Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здравствуйте, на данной странице я постаралась кратко и доступно изложить весь курс высшей математики который включает темы по линейной алгебре и аналитической геометрии, введению в математический анализ и дифференциальному исчислению функции одной переменной. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы решением большого числа примеров и задач по предмету высшая математика. Часть заданий и задач подобрана таким образом, чтобы Вы могли сами себя проконтролировать, овладев при этом необходимым пониманием решения задач по высшей математике. Если в ходе усвоения материала у Вас возникнут некоторые вопросы, Вы сможете задать их мне. Я искренне надеюсь, что данный курс лекций по высшей математике поможет Вам самостоятельно выполнить задания и задачи по высшей математике и хорошо сдать экзамен. Желаю Вам успехов!

Содержание:

Элементы линейной алгебры

Одной из основных задач линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. В связи с изучением этих систем возникли понятия определителя и матрицы.

Определители

В линейной алгебре определитель (или детерминант) — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице.

Определители второго и третьего порядков и их свойства

Выражение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                        Рис. 1.1

Элементы а11, а12 в определителе (1) и а11, а22, а33 в определителе (2) составляют главную диагональ определителя, а элементы a12, а21 и а13, а22а31 в тех же определителях — побочную диагональ.
Для вычисления определителя второго порядка нужно от произведения элементов, стоящих на главной диагонали, отнять произведение элементов, размещенных на побочной диагонали.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольников (рис. 1.1): первые три слагаемых в правой части формулы (2) являются произведениями элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, в которых одна сторона параллельна главной диагонали. Аналогично образуются слагаемые со знаком минус, где за основу берется побочная диагональ.
Заметим, что элементами определителя могут быть не только числа, но и алгебраические или тригонометрические выражения, функции и т.д.

Пример №1

Вычислить определители:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;   в)  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формулам (1) и (2) имеем:
а)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим (на примере определителей третьего порядка) основные свойства определителей.

1°. Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими
столбцами:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это свойство доказывается непосредственно проверкой: достаточно раскрыть
оба определителя по формуле (2). Свойство 1° устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства справедливы и для строк, и для столбцов. Доказываются они, как и свойство 1°, проверкой.

2°. Если переставить местами две строки (столбца), то определитель
поменяет знак. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3°. Если одна из строк (столбцов) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4°. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он равен нулю. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5°. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одной строки (столбца), можно вынести за знак определителя. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6°. Если в определителе элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n-й строки (n-го столбца) является суммой двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых n-я строчка (n-й столбец) состоит из первых слагаемых, а у второго — из вторых; другие элементы всех трех определителей одинаковые.
Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

8°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Например,

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пусть задан определитель третьего порядка
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (3)

Минором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элемента аij определителя называется определитель, который
образуется из данного определителя в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Например, для определителя (3) минорами элементов а23 и а32 являются такие определители:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор, взятый со знаком Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                            (4)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, если: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теперь сформулируем и докажем теоремы о разложении определителя по элементам строки (столбца).

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо
строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
 Покажем, что для определителя (3) выполняются следующие равенства:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (5)

Докажем, например, первое из них.
Раскрывая определитель (3) по формуле (2) и группируя слагаемые, содержащих элементы первой строки, имеемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (4) выражения, стоящие в скобках, соответственно равны алгебраическим дополнениям А11, А12, А13, поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично доказываются и другие равенства.

Запись определителя по любой из формул (5) называют разложением определителя по элементам соответствующей строки или столбца.

Пример №2

Вычислить определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  разложив его  по элементам третьей строки.
По третьей из формул (5) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Такой же результат дает формула (2).

Теорема 2. Сумма произведений элементов любой строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки
определителя (3) на алгебраические дополнения элементов второй строки:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятие об определителях высших порядков

Теорема 1 позволяет ввести определение определителя произвольного порядка. По определению определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Можно доказать, что все рассмотренные выше свойства определителей третьего
порядка выполняются для определителей любого порядка.
Рассмотрим, например, определитель четвертого порядка

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот определитель можно разложить по элементам любой строки, например первой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                 (6)

Поскольку все алгебраические дополнения Аij в формуле (6) являются определителями третьего порядка, то этой формулой можно пользоваться для вычисления определителя четвертого порядка. Но такой способ вычисления
громоздкий: если для нахождения определителя четвертого порядка надо вычислять четыре определителя третьего порядка, то для нахождения определителя пятого порядка уже придется вычислять двадцать определителей третьего порядка! Поэтому на практике сначала с помощью свойства 8° преобразовывают определитель так, чтобы в некоторой строке или столбце все элементы, кроме одного, стали нулями. Тогда раскладывая определитель согласно теореме по элементам этой строки, получим только одно слагаемое, потому что все остальные слагаемые являются произведениями алгебраических дополнений на ноль.

Пример №3

Вычислить определители:
1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;    2) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
1) В первой строке превратим все элементы, кроме первого, в нули. Для этого, оставляя первый и второй столбцы без изменений, к третьему добавим первый, а
к четвертому — первый, умноженный на (–2). Тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) В первом столбце превратим все элементы, кроме второго, в нули. Для этого, оставляя вторую строчку без изменений, к первой строке добавим вторую, умноженную на (–2), к третьей — первую, к четвертой — первую, умноженную на
(–2), а к пятой — четвертую, умноженную на (–2). Получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Разложим этот определитель по элементам первого столбца и вынесем за знак определителя общий множитель 2 из третьей строки и (–1) с четвертой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрицы

Основные определения:

Прямоугольная таблица чисел аij,  i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., n, состоящая из m строк и n столбцов и записанная в виде

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется матрицей. Понятие матрицы впервые ввели английские математики В. Гамильтон и Д. Келли. Коротко матрицу обозначают так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где аij — элементы матрицы, причем индекс i  в элементе аij  означает номер строки, а j — номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Произведение числа строк m на число столбцов n называют размером матрицы и обозначают m х n. Если хотят указать размер m х n матрицы А, то пишут Amxn.
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Количество строк (столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком. Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей-строкой, а матрица, у которой всего один столбец, матрицей-столбцом. Две матрицы Amxn = (аij) и Bmxn = (bij) называются равными, если они одинаковых размеров и имеют равные соответствующие элементы: аij = bij . Нулевой называется матрица,  у которой все
элементы равны нулю. Обозначается такая матрица буквой О. Как и в определителях (п. 1.1), в квадратных матрицах выделяют главную и побочную диагонали.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, в которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Любой квадратной матрице

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

можно поставить в соответствие определенное число, которое называется определителем (детерминантом) этой матрицы и обозначается символом det А. По определению
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Например, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то det А =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Прямоугольная матрица размером m х n Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определителя не имеет.

Действия над матрицами

1°. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера. Суммой С = А + В двух матриц Amxn = (аij) и Bmxn = (bij) называется матрица Cmxn = (cij) = (аij + bij). Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2 °. Произведением матрицы Amxn = (аij) на число k (или числа k на матрицу Amxn ) называется матрица Bmxn = (ij). Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3 °. Разница матриц АВ определяется как сумма матрицы А и матрицы В, умноженной на (–1):
AB = A + (–l) B.

Справедливы такие свойства операций:

  • а) А + В = В + Акоммутативность относительно сложения матриц;
  • б) А + (В + С) = (А + В) + Сассоциативность относительно сложения матриц;
  • в) А + O = А; АА = Oроль нулевой матрицы в действиях над матрицами такая, как и числа ноль в действиях над числами;
  • г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА) = (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) А — ассоциативность относительно умножения чисел;
  • д) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (А + В) = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВдистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц;
  • е) (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач+ Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) А = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачАдистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел.

4°. Операция умножения двух матриц вводится только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В.
Если это условие не выполняется, то есть матрицы несогласованные, то умножения таких матриц невозможно.
Из согласованности матрицы А с В не следует, вообще говоря, согласованность
матрицы В с А.
Квадратные матрицы одного порядка взаимно согласованы.

Произведением С = АВ матрицы Amxn =ij) на матрицу Bnxk (bij) называется такая матрица, в которой элемент сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 i = 1, 2, ..., mj = 1, 2, ..., k.
Это определение называют правилом умножения строки на столбец. Например,
чтобы определить элемент с24,  стоящий во второй строке и четвертом столбце матрицы С = АВ, нужно найти сумму произведений элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы четвертого столбца матрицы В.

Пример №4

Найти матрицу С = АВ, если:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Матрица А2х2 согласована с матрицей В2х3,  поэтому по определению имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из правила умножения матриц следует, что всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного порядка; в результате получим матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат; прямоугольную неквадратную матрицу возвести в квадрат нельзя.
Операция умножения матриц не коммутативная, то есть при умножении матриц нельзя менять местами множители:
AB Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ВА.
Например (проверьте):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для действий и 0°–4° над матрицами выполняются следующие свойства (при условии, что указанные операции имеют смысл):
а) (АВ) С = А (ВС);                          б) (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА) В = А (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВ) = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(АВ)
в) (А + В) С = АС + ВС;                  г) С (А + В) = СА + СВ;
д) А · 0 = 0 · А = 0;                  е) АЕ = ЕА = А;                   ж) det (АВ) = det А х det В.

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие
АА–1 = А–1 А = Е.
Квадратная матрица А называется вырожденной, если det А = 0, и невырожденной, если det А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0.

Теорема 3. Для существования обратной матрицы А–1 необходимо и достаточно,
чтобы матрица А была невырожденной.
Необходимость. Пусть обратная матрица А–1 существует, тогда АА–1 = Е.  Применяя правило нахождения определителя произведения двух матриц, имеем det А · det А–1 = 1, поэтому det А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0.
Достаточность. Пусть det А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, тогда матрица А имеет обратную А–1 матрицу, причем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,                                 (7)
где Аij — алгебраические дополнения элементов аij  определителя матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (8)
Действительно, произведения АА–1 и А–1 А матриц (7) и (8) равны матрице, у которой все элементы главной диагонали равны единице (по теореме 1), а все недиагональные элементы — нулю (по теореме 2). Итак,
АА–1 = А–1 А = Е.
Покажем, что А–1 — единственная обратная матрица. Пусть А"— еще одна обратная матрица, тогда
А–1 = А–1Е = А–1 (АА") = (А–1 А) А" = ЕА" = А"

Пример №5

Найти матрицу А–1, обратную к матрице
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вычислим определитель матрицы А:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Матрица А невырожденная, поэтому обратная матрица находится по формуле (7). Находим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составляем обратную матрицу:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Убеждаемся, что

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Ранг матрицы

Пусть задано матрицe Аmхn = А. Выделим в матрице А любые k строк и столько же столбцов, где — число, не большее чисел m и n, то есть k Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач min (m, n).

Определитель порядка k, состоящий из элементов, находящихся на пересечении
выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом r (А) матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Непосредственно из определения следует, что:

  1. Ранг существует для любой матрицы Amxn, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
  2. r (А) = 0 тогда и только тогда, когда А = В;
  3. для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Ранг матрицы можно найти так. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то r = 0. Если хоть один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то r = 1. В случае, когда есть минор второго порядка, отличный от нуля, исследуем миноры третьего порядка. Так продолжаем до тех пор, пока не произойдет одно из двух: или все миноры порядка k равны нулю, или миноров порядка k не существует, тогда r = k – 1.

Пример №6

Найти ранг матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Среди миноров первого порядка (то есть элементов матрицы) является отличным от нуля)
поэтому r (А) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1.
Поскольку один из миноров второго порядка
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
а все миноры третьего порядка равны нулю, то r (А) = 2.

Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобный, потому что связан с вычислением значительного числа определителей. Более простой метод основывается на том, что ран г матрицы не меняется, если над матрицей выполнить так называемые элементарные преобразования, а именно [1]:
а) переставить местами две строки (столбца);
б) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же отличный от нуля множитель;
в) добавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы второго
строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример №7

Найти ранг матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Выполняя элементарные преобразования, имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

r (А) = 3.
(Знак Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между матрицами показывает, что они образуются одна из другой элементарными преобразованиями и, следовательно, имеют один и тот же ранг).

Системы линейных уравнений

Основные определения:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, ... , хn  называется система вида
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                (9)

Числа аij,  i = 1, 2, ..., mj = 1, 2, ..., n  при неизвестных называются коэффициентами, а числа b — свободными членами системы (9).
Система уравнений (9) называется однородной, если все свободные члены равны нулю, и неоднородной, если хоть один из них отличный от нуля.
Множество чисел а1, а2, ... , an называется упорядоченным, если указан порядок следования этих чисел, то есть указано, какое из них является первым, какое вторым, какое третьим и т. д. Например, если упорядочена тройка чисел, то в записи а, b, с число а считается первым, b — вторым, с – третьим, а в записи b, а, с первым является число b, вторым — число а, и третьим — число с.

Упорядоченный набор n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется решением системы (9), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных х1, х2, ... , xn все уравнения системы превращаются в тождества. Такую систему чисел называют также n-мерным вектором, или точкой n-мерного пространства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, то есть существует только один набор n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который превращает все уравнения системы (9) в тождества.
Совместная система называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получают, в частности, в результате элементарных преобразований данной системы.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений соответствуют элементарным преобразованиям матрицы (п. 2.4) при условии, что они выполняются только над строками матрицы.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Пусть задано систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными х и у:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                         (10)
Выполним такие элементарные преобразования системы (10): сначала умножим первое уравнение на а22, второе — на –а12, а потом суммируем их; после этого первое уравнение умножим на а21, а второе — на –а11 и сложим их. Получим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (11)

Систему (11) можно записать с помощью определителей:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                      (12)

где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, составленный из коэффициентов системы (10), называется определителем системы. Определители Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуются из определителя  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответственно заменой столбцов при неизвестных  х  и у свободными членами.

При решении уравнений (12) могут быть следующие случаи:

1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда система (10) имеет единственное решение:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                  (13)

Формулы (13) впервые вывел К. Крамер и они называются формулами Крамера.
2)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда система (10) не имеет решений, то есть является несовместной.
3) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  тогда система (10) сводится к одному уравнению и имеет множество решений, то есть является неопределенной.
Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
х, у, z:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                         (14)

Вычислим определители:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если определитель системы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то система (14) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                 (15)
Докажем, например, вторую из формул (15). Умножим первое, второе и третье уравнения системы (14) на алгебраические дополнения соответствующих
коэффициентов при у, то есть на А11, А21, А32, а затем сложим их:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По теореме 2 выражения в скобках при х и z в этом равенстве равны нулю, а по теореме 1 выражение в скобках при у и правая часть равняются соответственно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Аналогично доказывают формулы Крамера для нахождения неизвестных х и z. Если задано n  линейных уравнений с n неизвестными (n > 3)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                        (16)
и определитель системыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то такая система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера, аналогичным формулам (13) и (15):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                             (17)
В случае, когда определитель системы (14) или (16) равен нулю, формулы Крамера (15) и (17) не имеют смысла. Такие системы, а также системы, у которых число неизвестных не равно числу уравнений и к которым, очевидно, формулы Крамера тоже нельзя применить, рассмотрим в п. 3.5.

Пример №8

Решить системы по формулам Крамера:

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач             б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находим определители Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формулам (13):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Решение получим по формулам (15). Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

х = 1, у = 2, z = 1.

Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения

Пусть задано систему (16), которая содержит n линейных уравнений с неизвестными.
Введем матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Матрицу А, составленную из коэффициентов системы (16), называют матрицей
или основной матрицей системы, матрицу Х— матрицей из неизвестных, а матрицу В  — матрицей из свободных членов. Тогда в соответствии с правилом
умножения матриц систему (16) можно записать одним матричным уравнением с неизвестной матрицей Х:
АХ = В                                                                            (18)
Предположим, что матрица А системы (16) имеет обратную матрицу А–1; умножим обе части равенства (18) на А–1 слева:  А–1АХ = А–1В.
Поскольку А–1А = Е и ЕХ = Х, то           

Х = А–1В.                                                                          (19)
Итак, чтобы решить систему уравнений (16), достаточно найти матрицу, обратную к матрице системы, и умножить ее справа на матрицу из свободных
членов.
Формулу (19) называют матричной записью решения системы (16) или решением матричного уравнения (18).
Заметим, что решение системы уравнений в матричной форме возможно только тогда, когда матрица системы невырожденная.

Пример №9

Решить систему уравнений

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем (см. пример п. 2.3)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

По формуле (19) находим:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Итак, х = –1, у = 2, z = 1.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Этот метод предложен К. Гауссом и основывается на элементарных
преобразованиях системы уравнений (п. 2.1).
Пусть имеем систему (9), которая содержит m уравнений и n неизвестных. Очевидно, среди коэффициентов аi1 хотя бы один отличный от нуля. Если же а11 = 0, то первым в системе (9) запишем то уравнение, в котором коэффициент при х1 отличен от нуля. Обозначим этот коэффициент через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Преобразуем систему (9), исключая х1 во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим первое уравнение на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и добавим ко второму, потом умножим первое уравнение на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и добавим к третьему и т. д. При этом может произойти так, что второе неизвестное х2 также не входит во все уравнения с номером > 1. Пусть xk — неизвестное с наименьшим номером, которое входит в любое уравнение, не считая первого. Получим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач       (20)

Применяя ко всем уравнениям, кроме первого, такую ​​же процедуру и выполнив ряд элементарных преобразований, получим систему:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     (21)

Если продолжить этот процесс, то получим систему:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                    (22)

Такую систему уравнений называют ступенчатой ​​или трапециеподобной.

Исследуем эту систему:

1. Если система содержит уравнения вида 0 = bt  и  bt Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, то она очевидно несовместна.

2. Пусть система (22) не содержит уравнений вида 0 = bt (bt Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0). Назовем неизвестные х1, хk, х1, ..., хs , с которых начинаются первое, второе, ..., г-е уравнение, основными, а все остальные, если они есть, свободными. Основных неизвестных по определению г. Давая свободным неизвестным произвольные значения и подставляя эти значения в уравнение системы,из г-го уравнения найдем хs. Подставляя это значение в первые г – 1 уравнений и, поднимаясь вверх по системе, найдем все основные неизвестные. Поскольку свободные неизвестные могут принимать любые значения, система имеет множество решений.

3. Пусть в системе (22) г = n. Тогда свободных неизвестных нет, то есть все неизвестные основные и система (22) имеет так называемый треугольный вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из последнего уравнения системы найдем хn, и, поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные. Итак, в этом случае система имеет единственное решение.

Замечание 1. Изложенный нами метод последовательного исключения переменных х называют еще методом Гаусса. Он состоит из однотипных операций и легко реализуется на современных ЭВМ.

Замечание 2. При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к треугольному или трапециевидному виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, образованную присоединением к матрице ее коэффициентов столбца свободных членов. Выполняя над строками расширенной матрицы элементарные преобразования, приходим к решению системы.

Пример №10

Решить системы уравнений методом Гаусса:

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач      б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Проведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы данной системы (обозначим это символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, система а) эквивалентна системе

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В последнем уравнении свободный член равен 2, а коэффициенты при неизвестных равны нулю (то есть 0=2), поэтому система несовместна.

б) Имеем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, система б) эквивалентна системе треугольного вида

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    и имеет единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

в) Имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Итак, система в)  эквивалентна системе трапециевидного вида

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        и имеет множество решений.

Из последней системе находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, решение системы имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   где t — произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Отметим, что ни одну  из приведенных в этом примере систем нельзя решить ни по формулам Крамера, ни матричных способом.

Однородная система линейных уравнений

Пусть задана однородная система m  линейных уравнений с n неизвестными.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                              (23)
Эта система всегда имеет нулевое решение х1 = 0, х2 = 0, ..., хn = 0, так что подстановка нулей вместо неизвестных в каждое из уравнений (23) превращает их в тождества. Ненулевые решения (если они существуют) системы (23) можно найти методом Гаусса.
Покажем, что для однородной системы трех уравнений с тремя неизвестными можно найти общие формулы, выражающие ненулевые решения через коэффициенты системы.
Рассмотрим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                         (24)
Если определитель системы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то система имеет единственное нулевое
решение. Действительно, определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (один столбец в
каждом определителе содержит только нули), поэтому по формулам Крамера
х = 0, у = 0, z = 0
Покажем, что когда определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то система (24) имеет множество
решений. Рассмотрим такие два случая.

1. Допустим, что в определителе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует по крайней мере один отличный
от нуля минор второго порядка
. Пусть, например, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем те уравнение системы (24), которые содержат отличный от нуля минор, и запишем их в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (26)
Поскольку определитель (25) системы (26) отличен от нуля, то по формулам Крамера
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                             (27)
Поскольку z может приобретать любых действительных значений, положим z =    = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где t — произвольное действительное число, тогда из формул (27)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                     (28)
Подставляя решение (28) в третье уравнение системы (24) и используя теорему 1, убеждаемся, что формулы (28) при любом t определяют решения однородной системы (24). 

2. Пусть теперь определитель системы (24) и все его миноры второго порядка равны нулю. Это значит, что коэффициенты всех трех уравнений (24) пропорциональны, поэтому система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными. Предоставляя двум неизвестным произвольные значения, находят соответствующее им третье неизвестное.
Итак, если определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач однородной системы (24) равен нулю, то такая система имеет множество решений.

Пример №11

Решить системы уравнений:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;        6) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Определитель системы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому система а) имеет единственное решение х = 0, у = 0, z = 0.
б) Определитель системы

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому система б) не определена. Все миноры второго порядка, содержащиеся в первой и второй строках определителя, равны нулю. Возьмем второе и третье уравнения системы:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Эти уравнения содержат отличный от нуля минор второго порядка
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому по формулам (28) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, система б) имеет множество решений: x = –t, у = 5t, z = 3t, где —произвольное действительное число. 

Критерий совместимости системы линейных уравнений

Пусть задано систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                    (29)
Составим основную матрицу А и расширенную матрицу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач данной системы:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании решения системы (29) дает теорема Кронекера - Капелли. Приводим ее без доказательства.

Теорема 4. Для того чтобы система линейных уравнений была совместимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы равнялся рангу
расширенной матрицы.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений
[1, 9].

Пример №12

Исследовать на совместимость систему уравнений

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку ранг основной матрицы r (А) = 2, а ранг расширенной матрицы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач =
= 3 (проверьте), то заданная система уравнений несовместима.

Элементы векторной алгебры

Векторная алгебра — раздел математики, в котором изучаются действия над векторами. Векторная алгебра возникла и совершенствовалась в связи с потребностями механики и физики. До 19 в. величины, встречавшиеся в механике и физике, задавали числом или несколькими действительными числами. Последующее развитие физики показало, что некоторые из физических величин гораздо целесообразнее характеризовать не только числом, но и направлением, то есть вектором.
Впервые векторы применил К. Вессель в 1799 г. для интерпретации комплексных чисел. Однако настоящее развитие векторной алгебры началось только в середине 19 в. и привело к созданию новой математической дисциплины — векторного анализа.
Аппарат векторного вычисления эффективно используется во многих общенаучных и инженерных дисциплинах (электро- и гидродинамике, теоретической и технической механике, теории механизмов и машин).

Векторы и линейные действия с ними

Вектор – это направленный отрезок прямой для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число.

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются своим числовым значением (объем, масса, плотность, температура и т. п.); они называются скалярными. Но есть и такие величины, которые кроме числового значения имеют еще и направление (скорость, сила, напряженность магнитного поля и
тому подобное). Такие величины называются векторными.
Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный
отрезок
, или вектор, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. (Термин «вектор» (от лат. vector — переносчик) ввел в 1848 г. Гамильтон.) Первую точку А называют началом вектора, а вторую В — концом вектора. Направлением вектора считают направление от его начала к концу.
Вектор, начало которого находится в точке А, а конец — в точке В, обозначается символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Направление вектора на рисунке показывают стрелкой (рис. 2.1). Расстояние между началом вектора  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его концом называется длиной (или модулем) вектора и обозначаются  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается ортом вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Вектор, начало которого совпадает с концом, называется нулевым и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; направление нулевого вектора не определено, а его длина равна нулю.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются равными ( Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач =  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.
В определении равенства векторов не предусмотрено какое-то определенное размещение их, потому,  не нарушая равенства, векторы можно переносить
параллельно самим себе. В связи с этим векторы в аналитической геометрии
называются свободными. Иногда свобода перемещения вектора ограничивается.
В механике, например, рассматриваются скользящие и связанные векторы. Примером скользящего вектора является вектор угловой скорости при вращении тела, потому что он может размещаться только на оси вращения. Примером связанного вектора является сила, приложенная к какой-то точке упругого тела, поскольку результат действия силы зависит от точки приложения.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В частности, векторы компланарны, если два из них или все три коллинеарны. Три вектора считаются компланарными также в том случае, когда хотя бы один из них нулевой.

Линейные действия с векторами

К линейных действий с векторами принадлежат добавления и отнимание векторов, умножение вектора на число.

1. Сложение векторов. Сумма  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  двух векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по определению

есть вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленный из начала вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в конец вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , при условии, что начало вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с концом вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.2).
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2.3).
Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Направленный отрезок, идущий из начала первого вектора в конец последнего и будет суммой данных векторов (рис. 2.4).

2. Отнимание векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разницей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который, будучи добавлен к векторуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, дает вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.5).
Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, их длины одинаковы, а направления противоположны. Вектор, противоположный вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда разницу  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно толковать еще и так (рис. 2.6): вычесть из вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, это все равно, что к вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач добавить вектор, противоположный вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Умножение вектора на число. Пусть заданы вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Произведением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется вектор, длина которого равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а направление совпадает с направлением вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и противоположное ему, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрическое содержание операции умножения вектора на число таково: умножения вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно понимать как «растяжение» вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и «сжатие» при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит еще и изменение направления. На рис. С. 2. 7 показаны векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Из определения умножения вектора на число следует, что если векторы коллинеарны, то существует единственное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; и, наоборот, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны.

Линейные операции над векторами имеют следующие свойства:

  1. Коммутативность относительно сложения векторов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Ассоциативность относительно сложения векторов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Ассоциативность относительно умножения чисел: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Дистрибутивность относительно сложения чисел:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  5. Дистрибутивность относительно сложения векторов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, например, свойство 5°: пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  неколлинеарные векторы и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Построим (рис. 2.8) векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИз подобия треугольников ОАВ и ОА1В1  следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Случай Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматривается аналогично.
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  коллинеарны и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, используя свойства 3° и 4°, имеем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Рассмотренные свойства имеют большое значение в векторной алгебре, потому что они дают право делать преобразования в линейных операциях с векторами
так же, как в обычной алгебре: векторные слагаемые можно переставлять местами и соединять их в группы, вводить скобки, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Разложение вектора по базису

Применяя линейные операции над векторами, можно находить суммы произведений чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где i = 1, 2, ..., n, на векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов, а числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, входящих в линейную комбинацию, — ее коэффициентами.
Базисом на прямой называется произвольный ненулевой вектор на этой прямой.
Базисом на плоскости называется произвольная упорядоченная пара неколлинеарных векторов, а базисом в пространстве — произвольная упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Векторы, составляющие базис, называются базисными. Разложить вектор по базису означает изобразить
его в виде линейной комбинации базисных векторов.

Если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  составляют базис и вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложен по этому базису, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называются координатами вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ​​данном базисе, а векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — компонентами или составляющими вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Говорят также, что вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  линейно выражается через векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или является их линейной комбинацией.

Теорема 1. Каждый вектор, параллельный какой-нибудь прямой, можно
разложить по базису на этой прямой.
Каждый вектор, параллельный какой-нибудь плоскости, можно разложить
по базису на этой плоскости.
Каждый вектор можно разложить по базису в пространстве.
Координаты вектора в каждом случаи определяются однозначно.

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы [4], рассмотрим ее геометрический смысл.
Первое утверждение теоремы означает, что для произвольного вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  коллинеарного ненулевому вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; (рис. 2.9, а), найдется такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Очевидно, что  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаково направлены, и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если эти векторы противоположно направлены. 
Второе утверждение означает, что для каждого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, компланарного с двумя неколлинеарными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.9, б), найдутся такие числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Чтобы указать компоненты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно разложить вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на сумму векторов, коллинеарных векторам  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (вспомните разложение силы в
физике на две составляющие).
Третье утверждение теоремы означает, что для каждого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и некомпланарных векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдутся такие числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Составляющие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач показаны на рис. 2.9, в.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Таким образом, базис в пространстве позволяет каждому вектору однозначно
сопоставить упорядоченную тройку чисел (координат этого вектора) и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью базиса можно сопоставить единственный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— векторы базиса, то есть выбранный базис позволяет установить взаимно однозначное соответствие между векторами и упорядоченными тройками чисел.

Пример №13

Пусть ABCD — параллелограмм. М и N — середины его сторон (рис. 2.10). Разложить вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Из треугольников AND и АМВ  имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если из первого равенства найти вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставить его значение во второе, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, если базисными векторами являются векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то координатами вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом базисе являются числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Проекция вектора на ось

Осью называется направлена ​​прямая. Направление прямой обозначают стрелкой. Заданное на оси направление считают положительным, а противоположное — отрицательным. 
Проекцией точки А на ось u называется основание А1 перпендикуляра АА1, опущенного из точки А на эту ось. Таким образом, проекция Аявляется точкой пересечения оси u с плоскостью, проходящей через точку А, перпендикулярно оси u.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в пространстве заданы ось u и вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. обозначим через А1 и B1 проекции на ось u соответственно начала А и конца В вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.11).
Проекцией вектора  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось u называют положительное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ось u  одинаково направлены, и отрицательное число –Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ось u  противоположно направлены. Проекцию вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось обозначают так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ЕслиВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то считают, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  между вектором  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и осью u (или между двумя векторами) называется
меньший из углов, на который нужно повернуть один вектор или ось,  чтобы он совпадал по направлению со вторым вектором или осью: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В некоторых случаях мы будем указывать, от которого вектора и в каком направлении угол отсчитывается.

Справедливы такие свойства проекций.

1°. Проекция вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось u  равняется произведению длины вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на косинус угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между вектором и осью, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.12), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2. 13), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
ЕслиВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то формула (1) справедлива, поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2°. Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось, то есть

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.14). Имеем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3°. При умножении вектора  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его проекция также умножится на это число:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по формуле (1)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим
линейным операциям над проекциями этих векторов.

Системы координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Декартова система координат

Рассмотрим в пространстве точку О и некоторый базис, задаваемый векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.15).
Совокупность точки и базиса называется декартовой системой координат в пространстве в честь французского математика Р. Декарта. Точка О называется началом координат, а оси, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая из них проходит в направлении вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и называется осью абсцисс, вторая ось, проходящая в направлении вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , — осью ординат и третья — в направлении вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — осью аппликат.
Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными
плоскостями
.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Любой точке пространства можно сопоставить вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  начало которого совпадает с началом координат О, а конец — с точкой М. Такой вектор называется радиусом-вектором точки М относительно точки О. Согласно теореме 1 существуют такие действительные числа х1, х2, х3, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                          (4)
 Координаты х1, х2, х3 радиуса-вектора точки М относительно начала координат называют декартовымu координатами точки М в данной системе координат и пишут: М (х1; х2; х3). Координата хназывается абсциссой точки М, координата х2ординатой и координата х3аппликатой точки М.
Аналогично определяются декартовы координаты точки на плоскости и на прямой. Разница лишь в том, что точка на плоскости имеет две координаты, а точка на прямой — одну. Таким образом, если в пространстве выбрана декартова система координат, то каждой точке пространства соответствует одна упорядоченная тройка действительных чисел — декартовы координаты этой точки. И наоборот, для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка пространства, для которой эти числа являются декартовыми координатами.
Это означает, что выбранная тем или иным способом декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел.
Система координат на плоскости устанавливает такое ​​же соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел, а на прямой — между точками прямой и действительными числами.

Прямоугольная система координат

Очевидно, декартовых систем координат можно задать сколько угодно. Среди них широко используется прямоугольная декартова система координат. Чтобы определить эту систему, введем такие понятия.
Упорядоченная тройка единичных попарно ортогональных векторов называется ортонормированным базисом. Обозначают ортонормированный базис через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Упорядоченная тройка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некомпланарных векторов называется
правой (рис. 2.16, а), если с конца третьего вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратчайший поворот от первого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до второго вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач видно против часовой стрелки; в  противоположном случае тройка векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется левой (рис. 2.16, б).
Прямоугольной декартовой системой координат (или просто прямоугольной
системой координат
) называется декартова система координат, базис которой ортонормированный. Прямоугольная система координат называется правой (левой), если ее ортогональный базис образует правую (левую) тройку векторов. В дальнейшем будем пользоваться правой системой координат, определяется правым ортонормированным базисом: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Прямоугольную систему координат обозначают (рис. 2.17) через Oxyz (Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат), а координатные плоскости — через Оху, Oyz, Ozx. Они делят пространство на восемь октантов. При изображении системы координат, как правило, показывают только оси координат; векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не указывают.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и произвольная точка М (рис. 2.17). Радиус-вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  этой точки по формуле (4) записывают в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                             (5)
Координаты х, у, z радиуса-вектора точки М называются координатами точки М. Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х; у; z).
Из ортогональности базисных векторов системы Oxyz следует, что координаты точки М равны соответствующим проекциям (п. 1.4) радиуса-вектора этой точки на оси координат, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           (6)
и определяются проектированием точки М на координатные оси (рис. 2.18).

Прямоугольные координаты точки на плоскости и на прямой определяются
таким же способом, как и в пространстве.
Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается точкой О — началом координат и двумя взаимно перпендикулярными единичными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — базисом системы координат; система координат на прямой задается точкой О и единичным вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Понятно, что точка М (х; у) на плоскости имеет только две координаты (абсциссу и ординату), а точка М(x) на прямой — одну.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №14

1. На координатной прямой Ох построить точки: А1(3), А2(–2).
2. В прямоугольной системе координат Оху построить точки В1(1; 2), В2(2; –3), В3(–3; 0).
3. В прямоугольной системе координат Oxyz построить точки С1(1; 2; 3), С2(3; –2; 3), С3(–1; –3; –5).
Построение точек nоказано на рис. 2.19, а-в.

Полярная система координат

Декартова система координат – не единственный способ определять с помощью
цифр место нахождения точки на плоскости. Для этой цели используют много других координатных систем.
Важнейшей после прямоугольной системы координат является полярная
система координат
. Она задается точкой О, которая называется полюсом, и лучом Ор, который выходит из полюса и называется полярной осью. Задаются также единицы масштаба: линейная — для измерения длин отрезков и угловая — для измерения углов.
Рассмотрим полярную систему координат и возьмем на плоскости произвольную точку М (рис. 2.20). Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки О до точки М  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы совместить ее с вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Полярными координатами точки М называются числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  При этом число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считается первой координатой и называется полярным радиусом, а число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — второй координатой и называется полярным углом. Точка М с полярными координатами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначается так: М (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Очевидно, полярный радиус может принимать произвольные неотрицательные значения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, полярный угол будем считать таким, что изменяется в пределах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Иногда рассматривают углы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, больше чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а также отрицательные углы, то есть такие, которые откладываются от полярной оси по часовой стрелке.
Выразим декартовы координаты точки М через полярные.
Будем считать, что начало прямоугольной системы совпадает с полюсом, а ось Ох — с полярной осью Ор. Если точка М (рис. 2.21) имеет декартовы координаты х и у и полярные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                          (7)

  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что вторая из формул (8) дает два значения угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку он меняется от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из этих двух значений угла надо взять то, для которого удовлетворяются формулы (7). Формулы (7) называют формулами перехода от полярных координат к декартовым, а формулы (8) — формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример №15

Построить точки с полярными координатами: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Данные точки показаны на рис. 2.22.

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

При решении задач иногда надо переходить от одной прямоугольной системы к другой. Выполняется такой переход с помощью формул преобразования координат.
Рассмотрим преобразования координат на плоскости.

  1. 1°. Параллельный перенос осей. Возьмем две прямоугольные декартовы системы координат Оху и О1ХУ с разными началами координат и одинаково направленными осями.

Пусть точки О1 и М в системе Оху (рис. 2.23) имеют соответственно координаты
(a; b) и (х; у), тогда координаты точки М в системе О1ХУ  удовлетворяют равенству
Х = х а, Y = y – b.                                                                 (9)
Формулы (9) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей. Они выражают координаты точек в системе О1ХУ через координаты точек в системе Оху .

2°. Поворот осей координат. Пусть на плоскости заданы две прямоугольные
системы координат Оху и ОХУ, имеющих общее начало координат, причем система ОХУ образована из системы Оху поворотом осей на положительный угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис . 2.24).
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем формулы, выражающие координаты (х; у) точки М в системе Оху через координаты (Х; У) этой точки в системе ОХУ. Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и ОХ, тогда по формулам (7) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                       (10)
Формулы (10) называются формулами преобразования координат при
повороте осей
.

Пример №16

В системе Оху точка М имеет координаты (2; 4). Найти ее координаты в системе
ОХУ, которая образуется из системы Oху поворотом на угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По формулам (10) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Такой же результат можно получить геометрически, построив точку М и системы координат Оху и ОХУ.

Цилиндрическая и сферическая системы координат

В пространстве кроме прямоугольной системы координат часто используются цилиндрическая и сферическая системы координат.

1°. Цилиндрическая система координат. Если в прямоугольной системе координат Oxyz вместо первых двух координат х, у взять полярные координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а третью координату z оставить без изменения, то получим цилиндрическую систему координат (рис. 2.25). Координаты точки М пространства в этой системе записываются в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Зависимости между прямоугольными координатам точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее цилиндрическими координатами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытекают из формулы (7): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                           (11)

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, если  прямоугольная и цилиндрическая системы координат размещены так,  как на рис. 2.25, то связь между прямоугольными и цилиндрическими координатами выражается формулами (11).

2°. Сферическая система координат. В системе Oxyz возьмем точку М и через эту точку и ось Oz проведем плоскость (рис. 2.26). Пусть r — расстояние от начала координат до точки М; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — двугранный угол между плоскостями Ozx и zOM; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между осью Oz и лучом ОМ. Упорядоченная тройка чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач однозначно определяет положение точки М в пространстве. Эти числа называются сферическими координатами точки М.
Найдем зависимость между прямоугольными и сферическими координатами
точки М. Из прямоугольных треугольников ONM и OPN имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                 (12)
где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, если прямоугольная и сферическая системы координат размещены так, как на рис. 2.26, то связь между прямоугольными и сферическими координатами выражается формулами (12).

Понятие о n-мерном пространстве

Как уже указывалось в п. 2.1, между геометрическими векторами и их
координатами в фиксированном базисе существует взаимно однозначное соответствие. При этом каждому вектору пространства сопоставляется упорядоченная тройка чисел, каждому вектору, принадлежащему некоторой плоскости,  — упорядоченная пара чисел, а каждому вектору, принадлежащему
некоторой прямой, — действительное число, и наоборот.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Упорядоченную тройку чисел называют трехмерным вектором, а множество всех трехмерных векторов называют трехмерным пространством и обозначают через R3.

Упорядоченные пары чисел называют двумерными векторами, а числа —одномерными. Множества двумерных и одномерных векторов называют соответственно двумерными и одномерными пространствами и обозначают через R2 и R1.

Обобщая пространства R1, R2, R3, приходим к n-мерному пространству Rn, где —произвольное натуральное число.

Упорядоченное множество n действительных чисел х1, х2, ..., хn называется
n-мерным вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (х1; х2; ...; хn).
Множество всех n-мерных векторов называется n-мерным пространством и обозначается через Rn. Если произвольный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (х1; х2; ...; хn) пространства Rn рассматривать как радиус-вектор соответствующей точки М относительно начала выбранной системы координат, то координаты точки М
определяются как координаты этого радиуса-вектора. В связи с этим
n-мерное пространство Rn можно толковать также как множество упорядоченных совокупностей  n действительных чисел.

Пространства R1, R2, Rз являются частными случаями пространства Rn. Их можно
изобразить геометрически; для n > 3 пространства Rn геометрически уже представить нельзя, однако они играют важную роль в науке и технике.

Примеры:

  1. В системе (9) линейных уравнений  каждое уравнение можно рассматривать как (n + 1)-мерный вектор, потому что оно определяется упорядоченной совокупностью (n + 1) чисел. Так, первое уравнения определяется вектором   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Решение системы уравнений с n неизвестными является n-мерным вектором.
  3. Каждая строка матрицы А  является n-мерным вектором, а каждый столбец — m-мерным. Строки называют горизонтальными, а столбцы —вертикальными векторами матрицы. Итак, произвольное матрицу можно рассматривать как некоторую упорядоченную совокупность ее вертикальных или горизонтальных векторов.

Линейная зависимость векторов

Рассмотрим систему из m n-мерных векторов
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                              (13)
По определению векторы (13) называются линейно зависимыми, если равенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач              (14)
возможно при условии, что хотя бы одно из чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где i = 1, 2, ..., m.
Если же равенство (14) возможно только при условии, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то векторы (13) называются линейно независимыми.

Для выяснения вопрос о линейной зависимости векторов (13) каждый из заданных векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и ноль-вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (0; 0; ..., 0) запишем как матрицу-столбец, тогда векторное равенство (14) можно записать в матричной форме:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
или

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                (15)
Имеем линейную однородную систему уравнений относительно неизвестных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Если система (15) имеет только нулевое решение, то векторы
(13) будут линейно независимыми. Если же кроме нулевого система (15) имеет еще и ненулевые решения, то векторы (13) линейно зависимы.
Приводим без доказательства следующие свойства понятия линейной зависимости [1, 4]:
 

  1. если среди векторов (13) есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы;
  2. если векторы (13) линейно зависимы, то после добавления к ним одного или нескольких новых векторов получим линейно зависимую систему векторов;
  3. если векторы (13) линейно независимы, то после отнимания одного или нескольких векторов получим снова линейно независимые векторы;
  4. векторы (13) линейно зависимые тогда и только тогда, когда один из  них является линейной комбинацией других;
  5. если два ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они коллинеарны, и наоборот;
  6. если три ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они компланарны и наоборот.
  7. четыре (и более) трехмерных векторов всегда линейно зависимы.

Понятие линейной зависимости имеет достаточно глубокий смысл и широко
используется в математике. Не вдаваясь в подробности, приведем такие применения этого понятия.

  1. Всякая упорядоченная совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно выражается произвольный вектор пространства, называется базисом этого пространства. Нетрудно убедиться в эквивалентности этого определения и определения базисов в пространствах R1, R2, R3.
  2. Максимальное число линейно независимых векторов некоторого пространства называется его размерностью. Размерность пространства равна числу базисных векторов этого пространства. В соответствии с этим определение прямую линию рассматривают как одномерное пространство R1 с одним базисным вектором; плоскость — это двумерное пространство R2, базис которого содержит два вектора, и т. д.
  3. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых строк, и это число равно рангу матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (9) и зафиксируем
какой-нибудь отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы этой системы. Уравнения, в которых коэффициенты при неизвестных образуют выбранный минор, называют базисными. Тогда из утверждения 3° выплывает такой важный для практики вывод: система линейных уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Пример №17

Доказать, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  линейно независимы.
Решим уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку определитель системы отличен от нуля (проверьте), то система имеет единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следовательно, заданные векторы линейно независимы.

Векторы в системе координат

Для того чтобы операции над векторами свести к операциям над числами, будем рассматривать векторы в системе координат.

Координаты, длина и направляющие косинусы вектора

1. Координаты вектора. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что в ортонормированном базисе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  который задает выбранную систему координат, вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (п. 1 .3), где числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом базисе. Но из свойств проекции (п. 1.4) вытекает, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (16)
Итак, координаты вектора в системе координат Oxyz — это его проекции на оси координат.

2. Длина вектора. Вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.27) с измерениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому длина этого
вектора равна
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                           (17)
Если начало вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.28) находится в точке А (х1; у1; z1), а конец — в точке В (х2; у2; z2), то из формул (2) и (16) следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (18)
Тогда из формулы (17) находим длину вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                              (19)
Этой формулой пользуются для нахождения расстояния между точками
А и В

3. Направляющие косинусы вектора. Направление произвольного вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется углами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые образует вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с осями координат (рис. 2.27): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Косинусы этих углов называются направляющими косинусами. Формулы
для направляющих косинусов получаем из формул (l) и (16):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                        (20)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возведя обе части каждого из равенств (20) в квадрат, и подытоживая, с учетом формулы (17) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                      (21)
то есть сумма квадратов направляющих косинусов произвольного вектора равна единице.

Пример №18

Заданы точки А (0; –1; 2) и В (–l, 1, 4). Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формул (18), (19) и (20) имеем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (–1; 2; 2);  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 3;
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №19

Может ли вектор образовывать с осями координат углы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 60°, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 30°?
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому согласно формуле (21) получим на этот вопрос отрицательный ответ.

Линейные действия с векторами. Равенство и коллинеарность векторов

1. Действия с векторами. Если известны координаты векторов, то линейным действиям с векторами отвечают соответствующие арифметические действия над их координатами. Это следует из свойств 2°, 3° проекций (п. 1.4).

Пусть заданы векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и действительное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Равенство векторов. Пусть векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачравны, то есть имеют одинаковые длины и направление, тогда из формул (1) и (16) следует, что 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                 (22)
и наоборот, если имеют место формулы (22), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, всякое векторное равенство вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  эквивалентно трем скалярным равенствам (22).

3. Коллинеарность векторов. Необходимым и достаточным условием того, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  коллинеарны, является пропорциональность их проекций:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                       (23)
Действительно, если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, то существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда из формул (22) получаем равенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которых вытекают формулы (23).

Пример №20

Найти вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  коллинеарной вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из условий (23) имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №21

Доказать, что координаты орта Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают с направляющими косинусами данного вектора.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Деление отрезка в заданном соотношении. Координаты центра масс

Пусть задан отрезок АВ точками А (х1; у1; z1) и В (х2; у2; z2). Найдем на отрезке такую точку М (х; у; z), которая делит этот отрезок в отношении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Введем радиусы-векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.29). Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и по условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.   Приравнивая проекции обеих частей этого равенства на оси координат, согласно формулам (22) имеем 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                             (24)
В частности, координаты точки, которая делит отрезок АВ пополам Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  находят по формулам 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                (25)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Выведем теперь формулы для координат центра масс системы материальных точек М1 (x1; у1; z1), М2 (x2; у2; z2), ..., Мn (xn; уn; zn), в которых сосредоточены массы m1, m2, ..., mn. Найдем сначала центр массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы двух точек М1 и М2. Поскольку центр массы лежит на отрезке М1М2 и делит его в отношении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по формулам (24)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (26)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (26), называется центром масс двух материальных точек М1 и М2.
Рассмотрим теперь систему точек N1 и М3, в которых сосредоточены массы
m1 + m2 и m3 и найдем центр массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этих точек. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то из формул (24) и (26) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (27)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (27), называется центром масс трех материальных точек М1, М2, М3.
Методом математической индукции можно доказать, что центр масс системы
n материальных точек находится в точке С (хс; ус; zc), где

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скалярное произведение двух векторов

Определение, геометрический и механический смысл скалярного
произведения:

Скалярным произведением двух векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,                                  (28)

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если хотя бы один из векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  нулевой, то по определениюВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку по формуле (3)  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то из (28) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                            (29)
Формулы (29) выражают геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного
вектора на проекцию на него второго вектора.

Из физики известно, что работа А силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при перемещении материальной
точки из начала в конец вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который образует с вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.30) равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                          (30)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. В этом суть механического смысла скалярного произведения.

Свойства скалярного произведения

В векторном исчислении величину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют скалярным произведением векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, что, во-первых, эта величина является скаляром и, nо-вторых, имеет некоторые алгебраические свойства обычного произведения чисел.

Рассмотрим три алгебраических свойства скалярного произведения.

1°. Коммутативное свойство умножения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По определению скалярного произведения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  как произведение чисел и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2°. Ассоциативное свойство относительно умножения на число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из формул (29) и (3) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3°. Дистрибутивное свойство относительно сложения векторов:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В соответствии с формулами (29) и (2) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти три свойства обусловливают глубокую аналогию между векторной алгеброй и алгеброй чисел. Первое свойство позволяет менять местами множители, второе — объединять числовые коэффициенты векторных множителей, а третье — раскрывать или вводить скобки и выносить за них общие скалярные или векторные множители. Однако аналогия между скалярным произведением векторов и произведением чисел является неполной. В частности, не существует скалярного произведения трех и большего числа векторов; равенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  может выполняться и при ненулевых множителях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  нельзя делать вывод, что из равенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытекает равенство  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  даже когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Равенство  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и верно при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Приведем геометрические свойства скалярного произведения.

4°. Если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, и            Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если угол   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     — тупой.

5°. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны.

6°. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ,                                                                         
  (31)
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                         (32)
Свойства 4°–6° непосредственно вытекают из формулы (28).

Пример №22

Найти скалярные произведения векторов   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Используясь свойства  1°–3°, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Применяя формулы (28) и (30), находим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №23

Найти длину вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
По формуле (32) получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение скалярного произведения через координаты. Угол между векторами

Пусть заданы два векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Найдем
их скалярное произведение. Используя свойства 1° и 3° скалярного произведения, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — попарно ортогональные орты, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                       (33)
Итак, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в прямоугольной системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.
Укажем на ряд важных выводов из формулы (33).

1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов  
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является равенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                     (34)

2. Длина вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                      (35)
Формула (35) следует из формул (32) и (33). В п. 3.1 мы доказали эту формулу другим способом.

3. Угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (36)
Эта формула является следствием формул (28), (33) и (35).

Пример №24

Вычислить, какую работу выполняет сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая прямолинейно перемещает материальную точку из точки М (–1; 0; 3) в точку N (2; –3; 5).
По формулам (18) найдем вектор перемещения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда по формулам (30) и (33) работа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №25

Заданные векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти проекцию вектора
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найдем координаты вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из формул (29), (33) и (35) получаем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
 

Пример №26

Треугольник задан вершинами А (0; –1; 2), В (–1; –2; 7), С (1; –2; 6). Найти его внутренний и угол при вершине А.
Пользуясь формулами (18) и (36), получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Векторное произведение двух векторов

Определение и свойства векторного произведения:

Векторным произведением вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который определяется следующими тремя условиями:

  1. длина вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,   где   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
  2. вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярный к каждому из векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  3. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначают одним из символов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть в точке А (рис. 2.3 1) приложена сила  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и О — некоторая фиксированная точка. Как известно из физики, моментом силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  относительно точки О называется вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, длина которого равна произведению силы на плечо и который направлен по оси вращения так, что если смотреть с его
конца, то вращение тела происходит против движения стрелки часов.
Поскольку 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то момент силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, приложенной в точке А, относительно точки О определяется
векторным произведением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                  (37)
 

2. Скорость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Р твердого тела, вращающегося с угловой скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвокруг неподвижной оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяется по формуле Ейлера   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Если электрон, заряд которого равен е, движется со скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в магнитном поле постоянного напряжения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то на электрон действует сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая
определяется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где с — скорость света.

Рассмотрим алгебраические свойства векторного произведения.

1°. Антикоммутативность умножения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
то есть от перестановки множителей векторное произведение меняет знак.
Это следует из того, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеют одинаковые модули, коллинеарны и тройки векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  противоположной
ориентации (рис. 2.32).

2°. Ассоциативность относительно скалярного множителя Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3°. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебраические свойства векторного произведения позволяют при умножении линейных векторов выполнять действия так же, как с алгебраическими многочленами. Однако при выполнении векторного умножения следует помнить, что оно некоммутативное: при перестановке сомножителей знак векторного произведения меняется на противоположный.

Приведем геометрические свойства векторного произведения.

4°. Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

5°. Модуль Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач векторного произведения неколлинеарных векторов
равен площади S параллелограмма, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отнесенных к общему началу
, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                             (38)

6°. Векторные произведения ортов удовлетворяют следующим равенствам:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №27

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторное произведение двух векторов, заданных координатами

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Покажем, что векторное произведение вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (39)
 Используя свойства и 1°–3° и 6° векторного произведения и теорему о разложении определителя, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №28

Найти площадь треугольника, заданного вершинами А (1; 2; 0), В (0; –2; 1), С (–1; 0; 2).
 Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и по формуле (39)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то по формуле (38) площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

Найти момент силыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке А (1; 2; 3), относительно точки B (3; 2; –1).
Согласно формуле (37) момент силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (–2; 0; 4), тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Смешанное произведение векторов

Определение и вычисление смешанного произведения:

При умножении двух векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выше были определены два вида произведений: скалярное, результатом которого является число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и векторное, результатом которого является вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Умножение трех векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выполнить разными способами. В частности, можно создать такие произведения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Первый из этих произведений соответствует умножению скаляра Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на
вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не рассматривается. То же касается произведений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Результатом второго произведения является вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который называется двойным векторным или векторно-векторным произведением данных трех векторов: 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Для нахождения двойного векторного произведения применяют формулы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Двойной векторное произведение часто встречается в векторном исчислении,
но определенного геометрического смысла не имеет.
Последний из приведенных произведений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это скалярное произведение вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, его называют смешанным произведением векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это произведение имеет четкий геометрический смысл и широко используется в задачах.
Найдем смешанное произведение векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданных координатами:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Координаты вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются по формуле (39):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножив вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  скалярно на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, по формуле (33) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Свойства смешанного произведения

1°. Если в смешанном произведении поменять местами какие-нибудь два множителя, то смешанное произведение сменит знак, например:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Действительно, если в смешанном произведении поменять местами два множителя, то это то же самое, что в определителе (40) поменять местами две строки, а при этом определитель меняет знак.

2°. При цикличной перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Действительно, при цикличной перестановке меняются местами два раза множители, или, что то же, в определителе (40) строка меняется местом два раза, а от этого определитель не меняется.

3°. В смешанном произведении знаки векторного и скалярного произведений
можно менять местами:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Действительно, из свойства 2° и коммутативности скалярного произведения
имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В связи с этим смешанные произведения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (векторно-скалярное произведение) и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (скалярно-векторное произведение) сокращенно обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

4°. Модуль смешанного произведения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отнесенных к общему началу:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                            (41)
Возьмем трех некомпланарных вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и построим на этих векторах параллелепипед (рис. 2.33). Объем этого параллелепипеда V = Sh.
где S — площадь основания, а — высота. Но

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5°. Если смешанное произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительное, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачобразуют правую тройку, а если отрицательное, то левую.
Из формулы (29) следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  острый, то есть векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачобразуют правую тройку. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  угол  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   тупой, потому векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют левую тройку.

6°. Вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и лежит с векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в одной плоскости. Это означает, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкомпланарны. Наоборот. если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Свойства 4°–6° выражают геометрический смысл смешанного произведения
трех векторов.

Пример №30

Найти объем тетраэдра, заданного вершинами А (2; –1; 0), В (5; 5; 3), С (3; 2; –2), D (4; 1; 2).
Известно, что объем тетраэдра VABCD , построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. Тогда по формуле (41) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Находим векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формуле (40) получим
 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №31

Доказать, что точки А (0; 1; 2), В (–2; 0; –1), C (–1; 5; 8), D (1, 6, 11) лежат в одной плоскости.
Точки А, B, С, D лежат в одной плоскости, если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач компланарные. Находим векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку смешанное произведение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то по свойству 6° векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  компланарны, поэтому заданные точки лежат в одной плоскости.

Пример №32

Какую тройку образуют векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?
Поскольку смешанное произведение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то по свойству 5° данные векторы образуют правую тройку.

Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия — это раздел математики, в котором свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел и т. п.) изучаются средствами алгебры на основе метода координат.
Основоположником аналитической геометрии считают Р. Декарта, который впервые в 1637 г. в своей книге «Геометрия» дал четкое изложение идеи метода координат на плоскости. Р. Декарт предложил положение точки на плоскости относительно заданной системы координат определять с помощью двух чисел — ее координат, а каждую линию на плоскости рассматривать как множество точек, заданных определенным геометрическим условием. Это условие записывается в виде уравнения, которое связывает переменные координаты точки, принадлежащей данной линии, и называется уравнением этой линии. Такой способ исследования геометрических о объектов и называют методом координат.
Следующий важный вклад в аналитическую геометрию сделал французский ученый Ж. Л. Лагранж, который впервые в 1788 г. в своем произведении «Аналитическая механика» предложил положения вектора определять с помощью чисел — его проекций на координатные оси. Развитие идей Лагранжа привело к созданию векторной алгебры.
Метод координат и аппарат векторной алгебры широко используются в современной аналитической геометрии.

Линии на плоскости и  их уравнения

Понятие о линии и ее уравнении:

Рассмотрим равенство
F (x, y) = 0,                                                                           (1)
связывающее переменные величины и у.
Равенство (1) называют уравнением с двумя переменными х и у, если это равенство выполняется не для всех пар чисел х, у, и тождеством, если оно справедливо для всех значений х и у. Например, равенства ху = 0 и х2 + у2 = 9 являются уравнениями, а равенства х + у – (х + у) = 0 и (х + у)2х2 – 2ху у2 = 0 — тождествами.
Уравнения (1) называется уравнением линии l, заданной на плоскости относительно определенной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии l и не удовлетворяют координаты х и у  ни одной точки, не лежащей на этой линии.
Когда уравнение (1) является уравнением линии l, говорится, что это уравнение
определяет (или задает) линию l. Итак, если линия задана уравнением, то
о каждой точке плоскости можно сказать, лежит она на этой линии или не лежит. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка лежит на ней, если не удовлетворяют, то не лежит.
Линия, которая задана уравнением (1) относительно определенной системы координат в плоскости, есть геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданное уравнение.
Переменные х и у в уравнении (1) линии l называются переменными координатами ее точек.
Пусть линия l относительно системы координат Оху определяется уравнением
(1). В аналитической геометрии линии классифицируют в зависимости от свойств этого уравнения. Если выражение F (x, y) в уравнении (1) является многочленом от переменных х и у (то есть сумма конечного числа одночленов
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где а  постоянный коэффициент, а показатели k и m — целые положительные числа или нули), то линия, заданная этим уравнением, называется алгебраической.
Алгебраические линии различают в зависимости от их порядка. Степенью одночлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется сумма k + m показателей при переменных.
Степенью уравнения (1) называется самая высокая степень одночлена, входящего в его состав. Алгебраической линией n-го порядка называется линия, выраженная уравнением n-й степени. Порядок алгебраической линии не меняется при замене одной декартовой системы на другую.

Линия, которая не является алгебраической, называется трансцендентной. Мы
будем изучать только линии первого и второго порядков, то есть линии,
задаваемые уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, линию на плоскости можно задать геометрически как совокупность точек с определенными геометрическими свойствами и аналитически — с помощью уравнения. В связи с этим возникают две типичные для аналитической геометрии задачи: составить уравнение линии, заданной геометрически, и наоборот, установить геометрический образ линии, заданной аналитически. Отметим, что в аналитической геометрии вторая задача решается только для алгебраических линий первого и второго порядков. Общий метод исследования линий, заданных уравнениями, дается в курсе математического анализа.

Примеры:

  1. Уравнение у = 2х – 1 показывает на плоскости прямую линию.
  2. Уравнения х2у2 = 0 или (х + у) (ху) = 0  определяют две прямые — биссектрисы координатных углов.
  3. Уравнение х2 + у2 = 0 удовлетворяет только одна точка О (0; 0). В подобных случаях говорят, что уравнение определяет вырожденную линию.
  4. Уравнение х2 + у2 + 1 = 0 не определяет никакого геометрического места точек, поскольку для любых значений х и у  имеем  х2 + у2 + 1 > 0. ·

Нахождение уравнения линии по ее геометрическими свойствами

Остановимся подробнее на задаче о составлении уравнения линии, заданной геометрически. Для ее решения нужно установить геометрическое свойство, которое удовлетворяют только точки данной линии, и записать это свойство в виде уравнения. Такое уравнение связывает переменные координаты точек данной линии и те известные постоянные величины, которые геометрически
определяют именно эту линию.

Пример №33

Составить уравнение линии, сумма квадратов в расстояний каждой точки которой до точек А (–1; 0) и В (l; 0) равен 4.
Пусть точка М (х; у) лежит на линии, тогда по условию АМ2 + ВМ2 = 4.
Поскольку АМ2 = (х + 1)2 + у2, ВМ2 = (х – 1)2 + у2, то (х + 1)2 + у+(х – 1)2 + у2 = 4, откуда после упрощений получаем искомое уравнение:  х2+ у2 = 1.

Пример №34

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится от точки А (1; 2) в два раза дальше, чем от точки В (–2; 0).
Обозначим переменную точку ​​линии через М (х; у), тогда по условию АМ = 2ВМ,
то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Преобразовав это уравнение, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полярные уравнения линий

Уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется уравнением линии l в полярных координатах, или полярным уравнением, если его удовлетворяют полярные координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любой точки линии l и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. Чтобы от полярного уравнение линии перейти к уравнению (1), нужно полярные координаты в уравнении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выразить через декартовы.

Примеры:
 

  1. Спиралью Архимеда называется линия, описанная точкой, равномерно двигающейся по лучу, который сам равномерно вращается вокруг своего начала. Уравнение спирали Архимеда (рис. 3.1) имеет вид   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = аВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где а > 0 — постоянная величина.
  2. Улиткой Паскаля называют кривую (рис. 3.2), заданную уравнениемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Лемнискатой Бернулли называют кривую, заданную уравнениемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и имеющую вид  восьмерки (рис. 3.3). В прямоугольных координатах уравнения лемниската Бернулли записывается сложнее:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Трехлепестковой розой называют кривую (рис. 3.4), заданную уравнениемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Координатными линиями называют линии, в которых одна из координат является постоянной величиной. В декартовых координатах координатные линии образуют два семейства прямых, параллельных одной из осей координат (рис. 3.5, а). В полярных координатах линии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = const образуют семейство концентрических кругов с центром в полюсе, а линии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = const — семейство лучей, исходящих из полюса (рис. 3.5, б).

Параметрические уравнения линии

Пусть зависимость между переменными х и у выраженная через третью переменную t, т.е.
х = х (t), у = у (t).                                                                     (2)
Переменная t называется параметром и определяет положение точки (х; у) на плоскости. Например, если х = 2t + 1, у = t, то значению параметра t = 3 отвечает на плоскости точка (7; 9), потому что  х = 2·3 + 1 = 7, у = 32 = 9.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если t меняется, то точка на плоскости перемещается, описывая некоторую линию l. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнение (2) — параметрическим уравнением линии l. Чтобы от уравнения (2) перейти к уравнению (1), нужно любым способом из двух уравнений (2) исключить параметр t (например, из первого уравнения выразить через х и результат подставить во второе уравнение). Но такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен, поэтому приходится пользоваться параметрическими уравнениями (2).

Пример №35

Рассмотрим траекторию точки окружности, которая катится без скольжения вдоль неподвижной прямой. Если вдоль оси Ох катится без скольжения окружность радиуса R, то любая неподвижная точка окружности описывает кривую, которая называется циклоидой (рис. 3.6) и задается уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если параметр t  изменяется от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то данные уравнения определяют первую арку циклоиды, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < t < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — то вторую арку и т. д.
Циклоида является самой простейшей из кривых, которые описывает в неподвижной плоскости точка одной линии, катящейся без скольжения по второй линии.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №36

Гипоциклоидами (рис. 3.7, а) и эпициклоидамы (рис. 3.7, б) называются кривые, которые описывает точка окружности, которая катится по неподвижной окружности внутри и снаружи. Вид и уравнение кривых зависят от отношения радиусов окружностей.
Гипоциклоида при отношении радиусов 1 : 4 называется астроидой (рис. 3.8, а), а эпициклоида при отношении радиусов 1 : 1 называется кардиоидой (рис. 3.8, б). Параметрические уравнения астроиды имеют такой вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Кардиоида задается параметрическими уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проще записывается полярное уравнение кардиоиды:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Все эти кривые широко применяются в теории механизмов.

Пример №37

Эвольвентной разверткой круга (от латинского evolvo — разворачивать) называется кривая, заданная уравнениямиВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Механический чертеж  эвольвенты выполняется так: на круг туго наматывают гибкую и нерастяжимой нитку, закрепленную в точке А (рис. 3.9), и со свободным концом М в этой точке. Оттягивая нить за свободный конец, сматывают ее с круга; точка М при этом описывает дугу эвольвенты круга, то есть, если М — произвольная точка эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка МВ.
Профили подавляющего большинства зубцов зубчатых колес очерчены по бокам дугами эвольвенты круга.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторное уравнение и линии

Линию можно задать также векторным уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответствует полностью определенный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости. Таким образом, если параметр t приобретает определенное множество некоторых значений, то уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задает некоторое множество векторов. Если от точки О (рис. 3.10) плоскости отложить векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то геометрическое место точек, которые совпадают с концами этих векторов (при условии, что все векторы компланарны), определит на плоскости некоторую линию l.

Векторному параметрическому уравнению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в прямоугольной системе координат Оху  соответствуют два скалярных уравнения:
x = x(t), y = y(t),
то есть проекциями на оси координат векторного уравнения линии являются ее
параметрические уравнения.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют такой
механический смысл: если точка движется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения точки, а линия l — траекторией
точки; параметром t при этом является время.

О зависимости уравнения линии от выбора системы координат

В предыдущих примерах указывалось, что одну и ту же линию можно задать различными уравнениями. Таким образом, вид уравнения линии зависит от выбора системы координат или, что то же, от размещения линии относительно системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы к другой, то есть при преобразовании координат, так и при переходе от декартовых к любым другим координатам.
В связи с этим возникают следующие задачи: как выбрать такую ​​систему
координат, в которой уравнение линии, заданной геометрически, было бы самым простым, или как заменить систему координат, чтобы заданное уравнение линии упростилось? Подобные задачи мы будем рассматривать при изучении линий второго порядка.
Все сказанное здесь о зависимости уравнения линии на плоскости от выбора
системы координат так же касается  и уравнений поверхностей и линий в пространстве.

Поверхности и линии в пространстве и их уравнения

Поверхность и ее уравнение:

Рассмотрим соотношение
F (x, y, z) = 0                                                                                      (3)
между тремя переменными величинами х, у, z.
Равенство (3) называют уравнением с тремя переменными х, у, z, если это равенство не выполняется для всех троек чисел х, у, z, и тождеством, если оно подтверждается при любых значениях х, у, z.
Предположим, парой значений х = х0 и у = у0 из уравнения (3) определяется
единственное значение z = z0. Упорядоченная тройка чисел х0, у0zв заданной прямоугольной системе координат определяет точку М (х0у0z0). 
Совокупность всех решений z уравнения (3), которые соответствуют определенным значениям х и у, определяет в пространстве некоторое геометрическое место точек М (х; у; z), которое называется поверхностью (рис. З.14), а уравнение (З) — уравнением этой поверхности.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, уравнение (3) называется уравнением поверхности относительно заданной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х, у, z каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты х, у, z ни одной точки, не лежащей на этой поверхности.
Поверхностью, заданной уравнением (3) относительно определенной системы координат, называется геометрическое место точек М (х; у; z), координаты х, у, z которых удовлетворяют данное уравнение.
Если выражение F(х; у; z) в уравнении (3) является многочленом от х, у, z , то есть суммой конечного числа одночленов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  с постоянными коэффициентами а и неотрицательными целыми показателями k, m, р, то поверхность, которая задается этим уравнением, называется алгебраической.
Неалгебраические поверхности называются трансцендентными. Порядком
алгебраической поверхности называется степень многочлена, которым задается данная поверхность.
Мы будем рассматривать только алгебраические поверхности первого порядка и некоторые алгебраические поверхности второго порядка. Итак, как и линию на плоскости, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Если поверхность задана геометрически, то возникает задача о составлении уравнения этой поверхности и, наоборот, если поверхность задана
уравнением, то возникает задача о ее геометрическом свойстве.

Пример №38

Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А (1; –1; 2) и В (0; –2; 3).

Пусть точка М (х; у; z) лежит на заданной поверхности. Тогда по условию АМ = ВМ, т.е.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда после упрощения получаем искомое уравнение
2х + 2у – 2z + 7 = 0.

Уравнение линии в пространстве

Линию l в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, или геометрическое место точек, находящихся одновременно
на двух поверхностях; следовательно, если F1 (х, у, z) = 0 и F2 (х, у, z) = 0  уравнения двух поверхностей, которые определяют линию l (рис. 3.15), то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (4)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения системы (4) совместно определяют линию l и называются
уравнениями линии в пространстве.
Линию в пространстве можно рассматривать также как траекторию подвижной
точки. При таком подходе линию в пространстве задают векторным параметрическим  уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                      (5)
Векторном параметрическому уравнению (5) соответствуют скалярные
параметрические уравнения
х = х (t), у = у (t), z = z (t)
– проекции вектора (5) на оси координат. Таким образом, векторные уравнения
линии на плоскости и в пространстве имеют одинаковый вид и одинаковую
суть, а соответствующие параметрические уравнения отличаются только количеством уравнений, которое зависит от числа базисных векторов на плоскости и в пространстве.

Пример №39

Если некоторая точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг своей оси, то точка М описывает кривую, которая называется винтовой линией.
Радиусом винтовой линии называют радиус цилиндра, а ее осью — ось цилиндра.
Расстояние, на которое сместится точка вдоль образующей при полном обороте цилиндра, называется шагом винта и обозначается через h. Чтобы вывести уравнение винтовой линии, возьмем ось цилиндра за ось Oz, а плоскость Oxz — за начало отсчета угла поворота цилиндра (рис. 3.16, а).
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и М (х; у; z) — произвольная точка винтовой линии. Координаты
х и у точки М совпадают с координатами точки В (рис. 3.16, 6): х = R cos t, у= R sin t, где R — радиус цилиндра. Чтобы определить координату z, построим раскладку цилиндра NN1D1D (рис. 3.16, б), в которой NN1 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачR, N1D1 = ND = hNB = Rt, ВМ = z. Из подобия треугольников NMB и ND1N1 получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
или в векторной форме      Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №40

Линия, которая задается уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
образуется при пересечении цилиндрической и сферической поверхностей и называется линией Вивиани (рис. 3.17).

Прямая на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости:

Прямая на плоскости геометрически может быть задана различными способами: точкой и вектором, параллельным данной прямой; двумя точками;
точкой и вектором, перпендикулярным к данной прямой, и тому подобное. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений.
Пусть прямая (на плоскости или в пространстве) проходит через заданную точку М0 параллельно заданному ненулевому вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который называется направляющим вектором прямой. Прямая имеет множество направляющих векторов, их соответствующие координаты пропорциональны. Точка М0 и ее направляющий вектор полностью определяют прямую, так как через точку М0 можно провести только одну прямую, параллельную вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Составим уравнение этой прямой. Обозначим через М (рис. 3.18) произвольную точку прямой и рассмотрим радиусы-векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точек М0 и М и вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащей на данной прямой. 
Поскольку векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                (6)
Переменная t в формуле (6) может принимать произвольные действительные значения и называется параметром, а уравнение (6) называется векторным параметрическим уравнением прямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой имеет одинаковый вид и на плоскости, и в пространстве.
Если прямая l рассматривается на плоскости и задается точкой М0 (х0; у0) и направляющим вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то, приравнивая соответствующие
координаты векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  по формуле (6), имеем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                           (7)
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                               (8)
Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой, а уравнения (8) — ее каноническими уравнениями.
В частности, если прямая проходит через точку М0 (х0; у0) параллельно оси Ох, то ее направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому уравнение (8) принимает вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Как известно, произведение средних членов пропорции равно произведению крайних членов. Поэтому имеем (уу0) m = (хх0) • 0, откуда у = у0.
Это и есть уравнение прямой, параллельной оси Ох.
Аналогично, если прямая проходит через точку М0 (х0; у0) параллельно оси Оу, то ее уравнением является х = х0.
Выведем уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая не перпендикулярна к оси Ох, то уравнение (8) можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обозначив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                       (9)
или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                         (10)
Отношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох (рис. 3.19), называется угловым коэффициентом прямой, а величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — ордината точки пересечения прямой с осью Оу. Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и уравнения такой прямой имеет вид
у = kx.                                                                                        (11)
Уравнение (9) называется уравнением прямой, проходящей через
заданную точку
, и имеет заданный угловой коэффициент, а уравнения (10) —
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 (х1; y1) и М2 (х2; у2), получим из уравнения прямой, проходящей через точку М1 и имеющую направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                          (12)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (12) называется уравнением прямой, проходящей через две
заданные точки
.
В частности, если прямая проходит через точки А (а; 0) и В (0; b), то есть отсекает на осях отрезки а и b (рис. 3.20), то из уравнения (11) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    или         Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                   (13)

Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках на осях.
Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через заданную точку М1 (х1; у1) перпендикулярно заданного ненулевого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В).
Возьмем на прямой l произвольную точку (рис. 3.21) М (х; у) и введем вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (хх1; yy1). Поскольку векторы  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (14)

Уравнение (14) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (А; В) называется нормальным вектором прямой. Прямая имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны.

Общее уравнение прямой и его исследование

Все полученные выше уравнения прямой линии являются уравнениями первой
степени относительно переменных х и у, то есть линейными уравнениями. Итак,
уравнение любой прямой, лежащей в плоскости Оху, является линейным уравнением относительно х и у.
Покажем, что правильным будет и обратное утверждение: каждое линейное уравнение
Ах + Ву + С = 0                                                                    (15)
с двумя переменными х и у определяет на плоскости в прямоугольной системе
координат прямую линию.
Действительно, если (x1, у1) — любое решение уравнения (15), то
Ах1 + Ву1 + С = 0.                                                                 (16)
Вычитая почленно из уравнения (15) равенство (16), получаем
А (х – х1) + В (уу1) = 0.                                                   (17)

Уравнение (17) эквивалентно уравнению (15) и по формуле (14) определяет на плоскости Оху прямую, которая проходит через точку М1 (х1; у1) перпендикулярно вектору  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В), то есть уравнение (15) также определяет прямую и называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А и В при неизвестных х и у общего уравнения являются координатами ее нормального вектора.
Каждое из уравнений (7) – (14) сводится к уравнению (15), следовательно, каждая
прямая линия задается уравнением (15), и наоборот, каждое уравнение (15) определяет на плоскости Оху прямую. Это означает, что каждая прямая — это линия первого порядка, и наоборот, каждая линия первого порядка — прямая.

Исследуем общее уравнение, то есть рассмотрим отдельные случаи размещения прямой в системе координат Оху в зависимости от значений коэффициентов
А, В и С.

  1. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то уравнение (15) сводится к уравнению прямой в отрезках на осях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть прямая пересекает оси координат в точках с координатами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
  2. Если А = 0, то прямая Ву + С = 0 параллельная оси Ох и проходит через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  поскольку нормальный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой перпендикулярный к оси Ох, а координаты данной точки удовлетворяют уравнению прямой.
  3. Аналогично предыдущему, если В = 0, то прямая Ах + С = 0 параллельная оси Оу и проходит через точкуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
  4. Если С = О, то прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат, потому что координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой.
  5. Если А = С = 0, то согласно предыдущему уравнение Ву = 0 или у = 0 определяет ось Ох.
  6. Если В = С = 0, то уравнение Ах = 0 или х = 0 определяет ось Оу.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Угол между двумя прямыми измеряется углом между их направляющими
векторами. При этом следует отметить, что, выбрав на одной из прямых
направляющий вектор, направленный в противоположную сторону, получим
второй угол, который дополняет первый до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
а) Пусть прямые l1 и l2 задан каноническими уравнениями

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между этими прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  являются направляющими векторами данных прямых (рис. 3.22) и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то по формуле (36)  имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                 (18)
Если прямые l1 и l2 параллельны, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже параллельны, так
их координаты пропорциональны, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                                      (19)
условие параллельности двух прямых. Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тоже перпендикулярны и их скалярное произведение
равно нулю, следовательно,
m1m2 + n1n2 = 0                                                                                              (20)
условие перпендикулярности двух прямых.
б) Пусть теперь прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями А1х + B1y + С1 = 0 и А2хВ2y + С2 = 0, тогда угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между ними  (рис. 3.23) равен углу между их нормальными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  поэтому аналогично случаю а) получим:

1) формулу для угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между прямыми l1 и l2:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (21)

2) условие параллельности прямых l1 и l2
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                              (22)

3) условие перпендикулярности прямых l1 и l2:
А1А2 + В1В2 = 0.                                                                                  (23)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть прямые l1 и l заданные уравнениями с угловыми коэффициентами
у = k1x + b1, у = k2x + b2, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловые коэффициенты,
то из рис. 3.24 видно, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                      (24)
Заметим, что формула (24) определяет угол, на который надо повернуть прямую l1 (против часовой стрелки), чтобы она совпала с прямой l2. Если прямые l1 и l2 параллельны, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0 и tg Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, поэтому из формулы (24) имеем k2 k1 = 0. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
kl = k2.                                                                                                 (25)
Если прямые l1 и l перпендикулярны, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90° и tg Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует, потому что знаменатель дроби (24) равен нулю. Таким образом, условие перпендикулярности прямых имеет вид:
 k1k2 + 1 = 0       или     Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач·                                       (26)
Формулы (18), (21) и (24) позволяют определить один из двух смежных углов, которые образуются при пересечении двух прямых. Второй угол равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иногда выражения справа в этих формулах записывают по модулю, тогда определяется острый угол между прямыми.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №41

Найти угол между прямыми    Зх – 4у + 1 = 0    и      5х – 12у + 3 = 0
По формуле (21) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №42

Составить уравнение прямой, проходящей через точку (—8; 1) параллельно прямой 2ху + 7 = 0.
Приведем заданное уравнение к виду (10): у = 2х — 7, следовательно, угловой коэффициент прямой k = 2.
Поскольку искомая и задана прямые параллельны, то по условию (25) их угловые коэффициенты равны между собой, поэтому, воспользовавшись уравнением (9). получим у  – 1 = 2 (х + 8)  или  у – 2х – 17 = 0.

Пример №43

Медианы ВМ  и  CN (рис. З.25) треугольника АВС лежат на прямых х + у = 3 и 2х + Зу = 1, а точка А (1; 1) — вершина треугольника. Составить уравнение прямой BC.
Решая систему уравнения
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
находим точку пересечения медиан: В (8; –5). Из соотношения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и формул (24) получим координаты точки Р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку точки В и С лежат на заданных прямых, то их координаты удовлетворяют заданным уравнениям. Точка Р делит отрезок ВС пополам, следовательно, имеем систему уравнений
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Прямая ВС проходит через точки Р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и С (11; –7), поэтому по формуле (12) получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или 2х + у — 15 = 0. 

Расстояние от точки до прямой

Пусть задано прямую l уравнением Ах + Ву + С = 0 и точку М0 (х0; у0). Расстояние d (рис. 3.26) точки Мот прямой l равна модулю проекции вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где М1 (х1; у1) — произвольная точка прямой l, на направление нормального вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Итак, 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Аx1 + Вy1 + С = 0, то –Аx1Вy1 = С, поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                          (27)

Замечание. Число d всегда положительное, потому что это расстояние. Отклонением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки М0 (х0; у0) от прямой Аx + Вy + С = 0 называется положительное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = d, если точки М0 и О(0; 0) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –d, если эти точки лежат по одну сторону от нее. Из формулы (27) вытекает, что отклонение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
где знак знаменателя должно быть противоположный знаку С.

Пример №44

Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат на прямых 4х – 3y – 10 = 0
и 8х – 6y + 15 = 0.
Поскольку заданные прямые параллельны, то длину d стороны квадрата можно
найти как расстояние от произвольной точки одной прямой до второй прямой.
Найдем какую-нибудь точку на первой прямой. Пусть, например, х = 1, тогда
4 · 1 – Зу – 10 = 0, откуда у = –2. Следовательно, точка М0 (1; –2) принадлежит первой прямой.
По формуле (27) найдем расстояние от точки М0 до второй прямой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Площадь квадрата Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Плоскость в пространстве

Плоскость — это поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости и его исследования

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан плоскость П (рис. 3.27) точкой М0 (х0; у0; z0) и вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= (А; В; С), перпендикулярным к этой плоскости. Возьмем на плоскости точку М (х; у; z) и найдем вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (хх0; у – у0; zz0). При любом положении точки М на плоскости П векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, то есть
А(хх0) + В(у – у0) + С(zz0) = 0                                   (28)
или
Ах  + Ву  + Сz  + D = 0,                                                           (29)
где D = –Ах0Ву0Cz0.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (28) называется уравнением плоскости, проходящей через точку М00; у0; z0) перпендикулярно вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; ВС), а уравнения (29) — общим уравнением плоскости.
Вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; ВС) называется нормальным вектором плоскости. Каждая плоскость имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны между собой, а их координаты пропорциональны. Итак, любая плоскость в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени.
Покажем теперь справедливость обратного утверждение: всякое уравнение первой степени
Ах + Ву + Cz + D = 0                                                                          (30)
с тремя переменными х, у и z задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость.
Пусть задано произвольное уравнение (30) и (х0, у0, z0) — любой решение этого уравнения, то есть
Ах0+ Ву0 + Cz0 + D = 0                                                                        (31)
Отняв от уравнения (30) равенство (31), получим
А (х – х0) + В (у – у0) + С (z – z0) = 0.                                                (32)
Уравнение (32) эквивалентно уравнению (30) и по формуле (28) определяет в пространстве плоскость, которая проходит через точку М0 (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; ВС). Следовательно, уравнение (30) также определяет плоскость.
Таким образом, каждое алгебраическое уравнение первой степени с переменными х, у и z является уравнением плоскости.

Исследуем общее уравнение плоскости:

1. Если в уравнении (30) D = 0, то оно принимает вид Ах + Ву + Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Итак, если в общем уравнении плоскости отсутствует свободный член, то такая плоскость проходит через начало координат.

2. Если А = 0, то уравнение (30) принимает вид Ву + CzD = 0 и определяет плоскость, нормальный вектор которой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (0; В; С) перпендикулярен оси Ох. Итак, если в общем уравнении плоскости коэффициент при переменной х равен нулю, тогда уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох
Аналогично уравнение Ах + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную
оси Оу, а уравнение Ах + Ву + С = 0 — плоскость, параллельную Oz.

3. Если А = 0, В = 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то уравнение (30) принимает вид Cz + D = 0 или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Из случая 2 следует, что это уравнение определяет плоскость, параллельную осям Ох и Оу (коэффициенты при х и у равны 0), то есть плоскость, параллельную плоскости Оху.
Аналогично плоскость Ву + D = 0 параллельна плоскости Oxz, а плоскость Ах +D=0 параллельна плоскости Oyz.

4. Если в уравнении (30) А = D = 0, то плоскость Ву + Cz = 0 проходит через ось Ох. Действительно, согласно предыдущему, при D = 0 плоскость проходит через начало координат, а при А = 0 — параллельно оси Ох, следовательно, проходит через ось Ох.
Аналогично плоскость Ах + Cz = 0 проходит через ось Оу, а плоскость Ах + Ву = 0 —через ось Oz.

5. Если в уравнении плоскости А = В = D = 0, то плоскость Cz =0 или z = 0 совпадает с плоскостью Оху. Аналогично плоскость Ах = 0 или х = 0 совпадает с плоскостью Oyz, а плоскость у = 0 — с плоскостью Oxz.

Пример №45

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 2; 3) перпендикулярно вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (–1; –3; 1),

Искомое уравнение находим по формуле (28):
—1 · (х — 1) + (—3) · (у — 2) + 1 · (z — 3) = 0,
х + Зу  z  — 4 = 0.

Пример №46

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (—3; 4; 5) перпендикулярно к оси Оу.
 Орт Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (0; 1; 0) перпендикулярно плоскости, поэтому его можно рассматривать как нормальный вектор. Итак, искомое уравнение имеет вид
0 · (х + 3) + 1 · (у — 4) + 0 · (z — 5) = 0  или  у = 4.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение
плоскости в отрезках на осях

Пусть на плоскости П заданы три точки: М1 (х1; у1; z1), М2 (х2; у2; z2), М3 (х3; у3; z3), не лежащие на одной прямой. Эти точки однозначно определяют плоскость. Найдем ее уравнение.
Возьмем на плоскости произвольную точку М (х; у; z) и найдем векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Эти векторы лежат в плоскости П, то есть они компланарны. Поскольку смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0  или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                          (33)
Получаем уравнение плоскости, проходящей через три точки. В частности,
пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки а, b, с, то есть проходит через точки А (а; 0; 0), В ( 0; b; 0) и С (0; 0; с). Подставляя координаты этих точек в формулу (33) и раскрывая определитель, получим
хbс + уас + zab аbс = 0 или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач              (34)
Уравнение (34) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Пример №47

Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (1; 2; 3), М2 (–1; 0; 2), М3 (–2; 1; 0).
Подставим координаты точек в уравнение (33):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложим определитель по элементам первой строки:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вычисляя определители второго порядка, находим искомое уравнение:
(х – 1) 5 – (у – 2) 3 + (z – 3) (–4) = 0 или 5х – 3у – 4z + 13 = 0.

Пример №48

Построить плоскость Зх – 2у + 4z – 12 = 0.
Запишем заданное уравнение в отрезках на осях. Для этого перенесем в правую
часть свободный член и поделим на него обе части уравнения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Откуда а = 4, b = –6, с = 3.
Зная отрезки, которые отсекает плоскость на осях координат, легко построить
плоскость (рис. З.28).

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две nлощины П1 и П2 соответственно уравнениями
А1х + В1у + C1z + D= 0,            А2х + В2у + C2z + D= 0.
Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом, который равен углу между нормальными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А1; В1; C1) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А2; В2; C2) этих плоскостей (рис. З.29). Итак, из формулы (36) имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                 (35)
Если плоскости П1 и П2 перпендикулярны, то скалярное произведение их
нормальных векторов равно нулю, то есть равенство
А1 А2 + В1 В2 + C1C2 = 0                                                                                    (36)
является условием перпендикулярности плоскостей.
Если nлощины П1 и П2 параллельны, то координаты нормальных векторов пропорциональны, то есть условием параллельности плоскостей является равенство отношений:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                      (37)

Пример №49

Найти угол между плоскостями 2х + у + Зz – 1 = 0 и  х + уz + 5 = 0.
По формуле (35) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
следовательно, данные плоскости перпендикулярны.

Расстояние от точки до плоскости

Если задано уравнение Ах + Ву + Cz + D = 0 плоскости П и точка М0 (х0; у0; z0), не лежащая на этой плоскости, то расстояние d от точки М0 до плоскости П находится по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                    (38)
Доказательство формулы (38) такое же, как и формулы (27).

Пример №50

Найти высоту АН пирамиды, заданной своими вершинами А (–1; 2; –1), В (1; 0; 2), С (0; 1; –1), D (2; 0; –1).
По формуле (33) находим уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, D:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда 3х + 6у + z – 5 = 0.
Высоту АН найдем как расстояние точки А (–1; 2; –1) от плоскости BCD по формуле
(38):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач             

Прямая линия в пространстве

Прямая линия в пространстве - это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Различные виды уравнений nрямои в пространстве

Как уже отмечалось, когда прямая задана точкой и направляющим вектором, то ее векторное параметрическое уравнение (как на плоскости, так и в пространстве) имеет вид (6): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор переменной точки М прямой; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор заданной точки М0; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ненулевой
направляющий вектор прямой; t — параметр.
Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат задана прямая
точкой М0 (х0; у0; z0) и направляющим вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; p). Возьмем произвольную точку М (х; у; z) этой прямой (рис. 3.30).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Тогда аналогично тому, как были найдены формулы (7), (8) и (12), получаем:

  1. параметрические уравнения прямой в пространствех = х0 + mt,   у = у0 + nt,   z = z0 + pt;                                 (39)
  2. канонические уравнения прямой в пространстве:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;                                      (40)
  3. уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки М1 (х1; у1; z1) и М2 (х2; у2; z2):Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                               (41)

В уравнениях (39) — (41) одна или две координаты направляющего вектора
могут равняться нулю (случаи m = n = p = 0 и  х2х1 = у2у1 = z2z1 = 0 невозможны, поскольку по определению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).
Если m = 0, n Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, то направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен оси Ох, поэтому уравнение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
определяет прямую, перпендикулярную оси Ох. Аналогично уравнения, в которых только n = 0 или p = 0, определяют прямые, перпендикулярные к оси Оу
или Oz.
Если m = n = 0, р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, или m = р = 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, или n = р = 0, m Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, то уравнение (40) определяют прямые, соответственно параллельные осям Oz, Оу, Ох.

Рассмотрим теnер случай, когда прямая в пространстве задается пересечением двух плоскостей. Известно, что две непараллельные плоскости пересекаются по прямой линии.
Итак, система уравнений двух плоскостей
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                           (42)
нормальные векторы которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А1; В1; С1) и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А2; В2; С2) не коллинеарны,
определяет в пространстве прямую линию.
Уравнение (42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Чтобы от общих уравнений (42) перейти к каноническим уравнениям (40), нужно найти точку М0 (х0; у0; z0) на прямой и ее направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; p). Для нахождения точки М0 одну из ее координат, например, х = х0 берут произвольной, а две другие определяют из системы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Эта система будет иметь решение при условии, что: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если это условие
нарушается, то в системе (42) произвольное значение придают переменной
y или переменной z.

Для нахождения направляющего вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач учтем, что нормальные векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  данных плоскостей перпендикулярны к прямой (рис. 3.31).
Поэтому за вектор  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно взять их векторное произведение:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №51

Привести уравнения прямой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к каноническому виду.
Найдем какую-нибудь точку М0 (х0; у0; z0) на данной прямой. Для этого положим в обоих уравнениях х = 0 и решим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда z = –2, у = –1. Следовательно, точка М0 (0; –1; –2) принадлежит данной прямой.
Направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим по формуле (43): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Канонические уравнения заданной прямой имеют вид  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые l1 и l2 заданs уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Угол между этими прямыми (рис. 3.32) равен углу  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между их направляющими векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m1; n1; p1) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m2; n2; p2), поэтому аналогично
со случаем а) ​​п. 3.3 получим:
1) формулу для угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между прямыми l1 и l2:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач         (44)
2) условие параллельности прямых l1 и l2:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;                                                                                    (45)
3) условие перпендикулярности прямых l1 и l2:
m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №52

Найти угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между прямыми
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формулам (43) и (39) находим направляющие векторы данных прямых: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (2; –8; –4) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (2; –1; 3). Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90°. 

Пример №53

При каких значениях m1 и n2 прямые
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
параллельные?
Из условия (45) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда m1 = 2, n2 = –1.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Углом между прямой l и плоскостью П по определению является угол между прямой l и ее проекцией на плоскость П.
Пусть плоскость П и прямая l заданы уравнениями
Ах + Ву + Cz + D = 0   и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обозначим острый угол между прямою l (рис. 3.33) и ее проекцией lна плоскость П через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , а угол между нормальным вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В; С) плоскости П и направляющим вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; p) прямой l — через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач90°, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90° – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = cos Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 90°, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач – 90° и sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –cos Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, в любом случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Но  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому угол между прямой и плоскостью находится по формуле:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                          (47)

Если прямая l параллельна плоскости П, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны,
поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач · Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то есть       

Аm + Bn + Ср = 0                                                                                                   (48)
условие параллельности прямой и плоскости.
Если прямая l  перпендикулярна к плоскости П, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, поэтому соотношение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                                (49)
является условием перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример №54

Через заданную точку М0 (х0; у0; z0) провести прямую l, перпендикулярную
плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0.
Поскольку прямая l перпендикулярна к плоскости П, то направляющим вектором прямой l можно взять нормальный вектор плоскости П: (рис. 3.34): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В; С).
Поэтому по формуле (40) уравнение прямой l имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №55

В заданную точку М0 (х0; у0; z0) провести плоскость П, перпендикулярную
прямой l, заданной уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Нормальным вектором плоскости П может быть направляющий (рис. 3.35) вектор прямой l:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; nр), поэтому по формуле (28) уравнение плоскости П имеет вид
m (хх0) + n (yy0) + р (zz0) = 0.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №56

Через заданную точку М0 (х0; у0; z0) и прямую l, заданную уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, провести плоскость П.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка плоскости П (рис. 3.36), а М1 (х1; у1; z1) — заданная точка прямой l. Тогда векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (х0х1; y0y1; z0z1), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ​​= 
= (х х1; y y1; z z1) и направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; р) прямой компланарны,
поэтому уравнение плоскости П имеет вид

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №57

Как размещена прямая l, заданная уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
относительно плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0?
Подставив в уравнение плоскости П вместо х, у, z их значения из уравнений
прямой l, получим уравнение
А (х0 + mt) + В (у0 + nt) + С (z0 + pt) + D = 0,
из которого можно определить значение параметра t, соответствующее искомой точке пересечения. Если это уравнение имеет единственное решение, то прямая l пересекает плоскость П, если же множество решений — прямая l лежит в плоскости П, если полученное уравнение не имеет решений, то прямая l параллельна плоскости П.

Пример №58

Найти точку пересечения прямых l1 и l2 заданных уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть М0 (х0; у0; z0) — точка пересечения заданных прямых. При каком-то значении t1 параметра t ее координаты удовлетворять уравнение прямой l1, а при определенном значении t2 — уравнению прямой l2,  т.е.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач       Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая правые части этих систем, получаем систему трех линейных уравнений с двумя неизвестными t1 и t2, которую можно решить, например, методом Гаусса. Если эта система имеет одно решение, то прямые пересекаются, если множество решений — прямые совпадают, если система не имеет решений, то прямые скрещивающиеся.

Пример №59

Найти расстояние заданной точки М0 (х0; у0; z0) от прямой l, заданной уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Расстояние d от точки М0 (рис. 3.37) до прямой l равно расстоянию между точкой М0 и ее проекцией Р на эту прямую: d = М0Р. Чтобы найти точку Р, достаточно
через точку М0 провести плоскость П, перпендикулярную к прямой l (пример 3), и найти точку ее пересечения с прямой l (пример 4).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №60

Как размещены прямые
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?
Прямые l1 и l2 совпадают, если векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны (рис. 3.38, а).
Условием параллельности данных прямых является коллинеарность векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 3.38, б), то есть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Прямые l1 и l2  пересекаются, если векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не коллинеарны, а векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  компланарные (рис. 3.38, в), то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Итак, условие  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  эквивалентно тому, что прямые l1 и l2 — скрещивающиеся.

Пример №61

Доказать, что расстояние d точки М0 (рис. 3.39) с радиусом-вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от прямой l, заданной уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Расстояние d равно одной из высот параллелограмма, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №62

Доказать, что расстояние (рис. 3.40) между скрещивающимися прямыми (длина общего перпендикуляра) l1 и l2, заданными уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, находится по формуле  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние d равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые l1 и l2 . Это расстояние, в свою очередь, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах s Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Линии второго порядка

Понятие линии второго порядка:

Как отмечалось в п. 1.1, линия второго порядка — это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                              (50)
где коэффициенты а, b, с, d, е, f  — действительные числа, причем хотя бы одно из
чисел а, b, с отличное от нуля, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В частности, к линиям второго порядка относятся такие линии: окружность, эллипс, гипербола и
парабола. Оказывается, что множеством точек (х; у) с действительными координатами, удовлетворяющими уравнению (50), может быть не только одна
из названных линий. Уравнение (50) может определять на плоскости Оху также
две прямые, одну прямую, точку или не определять никакой точки.
Итак, окружность, эллипс, парабола и гипербола задаются уравнениями второй степени, но, в отличие от прямой линии, обратное утверждение неверное.
Чтобы ответить на вопрос, какое геометрическое место точек определяется уравнением (50), надо подобрать такую ​​систему координат, в которой это уравнение упростилось бы. Известно [1], для всякой линии второго порядка существует прямоугольная система координат (ее называют канонической), в которой уравнение (50) имеет самый простой или канонический вид.
Мы не будем заниматься здесь приведением общего уравнения (50) к каноническому виду, а установим и исследуем только отдельные канонические
уравнения.
Линии второго порядка называют также коническими сечениями из-за того, что их можно получить как линии пересечения кругового конуса с плоскостью. Окружность образуется как линия пересечения плоскостью, перпендикулярной
к оси конуса и не проходящей через его вершину (рис. 3.41, а);  эллипс — линия пересечения плоскости, которая пересекает все образующие конуса, не перпендикулярна оси конуса и не проходит через его вершину (рис. 3.41, б); если пересечь двуполостной конус плоскостью, параллельной двум образующим, получим гиперболу (3.41, в), а одной образующей — параболу (рис. 3.41, г).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Линии второго порядка широко применяются в науке и технике.

Примеры:
 

  1. Планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено Солнце.
  2. Если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На цНи свойстве основано построение прожектора.
  3. В динамике космических полетов используются понятия трех космических скоростей: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 7,9 км/с, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 11,2 км/с, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 16,7 км/с. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная скорость, с которой искусственный спутник запускается с поверхности Земли. При недостаточной начальной скорости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач спутник вращаться вокруг Земли не будет. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то спутник будет вращаться по круговой орбите, центр которой находится в центре Земли. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то вращение спутника будет происходить по эллипсу, причем центр Земли будет находиться в одном из фокусов эллипса. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач спутник преодолевает земное притяжение и становится искусственным спутником Солнца, двигаясь при этом по параболе (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) или по гиперболе (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач< Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) относительно Земли. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то спутник сначала преодолевает земное, а затем и солнечное притяжения и покидает Солнечную систему.
  4. Движение материальной точки под действием центрального поля силы тяжести происходит по одной из линий второго порядка.

Окружность

Окружностью называют множество точек плоскости, расстояние которых от заданной точки плоскости (центра окружности) равны постоянному числу (радиус).
Чтобы вывести уравнение окружности, используем прямоугольную систему
координат Оху; обозначим через О1 (а; b) — центр окружности, через М (х; y) — произвольную точку плоскости и через R — радиус окружности (рис. 3.42).
Точка М лежит на окружности тогда и только тогда, когда О1М = R или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                               (51)
Уравнение (51) и является искомым уравнением окружности. Но удобнее пользоваться уравнением, которое получим при возведении обеих частей уравнения (51) в квадрат:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (52)
Поскольку уравнение (52) следует из уравнения (51), то координаты любой точки, удовлетворяющие уравнению (51), удовлетворят также уравнение (52). Однако при возведении любого уравнения в квадрат, как известно, могут появиться посторонние корни, то есть уравнение (51) и (52) могут оказаться неэквивалентными. Покажем, что в этом случае так не будет. Действительно, вычислив корень из обеих частей уравнения (52), получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в правой части знак минус надо отбросить, так как расстояние R > 0. Следовательно, уравнения (51) и (52) эквивалентны, то есть определяют одну и ту же кривую — окружность.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если центр окружности находится в начале координат, то а = b = 0 и уравнение (52) принимает вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                          (53)
Уравнение (53) называется каноническим уравнением окружности. Если в уравнении раскрыть скобки, то получим общее уравнение окружности
х2 + у2 + Ах + Ву + С = 0,                                                           (54)
где А = –2а, В = –2b, С = а2 + b2R2 . Итак, окружность — линия второго порядка.

Уравнение окружности имеет следующие свойства.

  • 1°. Коэффициенты при х2 и у2 равны между собой.
  • 2°. В уравнении отсутствует член с произведением ху.

Обратное утверждение неверно: не всякое уравнение второй степени, которое удовлетворяет условиям 1° и 2°, является уравнением окружности, то есть не всякое уравнение вида (54) определяет окружность.

Пример №63

Написать уравнение окружности, если точки А (–1; 4) и В (3; 2) являются концами его диаметра.
Пусть О1 (а; b) — центр окружности. Тогда АО1 = О1В, поэтому по формулам (25)
 имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку радиус окружности R = АО1 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по формуле (52) получаем искомое уравнение:
(x – 1)2 + (у – 3)2 = 5.

Пример №64

Найти центр и радиус окружности х2 + у2 + 4х – 6у – 2З = 0.
Сгруппируем слагаемые с переменной х  и переменной у и дополним полученные выражения до полных квадратов: 
х2 + 4х + у– 6у – 2З = 0,
или
(х2 + 4х + 4) — 4 + (у– 6у + 9) – 9 – 2З = 0,
откуда
(х + 2)2 + (у – 3)2 = 36.
Следовательно, точка (–2; 3) – центр окружности, а R = 6 — его радиус.

Пример №65

Показать, что уравнение х2 + у2 + 6х – 6у + 19 = 0 не определяет никакого
геометрического объекта.
Преобразуем уравнение
(х2 + 6х + 9) – 9 + (у2 – 6у + 9) – 9 + 19 = 0
или
(х + 3)2 + (у – 3)2 = –1.
Поскольку сумма неотрицательных чисел не может быть отрицательным числом, то заданному уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости Оху.

Пример №66

Арка имеет форму дуги окружности. Найти длину l дуги арки, если ее пролет и
подъем соответственно равны 2а и (подъем арки равен отношению ее высоты
к пролету).
 Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.43, где арка МРN
дуга окружности, МО = ON, ОР = h = 2аb. В выбранной системе координат точки М, Р и N имеют координаты М (–а; 0), Р (0; 2аb), N (а; 0). Пусть О1 (0; у0) и R соответственно центр и радиус окружности, тогда его уравнение имеет вид
х+ (yy0)2 = R2.
Поскольку окружность проходит через точки Р и N, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Найдем центральный угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, на который опирается дуга арки. Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
следовательно,

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эллипс

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний
которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами. Чтобы вывести уравнение эллипса, возьмем на плоскости две точки F1 и F2 – фокусы эллипса и разместим прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делил отрезок F1F2 пополам
(рис. 3.44).
Обозначим расстояние между фокусами, которое называют фокальным, через 2с: F1F2 = 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а. Тогда фокусы имеют такие координаты: F1 (–с; 0) и F2 (с; 0). По определению 2а > 2с,  т.е. а > с.
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на эллипсе тогда, когда F1M + F2M = 2а или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                          (55)
Это, по сути, уравнение эллипса. Чтобы упростить его, перенесем один радикал в правую часть, возведем обе части в квадрат и приведем подобные. Получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Возведя обе части этого уравнения еще раз к квадрату и упростив выражение, получим х2 (а2с2) + а2у2 = а2 (а2с2).
Поскольку а > с, то а2с> 0, поэтому можно обозначить
а2 – с2 = b2.                                                                    (56)
Тогда уравнение (55) примет вид
х2b2 + а2у2 = а2b2
или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                            (57)
Можно доказать, что уравнение (55) и (57) эквивалентны. Уравнение (57)
называется каноническим уравнением эллипса. Итак, эллипс — кривая второго
порядке.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим некоторые свойства и исследуем форму эллипса.

1°. Уравнение (57) содержит переменные х и у только в парных степенях, поэтому, если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (–х; у), (х; –у) и (–х; –у). Поэтому эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О (0; 0), которую называют центром эллипса. Следовательно, для установления формы эллипса достаточно исследовать ту его часть, которая находится в одном, например, в первом, координатном углу.

2°. В первом координатном углу хВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, уВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, поэтому из равенства (57) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                    (58)
откуда следует, что точки А1 (а; 0) и В0 (0; b) принадлежат эллипсу, причем,
если х увеличивается от 0 до а то y уменьшается от b до 0.  Кроме того, не существует точек эллипса, в которых х > а, потому выражение (58) при х > а не имеет смысла. Таким образом, часть эллипса, размещенная в первом координатном углу, имеет форму дуги А1В1 (рис. 3.45). Отразив эту дугу симметрично относительно осей Ох и Оу, получим весь эллипс. Он помещается
в прямоугольник со сторонами 2а  и 2b. Стороны прямоугольника касаются эллипса в точках пересечения его с осями Ох и Оу.
Эллипс пересекает оси координат в точках А1(а; 0), А2(–а; 0), B1(0; b), B2(0; –b). Эти точки называются вершинами эллипса. Величины А1А2 = 2а и B1B2 = 2b называют соответственно большой  и малой осями эллипса.
Таким образом, из свойств 1° и 2° следует, что всякий эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Точки, в которых эллипс пересекает главные оси, ограничивают на главных осях отрезки длинами 2а и 2b, которые называются большой и малой осями эллипса, а числа а и b — большой и малой полуосями эллипса. Весь эллипс помещается в прямоугольник со сторонами 2а и 2b. Стороны прямоугольника касаются с эллипса в его вершинах.

3°. Если а = b, то уравнение (57) принимает вид
х2 + y2 = а2,
то есть получаем уравнение окружности. Итак, окружность является частным случаем эллипса. Из формулы (56) следует, что при а = b  значение с = 0, то есть окружность — это эллипс, у которого фокусы совпадают с центром. Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая называется эксцентриситетом эллипса и равна отношению половины его фокального расстояния к длине большей полуоси:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из формул (56) и (59) получаем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  .                     (59)
Итак, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то b = а, то есть эллипс превращается в окружность; если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближается к единице, то отношение осей b/а уменьшается, то есть
эллипс все больше растягивается вдоль оси Ох.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4°. Пусть М (х; у) — произвольная точка эллипса с фокусами F1  и F2  (рис. 3.46). Расстояния F1M = r1 и FM = r2 называются фокальными радиусами точки М. Очевидно, r1 + r2 = 2а. Прямые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называются директрисами эллипса.
Отношение фокальных радиусов произвольной точки эллипса к расстоянию этой точки от соответствующих директрис есть величина постоянная и равна эксцентриситету эллипса, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                    (60)

Пример №67

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (3; 2)
и М2 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если его фокусы лежат на оси Ох симметрично началу координат.
По условию координаты заданных точек удовлетворяют уравнению (57):Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решая эту систему уравнений, находим а2 = 18 и b2 = 8. Итак, искомое уравнение
имеет вид  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №68

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох симметрично началу координат, если расстояние между фокусами равно 14, а эксцентриситет равен 7/9.
Поскольку 2с = 14, то с = 7. Из формул (59) и (56) получаем, что а = 9 и b2 = 32.
Итак, искомое уравнение имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №69

Доказать, что полярное уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет эллипс. Найти
полуоси этого эллипса.
Используя формулы (7), (8), перейдем от заданного уравнения к уравнению в прямоугольной системе координат:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Далее имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Учитывая формулы параллельного переноса делаем вывод, что последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке (3; 0) и полуосями а = 5 и b = 4.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и она меньше расстояния между фокусами.
Обозначим через F1  и F2 фокусы гиперболы, расстояние между ними — через 2с, а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов —через 2а. По определению а < с. Чтобы вывести уравнение гиперболы, возьмем на плоскости прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат поделило отрезок F1F2 пополам (рис. 3.44). Точка М (х; у) плоскости лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Выполнив те же преобразования, что и при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,                                                                                (61)
где
b2 = с2а2                                                                                        (62)
Итак, гипербола является линией второго порядка.

Определим некоторые свойства и исследуем форму гиперболы:

1°. Гипербола симметрична осям Ох, Оу и началу координат.

2°. Для части гиперболы, которая лежит в первом координатном угле, из уравнения (61) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                     (63)
Из равенства (63) следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Точка А1 (а; 0) принадлежит гиперболе и является точкой пересечения гиперболы
с осью Ох. Гипербола не пересекал ось Оу. Если х > а, то y > 0, причем если х увеличивается, то y также увеличивается, то есть если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Покажем, что, удаляясь в бесконечность, переменная точка М (х; y) гиперболы неограниченно приближается к прямой
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                                    (64)
Такая прямая называется асимптотой гиперболы. Для этого возьмем точку N, лежащую на асимптоте и имеющую ту же абсциссу х, что и точка М (х; у), и найдем разницу MN между ординатами линий (63) и (64) (рис. 3.47):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отсюда, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то знаменатель тоже стремится к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а MN Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, так как числитель является постоянной величиной. Итак, точки М гиперболы, удаляясь от точки А1 (а; 0) в бесконечность, неограниченно приближаются к прямой (64), то есть эта прямая является асимптотой.
Таким образом, часть гиперболы, размещенная в первом координатном угле, имеет вид дуги, которая показана на рис. 3.47. Отразив эту дугу симметрично относительно координатных осей, получим вид всей гиперболы.
Гипербола состоит из двух веток (левой и правой) и имеет две асимптоты:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Оси симметрии называются осями гиперболы, а точка пересечения осей — ее
центром. Ось Ох пересекает гиперболу в двух точках А1(а; 0) и А2 (–а; 0), которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы, а ось, не имеющая общих точек с гиперболой, — мнимой осью.
Действительной осью называют также отрезок А1А2 , который соединяет вершины гиперболы и его длину А1А2 = 2а. Отрезок B1B2, соединяющий точки B1(0; b) и B2 (0; –b), а также его длину, называют мнимой осью. Величины а и соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.
При построении гиперболы (61) целесообразно сначала построить основной
прямоугольник C1D1DC (рис. 3.48), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника — асимптоты гиперболы
и определить вершины А1 и А2 гиперболы.
Уравнение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                    (65)

также определяет гиперболу, которая называется сопряженной к гиперболе (61). Гипербола (65) показана на рис. 3.48 штриховой линией. Вершины этой гиперболы лежат в точках В1 (0; b) и 2 августа (0; -Ь), а ии асимптоты
совпадают с асимптотами гиперболы (6 \).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид
х2y2 = а2.
Основным прямоугольником равносторонний гиперболы является квадрат со
стороной 2а, а ее асимптотами — биссектрисы координатных углов.

3°. Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение половины фокального расстояния к длине ее действительной полуоси:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                   (66)
Поскольку с > а, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 1. Кроме того, из формул (62) и (66) следует, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем больше отношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть тем больше основной
прямоугольник растягивается в направлении оси Оу, а гипербола отклоняется
от оси Ох; чем ближе эксцентриситет к единице, тем больше основной прямоугольник растягивается в направлении оси Ох, а гипербола приближается
к этой оси.

4°. Прямые  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где а — действительная полуось гиперболы, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее
эксцентриситет, называются директрисами гиперболы
. Директрисы гиперболы имеют то же свойство (60), что и директрисы эллипса.

Пример №70

Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично начала координат, если действительно ось равна 6, а эксцентриситет Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Поскольку 2а = 6, то а = 3. Из формул (62) и (66) находим, что b = 4.
Искомый е уравнение имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №71

Найти расстояние фокуса гиперболы  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  от ее асимптоты.
Запишем каноническое уравнение данной гиперболы:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач b = 1 — полуоси гиперболы, поэтому согласно формуле (64) уравнение асимптоты имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из формулы (62) находим, что с = 3, поэтому F1 (–3; 0) и F2 (3; 0) — фокусы гиперболы.
По формуле (27) вычисляем расстояние d от фокуса F1 (или, что то же самое, фокуса F2) до найденной асимптоты: d = 1.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №72

На прямолинейном отрезке железной дороги расположены станции А и В, расстояние между которыми l. От завода N идут прямые автомагистрали NA и NB, причем NB < . Груз с завода N на станцию ​​А можно транспортировать или по автомагистрали NB, а оттуда по железной дороге (первый путь), или непосредственно по автомагистрали NA (второй путь). При этом тариф (стоимость перевозки 1 т груза на 1 км) железной дорогой и автотранспортом составляет соответственно m и n (n> m), а разгрузка-погрузка одной тонны стоит k. Определить зону влияния станции В, то есть множество точек, из которых дешевле доставить груз в А первым путем, чем вторым.

Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.49, где АО = ОВ. Найдем уравнение множества точек М (х; у), для которых оба пути «одинаково выгодны», то есть таких, что стоимость доставки груза S1 = r2n + k + lm первым путем равна стоимости S2 = r1n доставки груза вторым путем.
r2n + k + lm = r1n ,   (АМ = r1ВМ = r2).
Из этого условия получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, множеством точек, в которых S1 = S2, является правая ветка гиперболы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где а = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачb = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для точек плоскости, которые лежат справа от этой ветки, S1 < S2, то есть выгоднее первый путь, а для точек, лежащих слева, — второй путь.
Таким образом, правая ветка гиперболы ограничивает зону влияния станции В, а левая — станции А.

Пример №73

Установить, что уравнения 16х2 – 9у– 64х – 54у – 161 = 0 определяет
гиперболу. Найти ее центр и полуоси.

Выделим полные квадраты относительно х и у:

  • 16 (х2 – 4х) – 9 (у2 + 6у) – 161 = 0;
  • 16 (х2 – 4х + 4 – 4) – 9 (у2 + 6у + 9 – 9) – 161 = 0;
  • 16 (х – 2)2 – 64 – 9 (у + 3)2 + 81 – 161 = 0;
  • 16 (х – 2)2 – 9 (у + 3)2 = 144;      Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Учитывая формулы параллельного переноса, придем к заключению, что данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке О1 (2; –3) и полуосями а = 3; b = 4 (рис. 3.50). 

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей  через фокус.

Найдем уравнение параболы. Пусть на плоскости заданы фокуси директриса, причем расстояние фокуса от директрисы равно р. Возьмем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус, перпендикулярно к директрисе, а ось Оу делила расстояние между фокусом F и директрисой пополам (рис. 3.51). Тогда фокус имеет координаты F Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а уравнение директрисы имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости, а отрезки МВ и MF — расстояния этой точки от директрисы и фокуса. Точка М тогда лежит на параболе, когда МВ = = MF  или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                    (67)
Это и есть уравнение параболы. Чтобы упростить его, возведем обе части равенства (67) в квадрат:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть
у2 = 2рх.                                                                                              (68)
Можно доказать, что уравнение (67) и (68) равносильны.
Уравнение (68) называется каноническим уравнением параболы. Итак, парабола является линией второго порядка.
Исследуем форму параболы. Поскольку уравнение (68) содержит переменную
у в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох. Поэтому
достаточно рассмотреть только ту ее ​​часть, которая лежит в верхней полуплоскости.
Для этой части у Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач О, поэтому из уравнения (68) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                        (69)
Из этого равенства следует, что парабола расположена справа от оси Оу, так как при х < 0 выражение (69) не имеет смысла. Значения х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнение (69), то есть парабола проходит через начало координат. С ростом х значение у также растет. Итак, переменная точка М (х; у) параболы, выходя из начала координат, с ростом х, движется по ней вправо и вверх.
Выполнив симметричное отображение рассматриваемой части параболы
относительно оси Ох, получим всю параболу (рис. 3.52).
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ось симметрии параболы называется ее осью; точка пересечения оси с параболой — вершиной параболы; число, которое равно расстоянию фокуса от директрисы, — параметром параболы. Осью параболы, заданной уравнением (68), является ось Ох, вершиной — точка О (0; 0) и параметром — число р.

Выясним влияние параметра р на форму параболы. Если в уравнении (68) положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соответствующие значения ординаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть имеем на параболе две симметричные относительно оси Ох точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Расстояние между этими точками равна 2р и увеличивается с
увеличением р. Итак, параметр р характеризует «ширину» области, которую
ограничивает парабола.
Уравнения у2 = –2рх,   х2 = 2ру,   х2 = –2ру, в которых параметр р > 0, определяют параболы, изображенные на рис. 3.53.

Замечание. Используя свойство 4° эллипса и гиперболы и определение параболы, можно дать следующее общее определение кривой второго порядка (кроме окружности): множество точек, для которых отношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояния до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина  постоянная, — это эллипс (при 0< Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач <1), или парабола (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1), или гипербола (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > l).

Пример №74

Исследовать взаимное расположение параболы у2 = х  и прямой х +у  – 2 = 0.
Решая систему уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим решение (4; –2) и (1; 1). Это означает, что прямая пересекает параболу в точках М1(4; –2), М2(1; 1).

Пример №75

В параболу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  вписан равносторонний треугольник так, что одна из
вершин его совпадает с вершиной параболы. Найти сторону треугольника.

Пусть точка А(х0; у0) — одна из вершин треугольника. Тогда другими его вершинами будут точки В (–х0; у0) и О(0; 0). Поскольку треугольник равносторонний, то АВ = АО = ВО, откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач· Решая это уравнение вместе с уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  находим х0 = 3. Следовательно, сторона треугольника равна 2х0 = 6.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №76

Струя воды вытекает из конической насадки со скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  под углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, составить уравнение струи относительно прямоугольной системы координат Оху, считая, что струя находится в плоскости Оху, точка О совпадает с выходным отверстием насадки, а ось Ох проходит горизонтально в направлении полета струи (рис. 3.54). Найти дальность полета l, высоту подъема h и угол, при котором дальность полета наибольшая.

Выделим в струе воды частичку единичной массы. Если бы на нее не действовала сила тяжести, то за время t  она прошла бы путь, равный модулю вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная скорость частицы.
Под действием силы тяжести частица за то же время t  пройдет путь, равный длине дуги ОМ. Поскольку сила тяжести направлена вертикально вниз, то радиус-вектор частицы имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —ускорение силы тяжести. Уравнения
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
— это параметрические уравнения траектории полета частицы. Исключив параметр t, получим у = ах2,  где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Таким образом, траектория движения частицы, а следовательно, и вcей струи имеют форму параболы. Дальность полета струи получим из ее уравнения при у = 0, а высоту подъема — при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Дальность полета наибольшая, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полярные и параметрические уравнения кривых второго порядка

1. Пусть в прямоугольной системе координат уравнением (53) задана окружность. Если ввести полярные координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, как указано в п. 2.3), то уравнение (53) запишется в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;    или      р = R.                                  (70)
Это и есть полярное уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R. Чтобы вывести параметрические уравнения, обозначим через t угол между осью Ох и радиусом-вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольной точки М (х; у) окружности (рис. 3.55).
Точка М (х; у) лежит на окружности тогда и только тогда, когда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                (71)
Уравнения (71) называются параметрическими уравнениями окружности.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

2. Рассмотрим теnер кривую l, которая может быть эллипсом, параболой
или правой веткой гиперболы (рис. 3.56).
Пусть F — фокус кривой l (если l — эллипс, то F — его левый фокус), d — соответствующая этому фокусу директриса, 2p — длина хорды, которая проходит через фокус параллельно директрисе, и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — эксцентриситет кривой l. Введем полярную систему координат так, чтобы ее полюс совпадал с F, а полярная ось Fx была перпендикулярной к директрисе d и направлена в сторону, противоположную от нее. Тогда согласно общему определению кривой второго порядка (замечание п. 6.5)
имеем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                            (72)

Поскольку MF = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и из равенства (72) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                    (73)
Это и есть  общее полярное уравнение кривой l. При 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 1 уравнение (73) определяет эллипс, пр и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1 — параболу, а при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 1 — правую ветку гиперболы. Уравнение левой ветки гиперболы в выбранной полярной системе
имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Число p в полярных уравнениях называется полярным параметром кривой. Для того чтобы выразить через параметры канонических уравнений (57), (61) и (68) кривой l, достаточно в это уравнение подставить координаты точки N1: х = с, у =
= p — для эллипса и гиперболы и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — для параболы. Тогда для эллипса и гиперболы имеем:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а для параболы полярный параметр равен параметру p и ее каноническому уравнению (68). Уравнение (73) применяется в механике.

Пример №77

Какую кривую определяет полярное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?
Приведя данное уравнение к виду Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Итак, заданная линия является эллипсом. Найдем его полуоси. Поскольку 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем без доказательства параметрические уравнения эллипса и гиперболы
[9]. Параметрические уравнения
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
задают эллипс с центром в точке (х0; у0) и с полуосями а и b.
Параметрические уравнения гиперболы с центром в точке (х0; у0) и с полуосями а и b имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где ch t и sh t — гиперболический косинус и гиперболический синус.

Пример №78

Кривошип ОА (рис. 3.57) вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приводит в движение ползун В с помощью шатуна АВ, причем ОА  = АВ = а. Составить уравнение траектории средней точки М шатуна.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть М (х; у) — средняя точка шатуна АВ,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где t — время. Итак, траекторией средней точки шатуна является эллипс. Освободившись от параметра t, получим его каноническое уравнение:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поверхности второго порядка

Понятие поверхности второго порядка:

Поверхностью второго порядка называется множество точек, прямоугольные
координаты которых удовлетворяют уравнению вида
ах2 + 2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0,                             (74)
где хотя бы один из коэффициентов а, b, с, d, е, f отличен от нуля.
Уравнение (74) называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка как геометрический объект не изменяется,
если от заданной прямоугольной системы координат перейти к другой.
При этом уравнения (74) и уравнения, найденное после преобразования координат, будут эквивалентными.
Можно доказать [14], что существует система координат, в которой уравнение
(74) имеет самый простой (или канонический) вид.
К поверхностям второго порядка относятся, в частности, цилиндрические
и конические поверхности, поверхности вращения, сфера, эллипсоид, однополосной и двуполостной гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Рассмотрим эти поверхности и их канонические уравнения.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называют поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, образовавшуюся множеством прямых (образующих), пересекающих заданную линию (направляющую) и параллельных заданной прямой l (рис. 3.58). Будем изучать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельные координатной оси, перпендикулярной к этой плоскости.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай, когда образующие цилиндрической поверхности параллельны оси Oz, а направляющая лежит в плоскости Оху.
Пусть задано уравнение
f (x, y) = 0,                                                                                (75)
которое в плоскости Оху определяет (рис. 3.59) некоторую линию L — множество
точек М (х; у), координаты которых удовлетворяют это уравнение. Данное уравнение удовлетворяют также координаты всех точек N (х; у; z) пространства, у которых две первые координаты х и у совпадают с координатами любой точки линии L, а третья координата z — произвольная, то есть тех точек пространства, которые проецируются на плоскость Оху в точки линии L.
Все такие точки лежат на прямой, параллельной оси Oz и пересекающей линию L в точке М (х; у). Совокупность таких прямых и является цилиндрической поверхностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если точка не лежит на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она не может проецироваться в точку линии L, то есть координаты такой точки уравнение (75) не удовлетворяют.
Следовательно, уравнение (75) определяет поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, уравнение f (x, y) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность,
образующие которой параллельны оси Oz, а направляющая L в плоскости Оху задается тем самым уравнением f (x, y) = 0. Эта же линия в пространстве Oxyz задается двумя уравнениями:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично уравнение f (x, z) = 0, в котором отсутствует переменная y, определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Оу, а направляющая L в плоскости Oxz задается тем самым уравнением f (x, z) = 0; уравнение f (x, z) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Ох.

Примеры:

  1. Поверхность, которая определяется уравнением х2 + у2 = R2, является цилиндрической и называется прямым круговым цилиндром. Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей в плоскости Оху является окружность х2 + у2 = R2 (рис. 3.60, а).
  2. Поверхность, которая определяется уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является цилиндрической  и называется эллиптическим цилиндром (рис. 3.60, б).
  3. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называется гиперболическим цилиндром (рис. 3.60, в).
  4. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением у2 = 2рх, называется параболическим цилиндром (рис. 3.60, г).
  5. Уравнение z2 = 1 – у определяет в пространстве параболический цилиндр, направляющей которого в плоскости Oyz является парабола z2 = 1 – у, а образующие параллельны оси Ох (рис. 3.60, д).

Поверхности вращения

Поверхность, образованную вращением заданной плоской кривой l вокруг
заданной прямой (оси вращения), которая лежит в плоскости кривой l, называют
поверхностью вращения.
Пусть линия l, лежащая в плоскости Oyz, задана уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(Х, Y, Z — переменные координаты точек линии l, а х, у, z —переменные координаты точек поверхности).
Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии вокруг оси Oz (рис. 3.61), и найдем уравнение поверхности вращения.
Проведем через произвольную точку М (х; у; z) поверхности вращения плоскость,
перпендикулярную к оси Oz, и обозначим через К и N точки пересечения этой плоскости с осью Oz и линией l. Поскольку отрезки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачKN и КМ равны между собой как радиусы, КР = у, РМ = х, то YВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  кроме того, Z = z. Поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению F (Х, Z) = 0, то, подставляя в это уравнение вместо Y, Z равные им величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                          (76)
которое удовлетворяет произвольная точка М (х; у; z) поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности,
уравнение (76) не удовлетворяют. Следовательно, уравнение (76) является уравнением поверхности вращения.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно составить уравнение поверхности вращения вокруг осей Ох и Оу. Таким образом, чтобы получить уравнение поверхности вращения кривой
вокруг какой-либо координатной оси, надо в уравнении кривой оставить без изменений координату, соответствующую оси вращения, а вторую координату заменить на квадратный корень из суммы квадратов двух других координат, взятый со знаком + или –.

Пример №79

Найти уравнение поверхности вращения эллипса х2 + 4у2 = 4, z = 0 вокруг оси Ох,

В уравнении эллипса надо оставить без изменения координату х, а вместо координаты у подставить в уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач :
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Конические поверхности

Конической поверхностью называется поверхность, образованная множеством
прямых, проходящих через заданную точку Р и пересекающую заданную линию
L. При этом линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р — ее вершиной, а каждая из прямых, образующих коническую поверхность, — образующей.
Пусть направляющая L задана в прямоугольной системе координат уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                          (77)
а точка Р (х0; у0; z0) — вершина конической поверхности (рис. 3.62). Чтобы составить уравнение конической поверхности, возьмем на поверхности произвольную точку М (х; у; z) и обозначим точку пересечения образующей РМ с направляющей L через N (Х; Y; Z).
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки N и Р, имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                       (78)
Исключая Х, Y и Z из уравнений (77) и (78), получим искомое уравнение конической поверхности.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примеры:
1. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке О (0; 0; 0) и с направляющей L, заданной уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка конической поверхности, а N (Х; Y; Z) — точка пересечения образующей ОМ и линии L. Канонические уравнения образующей ОМ имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Z = с,  тo   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Подставляя эти значения Х и Y в первое из уравнений направляющей ​​L, получим искомое уравнение:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
При а = b направляющей L является окружность Х2 + Y2 = а2, Z = с, а уравнение конической поверхности имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта поверхность называется прямым круговым конусом (рис. 3.63).

2. Уравнение конической поверхности, вершиной которой является точка О (0; 0; 0), а направляющей — эллипс (рис. 3.64)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
имеет вид     Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сфера

Сферой называют множество всех точек пространства, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр сферы с ее произвольной точкой, называется радиусом сферы.
Возьмем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Чтобы составить уравнение сферы с центром в точке О1 (а; b; с) и радиусом R (рис. 3.65), возьмем в пространстве произвольную точку М (х; у; z).
Точка принадлежит сфере тогда и только тогда, когда O1М = R или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Это и есть уравнение сферы. Для удобства его записывают в таком виде:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                           (79)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то есть а = b =с =0, то уравнение такой сферы имеет вид
х2 + у2 + z2 = R2.
Если в уравнении (79) раскроем скобки, то получим общее уравнение сферы
х2 + у2 + z2 + Ах + Ву + Cz + D = 0,                                                              (80)
где А = –2а, В = –2b, С = –2с, D = а2 + b2 + с2R2.
Это уравнение имеет такие свойства.

  • 1°. Уравнение (80) является уравнением второй степени относительно х, у и z, итак, сфера — поверхность второго порядка.
  • 2°. Коэффициенты при x2, у2, z2 равны между собой.
  • 3°. В уравнении отсутствуют члены с произведениями ху, xz, yz.

Однако не всякое уравнение вида (80), которое соответствует условиям и 1°–3°,
изображает сферу.

Примеры:

1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением
х2 + у2 + z2 + 2х + 4у – 6z – 11 = 0.

Выделяя полные квадраты по х, у и z, запишем заданное уравнение в виде
(х + 1)2 + (у + 2)2 + (z – 3)2 = 25. Следовательно, точка О1(–1; –2; 3) — центр сферы
и R = 5 — ее радиус.

2. Уравнение х2 + у2 + z2 + 2x + 4y – 6z + 15 = О1 или (х + 1)2 + (у + 2)2 + (z – 3)2 = –1 не определяет никакого геометрического объекта.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (81)

Уравнение (81) называется каноническим уравнением эллипсоида. Исследование формы эллипсоида проведем методом параллельных сечений. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением
z = h, где h — произвольное действительное число, а линия, которая образуется в сечении, определяется уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (82)
Исследуем уравнения (82) при различных значениях h.

1. Если и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и уравнения (82) никакой линии не определяют, то есть точек пересечения плоскости z = h  с эллипсоидом не существует.

2. Если h = ± с, то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и линия (82) вырождается в точки (0; 0; с)  и    (0; 0; –с), то есть плоскости z = с  и  z = –с  касаются эллипсоида.

3. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть плоскость z = h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а1 и b1. При уменьшении h значения а1 и b увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h = 0, то есть в сечении эллипсоида плоскостью Оху  получим наибольший эллипс с полуосями а1а,  b1 = b.

Аналогичные результаты получим, если будем рассматривать сечения эллипсоида плоскостями х = h и у = h.
Таким образом, рассмотренные сечения дают возможность изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 3.66). Величины а, b, с называются полуосями эллипсоида. Если любые две полуоси равны между собой, то трехосный эллипсоид преобразуется в эллипсоид вращения, а если все три полуоси равны между собой — в сферу.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №80

Найти центр и полуоси эллипсоида, заданного уравнением
Зх2 + 4у2 + 6z– 6х + 16у – 36z + 49 = 0.

Выделяя полные квадраты относительно х, у, z, получим
3 (х – 1)2 + 4 (у + 2)2 + 6 (z – 3)2 = 36
или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, данный эллипсоид имеет полуоси: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его
центр находится в точке О (1; –2; 3).

Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется  поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                        (83)
Уравнение (83) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Исследуют уравнения (83), как и в предыдущем пункте, методом параллельных сечений.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пересекая однополостной гиперболоид плоскостями, параллельными плоскости Оху, получим в сечении эллипсы. Если поверхность (83) пересекать плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы.
Детальный анализ этих сечений показывает, что однополостной гиперболоид имеет форму бесконечной трубки, которая неограниченно расширяется в обе стороны от наименьшего эллипса, по которому однополостной гиперболоид пересекает плоскость Оху (рис. 3.67).

Пример №81

Найти линию пересечения однополостного гиперболоида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач1
плоскостями:  а) Oxz;     б) Оху;         в) х = 4.
а) Линией пересечения плоскости Oxz с данным гиперболоидом является гипербола
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) Линией пересечения плоскости Оху с данным гиперболоидом является эллипс:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в) Линия пересечения плоскости х = 4 с данным гиперболоидом является гиперболой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Двуполостные гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                        (84)
Уравнение (84) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Метод параллельных сечений позволяет изобразить двуполостной гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных полостей (отсюда название двуполостной), каждая из которых пересекает ось Oz и имеет форму выпуклой бесконечной чаши (рис. 3.68).

Пример №82

Составить уравнение поверхности вращения, созданной вращением гиперболы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачz = 0  вокруг оси абсцисс, и определить вид поверхности.

Подставив в уравнение гиперболы вместо у выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Это уравнение двуполостного гиперболоида, который пересекает ось Ох в точках (2; 0; 0) и (–2; 0; 0) (рис. 3.69).

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                       (85)
которое является каноническим уравнением эллиптического параболоида. Он имеет форму бесконечной выпуклой чаши (рис. 3.70). Линиями параллельных сечений эллиптического параболоида являются параболы или эллипсы.

Пример №83

Найти точки пересечения эллиптического параболоида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с прямой    Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем параметрические уравнения данной прямой:
х = 2t + 2,  у = –– 1,   z = 4t + 10.
Подставим выражения для х, у, z в уравнение параболоида и найдем те значения параметра, которые соответствуют точкам пересечения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Подставляя найденные значения параметра в параметрические уравнения прямой, найдем точки пересечения: М1 (–2; 1; 2) и М(6; –3; 18).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                     (86)
являющимся каноническим уравнением гиперболического параболоида. Эта поверхность имеет форму седла (рис. 3.71).
Линиями параллельных сечений гиперболического параболоида являются гиперболы или параболы.

Линейчатые поверхности

Поверхности, образующие которых прямые линии, называются линейчатыми.
Такими поверхностями являются цилиндрические и конические поверхности. Рассмотрим уравнения однополостного гиперболоида (83) и запишем его в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                (87)
Составим систему уравнений: 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                      (88)
где k — произвольный, отличный от нуля, параметр.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
При определенном значении параметра k каждое из уравнений системы (88)
определяет плоскость, а каждая из систем определяет прямую линию как пересечение плоскостей.
Если перемножить уравнения (88) почленно, то получим уравнение (87). Поэтому произвольная точка (х, у; z), удовлетворяющая систему (88), лежит на поверхности (87). Это означает, что каждая из прямых (88) полностью лежит на поверхности однополосного гиперболоида (рис. 3.72).
Итак, однополостной гиперболоид — линейчатая поверхность. Это же касается и гиперболического параболоида (86).
Отметим, что однополостные гиперболоиды применяются в строительстве. Сооружения различных высотных башен с использованием прямолинейных образующих однополостного гиперболоида соединяет в себе прочность конструкции и простоту ее исполнения. Идея использования однополостного гиперболоида в строительстве принадлежит русскому ученому В. Г. Шухову. По проекту Шухова построена телевизионная башня на Шаболовке в Москве. Она состоит из секций однополостных гиперболоидов вращения.

Пример №84

Найти те прямолинейные образующие гиперболического параболы  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые проходят через точку А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запишем заданное уравнение в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Составим систему уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставив координаты точки А в первое уравнение системы, найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Следовательно, прямая
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
является одной из тех образующих заданного параболоида, которая проходит через точку А. Вторую образующую находим аналогично из системы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вступление в математический анализ

Математический анализ — это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами бесконечно малых. Основы
даны в работах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других математиков 17-18 в.в. Обоснование математического анализа с помощью понятия границы принадлежит О. Л. Коши.
Курс математического анализа содержит следующие разделы: вступление в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория рядов.
В 19 – 20 в.в. методами математического анализа начали изучать более сложные
математические объекты, чем функции. Это привело к созданию функционального анализа и многих других математических дисциплин.

Действительные числа

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби.

Множества. Логические символы

Понятие множества является одним из фундаментальных в математике. Оно
принадлежит к понятиям, которым нельзя дать строгое определение, то есть к
так называемым первичным, которые нельзя выразить через более простые понятия. Интуитивно множество понимают как совокупность (семейство, набор, собрание) некоторых объектов, объединенных по определенному признаку или свойству.
Примерами множеств может быть множество деталей, из которых состоит
данный механизм, множество школ данного города, множество звезд
определенного созвездия, множество решений данного уравнения, множество всех целых чисел и тому подобное.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — маленькими. Если элемент х принадлежит множеству Х, то пишут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; запись Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.
Множество считается заданным, если известна характеристика его элементов, когда о каждом элементе можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Так, множеству целых чисел принадлежит число 7, но не принадлежит число 0,7.
Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Запись Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  означает, что множество А конечно и содержит m элементов. Множество Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, содержащее бесконечное количество элементов, называется бесконечным. Так, множество слушателей в данной аудитории — конечно, а множество треугольников, которые можно вписать в данный круг, – бесконечно.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Примером пустого множества является множество действительных корней уравнения х2 + 1 = 0. Пусть задано два множества А и В. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В и пишут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА содержится в В » или «В содержит А»). Например, множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел. Очевидно, что каждое множество является своим подмножеством и пустое множество является подмножеством любого множества. Если множества А и В содержат одни и те же элементы, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то их называют равными и пишут А = В.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим некоторые операции, которые можно выполнять над множествами.
Множество С, содержащее элементы, каждый из которых принадлежит множеству А или множеству В, называют объединением (суммой) множеств А, В
и обозначают С = А U В (рис. 4.1, а). Итак,   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Множество D, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множествам А и В, называют пересечением (произведением) множеств А и В и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.1, б). Итак, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Множество Е, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
множеству А и не принадлежит множеству В, называют частным множеств
А и В и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. (рис. 4.1, в). Итак, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Например, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть Р (х) — некоторое свойство числа х, тогда запись Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает множество всех чисел х, для которых выполняется свойство Р (х). Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество действительных чисел

В курсе высшей математики часто используют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Назовем некоторые из них:

  1. множество натуральных чисел N = {l; 2; ...; n; ...};
  2. множество целых неотрицательных чисел Z0 = {0; 1; 2; ...; n; ...};
  3. множество целых чисел Z = {0; ± 1, ± 2 ...; ±n ...};
  4. множество рациональных чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  5. множество действительных чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — цифры десятичной системы счисления.

Между этими множествами существует связь:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Множество действительных чисел содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число является или целым числом, или конечной или периодичной десятичной дробью. Иррациональное число — это бесконечная непериодичная десятичная дробь. Так, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  —
рациональные числа; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — иррациональные
числа.
Не вдаваясь в теорию действительных чисел [11], отметим, что на множестве действительных чисел всегда выполняются операции сложения, вычитания,
умножения и деления (кроме деления на 0). Корень нечетной степени из любого действительного числа имеет одно действительное значение. Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, которые отличаются
только знаком. Корень четной степени из отрицательного числа на множестве
действительных чисел смысла не имеет.
Действительные числа изображают точками  на координатной
оси или числовой прямой.
Таким образом, между множеством действительных чисел R и множеством всех
точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому числу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует определенная точка прямой
и, наоборот, каждой точке прямой соответствует определенное число.

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и b — действительные числа, причем а < b. Рассмотрим числовые
множества:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Все эти множества называются числовыми промежутками, причем [a; b]  — отрезок (сегмент) (а; b), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — интервалы, (а; b], [а; b), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачполуинтервалы.
Промежутки [а; b], (а; b), (а; b], [а; b) называются конечными и обозначаются общим символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; точки а и b называют соответственно левым и правым концами этих промежутков.
Последние из приведенных промежутков называются бесконечными. Символы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в этих промежутках не следует рассматривать как числа; это
символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от ее начала влево и вправо. Арифметические операции над символами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач недопустимы. Считают, что любое действительное
число х больше, чем  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и меньше, чем  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < х  < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Введем интервалы, называемые окрестностями точки. Пусть х0 — произвольное действительное число. Окрестностью точки х0 называют любой интервал
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, содержащий эту точку, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Так, окрестностями точки
х0 = 1 является интервалы (–0,5; 1,5), (0; 2) и т. д.
Интервью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестностью точки х0, причем точку х0 называют центром, а число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрадиусом окрестности.
Эту окрестность называют достаточно малой, если число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно мало.

Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модулем действительного числа х называют число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяемое
по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Так, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрически число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет расстояние от начала отсчета 0 до точки, соответствующей числу х на числовой оси.
Рассмотрим арифметическое значение корня Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где а — произвольное
действительное число. Очевидно, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сформулируем свойства модуля действительного числа:

  1. Равны между собой числа имеют равные между собой модули:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Модуль числа есть число неотрицательное:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Число не больше своего модуляВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Противоположные числа имеют равные между собой модули:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их модулей:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  6. Модуль разности двух чисел не меньше разницы их модулей:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
  7. Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
  8. Модуль частного  равняется частному модулей делимого и делителя:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  9. Если а > О, то неравенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильны:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
  10. Для произвольного числа а > 0  неравенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или
    Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равносильные:

Пользуясь понятием модуля, некоторые из приведенных выше промежутков можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В частности, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность точки х0 записывается в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  это окрестность с выколотой
точкой
х0 записывается так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №85

Решить неравенства: а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;         б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
а) По свойству 9° имеем:
–5 < 2х – 3 < 5, или –2 < 2х < 8, или –1 < х < 4.
Следовательно, данное неравенство выполняется для значений х, принадлежащих интервалу (–1; 4).
б) Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и по свойству 10° имеем
х – 2 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач С или  х – 2 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач–3  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или х Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач –1. Таким образом, данное неравенство
справедливо для всех х значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Функция

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Постоянные и переменные величины

Величина — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики менялся и обобщался. Это понятие настолько широкое и всеобъемлющее, что его трудно определить. Масса, сила, давление, напряжение, длина, объем, действительное число, вектор — все это примеры величин. На первой стадии под величиной понимали то, что, выражаясь в определенных единицах (например, длина в метрах, масса — в граммах и т. д.), характеризуется своим числовым значением.
Впоследствии величинами стали и такие понятия, как число, вектор и другие.
Величины в некотором процессе могут принимать различные или одинаковые
числовые значения. В первом случае величина называется переменной, во втором — постоянной.

Примеры:

  1. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная для всех окружностей и равна числу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Величина х, которая удовлетворяет условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является переменной величиной.
  3. Если в разных местах и ​​на разных глубинах озера измерять одновременно давление воды и ее плотность, то окажется, что давление — переменная величина, а плотность можно считать величиной постоянной.

В первых двух случаях постоянная и переменная величины определяются точно. В третьем случае плотность воды, хоть и незначительно, но меняется, поэтому она постоянна только с определенной точностью. Во многих реальных явлениях можно указать величины, которые только условно будут постоянными.

Предметом высшей математики является изучение переменных величин. Постоянная величина считается частным случаем переменной: постоянная — это такая переменная, все значения которой равны между собой.
Если величина приобретает свои значения дискретно (прерывно), то ее называют последовательностью (п. 3. 1). Если же переменная величина приобретает непрерывные значения, то ее просто называют переменной.

Понятие функции

Изучая те или иные явления, мы, как правило, оперируем несколькими величинами, которые связаны между собой так, что изменение некоторых из них приводит к изменению других.
Такая взаимосвязь в математике выражается с помощью функции. Этот термин впервые ввел Г. Лейбниц.

Примеры:

1. Пусть электрическая цепь состоит из источника постоянного напряжения U и реостата R. При изменении сопротивления R меняться сила тока. Напряжение U — величина постоянная (в данной цепи), а сопротивление R и ток — переменные, причем I меняется в зависимости от изменения R по закону Ома:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть сила тока I является функцией сопротивления R.

2. Во время свободного падения тела пройденный путь S зависит от изменения времени t. Связь между переменными величинами S и t задается формулой
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
где g — ускорение свободного падения (постоянная величина). Величина S зависит от изменения величины t, то есть путь S является функцией времени t.

3. Согласно закону Бойля–Мариотта объем газа V и давление Р при постоянной температуре связаны формулой PV = с, где с — некоторая постоянная. Отсюда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
то есть переменная величина V изменяется в зависимости от изменения Р, поэтому объем V является функция давления Р.

4. Длина l окружности диаметра d определяется по формуле l = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачd, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная величина. Переменная l зависит от переменной величины d, то есть длина окружности l является функцией диаметра d.

Общим в этих примерах является то, что связь между переменными величинами описывается определенным правилом (зависимостью, законом, соответствием) так, что каждому значению одной величины (R, Р, t, d) соответствует единственное значение второй (, V, S, l ).
Дадим теперь определение функции. Если каждому числу х из некоторого
числового множества Х по определенному правилу поставлено в соответствие
единственное число у, то говорят, что у есть функция от х, и пишут у = f (x),
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это определение принадлежит Н. И. Лобачевскому и Л. Дирихле.
Переменная х называется независимой переменной, или аргументом, а переменная узависимой переменной, или функцией; под символом понимают то правило, по которому каждому х соответствует у, или те операции,
которые надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции.
Множество Х называется областью определения функции. МножествоY всех чисел у, таких, что у = f (x) для каждого Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество значений функции, то есть

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Иногда в определении функции предполагают, что одному значению аргумента
соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функцию называют многозначной, в отличие от указанной выше однозначной функции. Примерами многозначных функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  В дальнейшем мы будем рассматривать только однозначные функции.
В более широком смысле понятие функции употребляется как синоним понятия отображения множества на множество.
Пусть заданы два непустых множества Х и Y с элементами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи пусть преобразование f  переводить х в у. Тогда это преобразование f (правило, закон, соответствие, отображение, зависимость) называют функцией и пишут
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(Х и Y  — множества некоторых элементов, не обязательно числовые).
В этом случае, как и в случае числовых множеств Х и Y , эти множества называют областью определения и множеством значений функции. В зависимости от природы множества Х и Y, для функции f употребляют разные
названия. Так, если Х и Y — множества действительных чисел, то говорят, что
f — действительная функция действительного аргумента; если Х — множество комплексных чисел а Y — множество действительных чисел, то f  —действительная функция комплексного аргумента; если Х — множество функций,
а Y — числовое множество, то f называется функционалом.
Сравнивая определение функции, видим, что в первом из них под функцией у = =f(x) понимают ее значение — число у. По второму определению функция — это закон или правило f, по которому каждому элемента Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставится в соответствие единственный элемент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, по первому определению понятие функции сводится к понятию переменной величины, а по второму — к понятию соответствия. Иногда понятие функции выражается и через другие понятия (например, множество). В дальнейшем будем пользоваться первым определением функции.
В курсе математического анализа рассматривают функции, для которых область определения X и множество значений Y состоят из действительных чисел. Поэтому под понятием «число», если не оговорено, будем понимать действительное число.
Из определения функции не следует, что разным значениям аргумента
соответствуют разные значения функции. Функция может во всей области
определение приобретать несколько или даже одно значение. В частности, если множество значений функции состоит лишь из одного числа с, то такую ​​функцию называют постоянной и пишут у = с.

Способы задания функции

Чтобы задать функцию у = f (x), надо указать ее область определения Х, множество значений Y и правило f, по которому для произвольного числа
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти соответствующее ему число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Основные способы задания функции: аналитический, графический и табличный.
При аналитическом способе задания функции соответствие между аргументом
и функцией задается формулой (аналитическим выражением), где указано, какие действия нужно выполнить над значением аргумента и постоянными числами, чтобы получить соответствующее значение функции. Если при этом область определения не указывается, то под последней понимают область существования функции — множество всех действительных значений аргумента, для которых аналитическое выражение имеет смысл.

Замечание. Не следует отождествлять функцию и формулу, с помощью которой эта функция задана. Одной и той же формулой можно задавать различные функции, и наоборот, одна и та же функция на разных участках ее области определения может задаваться различными формулами. Так, функции у = х3, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  у = х3,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — различные, потому что они имеют различные области определения; функция
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
определена на промежутке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но для неположительных и положительных значений аргумента ее задано различными формулами.

Пример №86

Найти области определения функции:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;  в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;    д) у = n!.

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
д) формула у = n! ставит в соответствие каждому натуральному числу n число у = n!. Например, если n = 3, то у = 3! = 1 · 2 · 3 = 6, если n = 5, то у = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 Итак, Х = Z0 (считают, что 0! = 1).

Эти примеры показывают, что областью существования функции могут быть весьма разнообразные множества: отрезок, несколько или даже бесконечное
количество отрезков, дискретное множество точек и тому подобное.
Отметим, что задача нахождения множества Y значений аналитически
заданной функции намного сложнее и связана с задачей об экстремумах функции.

При графическом способе задания функции у = f (х) соответствие между переменными х и у задается графиком — множеством точек (х; у) плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют равенство уf (х). В зависимости от того, какую задано функцию, ее график может состоять из одной сплошной линии, нескольких линий, дискретного множества точек плоскости и тому подобное.
Графическим способом задания функции широко пользуются при исследованиях, связанных с использованием таких самопишущих приборов, как барограф (для записи изменений атмосферного давления), осциллограф (для записи изменений электрического тока или напряжения), электрокардиограф (для записи электрических явлений, связанных с деятельностью сердца), термограф (для записи изменений температуры воздуха) и др. Кривые (их
называют соответственно барограмма, осциллограмма, электрокардиограмма,
термограмма),  выписываемые приборами, задают вполне определенную функцию, свойства которой характеризуют ход того или иного процесса.

Графики функций можно наблюдать на дисплеях компьютеров. В математике графиками широко пользуются для геометрического изображения функций, даже тогда, когда эти функции заданы аналитически. Если функция у = f (x) задана на некотором множестве Х формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует определенный график, который определяет эту функцию геометрически. А если функция задана произвольным графику, то можно ли задать ее некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, нужно выяснить, какой смысл имеет понятие формулы. Если функция у = f(x) задана формулой, то пока считаем, что функция у образовывается с помощью конечного числа таких операций над х, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня, логарифмирование, взятие sin, arcsin и тому подобное. Математический анализ позволяет значительно расширить понятие формулы. В частности, формулой считается также и бесконечный ряд, членами
которого являются те или иные функции, то есть допускается бесконечное число операций над этими функциями. С помощью таких формул большинство кривых, встречающихся на практике, можно задать аналитически.

Примеры:

1. Графиком функции у = 2– 3, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  есть бесконечное множество изолированных точек (рис. 4.2), которые лежат на прямой у = 2х – 3.

2. Графиком функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть совокупность биссектрис первого и второго координатных углов (рис. 4.3).

3. Графиком функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
заданной различными аналитическими выражениями на разных частях области изменения х, является совокупность параболы и прямой (рис. 4.4). Стрелка на графике означает, что точка М (2; 2) не принадлежит прямой.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Функция

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(читается «сиrнум икс») определена на всей числовой оси и приобретает три значения: –1; 0; 1; Х =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Y = {–1, 0; 1). График этой функции изображен на
рис. 4.5.

5. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 4.6) определена при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и приобретает два значения:
–1; 1;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что в прямоугольной системе координат Оху (рис. 4. 7) функцию задает только такая кривая l2, которую каждая прямая, проходящая через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельно оси Оу, пересекает только в одной точке. Область определения этой функции — отрезок [а; b], который является проекцией кривой на ось Ох. Чтобы найти значение функции у0 = f (x0) , соответствующую значению аргумента x0, нужно через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач [а; b] провести перпендикуляр к оси Ох. Длина этого перпендикуляра от оси Ох к точке М0 (x0; у0) пересечения с кривой, взятая с надлежащим знаком, и является значением функции в точке x0, то есть у0 = f (x0). Кривая l1 не задает функцию.

Табличный способ задания функции у = f (x) состоит в том, что соответствие между переменными х и у задается в виде таблицы.
Табличный способ достаточно часто используется при проведении экспериментов, когда задают определенную совокупность х1, х2, ..., хn значений аргумента и опытным путем находят соответствующие значения функции:
у1, у2, ..., уn .

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если функция задана аналитически, то для нее можно построить таблицу, то есть табулировать функцию. Табулируются, как правило, функции, которые выражаются сложной формулой, но часто встречаются в практике. Таковы, например, таблицы логарифмов, тригонометрические таблицы и т. д. И здесь, как и при графическом задании функции, возникает обратный вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к аналитическому, то есть можно ли функцию, заданную таблицей, задать формулой? Чтобы ответить на него, заметим, что таблица дает не все значения функции. Промежуточные ее значения, которые не входят в заданную таблицу, можно найти приближенно с помощью так называемой операции интерполяции функции. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее таблице невозможно. Однако можно построить формулу, причем не одну, которая для значений хi, присутствующих в таблице, будет давать соответствующие значения уi функции. Такие формулы называются интерполяционными.

В последнее время табличный способ широко применяется в связи с использованием электронно-вычислительных машин (ЭВМ), потому что исходную информацию ЭВМ выдает в виде числовых массивов (таблиц). В связи с этим все больше распространяется и становится одним из основных четвертый способ задания функции — с помощью компьютерных программ. Как правило, этим способом задаются такие функции, которые являются решениями сложных математических задач. Ни одним из предыдущих способов подобные функции задать нельзя.
Кроме рассмотренных существуют и другие способы задания функции. Так,
функцию можно задать словесным описанием зависимости между переменными.

Примеры:

  1. Функцию у задано условием: каждому действительному числу х ставится в соответствие наибольшее целое число, не превышающее х (рис. 4.8). Эта функция, определенная на множестве действительных чисел, называется целой частью х и обозначается у = [х] или у = Е (х) (Е — первая буква французского слова entier — целый). Например, [0, 2] = 0, [–2, 5] = –3, [5] = 5 и т. д.
  2. Каждому рациональному числу ставится в соответствие число 1, а иррациональному — число 0. Эта функция тоже определена на множестве R. Она обозначается через D (х) и называется функцией Дирихле:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

График функции D (x) практически изобразить нельзя, потому что он состоит из точек прямой у = 1, имеющих абсциссами рациональные числа, и из точек прямой у = 0, в которых абсциссы — иррациональные числа.

Классификация элементарных функций

Основными элементарными функциями называются следующие:

  1. Степенная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Область определения и графики этой функции зависят от значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.9, ае).
  2. Показательная функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4. 10).
  3. Логарифмическая функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 4.11).
  4. Тригонометрические функции: у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х (рис. 4.12, а–г).
  5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х (рис. 4.13, а-г).

Графики основных элементарных функций надо помнить. Преобразовывая их, можно получить графики многих других функций. Пусть график функции y = f (x) известен, рассмотрим некоторые преобразования этого графика.

  1. График функции у = f (x) + b получим из графика функции уf (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Оу на величину, равную b (рис. 4.14).
  2. График функции у = f (х + а) получаем из графика функции уf (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Ох на величину, равную а (рис. 4.15).
  3. График функции у = cf (x),  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.16) получаем из графика функции уf(x) при 0 < с < 1 с помощью сжатия в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз ординат последнего, а при с > 1 с помощью растягивания в с раз его ординат с сохранением соответствующих абсцисс. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < с < 0, то график у = cf (x) является зеркальным отражением графика у = –cf (x) относительно оси Ох (согласно случаев –1 < с < 0 и с < –1).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. График функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получаем из графика функции уf (x) при О < k < 1 увеличением в  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  раз абсцисс его точек, а при 1 < kВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  уменьшением в k раз абсцисс его точек с сохранением их ординат (рис. 4.17).
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачk < 0, то график у = f (kx) является зеркальным отражением графика f (–kx) относительно оси Оу.

Введем арифметические операции над функциями. Пусть функция уf (x) определена на множестве А, а  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — на множестве В, причем сечение этих множеств Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда на множестве С  можно определить сумму функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение суммы в точке х = Х0 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это число, равное сумме Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично можно определить разницу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и частное Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  этих функций (последнее при условии, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Над функциями выполняют и так называемую операцию суперпозиции, или
наложения. Пусть функция у = f (u) определена на множестве А, а функция u = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — на множестве В, причем для каждого значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующее значение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда на множестве В  определена функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которую называют составленной функцией от х, или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции.
Переменную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  функции у = f (u)  называют промежуточным аргументом, или внутренней функцией, а переменную у = f (u) — внешней функцией.
Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является суперпозицией двух основных
элементарных функций — степенной и тригонометрической: уВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Составленные функции можно создавать с помощью суперпозиции не только двух, но и большего количества функций.
Например, функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать как суперпозицию
трех функций:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные элементарные функции, а также функции, образованные с помощью
формул, в которых над основными элементарными функциями производится только конечное число арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и суперпозиций, называются элементарными.
Так, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  есть элементарная функция,
а функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
не являются элементарными. Неэлементарными являются также функции n!, sign х, Е (х), D (х).

Элементарные функции делятся на следующие классы:

1) Функция вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — действительные числа — коэффициенты (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), называется целой рациональной функцией, или многочленом (полиномом)
степени n. Многочлен первой степени называется также линейной функцией, а второй — квадратичной.

2) Функция, являющаяся отношением двух многочленов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется дробной рациональной функцией, или рациональной дробью.
Совокупность многочленов и рациональных дробей образует класс рациональных функций.

3) Функция, образованная с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических операций над рациональными функциями и над степенными функциями с дробными показателями, и которая не является рациональной,
называется иррациональной функцией.
Например, функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — иррациональные.

4) Элементарная функция, которая не является рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и другие.

Ограниченные функции

Функцию f (x), определенную на множестве А, называют ограниченной на этом множестве, когда существует такое число М > 0, что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется
неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Таким образом, значения ограниченной функции не выходят за пределы отрезка [–М; М]. Поэтому ее график лежит между прямыми у= –М и у = М (рис. 4.18). Например, функции у = sin х   и   у = cos х ограничены на всей числовой оси, так как  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если для функций f (x) или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  определенных на множестве А, существует
такое число N, выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачN, то функцию f(x) называют ограниченной сверху, а  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ограниченной снизу. Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ограничена снизу прямой у = 0, но не ограничена сверху; функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.19) ограничена сверху прямой у = 1, но не ограничена снизу; функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неограниченная.
Рассматривая ограниченность функции f (x), мы тем самым характеризуем
множество значений этой функции.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Монотонная функция

Пусть функция f (x) определена на множестве А. Если для двух произвольных различных значений х1 и х2 аргумента, взятых из множества А, из неравенства х1 < х2 следует, что:

  • а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то функция называется возрастающей;
  • б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция называется неубывающей;
  • в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция называется убывающей;
  • г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция называется невозрастающей.

Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.10) является возрастающей при а > 1 и убывающей при 0 < а < 1 в интервале (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) функция у = –х2 + 4х – 3 (рис. 4.19) является возрастающей на интервале (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;  2) и убывающей на интервале (2; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) функция Е (х) (рис. 4.8) — неубывающая.
Растущие, невозрастающая, нисходящие и неубывающей функции на множестве
А называются монотонными на этом множестве, а растущие и нисходящие —строго монотонными.
Пусть функция не является монотонной во всей своей области определения, но эту область можно разбить на некоторое (конечное или бесконечное) число промежутков, которые не пересекаются, и на каждом из которых функция
монотонна. Такие промежутки называются промежутками монотонности
функции
.
Так, функция у = х2 не является монотонной на всей числовой оси, но имеет два промежутка монотонности: (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 0) и (0; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);  на первом из них функция убывает, а на втором — растет.
Функции у = sin х и у = cos х имеют бесконечное количество промежутков
монотонности.

Четные и нечетные функции

Пусть функция f (x) определена на множестве А точек оси Ох, размещенных
симметрично относительно точки х = 0, то есть если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Функцию f (x) называют четной, если f (—х) = f (x), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и нечетной, если f (–х) = –f (x),  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примеры:

1. Функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не является четной и не является нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки х = 0: в точке х = 2 функция определена, а в точке х = –2 — не определена.

2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет область определения (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 0) U (0; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), симметричную относительно точки х = 0, но не является ни четной, ни нечетной, поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Область определения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  симметрична относительно точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и эта функция четная, поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х — нечетные, а у = cos х — четная.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной —относительно начала координат. Кроме того, если четная или нечетная функция имеет определенное свойство для положительных значений х, то можно определить соответствующее свойство для отрицательных значений х. Например, если для х > 0 парная функция возрастает, то для х < 0 эта функция убывает.

Периодические функции

Функция f (x), определенная на всей числовой прямой, называется периодической, если существует такое число Т, f (x + T) = f (х). Число Т называется периодом функции. Если Т — период функции, то ее периодами также являются числа kT, где k равняется  ± 1, 2, .... Наименьшим из положительных периодов функции, если такой существует, называется основным периодом функции
Мы определили периодическую функцию, заданную на всей числовой прямой.
Более общим является следующее определение.
Функция f (x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из определения следует, что для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить ее график на произвольном промежутке длины Т, а потом продолжить этот график на всю область определения, повторяя его через каждый промежуток длины Т.

Пpuмеры:

  1. Основным периодом  функций у = sin ху = cos х есть число Т = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Функции у = tg х  и  у = ctg х  имеют основной период Т = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Периодом функции у = С (С — постоянная) является произвольное, отличное от нуля число; эта функция не имеет основного периода.
  4. Найти период функции у = sin (ах + b),   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если эта функция периодическая, то существует такое число  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что
sin (ах + b) = sin (а (х + Т) + b),                  откуда:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, основным периодом данной функции является число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Периодические функции играют важную роль для математического описания периодических явлений, наблюдаемых в природе. Характерной особенностью этих явлений является периодическое повторение их через определенные промежутки времени. Примерами могут быть движение маятника вокруг оси, движение небесных тел (планеты движутся по эллиптическим орбитам), работа
почти всех машин и механизмов связана с периодическим движением (движение поршней, шатунов и т. д.).

Неявно заданные функции

Если функция задана уравнением у = f (x), решенным относительно зависимой переменной у, говорится, что функция задана в явной форме или является явной.
Под неявным заданием функции понимают задания функции в виде уравнения F(x, y) = 0, не решенного относительно зависимой переменной.
Это уравнение задает функцию только тогда, когда множество упорядоченных
пар чисел (x, y), являющиеся решением данного уравнения, такое, что любому числу х0 в этом множестве соответствует не более одной пары (х0; у0) с первым элементом х0. Так, уравнение 2х + Зу — 1 = 0 задает функцию, а уравнение х2 + y2 = 4 не задает, потому что значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствуют две пары чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Произвольную явно заданную функцию у = f (x) можно записать как неявно
заданную уравнением f (x) – у = 0, но не наоборот. Например, функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  явно записать нельзя, потому что это уравнение нельзя решить относительно у. Поэтому неявная форма записи функции более общая, чем очевидна. Неявно заданную функцию называют неявной.
Заметим, что термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют
не природу функции, а аналитический способ ее задания.

Обратные функции

Пусть задана функция у = f (x) с областью определения X и множеством значений Y. Функция f (x) каждому значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставит в соответствие единственное значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.20). При этом может оказаться, что разным значениям аргумента х1 и х2 соответствует одно и то же значение функции у1 (рис. 4.21). Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дополнительно требуем, чтобы функция f (x) различным значением х ставила в соответствие разные значения у. Тогда каждому значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет соответствовать единственно значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть можно определить функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с областью определения и множеством значений Х. Эта функция называется обратной функцией данной. Итак, функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратной к функции у = f (х), если:

  • 1) областью определения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является множество значений функции f;
  • 2) множество значений функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является областью определения функции f;
  • 3) каждому значению переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответствует единственное значение переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из этого следует, что каждая из двух функций у = f (х) и х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (у) может быть названа прямой или обратной, то есть эти функции взаимно обратные.
Чтобы найти функцию х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у), обратную к функции y = f (x), достаточно решить уравнение f (x) = у  относительно переменной х (если это возможно). Поскольку каждая точка (х, у) кривой у = f (x) является одновременно точкой кривой х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у), то графики взаимно обратных функций у = f (х) и х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у) совпадают. Если же дополнительно потребовать, чтобы, как обычно, независимая переменная обозначалась через х, а зависимая — через у, то вместо функции х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у) получим функцию у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х). Это означает, что каждая точка М1 (х0; у0) кривой у = f (x) станет точкой М2 (у0; х0) кривой у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х). Поскольку в системе координат Оху точки М1 и М2 симметричны относительно прямой у = х, то графики взаимно обратных функций у = f (х) и у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(x) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 4.22).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из определения обратной функции следует, что функция у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(x), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет обратную тогда и только тогда, когда эта функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами Х и Y. Такое свойство имеют, в частности, растущие функции, поскольку для них Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и нисходящие функции, так как для них  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную функцию. При этом, если прямая функция строго возрастает (убывает), то обратная ей функция также строго возрастает (убывает). 

Отметим без доказательства, что когда функция у = f (x) возрастает (падает) и непрерывная на отрезке [а; b], то она имеет обратную функцию, которая растет (падает) и непрерывная на отрезке [f (а); f (b)] и ([f (b); f (а)])      [12].

Примеры:

1. Функция у = 2х – 1 имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.23).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Функция у = х2 на множестве Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет обратной, так как она не является монотонной; на множестве  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  она имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.24).

3. Функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.10) имеет обратную функцию у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.11).

4. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.12, а) не имеет обратной; функция у = sin х,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.13, а).

5. Функция у = cos х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.12, 6) имеет обратную функцию у = arccos х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4. 13, б).

6. Функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.13, в) обратная функции у =
= Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.12, в).

7. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.13, г) обратная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.12, г).

Параметрически заданные функции

Пусть заданы две функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                (1)
одной независимой переменной t, определенные на одном и том же промежутке.
Если функциях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строго монотонна, то согласно предыдущему пункту она имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому переменную у можно рассматривать как составную функцию от х: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Задание функциональной зависимости между х и у в виде двух функций (1) называют параметрическим заданием функций. Вспомогательная переменная t при этом называется параметром. Всякая параметрически заданная функция (1) определяет на плоскости Оху некоторую кривую, однако не всякая параметрически заданная кривая определяет функцию.

Примеры:

1. Уравнение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  определяют функцию, поскольку
переменная   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  строго монотонна. Заданные функции определяет полуокружность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  размещенную в верхней полуплоскости, так как при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  определяют функцию, графиком которой является дуга астроиды, находящейся в первом координатном углу (рис. З.8).

Пределы

Предел — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.

Числовая последовательность

С понятием числовой последовательности мы встречались во время изучения
школьного курса алгебры и геометрии. В частности, числовыми последовательностями являются арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, последовательность периметров и площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность, последовательность площадей поверхностей и объемов правильных n-гранных призм, вписанных в цилиндр, и тому подобное.
Сформулируем определение числовой последовательности в общем виде: если каждому натуральному числу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  по определенному правилу ставится в соответствие число xn, то множество чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают числовой последовательностью (или коротко последовательностью) и обозначают символом {xn}.
Отдельные числа х1, х2, ..., xn, ... называют членами или элементами последовательности: х1 — первый член последовательности, х2 — второй и т. д.,
xn-й, или общий член последовательности.
По определению последовательность содержит бесконечное количество членов,
причем любые два из них отличаются, по крайней мере, номерами. Итак, элементы xn и xm,  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  считаются разными, хотя как числа они могут быть равны между собой. Если все элементы последовательности {xn} равны одному и тому же числу, то ее называют постоянной.
Геометрически последовательность изображается на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим
членам последовательности. Можно изображать последовательность точками
координатной плоскости Оху, откладывая на оси Ох номера членов последовательности, а на оси Оу — соответствующие члены.

Последовательность считается заданной, если указан способ нахождения ее общего члена. Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена.
Очевидно, что всякая функция у = уn, заданная на множестве натуральных чисел N, определяет некоторую числовую последовательность {уn} с общим
членом уn = уn.

Числовые последовательности можно задавать и так называемым рекуррентным (от латинского recurrens — обратный) способом. Суть его заключается в том, что задают несколько членов последовательности и указывают правило, по которому можно найти следующий ее член. 
Иногда числовые последовательности задают словесным описанием. Отметим,
что в общем случае задача написания формулы общего члена последовательности не решается, то есть нельзя утверждать, что для произвольной последовательности можно найти формулу ее общего члена.

Пример №87

Написать первые пять членов последовательности, заданной общим членом:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Подставляя в формулу n-го члена последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5, получим:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
б)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №88

Записать первые пять членов последовательности {an.}, заданной рекуррентным соотношением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где n = 3, 4, ..., если а1 = 1, а2 = 2.
В соответствии с рекуррентной формулой, имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
следовательно,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Кстати:

Евклид доказал, что множество простых чисел
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...}
бесконечна, то есть простые числа образуют последовательность. Формула общего члена этой последовательности до сих пор не найдена, и даже неизвестно, существует ли такая формула.

Предел последовательности. Предел переменной величины. Объединение пределов

Пусть переменная xn  пробегает значения последовательности {xn}, то есть
дискретной переменной.
Число х0 называется пределом последовательности {xn}, если для произвольного
числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такой номер N = N (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), что при всех n > N выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                                (2)

Если число х0 является пределом последовательности {xn}, то пишут
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и говорят, что последовательность {xn}, или переменная xn имеет предел, который равен числу х0 или стремится к х0. Коротко определение предела можно
записать так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Последовательность, имеющую предел х0, называется сходящейся к х0 (или
просто сходящейся). Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.
Рассмотрим геометрический смысл предела последовательности. Неравенство (2) равносильно неравенству
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
которые показывают, что элемент xn находится в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х(рис. 4.26). Поэтому определение предела геометрически можно сформулировать так: число х0 называется пределом последовательности {xn}, если для произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х0 существует такой номер N = N (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), что все значения xn, для которых n > N, попадают в эту окрестность. Вне этой окрестности может остаться разве что конечное число членов последовательности {xn}.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №89

Известно, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0,01.
Сколько членов последовательности {xn} лежит вне окрестности (2 – 0,01; 2 + 0,01) = (1,99;  2,01)?

Поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  откуда n > 10.
Итак, вне окрестности (1,99; 2,01) находятся только 10 членов данной последовательности.
Геометрически это означает, что все члены последовательности {xn} при n > 10 находятся от точки 2 на расстоянии, меньшем 0,01. На рисунке это изобразить нельзя, потому что точки 1,99; 2,01 — концы окрестности, и бесконечное количество точек xn, где n > 10, лежащие в этой окрестности, практически сливаются в одну точку. 

Пример №90

Доказать, что · Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Зададим произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Обозначим через N наибольшее целое число,
которое не превышает  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда при всех n > N имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Это означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №91

Доказать, что последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходящаяся.
Заданная последовательность имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Она не имеет предела, потому что вне произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности (0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 1) любой точки числовой оси содержится бесконечное количество членов данной последовательности.

Пример №92

Доказать, что последовательность, которая задана общим членом

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

не имеет предела.

Найдем несколько начальных членов последовательности и изобразим их схематично на числовой прямой (рис. 4.27). Для этой последовательности характерным является то, что при достаточно больших k значения x2k с четными номерами сколь угодно мало отличаются от нуля, а значение x2k+1 с нечетными номерами сколь угодно мало отличаются от единицы.
По определению, число х0 будет пределом последовательности, если в любой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х0 находится бесконечное, а за окрестностью — конечное множество ее членов. В данном случае в произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности (0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 1) нуля содержится бесконечное множество членов последовательности с четными номерами, а за этой окрестностью находится бесконечное множество ее членов с нечетными номерами. Это значит, что число 0 не будет пределом заданной последовательности. Аналогично убеждаемся, что пределом не может быть и число 1. Итак, заданная последовательность расходящаяся. 

Пусть теперь переменная величина х приобретает все числовые значения некоторого конечного промежутка Х, то есть непрерывной переменной, и пусть точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Число х0 называют пределом переменной х, если для произвольного числа
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такое значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, начиная с которого для всех следующих
значений х выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пишут
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрический смысл понятия предела переменной таков: число х0 является пределом переменной х, если для произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки хнайдется такое значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что все последующие значения переменной х попадают в эту окрестность.

Если сравнить определение предела последовательности и предела переменной,
то в определении предела последовательности говорится о номере того члена последовательности {xn}, начиная с которого выполняется неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а в определении предела переменной х речь идет о
числовом значении переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть о том значении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, начиная с которого все последующие значения переменной удовлетворяют неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, пределом переменной величины х есть предел произвольной последовательности значений, приобретаемых этой переменной:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·

Как отмечалось, постоянную величину С можно рассматривать как переменную, все значение которой одинаковы: х = С
Предел постоянной величины равен этой постоянной, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из определения предела следует, что переменная не может иметь двух
пределов. Действительно, если бы обнаружилось, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то х  должно удовлетворять сразу двум неравенствам:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
для сколь угодно малого Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а это невозможно, если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.28).Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это свойство не надо понимать так, что всякая переменная обязательно имеет один предел. Примеры свидетельствуют, что это не так. Но если переменная имеет предел, то этот предел только один.

Бесконечно большие переменные величины

При определении предела х0 переменной величины х считалось, что х изменяется на некотором конечном промежутке и х0 — постоянное число.
Рассмотрим теперь переменную, которая приобретает все значения некоторого бесконечного промежутка Х.
Если для произвольного числа М > 0 существует такое значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, начиная с которого все последующие значения х удовлетворяют неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что переменная х  стремится к бесконечности, и пишут 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Если переменная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ее называют бесконечно большой переменной
величиной. Коротко определение бесконечно большой переменной величины
можно записать так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Положительная и отрицательная бесконечно большие переменные величины соответственно определяются так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примеры:

  1. Переменная {xn} = n! = {1, 2, 6, 24, 120, ...} — бесконечно большая величина, которая стремится к плюс бесконечности: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Переменная {yn} = {–nЗ} = {–1, –8, –27, ...} является бесконечно большой величиной, направленной в минус бесконечность: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Переменная {zn} = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = {–1, 4, –9, ...} является бесконечно большой величиной, у которой неограниченно возрастает модуль, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Переменная величина {tn} = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = {0, 2, 0, 4, 0, 6, ...} не является бесконечно большой величиной, так как для произвольного числа М не существует числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такого, чтобы при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнялось неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обращаем внимание на то, что выражение «х стремится к бесконечности» может вызвать неправильное представление, будто х стремится к какому-то числу, в то время как на самом деле х никуда не идет, а только изменяется так, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перерастает в любое большое положительное число. То же нужно сказать в отношении выражений «пределом переменной х является бесконечность» и «бесконечно большая величина». Говоря о бесконечно большой величине, имеют в виду величину переменной, которая бесконечно растет, то есть суть бесконечно большой величины совсем не в ее величине или размерах, а в характере ее изменения.
Пользуясь определениями, можно показать, что сумма бесконечно большой величины и величины ограниченной есть величина бесконечно большая. Символически это записывают так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Суммой двух бесконечно больших величин одного знака является бесконечно большая величина: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В отличие от этого сумма двух бесконечно больших величин различных знаков не всегда будет бесконечно большой величиной, поэтому эта сумма называется неопределенностью вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Произведение двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно
большая: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Произведение бесконечно большой величины на величину, большую по абсолютному значению некоторого положительного числа, также бесконечно большая величина.
Частное двух бесконечно больших величин не всегда бесконечно большая величина, поэтому дробное выражение, числитель и знаменатель которого бесконечно большие переменные величины, называют неопределенностью вида вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Таким образом, с выражениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя обращаться, как с числами, потому что это не числа, а только символы, которые характеризуют определенную переменную величину.

Предел функции в точке

Допустим, что независимая переменная х имеет предел х0. Рассмотрим
изменение функции у = f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х0, кроме, возможно, самой точки х0.
Число А называют пределом функции у = f (x) в точке х0 (или при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если для произвольной сходящейся к х0  последовательности {xn}, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач последовательность {f (xn)} имеет предел, который равен числу А, и записывают:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                                      (3)
Итак, если для произвольных сходящихся к х0 последовательностей {xn}  существует один и тот же пределВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то этот  предел и будет пределом функции f (x) в точке х0.
Если же для некоторой хотя бы одной последовательности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сходящейся к х0, последовательностьВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предела не имеет, то функция f (х) не имеет предела в точке х0.
Аналогично, функция f (х) не имеет предела в точке х0, если для двух разных, сходящихся к х0, последовательностей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующие последовательности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют разные пределы.
Функция f (x) может иметь в точке х0 только один предел. Это следует из того, что каждая переменная может иметь только один предел.

Примеры:

  1. Функции f (x) = x  в любой точке хчисловой прямой имеет предел, равный х0, потому что последовательности {хn} и {f (хn)} совпадают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
  2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.29), определенная для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в точке х = 0 предела не имеет.

Действительно, возьмем две сходящиеся к 0 последовательности значений аргумента:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Очевидно,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Найдем соответствующей последовательности значений функции:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Таким образом, для двух разных сходящихся к нулю последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют разные пределы. Это означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует.
Геометрический смысл предела функции: соотношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от точки А. С этим связано второе определение предела. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х0, кроме, возможно, самой точки х0. Число А называется пределом функции в точке х0, если для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые удовлетворяют неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
выполняется неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это определение коротко можно записать так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрически это иллюстрируется следующим образом: число А является пределом функции f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если для произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - окрестности точки А найдется Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность точки х0 такая, что когда значение аргумента х взять из множества Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то соответствующие значения функции f (x) будут лежать в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки А (рис. 4.30).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Первое определение предела базируется на понятии предела последовательности, поэтому его называют определением на «языке последовательностей», или определением предела по Гейне. Второе определение называют определением «на языке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач», или определением предела по Коши.
Можно показать [22], что эти определения эквивалентны.

Пример №93

Доказать, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть у = 3х + 2 и задано произвольное Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
отсюда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если теперь для произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и найденного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взять значения х, удовлетворяющие неравенству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В приведенных выше определениях предела  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  считалось,
что х стремится к  х0  произвольным способом: оставаясь меньше х0 (слева от х0), большим х0 (справа от х0) или колеблясь вокруг х0, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  приобретая значения то меньших, то больших чем х0 (то слева, то справа от х0), как амплитуда затухающих колебаний маятника. Однако случается, что способ приближения аргумента х  к х0 существенно влияет на значение предела. Поэтому целесообразно ввести понятие односторонних пределов.
Пусть функция у = f (х) (рис. 4.31) определена в некоторой окрестности точки х0. Число А называется пределом функции y = f (x) слева (или левым пределом) в точке х0, если для любого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  такое, что при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Число В называется пределом функции y = f (x) справа (или правым пределом) в точке х0, если для любого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  такое, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется  неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Левый и правый пределы (рис. 4.31) называют односторонними пределами и обозначают так:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если х0 = 0, то записывают 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция y = f (x)  определена на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то в точке а может иметь смысл только число f (а + 0), а в точке b — только число f (b – 0).
Условие f (х0 + 0) = f (х0 – 0) является необходимым и достаточным [10] для
существования предела у = f (x) в точке х0:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                               (4)

Примеры:

  1. Пусть f (x) = sign х (рис. 4.5), тогдаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (рис. 4.32), то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел функции при  x >  . Бесконечно большая функция

Предел функции при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Бесконечно большая функция:

Мы рассмотрели понятие предела функции в конечной точке х0. Исследуя функции, определенные на бесконечных промежутках, часто приходится изучать поведение этих функций при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента х, то есть при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть функция у = f (x) определена на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число А называют пределом функции f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пишут 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  если для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > О существует такое число
М = М (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) > 0, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Коротко это определение можно записать так:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрический смысл этого определения такой (рис. 4.33): для произвольного
числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такое число М > 0, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответствующие значения функции f (x) попадают в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность точки А, то есть соответствующие точки графика этой функции
лежат в полосе, ограниченной прямыми у = А + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  у = А – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Зная содержание символов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  легко сформулировать
определение предела для случаев, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.34) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.35).
До сих пор рассматривались случаи, когда функция имела пределом некоторое
число. Рассмотрим теперь случай, когда пределом функции является бесконечность.
Функция у = f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется бесконечно большой (имеет предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если она определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, возможно, самой точки х0 и для произвольного числа М > 0 существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что для всех х, удовлетворяющих неравенству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Геометрически это значит: каким бы большим ни было задано число М > 0, точки графика функции у = f (x), кроме, возможно, точки (х0; f (х0), лежат снаружи полосы, ограниченной прямыми у = М и у = –М, если значение х взяты из Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х0 (рис. 4.36).
Если f (x) стремится к бесконечности при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при этом приобретает
только положительные (рис. 4.37) или только отрицательные значения (рис. 4.38),
то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Функцию f (x), заданную на всей числовой прямой, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют бесконечно большой и пишут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если для произвольного числа М > 0 можно найти такое число N = N (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , выполняется  неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.39).

В частности, функция f(x) является бесконечно большой при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, всякая бесконечно большая функция в окрестности точки x0 является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Однако если функция
f (x) имеет конечный предел А при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то эта функция ограничена
при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Действительно, из определения (3) следует, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
а это и означает, что функция f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена. Когда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  будет ограниченной также функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная функция имеет конечный предел.

Пример №94

Доказать, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и задано произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Найдем число М (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Последнее неравенство будет выполняться, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №95

Доказать, что функция у = 2х2 при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно большой функцией.

Возьмем произвольное число М > 0 и найдем такое число N = N (М), что для всех х, удовлетворяющих неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция у = х3  стремится к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.40):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси. Но при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач она предела
не имеет.

Функция у = х sin х (рис. 4.41) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не ограничена,  но не является бесконечно большой, потому что она равна нулю при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но это означает, что для произвольного числа М > 0 нельзя найти такое число N, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Бесконечно малые величины и их свойства

Бесконечно малой величиной называется переменная величина, предел
которой равен нулю.
В частности, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) называется бесконечно малой величиной (или бесконечно малой функцией) при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Можно дать эквивалентное определение на «языке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач»: функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) называется бесконечно малой при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если для произвольного
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 (М > 0) такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), выполняется неравенство
 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогичные определения бесконечно малой величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач + 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач – 0 и при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: во всех этих случаях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Примеры:

  1. Функция у = (х – 2)4 является бесконечно малой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.42).
  2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0 (рис. 4.43).

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых величин:

1°. Для того чтобы число А было пределом функции f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо и достаточно, чтобы разница f (х) – А была бесконечно малой величиной, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это означает, что величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является бесконечно малой.

Наоборот, пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2°. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно малая величина при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0), то функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно большой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
и наоборот, если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно большая величина при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является бесконечно малой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 .

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является бесконечно малой величиной, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
то есть  функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно большой при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Аналогично доказывается обратное утверждение.

3°. Сумма конечного числа бесконечно малых величин является величиной
бесконечно малой.

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — бесконечно малые величины при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существуют числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 такие, что для всех значений х из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , а для значений х из из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
В меньшей из этих окрестностей выполняются оба неравенства:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Итак, в этой окружности
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
то есть сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двух бесконечно малых функций является функцией бесконечно малой.
Аналогичное доказательство для произвольного конечного числа бесконечно
малых. 

4°. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую является величиной бесконечно малой.

Пусть функция f (x) ограничена при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно мала. Тогда для некоторого числа М > 0 существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач> 0, что для значений х из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того, для любого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, что для всех значений х из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Для меньшей из этих окрестностей есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
а это значит, что произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой
функцией.

5°. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, которая имеет отличный от нуля предел, является величиной бесконечно малой.

Доказательство этого свойства аналогично предыдущем.

Замечание. Частное от деления двух бесконечно малых величин в общем случае не является бесконечно малой величиной.
Величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = 2хВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х2 — бесконечно малые при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть предел отношения двух бесконечно малых величин может равняться какому-то числу, бесконечности или нулю. В связи с этим отношение двух бесконечно малых величин называют неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. То же касается произведения бесконечно малой величины на бесконечно большую величину. Такое произведение называется неопределенностью вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Основные теоремы о пределах

В предыдущих примерах мы видели, что нахождение пределов функции на основе определения достаточно громоздкое. Действительно, при вычислении
предела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сначала надо взять какую-нибудь сходящуюся к хпоследовательность {xn} значений аргумента и определить последовательность соответствующих значений функции (f {xn)}. Найдя число А =
= Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, еще надо убедиться, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольным способом.
Приведем теоремы, которые значительно облегчают нахождение предела функции. Формулировка и доказательство этих теорем для случаев, когда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , аналогичны.

Теорема 1 (о пределе суммы, произведения и частного). Если каждая из функций f (х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(x) имеет конечный предел в точке х0, то в этой точке существуют также пределы функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (последняя при условии, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и справедливы формулы

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                   (5)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                  (6)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                       (7)

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда по свойству 1° (п. 3.6)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Отсюда имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                       (8)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (9)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (10)

По свойствам и 3°–5° (п. 3.6) выражения в квадратных скобках являются величины бесконечно малые при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому, применив к равенствам
(8), (9), (10) еще раз свойство 1° бесконечно малых, получим соответственно формулы (5), (6), (7).

Заметим, что доказанная теорема верна для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций, которые имеют предел в точке.

Следствия. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует, то выполняются равенства:

  • 1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 2) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в частности,
  • 3) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №96

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя теорему о пределе суммы и  следствия 1) – 3), имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №97

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По теореме о пределе частного получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №98

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь теорему о пределе частного применить нельзя, так как Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 9) = 0. Кроме того, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач·
Разложим числитель и знаменатель на множители:
х2 – 5х + 6 = (х – 2) (х – 3),      х2 – 9 = (х – 3) (х + 3).
Поскольку при нахождении границы функций в точке х = 3 рассматриваются значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то данную дробь можно сократить на х – 3, поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №99

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому теорему о пределе применить нельзя. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (п. 3.6), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  как произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину, не являющуюся бесконечно малой.

Теорема 2 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точки x0, кроме, возможно, самой точки x0, определены функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и выполняются неравенства
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                              (11)
Тогда, если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеют в точке x0 один и тот же предел
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                  (12)
то такой ​​же предел имеет функция f (x):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенств (12) следует, что для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существуют две окрестности точки x0 , в одной из которых выполняются неравенства
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  а в другой — неравенства  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из неравенств (11) находим, что 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому в меньшей из окрестностей
выполняется неравенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.44).
Отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то есть   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3 (о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки x0, кроме, возможно, самой точки x0, выполняется неравенство  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  существует предел  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предположим, что b < 0, тогда при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  А это противоречит условию теоремы. Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие.  Если в некоторой окрестности точки x0, кроме, возможно, самой точки x0, выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и существуют пределы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4 (о пределе монотонной функции). Если функция f (x) монотонна и ограничена при х < x0 или при х > x, то существует соответственно ее левый предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или его правый предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство этой теоремы дано, например, в [29].

Пример №100

Доказать, что: а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Обозначим через х радианную меру центрального угла окружности радиуса (рис. 4.45). Если х > О, то ОА = l, АС = sin х,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = х,  0 < sin x < х. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то из теоремы 2   следует, чтоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Если х < 0, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Итак,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0 ,
то   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в) Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Вычисления пределов функций

Решение пределов является достаточно обширным, так как существуют десятки приемов решений пределов различных видов.

Первый важный предел

Докажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                         (13)

Возьмем круг радиуса l (рис. 4.46) и обозначим радианную меру угла AOD через х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Сравнивая площади треугольников AOD, BOD и кругового сектора AOD, получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разделив последнее неравенства на  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то по теореме 2 (п. 3.7)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                             (14)
Пусть теперь х < О. Рассмотрим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.47). Поскольку f (x) = f (–х), то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач             (15)

Из равенств (14) и (15) получим формулу (13), которая достаточно часто используется при вычислении пределов. Поэтому ее называют первым
важным пределом.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №101

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сведем этот предел к первому важному пределу, поделив и умножив дробь на k:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №102

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №103

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №104

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем новую переменную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число е. Натуральные логарифмы

Рассмотрим две числовые последовательности:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Покажем, что они имеют такие свойства:

  • 1) xn < у, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • 2) переменная xn строго возрастает;
  • 3) переменная устрого убывает.

Действительно, поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то свойство 1) справедливо.
Свойства 2) и 3) доказываются с помощью неравенства Коши:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Применим это неравенство к числовому множеству, содержащему число 1, а также n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда и следует свойство 2).
Аналогично для доказательства утверждения 3) достаточно применить неравенство Коши к числовому множеству, содержащему 1 и n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из свойств 1) – 3) имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, переменная xn  возрастает и ограничена сверху. Поэтому по теореме 4
(п. 3.7) она имеет предел, который обозначают буквой е (это обозначение, как и обозначение числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежит Л. Эйлеру):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Переменная уn  убывает и ограничена снизу, поэтому предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также существует. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
причем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказано, что е — иррациональное число. Более того, Ш. Эрмит доказал, что е — трансцендентное число, то есть не является корнем никакого алгебраического
уравнения с целыми коэффициентами. Его приближенное значение с точностью до 10-15 равно  +2,718281828459045.
Число е широко используется в математике и ее приложениях. В частности, показательная функция у = ех по основанию е играет важную роль в теории механических колебаний, в электротехнике и радиотехнике. Эту функцию называют также экспоненциальной функцией, или экспонентой (от английского exponential — показательное), и обозначают так: у = ехр х.
Довольно часто приходится встречаться с логарифмами по основанию е. Как известно, функция у = loga х определяется, если а > 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В частности, если а = 10, то у называется десятичным логарифмом числа х и обозначается lg х. Десятичные логарифмы были введены Г. Бриггсом. Если а = е, то у называется натуральным, или неперовым (в честь шотландского математика Дж. Непера — изобретателя логарифмов) логарифмом числа х и обозначается ln х.
В высшей математике применяют в основном натуральные логарифмы, поскольку для них, как увидим дальше, значительно упрощается ряд формул.
Найдем связь между десятичными и натуральными логарифмами. Пусть у = ln х, тогда х = еу. Логарифмируя это равенство по основанию а, получим logа х = у logае, откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Число М = logае называют модулем перехода от натуральных логарифмов
к логарифмам с основанием а. В частности, при а = 10 имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, связь между десятичными и натуральными логарифмами выражается
формулами
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Графики функций у = lg х  и  у = ln х  изображены на рис. 4.48.

Второй важный предел

Докажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (17)
Сначала покажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (18)
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому справедливы
неравенства
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.   (19)
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому по формуле (16) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Применив к неравенству (19) теорему 2 (п. 3.7), получим формулу (18). Теперь докажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                (20)
Пусть х < 1. Введем переменную у = –х, тогда

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Объединив случаи (18) и (20), получим формулу (17). Положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                 (21)
Равенства и (17) и (21) называют вторым важным пределом и широко используют
при вычислении пределов. График функции у =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоказан на рис. 4.49.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Замечание. При вычислении пределов, связанных с числом е, часто применяют следующее утверждение: если существуют пределы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существует также предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который вычисляется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                         (22)

Пример №105

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Воспользуемся равенствами (17) (22). Имеем:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №106

Найти
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Воспользовавшись равенствами (13), (21) и (22), получимВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №107

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №108

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №109

Многие химические реакции и процессы проходят так, что в каждый момент времени t скорость образования некоторого вещества пропорциональна количеству этого вещества в заданный момент времени. Найти закон, по которому происходит образование вещества.

Пусть m0 — количество вещества в момент времени t = 0 (то есть начальное количество вещества). Промежуток времени (0; t) разобьем на n мелких промежутков:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если считать, что в течение каждого из этих малых промежутков времени скорость реакции постоянна, то количества вещества в моменты времени
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
соответственно равно

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где k — заданный коэффициент пропорциональности. Но по условию задачи процесс образования вещества происходит непрерывно. Поэтому, чтобы найти точную формулу, надо допустить, что число мелких промежутков неограниченно растет, а их продолжительность стремится к нулю. Отсюда для количества вещества m в произвольный момент времени t получим формулу

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть закон, по которому происходит образование вещества. Он встречается при исследовании таких процессов, как распад радия, размножение бактерий и тому подобное.

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью исследования их отношения. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно малые функции при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Введем следующие обозначения:

1) функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называются бесконечно малыми одного порядка при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2} функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называется бесконечно малой высшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называется бесконечно малой низшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называется бесконечно малой k-го порядка относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) бесконечно малые функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называются несравнимыми при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если в точке x0 не существует предела их отношения.

Введенные определения охватывают все случаи, которые могут произойти
при сравнении двух бесконечно малых функций в окрестности точки x0 . Точно такие же правила сравнения бесконечно малых при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Аналогично сравниваются бесконечно большие величины.

Примеры:

1. Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = sin 5x бесконечно малые одного порядка при
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , потому что 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х2  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой высшего порядка, чем функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = tg х, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = tg х  при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой низшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х2.

3. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = 1 – cos 4х при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой второго порядка относительно функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Бесконечно малые функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач несравнимы при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
не существует (см. п. 3.5).

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х), бесконечно малые при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называются эквивалентными бесконечно малыми, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Эквивалентность обозначается так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим некоторые свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема 1. Бесконечно малые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) эквивалентны при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х).

Пусть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой высшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) .
Пусть теперь, наоборот, известно, что разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой более высокого порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х),  то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 
Если 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Teopeмa 2. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ели существует  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то существует и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , и эти пределы равны между собой.

Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта теорема позволяет при нахождении предела отношения двух заданных бесконечно малых функций каждую из них (или только одну) заменять другой бесконечной малой, эквивалентной заданной. Часто встречаются, например, такие эквивалентные бесконечно малые величины [12]:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отметим, что эти эквивалентности достаточно просто получить с помощью
правила Лопиталя.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных
порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №110

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по теореме 2 получимВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №111

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтомуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №112

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №113

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

По теореме 3 имеем при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскрытие некоторых неопределенностей

Как уже указывалось, в простейших случаях нахождения предела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сводится к подстановке в функцию f (x) предельного значение аргумента x0. Но часто такая подстановка приводит к неопределенным выражениям. Это такие выражения:

  1. отношение двух бесконечно больших величин — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  2. разность двух бесконечно больших величин — неопределенность видаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  3. произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  4. отношение двух бесконечно малых величин — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  5. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  6. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
  7. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (это не единица в определенной степени, а символ для сокращенного обозначения предела выражения f, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Операцию нахождения предела в этих случаях называют раскрытием неопределенности.
Общий способ раскрытия неопределенностей, здесь рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим числитель и знаменатель дроби на х4:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Примененный прием является общим: чтобы раскрыть неопределенность
вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень х в этих многочленах.

2. Неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач· Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители:
х3 + 2хх – 2 = (х – 1) (х2 + 3 + 2);   х+ Зх – 4 = (х – l) (х + 4).
Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это тоже общий прием. Сокращение на х – 1 здесь возможно, поэтому что при определении предела  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Множитель хх0, через который числитель и знаменатель стремятся к нулю, иногда называют критическим множителем.
Таким образом, чтобы раскрыть неопределенность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданную отношением
двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь. Если при этом разложение на множители окажется затрудненным, то надо разделить числитель и знаменатель на критический множитель «в столбик».

Пример:

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку эта неопределенность задается отношением двух многочленов, то числитель и знаменатель надо разделить на критический множитель х + 1. Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

3. Неопределенность вида  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  задана иррациональными выражениями.

Примеры:

1. Найти  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Здесь неопределенность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, х – 2  — критический множитель. Избавимся от иррациональности в числителе. Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Иногда от иррациональности можно избавиться введением новой переменной.

Пример:

Найти:
а)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Введем переменную у3 = 8 + х2 . Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
б) Пусть у= х + 1, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Этот же результат получим из эквивалентности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Неопределенности вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданы иррациональными выражениями.

Пример:
Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Неопределенности вида  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданы выражениями, содержащими тригонометрические функции,  чacто раскрываются с помощью первого важного предела.

Пример:
Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. При раскрытии неопределенности вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используют второй важный предел.

Примеры:

Найти

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Непрерывность функции

С понятием предела тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции.
Рассмотрим графики функций f (x) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x) (рис.4.50). Чем отличаются эти графики? Недвусмысленный и четкий ответ на этот вопрос дать не так просто. Можно сказать, что графиком функции f (x) является сплошная кривая (рис. 4.50, а), а функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — не сплошная (рис. 4.50, б). График функции f (x) можно провести, не отрывая карандаш от бумаги, а функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — нельзя; при постепенном изменении аргумента х значение функции f (x) также изменяется постепенно, а значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — не постепенно, в точке х0 происходит
скачок. Все эти ответы правильные, но недостаточно четкие для математических формулировок. Даже если бы какая-то из них нас удовлетворила, то как ответить на такой вопрос: «сплошной» или «разрывный» график функции, заданной, скажем, формулой? Построение графика «по точкам»
не поможет, потому что особую точку х0 можно случайно пропустить (рис. 4.50, б).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Понятно, что характер графиков функций f (x) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) в точке х0 разный. Говорят, что функция f (x) в точке х0 непрерывная, а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) в точке х0 разрывная. Переходим к четким определениям.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f (x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки.
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0 , если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                          (23)
Если сравнить это определение с определением предела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  то при определении предела функции число х0 могло и не принадлежать области определения функции, а если число х0 принадлежало области определения, то значение функции f (х0) в этой точке могло и не совпадать с пределом А.
Таким образом, функция f (x) будет непрерывной в точке х0 тогда только тогда, когда выполняются следующие условия:

  • 1) функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки;
  • 2) существует предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 3) предел функции f (x) в точке х0 и значение функции в этой точке хсовпадают, то есть выполняется равенство (23).

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то формулу (23) можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                 (24)
Формула (24) выражает правило предельного перехода: при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f (x) вместо аргумента х  подставить значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Геометрический смысл понятия непрерывности соответствует геометрическому смыслу предела (23): точки графика функции у = f (х) сколь угодно близкие к точке (х0; f (х0), если их абсциссы достаточно мало отличаются от числа х0 (рис. 4.50, а).
«На языке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач» непрерывность иллюстрируется на рис. 4.30, где число
A = f (х0).
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь
на понятие приращения аргумента и функции.
Пусть числа х0 и х принадлежат области определения функции у = f (х). Разница х х0 называется приращением аргумента в точке х0 и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ("дельта х"):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разница соответствующих значений функции f (х) – f (х0) называется приращением функции в точке х0 и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть положительным или отрицательным числом, приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное число. Запишем равенство (23) в новых обозначениях, для чего перенесем в ней значение f (х0) в левую часть и внесем его под знак предела. Поскольку условия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  одинаковы, то равенство (23) принимает вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                          (25)

Равенство (25) и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.
Функция f (x), определенная в окрестности точки х0, называется непрерывной
в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Часто встречается понятие односторонней непрерывности. Функция f (x) называется непрерывной в точке хслева, если она определена на полуинтервале (х0Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; х0], где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если функция f (x) определена на полуинтервале  [х0; х0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач f (х0), то функция называется непрерывной в точке х0 справа.
Используя эти понятия и формулы (4), можно сказать, что функция f (x) будет непрерывной в точке х0 тогда и только тогда, когда она определена в некоторой окрестности точки х0 и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (26)
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется
разрывной в точке х0, а сама точка х0 называется точкой разрыва функции.

Различают следующие виды разрывов. Если для функции f (x) существуют
конечные пределы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
причем не все числа f (х0), f (х0 – 0), f (х0 + 0) равны между собой, то разрыв в точке х0 называют разрывом первого рода, точку х0точкой разрыва первого рода. В частности, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то разрыв в точке х0 называют устранимым, а точку х0точкой устранимого
разрыва
. В этом случае достаточно доопределить функцию только в одной точке х0, положив f (х0) = f (х0 ± 0), чтобы получить функцию, непрерывную в точке х0.

Величину   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют скачком функции.
Если хотя бы один из односторонних пределов в формуле (26) не существует
или равен бесконечности, то разрыв в точке х0 называется разрывом второго рода, а сама точка х0точкой разрыва второго рода.

Примеры:

1. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.47) не определена в точке х = 0, но имеет в этой точке предел, поэтому х = 0 — точка устранимого разрыва; достаточно положить  f (0) =