Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Я подготовила на данной странице все темы по математике и получился полный курс лекций по предмету «Математика», который объединяет примеры решения задач, теоремы, доказательства и вычисления нескольких отраслей математической науки. В курсе лекций по предмету «Математика», значительное внимание уделено преобразованию выражений, решению уравнений, неравенств и их систем и изучению свойств функций. С решением задач, связанных с многочленами, рациональными дробями, степенями и корнями, будут рассмотрены новые виды функций: тригонометрические, показательные и логарифмические и соответствующие уравнения и неравенства.

Содержание:

Натуральные числа и действия с ними. Геометрические фигуры и величины

Много тысяч лет назад перед людьми уже возникала потребность считать членов семьи, скот, добычу на охоте, рыбу и тому подобное. Умение считать и вычислять нужны и сейчас.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., которые используют во время счета предметов, называют натуральными числами. Натуральные числа используют также для определения порядка размещения предметов.

Числа, которые мы используем для счета предметов, отвечают на вопрос: сколько? (один, два, три...).

Числа, которые мы используем для определения порядка размещения предметов, отвечают на вопрос: который? (первый, второй, третий...).

Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись называют десятичной.

Все натуральные числа, записанные так, что за каждым числом идет следующее: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., образуют натуральный ряд чисел.

Если натуральное число записано одной цифрой, то его называют однозначным, двумя цифрами — двузначным и тому подобное.

Натуральный ряд чисел обладает следующими свойствами:

  1. имеет наименьшее число — 1;
  2. каждое последующее число больше предыдущего на 1;
  3. не имеет наибольшего числа. Какое бы большое число мы не назвали, добавив к нему 1, получим еще большее число.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы легче было читать натуральные числа, их разбивают на группы справа налево, по три цифры в каждой группе. Самая первая группа слева может состоять из одной, двух или трех цифр. Например 57 403.

Каждая группа образует классы: единицы, тысячи, миллионы и т. д. Каждый класс имеет три разряда: единицы, десятки, сотни.

Если в числе отсутствует какой—то разряд, то в записи числа на его месте стоит цифра 0. Эта цифра служит также для записи числа "ноль". Это число означает "ни одного". Если счет футбольного матча 2 : 0, то это означает, что вторая команда не забила ни одного мяча в ворота первой. Ноль не является натуральным числом.

Миллион — это тысяча тысяч, его записывают так: 1 000 000. Миллиард — это тысяча миллионов, его записывают так: 1 000 000 000.
В таблице записаны числа 17 427 003 813, 132 518 000 237 и 215 305 289.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1. Запиши цифрами число 37 миллионов 142 тысячи 15.
Ответ: 37 142 015.

Пример 2. Запиши цифрами число тринадцать миллионов две тысячи.
Ответ: 13 002 000.

В младших классах уже подавали числа, меньше миллиона, в виде суммы разрядных слагаемых. Таким же образом можно подать любое натуральное число. К примеру, 7 213 049 = 7 000  000 + 200 000 + 10 000 + 3000 + 40 + 9.
Числа 7 000 000, 200 000, 10 000, 3000, 40, 9 в этом примере являются разрядными слагаемыми.
Рассмотренное число можно представить еще и так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме разрядных единиц 1, 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000, рассмотренных ранее, также имеем 1 000 000, 10 000 000, 100 000 000 и т. д.

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется и в настоящее время под названием римская нумерация. Мы используем ее для нумерации разделов книги, циферблата на часах, для обозначения веков и тому подобное.
Римские числа имеют следующий вид:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Натуральные числа (до 5000) записывают с помощью повторения этих цифр. При этом если меньшая цифра стоит после большей, то число является суммой соответствующих цифр: LX = 60, XVIII = 18; если меньшая цифра стоит перед большей, то число — это разница соответствующих цифр: XC = 90, VC = 95.

Сравнения натуральных чисел 

Одно из двух разных натуральных чисел всегда больше или меньше другого. Это означает, что натуральные числа можно сравнивать.

Число 5392 больше, чем число 837, потому что 5392 — четырехзначное число, а 837 — трехзначное.

Числа 5392 и 4542 — четырехзначные, но 5392 больше, чем 4542, так как тысяч в первом числе больше, чем во втором.

Число 5392 больше, чем число 5237, потому что хоть тысяч в обоих числах поровну, но сотен в первом числе больше, чем во втором.

Результат сравнения записывают в виде неравенства, используя знаки ">" (больше) или «<» (меньше).

Например: 1) 6 > 2 (читаем: «шесть больше двух»); 2) 3 < 7 (читаем: «три меньше семи»).

Запись 5 < 7 < 9 означает, что число 5 меньше числа 7, а число 7 меньше числа 9. Запись 5 < 7 < 9 называют двойным неравенством.

Можно сказать и иначе: число 7 больше 5, но меньше 9.

При сравнении многозначных натуральных чисел используют следующие правила.

Если два натуральных числа имеют разное количество знаков (цифр),  больше будет то, у которого больше знаков.

Например: 2735 > 982; 10271 < 100271.

Если два натуральных числа имеют одинаковое количество знаков, то большим числом является то, которое имеет больше единиц в высшем разряде. Если количество единиц в этом разряде одинаково, то сравнивают число единиц в следующем ниже разряде и т. д.

Например: 
7592 < 8012; 7512 > 7437; 10519 < 10521.

Сравнивать можно не только отдельные числа, но и значения числовых выражений. Сравним, например, произведение 25 • 3 и сумму 32 + 41. Значение произведения равно 75, а значение суммы составляет 73. Поскольку 75 > 73, то

25 • 3 > 32 + 41.

Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Из начальных классов известно, как складывать небольшие натуральные числа.

Рассмотрим задачу.

Задача №1

В 5-А классе 27 учеников, а в 5-Б — 29 учеников. Сколько учеников в двух классах?

Решение. 27 + 29 = 56.

Эта задача решается с помощью действия сложения. Складывать можно любые числа. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а число, полученное в результате сложения этих чисел, — суммой. В буквенном виде: если a и b — слагаемые, а с — сумма, то

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. а + b = b + а при любых значениях а и b.

Это свойство сложения называют переместительным свойством сложения:

От перестановки слагаемых сумма не меняется

2. (а + b) + с = а + (b + с) при любых значениях а, b и с. Это свойство называют сочетательным свойством сложения:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Разложение чисел на разряды применяют при сложении многозначных чисел.

Сложим числа 345 и 623. Для этого каждое слагаемое разложим на разряды:

345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3).

Применив сочетательное и переместительное свойства сложения, получим:

345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3) = (300 + 600) + (40 + 20) + (5 + 3) = 900 + 60 + 8 = 968.

Этим объясняется сложение натуральных чисел «столбиком»:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из свойств сложения следует, что сложение нескольких чисел можно выполнять в любой последовательности. Слагаемые группируют так, чтобы вычисление было удобным.

Пример: 27 + 56 + 72 + 73 + 14 = (27 + 73) +  (56 + 14) + 72 = 100 + 70 + 72 = 242.

Сумма двух натуральных чисел всегда больше, чем каждое из слагаемых:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если хоть одно из слагаемых равно нулю, то их сумма равна второму слагаемому: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычитание натуральных чисел

Рассмотрим задачу.

Задача №2

Пешеход за два часа прошел 7 км. Сколько километров он прошел за второй час, если за первый преодолел 4 км?

В этой задаче число 7 является суммой числа 4 и неизвестного числа: 4 + х = 7.

Действие, с помощью которого по известной сумме и одному из слагаемых находят второе слагаемое, называют вычитанием.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то искомое слагаемое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 7 — 4. Записывают так: 7 — 4 = 3. Следовательно, за второй часа пешеход прошел 3 км.

Число, от которого отнимают, называют уменьшаемым, а число, которое отнимают, — вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

Итак:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение и вычитание — взаимно обратные действия. Поэтому вычитание всегда можно проверить сложением. 7 — 4 = 3. Проверка: 3 + 4 = 7.

Поскольку а + 0 = а, то а — 0 = а и аа = 0.

Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго (или второе число меньше первого).

Вычтем из числа 987 число 325. Для этого уменьшаемое и вычитаемое разложим на разряды:

987 — 325 = (900 + 80 + 7) — (300 + 20 + 5).

Итак: 987 — 325 = (900 + 80 + 7) — (300 + 20 + 5) = (900 — 300) + (80 — 20) + (7 — 5) = 600 + 60 + + 2 = 662.

Этим объясняется вычитание натуральных чисел «столбиком»: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим свойство вычитания суммы из числа.

Задача №3

В классе 27 учеников. 12 из них занимаются плаванием, а семеро — легкой атлетикой. Сколько учеников не занимаются ни плаванием, ни легкой атлетикой? Ответ можно получить разными способами:

1-й способ. 27 — (12 + 7) = 27 — 19 = 8;
2-й способ. (27 — 12) — 7 = 15 — 7 = 8;
3-й способ. (27 — 7) — 12 = 20 — 12 = 8.

Чтобы вычесть сумму из числа, можно от него отнять одно из слагаемых, а затем из результата вычесть второе слагаемое.

В буквенном виде:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим свойство вычитания числа из суммы.

Задача №4

В ящике 7 белых шаров и 8 черных. Ученик взял некоторые 3 шарика. Сколько шариков осталось в ящике? Ответ можно получить разными способами:

1-й способ. (7 + 8) — 3 = 12;
2-й способ. (7 — 3) + 8 = 12;
3-й способ. (8 — 3) + 7 = 12.

Чтобы вычесть число из суммы, можно отнять его от одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое.

В буквенном виде: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), или

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Этими правилами удобно пользоваться во время устных вычислений.

Примеры:

1) 225 – (125 + 37) = (225 – 125) – 37 = 100 – 37 = 73;

2) (432 + 729) – 232 = (432 – 232) + 729 = 2000 + 729 = 929.

  • 1) Если от уменьшаемого отнять разность, то получим вычитаемое.
  • 2) Если к разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое.

Умножение натуральных чисел

Как известно из младших классов, сумму одинаковых слагаемых можно записать короче с помощью умножения. Например: 45 + 45 + 45 + 45 = 45Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 4 = 180.

Читают так: «45 умножить на 4».

Вспомним, как называют числа при умножении:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый множитель показывает, какие слагаемые складывают, а второй — сколько таких слагаемых.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведение натуральных чисел а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач b означает сумму, которая состоит из b слагаемых, каждый из которых равен а:

a Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач b = a + a + a + ... + a.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
b слагаемых 

Есть особые случаи умножения, когда множитель b равен нулю или единице:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При умножении любого числа на единицу получаем то же число, которое умножали.

При умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Вспомни, как умножали числа в начальных классах:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так можно умножать любые натуральные числа.

Если множитель b больше 1, то от умножения натурального числа на b это число увеличивается в b раз. Например, 16 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 5 = 80, поэтому 80 в 5 раз больше числа 16.

Перед буквенным множителем и перед скобками знак умножения можно не писать.

Так, например, вместо 7 • а пишут 7а, вместо 4 • (a + 2) пишут 4 (а + 2).

Свойства умножения

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 1 изображен ящик, содержащий 6 рядов по 5 пакетов сока в каждом. Общее количество пакетов можно вычислить, умножив 6 на 5, или 5 на 6. Результаты одинаковы: 6 • 5 = 30 и 5 • 6 = 30. Итак, 6 • 5 = 5 • 6. В буквенном виде.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь подтверждается переместительное свойство умножения:

От перестановки множителей произведение не меняется.

Пусть в каждом пакете, изображенном на рисунке 1, 2 л сока. Как вычислить общее количество сока?

1-й способ. Известно, что пакетов всего 5-6, и в каждом — по 2 л сока. Поэтому всего в ящике 2 • (5 • 6) л сока.

2-й способ. В одном ряду 5 пакетов, а сока в каждом — 2 л, поэтому всего в этих 5 пакетах сока (2 • 5) л. Однако рядов 6, поэтому всего в ящике: (2 • 5) • 6 л сока.
Итак, (2 • 5) • 6 = 2 • (5 • 6). В буквенном виде:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это сочетательное свойство умножения:

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения вытекает, что при умножении нескольких чисел можем группировать множители по своему усмотрению. Это позволяет упрощать вычисления.

Примеры:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переместительное и сочетательное свойства умножения можно
использовать и для упрощения выражений.

Примеры:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На применении переместительного и сочетательного свойств умножения основывается и следующее правило умножения натурального числа на разрядную единицу, которое ты знаешь.

Чтобы умножить натуральное число на разрядную единицу (10, 100, 1000 ...), надо приписать справа к этому числу столько нулей, сколько их в разрядной единице.

Примеры:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вернемся к рисунку 1. Пусть имеем 4 ряда пакетов с яблочным соком и 2 — с апельсиновым. Тогда количество пакетов можно вычислить двумя способами:

(4 + 2) • 5  и  4 • 5 + 2 • 5.

В обоих случаях общее количество равно 30. Запишем это в буквенном виде:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и эти произведения сложить.

Этот закон верен для любого количества слагаемых.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           и т. д.

Одинаковые значение имеют также выражения (7 – 2) • 5 и 7 • 5 – 2 • 5, поскольку (7 – 2) • 5 = 5 • 5 = 25 и 7 • 5 – 2 • 5 = 35 – 10 = 25 .
Поэтому распределительное свойство можно применять и для вычитания. В буквенном виде его записывают так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и от первого произведения вычесть второе.

Распределительное свойство умножения можно использовать для вычислений и упрощения выражений.

Пример №1

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №2

Упрости выражение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя распределительное свойство умножения для выражений (а + b) • c  и  (a – b) • c, получим выражение, которое не содержит скобок. Говорят: раскрыли скобки.

Пример №3

Раскрой скобки:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадрат и куб натурального числа

Уже известно, что сумма, в которой все слагаемые равны между собой, можно записать короче — в виде произведения. К примеру,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В математике есть специальный способ и для записи произведения, в котором все множители равны между собой. К примеру,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение 34 называют степенью и читают так: «три в четвертой степени».

Примеры: 


Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В 5 классе мы рассмотрим только вычисления чисел во второй и третьей степенях. 

Произведение двух равных между собой чисел a • а называют квадратом числа а и записывают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач читают так: «а в квадрате» (или «а во второй степени»).

Произведение трех равных между собой чисел а • а • а называют кубом числа а и записывают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач читают так: «а в кубе» (или «а в третьей степени»).
Вычисление степени числа еще называют возведением в степень, а вычисление квадрата (куба) числа — возведением в квадрат (в куб) это число.

Примеры:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №4

Возвести в квадрат и куб первые десять натуральных чисел.

Решение. Результаты можно записать в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В математике нельзя найти произведение, состоящее из одного множителя. Поэтому договорились, что любое число в степени 1 равно самому этому числу. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вообще Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возведение в степень — это новое, пятое арифметическое действие. Очередность его выполнения во время нахождения значения числового выражения определяется следующим правилом.

Если в числовое выражение входит степень (в частности, квадрат или куб числа), то сначала выполняется возведение в степень (в частности, в квадрат или в куб числа), а затем другие действия.

Пример №5

Найди значение выражения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Деление натуральных чисел

Рассмотрим задачу.

Задача №5

48 карандашей разложили поровну в 6 коробок. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение. Пусть в каждой коробке по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач карандашей. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Только одно число при умножении на 6 дает 48. Это число 8. Следовательно, в каждой коробке по 8 карандашей.

По данному произведению 48 и одному из множителей 6 нашли неизвестный множитель, равный 8.

Действие, с помощью которого по известному произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Пишут так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В записи:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число a делят на натуральное число b тогда, когда хотят уменьшить a в b раз. Частное показывает, во сколько раз делимое больше чем делитель.

Правильность выполнения деления можно проверить с помощью умножения. Действительно, 48 : 6 = 8, поскольку 8 • 6 = 48.

Из последнего равенства можно сделать вывод, что 48 : 8 = 6. Поэтому действие деления является обратным к действию умножения.

Вспомним, как в начальной школе выполняли деление многозначных чисел.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итого:   17 542 : 7 = 2506      и       8636 : 68 = 127.

 Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Делить на ноль нельзя!  Предположим, что 5 : 0 равно некоторому числу b. Тогда должно выполняться b • 0 = 5. Это равенство неверно. Выражение 0 : 0 не имеет определенного значения. Если 0 : 0 = с, то с • 0 = 0. Это равенство выполняется для множества значений с. Вывод: на ноль делить нельзя!

Удобным является деление чисел, которые заканчиваются нулями, на разрядную единицу (числа 10, 100, 1000 ...).

Чтобы разделить натуральное число, которое заканчивается нулями, на разрядную единицу, нужно отбросить с правой стороны в этом числе столько нулей, сколько их в разрядной единице.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Деление с остатком

Деление одного числа на другое нацело не всегда возможно.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Например, нужно 19 яблок разделить поровну между пятью детьми (рис. 2).

Дадим сначала каждому по яблоку, потом еще по одному и еще раз по одному. Каждый получил по три яблока и 4 яблока останется в остатке. Остаток запишем в скобках:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

В числе 19 содержится 3 раза по 5 и еще 4. Итак, 19 = 5 • 3 + 4.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Вообще, если при делении числа а на число b получили неполное частное q и остаток r, то

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовые выражения. Буквенные выражения и их значения. Формулы

Пример:

Поезд за первый час преодолел 60 км, а за второй — на 5 км больше. Сколько километров преодолел поезд за два часа?

Решение. За второй час поезд проехал 60 + 5 км. Поэтому за два часа он проехал 60 + (60 + 5) км.

Для решения задачи мы составили числовое выражение из чисел, знаков действий и скобок.

Выполнив действия, получим число 125 — значение этого выражения.

Пример №6

Поезд за первый час проехал 60 км, а за второй — на а километров больше. Сколько километров проехал поезд за два часа?

Решение. Аналогично предыдущему примеру получим: за 2 часа поезд проехал 60 + (60 + а) км. Запись 60 + (60 + а) — буквенное выражение, состоящее из цифр, букв, знаков действий и скобок.

Значение буквенного выражения зависит от значения буквы, которая входит в выражение.

Пример №7

Найди значение выражения 7 + b, если b = 5, 10.

Решение. Если b = 5, то 7 + b = 7 + 5 = 12; если b = 10, то 7 + b = 7 + 10 = 17.

Итак, выражения, состоящие из цифр, знаков действий и скобок, например:

3547 — 2793, 480 312 — 9279,
7257 — (8705 — 5744),

называют числовыми выражениями.

Если выполнить действия в числовых выражениях, то получим число, которое называют значением числового выражения.

Выражение, содержащее буквы, числа, знаки действий и скобки, называют буквенным, например
a + 400,   504 — a,   a : b,   (a + b) • c.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть стороны прямоугольника равны а и b. Обозначим буквой S  его площадь. Поскольку площадь прямоугольника равна произведению длины сторон, то можно записать:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ты знаешь из младших классов, периметр прямоугольника P равен сумме длин всех его сторон. Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны между собой, то

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведенные равенства справедливы при всех значениях букв, входящих в них. Их называют формулами.

Формула — это запись некоторого правила с помощью букв, которая устанавливает взаимосвязь между величинами.

Формулы помогают вычислить значение одной из величин по известным значениям остальных величин. Например, из формулы площади прямоугольника имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы найти сторону прямоугольника, надо его площадь разделить на другую сторону.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость движения, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — время движения и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — пройденное расстояние (путь). Равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое устанавливает зависимость между этими величинами, называют формулой пути. Формула пути означает, что расстояние равно скорости, умноженной на время:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы пути, по правилу нахождения неизвестного множителя, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
— Скорость равна расстоянию, разделенному на время.
— Время движения равно расстоянию, разделенному на скорость.

Уравнения

Задача:

Сергей и Виталий на рыбалке вместе поймали 8 карасей. Сергей поймал 3 карася. Сколько карасей поймал Виталий?
Пусть Виталий поймал Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач карасей. Тогда, по условию задачи, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Есть равенство, содержащее неизвестное число.

Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением.

Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если вместо буквы поставить число 5, то получим верное числовое равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число 5 — корень (или решение) данного уравнения.

Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют решением, или корнем уравнения.

Иногда уравнение может иметь несколько корней (с такими уравнениями мы ознакомимся позже). Решить уравнение означает найти все его корни или показать, что их нет. Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо неизвестного и выполнить вычисления. Если получим верное равенство, то число является корнем уравнения.

Для решения простейших уравнений используют правила, известные из начальных классов.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы вычесть известное слагаемое.

Например:

14 + х = 58;  х = 58 – 14;  х = 44.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Например: 

х 12 = 37;  х = 37 + 12;  х = 49.


Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Например: 

42 – х = 18;  х = 42 – 18;  х = 24.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Например: 

7•х = 56;  х = 56 : 7;  х = 8.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Например: 

х : 5 = 9;  х = 9 • 5;  х = 45.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Например: 

36 : х = 9; х = 36 : 9; х = 4.

Рассмотрим примеры решения сложных уравнений.

Пример №8

Реши уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Здесь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестно уменьшаемое. Чтобы его найти, надо к 62 прибавить 35.

Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнеизвестное слагаемое, чтобы найти его, надо от 97 отнять 27.

Пример №9

Реши уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №10

Реши уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используя распределительное свойство умножения, имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итого, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №11

Реши уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В этом уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестный делитель. Чтобы его найти, надо 36 разделить на 3.

 Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнеизвестное слагаемое, чтобы найти его, надо к 12 прибавить 18.

Текстовые задачи на движение

Рассмотрим основные виды текстовых задач на движение.
Мы уже много раз решали задачи на движение и знаем формулу пути

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
что выражает взаимосвязь величин: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пройденное расстояние (путь), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость движения, то есть расстояние, которое преодолевают за единицу времени; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач время движения.

Также знаем формулы, по которым можно найти скорость, если известны пройденное расстояние и время движения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и время, если известны пройденное расстояние и скорость:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примечание: 1. В задачах на движение будем считать, что скорость движения на всем пути не менялась.

2. Единицы измерения скорости (км/ч, м/мин., м/с и т. д.) зависят от условия задачи. Если, например, жук за 5 мин. проползает 10 м, то его скорость 10 : 5 = 2 (м/мин.).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь, как решаются задачи на движение по реке. В этих задачах есть своя особенность: нужно различать скорость движения по течению и скорость движения против течения.

Пусть, например, собственная скорость лодки (то есть ее скорость в стоячей воде) равна 15 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость, с которой лодка плывет по течению, состоит из ее собственной скорости и скорости течения: 15 + 2 = 17 (км/ч). А скорость, с которой лодка плывет против течения, получаем вычитанием скорости течения из собственной скорости лодки: 15 – 2 = 13 (км/ч).

Рассмотрим задачи, в которых действуют два участника движения.

Движение из одного пункта с отставанием. Пусть два объекта одновременно начинают движение в одном направлении из одной точки с разными скоростями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5 км/ч и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 3 км/ч.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда за первый час объект Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  опередит объект  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2 км.

Расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени, называют скоростью удаления Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В случае движения двух объектов из одного пункта с отставанием Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач),

Через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччас между объектами будет расстояние

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №6

Два автомобиля одновременно выехали в одном направлении. Скорость первого автомобиля 60 км/ч, скорость второго — 72 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 9 часов?

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение из одного пункта в противоположных направлениях. Пусть два объекта одновременно начинают движение из одной точки в противоположных направлениях со скоростями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5 км/ч и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 3 км/ч.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач


Тогда за первый час объект Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удаляется от объекта Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 8 км. В этом случае скорость удаления Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччас между объектами будет расстояние Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда за первый час расстояние между объектами сократится на 8 км.

Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени, называют скоростью сближения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В случае движения двух объектов навстречу друг другу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если начальное расстояние между объектами равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач километров и объекты встретились через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часов, то очевидно, что

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часов расстояние между объектами сократится на расстояние

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №7

Два автобуса выехали одновременно из двух городов и встретились через 5 часов. Скорость одного 45 км/ч, а второго — на 10 км/ч больше. Найди расстояние между городами.

Решение. 1) 45 + 10 = 55 (км/ч) — скорость второго автобуса;

2) (45 + 55) • 5 = 500 (км) — расстояние между городами.

Движение в одном направлении вдогонку. Пусть два объекта одновременно начинают движение из различных точек в одном направлении со скоростями
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5 км/ч и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 3 км/ч, причем объект, имеющий большую скорость, движется позади, и начальное расстояние между объектами больше чем 2 км.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда за первый час объект  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач станет ближе к объекту  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2 км. В этом случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если начальное расстояние между объектами равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км и объект Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач догнал объект Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часов, то видно, что

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние между объектами сократится на расстояние

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №8

Из двух пунктов, расстояние между которыми 120 км, одновременно начали движение в одном направлении пешеход со скоростью 5 км/ч и автобус, который догонял пешехода. Найди скорость автобуса, если он догнал пешехода через 2 часа.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 120: 2 = 60 (км/ч).
Тогда скорость автобуса равна 60 + 5 = 65 (км/ч).

Текстовые задачи экономического содержания

Экономика, или экономические науки — комплекс научных дисциплин о хозяйстве, а именно: об организации и управлении материальным производством, эффективном использовании ресурсов, распределении, обмене, сбыте и потреблении товаров и услуг и тому подобное.

Задачи экономического содержания — это задачи о стоимости товара, задачи на работу, задачи, связанные с бюджетом семьи, возможности осуществления масштабных покупок, задачи на налоги, работу банков, ведение фермерского хозяйства, использование природных ресурсов родного края и др.

В начальной школе и в этой лекции некоторые из текстовых задач экономического содержания вы уже решали. В этой лекции остановимся подробно на задачах о стоимости товара и задачах на работу.

Задачи о стоимости товара

Задача:

Один килограмм конфет стоит 25 руб. Сколько стоят 3 кг конфет?

Решение. 25 • 3 = 75 (руб.). В этой задаче, как и в задачах на движение, имеем зависимость между тремя величинами: стоимость товара, его цена и количество.

Пусть С — стоимость товара, a — его цена (то есть стоимость единицы товара — 1 штуки, 1 м, 1 кг, 1 л и т. д.), а n — количество товара в выбранных единицах. Тогда
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное равенство называют формулой стоимости. Она означает, что

стоимость товара равна цене, умноженной на количество товара.

Из формулы стоимости по правилу нахождения неизвестного множителя легко выразить величины а и n:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть

цена товара равна стоимости, разделенной на количество товара, а количество товара равно стоимости, разделенной на цену.

Задача №9

Литр сока стоит 24 руб. Сколько литров сока можно купить за 48 руб.?

Решение. 48 : 24 = 2 (л).

Задачи на работу

Задача:

Оля набрала на компьютере 9 страниц за 3 часа, а Татьяна — 8 страниц за 2 часа. Кто из девочек работал быстрее?

Решение. Оля набрала больше страниц, чем Татьяна, но она и работала больше времени. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти, сколько страниц набрала каждая девочка за 1 час. Оля набирала по 9: 3 = 3 страницы в час, а Татьяна — по 8 : 2 = 4 страницы в час. Итак, Татьяна работала быстрее, потому что через час она набрала больше страниц.

Скорость работы еще называют производительностью. В этой задаче производительность труда Оли составляет 3 страницы в час, а Татьяны — 4 страницы в час.

Если обозначить буквой A всю работу, производительность — буквой N, а время работы — t, то можем записать равенство:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство называют формулой работы. Она означает, что

работа равна производительности, умноженной на время работы.

Из формулы работы по правилу нахождения неизвестного множителя легко найти величины N и t:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть

производительность равна работе, разделенной на время работы, а время равно работе, разделенной на производительность.

Задача №10

Олеся моет 4 тарелки за 1 мин. Сколько тарелок помоет Олеся за 5 мин.? Сколько нужно времени, чтобы Олеся помыла 24 тарелки?

Решение. За 5 мин. Олеся помоет 4 • 5 = 20 тарелок, а чтобы помыть 24 тарелки, ей нужно 24 : 4 = 6 мин.

Решение текстовых задач с помощью уравнений

Рассмотрим текстовые задачи, одним из способов решения которых является составление уравнений.

Задача №11

В саду росли яблони и вишни — всего 32 дерева, причем яблонь было на 4 больше, чем вишен. Сколько яблонь и сколько вишен росло в саду?

Решение. Пусть в саду росло х вишен, тогда яблонь было Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку всего деревьев было 32, то получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Упрощаем:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В саду росло 14 вишен, тогда яблонь было 14 + 4 = 18.

Задача №12

За смену мастер выточил втрое больше деталей, чем ученик. Сколько деталей выточил за смену ученик, если это количество на 18 меньше, чем количество деталей которое выточил мастер?

Решение. Пусть ученик выточил Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач деталей, тогда мастер выточил в три раза больше — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач деталей. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач больше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 18, то получаем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, ученик выточил за смену 9 деталей.

Комбинаторные задачи

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации и перестановки предметов, размещение элементов, имеющих определенные свойства, и тому подобное. Рассмотрим задачу.

Задача №13

На почте в продаже есть 5 различных конвертов и 3 различные марки. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1-й способ. Нарисуем дерево возможных вариантов (рис. 5). Обозначим конверт буквой К, марку — буквой М. Рисуем от ствола 5 веток (ибо есть 5 видов конвертов). Поскольку имеем 3 марки, то от каждой из пяти полученных точек рисуем по 3 ветки. Считаем количество полученных внизу точек — 15 и получаем ответ к задаче. Дерево возможных вариантов позволяет решать разнообразные задачи, связанные с исчислением количества способов.

2-й способ. Выберем конверт. В комплект к нему можно выбрать любую из трех марок. Поэтому есть 3 комплекта, которые содержат избранный конверт. Поскольку конвертов всего 5, то количество различных способов составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пришли к важному правилу комбинаторики — правило произведения:

если элемент А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой элемент В можно выбрать (независимо от выбора элемента А) n способами, то пару элементов А и В можно выбрать • n способами.

Правило произведения можно использовать, если нужно выбрать более 2-х элементов.

Задача №14

На почте в продаже есть 5 различных конвертов с различными марками и 4 различные поздравительные открытки. Сколькими способами можно купить комплект, содержащий конверт, марку и открытку?

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способов.

Рассмотрим далее задачу, в которой нужно посчитать количество способов, которыми можно разместить в ряд определенное количество предметов.

Задача №15

Ребенок играет тремя игрушками: машинкой, трактором, самолетиком. Сколькими способами их можно выложить в ряд?

Решение. На первое место можем поставить одну из трех игрушек: машинку, трактор или самолетик. После этого на второе место можно поставить одну из двух следующих игрушек. После этого на третье место ставим одну игрушку, которая осталась после выбора первых двух. Используя правило произведения, найдем, что игрушки можно разместить шестью различными способами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проверим решение задачи с помощью дерева возможных вариантов (рис. 6).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислили количество способов, которыми можно разместить в ряд несколько предметов. Такие размещения называют перестановками.

Перестановки обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В задаче 15 количество перестановок из трех элементов равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач аналогично количество перестановок из двух элементов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из четырех элементов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из пяти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Рассмотрим еще несколько комбинаторных задач.

Задача №16

Из данных чисел выбрать такие, которые при перестановке цифр образуют числа, в которых число единиц на 3 больше числа десятков: 42, 36, 74, 14, 85, 92, 47.

Решение. Переставляя цифры, имеем числа 24, 63, 47, 41, 58, 29, 74. Условие удовлетворяют числа 74 и 85.

Задача №17

В алфавите племени БАБА есть только две буквы «а» и «б». Запиши все слова племени, которые содержат: 1) две буквы; 2) три буквы.

Решение. 1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова);
2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов). Заметим, что найденное количество слов согласуется с правилом произведения. Поскольку на каждое место есть два «претендента» — «а» и «б», то слов, содержащих две буквы, должно быть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а три буквы — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим две задачи на нахождение конфигурации элементов, которые имеют определенные свойства.

Задача №18

В клетки квадрата (рис. 7) надо поставить числа 1, 2, 3 и 4 так, чтобы числа не повторялись ни в строках, ни в столбцах, ни по диагоналям (линиям, ведущим из левого нижнего угла в правый верхний и из правого нижнего угла в левый верхний).

Решение. Один из вариантов решения представлен на рисунке 8.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №19

Сколькими способами можно разделить 5 конфет между тремя детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы по одной конфете?

Решение. Представим решение в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, всего есть 6 способов.

Задачи и упражнения на все действия с натуральными числами

Вычисляя значения числовых выражений, следует не забывать о порядке действий.

Порядок выполнения действий определяется следующими правилами:

  • В выражениях со скобками сначала вычисляют значения выражений в скобках.
  • В выражениях без скобок сначала выполняют возведение в степень, затем по порядку слева направо умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Пример №12

Вычисли: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №13

Найди значение выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:  Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Там, где это целесообразно, можно использовать свойства действий. Например, значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно вычислить так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отрезок и его длина

Если хорошо заостренным карандашом прикоснуться к листу бумаги или мелом прикоснуться к доске, то останется след, который дает представление о точке.

Отметь в тетради две точки А и В. Приложи к ним линейку и соедини (под линейку) эти точки (рис. 16). Получишь отрезок. Точки А и В — концы этого отрезка. Концы отрезка подписывают двумя большими латинскими буквами, дающими ему название. На рисунке 16 изображен отрезок AB, или ВА.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Для измерения длины отрезка (или, как говорят короче, для измерения отрезка) его сравнивают с выбранной единицей длины. Из начальной школы ты знаешь такие единицы длины: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Напомним, что 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм = 100 см, 1 км = 1000 м.

Измеряют отрезок с помощью линейки с делениями (рис. 17) или рулетки (рис. 18). Чтобы измерить отрезок с помощью линейки с делениями (рис. 19), надо один конец отрезка (левый) совместить с делением, которое обозначено числом 0. Тогда число, стоящее у другого конца, покажет длину этого отрезка. На рисунке 19 длина отрезка MN равна 4 см. Длину отрезка обозначают так же, как и сам отрезок, записывая MN = 4 см. На рисунке 20 изображен отрезок KL, длина которого 4 см 3 мм. Записывают: KL = 4 см 3 мм, или KL = 43 мм.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два отрезка называют равными между собой, если их длины одинаковы.

Если, например, AB = 4 см и MN = 4 см, то отрезки AB и MN равны: AB = MN.
На рисунке 19 и рисунке 20 длина отрезка KL больше длины отрезка MN (говорят, что KL длиннее MN или MN короче KL). Записывают так:
KL > MN или MN < KL.

На рисунке 21 точка Р принадлежит отрезку AB. Эта точка разбивает отрезок AB на два отрезка АР и РB.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AP и РВ. это
записывают так: AB = АР + РВ. Откуда: AР = АВ — РВ и РВ = АВ — АР.

Напомним, как строят отрезки заданной длины.

Пусть, например, нужно построить отрезок, длина которого 5 см. Для этого:

  1. обозначаем в тетради какую—нибудь точку и называем ее, например, буквой T;
  2. прикладываем линейку так, чтобы ее ноль совпадал с точкой T;
  3. обозначаем точку, которая совпадает с делением 5 см на линейке, и называем эту точку, например, F;
  4. строим отрезок TF, он и будет искомым, поскольку его длина равна 5 см. Записываем TF = 5 см.

Луч, прямая

Продолжим отрезок AB с помощью линейки от точки В (рис. 40). На рисунке такое продление ограничено размерами листа, но можно предположить, что мы продолжили отрезок неограниченно. Если продолжить отрезок AB за его конец В неограниченно, то получим луч АВ. Точка Aначало луча AB. Конца у луча нет. При обозначении луча на первом месте пишут букву, которая означает начало луча.

Если продолжить отрезок AB за его конец A, то получим луч BA (рис. 41). Его начало — точка В.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если продолжить отрезок AB за оба конца неограниченно (рис. 42), то получим фигуру, называемую прямой. Прямая не имеет начала и конца. Прямую, как и отрезок, обозначают двумя большими буквами, обозначающими любые две точки, лежащие на этой прямой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Например, на рисунке 42 изображена прямая AB, или BA. Прямую AB можно обозначить одной малой буквой латинского алфавита, например прямая а.
О точках A и В будем говорить, что они принадлежат прямой а (или AB).

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Каждая точка, принадлежащая прямой, разбивает ее на два луча.
На рисунке 43 точка K разбивает прямую b на луче KM и KL. Эти лучи являются частью прямой и имеют единую общую точку K — начало этих лучей. Такие лучи называют дополняющими (один из них дополняет другой до прямой).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка, отрезок, луч, прямая — геометрические фигуры. Эти геометрические фигуры можно разместить на плоскости (рис. 44). Плоскость является одной из основных геометрических фигур. Представление о части плоскости дает, например, поверхность стола, стекла, потолка, если представить, что они неограниченно продолжены. Когда чертим фигуры, то частью плоскости может быть, например, лист тетради или школьная доска.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координатный луч. Шкала

Начертим луч ОХ горизонтально вправо от точки О и запишем у его начала число 0 (рис. 53).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выберем любой отрезок AB, длину которого возьмем за единицу. Такой отрезок называют единичным отрезком. Отложим от начала луча отрезок ОК, равен единичному отрезку. Против точки К запишем число 1. Говорят, что точка К соответствует числу 1 или число 1 изображено точкой К. Коротко это записывают так: К (1). Число 1 называют координатой точки К.
Чтобы изобразить на луче число 2, нужно отложить от начала луча один за другим два одиночных отрезка, число 3 — три единичных отрезка и т. д. Таким образом, каждому натуральному числу и числу 0 соответствует одна определенная точка луча ОХ. Получили координатный луч. Точку О, соответствующую началу координатного луча, называют точкой отсчета.
Если точка L на луче соответствует числу 6 (рис. 53), то длина отрезка OL равна 6 единиц.
Координатный луч позволяет сравнивать натуральные числа. Если координатный луч направлен слева направо, то из двух натуральных чисел большему соответствует точка, которая лежит справа, а меньшему — слева.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1. 2 < 5, поскольку точка A (2) лежит слева от точки В (5) (рис. 54).

Пример 2. На рисунке 55 точками обозначены натуральные числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет правильным.

Длины отрезков измеряют линейкой с большими и малыми делениями (рис. 56). Они разбивают линейку на равные части. Длине каждого деления соответствует определенная единица измерения. Например, на линейке, изображенной на рисунке 56, большому делению соответствует 1 см, а малому — 1 мм.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Систему таких делений с соответствующими числами называют шкалой. Шкалы бывают не только на линейках, они могут быть различной формы. На рисунке 57 изображена шкала комнатного термометра. Каждое его деление соответствует одному градусу Цельсия (пишут 1°С). Термометр показывает 18°С. Координатный луч, линейка, комнатный термометр — примеры прямолинейных шкал. Шкалы часов (рис. 58), спидометра (рис. 59) — криволинейные.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы прочитать показатели на шкале, надо знать цену деления. Так, на рисунке 59 между числами 20 и 40 — четыре деления. Поэтому цена одного деления (40 — 20) : 4 = 5.

Угол. Виды углов

Проведем два луча: ОА и ОВ, исходящие из одной точки (рис. 81). Получили геометрическую фигуру, которую называют углом. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Лучи ОА и ОВ называют cтоpонaми угла, а точку О вершиной угла. Углы обозначают значком угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тремя большими латинскими буквами: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: « угол АОВ », или « угол ВОА »). При этом букву, обозначающую вершину угла (в нашем случае — О), пишут внутри. Угол иногда обозначают и одной буквой — названием его вершины, например А.

На рисунке 82 точки С и D лежат во внутренней области угла КАВ, точки М и N — вне этой точки, а точки L и P — на сторонах угла.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два угла называют равными между собой, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпадали. На рисунке 83 углы АОВ и CMD равны между собой, так как при наложении они совпадают. Записываем так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если из вершины угла MON (рис. 84) провести луч ОК, то он разбивает угол MON на два угла МОК и KON. Каждый из этих углов меньше угла MON. Записываем так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если сторонами угла являются дополняющие лучи, то такой угол называют развернутым. На рисунке 85 — развернутый угол ABC. Развернутый угол можно разделить на два равных между собой угла. Для этого возьмем лист бумаги с прямым краем, который дает представление о развернутом угле, и составим его так, чтобы стороны угла совпали. Обозначим вершину угла точкой K
(рис. 86). Каждый из образованных таким образом углов называют прямым углом. Понятно, что прямой угол вдвое меньше развернутого.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построения прямого угла используют чертежный угольник (рис. 87). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч OA, надо:

  1. разместить чертежный угольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой O, а одна из сторон соединилась с лучом OA;
  2. провести вдоль другой стороны угольника луч OB (рис. 87).

В результате получим прямой угол AOB. Прямой угол часто обозначают значком Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 88 так обозначен угол BOA, а на рисунке 89 — угол POL.

Угол МОА на рисунке 88 меньше прямого угла BOA. Такой угол называют острым.

Угол KOL на рисунке 89 больше прямого угла POL, но меньше развернутого. Такой угол называют тупым.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина угла. Измерение и построение углов

Углы, как и отрезки, можно измерять.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим прямой угол на 90 равных частей (рис. 102). Меру одной такой части берут за единицу измерения углов и называют градусом (от латинского Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач шаг, ступень). Обозначают так: 1°. Градусная мера прямого угла равна 90°, а развернутого — 180° (рис. 103).

Можно сказать иначе: прямой угол равен 90°, а развернутый — 180°. Градусную меру угла обозначают так же, как и угол. Например, на рисунке 104 градусная мера угла АОВ равна 40°. Это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что градусная мера острого угла меньше 90°, а тупого — больше 90°, но меньше 180°.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Углы в градусах измеряют с помощью прибора, который называют транспортиром (рис. 105).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Шкала транспортира размещена на полукруге и имеет 180 делений. Каждое деление шкалы равно 1°. Центр транспортира обозначен точкой O.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы измерить угол, нужно наложить на него транспортир так, как показано на рисунках 106 и 107: центр транспортира должен совпадать с вершиной угла, а одна сторона угла должна пройти через начало отсчета на шкале. Штрих на шкале, через который проходит вторая сторона угла, показывает градусную меру этого угла:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 106), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 107).

Равные углы имеют равные градусные меры. Из двух углов большим считается тот, мера которого больше. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Транспортир также применяется для построения углов.

Например, построим угол AOB, градусная мера которого равна 50°. Для этого:

  • произвольную точку обозначим через O;
  • наметим луч OB;
  • наложим транспортир так, чтобы центр транспортира совпадал с точкой O, а луч OB прошел через начало отсчета на шкале (рис. 108);
  • поставим точку A против штриха на шкале, который соответствует 50°;
  • проведем луч OA (рис. 109), угол AOB является искомым: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Меры углов, как и длины отрезков, можно добавлять и отнимать. На рисунке 110 угол AOC  равен сумме углов AOB и BOC, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 111), то чтобы найти градусную меру угла MOK, нужно
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Луч OK делит угол АОВ на два равных угла (рис. 112), его называют биссектрисой угла. Итак,

  • луч, который выходит из вершины угла и разбивает его на два равных угла, называют биссектрисой угла.

Пример №14

ОК — биссектриса Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найди Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач


Если взять угол, вырезанный из листа бумаги, то его биссектрису легко найти с помощью перегиба. Угол надо составить так, чтобы его стороны совпали. Тогда линия перегиба и будет биссектрисой этого угла (рис. 113).

Треугольник и его периметр. Виды треугольников

Особенно важную роль в математике играют треугольники.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и совместим их отрезками. Мы получим уже знакомую геометрическую фигуру — треугольник (рис. 139).

Точки A, B и Cвершины треугольника, отрезки AB, BC  и AC стороны треугольника. Углы ABC, ACB  и BACуглы треугольника.

Треугольник обозначают знаком Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с названиями его вершин Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читаем: «треугольник ABC»).

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Периметр треугольника (и, вообще говоря, любого многоугольника) принято обозначать буквой P. Если, например, стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 10 см, то его периметр Р = 6 + 7 + 10 = 23 (см) .

Если все стороны треугольника равны между собой, то его называют равносторонним. На рисунке 140 — равносторонний треугольник KLM, у него KL = LM = MK.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку кратчайшее расстояние от одной точки до другой — это расстояние по прямой, то отсюда следует свойство сторон треугольника:

  • сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Можно убедиться в обратном: если сумма двух любых отрезков больше чем третий отрезок, то эти три отрезка могут быть сторонами треугольника.

В зависимости от величин углов треугольники делят на остроугольные (все углы острые — рис. 141), прямоугольные (один угол прямой — рис. 142) и тупоугольный (один угол тупой — рис. 143).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если измерить углы некоторого треугольника транспортиром и найти их сумму, то получим 180°. В старших классах будет доказано важное свойство углов треугольника:

сумма всех углов треугольника равна 180°.

Поэтому любой треугольник может иметь не более одного прямого угла и не более одного тупого угла.

Прямоугольник. Квадрат

На рисунке 154 изображен четырехугольник, у которого все углы прямые. Такой четырехугольник, как ты знаешь из младших классов, называют прямоугольником.

Противоположные стороны прямоугольника равны между собой, то есть AB = DC и AD = BC. Стороны прямоугольника, которые не являются противоположными, называют длиной и шириной (это смежные стороны). Сумма длин всех сторон прямоугольника — это его периметр P.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выведем формулу для вычисления периметра P прямоугольника, длина и ширина которого равны а и b соответственно (рис. 155).

Есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение 2а + 2b можно записать иначе: 2 (а + b). Действительно, если в последнем выражении раскрыть скобки, то получим 2а + 2b. Итак, имеем формулу для вычисления периметра прямоугольника:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №20

Периметр прямоугольника равен 30 см, а одна из его сторон — 5 см. Найди другую сторону.

Решение. Есть Р = 30 см, пусть а = 5 см. Тогда, подставив значения а в формулу, получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим его:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, вторая сторона равна 10 см.

Прямоугольник, у которого все стороны равны между собой, называют квадратом.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 156 изображен квадрат, сторона которого равна а.
Очевидно, что периметр Р этого квадрата можно найти так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, имеем формулу периметра квадрата:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь прямоугольника и квадрата

Чтобы узнать, сколько краски и обоев понадобится для ремонта квартиры, нужно знать площади пола, потолка и стен. Определение площади является важным для решения многих других практических задач.

За единицу площади берут площадь единичного квадрата, то есть такого квадрата, сторона которого равна единице длины. Например, если длина стороны квадрата равна 1 м, то он имеет площадь 1 квадратный метр (записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач); если длина стороны квадрата 1 см (рис. 157), то его площадь равна 1 квадратному сантиметру (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и т. д.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если площадь некоторой фигуры можно разбить на m квадратов со стороной 1 см, то ее площадь равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так, площадь фигуры на рисунке 158 равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть определить площадь фигуры — это значит узнать, сколько единичных квадратов помещается в этой фигуре.

Из начальной школы известно, что для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

  • для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

Если обозначим стороны прямоугольника а и b, а его площадь — S (от латинского слова superficies — поверхность), то получим формулу площади прямоугольника (рис. 159):

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач             Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для вычисления площади прямоугольника длины его сторон надо выразить в одних и тех же единицах: если а и b выражены в метрах, то площадь S измеряется в квадратных метрах; если а и b выражено в сантиметрах, то S — в квадратных сантиметрах и тому подобное.

Пример №15

Найди площадь прямоугольника со сторонами 1 дм и 8 см.

Решение. 1 дм = 10 см, то S = 10 • 8 = 80 (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 160).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда площадь квадрата S со стороной a можно найти так:  S = а • а  или S = а2. Именно поэтому вторую степень числа называют квадратом этого числа.

Пример №16

Найди площадь квадрата со стороной 2 см 5 мм.

Решение. 2 см 5 мм = 25 мм. Поэтому
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим прямоугольник ABCD, стороны которого равны 4 см и 5 см.
Ломаная KLMN разбивает его на две части (рис. 161). Одна из частей имеет площадь 12 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другая — 8Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Площадь всего прямоугольника 4 • 5 = 20 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом 20 = 12 + 8. Итак,

площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Установим соотношение между единицами площадей. На рисунке 162 изображен квадрат, сторона которого равна 1 дм. Поэтому его площадь 1 дм2. С другой стороны, квадрат состоит из 100 квадратиков со стороной 1 см. Поэтому его площадь равна 100 см2. Итак,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это можно было установить еще и так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассуждая аналогично, можно показать, что

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для измерения больших площадей (территории государств, материков) используют квадратный километр — 1 км2. Это площадь квадрата, сторона которого 1 км, или 1000 м. Площадь такого квадрата можно найти еще и так: 

1000 м • 1000 м = 1 000 000 м2 

Итак,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Территория России составляет  17 130 000 км2.

Площадь садов, огородов, других участков земли измеряют также в арах (от латинского слова area — площадь. ) и гектарах (от греческого слова hekaton — сто). Ар (сотка) — площадь квадрата со стороной 10 м. Поэтому 1 а = 100 м2. Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м.
Поэтому 1 га = 10000 м2, 1 га = 100 а, 1 км2 = 100 га.

Прямоугольный параллелепипед. Куб. Пирамида

Спичечная коробочка, кирпич, деревянный брусок, ящик, пенал дают представление о геометрической фигуре, которую называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 176).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые называют его гранями. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда попарно равны.

На рисунке 176 противоположными гранями является ABCD и MLKN, AMLB и DNKC, AMND и BLKC. Грани ABCD и MLKN называют еще основаниями параллелепипеда.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней — вершинами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Всего ребер 12 — по 4 равных между собой. На рисунке 176: AB = ML = NK = DC, AM = BL = CK = DN и AD = BC = LK = MN. Ребра AM, BL, CK и DN называют еще высотами параллелепипеда.

Из каждой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра. Длины этих ребер — это длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда (рис. 176), или его измерения.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда — это сумма площадей всех его граней.

Задача №21

Найди площадь поверхности S прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны a, b и с.

Решение. Пусть AB = a, MN = b, AM = c (рис. 176). У двух граней длины сторон равны а и b. Площадь каждой из них равна ab. Площадь каждой из двух следующих граней — bc, а двух оставшихся равна ас. Поэтому площадь поверхности S можно найти так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называют кубом (рис. 177). Все грани куба — равные квадраты. Очевидно, что площадь поверхности куба с ребром a равна:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Еще одной важной и интересной фигурой является пирамида (рис. 178—180). Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Боковые грани пирамиды — треугольники, имеющие общую вершину, которую называют вершиной пирамиды, а основание пирамиды — произвольный многоугольник, противоположный этой вершине.

Называют пирамиду по количеству сторон многоугольника, который является основанием пирамиды. Например, на рисунке 178 изображена шестиугольная пирамида, а на рисунке 179 — четырехугольная пирамида.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простой пирамидой является треугольная пирамида (рис. 180). Все ее грани — треугольники. Поэтому каждая из них может считаться основанием.
Так же, как и в прямоугольном параллелепипеде, стороны граней называют ребрами пирамиды.

Боковые грани вместе с основанием пирамиды называют гранями пирамиды.
Например, в треугольной пирамиде: 6 ребер и 4 грани.

Форму пирамид имеют, например, древнеегипетские пирамиды. Одна известных — пирамида Хеопса, высота которой 147 м (рис. 181). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объем прямоугольного параллелепипеда и куба

Спичечная коробочка полностью помещается в пенале, пенал — в коробке из-под обуви. Говорят, что объем пенала больше, чем объем спичечной коробки, а объем коробки из-под обуви больше, чем объем пенала.

Объем имеет каждое тело. Объем можно измерять и выражать числом, если задана единица объема. За единицу объема берут объем единичного куба, то есть объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины: 1 мм, 1 см, 1 дм и т. д. Единицами объема, например, являются 1 кубический сантиметр (1 см3) — объем куба, длина ребра которого равна 1 см (рис. 185); 1 кубический дециметр (1 дм3) — объем куба, длина ребра которого равна 1 дм; 1 кубический метр (1 м3) — объем куба, длина ребра которого равна 1 м.

На рисунке 186 изображена фигура, которая состоит из 3 кубиков с ребром 1 см. Поэтому объем такой фигуры 3 см3.

Если измерения прямоугольного параллелепипеда выражено натуральными числами, то его объем показывает, сколько единичных кубов надо, чтобы его заполнить. Выведем правило вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Пусть его измерения: 5 см, 4 см и 3 см (рис. 187).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим, сколько единичных кубов с ребром 1 см, то есть кубов с объемом 1 см3 уместится в этом параллелепипеде. Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см, поэтому основание содержит 5 • 4 = 20  кубиков. Чтобы полностью заполнить параллелепипед, надо выложить три таких слоя, поскольку высота параллелепипеда 3 см. Таким образом, количество всех кубиков: 20 • 3 = 60. Объем одного кубика 1 см3, поэтому объем прямоугольного параллелепипеда 60 см3.

Мы нашли объем прямоугольного параллелепипеда как произведение трех его измерений 5 • 4 • 3 (см3). 

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Если обозначить объем буквой (V — первая буква латинского слова volume — объем), а измерения — буквами a, b и с, то имеем формулу

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во время вычислений нужно следить, чтобы все измерения выражались в одних и тех же единицах длины: если, например, все измерения представлены в сантиметрах, то получим объем в см3.

Пример №17

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны  3 дм, 12 см и 60 мм. Найди объем параллелепипеда.

Решение. Выразим измерения в сантиметрах: 3 дм = 30 см, 60 мм = 6 см. Тогда

V = 30 • 12 • 6 = 2 160 (см3).

Произведение длины и ширины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это площадь основания. Итак,

объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Если обозначить площадь основания буквой S, а высоту — буквой h (рис. 188), то получим формулу

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объем куба, ребро которого равно а , вычислим по формуле:  V = a a. Или

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Именно поэтому третью степень числа называют кубом этого числа.

Найдем соотношение между единицами объема: 1 дм3 — это объем куба с ребром 1 дм или 10 см. Объем этого куба в кубических сантиметрах равен

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Итак,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку 1 м = 100 см, то 1 м3 = 100 • 100 • 100 = 1000000 см3. Итак,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для измерения объема жидкости используют литр (1 л). Литр содержит 1 дм3   воды:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для измерения очень больших объемов, например морей и океанов, используют 1 кубический километр — объем куба, ребро которого равно 1 км. Поскольку 1 км = 1000 м, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для измерения небольших объемов используют единицу кубический миллиметр Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Дробные числа и действия с ними

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы. По способу записи дроби делятся на два формата: обыкновенные и десятичные.

Обыкновенные дроби

До сих пор рассматривались в 5-м классе натуральные числа и число 0. Но, как известно из младших классов, в математике существуют другие числа — дробные.

Возьмем полоску бумаги и примем ее длину за единицу. Поделим полоску на две равные части (рис. 206). Каждая из этих частей будет одной второй, или половиной этой полоски.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 207 видим яблоко, разрезанное на три равные части. Каждая часть равна одной трети Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач яблока, а две части — двум третьим  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачяблока.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дробные. Дробные числа записывают с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такие записи называют обыкновенными дробями. Число b, записанное под чертой, называют знаменателем дроби, он показывает, на сколько равных частей разделена единица (целое). Число а, записанное над чертой, называют числителем дроби, он показывает, сколько взято равных частей единицы (целого).

Пример 1. Обычная дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — показывает, что целое число разделено на 5 равных частей и взято 3 такие части.

Пример 2. Если отрезок длиной 1 м разделен на 100 равных частей, то длина каждой части составляет 1 см.

Можно записать: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (одна сотая метра),
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (две сотых метра), 17 см = Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (семнадцать сотых метра) и др.

Пример 3. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кг (одна тысячная килограмма).

Рассмотрим задачу на нахождение дроби от числа.

Задача 1. Сколько градусов составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач развернутого
угла?

Решение. Развернутый угол поделим на 5 равных частей. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач развернутого угла равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач развернутого угла — это Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим задачу на нахождение числа по его дроби.

Задача 2. Дорога от A до B равна 120 км, что составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  дороги от A до C. Какое расстояние между A и C?

Решение (рис. 208). Поскольку три четверти дороги составляет 120 км, то одна четвертая часть дороги равна 120 : 3 = 40 км. Тогда вся дорога в четыре раза длиннее, чем 40 км, то есть равна 40 • 4 = 160 км.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дробные числа, как и натуральные, можно изображать на координатном луче. Например, для изображения дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 209) поделим единичный отрезок на 8 равных частей. Затем от начала луча отложим последовательно 3 такие части. Получим точку A, изображающую число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Можно записать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Длина отрезка ОА  равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единицы.

Обыкновенные дроби и деление натуральных чисел

Разрезаем арбуз на две равные части. Если взять две половинки, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач арбуза, то получим целый арбуз.

Итак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Аналогично Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть надо разделить три яблока между четырьмя детьми. Число 3 не делится нацело на 4. Поэтому сначала разделим каждое яблоко на 4 равные части — будем иметь 12 четвертей яблока. Дадим каждому по 3 такие части (рис. 222).
Итак, каждый ребенок получит по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач яблока. Дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получили, поделив 3 яблока на 4 равные части, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,

значение дроби равно частному от деления числителя дроби на его знаменатель:   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вместе с тем

частное от деления одного числа на другое равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если нацело разделить нельзя, то частное является дробным числом.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №18

Запишем число 4 в виде дроби со знаменателем 3. Для этого надо найти такое число, поделив которое на 3, получим 4. Такое число 3 • 4, то есть 12.
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Числителем этой дроби является произведение числа и этого знаменателя.

Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями


Разделим прямоугольник на 4 равные части (рис. 223). Две такие части вместе составляют половину прямоугольника. То есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  прямоугольника равны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямоугольника. Поэтому говорят, что дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны и записывают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На координатном луче равные между собой дроби обозначают одной и той же точкой (рис. 224). Две равные дроби обозначают одно и то же число.

Пусть торт разрезали на 8 равных частей. На одну тарелку положили одну часть, а на другую — три (рис. 225). Одна часть торта — это 1/8 торта, а три — 3/8 торта. Поскольку 1 часть меньше, чем 3 такие же части, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, числитель которой больше, и та дробь меньше, числитель которой меньше.

На рисунке 226 точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит левее точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Большей дроби на координатном луче соответствует точка, лежащая правее, а меньшей — точка, лежащая левее.

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правильные и неправильные дроби

Числитель обыкновенной дроби может быть меньше знаменателя, может равняться ему или быть больше знаменателя. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной дробью. К примеру, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
правильные дроби.

Правильная дробь меньше 1.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 227). Вообще, если а и b — натуральные числа и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неправильные дроби.
Если числитель и знаменатель неправильной дроби равны между собой, то такая дробь равна 1.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 227). Вообще, если a —  произвольное число, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если числитель неправильной дроби больше чем знаменатель, то эта дробь больше 1.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 227). Вообще, если а и b — натуральные числа и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассматривают также дроби вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где b — натуральное число. Считают, что такие дроби равны 0. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Смешанные числа

На координатном луче (рис. 230) изображена дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Она содержит 1 целую единицу и еще  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачединицы.

Это записывают так:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «одна целая три пятых»). Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это сумма Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая записана без знака сложения. Число 1 называют целой частью числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его дробной частью. Эти числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равны между собой.
Говорят, что из неправильной дроби  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выделены целая и дробная части.
Чтобы выделить целую и дробную части из неправильной дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , разделим 8 на 5. Есть неполное частное 1 и остаток 3. Число 1 дает целую часть, а остаток 3 — числитель дробной части.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо поделить числитель неправильной дроби на знаменатель. Тогда неполное частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель неправильной дроби — знаменателем дробной части.

Пример №19

Из неправильной дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выдели целую и дробную части.
Решение. Делим 42 на 5. Есть неполное частное 8 и остаток 2. Следовательно,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такие числа, как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют смешанными числами (или смешанными дробями). Число 1 называют целой частью смешанного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  его дробной частью.

Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь будет натуральным числом — частным от деления числителя на знаменатель.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.  Говорят, что числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеют дробной части (или дробная часть равна нулю). Правильные дроби ( Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.) не имеют целой части. Говорят, что целая часть правильной дроби равна нулю.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

С обыкновенными дробями, так же, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

На рисунке 231 изображено сложение отрезков OA и AB: OA + AB = OB.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина отрезка OA составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единицы, длина отрезка AB равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длина отрезка OB равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач той же единицы.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это сумма чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач запишем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно сформулировать правило: 

чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель. В буквенном виде:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вернемся к рисунку 231, видим, что ОВ – АВ = ОА,  поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,

чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, надо от числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и оставить тот же знаменатель. В буквенном виде:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (a > b или a = b).

При сложении дробей складываются их числители, а это — натуральные числа.

Поэтому здесь выполняется переместительное и сочетательное свойства сложения.

Пример №20

  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №21

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если результатом является неправильная дробь, то принято из этой дроби выделять целую и дробную части.

Дробное число, содержащее целую и дробную части, можно превратить в неправильную дробь.

Пример №22

Представить в виде неправильной дроби число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Запишем число 4 в виде дроби со знаменателем 7, а именно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что 31 = 4 • 7 + 3.  

Итак,

чтобы превратить смешанную дробь в неправильную, надо умножить ее целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму числителем неправильной дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменений.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение и вычитание смешанных чисел выполняются на основе свойств этих действий.

Рассмотрим примеры.

Пример №23

  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Сокращенная запись: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, а дробные — отдельно. Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получают неправильную дробь. В этом случае из нее выделяют целую часть и прибавляют ее к целой части, которую уже имеют.

Пример №24

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим пример вычитания смешанных чисел, когда дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого. В таких примерах целесообразно целые части вычесть отдельно, а дробные — отдельно и сложить полученные числа.

Пример №25

  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем это сокращенно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры, где от целого числа отнимают правильную дробь.

Пример №26

Выполни вычитание:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Для нахождения разницы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представим 1 в виде дроби со знаменателем 13, а именно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В следующем примере дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример №27

Выполни вычитание Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. «Подготовим» уменьшаемое  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к вычитанию так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 
Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Десятичная дробь. Запись десятичных дробей

Наряду с обычными дробями для записи дробных чисел используют десятичные дроби.

Пример №28

Выразим расстояние 7 дм 3 см в дециметрах. 
Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знаменатель дробной части числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 10, а числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 100. Числа со знаменателями 10, 100, 1000...принято записывать без знаменателя с помощью запятой: сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части; целую часть отделяют от дробной части запятой.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «7 целых 3 десятых»),  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «8 целых 17 сотых»). Числа 7,3 и 8,17 — десятичные дроби. В виде десятичной дроби можно записать любое число, знаменатель дробной части которого является единицей с одним или несколькими нулями. Цифры дробной части еще называют десятичными знаками. В числе 8,17 два десятичных знака: 1 и 7.

Если дробь правильная, то перед запятой пишут цифру 0.

Пример №30

  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (читают: «0 целых 29 сотых метра»).

Пример №31

Выразим 9 кг 71 г в килограммах и запишем десятичной дробью. Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В дробной части
найденного  числа нет десятых частей килограмма (сотен граммов). Поэтому на первом месте после запятой пишут цифру Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «9 целых 71 тысячная килограмма »).

Итак,

чтобы записать обычную дробь, знаменатель дробной части которой — разрядная единица 10, 100, 1000 ..., в виде десятичной дроби,

  • 1) записывают целую часть числа (она может быть равна 0) и ставят запятую;
  • 2) справа от запятой записывают числитель дробной части, но он должен содержать столько знаков, сколько нулей в знаменателе. Если в числителе меньше знаков, чем нулей в знаменателе, то после запятой перед цифрами числителя надо дописать такое количество нулей, которого не хватает.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Десятичные дроби записывают по такому же принципу, что и натуральные числа в десятичной системе: каждая следующая единица, стоящая справа, в 10 раз меньше предыдущей. На первом месте после запятой стоит разряд десятых, на втором — разряд сотых, на третьем — разряд тысячных и т. д.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Десятичные дроби, как и обычные, можно изображать на координатном луче. Например, чтобы на координатном луче изобразить десятичную дробь 0,6, сначала запишем его в виде обыкновенной дроби: 0,6 = Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем разделим единичный отрезок на 10 равных частей, каждая из которых составляет = 0,1 единичного отрезка, и отложим от начала луча шесть таких частей. Имеем точку A, что соответствует числу 0,6 (рис. 232).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы изобразить число 1,3, поделим отрезок между числами 1 и 2 на десять равных частей и отсчитаем 3 такие части справа от числа 1. Имеем точку B, соответствующую числу 1,3 (рис. 232).

Десятичная дробь. Запись десятичных дробей

Важно научиться сравнивать десятичные дроби. Начнем с такого примера.
Известно, что 3 дм = 30 см = 300 мм. Выразив 3 дм, 30 см и 300 мм в метрах, получим 3 дм = 0,3 м; 30 см = 0,30 м; 300 мм = 0,300 м.  

Поскольку 3 дм = 30 см = 300 мм, то 0,3 м = 0,30 м = 0,300 м.

Следовательно,

  • если справа в десятичной дроби приписать один или несколько нулей или убрать один или несколько нулей, то получим дробь, равный данному.

Например: 7 = 7,00;  0,37 = 0,370;  1,0200 = 1,02 и тому подобное. Десятичные дроби записывают по тем же правилам, что и натуральные числа, поэтому сравнивать десятичные дроби можно по правилам, аналогичным правилам сравнения натуральных чисел.

Сначала надо сравнить целые части десятичных дробей: из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. К примеру:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач),
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Если целые части дробей, которые сравнивают, равны между собой, то сравнивают их десятичные части: из двух десятичных дробей с одной и той же целой частью больше та, у которой больше число десятых. Например: 14, 56 > 14,49. Если две десятичные дроби имеют равные целые части и десятые, то сравнивают сотые и т. д. Например:  14,49 > 14,47.
Иногда для того, чтобы сравнить десятичные дроби, нужно сначала уравнять в них число десятичных знаков, приписав справа одному из них нужное количество нулей. Например, нужно сравнить 7,23 и 7,237. Поскольку 7,23 = 7,230 и 7,230 < 7, 237, то 7,23 < 7,237.

Итак, имеем правило сравнения десятичных дробей:

из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть;

  • если десятичные дроби имеют равные целые части, тем больше будет та дробь, у которой большее число десятых; если число десятых одинаковое, тем больше будет та дробь, у которой большее число сотых и т. д.

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой. Например, на рисунке 241 дроби 1,4 и 1,40 изображаются одной и той же точкой A. Точка, что изображает меньшую десятичную дробь, лежит на координатном луче левее точки, изображающей большую десятичную дробь.
Например, на рисунке 241 точка A (1,4) лежит левее точки B (1,8).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Округление натуральных чисел и десятичных дробей

Предположим, например, что количество учащихся в школе на 1 сентября составляет 1682. Через некоторое время количество учащихся в школе может измениться. В числе может измениться цифра разрядов единиц, а возможно, и десятков. Поэтому можно сказать, что в школе учится примерно 1680 учеников. То есть мы заменили цифру единиц на ноль. В этом случае говорят, что число округлили до десятков. Это записывают так:  1682 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1680. Знак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач читают: «приближенно равно».

Округляя числа до заданного разряда, нужно, чтобы округленное число меньше отличалось от заданного числа. Так, округляя 1682 до сотен, имеем 1682 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач1700 (поскольку 1682 ближе к 1700, чем до 1600) (рис. 242).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть, например, нужно округлить до десятков число 435. Это особый случай, поскольку число 435 равноудалено от чисел 430 и 440 (рис. 243). В таких случаях договорились округлять число «в сторону большего значения». Итак, 435 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 440. 

Имеем правило округления натурального числа:

округляя натуральное число до определенного разряда,

  1. все цифры, записанные с этим разрядом, заменяют нулями;
  2. если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю цифру, которая осталась, не изменяют; если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю цифру, которая осталась, увеличивают на единицу.

Пример №32

Округли число 85 357 до тысяч.

Решение. Подчеркнем цифру 5 в разряде тысяч 85 357. Цифры, стоящие справа от нее (то есть 3, 5 и 7), заменяем нулями. Следующая по уровню тысяч цифра 3, поэтому цифру тысяч 5 не меняем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ:  85 000.

Пример №33

Округли число 68 792 до самого высшего разряда.

Решение. Высшим разрядом данного числа является десятки тысяч. Поэтому цифры 8, 7, 9 и 2 заменяем нулями. Цифру в разряде десятков тысяч 6 увеличиваем на единицу, поскольку следующая за ней цифра 8. Итак, записываем так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ:  70 000.

На практике также часто возникает потребность округлить десятичные дроби. При этом будем пользоваться теми же правилам, что и для натуральных чисел.

Пример №34

Округли число 82,2732 до десятых.

Решение.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
При этом подчеркиваем цифру, которая стоит в разряде десятых. Цифры сотых, тысячных и десятитысячных заменяем нулями, а цифру десятых увеличиваем на 1, поскольку следующая за ней цифра 7. Однако 82,3000 = 82,3. Поэтому 82,2732 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач82,3. 

Пример №35

Округли число 32,372 до сотых.

Решение.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде сотых, цифру тысячных заменяем нулем, а цифру сотых оставляем без изменений, поскольку следующая за ней цифра 2. Однако 32,370 = 32,37. Поэтому 32,372 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 32,37. 

Пример №36

Округли число 983,42 до десятков.

Решение. Если десятичную дробь округляют до разряда, высшего по единице, то дробную часть исключают, а целую часть округляют по правилу округления натуральных чисел. Поэтому 983,42 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 980. 

Итак, имеем правило округления десятичных дробей.

округляя десятичную дробь до определенного разряда,

  1. все цифры, записанные с этим разрядом, заменяем нулями или отбрасываем (если они стоят после запятой);
  2. если первой цифрой по этому разряду является 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не меняем; если первой цифрой по этому разряду есть 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличиваем на 1.

Если при округлении десятичной дроби последняя цифра, оставшаяся в дробной части, будет 0, то отбрасывать ее нельзя (как мы это делаем с точными числами). В этом случае цифра 0 в конце дробной части показывает, до какого разряда округлено число.

Пример №37

Округли число 43,957 до десятых.

Решение. 43,957 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 44,0.  

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби записывают по тому же принципу, что и натуральные числа. Поэтому сложение и вычитание выполняют по соответствующим схемам для натуральных чисел.

Во время сложения и вычитания десятичные дроби записывают «столбиком» — одну под другой так, чтобы одноименные разряды стояли друг под другом. Таким образом, запятая будет стоять под запятой. Далее выполняем действие так же, как с натуральными числами, не обращая внимания на запятую. В сумме (или разности) запятую ставим под запятыми слагаемых (или запятыми уменьшаемого и вычитаемого).

Пример №38

37,982 + 4,473.

Объяснение. 2 тысячных плюс 3 тысячных равно 5 тысячных. 8 сотых плюс 7 сотых равно 15 сотых, или 1 десятая и 5 сотых. Записываем 5 сотых, а 1 десятую запоминаем и т. д.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №39

42,8 — 37,515.

Объяснение. Поскольку уменьшаемое и вычитаемое имеют разное количество знаков после запятой, то можно приписать в уменьшаемом нужное количество нулей. Разберись самостоятельно, как выполнен пример.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Заметим, что при сложении и вычитании нули можно и не дописывать, а мысленно представлять их на тех местах, где нет разрядных единиц.
При сложении десятичных дробей выполняются изученные ранее переместительное и сочетательное свойства сложения: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение десятичных дробей

Чтобы выполнять умножение десятичных дробей, надо уметь умножать натуральные числа и научиться правильно определять запятые в полученном произведении. Рассмотрим пример, который поможет сформулировать правило умножения десятичных дробей.

Задача №22

Стороны прямоугольника 3,7 дм и 4,5 дм. Найди его площадь.

Решение. Поскольку мы пока не умеем умножать десятичные дроби, решим эту задачу, используя правило умножения натуральных чисел. Для этого выразим данные в сантиметрах 3,7 дм = 37 см, 4,5 дм = 45 см. Тогда площадь прямоугольника равна 37 • 45 = 1665 (см2). 
Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, площадь прямоугольника 16,65 дм2.  

Ответ. 16,65 дм2 

Решая задачу, нашли, что 3,7 • 4,5 = 16,65. Произведение 16,65 можно найти проще: достаточно перемножить натуральные числа 37 и 45, не обращая внимания на запятые, а в найденном произведения отделить справа запятой две цифры — столько их есть после запятых в обоих множителях вместе.

Итак,

десятичные дроби умножают по следующему правилу:

  • 1) перемножить натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
  • 2) в произведении отделить справа запятой столько десятичных знаков, сколько их имеют оба множителя вместе.

Заметим, что во время умножения нет необходимости записывать запятую под запятой.

Пример №40

14, 37 • 0,8.

Объяснение. 1437 • 8 = 11 496, множители вместе имеют три десятичных знака после запятой, поэтому в произведении следует отделить справа запятой 3 знака.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Может случиться так, что в произведении, который получим после умножения натуральных чисел, будет меньше цифр, чем их надо отделить запятой. Тогда слева следует приписать нужное количество нулей.

Пример №41

0,032 •  1,04.

Объяснение. 32 • 104 = 3328. Множители вместе имеют 5 десятичных знаков после запятой.
Чтобы отделить столько же знаков, считая справа, надо слева в произведении дописать ноль как десятичный знак и один ноль, что означает ноль целых: 0,03328.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По рассмотренным правилам умножаем и десятичную дробь на натуральное число. 

Пример №42

0,26 • 14.

Объяснение. 26 • 14 = 364. Множители вместе имеют 2 десятичных знака. В произведении отделяем справа 2 знака.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При умножении десятичных дробей справедливы все изученные ранее свойства умножения.
Переместительное свойство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

  • сочетательное свойство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • распределительное свойство:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отдельные случаи умножения десятичных дробей

Умножим по правилу умножения десятичных дробей 5,725 на 10. Если умножить 5725 на 10 получим 57250, отделяем справа запятой три десятичных знака.

Итак, 5,725 • 10 = 57,250 = 57,25.

Аналогично можно получить

5,725 • 100 = 572,5 ;

5,725 • 1000 = 5725.

Полученные произведения 57,25; 572,5 и 5725 отличаются от первого множителя 5,725 лишь местом запятой: при умножении десятичной дроби на 10 запятую в нем переносим на одну цифру вправо, на 100 — на две цифры, при умножении на 1000 — на три цифры.

Обобщая, есть правило:

  • чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ..., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе после единицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если знаков не хватает, то справа дописывают нужное количество нулей.

Например,  4,7 • 100 = 470;          2,13 • 10 000 = 21 300. 

Умножим по правилу умножения десятичных дробей 137,8 на 0,1. Должны умножить 1378 на 1, получим 1378 и отделим справа два десятичных знака.

Итак, 137,8 • 0,1 = 13,78.  

Аналогично можно получить  137,8 • 0,01 = 1,378;     137,8 • 0,001 = 0,1378; 

Полученные произведения 13,78; 1,378; 0,1378 отличаются от первого множителя 137,8 лишь местом запятой: при умножении десятичной дроби на 0,1 запятую в нем переносим на одну цифру влево, на 0,01 — на две цифры, при умножении на 0,001 — на три цифры.

Обобщая, есть правило:

  • чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; ..., надо в этом дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе перед единицей (включая и ноль целых).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если нулей не хватает, то дописывают слева нужное количество нулей.
К примеру,  4,7 • 0,01 = 0,047;  2,13 • 0,0001 = 0,000213.

Деление десятичной дроби на натуральное число

Чтобы выполнить деление десятичной дроби на десятичную дробь, надо уметь выполнять деление натуральных чисел и научиться правильно определять запятые в полученном частном.

Сначала рассмотрим пример, который поможет сформулировать правило деления десятичной дроби на натуральное число.

Задача №23

Длина прямоугольника равна 15,6 дм, а ширина — в 4 раза меньше. Найди ширину прямоугольника.

Решение. Чтобы решить задачу, выразим длину прямоугольника в сантиметрах:
15,6 дм = 156 см. Имеем 156 : 4 = 39. Следовательно, ширина прямоугольника 39 см, то есть 3,9 дм.
Итак, 15,6 : 4 = 3,9.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой же результат можно было получить проще, не превращая дециметры в сантиметры.

Для этого нужно разделить 15,6 на 4, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Итак,

чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

  1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую, однако поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части;
  2. при необходимости приписать справа после запятой нужное количество нулей, чтобы закончить деление.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.

Пример №43

Обрати внимание на то, что после деления 28 на 5 получили в частном 5 и остаток 3 десятых. Превратили 3 десятых в 30 сотых (приписав 0). Делим 30 сотых на 5, имеем в частном 6 сотых, а в остатке 0, деление завершено.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По этому же правилу можно выполнять деление натуральных чисел, если деления не выполняется нацело.

Пример №44

20 : 8 = 2,5.

С помощью деления можно находить десятичную дробь, равную данной обычной дроби, то есть превращать обычную дробь в десятичную.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №45

Преврати дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в десятичную.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач


Итак,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Учитывая, что 1,83 • 10 = 18,3, тогда  18,3 : 10 = 1,83.

При делении на 10 запятую переносим на одну цифру влево.
Поскольку 17,254 • 100 = 1725,4, то 1725,4 : 100 = 17,254. 
При делении на 100 запятую переносим на две цифры влево.

Обобщая, получаем правило:

  • чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ..., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей содержит делитель.

Деление на десятичную дробь

Рассмотрим, например, частное 16 : 8 = 2. Умножим делимое и делитель, например, на 3. Имеем: (16 • 3) : (8 • 3) = 48 : 24 = 2. Видим, что частное 16 : 8 не изменилось. Поделим делимое и делитель частного 16 : 8 на 2. Получим: (16 : 2) : (8 : 2) = 8 : 4 = 2. Частное 16 : 8 снова не изменилось. Отсюда можно сформулировать правило, которое называют основным свойством частного:

  • если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то частное не изменится.

Основное свойство частного позволяет свести деление на десятичную дробь к делению на натуральное число.

Пусть надо разделить 35,56 на 1,4.

Основное свойство частного подтверждается также и для десятичных дробей. Поэтому умножим делимое и делитель на такое число, чтобы делитель стал натуральным числом. Таким множителем будет 10, так 1,4 • 10 = 14. Итак, деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассуждая так, вместо частного, например, 1,215 : 0,45, находим частное 121,5 : 45 = 2,7; вместо частного 0,044 : 0,016  — частное 44 : 16 = 2,75 и тому подобное.

Во всех случаях делимое и делитель умножаем на разрядную единицу 10, 100, 1000, ..., а для этого достаточно перенести запятую вправо на 1, 2 или 3 знака.

Получаем правило:

  • чтобы разделить число на десятичную дробь, надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их в делителе; после чего выполнить деление на натуральное число.

Если в делимом после запятой меньше цифр, чем в делителе, то к нему дописывают нужное количество нулей.

Например, 4,2 : 0,002 = 4200 : 2 = 2100. 

Поделим 3,748 на 0,1. После переноса запятой на 1 знак вправо в делимом и делителе имеем 3,748 : 0,1 = 37,48 : 1 = 37,48.  

Еще примеры:

4,973 : 0,01 = 497,3 : 1 = 497,3;   5,4 : 0,001 = 5400 : 1 = 5400.

Отсюда получаем правило:

  • чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; ..., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей содержит делитель перед единицей (включая ноль целых).

Проценты. Нахождение процентов от данного числа

Во время различных вычислений часто приходится определять части числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (половину), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (четверть), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Удобнее в таких вычислениях находить сотые части числа, или проценты (Слово «процент» происходит от латинского слова per cent — «на сотню», что указывает на уменьшение единицы измерения в сто раз. Например, сантиметр — сотая часть метра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) , поскольку при этом приходится умножать или делить на число 100.

Процентом  называют сотую часть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любого числа (или числового значения величины).

Для обозначения процента используют знак %:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти 1% от числа — значит найти одну сотую часть этого числа.

Задача №24

Найди 1 % от 400 руб.

Решение. Принимаем 400 руб. за 100 %. Чтобы найти 1 %, нужно 400 руб. поделить на 100. 400 : 100 = 4 руб.

Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра — сантиметром, сотую часть гектара — аром (или сотней). Например, килограмм — это один процент центнера, сантиметр — один процент метра, ар — один процент гектара.

Можно записать также:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Чтобы превратить проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Поскольку 1 % равен сотой части величины, вся величина равна 100 %. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы превратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100.

К примеру:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы превратить обычную дробь в проценты, надо сначала преобразовать ее в десятичную дробь, а затем умножить на 100.

Например: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Некоторые из равенств между обыкновенными дробями и процентами целесообразно запомнить!
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим задачу нахождения процентов от заданного числа.

Задача №25

Молоко содержит 4 % жира. Сколько жира содержится в 800 кг молока?

Решение. 1-й способ. Найдем сначала 1 % от числа 800. Для этого нужно 800 разделить на 100. Имеем 800 : 100 = 8. Полученный результат нужно умножить на количество процентов. Имеем 8 • 4 = 32 кг. Итак, в 800 кг молока содержится 32 кг жира.

2-й способ. Этот же результат можно было получить по-другому: 4 % = 0,04. Если выполнить умножение 800 на 0,04, то получим 800 • 0,04 = 32 кг.

Итак, решая первым способом, мы нашли, сколько килограммов жира приходится на 1 %, затем умножили это количество на соответствующий процент, а решая вторым способом, выразили процент десятичной дробью и умножили данное число на эту дробь.

Нахождение числа по его проценту

Мы уже умеем находить процент от числа. Рассмотрим задачу нахождения числа по его проценту.

Задача №26

Ученик прочитал 120 страниц, что составляет 30 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение. 1-й способ. Найдем количество страниц, приходящихся на 1 %. Для этого надо 120 разделить на 30. Имеем 120 : 30 = 4. Чтобы узнать, сколько страниц в книге, надо умножить 4 на 100 (поскольку вся книга составляет 100 %).
Итак, 4 • 100 = 400, в книге 400 страниц.

2-й способ. Этот же результат можно было получить по-другому: 30 % = 0,3, если выполнить деление 120 на 0,3, то получим 120 : 0,3 = 400 страниц.

Итак, решая первым способом, мы нашли, сколько страниц приходится на 1 %, а затем это количество умножили на 100, а решая вторым способом, выразили процент десятичной дробью и поделили данное число на эту дробь.

Среднее арифметическое. Среднее значение величины

В повседневной жизни мы часто слышим слово «средний». Например, речь может идти о средней урожайности с 1 га сельскохозяйственной культуры на некотором участке, среднем количестве осадков в некотором месяце  в России, средней зарплате рабочих некоторого предприятия, средней скорости автомобиля и тому подобное.

Задача №27

Фермер выращивал на трех участках (по 1 га каждый) пшеницу трех сортов. С первого поля собрали 34,3 ц, со второго — 39,5 ц, а с третьего — 34,8 ц пшеницы. Сколько центнеров зерна собрал фермер в среднем с 1 га?

Решение. Найдем сначала, сколько центнеров пшеницы было собрано с трех участков вместе. Имеем 34,3 + 39,5 + 34,8 = 108,6 ц. Средний урожай с 1 га показывает, сколько центнеров зерна собрано с каждого гектара, если считать, что весь урожай распределен между тремя участками поровну. Для этого надо общее количество центнеров разделить на 3. Имеем 108,6 : 3 = 36,2 ц. Итак, средний урожай с 1 га составляет 36,2 ц.

Число, найденное при делении суммы чисел на количество слагаемых, называют средним арифметическим этих чисел.

Например, средним арифметическим чисел 2,5; 3,7; 2,8 и 4,2 является число 3,3, поскольку  (2,5 + 3,7 + 2,8 + 4,2) : 4 = 3,3.
 

Задача №28

Пешеход шел 2 часа со скоростью 4,2 км/ч и 3 часа со скоростью 4,7 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен идти, чтобы преодолеть то же расстояние за то же время?

Решение. Найдем расстояние, которое прошел пешеход: 4,2 • 2 + 4,7 • 3 = 22,5 км. Разделим это значение на использованное время: 22,5 : 5 = 4,5 км/ч. Итак, пешеход должен идти с постоянной скоростью 4,5 км/ч.

Такую скорость называют средней скоростью движения. Этот же ответ можно было бы получить, если найти среднее арифметическое скоростей за каждый час движения: (4,2 + 4,2 + 4,7 + 4,7 + 4,7) : 5 = 4,5 км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость движения, надо весь пройденный путь разделить на все затраченное время.

Аналогично можно находить среднее значение любой величины.

Задача №29

Найди среднюю температуру воздуха в 7 часов утра за 5 дней, если она в течение этих дней была Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Делимость натуральных чисел

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Делители и кратные натурального числа

15 яблок можно разделить поровну между пятью детьми, дав каждому по 3 яблока. А если разделить (не разрезая) эти самые 15 яблок между шестью детьми, то каждый ребенок получит по 2 яблока и еще 3 яблока не будут разделены.

Число 15 делится на 5 без остатка (15 : 5 = 3). Говорят, что число 5 будет делителем числа 15. Число 15 не делится на 6 без остатка (15 : 6 = 2 (ост. 3)). Поэтому число 6 не будет делителем числа 15. 

Делителем натурального  числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют натуральное число, на которое оно делится без остатка. 

Например, делителями числа 10 будут числа 1, 2, 5 и 10, а делителями числа 17 — 1   и 17. Число 10 имеет четыре делителя, а число 17 — два делителя, число 1 имеет только один делитель — 1.

В дальнейшем вместо слов "делится без остатка" для случая, когда делимым и делителем будут натуральные числа, будем использовать слово "делится".

Любое натуральное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на 1 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, 1 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—  делители числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем 1 — наименьший делитель, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— наибольший.

Пример №46

Найти все делители числа 18.

Решение. Два делителя числа 18 очевидные: 1 и 18. Чтобы найти другие, будем проверять подряд все натуральные числа, начиная с 2. Получим еще  четыре делителя: 2, 3, 6 и 9. Следовательно, число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Этот поиск чисел можно сократить, если, найдя один делитель, записать  сразу и другой, который является частным от деления числа 18 на найденный делитель. Таким образом, получим пары: 1 и 18, 2 и 9, 3 и 6. Во время вычисления их удобно записывать так:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть на столе лежат коробки, в каждой из которых находится 12 карандашей. Не  вскрывая коробки, можно взять 12 карандашей, 24 карандаша, 36 карандашей, а вот 16 карандашей взять нельзя. Говорят, что числа 12, 24, 36 кратные числу  12, а число 16 не кратное числу 12.

Кратным натуральному числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют натуральное число, которое делится на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Любое натуральное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет множество кратных. Например, первые  пять чисел, которые кратны числу 12, такие: 12, 24, 36, 48, 60. Наименьшим кратным натурального числа будет само это число.

Вообще, все числа, которые кратны числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить, умножив Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоследовательно на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., а именно:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        

Заметим, что слова "делится" и "кратное" заменяют друг друга. Например,  выражения "40 делится на 8" и "40 кратно числу 8" имеют один и тот же смысл.

Пример №47

Найти наименьшее и наибольшее четырехзначные числа, кратные числу 23.

Решение.

1) 1000 — наименьшее четырехзначное число. 1000  : 23 = 43 (ост. 11).  Поэтому 23 • 44 = 1012   — наименьшее четырехзначное число, которое кратное числу 23.

2) 9999— наибольшее четырехзначное число. 9999 : 23 = 434 (ост. 17). Поэтому 23 • 434 = 9982 — наибольшее четырехзначное число, которое кратно числу 23.

Признаки делимости на 10, 5 и 2

Припустим, что нужно узнать, делится ли число 137 146 на 5. Для этого можно выполнить деление и получим ответ на поставленный вопрос. Но ответ можно найти значительно проще, не используя деление, при помощи признаков делимости. Рассмотрим некоторые из них.

Любое натуральное число, заканчивающееся цифрой 0, делится на 10. Чтобы получить частное, достаточно в делителе откинуть эту цифру 0. Например, 2730 : 10 = 273. При делении же числа 2734 на 10 получим неполное частное 273 и остаток 4 (то есть последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отличается от нуля, тогда это число не делится на 10. Собственно, имеем признак делимости на 10: 

на 10 делятся все те натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Если запись числа заканчивается любой другой цифрой, тогда число не делится на 10.

На 5 делится только числа, которые кратны числу 5, то есть числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Последней цифрой каждого из этих чисел будет или 0, или 5. Поэтому имеем признак делимости на 5:

  • на 5 делятся все те натуральные числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Если запись числа заканчивается любой другой цифрой, тогда число не делится на 5.

На 2 делятся только числа, кратные числу 2, то есть числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Запись чисел, кратных числу 2, заканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры называют четными цифрами. Остальные, 1, 3, 5, 7, 9, называют нечетными цифрами. Собственно, имеем признак делимости на 2:

  • на 2 делятся все те числа натуральные числа, запись которых заканчивается четной цифрой.

Если запись числа заканчивается нечетной цифрой, то число не делится на 2. 

Натуральные числа, которые делятся на 2, называют четными числами, все остальные натуральные числа—нечетные. Например, числа 86, 104, 510, 78, 1112 — четные, а 87, 113, 2001, 405, 9999 — нечетные.

Признаки делимости на 9 и 3

Запишем несколько первых чисел, кратных числу 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...

Очевидно, что число, кратное числу 9, может заканчиваться любой цифрой. Поэтому делать вывод про делимость на 9 по последней цифре записи нельзя.  

Найдем сумму цифр каждого из нескольких чисел, которые делятся на 9 и сумму цифр каждого из нескольких чисел, которые не делятся на 9. Результаты подадим в виде таблицы и выясним, как связана делимость самого числа на 9 с делимостью суммы его цифр на 9.

Сформируем признак деления на 9:

  • на 9 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, тогда это число не делится на 9.

Подобно этому признак делимости на 3:

  • на 3 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, тогда это число не делится на 3.

Пример №48

Выяснить, делится ли на 3 число: 1) 2571; 2) 14 021.

Решение. 1) Сумма цифр числа 2571 ровно 2 + 5 + 7 + 1=15, сумма цифр делится на 3, поэтому число 2571 делится на 3.

2) Поскольку сумма цифр числа 14 021,  равная 1 + 4 + 0 + 2 + 1=8, не делится на 3, то и число 14 021 не делится на 3.

Простые и составные числа

Число 11 делится только на 1 и на себя. Другими словами, число 11 имеет только два делителя: 1 и 11. У числа 8 четыре делителя: 1, 2, 4 и 8. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, и 18.

Такие числа, как 8 и 18, называют составными числами, а такие, как 11,— простыми числами.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само число. Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух делителей.

Число 1 имеет только один делительсам себя. Поэтому оно не будет ни простым, ни составным.

Первыми десятью простыми числами будут 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. В лекции приведём таблицу простых чисел от 2 до 997.

Наименьшее простое число — 2, наибольшего простого числа не существует. Какое бы простое число мы бы не взяли, существует число, большее него. Простых чисел множество. Среди простых чисел только число 2 будет четным, все остальные — нечетные.

Как узнать, что данное число будет простым или составным? Если число имеет делитель, отличный от 1 и самого себя, тогда это число имеет больше двух делителей и поэтому будет составным.

Пример №49

Простым или составным будет число 10 345?

Решение. Это число будет составным, так как имеет делителем число 5, отличное от 1 и 10 345.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больший за 1. Простое число так разложить на множители нельзя. 

Разложение чисел на простые множители 

Каждое составное число можно представить в виде произведении хотя бы двух множителей, отличными от единицы. Например, 330 = 10 • 33. Если среди таких множителей будут составные числа, тогда их можно подать в виде произведении двух множителей. Например, 330 = 10 • 33 = (2 • 5) • (3 • 11) = 2 • 3 • 5 • 11. Схематически это можно подать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если составное число подано в виде произведения, все множители которого будут простыми числами, тогда говорят: составное число разложили на простые множители. Например,  12 = 2 • 2 • 3;  150 = 2 • 3 • 5 • 5;  900 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5  и так далее. Разложением простого числа на простые множители будем считать именно это число.

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать признаки делимости на 2, 3 и 5. При разложении многозначных чисел на простые множители используют схему, которая подана в следующем примере.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №50

Разложить на простые множители число 420.

Решение. Запишем число 420 и справа от него проведем вертикальную черту. Это число делится на 2, ибо заканчивается цифрой 0. Запишем этот делитель 2 справа от черты, а частное 420 : 2 = 210 запишем под числом 420. Далее из числом 210 выполняем тоже самое: 210 : 2 = 105. Число 105 не делится на 2, ибо заканчивается непарной цифрой. Но 105 делится на 3, либо сумма его цифр (1 + 0 + 5  = 6) делится на 3. Имеем 105 : 3 = 35.  Далее 35 : 5 = 7.  Число 7— простое, поделив его на 7, получим 1. Разложение закончено. Собственно,  столбик чисел справа от черты состоит из простых множителей, произведение которых равно 420, то есть 420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7. 

Заметим, что произведение одинаковых множителей у разложении числа на простые множители можно заменить степенью. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее.

Образуя все возможные произведения из найденных простых множителей по двое, по три(и так далее), получим все остальные делители числа.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №51

Найти все делители числа 84.

Решение. Разложим число 84 на простые множители: 84 = 2 • 2 • 3 • 7.  

Делителями числа 84 будет 1, простые числа 2, 2, 3, 7 и все возможные их произведения:

по два:  2 • 2 = 4,  2 • 3 = 6,   2 • 7 = 14,   3 • 7 = 21;

по три:  2 • 2 • 3 = 12,   2 • 2 • 7 = 28,  2 • 3 • 7 = 42;

по четыре:  2 • 2 • 3 • 7 = 84. 

Собственно, делителями числа 84  будут 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Наибольший общий делитель

Рассмотрим задачу.

Задача №30

Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить, имея 32 конфеты "Белочка" и 24 конфеты "Чебурашка", если нужно использовать все конфеты и в каждом подарке должны быть конфеты двух видов?

Решение. Каждое из чисел 32 и 24 должно делится на количество подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числаМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потом — все делители числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общими делителями  (их подчеркнуто) чисел 32 и 24 будут 1, 2, 4, 8, а наибольшими — 8. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 32 и 24.

Собственно, можно составить 8 подарков, в каждом из которых будут 4 конфеты "Белочка" (32 : 8 = 4) и 3 конфеты "Чебурашка"  (24 : 8 = 3).

Наибольшим общим делителем нескольких натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают так:  НОДМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для предыдущей задачи можно записать НОД (32; 24) = 8.

В рассматриваемой задаче нашли наибольший общий делитель небольших чисел 32 и 24, записав все делители каждого из них. Также для нахождения наибольшего общего делителя (в частности, больших чисел) используют такое правило:

  • наибольший общий делитель нескольких чисел равен произведению общих простых множителей этих чисел.

Пример №52

Найти НОД (630; 1470).     Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Разложим числа 630 и 1470 на простые множители и подчеркнем те из них, которые будут общими в двух раскладах (а именно 2, 3, 5 и 7):

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть, НОД (630; 1470) = 2 • 3 • 5 • 7 = 210. 

Пример №53

Найти НОД (60; 140; 220).

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть, НОД (60; 140; 220) = 2 • 2 • 5 = 20. 

Имеем такое правило:

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, достаточно:

1) разложить данные числа на простые множители; 2) выписать все общие простые множители в найденных раскладах и вычислить их произведение.

Если среди данных чисел будет число, на которое делятся все другие из данных чисел, тогда это число и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Пример №54

Найти НОД (8; 64; 320).

Решение. Поскольку числа 64 и 320 делятся на 8, то НОД (8; 64; 320) = 8.

Если разложения данных чисел на простые множители не имеют общих множителей, тогда наибольшим общим делителем этих двух чисел будет число 1.

Два натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами.

Например, числа 12 и 35— взаимно простые, та как 12 = 2 • 2 • 3, 35 = 5 • 7 и НОД (12; 35) = 1. Числа же 15 и 18 не будут взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3.

Наименьшее общее кратное

Рассмотрим задачу.

Задача №31

Какое наименьшее целое количество метров ткани должно быть в свитке, чтобы ее можно было бы всю разрезать без остатка по 4 м или по 6 м?

Решение. Число метров в свитке должно делиться и на 4, и на 6, то есть должно быть кратным и числу 4, и числу 6.

Запишем числа, кратные числуМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачи числа, кратные числуМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общими кратными (они подчеркнуты) чисел 4 и 6 будут числа 12, 24, 36, ..., наименьшее из которых 12. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 4 и 6. Собственно, наименьшее количество метров ткани, которое должно быть в свитке, равно 12 м. Тогда ее можно разрезать по 4 м на 3 части (12 : 4 = 3) или по 6 м на 2 части (12 : 6 = 2). 

Наименьшим общим кратным нескольких натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Наименьшее общее кратное двух чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают НОК Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Собственно, можно записать НОК (4; 6) = 12. 

В рассматриваемой задаче мы нашли наименьшее общее кратное небольших чисел. Для больших чисел этот способ будет громоздким, поэтому наименьшее общее кратное находят по другому.

Пример №55

Найти НОК (30; 36)

Решение. Разложим данные числа на простые множители 30 = 2 • 3 • 5 и 36 = 2 • 2 • 3 • 3. Наименьшее общее кратное должно делится и на 30, и на 36. Поэтому оно должно содержать все простые множители и первого, и второго числа.

Рассмотрим разложение одного из этих чисел, например 30 = 2 • 3 • 5, и выясним, каких простых множителей второго числа в этом разложении нет. Такими множителями будут 2 и 3. На самом деле, в разложении 30 = 2 • 3 • 5 будет один множитель 2 и один множитель 3, а в разложении 36 = 2 • 2 • 3 • 3 два множителя 2 и два множителя 3. Собственно, чтобы найти НОК (30; 36), нужно разложение 30 = 2 • 3 • 5 дополнить множителями 2 и 3, каких не хватает, Имеем:

НОК Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, достаточно:

  1. разложить данные числа на простые множители;
  2. дополнить разложение одного из них теми множителями разложения второго числа, каких не хватает в разложении первого:
  3. вычислить произведение найденных множителей.

По этому правилу можно найти наименьшее общее кратное трех и больше чисел. Тогда разложение одного из этих чисел на простые множители нужно дополнить теми простыми множителями остальных чисел, которых не хватает в его разложении, и вычислить произведение найденных множителей.

Пример №56

Найти НОК (42; 66; 90).

Решение. 42 = 2 • 3 • 7;  66 = 2 • 3 • 11;  90 = 2 • 3 • 3 • 5. 

НОКМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если одно из данных чисел делится на все другие, тогда это число и будет их наименьшим общим кратным.

Пример №57

Найти НОК (6; 9; 36).

Решение. Поскольку число 36 делится как на 6, так и на 9, тогда  НОК (6; 9; 36) = 36.

Наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел будет произведение этих двух чисел. Например, НОК (5; 8) = 5 • 8 = 40. 

Обыкновенные дроби 

Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где a и b — любые натуральные числа. Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби.

Основное свойство дроби. Сокращение дроби.

Напомним основное свойство частного: если делимое и делитель умножить на одно и то же отличное от нуля число, то частное от этого не изменится. Поскольку обыкновенную дробь можно рассматривать как частное деления, то это свойство можно применить и к обыкновенным дробям.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке можно увидеть, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач круга равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач круга, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач круга равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач круга. Поэтому можно записать:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим, например, равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачУ этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. В самом деле, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее, рассмотрим равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачУ этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби поделить на 2, то естьМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим основное свойство дроби:

значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются разными записями одного и того же самого числа. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются также разными записями одного числа.

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число называют сокращением дроби. При этом одну дробь заменяют на другую, которая равна данной, но по сравнению с ней имеет меньший числитель и знаменатель.

Пример 1.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дробь сокращена на 2.

Пример 2.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дробь сокращена на 3.

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель называют сокращением дроби.

Как правило, действие деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число не пишут и после знака равенства сразу пишут сокращенную дробь.

Пример 3. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дробь сокращена на 4.

Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь сократить нельзя. Такую дробь называют несократимой дробью. Например: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы из данной дроби получить несократимую дробь, надо числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель. Сокращать дробь можно двумя способами.

  • І способ. Постепенно деля числитель и знаменатель на их соответствующие общие делители, пока не получим несократимую дробь.
  • II способ. Сразу деля числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

Пример №58

Сократить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. І способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сначала сократили на 2, потом на 3.

II способ. НОД (66; 78) = 6, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач числитель и знаменатель сразу сократили на 6.

Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько множителей, а потом уже сократить.

Пример 5. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сократим на 3 • 3 • 5 и получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наименьший общий знаменатель дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Мы уже умеем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

А как сравнивать дроби с разными знаменателями?

Пример №59

Сравнить дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используем основное свойство дроби и приведем дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к общему знаменателю.

Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 4, и на 6, то есть он является общим кратным чисел 4 и 6. Таких общих кратных множество: 12, 24, 36, 48, ... И дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно привести к знаменателю 12, 24, 36, 48, ... Наименьшее общее кратное знаменателей двух дробей (в нашем случае — 12) называют наименьшим общим знаменателем.

Итак, приведем дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к знаменателю 12. Найдем для этого дополнительный множитель для каждой дроби, то есть число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить дробь со знаменателем 12. Для этого нужно новый знаменатель 12 делим на знаменатели данных дробей: 12 : 4 = 3 и 12 : 6 = 2. Дополнительным множителем для дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет число 3, а для дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число 2. Дополнительные множители запишем слева над соответствующими числителями и подчеркнем их косой чертой:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Данные дроби привели к наименьшему общему знаменателю.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, достаточно:

  1. найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, которое и будет наименьшим общим знаменателем;
  2. найти для каждой дроби дополнительный множитель, поделив наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на его дополнительный множитель.

После приведения дробей Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к общему знаменателю можем их сравнить. Поскольку

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить полученные дроби.

Приводить к наименьшему общему знаменателю можно не только две дроби, но и три, четыре и т. д.

Пример №60

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Наименьшим общим знаменателем будет число 24, ибо это наименьшее число, которое делится на все данные знаменатели. Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если наименьший общий знаменатель найти трудно, то знаменатели надо разложить на простые множители.

Пример №61

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 48 = 2 • 2 • 2 • 2• 3;  60 = 2 • 2 • 3 • 5.  НОК (48; 60) = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 240. Тогда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Мы уже умеем складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, достаточно:

  1. привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю;
  2. сложить (вычесть) их по правилу сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример №62

Найти сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Наименьший общий знаменатель этих дробей 30. Дополнительный множитель для первой дроби 5 (30 : 6 = 5), для второй дроби 3 (30 : 10 = 3). Записываем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как правило, подчеркнутую часть не записывают. Тогда запись имеет вид:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Результат действия принято записывать несократимой дробью, поэтому получили Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сократив дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2. 

Пример №63

Найти разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Наименьший общий знаменатель этих дробей 24. Краткая запись решения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так же можно складывать и вычитать три, четыре и более дробей. Если результатом вычисления является неправильная дробь, то обычно ее записывают в виде смешанного числа.

Пример №64

Вычислить: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение (рассмотри самостоятельно).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для сложения дробей выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения дают возможность привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и сложению их дробных частей.

Если при сложении дробных частей получаем неправильную дробь, то в этом случае из нее выделяют целую часть и добавляют ее к целой части, которая уже есть.

Пример №65

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как правило, промежуточные вычисления выполняют устно и решение записывают короче:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При вычитании смешанных чисел используют свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и  

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач)

а также прием вычитания из натурального числа и правильной дроби.

Пример №66

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или короче: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №67

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или короче:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №68

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим пример, в котором дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример №69

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приведем дробные части к общему знаменателю: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо от целой части уменьшаемого взять одну единицу и превратить ее в дробь с необходимым знаменателем (в нашем примере это знаменатель 18). Потом:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
или короче: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразование обычных дробей в десятичные. Бесконечные периодические десятичные дроби

Мы уже умеем превращать десятичные дроби в обычные или в смешанные числа, например:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Также мы умеем превращать обычные дроби со знаменателями 10, 100, 1000, ... в десятичные, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы научиться превращать обычные дроби с другими знаменателями в десятичные, необходимо упомянуть, что обычная дробь является частным от деления числителя на знаменатель. Итак,

  • чтобы превратить обычную дробь в десятичную, достаточно числитель поделить на знаменатель.

Например:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в десятичную дробь надо преобразовать смешанное число, достаточно числитель дробной части поделить на знаменатель и к образовавшейся десятичной дроби прибавить целую часть смешанного числа.

Пример №70

Представить число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач десятичной дробью.

Решение.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Попробуем преобразовать дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в десятичную.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Видим, что деление не закончилось, то есть получили бесконечную десятичную периодическую дробь. А во всех предыдущих случаях мы получали конечные десятичные дроби. Цифры 8 и 1, которые стоят рядом в записи бесконечной десятичной дроби и повторяются множество раз подряд, образуют период бесконечной десятичной дроби. Это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "ноль целых 81 сотая в периоде"). Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как видим, при превращении обычной дроби в десятичную могут образовываться как конечные, так и бесконечные десятичные дроби. Конечные дроби образуются лишь тогда, когда в разложении знаменателя на простые множители нет простых множителей, кроме 2 и 5. В других случаях образуется бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач преобразуется в периодическую десятичную дробь, так как 12 = 2 • 2 • 3, то есть в разложении есть множитель 3. Убедимся:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(читают: «нуль целых 41 сотая и 6 в периоде»).

Дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач превратится в конечную десятичную дробь, ибо 20 = 2 • 2 • 5, то есть не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. Действительно,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразовать обыкновенные дроби в десятичные можно и другим способом: умножить числитель и знаменатель на необходимое количество двоек или пятерок так, чтобы количество двоек в знаменателе равнялась количеству пятерок. Тогда знаменатель будет кратным числу 10. Например:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Десятичное приближение обыкновенной дроби

При преобразовании обычных дробей в десятичные можно получать бесконечные периодические дроби. Выполняя вычисления с такими дробями, удобно пользоваться их приближениями, которые получают при округлении бесконечных дробей до определенного разряда. Образуется конечная десятичная дробь, которую называют десятичным приближением обычной дроби. Число, которое образовалось после округления, тем точнее, чем больше десятичных знаков в его приближении.

Примеры:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Десятичные приближения этой дроби таковы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (округлено до единиц);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (округлено до десятых);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (округлено до сотых);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (округлено до тысячных).

Чтобы найти десятичное приближение обычной дроби, которое округлено до данного разряда, достаточно:

  • 1) выполнить деление до следующего разряда;
  • 2) найденный результат округлить.

Пример №71

Округлить до тысячных и вычислить: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Умножение дробей

Существует много задач, при решении которых надо умножать обычные дроби. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача №32

Длины сторон прямоугольника равны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дм и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дм. Найти его площадь.

Решение. Чтобы решить задачу, запишем стороны прямоугольника десятичными дробями. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразим найденную десятичную дробь в обычную:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот же результат можно найти, не превращая обычные дроби в десятичные. Как видим, числитель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен произведению числителей: 3 • 43, а знаменатель — произведению знаменателей, а именно: 10 • 100. Найденная дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является произведением дробей Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведение двух обычных дробей — это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если можно, то результат надо сократить, причем числитель и знаменатель лучше сократить перед вычислением их произведений, что упростит вычисление.

Пример №72

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если среди множителей есть натуральное число, то его заменяют дробью со знаменателем 1.

Пример №73

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или короче: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если среди множителей есть смешанные числа, то их надо превратить в неправильные дроби, а затем применить правило умножения дроби на дробь.

Пример №74

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если из двух множителей одна — обычная дробь, а вторая обозначена буквой, то букву записывают за дробью на уровне черточки дроби. Напомним, что перед буквенным множителем и перед скобками знак умножения можно не писать.

Например, запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Можно убедиться, что все изученные ранее свойства умножения (переместительное, сочетательное и распределительное) справедливы и для умножения обычных дробей, а именно: если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — дроби, то:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме этого, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №75

Вычислить удобным способом: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Используя переместительное и сочетательное свойства, имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Используя распределительное свойство, имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Представим сначала Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде суммы целой и дробной частей: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем применим распределительное свойство умножения. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение дроби от числа

Рассмотрим задачу, сводящуюся к нахождению дроби от числа.

Задача №33

В классе 30 учеников, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из них парни. Сколько ребят в классе?

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 3

Решение. (Рис. 3).

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (уч.) — составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от 30 учащихся;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (уч.) — составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от 30 учеников.

Итак, в классе 12 ребят.

Решение этой задачи можно записать иначе:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, количество ребят в классе можно найти, если умножить количество всех учеников (30) на дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При решении задачи нашли дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от числа 30.

Задачи на нахождение дроби от числа решаются действием умножения.

Чтобы найти дробь от числа, достаточно число умножить на эту дробь.

Задача №34

Ширина прямоугольника равна 12 см, а длина составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ширины. Найти длину прямоугольника.

Решение. Длина прямоугольника равна

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №35

В книге 140 страниц. В первый день ученик прочитал 0,3 от всего количества страниц. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?

Решение. Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то для решения задачи надо умножить 140 на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, в первый день ученик прочитал 42 страницы. Тот же результат получим, если умножить 140 на 0,3:  140 • 0,3 = 42.  

Рассмотрим, как можно применить это правило для нахождения процентов от числа.

Задача №36

Турист должен пройти 12 км. За первый час он прошел 25 % этого расстояния. Сколько километров прошел турист за первый час?

Решение. Запишем 25 % десятичной и обычной дробью: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Умножим данное число на эту дробь: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Итак, за первый час турист прошел 3 км.

Взаимно обратные числа

Рассмотрим дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поменяем в ней числитель и знаменатель местами. Получим дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если теперь умножить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим 1:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Также получим 1 при умножении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Легко сделать вывод: чтобы найти дробь взаимно обратную данной обычной дроби, надо числитель и знаменатель дроби поменять местами (например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — взаимно обратные числа, можно говорить иначе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратная к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Число, обратное натуральному числу, — это дробь, числитель которой 1, а знаменатель —  это самое натуральное число (обратным к числу 13 есть число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Пример №76

Найти число, обратное числу: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Запишем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде неправильной дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обратным к числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обратным к числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №77

Найти значение произведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №78

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку произведение чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 1, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — обратное к числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Деление обычных дробей

Напомним, что деление — это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей можно найти второй множитель.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Выскажем предположение: чтобы поделить число на обычную дробь, надо умножить ее на число, обратное делителю. Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПроверим наше предположение еще и на таком примере. 

Пример №79

Найти частное Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Заменим деление умножением на число, обратное к делителю, а затем выполним проверку:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проверка. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частным двух дробей является дробь, равная произведению делимого на дробь, обратную делителю:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще один пример.

Пример №80

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если среди данных есть смешанные числа, то их надо преобразовать в неправильные дроби и только после этого выполнить деление.

Пример №81

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если среди данных есть натуральные числа, то их записывают в виде дроби со знаменателем 1.

Пример №82

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №83

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку любое число, кроме нуля, имеет обратное число, то деление выполняем без ограничений, кроме деления на ноль. На ноль делить нельзя!

Нахождение числа по его дроби

Рассмотрим задачу, которая сводится к нахождению числа по его дроби.

Задача №37

Сергей прочитал 120 страниц. Это составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач книжки. Сколько страниц в книжке?

Решение. Условие задачи изображено на рисунке 4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 4

1) 120 : 3 = 40 (с.) — приходится на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач книги;

2) 40 • 5 = 200 (с.) — всего 120 страниц.

Итак, в книге 200 страниц. Решение этой задачи можно записать иначе:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, количество страниц в книге можно найти, если поделить число 120 на дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В задаче известно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач книги — это 120 страниц, а надо найти общее количество страниц. То есть известно, сколько составляет дробь от числа, а надо найти само число. Итак, имеем задачу на нахождение числа по его дроби. Решают ее действием деления.

Чтобы найти число по его дроби, достаточно на эту дробь поделить число, которое ему соответствует.

Задача №38

За первый час велосипедист проехал 16,8 км, что составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  расстояния от деревни до города. Какое расстояние от деревни до города?

Решение. Расстояние от деревни до города равно

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №39

Рожью засеяно 1800 га, что составляет 0,9 поля. Найти площадь всего поля.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то для решения задачи надо поделить 1800 на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, площадь всего поля 2000 га. Если 1800 поделить на 0,9, получим тот же результат: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим, как можно применить это правило для нахождения числа по его процентам.

Задача №40

В школьной математической олимпиаде приняли участие 12 учащихся 6-го класса, что составляет 40 % всех учеников класса. Сколько учеников в классе?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такое число, 40 % которого равны 12. Запишем 40 % десятичной дробью и обычной дробью:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим на эту дробь число, которое ей соответствует:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, в классе 30 учеников.

Отношение и пропорции

Соотношение в математике (отношение, пропорция) — это взаимосвязь между двумя числами одного рода (предметами, действиями, явлениями, свойствами (признаками), понятиями, объектами, например, людьми (студентами), чайными ложками, единицами чего-либо одинаковой размерности), обычно выражаемое как «a к b» или a : b.

Отношение и основное свойство отношения

Рассмотрим задачу.

Задача №41

Длина дороги между селами равна 10 км. Заасфальтировано 8 км этой дороги. Во сколько раз длина всей дороги больше ее заасфальтированной части? Какая часть дороги заасфальтирована?

Решение. 1) Чтобы найти, во сколько раз длина всей дороги больше ее заасфальтированной части, надо 10 разделить на 8, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, длина всей дороги в 1,25 раза больше ее заасфальтированной части.

2) Поскольку длина дороги 10 км, то 1 км составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дороги, а потому 8 км составляют Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дороги, или (после сокращения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) дороги. Тот же результат получили бы, поделив 8 на 10.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При решении задачи мы нашли частные двух чисел. Такие частные называют отношением двух чисел.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Если две величины измеряются одной и той же единицей, то отношение их числовых значений называют отношением этих величин (отношение длин, отношение масс, соотношение площадей и тому подобное). Например, отношение 3 кг к 8 кг равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы найти отношение 1 ч к 25 мин., необходимо представить 1 ч в минутах: 1 ч = 60 мин.; тогда искомое отношение равно

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку отношение двух чисел можно записать дробью, а значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то

отношение двух чисел не изменится, если каждое из чисел отношения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Имеем основное свойство отношения.

Пример 1. 20 : 16 = 5 : 4 (разделили каждое из чисел отношения на 4).

Пример 2. Заменить отношение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношением натуральных чисел. 

І способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ІІ способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратной есть дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому для отношения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(или дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) отношение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) называют обратным. Например, для отношения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратным является отношение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для отношения 19 : 12 обратным является отношение 12 : 19.

Пропорция. Основное свойство пропорции

Отношения 12 : 3 и 20 : 5 равны, поскольку их значения равны 4. Поэтому можно записать равенство

12 : 3 = 20 : 5 или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, что означает «соразмерность», то есть определенное отношение частей между собой. С помощью букв пропорцию записывают так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Эти пропорции можно прочитать так: «Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, разделенное на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, разделенному на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач», или: «отношение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно отношению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач», или: «Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относится к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относится к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач».

В пропорции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют крайними членами пропорции, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — средними членами пропорции:

средние члены

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

крайние члены

В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличны от нуля: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим пропорцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используем основное свойство дроби: умножим числитель и знаменатель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а числитель и знаменатель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученные дроби являются равными, они имеют равные знаменатели, поэтому равными будут и их числители: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это произведение крайних членов, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произведение средних членов пропорции. Пришли к основному свойству пропорции:

в пропорции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произведение крайних ее членов равно произведению средних:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пример №84

Проверить, является ли равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорцией.

Решение. І способ (по определению пропорции). Поскольку 1,8 : 2 = 0,9 и 4,5 : 5 = 0,9, то равенство является пропорцией. 

ІІ способ (по основному свойству пропорции). Поскольку 1,8 • 5 = 9 и 2 • 4,5 = 9, то равенство является пропорцией. 

Пример №85

Проверить, можно ли из отношений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач составить пропорцию.

Решение. Поскольку 7 • 4 = 28, 2 • 13 = 26, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то составить пропорцию из данных отношений нельзя.

Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.

Пример №86

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из пропорции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используя основное свойство пропорции, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №87

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используя основное свойство пропорции, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим пропорцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда  4 • 12 = 8 • 6.

Последнее равенство можно получить, очевидно, и из таких пропорций: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поменяли местами средние члены заданной пропорции);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поменяли местами крайние члены заданной пропорции);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поменяли местами средние и крайние члены заданной пропорции).

Отсюда следует, что средние члены или (и) крайние члены пропорции можно менять местами.

Прямая пропорциональная зависимость

Пусть 1 кг товара стоит 8 руб. Определим стоимость, например, 2 кг, 4 кг, 5 кг, 0,5 кг, 10 кг этого товара: 

Количество товара, кг 1 2 4 5 0,5 10
Стоимость товара, руб. 8 16 32 40 4 80

Каждый раз имеем разную стоимость товара, она зависит от количества приобретенного товара, а отношение стоимости товара к его количеству является числом постоянным. Оно равно стоимости 1 кг этого товара (в рублях), то есть 8:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Две величины, отношение соответствующих значений которых является постоянным, называют прямо пропорциональными.

Из соответствующих значений прямо пропорциональных величин можно составить пропорцию, например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямо пропорциональными величинами являются: стоимость товара и его количество; путь, пройденный телом с постоянной скоростью, и время; периметр квадрата и длина его стороны и тому подобное.

Поскольку 1 кг товара стоит 8 руб., а 2 кг стоят 16 руб., то замечаем, что вдвое большему количеству товара соответствует вдвое большая его стоимость. Поэтому прямо пропорциональные величины имеют следующее свойство:

с увеличением (уменьшением) значения одной из прямо пропорциональных величин в несколько раз значение второй величины увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Задачи на прямо пропорциональные величины можно решать с помощью пропорции.

Задача №42

За 2,5 ч автомобиль проехал 170 км. Какое расстояние проедет автомобиль за 3,5 ч, если скорость его движения является постоянной?

Решение. Пусть за 3,5 ч автомобиль проехал Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км. Запишем условие задачи схематически:

2,5 ч — 170 км;

3,5 ч —  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км.

Эту схему будем понимать так: 2,5 ч соответствуют 170 км, а 3,5 ч соответствуют Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км. Расстояние, которое проехал автомобиль с постоянной скоростью, и время являются величинами прямо пропорциональными: с увеличением в определенное количество раз времени движения в столько же раз увеличится расстояние, которое проехал автомобиль. Поэтому можно записать пропорцию:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 238 км.

Масштаб и нахождение расстояний на карте

Предположим, что нам необходимо рассмотреть карту (или план) некоторой местности (или здания или предмета). На карте (рис. 5) все размеры уменьшены в одно и то же количество раз. Во сколько раз на самом деле размеры больше, чем на карте, показывает масштаб карты.

На рисунке 5 карта выполнена в масштабе 1 : 100 000. Это означает, что все размеры на самом деле в 100 000 раз больше, чем соответствующие размеры на карте. Например, если на карте расстояние между селами Калиновка и Яблоневое равно 4 см, то на самом деле это расстояние составляет 4 • 100 000 = 400000 см,то есть 4000 м или 4 км. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 5

Отношение длины отрезка на карте (или плане) к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (или плана).

Следовательно, масштаб записывается как частное (например,  1 : 100, 1 : 2000, 1 : 1000 000), делимым которого является единица, а делитель показывает, во сколько раз реальные размеры больше, чем размеры на карте (или плане). Так, масштаб  1 : 2000 означает, что одному сантиметру на плане отвечает 2000 см, то есть 20 м на местности.

Задачи, связанные с масштабом, решают не только в математике, но и в географии, геодезии и т. д. Эти задачи можно решить на основе определения масштаба.

Пример №88

Известно, что 100 м — это 1 см на карте. Какой масштаб этой карты?

Решение. 100 м = 10 000 см. Поэтому масштаб  1 : 10 000.

Пример №89

Масштаб карты 1 : 100 000. Между селами Вишневое и Яблоневое расстояние 6 км. Какое расстояние между изображениями этих деревень на карте?

Решение. Поскольку 100 000 см = 1 км, то 1 км — это 1 см на карте, поэтому расстояние 6 км — 6 см на карте (рис. 5).

Пример №90

Расстояние между двумя городами 400 км, а на карте этому расстоянию соответствует расстояние 10 см. Какой масштаб этой карты?

Решение. Одному сантиметру на карте отвечает 400 : 10 = 40 км, то есть 4 000 000 см. Поэтому масштаб карты 1 : 4 000 000.

Поскольку отношение длины отрезка на карте (или плане) к длине соответствующего отрезка на местности является числом постоянным, то эти величины — прямо пропорциональны. Поэтому задачи, связанные с масштабом, можно также решать с помощью пропорции.

Задача №43

Расстояние между двумя городами на местности — равняет 280 км. Какое расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1 : 4 000 000?

Решение. Поскольку масштаб карты 1 : 4 000 000, то 1 см на карте — это 4 000 000 см = 40 000 м = 40 км местности. Пусть расстояние между городами на карте равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Запишем данные задачи схематически:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние на местности прямо пропорционально расстоянию на карте. Имеем пропорцию: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 7 см.

Деление числа в данном отношении

Рассмотрим задачи, в которых требуется поделить число или значение величины в данном отношении, то есть на части, пропорциональные некоторым числам. Такие задачи называют задачами на деление числа в данном отношении или задачами на пропорциональное деление.

Задача №44

Сплав массой 30 кг состоит из железа и меди, которые взяты в отношении  3 : 2. Сколько в сплаве железа и сколько меди?

Решение. І способ. (Рис. 8). Массы железа и меди относятся как 3 : 2, то есть в сплав входит 3 части железа и 2 части меди. Всего имеем 3 + 2 = 5 (частей). Поскольку пяти частям соответствует 30 кг, то на одну часть припадает 30 : 5 = 6 (кг). Тогда железа в сплаве  6 • 3 = 18 (кг), а меди 6 • 2 = 12 (кг).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 8

ІІ способ. (Рис. 9).  Обозначим массу одной части буквою Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку железа взято три части, то его в сплаве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а меди взято две части, поэтому ее в сплаве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По условию имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса одной части, то есть 6 • 3 = 18 (кг) — взято железа, 6 • 2 = 12 (кг) — меди.

Ответ. 18 кг железа и 12 кг меди.

Часто число или значение величины необходимо поделить на три и более частей. Так, например, если число надо поделить на три части, пропорционально числам 2, 3 и 4, то говорят, что число надо поделить в отношении 2 : 3 : 4; если отрезок надо поделить пропорционально числам 3, 7, 5 и 1, то говорят, что отрезок надо поделить в отношении 3 : 7 : 5 : 1.

Задача №45

Между мамой, папой и их сыном поделили яблоки в отношении 2 : 1 : 3. Сколько яблок получила мама и сколько папа, если сын получил 12 яблок?

Решение. Поскольку трем частям соответствуют 12 яблок, то на одну часть приходится 12 : 3 = 4 (яблока). Итак, папа получил 4 яблока, а мама — 4 • 2 = 8 (яблок).

Ответ. 4 яблока — папа, 8 яблок — мама.

Вероятность случайного события

Мы часто говорим: "это возможно", "это невозможно", "это маловероятно", "это весьма вероятно", "это обязательно произойдет", "этого никогда не будет". Все эти утверждения чаще всего употребляют, когда речь идет о возможности осуществление определенных событий.

О событиях "после 9 декабря наступит 10 декабря" и "после нагрева воды до 100°С она будет кипеть" можно сказать, что они произойдут закономерно. События "при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков", " при подбрасывании монеты выпадет герб", " в почтовый ящик придет 2 письма" могут состояться, а могут и не состояться. Такие события называют случайными.

Случайное событие — событие, которое при одних и тех же условиях может произойти, а может не произойти.

Пример:

В ящике находятся всего 5 белых и 5 черных шариков. Из него наугад вынимают один шарик. Какие из событий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом могут произойти:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вынут белый шарик; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вынут черный шарик; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вынут зеленый шарик; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вынут шарик?

Поскольку из ящика можно вынуть лишь то, что в нем находится, то вынуть белый или черный шарик можно, а зеленый — нет. Можно также утверждать, что любой предмет, который наугад вынимают из ящика, будет шариком, потому что там, кроме шариков, ничего нет. Итак, в вышеприведенном примере события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут произойти, событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не может произойти, а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обязательно произойдет.

Событие, которое при данных условиях обязательно произойдет, называют вероятным.

Событие, которое при данных условиях не может произойти, называют невозможным.

В рассмотренном примере: событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вероятное, а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — невозможное.

Если все шарики в рассмотренном примере одинаковы, то вероятность вынуть любой из них такая же, как и вероятность вынуть другой. Такие ситуации будем рассматривать и в дальнейшем.

Поскольку в ящике одинаковое количество белых и черных шариков, то имеем равные шансы наугад вытащить белый или черный шарик. Никаких других шариков в ящике нет, поэтому если вытаскивать шарики большое количество раз, после каждого из которых возвращать шарик в ящик, то можно сказать, что примерно в половине случаев будет извлечен белый шарик и в половине случаев — черный.

Число 0,5 (половина) — это вероятность случайного события "вынут белый шарик". Вероятность события A обозначают P(A) или p(A) (первая буква французского слова probabilite, что переводится как возможность, вероятность). Итак, можно записать: P(A) = 0,5 или p(A) = 0,5 (читают: «вероятность события A равна 0,5»). Если в задаче рассматривают только одно событие, то его вероятность можно обозначать P или p.

Эту вероятность можно получить, если количество белых шариков, то есть 5, поделить на количество всех шариков, то есть 10. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Можно сформулировать определение вероятности:

вероятностью случайного события A называют отношение количества случаев, способствующих появлению события A, к количеству всех возможных случаев.

Это можно записать формулой так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,

где m — количество случаев, способствующие появлению события A, а n — количество всех возможных случаев.

Рассмотренное определение еще принято называть классическим определением вероятности.

Иногда вероятность выражают в процентах, тогда в приведенном примере Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Задача №46

В лотерее 100 билетов, из них 7 — выигрышные. Найди вероятность выигрыша (событие A); проигрыша (событие B) при покупке одного билета. 

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) Невыигрышных билетов: 100 — 7 = 93. Поэтому вероятность проигрыша Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Задача №47

Из коробки, в которой находятся только 6 красных карандашей, наугад вытаскивают карандаш. Найди вероятность таких событий:

A — вытянут красный карандаш;

B — вытянут синий карандаш.

Решение. Событие A является вероятным в данных условиях, поскольку в коробке только красные карандаши. Найдем его вероятность: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Событие B в данных условиях невозможно, так как в коробке нет синих карандашей (их количество равно нуль). Найдем вероятность событие B:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приходим к выводу, что вероятность вероятного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0.

Обратная пропорциональная зависимость

Пусть площадь прямоугольника равна 36 см2, а длина и ширина прямоугольника являются натуральными числами. Некоторые из возможных значений длины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ширины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач даны в таблице.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, см 36 18 12 9 6
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, см 1 2 3 4 6

Каждый раз имеем разные значения длины и ширины прямоугольника, однако произведение этих значений является постоянным числом. Оно равно площади прямоугольника (в см2), то есть числу 36:

36 • 1 = 18 • 2 = 12 • 3 = 9 • 4 = 6 • 6 = 36.

Две величины, произведение соответствующих значений которых являются постоянными, называют обратно пропорциональными.

Заметим, что из соответствующих значений одной из двух обратно пропорциональных величин и значения, обратного второй величине, можно составить пропорцию. Действительно, выходя, например, из условия 12 • 3 = 9 • 4, можно составить пропорцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этим и объясняется название обратно пропорциональных величин. 

Обратно пропорциональными величинами являются длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника; скорость тела и время при постоянном пути; количество работников и время выполнения работы, если объем работы является постоянным, и тому подобное.

Рассмотрим два значения длины прямоугольника Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующие им значения ширины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вдвое большему значению длины прямоугольника соответствует вдвое меньшее значение его ширины. Можно сделать вывод о том, что обратно пропорциональные величины имеют такое свойство:

с увеличением (уменьшением) значения одной из обратно пропорциональных величин в несколько раз значение второй величины уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз.

Отсюда можно сделать вывод, что если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равняется обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Действительно, в рассмотренном выше примере отношение значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно обратному отношению соответствующих значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, задачи, связанные с обратной пропорциональной зависимостью, как и задачи, связанные с прямой пропорциональной зависимостью, можно решать с помощью пропорции.

Задача №48

10 рабочих выполняют определенную работу за 12 часов. Сколько времени понадобится для выполнения такой работы шести рабочим, если производительность труда всех рабочих одинаковая?

Решение. Число рабочих и время выполнения данной работы являются величинами обратно пропорциональными (при одинаковой производительности труда всех рабочих).

Пусть 6 рабочих выполняют работу за Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ч. Запишем условие задачи схематически:

10 раб – 12 ч
6 раб – Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ч

Величины в задаче обратно (а не прямо) пропорциональны, при составлении соответствующего уравнения 12 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач надо поменять местами. Итак, имеем уравнение

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ч).

Ответ. 20 ч.

Не любые две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, масса ребенка увеличивается при увеличении его возраста. Но эти величины не являются пропорциональными, поскольку при увеличении вдвое возраста ребенка его масса вдвое не увеличивается.

Процентное отношение двух чисел. Изменение величины в процентах

Мы знаем два вида задач на проценты: нахождение процентов от числа и нахождения числа по его процентам. Рассмотрим еще задачи, в которых надо найти, сколько процентов составляет одно число от другого, то есть процентное отношение двух чисел.

Мы умеем находить отношение двух чисел или величин. Например, отношение числа 8 к числу 16 равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а отношение 9 кг к 5 кг равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку отношение чисел или величин является дробью, его можно выразить в процентах, а именно: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Говорят, что число 8 составляет 50 % числа 16, а 9 кг составляет 180 % от 5 кг.

  • Чтобы найти процентное отношение двух чисел, достаточно найти отношение этих чисел и умножить его на 100 %.
  • Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, достаточно первое число поделить на второе и найденное частное умножить на 100 %.

Задача №49

В классе 30 учеников, из них 27 посетили театр. Сколько процентов от учеников класса посетили театр?

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изменение величины часто характеризуют с помощью процентов. Рассмотрим две задачи экономического содержания.

Задача №50

До снижению цен MP3-плеер стоил 400 руб., а после снижения стал стоить 360 руб. На сколько процентов снизилась цена МРЗ-плеера?

Решение. Найдем сначала, на сколько руб. уменьшилась цена MP3—плеера: 400 — 360 = 40 (руб.). Определим, сколько процентов эта разница составляет от начальной цены МР3-плеера:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, цена MP3-плеера снизилась на 10 %.

Задача №51

Вкладчик положил в банк 800 руб., а через год забрал 944 руб. Сколько процентов годовых начисляет банк?

Решение. Прибыль равна 944 — 800 = 144 (руб.). Найдем, сколько процентов это составляет от вклада: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, банк начисляет 18 % годовых.

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась определенная величина, достаточно найти:

  • 1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
  • 2) сколько процентов составляет найденная разность от начального значения величины.

Процентные расчеты

Напомним, что проценты можно записывать в виде десятичных дробей:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или в виде обычных дробей: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вспомним, как решается каждая из трех типов задач на проценты.

Задача №52 (нахождение процентов от числа).

Вкладчик положил в банк 2500 руб. Банк начисляет 12 % годовых. Какую прибыль будет иметь вкладчик через год?

Решение. І способ.

1) 2500 : 100 = 25 (руб.) — это 1 %;

2) 25 • 12 = 300 (руб.) — прибыль вкладчика.

II способ. Поскольку 12 % = 0,12, то прибыль вкладчика можно найти как дробь от числа:  2500 • 0,12 = 300 (руб.). 

Задача №53 (нахождение числа по его процентам).

Ученик прочитал 63 страницы, что составляет 35% объема книжки. Сколько страниц в книжке?

Решение. І способ.

1) 63 : 35 = 1,8 (с.) — это 1 %;

2) 1,8 • 100 = 180 (с.) — в книжке.

II способ. 35 % = 0,35, то количество страниц можно найти как число по его дроби: 63 : 0,35 = 180 (с.).

Задача №54 (процентное отношение двух чисел).

Расстояние между городами равно 65 км. Велосипедист преодолел 39 км этого расстояния. Сколько процентов расстояния между городами проехал велосипедист?

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим более сложные задачи.

Задача №55

Первый мусоровоз вывез 32 % мусора, второй — 35 %, а третий — остальные 2,64 т. Сколько тонн мусора вывез первый мусоровоз и сколько второй?

Решение. Поскольку весь объем вывезенного мусора составляет 100 %, то  100 % — (32 % + 35 %) = 33 % — вывез третий мусоровоз, что составляет 2,64 т. Поэтому общий объем вывезенного мусора найдем как число по его дроби, то есть действием деления: 2,64 : 0,33 = 8 (т). Итак, первый мусоровоз вывез 8 • 0,32 = 2,56 (т),  а второй 8 • 0,35 = 2,8 (т). 

Задача №56

Масса двух арбузов вместе 27 кг, причем масса второго составляет 80 % от массы первого. Найти массу каждого из арбузов.

Решение. Пусть масса первого арбуза Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кг, тогда масса второго — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию задачи:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим это уравнение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, масса первого арбуза 15 кг.

0,8 • 15 = 12 (кг) — масса второго.

Окружность и длина окружности

Очень давно люди изобрели колесо и увидели его полезные в быту свойства. Геометрическими фигурами, которые дают представление о колесе, есть окружность и круг.

На рисунке 15 изображен чертежный инструмент — циркуль. На одной его ножке —острие, а на второй — грифель. Если поставить ножку с острием на бумагу в точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то вторая ножка (с грифелем) во время вращения опишет окружность. Точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют центром окружности. Все точки окружности лежат в одной плоскости и на одинаковом расстоянии от центра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это расстояние называют радиусом окружности. Например, на рисунке 16 это отрезок Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, соединяющий центр окружности — точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — с произвольной точкой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой окружности. Радиус окружности принято обозначать буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отрезок Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который соединяет две точки окружности и проходит через его центр (рис. 17), называют диаметром круга. Диаметр круга принято обозначать буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Он состоит из двух радиусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому диаметр окружности вдвое больше радиуса:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                               Рис. 15                               Рис. 16                                Рис. 17 

Возьмем консервную банку (круглый стакан и т. д.), поставим ее на лист бумаги и обведем карандашом (рис. 18). На листе получим окружность. Если взять нить и обвить ею банку, а затем выпрямить эту нить, то длина нитки будет примерно равняться длине нарисованной окружности (рис. 19). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 18                                                       Рис. 19

Измерим диаметр окружности и найдем отношение длины окружности к ее диаметру. Если замеры сделаны достаточно тщательно, то окажется, что это отношение чуточку больше 3.

Для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Это число обозначают греческой буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читается: "пи"), его записывают бесконечной десятичной дробью: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В дальнейшем для удобства вычислений будем использовать приближенное значение п: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Если длину окружности обозначить буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина окружности равна произведению числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на диаметр окружности.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то формулу для вычисления длины окружности можно записать и так: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №57

Найти длину окружности, радиус которой 3 см.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №58

Найти диаметр окружности, длина которой составляет 44 дм.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Целесообразно взять Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Круг. Площадь круга. Круговой сектор

Круг делит плоскость на две части. Часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с окружностью образуют круг (рис. 24). Центр, радиус и диаметр окружности одновременно являются центром, радиусом и диаметром круга. Расстояние от центра к любой точке круга не превышает радиуса круга.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 24 

Как найти площадь круга? В старших классах будет доказано, что 

площадь круга равна произведению числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на квадрат радиуса: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус круга.

Задача №59

Найти площадь круга, радиус которого равен 2,5 см.

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем два радиуса Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач круга (рис. 25). Они разбивают круг на две части, каждую из которых называют круговым сектором. Неокрашенному сектору соответствует угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который меньше развернутого угла. Угол закрашенного сектора больше развернутого угла, поэтому его градусная мера больше 180°.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                      Рис. 25                                                                    Рис. 26                  

На рисунке 26 диаметр AB разбивает круг на два полукруга. Угол каждого из них равен 180°. Сумма этих углов образует полный угол. Поскольку 180° + 180° = 360°, то приходим к выводу, что

градусная мера полного угла равна 360°.

Задача №60

Угол неокрашенного сектора на рисунке 25 равен 100°. Найти угол закрашенного сектора.

Решение. Для нахождения угла закрашенного сектора вычтем от меры полного угла меру угла неокрашенного сектора: 360° — 100° = 260°. Итак, искомый угол равен 260°.

Задача №61

Машенька нарисовала окружность, радиус которой равен 6 см. Затем она закрасила сектор круга, ограниченного этой окружностью, угол которого равен 90°. Найти площадь закрашенного сектора.

Решение. Поскольку 360° : 90° = 4, то 90° — это Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач полного угла 360°. Поэтому Машенька закрасила Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач круга.

Площадь круга Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь закрашенного сектора: 113,04 : 4 = 28,26 (см2). 

Столбчатые и круговые диаграммы

Графическая информация является достаточно наглядной и запоминается лучше, чем слова и цифры.

Диаграмма — это одно из графических средств изображения соотношения между величинами, которые сравнивают.

Рассмотрим пример построения столбчатой диаграммы.

Пример №91

Максимальная масса животных: ламы — 110 кг, оленя — 230 кг, тигра — 320 кг. Построим столбчатую диаграмму по этим данным: изобразим массы животных с помощью столбиков. Ширину этих столбиков выбираем одинаковую (например, 7 мм), а их высоты должны соответствовать массе каждого из животных. Чтобы изобразить 10 кг возьмем 1 мм. Тогда высота столба, изображающего массу ламы, будет 110 : 10 = 11 (мм), оленя — 230: 10 = 23 (мм) , тигра — 320 : 10 = 32 (мм). Получили столбчатую диаграмму (рис. 35).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 35

Иногда соотношение между величинами удобно изображать с помощью круговых диаграмм.

Пример №92

В течение недели библиотеку посетили 27 шестиклассников: 9 — из 6-А класса, 12 — из 6-Б и 6 — из 6-В.

Найдем, какую часть от количества всех шестиклассников,  посетивших библиотеку, составляет количество учеников из каждого класса: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для 6-А), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( для 6-Б), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для 6-B).

Пусть количество всех шестиклассников, посетивших библиотеку, изображено в виде круга. Разделим этот круг на секторы, соответствующие дробям Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку полный угол составляет 360°, то количество учеников 6-А класса, которые посетили библиотеку, будет изображено сектором, угол которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, 6-Б класса — сектором, угол которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а 6-В — сектором, угол которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Строим круговую диаграмму (рис. 36).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 36

Диаграммы используют для наглядного изображения и анализа данных во многих науках: истории, географии, биологии и т. д.

В старших классах на уроках информатики будут рассматриваться различные способы построения диаграмм с использованием программных средств.

Цилиндр. Конус. Шар

Формы предметов, которые нас окружают, довольно разнообразны. Среди них встречаются предметы, имеющие форму цилиндра, конуса и шара (рис. 43).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач              Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Цилиндр          Конус               Шар                                   Рис. 44

                            Рис. 43 

Такие предметы, как стакан, колода, консервная банка, имеют форму цилиндра (рис. 44).

Слово «цилиндр» пришло к нам из Древней Греции и переводится как «валик». Колонны многих зданий, построенных в те времена, имели форму цилиндра (рис. 45).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                         Рис. 45                                                        Рис. 46 

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности (рис. 46). Основания цилиндра – равные между собой круги. На рисунке эти круги изображают в виде эллипсов (овалов). Радиусы этих кругов называют радиусами оснований цилиндра (или просто радиусами цилиндра). Отрезок, который соединяет центры оснований и образует с любым радиусом угол 90°, называют высотой цилиндра.

О предметах, изображенных на рисунке 47, говорят, что они имеют форму конуса. Слово «конус» переводится с древнегреческого как «шишка» или «верхушка шлема». Конус в определенной степени похож на пирамиду. У конуса также, как и у пирамиды, есть вершина и основание. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности (рис. 48). Если основанием пирамиды является многоугольник, то основанием конуса является круг. Радиус этого круга называют радиусом основания конуса (или радиусом конуса).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 47                                                      Рис. 48  

Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания и образующий с любым радиусом угол 90°, называют высотой конуса.

Такие предметы, как мяч, шарик, арбуз, глобус имеют форму шара (рис. 49). Поверхность шара называют сферой. Форму, близкую к форме шара, имеют Земля, Луна, Солнце и тому подобное.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                         Рис. 49                                                    Рис. 50 

У шара (сферы), так же как и у круга (окружности), есть центр, радиус и диаметр.

Радиус шара (сферы), как и радиус круга (окружности), принято обозначать буквой r, а диаметр – буквой d. Понятно, что диаметр шара (сферы) вдвое больше радиуса шара (сферы):  d = 2r

Рациональные числа и действия над ними

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Положительные и отрицательные числа. Число 0

Из сообщений о погоде можно узнать, что температура воздуха была —5 градусов по Цельсию (или сокращенно: —5°C). На географической карте можно увидеть отметку —2210 (в метрах) для глубины Черного моря. Числа со знаком «минус» нужны в тех случаях, когда изменение величины может произойти в двух противоположных направлениях (повыситься или понизиться) относительно некоторой начальной, нулевой отметки.

Рассмотрим примеры.

Пример №93

При измерении температуры за начальную отметку принимают температуру замерзания воды (или таяния льда). Эту отметку обозначают числом 0, а температуру измеряют в градусах.

Термометр, размещенный на рисунке 59 слева, показывает 3 выше нуля, то есть 3°С тепла. Поэтому температуру записывают со знаком «+», а именно +3°С (читают: «плюс три градуса по Цельсию»). Термометр, размещен на рисунке 59 справа, показывает 2 градуса ниже нуля, то есть 2°С мороза. Такую температуру записывают со знаком «—», а именно —2°C (читают: «минус два градуса по Цельсию»).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 59

Пример №94

Чтобы задать положение некоторого места земной поверхности, за начальную отметку принимают уровень моря. Его обозначают числом 0.

Вершина самой высокой горы  лежит на высоте 2061 м выше уровня моря, вершина самой высокой горы Роман—Кош — на 1545 м выше уровня моря, вершина самой высокой горы равнинной части Берди — на 515 м выше уровня моря. Самое глубокое место Балтийского моря — на 470 м ниже уровня моря, Каспийского моря — на 1025 м ниже уровня моря, Черного моря — на 2210 м ниже уровня моря (рис. 60).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 60

Положение некоторой точки, расположенной ниже уровня моря, обозначают числами со знаком «—», а положения некоторой точки, расположенной выше уровня моря, со знаком «+». Итак, можно сказать, что высота горы Говерла равна +2061 м, а глубина Черного моря в самом глубоком месте равна —2210 м.

Числа со знаком «—», например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отрицательными числами. Числа со знаком «+», например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют положительными числами. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

В записи положительных чисел знак «+», как правило, не пишут, например, вместо +6 записывают 6. Итак, числа +6 и 6 не отличаются друг от друга: +6 = 6. Так же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Координатная прямая

Положительные и отрицательные числа и число 0 можно изобразить точками на прямой. Для этого начертим горизонтальную прямую и обозначим на ней точку О начало отсчета (рис. 62). Точка О  делит прямую на два луча. Положительные числа принято обозначать справа от точки О , а отрицательные — слева. Именно поэтому направление справа от точки отсчета называют положительным направлением, а направление слева — отрицательным направлением. Положительное направление обозначают стрелкой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 62

Выберем на положительном направлении единичный отрезок. Теперь на этой прямой обозначим числа (или точки, соответствующие этим числам). Чтобы обозначить, например, число 3, надо от точки О  отложить три единичных отрезка вправо. Чтобы обозначить число —4, надо от точки О  отложить четыре единичных отрезка влево.

Прямую с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и указанным положительным направлением называют координатной прямой.

Число, которому соответствует определенная точка на координатной прямой, называют координатой этой точки. На рисунке 62 точка M имеет координату 3, а точка K имеет координату —4. Это записывают так: M (3) (читают: «точка M с координатой 3») и K (–4) (читают: «точка с координатой —4»).

Пример №95

Записать координаты точек A, B, C, D, E, K, изображенные на рисунке 63.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 63

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если координата точки известна, то эту точку можно обозначить на координатной прямой.

Пример №96

Начертить координатную прямую, взяв за единичный отрезок четыре клеточки. Обозначить точки: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. (Рис. 64.)

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 64

Пример №97

Начертить координатную прямую, обозначить на ней точку L (—1). Отметить на этой прямой точки, удаленные от точки L на 3 единицы.

Решение. Точка, удаленная от точки L (—1) на 3 единицы и размещенная справа от нее, имеет координату 2: M (2), а точка, удаленная на 3 единицы и размещенная слева от L (—1) , имеет координату —4: N (–4) (рис. 65).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 65

Противоположные числа. Целые числа. Рациональные числа

Точки A и B с соответствующими координатами 2 и —2 одинаково удалены от начала отсчета — точки O и находятся по разные стороны от нее (рис. 71). Чтобы попасть из точки O в точки A (2) и B (–2), надо отложить одинаковые расстояния,  равные двум единичным отрезкам, но в противоположных направлениях. Числа 2 и —2 называют противоположными числами.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 71

Два числа, отличающиеся друг от друга лишь знаками, называют противоположными числами.

Число 2 противоположно числу —2 и, наоборот, число —2 противоположно числу 2. Противоположными являются также числа —3 и 3; 4,7 и —4,7; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. 

Число 0 считают противоположным самому себе.

Число, противоположное числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ибо число, противоположное числу —8,5, равно 8,5). Так же — (—5) = 5, —(—7) = 7, —0 = 0, вообще Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число положительное, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число отрицательное, а если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отрицательное число ,то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число положительное.

Пример №98

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач противоположное числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Поскольку противоположным числу 5 является число —5, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Противоположным числу —2 является число 2, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.

Целые числа: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Целые числа (положительные, отрицательные и число 0) и дробные числа (положительные и отрицательные) называют рациональными числами.

Например, рациональными являются числа: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль числа

Расстояние от точки A (–3) до начала отсчета точки O равно 3 единицы (рис. 73). Число 3 называют модулем числа —3. Пишут: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «модуль числа –3 равен 3»).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 73 (3 единицы; 2 единицы)

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Расстояние от начала отсчета до точки B (2) на координатной прямой равно 2 единицы (рис. 74), поэтому модулем числа 2 является именно число 2. Пишут: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Модуль числа ноль равен нулю: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак,

модулем положительного числа и числа 0 является именно это число, а модулем отрицательного числа — противоположное ему число.

Это правило можно записать с помощью фигурной скобки:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №99

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №100

Решить уравнения:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

1) Существуют два числа, модули которых равны 4 — это числа 4 и —4. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 2) Существует одно число, модуль которого равен нулю — это число 0. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 3) Уравнение не имеет решений, поскольку модуль любого числа всегда является числом положительным или нулем, то есть модуль числа является неотрицательным числом.

Свойства модуля:

  1. Модуль числа является всегда положительным числом или нулем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Противоположные числа имеют равные модули: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №101

Найти целые числа, при которых неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет правильным.

Решение. Необходимо найти целые числа, расстояния от которых до начала отсчета меньше 3,1. Такими целыми числами являются: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3.

Сравнение рациональных чисел

Мы уже умеем сравнивать положительные числа. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Известно, что число ноль меньше любого положительного числа. А как сравнивать числа, если среди них есть отрицательные?

Из 5—го класса известно, что из двух положительных чисел меньше то, которое на координатном луче расположено левее. Если любые два числа обозначить на координатной прямой, то получим аналогичный вывод:

  • из двух чисел меньшим является то, которое на координатной прямой размещено левее, а большим — то, которое на координатной прямой размещено правее.

На координатной прямой (рис. 79) точка С (–2) лежит левее точки О (0). Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. И это естественно: ведь, если утром температура была —2°С, а днем стала 0°С, то мы говорим, что температура повысилась, то есть увеличилась.

Поскольку точка А (–3) лежит левее, чем точка В (1), то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 79

Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.

Точка С (–2) лежит справа от точки А (–3), поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отметим, что –2 лежит ближе к нулю, чем –3, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак,

из двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньший, и меньшим является то, модуль которого больше.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   

(Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Пример №102

Записать с помощью неравенства утверждения:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительное число;
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отрицательное число;
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неотрицательное число;
4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неположительное число.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 3) если число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неотрицательное, то оно может быть положительным или равняться нулю. Это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Знак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает: «больше или равно». Последнее неравенство читают так: «Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач больше или равно нулю»; 4) если число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неположительное число, то оно может быть отрицательным или равняться нулю. Это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Знак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает «меньше или равно». Последнее неравенство читают так: «Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше или равно нулю».

Пример №103

Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение отрицательных чисел

Пусть в понедельник Иван взял у Сергея в долг 2 руб., а во вторник — еще 3 руб. Тогда за два дня вместе долг составляет 2 + 3 = 5 (руб.). Долг можно толковать как отрицательные числа. Поэтому сумму долга за два дня можно подать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В записи действий с отрицательными числами первый компонент, как правило, записывают без скобок: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечаем, что в данном случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Нахождение суммы чисел –2 и –3 можно записать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или сокращенно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем правило сложения двух отрицательных чисел:

чтобы сложить два отрицательных числа, достаточно сложить их модули и перед полученным числом написать знак «—».

Примеры:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение двух чисел с разными знаками

Предположим, что в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб., а во вторник вернул долг, то есть отдал Сергею 3 руб. Поскольку долг можно толковать как отрицательные числа, а наличие — как положительные, то расчет между ребятами можно представить так: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числа —3 и 3 — противоположны, их сумма равна нулю.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Пример №104

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб., а во вторник вернул 2 руб., то долг Ивана Сергею составляет 1 руб. Это можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В этом равенстве модули слагаемых равны 3 и 2, а модуль суммы равен 1, то есть модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей. Знак, стоящий перед найденным числом (минус), совпадает со знаком слагаемого, модуль которого является большим (числа —3).

Пусть в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб.., а вечером получил от родителей 5 руб. Когда Иван отдаст долг, то у него еще останется 2 руб. Тогда имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В этом равенстве модули слагаемых равны 3 и 5, а модуль суммы 2, то есть модуль суммы снова равен разности большего и меньшего модулей. Знак, стоящий перед найденным числом (плюс), снова совпадает со знаком слагаемого, модуль которого больше (числа 5).

Получаем правило сложения двух чисел с разными знаками:

чтобы сложить два числа с разными знаками, достаточно от большего модуля слагаемого вычесть меньший модуль и записать перед найденным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Выполняя вычисления, удобно сначала определить и записать знак суммы, а затем в скобках записать разность модулей.

Примеры:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим пример сложения дробей с разными знаками, в котором сначала нужно сравнить модули слагаемых, и лишь после этого применить правило.

Пример №105

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если к числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавить положительное число, то полученная сумма будет больше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а если прибавить отрицательное число, то полученная сумма будет меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В самом деле:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства сложения

Для сложения рациональных чисел, как и для сложения положительных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство сложения.

Для любых рациональных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач + Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач + Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Проверим это свойство на примерах.

Пример №106

– 8 + (–3) = –11;  –3 + (–8) = –11, поэтому – 8 + (–3) = –3 + (–8).

Пример №107

–2 + 5 = 3; 5 + (–2) = 3, поэтому –2 + 5 = 5 + (–2).

Сочетательное свойство сложения.

Для любых рациональных чисел  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство 

(a + b) + c = a + (b + c).

Проверим это свойство на примере.

Пример №108

(–2 + 7) + (–8) = 5 + (–8) = –3;
–2 + (7 + (–8)) = –2 + (–1) = –3, поэтому
(–2 + 7) + (–8) = –2 + (7 + (–8)).

Для любого рационального числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняются равенства:

a + 0 = 0 + a = a ;     a + (–a) = –a + a = 0.

Свойства сложения дают возможность упростить процесс вычисления суммы нескольких слагаемых, выбирая удобный порядок вычислений. Если необходимо сложить несколько чисел, среди которых есть положительные и отрицательные числа, то можно отдельно сложить все положительные числа и отдельно все отрицательные, а потом к сумме положительных чисел прибавить сумму отрицательных. Если среди слагаемых имеются противоположные числа, то сумма этих слагаемых равна нулю. Такие слагаемые можно зачеркнуть (говорят, что слагаемые взаимно уничтожились).

Пример №109

Вычислить сумму:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Отметим, что среди слагаемых есть противоположные числа: —7 и 7, сумма которых равна нулю. Их можно зачеркнуть. Далее сгруппируем числа с одинаковыми знаками:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычитание рациональных чисел

Вычитание — это действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них находят второе слагаемое.

Например, —4 + 7 = 3, поэтому 3 — 7 = —4. Такой же результат получим, если к числу 3 прибавим число, противоположное числу 7, то есть число —7. Действительно, 3 + (—7) = = —4. Поэтому разность 3 — 7 можно представить суммой 3 + (—7), в которой к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому: 3 — 7 = 3 + (—7).

Получаем правило вычитания рациональных чисел:

чтобы из одного числа вычесть второе, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Запишем в виде формулы (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любые рациональные числа): 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Когда уменьшаемое больше вычитаемого, то разность положительная (например, 5 — 3 = 2; —5 — (—7) = —5 + 7 = 2). Когда уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность отрицательная (например, 3 — 9 = 3 + (—9) = —6; —4 — 2 = —4 + (—2) = —6). Разность равна нулю, когда уменьшаемое и вычитаемое между собой равны (например, 7 — 7 = 0, —5 — (—5) = —5 + 5 = 0).

Поскольку вычитание можно заменить сложением противоположного к вычитаемому числа, то любую разность можно представить в виде суммы.

Пример №110

Вычислить: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №111

Упростить: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскрытие скобок

Вспомним, как к числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавить сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Можно сначала к числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потом к полученному результату прибавить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы записали выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач без скобок. Такое преобразование выражения называют раскрытием скобок.

Пример №112

Раскрыть скобки в выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №113

Раскрыть скобки в выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить из выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — из выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если не писать скобки и знак «+» и записать все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками. Имеем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»:

чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», надо не писать скобки и знак «+», что стоит перед ними, и записать все слагаемые со своими знаками.

Пример №114

Раскрыть скобки и найти значение выражения 5,2 + (–7,2 + 3). 

Решение. 5,2 + (–7,2 + 3) = 5,2 – 7,2 + 3 = 1. 

Вспомним и запишем правило вычитания из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач суммы чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы записали выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач без скобок. Рассмотрим еще пример раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «–».

Пример №115

Раскрыть скобки в выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить из выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — из выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если не писать скобки и знак «» и записать все слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками. Получаем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «–»:

  • чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», надо не писать скобки и знак «–», что стоит перед ними, и записать все слагаемые с противоположными знаками.

Пример №116

Раскрыть скобки и найти значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №117

Упростить выражение: 
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Как известно, при записи положительных чисел знак «+», как правило, не пишут. Так же знак «+» не пишут в начале примера перед скобками. Итак, вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пишут Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение рациональных чисел

Рассмотрим сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта сумма равна числу —20. С другой стороны, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отрицательный множитель, стоящий на первом месте, записывать в скобках не обязательно; можно писать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Числа —5 и 4 имеют противоположные знаки, их произведение является числом отрицательным, а модуль их произведения (числа —20) равен произведению модулей множителей (чисел —5 и 4).

Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем правило умножения двух чисел с разными знаками:

  • произведением двух чисел с разными знаками является число отрицательное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Пример №118

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая произведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, приходим к выводу: при смене знака одного из множителей знак произведение меняется, а его модуль остается таким же.

Если же изменить знаки обоих множителей, то произведение изменит знак дважды и в результате знак произведения не изменится: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, произведением двух отрицательных чисел является число положительное. Получаем правило умножения двух отрицательных чисел:

  • произведением двух отрицательных чисел является число положительное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Пример №119

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительное, отрицательное или ноль, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,

если хотя бы один из множителей равен нулю, то и произведение равно нулю. Наоборот: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример №120

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №121

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. –7; 6.

Переместительное и сочетательное свойства умножения. Коэффициент буквенного выражения

При умножении рациональных чисел, как и при умножении положительных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство умножения.

Для любых рациональных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство

ab = ba.

Проверим это свойство на примерах. 

Пример №122

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пример №123

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Сочетательное свойство умножения.

Для любых рациональных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство

(ab)c = a(bc).

Проверим это свойство на примере.

Пример №124

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим также, что для любого рационального числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняются равенства: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства умножения дают возможность упростить процесс вычисления произведения нескольких множителей, выбирая удобный порядок вычислений.

Пример №125

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что произведение нескольких чисел, отличных от нуля, — число отрицательное, если количество отрицательных множителей нечетное. Если количество отрицательных множителей четное, то произведение — число положительное. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Свойства умножения дают возможность упрощать выражения. 

Пример №126

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решения. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число 30 называют коэффициентом полученного буквенного выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет коэффициент Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

Обычно коэффициент записывают перед буквенным множителем, а коэффициент 1 не пишут. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, буквенное выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет коэффициент 1. Вместо коэффициента –1 пишут только знак «–». Например, вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пишут Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, буквенное выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет коэффициент —1.

Распределительное свойство умножения

Для рациональных чисел, как и для положительных чисел, выполняется распределительное свойство умножения относительно сложения:

для любых рациональных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство

(a + b)c = ac + bc.

Проверим это свойство на примере:

Пример №127

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Распределительное свойство умножения выполняется независимо от количества слагаемых в скобках. Замена выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) также называют раскрытием скобок.

Пример №128

Раскрыть скобки:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем решение короче, учитывая знаки множителей: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач или короче: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство, выражающее распределительное свойство умножения, можно записать, поменяв местами левую и правую части:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство означает: если произведения (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) имеют общий множитель (в нашем случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), то при сложении этих произведений общий множитель можно записать за скобками. В скобках остается сумма других множителей (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Замена выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) называют вынесением общего множителя за скобки.

Пример. Вынести за скобки общий множитель:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Заметим, что общий множитель целесообразно подчеркивать.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или короче Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правильно ли вынесен общий множитель за скобки, можно проверить, раскрыв скобки, а именно: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Распределительное свойство умножения можно использовать для упрощения вычислений.

Пример. Вычисли: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подобные слагаемые и их приведение

Распределительное свойство умножения дает возможность выносить общий множитель за скобки.

Пример №129

Упрости выражение 7x – 6x + 3x.

Решение. Все слагаемые имеют общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В скобках записана сумма коэффициентов всех слагаемых, она равна 4.

Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач слагаемые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга лишь коэффициентами. Такие слагаемые называют подобными.

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Сложение подобных слагаемых называют приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, достаточно сложить их коэффициенты и найденный результат умножить на общую буквенную часть.

Пример №130

Привести подобные слагаемые: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) В этом примере все слагаемые подобны, поскольку у них общая часть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Складывая коэффициенты, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение может содержать слагаемые с различными буквенными частями. Тогда слагаемые можно объединить в группы с одинаковой буквенной частью. Слагаемые из разных групп целесообразно подчеркивать по-разному.

Пример №131

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №132

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Раскроем скобки: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приведем подобные слагаемые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Деление рациональных чисел

Деление — это действие, во время выполнения которого по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В последнем равенстве —10 — делимое, (—5) — делитель, 2 — частное; делимое и делитель — числа отрицательные, частное — число положительное. Модуль частного равен модулю делимого, что делится на модуль делителя. Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем правило деления двух отрицательных чисел:

частное от деления двух отрицательных чисел является числом положительным; чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Пример №133

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если делимое и делитель — числа разных знаков, то частное — число отрицательное, а модуль частного равен модулю делимого, которое делится на модуль делителя. В самом деле, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем правило деления двух чисел с разными знаками:

  • частное от деления двух чисел с разными знаками является числом отрицательным; чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Пример №134

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №135

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Раскроем скобки: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое рациональное число, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое рациональное число, отличное от нуля, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что на ноль делить нельзя: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение уравнений и основные свойства уравнения

До сих пор мы решали уравнения, используя зависимости между компонентами действий. Рассмотрим основные свойства уравнения, которые предоставят возможность значительно упростить процесс решения знакомых нам видов уравнений и научиться решать новые виды уравнений.

Пример №136

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. По правилу нахождения неизвестного множителя имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это же уравнение можно получить, если обе части исходного уравнения разделить на 3 или умножить обе части на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Завершая решение уравнения, найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Число 4 является как корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ибо 4 + 2 = 6), так и корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ибо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Имеем такое свойство уравнения:

  • корни уравнения не изменятся, если его обе части умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Пример №137

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. По правилу нахождения неизвестного слагаемого имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это уравнение можно получить из первоначального, если перенести слагаемое 2 из левой части в правую, изменив знак этого слагаемого на противоположный (с «+» на «–»). Окончательно имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №138

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. По правилу нахождения неизвестного уменьшаемого имеем х = 8 + 3. Это уравнение можно получить из исходного, если перенести слагаемое –3 из левой части в правую, изменив знак слагаемого на противоположный (с «–» на «+»). Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корень уравнения.

Имеем еще одно свойство уравнения:

  • корни уравнения не изменятся, если некоторое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, сменив при этом его знак на противоположный.

Исходя из приведенных свойств, составим общую схему решения уравнений, которую применим в следующем примере.

Пример №139

Решить уравнение

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

1 Раскроем скобки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2 Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3 Перенесем слагаемые, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения (чаще в левую), а остальные слагаемые —в другую часть уравнения, изменив при этом их знаки на противоположные Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
4 Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
5 Найдем корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
6 Проверка (желательно) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение задач с помощью уравнений

Рассмотрим примеры решения текстовых задач с помощью уравнений.

Задача №62

В двух корзинах вместе 28 яблок, причем во второй на 4 яблока больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой корзинке?

Решение. Обозначим количество яблок в первой корзине буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда количество яблок во второй будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Общее количество яблок Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию задачи равно 28. Имеем уравнение: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решим это уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, в первой корзине было 12 яблок, а во второй — 12 + 4 = 16 (яблок).

Проверка. Во второй корзине яблок на 4 больше, чем в первой (16 — 12 = 4), в обеих корзинах вместе 28 яблок (12 + 16 = 28), что соответствует условию задачи.

Ответ. 12 яблок в первой корзине, 16 яблок — во второй.

Решив задачу с помощью уравнения, правильность ее решения надо проверить по условию задачи, а не по составленному уравнению.

Следовательно, решать задачу с помощью уравнения можно по следующему плану:

  1. обозначаем некоторую неизвестную величину (число) буквой, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  2. другие неизвестные величины выражаем через эту букву;
  3. исходя из условия задачи, составляем уравнение;
  4. решаем это уравнение;
  5. находим неизвестные величины, если этого требует условие задачи;
  6. проверка (необязательно);
  7. ответ.

Задача №63

По трем ящикам разложили 35 банок консервов так, что в первом ящике стало в два раза меньше банок, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. По сколько банок консервов стало в каждом ящике?

Решение. Обозначим количество банок консервов в первом ящике буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда количество банок во втором ящике — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а в третьем — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В трех ящиках вместе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач банок, что по условию равно 35. Имеем уравнение:  

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим его: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первом ящике 8 банок, во втором — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (банок), в третьем — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (банок).

Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ. В первом ящике 8 банок, во втором — 16 банок, в третьем — 11 банок.

Перпендикулярные прямые

Две прямые, имеющие одну общую точку, называют прямыми пересекающимися. Их общую точку называют точкой пересечения.

На рисунке 89 прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка их пересечения. Две прямые, пересекаясь, кроме развернутых, образуют четыре угла с общей вершиной, градусная мера которых меньше 180°.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 89

Прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 90) пересекаются в точке О, причем один из образованных углов — прямой: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют перпендикулярными (от латинского слова perpendicularis — перпендикулярный).

Поскольку угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — развернутый Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично рассуждая, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными.

Итак, на рисунке 90 прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны. Перпендикулярность прямых обозначают знаком Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Записывают: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, читают: «прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач».

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                         Рис. 90                                                         Рис. 91

Для построения перпендикулярных прямых можно использовать транспортир (рис. 91) или чертежный угольник.

Пример №140

Пусть дана точка М, которая не принадлежит прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя чертежный угольник, построй прямую, которая проходит через точку М и является перпендикулярной к прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

1) Разместим угольник так, чтобы одна из сторон его прямого угла лежала на прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а вторая проходила через точку М (рис. 92).

2) Проведем отрезок вдоль стороны угольника от точки М к пересечению с прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим полученную точку буквой N (рис. 92).

3) Построим прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 93). Запишем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично можно с помощью угольника выполнить построение прямой, перпендикулярной к прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если точка М принадлежит прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 94).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                Рис. 92                                 Рис. 93                                Рис. 94

Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами).

На рисунке 95 изображены перпендикулярные отрезки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рисунке 96 — перпендикулярные лучи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                            Рис. 95                                                           Рис. 96

Параллельные прямые

Две разные прямые, построенные на листе бумаги или доске, могут пересекаться в одной точке (рис. 104) или не пересекаться (рис. 105). Лист бумаги, доска дают представление о плоскости. Также представление о плоскости дают поверхность стола, оконное стекло и тому подобное.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 104                              Рис. 105                              Рис. 106

Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными (от греческого слова parallelos – идущий рядом).

На рисунке 105 изображены параллельные прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Параллельность прямых обозначают знаком Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Записывают: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, читают: «прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач».

Представление о параллельных прямых дает нам, например, прямой участок железнодорожных рельсов (рис. 106).

Пример №141

Дана прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая не принадлежит прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 107). С помощью угольника и линейки построить прямую, которая проходит через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельна прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Одну сторону прямого угла угольника прикладываем к прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Ко второй стороне прямого угла угольника прикладываем линейку.

3) Передвигаем угольник вдоль линейки до тех пор, пока вторая сторона прямого угла угольника не пройдет через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Вдоль этой стороны проводим прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 107

Приведенное построение основывается на таком свойстве:

  • если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны (рис. 108).

Это свойство будет доказано в старших классах.

Отрезки (или лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (или лучами).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 108                               Рис. 109                                     Рис. 110

На рисунке 109 изображены параллельные отрезки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рисунке 110 — параллельные лучи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Координатная плоскость

Положение точки на координатной прямой определяется числом, которое называют координатой этой точки. А как определить расположение точки на плоскости?

Рассмотрим пример.

Пример №142

Петр купил билет в кинотеатр, на котором написано: «Ряд 4, место 7», а Мария: «Ряд 7, место 4». На рисунке 116 показаны места, на которых будут сидеть дети во время киносеанса. Расположение зрителя в зале кинотеатра можно записать так: для Петра (4; 7), а для Марии (7; 4), где в скобках сначала записан номер ряда, а за ним — номер места в этом ряду.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 116

Расположение зрителя в зале кинотеатра определяется двумя числами. Так же двумя числами определяется расположение точки на плоскости. 

Проведем две перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в точке O (рис. 117) — их совместному началу отсчета. Эти прямые называют осями координат, точку Oначалом координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; вертикальную ось называют осью ординат и обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ось абсцисс и ось ординат образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                   Рис. 117                                                                  Рис. 118

Пример №143

На координатной плоскости обозначим точку A (рис. 118). Проведем через эту точку прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к оси абсцисс, и прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к оси ординат. Точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит оси абсцисс и имеет координату —3, а точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит оси ординат и имеет координату 4. Число —3 называют абсциссой точки A, а число 4 — ординатой точки A.

Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки. Координаты точки записывают в скобках: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, читают: «точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами —3 и 4».

Записывая координаты точки, абсциссу всегда пишут на первом месте, а ординату — на втором.

Аналогично находим координаты точек Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №144

Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. На рисунке 119 точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют координаты: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 119

Теперь можно дать ответ на вопрос, поставленный в начале лекции: чтобы определить положение любой точки на плоскости, надо знать ее координаты. Каждой точке на координатной плоскости соответствует упорядоченная пара чисел — ее абсцисса и ордината. Напротив, каждой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Пример №145

Построим на координатной плоскости точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 120). Для этого:

1) на оси абсцисс найдем точку с координатой 3, через нее проведем прямую, перпендикулярную к оси абсцисс (ocи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);

2) на оси ординат найдем точку с координатой —4, через нее проведем прямую, перпендикулярную к оси ординат (оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);

3) точку пересечения проведенных прямых обозначим буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, эта точка является искомой, ибо ее абсцисса равна 3, а ордината равна —4.

Точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно было построить иначе: отсчитав от точки O справа 3 единицы, а затем от полученной точки вниз 4 единицы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями, или координатными углами. Нумерацию четвертей и знаки координат в четвертях показано на рисунке 121.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                          Рис. 120                                                         Рис. 121 

Примеры графиков зависимостей между величинами

На координатной плоскости можно строить графики зависимостей между различными величинами.

Пример №146

Метеорологи в течение суток измеряли температуру воздуха через каждые два часа. По результатам измерений была составлена таблица:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ч 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 4 2 0 —3 —4 —1 2 5 7 5 4 3 1

Эта таблица характеризует зависимость температуры воздуха от времени. Такую зависимость можно изобразить графически. Для этого построим прямоугольную систему координат (рис. 135). На оси абсцисс будем откладывать значение

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 135

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 136

времени (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ч) так, что одному делению будет соответствовать один час, а на оси ординат будем откладывать значение температуры (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) так, что одному делению будет соответствовать один градус. Далее на координатной плоскости построим все точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы, всего 13 точек: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Абсцисса каждой точки — значение времени, а ордината — значение температуры воздуха в это время. Если бы метеорологи измеряли температуру чаще (например, через каждый час или каждые 30 мин.), то получили бы значительно больше точек, которые бы лежали плотнее друг к другу на координатной плоскости. Если предположить, что резких скачков температуры не было и соединить найденные точки плавной линией, то получим график зависимости температуры воздуха от времени (рис. 136).

Построенный график наглядно описывает изменение температуры в течение суток. С помощью графика можно дать ответы на многие вопросы.

Пример №147

Пользуясь графиком, построенным в примере 146, найти:

1) какой была температура в 11 ч;

2) в котором часу температура составляла 3°С.

Решение. 1) На оси абсцисс, где отложено время Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем число 11. Строим прямую, перпендикулярную к оси абсцисс, проходящую через точку (11; 0). Эта прямая пересекает график в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем ординату точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Она равна 1. Итак, в 11 час температура была 1 °С.

2) На оси ординат, где отложены значения температуры Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем число 3. Строим прямую, перпендикулярную оси ординат, проходящую через точку (0; 3). Эта прямая пересекает график в трех точках: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем абсциссы этих точек: 1, 13, 22 соответственно. Следовательно, температура 3°С была около 1 ч, около 13 ч и около 22 ч.

Пример №148

Мотоциклист двигался со скоростью 40 км/ч. Он посчитал зависимость расстояния (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, км) от времени (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ч) и получил таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ч 0 1 2 3 4 5
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, км 0 40 80 120 160 200

Построим график этого движения. На оси абсцисс откладываем значение времени (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ч) так, что одному часу соответствуют две ячейки, а на оси ординат откладываем значение расстояния (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, км) так, что одной ячейке соответствует расстояние 20 км. Построим точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Приложив линейку к построенным точкам, видим, что они лежат на одной прямой. Соединив точки отрезками, получим график зависимости расстояния от времени при постоянной скорости (рис. 137).

Эту зависимость расстояния Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в км) от времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в ч) можно задать формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Как и в предыдущем примере, пользуясь графиком, мы можем решить задачи двух типов: зная время, найти расстояние, которое преодолели за это время, и, наоборот, найти время, за которое преодолели некоторое расстояние.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 137

Целые выражения

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Выражения с переменными. Целые рациональные выражения.
Числовое значение выражения

Числовые выражения образуют из чисел с помощью знаков действий и скобок.
Например, числовыми выражениями являются:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи другие.

Число, являющееся результатом выполнения всех действий в числовом
выражении, называют значением выражения.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то число 27 является значением
числового выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если числовое выражение содержит действие, которое невозможно выполнить,
говорится, что выражение не имеет смысла. К примеру, выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и следующее действие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнить невозможно.

Кроме числовых выражений в математике встречаются выражения,
содержащих буквы. Такие выражения мы называли буквенными.

Пример №149

Пусть необходимо найти площадь прямоугольника, длина которого равна 10 см, а ширина — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач см. По формуле площади прямоугольника имеем:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если,
например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач буква Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать различные значения, то есть ее значение можно менять. При этом будет меняться и значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может изменяться (приобретать различные, в данном случае положительные значения), то букву Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в таком выражении называют переменной, а само выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыражением с переменной.

Например, выраженияМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются выражениями с переменными. 

Выражения с переменными образуют из чисел и переменных с помощью знаков арифметических действий и скобок.

Если в выражение с переменными вместо переменных подставим определенные числа, то получим числовое выражение. Его значение называют
числовым значением выражения для выбранных значений переменных.

Пример №150

Найти значение выражения:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,    2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Выражение, содержащее только действия сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень, называют рациональным выражением. Например, рациональными являются выражения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Рациональное выражение, не содержащее деления на выражение с переменной, называют целым рациональным выражением. Если в рациональном выражении содержится деление на выражение с переменной, его называют
дробным рациональным выражением. Три первые выражения в приведенных
выше — целые, а три последние — дробные.

Выражения с переменными используют для записи формул.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — формула расстояния; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — формула периметра прямоугольника; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число) — формула четного числа; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число) — формула нечетного числа; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число) — формула числа, кратного числу 7.
Выражения, не являющиеся рациональными, будем рассматривать в старших
классах.

Тождественные выражения и тождественное преобразование выражения. Доказательство тождеств

Найдем значения выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для некоторых данных значений переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Результаты запишем в таблицу: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно прийти к выводу, что значения выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для каждого данного значения переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны между собой. По распределительному свойству умножения относительно вычитания Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому и для любого другого значения переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачзначение выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже будут равными между собой. Такие выражения называют тождественно равными.

Два выражения, соответствующие значения которых равны между собой при любых значениях переменных, называют тождественными или тождественно равными.

Например, тождественными являются выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как при каждом значении переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эти выражения приобретают одинаковые значения (это следует из распределительного свойства умножения относительно сложения, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Рассмотрим теперь выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Однако можно указать такие значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых значения этих выражений не будут между собой равны. Например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие
значение выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равна друг другу. Поэтому выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются тождественно равными.

 

Равенство, которое является верным при любых значениях переменных, называют тождеством.

Исходя из вышеизложенного, тождествами, в частности, являются равенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождествами являются равенства, которыми записаны известные свойства
действий над числами. Например,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;       Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;     Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;                   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;                           Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождествами являются и такие равенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;             Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;          Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;       Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;          Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождествами также принято считать верные числовые равенства, например:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;      Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если в выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач привести подобные слагаемые, получим, что
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В таком случае говорят, что выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачзаменили тождественным ему выражением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замену одного выражения другим, ему тождественным, называют
тождественным преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями являются раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т. д.

Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении
выражения
, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное
ему выражение, имеющее более короткую запись.

Пример №151

Упростить выражение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество), используют тождественные преобразования выражений.

Доказать тождество можно одним из следующих способов:

  • выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым приведя к виду правой части;
  • выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым приведя к виду левой части;
  • выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым приведя обе части к одинаковым выражениям.

Пример №152

Доказать тождество: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Преобразуем левую часть данного равенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства привели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

2) Преобразуем правую часть данного равенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождественными преобразованиями правую часть равенства привели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства привели к одному и тому же виду: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Поэтому данное равенство является тождеством.

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение нескольких одинаковых множителей можно
записать в виде выражения, которое называют степенью.
Например,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Множитель, который повторяется, называют основанием степени, а число, которое показывает количество таких множителей, — показателем степени. В выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число 4 — основание степени, а число 6 — показатель степени. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что число 4096 является шестой степенью числа 4.

Степенью числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с натуральным показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множителей, каждый из которых равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Степенью числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с показателем 1 называют само число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Степень с основанием Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, читают:
«Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в степени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач» или «Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—я степень числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач».
По определению степени:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Нам уже известно, что вторую степень числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют квадратом
числа
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а третью степень числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют кубом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №153

Представить в виде степени: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вычисление значения степени является арифметическим действием, которое
называют возведением в степень.

Пример №154

Выполнить возведение в степень:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Выясним знак степени с натуральным показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; ... .  Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  как произведение положительных
чисел.
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при нечетном значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как произведение нечетного количества отрицательных множителей; при четном значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как произведение четного количества отрицательных
множителей.

Итак, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число, то

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нечетного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и четного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если выражение содержит несколько действий, то в первую очередь выполняют
действие возведения в степень, затем действия умножения и деления,
а затем — действия сложения и вычитания.

Пример №155

Найти значение выражения: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Примечание: во время вычислений можно также записывать каждое действие отдельно.

Свойства степени с натуральным показателем

Рассмотрим свойства степени с натуральным показателем.
Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является произведением двух степеней с одинаковыми основаниями. Применив определение степени, это произведение можно переписать так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тем же способом нетрудно проверить, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Это свойство подтверждается для каждого произведения степеней с одинаковыми основаниями.

Для любого числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произвольных натуральных чисел m и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней. Например:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

  • При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по определению частного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тем же способом нетрудно убедиться, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разнице показателей делимого и делителя. Это свойство справедливо для каждого частного степеней с одинаковыми, отличными от нуля, основаниями при условии, что показатель
степени делимого больше показатель степени делителя.

Для любого числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произвольных натуральных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, выполняется равенство:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. ПосколькуМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
то по определению частного имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из доказанного свойства вытекает правило деления степеней.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а от показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Например,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — степень, основание которой является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тем же способом можно убедиться, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
То есть степень при возведении в степень равна степени с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей данных степеней.

Для любого числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произвольных натуральных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенствоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из доказанного свойства вытекает правило возведения степени в степень.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели степеней перемножают.


Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является степенью произведения множителей Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это выражение можно представить в виде произведения степеней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Этим свойством при возведении в степень обладает любое произведение. 
Для любых чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произвольного натурального числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Доказательство.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это свойство степени распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.
Существует правило возведения произведения в степень.

При возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить.

Например,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Левую и правую части рассмотренных тождеств можно менять местами:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим, как упростить выражения, содержащие степени, и вычислить их значения.
 

Пример №156

Упростить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №157

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Представим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде степени с основанием 3, то есть
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Одночлен и стандартный вид одночлена

Рассмотрим выражения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это — числа, переменные, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами.

Целые выражения — числа, переменные, их степени и произведения — называют одночленами.

Выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не являются одночленами, поскольку содержат действия сложения, вычитания, деления.

Упростим одночлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, использовав распределительное и сочетательное свойства умножения:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Приведя одночлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к виду Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, говорят, что привели его к стандартному виду.

Если одночлен является произведением, имеющим один числовой множитель, который записан на первом месте, а другие множители являются степенями различных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

К одночленам стандартного вида относятся и такие одночлены, как 5, –9; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Очевидно, что к стандартному виду можно привести любой одночлен.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом этого одночлена.

Например, коэффициентом одночлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число –20, а коэффициентом одночлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Коэффициентом одночлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является 1, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а
коэффициентом одночленаМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач является –1, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть
вместо коэффициента –1 записывают только знак минус, а коэффициент,
равный 1, вообще не записывают.
Для каждого одночлена можно указать его степень.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, которые он содержит. Если одночлен не содержит переменных (то есть является числом), то считают, что его степень равна нулю.

Например, одночлен  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен двенадцатой степени, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен восьмой степени, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен четвертой степени; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одночлен первой степени. Одночлен –7 не содержит переменных, поэтому является одночленом нулевой степени.

Умножение одночленов и возведение одночленов в степень

Во время умножения одночленов используют свойства действия
умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Пример №158

Перемножить одночлены Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Произведением любых одночленов является одночлен, который обычно
представляют в стандартном виде. Аналогично приведенному примеру, можно множить три и более одночленов.
При возведении одночлена в степень используют свойства степеней.

Пример №159

Возвести одночлен: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в куб; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в четвертую степень.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Результатом возведения одночлена в степень является одночлен, который обычно записывают в стандартном виде.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №160

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №161

Представить одночлен  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде квадрата одночлена стандартного вида.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Многочлен и подобные члены многочлена и их приведение. Степень многочлена

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой сумму одночленов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это выражение называют многочленом.

Многочленом называют сумму одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена. Например, многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из четырех членов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Многочлен, содержащий два члена, называют двучленом, многочлен, содержащий три члена, — трехчленом. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач —
двучлены; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — трехчлены. Одночлен считают отдельным видом многочлена.

В многочлене Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члены Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —
подобные слагаемыми, поскольку они имеют одинаковую буквенную часть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Также подобными слагаемыми являются члены 8 и –9, у которых отсутствует буквенная часть.

Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением подобных членов многочлена.

Пример №162

Привести подобные члены в многочлене Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Каждый член многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является одночленом стандартного вида, причем этот многочлен уже не содержит подобных слагаемых. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Многочлен, состоящий из суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Пример №163

Приведены ли к стандартному виду многочлены:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?
Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является одночленом стандартного вида, то многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является многочленом стандартного вида.
2) Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочленом стандартного вида.
3) Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит подобные слагаемые, поэтому не является многочленом стандартного вида.

Пример №164

Записать в стандартном виде многочлен
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена, затем приведем подобные слагаемые:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Члены многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющего стандартный вид,
являются одночленами соответственно пятой, шестой и нулевой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена.
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочленом шестой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, многочлены Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — первой степени; многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — второй; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — пятой степени.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример №165

Определить степень многочлена
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Сначала запишем многочлен в стандартном виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочленом второй степени, а потому и многочлен
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочленом второй степени.
Члены многочлена можно записывать в разной последовательности.
Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, упорядочивают по возрастанию или убыванию показателей степеней этой переменной.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Любой многочлен является целым выражением. Но не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются многочленами, поскольку они не являются суммой одночленов.

Сложение и вычитание многочленов

Сложим многочлены Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого запишем их сумму, затем раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы записали сумму многочленов  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв виде многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так же можно добавлять три и более многочленов. Сумма любых многочленов является многочленом, который обычно записывают в стандартном виде.

Теперь от многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычтем многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого запишем их разность, потом раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разность многочленов  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  мы представили
в виде многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разность любых многочленов является многочленом, который обычно записывают в стандартном виде.

Пример №166

Решить уравнение
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Раскроем скобки в левой части уравнения:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, а те, что не содержат переменной, — в правую. Получаем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: —3,5.

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу — записать многочлен в виде суммы или разности многочленов. В этом случае целесообразно использовать изученные в предыдущих классах правила взятия выражения в скобки, перед которыми стоит знак «плюс» или «минус».

Пример №167

Записать многочлен  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде:

1) суммы двух многочленов, один из которых содержит переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второй ее не содержит;
2) разности двух многочленов, первый из которых содержит переменнуюМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второй ее не содержит.

 Решение.

1)  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, используя распределительное свойство умножения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, произведением одночлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является многочлен
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который получили, умножив одночлен на каждый член многочлена и сложив найденные результаты.
Имеем правило умножения одночлена на многочлен:

чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Произведение любого одночлена на любой многочлен всегда можно представить в виде многочлена.

Пример №168

Выполнить умножение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Записать это умножение можно короче, пропустив промежуточные
результаты:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №169

Упростить выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Пример №170

Решить уравнение
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 12:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 2.

Разложение многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть представляли натуральные числа в виде произведения. Например,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать на множители.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и др.

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения одночлена на многочлен или произведения нескольких многочленов так, чтобы это произведение было тождественно равным данному многочлену.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительное свойство умножения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если его записать в обратном порядке: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложили на два множителя Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

При разложении на множители многочленов с целыми коэффициентами множитель, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №171

Разложить выражение на множители:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Общим множителем является переменная Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) В данном случае общим числовым множителем является наибольший общий делитель чисел 10 и 15 — число 5, а общим буквенным множителем является одночлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №172

Разложить на множители: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) В данном случае общим множителем является двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Слагаемые имеют множители Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемом вынесем за скобки множитель –1, получим:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлену.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример №173

Найти корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ: 0; 1,4.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является суммой всех одночленов, полученных умножением каждого члена многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждый член многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Приходим к правилу умножения многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Процесс умножения многочлена на многочлен можно представить схематично:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Результатом умножения многочлена на многочлен является многочлен.
Если первый из сомножителей произведения содержит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач членов, а второй — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач членов, то, умножив их, получим многочлен, содержащее Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач членов, а после приведения подобных слагаемых это количество может уменьшиться.
 

Пример №174

Выполнить умножение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №175

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если необходимо перемножить более двух многочленов, то сначала умножают любые два из них, затем полученный результат умножают на третий многочлен и т. д.
 

Пример №176

Выполнить умножение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Сначала умножим первый многочлен на второй, а затем полученный результат умножим на третий многочлен: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Разложение многочлена на множители методом группировки

Мы познакомились с разложением многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки. Существуют и другие способы разложения многочленов на множители, например, метод группировки.

Пример №177

Разложить на множители многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. В данном случае у всех членов этого многочлена нет общего множителя. Поэтому здесь целесообразно применить именно метод группировки. Разобьем слагаемые на две группы так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из каждой группы вынесем общий множитель за скобки:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теперь полученный для обеих групп общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вынесем за скобки:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Сгруппировать слагаемые данного многочлена можно было и другим способом.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Приходим к выводу, что для разложения многочлена на множители методом группировки следует выполнять действия в такой последовательности:

  1. разбить многочлен на группы слагаемых, каждая из которых содержит общий множитель;
  2. из ​​каждой группы вынести общий множитель за скобки;
  3. образовавшийся общий для всех групп множитель вынести за скобки.

Для проверки правильности разложения следует перемножить полученные множители. Произведение этих множителей должно равняться данному многочлену.

Пример №178

Разложить на множители многочлен
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1—й способ. Сгруппируем члены многочлена в три группы по два слагаемых так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель. Получаем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2—й способ. Сгруппируем теперь члены многочлена в две группы по три слагаемых так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель. Получаем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №179

Разложить на множители трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , можем переписать многочлен как сумму четырех слагаемых, сгруппировать их и дальше разложить на множители:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если бы мы представили слагаемое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде суммы двух каких-то других слагаемых, то не смогли бы применить группировку и разложить на множители. Предлагаем убедиться в этом самостоятельно. «Секрет» заключается в том, что именно слагаемые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способствовали появлению общего множителя после разбиения многочлена на группы .

Квадрат суммы и квадрат разности

Возведем в квадрат двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Это тождество позволяет возводить в квадрата сумму двух произвольных выражений не по правилу умножения многочленов, а сокращенно сразу записывать квадрат Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в виде  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому формулу квадрата суммы называют еще формулой сокращенного умножения. Читают ее так.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Пример №180

Представьте выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде многочлена.
Решение. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если промежуточные действия можно выполнить устно, то можем сразу
записывать ответ:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возведем теперь в квадрат двучлен  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу квадрата разности, которая также является формулой сокращенного умножения. Читают ее так.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Заметим, что формулу квадрата разности можно получить, если переписать разницу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде суммы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №181

Возвести двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в квадрат.
Решение. По формуле квадрата разности имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Нам уже известно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому при возведении  квадрат выражений вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целесообразно предварительно заменить их на противоположные им выражения:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №182

Преобразовать в многочлен:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №183

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложение многочлена на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы квадрата суммы и квадрата разности можно использовать также для разложения на множители выражений вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого перепишем эти формулы, поменяв местами их левую и правую части.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой вид формул удобно использовать для преобразования трехчлена в квадрат двучлена.
Трехчлен вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют полным квадратом. Именно его можно представить в виде квадрата двучлена.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому трехчлены  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются полными квадратами.

Преобразование трехчлена, который является полным квадратом, в квадрат
двучлена называют свертыванием в полный квадрат.
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
свертывание в полный квадрат является разложением трехчлена на множители.

Пример №184

Разложить трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множители.
Решение. Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой квадрат суммы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, его можно разложить на множители:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №185

Найти значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Сначала свернем трехчлен в полный квадрат:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теперь выполнить вычисления будет совсем несложно. Если
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №186

Преобразовать трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение, противоположное квадрату двучлена.
Решение. Вынесем за скобки –1, а полученное в скобках выражение свернем в полный квадрат:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разницу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили еще одну формулу сокращенного умножения. Ее читают так.

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности
квадратов этих выражений.

Рассмотрим примеры применения этой формулы.

Пример №187

Выполнить умножение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или сокращенно:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №188

Представить произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде многочлена.
Решение. 1—й способ. Вынесем в выражении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач за скобки –1. Получаем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2—й способ. В каждом из множителей сначала поменяем местами слагаемые:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №189

Вычислить удобным способом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождества  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  поменяем местами левую и правую части. Получаем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Читают ее так.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Формулу разности квадратов двух выражений применяют для разложения на множители двучлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эту формулу можно использовать и для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.

Пример №190

Разложить на множители:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по формуле разности квадратов:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №191

Вычислить удобным способом: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ: 2000.

Пример №192

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ: –5; 5.

Сумма и разность кубов

Умножим  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Получаем тождество, которое называют формулой суммы кубов:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В правой части формулы множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач напоминает полный квадрат Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но вместо удвоенного произведения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсодержит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют неполным квадратом разности выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому формулу суммы кубов читают так:
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Пример №193

Разложить многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множители.
Решение. Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формуле суммы кубов имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Теперь умножим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Получаем тождество, которое называют формулой разности кубов:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Трехчлен  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют неполным квадратом суммы выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а формулу разности кубов читают так:
разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример №194

Разложить многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множители.
Решение. Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то данный многочлен можно превратить в разность кубов:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Далее применим формулу разности кубов:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поменяв местами левые и правые части формул суммы и разности кубов, получим:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти тождества являются формулами сокращенного умножения и дают возможность сокращенно выполнять умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности и разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разницы равно сумме кубов этих выражений; произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равно разницы кубов этих выражений.

Пример №195

Преобразовать выражение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в многочлен.
Решение. Поскольку выражение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является неполным квадратом разности выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , можем применить формулу суммы кубов:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №196

Решить уравнение

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Применим к левой части уравнения формулу разности кубов, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 0,125.

Применение нескольких способов разложения многочлена на множители

В предыдущих лекциях мы уже рассматривали несколько способов разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения. Иногда, чтобы разложить многочлен на множители, приходится применять несколько способов. В таком случае разложение на множители целесообразно начинать с вынесения общего множителя за скобки, если такой множитель существует.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №197

Разложить на множители многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №198

Разложить на множители многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Вынесем за скобки общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а к выражению в скобках применим формулу квадрата суммы:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №199

Разложить на множители многочлен
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Вынесем за скобки общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, образовавшийся в скобках, можно разложить на множители способом группировки:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Окончательно имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Универсального правила, по которому можно было бы раскладывать многочлены на множители, нет. Примеры, которые мы рассмотрели выше, позволяют лишь сформулировать правило — ориентир, которого желательно придерживаться при разложении многочленов на множители.

  1. Если возможно, вынести общий множитель за скобки.
  2. Проверить, не является ли выражение, полученное в скобках, квадратом двучлена или разностью квадратов, разностью или суммой кубов.
  3. Если многочлен, полученный в скобках, содержит четыре или шесть слагаемых, проверить, не разлагается ли он на множители способом группировки.

Кроме предложенного правила, иногда помогают искусственные приемы.

Пример №200

Разложить на множители многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Поскольку первые три слагаемых являются квадратом двучлена, применим искусственную группировку, разбив многочлен на две группы, одна из которых содержит этот квадрат двучлена, а вторая — четвертое слагаемое:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Первую группу свернем в квадрат разности: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, после чего данный многочлен превратится в разность квадратов двух выражений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , которую разложим на множители по формуле разности квадратов.
Итак, имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №201

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Найдем такое число, которое вместе с выражением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует квадрат двучлена. Таким числом является 16. В левой части уравнения добавим и вычтем число 16. Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов и решим полученное уравнение:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ: 10; 2.

Преобразование  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют выделением квадрата двучлена.

Не всякий многочлен второй степени можно разложить на множители. Например, на множители нельзя разложить многочлены Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В частности, не разлагаются на множители многочлены второй степени, которые являются неполными квадратами суммы или разности и не содержат общего множителя. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и др.

Функции

Функция — это в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Область определения и область значений функции. Способы задания функций. Функциональная зависимость между величинами как математическая модель реальных процессов

В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между различными величинами. Например, периметр квадрата зависит от длины его стороны, площадь прямоугольника — от его размеров, масса куска мела — от его объема, расстояние, которое преодолевает движущийся объект, — от его скорости и времени движения и так далее.

Чтобы решить задачу практического содержания, целесообразно сначала создать ее математическую модель, то есть записать зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и др.

Рассмотрим примеры зависимостей между двумя величинами.

Пример №202

Пусть сторона квадрата равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач см, а его периметр равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Для каждого значения переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти соответствующее значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например,
если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 4 • 5 = 20;
если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 8, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 4 • 8 = 32;
если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1,2, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 4 • 1,2 = 4,8.

То есть периметр квадрата зависит от длины его стороны. Математическую модель этой зависимости можно записать формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку каждому значению длины стороны квадрата соответствует определенное значение его периметра, говорится, что имеем соответствие между длиной стороны квадрата и его периметром (или зависимость между переменными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). При этом считают, что значению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5 соответствует значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= 20, или значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= 20  является соответствующим значению  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= 5.

Переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значение которой выбирают произвольно, называют независимой переменной,  а переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, каждое значение которой зависит
от выбранного значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  — зависимой переменной.

Пример №203

Пусть автомобиль движется с постоянной скоростью 80 км/ч. Расстояние, которое он при этом преодолеет, зависит от времени его движения. Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а расстояние, которое он преодолел (в километрах) — буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для каждого значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) можно найти соответствующее значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Например,

  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1,5, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 80 • 1,5 = 120;
  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 3, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 80 • 3 = 240;
  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 4,5, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 80 • 4,5 = 360.

Зависимость переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать формулойМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является независимой переменной, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а зависимую переменную — буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В примерах, которые мы рассмотрели, каждому значению независимой переменной соответствует только одно значение зависимой переменной.

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую ​​зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Независимую переменную еще называют аргументом, а о зависимой
переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. В наших примерах — периметр квадрата Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией от длины его стороны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; расстояние Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое преодолел автомобиль с постоянной скоростью, является функцией от времени движения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение зависимой переменной называют значением функции.

Все значения, которые приобретает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые приобретает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Например, областью определения функции в первом примере являются все положительные числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Областью определения функции во втором примере являются все неотрицательные числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значит, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Область значений функции в примере 202 состоит из всех положительных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а область значений функции в примере 203 — из всех неотрицательных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №204

Функция задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти:
1) область определения функции;
2) значение функции, соответствующее значению аргумента, равного –2; 6; 10;
3) значение аргумента, при котором значение функции равно –1.
Решение. 1) Областью определения функции являются все такие значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл. Знаменатель дроби равен нулю при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, областью определения функции являются все числа, кроме числа 2.
2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
 если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Чтобы найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при котором Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , надо подставить в формулу функции вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число  –1.  Получаем уравнение:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , корнем которого является число –6. Таким образом, значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  функция приобретает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задавать функцию можно разными способами. В примерах, которые мы рассмотрели, функции заданы формуламиМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Такой способ задания функции достаточно удобный, потому что позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции, и компактный, поскольку в большинстве случаев формула имеет короткую запись.

Бывают и функции, которые для различных значений аргумента задаются различными формулами. Рассмотрим такую ​​функцию и ее записи.

Пример №205

Пусть дана функция

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта запись означает, что для значений аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  значения функции вычисляются по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для значений аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Например,
если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задавать функцию можно таблицей. Такой способ задания функции называют табличным.  Рассмотрим его на примере.

Пример №205

Каждый час, начиная с восьми и до тринадцати, измеряли атмосферное давление и полученные данные заносили в таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таблица задает соответствие между временем измерения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и атмосферным давлением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это соответствие является функцией, потому что каждому значению переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственное значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом примере Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является независимой переменной, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — зависимой переменной. Область определения функции состоит из  чисел 8; 9; 10, 11; 12; 13 (первая строка таблицы), а область значений — из чисел 752; 753; 754; 756 (вторая строка таблицы).

Табличный способ задания функции удобен тем, что для нахождения значений функции не надо ничего вычислять. Неудобным является то, что таблица, как правило, занимает много места и может не содержать именно то значение аргумента, которое нас интересует, например, если в первой строке таблицы такого значения нет. В частности, в примере 5 невозможно найти значение функции, соответствующее значению аргумента, которое равняется, например, 8,5 или 14. Задавать функцию можно также выражением. Такой способ задания функции называют описательным или словесным.

Пример №207

Каждому натуральному числу поставим в соответствие квадрат этого числа. Получим функцию, область определение которой состоит из всех натуральных чисел, а область значений — из квадратов этих чисел.
Функциональные зависимости, которые мы рассмотрели в примерах 2 и 5, являются математическими моделями реальных процессов: модель движения автомобиля с постоянной скоростью, модель измерения давления в течение некоторого времени. В дальнейшем при изучении алгебры мы будем неоднократно обращаться к математическим моделям реальных процессов.

График функции и графический способ задания  функции

В 6 классе мы уже рассматривали график зависимости между двумя величинами. Рассмотрим понятие графика функции.

Пример №208

Пусть дана функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и занесем результаты в таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной плоскости точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, координаты которых представлены в таблице, то есть точки (—2; 6), (—1; 3), (0; 2), (1; 1,5), (2; 1,2), (3; 1) (рис. 6). Если взять другие значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в промежутке от —2 до +3 и вычислить соответствующие им значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим другие пары значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждой из этих пар соответствует определенная точка координатной плоскости.
Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 7).

​​​​​​Графиком функции называют фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значением функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 6                                                         Рис. 7

Пример №209

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Решение. Составим таблицу значений функции для целых значений аргумента:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости и совместим их плавной линией (рис. 8). Получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что чем меньше будет шаг (расстояние) между значениями аргумента, тем плотнее расположатся точки на координатной плоскости, а следовательно, точнее будет построен график.

По графику можно сразу указать, при каких значениях аргумента значения функции положительные, при каких — отрицательные, при каких равны нулю. По графику можно увидеть область определения и область значений функции.

Ноль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Пример №210

Используя график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  найти: 1) нули функции; 2) область значений функции; 3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; 4) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.
Решение. График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 8.

1) Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — нули функции. Заметим, что нули функции можно найти, и не используя график данной функции. Например, достаточно решить
уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Функция может принимать любое значение от –1 до 8. Поэтому областью значений функции являются все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Для значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, точки графика расположены выше оси абсцисс. Поэтому функция принимает положительные значения при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 8                                     Рис. 9

На рис. 9 эта часть графика обозначена синим цветом. Также выше оси абсцисс находятся точки графика для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Поэтому при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  функция снова приобретает положительные значения (на рис. 9 эта часть графика также обозначена синим цветом). Следовательно, при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачфункция принимает положительные значения.

4) Для значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таких, что  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  точки графика расположены ниже оси абсцисс (на рис. 9 эта часть графика обозначена красным цветом). Поэтому при  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  функция принимает отрицательные значения.

Используя график функции, для любого значения аргумента из области определения можно найти соответствующее ему значение функции. Также по графику можно составить таблицу значений функции.

Приходим к выводу: графиком можно задать функцию. Такой способ задания функции называют графическим. Он удобен своей наглядностью и часто используется для отображения явлений, сопровождающих практическую деятельность человека или происходящих в окружающем мире.

Пример №211

На рисунке 10 изображен график изменения температуры воздуха в течение суток, полученный с помощью специального прибора — термографа.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                    Рис. 10

Используя этот график, найти: 1) какой была температура в 10 ч; 2) во сколько температура была –4°С.
Решение. 1) Через точку оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами (10, 0) проведем перпендикуляр к этой оси (рис. 10). Точка пересечения этого перпендикуляра с графиком температуры имеет координаты (10; 2). Итак, в 10 ч температура воздуха была 2°С.
2) Через точку оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами (0; –4) проведем перпендикуляр к этой оси (рис. 10). Этот перпендикуляр пересекает график в точках (1; –4), (6; –4) и (22; –4). Следовательно, температура воздуха –4°С была в 1 час, в 6 часов и в 22 часа.

Заметим, что не каждая фигура на координатной плоскости может быть графиком некоторой функции. Например, фигура на рисунке 11 не является графиком ни одной из функций, поскольку существуют такие значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым соответствуют два значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, значению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсоответствуют значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
                          Рис. 11

Это означает, что зависимость между Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен
на рисунке 11, не является функциональным, потому что существует хотя
бы одно значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которому соответствует более чем одно значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Графически это означает, что существует хотя бы одна прямая, перпендикулярная к оси абсцисс, которая пересекает данную фигуру более чем в одной точке. Учитывая, что при функциональной зависимости каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции, то каждая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, должна пересекать график функции не больше, чем в одной точке.
Итак, чтобы фигура, которая изображена на координатной плоскости, была графиком некоторой функции, необходимо, чтобы каждая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, пересекала эту фигуру не более чем в одной точке.

Линейная функция, ее график и свойства

Пример 1.

Масса одного гвоздя 4 г, а масса пустого ящика — 600 г. Зависимость между массой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в г) ящика с гвоздями и количеством гвоздей в нем, равным Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число), можно задать формулой:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 2.

Ежемесячная зарплата продавца составляет 1500 руб. и  премии в размере 1 % от стоимости реализованного товара. Зависимость между зарплатой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в руб.) и стоимостью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(в руб.) реализованного товара можно задать формулой:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В обоих примерах функции заданы формулами вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа.

Линейной называют функцию вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — независимая переменная, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа.

Числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют коэффициентами линейной функции.
Выясним, как выглядит график линейной функции. В формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимая переменная Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно принимать любые значения, поэтому область определения линейной функции состоит из всех чисел.

Пример №212

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Функция является линейной. Составим для нее таблицу нескольких значений независимой переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующих ей значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице. С помощью линейки можно убедиться, что все обозначенные точки лежат на одной прямой. Эта прямая является графиком линейной функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 18).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                              Рис. 18

Графиком любой линейной функции является прямая.

Поскольку прямая однозначно задается двумя своими точками, для построения прямой, являющейся графиком линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, обозначить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример №213

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Составим таблицу для двух произвольных значений аргумента.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Обозначим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую. Получаем график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19).

Если коэффициенты линейной функции являются дробными числами, то для
нахождения двух точек ее графика целесообразно подбирать такие целые значения аргумента, чтобы соответствующие им значения функции также выходили целыми.
Например, для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удобно взять Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = — 1 и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5, тогда для построения ее графика получим точки (—1; —1) и (5; 1).
Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, формула Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Линейная функция, которая задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, приобретает одни и те же значения при любых значениях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 19                                            Рис. 20

Пример №214

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Любому значению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует одно и то же значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равное Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Графиком функции является прямая, которая проходит через точки вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число. Выберем любые две из них, например (—5; —3) и (2; —3), и проведем через них прямую (рис. 20). Эта прямая и является графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Она параллельна оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Прямая вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является параллельной оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, чтобы построить график функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно обозначить на оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точку с координатами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи провести через нее прямую, параллельную оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, формула Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функцию вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — независимая переменная, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — число, отличное от нуля, называют прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, и к тому же при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также равно 0, то графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

На рисунке 21 изображены графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обобщим свойства линейной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  1. Область определения функции состоит из всех чисел.
  2. Область значений функции при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из всех чисел; при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач только из одного значения —Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Графиком функции является прямая.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 21

Одним из важных свойств функции является существование точек пересечения ее графика с осями координат.

Если на координатной плоскости график функции уже изображен, то такие точки можно найти непосредственно из графика. Например, на рисунке 18 точкой пересечения графика функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  с осью абсцисс является точка (4; 0), а с осью ординат — точка (0; 1). В таком случае говорят, что точки пересечения найдены графически. Но графический способ не всегда дает возможность определить точные значения координат таких точек. Например, на рисунке 19 определить абсциссу точки пересечения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  с осью абсцисс можно только приближенно, например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, с помощью графика функции найти точные значения абсциссы точки пересечения с осью абсцисс или ординаты точки пересечения с осью ординат не всегда возможно.

Для многих функций координаты точек пересечения графика с осями координат можно найти, не выполняя построения графика, в частности, если функция задана формулой. В таком случае говорят, что координаты точек пересечения найдены аналитически, причем их значения будут точными, а не приближенными.

Пример №215

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с осями координат.

Решение. Точка пересечения графика с осью абсцисс принадлежит этой оси, следовательно, ее ордината должен быть равен нулю. Поэтому для поиска точки (или точек) пересечения графика функции с осью абсцисс достаточно в формулу, которая задана функция, подставить значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и решить полученное уравнение.
Подставим 0 вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, (3; 0) — точка пересечения графика функции с осью абсцисс.
Точка пересечения графика с осью ординат принадлежит этой оси, следовательно, абсцисса этой точки должна быть равна нулю. Поэтому для нахождения точки пересечения графика функции с осью ординат достаточно в формулу, которой задана функция, подставить значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выполнить вычисления.

Подставим 0 вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, (0; —6) — точка пересечения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с осью ординат.
Ответ: (3; 0); (0; —6).

Заметим, что существуют функции, графики которых могут не пересекать оси координат или хотя бы одну из них.

Линейные уравнения и их системы

На протяжении многих веков алгебра развивалась как наука об уравнениях.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных.

Общие сведения об уравнениях

Уравнением называют равенство, содержащее переменную.

Основные сведения об уравнении вы уже знаете из предыдущих классов. Напомним, что выражение, записанное в уравнении слева от знака равенства, называют левой частью уравнения, а выражение, записанное справа, — правой частью уравнения. Если в уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставить число 2, то получим правильное числовое равенство 4 • 2 – 6 = 2, поскольку числовые значения обеих частей уравнения станут между собой равны. В таком случае о числе 2 говорят, что оно удовлетворяет уравнение, то есть является его корнем.

Число, удовлетворяющее уравнение, называют корнем или решением уравнения.

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет только один корень — число 2. Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два корня — числа 0 и 6. Любое значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому любое число является его решением, следовательно, это уравнение имеет множество корней. Но не существует никакого значения переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое бы превращало уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в верное числовое равенство, поскольку при каждом значении переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение левой части уравнения будет на 1 превышать значение правой его части. Поэтому уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Рассмотрим уравнения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждое из них имеет единственный корень — число 4. Эти уравнения являются равносильными.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней.

Пример №216

Выяснить, являются ли равносильными уравнения:

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 7. Корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — также число 7. Поэтому уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносильные.

2) Оба уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   не имеют корней, поэтому являются равносильными.

3) Корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 1, а корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —
 число 2. Поэтому уравнения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не являются равносильными.

При решении уравнений используют свойства, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения:

  1. если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;
  2. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;
  3. если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Пример №217

Выяснить, являются ли равносильными уравнения:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  являются равносильными, поскольку второе уравнение получаем из первого раскрытием скобок в его левой части.

2) Уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —  равносильные, поскольку второе уравнение получаем из первого приведением подобных слагаемых в его правой части.

3) Уравнения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —  равносильные, поскольку второе уравнение получаем из первого переносом слагаемого из правой части уравнения в левую с изменением знака этого слагаемого на противоположный.

4) Уравнения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —  равносильные, поскольку второе уравнение получаем путем умножения на 2 обеих частей первого уравнения.

Линейные уравнения с одной переменной

Мы знаем, как решать уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждое из этих уравнений имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменная, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа.

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменная, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют коэффициентами этого уравнения.
Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является уравнением первой степени с одной переменной. Поделив обе части такого уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть единственным корнем этого уравнения является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то линейное уравнение имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Корнем такого уравнения является любое число, так как при любом значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения левой и правой частей уравнения одинаковы и равны нулю. Поэтому уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет множество корней.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  а  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то линейное уравнение будет иметь вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом не существует никакого значения переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое бы превращало левую и правую части уравнения в одно и то же число. Ведь значение левой части уравнения при любом значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю, а значение правой части —
числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отличному от нуля. Поэтому уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней.

Систематизируем данные о решении линейного уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде схемы:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №218

Решить уравнение:

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Процесс решения многих уравнений является приведением этих уравнений к линейным путем равносильных преобразований по свойствам уравнений.

Пример №219

Решить уравнения:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение.

1. Избавимся знаменателей (если они есть):

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Раскроем скобки (если они есть):Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а остальные —в правую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Приведем подобные слагаемые:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Решим полученное линейное уравнение:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №220

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  относительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Раскроем скобки в левой части уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Перенесем слагаемое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв левую часть, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — в правую. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение задач с помощью линейных уравнений. Уравнение как математическая модель задачи

Мы уже рассматривали примеры функциональных зависимостей между величинами как математические модели реальных процессов. Теперь рассмотрим текстовые задачи, математическими моделями которых являются линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным.

Решать задачу с помощью уравнения следует в такой последовательности:

  1. обозначить переменной одну из неизвестных величин;
  2. другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную;
  3. по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;
  4. решить полученное уравнение;
  5. проанализировать решение уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значения других неизвестных величин;
  6. записать ответ к задаче.

Рассмотрим несколько задач и решим их с помощью линейного уравнения.

Задача №64

На свой день рождения сестренки–близняшки Наталья и Елена получили вместе 127 поздравительных SMS-сообщений, причем Наталья получила на 13 сообщений больше, чем Елена. По сколько SMS-сообщений на свой день рождения получила каждая из сестер?

Решение. Пусть Елена получила Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сообщений, тогда Наталья — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. А обе вместе — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сообщений, что по условию равняется 127.
Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, Елена получила 57 сообщений, 57 + 13 = 70 (сообщ.) — получила Наталья.

Ответ: 70 сообщений; 57 сообщений.

Задача №65

Максимально возможная сумма кредита рассчитывается банком по формуле: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сумма кредита, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — среднемесячная зарплата заемщика. Для кредита сроком на один год считают, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сроком на два года — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сроком на три года — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Какой должна быть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика, чтобы банк предоставил ему кредит в сумме 30 000 руб. на:

1) 1 год;   2) 2 года;   3) 3 года?

Решение. По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 30 000 руб. Пусть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб.

1) Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, среднемесячная зарплата заемщика должен быть не меньше 10 000 руб.
2) Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, среднемесячная зарплата должна быть не менее 4286 руб.
3) Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, если заемщик хочет получить кредит на три года, то его среднемесячная зарплата должна быть не менее 2728 руб.
Ответ: 1) 10 000 руб.; 2) 4286 руб.; 3) 2728 руб.

Задача №66

Из города А в город В, расстояние между которыми 310 км, выехал грузовик. Через 30 мин. после этого из города В в город А выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. Грузовик и легковушка встретились через 2 часа после выезда легковушки. Найти скорость каждого из этих автомобилей.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть скорость грузовика — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч.
Условие задачи удобно представить в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку машины выехали в противоположных направлениях и встретились,
то вместе они проехали 310 км.
Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решим его: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
4,5 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 270;
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 60 (км/ч) — скорость грузовика;
60 + 20 = 80 (км/ч) — скорость легковушки.
Ответ: 60 км/ч; 80 км/ч.

Линейные уравнения с двумя переменными

В предыдущих лекциях мы рассматривали уравнения с одной переменной. Однако в алгебре встречаются уравнения и с несколькими переменными. В частности, мы рассмотрим уравнение с двумя переменными.

Пример №221

Сумма одного числа и квадрата второго равна 17. Если первое число обозначить через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второе — через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соотношение между ними можно записать в виде равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое содержит две переменные Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными (или уравнениями с двумя неизвестными).

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач превращается в верное числовое равенство. В таком случае говорят, что пара значений переменных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Или сокращенно: пара чисел (1; 4) является решением уравнения.

Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, которая превращает уравнение в правильное числовое равенство.

Решениями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также являются пары (–8; 5); (8, 3); (16; 1). При такой сокращенной записи решений уравнения важно знать, значение какой из двух переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. Если уравнение содержит переменные Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то на первом месте записывают значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на втором — значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, можно подставить в уравнение произвольное значение одной из переменных и, решив полученное уравнение, найти соответствующее ей значение второй переменной.

Найдем таким способом еще несколько решений уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Получаем еще два решения уравнения: (13; –2) и (—19, 6).

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение видаМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменные. Числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают коэффициентами уравнения.

Уравнения с двумя переменными, которые имеют одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения, не имеющие решений, также являются равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют те же свойства, что и уравнения с одним неизвестным:

  1. если в уравнении раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;
  2. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;
  3. если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Пример №222

Рассмотрим уравнение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это уравнение с двумя переменными. Если в нем раскрыть скобки, затем перенести слагаемые, содержащие переменные, в одну часть уравнения, а те, которые не содержат, — в другую, дальше привести подобные слагаемые, получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое будет равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Используя свойства уравнений с двумя переменными, можно находить их решения и другим способом.

Пример №223

Рассмотрим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя свойства равносильности уравнений, выразим в этом уравнении одну переменную через другую. Например, переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого сначала Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачперенесем в правую часть уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, затем обе части разделим на 5 и получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это уравнение равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теперь, имея формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно найти сколько угодно решений уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого достаточно взять произвольное значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислить соответствующее ему значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пары таких значений переменных  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач занесем в таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пары чисел, записанные в столбцах таблицы, являются решениями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это уравнение имеет множество решений.

График линейного уравнения с двумя переменными

Каждую пару чисел, которая является решением уравнения с двумя переменными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно обозначить точкой на координатной плоскости, абсциссой которой является значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а ординатой — значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Все такие точки образуют график уравнения с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Выясним, как выглядит график линейного уравнения с двумя переменными.

Пример №224

Построить график линейного уравнения с двумя переменными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Выразим переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; следовательно,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Формула Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задает линейную функцию, графиком которой является прямая. Для построения графика составим таблицу значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для двух его точек:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 28.
Поскольку уравнения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются равносильными,
то построенная прямая является также и графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №225

Построить график линейного уравнения с двумя переменными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это линейная функция, графиком которой является прямая, параллельная оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проходящая через точку (0; –2) (рис. 29). Эта прямая также является и графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 28                                                      Рис. 29

С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что графиком любого линейного уравнения с двумя переменными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  является прямая.

Рассмотрим случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №226

Построить график уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Решением данного уравнения является каждая пара чисел вида (4, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число, например (4; —2), (4; 0), (4; 3), (4; 7,5). График уравнения состоит из всех точек, абсциссы которых равны 4, а ординаты — любые числа.
Такие точки образуют прямую, проходящую через точку (4; 0) параллельно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 30).

Графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  в котором хотя бы один из коэффициентов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличен от нуля, является прямая.

Пример №227

На рисунке 31 изображен график уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рисунке 32 — график уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
1) Чтобы построить график уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= m, достаточно отметить на оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачточку (0; m) и провести через нее прямую, параллельную оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Чтобы построить график уравнения
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= n, достаточно отметить на оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точку (n; 0) и провести через нее прямую, параллельную оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим случай, когда в линейном уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оба коэффициентаМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю.

Пример №228

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это уравнение не имеет решений, следовательно, его график не содержит ни одной точки, а потому не существует.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 30                                        Рис. 31                                   Рис. 32

Пример №229

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда имеем уравнение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Любая пара чисел является решением этого уравнения, а его график — все точки координатной плоскости.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными и ее решение. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными графически

Пример:

Набор красок и набор кистей вместе стоят 96 руб., причем набор красок на 16 руб. дороже набора кистей. Сколько стоит набор красок и сколько — набор кистей?

Решение. Эту задачу можно решить арифметическим способом (по действиям) или с помощью уравнения с одним неизвестным. А еще ее можно решить с помощью линейных уравнений с двумя переменными.

Пусть набор красок стоит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб., а набор кистей —  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. По условию вместе они стоят 96 руб., следовательно, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку набор красок дороже набора кистей на 16 руб., то имеем еще одно уравнение:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили два уравнения с двумя переменными, которые являются математической моделью задачи. Чтобы решить задачу, надо найти такие
значения переменных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые одновременно превращали в верное
равенство каждое из полученных уравнений, то есть найти общее решение этих уравнений.

Если есть несколько уравнений, для которых нужно найти общее решение уравнений, говорится, что эти уравнения образуют систему уравнений. Записывают систему уравнений с помощью фигурной скобки. Составленную по условию данной задачи систему линейных уравнений с двумя переменными записывают так: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пара значений переменных  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 56, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 40 является решением каждого из уравнений системы. Такую пару чисел называют решением системы.

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, которая является решением каждого из уравнений системы. Решить систему уравнений означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графики уравнений. Такой способ решения систем уравнений называют графическим.

Пример №230

Решить систему уравнений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Построим в одной координатной плоскости графики обоих уравнений (рис. 37).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 37

Координаты каждой точки прямой, которая является графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяют данное уравнение. Аналогично координаты каждой точки прямой  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  удовлетворяют данное уравнение. Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первое, так и второе уравнение, то есть являются решением каждого из уравнений, следовательно, и решением данной системы уравнений. Поскольку графики пересекаются только в точке (2; 3), то система имеет единственное решение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= 2; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 3. Проверкой (подстановкой в каждое из уравнений системы) убеждаемся, что найденная пара чисел действительно является решением данной системы. 

Это решение можно записать еще так: (2; 3), где на первом месте — значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на втором — значение переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ: (2, 3).

Заметим, что графический способ обычно позволяет находить решения лишь приближенно. Но, подставив значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 2 иМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач= 3 в каждое из уравнений данной системы, убеждаемся, что эта пара чисел является их решением, следовательно, пара (2; 3) оказалась точным решением.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффициентов при переменных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличен от нуля. Графиками обоих уравнений системы являются прямые. Если эти прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; если прямые не пересекаются (параллельные), то система не имеет решений; если прямые совпадают, то система имеет множество решений.

Итак, чтобы решить систему уравнений графически, целесообразно
придерживаться такой последовательности действий:

  1. построить графики уравнений системы в одной координатной плоскости;
  2. найти координаты точки пересечения графиков или убедиться, что графики уравнений не пересекаются (параллельны) или совпадают;
  3. если координаты точки пересечения являются целыми числами, то выполнить проверку; если нет, то решение системы определить приближенно;
  4. записать решение в ответ.

Пример №231

Решить систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1-й способ. Построим графики уравнений в одной координатной плоскости (рис. 38). Графики уравнений являются параллельными прямыми, следовательно, не имеют общей точки, поэтому система решений не имеет.

Поскольку рисунок не дает необходимой точности, убедиться, что система не имеет решений, можно и другим способом.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 38                                                         Рис. 39

2-й способ. Поделив обе части второго уравнения на 2, имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что не существует таких значений переменных  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для каких бы одновременно выполнялись равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, система уравнений решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример №232

Решить систему уравнений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1-й способ. Построим графики уравнений в одной координатной плоскости (рис. 39). Графики уравнений совпадают, поэтому данная система имеет множество решений. Любая пара чисел, которая удовлетворяет первое уравнение, удовлетворяет также и второе. Чтобы записать ответ к системе, выразим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из первого уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, любая пара чисел вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное число, является решением данной системы.

2-й способ. Поделив обе части второго уравнения на 3, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, что имеем два одинаковых уравнения, следовательно, и графики
их совпадают. Затем рассуждаем так же, как в 1-м способе.
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное число.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки

Графический способ решения систем уравнений достаточно громоздкий и к тому же не всегда помогает найти точные решения. Рассмотрим другие (не графические) способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, которые называют аналитическими. Начнем со способа подстановки.

Пример №233

Решить систему уравнений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Из первого уравнения выразим переменнуюМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задаччерез переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Подставим выражение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во второе уравнение вместоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим
систему:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь второе уравнение системы (2) содержит только переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решим его:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим число 2 вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим соответствующее значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пара (2; –1) является решением каждого из уравнений системы (2), следовательно, является решением системы (2). Эта пара является решением каждого из уравнений системы (1) и поэтому является решением системы (1).
Ответ: (2; 1).

Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одинаковые решения, называют равносильными. Системы, которые не имеют решений, также считают равносильными.

Решая систему (1) способом подстановки, мы заменили ее равносильной ей системой (2), второе уравнение которой содержало только одну переменную.

Последовательность действий, которой следует придерживаться, решая систему линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки, рассмотрим на примере системы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ подстановки удобно применять тогда, когда хотя бы один из коэффициентов при переменных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 1 или –1. Именно переменную с таким коэффициентом целесообразно выражать через другую.

Способом подстановки можно решить и другие системы.

Пример №234

Решить систему:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В первом уравнении системы раскроем скобки, а обе части второго уравнения умножим на 6.

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Упростив каждое из уравнений системы, приведем ее к виду:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Далее применим способ подстановки. Выразим из первого уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставив это выражение в другое уравнение и решив его, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найдем соответствующее ему значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: (–3; 4).

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными методом сложения

Теперь рассмотрим еще один аналитический способ решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными — метод сложения. Решая систему методом сложения, мы переходим от данной системы к равносильной ей системе, одно из уравнений которой содержит только одну переменную.

Пример №235

Решить систему уравнений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. В данной системе коэффициенты при переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются противоположными числами. Сложим левые части уравнений системы и сложим правые их части. Сумма левых частей уравнений будет содержать подобные слагаемые, поэтому после их приведения получим уравнение с одной переменной:    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сложение уравнений системы, которое мы применили, называют почленным сложением. Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим систему:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из первого уравнения системы (2) имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставив это значение во второе уравнение системы (2), получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, пара чисел (–3; 2) является решением системы (2). Убедимся, что эта пара чисел является не только решением системы (2), но и решением системы (1). Для этого в каждое из уравнений системы (1) подставим вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число –3, а вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число 2. Тогда в левой части первого уравнения получим 3 • (–3) + 5 • 2 = 1,
следовательно, значение левой и правой частей совпадают, поэтому пара (–3; 2) является решением первого уравнения. В левой части второго уравнения получим 4 • (–3) — 5 • 2 = –22, то есть значение левой части уравнения равно значению правой его части. Итак, пара (–3; 2) является решением и второго уравнения системы. Поскольку пара чисел (–3; 2) является решением каждого из уравнений системы (1), то она является решением системы (1).
Итак, системы (1) и (2) имеют одно и то же решение, поэтому являются равносильными.
Ответ: (–3; 2).

Методом сложения удобно решать системы, в уравнениях которых коэффициенты при одной и той же переменной являются противоположными
числами. 

Любую систему линейных уравнений с двумя переменными можно привести к виду, который будет удобным для применения метода сложения. Рассмотрим это на примере.
 

Пример №236

Решить систему Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Уравнения этой системы не имеют противоположных коэффициентов при одинаковых переменных, то есть вид системы не является удобным для применения метода сложения. Но если умножить обе части первого уравнения на число –2, то коэффициенты при переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в обоих уравнениях станут
противоположными. После чего можно почленно сложить уравнения системы.
Запишем это решение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим найденное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во второе уравнение системы, чтобы найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Окончательно имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: (4; –5).

Последовательность действий, которой следует придерживаться, решая
систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, рассмотрим на примере системы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение задач с помощью системы линейных уравнений

Мы уже рассматривали задачи, которые можно решить с помощью уравнений. Математической моделью задачи может быть не только уравнение, но и система уравнений. Обычно это относится к тем задачам, где неизвестными являются значения двух или большего количества величин.

Пример №237

За 7 шоколадных батончиков и 2 плитки шоколада заплатили 85 руб. Сколько стоит батончик и сколько плитка шоколада, если известно, что три батончики дороже одной плитки на 3 руб.?

Решение. Пусть батончик стоит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб., а плитка шоколада — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. Тогда семь батончиков стоят Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. , а две плитки шоколада — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. Поскольку суммарно за такое количество батончиков и плиток шоколада заплатили 85 руб., имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Стоимость трех батончиков составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб., и они дороже плитки шоколада на 3 руб. Поэтому получим еще одно уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Чтобы ответить на вопрос задачи, мы должны найти такие значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые бы удовлетворяли оба уравнения, то есть удовлетворяли систему уравнений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив эту систему, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, стоимость шоколадного батончика — 7 руб., а стоимость плитки шоколада — 18 руб.

Ответ: 7 руб.; 18 руб.

Заметим, что эту задачу, как и некоторые другие из этой лекции, можно решить и с помощью уравнения с одним неизвестным. Но часто составить систему уравнений к задаче проще, чем составить к ней уравнение с одним неизвестным.

Решая задачу с помощью системы уравнений, следует соблюдать такую последовательность действий:

  1. обозначить какие-то две неизвестные величины переменными (например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);
  2. по условию задачи составить систему уравнений;
  3. решить полученную систему;
  4. проанализировать найденные значения переменных в соответствии с условием задачи, ответить на вопрос задачи;
  5. записать ответ.

Пример №238

За 2 часа против течения и 5 часов по течению моторная лодка преодолевает 120 км. За 2 часа по течению и 1 час против течения эта же самая лодка проходит 51 км. Найти собственную скорость лодки и скорость течения.
Решение. Пусть собственная скорость лодки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, а скорость течения — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач + Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) км/ч, а скорость лодки против течения — (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач) км/ч. За 5 ч по течению лодка проходит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км, за 2 часа против течения — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км, а вместе это составляет 120 км. Получаем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассуждая аналогично, можно по условию задачи составить еще одно уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив которую, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, собственная скорость лодки — 16,5 км/ч, а скорость течения — 1,5 км/ч.
Ответ: 6,5 км/ч;  1,5 км/ч.

Дроби. Дробные выражения. Рациональные выражения. Допустимые значения переменных

Мы ознакомились с целыми рациональными выражениями, то есть выражениями, которые не содержат деления на выражение с переменной. Примеры таких выражений:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Каждое целое выражение можно записать в виде многочлена. Например: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В отличие от целых, выражения
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
содержат деление на выражение с переменной. Такие выражения называют
дробными рациональными выражениями.

Целые рациональные и дробные рациональные выражения называют
рациональными выражениями.

Рациональные выражения — это математические выражения, содержащие действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведение в степень с целым показателем.

Рациональное выражение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где а и b — выражения, которые содержат числа или переменные, называют дробью, где а — числитель этой дроби, b — его знаменатель.

Если числитель и знаменатель дроби — многочлены, то дробь называют рациональной дробью.

Целое рациональное выражение имеет смысл при любых значениях переменных, входящих в него, поскольку для нахождения значение этого выражения необходимо выполнить действия сложения, вычитания и умножения, что всегда возможно.

Рассмотрим дробное рациональное выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значение этого выражения можно найти для любого значения х, кроме х = 3, так как при этом значении х знаменатель дроби превращается в ноль. Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет смысл при всех значениях переменной х, кроме х = 3.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют
допустимыми значениями переменных.

Эти значения образуют область определения, или область допустимых значений переменных.

Пример №239

Найти допустимые значения переменных в выражениях:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Выражение имеет смысл при любых значениях переменной m. 2) Допустимые значения переменной p — все числа, кроме –2, поскольку если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то знаменатель дроби обращается в ноль. 3) Знаменатель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач превращается в ноль, если x = 0 или х = 9 Поэтому допустимые значение переменной х — все числа, кроме 0 и 9. 4) Допустимые значение переменной у — все числа, кроме 3 и –3.
Сокращенно ответы можно записать так:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— любое число; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим условие равенства дроби нулю. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачесли Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто можно сделать вывод, что дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачравна нулю тогда и только тогда, когда числитель а равен нулю, а знаменатель b не равен нулю.

Пример №240

При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. 1) Числитель дроби равен нулю, если х = 3. При этом значении переменной знаменатель не равен нулю, поэтому при х = 3 значение дроби равно нулю.
2) Числитель дроби равен нулю, если а = 2 или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПри каждом из этих значений знаменатель дроби не равен нулю. Поэтому при а = 2 и а = –1 значение дроби равно нулю.
3) Числитель дроби равен нулю, если b = 0 или  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но при b = 0 знаменатель дроби равен нулю, а при b = –3 знаменатель дроби не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю только когда b = –3.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основное свойство дроби, сокращение дроби

Нам известно основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получим дробь,
равную данной.
Иначе говоря, при любых натуральных числах a, b и с правильными являются равенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, что эти равенства правильные не только для натуральных чисел a, b и с, но и для любых других их значений, таких, как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем сначала, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по определению частного a = bp. Умножим обе части этого равенства на c
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По определению частного имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это равенство является тождеством.

Поменяем в этом тождестве местами левую и правую части:
                              Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это тождество позволяет заменить дробь  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдробью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть
сократить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач числителя и знаменателя.

Свойство, выраженное тождествами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют основным свойством дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же выражение, то получим дробь, равную данной.

Рассмотрим примеры применения этого свойства при допустимых значениях всех переменных в дробях.

Пример №241

Сократить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Представим числитель и знаменатель этой дроби в виде произведений, содержащих их общий множитель — выражение 8a, и сократим дробь на это выражение:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №242

Сократить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Сократим дробь на общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач числителя и знаменателя: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, чтобы сократить дробь, необходимо:

  1. разложить на множители числитель и знаменатель дроби;
  2. выполнить сокращение на общий множитель числителя и знаменателя и записать ответ.

Тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач позволяет приводить дроби к заданным знаменателям.
 

Пример №243

Привести дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачк знаменателю Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, умножив числитель и знаменатель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачполучим дробь со знаменателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №244

Привести дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к знаменателю Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то , умножив числитель и знаменатель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на –1, получим дробь со знаменателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачможно заменить тождественно равным выражением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
При этом поставили знак «минус» перед дробью и изменили знак числителя  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, например, дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,

  • если изменить знак в числителе или знаменателе дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Это правило можно записать с помощью тождеств:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №245

Найти область определения и построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис.1

Решение. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме тех, при которых знаменатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач превращается в ноль. Поскольку 2х – 4 = 0, когда х = 2, то область определения функции состоит из всех чисел, кроме числа 2. Упрощая выражение
 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Графиком функцииМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется прямая, заданная формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачно без точки с абсциссой 2, то есть точкиМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачНа рисунке эту точку «выкалывают» (изображают «пустой»). График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представлен на рисунке 1.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Пример:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В буквенном виде это записывают так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это равенство верно для любых дробей. Докажем это равенство (при условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по определению доли Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, используя определение частного, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Получаем правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

  • чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Пример №246

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично можно доказать тождество
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
на основе которого выполняется вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Имеем правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

  • чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо от числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

Пример №247

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим более сложные примеры.
 

Пример №248

Найти сумму и разность дробей  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №249

Упростить выражение

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №250

Сложить дроби  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Знаменатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Преобразуем вторую дробь так, чтобы знаменатели дробей стали одинаковыми:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
тогда
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: — 5.
Если в тождествах Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поменять местами левые и правые части, то получим тождества:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью этих тождеств дробь, числитель которой является суммой или разностью двух выражений, можно записать в виде суммы или разности двух дробей.

Пример №251

  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №252

Записать дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если дроби имеют разные знаменатели, то их, как и обычные дроби, сначала надо привести к общему знаменателю, после этого можно будет воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим сложение дробей Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПриведем эти дроби к общему знаменателю bd. Для этого числитель и знаменатель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач умножим на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а числитель и знаменатель дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач умножим на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпривели к общему знаменателю bd. Напомним, что d является дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач a  b — дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После приведения дробей к общему знаменателю можно воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
или в сокращенном виде:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично можно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пример №253

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Часто при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями удается найти более простой общий знаменатель, чем произведение их знаменателей. Рассмотрим пример, в котором знаменателями дробей являются одночлены.

Пример №254

Выполнить сложение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Общим знаменателем дробей, знаменатели которых одночлены, будет также одночлен. Коэффициент этого одночлена должен делиться как на 6, так и на 8.

Наименьшим таким числом является 24 (НОК(6; 8) = 24). В общий знаменатель каждая из переменных должна входить с наибольшим показателем степени, с которым она входит в знаменатели дробей. Таким образом, общим знаменателем дробей является одночлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дополнительным множителем к числителю и знаменателю первой дроби является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпотому  что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задача к числителю и знаменателю второй дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим пример, в котором знаменатель дроби является многочленом.
 

Пример №255

Выполнить вычитание Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатели дробей на множители:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Самым простым общим знаменателем дробей будет выражение ху (у — х). Дополнительным множителем к первой дроби будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ко второму — х. Выполним вычитание:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, надо:

  1. разложить на множители знаменатели дробей, если это необходимо;
  2. определить общий знаменатель, желательно самый простой;
  3. записать дополнительные множители;
  4. найти дробь, которая является суммой или разностью данных дробей;
  5. упростить эту дробь и получить ответ.

Аналогично выполняют сложение и вычитание целого выражения и дроби.

Пример №256

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Запишем выражение а + 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Напомним, что произведение двух дробей — это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей. В буквенном виде это записывают так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, что это равенство является тождеством для всех значений а,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по определению частного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поэтому  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто, используя определение частного еще раз, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сформулируем правило умножения дробей:

  • чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить отдельно их числители и отдельно знаменатели и записать первое произведение числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример №257

Выполнить умножение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №258

Выполнить умножение дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Используем правило умножения дробей и разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №259

Умножить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Целое выражение ( многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ) можно представить в виде дроби со знаменателем 1: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и больше множителей.
 

Пример №260

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим возведение дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где n — натуральное число. По определению степени имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сформулируем правило возведения дроби в степень:

  • чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель дроби.

Пример №261

Возвести в куб дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №262

Представить в виде дроби:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Деление дробей

Чтобы найти частное двух дробей, надо делимое умножить на дробь, обратную к  делителю:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В буквенном виде это записывают так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, что это равенство является тождеством для всех значений а, b, с и d (где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Поскольку
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то по определению частного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают обратной к дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сформулируем правило деления дробей:

  • чтобы поделить одну дробь на другою, надо первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй.

Пример №263

Разделить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №264

Выполнить деление Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №265

Разделить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Представим целое выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв виде дроби со знаменателем 1: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Выполним деление:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тождественные преобразования рациональных неравенств

Рассмотрим примеры преобразований рациональных выражений.

Пример №266

Доказать тождество
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Упростим левую часть равенства:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
С помощью тождественных преобразований привели левую часть равенства к правой. Итак, равенство является тождеством.

Пример №267

Упростить выражение
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Сначала представим выражения в каждой из скобок в виде дробей, а затем выполним деление:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запись решения можно представить иначе:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Представленное в примере выражение свели к рациональной дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В общем, каждое выражение, содержащее сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей, можно представить в виде рациональной дроби.

Пример №268

Доказать, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неотрицательное.
Решение. Преобразовать выражение, заданное в условии, можно по-разному. Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем поделить первый результат на второй. А можно умножить числитель и знаменатель на у, используя основное свойство дроби:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, при всех допустимых значениях переменных выражение тождественно равно одночлену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачзначение которого является неотрицательным при всех значениях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение рациональных уравнений

Рассмотрим уравнение:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Левая и правая части каждого из этих уравнений являются рациональными выражениями.

Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из рассматриваемых уравнений левая и правая части — целые выражения. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если в уравнении хотя бы одна часть является дробным выражением, такое уравнение называют дробным рациональным уравнением. Среди рассмотренных выше уравнений последние два — дробные рациональные.

Решение целых рациональных уравнений мы рассмотрели в предыдущих классах. Рассмотрим методы решения дробных рациональных уравнений, то есть уравнений с переменной в знаменателе.
1. Использование условия равенства дроби нулю: дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю тогда и только тогда, когда  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №269

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. С помощью тождественных преобразований сведем уравнение к виду Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где а и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целые рациональные выражения. Имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Чтобы дробь  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач была равна нулю, необходимо, чтобы числитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачбыл равен нулю, а знаменатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен нулю. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При х = 3 знаменатель х — 2 отличный от нуля:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, х = 3 — единственный корень уравнения.
Запись решения уравнения можно было закончить иначе, а именно:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. х = 3.

Итак, решая дробное рациональное уравнение, можно:

  1. с помощью тождественных преобразований свести уравнение к виду  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. приравнять числитель а к нулю и решить полученное целое уравнение;
  3. исключить из его корней те, при которых знаменатель дроби b равен нулю.

2. Использование основного свойства пропорции , если
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ) , то  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №270

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Выполним сложение в правой части уравнения:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По основному свойству пропорции имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решим полученное уравнение:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проверим условия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, х = 4 — корень уравнения.
Запись решения можно было закончить иначе, а именно:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, при решении дробного рационального уравнения можно:

  1. с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. используя основное свойство пропорции , получить целое уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи решить его;
  3. исключить из его корней те, при которых знаменатели b или d равны нулю.

3. Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей.

Пример №271

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Разложим на множители знаменатели дробей:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Общим знаменателем всех дробей являетсяМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачУмножим обе части уравнения на это выражение при условии, что
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отсюда х = 0 или х = 12.
Но, если х = 0, то общий знаменатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач превращается в ноль и дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеют смысла. Поэтому число 0 не является корнем уравнения. Если же х = 12, то общий знаменатель дробей не обращается в ноль. Поэтому число 12 — корень уравнения.
Ответ. х = 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

  1. разложить на множители знаменатели дробей, если это возможно;
  2. найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;
  4. решить полученное целое уравнение;
  5. исключить из его корней те, при которых общий знаменатель дробей обращается в ноль.

Пример №272

Равносильны ли уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Напомним, что два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни; также равносильными считают уравнения, не имеющие корней.
Первое уравнение имеет единственный корень х = 2, а второе — два корня х = 0 и х = 2 (решите уравнение самостоятельно). Поэтому уравнения не является равносильными.
Ответ. Нет.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению степени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В математике, а также при решении задач практического смысла, например по физике или химии, бывают степени, показатель которых ноль или целое отрицательное число. Степень с отрицательным показателем можно найти в научной и справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Как понимать смысл записи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим степени числа 3 с показателями 1, 2, 3, 4 ...

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этой строке каждое следующее число в 3 раза больше предыдущего. Продолжим строку влево, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач должно быть в 3 раза меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в 3 раза меньше числа 3 является число 1, следовательно,Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такое же равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет выполняться для любого основания а, отличного от нуля.

Степень числа а, не равная нулю, с нулевым показателем равна единице:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач )

Слева в строке от числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач стоит число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это число в 3 раза меньше 1, то есть равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, с Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДалее аналогично получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. Целесообразно принять следующее определение степени с целым отрицательным показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  n — натуральное число, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №273

Заменить степень с целым отрицательным показателем дробью: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №274

Заменить дробь степенью с целым отрицательным показателем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №275

Выполнить возведения в степень: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим возведение в отрицательную целую степень дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач натуральное число и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеем:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №276

Вычислить:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) Напомним, что действие возведения в степень выполняется раньше действия умножения. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с натуральным показателем выполняются и для степени с любым целым показателем (необходимо только заметить, что основание степени отлично от нуля).
Итак,
для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и любых целых m и n:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для любых  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и любого целого n:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти свойства можно доказать, опираясь на формулуМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и свойства степени с натуральным показателем.
Докажем, например, формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для случая, когда m и n — отрицательные целые числа. Пусть  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральные числа. Имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если m и n — отрицательные целые числа. Также эту формулу можно доказать, если один из показателей m и n — отрицательное целое число, а другой — положительное или равное нулю.

Пример №277

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №278

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №279

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Представим числа 9 и 27 как степени числа 3 и выполним вычисления:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. 3.

Стандартный вид числа

В физике, химии, технике, астрономии часто имеют дело как с очень большими, так и очень малыми числами. Например, масса Земли равна 5 976 000 000 000 000 000 000 000 кг, а диаметр молекулы водорода 0,00000000025 м.

Читать или записывать очень большие и очень малые числа в виде десятичных дробей неудобно, также неудобно выполнять действия с этими числами. В таких случаях удобно использовать степень числа 10 с целым показателем и записывать число в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачцелое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачНапример,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Говорят, что числа 5 976 000 000 000 000 000 000 000 и 0,00000000025 записаны в стандартном виде.

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачцелое число.

Если число записано в стандартном виде, то порядок степени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют порядком числа. Например, порядок числа,  который выражает массу Земли в килограммах, равен 24, а порядок числа, который  выражает диаметр молекулы водорода в метрах, равен –10.

В стандартном виде можно записать любое положительное число. Порядок числа дает представление об этом числе.

Если порядок числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачравен 4, то это означает, чтоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачто естьМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачЕсли порядок числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Большой положительный порядок числа показывает, что число очень большое. Большой по модулю отрицательный порядок числа показывает, что число очень маленькое.
 

Пример №280

Подать число х = 272000 в стандартном виде.
Решение. В числе х поставим запятую так, чтобы в
целой части была одна цифра, отличная от ноля. В результате
получим 2,72. Запятой отделили 5 цифр справа, поэтому х
уменьшилось в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз. Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №281

Представить число х = 0,00013 в стандартном виде.
Решение. В числе х перенесем запятую на 4 знака вправо, имеем 1,3. При этом число х увеличили в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачраз.
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №282

Выполнить действия и записать результат в стандартном виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №283

Выполнить сложение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и записать в стандартном виде.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачеё  график и свойства

Пример №284

Пешеходу надо пройти 16 км. Если он будет идти со скоростью  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  км/ч, то зависимость времени t (в часах), которое он потратит на весь путь, от скорости движения выражается формулой  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При увеличении значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в несколько раз значение t уменьшается во столько же раз. Говорят, что переменные t и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратно пропорциональны.

Пример №285

Площадь прямоугольника равна 32  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а одна из его сторон — а см. Тогда другую сторону Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в см) можно найти по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом примере переменные а и b также обратно пропорциональны.

В рассмотренных примерах переменные Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретают только положительные значения. Далее будем рассматривать функции, заданные  формулой  вида  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ( где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), которые могут приобретать как положительные, так и отрицательные значения. Каждую из таких функций называют обратной пропорциональностью.

Обратной пропорциональностью называют функцию, которую можно задать формулой вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где х — независимая переменная, k — некоторое число, отличное от нуля.

Областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть множество всех чисел, кроме нуля, поскольку выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла, если х = 0.
Построим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отдельно в случае, когда k > 0 и когда k < 0.

Пример №286

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Составим таблицу значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для нескольких значений аргумента:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (рис. 2). Если бы в этой плоскости обозначить большее количество точек, координаты которых удовлетворяют формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  а затем соединить их плавной линией, то получили бы график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3).

Кривую,  которая является графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух веток. Одна из них размещена в первой координатной четверти, а вторая — в третьей. Гипербола не пересекает координатных осей: на графике есть точки, в которой абсцисса х = 0, и нет точки, в которой ордината у = 0 (поскольку уравнение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решений).Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                                      Рис. 2

Чем больше по модулю является значение х, тем меньшим модулем является значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, чем меньшим модулем является значение х, тем больше по модулю является значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что ветки гиперболы неограниченно приближаются к осям координат. Такой же вид имеет график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                                  Рис. 3

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                                      Рис. 4

Пример №287

Построить график функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Рассуждая аналогично предыдущему примеру , получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4).
Это также гипербола, одна из веток которой размещена во второй четверти, а вторая — в четвертой. Такой же вид имеет график  функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом k < 0.

Обобщим свойства обратной пропорциональности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.
  2. Область значений функции состоит из всех чисел, кроме у = 0.
  3. График функции — гипербола, ветки которой размещены в первой и третьей координатных четвертях, если k > 0, и в второй и четвертой, если k < 0.
  4. Ветки гиперболы неограниченно приближаются к осям координат.

Пример №288

Построить в одной системе координат графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти точки пересечения этих графиков и решение  уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                    Рис. 5

Решение. Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть гипербола, которая размещена в I и III четвертях, а графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая, проходящая через точки (0; —3) и (3, 0) (рис. 5). Они пересекаются в точках (4, 1) и (—1; —4). Абсциссы этих точек x = 4 и x = –1 являются решениями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Действительно, если x = 4, то выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретают равные значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Также равные значения эти выражения приобретают, если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, x = 4 и x = –1 — корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предложенный метод решения уравнений называют графическим методом решения уравнений. Если абсцисса точки пересечения графиков функций — целое число, необходимо выполнить проверку, поскольку в большинстве случаев корни уравнения этим методом определяются приближенно.

Пример №289

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме тех, при которых знаменатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обращается в ноль. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда x = 0 или x = 2, то область определения состоит из всех чисел, кроме чисел 0 и 2.
Упрощая выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеем  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                     Рис. 6

Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является гипербола, задаваемая формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но без точки с абсциссой 2, то есть точки (2; —4).
График функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач представлен на рисунке 6.

Квадратные корни и действительные числа

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень из числа а обозначается знаком √a; а называется подкоренным выражением.

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби.

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  её  график

Пример №290

Пусть сторона квадрата равна а см. Тогда его площадь (в см2) вычисляется по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этой формуле каждому положительному значению переменной а отвечает
единственное значение переменной S.

Если обозначим независимую переменную через х, а зависимую — через у, то получим функцию, заданную формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этой формуле переменная х может принимать любое значение (положительное, отрицательное, ноль).

Составим таблицу значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  для нескольких значений аргумента:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Обозначим на координатной плоскости точки, представленные в таблице (рис. 8). Если бы в этой же плоскости обозначить большое количество точек, координаты которых удовлетворяют формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем соединить их плавной линией, то получили бы график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9). Кривую, которая является графиком этой функции, называют параболой, точку (0; 0) — вершиной параболы. Вершина параболы разбивает ее на две части, каждая из которых называется веткой параболы.

Сформулируем некоторые свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  1. Область определения функции состоит из всех чисел.
  2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                     Рис. 8                                                                         Рис. 9

3. График функции — парабола, ее ветки направлены вверх, а вершиной является точка (0; 0). Все точки графика, кроме вершины параболы, размещены выше оси абсцисс.
4. Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Это следует из того, что 
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпри любом значении х.
 

Пример №291

Решить графически уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Построим графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 10). График первой функции — парабола, а второй — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (2; 1).Абсциссы точек пересечения графиков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                          Рис. 10

Проверка: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, х = — 3 и х = 1 — корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №292

Между какими последовательными целыми числами содержится единственный корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Решим уравнение графически, построив графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  для всех значений х, то и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачРассмотрим графики данных функций при х > 0.
Оба графика в этом случае размещены в I четверти (рис. 11).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                          Рис. 11

Итак, единственный корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится между числами 1 и 2.
Ответ. Корень находится между 1 и 2.

Квадратный корень, арифметический квадратный корень

Если известна сторона квадрата, то легко можно найти его площадь. В то же время приходится часто решать обратную задачу: по известной площади квадрата находить его сторону.

Пример №293

Площадь квадрата равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачЧему равна его сторона?

Решение. Пусть сторона квадрата равна х см, тогда его площадь равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПо условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это уравнение имеет два корня: числа 4 и –4. Действительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, то условие задачи удовлетворяет только один из корней уравнения — число 4. Следовательно, длина стороны квадрата равна 4 см.

Корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть числа, квадраты которых равны 16 называют квадратными корнями из числа 16.
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Пример №294

1) Квадратным корнем из числа 100 являются числа 10 и –10, так Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 100 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 100.

2) Квадратным корнем из числа 0 является 0, потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Квадратный корень из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпока найти не можете, поскольку среди известных вам цифр не существует числа, квадрат которого равен –16.

Число 4, которое является неотрицательным корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют арифметическим квадратным корнем из числа 16.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач знак арифметического квадратного корня). Выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччитают так: квадратный корень из числа а (слово арифметический при чтении принято опускать).

Пример №295

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вообще, равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является правильным, если выполняются два условия: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений переменной х, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла, если а < 0.

Например, не имеют смысла выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вычисления арифметического значения квадратного корня называют извлечением квадратного корня. Из небольших чисел квадратный корень желательно извлекать устно. Извлекать квадратный корень из больших чисел поможет таблица квадратов двузначных натуральных чисел.

Пример №296

Найти значение корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. По таблице квадратов двузначных натуральных чисел имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №297

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Сначала необходимо найти значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем извлечь корень из полученного выражения:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. 35.

Рассмотрим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— некоторое число. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто из определения квадратного корня следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение не имеет решений, так как не существует числа х, для которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСистематизируем данные о решении уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в виде таблицы:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №298

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) уравнение не имеет решений; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. 1) х = 49; 2) уравнение не имеет решений; 3) х = 13.

Рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа. Числовые множества

Целые числа (положительные, отрицательные и 0), дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых чисел — буквой Z, множество рациональных чисел — буквой Q. Чтобы записать, что определенное число принадлежит некоторому множеству чисел, используют знак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же число не принадлежит определенному множеству чисел, это записывают с помощью знака Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любое рациональное число можно записать в виде  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где m — целое число, n — натуральное число.

Например,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рациональные числа можно представить в виде десятичной дроби. Для этого надо числитель дроби разделить на его знаменатель.
Например,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В последнем случае получили бесконечную десятичную периодическую дробь. Дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей, приписав справа в виде десятичных знаков бесконечное количество нулей:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,

  • каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Обратное утверждение также верно:
каждая бесконечная десятичная периодическая дробь является записью некоторого рационального числа.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих равенствах легко убедиться, выполнив деления.
Но в математике существуют числа, которые нельзя записать в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целое число, а n — натуральное число.

Числа, которые нельзя записать в виде  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целое число, a Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнатуральное число, называют иррациональными числами.

Приставка "ир" означает отрицание, иррациональные означает не рациональные.

Примерами иррациональных чисел являются Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и т. п. Приближенные значения этих чисел можно находить с определенной точностью (т. е. округлеными до определенного разряда) с помощью микрокалькулятора или компьютера:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными числами образуют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел обозначают буквой R. Поскольку каждое натуральное число является целым числом, то множество натуральных чисел является частью множества целых чисел (рис. 12).
Говорят, что множество N является подмножеством множества Z. Аналогично, множество Z  является подмножеством множества Q, а множество Q  —подмножеством множества R.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 12
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных 
непериодических дробей, можно сравнивать по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.
 

Пример №299

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (так Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (так Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач).
В практических задачах, выполняя действия над действительными числами, их заменяют приближенными значениями, округляя до определенного разряда.

Пример №300

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с точностью до тысячных.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что при сложении, вычитании, умножении и делении (на отличное от нуля число), возведении в степень действительных чисел применимы все свойства, что и для действий над рациональными числами.

Тождество  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным, если выполняются два условия: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Подставив в последнее равенство вместо х его запись в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим тождество
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пример 1. Вычислить: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач=Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачгде a — некоторое число.
Поскольку квадрат числа не может равняться отрицательному числу, то когда а < 0, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решений.

  • Если а = 0, то единственным корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется число 0.
  • Если а > 0, то корнями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того  чтобы убедиться, что уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где а > 0, других корней не имеет, обратимся к графической интерпретации решения этого уравнения. Построим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где а > 0 (рис. 13). Эти графики пересеклись дважды в точках с абсциссамиМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                      Рис. 13
Систематизируем данные для решения  уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде таблицы:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №301

Решить уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) уравнение не имеет решений;
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корнями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  являются иррациональные числа;
4) имеем  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решив первое из уравнений, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, уравнение имеет два корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) уравнение не имеет решений; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Арифметический квадратный корень из произведения, дроби и степени. Произведение и частное квадратных корней. Тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравним значения выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Аналогичное свойство имеет корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема (о корне из произведения). Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, то есть если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачКроме того,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению квадратного корня имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказанная теорема распространяется на случай, когда множителей под знаком корня больше двух.

Следствие. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Доказательство. Докажем это следствие, например, для трех неотрицательных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №302

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в равенстве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поменять местами левую и правую части, то получим тождество:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Пример №303

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим квадратный корень из дроби.

Теорема (о корне из дроби). Корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, разделенного на корень из знаменателя, то есть, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеют смысл и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению квадратного корня имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №304

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если в равенстве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поменять местами левую и правую части, то получим тождество:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частное, числитель которого является корнем из неотрицательного числа, а знаменатель — корнем из положительного числа, равно корню из частного этих чисел.

Пример №305

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим извлечение квадратного корня из квадрата.

Теорема (о корне из квадрата). Для любого значения а имеет место тождество
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого а и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по определению квадратного корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №306

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим квадратный корень из степени.

Теорема (о корне из степени). Для любого значения а и натурального значения k имеет место тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме о корне из квадрата имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №307

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №308

Упростить выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где р < 0.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля любого а , то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тождественные преобразования выражений, которые имеют квадратные корни

Рассмотрим тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

1. Вынесение множителя из-под знака корня.

Воспользуемся теоремой о корне из произведения для преобразования выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В таком случае говорят, что множитель вынесли из-под знака корня. В данном случае вынесли из-под знака корня множитель 2.

Пример №309

Вынести множитель из-под знака корня в выражении  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ). Представим выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в виде произведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в котором Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является степенью с четным показателем. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИтак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Внесение множителя под знак корня.

Рассмотрим тождественное преобразование, обратное предыдущему. Воспользуемся правилом умножения корней:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Говорят, что внесли множитель под знак корня. В данном случае внесли под знак корня множитель 2.
Отметим, что под знак корня можно внести только положительный множитель.

Пример №310

Внести множитель под знак корня: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Множитель m может принимать любые значения (быть положительным, нулем или отрицательным). Поэтому следует рассмотреть два случая:
если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни.

Используя правила умножения и деления корней, можно выполнять соответствующие действия над выражениями, содержащими квадратные корни.

Пример №311

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Используя тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно возводить в степень выражения, содержащие квадратные корни.

Пример №312

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим пример сложения квадратных корней.
 

Пример №313

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Слагаемые содержат общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вынесем его за скобки: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конечно, решение записывают короче: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что выраженияМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данном примере называют подобными радикалами, мы их сложили, использовав правило приведения подобных слагаемых.

Пример №314

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. В каждом из слагаемых можно вынести множитель из-под знака корня:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Получили сумму, которая содержит корни с одинаковым подкоренным выражением. Эта сумма равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №316

Упростить выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Сокращение дробей.

Пример №316

Сократить дробь:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то числитель дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Учтем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе дроби:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №317

Преобразовать дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы она не содержала корня в знаменателе дроби.

Решение. Для выполнения задания достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В таком случае говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №318

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач её график и свойства

Пусть S Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь квадрата, а см — его сторона. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто зависимость стороны квадрата a от его площади S можно задать формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что переменная x приобретает
неотрицательные значения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим таблицу значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для нескольких значений аргумента:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим эти точки на координатной плоскости (рис. 14).

Если бы в этой же плоскости обозначили большее количество точек, координаты которых удовлетворяют уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем соединили их плавной линией, то получили бы график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 15). Графиком этой функции является ветвь параболы.

Можно выделить следующие свойства функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных чисел: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. График функции — ветвь параболы. График функции проходит через точку (0; 0). Все остальные точки графика размещены в первой координатной четверти.
  4. Большему значению аргумента соответствует большее значения функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                          Рис. 14

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                             Рис. 15

Последнее свойство позволяет сравнивать значения выражений, содержащих корни.

Пример №319

Сравнить числа: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Внесем множители обоих выражений под знаки корня:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №320

Решить графически уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Поскольку мы пока не умеем строить график функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то поделим левую и правую части уравнения на 5:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Построим графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 16).
Получили точку пересечения графиков с абсциссой 4. Проверкой убеждаемся в том, что х = 4 — корень уравнения. В самом деле, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: х = 4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                     Рис. 16

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                                 Рис. 17

Пример №321

Построить график функции
 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. График представлен на рисунке 17.

Квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения, их решение

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека случаются задачи, приводящие к уравнениям, в которые переменная входит во второй степени.

Пример №322

Длина земельного участка на 15 м больше, чем ширина, а площадь равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Найти ширину участка.
Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ширина участка, тогда ее длина Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию задачи площадь участка равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда имеем уравнение
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Такое уравнение называют квадратным.
Уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  также квадратные.

Квадратным уравнением называют уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом, число ссвободным членом.

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет следующие коэффициенты: а = 1; b = 15;
с = —375. В уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициенты: а = 5, b = —2, с = —7, а в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициенты а = 3; b = 1 и с = 8.

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют сводным. Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является сводным, а уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является сводным.

Если в квадратном уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Примеры неполных квадратных уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В первом из них b = 0 и с = 0, во втором b = 0, в третьем с = 0.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим решение каждого из них. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтогда уравнение имеет единственный корень х = 0.
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИмеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение не имеет решений.

Пример №323

Решить уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение не имеет решений.
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разложим левую часть уравнения на множители: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следовательно, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет
два корня:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №324

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Уравнение имеет два корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Систематизируем данные о решении  неполного квадратного уравнения в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи решим его в общем виде.
Умножим левую и правую части уравнения на 4а (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач):
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Прибавим к обеим частям уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют дискриминантом квадратного
уравнения
 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(дискриминант — от латинского "различие").

Обозначают дискриминант буквой D. Следовательно,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Продолжим решение уравнения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим различные возможные случаи в зависимости от D.
Пусть
1) D > 0. Тогда
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(При делении на 2а  иметь ввиду, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, если D > 0, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два различных корня:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Кратко это можно записать так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это формула корней квадратного уравнения.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если D = 0, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет один корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому иногда говорят, что уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при
D = 0 имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) D < 0. В этом случае уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет
корней, поскольку не существует такого значения х, при котором
значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач было бы отрицательным.
Систематизируем данные о решении квадратного уравнения в таблице:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №325

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачУравнение не имеет решений.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 3) уравнение не имеет решений.

Пример №326

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Умножим левую и правую части уравнения на (—7), чтобы его коэффициенты стали целыми числами: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема Виета

Рассмотрим таблицу, в которой приведены квадратные уравнения, указаны их корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсуммы корней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и их произведения 
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы видно, что сумма корней каждого из уравнений равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Такое свойство подтверждается для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни. Приведенное уравнения в общем виде принято записывать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкорни приведенного квадратного уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, дискриминант которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если D > 0, то уравнение имеет два корня:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если D = 0, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет один корень илиМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач два одинаковых корня.
Найдем сумму и произведение корней:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Доказанную теорему называют теоремой Виета — по имени выдающегося французского математика Франсуа Виета. Её можно сформулировать еще так:

  • Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни приведенного квадратного уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последние два равенства, выражающие связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виета.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачФрансуа Виет (1940—1603)

Используя теорему Виета, легко можно вывести соответствующие формулы
для любого квадратного уравнения
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто разделим левую и правую части уравнения на а. Имеем 
приведенное квадратное уравнение:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По теореме Виета: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни квадратного уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №327

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет положительный дискриминант, поэтому оно имеет корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Виета
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число q является целым, то из равенства
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа q.

Пример №328

Найти подбором корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкорни уравненияМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целые числа, то они являются делителями числа — 4, кроме того, их сумма равна –3. Нетрудно догадаться, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №329

Один из корней уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 3. Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи второй корень.
Решение. По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корень уравненияМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачПусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвторой корень этого уравнения. По теореме Виета: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачУчитывая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №330

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкорни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Не решая уравнение, найти:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. По теореме Виета Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа m и n  такие, что m + n = –p, а mn = q, то эти числа являются корнями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. По условию m + n = –p, а mn = q. Поэтому уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать так:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим в это уравнение вместо переменной х поочередно числа m и  n:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, m и n — корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.

Пример №331

Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого равны –5 и 2.
Решение. Уравнение имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 По теореме, обратной теореме Виета:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач искомое уравнение.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение задач с помощью квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно решать многие задачи в математике, физике, технике, практической деятельности человека.

Пример №332

Разница кубов двух натуральных чисел равна 279. Найти эти числа, если их разность равна 3.
Решение. Пусть меньшее из натуральных чисел равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда большее равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПо условию
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Упростим полученное уравнения. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По смыслу задачи число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач натуральное. Поэтому задачу удовлетворяет только число 4. Итак, первое искомое число 4, а второе 4 + 3 = 7.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №333

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем 432 места?
Решение. Пусть в кинотеатре х рядов, тогда мест в каждом ряду Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Всего мест в зале Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая это уравнение , получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По смыслу задачи значение х — положительное число. Это условие удовлетворяет только первый корень. Итак, в кинотеатре 18 рядов.
Ответ. 18 рядов.

Пример №334

В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найти количество его сторон.
Решение. Пусть в многоугольника Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сторон. Из каждой из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вершин выходят Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали. А значит, всего из всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вершин выходят Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали. Но при этом каждая диагональ учтена дважды. Итак, всего диагоналей Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По условию задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Имеем, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отрицательный корень не удовлетворяет условие задачи.
Ответ. 12 сторон.

Пример №335

Тело подброшено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Высота h (в м), на которой через t с будет тело, вычисляется по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В какой момент времени тело будет на высоте 15 м?
Решение. По условию: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачотсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решив это уравнение, имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачОба эти корня уравнения являются  решением задачи, поскольку на высоте 15 м тело будет дважды: сначала при подъеме (это произойдет через 1 с), а второй раз — при падении (это произойдет через 3 с).
Ответ. 1 с; 3 с.

Квадратный трехчлен, его корни, разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляются многочленами второй степени с одной переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом  называют многочлен вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачгде х — переменная, а, b, с — числа, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1. Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является квадратным трехчленом, в котором а = 1, b = 2, с = —3.
Пример 2. Рассмотрим квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто значение квадратного трехчлена равно нулю (действительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число — 1 является корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при которой значение этого трехчлена равно нолю.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнадо
решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №336

Найти корни квадратного трехчленаМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Решим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак, квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (два одинаковых корня) либо не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторый называют также дискриминантом квадратного трехчлена  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень (два равных корня), если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если известны корни квадратного трехчлена, то его можно разложить на линейные множители, то есть множители, которые являются многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкорни квадратного трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкорни квадратного уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по теореме Виета Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДля доказательства утверждения теоремы раскроем скобки в правой части равенства:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.
Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то его можно разложить на множители, которые являются многочленами первой степени.

Пример №337

Разложить на множители трехчлен:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
1) Корнями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа 1 и 2,5.
Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найденный результат можно записать иначе, умножив на –2 двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Квадратное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет два равных корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Квадратное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя разложить на множители.

Пример №338

Сократить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Разложим на множители квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Корнями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа 1 и –0,5. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак,
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  бывает удобно представить его в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где m и n — некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №339

Выделить из трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрат двучлена.
Решение. Вынесем за скобки множитель 2:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 4х как произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач добавим и вычтем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №340

Дан квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При каком значении х он приобретает наибольшее значение и чему равно это значение трехчлена?
Решение. Выделим из данного трехчлена квадрат двучлена:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом х отрицательное или равно нулю, причем это выражение равно нулю только для значения х = 3. Следовательно, квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  приобретает  наибольшее значение, равное 16, если х = 3.

Решение  уравнений, которые сводятся к квадратным

1. Дробные рациональные уравнения.

Решение дробных рациональных уравнений часто сводят к решению квадратных уравнений.

Пример №341

Решить уравнение
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Разложим на множители знаменатели дробей:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Домножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей — выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что он не равен нулю. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому х = –2 — не является корнем уравнения. Итак,
единственный корень уравнения — число 3.
Ответ. 3.

2. Метод разложения многочлена на множители.

Некоторые уравнения можно решить с помощью разложения многочлена на множители.

Пример №342

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Вынесем в левой части уравнения за скобки х:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отсюда х = 0 или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Второе уравнение имеет корни:
х = 3, х = –5. Следовательно, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет три корня:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. 0; 3; –5.

3. Биквадратные уравнения.

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают биквадратным уравнением. Это уравнение можно решить, вводя новую переменную, а именно, обозначив Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через t. Есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Исходное уравнение примет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такой метод решения называют методом замены переменной.

Пример №343

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Сделаем замену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это уравнение имеет корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вернемся к переменной x.
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачуравнение не имеет решений.
Итак, исходное уравнение имеет корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. 2; –2. 

4. Метод замены переменной.

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить с помощью замены переменной.

Пример №344

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Сделаем замену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Получим уравнение для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Оно имеет корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вернемся к переменной x.
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение не имеет решений.
Итак, исходное уравнение имеет два корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №345

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто имеем уравнение:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сделаем замену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим уравнение для t:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решив его, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВернемся к переменной х.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, исходное уравнение имеет корни: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение задач с помощью уравнений, которые сводятся к квадратным

Решение многих задач сводится к решению дробных рациональных уравнений.

Пример №346

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, выехали одновременно автомобиль и мотоцикл. Скорость автомобиля на 10 км/ч больше скорости мотоцикла, поэтому он приехал в пункт назначения на 1 час раньше. Найдите скорость мотоцикла и скорость автомобиля.

Ответ. Обозначим скорость мотоцикла х км/ч и систематизируем данные в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку величина Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  час на 1 час меньше, чем величина Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач час, то имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решив его, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВторой корень не удовлетворяет условие задачи. Следовательно, скорость мотоцикла 70 км/ч, а автомобиля  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (км/ч).
Ответ. 70 км/ч; 80 км/ч.
 

Пример №347

Мастер и ученик, работая вместе, выполнили задание за 8 часов. За сколько часов может выполнить это задание каждый из них, работая отдельно, если мастеру на это нужно на 12 часов меньше, чем ученику?

Решение. Пусть мастеру, чтобы выполнить задачу, работая отдельно, нужно х ч, тогда ученику Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ч.
За 1 ч мастер выполнит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часть задачи, а ученик Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часть задачи. Вместе за один час они выполнят Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часть задачи. По условию задачи мастер и ученик, работая вместе, выполнили задачу за 8 часов, поэтому за 1 час они выполняли Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часть задачи. Итак, имеем уравнение:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решив его, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Второй корень не удовлетворяет условие задачи. Итак, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а ученик — за 12 + 12 = 24 (ч).

Ответ. Мастер — за 12 ч, ученик — за 24 ч.

Неравенства

Неравенства – это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовые неравенства

В предыдущих классах вы научились сравнивать любые числа и записывать результат сравнения в виде равенства или неравенства, используя знаки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выражение, которое слева от знака неравенства, называют левой частью неравенства, а выражение, которое находится справа — правой частью неравенства. Так, в предыдущем неравенстве, левой частью неравенства является число 5, а правой — 7.

Неравенство, обе части которого являются числами, называют числовым неравенством. Например:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для двух произвольных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  правильным является одно и только одно из соотношений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачили Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Раньше мы использовали то или иное правило для сравнения чисел в зависимости от их вида (натуральные числа, десятичные дроби, обычные дроби с одинаковыми и разными знаменателями). Но было бы удобно иметь одно универсальное правило сравнения. 

Известно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим разность левой и правой части этого неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, разность является положительной. Рассматривая разность между левой и правой частью неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, разность отрицательна. В равенстве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, рассмотрев левую и правую части, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  разность равна нулю. 

Переходим к определению сравнения чисел.

 a > b, если a – b > 0; 

 a < b, если a – b < 0;  

 a = b, если a – b = 0; 

Пример №348

Сравнить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим разность чисел  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Разность отрицательная, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Напомним, что на координатной прямой меньшему числу соответствует точка, лежащая слева от точки, соответствующей большему числу. На рисунке 1, точка, соответствующая числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит слева от точки, соответствующей точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1

Числовые неравенства бывают правильными и неправильными. 

Например,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— правильные числовые неравенства, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неправильные числовые неравенства.

Кроме знаков  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые называют знаками строгого неравенства, в математике используют знаки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "меньше или равно" или "не больше") и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "больше или равно" или "не меньше"). Знаки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и называют знаками нестрогого неравенства.  Неравенства, содержащие знаки  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются  строгими неравенствами,  а те неравенства, которые содержат знаки  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нестрогими неравенствами. 

Из обозначения соотношения "больше", "меньше"и "равно", приходим к выводу, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим, как с помощью определения сравнения чисел можно  доказывать неравенства. 

Пример №349

Доказать, что для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно составить неравенство.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получается неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что и требовалось доказать. 

Условие примера 349 можно было сформулировать короче, например, доказать неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №350

Доказать неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, по определению, неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач верно при любом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что и требовалось доказать.

Пример №351

Доказать неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. В выражении, которое находится в левой части неравенства, выделим квадрат двучленов: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для любых значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что и требовалось доказать. 

Напомним, что число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют средним арифметическим чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для отрицательных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччисло Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают их средним геометрическим.

Пример №352

Доказать что среднее арифметическое двух отрицательных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим левую и правую части неравенства и преобразуем их, учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что и требовалось доказать. 

Заметим, что знак равенства в неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные свойства числовых неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств. 

Свойство 1. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то b > a

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Аналогичное рассуждение можно провести, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство 2.  Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то а < c.

Доказательство. По условию  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительные числа. Рассмотрим разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИмеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— положительные числа). Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогичное рассуждение можно провести, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрические иллюстрации к свойству 2 представлены на рисунках 2 и 3.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 2                                                                 Рис. 3

Свойство 3.  Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и p  — любое число, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и преобразуем это неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачНо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого следствия вытекает: если некоторое слагаемое перенести из одной части неравенства в другую часть, при этом изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство. 

Свойство 4.  Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим разницу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи преобразуем ее: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку деление числа можно заменить на число противоположное делителю, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то аналогичное свойство сохраняется и для неравенства в случае деления его частей на отличное от нуля число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, 

Если обе части верного неравенства умножить или поделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; 

Если обе части верного неравенства умножить или поделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Следствие. Если a > 0, b > 0 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поделим левую и правую части неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на положительное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №353

Дано Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнить:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

1) если к обеим частям правильного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавить 1, то по свойству 3 получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) если к обеим частям правильного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавить  –5, то по свойству 3 получим правильное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) если  обе части правильного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачумножить на положительное число 1,7, то по свойству 4 получим правильное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) если  обе части правильного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачумножить на отрицательное число –1,  то по свойству 4 получим правильное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) если  обе части правильного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач умножить на отрицательное число –10, то по свойству 4 получим правильное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Написать решение таких примеров можно короче:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) если  обе части правильного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачподелить на положительное число 8, то по свойству 4 получим правильное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что в математике бывают так же двойные числовые неравенства, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, двойное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачозначает, что одновременно сравниваются неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто для любого числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по свойству 3 получаются неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, если ко всем частям правильного неравенства прибавить одно и то же число, получится правильное неравенство. 

Аналогично вычисляем:

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительные числа, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства числовых неравенств, которые мы рассмотрели, можно использовать для оценки значения выражения. 

Пример №354

Найдите периметр квадрата со стороной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач см, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку периметр квадрата вычисляется по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто все части неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач умножим на 4. Получается: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, периметр квадрата больше 12,8 см, но меньше 15,6 см.

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №355

Дано: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти значение выражения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используем форму записи, предложенную выше. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Почленное сложение и умножение неравенств

Продолжим рассматривать свойства неравенств. 

Пусть мы имеем два правильных неравенства одного и того же знака: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложим их числа в левой части, правой части и между результатами напишем тот же знак: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПолучим правильное числовое неравенство, действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действие, которое мы выполнили, называют почленным сложением неравенств. Заметим, что почленно складывать можно лишь неравенства, имеющие одинаковый знак. 

Свойство 5 (о почленном сложении неравенств). Если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. К обеим частям неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавим число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а к обеим частям неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачполучим два верных неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Доказано. 

Аналогично можно вычислить, если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Заметим, что свойство 5 можно использовать и для неравенств с более чем двумя частями. 

Пример №356

Стороны некоторого треугольника равны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсм. Вычислите периметр треугольника Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в см), если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Приведем сокращенную запись решения: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Почленное умножение двух и более частей неравенства происходит аналогично сложению. Почленно умножив правильные неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим правильное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же почленно умножить правильные неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неправильное неравенство. Нужно заметить, что в первом случае, обе части неравенства были положительными (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ), а во втором случае некоторые были отрицательными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачиМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство 6 (о почленном умножении неравенств). Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительные числа, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Умножим обе части неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на положительное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задача обе части неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— на положительное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим два правильных неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству 2). Доказано. Аналогично можно доказать, что если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач— положительные числа, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что свойство 6 можно использовать и для неравенств с более чем двумя частями. 

Следствие. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительные числа и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число. 

Доказательство. Почленно перемножим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачправильных неравенств, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительные числа, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью свойств неравенств, как мы уже выяснили, можно сравнивать сумму, разность, произведение и частное их чисел.

Пример №357

Дано: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти: 1) сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 3) произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 4)  частное числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Чтобы вычислить разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпреобразуем ее вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сравним сначала выражениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то умножив обе части неравенства на число –1 и поменяв знак на противоположный, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Чтобы вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач преобразуем деление в умножение, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислим выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью свойств неравенств, которые мы рассмотрели, можно также доказывать неравенства. 

Пример №358

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Применим к каждому множителю левой части неравенства, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши). Вычисляем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обе части каждого из этих неравенств по свойству 4 умножим на 2, получается:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перемножим эти неравенства почленно:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччто и требовалось доказать. 

Неравенства с переменными. Решение неравенства

Рассмотрим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это неравенство со сменной переменной. При одних значениях переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачоно превращается в верное числовое неравенство, а при других — превращается в неверное. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется верным неравенством, а если подставить число 4, то получим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом случае неравенство неверное. В таком случае говорят, что число 8 является решением неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (потому что число 8 удовлетворяет неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), а число 4 — не является решением этого неравенства,  (потому что число 4 не удовлетворяет неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Также решением неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решением неравенства с одной переменной называют значения переменой, которые превращают его в верное числовое неравенство.   

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует. 

Пример №359

Решить неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачприобретает неотрицательное значение для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, решением этого неравенства будет любое положительное число.

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так же положительное для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является неверным для каждого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что у неравенства нет решений. 

Ответ: 1) Ответом будет любое число больше 0. 2) Неравенство не имеет решений.  

Числовые промежутки. Пересечение и объединение множеств

Множество решений неравенств удобно записывать в виде числовых промежутков

Пример 1.

Рассмотрим двойное неравенство с одной переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это неравенство удовлетворяют все числа, которые больше –4 и меньше 1, то есть те числа, чьи координаты лежат между числами –4 и 1. Множество всех чисел, которые удовлетворяют неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют числовым промежутком, или просто промежутком, от –4 от 1 обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "промежуток от –4 до 1"). Чтобы показать на координатной прямой множество всех чисел, принадлежащих промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, его выделяют штриховкой, как показано на рисунке 4. При этом точки –4 и 1 изображают "пустыми" или "выколотыми".

Число –1 удовлетворяет неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число 2 его не удовлетворяет. В таком случае говорят, что число –1 принадлежит отрезку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а число 2 не принадлежит (рис.5). Итак, каждое число, которое удовлетворяет неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи наоборот, каждое число, которое принадлежит промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяет неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 4                                                         Рис. 5

Пример 2. Двойное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют не только числа, расположенные между –4 и 1, а также сами числа –4 и 1. Множество таких чисел обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "промежуток от –4 до 1, включая –4 и 1"). В таком случае, на координатной прямой выделяют промежуток между числами –4 и 1, включая и сами числа –4 и 1 (рис 6.).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                            Рис. 6                                                         Рис. 7

Пример 3. Множество чисел, которые удовлетворяют двойное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "промежуток от —4 до 1, включающий –4 "). Этот промежуток изображен на рисунке 7. 

Пример 4. Множество чисел, которые удовлетворяют двойное неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначают как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "промежуток от –4 до 1, включающий 1"). Этот промежуток изображен на рисунке 8. 

Пример 5. Неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют все числа, которые больше числа 2, то есть те числа, которые на координатной прямой лежат справа от числа 2. Множество этих чисел обозначают как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "промежуток от 2 до плюс бесконечности"). Изображают лучом, который выходит из пустой точки с координатой 2 (рис. 9).

Пример 6. Неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют все числа, которые больше числа 2 и само число 2. Множество этих чисел обозначают как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "промежуток от 2 до плюс бесконечности, включающий 2"). Изображают лучом, который выходит из точки с координатой 2, включая эту точку (рис. 10).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 10                          Рис. 11                                  Рис. 12

Пример 7. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "промежуток от минус бесконечности до 4") Множество этих чисел изображено на рисунке 11. 

Пример 8. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "промежуток от минус бесконечности до 4, включающий 4"), оно изображено на рисунке 12.

Таким образом, если конец промежутка включается в промежуток (например, если это нестрогое неравенство), то рядом с ним пишут квадратную скобку, во всех других случаях используют круглые скобки. 

Множество всех чисел изображают координатной прямой и обозначают как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Множество, которое не содержит ни одного числа, обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи называют пустым множеством. 

Над множествами можно выполнять определенные действия (операции). Рассмотрим две из них: пересечение и объединение.

Пересечением множеств А и В называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из множеств А и В .

Пересечение множеств записывают с помощью символа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Изображают пересечение множеств в виде диаграмм Ейлера—Венна (рис. 13)  

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 13

Пример 9. Пусть даны множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пересечением числовых промежутков называют множество, которое содержит все числа, принадлежащие каждому из этих промежутков.

Пример 10. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14)

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                            Рис. 14                                                        Рис. 15

Пример 11.  Промежутки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеют общих точек (рис.15), поэтому их пересечением является пустое множество. записать это можно так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объединением множеств А и В называют множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. 

Объединение множеств записывают с помощью символа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИзображаются объединения так же в виде диаграмм Ейлера—Венна (рис. 16).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 16                                                Рис. 17

Пример 12. Пусть даны множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Объединением числовых промежутков называют множество, которое состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков. 

Пример 13. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17).

Заметим, что объединение промежутков не всегда является промежутком. Например, множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является промежутком (рис. 15).

Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства.

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где х — переменная, a и b — некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. 

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то обе части неравенства можно поделить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачучитывая при этом свойства числовых неравенств, то есть если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то знак неравенства оставляем без изменений; если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то знак неравенства изменяем на противоположный. 

Пример №360

Решить неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Поделим обе части неравенства на 2, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, решением неравенства является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поделим обе части неравенства на –3 и изменим при этом знак неравенства на противоположный, получим:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что ответ можно было записать и  так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Неравенства, которые имеют одинаковые решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решения, тоже называют равносильными. 

Для неравенств с переменными выполняются те же свойства, которые справедливы для равенств:

  1. если в какой-либо части неравенства раскрыть скобки и прибавить одинаковые слагаемые, то получится неравенство, равносильное данному;
  2. если в неравенстве перенесли слагаемое из одной части в другую, при этом поменяв знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному;
  3. если обе части неравенства умножить или поделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному; если же обе части неравенства умножить или поделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный,  то получится неравенство, равносильное данному.

Чтобы решить уравнение, мы преобразуем его к самому простому равносильному ему уравнению. Аналогично, пользуясь свойствами неравенств, можно решать и неравенства, заменяя их простейшими неравенствами, равносильными данным. 

Пример №361

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей — число 6, далее упростим левую часть неравенства и перенесем слагаемые с переменной в левую часть неравенства, а слагаемые без переменной — в правую часть. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем неравенство, равносильное данному. Оно не имеет решений, поскольку при любом значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач левая часть неравенства равняется 0, а неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неверно. 

Ответ: неравенство не имеет решений. 

Пример №362

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Раскрываем скобки, получается:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получившееся неравенство равносильно данному и является верным для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку при любом значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач левая часть будет равна нулю, а неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным. Итак, решением неравенства будет любое число, то есть множеством решений будет промежуток  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из приведенных примеров можно сделать вывод, что

Неравенства такие как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или не имеют решений, или их решением является любое число.

Пример №363

Для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти решение неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— переменная.

Решение.  Перенесем слагаемые, которые имеют переменную, в левую часть неравенства, остальные — в правую часть, чтобы преобразовать неравенство в линейное неравенство:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для разных значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть положительным, отрицательным или нулем, поэтому рассмотрим каждый из 3 вариантов отдельно:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то поделив левую и правую части неравенства на положительное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач у которого нет решений. 

3) Если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то поделив левую и правую части неравенства на отрицательное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сменив знак на противоположный, получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то решений нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Системы линейных неравенств с одной переменной, их решения

Рассмотрим задачу. Велосипедист за 2 часа преодолевает расстояние, большее чем 24 км, а за 3 часа — расстояние, меньшее чем 39 км. Найти скорость велосипедиста. 

Решим ее. Пусть скорость велосипедиста равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, тогда за 2 часа он преодолевает 2Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км, а за 3 часа— 3Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км. По условию задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нужно найти такие значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , для которых будут верными неравенства и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть, найти общие решения для этих двух неравенств. В таком случае, говорят, что нужно решить систему неравенств, и объединяют их в систему: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку оба неравенства линейные, то получается система линейных неравенств с одной переменной.

Решив каждое из неравенств системы, получаем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может удовлетворять условию:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, скорость велосипедиста больше 12 км/ч, но меньше 13 км/ч.

Число 12,6 удовлетворяет каждое неравенство системы

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В самом деле, каждое из неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным числовым неравенством. В таком случае, говорят что число 12,6 является решением данной системы неравенств. 

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при которой каждое из неравенств является верным. 

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать что решений нет.

Чтобы решить систему неравенств, нужно использовать такую последовательность действий:

  1. решить каждое из неравенств системы;
  2. изобразить множество решений каждого из неравенств на координатной прямой;
  3. найти пересечение этих множеств, которое и будет множеством решений системы;
  4. записать ответ. 

Пример №364

Решить систему неравенств: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Постепенно заменяем каждое неравенство системы простым неравенством, равносильным ему:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной прямой множество чисел, которые удовлетворяют неравенству  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и которые удовлетворяют неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 26). Множеством решений системы и пересечение этих множеств является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                               Рис. 26

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ системы можно записать и так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №365

Найти все целые решения системы неравенств: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала найдем все решения системы: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                           Рис. 27

Получили, что решением системы является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Ими будут –5; –4; –3. Итак, целыми решениями этой системы являются числа –5; –4; –3.

Ответ: –5; –4; –3.

Пример №366

Решить систему неравенств: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изобразим данные решения неравенств системы на координатной прямой (рис. 28), видно, что у них нет общих решений, то есть пересечение промежутков является пустым множеством. Значит, система решений не имеет. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                             Рис. 28

Ответ:  система решений не имеет. 

Пример №367

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем двойное неравенство, перепишем его в виде системы неравенств: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим эту систему: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение можно было записать и в другом виде: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ можно записать как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратичная функция

Квадратичная функция — целая рациональная функция второй степени вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение квадратичной функции содержит квадратный трехчлен. Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая во многом определяет положение и внешний вид графика.

Функция. Область определения, область значений и график функции

В 7 классе вы начали учить одно из важнейших математических понятий — понятие функции. 

Представим, что 

  • функцией (или функциональной зависимостью) называют такую зависимость, при которой каждому значению независимой переменной из любого множества отвечает единственное значение зависимой переменной. 

Независимую переменную еще называют аргументом, а про зависимую переменную говорят, что она является функцией от этого аргумента (или просто функцией). Например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией от аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зависимость переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают так: "Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач". Символом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают значение функции для значения аргумента, равного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Можно записать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем, например, значения функции для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем значения этой функции в точках, которые равны  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычисляем:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что при записи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависимую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить также как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Все значения, у которых есть независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции.

Все значения, у которых есть зависимая переменная, образуют область значения функции.

Наибольшим значением функции называют наибольшее число из области значения функции, а наименьшим значением функции — соответственно наименьшее такое число.

Область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обычно обозначают как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а область значения — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция задана формулой и не обозначена ее область определения, то считается, что эта область складывается из всех значений аргумента, которые может содержать формула функции . 

Пример №368

Найти область определения функции:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может содержать любые значения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество всех чисел, то есть промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может содержать любое значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме числа 8, поэтому областью определения функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ответ еще можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №369

Найти область определения и значения функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Чтобы найти область значения функции, сравним уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть областью значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач складывается из таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно содержит и отрицательные значения. Итак, чтобы найти эти значения, нужно составить и решить систему неравенств: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что решением системы является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так, область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  содержит только число 2. Чтобы найти область значения этой функции, достаточно вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получиться: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 1) Область определения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач область значения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачобласть определения: число 2, область значения: число 0. 

Ответ можно записать и короче, например:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что наибольшим значением функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 2, а наименьшее значение у данной функции отсутствуют. 

Напомним, что

  • графиком функции называют множество всех точек координатой плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты равны значению функции. 

Пример №370

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из графика найти наибольшее и наименьшее значения функции. 

Решение. Областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество всех чисел. По модулю числа получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График этой функции на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединяется с графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — с графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 34. Очевидно, что наименьшим значением этой функции является число 0, а наибольшего значения не существует. 

Ответ: наименьшим значением этой функции является число 0, а наибольшего значения не существует. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 34

Свойства функции

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач график которой изображен на рисунке 37. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то значения функции равны нулю, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такие значения аргумента называют нулями функции

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                 Рис. 37

Значения аргумента, при котором значения функции равны нулю, называют нулем функции.

Понятно, что нули функции являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью абсцисс, а ординаты этих точек равняются нулю, ведь точки принадлежат оси абсцисс. 

Поэтому, чтобы найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №371

Найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем уравнение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, —2 и 4 — нули функции. 

Ответ: —2 и 4.

График, изображенный на рисунке 37, пересекает весь абсцисс в точках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Этот график пересекает так же и ось ординат в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Абсцисса этой точки равна нулю, ведь точка принадлежит оси ординат. Следовательно, ордината точки пересечения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с осью ординат равняется числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть значению функции для значения аргумента, которое равно нулю.

Пример №372

Найти точки пересечения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  с осями координат. 

Решение. Поскольку –2 и 4 — нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ее график пересекает ось абсцисс в точках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает ось ординат в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разбивают ее область определения — промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на три промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки графика выше оси абсцисс при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а при  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ниже. 

Промежуток, на котором функция сохраняет свой знак, называют промежутком знакопостоянства функции

Промежутки  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются промежутками знакопостоянства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач график которой изображен на рисунке 37.

Рассмотрим, как изменится ( увеличится или уменьшится) значение данной функции со сменой значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от –4 до 4. 

Из графика мы видим, что с увеличением значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от –4 до 2 значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается (график "поднимается в гору"), а с 2 до 4 значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уменьшается (график "спускается с горы"). Говорят, что на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция возрастает, а на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачфункция убывает.

Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 

Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.  

Следовательно, функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка, таких что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 38 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают промежутком возрастания функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 38

Аналогично, функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют убывающей на некотором промежутке, если для любых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка, таких, что  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 39 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают промежутком убывания  функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 39

Выясним свойства некоторых выученных ранее функций. 

Пример №373

Рассмотрим свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее график (рис. 40 и 41).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                       

Рис. 40                                                                Рис. 41

1) Областью определения и областью значения функции является множество всех чисел.

2) Найдем нули функции. Для этого решим уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач один ноль функции. 

3) Найдем промежутки знакопостоянства функции. 

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Решим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Проверим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на возрастание и убывание. 

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ведь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следовательно, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачфункция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет. 

Пример №374

Рассмотрим свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 42 и 43)

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

                      Рис.42                                                            Рис.43

1) Областью определения и областью значения функции является множество всех чисел, кроме нуля.

2) Поскольку уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решений, то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне имеет нулей. 

3) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на каждом из промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на каждом из промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

5) Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет. 

Пример №375

Рассмотрим свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 44).

1) Областью определения и областью значения функции является множество всех чисел. Область значения — промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Уравнение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет одно решение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, число 0 — единственный ноль функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 44                                                             Рис. 45

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что нет таких значений  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решений. 

4) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Наибольшее значение функции равно нулю,  наименьшего значения функция не имеет. 

Пример №376

Рассмотрим свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 45)

1) Область определения и область значения функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет одно решение — число 0, которое и является нулем функции.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нет таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при которых у функции нет решений. 

4) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Наименьшее значение функции равно нулю,  наибольшего значения функция не имеет. 

Систематизируем свойства этих функций в таблицу. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простейшие преобразования графиков функций 

Раньше вы строили только графики функций такого вида: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим некоторые преобразования графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы расширить перечень функций, графики которых мы сможем построить.

1. Построение графика функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №377

Построить в одной системе координат графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала сделаем таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы следует, что для одного и того же значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2 меньше, а значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 3 больше чем значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поэтому, график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить методом перенесения каждой точки графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2 единицы вниз, а график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — методом перенесения каждой точки графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 3 единицы вверх (рис. 48).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                               Рис. 48

Для построения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где  n > 0, достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси у на n единиц вверх.

Для построения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где n > 0, достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси у на n единиц вниз.

Замечание. Вместо перенесения графика функции вверх или вниз, можно перенести ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на то же самое расстояние в противоположную сторону. 

2. Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №378

Построить в одной системе координат графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для каждого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равняется значению функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В таблице это соответствие показано стрелками для значения функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, если все точки графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2 единицы вправо, то получим график функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 49)

Пример №379

Построить в одной системе координат графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассуждая, как в предыдущем примере, сделаем вывод, что график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить , перенеся график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 1 единицу влево (рис. 50).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                               Рис. 49                                                       Рис. 50

Итак, 

чтобы построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  единиц вправо;

чтобы построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  единиц влево.

Замечание. Вместо перенесения графика функции влево (вправо) можно перенести ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на то же самое расстояние в противоположную сторону. 

3. Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пример №380

Построить в одной системе координат графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы мы видим, что значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для одних и тех же значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач противоположны соответствующим значениям функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Графики этих функций изображены на рисунке 51. 

Если провести отрезки, то получатся точки графиков функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для одного и того же значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(на рис. 51 они показаны пунктиром для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), то ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для этих отрезков будет серединным перпендикуляром. В таком случае говорят, что графики симметричны относительно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

                                  Рис. 51

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 52

Точки  А и А1 называют симметричными относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является серединным перпендикуляром отрезка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 52).

Итак, 

графики функций y = –f (x) и y = f (x) симметричны относительно оси x.

4. Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №381

Построить в одной системе координат графики  функций: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдвое меньше чем соответствующее значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдвое больше чем соответствующее значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить, уменьшив график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в два раза к оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 53), а график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — растянув график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв два раза от оси  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 54)

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                            Рис. 53                                                          Рис.54

Итак, 

для построения графика функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  достаточно график функции y = f (x) растянуть от оси x в k раз, если k > 1, или наоборот, сжать его до оси  x в k раз, если 0 < k < 1.

Выполняя последовательно два и более преобразования, можно построить график функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и других.

Пример №382

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. График функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить, перенеся график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 3 единицы вверх. График изображен на рисунке 55.

Пример №383

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Построим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее, растянем его в 2 раза от оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является симметричным графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  График изображен на рисунке 56. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 55                                                                          Рис. 56

Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По определению модуля числа имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, для тех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующие значения функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между собой равны, потому для таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графики этих функций совпадают. Для тех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсоответствующие значения функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются противоположными числами, поэтому для таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графики этих функций являются симметричными относительно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ту его часть, которая лежит ниже оси x, симметрично отобразить относительно этой оси.

Пример №384

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Построим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дальше ту часть графика, которая лежит ниже оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, симметрично отобразим от этой оси. График изображен на рисунке 57. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                    Рис. 57

Функция y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 и ее график и свойства

Одной из важнейших функций в курсе математики, является квадратичная функция.

Функцию вида y = ax2 + bx + c,  где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причем a ≠ 0,  называют квадратичной функцией

Математические модели многих реальных процессов в разнообразных сферах деятельности людей являются квадратичными функциями. В первую очередь, это касается науки, в частности физики, экономики, техники. 

Задача: Тело, движущееся с ускорением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в течении  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач времени, прошло путь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имея в этот момент скорость Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Тогда расстояние  (в метрах), которые преодолело тело за время Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в секундах), при равноускоренном движении вычисляют по формуле:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №67

Расстояние между площадью использованных земель и валовой прибылью из расчета на 10 га сельскохозяйственных пастбищ в некотором фермерском хозяйстве задается функцией Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь сельскохозяйственных пастбищ (в га), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— валовая прибыль (в тыс. руб.) на 10 га сельскохозяйственных пастбищ. С какой площади хозяйство может получить валовую прибыль на 10 га сельскохозяйственных пастбищ? Какой будет эта прибыль?

Решение. В формуле функции выделим полный квадрат: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение, которое мы получили, является наибольшим значением при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, хозяйство имеет большую прибыль с пастбища площадью 3 га. 

Посчитаем эту прибыль: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(тыс. руб.) 

Ответ: 3 га, 22,5 тыс. руб.

Рассмотрим график и свойства квадратичной функции. Начнем с ее частного случая. 

Пусть у формулы квадратичной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 61) и вниз, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 62) 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 61                                                      Рис.62

Систематизируем свойства в виде таблицы

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь рассмотрим квадратичную функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выделим из трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  квадрат двучлена. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Итак, график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить из графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  с помощью двух преобразований — перенос вдоль координатных осей. 

 Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является парабола с вершиной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 63). 

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ветви параболы направлены вверх, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вниз. Ветви параболы симметричны относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВ этом случае говорят, что прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется осью симметрии параболы (рис. 63). Заметим, что абсциссу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвершины параболы удобно находить с помощью формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ординату Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— подставив найденное значение абсциссы в формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При построении графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует поддерживаться такой последовательности действий: 

1) Найти координаты вершины параболы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначить ее на координатной площади;

2) построит еще несколько точек параболы и столько де точек, симметричных им относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) получить требуемые точки плавной линией. 

Систематизируем свойства в виде таблицы. 

Свойства функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №385

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи описать ее свойства. 

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вершина параболы, обозначим ее на координатной плоскости. Тогда прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является осью симметрии параболы. 

Сделаем таблицу значений функции для нескольких точек параболы симметричных относительно ее оси симметрии (если симметрия графика координат в каждой паре симметричных точек будет одинакова). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим вершины параболы и точки из таблицы на координатной плоскости. Соединим их плавной линией и получаем график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 64) 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                     Рис. 64

Опишем  свойства этой функции: 

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) нули функции:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) функция возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) наименьшее значение функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №386

Вершиной параболы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а по условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку график функции проходит через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, подставив координаты точки в формулу функции, получится верное уравнение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратное неравенство

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют квадратными неравенствами (или неравенствами второй степени с одной переменной).

Например, квадратными являются неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение квадратных неравенств можно рассматривать как промежутки, на которых квадратичная функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает положительные (для неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), отрицательные (для неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) значения. Итак, чтобы решить квадратное неравенство, достаточно найти соответствующие промежутки знакопостоянства квадратичной функции. 

Пример №387

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Графиком ее является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого решим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть найдем нули функции. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Итак, парабола пересекает ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках с абсциссами 1 и –4. Построим схематично график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зная ее нули и направление ветвей (рис. 65). Из графика выясним, что функция приобретает отрицательное значение, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, множеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 65

Пример №388

Решить неравенство: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим схематичное изображение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 65) 

1) Неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют те же значения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что и неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а так же –4 и 1 — нули функции, то есть те значения аргумента, при каких значения функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равняется нулю. Итак, множеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Из рисунка 65 видим, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает положительное значение, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМножеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является объединение этих промежутков, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют те же значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что и неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвключая нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть числа –4 и 1. Итак, множеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что для представленного способа решения ни положение вершины параболы, ни соотношение параболы относительно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне имеют значения. Важно только знать абсциссы точек пересечение параболы с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (нули функции) и направление ветвей параболы (вверх или вниз).

Итак, для решения квадратных уравнений следует придерживаться такой последовательности действий: 

  1. Найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c  (если они существуют).
  2. Если неравенство имеет строгий знак (больше или меньше), то корни квадратного трехчлена обозначаем на оси x "пустыми" точками (они исключаются из множества решений неравенства).
  3. Схематично изображаем график функции yax2 + bx + c , учитывая направление ветвей параболы и точки ее пересечения с осью x (если они существуют).
  4. Находим на оси x  промежутки, на которых функция yax2 + bx +с   удовлетворяет данное неравенство.
  5. Записываем ответ. 

Пример №389

Найти область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.  Областью определения этой функции является решение неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Корнями квадратного трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа 0 и 3. 

2) Изображаем корни на оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач закрашенными точками, поскольку знак неравенства является нестрогим. 

3) Схематично изображаем график функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это парабола, которая пересекает Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках 0 и 3, ветви которой устремлены вниз (рис. 66). 

4) Неравенство решается при  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 66

Пример №390

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

1) Корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 3.

2) Обозначаем точку 3 на оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пустой, потому что знак неравенства — строгий. 

3) Схематично изображается график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 67). Это парабола с вершиной на оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ее ветви направлены вверх. С осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач она имеет только одну общую точку — точку 3 (говорят, что парабола соприкасается с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). 

4) Из рисунка 67 делаем вывод, что функция содержит положительные значения при любом значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме числа 3. Итак, множеством решений неравенства является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Рис. 67

Пример №391

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней, следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так, парабола Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне пересекает, а ее ветви направлены вниз (рис. 68). Поскольку все точки параболы лежат ниже оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то множеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется множество всех чисел, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис.68

Пример №392

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Из рисунка 68 мы видим, что ни одна из точек параболы не лежит на оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не принадлежит этой оси, поэтому неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решений. 

Ответ: нет решений. 

Пример №393

Решить систему неравенств: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Решением системы неравенств являются общие решения неравенств системы. Итак, чтобы найти решение системы, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти их общие точки. Множеством решений неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(решите это неравенство самостоятельно). Множеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(решите это неравенство самостоятельно).

Изобразим на координатной прямой полученные множества решений неравенств (рис. 69). Множеством решений системы будет пересечение множеств решений неравенств, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                               Рис. 69

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

В 7 классе вы решали систему двух линейных уравнения с двумя переменными, то есть системы, у которых уравнения должны выглядеть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— числа, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменные. Например, такой является система 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что решением системы уравнений с двумя переменными называют такую пару значений переменных, при которых каждое из уравнений системы преобразуется в верное числовое уравнение.

 Так, решением вышеприведенной системы является пара чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На самом деле: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильное числовое уравнение.

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что хотя бы один из коэффициентов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачотличен от нуля, называют уравнением первой степени с двумя переменными. Эти уравнения можно заменить равносильными им уравнениями  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач левая часть которого — многочлен стандартного вида первой степени с двумя переменными, а правая — равняется нулю. 

Так, например,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение второй степени; уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно уравнение  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, является уравнением третьей степени. 

Рассмотрим системы уравнений, у которых одно или оба уравнения являются уравнениями второй степени с двумя переменными, и способы решения таких систем. 

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными в виде графика

Системы уравнений второй степени с двумя переменными графически решают так же, как и системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 

Последовательность шагов для решения системы уравнений графически: 

  1. построить графики уравнений в одной координатной плоскости;
  2. найти координаты их точек пересечения или доказать, что графики уравнений не имеют общих точек;
  3. если координаты точек пересекаются с целыми числами, то выполнить проверку; если нет, то решение системы найти приблизительно;
  4. записать ответ.

Отличие от линейных уравнений состоит в том, что их график является прямой, а графики уравнений второй степени могут быть достаточно разными. Так, например, графиком уравнения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или равносильному ему уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) является парабола, графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( или равносильному ему уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) является гипербола, а графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является круг. 

Пример №394

Решите графически систему уравнений.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется круг с центром в начале координат и радиусом 4. Графиком уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая, которая проходит через точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Графики изображены на рисунке 72, они имеют две общие точки  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проверкой убедимся, что эти пары чисел являются решением системы. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                           Рис. 72

Решение системы уравнений второй степени с двумя переменными способом подстановки 

Если в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений является уравнением первой степени, то такую систему всегда можно решить способом подстановки.  Напомним последовательность шагов для решения системы уравнений этим способом:

  1. выразить в уравнении первой степени одну переменную через другую;
  2. подставить полученное выражение во второе уравнение системы вместо данной переменной;
  3. решить полученное уравнение с одной переменной;
  4. найти значение другой переменной;
  5. записать ответ. 

Пример №395

Решить систему уравнений: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Выразим из уравнения второй степени переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим в первое уравнение вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получаем уравнение с переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После упрощения получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые удовлетворяют найденным значениям Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, система имеет два решения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оформить решения в тетради можно еще так: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными способом сложения

Как и для систем двух линейных уравнений с двумя переменными, этот способ используют, когда в результате почленного сложения уравнений системы получаем уравнение с одной переменной.

Пример №396

Решить систему уравнений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сложим почленно оба уравнения системы, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив найденное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач например, в первое уравнение, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оформить решение в тетради можно так: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №397

Решите систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Умножим второе уравнение на –2. Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложим почленно уравнения системы, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставив эти значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во второе уравнение исходной системы: 

1) пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение систем уравнения второй степени с двумя переменными с помощью смены переменных

Некоторые системы уравнений второй степени (а также системы, которые содержат уравнения высших степеней) удобно решить, используя замену переменных. 

Пример №398

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Введем замену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим систему уравнений: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив эту систему способом подстановки (сделать это самостоятельно), получаем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив эту систему, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем еще две пары чисел:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система двух уравнений с двумя переменными как математическая модель текстовых и прикладных задач

Напомним, что в 7 классе вы решали текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений в такой последовательности, которую можно использовать и для решения более сложных задач, а именно:

  1. обозначить действия двух неизвестных величин переменными (например, x и y); 
  2. по условию задачи составить систему уравнений; 
  3. решить полученную систему;
  4. проанализировать найденные значения переменных на соответствие условиям задачи, дать ответ на вопросы задачи;
  5. записать ответ. 

Рассмотрим один из простейших примеров, где система уравнений с двумя переменными является математической моделью текстовой задачи. 

Задача №68

Сумма двух чисел равняется 8, а их произведение 15. Найти эти числа. 

Решение. Обозначим неизвестные числа через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим систему уравнений: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив систему (сделать это самостоятельно), получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, искомые числа 3 и 5. 

Ответ: 3 и 5. 

Заметим, что эту задачу, как и некоторые следующие задачи в этой лекции, можно решить и с помощью уравнения с одной переменной. 

Система уравнений с двумя переменными может быть математической моделью прикладной задачи. Напомним, что прикладные задачи — те задачи, которые содержат не математические понятия, или могут быть решены методами математики. 

Вспомним, что прикладную задачу нужно решать в такой последовательности:   

  1. формулируем задачу на математическом языке, то есть составляем математическую модель задачи;
  2. решим математическую задачу, которая получилась;
  3. анализируем ответ и формулируем его на математическом языке.

Задача №69

Площадь земельного участка прямоугольной формы равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если длину этого участка уменьшить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то получим земельный участок с площадью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти длину забора данного участка. 

Решение. Пусть длина земельного участка равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ширина — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач После уменьшения длины на 1 м она будет равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а после увеличения ширины на 2 м она будет равняться Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим систему: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем один из способов решения этой системы: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку из первого уравнения системы известно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то во втором уравнении вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно подставить число 60. Получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После упрощения первого уравнения системы получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число –3 не удовлетворяет условию задачи, поскольку длина участка не может быть отрицательной. Итак, длина данного участка равняется  10 м, тогда можно найти ширину: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Найдем длину забора: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Ответ: 32 м. 

Задача №70

Из пункта А вышел пешеход. Через 50 минут после этого оттуда в том же направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 6 км от пункта А. Найти скорость пешехода и скорость велосипедиста, если велосипедист за 1 час преодолевает на 1 км больше, чем пешеход за 2 часа. 
Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/час — скорость пешехода, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — км/ч — велосипедиста. Тогда пешеход преодолел 6 км за Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачч, а велосипедист — за Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачч. По условию пешеход был в дороге 50 мин. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачч  больше, чем велосипедист. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Велосипедист за 1 час преодолевает Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а пешеход за 2 часа — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем систему уравнений: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив ее (сделать это самостоятельно) и учитывая, что вместо задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: скорость пешехода 4 км/ч, велосипедиста — 9 км/ч.

Числовая последовательность 

Числовая последовательность — это последовательность чисел. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Числовые последовательности

Пример 1.

Запишем в порядке возрастания натуральные четные числа: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем последовательность четных натуральных чисел. На первом месте в ней записано число 2, на втором — число 4, на пятом — 10. Если продолжить записывать четные натуральные числа и дальше, то, например, на десятом месте будет число 20, на сотом — число 200. Выяснили, для любого натурального числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти натуральное четное число, что стоит на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-м месте. Таким числом будет 2Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Числа, которые удовлетворяют последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым, то есть членами последовательности. Члены последовательности принято обозначать буквами с индексами, которые соответствуют порядковому номеру члена последовательности. Например: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают "Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первое, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач второе, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач третье, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертое" и так далее). В нашем случае, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Член последовательности с номером Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или как говорят, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й член последовательности, обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Саму последовательность принято обозначать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Рассмотрим два соседних члена последовательности с номерами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Член Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют следующим за Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а член Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предыдущим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку в последовательности парных натуральных чисел на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-м месте стоит число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можно записать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Получили формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-го члена последовательности парных натуральных чисел. 

Эта последовательность содержит бесконечное количество членов, потому такую последовательность называют бесконечной. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Если же последовательность содержит конечное количество членов, то ее называют конечной.  

Пример 2. Последовательность натуральных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является ограниченной. Она содержит 90 членов и может быть задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачго члена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если мы знаем формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачго члена последовательности, то можем найти любой ее член. 

Пример 3.  Последовательность задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем несколько ее членов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — первый, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — седьмой, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — двадцатый, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сотый. 

Формула Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачго члена является достаточно удобным, но не единственным способом для задания последовательности. 

Пример 4.  Законченную последовательность можно задать списком ее членов. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 5. Последовательность можно задать описанием ее членов. Например, последовательность натуральных чисел, которые являются делителями числа 18 и которые записаны в порядке возрастания: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно назвать последовательностью натуральных делителей числа 18.

Пример 6. Ограниченную последовательность можно задать в виде таблицы. Например, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательность можно задавать, указывая первый или несколько первых членов последовательности, а потом — формулу, по которой можно находить другие члены последовательности из предыдущих. Такую формулу называют рекуррентной, а способ задания последовательности — рекуррентным

Пример 7.  Пусть первый член последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равняется 2, а каждый следующий равняется квадрату предыдущего, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда из известного первого члена можно найти другие: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с известным вторым членом можно найти третий: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так же далее. Считаем последовательность: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 8. Найдет третий, четвертый и пятый член последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданной рекуррентным способом: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисляем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательности, которые мы рассмотрели выше, являются числовыми последовательностями, поскольку складываются из чисел. Иногда рассматривают последовательности, членами которых являются выражения, функции и т. д. Дальше будем рассматривать только числовые последовательности. 

Арифметическая прогрессия и ее свойства. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равняется 4, а каждый следующий, начиная со второго, равняется предыдущему + 3: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такую последовательность называют арифметической прогрессией

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавлено одно и то же число, называется арифметической прогрессией

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(изначально от буквы латинского слова differentia — разность). Поэтому, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— арифметическая прогрессия, то справедливо равенство: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, для любого натурального числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть,  разность арифметической прогрессии можно найти, если от любого члена прогрессии отнять его предыдущий. 

Пусть первый член арифметической прогрессии равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а разность равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что в каждой из приведенных формул коэффициент при разности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. В самом деле, чтобы найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зная Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, нужно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз прибавить к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прибавить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили формулу  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена арифметической прогрессии

Рассмотрим несколько упражнений для доказательства этой формулы. 

Пример №399

Последовательность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — арифметическая прогрессия, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти двадцатый член этой последовательности.

Решение. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 25,2

Пример №400

Принадлежит ли арифметической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число : Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. У данной прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена этой прогрессии: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Допустим, что число 82 является членом прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда существует такое натуральное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получится уравнение: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так, число 82 является 26-м членом арифметической прогрессии, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Используя той самый способ, имеем:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является натуральным, поэтому арифметическая прогрессия числа 102 не содержит. 

Ответ: 1) да; 2) нет. 

Пример №401

Кубики сложены рядами так, чтобы в верхнем ряду было 4 кубика, а в каждом ряду, который ниже — на одно и тоже количество кубиков больше, чем в предыдущем. Видим, что в шестом ряду 14 кубиков. Сколько кубиков в третьем ряду?

Решение. Поскольку в каждом нижнем ряду на одно и то же количество кубиков больше, чем в предыдущем, то числа, которые равняются количеству кубиков в рядах, составляют арифметическую прогрессию.

В этой прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач итак, нам нужно найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем сначала разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой прогрессии. Поскольку из формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь, зная значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, в третьем ряду 8 кубиков.  Также, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно было найти и так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 8 кубиков. 

Сделаем вывод по свойствам арифметической прогрессии. 

1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов, то есть: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Для доказательства используем формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена арифметической прогрессии, тогда 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 2. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух равноудаленных от него членов, то есть   

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству.

3) Если k, l, p и — натуральные числа и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Доказательства. Используем формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена, тогда: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Любую арифметическую прогрессию можно задать формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где b и d — некоторые числа.

Доказательства. Из формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдя Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Последовательность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая задана формулой вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где b и d — некоторые числа, является геометрической прогрессией. 

Доказательство. Найдем разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач членов этой последовательности. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили, что для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач верно равенство  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, последовательность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является арифметической прогрессией, разность которой равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов арифметической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач их сумму: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Запишем эту сумму два раза, разместив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором — в порядке убывания: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь эти неравенства сложим почленно, получаем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ведь по свойству 3 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда каждая сумма в скобках в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в правой части уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач слагаемых, каждый из которых равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак,  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поделив обе части этого уравнения на 2, получим формулу суммы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов арифметической прогрессии: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в предыдущей формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменить уравнением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим еще одну формулу для вычисления суммы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов арифметической прогрессии, которую удобно использовать, когда известен первый член и разность прогрессии. 

Используем эти две формулы для решения упражнений.

Пример №402

Найти сумму тридцати пяти первых членов арифметической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1 способ. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по формуле 1: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2 способ. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и легко найти, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можем получить формулу 2: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ:  1425.

Пример №403

Найти сумму восемнадцати первых членов последовательности  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданной формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. Поскольку последовательность задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то она является арифметической прогрессией. 

Получаем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: –216. 

Пример №404

Найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны числу 7 и не превышают 999. 

Решение. Натуральные числа, кратные числу 7, удовлетворяют арифметическую прогрессию: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую можно задать формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают числа 999. Для этого решим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи получаем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, 142 члена прогрессии не превышают числа 999. Найдем их сумму, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 71 071. 

Пример №405

Из двух точек, расстояние между которыми 100 м, одновременно навстречу друг к другу начинают двигаться два объекта. Первый двигается равномерно со скоростью 9 м/с, а второй за первую секунду проходит 7 м, а за каждую следующую — на 2 м больше, чем за предыдущую. Через сколько секунд они встретятся? 

Решение. Пусть объекты встречаются через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач секунд. Первый за этот час преодолел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Остальные преодолевает второй объект за первую, вторую , третью и следующие секунды, что удовлетворяет арифметическую прогрессию, у которой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда за Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач секунд второй объект преодолевает расстояние Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое можно вычислить по формуле: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Второй корень не отвечает условию задачи. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть встреча случится через 5 секунд. 

Ответ: 5 секунд. 

Геометрическая прогрессия, ее свойства. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равен 3, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на 2: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такую последовательность называют геометрической прогрессией.

Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждое из которых, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число. 

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (от первой буквы французского слова quotient — частное). Поэтому если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — геометрическая прогрессия, ей соответствуют уравнения: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, для любого натурального Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть  знаменатель геометрической прогрессии можно найти, если любой член прогрессии, начиная со второго, поделить на предыдущий. 

Заметим, что поскольку члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то и знаменатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не может равняться нулю, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то геометрическая прогрессия складывается из одинаковых чисел. Например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получаем геометрическую прогрессию: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что полученную последовательность можно также представить в арифметической прогрессии, первый член которой равняется —5, а разница равна 0. 

Пусть первый член геометрической прогрессии равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а знаменатель равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                        

и т. д. 

Отметим, что в каждой из полученных формул показатель степени числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. В самом деле, чтобы найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имея Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачраз умножить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач умножить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим несколько упражнений для доказательства этой формулы. 

Пример №406

Последовательность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — геометрическая прогрессия, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №407

Найти знаменатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач геометрической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1 способ. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ведь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2 способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ведь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №408

Дан равносторонний треугольник, сторона которого 8 см. Середины этих сторон являются вершинами другого треугольника, а середины сторон другого треугольника являются вершинами третьего и так далее (рис. 75). Найти площадь пятого треугольника, построенного таким образом. 

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— площадь первого, второго, третьего и далее треугольников. Найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку стороны каждого следующего треугольника являются средними линиями предыдущего, то длина стороны каждого следующего треугольника будет вдвое меньше чем длина  предыдущего. Тогда сторона второго треугольника равняется 4 см, а его площадь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сторона третьего треугольника равна 2 см, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в 4 раза меньше чем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в 4 раза меньше чем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть придем к выводу, что площадь каждого следующего треугольника в 4 раза меньше площади предыдущего, поэтому найденные числовые значения площади  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются членами геометрической прогрессии со знаменателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первый член которой равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда числовое значение площади пятого треугольника является соответственно пятым членом этой прогрессии. Поэтому:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем некоторые важные свойства геометрической прогрессии. 

1. Квадрат некоторого члена геометрической прогрессии начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то есть 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где n = 2, 3, 4, 5....

Доказательство. Воспользуемся формулой  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена геометрической прогрессии. Тогда: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Если все члены геометрической прогрессии явля.тся положительными числами, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть, каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних с ним членов. 

По одной из версий именно с этим свойством геометрической прогрессии и связанно ее название. 

2. Квадрат любого числа члена геометрической прогрессии начиная со второго, равно произведению двух равноудаленных от него членов, то есть 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству. 

3. Если k, l, p и — натуральные числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Используем формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена геометрической прогрессии:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула сложных процентов

Бухгалтерам и работникам банков часто приходится решать задачи на проценты. Рассмотрим задачу о процентных начислениях средств. С экономичной точки зрения денежные средства можно считать вознаграждением, которое платит лицо или учреждение (заемщик) за пользование в течение времени определенной суммой средств, полученных от другого лица или учреждения (кредитора). Размер этого вознаграждения зависит от суммы займа и срока пользования им.

Задача №71

Вкладчик открыл в банке депозит в размере 10 000 руб. под 11 % годовых (то есть банк обязуется выплатить проценты в размере 11 % за год от первоначальной суммы вклада). Сколько руб. в процентах получит вкладчик через год?

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому вкладчик получит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. процентных средств.

Ответ: 1100 руб.

Если вкладчик решит держать средства в банке больше чем один год, не прибавляя новых средств и не забирая из банка вложенных  средств, то вычислить сумму процентов на счету у вкладчика через несколько лет можно при помощи формулы сложных процентов.  

Пусть вкладчик положил в банк Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. под Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще называют процентным капиталом. Через год банк добавит вкладчику Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. процентных средств. Поэтому на счету вкладчика через год будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. Наращенный капитал обозначим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач За второй год вкладчику будет добавлено Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. процентных средств и его вклад равняется: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассуждая аналогично и используя формулу  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена геометрической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дойдем до вывода, что через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лет наращенный капитал станет: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб.

Итак, 

Процентный капитал Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вложенный  в банк под Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач годовых, через n лет станет наращенным капиталом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размер которого вычисляется по формуле: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую называют формулой сложных процентов.

Задача №72

Вкладчик открыл в банке депозит на 5000 руб. под 12% годовых. Сколько средств будет на счету вкладчика через 3 года? Сколько процентных средств получит вкладчик через 3 года?

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб. Процентные средства можно найти как разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач руб.

Задача №73

Население некоторого города составляет 30000 жителей. Каждый год количество населения уменьшается на 0,2 %. Каким будет население этого города через 10 лет?

Решение. Поскольку население города ежегодно уменьшается на один и тот же процент, и этот процент от количества населения каждого следующего года, а не первоначального количества жителей, то можно воспользоваться формулой сложных процентов. 

Знаем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(поскольку население уменьшается, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: 29405 жителей. 

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Рассмотрим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов геометрической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач их сумму: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Имеем (используя формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члена геометрической прогрессии): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим обе части этого уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отнимаем почленно от этого равенства предыдущее: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим формулу суммы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов геометрической прогрессии:  

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то все члены прогрессии равны первому члену и тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Заметим, что полученную формулу (1) можно записать и в таком виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то полученную формулу (1) суммы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов геометрической прогрессии можно представить и в другом виде. На самом деле, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем еще одну формулу для вычисления суммы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов геометрической прогрессии, которой удобно пользоваться, если известны первый и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач члены прогрессии и ее знаменатель.

Используем эти формулы для решения примеров. 

Пример №409

Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1 способ. По условию: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда по формуле (1): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2 способ. Мы видим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Отсюда по формуле (2): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 1094. 

Пример №410

Найти сумму первых членов геометрических прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда появляются две прогрессии, которые удовлетворяют условию задачи:

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 252 или –84. 

Пример №411

Сократить дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Слагаемые в числителе дроби являются последовательными членами геометрической прогрессии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первый член которой равняется 1, а знаменатель равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из условия получается, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем сумму всех шести членов этой прогрессии по формуле (1) и сократим их: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функции, многочлены, уравнения и неравенства

Многочлен это сумма одночленов. Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и делить, выносить общий множитель за скобки. Неравенство — некоторое соотношение, связывающее неизвестный объект (неизвестные объекты) с известными объектами с помощью знаков неравенства (знаков , <, >... ).

Множества и операции над множествами

Вспомним известные вам числовые множества и расширим само понятие множества.

Числовые множества. Множество действительных чисел

Понятие числа является одним из основных  в курсе математики. Представления о числах (натуральных, целых, рациональных, иррациональных) у человечества складывались постепенно, в процессе практической деятельности. Все вышеупомянутые виды чисел вам встречались в школьном курсе математики. Напомним основные виды числовых множеств.

Из-за потребности в счете предметов появились натуральные числа.

  •   Числа 1, 2, 3, 4, 5, ... , которые используют для счета предметов, называют натуральными числами.

Множество натуральных чисел обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Напомним, что запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел, а запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не принадлежит множеству натуральных чисел.

Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае примерно 2100 лет назад, там их толковали как долг.

Числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют противоположными. Например, противоположными являются числа 5 и —5, —0,8 и 0,8.

  • Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 образуют множество целых чисел.

Множество целых чисел обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Потребность в измерении величин привела к появлению дробных чисел. Так, например, длина веревки может составлять Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а средняя масса ящика с фруктами — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  

  • Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. 

Множество рациональных чисел обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Напомним, что любое рациональное число можно записать в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  

Рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби, для этого числитель дроби надо поделить на его знаменатель.
Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В последнем случае получили бесконечную периодическую дробь.

В практической деятельности человека встречаются числа, которые не являются рациональными. Например, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом длиной  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя представить в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  

  • Числа, которые нельзя представить в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число, называют иррациональными числами.

Напомним, что каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел. Это множество обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примерами иррациональных чисел являются также числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобное. Приближенные значения этих чисел (то есть округленные до некоторого разряда) можно находить с определенной точностью с помощью калькулятора или компьютера: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Понятие множества и подмножества

Кроме множеств, которые мы рассмотрели выше, рассматривают и другие множества. Понятие множественного числа в более широком понимании является одним из основных в математике и поэтому не имеет определения. Под понятием множества будем понимать определенную совокупность объектов любой природы, сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Обычно множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из чисел 1, 2, 3, а множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из знаков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Числа 1, 2, 3 — элементы множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а знаки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — элементы множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тот факт, что число 1 принадлежит множеству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, записывают с помощью известного вам символа принадлежности: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а то, что число 1 не принадлежит множеству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Множества, количество элементов которых можно записать натуральным числом, называют конечными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают символом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Так, например, пустым является множество решений уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Множества, количество элементов которых нельзя записать натуральным числом и которые не являются пустыми, называют бесконечными. Бесконечными множествами являются, например, множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Также к бесконечным множествам принадлежат известные вам числовые промежутки. Например, промежутки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются бесконечными множествами. Если концы промежутка ему не принадлежат, такой промежуток еще называют интервалом.

Множества удобно изображать с помощью диаграмм (кругов) Эйлера—Венна (рис. 1.1). Множества, являющиеся числовыми промежутками, удобно изображать на числовой прямой штриховкой (рис. 1.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 1.1                                                       Рис. 1.2

  • Если каждый элемент множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является элементом множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является подмножеством множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Записывают это так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Схематическая иллюстрация этого факта представлена на рисунке 1.3.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 1.3

Пример №412

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является подмножеством множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является подмножеством множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит элемент Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который не содержит множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Для вышеупомянутых числовых множеств можно записать: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобное.

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции (действия), которые можно выполнять над множествами.

  • Пересечением множеств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и множеству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пересечение множеств, как и пересечение промежутков, записывают с помощью знака Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №413

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пересечение множеств удобно изображать на диаграммах (рис. 1.4), а для числовых промежутков — на числовой прямой, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис 1.5).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач            Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 1.4                                             Рис 1.5

  • Объединением множеств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Объединение множеств, как и объединение промежутков, записывают с помощью знака Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №414

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Объединение множеств также удобно изображать на диаграммах (рис. 1.6), а для числовых промежутков — на числовой прямой, например,Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.7).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 1.6                                             Рис 1.7

Числовые функции. Область определения и множество значений функции

С понятием функции, одним из важнейших в современной математике, вы ознакомились в курсе алгебры.

В курсе алгебры и начале анализа будем использовать такое определение числовой функции:

  • Числовой функцией (или функциональной зависимостью) называют такую зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной из некоторого множества отвечает по определенному правилу единственное значение зависимой переменной.

Функции обычно обозначают латинскими (иногда греческими) буквами.

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой каждому натуральному значению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от 1 до 5 соответствует число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое вдвое больше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это соответствие показано на рисунке 2.1. Стрелка указывает на число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  соответствующее числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число называют значением функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (на рис. 2.1 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Напомним, что независимую переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще называют аргументом функции, а зависимую переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачзначением функции или функцией от этого аргумента.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 2.1

  • Областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют множество всех значений, которые может принимать аргумент Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначают это множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если функция задана в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то область определения функции обозначают через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, областью определения функции из примера выше есть множество, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 5, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество всех действительных чисел, записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №415

Найти область определения функции:

1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;      2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;      3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

1) Областью определения функции является множество всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку знаменатель дроби не может равняться нулю. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это запись области определения посредством объединения промежутков.

2) Областью определения функции является множество всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным и, к тому же, отличным от нуля, потому что корень находится в знаменателе дроби. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Областью определения функции является множество всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к тому же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим, что область определения состоит из числа 0 и решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Множеством (или областью) значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) называют множество, состоящее из всех чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначают эту величину через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для примера выше имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №416

Найти множество значений функции:

l) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.1) Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может приобретать любое неотрицательное значение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Умножим обе части этого неравенства на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и изменим при этом знак неравенства на противоположный: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Добавим к обеим частям неравенства число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, множеством значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Выделив квадрат двучлена, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Как известно, функции являются математическими моделями реальных процессов и явлений окружающего мира. Поэтому их часто применяют для решения различных прикладных задач в физике, экономике, биологии и тому подобное.

Пример №417

Записать формулу для вычисления кинетической энергии шарика массой 50 г. Задает ли эта формула функцию? Если да, указать ее аргумент.

Решение. Из курса физики вы знаете, что кинетическую энергию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, вычисляют по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—это функция от аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №418

Начальная стоимость некоторого оборудования составляет 200 000 руб. Ежегодно она уменьшается на 5 %. 1) Записать функцию зависимости стоимости оборудования Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от количества лет эксплуатации Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 2) Используя полученную функцию, найти стоимость оборудования через 4 года.
Решение. 1) Через год стоимость оборудования составит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от начальной стоимости, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Через 2 года — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; соответственно за Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лет эксплуатации — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (руб.).

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) 162 901,25 руб.  

Заметим, что функцию зависимости стоимости оборудования Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от срока эксплуатации t можно было найти и по формуле сложных процентов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Способы задания функции

Функцию можно задавать разными способами: формулой, таблицей, графиком, словесно.

Рассмотрим эти способы.

В вышеупомянутых примерах: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция задана формулой. Такой способ задания функции является достаточно удобным, ведь позволяет для произвольного значения аргумента из области определения функции вычислить соответствующее значение функции и во многих случаях выполнить обратную задачу.

Пример №419

Функция задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 1) Найти значение функции, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 2) Сравнить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 3) Для какого значения аргумента значение функции равно 0?

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №420

С помощью функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач описано изменение температуры воды в баке (в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) в зависимости от времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в мин). Найти: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется по формуле: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, вычисляем  по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Другой важный способ задания функциитабличный. Из таблицы можно непосредственно найти значение функции, но лишь для конечного набора значений аргумента.

Пример №421

Каждый час, с девяти до пятнадцати, измеряли атмосферное давление и данные заносили в таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Область определения функции образуют числа 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 (числа первой строки таблицы), а множество значений —753, 754, 755, 757 (числа второй строки таблицы).

Часто функцию задают с помощью графика. Графический способ задания достаточно удобен: он дает возможность наглядно увидеть свойства функции. На рисунке 2.2 изображена вольт—амперные характеристики некоторых электрических элементов, то есть зависимость силы тока от напряжения задано графически. Эта зависимость получена не с помощью формулы, а экспериментальным путем.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 2.2

На рисунке 2.3 изображена кардиограмма человека. Кардиограмму можно считать графиком изменения электрического потенциала на волокнах сердечной мышцы во время ее сокращений.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 2.3

Пример №422

По графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.4) найти:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) значение функции, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

4) значение аргумента, при котором значение функции равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 2.4

Решение. 1) Спроецируем все точки графика на ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который является областью определения функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Спроецируем все точки графика на ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который является множеством значений функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Находим по графику: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Абсциссы точек пересечения прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графика функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таковы: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Словесное задание функции состоит в том, что функциональную зависимость задают словами. Например: «каждому числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставим в соответствие квадрат этого числа, уменьшенный на 10». Если сказанное задать формулой, то она будет выглядеть так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Словесный способ задания функции используют очень редко.

Свойства функций

В этой лекции рассмотрим основные свойства функций.

Нули и промежутки знакопостоянства функции

На рисунке 3.1 изображено график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определенной на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то значение функции равно нулю, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Напомним, что такие значения аргумента называют нулями функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 3.1

  • Значения аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю, называют нулями функции.

Чтобы найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, надо решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №423

Найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нули функции.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.1) разбивают её область определения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки графика лежат выше оси абсцисс, а для значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ниже оси абсцисс. Таким образом, в промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция принимает положительные значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отрицательные значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Промежуток, на котором функция сохраняет знак, называют промежутком знакопостоянства функции.

Промежутки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются промежутками знакопостоянства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен на рисунке 3.1.

Промежутки возрастания, убывания, постоянства функции

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Иначе говоря, функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка, таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 3.2 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют промежутком возрастания функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 3.2                                            Рис. 3.3

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют убывающей на некотором промежутке, если для любых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка, таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, истинно неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 3.3 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют промежутком убывания функции.

Легко увидеть, что график растущей на некотором промежутке функции во время движения вдоль графика слева направо (то есть в направлении роста аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) «направляется вверх» ( «возрастает»), а график убывающей функции — «направляется вниз» ( «убывает»).

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют монотонной на некотором промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает. 

На каждом из рисунков 3.2 и 3.3 функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является монотонной на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют интервалом монотонности функции.

Пример №424

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен на рисунке 3.1. На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает, а на промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачубывает.

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют постоянной на некотором промежутке, если для любых значений аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянна на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ее график — прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 3.4).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Рис. 3.4

Пример №425

На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На данном промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянна.

Четность и нечетность функций

Область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем называть симметричной относительно нуля, если вместе с каждым числом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач область определения функции содержит также и число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Среди функций, область определения которых симметрична относительно нуля, различают четные и нечетные функции.

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для каждого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из области определения подтверждается равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №426

Исследовать на четность функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть область определения функции симметрична относительно нуля. Кроме того, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четная.

Ответ. Четная.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 3.4

На рисунке 3.5 схематически изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Он является симметричным относительно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вообще, 

  • график любой четной функции симметричен относительно оси ординат.

Действительно, когда функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четная, то любым противоположным значениям аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует одно и то же значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, как известно, симметричны относительно оси ординат.

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для каждого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из области определения подтверждается равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №427

Исследовать на четность функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Область определения симметрична относительно нуля. Кроме того, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значит, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетная.

Ответ. Нечетная.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис 3.6

На рисунке 3.6 схематически изображено график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Он является симметричным относительно начала координат. Вообще,

  • график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Действительно, когда функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетная, то любым противоположным значением аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствуют противоположные значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, как известно, — симметричны относительно начала координат.

Если область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является симметричной относительно нуля или не выполняется ни одно из равенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, говорится, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является ни четной , ни нечетной.

Пример №428

Исследовать на четность функцию: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Область определения функции не является симметричной относительно нуля, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому функция ни четная, ни нечетная.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Область определения симметрична относительно нуля. Найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция — ни четная, ни нечетная.

Ответ. 1) Ни четная, ни нечетная; 2) ни четная, ни нечетная.

Пример №429

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена на множестве целых чисел. Исследовать эту функцию на четность.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по условию). Область определения функции является симметричной относительно нуля. Заметим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, эта функция — четная.

Ответ. Четная.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Если график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является непрерывной линией, то в множестве значений функции есть наибольшее число и наименьшее число. Эти числа называют наибольшим и наименьшим значениями функции на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен на рисунке 3.1. Эта функция определена на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Наибольшим значением этой функции на данном промежутке является число 3, которого Функция достигает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Наименьшим значением функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число –2, которого функция достигает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Записывают это так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Наибольшее и наименьшее значения функции связаны с ее множеством значений. Если наибольшим значением некоторой непрерывной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, a наименьшим — число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то множеством значений функции на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Так, множеством значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображенной на рисунке 3.1 и определенной на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №430

При каком значении с наименьшее значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Преобразуем данный в формуле функции квадратный трехчлен: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то наименьшим значением функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства и графики основных видов функций. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Обратная функция

В этой лекции вспомним материал, известный вам из предыдущих классов: графики и свойства основных видов функций; построение графиков с помощью геометрических преобразований. Также ознакомимся с понятием обратной функции.

Графики основных видов функций

  • Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют множество всех точек Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатной плоскости, в которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты вычисляют по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из предыдущих классов мы уже знаем вид графиков функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функцию вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа, называют линейной. Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  прямая (рис. 4.1—4.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 4.1                                       Рис. 4.2                               Рис. 4.3      

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершиной является точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.4).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

      Рис. 4.4

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является ветвь параболы, лежащей в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти координатной плоскости (рис. 4.5).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

      Рис. 4.5

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач является гипербола, ветви которой лежат в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.6), и во Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.7).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач         Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 4.6                           Рис. 4.7

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является парабола с вершиной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.8). Ее можно построить следующим образом:

1) найти координаты вершины параболы: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ветви параболы направлены вверх, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вниз;

2) найти еще несколько точек, принадлежащих параболе (при построении можно использовать симметрию параболы относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач)

3) совместить полученные точки плавной линией.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 4.8

Пример №431

Схематически построить график функции и найти ее промежутки возрастания и убывания: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) На рисунке 4.9 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это прямая, которую проведем через точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 4.9
2) Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. График функции схематически изображен на рисунке 4.10. Функция убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, 2) убывает в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства основных видов функций

Систематизируем данные о свойствах основных видов функций в таблице. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение графиков функций с помощью преобразований известных графиков функций

Напомним, как с помощью геометрических преобразований графиков функций можно строить графики других функций.

Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Чтобы построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц вверх.

Чтобы построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц вниз.

Примечание. Вместо того чтобы переносить график функции вверх или вниз, можно перенести ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на столько же единиц в противоположную сторону.

Пример №432

Построить графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Преобразуем график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображены на рисунке 4.11

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис 4.11

Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Чтобы построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц вправо; чтобы построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц влево.

Примечание. Вместо того, чтобы переносить график функции вправо или влево, можно перенести ось y на столько же единиц в противоположную сторону.

Задание 3. Построить графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Преобразуем график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображены на рисунке 4.12.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                     Рис. 4.12

Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричны относительно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №433

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображены на рисунке 4.13.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 4.13

Построение графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы получить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, надо график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач растянуть от оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или сжать его к оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №434

Построить графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 4.14. На рисунке 4.15 изображены графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 4.14                                     Рис. 4.15

Выполняя последовательно два и более преобразований, можно строить графики функций вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и некоторых других.

Пример №435

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перенесем график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 3 единицы вправо, после чего — вдоль оси  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 2 единицы вверх. График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 4.16.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 4.16

Пример №436

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач растянем втрое от оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 4.17). График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричен графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.17).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 4.17

Обратная функция 

В ходе исследования функций мы неоднократно решали задачу нахождения значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для заданного значения аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Часто приходилось решать и обратную задачу: находить значение аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого функция приобретает заданное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №437

Дана функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти значение аргумента, для которого значение функции равно 3.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 5.

Пример №438

Дана функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти значение аргумента, для которого значение функции равно 11.

Решение. По условию: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ . Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Функцию, которая принимает каждое свое значение только в одной точке области определения, называют обратимой.

Следовательно, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратимой, а функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является обратимой.

Из равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — обратимая функция, как из уравнения, найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если это возможно), получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эту функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют обратной к функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку в школьной математике принято обозначать аргумент через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функцию через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, окончательно получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №439

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти обратную.

Решение. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратимой, то для нее можно найти обратную. Выразим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим аргумент через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, функцию — через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и окончательно получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Построив графики функций  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в одной координатной плоскости, можно заметить, что они являются симметричными относительно прямой y = x (рис. 4.18).

Такое свойство имеют графики для любых обратимой и обратной к ней функций.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              рис. 4.18

  • Графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обратной к ней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются симметричными относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Можно доказать, что если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратной к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и , наоборот, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратной к функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. О таких функциях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач говорят, что они взаимно обратные.

Функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — взаимно обратные.

Заметим, что для взаимно обратных функций справедливо такое свойство: областью определения обратной функции является множество значений прямой, а множество значений обратной функции — область определения прямой функции.

Пример №440

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти обратную.

Решение. Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратимой, ее график изображен на рисунке 4.19. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из области определения, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для таких Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возвращаясь к традиционным обозначениям, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, — функция, обратная к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.19).

Ответ, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнения

В предыдущих классах мы уже изучали некоторые виды уравнений: линейные, квадратные, биквадратные, дробно-рациональные и тому подобное. Систематизируем и углубим сведения об уравнениях.

Понятие об уравнении и его корни

Напомним, что

  • уравнением называют равенство, содержащее переменную.

Уравнение с переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в общем виде можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство, называют корнем (решением) уравнения.

Например, число 2 является корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а 5 не является корнем этого уравнения, потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решение уравнений методом равносильных преобразований

С понятием равносильных преобразований мы ознакомились еще в курсе алгебры 7—го класса. Уточним определение равносильности уравнений.

  • Два уравнения называют равносильными в некотором множестве, если они на этом множестве имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, которые не имеют корней.

Уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на множестве действительных чисел не являются равносильными, поскольку корнями первого будут числа 1 и –1, а второе имеет только один корень — число 1. На множестве неотрицательных чисел они будут равносильными, поскольку будут иметь один и тот же, единый для каждого из уравнений на этом множестве, корень — число 1.

Равносильные преобразования уравнений положены в основу соответствующего метода решения уравнений, который состоит в замене исходного уравнения равносильным ему уравнением (иногда несколькими уравнениями) или системой, содержащей другое , более простое уравнение и некоторые дополнительные ограничения для переменной, записанные в виде уравнения, неравенства и тому подобное. В таком случае говорят, что уравнение равносильно уравнению (совокупности уравнений) или системе.

В предыдущих классах мы уже рассматривали некоторые преобразования уравнений, сводящие уравнение к нему равносильного (к совокупности уравнений) или равносильной системе. В частности это:

  1. раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых в любой точке уравнения;
  2. перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный;
  3. умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число;
  4. замена уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совокупностью уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при условии, что выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл для всех полученных корней этой совокупности);
  5. замена уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач системой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вспомним, как решить уравнение с помощью равносильных преобразований.

Пример №441

Найти корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (раскрыли скобки);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (перенесли слагаемые);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(привели подобные слагаемые);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поделили обе части на –2);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (получили корень).

Ответ. –5.

Пример №442

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, дальше сведем дроби к общему знаменателю:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

упростим числитель: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение равносильно системе : Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Корнями первого уравнения системы являются числа –2 и –3, но, учитывая вторую строчку системы, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень уравнения.

Ответ. –2.

Уравнения–следствия 

Большинство уравнений, которые мы рассмотрели в предыдущих классах, удобно было решать методом равносильных преобразований. Преимуществами метода является то, что при таких преобразованиях каждое следующее уравнение является проще предыдущего, а множество корней последнего уравнения является множеством корней исходного. Однако равносильные преобразования иногда бывают довольно громоздкими или приводят к системам, решение которых может оказаться не только громоздким, но и потребует знаний, выходящих за пределы школьного курса математики. В таком случае целесообразно использовать другой подход — заменять исходное уравнение уравнением–следствием

  • Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого.

Пример №443

Рассмотрим два уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Первое из них равносильно системе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которой получаем корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Корни второго уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является следствием уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, можно сделать вывод, что при переходе от уравнения к уравнению–следствию возможно появление посторонних корней. Поэтому,

  • решая уравнение с помощью уравнений–следствий, надо обязательно проверять, являются ли полученные корни уравнения–следствия корнями исходного уравнения.

Иначе говоря, надо выполнять проверку корней.

Пример №444

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку знаменатели дробей равны, то равными должны быть и числители. Имеем уравнение–следствие: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выполним проверку корней.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому 1 — корень уравнения.

 Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то знаменатели дробей обращаются в ноль, поэтому число 2 не может быть корнем исходного уравнения, следовательно, является посторонним корнем. Таким образом, число 1 — единственный корень исходного уравнения.

Ответ. 1.

Область допустимых значений уравнения

Напомним, что областью допустимых значений переменной в выражении называют все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Рассмотрим понятие области допустимых значений переменной в уравнении.

  • Областью допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют пересечение областей допустимых значений переменной в выражениях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Мы уже упоминали, что равносильные преобразования иногда приводят к громоздким вычислениям. Определенные проблемы случаются и при использовании уравнений–следствий, например, иногда сложно выполнить проверку полученных из уравнения корней и выявить среди них посторонние. В частности, довольно сложной и громоздкой является проверка корней, которые являются иррациональными числами.

Решая рациональное уравнение, этих проблем можно избежать, если сначала найти ОДЗ переменной в уравнении. Тогда, получив корни уравнения–следствия, целесообразнее проверить, относятся ли они к ОДЗ, чем выполнять проверку подстановкой их в исходное уравнение. Те корни, которые не будут принадлежать ОДЗ, и будут посторонними. Этот способ является весьма полезным и в тех случаях, когда преобразования приводят к расширению ОДЗ исходного уравнения, что, в свою очередь, приводит к появлению посторонних корней. Рассмотрим это на примере.

Пример №445

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении будут все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме числа –2. В дальнейшем записываем это так — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но –2 не принадлежит ОДЗ и поэтому является сторонним корнем. Итак, 3 —единственный корень уравнения.

Ответ. 3.

Простейшие уравнения с параметром 

Обычно в уравнениях буквами обозначают переменные, но иногда, кроме переменной, уравнение может содержать еще и другую букву, которой обозначено неизвестное постоянное число. Эту букву в уравнении называют параметром, а уравнение, которое его содержит, уравнением с параметром.

Если в уравнении есть параметр, то имеем уже не одно уравнение, а бесконечное их количество, которые будем получать для различных значений параметра. Для различных значений параметра количество корней уравнения также может быть разным.

  • Решить уравнение с параметром означает для каждого значения параметра установить, имеет ли уравнение корни, и если да, то найти эти корни, которые в большинстве случаев будут зависеть от параметра.

В школьном курсе математики уравнениям с параметрами, как правило, выдвигают одно из двух требований: решить уравнение (имеется в виду, для каждого допустимого значения параметра) или найти значение параметра, при котором уравнение удовлетворяет определенное условие, как правило, по количеству или числовым значениям его корней. В зависимости от этих требований уравнение с параметрами можно условно разделить на два типа. При этом любое такое уравнение является по-своему уникальным, так как универсальных методов решения уравнений с параметрами не существует. Можно лишь отметить определенные действия, без выполнения которых решение уравнения с параметром не будет успешным.

Например, если поставлено требование решить уравнение, то сначала находят область допустимых значений параметра (если отличается от множества всех действительных чисел), затем исследуют все возможные случаи существования корней, находя значение параметра для каждого из этих случаев и соответствующие им корни. Все найденные значения параметра и соответствующие им корни отмечают в ответе к задаче, как правило, в форме «Если ..., то ...». При этом указанные в ответе значение параметра должны обязательно охватывать всю его область допустимых значений. Отсутствие в ответе хотя бы одного значения параметра из его области допустимых значений будет означать, что некоторые случаи существования корней не рассмотрены, поэтому ответ является неполным. Рассмотрим несколько уравнений такого типа на примерах, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — параметр.

Пример №446

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Уравнение является линейным. Если бы оно не содержало параметра, корень мы бы находили делением обеих частей уравнения на коэффициент при переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но этот коэффициент содержит параметр, поэтому при определенных значениях параметра может равняться нулю, и тогда выполнять деление нельзя. Итак, имеем случаи, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда уравнение приобретает вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, решением которого является любое число.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда уравнение приобретает вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и решений нет.
3) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корней нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №447

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим линейное уравнение, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, — квадратное. Рассмотрим эти случаи.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда уравнение приобретает вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Находим дискриминант квадратного уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, уравнение будет иметь два различных корня: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, уравнение принимает вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет один корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , уравнение корней не имеет.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то корней нет.

Рассмотрим теперь несколько примеров уравнений второго типа, то есть тех, в которых надо найти значение параметра, при котором должно выполняться определенное условие о количестве корней уравнения или их значений. В таких задачах чаще всего мы должны найти эти значения параметра и указать их в ответе.

Пример №448

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Единственным корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 3. Поэтому, по определению равносильных уравнений, уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже должно иметь только один корень и он должен быть числом 3. Предположим, что число 3 является корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда оно превращает уравнение в верное равенство. Подставим число 3 вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение с параметром, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Остается убедиться, что при найденном значении параметра других корней, кроме числа 3, уравнение не имеет. Подставив в уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  найденное значение параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, единственным корнем которого и будет число 3. Следовательно, при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильны.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №449

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет ровно два различных действительных корня?

Решение. Рассмотрим два случая: когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть уравнение будет линейным, и когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть уравнение будет квадратным.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и уравнение приобретает вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его единственный корень. Значение параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не удовлетворяет условие задачи, поскольку для этого значения уравнение имеет только один корень.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем дискриминант квадратного уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Уравнение будет иметь два различных действительных корня при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решением этого неравенства является множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что при этом еще и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то при  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение будет иметь два различных действительных корня.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №450

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень?
Решение. Уравнение равносильно системе: 
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнения системы имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Исходное уравнение имеет только один корень в одном из следующих случаев:

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим эти случаи.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда = Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1; 0; 2.

Неравенства

Неравенства, как и уравнения, играют значительную роль в курсе алгебры. В этой лекции систематизируем и углубим знания о неравенствах.

Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства

В предыдущих классах нам уже приходилось решать неравенства с одной переменной. Это были линейные и квадратные неравенства, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подобные.

  • Значение переменной, которое превращает неравенство в верное числовое неравенство, называют решением неравенства.

Например, число 1 является решением неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но 0 не является решением этого неравенства, потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Например, неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решений не имеет, а решением неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают.

Как и уравнения, неравенства тоже можно решать с помощью равносильных преобразований, то есть заменяя неравенство равносильным ему более простым неравенством (иногда несколькими простыми неравенствами) или системой неравенств, которая будет иметь то же множество решений, что и начальное неравенство. В таком случае говорят, что неравенство равносильно неравенству (совокупности неравенств) или системе неравенств.

Вспомним равносильные преобразования неравенств, с которыми мы ознакомились в курсе алгебры 9 класса: 

  1. раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых в любой части неравенства;
  2. перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный;
  3. умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число;
  4. умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с изменением при этом знака неравенства на противоположный.

Вспомним, как решить неравенство с помощью равносильных преобразований.

Пример №451

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (раскрыли скобки);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (перенесли слагаемые);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (привели подобные слагаемые);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поделили на отрицательное число).

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Отметим, что ответ можно записать и так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод интервалов

Вспомним, как решить квадратное неравенство. 

Пример №452

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Найдем корни квадратного трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку неравенство строгого знака, то эти числа не будут принадлежать множеству решений неравенства. Поэтому на числовой оси изображаем их «пустыми» точками. Через эти точки схематично проведем график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  являющийся параболой, ветви которой направлены вверх (рис. 6.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 6.1

Итак, множеством решений неравенства является объединение интервалов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, на которых функция принимает положительные значения.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Как и для уравнений:

  • областью допустимых значений (ОДЗ) переменной для каждого из неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют пересечение областей допустимых значений переменной выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно и другим способом, основываясь, например, на свойствах непрерывных функций. Поскольку графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является непрерывная линия, а нулями функции — числа –3 и 2, то эти числа разбивают числовую ось на три промежутка (интервала): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, на каждом из которых функция знакопостоянная. Поэтому, чтобы найти знак функции на каждом из этих интервалов знакопостоянства, достаточно определить знак числа, которое является значением функции в одной (любой) точке интервала (такую ​​точку называть «контрольной»). Тот же знак будет и у функции в каждой точке этого интервала, то есть на этом интервале. Определив таким способом знак функции на каждом из интервалов знакопостоянства, легко записать решения неравенства. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возьмем последнюю «контрольную» точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Как видим, знаки функции на интервалах совпадают со знаками этой же функции, полученными в примере выше (рис. 6.1).

Способ решения неравенств, который мы только что использовали, называют методом интервалов. Он является универсальным, поэтому его можно применять для любых неравенств. Заметим, что проверять знак функции на интервалах с помощью «контрольных» точек удобнее, когда выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложено на линейные множители.

Рассмотрим несколько упражнений на применение метода интервалов для решения неравенств, областью допустимых значений которых является множество всех действительных чисел.

Пример №453

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Нулями функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа –4 и 2. Обозначим их точками на числовой оси. Эти числа принадлежат множеству решений неравенства, поскольку неравенство является нестрогим. Итак, есть три промежутка знакопостоянства функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 6.2

В каждом из интервалов возьмем по одной «контрольной» точке, по которым определим знак каждого из множителей в левой части неравенства, следовательно, и всего выражения (рис. 6.3). Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 6.3

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №454

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Разложим на множители левую часть неравенства способом группировки: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получили неравенство, равносильное данному: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим числа 1, 2 и –2, которые являются нулями функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, на числовой оси «пустыми» точками, потому что знак неравенства является строгим (рис. 6.4). Определим знак функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из полученных промежутков (сделайте это самостоятельно). Есть решения неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 6.4

Ответ.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примеры, которые мы рассмотрели выше, позволяют сделать вывод, что функция может изменить свой знак при переходе через свой ноль. Есть и другое условие изменения знака.

Рассмотрим хорошо известный нам график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.5). Очевидно, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, функция может изменять знак еще в одном случае — при переходе через точки, не принадлежащие области определения функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Рис. 6.5

Таким образом, учитывая, что знакопостоянство функции зависит не только от нулей функции, но и от ее точек разрыва (то есть функция может изменять знак при переходе как через свои нули, так и через свои точки разрыва), метод интервалов можно применять для решения любых неравенств.

Сформулируем алгоритм применения метода интервалов для решения неравенств. При этом заметим, что любое неравенство можно преобразовать так, чтобы ее правая часть была равна нулю.

  • Чтобы решить неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), надо:
  1. Найти область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначить ее на числовой оси.
  2. Найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначить их на области определения функции (для строгого неравенства — «пустыми» точками).
  3. Определить знак функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из полученных промежутков (интервалов знакопостоянства), например, с помощью «контрольных» точек.
  4. Записать ответ.

Рассмотрим пример на применение метода интервалов для рациональных неравенств.

Пример №455

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Применим алгоритм решения неравенств методом интервалов. Для удобства разложим числитель и знаменатель дроби на множители и рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим эту точку «пустой» на числовой оси.

2) Нулями функции являются числа 1 и –3. Дополним этими точками числовую ось.

3) Определим знак функции на каждом из полученных промежутков с помощью «контрольных» точек. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, на интервале Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция принимает положительные значения, поэтому на рисунке над этим интервалом пишем знак «+»; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому на интервале Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем «–»; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому на интервале Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем «+»; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому на интервале Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже есть «+» (рис. 6.6). Поскольку неравенство является нестрогим, то его решениями будут все промежутки, на которых стоит знак «+», включая концы, кроме «пустых» точек, то есть промежутки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 6.6

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №456

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим на числовой оси число 3 «пустой» точкой.

2) Нулями функции являются только числа 0 и 1, поскольку выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нулей не имеет, следовательно, является знакопостоянным для любого значения переменной (легко проверить, что положительным). Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то для каждого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его можно считать положительным числом, а следовательно, разделить на него обе части неравенства или не учитывать при решении, поскольку положительное число на знак неравенства не влияет. Обозначим нули функции 0 и 1 точками на той же числовой оси, где и область определения функции.

3) Определим знак функции на каждом из полученных промежутков (сделайте это самостоятельно) (рис. 6.7).

Поскольку неравенство является нестрогим, то его решением будет не только промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но и число 0.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 6.7

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простейшие неравенства с параметром

При решении неравенств с параметрами используют те же приемы решения, что и для уравнений с параметром. Рассмотрим несколько примеров неравенств с параметрами.

Пример №457

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — параметр.

Решение. Неравенство является линейным. Если бы оно не содержало параметра, то для нахождения его решения мы бы делили обе части неравенства на коэффициент при переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку этот коэффициент может быть положительным, отрицательным или нулем и для каждого из этих случаев решения будут разными, рассмотрим каждый из них в отдельности.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Разделим левую и правую части неравенства на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, знак неравенства изменим на противоположный. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое не имеет решений.

3) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим левую и правую части неравенства на число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, решений нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №458

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Неравенство является квадратным, для его решения найдем корни квадратного трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Чтобы записать решения неравенства, надо выяснить взаимное расположение этих корней на числовой оси. Возможны три случая такого расположения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда множеством решений неравенства будет промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.8).

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственное решение неравенства (рис. 6.9).

3) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда множеством решений неравенства будет промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.10).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 6.8                                  Рис. 6.9                             Рис. 6.10

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Деление многочленов. Теорема Безу и следствия из нее

Ранее вы уже выполняли некоторые арифметические действия с многочленами, в частности, складывали, отнимали и умножали многочлены. В этой лекции узнаем, как поделить многочлен на многочлен, рассмотрим важную теорему о делении многочлена на двучлен и ее применения.

Многочлен от одной переменной

  • Многочленом (полиномом) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени с одной переменной называют выражение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —переменная, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ..., Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запись многочлена в таком виде называют стандартным видом многочлена, слагаемое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач старшим членом, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачстаршим коэффициентом, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсвободным членом многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют многочленом нулевой степени. Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют нулевым многочленом.

Значением многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое получают, если в вышеупомянутую запись многочлена вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найти значение полученного выражения.

Например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —значение многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть значение любого многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно свободном члену этого многочлена, а для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сумме всех его коэффициентов.

Пример №459

Найти свободный член и сумму всех коэффициентов многочлена, который тождественно равен выражению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Для выполнения требования задачи не обязательно приводить данное выражение к многочлену стандартного вида, ведь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так же найдем сумму всех коэффициентов многочлена, равную значению выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют корнем многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, корнями многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  являются числа 1 и –2,5 (проверьте это самостоятельно).

  • Многочлены называют тождественно равными, если они одинаковой степени и их соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях переменных также между собой равны.

Деление многочленов

Как мы уже знаем, результатом сложения, вычитания или умножения многочленов является многочлен. Рассмотрим, как найти долю двух многочленов.

Обозначим действие деления многочленов аналогично действию деления натуральных чисел нацело, то есть без остатка. Ранее уже было согласовано, что в случае натуральных чисел вместо термина «делится без остатка» будем использовать «делится». Так же будем говорить и в теории деления многочленов.

Напомним, про натуральное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  говорят, что оно делится на натуральное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если существует такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично определим и действие деления многочленов. 

  • Говорят, что многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ненулевой многочлен), если существует такой многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для любого действительного значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оправдывается равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.


Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом называют делимым, многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачделителем, а многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччастным.

Например, если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, это означает, что многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом в частном получаем многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и наоборот, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом в частном получаем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Находить частное от деления многочлена на многочлен удобно способом, подобно делению чисел «в столбик», его еще называют делением «уголком».

Пример №460

Разделить многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Выполним деление «уголком». Сначала найдем результат деления Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (старшего члена делимого) на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (старший член делителя). Для этого выясним, какой одночлен при умножении на одночлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этот результат умножения записываем под делителем и выполняем почленное вычитание: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в результате получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. К полученной разности прибавляем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (следующий член делимого) и таким же образом продолжаем процесс деления.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

В результате получим частноеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы проверить, правильно ли выполнено деление, достаточно умножить делитель на полученное частное и сравнить полученный результат с делимым.

Если многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на ненулевой многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подтверждается равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, очевидно, что степень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна сумме степеней многочленов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Как и для натуральных чисел, не всегда один многочлен делится на другой. Так, например, многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не делится на многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Действительно, предположим, что существует многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое не является верным. Итак, многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не делится на многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поэтому есть необходимость определить действие деления многочленов с остатком.

  • Говорят, что многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на ненулевой многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с остатком, если существуют такие многочлены Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для любого действительного значения х справедливо равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом степень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше степень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Отметим, что в равенстве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют неполным частным, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — остатком. Найти неполное частное и остаток от деления одного многочлена на другой можно «уголком». Выполним, например, деление многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили неполное частное Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и остаток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, можем записать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Дробь, числителем и знаменателем которой является многочлен с одной и той же переменной, называют правильной, если степень ее числителя меньше степени знаменателя, и соответственно — неправильной, если степень ее числителя не меньше степени знаменателя. Деление многочленов (без остатка или с остатком), позволяет в неправильных рациональных дробях выделять целую часть.

Пример №461

Выделить целую часть дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Выше мы уже разложили на множители многочлен, который является числителем дроби. Учитывая это, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема Безу и ее следствия

Интересное свойство деления многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заметил французский математик Этьен Безу. Рассмотрим это свойство.

  • Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Поскольку степень делителя (двучлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) равна 1, то степень остатка должна быть нулевой (т.е. остатком является или некоторое отличное от нуля число, или остаток равен нулю, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится нацело).

Допустим остатком есть некоторое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  Е. Безу (1730—1783)

Рассмотрим следствия из теоремы Безу.

  • Следствие 1. Если число с является корнем многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то этот многочлен делится на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нацело.

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является корнем многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . 

  • Следствие 2. Если многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нацело, то число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является корнем многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нацело, то из равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • Следствие 3. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — попарно различные корни многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по следствию 1). Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — также корень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассуждая так же дальше, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • Следствие 4. Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени имеет не более чем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различных корней.

Доказательство. Пусть многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различных корней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда (по следствию 3): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В левой части равенства имеем многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени, а в правой — не менее Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й, что невозможно. Поэтому многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени имеет не более чем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач различных корней. 

Рассмотрим упражнения на применение теоремы Безу и ее следствий.

Пример №462

Найти остаток от деления многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — остаток от деления Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и теорему Безу, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. –59.

Пример №463

Доказать, что выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится на выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делится и на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тождественно равно многочлену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, по следствию 3,  имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а следовательно и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, делится на выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №464

Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при делении на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает в остатке 6, а при делении на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает в остатке 2.  Какой остаток получим от деления многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. 1) Поскольку степень многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна 2, то степень искомого остатка — не больше 1 или вообще в остатке 0 (нулевой многочлен).

Для решения задачи применим метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что остаток является многочленом первой степени, следовательно, имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  являются неопределенными, то есть пока неизвестными, коэффициентами).

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку при делении многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в остатке имеем 6, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Получим систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Итак, остатком от деления Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема Безу и сведенное алгебраическое уравнение

  • Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа, называют алгебраическим уравнением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени.

Числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют коэффициентами алгебраического уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачстаршим коэффициентом, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсвободным членом.

В таком виде можно записать и известные нам линейное уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и квадратное: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Алгебраические уравнения, степень которых больше 2, принято называть алгебраическими уравнениями высших степеней. Ранее вы уже рассматривали те алгебраические уравнения высших степеней, которые можно было решить разложением на множители, степень которых не превышала 2, или введением новой переменной, чем также сводили уравнение к квадратному.

Рассмотрим еще один способ решения алгебраических уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его целый корень. Тогда, из следствия 3, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторой многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени, например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из процесса деления многочленов «уголком» понятно, что если многочлен с целыми коэффициентами делится на двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то частным тоже будет многочлен с целыми коэффициентами, поэтому, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число. Поскольку многочлены в равенстве (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) между собой равны, то равны и их свободные члены, то есть: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. А поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целые числа, то число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является делителем числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Приходим к важному выводу:

  • если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.

Это дает возможность искать целые корни алгебраического уравнения среди делителей свободного члена (если корни существуют). Но это еще не значит, что делители свободного члена обязательно будут корнями уравнения. Например, для уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делителями свободного члена являются числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, однако корнем уравнения есть только число 1. Для уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач делителями свободного члена является числа 1 и –1, однако ни одно из них не является корнем уравнения.

Полученный вывод можно применить к любым алгебраическим уравнениям высших степеней. Наиболее удобно его использовать для приведенного уравнения. Напомним, что

  • алгебраическое уравнение общего вида называют приведенным, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №465

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Целые корни уравнения будем искать среди делителей числа –6, то есть среди чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Достаточно найти хотя бы один корень. Например, в нашем случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень уравнения. Обратите внимание, что когда корнем алгебраического уравнения является число 1,  сумма всех его коэффициентов равна нулю.

2) Выполним деление многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на двучлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач «уголком», получим, что: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Имеем уравнение, равносильное начальному: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Теперь ищем корни многочлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач среди делителей числа 6, а именно, среди чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень многочлена (убедитесь в этом самостоятельно). Поделим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач "уголком", получим, что: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

5) Имеем уравнение, равносильное начальному: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней не имеет.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни исходного уравнения.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение неприведенных алгебраических уравнений высших степеней

Для решения неприведенных алгебраических уравнений высших степеней можно применить вывод из предыдущего пункта. Достаточно часто неприведенные уравнения целых корней не имеют, однако имеют рациональные корни. Можно доказать, что

  • если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет корень вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является делителем свободного члена, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — делителем старшего коэффициента.

Однако этот способ приводит к довольно громоздким вычислениям, поскольку корень придется искать среди множества чисел. Так, например, для уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач числителями дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  могут быть числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Рассмотрим более удобный способ решения такого уравнения, который заключается во введении новой переменной так, чтобы уравнение стало приведенным. Рассмотрим этот способ на примере.

Пример №466

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Умножим левую и правую части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда имеем приведенное уравнения 3-й степени: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Далее ищем корни этого уравнения среди делителей свободного члена (сделайте это самостоятельно), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень этого уравнения. Возвращаясь к замене, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. –0,2.

Метод математической индукции

Наблюдая за окружающим миром, люди, как правило, делают выводы на основе отдельных наблюдений. Например, наблюдая за тем, что после ночи наступает утро, а после вечера — ночь, человек делает вывод о наступлении определенного времени суток. Этот вывод является верным.

Выводы, которые сделаны на основе отдельных наблюдений, называют индуктивными, а сам метод таких соображений — индуктивным методом, или индукцией (от лат. inducatio — наведение). Наш пример по выводу о наступлении определенного времени суток является индуктивным.

Однако с помощью индуктивного метода не всегда можно получить правильные выводы. Например, в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач веке выдающийся французской математик Пьер Ферма заметил, что числа вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, являются простыми. Действительно, числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — простые. Ферма предположил, что и при любом другом натуральном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач числа такого вида будут простыми (их стали называть простыми числами Ферма). Но в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач другой выдающийся математик Л. Эйлер (1707—1783) показал, что при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое уже не является простым. Итак, гипотеза Ферма, к которой он пришел индуктивным методом, была опровергнута.

    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пьер Ферма (1607—1655)

    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Леонард Эйлер (1707—1783)

Таким образом, можно утверждать, что в одних случаях рассуждения по индукции приводят к верным выводам, а в других — к неверным. Поэтому появилась потребность в методе, который позволил бы устанавливать, в каких случаях гипотеза является истинной, а в каких — ошибочной. Таким методом является метод математической индукции.

Метод математической индукции:

Сформулируем суть метода математической индукции. 

  • Если высказывания Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в формулировке которого фигурирует натуральное число n, правильное для n = 1, а из предположения, что оно верно для n = k, следует, что оно является правильным для n = k + 1, то выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач верно для любого натурального n.

Это утверждение называют принципом математической индукции. Из этой формулировки ясно, что методом математической индукции можно доказывать только те утверждения, выводы которых зависят от натурального числа (иногда от нуля и натуральных чисел), то есть только математические.

Итак, чтобы доказать такое утверждение методом математической индукции, надо:

  1. проверить, что утверждение подтверждается для n = 1 (иногда для некоторых последующих за ним натуральных чисел);
  2. предположив, что утверждение подтверждается для n = k, доказать, что оно является правильным для n = k + 1.

Таким образом, на первом этапе проверяют правильность утверждения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое называют базой индукции, а на втором — на основе утверждения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (которое называют предположением индукции) доказывают утверждение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это доказательство называют индуктивным переходом, а сам переход от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачшагом индукции.

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, в формулировке которых фигурирует натуральное число n: числовые тождества, числовые неравенства, утверждение о делимости чисел, геометрические факты и тому подобное.

Доказательство числовых тождеств

Пример:

Доказать, что для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подтверждается равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1) Проверим правильность утверждения для n = 1. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равенство является верным.

2) Пусть равенство верно для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для n = k + 1  имеем равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач докажем его. Преобразуем левую часть этого равенства, учитывая наше предположение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, левая часть равенства для n = k + 1 равна ее правой части, то есть равенство является верным и для n = k + 1. Поэтому, по принципу математической индукции, равенство верно для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №467

Доказать, что для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. 1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильное числовое равенство.

2) Предположим, что для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Докажем это равенство. Преобразуем его левую часть: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получили правую его часть.
Итак, равенство для n = k + 1 является верным. Поэтому, по принципу математической индукции, равенство верно и для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство гипотез

Метод математической индукции поможет нам и в задачах, где сначала на основе нескольких наблюдений устанавливают некоторую закономерность или формулу для вычисления некоторой суммы или произведения, зависящую от натурального числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем методом математической индукции доказывают ее истинность.

Пример №468

Найти формулу для вычисления произведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и доказать ее.
Решение. Сначала вычислим несколько первых значений этого произведения.

Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выдвинем гипотезу о том, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. 1) Для n = 2 проверено выше.

2) Предположим, что для n = k  справедливо равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запишем равенство для n = k + 1Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  докажем его. Преобразуем левую часть этого равенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получили его правую часть.
Итак, для n = k + 1 наша гипотеза является истинной, поэтому предложенная формула является правильной для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство неравенств

Пример:

Доказать, что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач неравенств выполняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1) Если n = 3, то, действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Допустим, n = k  выполняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запишем неравенство для n = k + 1, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Докажем, что оно является правильным.

Поскольку неравенство для n = k  предположительно является правильным, умножим обе его части на 2. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим правую часть этого неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, для n = k + 1 неравенство является правильным, а потому, по принципу математической индукции, неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется для любого  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №469

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1)Если n = 1, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Предположим, что для n = k  выполняется неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запишем неравенство для n = k + 1Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Докажем его. Для доказательства к обеим частям неравенства (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), прибавим сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда, по свойствам числовых неравенств, получим верное неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  левая часть которого тождественно равна левой части неравенства, которую надо доказать, а правую часть можно упростить. Для правой части получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, неравенство для n = k + 1 является верным, а потому верно для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство делимости выражений 

Пример №470

Доказать, что для любого целого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратное числу 133.

Доказательство. 1) Для n = 0 имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — кратное числу . Следовательно, для n = 0 утверждение истинно.

2) Для n = k имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Предположим, что это выражение кратно числу 133.

Для n = k + 1 имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Докажем, что выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратно числу 133.

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку слагаемое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратное числу 133 (по предположению индукции) и слагаемое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже кратно числу 133, то сумма также кратная числу 133.

Следовательно, по принципу математической индукции, число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратное числу 133 для любого целого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство геометрических фактов

Некоторые геометрические факты, условие которых связано с натуральным числом n, можно доказать методом ​​​​​​математической индукции.

Пример №471

На плоскости проведены n  прямых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, никакие две из которых не параллельны и никакие три не имеют общей точки. Доказать, что эти прямые разбивают плоскость на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей. 

Доказательство. 1) Очевидно, что одна прямая разбивает плоскость на 2 части; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для n = 1 утверждение является верным.

2) Предположим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямых, удовлетворяющих условию, разбивают плоскость на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей.

Проведем еще одну прямую, теперь их Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта прямая пересекает каждую из предыдущих прямых, при этом все точки пересечения будут разными (поскольку среди прямых нет параллельных и никакие три прямые не имеют общей точки). Эти точки делят Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямых на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей, а именно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезков и два луча. Каждый из этих отрезков или лучей делит ранее целую часть плоскости на две части, то есть количество частей увеличивается на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет равно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, утверждение является верным для n = k + 1, а потому, по принципу индукции, утверждение задачи верно. 

Пример №472

Докажите, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кругов (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), проведенных на плоскости, делят ее не более чем на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей.

Доказательство. 1) Очевидно, что один круг разбивает плоскость на две части; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для n = 1 утверждение верно.

2) Предположим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кругов разбивают плоскость не более чем на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей. Проведем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й круг. Этот круг может иметь с Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предыдущим не более чем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общих точек, которые будут разбивать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й круг на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дуг. Каждая из этих дуг делит ранее целую область на две, то есть количество частей плоскости увеличится не более чем на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет равно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, утверждение задачи является верным для n = k + 1, а потому, по принципу математической индукции, и для любого натурального n

Степенная функция

Степенная функция — функцияМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где a (показатель степени) — некоторое действительное число.

Корень n-й степени. Арифметический корень n-й степени

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим функциюМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач,Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ее называют степенной функцией с натуральным показателем. Степенные функции, для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, нам уже известны. Их графики изображены на рисунках 9.1 и 9.2.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач       Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 9.1                                     Рис. 9.2

Выясним свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и особенности ее графика для любых значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сначала рассмотрим случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число.

На рисунке 9.2 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рисунке 9.3 — график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, является четной, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Рис. 9.3

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с четным натуральным показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач схематично изображен на рисунке 9.4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

     Рис. 9.4

Рассмотрим случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное число.

На рисунке 9.5 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рисунке 9.6 — график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при нечетном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является нечетной, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач            Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 9.5                            Рис. 9. 6

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с нечетным натуральным показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображен на рисунке 9.7.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 9.7

Обобщим свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число, и представим их в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №473

Функция задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сравнить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно:

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №474

Функция задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сравнить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Поскольку на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четная, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четная, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция возрастает, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Корень n-й степени

Напомним, что квадратным корнем из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое число, квадрат которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, числа 4 и –4 — квадратные корни из числа 16, так Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 0 — квадратный корень из числа 0, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; а квадратного корня из числа –9 не существует, потому что нет числа, квадрат которого равен –9.

Тем же способом введем определение корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Корнем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-я степень которого равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, корень третьей степени из числа 64 равен 4, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Числа 3 и –3 являются корнями четвертой степени из числа 81, потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Корнем пятой степени из числа –32 есть число –2, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Арифметический корень n-й степени

Как и для квадратного корня, для корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени рассмотрим понятие арифметического корня. Напомним, что арифметическим квадратным корнем из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Арифметический квадратный корень из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и читают так: квадратный корень из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (слово «арифметический» при этом договорились не использовать). Напомним, что выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично обозначают арифметический корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени.

  • Арифметическим корнем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из неотрицательного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое неотрицательное число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-я степень которого равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Арифметический корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют показателем корня, а число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачподкоренным выражением. Знак корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще называют радикалом. Запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач читают так: корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (здесь слово «арифметический» также не употребляют).

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим арифметический квадратный корень из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, обозначаемый Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (показатель корня в этом случае не пишут). Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — арифметический кубический корень из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (слово «арифметический» во время чтения не используют).

Пример №475

Найти: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач >0); 

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Из определения следует, что равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является верным, если выполняются одновременно два условия: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, если в равенстве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем тождество: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №476

Найти значение выражения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Сначала надо найти значение подкоренного выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем из полученного значения извлечь корень 5-й степени: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Ответ. 3.

Тождества для корня n-й степени

Знак корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используют не только для записи арифметического корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из неотрицательного числа, но и для записи корня нечетной степени из отрицательного числа. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач); Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач); Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).
Поэтому равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное натуральное число, является верным, если выполняется только одно условие: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Приходим к выводу:

  • для любого числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нечетного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем тождество: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вообще,

  • для корней нечетной степени имеем тождество: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак,

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает арифметический корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то при нечетном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а при четном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это выражение не имеет смысла.

Приходим к выводу:

  • выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при четном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; при нечетном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №477

При каких значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл выражение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Корень 7-й (нечетной) степени существует для любого значения подкоренного выражения, поэтому выражение имеет смысл для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Корень 4-й (четной) степени имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение — положительное. Решим неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Рассмотрим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решим его графически.

Пусть в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное. Построим графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.8). Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то графики будут пересекаться в двух точках, то есть уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь два корня. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае четного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень — число 0. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при четном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней не имеет.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               

                 Рис. 9.8

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное. Тогда для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень (рис. 9.9). Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 9.9

Систематизируем данные о решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде схемы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №478

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значит, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Корней нет.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является иррациональным числом.

4) Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;             Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;                        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, уравнение имеет два корня: 0 и 1.

Ответ. 1) 3; –3; 2) корней нет; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) 0; 1. 

Свойства арифметического корня n-й степени. Преобразования корней. Действия над корнями

Корень из произведения и дроби

Из курса алгебры 8 класса нам известно, что: 

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Такие же свойства имеет и арифметический корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Теорема 1 (про корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из произведения). Корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из этих чисел, то есть если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, по определению арифметического корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Теорему можно применить и в случае, когда множителей под знаком корня более двух.

  • Следствие. Корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из этих множителей.

Доказательство. Докажем это следствие, например, для трех положительных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По свойству о корне из произведения, например, имеем:

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примечание 1. Очевидно, что выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при четном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одного знака, а значит, и тогда, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отрицательные. В таком случае равенство в теореме 1 приобретает вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак,

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное.

Если в равенстве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поменять местами левую и правую части, получим тождество: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • Произведение корней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из положительных чисел равно корню Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из произведения этих чисел.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Теорема 2 (о корне Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из дроби). Корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из дроби, числитель которой — неотрицательное число, а знаменатель — положительное число, равняется корню Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из числителя, разделенному на корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из знаменателя, то есть если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.

По теореме 2, например, имеем:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примечание 2. Очевидно, что корень из частного при четном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, и тогда, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если в равенстве  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поменять местами левую и правую части, получим тождество:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

  • Частное, числитель которого — корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из неотрицательного числа, а знаменатель — корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из положительного числа, равняется корню Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из частного этих чисел.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Корень из степени

  • Теорема 3 (о корне Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из степени). Для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, то выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку в этом случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда по определению корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—й степени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное, то выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также имеет смысл для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда по определению корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме 3, например, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №479

Упростить выражение:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 6) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

6) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 6) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №480

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  изображен на рисунке 10.1.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 10.1

Корень из под корня и степень корня

  • Теорема 4. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральные числа и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл и неотрицательные. Кроме того, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, по определению корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й, степени: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме 4, например, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Теорема 5. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральные числа и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Используя предыдущую теорему, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примечание 3. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число, то выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл при любом действительном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и тогда для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет место равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (докажите самостоятельно).

Примечание 4. Договоримся, что корень первой степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это позволяет использовать тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в случае, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая теорему 5 и примечания, например, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Теорема 6. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по определению корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Например, 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Преобразование выражений, содержащих корни

Свойства арифметического корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени используют для тождественных преобразований выражений: вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня, упрощение иррациональных выражений.

Вынесение множителя из-под знака корня

В выражениях, содержащих корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени, как и в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни, можно выносить множитель из-под знака корня, используя при этом теорему о корне Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из произведения.

Пример №481

Вынести множитель из-под знака корня: 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №482

Вынести множитель из-под знака корня: 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Очевидно, областью допустимых значений выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть неотрицательные значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Область допустимых значений выражения можно найти из неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теперь выполним вынесение множителя из-под знака корня: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №483

Упростить выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Внесение множителя под знак корня

Рассматривая преобразование вынесения множителя из-под знака корня в обратном порядке, получим преобразование, которое называют внесением множителя под знак корня.

Пример №484

Внести множитель под знак корня: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обратите внимание, что под знак корня четной степени вносим только модуль множителя, знак множителя оставляем перед корнем.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №485

Внести множитель под знак корня: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Поскольку в условии не заданы ограничения для переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, рассмотрим два случая.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №486

Внести множитель под знак корня: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Решение. 1) ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №487

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Внесем множитель 5 под знак квадратного корня и дальше применим свойства корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сокращение дробей

Сократить дробь: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Выражения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Из условия следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме того, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Напомним, что избавиться от иррациональности в знаменателе (числителе) дроби означает выполнить такие преобразования этой дроби, чтобы его знаменатель (числитель) не содержал знака корня.

Пример №488

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, умножим его числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к знаменателю, то есть на неполный квадрат разности чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Упрощение выражений

Пример №489

Упростить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Отметим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №490

Упростить выражение, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти область допустимых значений выражения А.

Решение. Упростим подкоренное выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заметим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поэтому имеем два случая: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №491

Докажите, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следствием из теоремы Безу находим корень: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда уравнение можно переписать в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Многочлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней не имеет, поэтому уравнение имеет единственное решение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее график

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное четное число

Рассмотрим сначала функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которую мы уже изучали в курсе алгебры 8 класса. Ее график изображен на рисунке 12.1. Областью определения функции является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а множеством значений — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 12.1

Рассмотрим общий случай функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное четное число. Функция определена для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и является возрастающей. Множество ее значений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное четное число, схематически изображен на рисунке 12.2.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 12.2

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное нечетное число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим сначала график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.3). Множеством значений этой функции является множество всех действительных чисел, функция является возрастающей.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                              Рис. 12.3

В общем случае функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное нечетное число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, также определена для любого действительного значения аргумента, растет на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, множеством ее значений является множество всех действительных чисел. График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное нечетное число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображен на рисунке 12.4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                      Рис. 12.4

Свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обобщим свойства функции, которую мы только что рассмотрели, в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение свойств функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Рассмотрим несколько упражнений, которые решим с помощью свойств функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №492

Найти область допустимых значений выражения: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае четного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим, решив неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное, то ОДЗ выражения совпадает с областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.5).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
         Рис. 12.5

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, решив это неравенство методом интервалов (рис. 12.6), получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
         Рис. 12.6

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №493

Найти множество значений функции: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку областью значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то областью значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №494

Сравнить числа: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач растет на всей своей области определения при любом натуральном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и значения выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существуют, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) По свойствам корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени превратим выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, подав его в виде корня 8-й степени: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Представим число в виде корней одной и той же степени: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Иррациональные уравнения

  • Уравнение называют иррациональным, если оно содержит переменную под знаком корня.

Рассмотрим некоторые виды иррациональных уравнений и методы их решения.

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — какое-то число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число. Найдем решение уравнения графически. Построим графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.1).

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень уравнения в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение корней не имеет.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 13.1

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное, то для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение имеет только один корень (рис. 13.2). Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень уравнения.

Систематизируем данные о решении уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде схемы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №495

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;      2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;       3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.              4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.           Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.        корней нет.              Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) 8; 2) 49; 3) корней нет; 4) 43.

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач каждое свое значение приобретает только один раз, то из равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В случае нечетного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут принимать любые значения. Поэтому уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для нечетного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, то областью допустимых значений уравнения являются такие значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых одновременно выполняются условия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому в случае четного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равносильно одной из систем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первой системе условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы не писали, поскольку при выполнении условий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется автоматически. Аналогично и во второй системе условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является лишним. Записывая систему для решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, какое из двух неравенств, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, выбирать зависит от того, какое из них легче решить.

Систематизируем данные о решении уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде схемы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №496

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Уравнение равносильно системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) 13; 2) 2.

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общим методом решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является возведение левой и правой частей уравнения в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное число, то возведение обеих частей уравнения в степень является равносильным преобразованием уравнения.

Следовательно, в случае нечетного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число, то левая часть уравнения  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является неотрицательной, поэтому неотрицательной должна быть и правая его часть. Итак, для равносильных преобразований уравнения условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обязательным. После возведения обеих частей уравнения в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное), поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, в случае четного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение равносильно системе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ОДЗ уравнения) включать в систему необязательно, поскольку, как было отмечено выше, из равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число, автоматически следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Систематизируем данные о решении уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде схемы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №497

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Возведем левую и правую части уравнения в третью степень, получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, решив которое, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Уравнение равносильно системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— единственное решение системы, а следовательно, единственный корень уравнения.

Ответ. 1) 0; 2; 2) 4.

Решение иррациональных уравнений, содержащих несколько квадратных корней

Решение уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и им подобные целесообразно начинать с нахождения ОДЗ уравнения, а дальше воспользоваться одним из двух нижеприведенных способов решения. 

1-й способ. Последовательность действий может быть такой:

  1. найти ОДЗ уравнения;
  2. записать уравнение так, чтобы обе его части стали неотрицательными, например, перенести слагаемые из одной части уравнения в другую;
  3. возвести левую и правую части полученного уравнения в квадрат, упростить его и свести к более простому иррациональному уравнению;
  4. решить полученное уравнение и из полученных корней вычеркнуть посторонние, то есть те, которые не принадлежат ОДЗ исходного уравнения.

Пример №498

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Найдем ОДЗ уравнения, решив систему Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Перенесем выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в правую часть уравнения, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку теперь обе части уравнения — неотрицательные, возведем их в квадрат и решим полученное уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                       Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                                    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                                     Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                                        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                                           Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку число 3 принадлежит ОДЗ исходного уравнения, то это и есть его корнем.

Ответ. 3.

2-й способ заключается в том, чтобы после нахождения ОДЗ уравнения обе его части возвести в квадрат, не требуя их неотрицательности. Но такой способ может привести к появлению посторонних корней. Для выявления посторонних корней можно предложить два подхода. Первый заключается в том, чтобы выполнить проверку полученных корней подстановкой в ​​исходное уравнение. Но если полученные корни — иррациональные, проверка будет довольно громоздкой. Второй подход заключается в том, чтобы перейти к системе, равносильной данному уравнению. Такую систему можно получить, если дополнить уравнение, в котором записаны левая и правая части, возведенные в квадрат, неравенством, что обеспечивает одинаковый знак обеих частей.

Пример №499

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ уравнения задается системой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Левая и правая части заданного уравнения неотрицательные, поэтому их можно возводить в квадрат, а это приводит к достаточно громоздким вычислениям (проверьте это самостоятельно). Поэтому целесообразнее одно из иррациональных выражений, например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, перенести в правую часть. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возведем обе части уравнения в квадрат и решим его. Поскольку правая часть последнего уравнения может быть как положительной, так и отрицательной, то такое преобразование не является равносильным, поэтому полученный корень следует проверить. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                                   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                                                  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

                                                        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Проверка: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, число 1 — единственный корень уравнения.

Ответ. 1.

Пример №500

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Найдем ОДЗ уравнения, решив систему неравенств: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

из которой имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обе части уравнения являются неотрицательными. Возведение их в квадрат приведет к громоздким вычислениям. Поэтому выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенесем в правую часть: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Полученное уравнение можно решить тем же способом, что и предыдущее, а можно подойти к решению иначе. Левая часть полученного уравнения — неотрицательная, поэтому неотрицательной должна быть и правая часть. Следовательно, уравнение равносильно системе:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое уравнение имеет корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но только второе значение удовлетворяет как условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и ОДЗ уравнения. Поскольку все преобразования уравнения были равносильными, то проверка не является обязательной.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень уравнения.

Ответ. –0,5.

Итак, решать уравнения, содержащие несколько знаков радикала, можно в такой последовательности:

  1. найти ОДЗ уравнения;
  2. возвести в квадрат обе его части;
  3. после упрощений получить более простое иррациональное уравнение и решить его;
  4. выполнить проверку полученных корней.

Или в такой последовательности:

  1. найти ОДЗ уравнения;
  2. возвести в квадрат обе его части;
  3. составить систему уравнений, дополнив полученное после возведения в квадрат уравнение неравенством (или неравенствами), обеспечивающими одинаковый знак левой и правой частей уравнения;
  4. решить полученную систему;
  5. исключить из ее решений те, которые не принадлежат ОДЗ исходного уравнения.

Метод замены переменной в иррациональном уравнении

Некоторые иррациональные уравнения удобно решать, сводя их к рациональным заменой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №501

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Сделаем замену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет только Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1.

Пример №502

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корни которого: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Оба корня удовлетворяют условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене:

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 66; 731.

Пример №503

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая ограничения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ПустьМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: 

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение иррациональных уравнений с параметрами

Рассмотрим, как решать иррациональные уравнения с параметрами.

Пример №504

Для всех значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решите уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Надо рассмотреть два случая: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда корнем является любое число из ОДЗ уравнения. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое не имеет корней.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение не имеет корней.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корней нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №505

Для всех значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решите уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. ОДЗ уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень уравнения для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим уравнение для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и уравнение можно записать в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим обе его части на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Она является растущей, как сумма двух возрастающих функций, а ее наименьшее значение равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем это значение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.3). Тогда для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь единственное решение, но не будет иметь решений, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Запишем уравнение в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем корень при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 13.3

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, окончательно имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №506

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет только один корень?

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательная, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выполним замену: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Исходное уравнение примет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сложим почленно уравнения системы: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разложим левую часть полученного уравнения на множители: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и уравнение равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаясь к уравнениям системы, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем дискриминант этого уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его корни.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень уравнения.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но один из корней является отрицательным. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда очевидно, что для того, чтобы один из корней был положительным, а другой — отрицательным, достаточно выполнения условия: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.4).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 13.4

Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №507

Сколько корней в зависимости от значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Область допустимых значений уравнения найдем из условия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решая уравнение, получим корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого значения параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Последний корень должен удовлетворять ОДЗ, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что подтверждается при: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим корень, который будет совпадать с ранее найденным (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно). Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — третий корень уравнения.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение имеет три корня, а если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение имеет два корня.

Иррациональные неравенства

  • Неравенство называют иррациональным, если оно содержит переменную под знаком корня.

Рассмотрим некоторые виды иррациональных неравенств и методы их решения.

Простейшие иррациональные неравенства

Простейшими считают неравенства вида: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное, то после вознесения обеих частей неравенства в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим неравенство, равносильное данному.

Пример №508

Решить неравенство: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Возведем обе части неравенства в третью степень, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число, то после возведения обеих частей неравенства в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим (на ОДЗ неравенства) неравенство, равносильное данному, лишь при условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, при решении простейших неравенств при четном Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач надо обращать внимание на число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и на ОДЗ неравенства.

Пример №509

Решить неравенство: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) ОДЗ данного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На ОДЗ возведем в четвертую степень неотрицательные левую и правую части неравенства, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют и ОДЗ.

2) ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но учитывая ОДЗ, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из ОДЗ, решениями неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с ОДЗ неравенства, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющих ОДЗ неравенства, то неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решений не имеет.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) нет решений.

Аналогично решают неравенства, когда под корнем есть некоторое выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №510

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая ОДЗ, после возведения в степень имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное, то возведением в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим равносильное неравенство.

Пример №511

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, то ОДЗ неравенства определяем из системы: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач После возведения (на ОДЗ) в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обеих частей неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (на ОДЗ),  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет выполняться автоматически. Итак,

  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, то неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач системе неравенств.

Аналогично:

  • неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №512

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Неравенство равносильно системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решим ее: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач       Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то должно выполняться условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом условии возводим в квадрат  обе части начального неравенства, которые неотрицательные, и получим неравенство–следствие: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку это неравенство–следствие, дополним его еще неравенством для ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом,

  • неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично

  • неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №513

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем равносильную неравенству систему неравенств: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.


Получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 14.1

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Его ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из ОДЗ неравенство будет правильным.

Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то обе части неравенства являются неотрицательными. Возведем их в квадрат и получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ОДЗ неравенства) выполняется автоматически.

Итак, подводя итог, имеем:

  • неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно совокупности систем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично

  •  неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно совокупности систем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Квадратная скобка означает объединение (знак совокупности), то есть каждую из систем неравенств надо решить отдельно, а в ответе полученные результаты объединить.

Пример №514

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Неравенство равносильно совокупности систем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. (рис. 14.2)

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 14.2

Объединяя полученные в пунктах 1) и 2) результаты, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение иррациональных неравенств, содержащих несколько квадратных корней

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач( или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и им подобные начинают решать с нахождения ОДЗ неравенства. После этого применяем приемы, известные нам по решению соответствующих уравнений и простейших неравенств.

Пример №515

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Найдем ОДЗ неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Перенесем выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в правую часть неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными. Возведем их в квадрат. Учитывая ОДЗ, имеем систему, равносильную данному неравенству: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим ее Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение иррациональных неравенств методом интервалов

Некоторые более сложные иррациональные неравенства, первоначально записанные в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — иррациональное выражение, удобно решать методом интервалов. Воспользуемся соответствующим алгоритмом и применим его к решению иррациональных неравенств.

Пример №516

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перепишем неравенство в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим функцию: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. ОДЗ неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, решив уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Числа 2 и 3 обозначим на числовой оси и определим знак функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из полученных промежутков (рис. 14.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 14.3

Итак, имеем решение неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №517

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перепишем неравенство в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, упростим его левую часть: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим число 0 — точку разрыва функции на числовой оси. Найдем нули функции, решив уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите уравнение самостоятельно). Обозначим число 2 на той же числовой оси. На каждом из полученных промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определим знак функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.4). Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 14.4

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Иррациональные неравенства с параметрами

Рассмотрим иррациональные неравенства с параметрами.

Пример №518

Для всех значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Рассмотрим три случая: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число из ОДЗ переменной, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поделим обе части неравенства на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поделим обе части неравенства на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №519

При каких значениях параметров Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множество решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с промежутком Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Имеем систему неравенств, равносильную данному неравенству: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Множество решений первоначального неравенства должно совпадать с промежутком Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Степень с рациональным показателем, ее свойства. Преобразование выражений, содержащих степень

В предыдущих классах мы рассматривали степени с натуральными и с целыми показателями.

Определение степени с рациональным показателем

Вспомним основные понятия, связанные со степенью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — степень, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — основание, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — показатель, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теперь рассмотрим понятие степени для выражений типа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д., то есть для степени с рациональным показателем.

Определение степени с рациональным показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач естественно сформулировать так, чтобы она имела те же свойства, что и ранее изученные нами степени с целыми показателями. Так, например, должно выполнятся свойство возведения степени в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  а потому, по определению корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени, можно сделать вывод, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен быть корнем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени из числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, сформулируем определение степени с рациональным показателем:

  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральное число (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач),  то степенью числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач . И, наоборот, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натуральные числа. Выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. — не имеют смысла.

Примечание. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то очевидно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого натурального Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и целого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 2) Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач степень с дробным показателем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не определена. Это не случайно. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то должно выполняться равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим, например, случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому вышеприведенное определение степени с дробным показателем для отрицательных значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не рассматривают. Выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. — не имеют смысла.

Пример №520

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) 5; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) 216; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства степени с рациональным показателем

Степень с рациональным показателем имеет все те же свойства, что и степень с целым показателем, а именно:

  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональные числа, то: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все указанные свойства легко доказать, используя определение степени с рациональным показателем и свойства корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени.

Докажем, например, свойство о произведении степеней. Запишем рациональные числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде дробей с одинаковыми знаменателями (как известно, любые две дроби можно всегда свести к общему знаменателю).

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для степени с рациональным показателем выполняются и следующие свойства:

  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональное число, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №521

Упростить выражение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №522

Найти значение выражения: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что в последнем примере вычисления можно выполнить по определению степени с дробным показателем.

Пример №523

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №524

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Упростим формулу функции на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 15.1.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 15.1

Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем

Рассмотрим на примерах тождественные преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.

Пример №525

Упростить выражение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №526

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найти его значение, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Введем обозначения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; . Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Перепишем выражение и упростим его: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем значение полученного выражения для заданных значений переменных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №527

Доказать, что значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от значения переменных. 

Решение. Обозначим же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, значение выражения не зависит от значения переменных. 

Нахождение значений степеней с помощью калькулятора или компьютера

Для вычисления значений степеней в большинстве калькуляторов используют Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в некоторых калькуляторах это клавиша Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Пример №528

Вычислить с точностью до тысячных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Сначала вводим основу степени — число 8, затем нажимаем клавишу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, далее показатель степени 1,2 и клавишу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Округляем полученное значение до тысячных: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что в некоторых калькуляторах порядок вычислений может быть другим, поэтому перед использованием калькулятора советуем ознакомиться с инструкцией.

Также с помощью калькулятора можно находить значения корней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й степени. В некоторых калькуляторах есть клавиша Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или похожая на нее), что позволяет выполнять такие вычисления напрямую. Если такой клавиши нет, то вычисления выполняют, учитывая, что  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Пример №529 

Вычислить с точностью до тысячных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Схема вычисления может быть следующей: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Степенные функции, их свойства и графики

  • Функцию вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое постоянное число, называют степенной. 

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — степенные функции.

Свойство степенной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вид ее графика зависят от вида числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим степенную функцию для различных видов числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, считая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональное число.

Случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, мы подробно рассмотрели ранее.

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая имеет смысл для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме 0, потому выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция принимает только одно значение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. График функции изображен на рисунке 16.1.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 16.1

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое отрицательное число

В этом случае функция предназначена для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, графиком которой является гипербола (рис. 16.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 16.2

Функция убывает на каждом из промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Те же свойства имеет функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого целого отрицательного нечетного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Схематически график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое отрицательное нечетное число, изображен на рисунке 16.3.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 16.3

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция четная, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат, он изображен на рисунке 16.4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 16.4

Функция возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Те же свойства имеет функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого отрицательного четного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Схематически график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое отрицательное четное число, изображен на рисунке 16.5.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 16.5

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —  не целое положительное число

В случае, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительное, но нецелое число, областью определения функции является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку область определения функции не является симметричной относительно нуля, то функция ни четная, ни нечетная. На рисунке 16.6 изображены графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  , Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для наглядности их взаимного расположения.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 16.6

На рисунке 16.7 схематично изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рисунке 16.8 — если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —  не целое число. В каждом из этих случаев функция является возрастающей на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 16.7

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 16.8

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не целое отрицательное число

В этом случае областью определения является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция ни четная, ни нечетная. На рисунке 16.9 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 16.10 схематично изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не целое. Функция в этом случае приходит на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 16.9

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 16.10

Обобщим все упомянутые выше свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №530

Дана функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сравнить: 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №531

Дана функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сравнить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает, поэтому если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает, поэтому если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не целое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней не имеет. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет только один корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней не имеет.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень, поскольку графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, как в случае нецелого положительного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и в случае целого отрицательного Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, пересекаются в одной точке. Чтобы найти этот единственный корень, нужно левую и правую части уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  возвести в степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Систематизируем данные о решении уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде схемы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №532

Решить уравнение: 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Построение графиков степенных функций с помощью компьютера

Существует много программ, которые позволяют строить графики функций, а затем их анализировать. На рисунке 16.11 показано окно одной из программ, с помощью которой построены графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (зеленого цвета), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (красного), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (серого ) и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (синего). Среди полезных опций подобных программ следует отметить опцию следования курсора вдоль графика (с помощью этой опции можно устанавливать координаты точек графика), нахождение точки пересечения двух графиков (с помощью этой опции можно, например, находить приближенное решение уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), увеличивать или уменьшать отдельные участки графика и тому подобное.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 16.11

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге).

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

Из курса геометрии вы уже знаете, что такое синус, косинус и тангенс угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этой лекции ознакомимся с понятиями синуса, косинуса и тангенса произвольного угла, а также с понятием котангенса угла.

Углы произвольной величины

Рассмотрим окружность радиуса Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в начале координат (рис. 17.1). Обозначим на положительной полуоси абсцисс точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая принадлежит кругу. Радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем называть начальным радиусом.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 17.1

Повернем радиус ОА вокруг точки О на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач против часовой стрелки, получим радиус ОВ. Угол АОВ, который при этом образовался, называют углом поворота. В нашем случае угол поворота равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вернем теперь начальный радиус ОА на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в направлении движения часовой стрелки, получим радиус ОС. В этом случае угол поворота равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 17.1 стрелками указано углы поворота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направление поворота. Вообще,

  • при повороте начального радиуса против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а по часовой стрелке — отрицательным (рис. 17.1).

Угол поворота может быть любым числом. На рисунке 17.2 имеем углы поворота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 17.2

Покажем угол поворота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, вернем начальный радиус ОА в положительном направлении на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем в том же направлении еще на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.3). Если начальный радиус выполнит полный оборот против часовой стрелки, то получим угол поворота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.4). Начальный радиус можно вернуть и более чем на полный оборот, например на рисунке 17.5 имеем угол поворота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач      Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 17.3                                 Рис. 17.4                                 Рис. 17.5

Если начальный радиус вернуть по часовой стрелке на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть в отрицательном направлении, получим угол поворота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.6).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 17.6

Пусть при повороте на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус ОА перешел в радиус ОВ (рис. 17.7). Если после этого радиус ОВ повернуть на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то снова получим радиус ОВ. Из этого можно сделать вывод, что радиус ОА переходит в радиус ОВ как при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и вообще при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое целое число, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 17.7

Очевидно, что и любой угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №533

Среди углов поворота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти те, при повороте на которые начальный радиус принимает то же положение, что и при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то таковы углы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Напомним, что координатные оси делят координатную плоскость на четыре четверти (рис. 17.8). Пусть при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус ОА перешел в радиус ОВ. Тогда угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют углом той четверти, в которой содержится радиус ОВ.

Так, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол первой четверти (рис. 17.1), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол второй четверти (рис. 17.2), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол третьей четверти (рис. 17.3), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол четвертой четверти (рис. 17.1).

Углы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежат одной четверти.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 17.8

Пример №534

Углом которой четверти является угол: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти.

Ответ. 1) угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти; 2) угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти.

Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Пусть при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный угол ОА перешел в радиус ОВ причем точка В имеет координаты Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.9 ).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 17.9

  • Синусом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение ординаты точки В к длине радиуса: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  • Косинусом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение абсциссы точки В к длине радиуса: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  • Тангенсом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение ординаты точки В к ее абсциссе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  • Котангенсом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение абсциссы точки В к ее ординате: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что указанные определения не противоречат определениям синуса, косинуса и тангенса углов от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ранее введенным в геометрии.

Единичная окружность

Как известно из курса геометрии, значения выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, зависят только от градусной меры угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не зависят от длины радиуса Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому удобно рассматривать круг с радиусом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и центром в начале координат (рис. 17.10). Такой круг называют единичной окружностью.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 17.10

Пусть при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переходит в радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координаты Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.10). Говорят, что углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичного круга. Тогда

  • синусом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют ординату точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичного круга, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • косинусом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют абсциссу точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичного круга, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • тангенсом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение ординаты точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичного круга к ее абсциссе, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • котангенсом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение абсциссы точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичного круга к ее ординате, т.е. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение тангенса можно сформулировать и так:

  • тангенсом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение синуса этого угла к его косинусу.

Действительно, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично:

  • котангенсом угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют отношение косинуса этого угла к его синусу.

Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ..., поскольку для этих углов абсцисса соответствующей точки единичной окружности равна нулю. Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ..., поскольку для этих углов ордината соответствующей точки единичной окружности равна нулю.

Итак, каждому допустимому значению угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Их называют тригонометрическими функциями угла.

Тригонометрические значения некоторых углов

Найдем значения тригонометрических функций углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач по определению.

На единичной окружности (рис. 17.11) обозначим точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значит, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существует.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существует, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существует.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существует, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет те же координаты, и точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существует.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 17.11

Представим полученные значения в виде таблицы, дополнив ее значениями синуса, косинуса и тангенса острых и тупых углов, известных нам из курса геометрии. Неизвестные значения тангенса и котангенса для этой таблицы вычислим соответственно по формулам Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Углы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, указанные в первой строке этой таблицы, еще называют табличными углами. Имеем:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №535

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение тригонометрических функций с помощью калькулятора

Для нахождения синуса, косинуса и тангенса в калькуляторах есть соответствующие клавиши Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сначала переключатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач надо зафиксировать в положении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для задания углов в градусах. В некоторых калькуляторах это достигается с помощью клавиши Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выбора соответствующего режима. В зависимости от типа калькулятора порядок вычислений может быть различным, поэтому советуем внимательно ознакомиться с инструкцией к калькулятору. Приведем порядок вычислений для двух наиболее распространенных типов калькуляторов.

В последних строках обеих таблиц воспользовались тем, что котангенс является числом, обратным к тангенса. В самом деле, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Радианное измерение углов. Тригонометрические функции числового аргумента

Как известно, углы измеряют в градусах и его частях — минутах, секундах. Однако в математике, астрономии, физике и других науках используют еще и радианную меру угла, которая имеет определенные преимущества по сравнению с градусной.

Радианная мера угла

  • Углом в 1 (один) радиан называют центральный угол, длина дуги которого равна длине радиуса круга.

На рисунке 18.1 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому мера угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна 1 радиан (сокращенно «рад»).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 18.1

Найдем связь между радианной и градусной мерами. Длина полукруга, радиус которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз больше длины дуги Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому развернутом углу соответствует дуга меры Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач радианов. Итак,

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рад, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рад; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полезно помнить, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полученные формулы, в частности, используют для перехода от градусной меры угла к радианной и наоборот, однако для этого можем применять и пропорцию, учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №536

Найти радианную меру угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способ (по формуле).
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рад).
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способ (с помощью пропорции).

Имеем пропорцию: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №537

Найти градусную меру угла 1,5 рад.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №538

Найти градусную меру угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Выполнить эту задачу можно таким же образом, что и предыдущую, но здесь целесообразнее будет заменить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №539

Найдем радианную меру табличных углов:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тригонометрические функции числового аргумента

Используют радианной меру угла, так же как и градусную, в записях тригонометрических выражений. Так, запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает синус угла, мера которого 2 радиана, запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — означает  косинус угла меры — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиана, запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — тангенс угла, мера которого –3 радиана.

Каждому допустимому значению числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (угла, содержащего Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач радианов) соответствует единственное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями числового аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Их называют тригонометрическими функциями числового аргумента.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №540

Найти значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1.

Нахождение значений тригонометрических функций числового аргумента с помощью калькулятора

Значение тригонометрических функций числового аргумента с помощью калькулятора находят так же, как и значения тригонометрических функций углов, которые заданы в градусах. Но в этом случае переключатель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для задания углов в радианах надо выставить в положение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Напомним, что в некоторых калькуляторах это достигается с помощью клавиши Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выбора соответствующего режима. Проверьте на своем калькуляторе, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства тригонометрических функций

Рассмотрим свойства тригонометрических функций, которые непосредственно вытекают из их определений.

Область определения тригонометрических функций

Как мы уже отмечали ранее, выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл для любого угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Также имеют смысл выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в радианах). Итак,

  • областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел.

Это можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл для любых углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ..., то есть кроме углов, которые можно задать формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла для чисел (углов в радианах) вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Областью определения функции тангенса является множество всех действительных чисел, кроме чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл для всех углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ..., то есть углов, которые можно задать формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет смысла для чисел (углов в радианах) вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Областью определения функции котангенса есть множество всех действительных чисел, кроме чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №541

Найти область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Найдем значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых котангенс не существует, решив уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Далее имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сокращенно это можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Множество значений тригонометрических функций

Синус и косинус угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются соответственно ординатой и абсциссой точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности. Поэтому ординаты и абсциссы точек единичной окружности приобретают все значения от –1 до 1. Итак,

  • множеством значений функций синуса и косинуса является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Такой же промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является множеством значений и для случая синуса и косинуса числового аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в радианах). Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим несколько примеров на использование установленных фактов.

Пример №542

Существуют ли значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых выполняется равенство: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при котором Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, существует.  2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то не существует значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при котором Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) да; 2) нет.

Пример №543

Найти множество значений функции: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (прибавили ко всем частям число 2)  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, с другой стороны, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (отняли от всех частей число 3);  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (сравнили обратные выражения),  то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (умножили все части на 15).

Итак. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №544

Найти все значения параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при каждом из которых неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является верным для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Заметим, что выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретают наименьшие значения, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, a Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть, например, для значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку неравенство должно быть верным для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то должно быть правильным и для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставим в неравенство вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим верное неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а после упрощений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющие условие задачи, принадлежат промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проверим, все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из полученного промежутка удовлетворяют условию задачи. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняются неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая эти соотношения в начальном неравенстве, будем иметь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, условие задачи удовлетворяют все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, такие, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Множество значений тангенса найдем с помощью графической интерпретации.

Рассмотрим прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящей через точку (1; 0) перпендикулярно к оси абсцисс. Она является касательной к единичной окружности (рис. 19.1). Пусть при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус единичной окружности переходит в радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем перпендикуляр Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось абсцисс.

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , и потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, ордината точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна тангенсу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Прямую, которая проходит через точку (1; 0) перпендикулярно к оси абсцисс, называют линией тангенсов.

В случае изменения положения точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на единичной окружности будет меняться и положение точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19.1). Геометрическая интерпретация показывает, что ордината точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать любые значения. Итак, множеством значений тангенса является множество всех действительных чисел.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 19.1

Тем же способом определим и множество значений котангенса.

Прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая проходит через точку (0; 1) перпендикулярно к оси ординат, называют линией котангенсов (рис. 19.2).

Можно доказать, что абсцисса точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с линией котангенсов равна котангенсу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 19.2

По рисунку 19.2 понятно, что абсцисса точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать любые значения, поэтому множеством значений котангенса есть множество всех действительных чисел.

Итак,

  • множеством значений функций тангенса и котангенса является множество всех действительных чисел: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Знаки тригонометрических функций

Синус угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является ординатой точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности. В Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти,
  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти .

Косинус угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является абсциссой точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности. В Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а во Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти,
  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти .

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, a Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависят от знаков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют одинаковые знаки, а во Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертях — разные. Поэтому:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти,
  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти.

Выводы относительно знаков тригонометрических функций углов удобно запомнить по рисунку 19.3. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                   Рис. 19.3

Пример №545

Сравнить с нулем числа: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти, поэтомуМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

4) 2 радиана Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда 2 радиана — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти; поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  4)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Пусть при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности переходит в радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — в радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19.4). Точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — симметричные относительно оси абсцисс, поэтому они имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 19.4

Итак,

  • косинус — четная функция; синус, тангенс и котангенс — нечетные функции, то есть: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Эти формулы помогают вычислять значения тригонометрических выражений. Например,

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Периодичность тригонометрических функций

Если при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности переходит в радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19.4), то этот самый радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим и при повороте радиуса Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол, отличный от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на полный оборот или любое количество полных оборотов, то есть на число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда,

  • при изменении угла на целое число полных оборотов значения тригонометрических функций не меняются: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, значения тригонометрических функций синуса и косинуса не меняются, если в их аргументы добавить (или отнять) число, кратное числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждое такое число для синуса и косинуса является периодом, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьшим периодом. Функции, которые имеют такое свойство, называют периодическими.

Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является периодом функций тангенса и котангенса, однако для этих функций можно найти и меньший период. Рассмотрим точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые лежат на одной прямой (рис. 19.5). Тогда прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают, а потому пересекают ось тангенсов в одной и той же точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           рис. 19.5

Аналогично, прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекают ось котангенсов в одной и той же точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19.6). Итак, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то 

  • при изменении угла на целое число полуоборотов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения функций тангенса и котангенса не меняются: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            рис. 19.5

Исходя из периодичности, нахождение значений синуса и косинуса любого угла можно свести к нахождению значения этой же функции неотрицательного угла, меньшего Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), а значений тангенса и котангенса любого угла — к нахождению значения этой же функции неотрицательного угла, меньшего Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Пример №546

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) 1-й способ. Подадим градусную меру угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и применим формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2-й способ. От Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычтем два периода по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Учитывая, что период тангенса равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим:

1-й способ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2-й способ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Иногда искать значение тригонометрической функции некоторого угла с помощью периодичности целесообразнее через значение этой функции отрицательного угла, который лежит в пределах от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), а дальше применить четность или нечетность соответствующей тригонометрической функции. Например,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;        Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

В этой лекции рассмотрим тождества, задающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Основное тригонометрическое тождество

Пусть при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности переходит в радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 20.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Рис. 20.1

Точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит окружности, радиус которой равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому координаты точки удовлетворяют уравнению окружности: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством. Оно задает зависимость между значениями синуса и косинуса одного и того же угла, следовательно, дает возможность находить одно из этих значений через другое. Покажем это на схеме:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В формулах  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  знак перед радикалом выбираем в зависимости от четверти, в которой лежит угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №547

Упростить выражение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №548

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,8.

Другие тригонометрические тождества

Мы уже знаем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Перемножим эти равенства почленно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак,

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач)

Это равенство является верным для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют смысл, то есть при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №549

Доказать тождество:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Преобразуем левую часть каждого из тождеств: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что и требовалось доказать. 

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что и требовалось доказать.

Пример №550

Найти значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1-й способ. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим числитель и знаменатель дроби на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2-й способ. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 2.

Следствия из основного тригонометрического тождества

Поделим обе части тождества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если обе части тождества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разделить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть 

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №551 

Доказать, что при всех допустимых значениях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Преобразуем левую часть тождества: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получили число. Следовательно, значение выражения не зависит от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №552

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Из тождества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выразим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Формулы приведения

Тригонометрические функции углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) можно привести к тригонометрическим функциям угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью формул, которые называют формулами приведения.

Формулы приведения и правила для их применения

Некоторые из этих формул нам известны из курса геометрии. В частности, мы знаем, что:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

или те же формулы в радианах: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Применяя эти формулы и свойства тригонометрических функций, можно найти формулы приведения для различных углов.

Например, для угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

А для угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, учитывая вышеупомянутые формулы, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тем же способом можно найти формулы приведения для всех указанных в начале лекции углов. Всего таких формул тридцать две. Запишем их в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти формулы не надо запоминать. Достаточно заметить в них определенную закономерность, сформулировать ее в виде правила и правило запомнить. Для этого условимся называть синус кофункцией косинуса, косинус — кофункцией синуса, тангенс — кофункцией котангенса и котангенс — кофункцией тангенса.

Теперь сформулируем правило для применения формул приведения.

  • В правой части формулы приведения записываем тот знак (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), который имеет левая часть формулы при условии, что угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, при этом для углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач название тригонометрической функции не меняем, а для углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — название меняем на кофункцию.

Заметим, что только для удобства использования правила угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считаем острым. На самом деле, каждая из формул приведения является правильной для любого угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из области определения тригонометрической функции.

Обратите внимание, что последовательность рассуждений по упомянутым правилам можно кратко сформулировать в виде мнемонического правила: «Четверть. Знак. Название ». Рассмотрим пример на применение правила.

Пример №553

Записать через тригонометрическую функцию угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Четверть: угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти (рис. 21.1). Знак: косинус во Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти — отрицательный, потому имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Название: для угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач название тригонометрической функции сохраняется, то есть оставляем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 21.1

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти (рис. 21.1), котангенс в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти имеет знак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то название функции меняем на кофункцию (на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Применение формул приведения

Формулы приведения помогают вычислять значения тригонометрических функций некоторых углов, превышающих Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Для формул приведения такие углы можно записывать одним из двух способов — или как сумму, или как разность. Например, угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на единичной окружности между углами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому его можно записать и как сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и как разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №554

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) 1-й способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 2-й способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1) –1; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

С помощью формул приведения, периодичности, четности или нечетности тригонометрических функций нахождение значения тригонометрической функции любого угла можно свести к нахождению значения тригонометрической функции острого угла.

Пример №555

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используем четность функции косинуса: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №556

Упростить выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0.

Пример №557

Доказать, что если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — углы треугольника, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — углы треугольника, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Периодичность функций. Свойства и графики тригонометрических функций. Гармонические колебания

Периодичность функций

Многие процессы и явлений в природе или технике на практике имеют повторяющийся характер: движение Земли вокруг Солнца, движение маятника, различные вращательные движения и тому подобное. Такие процессы называют периодическими, а функции, которые их описывают, — периодическими функциями.

Мы уже знаем, что тригонометрические функции являются периодическими, так как при изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций синуса и косинуса не изменяются. При изменении угла на целое число полуоборотов не меняются значения функций тангенс и котангенс. То есть тригонометрические функции синуса и косинуса не меняются, если к аргументу добавить некоторое число, кратное Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а тангенса и котангенса — если добавить число, кратное Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сформулируем определение периодической функции.

  • Функцию y = f (x) называют периодической с периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любого из области определения функции числа x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функции синуса и косинуса — периодические с периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Периодами этих функций также будут числа, кратные Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Для исследования свойств функций и построения их графиков важно знать наименьший положительный период функции. Докажем, что наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть T — произвольный период косинуса, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого x, следовательно и для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставив в это равенство вместо x число 0, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наименьшим положительным числом, для которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьший положительный период функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тем же способом можно доказать, что наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак,

  • наименьшим положительным периодом функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого x из области определения тангенса и котангенса соответственно, то функции тангенса и котангенса — периодические с периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Докажем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьший положительный период функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть T — произвольный период функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого x из ее области определения, в том числе и для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наименьшим положительным числом, для которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьший положительный период функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тем же способом можно доказать, что наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак,

  • наименьшим положительным периодом функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Периодичность функции используют для построения ее графика:

  • для построения графика периодической функции с наименьшим положительным периодом Т0 достаточно построить график на любом промежутке длиной Т0 (например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), а затем дополнить его полученным графиком, параллельно перенесенным вправо и влево вдоль оси абсцисс на расстояние 0 , где k — любое натуральное число.

График функции y = sin x

Сначала построим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Составим таблицу ее значений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Строим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 22.1 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 22.1

Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат. Выполним симметричное отображение линии, изображенной на рисунке 22.1, относительно начала координат и получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 22.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 22.2

Далее учтем периодичность функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, наименьшим положительным периодом которой является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а именно, полученный график дополним таким же, параллельно перенесенным влево и вправо вдоль оси абсцисс на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на всей области определения (рис. 22.3). Линию, которая является графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют синусоидой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                          Рис. 22.3

График функции y = cos x

Построить график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно тем же способом, что и график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Однако мы учтем тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим из графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс влево на расстояние Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 22.4). Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является также синусоида, потому что это та же линия, являющаяся графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, только размещенная иначе относительно системы координат. Иногда график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют еще косинусоидой, он изображен на рисунке 22.4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                       Рис. 22.4

График функции y = tg x

Построим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сначала на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используя таблицу ее значений.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График функции изображен на рисунке 22.5.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 22.5

Заметим, что он не пересекает прямые Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку тангенс в точках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует), при приближении x к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач становится бесконечно большим, а при приближении к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малым. Далее учтем периодичность функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, наименьший положительный период которой равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей области определения (рис. 22.6). График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют тангенсоидой, он состоит из множества отдельных ветвей — ветвей тангенсоиды.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Hис. 22.6

График функции y = ctg x

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не определена для чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. График этой функции можно или сначала построить на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и далее использовать периодичность функции, или воспользоваться формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выполнить последовательно два преобразования графика Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: параллельное перенесение на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач влево вдоль оси абсцисс, а затем симметрично отобразить полученный график относительно этой оси.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 22.7. Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является тангенсоида, но размещена он иначе относительно системы координат. График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют также котангенсоидой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                        Рис. 22.7

Свойства тригонометрических функций

Обобщим изученные ранее свойства тригонометрических функций и свойства, полученные из их графиков (учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), и занесем их в таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач      Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь мы можем находить свойства не только функций, указанных в этих таблицах, но и других тригонометрических функций.

Пример №558

Найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Нулями функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем такие значения x, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, — нули функции.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №559

Найти промежутки возрастания функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Промежутками возрастания функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем такие значения x, для которых значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит этим промежуткам: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, функция возрастает на промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для нахождения периодов некоторых тригонометрических функций воспользуемся свойством, которое примем без доказательства:

  • Наименьший положительный период функций вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа, равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функции вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь такой наименьший положительный период Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим, как найти наименьший положительный период функции, который является суммой нескольких периодических функций.

Пример №560

Найти наименьший положительный период функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть имеем функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с наименьшими положительными периодами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет наименьшее общее кратное (если оно существует) чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким числом является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что не всегда сумма нескольких периодических функций является функцией периодической. Так, например, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является периодической с периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является периодической с периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, однако функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является периодической, так как не существует такого числа T, которое бы делилось нацело как на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и на 2 (строгое доказательство этого факта не будем приводить).

Построение графиков тригонометрических функций с помощью преобразований

Построить графики тригонометрических функций, отличные от тех, которые мы рассмотрели выше, можно с помощью преобразований графиков функций. Например, для построения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перенести вдоль оси y на одну единицу вниз (рис. 22.8).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                   Рис. 22.8

А для построения графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  достаточно график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач растянуть вдвое от оси абсцисс (рис. 22.9).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                   Рис. 22.9

Построение графиков тригонометрических функций с помощью компьютера

С помощью специальных компьютерных программ можно строить графики тригонометрических функций разного уровня сложности. На рисунке 22.10 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рисунке 22.11 — график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, построенных одной из подобных программ.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                   рис. 22.10

Советуем перед использованием конкретной программы ознакомиться с файлом помощи (в большинстве программ для этого надо нажать клавишу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, находясь в окне программы). Большинство программ имеет специальные опции или инструменты для работы с тригонометрическими функциями. Например, в некоторых из них опция «тригонометрический набор» позволяет по оси x откладывать отметки, которым соответствуют числа, зависящие от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Именно такой инструмент применен к графикам, изображенным на рисунках 22.10 и 22.11.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                   Рис. 22.11

По графикам легко определять свойства функций. Например, нулями функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  являются числа вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачубывает в промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Гармонические колебания

Величины, изменяющиеся по закону Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые постоянные, играют важную роль в физике. Такими функциями описывают гармонические колебания — малые колебания подвешенного на пружине груза, малые колебания маятника, колебания в молекулах, которыми обусловлено поглощение инфракрасных лучей, различные колебания в электротехнике, например в колебательном контуре и тому подобное.

Если шарик, который подвешен на пружине, вывести из состояния равновесия, то в идеальной ситуации (если пренебрегать сопротивлением воздуха или нагреванием пружины) шарик будет осуществлять гармонические колебания. Координата отклонения шарики от положения равновесия будет зависеть от времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и определяться по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Параметры Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые полностью описывают гармонические колебания, имеют специальные названия: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачамплитуда колебаний, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — циклическая (или круговая) частота колебаний, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачначальная фаза колебаний (как правило, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Исходя из физического смысла гармонических колебаний, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Период функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равный Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , называю периодом гармонического колебания. Период гармонического колебания — это время одного полного колебания.

Тригонометрические формулы сложения

В этой лекции рассмотрим формулы, позволяющие записывать тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Косинус разности и суммы

Для того чтобы получить формулу для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сначала рассмотрим случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть при повороте на угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальный радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности перешел в радиус Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 23.1). Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то имеем вектор Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. С другой стороны: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично рассматривают и случаи, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получили формулу косинуса разности:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получили формулу косинуса суммы:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 23.1
 

Пример №561

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №562

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Синус разности и суммы

Найдем формулу для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу синуса разности:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу синуса суммы:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №563

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четверти, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №564

Упростить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Нетрудно заметить, что имеем правую часть формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тангенс разности и суммы

Выразим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что каждое из этих выражений имеет смысл, то есть при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим числитель и знаменатель на произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу тангенса разности:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для тангенса суммы имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Получили формулу тангенса суммы:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №565

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Метод вспомогательного угла

Для решения задач выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иногда целесообразно представлять в виде синуса (или косинуса) суммы или разности двух аргументов. Для этого в указанном выражении вынесем за скобки множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Числовые коэффициенты, полученные перед тригонометрическими функциями в скобках, можно считать косинусом и синусом (или синусом и косинусом) некоторого угла, поскольку для них выполняется основное тригонометрическое тождество.

Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В частности, если введем обозначения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторый угол, то в скобках получим формулу суммы или разности синусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

А если введем обозначения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим формулу разности или суммы косинусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который мы ввели для упомянутого преобразования выражения, называют вспомогательным углом, поэтому такое преобразование получило название — метод вспомогательного угла.

Пример №566

Найдите все значения параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых возможно равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Значит, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Формулы двойного, тройного и половинного аргумента. Формулы понижения степени

Рассмотрим формулы, которые являются следствием формул сложения.

Формулы двойного угла

Формула  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является истинной для любых значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если предположить, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу синуса двойного угла.

Аналогично для формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу косинуса двойного угла.

Если в полученную формулу сначала вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим еще две формулы косинуса двойного угла:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Так же из формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу тангенса двойного угла, которая является истинной, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существуют.

Пример №567

Упростить выражение: 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №568

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что полученные формулы можно применять для любого угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ведь любой угол можно записать как двойной. Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Формулы понижения степени

Если из формул  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выразить соответствия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , получим:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти формулы называют формулами понижения степени. Они дают возможность записать квадраты синуса и косинуса угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через косинус угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем еще одну формулу понижения степени:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула истинна, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует.

Пример №569

Снизить степень в выражении: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Формулы половинного угла

Если в формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставить угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим формулы половинного угла: 

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №570

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. По формуле половинного угла имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить еще две формулы, ведь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, имеем:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №571

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Формулы тройного угла

Выясним, как записать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, имеем формулу синуса тройного угла:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тем же способом можно получить формулу косинуса тройного угла:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Также имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили формулу тангенса тройного угла:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №572

Доказать тождество: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Преобразуем левую часть тождества: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили правую часть тождества. 

Запись тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Для вычисления и упрощения выражений и в дальнейшем для решения тригонометрических уравнений могут быть полезными формулы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций угла к тангенсу вдвое меньшего угла. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, получили формулы: 

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Применять эти формулы надо очень осторожно, поскольку в их левой и правой частях различные области допустимых значений переменной, что, например, при решении уравнений может привести к потере корней или появлению посторонних корней.

Пример №573

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций. Формулы преобразования тригонометрических функций в сумму

Рассмотрим еще несколько формул, которые являются следствиями из формул сложения.

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение

Добавим почленно формулы сложения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставим полученные для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражения в полученную выше сумму. Получим формулу суммы синусов:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменим в этой формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, имеем формулу разности синусов:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично можно получить формулы суммы и разности косинусов:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то последнюю формулу можно записать еще и так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для суммы тангенсов имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили формулу суммы тангенсов:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменив в этой формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим формулу разности тангенсов:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №574

Представить в виде произведения выражение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) По формуле суммы синусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Используем формулу разности косинусов, учитывая, что по формуле приведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №575

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. По формуле разности синусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №576

Представить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде частного.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение можно записать в виде разности тангенсов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №577

Представить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде произведения.

Решение. Вынесем число 2 за скобки и учтем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №578

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — внутренние углы треугольника. Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Добавим почленно формулы сложения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Откуда имеем 

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычтем почленно от первой формулы сложения вторую: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Добавим почленно формулы сложения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили три формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Пример №579

Вычислить: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. По формуле произведения синусов имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №580

Упростить выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Применим формулу произведения косинусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №581

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Если в условии дана сумма синусов или косинусов, углы которых образуют арифметическую прогрессию, для упрощения такого выражения его целесообразно умножить и разделить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — разность прогрессии, а затем применить формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Учитывая это, упростим левую часть равенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства — одни из самых сложных тем в  математике, которые могут возникать при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физике и в других областях.

Обратные тригонометрические функции. Их свойства и графики

Вы уже знакомились с понятием обратной функции. В этой лекции рассмотрим функции, обратные к тригонометрическим, которые принято называть обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Функция y = arcsin x

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта функция, определенная на всем множестве действительных чисел, не является монотонной, поскольку каждое свое значение приобретает в бесконечном множестве точек. Для ввода функции, обратной к функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, рассмотрим один из промежутков монотонности этой функции, содержащей точку 0, а именно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 26.1). На этом промежутке функция возрастает, приобретая все свои значения от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, является обратимой. 

  • Функцию, обратную к функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют арксинусом и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                      Рис. 26.1

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 26.2, он является симметричным графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На всей своей области определения функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 26.2

Учитывая определение функции арксинус, введем понятие арксинуса числа.

  • Арксинусом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют такой угол из промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , синус которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из определения арксинуса числа следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

К примеру, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричен относительно начала координат. Поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является нечетной, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Примем этот факт без доказательства.

Пример №582

Найти область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку arcsin Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим формулу: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №583

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из тождества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,6.

Если рассматривать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда получим формулу: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №584

Вычислить: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для поиска значений выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем использовать периодичность тригонометрических функций и формулы приведения, что позволит свести выражение к виду Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и использовать вышеупомянутую формулу.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, воспользуемся формулой приведения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция y = arccos x

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На этом промежутке она является убывающей, а потому является обратимой (рис. 26.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 26.4

  • Функцию, обратную к функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют арккосинусом и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  изображен на рисунке 26.4, он является симметричным графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На всей области определения функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 26.4

Учитывая определение функции арккосинус, введем понятие арккосинуса числа.

  • Арккосинусом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют такой угол из промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, косинус которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из определения арккосинуса числа следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда и только тогда, когда: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является симметричным ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ни четная, ни нечетная.

Пример №585

Найти множество значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, умножим обе части этого неравенства на 0,5, а затем прибавим к ним Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения арккосинуса числа следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассматривая угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №586

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Для нахождения значений выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач надо привести их к выражению вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а дальше применить формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №587

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формуле приведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Занесем в таблицу значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для некоторых значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечаем, что для табличных значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это равенство является истинным для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №588

Доказать тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Докажем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть обе части равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат промежутку монотонности функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем синус обеих частей этого равенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция y = arctg x

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 26.5), которая монотонно растет на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На этом промежутке она приобретает каждое свое значение из множества действительных чисел только один раз, поэтому является обратимой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 26.5

  • Функцию, обратную к функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют арктангенсом и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 26.6, он является симметричным графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На всей области определения функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 26.6

  • Арктангенсом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число, называют такой угол из промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , тангенс которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из определения арктангенса следует, что: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричен относительно начала координат, поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нечетная: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примем этот факт без доказательства.

Из определения арктангенса следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №589

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Обозначим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учтем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,2.

Если рассматривать угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим формулу: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачгде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для поиска значений выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сводим их к виду Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , используя периодичность и формулы приведения, и дальше применяем формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

К примеру, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция y = arcctg x

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач монотонно спадает и каждое свое значение приобретает только один раз (рис. 26.7), поэтому является обратимой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                        Рис. 26.7

  • Функцию, обратную к функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют арккотангенсом и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 26.8, он является симметричным графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На всей области определения функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 26.7

  • Арккотангенсом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число, называют такой угол из промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, котангенс которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из определения арккотангенса следует, что: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ни четная, ни нечетная. Из определения арккотангенса следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №590

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,6.

Аналогично полученным ранее формулам для других обратных тригонометрических функций имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

При нахождении значений выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью периодичности и формул приведение, их сводят к виду Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, после чего используют формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Можно доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство этих формул аналогично доказательствам в примерах, рассмотренных ранее.

Занесем в таблицу значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для некоторых значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление значений выражений, содержащих аркфункции

Рассмотрим, как вычислять значения выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Пример №591

Найти значение выражения: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства обратных тригонометрических функций

Обобщим свойства обратных тригонометрических функций, о которых мы узнали в этой лекции, в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь можем находить свойства не только функций, приведенных в таблице, но и других обратных тригонометрических функций.

Пример №592

Найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Нулем функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 1. Найдем значения x, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его корни, следовательно, и нули функции.

Ответ. –1; –2.

Уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции

В этой лекции рассмотрим некоторые типы уравнений и неравенств, содержащих аркфункции, и методы их решения.

Равенство одноименных аркфункций

Учитывая монотонность аркфункций, уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равносильны системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равносильны уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №593

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем систему: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. –1.

Пример №594

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0.

Равенство аркфункции числу

Рассмотрим уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из графической интерпретации (рис. 27.1) видно, что при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение решений не имеет, а при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                   Рис. 27.1

Тем же способом можно сделать выводы о решении подобных уравнений для других аркфункций. Эти выводы представим в виде таблиц.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №595

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №596

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замена переменной в уравнениях с аркфункциями

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональная функция, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — аркфункция, сводят к алгебраическим уравнениям путем введения новой переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решив уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вернувшись к замене, получим одно или несколько простых уравнений с аркфункциями.

Пример №597

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Замена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаясь к замене, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое уравнение решений не имеет.

Из второго уравнения получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  т.е. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для решения уравнений вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используем формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сводим уравнения к уравнению, содержащему только Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или только Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Далее, при необходимости, вводим новую переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №598

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,5.

Пример №599

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть, уравнение примет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение относительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, аналогичное уравнению в примере выше: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение имеет единственный корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите самостоятельно).

Ответ. –1.

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводим к уравнению, содержащему только Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, с помощью формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Далее, по необходимости, вводим новую переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №600

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение примет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. После упрощений имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Метод вычисления тригонометрической функции от обеих частей уравнения

Это наиболее универсальный метод для решения уравнений, содержащих аркфункции.

Если уравнение содержит разноименные аркфункции или аркфункции от различных аргументов, и одним из вышеупомянутых методов решить уравнение невозможно, надо вычислить некоторую тригонометрическую функцию от обеих частей уравнения. Если при этом область значений левой и правой частей не принадлежит промежуткам монотонности этой функции, то полученное алгебраическое уравнение будет уравнением-следствием, поэтому возможно появление посторонних корней. Проверка корней в этом случае обязательна.

Заметим, что решить такие уравнения иногда помогают формулы, доказанные выше.

Пример №601

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем косинус от каждой части уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Воспользуемся формулой косинуса разности, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, после упрощения которого получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставив (для проверки) полученные корни в уравнение, приходим к выводу, что –1 — посторонний корень. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1.

Пример №602

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Здесь удобнее найти от обоих частей синус. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решая это уравнение, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проверкой убеждаемся в том, что оба числа — корни исходного уравнения.

Ответ. 0; 1.

Заметим, что тригонометрическую функцию, значение которой от обеих частей уравнения будем находить, выбираем так, чтобы избежать громоздких преобразований. Полезно помнить, что если в уравнениях с арксинусом и арккосинусом функции одноименные, то лучше находить косинус, а если разноименные — синус.

Если от обеих частей уравнения находить значение тангенса или котангенса, может случиться потеря корней. Обычно это числа, не принадлежащие области определения функций тангенса или котангенса. Поэтому, если при решении уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переходим к уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть находим от обеих частей тангенс или котангенс, следует придерживаться такой последовательности действий:

  1. найти все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если переходим к уравнениюМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач), или найти все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если переходим к уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);
  2. проверить, какие из найденных в п. 1 значений х являются корнями исходного уравнения;
  3. для всех остальных значений х решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), что является уравнением–следствием, и проверкой выбрать из его корней те, которые являются корнями исходного уравнения;
  4. записать ответ, учитывая результаты, полученные в п. 2 и 3.

Пример №603

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Решение. Те значения х, при которых левая часть равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, не будут корнями этого уравнения, потому что правая часть не равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возьмем функцию тангенс от обеих частей уравнения. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проверка показывает, что первый корень удовлетворяет уравнение, а второй — не удовлетворяет. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,5.

Простейшие неравенства, содержащие аркфункции

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — аркфункция, решают с учетом области определения этой функции и исходя из того, что функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — возрастающие , а функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — убывающие. Как решить такие неравенства, представлено в таблицах.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично решают неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — аркфункция.

Пример №604

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем, учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — возрастающая функция: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это неравенство равносильно системе неравенств: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач система решений не имеет.

Ответ. Неравенство не имеет решений.

Пример №605

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем, учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — функция убывающая: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №606

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — функция убывающая, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №607

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач окончательно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение сложных неравенств, содержащих аркфункции

При решении более сложных неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, применяют приемы, которые использовались при решении уравнений, и приемы решения простейших неравенств, содержащих аркфункции.

Пример №608

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перепишем неравенство в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №609

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Обозначив Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим квадратное неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаясь к переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Первое из полученных неравенств решений не имеет, а с другим получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Простейшие тригонометрические уравнения

  • Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называют тригонометрическим уравнением.

Такие уравнения мы уже рассматривали в примерах, где искали отдельные их решения. Также тригонометрическими являются уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобное.

В этой лекции научимся находить множество всех решений уравнений вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — переменная или выражение с переменной, которые называют простейшими тригонометрическими уравнениями.

Уравнение cos t = a

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решений не имеет, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда уравнение имеет решения. Проиллюстрируем их на единичной окружности. По определению, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это абсцисса точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности. Поэтому решениями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут углы, абсциссы точек которых на единичной окружности равны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таких углов будет два, им на окружности соответствуют две точки (рис. 28.1 и 28.3), а для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — по одному углу (рис. 28.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач          Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 28.1                                       Рис. 28.2                                 Рис. 28.3

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является периодической с наименьшим положительным периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем формулы корней уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Эти решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно объединить в одну формулу:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (1)

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим частные случаи уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые удобнее решать не по формуле (1), а используя единичную окружность:

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 28.2); 

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 28.3);

3) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 28.2).

Представим решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример № 610

Решить уравнение:  1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формуле (1):

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то решений нет. 

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формуле (1), имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти лишь приближенно (например, с помощью калькулятора). В прикладных задачах находят приближенно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так же приближенно записывают решения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В математике же оставляют точное решение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это частный случай. Итак, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Решений нет. 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение sin t = a

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решений не имеет, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда уравнение имеет решения. Проиллюстрируем их на единичной окружности. По определению, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это ордината точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности. Поэтому решениями уравнения будут углы, ординаты точек которых на единичной окружности равны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таких углов будет два, им на круге соответствуют две точки (рис. 28.4 и 28.6), а для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — по одному углу (рис. 28.5).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач          Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 28.4                                       Рис. 28.5                                  Рис. 28.6

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является периодической с наименьшим положительным периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем формулы корней уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно объединить в одну формулу:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (2)

Действительно, если в формулу (2) подставить четное Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если же подставить нечетное Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим частные случаи уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые, как и в случае уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, удобнее решать, используя единичную окружность:

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 28.5);

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 28.6); 71

3) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 28.5).

Представим решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №611

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; По формуле (2): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач,то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то решений нет.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем частный случай. тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) решений нет; 4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение tg t = a

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать какие-либо действительные значения, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет решения для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем их на единичной окружности.

На линии тангенсов существует единственная точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ордината которой равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 28.7). Соединим точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром окружности О. Луч Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает единичную окружность в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответствующей углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, такому, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это и есть решение уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач периодическая с наименьшим положительным периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получаем формулу корней этого уравнения:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                            (3)

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 28.7

Пример №612

Решить уравнение: l) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. По формуле (3) имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение ctg t = a

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать какие-либо действительные значения, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет решения для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем их на единичной окружности.

Рассуждая так же, как и для уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 28.8), получим, что множество решений уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно задать формулой:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                 (4)

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 28.8

Пример №613

Решить уравнение: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) По формуле (4) имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку неизвестный угол задан в градусах, то и формулу (4) также используем в градусах. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим

Решение тригонометрических уравнений, не являющихся самыми простыми, с помощью тригонометрических формул и тождественных преобразований сводят к решению простейших тригонометрических уравнений.

Пример №614

Решить уравнение: 1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Умножим обе части уравнения на 2, получим:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим частный случай простого уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №615

Найти корни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  принадлежащие промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Сначала найдем все корни уравнения, а затем выберем из них те, которые принадлежат данному промежутку. Сведем уравнение к простейшему методу вспомогательного угла. Поделим обе части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Упростив левую часть, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теперь из полученного множества корней выберем те, которые принадлежат промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Запишем для корней условие их принадлежности этому промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решив  полученное неравенство, найдем именно то значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых корни принадлежат данному промежутку: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , решениями неравенства является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Итак, данному промежутку принадлежат два корня уравнения. Найдем их:

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №616

Найти наибольший отрицательный корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Чтобы найти наибольший отрицательный корень уравнения, надо найти множество всех корней уравнения, а затем выбрать из него наибольшее отрицательное число. Преобразуем левую часть уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое равносильно системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система равносильна уравнению: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое является простейшим. Решим его: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получили множество корней исходного уравнения.

Теперь выберем из этого множества наибольшее отрицательное число. Очевидно, что при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач все корни будут положительными, а при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отрицательными. Поскольку значение корня зависит от значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то наибольшим корнем среди отрицательных будет тот, который получен для наибольшего отрицательного значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Посторонние корни тригонометрических уравнений

Если область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении, которое не является простым, не является множеством всех действительных чисел, то при решении уравнения приведением его к простому возможно появление посторонних корней. Это возможно тогда, когда преобразование тригонометрических выражений в уравнении приводит к расширению его ОДЗ.

В большинстве случаев избежать появления посторонних корней позволяет метод равносильных преобразований тригонометрических уравнений, который заключается в замене исходного уравнения равносильной ему системой уравнений и неравенств (дополнительных условий, связанных с ОДЗ переменной в уравнении, которые помогут выявить и исключить посторонние корни). Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример №617

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем равносильную уравнению систему: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решения системы покажем на единичной окружности. Договоримся, что решения тех соотношений системы, которые являются уравнениями (в нашем случае — первая строка системы), обозначать на окружности точками, а тех соотношений, которые не являются уравнениями, то есть отвечают за отбор корней (в нашем случае — это вторая строка системы ) обозначать на окружности «крестиками». Корнями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым на единичной окружности соответствуют точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Корнями уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым на единичной окружности соответствует точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что вторая строчка системы имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, обозначим точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач «крестиком» (рис. 28.9). Это означает, что таким образом мы исключили ( «вычеркнули») точку, соответствующую посторонним корням, то есть исключили посторонние корни, которые появились после решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым мы заменили исходное уравнение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 28.9

Итак, множеством решений исходного уравнения являются те значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым на единичной окружности соответствуют точки без «крестиков». Это углы вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №618

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Для решения этого и подобных ему уравнений, можно воспользоваться периодичностью тригонометрических функций. По условию, имеем равенство значений тангенсов углов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая периодичность тангенса, эти значения могут быть равными только тогда, когда углы между собой равны или отличаются на число, кратное числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, с учетом этого и ОДЗ тангенса, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равносильно системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из первого уравнения системы получим корни вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проверим, есть ли среди них посторонние, то есть те, которые не удовлетворяют хотя бы одно из условий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, корни имеют вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставим эти корни, например, в уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, для корней вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не выполняется, поэтому это посторонние корни.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, которые имеют вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значение выражений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для этих значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, корни вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют каждую из условий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Приходим к выводу, что корнями исходного уравнения являются только числа вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение тригонометрических уравнений с помощью замены переменных

В этой лекции рассмотрим те, отличные от простейших, тригонометрические уравнения, которые сводятся к алгебраическим уравнениям введением новой переменной (замены переменной).

Уравнение с очевидной заменой переменной

Если тригонометрическое уравнение содержит одну и ту же тригонометрическую функцию одного и того же аргумента (или сводится к следующему уравнению), то, введя вместо этой функции новую переменную, получим алгебраическое уравнение относительно новой переменной.

Пример №619

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корни которого: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №620

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач£. Тогда имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое равносильно системе:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим уравнения, содержащие разноименные тригонометрические функции или одну и ту же функцию различных аргументов. Обычно после использования соответствующих тригонометрических формул удается свести такое уравнение к уравнению относительно одной тригонометрической функции одного и того же аргумента, после чего применяют замену переменных.

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В таких уравнениях используем  взаимную обратимость тангенса и котангенса, тем самым сводим уравнение к уравнению, содержащему только тангенс.

Пример №621

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, уравнение на ОДЗ приобретает вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возвращаемся к замене:

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В таких уравнениях используем основное тригонометрическое тождество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое позволяет выразить синус через косинус или наоборот, и свести уравнение к уравнению относительно одной из функций синуса или косинуса.

Пример №622

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Упростив его левую часть, относительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение вида: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Введем замену: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не удовлетворяет условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в первом уравнении применим формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим уравнение относительно косинуса. Если во втором уравнении применим формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то получим уравнение относительно синуса.

Пример №623

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  из которых только Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В уравнениях такого вида целесообразна замена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, используя замену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следует помнить, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №624

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Замена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. После замены имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, возвращаемся к замене только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Введением вспомогательного угла запишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Другие случаи применения замены переменной

Рассмотрим еще несколько примеров решения тригонометрических уравнений с помощью замены переменной.

Пример №625

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющий ОДЗ. Итак, имеем множество корней исходного уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №626

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Преобразуем обе части уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Замена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. ​​Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корни которого: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Корень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не удовлетворяет условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возвращаемся к замене, получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Перепишем его в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №627

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Заменой сведем уравнение к системе уравнений. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, по условию, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите систему самостоятельно). Возвращаемся к замене, например, для переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решив это уравнение, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение тригонометрических уравнений различными методами

В двух предыдущих лекциях мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим с помощью замены переменной. В этой лекции рассмотрим другие виды тригонометрических уравнений и методы их решения.

Метод разложения на множители

Пусть имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, левую часть которого можно разложить на множители, то есть привести к виду: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равносильно совокупности уравнений вида: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии учета его ОДЗ.

Пример №628

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, уравнение принимает вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Левую часть полученного уравнения можно разложить на множители: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда имеем : Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №629

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, уравнение примет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое равносильно совокупности двух простейших тригонометрических уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №630

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, уравнение примет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разложим левую его часть на множители, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение равносильно совокупности уравнений (решите их самостоятельно): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Пример №631

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Если бы левая часть уравнения содержала множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ее можно было привести к виду — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, использовав 4 раза формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому умножим обе части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заметим, что этот прием обусловит появление посторонних корней вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решений уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), так как умножение обеих частей на выражение, которое может быть равно нулю, не является равносильным преобразованием уравнения. Действительно, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, левая часть исходного уравнения равна 1 или –1 соответственно для четных и нечетных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть не равна правой части. Поэтому, решая уравнение указанным методом, из полученных решений надо исключить те, при которых выражение, на которое мы умножили, равно нулю, то есть числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, после умножения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обеих частей уравнения, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Переписав его в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, разложим левую часть на множители: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Далее из полученных корней удалим посторонние.

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное число. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Однородные тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют однородным тригонометрическим уравнением 1-го порядка относительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как каждый из этих слагаемых содержится в уравнении в первой степени. Уравнение сводят к простейшему делением обеих его частей на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом потери корней не произойдет, поскольку значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, не являются корнями уравнения. Действительно, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение примет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но не существует таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, если разделить обе части уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим равносильно ему уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое является простейшим.

Пример №632

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поделим обе части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тригонометрическое уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа, из которых хотя бы два отличных от нуля, называют однородным тригонометрическим уравнением 2-го порядка относительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Каждое слагаемое в уравнении — второй степени.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение решают, поделив предварительно обе его части на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) с последующей заменой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом потери корней (по аналогии с однородным уравнением 1-го порядка) не произойдет. Если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выносим за скобки и применяем прием, известный нам из предыдущего пункта.

Пример №633

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Те значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, не являются корнями уравнения, поэтому, разделив обе части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корней не потеряем. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получили уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Замена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене:

1)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогдаМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Среди тригонометрических уравнений случаются уравнения, вид которых отличается от упомянутого выше, но их можно привести к однородному уравнению. Для этого часто применяют формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество.

Рассмотрим пример такого уравнения.

Пример №634

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, уравнение принимает вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а после упрощений получим однородное уравнение 2-го порядка: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Далее решаем уравнение, как в предыдущем примере (решите самостоятельно).

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Один из способов решения такого уравнения — это метод вспомогательного угла.

Рассмотрим еще один способ решения уравнений такого типа. Он заключается в приведении этого уравнения к однородному с помощью формул двойного угла и основного тригонометрического тождества.

Рассмотрим этот способ на примере.

Пример №635

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. После упрощений получим однородное уравнение 2-го порядка: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решив его как однородное уравнение 2-го порядка (сделайте это самостоятельно), получим корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №636

Найти корни уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Воспользуемся методом вспомогательного угла. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поделим обе части уравнения на 13. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку правая часть уравнения содержит функцию синуса, выражение в левой части также приведем к функции синуса. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Применим в левой части формулу сложения, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это уравнение можно решить или разложением на множители, или применить условие равенства двух одноименных функций (как в ранее рассмотренном примере). Запишем для полученного уравнения условие равенства двух синусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , имеем совокупность двух линейных уравнений с переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите их самостоятельно). 

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки

Под универсальной тригонометрической подстановкой понимают запись основных тригонометрических функций через тангенс половинного угла: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следует помнить, что применение этих формул в уравнении сужает его ОДЗ на множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому перед применением формул надо проверить, не являются ли числа этого множества корнями уравнения.

Пример №637

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ уравнения — все действительные числа, кроме чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому эти числа не могут быть корнями данного уравнения.

Применим формулу: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и замену: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. ТогдаМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №638

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. После применения формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ОДЗ уравнения сужается на множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но эти цифры не являются корнями уравнения (проверьте самостоятельно). Применяя указанную формулу и замену Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тригонометрические уравнения с параметрами

Ранее мы уже рассматривали некоторые тригонометрические уравнения с параметрами. Рассмотрим несколько более сложных упражнений.

Пример №639

Для всех значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Введем вспомогательный угол. Для этого разделим обе части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получили уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то:

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, корней нет;

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то решений нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №640

Найти все значения параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при каждом из которых уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет решений.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем его в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое решений не имеет.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по условию задачи необходимо выполнение одного из двух условий: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из первого неравенства получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а из второго, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите неравенства самостоятельно). Итак, окончательно получим, что условие задачи удовлетворяют следующие значения параметра: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тригонометрические неравенства

  • Неравенство, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называют тригонометрическим неравенством.

Тригонометрическими являются, например, неравенства:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобное.

Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшими называют неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и те, которые получим, если в них знак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменим на один из знаков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Общие формулы для решения этих неравенств достаточно громоздкие. Поэтому рассмотрим методы решения неравенств на примерах. Для наглядности будем использовать единичную окружность, линии тангенса и котангенса.

Пример №641

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это ордината точки единичного круга, соответствует углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим на единичной окружности все точки, ординаты которых больше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — они лежат выше прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 31.1). Множество всех таких точек образует дугу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если двигаться вдоль этой дуги против часовой стрелки, то есть в положительном направлении откладывания углов, то первая точка дуги Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а последняя — углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 31.1

Каждый из этих углов является решением неравенства, поскольку неравенство нестрогого знака. Неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, точки которых принадлежат дуге Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция синуса является периодической с наименьшим положительным периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому множество всех решений неравенства имеет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ можно записать и в виде промежутка: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №642

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим на единичной окружности дугой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач все точки, ординаты которых меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, это точки дуги Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые лежат ниже прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 31.2). Если двигаться вдоль дуги Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положительном направлении, то первая точка дуги Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а последняя — углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                        Рис. 31.2

Концы дуги будут «пустыми», поскольку неравенство строгого знака. Решения неравенства — все углы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым соответствуют точки, лежащие на дуге Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между точками Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Учитывая периодичность синуса, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Разделим все части полученного неравенства на 2, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №643

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим на единичной окружности все точки, абсциссы которых меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Эти точки лежат на дуге Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной окружности слева от прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 31.3). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 31.3

Первая точка дуги Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а последняя — углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решениями неравенства являются все углы, которым соответствуют точки этой дуги, включая ее концы. Учитывая периодичность косинуса, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №644

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначим на единичной окружности все точки, абсциссы которых больше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть больше 0,5. Все они лежат на дуге Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, первая точка которой соответствует углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а последняя Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 31.4). Все углы, лежащие между этими двумя углами, являются решениями неравенства.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 31.4

Итак, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возвращаемся к переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №645

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Период функции тангенс равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому сначала найдем решения неравенства на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач затем используем периодичность. Проведем линию тангенсов, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это ордината точки на линии тангенсов, что соответствует углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим на линии тангенсов точку, ордината которой равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 31.5). Эта точка соответствует углу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точки линии тангенсов, у которых ординаты меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответствуют углам от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 31.5

Заметим, что угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет решением неравенства, поскольку оно нестрогое, а угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не будет, поскольку не существует.

Итак, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем решения неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая периодичность, окончательно получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №646

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Используя рисунок 31.5 и периодичность, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №647

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Используя линию котангенсов, получим решения неравенства на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 31.6).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 31.6

Далее используем периодичность: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тригонометрические неравенства, приводящиеся к простейшим

Неравенства, отличные от простейших, можно привести к простейшим с помощью тригонометрических формул.

Пример №648

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Упростим левую часть неравенства:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое заменой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится к простейшему: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 31.7).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 31.7

Возвращаясь к переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение тригонометрических неравенств с помощью замены переменной

Как и тригонометрические уравнения, некоторые тригонометрические неравенства можно решить с помощью введения новой переменной.

Пример №649

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перенесем все слагаемые в правую часть неравенства и упростим полученное выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Замена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 31.8

Решая последнее неравенство (рис. 31.8), получим совокупность: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Покажем на единичной окружности множество точек этой совокупности (рис. 31.9). С учетом периодичности имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 31.9

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов

Решая неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — тригонометрическое выражение, не всегда можно свести его к одному из вышеупомянутых видов неравенств. В таком случае решить неравенство можно универсальным методом — методом интервалов.

  • Алгоритм применения метода интервалов для решения тригонометрических неравенств может быть таким:
  1. представить выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде суммы тригонометрических функций в первой степени;
  2. найти T — период Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, им будет наименьшее общее кратное периодов каждого из слагаемых;
  3. решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке длиной T (лучше, когда концами этого промежутка будут нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что в дальнейшем позволит компактнее записать ответ);
  4. разбить промежуток T областью определения и нулями функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на конечное число промежутков и найти знак Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из них;
  5. в зависимости от найденных знаков с учетом периодичности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записать ответ.

Пример №650

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Преобразуем левую часть неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому наименьшим положительным периодом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим это неравенство на промежутке длиной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для того чтобы выбрать «удобный» промежуток, сначала найдем нули функции, решив уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способом разложения на множители. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, имеем множество нулей функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Рассмотрим промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длиной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ему принадлежат 4 нуля функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначим их на числовой оси.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 3.10

Определим знак функции на каждом из полученных промежутков, подставляя в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по одному значению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из каждого промежутка (рис. 31.10).

Прибавляя к полученным промежуткам период Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем множество решений неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предел и непрерывность функции. Производная и ее применение

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — это величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Понятие предела последовательности

В 9 классе вы уже ознакомились с числовыми последовательностями. Числовую последовательность можно записывать в виде ряда цифр: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или с помощью общей формулы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й член последовательности, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примерами числовых последовательностей являются арифметическая прогрессия, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й член которой задают формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — первый член последовательности, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее разность, и геометрическая прогрессия, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-й член которой задают формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — первый член последовательности, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее знаменатель.

Пример №651

Рассмотрим последовательность, которая задана формулой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и с увеличением числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к нулю.

В таком случае говорят, что пределом числовой последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 0. Для записи этого факта используют понятие предела и обозначения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а именно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «предел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, стремящемся к бесконечности, равен нулю»).

Обозначение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пришло в математику от латинского слова Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что означает предел.

В общем случае запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит, что пределом числовой последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение предела

Сначала рассмотрим функцию последовательности части числа.

Целая часть действительного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это наибольшее целое число, не превышающее Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Целую часть числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают символом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вернемся к примеру. Рассмотрим некоторое произвольное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и покажем, что найдется такое значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль разности между значением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пределом числовой последовательности будет меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет выполняться неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Так, например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поэтому для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть все члены последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут лежать на расстоянии менее Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от предела числовой последовательности — числа 0.

Переходим к определению предела числовой последовательности.

  • число A называют пределом числовой последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любого  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется такое натуральное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №652

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Докажем, что для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется такое натуральное число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, существует число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что таким же образом можно доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа. 

Пример №653

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Докажем, что для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, существует число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что таким же образом можно доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые числа.

Основные теоремы о пределах последовательностей

Рассмотрим правила вычисления пределов последовательностей.

  • Теорема 1. Если последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют пределы, то существуют предел их суммы, разности и произведения, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  • Теорема 2. Если последовательности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют пределы, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существует предел их частного, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  • Теорема 3. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где С — любое число. 
  • Теорема 4. Если последовательность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет предел, то имеет предел и последовательность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем эти теоремы без доказательства.

Пример №654

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в самой высокой для этой дроби степени, то есть на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По теоремам о пределах и из вышеприведенных примеров получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 2.

Пример №655

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. В числителе дроби имеем сумму Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первых членов арифметической прогрессии. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поделим числитель и знаменатель дроби на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и используем теоремы о пределах: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0.

Пример №656

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Преобразуем выражение в скобках, помножив и поделив его на сопряженное ему выражение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0.

Понятие предела функции на бесконечности

Кроме предела последовательности на бесконечности в математике также рассматривают предел функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на бесконечности, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Число B называют пределом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на бесконечности, если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена для всех достаточно больших по модулю значений x и для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех x, удовлетворяющие условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, справедливо неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правила вычисления пределов функций на бесконечности такие же, как и для пределов последовательностей.

Пример №657

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предел и непрерывность функции в точке

Понятие предела функции в точке

Пример №658

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значение этой функции в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Составим таблицу значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках, которые на числовой прямой лежат достаточно близко к числу 3.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы замечаем, что чем ближе аргумент x к числу 3, тем ближе значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к числу 2.

Говорят, что если аргумент стремится к числу 3 (обозначают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), то значение функции стремится к числу 2 (обозначают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Для записи этого факта используют обозначение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а именно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают:  «предел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при x, стремящемся к 3, равен 2»). Число 2 при этом называют пределом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке 3.

В общем случае запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит, что пределом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что в данном примере предел функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке 3 равен значению функции в этой точке 3. В таком случае говорят, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке 3

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют непрерывной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если функция имеет значение в этой точке и выполняется равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что все известные нам ранее функции являются непрерывными в каждой точке своей области определения.

Например, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная для всех значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (говорят, что такая функция непрерывна на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), а функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная для всех значений x, за исключением значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В таком случае говорят, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на каждом из промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет разрыв. Точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является точкой разрыва функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Несмотря на то, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет разрыв, предел функции в этой точке найти можно.

Пример №659

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значения этой функции в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует. Составим таблицу значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках, на числовой прямой расположенных достаточно близко к числу 2.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, чем ближе аргумент x к числу 2, тем ближе значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к числу 4, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

К такому выводу можно прийти, рассмотрев график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Областью определения функции есть все значения x, за исключением числа 2. На области определения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .Поэтому графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с «пустой» точкой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 33.1). Из графика видно, что при приближении аргумента к числу 2 значения функции приближается к числу 4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 33.1

Определение предела функции в точке

Вернемся к примеру. Запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что точка x находится от точки 3 на незначительном расстоянии, например на расстоянии менее какого-то положительного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, учитывая, что расстояние между точками и 3 на координатной прямой записывают как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заметим, что запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что x стремится к числу 3, но не обязательно достигает этого значения, поэтому в определении предела в точке не рассматривают значение функции в этой точке.

Запись Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, находится на незначительном расстоянии от числа 2, например на расстоянии менее некоторого положительного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти такое значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех x таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет выполняться неравенство:  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Действительно, пусть, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Есть определение предела функции в точке

  • число A называют пределом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что при всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, справедливо неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №660

Доказать по определению, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Рассмотрим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: \Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нашлось такое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех значений x таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и которые удовлетворяют условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, справедливо неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, по определению, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является непрерывной на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и в частности в точке 1, то значение предела можно будет найти без использование определения, так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правила вычисления предела функции в точке

Рассмотрим основные правила вычисления предела в точке, которые примем без доказательства.

  • Теорема 1. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  • Теорема 2. Если функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют предел в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существуют пределы их сумы, разности и произведения в этой точке, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Теорема 3. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где С — произвольное число. 
  • Теорема 4. Если существует предел функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то в этой точке существует предел функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  • Теорема 5. Если функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют пределы в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем предел функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличается от нуля, то существует предел частного функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Эти теоремы используют для вычисления пределов.

Пример №661

Вычислить предел: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) 1-й способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2-й способ. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и в частности в точке 5, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке –2 существует, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому функция в этой точке непрерывная. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1)22; 2) 4.

Из упомянутых выше теорем и примеров можно сделать вывод:

  • если существует значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и функция в этой точке непрерывна, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №662

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 
Решение. Значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то полученную дробь можно сократить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, после чего получим дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого значение в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует. Итак, имеем:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 2.

Из теорем и примеров, которые мы рассмотрели, можно сделать вывод, что

если функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то сумма, произведение и частное функций также непрерывные в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для частного лишь при условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Бесконечный предел функции

Мы уже рассмотрели конечные пределы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число. Однако в математике рассматривают также и понятие бесконечного предела.

Например, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен на рисунке 33.2, определена для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция принимает сколько угодно большие значения. Говорят, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет бесконечный предел, и записывают это так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 33.2

Сформулируем определение бесконечного предела.

  • Будем считать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для произвольного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех x таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, выполняется неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №663

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональное число.

Доказательство. Докажем, что для произвольного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех x таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, выполняется неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, для произвольного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех x таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, справедливо неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Так же можно доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — любые числа, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональное число.

В математике также рассматривают понятие бесконечного предела на бесконечности, то есть предела вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Будем считать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для произвольного числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для всех x, таких, чтоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, оправдывается неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №664

Найти предел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорится, что имеем неопределенность типа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для вычисления этого предела поделим числитель и знаменатель на x в высшем степени — на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная функции. Производные простейших функций

Приращение аргумента и приращение функции

На практике нас часто интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Приращение величины обозначают заглавной буквой греческого алфавита Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (дельта). Рассмотрим понятие приращения для функции.

Сначала рассмотрим понятие приращения аргумента. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое фиксированное значение аргумента, а x — некоторое произвольное его значение.

  • Разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют приращением аргумента (независимой переменной) в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «дельта икс»).

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть как положительным, так и отрицательным. Понятно, что когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 34.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 34.1

Рассмотрим значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменилось при переходе от точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют приращением функции в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «дельта эф»).

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 34.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 34.2

Пример №665

Найти приращение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что соответствует приращению аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,3.

Производная функции

Для функции понятие производной является одним из важнейших понятий математического анализа. С помощью производной можно исследовать свойства функций, находить их наибольшее и наименьшее значения на промежутке и тому подобное. Производную применяют в физике, экономике, других науках.

  • Предел отношения приращения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к приращению аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют производной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производную обозначают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач штрих в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач») или так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают:« Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач штрих в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач »). Определение производной в виде формулы можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если учесть, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющую производную в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют дифференцируемой в этой точке. Если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке. Действие нахождения производной называют дифференцированием функции.

Найти производную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по определению можно по следующему алгоритму:

1) найти приращение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  соответствующую приращению аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) найти отношение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и упростить его,
3) найти предел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №666

Найти производную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №667

Имеет ли функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач производную в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач? В случае положительного ответа, найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для различных значений аргумента задана различными формулами: для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одной формулой, а для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — другой, и дать ответ о существовании производной нужно именно в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то при решении задачи надо рассмотреть два случая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, в обоих случаях Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. имеет; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производные простых функций

Поскольку для каждого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или единственное, или вообще не существует, будем рассматривать производную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как функцию от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для некоторых функций можно найти формулы их производных. Это позволит находить производную функции в точке не по определению, а по формуле.

Найдем формулы производных некоторых простейших функций по определению, заменив в предложенном выше алгоритме Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №668

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число. Тогда по алгоритму: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №669

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №670

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда:
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно найти производные и других функций школьного курса математики.

Советуем запомнить производные функций, которые часто используются в курсе алгебры и начала анализа:

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обратите внимание, что производная функции — это также функция, а производная функции в точке — это число. Значит, теперь, зная формулы производных, производные функций в точках можно вычислять значительно проще, чем по определению. Для этого достаточно в формулу производной функции подставить данную точку и выполнить вычисления.

Пример №671

Дана функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Известно, что производной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Физический и геометрический смысл производной

Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию производной.

Средняя и мгновенная скорости движения точки по прямой

Пусть точка движется по прямой, и известны ее координаты Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. За интервал времени от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка преодолеет расстояние Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда среднюю скорость движения за это время можно определить по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то рассматривают интервал времени от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а соответствующее расстояние в этом случае равно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, в обоих случаях средняя скорость точки, которая движется вдоль прямой, равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В каждый момент времени точка движется с определенной скоростью. Выясним, как найти мгновенную скорость движения в момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Естественно предположить, что когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно мало, то за этот интервал времени скорость практически не изменится, то есть средняя скорость по данный момент времени практически не будет отличаться от мгновенной скорости Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, чтобы найти мгновенную скорость, сначала найдем среднюю скорость Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а далее — предел средней скорости при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правая часть этого равенства является, по определению, производной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:

  • мгновенная скорость Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена для любой дифференцируемой функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при этом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

или коротко:

  • производная от координаты по времени является скоростью.

В этом заключается физический смысл производной.

Рассуждая аналогично, можно показать, что

  • производная от скорости по времени является ускорением.

Пример №672

Тело движется прямолинейно по закону Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач измеряется в метрах, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — в секундах). Найти скорость точки в момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 10 м/с.

Касательная к графику функции

Рассмотрим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящую через любые две точки графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют секущей к этому графику (рис. 35.1). Из курса геометрии известно, что угловой коэффициент Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой, проходящей через точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя понятие приращений функции и аргумента, это удобно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Касательной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют предельное положение секущей, проходящей через эту точку, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                      Рис. 35.1

На рисунке 35.1 прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — касательная к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенная в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значит, 

  • угловой коэффициент касательной к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенной в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, равняется производной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этой точке: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В этом заключается геометрический смысл производной.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс, то когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, а когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть касательная параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней), а в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой.

Пример №673

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. k = Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №674

Найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол наклона касательной оси абсцисс.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 0,25.

Пример №675

На рисунке 35.2 изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определенной на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — касательная к графику функции.

1) Используя график, найдите Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Укажите точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 35.2

Решение.

1) Прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует с положительным направлением оси абсцисс угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) ПосколькуМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — абсцисса тех точек графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которых касательная параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней). Это точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 35.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 35.3

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение касательной к графику функции

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение касательной к графику функции в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение касательной приобретает вид:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку касательная проходит через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению касательной, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, зная Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , можем записать уравнение касательной к графику функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

  • Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №676

Составить уравнение касательной к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставим полученные значения в уравнение касательной, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Упростив выражение в этом уравнении, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правила дифференцирования. Таблица производных

В этой лекции рассмотрим основные правила дифференцирования и производные степенных и тригонометрических функций. Для упрощения записей вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. будем писать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобное.

Основные правила дифференцирования

Пусть функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируемы в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда их сумма и разность также дифференцируемы в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Правило 1. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных).

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • Следствие. Производная суммы трех и более слагаемых равна сумме производных: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №677

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим правило дифференцирования произведения.

  • Правило 2. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем этот факт без доказательства.

  • Следствие. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная (постоянный множитель можно выносить за знак производной).

Доказательство. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №678

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №679

Найти уравнение касательной к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая проходит через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит графику данной функции. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка касания, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В уравнении касательной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим полученные для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит касательной, то ее координаты удовлетворяют уравнению касательной, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или после упрощений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, таких касательных будет две.

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение касательной: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение касательной: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим правило дифференцирования частного.

  • Правило 3. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Можно доказать тем же способом, которым доказали правило 1, но используем другой способ.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №680

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производная степенной функции

Мы знаем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формуле производной произведения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Можно заметить следующую закономерность для натурального Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примем этот факт без доказательства.

Пусть теперь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое отрицательное число. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число натуральное. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, в этом случае также Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:

  • для любого целого n и любого x (Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производную степенной функции с дробным показателем находят по этой же формуле (подробно об этом в 11 классе).

Пример №681

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №682

Найти производную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. –6.

Производные тригонометрических функций

Чтобы доказать формулы для производных синуса и косинуса, рассмотрим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Составим таблицу значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для точек, близких к точке 0, с точностью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при этом можно использовать калькулятор или компьютер).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Анализируя значения в таблице, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Теорема 1 (производная синуса). Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. ПустьМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда: 

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Теорема 2 (производная косинуса). Для каждого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 1.

  • Теорема 3 (производная тангенса). Для каждого x из области определения функции тангенса Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Доказательство. Учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле производной частного имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • Теорема 4 (производная котангенса). Для каждого x из области определения функции котангенса Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 3.

Пример №683

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №684

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ. 2.

Пример №685

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Есть уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таблица производных

Систематизируем полученные производные функции в таблице, которую принято называть таблицей производных.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная сложной функции

Вы уже умеете находить производные функций, аргументами которых является переменная x, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Как найти производные функций, аргументами которых являются другие функции, например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п., называемые сложными.

Сложная ​​функция

Пусть надо вычислить значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обычно, сначала вычисляют значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем из полученного числа добывают арифметический квадратный корень, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если обозначить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В таком случае говорят, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсложная функция, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее внутренняя функция (или промежуточный аргумент).

Например, для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач внутренней функцией является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; а для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (которую еще можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) внутренней функцией является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производная сложной функции:

  • Теорема 1 (производная сложной функции). Если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную в точке x, а функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то сложная функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную в точке x, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Так как по условию функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она непрерывна в этой точке. То есть для незначительного изменения аргумента в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующее значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также почти не меняется, то есть при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторой окрестности точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
При Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (и соответственно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №686

Найти производную функции: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.
1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №687

Найти производную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Это сложная ​​функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Можно записывать кратко: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №688

Найти производную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Это сложная ​​функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №689

Найти производную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №690

На графике функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти точку, в которой касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сложная функция. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— абсцисса искомой точки, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомая точка.

Ответ. (0; 1).

Признаки постоянства, возрастания и убывания функции

Из всех способов задания функции наиболее наглядным является график. В предыдущих классах вы научились «читать» графики, то есть определять свойства функции по ее графику.

С помощью производной можно решать обратную задачу: строить график функции, зная ее свойства.

Одна из основных задач при исследовании функции и построения ее графика — это нахождение промежутков возрастания, убывания и постоянства функции. Такое исследование можно провести с помощью производной.

Напомним, что

  • функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции;
  • функцию называют убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, еще называют промежутками монотонности.

На рисунке 38.1 изображен график возрастающей на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В какой бы точке этого промежутка мы не провели касательную к графику функции, угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который она будет образовывать с положительным направлением оси абсцисс, будет острый. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — абсцисса точки касания, поэтому для любой точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 38.1

На рисунке 38.2 изображен график убывающей на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В каждой точке этого промежутка касательная к графику функции образовывает с положительным направлением оси абсцисс угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который является тупым. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для каждой точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 38.2

Итак, зная, возрастает или убывает функция на определенном промежутке, можно определить знак производной на этом промежутке. А можно и наоборот: по знаку производной функции на промежутке определить, возрастает эта функция, убывает или постоянная на этом промежутке.

  • Теорема 1 (признак постоянства функции). Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является постоянной на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для каждого x из этого промежутка.
  • Теорема 2 (признак возрастания, убывания функции). Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в каждой точке промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в каждой точке промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Строгие доказательства этих теорем являются достаточно громоздкими, поэтому мы их не приводим. Заметим лишь, что теорему 1 еще называют необходимым и достаточным условием монотонности функции, а теорему 2 — достаточным условием возрастания или убывания функции.

Пример №691

Найти промежутки возрастания и убывания функции: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) По теореме 2, чтобы найти промежутки возрастания функции, надо решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений x, тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений x. Следовательно, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на всей области определения, то есть на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений x, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений x. Следовательно, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на всей области определения, то есть на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) Возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На рисунке 38.3 схематично изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  Рис. 38.3

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция убывает, на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция возрастает, что подтверждается графиком. В точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, разделяющей два промежутка, на одном из которых функция убывает, а на другом возрастает, производная равна нулю: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На рисунке 38.4 схематично изображен график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  Рис. 38.4

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит, при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает, что подтверждается графиком. В точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, разделяющей эти два промежутка, производная не существует.

Итак, можем предположить, что два соседних промежутки, на одном из которых функция возрастает, а на другом убывает, могут разделяться точкой, в которой производная или не существует, или равна нулю. Если такая точка принадлежит области определения функции, то ее называют критической.

  • Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, для которых производная функции не существует или равна нулю.

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является критической, а для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нет, поскольку не принадлежит области определения. Итак, точки, не принадлежащие области определения, также могут делить график на промежутки, на одном из которых функция возрастает, а на другом убывает.

Исходя из приведенных соображений, можно сформулировать алгоритм исследования функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на возрастание и убывание:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти производную функции.
  3. Критические точки функции.
  4. Разделить найденными критическими точками область определения функции на промежутки и выяснить знак производной на каждом из них (для этого достаточно определить знак производной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в одной произвольной точке промежутка).
  5. По знаку производной определить промежутки возрастания и убывания функции.

Заметим, что если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке, являющейся концом промежутка возрастания или убывания, то эту точку присоединяют к этому промежутку. Таким образом, можно утверждать, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная. Промежутки возрастания и убывания функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач остаются без изменений, поскольку в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта функция не является непрерывной (имеет разрыв, ведь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит области определения функции).

Рассмотрим упражнения на нахождение промежутков возрастания и убывания функции, используя вышеприведенный алгоритм. Критические точки будем обозначать закрашенными (их будем присоединять к промежуткам монотонности), а точки, не принадлежащие области определения функции, изобразим «пустыми» (они не могут быть присоединены к промежуткам монотонности). Символом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем обозначать возрастание, а символом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — убывание функции на промежутке.

Пример №692

Найти промежутки возрастания и убывания функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,

3) Производная существует для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы найти критические точки, решим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Обозначим критические точки на области определения функции и определим знак производной на каждом из полученных промежутков (рис. 38.5). На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем, например, точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 38.5

5)Итак, функция возрастает на промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Возрастает на промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , убывает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №693

Найти промежутки монотонности функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критические точки.

4) Обозначим эти точки на области определения функции и выясним знак производнойМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 38.6) на каждом из промежутков (сделайте это самостоятельно).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 38.6

5) Функция возрастает на промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, убывает на промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — промежутки возрастания, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — промежутки убывания.

Зная промежутки монотонности, можно решать некоторые задачи, связанные с нахождением корней уравнения (их количества; приближенного значения корня). 

Пример №694

Доказать, что уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет только один корень.

Решение. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем ее производную:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Тогда график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может пересекать ось абсцисс не более чем в одной точке, соответственно и уравнение будет иметь не более одного корня. Легко заметить, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — корень уравнения, ведь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является возрастающей (убывающей) на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и на концах этого промежутка приобретает числовые значения различных знаков, это означает, что график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает ось абсцисс только в одной точке (рис. 38.7 и рис. 38.8).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 38.7                                            Рис. 38.8

Пример №695

Имеет ли уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корень на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем ее промежутки монотонности. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критическая точка. Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 38.9), а потому растет и на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что является его подмножеством. На концах промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют разные знаки: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, график функции на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает ось x, и поэтому на этом промежутке уравнение имеет корень.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Рис. 38.9

Ответ. Да.

Пример №696

Найти все значения параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является возрастающей для всех значений x.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач росла на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для всех значений x: имеет сбываться неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Однако этого недостаточно. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ко множеству значений x, в которых функция возрастает (убывает), могут также принадлежать и критические точки этой функции. Таким образом, задача сводится к отысканию таких значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при которых неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо для всех значений x. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сначала рассмотрим случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений x. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — удовлетворяет условию задачи, то есть является ее решением.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — квадратичная функция. Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач она приобретает неотрицательные значения, если одновременно выполняются условия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 38.10 и 38.11).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Рис. 38.7                                  Рис. 38.8

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Учитывая решение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Экстремумы функции

Для исследования функции и построения ее графика важно знать точки экстремума и экстремумы функции.

Экстремумы функции

Исследуя поведение функции вблизи некоторой точки, удобно пользоваться понятием окрестности точки.

  • Окрестностью точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют любой промежуток, содержащий эту точку.

Например, окрестностью точки 2 может быть как промежуток (1,9; 2,1), так и промежуток  (1,5; 2,5), окрестностью точки –3 — промежуток (–3,8; –2,2). 

Рассмотрим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображенный на рисунке 39.1. Видим, что существует такая окрестность точки –2, что для всех точек из этой окрестности функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает наибольшее значение именно в точке –2.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 39.1

Такую точку называют точкой максимума функции, а значение функции в этой точке — максимумом функции.

  • Точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют точкой максимума функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для всех x из некоторой окрестности точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Будем обозначать точки максимума через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а максимумы функции — через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, в вышеупомянутом примере: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаясь к рисунку 39.1, замечаем, что существует некоторая окрестность точки 1, что для всех точек из этого окрестности функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает наименьшее значение именно в точке 1. Такую точку называют точкой минимума, а значение функции в этой точке — минимумом функции.

  • Точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют точкой минимума функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для всех x из некоторой окрестности точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо неравенство /Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают точки минимума, а через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, — минимумы функции. В нашем примере: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Точки максимума и минимума вместе называют точками экстремума (от лат. еxtremum — крайний), а значение функции в этих точках — экстремумами функции.

Заметим, что поскольку в точке максимума (минимума) функция приобретает наибольшее (наименьшее) значения по сравнению со значениями этой функции в точках некоторой окрестности, то точки максимума (минимума) называют еще локальными экстремумами.

Необходимое условие экстремума

Сформулируем важную теорему, которую называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма), в которой утверждается, что точками экстремума могут быть только критические точки функции.

  • Теория Ферма (необходимое условие экстремума). Если точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является точкой экстремума функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в этой точке существует производная, то она равна нулю: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примем этот факт без доказательства и заметим, что теорема Ферма является лишь необходимым условием экстремума.  Условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не обязательно означает, что х0 — точка экстремума функции.

Пример №697

В частности, для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 39.2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не является точкой экстремума.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
    Рис. 39.2

Пример №698

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 39.3), для которой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка минимума. Выясним, имеет ли функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач производную в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого найдем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существует, а потому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач производной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
     Рис. 39.3

Из теоремы Ферма на этом примере приходим к выводу, что

  • точками экстремума могут быть только ее критические точки.

Поэтому, ища точки экстремума функции, в первую очередь надо найти ее критические точки. Но помнить, что не каждая критическая точка является точкой экстремума (как в примере).

Достаточное условие экстремума

Выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума, можно с помощью теоремы — достаточного условия существования экстремума.

  • Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и:
  1.  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является точкой максимума функцииМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  2. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является точкой минимума функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на интервале Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функцияМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает (доказательство аналогичное), поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка максимума функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Доказательство аналогично пункту 1).

Коротко эту теорему можно переформулировать так.

  • если в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач производная меняет знак с Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (двигаясь в направлении возрастания x), то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка максимума (рис. 39.4), а если с Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка минимума (рис. 39.5).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если изменения знаков не произошло (рис. 39.6 и 39.7), то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является точкой экстремума.

Таким образом, можно сделать вывод, что задачи на нахождение промежутков возрастания, убывания функции и полученных экстремумов связаны между собой. Поэтому для нахождения экстремумов функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно применить такой алгоритм.

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти производную функции.
  3. Найти критические точки функции.
  4. Обозначить найденные критические точки на области определения и выяснить знак производной на каждом из полученных промежутков.
  5. Для каждой критической точки по знаку производной на промежутках слева и справа от нее определить, является ли она точкой экстремума и какого именно — максимума или минимума. Записать результат.

Задачи на поиск точек экстремума и экстремумов функции

Рассмотрим несколько задач.

Пример №699

Найти точки экстремума функции уМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Воспользуемся вышеуказанным алгоритмом.

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критические точки.

4) Обозначим критические точки на числовой оси и определим знак производной на каждом из полученных промежутков (рис. 39.8):

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 39.8

Отсюда, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №700

Найти точки экстремума и экстремумы функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критические точки.

4) Обозначим критические точки на области определения функции и выясним знак производной на каждом из полученных промежутков (рис. 39.9).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 39.9

5) Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки экстремума.

Тогда, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №701

Найти точки экстремума функцииМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Далее рассмотрим функцию отдельно для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

а) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решений не имеет. Для всех x таких, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

б) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Оба корня удовлетворяют условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — критические точки.

4) Знаки производной изображены на рисунке 39.10.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 39.10

5) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №702

Найти точки максимума функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная существует во всех точках области определения функции.

3) Решим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критические точки.
4) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является периодической с периодом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Исследуем знак производной на некотором промежутке длиной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, например на  [–Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач] . Этому промежутку принадлежат две из критических точек Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Знаки производной на промежутке изображены на рисунке 39.11. Учитывая периодичность функции, получим, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 39.11

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение производной при исследовании функций и построении их графиков

Ранее нам уже попадались функции, вид графиков которых в то время мы не знали. В таких случаях мы строили их графики по точкам. Так были построены, например, графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, т. д.

Однако, применяя такой способ построения для более сложных функций, можно потерять важные особенности графика функции. Чтобы избежать подобных ошибок, надо сначала исследовать поведение функции, выявить ее особенности и только потом строить график. К особенностям поведения функции относят и ее возрастание, убывание и экстремумы. Поэтому для построения графика будем использовать производную.

Исследовать функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и строить ее график можно по следующему алгоритму:

  1. Найти область определения функции.
  2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность (для тригонометрических функций).
  3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно).
  4. Найти производную и критические точки функции.
  5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
  6. Исследовать поведение функции на концах промежутков области определения, если это возможно.
  7. При необходимости найти еще несколько точек графика и, используя полученные результаты, построить график функции.

Применяя этот метод, следует помнить, что методами, которые нам известны, не всегда удается решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть найти точки пересечения графика с осью абсцисс. Также иногда трудно исследовать поведение функции на концах промежутков области определения или вблизи точек разрыва. В таком случае целесообразно найти несколько точек графика, абсциссы которых очень близки к абсциссам упомянутых точек.

Результаты исследования по пункту 5 удобно представлять в виде таблицы.

Рассмотрим примеры исследования функции и построения ее графика по указанному алгоритму.

Пример №703

Исследовать функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и построить ее график. Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критические точки.

5) Составим таблицу, в которой укажем промежутки возрастания, убывания, критические точки функции и выводы о поведении функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то область определения не имеет концов.

7) Строим график функции, используя результаты исследования и значения функции еще в двух дополнительных точках: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

График изображен на рисунке 40.1.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 40.1

Построение графика функции с помощью производной значительно расширяет круг задач, которые целесообразно решать графически (выяснение количества корней уравнения, поиск приближенных значений корней и т .д.).

Пример №704

1) Исследовать функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и построить ее график.

2) Сколько корней в зависимости от значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Поскольку область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция ни четная, ни нечетная.

3) Точка пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; точки пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки пересечения с осями координат  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критические точки.

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) Точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит области определения функции. Исследуем поведение функции в окрестности точки –1. Пусть сначала Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (говорят: слева от –1). Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заметим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чем ближе x к числу –1, тем больше по модулю становится значение дроби Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и является отрицательным. Можно сказать, что при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, значение функции стремится к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично исследуем в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: значение функции стремится к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Проведем (пунктиром) прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда слева от прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач график будет идти вниз, а справа от прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет следовать вверх.

Прямую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в таком случае называют асимптотой (подробнее об асимптоте пойдет речь далее). График функции изображен на рисунке 40.2.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 40.2

Теперь выясним, сколько корней имеет уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в зависимости от значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, графически. Рассмотрим графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число (рис. 40.3) и найдем количество точек их пересечения, это и будет количеством корней уравнения. Для различных значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач их количество будет разным.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 40.3

По рисунку 40.3 имеем, что когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то графики пересекаются в двух точках, а потому уравнение имеет два корня. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то графики пересекаются в одной точке, а потому уравнение имеет один корень. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, графики не пересекаются, а потому уравнение не имеет корней. При Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графики пересекаются в одной точке, поэтому уравнение имеет один корень; а если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то графики пересекаются в двух точках, и уравнение имеет два корня.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение имеет два корня; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение имеет один корень; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение не имеет корней.

Пример №705

Найти множество значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выяснить, при каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни?

Решение. Решим задачу графически , то есть найдем множество значений функции по ее графику. Для этого исследуем поведение функции.

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Функция ни четная, ни нечетная, поскольку ее область определения не симметрична относительно нуля.

3) Точка пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; точки пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки пересечения с осями координат.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критическая точка.

5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

6) Точка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит графику функции. График изображен на рисунке 40.4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 40.4

По графику легко установить, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на области определения функции, то есть множеством значений является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имело корни, нужно, чтобы значение выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежало множеству значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть, чтобы исполнялось условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решим неравенство относительно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите неравенство самостоятельно).

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Решение многих прикладных задач часто сводится к нахождению наибольшего и (или) наименьшего значения непрерывной на некотором промежутке функции. Поэтому задачу можно решить с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая задана на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ее график изображен на рисунке 41.1.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

   Рис. 41.1

Наибольшим значением этой функции на заданном промежутке будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а наименьшим — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что на заданном промежутке функция имеет точку минимума: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но не имеет точек максимума.

От наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на промежутке, зависит ее множество значений на этом промежутке.

Так, множеством значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданной на промежуткеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

То есть если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьшее значение непрерывной на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, a Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее наибольшее значение, то множеством значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет экстремумы, это еще не значит, что наибольшее или наименьшее значение функция принимает именно в точках экстремума. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определенную на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен на рисунках 41.2—41.4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач       Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, на отрезке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наименьшее и наибольшее значения функция приобретает на концах промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, хотя имеет на этом промежутке точки максимума и минимума (рис. 41.2). Зато на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наименьшее значение функция достигает в точке минимума (рис. 41.3), а на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наибольшее значение в точке максимума (рис. 41.4). Если же рассматривать промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то наибольшего и наименьшего значений функция достигает соответственно в точках максимума и минимума (рис. 41.4). На рисунке 41.5 функция имеет аж две точки минимума на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но в одной из них не приобретает наименьшего на этом промежутке значения.

Можно сделать вывод, что когда функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна и монотонна (т. е. либо возрастает, либо убывает) на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то наибольшее и наименьшее значения эта функция будет приобретать именно на его концах (рис. 41.6 и 41.7).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если же функция непрерывна на некотором промежутке и имеет на нем только одну точку экстремума, то именно в этой точке функция приобретает наибольшее (если эта точка — точка максимума) или наименьшее (если эта точка — точка минимума) значение на этом промежутке.

Итак, наибольшее значение на промежутке функция может принимать или в точке максимума, принадлежащей этому промежутку, или на его концах. Так же наименьшее значение на промежутке функция может принимать или в точке минимума, принадлежащей этому промежутку, или на его концах. Понятно, что эти значения зависят исключительно от заданного промежутка и поведения функции (ее монотонности) на нем.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на заданном промежутке можно использовать такой алгоритм:  

  1. Проверить, что промежуток принадлежит области определения функции.
  2. Найти производную функции.
  3. Найти критические точки функции.
  4. Выбрать критические точки, принадлежащие данному промежутку.
  5. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах промежутка.
  6. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
  7. Записать результат.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке

Рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью упомянутого алгоритма.

Пример №706

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Решим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критические точки.

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

6) Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №707

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Производная существует во всех точках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите самостоятельно). Имеем решения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; а для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

6) Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Практический смысл наибольшего или наименьшего значения некоторой величины

Решая прикладные задачи, связанные с наибольшим или наименьшим значениями некоторой величины, используют математическое моделирование так же, как для решения текстовых задач.

Заметим, что для решения некоторых прикладных задач надо знать наибольшее или наименьшее значения непрерывной функции не на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Как правило, в таких случаях на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет только одну критическую точку. Если это точка максимума, то именно в этой точке на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция приобретает наибольшее значение (рис. 41.8), а если  это точка минимума — то наименьшее (рис. 41.9). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №708

Забором длиной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач надо оградить с трех сторон участок прямоугольной формы как можно большей площади. Найдите размеры такого участка (рис. 41.10).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Рис. 41.10

Решение. 1) Обозначим через x (в м) длину одной из двух параллельных сторон забора (рис. 41.11), тогда соседняя сторона будет иметь длину Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

   Hис. 41.11

2) Составим функцию зависимости площади участка от длины ее стороны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта функция является математической моделью задачи. Поэтому задача нахождения размеров участка сводится к нахождению значения x, при котором функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке (0; 40)  будет приобретать наибольшее значение.

3) Найдем наибольшее значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, при условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 41.12).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 41.12

4) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на (0; 40) и имеет одну точку экстремума — точку максимума Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то именно в этой точке и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает наибольшее значение. Следовательно, размеры участка будут Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 20 м и 40 м.

Итак, решать прикладные задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения некоторой величины можно по следующему алгоритму:

  1. Одну из неизвестных величин обозначить через x и найти пределы значения x. Другие величины выразить через x.
  2. Составить функцию — математическую модель задачи.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения полученной функции на промежутке для значений x.
  4. Проанализировать полученный результат и записать ответ к задаче.

Пример №709

Из листа картона прямоугольной формы, размеры которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, вырезав в его углах квадраты, как показано на рисунке 41.13, изготовили открытую коробку наибольшего объема. Найдите объем этой коробки.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 41.13

Решение. 1) Обозначим длину стороны вырезанного квадратика через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда каждая из сторон прямоугольника, который будет дном коробки, уменьшатся на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будут равны Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Составим функцию зависимости объема коробки от длины стороны вырезанных квадратов (рис. 41.14): Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, т. е. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 41.14

3) Найдем наибольшее значение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — не относится к промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 41.15).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 41.15

4) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет точку максимума Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то именно в ней Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает наибольшее значение. Найдем его: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Нахождение наибольшего или наименьшего значения некоторой величины на координатной плоскости

Пример №710 

На графике функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти точку, ближайшую к точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомая точка, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формуле расстояния между двумя точками на координатной плоскости запишем расстояние между точками Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает наименьшее значение тогда, когда наименьшее значение приобретает подкоренное выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обозначим подкоренное выражение через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем его наименьшее значение.

2) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем это точка минимума: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 41.15).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Рис. 41.15

4) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывная на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет единственную точку минимума Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то именно в этой точке функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает наименьшее значение.

5) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомая точка.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Применение производной к решению уравнений и неравенств и доказательству неравенств

Рассмотрим, как определенные свойства функций, в том числе и те, которые обычно находят с помощью производной, можно использовать для решения уравнений и неравенств, а также рассмотрим применение производной для доказательства неравенств.

Использование оценки левой и правой частей уравнения или неравенства

Нетрудно понять, что если в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех значений x из ОДЗ уравнения выполняются неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение не будут иметь решения. Если же выполняются неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение на своей ОДЗ равносильно системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим это на примерах. 

Пример №711

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим непрерывную на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на интервале Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — критическая точка функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому своих наибольшего и наименьшего значений она может принимать в точках 1; 0 или 2.

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, наибольшее значение, равное 2, функция приобретает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому корнем уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 1.

Ответ. 1.

Заметим, что это уравнение можно было решить и ранее изученными методами.

Пример №712

Решить неравенство: 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Левая и правая части неравенств — те же, что и в предыдущем примере, поэтому воспользуемся их оценкой и соображениями, проведенными ранее.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1) Поскольку наибольшим значением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является число 2, то неравенство справедливо только, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, число 1 — единственное решение неравенства.

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то неравенство выполняется для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть множеством решений неравенства является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то неравенство решений не имеет.

Ответ. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, оценкой левой и правой частей можно решать как некоторые уравнения, так и некоторые неравенства.

Пример №713

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим функциюМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач , определенную на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть имеем три критические точки функции. Определим знак производной на полученных промежутках (рис. 42.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 42.1

Учитывая непрерывность функции, и то, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сделаем вывод, что наименьшим значением функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть число –1.

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда уравнение равносильно системе: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Корни первого уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет и второе уравнение. Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень исходного уравнения.

Ответ. 1.

Использование монотонности функций

С помощью графической интерпретации нетрудно убедиться, что когда функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач монотонные на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или одна из них является постоянной, то их графики на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или пересекаются в одной точке (рис. 42.2 и 42.4), либо не имеют общих точек вообще (рис. 42.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это означает, что уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет иметь не более одного решения.

Пример №714

Решить уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. ОДЗ уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является убывающей на своей области определения, поскольку убывающей является функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет не более одного корня. Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственный корень уравнения.

Ответ. 1.

Монотонность функций иногда помогает решать и системы уравнений.

Пример №715

Решить систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение. Поскольку областью допустимых значений системы является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Перепишем систему в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда первое уравнение системы можно записать в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в том числе и для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому из равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Подставим во второе уравнение вместо переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №716

Решить неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Перепишем неравенство в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет корней, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Кроме того, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, решением неравенства является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство неравенств с помощью производной

Производную используют и для доказательства некоторых неравенств. Рассмотрим это на примере.

Пример №717

Доказать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач монотонно убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Асимптоты графика функции

Понятие асимптоты графика функции уже встречалось нам ранее (рис. 40.2), это была вертикальная прямая. В этой лекции подробно разберемся, какую прямую называют асимптотой графика функции и как найти ее уравнение.

  • Прямую называют асимптотой графика функции, если расстояние между этой прямой и точкой графика стремится к нулю при удалении этой точки от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Например, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 43.1) имеет две асимптоты — вертикальную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонтальную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Рис. 43.1

Вертикальная асимптота

  • Если существует такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальная асимптота графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Исходя из понятия непрерывности функции, можно сделать вывод, что вертикальная асимптота, если она существует, может быть только в точке разрыва функции.

Пример №718

Имеет ли вертикальную асимптоту график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет разрыв, то прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может оказаться вертикальной асимптотой. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальная асимптота.

Ответ. Имеет.

Пример №719

Имеет ли вертикальную асимптоту график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет разрыв, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственная прямая, которая может быть вертикальной асимптотой. Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является асимптотой графика данной функции.

Ответ. Нет.

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Поскольку асимптота графика — это прямая, то уравнение наклонной асимптоты имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  • Если есть функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которой существуют Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является наклонной асимптотой графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачгоризонтальной асимптотой, уравнение которой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примем это утверждение без доказательства.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — горизонтальную асимптоту.

Пример №720

Найти асимптоты графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка разрыва функции и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальная асимптота. 

Имеем далее: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть существует наклонная асимптота.
Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная асимптота.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №721

Найти наклонные асимптоты графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то наклонных асимптот нет.

Ответ. Наклонных асимптот нет.

Пример №722

Найти наклонные асимптоты графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, если асимптота существует, то она будет горизонтальной асимптотой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, имеем уравнение горизонтальной асимптоты: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что график функции или любая кривая не может иметь более двух наклонных асимптот. Функция, которая имеет предел на бесконечности, при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не может иметь разные значения каждого из этих пределов, поэтому и наклонных асимптот может быть не более двух. Если же значения этих пределов совпадают, то функция имеет только одну наклонную асимптоту.

Вторая производная. Выпуклость функции и точки перегиба. Применение второй производной для исследования функций и построения их графиков

Вторая производная функции

Пусть функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во всех точках некоторого промежутка. Тогда ее можно рассматривать как функцию аргумента x. Если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является дифференцируемой на некотором промежутке, то ее производную называют второй производной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или производной второго порядка) и обозначают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №723

Найти производную второго порядка для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Понятие выпуклости

Пусть Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную. Тогда в этой точке существует касательная к графику функции.

  • Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют выпуклой вниз на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любой точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график функции лежит выше касательной к этому графику, проведенной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 44.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 44.1

Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют выпуклой вверх на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любой точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график функции лежит ниже касательной к этому графику, проведенной в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 44.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 44.2

Пример №724

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен на рисунке 44.3, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является выпуклой вниз, а на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — выпуклой вверх.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 44.3

  • Точку А графика непрерывной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой существует касательная к этому графику и при переходе через которую кривая, являющаяся графиком функции, меняет вид выпуклости, называют точкой перегиба функции.

На рисунке 44.4 точка А — точка перегиба графика функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

      Рис. 44.4

Пример №725

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, график которой изображен на рисунке 44.5, (0; 0) — точка перегиба.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Рис. 44.5

Нахождение промежутков выпуклости функции и точек ее перегиба

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая является выпуклой вниз на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 44.6). При возрастании аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мера угла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс, растет: при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то растет и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому возрастает и функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 44.6

Рассуждая аналогично (рис. 44.7, на котором для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), приходим к выводу, что когда функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является выпуклой вверх, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 44.7

Можно доказать и обратные утверждения:

  • если на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дважды дифференцируемая функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет положительную вторую производную, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то график этой функции на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является выпуклым вниз;
  • если на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дважды дифференцируемая функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет отрицательную вторую производную, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то график этой функции на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является выпуклым вверх.

Итак, алгоритм исследования функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на выпуклость и точки перегиба может быть таким:

  1. Найти область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Найти вторую производную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
  4. Обозначить найденные точки на области определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выяснить знак второй производной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из полученных промежутков.
  5. По полученным знаками сделать вывод о выпуклость функции и абсциссы точек перегиба и записать ответ.

Пример №726

Исследовать функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на выпуклость и точки перегиба.

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Вторая производная существует во всех точках.

Решим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Обозначим числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на области определения функции и выясним знак второй производной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из промежутков (рис. 44.8).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 44.8

5) На промежутках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач график функции выпуклый вниз, а на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вверх, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — абсциссы точек перегиба. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак , Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки перегиба.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — промежутки выпуклости вниз, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — промежуток выпуклости вверх, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки перегиба. 

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

Мы уже ранее рассматривали применение первой производной к исследованию функций и построению их графиков. Поэтому для более точного построения, алгоритм исследования функции и построения ее графика, который был сформулирован в предыдущей теме, можно дополнить поиском асимптот графика и исследованием функции на выпуклость и точки перегиба.

Итак, исследовать функцию и построить ее график можно по следующему алгоритму:

  1. Найти область определения функции.
  2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность (для тригонометрических функций).
  3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно).
  4. Исследовать поведение функции на концах промежутков ее области определения (если это возможно) и найти все асимптоты ее графика (если они существуют).
  5. Найти производную и критические точки функции.
  6. Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
  7. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.
  8. При необходимости найти еще несколько точек графика и, используя полученные результаты, построить график функции.

Пример №727

Исследовать функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и построить ее график.

Решение. l) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Функция нечетная.

3) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, снова имеем точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точку пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

4) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки разрыва функции и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальные асимптоты. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем наклонные асимптоты Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная асимптота.

5) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем критические точки функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

6) Заполняем таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

7) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблице.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

8) График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 44.9.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                   Рис. 44.9

Показательная и логарифмическая функции

Показательная функция — математическая функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где a называется основанием степени, а x — показателем степени.

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция, ее свойства и график

Ранее вы уже рассматривали определенные классы степенных функций и степеней: степени с натуральным показателем, целым показателем, рациональным показателем. Напомним, что

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

А существует ли выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иррациональное число?

Степень с произвольным действительным показателем

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иррациональное число. Рассмотрим выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыберем последовательность рациональных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторые являются приближенными значениями числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачс произвольной точностью. Запишем последовательность степеней с рациональными показателями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта последовательность и задает приближенное значение числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с произвольной точность.

Пример №728

Рассмотрим степень Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятно, что такое оценивание для числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является неточным, поэтому рассмотрим приведенные ниже десятичные приближения числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи применим для вычисления выражений вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рациональное число, калькулятор:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как видим, постепенно пределы значения выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как с недостатком, так и с избытком, приближаются к одному и тому же числу. Если значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислить на калькуляторе, то получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачКак и для степени с рациональным показателем, считают, что: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Показательная функция и ее график

Функцию вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают показательной функцией.

Например, показательными являются функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачи другие. Заметим, что показательная функция играет важную роль в жизни человека, поскольку является математической моделью определенных реальных процессов окружающего мира. Например, процессы количественных изменений популяризаций организмов или содержание радиоактивных веществ на протяжении длительного периода времени и тому подобное.

Функция вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсуществует и при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВ таком случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая (рис. 1.1). Заметим, что когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне называют показательной.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1.1

Рассмотрим показательную функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет содержание при любом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

  • областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество всех действительных чисел.

Рассмотрим несколько показательных функций и построим их графики по точкам.

Пример №729

Пусть имеем функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим таблицу ее значений для нескольких целых значений аргумента.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим на координатной плоскости точки, которые получены в таблице (рис. 1.2). Если бы на этой плоскости отметили большее количество точек, координаты которых удовлетворяют равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем соединили их плавной линией, то получили бы график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.3).

Заметим, что выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является положительным для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (и в частности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) не пересекает ось абсцисс. Но, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближается к оси абсцисс, поэтому ось абсцисс является его асимптотой.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                    Рис. 1.2                                                                 Рис. 1.3 

Пример №730

Пусть имеем функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим таблицу ее значений.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассуждая, как в примере выше, получим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.4).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1.4

Свойства показательной функции

На рисунке 1.5 изображено окно одной из компьютерных программ, с помощью которой построены графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (зеленого цвета), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (синего цвета), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(красного цвета). Очевидно, можно прийти к выводу, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачграфик функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач схематично выглядит так же, как график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 1.6 изображены графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (синего цвета), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(зеленого цвета), Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(красного цвета). Очевидно, что они выглядят, как график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1.5

Систематизируем свойства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис 1.6

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Область определения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Множество значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Четность, нечетность Ни четная, ни нечетная Ни четная, ни нечетная
Периодичность Непериодическая Непериодическая
Нули функций Нет Нет
Промежутки знакопостоянства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Промежутки монотонности  Убывает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возрастает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Экстремумы Нет  Нет 
Асимптота  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Особенности графика функции: проходит через точку (0; 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства степени с рациональным показателем, которые мы рассмотрели в предыдущих классах, справедливы и для степени с действительным показателем.

Для любых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры использования свойств показательной функции.

Пример №731

Сравнить значения выражений: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвозрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ОтветМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №732

Сравнить с единицей основание степени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает, а значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ.Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражения, которые содержат степени с действительными показателями, можно упрощать так же, как и выражения с рациональными показателями.

Пример №733

Упростить выражение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Использование показательной функции для решения прикладных задач

Мы уже упоминали, что показательную функцию используют для описания разнообразных физических процессов. В частности, радиоактивный распад описывают формулой:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач масса радиоактивного вещества в начальный момент времениМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее масса в момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач период полураспада (промежуток времени, за который начальное количество вещества уменьшается вдвое). Очевидно, что правая часть этой формулы является показательной функцией.

Пример №734

Период полураспада некоторого изотопа плутония составляет 140 суток. Сколько плутония останется через 4 года, если его начальная масса составляла 10 кг?

Решение. По условию задачи имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (сутки). Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью показательной функции можно также определять давление воздуха в зависимости от высоты.

Пример №735

Альпинист, находясь на высоте Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определил, что давление воздуха составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Каким будет давление на высоте Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при такой же температуре воздуха? 

Решение. Известно, что давление Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(при условии неизменности температуры воздуха) находят по барометрической формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач высота в километрах. 

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Показательные уравнения

Уравнения называют показательными, если они содержат переменные только в показателях степеней. Например, показательным являются уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобные.

Рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения.

Простейшие показательные уравнения

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считают простейшим. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение корней нет. 

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определим количество корней уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графически. В случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачфункция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач монотонно возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач монотонно убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.1 и 2.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                          Рис. 2.1                                                               Рис. 2.2

В обоих случаях функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач каждое свое положительное значение приобретает только единожды. Поэтому графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются только в одной точке. Это значит, что уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет только один корень.

Для того, чтобы найти этот корень, нужно число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записать в виде степени числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем иметь уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачотсюда получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №736

Решить уравнения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 5.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1,4.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0; 2.

Как решить простейшее уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае, когда число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне является степенью числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач например Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрим в следующей лекции.

Метод решения уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно распространить и на уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №737

Решить уравнение: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Сведем обе части уравнения к степени с одним и тем же основанием. Этим основанием будет число 2. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то начальное уравнение равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое, в свою очередь, равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее рассмотрим уравнения, внешний вид которых отличается от простейшего, и способы их решения.

Сведение показательного уравнения к простейшему вынесением общего множителя за скобки

Этот способ используют в случае, когда уравнение содержит несколько степеней вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разные числа. Тогда, согласно свойствам умножения степеней с одинаковыми основаниями, можно записать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вынести за скобки общий множитель. После упрощений получим уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть простейшее.

Пример №738

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 2.

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим левую и правую части уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №739

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поделим обе части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1.

Введение новой переменной в показательных уравнениях

Довольно часто показательное уравнение можно привести к алгебраическому с помощью замены переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №740

Решите уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то возвращаемся к замене только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0.

Пример №741

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ПустьМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решив которое, получим корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к замене возвращаемся только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 4.

Однородные показательные уравнения

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют однородным показательным уравнением второй степени.

Для того чтобы решить это уравнение, нужно его левую и правую части поделить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Тогда получим уравнение вида: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а далее введем новую переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №742

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это уравнение сводится к однородному Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим левую и правую его части на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возвращаемся к замене только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0.

Решение уравнений с помощью свойств показательной функции

Используем монотонность показательной функции.

Пример №743

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Очевидно, что число 2 является корнем уравнения (действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Осталось выяснить, имеет ли уравнение также другие корни. 

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поделим обе части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется убывающей на множестве действительных чисел, как сумма двух убывающих функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому каждое свое значение приобретает только единожды.

Поэтому уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет не больше чем один корень, а это значит, что и начальное уравнение имеет не больше одного корня. Поскольку один корень, число 2, мы уже нашли, то он и является единственным корнем уравнения.

Ответ. 2. 

Показательные неравенства 

Как и уравнение, неравенство называют показательным, если оно содержит переменную только в показателе степени. 

Например, показательными являются неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобные.

Простейшие показательные неравенства

Простейшими показательными неравенствами называют неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим, например, неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда неравенство приобретает вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает (рис. 3.1) и большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, из неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает (рис. 3.2) и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, из неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис 3.1                        Рис 3.2

Аналогично решают и неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачгде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то некоторые из них не будут иметь решений, а решением некоторых будет любое число.

Пример №744

Решить неравенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция возрастающая, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция убывающая, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то решением неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является любое число.

4) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство не имеет решений.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод решения неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно обобщить для неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Представим метод решения такого неравенства в таблице.

Неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Равносильно неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (знак неравенства меняется на противоположный)  Равносильно неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (знак неравенства не меняется)

Таким же образом решают неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №745

Решить неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение других видов показательных неравенств

Во время решения более сложных видов показательных неравенств используют те же приемы, что и для решения уравнений: способ вынесения общего множителя за скобки, замена переменной и так далее, это дает возможность сводить неравенство к простейшему.

Пример №746

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вынесем в левой части общий множитель Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач за скобки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №747

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив ее, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то возвращаемся к замене только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №748

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачперепишем неравенство в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поделим обе части неравенства на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После упрощения имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаясь к замене, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то соответственно для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение метода интервалов

Поскольку метод интервалов является универсальным методом для решения неравенств, применим его к показательным неравенствам.

Пример №748

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Областью допустимых значений переменной в неравенстве является множество всех действительных чисел.

Найдем нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого решим совокупность уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

из которой получим нули функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим их на числовой оси (рис. 3.3) и найдем знак функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из полученных интервалов.

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 3.3

Понятие логарифма. Свойства логарифмов

Мы научились решать уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае, когда число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в виде степени с основанием Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рациональное число. В этой лекции рассмотрим, как решать уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в других случаях. Для этого нам нужно познакомиться с новым понятием — понятием логарифма.

Логарифм

Вернемся к уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое, как мы уже знаем, при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корень. Этот корень — значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — называют логарифмом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по основанию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи обозначают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логарифмом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по основанию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют показатель степени, в который нужно возвести Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы получить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпотому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматривают для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое называют основанием логарифма является числом положительным и отличным от 1. Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как было указано выше, положительное. Следовательно,

  • выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь, используя понятие логарифма, можем решить любое показательное уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №750

Решить уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По определению логарифма: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корень уравнения, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту формулу называют основным логарифмическим тождеством. Его используют для вычисления выражений, содержащих логарифмы, для доказательства свойств логарифмов и т. д.

Пример №751

Вычислить: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные свойства логарифмов

Кроме основного логарифмического тождества, нужно знать и другие важные равенства — свойства логарифмов. Рассмотрим их.

Теорема (основные свойства логарифмов).

Для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Согласно основному логарифмическому тождеству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПеремножим эти неравенства почленно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По определению логарифма имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Поделив почленно неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по определению логарифма Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению логарифма Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства 3 и 4 коротко формулируют так:

  • логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей; логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Заметим, что свойство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв случае, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четное целое число, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать и для отрицательных значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры использования свойств логарифмов.

По свойствам 1 и 2, например, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прологарифмировать выражение означает выразить его логарифм через логарифмы положительных чисел и переменных, которые входят в него. С помощью свойств логарифмов можно логарифмировать выражения, которые являются произведениями, частными или степенями. 

Пример №752

Прологарифмировать выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по основанию 2, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Согласно свойствам логарифмов имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используем формулы логарифмов для произведения и частного для вычисления и упрощения выражений.

Пример №753

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда необходимо найти выражение по значению его логарифма. Такое действие называют потенцированием.

Пример №754

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала преобразуем правую часть неравенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №755

Дано Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула перехода к другому основанию

Прологарифмируем по основанию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачгде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обе части основного логарифмического тождества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач учитывая свойство 5, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили формулу перехода от логарифма с основанием Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к логарифму с основанием Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (коротко говорят, что это формула перехода к другому основанию).

Пример №756

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Перейдем к основанию 2:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1,2.

Рассмотрим важные следствия перехода формулы к другому основанию. Пусть в этой формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно обратные числа, а потому

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №757

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,25.

Если в формуле перехода к другому основанию вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записать выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объединяя это свойство и свойство 5 с приведенными выше свойствами логарифмов, получим:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №758

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что значение этого выражения можно было вычислить и с помощью формулы перехода к основанию 3.

Десятичный и натуральный логарифмы

Логарифм числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по основанию 10 называют десятичным логарифмом и обозначают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На большинстве калькуляторов и в компьютерных программах десятичный логарифм обозначают через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (то есть логарифм без указания основания). Следовательно, чтобы вычислить приближенное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью калькулятора, используем формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а дальше выполняем вычисление:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (с точностью до десятитысячных).

Пример №759

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассматривая графики показательной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для разных значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы уже обратили внимание, что они проходят через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Среди этих графиков существует такое основание Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччисло, которое обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач у которого касательная, проведена к графику функцииМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует с положительным направлением оси абсцисс угол Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 4.1

Угловой коэффициентМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой касательной, как известно, равен тангенсу этого угла, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач играет важную роль в математическом анализе, а функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще называют экспонентой.

Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иррациональное, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логарифм числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по основанию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют натуральным логарифмом и обозначают такМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такое же обозначение натурального логарифма используют в большинстве калькуляторов и компьютерных программ.

Использование логарифмов для описания реальных процессов

С помощью логарифмов описывают реальные процессы в физике, химии, астрономии. Так, например, известный ученый, основатель теоретической космонавтики, сторонник освоения космического пространства, Константин Циолковский (1857—1935) вывел формулу для расчета абсолютной скорости, которую достигает ракета на момент, когда из нее вытечет все топливо. Эта формула содержит логарифм.

Во время строительства искусственных водоемов, например, нужно учитывать количество воды, которое будет прибывать туда в период наводнения, расчеты проводят с помощью логарифмов.

Двоичный логарифм числа (то есть логарифм по основанию 2) широко используют в теории информации. Так, например, с его помощью определяют количество цифр во внутренней компьютерной записи числа. На двоичных логарифмах основывается информационная энтропия (мера количества информации) и т. д.

В теории музыки для решения вопроса о том, на сколько частей делить октаву, нужно отыскать рациональное приближение для числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что дает возможность после дополнительных вычислений обосновать классическое распределение октав на 12 полутонов.

Десятичные логарифмы и соответствующая логарифмическая шкала используются во многих областях науки, например: в физике (для измерения интенсивности звука в децибелах), астрономии

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 4.2                                                           Рис. 4.3

(шкала яркости звезд), химии (активности водных ионов), сейсмологии (шкала Рихтера), теории музыки (нотная шкала, по отношению к частоте водных звуков), истории (логарифмическая шкала времени) и т. д.

В природе часто попадается особый вид спирали — логарифмическая спираль (рис. 4.2). Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позднее основательно исследована Я. Бернулли. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остается неизменной. Возможно, вследствие этого свойства, логарифмическая спираль является отпечатком многих форм, подобных раковине моллюска (рис. 4.3), цветку подсолнуха и тому подобное.

Экспонента в реальных процессах

Как указано выше, функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют экспонентой. Функции вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторые числа, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют экспоненциальными. Эти функции играют важную роль в быту и науке. Рассмотрим несколько примеров.

Наверное, вы часто замечали, что когда снять кипящий чайник с огня, то он сначала быстро остывает, а затем остывание значительно замедляется. Это происходит потому, что скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Если сначала температура чайника равнялась Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а температура воздуха Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач секунд температуру Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач чайника можно найти по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число, зависящее от формы чайника, его материала и т. п.

Изменения количества населения в населенном пункте на протяжении небольшого промежутка времени можно найти по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество человек при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество человек на момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторая константа.

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Функцию вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют логарифмической функцией.

Например, логарифмическими являются функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п.

При Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет смысл только для положительных значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому 

  • областью определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим графики логарифмической функции, построив их, как и для показательной функции, по точкам.

Пример №760

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим таблицу ее значений для нескольких значений аргумента Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим полученные в таблице точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (рис. 5.1). Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач график не пересекает ось ординат, но когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то приближается к ней, то есть ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач асимптота этого графика. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 5.1

Пример №761

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим таблицу ее значений.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рисунке 5.2.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 5.2

Если изобразить графики функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на одном рисунке, то можно заметить, что они симметричны относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.3).

Это объясняется тем, что функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются взаимно обратными.

Следовательно,

показательная функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и логарифмическая функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые имеют одинаковые основания Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются взаимно обратными, а их графики соответственно симметричными относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 5. 3

Свойства логарифмической функции

Используя вывод о симметрии графиков функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наши знания о графике показательной функции, можно прийти к выводу, что графики всех функций вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач схематически выглядят так же, как график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Систематизируем свойства логарифмической функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпри Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в таблицу.

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Область определения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Множество значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Четность, нечетность Ни четная, ни нечетная Ни четная, ни нечетная
Периодичность Непериодическая Непериодическая
Нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Промежутки знакопостоянства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Промежутки знакопостоянства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Промежутки убывания Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Промежутки возрастания Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Экстремумы Нет Нет
Асимптота Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Особенности графика функции: проходит через точку (1;0) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры использования свойств логарифмической функции.

Пример №762

Сравнить значения выражений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №763

Сравнить число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с единицей, если: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1)Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывающая, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Значит функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №764

Сравнить числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвозрастающая, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывающая, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №765

Найти область определения функции:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Область определения будем искать из условия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решив это неравенство, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Область определения данной функции найдем из системы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Анализируя расположения графиков логарифмической функции для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в координатной плоскости и их свойства, можно прийти к выводу, что

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размещены по одну сторону от числа 1, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размещены по разные стороны от числа 1, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это правило дает возможность сравнивать значения логарифмов с нулем и между собой.

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логарифмическая функция как математическая модель реальных процессов

Например, логарифмическая функция моделирует такие процессы, как быстрое возрастание или затухание, закон изменения работы газа, закон изменения силы ощущения от силы возбуждения (психофизический закон Вебера), закон изменения давления от изменения высоты, длительность химической реакции и т. д.

Логарифмы используют и в банковском деле. Если, например, вкладчик открыл в банке депозит на определенную сумму средств под Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач годовых и хочет узнать, через сколько лет эта сумма удвоится, то выяснить это можно по формуле сложных процентов. Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, чтобы вложенная сумма удвоилась, она должна находится в банке немного больше 6 лет.

Логарифмические уравнения

Уравнение называют логарифмическим, если переменная находится под знаком логарифма

Логарифмическими, например, являются уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п.

Рассмотрим некоторые виды логарифмических уравнений и методы их решения.

Простейшие логарифмические уравнения

Простейшим считается логарифмическое уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает или убывает на всей своей области определения, а потому каждое свое значение приобретает только один раз. Поскольку множеством значений функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество всех действительных чисел, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственный корень при любом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который можно найти, используя определение логарифма: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №766

Решить уравнения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Область допустимых значений переменной в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим из системы неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач монотонна при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (возрастает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и убывает при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и каждое свое значение приобретает только раз, то на своей ОДЗ уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда можно прийти к выводу, что уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает возможность исключить из системы одно из неравенств, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачили Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как, исходя из уравнения, если справедливо одно из этих неравенств, автоматически справедливо и другое неравенство.

Следовательно, окончательно имеем:

уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно каждой из систем

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что из неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбираем то, которое будет легче решить. Если же оба неравенства являются сложными для решения, то, решив уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбираем из полученных корней те, которые будут удовлетворять хотя бы одно из этих неравенств.

Пример №767

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Уравнение равносильно системе:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый корень удовлетворяет условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второй — нет. Следовательно, число 2 — единственный корень уравнения.

Ответ. 2.

Уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому решать неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для нахождения ОДЗ переменной в уравнении нет необходимости.

Пример №768

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем уравнение, равносильное данному:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведение уравнений к простейшим с помощью свойств логарифмов

Чтобы привести логарифмическое уравнение, которое не является простейшим и содержит два и более логарифмов с переменной, к простейшему, целесообразно придерживаться такой последовательности действий:

  1. Найти область допустимых значений переменной в уравнении.
  2. С помощью свойств логарифмов привести уравнение к одному из видов, рассмотренных выше.
  3. Решить полученное уравнение, проверить принадлежность полученных корней области допустимых значений переменной.
  4. Записать ответ.

Пример №769

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) ОДЗ переменной в уравнении найдем из системы неравенств: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Используя свойство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем уравнение в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) На ОДЗ полученное уравнение равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач упростив которое, получим квадратное уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его корни: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что из них только число 4 принадлежит ОДЗ.

Ответ. 4.

Пример №770

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Область допустимых значений переменной в уравнении найдем из системы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а по свойству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение приобретет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем его корни: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Области допустимых значений принадлежит только первый корень — число 2. 

Ответ. 2.

Пример №771

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Найдем ОДЗ переменной в уравнении. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим уравнение–следствие начального уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Корнями первого уравнения из полученной совокупности уравнений являются числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачиз которых только Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит ОДЗ.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замена переменной в логарифмических уравнениях

Часто логарифмическое уравнение можно свести к алгебраическому заменой переменной, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №772

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем уравнение:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаемся к замене:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №773

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач то при условии Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение приобретет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаемся к замене:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №774

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Приведем все логарифмы в левой части уравнения к основанию 9, получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (решите уравнение самостоятельно).

Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод логарифмирования

Если обе части уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительные, то прологарифмировав обе его части по основанию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учтя монотонность функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (как для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильное данному. При этом основание Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбираем так, чтобы получить уравнение менее сложное, чем начальное.

Чаще всего метод логарифмирования применяют к уравнениям, которые содержат выражения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и(или) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторые логарифмические выражения.

Пример №775

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Обе части уравнения положительные, поэтому мы можем их прологарифмировать. Очевидно, что логарифмировать нужно по основанию 4, хотя можно было бы и по основанию 2, но нам необходимо получить наиболее простое уравнение. Следовательно, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачоткуда, по свойствам логарифмов, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачНа первый взгляд уравнение будто стало громоздким, но его легко решить с помощью замены переменной.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпосле упрощения которого получим квадратное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логарифмические неравенства 

Аналогично уравнениям, неравенство называют логарифмическим, если переменная находится под знаком логарифма.

Например, логарифмическими являются неравенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п.

Простейшие логарифмические неравенства

Если неравенство имеет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число, то его считают простейшим.

Рассмотрим для примера неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачможно представить как Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает (рис. 7.1) и большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис 7.1

Поэтому из неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для любых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), то все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые удовлетворяют неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют также и неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что является областью допустимых значений переменной в неравенстве. Окончательно имеем решение неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает (рис. 7.2) и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 7.2

Поэтому из неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в этом случае не обязательно все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые удовлетворяют неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут удовлетворять также и условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть область допустимых значений переменной в неравенстве, поэтому решения неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Размышляя аналогичным образом, решают и неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, при решении сложных логарифмических неравенств стоит помнить:

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто при переходе от логарифмического неравенства к неравенству, не содержащему логарифм, знак неравенства не меняем; если же Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то знак неравенства меняем на противоположный.

2) В случае, когда в неравенстве, полученном из логарифмического, автоматически не выполняется условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то обязательно учитываем ОДЗ переменной в неравенстве. Если же условие  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется автоматически, то обращать внимание на ОДЗ нет необходимости. 

Размышляя аналогично, решают и неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подобного ему вида.

Пример №776

Решить неравенства:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №777

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим полученное неравенство:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №778

Найти область определения функции

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Областью определения функции являются решения неравенства: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которого имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем систему: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим ее: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неравенства вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Область допустимых значений переменной каждого из этих неравенств находим из системы неравенств: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее переходим к неравенству между подлогарифмическими функциями с учетом зависимости знака неравенства от значения основания логарифма Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то знак неравенства не меняется, и поэтому неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе условий: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач системе условий: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку в каждой из систем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется автоматически, и его из системы можно исключить.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то знак неравенства меняется на противоположный, и потому неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач системе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку в каждой из систем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется автоматически, и его из системы можно исключить.

Обобщим метод решения неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в таблице (неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решается аналогично).

Неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равносильно системе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(знак неравенства меняется на противоположный)

Равносильно системе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(знак неравенства не меняется)

Пример №779

Решить неравенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то при переходе к подлогарифмическим функциям знак неравенства меняем на противоположный: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, учитываем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет выполняться автоматически. Значит имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то при переходе к подлогарифмическим функциям знак неравенства не меняется: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, учтем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет выполняться автоматически. Значит имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим решение каждого из неравенств системы на числовой прямой соответствующими промежутками и найдем их пересечение (рис. 7.3). Получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 7.3

Решение более сложных логарифмических неравенств

Для решения более сложных логарифмических неравенств можно использовать те же приемы, что и для решения логарифмических уравнений и простейших логарифмических неравенств. 

Пример №780

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Область допустимых значений переменной в неравенстве найдем из системы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На ОДЗ получим неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переходим к рациональному неравенству, не изменяя знак неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (учтено в ОДЗ), то условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыполняется автоматически. 

Далее имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач А с учетом условия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ОДЗ) окончательно получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.4).

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 7.4

Пример №781

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(решите неравенство самостоятельно).

Возвращаемся к замене:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Окончательно получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение неравенств, содержащих переменную в основании логарифма

Для решения неравенств вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно рассмотреть два случая для основания: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть решить совокупность двух систем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что две системы каждой совокупности можно заменить одной, им равносильной:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот же метод используют и для решения неравенств вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в том числе и в случае нестрогого неравенства.

Пример №782

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем совокупность двух систем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим ее: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, как указано выше, что вместо совокупности двух систем, можно было решить только одну систему неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Поскольку метод интервалов является универсальным для решения неравенств, то его можно использовать и для решения логарифмических неравенств.

Пример №783

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем нули функции. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корни первого уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но только число 0 принадлежит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корнем второго уравнения является число –1. Следовательно, нулями функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа –1 и 0. Обозначим их на области определения функции и выясним знак функции на каждом из полученных интервалов (сделайте это самостоятельно, результат на рис. 7.5).

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 7.5

Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Для решения систем показательных и логарифмических уравнений будем использовать известные нам способы как решения уравнений, так и решения систем уравнений.

Способ подстановки 

Если одно из уравнений системы является линейным с двумя переменными или может быть приведено к такому, то в нем целесообразно одну из переменных выразить через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение системы.

Пример №784

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ переменных в системе уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первого уравнения системы имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее подставим выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во второе уравнение системы, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перепишем уравнение в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем его корни: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Второй корень не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. (3; 1).

Пример №785

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Из первого уравнения системы, которое является простейшим показательным, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используем выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как подстановку во втором уравнении. Получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое равносильно системе:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго уравнения системы имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оба удовлетворяют условие: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. (3; 1), (–0,5; 8).

Способ сложения

Этот способ используют, если в результате почленного сложения соответственно левых и правых частей уравнений системы ее удается значительно упростить или даже освободиться от одной из переменных.

Пример №786

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Складывая почленно уравнения системы, получим уравнение с одной переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корнем которого является число 7. Подставив 7 вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в первое уравнение исходной системы, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. (7; 2). 

Метод почленного деления

Этот метод используют, когда в результате почленного деления уравнений системы получаем уравнение, которое является более простым, нежели каждое из уравнений первоначальной системы.

Пример №787

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поделим почленно первое уравнение системы на второе, получим простейшее показательное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда из второго уравнения системы имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, система приобретает вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, складывая уравнения почленно, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, система имеет два решения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод логарифмирования

Иногда, чтобы упростить одно или оба уравнения системы, целесообразно их прологарифмировать.

Пример №788

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Прологарифмируем второе уравнение системы по основанию 3. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем первое уравнение первоначальной системы в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставим выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв полученное выше уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем квадратное уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее подставим найденные значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в первое уравнение системы:

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замена переменной

Метод замены переменной используют также и для решения систем показательных и логарифмических уравнений.

Пример №789

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Из первого уравнения системы и свойств логарифма имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение приобретает вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корень которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а это значит, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значит начальная система будет равносильна такой:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которой имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во время решения систем уравнений довольно часто приходится комбинировать несколько методов решения.

Решение систем показательных и логарифмических неравенств с одной переменной

Напомним, что решением системы неравенств является пересечение решений неравенств системы. При этом для решения неравенств системы используем приемы, изученные ранее.

Пример №790

Решить систему неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром. Системы логарифмических и показательных уравнений с параметром

Показательные уравнение с параметром

Пример №791

Для всех значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решите уравнение 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее рассмотрим два случая:

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение приобретет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корней это уравнение не имеет.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение приобретет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет иметь корень по условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней не имеет. 

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логарифмические уравнения с параметром

Пример №792

Для всех положительных значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Данное уравнение равносильно системе: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение имеет корни, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это неравенство равносильно такому: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть оба корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а следовательно, являются корнями начального уравнения.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачили Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то корней нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Показательные и логарифмические неравенства с параметром

Пример №793

Для всех значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решите неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим два случая:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Прологарифмируем обе части неравенства по основанию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИмеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Прологарифмируем обе части неравенства по основанию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и с учетом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №794

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в зависимости от значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Отметим, что если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство не имеет смысла. Получили ОДЗ параметра: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим неравенство для допустимых значений параметра методом интервалов.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является квадратным для любого значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем дискриминант уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвычислим корни: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех допустимых значений параметра. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ноль функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нули функции на числовой оси, то есть обозначим на оси точку 1 и "пустые" точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и 2. Но мы не знаем, как именно на оси разместить число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно начала отсчета (числа 0) и относительно чисел 1 и 2. Следовательно, стоит рассмотреть все возможные случаи размещения числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси, а именно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим каждый из них по отдельности, учитывая ОДЗ параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 9.1

2) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис.9.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 9.2

3) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Система не имеет решений, следовательно, для допустимых значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой случай невозможен.

4) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 9.3

5) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Система не имеет решений, следовательно, для допустимых значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой случай невозможен.

6) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Система не имеет решений, следовательно, для допустимых значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой случай невозможен.

Все случаи рассмотрены, запишем ответ.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачесли Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Системы логарифмических и показательных уравнений с параметром

Пример №795

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрешение системы 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

удовлетворяет условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ параметра: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложим уравнения системы почленно, получим уравнение:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставим найденное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в первое уравнение системы: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На ОДЗ параметра уравнение приобретет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеем корней.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем значения параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля которых выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачудовлетворяет условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производные показательной, логарифмической и степенной функций

Ранее мы рассмотрели формулы для дифференцирования некоторых элементарных функций (в том числе функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целое число). В этой лекции докажем формулы для нахождения производных показательной и логарифмической функций и степенной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любое число.

Производные показательных функций

Как известно из ранее изученного, число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как основа показательной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является таким, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (0; 1) равен 1. Это означает, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, по определению производной, получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем формулу для вычисления производной показательной функцииМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по определению).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем формулу для вычисления производной показательной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно основному логарифмическому тождеству имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения производной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используем теорему о производной сложной функции.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №796

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №797

Составьте уравнение касательной к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда имеем уравнение касательной: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №798

Найти промежутки возрастания и убывания функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Производная существует на всей области определения функции. Критические точки — решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единая критическая точка функции.

4) Определяем знаки производной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из промежутков (рис. 10.1).

5) Следовательно, функция возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 10.1

Производные логарифмических функций

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом правая и левая части равенства являются одной и той же функцией, определенной для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производную для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислим по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и правилу вычисления производной сложной функции. Тогда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как известно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем формулу для вычисления производной логарифмической функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формуле перехода к другому основанию имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №799

Найти точки экстремума и экстремумы функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Производная существует во всех точках области определения. Найдем критические точки функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единственная критическая точка данной функции.

4)—5) Отметим критическую точку на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить знаки производной на каждом из полученных промежутков (рис. 10.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 10.2

6) Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная степенной функции

Мы знаем, что для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем формулу для нахождения производной степенной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное число. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не целое, то областью определения функции  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используя основное логарифмическое тождество, можно записать, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любое число, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №800

Найти производную функции: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Запишем функцию в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №801

Найти угловой коэффициент Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач касательной к графику функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенной в точке с абсциссой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Запишем функцию в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интеграл и его применение

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

  • о нахождении площади под кривой;
  • пройденного пути при неравномерном движении;
  • массы неоднородного тела, и тому подобных;
  • а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл).

Первообразная и её свойства

Изучая математику в предыдущих классах, вы могли заметить, что ко многим известным нам действиям (операциям) существуют обратные. Обратным к сложению является действие вычитания, обратным к умножению (на число, отличное от нуля) является действие деления, обратным к действию умножения многочлена на многочлен является вынесение общего множителя за скобки и тому подобное.

Также существует операция, являющаяся обратной к нахождению производной функции (операция дифференцирования). Такую операцию называют интегрированием

Понятие первообразной

Мы уже умеем находить производную заданной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в математике часто приходится решать обратную задачу: находить функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по ее производной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так, например, в физике, если мы знаем закон движения материальной точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можем найти закон изменения скорости Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Часто возникает потребность определить закон движения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по известной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть восстановить функцию по ее производной, или, как говорят математики, найти первообразную для данной функции.

Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют первообразной для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на данном промежутке, если для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по ее производной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют интегрированием (лат. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач восстановление). Это действие является обратным дифференцированию. 

Пример №802

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразной является функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку для каждого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка справедливо равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что, например, функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет ту же производную, что и функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является первообразной для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что вместо числа 1 можно подставить любое другое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, можно прийти к выводу, что если задача нахождения первообразной имеет хоть одно решение, то она имеем множество решений.

Пример №803

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ее области определения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одной из первообразных является функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачибоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основное свойство первообразных

Выше мы уже выяснили, что задача нахождения первообразной имеет множество решений. Найти все эти решения дает возможность основное свойство первообразных.

Теорема (основное свойство первообразных). Каждая из первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на заданном промежутке имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одна из этих первообразных, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольная постоянная.

Перед тем, как доказать эту теорему, отметим, что в ней коротко сформулированы два свойства первообразной:

1) какое бы число вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не подставили в выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим первообразную для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на заданном промежутке;

2) какую бы первообразную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на заданном промежутке мы не нашли, всегда можно подобрать такое число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка будет справедливо равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство теоремы и сводится к доказательству этих двух свойств.

Доказательство. 1) По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одна из первообразных для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на данном промежутке, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этого промежутка. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом промежутке.

2) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач другая первообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна заданном промежутке, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачиз этого промежутка. Рассмотрим производную разности функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя характеристику постоянства функции из курса алгебры и начал анализа 10 класса, приходим к выводу, что поскольку производная разности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, то эта разность является константой, то есть функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает некоторое постоянное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна данном промежутке. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, любая первообразная Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на данном промежутке может быть записана в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №804

Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которой на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одной из первообразных является функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда общий вид всех первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачможно записать в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых двух первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таковы, что их можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 11.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 11.1

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют неопределенным интегралом и обозначают символом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "интеграл эф от икс дэ икс").

В этой записи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют подынтегральной функцией, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают переменной интегрирования. 

Таким образом, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одна их первообразных, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольная константа.

Например, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простейшие дифференциальные уравнения

В предыдущих классах, решая уравнение, вы искали значение переменной (корень уравнения), то есть некоторое неизвестное число. В математике также рассматривают уравнения, где неизвестными являются не числа, а функции. Такие уравнения называют функциональными уравнениями. Среди функциональных уравнений попадаются такие, которые содержат производные искомых функций. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Примерами дифференциальных уравнений, где неизвестной выступает функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, которая удовлетворяет это уравнение (то есть функцию, после подстановки которой в заданное уравнение, получаем тождество). Решить дифференциальное уравнение — означает найти все его решения.

Пример №805

Рассмотрим дифференциальное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Одним из решений этого уравнения является функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отметим, что для решения уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно найти функцию, производная которой равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть найти первообразную для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя основное свойство первообразной, можно прийти к выводу, что все функции вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются решениями данного дифференциального уравнения. Функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют общим решением дифференциального уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных

Вы уже знаете, как проверить, является ли одна функция первообразной для другой. В этой лекции научим находить первообразные  (неопределенные интегралы) для некоторых известных функций.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

В 10 классе мы составили таблицу производных. В дальнейшем для некоторых функций будем использовать также таблицу первообразных (неопределенных интегралов), которую составим на основе таблицы производных.

Здесь и в дальнейшем будем считать, что функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является первообразной для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на таком промежутке, на котором определена каждая из функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для обоснования формул из таблицы достаточно проверить, что производная от первообразной, записанной во втором столбике, равна функции, заданной в первом столбике.

Проверим, например, правильность нахождения первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общий вид первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если имеем функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, на каждом из промежутков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общий вид первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общий вид первообразныхМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольная постоянная 

Соответствующая запись с помощью неопределенного интеграла

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №806

Найти все первообразные для функции:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Учтем, что общий вид первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таков:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При нахождении первообразной (неопределенного интеграла) для некоторой функции, эту функцию предварительно упрощают. 

Пример №807

Найти неопределенный интеграл Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Часто в задачах ставится требование найти такую первообразную, которая бы удовлетворяла определенные условия, например, чтобы график этой первообразной проходил через определенную точку.

Пример №808

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдите первообразную, график которой проходит через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общий вид первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По условию график искомой первообразной проходит через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, координаты точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны удовлетворять уравнение первообразной,  то есть должно выполняться равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому, подставляя Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в общий вид первообразных, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, искомая первообразная Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

В предыдущем пункте мы рассмотрели вопрос нахождения первообразных (неопределенных интегралов) для функций, которые являются производными известных вам функций. А можно ли найти первообразные для функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п.? Далее дадим ответ на этот вопрос.

Как и в случае производной, для нахождения первообразной недостаточно только таблицы первообразных. Нужно знать еще и правила нахождения первообразных (правила интегрирования). Эти правила похожи на правила дифференцирования. 

Правило 1. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является первообразной для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь обозначением определенного интеграла, это правило можно записать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 2. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянная, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Учитывая то, что постоянный множитель можно вынести за знак производной, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпервообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач константа, то есть постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Правило 3. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторые константы, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Учитывая правило дифференцирования сложной функции и то, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя неопределенный интеграл, это правило можно записать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры применения этих правил.

Пример №809

Найти общий вид первообразных для функций:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, используя правило 1, для данной функции получим общий вид первообразных: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для данной функции, используя правило 2, получим общий вид первообразных: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №810

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используя правила 1 и 2, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №811

Найти общий вид первообразных для функции

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одной из первообразных является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя правило 3, получим общий вид первообразных: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №812

Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнайти первообразную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такую, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Используя правило 3 и тот факт, что одной из первообразных для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В некоторых задачах для нахождения первообразной (неопределенного интеграла) сначала целесообразно привести формулу функции к виду, удобному для интегрирования.

Пример №813

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. Упростим подынтегральное выражение, применив формулу синуса суммы, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В некоторых задачах привести функцию к виду, удобному для интегрирования, можно с помощью некоторых искусственных приемов.

Пример №814

Найти первообразную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Запишем дробь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде суммы двух дробей: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение первообразной в физике

Если в задаче известен закон прямолинейного движения тела Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто, чтобы найти его скорость в момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно найти производную: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Важной является также обратная задача: по данной в каждый момент времени скорости определить закон движения. Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является первообразной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, поскольку ускорение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, можно восстановить закон движения по заданной скорости, а скорость — по ускорению.

Пример №815

Точка движется по прямой с ускорением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти скорость точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как функцию от времени, если на момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость точки была 10 м/с. 

Решение. 1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач известно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, получили закон скорости: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №816

Скорость точки, двигающейся по прямой, задается уравнением Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в секундах, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв метрах за секунду, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв метрах). На момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка отдалена на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от начала координат. На каком расстоянии от начала координат будет находиться точка в момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. 1) Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпервообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач закон движения тела.

3) Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определенный интеграл, его физический и геометрический смысл

Ниже познакомимся с одним из важнейших понятий математического анализа — понятием определенного интеграла.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о площади криволинейной трапеции). Пусть дана непрерывная функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, осью абсцисс и прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют криволинейной трапецией (рис. 13.1).

Каждая криволинейная трапеция имеет определенную площадь. Докажем, что площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью первообразной.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 13.1

Теорема (о площади криволинейной трапеции). Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция, которая на этом промежутке приобретает только неотрицательные значения, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом промежутке. Тогда площадь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач осью абсцисс и прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольная точка из промежутка Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач осью абсцисс, прямой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямой, проходящей через точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно к оси абсцисс (рис. 13.2). Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 13.2

Докажем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого достаточно доказать (по определению производной), что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (случай Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматривается аналогично). Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 13.3.

Рассмотрим теперь прямоугольник, имеющий такую же площадь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач у которого одна из сторон равна отрезку с концами в точках Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такой прямоугольник изображен на рисунке 13.4. Поскольку функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна, то высота этого прямоугольника равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 13.3                                                          Рис. 13.4

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная функция, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач А это значит, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По основному свойству первообразной для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одна из первообразных функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнекоторая постоянная. Чтоб найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв формулу первообразной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая то, что искомая площадь криволинейной трапеции равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в последнюю формулу и получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют определенным интегралом функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают "интеграл от Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эф от икс дэ икс").

Для вычисления разницы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно использовать любую из первообразных функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач общий вид которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому принято использовать ту первообразную, в которой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что в математике существует также другое обозначение определенного интеграла (через интегральные суммы).

Пример №817

Вычислить площадь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. На рисунке 13.5 изображена данная криволинейная трапеция. Для функции

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 13. 5

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одной из первообразных является функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача 2 (о вычислении перемещения точки). Пусть скорость точки, двигающейся прямолинейно, в каждый момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно задать функцией Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На прямой, вдоль которой двигается точка, выберем систему координат и обозначим через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координату точки в момент времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда перемещение точки за промежуток времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равняться Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку скорость является производной от координаты, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, перемещение точки, двигающейся прямолинейно со скоростью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач за промежуток времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно разности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть равна интегралу

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №818

Материальная точка двигается прямолинейно со скоростью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти перемещения точки за первые две секунды движения.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач один из возможных законов движения данной материальной точки. Вычислим перемещения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки за первые две секунды движения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрический смысл и физический смысл определенного интеграла

Исходя из вышеупомянутого, можно выяснить геометрический и физический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что:

  • интеграл Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая непрерывна на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приобретает на этом промежутке только неотрицательные значения, является площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрический смысл интеграла можно использовать для нахождения определенных интегралов в случае, когда первообразную функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти трудно или невозможно, а площадь фигуры найти легко, исходя из геометрических соображений.

Пример №819

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используя геометрический смысл интеграла.

Решение. Искомый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.6). Возведем обе части  равенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в квадрат и запишем его в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, эта криволинейная трапеция является полукругом радиуса 1. Потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 13.6

Физическое содержание определенного интеграла состоит в том, что:

  • интеграл Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является перемещением за промежуток времени Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной точки, двигающейся прямолинейно со скоростью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление определенных интегралов. Основные свойства определенных интегралов

В предыдущей лекции мы ввели понятие определенного интеграла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как разности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпервообразная для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрели его геометрический и физический смысл. В этой лекции мы рассмотрим методы вычисления определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона—Лейбница

Из предыдущей лекции нам известно, что: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту формулу называют формулой Ньютона–Лейбница. Разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще обозначают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя это обозначение, формулу Ньютона–Лейбница записывают еще и в таком виде: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Ньютона–Лейбница является одной из важнейших в курсе математического анализа. Ее используют для вычисления определенных интегралов в случае, когда для подынтегральной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти первообразную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Именно такие определенные интегралы и рассматривают в школьном курсе математики. При этом заметим, что условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является обязательным, обязательной является только непрерывность функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона–Лейбница.

Пример №820

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одной из первообразных является Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому по формуле Ньютона–Лейбница имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1.

Пример №821

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала найдем первообразную для функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя правила нахождения первообразных и таблицу первообразных, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что нахождение первообразной не обязательно записывать отдельно, как мы это сделали в примере 2. Оформить решение можно было так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №822

Вычислить интеграл Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Представим подынтегральную функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв виде, удобном для интегрирования: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для нахождения первообразной используем правило 3 и таблицу первообразных. 

Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулу Ньютона–Лейбница, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что в последнем примере вынесение за скобки общего множителя Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  упрощает вычисление.

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим простейшие свойства определенного интеграла. Определенный интеграл вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы рассматривали в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но его можно рассматривать также в случае Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом имеют место такие свойства.

Свойство 1. При перестановке границ интегрирования интеграл меняет знак:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство 2. Для любого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ДоказательствоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще несколько свойств определенного интеграла.

Свойство 3. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпервообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпервообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятно, что свойство 3 справедливо для любого количества слагаемых.

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то естьМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет первообразной для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два последних свойства можно было использовать и для вычисления интегралов.

Пример №823

Вычислить интеграл Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Последовательно применим свойства 3 и 4, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойство 5. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №824

Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачесли Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Использование искусственных приемов для вычисления определенных интегралов

Как и для нахождения первообразных (неопределенных интегралов), для нахождения определенных интегралов можно использовать некоторые искусственные приемы, которые дадут возможность представить подынтегральную функцию в виде, удобном для интегрирования, например в виде суммы или разности более простых, чем в условии, функций, то есть функций из таблицы первообразных.

Пример №825

Вычислить интеграл Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Превратим выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление площадей плоских фигур и другие применения интеграла

Рассмотрим использование определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения и некоторых других задач.

Вычисление площадей плоских фигур

Как мы уже знаем, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляют как разность Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 15.1). С другой стороны, по формуле Ньютона–Лейбница

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, можно прийти к выводу, что 

  • площадь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляют по формуле 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.1

Пример №826

Вычислить с помощью определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем (рис. 15.2):

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 1,5.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.2

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную сверху графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач снизу — графиком функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также вертикальными прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливы неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 15.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.3

Площадь этой фигуры Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна разности площадей Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя свойства интеграла, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула будет верной и в случае, когда одно или оба условия Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не выполняются. Так как в этом случае достаточно перенести плоскую фигуру вдоль оси ординат на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц, выбрав Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпроизвольным образом так, чтобы вся фигура разместилась выше оси абсцисс (15.4). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.4

Тогда площадь искомой фигуры

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

  • площадь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоской фигуры, ограниченной непрерывными на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функциями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такими, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляют по формуле

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №827

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ординаты обеих точек пересечения равны 1.

2) Изобразим схематически графики функций и абсциссы их точек пересечения (рис. 15.5).

3) Тогда:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.5

Пример №828

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ординаты точек пересечения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Изобразим графики функций схематически (рис. 15.6).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.6

3) Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление объемов тел

С помощью определенного интеграла можно вычислять объемы тел. Пусть есть тело определенного объема Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и некоторая прямая, перпендикулярно к которой проведены плоскости, пересекающие это тело (рис. 15.7).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.7

Допустим, что все значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостей сечения тела, появившихся при этом, нам известны. Площадь, перпендикулярная к оси абсцисс, пересекает ее в некоторой точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежащей отрезку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому каждому числу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставится в соответствие одно число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь сечения тела плоскостью, проходящей через эту точку, перпендикулярно к оси абсцисс. Таким образом, на отрезке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана некоторая функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то объем тела Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство этой формулы является довольно громоздким, поэтому мы его не приводим.

По этой формуле можно находить объемы тел вращения.

Пример №829

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачфункции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для каждого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Доказать, что объем тела, которое появилось вследствие вращения этой трапеции вокруг оси абсцисс, можно вычислить по формуле 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Рассмотрим тело, заданное в условии (рис. 15.8). Каждая плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс и пересекающая отрезок Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает в сечении тела круг, радиус которого равен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 15.9). Тогда имеем площадь такого круга: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, для объема тела получим:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.8                                                     Рис. 15.9

Пример №830

Найти объем тела, появившегося вследствие вращения вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Криволинейная трапеция, которую вращают вокруг оси Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображена на рисунке 15.10. Найдем объем появившегося тела вращения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.10

Применение определенного интеграла в физике

Рассмотрим одно из применений определенного интеграла в физике.

Пусть материальная точка двигается вдоль оси абсцисс под действием силы, проекция которой на эту ось — непрерывная на некотором промежутке функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть отрезок Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит промежутку непрерывности функции, и под действием этой силы материальная точка переместилась из точки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 15.11). Тогда работу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой силы можно вычислить по формуле 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем этот факт без доказательства.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 15.11

Пример №831

Вычислить работу силы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во время растяжения пружины на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если для растяжения пружины на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужна сила Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) По закону Гука сила Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорциональна растяжению (или сжатию) пружины, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач величина растяжения (или сжатия), а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпостоянная.

2) Поскольку для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можем найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Найдем работу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для растяжения пружины на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основы комбинаторики, теории вероятности и статистики

Элементы комбинаторики в теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество, то размещением (сочетанием) элементов называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество элементов множества.

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

Комбинаторные задачи. Правила суммы и произведения

Комбинаторика — раздел математики, который изучает вопросы выбора и расположения элементов некоторого  конечного множества в соответствии с заданными условиями. 

Рассмотрим примеры задач из комбинаторики. 

Пример 1. Сколькими способами легкоатлет, собирающийся на тренировки, может взять с собой пару спортивной обуви, имея 5 пар кроссовок и 2 пары кедов?

Очевидно, что выбрать одну из пар обуви, кроссовки или кеды, можно 5+2+7 способами. 

Обобщая, получаем комбинаторное правило суммы. 

Если некоторый элемент A можно выбрать k1 способами, а элемент B (независимо от выбора элемента A) — k2 способами, то выбрать или B можно k1 + kспособами. 

Это правило распространяется на три и более элементов. 

Пример 2. В меню школьной столовой есть на выбор 4 вида пирожков и 3 вида сока. Сколько разных вариантов выбора завтрака состоящего из одного пирожка и одного стакана сока в столовой этой школы?

          Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

                                                                Рис. 76

Пирожок ученик может выбрать 4 способами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для каждого пирожка и сок 3 способами (рис. 76). Итак, ученик имеет   Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вариантов выбора завтрака. 

Обобщая, получаем комбинаторное правило произведения. 

Если некоторый элемент A можно выбрать k1 способами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после каждого такого выбора (независимо от выбора элемента A) другой элемент B можно выбрать k2 способами, то пару элементов A и B можно выбрать kk2  способами.

Это правило так же  распространяется на три и более элементов. 

Пример №832

Сколько трехзначных чисел можно сложить из цифр 1, 2, 3, 4, если в числе: 1) цифры не повторяются; 2) цифры повторяются?

Решение. 1) Имеем 4 способа для сотен числа (рис. 77). После того как место сотен заполнено (например, цифрой 1), для десятков остается 3 способа, рассуждая дальше, для единиц — 2 способа. Итак, получили:  4 способа, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после каждого из них — 3 способа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после каждого из них — 2 способа. По правилу сложения получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач числа. 

2) Если цифры в числе повторяются, то каждое из трех мест можно заполнить 4 способами (рис. 78), и тогда таких чисел будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 1) 24 числа; 2) 64 числа.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач      Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 77                     Рис. 78

Заметим, что не пользуясь комбинаторными правилами, подобные задачи мы могли бы решить только путем перечисления всех чисел, которые удовлетворяют условиям задачи, а такие решения, безусловно, являются очень громоздкими. 

Пример №833

Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, 8, 9, если в числе цифры не повторяются?

Решение. Четное пятизначное число можно получить, если последней цифрой будет 6 или 8. Чисел, у которых последней цифрой является 6:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 79), 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                               Рис. 79

а тех, у которых последней цифрой является 8 — так же 24. По комбинаторному правилу сумма всех четных чисел будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ: 48. 

Пример №834

Азбука племени АБАБ содержит только две буквы "а" и "б". Сколько слов в языке этого племени состоят: 1) из двух букв; 2) из трех букв?

Решение. 1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова); 

2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов).

Заметим, что найденное количество слов согласуется с комбинаторным правилом сложения. Поскольку на каждое место есть два претендента — "а" и "б", то слов, которые содержат эти две буквы, может быть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а три буквы —  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пример №835

В футбольной команде с 11 игроками нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Капитаном можно выбрать любого из 11 игроков. После этого его заместителя — любого из 10 игроков, которые остались. Таким образом (по правилам складывания), получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разных способов. 

Ответ: 110 способов.

Пример №836

В стране Чудосвет 10 городов, каждые два из которых оснащены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Решение. Поскольку каждая авиалиния соединяет два города, то первым из них может быть любой город из 10, а вторым — любой из 9, которые остались. Итак, количество таких авиалиний составляет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Однако, при этом каждая из авиалиний посчитана дважды. Поэтому всего их будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Комбинаторные задачи неразрывно связаны с задачами теории вероятностей, еще одной отрасли математики, которую мы рассмотрим ниже.

Случайное событие. Частота и вероятность случайных событий

Любая точная наука изучает не сами явления, происходящие в природе, а их математические модели. В математических задачах часто рассматривают явления, которые, в отличие от первого варианта, могут сбыться, а могут не сбыться. Такие явления называют случайными.

Теория вероятностей — математическая наука, которая изучает закономерности случайных явлений. 

Пусть проводится определенный опыт (эксперимент), результат которого изменить невозможно. Итак, опыты в теории вероятности называют случайными. При этом целесообразно выполнять только такие опыты, которые можно повторить, хотя бы теоретически, при одних и тех же условиях достаточное количество раз.

Случайными опытами являются, например, подкидывания монет, покупка лотерейного билета, стрельба по мишени. 

Итак, 

  • случайный опыт — это опыт (эксперимент), результат которого зависит от случая, и который можно повторить много раз при одних и тех же условиях. 

Результатом случайного опыта является случайное событие.

Случайное событие — это событие, которое при одних и тех же условиях может случиться, а может не случиться. 

Примерами случайных событий являются "выпадание единицы на игральном кубике", "выпадание решки при подкидывании монеты", "выигрыш 10 руб. при покупке лотерейного билета". Такие случаи, как "закипание воды при ее нагревании до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач" или "уменьшение длины проволоки при ее охлаждении" нельзя назвать случайными, потому что они закономерные. Случайные события, как правило, обозначают большими латинскими  буквами: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №837

В ящике есть только белые и черные шарики. Какие из событий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом могут сбыться: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достанут белый шарик, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— достанут черный шарик

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — достанут зеленый шарик, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —достанут ли шарик?

Решение. Поскольку из ящика можно достать только те шарики, которые в нем есть, значит, оттуда, по условию, можно достать только черные и белые шарики, а зеленые — нет. Можно также утверждать, что любой предмет, который достанут из ящика, будет шариком, поскольку там нет ничего, кроме шариков. Получается, событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач невозможно. 

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Событие, которое при данных условиях обязательно сбудется, называют вероятным.

Событие, которое при данных условиях никогда не сбудется, называют невероятным.

В примере 1 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— случайные, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вероятное, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — невозможное события. 

Пример №838

Пусть проводится некоторый случайный опыт, например определенный стрелок стреляет по мишени. Нас волнует, как математически оценить шансы стрелка попасть в мишень при одних и тех же неизменных условиях. 

Чтобы это выяснить, рассмотрим понятия частоты опыта и вероятность частоты опыта

Если в неизменных условиях проведено n случайных опытов и в n(A) опытах A случится, то число n(A) называют частотой опыта A, а отношения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — относительной частотой события A.

Пример №839

Разные ученые в разное время проводили опыт, который предполагал многократное подкидывание монеты и рассматривание случая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — выпадание аверса. Результаты этих опытов систематизированы в таблице. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получилось, что монеты в опытах разных ученых были разными, но сами опыты, который они приводят, можно считать одинаковыми. Эти опыты, проведенные разными учеными в разные эпохи в разный странах, дают приблизительно один и тот же результат: случайная частота событияМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач близка к числу 0,5. В данном случае число 0,5 называют статистической вероятностью события. 

Если во время проведения достаточно большого количества случайных опытов, значение относительной частоты случайных событий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является близким для некоторого числа, то это число называют статистической вероятностью события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вероятность принято обозначать латинской буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (от французского Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что переводиться как "возможность", "вероятность"). Так, для примера можно написать: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сделаем вывод, что 

  • вероятность случайного события можно найти с большей точностью, если случайный опыт провести большое количество раз. Чем больше проведено случайных опытов, тем ближе будет значение относительной частоты случайного события к вероятности этого события. 

Вернемся к вопросу, сформулированному в примере выше, то есть к математической оценке шансов стрелка попасть в мишень. Теперь понятно, чтобы оценить вероятность попадания стрелком в мишень (событие А), необходимо, чтобы он сделал достаточное количество выстрелов (в одних и тех же условиях) Тогда относительную частоту события А можно будет считать вероятностью попадания стрелка в мишень. Пусть, например, в течение определенного промежутка времени проделано 1000 выстрелов, из которых 781 оказались удачными. Тогда относительную частоту Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно считать вероятностью попадания этого стрелка в данную мишень. Если известна вероятность события А, то можно приблизительно оценить, сколько раз событие А сбудется, если узнать определенное количество опытов. 

Пример №840

Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,781. Сколько приблизительно выстрелов в яблочко будет, если стрелок стрелял 50 раз?

Решение. Пусть в серии из 50 выстрелов получили Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— относительная частота получения приблизительно равна вероятности, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 39 точных выстрелов. 

Классическое определение вероятности

Провести многочисленные опыты для того чтобы найти статистическую вероятности опыта, бывает сложно, а иногда — невозможно. Поэтому во многих подобных задачах вероятность можно вычислять, используя классическое определение вероятности.

Рассмотрим пример.

Пример №841

В ящике лежат два шарика: черный и белый. Каждый раз достают один шарик. 

Рассмотрим случаи: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — достанут белый шарик, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — достанут черный шарик, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — достанут красный шарик, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— достанут шарик. 

Как видим из лекции, случай Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— невозможен, случай Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач—вероятный, а случаи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — случайные.

Поскольку белых и черных в ящике поровну, то шансы вытянуть черный шарики являются одинаковыми с шансами вытянуть белый шарик. Других шариков в ящике нет, так что каждый раз доставая шарик, будем получать половину случаев с белым шариком, половину с черным. 

Из данных условий, число 0,5 (половина) — это статистическая вероятность случайного события "достать белый шарик". 

Эту вероятность можно получить, если количество белых шариков, то есть 1, поделить на количество всех шариков Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, сформулируем классическое определение вероятности.

Вероятность случайного события равняется  отношению количества событий, которые способствуют появлению события A, к количеству всех возможных событий. 

В виде формулы это определение можно записать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где n — количество всех возможных событий; m — количество событий, которые способствуют появлению события A.

Иногда вероятность представляют в виде процентов, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаясь к рассмотренному примеру, можно легко найти вероятность событий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, сделаем вывод:

  • вероятность возможного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0; вероятность случайного события может быть любым числом от 0 до 1.

Вероятности событий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данном случае одинаковые, ибо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такие события называют равновероятными

Равновероятные события — события, вероятность которых одинаковая в этом опыте. 

Рассмотрим еще примеры.

Пример №842

Из 30 учеников класса 12 имеют высокие оценки по алгебре. Какая вероятность того, что случайно выбранный ученик класса получит высокую оценку по алгебре?

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 0,4

Пример №843

Одновременно подкинули два игральных кубика. Какая вероятность того, что сумма очков, которые выпадут:

1) равняется 6;       2)меньше 5?

Решение. Составим таблицу суммы очков, которые могут выпасть на двух игральных кубиках при их одновременном подкидывании. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество всех возможных случаев. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Получим 5 случаев, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Получим 6 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках меньше 5. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №844

В коробке 20 черных шариков, 25 зеленых, а остальные — белые. Сколько белых шариков в коробке, если вероятность вытянуть белый шарик:

1) равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть в коробке было Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач белых шариков.

Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, вероятность вытянуть белый шарик равняется Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) по условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) по условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Чтобы решить неравенство, умножим его обе части на слагаемое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, если вероятность вытянуть белый шарик меньше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то в коробке не больше 11 белых шариков. 

Ответ: 1) 15; 2) не более 11.

Пример №845

Владелец мобильного телефона забыл две последние цифры своего пин-кода, но помнит, что они разные. Зайти вероятность того, что он получит доступ к телефону с первой попытки.

Решение. Двумя остальными цифрами могут быть такие комбинации как: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Всего их 100. Но среди них есть 10 комбинаций, у которых цифры одинаковые: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку владелец помнит, что они не повторяются, то у него есть выбор из 90 комбинаций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем вероятность того, что владелец получит доступ к телефону с первой попытки, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начальные сведения о статистике. Статистические данные, способы их предоставления и обработки

В практической деятельности людям часто приходится собирать, обрабатывать и исследовать различные данные, связанные с процессами массового характера. Такое данные называют статистическими. На вопросы, связанные со статистическими данными, отвечает математическая статистика

Математическая статистика — раздел математики, изучающий математические методы систематизации, обработки и исследования статистических данных для научных и практических выводов. 

Название "статистика" происходит от латинского Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что переводится как "состояние", "положение". 

Пример №846

Во время государственной итоговой аттестации по математике 50 девятиклассников получили следующие баллы: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Систематизируем эти данные по уровням достижений в виде таблицы: начальный уровень (1–3 балла), средний (4–6 баллов), достаточный уровень (7–9 баллов), высокий уровень (10–12 баллов). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После обработки, результаты статистических данных представляют в виде таблиц, графиков и диаграмм. 

Пример №847

Представим результаты рассмотренного примера разными способами.

 1. Таблица:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

2. Столбчатая диаграмма:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 83

3) В виде круглой диаграммы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                          Рис. 84

Результаты статистических достижений представляют в виде графика в том случае, когда статистические данные содержат некоторую величину, которая изменяется, например, в течение дня, месяца, года.

Пример №848

В таблице приведена чистая прибыль малого предприятия (в руб.) за каждый из восьми лет. 

      Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     

Представим эти данные в виде графика (рис. 85) 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                      Рис. 85

Представлять результаты статистических данных в виде таблиц, диаграмм, графиков можно используя специальные программы на компьютере, например, Microsoft Excel или аналогичные программы. 

Средним значением статистических измерений называют среднее арифметическое статистических данных. 
Напомним, что для того чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно их сумму поделить на их количество. 

Пример №849

Каким является среднее значение чистой прибыли малого предприятия за последние восемь лет (см. пример выше)?

Решение.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ: 51,1625 тыс. руб. 

Мы рассмотрели способы систематизации небольшого количества данных. А каким образом можно систематизировать явления массового характера, содержащие больше тысячи объектов? 

Пример №850

С центральной площади небольшого города отправляются четыре автобуса №1, 2, 3 и 4. Местная власть хочет выяснить, на каком из маршрутов может быть больше автобусов, а на каком — меньше. Решение этой проблемы связанно с определенными закономерностей и объективными условиями жизни всех жителей города, но это вычисление было бы дорогим и слишком долгим. 

На практике же делают выборку, то есть описывают выборочно несколько десятков или сотен людей, после чего систематизируют данные в таблицы.  Пусть было описано 200 жителей, которые пользуются автобусами №1, 2, 3 и 4. Жители, пользующиеся несколькими маршрутами, назвали маршрут, который используют чаще. Полученные данные были внесены в статистическую таблицу: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такую таблицу называют частотной, а ее числа — частотами. Эти числа показывают, как часто происходит то или иное действие. Сумму частот всех значений выборки называют объемом выборки. В нашем случае объемом выборки является число 200, то есть количество описанных жителей, или  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Относительной частотой значения выборки называют записанное в процентах отношение его части к объему выборки. Например, относительная частота маршрута № 1 равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если, например, город должен между маршрутами №1, 2, 3, 4 разделить 50 автобусов, то на маршрут №1 можно выделить 12 автобусов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть 24% от  50. Представим конечный результат в виде таблицы: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество и его элементы

Сначала вспомним и расширим понятие множества.

Ранее мы уже рассматривали числовые множества: натуральных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целых чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рациональных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач действительных чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятие множества в более широком понимании является одним из основных в математике и потому не может обозначаться через какие-то элементарные понятия. Будем понимать под понятием множества совокупность объектов любой природы, а сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Как правило, множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит из чисел 1, 2, 3, 4, то это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Числа 1, 2, 3, 4 — элементы множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тот факт, что число 1 принадлежит множеству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают при помощи известного нам символа зависимости Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а именно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если число 5 не принадлежит множеству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то это записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В математике также рассматривают множество, которое не содержит никакого элемента, то есть пустое множество. Его обозначают символом Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так, например, пустым множеством является множество действительных корней уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если каждый элемент множества B является элементом множества  A, то говорят, что множество B является подмножеством множества A.

Записывают это с помощью символа подмножества: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а схематично можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера, которые еще называют диаграммами Эйлера-Венна (рис. 16.1).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 16.1

Пример №851

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является подмножеством множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является подмножеством множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит элемент 5, который не содержится в множестве Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №852

Для известных нам числовых множеств имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т.п.

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Равенство множеств

Рассмотрим множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называют равными и записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержат конечное число элементов. Такие множества называют конечными, а в противоположном случае — бесконечными. Значит,

конечные множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Обозначение равных множеств (как конечных, так и бесконечных) можно сформулировать и через понятие подмножества:

два множества называют равными, если каждое из них является подмножеством другого.

Упорядоченные множества

Вернемся к множествам Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые мы уже рассмотрели выше и выяснили, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Замечаем, что порядок размещения элементов в каждом из множеств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разный. Для равенства множеств порядок размещения значения не имеет. Но часто в математике этот порядок имеет значение, то есть важно, какой элемент множества стоит на первом месте, какой — на втором, какой — на третьем и так далее. Множества, для которых порядок размещение элементов имеет значение, называют упорядоченными. Для записи упорядоченных множеств вместо фигурных скобок используют круглые. Если множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматривать как упорядоченные, то их запись будет выглядеть так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае они уже не будут равными, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку для равенства упорядоченных множеств важен еще и порядок размещения элементов во множестве, которые далее в теории множеств и задач по комбинаторике будем коротко называть порядком элементов.

Неупорядоченные множества можно упорядочивать по разным правилам.

Пример №853

Дано неупорядоченное множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Упорядочить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по: 1) возрастанию; 2) убыванию; 3) возрастанию модулей ее элементов.

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Элементы комбинаторики, размещения, перестановки, комбинации

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучают способы выбора и размещения элементов из некоторого конечного множества соответственно с заданными условиями. Выбранные (или выбранные и соответственно размещенные) группы элементов называют соединениями. Комбинаторика изучает такие соединения: размещение, перестановка, комбинация и т. д.

Прежде чем перейти к изучению соединений, вспомним некоторые комбинаторные правила.

Правило суммы и правило произведения

Много комбинаторных задач можно решить с помощью двух важных правил, которые называют соответственно правилом суммы и правилом произведения.

Пример №854

В овощном отделе супермаркета есть 5 сортов яблок красного цвета и 4 сорта зеленого. Сколькими способами можно выбрать для покупки килограмм яблок одного сорта?

Понятно, что выбрать яблоки сорта красного цвета можно 5 способами, а выбрать яблоки зеленого цвета — 4 способами. Следовательно, выбрать один из сортов яблок можно 5 + 4 = 9 способами.

Обобщив, получим комбинаторное правило суммы:

если некоторый элемент A выбрать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, а некоторый элемент Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами (причем любой выбор элемента отличается от выбора элемента B), то выбрать A или B можно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами.

Понятно, что это правило можно расширить на три и более элемента.

Пример №855

В школьной столовой можно выбрать обед из 4 первых и 4 вторых блюд. Сколько разных вариантов обедов, состоящих из одного первого и одного второго блюд можно выбрать в этой столовой?

Понятно, что первое блюдо можно выбрать 4 способами и к каждому первому блюду выбрать второе 3 способами (рис. 17.1).

Следовательно, есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разных вариантов обедов.

Первые блюда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вторые блюда

Рис. 17.1

Обобщив, получим комбинаторное правило произведения:

  • если некоторый элемент A выбрать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, а после каждого такого выбора другой элемент B можно выбрать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, то пару объектов и B можно выбрать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами.

Это правило также можно распространить на три и более элементов. Рассмотрим несколько более сложных задач.

Пример №856

Сколько трехзначных чисел можно сложить из 5, 6, 7, 8, если в числе:

1) цифры не повторяются;    2) цифры повторяются?

Решение. 1) Имеем 4 способа для сотен числа (рис. 17.2). После того, как место сотен заполнено (одной из данных 4 цифр), для десятков остается 3 способа (3 оставшиеся цифры), размышляя дальше, для 1 — 2 способа. Следовательно, имеем: 4 способа, и после каждого из них — 3 способа, и после каждого из них — 2 способа. Согласно правилу произведения имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач числа.

2) Если цифры в числе повторяются, то каждое из трех мест можно заполнить 4 способами (рис. 17.3), и тогда всех чисел будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 17.2                                           Рис. 17.3

Ответ. 1) 24 числа; 2) 64 числа.

Отметим, что, не пользуясь комбинаторными правилами, такие задачи мы смогли бы решать только методом перебора всех чисел, удовлетворяющих условие, а такое решение, безусловно, является очень громоздким.

Пример №857

Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 5; 6; 7; 8; 9, если в числе цифры не повторяются?

Решение. Четное пятизначное число можно получить, если последней цифрой будет 6 или 8. Чисел, у которых последней цифрой является 6, будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач у которых последней является цифра 8 —тоже 24 (рис. 17.4). Согласно комбинаторному правилу суммы четных чисел будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 17.4

Ответ. 48 чисел.

Понятие факториала

Важным в комбинаторике является понятие факториала.

Факториалом числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целое неотрицательное число, называют произведение всех натуральных чисел от 1 до Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначают факториал числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "эн факториал"). Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению считают, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №858

Упростите выражение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1-й способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2-й способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 5.

Теперь перейдем к рассмотрению соединений, являющихся одними из основных понятий комбинаторики.

Чтобы понять, какими бывают соединения и чем они отличаются одно от другого, допустим, что мы имеем определенное количество предметов (элементов некоторого множества) и определенное количество мест, на которых их нужно разместить (упорядоченно или неупорядоченно), причем количество мест не превышает количество предметов.

Размещение

Пусть дано множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоящее из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач мест, на которых их нужно разместить.

Размещением из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют любое упорядоченное подмножество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем два таких подмножества считают разными, если они отличаются составом или порядком элементов.

Пример №859

Пусть дано множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из трех элементов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачмножества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно составить такие размещения, то есть упорядоченные множества подмножества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) по одному элементу: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач их будет 3;

2) по два элемента: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач их будет 6;

3) по три элемента: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач их будет 6.

Количество размещений из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "а с эн по эм")Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В примере имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем общую формулу для нахождения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №860

Пусть дано множество изМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Будем из данных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов составлять упорядоченные подмножества из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементов, иначе говоря, размещать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач местам. На первое место можно поместить любой из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов (рис. 17.5), то есть имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способов.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 17.5

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит от первой буквы слова Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что по-французски означает "размещение".

На второе место — уже Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, которые остались после выбора первого, на третье — Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые остались после выбора первых двух, и так далее. На последнее место под номером Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выбрать только один из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, оставшихся после выбора Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предыдущих.

Используя комбинаторное правило произведения, получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту формулу можно запомнить с помощью такого правила:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это произведение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач натуральных чисел, начиная с числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записанных в порядке убывания.

По полученной формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (что совпадает с ранее вычисленным в примере), а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если полученное по формуле для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение умножить и поделить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим еще одну формулу для вычисления количества размещений с Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №861

Школьное расписание содержит 6 уроков в день. Найти, сколько существует вариантов такого расписания при выборе из 10 предметов, при условии, что ни один из предметов не повторяется в расписании дважды.

Решение. Понятно, что вариантов таких расписаний будетМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №862

Сколько разных правильный дробей можно составить из чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используя их для записи и числителя, и знаменателя дроби?

Решение. Дробей, у которых числитель не равен знаменателю, можно составить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач штук, но только половина из них будут правильными. Следовательно, имеем такое количество дробей: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 21. 

Комбинаторные формулы могут содержаться в уравнениях и неравенствах или в системах уравнений.

Пример №863

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ переменной в неравенстве: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле размещений имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда неравенство приобретет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть является квадратным: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая ОДЗ, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перестановки

Допустим, что мы имеем определенное количество предметов и такое же количество мест, на которых их нужно разместить.

Перестановкой из n элементов называют любое упорядоченное множество из всех этих элементов, причем два таких множества считают разными, если они отличаются между собой порядком элементов.

Количество перестановок из n элементов обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: "пэ зэ эн")Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит от первой буквы слова Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что по-французски означает "перестановка".) Найдем формулу для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из определения перестановки понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, учитывая формулу размещений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и то, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно,

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №864

Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг? 

Решение. Очевидно, что искомое количество способов равно количеству перестановок с 5 элементов: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 120.

Пример №865

Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если в каждом числе ни одна из цифр не повторяется?

Решение. Из пяти цифр Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно создать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перестановок. Но пятизначное число не может начинаться с цифры ноль. Перестановок, начинающихся с цифры 0, следовательно, не удовлетворяющих условие задачи, будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, искомое количество пятизначных цифр равно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 96.

Пример №866

Ребенок выкладывает в ряд шесть кубиков с числами от 1 до 6. Сколько существует способов такого выкладывания, чтобы числа 1 и 2 оказались рядом?

Решение. Условно объединим кубики 1 и 2 в один "кубик". Тогда будем иметь не 6, а 5 кубиков, которые можно разместить в ряд Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. При каждом таком размещении кубики с числами 1 и 2 можно поменять между собой местами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Следовательно, согласно комбинаторному правилу произведения, окончательно получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 240 способов.

Комбинации (сочетания)

Пусть дано множество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоящее из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов.

Комбинацией (сочетанием) из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют любое подмножество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов множества Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем два таких подмножества считают разными, если они отличаются только составом элементов.

Количество комбинаций из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(читают: "цэ из эн по эм"). (Обозначение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит от первой буквы слова Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что на латыни означает "совмещать", а также от французского слова Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что переводится, как "комбинация".)

Обратите внимание, что для комбинаций порядок элементов значения не имеет.

Найдем формулу для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №867

Пусть дано множество из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементов, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала составим упорядоченные подмножества из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, их, как известно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но для комбинаций нас не интересует порядок элементов в каждом таком подмножестве. Элементы каждого такого подмножества можно переставить между собой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Следовательно, число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз меньше числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №868

В вазе 7 красных и 5 белых роз. Сколькими способами из вазы можно выбрать:

1) три розы;   2) две красные и одну белую розу?

Решение. 1) Имеем множество из 12 элементов. Нужно найти количество подмножеств из трех элементов этого множества.

Поскольку порядок элементов в подмножестве не имеет значения, то выбрать 3 розы из 12 можно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Следовательно, 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку порядок элементов в подмножествах, которые мы выбираем, не важен, то две красные розы можно выбрать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами, а одну белую Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Поэтому, согласно комбинаторному правилу произведения, две красные и одну белую розу можно выбрать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подытожим существенные признаки тех соединений, которые мы рассмотрели в этой лекции.

Если во время выбора Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач порядок элементов имеет значение, то имеем размещение (или перестановку), а если нет — комбинацию.

Обратите внимание, что для решения комбинаторных задач, в которых мы ищем количество подмножеств данного множества,  удовлетворяющие определенное условие, важно правильно выяснить, о каком именно соединении (размещении, перестановке или комбинации) идет речь в задаче, и далее использовать соответствующую формулу этого соединения. 

Установить вид соединения поможет такая схема.

Как определить количество подмножеств

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество элементов множества, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество элементов подмножества, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Порядок элементов имеет значение?

Да Нет
Выбираем все Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов? Имеем комбинацию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если да, то имеем перестановку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если нет, то имеем размещение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примером использования схемы может быть такая задача.

В классе 30 учеников, сколькими способами можно...

Условие задачи ...выстроить всех учеников класса в одну шеренгу ...выбрать старосту класса и его заместителя ...выбрать трех дежурных по классу
Характерные признаки соединения

1) Все 30 учеников;

2)порядок имеет значение.

1) Только 2 ученика из 30;

2) порядок имеет значение.

1) Только 3 ученика из 30;

2)порядок не имеет значения.

Вывод насчет вида соединения

ПЕРЕСТАНОВКА

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

РАЗМЕЩЕНИЕ

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

КОМБИНАЦИЯ Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Случайный опыт и случайное событие. Вероятность события

Любая точная наука изучает не сами явления, которые происходят в природе, а их математические модели. При этом часто приходится учитывать и случайные факторы, в результате которых явление может как произойти, так и не произойти. Такие явления называют случайными

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

В этой лекции вспомним то, что нам известно из предыдущих классов, научимся решать задачи на вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики и узнаем кое-что новое.

Допустим, что проводят определенный опыт (эксперимент, наблюдение, испытание и т. п.), результат которого предсказать невозможно. Такие опыты в теории вероятностей называют случайными. При этом целесообразно проводить только те опыты, которые возможно повторить, хотя бы теоретически, произвольное количество раз при одних и тех же условиях.

К случайным опытам можно отнести подбрасывание монеты или игрального кубика, покупку лотерейного билета, стрельбу по мишени и т. п. Следовательно,

  • случайный опыт — это опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), результат которого зависит от случая, и который можно повторить много раз в одних и тех же условиях.

Результатом случайного опыта является случайное событие.

Случайное событие — это событие, которое в одних и тех же условиях может состояться, а может и не состояться.

Примерами случайных событий является выпадение единицы при подкидывании игрального кубика, выпадение герба при подкидывании монеты, выигрыш определенного приза при покупке лотерейного билета и т. д. Такие события, как закипание воды, когда ее температура достигла Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или увеличение длины провода при его нагревании, являются закономерными, поэтому их нельзя назвать случайными.

Случайные события, как правило, обозначают большими латинскими буквами: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №869

В ящике только белые и черные шарики. Из него наугад вытаскивают один шарик. Какие из событий при этом могут произойти:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвытащен белый шарик;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытащен черный шарик;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытащен зеленый шарик;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытащен шарик?

Решение. Поскольку из ящика можно выбрать только то, что в нем есть, то вытащить белый или черный шарик можно, а зеленый — нет. Можно также утверждать, что любой предмет, который наугад вытаскивают из ящика, будет шариком, поскольку там кроме шариков ничего нет. Значит события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут состояться (а могут и не состояться); событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не может состояться, а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обязательно состоится.

ОтветМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Событие, которое при данных условиях обязательно состоится, называют вероятным.

Событие, которое при данных условиях не может состояться, называют невозможным.

В примере 1 событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— случайные, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— вероятное, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — невозможное.

Вероятное событие часто обозначают буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а невозможное — буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несовместимые события. Полная группа событий. Равновероятные события

События A и B называют несовместимыми в данном опыте, если они не могут произойти одновременно, в другом случае события называют совместимыми.

Пример №870

Пусть при однократном подкидывании игрального кубика событие A — выпадение единицы; B  — выпадение шестерки; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение числа, кратного числу 3. Тогда события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — несовместимы в данном опыте, поскольку одновременное выпадение единицы и шестерки невозможно. События Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — совместимы в данном опыте, поскольку при выпадении на игральном кубике шестерки события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произошли одновременно.

События Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют попарно несовместимыми, если любые два из них являются несовместимыми.

Если события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач попарно несовместимы и в результате опыта может произойти одно и только одно из них, то говорят, что события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют полную группу событий. Множество всех таких событий называют пространством элементарных событий, при этом сами события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют элементарными событиями.

Пример №871

Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что в результате подбрасывания игрального кубика выпало Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач очков; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются попарно несовместимыми, но такими, что не создают полную группу событий. А события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются попарно несовместимыми и создают полную группу событий.

Из этого примера понятно, что выпадение, например, единицы и двойки являются равновозможными событиями. Поэтому события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют равновероятными.

Равновероятными событиями называют такие события, вероятности которых одинаковы в данном испытании.

Так, например, равновероятными являются выпадение герба и цифры при подбрасывании монеты. Но если стрелок попадает в мишень с вероятностью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для этого стрелка попадание и промах не являются равновероятными событиями.

Классическое определение вероятности

Рассмотрим опыт, результатом которого может быть одно из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач случайных событий, причем эти события создают определенную группу равновероятных событий. Как мы уже знаем, такие события называют элементарными событиями, при этом опыт называют классическим.

Примером классического опыта является пример этой лекции, элементарные события которого — это события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Случай, в результате которого происходит событие A, называют случаем, который способствует появлению события A.

Вспомним известное нам из предыдущих классов классическое определение вероятности:

  • вероятность события A равна отношению количества случаев Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способствующих появлению события A, к количеству всех возможных случаев Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что это определение не противоречит статистическому определению вероятности и дает возможность прийти к тем же выводам:

  • вероятность вероятного события равна 1; вероятность невозможного события равна 0; вероятность случайного события может быть любым числом от 0 до 1.

Действительно, если событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вероятное, то количество случаев, способствующих появлению события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно количеству всех возможных случаев, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач невозможно, то количество случаев, способствующих появлению события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачравно нулю, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потомуМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное случайное событие, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несколько упражнений для нахождения вероятности события.

Пример №872

В коробке 5 белых и 15 черных шариков. Наугад вынимают один из них. Событие A состоит в том, что вытащен белый шарик. Какова вероятность события A?

Решение. Из коробки можно вытащить с равной вероятностью любой из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач шариков, поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку белых шариков 5, то количество случаев, способствующих событию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 5, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,25.

Пример №873

На карточках записаны натуральные числа от 1 до 20. Наугад вытаскивают одну из карточек. Какая вероятность того, что число, записанное на карточке, является делителем числа 20?

Решение. Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть событие A состоит в том, что вытащена карточка, число на которой является делителем числа 20. Натуральными делителями числа 20 являются шесть чисел: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,3.

Пример №874

Одновременно подбросили два игральных кубика. Какая вероятность того, что сумма очков, выпавшая на кубиках:

1) равна 8;    2) больше 9?

Решение. Составим таблицу суммы очков, которую можно получить при одновременном подбрасывании двух игральных кубиков. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество всех возможных случаев. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Есть пять случаев, когда сумма очков на обоих кубиках равна 8, значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Есть шесть случаев, когда сумма очков на обоих кубиках больше 9, потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение вероятности с помощью формул комбинаторики 

Часто в задачах на вычисление вероятности используют формулы комбинаторики. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример №875

Пусть есть пять отрезков, длина которых 1 см, 3 см, 5 см, 7 см, 9 см. Наугад выбираем три из них. Какова вероятность того, что из них можно составить треугольник?

Решение. Количество Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач всех возможных случаев — это количество способов, которыми можно выбрать 3 отрезка из 5, и не имеет значения, в каком порядке. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Треугольник можно составить только из таких групп отрезков: 3 см, 5 см и 7 см или 3 см, 7 см и 9 см или 5 см, 7 см и 9 см. Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,3.

Пример №876

В корзине 10 яблок и 8 груш. Наугад из корзины берут два фрукта. Какова вероятность, что:

1) оба из них — яблоки;

2) один из них — яблоко, второй — груша.

Решение. Для обоих заданий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество всех возможных случаев выбора двух фруктов.

1) Выбрать два яблока можно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачспособами. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Выбрать одно яблоко можно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачспособами, и после каждого такого выбора грушу можно выбрать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач способами. Согласно комбинаторному правилу произведения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Операции над событиями. Аксиомы теории вероятностей и основные следствия из них

В этой лекции мы рассмотрим основные операции над событиями и аксиоматическое определение вероятности.

Операции над событиями

Суммой двух событий A и B считают событие C, которое считают состоявшимся, если произошло хоть одно из событий A и B.

Записывают это так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Пример №877

Если стрелок сделал два выстрела по мишени и событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач попадание во время первого выстрела, а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач попадание во время второго выстрела, то событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач попадание стрелка в мишень хотя бы во время одного выстрела.

Если события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач несовместимы, то событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит в том, что произойдет одно из них. Например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение числа 1 при подбрасывании игрального кубика, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение числа 2, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это выпадение или числа 1, или числа 2 при однократном подбрасывании кубика.

Произведением двух событий называют событие C, которое считают произошедшим, если состоялись оба события A и B.

Записывают это так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Возвращаясь к примеру, отметим, что событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это попадание стрелка в мишень при обоих выстрелах.

Нетрудно заметить аналогию между суммой двух событий и объединением множеств (числовых промежутков), произведением двух событий и пересечением множеств (числовых промежутков).

Событием, противоположным к событию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое считают состоявшимся, если не состоялось событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот.

Так, например, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение герба при однократном подбрасывании монеты, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение цифры; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение числа 1 при однократном подбрасывании игрального кубика, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение любого из чисел 2, 3, 4, 5 или 6 при однократном подбрасывании кубика.

Рассмотрим свойства операции над событиями.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коммутативные законы

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ассоциативные законы

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дистрибутивные законы

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Закон двойственности (или законы де Моргана)Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем эти свойства без доказательств.

Рассмотрим несколько задач.

Пример №878

Может ли сумма двух событий равняться их произведению?

Решение. Да, если события эквивалентны, то есть если произошло событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то обязательно произошло и событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот. Например, биатлонист стреляет по мишени, попадание в которую приводит к ее разрушению. При этом никаким другим способом ее разрушить невозможно. Тогда, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это попадание в мишень, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разрушение мишени, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №879

Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является случайным случаем события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть из того, что событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпроизошло, обязательно следует, что произошло событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Что означают события: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Следует ли Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. На рисунке 19.1 с помощью кругов Эйлера схематически изображено условие задачи.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 19.1

1) Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Ответ: нет. Ведь событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может состояться, а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— нет. Примером такой ситуации может быть элементарное событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отметим, что наоборот, из Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследует Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №880

В классе 22 ученика, 12 из которых посещают секцию баскетбола (событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), 8 — секцию волейбола (событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), а 2 — и баскетбола, и волейбола (событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Выразить Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Что означают события:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Изобразим условие задачи при помощи кругов Эйлера (рис. 19.2). По рисунку видим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 19.2

Далее:

1) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что 18 учеников посещают секции игры с мячом;

2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что 10 учеников посещают только секцию баскетбола;

3) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что 6 учеников посещают только секцию волейбола;

4) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что 4 ученика не посещают секции игры с мячом.

Пример №881

Подбрасывают две монеты. Рассмотрим события: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление герба на первой монете; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление цифры на первой монете; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоявление герба на второй монете; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление цифры на второй монете; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление хотя бы одного герба; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление хотя бы одной цифры; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление одного герба и одной цифры; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление двух цифр; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач появление двух гербов. Каким из них равносильны события:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №882

В ящике лежат 4 шарика. Известно, что шарик может быть или белым, или черным. Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачровно один шарик белый; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачхотя бы один шарик белый; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачровно два шарика белых; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не менее двух шариков белые; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ровно два шарика белые; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвсе четыре шарика белые. Что означают события: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сходятся ли события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСходятся ли события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

РешениеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсходятся, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не сходятся.

Аксиомы теории вероятности и ее основные следствия

Аксиоматическое строение теории вероятности появилось в начале 30-х годов Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач века благодаря академику Колмогорову. Аксиомы теории вероятности вводят так, чтобы вероятность события имела основные свойства статистической вероятности (известной нам из предыдущих классов), которая отражает практический смысл теории вероятностей. Тогда аксиомы теории вероятностей хорошо согласовываются с практикой. Также аксиомы теории вероятностей хорошо согласовываются и с классическим определением вероятности. Дадим определение вероятности, основывающееся на аксиоматическом строении теории вероятности.

Вероятностью называют функцию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая приобретает действительные значения и для которой справедливы такие аксиомы:

А1. Каждому случайному событию соответствует число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

А2. Вероятность вероятного события равна 1.

А3. Вероятность суммы несовместимых в данном испытании событий Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

равна сумме их вероятностей, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из аксиом теории вероятностей получим такие следствия.

Следствие 1. Если события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач попарно несовместимы в данном испытании, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие 2. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач создают определенную группу событий, тоМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие 4. Вероятность невозможного события равна нулю.

Отметим, что обратное к следствию 4 утверждение не является правильным, а именно равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не значит, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач невозможное событие.

Вычисление вероятности событий с использованием аксиом теории вероятностей и следствий из них

Рассмотрим задачи, решить которые целесообразно по аксиомам теории вероятностей и следствий из них.

Пример №883

В букете 5 белых, 2 желтых и 3 красных розы. Наугад выбирают одну из них. Какова вероятность, что она не является белой?

Решение. 1-й способ (по классическому определению вероятности). Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2=й способ (по аксиоме Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).  Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбрана желтая роза, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбрана красная роза. Очевидно, что события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач несовместимы. Событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбрана желтая или красная роза, то есть не белая. По аксиоме Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,5.

Пример №884

Группе школьников из 20 учеников выдали путевки: 8 — в Одессу, 12 — в Миргород. Путевки между учениками будут распределены методом жеребьевки. Какова вероятность того, что брат и сестра из этой группы школьников будут отдыхать вместе?

Решение. Обозначим:

событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач брат и сестра будут отдыхать вместе;

событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач брат и сестра будут отдыхать вместе в Одессе;

событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач брат и сестра будут отдыхать вместе в Миргороде.

Очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач несовместимые события, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает возможность решать задачи на вычисление вероятности некоторого события через вероятность противоположного ему события, так как из этой формулы имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что этот подход используют тогда, когда вероятность события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти легче, чем вероятность события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №885

Загадали одно из трехзначных чисел (от 100 до 999). Какова вероятность того, что в этом числе хотя бы две цифры будут одинаковыми?

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач событие, вероятность которого нужно найти, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач событие, которое состоит в том, чтобы все цифры в числе были разными. Найдем вероятность события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпо классическому определению вероятности. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество размещений из трех разных цифр, причем среди них Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтех, которые начинаются с цифры 0, потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,28.

Независимые события. Условная вероятность

Если на определенном опыте или испытании имеем два совместимых события, возникает вопрос, как наступление одного из событий влияет на наступление другого. В этой лекции мы рассмотрим именно это.

Независимые события:

Событие A называют независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, состоялось ли событие B.

Пример №886

Рассмотрим опыт, который состоит в двух последовательных подбрасываниях монеты; событиеМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение герба при втором подбрасывании; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыпадение герба при первом подбрасывании. Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вероятность события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от того, состоялось ли событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данном примере независимые.

Пример №887

Опыт состоит в однократном подбрасывании игрального кубика. Событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыпадение нечетного количества очков; событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение количества очков меньше 4. Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же состоялось событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть выпало 1 очко, или 2 очка, или 3 очка, то вероятность события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне являются независимыми в данном испытании.

Теорема (о вероятности произведения двух независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем эту теорему без доказательства.

Из теоремы имеем важное следствие. 

Следствие. Если события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимы в совокупности, то есть осуществление произвольного количества из них не изменяет вероятность осуществления других, то

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что этим следствием нужно пользоваться осторожно, поскольку события могут быть попарно независимыми, но не являться независимыми в совокупности.

Возвращаясь к примеру, отметим, что событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит в том, что герб выпал как при первом, так и при втором подбрасывании. Поскольку события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимы, можем применить теорему о вероятности произведения двух независимых событий. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тот же результат можно было получить, решая задачи с классическим определением вероятности.

Рассмотрим еще пример.

Пример №888

Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найти вероятность того, что 6 очков впервые выпадет во время третьего подбрасывания.

Решение. Рассмотрим события: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпало 6 очков впервые при третьем подбрасывании; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпало 6 очков при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачм подбрасывании Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимы в совокупности. Следовательно, имеем

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условная вероятность

Для количественной характеристики зависимости одного события от другого вводят понятие условной вероятности.

Если вероятность события A вычисляют при условии, что событие B состоялось, тогда вероятность события A называют условной и обозначают Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это определение дает возможность иначе определить независимые события, а именно:

события A и B называют независимыми между собой, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это определение можно трактовать так, что выполнение одного из событий не влияет на вероятность выполнения другого.

Пример №889

Из ящика, в котором лежит 5 черных и 3 белых шарика, последовательно наугад вынимают два шарика. Рассмотрим события: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач первый шарик черный; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач второй шарик белый. Зависимы ли события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если:

1) после вынимания первого шарика его возвращают в ящик;

2) после вынимания первого шарика его не возвращают в ящик?

Решение. Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Если после того, как первым вытащен черный шарик, его возвращают в ящик, то в ящике снова стало 5 черных и 3 белых шарика.

А потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач События Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимы. 

2) Если после того, как первым вытащен черный шарик, его не вернули в ящик, то в ящике стало 4 черных и 3 белых шарика.

А потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач События Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются независимыми.

Ответ. 1) Да; 2) нет. 

Можно дать и другое определение условной вероятности, по которому можно ее вычислить.

ЕслиA и B — два совместимых в одном испытании события, причем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют условной вероятностью события A при условии, что событие B состоялось, или просто условной вероятностью события A.

Следовательно, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №890

В комоде лежат 5 черных и 3 красных шарика. Два раза подряд наугад из комода вынимают по одному шарику, не возвращая их обратно в комод. Найти вероятность того, что вторым был вытащен красный шарик, при условии, что первым был вытащен черный.

Решение. Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачозначает, что первым был вытащен черный шарик; событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что вторым был вытащен красный шарик. Тогда событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит, что последовательно был вытащен сначала черный, а потом красный шарик; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вторым вытащен красный шарик, при условии, что первым был вытащен черный.

1-й способ. После того, как произошло событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(первым вытащен черный шарик), в комоде осталось 4 черных и 3 красных, а потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по классическому определению вероятности).

2-й способ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по классическому определению вероятности);

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя второе определение условной вероятности, можно сформулировать теорему, которую еще называют теоремой умножения вероятностей:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(учитывая, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одно и то же событие).

Отметим, что эта формула имеет смысл и когда A и B совместимы.

Следствие 1. Если события A и независимы, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту формулу мы знаем еще из предыдущего пункта этой лекции.

Следствие 2. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие 3. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №891

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач деталей, производимых на заводе, бракованные. Среди качественных деталей Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач высшего сорта. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет высшего сорта?

Решение. Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что деталь не бракованная; а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что деталь высшего сорта. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,594.

Пример №892

Шесть карточек разрезанной азбуки содержат буквы, из которых можно сложить слово "ракета". Карточки перемешивают, а потом по одной выкладывают слева направо. Какова вероятность того, что снова сложится слово "ракета"?

Решение. Рассмотрим события: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач снова сложилось слово "ракета"; Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачм месте оказалась нужна буква.

Буква "р" первой может сложиться с вероятностью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после чего остается 5 букв, из которых 2 буквы "а", следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует отметить, что эту задачу, как и другие из этой лекции, можно было решить с помощью классического определения вероятности, а именно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий

Ранее мы уже несколько раз рассматривали задачи, в которых нужно было найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий. Рассмотрим универсальную задачу.

Пример №893

Пусть события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимы в совокупности, а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что состоялось хоть одно из этих событий. Докажем, что

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Найдем вероятность противоположного события: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимы в совокупности, то и события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также независимы в совокупности. Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обратите внимание, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим, как применять доказанную формулу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №894

Вероятность того, что при нажатии стартера мотор заработает, равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти вероятность того, что для запуска мотора понадобится не больше двух нажатий.

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит в том, что мотор заработал при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачм нажатии стартера. Тогда, если событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит в том, что для запуска мотора нужно не больше двух нажатий, то по формуле Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №895

Сколько раз достаточно подбросить монету, чтобы с вероятностью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач быть уверенным в том, что хотя бы один раз выпадет герб?

Решение. Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит в том, чтобы хоть один раз выпал герб, а событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв том, что при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачм подбрасывании выпал герб Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Остается найти такое Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, подбросив монету 7 раз, можно с вероятностью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач быть уверенным, что хоть один раз выпадет герб. 

Ответ. 7 раз.

Пример №896 (задача де Мере).

Шевалье де Мере, друг математика Б. Паскаля, предлагал партнерам игру по таким правилам: он будет подбрасывать два игральных кубика 24 раза и выиграет, если хоть один раз выпадет две шестерки. Его соперник подбрасывает один раз четыре игральных кубика и выиграет, если выпадет хотя бы одна шестерка. Казалось, что шевалье де Мере выбрал для себя более благоприятные условия, но играя много раз, он больше проигрывал, чем выигрывал. Почему?

Решение. Пусть событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение двух шестерок при подбрасывании двух кубиков, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выпадение хотя бы одной шестерки при подбрасывании четырех кубиков, тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСобытие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыигрыш шевалье де Мере, то есть выпадение двух шестерок (событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) хотя бы один раз в серии из 24 подбрасываний двух кубиков, тогда: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то шевалье де Мере чаще проигрывал, нежели выигрывал. 

Случайная величина и ее математическое ожидание

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. В этой лекции рассмотрим простейший вид случайной величины, а именно, когда случайный опыт имеет бесконечное множество элементарных следствий. Такие случайные величины называют дискретными. Более сложные виды случайных величин рассматривают в высших учебных заведениях.

Случайная величина

Рассмотрим случайный опыт, который состоит в одновременном подбрасывании трех монет. Тогда количество гербов, которые могут при этом выпасть, равно одному из чисел 0; 1; 2 или 3, то есть это количество приобретает некоторое случайное значение.

Случайной величиной называют величину, которая в результате случайного опыта приобретает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Договоримся случайные величины обозначать большими латинскими буквами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задача значения, которые они приобретают, соответственно маленькими буквами Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так, если, например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачколичество гербов, которые появились при подбрасывании трех монет, то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №897

Проводят один опыт, в результате которого событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может произойти с вероятностью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим случайную величину Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачколичество появления события Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв данном опыте. Будем считать, что случайная величина приобретает значение 0, если событие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не произошло, и значение 1, если произошло. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим вероятности, соответствующие этим значениям, соответственно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда очевидно, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по условию), а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Полученные данные удобно подать в виде таблицы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В таком случае говорят, что закон распределения случайной величины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задан в виде таблицы. Отметим, что закон распределения случайной величины можно задавать не только в виде таблицы, а и другим способом, но для случайной величины, которая в данном опыте имеет бесконечное множество значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (их еще называют элементарными значениями), табличный вид является наиболее удобным.

В общем виде таблицу распределений можно записать так:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый ряд таблицы содержит все возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а второй — их вероятности. Такую таблицу называют еще рядом распределения.

Таким образом, для описания случайной величины нужно знать ее возможные значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующие им вероятности Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку опыты, которые рассматривают для случайной величины, имеют бесконечное множество попарно несовместимых элементарных следствий, которые создают полную группу событий, то сумма их вероятностей равна 1, то есть 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим пример.

Пример №898

Закон распределения некоторой случайной величины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задан в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 0,3.

Следовательно, если закон распределения некоторой случайной величины задан таблицей, то можно найти вероятность приобретения случайной величиной определенного значения. Например, тот факт, что случайная величина Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает значение 3 с вероятностью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №899

Закон распределения случайной величины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задан в таблице:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдите: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это вероятность того, что случайная величина Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобрела значение, меньшее, чем 6, то есть значение 2 или 4. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ОтветМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №900

Стрелок стреляет по мишени дважды. Вероятность попадания при каждом выстреле равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Случайная величина Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество попаданий. Запишите закон распределения этой случайной величины.

Решение. Очевидно, что результатом опыта могут быть 0, 1 или 2 попадания.

Следовательно, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем закон распределения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что в задачах, связанных с законом распределения, удостовериться в правильности результатов можно проверкой, что сумма вероятностей равна 1.

Действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математическое ожидание случайной величины

Закон распределения случайной величины полностью ее характеризует, но для решения некоторых практических задач достаточно знать только некоторые числовые параметры, характеризующие существенные свойства закона распределения. Их принято называть числовыми характеристиками случайной величины. В школьном курсе математики рассматривают только одну из основных числовых характеристик, а именно математическое ожидание. Другие числовые характеристики случайной величины рассматривают в высших учебных заведениях.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называют число, которое равно сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание случайной величины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачбудем обозначать Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, если имеем ряд распределения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так, в примере 1 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задача в примере 4 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятное содержание математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением, которое может приобретать случайная величина.

Пример №901

В ящике лежат 5 белых шариков и 3 черных. Из ящика наугад вынимают 3 шарика. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество белых шариков среди вытащенных.

Найти:

1) закон распределения случайной величины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили ряд распределения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения, неравенства и их системы

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Методы решения уравнений с одной переменной

Вспомним основные методы решения уравнений с одной переменной.

Равносильные превращения

Одним из самых распространенных методов решения уравнений является метод равносильных превращений. Рассмотрим два подхода этого метода.

Первый состоит в том, что в начале решения уравнения находим область допустимых значений переменной в уравнении (ОДЗ). Как правило, это определенная система условий (уравнений или неравенств) для переменной, то есть определенные ограничения для ее значений. Далее решаем уравнение в зависимости от его типа или вида известным нам для этого вида уравнений способом, а полученные корни проверяем на принадлежность ОДЗ. Следует отметить, что систему условий, которой мы задавали ОДЗ, особенно тогда, когда нахождения значений переменной из таких условий является достаточно громоздким, необязательно решать. Достаточно только удостовериться, что полученные корни удовлетворяют эту систему условий.

Второй подход состоит в том, что начальное уравнение заменяют определенной системой условий (уравнений, неравенств и т. п.), одно из которых является уравнением–следствием (или совокупностью уравнений–следствий) начального уравнения, а все другие условия ОДЗ – переменной этого уравнения. То есть суть этого подхода состоит в замене начального уравнения равносильной ему системой условий (уравнений, неравенств и т. п.). Решения такой системы и будут корнями начального уравнения.

Рассмотрим оба подхода на примерах.

Пример №902

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На ОДЗ уравнение равносильно уравнению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем второй корень не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единственный корень начального уравнения.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №903

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Перепишем уравнение в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччтобы обе его части стали неотрицательными. Метод решения этого уравнения состоит в возведении в квадрат левой и правой его частей, которые являются неотрицательными числами при всех допустимых значениях переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы обеспечить равносильность такого превращения, заменим полученное уравнение равносильной ему системой условий, что учитывает ОДЗ переменной в уравнении. Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв свою очередь, равносильно системе 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому имеем систему: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку оба корня уравнения удовлетворяют условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то числа 1 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются корнями начального уравнения.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод разложения на множители

Пусть имеем уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач левую часть которого можно разложить на множители, то есть свести к виду: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку произведение нескольких множителей равно нулю, если равен нулю хотя бы один из множителей, то далее решаем каждое из уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проверяем, принадлежат ли полученные корни этих уравнений области допустимых значений переменной начального уравнения.

Пример №904

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введение новой переменной

Введение новой переменной в уравнение, иначе говоря, замена переменной, — один из самых употребляемых подходов к решению уравнений. Это обусловлено тем, что этот метод можно удачно применять к широкому классу уравнений из абсолютно разных разделов математики. Его применяют и для рациональных уравнений высших степеней, где введение новой переменной дает возможность понизить степень уравнения и свести его к уравнению, которое является квадратным или может быть сведено к квадратному. Замену переменной используют также для решения тригонометрических,  иррациональных и трансцендентных (показательных, логарифмических и т. п.) уравнений. Введение новой переменной помогает свести эти уравнения к рациональным уравнениям, а потом и к простейшим, в сравнении с начальными, тригонометрическим, иррациональным или трансцендентным (или их совокупностей). 

Вспомним, как применяют этот метод, на примерах.

Пример №905

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Если раскрыть скобки, то получим рациональное уравнение четвертой степени.

Возведем второе слагаемое левой части уравнения в квадрат, получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понизим степень уравнения введением новой переменной.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возвращаемся к замене:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачзначит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №906

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем логарифмическое уравнение, ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая ОДЗ, упростим каждое из слагаемых левой части уравнения:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда получим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем новую переменную, чтобы свести это уравнение к квадратному.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не удовлетворяет условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаемся к замене: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение свойств функций

Иногда уравнения целесообразно решать, применяя свойства функций, являющихся левой и правой частями уравнения, или уравнение, к которому можно привести равносильными превращениями.

Рассмотрим примеры уравнений и случаи, когда целесообразно применять свойства функций. 

Допустим, что ОДЗ переменной в уравнении является пустым множеством. Тогда, учитывая, что корни уравнения должны принадлежать ОДЗ, приходим к выводу, что 

  • если ОДЗ переменной в уравнении является пустым множеством, то уравнение корней не имеет.

Пример №907

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ переменной в уравнении найдем из системы 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что система не имеет решений, следовательно, ОДЗ переменной в уравнении является пустым множеством (не имеет ни одного числа), потому уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней не имеет.

Допустим, что ОДЗ переменной в уравнении является бесконечным множеством, то есть ОДЗ содержит всего несколько чисел. Тогда

  • чтобы найти корни уравнения, достаточно в уравнение вместо переменной подставить числа из ОДЗ и выбрать из них те, которые превратят уравнение в правильное числовое неравенство.

Пример №908

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ найдем из системы неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачоткуда имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, ОДЗ содержит всего два числа. Проверим, являются ли они корнями уравнения.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 1 не является корнем уравнения.

Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корень уравнения.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим, как решать уравнения вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью оценивания левой и правой частей уравнения. 

Если в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ОДЗ имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторое число), то уравнение не имеет корней.

Пример №909

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Если в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ОДЗ, то уравнение равносильно системе уравнений 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №910

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачОценим левую часть уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Оценим правую часть уравнения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому начальное уравнение равносильно системе уравнений 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачоткуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ. 0.

Теперь вспомним, как решить уравнение с помощью монотонности его левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач например, при условии, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастающая на некотором промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция, а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывающая на этом промежутке функция (или является постоянной) (рис. 22.1—22.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 22.1                                       Рис. 22.2                             Рис. 22.3

Тогда уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет единственное решение (рис. 22.1 и 22.3) или не имеет решений вообще (рис. 22.2). Аналогично решаем уравнение и в случае, когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или является устойчивой. Следовательно, 

если в уравнении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одна из функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на некотором промежутке, а другая — убывает на этом промежутке или одна из функций является монотонной, а другая — постоянной, то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет не больше одного корня на этом промежутке.

Часто корнем такого уравнения является целое число, которое можно найти подбором.

Пример №911

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (самостоятельно схематически начертите график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы удостовериться в этом). Поэтому уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет не более одного корня. Легко удостовериться, что число 1 — корень уравнения, потому что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому других корней нет.

Ответ. 1.

Пример №912

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Очевидно, что число 2 является корнем уравнения (действительно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Остается выяснить, имеет ли это уравнение другие корни.

Поделим левую и правую части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывающая на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как сумма двух убывающих функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является постоянной. Поэтому прямая Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут пересечься на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не более, чем в одной точке, а потому начальное уравнение может иметь не более одного корня. Следовательно, 2 — единственный корень начального уравнения.

Ответ. 2.

Уравнения, содержащие знак модуля

Сначала рассмотрим простейшие уравнения, содержащие знак модуля. Простейшим будем считать уравнение, которое по определению модуля легко заменить равносильным ему уравнением (или совокупностью уравнений), не содержащим знаков модуля.

Как решить уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач напомним с помощью схемы.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №913

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение равносильно совокупности уравнений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем совокупность двух квадратных уравнений: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Корнями первого из них являются числа 1 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задача второго — числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также является простейшим. Очевидно, что равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо для каждого из случаев Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно совокупности уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №914

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтакже можно считать простейшим. Поскольку левая часть уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является неотрицательной, то и правая часть должна быть неотрицательной, то есть, чтобы уравнение имело решения, должно выполняться условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по этому условию Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно системе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №915

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 5.

Теперь рассмотрим более сложные уравнения. Это, как правило, уравнения, содержащие сумму нескольких слагаемых, при этом все или некоторые из них содержатся под знаком модуля. Например, уравнение вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. п.

Чтобы решить такое уравнение, нужно заменить его равносильным, не содержащим знаков модуля. Освободиться от знаков модуля в таких уравнениях можно по алгоритму, который еще называют методом интервалов для раскрытия модуля. Такое название связано с тем, что раскрывают знак модуля на промежутках знакопостоянства функций, содержащихся под знаком модуля.

Следовательно, упомянутые уравнения можно решать по такому алгоритму, которые включает и метод интервалов для раскрытия модуля.

  1. Найти ОДЗ переменной в уравнении.
  2. Найти нули каждой из функций, которая содержится под знаком модуля (иначе говоря, нули подмодульных выражений).
  3. Обозначить нули подмодульных выражений на ОДЗ, тем самым поделив ОДЗ на промежутки знакопостоянства каждой из подмодульных функций.
  4. На каждом из промежутков раскрыть знаки модуля и получить уравнение–следствие начального уравнения. Решить каждое из полученных уравнений. Корни, которые не будут принадлежать промежутку, на котором рассматриваем уравнение, исключаем, так как для начального уравнения они являются посторонними.
  5. Записываем ответ.

Как решить уравнение по этому алгоритму, рассмотрим на примере.

Пример №916

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Найдем нули подмодульных выражений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нули подмодульных выражений.

3) Обозначим точками числа 1 и 3 на числовой оси, получим три промежутка: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 22.4).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 22.4

4) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому не является корнем начального уравнения.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем уравнение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то является корнем начального уравнения.

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем уравнение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то является корнем начального уравнения.

Следовательно, уравнение имеет два корня: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение текстовых и прикладных задач с помощью уравнений

Ранее мы уже рассматривали уравнения как математические модели текстовых и прикладных задач. Например, мы рассматривали задачи, математическими моделями которых в 7 классе были линейные уравнения или их системы, в 8 классе — квадратные уравнения или те, которые сводятся к ним, в 9 классе — системы уравнений с двумя переменными.

Вспомним алгоритм математического моделирования задачи с помощью уравнения:

  1. обозначить переменной одну из неизвестных величин;
  2. другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную;
  3. по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;
  4. решить полученное уравнение;
  5. проанализировать решения уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значение других неизвестных величин;
  6. записать ответ к задаче.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №917

На свой день рождения сестры—близняшки Наталья и Елена получили 127 поздравительных Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсообщений, причем Наталья получила на 13 сообщений больше, чем Елена. По сколько Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачсообщений на свой день рождения получила каждая из сестричек?

Решение. Пусть Елена получила Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сообщений, тогда Наталья Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач А обе вместе Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сообщений, что по условию равно 127. Имеем уравнение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Елена получила 57 сообщений. 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(сообщ.) — получила Наталья.

Ответ. 57 сообщений; 70 сообщений.

Пример №918

Из Кропивницкого в Каменец—Подольский, расстояние между которыми 560 км, выехали одновременно легковой автомобиль и грузовой. Скорость легкового была на 10 км/ч больше скорости грузовика, поэтому он прибыл к пункту назначения на 1 час раньше грузовика. Найдите скорость грузовика и скорость легкового автомобиля.

Решение. Пусть скорость грузовика Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, систематизируем условие задачи в виде таблицы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку значение величины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на 1 ч меньше значения величины Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 то имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Корней у него два: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не соответствует смыслу задачи, поэтому решением задачи является только Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачследовательно, скорость грузовика 70 км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (км/ч).

Ответ. 70 км/ч. 80 км/ч.

Пример №919

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить определенную работу за 8 часов. За сколько часов может выполнить эту работу каждый из них самостоятельно, если мастеру на это нужно на 12 часов меньше, чем его ученику?

Решение. Пусть мастеру, чтобы выполнить определенную работу самостоятельно, нужно Математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччасов, тогда ученику Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часов. Когда объем работы в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что продуктивность труда — это объем работы, который может быть выполнен за единицу времени. Тогда за один час мастер выполнит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часть работы, а его ученик Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часть, это и есть их продуктивность труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 часов, поэтому мастер выполнил Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач часть работы, а его ученик Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая, что они выполнили весь объем работы, имеем

уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корнями которого являются числа: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второй корень не соответствует смыслу задачи, поскольку является отрицательным. Следовательно, мастер, работая отдельно, может выполнить работу за 12 часов, а его ученик — за Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (часов).

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 12 ч. 24 часа.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в таблицу, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

Методы решения неравенств с одной переменной 

Вспомним основные методы решения неравенств с одной переменной.

Равносильные превращения неравенств и систем неравенств

Как и для решения уравнений, для неравенств часто используют метод равносильных превращений.

Пример №920

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Перепишем неравенство в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили квадратное неравенство. Корнями квадратного трехчлена  Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Схематически изобразим график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являющейся параболой, ветви которой направлены вверх (рис. 23.1).

Следовательно, имеем решения неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.1

Пример №921

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Превратим левую часть неравенства:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неравенство приобретет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим (рис. 23.2):

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.2

Метод равносильных превращений используют и для решения систем неравенств с одной переменной.

Напомним, чтобы решить систему неравенств с одной переменной, нужно придерживаться такого алгоритма:

  1. решить каждое из неравенств системы;
  2. изобразить множество решений каждого из неравенств на координатной прямой;
  3. найти пересечение этих множеств, которое и будет множеством решений системы;
  4. записать ответ.

Пример №922

Решить систему неравенств:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Постепенно заменяя каждое из неравенств ему равносильным, более простым, имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим на координатной прямой множество чисел, которые удовлетворяют неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи множество чисел, которые удовлетворяют неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 23.3). Множеством решений системы является пересчение этих множеств, то есть промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.3

Пример №923

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ переменной в неравенстве найдем из системы

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая ОДЗ, возведем в квадрат неотрицательные левую и правую части неравенства. Следовательно, начальное неравенство равносильно системе:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив второе неравенство, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая ОДЗ, имеем решения начального неравенства: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 23.4).

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.4

Замена переменных в неравенствах

Метод введения новой переменной используют и для решения неравенств.

Пример №924

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим его, заменив полученное неравенство равносильной ему совокупностью систем неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то возвращаемся к замене только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод интервалов

Для решения неравенств часто используют метод интервалов. Его считают универсальным для решения неравенств, поскольку этим методом можно решить любое неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция непрерывная или такая, что имеет конечное число точек разрыва.

Напомним алгоритм решения неравенств методом интервала.

Чтобы решить неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно:

  1. Найти область определения функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначить ее на числовой оси.
  2. Найти нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, решив уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначить их на области определения функции (для строгого неравенства "пустыми" точками).
  3. Определить знак функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из полученных промежутков (интервалов знакопостоянства), например, по значению Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любое число, принадлежащее промежутку.
  4. Записать ответ.

Обратите внимание, что число Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из интервала знакопостоянства, с помощью которого устанавливаем знак функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом интервале, мы еще называли "контрольной" точкой.

Пример №925

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Найдем нули функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторое равносильно совокупности уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которого получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нули функции. Обозначим их на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Находим знаки функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждом из полученных промежутков (рис. 23.5).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.5

4) Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение свойств функций

Во время решения неравенств можно также использовать свойства функций: область значений, монотонность, непрерывность и т. п.

Пример №926

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задача Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство может выполняться только при одновременном выполнении условий: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть начальное неравенство равносильно системе уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Среди решений второго уравнения есть число 2, которое удовлетворяет и первое уравнение системы. Следовательно, 2 — единственное решение неравенства.

Ответ. 2.

Пример №927

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На ОДЗ функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвозрастает, а функция Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает. Поэтому графики этих функций имеют не более, чем одну точку пересечения (рис. 23.6). 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.6

Очевидно, что число 4 является решением уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что является абсциссой точки пересечения графиков функций Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит ниже графика функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая, что знак неравенства нестрогий, окончательно получим его решение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неравенства, содержащие знак модуля

Сначала рассмотрим простейшие неравенства, содержащие знак модуля.

Рассмотрим неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число.

Начнем с неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, очевидно, решением неравенства является любое число, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то обозначим на числовой оси числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкорни уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Они разбивают числовую ось на три интервала знакопостоянства функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 23.7).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.7

Взяв по "контрольной точке" из каждого интервала, легко удостовериться, что неравенства будут удовлетворять только значения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обобщая результат, получим:

  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то множеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются все числа из ОДЗ переменной выражения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство равносильно совокупности неравенств

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Размышляя аналогично, решают неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №928

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Неравенство равносильно совокупности неравенств Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим неравенство вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начнем с неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, очевидно, решений нет, поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то размышляя, как при решении неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 23.8), получим, что решениями неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются те значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.8

Обобщая, получим: 

  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решений не имеет;
  • если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неравенство равносильно неравенству Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Размышляя аналогично, решают неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №929

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что когда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является линейной функцией, для решения двойного неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целесообразно перейти к равносильной ему системе неравенств

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для решения более сложных неравенств, содержащих знак модуля, применяют тот же подход, что и для решения уравнений, содержащих несколько знаков модулей, то есть раскрывают модули на интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули, получаем неравенство–следствие начального, решаем его и отбираем только те его решения, которые принадлежат промежутку, на котором получено это неравенство–следствие. Объединение всех полученных на промежутках решений и будет решением первоначального неравенства. 

Рассмотрим на примере, как решить такое неравенство и оформить запись его решения.

Пример №930

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Найдем нули подмодульных выражений:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нули подмодульных выражений.

3) Обозначим полученные нули на числовой оси (рис. 23.9) и получим три промежутка: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23.9

4) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем систему неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, на промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На промежутке Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем систему:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что решение можно было оформить короче, записав и решив равносильную начальной совокупность трех систем неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятно, что количество систем в совокупности не может превышать количество полученных для раскрытия модулей интервалов.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Также для решения неравенств используют и другие методы или комбинации нескольких методов.

Системы уравнений и методы их решения

Вспомним основные подходы к решению систем уравнений.

Способ подстановки

Допустим, имеем систему двух уравнений с двумя переменными, одно из уравнений которой является линейным. В таком случае систему целесообразно решать способом подстановки. Напомним последовательность действий для решения этого способа:

  1. из линейного уравнения системы выразить одну переменную через другую;
  2. подставить полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение;
  3. решить полученное уравнение с одной переменной;
  4. найти соответствующее ему значение второй переменной.

Пример №931

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Из первого уравнения имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во второе уравнение, получим уравнение с переменной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть квадратное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корнями которого являются числа 3 и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ сложения

Этот способ применяют, если в результате почленного сложения левых и правых частей уравнений системы получаем уравнение с одной переменной.

Пример №932

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Умножим левую и правую части второго уравнения на –2; система приобретет вид: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений. Получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корнем которого будет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим полученное значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв первое уравнение начальной системы: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, решениями системы являются пары чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда в результате почленного сложения уравнений системы во время решения систем можно получить известные формулы, которые упростят процесс решения.

Пример №933

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Складывая почленно уравнения системы, получим:Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, по формуле сложения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если первое уравнение системы умножить на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом добавить ко второму, то получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, по формуле сложения: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили систему двух линейных уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложив их почленно, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отняв от второго уравнения системы первое, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равносильные превращения и использование уравнений–следствий

Во время использования уравнений–следствий не следует забывать о возможном появлении посторонних корней. Поэтому из множества полученных корней нужно исключить посторонние, выполнив проверку полученных корней.

Пример №934

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Запишем второе уравнение системы в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и возведем его левую и правую части в квадрат. Получим:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая из первого уравнения, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, систему можно переписать в виде:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим ее: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что пары чисел Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются решениями полученной системы. Проверкой убеждаемся, что они удовлетворяют начальную систему.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введение новой переменной

Этот метод также часто используют для решения систем уравнений.

Пример №935

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем систему уравнений с переменными Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из первого уравнения получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставим полученное выражение вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во второе уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем квадратное уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим только для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возвращаемся к замене:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение свойств функций 

Иногда для решения систем уравнений, как и для уравнений, применяют свойства функций, аналитические выражения которых содержат уравнения системы.

Пример №936

Решить систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. ОДЗ: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с ОДЗ справедливы неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то знак равенства в обоих неравенствах достигается только при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единственное решение системы.

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система двух уравнений с двумя переменными как математическая модель текстовых и прикладных задач

Напомним ориентировочный алгоритм решения текстовых задач с помощью системы двух уравнений с двумя переменными:

  1. обозначить некоторые две неизвестные величины переменными (например, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);
  2. по условию задачи составить систему уравнений (математическую модель задачи);
  3. решить полученную систему;
  4. проанализировать найденные значения переменных на соответствие условию и смыслу задачи, дать ответ на вопрос задачи;
  5. записать ответ.

Пример №937

За 2 часа против течения и за 5 часов по течению моторная лодка преодолевает 120 км. За 2 часа по течению и за 1 час против течения эта же лодка преодолевает 51 км. Найти собственную скорость лодки и скорость течения.

Решение. Пусть собственная скорость лодки Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, а скорость течения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкм/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч, а против течения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч. За 5 часов по течению лодка преодолевает Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км, а за 2 часа против течения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км, а вместе — 120 км. Имеем первое уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачРазмышляя аналогично, составим второе уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решив которую, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, собственная скорость лодки — 16,5 км/ч, а скорость течения — 1,5 км/ч.

Ответ. 16, 5 км/ч; 1,5 км/ч.

Пример №938

Площадь земельного участка прямоугольной формы равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если длину этого участка уменьшить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то площадь участка станет Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти длину ограждения этого земельного участка.

Решение. Пусть длина данного участка равна Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач м, а ширина Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач м. Занесем условие задачи в таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи имеем систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскрыв скобки во втором уравнении, перепишем систему в виде: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то во второе уравнение вместо Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим 60 и выразим переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через переменную Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач далее решим систему способом подстановки: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первого уравнения имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число –3 не соответствует содержанию задачи, поскольку длина участка не может быть отрицательной. Следовательно, длина участка 10 м, тогда ширина: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем длину ограждения как периметр соответствующего прямоугольника: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 32 м.

Пример №939

Из пункта Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вышел пешеход. Через 50 мин. после него оттуда же в том же направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 6 км от пункта Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти скорости пешехода и велосипедиста, если велосипедист за 1 ч преодолевает на 1 км больше, чем пешеход за 2 ч.

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч — скорость пешехода, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км/ч — велосипедиста. Оба до встречи преодолели расстояние длиной 6 км. Занесем условие задачи в таблицу:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку пешеход пребывал в пути на 50 мин. дольше, чем велосипедист, а 50 мин. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ч, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку велосипедист за 1 ч преодолевает Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км и это на 1 км больше, чем пешеход за 2 ч, то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач км, имеем еще одно уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили систему уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив ее (сделайте это самостоятельно) и учтя, что по смыслу задачи Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 4 км/ч; 9 км/ч.

Задачи с параметрами

В предыдущих классах мы уже рассматривали задачи с параметрами, в основном это были уравнения, неравенства и системы уравнений.

Напомним, что обычно в уравнениях, неравенствах или их системах буквами обозначают переменные, но иногда в условии может попасться буква, которой обозначено неизвестное постоянное число, то есть параметр.

В таком случае мы имеем уже не одну задачу, а много задач, которые получаем для разных значений параметра. При этом задача при некоторых значениях параметра может не иметь решений, при некоторых значениях параметра иметь единственное решение, а при некоторых — множество решений и т. п.

Напомним также, что все задачи с параметром можно условно поделить на два типа, в зависимости от условия, выдвигаемого в задаче. Если нужно решить уравнение (неравенство, систему уравнений и т. д.), как правило, для каждого допустимого значения параметра, то это один тип задач. А если нужно найти значение параметра, при котором уравнение (неравенство, система уравнений и т. д.) удовлетворяет определенное условие, чаще это требование касательно количества или числовых значений его решений, то это второй тип задач с параметрами.

Отметим, что важным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. В задачах первого типа все найденные значения параметра и соответствующие им решения записывают в ответе к задаче обычно в виде "Если..., то...". Отсутствие в ответе хотя бы одного значения параметра из его области допустимых значений будет означать, что некоторые случаи существования решений не рассмотрены.

Рассмотрим несколько примеров таких задач с параметром, обозначив параметр буквой Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простейшие задачи с параметром

Пример №940

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Для решения задачи достаточно рассмотреть два случая:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое не имеет корней.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то корней нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №941

Найти все значения параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для каждого из которых числа Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые удовлетворяют систему уравнений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют также и неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Решая систему способом сложения, имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Искомые значения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны удовлетворять условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №942

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим такие случаи:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, поделив левую и правую части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учтя еще раз, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неравенство не имеет решений;

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда, поделив левую и правую части уравнения на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи изменив знак неравенства на противоположный, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то полученное неравенство удовлетворяет любое значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство не имеет решений; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любое число.

Параметр в задачах, связанных с корнями квадратного уравнения

Довольно часто рассматривают задачи с параметром, которые связаны с корнями квадратного уравнения или квадратного трехчлена. В первую очередь, это задачи, связанные с размещением корней квадратного уравнения относительно некоторого числа или некоторых чисел. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то можно найти корни по формуле, а потом сравнить их с заданным числом или заданными числами. Если же дискриминант квадратного уравнения не является полным квадратом, то предложенный путь в большинстве случаев является довольно громоздким. В таком случае рассматривают геометрическую интерпретацию. 

Пример №943

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оба корня квадратного трехчлена Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Имеем дискриминант квадратного трехчлена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что уравнение имеет два разных корня при любом значении Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Запишем для полученных корней требование задачи:

 Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №944

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворят условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение становится линейным: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корнем его является число 0,5, удовлетворяющее требование задачи. Следовательно, значение параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением задачи.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем квадратное уравнение. Его дискриминант Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является полным квадратом, следовательно, в отличие от ранее рассмотренного примера, корни уравнения будут иррациональными, а значит решать задачу тем же способом, который мы использовали ранее, нецелесообразно.

В этой задаче воспользуемся графической интерпретацией — размещением графика квадратичной функции на координатной плоскости и ее свойствами, в частности, направлением ветвей параболы и тем, что нулями функции (абсциссами точек пересечения с осью Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) являются корни соответствующего квадратного уравнения.

Обозначим Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разместим параболу Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в координатной плоскости так, чтобы ее нули, то есть корни Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующего квадратного уравнения, принадлежали промежутку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть удовлетворяли условие Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку размещение оси ординат в таких задачах не влияет на решение, ось Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на рисунке изображать не будем. Таких размещений для нашей параболы всего два: если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ветви направлены вверх (рис. 25.1), а если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вниз (рис. 25.2).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25.1                                               Рис. 25.2

Каждое из этих размещений можно задать системой условий, где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсцисса вершины параболы:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 25.1)   или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (рис. 25.2)

Каждая из этих систем содержит необходимые и достаточные условия для размещения параболы именно так, как изображено на рисунках 25.1 и 25.2.

Эти две системы можно объединить в одну: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая ее, получим систему рациональных неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив каждое неравенство этой системы (сделайте это самостоятельно), и найдя пересечение полученных решений, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В примере 5 мы рассмотрели задачу о размещении корней квадратного трехчлена относительно данного промежутка. В похожих на эту задачах может ставиться требование и к размещению корней относительно данного числа.

Все возможные размещения корней относительно некоторого числа и необходимые и достаточные условия для этого систематизированы в таблице.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образов в таблице можно систематизировать условия для размещения корней квадратного трехчлена относительно данного промежутка.

Некоторые задачи с параметрами, которые связаны с корнями квадратного трехчлена, можно решить по теореме Виета. 

Пример №945

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач множеством решений неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток длиной 5?

Решение. Множество решений данного неравенства будет отрезком только тогда, когда квадратный трехчлен Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два разных корня. Найдем дискриминант соответствующего квадратного трехчлена: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то трехчлен имеет два разных корня Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а решением неравенства является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 25.3).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25.3

Тогда для выполнения требования задачи нужно, чтобы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Виета: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение задач с параметрами аналитическими методами

Рассмотрим примеры задач с параметрами, которые можно решать аналитическими методами.

Пример №946

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Рассмотрим отдельно каждый из двух случаев: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое не имеет корней.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразуем левую часть уравнения и приведем его к простейшему тригонометрическому уравнению:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то полученное уравнение имеет корни, если 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим ее: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этих значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем корни: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для других значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение корней не имеет.

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то корней нет; если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 то Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №947

Решить уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем уравнение:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, возвращаясь к замене, получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда:

1) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней не имеет, а для уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем корень: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ни одно из уравнений корней не имеет;

3) если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то каждое из уравнений имеет корень. Для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то корней нет; если 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №948

Решить неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  для всех Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит неравенство выполняется для Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому любое значение Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является его решением.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство перепишем в виде Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для системы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1-й случай: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 25.4).

2-й случай: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 25.5).

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25.4                                                            Рис. 25.5

Для системы Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поделим обе части последнего неравенства системы на Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы эта система имела решения, должно вполняться условие: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 25.6), то есть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25.6

Ответ. Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если 

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №949

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач система

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет решения?

Решение. ОДЗ параметра: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из системы имеем: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложив уравнения почленно, получим: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задача отняв почленно, будем иметь Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в результате равносильных превращений получили систему

уравнений: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая множество значений косинуса, система будет иметь решения только в случае одновременного выполнения условий: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, для значений Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (с учетом ОДЗ параметра) имеем:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда получим, что Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графические приемы решения задач с параметрами

Некоторые задачи с параметрами целесообразно решать, используя графические образы уравнений вида Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параметр, или Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим это на примерах.

Пример №950

При каких значениях параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решением неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является отрезок длиной Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отдельно рассмотрим каждый из случаев Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решением которого является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длина которого больше Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, при Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач требование задачи не выполняется.

2) Если Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решим неравенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графически. График функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это полукруг радиуса 3 с центром в начале координат, а график функции Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это прямая, проходящая через начало координат и лежащая во Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатных четвертях. Графики изображены на рисунке 25.7, откуда имеем, что решением неравенства Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является промежуток Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсцисса точки пересечения графиков, то есть корень уравнения Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда должно выполняться равенство Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25.7

Теперь, зная корень уравнения, подставим его в уравнение, чтобы найти соответствующее ему значение параметра: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №951

Для каких значений параметра Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач система уравнений

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеет ровно два решения?

Решение. Перепишем систему, выделив предварительно полные квадраты в левой части каждого из уравнений, в виде:

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда первое уравнение системы является уравнением окружности с центром Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса 2.

Второе уравнение системы тоже является уравнением окружности с центром Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса 1.

Следовательно, задачу целесообразно решать графически.

Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25.8

Чтобы система имела два решения, нужно, чтобы расстояние Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между центрами окружностей удовлетворяло неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиусы окружностей. 

Поскольку Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем неравенство: Математика - примеры с решением заданий и выполнением задачзначит Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Лекции по предметам:

  1. Алгебра
  2. Линейная алгебра
  3. Векторная алгебра
  4. Геометрия
  5. Аналитическая геометрия
  6. Высшая математика
  7. Дискретная математика
  8. Математический анализ
  9. Теория вероятностей
  10. Математическая статистика
  11. Математическая логика