В равностороннем треугольнике высота является одновременно и
медианой, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачВ прямоугольном треугольнике АВН:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим радиус описанной окружности через R, а радиус вписанной — через r. Поскольку в равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности и является точкой пересечения его медиан, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству медиан треугольника), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Многоугольники

Многоугольник и его элементы
На рис. 113 изображены фигуры, каждая из которых состоит из простой замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все эти фигуры имеют общее название — многоугольники. Два вида многоугольников — треугольники и четырехугольники — мы изучали ранее.

Определение.
Многоугольником
называют фигуру, которая состоит из простой замкнутой ломаной и части плоскости, которую она ограничивает.

Отрезки, которые образуют ломаную, называют сторонами многоугольника, а
их концы — его вершинами. Часть плоскости, ограниченную ломаной, называют внутренней областью многоугольника. Обозначают многоугольник с вершинами, как и соответствующую ломаную. Две вершины многоугольника, которые являются концами одной стороны, называют соседними. Стороны многоугольника, имеющие общую вершину, называют соседними или смежными. Никакие три последовательные вершины многоугольника не лежат на одной прямой.
Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. Обозначают периметр буквой Р.

Угол многоугольника

На рис. 114 изображен угол D пятиугольника и шестиугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.
Углом многоугольника
при данной его вершине называют угол, образованный двумя лучами, которые выходят из этой вершины и содержат стороны многоугольника.

У каждого многоугольника одинаковое количество вершин, сторон и углов. Если число сторон многоугольника известно, то вместо слова «много» используют соответствующее число. Так получаем треугольник, пятиугольник, двадцатиугольник и тому подобное. Если число сторон n, говорится n-угольник. При этом n — некоторое натуральное число, равное или более 3. Треугольник является многоугольником с наименьшим количеством сторон. Итак, в n-угольнике n сторон, n вершин и n углов.
Каждая сторона многоугольника меньше суммы всех других его сторон (см. примеры решения задач).

Диагональ многоугольника

Определение. Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две его несоседние вершины.

В треугольнике нет диагоналей (любые две его вершины соседние) в четырехугольнике меньше всего диагоналей — две.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники и их свойства

На рис. 115, а) изображен четырехугольник, который лежит в одной полуплоскости относительно каждой из прямых, содержащих его сторону, то есть каждая из этих прямых не разделяет его на части.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как известно, такой четырехугольник называют выпуклым. Так же размещены
относительно прямых, содержащих их стороны, и многоугольники на рис. 115 б) - в). Естественно, что их тоже называют выпуклыми.

Определение.
Выпуклым многоугольником
называют многоугольник, который лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону.

Для выпуклых многоугольников, как и для выпуклых четырехугольников, справедливы следующие свойства.

Свойства.
Каждый из углов меньше развернутого. Каждая из диагоналей принадлежит многоугольнику и разделяет его на части (многоугольники).

На рис. 116 а) изображен четырехугольник, у которого есть прямая, содержащая
его сторону и относительно которой он лежит в разных полуплоскостях (делится на части).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой четырехугольник, как известно, называют невыпуклым. В многоугольниках, изображенных на рис. 116 б) - в), также есть прямые, содержащие стороны и разделяющие многоугольники на части. Поэтому их также называют невыпуклыми.

Определение.
Невыпуклым многоугольником
называют многоугольник, у которого есть прямая, содержащая его сторону, относительно которой он лежит в разных полуплоскостях (делится на части).

Свойства.
В невыпуклых многоугольниках существует угол, больший развернутого.
В невыпуклых многоугольниках существует диагональ, которая ему не
принадлежит и не разделяет его на части.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Как известно, сумма углов треугольника равна 180° (рис. 117, а), а четырехугольника — 360° (рис. 117, б) (поскольку является суммой углов двух треугольников, на которые он делится диагональю: 180° · 2 = 360°).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По рис. 117 в) легко увидеть, что сумма углов выпуклого пятиугольника равна 540° (поскольку является суммой углов трех треугольников: 180° · 3 = 540°).
Аналогично получаем, что сумма углов выпуклого восьмиугольника (рис. 117, г) равна 180° · 6 = 1080°.
Обобщением полученных геометрических фактов является такая теорема.

Теорема. Сумма углов любого выпуклого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачугольника равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство.
1. Если n = 3, то n-угольник является треугольником. Сумма его углов равна
180 ° · (4 – 2) = 180°, что доказано ранее.
2. Докажем, если n > 3, то теорема справедлива для любого выпуклого n-угольника. Если n > 3, то любой n-угольник делится на n – 2 треугольника. Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов n-угольника. Итак, сумма углов n-угольника равна 180° · (n – 2). Теорема доказана. 
Например, сумма углов выпуклого шестиугольника (n = 6) равна
180° · (6 – 2) = 720°.

Внешний угол многоугольника

Как известно, внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом треугольника. На рис. 118 а) ∠MAB — внешний угол треугольника АВС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично обозначают и внешний угол любого многоугольника (рис. 118, б).

Определение.
Внешним углом
выпуклого многоугольника при данной его вершине называют угол, смежный с углом многоугольника при этой вершине.

На рис. 118, б) угол KВА — внешний угол при вершине В пятиугольника АВСDЕ, а углы СDР и МDЕ — два внешние угла при вершине D. При каждой вершине многоугольника можно построить два внешних угла.

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанный многоугольник
На рис. 119 изображены треугольник, четырехугольник, шестиугольник и восьмиугольник, вершины каждого из них лежат на окружности.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такие многоугольники называют вписанными в окружность, а об окружности говорят, что она описана вокруг многоугольника.

Определение. Вписанным многоугольником называют многоугольник, все
вершины которого лежат на окружности.

Центром окружности, описанной около многоугольника, есть точка, равноудаленная от всех вершин, то есть точка пересечения срединных перпендикуляров ко всем его сторонам. Вписанным может быть только тот многоугольник, у которого все срединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.

Описанный многоугольник

На рис. 120 изображены треугольник, четырехугольник, пятиугольник и восьмиугольник, в которых каждая из сторон примыкает к некоторой точке окружности.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такие многоугольники называют описанными вокруг окружности, а об окружности говорят, что она вписана в многоугольник.

Определение. Описанным многоугольником называют многоугольник, все
стороны которого касаются  окружности.

Центром окружности, вписанной в многоугольник, является точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника. Такова точка пересечения биссектрис углов многоугольника. Многоугольник является описанным тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

Задача №68

Сколько диагоналей имеет произвольный n-угольник?
Решение.
Из любой вершины многоугольника можно провести (n – 3) диагонали (исключаем саму вершину и две соседние с ней). Тогда из всех n вершин можно провести Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей, потому что в произведении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  каждая диагональ посчитана дважды.

Итак, n-угольник (n > 3) имеетГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей. Так, в четырехугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали; в пятиугольникеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей; в двадцатиугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей. 

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Сумма угла многоугольника и внешнего с ним угла при одной
вершине равна 180°, а при n вершинах равна 180° · n. Поскольку сумма всех углов выпуклого n-угольника равна 180° · (n – 2), то сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана. 

Задача №69

Найти двумя способами угол 15-угольника, у которого все углы равны.

Решение.
1 способ.
Сумма углов 15-угольника равна 180° · (15 – 2) = 180° · 13 = 2340°. Поскольку все углы равны, то один угол 15-угольника равен 2340° :  15 = 156°.
2 способ.
Поскольку углы 15-угольника равны, то равными являются и внешние углы. Один внешний угол равен 360° : 15 = 24°. Один угол многоугольника равен 180° – 24° = 156°.
Ответ: 156°. 

Задача №70

Найти число сторон выпуклого многоугольника, если у него 35 диагоналей.

Решение.
Пусть число сторон многоугольника равно n, тогда число его диагоналей равноГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(не удовлетворяет условие n ≥ 3), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площади многоугольников

Что такое площадь? Основные свойства площади

Измерение площадей, как и любых величин, осуществляют с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площадей принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Такими единицами длины могут быть миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр, а также любой отрезок, принятый за единичный. Квадрат, сторона которого равна какой-нибудь линейной единице, называют единичным, а его площадь называют квадратной единицей: квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным метром и тому подобное.
Измерить площадь какой-либо плоской фигуры (в частности, многоугольника) значит найти число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в фигуре, площадь которой измеряют, по-другому — сколько раз единица измерения и ее части помещаются в этой фигуре.
Основными свойствами измерения площадей фигур являются такие утверждения.

Свойства:

1. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где S — площадь, E — единичный квадрат.

2. Плоская фигура с выбранной единицей измерения имеет единственную площадь, которая является положительным числом.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где S — площадь, F — геометрическая фигура.

3. Равные фигуры имеют равные площади.
Если 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Если фигура разделена на части, то ее площадь равна сумме площадей частей.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Равновеликими  называют фигуры, которые имеют одинаковые
площади.

В отдельных случаях площадь фигуры можно установить непосредственным
подсчетом единичных квадратов, которые помещаются в ней. В большинстве же случаев число, которое является площадью фигуры, определяют с помощью формул. Опираясь на основные свойства площадей, выводят формулы, позволяющие по длинами некоторых элементов вычислять площади фигур основных видов (треугольников, параллелограммов, ромбов, трапеций, кругов и т. д.). Площади других фигур находят делением на фигуры или дополнением к фигурам, для которых способы отыскания площадей известны.

Площадь прямоугольника

Теорема.
Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон:
S = a · b.

Теорема о площади прямоугольника справедлива как в случаях, когда длины сторон являются рациональными числами (целыми или дробными), так и тогда, когда длины являются иррациональными числами. Ограничимся доказательством теоремы для случаев, когда длины сторон являются натуральными числами.
Доказательство.
Пусть ABCD — произвольный прямоугольник, у которого AD = a и AB = b (на рис. 121 a = 8, b = 5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим сторону AD на a равных частей, а сторону AB — на b равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Получаем b прямоугольных полос, каждая из которых состоит из a единичных квадратов. Итак, всего образуется ab единичных квадратов. Таким образом, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь прямоугольного треугольника

Теорема.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABC — произвольный прямоугольный треугольник с прямым углом С, катеты которого BC и AC соответственно равны a и b (рис. 123 а). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Через вершины острых углов проведем прямые, перпендикулярные к катетам, точка D — точка их пересечения (рис. 123, б). Образуется прямоугольник CBDA со сторонами a и b, площадь которого равна ab.
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(согласно аксиоме 2). Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана. 

Площадь произвольного треугольника

Теорема.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны и высоты, проведенной к ней:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABC — произвольный треугольник, у которого BC = a, AD
высота, проведенная к ВСГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возможны три случая размещения точки D — основание высоты AD относительно стороны ВС (рис. 124 а) - в).
1 случай. Точка D — основание высоты совпадает с одним из концов стороны ВС, например, с точкой В (рис. 124, а). Тогда ВС и АD являются катетами. Итак,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2 случай. Точка D лежит внутри стороны BC (D — внутренняя точка отрезка ВС) (рис. 124, б). Тогда высота AD разделяет треугольник АВС на два
прямоугольных треугольника: ΔABD и ΔADC. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3 случай. Точка D лежит на продолжении стороны BC (рис. 124, в). Тогда площадь треугольника ABC является разностью площадей двух прямоугольных треугольников: ΔADC и ΔADB. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, во всех трех возможных случаях формула Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
выполняется. Теорема доказана. 

Площадь равностороннего треугольника

Теорема.
Площадь равностороннего треугольника равна:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где a — сторона.

Доказательство. Пусть АВС — равносторонний треугольник, у которого АВ = а (рис. 125). Проведем высоту ВK, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

из ΔABK по теореме Пифагора находим высоту BK:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь параллелограмма

Теорема.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны и высоты, проведенной к ней:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный параллелограмм, у которого одна из сторон, например, AD = a, BK — высота, проведенная к ней, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 127).
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства проведем одну из диагоналей параллелограмма, например,
BD. Она разделит параллелограмм ABCD на два равных треугольника: ΔABD и
ΔCDB. В треугольнике ABD a является стороной, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач высотой, проведенной к ней. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана. 
 

Площадь ромба

Поскольку ромб является отдельным видом параллелограмма, то доказанная формула площади параллелограмма справедливая и для ромба. Но поскольку у ромба все стороны равны, а также равны и высоты, то установленную формулу для ромба можно сформулировать проще.
Площадь ромба равна произведению стороны и высоты:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Установим формулу для вычисления площади ромба по его диагоналям.

Теорема.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный ромб, у которого диагонали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 128). О — точка пересечения диагоналей. Докажем, что
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждая из диагоналей ромба разделяет его на два равных между собой равнобедренных треугольника, например, диагональ АС разделяет его на треугольники ABC и ADC. В этих треугольниках высотой, проведенной к стороне АС, является половина диагонали BD. Таким образом, имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь трапеции

Теорема.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABCD — произвольная трапеция с большим основанием
AD, BK — высота трапеции, проведенная из вершины (рис. 129). Обозначим:
АD = a, BС = b, BK = h.
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства проводим одну из диагоналей, например, BD. Она делит трапецию на два треугольника: ABD и ВСD. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана. 
Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то получаем
следствие.

Следствие. Площадь трапеции равна произведению средней линии и высоты.

Задача №71

Разность сторон прямоугольника равна 4 см, а диагональ — 20 см.
Найти площадь прямоугольника.
Решение
Пусть меньшая сторона прямоугольника равна х см, тогда большая сторона равна (х + 4) см. Поскольку две соседние стороны прямоугольника и одна из его диагоналей образуют прямоугольный треугольник, у которого диагональ является гипотенузой, то по теореме Пифагора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (не удовлетворяет условию задачи), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна 12 см, а большая сторона — 16 см. Таким образом, площадь прямоугольника равна 12 · 16 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №72

Найти площадь квадрата по его диагонали d.
Решение

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в квадрате АВСD диагональ BD = d (рис. 131). Обозначим сторону квадрата через х. В треугольнике ABD (∠А = 90°) по теореме Пифагора:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №73

Две стороны треугольника равны 8 см и 12 см. Высота, проведенная к стороне 12 см, равна 6 см. Найти высоту треугольника, проведенную к стороне 8 см.

Решение.
Обозначим длину искомой высоты через х см. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения любой стороны и высоты, проведенной к
ней, то имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Длина высоты равна 9 см.
Ответ: 9 см.

Задача №74

Доказать, что площадь треугольника равна половине произведения  его периметра и радиуса вписанной окружности.

Доказательство. Пусть в треугольнике АВС (рис. 132) ВС = а, АС = b и АВ = с, ОМ, ON и ОK — радиусы вписанной окружности, проведенные в точку касания, и ОМ = ON = ОK = r. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачлибо Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Р — периметр.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Они делят данный треугольник АВС на три треугольника: ВOА, СОА и СОВ, высотами которых соответственно являются радиусы ОМ, ОK и ON.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №75

В треугольнике высоты, проведенные к сторонам а и b, обозначены Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть в треугольнике даны стороны ВС = а, АС = b и высоты
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 133).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда площадь треугольника АВС: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку это
различные представления площади того же треугольника, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.
Замечание. Стороны а, b и с треугольника обратно пропорциональны его высотам, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Справедливо также утверждение, что большей стороне треугольника соответствует меньшая высота.

Задача №76

Доказать, что высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Пусть а и b — смежные стороны параллелограмма (рис. 134).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем высоты: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к стороне аГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач высота к стороне b. Площадь
параллелограмма равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось
доказать. 

Задача №77

Две стороны параллелограмма равны 24 см и 36 см, а разность двух его высот равна 5 см. Найти площадь параллелограмма.
Решение.
В любом параллелограмме высоты обратно пропорциональны сторонам.
Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что в параллелограмме большей есть та высота, которая  проведенная к меньшей стороне.
Пусть х см — меньше высота данного параллелограмма, тогда большая его высота — (х + 5) см. На основе формулы площади параллелограмма получаем уравнение: 36 · х = 24 (х + 5). Имеем: 36х = 24х + 120; 12х = 120; х = 10. Следовательно,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №78

Основания равносторонней трапеции равны 50 см и 14 см, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Найти площадь трапеции.

Решение

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — равносторонняя трапеция (рис. 135), в которой AD = 50 см, ВС = 14 см и BDАВ. Проведем ВМ и СK — высоты трапеции. Поскольку ΔАВМ = ΔDCK и МВСK — прямоугольник, то AM = KD и МK = ВС. Отсюда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отрезок ВМ является высотой прямоугольного треугольника ABD, проведенной к гипотенузе AD. По теореме о перпендикуляре к гипотенузе как среднее пропорциональное имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 По формуле площади трапеции: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Задача №79

Доказать, что площадь S равносторонней трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABCD — данная равносторонняя трапеция (ВС || AD), диагонали которой — АС и BD — пересекаются в точке О и АСBD (рис. 136).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем через точку О перпендикуляр MN к ее основанию. ΔABD = ΔDCA по трем сторонам. Тогда ∠CAD = ∠BDA. Итак, прямоугольный треугольник AOD является равнобедренным (по равенству углов при основании) и AN = ND. Поскольку ∠АОD = 90°, то AD = 2ON и BC = 2OM (по свойству медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника).
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задаччто и требовалось доказать.

Задача №80

Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Доказать, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам, равновеликие.

Доказательство. Пусть в трапеции ABCD точка В — точка пересечения диагоналей (рис. 137).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Треугольники ADC и ABD — равновеликие. У них сторона AD — общая, а высоты, опущенные из вершин В и С, равны. Рассмотрим треугольники АВО и DCO. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть от равных площадей вычитаем площадь треугольника АОD и получаем равные площади треугольников АВО и СDО.

Тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике

Тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике называются соотношения длин его сторон. При этом такое соотношение всегда одно и то же по отношению к углу, который лежит между сторонами, соотношение между которыми должно быть вычислено.

Отношение сторон прямоугольных треугольников с равным углом

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и острым углом А, равным α (рис. 139, а). Построим два произвольных прямоугольных треугольника с острым углом А и двумя другими вершинами на его сторонах,
например, ΔАВС и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 139, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку образованные прямоугольные треугольники имеют общий острый угол, то они подобны между собой, и каждый из них подобен данному треугольнику АВС. Подобным треугольнику АВС будет и любой другой треугольник с острым углом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач который равен углу А (рис. 139, в). По определению подобных треугольников, во всех прямоугольных треугольниках с острым углом α соответствующие стороны будут пропорциональными, а следовательно, отношение любых двух сторон треугольника АВС равны отношению соответствующих сторон всех прямоугольных треугольников с углом α.
Получили такое свойство.

Свойство.
У прямоугольных треугольников с острым углом α отношения соответствующих сторон равны.

В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом α можно составить шесть отношений пар его сторон. Три из них считают основными:
1. Отношение катета, противоположного углу α, и гипотенузы:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Отношение катета, прилежащего к углу α, и гипотенузы:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Отношение катета, противоположного углу α, и катета, прилегающего к
углу α:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Три другие отношения являются обратными к основным:
4. Отношение гипотенузы к катету, противоположному углу α Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Отношение гипотенузы к катету, прилежащему к углу α  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. Отношение катета, прилежащего к углу α, к катету, противоположному
углу α  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все отношения называют тригонометрическими, и каждое из них имеет специальное название.

Синус острого угла и его свойства

Определение.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, противоположного углу, к гипотенузе (рис. 140, а):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства синуса острого угла:

1. Синус угла не зависит от размеров сторон и положения прямоугольного треугольника. Свойство следует из подобия всех прямоугольных треугольников с равным острым углом.
2. Синус острого угла является положительным числом, меньше 1.
Свойство следует из того, что в любом треугольнике катет меньше гипотенузы. Итак, синус угла показывает, какую часть составляет катет, противоположный углу, от гипотенузы.
3. При увеличении угла синус увеличивается.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Свойство проиллюстрировано на рисунке 141.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В прямоугольных треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 141) с равными
гипотенузами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при увеличении острых углов противоположные  к ним катеты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличиваются, а значит и отношение противоположных катетов к гипотенузе увеличивается:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИтак, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

При приближении угла α к 90° синус α приближается к 1, а при приближении к 0° синус приближается к 0. Таким образом, sin α возрастает от 0 до 1. Исходя из этого, договорились считать, что sin 0° = 0, sin 90° = 1.
Из свойств 1-3 следует, что каждому острому углу соответствует одно и только одно значение синуса — положительное число, меньше 1. Ниже приведена таблица приближенных значений синусов для углов, кратных 10°, а таблица для всех целых значений градусных мер подана в дополнении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения синуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правила.
Катет, противоположный углу α, равен произведению гипотенузы и синуса угла α. Гипотенуза равна частному катета и синуса противоположного ему угла.

Пример. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (∠С — прямой) ∠A = 40°,
AB = 10 см. Тогда BC = a = c sin A = 10 · sin 40° ≈ 10 · 0,6428 ≈ 6,428 (см).

Косинус острого угла и его свойства

Определение.
Косинусом
острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе (рис. 143, а):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства косинуса острого угла:

1. Косинус угла не зависит от размеров сторон и положения прямоугольного треугольника.
2. Косинус острого угла является положительным числом, меньше 1.

Косинус угла показывает, какую часть составляет катет, прилегающий к углу,
от гипотенузы. Обоснование свойств 1-2 аналогичны обоснованиям соответствующих свойств синуса.
3. При увеличении угла косинус уменьшается.
Если α> β, то cos α cos β, то α <β.
Свойство проиллюстрировано на рисунке 144.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В прямоугольных треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 144) с равными
гипотенузами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпри увеличении острых углов прилегающие к ним
катеты уменьшаются: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а следовательно и отношение прилегающих катетов к гипотенузе уменьшаются Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
При приближении угла α к 0° косинус α приближается к 1, а при приближении угла α к 90° косинус α приближается к 0. Следовательно, косинус α изменяется от
1 до 0. Исходя из этого, договорились считать, что cos 0° = 1, cos 90° = 0.
Каждому остром углу соответствует одно и только одно значение косинуса. Ниже приведена таблица приближенных значений косинусов для углов, кратных 10°, а таблица для всех целых значений градусных мер подана в дополнении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен α (рис. 145).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда ∠B = 90° – α. Отношение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для угла A является косинусом, а для угла
B — синусом. Итак, cos A = sin B, то есть cos α = sin (90° – α).
Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, sin α = cos (90° – α).
Например, а) cos 38° = sin (90° – 38°) = sin 52° ; б) sin 54° = cos 36°.

Из определения косинуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правила.
Катет, прилегающий к углу
α, равен произведению гипотенузы и косинуса угла α.
Гипотенуза равна частному катета и косинуса прилегающего к нему угла.

Тангенс острого угла и его свойства

Определение.
Тангенсом
острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, противоположного углу, к катету, прилегающему к нему (рис. 146, а):

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства тангенса острого угла:
1. Тангенс угла не зависит от размеров сторон прямоугольного треугольника.
2. Тангенс угла равен частному синуса этого угла и его косинуса.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Так, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. При увеличении угла тангенс увеличивается.
Поскольку при увеличении угла sin α увеличивается, а cos α уменьшается, то
дробь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается, а следовательно, tg α увеличивается.

Ниже приведена таблица приближенных значений тангенсов для углов, кратных 10°, а таблица для целых значений градусных мер подана в  дополнении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения тангенса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило.
Катет, противоположный углу 
α, равен произведению другого катета и тангенса угла α.

Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 60° и 45°

Углы 30° и 60°:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 148), в
котором ∠A = 30°, а, следовательно, ∠B = 60°.
Пусть гипотенуза AB = a. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Пифагора получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угол 45°:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого ∠A = 45°, а, следовательно, и ∠B = 45° (рис. 149). Пусть катет AC = a, тогда и катет BC = a. По теореме Пифагора:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №81

Стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см. Найти угол между диагоналями.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — прямоугольник (рис. 150), у которого АВ = 16 см и AD = 12 см. Углом между диагоналями является острый угол AOD. Он лежит против меньшей стороны прямоугольника. Проведем ОМ — перпендикуляр из точки О к стороне AD. Поскольку треугольник AOD равнобедренный, то высота ОМ является его медианой и биссектрисой. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По таблице тангенсов находим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: ≈74 °. 

Задача №82

Построить острый угол α, у которого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Чтобы построить искомый угол, достаточно построить прямоугольный треугольник, у которого отношение удаленного от него катета к гипотенузе
равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение

1. Чертим произвольный отрезок m и такие два отрезка а и с, что а = 2m и c = 3m (рис. 151).
2. Проведем произвольную прямую l (рис. 152), обозначаем на ней точку С; проводим через точку С прямую n, перпендикулярную прямой l, и откладываем на ней отрезок ВС = а.
3. Описываем круг с центром в точке В, радиус которого равен c; точку пересечения окружности и прямой l обозначаем через А. Проводим отрезок ВА. угол ВАС искомый: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №83

Построить острый угол α, у которого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Чтобы построить искомый угол, достаточно построить прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а другой катет равен 3 единицам длины.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение

1. Строим прямоугольный треугольник с катетами, равными а и 3а, где а — произвольный отрезок (рис. 153). Тогда по теореме Пифагора гипотенуза построенного треугольника равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Строим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 154). Угол А — искомый угол: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №84

Диагонали ромба равны а и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти углы ромба.
 Решение.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BD = a (рис. 155). По свойству диагоналей ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИз треугольника AODГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Откуда ∠ОАD = 30°. Тогда ∠BAD = 60°. ∠ABC = 180° – 60° = 120°.
Ответ: 60 °, 120 °. 

Котангенс угла

Определение.
Котангенсом
 острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, прилежащего к этому углу, и катета, противолежащего ему (рис. 156, а):

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Легко доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, tg α и ctg α взаимно обратные числа: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение задач на тему: Прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник означает найти все его неизвестные
стороны и углы по другим известными элементами (сторонам, углам). Один
элемент прямоугольных треугольников всегда известен — это прямой угол. Чтобы решить прямоугольный треугольник, нужно знать еще два элемента, среди которых должен быть хотя бы один линейный элемент (отрезок). Есть 4 типа задач на решения прямоугольных треугольников: 1) по двум катетам; 2) по катетам и гипотенузе; 3) по гипотенузе и острому углу; 4) по катету и острому углу (прилегающим или противоположным).
Договоримся, что в дальнейшем в этой лекции, рассматривая прямоугольные треугольники, мы будем принимать следующие обозначения: а и b — катеты, ∠А и ∠В — соответствующие острые углы, которые лежат против этих катетов, с — гипотенуза.

Задача №85

Решить прямоугольный треугольник по двум катетами.
Дано: a; b.
Найти: с; ∠A; ∠B.

Решение.
1. По теореме Пифагора находим гипотенузу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Вычисляем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По таблице тангенсов определяем угол A.
3. Находим угол B: ∠B = 90° – ∠A.
Треугольник решен.
 

Задача №86

Даны a = 6, b = 8 Найти: c; ∠A; ∠B.
Решение.
1.. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По таблице находим: ∠A = 37 °.
3. ∠B = 90° – ∠A = 53°.
Ответ: с = 10, ∠A = 37 °, ∠B = 53 °.

Задача №87

Решить треугольник с гипотенузой и катетом.
Дано: a и c.
Найти: b; ∠A; ∠B.

Решение.
1. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Вычисляем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По таблице синусов определяем угол A.
3. Находим угол B: ∠B = 90° –∠A
 

Задача №88

Дано: a = 5, c = 13 Найти: b; ∠A; ∠B.

Решение.
1. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Вычисляем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. ∠B ≈ 90° - 23° = 67°.
Ответ: с = 12; ∠A ≈ 23°, ∠B ≈ 67°. 
 

Задача №89

Решить треугольник с гипотенузой и острым углом.
Дано: c, ∠A.
Найти: ∠B; a; b.

Решение.
1. Находим угол B: ∠B = 90° - ∠A.
2. Находим по таблице sin A и вычисляем a: a = c · sin A.
3. Находим по таблице cos A и вычисляем b: b = c · cos A
 

Задача №90

Дано: c = 10, ∠A = 20°. Найти: ∠B; a; b.

Решение.
1. ∠B = 90° – 20° = 70°.
2. a = c sin A = 10 sin 20° ≈ 10 · 0,342 ≈ 3,42 ≈ 3,4.
3. b = c cos A = 10 cos 20° ≈ 10 · 0,9397 ≈ 9,397 ≈ 9,4.
Ответ: ∠B = 70 °; a ≈ 3,4; b ≈ 9,4.

Задача №91

Решить треугольник с катетом и острым углом.
Дано: a, ∠A.
Найти: ∠B; c; b.

Решение.
1. Находим угол B: ∠B = 90° – ∠A.
2. По таблице находим sin A и вычисляем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. По таблице находим tg B и вычисляем b: b = atg B
 

Задача №92

Дано: a = 12, ∠A = 37°. Найти: ∠B; c; b.

Решение.
1. ∠B = 90° – 37° = 53°.
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. b = atg B = 12 tg 53° ≈ 12 · 1,327 ≈ 15,924 ≈ 16.
Ответ: ∠B = 53°; c ≈ 20; b ≈ 16. 
 

Прикладные задачи по геометрии

Прикладными называют задачи, в которых говорится о применении геометрических фактов к негеометрическим объектам.
Рассмотрим несколько прикладных задач, решение которых сводится к
нахождению элементов прямоугольных треугольников.

Задача №93

Пройдя 200 м вверх, пешеход поднялся на 7 м. Найти угол наклона дороги.
Решение.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 157 отрезок AB изображает дорогу, а отрезок BC — подъем. Угол A — искомый угол. Отношение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является синусом угла AГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

В таблице синусов к числу 0,035 ближайшее является значение синуса 0,0349, которое соответствует углу 2°. Итак, ∠A = 2°. 
 

Задача №94

Какой должна быть минимальная длина лестницы, чтобы ею можно было подняться на крышу дома высотой 8 м, если ставить ее можно под углом не более 65°?
Решение.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 158 отрезок AB изображает лестницу, отрезок AC — дом.
Искомый отрезок AB является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Имеем:
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Задача №95

Определить расстояние от точки С до недоступной точки A (рис. 159).

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На территории под прямым углом к ​​искомому отрезку АС откладывают отрезок CB произвольной длины, например, 100 м. С помощью угломерного инструмента (астролябии, теодолита) измеряют угол CBA. Пусть ∠CBA = 62°. Находим AC: AC = BC · tg B = 100 · 1,881 = 188,1 (м).
AC = 188,1 м. 
 

Задача №96

У реки размещена башня высотой 33 м. Ближний берег реки видно из этой башни под углом 65° к горизонту, а дальний — под углом 29° (см. рис. 160). Вычислить ширину реки.
Решение.


Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рисунке 160 искомая ширина реки изображена отрезком BD, который является разностью отрезков CD и CB. Из треугольника ACD находим CD: CDAC tg ∠CAD = AC tg (90° – 29°) = 33 tg 61°. Из треугольника ACB находим CB:
CB = AC tg ∠CAB = AC tg (90° – 65°) = 33 tg 25°. Имеем: BD = CD – CB = 33 (tg 61° – tg 25°) ≈ 33 · (1,804 – 0,4663) ≈ 33 · 1,3377 ≈ 44,14 (м).

BD ≈ 44,14 м

Метод координат на плоскости

Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв). Числа (символы), определяющие положение точки (тела) на прямой, плоскости, в пространстве, на поверхности и так далее, называются её координатами.

Координатная плоскость

С понятием координатной плоскости мы ознакомились в курсе математики, а в курсе алгебры использовали его для построения графиков функций.

Вспомним, как задают координатную плоскость. Пусть на плоскости выбраны две взаимно перпендикулярные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые пересекаются в точке О (рис. 1). Эти прямые называют осями координат, а точку их пересечения — началом координат. Ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (обычно она горизонтальная) называют осью абсцисс, ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачосью ординат.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 1

Начало координат разбивает каждую из осей на две полуоси. Одну из них принято называть положительной и изображать со стрелочкой, а вторую — отрицательной. На каждой из осей координат выбирают единичный отрезок. Начало отсчета каждой из осей — число 0 — совпадает с точкой O. В таком случае говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат.

Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью.

Каждой точке А координатной плоскости можно поставить в соответствие пару чисел — координаты точки. Для этого через точку А надо провести прямую, параллельную оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и прямую, параллельную оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые пересекут оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторых точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (рис. 2). 

Абсциссой точки А называют число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, модуль которого равен расстоянию от точки O до точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит положительной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит отрицательной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0. Если же точка А лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ее абсцисса равна нулю. Ординатой точки А называют число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, модуль которого равен расстоянию от точки O до точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит положительной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит отрицательной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0. Если же точка А лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ее ордината равна нулю.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 2

Координаты точки записывают в скобках рядом с названием точки: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На первом месте всегда пишут абсциссу, на втором — ординату. Абсциссу точки А можно обозначать Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а ординату — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти обозначения удобно использовать при решении задач, когда каждую координату находят отдельно. Если, например, А(–2; 3), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Введенные на плоскости координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют декартовыми в честь французского математика Рене Декарта (1596-1650), которому принадлежит идея введения и применения координат в математике.

Задача №97

Стороны прямоугольника ABCD параллельные осям координат. Найти координаты точек В и D, если А(–1; 2), С(3; –2).

Решение. Рассмотрим рисунок 3. Поскольку прямая AB параллельна оси абсцисс, то ординаты точек A и В одинаковые:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, поскольку прямая BC параллельна оси ординат, то абсциссы точек В и C  одинаковые: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, В(3; 2).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 3

Рассуждая таким же образом, получим: D(—1; —2).
Ответ. В(3, 2), D(—1; —2).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, каждую из которых называют координатной четвертью или координатным углом (рис. 4). В пределах одной координатной четверти знаки каждой из координат не изменяются. Знаки координат и общепринятая нумерация координатных углов показаны на рисунке 4.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 4

На рисунке 5 указаны координаты точек, принадлежащих осям координат, и координаты точки O.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                             Рис. 5

Задача №98

В каких координатных четвертях может лежать точка В, если произведение ее абсциссы и ординаты является числом:
1) положительным;               2) отрицательным?
Решение. Пусть имеем точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа одного знака, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0. Поэтому точка В лежит в первой или третьей четверти.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа разных знаков, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0 или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Поэтому точка В лежит во второй или четвертой четвертях.

Ответ. 1) В первой или третьей четверти; 2) во второй или четвертой четверти.

Синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°. Тригонометрические тождества

До сих пор мы рассматривали синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника как отношение определенных его сторон. Теперь сформулируем определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180°.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат и проведем в ее первом и втором координатных углах полукруг радиуса 1, центр которого совпадает с началом координат (рис. 7). Назовем его единичным полукругом. Обозначим буквой А точку пересечения этого полукруга с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и договоримся откладывать от луча ОА углы против часовой стрелки. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый угол, точка В принадлежит полукругу. Проведем из точки В перпендикуляр ВС к оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Образовался прямоугольный треугольник ОВС с гипотенузой OB, где OB = 1.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 7

Значение синуса, косинуса, тангенса острого угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выразим через координаты точки В

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точно так же будем находить синус, косинус и тангенс других углов от 0° до 180°. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка единичного полукруга, лежащая во второй четверти (рис. 8).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                 Рис. 8

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой. Имеем:  

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точек единичного полукруга изменяются в пределах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то для любого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, такого, что 0° Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 180°, справедливы неравенства:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но если:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Кроме того, если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается от 0° до 90°, то его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0. Если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается от 90° до 180°, то его синус уменьшается от 1 до 0, а косинус уменьшается от 0 до –1.

Найдем значение синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 90° и 180°.

На рисунке 8 углу 0° соответствует точка А(1; 0). Поэтому sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0. Углу 90° соответствует точка М(0; 1), поэтому sin 90° = 1, cos 90° = 0, но tg 90° — не существует, поскольку на ноль делить нельзя. Углу 180° соответствует точка N(–1; 0), поэтому sin 180° = 0, cos 180° = 1, tg 180° = 0.

Итак,
если ВГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка единичного круга, которая соответствует углу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

С этого определения следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, что для Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач= 90°    tg Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует.

Поскольку каждому углу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от 0° до 180° соответствует единственное значение синуса, косинуса и тангенса, то можно считать синус, косинус и тангенс функциями с аргументом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти функции (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) называют тригонометрическими и изучают в курсе алгебры старших классов.

Рассмотрим некоторые зависимости между функциями одного и того же аргумента, которые называют тригонометрическими тождествами.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач                     (1)

Доказательство. Рассмотрим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 7). По теореме Пифагора: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  ПоэтомуГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выражение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и аналогичные ему для удобства принято записывать без скобок, например  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют основным тригонометрическим тождеством. Из этого тождества можно выразить синус угла через его косинус:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

и косинус угла через его синус:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В последней формуле знак «–» пишут, если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – тупой.

sin (180° — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,     cos (180° — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = –cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач           (2)

Доказательство. Рассмотрим точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач единичного полукруга, соответствующие углам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 180° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 9

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (по гипотенузе и острому углу). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Откуда следует, что абсциссы точек В  и В1  являются противоположными, а их ординаты — одинаковыми: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,
получим:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

tg (180° — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) =  –tg Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                      (3)

Доказательство. Учитывая тождество (2), имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Используя формулы (2) и (3), можно выразить синус, косинус и тангенс тупого угла 180 ° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через синус, косинус и тангенс острого угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №99

Найти синус, косинус и тангенс углов 120°, 135° и 150°.
Решение.
sin 120° = sin (180° — 60°) = sin 60° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
cos 120° = cos (180° — 60°) = –cos 60° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
tg 120° = tg (180° — 60°) = –tg 60° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
sin 135° = sin (180° — 45°) = sin 45° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
cos 135° = cos (180° — 45°) = –cos 45° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
tg 135° = tg (180° — 45°) = –tg 45° = –1;
sin 150° = sin (180° — 30°) = sin30° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
cos 150° = cos (180° — 30°) = –cos 30° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
tg 150° = tg (180° — 30°) = –tg 30° =  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Систематизируем сведения и полученные в этой лекции в виде таблицы.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Синус, косинус и тангенс других углов можно находить с помощью таблиц или калькулятора. Для вычислений используем клавиши калькулятора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на некоторых калькуляторах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач). Например, sin 124°Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 0,8290; cos 157° Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач –0,9205;  tg 178° Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач –0,0349.
С помощью таблиц или калькулятора можно по данным значениями sinГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, cosГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или tgГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находить значение угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Для вычисления на калькуляторе используем клавишиГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на некоторых калькуляторах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили последовательное нажатие клавиши Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и одной из клавиш Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Задача №100

Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если: 1) cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –0,3584;   2) sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0,2588.

Решение. 1) cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –0,3584. С помощью калькулятора находим значение угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  в градусах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 111°.

2) sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0,2588. С помощью калькулятора находим значение угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в градусах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 15°. Но sin (180° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому sin (180° – 15°) = 0,2588, то есть sin 165° = 0,2588. Итак, существуют два таких угла, синус которых равен 0,2588, а именно: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 15° и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 165°.

Ответ. 1) 111°;  2) 15° или 165°.

sin (90° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,          cos (90° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                           (4)

Доказательство. Рассмотрим точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной полуокружности, соответствующие углам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 90° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10).

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по гипотенузе и острому углу). Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 10

Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №101

Упростить: 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
                                          2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) 1;   2) 0 .

Координаты середины отрезка. Расстояние между двумя точками с заданными координатами

Каждой точке координатной плоскости соответствует единственная пара чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и наоборот, каждой паре чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственная точка координатной плоскости. В таком случае говорят, что существует взаимно однозначное соответствие между точками координатной плоскости и их координатами  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это дает возможность решать некоторые задачи методом координат, то есть представлять геометрические соотношения расположения точек и фигур через алгебраические соотношения между их координатами. Раздел геометрии, изучающий такие методы решения, называют аналитической геометрией.

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором изучают геометрические фигуры и их свойства средствами алгебры на основе метода координат.

Далее рассмотрим простейшие задачи аналитической геометрии, полный курс которой изучают в высших учебных заведениях.

Координаты середины отрезка

Задача №102

Даны точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точка M — середина отрезка AB. Найти координаты точки M.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 11

Решение. 1) Рассмотрим сначала случай, когда отрезок AB не параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем через точки А, В и M прямые, параллельные оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11). Они пересекают ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельные между собой и M — середина AB, то, по теореме Фалеса, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из первого равенства имеем формулу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второе — не имеет смысла, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Если отрезок AB параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и формула Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также справедлива.
3) Аналогично доказываем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,
координаты точки M — середины отрезка AB, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, находим по формулам:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №103

Найти координаты точки M — середины отрезка, концами которого являются точки А(–5; 8) и В(3; –12).

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. М(–1; –2).

Задача №104

Точка C – середина отрезка AB. Найти координаты точки А, если В(—2; 4), С(8; 0).
Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Аналогично,    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, А(18; –4).
Ответ. А(18; –4).

Задача №105

Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках А (5; —4), В (—4; 1), С (—3; 2) и D (6; –3) — параллелограмм.
Решение. Пусть точка O — середина диагонали AC четырехугольника ABCD. Тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, О(1; –1).
Пусть точка Q — середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Тогда

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Q(1; –1).

Получается, что середины диагоналей четырехугольника ABCD  совпадают и точка О(1; –1) делит каждую из диагоналей пополам. Итак, диагонали четырехугольника ABCD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм. 

Расстояние между двумя точками

Задача №106

Найти расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Рассмотрим сначала случай, когда отрезок AB  не параллельный ни одной из осей координат, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Проведем через точки А и В прямые, параллельные осям координат (рис. 12). Они пересекают ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольник, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 12

Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора найдем гипотенузу AB: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Если отрезок AB параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такой же результат получим и по выведенной в предыдущем пункте формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

3) Если отрезок AB параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такой же результат получим и по приведенной для AB формуле.

4) Если же точки А и В совпадают, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и полученная формула для AB опять же подтверждается.

Итак, расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №107

Найти расстояние между точками А и В, если: 1) А(4; –2), B(1; 2);    2) A(3; 5), В (7; –1).

Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) 5;  2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №108

Найти на оси абсцисс точку, равноудаленную от точек А(2, 7) и В(6, 1).

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— искомая точка. Так как по условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –2. Итак, искомой является точка С(–2; 0).

Ответ. (–2; 0).

Уравнение окружности

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат. Например, графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая, графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — парабола, а графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — гипербола. Также известно, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, то есть уравнения вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, является прямая.

Уравнение фигуры:

Рассмотрим понятие уравнения для геометрической фигуры.

Уравнением фигуры на координатной плоскости называют уравнение с двумя переменными Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если выполняются следующие два условия:
1) координаты любой точки фигуры удовлетворяют это уравнение;
2) любая пара чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющая это уравнение, является координатами некоторой точки фигуры.

Уравнение окружности:

Найдем формулу, задает окружность радиуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 13

1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка окружности. Расстояние QM записываем по формуле расстояния между двумя точками: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку точка M лежит на окружности, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач каждой точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной окружности удовлетворяют полученное уравнение.
2) Рассмотрим некоторую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, координаты которой удовлетворяют
уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Из этого равенства следует, что расстояние между точками Q и N равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому точка N принадлежит окружности.

Итак,

уравнение окружности с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет
вид: 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В частности, уравнение окружности радиуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  с центром в начале координат
имеет вид:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №109

Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Итак, центром окружности является точка Q(–2; 3), а радиус окружности Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5.
Ответ. Q(–2; 3), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5.

Задача №110

Доказать, что уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является уравнением окружности. Найти координаты центра окружности и ее радиус.
Решение. Выделим квадраты двучлена в левой части данного уравнения:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, заданное уравнение является уравнением окружности с центром в точке
Q(4; –3) и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. (4; –3), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №111

Составить уравнение окружности с диаметром AB, если А(–5; 7), B(3; 11).
Решение. Пусть точка Q — центр окружности. Тогда Q — середина AB. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Радиус окружности — это отрезок QA:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Найдем уравнение искомой окружности:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение прямой

Из курса алгебры вы знаете, что прямая является графиком линейной функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и графиком линейного уравнения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим уравнение прямой в геометрии.

Общее уравнение прямой

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная прямая на координатной плоскости (рис. 14).  

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 14

1) Выберем две точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач была серединным перпендикуляром к отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По свойству серединного перпендикуляра имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . Поэтому для точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно равенство: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                          (1)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Введем обозначения: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что любая точка прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет равенство

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                          (2)

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — различные точки, то хотя бы одно из выражений Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отлично от нуля. Итак, хотя бы один из коэффициентов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (2) отличен от нуля.
2) Рассмотрим некоторую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, координаты которой удовлетворяют уравнение (2). Выполнив алгебраические преобразования, которые являются достаточно громоздкими, можно убедиться, что координаты точки N удовлетворяют также и уравнение (1). Поэтому точка N равноудалена от точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, точка N принадлежит прямой, которая является срединным перпендикуляром к отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат имеет вид
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,
где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, с — числа, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно не равны нулю.

Уравнения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач еще называют общим уравнением прямой.

Задача №112

Найти точки пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с осями координат.
Решение. 1) Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения прямой с осью абсцисс. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, А(5; 0) — точка пересечения прямой с осью абсцисс.

2) Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения прямой с осью ординат. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, B(0; –3) — точка пересечения прямой с осью ординат.
Ответ. А(5; 0), B(0; –3).

Расположение прямой относительно системы координат

Рассмотрим расположение прямой относительно системы координат в некоторых частных случаях.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . Все точки прямой имеют одну и ту же ординату Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому прямая  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  параллельна оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 15).
В частности, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямаяГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с осью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Точки прямой имеют одну и ту же абсциссу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  параллельна оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 16).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 15                                       Рис. 16                                  Рис. 17

В частности, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  совпадает с осью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Координаты точки (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой. Поэтому прямая проходит через начало координат (рис. 17).

Систематизируем полученные результаты в таблице.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Составим уравнение прямой, проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассмотрим случаи.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Все точки прямой имеют одну и ту же абсциссу, равную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 18). Уравнение прямой имеет вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 18                                             Рис. 19

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Все точки прямой имеют одну и ту же ординату, равную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19). Уравнение прямой имеет вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторая точка прямой. Через точку A проведем прямую, параллельную оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а через точки M и B — прямые, параллельные оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 20). Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                              Рис. 20

В треугольнике ВАK: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В треугольнике МАР:    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  , то есть    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    (3)
После применения основного свойства пропорции и упрощения уравнение (3) сводится к виду Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение прямой, проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеет вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Задача №113

Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2; –3) и B(4; –5).
Решение. Используя формулу (3), имеем: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;   то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, окончательно получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ легко проверить, подставив в полученное уравнение координаты каждой из заданных точек.

Угловой коэффициент прямой

Если в общем уравнении прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен нулю, то, выразив из этого уравнения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Обозначив Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, приходим к выводу, что прямую можно задавать как уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку каждое из них является уравнением прямой.

Выясним геометрический смысл коэффициента Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — две точки прямой. Поскольку координаты точек удовлетворяют уравнению Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вычтем почленно из второго уравнения первое, имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но выше мы уже доказали, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 20).
Поскольку прямая AP параллельна оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — это угол, который образует прямая AB  с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —  острый, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим случай, когда прямая образует с положительным направлением
оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тупой угол (рис. 21). Имеем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180°, тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                        Рис. 21

По известной формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  опять получим, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой.
Итак, приходим к выводу о геометрическом смысле коэффициента Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой.

Коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют угловым
коэффициентом прямой
. Причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если прямая образует острый угол с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если этот угол — тупой.

Задача №114

Доказать, что уравнение прямой с угловым коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеет вид Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Запишем общий вид прямой с угловым коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку прямая проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой, то есть:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Подставим значение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №115

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(–3; 5) и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол 135°.
Решение. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Условие параллельности прямых

Если прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, то углы, которые они образуют с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, между собой равны (рис. 22). Тогда и тангенсы этих углов также равны, а потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 22


И наоборот, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то тангенсы углов, которые образуют прямые с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  равны, а поэтому прямые параллельны.

Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны тогда и только тогда, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, параллельными являются прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
у которых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Координаты точки пересечения двух прямых

Пусть дано уравнение двух прямых в общем виде: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки их пересечения. Поскольку эта точка принадлежит каждой из прямых, то ее координаты удовлетворяют каждому из двух уравнений. Поэтому координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, которыми заданы эти прямые.

Задача №116

Найти точку пересечения прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Решив систему Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, (3; 1) — точка пересечения прямых.

Ответ. (3; 1).

Векторы на плоскости

Есть величины, которые полностью характеризуются своим числовым значением. Примерами таких величин являются длина, площадь, масса, время, температура и другие Такие величины называют скалярными величинами, или, короче, скалярами.

Однако есть величины, которые, кроме числового значения, задаются еще и направлением. Таковы, например, физические величины: сила, перемещение материальной точки, скорость, ускорение. Чтобы охарактеризовать движение автомобиля, часто недостаточно знать, с какой скоростью он движется; нужно знать еще и в каком направлении.

Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами, или векторами.

Изображают векторы в математике направленным отрезком.

Отрезок, для которого определено направление, называют направленным отрезком или вектором.

Вектор удобно изображать отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора (рис. 31). Вектор обозначают двумя большими латинскими буквами, первую из которых считают началом вектора, а вторую — его концом, и стрелкой над ними. Вектор, изображенный на рисунке 31, записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Буква A — начало вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, буква B — его конец.

Иногда векторы обозначают одной малой латинской букой, например, векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 32).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 31                         Рис. 32                                      Рис. 33

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называют нулевым вектором, или нуль-вектором. Такой вектор изображают точкой. Если, например, точку, изображающую нулевой вектор, обозначить буквой F, то этот нулевой вектор можно называть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 32). Нулевой вектор обозначают еще символом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  У нулевого вектора нет направления.

Модулем (длиною или абсолютной величиною) вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют длину отрезка AB.

Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначают: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Длина нулевого вектора равна нулю: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №117

Найти модули векторов, изображенных на рисунке 33, если сторона клетки равна единице измерения отрезков.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Коллинеарными называют два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Например, на рисунке 34 коллинеарными являются пара векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобное.
Для коллинеарных векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  используют запись:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Коллинеарны векторы бывают сонаправленными, то есть имеют одинаковое
направление (векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  на рис. 34), или противоположно направленными
(векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  на рис. 34). Записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 34

Рассмотрим понятие равенства векторов.
Пусть тело движется с определенной скоростью в определенном направлении (рис. 35). Тогда все точки данного тела движутся с указанной скоростью в том же направлении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Рис. 35

Поэтому все направленные отрезки (векторы) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которыми изображены скорости этих точек, является сонаправленными и имеют одинаковые модули. Такие векторы называют равными.

Два вектора называют равными, если они сонаправленные и их модули между собой равны.

Равенство векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №118

ABCD — ромб (рис. 36). Равны ли векторы:
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ;   3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   ; 4) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ?
Решение.
1) Итак, поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы равны.
2) Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не являются сонаправленными, то они не являются равными.
3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также не равны, поскольку не являются сонаправленными.
4) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже не равны.
Ответ. 1) Да; 2) нет; 3) нет; 4) нет.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 36                       Рис. 37

Задача №119

Точки A, B, C и не лежат на одной прямой. Тогда, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ABDC — параллелограмм. И наоборот, если ABDC  — параллелограмм, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Докажите.
Доказательство.
1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежат на одной прямой (рис. 37). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. По признаку параллелограмма, учитывая, что точки B и D лежат по одну сторону от прямой AC, получим, что ABDC — параллелограмм.

2) Пусть ABDC — параллелограмм, тогда AB || CD и AB = CD (рис. 37). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассмотрим, как от заданной точки отложить вектор, равный данному. Если даны вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка C, то отложить вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки C означает построить вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Задача №120

От точки C отложить вектор, равный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1-й случай. Точка C лежит на прямой AB (рис. 38). Отложим от точки C в том же направлении, что и у вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , отрезок CD (точка D принадлежит прямой AB), равный отрезку AB. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 38

2-й случай. Точка C не лежит на прямой AB (рис. 37). Строим параллелограмм ABDC. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. доказательство предыдущей задачи).
Заметим, в обоих случаях построенная точка D является единственной.

Координаты вектора

Если на плоскости ввести систему координат, то каждый вектор можно задать парой чисел — координатами вектора.

Координатами вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и концом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют числа  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Записывают вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, указывая его координаты, так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(3; –4), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; –2).

Задача №121

Найти координаты вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если: 
1) А(–2; 5), В(7, 3);        2) А(–4; 8), B(–4; 10).
Решение. 1) По определению координат вектора имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(9; –2).
2) Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; 2).
Ответ. 1) (9; –2);   2) (0, 2).

Координатами вектора могут быть любые действительные числа. Обе координаты нуль-вектора равны нулю: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Расстояние AB между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,

то
модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №122

Найти модуль вектора: 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(3; –4);   2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(4; –1).
Решение.
1)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;    2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 1) 5;  2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Задача №123

Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 10. Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение . Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По условию  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решив полученное уравнение, получим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 8 или –8.

Теорема (о равенстве векторов). У равных векторов соответствующие координаты равны, и наоборот, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Доказательство. Рассмотрим вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                      Рис. 47

1) Пусть вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежит ни на одной из координатных осей (рис. 47). Отложим от точки O(0; 0) вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. ТогдаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В параллелограмме ABCO точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – точка пересечения диагоналей. Тогда по формуле координат середины отрезка:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Откуда имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  а поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, соответствующие координаты векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны.
Если вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 48), то очевидно, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, соответствующие координаты векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны.
Аналогично доказываем в случае, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                     Рис. 48

2) Пусть соответствующие координаты векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  равны (рис. 47), то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В четырехугольнике ABCO точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина AC;  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина BO; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — совпадают, то есть середины диагоналей четырехугольника ABCO совпадают. При этом точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делит каждую из них пополам. Итак ABCO — параллелограмм, а поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  лежат на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 48), то очевидно, что   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а поэтому и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  сонаправленные.

Аналогично доказываем в случае, когда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №124

Даны точки М(–3; 4), N(5; –7), С(4; –2), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(5 – (–3);  –7 – 4), то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(8; –11),  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – 4; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – (–2)), то есть (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – 4, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + 2). Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – 4 = 8  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + 2 = –11, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 12, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –13.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 12; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –13.

Сложение и вычитание векторов

Как и числа, векторы можно складывать и вычитать. Результатом сложения или вычитания векторов является вектор.

Суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–5; 2) и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(4; –11) является вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–5 + 4; 2 + (–11)), то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–1; —9).

Для суммы векторов справедливы равенства:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    (переместительный закон сложения);
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (сочетательный закон сложения).


Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты, стоящие в левой и правой частях равенств. Эти координаты равны между собой, а векторы с соответствующими равными координатами равны.

Задача №125

При каком значении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет наименьшим, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем его модуль:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет наименьшим, когда выражениеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает наименьшее значение. Это значение равно 0 и достигается, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема (правило треугольника сложения векторов). Каковы бы ни были точки А, В и C, истинно равенство: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — данные точки (рис. 51). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 51                                     Рис. 52

Итак, приходим к правилу построения суммы двух произвольных векторов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачправилу треугольника (рис. 52):

1) от конца вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  откладываем вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, равный вектору  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) строим вектор, начало которого совпадает с началом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а конец — с концом вектора  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; этот вектор и является суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 
Сумму двух векторов можно находить и по правилу параллелограмма (рис. 53):
1) откладываем векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от общего начала (точки K);
2) строим на данных векторах параллелограмм;
3) строим вектор, являющийся диагональю параллелограмма, которая выходит из точки K; этот вектор и будет суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Действительно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  но  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Заметим, что по правилу треугольника можно найти сумму любых двух векторов, а по правилу параллелограмма — только неколлинеарных.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

               Рис. 53                           Рис. 54      

Разностью векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют вектор  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,
разностью векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 51), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда получим правило построения разности двух векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 54):
1) откладываем от одной точки вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, равный вектору  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , и вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, равный вектору  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) строим вектор, начало которого совпадает с концом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а конец —
с концом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, он и является разностью векторов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №126

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 55), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выразить векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 55
Решение.
1)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  отсюда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение вектора на число

Зная, что такое сумма векторов, можно рассматривать суммы вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и другие. Такие суммы, как и в алгебре, будем записывать в виде произведений Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Результатом умножения вектора на число является вектор.

Произведением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют векторГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, произведением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на число —1 является векторГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на число 2 — вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на число 3 — вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для произведения вектора на число истинны свойства:

для любых вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:

 (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ;

для любых векторов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и числа Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие
координаты левой и правой частей равенств. Эти координаты между собой равны, а следовательно, равны и векторы.

По определению суммы, разности векторов и произведения вектора на число можно определить координаты любой вектора, записанного в виде алгебраической суммы векторов, координаты которых известны.

Задача №127

Даны векторы (2; -5) и (-4; 1). Найти координаты вектора: 1)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Решение удобное записать так:
1)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач       2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема (о произведении вектора на число). Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  сонаправленный с вектором  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и противоположно направленный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Построим в координатной плоскости векторы  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
которые соответственно равны векторам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где точка O — начало координат (рис. 65).

Пусть   векторГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Составим уравнение прямой OA

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач упростив которое, получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Координаты точки В  удовлетворяют это уравнение. Действительно:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Это означает, что точка B  принадлежит прямой OA. В случае, когда она принадлежит лучу OA, ее координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеют соответственно те же знаки, что и координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки А (рис. 65). В случае же, когда точка B  лежит на дополнительном к OA луче, ее координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  будут иметь
знаки, противоположные знакам координат Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки А (рис. 66).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач            Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач       Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 65                           Рис. 66                                           Рис. 67

Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка В  будет лежать на луче OA, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка В  будет лежать на дополнительном к OA луче. Поэтому если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — сонаправленные, а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то они  — противоположно направленные.

Найдем модуль вектора  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 67 для данного вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  построены векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого примера и доказанной теоремы следует важный вывод:

вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, коллинеарный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно представить в виде Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, гдеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ≠ 0, и наоборот, если, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ≠ 0, то векторы  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — коллинеарны.

Пусть даны векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если они коллинеарны, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда (если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) имеем, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Итак, приходим к условию коллинеарности векторов:

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольные векторы. Тогда если:
1) x1 = x2 = 0, то векторы 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; y1) и   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; y2) — коллинеарны; причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; а если  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0   , то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) y1 = y2 = 0, то векторы   
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(x1; 0)  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(x2, 0) — коллинеарны; причем, если  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач> 0 , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  < 0  , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3)
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, x2 ≠ 0, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, y2 ≠ 0, то векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №128

При каком значении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачколлинеарны? Сонаправлены или противоположно направлены эти векторы?
Решение. Пусть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  .
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; противоположно направлены.

Скалярное произведение векторов

Рассмотрим еще одну операцию с векторами — скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначают скалярное произведение векторов так же, как произведение
чисел или переменных: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Задача №129

Найти скалярное произведение векторов:
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–2, 7) и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(4, 1);   2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; 8) и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(—2, 5).
Решение.

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = —2 · 4 + 7 · 1 = —1;
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0 · (–2) + 8 · 5 = 40.
Ответ. 1) –1;  2) 40.

Найдем скалярное произведение равных между собой векторов. Пусть дан вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Скалярное произведение вектора самого на себя Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи называют скалярным квадратом вектора.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
                         Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из последнего равенства следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из определения скалярного произведения векторов вытекают следующие
свойства:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить числа, которым соответственно равны левая и правая части равенств.

Углом между векторами  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют угол ВАС (рис. 73). Углом между двумя ненулевыми векторами, которые не имеют общего начала, называют угол между векторами, которые равны данным и имеют общее начало (рис. 74).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 73                        Рис. 74                      Рис. 75                  Рис. 76

Угол между сонаправленными векторами равен нулю (рис. 75), угол между противоположно направленными векторами равен 180° (рис. 76).

Теорема (о скалярном произведении векторов). Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть  — заданные векторы, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между ними. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассмотрим скалярный квадрат вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая свойства скалярного произведения векторов, получим:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая свойства скалярного квадрата, получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть скалярное произведение векторов зависит от длины векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому не зависит от выбора системы координат.
Выберем такую ​​систему координат, чтобы положительное направление оси абсцисс совпадал с направлением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 77), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и тогда

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 77

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 78). Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
а поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 79), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 78                          Рис. 79                                        Рис. 80

Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 80), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку вторая координата вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна числу, противоположному
длине отрезка OK, то координатами вектора  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является пара чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 81

Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 81), то координатами вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  является пара чисел  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, для любых значений Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следствие 1. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Следствие 2. Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны.

Договоримся угол между векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначать так:

  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №130

При каком значении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны?

Решение. Чтобы векторы были взаимно перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач=5.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5.

Скалярное произведение векторов позволяет найти косинус угла между ненулевыми векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Косинус угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач между ненулевыми векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно вычислить по формуле:

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По косинусу угла между векторами можно найти и градусную меру угла (по таблицам или с помощью калькулятора).

Задача №131

Найти градусную меру угла C треугольника ABC, если А(3, 5), B(3, 7), C(1, 5).

Решение. Угол C треугольника ABC совпадает с углом между векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 82), то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 82

Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Тогда    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 45°.

Задача №132

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

                   Найти: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение треугольников

Решение треугольников — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики.

Теорема косинусов

Докажем одну из важнейших теорем о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть в треугольнике  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 98). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть прямым, острым или тупым. Рассмотрим все три случая.
1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямой. Тогда cos C = 0, и формула, которую надо доказать, приобретает вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть имеем теорему Пифагора для треугольника ABC.

2) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый. Тогда в треугольнике ABC есть еще хотя бы один острый
угол, пусть это будет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем в треугольнике ABC высоту AD. Поскольку углы B и C — острые, то точка D принадлежит стороне BC. Тогда в прямоугольном треугольнике ADC: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач         Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 98                                   Рис. 99

В прямоугольном треугольнике ADB (по теореме Пифагора):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,   поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Пусть угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой (рис. 99). Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем в треугольнике ABC высоту AD. В этом случае точка D будет лежать на продолжении луча ВС, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
В прямоугольном треугольнике ADC:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Далее доказываем так, как в случае, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый. 

Заметим, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов для прямоугольного треугольника, поэтому ее иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

Итак, в произвольном треугольнике ABC выполняются равенства:
с2 = а2 + b2 – 2аb cos C , 
b2 = а2 + с2 – 2аc cos B ,
а2 = b2 + с2 – 2bc cos A .

С помощью теоремы ​​косинусов можно, например, найти неизвестную сторону треугольника, если известны две его другие стороны и один из углов.

Задача №133

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найти: AB.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 98). По теореме косинусов имеем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Ответ. 7 см.

Задача №134

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти: AC.
Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 99).
По теореме косинусов имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Упростив последнее равенство, получим квадратное уравнение
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  решив которое, получим:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Число –8 не удовлетворяет смыслу задачи, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, AC = 3 см.
Ответ. 3 см.

Если известны три стороны треугольника, то по теореме косинусов можно найти косинус любого из его углов, а следовательно, и сам угол.
Например, косинус угла C можно найти по формуле, выразив cosC из формулы теоремы ​​косинусов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №135

Найти меру наибольшего из углов треугольника, длины сторон которого равны Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 4 см.
Решение. Поскольку в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то наибольшим углом треугольника будет угол, лежащий против стороны длиной 4 см. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Тогда по формуле косинуса угла имеем:                    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Используя калькулятор (или таблицы), найдем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, теорема косинусов помогает решать треугольники.

Теорема косинусов является удобной и для определения вида треугольника. Чтобы установить, остроугольным, прямоугольным или тупоугольный является треугольник, достаточно найти знак косинуса его наибольшего угла. Из формулы косинуса угла понятно, что знак косинуса угла зависит от знака числителя дроби, поскольку знаменатель всегда положительный. Поэтому знак выражения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач позволяет определить знак косинуса угла треугольника, а следовательно, и вид этого угла (острый, прямой или тупой).

Если с — наибольшая сторона треугольника, то для выяснения вида треугольника достаточно сравнить с нулем значение выражения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом,
если с — наибольшая сторона треугольника и
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, а треугольник — остроугольный;
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— прямой, а треугольник — прямоугольный;
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— тупой, а треугольник — тупоугольный.

Задача №136

Определить вид треугольника со сторонами а = 4 см, b = 6 см, с = 7 см.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, треугольник остроугольный.
Ответ. Остроугольный.

Рассмотрим важное свойство диагоналей параллелограмма.

Задача №137

Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 100).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 100                                                  Рис. 101

Из треугольника ABD по теореме косинусов:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из треугольника ABC по теореме косинусов:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сложив почленно эти два равенства, имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №138

AM — медиана треугольника ABC. Доказать формулу медианы треугольника:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Продолжим медиану AM на отрезок MD = AM (рис. 101). Поскольку в четырехугольнике ABDC   AM = MD  (по построению) и  BM = MC (по условию), то ABDC — параллелограмм (по признаку). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
По доказанному выше свойству диагоналей параллелограмма имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Откуда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Заметим, что в некоторых задачах, в частности тех, решение которых сводится к решению уравнений, целесообразно использовать формулу медианы треугольника в виде:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема синусов

Лемма. Если АВ — хорда окружности, радиус которой равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , а М — любая точка окружности то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1) Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — диаметр окружности (рис. 108), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом расположении точки М на окружности.  Тогда, учитывая соотношения в прямоугольном треугольнике,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 108                                      Рис. 109

2) Пусть AB — не является диаметром окружности, а M — точка, принадлежащая
большей дуге окружности (рис. 109). Проведем диаметр AK. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как угол, опирающийся на диаметр).
В треугольнике ABK (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач)  sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Пусть AB — не является диаметром, а точка M1 принадлежит меньшей дуге окружности, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, в этом случае также подтверждается равенство
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь докажем важную теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Теорема  синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных им углов.

Доказательство. Пусть ABC — произвольный треугольник, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 110). Докажем, что

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 110

Опишем окружность радиуса R вокруг данного треугольника. По доказанной лемме:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . 

Следствие (обобщенная теорема синусов). В любом треугольнике отношение стороны к синусу противоположного ей угла равно диаметру окружности, описанной вокруг этого треугольника:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись теоремой синусов, можно доказать известное из курса геометрии утверждение:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

Докажите это утверждение самостоятельно.

С помощью теоремы ​​синусов можно решать треугольники. Например, по двум данным углами треугольника и стороне, лежащий против одного из них, можно найти сторону, лежащую против второго угла.

Задача №139

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти сторону AC.
Решение. По теореме синусов имеем (рис. 110):

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Также по двум сторонам треугольника и углу, лежащему против одной из них, можно найти угол, лежащий против второй стороны.

Задача №140

В треугольнике ABC  AB = 1 см, BC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм. Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если:                       

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1) По теореме синусов имеем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .   Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заметим, что в обоих случаях Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому задача имеет два решения.
Ответ. 1) 90°;  2) 45° или 135°.

Задачи, в которых надо найти радиус окружности, описанной около треугольника, часто можно решить с помощью  следствия из теоремы ​​синусов (обобщенной теоремы ​​синусов).

Задача №141

Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм.

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Найдем косинус угла В:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
По обобщенной теореме синусов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм.

Прикладные задачи

Напомним, что решить треугольник — значит найти неизвестные его стороны
и углы по каким-либо известным сторонам и углами. Ранее мы решали прямоугольные треугольники.
При решении произвольного треугольника ABC, гдеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 111), используют такие соотношения:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (теорема косинусов);

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (теорема синусов).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 111

Рассмотрим четыре вида задач на решение треугольников. Неизвестные стороны будем находить с точностью до сотых, а неизвестные углы — с точностью до минуты.

Решение треугольников по двум сторонам и углу между ними

Задача №142

Даны стороны треугольника а и b и угол C между ними. Найти сторону с и углы A и B.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение треугольников по стороне и двумя углами

Задача №143

Даны сторона треугольника а и углы B и C. Найти стороны треугольника b и c и угол А.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение треугольников по трем сторонам

Задача №144

Даны три стороны а, b и с треугольникаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти три угла А, В и C треугольника.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение треугольников по двум сторонам и углу, противоположному одной из них

Задача №145

Даны стороны треугольника а, b и угол А. Найти сторону с треугольника и углы B и C.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта задача, в отличие от трех предыдущих, которые всегда имеют единственное решение, может иметь одно, два или не иметь ни одного решения.

Умение решать треугольники поможет и в решении прикладных задач.

Задача №146

(Измерение расстояния до недоступной точки).
Найти расстояние от точки наблюдения А до недоступной точки C (рис. 112).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                            Рис. 112
Решение. Эту задачу мы уже решали с помощью подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ — с помощью теоремы синусов.
1) Обозначим на местности точку В и измерим длину отрезка AB. Пусть AB = c. Затем измерим (например, с помощью астролябии) углы А и В, пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По теореме синусов: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 В итоге получаем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №147

(Измерение высоты предмета, основание которого недоступно). Найти высоту дерева CH, если точка H — недоступна (рис. 113).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                 Рис. 113

Решение. Эту задачу мы также решали с помощью соотношений между сторонами и углами в прямоугольных треугольниках CHA и CHB. Рассмотрим еще один способ решения.
1) На прямой, проходящей через основание предмета — точку H, выберем две точки А и B, расстояние между которыми равно а. Измерим углы САН и CBH, пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Из треугольника АВСГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Из треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы для нахождения площади треугольника

Напомним, что мы находили площадь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника по формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — сторона треугольника, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — высота, проведенная к ней.

Докажем еще несколько формул для нахождения площади треугольника.

Теорема 1 (формула площади треугольника по двум сторонами и углу между ними). Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— площадь треугольника. Докажем, что 

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем в треугольнике высоту AK, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если угол C — острый (рис. 119), то из треугольника ACK имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если угол C — тупой (рис. 120), то из треугольника ACK имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если угол C — прямой (рис. 121), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, во всех случаях Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 119                                    Рис. 120                                 Рис. 121

Следствие. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними.
Доказательство. В параллелограмме ABCD проведем диагональ BD (рис. 122).
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по трем сторонам), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

      Рис. 122

ПоэтомуГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №148

Найти площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна а.
Решение. Напомним, что мы уже находили площадь равностороннего треугольника по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем теперь площадь этого треугольника и другим способом, то есть по доказанной выше формуле.
Поскольку все углы равностороннего треугольника равны 60°, имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №149

Найти площадь треугольника, стороны которого равны 5 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 119)

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм2   .

Заметим, что когда по косинусу угла невозможно найти точное значение меры угла, то есть если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется не табличным, то находить сам угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не требуется. Ведь для нахождения площади достаточно найти значение синуса угла, воспользовавшись формулой  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №150

Доказать, что площадь любого выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей четырехугольника на синус угла между ними.
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где O — точка пересечения диагоналей (рис. 123), S —площадь четырехугольника.
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 123

1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По доказанной выше формуле: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач     Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2 (формула Герона).  Площадь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника со сторонами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — полупериметр треугольника.

Доказательство. Воспользуемся формулой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме косинусов: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что формулой Герона удобно пользоваться в случае, когда длины сторон а, b и с являются рациональными числами.
Если же среди сторон треугольника есть хотя бы одна, длина которой —иррациональное число, то удобнее использовать метод, предложенный для решения задачи 2 в данном разделе.
С помощью формулы Герона, если известны стороны, можно находить высоты треугольника, в частности, используя формулу:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а — сторона, к которой проведена
высота.
Из этой формулы высоты приходим к выводу, что
наибольшей высотой треугольника является та, которая проведена к наименьшей стороне; наименьшей высотой — та, которая проведена к наибольшей стороне.

Задача №151

Найти наибольшую высоту треугольника, стороны которого равны 25 см, 29 см и 6 см.

Решение. Найдем площадь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника по формуле Герона. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).

Наибольшей высотой данного треугольника является та, которая проведена к стороне длиной 6 см. Итак,

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Ответ. 20 см.

Теорема 3 (формула площади треугольника по радиусу описанной окружности). Площадь S треугольника можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где а, b, с  — стороны треугольника; R — радиус окружности, описанной
вокруг треугольника.

Доказательство. Воспользуемся формулой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По обобщенной теореме синусов:    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, противоположный стороне с треугольника. Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из доказанной формулы получим формулу для вычисления радиуса окружности, описанной вокруг треугольника:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Заметим, что эту формулу целесообразно использовать, когда известны длины всех трех сторон треугольника.

Радиус R окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, удобно находить по изученной ранее формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где с — гипотенуза треугольника.

Теорема 4 (формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности). Площадь S треугольника можно найти по формуле
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— полупериметр треугольника; r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Доказательство. Пусть O — центр окружности, вписанной в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 124), а
точка K — точка касания окружности к стороне BC, BC = a, AC = b, AB = c.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 124

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то OK является высотой треугольника OBC. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Площадь S любого описанного многоугольника можно найти по формуле  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где p — полупериметр многоугольника; r — радиус окружности, вписанной в многоугольник.

Из доказанной формулы следует формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в треугольник или в описанный многоугольник:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удобно находить по формуле

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где а и b — катеты треугольника, с — его гипотенуза.
Докажите эту формулу самостоятельно.

Задача №152

Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника, и радиус r окружности, вписанной в треугольник.
Решение. Найдем полупериметр треугольника: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см),  и его площадь по формуле Герона Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Ответ. R = 8,125 см, r = 1,5 см.

Правильные многоугольники

Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 133 изображены правильные пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и восьмиугольник.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                         Рис. 133

Поскольку сумма углов любого выпуклого n-угольника равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а все углы правильного многоугольника равны между собой, то нетрудно найти меру такого угла.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол правильного многоугольника, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, угол правильного треугольникаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач правильного четырехугольника (квадрата) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, это согласовывается с тем, что известно из предыдущих лекций.

Задача №153

Найти количество вершин правильного многоугольника, если его внешний угол равен 45°.
Решение. Поскольку внешний угол правильного многоугольника равен 45°, то легко найти его внутренний угол: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем уравнение:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда n = 8.
Ответ. 8.

Задачу 1 можно было бы решить другим способом, если знать формулу, которая связывает градусную меру внешнего угла правильного многоугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с количеством его вершин (сторон).
имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
.
Итак,
если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — внешний угол правильного n-угольника, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По этой формуле задачу 1 можно решить проще. Действительно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что
окружность называют описанной вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на окружности;
окружность называют вписанной в многоугольник, если все его стороны  касаются  окружности.

Теорема (об окружности, описанной около правильного многоугольника, и окружности, вписанной в него). Если многоугольник правильный, то вокруг него можно описать окружность и в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный n-угольник (рис. 134).
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 134

1) Из вершин A1 и A2 проведем биссектрисы углов n-угольника. Пусть они пересеклись в точке O. Треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Соединим точку O с вершиной A3,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку A2O —биссектриса угла A1A2A3). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум сторонами и углу между ними). Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Соединив все вершины данного n-угольника с точкой O и устанавливая последовательно равенство каждой следующей пары треугольников, получим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что все вершины этого правильного n-угольника равноудалены от точки O, а потому точка O является центром описанной вокруг него окружности, а OA1 — радиусом этой окружности.
4) Проведем высоты OK1 и OK2 в равных между собой равнобедренных
треугольниках A1A2O и A3A2O  к основаниям A1A2 и A2A3 соответственно.Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по гипотенузе и острому углу). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
5) Аналогично доказываем, что равными между собой являются высоты всех равнобедренных треугольников, вершиной которых является точка O, а основанием — сторона правильного многоугольника. Все стороны данного правильного многоугольника равноудалены от точки O, а потому точка O —центр окружности, вписанной в этот многоугольник, а OK1 — радиус этой окружности.

Следствие 1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного
многоугольника совпадают.

Эту точку называют центром правильного многоугольника. На рисунке 134 точка O — центр многоугольника.

Следствие 2. Окружность, вписанная в правильный многоугольник,
касается сторон многоугольника в их серединах.

Угол между двумя радиусами описанной окружности, концами которых являются соседние вершины правильного многоугольника, называют
центральным углом правильного многоугольника.

На рисунке 134 центральными углами правильного n-угольника являются углы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Все они равны между собой (по доказанной теореме) и равны по Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — центральный угол правильного n-угольника, тогда

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — центральный угол правильного n-угольника.

Задача №154

Найти площадь правильного n-угольника, если радиус окружности, описанной вокруг него, равен R.
Решение. Пусть Sn — площадь правильного n-угольника, S1 — площадь треугольника A1OA2 (рис. 134). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем S1:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку в правильный многоугольник можно вписать окружность, то его площадь Sn  по следствию из теоремы ​​о площади треугольника по радиусу вписанной окружности можно найти и так:
Sn = pr,    где p — полупериметр n-угольника; — радиус вписанной в него
окружности.

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — сторона правильного n-угольника, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус описанной вокруг него окружности, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус вписанной в него окружности (рис. 134).
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из треугольника A1OK1:
1)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Систематизируем полученные формулы в таблице и представим в ней также формулы радиусов вписанной и описанной окружностей правильного
треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запоминать эти формулы не обязательно, но нужно уметь их выводить.

Задача №155

Найти радиусы вписанной и описанной окружностей правильного треугольника, если их разность равна 6 см. Чему равна сторона этого треугольника?

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Поскольку в правильном треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Итак, R = 12 см, r = 6 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
Ответ. R = 12 см, r = 6 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Рассмотрим, как с помощью циркуля и линейки без делений построить правильные треугольник, четырехугольник и шестиугольник, вписанные в окружность.

Задача №156

Построить правильный шестиугольник, вписанный в круг.
Решение. Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач построение выполним в такой последовательности.
1) Проведем произвольную окружность (рис. 135).
2) Обозначим на окружности произвольную точку A1 — одну из вершин правильного шестиугольника.
3) Из точки A1, как из центра радиусом, равным радиусу окружности, сделаем на окружности по обе стороны от точки A1 засечки и получим точки A2 и A6.
4) Продолжаем делать засечки от полученных точек тем же радиусом, получая вершины AAA5 , и соединяем их.
Получим правильный шестиугольник A1A2A3A4A5A6.

  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   

          Рис. 135

Задача №157

Построить правильный треугольник, вписанный в окружность.

Решение. Для построения правильного вписанного треугольника нужно отрезками соединить вершины правильного вписанного шестиугольника через одну (рис. 136). Получим правильный треугольника А1А3А5.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 136                                     Рис. 137

Задача №158

Построить правильный четырехугольник (квадрат), вписанный в окружность.

Решение. Для построения вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно через центр окружности провести две взаимно перпендикулярные прямые. Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 137). Получаем квадрат С1С2С3С4.

Длина окружности. Длина дуги окружности

Наглядное представление о длине окружности можно получить таким образом. Представим, что окружность сделана из тонкой нити, которая не растягивается. Разрежем нить в некоторой точке А и расправим ее (рис. 138). Получим отрезок AA1, длина которого является длиной окружности.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 138                                        Рис. 139

Периметр любого правильного многоугольника, вписанного в окружность, является приближенным значением длины окружности. Чем больше количество сторон многоугольника, тем более точным будет это приближенное значение (рис. 139). Так, например, периметр правильного вписанного в окружность двенадцатиугольника меньше отличается от длины окружности, чем периметр правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность. Если количество сторон правильного многоугольника увеличивать неограниченно, то его периметр будет неограниченно приближаться к длине окружности.
Докажем важное свойство длины окружности.

Теорема (об отношении длины окружности к ее диаметру). Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянным для всех окружностей.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                      Рис. 140
Доказательство. Рассмотрим два произвольных круга, радиусы которых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а длина окружностей C и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 140).
1) В каждую из окружностей впишем правильный n-угольник с одинаковым
количеством сторон. Пусть стороны этих n-угольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач их периметры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Тогда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Это равенство является пропорцией при любом значении n. Если увеличивать неограниченно, то периметры многоугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут неограниченно приближаться к длине окружностей C и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поэтому: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, отношение длины окружности к ее диаметру является числом,
постоянным для всех кругов.

Отношение длины окружности к ее диаметру принято обозначать
греческой буквой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают «пи»):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иррациональное, его приближенное значение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Для практических нужд приближенное значение чаще всего используют с точностью до сотых: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из равенства Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   получим, что
длина окружности, радиус которой равен R, вычисляется по формуле
C = 2
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачR.
А учитывая, что диаметр окружности равен 2R, получаем формулу длины окружности: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где d — диаметр.

Задача №159

Найти длину окружности, радиус которой равен:
1) 5 см;   2) 0,8 дм.
Решение. 1) C = 2Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач · 5 = 10Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см)
2) C = 2Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач · 0,8 = 1,6Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (дм).
Ответ. 1) 10Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см; 2) 1,6Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.

Задача №160

Найти радиус окружности, длина которой равна:
1) 12Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см;   2) 8 дм.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (дм).
Ответ. 1) 6 см; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.

Задача №161

Груз поднимают с помощью блока (рис. 141). На сколько поднимется груз за 10 оборотов блока, если диаметр блока 15 см?

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 141

Решение. Поскольку d = 15 см, то длина окружности блока: C = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачd = 15Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Если блок сделает 10 оборотов, то поднимет груз на высоту:
10 · 15Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 150Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 150 · 3,14 = 471 (см) = 4,71 (м).
Ответ. 4,71 м.

Найдем формулу для вычисления длины дуги окружности, соответствующей центральному углу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если радиус окружности равен R (рис. 142).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
     Рис. 142

Поскольку длина окружности равна 2Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачR, то длина дуги, соответствующей центральному углу 1°, составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от длины окружности, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда длину дуги Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно вычислить по формуле:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — градусная мера дуги.

Задача №162

Радиус окружности равен 4 см. Найти длину дуги, соответствующей центральному углу: 1) 20°;   2) 270°.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см);
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см; 2) 6Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Задача №163

Длина дуги окружности равна 3Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, а ее градусная мера — 36°. Найти радиус окружности.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда R = 15 см.
Ответ. 15 см.

Площадь круга и его частей

Напомним, что кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью.

Теорема (о площади круга). Площадь S круга, радиус которого равен r, вычисляется по формуле:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Опишем вокруг круга правильный n-угольник, пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — периметр n-угольника, Sn — его площадь (рис. 143).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 143

1) По следствию из теоремы о площади треугольника по радиусу вписанной окружности имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Если n увеличивать неограниченно, то периметр многоугольника будет неограниченно приближаться к длине C окружности, а площадь многоугольника будет неограниченно приближаться к площади S круга. Тогда:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №164

Найти площадь круга, радиус которого равен: 1) 3 см; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2);
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(дм2).
Ответ. 1) 9Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2; 2) 49 дм2.

Задача №165

Найти радиус круга, площадь которого равна: 1) 16Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2; 2) 7 дм2.
Решение. 1)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, r = 4 см.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.
Ответ. 1) 4 см; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.

Задача №166

Две водопроводные трубы, диаметр которых 10 см, надо заменить одной трубой той же пропускной способности. Каким должен быть диаметр этой трубы?
Решение. 1) Радиус каждой из двух труб r = 5 см.
2) Сечение каждой из труб Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
3) Сечение новой трубы должно равняться сумме сечений двух старых, то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
4) Пусть R — радиус новой трубы. ТогдаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач7,07 (см).
Тогда диаметр этой трубы 14,14 см.
Ответ. 14,14 см.

Часть круга, ограниченную двумя его радиусами, называют сектором. На рисунке 144 изображены два сектора, один из которых закрашен, а второй — нет. Найдем формулy площади сектора круга радиуса r, который соответствует центральному углу градусной меры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку площадь круга равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то площадь сектора, соответствующего центральному углу 1°, составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от площади круга и равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому 
площадь сектора, отвечающего центральному углу градусной меры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, вычисляется по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №167

Найдите площадь сектора круга радиуса 6 см, если соответствующий сектору центральный угол равен: 1) 30°;  2) 225°.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2);
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).
Ответ. 1) 3Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2;   2) 22,5Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 144                          Рис. 145

Часть круга, ограниченную хордой и соответствующей ей дугой, называют сегментом. На рисунке 145 изображены два сегмента, один из которых ограничен хордой AB и дугой AB, а другой — хордой AB и дугой AMB. Если градусная мера центрального угла, соответствующего сегменту, меньше 180°, то площадь сегмента находим как разность площадей соответствующего сектора и треугольника AOB. Если градусная мера центрального угла, соответствующего сегменту, больше 180°, то площадь сегмента находим как сумму площадей соответствующего сектора и треугольника AOB (рис. 145). Сегмент, которому соответствует развернутый угол, является полукругом, и его площадь равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где r — радиус круга.

Итак,
площадь сегмента, не являющегося полукругом, вычисляется по формулеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №168

Концы хорды делят круг в отношении 1: 2. Найдите площади двух образовавшихся сегментов, если радиус круга равен 12 см.
Решение. Пусть на рисунке 145 меньшая из образовавшихся дуг равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда большая равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 360°, отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 120°. Итак, меньшему из сегментов соответствует центральный угол 120°, а большему — 240°.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обозначим площади сегментов S1 и S2. Получим:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2);
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2;   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2.

Геометрические преобразования

Преобразование фигур:
Любую геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек. Например, отрезок — это множество точек прямой, лежащей между двумя ее точками, вместе с этими точками.
Иногда между точками двух геометрических фигур можно устанавливать определенное соответствие.
Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB (рис. 155). Будем считать, что каждой точке X стороны AB треугольника ABC  соответствует точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач средней линии Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащая на луче CX.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
      Рис. 155

Например, точке А соответствует точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, точке В — точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая соответствует точке X, называют образом точки X, точку X при этом
называют прообразом точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По установленному соответствию каждой точке X отрезка AB соответствует определенная точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом каждая точка отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует некоторой точке отрезка AB. Кроме этого, различным точкам отрезка AB  соответствуют различные точки отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Множеством всех точек, соответствующих точкам отрезка AB, является отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, получили преобразование отрезка AB  в  отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Преобразованием фигуры F в фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое ​​соответствие, при котором:
1) каждой точке фигуры F соответствует определенная точка фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) каждая точка фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является образом некоторой точки фигуры F;
3) различным точкам фигуры F соответствуют различные точки фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Говорят, что фигура