Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здравствуйте, на данной странице я постаралась кратко и доступно изложить весь курс высшей математики который включает темы по линейной алгебре и аналитической геометрии, введению в математический анализ и дифференциальному исчислению функции одной переменной. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы решением большого числа примеров и задач по предмету высшая математика. Часть заданий и задач подобрана таким образом, чтобы Вы могли сами себя проконтролировать, овладев при этом необходимым пониманием решения задач по высшей математике. Если в ходе усвоения материала у Вас возникнут некоторые вопросы, Вы сможете задать их мне. Я искренне надеюсь, что данный курс лекций по высшей математике поможет Вам самостоятельно выполнить задания и задачи по высшей математике и хорошо сдать экзамен. Желаю Вам успехов!

Содержание:

Элементы линейной алгебры

Одной из основных задач линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. В связи с изучением этих систем возникли понятия определителя и матрицы.

Определители

В линейной алгебре определитель (или детерминант) — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице.

Определители второго и третьего порядков и их свойства

Выражение

                                                        Рис. 1.1

Элементы а₁₁, а₁₂ в определителе (1) и а₁₁, а₂₂, а₃₃ в определителе (2) составляют главную диагональ определителя, а элементы a₁₂, а₂₁ и а₁₃, а₂₂, а₃₁ в тех же определителях — побочную диагональ.
Для вычисления определителя второго порядка нужно от произведения элементов, стоящих на главной диагонали, отнять произведение элементов, размещенных на побочной диагонали.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольников (рис. 1.1): первые три слагаемых в правой части формулы (2) являются произведениями элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, в которых одна сторона параллельна главной диагонали. Аналогично образуются слагаемые со знаком минус, где за основу берется побочная диагональ.
Заметим, что элементами определителя могут быть не только числа, но и алгебраические или тригонометрические выражения, функции и т.д.

Пример №1

Вычислить определители:
а) ;   б)  ;   в)  
По формулам (1) и (2) имеем:
а) ; б) 
в)
Рассмотрим (на примере определителей третьего порядка) основные свойства определителей.

1°. Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими
столбцами:

Это свойство доказывается непосредственно проверкой: достаточно раскрыть
оба определителя по формуле (2). Свойство 1° устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства справедливы и для строк, и для столбцов. Доказываются они, как и свойство 1°, проверкой.

2°. Если переставить местами две строки (столбца), то определитель
поменяет знак. Например,

3°. Если одна из строк (столбцов) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю. Например,

4°. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он равен нулю. Например,

5°. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одной строки (столбца), можно вынести за знак определителя. Например,

6°. Если в определителе элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n-й строки (n-го столбца) является суммой двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых n-я строчка (n-й столбец) состоит из первых слагаемых, а у второго — из вторых; другие элементы всех трех определителей одинаковые.
Например,

8°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Например,

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пусть задан определитель третьего порядка
                                                     (3)

Минором элемента а_ij определителя называется определитель, который
образуется из данного определителя в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Например, для определителя (3) минорами элементов а₂₃ и а₃₂ являются такие определители:

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком то есть                             (4)

Например, если:  то 
Теперь сформулируем и докажем теоремы о разложении определителя по элементам строки (столбца).

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо
строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
 Покажем, что для определителя (3) выполняются следующие равенства:
(5)

Докажем, например, первое из них.
Раскрывая определитель (3) по формуле (2) и группируя слагаемые, содержащих элементы первой строки, имеем

По формуле (4) выражения, стоящие в скобках, соответственно равны алгебраическим дополнениям А₁₁, А₁₂, А₁₃, поэтому

Аналогично доказываются и другие равенства.

Запись определителя по любой из формул (5) называют разложением определителя по элементам соответствующей строки или столбца.

Пример №2

Вычислить определитель   разложив его  по элементам третьей строки.
По третьей из формул (5) имеем

Такой же результат дает формула (2).

Теорема 2. Сумма произведений элементов любой строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки
определителя (3) на алгебраические дополнения элементов второй строки:

Понятие об определителях высших порядков

Теорема 1 позволяет ввести определение определителя произвольного порядка. По определению определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Можно доказать, что все рассмотренные выше свойства определителей третьего
порядка выполняются для определителей любого порядка.
Рассмотрим, например, определитель четвертого порядка

Этот определитель можно разложить по элементам любой строки, например первой:
                                                 (6)

Поскольку все алгебраические дополнения А_ij в формуле (6) являются определителями третьего порядка, то этой формулой можно пользоваться для вычисления определителя четвертого порядка. Но такой способ вычисления
громоздкий: если для нахождения определителя четвертого порядка надо вычислять четыре определителя третьего порядка, то для нахождения определителя пятого порядка уже придется вычислять двадцать определителей третьего порядка! Поэтому на практике сначала с помощью свойства 8° преобразовывают определитель так, чтобы в некоторой строке или столбце все элементы, кроме одного, стали нулями. Тогда раскладывая определитель согласно теореме по элементам этой строки, получим только одно слагаемое, потому что все остальные слагаемые являются произведениями алгебраических дополнений на ноль.

Пример №3

Вычислить определители:
1)  ;    2)  .
1) В первой строке превратим все элементы, кроме первого, в нули. Для этого, оставляя первый и второй столбцы без изменений, к третьему добавим первый, а
к четвертому — первый, умноженный на (–2). Тогда
.
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

2) В первом столбце превратим все элементы, кроме второго, в нули. Для этого, оставляя вторую строчку без изменений, к первой строке добавим вторую, умноженную на (–2), к третьей — первую, к четвертой — первую, умноженную на
(–2), а к пятой — четвертую, умноженную на (–2). Получим

.

Разложим этот определитель по элементам первого столбца и вынесем за знак определителя общий множитель 2 из третьей строки и (–1) с четвертой:

Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

Матрицы

Основные определения:

Прямоугольная таблица чисел а_ij,  i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., n, состоящая из m строк и n столбцов и записанная в виде

называется матрицей. Понятие матрицы впервые ввели английские математики В. Гамильтон и Д. Келли. Коротко матрицу обозначают так:

где а_ij — элементы матрицы, причем индекс i  в элементе а_ij  означает номер строки, а j — номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Произведение числа строк m на число столбцов n называют размером матрицы и обозначают m х n. Если хотят указать размер m х n матрицы А, то пишут A_mxn.
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Количество строк (столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком. Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей-строкой, а матрица, у которой всего один столбец, матрицей-столбцом. Две матрицы A_mxn = (а_ij) и B_mxn = (b_ij) называются равными, если они одинаковых размеров и имеют равные соответствующие элементы: а_ij = b_ij . Нулевой называется матрица,  у которой все
элементы равны нулю. Обозначается такая матрица буквой О. Как и в определителях (п. 1.1), в квадратных матрицах выделяют главную и побочную диагонали.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, в которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид
.
Любой квадратной матрице

можно поставить в соответствие определенное число, которое называется определителем (детерминантом) этой матрицы и обозначается символом det А. По определению

Например, если
,  то det А =
Прямоугольная матрица размером m х n определителя не имеет.

Действия над матрицами

1°. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера. Суммой С = А + В двух матриц A_mxn = (а_ij) и B_mxn = (b_ij) называется матрица C_mxn = (c_ij) = (а_ij + b_ij). Например,

2 °. Произведением матрицы A_mxn = (а_ij) на число k (или числа k на матрицу A_mxn ) называется матрица B_mxn = (kа_ij). Например,

3 °. Разница матриц А—В определяется как сумма матрицы А и матрицы В, умноженной на (–1):
A–B = A + (–l) B.

Справедливы такие свойства операций:

• а) А + В = В + А — коммутативность относительно сложения матриц;
• б) А + (В + С) = (А + В) + С — ассоциативность относительно сложения матриц;
• в) А + O = А; А – А = O – роль нулевой матрицы в действиях над матрицами такая, как и числа ноль в действиях над числами;
• г) (А) = () А — ассоциативность относительно умножения чисел;
• д) (А + В) = А + В — дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц;
• е) (+ ) А = А + А – дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел.

4°. Операция умножения двух матриц вводится только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В.
Если это условие не выполняется, то есть матрицы несогласованные, то умножения таких матриц невозможно.
Из согласованности матрицы А с В не следует, вообще говоря, согласованность
матрицы В с А.
Квадратные матрицы одного порядка взаимно согласованы.

Произведением С = АВ матрицы A_mxn = (а_ij) на матрицу B_nxk = (b_ij) называется такая матрица, в которой элемент с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

 i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., k.
Это определение называют правилом умножения строки на столбец. Например,
чтобы определить элемент с₂₄,  стоящий во второй строке и четвертом столбце матрицы С = АВ, нужно найти сумму произведений элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы четвертого столбца матрицы В.

Пример №4

Найти матрицу С = АВ, если:
а) ;   б) 

а) Матрица А_2х2 согласована с матрицей В_2х3,  поэтому по определению имеем

б) .
Из правила умножения матриц следует, что всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного порядка; в результате получим матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат; прямоугольную неквадратную матрицу возвести в квадрат нельзя.
Операция умножения матриц не коммутативная, то есть при умножении матриц нельзя менять местами множители:
AB ВА.
Например (проверьте):

 ; 

 

Для действий и 0°–4° над матрицами выполняются следующие свойства (при условии, что указанные операции имеют смысл):
а) (АВ) С = А (ВС);                          б) (А) В = А (В) = (АВ)
в) (А + В) С = АС + ВС;                  г) С (А + В) = СА + СВ;
д) А · 0 = 0 · А = 0;                  е) АЕ = ЕА = А;                   ж) det (АВ) = det А х det В.

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица. Матрица А^–1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие
АА^–1 = А^–1 А = Е.
Квадратная матрица А называется вырожденной, если det А = 0, и невырожденной, если det А  0.

Теорема 3. Для существования обратной матрицы А^–1 необходимо и достаточно,
чтобы матрица А была невырожденной.
Необходимость. Пусть обратная матрица А^–1 существует, тогда АА^–1 = Е.  Применяя правило нахождения определителя произведения двух матриц, имеем det А · det А^–1 = 1, поэтому det А 0.
Достаточность. Пусть det А 0, тогда матрица А имеет обратную А^–1 матрицу, причем
 ,                                 (7)
где А_ij — алгебраические дополнения элементов а_ij  определителя матрицы
                                                     (8)
Действительно, произведения АА^–1 и А^–1 А матриц (7) и (8) равны матрице, у которой все элементы главной диагонали равны единице (по теореме 1), а все недиагональные элементы — нулю (по теореме 2). Итак,
АА^–1 = А^–1 А = Е.
Покажем, что А^–1 — единственная обратная матрица. Пусть А"— еще одна обратная матрица, тогда
А^–1 = А^–1Е = А^–1 (АА") = (А^–1 А) А" = ЕА" = А"

Пример №5

Найти матрицу А^–1, обратную к матрице

Вычислим определитель матрицы А:

Матрица А невырожденная, поэтому обратная матрица находится по формуле (7). Находим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:

Составляем обратную матрицу:

Убеждаемся, что

 .

Ранг матрицы

Пусть задано матрицe А_mхn = А. Выделим в матрице А любые k строк и столько же столбцов, где k — число, не большее чисел m и n, то есть k min (m, n).

Определитель порядка k, состоящий из элементов, находящихся на пересечении
выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом r (А) матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Непосредственно из определения следует, что:

1. Ранг существует для любой матрицы A_mxn, причем  ;
2. r (А) = 0 тогда и только тогда, когда А = В;
3. для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Ранг матрицы можно найти так. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то r = 0. Если хоть один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то r = 1. В случае, когда есть минор второго порядка, отличный от нуля, исследуем миноры третьего порядка. Так продолжаем до тех пор, пока не произойдет одно из двух: или все миноры порядка k равны нулю, или миноров порядка k не существует, тогда r = k – 1.

Пример №6

Найти ранг матрицы
 .
Среди миноров первого порядка (то есть элементов матрицы) является отличным от нуля)
поэтому r (А)  1.
Поскольку один из миноров второго порядка
 ,
а все миноры третьего порядка равны нулю, то r (А) = 2.

Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобный, потому что связан с вычислением значительного числа определителей. Более простой метод основывается на том, что ран г матрицы не меняется, если над матрицей выполнить так называемые элементарные преобразования, а именно [1]:
а) переставить местами две строки (столбца);
б) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же отличный от нуля множитель;
в) добавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы второго
строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример №7

Найти ранг матрицы

 Выполняя элементарные преобразования, имеем:

 .

r (А) = 3.
(Знак  между матрицами показывает, что они образуются одна из другой элементарными преобразованиями и, следовательно, имеют один и тот же ранг).

Системы линейных уравнений

Основные определения:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, ... , х_n  называется система вида
                                                (9)

Числа а_ij,  i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., n  при неизвестных называются коэффициентами, а числа b_i  — свободными членами системы (9).
Система уравнений (9) называется однородной, если все свободные члены равны нулю, и неоднородной, если хоть один из них отличный от нуля.
Множество чисел а₁, а₂, ... , a_n называется упорядоченным, если указан порядок следования этих чисел, то есть указано, какое из них является первым, какое вторым, какое третьим и т. д. Например, если упорядочена тройка чисел, то в записи а, b, с число а считается первым, b — вторым, с – третьим, а в записи b, а, с первым является число b, вторым — число а, и третьим — число с.

Упорядоченный набор n чисел   называется решением системы (9), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных х₁, х₂, ... , x_n все уравнения системы превращаются в тождества. Такую систему чисел называют также n-мерным вектором, или точкой n-мерного пространства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, то есть существует только один набор n чисел  который превращает все уравнения системы (9) в тождества.
Совместная система называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получают, в частности, в результате элементарных преобразований данной системы.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений соответствуют элементарным преобразованиям матрицы (п. 2.4) при условии, что они выполняются только над строками матрицы.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Пусть задано систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными х и у:
                                                                         (10)
Выполним такие элементарные преобразования системы (10): сначала умножим первое уравнение на а₂₂, второе — на –а₁₂, а потом суммируем их; после этого первое уравнение умножим на а₂₁, а второе — на –а₁₁ и сложим их. Получим систему
                                      (11)

Систему (11) можно записать с помощью определителей:

                                                                                      (12)

где

Определитель , составленный из коэффициентов системы (10), называется определителем системы. Определители  и  образуются из определителя    соответственно заменой столбцов при неизвестных  х  и у свободными членами.

При решении уравнений (12) могут быть следующие случаи:

1) , тогда система (10) имеет единственное решение:

                                  (13)

Формулы (13) впервые вывел К. Крамер и они называются формулами Крамера.
2)  или  , тогда система (10) не имеет решений, то есть является несовместной.
3) ,  тогда система (10) сводится к одному уравнению и имеет множество решений, то есть является неопределенной.
Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
х, у, z:

                                                         (14)

Вычислим определители:

Если определитель системы , то система (14) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:                                   (15)
Докажем, например, вторую из формул (15). Умножим первое, второе и третье уравнения системы (14) на алгебраические дополнения соответствующих
коэффициентов при у, то есть на А₁₁, А₂₁, А₃₂, а затем сложим их:

По теореме 2 выражения в скобках при х и z в этом равенстве равны нулю, а по теореме 1 выражение в скобках при у и правая часть равняются соответственно  и , то есть  .

Аналогично доказывают формулы Крамера для нахождения неизвестных х и z. Если задано n  линейных уравнений с n неизвестными (n > 3)
                                        (16)
и определитель системы, то такая система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера, аналогичным формулам (13) и (15):
 .                             (17)
В случае, когда определитель системы (14) или (16) равен нулю, формулы Крамера (15) и (17) не имеют смысла. Такие системы, а также системы, у которых число неизвестных не равно числу уравнений и к которым, очевидно, формулы Крамера тоже нельзя применить, рассмотрим в п. 3.5.

Пример №8

Решить системы по формулам Крамера:

а)              б) 

Находим определители  :

По формулам (13):

б) Решение получим по формулам (15). Имеем:

х = 1, у = 2, z = 1.

Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения

Пусть задано систему (16), которая содержит n линейных уравнений с n неизвестными.
Введем матрицы

Матрицу А, составленную из коэффициентов системы (16), называют матрицей
или основной матрицей системы, матрицу Х— матрицей из неизвестных, а матрицу В  — матрицей из свободных членов. Тогда в соответствии с правилом
умножения матриц систему (16) можно записать одним матричным уравнением с неизвестной матрицей Х:
АХ = В                                                                            (18)
Предположим, что матрица А системы (16) имеет обратную матрицу А^–1; умножим обе части равенства (18) на А^–1 слева:  А^–1АХ = А^–1В.
Поскольку А^–1А = Е и ЕХ = Х, то           

Х = А^–1В.                                                                          (19)
Итак, чтобы решить систему уравнений (16), достаточно найти матрицу, обратную к матрице системы, и умножить ее справа на матрицу из свободных
членов.
Формулу (19) называют матричной записью решения системы (16) или решением матричного уравнения (18).
Заметим, что решение системы уравнений в матричной форме возможно только тогда, когда матрица системы невырожденная.

Пример №9

Решить систему уравнений

Имеем (см. пример п. 2.3)

 .

По формуле (19) находим:

 .

Итак, х = –1, у = 2, z = 1.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Этот метод предложен К. Гауссом и основывается на элементарных
преобразованиях системы уравнений (п. 2.1).
Пусть имеем систему (9), которая содержит m уравнений и n неизвестных. Очевидно, среди коэффициентов а_i1 хотя бы один отличный от нуля. Если же а₁₁ = 0, то первым в системе (9) запишем то уравнение, в котором коэффициент при х₁ отличен от нуля. Обозначим этот коэффициент через  . Преобразуем систему (9), исключая х₁ во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим первое уравнение на   и добавим ко второму, потом умножим первое уравнение на и добавим к третьему и т. д. При этом может произойти так, что второе неизвестное х₂ также не входит во все уравнения с номером i > 1. Пусть x_k — неизвестное с наименьшим номером, которое входит в любое уравнение, не считая первого. Получим систему
       (20)

Применяя ко всем уравнениям, кроме первого, такую ​​же процедуру и выполнив ряд элементарных преобразований, получим систему:

     (21)

Если продолжить этот процесс, то получим систему:

                                    (22)

Такую систему уравнений называют ступенчатой ​​или трапециеподобной.

Исследуем эту систему:

1. Если система содержит уравнения вида 0 = b_t  и  b_t 0, то она очевидно несовместна.

2. Пусть система (22) не содержит уравнений вида 0 = b_t (b_t 0). Назовем неизвестные х₁, х_k, х₁, ..., х_s , с которых начинаются первое, второе, ..., г-е уравнение, основными, а все остальные, если они есть, свободными. Основных неизвестных по определению г. Давая свободным неизвестным произвольные значения и подставляя эти значения в уравнение системы,из г-го уравнения найдем х_s. Подставляя это значение в первые г – 1 уравнений и, поднимаясь вверх по системе, найдем все основные неизвестные. Поскольку свободные неизвестные могут принимать любые значения, система имеет множество решений.

3. Пусть в системе (22) г = n. Тогда свободных неизвестных нет, то есть все неизвестные основные и система (22) имеет так называемый треугольный вид:

Из последнего уравнения системы найдем х_n, и, поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные. Итак, в этом случае система имеет единственное решение.

Замечание 1. Изложенный нами метод последовательного исключения переменных х называют еще методом Гаусса. Он состоит из однотипных операций и легко реализуется на современных ЭВМ.

Замечание 2. При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к треугольному или трапециевидному виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, образованную присоединением к матрице ее коэффициентов столбца свободных членов. Выполняя над строками расширенной матрицы элементарные преобразования, приходим к решению системы.

Пример №10

Решить системы уравнений методом Гаусса:

а)       б)     в) 

а) Проведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы данной системы (обозначим это символом  ): .

Таким образом, система а) эквивалентна системе

В последнем уравнении свободный член равен 2, а коэффициенты при неизвестных равны нулю (то есть 0=2), поэтому система несовместна.

б) Имеем

 .

Итак, система б) эквивалентна системе треугольного вида

     и имеет единственное решение  .

в) Имеем  .

Итак, система в)  эквивалентна системе трапециевидного вида

        и имеет множество решений.

Из последней системе находим 

Таким образом, решение системы имеет вид    где t — произвольное число .
Отметим, что ни одну  из приведенных в этом примере систем нельзя решить ни по формулам Крамера, ни матричных способом.

Однородная система линейных уравнений

Пусть задана однородная система m  линейных уравнений с n неизвестными.
                              (23)
Эта система всегда имеет нулевое решение х₁ = 0, х₂ = 0, ..., х_n = 0, так что подстановка нулей вместо неизвестных в каждое из уравнений (23) превращает их в тождества. Ненулевые решения (если они существуют) системы (23) можно найти методом Гаусса.
Покажем, что для однородной системы трех уравнений с тремя неизвестными можно найти общие формулы, выражающие ненулевые решения через коэффициенты системы.
Рассмотрим систему
                                                         (24)
Если определитель системы то система имеет единственное нулевое
решение. Действительно, определитель   (один столбец в
каждом определителе содержит только нули), поэтому по формулам Крамера
х = 0, у = 0, z = 0
Покажем, что когда определитель  , то система (24) имеет множество
решений. Рассмотрим такие два случая.

1. Допустим, что в определителе  существует по крайней мере один отличный
от нуля минор второго порядка. Пусть, например, 

Возьмем те уравнение системы (24), которые содержат отличный от нуля минор, и запишем их в виде
                                                   (26)
Поскольку определитель (25) системы (26) отличен от нуля, то по формулам Крамера

где
 .                             (27)
Поскольку z может приобретать любых действительных значений, положим z =    = ,  где t — произвольное действительное число, тогда из формул (27)
                     (28)
Подставляя решение (28) в третье уравнение системы (24) и используя теорему 1, убеждаемся, что формулы (28) при любом t определяют решения однородной системы (24). 

2. Пусть теперь определитель системы (24) и все его миноры второго порядка равны нулю. Это значит, что коэффициенты всех трех уравнений (24) пропорциональны, поэтому система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными. Предоставляя двум неизвестным произвольные значения, находят соответствующее им третье неизвестное.
Итак, если определитель однородной системы (24) равен нулю, то такая система имеет множество решений.

Пример №11

Решить системы уравнений:
а) ;        6)

а) Определитель системы

поэтому система а) имеет единственное решение х = 0, у = 0, z = 0.
б) Определитель системы

поэтому система б) не определена. Все миноры второго порядка, содержащиеся в первой и второй строках определителя, равны нулю. Возьмем второе и третье уравнения системы:

Эти уравнения содержат отличный от нуля минор второго порядка

поэтому по формулам (28) имеем

Итак, система б) имеет множество решений: x = –t, у = 5t, z = 3t, где t —произвольное действительное число. 

Критерий совместимости системы линейных уравнений

Пусть задано систему m линейных уравнений с n неизвестными:
                                    (29)
Составим основную матрицу А и расширенную матрицу данной системы:
 .
Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании решения системы (29) дает теорема Кронекера - Капелли. Приводим ее без доказательства.

Теорема 4. Для того чтобы система линейных уравнений была совместимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы равнялся рангу
расширенной матрицы.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений [1, 9].

Пример №12

Исследовать на совместимость систему уравнений

Поскольку ранг основной матрицы r (А) = 2, а ранг расширенной матрицы =
= 3 (проверьте), то заданная система уравнений несовместима.

Элементы векторной алгебры

Векторная алгебра — раздел математики, в котором изучаются действия над векторами. Векторная алгебра возникла и совершенствовалась в связи с потребностями механики и физики. До 19 в. величины, встречавшиеся в механике и физике, задавали числом или несколькими действительными числами. Последующее развитие физики показало, что некоторые из физических величин гораздо целесообразнее характеризовать не только числом, но и направлением, то есть вектором.
Впервые векторы применил К. Вессель в 1799 г. для интерпретации комплексных чисел. Однако настоящее развитие векторной алгебры началось только в середине 19 в. и привело к созданию новой математической дисциплины — векторного анализа.
Аппарат векторного вычисления эффективно используется во многих общенаучных и инженерных дисциплинах (электро- и гидродинамике, теоретической и технической механике, теории механизмов и машин).

Векторы и линейные действия с ними

Вектор – это направленный отрезок прямой для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число.

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются своим числовым значением (объем, масса, плотность, температура и т. п.); они называются скалярными. Но есть и такие величины, которые кроме числового значения имеют еще и направление (скорость, сила, напряженность магнитного поля и
тому подобное). Такие величины называются векторными.
Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный
отрезок, или вектор, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. (Термин «вектор» (от лат. vector — переносчик) ввел в 1848 г. Гамильтон.) Первую точку А называют началом вектора, а вторую В — концом вектора. Направлением вектора считают направление от его начала к концу.
Вектор, начало которого находится в точке А, а конец — в точке В, обозначается символом  или   Направление вектора на рисунке показывают стрелкой (рис. 2.1). Расстояние между началом вектора   и его концом называется длиной (или модулем) вектора и обозначаются   или   ·
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора называется ортом вектора  и обозначается через  .
Вектор, начало которого совпадает с концом, называется нулевым и обозначается через ; направление нулевого вектора не определено, а его длина равна нулю.

Векторы  и   называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Векторы  и   называются равными (  =  ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.
В определении равенства векторов не предусмотрено какое-то определенное размещение их, потому,  не нарушая равенства, векторы можно переносить
параллельно самим себе. В связи с этим векторы в аналитической геометрии
называются свободными. Иногда свобода перемещения вектора ограничивается.
В механике, например, рассматриваются скользящие и связанные векторы. Примером скользящего вектора является вектор угловой скорости при вращении тела, потому что он может размещаться только на оси вращения. Примером связанного вектора является сила, приложенная к какой-то точке упругого тела, поскольку результат действия силы зависит от точки приложения.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В частности, векторы компланарны, если два из них или все три коллинеарны. Три вектора считаются компланарными также в том случае, когда хотя бы один из них нулевой.

Линейные действия с векторами

К линейных действий с векторами принадлежат добавления и отнимание векторов, умножение вектора на число.

1. Сложение векторов. Сумма    двух векторов  и   по определению

есть вектор направленный из начала вектора в конец вектора  , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора  (рис. 2.2).
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2.3).
Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Направленный отрезок, идущий из начала первого вектора в конец последнего и будет суммой данных векторов (рис. 2.4).

2. Отнимание векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разницей называется вектор который, будучи добавлен к вектору, дает вектор (рис. 2.5).
Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, их длины одинаковы, а направления противоположны. Вектор, противоположный вектору , обозначается через  Тогда разницу   можно толковать еще и так (рис. 2.6): вычесть из вектора вектор , это все равно, что к вектору  добавить вектор, противоположный вектору , то есть = .

3. Умножение вектора на число. Пусть заданы вектор и число  . Произведением  называется вектор, длина которого равна а направление совпадает с направлением вектора , если  и противоположное ему, если . Если или    то
Геометрическое содержание операции умножения вектора на число таково: умножения вектора на число   можно понимать как «растяжение» вектора
в раз при  и «сжатие» при  причем при  происходит еще и изменение направления. На рис. С. 2. 7 показаны векторы  

Из определения умножения вектора на число следует, что если векторы коллинеарны, то существует единственное число такое, что ; и, наоборот, если , то векторы  и   коллинеарны.

Линейные операции над векторами имеют следующие свойства:

1. Коммутативность относительно сложения векторов:
2. Ассоциативность относительно сложения векторов:
3. Ассоциативность относительно умножения чисел:
4. Дистрибутивность относительно сложения чисел:
5. Дистрибутивность относительно сложения векторов:

Докажем, например, свойство 5°: пусть  и    неколлинеарные векторы и   Построим (рис. 2.8) векторы    Из подобия треугольников ОАВ и ОА₁В₁  следует, что  а из  имеем  то есть   Случай  рассматривается аналогично.
Если  и    коллинеарны и   то вектор можно записать в виде
. Тогда, используя свойства 3° и 4°, имеем:  

Рассмотренные свойства имеют большое значение в векторной алгебре, потому что они дают право делать преобразования в линейных операциях с векторами
так же, как в обычной алгебре: векторные слагаемые можно переставлять местами и соединять их в группы, вводить скобки, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Разложение вектора по базису

Применяя линейные операции над векторами, можно находить суммы произведений чисел ,  где i = 1, 2, ..., n, на векторы : 
 Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов, а числа , входящих в линейную комбинацию, — ее коэффициентами.
Базисом на прямой называется произвольный ненулевой вектор на этой прямой.
Базисом на плоскости называется произвольная упорядоченная пара неколлинеарных векторов, а базисом в пространстве — произвольная упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Векторы, составляющие базис, называются базисными. Разложить вектор по базису означает изобразить
его в виде линейной комбинации базисных векторов.

Если векторы   составляют базис и вектор разложен по этому базису, то есть   то числа   называются координатами вектора в ​​данном базисе, а векторы — компонентами или составляющими вектора  . Говорят также, что вектор   линейно выражается через векторы  и   или является их линейной комбинацией.

Теорема 1. Каждый вектор, параллельный какой-нибудь прямой, можно
разложить по базису на этой прямой.
Каждый вектор, параллельный какой-нибудь плоскости, можно разложить
по базису на этой плоскости.
Каждый вектор можно разложить по базису в пространстве.
Координаты вектора в каждом случаи определяются однозначно.

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы [4], рассмотрим ее геометрический смысл.
Первое утверждение теоремы означает, что для произвольного вектора ,  коллинеарного ненулевому вектору ; (рис. 2.9, а), найдется такое число , что   Очевидно, что   , если векторы   и   одинаково направлены, и  , если эти векторы противоположно направлены. 
Второе утверждение означает, что для каждого вектора , компланарного с двумя неколлинеарными векторами  и  (рис. 2.9, б), найдутся такие числа и , что
Чтобы указать компоненты   и достаточно разложить вектор на сумму векторов, коллинеарных векторам   и  (вспомните разложение силы в
физике на две составляющие).
Третье утверждение теоремы означает, что для каждого вектора  и некомпланарных векторов ,  и найдутся такие числа ,  и , что   Составляющие   и  показаны на рис. 2.9, в.
 

Таким образом, базис в пространстве позволяет каждому вектору однозначно
сопоставить упорядоченную тройку чисел (координат этого вектора) и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел ,  и  с помощью базиса можно сопоставить единственный вектор   где  ,  и — векторы базиса, то есть выбранный базис позволяет установить взаимно однозначное соответствие между векторами и упорядоченными тройками чисел.

Пример №13

Пусть ABCD — параллелограмм. М и N — середины его сторон (рис. 2.10). Разложить вектор по векторами  ,
 

Из треугольников AND и АМВ  имеем:
. 

Если из первого равенства найти вектор и подставить его значение во второе, получим

Итак, если базисными векторами являются векторы и  , то координатами вектора в этом базисе являются числа и  .

Проекция вектора на ось

Осью называется направлена ​​прямая. Направление прямой обозначают стрелкой. Заданное на оси направление считают положительным, а противоположное — отрицательным. 
Проекцией точки А на ось u называется основание А₁ перпендикуляра АА₁, опущенного из точки А на эту ось. Таким образом, проекция А₁ является точкой пересечения оси u с плоскостью, проходящей через точку А, перпендикулярно оси u.

Пусть в пространстве заданы ось u и вектор . обозначим через А₁ и B₁ проекции на ось u соответственно начала А и конца В вектора  и рассмотрим вектор (рис. 2.11).
Проекцией вектора   на ось u называют положительное число , если вектор и ось u  одинаково направлены, и отрицательное число –, если вектор и ось u  противоположно направлены. Проекцию вектора на ось обозначают так:  Если то считают, что
Углом   между вектором   и осью u (или между двумя векторами) называется
меньший из углов, на который нужно повернуть один вектор или ось,  чтобы он совпадал по направлению со вторым вектором или осью: =
В некоторых случаях мы будем указывать, от которого вектора и в каком направлении угол отсчитывается.

Справедливы такие свойства проекций.

1°. Проекция вектора на ось u  равняется произведению длины вектора  на косинус угла  между вектором и осью, то есть

Если (рис. 2.12), то .
Если (рис. 2. 13), то  
Если, то формула (1) справедлива, поскольку

2°. Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось, то есть

Пусть  (рис. 2.14). Имеем: 

3°. При умножении вектора   на число его проекция также умножится на это число:
 

Пусть   и   .  Если , то по формуле (1)

если  , то

Таким образом, основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим
линейным операциям над проекциями этих векторов.

Системы координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Декартова система координат

Рассмотрим в пространстве точку О и некоторый базис, задаваемый векторами (рис. 2.15).
Совокупность точки и базиса называется декартовой системой координат в пространстве в честь французского математика Р. Декарта. Точка О называется началом координат, а оси, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая из них проходит в направлении вектора  и называется осью абсцисс, вторая ось, проходящая в направлении вектора  , — осью ординат и третья — в направлении вектора — осью аппликат.
Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными
плоскостями.
        
Любой точке пространства можно сопоставить вектор ,  начало которого совпадает с началом координат О, а конец — с точкой М. Такой вектор называется радиусом-вектором точки М относительно точки О. Согласно теореме 1 существуют такие действительные числа х₁, х₂, х₃, что
                                          (4)
 Координаты х₁, х₂, х₃ радиуса-вектора точки М относительно начала координат называют декартовымu координатами точки М в данной системе координат и пишут: М (х₁; х₂; х₃). Координата х₁ называется абсциссой точки М, координата х₂ — ординатой и координата х₃ — аппликатой точки М.
Аналогично определяются декартовы координаты точки на плоскости и на прямой. Разница лишь в том, что точка на плоскости имеет две координаты, а точка на прямой — одну. Таким образом, если в пространстве выбрана декартова система координат, то каждой точке пространства соответствует одна упорядоченная тройка действительных чисел — декартовы координаты этой точки. И наоборот, для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка пространства, для которой эти числа являются декартовыми координатами.
Это означает, что выбранная тем или иным способом декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел.
Система координат на плоскости устанавливает такое ​​же соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел, а на прямой — между точками прямой и действительными числами.

Прямоугольная система координат

Очевидно, декартовых систем координат можно задать сколько угодно. Среди них широко используется прямоугольная декартова система координат. Чтобы определить эту систему, введем такие понятия.
Упорядоченная тройка единичных попарно ортогональных векторов называется ортонормированным базисом. Обозначают ортонормированный базис через  где  ,   
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
правой (рис. 2.16, а), если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора  до второго вектора видно против часовой стрелки; в  противоположном случае тройка векторов  называется левой (рис. 2.16, б).
Прямоугольной декартовой системой координат (или просто прямоугольной
системой координат) называется декартова система координат, базис которой ортонормированный. Прямоугольная система координат называется правой (левой), если ее ортогональный базис образует правую (левую) тройку векторов. В дальнейшем будем пользоваться правой системой координат, определяется правым ортонормированным базисом: 
Прямоугольную систему координат обозначают (рис. 2.17) через Oxyz (Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат), а координатные плоскости — через Оху, Oyz, Ozx. Они делят пространство на восемь октантов. При изображении системы координат, как правило, показывают только оси координат; векторы   не указывают.

Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и произвольная точка М (рис. 2.17). Радиус-вектор   этой точки по формуле (4) записывают в виде
   или                                              (5)
Координаты х, у, z радиуса-вектора точки М называются координатами точки М. Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х; у; z).
Из ортогональности базисных векторов системы Oxyz следует, что координаты точки М равны соответствующим проекциям (п. 1.4) радиуса-вектора этой точки на оси координат, то есть            (6)
и определяются проектированием точки М на координатные оси (рис. 2.18).

Прямоугольные координаты точки на плоскости и на прямой определяются
таким же способом, как и в пространстве.
Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается точкой О — началом координат и двумя взаимно перпендикулярными единичными векторами — базисом системы координат; система координат на прямой задается точкой О и единичным вектором . Понятно, что точка М (х; у) на плоскости имеет только две координаты (абсциссу и ординату), а точка М(x) на прямой — одну.

Пример №14

1. На координатной прямой Ох построить точки: А₁(3), А₂(–2).
2. В прямоугольной системе координат Оху построить точки В₁(1; 2), В₂(2; –3), В₃(–3; 0).
3. В прямоугольной системе координат Oxyz построить точки С₁(1; 2; 3), С₂(3; –2; 3), С₃(–1; –3; –5).
Построение точек nоказано на рис. 2.19, а-в.

Полярная система координат

Декартова система координат – не единственный способ определять с помощью
цифр место нахождения точки на плоскости. Для этой цели используют много других координатных систем.
Важнейшей после прямоугольной системы координат является полярная
система координат. Она задается точкой О, которая называется полюсом, и лучом Ор, который выходит из полюса и называется полярной осью. Задаются также единицы масштаба: линейная — для измерения длин отрезков и угловая — для измерения углов.
Рассмотрим полярную систему координат и возьмем на плоскости произвольную точку М (рис. 2.20). Пусть  — расстояние от точки О до точки М  и   — угол, на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы совместить ее с вектором . 

Полярными координатами точки М называются числа  и  .  При этом число считается первой координатой и называется полярным радиусом, а число — второй координатой и называется полярным углом. Точка М с полярными координатами и   обозначается так: М (;  ). Очевидно, полярный радиус может принимать произвольные неотрицательные значения: , полярный угол будем считать таким, что изменяется в пределах  Иногда рассматривают углы , больше чем , а также отрицательные углы, то есть такие, которые откладываются от полярной оси по часовой стрелке.
Выразим декартовы координаты точки М через полярные.
Будем считать, что начало прямоугольной системы совпадает с полюсом, а ось Ох — с полярной осью Ор. Если точка М (рис. 2.21) имеет декартовы координаты х и у и полярные и , 
                                                          (7)

  

откуда   

Заметим, что вторая из формул (8) дает два значения угла , поскольку он меняется от 0 до . Из этих двух значений угла надо взять то, для которого удовлетворяются формулы (7). Формулы (7) называют формулами перехода от полярных координат к декартовым, а формулы (8) — формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример №15

Построить точки с полярными координатами:  . Данные точки показаны на рис. 2.22.

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

При решении задач иногда надо переходить от одной прямоугольной системы к другой. Выполняется такой переход с помощью формул преобразования координат.
Рассмотрим преобразования координат на плоскости.

1. 1°. Параллельный перенос осей. Возьмем две прямоугольные декартовы системы координат Оху и О₁ХУ с разными началами координат и одинаково направленными осями.

Пусть точки О₁ и М в системе Оху (рис. 2.23) имеют соответственно координаты
(a; b) и (х; у), тогда координаты точки М в системе О₁ХУ  удовлетворяют равенству
Х = х – а, Y = y – b.                                                                 (9)
Формулы (9) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей. Они выражают координаты точек в системе О₁ХУ через координаты точек в системе Оху .

2°. Поворот осей координат. Пусть на плоскости заданы две прямоугольные
системы координат Оху и ОХУ, имеющих общее начало координат, причем система ОХУ образована из системы Оху поворотом осей на положительный угол (рис . 2.24).

Найдем формулы, выражающие координаты (х; у) точки М в системе Оху через координаты (Х; У) этой точки в системе ОХУ. Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и ОХ, тогда по формулам (7) имеем

откуда
                       (10)
Формулы (10) называются формулами преобразования координат при
повороте осей.

Пример №16

В системе Оху точка М имеет координаты (2; 4). Найти ее координаты в системе
ОХУ, которая образуется из системы Oху поворотом на угол .

По формулам (10) имеем

Такой же результат можно получить геометрически, построив точку М и системы координат Оху и ОХУ.

Цилиндрическая и сферическая системы координат

В пространстве кроме прямоугольной системы координат часто используются цилиндрическая и сферическая системы координат.

1°. Цилиндрическая система координат. Если в прямоугольной системе координат Oxyz вместо первых двух координат х, у взять полярные координаты , , а третью координату z оставить без изменения, то получим цилиндрическую систему координат (рис. 2.25). Координаты точки М пространства в этой системе записываются в виде .

Зависимости между прямоугольными координатам точки  и ее цилиндрическими координатами  вытекают из формулы (7):                                            (11)

где 

Итак, если  прямоугольная и цилиндрическая системы координат размещены так,  как на рис. 2.25, то связь между прямоугольными и цилиндрическими координатами выражается формулами (11).

2°. Сферическая система координат. В системе Oxyz возьмем точку М и через эту точку и ось Oz проведем плоскость (рис. 2.26). Пусть r — расстояние от начала координат до точки М;   — двугранный угол между плоскостями Ozx и zOM; — угол между осью Oz и лучом ОМ. Упорядоченная тройка чисел  однозначно определяет положение точки М в пространстве. Эти числа называются сферическими координатами точки М.
Найдем зависимость между прямоугольными и сферическими координатами
точки М. Из прямоугольных треугольников ONM и OPN имеем
тогда
                                 (12)
где

Таким образом, если прямоугольная и сферическая системы координат размещены так, как на рис. 2.26, то связь между прямоугольными и сферическими координатами выражается формулами (12).

Понятие о n-мерном пространстве

Как уже указывалось в п. 2.1, между геометрическими векторами и их
координатами в фиксированном базисе существует взаимно однозначное соответствие. При этом каждому вектору пространства сопоставляется упорядоченная тройка чисел, каждому вектору, принадлежащему некоторой плоскости,  — упорядоченная пара чисел, а каждому вектору, принадлежащему
некоторой прямой, — действительное число, и наоборот.

Упорядоченную тройку чисел называют трехмерным вектором, а множество всех трехмерных векторов называют трехмерным пространством и обозначают через R₃.

Упорядоченные пары чисел называют двумерными векторами, а числа —одномерными. Множества двумерных и одномерных векторов называют соответственно двумерными и одномерными пространствами и обозначают через R₂ и R₁.

Обобщая пространства R₁, R₂, R₃, приходим к n-мерному пространству R_n, где n —произвольное натуральное число.

Упорядоченное множество n действительных чисел х₁, х₂, ..., х_n называется
n-мерным вектором  и обозначается так:  = (х₁; х₂; ...; х_n).
Множество всех n-мерных векторов называется n-мерным пространством и обозначается через R_n. Если произвольный вектор  = (х₁; х₂; ...; х_n) пространства R_n рассматривать как радиус-вектор соответствующей точки М относительно начала выбранной системы координат, то координаты точки М
определяются как координаты этого радиуса-вектора. В связи с этим
n-мерное пространство R_n можно толковать также как множество упорядоченных совокупностей  n действительных чисел.

Пространства R₁, R₂, R_з являются частными случаями пространства R_n. Их можно
изобразить геометрически; для n > 3 пространства R_n геометрически уже представить нельзя, однако они играют важную роль в науке и технике.

Примеры:

1. В системе (9) линейных уравнений  каждое уравнение можно рассматривать как (n + 1)-мерный вектор, потому что оно определяется упорядоченной совокупностью (n + 1) чисел. Так, первое уравнения определяется вектором   
2. Решение системы уравнений с n неизвестными является n-мерным вектором.
3. Каждая строка матрицы А  является n-мерным вектором, а каждый столбец — m-мерным. Строки называют горизонтальными, а столбцы —вертикальными векторами матрицы. Итак, произвольное матрицу можно рассматривать как некоторую упорядоченную совокупность ее вертикальных или горизонтальных векторов.

Линейная зависимость векторов

Рассмотрим систему из m n-мерных векторов
                                              (13)
По определению векторы (13) называются линейно зависимыми, если равенство
              (14)
возможно при условии, что хотя бы одно из чисел   где i = 1, 2, ..., m.
Если же равенство (14) возможно только при условии, что
  то векторы (13) называются линейно независимыми.

Для выяснения вопрос о линейной зависимости векторов (13) каждый из заданных векторов   и ноль-вектор   (0; 0; ..., 0) запишем как матрицу-столбец, тогда векторное равенство (14) можно записать в матричной форме:
или

                                (15)
Имеем линейную однородную систему уравнений относительно неизвестных  .  Если система (15) имеет только нулевое решение, то векторы
(13) будут линейно независимыми. Если же кроме нулевого система (15) имеет еще и ненулевые решения, то векторы (13) линейно зависимы.
Приводим без доказательства следующие свойства понятия линейной зависимости [1, 4]:
 

1. если среди векторов (13) есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы;
2. если векторы (13) линейно зависимы, то после добавления к ним одного или нескольких новых векторов получим линейно зависимую систему векторов;
3. если векторы (13) линейно независимы, то после отнимания одного или нескольких векторов получим снова линейно независимые векторы;
4. векторы (13) линейно зависимые тогда и только тогда, когда один из  них является линейной комбинацией других;
5. если два ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они коллинеарны, и наоборот;
6. если три ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они компланарны и наоборот.
7. четыре (и более) трехмерных векторов всегда линейно зависимы.

Понятие линейной зависимости имеет достаточно глубокий смысл и широко
используется в математике. Не вдаваясь в подробности, приведем такие применения этого понятия.

1. Всякая упорядоченная совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно выражается произвольный вектор пространства, называется базисом этого пространства. Нетрудно убедиться в эквивалентности этого определения и определения базисов в пространствах R₁, R₂, R₃.
2. Максимальное число линейно независимых векторов некоторого пространства называется его размерностью. Размерность пространства равна числу базисных векторов этого пространства. В соответствии с этим определение прямую линию рассматривают как одномерное пространство R₁ с одним базисным вектором; плоскость — это двумерное пространство R₂, базис которого содержит два вектора, и т. д.
3. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых строк, и это число равно рангу матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (9) и зафиксируем
какой-нибудь отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы этой системы. Уравнения, в которых коэффициенты при неизвестных образуют выбранный минор, называют базисными. Тогда из утверждения 3° выплывает такой важный для практики вывод: система линейных уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Пример №17

Доказать, что векторы   линейно независимы.
Решим уравнение   Имеем:

   или   

Поскольку определитель системы отличен от нуля (проверьте), то система имеет единственное решение   Следовательно, заданные векторы линейно независимы.

Векторы в системе координат

Для того чтобы операции над векторами свести к операциям над числами, будем рассматривать векторы в системе координат.

Координаты, длина и направляющие косинусы вектора

1. Координаты вектора. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан вектор . Это означает, что в ортонормированном базисе    который задает выбранную систему координат, вектор  (п. 1 .3), где числа  — координаты вектора  в этом базисе. Но из свойств проекции (п. 1.4) вытекает, что
                                      (16)
Итак, координаты вектора в системе координат Oxyz — это его проекции на оси координат.

2. Длина вектора. Вектор является диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.27) с измерениями  поэтому длина этого
вектора равна
                                                                           (17)
Если начало вектора (рис. 2.28) находится в точке А (х₁; у₁; z₁), а конец — в точке В (х₂; у₂; z₂), то из формул (2) и (16) следует, что то есть
                                                     (18)
Тогда из формулы (17) находим длину вектора :
                              (19)
Этой формулой пользуются для нахождения расстояния между точками
А и В. 

3. Направляющие косинусы вектора. Направление произвольного вектора   определяется углами , которые образует вектор с осями координат (рис. 2.27): 

Косинусы этих углов называются направляющими косинусами. Формулы
для направляющих косинусов получаем из формул (l) и (16):

                        (20)

Возведя обе части каждого из равенств (20) в квадрат, и подытоживая, с учетом формулы (17) получим
                                                                      (21)
то есть сумма квадратов направляющих косинусов произвольного вектора равна единице.

Пример №18

Заданы точки А (0; –1; 2) и В (–l, 1, 4). Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора

Из формул (18), (19) и (20) имеем: = (–1; 2; 2);   3;

Пример №19

Может ли вектор образовывать с осями координат углы = 60°, = 30°?

поэтому согласно формуле (21) получим на этот вопрос отрицательный ответ.

Линейные действия с векторами. Равенство и коллинеарность векторов

1. Действия с векторами. Если известны координаты векторов, то линейным действиям с векторами отвечают соответствующие арифметические действия над их координатами. Это следует из свойств 2°, 3° проекций (п. 1.4).

Пусть заданы векторы и действительное число ,
тогда

2. Равенство векторов. Пусть векторыравны, то есть имеют одинаковые длины и направление, тогда из формул (1) и (16) следует, что 
                                                                 (22)
и наоборот, если имеют место формулы (22), то . Итак, всякое векторное равенство вида   эквивалентно трем скалярным равенствам (22).

3. Коллинеарность векторов. Необходимым и достаточным условием того, что векторы   и    коллинеарны, является пропорциональность их проекций:
                                                                       (23)
Действительно, если векторы и коллинеарны, то существует такое число , что  , тогда из формул (22) получаем равенства    из которых вытекают формулы (23).

Пример №20

Найти вектор   коллинеарной вектору
Из условий (23) имеем

Пример №21

Доказать, что координаты орта вектора  совпадают с направляющими косинусами данного вектора.

  

Деление отрезка в заданном соотношении. Координаты центра масс

Пусть задан отрезок АВ точками А (х₁; у₁; z₁) и В (х₂; у₂; z₂). Найдем на отрезке такую точку М (х; у; z), которая делит этот отрезок в отношении , то есть .  Введем радиусы-векторы  (рис. 2.29). Поскольку   и по условию   то  откуда .   Приравнивая проекции обеих частей этого равенства на оси координат, согласно формулам (22) имеем 
                             (24)
В частности, координаты точки, которая делит отрезок АВ пополам ,  находят по формулам 
                                                                (25)

Выведем теперь формулы для координат центра масс системы материальных точек М₁ (x₁; у₁; z₁), М₂ (x₂; у₂; z₂), ..., М_n (x_n; у_n; z_n), в которых сосредоточены массы m₁, m₂, ..., m_n. Найдем сначала центр массы  системы двух точек М₁ и М₂. Поскольку центр массы лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в отношении , то по формулам (24)

   (26)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (26), называется центром масс двух материальных точек М₁ и М₂.
Рассмотрим теперь систему точек N₁ и М₃, в которых сосредоточены массы
m₁ + m₂ и m₃ и найдем центр массы этих точек. Поскольку , то из формул (24) и (26) имеем
               (27)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (27), называется центром масс трех материальных точек М₁, М₂, М₃.
Методом математической индукции можно доказать, что центр масс системы
n материальных точек находится в точке С (х_с; у_с; z_c), где

Скалярное произведение двух векторов

Определение, геометрический и механический смысл скалярного
произведения:

Скалярным произведением двух векторов и   называется число ,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
 ,                                  (28)

где — угол между векторами и .
Если хотя бы один из векторов или   нулевой, то по определению.
Поскольку по формуле (3)  
то из (28) имеем
                                            (29)
Формулы (29) выражают геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного
вектора на проекцию на него второго вектора.

Из физики известно, что работа А силы при перемещении материальной
точки из начала в конец вектора , который образует с вектором угол  (рис. 2.30) равна , или .                          (30)

Итак, работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. В этом суть механического смысла скалярного произведения.

Свойства скалярного произведения

В векторном исчислении величину называют скалярным произведением векторов и  потому, что, во-первых, эта величина является скаляром и, nо-вторых, имеет некоторые алгебраические свойства обычного произведения чисел.

Рассмотрим три алгебраических свойства скалярного произведения.

1°. Коммутативное свойство умножения:

По определению скалярного произведения  и  .

Поскольку    как произведение чисел и  потому что   то  

2°. Ассоциативное свойство относительно умножения на число :
.
Из формул (29) и (3) имеем
. 

3°. Дистрибутивное свойство относительно сложения векторов:
.
В соответствии с формулами (29) и (2) получим
 

Эти три свойства обусловливают глубокую аналогию между векторной алгеброй и алгеброй чисел. Первое свойство позволяет менять местами множители, второе — объединять числовые коэффициенты векторных множителей, а третье — раскрывать или вводить скобки и выносить за них общие скалярные или векторные множители. Однако аналогия между скалярным произведением векторов и произведением чисел является неполной. В частности, не существует скалярного произведения трех и большего числа векторов; равенство   может выполняться и при ненулевых множителях , , если ;  нельзя делать вывод, что из равенства вытекает равенство    даже когда . Равенство   при  означает, что и верно при 
Приведем геометрические свойства скалярного произведения.

4°. Если   и  , то ,  если угол  — острый, и            ,  если угол        — тупой.

5°. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны.

6°. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
  ,                                                                            (31)
откуда
.                                                                         (32)
Свойства 4°–6° непосредственно вытекают из формулы (28).

Пример №22

Найти скалярные произведения векторов    и    если
.
Используясь свойства  1°–3°, имеем

Применяя формулы (28) и (30), находим

Пример №23

Найти длину вектора , если   .
По формуле (32) получим

Выражение скалярного произведения через координаты. Угол между векторами

Пусть заданы два векторы и .  Найдем
их скалярное произведение. Используя свойства 1° и 3° скалярного произведения, получим
 .
Поскольку  — попарно ортогональные орты, то , ,
поэтому
 .                                                       (33)
Итак, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в прямоугольной системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.
Укажем на ряд важных выводов из формулы (33).

1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов  
  и    является равенство
                                                                     (34)

2. Длина вектора определяется по формуле
.                                                                      (35)
Формула (35) следует из формул (32) и (33). В п. 3.1 мы доказали эту формулу другим способом.

3. Угол между векторами и  определяется равенством
               (36)
Эта формула является следствием формул (28), (33) и (35).

Пример №24

Вычислить, какую работу выполняет сила , которая прямолинейно перемещает материальную точку из точки М (–1; 0; 3) в точку N (2; –3; 5).
По формулам (18) найдем вектор перемещения , тогда по формулам (30) и (33) работа .

Пример №25

Заданные векторы  и . Найти проекцию вектора
  на вектор .
Найдем координаты вектора 
.
Из формул (29), (33) и (35) получаем
 .
 

Пример №26

Треугольник задан вершинами А (0; –1; 2), В (–1; –2; 7), С (1; –2; 6). Найти его внутренний и угол при вершине А.
Пользуясь формулами (18) и (36), получим   .
.

Векторное произведение двух векторов

Определение и свойства векторного произведения:

Векторным произведением вектора на вектор   называется вектор  который определяется следующими тремя условиями:

1. длина вектора   равна ,   где    ;
2. вектор  перпендикулярный к каждому из векторов и ;
3. если , то векторы   образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначают одним из символов:.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть в точке А (рис. 2.3 1) приложена сила  и О — некоторая фиксированная точка. Как известно из физики, моментом силы   относительно точки О называется вектор , длина которого равна произведению силы на плечо и который направлен по оси вращения так, что если смотреть с его
конца, то вращение тела происходит против движения стрелки часов.
Поскольку 

то момент силы , приложенной в точке А, относительно точки О определяется
векторным произведением
.                                                                  (37)
 

2. Скорость точки Р твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси , определяется по формуле Ейлера   .

3. Если электрон, заряд которого равен е, движется со скоростью   в магнитном поле постоянного напряжения   то на электрон действует сила , которая
определяется по формуле
, 
где с — скорость света.

Рассмотрим алгебраические свойства векторного произведения.

1°. Антикоммутативность умножения:
.
то есть от перестановки множителей векторное произведение меняет знак.
Это следует из того, что векторы   и     имеют одинаковые модули, коллинеарны и тройки векторов и   противоположной
ориентации (рис. 2.32).

2°. Ассоциативность относительно скалярного множителя :
.

3°. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
.

Алгебраические свойства векторного произведения позволяют при умножении линейных векторов выполнять действия так же, как с алгебраическими многочленами. Однако при выполнении векторного умножения следует помнить, что оно некоммутативное: при перестановке сомножителей знак векторного произведения меняется на противоположный.

Приведем геометрические свойства векторного произведения.

4°. Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

5°. Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов
равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и , отнесенных к общему началу, то есть
.                                                             (38)

6°. Векторные произведения ортов удовлетворяют следующим равенствам:

Пример №27

Вычислить , если  .

Векторное произведение двух векторов, заданных координатами

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы и . Покажем, что векторное произведение вектора  на вектор определяется по формуле

(39)
 Используя свойства и 1°–3° и 6° векторного произведения и теорему о разложении определителя, имеем


 .

Пример №28

Найти площадь треугольника, заданного вершинами А (1; 2; 0), В (0; –2; 1), С (–1; 0; 2).
 Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Поскольку   и по формуле (39)

то по формуле (38) площадь

Пример №29

Найти момент силы приложенной к точке А (1; 2; 3), относительно точки B (3; 2; –1).
Согласно формуле (37) момент силы .  Поскольку = (–2; 0; 4), то

Смешанное произведение векторов

Определение и вычисление смешанного произведения:

При умножении двух векторов и    выше были определены два вида произведений: скалярное, результатом которого является число , и векторное, результатом которого является вектор
Умножение трех векторов , и   можно выполнить разными способами. В частности, можно создать такие произведения:

Первый из этих произведений соответствует умножению скаляра   на
вектор и не рассматривается. То же касается произведений и
 .
Результатом второго произведения является вектор , который называется двойным векторным или векторно-векторным произведением данных трех векторов: 

Для нахождения двойного векторного произведения применяют формулы


Двойной векторное произведение часто встречается в векторном исчислении,
но определенного геометрического смысла не имеет.
Последний из приведенных произведений — это скалярное произведение вектора на вектор , его называют смешанным произведением векторов , и  . Это произведение имеет четкий геометрический смысл и широко используется в задачах.
Найдем смешанное произведение векторов заданных координатами:
 
Координаты вектора определяются по формуле (39):

Умножив вектор   скалярно на вектор , по формуле (33) получим
 .

Свойства смешанного произведения

1°. Если в смешанном произведении поменять местами какие-нибудь два множителя, то смешанное произведение сменит знак, например:

Действительно, если в смешанном произведении поменять местами два множителя, то это то же самое, что в определителе (40) поменять местами две строки, а при этом определитель меняет знак.

2°. При цикличной перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

Действительно, при цикличной перестановке меняются местами два раза множители, или, что то же, в определителе (40) строка меняется местом два раза, а от этого определитель не меняется.

3°. В смешанном произведении знаки векторного и скалярного произведений
можно менять местами:

Действительно, из свойства 2° и коммутативности скалярного произведения
имеем:

В связи с этим смешанные произведения  (векторно-скалярное произведение) и   (скалярно-векторное произведение) сокращенно обозначают  .

4°. Модуль смешанного произведения   равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и   отнесенных к общему началу:
                                                                            (41)
Возьмем трех некомпланарных вектора , и   и построим на этих векторах параллелепипед (рис. 2.33). Объем этого параллелепипеда V = Sh.
где S — площадь основания, а h — высота. Но

. поэтому

5°. Если смешанное произведение положительное, то векторы , и  образуют правую тройку, а если отрицательное, то левую.
Из формулы (29) следует, что   Если   то   и  угол   острый, то есть векторы образуют правую тройку. Если  то ,  угол     тупой, потому векторы  образуют левую тройку.

6°. Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Если  то вектор перпендикулярен вектору   и лежит с векторами ,   в одной плоскости. Это означает, что векторы , и  компланарны. Наоборот. если векторы компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости, поэтому    .
Свойства 4°–6° выражают геометрический смысл смешанного произведения
трех векторов.

Пример №30

Найти объем тетраэдра, заданного вершинами А (2; –1; 0), В (5; 5; 3), С (3; 2; –2), D (4; 1; 2).
Известно, что объем тетраэдра V_ABCD , построенного на векторах  равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. Тогда по формуле (41) имеем
 .
Находим векторы
По формуле (40) получим
 
 

Пример №31

Доказать, что точки А (0; 1; 2), В (–2; 0; –1), C (–1; 5; 8), D (1, 6, 11) лежат в одной плоскости.
Точки А, B, С, D лежат в одной плоскости, если векторы компланарные. Находим векторы
Поскольку смешанное произведение

то по свойству 6° векторы   компланарны, поэтому заданные точки лежат в одной плоскости.

Пример №32

Какую тройку образуют векторы, если
?
Поскольку смешанное произведение

то по свойству 5° данные векторы образуют правую тройку.

Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия — это раздел математики, в котором свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел и т. п.) изучаются средствами алгебры на основе метода координат.
Основоположником аналитической геометрии считают Р. Декарта, который впервые в 1637 г. в своей книге «Геометрия» дал четкое изложение идеи метода координат на плоскости. Р. Декарт предложил положение точки на плоскости относительно заданной системы координат определять с помощью двух чисел — ее координат, а каждую линию на плоскости рассматривать как множество точек, заданных определенным геометрическим условием. Это условие записывается в виде уравнения, которое связывает переменные координаты точки, принадлежащей данной линии, и называется уравнением этой линии. Такой способ исследования геометрических о объектов и называют методом координат.
Следующий важный вклад в аналитическую геометрию сделал французский ученый Ж. Л. Лагранж, который впервые в 1788 г. в своем произведении «Аналитическая механика» предложил положения вектора определять с помощью чисел — его проекций на координатные оси. Развитие идей Лагранжа привело к созданию векторной алгебры.
Метод координат и аппарат векторной алгебры широко используются в современной аналитической геометрии.

Линии на плоскости и  их уравнения

Понятие о линии и ее уравнении:

Рассмотрим равенство
F (x, y) = 0,                                                                           (1)
связывающее переменные величины x и у.
Равенство (1) называют уравнением с двумя переменными х и у, если это равенство выполняется не для всех пар чисел х, у, и тождеством, если оно справедливо для всех значений х и у. Например, равенства х + у = 0 и х² + у² = 9 являются уравнениями, а равенства х + у – (х + у) = 0 и (х + у)² – х² – 2ху – у² = 0 — тождествами.
Уравнения (1) называется уравнением линии l, заданной на плоскости относительно определенной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии l и не удовлетворяют координаты х и у  ни одной точки, не лежащей на этой линии.
Когда уравнение (1) является уравнением линии l, говорится, что это уравнение
определяет (или задает) линию l. Итак, если линия задана уравнением, то
о каждой точке плоскости можно сказать, лежит она на этой линии или не лежит. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка лежит на ней, если не удовлетворяют, то не лежит.
Линия, которая задана уравнением (1) относительно определенной системы координат в плоскости, есть геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданное уравнение.
Переменные х и у в уравнении (1) линии l называются переменными координатами ее точек.
Пусть линия l относительно системы координат Оху определяется уравнением
(1). В аналитической геометрии линии классифицируют в зависимости от свойств этого уравнения. Если выражение F (x, y) в уравнении (1) является многочленом от переменных х и у (то есть сумма конечного числа одночленов
, где а  постоянный коэффициент, а показатели k и m — целые положительные числа или нули), то линия, заданная этим уравнением, называется алгебраической.
Алгебраические линии различают в зависимости от их порядка. Степенью одночлена   называется сумма k + m показателей при переменных.
Степенью уравнения (1) называется самая высокая степень одночлена, входящего в его состав. Алгебраической линией n-го порядка называется линия, выраженная уравнением n-й степени. Порядок алгебраической линии не меняется при замене одной декартовой системы на другую.

Линия, которая не является алгебраической, называется трансцендентной. Мы
будем изучать только линии первого и второго порядков, то есть линии,
задаваемые уравнениями
  и   
Таким образом, линию на плоскости можно задать геометрически как совокупность точек с определенными геометрическими свойствами и аналитически — с помощью уравнения. В связи с этим возникают две типичные для аналитической геометрии задачи: составить уравнение линии, заданной геометрически, и наоборот, установить геометрический образ линии, заданной аналитически. Отметим, что в аналитической геометрии вторая задача решается только для алгебраических линий первого и второго порядков. Общий метод исследования линий, заданных уравнениями, дается в курсе математического анализа.

Примеры:

1. Уравнение у = 2х – 1 показывает на плоскости прямую линию.
2. Уравнения х² – у² = 0 или (х + у) (х – у) = 0  определяют две прямые — биссектрисы координатных углов.
3. Уравнение х² + у² = 0 удовлетворяет только одна точка О (0; 0). В подобных случаях говорят, что уравнение определяет вырожденную линию.
4. Уравнение х² + у² + 1 = 0 не определяет никакого геометрического места точек, поскольку для любых значений х и у  имеем  х² + у² + 1 > 0. ·

Нахождение уравнения линии по ее геометрическими свойствами

Остановимся подробнее на задаче о составлении уравнения линии, заданной геометрически. Для ее решения нужно установить геометрическое свойство, которое удовлетворяют только точки данной линии, и записать это свойство в виде уравнения. Такое уравнение связывает переменные координаты точек данной линии и те известные постоянные величины, которые геометрически
определяют именно эту линию.

Пример №33

Составить уравнение линии, сумма квадратов в расстояний каждой точки которой до точек А (–1; 0) и В (l; 0) равен 4.
Пусть точка М (х; у) лежит на линии, тогда по условию АМ² + ВМ² = 4.
Поскольку АМ² = (х + 1)² + у², ВМ² = (х – 1)² + у², то (х + 1)² + у² +(х – 1)² + у² = 4, откуда после упрощений получаем искомое уравнение:  х²+ у² = 1.

Пример №34

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится от точки А (1; 2) в два раза дальше, чем от точки В (–2; 0).
Обозначим переменную точку ​​линии через М (х; у), тогда по условию АМ = 2ВМ,
то есть

Преобразовав это уравнение, имеем

Полярные уравнения линий

Уравнение называется уравнением линии l в полярных координатах, или полярным уравнением, если его удовлетворяют полярные координаты и   любой точки линии l и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. Чтобы от полярного уравнение линии перейти к уравнению (1), нужно полярные координаты в уравнении выразить через декартовы.

Примеры:
 

1. Спиралью Архимеда называется линия, описанная точкой, равномерно двигающейся по лучу, который сам равномерно вращается вокруг своего начала. Уравнение спирали Архимеда (рис. 3.1) имеет вид    = а,  где а > 0 — постоянная величина.
2. Улиткой Паскаля называют кривую (рис. 3.2), заданную уравнением = .
3. Лемнискатой Бернулли называют кривую, заданную уравнением =   и имеющую вид  восьмерки (рис. 3.3). В прямоугольных координатах уравнения лемниската Бернулли записывается сложнее:
4. Трехлепестковой розой называют кривую (рис. 3.4), заданную уравнением.
5. Координатными линиями называют линии, в которых одна из координат является постоянной величиной. В декартовых координатах координатные линии образуют два семейства прямых, параллельных одной из осей координат (рис. 3.5, а). В полярных координатах линии = const образуют семейство концентрических кругов с центром в полюсе, а линии  = const — семейство лучей, исходящих из полюса (рис. 3.5, б).

Параметрические уравнения линии

Пусть зависимость между переменными х и у выраженная через третью переменную t, т.е.
х = х (t), у = у (t).                                                                     (2)
Переменная t называется параметром и определяет положение точки (х; у) на плоскости. Например, если х = 2t + 1, у = t² , то значению параметра t = 3 отвечает на плоскости точка (7; 9), потому что  х = 2·3 + 1 = 7, у = 3² = 9.

Если t меняется, то точка на плоскости перемещается, описывая некоторую линию l. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнение (2) — параметрическим уравнением линии l. Чтобы от уравнения (2) перейти к уравнению (1), нужно любым способом из двух уравнений (2) исключить параметр t (например, из первого уравнения выразить через х и результат подставить во второе уравнение). Но такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен, поэтому приходится пользоваться параметрическими уравнениями (2).

Пример №35

Рассмотрим траекторию точки окружности, которая катится без скольжения вдоль неподвижной прямой. Если вдоль оси Ох катится без скольжения окружность радиуса R, то любая неподвижная точка окружности описывает кривую, которая называется циклоидой (рис. 3.6) и задается уравнением

Если параметр t  изменяется от 0 до  , то данные уравнения определяют первую арку циклоиды, если < t < — то вторую арку и т. д.
Циклоида является самой простейшей из кривых, которые описывает в неподвижной плоскости точка одной линии, катящейся без скольжения по второй линии.

Пример №36

Гипоциклоидами (рис. 3.7, а) и эпициклоидамы (рис. 3.7, б) называются кривые, которые описывает точка окружности, которая катится по неподвижной окружности внутри и снаружи. Вид и уравнение кривых зависят от отношения радиусов окружностей.
Гипоциклоида при отношении радиусов 1 : 4 называется астроидой (рис. 3.8, а), а эпициклоида при отношении радиусов 1 : 1 называется кардиоидой (рис. 3.8, б). Параметрические уравнения астроиды имеют такой вид:
  
Кардиоида задается параметрическими уравнениями

Проще записывается полярное уравнение кардиоиды:

Все эти кривые широко применяются в теории механизмов.

Пример №37

Эвольвентной разверткой круга (от латинского evolvo — разворачивать) называется кривая, заданная уравнениями

Механический чертеж  эвольвенты выполняется так: на круг туго наматывают гибкую и нерастяжимой нитку, закрепленную в точке А (рис. 3.9), и со свободным концом М в этой точке. Оттягивая нить за свободный конец, сматывают ее с круга; точка М при этом описывает дугу эвольвенты круга, то есть, если М — произвольная точка эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка МВ.
Профили подавляющего большинства зубцов зубчатых колес очерчены по бокам дугами эвольвенты круга.

Векторное уравнение и линии

Линию можно задать также векторным уравнением ,  где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению  соответствует полностью определенный вектор  плоскости. Таким образом, если параметр t приобретает определенное множество некоторых значений, то уравнение  задает некоторое множество векторов. Если от точки О (рис. 3.10) плоскости отложить векторы  , то геометрическое место точек, которые совпадают с концами этих векторов (при условии, что все векторы компланарны), определит на плоскости некоторую линию l.

Векторному параметрическому уравнению в прямоугольной системе координат Оху  соответствуют два скалярных уравнения:
x = x(t), y = y(t),
то есть проекциями на оси координат векторного уравнения линии являются ее
параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют такой
механический смысл: если точка движется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения точки, а линия l — траекторией
точки; параметром t при этом является время.

О зависимости уравнения линии от выбора системы координат

В предыдущих примерах указывалось, что одну и ту же линию можно задать различными уравнениями. Таким образом, вид уравнения линии зависит от выбора системы координат или, что то же, от размещения линии относительно системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы к другой, то есть при преобразовании координат, так и при переходе от декартовых к любым другим координатам.
В связи с этим возникают следующие задачи: как выбрать такую ​​систему
координат, в которой уравнение линии, заданной геометрически, было бы самым простым, или как заменить систему координат, чтобы заданное уравнение линии упростилось? Подобные задачи мы будем рассматривать при изучении линий второго порядка.
Все сказанное здесь о зависимости уравнения линии на плоскости от выбора
системы координат так же касается  и уравнений поверхностей и линий в пространстве.

Поверхности и линии в пространстве и их уравнения

Поверхность и ее уравнение:

Рассмотрим соотношение
F (x, y, z) = 0                                                                                      (3)
между тремя переменными величинами х, у, z.
Равенство (3) называют уравнением с тремя переменными х, у, z, если это равенство не выполняется для всех троек чисел х, у, z, и тождеством, если оно подтверждается при любых значениях х, у, z.
Предположим, парой значений х = х₀ и у = у₀ из уравнения (3) определяется
единственное значение z = z₀. Упорядоченная тройка чисел х₀, у₀, z₀ в заданной прямоугольной системе координат определяет точку М (х₀; у₀; z₀). 
Совокупность всех решений z уравнения (3), которые соответствуют определенным значениям х и у, определяет в пространстве некоторое геометрическое место точек М (х; у; z), которое называется поверхностью (рис. З.14), а уравнение (З) — уравнением этой поверхности.

Следовательно, уравнение (3) называется уравнением поверхности относительно заданной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х, у, z каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты х, у, z ни одной точки, не лежащей на этой поверхности.
Поверхностью, заданной уравнением (3) относительно определенной системы координат, называется геометрическое место точек М (х; у; z), координаты х, у, z которых удовлетворяют данное уравнение.
Если выражение F(х; у; z) в уравнении (3) является многочленом от х, у, z , то есть суммой конечного числа одночленов   с постоянными коэффициентами а и неотрицательными целыми показателями k, m, р, то поверхность, которая задается этим уравнением, называется алгебраической.
Неалгебраические поверхности называются трансцендентными. Порядком
алгебраической поверхности называется степень многочлена, которым задается данная поверхность.
Мы будем рассматривать только алгебраические поверхности первого порядка и некоторые алгебраические поверхности второго порядка. Итак, как и линию на плоскости, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Если поверхность задана геометрически, то возникает задача о составлении уравнения этой поверхности и, наоборот, если поверхность задана
уравнением, то возникает задача о ее геометрическом свойстве.

Пример №38

Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А (1; –1; 2) и В (0; –2; 3).

Пусть точка М (х; у; z) лежит на заданной поверхности. Тогда по условию АМ = ВМ, т.е.

откуда после упрощения получаем искомое уравнение
2х + 2у – 2z + 7 = 0.

Уравнение линии в пространстве

Линию l в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, или геометрическое место точек, находящихся одновременно
на двух поверхностях; следовательно, если F₁ (х, у, z) = 0 и F₂ (х, у, z) = 0  уравнения двух поверхностей, которые определяют линию l (рис. 3.15), то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
                                      (4)

Уравнения системы (4) совместно определяют линию l и называются
уравнениями линии в пространстве.
Линию в пространстве можно рассматривать также как траекторию подвижной
точки. При таком подходе линию в пространстве задают векторным параметрическим  уравнением .                                      (5)
Векторном параметрическому уравнению (5) соответствуют скалярные
параметрические уравнения
х = х (t), у = у (t), z = z (t)
– проекции вектора (5) на оси координат. Таким образом, векторные уравнения
линии на плоскости и в пространстве имеют одинаковый вид и одинаковую
суть, а соответствующие параметрические уравнения отличаются только количеством уравнений, которое зависит от числа базисных векторов на плоскости и в пространстве.

Пример №39

Если некоторая точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг своей оси, то точка М описывает кривую, которая называется винтовой линией.
Радиусом винтовой линии называют радиус цилиндра, а ее осью — ось цилиндра.
Расстояние, на которое сместится точка вдоль образующей при полном обороте цилиндра, называется шагом винта и обозначается через h. Чтобы вывести уравнение винтовой линии, возьмем ось цилиндра за ось Oz, а плоскость Oxz — за начало отсчета угла поворота цилиндра (рис. 3.16, а).
Пусть   и М (х; у; z) — произвольная точка винтовой линии. Координаты
х и у точки М совпадают с координатами точки В (рис. 3.16, 6): х = R cos t, у= R sin t, где R — радиус цилиндра. Чтобы определить координату z, построим раскладку цилиндра NN₁D₁D (рис. 3.16, б), в которой NN₁ = R, N₁D₁ = ND = h, NB = Rt, ВМ = z. Из подобия треугольников NMB и ND₁N₁ получим

Таким образом, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

или в векторной форме      

Пример №40

Линия, которая задается уравнениями

образуется при пересечении цилиндрической и сферической поверхностей и называется линией Вивиани (рис. 3.17).

Прямая на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости:

Прямая на плоскости геометрически может быть задана различными способами: точкой и вектором, параллельным данной прямой; двумя точками;
точкой и вектором, перпендикулярным к данной прямой, и тому подобное. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений.
Пусть прямая (на плоскости или в пространстве) проходит через заданную точку М₀ параллельно заданному ненулевому вектору который называется направляющим вектором прямой. Прямая имеет множество направляющих векторов, их соответствующие координаты пропорциональны. Точка М₀ и ее направляющий вектор полностью определяют прямую, так как через точку М₀ можно провести только одну прямую, параллельную вектору . Составим уравнение этой прямой. Обозначим через М (рис. 3.18) произвольную точку прямой и рассмотрим радиусы-векторы и   точек М₀ и М и вектор , лежащей на данной прямой. 
Поскольку векторы   и  коллинеарны, то откуда                                                                                 (6)
Переменная t в формуле (6) может принимать произвольные действительные значения и называется параметром, а уравнение (6) называется векторным параметрическим уравнением прямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой имеет одинаковый вид и на плоскости, и в пространстве.
Если прямая l рассматривается на плоскости и задается точкой М₀ (х₀; у₀) и направляющим вектором ,  то, приравнивая соответствующие
координаты векторов и    по формуле (6), имеем

                                           (7)
откуда
                                                               (8)
Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой, а уравнения (8) — ее каноническими уравнениями.
В частности, если прямая проходит через точку М₀ (х₀; у₀) параллельно оси Ох, то ее направляющий вектор ,  поэтому уравнение (8) принимает вид .

Как известно, произведение средних членов пропорции равно произведению крайних членов. Поэтому имеем (у – у₀) m = (х – х₀) • 0, откуда у = у₀.
Это и есть уравнение прямой, параллельной оси Ох.
Аналогично, если прямая проходит через точку М₀ (х₀; у₀) параллельно оси Оу, то ее уравнением является х = х₀.
Выведем уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая не перпендикулярна к оси Ох, то уравнение (8) можно записать в виде
.
Обозначив   получим
                                                       (9)
или
.                                                                         (10)
Отношение ,  где — угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох (рис. 3.19), называется угловым коэффициентом прямой, а величина   — ордината точки пересечения прямой с осью Оу. Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и уравнения такой прямой имеет вид
у = kx.                                                                                        (11)
Уравнение (9) называется уравнением прямой, проходящей через
заданную точку, и имеет заданный угловой коэффициент, а уравнения (10) —
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁ (х₁; y₁) и М₂ (х₂; у₂), получим из уравнения прямой, проходящей через точку М₁ и имеющую направляющий вектор  

                                                          (12)

           

Уравнение (12) называется уравнением прямой, проходящей через две
заданные точки.
В частности, если прямая проходит через точки А (а; 0) и В (0; b), то есть отсекает на осях отрезки а и b (рис. 3.20), то из уравнения (11) имеем
    или                            (13)

Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках на осях.
Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₁ (х₁; у₁) перпендикулярно заданного ненулевого вектора = (А; В).
Возьмем на прямой l произвольную точку (рис. 3.21) М (х; у) и введем вектор = (х – х₁; y –y₁). Поскольку векторы    и   перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть
                                                     (14)

Уравнение (14) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор   (А; В) называется нормальным вектором прямой. Прямая имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны.

Общее уравнение прямой и его исследование

Все полученные выше уравнения прямой линии являются уравнениями первой
степени относительно переменных х и у, то есть линейными уравнениями. Итак,
уравнение любой прямой, лежащей в плоскости Оху, является линейным уравнением относительно х и у.
Покажем, что правильным будет и обратное утверждение: каждое линейное уравнение
Ах + Ву + С = 0                                                                    (15)
с двумя переменными х и у определяет на плоскости в прямоугольной системе
координат прямую линию.
Действительно, если (x₁, у₁) — любое решение уравнения (15), то
Ах₁ + Ву₁ + С = 0.                                                                 (16)
Вычитая почленно из уравнения (15) равенство (16), получаем
А (х – х₁) + В (у – у₁) = 0.                                                   (17)

Уравнение (17) эквивалентно уравнению (15) и по формуле (14) определяет на плоскости Оху прямую, которая проходит через точку М₁ (х₁; у₁) перпендикулярно вектору   = (А; В), то есть уравнение (15) также определяет прямую и называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А и В при неизвестных х и у общего уравнения являются координатами ее нормального вектора.
Каждое из уравнений (7) – (14) сводится к уравнению (15), следовательно, каждая
прямая линия задается уравнением (15), и наоборот, каждое уравнение (15) определяет на плоскости Оху прямую. Это означает, что каждая прямая — это линия первого порядка, и наоборот, каждая линия первого порядка — прямая.

Исследуем общее уравнение, то есть рассмотрим отдельные случаи размещения прямой в системе координат Оху в зависимости от значений коэффициентов
А, В и С.

1. Если   то уравнение (15) сводится к уравнению прямой в отрезках на осях  то есть прямая пересекает оси координат в точках с координатами  и ·
2. Если А = 0, то прямая Ву + С = 0 параллельная оси Ох и проходит через точку  ,  поскольку нормальный вектор  прямой перпендикулярный к оси Ох, а координаты данной точки удовлетворяют уравнению прямой.
3. Аналогично предыдущему, если В = 0, то прямая Ах + С = 0 параллельная оси Оу и проходит через точку ·
4. Если С = О, то прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат, потому что координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой.
5. Если А = С = 0, то согласно предыдущему уравнение Ву = 0 или у = 0 определяет ось Ох.
6. Если В = С = 0, то уравнение Ах = 0 или х = 0 определяет ось Оу.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Угол между двумя прямыми измеряется углом между их направляющими
векторами. При этом следует отметить, что, выбрав на одной из прямых
направляющий вектор, направленный в противоположную сторону, получим
второй угол, который дополняет первый до .
а) Пусть прямые l₁ и l₂ задан каноническими уравнениями

и — угол между этими прямыми ,  . Поскольку векторы   и     являются направляющими векторами данных прямых (рис. 3.22) и    то по формуле (36)  имеем
 .                                 (18)
Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то векторы и тоже параллельны, так
их координаты пропорциональны, то есть
                                                                                                      (19)
— условие параллельности двух прямых. Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, то векторы и  тоже перпендикулярны и их скалярное произведение
равно нулю, следовательно,
m₁m₂ + n₁n₂ = 0                                                                                              (20)
— условие перпендикулярности двух прямых.
б) Пусть теперь прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями А₁х + B₁y + С₁ = 0 и А₂х+  В₂y + С₂ = 0, тогда угол между ними  (рис. 3.23) равен углу между их нормальными векторами   и  = ;  поэтому аналогично случаю а) получим:

1) формулу для угла между прямыми l₁ и l₂:
                                                      (21)

2) условие параллельности прямых l₁ и l₂
                                                                                              (22)

3) условие перпендикулярности прямых l₁ и l₂:
А₁ • А₂ + В₁ • В₂ = 0.                                                                                  (23)

Пусть прямые l₁ и l₂  заданные уравнениями с угловыми коэффициентами
у = k₁x + b₁, у = k₂x + b₂, где — угловые коэффициенты,
то из рис. 3.24 видно, что

                                                                      (24)
Заметим, что формула (24) определяет угол, на который надо повернуть прямую l₁ (против часовой стрелки), чтобы она совпала с прямой l₂. Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то = 0 и tg = 0, поэтому из формулы (24) имеем k₂ – k₁ = 0. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
k_l = k₂.                                                                                                 (25)
Если прямые l₁ и l₂  перпендикулярны, то = 90° и tg не существует, потому что знаменатель дроби (24) равен нулю. Таким образом, условие перпендикулярности прямых имеет вид:
 k₁k₂ + 1 = 0       или     ·                                       (26)
Формулы (18), (21) и (24) позволяют определить один из двух смежных углов, которые образуются при пересечении двух прямых. Второй угол равен . Иногда выражения справа в этих формулах записывают по модулю, тогда определяется острый угол между прямыми.

Пример №41

Найти угол между прямыми    Зх – 4у + 1 = 0    и      5х – 12у + 3 = 0
По формуле (21) имеем


 

Пример №42

Составить уравнение прямой, проходящей через точку (—8; 1) параллельно прямой 2х – у + 7 = 0.
Приведем заданное уравнение к виду (10): у = 2х — 7, следовательно, угловой коэффициент прямой k = 2.
Поскольку искомая и задана прямые параллельны, то по условию (25) их угловые коэффициенты равны между собой, поэтому, воспользовавшись уравнением (9). получим у  – 1 = 2 (х + 8)  или  у – 2х – 17 = 0.

Пример №43

Медианы ВМ  и  CN (рис. З.25) треугольника АВС лежат на прямых х + у = 3 и 2х + Зу = 1, а точка А (1; 1) — вершина треугольника. Составить уравнение прямой BC.
Решая систему уравнения

находим точку пересечения медиан: В (8; –5). Из соотношения    и формул (24) получим координаты точки Р   Поскольку точки В и С лежат на заданных прямых, то их координаты удовлетворяют заданным уравнениям. Точка Р делит отрезок ВС пополам, следовательно, имеем систему уравнений

откуда   Прямая ВС проходит через точки Р и С (11; –7), поэтому по формуле (12) получим или 2х + у — 15 = 0. 

Расстояние от точки до прямой

Пусть задано прямую l уравнением Ах + Ву + С = 0 и точку М₀ (х₀; у₀). Расстояние d (рис. 3.26) точки М₀ от прямой l равна модулю проекции вектора , где М₁ (х₁; у₁) — произвольная точка прямой l, на направление нормального вектора .  Итак, 


Поскольку Аx₁ + Вy₁ + С = 0, то –Аx₁ – Вy₁ = С, поэтому
 .                                                          (27)

Замечание. Число d всегда положительное, потому что это расстояние. Отклонением  точки М₀ (х₀; у₀) от прямой Аx + Вy + С = 0 называется положительное число = d, если точки М₀ и О(0; 0) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательное число = –d, если эти точки лежат по одну сторону от нее. Из формулы (27) вытекает, что отклонение
,
где знак знаменателя должно быть противоположный знаку С.

Пример №44

Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат на прямых 4х – 3y – 10 = 0
и 8х – 6y + 15 = 0.
Поскольку заданные прямые параллельны, то длину d стороны квадрата можно
найти как расстояние от произвольной точки одной прямой до второй прямой.
Найдем какую-нибудь точку на первой прямой. Пусть, например, х = 1, тогда
4 · 1 – Зу – 10 = 0, откуда у = –2. Следовательно, точка М₀ (1; –2) принадлежит первой прямой.
По формуле (27) найдем расстояние от точки М₀ до второй прямой:
.
Площадь квадрата .

Плоскость в пространстве

Плоскость — это поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости и его исследования

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан плоскость П (рис. 3.27) точкой М₀ (х₀; у₀; z₀) и вектором = (А; В; С), перпендикулярным к этой плоскости. Возьмем на плоскости точку М (х; у; z) и найдем вектор = (х – х₀; у – у₀; z –z₀). При любом положении точки М на плоскости П векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, то есть
А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z –z₀₎ = 0                                   (28)
или
Ах  + Ву  + Сz  + D = 0,                                                           (29)
где D = –Ах₀ – Ву₀ – Cz₀.

Уравнение (28) называется уравнением плоскости, проходящей через точку М₀ (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору = (А; В; С), а уравнения (29) — общим уравнением плоскости.
Вектор = (А; В; С) называется нормальным вектором плоскости. Каждая плоскость имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны между собой, а их координаты пропорциональны. Итак, любая плоскость в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени.
Покажем теперь справедливость обратного утверждение: всякое уравнение первой степени
Ах + Ву + Cz + D = 0                                                                          (30)
с тремя переменными х, у и z задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость.
Пусть задано произвольное уравнение (30) и (х₀, у₀, z₀) — любой решение этого уравнения, то есть
Ах₀+ Ву₀ + Cz₀ + D = 0                                                                        (31)
Отняв от уравнения (30) равенство (31), получим
А (х – х₀) + В (у – у₀) + С (z – z₀) = 0.                                                (32)
Уравнение (32) эквивалентно уравнению (30) и по формуле (28) определяет в пространстве плоскость, которая проходит через точку М₀ (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору = (А; В; С). Следовательно, уравнение (30) также определяет плоскость.
Таким образом, каждое алгебраическое уравнение первой степени с переменными х, у и z является уравнением плоскости.

Исследуем общее уравнение плоскости:

1. Если в уравнении (30) D = 0, то оно принимает вид Ах + Ву + Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Итак, если в общем уравнении плоскости отсутствует свободный член, то такая плоскость проходит через начало координат.

2. Если А = 0, то уравнение (30) принимает вид Ву + Cz + D = 0 и определяет плоскость, нормальный вектор которой = (0; В; С) перпендикулярен оси Ох. Итак, если в общем уравнении плоскости коэффициент при переменной х равен нулю, тогда уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. 
Аналогично уравнение Ах + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную
оси Оу, а уравнение Ах + Ву + С = 0 — плоскость, параллельную Oz.

3. Если А = 0, В = 0,   то уравнение (30) принимает вид Cz + D = 0 или   Из случая 2 следует, что это уравнение определяет плоскость, параллельную осям Ох и Оу (коэффициенты при х и у равны 0), то есть плоскость, параллельную плоскости Оху.
Аналогично плоскость Ву + D = 0 параллельна плоскости Oxz, а плоскость Ах +D=0 параллельна плоскости Oyz.

4. Если в уравнении (30) А = D = 0, то плоскость Ву + Cz = 0 проходит через ось Ох. Действительно, согласно предыдущему, при D = 0 плоскость проходит через начало координат, а при А = 0 — параллельно оси Ох, следовательно, проходит через ось Ох.
Аналогично плоскость Ах + Cz = 0 проходит через ось Оу, а плоскость Ах + Ву = 0 —через ось Oz.

5. Если в уравнении плоскости А = В = D = 0, то плоскость Cz =0 или z = 0 совпадает с плоскостью Оху. Аналогично плоскость Ах = 0 или х = 0 совпадает с плоскостью Oyz, а плоскость у = 0 — с плоскостью Oxz.

Пример №45

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 2; 3) перпендикулярно вектору = (–1; –3; 1),

Искомое уравнение находим по формуле (28):
—1 · (х — 1) + (—3) · (у — 2) + 1 · (z — 3) = 0,
х + Зу  — z  — 4 = 0.

Пример №46

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (—3; 4; 5) перпендикулярно к оси Оу.
 Орт = (0; 1; 0) перпендикулярно плоскости, поэтому его можно рассматривать как нормальный вектор. Итак, искомое уравнение имеет вид
0 · (х + 3) + 1 · (у — 4) + 0 · (z — 5) = 0  или  у = 4.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение
плоскости в отрезках на осях

Пусть на плоскости П заданы три точки: М₁ (х₁; у₁; z₁), М₂ (х₂; у₂; z₂), М₃ (х₃; у₃; z₃), не лежащие на одной прямой. Эти точки однозначно определяют плоскость. Найдем ее уравнение.
Возьмем на плоскости произвольную точку М (х; у; z) и найдем векторы       .
Эти векторы лежат в плоскости П, то есть они компланарны. Поскольку смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, то = 0  или
                          (33)
Получаем уравнение плоскости, проходящей через три точки. В частности,
пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки а, b, с, то есть проходит через точки А (а; 0; 0), В ( 0; b; 0) и С (0; 0; с). Подставляя координаты этих точек в формулу (33) и раскрывая определитель, получим
хbс + уас + zab – аbс = 0 или
              (34)
Уравнение (34) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Пример №47

Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (1; 2; 3), М₂ (–1; 0; 2), М₃ (–2; 1; 0).
Подставим координаты точек в уравнение (33):

Разложим определитель по элементам первой строки:

Вычисляя определители второго порядка, находим искомое уравнение:
(х – 1) 5 – (у – 2) 3 + (z – 3) (–4) = 0 или 5х – 3у – 4z + 13 = 0.

Пример №48

Построить плоскость Зх – 2у + 4z – 12 = 0.
Запишем заданное уравнение в отрезках на осях. Для этого перенесем в правую
часть свободный член и поделим на него обе части уравнения:

Откуда а = 4, b = –6, с = 3.
Зная отрезки, которые отсекает плоскость на осях координат, легко построить
плоскость (рис. З.28).

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две nлощины П₁ и П₂ соответственно уравнениями
А₁х + В₁у + C₁z + D₁ = 0,            А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0.
Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом, который равен углу между нормальными векторами = (А₁; В₁; C₁) и = (А₂; В₂; C₂) этих плоскостей (рис. З.29). Итак, из формулы (36) имеем:
                 (35)
Если плоскости П₁ и П₂ перпендикулярны, то скалярное произведение их
нормальных векторов равно нулю, то есть равенство
А₁ А₂ + В₁ В₂ + C₁C₂ = 0                                                                                    (36)
является условием перпендикулярности плоскостей.
Если nлощины П₁ и П₂ параллельны, то координаты нормальных векторов пропорциональны, то есть условием параллельности плоскостей является равенство отношений:
                                                                                      (37)

Пример №49

Найти угол между плоскостями 2х + у + Зz – 1 = 0 и  х + у – z + 5 = 0.
По формуле (35) имеем

следовательно, данные плоскости перпендикулярны.

Расстояние от точки до плоскости

Если задано уравнение Ах + Ву + Cz + D = 0 плоскости П и точка М₀ (х₀; у₀; z₀), не лежащая на этой плоскости, то расстояние d от точки М₀ до плоскости П находится по формуле
                                                    (38)
Доказательство формулы (38) такое же, как и формулы (27).

Пример №50

Найти высоту АН пирамиды, заданной своими вершинами А (–1; 2; –1), В (1; 0; 2), С (0; 1; –1), D (2; 0; –1).
По формуле (33) находим уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, D:

откуда 3х + 6у + z – 5 = 0.
Высоту АН найдем как расстояние точки А (–1; 2; –1) от плоскости BCD по формуле
(38):

             

Прямая линия в пространстве

Прямая линия в пространстве - это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Различные виды уравнений nрямои в пространстве

Как уже отмечалось, когда прямая задана точкой и направляющим вектором, то ее векторное параметрическое уравнение (как на плоскости, так и в пространстве) имеет вид (6):  ,  где  — радиус-вектор переменной точки М прямой; — радиус-вектор заданной точки М₀; — ненулевой
направляющий вектор прямой; t — параметр.
Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат задана прямая
точкой М₀ (х₀; у₀; z₀) и направляющим вектором = (m; n; p). Возьмем произвольную точку М (х; у; z) этой прямой (рис. 3.30).

 

Тогда аналогично тому, как были найдены формулы (7), (8) и (12), получаем:

1. параметрические уравнения прямой в пространстве: х = х₀ + mt,   у = у₀ + nt,   z = z₀ + pt;                                 (39)
2. канонические уравнения прямой в пространстве:;                                      (40)
3. уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки М₁ (х₁; у₁; z₁) и М₂ (х₂; у₂; z₂):.                               (41)

В уравнениях (39) — (41) одна или две координаты направляющего вектора
могут равняться нулю (случаи m = n = p = 0 и  х₂ — х₁ = у₂ – у₁ = z₂ – z₁ = 0 невозможны, поскольку по определению ).
Если m = 0, n 0, р 0, то направляющий вектор перпендикулярен оси Ох, поэтому уравнение

определяет прямую, перпендикулярную оси Ох. Аналогично уравнения, в которых только n = 0 или p = 0, определяют прямые, перпендикулярные к оси Оу
или Oz.
Если m = n = 0, р 0, или m = р = 0, n  0, или n = р = 0, m 0, то уравнение (40) определяют прямые, соответственно параллельные осям Oz, Оу, Ох.

Рассмотрим теnер случай, когда прямая в пространстве задается пересечением двух плоскостей. Известно, что две непараллельные плоскости пересекаются по прямой линии.
Итак, система уравнений двух плоскостей
                                           (42)
нормальные векторы которых = (А₁; В₁; С₁) и   = (А₂; В₂; С₂) не коллинеарны,
определяет в пространстве прямую линию.
Уравнение (42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Чтобы от общих уравнений (42) перейти к каноническим уравнениям (40), нужно найти точку М₀ (х₀; у₀; z₀) на прямой и ее направляющий вектор = (m; n; p). Для нахождения точки М₀ одну из ее координат, например, х = х₀ берут произвольной, а две другие определяют из системы

Эта система будет иметь решение при условии, что: . Если это условие
нарушается, то в системе (42) произвольное значение придают переменной
y или переменной z.

Для нахождения направляющего вектора учтем, что нормальные векторы и   данных плоскостей перпендикулярны к прямой (рис. 3.31).
Поэтому за вектор    можно взять их векторное произведение:

 

Пример №51

Привести уравнения прямой  к каноническому виду.
Найдем какую-нибудь точку М₀ (х₀; у₀; z₀) на данной прямой. Для этого положим в обоих уравнениях х = 0 и решим систему

откуда z = –2, у = –1. Следовательно, точка М₀ (0; –1; –2) принадлежит данной прямой.
Направляющий вектор находим по формуле (43):
Канонические уравнения заданной прямой имеют вид  

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые l₁ и l₂ заданs уравнениями
 .
Угол между этими прямыми (рис. 3.32) равен углу   между их направляющими векторами = (m₁; n₁; p₁) и = (m₂; n₂; p₂), поэтому аналогично
со случаем а) ​​п. 3.3 получим:
1) формулу для угла между прямыми l₁ и l₂:
         (44)
2) условие параллельности прямых l₁ и l₂:

;                                                                                    (45)
3) условие перпендикулярности прямых l₁ и l₂:
m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0.

Пример №52

Найти угол между прямыми
   и   
По формулам (43) и (39) находим направляющие векторы данных прямых: = (2; –8; –4) и  = (2; –1; 3). Поскольку • = 0, то = 90°. 

Пример №53

При каких значениях m₁ и n₂ прямые
и  
параллельные?
Из условия (45) имеем

откуда m₁ = 2, n₂ = –1.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Углом между прямой l и плоскостью П по определению является угол между прямой l и ее проекцией на плоскость П.
Пусть плоскость П и прямая l заданы уравнениями
Ах + Ву + Cz + D = 0   и   .
Обозначим острый угол между прямою l (рис. 3.33) и ее проекцией l₁ на плоскость П через  , а угол между нормальным вектором = (А; В; С) плоскости П и направляющим вектором = (m; n; p) прямой l — через  .
Если 90°, то = 90° – , поэтому sin = cos ; если же  > 90°, то = – 90° и sin = –cos .

Итак, в любом случае  . Но  , поэтому угол между прямой и плоскостью находится по формуле:                          (47)

Если прямая l параллельна плоскости П, то векторы  и  перпендикулярны,
поэтому · = 0, то есть       

Аm + Bn + Ср = 0                                                                                                   (48)
— условие параллельности прямой и плоскости.
Если прямая l  перпендикулярна к плоскости П, то векторы  и  параллельны, поэтому соотношение
                                                                                                (49)
является условием перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример №54

Через заданную точку М₀ (х₀; у₀; z₀) провести прямую l, перпендикулярную
плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0.
Поскольку прямая l перпендикулярна к плоскости П, то направляющим вектором прямой l можно взять нормальный вектор плоскости П: (рис. 3.34): = =  = (А; В; С).
Поэтому по формуле (40) уравнение прямой l имеет вид
 .

Пример №55

В заданную точку М₀ (х₀; у₀; z₀) провести плоскость П, перпендикулярную
прямой l, заданной уравнениями
 .
Нормальным вектором плоскости П может быть направляющий (рис. 3.35) вектор прямой l:   = = (m; n; р), поэтому по формуле (28) уравнение плоскости П имеет вид
m (х – х₀) + n (y – y₀) + р (z – z₀) = 0.

Пример №56

Через заданную точку М₀ (х₀; у₀; z₀) и прямую l, заданную уравнениями
, провести плоскость П.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка плоскости П (рис. 3.36), а М₁ (х₁; у₁; z₁) — заданная точка прямой l. Тогда векторы = (х₀ – х₁; y₀ – y₁; z₀ – z₁), ​​= 
= (х – х₁; y – y₁; z – z₁) и направляющий вектор = (m; n; р) прямой компланарны,
поэтому уравнение плоскости П имеет вид

Пример №57

Как размещена прямая l, заданная уравнениями

относительно плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0?
Подставив в уравнение плоскости П вместо х, у, z их значения из уравнений
прямой l, получим уравнение
А (х₀ + mt) + В (у₀ + nt) + С (z₀ + pt) + D = 0,
из которого можно определить значение параметра t, соответствующее искомой точке пересечения. Если это уравнение имеет единственное решение, то прямая l пересекает плоскость П, если же множество решений — прямая l лежит в плоскости П, если полученное уравнение не имеет решений, то прямая l параллельна плоскости П.

Пример №58

Найти точку пересечения прямых l₁ и l₂ заданных уравнениями
  и  
Пусть М₀ (х₀; у₀; z₀) — точка пересечения заданных прямых. При каком-то значении t₁ параметра t ее координаты удовлетворять уравнение прямой l₁, а при определенном значении t₂ — уравнению прямой l₂,  т.е.

       

Приравнивая правые части этих систем, получаем систему трех линейных уравнений с двумя неизвестными t₁ и t₂, которую можно решить, например, методом Гаусса. Если эта система имеет одно решение, то прямые пересекаются, если множество решений — прямые совпадают, если система не имеет решений, то прямые скрещивающиеся.

Пример №59

Найти расстояние заданной точки М₀ (х₀; у₀; z₀) от прямой l, заданной уравнениями

Расстояние d от точки М₀ (рис. 3.37) до прямой l равно расстоянию между точкой М₀ и ее проекцией Р на эту прямую: d = М₀Р. Чтобы найти точку Р, достаточно
через точку М₀ провести плоскость П, перпендикулярную к прямой l (пример 3), и найти точку ее пересечения с прямой l (пример 4).

Пример №60

Как размещены прямые
  и   ?
Прямые l₁ и l₂ совпадают, если векторы, и коллинеарны (рис. 3.38, а).
Условием параллельности данных прямых является коллинеарность векторов  и   (рис. 3.38, б), то есть  
Прямые l₁ и l₂  пересекаются, если векторы и  не коллинеарны, а векторы ,   и   компланарные (рис. 3.38, в), то есть  

Итак, условие    эквивалентно тому, что прямые l₁ и l₂ — скрещивающиеся.

Пример №61

Доказать, что расстояние d точки М₀ (рис. 3.39) с радиусом-вектором от прямой l, заданной уравнением , определяется по формуле

Расстояние d равно одной из высот параллелограмма, построенного на векторах и  .

Пример №62

Доказать, что расстояние (рис. 3.40) между скрещивающимися прямыми (длина общего перпендикуляра) l₁ и l₂, заданными уравнениями и , находится по формуле  

Расстояние d равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые l₁ и l₂ . Это расстояние, в свою очередь, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах s ,   и   .

Линии второго порядка

Понятие линии второго порядка:

Как отмечалось в п. 1.1, линия второго порядка — это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
                                              (50)
где коэффициенты а, b, с, d, е, f  — действительные числа, причем хотя бы одно из
чисел а, b, с отличное от нуля, то есть . В частности, к линиям второго порядка относятся такие линии: окружность, эллипс, гипербола и
парабола. Оказывается, что множеством точек (х; у) с действительными координатами, удовлетворяющими уравнению (50), может быть не только одна
из названных линий. Уравнение (50) может определять на плоскости Оху также
две прямые, одну прямую, точку или не определять никакой точки.
Итак, окружность, эллипс, парабола и гипербола задаются уравнениями второй степени, но, в отличие от прямой линии, обратное утверждение неверное.
Чтобы ответить на вопрос, какое геометрическое место точек определяется уравнением (50), надо подобрать такую ​​систему координат, в которой это уравнение упростилось бы. Известно [1], для всякой линии второго порядка существует прямоугольная система координат (ее называют канонической), в которой уравнение (50) имеет самый простой или канонический вид.
Мы не будем заниматься здесь приведением общего уравнения (50) к каноническому виду, а установим и исследуем только отдельные канонические
уравнения.
Линии второго порядка называют также коническими сечениями из-за того, что их можно получить как линии пересечения кругового конуса с плоскостью. Окружность образуется как линия пересечения плоскостью, перпендикулярной
к оси конуса и не проходящей через его вершину (рис. 3.41, а);  эллипс — линия пересечения плоскости, которая пересекает все образующие конуса, не перпендикулярна оси конуса и не проходит через его вершину (рис. 3.41, б); если пересечь двуполостной конус плоскостью, параллельной двум образующим, получим гиперболу (3.41, в), а одной образующей — параболу (рис. 3.41, г).

Линии второго порядка широко применяются в науке и технике.

Примеры:
 

1. Планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено Солнце.
2. Если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На цНи свойстве основано построение прожектора.
3. В динамике космических полетов используются понятия трех космических скоростей: = 7,9 км/с, = 11,2 км/с, = 16,7 км/с. Пусть  — начальная скорость, с которой искусственный спутник запускается с поверхности Земли. При недостаточной начальной скорости < спутник вращаться вокруг Земли не будет. Если = , то спутник будет вращаться по круговой орбите, центр которой находится в центре Земли. Если <  < , то вращение спутника будет происходить по эллипсу, причем центр Земли будет находиться в одном из фокусов эллипса. При < спутник преодолевает земное притяжение и становится искусственным спутником Солнца, двигаясь при этом по параболе (при = ) или по гиперболе (при < < ) относительно Земли. Если  , то спутник сначала преодолевает земное, а затем и солнечное притяжения и покидает Солнечную систему.
4. Движение материальной точки под действием центрального поля силы тяжести происходит по одной из линий второго порядка.

Окружность

Окружностью называют множество точек плоскости, расстояние которых от заданной точки плоскости (центра окружности) равны постоянному числу (радиус).
Чтобы вывести уравнение окружности, используем прямоугольную систему
координат Оху; обозначим через О₁ (а; b) — центр окружности, через М (х; y) — произвольную точку плоскости и через R — радиус окружности (рис. 3.42).
Точка М лежит на окружности тогда и только тогда, когда О₁М = R или
                                               (51)
Уравнение (51) и является искомым уравнением окружности. Но удобнее пользоваться уравнением, которое получим при возведении обеих частей уравнения (51) в квадрат:
                                                      (52)
Поскольку уравнение (52) следует из уравнения (51), то координаты любой точки, удовлетворяющие уравнению (51), удовлетворят также уравнение (52). Однако при возведении любого уравнения в квадрат, как известно, могут появиться посторонние корни, то есть уравнение (51) и (52) могут оказаться неэквивалентными. Покажем, что в этом случае так не будет. Действительно, вычислив корень из обеих частей уравнения (52), получим  Но в правой части знак минус надо отбросить, так как расстояние R > 0. Следовательно, уравнения (51) и (52) эквивалентны, то есть определяют одну и ту же кривую — окружность.

Если центр окружности находится в начале координат, то а = b = 0 и уравнение (52) принимает вид
.                                                                          (53)
Уравнение (53) называется каноническим уравнением окружности. Если в уравнении раскрыть скобки, то получим общее уравнение окружности
х² + у² + Ах + Ву + С = 0,                                                           (54)
где А = –2а, В = –2b, С = а² + b² — R² . Итак, окружность — линия второго порядка.

Уравнение окружности имеет следующие свойства.

• 1°. Коэффициенты при х² и у² равны между собой.
• 2°. В уравнении отсутствует член с произведением ху.

Обратное утверждение неверно: не всякое уравнение второй степени, которое удовлетворяет условиям 1° и 2°, является уравнением окружности, то есть не всякое уравнение вида (54) определяет окружность.

Пример №63

Написать уравнение окружности, если точки А (–1; 4) и В (3; 2) являются концами его диаметра.
Пусть О₁ (а; b) — центр окружности. Тогда АО₁ = О₁В, поэтому по формулам (25)
 имеем

Поскольку радиус окружности R = АО₁ = , то по формуле (52) получаем искомое уравнение:
(x – 1)² + (у – 3)² = 5.

Пример №64

Найти центр и радиус окружности х² + у² + 4х – 6у – 2З = 0.
Сгруппируем слагаемые с переменной х  и переменной у и дополним полученные выражения до полных квадратов: 
х² + 4х + у² – 6у – 2З = 0,
или
(х² + 4х + 4) — 4 + (у² – 6у + 9) – 9 – 2З = 0,
откуда
(х + 2)² + (у – 3)² = 36.
Следовательно, точка (–2; 3) – центр окружности, а R = 6 — его радиус.

Пример №65

Показать, что уравнение х² + у² + 6х – 6у + 19 = 0 не определяет никакого
геометрического объекта.
Преобразуем уравнение
(х² + 6х + 9) – 9 + (у² – 6у + 9) – 9 + 19 = 0
или
(х + 3)² + (у – 3)² = –1.
Поскольку сумма неотрицательных чисел не может быть отрицательным числом, то заданному уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости Оху.

Пример №66

Арка имеет форму дуги окружности. Найти длину l дуги арки, если ее пролет и
подъем соответственно равны 2а и b (подъем арки равен отношению ее высоты
к пролету).
 Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.43, где арка МРN —
дуга окружности, МО = ON, ОР = h = 2аb. В выбранной системе координат точки М, Р и N имеют координаты М (–а; 0), Р (0; 2аb), N (а; 0). Пусть О₁ (0; у₀) и R соответственно центр и радиус окружности, тогда его уравнение имеет вид
х² + (y – y₀)² = R².
Поскольку окружность проходит через точки Р и N, то

откуда

Найдем центральный угол , на который опирается дуга арки. Имеем:
 поэтому  ,
следовательно,

Эллипс

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний
которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами. Чтобы вывести уравнение эллипса, возьмем на плоскости две точки F₁ и F₂ – фокусы эллипса и разместим прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делил отрезок F₁F₂ пополам
(рис. 3.44).
Обозначим расстояние между фокусами, которое называют фокальным, через 2с: F₁F₂ = 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а. Тогда фокусы имеют такие координаты: F₁ (–с; 0) и F₂ (с; 0). По определению 2а > 2с,  т.е. а > с.
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на эллипсе тогда, когда F₁M + F₂M = 2а или
                                          (55)
Это, по сути, уравнение эллипса. Чтобы упростить его, перенесем один радикал в правую часть, возведем обе части в квадрат и приведем подобные. Получим:

Возведя обе части этого уравнения еще раз к квадрату и упростив выражение, получим х² (а² – с²) + а²у² = а² (а² – с²).
Поскольку а > с, то а² – с² > 0, поэтому можно обозначить
а² – с² = b².                                                                    (56)
Тогда уравнение (55) примет вид
х²b² + а²у² = а²b²
или
                                                            (57)
Можно доказать, что уравнение (55) и (57) эквивалентны. Уравнение (57)
называется каноническим уравнением эллипса. Итак, эллипс — кривая второго
порядке.

Определим некоторые свойства и исследуем форму эллипса.

1°. Уравнение (57) содержит переменные х и у только в парных степенях, поэтому, если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (–х; у), (х; –у) и (–х; –у). Поэтому эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О (0; 0), которую называют центром эллипса. Следовательно, для установления формы эллипса достаточно исследовать ту его часть, которая находится в одном, например, в первом, координатном углу.

2°. В первом координатном углу х 0, у 0, поэтому из равенства (57) имеем
                                                    (58)
откуда следует, что точки А₁ (а; 0) и В₀ (0; b) принадлежат эллипсу, причем,
если х увеличивается от 0 до а то y уменьшается от b до 0.  Кроме того, не существует точек эллипса, в которых х > а, потому выражение (58) при х > а не имеет смысла. Таким образом, часть эллипса, размещенная в первом координатном углу, имеет форму дуги А₁В₁ (рис. 3.45). Отразив эту дугу симметрично относительно осей Ох и Оу, получим весь эллипс. Он помещается
в прямоугольник со сторонами 2а  и 2b. Стороны прямоугольника касаются эллипса в точках пересечения его с осями Ох и Оу.
Эллипс пересекает оси координат в точках А₁(а; 0), А2(–а; 0), B₁(0; b), B2(0; –b). Эти точки называются вершинами эллипса. Величины А₁А2 = 2а и B₁B2 = 2b называют соответственно большой  и малой осями эллипса.
Таким образом, из свойств 1° и 2° следует, что всякий эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Точки, в которых эллипс пересекает главные оси, ограничивают на главных осях отрезки длинами 2а и 2b, которые называются большой и малой осями эллипса, а числа а и b — большой и малой полуосями эллипса. Весь эллипс помещается в прямоугольник со сторонами 2а и 2b. Стороны прямоугольника касаются с эллипса в его вершинах.

3°. Если а = b, то уравнение (57) принимает вид
х² + y² = а²,
то есть получаем уравнение окружности. Итак, окружность является частным случаем эллипса. Из формулы (56) следует, что при а = b  значение с = 0, то есть окружность — это эллипс, у которого фокусы совпадают с центром. Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной , которая называется эксцентриситетом эллипса и равна отношению половины его фокального расстояния к длине большей полуоси:

причем  , поскольку  .
Из формул (56) и (59) получаем
  .                     (59)
Итак, если = 0, то b = а, то есть эллипс превращается в окружность; если
приближается к единице, то отношение осей b/а уменьшается, то есть
эллипс все больше растягивается вдоль оси Ох.

4°. Пусть М (х; у) — произвольная точка эллипса с фокусами F₁  и F₂  (рис. 3.46). Расстояния F₁M = r₁ и F₂ M = r₂ называются фокальными радиусами точки М. Очевидно, r₁ + r₂ = 2а. Прямые   называются директрисами эллипса.
Отношение фокальных радиусов произвольной точки эллипса к расстоянию этой точки от соответствующих директрис есть величина постоянная и равна эксцентриситету эллипса, то есть
.                                                                    (60)

Пример №67

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М₁ (3; 2)
и М₂ , если его фокусы лежат на оси Ох симметрично началу координат.
По условию координаты заданных точек удовлетворяют уравнению (57):
Решая эту систему уравнений, находим а² = 18 и b² = 8. Итак, искомое уравнение
имеет вид  .

Пример №68

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох симметрично началу координат, если расстояние между фокусами равно 14, а эксцентриситет равен 7/9.
Поскольку 2с = 14, то с = 7. Из формул (59) и (56) получаем, что а = 9 и b² = 32.
Итак, искомое уравнение имеет вид
.

Пример №69

Доказать, что полярное уравнения определяет эллипс. Найти
полуоси этого эллипса.
Используя формулы (7), (8), перейдем от заданного уравнения к уравнению в прямоугольной системе координат:

Далее имеем


Учитывая формулы параллельного переноса делаем вывод, что последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке (3; 0) и полуосями а = 5 и b = 4.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и она меньше расстояния между фокусами.
Обозначим через F₁  и F₂ фокусы гиперболы, расстояние между ними — через 2с, а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов —через 2а. По определению а < с. Чтобы вывести уравнение гиперболы, возьмем на плоскости прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат поделило отрезок F₁F₂ пополам (рис. 3.44). Точка М (х; у) плоскости лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда или

Выполнив те же преобразования, что и при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
,                                                                                (61)
где
b² = с² – а²                                                                                        (62)
Итак, гипербола является линией второго порядка.

Определим некоторые свойства и исследуем форму гиперболы:

1°. Гипербола симметрична осям Ох, Оу и началу координат.

2°. Для части гиперболы, которая лежит в первом координатном угле, из уравнения (61) получим
                                                                     (63)
Из равенства (63) следует, что .
Точка А₁ (а; 0) принадлежит гиперболе и является точкой пересечения гиперболы
с осью Ох. Гипербола не пересекал ось Оу. Если х > а, то y > 0, причем если х увеличивается, то y также увеличивается, то есть если   то .
Покажем, что, удаляясь в бесконечность, переменная точка М (х; y) гиперболы неограниченно приближается к прямой
.                                                                                    (64)
Такая прямая называется асимптотой гиперболы. Для этого возьмем точку N, лежащую на асимптоте и имеющую ту же абсциссу х, что и точка М (х; у), и найдем разницу MN между ординатами линий (63) и (64) (рис. 3.47):

Отсюда, если , то знаменатель тоже стремится к , а MN  0, так как числитель является постоянной величиной. Итак, точки М гиперболы, удаляясь от точки А₁ (а; 0) в бесконечность, неограниченно приближаются к прямой (64), то есть эта прямая является асимптотой.
Таким образом, часть гиперболы, размещенная в первом координатном угле, имеет вид дуги, которая показана на рис. 3.47. Отразив эту дугу симметрично относительно координатных осей, получим вид всей гиперболы.
Гипербола состоит из двух веток (левой и правой) и имеет две асимптоты:

Оси симметрии называются осями гиперболы, а точка пересечения осей — ее
центром. Ось Ох пересекает гиперболу в двух точках А₁(а; 0) и А₂ (–а; 0), которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы, а ось, не имеющая общих точек с гиперболой, — мнимой осью.
Действительной осью называют также отрезок А₁А₂ , который соединяет вершины гиперболы и его длину А₁А₂ = 2а. Отрезок B₁B₂, соединяющий точки B₁(0; b) и B₂ (0; –b), а также его длину, называют мнимой осью. Величины а и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.
При построении гиперболы (61) целесообразно сначала построить основной
прямоугольник C₁D₁DC (рис. 3.48), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника — асимптоты гиперболы
и определить вершины А₁ и А₂ гиперболы.
Уравнение
                                                                    (65)

также определяет гиперболу, которая называется сопряженной к гиперболе (61). Гипербола (65) показана на рис. 3.48 штриховой линией. Вершины этой гиперболы лежат в точках В1 (0; b) и 2 августа (0; -Ь), а ии асимптоты
совпадают с асимптотами гиперболы (6 \).

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид
х^₂ – y² = а².
Основным прямоугольником равносторонний гиперболы является квадрат со
стороной 2а, а ее асимптотами — биссектрисы координатных углов.

3°. Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение половины фокального расстояния к длине ее действительной полуоси:
.                                                                   (66)
Поскольку с > а, то  > 1. Кроме того, из формул (62) и (66) следует, что
.
Итак, эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем больше отношение , то есть тем больше основной
прямоугольник растягивается в направлении оси Оу, а гипербола отклоняется
от оси Ох; чем ближе эксцентриситет к единице, тем больше основной прямоугольник растягивается в направлении оси Ох, а гипербола приближается
к этой оси.

4°. Прямые  ,  где а — действительная полуось гиперболы, а — ее
эксцентриситет, называются директрисами гиперболы. Директрисы гиперболы имеют то же свойство (60), что и директрисы эллипса.

Пример №70

Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично начала координат, если действительно ось равна 6, а эксцентриситет = ·
Поскольку 2а = 6, то а = 3. Из формул (62) и (66) находим, что b = 4.
Искомый е уравнение имеет вид .

Пример №71

Найти расстояние фокуса гиперболы    от ее асимптоты.
Запишем каноническое уравнение данной гиперболы:
,
откуда  b = 1 — полуоси гиперболы, поэтому согласно формуле (64) уравнение асимптоты имеет вид
Из формулы (62) находим, что с = 3, поэтому F₁ (–3; 0) и F₂ (3; 0) — фокусы гиперболы.
По формуле (27) вычисляем расстояние d от фокуса F₁ (или, что то же самое, фокуса F₂) до найденной асимптоты: d = 1.

Пример №72

На прямолинейном отрезке железной дороги расположены станции А и В, расстояние между которыми l. От завода N идут прямые автомагистрали NA и NB, причем NB < NА. Груз с завода N на станцию ​​А можно транспортировать или по автомагистрали NB, а оттуда по железной дороге (первый путь), или непосредственно по автомагистрали NA (второй путь). При этом тариф (стоимость перевозки 1 т груза на 1 км) железной дорогой и автотранспортом составляет соответственно m и n (n> m), а разгрузка-погрузка одной тонны стоит k. Определить зону влияния станции В, то есть множество точек, из которых дешевле доставить груз в А первым путем, чем вторым.

Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.49, где АО = ОВ. Найдем уравнение множества точек М (х; у), для которых оба пути «одинаково выгодны», то есть таких, что стоимость доставки груза S₁ = r₂n + k + lm первым путем равна стоимости S₂ = r₁n доставки груза вторым путем.
r₂n + k + lm = r₁n ,   (АМ = r₁,  ВМ = r₂).
Из этого условия получим

Следовательно, множеством точек, в которых S₁ = S₂, является правая ветка гиперболы

где а = ,  b = . Для точек плоскости, которые лежат справа от этой ветки, S₁ < S₂, то есть выгоднее первый путь, а для точек, лежащих слева, — второй путь.
Таким образом, правая ветка гиперболы ограничивает зону влияния станции В, а левая — станции А.

Пример №73

Установить, что уравнения 16х² – 9у² – 64х – 54у – 161 = 0 определяет
гиперболу. Найти ее центр и полуоси.

Выделим полные квадраты относительно х и у:

• 16 (х² – 4х) – 9 (у² + 6у) – 161 = 0;
• 16 (х² – 4х + 4 – 4) – 9 (у² + 6у + 9 – 9) – 161 = 0;
• 16 (х – 2)² – 64 – 9 (у + 3)² + 81 – 161 = 0;
• 16 (х – 2)² – 9 (у + 3)² = 144;      .

Учитывая формулы параллельного переноса, придем к заключению, что данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке О₁ (2; –3) и полуосями а = 3; b = 4 (рис. 3.50). 

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей  через фокус.

Найдем уравнение параболы. Пусть на плоскости заданы фокус F и директриса, причем расстояние фокуса от директрисы равно р. Возьмем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус, перпендикулярно к директрисе, а ось Оу делила расстояние между фокусом F и директрисой пополам (рис. 3.51). Тогда фокус имеет координаты F , а уравнение директрисы имеет вид  .
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости, а отрезки МВ и MF — расстояния этой точки от директрисы и фокуса. Точка М тогда лежит на параболе, когда МВ = = MF  или
                                    (67)
Это и есть уравнение параболы. Чтобы упростить его, возведем обе части равенства (67) в квадрат:

то есть
у² = 2рх.                                                                                              (68)
Можно доказать, что уравнение (67) и (68) равносильны.
Уравнение (68) называется каноническим уравнением параболы. Итак, парабола является линией второго порядка.
Исследуем форму параболы. Поскольку уравнение (68) содержит переменную
у в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох. Поэтому
достаточно рассмотреть только ту ее ​​часть, которая лежит в верхней полуплоскости.
Для этой части у  О, поэтому из уравнения (68) получим
                                                                        (69)
Из этого равенства следует, что парабола расположена справа от оси Оу, так как при х < 0 выражение (69) не имеет смысла. Значения х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнение (69), то есть парабола проходит через начало координат. С ростом х значение у также растет. Итак, переменная точка М (х; у) параболы, выходя из начала координат, с ростом х, движется по ней вправо и вверх.
Выполнив симметричное отображение рассматриваемой части параболы
относительно оси Ох, получим всю параболу (рис. 3.52).

Ось симметрии параболы называется ее осью; точка пересечения оси с параболой — вершиной параболы; число, которое равно расстоянию фокуса от директрисы, — параметром параболы. Осью параболы, заданной уравнением (68), является ось Ох, вершиной — точка О (0; 0) и параметром — число р.

Выясним влияние параметра р на форму параболы. Если в уравнении (68) положить , то соответствующие значения ординаты , то есть имеем на параболе две симметричные относительно оси Ох точки и
. Расстояние между этими точками равна 2р и увеличивается с
увеличением р. Итак, параметр р характеризует «ширину» области, которую
ограничивает парабола.
Уравнения у² = –2рх,   х² = 2ру,   х² = –2ру, в которых параметр р > 0, определяют параболы, изображенные на рис. 3.53.

Замечание. Используя свойство 4° эллипса и гиперболы и определение параболы, можно дать следующее общее определение кривой второго порядка (кроме окружности): множество точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина  постоянная, — это эллипс (при 0<  <1), или парабола (при = 1), или гипербола (при  > l).

Пример №74

Исследовать взаимное расположение параболы у² = х  и прямой х +у  – 2 = 0.
Решая систему уравнений находим решение (4; –2) и (1; 1). Это означает, что прямая пересекает параболу в точках М₁(4; –2), М₂(1; 1).

Пример №75

В параболу   вписан равносторонний треугольник так, что одна из
вершин его совпадает с вершиной параболы. Найти сторону треугольника.

Пусть точка А(х₀; у₀) — одна из вершин треугольника. Тогда другими его вершинами будут точки В (–х₀; у₀) и О(0; 0). Поскольку треугольник равносторонний, то АВ = АО = ВО, откуда · Решая это уравнение вместе с уравнением   находим х₀ = 3. Следовательно, сторона треугольника равна 2х₀ = 6.

Пример №76

Струя воды вытекает из конической насадки со скоростью   под углом  к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, составить уравнение струи относительно прямоугольной системы координат Оху, считая, что струя находится в плоскости Оху, точка О совпадает с выходным отверстием насадки, а ось Ох проходит горизонтально в направлении полета струи (рис. 3.54). Найти дальность полета l, высоту подъема h и угол, при котором дальность полета наибольшая.

Выделим в струе воды частичку единичной массы. Если бы на нее не действовала сила тяжести, то за время t  она прошла бы путь, равный модулю вектора  где — начальная скорость частицы.
Под действием силы тяжести частица за то же время t  пройдет путь, равный длине дуги ОМ. Поскольку сила тяжести направлена вертикально вниз, то радиус-вектор частицы имеет вид , где  —ускорение силы тяжести. Уравнения

— это параметрические уравнения траектории полета частицы. Исключив параметр t, получим у = ах – bх²,  где
 .
Таким образом, траектория движения частицы, а следовательно, и вcей струи имеют форму параболы. Дальность полета струи получим из ее уравнения при у = 0, а высоту подъема — при :

Дальность полета наибольшая, если .

Полярные и параметрические уравнения кривых второго порядка

1. Пусть в прямоугольной системе координат уравнением (53) задана окружность. Если ввести полярные координаты и так, как указано в п. 2.3), то уравнение (53) запишется в виде
;    или      р = R.                                  (70)
Это и есть полярное уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R. Чтобы вывести параметрические уравнения, обозначим через t угол между осью Ох и радиусом-вектором произвольной точки М (х; у) окружности (рис. 3.55).
Точка М (х; у) лежит на окружности тогда и только тогда, когда
                                (71)
Уравнения (71) называются параметрическими уравнениями окружности.

 

2. Рассмотрим теnер кривую l, которая может быть эллипсом, параболой
или правой веткой гиперболы (рис. 3.56).
Пусть F — фокус кривой l (если l — эллипс, то F — его левый фокус), d — соответствующая этому фокусу директриса, 2p — длина хорды, которая проходит через фокус параллельно директрисе, и — эксцентриситет кривой l. Введем полярную систему координат так, чтобы ее полюс совпадал с F, а полярная ось F_x была перпендикулярной к директрисе d и направлена в сторону, противоположную от нее. Тогда согласно общему определению кривой второго порядка (замечание п. 6.5)
имеем: 

                                                            (72)

Поскольку MF = , то

и из равенства (72) получим
                                                    (73)
Это и есть  общее полярное уравнение кривой l. При 0 < < 1 уравнение (73) определяет эллипс, пр и = 1 — параболу, а при  > 1 — правую ветку гиперболы. Уравнение левой ветки гиперболы в выбранной полярной системе
имеет вид
.
Число p в полярных уравнениях называется полярным параметром кривой. Для того чтобы выразить p через параметры канонических уравнений (57), (61) и (68) кривой l, достаточно в это уравнение подставить координаты точки N₁: х = с, у =
= p — для эллипса и гиперболы и  — для параболы. Тогда для эллипса и гиперболы имеем:  ,  а для параболы полярный параметр равен параметру p и ее каноническому уравнению (68). Уравнение (73) применяется в механике.

Пример №77

Какую кривую определяет полярное уравнение ?
Приведя данное уравнение к виду  , получим:
 . Итак, заданная линия является эллипсом. Найдем его полуоси. Поскольку 
   и    то

Приведем без доказательства параметрические уравнения эллипса и гиперболы
[9]. Параметрические уравнения

задают эллипс с центром в точке (х₀; у₀) и с полуосями а и b.
Параметрические уравнения гиперболы с центром в точке (х₀; у₀) и с полуосями а и b имеют вид

где ch t и sh t — гиперболический косинус и гиперболический синус.

Пример №78

Кривошип ОА (рис. 3.57) вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью  и приводит в движение ползун В с помощью шатуна АВ, причем ОА  = АВ = а. Составить уравнение траектории средней точки М шатуна.

Пусть М (х; у) — средняя точка шатуна АВ,  , тогда

Поскольку   то

где t — время. Итак, траекторией средней точки шатуна является эллипс. Освободившись от параметра t, получим его каноническое уравнение:

Поверхности второго порядка

Понятие поверхности второго порядка:

Поверхностью второго порядка называется множество точек, прямоугольные
координаты которых удовлетворяют уравнению вида
ах² + bу² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0,                             (74)
где хотя бы один из коэффициентов а, b, с, d, е, f отличен от нуля.
Уравнение (74) называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка как геометрический объект не изменяется,
если от заданной прямоугольной системы координат перейти к другой.
При этом уравнения (74) и уравнения, найденное после преобразования координат, будут эквивалентными.
Можно доказать [14], что существует система координат, в которой уравнение
(74) имеет самый простой (или канонический) вид.
К поверхностям второго порядка относятся, в частности, цилиндрические
и конические поверхности, поверхности вращения, сфера, эллипсоид, однополосной и двуполостной гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Рассмотрим эти поверхности и их канонические уравнения.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называют поверхность , образовавшуюся множеством прямых (образующих), пересекающих заданную линию L (направляющую) и параллельных заданной прямой l (рис. 3.58). Будем изучать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельные координатной оси, перпендикулярной к этой плоскости.

   

Рассмотрим случай, когда образующие цилиндрической поверхности параллельны оси Oz, а направляющая лежит в плоскости Оху.
Пусть задано уравнение
f (x, y) = 0,                                                                                (75)
которое в плоскости Оху определяет (рис. 3.59) некоторую линию L — множество
точек М (х; у), координаты которых удовлетворяют это уравнение. Данное уравнение удовлетворяют также координаты всех точек N (х; у; z) пространства, у которых две первые координаты х и у совпадают с координатами любой точки линии L, а третья координата z — произвольная, то есть тех точек пространства, которые проецируются на плоскость Оху в точки линии L.
Все такие точки лежат на прямой, параллельной оси Oz и пересекающей линию L в точке М (х; у). Совокупность таких прямых и является цилиндрической поверхностью .
Если точка не лежит на поверхности , то она не может проецироваться в точку линии L, то есть координаты такой точки уравнение (75) не удовлетворяют.
Следовательно, уравнение (75) определяет поверхность . Таким образом, уравнение f (x, y) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность,
образующие которой параллельны оси Oz, а направляющая L в плоскости Оху задается тем самым уравнением f (x, y) = 0. Эта же линия в пространстве Oxyz задается двумя уравнениями:

Аналогично уравнение f (x, z) = 0, в котором отсутствует переменная y, определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Оу, а направляющая L в плоскости Oxz задается тем самым уравнением f (x, z) = 0; уравнение f (x, z) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Ох.

Примеры:

1. Поверхность, которая определяется уравнением х² + у² = R², является цилиндрической и называется прямым круговым цилиндром. Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей в плоскости Оху является окружность х² + у² = R² (рис. 3.60, а).
2. Поверхность, которая определяется уравнением , является цилиндрической  и называется эллиптическим цилиндром (рис. 3.60, б).
3. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением , называется гиперболическим цилиндром (рис. 3.60, в).
4. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением у² = 2рх, называется параболическим цилиндром (рис. 3.60, г).
5. Уравнение z² = 1 – у определяет в пространстве параболический цилиндр, направляющей которого в плоскости Oyz является парабола z² = 1 – у, а образующие параллельны оси Ох (рис. 3.60, д).

Поверхности вращения

Поверхность, образованную вращением заданной плоской кривой l вокруг
заданной прямой (оси вращения), которая лежит в плоскости кривой l, называют
поверхностью вращения.
Пусть линия l, лежащая в плоскости Oyz, задана уравнениями

(Х, Y, Z — переменные координаты точек линии l, а х, у, z —переменные координаты точек поверхности).
Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии вокруг оси Oz (рис. 3.61), и найдем уравнение поверхности вращения.
Проведем через произвольную точку М (х; у; z) поверхности вращения плоскость,
перпендикулярную к оси Oz, и обозначим через К и N точки пересечения этой плоскости с осью Oz и линией l. Поскольку отрезки , KN и КМ равны между собой как радиусы, КР = у, РМ = х, то Y =   кроме того, Z = z. Поскольку координаты точки N удовлетворяют уравнению F (Х, Z) = 0, то, подставляя в это уравнение вместо Y, Z равные им величины  получим уравнение
                                                                          (76)
которое удовлетворяет произвольная точка М (х; у; z) поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности,
уравнение (76) не удовлетворяют. Следовательно, уравнение (76) является уравнением поверхности вращения.

Аналогично можно составить уравнение поверхности вращения вокруг осей Ох и Оу. Таким образом, чтобы получить уравнение поверхности вращения кривой
вокруг какой-либо координатной оси, надо в уравнении кривой оставить без изменений координату, соответствующую оси вращения, а вторую координату заменить на квадратный корень из суммы квадратов двух других координат, взятый со знаком + или –.

Пример №79

Найти уравнение поверхности вращения эллипса х² + 4у² = 4, z = 0 вокруг оси Ох,

В уравнении эллипса надо оставить без изменения координату х, а вместо координаты у подставить в уравнение  :
  или   . 

Конические поверхности

Конической поверхностью называется поверхность, образованная множеством
прямых, проходящих через заданную точку Р и пересекающую заданную линию
L. При этом линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р — ее вершиной, а каждая из прямых, образующих коническую поверхность, — образующей.
Пусть направляющая L задана в прямоугольной системе координат уравнениями
                                          (77)
а точка Р (х₀; у₀; z₀) — вершина конической поверхности (рис. 3.62). Чтобы составить уравнение конической поверхности, возьмем на поверхности произвольную точку М (х; у; z) и обозначим точку пересечения образующей РМ с направляющей L через N (Х; Y; Z).
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки N и Р, имеют вид
 .                                                       (78)
Исключая Х, Y и Z из уравнений (77) и (78), получим искомое уравнение конической поверхности.

Примеры:
1. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке О (0; 0; 0) и с направляющей L, заданной уравнениями
.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка конической поверхности, а N (Х; Y; Z) — точка пересечения образующей ОМ и линии L. Канонические уравнения образующей ОМ имеют вид
. Поскольку Z = с,  тo   , . Подставляя эти значения Х и Y в первое из уравнений направляющей ​​L, получим искомое уравнение:

При а = b направляющей L является окружность Х² + Y² = а², Z = с, а уравнение конической поверхности имеет вид

Эта поверхность называется прямым круговым конусом (рис. 3.63).

2. Уравнение конической поверхности, вершиной которой является точка О (0; 0; 0), а направляющей — эллипс (рис. 3.64)

имеет вид     

Сфера

Сферой называют множество всех точек пространства, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр сферы с ее произвольной точкой, называется радиусом сферы.
Возьмем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Чтобы составить уравнение сферы с центром в точке О₁ (а; b; с) и радиусом R (рис. 3.65), возьмем в пространстве произвольную точку М (х; у; z).
Точка принадлежит сфере тогда и только тогда, когда O₁М = R или    Это и есть уравнение сферы. Для удобства его записывают в таком виде:
                                                           (79)


В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то есть а = b =с =0, то уравнение такой сферы имеет вид
х² + у² + z² = R².
Если в уравнении (79) раскроем скобки, то получим общее уравнение сферы
х² + у² + z² + Ах + Ву + Cz + D = 0,                                                              (80)
где А = –2а, В = –2b, С = –2с, D = а² + b² + с² – R².
Это уравнение имеет такие свойства.

• 1°. Уравнение (80) является уравнением второй степени относительно х, у и z, итак, сфера — поверхность второго порядка.
• 2°. Коэффициенты при x², у², z² равны между собой.
• 3°. В уравнении отсутствуют члены с произведениями ху, xz, yz.

Однако не всякое уравнение вида (80), которое соответствует условиям и 1°–3°,
изображает сферу.

Примеры:

1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением
х² + у² + z² + 2х + 4у – 6z – 11 = 0.

Выделяя полные квадраты по х, у и z, запишем заданное уравнение в виде
(х + 1)² + (у + 2)² + (z – 3)² = 25. Следовательно, точка О₁(–1; –2; 3) — центр сферы
и R = 5 — ее радиус.

2. Уравнение х² + у² + z² + 2x + 4y – 6z + 15 = О₁ или (х + 1)² + (у + 2)² + (z – 3)² = –1 не определяет никакого геометрического объекта.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

                                                   (81)

Уравнение (81) называется каноническим уравнением эллипсоида. Исследование формы эллипсоида проведем методом параллельных сечений. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением
z = h, где h — произвольное действительное число, а линия, которая образуется в сечении, определяется уравнениями
                                                      (82)
Исследуем уравнения (82) при различных значениях h.

1. Если и   то    и уравнения (82) никакой линии не определяют, то есть точек пересечения плоскости z = h  с эллипсоидом не существует.

2. Если h = ± с, то    и линия (82) вырождается в точки (0; 0; с)  и    (0; 0; –с), то есть плоскости z = с  и  z = –с  касаются эллипсоида.

3. Если   то   где , 
то есть плоскость z = h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а₁ и b₁. При уменьшении h значения а₁ и b₁  увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h = 0, то есть в сечении эллипсоида плоскостью Оху  получим наибольший эллипс с полуосями а₁ = а,  b₁ = b.

Аналогичные результаты получим, если будем рассматривать сечения эллипсоида плоскостями х = h и у = h.
Таким образом, рассмотренные сечения дают возможность изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 3.66). Величины а, b, с называются полуосями эллипсоида. Если любые две полуоси равны между собой, то трехосный эллипсоид преобразуется в эллипсоид вращения, а если все три полуоси равны между собой — в сферу.

Пример №80

Найти центр и полуоси эллипсоида, заданного уравнением
Зх² + 4у² + 6z² – 6х + 16у – 36z + 49 = 0.

Выделяя полные квадраты относительно х, у, z, получим
3 (х – 1)² + 4 (у + 2)² + 6 (z – 3)² = 36
или .
Следовательно, данный эллипсоид имеет полуоси:  его
центр находится в точке О (1; –2; 3).

Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется  поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
.                                                                        (83)
Уравнение (83) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Исследуют уравнения (83), как и в предыдущем пункте, методом параллельных сечений.

 

Пересекая однополостной гиперболоид плоскостями, параллельными плоскости Оху, получим в сечении эллипсы. Если поверхность (83) пересекать плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы.
Детальный анализ этих сечений показывает, что однополостной гиперболоид имеет форму бесконечной трубки, которая неограниченно расширяется в обе стороны от наименьшего эллипса, по которому однополостной гиперболоид пересекает плоскость Оху (рис. 3.67).

Пример №81

Найти линию пересечения однополостного гиперболоида 1
плоскостями:  а) Oxz;     б) Оху;         в) х = 4.
а) Линией пересечения плоскости Oxz с данным гиперболоидом является гипербола
  или
б) Линией пересечения плоскости Оху с данным гиперболоидом является эллипс:
   или 
в) Линия пересечения плоскости х = 4 с данным гиперболоидом является гиперболой:
   или 

Двуполостные гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
                                        (84)
Уравнение (84) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Метод параллельных сечений позволяет изобразить двуполостной гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных полостей (отсюда название двуполостной), каждая из которых пересекает ось Oz и имеет форму выпуклой бесконечной чаши (рис. 3.68).

Пример №82

Составить уравнение поверхности вращения, созданной вращением гиперболы ,  z = 0  вокруг оси абсцисс, и определить вид поверхности.

Подставив в уравнение гиперболы вместо у выражение , имеем
 ,  или  .
Это уравнение двуполостного гиперболоида, который пересекает ось Ох в точках (2; 0; 0) и (–2; 0; 0) (рис. 3.69).

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
                                                                       (85)
которое является каноническим уравнением эллиптического параболоида. Он имеет форму бесконечной выпуклой чаши (рис. 3.70). Линиями параллельных сечений эллиптического параболоида являются параболы или эллипсы.

Пример №83

Найти точки пересечения эллиптического параболоида

с прямой   

Запишем параметрические уравнения данной прямой:
х = 2t + 2,  у = –t – 1,   z = 4t + 10.
Подставим выражения для х, у, z в уравнение параболоида и найдем те значения параметра, которые соответствуют точкам пересечения:
 ;    .
Подставляя найденные значения параметра в параметрические уравнения прямой, найдем точки пересечения: М₁ (–2; 1; 2) и М2 (6; –3; 18).

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
                                                                     (86)
являющимся каноническим уравнением гиперболического параболоида. Эта поверхность имеет форму седла (рис. 3.71).
Линиями параллельных сечений гиперболического параболоида являются гиперболы или параболы.

Линейчатые поверхности

Поверхности, образующие которых прямые линии, называются линейчатыми.
Такими поверхностями являются цилиндрические и конические поверхности. Рассмотрим уравнения однополостного гиперболоида (83) и запишем его в виде
                                (87)
Составим систему уравнений: 
                                                                      (88)
где k — произвольный, отличный от нуля, параметр.

При определенном значении параметра k каждое из уравнений системы (88)
определяет плоскость, а каждая из систем определяет прямую линию как пересечение плоскостей.
Если перемножить уравнения (88) почленно, то получим уравнение (87). Поэтому произвольная точка (х, у; z), удовлетворяющая систему (88), лежит на поверхности (87). Это означает, что каждая из прямых (88) полностью лежит на поверхности однополосного гиперболоида (рис. 3.72).
Итак, однополостной гиперболоид — линейчатая поверхность. Это же касается и гиперболического параболоида (86).
Отметим, что однополостные гиперболоиды применяются в строительстве. Сооружения различных высотных башен с использованием прямолинейных образующих однополостного гиперболоида соединяет в себе прочность конструкции и простоту ее исполнения. Идея использования однополостного гиперболоида в строительстве принадлежит русскому ученому В. Г. Шухову. По проекту Шухова построена телевизионная башня на Шаболовке в Москве. Она состоит из секций однополостных гиперболоидов вращения.

Пример №84

Найти те прямолинейные образующие гиперболического параболы  , которые проходят через точку А .

Запишем заданное уравнение в виде .
Составим систему уравнений  Подставив координаты точки А в первое уравнение системы, найдем .

 

Следовательно, прямая
  или   
является одной из тех образующих заданного параболоида, которая проходит через точку А. Вторую образующую находим аналогично из системы

Вступление в математический анализ

Математический анализ — это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами бесконечно малых. Основы
даны в работах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других математиков 17-18 в.в. Обоснование математического анализа с помощью понятия границы принадлежит О. Л. Коши.
Курс математического анализа содержит следующие разделы: вступление в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория рядов.
В 19 – 20 в.в. методами математического анализа начали изучать более сложные
математические объекты, чем функции. Это привело к созданию функционального анализа и многих других математических дисциплин.

Действительные числа

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби.

Множества. Логические символы

Понятие множества является одним из фундаментальных в математике. Оно
принадлежит к понятиям, которым нельзя дать строгое определение, то есть к
так называемым первичным, которые нельзя выразить через более простые понятия. Интуитивно множество понимают как совокупность (семейство, набор, собрание) некоторых объектов, объединенных по определенному признаку или свойству.
Примерами множеств может быть множество деталей, из которых состоит
данный механизм, множество школ данного города, множество звезд
определенного созвездия, множество решений данного уравнения, множество всех целых чисел и тому подобное.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — маленькими. Если элемент х принадлежит множеству Х, то пишут ; запись или означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.
Множество считается заданным, если известна характеристика его элементов, когда о каждом элементе можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Так, множеству целых чисел принадлежит число 7, но не принадлежит число 0,7.
Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Запись   означает, что множество А конечно и содержит m элементов. Множество , содержащее бесконечное количество элементов, называется бесконечным. Так, множество слушателей в данной аудитории — конечно, а множество треугольников, которые можно вписать в данный круг, – бесконечно.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Примером пустого множества является множество действительных корней уравнения х² + 1 = 0. Пусть задано два множества А и В. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В и пишут  или («А содержится в В » или «В содержит А»). Например, множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел. Очевидно, что каждое множество является своим подмножеством и пустое множество является подмножеством любого множества. Если множества А и В содержат одни и те же элементы, то есть   и , то их называют равными и пишут А = В.

Определим некоторые операции, которые можно выполнять над множествами.
Множество С, содержащее элементы, каждый из которых принадлежит множеству А или множеству В, называют объединением (суммой) множеств А, В
и обозначают С = А U В (рис. 4.1, а). Итак,      или  .
Множество D, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множествам А и В, называют пересечением (произведением) множеств А и В и обозначают (рис. 4.1, б). Итак,
и   .
Множество Е, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
множеству А и не принадлежит множеству В, называют частным множеств
А и В и обозначают . (рис. 4.1, в). Итак,    и
.
Например, если

то

Пусть Р (х) — некоторое свойство числа х, тогда запись  означает множество всех чисел х, для которых выполняется свойство Р (х). Например,

Множество действительных чисел

В курсе высшей математики часто используют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Назовем некоторые из них:

1. множество натуральных чисел N = {l; 2; ...; n; ...};
2. множество целых неотрицательных чисел Z₀ = {0; 1; 2; ...; n; ...};
3. множество целых чисел Z = {0; ± 1, ± 2 ...; ±n ...};
4. множество рациональных чисел ;
5. множество действительных чисел  , где  — цифры десятичной системы счисления.

Между этими множествами существует связь:
 .
Множество действительных чисел содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число является или целым числом, или конечной или периодичной десятичной дробью. Иррациональное число — это бесконечная непериодичная десятичная дробь. Так,   —
рациональные числа;   — иррациональные
числа.
Не вдаваясь в теорию действительных чисел [11], отметим, что на множестве действительных чисел всегда выполняются операции сложения, вычитания,
умножения и деления (кроме деления на 0). Корень нечетной степени из любого действительного числа имеет одно действительное значение. Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, которые отличаются
только знаком. Корень четной степени из отрицательного числа на множестве
действительных чисел смысла не имеет.
Действительные числа изображают точками  на координатной
оси или числовой прямой.
Таким образом, между множеством действительных чисел R и множеством всех
точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому числу соответствует определенная точка прямой
и, наоборот, каждой точке прямой соответствует определенное число.

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и b — действительные числа, причем а < b. Рассмотрим числовые
множества:

Все эти множества называются числовыми промежутками, причем [a; b]  — отрезок (сегмент) (а; b),  — интервалы, (а; b], [а; b), — полуинтервалы.
Промежутки [а; b], (а; b), (а; b], [а; b) называются конечными и обозначаются общим символом ; точки а и b называют соответственно левым и правым концами этих промежутков.
Последние из приведенных промежутков называются бесконечными. Символы
  и    в этих промежутках не следует рассматривать как числа; это
символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от ее начала влево и вправо. Арифметические операции над символами   и   недопустимы. Считают, что любое действительное
число х больше, чем  , и меньше, чем  : < х  < .
Введем интервалы, называемые окрестностями точки. Пусть х₀ — произвольное действительное число. Окрестностью точки х₀ называют любой интервал
, содержащий эту точку, то есть  . Так, окрестностями точки
х₀ = 1 является интервалы (–0,5; 1,5), (0; 2) и т. д.
Интервью  где , называют -окрестностью точки х₀, причем точку х₀ называют центром, а число — радиусом окрестности.
Эту окрестность называют достаточно малой, если число достаточно мало.

Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модулем действительного числа х называют число , определяемое
по формуле

Так,

Геометрически число определяет расстояние от начала отсчета 0 до точки, соответствующей числу х на числовой оси.
Рассмотрим арифметическое значение корня  , где а — произвольное
действительное число. Очевидно, что

Итак, .

Сформулируем свойства модуля действительного числа:

1. Равны между собой числа имеют равные между собой модули:
2. Модуль числа есть число неотрицательное:
3. Число не больше своего модуля: 
4. Противоположные числа имеют равные между собой модули:.
5. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их модулей:
6. Модуль разности двух чисел не меньше разницы их модулей: 
7. Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей: 
8. Модуль частного  равняется частному модулей делимого и делителя:
9. Если а > О, то неравенства   и  равносильны: 
10. Для произвольного числа а > 0  неравенства  и    или
      или  

 равносильные:

Пользуясь понятием модуля, некоторые из приведенных выше промежутков можно записать в виде


В частности, -окрестность точки х₀ записывается в виде
;  это окрестность с выколотой
точкой х₀ записывается так:
.

Пример №85

Решить неравенства: а) ;         б) .
а) По свойству 9° имеем:
–5 < 2х – 3 < 5, или –2 < 2х < 8, или –1 < х < 4.
Следовательно, данное неравенство выполняется для значений х, принадлежащих интервалу (–1; 4).
б) Поскольку ,  то    и по свойству 10° имеем
х – 2 С или  х – 2 –3   или х  –1. Таким образом, данное неравенство
справедливо для всех х значений  .

Функция

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Постоянные и переменные величины

Величина — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики менялся и обобщался. Это понятие настолько широкое и всеобъемлющее, что его трудно определить. Масса, сила, давление, напряжение, длина, объем, действительное число, вектор — все это примеры величин. На первой стадии под величиной понимали то, что, выражаясь в определенных единицах (например, длина в метрах, масса — в граммах и т. д.), характеризуется своим числовым значением.
Впоследствии величинами стали и такие понятия, как число, вектор и другие.
Величины в некотором процессе могут принимать различные или одинаковые
числовые значения. В первом случае величина называется переменной, во втором — постоянной.

Примеры:

1. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная для всех окружностей и равна числу .
2. Величина х, которая удовлетворяет условию , является переменной величиной.
3. Если в разных местах и ​​на разных глубинах озера измерять одновременно давление воды и ее плотность, то окажется, что давление — переменная величина, а плотность можно считать величиной постоянной.

В первых двух случаях постоянная и переменная величины определяются точно. В третьем случае плотность воды, хоть и незначительно, но меняется, поэтому она постоянна только с определенной точностью. Во многих реальных явлениях можно указать величины, которые только условно будут постоянными.

Предметом высшей математики является изучение переменных величин. Постоянная величина считается частным случаем переменной: постоянная — это такая переменная, все значения которой равны между собой.
Если величина приобретает свои значения дискретно (прерывно), то ее называют последовательностью (п. 3. 1). Если же переменная величина приобретает непрерывные значения, то ее просто называют переменной.

Понятие функции

Изучая те или иные явления, мы, как правило, оперируем несколькими величинами, которые связаны между собой так, что изменение некоторых из них приводит к изменению других.
Такая взаимосвязь в математике выражается с помощью функции. Этот термин впервые ввел Г. Лейбниц.

Примеры:

1. Пусть электрическая цепь состоит из источника постоянного напряжения U и реостата R. При изменении сопротивления R меняться сила тока. Напряжение U — величина постоянная (в данной цепи), а сопротивление R и ток I — переменные, причем I меняется в зависимости от изменения R по закону Ома:  , то есть сила тока I является функцией сопротивления R.

2. Во время свободного падения тела пройденный путь S зависит от изменения времени t. Связь между переменными величинами S и t задается формулой
,
где g — ускорение свободного падения (постоянная величина). Величина S зависит от изменения величины t, то есть путь S является функцией времени t.

3. Согласно закону Бойля–Мариотта объем газа V и давление Р при постоянной температуре связаны формулой PV = с, где с — некоторая постоянная. Отсюда
 ,
то есть переменная величина V изменяется в зависимости от изменения Р, поэтому объем V является функция давления Р.

4. Длина l окружности диаметра d определяется по формуле l = d, где  — постоянная величина. Переменная l зависит от переменной величины d, то есть длина окружности l является функцией диаметра d.

Общим в этих примерах является то, что связь между переменными величинами описывается определенным правилом (зависимостью, законом, соответствием) так, что каждому значению одной величины (R, Р, t, d) соответствует единственное значение второй (I , V, S, l ).
Дадим теперь определение функции. Если каждому числу х из некоторого
числового множества Х по определенному правилу поставлено в соответствие
единственное число у, то говорят, что у есть функция от х, и пишут у = f (x),
. Это определение принадлежит Н. И. Лобачевскому и Л. Дирихле.
Переменная х называется независимой переменной, или аргументом, а переменная у — зависимой переменной, или функцией; под символом f  понимают то правило, по которому каждому х соответствует у, или те операции,
которые надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции.
Множество Х называется областью определения функции. МножествоY всех чисел у, таких, что у = f (x) для каждого называется множество значений функции, то есть

 .

Иногда в определении функции предполагают, что одному значению аргумента
соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функцию называют многозначной, в отличие от указанной выше однозначной функции. Примерами многозначных функций .  В дальнейшем мы будем рассматривать только однозначные функции.
В более широком смысле понятие функции употребляется как синоним понятия отображения множества на множество.
Пусть заданы два непустых множества Х и Y с элементами  и  и пусть преобразование f  переводить х в у. Тогда это преобразование f (правило, закон, соответствие, отображение, зависимость) называют функцией и пишут
или   
(Х и Y  — множества некоторых элементов, не обязательно числовые).
В этом случае, как и в случае числовых множеств Х и Y , эти множества называют областью определения и множеством значений функции. В зависимости от природы множества Х и Y, для функции f употребляют разные
названия. Так, если Х и Y — множества действительных чисел, то говорят, что
f — действительная функция действительного аргумента; если Х — множество комплексных чисел а Y — множество действительных чисел, то f  —действительная функция комплексного аргумента; если Х — множество функций,
а Y — числовое множество, то f называется функционалом.
Сравнивая определение функции, видим, что в первом из них под функцией у = =f(x) понимают ее значение — число у. По второму определению функция — это закон или правило f, по которому каждому элемента ставится в соответствие единственный элемент . Таким образом, по первому определению понятие функции сводится к понятию переменной величины, а по второму — к понятию соответствия. Иногда понятие функции выражается и через другие понятия (например, множество). В дальнейшем будем пользоваться первым определением функции.
В курсе математического анализа рассматривают функции, для которых область определения X и множество значений Y состоят из действительных чисел. Поэтому под понятием «число», если не оговорено, будем понимать действительное число.
Из определения функции не следует, что разным значениям аргумента
соответствуют разные значения функции. Функция может во всей области
определение приобретать несколько или даже одно значение. В частности, если множество значений функции состоит лишь из одного числа с, то такую ​​функцию называют постоянной и пишут у = с.

Способы задания функции

Чтобы задать функцию у = f (x), надо указать ее область определения Х, множество значений Y и правило f, по которому для произвольного числа
можно найти соответствующее ему число .

Основные способы задания функции: аналитический, графический и табличный.
При аналитическом способе задания функции соответствие между аргументом
и функцией задается формулой (аналитическим выражением), где указано, какие действия нужно выполнить над значением аргумента и постоянными числами, чтобы получить соответствующее значение функции. Если при этом область определения не указывается, то под последней понимают область существования функции — множество всех действительных значений аргумента, для которых аналитическое выражение имеет смысл.

Замечание. Не следует отождествлять функцию и формулу, с помощью которой эта функция задана. Одной и той же формулой можно задавать различные функции, и наоборот, одна и та же функция на разных участках ее области определения может задаваться различными формулами. Так, функции у = х³,   и  у = х³,   — различные, потому что они имеют различные области определения; функция

определена на промежутке  , но для неположительных и положительных значений аргумента ее задано различными формулами.

Пример №86

Найти области определения функции:
а) ;  б)  ;  в) ;
г) ;    д) у = n!.

а) ;
б) ;
в)
г) ;
д) формула у = n! ставит в соответствие каждому натуральному числу n число у = n!. Например, если n = 3, то у = 3! = 1 · 2 · 3 = 6, если n = 5, то у = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 Итак, Х = Z₀ (считают, что 0! = 1).

Эти примеры показывают, что областью существования функции могут быть весьма разнообразные множества: отрезок, несколько или даже бесконечное
количество отрезков, дискретное множество точек и тому подобное.
Отметим, что задача нахождения множества Y значений аналитически
заданной функции намного сложнее и связана с задачей об экстремумах функции.

При графическом способе задания функции у = f (х) соответствие между переменными х и у задается графиком — множеством точек (х; у) плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют равенство у = f (х). В зависимости от того, какую задано функцию, ее график может состоять из одной сплошной линии, нескольких линий, дискретного множества точек плоскости и тому подобное.
Графическим способом задания функции широко пользуются при исследованиях, связанных с использованием таких самопишущих приборов, как барограф (для записи изменений атмосферного давления), осциллограф (для записи изменений электрического тока или напряжения), электрокардиограф (для записи электрических явлений, связанных с деятельностью сердца), термограф (для записи изменений температуры воздуха) и др. Кривые (их
называют соответственно барограмма, осциллограмма, электрокардиограмма,
термограмма),  выписываемые приборами, задают вполне определенную функцию, свойства которой характеризуют ход того или иного процесса.

Графики функций можно наблюдать на дисплеях компьютеров. В математике графиками широко пользуются для геометрического изображения функций, даже тогда, когда эти функции заданы аналитически. Если функция у = f (x) задана на некотором множестве Х формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует определенный график, который определяет эту функцию геометрически. А если функция задана произвольным графику, то можно ли задать ее некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, нужно выяснить, какой смысл имеет понятие формулы. Если функция у = f(x) задана формулой, то пока считаем, что функция у образовывается с помощью конечного числа таких операций над х, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня, логарифмирование, взятие sin, arcsin и тому подобное. Математический анализ позволяет значительно расширить понятие формулы. В частности, формулой считается также и бесконечный ряд, членами
которого являются те или иные функции, то есть допускается бесконечное число операций над этими функциями. С помощью таких формул большинство кривых, встречающихся на практике, можно задать аналитически.

Примеры:

1. Графиком функции у = 2n – 3,   есть бесконечное множество изолированных точек (рис. 4.2), которые лежат на прямой у = 2х – 3.

2. Графиком функции есть совокупность биссектрис первого и второго координатных углов (рис. 4.3).

3. Графиком функции

заданной различными аналитическими выражениями на разных частях области изменения х, является совокупность параболы и прямой (рис. 4.4). Стрелка на графике означает, что точка М (2; 2) не принадлежит прямой.

4. Функция

(читается «сиrнум икс») определена на всей числовой оси и приобретает три значения: –1; 0; 1; Х =, Y = {–1, 0; 1). График этой функции изображен на
рис. 4.5.

5. Функция (рис. 4.6) определена при    и приобретает два значения:
–1; 1;  .

Заметим, что в прямоугольной системе координат Оху (рис. 4. 7) функцию задает только такая кривая l₂, которую каждая прямая, проходящая через точку параллельно оси Оу, пересекает только в одной точке. Область определения этой функции — отрезок [а; b], который является проекцией кривой на ось Ох. Чтобы найти значение функции у₀ = f (x₀) , соответствующую значению аргумента x₀, нужно через точку [а; b] провести перпендикуляр к оси Ох. Длина этого перпендикуляра от оси Ох к точке М₀ (x₀; у₀) пересечения с кривой, взятая с надлежащим знаком, и является значением функции в точке x₀, то есть у₀ = f (x₀). Кривая l₁ не задает функцию.

Табличный способ задания функции у = f (x) состоит в том, что соответствие между переменными х и у задается в виде таблицы.
Табличный способ достаточно часто используется при проведении экспериментов, когда задают определенную совокупность х₁, х₂, ..., х_n значений аргумента и опытным путем находят соответствующие значения функции:
у₁, у₂, ..., у_n .

Если функция задана аналитически, то для нее можно построить таблицу, то есть табулировать функцию. Табулируются, как правило, функции, которые выражаются сложной формулой, но часто встречаются в практике. Таковы, например, таблицы логарифмов, тригонометрические таблицы и т. д. И здесь, как и при графическом задании функции, возникает обратный вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к аналитическому, то есть можно ли функцию, заданную таблицей, задать формулой? Чтобы ответить на него, заметим, что таблица дает не все значения функции. Промежуточные ее значения, которые не входят в заданную таблицу, можно найти приближенно с помощью так называемой операции интерполяции функции. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее таблице невозможно. Однако можно построить формулу, причем не одну, которая для значений х_i, присутствующих в таблице, будет давать соответствующие значения у_i функции. Такие формулы называются интерполяционными.

В последнее время табличный способ широко применяется в связи с использованием электронно-вычислительных машин (ЭВМ), потому что исходную информацию ЭВМ выдает в виде числовых массивов (таблиц). В связи с этим все больше распространяется и становится одним из основных четвертый способ задания функции — с помощью компьютерных программ. Как правило, этим способом задаются такие функции, которые являются решениями сложных математических задач. Ни одним из предыдущих способов подобные функции задать нельзя.
Кроме рассмотренных существуют и другие способы задания функции. Так,
функцию можно задать словесным описанием зависимости между переменными.

Примеры:

1. Функцию у задано условием: каждому действительному числу х ставится в соответствие наибольшее целое число, не превышающее х (рис. 4.8). Эта функция, определенная на множестве действительных чисел, называется целой частью х и обозначается у = [х] или у = Е (х) (Е — первая буква французского слова entier — целый). Например, [0, 2] = 0, [–2, 5] = –3, [5] = 5 и т. д.
2. Каждому рациональному числу ставится в соответствие число 1, а иррациональному — число 0. Эта функция тоже определена на множестве R. Она обозначается через D (х) и называется функцией Дирихле: 

График функции D (x) практически изобразить нельзя, потому что он состоит из точек прямой у = 1, имеющих абсциссами рациональные числа, и из точек прямой у = 0, в которых абсциссы — иррациональные числа.

Классификация элементарных функций

Основными элементарными функциями называются следующие:

1. Степенная функция  Область определения и графики этой функции зависят от значения (рис. 4.9, а–е).
2. Показательная функция  (рис. 4. 10).
3. Логарифмическая функция (рис. 4.11).
4. Тригонометрические функции: у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х (рис. 4.12, а–г).
5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х (рис. 4.13, а-г).

Графики основных элементарных функций надо помнить. Преобразовывая их, можно получить графики многих других функций. Пусть график функции y = f (x) известен, рассмотрим некоторые преобразования этого графика.

1. График функции у = f (x) + b получим из графика функции у = f (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Оу на величину, равную b (рис. 4.14).
2. График функции у = f (х + а) получаем из графика функции у = f (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Ох на величину, равную а (рис. 4.15).
3. График функции у = cf (x),   (рис. 4.16) получаем из графика функции у = f(x) при 0 < с < 1 с помощью сжатия в раз ординат последнего, а при с > 1 с помощью растягивания в с раз его ординат с сохранением соответствующих абсцисс. Если < с < 0, то график у = cf (x) является зеркальным отражением графика у = –cf (x) относительно оси Ох (согласно случаев –1 < с < 0 и с < –1).

4. График функции    получаем из графика функции у = f (x) при О < k < 1 увеличением в    раз абсцисс его точек, а при 1 < k <   уменьшением в k раз абсцисс его точек с сохранением их ординат (рис. 4.17).
Если < k < 0, то график у = f (kx) является зеркальным отражением графика f (–kx) относительно оси Оу.

Введем арифметические операции над функциями. Пусть функция у = f (x) определена на множестве А, а   — на множестве В, причем сечение этих множеств . Тогда на множестве С  можно определить сумму функций . Значение суммы в точке х = Х₀  — это число, равное сумме . Аналогично можно определить разницу , произведение и частное   этих функций (последнее при условии, что ).

Над функциями выполняют и так называемую операцию суперпозиции, или
наложения. Пусть функция у = f (u) определена на множестве А, а функция u =  — на множестве В, причем для каждого значения  соответствующее значение  . Тогда на множестве В  определена функция , которую называют составленной функцией от х, или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции.
Переменную   функции у = f (u)  называют промежуточным аргументом, или внутренней функцией, а переменную у = f (u) — внешней функцией.
Например, функция   является суперпозицией двух основных
элементарных функций — степенной и тригонометрической: у = 
.  Составленные функции можно создавать с помощью суперпозиции не только двух, но и большего количества функций.
Например, функцию  можно рассматривать как суперпозицию
трех функций:

Основные элементарные функции, а также функции, образованные с помощью
формул, в которых над основными элементарными функциями производится только конечное число арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и суперпозиций, называются элементарными.
Так, функция   есть элементарная функция,
а функции

не являются элементарными. Неэлементарными являются также функции n!, sign х, Е (х), D (х).

Элементарные функции делятся на следующие классы:

1) Функция вида , где
 — действительные числа — коэффициенты (), называется целой рациональной функцией, или многочленом (полиномом)
степени n. Многочлен первой степени называется также линейной функцией, а второй — квадратичной.

2) Функция, являющаяся отношением двух многочленов 

называется дробной рациональной функцией, или рациональной дробью.
Совокупность многочленов и рациональных дробей образует класс рациональных функций.

3) Функция, образованная с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических операций над рациональными функциями и над степенными функциями с дробными показателями, и которая не является рациональной,
называется иррациональной функцией.
Например, функции  ;    — иррациональные.

4) Элементарная функция, которая не является рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции   и другие.

Ограниченные функции

Функцию f (x), определенную на множестве А, называют ограниченной на этом множестве, когда существует такое число М > 0, что для всех  выполняется
неравенство .  Таким образом, значения ограниченной функции не выходят за пределы отрезка [–М; М]. Поэтому ее график лежит между прямыми у= –М и у = М (рис. 4.18). Например, функции у = sin х   и   у = cos х ограничены на всей числовой оси, так как  .
Если для функций f (x) или ,  определенных на множестве А, существует
такое число N, выполняется неравенство   или  N, то функцию f(x) называют ограниченной сверху, а   — ограниченной снизу. Например, функция на интервале   ограничена снизу прямой у = 0, но не ограничена сверху; функция (рис. 4.19) ограничена сверху прямой у = 1, но не ограничена снизу; функция   — неограниченная.
Рассматривая ограниченность функции f (x), мы тем самым характеризуем
множество значений этой функции.

Монотонная функция

Пусть функция f (x) определена на множестве А. Если для двух произвольных различных значений х₁ и х₂ аргумента, взятых из множества А, из неравенства х₁ < х₂ следует, что:

• а) ,  то функция называется возрастающей;
• б) , то функция называется неубывающей;
• в) , то функция называется убывающей;
• г) , то функция называется невозрастающей.

Например, функция (рис. 4.10) является возрастающей при а > 1 и убывающей при 0 < а < 1 в интервале (;  ) функция у = –х² + 4х – 3 (рис. 4.19) является возрастающей на интервале ( ;  2) и убывающей на интервале (2; ) функция Е (х) (рис. 4.8) — неубывающая.
Растущие, невозрастающая, нисходящие и неубывающей функции на множестве
А называются монотонными на этом множестве, а растущие и нисходящие —строго монотонными.
Пусть функция не является монотонной во всей своей области определения, но эту область можно разбить на некоторое (конечное или бесконечное) число промежутков, которые не пересекаются, и на каждом из которых функция
монотонна. Такие промежутки называются промежутками монотонности
функции.
Так, функция у = х² не является монотонной на всей числовой оси, но имеет два промежутка монотонности: (; 0) и (0; );  на первом из них функция убывает, а на втором — растет.
Функции у = sin х и у = cos х имеют бесконечное количество промежутков
монотонности.

Четные и нечетные функции

Пусть функция f (x) определена на множестве А точек оси Ох, размещенных
симметрично относительно точки х = 0, то есть если , то и . 
Функцию f (x) называют четной, если f (—х) = f (x), , и нечетной, если f (–х) = –f (x),  .

Примеры:

1. Функция    не является четной и не является нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки х = 0: в точке х = 2 функция определена, а в точке х = –2 — не определена.

2. Функция   имеет область определения (; 0) U (0; ), симметричную относительно точки х = 0, но не является ни четной, ни нечетной, поскольку
 
.

3. Область определения функции   симметрична относительно точки , и эта функция четная, поскольку
.

4. Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х — нечетные, а у = cos х — четная.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной —относительно начала координат. Кроме того, если четная или нечетная функция имеет определенное свойство для положительных значений х, то можно определить соответствующее свойство для отрицательных значений х. Например, если для х > 0 парная функция возрастает, то для х < 0 эта функция убывает.

Периодические функции

Функция f (x), определенная на всей числовой прямой, называется периодической, если существует такое число Т, f (x + T) = f (х). Число Т называется периодом функции. Если Т — период функции, то ее периодами также являются числа kT, где k равняется  ± 1, 2, .... Наименьшим из положительных периодов функции, если такой существует, называется основным периодом функции. 
Мы определили периодическую функцию, заданную на всей числовой прямой.
Более общим является следующее определение.
Функция f (x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число ,  что  и 
.
Из определения следует, что для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить ее график на произвольном промежутке длины Т, а потом продолжить этот график на всю область определения, повторяя его через каждый промежуток длины Т.

Пpuмеры:

1. Основным периодом  функций у = sin х,  у = cos х есть число Т = .
2. Функции у = tg х  и  у = ctg х  имеют основной период Т = .
3. Периодом функции у = С (С — постоянная) является произвольное, отличное от нуля число; эта функция не имеет основного периода.
4. Найти период функции у = sin (ах + b),   .

Если эта функция периодическая, то существует такое число  , что
sin (ах + b) = sin (а (х + Т) + b),                  откуда:

Итак, основным периодом данной функции является число  .
Периодические функции играют важную роль для математического описания периодических явлений, наблюдаемых в природе. Характерной особенностью этих явлений является периодическое повторение их через определенные промежутки времени. Примерами могут быть движение маятника вокруг оси, движение небесных тел (планеты движутся по эллиптическим орбитам), работа
почти всех машин и механизмов связана с периодическим движением (движение поршней, шатунов и т. д.).

Неявно заданные функции

Если функция задана уравнением у = f (x), решенным относительно зависимой переменной у, говорится, что функция задана в явной форме или является явной.
Под неявным заданием функции понимают задания функции в виде уравнения F(x, y) = 0, не решенного относительно зависимой переменной.
Это уравнение задает функцию только тогда, когда множество упорядоченных
пар чисел (x, y), являющиеся решением данного уравнения, такое, что любому числу х₀ в этом множестве соответствует не более одной пары (х₀; у₀) с первым элементом х₀. Так, уравнение 2х + Зу — 1 = 0 задает функцию, а уравнение х² + y² = 4 не задает, потому что значению  соответствуют две пары чисел .
Произвольную явно заданную функцию у = f (x) можно записать как неявно
заданную уравнением f (x) – у = 0, но не наоборот. Например, функцию   явно записать нельзя, потому что это уравнение нельзя решить относительно у. Поэтому неявная форма записи функции более общая, чем очевидна. Неявно заданную функцию называют неявной.
Заметим, что термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют
не природу функции, а аналитический способ ее задания.

Обратные функции

Пусть задана функция у = f (x) с областью определения X и множеством значений Y. Функция f (x) каждому значению ставит в соответствие единственное значение (рис. 4.20). При этом может оказаться, что разным значениям аргумента х₁ и х₂ соответствует одно и то же значение функции у₁ (рис. 4.21).

Дополнительно требуем, чтобы функция f (x) различным значением х ставила в соответствие разные значения у. Тогда каждому значению  будет соответствовать единственно значение , то есть можно определить функцию  с областью определения Y  и множеством значений Х. Эта функция называется обратной функцией данной. Итак, функцией является обратной к функции у = f (х), если:

• 1) областью определения функции   является множество значений функции f;
• 2) множество значений функции   является областью определения функции f;
• 3) каждому значению переменной   соответствует единственное значение переменной .

Из этого следует, что каждая из двух функций у = f (х) и х = (у) может быть названа прямой или обратной, то есть эти функции взаимно обратные.
Чтобы найти функцию х = (у), обратную к функции y = f (x), достаточно решить уравнение f (x) = у  относительно переменной х (если это возможно). Поскольку каждая точка (х, у) кривой у = f (x) является одновременно точкой кривой х = (у), то графики взаимно обратных функций у = f (х) и х = (у) совпадают. Если же дополнительно потребовать, чтобы, как обычно, независимая переменная обозначалась через х, а зависимая — через у, то вместо функции х = (у) получим функцию у = (х). Это означает, что каждая точка М₁ (х₀; у₀) кривой у = f (x) станет точкой М₂ (у₀; х₀) кривой у = (х). Поскольку в системе координат Оху точки М₁ и М₂ симметричны относительно прямой у = х, то графики взаимно обратных функций у = f (х) и у = (x) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 4.22).

Из определения обратной функции следует, что функция у = (x), ,   имеет обратную тогда и только тогда, когда эта функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами Х и Y. Такое свойство имеют, в частности, растущие функции, поскольку для них , и нисходящие функции, так как для них  .  Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную функцию. При этом, если прямая функция строго возрастает (убывает), то обратная ей функция также строго возрастает (убывает). 

Отметим без доказательства, что когда функция у = f (x) возрастает (падает) и непрерывная на отрезке [а; b], то она имеет обратную функцию, которая растет (падает) и непрерывная на отрезке [f (а); f (b)] и ([f (b); f (а)])      [12].

Примеры:

1. Функция у = 2х – 1 имеет обратную функцию (рис. 4.23).

2. Функция у = х² на множестве  не имеет обратной, так как она не является монотонной; на множестве    она имеет обратную функцию  (рис. 4.24).

3. Функция    (рис. 4.10) имеет обратную функцию у =   (рис. 4.11).

4. Функция (рис. 4.12, а) не имеет обратной; функция у = sin х,
  имеет обратную функцию (рис. 4.13, а).

5. Функция у = cos х, (рис. 4.12, 6) имеет обратную функцию у = arccos х, ,   (рис. 4. 13, б).

6. Функция    (рис. 4.13, в) обратная функции у =
= (рис. 4.12, в).

7. Функция (рис. 4.13, г) обратная функции  ,
  (рис. 4.12, г).

Параметрически заданные функции

Пусть заданы две функции
                                                                (1)
одной независимой переменной t, определенные на одном и том же промежутке.
Если функциях строго монотонна, то согласно предыдущему пункту она имеет обратную функцию . Поэтому переменную у можно рассматривать как составную функцию от х: .
Задание функциональной зависимости между х и у в виде двух функций (1) называют параметрическим заданием функций. Вспомогательная переменная t при этом называется параметром. Всякая параметрически заданная функция (1) определяет на плоскости Оху некоторую кривую, однако не всякая параметрически заданная кривая определяет функцию.

Примеры:

1. Уравнение    определяют функцию, поскольку
переменная     строго монотонна. Заданные функции определяет полуокружность   размещенную в верхней полуплоскости, так как при  значение
2. Уравнения   определяют функцию, графиком которой является дуга астроиды, находящейся в первом координатном углу (рис. З.8).

Пределы

Предел — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.

Числовая последовательность

С понятием числовой последовательности мы встречались во время изучения
школьного курса алгебры и геометрии. В частности, числовыми последовательностями являются арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, последовательность периметров и площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность, последовательность площадей поверхностей и объемов правильных n-гранных призм, вписанных в цилиндр, и тому подобное.
Сформулируем определение числовой последовательности в общем виде: если каждому натуральному числу   по определенному правилу ставится в соответствие число x_n, то множество чисел называют числовой последовательностью (или коротко последовательностью) и обозначают символом {x_n}.
Отдельные числа х₁, х₂, ..., x_n, ... называют членами или элементами последовательности: х₁ — первый член последовательности, х₂ — второй и т. д.,
x_n — n-й, или общий член последовательности.
По определению последовательность содержит бесконечное количество членов,
причем любые два из них отличаются, по крайней мере, номерами. Итак, элементы x_n и x_m,  при ,  считаются разными, хотя как числа они могут быть равны между собой. Если все элементы последовательности {x_n} равны одному и тому же числу, то ее называют постоянной.
Геометрически последовательность изображается на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим
членам последовательности. Можно изображать последовательность точками
координатной плоскости Оху, откладывая на оси Ох номера членов последовательности, а на оси Оу — соответствующие члены.

Последовательность считается заданной, если указан способ нахождения ее общего члена. Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена.
Очевидно, что всякая функция у = у_n, заданная на множестве натуральных чисел N, определяет некоторую числовую последовательность {у_n} с общим
членом у_n = у_n.

Числовые последовательности можно задавать и так называемым рекуррентным (от латинского recurrens — обратный) способом. Суть его заключается в том, что задают несколько членов последовательности и указывают правило, по которому можно найти следующий ее член. 
Иногда числовые последовательности задают словесным описанием. Отметим,
что в общем случае задача написания формулы общего члена последовательности не решается, то есть нельзя утверждать, что для произвольной последовательности можно найти формулу ее общего члена.

Пример №87

Написать первые пять членов последовательности, заданной общим членом:
а) ;   б) .

Подставляя в формулу n-го члена последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5, получим:
а) ;
б). 

Пример №88

Записать первые пять членов последовательности {an.}, заданной рекуррентным соотношением ,  где n = 3, 4, ..., если а₁ = 1, а₂ = 2.
В соответствии с рекуррентной формулой, имеем:
 ,
следовательно,
.

Кстати:

Евклид доказал, что множество простых чисел
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...}
бесконечна, то есть простые числа образуют последовательность. Формула общего члена этой последовательности до сих пор не найдена, и даже неизвестно, существует ли такая формула.

Предел последовательности. Предел переменной величины. Объединение пределов

Пусть переменная x_n  пробегает значения последовательности {x_n}, то есть
дискретной переменной.
Число х₀ называется пределом последовательности {x_n}, если для произвольного
числа > 0 существует такой номер N = N (), что при всех n > N выполняется неравенство  .                                                                (2)

Если число х₀ является пределом последовательности {x_n}, то пишут
, или  
и говорят, что последовательность {x_n}, или переменная x_n имеет предел, который равен числу х₀ или стремится к х₀. Коротко определение предела можно
записать так:

Последовательность, имеющую предел х₀, называется сходящейся к х₀ (или
просто сходящейся). Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.
Рассмотрим геометрический смысл предела последовательности. Неравенство (2) равносильно неравенству
  или 
которые показывают, что элемент x_n находится в -окрестности точки х₀ (рис. 4.26). Поэтому определение предела геометрически можно сформулировать так: число х₀ называется пределом последовательности {x_n}, если для произвольной -окрестности точки х₀ существует такой номер N = N (), что все значения x_n, для которых n > N, попадают в эту окрестность. Вне этой окрестности может остаться разве что конечное число членов последовательности {x_n}.

Пример №89

Известно, что . Пусть = 0,01.
Сколько членов последовательности {x_n} лежит вне окрестности (2 – 0,01; 2 + 0,01) = (1,99;  2,01)?

Поскольку

то неравенство   выполняется при ,  откуда n > 10.
Итак, вне окрестности (1,99; 2,01) находятся только 10 членов данной последовательности.
Геометрически это означает, что все члены последовательности {x_n} при n > 10 находятся от точки 2 на расстоянии, меньшем 0,01. На рисунке это изобразить нельзя, потому что точки 1,99; 2,01 — концы окрестности, и бесконечное количество точек x_n, где n > 10, лежащие в этой окрестности, практически сливаются в одну точку. 

Пример №90

Доказать, что · .
Пусть  , тогда  .
Зададим произвольное число  > 0. Неравенство  выполняется, если
 , откуда  .  Обозначим через N наибольшее целое число,
которое не превышает  . Тогда при всех n > N имеем
.  Это означает, что  .

Пример №91

Доказать, что последовательность расходящаяся.
Заданная последовательность имеет вид
.
Она не имеет предела, потому что вне произвольной -окрестности (0 <  < 1) любой точки числовой оси содержится бесконечное количество членов данной последовательности.

Пример №92

Доказать, что последовательность, которая задана общим членом

не имеет предела.

Найдем несколько начальных членов последовательности и изобразим их схематично на числовой прямой (рис. 4.27). Для этой последовательности характерным является то, что при достаточно больших k значения x_2k с четными номерами сколь угодно мало отличаются от нуля, а значение x_2k+1 с нечетными номерами сколь угодно мало отличаются от единицы.
По определению, число х₀ будет пределом последовательности, если в любой -окрестности точки х₀ находится бесконечное, а за окрестностью — конечное множество ее членов. В данном случае в произвольной -окрестности (0 <  < 1) нуля содержится бесконечное множество членов последовательности с четными номерами, а за этой окрестностью находится бесконечное множество ее членов с нечетными номерами. Это значит, что число 0 не будет пределом заданной последовательности. Аналогично убеждаемся, что пределом не может быть и число 1. Итак, заданная последовательность расходящаяся. 

Пусть теперь переменная величина х приобретает все числовые значения некоторого конечного промежутка Х, то есть непрерывной переменной, и пусть точка или  .
Число х₀ называют пределом переменной х, если для произвольного числа
> 0 существует такое значение , начиная с которого для всех следующих
значений х выполняется неравенство и пишут
.
Геометрический смысл понятия предела переменной таков: число х₀ является пределом переменной х, если для произвольной -окрестности точки х₀ найдется такое значение , что все последующие значения переменной х попадают в эту окрестность.

Если сравнить определение предела последовательности и предела переменной,
то в определении предела последовательности говорится о номере n того члена последовательности {x_n}, начиная с которого выполняется неравенство
,  а в определении предела переменной х речь идет о
числовом значении переменной , то есть о том значении , начиная с которого все последующие значения переменной удовлетворяют неравенство .
Итак, пределом переменной величины х есть предел произвольной последовательности значений, приобретаемых этой переменной:
  или  ·

Как отмечалось, постоянную величину С можно рассматривать как переменную, все значение которой одинаковы: х = С
Предел постоянной величины равен этой постоянной, потому что
.
Из определения предела следует, что переменная не может иметь двух
пределов. Действительно, если бы обнаружилось, что   и  , то х  должно удовлетворять сразу двум неравенствам:
  и  
для сколь угодно малого , а это невозможно, если   (рис. 4.28).
Это свойство не надо понимать так, что всякая переменная обязательно имеет один предел. Примеры свидетельствуют, что это не так. Но если переменная имеет предел, то этот предел только один.

Бесконечно большие переменные величины

При определении предела х₀ переменной величины х считалось, что х изменяется на некотором конечном промежутке и х₀ — постоянное число.
Рассмотрим теперь переменную, которая приобретает все значения некоторого бесконечного промежутка Х.
Если для произвольного числа М > 0 существует такое значение , начиная с которого все последующие значения х удовлетворяют неравенство , то говорят, что переменная х  стремится к бесконечности, и пишут 
  или   .
Если переменная , то ее называют бесконечно большой переменной
величиной. Коротко определение бесконечно большой переменной величины
можно записать так:

Положительная и отрицательная бесконечно большие переменные величины соответственно определяются так:

Примеры:

1. Переменная {x_n} = n! = {1, 2, 6, 24, 120, ...} — бесконечно большая величина, которая стремится к плюс бесконечности:
2. Переменная {y_n} = {–n^З} = {–1, –8, –27, ...} является бесконечно большой величиной, направленной в минус бесконечность:
3. Переменная {z_n} = = {–1, 4, –9, ...} является бесконечно большой величиной, у которой неограниченно возрастает модуль, поэтому .
4. Переменная величина {t_n} = = {0, 2, 0, 4, 0, 6, ...} не является бесконечно большой величиной, так как для произвольного числа М не существует числа такого, чтобы при  выполнялось неравенство .

Обращаем внимание на то, что выражение «х стремится к бесконечности» может вызвать неправильное представление, будто х стремится к какому-то числу, в то время как на самом деле х никуда не идет, а только изменяется так, что перерастает в любое большое положительное число. То же нужно сказать в отношении выражений «пределом переменной х является бесконечность» и «бесконечно большая величина». Говоря о бесконечно большой величине, имеют в виду величину переменной, которая бесконечно растет, то есть суть бесконечно большой величины совсем не в ее величине или размерах, а в характере ее изменения.
Пользуясь определениями, можно показать, что сумма бесконечно большой величины и величины ограниченной есть величина бесконечно большая. Символически это записывают так: .
Суммой двух бесконечно больших величин одного знака является бесконечно большая величина: . 
В отличие от этого сумма двух бесконечно больших величин различных знаков не всегда будет бесконечно большой величиной, поэтому эта сумма называется неопределенностью вида .
Произведение двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно
большая: .
Произведение бесконечно большой величины на величину, большую по абсолютному значению некоторого положительного числа, также бесконечно большая величина.
Частное двух бесконечно больших величин не всегда бесконечно большая величина, поэтому дробное выражение, числитель и знаменатель которого бесконечно большие переменные величины, называют неопределенностью вида вида ·
Таким образом, с выражениями  и  нельзя обращаться, как с числами, потому что это не числа, а только символы, которые характеризуют определенную переменную величину.

Предел функции в точке

Допустим, что независимая переменная х имеет предел х₀. Рассмотрим
изменение функции у = f (x) при  .
Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х₀, кроме, возможно, самой точки х₀.
Число А называют пределом функции у = f (x) в точке х₀ (или при ), если для произвольной сходящейся к х₀  последовательности {x_n}, где  последовательность {f (x_n)} имеет предел, который равен числу А, и записывают:
                                                                                                      (3)
Итак, если для произвольных сходящихся к х₀ последовательностей {x_n}  существует один и тот же предел,  то этот  предел и будет пределом функции f (x) в точке х₀.
Если же для некоторой хотя бы одной последовательности , сходящейся к х₀, последовательность предела не имеет, то функция f (х) не имеет предела в точке х₀.
Аналогично, функция f (х) не имеет предела в точке х₀, если для двух разных, сходящихся к х₀, последовательностей и соответствующие последовательности   и  имеют разные пределы.
Функция f (x) может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что каждая переменная может иметь только один предел.

Примеры:

1. Функции f (x) = x  в любой точке х₀ числовой прямой имеет предел, равный х₀, потому что последовательности {х_n} и {f (х_n)} совпадают  .
2. Функция (рис. 4.29), определенная для всех , в точке х = 0 предела не имеет.

Действительно, возьмем две сходящиеся к 0 последовательности значений аргумента:

 .

Очевидно,   .
Найдем соответствующей последовательности значений функции:

откуда   Таким образом, для двух разных сходящихся к нулю последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют разные пределы. Это означает, что не существует.
Геометрический смысл предела функции: соотношение  А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х_0, соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от точки А. С этим связано второе определение предела. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х₀, кроме, возможно, самой точки х₀. Число А называется пределом функции в точке х₀, если для произвольного числа  > 0 существует число такое, что для всех которые удовлетворяют неравенство

выполняется неравенство

Это определение коротко можно записать так:

Геометрически это иллюстрируется следующим образом: число А является пределом функции f (x) при   если для произвольной  - окрестности точки А найдется -окрестность точки х₀ такая, что когда значение аргумента х взять из множества   то соответствующие значения функции f (x) будут лежать в -окрестности точки А (рис. 4.30).

Первое определение предела базируется на понятии предела последовательности, поэтому его называют определением на «языке последовательностей», или определением предела по Гейне. Второе определение называют определением «на языке », или определением предела по Коши.
Можно показать [22], что эти определения эквивалентны.

Пример №93

Доказать, что .

Пусть у = 3х + 2 и задано произвольное  > 0. Найдем такое, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству  ,  выполняется неравенство . Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы
   или   ,
отсюда  . Если теперь для произвольного  > 0 и найденного взять значения х, удовлетворяющие неравенству , то

В приведенных выше определениях предела    считалось,
что х стремится к  х₀  произвольным способом: оставаясь меньше х₀ (слева от х₀), большим х₀ (справа от х₀) или колеблясь вокруг х₀, то есть   приобретая значения то меньших, то больших чем х₀ (то слева, то справа от х₀), как амплитуда затухающих колебаний маятника. Однако случается, что способ приближения аргумента х  к х₀ существенно влияет на значение предела. Поэтому целесообразно ввести понятие односторонних пределов.
Пусть функция у = f (х) (рис. 4.31) определена в некоторой окрестности точки х₀. Число А называется пределом функции y = f (x) слева (или левым пределом) в точке х₀, если для любого числа  > 0 существует число   такое, что при    выполняется неравенство
 .
Число В называется пределом функции y = f (x) справа (или правым пределом) в точке х₀, если для любого числа  > 0 существует число   такое, что при  выполняется  неравенство
Левый и правый пределы (рис. 4.31) называют односторонними пределами и обозначают так:

Если х₀ = 0, то записывают 

Если функция y = f (x)  определена на промежутке  , то в точке а может иметь смысл только число f (а + 0), а в точке b — только число f (b – 0).
Условие f (х₀ + 0) = f (х₀ – 0) является необходимым и достаточным [10] для
существования предела у = f (x) в точке х₀:

                               (4)

Примеры:

1. Пусть f (x) = sign х (рис. 4.5), тогда
2. Если    (рис. 4.32), то  

Предел функции при  x > ∞ . Бесконечно большая функция

Предел функции при   Бесконечно большая функция:

Мы рассмотрели понятие предела функции в конечной точке х₀. Исследуя функции, определенные на бесконечных промежутках, часто приходится изучать поведение этих функций при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента х, то есть при . 
Пусть функция у = f (x) определена на промежутке . Число А называют пределом функции f (x) при и пишут 
 ,  если для произвольного числа > О существует такое число
М = М () > 0, при   выполняется неравенство  .
Коротко это определение можно записать так:

 

Геометрический смысл этого определения такой (рис. 4.33): для произвольного
числа  > 0 существует такое число М > 0, что при    или при   соответствующие значения функции f (x) попадают в -окрестность точки А, то есть соответствующие точки графика этой функции
лежат в полосе, ограниченной прямыми у = А + и  у = А – .
Зная содержание символов   и  ,  легко сформулировать
определение предела для случаев, когда  (рис. 4.34) и (рис. 4.35).
До сих пор рассматривались случаи, когда функция имела пределом некоторое
число. Рассмотрим теперь случай, когда пределом функции является бесконечность.
Функция у = f (x) при   называется бесконечно большой (имеет предел ), если она определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, возможно, самой точки х₀ и для произвольного числа М > 0 существует такое число  что для всех х, удовлетворяющих неравенству   выполняется неравенство . Обозначения:
или    при .  Геометрически это значит: каким бы большим ни было задано число М > 0, точки графика функции у = f (x), кроме, возможно, точки (х₀; f (х₀), лежат снаружи полосы, ограниченной прямыми у = М и у = –М, если значение х взяты из -окрестности точки х₀ (рис. 4.36).
Если f (x) стремится к бесконечности при и при этом приобретает
только положительные (рис. 4.37) или только отрицательные значения (рис. 4.38),
то

Функцию f (x), заданную на всей числовой прямой, при называют бесконечно большой и пишут ,  если для произвольного числа М > 0 можно найти такое число N = N (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенство  , выполняется  неравенство   (рис. 4.39).

В частности, функция f(x) является бесконечно большой при , если

Очевидно, всякая бесконечно большая функция в окрестности точки x₀ является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Однако если функция
f (x) имеет конечный предел А при , то эта функция ограничена
при .  Действительно, из определения (3) следует, что при 
, или
  откуда
а это и означает, что функция f (x) при ограничена. Когда
, то при    будет ограниченной также функция  ·
Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная функция имеет конечный предел.

Пример №94

Доказать, что 

Пусть   и задано произвольное число  > 0. Найдем число М () > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенство ,  выполняется неравенство  . Последнее неравенство будет выполняться, если
  или    или 
откуда .  Пусть ,  тогда

Пример №95

Доказать, что функция у = 2х² при является бесконечно большой функцией.

Возьмем произвольное число М > 0 и найдем такое число N = N (М), что для всех х, удовлетворяющих неравенство   выполняется неравенство .
Имеем:
 .
Пусть , тогда

Функция у = х³  стремится к   при  и к  при   (рис. 4.40):

Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси. Но при  она предела
не имеет.

Функция у = х sin х (рис. 4.41) при не ограничена,  но не является бесконечно большой, потому что она равна нулю при   Но это означает, что для произвольного числа М > 0 нельзя найти такое число N, чтобы  .

Бесконечно малые величины и их свойства

Бесконечно малой величиной называется переменная величина, предел
которой равен нулю.
В частности, функция (х) называется бесконечно малой величиной (или бесконечно малой функцией) при    или ,  если
или
Можно дать эквивалентное определение на «языке »: функция (х) называется бесконечно малой при (), если для произвольного
 > 0 существует число  > 0 (М > 0) такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенство (), выполняется неравенство .

Аналогичные определения бесконечно малой величины (х) при  + 0, – 0 и при : во всех этих случаях  .

Примеры:

1. Функция у = (х – 2)⁴ является бесконечно малой величиной при :   (рис. 4.42).
2. Функция является бесконечно малой величиной при : 0 (рис. 4.43).

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых величин:

1°. Для того чтобы число А было пределом функции f (x) при , необходимо и достаточно, чтобы разница f (х) – А была бесконечно малой величиной, то есть
  где .

Пусть , тогда

Это означает, что величина   является бесконечно малой.

Наоборот, пусть , где , тогда

2°. Если функция (х) — бесконечно малая величина при
(0), то функция является бесконечно большой величиной при ,
и наоборот, если функция — бесконечно большая величина при , то   является бесконечно малой величиной при  .

Пусть (х) при   является бесконечно малой величиной, тогда
,
то есть  функция является бесконечно большой при .
Аналогично доказывается обратное утверждение.

3°. Сумма конечного числа бесконечно малых величин является величиной
бесконечно малой.

Пусть (х) и (х) — бесконечно малые величины при . Это означает, что для произвольного числа  > 0 существуют числа > 0 и  > 0 такие, что для всех значений х из окрестности 0 <  < выполняется неравенство , а для значений х из из окрестности 0 <  <  справедливо неравенство  ·
В меньшей из этих окрестностей выполняются оба неравенства:

 .
Итак, в этой окружности
 ,
то есть сумма двух бесконечно малых функций является функцией бесконечно малой.
Аналогичное доказательство для произвольного конечного числа бесконечно
малых. 

4°. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую является величиной бесконечно малой.

Пусть функция f (x) ограничена при , (х) — бесконечно мала. Тогда для некоторого числа М > 0 существует такое число > 0, что для значений х из окрестности 0 <  < выполняется неравенство . Кроме того, для любого числа  > 0 существует такое число  > 0, что для всех значений х из окрестности 0 <  <  выполняется неравенство .  Для меньшей из этих окрестностей есть
 ,
а это значит, что произведение при является бесконечно малой
функцией.

5°. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, которая имеет отличный от нуля предел, является величиной бесконечно малой.

Доказательство этого свойства аналогично предыдущем.

Замечание. Частное от деления двух бесконечно малых величин в общем случае не является бесконечно малой величиной.
Величины (х) = х, (х) = 2х,  (х) = х² — бесконечно малые при , потому что
.
Имеем:

то есть предел отношения двух бесконечно малых величин может равняться какому-то числу, бесконечности или нулю. В связи с этим отношение двух бесконечно малых величин называют неопределенность вида . То же касается произведения бесконечно малой величины на бесконечно большую величину. Такое произведение называется неопределенностью вида .

Основные теоремы о пределах

В предыдущих примерах мы видели, что нахождение пределов функции на основе определения достаточно громоздкое. Действительно, при вычислении
предела  сначала надо взять какую-нибудь сходящуюся к х₀ последовательность {x_n} значений аргумента и определить последовательность соответствующих значений функции (f {x_n)}. Найдя число А =
= , еще надо убедиться, что тогда, когда  произвольным способом.
Приведем теоремы, которые значительно облегчают нахождение предела функции. Формулировка и доказательство этих теорем для случаев, когда
и  , аналогичны.

Теорема 1 (о пределе суммы, произведения и частного). Если каждая из функций f (х) и (x) имеет конечный предел в точке х₀, то в этой точке существуют также пределы функций   (последняя при условии, что ) и справедливы формулы

                                   (5)

                                                  (6)

                                                                       (7)

Пусть   тогда по свойству 1° (п. 3.6)
 где  при .
Отсюда имеем:
                                       (8)
               (9)
                                                   (10)

По свойствам и 3°–5° (п. 3.6) выражения в квадратных скобках являются величины бесконечно малые при , поэтому, применив к равенствам
(8), (9), (10) еще раз свойство 1° бесконечно малых, получим соответственно формулы (5), (6), (7).

Заметим, что доказанная теорема верна для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций, которые имеют предел в точке.

Следствия. Если существует, то выполняются равенства:

• 1)
• 2)  в частности,
• 3)

Пример №96

Вычислить

Используя теорему о пределе суммы и  следствия 1) – 3), имеем:

Пример №97

Вычислить
По теореме о пределе частного получим

Пример №98

Вычислить

Здесь теорему о пределе частного применить нельзя, так как  9) = 0. Кроме того,  то есть имеем неопределенность вида ·
Разложим числитель и знаменатель на множители:
х² – 5х + 6 = (х – 2) (х – 3),      х² – 9 = (х – 3) (х + 3).
Поскольку при нахождении границы функций в точке х = 3 рассматриваются значения ,  то данную дробь можно сократить на х – 3, поэтому
 .

Пример №99

Вычислить

Здесь   , поэтому теорему о пределе применить нельзя. Поскольку   при    и  (п. 3.6), то   как произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину, не являющуюся бесконечно малой.

Теорема 2 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точки x₀, кроме, возможно, самой точки x₀, определены функции  и   и выполняются неравенства
                                                              (11)
Тогда, если функции   и    имеют в точке x₀ один и тот же предел
                                                  (12)
то такой ​​же предел имеет функция f (x):

Из равенств (12) следует, что для произвольного числа  > 0 существуют две окрестности точки x₀ , в одной из которых выполняются неравенства
  а в другой — неравенства   
Из неравенств (11) находим, что 
поэтому в меньшей из окрестностей
выполняется неравенства   (рис. 4.44).
Отсюда    то есть   

                 

Теорема 3 (о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки x₀, кроме, возможно, самой точки x₀, выполняется неравенство   и  существует предел     то .

Предположим, что b < 0, тогда при    имеем , поэтому   то есть   А это противоречит условию теоремы. Следовательно, . 

Следствие.  Если в некоторой окрестности точки x₀, кроме, возможно, самой точки x₀, выполняется неравенство и существуют пределы
  то

Теорема 4 (о пределе монотонной функции). Если функция f (x) монотонна и ограничена при х < x₀ или при х > x₀ , то существует соответственно ее левый предел   или его правый предел 

Доказательство этой теоремы дано, например, в [29].

Пример №100

Доказать, что: а)     б)     в)

а) Обозначим через х радианную меру центрального угла окружности радиуса l (рис. 4.45). Если х > О, то ОА = l, АС = sin х,   = х,  0 < sin x < х. Поскольку 
   то из теоремы 2   следует, что .
Если х < 0, то   или   , поэтому  .
Итак,

б) Поскольку   или     и 0 ,
то   
в) Поскольку  , то  .

Вычисления пределов функций

Решение пределов является достаточно обширным, так как существуют десятки приемов решений пределов различных видов.

Первый важный предел

Докажем, что
                                                         (13)

Возьмем круг радиуса l (рис. 4.46) и обозначим радианную меру угла AOD через х,  .  Сравнивая площади треугольников AOD, BOD и кругового сектора AOD, получим:

откуда

или

Разделив последнее неравенства на  ,  получим
  или   
Поскольку   и    то по теореме 2 (п. 3.7)
                                                                             (14)
Пусть теперь х < О. Рассмотрим функцию (рис. 4.47). Поскольку f (x) = f (–х), то
             (15)

Из равенств (14) и (15) получим формулу (13), которая достаточно часто используется при вычислении пределов. Поэтому ее называют первым
важным пределом.

Пример №101

Найти
Сведем этот предел к первому важному пределу, поделив и умножив дробь на k:

Пример №102

Найти
Имеем

Пример №103

Найти
Имеем

Пример №104

Найти

Введем новую переменную , тогда    и
   

Число е. Натуральные логарифмы

Рассмотрим две числовые последовательности:

  и   .

Покажем, что они имеют такие свойства:

• 1) x_n < у_n , ;
• 2) переменная x_n строго возрастает;
• 3) переменная у_n строго убывает.

Действительно, поскольку

то свойство 1) справедливо.
Свойства 2) и 3) доказываются с помощью неравенства Коши:
    где

Применим это неравенство к числовому множеству, содержащему число 1, а также n чисел :
    где .  Получим

откуда и следует свойство 2).
Аналогично для доказательства утверждения 3) достаточно применить неравенство Коши к числовому множеству, содержащему 1 и n чисел  , где

Из свойств 1) – 3) имеем:

Итак, переменная x_n  возрастает и ограничена сверху. Поэтому по теореме 4
(п. 3.7) она имеет предел, который обозначают буквой е (это обозначение, как и обозначение числа , принадлежит Л. Эйлеру):

Переменная у_n  убывает и ограничена снизу, поэтому предел  также существует. Поскольку   то  

Таким образом,

причем

Доказано, что е — иррациональное число. Более того, Ш. Эрмит доказал, что е — трансцендентное число, то есть не является корнем никакого алгебраического
уравнения с целыми коэффициентами. Его приближенное значение с точностью до 10^-15 равно  +2,718281828459045.
Число е широко используется в математике и ее приложениях. В частности, показательная функция у = е^х по основанию е играет важную роль в теории механических колебаний, в электротехнике и радиотехнике. Эту функцию называют также экспоненциальной функцией, или экспонентой (от английского exponential — показательное), и обозначают так: у = ехр х.
Довольно часто приходится встречаться с логарифмами по основанию е. Как известно, функция у = log_a х определяется, если а > 0, . В частности, если а = 10, то у называется десятичным логарифмом числа х и обозначается lg х. Десятичные логарифмы были введены Г. Бриггсом. Если а = е, то у называется натуральным, или неперовым (в честь шотландского математика Дж. Непера — изобретателя логарифмов) логарифмом числа х и обозначается ln х.
В высшей математике применяют в основном натуральные логарифмы, поскольку для них, как увидим дальше, значительно упрощается ряд формул.
Найдем связь между десятичными и натуральными логарифмами. Пусть у = ln х, тогда х = е^у. Логарифмируя это равенство по основанию а, получим log_а х = у log_ае, откуда

Число М = log_ае называют модулем перехода от натуральных логарифмов
к логарифмам с основанием а. В частности, при а = 10 имеем:

Итак, связь между десятичными и натуральными логарифмами выражается
формулами

Графики функций у = lg х  и  у = ln х  изображены на рис. 4.48.

Второй важный предел

Докажем, что
                                                      (17)
Сначала покажем, что
                                                   (18)
Пусть   и    тогда поэтому справедливы
неравенства
.   (19)
Если ,  то  , поэтому по формуле (16) имеем

Применив к неравенству (19) теорему 2 (п. 3.7), получим формулу (18). Теперь докажем, что
                                                                (20)
Пусть х < 1. Введем переменную у = –х, тогда

Объединив случаи (18) и (20), получим формулу (17). Положив  , имеем
.                                                 (21)
Равенства и (17) и (21) называют вторым важным пределом и широко используют
при вычислении пределов. График функции у =показан на рис. 4.49.

Замечание. При вычислении пределов, связанных с числом е, часто применяют следующее утверждение: если существуют пределы   причем , то существует также предел , который вычисляется по формуле
 .                                         (22)

Пример №105

Найти 
Воспользуемся равенствами (17) (22). Имеем: 

Пример №106

Найти

Воспользовавшись равенствами (13), (21) и (22), получим

Пример №107

Найти 

Имеем

 

Пример №108

Найти  .
Получим

 .

Пример №109

Многие химические реакции и процессы проходят так, что в каждый момент времени t скорость образования некоторого вещества пропорциональна количеству этого вещества в заданный момент времени. Найти закон, по которому происходит образование вещества.

Пусть m₀ — количество вещества в момент времени t = 0 (то есть начальное количество вещества). Промежуток времени (0; t) разобьем на n мелких промежутков:

Если считать, что в течение каждого из этих малых промежутков времени скорость реакции постоянна, то количества вещества в моменты времени

соответственно равно

где k — заданный коэффициент пропорциональности. Но по условию задачи процесс образования вещества происходит непрерывно. Поэтому, чтобы найти точную формулу, надо допустить, что число мелких промежутков неограниченно растет, а их продолжительность стремится к нулю. Отсюда для количества вещества m в произвольный момент времени t получим формулу

Это и есть закон, по которому происходит образование вещества. Он встречается при исследовании таких процессов, как распад радия, размножение бактерий и тому подобное.

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью исследования их отношения. Пусть (х) и (х) — бесконечно малые функции при , то есть
 .

Введем следующие обозначения:

1) функции  (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка при , если

2} функция  (х) называется бесконечно малой высшего порядка, чем (х) при , если

3) функция  (х) называется бесконечно малой низшего порядка, чем (х) при , если

4) функция  (х) называется бесконечно малой k-го порядка относительно (х) при , если

5) бесконечно малые функции  (х) и (х) называются несравнимыми при , если в точке x₀ не существует предела их отношения.

Введенные определения охватывают все случаи, которые могут произойти
при сравнении двух бесконечно малых функций в окрестности точки x₀ . Точно такие же правила сравнения бесконечно малых при , ,  и при .
Аналогично сравниваются бесконечно большие величины.

Примеры:

1. Функции (х) = х, (х) = sin 5x бесконечно малые одного порядка при
 , потому что 
.
2. Функция (х) = х²  при  является бесконечно малой высшего порядка, чем функция (х) = tg х, потому что

Очевидно, функция (х) = tg х  при  является бесконечно малой низшего порядка, чем (х) = х².

3. Функция (х) = 1 – cos 4х при является бесконечно малой второго порядка относительно функции (х) = х, потому что

4. Бесконечно малые функции (х) = х и (х) = несравнимы при , потому что

не существует (см. п. 3.5).

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Функции (х) и (х), бесконечно малые при , называются эквивалентными бесконечно малыми, если

Эквивалентность обозначается так:

Рассмотрим некоторые свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема 1. Бесконечно малые (х) и (х) эквивалентны при тогда и только тогда, когда разница (х) – (х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из функций (х) и (х).

Пусть    при , то есть

тогда

Аналогично

Следовательно, разница (х) – (х)  при  является бесконечно малой высшего порядка, чем (х) и (х) .
Пусть теперь, наоборот, известно, что разница (х) – (х)  при  является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х) и чем (х),  то есть

 
Если 
то  откуда   то есть    при  .  Если  то  откуда  1, то есть    при  .

Teopeмa 2. Пусть       при .
Ели существует   , то существует и   , и эти пределы равны между собой.

Имеем:

Эта теорема позволяет при нахождении предела отношения двух заданных бесконечно малых функций каждую из них (или только одну) заменять другой бесконечной малой, эквивалентной заданной. Часто встречаются, например, такие эквивалентные бесконечно малые величины [12]:

Отметим, что эти эквивалентности достаточно просто получить с помощью
правила Лопиталя.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных
порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть    и  при  , причем (х) — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем (х)  при  , то есть , тогда 

следовательно .

Пример №110

Найти

Поскольку ,  при  , то по теореме 2 получим

Пример №111

Найти

,  поэтому .

Пример №112

Найти .

Поскольку    при   то

Пример №113

Найти  .

По теореме 3 имеем при  

поэтому  

Раскрытие некоторых неопределенностей

Как уже указывалось, в простейших случаях нахождения предела  сводится к подстановке в функцию f (x) предельного значение аргумента x₀. Но часто такая подстановка приводит к неопределенным выражениям. Это такие выражения:

1. отношение двух бесконечно больших величин — неопределенность вида ;
2. разность двух бесконечно больших величин — неопределенность вида;
3. произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую — неопределенность вида ;
4. отношение двух бесконечно малых величин — неопределенность вида ;
5. если   и   при , то выражение  — неопределенность вида ;
6. если   и   при , то выражение  — неопределенность вида  ;
7. если ,   при , то выражение — неопределенность вида (это не единица в определенной степени, а символ для сокращенного обозначения предела выражения f, где  , ).

Операцию нахождения предела в этих случаях называют раскрытием неопределенности.
Общий способ раскрытия неопределенностей, здесь рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Неопределенность вида задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти   .

Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х⁴:
 .
Примененный прием является общим: чтобы раскрыть неопределенность
вида  , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень х в этих многочленах.

2. Неопределенность вида задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти

Поскольку

то имеем неопределенность вида · Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители:
х³ + 2х² – х – 2 = (х – 1) (х² + 3 + 2);   х² + Зх – 4 = (х – l) (х + 4).
Имеем:

.

Это тоже общий прием. Сокращение на х – 1 здесь возможно, поэтому что при определении предела    значения  .
Множитель х – х₀, через который числитель и знаменатель стремятся к нулю, иногда называют критическим множителем.
Таким образом, чтобы раскрыть неопределенность , заданную отношением
двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь. Если при этом разложение на множители окажется затрудненным, то надо разделить числитель и знаменатель на критический множитель «в столбик».

Пример:

Найти

Имеем неопределенность вида . Поскольку эта неопределенность задается отношением двух многочленов, то числитель и знаменатель надо разделить на критический множитель х + 1. Имеем:

 .

3. Неопределенность вида    задана иррациональными выражениями.

Примеры:

1. Найти   .

Здесь неопределенность , х – 2  — критический множитель. Избавимся от иррациональности в числителе. Имеем:

 .

Иногда от иррациональности можно избавиться введением новой переменной.

Пример:

Найти:
а)  б)

а) Введем переменную у³ = 8 + х² . Если , то ,  поэтому
 .
б) Пусть у⁵ = х + 1, тогда
 .
Этот же результат получим из эквивалентности .

4. Неопределенности вида заданы иррациональными выражениями.

Пример:
Найти 
 

5. Неопределенности вида  заданы выражениями, содержащими тригонометрические функции,  чacто раскрываются с помощью первого важного предела.

Пример:
Найти

6. При раскрытии неопределенности вида используют второй важный предел.

Примеры:

Найти

а)   б) 

а) 

б) 

Непрерывность функции

С понятием предела тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции.
Рассмотрим графики функций f (x) и (x) (рис.4.50). Чем отличаются эти графики? Недвусмысленный и четкий ответ на этот вопрос дать не так просто. Можно сказать, что графиком функции f (x) является сплошная кривая (рис. 4.50, а), а функции (х) — не сплошная (рис. 4.50, б). График функции f (x) можно провести, не отрывая карандаш от бумаги, а функции (х) — нельзя; при постепенном изменении аргумента х значение функции f (x) также изменяется постепенно, а значение функции (х) — не постепенно, в точке х₀ происходит
скачок. Все эти ответы правильные, но недостаточно четкие для математических формулировок. Даже если бы какая-то из них нас удовлетворила, то как ответить на такой вопрос: «сплошной» или «разрывный» график функции, заданной, скажем, формулой? Построение графика «по точкам»
не поможет, потому что особую точку х₀ можно случайно пропустить (рис. 4.50, б).

Понятно, что характер графиков функций f (x) и (х) в точке х₀ разный. Говорят, что функция f (x) в точке х₀ непрерывная, а функция (х) в точке х₀ разрывная. Переходим к четким определениям.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f (x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки.
Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀ , если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть
                                                                          (23)
Если сравнить это определение с определением предела  ,  то при определении предела функции число х₀ могло и не принадлежать области определения функции, а если число х₀ принадлежало области определения, то значение функции f (х₀) в этой точке могло и не совпадать с пределом А.
Таким образом, функция f (x) будет непрерывной в точке х₀ тогда только тогда, когда выполняются следующие условия:

• 1) функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки;
• 2) существует предел
• 3) предел функции f (x) в точке х₀ и значение функции в этой точке х₀ совпадают, то есть выполняется равенство (23).

Поскольку    то формулу (23) можно записать в виде
                                                 (24)
Формула (24) выражает правило предельного перехода: при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f (x) вместо аргумента х  подставить значение . Геометрический смысл понятия непрерывности соответствует геометрическому смыслу предела (23): точки графика функции у = f (х) сколь угодно близкие к точке (х₀; f (х₀), если их абсциссы достаточно мало отличаются от числа х₀ (рис. 4.50, а).
«На языке » непрерывность иллюстрируется на рис. 4.30, где число
A = f (х₀).
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь
на понятие приращения аргумента и функции.
Пусть числа х₀ и х принадлежат области определения функции у = f (х). Разница х –х₀ называется приращением аргумента в точке х₀ и обозначается через  ("дельта х"):

Разница соответствующих значений функции f (х) – f (х₀) называется приращением функции в точке х₀ и обозначается через :

Очевидно, приращение  может быть положительным или отрицательным числом, приращение  — произвольное число. Запишем равенство (23) в новых обозначениях, для чего перенесем в ней значение f (х₀) в левую часть и внесем его под знак предела. Поскольку условия   и    одинаковы, то равенство (23) принимает вид
  или                           (25)

Равенство (25) и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.
Функция f (x), определенная в окрестности точки х₀, называется непрерывной
в точке х₀, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при .
Часто встречается понятие односторонней непрерывности. Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀ слева, если она определена на полуинтервале (х₀ – ; х₀], где  > 0 и  , если функция f (x) определена на полуинтервале  [х₀; х₀ + ) и  f (х₀), то функция называется непрерывной в точке х₀ справа.
Используя эти понятия и формулы (4), можно сказать, что функция f (x) будет непрерывной в точке х₀ тогда и только тогда, когда она определена в некоторой окрестности точки х₀ и
                                      (26)
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется
разрывной в точке х₀, а сама точка х₀ называется точкой разрыва функции.

Различают следующие виды разрывов. Если для функции f (x) существуют
конечные пределы

причем не все числа f (х₀), f (х₀ – 0), f (х₀ + 0) равны между собой, то разрыв в точке х₀ называют разрывом первого рода, точку х₀ — точкой разрыва первого рода. В частности, если

то разрыв в точке х₀ называют устранимым, а точку х₀ — точкой устранимого
разрыва. В этом случае достаточно доопределить функцию только в одной точке х₀, положив f (х₀) = f (х₀ ± 0), чтобы получить функцию, непрерывную в точке х₀.

Величину    называют скачком функции.
Если хотя бы один из односторонних пределов в формуле (26) не с�