Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Я подготовила на данной странице все темы по математике и получился полный курс лекций по предмету «Математика», который объединяет примеры решения задач, теоремы, доказательства и вычисления нескольких отраслей математической науки. В курсе лекций по предмету «Математика», значительное внимание уделено преобразованию выражений, решению уравнений, неравенств и их систем и изучению свойств функций. С решением задач, связанных с многочленами, рациональными дробями, степенями и корнями, будут рассмотрены новые виды функций: тригонометрические, показательные и логарифмические и соответствующие уравнения и неравенства.

Содержание:

Натуральные числа и действия с ними. Геометрические фигуры и величины

Много тысяч лет назад перед людьми уже возникала потребность считать членов семьи, скот, добычу на охоте, рыбу и тому подобное. Умение считать и вычислять нужны и сейчас.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., которые используют во время счета предметов, называют натуральными числами. Натуральные числа используют также для определения порядка размещения предметов.

Числа, которые мы используем для счета предметов, отвечают на вопрос: сколько? (один, два, три...).

Числа, которые мы используем для определения порядка размещения предметов, отвечают на вопрос: который? (первый, второй, третий...).

Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись называют десятичной.

Все натуральные числа, записанные так, что за каждым числом идет следующее: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., образуют натуральный ряд чисел.

Если натуральное число записано одной цифрой, то его называют однозначным, двумя цифрами — двузначным и тому подобное.

Натуральный ряд чисел обладает следующими свойствами:

1. имеет наименьшее число — 1;
2. каждое последующее число больше предыдущего на 1;
3. не имеет наибольшего числа. Какое бы большое число мы не назвали, добавив к нему 1, получим еще большее число.

Чтобы легче было читать натуральные числа, их разбивают на группы справа налево, по три цифры в каждой группе. Самая первая группа слева может состоять из одной, двух или трех цифр. Например 57 403.

Каждая группа образует классы: единицы, тысячи, миллионы и т. д. Каждый класс имеет три разряда: единицы, десятки, сотни.

Если в числе отсутствует какой—то разряд, то в записи числа на его месте стоит цифра 0. Эта цифра служит также для записи числа "ноль". Это число означает "ни одного". Если счет футбольного матча 2 : 0, то это означает, что вторая команда не забила ни одного мяча в ворота первой. Ноль не является натуральным числом.

Миллион — это тысяча тысяч, его записывают так: 1 000 000. Миллиард — это тысяча миллионов, его записывают так: 1 000 000 000.
В таблице записаны числа 17 427 003 813, 132 518 000 237 и 215 305 289.

Пример 1. Запиши цифрами число 37 миллионов 142 тысячи 15.
Ответ: 37 142 015.

Пример 2. Запиши цифрами число тринадцать миллионов две тысячи.
Ответ: 13 002 000.

В младших классах уже подавали числа, меньше миллиона, в виде суммы разрядных слагаемых. Таким же образом можно подать любое натуральное число. К примеру, 7 213 049 = 7 000  000 + 200 000 + 10 000 + 3000 + 40 + 9.
Числа 7 000 000, 200 000, 10 000, 3000, 40, 9 в этом примере являются разрядными слагаемыми.
Рассмотренное число можно представить еще и так:

Кроме разрядных единиц 1, 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000, рассмотренных ранее, также имеем 1 000 000, 10 000 000, 100 000 000 и т. д.

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется и в настоящее время под названием римская нумерация. Мы используем ее для нумерации разделов книги, циферблата на часах, для обозначения веков и тому подобное.
Римские числа имеют следующий вид:

Натуральные числа (до 5000) записывают с помощью повторения этих цифр. При этом если меньшая цифра стоит после большей, то число является суммой соответствующих цифр: LX = 60, XVIII = 18; если меньшая цифра стоит перед большей, то число — это разница соответствующих цифр: XC = 90, VC = 95.

Сравнения натуральных чисел 

Одно из двух разных натуральных чисел всегда больше или меньше другого. Это означает, что натуральные числа можно сравнивать.

Число 5392 больше, чем число 837, потому что 5392 — четырехзначное число, а 837 — трехзначное.

Числа 5392 и 4542 — четырехзначные, но 5392 больше, чем 4542, так как тысяч в первом числе больше, чем во втором.

Число 5392 больше, чем число 5237, потому что хоть тысяч в обоих числах поровну, но сотен в первом числе больше, чем во втором.

Результат сравнения записывают в виде неравенства, используя знаки ">" (больше) или «<» (меньше).

Например: 1) 6 > 2 (читаем: «шесть больше двух»); 2) 3 < 7 (читаем: «три меньше семи»).

Запись 5 < 7 < 9 означает, что число 5 меньше числа 7, а число 7 меньше числа 9. Запись 5 < 7 < 9 называют двойным неравенством.

Можно сказать и иначе: число 7 больше 5, но меньше 9.

При сравнении многозначных натуральных чисел используют следующие правила.

Если два натуральных числа имеют разное количество знаков (цифр),  больше будет то, у которого больше знаков.

Например: 2735 > 982; 10271 < 100271.

Если два натуральных числа имеют одинаковое количество знаков, то большим числом является то, которое имеет больше единиц в высшем разряде. Если количество единиц в этом разряде одинаково, то сравнивают число единиц в следующем ниже разряде и т. д.

Например: 
7592 < 8012; 7512 > 7437; 10519 < 10521.

Сравнивать можно не только отдельные числа, но и значения числовых выражений. Сравним, например, произведение 25 • 3 и сумму 32 + 41. Значение произведения равно 75, а значение суммы составляет 73. Поскольку 75 > 73, то

25 • 3 > 32 + 41.

Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Из начальных классов известно, как складывать небольшие натуральные числа.

Рассмотрим задачу.

Задача №1

В 5-А классе 27 учеников, а в 5-Б — 29 учеников. Сколько учеников в двух классах?

Решение. 27 + 29 = 56.

Эта задача решается с помощью действия сложения. Складывать можно любые числа. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а число, полученное в результате сложения этих чисел, — суммой. В буквенном виде: если a и b — слагаемые, а с — сумма, то

Сложение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. а + b = b + а при любых значениях а и b.

Это свойство сложения называют переместительным свойством сложения:

От перестановки слагаемых сумма не меняется

2. (а + b) + с = а + (b + с) при любых значениях а, b и с. Это свойство называют сочетательным свойством сложения:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Разложение чисел на разряды применяют при сложении многозначных чисел.

Сложим числа 345 и 623. Для этого каждое слагаемое разложим на разряды:

345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3).

Применив сочетательное и переместительное свойства сложения, получим:

345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3) = (300 + 600) + (40 + 20) + (5 + 3) = 900 + 60 + 8 = 968.

Этим объясняется сложение натуральных чисел «столбиком»:

Из свойств сложения следует, что сложение нескольких чисел можно выполнять в любой последовательности. Слагаемые группируют так, чтобы вычисление было удобным.

Пример: 27 + 56 + 72 + 73 + 14 = (27 + 73) +  (56 + 14) + 72 = 100 + 70 + 72 = 242.

Сумма двух натуральных чисел всегда больше, чем каждое из слагаемых:

Если хоть одно из слагаемых равно нулю, то их сумма равна второму слагаемому: 

Вычитание натуральных чисел

Рассмотрим задачу.

Задача №2

Пешеход за два часа прошел 7 км. Сколько километров он прошел за второй час, если за первый преодолел 4 км?

В этой задаче число 7 является суммой числа 4 и неизвестного числа: 4 + х = 7.

Действие, с помощью которого по известной сумме и одному из слагаемых находят второе слагаемое, называют вычитанием.

Поскольку , то искомое слагаемое равно 7 — 4. Записывают так: 7 — 4 = 3. Следовательно, за второй часа пешеход прошел 3 км.

Число, от которого отнимают, называют уменьшаемым, а число, которое отнимают, — вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

Итак:

Сложение и вычитание — взаимно обратные действия. Поэтому вычитание всегда можно проверить сложением. 7 — 4 = 3. Проверка: 3 + 4 = 7.

Поскольку а + 0 = а, то а — 0 = а и а — а = 0.

Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго (или второе число меньше первого).

Вычтем из числа 987 число 325. Для этого уменьшаемое и вычитаемое разложим на разряды:

987 — 325 = (900 + 80 + 7) — (300 + 20 + 5).

Итак: 987 — 325 = (900 + 80 + 7) — (300 + 20 + 5) = (900 — 300) + (80 — 20) + (7 — 5) = 600 + 60 + + 2 = 662.

Этим объясняется вычитание натуральных чисел «столбиком»: 

Рассмотрим свойство вычитания суммы из числа.

Задача №3

В классе 27 учеников. 12 из них занимаются плаванием, а семеро — легкой атлетикой. Сколько учеников не занимаются ни плаванием, ни легкой атлетикой? Ответ можно получить разными способами:

1-й способ. 27 — (12 + 7) = 27 — 19 = 8;
2-й способ. (27 — 12) — 7 = 15 — 7 = 8;
3-й способ. (27 — 7) — 12 = 20 — 12 = 8.

Чтобы вычесть сумму из числа, можно от него отнять одно из слагаемых, а затем из результата вычесть второе слагаемое.

В буквенном виде:

 или  

Рассмотрим свойство вычитания числа из суммы.

Задача №4

В ящике 7 белых шаров и 8 черных. Ученик взял некоторые 3 шарика. Сколько шариков осталось в ящике? Ответ можно получить разными способами:

1-й способ. (7 + 8) — 3 = 12;
2-й способ. (7 — 3) + 8 = 12;
3-й способ. (8 — 3) + 7 = 12.

Чтобы вычесть число из суммы, можно отнять его от одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое.

В буквенном виде: 

 ( если  или ), или

 ( если  или ).

Этими правилами удобно пользоваться во время устных вычислений.

Примеры:

1) 225 – (125 + 37) = (225 – 125) – 37 = 100 – 37 = 73;

2) (432 + 729) – 232 = (432 – 232) + 729 = 2000 + 729 = 929.

• 1) Если от уменьшаемого отнять разность, то получим вычитаемое.
• 2) Если к разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое.

Умножение натуральных чисел

Как известно из младших классов, сумму одинаковых слагаемых можно записать короче с помощью умножения. Например: 45 + 45 + 45 + 45 = 45 4 = 180.

Читают так: «45 умножить на 4».

Вспомним, как называют числа при умножении:

Первый множитель показывает, какие слагаемые складывают, а второй — сколько таких слагаемых.

Произведение натуральных чисел а b означает сумму, которая состоит из b слагаемых, каждый из которых равен а:

a  b = a + a + a + ... + a.

b слагаемых 

Есть особые случаи умножения, когда множитель b равен нулю или единице:

При умножении любого числа на единицу получаем то же число, которое умножали.

При умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Вспомни, как умножали числа в начальных классах:

Так можно умножать любые натуральные числа.

Если множитель b больше 1, то от умножения натурального числа на b это число увеличивается в b раз. Например, 16 5 = 80, поэтому 80 в 5 раз больше числа 16.

Перед буквенным множителем и перед скобками знак умножения можно не писать.

Так, например, вместо 7 • а пишут 7а, вместо 4 • (a + 2) пишут 4 (а + 2).

Свойства умножения

На рисунке 1 изображен ящик, содержащий 6 рядов по 5 пакетов сока в каждом. Общее количество пакетов можно вычислить, умножив 6 на 5, или 5 на 6. Результаты одинаковы: 6 • 5 = 30 и 5 • 6 = 30. Итак, 6 • 5 = 5 • 6. В буквенном виде.

Здесь подтверждается переместительное свойство умножения:

От перестановки множителей произведение не меняется.

Пусть в каждом пакете, изображенном на рисунке 1, 2 л сока. Как вычислить общее количество сока?

1-й способ. Известно, что пакетов всего 5-6, и в каждом — по 2 л сока. Поэтому всего в ящике 2 • (5 • 6) л сока.

2-й способ. В одном ряду 5 пакетов, а сока в каждом — 2 л, поэтому всего в этих 5 пакетах сока (2 • 5) л. Однако рядов 6, поэтому всего в ящике: (2 • 5) • 6 л сока.
Итак, (2 • 5) • 6 = 2 • (5 • 6). В буквенном виде:

Это сочетательное свойство умножения:

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения вытекает, что при умножении нескольких чисел можем группировать множители по своему усмотрению. Это позволяет упрощать вычисления.

Примеры:

Переместительное и сочетательное свойства умножения можно
использовать и для упрощения выражений.

Примеры:

На применении переместительного и сочетательного свойств умножения основывается и следующее правило умножения натурального числа на разрядную единицу, которое ты знаешь.

Чтобы умножить натуральное число на разрядную единицу (10, 100, 1000 ...), надо приписать справа к этому числу столько нулей, сколько их в разрядной единице.

Примеры:

Вернемся к рисунку 1. Пусть имеем 4 ряда пакетов с яблочным соком и 2 — с апельсиновым. Тогда количество пакетов можно вычислить двумя способами:

(4 + 2) • 5  и  4 • 5 + 2 • 5.

В обоих случаях общее количество равно 30. Запишем это в буквенном виде:

Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и эти произведения сложить.

Этот закон верен для любого количества слагаемых.

           и т. д.

Одинаковые значение имеют также выражения (7 – 2) • 5 и 7 • 5 – 2 • 5, поскольку (7 – 2) • 5 = 5 • 5 = 25 и 7 • 5 – 2 • 5 = 35 – 10 = 25 .
Поэтому распределительное свойство можно применять и для вычитания. В буквенном виде его записывают так:

Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и от первого произведения вычесть второе.

Распределительное свойство умножения можно использовать для вычислений и упрощения выражений.

Пример №1

Решение.

Пример №2

Упрости выражение:

Решение. 

Используя распределительное свойство умножения для выражений (а + b) • c  и  (a – b) • c, получим выражение, которое не содержит скобок. Говорят: раскрыли скобки.

Пример №3

Раскрой скобки:

Решение. 

Квадрат и куб натурального числа

Уже известно, что сумма, в которой все слагаемые равны между собой, можно записать короче — в виде произведения. К примеру,

В математике есть специальный способ и для записи произведения, в котором все множители равны между собой. К примеру,

Выражение 3⁴ называют степенью и читают так: «три в четвертой степени».

Примеры: 

В 5 классе мы рассмотрим только вычисления чисел во второй и третьей степенях. 

Произведение двух равных между собой чисел a • а называют квадратом числа а и записывают .

Запись читают так: «а в квадрате» (или «а во второй степени»).

Произведение трех равных между собой чисел а • а • а называют кубом числа а и записывают .

Запись читают так: «а в кубе» (или «а в третьей степени»).
Вычисление степени числа еще называют возведением в степень, а вычисление квадрата (куба) числа — возведением в квадрат (в куб) это число.

Примеры:

Пример №4

Возвести в квадрат и куб первые десять натуральных чисел.

Решение. Результаты можно записать в виде таблицы.

В математике нельзя найти произведение, состоящее из одного множителя. Поэтому договорились, что любое число в степени 1 равно самому этому числу. Например,   и вообще .

Возведение в степень — это новое, пятое арифметическое действие. Очередность его выполнения во время нахождения значения числового выражения определяется следующим правилом.

Если в числовое выражение входит степень (в частности, квадрат или куб числа), то сначала выполняется возведение в степень (в частности, в квадрат или в куб числа), а затем другие действия.

Пример №5

Найди значение выражения:

.

Решение.

Деление натуральных чисел

Рассмотрим задачу.

Задача №5

48 карандашей разложили поровну в 6 коробок. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение. Пусть в каждой коробке по  карандашей. Тогда . Только одно число при умножении на 6 дает 48. Это число 8. Следовательно, в каждой коробке по 8 карандашей.

По данному произведению 48 и одному из множителей 6 нашли неизвестный множитель, равный 8.

Действие, с помощью которого по известному произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Пишут так: .

В записи:

Число a делят на натуральное число b тогда, когда хотят уменьшить a в b раз. Частное показывает, во сколько раз делимое больше чем делитель.

Правильность выполнения деления можно проверить с помощью умножения. Действительно, 48 : 6 = 8, поскольку 8 • 6 = 48.

Из последнего равенства можно сделать вывод, что 48 : 8 = 6. Поэтому действие деления является обратным к действию умножения.

Вспомним, как в начальной школе выполняли деление многозначных чисел.

Итого:   17 542 : 7 = 2506      и       8636 : 68 = 127.

 Поскольку .

Поскольку 

Делить на ноль нельзя!  Предположим, что 5 : 0 равно некоторому числу b. Тогда должно выполняться b • 0 = 5. Это равенство неверно. Выражение 0 : 0 не имеет определенного значения. Если 0 : 0 = с, то с • 0 = 0. Это равенство выполняется для множества значений с. Вывод: на ноль делить нельзя!

Удобным является деление чисел, которые заканчиваются нулями, на разрядную единицу (числа 10, 100, 1000 ...).

Чтобы разделить натуральное число, которое заканчивается нулями, на разрядную единицу, нужно отбросить с правой стороны в этом числе столько нулей, сколько их в разрядной единице.

Например, 

Деление с остатком

Деление одного числа на другое нацело не всегда возможно.
Например, нужно 19 яблок разделить поровну между пятью детьми (рис. 2).

Дадим сначала каждому по яблоку, потом еще по одному и еще раз по одному. Каждый получил по три яблока и 4 яблока останется в остатке. Остаток запишем в скобках:

Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

В числе 19 содержится 3 раза по 5 и еще 4. Итак, 19 = 5 • 3 + 4.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Вообще, если при делении числа а на число b получили неполное частное q и остаток r, то

Числовые выражения. Буквенные выражения и их значения. Формулы

Пример:

Поезд за первый час преодолел 60 км, а за второй — на 5 км больше. Сколько километров преодолел поезд за два часа?

Решение. За второй час поезд проехал 60 + 5 км. Поэтому за два часа он проехал 60 + (60 + 5) км.

Для решения задачи мы составили числовое выражение из чисел, знаков действий и скобок.

Выполнив действия, получим число 125 — значение этого выражения.

Пример №6

Поезд за первый час проехал 60 км, а за второй — на а километров больше. Сколько километров проехал поезд за два часа?

Решение. Аналогично предыдущему примеру получим: за 2 часа поезд проехал 60 + (60 + а) км. Запись 60 + (60 + а) — буквенное выражение, состоящее из цифр, букв, знаков действий и скобок.

Значение буквенного выражения зависит от значения буквы, которая входит в выражение.

Пример №7

Найди значение выражения 7 + b, если b = 5, 10.

Решение. Если b = 5, то 7 + b = 7 + 5 = 12; если b = 10, то 7 + b = 7 + 10 = 17.

Итак, выражения, состоящие из цифр, знаков действий и скобок, например:

3547 — 2793, 480 312 — 9279,
7257 — (8705 — 5744),

называют числовыми выражениями.

Если выполнить действия в числовых выражениях, то получим число, которое называют значением числового выражения.

Выражение, содержащее буквы, числа, знаки действий и скобки, называют буквенным, например
a + 400,   504 — a,   a : b,   (a + b) • c.

Пусть стороны прямоугольника равны а и b. Обозначим буквой S  его площадь. Поскольку площадь прямоугольника равна произведению длины сторон, то можно записать:

 

Ты знаешь из младших классов, периметр прямоугольника P равен сумме длин всех его сторон. Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны между собой, то

 или 

Приведенные равенства справедливы при всех значениях букв, входящих в них. Их называют формулами.

Формула — это запись некоторого правила с помощью букв, которая устанавливает взаимосвязь между величинами.

Формулы помогают вычислить значение одной из величин по известным значениям остальных величин. Например, из формулы площади прямоугольника имеем:

Чтобы найти сторону прямоугольника, надо его площадь разделить на другую сторону.

Пусть — скорость движения, — время движения и — пройденное расстояние (путь). Равенство , которое устанавливает зависимость между этими величинами, называют формулой пути. Формула пути означает, что расстояние равно скорости, умноженной на время:

Из формулы пути, по правилу нахождения неизвестного множителя, имеем:
— Скорость равна расстоянию, разделенному на время.
— Время движения равно расстоянию, разделенному на скорость.

Уравнения

Задача:

Сергей и Виталий на рыбалке вместе поймали 8 карасей. Сергей поймал 3 карася. Сколько карасей поймал Виталий?
Пусть Виталий поймал карасей. Тогда, по условию задачи,
Есть равенство, содержащее неизвестное число.

Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением.

Имеем уравнение: Если вместо буквы поставить число 5, то получим верное числовое равенство Число 5 — корень (или решение) данного уравнения.

Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют решением, или корнем уравнения.

Иногда уравнение может иметь несколько корней (с такими уравнениями мы ознакомимся позже). Решить уравнение означает найти все его корни или показать, что их нет. Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо неизвестного и выполнить вычисления. Если получим верное равенство, то число является корнем уравнения.

Для решения простейших уравнений используют правила, известные из начальных классов.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы вычесть известное слагаемое.

Например:

14 + х = 58;  х = 58 – 14;  х = 44.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Например: 

х – 12 = 37;  х = 37 + 12;  х = 49.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Например: 

42 – х = 18;  х = 42 – 18;  х = 24.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Например: 

7•х = 56;  х = 56 : 7;  х = 8.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Например: 

х : 5 = 9;  х = 9 • 5;  х = 45.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Например: 

36 : х = 9; х = 36 : 9; х = 4.

Рассмотрим примеры решения сложных уравнений.

Пример №8

Реши уравнение 
Решение. Здесь  неизвестно уменьшаемое. Чтобы его найти, надо к 62 прибавить 35.

Имеем 

неизвестное слагаемое, чтобы найти его, надо от 97 отнять 27.

Пример №9

Реши уравнение

Решение. 

Пример №10

Реши уравнение

Решение. Используя распределительное свойство умножения, имеем 

Итого, 

Пример №11

Реши уравнение

Решение. В этом уравнении неизвестный делитель. Чтобы его найти, надо 36 разделить на 3.

 Имеем 

неизвестное слагаемое, чтобы найти его, надо к 12 прибавить 18.

Текстовые задачи на движение

Рассмотрим основные виды текстовых задач на движение.
Мы уже много раз решали задачи на движение и знаем формулу пути

что выражает взаимосвязь величин: пройденное расстояние (путь),  скорость движения, то есть расстояние, которое преодолевают за единицу времени; время движения.

Также знаем формулы, по которым можно найти скорость, если известны пройденное расстояние и время движения:

и время, если известны пройденное расстояние и скорость:

Примечание: 1. В задачах на движение будем считать, что скорость движения на всем пути не менялась.

2. Единицы измерения скорости (км/ч, м/мин., м/с и т. д.) зависят от условия задачи. Если, например, жук за 5 мин. проползает 10 м, то его скорость 10 : 5 = 2 (м/мин.).

Рассмотрим теперь, как решаются задачи на движение по реке. В этих задачах есть своя особенность: нужно различать скорость движения по течению и скорость движения против течения.

Пусть, например, собственная скорость лодки (то есть ее скорость в стоячей воде) равна 15 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость, с которой лодка плывет по течению, состоит из ее собственной скорости и скорости течения: 15 + 2 = 17 (км/ч). А скорость, с которой лодка плывет против течения, получаем вычитанием скорости течения из собственной скорости лодки: 15 – 2 = 13 (км/ч).

Рассмотрим задачи, в которых действуют два участника движения.

Движение из одного пункта с отставанием. Пусть два объекта одновременно начинают движение в одном направлении из одной точки с разными скоростями = 5 км/ч и = 3 км/ч.

Тогда за первый час объект   опередит объект   на 2 км.

Расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени, называют скоростью удаления .

В случае движения двух объектов из одного пункта с отставанием  (если ),

Через час между объектами будет расстояние

Задача №6

Два автомобиля одновременно выехали в одном направлении. Скорость первого автомобиля 60 км/ч, скорость второго — 72 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 9 часов?

Решение. 

Движение из одного пункта в противоположных направлениях. Пусть два объекта одновременно начинают движение из одной точки в противоположных направлениях со скоростями = 5 км/ч и = 3 км/ч.

Тогда за первый час объект удаляется от объекта  на 8 км. В этом случае скорость удаления 

Через час между объектами будет расстояние 

Тогда за первый час расстояние между объектами сократится на 8 км.

Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени, называют скоростью сближения .

В случае движения двух объектов навстречу друг другу 

Если начальное расстояние между объектами равно километров и объекты встретились через часов, то очевидно, что

Если , то через  часов расстояние между объектами сократится на расстояние

Задача №7

Два автобуса выехали одновременно из двух городов и встретились через 5 часов. Скорость одного 45 км/ч, а второго — на 10 км/ч больше. Найди расстояние между городами.

Решение. 1) 45 + 10 = 55 (км/ч) — скорость второго автобуса;

2) (45 + 55) • 5 = 500 (км) — расстояние между городами.

Движение в одном направлении вдогонку. Пусть два объекта одновременно начинают движение из различных точек в одном направлении со скоростями
= 5 км/ч и = 3 км/ч, причем объект, имеющий большую скорость, движется позади, и начальное расстояние между объектами больше чем 2 км.

Тогда за первый час объект   станет ближе к объекту   на 2 км. В этом случае 

Если начальное расстояние между объектами равно  км и объект  догнал объект  через  часов, то видно, что

Если , то через  расстояние между объектами сократится на расстояние

Задача №8

Из двух пунктов, расстояние между которыми 120 км, одновременно начали движение в одном направлении пешеход со скоростью 5 км/ч и автобус, который догонял пешехода. Найди скорость автобуса, если он догнал пешехода через 2 часа.
Решение.  120: 2 = 60 (км/ч).
Тогда скорость автобуса равна 60 + 5 = 65 (км/ч).

Текстовые задачи экономического содержания

Экономика, или экономические науки — комплекс научных дисциплин о хозяйстве, а именно: об организации и управлении материальным производством, эффективном использовании ресурсов, распределении, обмене, сбыте и потреблении товаров и услуг и тому подобное.

Задачи экономического содержания — это задачи о стоимости товара, задачи на работу, задачи, связанные с бюджетом семьи, возможности осуществления масштабных покупок, задачи на налоги, работу банков, ведение фермерского хозяйства, использование природных ресурсов родного края и др.

В начальной школе и в этой лекции некоторые из текстовых задач экономического содержания вы уже решали. В этой лекции остановимся подробно на задачах о стоимости товара и задачах на работу.

Задачи о стоимости товара

Задача:

Один килограмм конфет стоит 25 руб. Сколько стоят 3 кг конфет?

Решение. 25 • 3 = 75 (руб.). В этой задаче, как и в задачах на движение, имеем зависимость между тремя величинами: стоимость товара, его цена и количество.

Пусть С — стоимость товара, a — его цена (то есть стоимость единицы товара — 1 штуки, 1 м, 1 кг, 1 л и т. д.), а n — количество товара в выбранных единицах. Тогда

Полученное равенство называют формулой стоимости. Она означает, что

стоимость товара равна цене, умноженной на количество товара.

Из формулы стоимости по правилу нахождения неизвестного множителя легко выразить величины а и n:

 и 

то есть

цена товара равна стоимости, разделенной на количество товара, а количество товара равно стоимости, разделенной на цену.

Задача №9

Литр сока стоит 24 руб. Сколько литров сока можно купить за 48 руб.?

Решение. 48 : 24 = 2 (л).

Задачи на работу

Задача:

Оля набрала на компьютере 9 страниц за 3 часа, а Татьяна — 8 страниц за 2 часа. Кто из девочек работал быстрее?

Решение. Оля набрала больше страниц, чем Татьяна, но она и работала больше времени. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти, сколько страниц набрала каждая девочка за 1 час. Оля набирала по 9: 3 = 3 страницы в час, а Татьяна — по 8 : 2 = 4 страницы в час. Итак, Татьяна работала быстрее, потому что через час она набрала больше страниц.

Скорость работы еще называют производительностью. В этой задаче производительность труда Оли составляет 3 страницы в час, а Татьяны — 4 страницы в час.

Если обозначить буквой A всю работу, производительность — буквой N, а время работы — t, то можем записать равенство:

Это равенство называют формулой работы. Она означает, что

работа равна производительности, умноженной на время работы.

Из формулы работы по правилу нахождения неизвестного множителя легко найти величины N и t:

 и  то есть

производительность равна работе, разделенной на время работы, а время равно работе, разделенной на производительность.

Задача №10

Олеся моет 4 тарелки за 1 мин. Сколько тарелок помоет Олеся за 5 мин.? Сколько нужно времени, чтобы Олеся помыла 24 тарелки?

Решение. За 5 мин. Олеся помоет 4 • 5 = 20 тарелок, а чтобы помыть 24 тарелки, ей нужно 24 : 4 = 6 мин.

Решение текстовых задач с помощью уравнений

Рассмотрим текстовые задачи, одним из способов решения которых является составление уравнений.

Задача №11

В саду росли яблони и вишни — всего 32 дерева, причем яблонь было на 4 больше, чем вишен. Сколько яблонь и сколько вишен росло в саду?

Решение. Пусть в саду росло х вишен, тогда яблонь было Поскольку всего деревьев было 32, то получим уравнение

Упрощаем:  

Имеем:  

В саду росло 14 вишен, тогда яблонь было 14 + 4 = 18.

Задача №12

За смену мастер выточил втрое больше деталей, чем ученик. Сколько деталей выточил за смену ученик, если это количество на 18 меньше, чем количество деталей которое выточил мастер?

Решение. Пусть ученик выточил деталей, тогда мастер выточил в три раза больше —  деталей. Поскольку больше на 18, то получаем уравнение

Поскольку  то имеем

Итак, ученик выточил за смену 9 деталей.

Комбинаторные задачи

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации и перестановки предметов, размещение элементов, имеющих определенные свойства, и тому подобное. Рассмотрим задачу.

Задача №13

На почте в продаже есть 5 различных конвертов и 3 различные марки. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Решение. 1-й способ. Нарисуем дерево возможных вариантов (рис. 5). Обозначим конверт буквой К, марку — буквой М. Рисуем от ствола 5 веток (ибо есть 5 видов конвертов). Поскольку имеем 3 марки, то от каждой из пяти полученных точек рисуем по 3 ветки. Считаем количество полученных внизу точек — 15 и получаем ответ к задаче. Дерево возможных вариантов позволяет решать разнообразные задачи, связанные с исчислением количества способов.

2-й способ. Выберем конверт. В комплект к нему можно выбрать любую из трех марок. Поэтому есть 3 комплекта, которые содержат избранный конверт. Поскольку конвертов всего 5, то количество различных способов составляет 

Пришли к важному правилу комбинаторики — правило произведения:

если элемент А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой элемент В можно выбрать (независимо от выбора элемента А) n способами, то пару элементов А и В можно выбрать m • n способами.

Правило произведения можно использовать, если нужно выбрать более 2-х элементов.

Задача №14

На почте в продаже есть 5 различных конвертов с различными марками и 4 различные поздравительные открытки. Сколькими способами можно купить комплект, содержащий конверт, марку и открытку?

Решение. способов.

Рассмотрим далее задачу, в которой нужно посчитать количество способов, которыми можно разместить в ряд определенное количество предметов.

Задача №15

Ребенок играет тремя игрушками: машинкой, трактором, самолетиком. Сколькими способами их можно выложить в ряд?

Решение. На первое место можем поставить одну из трех игрушек: машинку, трактор или самолетик. После этого на второе место можно поставить одну из двух следующих игрушек. После этого на третье место ставим одну игрушку, которая осталась после выбора первых двух. Используя правило произведения, найдем, что игрушки можно разместить шестью различными способами  Проверим решение задачи с помощью дерева возможных вариантов (рис. 6).

Вычислили количество способов, которыми можно разместить в ряд несколько предметов. Такие размещения называют перестановками.

Перестановки обозначают буквой  В задаче 15 количество перестановок из трех элементов равна  аналогично количество перестановок из двух элементов из четырех элементов из пяти и т. д.

Рассмотрим еще несколько комбинаторных задач.

Задача №16

Из данных чисел выбрать такие, которые при перестановке цифр образуют числа, в которых число единиц на 3 больше числа десятков: 42, 36, 74, 14, 85, 92, 47.

Решение. Переставляя цифры, имеем числа 24, 63, 47, 41, 58, 29, 74. Условие удовлетворяют числа 74 и 85.

Задача №17

В алфавите племени БАБА есть только две буквы «а» и «б». Запиши все слова племени, которые содержат: 1) две буквы; 2) три буквы.

Решение. 1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова);
2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов). Заметим, что найденное количество слов согласуется с правилом произведения. Поскольку на каждое место есть два «претендента» — «а» и «б», то слов, содержащих две буквы, должно быть а три буквы —

Рассмотрим две задачи на нахождение конфигурации элементов, которые имеют определенные свойства.

Задача №18

В клетки квадрата (рис. 7) надо поставить числа 1, 2, 3 и 4 так, чтобы числа не повторялись ни в строках, ни в столбцах, ни по диагоналям (линиям, ведущим из левого нижнего угла в правый верхний и из правого нижнего угла в левый верхний).

Решение. Один из вариантов решения представлен на рисунке 8.

Задача №19

Сколькими способами можно разделить 5 конфет между тремя детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы по одной конфете?

Решение. Представим решение в виде таблицы.

Итак, всего есть 6 способов.

Задачи и упражнения на все действия с натуральными числами

Вычисляя значения числовых выражений, следует не забывать о порядке действий.

Порядок выполнения действий определяется следующими правилами:

• В выражениях со скобками сначала вычисляют значения выражений в скобках.
• В выражениях без скобок сначала выполняют возведение в степень, затем по порядку слева направо умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Пример №12

Вычисли: 

Решение:  

Пример №13

Найди значение выражение  если 

Решение:  Если 

Там, где это целесообразно, можно использовать свойства действий. Например, значение выражения можно вычислить так:

Отрезок и его длина

Если хорошо заостренным карандашом прикоснуться к листу бумаги или мелом прикоснуться к доске, то останется след, который дает представление о точке.

Отметь в тетради две точки А и В. Приложи к ним линейку и соедини (под линейку) эти точки (рис. 16). Получишь отрезок. Точки А и В — концы этого отрезка. Концы отрезка подписывают двумя большими латинскими буквами, дающими ему название. На рисунке 16 изображен отрезок AB, или ВА.

Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Для измерения длины отрезка (или, как говорят короче, для измерения отрезка) его сравнивают с выбранной единицей длины. Из начальной школы ты знаешь такие единицы длины: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Напомним, что 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм = 100 см, 1 км = 1000 м.

Измеряют отрезок с помощью линейки с делениями (рис. 17) или рулетки (рис. 18). Чтобы измерить отрезок с помощью линейки с делениями (рис. 19), надо один конец отрезка (левый) совместить с делением, которое обозначено числом 0. Тогда число, стоящее у другого конца, покажет длину этого отрезка. На рисунке 19 длина отрезка MN равна 4 см. Длину отрезка обозначают так же, как и сам отрезок, записывая MN = 4 см. На рисунке 20 изображен отрезок KL, длина которого 4 см 3 мм. Записывают: KL = 4 см 3 мм, или KL = 43 мм.

Два отрезка называют равными между собой, если их длины одинаковы.

Если, например, AB = 4 см и MN = 4 см, то отрезки AB и MN равны: AB = MN.
На рисунке 19 и рисунке 20 длина отрезка KL больше длины отрезка MN (говорят, что KL длиннее MN или MN короче KL). Записывают так:
KL > MN или MN < KL.

На рисунке 21 точка Р принадлежит отрезку AB. Эта точка разбивает отрезок AB на два отрезка АР и РB.

Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AP и РВ. это
записывают так: AB = АР + РВ. Откуда: AР = АВ — РВ и РВ = АВ — АР.

Напомним, как строят отрезки заданной длины.

Пусть, например, нужно построить отрезок, длина которого 5 см. Для этого:

1. обозначаем в тетради какую—нибудь точку и называем ее, например, буквой T;
2. прикладываем линейку так, чтобы ее ноль совпадал с точкой T;
3. обозначаем точку, которая совпадает с делением 5 см на линейке, и называем эту точку, например, F;
4. строим отрезок TF, он и будет искомым, поскольку его длина равна 5 см. Записываем TF = 5 см.

Луч, прямая

Продолжим отрезок AB с помощью линейки от точки В (рис. 40). На рисунке такое продление ограничено размерами листа, но можно предположить, что мы продолжили отрезок неограниченно. Если продолжить отрезок AB за его конец В неограниченно, то получим луч АВ. Точка A — начало луча AB. Конца у луча нет. При обозначении луча на первом месте пишут букву, которая означает начало луча.

Если продолжить отрезок AB за его конец A, то получим луч BA (рис. 41). Его начало — точка В.

Если продолжить отрезок AB за оба конца неограниченно (рис. 42), то получим фигуру, называемую прямой. Прямая не имеет начала и конца. Прямую, как и отрезок, обозначают двумя большими буквами, обозначающими любые две точки, лежащие на этой прямой.

Например, на рисунке 42 изображена прямая AB, или BA. Прямую AB можно обозначить одной малой буквой латинского алфавита, например прямая а.
О точках A и В будем говорить, что они принадлежат прямой а (или AB).

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Каждая точка, принадлежащая прямой, разбивает ее на два луча.
На рисунке 43 точка K разбивает прямую b на луче KM и KL. Эти лучи являются частью прямой и имеют единую общую точку K — начало этих лучей. Такие лучи называют дополняющими (один из них дополняет другой до прямой).

Точка, отрезок, луч, прямая — геометрические фигуры. Эти геометрические фигуры можно разместить на плоскости (рис. 44). Плоскость является одной из основных геометрических фигур. Представление о части плоскости дает, например, поверхность стола, стекла, потолка, если представить, что они неограниченно продолжены. Когда чертим фигуры, то частью плоскости может быть, например, лист тетради или школьная доска.

Координатный луч. Шкала

Начертим луч ОХ горизонтально вправо от точки О и запишем у его начала число 0 (рис. 53).

Выберем любой отрезок AB, длину которого возьмем за единицу. Такой отрезок называют единичным отрезком. Отложим от начала луча отрезок ОК, равен единичному отрезку. Против точки К запишем число 1. Говорят, что точка К соответствует числу 1 или число 1 изображено точкой К. Коротко это записывают так: К (1). Число 1 называют координатой точки К.
Чтобы изобразить на луче число 2, нужно отложить от начала луча один за другим два одиночных отрезка, число 3 — три единичных отрезка и т. д. Таким образом, каждому натуральному числу и числу 0 соответствует одна определенная точка луча ОХ. Получили координатный луч. Точку О, соответствующую началу координатного луча, называют точкой отсчета.
Если точка L на луче соответствует числу 6 (рис. 53), то длина отрезка OL равна 6 единиц.
Координатный луч позволяет сравнивать натуральные числа. Если координатный луч направлен слева направо, то из двух натуральных чисел большему соответствует точка, которая лежит справа, а меньшему — слева.

Пример 1. 2 < 5, поскольку точка A (2) лежит слева от точки В (5) (рис. 54).

Пример 2. На рисунке 55 точками обозначены натуральные числа , при которых неравенство будет правильным.

Длины отрезков измеряют линейкой с большими и малыми делениями (рис. 56). Они разбивают линейку на равные части. Длине каждого деления соответствует определенная единица измерения. Например, на линейке, изображенной на рисунке 56, большому делению соответствует 1 см, а малому — 1 мм.

Систему таких делений с соответствующими числами называют шкалой. Шкалы бывают не только на линейках, они могут быть различной формы. На рисунке 57 изображена шкала комнатного термометра. Каждое его деление соответствует одному градусу Цельсия (пишут 1°С). Термометр показывает 18°С. Координатный луч, линейка, комнатный термометр — примеры прямолинейных шкал. Шкалы часов (рис. 58), спидометра (рис. 59) — криволинейные.

Чтобы прочитать показатели на шкале, надо знать цену деления. Так, на рисунке 59 между числами 20 и 40 — четыре деления. Поэтому цена одного деления (40 — 20) : 4 = 5.

Угол. Виды углов

Проведем два луча: ОА и ОВ, исходящие из одной точки (рис. 81). Получили геометрическую фигуру, которую называют углом. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Лучи ОА и ОВ называют cтоpонaми угла, а точку О — вершиной угла. Углы обозначают значком угла и тремя большими латинскими буквами:  или (читают: « угол АОВ », или « угол ВОА »). При этом букву, обозначающую вершину угла (в нашем случае — О), пишут внутри. Угол иногда обозначают и одной буквой — названием его вершины, например А.

На рисунке 82 точки С и D лежат во внутренней области угла КАВ, точки М и N — вне этой точки, а точки L и P — на сторонах угла.

Два угла называют равными между собой, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпадали. На рисунке 83 углы АОВ и CMD равны между собой, так как при наложении они совпадают. Записываем так:

Если из вершины угла MON (рис. 84) провести луч ОК, то он разбивает угол MON на два угла МОК и KON. Каждый из этих углов меньше угла MON. Записываем так: и 

Если сторонами угла являются дополняющие лучи, то такой угол называют развернутым. На рисунке 85 — развернутый угол ABC. Развернутый угол можно разделить на два равных между собой угла. Для этого возьмем лист бумаги с прямым краем, который дает представление о развернутом угле, и составим его так, чтобы стороны угла совпали. Обозначим вершину угла точкой K
(рис. 86). Каждый из образованных таким образом углов называют прямым углом. Понятно, что прямой угол вдвое меньше развернутого.

Для построения прямого угла используют чертежный угольник (рис. 87). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч OA, надо:

1. разместить чертежный угольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой O, а одна из сторон соединилась с лучом OA;
2. провести вдоль другой стороны угольника луч OB (рис. 87).

В результате получим прямой угол AOB. Прямой угол часто обозначают значком . На рисунке 88 так обозначен угол BOA, а на рисунке 89 — угол POL.

Угол МОА на рисунке 88 меньше прямого угла BOA. Такой угол называют острым.

Угол KOL на рисунке 89 больше прямого угла POL, но меньше развернутого. Такой угол называют тупым.

Величина угла. Измерение и построение углов

Углы, как и отрезки, можно измерять.

Поделим прямой угол на 90 равных частей (рис. 102). Меру одной такой части берут за единицу измерения углов и называют градусом (от латинского  шаг, ступень). Обозначают так: 1°. Градусная мера прямого угла равна 90°, а развернутого — 180° (рис. 103).

Можно сказать иначе: прямой угол равен 90°, а развернутый — 180°. Градусную меру угла обозначают так же, как и угол. Например, на рисунке 104 градусная мера угла АОВ равна 40°. Это записывают так:  Понятно, что градусная мера острого угла меньше 90°, а тупого — больше 90°, но меньше 180°.

Углы в градусах измеряют с помощью прибора, который называют транспортиром (рис. 105).

Шкала транспортира размещена на полукруге и имеет 180 делений. Каждое деление шкалы равно 1°. Центр транспортира обозначен точкой O.

Чтобы измерить угол, нужно наложить на него транспортир так, как показано на рисунках 106 и 107: центр транспортира должен совпадать с вершиной угла, а одна сторона угла должна пройти через начало отсчета на шкале. Штрих на шкале, через который проходит вторая сторона угла, показывает градусную меру этого угла:

 (рис. 106), (рис. 107).

Равные углы имеют равные градусные меры. Из двух углов большим считается тот, мера которого больше. Поскольку , то .

Транспортир также применяется для построения углов.

Например, построим угол AOB, градусная мера которого равна 50°. Для этого:

• произвольную точку обозначим через O;
• наметим луч OB;
• наложим транспортир так, чтобы центр транспортира совпадал с точкой O, а луч OB прошел через начало отсчета на шкале (рис. 108);
• поставим точку A против штриха на шкале, который соответствует 50°;
• проведем луч OA (рис. 109), угол AOB является искомым: .

 

Меры углов, как и длины отрезков, можно добавлять и отнимать. На рисунке 110 угол AOC  равен сумме углов AOB и BOC, . , , то .

Если , (рис. 111), то чтобы найти градусную меру угла MOK, нужно

Луч OK делит угол АОВ на два равных угла (рис. 112), его называют биссектрисой угла. Итак,

• луч, который выходит из вершины угла и разбивает его на два равных угла, называют биссектрисой угла.

Пример №14

ОК — биссектриса . Найди

Решение. .

Если взять угол, вырезанный из листа бумаги, то его биссектрису легко найти с помощью перегиба. Угол надо составить так, чтобы его стороны совпали. Тогда линия перегиба и будет биссектрисой этого угла (рис. 113).

Треугольник и его периметр. Виды треугольников

Особенно важную роль в математике играют треугольники.

Обозначим три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и совместим их отрезками. Мы получим уже знакомую геометрическую фигуру — треугольник (рис. 139).

Точки A, B и C — вершины треугольника, отрезки AB, BC  и AC — стороны треугольника. Углы ABC, ACB  и BAC — углы треугольника.

Треугольник обозначают знаком  с названиями его вершин (читаем: «треугольник ABC»).

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Периметр треугольника (и, вообще говоря, любого многоугольника) принято обозначать буквой P. Если, например, стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 10 см, то его периметр Р = 6 + 7 + 10 = 23 (см) .

Если все стороны треугольника равны между собой, то его называют равносторонним. На рисунке 140 — равносторонний треугольник KLM, у него KL = LM = MK.

Поскольку кратчайшее расстояние от одной точки до другой — это расстояние по прямой, то отсюда следует свойство сторон треугольника:

• сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Можно убедиться в обратном: если сумма двух любых отрезков больше чем третий отрезок, то эти три отрезка могут быть сторонами треугольника.

В зависимости от величин углов треугольники делят на остроугольные (все углы острые — рис. 141), прямоугольные (один угол прямой — рис. 142) и тупоугольный (один угол тупой — рис. 143).

Если измерить углы некоторого треугольника транспортиром и найти их сумму, то получим 180°. В старших классах будет доказано важное свойство углов треугольника:

сумма всех углов треугольника равна 180°.

Поэтому любой треугольник может иметь не более одного прямого угла и не более одного тупого угла.

Прямоугольник. Квадрат

На рисунке 154 изображен четырехугольник, у которого все углы прямые. Такой четырехугольник, как ты знаешь из младших классов, называют прямоугольником.

Противоположные стороны прямоугольника равны между собой, то есть AB = DC и AD = BC. Стороны прямоугольника, которые не являются противоположными, называют длиной и шириной (это смежные стороны). Сумма длин всех сторон прямоугольника — это его периметр P.

Выведем формулу для вычисления периметра P прямоугольника, длина и ширина которого равны а и b соответственно (рис. 155).

Есть 

Выражение 2а + 2b можно записать иначе: 2 (а + b). Действительно, если в последнем выражении раскрыть скобки, то получим 2а + 2b. Итак, имеем формулу для вычисления периметра прямоугольника:

Задача №20

Периметр прямоугольника равен 30 см, а одна из его сторон — 5 см. Найди другую сторону.

Решение. Есть Р = 30 см, пусть а = 5 см. Тогда, подставив значения а в формулу, получим уравнение  Решим его:

Итак, вторая сторона равна 10 см.

Прямоугольник, у которого все стороны равны между собой, называют квадратом.

На рисунке 156 изображен квадрат, сторона которого равна а.
Очевидно, что периметр Р этого квадрата можно найти так:

Итак, имеем формулу периметра квадрата:

Площадь прямоугольника и квадрата

Чтобы узнать, сколько краски и обоев понадобится для ремонта квартиры, нужно знать площади пола, потолка и стен. Определение площади является важным для решения многих других практических задач.

За единицу площади берут площадь единичного квадрата, то есть такого квадрата, сторона которого равна единице длины. Например, если длина стороны квадрата равна 1 м, то он имеет площадь 1 квадратный метр (записывают так: ); если длина стороны квадрата 1 см (рис. 157), то его площадь равна 1 квадратному сантиметру () и т. д.

Если площадь некоторой фигуры можно разбить на m квадратов со стороной 1 см, то ее площадь равна . Так, площадь фигуры на рисунке 158 равна . То есть определить площадь фигуры — это значит узнать, сколько единичных квадратов помещается в этой фигуре.

Из начальной школы известно, что для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

• для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

Если обозначим стороны прямоугольника а и b, а его площадь — S (от латинского слова superficies — поверхность), то получим формулу площади прямоугольника (рис. 159):

             

Для вычисления площади прямоугольника длины его сторон надо выразить в одних и тех же единицах: если а и b выражены в метрах, то площадь S измеряется в квадратных метрах; если а и b выражено в сантиметрах, то S — в квадратных сантиметрах и тому подобное.

Пример №15

Найди площадь прямоугольника со сторонами 1 дм и 8 см.

Решение. 1 дм = 10 см, то S = 10 • 8 = 80 ().

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 160).

Тогда площадь квадрата S со стороной a можно найти так:  S = а • а  или S = а². Именно поэтому вторую степень числа называют квадратом этого числа.

Пример №16

Найди площадь квадрата со стороной 2 см 5 мм.

Решение. 2 см 5 мм = 25 мм. Поэтому

Рассмотрим прямоугольник ABCD, стороны которого равны 4 см и 5 см.
Ломаная KLMN разбивает его на две части (рис. 161). Одна из частей имеет площадь 12 , а другая — 8. Площадь всего прямоугольника 4 • 5 = 20 .

При этом 20 = 12 + 8. Итак,

площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Установим соотношение между единицами площадей. На рисунке 162 изображен квадрат, сторона которого равна 1 дм. Поэтому его площадь 1 дм². С другой стороны, квадрат состоит из 100 квадратиков со стороной 1 см. Поэтому его площадь равна 100 см². Итак,

Это можно было установить еще и так:

Рассуждая аналогично, можно показать, что

Для измерения больших площадей (территории государств, материков) используют квадратный километр — 1 км². Это площадь квадрата, сторона которого 1 км, или 1000 м. Площадь такого квадрата можно найти еще и так: 

1000 м • 1000 м = 1 000 000 м² 

Итак,

Территория России составляет  17 130 000 км².

Площадь садов, огородов, других участков земли измеряют также в арах (от латинского слова area — площадь. ) и гектарах (от греческого слова hekaton — сто). Ар (сотка) — площадь квадрата со стороной 10 м. Поэтому 1 а = 100 м². Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м.
Поэтому 1 га = 10000 м², 1 га = 100 а, 1 км² = 100 га.

Прямоугольный параллелепипед. Куб. Пирамида

Спичечная коробочка, кирпич, деревянный брусок, ящик, пенал дают представление о геометрической фигуре, которую называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 176).

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые называют его гранями. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда попарно равны.

На рисунке 176 противоположными гранями является ABCD и MLKN, AMLB и DNKC, AMND и BLKC. Грани ABCD и MLKN называют еще основаниями параллелепипеда.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней — вершинами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Всего ребер 12 — по 4 равных между собой. На рисунке 176: AB = ML = NK = DC, AM = BL = CK = DN и AD = BC = LK = MN. Ребра AM, BL, CK и DN называют еще высотами параллелепипеда.

Из каждой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра. Длины этих ребер — это длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда (рис. 176), или его измерения.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда — это сумма площадей всех его граней.

Задача №21

Найди площадь поверхности S прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны a, b и с.

Решение. Пусть AB = a, MN = b, AM = c (рис. 176). У двух граней длины сторон равны а и b. Площадь каждой из них равна ab. Площадь каждой из двух следующих граней — bc, а двух оставшихся равна ас. Поэтому площадь поверхности S можно найти так: , или

Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называют кубом (рис. 177). Все грани куба — равные квадраты. Очевидно, что площадь поверхности куба с ребром a равна:

Еще одной важной и интересной фигурой является пирамида (рис. 178—180). Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Боковые грани пирамиды — треугольники, имеющие общую вершину, которую называют вершиной пирамиды, а основание пирамиды — произвольный многоугольник, противоположный этой вершине.

Называют пирамиду по количеству сторон многоугольника, который является основанием пирамиды. Например, на рисунке 178 изображена шестиугольная пирамида, а на рисунке 179 — четырехугольная пирамида.

Простой пирамидой является треугольная пирамида (рис. 180). Все ее грани — треугольники. Поэтому каждая из них может считаться основанием.
Так же, как и в прямоугольном параллелепипеде, стороны граней называют ребрами пирамиды.

Боковые грани вместе с основанием пирамиды называют гранями пирамиды.
Например, в треугольной пирамиде: 6 ребер и 4 грани.

Форму пирамид имеют, например, древнеегипетские пирамиды. Одна известных — пирамида Хеопса, высота которой 147 м (рис. 181). 

Объем прямоугольного параллелепипеда и куба

Спичечная коробочка полностью помещается в пенале, пенал — в коробке из-под обуви. Говорят, что объем пенала больше, чем объем спичечной коробки, а объем коробки из-под обуви больше, чем объем пенала.

Объем имеет каждое тело. Объем можно измерять и выражать числом, если задана единица объема. За единицу объема берут объем единичного куба, то есть объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины: 1 мм, 1 см, 1 дм и т. д. Единицами объема, например, являются 1 кубический сантиметр (1 см³) — объем куба, длина ребра которого равна 1 см (рис. 185); 1 кубический дециметр (1 дм³) — объем куба, длина ребра которого равна 1 дм; 1 кубический метр (1 м³) — объем куба, длина ребра которого равна 1 м.

На рисунке 186 изображена фигура, которая состоит из 3 кубиков с ребром 1 см. Поэтому объем такой фигуры 3 см³.

Если измерения прямоугольного параллелепипеда выражено натуральными числами, то его объем показывает, сколько единичных кубов надо, чтобы его заполнить. Выведем правило вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Пусть его измерения: 5 см, 4 см и 3 см (рис. 187).

Вычислим, сколько единичных кубов с ребром 1 см, то есть кубов с объемом 1 см³ уместится в этом параллелепипеде. Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см, поэтому основание содержит 5 • 4 = 20  кубиков. Чтобы полностью заполнить параллелепипед, надо выложить три таких слоя, поскольку высота параллелепипеда 3 см. Таким образом, количество всех кубиков: 20 • 3 = 60. Объем одного кубика 1 см³, поэтому объем прямоугольного параллелепипеда 60 см³.

Мы нашли объем прямоугольного параллелепипеда как произведение трех его измерений 5 • 4 • 3 (см³). 

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Если обозначить объем буквой V (V — первая буква латинского слова volume — объем), а измерения — буквами a, b и с, то имеем формулу

Во время вычислений нужно следить, чтобы все измерения выражались в одних и тех же единицах длины: если, например, все измерения представлены в сантиметрах, то получим объем в см³.

Пример №17

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны  3 дм, 12 см и 60 мм. Найди объем параллелепипеда.

Решение. Выразим измерения в сантиметрах: 3 дм = 30 см, 60 мм = 6 см. Тогда

V = 30 • 12 • 6 = 2 160 (см³).

Произведение длины и ширины — это площадь основания. Итак,

объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Если обозначить площадь основания буквой S, а высоту — буквой h (рис. 188), то получим формулу

Объем куба, ребро которого равно а , вычислим по формуле:  V = a • a • a. Или

Именно поэтому третью степень числа называют кубом этого числа.

Найдем соотношение между единицами объема: 1 дм³ — это объем куба с ребром 1 дм или 10 см. Объем этого куба в кубических сантиметрах равен

 

Итак,  

Поскольку 1 м = 100 см, то 1 м³ = 100 • 100 • 100 = 1000000 см³. Итак,

Для измерения объема жидкости используют литр (1 л). Литр содержит 1 дм³   воды:

Для измерения очень больших объемов, например морей и океанов, используют 1 кубический километр — объем куба, ребро которого равно 1 км. Поскольку 1 км = 1000 м, то , то есть:

Для измерения небольших объемов используют единицу кубический миллиметр .

Дробные числа и действия с ними

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы. По способу записи дроби делятся на два формата: обыкновенные и десятичные.

Обыкновенные дроби

До сих пор рассматривались в 5-м классе натуральные числа и число 0. Но, как известно из младших классов, в математике существуют другие числа — дробные.

Возьмем полоску бумаги и примем ее длину за единицу. Поделим полоску на две равные части (рис. 206). Каждая из этих частей будет одной второй, или половиной этой полоски.

На рисунке 207 видим яблоко, разрезанное на три равные части. Каждая часть равна одной трети  яблока, а две части — двум третьим  яблока.

Числа  дробные. Дробные числа записывают с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты в виде . Такие записи называют обыкновенными дробями. Число b, записанное под чертой, называют знаменателем дроби, он показывает, на сколько равных частей разделена единица (целое). Число а, записанное над чертой, называют числителем дроби, он показывает, сколько взято равных частей единицы (целого).

Пример 1. Обычная дробь  — показывает, что целое число разделено на 5 равных частей и взято 3 такие части.

Пример 2. Если отрезок длиной 1 м разделен на 100 равных частей, то длина каждой части составляет 1 см.

Можно записать:   (одна сотая метра),
 (две сотых метра), 17 см =  (семнадцать сотых метра) и др.

Пример 3. Поскольку кг (одна тысячная килограмма).

Рассмотрим задачу на нахождение дроби от числа.

Задача 1. Сколько градусов составляет  развернутого
угла?

Решение. Развернутый угол поделим на 5 равных частей.  развернутого угла равна , тогда  развернутого угла — это

Рассмотрим задачу на нахождение числа по его дроби.

Задача 2. Дорога от A до B равна 120 км, что составляет   дороги от A до C. Какое расстояние между A и C?

Решение (рис. 208). Поскольку три четверти дороги составляет 120 км, то одна четвертая часть дороги равна 120 : 3 = 40 км. Тогда вся дорога в четыре раза длиннее, чем 40 км, то есть равна 40 • 4 = 160 км.

Дробные числа, как и натуральные, можно изображать на координатном луче. Например, для изображения дроби  (рис. 209) поделим единичный отрезок на 8 равных частей. Затем от начала луча отложим последовательно 3 такие части. Получим точку A, изображающую число  Можно записать  Длина отрезка ОА  равна  единицы.

Обыкновенные дроби и деление натуральных чисел

Разрезаем арбуз на две равные части. Если взять две половинки, то есть арбуза, то получим целый арбуз.

Итак  Аналогично  и т. д.

Пусть надо разделить три яблока между четырьмя детьми. Число 3 не делится нацело на 4. Поэтому сначала разделим каждое яблоко на 4 равные части — будем иметь 12 четвертей яблока. Дадим каждому по 3 такие части (рис. 222).
Итак, каждый ребенок получит по  яблока. Дробь  получили, поделив 3 яблока на 4 равные части, то есть 

Итак,

значение дроби равно частному от деления числителя дроби на его знаменатель:   
Вместе с тем

частное от деления одного числа на другое равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю: .
С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом.

Например,

Если нацело разделить нельзя, то частное является дробным числом.

Например,

Пример №18

Запишем число 4 в виде дроби со знаменателем 3. Для этого надо найти такое число, поделив которое на 3, получим 4. Такое число 3 • 4, то есть 12.
Итак,
Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Числителем этой дроби является произведение числа и этого знаменателя.

Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Разделим прямоугольник на 4 равные части (рис. 223). Две такие части вместе составляют половину прямоугольника. То есть   прямоугольника равны  прямоугольника. Поэтому говорят, что дроби  и  равны и записывают 

На координатном луче равные между собой дроби обозначают одной и той же точкой (рис. 224). Две равные дроби обозначают одно и то же число.

Пусть торт разрезали на 8 равных частей. На одну тарелку положили одну часть, а на другую — три (рис. 225). Одна часть торта — это 1/8 торта, а три — 3/8 торта. Поскольку 1 часть меньше, чем 3 такие же части, то

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, числитель которой больше, и та дробь меньше, числитель которой меньше.

На рисунке 226 точка  лежит левее точки 
Большей дроби на координатном луче соответствует точка, лежащая правее, а меньшей — точка, лежащая левее.

 

Правильные и неправильные дроби

Числитель обыкновенной дроби может быть меньше знаменателя, может равняться ему или быть больше знаменателя. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной дробью. К примеру, 
правильные дроби.

Правильная дробь меньше 1.

Например,  (рис. 227). Вообще, если а и b — натуральные числа и

Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью. Например,  неправильные дроби.
Если числитель и знаменатель неправильной дроби равны между собой, то такая дробь равна 1.

Например,   (рис. 227). Вообще, если a —  произвольное число, то 

Если числитель неправильной дроби больше чем знаменатель, то эта дробь больше 1.

Например,  (рис. 227). Вообще, если а и b — натуральные числа и

Рассматривают также дроби вида  где b — натуральное число. Считают, что такие дроби равны 0. Например, .

Смешанные числа

На координатном луче (рис. 230) изображена дробь  

Она содержит 1 целую единицу и еще  единицы.

Это записывают так:   (читают: «одна целая три пятых»). Число это сумма  которая записана без знака сложения. Число 1 называют целой частью числа  а число его дробной частью. Эти числа   равны между собой.
Говорят, что из неправильной дроби   выделены целая и дробная части.
Чтобы выделить целую и дробную части из неправильной дроби  , разделим 8 на 5. Есть неполное частное 1 и остаток 3. Число 1 дает целую часть, а остаток 3 — числитель дробной части.

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо поделить числитель неправильной дроби на знаменатель. Тогда неполное частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель неправильной дроби — знаменателем дробной части.

Пример №19

Из неправильной дроби  выдели целую и дробную части.
Решение. Делим 42 на 5. Есть неполное частное 8 и остаток 2. Следовательно,

Такие числа, как  называют смешанными числами (или смешанными дробями). Число 1 называют целой частью смешанного числа  а число   его дробной частью.

Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь будет натуральным числом — частным от деления числителя на знаменатель.
Например, и т. д.  Говорят, что числа   и  не имеют дробной части (или дробная часть равна нулю). Правильные дроби (  и т. д.) не имеют целой части. Говорят, что целая часть правильной дроби равна нулю.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

С обыкновенными дробями, так же, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

На рисунке 231 изображено сложение отрезков OA и AB: OA + AB = OB.

Длина отрезка OA составляет  единицы, длина отрезка AB равна  и длина отрезка OB равна  той же единицы.   это сумма чисел  и   запишем: 

Можно сформулировать правило: 

чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель. В буквенном виде:

. 
Вернемся к рисунку 231, видим, что ОВ – АВ = ОА,  поэтому 

Итак,

чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, надо от числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и оставить тот же знаменатель. В буквенном виде:

  (a > b или a = b).

При сложении дробей складываются их числители, а это — натуральные числа.

Поэтому здесь выполняется переместительное и сочетательное свойства сложения.

Пример №20

  

Пример №21

 

Если результатом является неправильная дробь, то принято из этой дроби выделять целую и дробную части.

Дробное число, содержащее целую и дробную части, можно превратить в неправильную дробь.

Пример №22

Представить в виде неправильной дроби число

Решение.   Запишем число 4 в виде дроби со знаменателем 7, а именно: 

Тогда 

Заметим, что 31 = 4 • 7 + 3.  

Итак,

чтобы превратить смешанную дробь в неправильную, надо умножить ее целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму числителем неправильной дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменений.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение и вычитание смешанных чисел выполняются на основе свойств этих действий.

Рассмотрим примеры.

Пример №23

   
Сокращенная запись:

При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, а дробные — отдельно. Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получают неправильную дробь. В этом случае из нее выделяют целую часть и прибавляют ее к целой части, которую уже имеют.

Пример №24

 

Рассмотрим пример вычитания смешанных чисел, когда дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого. В таких примерах целесообразно целые части вычесть отдельно, а дробные — отдельно и сложить полученные числа.

Пример №25

  

Запишем это сокращенно 

Рассмотрим примеры, где от целого числа отнимают правильную дробь.

Пример №26

Выполни вычитание:

Решение. 1) Для нахождения разницы  представим 1 в виде дроби со знаменателем 13, а именно 
Имеем:  

2) Поскольку,  то имеем:  

В следующем примере дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример №27

Выполни вычитание 
Решение. «Подготовим» уменьшаемое   к вычитанию так: 
 
Тогда 

Десятичная дробь. Запись десятичных дробей

Наряду с обычными дробями для записи дробных чисел используют десятичные дроби.

Пример №28

Выразим расстояние 7 дм 3 см в дециметрах. 
Поскольку 

Поэтому  

Пример №29

 

Знаменатель дробной части числа равен 10, а числа  равен 100. Числа со знаменателями 10, 100, 1000...принято записывать без знаменателя с помощью запятой: сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части; целую часть отделяют от дробной части запятой.

Например,  (читают: «7 целых 3 десятых»),   (читают: «8 целых 17 сотых»). Числа 7,3 и 8,17 — десятичные дроби. В виде десятичной дроби можно записать любое число, знаменатель дробной части которого является единицей с одним или несколькими нулями. Цифры дробной части еще называют десятичными знаками. В числе 8,17 два десятичных знака: 1 и 7.

Если дробь правильная, то перед запятой пишут цифру 0.

Пример №30

    (читают: «0 целых 29 сотых метра»).

Пример №31

Выразим 9 кг 71 г в килограммах и запишем десятичной дробью. Поскольку   а поэтому  В дробной части
найденного  числа нет десятых частей килограмма (сотен граммов). Поэтому на первом месте после запятой пишут цифру (читают: «9 целых 71 тысячная килограмма »).

Итак,

чтобы записать обычную дробь, знаменатель дробной части которой — разрядная единица 10, 100, 1000 ..., в виде десятичной дроби,

• 1) записывают целую часть числа (она может быть равна 0) и ставят запятую;
• 2) справа от запятой записывают числитель дробной части, но он должен содержать столько знаков, сколько нулей в знаменателе. Если в числителе меньше знаков, чем нулей в знаменателе, то после запятой перед цифрами числителя надо дописать такое количество нулей, которого не хватает.

Например,

Десятичные дроби записывают по такому же принципу, что и натуральные числа в десятичной системе: каждая следующая единица, стоящая справа, в 10 раз меньше предыдущей. На первом месте после запятой стоит разряд десятых, на втором — разряд сотых, на третьем — разряд тысячных и т. д.

Десятичные дроби, как и обычные, можно изображать на координатном луче. Например, чтобы на координатном луче изобразить десятичную дробь 0,6, сначала запишем его в виде обыкновенной дроби: 0,6 =  Затем разделим единичный отрезок на 10 равных частей, каждая из которых составляет = 0,1 единичного отрезка, и отложим от начала луча шесть таких частей. Имеем точку A, что соответствует числу 0,6 (рис. 232).

Чтобы изобразить число 1,3, поделим отрезок между числами 1 и 2 на десять равных частей и отсчитаем 3 такие части справа от числа 1. Имеем точку B, соответствующую числу 1,3 (рис. 232).

Десятичная дробь. Запись десятичных дробей

Важно научиться сравнивать десятичные дроби. Начнем с такого примера.
Известно, что 3 дм = 30 см = 300 мм. Выразив 3 дм, 30 см и 300 мм в метрах, получим 3 дм = 0,3 м; 30 см = 0,30 м; 300 мм = 0,300 м.  

Поскольку 3 дм = 30 см = 300 мм, то 0,3 м = 0,30 м = 0,300 м.

Следовательно,

• если справа в десятичной дроби приписать один или несколько нулей или убрать один или несколько нулей, то получим дробь, равный данному.

Например: 7 = 7,00;  0,37 = 0,370;  1,0200 = 1,02 и тому подобное. Десятичные дроби записывают по тем же правилам, что и натуральные числа, поэтому сравнивать десятичные дроби можно по правилам, аналогичным правилам сравнения натуральных чисел.

Сначала надо сравнить целые части десятичных дробей: из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. К примеру:
(поскольку ),
(поскольку ).

Если целые части дробей, которые сравнивают, равны между собой, то сравнивают их десятичные части: из двух десятичных дробей с одной и той же целой частью больше та, у которой больше число десятых. Например: 14, 56 > 14,49. Если две десятичные дроби имеют равные целые части и десятые, то сравнивают сотые и т. д. Например:  14,49 > 14,47.
Иногда для того, чтобы сравнить десятичные дроби, нужно сначала уравнять в них число десятичных знаков, приписав справа одному из них нужное количество нулей. Например, нужно сравнить 7,23 и 7,237. Поскольку 7,23 = 7,230 и 7,230 < 7, 237, то 7,23 < 7,237.

Итак, имеем правило сравнения десятичных дробей:

из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть;

• если десятичные дроби имеют равные целые части, тем больше будет та дробь, у которой большее число десятых; если число десятых одинаковое, тем больше будет та дробь, у которой большее число сотых и т. д.

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой. Например, на рисунке 241 дроби 1,4 и 1,40 изображаются одной и той же точкой A. Точка, что изображает меньшую десятичную дробь, лежит на координатном луче левее точки, изображающей большую десятичную дробь.
Например, на рисунке 241 точка A (1,4) лежит левее точки B (1,8).

Округление натуральных чисел и десятичных дробей

Предположим, например, что количество учащихся в школе на 1 сентября составляет 1682. Через некоторое время количество учащихся в школе может измениться. В числе может измениться цифра разрядов единиц, а возможно, и десятков. Поэтому можно сказать, что в школе учится примерно 1680 учеников. То есть мы заменили цифру единиц на ноль. В этом случае говорят, что число округлили до десятков. Это записывают так:  1682  1680. Знак  читают: «приближенно равно».

Округляя числа до заданного разряда, нужно, чтобы округленное число меньше отличалось от заданного числа. Так, округляя 1682 до сотен, имеем 1682 1700 (поскольку 1682 ближе к 1700, чем до 1600) (рис. 242).

Пусть, например, нужно округлить до десятков число 435. Это особый случай, поскольку число 435 равноудалено от чисел 430 и 440 (рис. 243). В таких случаях договорились округлять число «в сторону большего значения». Итак, 435  440. 

Имеем правило округления натурального числа:

округляя натуральное число до определенного разряда,

1. все цифры, записанные с этим разрядом, заменяют нулями;
2. если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю цифру, которая осталась, не изменяют; если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю цифру, которая осталась, увеличивают на единицу.

Пример №32

Округли число 85 357 до тысяч.

Решение. Подчеркнем цифру 5 в разряде тысяч 85 357. Цифры, стоящие справа от нее (то есть 3, 5 и 7), заменяем нулями. Следующая по уровню тысяч цифра 3, поэтому цифру тысяч 5 не меняем:

Ответ:  85 000.

Пример №33

Округли число 68 792 до самого высшего разряда.

Решение. Высшим разрядом данного числа является десятки тысяч. Поэтому цифры 8, 7, 9 и 2 заменяем нулями. Цифру в разряде десятков тысяч 6 увеличиваем на единицу, поскольку следующая за ней цифра 8. Итак, записываем так:

Ответ:  70 000.

На практике также часто возникает потребность округлить десятичные дроби. При этом будем пользоваться теми же правилам, что и для натуральных чисел.

Пример №34

Округли число 82,2732 до десятых.

Решение.  
При этом подчеркиваем цифру, которая стоит в разряде десятых. Цифры сотых, тысячных и десятитысячных заменяем нулями, а цифру десятых увеличиваем на 1, поскольку следующая за ней цифра 7. Однако 82,3000 = 82,3. Поэтому 82,2732 82,3. 

Пример №35

Округли число 32,372 до сотых.

Решение.  

Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде сотых, цифру тысячных заменяем нулем, а цифру сотых оставляем без изменений, поскольку следующая за ней цифра 2. Однако 32,370 = 32,37. Поэтому 32,372  32,37. 

Пример №36

Округли число 983,42 до десятков.

Решение. Если десятичную дробь округляют до разряда, высшего по единице, то дробную часть исключают, а целую часть округляют по правилу округления натуральных чисел. Поэтому 983,42  980. 

Итак, имеем правило округления десятичных дробей.

округляя десятичную дробь до определенного разряда,

1. все цифры, записанные с этим разрядом, заменяем нулями или отбрасываем (если они стоят после запятой);
2. если первой цифрой по этому разряду является 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не меняем; если первой цифрой по этому разряду есть 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличиваем на 1.

Если при округлении десятичной дроби последняя цифра, оставшаяся в дробной части, будет 0, то отбрасывать ее нельзя (как мы это делаем с точными числами). В этом случае цифра 0 в конце дробной части показывает, до какого разряда округлено число.

Пример №37

Округли число 43,957 до десятых.

Решение. 43,957  44,0.  

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби записывают по тому же принципу, что и натуральные числа. Поэтому сложение и вычитание выполняют по соответствующим схемам для натуральных чисел.

Во время сложения и вычитания десятичные дроби записывают «столбиком» — одну под другой так, чтобы одноименные разряды стояли друг под другом. Таким образом, запятая будет стоять под запятой. Далее выполняем действие так же, как с натуральными числами, не обращая внимания на запятую. В сумме (или разности) запятую ставим под запятыми слагаемых (или запятыми уменьшаемого и вычитаемого).

Пример №38

37,982 + 4,473.

Объяснение. 2 тысячных плюс 3 тысячных равно 5 тысячных. 8 сотых плюс 7 сотых равно 15 сотых, или 1 десятая и 5 сотых. Записываем 5 сотых, а 1 десятую запоминаем и т. д.

Пример №39

42,8 — 37,515.

Объяснение. Поскольку уменьшаемое и вычитаемое имеют разное количество знаков после запятой, то можно приписать в уменьшаемом нужное количество нулей. Разберись самостоятельно, как выполнен пример.

 

Заметим, что при сложении и вычитании нули можно и не дописывать, а мысленно представлять их на тех местах, где нет разрядных единиц.
При сложении десятичных дробей выполняются изученные ранее переместительное и сочетательное свойства сложения: 

Умножение десятичных дробей

Чтобы выполнять умножение десятичных дробей, надо уметь умножать натуральные числа и научиться правильно определять запятые в полученном произведении. Рассмотрим пример, который поможет сформулировать правило умножения десятичных дробей.

Задача №22

Стороны прямоугольника 3,7 дм и 4,5 дм. Найди его площадь.

Решение. Поскольку мы пока не умеем умножать десятичные дроби, решим эту задачу, используя правило умножения натуральных чисел. Для этого выразим данные в сантиметрах 3,7 дм = 37 см, 4,5 дм = 45 см. Тогда площадь прямоугольника равна 37 • 45 = 1665 (см²). 
Поскольку   Тогда 

Следовательно, площадь прямоугольника 16,65 дм².  

Ответ. 16,65 дм².  

Решая задачу, нашли, что 3,7 • 4,5 = 16,65. Произведение 16,65 можно найти проще: достаточно перемножить натуральные числа 37 и 45, не обращая внимания на запятые, а в найденном произведения отделить справа запятой две цифры — столько их есть после запятых в обоих множителях вместе.

Итак,

десятичные дроби умножают по следующему правилу:

• 1) перемножить натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
• 2) в произведении отделить справа запятой столько десятичных знаков, сколько их имеют оба множителя вместе.

Заметим, что во время умножения нет необходимости записывать запятую под запятой.

Пример №40

14, 37 • 0,8.

Объяснение. 1437 • 8 = 11 496, множители вместе имеют три десятичных знака после запятой, поэтому в произведении следует отделить справа запятой 3 знака.

Может случиться так, что в произведении, который получим после умножения натуральных чисел, будет меньше цифр, чем их надо отделить запятой. Тогда слева следует приписать нужное количество нулей.

Пример №41

0,032 •  1,04.

Объяснение. 32 • 104 = 3328. Множители вместе имеют 5 десятичных знаков после запятой.
Чтобы отделить столько же знаков, считая справа, надо слева в произведении дописать ноль как десятичный знак и один ноль, что означает ноль целых: 0,03328.

По рассмотренным правилам умножаем и десятичную дробь на натуральное число. 

Пример №42

0,26 • 14.

Объяснение. 26 • 14 = 364. Множители вместе имеют 2 десятичных знака. В произведении отделяем справа 2 знака.

При умножении десятичных дробей справедливы все изученные ранее свойства умножения.
Переместительное свойство:  

• сочетательное свойство:
• распределительное свойство:  

Отдельные случаи умножения десятичных дробей

Умножим по правилу умножения десятичных дробей 5,725 на 10. Если умножить 5725 на 10 получим 57250, отделяем справа запятой три десятичных знака.

Итак, 5,725 • 10 = 57,250 = 57,25.

Аналогично можно получить

5,725 • 100 = 572,5 ;

5,725 • 1000 = 5725.

Полученные произведения 57,25; 572,5 и 5725 отличаются от первого множителя 5,725 лишь местом запятой: при умножении десятичной дроби на 10 запятую в нем переносим на одну цифру вправо, на 100 — на две цифры, при умножении на 1000 — на три цифры.

Обобщая, есть правило:

• чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ..., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе после единицы.

Если знаков не хватает, то справа дописывают нужное количество нулей.

Например,  4,7 • 100 = 470;          2,13 • 10 000 = 21 300. 

Умножим по правилу умножения десятичных дробей 137,8 на 0,1. Должны умножить 1378 на 1, получим 1378 и отделим справа два десятичных знака.

Итак, 137,8 • 0,1 = 13,78.  

Аналогично можно получить  137,8 • 0,01 = 1,378;     137,8 • 0,001 = 0,1378; 

Полученные произведения 13,78; 1,378; 0,1378 отличаются от первого множителя 137,8 лишь местом запятой: при умножении десятичной дроби на 0,1 запятую в нем переносим на одну цифру влево, на 0,01 — на две цифры, при умножении на 0,001 — на три цифры.

Обобщая, есть правило:

• чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; ..., надо в этом дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе перед единицей (включая и ноль целых).

Если нулей не хватает, то дописывают слева нужное количество нулей.
К примеру,  4,7 • 0,01 = 0,047;  2,13 • 0,0001 = 0,000213.

Деление десятичной дроби на натуральное число

Чтобы выполнить деление десятичной дроби на десятичную дробь, надо уметь выполнять деление натуральных чисел и научиться правильно определять запятые в полученном частном.

Сначала рассмотрим пример, который поможет сформулировать правило деления десятичной дроби на натуральное число.

Задача №23

Длина прямоугольника равна 15,6 дм, а ширина — в 4 раза меньше. Найди ширину прямоугольника.

Решение. Чтобы решить задачу, выразим длину прямоугольника в сантиметрах:
15,6 дм = 156 см. Имеем 156 : 4 = 39. Следовательно, ширина прямоугольника 39 см, то есть 3,9 дм.
Итак, 15,6 : 4 = 3,9.

Такой же результат можно было получить проще, не превращая дециметры в сантиметры.

Для этого нужно разделить 15,6 на 4, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Итак,

чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую, однако поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части;
2. при необходимости приписать справа после запятой нужное количество нулей, чтобы закончить деление.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.

Пример №43

Обрати внимание на то, что после деления 28 на 5 получили в частном 5 и остаток 3 десятых. Превратили 3 десятых в 30 сотых (приписав 0). Делим 30 сотых на 5, имеем в частном 6 сотых, а в остатке 0, деление завершено.

По этому же правилу можно выполнять деление натуральных чисел, если деления не выполняется нацело.

Пример №44

20 : 8 = 2,5.

С помощью деления можно находить десятичную дробь, равную данной обычной дроби, то есть превращать обычную дробь в десятичную.

Пример №45

Преврати дробь  в десятичную.

Решение.   

Итак,  
Учитывая, что 1,83 • 10 = 18,3, тогда  18,3 : 10 = 1,83.

При делении на 10 запятую переносим на одну цифру влево.
Поскольку 17,254 • 100 = 1725,4, то 1725,4 : 100 = 17,254. 
При делении на 100 запятую переносим на две цифры влево.

Обобщая, получаем правило:

• чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ..., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей содержит делитель.

Деление на десятичную дробь

Рассмотрим, например, частное 16 : 8 = 2. Умножим делимое и делитель, например, на 3. Имеем: (16 • 3) : (8 • 3) = 48 : 24 = 2. Видим, что частное 16 : 8 не изменилось. Поделим делимое и делитель частного 16 : 8 на 2. Получим: (16 : 2) : (8 : 2) = 8 : 4 = 2. Частное 16 : 8 снова не изменилось. Отсюда можно сформулировать правило, которое называют основным свойством частного:

• если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то частное не изменится.

Основное свойство частного позволяет свести деление на десятичную дробь к делению на натуральное число.

Пусть надо разделить 35,56 на 1,4.

Основное свойство частного подтверждается также и для десятичных дробей. Поэтому умножим делимое и делитель на такое число, чтобы делитель стал натуральным числом. Таким множителем будет 10, так 1,4 • 10 = 14. Итак, деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число:

Рассуждая так, вместо частного, например, 1,215 : 0,45, находим частное 121,5 : 45 = 2,7; вместо частного 0,044 : 0,016  — частное 44 : 16 = 2,75 и тому подобное.

Во всех случаях делимое и делитель умножаем на разрядную единицу 10, 100, 1000, ..., а для этого достаточно перенести запятую вправо на 1, 2 или 3 знака.

Получаем правило:

• чтобы разделить число на десятичную дробь, надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их в делителе; после чего выполнить деление на натуральное число.

Если в делимом после запятой меньше цифр, чем в делителе, то к нему дописывают нужное количество нулей.

Например, 4,2 : 0,002 = 4200 : 2 = 2100. 

Поделим 3,748 на 0,1. После переноса запятой на 1 знак вправо в делимом и делителе имеем 3,748 : 0,1 = 37,48 : 1 = 37,48.  

Еще примеры:

4,973 : 0,01 = 497,3 : 1 = 497,3;   5,4 : 0,001 = 5400 : 1 = 5400.

Отсюда получаем правило:

• чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; ..., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей содержит делитель перед единицей (включая ноль целых).

Проценты. Нахождение процентов от данного числа

Во время различных вычислений часто приходится определять части числа  (половину),  (четверть),   и т. д.

Удобнее в таких вычислениях находить сотые части числа, или проценты (Слово «процент» происходит от латинского слова per cent — «на сотню», что указывает на уменьшение единицы измерения в сто раз. Например, сантиметр — сотая часть метра ) , поскольку при этом приходится умножать или делить на число 100.

Процентом  называют сотую часть  любого числа (или числового значения величины).

Для обозначения процента используют знак %:

Найти 1% от числа — значит найти одну сотую часть этого числа.

Задача №24

Найди 1 % от 400 руб.

Решение. Принимаем 400 руб. за 100 %. Чтобы найти 1 %, нужно 400 руб. поделить на 100. 400 : 100 = 4 руб.

Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра — сантиметром, сотую часть гектара — аром (или сотней). Например, килограмм — это один процент центнера, сантиметр — один процент метра, ар — один процент гектара.

Можно записать также:
 и т. д.

Чтобы превратить проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Поскольку 1 % равен сотой части величины, вся величина равна 100 %. Итак,

Чтобы превратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100.

К примеру:

Чтобы превратить обычную дробь в проценты, надо сначала преобразовать ее в десятичную дробь, а затем умножить на 100.

Например:

Некоторые из равенств между обыкновенными дробями и процентами целесообразно запомнить!

Рассмотрим задачу нахождения процентов от заданного числа.

Задача №25

Молоко содержит 4 % жира. Сколько жира содержится в 800 кг молока?

Решение. 1-й способ. Найдем сначала 1 % от числа 800. Для этого нужно 800 разделить на 100. Имеем 800 : 100 = 8. Полученный результат нужно умножить на количество процентов. Имеем 8 • 4 = 32 кг. Итак, в 800 кг молока содержится 32 кг жира.

2-й способ. Этот же результат можно было получить по-другому: 4 % = 0,04. Если выполнить умножение 800 на 0,04, то получим 800 • 0,04 = 32 кг.

Итак, решая первым способом, мы нашли, сколько килограммов жира приходится на 1 %, затем умножили это количество на соответствующий процент, а решая вторым способом, выразили процент десятичной дробью и умножили данное число на эту дробь.

Нахождение числа по его проценту

Мы уже умеем находить процент от числа. Рассмотрим задачу нахождения числа по его проценту.

Задача №26

Ученик прочитал 120 страниц, что составляет 30 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение. 1-й способ. Найдем количество страниц, приходящихся на 1 %. Для этого надо 120 разделить на 30. Имеем 120 : 30 = 4. Чтобы узнать, сколько страниц в книге, надо умножить 4 на 100 (поскольку вся книга составляет 100 %).
Итак, 4 • 100 = 400, в книге 400 страниц.

2-й способ. Этот же результат можно было получить по-другому: 30 % = 0,3, если выполнить деление 120 на 0,3, то получим 120 : 0,3 = 400 страниц.

Итак, решая первым способом, мы нашли, сколько страниц приходится на 1 %, а затем это количество умножили на 100, а решая вторым способом, выразили процент десятичной дробью и поделили данное число на эту дробь.

Среднее арифметическое. Среднее значение величины

В повседневной жизни мы часто слышим слово «средний». Например, речь может идти о средней урожайности с 1 га сельскохозяйственной культуры на некотором участке, среднем количестве осадков в некотором месяце  в России, средней зарплате рабочих некоторого предприятия, средней скорости автомобиля и тому подобное.

Задача №27

Фермер выращивал на трех участках (по 1 га каждый) пшеницу трех сортов. С первого поля собрали 34,3 ц, со второго — 39,5 ц, а с третьего — 34,8 ц пшеницы. Сколько центнеров зерна собрал фермер в среднем с 1 га?

Решение. Найдем сначала, сколько центнеров пшеницы было собрано с трех участков вместе. Имеем 34,3 + 39,5 + 34,8 = 108,6 ц. Средний урожай с 1 га показывает, сколько центнеров зерна собрано с каждого гектара, если считать, что весь урожай распределен между тремя участками поровну. Для этого надо общее количество центнеров разделить на 3. Имеем 108,6 : 3 = 36,2 ц. Итак, средний урожай с 1 га составляет 36,2 ц.

Число, найденное при делении суммы чисел на количество слагаемых, называют средним арифметическим этих чисел.

Например, средним арифметическим чисел 2,5; 3,7; 2,8 и 4,2 является число 3,3, поскольку  (2,5 + 3,7 + 2,8 + 4,2) : 4 = 3,3.
 

Задача №28

Пешеход шел 2 часа со скоростью 4,2 км/ч и 3 часа со скоростью 4,7 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен идти, чтобы преодолеть то же расстояние за то же время?

Решение. Найдем расстояние, которое прошел пешеход: 4,2 • 2 + 4,7 • 3 = 22,5 км. Разделим это значение на использованное время: 22,5 : 5 = 4,5 км/ч. Итак, пешеход должен идти с постоянной скоростью 4,5 км/ч.

Такую скорость называют средней скоростью движения. Этот же ответ можно было бы получить, если найти среднее арифметическое скоростей за каждый час движения: (4,2 + 4,2 + 4,7 + 4,7 + 4,7) : 5 = 4,5 км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость движения, надо весь пройденный путь разделить на все затраченное время.

Аналогично можно находить среднее значение любой величины.

Задача №29

Найди среднюю температуру воздуха в 7 часов утра за 5 дней, если она в течение этих дней была

Решение.

Делимость натуральных чисел

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Делители и кратные натурального числа

15 яблок можно разделить поровну между пятью детьми, дав каждому по 3 яблока. А если разделить (не разрезая) эти самые 15 яблок между шестью детьми, то каждый ребенок получит по 2 яблока и еще 3 яблока не будут разделены.

Число 15 делится на 5 без остатка (15 : 5 = 3). Говорят, что число 5 будет делителем числа 15. Число 15 не делится на 6 без остатка (15 : 6 = 2 (ост. 3)). Поэтому число 6 не будет делителем числа 15. 

Делителем натурального  числа  называют натуральное число, на которое оно делится без остатка. 

Например, делителями числа 10 будут числа 1, 2, 5 и 10, а делителями числа 17 — 1   и 17. Число 10 имеет четыре делителя, а число 17 — два делителя, число 1 имеет только один делитель — 1.

В дальнейшем вместо слов "делится без остатка" для случая, когда делимым и делителем будут натуральные числа, будем использовать слово "делится".

Любое натуральное число  делится на 1 и . Следовательно, 1 и —  делители числа , причем 1 — наименьший делитель, — наибольший.

Пример №46

Найти все делители числа 18.

Решение. Два делителя числа 18 очевидные: 1 и 18. Чтобы найти другие, будем проверять подряд все натуральные числа, начиная с 2. Получим еще  четыре делителя: 2, 3, 6 и 9. Следовательно, число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Этот поиск чисел можно сократить, если, найдя один делитель, записать  сразу и другой, который является частным от деления числа 18 на найденный делитель. Таким образом, получим пары: 1 и 18, 2 и 9, 3 и 6. Во время вычисления их удобно записывать так:

 

Пусть на столе лежат коробки, в каждой из которых находится 12 карандашей. Не  вскрывая коробки, можно взять 12 карандашей, 24 карандаша, 36 карандашей, а вот 16 карандашей взять нельзя. Говорят, что числа 12, 24, 36 кратные числу  12, а число 16 не кратное числу 12.

Кратным натуральному числу  называют натуральное число, которое делится на .

Любое натуральное число  имеет множество кратных. Например, первые  пять чисел, которые кратны числу 12, такие: 12, 24, 36, 48, 60. Наименьшим кратным натурального числа будет само это число.

Вообще, все числа, которые кратны числу  можно получить, умножив последовательно на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., а именно:

         

Заметим, что слова "делится" и "кратное" заменяют друг друга. Например,  выражения "40 делится на 8" и "40 кратно числу 8" имеют один и тот же смысл.

Пример №47

Найти наименьшее и наибольшее четырехзначные числа, кратные числу 23.

Решение.

1) 1000 — наименьшее четырехзначное число. 1000  : 23 = 43 (ост. 11).  Поэтому 23 • 44 = 1012   — наименьшее четырехзначное число, которое кратное числу 23.

2) 9999— наибольшее четырехзначное число. 9999 : 23 = 434 (ост. 17). Поэтому 23 • 434 = 9982 — наибольшее четырехзначное число, которое кратно числу 23.

Признаки делимости на 10, 5 и 2

Припустим, что нужно узнать, делится ли число 137 146 на 5. Для этого можно выполнить деление и получим ответ на поставленный вопрос. Но ответ можно найти значительно проще, не используя деление, при помощи признаков делимости. Рассмотрим некоторые из них.

Любое натуральное число, заканчивающееся цифрой 0, делится на 10. Чтобы получить частное, достаточно в делителе откинуть эту цифру 0. Например, 2730 : 10 = 273. При делении же числа 2734 на 10 получим неполное частное 273 и остаток 4 (то есть последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отличается от нуля, тогда это число не делится на 10. Собственно, имеем признак делимости на 10: 

на 10 делятся все те натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Если запись числа заканчивается любой другой цифрой, тогда число не делится на 10.

На 5 делится только числа, которые кратны числу 5, то есть числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Последней цифрой каждого из этих чисел будет или 0, или 5. Поэтому имеем признак делимости на 5:

• на 5 делятся все те натуральные числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Если запись числа заканчивается любой другой цифрой, тогда число не делится на 5.

На 2 делятся только числа, кратные числу 2, то есть числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Запись чисел, кратных числу 2, заканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры называют четными цифрами. Остальные, 1, 3, 5, 7, 9, называют нечетными цифрами. Собственно, имеем признак делимости на 2:

• на 2 делятся все те числа натуральные числа, запись которых заканчивается четной цифрой.

Если запись числа заканчивается нечетной цифрой, то число не делится на 2. 

Натуральные числа, которые делятся на 2, называют четными числами, все остальные натуральные числа—нечетные. Например, числа 86, 104, 510, 78, 1112 — четные, а 87, 113, 2001, 405, 9999 — нечетные.

Признаки делимости на 9 и 3

Запишем несколько первых чисел, кратных числу 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...

Очевидно, что число, кратное числу 9, может заканчиваться любой цифрой. Поэтому делать вывод про делимость на 9 по последней цифре записи нельзя.  

Найдем сумму цифр каждого из нескольких чисел, которые делятся на 9 и сумму цифр каждого из нескольких чисел, которые не делятся на 9. Результаты подадим в виде таблицы и выясним, как связана делимость самого числа на 9 с делимостью суммы его цифр на 9.

Сформируем признак деления на 9:

• на 9 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, тогда это число не делится на 9.

Подобно этому признак делимости на 3:

• на 3 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, тогда это число не делится на 3.

Пример №48

Выяснить, делится ли на 3 число: 1) 2571; 2) 14 021.

Решение. 1) Сумма цифр числа 2571 ровно 2 + 5 + 7 + 1=15, сумма цифр делится на 3, поэтому число 2571 делится на 3.

2) Поскольку сумма цифр числа 14 021,  равная 1 + 4 + 0 + 2 + 1=8, не делится на 3, то и число 14 021 не делится на 3.

Простые и составные числа

Число 11 делится только на 1 и на себя. Другими словами, число 11 имеет только два делителя: 1 и 11. У числа 8 четыре делителя: 1, 2, 4 и 8. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, и 18.

Такие числа, как 8 и 18, называют составными числами, а такие, как 11,— простыми числами.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само число. Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель: сам себя. Поэтому оно не будет ни простым, ни составным.

Первыми десятью простыми числами будут 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. В лекции приведём таблицу простых чисел от 2 до 997.

Наименьшее простое число — 2, наибольшего простого числа не существует. Какое бы простое число мы бы не взяли, существует число, большее него. Простых чисел множество. Среди простых чисел только число 2 будет четным, все остальные — нечетные.

Как узнать, что данное число будет простым или составным? Если число имеет делитель, отличный от 1 и самого себя, тогда это число имеет больше двух делителей и поэтому будет составным.

Пример №49

Простым или составным будет число 10 345?

Решение. Это число будет составным, так как имеет делителем число 5, отличное от 1 и 10 345.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больший за 1. Простое число так разложить на множители нельзя. 

Разложение чисел на простые множители 

Каждое составное число можно представить в виде произведении хотя бы двух множителей, отличными от единицы. Например, 330 = 10 • 33. Если среди таких множителей будут составные числа, тогда их можно подать в виде произведении двух множителей. Например, 330 = 10 • 33 = (2 • 5) • (3 • 11) = 2 • 3 • 5 • 11. Схематически это можно подать так:

Если составное число подано в виде произведения, все множители которого будут простыми числами, тогда говорят: составное число разложили на простые множители. Например,  12 = 2 • 2 • 3;  150 = 2 • 3 • 5 • 5;  900 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5  и так далее. Разложением простого числа на простые множители будем считать именно это число.

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать признаки делимости на 2, 3 и 5. При разложении многозначных чисел на простые множители используют схему, которая подана в следующем примере.

Пример №50

Разложить на простые множители число 420.

Решение. Запишем число 420 и справа от него проведем вертикальную черту. Это число делится на 2, ибо заканчивается цифрой 0. Запишем этот делитель 2 справа от черты, а частное 420 : 2 = 210 запишем под числом 420. Далее из числом 210 выполняем тоже самое: 210 : 2 = 105. Число 105 не делится на 2, ибо заканчивается непарной цифрой. Но 105 делится на 3, либо сумма его цифр (1 + 0 + 5  = 6) делится на 3. Имеем 105 : 3 = 35.  Далее 35 : 5 = 7.  Число 7— простое, поделив его на 7, получим 1. Разложение закончено. Собственно,  столбик чисел справа от черты состоит из простых множителей, произведение которых равно 420, то есть 420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7. 

Заметим, что произведение одинаковых множителей у разложении числа на простые множители можно заменить степенью. Например,  и так далее.

Образуя все возможные произведения из найденных простых множителей по двое, по три(и так далее), получим все остальные делители числа.

Пример №51

Найти все делители числа 84.

Решение. Разложим число 84 на простые множители: 84 = 2 • 2 • 3 • 7.  

Делителями числа 84 будет 1, простые числа 2, 2, 3, 7 и все возможные их произведения:

по два:  2 • 2 = 4,  2 • 3 = 6,   2 • 7 = 14,   3 • 7 = 21;

по три:  2 • 2 • 3 = 12,   2 • 2 • 7 = 28,  2 • 3 • 7 = 42;

по четыре:  2 • 2 • 3 • 7 = 84. 

Собственно, делителями числа 84  будут 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Наибольший общий делитель

Рассмотрим задачу.

Задача №30

Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить, имея 32 конфеты "Белочка" и 24 конфеты "Чебурашка", если нужно использовать все конфеты и в каждом подарке должны быть конфеты двух видов?

Решение. Каждое из чисел 32 и 24 должно делится на количество подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа и , а потом — все делители числа  и

Общими делителями  (их подчеркнуто) чисел 32 и 24 будут 1, 2, 4, 8, а наибольшими — 8. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 32 и 24.

Собственно, можно составить 8 подарков, в каждом из которых будут 4 конфеты "Белочка" (32 : 8 = 4) и 3 конфеты "Чебурашка"  (24 : 8 = 3).

Наибольшим общим делителем нескольких натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел  и  обозначают так:  НОД Для предыдущей задачи можно записать НОД (32; 24) = 8.

В рассматриваемой задаче нашли наибольший общий делитель небольших чисел 32 и 24, записав все делители каждого из них. Также для нахождения наибольшего общего делителя (в частности, больших чисел) используют такое правило:

• наибольший общий делитель нескольких чисел равен произведению общих простых множителей этих чисел.

Пример №52

Найти НОД (630; 1470).     

Решение. Разложим числа 630 и 1470 на простые множители и подчеркнем те из них, которые будут общими в двух раскладах (а именно 2, 3, 5 и 7):

То есть, НОД (630; 1470) = 2 • 3 • 5 • 7 = 210. 

Пример №53

Найти НОД (60; 140; 220).

Решение. 

То есть, НОД (60; 140; 220) = 2 • 2 • 5 = 20. 

Имеем такое правило:

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, достаточно:

1) разложить данные числа на простые множители; 2) выписать все общие простые множители в найденных раскладах и вычислить их произведение.

Если среди данных чисел будет число, на которое делятся все другие из данных чисел, тогда это число и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Пример №54

Найти НОД (8; 64; 320).

Решение. Поскольку числа 64 и 320 делятся на 8, то НОД (8; 64; 320) = 8.

Если разложения данных чисел на простые множители не имеют общих множителей, тогда наибольшим общим делителем этих двух чисел будет число 1.

Два натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами.

Например, числа 12 и 35— взаимно простые, та как 12 = 2 • 2 • 3, 35 = 5 • 7 и НОД (12; 35) = 1. Числа же 15 и 18 не будут взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3.

Наименьшее общее кратное

Рассмотрим задачу.

Задача №31

Какое наименьшее целое количество метров ткани должно быть в свитке, чтобы ее можно было бы всю разрезать без остатка по 4 м или по 6 м?

Решение. Число метров в свитке должно делиться и на 4, и на 6, то есть должно быть кратным и числу 4, и числу 6.

Запишем числа, кратные числуи числа, кратные числу

Общими кратными (они подчеркнуты) чисел 4 и 6 будут числа 12, 24, 36, ..., наименьшее из которых 12. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 4 и 6. Собственно, наименьшее количество метров ткани, которое должно быть в свитке, равно 12 м. Тогда ее можно разрезать по 4 м на 3 части (12 : 4 = 3) или по 6 м на 2 части (12 : 6 = 2). 

Наименьшим общим кратным нескольких натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Наименьшее общее кратное двух чисел  и  обозначают НОК  Собственно, можно записать НОК (4; 6) = 12. 

В рассматриваемой задаче мы нашли наименьшее общее кратное небольших чисел. Для больших чисел этот способ будет громоздким, поэтому наименьшее общее кратное находят по другому.

Пример №55

Найти НОК (30; 36)

Решение. Разложим данные числа на простые множители 30 = 2 • 3 • 5 и 36 = 2 • 2 • 3 • 3. Наименьшее общее кратное должно делится и на 30, и на 36. Поэтому оно должно содержать все простые множители и первого, и второго числа.

Рассмотрим разложение одного из этих чисел, например 30 = 2 • 3 • 5, и выясним, каких простых множителей второго числа в этом разложении нет. Такими множителями будут 2 и 3. На самом деле, в разложении 30 = 2 • 3 • 5 будет один множитель 2 и один множитель 3, а в разложении 36 = 2 • 2 • 3 • 3 два множителя 2 и два множителя 3. Собственно, чтобы найти НОК (30; 36), нужно разложение 30 = 2 • 3 • 5 дополнить множителями 2 и 3, каких не хватает, Имеем:

НОК 

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, достаточно:

1. разложить данные числа на простые множители;
2. дополнить разложение одного из них теми множителями разложения второго числа, каких не хватает в разложении первого:
3. вычислить произведение найденных множителей.

По этому правилу можно найти наименьшее общее кратное трех и больше чисел. Тогда разложение одного из этих чисел на простые множители нужно дополнить теми простыми множителями остальных чисел, которых не хватает в его разложении, и вычислить произведение найденных множителей.

Пример №56

Найти НОК (42; 66; 90).

Решение. 42 = 2 • 3 • 7;  66 = 2 • 3 • 11;  90 = 2 • 3 • 3 • 5. 

НОК

Если одно из данных чисел делится на все другие, тогда это число и будет их наименьшим общим кратным.

Пример №57

Найти НОК (6; 9; 36).

Решение. Поскольку число 36 делится как на 6, так и на 9, тогда  НОК (6; 9; 36) = 36.

Наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел будет произведение этих двух чисел. Например, НОК (5; 8) = 5 • 8 = 40. 

Обыкновенные дроби 

Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где a и b — любые натуральные числа. Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби.

Основное свойство дроби. Сокращение дроби.

Напомним основное свойство частного: если делимое и делитель умножить на одно и то же отличное от нуля число, то частное от этого не изменится. Поскольку обыкновенную дробь можно рассматривать как частное деления, то это свойство можно применить и к обыкновенным дробям.

На рисунке можно увидеть, что  круга равна  круга, а  круга равна  круга. Поэтому можно записать:

Рассмотрим, например, равенство У этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. В самом деле, 

Далее, рассмотрим равенство У этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби поделить на 2, то есть

Получим основное свойство дроби:

значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например: 

Из равенства  следует, что дроби  и  являются разными записями одного и того же самого числа. Поскольку  то дроби  и  являются также разными записями одного числа.

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число называют сокращением дроби. При этом одну дробь заменяют на другую, которая равна данной, но по сравнению с ней имеет меньший числитель и знаменатель.

Пример 1. дробь сокращена на 2.

Пример 2. дробь сокращена на 3.

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель называют сокращением дроби.

Как правило, действие деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число не пишут и после знака равенства сразу пишут сокращенную дробь.

Пример 3.  или  дробь сокращена на 4.

Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь сократить нельзя. Такую дробь называют несократимой дробью. Например: 

Чтобы из данной дроби получить несократимую дробь, надо числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель. Сокращать дробь можно двумя способами.

• І способ. Постепенно деля числитель и знаменатель на их соответствующие общие делители, пока не получим несократимую дробь.
• II способ. Сразу деля числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

Пример №58

Сократить дробь 

Решение. І способ.  сначала сократили на 2, потом на 3.

II способ. НОД (66; 78) = 6, поэтому  числитель и знаменатель сразу сократили на 6.

Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько множителей, а потом уже сократить.

Пример 5.  Сократим на 3 • 3 • 5 и получим 

Наименьший общий знаменатель дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Мы уже умеем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.

Например, 

А как сравнивать дроби с разными знаменателями?

Пример №59

Сравнить дроби  и 

Решение. Используем основное свойство дроби и приведем дроби  и  к общему знаменателю.

Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 4, и на 6, то есть он является общим кратным чисел 4 и 6. Таких общих кратных множество: 12, 24, 36, 48, ... И дробь , и дробь  можно привести к знаменателю 12, 24, 36, 48, ... Наименьшее общее кратное знаменателей двух дробей (в нашем случае — 12) называют наименьшим общим знаменателем.

Итак, приведем дроби  и  к знаменателю 12. Найдем для этого дополнительный множитель для каждой дроби, то есть число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить дробь со знаменателем 12. Для этого нужно новый знаменатель 12 делим на знаменатели данных дробей: 12 : 4 = 3 и 12 : 6 = 2. Дополнительным множителем для дроби  будет число 3, а для дроби  — число 2. Дополнительные множители запишем слева над соответствующими числителями и подчеркнем их косой чертой:

Данные дроби привели к наименьшему общему знаменателю.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, достаточно:

1. найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, которое и будет наименьшим общим знаменателем;
2. найти для каждой дроби дополнительный множитель, поделив наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на его дополнительный множитель.

После приведения дробей  и  к общему знаменателю можем их сравнить. Поскольку

   и   

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить полученные дроби.

Приводить к наименьшему общему знаменателю можно не только две дроби, но и три, четыре и т. д.

Пример №60

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби ,  и .

Решение. Наименьшим общим знаменателем будет число 24, ибо это наименьшее число, которое делится на все данные знаменатели. Получим:

Если наименьший общий знаменатель найти трудно, то знаменатели надо разложить на простые множители.

Пример №61

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби  и .

Решение. 48 = 2 • 2 • 2 • 2• 3;  60 = 2 • 2 • 3 • 5.  НОК (48; 60) = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 240. Тогда

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Мы уже умеем складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями:

 или 

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, достаточно:

1. привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю;
2. сложить (вычесть) их по правилу сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример №62

Найти сумму 

Решение. Наименьший общий знаменатель этих дробей 30. Дополнительный множитель для первой дроби 5 (30 : 6 = 5), для второй дроби 3 (30 : 10 = 3). Записываем:

Как правило, подчеркнутую часть не записывают. Тогда запись имеет вид:

Результат действия принято записывать несократимой дробью, поэтому получили  сократив дробь  на 2. 

Пример №63

Найти разность 

Решение. Наименьший общий знаменатель этих дробей 24. Краткая запись решения:

Так же можно складывать и вычитать три, четыре и более дробей. Если результатом вычисления является неправильная дробь, то обычно ее записывают в виде смешанного числа.

Пример №64

Вычислить: 

Решение (рассмотри самостоятельно).

Для сложения дробей выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения дают возможность привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и сложению их дробных частей.

Если при сложении дробных частей получаем неправильную дробь, то в этом случае из нее выделяют целую часть и добавляют ее к целой части, которая уже есть.

Пример №65

  

Как правило, промежуточные вычисления выполняют устно и решение записывают короче:

При вычитании смешанных чисел используют свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы:

и  

(если  или )

а также прием вычитания из натурального числа и правильной дроби.

Пример №66

 , или короче: 

Пример №67

  , или короче:

Пример №68

 

Рассмотрим пример, в котором дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример №69

 Приведем дробные части к общему знаменателю:  Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо от целой части уменьшаемого взять одну единицу и превратить ее в дробь с необходимым знаменателем (в нашем примере это знаменатель 18). Потом:

 ,
или короче: 

Преобразование обычных дробей в десятичные. Бесконечные периодические десятичные дроби

Мы уже умеем превращать десятичные дроби в обычные или в смешанные числа, например:

Также мы умеем превращать обычные дроби со знаменателями 10, 100, 1000, ... в десятичные, например, 

Чтобы научиться превращать обычные дроби с другими знаменателями в десятичные, необходимо упомянуть, что обычная дробь является частным от деления числителя на знаменатель. Итак,

• чтобы превратить обычную дробь в десятичную, достаточно числитель поделить на знаменатель.

Например:

Если в десятичную дробь надо преобразовать смешанное число, достаточно числитель дробной части поделить на знаменатель и к образовавшейся десятичной дроби прибавить целую часть смешанного числа.

Пример №70

Представить число  десятичной дробью.

Решение.

Поскольку 

Попробуем преобразовать дробь в десятичную.

Итак,  Видим, что деление не закончилось, то есть получили бесконечную десятичную периодическую дробь. А во всех предыдущих случаях мы получали конечные десятичные дроби. Цифры 8 и 1, которые стоят рядом в записи бесконечной десятичной дроби и повторяются множество раз подряд, образуют период бесконечной десятичной дроби. Это записывают так: (читают: "ноль целых 81 сотая в периоде"). Итак, 

Как видим, при превращении обычной дроби в десятичную могут образовываться как конечные, так и бесконечные десятичные дроби. Конечные дроби образуются лишь тогда, когда в разложении знаменателя на простые множители нет простых множителей, кроме 2 и 5. В других случаях образуется бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, дробь  преобразуется в периодическую десятичную дробь, так как 12 = 2 • 2 • 3, то есть в разложении есть множитель 3. Убедимся:

(читают: «нуль целых 41 сотая и 6 в периоде»).

Дробь  превратится в конечную десятичную дробь, ибо 20 = 2 • 2 • 5, то есть не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. Действительно,

Преобразовать обыкновенные дроби в десятичные можно и другим способом: умножить числитель и знаменатель на необходимое количество двоек или пятерок так, чтобы количество двоек в знаменателе равнялась количеству пятерок. Тогда знаменатель будет кратным числу 10. Например:

Десятичное приближение обыкновенной дроби

При преобразовании обычных дробей в десятичные можно получать бесконечные периодические дроби. Выполняя вычисления с такими дробями, удобно пользоваться их приближениями, которые получают при округлении бесконечных дробей до определенного разряда. Образуется конечная десятичная дробь, которую называют десятичным приближением обычной дроби. Число, которое образовалось после округления, тем точнее, чем больше десятичных знаков в его приближении.

Примеры:

 Десятичные приближения этой дроби таковы:

 (округлено до единиц);

 (округлено до десятых);

 (округлено до сотых);

 (округлено до тысячных).

Чтобы найти десятичное приближение обычной дроби, которое округлено до данного разряда, достаточно:

• 1) выполнить деление до следующего разряда;
• 2) найденный результат округлить.

Пример №71

Округлить до тысячных и вычислить:  .

Решение. Поскольку а   

Умножение дробей

Существует много задач, при решении которых надо умножать обычные дроби. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача №32

Длины сторон прямоугольника равны  дм и  дм. Найти его площадь.

Решение. Чтобы решить задачу, запишем стороны прямоугольника десятичными дробями. Имеем:

 и 

Преобразим найденную десятичную дробь в обычную:

Этот же результат можно найти, не превращая обычные дроби в десятичные. Как видим, числитель дроби  равен произведению числителей: 3 • 43, а знаменатель — произведению знаменателей, а именно: 10 • 100. Найденная дробь  является произведением дробей  и . Имеем:

Произведение двух обычных дробей — это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей:

Если можно, то результат надо сократить, причем числитель и знаменатель лучше сократить перед вычислением их произведений, что упростит вычисление.

Пример №72

 

Если среди множителей есть натуральное число, то его заменяют дробью со знаменателем 1.

Пример №73

  или короче:

Если среди множителей есть смешанные числа, то их надо превратить в неправильные дроби, а затем применить правило умножения дроби на дробь.

Пример №74

 

Если из двух множителей одна — обычная дробь, а вторая обозначена буквой, то букву записывают за дробью на уровне черточки дроби. Напомним, что перед буквенным множителем и перед скобками знак умножения можно не писать.

Например, запись  означает произведение  

Можно убедиться, что все изученные ранее свойства умножения (переместительное, сочетательное и распределительное) справедливы и для умножения обычных дробей, а именно: если — дроби, то:

Кроме этого, 

Пример №75

Вычислить удобным способом:

Решение. 1) Используя переместительное и сочетательное свойства, имеем:

2) Используя распределительное свойство, имеем:

3) Представим сначала в виде суммы целой и дробной частей: , а затем применим распределительное свойство умножения. Имеем:

Нахождение дроби от числа

Рассмотрим задачу, сводящуюся к нахождению дроби от числа.

Задача №33

В классе 30 учеников,  из них парни. Сколько ребят в классе?

Рис. 3

Решение. (Рис. 3).

1) (уч.) — составляет от 30 учащихся;

2) (уч.) — составляет  от 30 учеников.

Итак, в классе 12 ребят.

Решение этой задачи можно записать иначе:

Итак, количество ребят в классе можно найти, если умножить количество всех учеников (30) на дробь . При решении задачи нашли дробь  от числа 30.

Задачи на нахождение дроби от числа решаются действием умножения.

Чтобы найти дробь от числа, достаточно число умножить на эту дробь.

Задача №34

Ширина прямоугольника равна 12 см, а длина составляет ширины. Найти длину прямоугольника.

Решение. Длина прямоугольника равна

Задача №35

В книге 140 страниц. В первый день ученик прочитал 0,3 от всего количества страниц. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?

Решение. Поскольку  , то для решения задачи надо умножить 140 на ,  то есть Итак, в первый день ученик прочитал 42 страницы. Тот же результат получим, если умножить 140 на 0,3:  140 • 0,3 = 42.  

Рассмотрим, как можно применить это правило для нахождения процентов от числа.

Задача №36

Турист должен пройти 12 км. За первый час он прошел 25 % этого расстояния. Сколько километров прошел турист за первый час?

Решение. Запишем 25 % десятичной и обычной дробью: . Умножим данное число на эту дробь:  или  

Итак, за первый час турист прошел 3 км.

Взаимно обратные числа

Рассмотрим дробь  и поменяем в ней числитель и знаменатель местами. Получим дробь .

Если теперь умножить дробь  на , то получим 1:

Также получим 1 при умножении  и т. д.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Легко сделать вывод: чтобы найти дробь взаимно обратную данной обычной дроби, надо числитель и знаменатель дроби поменять местами (например,  и  — взаимно обратные числа, можно говорить иначе: обратная к ). Число, обратное натуральному числу, — это дробь, числитель которой 1, а знаменатель —  это самое натуральное число (обратным к числу 13 есть число ).

Пример №76

Найти число, обратное числу:

Решение. 1) Запишем в виде неправильной дроби Обратным к числу будет 

 Обратным к числу  будет число .

Пример №77

Найти значение произведения 

Решение.

Пример №78

Решить уравнение 

Решение. Поскольку произведение чисел  и  равно 1, то  — обратное к числу   Итак, 

Деление обычных дробей

Напомним, что деление — это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей можно найти второй множитель.

Поскольку  поскольку   

Выскажем предположение: чтобы поделить число на обычную дробь, надо умножить ее на число, обратное делителю. Действительно,  и Проверим наше предположение еще и на таком примере. 

Пример №79

Найти частное 

Решение. Заменим деление умножением на число, обратное к делителю, а затем выполним проверку:

Проверка. 

Частным двух дробей является дробь, равная произведению делимого на дробь, обратную делителю:

Рассмотрим еще один пример.

Пример №80

 .

Если среди данных есть смешанные числа, то их надо преобразовать в неправильные дроби и только после этого выполнить деление.

Пример №81

 

Если среди данных есть натуральные числа, то их записывают в виде дроби со знаменателем 1.

Пример №82

 

Пример №83

 

Поскольку любое число, кроме нуля, имеет обратное число, то деление выполняем без ограничений, кроме деления на ноль. На ноль делить нельзя!

Нахождение числа по его дроби

Рассмотрим задачу, которая сводится к нахождению числа по его дроби.

Задача №37

Сергей прочитал 120 страниц. Это составляет  книжки. Сколько страниц в книжке?

Решение. Условие задачи изображено на рисунке 4.

Рис. 4

1) 120 : 3 = 40 (с.) — приходится на  книги;

2) 40 • 5 = 200 (с.) — всего 120 страниц.

Итак, в книге 200 страниц. Решение этой задачи можно записать иначе:

Итак, количество страниц в книге можно найти, если поделить число 120 на дробь .

В задаче известно, что  книги — это 120 страниц, а надо найти общее количество страниц. То есть известно, сколько составляет дробь от числа, а надо найти само число. Итак, имеем задачу на нахождение числа по его дроби. Решают ее действием деления.

Чтобы найти число по его дроби, достаточно на эту дробь поделить число, которое ему соответствует.

Задача №38

За первый час велосипедист проехал 16,8 км, что составляет   расстояния от деревни до города. Какое расстояние от деревни до города?

Решение. Расстояние от деревни до города равно

Задача №39

Рожью засеяно 1800 га, что составляет 0,9 поля. Найти площадь всего поля.

Решение. Поскольку , то для решения задачи надо поделить 1800 на . Получим: 

Итак, площадь всего поля 2000 га. Если 1800 поделить на 0,9, получим тот же результат: 

Рассмотрим, как можно применить это правило для нахождения числа по его процентам.

Задача №40

В школьной математической олимпиаде приняли участие 12 учащихся 6-го класса, что составляет 40 % всех учеников класса. Сколько учеников в классе?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такое число, 40 % которого равны 12. Запишем 40 % десятичной дробью и обычной дробью:

Поделим на эту дробь число, которое ей соответствует:

 или 

Итак, в классе 30 учеников.

Отношение и пропорции

Соотношение в математике (отношение, пропорция) — это взаимосвязь между двумя числами одного рода (предметами, действиями, явлениями, свойствами (признаками), понятиями, объектами, например, людьми (студентами), чайными ложками, единицами чего-либо одинаковой размерности), обычно выражаемое как «a к b» или a : b.

Отношение и основное свойство отношения

Рассмотрим задачу.

Задача №41

Длина дороги между селами равна 10 км. Заасфальтировано 8 км этой дороги. Во сколько раз длина всей дороги больше ее заасфальтированной части? Какая часть дороги заасфальтирована?

Решение. 1) Чтобы найти, во сколько раз длина всей дороги больше ее заасфальтированной части, надо 10 разделить на 8, то есть 

Следовательно, длина всей дороги в 1,25 раза больше ее заасфальтированной части.

2) Поскольку длина дороги 10 км, то 1 км составляет дороги, а потому 8 км составляют дороги, или (после сокращения ) дороги. Тот же результат получили бы, поделив 8 на 10.

При решении задачи мы нашли частные двух чисел. Такие частные называют отношением двух чисел.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Если две величины измеряются одной и той же единицей, то отношение их числовых значений называют отношением этих величин (отношение длин, отношение масс, соотношение площадей и тому подобное). Например, отношение 3 кг к 8 кг равно . Чтобы найти отношение 1 ч к 25 мин., необходимо представить 1 ч в минутах: 1 ч = 60 мин.; тогда искомое отношение равно

Поскольку отношение двух чисел можно записать дробью, а значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то

отношение двух чисел не изменится, если каждое из чисел отношения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Имеем основное свойство отношения.

Пример 1. 20 : 16 = 5 : 4 (разделили каждое из чисел отношения на 4).

Пример 2. Заменить отношение отношением натуральных чисел. 

І способ. 

ІІ способ. 

Для дроби  обратной есть дробь . Поэтому для отношения (или дроби ) отношение  (или дробь ) называют обратным. Например, для отношения  обратным является отношение , а для отношения 19 : 12 обратным является отношение 12 : 19.

Пропорция. Основное свойство пропорции

Отношения 12 : 3 и 20 : 5 равны, поскольку их значения равны 4. Поэтому можно записать равенство

12 : 3 = 20 : 5 или 

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, что означает «соразмерность», то есть определенное отношение частей между собой. С помощью букв пропорцию записывают так:

 или .

Эти пропорции можно прочитать так: «, разделенное на , равно , разделенному на », или: «отношение  к равно отношению к », или: « относится к , как относится к ».

В пропорции  или ,   и  называют крайними членами пропорции, а  и  — средними членами пропорции:

средние члены

крайние члены

В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличны от нуля: 

Рассмотрим пропорцию . Используем основное свойство дроби: умножим числитель и знаменатель дроби на , а числитель и знаменатель дроби  на . Имеем: 

Полученные дроби являются равными, они имеют равные знаменатели, поэтому равными будут и их числители: .

Заметим, что  — это произведение крайних членов, а  — произведение средних членов пропорции. Пришли к основному свойству пропорции:

в пропорции   произведение крайних ее членов равно произведению средних:

 

Пример №84

Проверить, является ли равенство  пропорцией.

Решение. І способ (по определению пропорции). Поскольку 1,8 : 2 = 0,9 и 4,5 : 5 = 0,9, то равенство является пропорцией. 

ІІ способ (по основному свойству пропорции). Поскольку 1,8 • 5 = 9 и 2 • 4,5 = 9, то равенство является пропорцией. 

Пример №85

Проверить, можно ли из отношений  и  составить пропорцию.

Решение. Поскольку 7 • 4 = 28, 2 • 13 = 26, а , то составить пропорцию из данных отношений нельзя.

Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.

Пример №86

Найти из пропорции 

Решение. Используя основное свойство пропорции, имеем: 

Пример №87

Решить уравнение 

Решение. Используя основное свойство пропорции, имеем:  

Рассмотрим пропорцию , откуда  4 • 12 = 8 • 6.

Последнее равенство можно получить, очевидно, и из таких пропорций: 

 (поменяли местами средние члены заданной пропорции);

 (поменяли местами крайние члены заданной пропорции);

 (поменяли местами средние и крайние члены заданной пропорции).

Отсюда следует, что средние члены или (и) крайние члены пропорции можно менять местами.

Прямая пропорциональная зависимость

Пусть 1 кг товара стоит 8 руб. Определим стоимость, например, 2 кг, 4 кг, 5 кг, 0,5 кг, 10 кг этого товара: 

Количество товара, кг	1	2	4	5	0,5	10
Стоимость товара, руб.	8	16	32	40	4	80

Каждый раз имеем разную стоимость товара, она зависит от количества приобретенного товара, а отношение стоимости товара к его количеству является числом постоянным. Оно равно стоимости 1 кг этого товара (в рублях), то есть 8:

Две величины, отношение соответствующих значений которых является постоянным, называют прямо пропорциональными.

Из соответствующих значений прямо пропорциональных величин можно составить пропорцию, например . Прямо пропорциональными величинами являются: стоимость товара и его количество; путь, пройденный телом с постоянной скоростью, и время; периметр квадрата и длина его стороны и тому подобное.

Поскольку 1 кг товара стоит 8 руб., а 2 кг стоят 16 руб., то замечаем, что вдвое большему количеству товара соответствует вдвое большая его стоимость. Поэтому прямо пропорциональные величины имеют следующее свойство:

с увеличением (уменьшением) значения одной из прямо пропорциональных величин в несколько раз значение второй величины увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Задачи на прямо пропорциональные величины можно решать с помощью пропорции.

Задача №42

За 2,5 ч автомобиль проехал 170 км. Какое расстояние проедет автомобиль за 3,5 ч, если скорость его движения является постоянной?

Решение. Пусть за 3,5 ч автомобиль проехал км. Запишем условие задачи схематически:

2,5 ч — 170 км;

3,5 ч —  км.

Эту схему будем понимать так: 2,5 ч соответствуют 170 км, а 3,5 ч соответствуют км. Расстояние, которое проехал автомобиль с постоянной скоростью, и время являются величинами прямо пропорциональными: с увеличением в определенное количество раз времени движения в столько же раз увеличится расстояние, которое проехал автомобиль. Поэтому можно записать пропорцию:

Имеем: 

Ответ. 238 км.

Масштаб и нахождение расстояний на карте

Предположим, что нам необходимо рассмотреть карту (или план) некоторой местности (или здания или предмета). На карте (рис. 5) все размеры уменьшены в одно и то же количество раз. Во сколько раз на самом деле размеры больше, чем на карте, показывает масштаб карты.

На рисунке 5 карта выполнена в масштабе 1 : 100 000. Это означает, что все размеры на самом деле в 100 000 раз больше, чем соответствующие размеры на карте. Например, если на карте расстояние между селами Калиновка и Яблоневое равно 4 см, то на самом деле это расстояние составляет 4 • 100 000 = 400000 см,то есть 4000 м или 4 км. 

Рис. 5

Отношение длины отрезка на карте (или плане) к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (или плана).

Следовательно, масштаб записывается как частное (например,  1 : 100, 1 : 2000, 1 : 1000 000), делимым которого является единица, а делитель показывает, во сколько раз реальные размеры больше, чем размеры на карте (или плане). Так, масштаб  1 : 2000 означает, что одному сантиметру на плане отвечает 2000 см, то есть 20 м на местности.

Задачи, связанные с масштабом, решают не только в математике, но и в географии, геодезии и т. д. Эти задачи можно решить на основе определения масштаба.

Пример №88

Известно, что 100 м — это 1 см на карте. Какой масштаб этой карты?

Решение. 100 м = 10 000 см. Поэтому масштаб  1 : 10 000.

Пример №89

Масштаб карты 1 : 100 000. Между селами Вишневое и Яблоневое расстояние 6 км. Какое расстояние между изображениями этих деревень на карте?

Решение. Поскольку 100 000 см = 1 км, то 1 км — это 1 см на карте, поэтому расстояние 6 км — 6 см на карте (рис. 5).

Пример №90

Расстояние между двумя городами 400 км, а на карте этому расстоянию соответствует расстояние 10 см. Какой масштаб этой карты?

Решение. Одному сантиметру на карте отвечает 400 : 10 = 40 км, то есть 4 000 000 см. Поэтому масштаб карты 1 : 4 000 000.

Поскольку отношение длины отрезка на карте (или плане) к длине соответствующего отрезка на местности является числом постоянным, то эти величины — прямо пропорциональны. Поэтому задачи, связанные с масштабом, можно также решать с помощью пропорции.

Задача №43

Расстояние между двумя городами на местности — равняет 280 км. Какое расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1 : 4 000 000?

Решение. Поскольку масштаб карты 1 : 4 000 000, то 1 см на карте — это 4 000 000 см = 40 000 м = 40 км местности. Пусть расстояние между городами на карте равно см. Запишем данные задачи схематически:

Расстояние на местности прямо пропорционально расстоянию на карте. Имеем пропорцию: 

 отсюда 

Ответ. 7 см.

Деление числа в данном отношении

Рассмотрим задачи, в которых требуется поделить число или значение величины в данном отношении, то есть на части, пропорциональные некоторым числам. Такие задачи называют задачами на деление числа в данном отношении или задачами на пропорциональное деление.

Задача №44

Сплав массой 30 кг состоит из железа и меди, которые взяты в отношении  3 : 2. Сколько в сплаве железа и сколько меди?

Решение. І способ. (Рис. 8). Массы железа и меди относятся как 3 : 2, то есть в сплав входит 3 части железа и 2 части меди. Всего имеем 3 + 2 = 5 (частей). Поскольку пяти частям соответствует 30 кг, то на одну часть припадает 30 : 5 = 6 (кг). Тогда железа в сплаве  6 • 3 = 18 (кг), а меди 6 • 2 = 12 (кг).

Рис. 8

ІІ способ. (Рис. 9).  Обозначим массу одной части буквою . Поскольку железа взято три части, то его в сплаве , а меди взято две части, поэтому ее в сплаве .

По условию имеем уравнение . Тогда . Итак, — масса одной части, то есть 6 • 3 = 18 (кг) — взято железа, 6 • 2 = 12 (кг) — меди.

Ответ. 18 кг железа и 12 кг меди.

Часто число или значение величины необходимо поделить на три и более частей. Так, например, если число надо поделить на три части, пропорционально числам 2, 3 и 4, то говорят, что число надо поделить в отношении 2 : 3 : 4; если отрезок надо поделить пропорционально числам 3, 7, 5 и 1, то говорят, что отрезок надо поделить в отношении 3 : 7 : 5 : 1.

Задача №45

Между мамой, папой и их сыном поделили яблоки в отношении 2 : 1 : 3. Сколько яблок получила мама и сколько папа, если сын получил 12 яблок?

Решение. Поскольку трем частям соответствуют 12 яблок, то на одну часть приходится 12 : 3 = 4 (яблока). Итак, папа получил 4 яблока, а мама — 4 • 2 = 8 (яблок).

Ответ. 4 яблока — папа, 8 яблок — мама.

Вероятность случайного события

Мы часто говорим: "это возможно", "это невозможно", "это маловероятно", "это весьма вероятно", "это обязательно произойдет", "этого никогда не будет". Все эти утверждения чаще всего употребляют, когда речь идет о возможности осуществление определенных событий.

О событиях "после 9 декабря наступит 10 декабря" и "после нагрева воды до 100°С она будет кипеть" можно сказать, что они произойдут закономерно. События "при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков", " при подбрасывании монеты выпадет герб", " в почтовый ящик придет 2 письма" могут состояться, а могут и не состояться. Такие события называют случайными.

Случайное событие — событие, которое при одних и тех же условиях может произойти, а может не произойти.

Пример:

В ящике находятся всего 5 белых и 5 черных шариков. Из него наугад вынимают один шарик. Какие из событий , , , при этом могут произойти:

— вынут белый шарик; — вынут черный шарик; — вынут зеленый шарик; — вынут шарик?

Поскольку из ящика можно вынуть лишь то, что в нем находится, то вынуть белый или черный шарик можно, а зеленый — нет. Можно также утверждать, что любой предмет, который наугад вынимают из ящика, будет шариком, потому что там, кроме шариков, ничего нет. Итак, в вышеприведенном примере события и могут произойти, событие не может произойти, а событие обязательно произойдет.

Событие, которое при данных условиях обязательно произойдет, называют вероятным.

Событие, которое при данных условиях не может произойти, называют невозможным.

В рассмотренном примере: событие — вероятное, а событие — невозможное.

Если все шарики в рассмотренном примере одинаковы, то вероятность вынуть любой из них такая же, как и вероятность вынуть другой. Такие ситуации будем рассматривать и в дальнейшем.

Поскольку в ящике одинаковое количество белых и черных шариков, то имеем равные шансы наугад вытащить белый или черный шарик. Никаких других шариков в ящике нет, поэтому если вытаскивать шарики большое количество раз, после каждого из которых возвращать шарик в ящик, то можно сказать, что примерно в половине случаев будет извлечен белый шарик и в половине случаев — черный.

Число 0,5 (половина) — это вероятность случайного события "вынут белый шарик". Вероятность события A обозначают P(A) или p(A) (первая буква французского слова probabilite, что переводится как возможность, вероятность). Итак, можно записать: P(A) = 0,5 или p(A) = 0,5 (читают: «вероятность события A равна 0,5»). Если в задаче рассматривают только одно событие, то его вероятность можно обозначать P или p.

Эту вероятность можно получить, если количество белых шариков, то есть 5, поделить на количество всех шариков, то есть 10. Имеем  Можно сформулировать определение вероятности:

вероятностью случайного события A называют отношение количества случаев, способствующих появлению события A, к количеству всех возможных случаев.

Это можно записать формулой так:

,

где m — количество случаев, способствующие появлению события A, а n — количество всех возможных случаев.

Рассмотренное определение еще принято называть классическим определением вероятности.

Иногда вероятность выражают в процентах, тогда в приведенном примере  

Задача №46

В лотерее 100 билетов, из них 7 — выигрышные. Найди вероятность выигрыша (событие A); проигрыша (событие B) при покупке одного билета. 

Решение. 1) 2) Невыигрышных билетов: 100 — 7 = 93. Поэтому вероятность проигрыша  

Задача №47

Из коробки, в которой находятся только 6 красных карандашей, наугад вытаскивают карандаш. Найди вероятность таких событий:

A — вытянут красный карандаш;

B — вытянут синий карандаш.

Решение. Событие A является вероятным в данных условиях, поскольку в коробке только красные карандаши. Найдем его вероятность:  Событие B в данных условиях невозможно, так как в коробке нет синих карандашей (их количество равно нуль). Найдем вероятность событие B:

Приходим к выводу, что вероятность вероятного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0.

Обратная пропорциональная зависимость

Пусть площадь прямоугольника равна 36 см², а длина и ширина прямоугольника являются натуральными числами. Некоторые из возможных значений длины и ширины  даны в таблице.

, см	36	18	12	9	6
, см	1	2	3	4	6

Каждый раз имеем разные значения длины и ширины прямоугольника, однако произведение этих значений является постоянным числом. Оно равно площади прямоугольника (в см²), то есть числу 36:

36 • 1 = 18 • 2 = 12 • 3 = 9 • 4 = 6 • 6 = 36.

Две величины, произведение соответствующих значений которых являются постоянными, называют обратно пропорциональными.

Заметим, что из соответствующих значений одной из двух обратно пропорциональных величин и значения, обратного второй величине, можно составить пропорцию. Действительно, выходя, например, из условия 12 • 3 = 9 • 4, можно составить пропорцию . Этим и объясняется название обратно пропорциональных величин. 

Обратно пропорциональными величинами являются длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника; скорость тела и время при постоянном пути; количество работников и время выполнения работы, если объем работы является постоянным, и тому подобное.

Рассмотрим два значения длины прямоугольника   и  и соответствующие им значения ширины  и . Вдвое большему значению длины прямоугольника соответствует вдвое меньшее значение его ширины. Можно сделать вывод о том, что обратно пропорциональные величины имеют такое свойство:

с увеличением (уменьшением) значения одной из обратно пропорциональных величин в несколько раз значение второй величины уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз.

Отсюда можно сделать вывод, что если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равняется обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Действительно, в рассмотренном выше примере отношение значений  и  равно обратному отношению соответствующих значений  и :

Итак, задачи, связанные с обратной пропорциональной зависимостью, как и задачи, связанные с прямой пропорциональной зависимостью, можно решать с помощью пропорции.

Задача №48

10 рабочих выполняют определенную работу за 12 часов. Сколько времени понадобится для выполнения такой работы шести рабочим, если производительность труда всех рабочих одинаковая?

Решение. Число рабочих и время выполнения данной работы являются величинами обратно пропорциональными (при одинаковой производительности труда всех рабочих).

Пусть 6 рабочих выполняют работу за ч. Запишем условие задачи схематически:

10 раб – 12 ч
6 раб –  ч

Величины в задаче обратно (а не прямо) пропорциональны, при составлении соответствующего уравнения 12 и надо поменять местами. Итак, имеем уравнение

Отсюда  (ч).

Ответ. 20 ч.

Не любые две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, масса ребенка увеличивается при увеличении его возраста. Но эти величины не являются пропорциональными, поскольку при увеличении вдвое возраста ребенка его масса вдвое не увеличивается.

Процентное отношение двух чисел. Изменение величины в процентах

Мы знаем два вида задач на проценты: нахождение процентов от числа и нахождения числа по его процентам. Рассмотрим еще задачи, в которых надо найти, сколько процентов составляет одно число от другого, то есть процентное отношение двух чисел.

Мы умеем находить отношение двух чисел или величин. Например, отношение числа 8 к числу 16 равно  а отношение 9 кг к 5 кг равно  Поскольку отношение чисел или величин является дробью, его можно выразить в процентах, а именно: 

Говорят, что число 8 составляет 50 % числа 16, а 9 кг составляет 180 % от 5 кг.

• Чтобы найти процентное отношение двух чисел, достаточно найти отношение этих чисел и умножить его на 100 %.
• Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, достаточно первое число поделить на второе и найденное частное умножить на 100 %.

Задача №49

В классе 30 учеников, из них 27 посетили театр. Сколько процентов от учеников класса посетили театр?

Решение. 

Изменение величины часто характеризуют с помощью процентов. Рассмотрим две задачи экономического содержания.

Задача №50

До снижению цен MP3-плеер стоил 400 руб., а после снижения стал стоить 360 руб. На сколько процентов снизилась цена МРЗ-плеера?

Решение. Найдем сначала, на сколько руб. уменьшилась цена MP3—плеера: 400 — 360 = 40 (руб.). Определим, сколько процентов эта разница составляет от начальной цены МР3-плеера:

Итак, цена MP3-плеера снизилась на 10 %.

Задача №51

Вкладчик положил в банк 800 руб., а через год забрал 944 руб. Сколько процентов годовых начисляет банк?

Решение. Прибыль равна 944 — 800 = 144 (руб.). Найдем, сколько процентов это составляет от вклада:  Итак, банк начисляет 18 % годовых.

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась определенная величина, достаточно найти:

• 1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
• 2) сколько процентов составляет найденная разность от начального значения величины.

Процентные расчеты

Напомним, что проценты можно записывать в виде десятичных дробей:

или в виде обычных дробей: 

Вспомним, как решается каждая из трех типов задач на проценты.

Задача №52 (нахождение процентов от числа).

Вкладчик положил в банк 2500 руб. Банк начисляет 12 % годовых. Какую прибыль будет иметь вкладчик через год?

Решение. І способ.

1) 2500 : 100 = 25 (руб.) — это 1 %;

2) 25 • 12 = 300 (руб.) — прибыль вкладчика.

II способ. Поскольку 12 % = 0,12, то прибыль вкладчика можно найти как дробь от числа:  2500 • 0,12 = 300 (руб.). 

Задача №53 (нахождение числа по его процентам).

Ученик прочитал 63 страницы, что составляет 35% объема книжки. Сколько страниц в книжке?

Решение. І способ.

1) 63 : 35 = 1,8 (с.) — это 1 %;

2) 1,8 • 100 = 180 (с.) — в книжке.

II способ. 35 % = 0,35, то количество страниц можно найти как число по его дроби: 63 : 0,35 = 180 (с.).

Задача №54 (процентное отношение двух чисел).

Расстояние между городами равно 65 км. Велосипедист преодолел 39 км этого расстояния. Сколько процентов расстояния между городами проехал велосипедист?

Решение.

Рассмотрим более сложные задачи.

Задача №55

Первый мусоровоз вывез 32 % мусора, второй — 35 %, а третий — остальные 2,64 т. Сколько тонн мусора вывез первый мусоровоз и сколько второй?

Решение. Поскольку весь объем вывезенного мусора составляет 100 %, то  100 % — (32 % + 35 %) = 33 % — вывез третий мусоровоз, что составляет 2,64 т. Поэтому общий объем вывезенного мусора найдем как число по его дроби, то есть действием деления: 2,64 : 0,33 = 8 (т). Итак, первый мусоровоз вывез 8 • 0,32 = 2,56 (т),  а второй 8 • 0,35 = 2,8 (т). 

Задача №56

Масса двух арбузов вместе 27 кг, причем масса второго составляет 80 % от массы первого. Найти массу каждого из арбузов.

Решение. Пусть масса первого арбуза кг, тогда масса второго —  По условию задачи:

Решим это уравнение:

Итак, масса первого арбуза 15 кг.

0,8 • 15 = 12 (кг) — масса второго.

Окружность и длина окружности

Очень давно люди изобрели колесо и увидели его полезные в быту свойства. Геометрическими фигурами, которые дают представление о колесе, есть окружность и круг.

На рисунке 15 изображен чертежный инструмент — циркуль. На одной его ножке —острие, а на второй — грифель. Если поставить ножку с острием на бумагу в точку , то вторая ножка (с грифелем) во время вращения опишет окружность. Точку называют центром окружности. Все точки окружности лежат в одной плоскости и на одинаковом расстоянии от центра .

Это расстояние называют радиусом окружности. Например, на рисунке 16 это отрезок , соединяющий центр окружности — точку — с произвольной точкой этой окружности. Радиус окружности принято обозначать буквой . Отрезок , который соединяет две точки окружности и проходит через его центр (рис. 17), называют диаметром круга. Диаметр круга принято обозначать буквой . Он состоит из двух радиусов: и . Поэтому диаметр окружности вдвое больше радиуса:

                               Рис. 15                               Рис. 16                                Рис. 17 

Возьмем консервную банку (круглый стакан и т. д.), поставим ее на лист бумаги и обведем карандашом (рис. 18). На листе получим окружность. Если взять нить и обвить ею банку, а затем выпрямить эту нить, то длина нитки будет примерно равняться длине нарисованной окружности (рис. 19). 

                     Рис. 18                                                       Рис. 19

Измерим диаметр окружности и найдем отношение длины окружности к ее диаметру. Если замеры сделаны достаточно тщательно, то окажется, что это отношение чуточку больше 3.

Для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Это число обозначают греческой буквой  (читается: "пи"), его записывают бесконечной десятичной дробью: 

В дальнейшем для удобства вычислений будем использовать приближенное значение п: , или .

Если длину окружности обозначить буквой , то 

Отсюда

Длина окружности равна произведению числа на диаметр окружности.

Поскольку , то формулу для вычисления длины окружности можно записать и так: 

Задача №57

Найти длину окружности, радиус которой 3 см.

Решение.

Задача №58

Найти диаметр окружности, длина которой составляет 44 дм.

Решение. , поэтому  

Целесообразно взять . Имеем 

Круг. Площадь круга. Круговой сектор

Круг делит плоскость на две части. Часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с окружностью образуют круг (рис. 24). Центр, радиус и диаметр окружности одновременно являются центром, радиусом и диаметром круга. Расстояние от центра к любой точке круга не превышает радиуса круга.

Рис. 24 

Как найти площадь круга? В старших классах будет доказано, что 

площадь круга равна произведению числа  на квадрат радиуса: 

где  — радиус круга.

Задача №59

Найти площадь круга, радиус которого равен 2,5 см.

Решение.

Проведем два радиуса и круга (рис. 25). Они разбивают круг на две части, каждую из которых называют круговым сектором. Неокрашенному сектору соответствует угол , который меньше развернутого угла. Угол закрашенного сектора больше развернутого угла, поэтому его градусная мера больше 180°.

                                      Рис. 25                                                                    Рис. 26                  

На рисунке 26 диаметр AB разбивает круг на два полукруга. Угол каждого из них равен 180°. Сумма этих углов образует полный угол. Поскольку 180° + 180° = 360°, то приходим к выводу, что

градусная мера полного угла равна 360°.

Задача №60

Угол неокрашенного сектора на рисунке 25 равен 100°. Найти угол закрашенного сектора.

Решение. Для нахождения угла закрашенного сектора вычтем от меры полного угла меру угла неокрашенного сектора: 360° — 100° = 260°. Итак, искомый угол равен 260°.

Задача №61

Машенька нарисовала окружность, радиус которой равен 6 см. Затем она закрасила сектор круга, ограниченного этой окружностью, угол которого равен 90°. Найти площадь закрашенного сектора.

Решение. Поскольку 360° : 90° = 4, то 90° — это полного угла 360°. Поэтому Машенька закрасила круга.

Площадь круга

Площадь закрашенного сектора: 113,04 : 4 = 28,26 (см²). 

Столбчатые и круговые диаграммы

Графическая информация является достаточно наглядной и запоминается лучше, чем слова и цифры.

Диаграмма — это одно из графических средств изображения соотношения между величинами, которые сравнивают.

Рассмотрим пример построения столбчатой диаграммы.

Пример №91

Максимальная масса животных: ламы — 110 кг, оленя — 230 кг, тигра — 320 кг. Построим столбчатую диаграмму по этим данным: изобразим массы животных с помощью столбиков. Ширину этих столбиков выбираем одинаковую (например, 7 мм), а их высоты должны соответствовать массе каждого из животных. Чтобы изобразить 10 кг возьмем 1 мм. Тогда высота столба, изображающего массу ламы, будет 110 : 10 = 11 (мм), оленя — 230: 10 = 23 (мм) , тигра — 320 : 10 = 32 (мм). Получили столбчатую диаграмму (рис. 35).

Рис. 35

Иногда соотношение между величинами удобно изображать с помощью круговых диаграмм.

Пример №92

В течение недели библиотеку посетили 27 шестиклассников: 9 — из 6-А класса, 12 — из 6-Б и 6 — из 6-В.

Найдем, какую часть от количества всех шестиклассников,  посетивших библиотеку, составляет количество учеников из каждого класса: (для 6-А),  ( для 6-Б), (для 6-B).

Пусть количество всех шестиклассников, посетивших библиотеку, изображено в виде круга. Разделим этот круг на секторы, соответствующие дробям  Поскольку полный угол составляет 360°, то количество учеников 6-А класса, которые посетили библиотеку, будет изображено сектором, угол которого равен , 6-Б класса — сектором, угол которого равен , а 6-В — сектором, угол которого равен .

Строим круговую диаграмму (рис. 36).

Рис. 36

Диаграммы используют для наглядного изображения и анализа данных во многих науках: истории, географии, биологии и т. д.

В старших классах на уроках информатики будут рассматриваться различные способы построения диаграмм с использованием программных средств.

Цилиндр. Конус. Шар

Формы предметов, которые нас окружают, довольно разнообразны. Среди них встречаются предметы, имеющие форму цилиндра, конуса и шара (рис. 43).

              

Цилиндр          Конус               Шар                                   Рис. 44

                            Рис. 43 

Такие предметы, как стакан, колода, консервная банка, имеют форму цилиндра (рис. 44).

Слово «цилиндр» пришло к нам из Древней Греции и переводится как «валик». Колонны многих зданий, построенных в те времена, имели форму цилиндра (рис. 45).

                                         Рис. 45                                                        Рис. 46 

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности (рис. 46). Основания цилиндра – равные между собой круги. На рисунке эти круги изображают в виде эллипсов (овалов). Радиусы этих кругов называют радиусами оснований цилиндра (или просто радиусами цилиндра). Отрезок, который соединяет центры оснований и образует с любым радиусом угол 90°, называют высотой цилиндра.

О предметах, изображенных на рисунке 47, говорят, что они имеют форму конуса. Слово «конус» переводится с древнегреческого как «шишка» или «верхушка шлема». Конус в определенной степени похож на пирамиду. У конуса также, как и у пирамиды, есть вершина и основание. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности (рис. 48). Если основанием пирамиды является многоугольник, то основанием конуса является круг. Радиус этого круга называют радиусом основания конуса (или радиусом конуса).

Рис. 47                                                      Рис. 48  

Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания и образующий с любым радиусом угол 90°, называют высотой конуса.

Такие предметы, как мяч, шарик, арбуз, глобус имеют форму шара (рис. 49). Поверхность шара называют сферой. Форму, близкую к форме шара, имеют Земля, Луна, Солнце и тому подобное.

                                         Рис. 49                                                    Рис. 50 

У шара (сферы), так же как и у круга (окружности), есть центр, радиус и диаметр.

Радиус шара (сферы), как и радиус круга (окружности), принято обозначать буквой r, а диаметр – буквой d. Понятно, что диаметр шара (сферы) вдвое больше радиуса шара (сферы):  d = 2r

Рациональные числа и действия над ними

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде ,  где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Положительные и отрицательные числа. Число 0

Из сообщений о погоде можно узнать, что температура воздуха была —5 градусов по Цельсию (или сокращенно: —5°C). На географической карте можно увидеть отметку —2210 (в метрах) для глубины Черного моря. Числа со знаком «минус» нужны в тех случаях, когда изменение величины может произойти в двух противоположных направлениях (повыситься или понизиться) относительно некоторой начальной, нулевой отметки.

Рассмотрим примеры.

Пример №93

При измерении температуры за начальную отметку принимают температуру замерзания воды (или таяния льда). Эту отметку обозначают числом 0, а температуру измеряют в градусах.

Термометр, размещенный на рисунке 59 слева, показывает 3 выше нуля, то есть 3°С тепла. Поэтому температуру записывают со знаком «+», а именно +3°С (читают: «плюс три градуса по Цельсию»). Термометр, размещен на рисунке 59 справа, показывает 2 градуса ниже нуля, то есть 2°С мороза. Такую температуру записывают со знаком «—», а именно —2°C (читают: «минус два градуса по Цельсию»).

Рис. 59

Пример №94

Чтобы задать положение некоторого места земной поверхности, за начальную отметку принимают уровень моря. Его обозначают числом 0.

Вершина самой высокой горы  лежит на высоте 2061 м выше уровня моря, вершина самой высокой горы Роман—Кош — на 1545 м выше уровня моря, вершина самой высокой горы равнинной части Берди — на 515 м выше уровня моря. Самое глубокое место Балтийского моря — на 470 м ниже уровня моря, Каспийского моря — на 1025 м ниже уровня моря, Черного моря — на 2210 м ниже уровня моря (рис. 60).

Рис. 60

Положение некоторой точки, расположенной ниже уровня моря, обозначают числами со знаком «—», а положения некоторой точки, расположенной выше уровня моря, со знаком «+». Итак, можно сказать, что высота горы Говерла равна +2061 м, а глубина Черного моря в самом глубоком месте равна —2210 м.

Числа со знаком «—», например  называют отрицательными числами. Числа со знаком «+», например называют положительными числами. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

В записи положительных чисел знак «+», как правило, не пишут, например, вместо +6 записывают 6. Итак, числа +6 и 6 не отличаются друг от друга: +6 = 6. Так же и т. д.

Координатная прямая

Положительные и отрицательные числа и число 0 можно изобразить точками на прямой. Для этого начертим горизонтальную прямую и обозначим на ней точку О — начало отсчета (рис. 62). Точка О  делит прямую на два луча. Положительные числа принято обозначать справа от точки О , а отрицательные — слева. Именно поэтому направление справа от точки отсчета называют положительным направлением, а направление слева — отрицательным направлением. Положительное направление обозначают стрелкой.

Рис. 62

Выберем на положительном направлении единичный отрезок. Теперь на этой прямой обозначим числа (или точки, соответствующие этим числам). Чтобы обозначить, например, число 3, надо от точки О  отложить три единичных отрезка вправо. Чтобы обозначить число —4, надо от точки О  отложить четыре единичных отрезка влево.

Прямую с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и указанным положительным направлением называют координатной прямой.

Число, которому соответствует определенная точка на координатной прямой, называют координатой этой точки. На рисунке 62 точка M имеет координату 3, а точка K имеет координату —4. Это записывают так: M (3) (читают: «точка M с координатой 3») и K (–4) (читают: «точка K с координатой —4»).

Пример №95

Записать координаты точек A, B, C, D, E, K, изображенные на рисунке 63.

Рис. 63

Решение. 

Если координата точки известна, то эту точку можно обозначить на координатной прямой.

Пример №96

Начертить координатную прямую, взяв за единичный отрезок четыре клеточки. Обозначить точки:

Решение. (Рис. 64.)

Рис. 64

Пример №97

Начертить координатную прямую, обозначить на ней точку L (—1). Отметить на этой прямой точки, удаленные от точки L на 3 единицы.

Решение. Точка, удаленная от точки L (—1) на 3 единицы и размещенная справа от нее, имеет координату 2: M (2), а точка, удаленная на 3 единицы и размещенная слева от L (—1) , имеет координату —4: N (–4) (рис. 65).

Рис. 65

Противоположные числа. Целые числа. Рациональные числа

Точки A и B с соответствующими координатами 2 и —2 одинаково удалены от начала отсчета — точки O и находятся по разные стороны от нее (рис. 71). Чтобы попасть из точки O в точки A (2) и B (–2), надо отложить одинаковые расстояния,  равные двум единичным отрезкам, но в противоположных направлениях. Числа 2 и —2 называют противоположными числами.

Рис. 71

Два числа, отличающиеся друг от друга лишь знаками, называют противоположными числами.

Число 2 противоположно числу —2 и, наоборот, число —2 противоположно числу 2. Противоположными являются также числа —3 и 3; 4,7 и —4,7;  и ;  и  и т. д. 

Число 0 считают противоположным самому себе.

Число, противоположное числу , обозначают . Например, если если  (ибо число, противоположное числу —8,5, равно 8,5). Так же — (—5) = 5, —(—7) = 7, —0 = 0, вообще . Если  — число положительное, то  — число отрицательное, а если  — отрицательное число ,то  — число положительное.

Пример №98

Найти , если:

Решение. Число противоположное числу .

1) Поскольку противоположным числу 5 является число —5, то .

2) Противоположным числу —2 является число 2, поэтому .

Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.

Целые числа:

Целые числа (положительные, отрицательные и число 0) и дробные числа (положительные и отрицательные) называют рациональными числами.

Например, рациональными являются числа:  

Модуль числа

Расстояние от точки A (–3) до начала отсчета точки O равно 3 единицы (рис. 73). Число 3 называют модулем числа —3. Пишут:  (читают: «модуль числа –3 равен 3»).

Рис. 73 (3 единицы; 2 единицы)

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Расстояние от начала отсчета до точки B (2) на координатной прямой равно 2 единицы (рис. 74), поэтому модулем числа 2 является именно число 2. Пишут: . Модуль числа ноль равен нулю: . Итак,

модулем положительного числа и числа 0 является именно это число, а модулем отрицательного числа — противоположное ему число.

Это правило можно записать с помощью фигурной скобки:

Пример №99

Пример №100

Решить уравнения:

Решение.

1) Существуют два числа, модули которых равны 4 — это числа 4 и —4. Следовательно, или . 2) Существует одно число, модуль которого равен нулю — это число 0. Поэтому . 3) Уравнение не имеет решений, поскольку модуль любого числа всегда является числом положительным или нулем, то есть модуль числа является неотрицательным числом.

Свойства модуля:

1. Модуль числа является всегда положительным числом или нулем: для любого числа .
2. Противоположные числа имеют равные модули: 

Пример №101

Найти целые числа, при которых неравенство будет правильным.

Решение. Необходимо найти целые числа, расстояния от которых до начала отсчета меньше 3,1. Такими целыми числами являются: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3.

Сравнение рациональных чисел

Мы уже умеем сравнивать положительные числа. Например, Известно, что число ноль меньше любого положительного числа. А как сравнивать числа, если среди них есть отрицательные?

Из 5—го класса известно, что из двух положительных чисел меньше то, которое на координатном луче расположено левее. Если любые два числа обозначить на координатной прямой, то получим аналогичный вывод:

• из двух чисел меньшим является то, которое на координатной прямой размещено левее, а большим — то, которое на координатной прямой размещено правее.

На координатной прямой (рис. 79) точка С (–2) лежит левее точки О (0). Поэтому . И это естественно: ведь, если утром температура была —2°С, а днем стала 0°С, то мы говорим, что температура повысилась, то есть увеличилась.

Поскольку точка А (–3) лежит левее, чем точка В (1), то .

Рис. 79

Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.

Точка С (–2) лежит справа от точки А (–3), поэтому . Отметим, что –2 лежит ближе к нулю, чем –3, поэтому . Имеем , но . Итак,

из двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньший, и меньшим является то, модуль которого больше.

Например,    

().

Пример №102

Записать с помощью неравенства утверждения:
1)  — положительное число;
2)  — отрицательное число;
3)  — неотрицательное число;
4) — неположительное число.

Решение. 3) если число неотрицательное, то оно может быть положительным или равняться нулю. Это записывают так: . Знак означает: «больше или равно». Последнее неравенство читают так: « больше или равно нулю»; 4) если число  неположительное число, то оно может быть отрицательным или равняться нулю. Это записывают так: . Знак  означает «меньше или равно». Последнее неравенство читают так: « меньше или равно нулю».

Пример №103

Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство:

Ответ.

Сложение отрицательных чисел

Пусть в понедельник Иван взял у Сергея в долг 2 руб., а во вторник — еще 3 руб. Тогда за два дня вместе долг составляет 2 + 3 = 5 (руб.). Долг можно толковать как отрицательные числа. Поэтому сумму долга за два дня можно подать так:

В записи действий с отрицательными числами первый компонент, как правило, записывают без скобок: .

Замечаем, что в данном случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых: . Нахождение суммы чисел –2 и –3 можно записать так:

, или сокращенно 

Получаем правило сложения двух отрицательных чисел:

чтобы сложить два отрицательных числа, достаточно сложить их модули и перед полученным числом написать знак «—».

Примеры:

 

Сложение двух чисел с разными знаками

Предположим, что в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб., а во вторник вернул долг, то есть отдал Сергею 3 руб. Поскольку долг можно толковать как отрицательные числа, а наличие — как положительные, то расчет между ребятами можно представить так: 

Числа —3 и 3 — противоположны, их сумма равна нулю.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Пример №104

 

Если в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб., а во вторник вернул 2 руб., то долг Ивана Сергею составляет 1 руб. Это можно записать так: .

В этом равенстве модули слагаемых равны 3 и 2, а модуль суммы равен 1, то есть модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей. Знак, стоящий перед найденным числом (минус), совпадает со знаком слагаемого, модуль которого является большим (числа —3).

Пусть в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб.., а вечером получил от родителей 5 руб. Когда Иван отдаст долг, то у него еще останется 2 руб. Тогда имеем: .

В этом равенстве модули слагаемых равны 3 и 5, а модуль суммы 2, то есть модуль суммы снова равен разности большего и меньшего модулей. Знак, стоящий перед найденным числом (плюс), снова совпадает со знаком слагаемого, модуль которого больше (числа 5).

Получаем правило сложения двух чисел с разными знаками:

чтобы сложить два числа с разными знаками, достаточно от большего модуля слагаемого вычесть меньший модуль и записать перед найденным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Выполняя вычисления, удобно сначала определить и записать знак суммы, а затем в скобках записать разность модулей.

Примеры:

 

Рассмотрим пример сложения дробей с разными знаками, в котором сначала нужно сравнить модули слагаемых, и лишь после этого применить правило.

Пример №105

 

Если к числу прибавить положительное число, то полученная сумма будет больше , а если прибавить отрицательное число, то полученная сумма будет меньше . В самом деле:

Свойства сложения

Для сложения рациональных чисел, как и для сложения положительных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство сложения.

Для любых рациональных чисел  и  выполняется равенство 

 +  =  + .

Проверим это свойство на примерах.

Пример №106

– 8 + (–3) = –11;  –3 + (–8) = –11, поэтому – 8 + (–3) = –3 + (–8).

Пример №107

–2 + 5 = 3; 5 + (–2) = 3, поэтому –2 + 5 = 5 + (–2).

Сочетательное свойство сложения.

Для любых рациональных чисел  ,  и выполняется равенство 

(a + b) + c = a + (b + c).

Проверим это свойство на примере.

Пример №108

(–2 + 7) + (–8) = 5 + (–8) = –3;
–2 + (7 + (–8)) = –2 + (–1) = –3, поэтому
(–2 + 7) + (–8) = –2 + (7 + (–8)).

Для любого рационального числа выполняются равенства:

a + 0 = 0 + a = a ;     a + (–a) = –a + a = 0.

Свойства сложения дают возможность упростить процесс вычисления суммы нескольких слагаемых, выбирая удобный порядок вычислений. Если необходимо сложить несколько чисел, среди которых есть положительные и отрицательные числа, то можно отдельно сложить все положительные числа и отдельно все отрицательные, а потом к сумме положительных чисел прибавить сумму отрицательных. Если среди слагаемых имеются противоположные числа, то сумма этих слагаемых равна нулю. Такие слагаемые можно зачеркнуть (говорят, что слагаемые взаимно уничтожились).

Пример №109

Вычислить сумму:

Решение. Отметим, что среди слагаемых есть противоположные числа: —7 и 7, сумма которых равна нулю. Их можно зачеркнуть. Далее сгруппируем числа с одинаковыми знаками:

Вычитание рациональных чисел

Вычитание — это действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них находят второе слагаемое.

Например, —4 + 7 = 3, поэтому 3 — 7 = —4. Такой же результат получим, если к числу 3 прибавим число, противоположное числу 7, то есть число —7. Действительно, 3 + (—7) = = —4. Поэтому разность 3 — 7 можно представить суммой 3 + (—7), в которой к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому: 3 — 7 = 3 + (—7).

Получаем правило вычитания рациональных чисел:

чтобы из одного числа вычесть второе, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Запишем в виде формулы ( и  — любые рациональные числа): 

Когда уменьшаемое больше вычитаемого, то разность положительная (например, 5 — 3 = 2; —5 — (—7) = —5 + 7 = 2). Когда уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность отрицательная (например, 3 — 9 = 3 + (—9) = —6; —4 — 2 = —4 + (—2) = —6). Разность равна нулю, когда уменьшаемое и вычитаемое между собой равны (например, 7 — 7 = 0, —5 — (—5) = —5 + 5 = 0).

Поскольку вычитание можно заменить сложением противоположного к вычитаемому числа, то любую разность можно представить в виде суммы.

Пример №110

Вычислить:

Решение.

Пример №111

Упростить:

Решение. 

Раскрытие скобок

Вспомним, как к числу  прибавить сумму  и . Можно сначала к числу  прибавить , а потом к полученному результату прибавить :

Мы записали выражение без скобок. Такое преобразование выражения называют раскрытием скобок.

Пример №112

Раскрыть скобки в выражении .

Решение.

Пример №113

Раскрыть скобки в выражении  

Решение.

Выражение можно получить из выражения , а выражение   — из выражения , если не писать скобки и знак «+» и записать все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками. Имеем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»:

чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», надо не писать скобки и знак «+», что стоит перед ними, и записать все слагаемые со своими знаками.

Пример №114

Раскрыть скобки и найти значение выражения 5,2 + (–7,2 + 3). 

Решение. 5,2 + (–7,2 + 3) = 5,2 – 7,2 + 3 = 1. 

Вспомним и запишем правило вычитания из числа суммы чисел  и :

Мы записали выражение без скобок. Рассмотрим еще пример раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «–».

Пример №115

Раскрыть скобки в выражении .

Решение.

Выражение можно получить из выражения , а выражение — из выражения , если не писать скобки и знак «–» и записать все слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками. Получаем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «–»:

• чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», надо не писать скобки и знак «–», что стоит перед ними, и записать все слагаемые с противоположными знаками.

Пример №116

Раскрыть скобки и найти значение выражения 

Решение. 

Пример №117

Упростить выражение: 

Решение. 

2) Как известно, при записи положительных чисел знак «+», как правило, не пишут. Так же знак «+» не пишут в начале примера перед скобками. Итак, вместо  пишут . Имеем

Умножение рациональных чисел

Рассмотрим сумму . Эта сумма равна числу —20. С другой стороны,  Отрицательный множитель, стоящий на первом месте, записывать в скобках не обязательно; можно писать так: . Итак, . Числа —5 и 4 имеют противоположные знаки, их произведение является числом отрицательным, а модуль их произведения (числа —20) равен произведению модулей множителей (чисел —5 и 4).

Действительно,

Имеем правило умножения двух чисел с разными знаками:

• произведением двух чисел с разными знаками является число отрицательное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Пример №118

Сравнивая произведения и , приходим к выводу: при смене знака одного из множителей знак произведение меняется, а его модуль остается таким же.

Если же изменить знаки обоих множителей, то произведение изменит знак дважды и в результате знак произведения не изменится: 

Следовательно, произведением двух отрицательных чисел является число положительное. Получаем правило умножения двух отрицательных чисел:

• произведением двух отрицательных чисел является число положительное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Пример №119

 

Если число  — положительное, отрицательное или ноль, то

Итак,

если хотя бы один из множителей равен нулю, то и произведение равно нулю. Наоборот: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример №120

Пример №121

Решить уравнение

Решение. Поскольку произведение , то или . Поэтому имеем  или 

Ответ. –7; 6.

Переместительное и сочетательное свойства умножения. Коэффициент буквенного выражения

При умножении рациональных чисел, как и при умножении положительных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство умножения.

Для любых рациональных чисел и выполняется равенство

ab = ba.

Проверим это свойство на примерах. 

Пример №122

поэтому  

Пример №123

поэтому  

Сочетательное свойство умножения.

Для любых рациональных чисел ,  и  выполняется равенство

(ab)c = a(bc).

Проверим это свойство на примере.

Пример №124

, поэтому 

Заметим также, что для любого рационального числа  выполняются равенства: 

Свойства умножения дают возможность упростить процесс вычисления произведения нескольких множителей, выбирая удобный порядок вычислений.

Пример №125

 

Заметим, что произведение нескольких чисел, отличных от нуля, — число отрицательное, если количество отрицательных множителей нечетное. Если количество отрицательных множителей четное, то произведение — число положительное. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Свойства умножения дают возможность упрощать выражения. 

Пример №126

Упростить выражение

Решения. 

Число 30 называют коэффициентом полученного буквенного выражения . Например, выражение имеет коэффициент .

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

Обычно коэффициент записывают перед буквенным множителем, а коэффициент 1 не пишут. Следовательно, , буквенное выражение имеет коэффициент 1. Вместо коэффициента –1 пишут только знак «–». Например, вместо пишут , то есть , буквенное выражение имеет коэффициент —1.

Распределительное свойство умножения

Для рациональных чисел, как и для положительных чисел, выполняется распределительное свойство умножения относительно сложения:

для любых рациональных чисел ,  и  выполняется равенство

(a + b)c = ac + bc.

Проверим это свойство на примере:

Пример №127

  поэтому 

Распределительное свойство умножения выполняется независимо от количества слагаемых в скобках. Замена выражения на выражение  (или выражения на выражение ) также называют раскрытием скобок.

Пример №128

Раскрыть скобки:

Решение. 

Запишем решение короче, учитывая знаки множителей:

 или короче:

Равенство, выражающее распределительное свойство умножения, можно записать, поменяв местами левую и правую части:

Это равенство означает: если произведения ( и  ) имеют общий множитель (в нашем случае ), то при сложении этих произведений общий множитель можно записать за скобками. В скобках остается сумма других множителей ( и ). Замена выражения на выражение (или выражения на выражение ) называют вынесением общего множителя за скобки.

Пример. Вынести за скобки общий множитель:

Решение. Заметим, что общий множитель целесообразно подчеркивать.

 или короче 

Правильно ли вынесен общий множитель за скобки, можно проверить, раскрыв скобки, а именно: 

Распределительное свойство умножения можно использовать для упрощения вычислений.

Пример. Вычисли: 

Решение. 

Подобные слагаемые и их приведение

Распределительное свойство умножения дает возможность выносить общий множитель за скобки.

Пример №129

Упрости выражение 7x – 6x + 3x.

Решение. Все слагаемые имеют общий множитель . Имеем:  В скобках записана сумма коэффициентов всех слагаемых, она равна 4.

Поэтому

В выражении  слагаемые имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга лишь коэффициентами. Такие слагаемые называют подобными.

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Сложение подобных слагаемых называют приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, достаточно сложить их коэффициенты и найденный результат умножить на общую буквенную часть.

Пример №130

Привести подобные слагаемые:

Решение. 1) В этом примере все слагаемые подобны, поскольку у них общая часть . Складывая коэффициенты, имеем: Итак,

Выражение может содержать слагаемые с различными буквенными частями. Тогда слагаемые можно объединить в группы с одинаковой буквенной частью. Слагаемые из разных групп целесообразно подчеркивать по-разному.

Пример №131

Упростить выражение

Решение.

Пример №132

Решить уравнение

Решение. Раскроем скобки: Приведем подобные слагаемые Далее  

Деление рациональных чисел

Деление — это действие, во время выполнения которого по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Поскольку В последнем равенстве —10 — делимое, (—5) — делитель, 2 — частное; делимое и делитель — числа отрицательные, частное — число положительное. Модуль частного равен модулю делимого, что делится на модуль делителя. Действительно, 

Получаем правило деления двух отрицательных чисел:

частное от деления двух отрицательных чисел является числом положительным; чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Пример №133

Поскольку   Если делимое и делитель — числа разных знаков, то частное — число отрицательное, а модуль частного равен модулю делимого, которое делится на модуль делителя. В самом деле, и Имеем правило деления двух чисел с разными знаками:

• частное от деления двух чисел с разными знаками является числом отрицательным; чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Пример №134

Пример №135

Решить уравнение

Решение. Раскроем скобки:  

Если — любое рациональное число, то

Если — любое рациональное число, отличное от нуля, то  и 

Напомним, что на ноль делить нельзя:

Решение уравнений и основные свойства уравнения

До сих пор мы решали уравнения, используя зависимости между компонентами действий. Рассмотрим основные свойства уравнения, которые предоставят возможность значительно упростить процесс решения знакомых нам видов уравнений и научиться решать новые виды уравнений.

Пример №136

Решить уравнение

Решение. По правилу нахождения неизвестного множителя имеем . Это же уравнение можно получить, если обе части исходного уравнения разделить на 3 или умножить обе части на .  Завершая решение уравнения, найдем .

Число 4 является как корнем уравнения (ибо 4 + 2 = 6), так и корнем уравнения (ибо ). Имеем такое свойство уравнения:

• корни уравнения не изменятся, если его обе части умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Пример №137

Решить уравнение .

Решение. По правилу нахождения неизвестного слагаемого имеем . Это уравнение можно получить из первоначального, если перенести слагаемое 2 из левой части в правую, изменив знак этого слагаемого на противоположный (с «+» на «–»). Окончательно имеем .

Пример №138

Решить уравнение .

Решение. По правилу нахождения неизвестного уменьшаемого имеем х = 8 + 3. Это уравнение можно получить из исходного, если перенести слагаемое –3 из левой части в правую, изменив знак слагаемого на противоположный (с «–» на «+»). Итак,  корень уравнения.

Имеем еще одно свойство уравнения:

• корни уравнения не изменятся, если некоторое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, сменив при этом его знак на противоположный.

Исходя из приведенных свойств, составим общую схему решения уравнений, которую применим в следующем примере.

Пример №139

Решить уравнение

Решение.

1	Раскроем скобки
2	Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения
3	Перенесем слагаемые, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения (чаще в левую), а остальные слагаемые —в другую часть уравнения, изменив при этом их знаки на противоположные
4	Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения
5	Найдем корень уравнения
6	Проверка (желательно)

Решение задач с помощью уравнений

Рассмотрим примеры решения текстовых задач с помощью уравнений.

Задача №62

В двух корзинах вместе 28 яблок, причем во второй на 4 яблока больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой корзинке?

Решение. Обозначим количество яблок в первой корзине буквой , тогда количество яблок во второй будет . Общее количество яблок по условию задачи равно 28. Имеем уравнение: 

.

Решим это уравнение: , 

Итак, в первой корзине было 12 яблок, а во второй — 12 + 4 = 16 (яблок).

Проверка. Во второй корзине яблок на 4 больше, чем в первой (16 — 12 = 4), в обеих корзинах вместе 28 яблок (12 + 16 = 28), что соответствует условию задачи.

Ответ. 12 яблок в первой корзине, 16 яблок — во второй.

Решив задачу с помощью уравнения, правильность ее решения надо проверить по условию задачи, а не по составленному уравнению.

Следовательно, решать задачу с помощью уравнения можно по следующему плану:

1. обозначаем некоторую неизвестную величину (число) буквой, например, ;
2. другие неизвестные величины выражаем через эту букву;
3. исходя из условия задачи, составляем уравнение;
4. решаем это уравнение;
5. находим неизвестные величины, если этого требует условие задачи;
6. проверка (необязательно);
7. ответ.

Задача №63

По трем ящикам разложили 35 банок консервов так, что в первом ящике стало в два раза меньше банок, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. По сколько банок консервов стало в каждом ящике?

Решение. Обозначим количество банок консервов в первом ящике буквой , тогда количество банок во втором ящике — , а в третьем — . В трех ящиках вместе банок, что по условию равно 35. Имеем уравнение:  

Решим его:  

В первом ящике 8 банок, во втором — (банок), в третьем — (банок).

Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ. В первом ящике 8 банок, во втором — 16 банок, в третьем — 11 банок.

Перпендикулярные прямые

Две прямые, имеющие одну общую точку, называют прямыми пересекающимися. Их общую точку называют точкой пересечения.

На рисунке 89 прямые  и  пересекаются, — точка их пересечения. Две прямые, пересекаясь, кроме развернутых, образуют четыре угла с общей вершиной, градусная мера которых меньше 180°.

Рис. 89

Прямые и (рис. 90) пересекаются в точке О, причем один из образованных углов — прямой: . В этом случае прямые и называют перпендикулярными (от латинского слова perpendicularis — перпендикулярный).

Поскольку угол — развернутый , то . Аналогично рассуждая, имеем: .

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными.

Итак, на рисунке 90 прямые и перпендикулярны. Перпендикулярность прямых обозначают знаком . Записывают: , читают: «прямая перпендикулярна к прямой ».

                                         Рис. 90                                                         Рис. 91

Для построения перпендикулярных прямых можно использовать транспортир (рис. 91) или чертежный угольник.

Пример №140

Пусть дана точка М, которая не принадлежит прямой . Используя чертежный угольник, построй прямую, которая проходит через точку М и является перпендикулярной к прямой .

Решение.

1) Разместим угольник так, чтобы одна из сторон его прямого угла лежала на прямой , а вторая проходила через точку М (рис. 92).

2) Проведем отрезок вдоль стороны угольника от точки М к пересечению с прямой . Обозначим полученную точку буквой N (рис. 92).

3) Построим прямую (рис. 93). Запишем: . Аналогично можно с помощью угольника выполнить построение прямой, перпендикулярной к прямой , если точка М принадлежит прямой (рис. 94).

                                Рис. 92                                 Рис. 93                                Рис. 94

Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами).

На рисунке 95 изображены перпендикулярные отрезки и , а на рисунке 96 — перпендикулярные лучи  и .

                                            Рис. 95                                                           Рис. 96

Параллельные прямые

Две разные прямые, построенные на листе бумаги или доске, могут пересекаться в одной точке (рис. 104) или не пересекаться (рис. 105). Лист бумаги, доска дают представление о плоскости. Также представление о плоскости дают поверхность стола, оконное стекло и тому подобное.

               Рис. 104                              Рис. 105                              Рис. 106

Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными (от греческого слова parallelos – идущий рядом).

На рисунке 105 изображены параллельные прямые  и . Параллельность прямых обозначают знаком . Записывают: , читают: «прямая параллельна прямой ».

Представление о параллельных прямых дает нам, например, прямой участок железнодорожных рельсов (рис. 106).

Пример №141

Дана прямая и точка , которая не принадлежит прямой (рис. 107). С помощью угольника и линейки построить прямую, которая проходит через точку и параллельна прямой .

Решение. 1) Одну сторону прямого угла угольника прикладываем к прямой .

2) Ко второй стороне прямого угла угольника прикладываем линейку.

3) Передвигаем угольник вдоль линейки до тех пор, пока вторая сторона прямого угла угольника не пройдет через точку .

4) Вдоль этой стороны проводим прямую . Имеем .

Рис. 107

Приведенное построение основывается на таком свойстве:

• если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны (рис. 108).

Это свойство будет доказано в старших классах.

Отрезки (или лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (или лучами).

        Рис. 108                               Рис. 109                                     Рис. 110

На рисунке 109 изображены параллельные отрезки и , а на рисунке 110 — параллельные лучи  и .

Координатная плоскость

Положение точки на координатной прямой определяется числом, которое называют координатой этой точки. А как определить расположение точки на плоскости?

Рассмотрим пример.

Пример №142

Петр купил билет в кинотеатр, на котором написано: «Ряд 4, место 7», а Мария: «Ряд 7, место 4». На рисунке 116 показаны места, на которых будут сидеть дети во время киносеанса. Расположение зрителя в зале кинотеатра можно записать так: для Петра (4; 7), а для Марии (7; 4), где в скобках сначала записан номер ряда, а за ним — номер места в этом ряду.

Рис. 116

Расположение зрителя в зале кинотеатра определяется двумя числами. Так же двумя числами определяется расположение точки на плоскости. 

Проведем две перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в точке O (рис. 117) — их совместному началу отсчета. Эти прямые называют осями координат, точку O — началом координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают буквой ; вертикальную ось называют осью ординат и обозначают буквой . Ось абсцисс и ось ординат образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью.

                                   Рис. 117                                                                  Рис. 118

Пример №143

На координатной плоскости обозначим точку A (рис. 118). Проведем через эту точку прямую , перпендикулярную к оси абсцисс, и прямую , перпендикулярную к оси ординат. Точка  принадлежит оси абсцисс и имеет координату —3, а точка принадлежит оси ординат и имеет координату 4. Число —3 называют абсциссой точки A, а число 4 — ординатой точки A.

Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки. Координаты точки записывают в скобках: , читают: «точка с координатами —3 и 4».

Записывая координаты точки, абсциссу всегда пишут на первом месте, а ординату — на втором.

Аналогично находим координаты точек и .

Пример №144

Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. На рисунке 119 точки имеют координаты: , .

Рис. 119

Теперь можно дать ответ на вопрос, поставленный в начале лекции: чтобы определить положение любой точки на плоскости, надо знать ее координаты. Каждой точке на координатной плоскости соответствует упорядоченная пара чисел — ее абсцисса и ордината. Напротив, каждой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Пример №145

Построим на координатной плоскости точку (рис. 120). Для этого:

1) на оси абсцисс найдем точку с координатой 3, через нее проведем прямую, перпендикулярную к оси абсцисс (ocи );

2) на оси ординат найдем точку с координатой —4, через нее проведем прямую, перпендикулярную к оси ординат (оси );

3) точку пересечения проведенных прямых обозначим буквой , эта точка является искомой, ибо ее абсцисса равна 3, а ордината равна —4.

Точку можно было построить иначе: отсчитав от точки O справа 3 единицы, а затем от полученной точки вниз 4 единицы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями, или координатными углами. Нумерацию четвертей и знаки координат в четвертях показано на рисунке 121.

                                          Рис. 120                                                         Рис. 121 

Примеры графиков зависимостей между величинами

На координатной плоскости можно строить графики зависимостей между различными величинами.

Пример №146

Метеорологи в течение суток измеряли температуру воздуха через каждые два часа. По результатам измерений была составлена таблица:

, ч	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
	4	2	0	—3	—4	—1	2	5	7	5	4	3	1

Эта таблица характеризует зависимость температуры воздуха от времени. Такую зависимость можно изобразить графически. Для этого построим прямоугольную систему координат (рис. 135). На оси абсцисс будем откладывать значение

Рис. 135

Рис. 136

времени (, ч) так, что одному делению будет соответствовать один час, а на оси ординат будем откладывать значение температуры () так, что одному делению будет соответствовать один градус. Далее на координатной плоскости построим все точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы, всего 13 точек: . Абсцисса каждой точки — значение времени, а ордината — значение температуры воздуха в это время. Если бы метеорологи измеряли температуру чаще (например, через каждый час или каждые 30 мин.), то получили бы значительно больше точек, которые бы лежали плотнее друг к другу на координатной плоскости. Если предположить, что резких скачков температуры не было и соединить найденные точки плавной линией, то получим график зависимости температуры воздуха от времени (рис. 136).

Построенный график наглядно описывает изменение температуры в течение суток. С помощью графика можно дать ответы на многие вопросы.

Пример №147

Пользуясь графиком, построенным в примере 146, найти:

1) какой была температура в 11 ч;

2) в котором часу температура составляла 3°С.

Решение. 1) На оси абсцисс, где отложено время , найдем число 11. Строим прямую, перпендикулярную к оси абсцисс, проходящую через точку (11; 0). Эта прямая пересекает график в точке . Найдем ординату точки . Она равна 1. Итак, в 11 час температура была 1 °С.

2) На оси ординат, где отложены значения температуры , найдем число 3. Строим прямую, перпендикулярную оси ординат, проходящую через точку (0; 3). Эта прямая пересекает график в трех точках:  и . Найдем абсциссы этих точек: 1, 13, 22 соответственно. Следовательно, температура 3°С была около 1 ч, около 13 ч и около 22 ч.

Пример №148

Мотоциклист двигался со скоростью 40 км/ч. Он посчитал зависимость расстояния (, км) от времени (, ч) и получил таблицу:

, ч	0	1	2	3	4	5
, км	0	40	80	120	160	200

Построим график этого движения. На оси абсцисс откладываем значение времени (, ч) так, что одному часу соответствуют две ячейки, а на оси ординат откладываем значение расстояния (, км) так, что одной ячейке соответствует расстояние 20 км. Построим точки ,  и . Приложив линейку к построенным точкам, видим, что они лежат на одной прямой. Соединив точки отрезками, получим график зависимости расстояния от времени при постоянной скорости (рис. 137).

Эту зависимость расстояния (в км) от времени (в ч) можно задать формулой .

Как и в предыдущем примере, пользуясь графиком, мы можем решить задачи двух типов: зная время, найти расстояние, которое преодолели за это время, и, наоборот, найти время, за которое преодолели некоторое расстояние.

Рис. 137

Целые выражения

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Выражения с переменными. Целые рациональные выражения.
Числовое значение выражения

Числовые выражения образуют из чисел с помощью знаков действий и скобок.
Например, числовыми выражениями являются:

и другие.

Число, являющееся результатом выполнения всех действий в числовом
выражении, называют значением выражения.

Поскольку , то число 27 является значением
числового выражения .

Если числовое выражение содержит действие, которое невозможно выполнить,
говорится, что выражение не имеет смысла. К примеру, выражение не имеет смысла, поскольку  и следующее действие  выполнить невозможно.

Кроме числовых выражений в математике встречаются выражения,
содержащих буквы. Такие выражения мы называли буквенными.

Пример №149

Пусть необходимо найти площадь прямоугольника, длина которого равна 10 см, а ширина —  см. По формуле площади прямоугольника имеем:   если,
например, , то , а если , то . В выражении  буква может принимать различные значения, то есть ее значение можно менять. При этом будет меняться и значение выражения . Поскольку значение может изменяться (приобретать различные, в данном случае положительные значения), то букву в таком выражении называют переменной, а само выражение — выражением с переменной.

Например, выражения являются выражениями с переменными. 

Выражения с переменными образуют из чисел и переменных с помощью знаков арифметических действий и скобок.

Если в выражение с переменными вместо переменных подставим определенные числа, то получим числовое выражение. Его значение называют
числовым значением выражения для выбранных значений переменных.

Пример №150

Найти значение выражения:
1) , если ,    2) , если .
Решение. 1) Если , то ;
если , то .
2) Если , то .
Выражение, содержащее только действия сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень, называют рациональным выражением. Например, рациональными являются выражения:

 .

Рациональное выражение, не содержащее деления на выражение с переменной, называют целым рациональным выражением. Если в рациональном выражении содержится деление на выражение с переменной, его называют
дробным рациональным выражением. Три первые выражения в приведенных
выше — целые, а три последние — дробные.

Выражения с переменными используют для записи формул.
Например, — формула расстояния; — формула периметра прямоугольника; (где — целое число) — формула четного числа; (где — целое число) — формула нечетного числа; (где — целое число) — формула числа, кратного числу 7.
Выражения, не являющиеся рациональными, будем рассматривать в старших
классах.

Тождественные выражения и тождественное преобразование выражения. Доказательство тождеств

Найдем значения выражений  и  для некоторых данных значений переменной . Результаты запишем в таблицу: 

Можно прийти к выводу, что значения выражений  и  для каждого данного значения переменной  равны между собой. По распределительному свойству умножения относительно вычитания . Поэтому и для любого другого значения переменной значение выражений и тоже будут равными между собой. Такие выражения называют тождественно равными.

Два выражения, соответствующие значения которых равны между собой при любых значениях переменных, называют тождественными или тождественно равными.

Например, тождественными являются выражения и , так как при каждом значении переменной эти выражения приобретают одинаковые значения (это следует из распределительного свойства умножения относительно сложения, поскольку ).

Рассмотрим теперь выражения и . Если  и , то соответствующие значения этих выражений равны между собой:

;   .

Однако можно указать такие значения и , для которых значения этих выражений не будут между собой равны. Например, если ; , то
,    .

Итак, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие
значение выражений и  не равна друг другу. Поэтому выражения и не являются тождественно равными.
 

Равенство, которое является верным при любых значениях переменных, называют тождеством.

Исходя из вышеизложенного, тождествами, в частности, являются равенства:

и .

Тождествами являются равенства, которыми записаны известные свойства
действий над числами. Например,

;       ;     ;

;                   ;                           .

Тождествами являются и такие равенства:

;             ;          ;

;       ;          .

Тождествами также принято считать верные числовые равенства, например:
;      ;        .
Если в выражении привести подобные слагаемые, получим, что
. В таком случае говорят, что выражение заменили тождественным ему выражением .

Замену одного выражения другим, ему тождественным, называют
тождественным преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями являются раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т. д.

Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении
выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное
ему выражение, имеющее более короткую запись.

Пример №151

Упростить выражение: 1) ;

2) ;

3) .

Решение. 1) ;

2) ;

3) .

Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество), используют тождественные преобразования выражений.

Доказать тождество можно одним из следующих способов:

• выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым приведя к виду правой части;
• выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым приведя к виду левой части;
• выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым приведя обе части к одинаковым выражениям.

Пример №152

Доказать тождество: 1) ;

2) ;

3) .

Решение. 1) Преобразуем левую часть данного равенства:

.

Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства привели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

2) Преобразуем правую часть данного равенства:

.

Тождественными преобразованиями правую часть равенства привели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:

;

.

Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства привели к одному и тому же виду: . Поэтому данное равенство является тождеством.

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение нескольких одинаковых множителей можно
записать в виде выражения, которое называют степенью.
Например,
.

Множитель, который повторяется, называют основанием степени, а число, которое показывает количество таких множителей, — показателем степени. В выражении число 4 — основание степени, а число 6 — показатель степени. Поскольку , то говорят, что число 4096 является шестой степенью числа 4.

Степенью числа  с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен . Степенью числа с показателем 1 называют само число .

Степень с основанием и показателем записывают так: , читают:
« в степени » или «—я степень числа ».
По определению степени:  ,    и  
Нам уже известно, что вторую степень числа называют квадратом
числа , а третью степень числа называют кубом числа .
 

Пример №153

Представить в виде степени: 1) ;   2) ;   3) ;

4) .

Решение. 1) ;  2) ;   3) ;   

4) .

Вычисление значения степени является арифметическим действием, которое
называют возведением в степень.

Пример №154

Выполнить возведение в степень:
1) ; 2) ; 3) ; 4) 
 

Решение. 1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Выясним знак степени с натуральным показателем .
1) Если , то ; ; ... .  Итак, .
2) Если , то  как произведение положительных
чисел.
Итак, для любого .
3) Если , при нечетном значении имеем: как произведение нечетного количества отрицательных множителей; при четном значении имеем: как произведение четного количества отрицательных
множителей.

Итак, если — натуральное число, то

•  для любого ;
•  для любых  и ;
•  для любого  и нечетного ;
•  для любого  и четного .

Если выражение содержит несколько действий, то в первую очередь выполняют
действие возведения в степень, затем действия умножения и деления,
а затем — действия сложения и вычитания.

Пример №155

Найти значение выражения: 1) ;
2); 3) ; 4) .
Решение.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Примечание: во время вычислений можно также записывать каждое действие отдельно.

Свойства степени с натуральным показателем

Рассмотрим свойства степени с натуральным показателем.
Выражение является произведением двух степеней с одинаковыми основаниями. Применив определение степени, это произведение можно переписать так:
.

Итак, , то есть . Тем же способом нетрудно проверить, что . Поэтому произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Это свойство подтверждается для каждого произведения степеней с одинаковыми основаниями.

Для любого числа и произвольных натуральных чисел m и выполняется равенство .

Доказательство. .
 

Равенство называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней. Например:
.

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Например, ;   ; .

Поскольку , то по определению частного , то есть . Тем же способом нетрудно убедиться, что . Поэтому частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разнице показателей делимого и делителя. Это свойство справедливо для каждого частного степеней с одинаковыми, отличными от нуля, основаниями при условии, что показатель
степени делимого больше показатель степени делителя.

Для любого числа  и произвольных натуральных чисел и , таких, что , выполняется равенство:

.

Доказательство. Поскольку, то есть ,
то по определению частного имеем .
Из доказанного свойства вытекает правило деления степеней.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а от показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Например,  ;   .

Выражение  — степень, основание которой является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием :
.

Тем же способом можно убедиться, что .
То есть степень при возведении в степень равна степени с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей данных степеней.

Для любого числа и произвольных натуральных чисел и  выполняется равенство:   
Доказательство.
Из доказанного свойства вытекает правило возведения степени в степень.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели степеней перемножают.

Например, ;  ;  

.

Выражение является степенью произведения множителей и . Это выражение можно представить в виде произведения степеней и :
.
Следовательно, .

Этим свойством при возведении в степень обладает любое произведение. 
Для любых чисел и и произвольного натурального числа выполняется равенство  .
Доказательство.

Это свойство степени распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например,  и т. д.
Существует правило возведения произведения в степень.

При возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить.

Например,

Левую и правую части рассмотренных тождеств можно менять местами:

Рассмотрим, как упростить выражения, содержащие степени, и вычислить их значения.
 

Пример №156

Упростить .
Решение. .
 

Пример №157

Вычислить: 1) ; 2) ;
3) .
Решение. 1) .
2) Представим и в виде степени с основанием 3, то есть
. Итак, имеем:
.
3) Поскольку , имеем:.

Одночлен и стандартный вид одночлена

Рассмотрим выражения  .

Это — числа, переменные, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами.

Целые выражения — числа, переменные, их степени и произведения — называют одночленами.

Выражения   не являются одночленами, поскольку содержат действия сложения, вычитания, деления.

Упростим одночлен , использовав распределительное и сочетательное свойства умножения:
.
Приведя одночлен к виду , говорят, что привели его к стандартному виду.

Если одночлен является произведением, имеющим один числовой множитель, который записан на первом месте, а другие множители являются степенями различных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

К одночленам стандартного вида относятся и такие одночлены, как 5, –9; ; .
Очевидно, что к стандартному виду можно привести любой одночлен.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом этого одночлена.

Например, коэффициентом одночлена является число –20, а коэффициентом одночлена  — число .
Коэффициентом одночлена является 1, поскольку , а
коэффициентом одночлена является –1, поскольку . То есть
вместо коэффициента –1 записывают только знак минус, а коэффициент,
равный 1, вообще не записывают.
Для каждого одночлена можно указать его степень.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, которые он содержит. Если одночлен не содержит переменных (то есть является числом), то считают, что его степень равна нулю.

Например, одночлен   — одночлен двенадцатой степени, поскольку ;   — одночлен восьмой степени, поскольку ; — одночлен четвертой степени; — одночлен первой степени. Одночлен –7 не содержит переменных, поэтому является одночленом нулевой степени.

Умножение одночленов и возведение одночленов в степень

Во время умножения одночленов используют свойства действия
умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Пример №158

Перемножить одночлены .
Решение.  .
Произведением любых одночленов является одночлен, который обычно
представляют в стандартном виде. Аналогично приведенному примеру, можно множить три и более одночленов.
При возведении одночлена в степень используют свойства степеней.

Пример №159

Возвести одночлен: 1) в куб; 2)  в четвертую степень.

Решение. 1) ; 2) .

Результатом возведения одночлена в степень является одночлен, который обычно записывают в стандартном виде.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №160

Упростить выражение .

Решение. 

.

Пример №161

Представить одночлен   в виде квадрата одночлена стандартного вида.

Решение. Поскольку , то .

Многочлен и подобные члены многочлена и их приведение. Степень многочлена

Выражение представляет собой сумму одночленов ,  и . Это выражение называют многочленом.

Многочленом называют сумму одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена. Например, многочлен  состоит из четырех членов: ; ; и .

Многочлен, содержащий два члена, называют двучленом, многочлен, содержащий три члена, — трехчленом. Например, ,  —
двучлены;  ,  — трехчлены. Одночлен считают отдельным видом многочлена.

В многочлене члены  и  —
подобные слагаемыми, поскольку они имеют одинаковую буквенную часть . Также подобными слагаемыми являются члены 8 и –9, у которых отсутствует буквенная часть.

Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением подобных членов многочлена.

Пример №162

Привести подобные члены в многочлене .
Решение.
.
Каждый член многочлена  является одночленом стандартного вида, причем этот многочлен уже не содержит подобных слагаемых. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Многочлен, состоящий из суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Пример №163

Приведены ли к стандартному виду многочлены:
1) ;  2) ; 3) ?
Решение. 1) Поскольку не является одночленом стандартного вида, то многочлен не является многочленом стандартного вида.
2) Многочлен является многочленом стандартного вида.
3) Многочлен содержит подобные слагаемые, поэтому не является многочленом стандартного вида.

Пример №164

Записать в стандартном виде многочлен
.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена, затем приведем подобные слагаемые:

Члены многочлена , имеющего стандартный вид,
являются одночленами соответственно пятой, шестой и нулевой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена.
Итак, является многочленом шестой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, многочлены   и   — первой степени; многочлен — второй; — пятой степени.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример №165

Определить степень многочлена
.
Решение. Сначала запишем многочлен в стандартном виде . Многочлен является многочленом второй степени, а потому и многочлен
является многочленом второй степени.
Члены многочлена можно записывать в разной последовательности.
Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, упорядочивают по возрастанию или убыванию показателей степеней этой переменной.
Например,   или .

Любой многочлен является целым выражением. Но не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения ;
; не являются многочленами, поскольку они не являются суммой одночленов.

Сложение и вычитание многочленов

Сложим многочлены  и . Для этого запишем их сумму, затем раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Мы записали сумму многочленов   и в виде многочлена . Так же можно добавлять три и более многочленов. Сумма любых многочленов является многочленом, который обычно записывают в стандартном виде.

Теперь от многочлена вычтем многочлен . Для этого запишем их разность, потом раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Разность многочленов   и   мы представили
в виде многочлена . Разность любых многочленов является многочленом, который обычно записывают в стандартном виде.

Пример №166

Решить уравнение
.
Решение. Раскроем скобки в левой части уравнения:
.
Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, а те, что не содержат переменной, — в правую. Получаем:

Ответ: —3,5.

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу — записать многочлен в виде суммы или разности многочленов. В этом случае целесообразно использовать изученные в предыдущих классах правила взятия выражения в скобки, перед которыми стоит знак «плюс» или «минус».

Пример №167

Записать многочлен   в виде:

1) суммы двух многочленов, один из которых содержит переменную , а второй ее не содержит;
2) разности двух многочленов, первый из которых содержит переменную, а второй ее не содержит.

 Решение.

1)  ;

2) .

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен   на многочлен , используя распределительное свойство умножения:

Итак, произведением одночлена и многочлена является многочлен
, который получили, умножив одночлен на каждый член многочлена и сложив найденные результаты.
Имеем правило умножения одночлена на многочлен:

чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Произведение любого одночлена на любой многочлен всегда можно представить в виде многочлена.

Пример №168

Выполнить умножение: .
Решение.

Записать это умножение можно короче, пропустив промежуточные
результаты:
.
 

Пример №169

Упростить выражение: .
Решение.
.
Пример №170

Решить уравнение
.
Решение. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 12:

.

Имеем:

Ответ: 2.

Разложение многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть представляли натуральные числа в виде произведения. Например,
 и др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать на множители.
Например, и др.

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения одночлена на многочлен или произведения нескольких многочленов так, чтобы это произведение было тождественно равным данному многочлену.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительное свойство умножения , если его записать в обратном порядке: . Это означает, что многочлен разложили на два множителя и .

При разложении на множители многочленов с целыми коэффициентами множитель, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №171

Разложить выражение на множители:
1) ;   2) ;   3) .

Решение.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

.

2) Общим множителем является переменная , поэтому

.

3) В данном случае общим числовым множителем является наибольший общий делитель чисел 10 и 15 — число 5, а общим буквенным множителем является одночлен . Итак, .

Пример №172

Разложить на множители: 1) ; 

2) .

Решение. 1) В данном случае общим множителем является двучлен . Итак, .

2) Слагаемые имеют множители и , которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемом вынесем за скобки множитель –1, получим:.

Итак, .

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлену.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример №173

Найти корни уравнения .
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: .

Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, имеем: или , откуда или .
Ответ: 0; 1,4.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен . Обозначим многочлен буквой . Имеем:
.
В выражении подставим вместо многочлен и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
.
Итак,
.

Многочлен является суммой всех одночленов, полученных умножением каждого члена многочлена на каждый член многочлена .

Приходим к правилу умножения многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Процесс умножения многочлена на многочлен можно представить схематично:

Результатом умножения многочлена на многочлен является многочлен.
Если первый из сомножителей произведения содержит членов, а второй — членов, то, умножив их, получим многочлен, содержащее членов, а после приведения подобных слагаемых это количество может уменьшиться.
 

Пример №174

Выполнить умножение .
Решение.

Пример №175

Упростить выражение .

Решение.

Если необходимо перемножить более двух многочленов, то сначала умножают любые два из них, затем полученный результат умножают на третий многочлен и т. д.
 

Пример №176

Выполнить умножение: .
Решение. Сначала умножим первый многочлен на второй, а затем полученный результат умножим на третий многочлен:
.

Разложение многочлена на множители методом группировки

Мы познакомились с разложением многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки. Существуют и другие способы разложения многочленов на множители, например, метод группировки.

Пример №177

Разложить на множители многочлен .
Решение. В данном случае у всех членов этого многочлена нет общего множителя. Поэтому здесь целесообразно применить именно метод группировки. Разобьем слагаемые на две группы так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
.
Из каждой группы вынесем общий множитель за скобки:
.

Теперь полученный для обеих групп общий множитель  вынесем за скобки:.
Итак, .
Сгруппировать слагаемые данного многочлена можно было и другим способом.
Например,
.
Приходим к выводу, что для разложения многочлена на множители методом группировки следует выполнять действия в такой последовательности:

1. разбить многочлен на группы слагаемых, каждая из которых содержит общий множитель;
2. из ​​каждой группы вынести общий множитель за скобки;
3. образовавшийся общий для всех групп множитель вынести за скобки.

Для проверки правильности разложения следует перемножить полученные множители. Произведение этих множителей должно равняться данному многочлену.

Пример №178

Разложить на множители многочлен
.
Решение. 1—й способ. Сгруппируем члены многочлена в три группы по два слагаемых так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель. Получаем:

2—й способ. Сгруппируем теперь члены многочлена в две группы по три слагаемых так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель. Получаем:

Пример №179

Разложить на множители трехчлен .
Решение. Учитывая, что  , можем переписать многочлен как сумму четырех слагаемых, сгруппировать их и дальше разложить на множители:

Если бы мы представили слагаемое в виде суммы двух каких-то других слагаемых, то не смогли бы применить группировку и разложить на множители. Предлагаем убедиться в этом самостоятельно. «Секрет» заключается в том, что именно слагаемые и  способствовали появлению общего множителя после разбиения многочлена на группы .

Квадрат суммы и квадрат разности

Возведем в квадрат двучлен  :

.

Итак,  .

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Это тождество позволяет возводить в квадрата сумму двух произвольных выражений не по правилу умножения многочленов, а сокращенно сразу записывать квадрат   в виде  . Поэтому формулу квадрата суммы называют еще формулой сокращенного умножения. Читают ее так.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Пример №180

Представьте выражение в виде многочлена.
Решение. 

.

Если промежуточные действия можно выполнить устно, то можем сразу
записывать ответ:

.

Возведем теперь в квадрат двучлен  :
.
Итак,
.

Получили формулу квадрата разности, которая также является формулой сокращенного умножения. Читают ее так.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Заметим, что формулу квадрата разности можно получить, если переписать разницу в виде суммы :
.

Пример №181

Возвести двучлен в квадрат.
Решение. По формуле квадрата разности имеем:
.
Нам уже известно, что , поэтому при возведении  квадрат выражений вида и целесообразно предварительно заменить их на противоположные им выражения:

Пример №182

Преобразовать в многочлен:
1) ;   2) .
Решение.

1) ;
2) .

Пример №183

Упростить выражение .
Решение. 

Разложение многочлена на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы квадрата суммы и квадрата разности можно использовать также для разложения на множители выражений вида  и . Для этого перепишем эти формулы, поменяв местами их левую и правую части.

Такой вид формул удобно использовать для преобразования трехчлена в квадрат двучлена.
Трехчлен вида или называют полным квадратом. Именно его можно представить в виде квадрата двучлена.

Например, и , поэтому трехчлены   и   являются полными квадратами.

Преобразование трехчлена, который является полным квадратом, в квадрат
двучлена называют свертыванием в полный квадрат.
Поскольку   и , то
свертывание в полный квадрат является разложением трехчлена на множители.

Пример №184

Разложить трехчлен на множители.
Решение. Поскольку    и , то трехчлен представляет собой квадрат суммы , следовательно, его можно разложить на множители:
.

Пример №185

Найти значение выражения ,  если .

Решение. Сначала свернем трехчлен в полный квадрат:

Теперь выполнить вычисления будет совсем несложно. Если
, то .

Пример №186

Преобразовать трехчлен в выражение, противоположное квадрату двучлена.
Решение. Вынесем за скобки –1, а полученное в скобках выражение свернем в полный квадрат:

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разницу на сумму :
.
Итак,

.

Получили еще одну формулу сокращенного умножения. Ее читают так.

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности
квадратов этих выражений.

Рассмотрим примеры применения этой формулы.

Пример №187

Выполнить умножение: 1) ;
2) .
Решение. 1)
, или сокращенно:.
2)
.

Пример №188

Представить произведение в виде многочлена.
Решение. 1—й способ. Вынесем в выражении  за скобки –1. Получаем:

2—й способ. В каждом из множителей сначала поменяем местами слагаемые:

 

Пример №189

Вычислить удобным способом .
Решение.

.

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождества    поменяем местами левую и правую части. Получаем:
.

Это тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Читают ее так.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Формулу разности квадратов двух выражений применяют для разложения на множители двучлена . Эту формулу можно использовать и для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.

Пример №190

Разложить на множители:
1) ;  2) .
Решение. 1) Поскольку , то по формуле разности квадратов:.

2) Поскольку , имеем:
.

Пример №191

Вычислить удобным способом: .
Решение.
.
Ответ: 2000.

Пример №192

Решить уравнение .
Решение. Поскольку , имеем:
 ;
или ;
следовательно, или .
Ответ: –5; 5.

Сумма и разность кубов

Умножим    на  :
.
Получаем тождество, которое называют формулой суммы кубов:

.
В правой части формулы множитель напоминает полный квадрат , но вместо удвоенного произведения  содержит . Трехчлен  называют неполным квадратом разности выражений и . Поэтому формулу суммы кубов читают так:
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Пример №193

Разложить многочлен на множители.
Решение. Поскольку  , то данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений: 

По формуле суммы кубов имеем:

.

Итак, .
Теперь умножим на :
.
Получаем тождество, которое называют формулой разности кубов:
.

Трехчлен    называют неполным квадратом суммы выражений и , а формулу разности кубов читают так:
разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример №194

Разложить многочлен на множители.
Решение. Поскольку   и ,  то данный многочлен можно превратить в разность кубов:
.
Далее применим формулу разности кубов:

Поменяв местами левые и правые части формул суммы и разности кубов, получим:

Эти тождества являются формулами сокращенного умножения и дают возможность сокращенно выполнять умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности и разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разницы равно сумме кубов этих выражений; произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равно разницы кубов этих выражений.

Пример №195

Преобразовать выражение    в многочлен.
Решение. Поскольку выражение    является неполным квадратом разности выражений и  , можем применить формулу суммы кубов:
.

Пример №196

Решить уравнение

.

Решение. Применим к левой части уравнения формулу разности кубов, получим:

Ответ: 0,125.

Применение нескольких способов разложения многочлена на множители

В предыдущих лекциях мы уже рассматривали несколько способов разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения. Иногда, чтобы разложить многочлен на множители, приходится применять несколько способов. В таком случае разложение на множители целесообразно начинать с вынесения общего множителя за скобки, если такой множитель существует.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №197

Разложить на множители многочлен .
Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель :
.
Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов:
.
Итак,  .

Пример №198

Разложить на множители многочлен .
Решение. Вынесем за скобки общий множитель , а к выражению в скобках применим формулу квадрата суммы:
.

Пример №199

Разложить на множители многочлен
.
Решение. Вынесем за скобки общий множитель . Получим:

.

Многочлен , образовавшийся в скобках, можно разложить на множители способом группировки:

Окончательно имеем:

.

Универсального правила, по которому можно было бы раскладывать многочлены на множители, нет. Примеры, которые мы рассмотрели выше, позволяют лишь сформулировать правило — ориентир, которого желательно придерживаться при разложении многочленов на множители.

1. Если возможно, вынести общий множитель за скобки.
2. Проверить, не является ли выражение, полученное в скобках, квадратом двучлена или разностью квадратов, разностью или суммой кубов.
3. Если многочлен, полученный в скобках, содержит четыре или шесть слагаемых, проверить, не разлагается ли он на множители способом группировки.

Кроме предложенного правила, иногда помогают искусственные приемы.

Пример №200

Разложить на множители многочлен .
Решение. Поскольку первые три слагаемых являются квадратом двучлена, применим искусственную группировку, разбив многочлен на две группы, одна из которых содержит этот квадрат двучлена, а вторая — четвертое слагаемое:

.

Первую группу свернем в квадрат разности:
, после чего данный многочлен превратится в разность квадратов двух выражений:  , которую разложим на множители по формуле разности квадратов.
Итак, имеем:
.

Пример №201

Решить уравнение .
Решение. Найдем такое число, которое вместе с выражением образует квадрат двучлена. Таким числом является 16. В левой части уравнения добавим и вычтем число 16. Получим:

Далее разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов и решим полученное уравнение:

  или  ;
или .
Ответ: 10; 2.

Преобразование  
  называют выделением квадрата двучлена.

Не всякий многочлен второй степени можно разложить на множители. Например, на множители нельзя разложить многочлены . В частности, не разлагаются на множители многочлены второй степени, которые являются неполными квадратами суммы или разности и не содержат общего множителя. Например,   и др.

Функции

Функция — это в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Область определения и область значений функции. Способы задания функций. Функциональная зависимость между величинами как математическая модель реальных процессов

В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между различными величинами. Например, периметр квадрата зависит от длины его стороны, площадь прямоугольника — от его размеров, масса куска мела — от его объема, расстояние, которое преодолевает движущийся объект, — от его скорости и времени движения и так далее.

Чтобы решить задачу практического содержания, целесообразно сначала создать ее математическую модель, то есть записать зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и др.

Рассмотрим примеры зависимостей между двумя величинами.

Пример №202

Пусть сторона квадрата равна  см, а его периметр равен см. Для каждого значения переменной  можно найти соответствующее значение переменной . Например,
если = 5, то = 4 • 5 = 20;
если = 8, то = 4 • 8 = 32;
если = 1,2, то = 4 • 1,2 = 4,8.

То есть периметр квадрата зависит от длины его стороны. Математическую модель этой зависимости можно записать формулой .

Поскольку каждому значению длины стороны квадрата соответствует определенное значение его периметра, говорится, что имеем соответствие между длиной стороны квадрата и его периметром (или зависимость между переменными и ). При этом считают, что значению = 5 соответствует значение = 20, или значение = 20  является соответствующим значению  = 5.

Переменную , значение которой выбирают произвольно, называют независимой переменной,  а переменную , каждое значение которой зависит
от выбранного значения ,  — зависимой переменной.

Пример №203

Пусть автомобиль движется с постоянной скоростью 80 км/ч. Расстояние, которое он при этом преодолеет, зависит от времени его движения. Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой , а расстояние, которое он преодолел (в километрах) — буквой . Для каждого значение переменной (где ) можно найти соответствующее значение .
Например,

• если = 1,5, то = 80 • 1,5 = 120;
• если = 3, то  = 80 • 3 = 240;
• если = 4,5, то = 80 • 4,5 = 360.

Зависимость переменной от переменной можно записать формулой,  где является независимой переменной, а — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой , а зависимую переменную — буквой . В примерах, которые мы рассмотрели, каждому значению независимой переменной соответствует только одно значение зависимой переменной.

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую ​​зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Независимую переменную еще называют аргументом, а о зависимой
переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. В наших примерах — периметр квадрата является функцией от длины его стороны ; расстояние , которое преодолел автомобиль с постоянной скоростью, является функцией от времени движения . Значение зависимой переменной называют значением функции.

Все значения, которые приобретает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые приобретает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Например, областью определения функции в первом примере являются все положительные числа .

Областью определения функции во втором примере являются все неотрицательные числа , значит, .  Область значений функции в примере 202 состоит из всех положительных чисел , а область значений функции в примере 203 — из всех неотрицательных чисел , то есть .

Пример №204

Функция задана формулой . Найти:
1) область определения функции;
2) значение функции, соответствующее значению аргумента, равного –2; 6; 10;
3) значение аргумента, при котором значение функции равно –1.
Решение. 1) Областью определения функции являются все такие значения , при которых дробь  имеет смысл. Знаменатель дроби равен нулю при . Следовательно, областью определения функции являются все числа, кроме числа 2.
2) Если , то ;   если , то ;
 если , то .
3) Чтобы найти , при котором  , надо подставить в формулу функции вместо число  –1.  Получаем уравнение:
 , корнем которого является число –6. Таким образом, значение   функция приобретает при .

Задавать функцию можно разными способами. В примерах, которые мы рассмотрели, функции заданы формулами:  ; ;  .

Такой способ задания функции достаточно удобный, потому что позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции, и компактный, поскольку в большинстве случаев формула имеет короткую запись.

Бывают и функции, которые для различных значений аргумента задаются различными формулами. Рассмотрим такую ​​функцию и ее записи.

Пример №205

Пусть дана функция

Эта запись означает, что для значений аргумента   значения функции вычисляются по формуле , а для значений аргумента — по формуле .
Например,
если  
если  
если  
если  

Задавать функцию можно таблицей. Такой способ задания функции называют табличным.  Рассмотрим его на примере.

Пример №205

Каждый час, начиная с восьми и до тринадцати, измеряли атмосферное давление и полученные данные заносили в таблицу:

Таблица задает соответствие между временем измерения и атмосферным давлением . Это соответствие является функцией, потому что каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной . В этом примере является независимой переменной, а — зависимой переменной. Область определения функции состоит из  чисел 8; 9; 10, 11; 12; 13 (первая строка таблицы), а область значений — из чисел 752; 753; 754; 756 (вторая строка таблицы).

Табличный способ задания функции удобен тем, что для нахождения значений функции не надо ничего вычислять. Неудобным является то, что таблица, как правило, занимает много места и может не содержать именно то значение аргумента, которое нас интересует, например, если в первой строке таблицы такого значения нет. В частности, в примере 5 невозможно найти значение функции, соответствующее значению аргумента, которое равняется, например, 8,5 или 14. Задавать функцию можно также выражением. Такой способ задания функции называют описательным или словесным.

Пример №207

Каждому натуральному числу поставим в соответствие квадрат этого числа. Получим функцию, область определение которой состоит из всех натуральных чисел, а область значений — из квадратов этих чисел.
Функциональные зависимости, которые мы рассмотрели в примерах 2 и 5, являются математическими моделями реальных процессов: модель движения автомобиля с постоянной скоростью, модель измерения давления в течение некоторого времени. В дальнейшем при изучении алгебры мы будем неоднократно обращаться к математическим моделям реальных процессов.

График функции и графический способ задания  функции

В 6 классе мы уже рассматривали график зависимости между двумя величинами. Рассмотрим понятие графика функции.

Пример №208

Пусть дана функция ,.
Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и занесем результаты в таблицу:

Обозначим на координатной плоскости точки , координаты которых представлены в таблице, то есть точки (—2; 6), (—1; 3), (0; 2), (1; 1,5), (2; 1,2), (3; 1) (рис. 6). Если взять другие значения в промежутке от —2 до +3 и вычислить соответствующие им значения по формуле , то получим другие пары значений и . Каждой из этих пар соответствует определенная точка координатной плоскости.
Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции , где   (рис. 7).

​​​​​​Графиком функции называют фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значением функции.

                         Рис. 6                                                         Рис. 7

Пример №209

Построить график функции  , где  .
Решение. Составим таблицу значений функции для целых значений аргумента:

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости и совместим их плавной линией (рис. 8). Получим график функции   для .

Заметим, что чем меньше будет шаг (расстояние) между значениями аргумента, тем плотнее расположатся точки на координатной плоскости, а следовательно, точнее будет построен график.

По графику можно сразу указать, при каких значениях аргумента значения функции положительные, при каких — отрицательные, при каких равны нулю. По графику можно увидеть область определения и область значений функции.

Ноль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Пример №210

Используя график функции  , где   ,  найти: 1) нули функции; 2) область значений функции; 3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; 4) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.
Решение. График функции изображен на рисунке 8.

1) Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью .
Поэтому   и    — нули функции. Заметим, что нули функции можно найти, и не используя график данной функции. Например, достаточно решить
уравнение .

2) Функция может принимать любое значение от –1 до 8. Поэтому областью значений функции являются все значения  в промежутке .

3) Для значений таких, что , точки графика расположены выше оси абсцисс. Поэтому функция принимает положительные значения при .

  

                     Рис. 8                                     Рис. 9

На рис. 9 эта часть графика обозначена синим цветом. Также выше оси абсцисс находятся точки графика для .  Поэтому при   функция снова приобретает положительные значения (на рис. 9 эта часть графика также обозначена синим цветом). Следовательно, при   или  функция принимает положительные значения.

4) Для значений таких, что  ,  точки графика расположены ниже оси абсцисс (на рис. 9 эта часть графика обозначена красным цветом). Поэтому при    функция принимает отрицательные значения.

Используя график функции, для любого значения аргумента из области определения можно найти соответствующее ему значение функции. Также по графику можно составить таблицу значений функции.

Приходим к выводу: графиком можно задать функцию. Такой способ задания функции называют графическим. Он удобен своей наглядностью и часто используется для отображения явлений, сопровождающих практическую деятельность человека или происходящих в окружающем мире.

Пример №211

На рисунке 10 изображен график изменения температуры воздуха в течение суток, полученный с помощью специального прибора — термографа.

                                                    Рис. 10

Используя этот график, найти: 1) какой была температура в 10 ч; 2) во сколько температура была –4°С.
Решение. 1) Через точку оси с координатами (10, 0) проведем перпендикуляр к этой оси (рис. 10). Точка пересечения этого перпендикуляра с графиком температуры имеет координаты (10; 2). Итак, в 10 ч температура воздуха была 2°С.
2) Через точку оси с координатами (0; –4) проведем перпендикуляр к этой оси (рис. 10). Этот перпендикуляр пересекает график в точках (1; –4), (6; –4) и (22; –4). Следовательно, температура воздуха –4°С была в 1 час, в 6 часов и в 22 часа.

Заметим, что не каждая фигура на координатной плоскости может быть графиком некоторой функции. Например, фигура на рисунке 11 не является графиком ни одной из функций, поскольку существуют такие значения , которым соответствуют два значения . Например, значению соответствуют значения    и   .

                          Рис. 11

Это означает, что зависимость между и  , график которой изображен
на рисунке 11, не является функциональным, потому что существует хотя
бы одно значение , которому соответствует более чем одно значение . Графически это означает, что существует хотя бы одна прямая, перпендикулярная к оси абсцисс, которая пересекает данную фигуру более чем в одной точке. Учитывая, что при функциональной зависимости каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции, то каждая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, должна пересекать график функции не больше, чем в одной точке.
Итак, чтобы фигура, которая изображена на координатной плоскости, была графиком некоторой функции, необходимо, чтобы каждая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, пересекала эту фигуру не более чем в одной точке.

Линейная функция, ее график и свойства

Пример 1.

Масса одного гвоздя 4 г, а масса пустого ящика — 600 г. Зависимость между массой (в г) ящика с гвоздями и количеством гвоздей в нем, равным  ( — натуральное число), можно задать формулой:
.

Пример 2.

Ежемесячная зарплата продавца составляет 1500 руб. и  премии в размере 1 % от стоимости реализованного товара. Зависимость между зарплатой (в руб.) и стоимостью (в руб.) реализованного товара можно задать формулой:
.
В обоих примерах функции заданы формулами вида  , где и — некоторые числа.

Линейной называют функцию вида , где — независимая переменная, и — некоторые числа.

Числа и называют коэффициентами линейной функции.
Выясним, как выглядит график линейной функции. В формуле независимая переменная  можно принимать любые значения, поэтому область определения линейной функции состоит из всех чисел.

Пример №212

Построить график функции .
Решение. Функция является линейной. Составим для нее таблицу нескольких значений независимой переменной и соответствующих ей значений функции :

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице. С помощью линейки можно убедиться, что все обозначенные точки лежат на одной прямой. Эта прямая является графиком линейной функции    (рис. 18).

                                              Рис. 18

Графиком любой линейной функции является прямая.

Поскольку прямая однозначно задается двумя своими точками, для построения прямой, являющейся графиком линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, обозначить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример №213

Построить график функции .
Решение. Составим таблицу для двух произвольных значений аргумента.

Обозначим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую. Получаем график функции (рис. 19).

Если коэффициенты линейной функции являются дробными числами, то для
нахождения двух точек ее графика целесообразно подбирать такие целые значения аргумента, чтобы соответствующие им значения функции также выходили целыми.
Например, для функции удобно взять = — 1 и   = 5, тогда для построения ее графика получим точки (—1; —1) и (5; 1).
Если , формула будет иметь вид ,  то есть . Линейная функция, которая задана формулой , приобретает одни и те же значения при любых значениях .

                 Рис. 19                                            Рис. 20

Пример №214

Построить график функции .

Решение. Любому значению соответствует одно и то же значение , равное . Графиком функции является прямая, которая проходит через точки вида , где   — любое число. Выберем любые две из них, например (—5; —3) и (2; —3), и проведем через них прямую (рис. 20). Эта прямая и является графиком функции . Она параллельна оси .

Прямая вида  является параллельной оси .

Итак, чтобы построить график функции  , достаточно обозначить на оси точку с координатами и провести через нее прямую, параллельную оси .

Если , формула принимает вид .

Функцию вида , где — независимая переменная,   — число, отличное от нуля, называют прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, и к тому же при значение также равно 0, то графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

На рисунке 21 изображены графики функций и .

Обобщим свойства линейной функции .

1. Область определения функции состоит из всех чисел.
2. Область значений функции при состоит из всех чисел; при только из одного значения —.
3. Графиком функции является прямая.

                          Рис. 21

Одним из важных свойств функции является существование точек пересечения ее графика с осями координат.

Если на координатной плоскости график функции уже изображен, то такие точки можно найти непосредственно из графика. Например, на рисунке 18 точкой пересечения графика функции    с осью абсцисс является точка (4; 0), а с осью ординат — точка (0; 1). В таком случае говорят, что точки пересечения найдены графически. Но графический способ не всегда дает возможность определить точные значения координат таких точек. Например, на рисунке 19 определить абсциссу точки пересечения графика функции   с осью абсцисс можно только приближенно, например .
Итак, с помощью графика функции найти точные значения абсциссы точки пересечения с осью абсцисс или ординаты точки пересечения с осью ординат не всегда возможно.

Для многих функций координаты точек пересечения графика с осями координат можно найти, не выполняя построения графика, в частности, если функция задана формулой. В таком случае говорят, что координаты точек пересечения найдены аналитически, причем их значения будут точными, а не приближенными.

Пример №215

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

Решение. Точка пересечения графика с осью абсцисс принадлежит этой оси, следовательно, ее ордината должен быть равен нулю. Поэтому для поиска точки (или точек) пересечения графика функции с осью абсцисс достаточно в формулу, которая задана функция, подставить значение и решить полученное уравнение.
Подставим 0 вместо в уравнение . Получим уравнение . Откуда . Следовательно, (3; 0) — точка пересечения графика функции с осью абсцисс.
Точка пересечения графика с осью ординат принадлежит этой оси, следовательно, абсцисса этой точки должна быть равна нулю. Поэтому для нахождения точки пересечения графика функции с осью ординат достаточно в формулу, которой задана функция, подставить значение  и выполнить вычисления.

Подставим 0 вместо в уравнение . Получим , то есть . Следовательно, (0; —6) — точка пересечения графика функции с осью ординат.
Ответ: (3; 0); (0; —6).

Заметим, что существуют функции, графики которых могут не пересекать оси координат или хотя бы одну из них.

Линейные уравнения и их системы

На протяжении многих веков алгебра развивалась как наука об уравнениях.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных.

Общие сведения об уравнениях

Уравнением называют равенство, содержащее переменную.

Основные сведения об уравнении вы уже знаете из предыдущих классов. Напомним, что выражение, записанное в уравнении слева от знака равенства, называют левой частью уравнения, а выражение, записанное справа, — правой частью уравнения. Если в уравнение вместо переменной подставить число 2, то получим правильное числовое равенство 4 • 2 – 6 = 2, поскольку числовые значения обеих частей уравнения станут между собой равны. В таком случае о числе 2 говорят, что оно удовлетворяет уравнение, то есть является его корнем.

Число, удовлетворяющее уравнение, называют корнем или решением уравнения.

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например, уравнение имеет только один корень — число 2. Уравнение  имеет два корня — числа 0 и 6. Любое значение переменной удовлетворяет уравнение ,  поэтому любое число является его решением, следовательно, это уравнение имеет множество корней. Но не существует никакого значения переменной , которое бы превращало уравнение   в верное числовое равенство, поскольку при каждом значении переменной значение левой части уравнения будет на 1 превышать значение правой его части. Поэтому уравнение не имеет корней.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Рассмотрим уравнения   и   . Каждое из них имеет единственный корень — число 4. Эти уравнения являются равносильными.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней.

Пример №216

Выяснить, являются ли равносильными уравнения:

1)   и  ;   2)   и   ;
3)    и   .

Решение. 1) Корнем уравнения является число 7. Корень уравнения  — также число 7. По