Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Содержание:

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

В данном параграфе рассмотрим вопрос о построении геометрических фигур. Вы уже знаете, что геометрические построения можно осуществлять с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного угольника. В то же время оказывается, что многие геометрические фигуры можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.

При построении геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений учитывается, что:

  1. с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две точки;
  2. с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Теперь рассмотрим основные задачи на построение циркулем и линейкой: построение угла, равного данному, построение серединного перпендикуляра к отрезку, построение биссектрисы угла.

Задача 1 (построение угла, равного данному)

От данного луча OF отложите угол, равный данному углу ABC.

Поиск решения.

Предположим, что угол DOF, удовлетворяющий условию задачи, построен (рис. 130, а).

ПустьЗадачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Построение.

1) Строим окружность Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(В, R) , где R — произвольный радиус, и отмечаем точки А1 и С1 пересечения ее со сторонами угла ABC.

2) Строим окружность Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(0, R) с центром в точке О того же радиуса R и отмечаем ее точку пересечения F1 с лучом OF.

3) Строим окружность Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(F1, A1C1).

4) Пусть D1 — одна из точек пересечения окружностей Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(0, R) и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(F1, A1C1) (рис. 130, б). Тогда угол D1OF — искомый. Докажем, что Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияD1OF =Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияABC.

Доказательство.

Равенство Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияD1OF =Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияABC следует из равенства треугольников А1ВС1 и D1OF1. Действительно, по построению А1В = D1O = С1В = F1O. Кроме того, по построению F1D1 = А1С1, следовательно, треугольники А1ВС1 и D1OF1  равны по трем сторонам. Отсюда следует, что Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияD1OF =Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияА1ВС1, т. е. построенный угол D1OF  равен данному углу ABC.

Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)

Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.

Поиск решения.

Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр а к отрезку АВ построен (рис. 131, а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Прямоугольные треугольники FOB и DOB равны по двум катетам, следовательно, BF = BD. Иначе говоря, точки F и D лежат на окружности Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(B, BF) и BF > ОВ. Аналогично AF =AD, так как треугольник FOA равен треугольнику DOA. Кроме того, легко увидеть, что AF = BF. Таким образом, точки F и D лежат также и на окружности Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(A, BF).

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Построение.

1) Строим окружности Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(A, R) и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(B, R) , где Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияЗадачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения. Пусть, например, R = AB: Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(A, AB) и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(B, AB) (рис. 131, б).

2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(A, AB) и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(B, AB).

3) Тогда прямая FD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем это.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники FAD и FBD (рис. 131, в). Указанные треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияAFD = Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияBFD. Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике AFD отрезок FO является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой, т. е. прямая FO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Задача 3 (построение биссектрисы угла)

Постройте биссектрису данного угла ABC.

Поиск решения.

Допустим, что биссектриса BE данного угла ABC построена (рис. 132, а). Пусть точки F и D лежат на сторонах угла так, что BF = BD, О = FD Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияBE, а точка Т лежит на луче, противоположном лучу ОВ. Из равенства прямоугольных треугольников FOT и DOT (FO = OD, катет ОТ — общий) следует, что FT = DT, т. е. точка Т принадлежит окружностям равных радиусов с центрами в точках F и D. Построив точку Т, мы построим биссектрису ВТ данного угла.

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Построение.

1) Строим окружность Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(B, R1) произвольного радиуса R1  с центром в вершине В данного угла (рис. 132, б).

2) Отмечаем точки F и D, в которых окружность Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(B, R) пересекает соответственно стороны ВА и ВС данного угла.

3) Строим окружности Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(F, R2) и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(D, R2), где R2 > Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияFD. Отмечаем точку Т их пересечения, которая лежит внутри данного угла.

4) Проводим луч ВТ. Луч ВТ — искомый. Докажем это.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники BFT и BDT (рис. 132, в). Эти треугольники равны по трем сторонам (BF = BD и FT = DT — по построению, ВТ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияFBT = Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияDBT, т. е. луч ВТ — биссектриса угла ABC.

Построение треугольника по трем элементам

В данном пункте рассмотрим задачи на построение треугольника по: а) двум сторонам, и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам; в) трем сторонам.

Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Постройте треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам а и b, а угол между этими сторонами равен данному углу hk.

Даны два отрезка а, b и угол hk (рис. 133, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, две стороны которого, например, АВ и АС, равны соответственно отрезкам а и b, а угол ВАС равен углу hk.

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Построение.

1) Проведем прямую, на ней отложим отрезок АС, равный отрезку b (рис. 133, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) На луче AF отложим отрезок АВ, равный отрезку а, и проведем отрезок ВС. Треугольник ABC — искомый (рис. 133, в).

Доказательство.

По построению имеем, что АС = b, АВ = а и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияBAC = Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияhk.

Исследование.

При любых данных отрезках а и b и неразвернутом угле hk каждое из построений 1) — 3) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по двум сторонам и углу между ними, поэтому говорят, что данная за дача имеет единственное решение.

Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Постройте треугольник, сторона которого равна данному отрезку а, а углы, прилежащие к этой стороне, равны данным углам hk и mq.

Дан отрезок а и два угла hk и mq (рис. 134, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, сторона которого, например АС, равна отрезку а, а углы ВАС и ВСА равны соответственно углам hk и mq.

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Построение.

1) Проведем прямую и на ней отложим с помощью циркуля отрезок АС, равный отрезку а (рис. 134, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) Строим угол ACT, равный углу mq.

4) Отмечаем точку В пересечения лучей AF и СТ. Треугольник ABC — искомый (рис. 134, в).

Доказательство.

По построению имеем, что АС = a, Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияBAC = Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияhk и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияACB = Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решенияmq.

Исследование.

Для любого данного отрезка а и неразвернутых углов hk и mq каждое из построений 1) — 4) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)

Постройте треугольник, стороны которого равны данным отрезкам а, b, с.

Даны отрезки а, b, с (рис. 135, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, стороны которого АВ, ВС и АС равны соответственно отрезкам a, b и с.

Построение.

1) Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АС, равный отрезку с (рис. 135, б).

2) Строим окружность Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(A, a).

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

3) Строим окружность Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(C, b).

4) Пусть В — одна из точек пересечения окружностей Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(A, a) и Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения(C, b). Тогда треугольник ABC — искомый.

Доказательство.

По построению АС = с, АВ = а, ВС = b.

Исследование.

Данная задача не всегда имеет решение. Известно, что в любом треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других его сторон. Таким образом, если длина какого-либо из данных отрезков больше суммы длин двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.