Основы теории цепей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основ теории цепей (ОТЦ) — это наука посвященая решению задач анализа и синтеза электрических цепей. Задача анализа электрической цепи состоит в определении токов, напряжений и мощностей в случаях, когда известны конфигурация и параметры элементов исследуемой электрической цепи. Задача синтеза электрической цеписостоит в нахождении конфигурации топологии цепи и выборе ее элементов, если заданы токи и напряжения.

Рассчитать цепь — это значит вычислить все напряжения ветвей и все токи в ветвях. В теории цепей различают активные и пассивные элементы. Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники напряжения и источники тока. К пассивным элементам относятся сопротивления, индуктивности и ёмкости. Цепи, содержащие активные элементы, называются активными, состоящие только из пассивных элементов−пассивными.

Страница содержит полный курс лекций по всем темам предмета "Основы теории цепей" с подробными примерами решения задач и выполнением заданий.

Содержание:

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической (электромагнитной) и других видов энергии и информации, если процессы, протекающие в устройствах, могут быть описаны при помощи понятий об электродвижущей силе (ЭДС), токе и напряжении. Основными элементам и электрической цепи являются источники и приемники электрической энергии (и информации), которые соединяются между собой проводами.

В источниках электрической энергии (гальванические элементы, аккумуляторы, электромашинные генераторы и т. п.) химическая, механическая, тепловая энергия или энергия других видов превращается в электрическую, а в приемниках электрической энергии (электротермические устройства, электрические лампы, резисторы, электрические двигатели и т. п.), наоборот, электрическая энергия преобразуется в тепловую, световую, механическую и др.

Электрические цепи, в которых получение электрической энергии в источниках, ее передача и преобразование в приемниках происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называют цепями постоянного тока. При постоянных токах и напряжениях магнитные и электрические поля электрических установок также не изменяются во времени. Вследствие этого в цепях постоянного тока не возникают ЭДС индукции и отсутствуют токи смещения в диэлектриках, окружающих. проводники.

Вместо термина «приемник электрической энергии» в дальнейшем будем применять более краткие и равнозначные термины - «приемник» или «потребитель», а вместо термина «источник электрической энергии» - «источник энергии», «источник питания» или «источник». Кстати основы теории цепей похожи на предмет теоретическое основы электротехники.

Элементы электрических цепей и схем

На рис. 1.1 условно изображена простейшая электрическая установка с источником энергии - аккумуляторной батареей и с приемником - группой электрических ламп. Выводы (зажимы) источника и приемника энергии соединены между собой двумя проводами. Источник энергии, провода и приемник образуют замкнутый проводящий контур. В этом контуре под действием ЭДС источника энергии происходит непрерывное и односторонне направленное упорядоченное движение электрических зарядов. Совокупность этих трех элементов - источника энергии, двух проводов и приемника - представляет собой простейшую электрическую цепь постоянного тока. Практически чаще встречаются более сложные электрические цепи с несколькими источниками и большим числом приемников энергии, с измерительными приборами и вспомогательными элементами (переключателями, предохранителями и т. п.).

Рис.1.1.

Чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи, ее заменяют расчетной схем ой замещения, т. е. идеализированной цепью, которая служит расчетной моделью реальной цепи. При решении задач расчета режима работы цепи и других задач анализа и синтеза каждый реальный элемент цепtf заменяется элементами схемы, математическое описание каждого из которых (математическая модель) должно отражать главные (доминирующие) процессы в элементе цепи, или, точнее, все, которые необходимо учесть при анализе или синтезе.

Для цепи постоянного тока пользуются понятиями двух основных элементов схемы: источника энергии с ЭДС Е и внутренним сопротивлением r.т (рис. 1.2, а) и резистивного элемента - приемника (нагрузки) с сопротивлением

Электродвижущая сила Е (рис. 1.2, а) численно равна разности потенциалов или напряжению И между положительным и отрицательным выводами 1 и 2 источника энергии при отсутствии в нем тока, т. е. как говорят, в режиме холостого хода, независимо от физической природы ее возникновения (контактная ЭДС, термо-ЭДС и т. д.):

Электродвижущую силу Е можно определить как работу сторонних (неэлектрических) сил, присущих источнику, затрачиваемую на перемещение единицы положительного заряда внутри источника от вывода с меньшим потенциалом к выводу с большим потенциалом. Направление действия ЭДС (от отрицательного вывода к положительному) указывается на схеме стрелкой.

Если к выводам источника энергии присоединить приемник (нагрузить), то в замкнутом контуре этой простейшей цепи возникает ток / (рис. 1.3), при этом напряжение или разность потенциалов на выводах 1 и 2 уже не будут равны ЭДС вследствие падения напряжения внутри источника энергии, т. е. на его внутреннем сопротивлении :

На рис. 1.4 представлена одна из наиболее типичных, так называемых внешних характеристик т. е. зависимость напряжения на выводах нагруженного источника энергии от тока. Как показано на рисунке, при увеличении тока от нуля до напряжение на выводах источника энергии убывает практически по линейному закону:

Иначе говоря, при Е = const падение напряжения внутри источника энергии И вт в указанных пределах растет пропорционально току. При дальнейшем росте тока нарушается пропорциональность между его значением и падением напряжения внутри источника энергии -внешняя характеристика не остается линейной. Такое уменьшение напряжения вызвано у одних источников энергии уменьшением ЭДС, у других увеличением внутреннего сопротивления, а у третьих одновременным уменьшением ЭДС и увеличением внутреннего сопротивления.

Развиваемая источником энергии мощность определяется равенством:

Здесь следует указать на установившееся в электротехнике неточное применение термина «мощность». Так, например, говорят о генерируемой, отдаваемой, передаваемой, потребляемой мощности. В действительности генерируется, отдается, получается не мощность, а энергия. Мощность характеризует интенсивность энергетического процесса и измеряется количеством генерируемой, отдаваемой, передаваемой и других видов энергии в единицу времени. Поэтому правильно было бы говорить о мощности генерирования энергии, о мощности передачи энергии и т. д. Следуя традициям электротехники, будем применять приведенные выше краткие выражения.

Сопротивление приемника r (см. рис. 1.2, б) характеризует потребление электрической энергии, т. е. превращение электрической энергии в другие виды, при мощности:

В общем случае сопротивление приемника зависит от тока в этом приемнике r . По закону Ома напряжение на сопротивлении приемника, которое называется еще сопротивлением нагрузки,

Отметим, что к открытию этого закона довольно близко подошел еще в 1801-1802 гг. акад. Б. Б. Петров. Позднее, в 1826 г., этот закон был сформулирован Омом. Наряду с сопротивлением для расчета цепей вводят понятие п р о в о д им о ст и

Единица измерения тока (силы тока) называется ампер (1 А), ЭДС и напряжения - вольт (1 В), сопротивления - ом (1 Ом), причем 1 Ом= 1 В/1 А, проводимости - сименс (1 См = 1 / Ом), мощности - ватт (1 Вт= 1 В• 1 А). При измерении всех величин можно применять кратные и дольные единицы, например килоампер (1 кА = милливольт (1 мВ= В), мегаом (1 МОм= Ом), микроватт (1 мкВт = Вт) и т. д. (см. приложение 1). На практике часто бывает задана не зависимость сопротивления от тока r приемника или резистивного элемента, представляющего приемник на схеме, а зависимость напряжения на резистивном элементе от тока или обратная зависимосп, тока от напряжения. Характеристики и получили распространенное, хотя и не совсем точное название в о л ь т - а м п е р н ы х (БАХ). На рис. 1.5 представлены БАХ лампы с металлической нитью и лампы с угольной нитью . Как показано на рисунке, связь между напряжением и током каждой лампы - нелинейная. Сопротивление лампы с металлической нитью растет с увеличением тока, а сопротивление лампы с угольной нитью с увеличением тока падает.

Электрические цепи, содержащие элементы с нелинейными характеристиками, называются нелинейными.

Если принять ЭДС источников энергие виды, их внутренние сопротивления и сопротивления приемников не зависящими от токов и напряжений, то внешние характеристики источников энергии и приемников будут линейными (рис. 1.6).

Электрические цепи, состоящие только из элементов с линейными характеристиками, называют л и не й н ы м и.

Режим работы большого числа реальных электрических цепей дает возможность отнести их к линейным. Поэтому изучение свойств и методов расчета линейных электрических цепей представляет не только теоретический, но и значительный практический интерес. Эти свойства и методы расчета рассматриваются в ч. 1 книги.

Схемы замещения источников энергии

Простейшая электрическая цепь и ее схема замещения, как указывалось, состоят из одного источника энергии с ЭДС Е и внутренним сопротивлением и одного приемника с сопротивлением: r (см. рис. 1.3). Так во внешней по отношению к источнику энергии части цепи, т. е. в приемнике с сопротивлением r, принимается направленным от точки а с большим потенциалом к точке b с меньшим потенциалом

Направление тока будем обозначать на схеме стрелкой с просветом или указывать двумя индексами у буквы I, такими же, как и у соответствующих точек схемы. Так, для схемы рис. 1.3 ток в приемнике, где индексы а и b обозначают направление тока от точки а к точке b.

Покажем, что источник энергии с известными ЭДС Е и внутренним сопротивлением может быть представлен двумя ос новными схемами замещения (эквивалентными схемами).Как уже указывалось, с одной стороны, напряжение на выводах источника энергии меньше ЭДС на падение напряжения внутри источника:

с другой стороны, напряжение на сопротивлении r:

Ввиду равенства получается или и

В частности, при холостом ходе (разомкнутых выводах а и b) получается т. е. ЭДС равна напряжению холостого хода. При коротком замыкании (выводов а и b) так или

Из (1.76) следует, что источника энергии, так же как и сопротивление приемника, ограничивает ток. На схеме замещения можно показать элемент схемы с , соединенным последовательно с элементом, обозначающим ЭДС Е (рис. 1.7, а). Напряжение И зависит от тока приемника и равно разности между ЭДС Е источника энергии и падением напряжения r.тl (1.6а). Схема источника энергии, показанная на рис. 1.7, а, называется первой схемой замещения или схемой с источником ЭДС.

Если напряжение т. е. источник электрической энергии находится в режиме, близком к холостому ходу, то можно практически пренебречь внутренним падением напряжения и принять В этом случае для источника· энергии получается более простая эквивалентная схема только с источником ЭДС, у которого в отличие от реального источника исключается режим короткого замыкания ( И = О). Такой источник энергии без внутреннего сопротивления обозначенный кружком со стрелкой внутри и буквой Е (рис. 1.7, 6), называют идеальным источником Э Д С или источником напряжения (источником с заданным напряжением). Напряжение на выводах такого источника не зависит от сопротивления приемника и всегда равно ЭДС Е. Его внешняя характеристика - прямая, параллельная оси абсцисс (штриховая прямая аb на рис. 1.4). Источник энергии может быть представлен и второй схемой замещения (рис. _1.8, а). Чтобы обосноваn, эту возможность, разделим правую и левую части уравнения (1.7а) на

В результате получим

где - внутренняя проводимость источника энергии, или

где - ток при коротком замыкании источника энергии (т. е. ток при сопротивлении r = О); некоторый ток, равный отношению напряжения на выводах источника энергии к его внутреннему сопротивлению; - ток приемника; - проводимость приемника.

Полученному уравнению (1.8) удовлетворяет схема замещения с итосником тока, состоящая из источника с заданным током (рис. 1.8, а) и соединенного с ним параллельно элемента (общие выводы 1 и 2).

Если или и при одном и том же напряжении т. е. источник энергии находится в режиме, близком к короткому замыканию, то можно принять ток В этом случае для источника энергии получается более простая схема замещения только с источником тока (рис. 1.8, 6). Такой источник с внутренней проводимостью обозначенный кружком с двойной стрелкой с разрывом внутри и буквой J, называют идеальным ист о ч ни к ом то к а (источником с заданным током). Ток идеального источника тока J не зависит от сопротивления приемника r. Его внешняя характеристика - прямая, параллельная оси ординат (штриховая прямая cd на рис. 1.4). Для идеального источника тока исключается режим холостого хода

В дальнейшем, если нет специальных указаний, терминами «источник ЭДС (напряжения)» и «источник тока» обозначаются часто идеальные источники. Источники ЭДС и источники тока называются активнми элементами электрических схем, а резистивные элементы - пассивными.

При составлении электрической схемы замещения для той или иной реальной цепи стремятся по возможности учесть известные электрические свойства как каждого участка, так и в целом всей цепи.

В зависимости от электрических свойств цепи и условий поставленной задачи важно правильно выбирать электрические схемы замещения и пользоваться ими для исследования режимов в реальных электрических цепях.

Закон Ома для участка цепи с ЭДС

Для однозначного определения потенциала любой точки электрической цепи необходимо задать (произвольно) потенциал какой-нибудь одной точки. Выберем для схемы, представленной на рис. 1.7, а, . По определению потенциал точки 3 больше на значение ЭДС:

Ток 1 во внешней части простейшей электрической цепи, а в общем случае в любом пассивном элементе цепи, а значит, и схемы, направлен, как указывалось, от точки с более высоким потенциалом (3) к точке с более низким (1). Поэтому потенциал больше потенциала

Из (1.9) и (1.10) имеем

откуда ток

Аналогично можно написать формулу для тока участка сложной электрической схемы, состоящего из любого числа последовательно соединенных источников, представленных схемами замещения на рис. 1.7, и приемников при заданной разности потенциалов на концах этого участка (рис. 1.9). Ток 1 на участке схемы, содержащем источники ЭДС, может быть направлен от точки а к точке b или наоборот.

Если направление тока заранее не известно, то для составления выражений, подобных (1.11), нужно выбрать направление тока произвольно. Такое произвольно выбранное направление тока условились называть положительным направлением обозначать (как и выше действительное направление) стрелкой с просветом или отмечать индексами у буквы /. Если принять за положительное направление тока 1 направление от точки а к точке b, то потенциал определяется через потенциал выражением

Из этого равенства следует

или

где -суммарное сопротивление участка схемы; -разность потенциалов или напряжение между выводами рассматриваемого участка, взятые по выбран- ь ному направлению тока;

- алгебраическая сумма ЭДС, действующих на том же участке, причем каждая ЭДС, направление действия которой совпадает с положительным направлением тока, записывается с положительным знаком, а в противном случае -с отрицательным.

Формула (1.12а) представляет собой закон Ома для участка цепи (схемы) с ЭДС (обобщенный закон Ома).

Если в результате расчета по (1.12а) для тока получается отрицательное значение, то это значит, что действительное направление тока не совпадает с выбранным положительным направлением (противоположно произвольно выбранному направлению).

Для напряжения между любыми точками цепи также может быть произвольно выбрано положительное направление. Положительное направление напряжения указывается индексами у буквы И или обозначается. на схемах Действительно, по (1.1 la) стрелкой, которую, например, для напряжения будем в дальнейшем ставить от точки а к точке bи Таким образом, напряжение, как и ток, при расчетах надо рассматривать как алгебраическую величину.

Для ЭДС источников напряжения и токов источников тока, если их действительные направления не известны, также выбираются произвольные положительные направления, которые указывают двойными индексами или обозначают стрелками.

На участках схемы с пассивными элементами положительные направления напряжения и тока будем всегда выбирать совпадающими. В этом случае отдельную стрелку для напряжения можно и не ставить.

Баланс мощностей для простой неразветвленной цепи

Рассмотрим энергетические соотношения для электрической цепи, состоящей, например, из одной машины постоянного тока с ЭДС и внутренним сопротивлением и аккумуляторной батареи с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис. 1.10). ЭДС машины и аккумуляторной батареи направлены навстречу друг другу. Пусть ЭДС машины больше ЭДС аккумуляторной· батареи. При этом условии действительное направление тока 1 совпадает с направлением ЭДС . Напряжение И на выводах обоих источников меньше ЭДС на внутреннее падение напряжения. в машине и больше ЭДС на падение напряжения в батарее.

Действительно, по (1.1 la)

и

так как Напряжение поэтому

и

После умножения обеих частей (1.14) на I и перестановки слагаемых получаем

Левая часть этого уравнения представляет собой мощность, развиваемую машиной; первое слагаемое правой части определяет мощность тепловых потерь (в обмотке машины), а второе слагаемое правой части - мощность, отдаваемую машиной аккумуляторной батарее.

Умножив правую и левую части выражения (1.15) на ток I; получим:

Из этого уравнения непосредственно вытекает, что мощность получаемая аккумуляторной батареей, состоит из мощности тепловых потерь и мощности, необходимой для зарядки аккумуляторов

Полученные соотношения для баланса мощностей применимы не только к цепи зарядки аккумуляторов, но и. к любым другим цепям. Отличие состоит лишь в том, по в приемниках другого рода электрическая энергия расходуется не на зарядку аккумуляторов, а на другие процессы, например в электрических двигателях - на механическую работу, в резисторах - только на тепловые потери.

Если представить источник энергии другой эквивалентной схемой (рис. 1.11 ), то окажется, что мощность, развиваемая источником тока, не равна мощности, развиваемой источником ЭДС. Действительно, мощность, развиваемая источником тока, определяется произведением тока и напряжения на выводах источника тока, т. е. равна

Так как , ТО после замены тока и простых преобразований получим

Из сравнения выражений (1.18) и (1.16) непосредственно следует, что при одинаковом напряжении на выводах обоих источников и одинаковом токе тепловые потери при схеме по рис. 1.10 не равны в общем случае тепловым потерям при схеме по рис. 1.11, вследствие чего и мощность, развиваемая источником ЭДС не равна мощности, развиваемой источником тока Это следует иметь в виду при замене реального источника энергии источником ЭДС или источником тока.

Пример №1

К выводам последователь но соединенных источников энергии (ЭДС; внутренние сопротивления ) подключен приемник - резистор с изменяющимся сопротивлением (рис. 1.12). Определить значение сопротивления r, при котором мощность резистора максимальна. Найти мощность приемника и источников энергии при этом значении сопротивления.

Решение:

Для определения сопротивления r, при котором мощность резистора максимальна, воспользуемся выражением мощности

Так как ток

то

Вычислив производную от Р по r и приравняв ее нулю, найдем искомое сопротивление:

Это соотношение показывает, что мощность приемника максимальна при равенстве суммарного внутреннего сопротивления источников и сопротивления приемника.

Значения остальных величин определяются по формулам:

ток мощности, развиваемые первым и вторым источниками ЭДС

мощность приемника

мощность тепловых потерь в обоих источниках т. е. мощность приемника равна мощности потерь в обоих источниках (так как мощность резистора максимальна при

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.

Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).

При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более ОДНОГО раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 - у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 - р). Так как напряжение между выводами ветви 2 -р равно нулю ( сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим · образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу с отрицательными знаками, а направленные - с положительными.

Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (l.19a) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где / - ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, а J - ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла. Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в, этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами с и н т е з а электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.

В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.

Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У - 1 и В - У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях). На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем

Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У - 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У - 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14, а с четырьмя узлами

Добавим к этим У- 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество О = О; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).

Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности - сечению.

Например, для поверхности S (рис. 1.14, а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение что можно также получить из уравнений (1.21) ДЛЯ УЗЛОВ Чтобы установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех В ветвей схемы (рис. 1.13) В уравнений на основании закона Ома (1.lla):

где - сопротивление ветви, соединяющей узлы р и у; - суммарная ЭДС, действующая в ветви р - у

в направлении отрезку;- потенциалы узлов р и у.

В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов В ветвей и потенциалов У узлов равняется В + У.

Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любому значению, в частности нулю. Если теперь из системы В уравнений (1.22) исключить оставшиеся неизвестными У - 1 потенциалов, то число уравнений уменьшится до В - ( У - 1 ). Но исключение потенциалов из уравнений ( 1.22) приводит к уравнениям, связывающим ЭДС источников с напряжениями на резистивных элементах, т. е. к уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа.

Таким образом, число независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно В - (У- 1).

В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и ЭДС для схемы рис. 1.14, а по (1.126):

Сложив третье и четвертое уравнения и вычтя полученную сумму из первого, получим:

Если применим второй закон Кирхгофа (1.206) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.

Аналогичным путем можно получить уравнения для других контуров:

для контура 1-3-2-1

для контура 2-4-3-2

Совместное решение любых пяти уравнений (1.21), (1.23) и (1.24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1.14, а. Если в результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимыми. Контуры необходимо выбрать так, чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров - возможtю меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей. Например, контур 1-3-4-2-1 (рис. 1.14, а) можно получить из контуров 1-3-4-1 и 1-4-2-1 путем удаления ветви 1-4. Поэтому уравнение для контура 1-3-4-2-1 является следствием уравнений (1.23), (1.24а) и получается путем их суммирования. Далее будет дано наиболее общее правило выбора контуров, обеспечивающих получение независимых уравнений.

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений ( 1.20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения (рис. 1.14, а) можно написать уравнение для контура 2-1-5-2

или для контура 5-4-2-5

откуда легко найти искомое напряжение.

Пример №2

Пользуясь законами Кирхгофа, написать два выражения для тока в ветви с гальванометром (рис. 1.15), приняв известным в одном случае ток , а в другом напряжение

Решение:

На основании законов Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

Решив совместно эти уравнения, получим выражения для тока при заданном напряжении

и при заданном токе

Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.

В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая всеми источниками мощность равна суммарной мощности приемников и мощности потерь в источниках (из-за внутренних сопротивлений)

В левой части (1.25) суммы алгебраические. Это значит, что если при заданных направлениях действия источника ЭДС (см. рис. 1.7) или тока (см. рис. 1.8) для тока I в источнике ЭДС или напряжения на выводах источника тока получится отрицательное численное значение, то этот источник в действительности не разовьет мощность, а получит ее от других источников. Соответствующее слагаемое в левой части (1.25) получится со знаком минус. Если требуется найти необходимую мощность источников питания цепи, то· такие слагаемые следует записать с обратным знаком в правой части (1.25).

Топологические графы

При изложении методов расчета электрических цепей иногда целесообразно применять некоторые топологические понятия, к числу которых относятся, в частности, направленные и ненаправленные топологические графы.

Как следует из первого закона Кирхгофа (1.19), вид уравнений зависит не от элементов ветвей, соединенных в узлах, а от геометрической структуры самих соединений. Аналогичный смысл имеет уравнение (1.20а), выражающее второй закон Кирхгофа. Но, конечно, токи и напряжения зависят не только от геометрической структуры цепи, но и от элементов соответствующих ветвей, что непосредственно следует из закона Ома для участка цепи с ЭДС (1.12а).

Для характеристики геометрической структуры схемы цепи можно пользоваться графом, части которого, называемые ветвями (ребрами), изображают ветви схемы, а точки их соединения, называемые узлами (вершинами), изображают узлы схемы. На рис. 1.14, 6 показан не направленный (неориентированный) граф для схемы, изображенной на рис. 1.14, а, где каждая из ветвей этого графа (рис. 1.14, 6) соответствует определенной ветви схемы (рис. 1.14, а).

Направленным (ориентированным) топологическим графом называется такой, у которого каждая ветвь имеет определенное направление (ориентацию). Для графов схем электрических цепей направление ветви будем выбирать совпадающим с положительным направлением тока в ветви, что и показано на рис. 1.14, в.

Граф заданной схемы можно изобразить по-разному, но каждое изображение должно иметь одинаковое со схемой число узлов, а соединяющим их ветвям можно дать различное начертание (рис. 1.14, в-д).

Для направленного графа (рис. 1.14, в) можно записать уравнения на основании первого (1.19) и второго (1.20а) законов Кирхгофа в следующем виде:

при этом три уравнения (1.19в) совпадают с уравнениями (1.21а), а последние три уравнения можно преобразовать в уравнения (1.23) и (1.24) при помощи закона Ома для участка цепи с ЭДС (1.126). Например, из схемы (рис. 1.14, а) следует, что

после замены напряжений и в уравнениях для контура 1-4-2-1 (рис. 1.14, в) их правыми частями получается выражение, совпадающее с уравнением (1.23).

Чтобы выбрать независимые контуры, введем еще для графа понятия дерева, пути и ветви связи.

Деревом называется совокупность ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих ни одного контура. Например, для графа рис. 1.14, в два из возможных деревьев показаны толстыми линиями на рис. 1.14, г и 1.14, д. Непрерывная последовательность ветвей между какими-либо двумя узлами графа при условии, что любой другой узел встречается не более 1 раза, образует путь. Для части графа, составляющей дерево, между каждой парой узлов существует только один путь. Например, путь между узлами дерева 2 и 3 (рис. 1.14, г) состоит из ветвей 3 и 4. Совместно два пути между теми же узлами графа образуют уже контур, т. е. замкнутый путь. Так, добавление второго пути между узлами 2 и 3, состоящего из ветви 6, образует вместе с ветвями первого пути контур из ветвей 3, 1 и 6. Число ветвей дерева равно У -1, т. е. числу независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа (два узла можно соединить одной ветвью, три узла -двумя ветвями и т. д.). При добавлении еще одной ветви образуется уже контур.

Ветвью связи (связью, хордой) называется любая из ветвей, не входящая в дерево. Все ветви связи дополняют дерево до графа схемы. На рис., 1.14, г и д ветви связи показаны тонкими линиями. Так как общее число ветвей графа равно В, то граф содержит В -( У -1) ветвей связи, т. е. как раз столько, сколько необходимо составить независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, у графов рис. 1.14, г и д число ветвей В= 6, число узлов У= 4, ветвей дерева У - 1 = = 3, ветвей связи В -(У-1) = 3. Если в каждый контур кроме ветвей дерева войдет одна из ветвей связи, не входящая в другие контуры, то для таких В-(У-1) главных контуров получится независимая система контурных уравнений. Например, для графа рис. 1.14, г можно записать следующие три независимых уравнения по второму закону Кирхгофа: первое для ветвей дерева 3, 2 и ветви связи 4, второе для ветвей дерева 3, 1 и ветви связи 6, третье для ветвей дерева 2, 1 и ветви связи 5.

Как указывалось, вместо уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов можно составить уравнения для сечений. Для упрощения выбора независимых сечений целесообразно проводить их так, чтобы каждое сечение разрезало только одну ветвь дерева -было главным сечением. Число главных сечений равно числу ветвей дерева У -1, т. е. числу независимых уравнений, которые необходимо составить по первому закону Кирхгофа. На рис. 1.14, д показаны штриховой линией три главных сечения . Нормаль к поверхности сечения или ее положительное направление выбирают совпадающим с положительным направлением соответствующей ветви дерева.

Законы Кирхгофа в матричной форме

Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы.

Матрица соединений, или узловая А, -это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для У - 1 узлов. Строки (i) соответствуют узлам (их число равно У-1), столбцы (j) -ветвям (их число равно В). Элемент матрицы если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена от узла i (положительное направление тока в ветви j выбрано от узла i. Элемент матрицы , если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена к узлу i. Элемент матрицы , если ветвь j не присоединена к узлу i.

Например, для схемы и графа по рис. 1.14 с У= 4 узлами и В= 6 ветвями для первых трех узлов что соответствует первым трем уравнениям (1.21а).

Так как матрица А определяет, какие ветви присоединены к каждому узлу и как направлены токи в этих ветвях, то произведение матрицы соединений на матрицу-столбец токов ветвей I дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и, следовательно, равно нулю:

-это первый закон Кирхгофа в матричной форме. Для схемы и графа по рис. 1.14

и после выполнения умножения матриц получаем первые три уравнения (1.21а). Под матрицей соединений иногда понимают матрицу А, записанную для всех узлов схемы. Матрица сечений Q - это таблица коэффициентов, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Строки i матрицы соответствуют сечениям (их число равно У- 1), столбцы j - ветвям (их число равно В). Элемент матрицы если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения. Элемент матрицы если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения. Элемент матрицы если ветвь j не содержится в сечении i.

Для главных сечений составляется матрица главных сечений.

Например, для графа рис. 1.14, д при показанных трех главных сечениях

В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений:

После умножения матрицы Q на матрицу-столбец токов I получаются первое и третье (с обратным знаком) уравнения (1.21а) и уравнение (1.216), т. е. независимая система уравнений по первому закону Кирхгофа.

Матрица контуров В - это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для К = В - ( У - 1) независимых контуров. Строки k соответствуют контурам (их число равно К), столбцы j - ветвям (их число равно В)

Элемент матрицы если ветвь j входит в состав контура k и ее направление совпадает с направлением обхода контура. Элемент матрицы если ветвь j входит в состав контура k и ее направление противоположно направлению обхода контура. Элемент матрицы если ветвь j не входит в состав контура k.

Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа рис. 1.14, д с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (6) и 1-6-3 (в) матрица главных контуров при их обходе по направлению движения часовой стрелки

Умножив матрицу В на матрицу столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)

так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.

Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей

получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):

Эта система с учетом равенства и соотношений (1.22а) совпадает с ранее полученной системой (1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида (1.206).

Для любой планаррной схемы, т. е. схемы, которую можно изобразить на листе без пересекающихся ветвей и проводов, в качестве независимых контуров можно выбирать элементарные контуры-ячейки. Например, для схемы рис. 1.14,а это ячейки /, II, III. Если выбрать направление обхода каждой ячейки по направлению движения стрелки часов, ТО

После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20а):

которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206). Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС рис. 1.23 или введение понятия обобщенной ветви.

Метод узловых потенциалов

Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех В ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома (1.12).

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 1.16.

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е.. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов

Токи в ветвях согласно закону Ома (1.12а)

где -потенциалы узлов 1 и 2. После подстановки (1.29) в (1.28) и группировки членов получим

или

В этих уравнениях - суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; -сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (1.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла. Уравнения (1.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 1.16, и для каждого узла примем положительные направления токов рт узла.

Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения:

Принимая, как и раньше, напишем выражения для токов ветвей:

После подстановки (1.32) в (1.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (1.30).

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю. Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1.30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными - от узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1.17, при получим соответственно следующие уравнения:

или

Если электрическая схема имеет в своем составе У узлов ( У -любое целое число), а потенциал, например, У-го узла принят равным нулю, то для определения У - 1 потенциалов остальных узлов получается У - 1 уравнений:

или в более общей форме для любого узла р при

В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (1.30), проводимость (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу р, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и р, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ЭДС на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, ток равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, ток - узловой ток - равен алгебраической сумме и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу р, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида не входят.

Решив уравнения (1.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома (1.12а).

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются. Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 1.18, а), у которой сопротивление· ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной or узла 2 (на рис. 1.18,а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1', 3', 4' будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1.18, 6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1.33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1.18, 6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r = О (рис. 1.18,а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1.18, а) , то потенциалузла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов нужно составить уравнения (1.33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1.18, 6). Полезно еще рассмотреть применение уравнений (1.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рис. 1.19). Найдем напряжение , записав уравнение (1.33) для первого узла

откуда

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель - арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами. Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (1.34), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

Пример №3

На рис. 1.20, а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: В, ; сопротивления ветвей: Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

Решение:

Пусть потенциал точки О равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами

или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС

Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: . Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1.20, а)

Матричные уравнения узловых потенциалов. Уравнения узловых потенциалов (1.33) можно записать в матричной форме:

где -квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

-Матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец узловых токов, причем по (1.ЗЗа) при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к i-му узлу. Умножив слева уравнение (1.35) на , получим уравнение для определения потенциалов узлов схемы в виде

где - матрица, обратная матрице

Ниже показано, что матрицу узловых проводим остей можно составить не посредственно по соответствующей схеме цепи по формуле:

где А -матрица соединений (узловых проводимостей ветвей схемы) или ее направленного графа; g -диагональная матрица проводимостей ветвей; А-т транспонированная матрица соединений.

Для иллюстрации применения формулы (1.39) рассмотрим схему рис. 1.20,а, для которой на рис. 1.20, 6 построен направленный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов (для узлов 1, 2, 3):

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Произведение матриц А и g:

Матрица узловых проводим остей цепи (1.39) получается после перемножения матриц

Матрица-столбец потенциалов узлов:

Матрица-столбец узловых токов:

Пользуясь выражением (1.35), легко получить систему уравнений, приведенную в примере 1.3.

Если матрицу А дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу О, то по (1.39) получится неопредеоенная матрица цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю; определитель такой матрицы также равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, например четвертой строки и четвертого столбца, получается определенная квадратная матрица третьего порядка.

Определитель неопределенной матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали.

Здесь следует особо подчеркнуть, что если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле:

где положительное направление напряжения совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на каждой ветви. Например, для схемы по рис. 1.20

Из этого выражения следует:

как и должно быть.

Метод контурных токов

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь К= (В-У+ 1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь В, как и ранее, - число ветвей и У - число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется. Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 1.21, а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.

При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 1.21,а ветви с токами соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 1.21, б); поэтому ветви с токами будут ветвями связи. На рис. 1.21, 6 элементы ветвей дерева изображены сплошными линиями, а элементы ·ветвей связи - штриховыми.

Для схем на рис. 1.21, а и 6 по первому закону Кирхгофа

На основании второго закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из которых включает ТОЛЬКО одну ветвь связи,

Пользуясь уравнениями (1.41), исключим из уравнений ( 1.42) токи и всех ветвей дерева, общих для нескольких туров; в результате получим:

В соответствии с уравнениями (1.43) можно принять, что каждый из токов замыкается через соответствующую ветвь СВЯЗИ в ОДНОМ ИЗ контуров (рис. 1.21,а и 6), и назвать такие токи контурными:

Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов разность ЭДС : равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока на всех сопротивлениях этого контура и от токов соответственно на сопротивлениях и .

Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, · пятой и шестой ветвей (рис. 1.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами , замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам:

Выражение для тока получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечениюслед которого показан на рис. 1.21, в штриховой линией.

Таким образом, система взаимно независимых уравнений. определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.

Схема рис. 1.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.

Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей В на число узлов схемы без одного (У - 1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой - от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 1.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: или для контурных токов

Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока - ветвью связи - замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.

В качестве примера рассмотрим схему на рис. 1.17. На основании второго закона Кирхгофа

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений. токи ; в результате после группировки слагаемых получим:

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями и, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.

Обозначив в уравнениях (1.46) составляющие напряжений соответственно через , можно переписать их иначе:

Здесь следует отметить, что перенос слагаемых из левой в правую часть уравнений (1.47) и замена этих напряжений на схеме ЭДС иллюстрируют применение так называемого принципа компенсации. Уравнениям (1.47) соответствует эквивалентная схема (рис. 1.22, а), на которой источник тока J заменен источниками ЭДС при этом токи в ветвях с сопротивлениями не равны соответствующим токам в ветвях заданной схемы (см. рис. 1.17) и отличаются от них на ток J источника тока. Иначе говоря, после определения контурных токов необходимо для вычисления токов в ветвях заданной схемы (рис. 1.17) записать уравнения по первому закону Кирхгофа именно для заданной схемы:

Аналогично можно показать, что если принять ток J замыкающимся по ветви с сопротивлением то получится новая эквивалентная схема (рис. 1.22, б); контурный ток в эквивалентной схеме не равен току в ветви с сопротивлением заданной схемы (см рис. 1.17) и отличается от него на ток J.

Замена источника тока J двумя эквивалентными источниками напряжения (рис. 1.22, а) основана на предварительном преобразовании одного источника тока, включенного к узлам 1 и 4 (см. рис. 1.17) двумя источниками тока, включенными к узлам 1 и 3, 3 и 4. Покажем справедливость такого преобразования для более общего случая. На рис. 1.23, а изображена часть разветвленной схемы с одним источником тока J, присоединенным к узлам 1 и 4. Режим в этой схеме, очевидно, не изменится, если вместо одного источника тока J, присоединенного к выводам 1 и 4, включить три источника тока соответственно к узлам 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, поскольку токи в ветвях присоединения к узлам 2 и 2', 3 и 3' равны нулю (рис. 1.23,б). Переход от схемы рис, 1.23, б к эквивалентной схеме рис. 1.23, в, где уже не требует особых пояснений.

Таким образом, при расчете режима цепи методом контурных токов можно предварительно заменить источники тока эквивалентными источниками ЭДС, а затем ввести контурные токи и на основании второго закона Кирхгофа составить систему уравнений для их определения. Токи в ветвях без эквивалентных источников ЭДС, заменяющих источники тока, определяются по первому закону Кирхгофа суммированием контурных токов; J1 ветвях заданной схемы, в которых на эквивалентной схеме включены источники ЭДС, учитываются и токи источников тока.

При расчете электрических цепе и изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных ток, замыкающихся через каждую из ветве и, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 1.21, а три ячейки с контурными токами руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях. У становим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.

Для схемы, имеющей К независимых контуров, уравнения, аналогичные (1.43), запишутся в виде:

да (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура , а сопротивление вида (с двумя различными индексами) - общим сопротивлением контуров l и k.

Правые части уравнений (1.48) называются контурными ЭДС. Каждя из контурных ЭДС вида равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (1.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде:

где обозначает собственное сопротивление контура l; -общее сопротивление двух контуров: 1 и j; -ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением -контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре). Решив систему уравнений (1.48) при помощи определителей относительно любого из токов, например , получим

где - определитель системы уравнений (1.48), т. е.

- алгебраические дополнения определителя , причемполучается из путем вычеркивания столбца и q-й строки и умножения полученного определителя на

Необходимо отметить, что сопротивления вида нужно записывать в выражении (1.50) с тем знаком, который стоит перед соответствующим напряжением в уравнениях (1.48).

Методом узловых потенциалов целесообразно ;пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров У - 1 < К, а методом контурных токов -при У-l>К.

Матричные уравнения контурных токов

Уравнения контурных токов (1.48) с учетом (1.48а) можно записать в матричной форме:

где -квадратная матрица контурных сопротивлений; -матрица-столбец контурных токов; - матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники ЭДС и эквивалентные ЭДС от источников тока.

После умножения уравнения (1.51) слева на получим

Покажем, что матрицу контурных сопротивлений можно получить непосредственно по схеме при помощи матрицы контуров В:

где r -диагональная матрица сопротивлений ветвей; -транспонированная матрица контуров. Направление обхода каждого контура примем совпадающим с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направления ветвей -с положительными направлениями токов в ветвях. Чтобы получить независимые контуры, следует сначала выбрать дерево схемы, что в свою очередь определяет ветви связи, а следовательно, и контурные токи.

Для иллюстрации рассмотрим схему на рис. 1.21, а с выбранным деревом из четвертой, пятой и шестой ветвей (рис. 1.21, 9). В этом случае независимые контуры содержат контурные токи что соответствует первой, второй и третьей ветвям связи. Матрица контуров В состоит из .трех строк и шести столбцов:

Диагональная матрица сопротивлений

Произведение матриц В и r равно:

Квадратная матрица контурных сопротивлений определяется по (1.53):

Матрица-столбец контурных токов

Матрица-столбец контурных ЭДС

Пользуясь уравнением (1.51), матрицами можно получить уравнения (1.43). Подчеркнем, что матрица токов ветвей I определяется через матрицу контурных токов по формуле:

Например, для схемы рис. 1.21, а

Из этого матричного уравнения сразу получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

В дальнейшем индекс «к» у контурных токов, как правило, будем опускать. В заключение подчеркнем, что все соотношения между токами ветвей » контурными токами для схем, показанных на рис. 1.21,а-в, можно получить из графов, построенных соответственно для этих схем на рис. 1.24, а -в, при этом деревья графа изображены на рис. 1.24, 6 и в толстыми линиями, а ветви связи - тонкими.

Уравнения цепи в матричной форме

Пользуясь матрицей соединений А и матрицей контуров В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие режим цепи, в матричной форме, при этом получаются и выражения для определения матрицы узловых проводимостей (1.39), и матрицы контурных сопротивлений (1.53).

Запишем еще раз в матричной форме первый и второй законы Кирхгофа (1.26) и (1.27):

где 1 -матрица-столбец токов ветвей; U -матрица-столбец напряжений между концами ветвей. Подставив (1.57) в (1.58), получим

Это выражение справедливо при всех значенияхпоэтому для любой заданной электрической цепи.

Уравнения цепи в матричной форме, в том числе с узловыми потенциалами и контурными токами, получаются наиболее коротким путем при введении понятия обобщённой ветви -двухполюсника общего вида (рис. 1.25). Для такой ветви и откуда следует, что или

Это так называемые компонентные уравнения (связывают напряжение и ток ветви).

В матричной форме для всех ветвей схемы вместо (1.60) и (1.61) получим обобщенный закон Ома:

или где g -диагональная матрица проводимостей ветвей; r -диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Уравнения Кирхгофа (1.58) -топологические уравнения -вместе с компонентными уравнениями (1.62) или (1.63) составляют полную систему уравнений линейной электрической цепи в матричной форме.

Для получения узловых уравнений в матричной форме умножим (1.62) на матрицу А

и после замены по (1.40)

где - квадратная матрица узловых проводим остей; матрица-столбец узловых токов, т. е. (1.64) совпадает с (1.38). Для получения контурных уравнений в матричной форме умножим (1.63) на матрицу В;

и так как (второй закон Кирхгофа) И (1.57), ТО

При расчетах режимов сложных электрических цепей с применением ЭВМ предварительно должна быть составлена ее эквивалентная схема -математическая модель цепи, состоящая из типовых элементов. Для цепей, которые рассматриваются в этой главе, это резистивные элементы с сопротивлениями r, идеальные источники ЭДС Е и идеальные источники тока J. В общем случае добавляются зависимые или управляемые источники, индуктивные и емкостные элементы (для цепей переменного тока) и др.

При выборе метода расчета следует сопоставить число решаемых уравнений, которое влияет на необходимые объем памяти ЭВМ и машинное время, сложность формирования задания и программы для ЭВМ, ограничения на типы элементов схемы, которые допускают задание и программа.

В случае расчета с применением уравнений Кирхгофа (1.58) число решаемых уравнений равно 2В, т. е. число решаемых уравнений больше, чем при расчете методами узловых потенциалов и контурных токов, но ограничений на типы элементов нет, программа решения

системы уравнений не требует перемножения матриц. Чтобы получить систему независимых уравнений, нужно выбрать незавцсимые контуры, т. е. в общем случае . выбрать дерево, и ветви связи (обратиться к топологическим понятиям).

Число узловых уравнений (метод узловых потенциалов) меньше 2В, а именно У - 1. Топологические матрицы составлять не нужно, и перемножения матриц не требуется, так как матрицы узловых проводимостей и узловых токов можно составить непосредственно. для заданной схемы [ см. (1.ЗЗа), (1.36), (1.37)]. Без преобразования схемы метод узловых потенциалов в матричной форме нельзя применять, если между какими-либо узлами включены ветви с идеальными источниками ЭДС, поскольку проводимость такой ветви бесконечно большая.

Число контурных уравнений (метод контурных токов) тоже меньше 2В, а именно В - (У- 1). Но задача выбора системы независимых контуров остается. Перемножения матриц не требуется, так как матрицы контурных сопротивлений и контурных ЭДС можно составить непосредственно для заданной схемы [см. (1.48а)].. Без преобразования схемы метод контурных токов в матричной форме нельзя применять, если схема содержит ветви с идеальными источниками тока, так как сопротивление такой ветви бесконечно большое

При расчете режима цепи с применением ЭВМ, особенно в том случае, если схема содержит и управляемые источники, для устранения отмеченных или недостатков применения уравнений Кирхгофа, уравнений можно рекомендовать метод расширенных узловых уравнений (метод смешанных величин).

Расширенные узловые уравнения

При составлении расширенных узловых уровнений все ветви схемы разделим на два подмножества: g-ветви и r-ветви (рис. 1.26, а и 6) - частные случаи обобщенной ветви (см. рис. 1.25). Для g-ветви компонентное уравнение

и в матричной форме для всего подмножества g-ветвей

где g - диагональная матрица проводим остей g-ветвей. Ветвь с идеальным источником тока следует считать gветвью, у которой проводимость g = О.

Для r-ветви компонентное уравнение

и в матричной форме для всего подмножества r-ветвей

где r· - диагональная матрица сопротивлений r-ветвей. Ветвь с идеальным источником ЭДС следует считать r-ветвью, у которой сопротивление r = О. При составлении топологических уравнений по первому закону Кирхгофа AI = О выберем первые номера для gветвей. Поэтому запишем первое уравнение Кирхгофа в виде

или

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов матричным уравнением (1.40) или при выбранной нумерации ветвей

т.е.

Заменив в (1.66), по (1.69а) и в (1.68) , по (1.66), получим:

В (1.67) подставим, по (1.696) и получим:

Уравнения (1.70) и (1.71) определяют потенциалы узлов - узловая матрица проводимостей, но не всех ветвей, а только g-ветвей; - узловой ток.

Уравнения (1.70) и (1.71) можно объединить в матричное расширенное узловое уравнение:

Решение системы уравнений (1.72) на ЭВМ или без применения ЭВМ не требует перемножения матриц, снимает ограничения, которые необходимо учитывать при расчете режима цепи с применением метода узловых потенциалов, но . количество совместно решаемых уравнений увеличивается на число r-ветвей.

Пример №4

Составить матричное уравнение методом расширенных узловых уравнений для схемы по рис. 1.27 при параметрах .

Решение:

Схема состоит из трех gветвей: 1) с источником тока и сопротивлением т. е. с проводимостью См; 2) с сопротивлением , т. е. с проводимостью См; 3) с сопротивлением , т. е. с проводимостью См, и одной r-ветви с ЭДС Е4 и сопротивлением r4 = О. При этом методом расширенных узловых уравнений определяются потенциалы узлов в r-ветви. Последние две g-ветви можно было бы считать r-ветвями с ЭДС , но при

этом число совместно решаемых уравнений увеличится (добавятся токи в сопротивлениях r2 и r3).

Составим матрицы, входящие в матричное уравнение (1.72). Квадратная матрица узловых проводимостей второго порядка (узлы 1 и 2)

Матрица соединений r-ветвей (одна ветвь с током, который направлен к узлу 1)

В r-ветви сопротивление равно нулю, т. е. r = О. Матрица-столбец узловых токов (два узла) . Матрица-столбец ЭДС r-ветвей Е = 4 (одна ветвь).

В результате получаем матричное уравнение (1.72)

после решения которого находим Остальные токи определяются по закону Ома и первому закону Кирхгофа после выбора их положительных направлений.

После формирования матриц любого из рассмотренных выше общих методов расчет режима цепи сводится к задаче решения системы линейных алгебраических уравнений, которая входит в математическое обеспечение ЭВМ

Преобразовании в линейных электрических схемах

Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно упростить и сделать более наглядными путем преобразование электрических схем одного вида в схемы другого вида. Целесообразное преобразование электрической схемы приводит к уменьшению числа ее ветвей или узлов, а следовательно, и числа уравнений, определяющих ее режим. Рассмотрим, например, схему замещения трехпроводной линии (рис. 1.28, а). Пусть заданы ЭДС и внутренние сопротивления источников энергии, сопротивления проводов . линии и сопротивления приемников

Для определения токов в шести ветвях этой схемы необходимо по методу контурных токов или узловых потенциалов решить систему уравнений с тремя неизвестными.

Однако можно упростить схему, например, так, чтобы она содержала только три ветви с тремя неизвестными токами и всего два узла. Новая схема получится, если три приемника с сопротивлениями , присоединенных к узлам 1, 2 и 3, заменить тремя резистивными элементами с сопротивлениями (рис. 1.28, б), включенными соответственно между точками 1, 2 и 3 заданной схемы и новой узловой точкой О'. После такой замены токи в ветвях, не затронутых преобразованием, и напряжения и между точками 1, 2 и 3 должны быть такими же, как и в заданной схеме замещения.

В новой, эквивалентной схеме с двумя узлами О и О' можно сразу найти напряжение между узловыми точками по формуле (1.34), а затем определить токи по закону Ома. После этого можно вычислить напряжения между точками 1, 2 и 3 и токи в приемниках с сопротивлениями заданной схемы, т. е. решить задачу достаточно просто. Во всех случаях замены заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условие неизменности токов и напряжений участков схемы, которые не затронуты преобразованиями. Если преобразуется часть электрической схемы, не содержащая источников энергии, то, как будет видно из дальнейшего, неизменность токов и напряжений в остальной части схемы обеспечивает и неизменность мощностей элементов всех ветвей. В случае преобразования электрических схем, содержащих источники энергии, суммарные мощности источников и приемников в исходной схеме не равны в общем случае соответствующим мощностям в эквивалентной схеме.

Рассмотрим теперь наиболее характерные, чаще всего встречающиеся на практике случаи преобразования электрических схем как при отсутствии в преобразуемых ветвях источников ЭДС и тока, так и при их наличии:

Преобразование соединении многолучевой звездой в соединение многоугольником.Преобразование треугольника в звезду.

Рассмотрим ·сначала преобразование соединения резистивных элементов (сопротивлений) многолучевой звездой (с числом лучей более трех) в эквивалентный многоугольник, т. е. преобразование пассивных (не содержащих источников энергии) многополюсников. Покажем, что соединение резистивных элементов n-лучевой звездой преобразуется в эквивалентную схему многоугольника с числом ветвей, равным п(п -1)/2. На рис. 1.29, а изображено соединение элементов в виде n-лучевой звезды. Для этой схемы

где . -потенциалы соответствующих точек схемы. Из последнего уравнения найдем потенциал точки О:

После подстановки в первое из выражений (1.73) получим

В полученном выражении разности потенциалов между точками 1, 2, 3, ... , h, ... , п заменим через напряжения по формуле

Аналогично для любого тока

Из этих уравнений видно, что ток каждой ветви n-лучевой звезды можно представить в виде суммы п -1 частичных токов, пропорциональных напряжениям между соответствующими точками звезды. Например, ток Аналогично для любой ветви

Выражениям (1.76) удовлетворяет эквивалентная схема в виде полного многоугольника (рис. 1.29, 6) с числом ветвей, равным п (п - 1 )/2. Действительно, для схемы рис. 1.29, 6

Для того чтобы схема, показанная на рис. 1.29,6, была эквивалентна схеме на рис. 1.29, а, необходимо равенство токов в обеих схемах при одинаковых напряжениях что выполняется при

Поскольку число узлов многоугольника равно n, число токов, связанных с каждым узлом, равно n - 1 и каждая ветвь присоединена к двум узлам многоугольника, то число его ветвей как раз равно n (n - 1 )/2.

Из приведенного доказательства следует, что простая математическая операция исключения потенциала q>0 из системы уравнений для схемы, имеющей форму n-лучевой звезды, приводит к эквивалентной схеме в виде многоугольника. Обратная задача о преобразовании многоугольника в эквивалентную n-лучевую звезду в общем случае при n > 3 неразрешима, так как число искомых сопротивлений (или проводимостей) ветвей эквивалентной звезды меньше числа n(n - 1)/2 условий, которым они должны удовлетворять. При n = 3 число условий n (n - 1 )/2 = 3 и, следовательно, треугольник сопротивлений всегда можно преобразовать в эквивалентную звезду.

Из (1.78) при п = 3 сразу получаются формулы для преобразования трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник в следующем виде:

для эквивалентных проводимостей

или для эквивалентных сопротивлений

Чтобы получить формулы преобразования треугольника с заданным и сопротивлениями r12, r23 и r31 в эквивалентную звезду, примем в (1.796) в качестве неизвестных сопротивления В результате получим

где

Выразим попарные произведения искомых сопротивлений в виде:

и, подставив полученные выражения в (1.81), найдем

где

Последние формулы позволяют определить эквивалентные сопротивления звезды по заданным сопротивлениям треугольника. Аналогично можно получить формулы преобразования многолучевой звезды с источниками ЭДС (активной) (рис. 1.30, а) в эквивалентный активный многоугольник (рис. 1.30, 6) .

Действительно, для схемы, показанной на рис. 1.30,а , можно записать

Выразив из последнего уравнения и подставив ero, например, в первое из выражений (1.83), после элементарных преобразований получим

Аналогичные уравнения можно составить для токов Выражениям вида (1.84) соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. 1.30, 6. Проводимости ветвей многоугольника определяются по-прежнему по (1.7 8), а эквивалентные ЭДС при указанных положительных направлениях (рис. 1.30,а и 6)

Преобразование параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС и источниками тока

Если сложная электрическая схема имеет одну или несколько групп параллельно соединенных ветвей с источниками ЭДС, то расчет и исследование такой схемы можно значительно упростить, заменив каждую группу параллельных ветвей одним источником с эквивалентной ЭДС и эквивалентным внутренним сопротивлением. В частности, так можно преобразовать схемы со смешанным соединением активных и пассивных элементов в схемы с последовательным соединением.

На рис. 1.31,а показана rруппа из m параллельно соединенных ветвей, выделенная из электрической схемы. Остальная часть схемы условно обозначена прямоугольником. Требуется заменить m параллельных ветвей (рис. 1.31, а) одной эквивалентной ветвью (рис. 1.31, 6) так, чтобы на выводах 1 и 2 ток I и напряжение И в эквивалентной схеме, а значит, все токи и напряжения в остальной части схемы были такими же, как и в заданной. С учетом (1.116) для токов ветвей суммарный ток / схемы рис. 1.31,а

где

Так как условия эквивалентности должны быть выполнены при любых токе I и напряжении И, то, приравняв правые части выражений (1.86) и (1.87), нужно положить:

откуда

При вычислении эквивалентной ЭДС Е с положительным знаком записываются те ЭДС Eh, которые направлены к тому же узлу, что и эквивалентная ЭДС Е, и с отрицательным знаком - направленные к другому узлу. Если какая-либо из параллельных ветвей, например третья, не содержит источника ЭДС , то в (1.89) слагаемого не будет, но в состав проводимости g входит проводимость этой ветви

Из (1.88) следует, что эквивалентная проводимость g не зависит от ЭДС, а эквивалентная ЭДС Е (1.89) зависит не только от ЭДС ветвей, но и от их проводимостей.

Выше было отмечено, что энергия, потребляемая сопротивлениями ветвей до преобразования схемы с активными элементами, не равна энергии, потребляемой эквивалентными сопротивлениями ветвей после преобразования.

Для иллюстрации этого положения сравним, например, мощности источников и потребителей заданной схемы (рис. 1.31,а) и схемы после преобразования (рис. 1.31, 6) при разомкнутой ветви с током I. В схеме рис: 1.31,а приI= О токи могут и не быть равными нулю. В результате суммарная энергия источников ЭДС будет расходоваться на покрытие тепловых потерь в сопротивлениях ветвей. В схеме рис. 1.31,6 при I=О потери в эквивалентном сопротивлении отсутствуют. Следовательно, несмотря на неизменность токов и напряжений в той части схемы, которая не затронута преобразованием, мощность, развиваемая источниками ЭДС до преобразования, не равна мощности, развиваемой эквивалентным источником ЭДС после преобразования схемы. Однако это обстоятельство не мешает широко пользоваться понятием эквивалентной ЭДС для расчета электрических цепей, так как после определения тока I и напряжения И в эквивалентной схеме можно вернуться к исходной и найти токи и мощности во всех ее ветвях.

Если к узлам 1 и 2 (рис. 1.31,а) присоединены кроме т ветвей с источниками ЭДС еще n ветвей с источниками тока, то при вычислении эквивалентной ЭДС (1.89) нужно учесть токи заданных источников тока:

причем с положительным знаком записываются токи, направленные к тому же узлу, что и эквивалентная ЭДС Е, а с отрицательным знаком -направленные к другому узлу.

Преобразование схемы с источниками ЭДС в эквивалентную схему с узловыми токами (источниками тока).

Выше было показано, что источник энергии с известным значением ЭДС и заданным внутренним сопротивлением можно представить источником тока, причем режим приемника энергии останется неизменным. Такую замену можно произвести и в том случае, если ветвь с источником ЭДС и внутренним сопротивлением имеет добавочное сопротивление, включенное последовательно с внутренним сопротивлением.

Пусть к выводам 1 и 2 (рис. 1.32, а) присоединена ветвь с источником ЭДС Е и сопротивлением r, которое включает и внутреннее сопротивление источника энергии. Обозначим напряжение между первым и вторым выводами . По (1.116) ток

где

Из этого выражения следует, что ток / источника ЭДС может быть представлен -разности тока J источника тока, которых определяется только параметрами ветви с источником ЭДС, и тока Уравнению (1.91) соответсвует эквивалентная схема, показанная на рис. 1.32,б, в которой напряжение

ток I те же, что и в схеме на рис. 1.32, а. Ток 1 источника тока направлен так же, как и ЭДС Е (от вывода 2 к выводу J).

Такую замену можно провести в схеме как для одного, так и для всех или части источников ЭДС.

Рассмотрим, например, схему, показанную на рис. 1.33, а, с источниками ЭДС в трех ветвях. Эквивалентная схема с источниками тока приведена на рис. 1.33, б, где

На схеме рис. 1.33, б ветви с источниками тока присоединены попарно к одним и тем же узлам 1, 2 и 3. Поэтому можно объединить в каждом узле два тока источников в один (рис. 1.33, в). Суммарные или узловые токи определяются по первому закону Кирхгофа:

Следовательно, электрическая схема с источниками ЭДС в ветвях может быть заменена эквивалентной схемой с узловыми токами, причем потенциалы узлов и токи в непреобразованных ветвях остаются неизменными. Так, токи заданной схемы (рис. 1.33,а) равны токам в тех же ветвях эквивалентной схемы (рис. 1.33, б или в), но, конечно, токи в преобразуемых ветвях с источниками ЭДС не равны соответствующим токам в ветвях эквивалентной схемы. Например, в сопротивлении r 1 заданной схемы (рис. 1.33, а) ток , а в эквивалентной схеме (рис. 1.33, в) ток В общем случае справедливость преобразования схемы с источниками ЭДС в ветвях в эквивалентную схему с узловыми токами непосредственно следует из уравнений узловых потенциалов. Действительно, для схемы рис. 1.33, а на основании уравнений (1.33) при получим

Рис.1.33.

где

Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема (рис. 1.33, в).

Обратная замена электрической схемы с заданными узловыми токами эквивалентной схемой с источниками ЭДС не является однозначной. Это объясняется тем, что число узловых токов или число узлов всегда меньше числа ветвей, т. е. количество уравнений, которое можно составить на основании первого закона Кирхгофа, меньше числа искомых ЭДС. Поэтому можно задаться произвольными значениями ЭДС источников в любых ветвях в количестве, равном числу недостающих уравнений. Остальные неизвестные ЭДС могут быть определены после совместного решения независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа.

Пример №5

Определить токи во всех ветвях и составить уравнения баланса мощностей для схемы рис. 1.34,а, если,

Решение:

Для определения токов 4 и 3 (эти токи одинаковы) заменим каждую группу параллельно соединенных ветвей одной эквивалентной. Эквивалентную ЭДС для первой и второй параллельных ветвей и эквивалентное сопротивление определим по (1.89) и (1.88):

Аналогично находим эквивалентное сопротивление и эквивалентную ЭДС для трех параллельных ветвей, присоединенных к третьему и четвертому узлам:

или

В результате таких преобразований получается схема, показанная на рис. 1.34, б. В этой схеме ток

и напряжения на участках

Токи в ветвях заданной схемы

Токи в ветвях с одинаковыми ЭДС Е равны друг другу и направлены навстречу ЭДС:

Суммарная мощность всех источников ЭДС

Мощность в сопротивлениях, конечно, равна суммарной мощности источников ЭДС:

Отметим, что источники ЭДС Е работают в режиме приемников, потребляя энергию от других источников

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

Каждая ЭДС в уравнении (1.49) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС во всех ветвях контура l. Если в (1.49) заменить все контурные ЭДС алгебраическими суммами ЭДС ветвей, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности, при этом каждая составляющая тока равна произведению ЭДС ветви на алгебраическую сумму коэффициентов, входящих в (1.49). Это чрезвычайно важное свойство называется принципом наложения и непосредственно следует из линейности уравнений, описывающих режим цепей с линейными элементами. Принцип наложения справедлив не только для контурных токов но и для токов ветвей, так как систему независимых контуров можно всегда выбрать так, что рассматриваемая. ветвь войдет только в один · контур, т. е. контурный ток будет равен току в ветви.

Принцип наложения ( суперпозиции)

В качестве примера, иллюстрирующего принцип наложения, рассмотрим электрическую схему, показанную на рис. 2.1, для которой, пользуясь методом контурных токов, запишем следующие уравнения:

Из (2.1)

где

Аналогично определяются токи Если в (2.2) контурные ЭДС заменить ЭДС в ветвях, то получим

откуда и следует, что контурный ток равен алгебраической сумме составляющих токов, вызываемых каждой ИЗ ЭДС в отдельности. Кроме того, этот контурный ток равен току ветви с сопротивлением , так как по этой ветви другие контурные токи не замыкаются.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения можно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считая все остальные ЭДС источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления. Ток ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой ЭДС. Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то следует найти составляющие токов ветвей, вызываемые каждым источником ЭДС и каждым источником тока, после чего определить токи ветвей путем алгебраического суммирования этих составляющих.

Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью. В применении к электрическим цепям можно определять не только токи при заданных сопротивлениях, ЭДС и токах источников, но и напряжения при заданных токах и известных сопротивлениях. Однако этим принципом нельзя пользоваться для вычисления мощностей, так как мощность - квадратичная функция тока или напряжения. Например, мощность в сопротивлении(рис. 2.1) определяется по формуле

Если мощность того же элемента с сопротивлением можно было бы считать равной сумме мощностей, обусловленных частичными токами , то получилось бы совсем другое значение:

Пример №6

На рис. 2.2, а показана мостовая схема с источником ЭДС .Е = 5 В и источником тока J = 1 А. Сопротивления элементов указаны на схеме. Пользуясь принципом наложения, определить токи во всех ветвях.

Решение:

Для определения токов в ветвях с применением принципа наложения надо рассчитать токи в двух схемах, изображенных на рис. 2.2, б и в. В схеме рис. 2.2, б J = О (точки b и d разомкнуты), а в схеме рис. 2.2, в Е = О (точки а и с соединены проводником без сопротивления). Токи в ветвях схемы (рис. 2.2, б)

Токи в ветвях схемы по рис. 2.2, в, где сопротивления соединены параллельно,

Токи в ветвях заданной схемы (рис. 2.2, а) равны алгебраическим суммам токов в соответствующих ветвях схем рис. 2.2, б и в:

Аналогично

Рис.2.2.

Свойство взаимности

Пользуясь методом контурных токов, установим еще одно важное свойство линейных электрических цепей - свойство взаимности, или, как его еще называют, принцип взаимности.

Сущность этого свойства заключается в следующем. Пусть в схеме произвольной конфигурации единственный источник ЭДС действует в ветви с сопротивлением в направлении от точки b к точке а (рис. 2.3, а) и создает в ветви с сопротивлением , направленный от точки d к точке с. Такой же единственный источник ЭДС , включенный в ветвь с сопротивлением и действующий в направлении от d к с (рис. 2.3, 6), создаст в ветви с сопротивлением rq ток lq, направленный от b к а и равный току

На рис. 2.3 изображены ветви аb и cd с сопротивлениями , а остальная· часть схемы, не содержащая источников энергии, условно показана в виде прямоугольника с буквой П (пассивная).

Для доказательства свойства взаимности обратимся к выражению (1.49), определяющему ток в любом контуре.

Пусть ветвь cd является частью контура д, а ветвь аb входит в состав другого контура q (рис. 2.3, а), и, как указано, других источников, кроме источника ЭДС , эта 1 цепь не содержит. Контуры выберем так, чтобы ветви аb и cd вошли каждая в один контур, соответственно

Если источник ЭДСпереставить в ветвь cd контура 1 (рис. 2.3, 6), то согласно (1.49) ток в контуре q, т. е. ток в ветви аb

Алгебраическое дополнение вида получается из определителя путем вычеркивания в нем столбца I и строки q и умножения получаемого определителя на , а алгебраическое дополнение вида - вычеркиванием столбца q и строки I и умножением получаемого определителя на .

Так как в контурных уравнениях общие сопротивления равны друг другу, т. е. то и (отличаются только тем, что строки являются столбцами , и наоборот). Следовательно, при равенстве ЭДС токи в ветвях cd (рис. 2.3, а) и аb (рис. 2.3, 6) равны друг друrу.

Отметим, что свойство взаимности справедливо не только для токов, но и для напряжений, и его можно также обосновать, пользуясь законами Кирхгофа или методом узловых потенциалов.

Входные и взаимные проводимости, коэффициенты передачи

Пользуясь принципом наложения, напишем уравнение для тока в любой ветви, например h, линейной электрической цепи в виде

где - частичный ток в ветви h, обусловленный действием ЭДС

В этом уравнении, составленном согласно указаниям, ток в отличие от (1.49) обозначает ток ветви h, а и т. д.- ЭДС соответственно в первой, второй и так далее ветвях, при этом, если положительное направление для тока выбрано совпадающим с направлением ЭДС , то , но составляющие токов в той же ветви вида , создаваемые ЭДС других ветвей, могут быть и отрицательными.

В (2.5) множители при ЭДС имеют размерность проводимости. Каждый из множителей с двумя одинаковыми индексами вида называется входной проводимости ветви Любой из множителей с двумя различными индексами называется взаимной проводимостью ветвей h и т. При заданных направлениях действия ЭДС и выбранном положительном направлении токавзаимные проводимости могут получиться либо положительными, либо отрицательными величинами

Численные значения входных и взаимных проводимостей могут быть определены следующим путем. Приравняем в рассматриваемой схеме все ЭДС, кроме нулю, при этом ток , откуда

Следовательно, входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Электродвижущая сила , включенная в ветвь h, вызывает в общем случае токи во всех ветвях и, в частности, в ветви m. Ток в ветви m определяется по уравнению, аналогичному (2.5), при равных нулю всех ЭДС, кроме

Отметим, что , как это непосредственно следует из свойства взаимности. Таким образом, взаимная проводимость двух любых ветвей определяется отношением тока в одной ветви . к ЭДС в другой при равных нулю ЭДС в остальных ветвях. Входные и взаимные проводимости можно рассчитать или определить экспериментально. Определение входных и взаимных проводимостей расчетом покажем на примере схемы рис. 2.4, а. Приравняем ЭДС нулю (рис. 2.4, 6), при этом токи в ветвях

где Из (2.8) определим:

Аналогично рассчитываются входные и взаимные проводимости второй и третьей ветвей:

Если взаимные проводимости найдены, то легко определить токи во всех ветвях при любых значениях ЭДС., Так, для схемы рис. 2.4, а

Экспериментальное определение входных и взаимных проводимостей и сопротивлений рассмотрим на примере произвольной цепи, из которой предварительно исключены все источники ЭДС и источники тока (рис. 2.5). Три ветви этой цепи выделены, а остальная часть условно показана в виде прямоугольника. В каждую ветвь включен амперметр. Чтобы определить входную проводимость первой ветви и взаимные проводимости второй и первой и третьей и первой ветвей, надо включить в первую ветвь источник ЭДС

Измерив вольтметром напряжение на выводах источника ЭДС и амперметрами токи в трех ветвях, нетрудно вычислить входную и взаимные проводимости ветвей по формулам

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости других ветвей.

Пример №7

Определить входные и взаимные проводимости ветвей схемы рис. 2.6, а, если

Решение:

Для определения входной проводимости и взаимных проводимостей между первой и остальными ветвями положим Затем можно задатьсяи найти все токи. Однако для данной схемы проще задать ток в ветви с сопротивлением , например , и найти необходимую ЭДС и токи в остальных ветвях. Так как . На выводах элемента с сопротивлением напряжение при действии которой ток а остальные токи равны найденным значениям, Входная проводимость первой ветви

Взаимные проводимости между первой и остальными ветвями

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости остальных ветвей:

При определении проводимостей следует включить ЭДС в ветвь 2, направленную так же, как и ток , а при определении - ЭДС

Пример №8

В условиях предыдущей задачи (см. пример 2.2) определить токи во всех ветвях, если ЭДС и .

Решение:

Зная входные и взаимные проводимости ветвей, легко определить в них токи, пользуясь принципом наложения:

Если кроме источников ЭДС схема содержит и источники тока, то по принципу наложения к частичным токам, обусловленным действием источников ЭДС, добавятся частичные токи, обусловленные каждым из источников тока:

При определении ,Входных и взаимных проводимостей все токи следует считать равными нулю (источники тока не действуют), а ветви с источниками тока разорвать (идеальные источники тока). При расчете коэффициентов передачи следует считать все ЭДС

Пример №9

Составить зависимость при в схеме рис. 2.7, а.

Решение:

Ток Проводимость определяется расчетом режима в схеме рис. 2.7, б. Ток, Коэффициент определяется расчетом режима в схеме рис. 2.7, в. Ток

Принцип компенсации

Зависимые источники В уравнениях (1.20), составленных по второму закону Кирхгофа, напряжение на любом сопротивлении можно всегда из левой стороны перенести в правую со знаком минус и рассматривать как эквивалентную ЭДС , направленную противоположно току в ветви i. Это положение носит название принцип компансации. Его иллюстрируют рис. 2.8, а и б, на которых прямоугольником с буквой А (активный) обозначены все участки цепи, кроме элемента с сопротивлением r;. Очевидно, что обе схемы эквивалентны, если при этом следует иметь в виду, что эквивалентная ЭДС Е; прямо пропорциональна току I; в ветви (закон Ома), т. е. зависит от тока. Таким образом, источник ЭДС, которым можно заменить любой резистивный элемент цепи, соответствует простейшему идеальному зависимому источнику, ЭДС которого зависит от тока по известному закону. Понятие о зависимом источнике широко применяется при анализе как линейных, так и нелинейных цепей. Сопротивление может быть и входным сопротивлением любого пассивного двухполюсника.

Любую ветвь с известным током можно заменить источником тока ;, при этом режим цепи не изменится.

Общие замечании о двухполюсниках и многополюсниках

При исследовании процессов в сложных электрических цепях часто интересуются током, напряжением и мощностью только одной ветви. Однако отдельные ветви могут быть выделены из сложной цепи не только для исследования процессов именно в этих ветвях, но и для установления связи, например, между одной частью цепи с источниками электрической энергии и другой с приемниками. Во всех этих случаях выделяют ветвь, присоединенную к сложной цепи в двух точках (двумя выводами). Часть электрической цепи произвольной конфигурации с двумя выделенными выводами или полюсами называется двухполюсником.

Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными, а двухполюсники, не содержащие источников электрической энергии, - пассивными. Всякий пассивный двухполюсник является потребителем электрической энергии и характеризуется одной величиной - сопротивлением rвх• Поэтому на· эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть представлен одним резистивным элементом с сопротивлением r8,, называемым входным сопротивлением пассивного двухполюсника.

Если известна схема пассивного двухполюсника, то для определения входного сопротивления r., нужно тем или иным способом ее «свернуть» относительно двух заданных выводов.

Рассмотрим, например, схему на рис. 2.9, а. Если выделить в этой схеме ветвь с источником ЭДС и сопротивлением , то остальную часть схемы (обведенную штриховой линией) можно рассматривать относительно выводов 1-1' как пассивный двухполюсник (без источников энергии). Часть той же схемы относительно выводов 2-2' ветви с сопротивлением (рис. 2.9, б) можно рассматривать как активный двухполюсник (обведен штриховой линией).

В дальнейшем все активные двухполюсники (рис. 2.10, а) будем обозначать прямоугольниками с буквой А (активный), а пассивные (рис. 2.10, б) - прямоугольниками с буквой П '(пассивный). Относительно выводов а и b остальная часть схемы на рис. 2.8 является активным двухполюсником и поэтому обозначена буквой А.

Если в электрической цепи выделено более двух выводов, то соответствующий участок цепи называется многополюсником, например многолучевая звезда и эквивалентный многоугольник на рис. 1.29, а и б с выводами 1, 2, 3, ... , h, ... , n, в частном случае трехлучевая звезда и эквивалентный треугольник, т. е. трехполюсники, с четырьмя или двумя парами выводов, как на рис. 2. З, а и б, т. е. четырехполюсник.

Линейные соотношения между напряжениями и токами

В активном четырехполюснике с выводами 1-1' и 2-2' на рис. 2.11 кроме ветви 1-1' с источником ЭДС выделена еще ветвь 2-2' с источником ЭДС и сопротивлением Пользуясь принципом наложения, напишем выражение для токов в ветвях схемы рис. 2.11, а в виде

где ЭДС и т. д. находятся внутри четырехполюсника и знак минус перед проводимостью поставлен, так как положительное направление тока противоположно направлению действия ЭДС Предположим, что ЭДС первого источника может изменяться, а ЭДС остальных источников и т. д. неизменны. Так как входные и взаимные проводимости не зависят от значения ЭДС , то, обозначив,

получим или, заменив в (2.10) ЭДС

Как следует из принципа компенсации, изменение ЭДС в схеме рис. 2.11, а равносильно изменению напряжения при изменении сопротивления в Эквивалентной схеме рис. 2.11, б, при ·этом входная и взаимная проводимости не зависят от сопротивления так как определяются для схемы рис. 2.11, а, где нет сопротивления . Следовательно, при изменении сопротивления токи связаны с напряжением линейными соотношениями.

Для определения постоянных ,расчетом или опытным путем необходимо, как следует из (2.11 ), рассчитать или измерить токи и напряжение при двух режимах первой ветви (двух значениях сопротивления ). Наиболее наглядно и просто эти постоянные определяются из режимов короткого замыкания ( = О) и режима холостого хода При коротком замыкании = О, токи При размыкании первой ветви токОбозначив разность потенциалов между точками разрыва через" а ток получим согласно (2.11) в режиме холостого хода

откуда входная проводимость и взаимная проводимость После замены постоянных в первом из уравнений (2.11) получается

Отметим, что изменение напряжения в пределах от соответствует изменению сопротивления от нуля до бесконечности. Токи рассматриваемых ветвей также связаны линейными соотношениями. Действительно, исключив из (2.11) напряжение , получим

где - постоянные, которые определяются из двух любых режимов первой ветви или вычисляются при известных значениях входных и взаимных проводимостей.

Аналогично можно показать, что при одновременном изменении сопротивлений в двух ветвях напряжения и токи любых трех ветвей связаны линейным соотношением вида

где а, b и с - постоянные, определяемые опытным или расчетным путем; z, х и у - изменяющиеся токи или напряжения.

Пример №10

На рис. 2.12, а изображена схема с резистором, сопротивление r которого изменяется от О до. Найти зависимость тока в каждой ветви от напряжения И на выводах резистора с сопротивлением r, если

Решение:

Сначала найдем предельные значения напряжения U и тока 1 при коротком замыкании (r = О) и холостом ходе рассматриваемой ветви.

Так как токи

Для определения тока (рис. 2.12, в) предварительно найдем напряжение на выводах параллельных ветвей по (1.34):

а затем токи в ветвях

и ток

Зависимость тока 1 в резисторе от напряжения И на его выводах определяется линейным уравнением типа (2.11): J =а+ + bU. Коэффициенты а и Ь найдем по результатам расчета режимов холостого хода и короткого замыкания. При r = О напряжение И = О, а ток . При ток I = О, напряжение и О В результате получаем J

Зависимость тока в первой ветви от напряжения U определяется уравнением прямой . Для того чтобы найти коэффициенты , целесообразно и в этом случае пользоваться результатами расчета режимов холостого хода и короткого замыкания ветви с переменным сопротивлением r. При r = О напряжение U = О, ток при(рис. 2.12, б) 11, = 12, = 12,5 А. Кроме того, Их, откуда Следовательно,Аналогично определяются токи

Пример №11

В схеме, показанной на рис. 2.13, а, сопротивление резистивного элемента изменяется в пределах от (короткое замыкание) до (размыкание ветви). Пользуясь законами Кирхгофа, выразить токи через параметры схемы и напряжение и построить найденные зависимости.

Решение:

Из уравнения непосредственно находим ток Ток определим по первому закону Кирхгофа:

Для определения токов запишем уравнения

Из этих уравнений находим токи

Оказалось, что токи не зависят от сопротивления (при любых его значениях остаются неизменными).

Для построения найденных зависимостей . определим предельные значения напряжений

при изменении сопротивления При напряжения = О; при напряжение = ,. Это напряжение найдем из уравнения откуда , = Е - -r1 I 1 ,• Так как при (при размыкании ветви с сопротивлением ) то напряжение Таким образом, при изменении сопротивления от нуля до бесконечности напряжение увеличивается от О до 7 В. На рис. 2.13, б показаны искомые зависимости

Теорема о взаимных приращениях токов и напряжений

Пользуясь (2.11) и (2.12), установим связь между приращенияr:, токов и приращением напряжения при изменении сопротивления первой ветви в пределах от нуля до , если и ( см. рис. 2.11 ).

Если , то напряжение и согласно (2.11) ток при сопротивлении первой ветви, равном , напряжение на ее выводах а ток Следовательно, при изменении сопротивления первой ветви на изменение тока этой ветви:

Аналогично можно показать, что при изменении сопротивления первой ветви на изменение тока во второй

Из (2.14) и (2.15) легко найти входную и взаимную проводимости ветвей через отношение приращений:

Согласно (2.12), где и 1 при новых обозначениях надо заменить на получим

откуда

После подстановки этого выражения в (2.14) и (2.15) получаются формулы для определения приращений токов:

Выражения (2.17), (2.18) для приращений токов называют теоремой вариации или теоремой взаимных приращения х. Ес"лиi сопротивление первой ветви изменяется не от нуля до то для определения приращений токов можно пользоваться теми же формулами (2.17) и (2.18), при этом входная и взаимная проводимости, а также ток имеют другие значения, определяемые, как и раньше, при .

Принциn эквивалентного генератора

Очень важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике, или теорема Гельмгольца - Тевенена). Он формулируется следующим образом: л1Qбая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов ( активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напрежению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам ( режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника. Применимость этого принципа к любой линейной электрической цепи доказывается на основании принципов компенсации и наложения.

Пусть в электрической цепи выделен активный двухполюсник и ветвь с сопротивлением r (рис. 2.14, а), которое может

быть и изменяющимся. Применив принцип компенсации, получим эквивалентную схему (рис. 2.14, 6), для которой

Теперь применим принцип наложения и составим две схемы с двумя частными режимами: в первой из них (рис. 2.14, в) действуют только источники внутри активного двухполюсника, а ЭДС, полученная по принципу компенсации, полагается равной нулю, а во второй (рис. 2.14, г) действует только ЭДС компенсации (2.19), а двухполюсник считается пассивным.

Его входное сопротивление

Ток в ветви с сопротивлением r по принципу наложения равен сумме частичных токов

В частности, в режиме холостого хода . Следовательно,

Последнее уравнение соответствует эквивалентной схеме, показанной на рис. 2.14, д с ЭДС выражающей сформулированный выше принцип. Согласно (2.20) ток

Если источник ЭДС преобразовать в источник тока, то схема эквивалентного генератора получится такой, как на рис. 2.14, е. Вольт-амперная или внешняя характеристика эквивалентного генератора по рис. 2.14, д или е показана на рис. 2.14, ж.

Следует заметить, что обе схемы эквивалентного генератора применимы только для расчета токов и напряжений в участке цепи, подключенном к рассматриваемому активному двухполюснику. Для мощностей, развиваемых источниками, и мощностей потерь внутри активного двухполюсника схемы замещения, полученные на .основании принципа эквивалентного генератора, неадекватны.

Применение принципа эквивалентного генератора позволяет упростить решение многих задач, и поэтому его применение иногда относят к методам расчета, хотя он и носит более общий характер.

Применение принципа эквивалентного генератора весьма удобно при рассмотрении пассивного четырехполюсника, к одной паре выводов которого подключен источник ЭДС а к другой паре выводов -приемник с сопротивлением r (рис. 2.15, а). Такую схему со стороны выводов 1-1' можно рассматривать как пассивный двухполюсник с сопротивлением , (рис. 2.15, 6), а со стороны выводов 2-2' -как активный двухполюсник с входным сопротивлением (рис. 2.15, в).

Если, например, пассивный четырехполюсник имеет схему, показанную на рис. 2.15, г, то параметры эквивалентной схемы

Представление четырехполюсника в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 2.15, в, применяется nри рассмотрении электронных схем. Для приемника с сопротивлениями r схемы рис. 2.15, а и в полностью эквивалентны. Однако если рассчитать мощность пассивного четырехполюсника (в сопротивлениях и мощность потерь в эквивалентной схеме (сопротивление то эти мощности могут оказаться равными только в редких частных случаях.

Интересно сопоставить принцип эквивалентного генератора с принципом компенсации. И тот и другой дают возможность представить двухполюсник в виде эквивалентного источника, однако принцип компенсации приводит к идеальному источнику ЭДС (без внутреннего сопротивления), а принцип эквивалентного генератора - к реальному источнику (с внутренним сопротивлением ЭДС источника, полученного на основании принципа компенсации, зависит от тока, а параметры источника, полученного на основании принципа эквивалентного генератора, не зависят от режима работы подключенного к активному двухполюснику участка цепи. Принцип компенсации применим как к линейным, так и к нелинейным цепям. Принцип эквивалентного генератора применим только к линейным цепям.

Пример №12

По принципу эквивалентного генератора найти выражение для тока 10 в ветви с измерительным прибором (рис. 2.16, а), если ток источника тока J = = 10 мА, сопротивление r = 100 Ом, сопротивление измерительного прибора= 50 Ом, а сопротивления двух противоположных плеч моста изменяются одновременно от нуля до 2r; построить график изменения тока в зависимости от сопротивления

Решение:

Разомкнем ветвь с измерительным прибором (рис. 2.16, б), отключив прибор, и найдем токи Напряжение (рис. 2.16, б) определим из уравнения

Входное сопротивление двухполюсника относительно выводов ветви с измерительным прибором (рис. 2.16, в) .

По принципу эквивалентного генератора (2.21)

После подстановки в это выражение численных значений получим:

На рис. 2.16, г показан график изменения тока в зависимости от сопротивления Из рисунка видно, что зависимость тока от сопротивления нелинейная (в отличие от линейных соотношений между ЭДС, напряжениями и токами при изменении сопротивления) и что при изменении сопротивления изменяется не только значение тока , но и его направление

Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному

Для исследования передачи энергии от активного двухполюсника к пассивному вернемся к эквивалентной схеме, показанной на рис. 2.14, д, и будем считать, что - входное сопротивление активного двухполюсника (источника энергии) и - ка (источника энергии) и Е,. = и. - эквивалентная ЭДС остаются постоянными, а r - входное сопротивление пассивного двухполюсника может принимать любое значения.

Прежде всего установим соотношение сопротивлениями при выполнении которого мощность пассивного двухполюсника максимальна.

Мощность пассивного двухполюсника определяется выражениями и

где - мощность, развиваемая эквивалентным активным двухполюсником; - мощность потерь в этом двухполюснике (в сопротивлении

Для определения тока I, при котором мощность Р максимальна, найдем производную от Р по J из уравнения (2.22) и приравняем ее нулю:

откуда искомый ток [уравнением (2.23) пользоваться нельзя, так как его правая часть содержит две переменные: r и J].

В общем случае (рис. 2.14, д) ток . Значит, мощность максимальна при

т. е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников.

По (2.23) при мощность

Отношение мощности Р пассивного двухполюсника к мощности , развиваемой эквивалентным активным двухполюсником, называется КПД эквивалентного активного двухполюсника:

Из (2.25) следует, что при максимальной мощности пассивного двухполюсника КПД равен 0,5. Более высокие значения КПД будут при

КПД реального активного двухполюсника равен КПД эквивалентного только при выполнении определенного условия. Если при отклюqении пассивного двухполюсника от реального активного в ветвях последнего не будет токов и потерь, так же как и в эквивалентной схеме на рис. 2.14, д, то КПД реального и эквивалентного активных двухполюсников равны. При невыполнении этого условия КПД реального активного двухполюсника меньше КПД эквивалентного двухполюсника. Полученные результаты применим, например, для характеристики режима линии передачи электрической энергии небольшой длины, у которой утечкой тока (между проводами) можно пренебречь.

Если в начале линии передачи напряжение поддерживается неизменным (рис. 2.17,а), то линию можно представить в виде последовательного соединения активного двухполюсника с источником ЭДС (без внутреннего сопротивления), резистивного элемента, учитывающего сопротивление проводов, и пассивного двухполюсника -приемника с сопротивлением r (рис. 2.17, а). По (2.22) и (2.25) найдем мощность приемника и КПД линии передачи:

Мощность, развиваемая источником, напряжение на выводах приемника

По полученным уравнениям на рис. 2.17, б построены зависимости , ) полностью характеризующие режим линии.

При (холостой ход линии) ток 1 = О (на рис. 2.17, б -точка в начале координат), при ток определяется отрезком и при r = О (короткое замыкание линии) значение . тока максимально и равно . Кроме того, .при мощность определяемая отрезком ас, равна удвоенной мощности приемника (ас = 2аb = 2bс), и КПД Т)

По эквивалентной схеме (рис. 2.17, а) установим еще связь между потерями в проводах линии (в сопротивлении) и мощностью приемника

где 1 -длина линии; S -сечение каждого провода.

Из (2.27), в частности, следует, что при с повышением напряжения требуется меньшее значение тока 1 и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что в свою очередь позволяет уменьшить сечение проводов. Конечно, при этом надо усилить изоляцию проводов линии.

В случае передачи по линии электрической энергии при большой мощности стремятся получить возможно больший КПД, для чего необходимо, как непосредственно следует из (2.26), иметь . При передаче сигналов по линии связи стремятся получить максимальную мощность в приемнике, что приводит к низкому значению КПД.

Первые опыты передачи электрической энергии при постоянном токе осуществил русский инженер Ф. А. Пироцкий. В 1874 г. вблизи г. Петербурга Ф. А. Пироцкий создал линию передачи энергии при мощности около 6 л. с. на расстояние до 1 км. Затем он проводил опыты передачи электрической энергии по рельсам коножелезной дороги. На основании своих опытов Ф. А. Пироцкий установил, что можно передавать электрическую энергию при большой мощности на большие расстояния. В качестве источников энергии для первичных двигателей он предложил пользоваться энергией водных потоков. Теоретические основы передачи электрической энергии по линии разработал Д. А. Лачинов. В 1880 г. он опубликовал в первом номере журнала «Электричество» свой труд «Электромеханическая работа».

Опыты Ф. А. Пироцкого остались совершенно незамеченными. И лишь этим можно объяснить, что инициатором передачи электрической энергии считался Марсель Депре. В своем докладе в Парижской академии наук (1881 г.) он провозгласил тезис, установленный почти за год до этого Д. А. Лачиновым, а именно: повышая напряжение, можно передавать электрическую энергию при любой мощности на большое расстояние с минимальными потерями (2.27). В следующем году (1882 г.) Депре осуществил на постоянном токе передачу энергии при мощности в 2 л. с. на расстояние 57 км (при напряжении 1500- 2000 В).

Основные понятия о цепях синусоидального тока

Познакомимся с основными понятиями, относящимися к переменным токам.

Переменные токи

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенными обозначают строчной (малой) буквой i. Для одного из двух возможных направлений тока через поперечное сечение проводника мгновенное значение тока i считают положительным, а для противоположного направления - отрицательным. Направление тока, для которого его мгновенные значения положительны, называют положительным направлением тока. Ток определен, если известна его зависимость от времени i = F (t) и указано положительное направление тока.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока

На рис. 3.1 показан участок АВ электрической цепи и дан пример зависимости i = F (t) для периодического тока. Стрелка на схеме указывает положительное направление тока. Штриховыми стрелками показаны действительные направления тока в моменты времени, когда i > О и когда i < О. Отрезки кривой между точками а и Ь или О и С охватывают один полный цикл изменения тока за один период.

Величина, обратная периоду, называется частотой Частота измеряется в герцах. Частота равна 1 Гц, если период равен 1 с, т. е. . Постоянный ток можно рассматривать как частный случай периодического тока, период изменения которого бесконечно велик, т. е. частота равна нулю.

Термин «переменный ток» обычно применяют в узком смысле, а именно для такого периодического тока, у которого постоянная составляющая равна нулю, т. е.

и особенно часто для гармонического или синусоидального тока.

Широкое применение переменного тока в электротехнике началось со времени решения задачи централизованного производства электрической энергии и ее передачи на значительные расстояния.

Передача и распределение энергии требуют по экономическим соображениям и по условиям безопасности применения различных напряжений: высокого - для передачи энергии и сравнительно низкого - для ее распределения потребителям. Преобразование напряжения переменного тока возможно при помощи относительно простого аппарата трансформатора, который в 1876 г. изобрел П. Н. Яблочков. В 1889 г. М. О. Доливо-Добровольский изобрел трехфазный асинхронный двигатель и разработал все звенья передачи и распределения энергии трехфазным током. После этого переменный ток получил преимущественное распространение.

Диапазон частот переменных токов, применяемых в электротехнике, весьма широк - от десятков до миллиардов герц. В электроэнергетике в СССР и в Европе принята стандартная частота 50 Гц, в США 60 Гц. В различных областях промышленного применения переменных токов встречаются частоты от 10 до 2,5 • Гц, в радиотехнике и электронике - до 3 -Гц.

В электроэнергетике применяются токи, являющиеся синусоидальными функциями времени, так как при несинусоидальных токах могут возникнуть нежелательные явления, как-то: увеличение потерь энергии, появление на отдельных участках цепи значительных напряжений и возникновение помех, влияющих на работу устройств электросвязи.

Для передачи информации (связь, радиовещание, телемеханика) также широко применяются синусоидальные токи. Передаваемая информация (сигнал) изменяет амплитуду, частоту или фазу тока.

Периодические несинусоидальные токи могут рассматриваться как совокупность синусоидальных токов различных частот. Все это обусловливает первоочередную необходимость основательного изучения цепей синусоидального тока.

Все определения, введенные выше для токов, и те новые определения, , которые будут введены в дальнейшем, применимы и для напряжений и, ЭДС е, магнитных потоков, а также для любых других электрических и магнитных величин, изменяющихся во времени. Некоторые 'пояснения требуются лишь в отношении знака переменных напряжений и ЭДС.

У переменного напряжения и между двумя точками А и В, определяемого по заданному пути , знак периодически изменяется. При этом, если в данный момент времени напряжение между А и В, определяемое в направлении от А к В, т. е. , положительно, то в тот же момент времени напряжение , определяемое в обратном направлении от В к А, отрицательно. Поэтому для однозначного суждения о напряжении необходимо указать направление пути, которое принято для его определения. Это направление назовем положительным направлением напряжения и будем отмечать либо стрелкой на схеме, либо порядком индексов у буквы и.

Аналогично вводится понятие о положительном направлении для ЭДС.

Понятие о генераторах переменного тока

Познакомимся с устройством генераторов переменного тока, применяемых в электроэнергетике. Генератор состоит из неподвижной части - подвижной части - ротора. Обычно на роторе располагаются электромагниты с полюсами N и S (рис. 3.2). Их обмотка, называемая обмоткой возбуждения, питается через кольца и щетки от источника постоянного тока. В пазах статора, собранного из стальных листов, находятся проводники обмотки статора. Они соединены друг с другом последовательно поочередно с передней и с задней сторон статора (эти соединения показаны на рис. 3.2 соответственно сплошными и штриховыми линиями).

Рисунок 3.2 дает лишь схематическое представление об устройстве генератора. В действительности на статоре имеются еще две аналогичные обмотки, и каждая из трех обмоток располагается в большем числе пазов, чем это показано на рисунке.

При вращении ротора изменяется магнитный поток, сцепленный с обмоткой статора, и в ней наводится ЭДС Генераторы конструируют таким образом, чтобы ЭДС была близка к синусоидальной. За один оборот ротора происходит р полных циклов изменения ЭДС, где р - число пар полюсов ротора. Если частота вращения ротора равна n оборотов в минуту, то получается pn периодов в минуту, следовательно, частота

ЭДС

При частоте Гц ротор генератора с одной парой полюсов должен вращаться с частотой 3000 об/мин, а с двумя парами полюсов 1500 об/мин. Для обеспечения механической прочности ротора при таких больших частотах вращения его выполняют без выступающих полюсов. Еще существеннее отличаются по конструкции высокочастотные машинные генераторы. Они изготовляются для частот от 800 до 8000 Гц и применяются наряду с ламповыми генераторами в электротермических установках. Переменные токи еще более высоких частот получают исключительно от электронных генераторов (генераторов с электронными лампами, полупроводниковыми приборами и др.).

Синусоидальный ток

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

где - максимальное значение или амплитуд а тока. Аргумент синуса , называется фазой. Угол , равен фазе в начальный момент времени (t = О) и поэтому называется начальной фазой. Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на весь цикл изменения тока повторяется. Поэтому, когда говорят о фазе для какого-либо момента времени, обычно отбрасывают целое число так, чтобы значение фазы находилось в пределах или в пределах. от О до . В течение периода Т фаза увеличивается на . Величина показывает скорость изменения фазы и обозначается буквой . Принимая во внимание, что , можно написать

Это выражение, связывающее , послужило основанием называть угловой частотой. Измеряется числом радианов, на которое увеличивается фаза в секунду. Так, например, при имеем Введя в (3.1) обозначение w для угловой частоты, получим

На рис. 3.3 построен график синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

По оси абсцисс отложены время t и пропорциональная времени величина .

Начальная фаза отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды (нулевое значение синусоидальной величины при переходе ее ·от отрицательных к положительным значениям), до момента начала отсчета времени t = О (начало координат). При начало синусоиды тока сдвинуто влево, а при для тока - вправо от начала координат. Мгновенное значение синусоидального тока можно представить и в виде косинусоидальной функции времени

где

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты относительно друг друга по фазе.

Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая, очевидно, равна разности начальных фаз. На рис. 3.3, например, , т.е. ток опережает по фазе ток на угол , или, что то же самое, ток отстает по фазе от тока на угол Если у синусоидальных функций одной и той же частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадает по фазе, если разность их фаз равна , то говорят, что они противоположны по фазе наконец, если разность их фаз равна , то говорят, что они находятся в квадратуре.

Действующие ток, ЭДС и напряжение

Для суждения о периодическом токе вводится понятие о среднем квадратичном значении тока за период, которое называется дейстувующим значением тока, или, короче, действующим током:

За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением r выделяется тепловая энергия:

Отсюда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току, при котором за один период в проводнике с тем же сопротивлением выделяется такое же количество тепла, как и при переменном.

У становим связь между действующим значением и амплитудой синусоидального тока:

Следовательно,

Среднеквадратичные значения любых других периодических величин за период тоже называются действующими. Так, например, действующие ЭДС и напряжение

В частности, для синусоидальных ЭДС и напряжения

Если речь идет о периодических напряжениях и токах, обычно подразумевают действующие напряжения и токи и ради краткости просто говорят: напряжение столько-то вольт, ток столько-то ампер.

В электротехнике приходится встречаться как с очень малыми, так и с очень большими напряжениями и токами. Напряжение на входе радиоприемника, при котором еще возможен прием радиосигналов, бывает порядка единиц микровольт. Напряжение между проводами линий электропередач может быть 500, 750 и 1150 кВ. Токи в электроплавильных печах достигают десятков тысяч ампер, а в транзисторах могут быть меньше 1 мА.

Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами. Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:

Возьмем прямоугольную систему осей MON (рис. 3.4). Расположим под углом относительно горизонтальной оси ОМ вектор длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде(положительные углы откладываются против, а отрицательные - по направлению движения часовой стрелки). Представим себе, что вектор с момента t = О начинает вращаться вокруг начала координат О против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте. В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол Его проекция на ось N' N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины v.

Мгновенные значения v как проекции вектора на ось N' N можно получить и другим путем, оставляя вектор У т неподвижным и вращая, начиная с момента t = О, ось N' N по направлению движения часовой стрелки с угловой скоростью . В этом случае вращающуюся ось N' N называют л и н и е й времени.

Таким образом, между мгновенным значением v и вектором можно установить однозначную связь. На этом основании вектор называют вектором изображающим синусоидальным функцию времен и, или, кратко, вектором величины v. Так, например, говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется вектор ной диаграммой.

Если считать оси ММ' и NN' осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу, модуль которого равен и аргумент - углу . Это комплексное число называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины. Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

Если вектор начиная с момента времени t = О, вращается против направления движения -часовой стрелки с угловой скоростью , то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенцой величиной:

Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.

Таким образом, величина v и ее изображение - комплексная амплитуда - однозначно связаны следующим равенством:

где символ обозначает, что от комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках, берется только значение мнимой части.

Если гармонически изменяющуюся величину представить в виде косинусоидальной функции времени, то ее мгновенное значение

где символ Re обозначает действительную часть комплексной функции времени, записанной в скобках. В этом случае мгновенное значение v определяется графически как проекция вращающегося вектора на ось действительных величин.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд

Пример №13

Написать комплексную амплитуду тока

Решение:

Комплексная амплитуд

Заданный ток равен мнимой части комплексной функции времени

Пример №14

Комплексная амплитуда напряжения частота. Написать выражение для мгновенного напряжения.

Решение:

Угловая частота , амплитуда так как действительная часть комплексной амплитуды отрицательная, а мнимая часть положительная, то вектор находится во второй четверти и, следовательно, . Таким образом, мгновенное значение напряжения

Сложение синусоидальных функций времени

При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.

Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени

Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы И графически определим вектор равный геометрической сумме векторов

Эта векторная диаграмма построена для случая, когда

Представим себе, что векторы с момента t = О начинают вращаться вокруг начала координат О против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Проекция вращающегося вектора

на вертикальную ось N'N в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся векторов т. е. мгновенных величин • Следовательно, проекция вектора

на вертикальную ось равна искомой сумме , а вектор изображает искомую синусоидальную функцию времени

Таким образом, определив из диаграммы длину вектора и угол можем написать выражение искомой величины

Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 3.5) можно написать

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:

Выполнив суммирование, получим

где Отсюда находим

Так как то для определения нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор Это легко устанавливается по знакам действительной и мнимой частей В расчетах начальную фазу В расчетах начальную фазу \j, выражают или в радианах, или в градусах.

Рассмотренные способы можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинаковой частоты.

Обычно при расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе относительно друг друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а· положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам. Соответственно при аналитическом расчете начальные фазы можно изменить на один и тот же угол, например так, чтобы начальная фаза одной из рассматриваемых функций стала равной нулю. Вместо комплексных амплитуд часто берут значения, в раз меньшие, так называемые комплексные действующие величины:

Пpимep 3.3. Даны токи

Определить ток равный разности токов

Решение. Следовательно,

Электрическая цепь и ее схема

Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В различных машинах, аппаратах, приборах и других устройствах электромагнитная энергия преобразуется и в другие виды энергии (в механическую, химическую и т. д.); часть электромагнитной энергии излучается. В электрической цепи нельзя выделить какой-либо участок, с которым не были бы связаны эти явления.

Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения, или, короче, просто схемой (математической моделью), составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений.

К пассивным элементам схемы при

переменных токах относятся резистивный элемент с сопротивлением r, или, короче, сопротивление r, индуктивный элемент с индуктивностью L, или, короче, индуктивность L, и емкостный элемент с емкостью С, или; короче, емкость С. Их условные обозначения на схемах показаны на рис. 3.6, а - в.

Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается как взаимная индуктивность М между индуктивными элементами (рис. 3.6, г). Таким образом, взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.

В первой части книги рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности, емкости и взаимные индуктивности которых не зависят от токов и напряжений.

В резистивном элементе с сопротивлением r электромагнитная энергия преобразуется в тепло при мощности преобразованияРезистивные элементы вводят в схему также и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии.

Напряжение между выводами резистивного элемента и ток в элементе (рис. 3.6, а) связаны законом Ома:

Индуктивный элемент схемы с индуктивностью L (рис. 3.6, б) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции . По закону Ленца она препятствует изменению тока. Поэтому при выборе положительных направлений для тока i и ЭДС одинаковыми (как на рис. 3.6, б и как это обычно принято делать) знаки противоположны и Для того чтобы через индуктивность проходил переменный ток, на ее выводах должно быть напряжение, равное и противоположное наведенной ЭДС. При одинаковых положительных направлениях напряжений и ЭДС они противоположны по знаку:

а при противоположном положительном направлении ЭДС

(элементы цепи и элементы схемы, обладающие взаимной индуктивностью,).

Емкостный элемент схемы с емкостью С (рис. 3.6, в) учитывает энергию электрического поля. На электродах емкости заряды равны и противоположны по знаку:причем

Для указанных на рис. 3.6, в положительных направлений тока i и напряжения на емкости заряд и напряжение имеют одинаковые знаки, т. е.

Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах, и при указанном положительном направлении тока знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда Действительно, приросту заряда соответствует положительное значение тока, убыли заряда - отрицательное значение тока. Поэтому, обозначив = q, можно написать

или

Схема зависит от частоты переменного тока. Так, при достаточно низкой частоте резистор может быть представлен сопротивлением, индуктивная катушка - последовательным соединением индуктивности и сопротивления, а конденсатор при хорошей изоляции между электродами - емкостью. С ростом частоты, увеличиваются ЭДС, обусловленные индуктивностями, и токи, обусловленные емкостями. Поэтому при высоких частотах приходится учитывать индуктивность проволочных резисторов и межвитковую емкость катушек. Кроме того, с увеличением частоты растут потери в изоляции конденсаторов. Для учета всех этих явлений приходится резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы заменять более сложными схемами. При высоких частотах приходится также учитывать емкости между проводами, соединяющими различные элементы реальной электрической цепи, и вводить их в схему.

Если схема получается с ограниченным (конечным) числом элементов, то говорят, что реальная цепь рассматривается как . Если же приходится пользоваться схемой, содержащей неограниченно большое (бесконечное) число элементов, говорят, что цепь рассматривается как цепь с распределенными параметрами.

Теперь рассмотрим вопрос о применимости к схемам цепей переменного тока законов Кирхгофа. На прородах и в узлах схемы не могут накапливаться заряды (единственными накопителями зарядов являются емкостные элементы). Поэтому для любого узла схемы справедлив первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю:

Напряжение между двумя точками цепи переменного тока в общем случае зависит от пути, вдоль которого оно определяется. Выясним, например, каково различие в напряжениях между точками А и В двух проводов цепи переменного тока (рис. 3. 7), определяемых по двум различным путям. Между точками А и В включены два вольтметра для измерения напряжения.

Соединительные провода от первого вольтметра идут по пути , от второго вольтметра - по пути

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение вдоль замкнутого контура равно ЭДС, индуктированной в этом контуре магнитным потоком Ф, пронизывающим поверхность, ограниченную контуром:

Заметим, что знак минус перед ставится в том случае, если положительное направление магнитного потока и положительное направление ЭДС (направление обхода контура) согласованы по правилу правого винта. В рассматриваемом случае положительное направление Ф выбрано_ от читателя за плоскость чертежа. Напряжение

Подставив это равенство в предыдущее выражение, получим

Следовательно, напряжения между двумя точками, определенные вдоль двух различных путей, отличаются друг от друга на ЭДС, индуктированную в замкнутом контуре, образованном этими двумя путями. При согласовании положительного направления ЭДС (направления обхода контура) и положительного направления магнитного потока по правилу левого винта перед производной следует поставить не знак минус, а знак плюс.

Напряжения, определяемые вдоль различных путей, будут одинаковы только в том случае, если замкнутые контуры, образованные этими путями, не пронизываются переменным магнитным потоком.

В схеме замещения напряжения между различными ее точками от пути не зависят. Так, напряжения на выводах элементов схемы r, L и С связаны с током приведенными выше соотношениями (3.8)-(3.10) вне зависимости от путей (взятых вне элементов), по которым эти напряжения определяются. Поэтому точки схемы переменного тока можно, так же как и точки цепи постоянного тока, характеризовать потенциалами, а напряжения рассматривать как разности потенциалов. Имея это в виду, говорят, что схемы или идеализированные цепи потенциальны. Изменение потенциала по любому замкнутому контуру такой цепи равно нулю. Поэтому справедлива следующая формулировка второго закона Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:

или, иначе, алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Выберем произвольный узел m из общего числа У. Ток в k-й ветви, соединяющей узел m с другими узлами, обозначим . По первому закону Кирхгофа (3.1 la) для каждого m-ro узла

Составим такие же равенства для всех У узлов и найдем их сумму:

В это тождество ток ветви ik входит 2 раза и с разными знаками (ток ветви направлен от одного из узлов к другому). Поэтому тождество, которое называется теоремой Телледжена, можно записать и так

где - напряжение или разность потенциалов между узлами той из В ветвей, ток в которой

Произведение - это мгновенная мощность n-й ветви, и из тождества (3.12) следует баланс мощностей: суммарная мгновенная мощность всех ветвей равна нулю (закон сохранения энергии).

Так как теорема Телледжена получена из законов Кирхгофа, то она справедлива для каждого момента любого режима (установившегося и неустановившегося) и любых цепей [ линейных, параметрических нелинейных ]. Можно показать, что тождество (3.12) остается справедливым при напряжении и токе которые определяются для двух разных цепей (с разными параметрами), если у этих цепей одинаковы графы. Конечно, в последнем случае тождество (3.12) не соответствует балансу мощностей.

Здесь рассматриваются линейные цепи, содержащие источники энергии с синусоидальными ЭДС. Если в цепи действуют несколько источников энергии, то рассматриваются только те случаи, когда частоты ЭДС всех источников одинаковы. Заметим, что именно этот случай имеет место при нормальном режиме в электрических цепях энергетических систем. Наконец, здесь рассматриваются так называемые установившиеся режимы цепей, которые наступают после некоторого промежутка времени (обычно от долей секунды до нескольких секунд) после окончания всех коммутаций (переключений) в цепи. При установившемся режиме токи и напряжения во всех ветвях и участках линейных цепей также синусоидальные и изменяются с той же частотой, что и ЭДС источников энергии.

Таким образом, в уравнения, выражающие законы Кирхгофа, входят . алгебраические суммы синусоидальных функций времени, суммирование которых, как указывалось, целесообразно заменить суммированием изображающих их комплексных величин.

После такой замены получаются законы Кирхгофа для комплексных амплитуд или для комплексных действующих токов, напряжений и ЭДС: алгебраическая сумма комплексных токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю. Алгебраическая сумма комплексных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю, или, иначе,

алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Ток и напряжения при последовательном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Пусть в ветви (рис. 3.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном-контуре или rLС-цепи, известен ток

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

На основании второго закона Кирхгофа

где

Постоянная интегрирования в выражении для принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол , а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол .

На рис. 3.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности больше амплитуды напряжения на емкости Синусоида совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды сдвинуты относительно синусоиды тока на угол соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол тt (находятся в. противофазе).

Ординаты кривой напряжения

согласно (3.13) равны алгебраической сумме ординат кривых

Определение напряжения и. сводится к вычислению амплитуды и начальной фазы , которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом. Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

а

Сопоставив выражения для мгновенных напряжений (3.15), (3.16) с комплексными напряжениями (3.19), (3.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплекс ной величиной, дифференцирование заменяется умножением на а интегрирование - делением на.

Сумме синусоидальных напряжений (3.13) соответствует сумма изображающих цх векторов или комплексных действующих напряжений:

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 3.10). Напряжение совпадает по фазе с током i, поэтому вектор У..,. направлен одинаково с вектором . Напряжение опережает по фазе i на , поэтому вектор сдвинут относительно вектора на угол «вперед» (против направления движения часовой стрелки). Напряжение с отстает по фазе от i на , поэтому вектор сдвинут относительно вектора I на угол «назад» (по направлению движения часовой стрелки). Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений

Вектор (3.18) получается умножением на действительную величину r. Аргумент комплексной величины такой же, как и комплексного тока, поэтому направление вектора совпадает с направлением вектора . Вектор (3.19) получается умножением I на . Умножение тока на действительную величину не изменяет аргумента, а умножение на увеличивает аргумент на .

Следовательно, вектор повернут относительно вектора I на угол «вперед». Вектор (3.20) получается делением. Деление комплексной величины на не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на , уменьшает аргумент на . Следовательно, вектор повернут относительно вектора I на угол «назад». Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на соответственно «вперед и «назад», то множитель j часто называют о п е р а т о р о м п о в о р о т а на .

Сложив векторы получим вектор Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей - начальную фазу·

Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (3.22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим

или

Это соотношение между комплексным напряжением и током называют законом Ом а в комплексной ф о р м е. Записав комплексные величины в показательной форме, получим

где

Так как то Таким образом, амплитуда и начальная фаза 'Vи напряжения на выводах· контура определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

В заключение отметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и, наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

Сопротивления

Введем теперь ряд величин, характеризующих цепь синусоидального тока. Отношение комплексного напряженого к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

где отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т. е.

Комплексное сопротивление можно представить в виде:

где - действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением

Очевидно, что

Из (3.23а) следует, что для последовательного контура (см. рис. 3.8) комплексное сопротивление

причем реактивное сопротивление

где называются соответственно индуктивным сопротивлением

Из (3.15) и (3.19) видно, что индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на индуктивности и тока:

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока:

Емкостное сопротивление, как следует из (3.16) и (3.20), связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на емкости и тока:

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на емкостном элементе, а искомой величиной ток:

Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на емкостном элементе, и, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения.

Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в (3.27) для реактивного сопротивления х сопротивления входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на и Поэтому эти сопротивления входят в .

Следует обратить внимание на то, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами арифметическими - положительными, а реактивное сопротивление -величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля. Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление х равно индуктивному сопротивлению , а реактивное сопротивление х ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е.

Заметим также, что для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны:

Если ветвь содержит несколько последовательно соединенных резистивных, индуктивных и емкостных элементов, то при вычислении сопротивления и тока их можно заменить тремя элементами

Разность фаз напряжения и тока

Условимся под разностью фаз напряжения и тока всегда понимать разность начальных фаз напряжения и тока (а не наоборот):

Поэтому на векторной диаграмме угол отсчитывается в направлении от вектора к вектору (рис. 3.10). Именно при таком определении разности фаз угол равен аргументу комплексного сопротивления. Угол положителен при отстающем токе и отрицателен при опережающем токе.

Разность фаз между ·напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При имеем О и ток отстает по фазе от напряжения, При имеем , ток совпадает по фазе с напряжением, rLС-цепь в целом проявляет себя как активное сопротивление. Это случай так называемого резонанса в последовательном контуре. Наконец, при имеем, ток опережает по фазе напряжение

Векторные диаграммы для трех возможных соотношений даны на рис. 3.11. При построении этих диаграмм начальная фаза тока принята равной нулю. Поэтому равны друг другу.

Рассматривая при заданной частоте цепь по рис. 3.8 в целом как пассивный двухполюсник, можно ее представить одной из трех эквивалентных схем: при как последовательное соединение сопротивления и индуктивности (r и , при как сопротивление r и при как последовательное соединение сопротивления и емкости - При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а потому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Выше было принято, что задан ток, а определялись напряжения на элементах и на входных выводах цепи. Однако часто бывает задано напряжение на выводах, а ищется ток. Решение такой задачи не представляет труда. Записав по заданным величинам - комплексное напряжение , и комплексное сопротивлениеопределим комплексный ток

и тем самым действующий ток и начальную фазу тока.

Часто равной нулю принимается начальная фаза заданного напряжения: . В этом случае, как следует из (3.28), начальная фаза тока равна и противоположна по знаку разности фаз

Установленные выше соотношения между амплитудами и действующими токами и напряжениями, а также выражение для сдвига фаз позволяют вычислить ток и не прибегая к записи закона Ома в комплексной форме. Подробно этот путь решения показан в примере.

Пример №15

К цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, приложено напряжение и = = 100 sin 5000t В. Емкость конденсатора С= 5 мкФ, сопротивление катушки r = = 15 Ом, индуктивность L = 12 мГн. Найти мгновенные значения тока в цепи и напряжений на конденсаторе и на катушке.

Решение:

Схема замещения цепи показана на рис. 3.8.

Напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 90° , следовательно

Комплексное сопротивление катушки

Комплексная амплитуда напряжения на выводах катушки

Мгновенное напряжение на катушке

Пример №16

В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, ток I = 2 А, его частота Гц. Напряжение на выводах цепи И = 100 В, катушки = 150 В и конденсатора = = 200 В. Определить сопротивление и индуктивность катушки и емкость конденсатора

Решение:

Полное сопротивление цепи

Полное сопротивление катушки

Напряжение и токи при параллельном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Пусть к цепи, схема которой состоит из параллельного соединения элементов r, L и С (рис. 3.12), приложено напряжение

Определим токи во всех ветвях. По первому закону Кирхгофа

или

Вводя для заданного синусоидального напряжения изображающее его ·комплексное напряжение , применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме. В результате получим

Из полученных выражений видно, что ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол , а ток в емкости опережает напряжение по фазе на угол . Векторная диаграмма напряжения и токов при показана на рис. 3.13.

Подставив выражения комплексных токов в уравнение первого закона Кирхгофа, найдем, что

или

От значения аргумента комплексной величины в квадратных скобках, на которую умножается комплексное напряжение, зависит разность фаз напряжения и тока. Так как под разностью фаз понимается значение и, следовательно, то аргумент комплексной величины в квадратных скобках следует обозначить -

Из (3.30) следует, что

На основании этих данных

Проводимости

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному· напряжению

где - величина, обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью. Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в вид

где - действительная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью; значение мнимой части комплексной проводимости, называется реактивной проводимостью

Из (3.30) и (3.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 3.12, комплексная проводимость

или

и называются соответственно активной идуктивной и емкостной проводимостью

Реактивная проводимость

Индуктивная и емкостная проводимости - арифметические величины, а реактивная проводимость b - алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости , а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. -.

Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы по рис. 3.12 на рис. 3.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно и . При построении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята 78 элементов входят как отдельные слагаемые равной нулю, поэтому как это следует из (3.28), равны ·и противоположны по знаку.

Рассматривая схему на рис. 3.12 в целом как пассивный двухполюсник, можно заметить, что при заданной частоте она эквивалентна в первом случае параллельному соединению сопротивления и индуктивности, во втором - сопротивлению и в третьем - параллельному соединению сопротивления и емкости. Второй случай называется резонансом. При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а поэтому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Обратим внимание на то, что в схеме рис. 3.12 каждая из параллельных ветвей содержит по одному элементу. Поэтому получилось такое простое выражение для У, в которое проводимости элементов входят как отдельные слагаемые.

Заметим, что обозначения применяются не только для сопротивлений и проводимостей, но и для элементов схемы, характеризуемых этими величинами. В таких случаях элементам схемы дают те же самые наименования, какие присвоены величинам, которые обозначаются этими буквами. Комплексные сопротивления или проводимости как элементы схемы имеют условное обозначение в виде прямоугольника (см. рис. 3.1). Точно так же обозначают реактивные сопротивления или проводимости, если хотят отметить, что они могут быть как индуктивными, так и емкостными сопротивлениями или проводимостями.

Пассивный двухполюсник

Ток и напряжение на входе любого пассивного двухполюсника (рис. 3.15) связаны законом Ома

где - входные комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника.

Входному комплексному сопротивлению соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления r и реактивного сопротивления х. Последнее в зависимости от знака следует рассматривать либо как индуктивное, либо как емкостное сопротивление. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 3.16, а) сопротивление х показано условно прямоугольником.

Комплексная проводимость

откуда

и, наоборот,

Из полученных соотношений видно, что b и х всегда имеют одинаковый знак.

Например, для схемы на рис. 3.8 получаем для g и b довольно сложные выражения, причем не только b, но и g зависят от частоты:

Наоборот, для схемы на рис. 3.12, состоящей из параллельного соединения элементов, получаются простые выражения для проводимостей, но относительно сложные выражения для сопротивлений, причем и эквивалентное активное сопротивление зависит от частоты. По (3.36)

Переход от сопротивления к проводимости и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением элементов эквивалентной схемой с , параллельным соединением элементов и обратно (рис. 3.16, а и 6).

Напряжение можно разложить на составляющие:

где - составляющая, совпадающая по фазе с током, называется аквтиной составляющей напряжения; - составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол , называется реактивной составляющей напряжения.

Составляющие можно рассматривать как напряжения на элементах r и х эквивалентной схемы.

На рис. 3.16, в представлена векторная диаграмма двухполюсника nри 0, т. е. если х - индуктивное сопротивление. Треугольник, образованный векторами со сторонами, пропорциональными называется треугольником напряжений - Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, , называется треугольником сопротивлений. Из треугольника напряжений следует, что

Входной комплексной проводимости соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из параллельного соединения проводимостей Последняя в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 3.16, 6) проводимость b, показана условно прямоугольником. Ток на входе двухполюсника можно разложить на составляющие:

где - составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей тока; - составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол , называется реактивной составляющей тока.

Составляющие можно рассматривать как токи в элементах и эквивалентной схемы.

Треугольник, образованный векторами , со сторонами, пропорциональными называется треугольником токов Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям , называется треугольником проводимостью.

Из треугольника токов имеем

Пример №17

Цепь состоит из конденсатора емкостью С = 1 О мкФ и резистора с сопротивлением r = 100 Ом, включенных параллельно. Определить, каковы должны быть емкость конденсатора и сопротивление резистора, чтобы при их последовательном соединении получилась цепь, эквивалентная данной при частоте

Решение:

Проводимости данной цени

Сопротивления данной цепи

Эквивалентная цепь должна иметь такие же сопротивления. Таким образом, искомое сопротивление резистора 50 Ом, а емкость конденсатора

Пример №18

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника (см. рис. 3.15)

Определить параметры двух эквивалентных схем двухполюсника, активные и реактивные составляющие напряжения и тока.

Решение:

Мощности

Рассмотрим энергетические соотношения в цепи синусоидального тока. Положим, что за элементарный промежуток времени dt через поперечное сечение провода в направлении, принятом за положительное для тока i (см. рис. 3.15), проходит электрический заряд dq. Перемещение '3аряда в направлении, совпадающем с положительным направлением ЭДС источника, сопровождается элементарной работой источника. Такая электромагнитная энергия отдается источником во внешнюю цепь и затрачивается на работу по перемещению заряда dq в положительном направлении напряжения и через пассивный двухполюсник.

Мгновенная мощность, производимая и отдаваемая источником ЭДС и получаемая двухполюсником, равна скорости совершения работы в данный момент времени:

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол . Примем начальную фазу напряжения и найдем из (3.28) начальную фазу тока При таком условии мгновенные значения напряжения и тока

Мгновенная мощность

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока (рис. 3.17). Мгновенная мощность, получаемая двухполюсником и отдаваемая источником напряжения (ЭДС), положительна, когда у напряжения и и тока i одинаковые знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока

в двухполюснике одинаковы и одинаковы действительные направления ЭДС и тока источника (см. рис. 3.15); она _отрицательна, когда у напряжения и тока разные знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны и противоположны действительные направления ЭДС и тока источника.

Действительные направления и и i в течение отдельных интервалов времени показаны на рис. 3.17.

Когда мгновенная мощность отрицательна, энергия поступает не в двухполюсник. а возвращается из двухполюсника источнику ЭДС. Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником и поступающая в двухполюсник в течение времени t, равна

На графике она соответствует площади, ограниченной кривой р и осью абсцисс на интервале времени t. Знаками плюс и минус отмечены заштрихованные площади, соответствующие энергии, поступающей в двухполюсник и возвращаемой источнику.

Если двухполюсник состоит только из резистивных элементов, энергия накопляться в нем не может. В этом случае нет сдвига фаз между напряжением и током

Знаки тока i и напряжения и в любой момент времени одинаковы и (см. далее рис. 3.18, а), и нет таких моментов времени, когда энергия возвращалась бы из двухполюсника источнику питания.

Среднее значение мгновенной мощности за период называется актвиной мощностью, или иногда просто мощностью, и, как следует из (3.37),

Активная мощность, получаемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник не потреблял бы энергию, а генерировал ее), поэтому всегда , т. е. на входе пассивного двухполюсника

Случай, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего резистивных элементов, а содержащего только индуктивные и емкостные.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз q> между напряжением и током, а полной мощностью

равной произведению действующих напряжения и тока.

Очевидно, что полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе. Отметим также, что амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности (3.37) численно равна полной мощности. Размерность .полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности называют вольт - ампер (В• А). Это позволяет при численном выражении полной мощности кратко говорить: мощность столько-то вольт-ампер, так как наименование единицы (вольт-ампер) сразу указывает, что речь идет о полной мощности.

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности

Для лучшего использования электрических машин и аппаратов желательно иметь возможно более высокий коэффициент мощности или возможно меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т. е. стремиться получитьТак, например, для питания приемника мощностью 10 ООО кВт при источник питания должен быть рассчитан на мощность 14 300 кВ• А, а при - на 10000 кВ-А.

Высокий коэффициент мощности желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При данной активной мощности Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше значение

При расчетах электрических цепей находит применение так называемая реактивная мощность:

Она положительна при отстающем токе и отрицательна при опережающем токе Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют в а р (название происходит от сокращения слов «вольт», «ампер» и «реактивный»). Это отдельное наименование позволяет говорить вместо реактивная мощность просто мощность, равная стольким-то вар.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями

Для увеличения коэффициента мощности (cos q>) приемника нужно, очевидно, уменьшать его реактивную мощность.

В то время как активная мощность определяет (в среднем) совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии за единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, а именно ее рассматривают как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую, хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией

Размерность этой величины одинакова с размерностью энергии. Единицу измерения реактивной энергии называют вар-час; напомним, что энергия в электроэнергетике обычно измеряется в ватт-часах. Если наряду с энергией нужно рассматривать и реактивную энергию, то во избежание путаницы для внесения четкого различия этих двух понятий энергию называют активной.

На практике реактивная энергия, как и активная, измеряется счетчиками. При изменяющейся с течением времени нагрузке по показаниям счетчиком можно определить средний коэффициент мощности, предварительно вычислив

где - активная энергия; - средние значения активной и реактивной мощностей.

Рассмотрим теперь простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности при известных комплексных напряжении и токе. Он заключается в том, что нужно взять· произведение комплексного напряжения и комплекса сопряженного с комплексным током. Это произведение называют комплексной мощности, которую обозначают Пусть так что

Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть - реактивной. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S.

Из приведенных выше основных выражений для мощностей получается ряд других выражений, в которые входят параметры пассивного двухполюсника или активные и реактивные составляющие тока и напряжения:

Для абсолютного значения реактивной мощности справедливы также выражения:

Из равенств следует, что стороны треугольников напряжений и токов пропорциональны мощностям S, Р и Подобный им треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны мощностям S, Р и , называется треугольником мощностей.

Мощности резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Вся энергия, поступающая в резистивный элемент, преобразуется в тепло. Принимая во внимание, что , мгновенную мощность можно представить в следующем виде:

Ток совпадает по фазе с напряжением, , и в соответствии с (3.37)

Мгновенная мощность колеблется в пределах от О до 2UI и не бывает отрицательной (рис. 3.18, а). Активная мощность равна полной мощности, а реактивная мощность равна нулю

Мгновенные мощности поступления энергии в индуктивный и в емкостный элементы равны скоростям прироста энергии соответственно магнитного и электрического полей.

Действительно, для индуктивности

и для емкости

Так как для индуктивности , а для емкости , то для обоих случаев из (3.37) получаем

Здесь верхние знаки относятся к индуктивности, а нижние - к емкости.

Площади, ограниченные кривыми мгновенных мощностей и осями абсцисс (рис. 3.18, 6 и в), пропорциональны энергии, которая поступает в индуктивный или емкостный элементы (отмечены знаком плюс) и возвращается источнику питания (отмечены знаком минус); эти площади равны друг другу. Происходит непрерывный обмен энергией между источником питания и соответственно между магнитным или электрическим полями.

Активные мощности у индуктивного и емкостного элементов равны нулю. Реактивная мощность, получаемая индуктивным элементом, положительна, а получаемая емкостным -отрицательна Отрицательная потребляемая реактивная мощность соответствует положительной отдаваемой. Следовательно, индуктивность можно рассматривать как потребитель реактивной энергии, а емкость - как ее генератор.

Реактивные мощности, получаемые индуктивным и емкостным элементами, можно выразить как произведения угловой частоты ro и максимальных значений энергии, периодически запасаемых соответственно в магнитном и электрическом полях:

Действительно, для индуктивного элемента:

и для емкостного

Отметим, что источники питания могут либо отдавать, либо получать реактивную мощность. Так, источник, питающий индуктивный элемент, отдает, а источник, питающий емкостный элемент, получает реактивную мощность.

Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мощностей. Сумма всех отдаваемых (мгновенных и активных) мощностей равна сумме всех получаемых (соответственно мгновенных или активных) мощностей. Покажем, что соблюдается баланс и для комплексных, и, следовательно, для реактивных мощностей. Пусть общее число узлов схемы равно n. Здесь будем под узлом понимать и место соединения любых двух элементов схемы (источников и приемников), а под ветвью - каждый участок схемы, содержащий один из ее элементов.

Напишем для каждого из п- узлов уравнения по первому закону Кирхгофа для комплексов, сопряженных с комплексными токами:

Эти уравнения записаны в общей форме в предположении, что каждый узел связан со всеми остальными п - 1 узлами. При отсутствии тех или иных ветвей соответствующие слагаемые в уравнениях выпадают. При наличии между какой-либо парой узлов нескольких ветвей число слагаемых соответственно увеличивается. Так, например, - если между узлами 1 и 2 включены две ветви, то вместо в уравнения войдут суммы

Умножим каждое из уравнений на комплексный потенциал узла, для которого составлено уравнение, и затем все уравнения просуммируем. Учтем, что комплексы, сопряженные с комплексными токами, входят в эти уравнения дважды (для двух различных направлении), причем т. д. В результате получим

т. е. сумма комплексных получаемых мощностей во всех ветвях цепи равна нулю. Здесь все слагаемые представляют комплексные получаемые мощности, потому что они вычисляются для одинаковых положительных направлений напряжений (разностей потенциалов) и токов.

Полученное равенство выражает баланс комплексных мощностей. Из него следует равенство нулю в отдельности суммы получаемых активных мощностей и суммы получаемых реактивньtх мощностей. Так как отрицательные получаемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех получаемых реактивных мощностей равны друг другу.

Аналогичную формулировку можно придать и балансу комплексных мощностей. Перенеся часть слагаемых в правую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. рассматривая их как мощности отдаваемые, убедимся в равенстве сумм комплексных получаемых . и отдаваемых мощностей:

При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем -случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.

Получаемая пассивным двухполюсником реактивная мощность должна равняться сумме реактивных мощностей, получаемых индуктивными и емкостными элементами, которые составляют его схему:

Пользуясь соотношениями (3.47) и (3.48), получаем

Часто вместо (3.48) принимают для реактивной мощности емкостного элемента

при этом

но формула (3.49) не изменяется.

Заметим, что положения могут быть распространены и на цепи, между элементами которых имеются взаимные индуктивности, так как подобные цепи, как будет показано, можно свести путем преобразования к схемам, не содержащим взаимных индуктивностей.

Знаки мощностей и направление передачи энергии

Пусть два активных двухполюсника соединены друг с другом (рис;. 3.19, а). Предположим, что передача энергии в зависимости от режима работы может происходить в любом направлении - и от, и от

Выбранные положительные направления напряжения. и тока (рис. 3.19, а) совпадают друг с другом в двухполюснике и противоположны друг другу

в двухполюснике Поэтому мощности

являются мощностями, получаемыми двухполюсником и отдаваемыми двухполюсником Если р > О, то в данный момент времени энергия передается от двухполюсника к двухполюснику Если Р > О, то за каждый период Т двухполюсник получает, а двухполюсник отдает энергию, равную РТ. При Q > О двухполюсник отдает, а двухполюсник получает реактивную энергию. При р < О энергия в данный момент передается в обратном направлении, при Р < О энергия за .каждый период поступает из двухполюсника в двухполюсник . При Q < О реактивную энергию отдает двухполюсник

Для рассматриваемой цепи на рис. 3.19, 6 приведена векторная диаграмма напряжения и тока. При выбранном направлении вектора в зависимости от режима цепи вектор тока может находиться в любом квадранте диаграммы. На диаграмме выделены области расположения вектора соответствующие положительным и отрицательным значениям активной и реактивной мощностей. Так, для положения вектора , показанного на диаграмме штриховой линией, Р > О и Q < О. В этом режиме работы активная мощность передается от к а реактивная - от к

Рассмотрим теперь, как определяется направление передачи энергии по кривым мгновенных значений напряжения и тока, полученным экспериментально. На рис. 3.20, а показана схема включения осциллографа - прибора, на экране которого наблюдают эти кривые. Ординаты кривых пропорциональны мгновенным значениям напряжений, подводимых к выводам осцилографа с надписями «Напр.» и «Ток». Ток в цепи между двухполюсниками и регистрируется осциллографом косвенно, как напряжение на резисторе с небольшим сопротивлением, который включен в соединительные провода. Напряжение на этом сопротивлении пропорционально току и совпадает с ним по фазе.

Знаками + и - отмечена полярность выводов осциллографа, при которой ординаты кривых положительны.

Пусть наблюдаются кривые, или, как их называют, осциллограммы , показанные на рис. 3.20, 6.

Для решения вопроса о направлении передачи энергии укажем на схеме положительные направления напряжения и тока в соответствии с разметкой + и - выводов осциллографа. Положительные направления напряжения и тока, удовлетворяющие этому условию, совпадают для двухполюсника и противоположны для двухполюсника • Следовательно, по кривым тока и напряжения, показанным на рис. 3.20, 6, определяется мощность, получаемая двухполюсником , или мощность, отдаваемая двухполюсником • В те промежутки времени, когда ординаты кривых и и и, одного знака, энергия передается от к , когда же знакии и, различны, энергия передается от к Из осциллограммы видно, что.., следовательно, Таким образом, активная мощность передается от· к , а реактивная - от к • Ясно, что направление передачи энергии может быть установлено по осциллограммам тока и напряжения только в том случае, если известна полярность выводов осциллографа и схема его подключения к цепи.

Активная мощность измеряется ваттметром, который имеет две цепи, или, как принято говорить, две обмотки - напряжения и тока. Два вывода, один - обмотки напряжения и один - обмотки тока, обозначают одинаковыми значками, обычно звездочками (рис. 3.21, а).

Ваттметр устроен так, что измеряет значение

где - действующие напряжение и ток, подведенные к ваттметру, - угол сдвига фаз между ними, который соответствует одинаковым положительным направлениям относительно выводов, отмеченных звездочкой (например, на рис. 3.21, а - от выводов, отмеченных звездочкой, к выводам, не отмеченным звездочкой). Стрелка ваттметра отклоняется по шкале, если Если же и, следовательно,, то стрелка отклоняется не по шкале, а в противоположную сторону.

На рис. 3.21, 6 показаны два ваттметра, у которых обмотки тока включены различно. У ваттметра 1 вывод токовой обмотки, отмеченный звездочкой, находится слева, а у ваттметра 2 - справа. Как уже отмечено, ваттметры дают показания (стрелки отклоняются по шкале), если Для ваттметра 1 это будет при передаче энергии от к , а для ваттметра 2 - от к Таким образом, по показаниям ваттметра можно определить не только мощность, но и направление передаваемой энергии, нужно только знать размету выводов ваттметра и как он включен в цепь.

Определение параметров пассивного двухполюсника при помощи амперметра, вольтметра и ваттметра

Существуют различные зкспериментальные методы определения параметров пассивных двухполюсников. Рассмсrгрим метод, основанный на измерении тока, напряжения и активной мощности на входе двухполюсника. Определив по приборам И, 1 и Р, найдем

Затем вычислим абсолютные значения реактивных сопротивления и проводимости [ см. (3.26) и (3.32)]:

Для определения знака х и b необходимо провести дополнительные измерения в измененных условиях. Можно, например, последовательно с двухполюсником включить конденсатор с емкостным сопротивлением и, проведя заново измерения, определить по приведенным выше формулам новое абсолютное значение реактивного сопротивления Если реактивное сопротивление двухполюсника положительно и емкостное сопротивление конденсатора то очевидно то ; если же реактивное сопротивление х двухполюсника отрицательно, то Таким образом, выбирая и сопоставляя абсолютные значения х и (), можно определить знак х (знак b совпадает со знаком х).

Можно включить конденсатор параллельно двухполюснику и, проведя измерения, вычислить новое значение Если выбрать то при проводимость b > О, а при проводимость b < О.

Во многих случаях последовательное или параллельное включение конденсатора практически не изменяет активного сопротивления или активной проводимости цепи. Поэтому увеличение или уменьшение абсолютного значения реактивного сопротивления или проводимости приводит соответственно к увеличению или уменьшению полного сопротивления или проводимости и по изменениям их значений можно судить о знаке х и b.

Надо помнить, что параметры реальных цепей зависят от частоты и, будучи определены при одной частоте, не могут применяться для расчетов при других частотах.

Условия передачи максимальной мощности от источника энергии к приемнику

Представим источник энергии с ЭДС и внутренним сопротивлением схемой замещения (рис. 3.22). Выясним, каково должно быть сопротивление приемника, чтобы передаваемая ему активная мощность была максимальной.

Мощность приемника

Очевидно, что при любом r мощность достигает наибольшего значения при В этом случае

Взяв от полученного выражения производную по r и приравняв ее нулю, найдем, что Р имеет наибольшее значение при .

Таким образом, приемник получает от источника наибольшую активную мощность, если его комплексное сопротивление является сопряженным с комплексным внутренним сопротивлением

источника:

при этом условии:

и коэффициент полезного действия

В электроэнергетических установках режим передачи максимальной мощности невыгоден вследствие значительных потерь энергии. В различного рода устройствах автоматики, электроники и связи мощности сигналов весьма малы, поэтому часто приходится специально создавать условия передачи приемнику максимально возможной мощности. Снижение КПД часто никакого значения не имеет, так как передаваемая энергия мала.

Согласование сопротивлений приемника и источника питания в соответствии с (3.50) можно получить и добавлением в цепь элементов, обладающих реактивными сопротивлениями (см. далее пример 4.6).

Иногда сопротивление приемника можно изменять не произвольно, а только с сохранением соотношения между активным и реактивным сопротивлениями, т. е. при . Анализ, который здесь не приводится, показывает, что в этом случае мощность Р максимальна, если равны друг другу полные сопротивления приемника и источника , при этом

Согласования полных сопротивлений приемника и источника питания можно добиться, включив приемник через трансформатор. В общем случае приемника - разветвленной пассивной цепи Z - это ее входное сопротивление.

Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости

Познакомимся с некоторыми явлениями, оказывающими влияние на параметры электрической цепи.

На рис. 3.23 схематически показаны магнитные линии в плоскости поперечного сечения уединенного провода с током. Представим себе этот провод в виде совокупности нитей, параллельных его оси. Чем ближе нить расположена к оси провода, тем с большим числом магнитных линий она сцеплена.

При периодическом изменение тока изменяется магнитное поле и в нитях наводятся ЭДС, противодействующие изменениям тока. Это противодействие тем значительнее, чем больше ЭДС (чем больше магнитных сцеплено с нитью), т. е. чем ближе нить провода расположена к оси провода. В результате плотность тока 1< различных точках поперечного сечения получается неодинаковой: наибольшая на периферии провода и наименьшая на его оси.

Рассмотренное явление концентрации переменного тока в поверхностном слое проводника называют поверхностным эффектом. Резкость' проявления его возрастает с увеличением частотыдиаметра провода d, относительной магнитной проницаемости, и удельной проводимости материала провода. Это объясняется тем, что увеличение , приводит к возрастанию

магнитного поля внутри провода, увеличение d создает большую разницу в сцеплениях с магнитными линиями осевых и периферийных нитей провода, а повышение и увеличивает роль наводимых в нитях ЭДС, противодействующих изменению тока в них. Так, в предельном случае весь ток должен концентрироваться на поверхности провода в бесконечно тонком слое.

Вследствие поверхностного эффекта поперечное сечение провода при переменном токе используется хуже, чем при постоянном токе.

При одинаковых значениях переменного и постоянного токов (равенстве значения постоянного тока и действующего значения переменного тока) тепловые потери больше при переменном токе. Поэтому сопротивление провода переменному току (активное сопротивление) выше, чем сопротивление провода постоянному току. Другим следствием поверхностного эффекта является некоторое уменьшение индуктивности цепи ввиду ослабления магнитного поля во внутренней части провода. В предельном теоретическом случае ток концентрируется на поверхности провода в бесконечно тонком слое и магнитное поле внутри провода отсутствует.

При высоких частотах переменного тока внутренняя часть провода практически не используется, поэтому часто применяют пустотелые провода в форме труб. Применяют также высокочастотные многожильные провода. Они состоят из тонких изолированных друг от друга жил, перевитых таким образом, чтобы каждая из жил поочередно занимала в поперечном сечении провода различные положения от его оси до периферии. При такой конструкции каждая из жил находится в одинаковых условиях и токи в жилах равны друг другу. Кроме того, в пределах каждой жилы вследствие малого ее диаметра поверхностный эффект проявляется нерезко и плотность тока по сечению жилы различается незначительно. При очень больших частотах емкостная проводимость между жилами становится настолько значительной, что жилы оказываются как бы замкнутыми между собой, и поверхностный эффект проявляется так же, как и в сплошном проводе. Кроме того, становятся весьма заметными потери энергии в изоляции между жилами. Поэтому при частотах выше Гц многожильные провода не применяются. При частоте 50 Гц поверхностный эффект заметен только в проводах (шинах) достаточно большого поперечного сечения. В медных проводах с диаметром меньше 1 см при частоте 50 Гц увеличением сопротивления вследствие поверхностного эффекта практически можно пренебречь.

На распределение переменного тока в проводе оказывают влияние токи соседних проводов. Это явление называют эффектом близости. Как показано на схематических картинах магнитных полей двух проводов с токами (рис. 3.24), различные части сечений проводов сцеплены с неодинаковым числом магнитных линий. На основании рассуждений, аналогичных приведенным для одиночного провода, можно прийти к заключению, что наибольшая плотность тока будет в тех частях сечения проводов, которые сцеплены с наименьшим числом магнитных линий.

Если токи в проводах направлены одинаково (рис. 3.24, а), наибольшая плотность тока наблюдается в наиболее удаленных друг от друга частях сечений; при различных направлениях токов (рис. 3.24, 6) наибольшая плотность тока получается в наиболее близких друг к другу частях сечений проводов. Области наибольших плотностей тока отмечены

на рис. 3.24 толстыми линиями. Вызываемая эффектом близости неравномерность распределения тока по сечению проводов приводит к увеличению потерь энергии, к увеличению разницы в сопротивлениях проводов переменному и постоянному токам. Расчеты распределения тока по сечению проводника с учетом поверхностного эффекта или эффекта близости и сопротивления проводника относятся к задачам теории поля.

Параметры и эквивалентные схемы конденсаторов

При низких частотах конденсаторы можно рассматривать как емкостные элементы. При высоких частотах играют существенную роль потери энергии в изоляции. Эти потери растут с увеличением частоты тока и зависят · от материала изоляции. Например, бумажная изоляция, которая применяется для конденсаторов, устанавливаемых в цепях низких и звуковых частот, оказывается непригодной при высоких частотах, так как потери энергии в ней приводят к недопустимому нагреву.

Энергия, преобразуемая в тепло в изоляции конденсаторов, подводится от источника питания, поэтому ток в конденсаторе опережает по фазе напряжение на его выводах на угол , меньший (рис. 3.25). Угол, дополняющий , обозначают буквой и называют углом потерь.

Для конденсатора, как и для любого двухполюсника, можно составить две схемы замещения (рис. 3.26), в которых

g и r учитывают потери энергии в диэлектрике.

Обычно угол потерь очень мал. Величинадля различных частот и диэлектриков лежит в пределах от доПри таких условиях и Поэтому практически можно считать

и так как , т. е. емкости обеих схем практически одинаковы. Связь между r и g найдем из общих соотношений между сопротивлениями и проводимостями (3.36):

На практике конденсатор характеризуют параметрами С и . Для параллельной эквивалентной схемы (рис. 3.26. а)

Для последовательной эквивалентной схемы (рис. 3.26, 6)

Величину, обратную , называют добротностью конденсатора:

Параметры и эквивалентные схемы катушек индуктивности и резисторов

При низкой частоте, например при 50 Гц, эквивалентная схема катушки индуктивности (рис. 3.27, а) состоит из последовательно соединенных резистивного и индуктивного элементов (эту схему можно, конечно, заменить схемой, состоящей из параллельно соединенных активной и реактивной проводимостей).

Из векторной диаграммы (рис. 3.27, б) следует, что

Добротность катушки

Сопротивление катушки увеличивается с ростом частоты вследствие поверхностного эффекта и главным образом - эффекта близости. Поэтому в общем случае добротность катушки не пропорциональна частоте. В некотором диапазоне изменения частот можно считать, что значение Q остается почти постоянным.

При высоких частотах нельзя пренебрегать емкостями между витками. Эти :rак называемые межвитковые емкости условно показаны на рис. 3.28 штриховой линией. Чем выше частота, тем меньше емкостные сопротивления между витками. Токи в витках катушки получаются неодинаковыми. Найти распределение тока в катушке при высокой частоте нелегко. При достаточно высоких частотах из-за межвитковых емкостей эквивалентное реактивное со

противление катушки может даже стать емкостным. Применяемые на практике проволочные резисторы обладают всегда некоторой индуктивностью, и, кроме того, между отдельными витками имеется емкость. При достаточно низких частотах индуктивности и емкости практически никакого влияния не имеют и в расчетах не учитываются.

Расчет цепей при синусоидальных токах

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока:

только токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения (4.1), (4.2) в виде комплексных величин.

О применимости методов расчета цепей постоянного тока к расчетом цепей синусоидального тока

Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для uепей синусоидального тока можно обосновать те же методы, которые бы- причем ли получены для цепей постоянного 11 n тока, такая полная аналогия расчетов цепей постоянного и синусоидального токов имеется только при отсутствии взаимной индуктивности. В частности, должна быть выполнена та же подготовка уравнений цепи для расчета режима на ЭВМ.

Для того чтобы установить связь между токами и напряжениями (ЭДС), нужно на схеме указать положительные направления заданных и выбрать положительные направления для искомых токов, напряжений или ЭДС. При' расчетах цепей постоянного тока искомые токи и напряжения получаются отрицательными, если действительные направления тока или напряжения не соответствуют выбранным для них положительным направлениям. При расчетах цепей синусоидального тока действительные направления токов и напряжения периодически изменяются, поэтому произвольность выбора положительных направлений отражается только на их фазах. При изменении выбранного положительного направления на противоположное получается новое значение фазы, отличающееся на, что соответствует изменению знака комплексного тока или напряжения и изменению направления вектора на векторной диаграмме на 180°

Несмотря на общность методов расчета цепей синусоидального и постоянного токов, расчеты цепей синусоидального тока значительно сложнее и обладают рядом особенностей. Показать специфику расчетов цепей синусоидального тока проще всего на конкретных достаточно простых примерах.

Последовательное соединение приемников

При последовательном соединении приемников энергии с комплексными сопротивлениями эквивалентное или общее комплексное сопротивление цепи

причем

Порядок расчета цепи с последовательным соединением элементов зависит от того, какие величины заданы и какие нужно най rи.

Пример №19

На рис. 4.1, а показана схема замещения линии электропередачи с присоединенным к ней приемником. Линия представлена последовательным соединением резистивного и реактивного элементов с сопротивлениями , а приемник - пассивным двухполюсником. Индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся соответственно к началу и концу линии.

Дано: Определить напряжение в начале линии

Решение:

Представим пассивный двухполюсник эквивалентной схемой, состоящей из последовательного соединения элементов

Ток в двухполюснике (и в _линии) I =

Сопротивления

Искомое напряжение

На рис. 4.1, в показана векторная диаграмма напряжений и тока (заметим, что в курсе электрических сетей приводятся удобные для расчета формулы, позволяющие просто · определять разность и находим

Пример №20

Для той же цепи, что и в примере 4.1, дано

Решение:

Сопротивление Сопротивление определяется по аналогичной формуле, но предварительно надо найти

Пример №21

Для той же цепи, что и в примере 4.1, дано: Определить ток в линии I

Решение:

Для решения задачи составим уравнение

Примем начальную фазу напряжения ; равной О, т. е. Начальная фаза тока , и, следовательно, Комплексное напряжение

Подставим в уравнение (а) известные величины

или

Из этого уравнения с комплексными величинами получаем два уравнения (для действительных и мнимых величин):

Эти два уравнения с геометрической точки зрения представляют равенства проекций вектора суммам проекций векторов на две взаимно перпендикулярные оси (ось -действительных и ось мнимых величин.

Находим:

Подставив значение в уравнения (б) и (в), получим

или

откуда

Параллельное соединение приемников

При параллельном соединении n приемников энергии с комплексными проводимостями эквивалентная или общая комплексная проводимость

причем

В случае двух параллельных ветвей их эквивалентное или общее. комплексное сопротивление определяется по формуле:

Пример №22

Резистор с сопротивлением и катушка с сопротивлением и индуктивностью соединены параллельно (рис. 4.2, а). В цепь включены амперметры. Дано: Ом, показания амперметров . Определить параметры катушки Сопротивлением амперметров пренебречь.

Решение:

Сначала рассмотрим графическое решение задачи.

Найдем напряжение, приложенное к цепи: Выберем масштабы для напряжения . Отложим векторы (рис. 4.2, б). Они совпадают по направлению, так как фазы тока и напряжения одинаковые. Построение векторовосновывается на том, что отстает по фазе от напряжения Проводим из начала и конца векторадуги, радиусы которых в выбранном масштабе равны токам I и Точка В пересечения этих дуг определяет положение концов векторов

Отметим, что· существует еще одна точка пересечения этих дуг - выше вектора (на рис. 4.2, б эта точка не показана). Она не может служить для определения положения концов векторов так как вектор проведенный в эту точку, опережал бы вектор напряжения в действительности же он отстает от вектора .

Разложим вектор напряженияна два составляющих вектора, один из которых совпадает по направлению с вектором, а другойему перпендикулярен. Это - векторы активной и реактивной составляющих напряжения на катушке.

Находим действующие значения , наконец, вычисляем

Теперь рассмотрим аналитический способ решения на основе векторной диаграммы. Векторную диаграмму (рис. 4.2, б) строим качественно - не в масштабе. Она нужна только для того, чтобы наглядно представлять тригонометрические соотношения между ее отрезками. Из треугольника ОАВ имеем

или откуда

Смешанное соединение приемников

Токи в цепях со смешанным соединением приемников проще всего рассчитываются путем преобразования схем или методом подобия (методом пропорциональных величин). Ниже иллюстрируется первый метод.

Пусть заданы сопротивления всех элементов схемы (рис. 4.3) и напряжение на ее входе; требуется определить токи во всех ветвях. .

Заменим параллельно соединенные приемники энергии одним эквивалентным с проводимостью или сопротивлением После этого преобразования схема состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений Ее общее и:ли эквивалентное сопротивление

Ток в неразветвленной части цепи Напряжение на разветвлении Токи в параллельно соединенных приемниках

На практике встречаются задачи и по расчету параметров цепи, удовлетворяющих различным поставленным условиям.

Пример №23

Даны сопротивления (рис. 4.4) Определить, при каком сопротивлении отстает по фазе от напряжения

Решение:

Сначала наметим ход решения. Положим начальную фазу напряженияравной нулю, т. е. Затем найдем · в общем виде выражение для токаТок будет отставать по фазе на от напряжения в том случае, если комплекс будет отрицательной мнимой величиной. Это и является условием определения сопротивления

В соответствии с намеченным планом решения находим эквивалентное сопротивление цепи

ток в неразветвленной части цепи

напряжение на разветвлении

и, наконец, ток

Числитель этого выражения - действительная величина. Комплекс будет отрицательным мнимым, если знаменатель - положительный мнимый, т. е. при условии 700 - 1400000 = О или при = 2000 Ом. К расчету цепи со смешанным соединением приводит решение многих практически важных задач, в частности получение максимальной мощности приемником, составление условий равновесия моста переменного тока.

Определим реактивные сопротивления (рис. 4.5, а и 6), при которых приемник с сопротивлением получает максимальную мощность от источника с внутренним сопротивлением

Вся активная мощность, отдаваемая источником, потребляется в приемнике (в сопротивлении ), так как остальные сопротивления - реактивные. Поэтому необходимо, чтобы входное сопротивление каждого пассивного двухполюсника (на рис. 4.5 обведены штриховой линией) было равно сопряженному комплексному внутреннему сопротивлению источника

и для схемы рис. 4.5, 6

Каждое из полученных уравнений для комплексных величин можно записать в виде двух уравнений - для действительных и для мнимых величин, из которых и определяются

Реальные элементы цепи обладают не только реактивными, но и активными сопротивлениями, поэтому приведенный расчет согласования сопротивлений приемника и источника питания является приближенным.

Найдем соотношение между сопротивлениямимостовой схемы (рис. 4.6), при выполнении которого мост находится в равновесии, т. е. ток в диагонали моста равен нулю.

Заметим, что в качестве индикатора, по которому судят об отсутствии тока в диагонали моста, применяют телефон, вибрационный гальванометр и различные электронные приборы.

Ток в диагонали моста отсутствует, если

Разделив эти равенства друг на друга, имеем или или

Зная три комплексных сопротивления, при которых наблюдается равновесие моста, можно определить четвертое

Разветвленные цепи

Выбор наиболее рационального метода расчета разветвленной цепи основан на учете особенностей схемы и поставленной задачи. Все соображения по выбору расчетных методов для цепей постоянного тока применимы и к выбору расчетных методов для цепей синусоидального тока.

Показаны некоторые особенности применения преобразования соединения элементов треугольником в соединение звездой, принципа эквивалентного генератора и метода узловых потенциалов в цепях синусоидального тока.

Следует иметь в виду, что после преобразования соединения пассивных элементов треугольником в эквивалентное соединение звездой или обратно комплексные сопротивления преобразованной схемы могут получиться с отрицательными действительными частями, т. е. отрицательными активными сопротивлениями. Эти сопротивления имеют чисто расчетный смысл. Активная мощность такого сопротивления отрицательна, следовательно, электромагнитная энергия в нем не поглощается, а генерируется. Суммарная активная мощность во всех ветвях преобразованной схемы пассивной цепи, конечно, не отрицательна и равна активно мощности в исходной схеме.

Пример №24

На рис. 4.7,а показана часть разветвленной цепи, в которой две одинаковые катушки и конденсатор соединены• треугольником. Дано и Преобразовать схему соединения треугольником в звезду.

Решение:

Комплексные сопротивления звезды

Эквивалентная схема представлена на рис. 4.7,6, в которой = -0,6 Ом,

т. е. цепь не может быть собрана из пассивных элементов.

Пример №25

На рис. 4.8 представлена эквивалентная схема цепи, встречающейся в релейной защите (фильтр-реле обратной последовательности). Дано:;

Известны напряжения , причем напряжение отстает по фазе от напряжения на угол . Определить напряжение (напряжение на выводах реле).

Решение:

Рассмотрим ветвь как приемник, а остальную цепь как активный двухполюсник.

Входное сопротивление активного двухполюсника

Определим напряжения холостого хода:

Искомое напряжение (по принципу эквивалентного генератора)

Пример №26

На рис. 4.9 представлена схема цепи, встречающаяся в релейной защите (фильтр реле обратной последовательности). Дано:Известны напряжения причем отстает по фазе от Определить напряжение

Решение:

Проще всего задача решается методом узловых потенциалов. Полагаем Выбрав,- получим . Нужно составить одно уравнение для определения Будем исходить из следующего уравнения для токов:

или

или

откуда искомое напряжение:

Топографические диаграммы

Для суждения о напряжениях между различными точками схемы полезны топографические диаграммы. Они представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме. Точке отсчета, потенциал которой принят равным нулю, на топографической диаграмме соответствует начало координат.

Построим качественно топографическую диаграмму сначала для неразветвленной схемы, представленной на рис. 4.10. Отложим вектор тока в произвольно выбранном направлении (рис. 4.11, а). Примем потенциал точки g равным нулю и определим потенциалы остальных точек. Будем обходить схему, начиная от точки g, навстречу положительному направлению тока. Потенциал точки больше потенциала точки g на падение напряжения на индуктивности:

Так как , то потенциал изобразим вектором Конец этого вектора обозначим буквойтак как он определяет потенциал точки . Потенциал точки d выше потенциала точки на падение напряжения на сопротивлении r: Откладываем от конца вектора вектор Конец вектора обозначим буквой d, так как он определяет потенциал точки d. Действительно, если провести вектор из начала координат к концу вектора то он будет равен сумме векторов, а эта сумма равна ·

Аналогично находим. в соответствии с этим равенством проводим из конца вектора (точка d) вектор - . Конец вектора - обозначим буквой b, так как он определяет потенциал точки b. От конца вектора - b откладываем вектор R! и получаем последнюю точку а топографической диаграммы, определяющую потенциал или напряжение Электродвижущая сила источника

Необходимо обратить особое внимание на направления векторов напряжений на топографических диаграммах. Векторы напряжений направлены относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек схемы . Так, например, вектор напряжения (положительное направление на рис. 4.10 от d направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, б) от точки к точке d, а вектор напряжения (положительное направление от d) направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, 6, штриховая линия) от точки d к точке . Это соответствует известному правилу вычитания векторов, согласно которому вектор представляющий разность векторов , направлен от конца вектора к концу вектора а вектор представляющий разность векторов , направлен от конца вектора . Учитывая сказанное, на топографической диаграмме можно не указывать направлений векторов напряжений, а ограничиться только обозначением точек.

По топографической диаграмме можно определить напряжение между любыми точками схемы. Для этого достаточно соединить соответствующие точки топографической диаграммы отрезком прямой и придать этому отрезку надлежащее направление. Так, вектор напряжения представлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, а) отрезком прямой между точками, взятыми ·в направлении от

В отличие от векторов напряжений векторы ЭДС направлены относительно точек топографической диаграммы одинаково с положительными направлениями ЭДС относительно соответствующих точек схемы. Так, вектор ЭДС (положительное направление на рис. 4.10 от точки g к точке а) направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, а) тоже от точки g к точке а. Рассмотрим пример построения топографической диаграммы для разветвленной схемы (рис. 4.12) при заданных параметрах ее элементов и напряжения на ее выводах. Требуется найти токи в ветвях и построить топографическую диаграмму.

Эта задача может быть решена аналитически обычным путем: сначала схема преобразуется к простейшему виду и определяется ток затем находятся токи и, наконец, вычисляются потенциалы всех точек и строится топографическая диаграмма. Однако расчет значительно упрощается, если воспользоваться методом подобия.

Задавшись произвольным значением комплексного тока , например положив , вычислим напряжения и Затем отложим на диаграмме векторы (рис. 4.13). Сумма векторов равна вектору напряжения Затем найдем ток . Вектор отстает от вектора Токопределим или аналитически, или графически. Из точки b диаграммы проводим вектор напряжения·под углом к вектору в сторону отставания. Конец этого вектора определяет на тодографической диаграме точку а. Проводим из точки d вектор его конец определяет на топографической диаграмме точку , так как Вектор напряжения может не совпадать по значению с заданным напряжениемЧтобы привести в соответствие построенную диаграмму с заданным напряжением, достаточно изменить масштабы напряжений и токов в отношении

Дуальность электрических цепей

Если сравнить между собой структуры и методы решения уравнений узловых потенциалов и контурных токов, то обнаружится много общего. Все математические выражения получаются сходными по форме записи, причем проводимостям в уравнениях узловых потенциалов соответствуют сопротивления в уравнениях контурных токов. Отмеченное сходство можно обобщить и применить, например, для целесообразной замены схем при расчетах режимов сложных электрических цепей.

Пусть электрическая схема произвольной конфигурации планарного вида (без пересекающихся ветвей, расположенных на плоскости) имеет в своем составе У узлов и К независимых контуров и пусть положительные направления контурных токов выбраны так, что падения напряжений в общих ветвях входят в контурные уравнения с отрицательными знаками Предположим, что число независимых узлов У -1 равно числу независимых контуров К, и сравним комплексное уравнение контурных токов для любого s-го контура:

где - собственное контурное s-сопротивление s-го контура, с уравнением узловых потенциалов для любого s-го узла;

где сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных к s-му узлу.

Легко установить полное сходство в записи уравнений (4.6) и (4.7). Из сходства уравнений следует, что для любой заданной планарной схемы можно составить другую электрическую схему, для которой узловые уравнения типа (4. 7) будут идентичны контурным уравнениям (4.6) первой схемы. Такие две схемы называются дуальными. Контурные токи для первой схемы идентичны потенциалам соответствующих узлов второй схемы; общие сопротивления контуров первой схемы идентичны проводимостям ветвей, включенных между соответствующими узлами второй; суммарные ЭДС в контурах первой схемы идентичны узловым токам второй; токи в ветвях, обусловленные источниками тока первой схемы, идентичны ЭДС в соответствующих ветвях второй. Иначе говоря, справедливы следующие взаимные соответствия:

при этом общее число узлов второй дуальной схемы на единицу больше числа независимых контуров первой схемы.

Поскольку возможности преобразования «узловой» схемы несколько большие, чем для «контурной» (например, можно преобразовать многолучевую звезду в эквивалентный многоугольник, но не наоборот), то иногда · проще произвести расчет режима узловой схемы, а затем полученное решение представить через режим (токи, напряжения) контурной схемы. Рассмотрим в качестве примера схему на рис. 4.14, а. Для этой схемы при выбранных положительных направлениях контурных токов запишем уравнения

где

Заменим в (4.8) сопротивления проводимостями, контурные токи потенциалами, а ЭДС токами источников тока. Тогда получим систему уравнений

где

Этой системе уравнений соответствует электрическая схема, показанная на рис. 4.14, 6, и дуальная схеме, изображенной на рис. 4.14,а

Таким образом, при выполнении отмеченных выше соответствий и численных равенств можно, например, найти потенциалы в схеме с проводимостями, которые будут равны контурным токам в схеме с сопротивлениями, и наоборот. Кроме того, соответствие означает, что если у первой схемы сопротивление некоторой ветви причем включены последовательно, то соответствующая проводимость второй ветви , причем включены параллельно и емкостная проводимость численно равна индуктивному сопротивлению (рис. 4.15, а и 6)

Для построения дуальной схемы (например, для показанной на рис. 4.14, а) можно пользоваться графическим способом. Внутри каждого независимого контура отмечается узловая точка дуальной схемы (на рис. 4.14, а отмечены узлы 1, 2 и 3), общее число которых равно числу независимых контуров. Зависимый узел указывается во внешней (по отношению к заданной схеме) области (на рис. 4.14,а узел 4). Затем между узлами проводятся линии (штриховые на рис. 4.14,а), каждая из которых пересекает один элемент заданной схемы. Например, на рис. -4.14, а четвертая ветвь состоит из последовательно соединенных двух сопротивлений и одного источника ЭДС, поэтому между узлами 1 и 2 проведены три штриховые линии

Для определения направлений токов источников тока дуальной схемы обратимся · к уравнениям (4.8) и (4.9). Из сопоставления уравнений видно, что если при обходе контура заданной схемы (рис. 4.14, а) по направлению контурного тока ЭДС входит в уравнение (4.8) с положительным знаком, то ток источника тока в соответствии с уравнением (4.9) в дуальной схеме. (рис. 4.14, б) будет направлен к узлу, отмеченному внутри этого контура.

Следует особо подчеркнуть, что после графического преобразования полученной дуальной схемы (рис. 4.14, б) должна получиться исходная схема (рис. 4.14,а); это позволяет проверить правильность построения дуальной схемы (рис. 4.14,6).

Изобразим для большей наглядности все ветви заданной мостовой схемы (рис. 4.14, а) отрезками линий (рис. 4.14, в); дуальная схема, изображенная на рис. 4.14, в штриховыми линиями, получилась такой же конфигурации. Такие схемы называются самодуальными. На рис. 4.14, г изображены две самодуальные схемы с восемью ветвями, для которых можно написать четыре независимых контурных и четыре независимых узловых уравнений.

Комплексные частотные характеристики

К частотным характеристикам цепи в комплексной форме, или к комплексным частотным характеристикам, относятся входные и передаточные функции, записанные в комплексной форме.

Входная комплексная функция цепи - это зависимость от частоты комплексного сопротивления

или комплексной проводимости

относительно двух выделенных или заданных выводов.

В качестве примера построим зависимости от частоты модуля и аргумента входного комплексного сопротивления параллельной схемы замещения реального конденсатора (см. рис. 3.26, а) с заданными параметрами g и С, считая их в рассматриваемом диапазоне частот неизменными.

Входное сопротивление

и

Зависимости показаны на рис. 4.16, а и б.

Передаточная комплексная функция (коэффициент передачи, системная функция) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме. Предполагается, что в цепи действует одно внешнее воздействие, т. е. цепь содержит один источник воздействия, а другие независимые источники напряжения или тока отсутствуют или не действуют.

Различают четыре вида передаточных функций:

передаточная функция по напряжению

передаточная функция по току

передаточное сопротивление

передаточная проводимость

Передаточные функции

могут определяться для различных пар выбранных ВХОДНЫХ и выходных ВЫВОДОВ цепи.

В частном случае обе пары выводов совпадают, так что т. е. для них получается тривиальное решение. Зависимость модуля передаточной функции от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), зависимость аргумента передаточной функции - фазо-частотной характеристикой ( ФЧХ). На комплексной плоскости можно построить геометрическое место конца вектора при изменении частоты - характеристику (АФХ), или годограф вектора .

В качестве примера определим АЧХ и ФЧХ передаточной функции по напряжению простейшего rС-фильтра схема которого дана на рис. 4.17, в режиме холостого хода. Входные выводы фильтра 1-1', т.е выходные выводы 2-2', т. е.

Передаточная функция

т. е. амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики

Зависимости (4.19) аналогичны (4.13), т. е. графики такие же, как и на рис. 4.16, но с

Для цепей с сосредоточенными параметрами передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов относительно с действительными коэффициентами:

Если - безразмерная величина , то можно составить логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику

В (4.20) единице действительной составляющей логарифмической АФХ, i:. е. безразмерной логарифмической амплитудной характеристике, дано название не пер (Нп), · мнимая составляющая должна быть записана в радианах. Для логарифмической амплитудной характеристики применяют и другую единицу - децибел (дБ). В этом случае вычисляетсяНепер и децибел связаны соотношением

Резонанс в электрических цепях

Наименование «резонанс» для режима цепи заимствовано из теории колебаний.

Как известно, резонансом называется процесс вынужденных колебаний с такой частотой, при которой интенсивность колебаний при прочих равных условиях максимальна. Но характеризовать интенсивность колебательного процесса можно по различным проявлениям, максимумы которых наблюдаются ripи различных частотах. Поэтому нужно условиться о критерии резонанса.

Вынужденные и свободные колебания

В электрической цепи колеблются заряды. Для цепей, содержащих L и С, можно было бы взять за критерий резонанса максимум амплитудного значения заряда конденсатора, что соответствует максимальной амплитуде напряжения на конденсаторе. Этот критерий определяет амплитудный резонанс. Далее примем в качестве критерия режима «резонанс» в пассивных двухполюсниках, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, совпадение по фазе тока (считая, что он не равен ·нулю) и напряжения на входных выводах, т. е. так называемый фазовый резонанс. Ток совпадает по фазе с напряжением, если входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость двухполюсника равны нулю. Если заряженный конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то в такой цепи при достаточно малом сопротивлении катушки наблюдается процесс затухающих колебаний напряжений и тока. Частота этих колебаний называется частотой собственных или свободных колебаний. Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний (они совпадают только в теоретическом случае катушки и конденсатора без потерь). Принятый здесь критерий резонанса применим и при больших потерях, при которых собственные колебания невозможны.

Резонанс в последовательном контуре

Рассмотрим последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (см. рис. 3.8). Такую цепь часто называют последовательным контуром или rLС-цепью. Для нее наступает резонанс '

При значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и емкости равны ( см. рис. 3.11, б), поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входных выводах цепи, которое равно напряжению на активном сопротивлении. Полное сопротивление цепи z при х = О минимально: а ток при заданном напряжении И достигает наибольшего значения . В теоретическом случае при r = О полное сопротивление цепи в режиме резонанса также равно нулю, а ток при любом конечном значении напряжения И бесконечно велик. Так же бесконечно велики напряжения на индуктивности и емкости.

Из условия следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения питания, либо параметры цепи - индуктивность или емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой

а частота, при которой наступает резонанс - резонансной частотой

Индуктивное и емкостное сопротивления при резонансе

Величина р называется характеристикам сопротивлением контура или rLС-цепи. Отношение напряжения на индуктивном или емкостном элементе к напряжению питания при резонансе обозначают буквой «ку»

и называют добротностью контура или коэффициентом резонанса.

Добротность контура указывает, во сколько раз напряжение на индуктивном. или емкостном элементе при резонансе больше, чем напряжение на входных выводах:

Для уяснения энергетических процессов при резонансе определим сумму энергий магнитного и электрического полей цепи в произвольный момент времени При резонансе ток в контуре Напряжение на емкости

Суммарная энергия

НО

откуда и, следовательно

т. е. сумма энергий магнитного и электрического полей с течением времени не изменяется. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля, и наоборот. Таким образом, наблюдается непрерывный переход энергии из электрического поля в магнитное поле и обратно.

Энергия, поступающая в контур от источника питания, в любой момент времени целиком переходит в тепло. Поэтому для источника питания контур эквивалентен одному резистивному элементу

Частотные характеристики и резонансные кривые последовательного контура

Предположим, что к контуру (см. рис. 3.8) приложено синусоидальное напряжение , амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в пределах

Изменение частоты приводит к изменению параметров контура, изменяется его реактивное, а следовательно, и полное сопротивление, а также угол (аргумент комплексного сопротивления). Зависимости от частоты параметров цепи назовем частотными характеристиками , зависимости действующих или амплитудных значений тока и напряжения от частоты - резонансными кривыми.

На рис. 5.1 построены частотные характеристики . Изменение реактивного сопротивления приводит к изменению режима цепи. На рис. 5.2 приведен примерный вид резонансных кривых и кривой для цепи, добротность которой . При напряжение, приложенное к цепи, во времени не изменяется, поэтому ток в цепи отсутствует. При изменении частоты от О до реактивное сопротивление имеет емкостный характер и изменяется от до О (см. рис. 5.1). Вследствие этого ток возрастает от О до максимального резонансного значения а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от до О. При изменении частоты от до результирующее реактивное сопротивление возрастает от О до оо и имеет индуктивный характер.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Вследствие этого ток уменьшается от наибольшего значения до О, а угол возрастает от О до Напряжение изменяется пропорционально току.

В выражении напряжения на индуктивности оба сомножителя зависят от частоты. При = О сопротивление = О, ток = О, и, следовательно, = О. При изменении частоты от О до оба сомножителя увеличиваются и возрастает. При дальнейшем увеличении частоты ток уменьшается, но за счет роста напряжение продолжает возрастать. Анализ, который здесь не приводится, показывает, что для цепи с добротностью это возрастание продолжается непрерывно до значения U, а для цепи с добротностью - напряжение при некоторой частоте достигает максимума , а затем уменьшается. При , следовательно,

Теперь рассмотрим зависимость напряжения на емкости от частоты. При ro = О тока в цепи нет, поэтому . При возрастании , начиная от нуля, непрерывно уменьшается. Анализ показывает, что для цепи с добротностью напряжение непрерывно уменьшается, а при напряжение сначала из-за возрастания тока I увеличивается, достигает при некотором значении частоты максимума, а затем уменьшается.

Уменьшение напряженияс ростом частоты начинается при частоте , меньшей , вследствие непрерывного уменьшения При , так и равны нулю, поэтому . Заметим, что и, как было отмечено, . График зависимости тока от частоты показывает, что рассматриваемая цепь обладает «избирательными свойствами». Цепь обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к ее резонансной частоте.

Избирательными свойствами таких цепей широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, так как возникающие значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции.

Выясним влияние параметров цепи на форму резонансной кривой . Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем строить их в относительных единицах:

где действующий ток при резонансе; - относительная частота. Преобразуем выражение полного сопротивления цепи:

Разность характеризует расстройку контура относительно резонансной частоты. Произведение называется обощенной расстройкой. С учетом этих обозначений сопротивление

Ток в цепи

Выражение (5.5) показывает, что влияние параметров цепи на вид резонансной кривой полностью учитывается добротностью Q.

На рис. 5.3, а представлен ряд резонансных кривых. Чем больше Q, тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства» цепи, что и послужило одной из причин назвать Q добротностью контура. Заметим, что наибольшие достигаемые на практике значения Q контуров, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов, лежат в пределах 200-500.

Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропуска контура , которую определяют как разность верхней и нижней частот, между которыми отношение превышает. На рис. 5.3, а проведена горизонтальная линия, соответствующая. Ее пересечение с резонансными кривыми определяет граничные частоты полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

Высшая и низшая относительные частоты показаны на рис. 5.3, б для контура с известной добротностью Q. На этом же рисунке построена идеальная резонансная кривая, для которой вне полосы пропускания ток равен нулю, т. е. у которой идеальные избирательные свойства. На рис. 5.3, а также 5.4. Резонансные явления при изменении параметров контура, резонанса можно достичь не только изменением частоты напряжения питания, но и изменением индуктивности или емкости. Практически контур настраивают проведена горизонтальная линия, соответствующая Ее пересечение с резонансными кривыми определяет полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

Если диапазон изменения частоты составляет несколько порядков, то часто выбирают для частоты логарифмический масштаб, т. е Интервал частот называют декадой (десятикратное изменение частоты). Число декад Интервал частот, для которого называют октавой (удвоение частоты), причем 1 декада октавы.

Пример №27

Определить добротность контура по известной резонансной кривой

Решение:

На границах полосы пропускания т. е. · как следует из

откуда так как

Сложим (а)_ и (б): или т.е. должно быть

Вычтем (б) из (а): или откуда

Резонансные явления при изменении параметров контура

Как было указано, резонанса можно достичь не только изменением частоты напряжения питания, но и изменением индуктивности или емкости. Практически контур настраиваю в резонанс чаще при помощи конденсатора переменной емкости.

Предположим, что у последовательного контура (см. рис. 3.8) емкость изменяется. Рассчитаем и построим резонансные кривые тока и напряжений на индуктивности и емкости. Ток

равен нулю при С= О, растет с увеличением емкости до резонансного значения (рис. ·5.4, а), удовлетворяющего условию резонанса , затем уменьшается при дальнейшем увеличении емкости и стремится к значению

Добротность контура, как и ранее (5.4), равна отношению индуктивного или равного ему емкостного сопротивления при резонансе к активному сопротивлению контура:

Напряжение на индуктивности т. е. форма кривой такая же, как и . Максимальное значение При напряжение (рис. 5.4, 6).

Напряжение на емкости , достигает максимального значения при (если Q > 1), равно при и стремится к нулю при (рис. 5.4, б). При Q > 10 с погрешностью менее 1 % можно считать, что максимальное значение напряжения на емкости получается при , т. е. равно QU.

Измерив значения емкостей, при которых ток в раз меньше резонансного, можно рассчитать параметры контура: r, L, Q. Для этого перепишем (5.6) в виде

При подкоренное выражение равно 2, т. е или

После вычитания из второго условия (5.8) первого получим откуда

Сложив первое и второе условия (5.8), найдем, что откуда после подстановки (5.8) добротность

Индуктивность определяем из (5.7):

Резонанс в параллельном контуре

Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями: параметры одной - сопротивление и индуктивность L, а другой - сопротивление и емкость С (рис. 5.5). Такую цепь часто называют паралельным контуром. Резонанс наступает, если у входной проводимости

реактивная составляющая

где

реактивные проводимости ветвей.

При противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны (рис. 5.6, а), поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса тока. Из векторной диаграммы видно, что при резонансе ток I на входных выводах контура может быть значительно меньше токов в ветвях.

В теоретическом случае при токи сдвинуты по фазе относительно напряжения на углы и рис. 5.6, 6) и суммарный ток.

Входное сопротивление цепи при этом бесконечно велико. Подставив в соотношение (5.12), т. е. в условие резонанса, значения , выраженные через параметры цепи и частоту, получим

Изменением одной из величин (, L, С, при остальных четырех постоянных не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины при ее определении из уравнения (5:13) получается мнимым или комплексным. Для L или С могут получаться и по два различных действительных значения, удовлетворяющих уравнению (5.13). В таких случаях изменением L и С можно достичь двух различных резонансных режимов.

Решив уравнение (5.13) относительно , найдем следующее значение для резонансной угловой частоты:

Резонанс возможен, если сопротивления оба больше или оба меньше р. Если же это условие не выполнено, получается мнимая частота , Т. е. не существует такой частоты, при которой имел бы место резонанс.

При резонансная частота , Т. е. такая же, как U при резонансе в последовательном контуре.

При резонансная частота имеет любое значение, т. е. резонанс наблюдается на любой частоте. Действительно, при входное сопротивление контура

т. е. входное сопротивление контура активное и не зависит от частоты. Следовательно, ток совпадает по фазе с напряжением при любой частоте и его действующее значение равно .

Заметим, что в радиотехнике и электросвязи часто применяются контуры с малыми потерями, т. е. в них малы по сравнению с р. В таких условиях резонансную частоту можно вычислять по формуле

Анализ, который здесь не приводится, показывает, что в общем случае сумма энергий электрического и магнитного полей при резонансе не остается постоянной. Эта сумма постоянна только в теоретическом случае, т. е. при

Пример №28

Угловая частота и действующее значение Ш синусоидального тока, подводимого к цепи (рис. 5.7,а), поддерживаются неизменными. Емкость конденсатора без потерь изменяется до тех пор, пока при некотором значении С напряжение И, измеряемое вольтметром, не достигнет максимального значения По известным величинам требуется определить параметры катушки, присоединенной к выводам 1 и 2

Решение:

Проще всего задача решается путем преобразования схемы в эквивалентную, состоящую из переменного емкостного элемента с проводимостью , двух параллельно соединенных элементов - активной g, индуктивной проводимостей (рис. 5.7,в) и с источником тока, подсоединенным к выводам 3 и 4.

В этой схеме при неизменном действующем токе и изменении емкости максимум напряжения, измеряемого вольтметром, будет наблюдаться при резонансе токов, так как входное сопротивление цепи при этом максимально.

В соответствии с намеченным путем решения приступаем к преобразованию схемы. Питание цепи (рис. 5.7,а) заданным током может рассматриваться как питание от источника тока (показан штриховой линией). Заменим источник тока источником ЭДС (рис. 5.7,б), а от источника ЭДС перейдем к новому источнику тока, подключенному к выводам 3 и 4. Ток этого источника

где

Последовательное соединение элементов R, r и заменим параллельным (рис. 5.7, в) с проводимостями

Максимум напряжения между выводами 3 и 4 наблюдается при резонансе токов, т.е.

и

Из последнего равенства найдем связь между неизвестными g и z:

где для сокращения записи отношение известных величин I обозначено а..

Подставив (б) и (в) в выражение получим откуда

Наконец, из (а) найдем, что

Частотные характеристики параллельного контура

Построим резонансную кривую тока в неразветвленной части параллельноrо контура при неизменном напряжении И источника питания для идеального случая (рис. 5.8,а).

На рис. 5.8, б nоказаны ·частотные характеристики проводимостей ветвей и входной проводимости цепи Ток , поэтому кривая в соответствующем масштабе и есть резонансная кривая тока .

При изменении частоты от О до эквивалентная проводимость b > о, т. е. индуктивная, и изменяется от до О. При наступает резонанс токов, b = О, 1 = О, При возрастании частоты от входная проводимость b < О, т. е. емкостная и изменяется от О до

В общем случае при сопротивлениях, не равных нулю (см. рис. 5.5), входная активная проводимость цепи отлична от нуля при· любой частоте, поэтому ток I ни при одном значении частоты не равен нулю. Анализ, который здесь не приводится, показывает, что при условии зависимость имеет минимум, причем этот минимум наблюдается при частоте, отличающейся от резонансной частоты. Последнее объясняется тем, что максимум полного входного сопротивления получается при частоте, для которой , а резонанс имеет место при частоте, для которой b · = О или х = О. Чем меньше и , тем меньше минимальное значение тока 1, тем ближе значение частоты, при которой наблюдается минимум тока, к резонансной частоте и тем меньше резонансная кривая тока отличается от кривой при (рис. 5.8).

При условии ток 1, как было показано, при любой частоте одинаков. Зависимость не имеет ни максимума, ни минимума и графически представляется прямой, параллельной оси абсцисс. Анализ показывает, что при условии резонансная кривая тока при некотором значении частоты достигает максимума

Понятие о резонансе в сложных цепях

Условия фазового резонанса b = О или х = О для разветвленной цепи с несколькими катушками индуктивности и конденсаторами дают для частоты уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней. Другими словами, у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.

Рассмотрим, например, цепь на рис. 5.9, а, потерями в которой можно пренебречь. Входное сопротивление цепи реактивное:

Резонанс наступает при b= О или х = О, причем если х = О, то, и, наоборот, если. Это справедливо всегда, если пренебречь потерями в ветвях. Следовательно, резонансными будут частоты, обращающие х в нуль или в бесконечность. В рассматриваемом случае при

При этой частоте наступает резонанс токов в параллельных ветвях с Полагая х = О, получаем

При этой частоте имеет место резонанс напряжений в последовательном контуре с индуктивностью и емкостью, эквивалентной двум параллельным ветвям. Таким образом, у рассматриваемой цепи две резонансные частоты:

На рис. 5.9, 6 приведены частотные характеристики проводимостей и сопротивлений для рассматриваемой цепи. Кривые представляют характеристики проводим остей ветвей 1 и 2. Сумируя ординаты этих кривых, получаем характеристику эквивалентной проводимости двух параллельных ветвей 1 и 2. Кривая представляет эквивалентное сопротивление параллельных ветвей. Суммируя ординаты кривых , построим характеристику входного сопротивления цепи х. Эта характеристика имеет две особые точки при (резонанс токов) и.. (резонанс напряжений).

Цепи с взаимной индуктивностью

Если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивны связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуют коэффициент связи k, под которым понимают отношение

где М - взаимная индуктивность элементов цепи; - индуктивности элементов цепи. Покажем на частном примере, что коэффициент связи всегда меньше единицы, и выясним, при каких условиях он мог бы быть равен единице.

Индуктивно связанные элементы цепи

Пусть две катушки изготовлены в виде · тонких колец большого диаметра (рис. 6.1). При указанной форме катушек с большой степенью точности можно считать, что все витки каждой катушки сцеплены с одинаковым магнитным потоком. На рис. 6.1 показана картина магнитного поля при наличии тока в первой катушке. Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции , а витки второй катушки - с магнитным потоком взаимной индукции Потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции первой и второй катушек

где - числа их витков. По определению индуктивность первой катушки и взаимная индуктивность катушек

По поводу этих отношений сделаем некоторые пояснения.

Положительные направления тока и магнитного потока самоиндукции условимся всегда выбирать согласованными по правилу правого винта, поэтому, когда а когда

и, следовательно, отношение ' всегда положительно. Что же касается положительного направления для потока взаимной индукции то его выбор произволен, поэтому отношение ' может иметь любой знак. Так как в этой книге взаимная индуктивность считается положительной величиной, то выражение для М записано как абсолютное значение-

На рис. 6.2 показана схематическая картина поля при наличии только тока i2 во второй катушке. По определению

Равенство может быть доказано на основании условия независимости энергии магнитного поля токов от порядка их возрастания от нуля до своих конечных значений.

Составим отношение

Так как Коэффициент связи двух катушек мог бы равняться единице, если бы т. е. весь поток, создаваемый током в одной катушке, полностью (без рассеяния) сцеплялся бы с витками другой катушки, что возможно лишь при совмещении катушек. Практически витки двух катушек, так же как и различные витки.

одной и той же катушки, пронизываются неодинаковыми магнитными потоками, и поэтому всегда k < 1.

Изменения индуктивной связи между двумя катушками можно достигнуть перемещением одной катушки относительно другой. Приборы, состоящие из двух взаимно перемещающихся катушек, называются вариометрами

Электродвижущая сила взаимной индукции

При изменении тока в одном из индуктивно связанных элементов цепи (см. рис. 6.1 и 6.2) в другом элементе возникает ЭДС взаимной индукции и между его разомкнутыми выводами появляется напряжение. Абсолютные значения ЭДС и напряжений, обусловленных взаимной индукцией (закон электромагнитной индукции),

Для облегчения решения вопроса о знаке этих величин прибегают к специальной разметке выводов индуктивно связанных элементов цепи.

Два вывода, принадлежащих двум разным индуктивно связанным элементам цепи, называют одноименными и обозначают одинаковыми значками, руководствуясь следующим правилом: при одинаковом направлении токов относительно одноименных выводов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе должны суммироваться. Применим это правило для разметки выводов катушек, показанных на рис. 6.3,а. При направлении токаот вывода а к выводу b и тока от вывода с к выводу d магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции суммируются. Поэтому вывод а одноименен с выводом с и аналогично ВЫВОД одноименен с ВЫВОДОМ d . Для катушек, показанных на рис. 6.3, 6, одноименными являются выводы , а также • Разница с предыдущим случаем обусловлена другим направлением намотки витков второй катушки.

Одну из двух пар одноименных ..выводов обозначают специальными значками, например точками, звездочками, треугольниками и т. п.

Установить взаимное расположение катушек и направление намотки их витков так просто, как на рис. 6.3, не всегда представляется возможным. Но найти одноименные выводы можно на основании простого опыта, для которого требуются гальванический элемент (или аккумулятор) и гальванометр. Одна из ка тушек соединяется с гальванометром, другая подключается к гальваническому элементу (рис. 6.4). При замыкании ключа S кратковременно возникает ток , ослабляющий магнитное поле, созданное током . Следовательно, в момент включения источника питания токи и направлены относительно одноименных выводов противоположно. Направление тока определяется полярностью источника питания. О направлении тока i: судят по кратковременному отклонению стрелки гальванометра. Если стрелка отклоняется в сторону шкалы (имеется в виду гальванометр с односторонней шкалой), то ток направлен к положительному выводу гальванометра (рис. 6.4), при этом выводы катушек, присоединенные к положительным выводам гальванометра и источника питания, одноименны, точно так же одноименны и выводы катушек, присоединенные к отрицательным выводам гальванометра и источника питания; заметим, что в момент отключения источника питания стрелка гальванометра вновь отклоняется, но уже в обратном направлении, так как ток противодействует уменьшению магнитного поля.

Перейдем теперь к решению вопроса о знаке в выражениях для ЭДС и напряжения, обусловленных взаимной индукцией. Рассмотрим две катушки (рис. 6.5). Пусть катушка 1 разомкнута, а в катушке 2 протекает синусоидальный ток • Выберем положительные направления для - ЭДС и напряжения в катушке 1 и для тока в катушке 2 относительно одноименных выводов одинаковыми, например от а к b и соответственно от с и d.

Прежде всего отметим, что при одинаковых положительных направлениях напряжения их значения численно равны, но противоположны по знаку: . Действительно, когда , потенциал вывода b больше потенциала вывода а, и, следовательно, .

Электродвижущая сила на основании закона Ленца должна иметь такое

направление, при котором вызываемый ею ток препятствовал бы изменению магнитного потока взаимной индукции. Поэтому, если, то ЭДС должна иметь действительное направление от . Если должна иметь действительное направление от а к b, т. е. .

Таким образом, при выбранных положительных направлениях (рис. 6.5) знаки всегда противоположны, поэтому

Для комплексных величин получим

Если бы положительные направления для в катушке в катушке 2 относительно одноименных выводов были выбраны различными, то аналогичные рассуждения показали бы, что знаки всегда были бы одинаковы:

Из (6.2) и (6.3) видно, что напряжение, обусловленное взаимной индукцией, сдвинуто по фазе относительно тока Знак этого угла зависит от выбора положительных направлений относительно одноименных выводов.

Величина имеет размерность сопротивления, называется сопротивлением взаимной индукции и обозначается Величина называется комплексным сопротивлением взаимной индукции и обозначается

Таким образом

Если индуктивно связаны между собой не два, а несколько элементов цепи, надо у каждого из них отметить выводы, одноименные с выводами остальных элементов, при этом в общем случае приходится прибегать к разным условным обозначениям. Поясним это на примере трех катушек, расположенных, как указано на рис. 6.6.

Верхний вывод первой катушки одноименен с нижними выводами второй и третьей катушек, но эти последние не являются одноименными по отношению друг к другу, поэтому их нельзя обозначить одинаковыми значками. На рис. 6.6 одноименные выводы первой и второй катушек обозначены звездочками, первой и третьей - треугольниками, а второй и третьей - точками. В частных случаях для разметки одноименных выводов нескольких катушек можно обойтись одним условным обозначением. Убедиться в этом можно на примере нескольких катушек, расположенных вдоль одной оси (аналогично рис. 6.3).

При большом числе индуктивно связанных элементов цепи указанная выше система разметки одноименных выводов получается недостаточно наглядной, так как приходится вводить много различных обозначений. В таких случаях удобнее другая система разметки, при которой взаимные индуктивности считают алгебраическими величинами.

Сначала совершенно произвольно указывают направления обхода каждого индуктивно связанного элемента цепи, например ставят букву ну вывода, от которого начинается обход, и букву к у другого вывода. Затем указывают знаки взаимных индуктивностей,, руководствуясь следующим правилом. Если при совпадении направлений токов с выбранные направлениями обходов потоки взаимной индукции и потоки самоиндукции суммируются, то соответствующая взаимная индуктивность положительна, если же они вычитаются, то соответствующая взаимная индуктивность отрицательна.

Примем, например, для катушек, показанных на рис. 6.6, за начала обхода верхние выводы и за концы обхода - нижние выводы, при этом взаимные индуктивности будут отрицательны

Знаки в выражениях для напряжений, обусловленных взаимной индуктивностью, получаются, конечно, такими же, как и при первой системе разметки выводов; при совпадении положительных направлений с принятыми направлениями обходов получаем , при несовпадении получаем , при этом взаимная индуктивность считается величиной алгебраической и берется с тем знаком, который для нее указан при разметке выводов.

Вторая система разметки при наличии только двух индуктивно связанных элементов менее удобна, так как требует не только маркировки выводов, но и указания знака взаимной индуктивности.· В дальнейшем применяется только первая система разметки.

Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Предположим, что две катушки или два каких-либо элемента цепи с сопротивлениямииндуктивностями и взаимной индуктивностью М соединены последовательно. Возможны два вида их включения - согласное (рис. 6.7,а) и встречное (рис. 6.7,б). При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент

времени направлены одинаково относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции , сцепленные с каждым элементом, складываются. При встречном включении токи в обоих элементах цепи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, сцепленные с каждым элементом, вычитаются. Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов

где - потокосцепления первого и второго элементов, причем. Знак плюс относится к согласному, а знак минус к встречному включению. Следовательно,

В предельном случае идеальной связи (при k = 1) имеем Если, кроме того, то при согласном включении , а при встречном L = О (при k < 1 всегда L > О).

Полное сопротивление при согласном включении больше, чем при встречном. Этим можно пользоваться для определения опытным путем одноименных выводов индуктивно связанных элементов цепи, например, по показаниям вольтметра и амперметра.

Напряжения на элементах имеют по три составляющие:

Если индуктивность одного из элементов меньше взаимной индуктивности, то при встречном включении наблюдается своеобразный «емкостный» эффект. Пусть, например, при этом в выражении

, и, следовательно, напряжение отстает по фазе от тока как в случае емкостного сопротивления. Конечно, реактивное сопротивление всей цепи в целом индуктивное, так как отстает по фазе от напряжения

На рис. 6.8 показаны векторные диаграммы для согласного и встречного включений при одинаковом значении тока в обоих случаях.

Входное комплексное сопротивление цепи получаем, учитывая (6.6):

Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Предположим, что две катушки или два каких-либо элемента цепи с сопротивлениями , индуктивностями и взаимной индуктивностью М соединены параллельно, причем одно именные выводы присоединены к одному и тому же узлу (рис. 6.9).

При выбранных положительных направлениях токов и напряжения

где

В этих уравнениях комплексные напряжения взяты со знаком плюс, так как положительные направления этих напряжений (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых эти напряжения зависят, ориентированы относительно одноименных выводов одинаково. Решив уравнения, получим

откуда следует, что входное комплексное сопротивление рассматриваемой цепи

При , т. е. при отсутствии индуктивной связи между ветвями, это выражение принимает знакомый вид:

Рассмотрим теперь включение, при котором одноименные выводы присоединены к разным узлам, т. е. присоединены к узлу разноименными выводами, а не как указано на рис. 6.9. В этом случае положительные направления напряжений взаимной индукции (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых они зависят, ориентированы относительно одноименных выводов неодинаково и комплексные напряжения войдут в уравнения (6.9) и (6.10) со знаком минус. Для токов получатся выражения, аналогичные (6.11), с тем отличием, что заменяется на и входное сопротивление цепи

Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности

Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по ,первому и второму законам Кирхгофа , или метод контурных токов. Метод узловых потенциалов непосредственно непригоден. Объясняется это тем, что ток в любой ветви зависит не только от ЭДС находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. Поэтому нельзя простым путем выразить токи ветвей через потенциалы узлов и ЭДС источников, как в цепях без индуктивно связанных элементов.

Применение метода узловых потенциалов требует особых приемов и здесь не рассматривается.

Принцип эквивалентного генератора можно применять, если внешняя по отношению к двухполюснику часть цепи не имеет индуктивных связей с той частью цепи, которая входит в состав двухполюсника. Разумеется, что нельзя пользоваться выведенными ранее формулами для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно.

Чтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи, перейдя к эквивалентным схемам без индуктивных связей.

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа :3ДС взаимной индукции обычно учитываются как соответствующие напряжения. Знак комплексного напряжения на элементе k определяется на основании сопоставления направления обхода элемента k и положительного направления тока в элементе s. Если эти направления относительно одноименных выводов одинаковы, то напряжение равно В противном случае напряжение равно Это правило знаков вытекает из обоснований.

В качестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, представленной на рис. 6.10. Для большей ясности напряжения в уравнениях выпишем в порядке расположения элементов контура без приведения подобных членов:

Приведем также уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

Сокращенно последние уравнения можно записать так:

где - комплексные сопротивления контуров 1, 2 и 3;

- комплексные взаимные (общие) сопротивления контуров 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1; - комплексные контурные ЭДС. Например

Заметим, что в комплексные сопротивления контуров и в комплексные взаимные сопротивления двух контуров слагаемые входят со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадают или не совпадают по отношению к одноименным выводам элементов цепи k и s направление обхода контура через элемент k и положительное направление тока через элемент s.

Для цепей, содержащих индуктивно связанные элементы, справедливо свойство взаимности. Доказательство этого положения ничем не отличается от приведенного для цепей постоянного тока.

Пример №29

К выводам 1-1' цепи (рис. 6.11) подведено питание. Определить напряжение между разомкнутыми выводами 2-2'. Дано:

Решение:

Полагаем Находим:

Напряжение определяем, обходя схему от вывода 2 к выводу 2':

Если бы нижний вывод индуктивности был одноименным с верхним выводом индуктивности , то направление обхода элемента и направление тока в элементе относительно одноименных выводов были бы различными. Поэтому перед слагаемым следовало бы поставить знак минус, и напряжение было бы равно

Пример №30

Определить входное сопротивление цепи, показанной на рис. 6.12. Дано:

Решение:

Зададимся напряжением , определим ток и затем найдем Заметим, что если бы не было взаимной индуктивности, ТО и

Для контура 1-3-2-2'-1'

Для контура 3-3'-2'-2-3

откуда

Подставив (в) в (а), получим

откуда

(см. также пример 6.3).

Эквивалентная замена индуктивных связей

Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев упрощаются, если часть схемы, содержащую индуктивные связи, заменить эквивалентной схемой без индуктивных связей. Этот прием называют эквивалентной заменой, устранением или развязкой индуктивных связей

Найдем схему без индуктивных связей, эквивалентную двум индуктивно связанным элементам цепи, присоединенным к общему узлу 3 (рис. 6.13, а), при этом учтем два возможных случая: 1) в общем узле элементы цепи соединены одноименными выводами и 2) разноименными.

Введем дополнительную ветвь без сопротивления, соединяющую индуктивно связанные элементы цепи с узлом 3 (рис. 6.13, б). Если в узле 3 соединены только три ветви, введение такой дополнительной ветви не требуется.

Напишем выражения для напряжений между выводами 1, 3 и 2, 3:

Верхние знаки относятся к первому случаю (в узле элементы цепи соединены одноименными выводами), а нижние - ко второму случаю. Этого порядка расположения знаков будем придерживаться и во всех последующих выражениях

Пользуясь соотношением исключим из первого уравнения (6.14) ток , а из второго уравнения ток, тогда получим

Кроме того, имеем

Эти три уравнения справедливы и для схемы, показанной на рис. 6.14, которая, таким образом, и является искомой эквивалентной схемой без индуктивных связей.

Итак, при устранении индуктивной связи к сопротивлениям добавляется вывод 3 перестает быть узлом для ветвей 1 и 2, а между выводом 3 и новым узлом 3' появляется элемент

Если индуктивно связанные элементы соединены трехлучевой звездой или треугольником, то, применив последовательно рассмотренный способ эквивалентной замены, можно перейти к схемам без индуктивных связей. Развязка индуктивных связей в четырехлучевой звезде труднее, так как на промежуточном этапе получается схема, в которой индуктивно связанные элементы расположены в ветвях, не имеющих общего узла.

Две любые индуктивно связанные ветви, не присоединенные к общему узлу, также можно заменить эквивалентной схемой без индуктивной связи, однако эта схема в достаточной мере сложна и пользоваться ею нецелесообразно.

Пример №31

Найти входное сопротивление цепи (см. рис. 6.12), применив при решении эквивалентную замену индуктивных связей.

Решение:

Учитывая, что индуктивно связанные элементы присоединены к узлу 3 разноименными выводами, получаем эквивалентную схему, представленную на рис. 6.15, для которой

Передача энергии между индуктивно связанными элементами цепи

Рассмотрим, как передается энергия между двумя индуктивно связанными элементами разветвленной цепи. Всю цепь, за исключением этих двух элементов, представим в виде активного четырехполюсника (рис. 6.16).

В течение каждого полупериода изменения токов энергия, поступающая в магнитное поле индуктивно связанных элементов, возвращается обратно. Однако это не означает, что равны количества энергии, поступающей в иоле и возвращаемой из поля обратно для каждого элемента в отдельности. Покажем, что при сдвиге фаз между токами , отличающимися от О и 1t, от одного из элементов в магнитное поле поступает больше энергии, чем возвращается, а от другого элемента, наоборот, в магнитное поле поступает меньше энергии, чем возвращается. В результате энергия передается от одного элемента к другому.

Пусть известны токи

Составим выражения для комплексных мощностей первого и второго элементов, обусловленных взаимной индукцией:

откуда

При указанных на схеме положительных направлениях токов и напряжений положительные значения мощностей соответствуют притоку энергии- к рассматриваемым элементам от активного четырехполюсника-, а отрицательные значения мощностей -передаче энергии из рассматриваемых элементов в четырехполюсник.

Суммарная активная мощность, обусловленная взаимной индукцией и поступающая в оба элемента, равна нулю,т.е.

Если . В этом случае энергия передается из активного четырехполюсника в магнитное поле через первый элемент и возвращается через второй элемент. Если , а. В этом случае энергия поступает через второй элемент и возвращается обратно через первый.

Пример №32

Цепь состоит из двух индуктивно связанных катушек, включенных параллельно (рис. 6.17,а). Дано: Требуется определить мощности, измеряемые ваттметрами,. и провести анализ энергетических процессов в цепи

Решение:

Подставив численные данные получим

Схемы включения ваттметров таковы, что они измеряют поступающие мощности во всю рассматриваемую цепь и в каждую катушку в отдельности:

Результаты подсчета показывают, что поступающая от источника питания мощность , поступающей во вторую катушку. Зато первая катушка отдает мощность . Стрелка первого ваттметра должна отклониться в обратную сторону - не по шкале. Чтобы измерить мощность, отдаваемую первой катушкой, надо изменить схему включения ваттметра Можно,например, изменить у него подключение цепи напряжения, присоединив вывод со звездочкой к нижнему проводу, а вывод без звездочки к верхнему проводу, так как это показано на рис. 6.17, б. В этом случае он будет измерять мощность, отдаваемую катушкой,

Сумма мощностей, отдаваемых источником питания и первой катушкой, равна мощности, поступающий во вторую катушку. Из всей мощности , поступающей во вторую катушку, часть ее, равная , преобразуется в тепло. Оставшаяся часть , очевидно, отдается в магнитное поле и затем из магнитного поля в первую катушку. Покажем это:

Мощность, отдаваемая второй катушкой в магнитное поле,

Мощность, отдаваемая первой катушкой в магнитное поле,

Таким образом, , т. е. эта мощность не отдается, а получается из магнитного поля и численно равна мощности , отдаваемой в магнитное поле второй катушкой. Часть поступившей мощности преобразуется в тепло в первой катушке

а остальная часть возвращается в цепь.

Мощность, поступающая в цепь от источника питания, равна мощности, преобразуемой в тепло

Для рассматриваемой цепи на рис. 6.17, в приведена векторная диаграмма токов и напряжений. Сдвиг фаз превышает , поэтому . На диаграмме показаны активные составляющие напряжений, обусловленные взаимной индукцией и Составляющая совпадает по фазе с, а составляющая находится в противофазе с поэтому , а

Резонанс в индуктивно связанных контурах

В устройствах электроники и радиотехники наряду с одиночными последовательными и параллельными контурами применяются и связанные контуры. Контуры могут иметь индуктивную связь (трансформаторную или автотрансформаторную) или емкостную различного вида.

Рассмотрим резонансные явления для случая двух одинаковых последовательных контуров (в целях упрощения математического описания), имеющих индуктивную (трансформаторную) связь (рис. 6.18, а). Режим цепи определяется двумя уравнениями:

где

При частоте у каждого контура х = О (каждый настроен в резонанс) - так называемый «полный резонанс». Из (6.15) следует, что ток т. е. совпадает по фазе с напряжением и цепь настроена в резонанс. Ток

При любой другой частоте из (6.15) ток

В относительных единицах

так как Здесь относительная частота, Q добротность каждого из контуров; коэффициент связи и

обобщенная расстройка. В (6.16) принято, что при построении резонансной кривой контура с достаточно большой добротностью можно принять множитель и при вычислении добротности Q считать Это, конечно, справедливо при достаточно малых расстройках (например, при и Q = 20 получается ).

Резонансная кривая

Если - слабая связь контуров, то

Резонансная кривая имеет один максимум при т. е. при Ток меньше (границы полосы пропускания) при , а у последовательного контура [см. (5.5)] и на границах полосы пропускания Следовательно, полоса пропускания связанных контуров при слабой связи меньше, чем у последовательного контура

При - критической связи и на границах полосы пропускания , т: е. полоса пропускания· больше, чем у последовательного контура.

При - сильной связи получается резонансная кривая с двумя максимумами (рис. 6.18, б). Если считать, что на границе полосы пропускания значение тока , как и у последовательного контура, в раз меньше максимального, то получится полоса пропускания в 3,1 раза шире и ближе к прямоугольной, чем у последовательного контура при той же добротности контуров, что может быть важным достоинством цепи при построении систем с большой полосой пропускания (широкополосных).

Значение тока зависит от коэффициента связи контуров. Наибольшее значение можно найти обычным исследованием на максимум. Оно получается при.

Аналогично исследуются «частные резонансы». Первый частный резонанс достигается изменением емкости (или индуктивности) первого контура. При резонансе совпадает по фазе с напряжением Для получения второго частного резонанса добиваются максимального значения тока изменением емкости (или индуктивности) второго контура. «Сложный резонанс» получается при изменении параметров одного из контуров и коэффициента связи

Цепи с трансформаторами

В электротехнике широко применяется передача энергии из одного контура цепи в другой при помощи трансформаторов. Они могут иметь различные назначения, но чаще всего предназначаются для преобразования переменного напряжения. Отсюда возникло и само название аппарата, происходящее от латинского слова transformare - преобразовывать. Такое преобразование необходимо, например, в том случае, если напряжение источника энергии отличается от напряжения, которое требуется для приемника энергии.

Трансформатор без стального магнитопровода (воздушный трансформатор)

Трансформаторы состоят из двух или нескольких индуктивно связанных катушек или обмоток. Ограничимся здесь рассмотрением простейшего двухобмоточного трансформатора без стального (ферромагнитного) магнитопровода. Такие трансформаторы применяются при высоких частотах, а в ряде специальных измерительных устройств и при низких частотах переменного тока.

Обмотка трансформатора, к которой подводится питание, называется первичной, обмотка, к которой присоединяется приемник энергии, - в т ори ч ной. Напряжения между выводами обмоток и токи в этих обмотках называются соответственно п трансформатора. Цепи, в состав которых входят первичная и вторичная обмотки трансформатора, называются соответственно первичной и вторичной цепью и трансформатора.

Если пренебречь распределенной емкостью между витками обмоток трансформатора, то цепь, состоящая из двухобмоточного трансформатора и приемника, имеет схему, представленную на рис. 7.1.

Введем обозначения: где - активное и реактивное сопротивления приемника, - активное и реактивное сопротивления вторичного контура.

Запишем уравнения по второму за кону Кирхгофа для первичного и вторичного контуров:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений для первичной и вторичной цепей. Для этого зададимся током и отложим векторы (рис. 7.2), где принято . Соединив конец вектора с началом векторной диаграммы, получим, как следует из второго уравнения (7.1 ), вектор . Разделив напряжение , определим

значение тока. Вектор отложим под углом (в сторону опережения) к вектору -• Затем построим векторы . Их сумма равна вектору напряжения

Решив уравнения (7.1) относительно тока, получим

где обозначено

Сопротивления 'называют вносимыми (из второго контура в первый) активным и реактивным сопротивлениями. Из структуры выражения (7.2) следует, что со стороны первичной обмотки вся схема может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлениями

Вносимое активное сопротивление всегда больше нуля. В нем поглощается энергия, которая в реальной цепи передается из первичной цепи во вторичную. Вносимое реактивное сопротивление имеет знак, противоположный знаку

Пользуясь схемой эквивалентного двухполюсника, решим вопрос об условиях передачи максимальной активной мощности во вторичную цепь, т. е. передачи максимальной мощности в сопротивлениеДля этого должны удовлетворяться следующие соотношения между сопротивлениями:

или

Последние соотношения можно получить, если предусмотреть возможность изменения параметров контуров. Для изменения в первичный и вторичный контуры можно включить конденсаторы переменной емкости (рис. 7.3), для изменения М применить трансформатор с подвижными обмотками (вариометр) или трансформатор с подвижной магнитной системой. Отметим, что для выполнения соотношений (7.5) и (7.6) достаточно предусмотреть изменение только двух из трех параметров и М.

Все приведенные выше выражения справедливы для схемы по рис. 7.3, если положить

причем имеет действительное значение при