Переходные процессы в электрических цепях

Содержание:

Переходные процессы в электрических цепях:

Переходный процесс в электрической цепи — это электромагнитный процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося (принужденного) режима к другому. Установившимся (принужденным) называется режим работы электрической цепи, при котором напряжение и токи цепи в течение длительного времени остаются неизменными.

Такой режим в электрической цепи устанавливается при длительном действии источников постоянной или переменной ЭДС при неизменных параметрах этой цепи R, L и С.

Переходный процесс вызывается коммутацией в цепи. Коммутацией называется процесс замыкания или размыкания рубильников или выключателей. Переходный процесс может быть вызван изменением параметров электрической цепи R, L или С.

Переходный процесс базируется на двух законах коммутации:

1. ток в индуктивности не может изменяться скачком;
2. напряжение на емкости не может изменяться скачком.

Действительно, если ток в индуктивности L изменяется скачком, т. е. мгновенно, то ЭДС самоиндукции e_L становится бесконечно большой (при

В реальных цепях ЭДС самоиндукции может иметь только конечные значения.

Если в цепи с емкостью С напряжение на ее обкладках изменяется скачком, т. е. мгновенно, то появляется бесконечно большой зарядный (или разрядный) ток (при = 0):

Ток в электрических цепях может иметь только конечные значения.

Переходный процесс является быстропротекающим процессом, длительность которого обычно составляет десятые, сотые и даже миллионные доли секунды и сравнительно редко — секунды и даже десятки секунд.

Таким образом, один установившийся режим цепи отделяется от другого некоторым промежутком времени, в течение которого происходит постепенный переход от прежнего состояния цепи к новому.

Переходный процесс в линейных цепях можно рассматривать как результат наложения двух процессов:

1. нового установившегося режима, который наступает после коммутации;
2. свободного процесса, обеспечивающего переход цепи от прежнего установившегося режима к новому установившемуся режиму.

Таким образом, ток i цепи в течение переходного процесса можно представить суммой двух токов: нового установившегося и свободного , возникающего после коммутации:

Аналогично напряжение в течение переходного процесса равно

В результате переходного процесса происходят изменения тока, напряжения, фазы, частоты и т.д.

Изучение переходных процессов очень важно, так как оно позволяет выявить возможные превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, позволяет выявить возможные броски токов, величина которых в десятки раз превышает установившийся. Изучение переходных процессов позволяет выявить ситуации, возникающие в электрических цепях при коротком замыкании, резком включении и выключении рубильников, и прочие режимы работы цепи.

Переходный процесс в электрической цепи

Переходный процесс в электрической цепи — это процесс, возникающий в электрической цепи при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, когда при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Подключение катушки индуктивности к источнику с постоянным напряжением

Если катушку индуктивности (RL) подключить к источнику с постоянным напряжением U (замыкание ключа К), то ток i в не-разветвленной цепи (рис. 20.1а) будет увеличиваться от нуля (в начале переходного процесса) до установившегося значения

Установившийся, т.е. постоянный, ток I не индуктирует в катушке ЭДС самоиндукции, поэтому индуктивное сопротивление в установившемся режиме при условии (20.3) отсутствует.

Этот увеличивающийся ток i индуктирует в индуктивности L катушки ЭДС самоиндукции (см. (9.11))

Следовательно, для любого момента времени переходного процесса по второму закону Кирхгофа можно записать

Разделив уравнение (20.4) на R, получают

В уравнении (20.5) — установившийся в конце переходного процесса ток (). 

Отношение —  имеет размерность времени  обозначается буквой (тау) и называется постоянной времени -цепи, т. е.

Тогда уравнение (20.5) можно записать в виде

Если это уравнение проинтегрировать, предварительно разделив переменные (ток и время), а затем спотенцировать, то получим выражение

где е — основание натурального логарифма (е=2,71); I — установившийся ток (); () - свободный ток (), так как , т.е.

Таким образом, уравнение, которое позволяет определить вели-шу тока в цепи с индуктивностью L в любой момент переходно-процесса RL-цепи при подключении реальной катушки индук-1Вности к источнику с постоянным напряжением U, записывается в виде

Воспользовавшись Приложением 9, по выражению (20.10) можно определить, что за время t= ток в цепи увеличивается до 0,63I, а за время t= 4,6 — до 0,99I, т. е. до 99 % установившегося тока I.

Теоретически переходный процесс происходит бесконечно долго. Практически переходный процесс в рассматриваемой цепи считается законченным, когда ток i увеличивается до 99 % установившегося тока I.

Как видим, чем больше x_L, тем больше времени t длится перечный процесс.

Таким образом, постоянная времени x_L определяет скорость греховного процесса или его длительность.

ЭДС самоиндукции в рассматриваемой цепи, вызванная свободным током , определяется выражением

Таким образом, ЭДС самоиндукции в -цепи, подключенной к источнику с постоянным напряжением U, будет уменьшаться. Так, за время t=, ЭДС самоиндукции согласно (20.11) уменьшатся до 0,37U, а за время t = 4,6 - до 0,01 U, т.е. до 1 % постоянного напряжения U.

Увеличение тока и уменьшение ЭДС самоиндукции катушки при подключении катушки к источнику с постоянным напряжением U показаны на графике рис. 20.1б.

Отключение и замыкание RL-цепи

Если цепь с катушкой, в которой проходит установившийся ток I (рис. 20.1а), разомкнуть, то ток i в такой цепи с большой скоростью уменьшается до нуля и в катушке индуктируется большая ЭДС самоиндукции e_L

Эта ЭДС полностью приложена к клеммам ключа, так как при размыкании сопротивление ключа становится бесконечно большим. Эта ЭДС вызывает значительное увеличение электрического поля между контактами ключа, а следовательно, и напряженности поля. Большая напряженность электрического поля может вызвать искровой и даже дуговой разряд между размыкающимися контактами ключа, в результате чего обгорают контакты ключа.

Поэтому рубильники в RL-цепях шунтируются специальными устройствами, которые обеспечивают гашение дугового разряда. Для гашения дугового разряда необходимо одновременно с отключением катушки индуктивности от источника замкнуть ее на разрядное сопротивление R₀ (рис. 20.2а).

Уменьшение тока при отключении катушки от источника (рис. 20.1а) происходит по закону

Наглядно это уменьшение можно наблюдать на рис. 20.1б, если кривую изменения e_L считать кривой уменьшения тока в соответствующем масштабе.

Постоянная времени при отключении катушки от источника с постоянным напряжением U определяется как и при включении катушки на это напряжение, т.е.

Если катушку с установившимся током I, зашунтированную сопротивлением R_o (рис. 20.2а), отключить от источника (разомкнуть ключ К), то в замкнутом контуре ABCD в начальный момент коммутации пройдет ток , т.е. установившийся ток. Этот ток I может оказаться недопустимо большим резистора с сопротивлением R_o.

Для определения активного сопротивления катушки и полного ее сопротивления включают амперметр А и вольтметр V (рис. 20.26), т.е. вместо резистора с сопротивлением R_o в контур CD (рис. 20.26) включен вольтметр V. Этот вольтметр может не быть рассчитан на установившийся ток I, проходящий через него и размыкании ключа, в результате чего может сгореть. Чтобы «сжечь» вольтметр (рис. 20.26), сначала необходимо отключить вольтметр, а затем разомкнуть ключ К.

Как видно, за счет переходных процессов в цепях с индуктивностью возникают большие токи и напряжения. С этим необходимо считаться и учитывать при проектировании и эксплуатации цепей с индуктивностью.

Зарядка, разрядка и саморазрядка конденсатора

Если конденсатор с сопротивлением (утечки) R и емкостью С подключить к источнику с постоянным напряжением U (замыканием ключа К), то в цепи (рис. 20.3а) появится ток зарядки конденсатора (см. (11.16)):

где - напряжение на конденсаторе в любой момент времени переходного процесса.

По второму закону Кирхгофа для цепи зарядки конденсатора (рис. 20.3а) можно записать уравнение

где произведение RC имеет размерность времени, обозначается буквой и называется постоянной времени переходного процесса в RC-цепи, т. е.

Уравнение (20.13) можно записать в виде

Если в уравнении (20.15) разделить переменные, проинтегрировать, а затем спотенцировать, то получится выражение

где U — установившееся напряжение RC-цепи; -свободная составляющая напряжения на конденсаторе; т.е. 

Следовательно, напряжение на заряжающемся конденсаторе в любой момент времени t переходного процесса определяется выражением

По (20.17), пользуясь Приложением 9, можно определить, что за время t= конденсатор зарядится до напряжения = 0,63 U, а за время t=4,6 — до напряжения =0,99U.

Теоретически зарядка конденсатора длится бесконечно долю а практически конденсатор считается заряженным, когда напряжение на нем достигает 99 % напряжения источника U.

Таким образом, и в RC-цепи, чем больше постоянная времени , тем больше времени t тратится на зарядку конденсатор, т. е. и в данном случае постоянная времени  характеризует дли тельность зарядки и разрядки конденсатора.

Ток i при зарядке конденсатора (см. (20.13)) уменьшается по за кону
(20. IS)

где  - максимальный ток, который имеет место в начальный момент t=0 зарядки конденсатора (момент коммутации).

За время t= ток в цепи заряжающегося конденсатора уменьшится до 0,37 I, а за время t= 4,6 — до 0,01 I, при котором переходный процесс можно считать законченным.

Графики изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи арядки конденсатора изображены на рис. 20.36.

Если конденсатор емкостью С, заряженный предварительно до напряжения U, разряжать через резистор с сопротивлением R рис. 20.4а), то напряжение на конденсаторе и ток в цепи разрядки будут уменьшаться по закону

где U — напряжение на конденсаторе до начала разрядки (при t= 0), а  - максимальный ток в начальный момент разрядки R (при t=0), = RC - постоянная времени в цепи разрядки конденсатора.

За время t= напряжение и ток уменьшатся до 37 % своих максимальных значений. Изменение напряжения и тока на разряжающемся конденсаторе показаны на рис. 20.46 (в разных масштабах).

Если конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, отсоединить от источника, то он будет разряжаться через свой диэлектрик. Напряжение на нем будет уменьшаться по закону . Процесс разрядки конденсатора через свой диэлектрик называется саморазрядом.

Постоянная времени саморазряда зависит от физических свойств диэлектрика

где р — удельное сопротивление диэлектрика; — электрическая постоянная; — диэлектрическая проницаемость диэлектрика (относительная).

Для определения напряжения, тока, ЭДС в любой момент переходного процесса -цепи и -цепи можно воспользоваться таблицей показательных функций (Приложение 9).

Пример 20.1

Катушка электромагнита с параметрами =11 Ом и = 0,11 мГн подключена к сети постоянного тока с напряжением =110 В. Определить время t, за которое ток в катушке i увеличится от нуля до 8 А. Определить, какого значение достигнет ЭДС самоиндукции e_L за время t.

Решение

Установившийся ток

Постоянная времени для катушки

Подставляем значение величин в (20.10):

, откуда .

По Приложению 9 определяется  = 1,6, откуда

ЭДС самоиндукции за время с уменьшается со 110 В до значения

Пример 20.2

К зажимам катушки индуктивности с параметрами = 100 Ом, = 10 Гн подключен вольтметр V (рис. 20.26) электродинамической системы. Сопротивление вольтметра 5000 Ом. Напряжение на клеммах источника U= 200 В.

Определить напряжение на зажимах вольтметра и ток в обмотках прибора (обмотки соединены последовательно) при t=0, если размыкание рубильника К произойдет мгновенно и дуги не возникнет.

Решение

До размыкания рубильника через катушку проходил ток

В момент размыкания рубильника (t = 0) весь этот ток проходит обмоткам вольтметра. При этом на вольтметре напряжение cтанет равным

Такого напряжения (10 кВ) и такого тока (2 А) обмотка вольтметра (обычно подвижная обмотка электродинамического прибора рассчитана на ток порядка десятков, максимум, сотен миллиампер) не выдержит и сгорит.

При размыкании рубильника с конечной скоростью между расходящимися контактами рубильника К (рис. 20.26) возникнет электрическая дуга. Это приведет к тому, что увеличение напряжения на вольтметре и тока через обмотки вольтметра будет меньше, чем в рассмотренном выше случае (мгновенное размыкание рубильника). Однако меры предосторожности для сохранения вольтметра и рубильника, описанные выше, нужно соблюдать.

Пример 20.3

Конденсатор емкостью С= 2 мкФ через сопротивление R= 500 кОм подключается к источнику с постоянным напряжением U= 220 В.

Определить напряжение на конденсаторе и ток в цепи заряда конденсатора i через 2 с от начала заряда конденсатора t= 2 с), а также время t', за которое этот конденсатор зарядится р напряжения U_c= 150 В.

Решение

Постоянная времени заряда конденсатора

Напряжение на конденсаторе через 2 с от начала заряда

Ток в цепи заряда конденсатора через 2 с от начала заряда

так как 

Время t' заряда конденсатора до напряжения 150 В определяется по формуле (20.17):

Откуда 

Из таблицы показательных функций (Приложение 9) находят t'= 1,14 с.

Пример 20.4

Параметры цепи, изображенной на рис. 20.5, следующие:

Определить значение токов в ветвях через время t= 2 с после замыкания ключа К.

Решение

Для ветви (1) с индуктивностью определяются:

установившийся ток

и постоянная времени

Тогда ток через 2 с будет равен

Для ветви (2) с емкостью определяются:

максимальный установившийся ток по окончании переходного процесса

и постоянная времени .

Тогда ток зарядки через 2 с будет равен

Для ветви (3) с активным сопротивлением определяется ток ветви

Постоянная времени = 0, так как отсутствуют L и С.

Через 2 с значение тока будет таким же, т. е.

Переходные процессы в электрических цепях. Классический метод расчета

Возникновение переходных процессов:

В предыдущих главах рассматривались установившиеся процессы в линейных электрических цепях, т. е. такие процессы, при которых напряжения и токи либо неизменны во времени (цепи постоянного тока), либо представляют собой периодические функции времени (цепи переменного тока).

Наступлению установившегося процесса, отличного от первоначального режима работы цепи, предшествует, как правило, переходный процесс, при котором напряжения и токи изменяются непериодически.

Переход от одного режима работы цепи к другому может быть вызван изменением параметров или схемы цепи, называемым в общем случае в электротехнике коммутацией.

Можно теоретически считать, что коммутация цепи производится мгновенно, т. е. на включение, выключение или переключение цепи время не расходуется. Тем не менее переход от исходного режима работы цепи к последующему установившемуся процессу происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Объясняется это тем, что каждому состоянию цепи соответствует определенный запас энергии электрических и магнитных полей. Переход к новому режиму связан с нарастанием или убыванием энергии этих полей. Энергия запасаемая в магнитном поле индуктивности L, и энергия запасаемая в электрическом поле емкости С, не могут изменяться мгновенно: энергия может изменяться непрерывно, без скачков, так как в противном случае мощность, равная производной энергии по времени, достигала бы бесконечных значении, что физически невозможно. Именно поэтому, например, в случае размыкания ветви с индуктивной катушкой в месте размыкания неизбежно возникает искра, в сопротивлении которой расходуется энергия, накопленная в магнитном поле индуктивной катушки. Аналогично если замкнуть накоротко выводы конденсатора, который был предварительно заряжен, то запасенная в нем электрическая энергия рассеется в сопротивлении соединяющего провода и между контактами.

Если исключить случаи размыкания индуктивности и замыкания накоротко емкости и рассматривать цепи, в которых энергия, накапливаемая в магнитном или электрическом поле, может рассеиваться в виде теплоты в сопротивлениях, то, считая, что коммутация происходит мгновенно, можно искрообразование не учитывать.

Для завершения переходного и наступления установившегося процессов теоретически требуется бесконечно большое время. Практически, однако, время переходного процесса определяется малым интервалом, по истечении которого токи и напряжения настолько приближаются к установившимся значениям, что разница оказывается практически неощутимой. Чем интенсивнее происходит рассеяние энергии в сопротивлениях, тем быстрее протекает переходный процесс.

Если бы электрическая цепь состояла только из сопротивлений и не содержала индуктивностей и емкостей, то переход от одного установившегося состояния к другому совершался бы мгновенно, без затраты времени. В реальных электротехнических устройствах тепловые потери, обусловленные током, магнитные и электрические поля сопутствуют друг другу. Применяя специальные схемы и подбирая соответствующие параметры цепи, можно в зависимости от необходимости ускорить или замедлить переходный процесс.

В одних случаях переходные процессы в электрических цепях нежелательны и опасны (например, при коротких замыканиях в энергетических системах). В других случаях переходный процесс представляет собой естественный, нормальный режим работы цепи, как это, например, имеет место в радиопередающих и радиоприемных устройствах, системах автоматического регулирования и других цепях.

Существуют различные методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях. Настоящая глава посвящена классическому методу решения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы.
 

Законы коммутации и начальные условия

Высказанные выше положения о том, что запас энергии магнитного или электрического поля может изменяться только плавно, без скачков, выражают принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости и называются законами коммутации.

Невозможность скачкообразного изменения потокосцепления следует из того, что в противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое напряжение что лишено физического смысла. Ввиду равенства принцип непрерывности потокосцепления означает, что при неизменном L ток i не может изменяться скачком. Итак, в начальный момент после коммутации ток в индуктивности остается таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

Аналогично невозможность скачкообразного изменения электрического заряда q следует из того, что в противном случае через емкость проходил бы бесконечно большой ток, что также лишено физического смысла. Ввиду равенства принцип непрерывности электрического заряда означает, что при неизменном С напряжение не может изменяться скачком. Итак, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости остается таким же, каким оно было непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

При этом следует отметить, что в цепях с идеализированными сосредоточенными параметрами скачкообразно могут изменяться: 1) токи в сопротивлениях и емкостях и 2) напряжения на сопротивлениях и индуктивностях.

Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями.

Обычно принимают, что коммутация происходит в момент времени t= 0; тогда ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени непосредственно перед коммутацией обозначаются через а в начальный момент переходного процесса после коммутации — через

На основании законов коммутации:

Эти равенства выражают начальные условия цепи, в которых происходит коммутация.

При нулевых начальных условиях, т. е. косцаиндуктивность в начальный момент после коммутации равносильна разрыву цепи, а емкость равносильна короткому замыканию.

В случае ненулевых начальных условий, т. е. когда индуктивность в первый момент равносильна источнику тока , а емкость равносильна источнику э. д. с. (0).

Независимые начальные условия характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную к моменту коммутации, и для расчета переходного процесса обязательно требуется знание этих начальных условий, причем совершенно безразлично, каким образом эти условия в цепи были созданы.

При расчете переходных процессов в разветвленных электрических цепях наряду с независимыми начальными условиями используются так называемые зависимые начальные условия, а именно: значения токов, напряжений и их производных в начальный момент времени (t = 0).
До сих пор нами исключались из рассмотрения случаи коммутации, при которых неизбежно между контактами возникает искра или дуга. Один из таких случаев показан на рис. 14-1, а. До коммутации ток проходит через индуктивность и контакт, шунтирующий индуктивность ток в равен нулю. В момент t = 0 контакт размыкается и индуктивности и оказываются включенными последовательно; ток в них принудительно становится одинаковым. Поскольку в момент коммутации ток в не изменяется, а ток в равен нулю, в силу первого закона Кирхгофа ток должен замкнуться через дугу, образовавшуюся между контактами. Кроме того, если под подразумевать реальную индуктивную катушку, то ток может частично

замкнуться и через межвитковую емкость. После быстрого погасания дуги токи в уравниваются. Эта начальная стадия переходного процесса протекает столь быстро, что ею практически можно пренебречь, считая, что токи в уравниваются мгновенно. Именно в этом смысле можно условно говорить о скачкообразном изменении токов в индуктивностях, которое предшествует исследуемому переходному процессу в цепи. При этом для расчета переходного процесса используется принцип непрерывности суммарного потокосцепления при коммутации, т. е. . Скачкообразное изменение токов и соответствующих им потоков в Lx и L2 в момент коммутации не сопряжено в данном случае с наведением бесконечно большой суммарной э. д. с. самоиндукции, поскольку суммарное лотокосцепление не претерпевает скачкообразного изменения. При новых значениях токов в магнитная энергия, запасенная в катушках, будет меньше энергии, запасенной в первой катушке до коммутации. Часть энергии превратится в тепло в искре, а также излучится.

Найденный таким образом ток может рассматриваться как независимое начальное условие для расчета переходного процесса во всей цепи на рис. 14-1, а после разрыва дуги.

При коммутациях в цепях с емкостями при отсутствии сопротивлений также возможны весьма быстрые перераспределения зарядов, условно рассматриваемые как мгновенные. В этом случае применим принцип непрерывности суммарного заряда. Полученные при этом значения зарядов и напряжений на отдельных емкостях используются в расчете последующего переходного процесса как независимые начальные условия.

Например, в случае схемы на рис. 14-1, б принцип непрерывности суммарного заряда до и после коммутации выражается равенством

При сделанном допущении в остальной электрической цепи, соединенной с емкостями, не возникает бесконечно большого тока, так как суммарный заряд не изменяется скачкообразно при t=0.

В процессе рассматриваемой коммутации энергия электрического поля уменьшится, так как часть ее превратится в тепло в очень малом сопротивлении проводника при очень большом токе, а также сможет выделиться в искре и излучиться.

Установившийся и свободный режимы

В общем случае анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами r, L, С и М сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражаюших законы Кирхгофа. Эти уравнения представляют собой линейную комбинацию напряжений, токов, их первых производных и интегралов по времени.

Например, если какая-нибудь э. д. с. е (t) включается в цепь, состоящую из последовательно соединенных r, L и С, то интегродифференциальное уравнение имеет вид:

Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго

порядка

Как известно, общий интеграл такого^ уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение выражает установившийся режим, задаваемый источником.

Расчеты установившихся токов рассмотрены в предыдущих главах. 

Общее решение физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях. Функции, определяемые общим решением, называются свободными составляющими (токов, напряжений и пр.).

В случае, рассмотренном выше, однородное уравнение имеет вид:

и соответствующее ему характеристическое уравнение

Если корни характеристического уравнения обозначить через , то общее решение запишется в виде:

где —    постоянные интегрирования,    которые определяются из начальных условий .

Полный переходный ток в цепи равен сумме установившегося и свободного токов:

Аналогично напряжение, заряд, магнитный поток и другие функции на любом участке цепи в переходном режиме    состоят    из установившейся и свободной    составляющих.

На основании законов коммутации  можно найти начальные независимые условия После этого можно написать согласно (14-7):

откуда

Итак, начальные значения свободных функций и (0) определяются изменениями в момент коммутации соответствующих установившихся функций.

В частном случае при нулевых начальных условиях:

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядков.

В цепях первого порядка накопление энергии происходит только в одном элементе, L или С в форме магнитной энергии, или электрической энергии . Одноконтурная цепь, содержащая элементы, в которых накапливается энергия обоих видов — магнитная « электрическая, представляет собой цепь второго порядка . Разветвленные цепи могут быть более высокого порядка.

Переходный процесс в цепи r, L

Положим, что в момент t = 0 цепь, состоящая из сопротивления r и индуктивности L, включенных последовательно, присоединяется к источнику э. д. с. е (t) (рис. 14-2).

Дифференциальное уравнение для времени записывается в виде

Характеристическое уравнение имеет види соответственно корень уравнения

Отсюда свободный ток

Переходный ток в цепи определится суммой установившегося и свободного токов:

Установившийся ток может быть найден, если задана э. д. с. е (t).

Рассмотрим три случая:

1)    включение в цепь г, L постоянной э. д. с. £;

2)    короткое замыкание цепи г, L

3)    включение в цепь г, L синусоидальной э. д. с.

1.    Включение в цепь г, L постоянной э. д. с.

При включении в цепь г, L постоянной э. д. с. Е установившийся ток равен Е’/г. Поэтому согласно (14-9)

Постоянная интегрирования А находится по начальному условию

Согласно уравнению (14-10) при t — 0

откуда Следовательно,

здесь — предельное значение, к которому стремится ток i (t) по мере неограниченного возрастания t, называемое установившимся током.

В начальный момент t = 0 э. д. с. самоиндукции = и полностью компенсируется э. д. с. источника, так как ток i (0) равен нулю.

С течением времени э. д. с. самоиндукции убывает, а ток в цепи возрастает, асимптотически приближаясь к установившемуся значению.

На рис. 14-3 показаны кривые установившегося, свободного и переходного токов; на том же рисунке изображена кривая напряжения на индуктивности

Из курса математического анализа известно, что если, то подкасательная равна . В данном случае при любом значении t

Величина носит название постоянной времени. Постоянная времени измеряется в секундах:

Выражение (14-11) показывает, что постоянная времени графически определяется длиной подкасательной к кривой или при любом значении t.

Нарастание тока происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени и соответственно чем быстрее убывает э. д. с. самоиндукции. Для различных моментов времени ток в цепи, выраженный в процентах конечного (установившегося) значения составляет:

Следовательно, постоянная времени цепи г, L равна промежутку времени, в течение которого свободная составляющая тока убывает в е = 2,718 раза и соответственно ток в этой цепи, включенной на постоянное напряжение, достигает 63,2% своего установившегося значения.

Как видно из рис. 14-3 и приведенной выше таблицы", переходный процесс теоретически длится бесконечно долго. Практически же можно считать, что он заканчивается спустя

2.    Короткое замыкание цепи r, L.

Положим, что цепь r, L, присоединенная к источнику постоянного или переменного напряжения, замыкается при t = 0 накоротко (рис. 14-4, а). В образовавшемся при этом контуре r, L благодаря наличию магнитного поля индуктивной катушки ток исчезает не мгновенно: э. д. с. самоиндукции, обусловленная убыванием магнитного потока, стремится поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля.

По мере того как энергия магнитного поля постепенно рассеивается, превращаясь в сопротивлении г в тепло, ток в контуре приближается к нулю.

Процесс, происходящий в короткозамкнутом контуре г, L, является свободным; установившийся ток в данном случае равен нулю.

Положив в (14-9) получим:

Постоянная интегрирования А находится из начального условия

откуда

здесь i (0—) — значение тока в индуктивности в момент, непосредственно предшествовавший короткому замыканию; оно может быть положительным или отрицательным.

На рис. 14-4, б изображены кривые спада тока в короткозамкнутом контуре и кривая напряжения на индуктивности

в предположении, что i (0) > 0.

Постоянная времени контура может быть найдена графически как подкасательная к кривой i (t) (например-, в момент t = 0).

Переходный процесс в короткозамкнутом контуре заканчивается теоретически при . За это время в сопротивлении г выделяется в виде тепла энергия

т. е. вся энергия, запасенная в магнитном поле катушки до коммутации.

Так же как и в предыдущем случае, переходный процесс в короткозамкнутом контуре можно практически считать законченным спустя

3.    Включение в цепь r, L синусоидальной э. д. с.

При включении в цепь r, L синусоидальной э. д. с. установившийся ток будет:

где

На основании (14-9)

где

Постоянная интегрирования определяется по начальному условию

Следовательно, откуда А =Поэтому искомый ток будет:

На рис. 14-5, а изображены кривые Начальные ординаты одинаковы и противоположны по знаку; поэтому ток в начальный момент равен нулю. Свободный ток убывает по показательному закону. По истечении времени свободный ток уменьшается в е=2,718 раза по сравнению с начальным значением (0). Постоянная времени прямо пропорциональна добротности
контура Q и обратно пропорциональна частоте
Если в момент коммутации (t = 0) ток проходит через нуль, т. е. выполняется условие или = , то свободный ток не возникает и в цепи сразу наступает установившийся режим без переходного процесса.

Если же коммутация происходит при то начальный свободный ток максимален (рис. 14-5, б),

а именно и ток переходного режима дости-

гает экстремального значения (положительного или отрицательного) в конце первого полупёриода. Однако даже в предельном случае, когда r= 0 и, следовательно, ток не может превышать амплитуды установившегося режима более чем вдвое.

При достаточно большой постоянной времени первым слагаемым в правой части дифференциального уравнения
можно пренебречь по сравнению со вторым слагаемым, приняв приближенно, откудаи соответственно 

Следовательно, цепь с последовательно соединенными сопротивлением и индуктивностью при большой постоянной времени можно рассматривать как интегрирующее звено.

В свою очередь при достаточно малой постоянной времени, пренебрегая вторым слагаемым уравнения, приближенно получаем:

откуда
.
т. e. цепь с последовательно соединенными сопротивлением и индуктивностью при малой постоянной времени представляет собой дифференцирующее звено.

В обоих случаях функция е(t) может быть произвольной.

Интегрирующие и дифференцирующие звенья входят в качестве элементов в системы автоматического управления и регулирования.
 

Переходный процесс в цепи r, С

Положим, что в момент t = О цепь, состоящая из сопротивления г и емкости С, включенных последовательно, присоединяется к источнику э. д. с. е (t) (рис. 14-6).

На основании второго закона Кирхгофа уравнение для времени t 0 имеет вид:

где — напряжение на емкости.
С учетом того, что
получим:

здесь искомой величиной является напряжение на емкости.

Характеристическое уравнениеи соответственно корень уравненияСледовательносвободная слагающая напряжения на емкости

где — постоянная времени контура r, С (измеряется в секундах: 

Переходное напряжение на емкости равно сумме принужденного и свободного напряжений:

В свою очередь ток в контуре

Рассмотрим три случая:

1)    включение в цепь г, С постоянной э. д. с.

2)    короткое замыкание цепи r, С

3)    включение в цепь r, С синусоидальной э. д. с.

Включение в цепь r, С постоянной э. д. с.

Включим постоянную э. д. с. Е в цепь с сопротивлением г и предварительно заряженной емкостью С (полярности заряженной емкости указаны на рис. 14-6 знаками + и —); начальное напряжение на емкости

(0) обозначим для простоты через U.

Установившееся напряжение на емкости равно э. д. с. источника. Поэтому согласно (14-12)

Постоянная интегрирования А, входящая в (14-14), находится по начальному условию:

При t = 0 имеем откуда Следовательно,

Согласно (14-13) ток в контуре

Если Е > U, то с течением времени напряжение на емкости возрастает, стремясь к установившемуся значению Е, а ток убывает, стремясь в пределе к нулю; на рис. 14-7, а изображены кривые нарастания и спада i. Чем больше постоянная времени, тем медленнее происходят нарастание и спад i.

Если Е < U, то кривые и i имеют вид, показанный на рис. 14-7, б.

Постоянная времени может быть найдена так же, как раньше, графически как подкасательная к кривой i в любой точке (например, при t = 0).

Закон изменения напряжения на емкости и тока в данной цепи аналогичен закону изменения тока и напряжения в контуре r, L, рассмотренном ранее. Поэтому все сказанное о постоянной времени в предыдущем случае сохраняет силу для данного случая.

Короткое замыкание цепи r, С

Замыкание накоротко цепи, состоящей из последовательно соединенных г и С, равносильно принятию в предыдущем случае э. д. с., равной нулю. Предполагается, что емкость С заряжена, т. е. в момент включения на выводах имеется напряжение U.

Положив в (14-15) и (14-16) э. д. с. Е равной нулю, получим:

где
При коротком замыкании цепи r, С электрический ток идет от вывода + к выводу — Следовательно, при выбранной на рис. 14-6 полярности емкости ток проходит через сопротивление r в направлении, противоположном тому, которое принято на рис. 14-6 за положительное. Поэтому в выражении для тока стоит знак минус. На рис. 14-8 изображены кривые спала и i.

В отличие от напряжения на емкости, которое изменяется непрерывно, ток в контуре r, С, пропорциональный скорости изменения  совершает при t = 0 скачок.

Энергия, рассеиваемая в сопротивлении г в течение всего переходного процесса, равна энергии, запасенной в электрическом поле до коммутации:

Так же как и в случае цепи r, L, переходный процесс может считаться законченным спустя так как

к этому времени емкость разрядится на 98,2—99,3% и напряжение на емкости снизится до 1,8—0,7% первоначального.

Включение в цепь г, С синусоидальной э. д. с.

При включении в цепь r, С синусоидальной э. д. с. установившееся напряжение на емкости

на основании (14-12)

Если предполагать, что конденсатор не был заряжен, то постоянная интегрирования определится по начальному условию (0) = 0:

откуда

Тогда искомое напряжение на емкости будет:

а ток в цепи

Из написанных выражений видно, что если включение цепи r, С происходит в момент, когда установившийся ток должен достигать максимума — положительного или

отрицательного (т. е. а установившееся

напряжение на емкости должно быть равно нулю, то свободной слагающей напряжения на емкости не возникает и в цепи сразу же без переходного процесса наступает установившийся режим.

Так как цепь г, С по протеканию переходного процесса подобна цепи г, L, то при соответствующем подборе параметров г и С она также может служить дифференцирующим и интегрирующим звеном.

Переходный процесс в цепи r, L, С

При включении в цепь г, L, С э. д. с. е (t) (рис. 14-9) переходный процесс исследуется с помощью дифференциального уравнения (14-3):

Соответствующее ему характеристическое уравнение (14-5)
имеет корни

  -резонансная частота.

Свободный ток согласно (14-6) равен:

Ток в цепи определяется суммой установившегося и свободного токов:

Установившийся ток находится в соответствии с заданной э. д. с. е (t). Что касается свободного тока, то его характер зависит от знака подкоренного выражения (14-17).
 

Включение в цепь г, L, С постоянной э. д. с.

Рассмотрим сначала случай, когда э. д. с. источника постоянна: е = Е, и емкость имеет начальное напряжение

Ввиду наличия индуктивности начальное значение тока i (0) = 0.

Исходное уравнение

для начального момента записывается в виде

откуда находится начальное значение производной,

которое является зависимым начальным условием, необходимым для вычисления :

При установившемся режиме ток будет равен нулю, что следует как из физического смысла, так и из вида правой части дифференциального уравнения (14-3). Продифференцировав (14-18) с учетом того, что = 0, получим:

Подставляя в (14-18) и (14-20) t = 0 и используя (14-19), получаем:

Из этих уравнений следует:

поэтому

Рассмотрим возможные три случая.

Случай 1. {апериодический процесс).

Согласно (14-17) корни характеристического уравнения— отрицательные действительные числа (рис. 14-10, а). Если индекс 1 соответствует верхнему знаку перед корнем, т0 и поэтому кривая спадает медленнее, чем На рис. 14-11 показана кривая i, построенная по выражению (14-21).

При больших значениях С влияние емкости мало и кривая тока приближается к кривой тока в цепи r, L (см. рис. 14-3); при малых значениях L влияние индуктивности незначительно и кривая тока близка к кривой тока в цепи г, С (рис. 14-7).

Выражение (14-21) может быть преобразовано в гиперболическую форму

Следует заметить, что при коротком замыкании цепи г, L, С, т. е. при Е = О, ток в цепи обусловливается разрядом емкости.

Случай 2.{критический случай).

Согласно (14-17) корни характеристического уравнения одинаковы:

(см. рис. 14-10, б).

Выражение (14-21) приводит в этом случае к неопределенности вида 0/0.

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя дифференцированием числителя и знаменателя по получаем:

To же выражение получится, если воспользоваться общим решением однородного дифференциального уравнения с кратными корнями:

В рассматриваемом случае и

Следовательно,

Кривая тока аналогична кривой i на рис. 14-11.

Случай 3. т. е. (колебательный процесс).

Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:

Согласно (14-24)

Корни характеристического уравнения располагаются симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости, на полуокружности, центр которой совпадает с началом координат, а радиус равен (см. рис. 14-10, в).

Сопоставление рис. 14-10, а, б к в показывает, что о характере переходного процесса в цени г, L, С можно судить по расположению корней характеристического уравнения, т. е. нулей функции Z (р), на комплексной плоскости.

Если расположенные в левой полуплоскости нули функции Z (р) лежат на действительной оси, то имеет место апериодический процесс: совмещению нулей в одной точке отвечает критический случай; наконец, если нули функции Z (р) являются комплексно-сопряженными, то имеет место колебательный процесс.

Величина (рис. 14-10, в) называется угловой частотой свободных или собственных колебаний в цепи г, L, С, а  периодом этих колебаний Ток в цепи согласно (14-22)

Полученное выражение показывает, что при включении цепи г, L, С на постоянное напряжение, когда в цепи возникают затухающие синусоидальные колебания,причем огибающими кривой тока служат кривые:
(рис. 14-12). Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию

* Тот же результат получится, если исходить из общего решения однородного дифференциального уравнения с комплексно-сопряженными корнями:

магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в сопротивлении.

При ордината огибающей в е = 2,718 раза меньше начального значения огибающей. Поэтому величину называют постоянной времени колебательного контура.

На рис. 14-12 показана также кривая напряжения на емкости, которая в другом масштабе выражает также зависимость электрического заряда q от времени. Функции и i имеют одинаковый множитель затухания. При нулевых начальных условиях (U = 0) кривая начинается с нуля.

Как видно из (14-23) и рис. 14-10, в, угловая частота этих колебаний определяется абсолютным значением ординаты корня характеристического уравнения, которая при всегда меньше резонансной частоты

Чем меньше по сравнению с , тем медленнее затухает колебательный процесс и тем больше частота собственных колебаний цепи г, L, С приближается к резонансной частоте.

В пределе, при колебания не затухают и корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси (см. рис. 14-10, в).

О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине называемой декрементом колебания, или величине 8называемой логарифмическим декрементом колебания.

На рис. 14-13, а—г показано изменение характера переходного процесса при уменьшении

Приведенные выше величинысвязаны с параметрами последовательного резонансного контура — добротностью и затуханием d = 1 /Q,:

При достаточно высокой добротности В этом случае Для контура среднего качества и логарифмический декремент .

Включение в цепь г, L, С синусоидальной э. д. с.

Если цепь г, L, С присоединяется к источнику синусоидальной э. д. с., то установившийся

ток равен:

и переходный ток согласно (14-18) равен:

Кривые установившегося, свободного и- переходного токов при апериодическом и колебательном процессах показаны в виде примера на рис. 14-14.

Частота установившегося тока равна частоте источника синусоидального напряжения, свободный же ток при изменяется с собственной частотой цепи Частота может быть в зависимости от параметров r, L и С меньше, больше или равна частоте

Свободные колебания тока накладываются на установившийся ток и затухают пропорционально множителю По мере затухания свободного тока кривая переходного тока приближается к кривой установившегося тока.

Та из двух слагающих тока i, частота которой меньше, служит как бы криволинейной осью для другой слагающей, колеблющейся относительно нее (рис. 14-14, б). При близком совпадении частот в цепи возникают биения. 

Расчет переходного процесса в разветвленной цепи

Переходный процесс в разветвленной линейной электрической цепи описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общее решение которых находится как сумма установившейся и свободной составляющих.

Рассмотрим сначала методику расчета установившегося режима.

Во многих случаях воздействующая функция, например

э.    д. с. источника, может быть представлена в обобщенной форме— комплексное число. В зависимости от значений буквенных величин, входящих в приведенное выражение, получается тот или иной закон изменения э. д. с., причем мгновенные значения э. д. с. определяются мнимой или действительной частью выражения.

Условие соответствует гармонической э. д. с. с возрастающей (с > 0), убывающей (с < 0) или неизхменной (с = 0) амплитудой (рис. 14-15).

Условие = 0 соответствует возрастающей (с > 0) или убывающей (с < 0) показательной функции; при с = 0 э. д. с. постоянна (рис. 14-16).

Задавшись э. д. с. , ищем установившийся ток. в виде Данная функция при дифференцировании (по переменной t) умножается на р, а при интегрировании делится на р. Поэтому подстановка выражения в исходное дифференциальное (или интегродифференциаль-ное) уравнение приводит к алгебраическому’ уравнению, которое отличается от уравнения для установившегося режима, записанного в комплексной форме, только тем, чтозаменяется на р. Таким образом, установившийся ток получается равным

В зависимости от схемы и постановки задачи Z (р) означает обобщенное входное сопротивление или величину, обратную обобщенной передаточной проводимости;Z (р) получается из соответствующего комплексного сопротивления заменой

Мгновенные значения тока определяются мнимой или действительной частью

В случае синусоидальной э. д. с. (с = 0; р ) установившийся ток также синусоидальный

Если э. д. с. есть показательная функция то установившийся ток изменяется также по показательному закону

где

При постоянной э. д. с. установившийся ток равен постоянному току

где z (0) — сопротивление при постоянном токе.

Перейдем теперь к рассмотрению свободного режима.

Свободные составляющие представляют собой общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений. Для заданной цепи степень характеристического уравнения не зависит от выбора контуров, для которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Однако если выбрать контуры так, чтобы порядок дифференциальных уравнений был наименьшим, то степень характеристического уравнения не будет превышать суммы порядков исходных дифференциальных уравнений системы. При этом, как будет показано ниже, для получения характеристического уравнения отнюдь не обязательно приводить систему дифференциальных уравнений к одному уравнению относительно одной неизвестной функции.

Корни характеристического уравнения могут быть действительными или комплексными. Если корни комплексные, то они всегда образуют комплексно сопряженные пары. В связи с этим характеристическое уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень, остальные же корни могут быть действительными или комплексно-сопряженными; характеристическое уравнение четной степени имеет четное число действительных или комплексно-сопряженных корней. Действительные части всех корней характеристического уравнения всегда отрицательны, что физически обусловлено затуханием свободных составляющих в пассивных цепях с течением времени. При этом все коэффициенты характеристического уравнения должны быть действительными и положительными.

Корни единого характеристического уравнения используются для нахождения в данной цепи свободных составляющих как токов, так и напряжений.

Допустим, что характеристическое уравнение имеет п корней. Тогда свободный ток в любой ветви

здесь — корни характеристического уравнения, — постоянные интегрирования.

Аналогичная структура решения получается и для свободных составляющих напряжений.

В случае, когда является действительным корнем т-й кратности, решение для этого корня записывается в виде

Если имеются сопряженные комплексные корни, например то выражение

преобразуется в

Для m-кратных сопряженных комплексных корней решение принимает вид:

Методика получения характеристического уравнения иллюстрирована ниже на примере двухконтурной схемы, изображенной на рис. 14-17.

Первый контур содержит сопротивления и индуктивность L, второй контур содержит сопротивления и емкость С; поэтому порядок дифференциального уравнения для каждого из этих контуров равен единице:

Соответственно степень характеристического уравнения равна 2.

Для получения характеристического уравнения применяется следующий прием. Система дифференциальных уравнений для свободных слагающих токов

записывается в символической алгебраической форме, при которой символ р заменяет операцию дифференцирования, а символ 1/р — операцию интегрирования:

Данная система уравнений имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю, т. е.

или

Таким образом, получается характеристическое уравнение второй степени

Ввиду прямой пропорциональности, существующей между входным сопротивлением цепи Z (р) и определителем системы (р), то же характеристическое уравнение получается и по формуле Z (р) = 0.

Операторное сопротивление Z (р) получается из комплексного сопротивления заменойна р. При этом, разомкнув любую ветвь в пассивной цепи, находим в месте размыкания входное сопротивление Z (р) *.

Если характеристическое уравнение имеет степень л, то искомыми являются п постоянных интегрирования входящих в выражение (14-26)    . Постоянные интегрирования находятся в результате решения системы n уравнений, соответствующих моменту времени t = 0. Эта система уравнений получается путем

(n — 1)-кратного дифференцирования уравнения (14-26):

Значения свободного тока и его производных при t =0, входящие в (14-27), находятся предварительно на основании законов коммутациии уравнений Кирхгофа.

Для определения начальных значений токов и напряжений в цепи можно для наглядности воспользоваться схемой замещения, которая составляется из исходной схемы после коммутации, если заменить индуктивности идеальными источниками тока с токами, равными а емкости — идеальными источниками э. д. с. (0). Эта схема замещения справедлива только для t = 0.

При нулевых начальных условиях индуктивность равносильна разрыву ветви, а емкость — короткому замыканию.

По этой схеме замещения можно найти другие токи и напряжения в момент t=0, если воспользоваться уравнениями Кирхгофа или правилами преобразования схем.

Итак, в соответствии со сказанным выше расчет переходного процесса классическим методом проводится в следующем порядке:

1. Производится расчет режима до коммутации, из которого определяются конечные значения (т. е. при t=0—) функций, не меняющихся скачком (токов в индуктивностях, напряжений на емкостях). Далее с использованием законов коммутации находятся независимые начальные условия, т. е.
2. Составляется система дифференциальных уравнений Кирхгофа, описывающая процесс в цепи после коммутации.
3. Находится общее решение системы однородных дифференциальных уравнений.
4. Находится тем или иным методом частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений, указанных в n. 2, соответствующее принужденному режиму цепи.
5. Определяются зависимые начальные условия для искомых функций на основании найденных в п. 1 независимых начальных условий и уравнений Кирхгофа из п. 2, примененных для t = 0.
6. По начальным условиям определяются постоянные интегрирования, содержащиеся в общем решении.
7. Найденные установившиеся и свободные токи и напряжения складываются 

Приведенный ниже пример 14-1 иллюстрирует нахождение начальных условий; в примере 14-2 дан численный расчет переходного процесса в цепи на рис. 14-17.
Пример 14-1. В цепи, изображенной на рис. 14-18, моменту t= 0 предшествовал установившийся режим постоянного тока. При t = 0 замкнулся контакт К. Найти начальные значения тока в.индук- is & тивности и напряжений на емкостях и их первых производных.

Независимыми начальными условиями будут ток в индуктивности и напряжения на емкостях иг и

Напряжения на емкостях до коммутации находятся из условий равенства их зарядов (так как емкости соединены последовательно) и равенства суммарного напряжения на емкостях напряжению на сопротивлении

откуда

Требуемые зависимые начальные условия определятся из уравнений

¹В случае, когда э. д. с. изменяется в виде импульса, имеющего кусочно-аналитическую форму, представляется часто целесообразным применять интеграл Дюамеля

токи же — из уравнений Кирхгофа после коммутации:

Подстановка в эти уравнения найденных значений и

дает:

и далее

Начальное значение производной тока в индуктивности определяется также из уравнения Кирхгофа:

откуда при t = О

Пример (4-2. Определить ток i в иепи на рис. 14-17, если известно, что е = E = 100 В,

Подстановка заданных значений в приведенное выше характеристическое уравнение дает:

или

корни характеристического уравнения комплексные:

Искомый ток

Установившийся ток

Свободный ток

В начальный момент следовательно, 0 = 0,952 + М, откуда М= — 0,952.

Производная тока по времени

В начальный момент

Следовательно, в начальный момент напряжение на ветви (и параллельной ей ветви равно Начальное значение

производной) определяется из уравнений откуда

Следовательно, подставляя значение в выражение для производной при t= 0, получаем:

откуда

Итак,

 

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами (в линиях, обмотках электрических машин и т. п.) возникают при коммутациях, передаче непериодических сигналов или под влиянием внешнего электромагнитного поля (например, при грозовых разрядах). Для исследования переходных процессов в однородных цепях с распределенными параметрами пользуются дифференциальными уравнениями (11-2) в частных производных:

где r, L, g и С — параметры цепи на единицу длины; х — координата рассматриваемой точки, отсчитываемая от начала цепи.

В общем виде решение этих дифференциальных уравнений достаточно сложно. Решение упрощается, если пренебречь потерями В этом случае
е. считать, что r и    g равны нулю.

В этом случае

Дифференцируя (14-28) по х:

и используя (14-29), получаем:

Дифференциальное уравнение (14-30) известно в математической физике под названием уравнения ко--лебаний струны. Его решение дано Даламбером и имеет вид:

где

Первая слагающая представляет собой одиночную прямую волну напряжения, которая без изменения перемещается в сторону возрастающих х, т. е. от начала к концу цепи. Для всех значений х, при которых const, эта слагающая имеет одно и-то же значение, т. е. волна движется со скоростью

Вторая слагающая представляет собой одиночную о б -ратную волну напряжения, которая без изменения перемещается в противоположном направлении.

Для нахождения тока произведем замену переменных, обозначив На основании (14-29) и (14-31)

Но

и

Следовательно,

Интегрирование последнего уравнения дает

Выражения (14-31) и (14-32) записываются сокращенно:

здесь — прямая и обратная волны тока; — волновое сопротивление.

Следовательно, напряжение и ток прямой и соответственно обратной волн связаны законом
Аналогичный результат был получен для установившихся прямой и обратной волн при рассмотрении синусоидального режима в однородной линии. Физически установившиеся волны представляют собой бесконечные суммы прямых и обратных одиночных волн, отраженных от обоих концов линии.

Итак, при отсутствии потерь в однородной цепи с распределенными параметрами напряжение и ток могут быть представлены как сумма и разность двух волн, движущихся с одинаковой скоростью в противоположных напряжениях, без изменения их формы. При этом в любой точке однородной цепи отношение, напряжения и тока для прямой и обратной волн равно волновому сопротивлению гв.

Если на пути распространения волны встречается неоднородность, например воздушная линия переходит в кабельную или волна достигает конца линии (разомкнутого или замкнутого через сопротивление или на короткое), происходит отражение волны. В зависимости от характера неоднородности отражение может быть частичным или полным. В первом случае наряду с отраженной волной возникает преломленная волна, распространяющаяся за место нарушения однородности; во втором случае преломленная волна отсутствует.

Обозначим — напряжение и ток в месте отражения;

— напряжение и ток падающей (прямой) волны;

Постоянная интегрирования может быть отнесена к функциям

— напряжение и ток отраженной (обратной) волны;

— напряжение и ток преломленной (прямой) волны;

— волновые сопротивления для прямой и обратной волн и преломленной волны

В месте неоднородности выполняется условие равенства
напряжений и токов:    

Следовательно,    

Подстановка в (14-36) значений дает: 

В результате совместного решения уравнений (14-35) — (14-37) находятся отраженная и преломленная волны:

где — коэффициент отражения.

Соответственно ток отраженной волны

а ток преломленной волны

Последнее выражение показывает, что ток в конце линии после отражения можно найти как ток в эквивалентной цепи, в которую включается напряжение, равное двойному напряжению падающей волны, и которая состоит из волнового сопротивления первой линии и последовательно соединенного с ним сопротивления нагрузки (в которое входит вторая линия своим волновым сопротивлением

Опишем процесс включения однородной линии без потерь. После присоединения линии к источнику э. д. с. по линии начнет распространяться зарядная волна, создающая напряжение и ток. Если в конце линии присоединена нагрузка, равная волновому сопротивлению линии,

то падающая волна, достигнув ее, не отразится и в линии сразу наступит установившийся режим. Если же нагрузка с линией не согласована, то падающая зарядная волна, достигнув конца линии, претерпит отражение. Распространяясь в обратную сторону, отраженная волна сложится с падающей, причем напряжения волн суммируются, а токи вычитаются (алгебраически). Достигнув начала линии, обратная волна снова отразится от источника э. д. с., как от короткозамкнутого конца; появится новая прямая волна напряжения и тока, которая также отразится от конца, и т. д. Процесс будет продолжаться до наступления установившегося режима. Теоретически в идеальной линии без потерь при чисто реактивной нагрузке процесс колебаний будет продолжаться бесконечно долго. В реальной линии при наличии потерь волны напряжения и тока будут постепенно затухать в направлении распространения.

Напряжение и ток в линии в произвольный момент времени определятся как алгебраические суммы и соответственно разности напряжений и токов прямых и обратных волн.

Пользуясь формулами и схемой замещения, описанной выше, можно найти напряжение и ток, возникающие в месте присоединения сосредоточенной нагрузки или перехода одной линии в другую (см. пример 14-3).

Следует отметить что индуктивность, включенная последовательно в линию, или емкость, включенная параллельно проводам линии, сглаживает фронт преломленных волн; активное сопротивление, включенное в линию параллельно, уменьшает преломленную волну.

Пример 14-3. К концу линии, имеющей волновое сопротивление присоединена индуктивная катушка r, L. Определить ток в катушке и напряжение на ней под воздействием прямоугольной волны U

запишите так:

откуда

и

соответствует моменту падения волны на катушках