Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здравствуйте, на данной странице я постаралась кратко и доступно изложить весь курс высшей математики который включает темы по линейной алгебре и аналитической геометрии, введению в математический анализ и дифференциальному исчислению функции одной переменной. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы решением большого числа примеров и задач по предмету высшая математика. Часть заданий и задач подобрана таким образом, чтобы Вы могли сами себя проконтролировать, овладев при этом необходимым пониманием решения задач по высшей математике. Если в ходе усвоения материала у Вас возникнут некоторые вопросы, Вы сможете задать их мне. Я искренне надеюсь, что данный курс лекций по высшей математике поможет Вам самостоятельно выполнить задания и задачи по высшей математике и хорошо сдать экзамен. Желаю Вам успехов!

Содержание:

Элементы линейной алгебры

Одной из основных задач линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. В связи с изучением этих систем возникли понятия определителя и матрицы.

Определители

В линейной алгебре определитель (или детерминант) — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице.

Определители второго и третьего порядков и их свойства

Выражение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                        Рис. 1.1

Элементы а11, а12 в определителе (1) и а11, а22, а33 в определителе (2) составляют главную диагональ определителя, а элементы a12, а21 и а13, а22а31 в тех же определителях — побочную диагональ.
Для вычисления определителя второго порядка нужно от произведения элементов, стоящих на главной диагонали, отнять произведение элементов, размещенных на побочной диагонали.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольников (рис. 1.1): первые три слагаемых в правой части формулы (2) являются произведениями элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, в которых одна сторона параллельна главной диагонали. Аналогично образуются слагаемые со знаком минус, где за основу берется побочная диагональ.
Заметим, что элементами определителя могут быть не только числа, но и алгебраические или тригонометрические выражения, функции и т.д.

Пример №1

Вычислить определители:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;   в)  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формулам (1) и (2) имеем:
а)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим (на примере определителей третьего порядка) основные свойства определителей.

1°. Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими
столбцами:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это свойство доказывается непосредственно проверкой: достаточно раскрыть
оба определителя по формуле (2). Свойство 1° устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства справедливы и для строк, и для столбцов. Доказываются они, как и свойство 1°, проверкой.

2°. Если переставить местами две строки (столбца), то определитель
поменяет знак. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3°. Если одна из строк (столбцов) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4°. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он равен нулю. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5°. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одной строки (столбца), можно вынести за знак определителя. Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6°. Если в определителе элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n-й строки (n-го столбца) является суммой двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых n-я строчка (n-й столбец) состоит из первых слагаемых, а у второго — из вторых; другие элементы всех трех определителей одинаковые.
Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

8°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Например,

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пусть задан определитель третьего порядка
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (3)

Минором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач элемента аij определителя называется определитель, который
образуется из данного определителя в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Например, для определителя (3) минорами элементов а23 и а32 являются такие определители:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор, взятый со знаком Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                            (4)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, если: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теперь сформулируем и докажем теоремы о разложении определителя по элементам строки (столбца).

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо
строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
 Покажем, что для определителя (3) выполняются следующие равенства:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (5)

Докажем, например, первое из них.
Раскрывая определитель (3) по формуле (2) и группируя слагаемые, содержащих элементы первой строки, имеемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (4) выражения, стоящие в скобках, соответственно равны алгебраическим дополнениям А11, А12, А13, поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично доказываются и другие равенства.

Запись определителя по любой из формул (5) называют разложением определителя по элементам соответствующей строки или столбца.

Пример №2

Вычислить определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  разложив его  по элементам третьей строки.
По третьей из формул (5) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Такой же результат дает формула (2).

Теорема 2. Сумма произведений элементов любой строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки
определителя (3) на алгебраические дополнения элементов второй строки:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятие об определителях высших порядков

Теорема 1 позволяет ввести определение определителя произвольного порядка. По определению определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Можно доказать, что все рассмотренные выше свойства определителей третьего
порядка выполняются для определителей любого порядка.
Рассмотрим, например, определитель четвертого порядка

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот определитель можно разложить по элементам любой строки, например первой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                 (6)

Поскольку все алгебраические дополнения Аij в формуле (6) являются определителями третьего порядка, то этой формулой можно пользоваться для вычисления определителя четвертого порядка. Но такой способ вычисления
громоздкий: если для нахождения определителя четвертого порядка надо вычислять четыре определителя третьего порядка, то для нахождения определителя пятого порядка уже придется вычислять двадцать определителей третьего порядка! Поэтому на практике сначала с помощью свойства 8° преобразовывают определитель так, чтобы в некоторой строке или столбце все элементы, кроме одного, стали нулями. Тогда раскладывая определитель согласно теореме по элементам этой строки, получим только одно слагаемое, потому что все остальные слагаемые являются произведениями алгебраических дополнений на ноль.

Пример №3

Вычислить определители:
1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;    2) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
1) В первой строке превратим все элементы, кроме первого, в нули. Для этого, оставляя первый и второй столбцы без изменений, к третьему добавим первый, а
к четвертому — первый, умноженный на (–2). Тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) В первом столбце превратим все элементы, кроме второго, в нули. Для этого, оставляя вторую строчку без изменений, к первой строке добавим вторую, умноженную на (–2), к третьей — первую, к четвертой — первую, умноженную на
(–2), а к пятой — четвертую, умноженную на (–2). Получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Разложим этот определитель по элементам первого столбца и вынесем за знак определителя общий множитель 2 из третьей строки и (–1) с четвертой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Матрицы

Основные определения:

Прямоугольная таблица чисел аij,  i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., n, состоящая из m строк и n столбцов и записанная в виде

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется матрицей. Понятие матрицы впервые ввели английские математики В. Гамильтон и Д. Келли. Коротко матрицу обозначают так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где аij — элементы матрицы, причем индекс i  в элементе аij  означает номер строки, а j — номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Произведение числа строк m на число столбцов n называют размером матрицы и обозначают m х n. Если хотят указать размер m х n матрицы А, то пишут Amxn.
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Количество строк (столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком. Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей-строкой, а матрица, у которой всего один столбец, матрицей-столбцом. Две матрицы Amxn = (аij) и Bmxn = (bij) называются равными, если они одинаковых размеров и имеют равные соответствующие элементы: аij = bij . Нулевой называется матрица,  у которой все
элементы равны нулю. Обозначается такая матрица буквой О. Как и в определителях (п. 1.1), в квадратных матрицах выделяют главную и побочную диагонали.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, в которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Любой квадратной матрице

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

можно поставить в соответствие определенное число, которое называется определителем (детерминантом) этой матрицы и обозначается символом det А. По определению
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Например, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то det А =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Прямоугольная матрица размером m х n Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определителя не имеет.

Действия над матрицами

1°. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера. Суммой С = А + В двух матриц Amxn = (аij) и Bmxn = (bij) называется матрица Cmxn = (cij) = (аij + bij). Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2 °. Произведением матрицы Amxn = (аij) на число k (или числа k на матрицу Amxn ) называется матрица Bmxn = (ij). Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3 °. Разница матриц АВ определяется как сумма матрицы А и матрицы В, умноженной на (–1):
AB = A + (–l) B.

Справедливы такие свойства операций:

  • а) А + В = В + Акоммутативность относительно сложения матриц;
  • б) А + (В + С) = (А + В) + Сассоциативность относительно сложения матриц;
  • в) А + O = А; АА = Oроль нулевой матрицы в действиях над матрицами такая, как и числа ноль в действиях над числами;
  • г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА) = (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) А — ассоциативность относительно умножения чисел;
  • д) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (А + В) = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВдистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц;
  • е) (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач+ Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) А = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачАдистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел.

4°. Операция умножения двух матриц вводится только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В.
Если это условие не выполняется, то есть матрицы несогласованные, то умножения таких матриц невозможно.
Из согласованности матрицы А с В не следует, вообще говоря, согласованность
матрицы В с А.
Квадратные матрицы одного порядка взаимно согласованы.

Произведением С = АВ матрицы Amxn =ij) на матрицу Bnxk (bij) называется такая матрица, в которой элемент сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 i = 1, 2, ..., mj = 1, 2, ..., k.
Это определение называют правилом умножения строки на столбец. Например,
чтобы определить элемент с24,  стоящий во второй строке и четвертом столбце матрицы С = АВ, нужно найти сумму произведений элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы четвертого столбца матрицы В.

Пример №4

Найти матрицу С = АВ, если:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Матрица А2х2 согласована с матрицей В2х3,  поэтому по определению имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из правила умножения матриц следует, что всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного порядка; в результате получим матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат; прямоугольную неквадратную матрицу возвести в квадрат нельзя.
Операция умножения матриц не коммутативная, то есть при умножении матриц нельзя менять местами множители:
AB Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ВА.
Например (проверьте):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для действий и 0°–4° над матрицами выполняются следующие свойства (при условии, что указанные операции имеют смысл):
а) (АВ) С = А (ВС);                          б) (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА) В = А (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВ) = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(АВ)
в) (А + В) С = АС + ВС;                  г) С (А + В) = СА + СВ;
д) А · 0 = 0 · А = 0;                  е) АЕ = ЕА = А;                   ж) det (АВ) = det А х det В.

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие
АА–1 = А–1 А = Е.
Квадратная матрица А называется вырожденной, если det А = 0, и невырожденной, если det А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0.

Теорема 3. Для существования обратной матрицы А–1 необходимо и достаточно,
чтобы матрица А была невырожденной.
Необходимость. Пусть обратная матрица А–1 существует, тогда АА–1 = Е.  Применяя правило нахождения определителя произведения двух матриц, имеем det А · det А–1 = 1, поэтому det А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0.
Достаточность. Пусть det А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, тогда матрица А имеет обратную А–1 матрицу, причем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,                                 (7)
где Аij — алгебраические дополнения элементов аij  определителя матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (8)
Действительно, произведения АА–1 и А–1 А матриц (7) и (8) равны матрице, у которой все элементы главной диагонали равны единице (по теореме 1), а все недиагональные элементы — нулю (по теореме 2). Итак,
АА–1 = А–1 А = Е.
Покажем, что А–1 — единственная обратная матрица. Пусть А"— еще одна обратная матрица, тогда
А–1 = А–1Е = А–1 (АА") = (А–1 А) А" = ЕА" = А"

Пример №5

Найти матрицу А–1, обратную к матрице
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вычислим определитель матрицы А:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Матрица А невырожденная, поэтому обратная матрица находится по формуле (7). Находим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составляем обратную матрицу:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Убеждаемся, что

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Ранг матрицы

Пусть задано матрицe Аmхn = А. Выделим в матрице А любые k строк и столько же столбцов, где — число, не большее чисел m и n, то есть k Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач min (m, n).

Определитель порядка k, состоящий из элементов, находящихся на пересечении
выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом r (А) матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Непосредственно из определения следует, что:

  1. Ранг существует для любой матрицы Amxn, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
  2. r (А) = 0 тогда и только тогда, когда А = В;
  3. для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Ранг матрицы можно найти так. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то r = 0. Если хоть один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то r = 1. В случае, когда есть минор второго порядка, отличный от нуля, исследуем миноры третьего порядка. Так продолжаем до тех пор, пока не произойдет одно из двух: или все миноры порядка k равны нулю, или миноров порядка k не существует, тогда r = k – 1.

Пример №6

Найти ранг матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Среди миноров первого порядка (то есть элементов матрицы) является отличным от нуля)
поэтому r (А) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1.
Поскольку один из миноров второго порядка
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
а все миноры третьего порядка равны нулю, то r (А) = 2.

Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобный, потому что связан с вычислением значительного числа определителей. Более простой метод основывается на том, что ран г матрицы не меняется, если над матрицей выполнить так называемые элементарные преобразования, а именно [1]:
а) переставить местами две строки (столбца);
б) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же отличный от нуля множитель;
в) добавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы второго
строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример №7

Найти ранг матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Выполняя элементарные преобразования, имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

r (А) = 3.
(Знак Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между матрицами показывает, что они образуются одна из другой элементарными преобразованиями и, следовательно, имеют один и тот же ранг).

Системы линейных уравнений

Основные определения:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, ... , хn  называется система вида
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                (9)

Числа аij,  i = 1, 2, ..., mj = 1, 2, ..., n  при неизвестных называются коэффициентами, а числа b — свободными членами системы (9).
Система уравнений (9) называется однородной, если все свободные члены равны нулю, и неоднородной, если хоть один из них отличный от нуля.
Множество чисел а1, а2, ... , an называется упорядоченным, если указан порядок следования этих чисел, то есть указано, какое из них является первым, какое вторым, какое третьим и т. д. Например, если упорядочена тройка чисел, то в записи а, b, с число а считается первым, b — вторым, с – третьим, а в записи b, а, с первым является число b, вторым — число а, и третьим — число с.

Упорядоченный набор n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется решением системы (9), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных х1, х2, ... , xn все уравнения системы превращаются в тождества. Такую систему чисел называют также n-мерным вектором, или точкой n-мерного пространства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, то есть существует только один набор n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который превращает все уравнения системы (9) в тождества.
Совместная система называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получают, в частности, в результате элементарных преобразований данной системы.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений соответствуют элементарным преобразованиям матрицы (п. 2.4) при условии, что они выполняются только над строками матрицы.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Пусть задано систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными х и у:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                         (10)
Выполним такие элементарные преобразования системы (10): сначала умножим первое уравнение на а22, второе — на –а12, а потом суммируем их; после этого первое уравнение умножим на а21, а второе — на –а11 и сложим их. Получим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (11)

Систему (11) можно записать с помощью определителей:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                      (12)

где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, составленный из коэффициентов системы (10), называется определителем системы. Определители Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуются из определителя  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответственно заменой столбцов при неизвестных  х  и у свободными членами.

При решении уравнений (12) могут быть следующие случаи:

1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда система (10) имеет единственное решение:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                  (13)

Формулы (13) впервые вывел К. Крамер и они называются формулами Крамера.
2)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда система (10) не имеет решений, то есть является несовместной.
3) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  тогда система (10) сводится к одному уравнению и имеет множество решений, то есть является неопределенной.
Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
х, у, z:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                         (14)

Вычислим определители:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если определитель системы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то система (14) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                 (15)
Докажем, например, вторую из формул (15). Умножим первое, второе и третье уравнения системы (14) на алгебраические дополнения соответствующих
коэффициентов при у, то есть на А11, А21, А32, а затем сложим их:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По теореме 2 выражения в скобках при х и z в этом равенстве равны нулю, а по теореме 1 выражение в скобках при у и правая часть равняются соответственно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Аналогично доказывают формулы Крамера для нахождения неизвестных х и z. Если задано n  линейных уравнений с n неизвестными (n > 3)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                        (16)
и определитель системыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то такая система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера, аналогичным формулам (13) и (15):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                             (17)
В случае, когда определитель системы (14) или (16) равен нулю, формулы Крамера (15) и (17) не имеют смысла. Такие системы, а также системы, у которых число неизвестных не равно числу уравнений и к которым, очевидно, формулы Крамера тоже нельзя применить, рассмотрим в п. 3.5.

Пример №8

Решить системы по формулам Крамера:

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач             б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находим определители Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формулам (13):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Решение получим по формулам (15). Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

х = 1, у = 2, z = 1.

Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения

Пусть задано систему (16), которая содержит n линейных уравнений с неизвестными.
Введем матрицы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Матрицу А, составленную из коэффициентов системы (16), называют матрицей
или основной матрицей системы, матрицу Х— матрицей из неизвестных, а матрицу В  — матрицей из свободных членов. Тогда в соответствии с правилом
умножения матриц систему (16) можно записать одним матричным уравнением с неизвестной матрицей Х:
АХ = В                                                                            (18)
Предположим, что матрица А системы (16) имеет обратную матрицу А–1; умножим обе части равенства (18) на А–1 слева:  А–1АХ = А–1В.
Поскольку А–1А = Е и ЕХ = Х, то           

Х = А–1В.                                                                          (19)
Итак, чтобы решить систему уравнений (16), достаточно найти матрицу, обратную к матрице системы, и умножить ее справа на матрицу из свободных
членов.
Формулу (19) называют матричной записью решения системы (16) или решением матричного уравнения (18).
Заметим, что решение системы уравнений в матричной форме возможно только тогда, когда матрица системы невырожденная.

Пример №9

Решить систему уравнений

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем (см. пример п. 2.3)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

По формуле (19) находим:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Итак, х = –1, у = 2, z = 1.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Этот метод предложен К. Гауссом и основывается на элементарных
преобразованиях системы уравнений (п. 2.1).
Пусть имеем систему (9), которая содержит m уравнений и n неизвестных. Очевидно, среди коэффициентов аi1 хотя бы один отличный от нуля. Если же а11 = 0, то первым в системе (9) запишем то уравнение, в котором коэффициент при х1 отличен от нуля. Обозначим этот коэффициент через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Преобразуем систему (9), исключая х1 во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим первое уравнение на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и добавим ко второму, потом умножим первое уравнение на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и добавим к третьему и т. д. При этом может произойти так, что второе неизвестное х2 также не входит во все уравнения с номером > 1. Пусть xk — неизвестное с наименьшим номером, которое входит в любое уравнение, не считая первого. Получим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач       (20)

Применяя ко всем уравнениям, кроме первого, такую ​​же процедуру и выполнив ряд элементарных преобразований, получим систему:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     (21)

Если продолжить этот процесс, то получим систему:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                    (22)

Такую систему уравнений называют ступенчатой ​​или трапециеподобной.

Исследуем эту систему:

1. Если система содержит уравнения вида 0 = bt  и  bt Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, то она очевидно несовместна.

2. Пусть система (22) не содержит уравнений вида 0 = bt (bt Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0). Назовем неизвестные х1, хk, х1, ..., хs , с которых начинаются первое, второе, ..., г-е уравнение, основными, а все остальные, если они есть, свободными. Основных неизвестных по определению г. Давая свободным неизвестным произвольные значения и подставляя эти значения в уравнение системы,из г-го уравнения найдем хs. Подставляя это значение в первые г – 1 уравнений и, поднимаясь вверх по системе, найдем все основные неизвестные. Поскольку свободные неизвестные могут принимать любые значения, система имеет множество решений.

3. Пусть в системе (22) г = n. Тогда свободных неизвестных нет, то есть все неизвестные основные и система (22) имеет так называемый треугольный вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из последнего уравнения системы найдем хn, и, поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные. Итак, в этом случае система имеет единственное решение.

Замечание 1. Изложенный нами метод последовательного исключения переменных х называют еще методом Гаусса. Он состоит из однотипных операций и легко реализуется на современных ЭВМ.

Замечание 2. При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к треугольному или трапециевидному виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, образованную присоединением к матрице ее коэффициентов столбца свободных членов. Выполняя над строками расширенной матрицы элементарные преобразования, приходим к решению системы.

Пример №10

Решить системы уравнений методом Гаусса:

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач      б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Проведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы данной системы (обозначим это символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, система а) эквивалентна системе

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В последнем уравнении свободный член равен 2, а коэффициенты при неизвестных равны нулю (то есть 0=2), поэтому система несовместна.

б) Имеем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, система б) эквивалентна системе треугольного вида

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    и имеет единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

в) Имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Итак, система в)  эквивалентна системе трапециевидного вида

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        и имеет множество решений.

Из последней системе находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, решение системы имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   где t — произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Отметим, что ни одну  из приведенных в этом примере систем нельзя решить ни по формулам Крамера, ни матричных способом.

Однородная система линейных уравнений

Пусть задана однородная система m  линейных уравнений с n неизвестными.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                              (23)
Эта система всегда имеет нулевое решение х1 = 0, х2 = 0, ..., хn = 0, так что подстановка нулей вместо неизвестных в каждое из уравнений (23) превращает их в тождества. Ненулевые решения (если они существуют) системы (23) можно найти методом Гаусса.
Покажем, что для однородной системы трех уравнений с тремя неизвестными можно найти общие формулы, выражающие ненулевые решения через коэффициенты системы.
Рассмотрим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                         (24)
Если определитель системы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то система имеет единственное нулевое
решение. Действительно, определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (один столбец в
каждом определителе содержит только нули), поэтому по формулам Крамера
х = 0, у = 0, z = 0
Покажем, что когда определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то система (24) имеет множество
решений. Рассмотрим такие два случая.

1. Допустим, что в определителе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует по крайней мере один отличный
от нуля минор второго порядка
. Пусть, например, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем те уравнение системы (24), которые содержат отличный от нуля минор, и запишем их в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (26)
Поскольку определитель (25) системы (26) отличен от нуля, то по формулам Крамера
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                             (27)
Поскольку z может приобретать любых действительных значений, положим z =    = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где t — произвольное действительное число, тогда из формул (27)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                     (28)
Подставляя решение (28) в третье уравнение системы (24) и используя теорему 1, убеждаемся, что формулы (28) при любом t определяют решения однородной системы (24). 

2. Пусть теперь определитель системы (24) и все его миноры второго порядка равны нулю. Это значит, что коэффициенты всех трех уравнений (24) пропорциональны, поэтому система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными. Предоставляя двум неизвестным произвольные значения, находят соответствующее им третье неизвестное.
Итак, если определитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач однородной системы (24) равен нулю, то такая система имеет множество решений.

Пример №11

Решить системы уравнений:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;        6) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Определитель системы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому система а) имеет единственное решение х = 0, у = 0, z = 0.
б) Определитель системы

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому система б) не определена. Все миноры второго порядка, содержащиеся в первой и второй строках определителя, равны нулю. Возьмем второе и третье уравнения системы:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Эти уравнения содержат отличный от нуля минор второго порядка
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому по формулам (28) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, система б) имеет множество решений: x = –t, у = 5t, z = 3t, где —произвольное действительное число. 

Критерий совместимости системы линейных уравнений

Пусть задано систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                    (29)
Составим основную матрицу А и расширенную матрицу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач данной системы:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании решения системы (29) дает теорема Кронекера - Капелли. Приводим ее без доказательства.

Теорема 4. Для того чтобы система линейных уравнений была совместимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы равнялся рангу
расширенной матрицы.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений
[1, 9].

Пример №12

Исследовать на совместимость систему уравнений

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку ранг основной матрицы r (А) = 2, а ранг расширенной матрицы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач =
= 3 (проверьте), то заданная система уравнений несовместима.

Элементы векторной алгебры

Векторная алгебра — раздел математики, в котором изучаются действия над векторами. Векторная алгебра возникла и совершенствовалась в связи с потребностями механики и физики. До 19 в. величины, встречавшиеся в механике и физике, задавали числом или несколькими действительными числами. Последующее развитие физики показало, что некоторые из физических величин гораздо целесообразнее характеризовать не только числом, но и направлением, то есть вектором.
Впервые векторы применил К. Вессель в 1799 г. для интерпретации комплексных чисел. Однако настоящее развитие векторной алгебры началось только в середине 19 в. и привело к созданию новой математической дисциплины — векторного анализа.
Аппарат векторного вычисления эффективно используется во многих общенаучных и инженерных дисциплинах (электро- и гидродинамике, теоретической и технической механике, теории механизмов и машин).

Векторы и линейные действия с ними

Вектор – это направленный отрезок прямой для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число.

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются своим числовым значением (объем, масса, плотность, температура и т. п.); они называются скалярными. Но есть и такие величины, которые кроме числового значения имеют еще и направление (скорость, сила, напряженность магнитного поля и
тому подобное). Такие величины называются векторными.
Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный
отрезок
, или вектор, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. (Термин «вектор» (от лат. vector — переносчик) ввел в 1848 г. Гамильтон.) Первую точку А называют началом вектора, а вторую В — концом вектора. Направлением вектора считают направление от его начала к концу.
Вектор, начало которого находится в точке А, а конец — в точке В, обозначается символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Направление вектора на рисунке показывают стрелкой (рис. 2.1). Расстояние между началом вектора  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его концом называется длиной (или модулем) вектора и обозначаются  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается ортом вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Вектор, начало которого совпадает с концом, называется нулевым и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ; направление нулевого вектора не определено, а его длина равна нулю.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются равными ( Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач =  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.
В определении равенства векторов не предусмотрено какое-то определенное размещение их, потому,  не нарушая равенства, векторы можно переносить
параллельно самим себе. В связи с этим векторы в аналитической геометрии
называются свободными. Иногда свобода перемещения вектора ограничивается.
В механике, например, рассматриваются скользящие и связанные векторы. Примером скользящего вектора является вектор угловой скорости при вращении тела, потому что он может размещаться только на оси вращения. Примером связанного вектора является сила, приложенная к какой-то точке упругого тела, поскольку результат действия силы зависит от точки приложения.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В частности, векторы компланарны, если два из них или все три коллинеарны. Три вектора считаются компланарными также в том случае, когда хотя бы один из них нулевой.

Линейные действия с векторами

К линейных действий с векторами принадлежат добавления и отнимание векторов, умножение вектора на число.

1. Сложение векторов. Сумма  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  двух векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по определению

есть вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленный из начала вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в конец вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , при условии, что начало вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с концом вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.2).
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2.3).
Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Направленный отрезок, идущий из начала первого вектора в конец последнего и будет суммой данных векторов (рис. 2.4).

2. Отнимание векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разницей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который, будучи добавлен к векторуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, дает вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.5).
Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, их длины одинаковы, а направления противоположны. Вектор, противоположный вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда разницу  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно толковать еще и так (рис. 2.6): вычесть из вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, это все равно, что к вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач добавить вектор, противоположный вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Умножение вектора на число. Пусть заданы вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Произведением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется вектор, длина которого равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а направление совпадает с направлением вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и противоположное ему, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрическое содержание операции умножения вектора на число таково: умножения вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно понимать как «растяжение» вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и «сжатие» при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит еще и изменение направления. На рис. С. 2. 7 показаны векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Из определения умножения вектора на число следует, что если векторы коллинеарны, то существует единственное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; и, наоборот, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны.

Линейные операции над векторами имеют следующие свойства:

  1. Коммутативность относительно сложения векторов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Ассоциативность относительно сложения векторов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Ассоциативность относительно умножения чисел: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Дистрибутивность относительно сложения чисел:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  5. Дистрибутивность относительно сложения векторов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, например, свойство 5°: пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  неколлинеарные векторы и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Построим (рис. 2.8) векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИз подобия треугольников ОАВ и ОА1В1  следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Случай Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматривается аналогично.
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  коллинеарны и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, используя свойства 3° и 4°, имеем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Рассмотренные свойства имеют большое значение в векторной алгебре, потому что они дают право делать преобразования в линейных операциях с векторами
так же, как в обычной алгебре: векторные слагаемые можно переставлять местами и соединять их в группы, вводить скобки, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Разложение вектора по базису

Применяя линейные операции над векторами, можно находить суммы произведений чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где i = 1, 2, ..., n, на векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов, а числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, входящих в линейную комбинацию, — ее коэффициентами.
Базисом на прямой называется произвольный ненулевой вектор на этой прямой.
Базисом на плоскости называется произвольная упорядоченная пара неколлинеарных векторов, а базисом в пространстве — произвольная упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Векторы, составляющие базис, называются базисными. Разложить вектор по базису означает изобразить
его в виде линейной комбинации базисных векторов.

Если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  составляют базис и вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложен по этому базису, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называются координатами вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ​​данном базисе, а векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — компонентами или составляющими вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Говорят также, что вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  линейно выражается через векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или является их линейной комбинацией.

Теорема 1. Каждый вектор, параллельный какой-нибудь прямой, можно
разложить по базису на этой прямой.
Каждый вектор, параллельный какой-нибудь плоскости, можно разложить
по базису на этой плоскости.
Каждый вектор можно разложить по базису в пространстве.
Координаты вектора в каждом случаи определяются однозначно.

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы [4], рассмотрим ее геометрический смысл.
Первое утверждение теоремы означает, что для произвольного вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  коллинеарного ненулевому вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; (рис. 2.9, а), найдется такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Очевидно, что  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаково направлены, и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если эти векторы противоположно направлены. 
Второе утверждение означает, что для каждого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, компланарного с двумя неколлинеарными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.9, б), найдутся такие числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Чтобы указать компоненты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно разложить вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на сумму векторов, коллинеарных векторам  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (вспомните разложение силы в
физике на две составляющие).
Третье утверждение теоремы означает, что для каждого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и некомпланарных векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдутся такие числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Составляющие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач показаны на рис. 2.9, в.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Таким образом, базис в пространстве позволяет каждому вектору однозначно
сопоставить упорядоченную тройку чисел (координат этого вектора) и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью базиса можно сопоставить единственный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач— векторы базиса, то есть выбранный базис позволяет установить взаимно однозначное соответствие между векторами и упорядоченными тройками чисел.

Пример №13

Пусть ABCD — параллелограмм. М и N — середины его сторон (рис. 2.10). Разложить вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Из треугольников AND и АМВ  имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если из первого равенства найти вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставить его значение во второе, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, если базисными векторами являются векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то координатами вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом базисе являются числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Проекция вектора на ось

Осью называется направлена ​​прямая. Направление прямой обозначают стрелкой. Заданное на оси направление считают положительным, а противоположное — отрицательным. 
Проекцией точки А на ось u называется основание А1 перпендикуляра АА1, опущенного из точки А на эту ось. Таким образом, проекция Аявляется точкой пересечения оси u с плоскостью, проходящей через точку А, перпендикулярно оси u.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в пространстве заданы ось u и вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. обозначим через А1 и B1 проекции на ось u соответственно начала А и конца В вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.11).
Проекцией вектора  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось u называют положительное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ось u  одинаково направлены, и отрицательное число –Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ось u  противоположно направлены. Проекцию вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось обозначают так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ЕслиВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то считают, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  между вектором  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и осью u (или между двумя векторами) называется
меньший из углов, на который нужно повернуть один вектор или ось,  чтобы он совпадал по направлению со вторым вектором или осью: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В некоторых случаях мы будем указывать, от которого вектора и в каком направлении угол отсчитывается.

Справедливы такие свойства проекций.

1°. Проекция вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось u  равняется произведению длины вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на косинус угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между вектором и осью, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.12), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2. 13), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
ЕслиВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то формула (1) справедлива, поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2°. Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось, то есть

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.14). Имеем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3°. При умножении вектора  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его проекция также умножится на это число:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по формуле (1)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим
линейным операциям над проекциями этих векторов.

Системы координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Декартова система координат

Рассмотрим в пространстве точку О и некоторый базис, задаваемый векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.15).
Совокупность точки и базиса называется декартовой системой координат в пространстве в честь французского математика Р. Декарта. Точка О называется началом координат, а оси, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая из них проходит в направлении вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и называется осью абсцисс, вторая ось, проходящая в направлении вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , — осью ординат и третья — в направлении вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — осью аппликат.
Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными
плоскостями
.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач        Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Любой точке пространства можно сопоставить вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  начало которого совпадает с началом координат О, а конец — с точкой М. Такой вектор называется радиусом-вектором точки М относительно точки О. Согласно теореме 1 существуют такие действительные числа х1, х2, х3, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                          (4)
 Координаты х1, х2, х3 радиуса-вектора точки М относительно начала координат называют декартовымu координатами точки М в данной системе координат и пишут: М (х1; х2; х3). Координата хназывается абсциссой точки М, координата х2ординатой и координата х3аппликатой точки М.
Аналогично определяются декартовы координаты точки на плоскости и на прямой. Разница лишь в том, что точка на плоскости имеет две координаты, а точка на прямой — одну. Таким образом, если в пространстве выбрана декартова система координат, то каждой точке пространства соответствует одна упорядоченная тройка действительных чисел — декартовы координаты этой точки. И наоборот, для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка пространства, для которой эти числа являются декартовыми координатами.
Это означает, что выбранная тем или иным способом декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел.
Система координат на плоскости устанавливает такое ​​же соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел, а на прямой — между точками прямой и действительными числами.

Прямоугольная система координат

Очевидно, декартовых систем координат можно задать сколько угодно. Среди них широко используется прямоугольная декартова система координат. Чтобы определить эту систему, введем такие понятия.
Упорядоченная тройка единичных попарно ортогональных векторов называется ортонормированным базисом. Обозначают ортонормированный базис через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Упорядоченная тройка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некомпланарных векторов называется
правой (рис. 2.16, а), если с конца третьего вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратчайший поворот от первого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до второго вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач видно против часовой стрелки; в  противоположном случае тройка векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется левой (рис. 2.16, б).
Прямоугольной декартовой системой координат (или просто прямоугольной
системой координат
) называется декартова система координат, базис которой ортонормированный. Прямоугольная система координат называется правой (левой), если ее ортогональный базис образует правую (левую) тройку векторов. В дальнейшем будем пользоваться правой системой координат, определяется правым ортонормированным базисом: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Прямоугольную систему координат обозначают (рис. 2.17) через Oxyz (Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат), а координатные плоскости — через Оху, Oyz, Ozx. Они делят пространство на восемь октантов. При изображении системы координат, как правило, показывают только оси координат; векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не указывают.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и произвольная точка М (рис. 2.17). Радиус-вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  этой точки по формуле (4) записывают в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                             (5)
Координаты х, у, z радиуса-вектора точки М называются координатами точки М. Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х; у; z).
Из ортогональности базисных векторов системы Oxyz следует, что координаты точки М равны соответствующим проекциям (п. 1.4) радиуса-вектора этой точки на оси координат, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           (6)
и определяются проектированием точки М на координатные оси (рис. 2.18).

Прямоугольные координаты точки на плоскости и на прямой определяются
таким же способом, как и в пространстве.
Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается точкой О — началом координат и двумя взаимно перпендикулярными единичными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — базисом системы координат; система координат на прямой задается точкой О и единичным вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Понятно, что точка М (х; у) на плоскости имеет только две координаты (абсциссу и ординату), а точка М(x) на прямой — одну.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №14

1. На координатной прямой Ох построить точки: А1(3), А2(–2).
2. В прямоугольной системе координат Оху построить точки В1(1; 2), В2(2; –3), В3(–3; 0).
3. В прямоугольной системе координат Oxyz построить точки С1(1; 2; 3), С2(3; –2; 3), С3(–1; –3; –5).
Построение точек nоказано на рис. 2.19, а-в.

Полярная система координат

Декартова система координат – не единственный способ определять с помощью
цифр место нахождения точки на плоскости. Для этой цели используют много других координатных систем.
Важнейшей после прямоугольной системы координат является полярная
система координат
. Она задается точкой О, которая называется полюсом, и лучом Ор, который выходит из полюса и называется полярной осью. Задаются также единицы масштаба: линейная — для измерения длин отрезков и угловая — для измерения углов.
Рассмотрим полярную систему координат и возьмем на плоскости произвольную точку М (рис. 2.20). Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки О до точки М  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы совместить ее с вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Полярными координатами точки М называются числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  При этом число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считается первой координатой и называется полярным радиусом, а число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — второй координатой и называется полярным углом. Точка М с полярными координатами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначается так: М (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Очевидно, полярный радиус может принимать произвольные неотрицательные значения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, полярный угол будем считать таким, что изменяется в пределах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Иногда рассматривают углы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, больше чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а также отрицательные углы, то есть такие, которые откладываются от полярной оси по часовой стрелке.
Выразим декартовы координаты точки М через полярные.
Будем считать, что начало прямоугольной системы совпадает с полюсом, а ось Ох — с полярной осью Ор. Если точка М (рис. 2.21) имеет декартовы координаты х и у и полярные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                          (7)

  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что вторая из формул (8) дает два значения угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку он меняется от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из этих двух значений угла надо взять то, для которого удовлетворяются формулы (7). Формулы (7) называют формулами перехода от полярных координат к декартовым, а формулы (8) — формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример №15

Построить точки с полярными координатами: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Данные точки показаны на рис. 2.22.

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

При решении задач иногда надо переходить от одной прямоугольной системы к другой. Выполняется такой переход с помощью формул преобразования координат.
Рассмотрим преобразования координат на плоскости.

  1. 1°. Параллельный перенос осей. Возьмем две прямоугольные декартовы системы координат Оху и О1ХУ с разными началами координат и одинаково направленными осями.

Пусть точки О1 и М в системе Оху (рис. 2.23) имеют соответственно координаты
(a; b) и (х; у), тогда координаты точки М в системе О1ХУ  удовлетворяют равенству
Х = х а, Y = y – b.                                                                 (9)
Формулы (9) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей. Они выражают координаты точек в системе О1ХУ через координаты точек в системе Оху .

2°. Поворот осей координат. Пусть на плоскости заданы две прямоугольные
системы координат Оху и ОХУ, имеющих общее начало координат, причем система ОХУ образована из системы Оху поворотом осей на положительный угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис . 2.24).
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем формулы, выражающие координаты (х; у) точки М в системе Оху через координаты (Х; У) этой точки в системе ОХУ. Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и ОХ, тогда по формулам (7) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                       (10)
Формулы (10) называются формулами преобразования координат при
повороте осей
.

Пример №16

В системе Оху точка М имеет координаты (2; 4). Найти ее координаты в системе
ОХУ, которая образуется из системы Oху поворотом на угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По формулам (10) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Такой же результат можно получить геометрически, построив точку М и системы координат Оху и ОХУ.

Цилиндрическая и сферическая системы координат

В пространстве кроме прямоугольной системы координат часто используются цилиндрическая и сферическая системы координат.

1°. Цилиндрическая система координат. Если в прямоугольной системе координат Oxyz вместо первых двух координат х, у взять полярные координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а третью координату z оставить без изменения, то получим цилиндрическую систему координат (рис. 2.25). Координаты точки М пространства в этой системе записываются в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Зависимости между прямоугольными координатам точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее цилиндрическими координатами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытекают из формулы (7): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                           (11)

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, если  прямоугольная и цилиндрическая системы координат размещены так,  как на рис. 2.25, то связь между прямоугольными и цилиндрическими координатами выражается формулами (11).

2°. Сферическая система координат. В системе Oxyz возьмем точку М и через эту точку и ось Oz проведем плоскость (рис. 2.26). Пусть r — расстояние от начала координат до точки М; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — двугранный угол между плоскостями Ozx и zOM; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между осью Oz и лучом ОМ. Упорядоченная тройка чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач однозначно определяет положение точки М в пространстве. Эти числа называются сферическими координатами точки М.
Найдем зависимость между прямоугольными и сферическими координатами
точки М. Из прямоугольных треугольников ONM и OPN имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                 (12)
где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, если прямоугольная и сферическая системы координат размещены так, как на рис. 2.26, то связь между прямоугольными и сферическими координатами выражается формулами (12).

Понятие о n-мерном пространстве

Как уже указывалось в п. 2.1, между геометрическими векторами и их
координатами в фиксированном базисе существует взаимно однозначное соответствие. При этом каждому вектору пространства сопоставляется упорядоченная тройка чисел, каждому вектору, принадлежащему некоторой плоскости,  — упорядоченная пара чисел, а каждому вектору, принадлежащему
некоторой прямой, — действительное число, и наоборот.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Упорядоченную тройку чисел называют трехмерным вектором, а множество всех трехмерных векторов называют трехмерным пространством и обозначают через R3.

Упорядоченные пары чисел называют двумерными векторами, а числа —одномерными. Множества двумерных и одномерных векторов называют соответственно двумерными и одномерными пространствами и обозначают через R2 и R1.

Обобщая пространства R1, R2, R3, приходим к n-мерному пространству Rn, где —произвольное натуральное число.

Упорядоченное множество n действительных чисел х1, х2, ..., хn называется
n-мерным вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (х1; х2; ...; хn).
Множество всех n-мерных векторов называется n-мерным пространством и обозначается через Rn. Если произвольный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (х1; х2; ...; хn) пространства Rn рассматривать как радиус-вектор соответствующей точки М относительно начала выбранной системы координат, то координаты точки М
определяются как координаты этого радиуса-вектора. В связи с этим
n-мерное пространство Rn можно толковать также как множество упорядоченных совокупностей  n действительных чисел.

Пространства R1, R2, Rз являются частными случаями пространства Rn. Их можно
изобразить геометрически; для n > 3 пространства Rn геометрически уже представить нельзя, однако они играют важную роль в науке и технике.

Примеры:

  1. В системе (9) линейных уравнений  каждое уравнение можно рассматривать как (n + 1)-мерный вектор, потому что оно определяется упорядоченной совокупностью (n + 1) чисел. Так, первое уравнения определяется вектором   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Решение системы уравнений с n неизвестными является n-мерным вектором.
  3. Каждая строка матрицы А  является n-мерным вектором, а каждый столбец — m-мерным. Строки называют горизонтальными, а столбцы —вертикальными векторами матрицы. Итак, произвольное матрицу можно рассматривать как некоторую упорядоченную совокупность ее вертикальных или горизонтальных векторов.

Линейная зависимость векторов

Рассмотрим систему из m n-мерных векторов
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                              (13)
По определению векторы (13) называются линейно зависимыми, если равенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач              (14)
возможно при условии, что хотя бы одно из чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где i = 1, 2, ..., m.
Если же равенство (14) возможно только при условии, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то векторы (13) называются линейно независимыми.

Для выяснения вопрос о линейной зависимости векторов (13) каждый из заданных векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и ноль-вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (0; 0; ..., 0) запишем как матрицу-столбец, тогда векторное равенство (14) можно записать в матричной форме:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
или

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                (15)
Имеем линейную однородную систему уравнений относительно неизвестных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Если система (15) имеет только нулевое решение, то векторы
(13) будут линейно независимыми. Если же кроме нулевого система (15) имеет еще и ненулевые решения, то векторы (13) линейно зависимы.
Приводим без доказательства следующие свойства понятия линейной зависимости [1, 4]:
 

  1. если среди векторов (13) есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы;
  2. если векторы (13) линейно зависимы, то после добавления к ним одного или нескольких новых векторов получим линейно зависимую систему векторов;
  3. если векторы (13) линейно независимы, то после отнимания одного или нескольких векторов получим снова линейно независимые векторы;
  4. векторы (13) линейно зависимые тогда и только тогда, когда один из  них является линейной комбинацией других;
  5. если два ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они коллинеарны, и наоборот;
  6. если три ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они компланарны и наоборот.
  7. четыре (и более) трехмерных векторов всегда линейно зависимы.

Понятие линейной зависимости имеет достаточно глубокий смысл и широко
используется в математике. Не вдаваясь в подробности, приведем такие применения этого понятия.

  1. Всякая упорядоченная совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно выражается произвольный вектор пространства, называется базисом этого пространства. Нетрудно убедиться в эквивалентности этого определения и определения базисов в пространствах R1, R2, R3.
  2. Максимальное число линейно независимых векторов некоторого пространства называется его размерностью. Размерность пространства равна числу базисных векторов этого пространства. В соответствии с этим определение прямую линию рассматривают как одномерное пространство R1 с одним базисным вектором; плоскость — это двумерное пространство R2, базис которого содержит два вектора, и т. д.
  3. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых строк, и это число равно рангу матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (9) и зафиксируем
какой-нибудь отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы этой системы. Уравнения, в которых коэффициенты при неизвестных образуют выбранный минор, называют базисными. Тогда из утверждения 3° выплывает такой важный для практики вывод: система линейных уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Пример №17

Доказать, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  линейно независимы.
Решим уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку определитель системы отличен от нуля (проверьте), то система имеет единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следовательно, заданные векторы линейно независимы.

Векторы в системе координат

Для того чтобы операции над векторами свести к операциям над числами, будем рассматривать векторы в системе координат.

Координаты, длина и направляющие косинусы вектора

1. Координаты вектора. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что в ортонормированном базисе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  который задает выбранную систему координат, вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (п. 1 .3), где числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом базисе. Но из свойств проекции (п. 1.4) вытекает, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (16)
Итак, координаты вектора в системе координат Oxyz — это его проекции на оси координат.

2. Длина вектора. Вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.27) с измерениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому длина этого
вектора равна
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                           (17)
Если начало вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.28) находится в точке А (х1; у1; z1), а конец — в точке В (х2; у2; z2), то из формул (2) и (16) следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (18)
Тогда из формулы (17) находим длину вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                              (19)
Этой формулой пользуются для нахождения расстояния между точками
А и В

3. Направляющие косинусы вектора. Направление произвольного вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется углами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые образует вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с осями координат (рис. 2.27): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Косинусы этих углов называются направляющими косинусами. Формулы
для направляющих косинусов получаем из формул (l) и (16):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                        (20)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возведя обе части каждого из равенств (20) в квадрат, и подытоживая, с учетом формулы (17) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                      (21)
то есть сумма квадратов направляющих косинусов произвольного вектора равна единице.

Пример №18

Заданы точки А (0; –1; 2) и В (–l, 1, 4). Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формул (18), (19) и (20) имеем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (–1; 2; 2);  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 3;
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №19

Может ли вектор образовывать с осями координат углы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 60°, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 30°?
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому согласно формуле (21) получим на этот вопрос отрицательный ответ.

Линейные действия с векторами. Равенство и коллинеарность векторов

1. Действия с векторами. Если известны координаты векторов, то линейным действиям с векторами отвечают соответствующие арифметические действия над их координатами. Это следует из свойств 2°, 3° проекций (п. 1.4).

Пусть заданы векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и действительное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Равенство векторов. Пусть векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачравны, то есть имеют одинаковые длины и направление, тогда из формул (1) и (16) следует, что 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                 (22)
и наоборот, если имеют место формулы (22), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, всякое векторное равенство вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  эквивалентно трем скалярным равенствам (22).

3. Коллинеарность векторов. Необходимым и достаточным условием того, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  коллинеарны, является пропорциональность их проекций:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                       (23)
Действительно, если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, то существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда из формул (22) получаем равенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из которых вытекают формулы (23).

Пример №20

Найти вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  коллинеарной вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из условий (23) имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №21

Доказать, что координаты орта Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают с направляющими косинусами данного вектора.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Деление отрезка в заданном соотношении. Координаты центра масс

Пусть задан отрезок АВ точками А (х1; у1; z1) и В (х2; у2; z2). Найдем на отрезке такую точку М (х; у; z), которая делит этот отрезок в отношении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Введем радиусы-векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.29). Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и по условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.   Приравнивая проекции обеих частей этого равенства на оси координат, согласно формулам (22) имеем 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                             (24)
В частности, координаты точки, которая делит отрезок АВ пополам Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  находят по формулам 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                (25)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Выведем теперь формулы для координат центра масс системы материальных точек М1 (x1; у1; z1), М2 (x2; у2; z2), ..., Мn (xn; уn; zn), в которых сосредоточены массы m1, m2, ..., mn. Найдем сначала центр массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы двух точек М1 и М2. Поскольку центр массы лежит на отрезке М1М2 и делит его в отношении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по формулам (24)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (26)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (26), называется центром масс двух материальных точек М1 и М2.
Рассмотрим теперь систему точек N1 и М3, в которых сосредоточены массы
m1 + m2 и m3 и найдем центр массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этих точек. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то из формул (24) и (26) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (27)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (27), называется центром масс трех материальных точек М1, М2, М3.
Методом математической индукции можно доказать, что центр масс системы
n материальных точек находится в точке С (хс; ус; zc), где

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скалярное произведение двух векторов

Определение, геометрический и механический смысл скалярного
произведения:

Скалярным произведением двух векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,                                  (28)

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если хотя бы один из векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  нулевой, то по определениюВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку по формуле (3)  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то из (28) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                            (29)
Формулы (29) выражают геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного
вектора на проекцию на него второго вектора.

Из физики известно, что работа А силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при перемещении материальной
точки из начала в конец вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который образует с вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.30) равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                          (30)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. В этом суть механического смысла скалярного произведения.

Свойства скалярного произведения

В векторном исчислении величину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют скалярным произведением векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, что, во-первых, эта величина является скаляром и, nо-вторых, имеет некоторые алгебраические свойства обычного произведения чисел.

Рассмотрим три алгебраических свойства скалярного произведения.

1°. Коммутативное свойство умножения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По определению скалярного произведения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  как произведение чисел и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2°. Ассоциативное свойство относительно умножения на число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из формул (29) и (3) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3°. Дистрибутивное свойство относительно сложения векторов:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В соответствии с формулами (29) и (2) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти три свойства обусловливают глубокую аналогию между векторной алгеброй и алгеброй чисел. Первое свойство позволяет менять местами множители, второе — объединять числовые коэффициенты векторных множителей, а третье — раскрывать или вводить скобки и выносить за них общие скалярные или векторные множители. Однако аналогия между скалярным произведением векторов и произведением чисел является неполной. В частности, не существует скалярного произведения трех и большего числа векторов; равенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  может выполняться и при ненулевых множителях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  нельзя делать вывод, что из равенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вытекает равенство  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  даже когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Равенство  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и верно при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Приведем геометрические свойства скалярного произведения.

4°. Если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, и            Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если угол   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач     — тупой.

5°. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны.

6°. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ,                                                                         
  (31)
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                         (32)
Свойства 4°–6° непосредственно вытекают из формулы (28).

Пример №22

Найти скалярные произведения векторов   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Используясь свойства  1°–3°, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Применяя формулы (28) и (30), находим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №23

Найти длину вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
По формуле (32) получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение скалярного произведения через координаты. Угол между векторами

Пусть заданы два векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Найдем
их скалярное произведение. Используя свойства 1° и 3° скалярного произведения, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — попарно ортогональные орты, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                       (33)
Итак, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в прямоугольной системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.
Укажем на ряд важных выводов из формулы (33).

1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов  
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является равенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                     (34)

2. Длина вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                      (35)
Формула (35) следует из формул (32) и (33). В п. 3.1 мы доказали эту формулу другим способом.

3. Угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (36)
Эта формула является следствием формул (28), (33) и (35).

Пример №24

Вычислить, какую работу выполняет сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая прямолинейно перемещает материальную точку из точки М (–1; 0; 3) в точку N (2; –3; 5).
По формулам (18) найдем вектор перемещения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда по формулам (30) и (33) работа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №25

Заданные векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти проекцию вектора
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найдем координаты вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из формул (29), (33) и (35) получаем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
 

Пример №26

Треугольник задан вершинами А (0; –1; 2), В (–1; –2; 7), С (1; –2; 6). Найти его внутренний и угол при вершине А.
Пользуясь формулами (18) и (36), получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Векторное произведение двух векторов

Определение и свойства векторного произведения:

Векторным произведением вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который определяется следующими тремя условиями:

  1. длина вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,   где   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
  2. вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярный к каждому из векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  3. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначают одним из символов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть в точке А (рис. 2.3 1) приложена сила  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и О — некоторая фиксированная точка. Как известно из физики, моментом силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  относительно точки О называется вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, длина которого равна произведению силы на плечо и который направлен по оси вращения так, что если смотреть с его
конца, то вращение тела происходит против движения стрелки часов.
Поскольку 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то момент силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, приложенной в точке А, относительно точки О определяется
векторным произведением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                  (37)
 

2. Скорость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Р твердого тела, вращающегося с угловой скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвокруг неподвижной оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяется по формуле Ейлера   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Если электрон, заряд которого равен е, движется со скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в магнитном поле постоянного напряжения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то на электрон действует сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая
определяется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где с — скорость света.

Рассмотрим алгебраические свойства векторного произведения.

1°. Антикоммутативность умножения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
то есть от перестановки множителей векторное произведение меняет знак.
Это следует из того, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеют одинаковые модули, коллинеарны и тройки векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  противоположной
ориентации (рис. 2.32).

2°. Ассоциативность относительно скалярного множителя Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3°. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Алгебраические свойства векторного произведения позволяют при умножении линейных векторов выполнять действия так же, как с алгебраическими многочленами. Однако при выполнении векторного умножения следует помнить, что оно некоммутативное: при перестановке сомножителей знак векторного произведения меняется на противоположный.

Приведем геометрические свойства векторного произведения.

4°. Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

5°. Модуль Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач векторного произведения неколлинеарных векторов
равен площади S параллелограмма, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, отнесенных к общему началу
, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                             (38)

6°. Векторные произведения ортов удовлетворяют следующим равенствам:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №27

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторное произведение двух векторов, заданных координатами

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Покажем, что векторное произведение вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (39)
 Используя свойства и 1°–3° и 6° векторного произведения и теорему о разложении определителя, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №28

Найти площадь треугольника, заданного вершинами А (1; 2; 0), В (0; –2; 1), С (–1; 0; 2).
 Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и по формуле (39)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то по формуле (38) площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

Найти момент силыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке А (1; 2; 3), относительно точки B (3; 2; –1).
Согласно формуле (37) момент силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (–2; 0; 4), тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Смешанное произведение векторов

Определение и вычисление смешанного произведения:

При умножении двух векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выше были определены два вида произведений: скалярное, результатом которого является число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и векторное, результатом которого является вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Умножение трех векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выполнить разными способами. В частности, можно создать такие произведения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Первый из этих произведений соответствует умножению скаляра Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на
вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не рассматривается. То же касается произведений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Результатом второго произведения является вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который называется двойным векторным или векторно-векторным произведением данных трех векторов: 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Для нахождения двойного векторного произведения применяют формулы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Двойной векторное произведение часто встречается в векторном исчислении,
но определенного геометрического смысла не имеет.
Последний из приведенных произведений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это скалярное произведение вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, его называют смешанным произведением векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это произведение имеет четкий геометрический смысл и широко используется в задачах.
Найдем смешанное произведение векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданных координатами:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Координаты вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются по формуле (39):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножив вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  скалярно на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, по формуле (33) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Свойства смешанного произведения

1°. Если в смешанном произведении поменять местами какие-нибудь два множителя, то смешанное произведение сменит знак, например:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Действительно, если в смешанном произведении поменять местами два множителя, то это то же самое, что в определителе (40) поменять местами две строки, а при этом определитель меняет знак.

2°. При цикличной перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Действительно, при цикличной перестановке меняются местами два раза множители, или, что то же, в определителе (40) строка меняется местом два раза, а от этого определитель не меняется.

3°. В смешанном произведении знаки векторного и скалярного произведений
можно менять местами:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Действительно, из свойства 2° и коммутативности скалярного произведения
имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В связи с этим смешанные произведения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (векторно-скалярное произведение) и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (скалярно-векторное произведение) сокращенно обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

4°. Модуль смешанного произведения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отнесенных к общему началу:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                            (41)
Возьмем трех некомпланарных вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и построим на этих векторах параллелепипед (рис. 2.33). Объем этого параллелепипеда V = Sh.
где S — площадь основания, а — высота. Но

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5°. Если смешанное произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительное, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачобразуют правую тройку, а если отрицательное, то левую.
Из формулы (29) следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  острый, то есть векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачобразуют правую тройку. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  угол  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   тупой, потому векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют левую тройку.

6°. Вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и лежит с векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в одной плоскости. Это означает, что векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкомпланарны. Наоборот. если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Свойства 4°–6° выражают геометрический смысл смешанного произведения
трех векторов.

Пример №30

Найти объем тетраэдра, заданного вершинами А (2; –1; 0), В (5; 5; 3), С (3; 2; –2), D (4; 1; 2).
Известно, что объем тетраэдра VABCD , построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. Тогда по формуле (41) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Находим векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формуле (40) получим
 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №31

Доказать, что точки А (0; 1; 2), В (–2; 0; –1), C (–1; 5; 8), D (1, 6, 11) лежат в одной плоскости.
Точки А, B, С, D лежат в одной плоскости, если векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач компланарные. Находим векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку смешанное произведение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то по свойству 6° векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  компланарны, поэтому заданные точки лежат в одной плоскости.

Пример №32

Какую тройку образуют векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?
Поскольку смешанное произведение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то по свойству 5° данные векторы образуют правую тройку.

Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия — это раздел математики, в котором свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел и т. п.) изучаются средствами алгебры на основе метода координат.
Основоположником аналитической геометрии считают Р. Декарта, который впервые в 1637 г. в своей книге «Геометрия» дал четкое изложение идеи метода координат на плоскости. Р. Декарт предложил положение точки на плоскости относительно заданной системы координат определять с помощью двух чисел — ее координат, а каждую линию на плоскости рассматривать как множество точек, заданных определенным геометрическим условием. Это условие записывается в виде уравнения, которое связывает переменные координаты точки, принадлежащей данной линии, и называется уравнением этой линии. Такой способ исследования геометрических о объектов и называют методом координат.
Следующий важный вклад в аналитическую геометрию сделал французский ученый Ж. Л. Лагранж, который впервые в 1788 г. в своем произведении «Аналитическая механика» предложил положения вектора определять с помощью чисел — его проекций на координатные оси. Развитие идей Лагранжа привело к созданию векторной алгебры.
Метод координат и аппарат векторной алгебры широко используются в современной аналитической геометрии.

Линии на плоскости и  их уравнения

Понятие о линии и ее уравнении:

Рассмотрим равенство
F (x, y) = 0,                                                                           (1)
связывающее переменные величины и у.
Равенство (1) называют уравнением с двумя переменными х и у, если это равенство выполняется не для всех пар чисел х, у, и тождеством, если оно справедливо для всех значений х и у. Например, равенства ху = 0 и х2 + у2 = 9 являются уравнениями, а равенства х + у – (х + у) = 0 и (х + у)2х2 – 2ху у2 = 0 — тождествами.
Уравнения (1) называется уравнением линии l, заданной на плоскости относительно определенной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии l и не удовлетворяют координаты х и у  ни одной точки, не лежащей на этой линии.
Когда уравнение (1) является уравнением линии l, говорится, что это уравнение
определяет (или задает) линию l. Итак, если линия задана уравнением, то
о каждой точке плоскости можно сказать, лежит она на этой линии или не лежит. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка лежит на ней, если не удовлетворяют, то не лежит.
Линия, которая задана уравнением (1) относительно определенной системы координат в плоскости, есть геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданное уравнение.
Переменные х и у в уравнении (1) линии l называются переменными координатами ее точек.
Пусть линия l относительно системы координат Оху определяется уравнением
(1). В аналитической геометрии линии классифицируют в зависимости от свойств этого уравнения. Если выражение F (x, y) в уравнении (1) является многочленом от переменных х и у (то есть сумма конечного числа одночленов
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где а  постоянный коэффициент, а показатели k и m — целые положительные числа или нули), то линия, заданная этим уравнением, называется алгебраической.
Алгебраические линии различают в зависимости от их порядка. Степенью одночлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется сумма k + m показателей при переменных.
Степенью уравнения (1) называется самая высокая степень одночлена, входящего в его состав. Алгебраической линией n-го порядка называется линия, выраженная уравнением n-й степени. Порядок алгебраической линии не меняется при замене одной декартовой системы на другую.

Линия, которая не является алгебраической, называется трансцендентной. Мы
будем изучать только линии первого и второго порядков, то есть линии,
задаваемые уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, линию на плоскости можно задать геометрически как совокупность точек с определенными геометрическими свойствами и аналитически — с помощью уравнения. В связи с этим возникают две типичные для аналитической геометрии задачи: составить уравнение линии, заданной геометрически, и наоборот, установить геометрический образ линии, заданной аналитически. Отметим, что в аналитической геометрии вторая задача решается только для алгебраических линий первого и второго порядков. Общий метод исследования линий, заданных уравнениями, дается в курсе математического анализа.

Примеры:

  1. Уравнение у = 2х – 1 показывает на плоскости прямую линию.
  2. Уравнения х2у2 = 0 или (х + у) (ху) = 0  определяют две прямые — биссектрисы координатных углов.
  3. Уравнение х2 + у2 = 0 удовлетворяет только одна точка О (0; 0). В подобных случаях говорят, что уравнение определяет вырожденную линию.
  4. Уравнение х2 + у2 + 1 = 0 не определяет никакого геометрического места точек, поскольку для любых значений х и у  имеем  х2 + у2 + 1 > 0. ·

Нахождение уравнения линии по ее геометрическими свойствами

Остановимся подробнее на задаче о составлении уравнения линии, заданной геометрически. Для ее решения нужно установить геометрическое свойство, которое удовлетворяют только точки данной линии, и записать это свойство в виде уравнения. Такое уравнение связывает переменные координаты точек данной линии и те известные постоянные величины, которые геометрически
определяют именно эту линию.

Пример №33

Составить уравнение линии, сумма квадратов в расстояний каждой точки которой до точек А (–1; 0) и В (l; 0) равен 4.
Пусть точка М (х; у) лежит на линии, тогда по условию АМ2 + ВМ2 = 4.
Поскольку АМ2 = (х + 1)2 + у2, ВМ2 = (х – 1)2 + у2, то (х + 1)2 + у+(х – 1)2 + у2 = 4, откуда после упрощений получаем искомое уравнение:  х2+ у2 = 1.

Пример №34

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится от точки А (1; 2) в два раза дальше, чем от точки В (–2; 0).
Обозначим переменную точку ​​линии через М (х; у), тогда по условию АМ = 2ВМ,
то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Преобразовав это уравнение, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полярные уравнения линий

Уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется уравнением линии l в полярных координатах, или полярным уравнением, если его удовлетворяют полярные координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любой точки линии l и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. Чтобы от полярного уравнение линии перейти к уравнению (1), нужно полярные координаты в уравнении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выразить через декартовы.

Примеры:
 

  1. Спиралью Архимеда называется линия, описанная точкой, равномерно двигающейся по лучу, который сам равномерно вращается вокруг своего начала. Уравнение спирали Архимеда (рис. 3.1) имеет вид   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = аВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где а > 0 — постоянная величина.
  2. Улиткой Паскаля называют кривую (рис. 3.2), заданную уравнениемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Лемнискатой Бернулли называют кривую, заданную уравнениемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и имеющую вид  восьмерки (рис. 3.3). В прямоугольных координатах уравнения лемниската Бернулли записывается сложнее:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Трехлепестковой розой называют кривую (рис. 3.4), заданную уравнениемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Координатными линиями называют линии, в которых одна из координат является постоянной величиной. В декартовых координатах координатные линии образуют два семейства прямых, параллельных одной из осей координат (рис. 3.5, а). В полярных координатах линии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = const образуют семейство концентрических кругов с центром в полюсе, а линии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = const — семейство лучей, исходящих из полюса (рис. 3.5, б).

Параметрические уравнения линии

Пусть зависимость между переменными х и у выраженная через третью переменную t, т.е.
х = х (t), у = у (t).                                                                     (2)
Переменная t называется параметром и определяет положение точки (х; у) на плоскости. Например, если х = 2t + 1, у = t, то значению параметра t = 3 отвечает на плоскости точка (7; 9), потому что  х = 2·3 + 1 = 7, у = 32 = 9.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если t меняется, то точка на плоскости перемещается, описывая некоторую линию l. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнение (2) — параметрическим уравнением линии l. Чтобы от уравнения (2) перейти к уравнению (1), нужно любым способом из двух уравнений (2) исключить параметр t (например, из первого уравнения выразить через х и результат подставить во второе уравнение). Но такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен, поэтому приходится пользоваться параметрическими уравнениями (2).

Пример №35

Рассмотрим траекторию точки окружности, которая катится без скольжения вдоль неподвижной прямой. Если вдоль оси Ох катится без скольжения окружность радиуса R, то любая неподвижная точка окружности описывает кривую, которая называется циклоидой (рис. 3.6) и задается уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если параметр t  изменяется от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то данные уравнения определяют первую арку циклоиды, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < t < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — то вторую арку и т. д.
Циклоида является самой простейшей из кривых, которые описывает в неподвижной плоскости точка одной линии, катящейся без скольжения по второй линии.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №36

Гипоциклоидами (рис. 3.7, а) и эпициклоидамы (рис. 3.7, б) называются кривые, которые описывает точка окружности, которая катится по неподвижной окружности внутри и снаружи. Вид и уравнение кривых зависят от отношения радиусов окружностей.
Гипоциклоида при отношении радиусов 1 : 4 называется астроидой (рис. 3.8, а), а эпициклоида при отношении радиусов 1 : 1 называется кардиоидой (рис. 3.8, б). Параметрические уравнения астроиды имеют такой вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Кардиоида задается параметрическими уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проще записывается полярное уравнение кардиоиды:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Все эти кривые широко применяются в теории механизмов.

Пример №37

Эвольвентной разверткой круга (от латинского evolvo — разворачивать) называется кривая, заданная уравнениямиВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Механический чертеж  эвольвенты выполняется так: на круг туго наматывают гибкую и нерастяжимой нитку, закрепленную в точке А (рис. 3.9), и со свободным концом М в этой точке. Оттягивая нить за свободный конец, сматывают ее с круга; точка М при этом описывает дугу эвольвенты круга, то есть, если М — произвольная точка эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка МВ.
Профили подавляющего большинства зубцов зубчатых колес очерчены по бокам дугами эвольвенты круга.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторное уравнение и линии

Линию можно задать также векторным уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответствует полностью определенный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости. Таким образом, если параметр t приобретает определенное множество некоторых значений, то уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задает некоторое множество векторов. Если от точки О (рис. 3.10) плоскости отложить векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то геометрическое место точек, которые совпадают с концами этих векторов (при условии, что все векторы компланарны), определит на плоскости некоторую линию l.

Векторному параметрическому уравнению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в прямоугольной системе координат Оху  соответствуют два скалярных уравнения:
x = x(t), y = y(t),
то есть проекциями на оси координат векторного уравнения линии являются ее
параметрические уравнения.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют такой
механический смысл: если точка движется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения точки, а линия l — траекторией
точки; параметром t при этом является время.

О зависимости уравнения линии от выбора системы координат

В предыдущих примерах указывалось, что одну и ту же линию можно задать различными уравнениями. Таким образом, вид уравнения линии зависит от выбора системы координат или, что то же, от размещения линии относительно системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы к другой, то есть при преобразовании координат, так и при переходе от декартовых к любым другим координатам.
В связи с этим возникают следующие задачи: как выбрать такую ​​систему
координат, в которой уравнение линии, заданной геометрически, было бы самым простым, или как заменить систему координат, чтобы заданное уравнение линии упростилось? Подобные задачи мы будем рассматривать при изучении линий второго порядка.
Все сказанное здесь о зависимости уравнения линии на плоскости от выбора
системы координат так же касается  и уравнений поверхностей и линий в пространстве.

Поверхности и линии в пространстве и их уравнения

Поверхность и ее уравнение:

Рассмотрим соотношение
F (x, y, z) = 0                                                                                      (3)
между тремя переменными величинами х, у, z.
Равенство (3) называют уравнением с тремя переменными х, у, z, если это равенство не выполняется для всех троек чисел х, у, z, и тождеством, если оно подтверждается при любых значениях х, у, z.
Предположим, парой значений х = х0 и у = у0 из уравнения (3) определяется
единственное значение z = z0. Упорядоченная тройка чисел х0, у0zв заданной прямоугольной системе координат определяет точку М (х0у0z0). 
Совокупность всех решений z уравнения (3), которые соответствуют определенным значениям х и у, определяет в пространстве некоторое геометрическое место точек М (х; у; z), которое называется поверхностью (рис. З.14), а уравнение (З) — уравнением этой поверхности.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, уравнение (3) называется уравнением поверхности относительно заданной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х, у, z каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты х, у, z ни одной точки, не лежащей на этой поверхности.
Поверхностью, заданной уравнением (3) относительно определенной системы координат, называется геометрическое место точек М (х; у; z), координаты х, у, z которых удовлетворяют данное уравнение.
Если выражение F(х; у; z) в уравнении (3) является многочленом от х, у, z , то есть суммой конечного числа одночленов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  с постоянными коэффициентами а и неотрицательными целыми показателями k, m, р, то поверхность, которая задается этим уравнением, называется алгебраической.
Неалгебраические поверхности называются трансцендентными. Порядком
алгебраической поверхности называется степень многочлена, которым задается данная поверхность.
Мы будем рассматривать только алгебраические поверхности первого порядка и некоторые алгебраические поверхности второго порядка. Итак, как и линию на плоскости, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Если поверхность задана геометрически, то возникает задача о составлении уравнения этой поверхности и, наоборот, если поверхность задана
уравнением, то возникает задача о ее геометрическом свойстве.

Пример №38

Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А (1; –1; 2) и В (0; –2; 3).

Пусть точка М (х; у; z) лежит на заданной поверхности. Тогда по условию АМ = ВМ, т.е.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда после упрощения получаем искомое уравнение
2х + 2у – 2z + 7 = 0.

Уравнение линии в пространстве

Линию l в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, или геометрическое место точек, находящихся одновременно
на двух поверхностях; следовательно, если F1 (х, у, z) = 0 и F2 (х, у, z) = 0  уравнения двух поверхностей, которые определяют линию l (рис. 3.15), то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (4)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения системы (4) совместно определяют линию l и называются
уравнениями линии в пространстве.
Линию в пространстве можно рассматривать также как траекторию подвижной
точки. При таком подходе линию в пространстве задают векторным параметрическим  уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                      (5)
Векторном параметрическому уравнению (5) соответствуют скалярные
параметрические уравнения
х = х (t), у = у (t), z = z (t)
– проекции вектора (5) на оси координат. Таким образом, векторные уравнения
линии на плоскости и в пространстве имеют одинаковый вид и одинаковую
суть, а соответствующие параметрические уравнения отличаются только количеством уравнений, которое зависит от числа базисных векторов на плоскости и в пространстве.

Пример №39

Если некоторая точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг своей оси, то точка М описывает кривую, которая называется винтовой линией.
Радиусом винтовой линии называют радиус цилиндра, а ее осью — ось цилиндра.
Расстояние, на которое сместится точка вдоль образующей при полном обороте цилиндра, называется шагом винта и обозначается через h. Чтобы вывести уравнение винтовой линии, возьмем ось цилиндра за ось Oz, а плоскость Oxz — за начало отсчета угла поворота цилиндра (рис. 3.16, а).
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и М (х; у; z) — произвольная точка винтовой линии. Координаты
х и у точки М совпадают с координатами точки В (рис. 3.16, 6): х = R cos t, у= R sin t, где R — радиус цилиндра. Чтобы определить координату z, построим раскладку цилиндра NN1D1D (рис. 3.16, б), в которой NN1 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачR, N1D1 = ND = hNB = Rt, ВМ = z. Из подобия треугольников NMB и ND1N1 получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
или в векторной форме      Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №40

Линия, которая задается уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
образуется при пересечении цилиндрической и сферической поверхностей и называется линией Вивиани (рис. 3.17).

Прямая на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости:

Прямая на плоскости геометрически может быть задана различными способами: точкой и вектором, параллельным данной прямой; двумя точками;
точкой и вектором, перпендикулярным к данной прямой, и тому подобное. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений.
Пусть прямая (на плоскости или в пространстве) проходит через заданную точку М0 параллельно заданному ненулевому вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который называется направляющим вектором прямой. Прямая имеет множество направляющих векторов, их соответствующие координаты пропорциональны. Точка М0 и ее направляющий вектор полностью определяют прямую, так как через точку М0 можно провести только одну прямую, параллельную вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Составим уравнение этой прямой. Обозначим через М (рис. 3.18) произвольную точку прямой и рассмотрим радиусы-векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точек М0 и М и вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащей на данной прямой. 
Поскольку векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                (6)
Переменная t в формуле (6) может принимать произвольные действительные значения и называется параметром, а уравнение (6) называется векторным параметрическим уравнением прямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой имеет одинаковый вид и на плоскости, и в пространстве.
Если прямая l рассматривается на плоскости и задается точкой М0 (х0; у0) и направляющим вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то, приравнивая соответствующие
координаты векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  по формуле (6), имеем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                           (7)
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                               (8)
Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой, а уравнения (8) — ее каноническими уравнениями.
В частности, если прямая проходит через точку М0 (х0; у0) параллельно оси Ох, то ее направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому уравнение (8) принимает вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Как известно, произведение средних членов пропорции равно произведению крайних членов. Поэтому имеем (уу0) m = (хх0) • 0, откуда у = у0.
Это и есть уравнение прямой, параллельной оси Ох.
Аналогично, если прямая проходит через точку М0 (х0; у0) параллельно оси Оу, то ее уравнением является х = х0.
Выведем уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая не перпендикулярна к оси Ох, то уравнение (8) можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обозначив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                       (9)
или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                         (10)
Отношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох (рис. 3.19), называется угловым коэффициентом прямой, а величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — ордината точки пересечения прямой с осью Оу. Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и уравнения такой прямой имеет вид
у = kx.                                                                                        (11)
Уравнение (9) называется уравнением прямой, проходящей через
заданную точку
, и имеет заданный угловой коэффициент, а уравнения (10) —
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 (х1; y1) и М2 (х2; у2), получим из уравнения прямой, проходящей через точку М1 и имеющую направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                          (12)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач           Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (12) называется уравнением прямой, проходящей через две
заданные точки
.
В частности, если прямая проходит через точки А (а; 0) и В (0; b), то есть отсекает на осях отрезки а и b (рис. 3.20), то из уравнения (11) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    или         Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                   (13)

Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках на осях.
Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через заданную точку М1 (х1; у1) перпендикулярно заданного ненулевого вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В).
Возьмем на прямой l произвольную точку (рис. 3.21) М (х; у) и введем вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (хх1; yy1). Поскольку векторы  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (14)

Уравнение (14) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (А; В) называется нормальным вектором прямой. Прямая имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны.

Общее уравнение прямой и его исследование

Все полученные выше уравнения прямой линии являются уравнениями первой
степени относительно переменных х и у, то есть линейными уравнениями. Итак,
уравнение любой прямой, лежащей в плоскости Оху, является линейным уравнением относительно х и у.
Покажем, что правильным будет и обратное утверждение: каждое линейное уравнение
Ах + Ву + С = 0                                                                    (15)
с двумя переменными х и у определяет на плоскости в прямоугольной системе
координат прямую линию.
Действительно, если (x1, у1) — любое решение уравнения (15), то
Ах1 + Ву1 + С = 0.                                                                 (16)
Вычитая почленно из уравнения (15) равенство (16), получаем
А (х – х1) + В (уу1) = 0.                                                   (17)

Уравнение (17) эквивалентно уравнению (15) и по формуле (14) определяет на плоскости Оху прямую, которая проходит через точку М1 (х1; у1) перпендикулярно вектору  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В), то есть уравнение (15) также определяет прямую и называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А и В при неизвестных х и у общего уравнения являются координатами ее нормального вектора.
Каждое из уравнений (7) – (14) сводится к уравнению (15), следовательно, каждая
прямая линия задается уравнением (15), и наоборот, каждое уравнение (15) определяет на плоскости Оху прямую. Это означает, что каждая прямая — это линия первого порядка, и наоборот, каждая линия первого порядка — прямая.

Исследуем общее уравнение, то есть рассмотрим отдельные случаи размещения прямой в системе координат Оху в зависимости от значений коэффициентов
А, В и С.

  1. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то уравнение (15) сводится к уравнению прямой в отрезках на осях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть прямая пересекает оси координат в точках с координатами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
  2. Если А = 0, то прямая Ву + С = 0 параллельная оси Ох и проходит через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  поскольку нормальный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой перпендикулярный к оси Ох, а координаты данной точки удовлетворяют уравнению прямой.
  3. Аналогично предыдущему, если В = 0, то прямая Ах + С = 0 параллельная оси Оу и проходит через точкуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
  4. Если С = О, то прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат, потому что координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой.
  5. Если А = С = 0, то согласно предыдущему уравнение Ву = 0 или у = 0 определяет ось Ох.
  6. Если В = С = 0, то уравнение Ах = 0 или х = 0 определяет ось Оу.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Угол между двумя прямыми измеряется углом между их направляющими
векторами. При этом следует отметить, что, выбрав на одной из прямых
направляющий вектор, направленный в противоположную сторону, получим
второй угол, который дополняет первый до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
а) Пусть прямые l1 и l2 задан каноническими уравнениями

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между этими прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  являются направляющими векторами данных прямых (рис. 3.22) и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то по формуле (36)  имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                 (18)
Если прямые l1 и l2 параллельны, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже параллельны, так
их координаты пропорциональны, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                                      (19)
условие параллельности двух прямых. Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тоже перпендикулярны и их скалярное произведение
равно нулю, следовательно,
m1m2 + n1n2 = 0                                                                                              (20)
условие перпендикулярности двух прямых.
б) Пусть теперь прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями А1х + B1y + С1 = 0 и А2хВ2y + С2 = 0, тогда угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между ними  (рис. 3.23) равен углу между их нормальными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  поэтому аналогично случаю а) получим:

1) формулу для угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между прямыми l1 и l2:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (21)

2) условие параллельности прямых l1 и l2
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                              (22)

3) условие перпендикулярности прямых l1 и l2:
А1А2 + В1В2 = 0.                                                                                  (23)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть прямые l1 и l заданные уравнениями с угловыми коэффициентами
у = k1x + b1, у = k2x + b2, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловые коэффициенты,
то из рис. 3.24 видно, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                      (24)
Заметим, что формула (24) определяет угол, на который надо повернуть прямую l1 (против часовой стрелки), чтобы она совпала с прямой l2. Если прямые l1 и l2 параллельны, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0 и tg Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, поэтому из формулы (24) имеем k2 k1 = 0. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
kl = k2.                                                                                                 (25)
Если прямые l1 и l перпендикулярны, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90° и tg Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует, потому что знаменатель дроби (24) равен нулю. Таким образом, условие перпендикулярности прямых имеет вид:
 k1k2 + 1 = 0       или     Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач·                                       (26)
Формулы (18), (21) и (24) позволяют определить один из двух смежных углов, которые образуются при пересечении двух прямых. Второй угол равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иногда выражения справа в этих формулах записывают по модулю, тогда определяется острый угол между прямыми.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №41

Найти угол между прямыми    Зх – 4у + 1 = 0    и      5х – 12у + 3 = 0
По формуле (21) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №42

Составить уравнение прямой, проходящей через точку (—8; 1) параллельно прямой 2ху + 7 = 0.
Приведем заданное уравнение к виду (10): у = 2х — 7, следовательно, угловой коэффициент прямой k = 2.
Поскольку искомая и задана прямые параллельны, то по условию (25) их угловые коэффициенты равны между собой, поэтому, воспользовавшись уравнением (9). получим у  – 1 = 2 (х + 8)  или  у – 2х – 17 = 0.

Пример №43

Медианы ВМ  и  CN (рис. З.25) треугольника АВС лежат на прямых х + у = 3 и 2х + Зу = 1, а точка А (1; 1) — вершина треугольника. Составить уравнение прямой BC.
Решая систему уравнения
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
находим точку пересечения медиан: В (8; –5). Из соотношения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и формул (24) получим координаты точки Р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку точки В и С лежат на заданных прямых, то их координаты удовлетворяют заданным уравнениям. Точка Р делит отрезок ВС пополам, следовательно, имеем систему уравнений
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Прямая ВС проходит через точки Р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и С (11; –7), поэтому по формуле (12) получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или 2х + у — 15 = 0. 

Расстояние от точки до прямой

Пусть задано прямую l уравнением Ах + Ву + С = 0 и точку М0 (х0; у0). Расстояние d (рис. 3.26) точки Мот прямой l равна модулю проекции вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где М1 (х1; у1) — произвольная точка прямой l, на направление нормального вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Итак, 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Аx1 + Вy1 + С = 0, то –Аx1Вy1 = С, поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                          (27)

Замечание. Число d всегда положительное, потому что это расстояние. Отклонением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки М0 (х0; у0) от прямой Аx + Вy + С = 0 называется положительное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = d, если точки М0 и О(0; 0) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –d, если эти точки лежат по одну сторону от нее. Из формулы (27) вытекает, что отклонение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
где знак знаменателя должно быть противоположный знаку С.

Пример №44

Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат на прямых 4х – 3y – 10 = 0
и 8х – 6y + 15 = 0.
Поскольку заданные прямые параллельны, то длину d стороны квадрата можно
найти как расстояние от произвольной точки одной прямой до второй прямой.
Найдем какую-нибудь точку на первой прямой. Пусть, например, х = 1, тогда
4 · 1 – Зу – 10 = 0, откуда у = –2. Следовательно, точка М0 (1; –2) принадлежит первой прямой.
По формуле (27) найдем расстояние от точки М0 до второй прямой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Площадь квадрата Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Плоскость в пространстве

Плоскость — это поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости и его исследования

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан плоскость П (рис. 3.27) точкой М0 (х0; у0; z0) и вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= (А; В; С), перпендикулярным к этой плоскости. Возьмем на плоскости точку М (х; у; z) и найдем вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (хх0; у – у0; zz0). При любом положении точки М на плоскости П векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, то есть
А(хх0) + В(у – у0) + С(zz0) = 0                                   (28)
или
Ах  + Ву  + Сz  + D = 0,                                                           (29)
где D = –Ах0Ву0Cz0.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (28) называется уравнением плоскости, проходящей через точку М00; у0; z0) перпендикулярно вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; ВС), а уравнения (29) — общим уравнением плоскости.
Вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; ВС) называется нормальным вектором плоскости. Каждая плоскость имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны между собой, а их координаты пропорциональны. Итак, любая плоскость в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени.
Покажем теперь справедливость обратного утверждение: всякое уравнение первой степени
Ах + Ву + Cz + D = 0                                                                          (30)
с тремя переменными х, у и z задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость.
Пусть задано произвольное уравнение (30) и (х0, у0, z0) — любой решение этого уравнения, то есть
Ах0+ Ву0 + Cz0 + D = 0                                                                        (31)
Отняв от уравнения (30) равенство (31), получим
А (х – х0) + В (у – у0) + С (z – z0) = 0.                                                (32)
Уравнение (32) эквивалентно уравнению (30) и по формуле (28) определяет в пространстве плоскость, которая проходит через точку М0 (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; ВС). Следовательно, уравнение (30) также определяет плоскость.
Таким образом, каждое алгебраическое уравнение первой степени с переменными х, у и z является уравнением плоскости.

Исследуем общее уравнение плоскости:

1. Если в уравнении (30) D = 0, то оно принимает вид Ах + Ву + Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Итак, если в общем уравнении плоскости отсутствует свободный член, то такая плоскость проходит через начало координат.

2. Если А = 0, то уравнение (30) принимает вид Ву + CzD = 0 и определяет плоскость, нормальный вектор которой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (0; В; С) перпендикулярен оси Ох. Итак, если в общем уравнении плоскости коэффициент при переменной х равен нулю, тогда уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох
Аналогично уравнение Ах + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную
оси Оу, а уравнение Ах + Ву + С = 0 — плоскость, параллельную Oz.

3. Если А = 0, В = 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то уравнение (30) принимает вид Cz + D = 0 или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Из случая 2 следует, что это уравнение определяет плоскость, параллельную осям Ох и Оу (коэффициенты при х и у равны 0), то есть плоскость, параллельную плоскости Оху.
Аналогично плоскость Ву + D = 0 параллельна плоскости Oxz, а плоскость Ах +D=0 параллельна плоскости Oyz.

4. Если в уравнении (30) А = D = 0, то плоскость Ву + Cz = 0 проходит через ось Ох. Действительно, согласно предыдущему, при D = 0 плоскость проходит через начало координат, а при А = 0 — параллельно оси Ох, следовательно, проходит через ось Ох.
Аналогично плоскость Ах + Cz = 0 проходит через ось Оу, а плоскость Ах + Ву = 0 —через ось Oz.

5. Если в уравнении плоскости А = В = D = 0, то плоскость Cz =0 или z = 0 совпадает с плоскостью Оху. Аналогично плоскость Ах = 0 или х = 0 совпадает с плоскостью Oyz, а плоскость у = 0 — с плоскостью Oxz.

Пример №45

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 2; 3) перпендикулярно вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (–1; –3; 1),

Искомое уравнение находим по формуле (28):
—1 · (х — 1) + (—3) · (у — 2) + 1 · (z — 3) = 0,
х + Зу  z  — 4 = 0.

Пример №46

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (—3; 4; 5) перпендикулярно к оси Оу.
 Орт Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (0; 1; 0) перпендикулярно плоскости, поэтому его можно рассматривать как нормальный вектор. Итак, искомое уравнение имеет вид
0 · (х + 3) + 1 · (у — 4) + 0 · (z — 5) = 0  или  у = 4.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение
плоскости в отрезках на осях

Пусть на плоскости П заданы три точки: М1 (х1; у1; z1), М2 (х2; у2; z2), М3 (х3; у3; z3), не лежащие на одной прямой. Эти точки однозначно определяют плоскость. Найдем ее уравнение.
Возьмем на плоскости произвольную точку М (х; у; z) и найдем векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Эти векторы лежат в плоскости П, то есть они компланарны. Поскольку смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0  или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                          (33)
Получаем уравнение плоскости, проходящей через три точки. В частности,
пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки а, b, с, то есть проходит через точки А (а; 0; 0), В ( 0; b; 0) и С (0; 0; с). Подставляя координаты этих точек в формулу (33) и раскрывая определитель, получим
хbс + уас + zab аbс = 0 или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач              (34)
Уравнение (34) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Пример №47

Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (1; 2; 3), М2 (–1; 0; 2), М3 (–2; 1; 0).
Подставим координаты точек в уравнение (33):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложим определитель по элементам первой строки:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вычисляя определители второго порядка, находим искомое уравнение:
(х – 1) 5 – (у – 2) 3 + (z – 3) (–4) = 0 или 5х – 3у – 4z + 13 = 0.

Пример №48

Построить плоскость Зх – 2у + 4z – 12 = 0.
Запишем заданное уравнение в отрезках на осях. Для этого перенесем в правую
часть свободный член и поделим на него обе части уравнения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Откуда а = 4, b = –6, с = 3.
Зная отрезки, которые отсекает плоскость на осях координат, легко построить
плоскость (рис. З.28).

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две nлощины П1 и П2 соответственно уравнениями
А1х + В1у + C1z + D= 0,            А2х + В2у + C2z + D= 0.
Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом, который равен углу между нормальными векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А1; В1; C1) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А2; В2; C2) этих плоскостей (рис. З.29). Итак, из формулы (36) имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                 (35)
Если плоскости П1 и П2 перпендикулярны, то скалярное произведение их
нормальных векторов равно нулю, то есть равенство
А1 А2 + В1 В2 + C1C2 = 0                                                                                    (36)
является условием перпендикулярности плоскостей.
Если nлощины П1 и П2 параллельны, то координаты нормальных векторов пропорциональны, то есть условием параллельности плоскостей является равенство отношений:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                      (37)

Пример №49

Найти угол между плоскостями 2х + у + Зz – 1 = 0 и  х + уz + 5 = 0.
По формуле (35) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
следовательно, данные плоскости перпендикулярны.

Расстояние от точки до плоскости

Если задано уравнение Ах + Ву + Cz + D = 0 плоскости П и точка М0 (х0; у0; z0), не лежащая на этой плоскости, то расстояние d от точки М0 до плоскости П находится по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                    (38)
Доказательство формулы (38) такое же, как и формулы (27).

Пример №50

Найти высоту АН пирамиды, заданной своими вершинами А (–1; 2; –1), В (1; 0; 2), С (0; 1; –1), D (2; 0; –1).
По формуле (33) находим уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, D:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда 3х + 6у + z – 5 = 0.
Высоту АН найдем как расстояние точки А (–1; 2; –1) от плоскости BCD по формуле
(38):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач             

Прямая линия в пространстве

Прямая линия в пространстве - это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Различные виды уравнений nрямои в пространстве

Как уже отмечалось, когда прямая задана точкой и направляющим вектором, то ее векторное параметрическое уравнение (как на плоскости, так и в пространстве) имеет вид (6): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор переменной точки М прямой; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор заданной точки М0; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ненулевой
направляющий вектор прямой; t — параметр.
Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат задана прямая
точкой М0 (х0; у0; z0) и направляющим вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; p). Возьмем произвольную точку М (х; у; z) этой прямой (рис. 3.30).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Тогда аналогично тому, как были найдены формулы (7), (8) и (12), получаем:

  1. параметрические уравнения прямой в пространствех = х0 + mt,   у = у0 + nt,   z = z0 + pt;                                 (39)
  2. канонические уравнения прямой в пространстве:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;                                      (40)
  3. уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки М1 (х1; у1; z1) и М2 (х2; у2; z2):Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                               (41)

В уравнениях (39) — (41) одна или две координаты направляющего вектора
могут равняться нулю (случаи m = n = p = 0 и  х2х1 = у2у1 = z2z1 = 0 невозможны, поскольку по определению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).
Если m = 0, n Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, то направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен оси Ох, поэтому уравнение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
определяет прямую, перпендикулярную оси Ох. Аналогично уравнения, в которых только n = 0 или p = 0, определяют прямые, перпендикулярные к оси Оу
или Oz.
Если m = n = 0, р Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, или m = р = 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, или n = р = 0, m Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, то уравнение (40) определяют прямые, соответственно параллельные осям Oz, Оу, Ох.

Рассмотрим теnер случай, когда прямая в пространстве задается пересечением двух плоскостей. Известно, что две непараллельные плоскости пересекаются по прямой линии.
Итак, система уравнений двух плоскостей
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                           (42)
нормальные векторы которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А1; В1; С1) и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А2; В2; С2) не коллинеарны,
определяет в пространстве прямую линию.
Уравнение (42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Чтобы от общих уравнений (42) перейти к каноническим уравнениям (40), нужно найти точку М0 (х0; у0; z0) на прямой и ее направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; p). Для нахождения точки М0 одну из ее координат, например, х = х0 берут произвольной, а две другие определяют из системы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Эта система будет иметь решение при условии, что: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если это условие
нарушается, то в системе (42) произвольное значение придают переменной
y или переменной z.

Для нахождения направляющего вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач учтем, что нормальные векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  данных плоскостей перпендикулярны к прямой (рис. 3.31).
Поэтому за вектор  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно взять их векторное произведение:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Пример №51

Привести уравнения прямой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к каноническому виду.
Найдем какую-нибудь точку М0 (х0; у0; z0) на данной прямой. Для этого положим в обоих уравнениях х = 0 и решим систему
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда z = –2, у = –1. Следовательно, точка М0 (0; –1; –2) принадлежит данной прямой.
Направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим по формуле (43): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Канонические уравнения заданной прямой имеют вид  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые l1 и l2 заданs уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Угол между этими прямыми (рис. 3.32) равен углу  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между их направляющими векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m1; n1; p1) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m2; n2; p2), поэтому аналогично
со случаем а) ​​п. 3.3 получим:
1) формулу для угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между прямыми l1 и l2:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач         (44)
2) условие параллельности прямых l1 и l2:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;                                                                                    (45)
3) условие перпендикулярности прямых l1 и l2:
m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №52

Найти угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач между прямыми
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формулам (43) и (39) находим направляющие векторы данных прямых: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (2; –8; –4) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (2; –1; 3). Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90°. 

Пример №53

При каких значениях m1 и n2 прямые
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
параллельные?
Из условия (45) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда m1 = 2, n2 = –1.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Углом между прямой l и плоскостью П по определению является угол между прямой l и ее проекцией на плоскость П.
Пусть плоскость П и прямая l заданы уравнениями
Ах + Ву + Cz + D = 0   и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обозначим острый угол между прямою l (рис. 3.33) и ее проекцией lна плоскость П через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , а угол между нормальным вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В; С) плоскости П и направляющим вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; p) прямой l — через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач90°, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90° – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = cos Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 90°, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач – 90° и sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –cos Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, в любом случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Но  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому угол между прямой и плоскостью находится по формуле:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                          (47)

Если прямая l параллельна плоскости П, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны,
поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач · Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то есть       

Аm + Bn + Ср = 0                                                                                                   (48)
условие параллельности прямой и плоскости.
Если прямая l  перпендикулярна к плоскости П, то векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, поэтому соотношение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                                (49)
является условием перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример №54

Через заданную точку М0 (х0; у0; z0) провести прямую l, перпендикулярную
плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0.
Поскольку прямая l перпендикулярна к плоскости П, то направляющим вектором прямой l можно взять нормальный вектор плоскости П: (рис. 3.34): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (А; В; С).
Поэтому по формуле (40) уравнение прямой l имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №55

В заданную точку М0 (х0; у0; z0) провести плоскость П, перпендикулярную
прямой l, заданной уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Нормальным вектором плоскости П может быть направляющий (рис. 3.35) вектор прямой l:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; nр), поэтому по формуле (28) уравнение плоскости П имеет вид
m (хх0) + n (yy0) + р (zz0) = 0.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №56

Через заданную точку М0 (х0; у0; z0) и прямую l, заданную уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, провести плоскость П.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка плоскости П (рис. 3.36), а М1 (х1; у1; z1) — заданная точка прямой l. Тогда векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (х0х1; y0y1; z0z1), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ​​= 
= (х х1; y y1; z z1) и направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = (m; n; р) прямой компланарны,
поэтому уравнение плоскости П имеет вид

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №57

Как размещена прямая l, заданная уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
относительно плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0?
Подставив в уравнение плоскости П вместо х, у, z их значения из уравнений
прямой l, получим уравнение
А (х0 + mt) + В (у0 + nt) + С (z0 + pt) + D = 0,
из которого можно определить значение параметра t, соответствующее искомой точке пересечения. Если это уравнение имеет единственное решение, то прямая l пересекает плоскость П, если же множество решений — прямая l лежит в плоскости П, если полученное уравнение не имеет решений, то прямая l параллельна плоскости П.

Пример №58

Найти точку пересечения прямых l1 и l2 заданных уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть М0 (х0; у0; z0) — точка пересечения заданных прямых. При каком-то значении t1 параметра t ее координаты удовлетворять уравнение прямой l1, а при определенном значении t2 — уравнению прямой l2,  т.е.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач       Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая правые части этих систем, получаем систему трех линейных уравнений с двумя неизвестными t1 и t2, которую можно решить, например, методом Гаусса. Если эта система имеет одно решение, то прямые пересекаются, если множество решений — прямые совпадают, если система не имеет решений, то прямые скрещивающиеся.

Пример №59

Найти расстояние заданной точки М0 (х0; у0; z0) от прямой l, заданной уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Расстояние d от точки М0 (рис. 3.37) до прямой l равно расстоянию между точкой М0 и ее проекцией Р на эту прямую: d = М0Р. Чтобы найти точку Р, достаточно
через точку М0 провести плоскость П, перпендикулярную к прямой l (пример 3), и найти точку ее пересечения с прямой l (пример 4).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №60

Как размещены прямые
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?
Прямые l1 и l2 совпадают, если векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны (рис. 3.38, а).
Условием параллельности данных прямых является коллинеарность векторов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 3.38, б), то есть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Прямые l1 и l2  пересекаются, если векторыВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не коллинеарны, а векторы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  компланарные (рис. 3.38, в), то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Итак, условие  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  эквивалентно тому, что прямые l1 и l2 — скрещивающиеся.

Пример №61

Доказать, что расстояние d точки М0 (рис. 3.39) с радиусом-вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от прямой l, заданной уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Расстояние d равно одной из высот параллелограмма, построенного на векторах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №62

Доказать, что расстояние (рис. 3.40) между скрещивающимися прямыми (длина общего перпендикуляра) l1 и l2, заданными уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, находится по формуле  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние d равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые l1 и l2 . Это расстояние, в свою очередь, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах s Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Линии второго порядка

Понятие линии второго порядка:

Как отмечалось в п. 1.1, линия второго порядка — это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                              (50)
где коэффициенты а, b, с, d, е, f  — действительные числа, причем хотя бы одно из
чисел а, b, с отличное от нуля, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В частности, к линиям второго порядка относятся такие линии: окружность, эллипс, гипербола и
парабола. Оказывается, что множеством точек (х; у) с действительными координатами, удовлетворяющими уравнению (50), может быть не только одна
из названных линий. Уравнение (50) может определять на плоскости Оху также
две прямые, одну прямую, точку или не определять никакой точки.
Итак, окружность, эллипс, парабола и гипербола задаются уравнениями второй степени, но, в отличие от прямой линии, обратное утверждение неверное.
Чтобы ответить на вопрос, какое геометрическое место точек определяется уравнением (50), надо подобрать такую ​​систему координат, в которой это уравнение упростилось бы. Известно [1], для всякой линии второго порядка существует прямоугольная система координат (ее называют канонической), в которой уравнение (50) имеет самый простой или канонический вид.
Мы не будем заниматься здесь приведением общего уравнения (50) к каноническому виду, а установим и исследуем только отдельные канонические
уравнения.
Линии второго порядка называют также коническими сечениями из-за того, что их можно получить как линии пересечения кругового конуса с плоскостью. Окружность образуется как линия пересечения плоскостью, перпендикулярной
к оси конуса и не проходящей через его вершину (рис. 3.41, а);  эллипс — линия пересечения плоскости, которая пересекает все образующие конуса, не перпендикулярна оси конуса и не проходит через его вершину (рис. 3.41, б); если пересечь двуполостной конус плоскостью, параллельной двум образующим, получим гиперболу (3.41, в), а одной образующей — параболу (рис. 3.41, г).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Линии второго порядка широко применяются в науке и технике.

Примеры:
 

  1. Планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено Солнце.
  2. Если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На цНи свойстве основано построение прожектора.
  3. В динамике космических полетов используются понятия трех космических скоростей: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 7,9 км/с, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 11,2 км/с, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 16,7 км/с. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная скорость, с которой искусственный спутник запускается с поверхности Земли. При недостаточной начальной скорости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач спутник вращаться вокруг Земли не будет. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то спутник будет вращаться по круговой орбите, центр которой находится в центре Земли. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то вращение спутника будет происходить по эллипсу, причем центр Земли будет находиться в одном из фокусов эллипса. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач спутник преодолевает земное притяжение и становится искусственным спутником Солнца, двигаясь при этом по параболе (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) или по гиперболе (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач< Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) относительно Земли. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то спутник сначала преодолевает земное, а затем и солнечное притяжения и покидает Солнечную систему.
  4. Движение материальной точки под действием центрального поля силы тяжести происходит по одной из линий второго порядка.

Окружность

Окружностью называют множество точек плоскости, расстояние которых от заданной точки плоскости (центра окружности) равны постоянному числу (радиус).
Чтобы вывести уравнение окружности, используем прямоугольную систему
координат Оху; обозначим через О1 (а; b) — центр окружности, через М (х; y) — произвольную точку плоскости и через R — радиус окружности (рис. 3.42).
Точка М лежит на окружности тогда и только тогда, когда О1М = R или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                               (51)
Уравнение (51) и является искомым уравнением окружности. Но удобнее пользоваться уравнением, которое получим при возведении обеих частей уравнения (51) в квадрат:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (52)
Поскольку уравнение (52) следует из уравнения (51), то координаты любой точки, удовлетворяющие уравнению (51), удовлетворят также уравнение (52). Однако при возведении любого уравнения в квадрат, как известно, могут появиться посторонние корни, то есть уравнение (51) и (52) могут оказаться неэквивалентными. Покажем, что в этом случае так не будет. Действительно, вычислив корень из обеих частей уравнения (52), получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в правой части знак минус надо отбросить, так как расстояние R > 0. Следовательно, уравнения (51) и (52) эквивалентны, то есть определяют одну и ту же кривую — окружность.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если центр окружности находится в начале координат, то а = b = 0 и уравнение (52) принимает вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                          (53)
Уравнение (53) называется каноническим уравнением окружности. Если в уравнении раскрыть скобки, то получим общее уравнение окружности
х2 + у2 + Ах + Ву + С = 0,                                                           (54)
где А = –2а, В = –2b, С = а2 + b2R2 . Итак, окружность — линия второго порядка.

Уравнение окружности имеет следующие свойства.

  • 1°. Коэффициенты при х2 и у2 равны между собой.
  • 2°. В уравнении отсутствует член с произведением ху.

Обратное утверждение неверно: не всякое уравнение второй степени, которое удовлетворяет условиям 1° и 2°, является уравнением окружности, то есть не всякое уравнение вида (54) определяет окружность.

Пример №63

Написать уравнение окружности, если точки А (–1; 4) и В (3; 2) являются концами его диаметра.
Пусть О1 (а; b) — центр окружности. Тогда АО1 = О1В, поэтому по формулам (25)
 имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку радиус окружности R = АО1 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по формуле (52) получаем искомое уравнение:
(x – 1)2 + (у – 3)2 = 5.

Пример №64

Найти центр и радиус окружности х2 + у2 + 4х – 6у – 2З = 0.
Сгруппируем слагаемые с переменной х  и переменной у и дополним полученные выражения до полных квадратов: 
х2 + 4х + у– 6у – 2З = 0,
или
(х2 + 4х + 4) — 4 + (у– 6у + 9) – 9 – 2З = 0,
откуда
(х + 2)2 + (у – 3)2 = 36.
Следовательно, точка (–2; 3) – центр окружности, а R = 6 — его радиус.

Пример №65

Показать, что уравнение х2 + у2 + 6х – 6у + 19 = 0 не определяет никакого
геометрического объекта.
Преобразуем уравнение
(х2 + 6х + 9) – 9 + (у2 – 6у + 9) – 9 + 19 = 0
или
(х + 3)2 + (у – 3)2 = –1.
Поскольку сумма неотрицательных чисел не может быть отрицательным числом, то заданному уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости Оху.

Пример №66

Арка имеет форму дуги окружности. Найти длину l дуги арки, если ее пролет и
подъем соответственно равны 2а и (подъем арки равен отношению ее высоты
к пролету).
 Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.43, где арка МРN
дуга окружности, МО = ON, ОР = h = 2аb. В выбранной системе координат точки М, Р и N имеют координаты М (–а; 0), Р (0; 2аb), N (а; 0). Пусть О1 (0; у0) и R соответственно центр и радиус окружности, тогда его уравнение имеет вид
х+ (yy0)2 = R2.
Поскольку окружность проходит через точки Р и N, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Найдем центральный угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, на который опирается дуга арки. Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
следовательно,

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эллипс

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний
которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами. Чтобы вывести уравнение эллипса, возьмем на плоскости две точки F1 и F2 – фокусы эллипса и разместим прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делил отрезок F1F2 пополам
(рис. 3.44).
Обозначим расстояние между фокусами, которое называют фокальным, через 2с: F1F2 = 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а. Тогда фокусы имеют такие координаты: F1 (–с; 0) и F2 (с; 0). По определению 2а > 2с,  т.е. а > с.
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на эллипсе тогда, когда F1M + F2M = 2а или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                          (55)
Это, по сути, уравнение эллипса. Чтобы упростить его, перенесем один радикал в правую часть, возведем обе части в квадрат и приведем подобные. Получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Возведя обе части этого уравнения еще раз к квадрату и упростив выражение, получим х2 (а2с2) + а2у2 = а2 (а2с2).
Поскольку а > с, то а2с> 0, поэтому можно обозначить
а2 – с2 = b2.                                                                    (56)
Тогда уравнение (55) примет вид
х2b2 + а2у2 = а2b2
или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                            (57)
Можно доказать, что уравнение (55) и (57) эквивалентны. Уравнение (57)
называется каноническим уравнением эллипса. Итак, эллипс — кривая второго
порядке.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим некоторые свойства и исследуем форму эллипса.

1°. Уравнение (57) содержит переменные х и у только в парных степенях, поэтому, если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (–х; у), (х; –у) и (–х; –у). Поэтому эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О (0; 0), которую называют центром эллипса. Следовательно, для установления формы эллипса достаточно исследовать ту его часть, которая находится в одном, например, в первом, координатном углу.

2°. В первом координатном углу хВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, уВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, поэтому из равенства (57) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                    (58)
откуда следует, что точки А1 (а; 0) и В0 (0; b) принадлежат эллипсу, причем,
если х увеличивается от 0 до а то y уменьшается от b до 0.  Кроме того, не существует точек эллипса, в которых х > а, потому выражение (58) при х > а не имеет смысла. Таким образом, часть эллипса, размещенная в первом координатном углу, имеет форму дуги А1В1 (рис. 3.45). Отразив эту дугу симметрично относительно осей Ох и Оу, получим весь эллипс. Он помещается
в прямоугольник со сторонами 2а  и 2b. Стороны прямоугольника касаются эллипса в точках пересечения его с осями Ох и Оу.
Эллипс пересекает оси координат в точках А1(а; 0), А2(–а; 0), B1(0; b), B2(0; –b). Эти точки называются вершинами эллипса. Величины А1А2 = 2а и B1B2 = 2b называют соответственно большой  и малой осями эллипса.
Таким образом, из свойств 1° и 2° следует, что всякий эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Точки, в которых эллипс пересекает главные оси, ограничивают на главных осях отрезки длинами 2а и 2b, которые называются большой и малой осями эллипса, а числа а и b — большой и малой полуосями эллипса. Весь эллипс помещается в прямоугольник со сторонами 2а и 2b. Стороны прямоугольника касаются с эллипса в его вершинах.

3°. Если а = b, то уравнение (57) принимает вид
х2 + y2 = а2,
то есть получаем уравнение окружности. Итак, окружность является частным случаем эллипса. Из формулы (56) следует, что при а = b  значение с = 0, то есть окружность — это эллипс, у которого фокусы совпадают с центром. Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая называется эксцентриситетом эллипса и равна отношению половины его фокального расстояния к длине большей полуоси:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из формул (56) и (59) получаем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  .                     (59)
Итак, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то b = а, то есть эллипс превращается в окружность; если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближается к единице, то отношение осей b/а уменьшается, то есть
эллипс все больше растягивается вдоль оси Ох.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4°. Пусть М (х; у) — произвольная точка эллипса с фокусами F1  и F2  (рис. 3.46). Расстояния F1M = r1 и FM = r2 называются фокальными радиусами точки М. Очевидно, r1 + r2 = 2а. Прямые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называются директрисами эллипса.
Отношение фокальных радиусов произвольной точки эллипса к расстоянию этой точки от соответствующих директрис есть величина постоянная и равна эксцентриситету эллипса, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                    (60)

Пример №67

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (3; 2)
и М2 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если его фокусы лежат на оси Ох симметрично началу координат.
По условию координаты заданных точек удовлетворяют уравнению (57):Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решая эту систему уравнений, находим а2 = 18 и b2 = 8. Итак, искомое уравнение
имеет вид  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №68

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох симметрично началу координат, если расстояние между фокусами равно 14, а эксцентриситет равен 7/9.
Поскольку 2с = 14, то с = 7. Из формул (59) и (56) получаем, что а = 9 и b2 = 32.
Итак, искомое уравнение имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №69

Доказать, что полярное уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет эллипс. Найти
полуоси этого эллипса.
Используя формулы (7), (8), перейдем от заданного уравнения к уравнению в прямоугольной системе координат:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Далее имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Учитывая формулы параллельного переноса делаем вывод, что последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке (3; 0) и полуосями а = 5 и b = 4.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и она меньше расстояния между фокусами.
Обозначим через F1  и F2 фокусы гиперболы, расстояние между ними — через 2с, а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов —через 2а. По определению а < с. Чтобы вывести уравнение гиперболы, возьмем на плоскости прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат поделило отрезок F1F2 пополам (рис. 3.44). Точка М (х; у) плоскости лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Выполнив те же преобразования, что и при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,                                                                                (61)
где
b2 = с2а2                                                                                        (62)
Итак, гипербола является линией второго порядка.

Определим некоторые свойства и исследуем форму гиперболы:

1°. Гипербола симметрична осям Ох, Оу и началу координат.

2°. Для части гиперболы, которая лежит в первом координатном угле, из уравнения (61) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                     (63)
Из равенства (63) следует, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Точка А1 (а; 0) принадлежит гиперболе и является точкой пересечения гиперболы
с осью Ох. Гипербола не пересекал ось Оу. Если х > а, то y > 0, причем если х увеличивается, то y также увеличивается, то есть если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Покажем, что, удаляясь в бесконечность, переменная точка М (х; y) гиперболы неограниченно приближается к прямой
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                                    (64)
Такая прямая называется асимптотой гиперболы. Для этого возьмем точку N, лежащую на асимптоте и имеющую ту же абсциссу х, что и точка М (х; у), и найдем разницу MN между ординатами линий (63) и (64) (рис. 3.47):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отсюда, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то знаменатель тоже стремится к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а MN Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, так как числитель является постоянной величиной. Итак, точки М гиперболы, удаляясь от точки А1 (а; 0) в бесконечность, неограниченно приближаются к прямой (64), то есть эта прямая является асимптотой.
Таким образом, часть гиперболы, размещенная в первом координатном угле, имеет вид дуги, которая показана на рис. 3.47. Отразив эту дугу симметрично относительно координатных осей, получим вид всей гиперболы.
Гипербола состоит из двух веток (левой и правой) и имеет две асимптоты:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Оси симметрии называются осями гиперболы, а точка пересечения осей — ее
центром. Ось Ох пересекает гиперболу в двух точках А1(а; 0) и А2 (–а; 0), которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы, а ось, не имеющая общих точек с гиперболой, — мнимой осью.
Действительной осью называют также отрезок А1А2 , который соединяет вершины гиперболы и его длину А1А2 = 2а. Отрезок B1B2, соединяющий точки B1(0; b) и B2 (0; –b), а также его длину, называют мнимой осью. Величины а и соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.
При построении гиперболы (61) целесообразно сначала построить основной
прямоугольник C1D1DC (рис. 3.48), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника — асимптоты гиперболы
и определить вершины А1 и А2 гиперболы.
Уравнение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                    (65)

также определяет гиперболу, которая называется сопряженной к гиперболе (61). Гипербола (65) показана на рис. 3.48 штриховой линией. Вершины этой гиперболы лежат в точках В1 (0; b) и 2 августа (0; -Ь), а ии асимптоты
совпадают с асимптотами гиперболы (6 \).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид
х2y2 = а2.
Основным прямоугольником равносторонний гиперболы является квадрат со
стороной 2а, а ее асимптотами — биссектрисы координатных углов.

3°. Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение половины фокального расстояния к длине ее действительной полуоси:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                   (66)
Поскольку с > а, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 1. Кроме того, из формул (62) и (66) следует, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем больше отношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть тем больше основной
прямоугольник растягивается в направлении оси Оу, а гипербола отклоняется
от оси Ох; чем ближе эксцентриситет к единице, тем больше основной прямоугольник растягивается в направлении оси Ох, а гипербола приближается
к этой оси.

4°. Прямые  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где а — действительная полуось гиперболы, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее
эксцентриситет, называются директрисами гиперболы
. Директрисы гиперболы имеют то же свойство (60), что и директрисы эллипса.

Пример №70

Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично начала координат, если действительно ось равна 6, а эксцентриситет Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Поскольку 2а = 6, то а = 3. Из формул (62) и (66) находим, что b = 4.
Искомый е уравнение имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №71

Найти расстояние фокуса гиперболы  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  от ее асимптоты.
Запишем каноническое уравнение данной гиперболы:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач b = 1 — полуоси гиперболы, поэтому согласно формуле (64) уравнение асимптоты имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из формулы (62) находим, что с = 3, поэтому F1 (–3; 0) и F2 (3; 0) — фокусы гиперболы.
По формуле (27) вычисляем расстояние d от фокуса F1 (или, что то же самое, фокуса F2) до найденной асимптоты: d = 1.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №72

На прямолинейном отрезке железной дороги расположены станции А и В, расстояние между которыми l. От завода N идут прямые автомагистрали NA и NB, причем NB < . Груз с завода N на станцию ​​А можно транспортировать или по автомагистрали NB, а оттуда по железной дороге (первый путь), или непосредственно по автомагистрали NA (второй путь). При этом тариф (стоимость перевозки 1 т груза на 1 км) железной дорогой и автотранспортом составляет соответственно m и n (n> m), а разгрузка-погрузка одной тонны стоит k. Определить зону влияния станции В, то есть множество точек, из которых дешевле доставить груз в А первым путем, чем вторым.

Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.49, где АО = ОВ. Найдем уравнение множества точек М (х; у), для которых оба пути «одинаково выгодны», то есть таких, что стоимость доставки груза S1 = r2n + k + lm первым путем равна стоимости S2 = r1n доставки груза вторым путем.
r2n + k + lm = r1n ,   (АМ = r1ВМ = r2).
Из этого условия получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, множеством точек, в которых S1 = S2, является правая ветка гиперболы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где а = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачb = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для точек плоскости, которые лежат справа от этой ветки, S1 < S2, то есть выгоднее первый путь, а для точек, лежащих слева, — второй путь.
Таким образом, правая ветка гиперболы ограничивает зону влияния станции В, а левая — станции А.

Пример №73

Установить, что уравнения 16х2 – 9у– 64х – 54у – 161 = 0 определяет
гиперболу. Найти ее центр и полуоси.

Выделим полные квадраты относительно х и у:

  • 16 (х2 – 4х) – 9 (у2 + 6у) – 161 = 0;
  • 16 (х2 – 4х + 4 – 4) – 9 (у2 + 6у + 9 – 9) – 161 = 0;
  • 16 (х – 2)2 – 64 – 9 (у + 3)2 + 81 – 161 = 0;
  • 16 (х – 2)2 – 9 (у + 3)2 = 144;      Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Учитывая формулы параллельного переноса, придем к заключению, что данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке О1 (2; –3) и полуосями а = 3; b = 4 (рис. 3.50). 

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей  через фокус.

Найдем уравнение параболы. Пусть на плоскости заданы фокуси директриса, причем расстояние фокуса от директрисы равно р. Возьмем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус, перпендикулярно к директрисе, а ось Оу делила расстояние между фокусом F и директрисой пополам (рис. 3.51). Тогда фокус имеет координаты F Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а уравнение директрисы имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости, а отрезки МВ и MF — расстояния этой точки от директрисы и фокуса. Точка М тогда лежит на параболе, когда МВ = = MF  или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                    (67)
Это и есть уравнение параболы. Чтобы упростить его, возведем обе части равенства (67) в квадрат:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть
у2 = 2рх.                                                                                              (68)
Можно доказать, что уравнение (67) и (68) равносильны.
Уравнение (68) называется каноническим уравнением параболы. Итак, парабола является линией второго порядка.
Исследуем форму параболы. Поскольку уравнение (68) содержит переменную
у в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох. Поэтому
достаточно рассмотреть только ту ее ​​часть, которая лежит в верхней полуплоскости.
Для этой части у Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач О, поэтому из уравнения (68) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                        (69)
Из этого равенства следует, что парабола расположена справа от оси Оу, так как при х < 0 выражение (69) не имеет смысла. Значения х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнение (69), то есть парабола проходит через начало координат. С ростом х значение у также растет. Итак, переменная точка М (х; у) параболы, выходя из начала координат, с ростом х, движется по ней вправо и вверх.
Выполнив симметричное отображение рассматриваемой части параболы
относительно оси Ох, получим всю параболу (рис. 3.52).
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ось симметрии параболы называется ее осью; точка пересечения оси с параболой — вершиной параболы; число, которое равно расстоянию фокуса от директрисы, — параметром параболы. Осью параболы, заданной уравнением (68), является ось Ох, вершиной — точка О (0; 0) и параметром — число р.

Выясним влияние параметра р на форму параболы. Если в уравнении (68) положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то соответствующие значения ординаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть имеем на параболе две симметричные относительно оси Ох точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Расстояние между этими точками равна 2р и увеличивается с
увеличением р. Итак, параметр р характеризует «ширину» области, которую
ограничивает парабола.
Уравнения у2 = –2рх,   х2 = 2ру,   х2 = –2ру, в которых параметр р > 0, определяют параболы, изображенные на рис. 3.53.

Замечание. Используя свойство 4° эллипса и гиперболы и определение параболы, можно дать следующее общее определение кривой второго порядка (кроме окружности): множество точек, для которых отношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояния до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина  постоянная, — это эллипс (при 0< Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач <1), или парабола (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1), или гипербола (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > l).

Пример №74

Исследовать взаимное расположение параболы у2 = х  и прямой х +у  – 2 = 0.
Решая систему уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим решение (4; –2) и (1; 1). Это означает, что прямая пересекает параболу в точках М1(4; –2), М2(1; 1).

Пример №75

В параболу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  вписан равносторонний треугольник так, что одна из
вершин его совпадает с вершиной параболы. Найти сторону треугольника.

Пусть точка А(х0; у0) — одна из вершин треугольника. Тогда другими его вершинами будут точки В (–х0; у0) и О(0; 0). Поскольку треугольник равносторонний, то АВ = АО = ВО, откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач· Решая это уравнение вместе с уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  находим х0 = 3. Следовательно, сторона треугольника равна 2х0 = 6.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №76

Струя воды вытекает из конической насадки со скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  под углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, составить уравнение струи относительно прямоугольной системы координат Оху, считая, что струя находится в плоскости Оху, точка О совпадает с выходным отверстием насадки, а ось Ох проходит горизонтально в направлении полета струи (рис. 3.54). Найти дальность полета l, высоту подъема h и угол, при котором дальность полета наибольшая.

Выделим в струе воды частичку единичной массы. Если бы на нее не действовала сила тяжести, то за время t  она прошла бы путь, равный модулю вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная скорость частицы.
Под действием силы тяжести частица за то же время t  пройдет путь, равный длине дуги ОМ. Поскольку сила тяжести направлена вертикально вниз, то радиус-вектор частицы имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач —ускорение силы тяжести. Уравнения
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
— это параметрические уравнения траектории полета частицы. Исключив параметр t, получим у = ах2,  где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Таким образом, траектория движения частицы, а следовательно, и вcей струи имеют форму параболы. Дальность полета струи получим из ее уравнения при у = 0, а высоту подъема — при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Дальность полета наибольшая, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полярные и параметрические уравнения кривых второго порядка

1. Пусть в прямоугольной системе координат уравнением (53) задана окружность. Если ввести полярные координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, как указано в п. 2.3), то уравнение (53) запишется в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;    или      р = R.                                  (70)
Это и есть полярное уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R. Чтобы вывести параметрические уравнения, обозначим через t угол между осью Ох и радиусом-вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольной точки М (х; у) окружности (рис. 3.55).
Точка М (х; у) лежит на окружности тогда и только тогда, когда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                (71)
Уравнения (71) называются параметрическими уравнениями окружности.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

2. Рассмотрим теnер кривую l, которая может быть эллипсом, параболой
или правой веткой гиперболы (рис. 3.56).
Пусть F — фокус кривой l (если l — эллипс, то F — его левый фокус), d — соответствующая этому фокусу директриса, 2p — длина хорды, которая проходит через фокус параллельно директрисе, и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — эксцентриситет кривой l. Введем полярную систему координат так, чтобы ее полюс совпадал с F, а полярная ось Fx была перпендикулярной к директрисе d и направлена в сторону, противоположную от нее. Тогда согласно общему определению кривой второго порядка (замечание п. 6.5)
имеем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                            (72)

Поскольку MF = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и из равенства (72) получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                    (73)
Это и есть  общее полярное уравнение кривой l. При 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 1 уравнение (73) определяет эллипс, пр и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1 — параболу, а при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 1 — правую ветку гиперболы. Уравнение левой ветки гиперболы в выбранной полярной системе
имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Число p в полярных уравнениях называется полярным параметром кривой. Для того чтобы выразить через параметры канонических уравнений (57), (61) и (68) кривой l, достаточно в это уравнение подставить координаты точки N1: х = с, у =
= p — для эллипса и гиперболы и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — для параболы. Тогда для эллипса и гиперболы имеем:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а для параболы полярный параметр равен параметру p и ее каноническому уравнению (68). Уравнение (73) применяется в механике.

Пример №77

Какую кривую определяет полярное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач?
Приведя данное уравнение к виду Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Итак, заданная линия является эллипсом. Найдем его полуоси. Поскольку 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем без доказательства параметрические уравнения эллипса и гиперболы
[9]. Параметрические уравнения
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
задают эллипс с центром в точке (х0; у0) и с полуосями а и b.
Параметрические уравнения гиперболы с центром в точке (х0; у0) и с полуосями а и b имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где ch t и sh t — гиперболический косинус и гиперболический синус.

Пример №78

Кривошип ОА (рис. 3.57) вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приводит в движение ползун В с помощью шатуна АВ, причем ОА  = АВ = а. Составить уравнение траектории средней точки М шатуна.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть М (х; у) — средняя точка шатуна АВ,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где t — время. Итак, траекторией средней точки шатуна является эллипс. Освободившись от параметра t, получим его каноническое уравнение:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поверхности второго порядка

Понятие поверхности второго порядка:

Поверхностью второго порядка называется множество точек, прямоугольные
координаты которых удовлетворяют уравнению вида
ах2 + 2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0,                             (74)
где хотя бы один из коэффициентов а, b, с, d, е, f отличен от нуля.
Уравнение (74) называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка как геометрический объект не изменяется,
если от заданной прямоугольной системы координат перейти к другой.
При этом уравнения (74) и уравнения, найденное после преобразования координат, будут эквивалентными.
Можно доказать [14], что существует система координат, в которой уравнение
(74) имеет самый простой (или канонический) вид.
К поверхностям второго порядка относятся, в частности, цилиндрические
и конические поверхности, поверхности вращения, сфера, эллипсоид, однополосной и двуполостной гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Рассмотрим эти поверхности и их канонические уравнения.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называют поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, образовавшуюся множеством прямых (образующих), пересекающих заданную линию (направляющую) и параллельных заданной прямой l (рис. 3.58). Будем изучать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельные координатной оси, перпендикулярной к этой плоскости.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай, когда образующие цилиндрической поверхности параллельны оси Oz, а направляющая лежит в плоскости Оху.
Пусть задано уравнение
f (x, y) = 0,                                                                                (75)
которое в плоскости Оху определяет (рис. 3.59) некоторую линию L — множество
точек М (х; у), координаты которых удовлетворяют это уравнение. Данное уравнение удовлетворяют также координаты всех точек N (х; у; z) пространства, у которых две первые координаты х и у совпадают с координатами любой точки линии L, а третья координата z — произвольная, то есть тех точек пространства, которые проецируются на плоскость Оху в точки линии L.
Все такие точки лежат на прямой, параллельной оси Oz и пересекающей линию L в точке М (х; у). Совокупность таких прямых и является цилиндрической поверхностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если точка не лежит на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она не может проецироваться в точку линии L, то есть координаты такой точки уравнение (75) не удовлетворяют.
Следовательно, уравнение (75) определяет поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, уравнение f (x, y) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность,
образующие которой параллельны оси Oz, а направляющая L в плоскости Оху задается тем самым уравнением f (x, y) = 0. Эта же линия в пространстве Oxyz задается двумя уравнениями:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично уравнение f (x, z) = 0, в котором отсутствует переменная y, определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Оу, а направляющая L в плоскости Oxz задается тем самым уравнением f (x, z) = 0; уравнение f (x, z) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Ох.

Примеры:

  1. Поверхность, которая определяется уравнением х2 + у2 = R2, является цилиндрической и называется прямым круговым цилиндром. Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей в плоскости Оху является окружность х2 + у2 = R2 (рис. 3.60, а).
  2. Поверхность, которая определяется уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является цилиндрической  и называется эллиптическим цилиндром (рис. 3.60, б).
  3. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называется гиперболическим цилиндром (рис. 3.60, в).
  4. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением у2 = 2рх, называется параболическим цилиндром (рис. 3.60, г).
  5. Уравнение z2 = 1 – у определяет в пространстве параболический цилиндр, направляющей которого в плоскости Oyz является парабола z2 = 1 – у, а образующие параллельны оси Ох (рис. 3.60, д).

Поверхности вращения

Поверхность, образованную вращением заданной плоской кривой l вокруг
заданной прямой (оси вращения), которая лежит в плоскости кривой l, называют
поверхностью вращения.
Пусть линия l, лежащая в плоскости Oyz, задана уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(Х, Y, Z — переменные координаты точек линии l, а х, у, z —переменные координаты точек поверхности).
Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии вокруг оси Oz (рис. 3.61), и найдем уравнение поверхности вращения.
Проведем через произвольную точку М (х; у; z) поверхности вращения плоскость,
перпендикулярную к оси Oz, и обозначим через К и N точки пересечения этой плоскости с осью Oz и линией l. Поскольку отрезки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачKN и КМ равны между собой как радиусы, КР = у, РМ = х, то YВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  кроме того, Z = z. Поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению F (Х, Z) = 0, то, подставляя в это уравнение вместо Y, Z равные им величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                          (76)
которое удовлетворяет произвольная точка М (х; у; z) поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности,
уравнение (76) не удовлетворяют. Следовательно, уравнение (76) является уравнением поверхности вращения.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно составить уравнение поверхности вращения вокруг осей Ох и Оу. Таким образом, чтобы получить уравнение поверхности вращения кривой
вокруг какой-либо координатной оси, надо в уравнении кривой оставить без изменений координату, соответствующую оси вращения, а вторую координату заменить на квадратный корень из суммы квадратов двух других координат, взятый со знаком + или –.

Пример №79

Найти уравнение поверхности вращения эллипса х2 + 4у2 = 4, z = 0 вокруг оси Ох,

В уравнении эллипса надо оставить без изменения координату х, а вместо координаты у подставить в уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач :
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Конические поверхности

Конической поверхностью называется поверхность, образованная множеством
прямых, проходящих через заданную точку Р и пересекающую заданную линию
L. При этом линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р — ее вершиной, а каждая из прямых, образующих коническую поверхность, — образующей.
Пусть направляющая L задана в прямоугольной системе координат уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                          (77)
а точка Р (х0; у0; z0) — вершина конической поверхности (рис. 3.62). Чтобы составить уравнение конической поверхности, возьмем на поверхности произвольную точку М (х; у; z) и обозначим точку пересечения образующей РМ с направляющей L через N (Х; Y; Z).
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки N и Р, имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                       (78)
Исключая Х, Y и Z из уравнений (77) и (78), получим искомое уравнение конической поверхности.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примеры:
1. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке О (0; 0; 0) и с направляющей L, заданной уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка конической поверхности, а N (Х; Y; Z) — точка пересечения образующей ОМ и линии L. Канонические уравнения образующей ОМ имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Z = с,  тo   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Подставляя эти значения Х и Y в первое из уравнений направляющей ​​L, получим искомое уравнение:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
При а = b направляющей L является окружность Х2 + Y2 = а2, Z = с, а уравнение конической поверхности имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта поверхность называется прямым круговым конусом (рис. 3.63).

2. Уравнение конической поверхности, вершиной которой является точка О (0; 0; 0), а направляющей — эллипс (рис. 3.64)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
имеет вид     Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сфера

Сферой называют множество всех точек пространства, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр сферы с ее произвольной точкой, называется радиусом сферы.
Возьмем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Чтобы составить уравнение сферы с центром в точке О1 (а; b; с) и радиусом R (рис. 3.65), возьмем в пространстве произвольную точку М (х; у; z).
Точка принадлежит сфере тогда и только тогда, когда O1М = R или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Это и есть уравнение сферы. Для удобства его записывают в таком виде:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                           (79)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то есть а = b =с =0, то уравнение такой сферы имеет вид
х2 + у2 + z2 = R2.
Если в уравнении (79) раскроем скобки, то получим общее уравнение сферы
х2 + у2 + z2 + Ах + Ву + Cz + D = 0,                                                              (80)
где А = –2а, В = –2b, С = –2с, D = а2 + b2 + с2R2.
Это уравнение имеет такие свойства.

  • 1°. Уравнение (80) является уравнением второй степени относительно х, у и z, итак, сфера — поверхность второго порядка.
  • 2°. Коэффициенты при x2, у2, z2 равны между собой.
  • 3°. В уравнении отсутствуют члены с произведениями ху, xz, yz.

Однако не всякое уравнение вида (80), которое соответствует условиям и 1°–3°,
изображает сферу.

Примеры:

1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением
х2 + у2 + z2 + 2х + 4у – 6z – 11 = 0.

Выделяя полные квадраты по х, у и z, запишем заданное уравнение в виде
(х + 1)2 + (у + 2)2 + (z – 3)2 = 25. Следовательно, точка О1(–1; –2; 3) — центр сферы
и R = 5 — ее радиус.

2. Уравнение х2 + у2 + z2 + 2x + 4y – 6z + 15 = О1 или (х + 1)2 + (у + 2)2 + (z – 3)2 = –1 не определяет никакого геометрического объекта.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (81)

Уравнение (81) называется каноническим уравнением эллипсоида. Исследование формы эллипсоида проведем методом параллельных сечений. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением
z = h, где h — произвольное действительное число, а линия, которая образуется в сечении, определяется уравнениями
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (82)
Исследуем уравнения (82) при различных значениях h.

1. Если и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и уравнения (82) никакой линии не определяют, то есть точек пересечения плоскости z = h  с эллипсоидом не существует.

2. Если h = ± с, то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и линия (82) вырождается в точки (0; 0; с)  и    (0; 0; –с), то есть плоскости z = с  и  z = –с  касаются эллипсоида.

3. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть плоскость z = h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а1 и b1. При уменьшении h значения а1 и b увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h = 0, то есть в сечении эллипсоида плоскостью Оху  получим наибольший эллипс с полуосями а1а,  b1 = b.

Аналогичные результаты получим, если будем рассматривать сечения эллипсоида плоскостями х = h и у = h.
Таким образом, рассмотренные сечения дают возможность изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 3.66). Величины а, b, с называются полуосями эллипсоида. Если любые две полуоси равны между собой, то трехосный эллипсоид преобразуется в эллипсоид вращения, а если все три полуоси равны между собой — в сферу.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №80

Найти центр и полуоси эллипсоида, заданного уравнением
Зх2 + 4у2 + 6z– 6х + 16у – 36z + 49 = 0.

Выделяя полные квадраты относительно х, у, z, получим
3 (х – 1)2 + 4 (у + 2)2 + 6 (z – 3)2 = 36
или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, данный эллипсоид имеет полуоси: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его
центр находится в точке О (1; –2; 3).

Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется  поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                                        (83)
Уравнение (83) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Исследуют уравнения (83), как и в предыдущем пункте, методом параллельных сечений.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пересекая однополостной гиперболоид плоскостями, параллельными плоскости Оху, получим в сечении эллипсы. Если поверхность (83) пересекать плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы.
Детальный анализ этих сечений показывает, что однополостной гиперболоид имеет форму бесконечной трубки, которая неограниченно расширяется в обе стороны от наименьшего эллипса, по которому однополостной гиперболоид пересекает плоскость Оху (рис. 3.67).

Пример №81

Найти линию пересечения однополостного гиперболоида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач1
плоскостями:  а) Oxz;     б) Оху;         в) х = 4.
а) Линией пересечения плоскости Oxz с данным гиперболоидом является гипербола
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) Линией пересечения плоскости Оху с данным гиперболоидом является эллипс:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в) Линия пересечения плоскости х = 4 с данным гиперболоидом является гиперболой:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Двуполостные гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                        (84)
Уравнение (84) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Метод параллельных сечений позволяет изобразить двуполостной гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных полостей (отсюда название двуполостной), каждая из которых пересекает ось Oz и имеет форму выпуклой бесконечной чаши (рис. 3.68).

Пример №82

Составить уравнение поверхности вращения, созданной вращением гиперболы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачz = 0  вокруг оси абсцисс, и определить вид поверхности.

Подставив в уравнение гиперболы вместо у выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Это уравнение двуполостного гиперболоида, который пересекает ось Ох в точках (2; 0; 0) и (–2; 0; 0) (рис. 3.69).

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                       (85)
которое является каноническим уравнением эллиптического параболоида. Он имеет форму бесконечной выпуклой чаши (рис. 3.70). Линиями параллельных сечений эллиптического параболоида являются параболы или эллипсы.

Пример №83

Найти точки пересечения эллиптического параболоида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с прямой    Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем параметрические уравнения данной прямой:
х = 2t + 2,  у = –– 1,   z = 4t + 10.
Подставим выражения для х, у, z в уравнение параболоида и найдем те значения параметра, которые соответствуют точкам пересечения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Подставляя найденные значения параметра в параметрические уравнения прямой, найдем точки пересечения: М1 (–2; 1; 2) и М(6; –3; 18).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                     (86)
являющимся каноническим уравнением гиперболического параболоида. Эта поверхность имеет форму седла (рис. 3.71).
Линиями параллельных сечений гиперболического параболоида являются гиперболы или параболы.

Линейчатые поверхности

Поверхности, образующие которых прямые линии, называются линейчатыми.
Такими поверхностями являются цилиндрические и конические поверхности. Рассмотрим уравнения однополостного гиперболоида (83) и запишем его в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                (87)
Составим систему уравнений: 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                      (88)
где k — произвольный, отличный от нуля, параметр.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
При определенном значении параметра k каждое из уравнений системы (88)
определяет плоскость, а каждая из систем определяет прямую линию как пересечение плоскостей.
Если перемножить уравнения (88) почленно, то получим уравнение (87). Поэтому произвольная точка (х, у; z), удовлетворяющая систему (88), лежит на поверхности (87). Это означает, что каждая из прямых (88) полностью лежит на поверхности однополосного гиперболоида (рис. 3.72).
Итак, однополостной гиперболоид — линейчатая поверхность. Это же касается и гиперболического параболоида (86).
Отметим, что однополостные гиперболоиды применяются в строительстве. Сооружения различных высотных башен с использованием прямолинейных образующих однополостного гиперболоида соединяет в себе прочность конструкции и простоту ее исполнения. Идея использования однополостного гиперболоида в строительстве принадлежит русскому ученому В. Г. Шухову. По проекту Шухова построена телевизионная башня на Шаболовке в Москве. Она состоит из секций однополостных гиперболоидов вращения.

Пример №84

Найти те прямолинейные образующие гиперболического параболы  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые проходят через точку А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Запишем заданное уравнение в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Составим систему уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставив координаты точки А в первое уравнение системы, найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Следовательно, прямая
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
является одной из тех образующих заданного параболоида, которая проходит через точку А. Вторую образующую находим аналогично из системы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вступление в математический анализ

Математический анализ — это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами бесконечно малых. Основы
даны в работах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других математиков 17-18 в.в. Обоснование математического анализа с помощью понятия границы принадлежит О. Л. Коши.
Курс математического анализа содержит следующие разделы: вступление в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория рядов.
В 19 – 20 в.в. методами математического анализа начали изучать более сложные
математические объекты, чем функции. Это привело к созданию функционального анализа и многих других математических дисциплин.

Действительные числа

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби.

Множества. Логические символы

Понятие множества является одним из фундаментальных в математике. Оно
принадлежит к понятиям, которым нельзя дать строгое определение, то есть к
так называемым первичным, которые нельзя выразить через более простые понятия. Интуитивно множество понимают как совокупность (семейство, набор, собрание) некоторых объектов, объединенных по определенному признаку или свойству.
Примерами множеств может быть множество деталей, из которых состоит
данный механизм, множество школ данного города, множество звезд
определенного созвездия, множество решений данного уравнения, множество всех целых чисел и тому подобное.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — маленькими. Если элемент х принадлежит множеству Х, то пишут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; запись Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.
Множество считается заданным, если известна характеристика его элементов, когда о каждом элементе можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Так, множеству целых чисел принадлежит число 7, но не принадлежит число 0,7.
Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Запись Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  означает, что множество А конечно и содержит m элементов. Множество Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, содержащее бесконечное количество элементов, называется бесконечным. Так, множество слушателей в данной аудитории — конечно, а множество треугольников, которые можно вписать в данный круг, – бесконечно.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Примером пустого множества является множество действительных корней уравнения х2 + 1 = 0. Пусть задано два множества А и В. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В и пишут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачА содержится в В » или «В содержит А»). Например, множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел. Очевидно, что каждое множество является своим подмножеством и пустое множество является подмножеством любого множества. Если множества А и В содержат одни и те же элементы, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то их называют равными и пишут А = В.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим некоторые операции, которые можно выполнять над множествами.
Множество С, содержащее элементы, каждый из которых принадлежит множеству А или множеству В, называют объединением (суммой) множеств А, В
и обозначают С = А U В (рис. 4.1, а). Итак,   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Множество D, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множествам А и В, называют пересечением (произведением) множеств А и В и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.1, б). Итак, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Множество Е, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
множеству А и не принадлежит множеству В, называют частным множеств
А и В и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. (рис. 4.1, в). Итак, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Например, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть Р (х) — некоторое свойство числа х, тогда запись Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает множество всех чисел х, для которых выполняется свойство Р (х). Например,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Множество действительных чисел

В курсе высшей математики часто используют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Назовем некоторые из них:

  1. множество натуральных чисел N = {l; 2; ...; n; ...};
  2. множество целых неотрицательных чисел Z0 = {0; 1; 2; ...; n; ...};
  3. множество целых чисел Z = {0; ± 1, ± 2 ...; ±n ...};
  4. множество рациональных чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  5. множество действительных чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — цифры десятичной системы счисления.

Между этими множествами существует связь:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Множество действительных чисел содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число является или целым числом, или конечной или периодичной десятичной дробью. Иррациональное число — это бесконечная непериодичная десятичная дробь. Так, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  —
рациональные числа; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — иррациональные
числа.
Не вдаваясь в теорию действительных чисел [11], отметим, что на множестве действительных чисел всегда выполняются операции сложения, вычитания,
умножения и деления (кроме деления на 0). Корень нечетной степени из любого действительного числа имеет одно действительное значение. Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, которые отличаются
только знаком. Корень четной степени из отрицательного числа на множестве
действительных чисел смысла не имеет.
Действительные числа изображают точками  на координатной
оси или числовой прямой.
Таким образом, между множеством действительных чисел R и множеством всех
точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому числу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует определенная точка прямой
и, наоборот, каждой точке прямой соответствует определенное число.

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и b — действительные числа, причем а < b. Рассмотрим числовые
множества:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Все эти множества называются числовыми промежутками, причем [a; b]  — отрезок (сегмент) (а; b), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — интервалы, (а; b], [а; b), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачполуинтервалы.
Промежутки [а; b], (а; b), (а; b], [а; b) называются конечными и обозначаются общим символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; точки а и b называют соответственно левым и правым концами этих промежутков.
Последние из приведенных промежутков называются бесконечными. Символы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в этих промежутках не следует рассматривать как числа; это
символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от ее начала влево и вправо. Арифметические операции над символами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач недопустимы. Считают, что любое действительное
число х больше, чем  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и меньше, чем  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < х  < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Введем интервалы, называемые окрестностями точки. Пусть х0 — произвольное действительное число. Окрестностью точки х0 называют любой интервал
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, содержащий эту точку, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Так, окрестностями точки
х0 = 1 является интервалы (–0,5; 1,5), (0; 2) и т. д.
Интервью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестностью точки х0, причем точку х0 называют центром, а число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрадиусом окрестности.
Эту окрестность называют достаточно малой, если число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно мало.

Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модулем действительного числа х называют число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяемое
по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Так, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрически число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет расстояние от начала отсчета 0 до точки, соответствующей числу х на числовой оси.
Рассмотрим арифметическое значение корня Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где а — произвольное
действительное число. Очевидно, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сформулируем свойства модуля действительного числа:

  1. Равны между собой числа имеют равные между собой модули:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Модуль числа есть число неотрицательное:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Число не больше своего модуляВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Противоположные числа имеют равные между собой модули:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их модулей:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  6. Модуль разности двух чисел не меньше разницы их модулей:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
  7. Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
  8. Модуль частного  равняется частному модулей делимого и делителя:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  9. Если а > О, то неравенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильны:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
  10. Для произвольного числа а > 0  неравенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или
    Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равносильные:

Пользуясь понятием модуля, некоторые из приведенных выше промежутков можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В частности, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность точки х0 записывается в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  это окрестность с выколотой
точкой
х0 записывается так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №85

Решить неравенства: а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;         б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
а) По свойству 9° имеем:
–5 < 2х – 3 < 5, или –2 < 2х < 8, или –1 < х < 4.
Следовательно, данное неравенство выполняется для значений х, принадлежащих интервалу (–1; 4).
б) Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и по свойству 10° имеем
х – 2 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач С или  х – 2 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач–3  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или х Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач –1. Таким образом, данное неравенство
справедливо для всех х значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Функция

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Постоянные и переменные величины

Величина — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики менялся и обобщался. Это понятие настолько широкое и всеобъемлющее, что его трудно определить. Масса, сила, давление, напряжение, длина, объем, действительное число, вектор — все это примеры величин. На первой стадии под величиной понимали то, что, выражаясь в определенных единицах (например, длина в метрах, масса — в граммах и т. д.), характеризуется своим числовым значением.
Впоследствии величинами стали и такие понятия, как число, вектор и другие.
Величины в некотором процессе могут принимать различные или одинаковые
числовые значения. В первом случае величина называется переменной, во втором — постоянной.

Примеры:

  1. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная для всех окружностей и равна числу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Величина х, которая удовлетворяет условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, является переменной величиной.
  3. Если в разных местах и ​​на разных глубинах озера измерять одновременно давление воды и ее плотность, то окажется, что давление — переменная величина, а плотность можно считать величиной постоянной.

В первых двух случаях постоянная и переменная величины определяются точно. В третьем случае плотность воды, хоть и незначительно, но меняется, поэтому она постоянна только с определенной точностью. Во многих реальных явлениях можно указать величины, которые только условно будут постоянными.

Предметом высшей математики является изучение переменных величин. Постоянная величина считается частным случаем переменной: постоянная — это такая переменная, все значения которой равны между собой.
Если величина приобретает свои значения дискретно (прерывно), то ее называют последовательностью (п. 3. 1). Если же переменная величина приобретает непрерывные значения, то ее просто называют переменной.

Понятие функции

Изучая те или иные явления, мы, как правило, оперируем несколькими величинами, которые связаны между собой так, что изменение некоторых из них приводит к изменению других.
Такая взаимосвязь в математике выражается с помощью функции. Этот термин впервые ввел Г. Лейбниц.

Примеры:

1. Пусть электрическая цепь состоит из источника постоянного напряжения U и реостата R. При изменении сопротивления R меняться сила тока. Напряжение U — величина постоянная (в данной цепи), а сопротивление R и ток — переменные, причем I меняется в зависимости от изменения R по закону Ома:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть сила тока I является функцией сопротивления R.

2. Во время свободного падения тела пройденный путь S зависит от изменения времени t. Связь между переменными величинами S и t задается формулой
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
где g — ускорение свободного падения (постоянная величина). Величина S зависит от изменения величины t, то есть путь S является функцией времени t.

3. Согласно закону Бойля–Мариотта объем газа V и давление Р при постоянной температуре связаны формулой PV = с, где с — некоторая постоянная. Отсюда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
то есть переменная величина V изменяется в зависимости от изменения Р, поэтому объем V является функция давления Р.

4. Длина l окружности диаметра d определяется по формуле l = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачd, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная величина. Переменная l зависит от переменной величины d, то есть длина окружности l является функцией диаметра d.

Общим в этих примерах является то, что связь между переменными величинами описывается определенным правилом (зависимостью, законом, соответствием) так, что каждому значению одной величины (R, Р, t, d) соответствует единственное значение второй (, V, S, l ).
Дадим теперь определение функции. Если каждому числу х из некоторого
числового множества Х по определенному правилу поставлено в соответствие
единственное число у, то говорят, что у есть функция от х, и пишут у = f (x),
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это определение принадлежит Н. И. Лобачевскому и Л. Дирихле.
Переменная х называется независимой переменной, или аргументом, а переменная узависимой переменной, или функцией; под символом понимают то правило, по которому каждому х соответствует у, или те операции,
которые надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции.
Множество Х называется областью определения функции. МножествоY всех чисел у, таких, что у = f (x) для каждого Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество значений функции, то есть

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Иногда в определении функции предполагают, что одному значению аргумента
соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функцию называют многозначной, в отличие от указанной выше однозначной функции. Примерами многозначных функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  В дальнейшем мы будем рассматривать только однозначные функции.
В более широком смысле понятие функции употребляется как синоним понятия отображения множества на множество.
Пусть заданы два непустых множества Х и Y с элементами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи пусть преобразование f  переводить х в у. Тогда это преобразование f (правило, закон, соответствие, отображение, зависимость) называют функцией и пишут
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(Х и Y  — множества некоторых элементов, не обязательно числовые).
В этом случае, как и в случае числовых множеств Х и Y , эти множества называют областью определения и множеством значений функции. В зависимости от природы множества Х и Y, для функции f употребляют разные
названия. Так, если Х и Y — множества действительных чисел, то говорят, что
f — действительная функция действительного аргумента; если Х — множество комплексных чисел а Y — множество действительных чисел, то f  —действительная функция комплексного аргумента; если Х — множество функций,
а Y — числовое множество, то f называется функционалом.
Сравнивая определение функции, видим, что в первом из них под функцией у = =f(x) понимают ее значение — число у. По второму определению функция — это закон или правило f, по которому каждому элемента Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставится в соответствие единственный элемент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, по первому определению понятие функции сводится к понятию переменной величины, а по второму — к понятию соответствия. Иногда понятие функции выражается и через другие понятия (например, множество). В дальнейшем будем пользоваться первым определением функции.
В курсе математического анализа рассматривают функции, для которых область определения X и множество значений Y состоят из действительных чисел. Поэтому под понятием «число», если не оговорено, будем понимать действительное число.
Из определения функции не следует, что разным значениям аргумента
соответствуют разные значения функции. Функция может во всей области
определение приобретать несколько или даже одно значение. В частности, если множество значений функции состоит лишь из одного числа с, то такую ​​функцию называют постоянной и пишут у = с.

Способы задания функции

Чтобы задать функцию у = f (x), надо указать ее область определения Х, множество значений Y и правило f, по которому для произвольного числа
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти соответствующее ему число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Основные способы задания функции: аналитический, графический и табличный.
При аналитическом способе задания функции соответствие между аргументом
и функцией задается формулой (аналитическим выражением), где указано, какие действия нужно выполнить над значением аргумента и постоянными числами, чтобы получить соответствующее значение функции. Если при этом область определения не указывается, то под последней понимают область существования функции — множество всех действительных значений аргумента, для которых аналитическое выражение имеет смысл.

Замечание. Не следует отождествлять функцию и формулу, с помощью которой эта функция задана. Одной и той же формулой можно задавать различные функции, и наоборот, одна и та же функция на разных участках ее области определения может задаваться различными формулами. Так, функции у = х3, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  у = х3,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — различные, потому что они имеют различные области определения; функция
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
определена на промежутке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, но для неположительных и положительных значений аргумента ее задано различными формулами.

Пример №86

Найти области определения функции:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;  в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;    д) у = n!.

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
д) формула у = n! ставит в соответствие каждому натуральному числу n число у = n!. Например, если n = 3, то у = 3! = 1 · 2 · 3 = 6, если n = 5, то у = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 Итак, Х = Z0 (считают, что 0! = 1).

Эти примеры показывают, что областью существования функции могут быть весьма разнообразные множества: отрезок, несколько или даже бесконечное
количество отрезков, дискретное множество точек и тому подобное.
Отметим, что задача нахождения множества Y значений аналитически
заданной функции намного сложнее и связана с задачей об экстремумах функции.

При графическом способе задания функции у = f (х) соответствие между переменными х и у задается графиком — множеством точек (х; у) плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют равенство уf (х). В зависимости от того, какую задано функцию, ее график может состоять из одной сплошной линии, нескольких линий, дискретного множества точек плоскости и тому подобное.
Графическим способом задания функции широко пользуются при исследованиях, связанных с использованием таких самопишущих приборов, как барограф (для записи изменений атмосферного давления), осциллограф (для записи изменений электрического тока или напряжения), электрокардиограф (для записи электрических явлений, связанных с деятельностью сердца), термограф (для записи изменений температуры воздуха) и др. Кривые (их
называют соответственно барограмма, осциллограмма, электрокардиограмма,
термограмма),  выписываемые приборами, задают вполне определенную функцию, свойства которой характеризуют ход того или иного процесса.

Графики функций можно наблюдать на дисплеях компьютеров. В математике графиками широко пользуются для геометрического изображения функций, даже тогда, когда эти функции заданы аналитически. Если функция у = f (x) задана на некотором множестве Х формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует определенный график, который определяет эту функцию геометрически. А если функция задана произвольным графику, то можно ли задать ее некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, нужно выяснить, какой смысл имеет понятие формулы. Если функция у = f(x) задана формулой, то пока считаем, что функция у образовывается с помощью конечного числа таких операций над х, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня, логарифмирование, взятие sin, arcsin и тому подобное. Математический анализ позволяет значительно расширить понятие формулы. В частности, формулой считается также и бесконечный ряд, членами
которого являются те или иные функции, то есть допускается бесконечное число операций над этими функциями. С помощью таких формул большинство кривых, встречающихся на практике, можно задать аналитически.

Примеры:

1. Графиком функции у = 2– 3, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  есть бесконечное множество изолированных точек (рис. 4.2), которые лежат на прямой у = 2х – 3.

2. Графиком функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть совокупность биссектрис первого и второго координатных углов (рис. 4.3).

3. Графиком функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
заданной различными аналитическими выражениями на разных частях области изменения х, является совокупность параболы и прямой (рис. 4.4). Стрелка на графике означает, что точка М (2; 2) не принадлежит прямой.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Функция

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(читается «сиrнум икс») определена на всей числовой оси и приобретает три значения: –1; 0; 1; Х =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Y = {–1, 0; 1). График этой функции изображен на
рис. 4.5.

5. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 4.6) определена при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и приобретает два значения:
–1; 1;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что в прямоугольной системе координат Оху (рис. 4. 7) функцию задает только такая кривая l2, которую каждая прямая, проходящая через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельно оси Оу, пересекает только в одной точке. Область определения этой функции — отрезок [а; b], который является проекцией кривой на ось Ох. Чтобы найти значение функции у0 = f (x0) , соответствующую значению аргумента x0, нужно через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач [а; b] провести перпендикуляр к оси Ох. Длина этого перпендикуляра от оси Ох к точке М0 (x0; у0) пересечения с кривой, взятая с надлежащим знаком, и является значением функции в точке x0, то есть у0 = f (x0). Кривая l1 не задает функцию.

Табличный способ задания функции у = f (x) состоит в том, что соответствие между переменными х и у задается в виде таблицы.
Табличный способ достаточно часто используется при проведении экспериментов, когда задают определенную совокупность х1, х2, ..., хn значений аргумента и опытным путем находят соответствующие значения функции:
у1, у2, ..., уn .

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если функция задана аналитически, то для нее можно построить таблицу, то есть табулировать функцию. Табулируются, как правило, функции, которые выражаются сложной формулой, но часто встречаются в практике. Таковы, например, таблицы логарифмов, тригонометрические таблицы и т. д. И здесь, как и при графическом задании функции, возникает обратный вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к аналитическому, то есть можно ли функцию, заданную таблицей, задать формулой? Чтобы ответить на него, заметим, что таблица дает не все значения функции. Промежуточные ее значения, которые не входят в заданную таблицу, можно найти приближенно с помощью так называемой операции интерполяции функции. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее таблице невозможно. Однако можно построить формулу, причем не одну, которая для значений хi, присутствующих в таблице, будет давать соответствующие значения уi функции. Такие формулы называются интерполяционными.

В последнее время табличный способ широко применяется в связи с использованием электронно-вычислительных машин (ЭВМ), потому что исходную информацию ЭВМ выдает в виде числовых массивов (таблиц). В связи с этим все больше распространяется и становится одним из основных четвертый способ задания функции — с помощью компьютерных программ. Как правило, этим способом задаются такие функции, которые являются решениями сложных математических задач. Ни одним из предыдущих способов подобные функции задать нельзя.
Кроме рассмотренных существуют и другие способы задания функции. Так,
функцию можно задать словесным описанием зависимости между переменными.

Примеры:

  1. Функцию у задано условием: каждому действительному числу х ставится в соответствие наибольшее целое число, не превышающее х (рис. 4.8). Эта функция, определенная на множестве действительных чисел, называется целой частью х и обозначается у = [х] или у = Е (х) (Е — первая буква французского слова entier — целый). Например, [0, 2] = 0, [–2, 5] = –3, [5] = 5 и т. д.
  2. Каждому рациональному числу ставится в соответствие число 1, а иррациональному — число 0. Эта функция тоже определена на множестве R. Она обозначается через D (х) и называется функцией Дирихле:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

График функции D (x) практически изобразить нельзя, потому что он состоит из точек прямой у = 1, имеющих абсциссами рациональные числа, и из точек прямой у = 0, в которых абсциссы — иррациональные числа.

Классификация элементарных функций

Основными элементарными функциями называются следующие:

  1. Степенная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Область определения и графики этой функции зависят от значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.9, ае).
  2. Показательная функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4. 10).
  3. Логарифмическая функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 4.11).
  4. Тригонометрические функции: у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х (рис. 4.12, а–г).
  5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х (рис. 4.13, а-г).

Графики основных элементарных функций надо помнить. Преобразовывая их, можно получить графики многих других функций. Пусть график функции y = f (x) известен, рассмотрим некоторые преобразования этого графика.

  1. График функции у = f (x) + b получим из графика функции уf (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Оу на величину, равную b (рис. 4.14).
  2. График функции у = f (х + а) получаем из графика функции уf (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Ох на величину, равную а (рис. 4.15).
  3. График функции у = cf (x),  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.16) получаем из графика функции уf(x) при 0 < с < 1 с помощью сжатия в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз ординат последнего, а при с > 1 с помощью растягивания в с раз его ординат с сохранением соответствующих абсцисс. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < с < 0, то график у = cf (x) является зеркальным отражением графика у = –cf (x) относительно оси Ох (согласно случаев –1 < с < 0 и с < –1).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. График функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получаем из графика функции уf (x) при О < k < 1 увеличением в  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  раз абсцисс его точек, а при 1 < kВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  уменьшением в k раз абсцисс его точек с сохранением их ординат (рис. 4.17).
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачk < 0, то график у = f (kx) является зеркальным отражением графика f (–kx) относительно оси Оу.

Введем арифметические операции над функциями. Пусть функция уf (x) определена на множестве А, а  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — на множестве В, причем сечение этих множеств Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда на множестве С  можно определить сумму функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значение суммы в точке х = Х0 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — это число, равное сумме Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично можно определить разницу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и частное Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  этих функций (последнее при условии, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Над функциями выполняют и так называемую операцию суперпозиции, или
наложения. Пусть функция у = f (u) определена на множестве А, а функция u = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — на множестве В, причем для каждого значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующее значение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда на множестве В  определена функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которую называют составленной функцией от х, или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции.
Переменную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  функции у = f (u)  называют промежуточным аргументом, или внутренней функцией, а переменную у = f (u) — внешней функцией.
Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является суперпозицией двух основных
элементарных функций — степенной и тригонометрической: уВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Составленные функции можно создавать с помощью суперпозиции не только двух, но и большего количества функций.
Например, функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать как суперпозицию
трех функций:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные элементарные функции, а также функции, образованные с помощью
формул, в которых над основными элементарными функциями производится только конечное число арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и суперпозиций, называются элементарными.
Так, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  есть элементарная функция,
а функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
не являются элементарными. Неэлементарными являются также функции n!, sign х, Е (х), D (х).

Элементарные функции делятся на следующие классы:

1) Функция вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — действительные числа — коэффициенты (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), называется целой рациональной функцией, или многочленом (полиномом)
степени n. Многочлен первой степени называется также линейной функцией, а второй — квадратичной.

2) Функция, являющаяся отношением двух многочленов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется дробной рациональной функцией, или рациональной дробью.
Совокупность многочленов и рациональных дробей образует класс рациональных функций.

3) Функция, образованная с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических операций над рациональными функциями и над степенными функциями с дробными показателями, и которая не является рациональной,
называется иррациональной функцией.
Например, функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — иррациональные.

4) Элементарная функция, которая не является рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и другие.

Ограниченные функции

Функцию f (x), определенную на множестве А, называют ограниченной на этом множестве, когда существует такое число М > 0, что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется
неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Таким образом, значения ограниченной функции не выходят за пределы отрезка [–М; М]. Поэтому ее график лежит между прямыми у= –М и у = М (рис. 4.18). Например, функции у = sin х   и   у = cos х ограничены на всей числовой оси, так как  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если для функций f (x) или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  определенных на множестве А, существует
такое число N, выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачN, то функцию f(x) называют ограниченной сверху, а  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ограниченной снизу. Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ограничена снизу прямой у = 0, но не ограничена сверху; функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.19) ограничена сверху прямой у = 1, но не ограничена снизу; функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неограниченная.
Рассматривая ограниченность функции f (x), мы тем самым характеризуем
множество значений этой функции.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Монотонная функция

Пусть функция f (x) определена на множестве А. Если для двух произвольных различных значений х1 и х2 аргумента, взятых из множества А, из неравенства х1 < х2 следует, что:

  • а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то функция называется возрастающей;
  • б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция называется неубывающей;
  • в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция называется убывающей;
  • г) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция называется невозрастающей.

Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.10) является возрастающей при а > 1 и убывающей при 0 < а < 1 в интервале (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) функция у = –х2 + 4х – 3 (рис. 4.19) является возрастающей на интервале (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;  2) и убывающей на интервале (2; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) функция Е (х) (рис. 4.8) — неубывающая.
Растущие, невозрастающая, нисходящие и неубывающей функции на множестве
А называются монотонными на этом множестве, а растущие и нисходящие —строго монотонными.
Пусть функция не является монотонной во всей своей области определения, но эту область можно разбить на некоторое (конечное или бесконечное) число промежутков, которые не пересекаются, и на каждом из которых функция
монотонна. Такие промежутки называются промежутками монотонности
функции
.
Так, функция у = х2 не является монотонной на всей числовой оси, но имеет два промежутка монотонности: (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 0) и (0; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач);  на первом из них функция убывает, а на втором — растет.
Функции у = sin х и у = cos х имеют бесконечное количество промежутков
монотонности.

Четные и нечетные функции

Пусть функция f (x) определена на множестве А точек оси Ох, размещенных
симметрично относительно точки х = 0, то есть если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Функцию f (x) называют четной, если f (—х) = f (x), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и нечетной, если f (–х) = –f (x),  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Примеры:

1. Функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не является четной и не является нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки х = 0: в точке х = 2 функция определена, а в точке х = –2 — не определена.

2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет область определения (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 0) U (0; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), симметричную относительно точки х = 0, но не является ни четной, ни нечетной, поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Область определения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  симметрична относительно точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и эта функция четная, поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х — нечетные, а у = cos х — четная.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной —относительно начала координат. Кроме того, если четная или нечетная функция имеет определенное свойство для положительных значений х, то можно определить соответствующее свойство для отрицательных значений х. Например, если для х > 0 парная функция возрастает, то для х < 0 эта функция убывает.

Периодические функции

Функция f (x), определенная на всей числовой прямой, называется периодической, если существует такое число Т, f (x + T) = f (х). Число Т называется периодом функции. Если Т — период функции, то ее периодами также являются числа kT, где k равняется  ± 1, 2, .... Наименьшим из положительных периодов функции, если такой существует, называется основным периодом функции
Мы определили периодическую функцию, заданную на всей числовой прямой.
Более общим является следующее определение.
Функция f (x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из определения следует, что для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить ее график на произвольном промежутке длины Т, а потом продолжить этот график на всю область определения, повторяя его через каждый промежуток длины Т.

Пpuмеры:

  1. Основным периодом  функций у = sin ху = cos х есть число Т = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Функции у = tg х  и  у = ctg х  имеют основной период Т = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Периодом функции у = С (С — постоянная) является произвольное, отличное от нуля число; эта функция не имеет основного периода.
  4. Найти период функции у = sin (ах + b),   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если эта функция периодическая, то существует такое число  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что
sin (ах + b) = sin (а (х + Т) + b),                  откуда:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, основным периодом данной функции является число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Периодические функции играют важную роль для математического описания периодических явлений, наблюдаемых в природе. Характерной особенностью этих явлений является периодическое повторение их через определенные промежутки времени. Примерами могут быть движение маятника вокруг оси, движение небесных тел (планеты движутся по эллиптическим орбитам), работа
почти всех машин и механизмов связана с периодическим движением (движение поршней, шатунов и т. д.).

Неявно заданные функции

Если функция задана уравнением у = f (x), решенным относительно зависимой переменной у, говорится, что функция задана в явной форме или является явной.
Под неявным заданием функции понимают задания функции в виде уравнения F(x, y) = 0, не решенного относительно зависимой переменной.
Это уравнение задает функцию только тогда, когда множество упорядоченных
пар чисел (x, y), являющиеся решением данного уравнения, такое, что любому числу х0 в этом множестве соответствует не более одной пары (х0; у0) с первым элементом х0. Так, уравнение 2х + Зу — 1 = 0 задает функцию, а уравнение х2 + y2 = 4 не задает, потому что значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствуют две пары чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Произвольную явно заданную функцию у = f (x) можно записать как неявно
заданную уравнением f (x) – у = 0, но не наоборот. Например, функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  явно записать нельзя, потому что это уравнение нельзя решить относительно у. Поэтому неявная форма записи функции более общая, чем очевидна. Неявно заданную функцию называют неявной.
Заметим, что термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют
не природу функции, а аналитический способ ее задания.

Обратные функции

Пусть задана функция у = f (x) с областью определения X и множеством значений Y. Функция f (x) каждому значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставит в соответствие единственное значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.20). При этом может оказаться, что разным значениям аргумента х1 и х2 соответствует одно и то же значение функции у1 (рис. 4.21). Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дополнительно требуем, чтобы функция f (x) различным значением х ставила в соответствие разные значения у. Тогда каждому значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет соответствовать единственно значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть можно определить функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с областью определения и множеством значений Х. Эта функция называется обратной функцией данной. Итак, функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является обратной к функции у = f (х), если:

  • 1) областью определения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является множество значений функции f;
  • 2) множество значений функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является областью определения функции f;
  • 3) каждому значению переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответствует единственное значение переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из этого следует, что каждая из двух функций у = f (х) и х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (у) может быть названа прямой или обратной, то есть эти функции взаимно обратные.
Чтобы найти функцию х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у), обратную к функции y = f (x), достаточно решить уравнение f (x) = у  относительно переменной х (если это возможно). Поскольку каждая точка (х, у) кривой у = f (x) является одновременно точкой кривой х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у), то графики взаимно обратных функций у = f (х) и х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у) совпадают. Если же дополнительно потребовать, чтобы, как обычно, независимая переменная обозначалась через х, а зависимая — через у, то вместо функции х = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(у) получим функцию у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х). Это означает, что каждая точка М1 (х0; у0) кривой у = f (x) станет точкой М2 (у0; х0) кривой у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х). Поскольку в системе координат Оху точки М1 и М2 симметричны относительно прямой у = х, то графики взаимно обратных функций у = f (х) и у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(x) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 4.22).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из определения обратной функции следует, что функция у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(x), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет обратную тогда и только тогда, когда эта функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами Х и Y. Такое свойство имеют, в частности, растущие функции, поскольку для них Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и нисходящие функции, так как для них  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную функцию. При этом, если прямая функция строго возрастает (убывает), то обратная ей функция также строго возрастает (убывает). 

Отметим без доказательства, что когда функция у = f (x) возрастает (падает) и непрерывная на отрезке [а; b], то она имеет обратную функцию, которая растет (падает) и непрерывная на отрезке [f (а); f (b)] и ([f (b); f (а)])      [12].

Примеры:

1. Функция у = 2х – 1 имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.23).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Функция у = х2 на множестве Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет обратной, так как она не является монотонной; на множестве  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  она имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.24).

3. Функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.10) имеет обратную функцию у = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.11).

4. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.12, а) не имеет обратной; функция у = sin х,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.13, а).

5. Функция у = cos х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.12, 6) имеет обратную функцию у = arccos х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4. 13, б).

6. Функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.13, в) обратная функции у =
= Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.12, в).

7. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.13, г) обратная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.12, г).

Параметрически заданные функции

Пусть заданы две функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                (1)
одной независимой переменной t, определенные на одном и том же промежутке.
Если функциях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строго монотонна, то согласно предыдущему пункту она имеет обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому переменную у можно рассматривать как составную функцию от х: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Задание функциональной зависимости между х и у в виде двух функций (1) называют параметрическим заданием функций. Вспомогательная переменная t при этом называется параметром. Всякая параметрически заданная функция (1) определяет на плоскости Оху некоторую кривую, однако не всякая параметрически заданная кривая определяет функцию.

Примеры:

1. Уравнение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  определяют функцию, поскольку
переменная   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  строго монотонна. Заданные функции определяет полуокружность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  размещенную в верхней полуплоскости, так как при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  определяют функцию, графиком которой является дуга астроиды, находящейся в первом координатном углу (рис. З.8).

Пределы

Предел — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.

Числовая последовательность

С понятием числовой последовательности мы встречались во время изучения
школьного курса алгебры и геометрии. В частности, числовыми последовательностями являются арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, последовательность периметров и площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность, последовательность площадей поверхностей и объемов правильных n-гранных призм, вписанных в цилиндр, и тому подобное.
Сформулируем определение числовой последовательности в общем виде: если каждому натуральному числу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  по определенному правилу ставится в соответствие число xn, то множество чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают числовой последовательностью (или коротко последовательностью) и обозначают символом {xn}.
Отдельные числа х1, х2, ..., xn, ... называют членами или элементами последовательности: х1 — первый член последовательности, х2 — второй и т. д.,
xn-й, или общий член последовательности.
По определению последовательность содержит бесконечное количество членов,
причем любые два из них отличаются, по крайней мере, номерами. Итак, элементы xn и xm,  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  считаются разными, хотя как числа они могут быть равны между собой. Если все элементы последовательности {xn} равны одному и тому же числу, то ее называют постоянной.
Геометрически последовательность изображается на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим
членам последовательности. Можно изображать последовательность точками
координатной плоскости Оху, откладывая на оси Ох номера членов последовательности, а на оси Оу — соответствующие члены.

Последовательность считается заданной, если указан способ нахождения ее общего члена. Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена.
Очевидно, что всякая функция у = уn, заданная на множестве натуральных чисел N, определяет некоторую числовую последовательность {уn} с общим
членом уn = уn.

Числовые последовательности можно задавать и так называемым рекуррентным (от латинского recurrens — обратный) способом. Суть его заключается в том, что задают несколько членов последовательности и указывают правило, по которому можно найти следующий ее член. 
Иногда числовые последовательности задают словесным описанием. Отметим,
что в общем случае задача написания формулы общего члена последовательности не решается, то есть нельзя утверждать, что для произвольной последовательности можно найти формулу ее общего члена.

Пример №87

Написать первые пять членов последовательности, заданной общим членом:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;   б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Подставляя в формулу n-го члена последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5, получим:
а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
б)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №88

Записать первые пять членов последовательности {an.}, заданной рекуррентным соотношением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где n = 3, 4, ..., если а1 = 1, а2 = 2.
В соответствии с рекуррентной формулой, имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
следовательно,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Кстати:

Евклид доказал, что множество простых чисел
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...}
бесконечна, то есть простые числа образуют последовательность. Формула общего члена этой последовательности до сих пор не найдена, и даже неизвестно, существует ли такая формула.

Предел последовательности. Предел переменной величины. Объединение пределов

Пусть переменная xn  пробегает значения последовательности {xn}, то есть
дискретной переменной.
Число х0 называется пределом последовательности {xn}, если для произвольного
числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такой номер N = N (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), что при всех n > N выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                                                (2)

Если число х0 является пределом последовательности {xn}, то пишут
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и говорят, что последовательность {xn}, или переменная xn имеет предел, который равен числу х0 или стремится к х0. Коротко определение предела можно
записать так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Последовательность, имеющую предел х0, называется сходящейся к х0 (или
просто сходящейся). Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.
Рассмотрим геометрический смысл предела последовательности. Неравенство (2) равносильно неравенству
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
которые показывают, что элемент xn находится в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х(рис. 4.26). Поэтому определение предела геометрически можно сформулировать так: число х0 называется пределом последовательности {xn}, если для произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х0 существует такой номер N = N (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), что все значения xn, для которых n > N, попадают в эту окрестность. Вне этой окрестности может остаться разве что конечное число членов последовательности {xn}.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №89

Известно, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0,01.
Сколько членов последовательности {xn} лежит вне окрестности (2 – 0,01; 2 + 0,01) = (1,99;  2,01)?

Поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  откуда n > 10.
Итак, вне окрестности (1,99; 2,01) находятся только 10 членов данной последовательности.
Геометрически это означает, что все члены последовательности {xn} при n > 10 находятся от точки 2 на расстоянии, меньшем 0,01. На рисунке это изобразить нельзя, потому что точки 1,99; 2,01 — концы окрестности, и бесконечное количество точек xn, где n > 10, лежащие в этой окрестности, практически сливаются в одну точку. 

Пример №90

Доказать, что · Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Зададим произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Обозначим через N наибольшее целое число,
которое не превышает  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда при всех n > N имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Это означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №91

Доказать, что последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходящаяся.
Заданная последовательность имеет вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Она не имеет предела, потому что вне произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности (0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 1) любой точки числовой оси содержится бесконечное количество членов данной последовательности.

Пример №92

Доказать, что последовательность, которая задана общим членом

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

не имеет предела.

Найдем несколько начальных членов последовательности и изобразим их схематично на числовой прямой (рис. 4.27). Для этой последовательности характерным является то, что при достаточно больших k значения x2k с четными номерами сколь угодно мало отличаются от нуля, а значение x2k+1 с нечетными номерами сколь угодно мало отличаются от единицы.
По определению, число х0 будет пределом последовательности, если в любой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х0 находится бесконечное, а за окрестностью — конечное множество ее членов. В данном случае в произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности (0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 1) нуля содержится бесконечное множество членов последовательности с четными номерами, а за этой окрестностью находится бесконечное множество ее членов с нечетными номерами. Это значит, что число 0 не будет пределом заданной последовательности. Аналогично убеждаемся, что пределом не может быть и число 1. Итак, заданная последовательность расходящаяся. 

Пусть теперь переменная величина х приобретает все числовые значения некоторого конечного промежутка Х, то есть непрерывной переменной, и пусть точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Число х0 называют пределом переменной х, если для произвольного числа
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такое значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, начиная с которого для всех следующих
значений х выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пишут
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрический смысл понятия предела переменной таков: число х0 является пределом переменной х, если для произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки хнайдется такое значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что все последующие значения переменной х попадают в эту окрестность.

Если сравнить определение предела последовательности и предела переменной,
то в определении предела последовательности говорится о номере того члена последовательности {xn}, начиная с которого выполняется неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а в определении предела переменной х речь идет о
числовом значении переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть о том значении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, начиная с которого все последующие значения переменной удовлетворяют неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, пределом переменной величины х есть предел произвольной последовательности значений, приобретаемых этой переменной:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·

Как отмечалось, постоянную величину С можно рассматривать как переменную, все значение которой одинаковы: х = С
Предел постоянной величины равен этой постоянной, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из определения предела следует, что переменная не может иметь двух
пределов. Действительно, если бы обнаружилось, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то х  должно удовлетворять сразу двум неравенствам:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
для сколь угодно малого Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а это невозможно, если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.28).Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это свойство не надо понимать так, что всякая переменная обязательно имеет один предел. Примеры свидетельствуют, что это не так. Но если переменная имеет предел, то этот предел только один.

Бесконечно большие переменные величины

При определении предела х0 переменной величины х считалось, что х изменяется на некотором конечном промежутке и х0 — постоянное число.
Рассмотрим теперь переменную, которая приобретает все значения некоторого бесконечного промежутка Х.
Если для произвольного числа М > 0 существует такое значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, начиная с которого все последующие значения х удовлетворяют неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что переменная х  стремится к бесконечности, и пишут 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Если переменная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ее называют бесконечно большой переменной
величиной. Коротко определение бесконечно большой переменной величины
можно записать так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Положительная и отрицательная бесконечно большие переменные величины соответственно определяются так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примеры:

  1. Переменная {xn} = n! = {1, 2, 6, 24, 120, ...} — бесконечно большая величина, которая стремится к плюс бесконечности: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Переменная {yn} = {–nЗ} = {–1, –8, –27, ...} является бесконечно большой величиной, направленной в минус бесконечность: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Переменная {zn} = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = {–1, 4, –9, ...} является бесконечно большой величиной, у которой неограниченно возрастает модуль, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Переменная величина {tn} = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = {0, 2, 0, 4, 0, 6, ...} не является бесконечно большой величиной, так как для произвольного числа М не существует числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такого, чтобы при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнялось неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обращаем внимание на то, что выражение «х стремится к бесконечности» может вызвать неправильное представление, будто х стремится к какому-то числу, в то время как на самом деле х никуда не идет, а только изменяется так, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перерастает в любое большое положительное число. То же нужно сказать в отношении выражений «пределом переменной х является бесконечность» и «бесконечно большая величина». Говоря о бесконечно большой величине, имеют в виду величину переменной, которая бесконечно растет, то есть суть бесконечно большой величины совсем не в ее величине или размерах, а в характере ее изменения.
Пользуясь определениями, можно показать, что сумма бесконечно большой величины и величины ограниченной есть величина бесконечно большая. Символически это записывают так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Суммой двух бесконечно больших величин одного знака является бесконечно большая величина: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В отличие от этого сумма двух бесконечно больших величин различных знаков не всегда будет бесконечно большой величиной, поэтому эта сумма называется неопределенностью вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Произведение двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно
большая: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Произведение бесконечно большой величины на величину, большую по абсолютному значению некоторого положительного числа, также бесконечно большая величина.
Частное двух бесконечно больших величин не всегда бесконечно большая величина, поэтому дробное выражение, числитель и знаменатель которого бесконечно большие переменные величины, называют неопределенностью вида вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Таким образом, с выражениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя обращаться, как с числами, потому что это не числа, а только символы, которые характеризуют определенную переменную величину.

Предел функции в точке

Допустим, что независимая переменная х имеет предел х0. Рассмотрим
изменение функции у = f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х0, кроме, возможно, самой точки х0.
Число А называют пределом функции у = f (x) в точке х0 (или при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если для произвольной сходящейся к х0  последовательности {xn}, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач последовательность {f (xn)} имеет предел, который равен числу А, и записывают:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                                                      (3)
Итак, если для произвольных сходящихся к х0 последовательностей {xn}  существует один и тот же пределВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то этот  предел и будет пределом функции f (x) в точке х0.
Если же для некоторой хотя бы одной последовательности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сходящейся к х0, последовательностьВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач предела не имеет, то функция f (х) не имеет предела в точке х0.
Аналогично, функция f (х) не имеет предела в точке х0, если для двух разных, сходящихся к х0, последовательностей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующие последовательности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют разные пределы.
Функция f (x) может иметь в точке х0 только один предел. Это следует из того, что каждая переменная может иметь только один предел.

Примеры:

  1. Функции f (x) = x  в любой точке хчисловой прямой имеет предел, равный х0, потому что последовательности {хn} и {f (хn)} совпадают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
  2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.29), определенная для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в точке х = 0 предела не имеет.

Действительно, возьмем две сходящиеся к 0 последовательности значений аргумента:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Очевидно,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Найдем соответствующей последовательности значений функции:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Таким образом, для двух разных сходящихся к нулю последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют разные пределы. Это означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует.
Геометрический смысл предела функции: соотношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от точки А. С этим связано второе определение предела. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х0, кроме, возможно, самой точки х0. Число А называется пределом функции в точке х0, если для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые удовлетворяют неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
выполняется неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это определение коротко можно записать так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрически это иллюстрируется следующим образом: число А является пределом функции f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если для произвольной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - окрестности точки А найдется Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность точки х0 такая, что когда значение аргумента х взять из множества Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то соответствующие значения функции f (x) будут лежать в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки А (рис. 4.30).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Первое определение предела базируется на понятии предела последовательности, поэтому его называют определением на «языке последовательностей», или определением предела по Гейне. Второе определение называют определением «на языке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач», или определением предела по Коши.
Можно показать [22], что эти определения эквивалентны.

Пример №93

Доказать, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть у = 3х + 2 и задано произвольное Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
отсюда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если теперь для произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и найденного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взять значения х, удовлетворяющие неравенству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В приведенных выше определениях предела  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  считалось,
что х стремится к  х0  произвольным способом: оставаясь меньше х0 (слева от х0), большим х0 (справа от х0) или колеблясь вокруг х0, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  приобретая значения то меньших, то больших чем х0 (то слева, то справа от х0), как амплитуда затухающих колебаний маятника. Однако случается, что способ приближения аргумента х  к х0 существенно влияет на значение предела. Поэтому целесообразно ввести понятие односторонних пределов.
Пусть функция у = f (х) (рис. 4.31) определена в некоторой окрестности точки х0. Число А называется пределом функции y = f (x) слева (или левым пределом) в точке х0, если для любого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  такое, что при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Число В называется пределом функции y = f (x) справа (или правым пределом) в точке х0, если для любого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  такое, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется  неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Левый и правый пределы (рис. 4.31) называют односторонними пределами и обозначают так:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если х0 = 0, то записывают 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция y = f (x)  определена на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то в точке а может иметь смысл только число f (а + 0), а в точке b — только число f (b – 0).
Условие f (х0 + 0) = f (х0 – 0) является необходимым и достаточным [10] для
существования предела у = f (x) в точке х0:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                               (4)

Примеры:

  1. Пусть f (x) = sign х (рис. 4.5), тогдаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (рис. 4.32), то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел функции при  x >  . Бесконечно большая функция

Предел функции при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Бесконечно большая функция:

Мы рассмотрели понятие предела функции в конечной точке х0. Исследуя функции, определенные на бесконечных промежутках, часто приходится изучать поведение этих функций при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента х, то есть при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть функция у = f (x) определена на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Число А называют пределом функции f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пишут 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  если для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > О существует такое число
М = М (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) > 0, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Коротко это определение можно записать так:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрический смысл этого определения такой (рис. 4.33): для произвольного
числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такое число М > 0, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  соответствующие значения функции f (x) попадают в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность точки А, то есть соответствующие точки графика этой функции
лежат в полосе, ограниченной прямыми у = А + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  у = А – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Зная содержание символов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  легко сформулировать
определение предела для случаев, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.34) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.35).
До сих пор рассматривались случаи, когда функция имела пределом некоторое
число. Рассмотрим теперь случай, когда пределом функции является бесконечность.
Функция у = f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется бесконечно большой (имеет предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если она определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, возможно, самой точки х0 и для произвольного числа М > 0 существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что для всех х, удовлетворяющих неравенству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Геометрически это значит: каким бы большим ни было задано число М > 0, точки графика функции у = f (x), кроме, возможно, точки (х0; f (х0), лежат снаружи полосы, ограниченной прямыми у = М и у = –М, если значение х взяты из Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки х0 (рис. 4.36).
Если f (x) стремится к бесконечности при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при этом приобретает
только положительные (рис. 4.37) или только отрицательные значения (рис. 4.38),
то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Функцию f (x), заданную на всей числовой прямой, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют бесконечно большой и пишут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если для произвольного числа М > 0 можно найти такое число N = N (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , выполняется  неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.39).

В частности, функция f(x) является бесконечно большой при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, всякая бесконечно большая функция в окрестности точки x0 является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Однако если функция
f (x) имеет конечный предел А при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то эта функция ограничена
при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Действительно, из определения (3) следует, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
а это и означает, что функция f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена. Когда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  будет ограниченной также функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная функция имеет конечный предел.

Пример №94

Доказать, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и задано произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Найдем число М (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Последнее неравенство будет выполняться, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №95

Доказать, что функция у = 2х2 при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно большой функцией.

Возьмем произвольное число М > 0 и найдем такое число N = N (М), что для всех х, удовлетворяющих неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция у = х3  стремится к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.40):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси. Но при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач она предела
не имеет.

Функция у = х sin х (рис. 4.41) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не ограничена,  но не является бесконечно большой, потому что она равна нулю при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но это означает, что для произвольного числа М > 0 нельзя найти такое число N, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Бесконечно малые величины и их свойства

Бесконечно малой величиной называется переменная величина, предел
которой равен нулю.
В частности, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) называется бесконечно малой величиной (или бесконечно малой функцией) при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Можно дать эквивалентное определение на «языке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач»: функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) называется бесконечно малой при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), если для произвольного
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 (М > 0) такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), выполняется неравенство
 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогичные определения бесконечно малой величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач + 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач – 0 и при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: во всех этих случаях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Примеры:

  1. Функция у = (х – 2)4 является бесконечно малой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.42).
  2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0 (рис. 4.43).

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых величин:

1°. Для того чтобы число А было пределом функции f (x) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо и достаточно, чтобы разница f (х) – А была бесконечно малой величиной, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это означает, что величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является бесконечно малой.

Наоборот, пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2°. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно малая величина при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
(Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0), то функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно большой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
и наоборот, если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно большая величина при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является бесконечно малой величиной при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 .

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является бесконечно малой величиной, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
то есть  функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно большой при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Аналогично доказывается обратное утверждение.

3°. Сумма конечного числа бесконечно малых величин является величиной
бесконечно малой.

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — бесконечно малые величины при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существуют числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 такие, что для всех значений х из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , а для значений х из из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ·
В меньшей из этих окрестностей выполняются оба неравенства:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Итак, в этой окружности
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
то есть сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двух бесконечно малых функций является функцией бесконечно малой.
Аналогичное доказательство для произвольного конечного числа бесконечно
малых. 

4°. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую является величиной бесконечно малой.

Пусть функция f (x) ограничена при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно мала. Тогда для некоторого числа М > 0 существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач> 0, что для значений х из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того, для любого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, что для всех значений х из окрестности 0 < Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Для меньшей из этих окрестностей есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
а это значит, что произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой
функцией.

5°. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, которая имеет отличный от нуля предел, является величиной бесконечно малой.

Доказательство этого свойства аналогично предыдущем.

Замечание. Частное от деления двух бесконечно малых величин в общем случае не является бесконечно малой величиной.
Величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = 2хВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х2 — бесконечно малые при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть предел отношения двух бесконечно малых величин может равняться какому-то числу, бесконечности или нулю. В связи с этим отношение двух бесконечно малых величин называют неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. То же касается произведения бесконечно малой величины на бесконечно большую величину. Такое произведение называется неопределенностью вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Основные теоремы о пределах

В предыдущих примерах мы видели, что нахождение пределов функции на основе определения достаточно громоздкое. Действительно, при вычислении
предела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сначала надо взять какую-нибудь сходящуюся к хпоследовательность {xn} значений аргумента и определить последовательность соответствующих значений функции (f {xn)}. Найдя число А =
= Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, еще надо убедиться, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольным способом.
Приведем теоремы, которые значительно облегчают нахождение предела функции. Формулировка и доказательство этих теорем для случаев, когда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , аналогичны.

Теорема 1 (о пределе суммы, произведения и частного). Если каждая из функций f (х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(x) имеет конечный предел в точке х0, то в этой точке существуют также пределы функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (последняя при условии, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и справедливы формулы

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                   (5)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                  (6)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                       (7)

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда по свойству 1° (п. 3.6)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Отсюда имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                       (8)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (9)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (10)

По свойствам и 3°–5° (п. 3.6) выражения в квадратных скобках являются величины бесконечно малые при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому, применив к равенствам
(8), (9), (10) еще раз свойство 1° бесконечно малых, получим соответственно формулы (5), (6), (7).

Заметим, что доказанная теорема верна для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций, которые имеют предел в точке.

Следствия. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует, то выполняются равенства:

  • 1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 2) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в частности,
  • 3) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №96

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя теорему о пределе суммы и  следствия 1) – 3), имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №97

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По теореме о пределе частного получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №98

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь теорему о пределе частного применить нельзя, так как Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 9) = 0. Кроме того, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач·
Разложим числитель и знаменатель на множители:
х2 – 5х + 6 = (х – 2) (х – 3),      х2 – 9 = (х – 3) (х + 3).
Поскольку при нахождении границы функций в точке х = 3 рассматриваются значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то данную дробь можно сократить на х – 3, поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №99

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому теорему о пределе применить нельзя. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (п. 3.6), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  как произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину, не являющуюся бесконечно малой.

Теорема 2 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точки x0, кроме, возможно, самой точки x0, определены функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и выполняются неравенства
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                              (11)
Тогда, если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеют в точке x0 один и тот же предел
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                  (12)
то такой ​​же предел имеет функция f (x):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенств (12) следует, что для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 существуют две окрестности точки x0 , в одной из которых выполняются неравенства
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  а в другой — неравенства  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из неравенств (11) находим, что 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому в меньшей из окрестностей
выполняется неравенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.44).
Отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то есть   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3 (о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки x0, кроме, возможно, самой точки x0, выполняется неравенство  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  существует предел  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предположим, что b < 0, тогда при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  А это противоречит условию теоремы. Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие.  Если в некоторой окрестности точки x0, кроме, возможно, самой точки x0, выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и существуют пределы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4 (о пределе монотонной функции). Если функция f (x) монотонна и ограничена при х < x0 или при х > x, то существует соответственно ее левый предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или его правый предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство этой теоремы дано, например, в [29].

Пример №100

Доказать, что: а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    в) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Обозначим через х радианную меру центрального угла окружности радиуса (рис. 4.45). Если х > О, то ОА = l, АС = sin х,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = х,  0 < sin x < х. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то из теоремы 2   следует, чтоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Если х < 0, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Итак,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач0 ,
то   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
в) Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Вычисления пределов функций

Решение пределов является достаточно обширным, так как существуют десятки приемов решений пределов различных видов.

Первый важный предел

Докажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                         (13)

Возьмем круг радиуса l (рис. 4.46) и обозначим радианную меру угла AOD через х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Сравнивая площади треугольников AOD, BOD и кругового сектора AOD, получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разделив последнее неравенства на  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то по теореме 2 (п. 3.7)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                             (14)
Пусть теперь х < О. Рассмотрим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.47). Поскольку f (x) = f (–х), то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач             (15)

Из равенств (14) и (15) получим формулу (13), которая достаточно часто используется при вычислении пределов. Поэтому ее называют первым
важным пределом.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №101

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сведем этот предел к первому важному пределу, поделив и умножив дробь на k:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №102

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №103

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №104

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем новую переменную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число е. Натуральные логарифмы

Рассмотрим две числовые последовательности:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Покажем, что они имеют такие свойства:

  • 1) xn < у, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  • 2) переменная xn строго возрастает;
  • 3) переменная устрого убывает.

Действительно, поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то свойство 1) справедливо.
Свойства 2) и 3) доказываются с помощью неравенства Коши:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Применим это неравенство к числовому множеству, содержащему число 1, а также n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда и следует свойство 2).
Аналогично для доказательства утверждения 3) достаточно применить неравенство Коши к числовому множеству, содержащему 1 и n чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , где
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из свойств 1) – 3) имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, переменная xn  возрастает и ограничена сверху. Поэтому по теореме 4
(п. 3.7) она имеет предел, который обозначают буквой е (это обозначение, как и обозначение числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежит Л. Эйлеру):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Переменная уn  убывает и ограничена снизу, поэтому предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также существует. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
причем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказано, что е — иррациональное число. Более того, Ш. Эрмит доказал, что е — трансцендентное число, то есть не является корнем никакого алгебраического
уравнения с целыми коэффициентами. Его приближенное значение с точностью до 10-15 равно  +2,718281828459045.
Число е широко используется в математике и ее приложениях. В частности, показательная функция у = ех по основанию е играет важную роль в теории механических колебаний, в электротехнике и радиотехнике. Эту функцию называют также экспоненциальной функцией, или экспонентой (от английского exponential — показательное), и обозначают так: у = ехр х.
Довольно часто приходится встречаться с логарифмами по основанию е. Как известно, функция у = loga х определяется, если а > 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В частности, если а = 10, то у называется десятичным логарифмом числа х и обозначается lg х. Десятичные логарифмы были введены Г. Бриггсом. Если а = е, то у называется натуральным, или неперовым (в честь шотландского математика Дж. Непера — изобретателя логарифмов) логарифмом числа х и обозначается ln х.
В высшей математике применяют в основном натуральные логарифмы, поскольку для них, как увидим дальше, значительно упрощается ряд формул.
Найдем связь между десятичными и натуральными логарифмами. Пусть у = ln х, тогда х = еу. Логарифмируя это равенство по основанию а, получим logа х = у logае, откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Число М = logае называют модулем перехода от натуральных логарифмов
к логарифмам с основанием а. В частности, при а = 10 имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, связь между десятичными и натуральными логарифмами выражается
формулами
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Графики функций у = lg х  и  у = ln х  изображены на рис. 4.48.

Второй важный предел

Докажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (17)
Сначала покажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (18)
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому справедливы
неравенства
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.   (19)
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому по формуле (16) имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Применив к неравенству (19) теорему 2 (п. 3.7), получим формулу (18). Теперь докажем, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                (20)
Пусть х < 1. Введем переменную у = –х, тогда

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Объединив случаи (18) и (20), получим формулу (17). Положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                                 (21)
Равенства и (17) и (21) называют вторым важным пределом и широко используют
при вычислении пределов. График функции у =Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпоказан на рис. 4.49.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Замечание. При вычислении пределов, связанных с числом е, часто применяют следующее утверждение: если существуют пределы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существует также предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который вычисляется по формуле
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .                                         (22)

Пример №105

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Воспользуемся равенствами (17) (22). Имеем:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №106

Найти
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Воспользовавшись равенствами (13), (21) и (22), получимВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №107

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №108

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №109

Многие химические реакции и процессы проходят так, что в каждый момент времени t скорость образования некоторого вещества пропорциональна количеству этого вещества в заданный момент времени. Найти закон, по которому происходит образование вещества.

Пусть m0 — количество вещества в момент времени t = 0 (то есть начальное количество вещества). Промежуток времени (0; t) разобьем на n мелких промежутков:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если считать, что в течение каждого из этих малых промежутков времени скорость реакции постоянна, то количества вещества в моменты времени
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
соответственно равно

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где k — заданный коэффициент пропорциональности. Но по условию задачи процесс образования вещества происходит непрерывно. Поэтому, чтобы найти точную формулу, надо допустить, что число мелких промежутков неограниченно растет, а их продолжительность стремится к нулю. Отсюда для количества вещества m в произвольный момент времени t получим формулу

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть закон, по которому происходит образование вещества. Он встречается при исследовании таких процессов, как распад радия, размножение бактерий и тому подобное.

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью исследования их отношения. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно малые функции при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Введем следующие обозначения:

1) функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называются бесконечно малыми одного порядка при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2} функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называется бесконечно малой высшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называется бесконечно малой низшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называется бесконечно малой k-го порядка относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) бесконечно малые функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) называются несравнимыми при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если в точке x0 не существует предела их отношения.

Введенные определения охватывают все случаи, которые могут произойти
при сравнении двух бесконечно малых функций в окрестности точки x0 . Точно такие же правила сравнения бесконечно малых при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Аналогично сравниваются бесконечно большие величины.

Примеры:

1. Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = sin 5x бесконечно малые одного порядка при
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , потому что 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х2  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой высшего порядка, чем функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = tg х, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = tg х  при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой низшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х2.

3. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = 1 – cos 4х при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой второго порядка относительно функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Бесконечно малые функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = х и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач несравнимы при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
не существует (см. п. 3.5).

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х), бесконечно малые при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, называются эквивалентными бесконечно малыми, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Эквивалентность обозначается так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим некоторые свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема 1. Бесконечно малые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) эквивалентны при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х).

Пусть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой высшего порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) .
Пусть теперь, наоборот, известно, что разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) – Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является бесконечно малой более высокого порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) и чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х),  то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
 
Если 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Teopeмa 2. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ели существует  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то существует и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , и эти пределы равны между собой.

Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта теорема позволяет при нахождении предела отношения двух заданных бесконечно малых функций каждую из них (или только одну) заменять другой бесконечной малой, эквивалентной заданной. Часто встречаются, например, такие эквивалентные бесконечно малые величины [12]:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отметим, что эти эквивалентности достаточно просто получить с помощью
правила Лопиталя.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных
порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №110

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по теореме 2 получимВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №111

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтомуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №112

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №113

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

По теореме 3 имеем при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскрытие некоторых неопределенностей

Как уже указывалось, в простейших случаях нахождения предела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сводится к подстановке в функцию f (x) предельного значение аргумента x0. Но часто такая подстановка приводит к неопределенным выражениям. Это такие выражения:

  1. отношение двух бесконечно больших величин — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  2. разность двух бесконечно больших величин — неопределенность видаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  3. произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  4. отношение двух бесконечно малых величин — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  5. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  6. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
  7. если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (это не единица в определенной степени, а символ для сокращенного обозначения предела выражения f, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Операцию нахождения предела в этих случаях называют раскрытием неопределенности.
Общий способ раскрытия неопределенностей, здесь рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим числитель и знаменатель дроби на х4:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Примененный прием является общим: чтобы раскрыть неопределенность
вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень х в этих многочленах.

2. Неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач· Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители:
х3 + 2хх – 2 = (х – 1) (х2 + 3 + 2);   х+ Зх – 4 = (х – l) (х + 4).
Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это тоже общий прием. Сокращение на х – 1 здесь возможно, поэтому что при определении предела  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Множитель хх0, через который числитель и знаменатель стремятся к нулю, иногда называют критическим множителем.
Таким образом, чтобы раскрыть неопределенность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданную отношением
двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь. Если при этом разложение на множители окажется затрудненным, то надо разделить числитель и знаменатель на критический множитель «в столбик».

Пример:

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем неопределенность вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку эта неопределенность задается отношением двух многочленов, то числитель и знаменатель надо разделить на критический множитель х + 1. Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

3. Неопределенность вида  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  задана иррациональными выражениями.

Примеры:

1. Найти  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Здесь неопределенность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, х – 2  — критический множитель. Избавимся от иррациональности в числителе. Имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Иногда от иррациональности можно избавиться введением новой переменной.

Пример:

Найти:
а)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Введем переменную у3 = 8 + х2 . Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
б) Пусть у= х + 1, тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Этот же результат получим из эквивалентности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Неопределенности вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданы иррациональными выражениями.

Пример:
Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Неопределенности вида  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданы выражениями, содержащими тригонометрические функции,  чacто раскрываются с помощью первого важного предела.

Пример:
Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. При раскрытии неопределенности вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используют второй важный предел.

Примеры:

Найти

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Непрерывность функции

С понятием предела тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции.
Рассмотрим графики функций f (x) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x) (рис.4.50). Чем отличаются эти графики? Недвусмысленный и четкий ответ на этот вопрос дать не так просто. Можно сказать, что графиком функции f (x) является сплошная кривая (рис. 4.50, а), а функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — не сплошная (рис. 4.50, б). График функции f (x) можно провести, не отрывая карандаш от бумаги, а функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — нельзя; при постепенном изменении аргумента х значение функции f (x) также изменяется постепенно, а значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) — не постепенно, в точке х0 происходит
скачок. Все эти ответы правильные, но недостаточно четкие для математических формулировок. Даже если бы какая-то из них нас удовлетворила, то как ответить на такой вопрос: «сплошной» или «разрывный» график функции, заданной, скажем, формулой? Построение графика «по точкам»
не поможет, потому что особую точку х0 можно случайно пропустить (рис. 4.50, б).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Понятно, что характер графиков функций f (x) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) в точке х0 разный. Говорят, что функция f (x) в точке х0 непрерывная, а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) в точке х0 разрывная. Переходим к четким определениям.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f (x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки.
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0 , если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                          (23)
Если сравнить это определение с определением предела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  то при определении предела функции число х0 могло и не принадлежать области определения функции, а если число х0 принадлежало области определения, то значение функции f (х0) в этой точке могло и не совпадать с пределом А.
Таким образом, функция f (x) будет непрерывной в точке х0 тогда только тогда, когда выполняются следующие условия:

  • 1) функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки;
  • 2) существует предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 3) предел функции f (x) в точке х0 и значение функции в этой точке хсовпадают, то есть выполняется равенство (23).

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   то формулу (23) можно записать в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                 (24)
Формула (24) выражает правило предельного перехода: при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f (x) вместо аргумента х  подставить значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Геометрический смысл понятия непрерывности соответствует геометрическому смыслу предела (23): точки графика функции у = f (х) сколь угодно близкие к точке (х0; f (х0), если их абсциссы достаточно мало отличаются от числа х0 (рис. 4.50, а).
«На языке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач» непрерывность иллюстрируется на рис. 4.30, где число
A = f (х0).
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь
на понятие приращения аргумента и функции.
Пусть числа х0 и х принадлежат области определения функции у = f (х). Разница х х0 называется приращением аргумента в точке х0 и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ("дельта х"):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разница соответствующих значений функции f (х) – f (х0) называется приращением функции в точке х0 и обозначается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть положительным или отрицательным числом, приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольное число. Запишем равенство (23) в новых обозначениях, для чего перенесем в ней значение f (х0) в левую часть и внесем его под знак предела. Поскольку условия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  одинаковы, то равенство (23) принимает вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                          (25)

Равенство (25) и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.
Функция f (x), определенная в окрестности точки х0, называется непрерывной
в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Часто встречается понятие односторонней непрерывности. Функция f (x) называется непрерывной в точке хслева, если она определена на полуинтервале (х0Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; х0], где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если функция f (x) определена на полуинтервале  [х0; х0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач f (х0), то функция называется непрерывной в точке х0 справа.
Используя эти понятия и формулы (4), можно сказать, что функция f (x) будет непрерывной в точке х0 тогда и только тогда, когда она определена в некоторой окрестности точки х0 и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (26)
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется
разрывной в точке х0, а сама точка х0 называется точкой разрыва функции.

Различают следующие виды разрывов. Если для функции f (x) существуют
конечные пределы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
причем не все числа f (х0), f (х0 – 0), f (х0 + 0) равны между собой, то разрыв в точке х0 называют разрывом первого рода, точку х0точкой разрыва первого рода. В частности, если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то разрыв в точке х0 называют устранимым, а точку х0точкой устранимого
разрыва
. В этом случае достаточно доопределить функцию только в одной точке х0, положив f (х0) = f (х0 ± 0), чтобы получить функцию, непрерывную в точке х0.

Величину   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют скачком функции.
Если хотя бы один из односторонних пределов в формуле (26) не существует
или равен бесконечности, то разрыв в точке х0 называется разрывом второго рода, а сама точка х0точкой разрыва второго рода.

Примеры:

1. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.47) не определена в точке х = 0, но имеет в этой точке предел, поэтому х = 0 — точка устранимого разрыва; достаточно положить  f (0) = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, чтобы функция стала непрерывной. Следовательно, функция
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
является непрерывной в точке х = 0.

2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке х = 1 будет непрерывной (рис. 4.51),
потому что функция определена в точке х = 1 в любом окрестности этой точки. Кроме того,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет в точке х = 2 (рис. 4. 52) разрыв первого рода: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Скачок функции в точке х = 2 равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Функция у = Е (х) (рис. 4.8) имеет множество точек разрыва первого рода.

5. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.29) в точке х = 0 имеет разрыв второго рода, потому
что ни один из односторонних пределов в этой точке не существует.

6. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.53) в точке х = 1 имеет разрыв второго рода, потому что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

7. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывная в точках х = ± 1, так как в этих точках она
не определена. Поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то х = ± 1 — точки разрыва второго рода (рис. 4.54).

8. Исследовать на непрерывность функцию  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в точке х = –1.
Функция не определена в точке х = –1, поэтому функция в этой точке разрывная.
Чтобы определить характер разрыва, найдем пределы слева и справа:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, точка х = –1 является точкой разрыва второго рода (рис. 4.55).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

9. Доказать, что функция f (х) = х3 непрерывна в любой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Воспользуемся вторым определением непрерывности. Для произвольных значений х0  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно доказать, что каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных
функций

Теорема 1. Если функции f (х)  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывными являются функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                           (27)
(последняя при условии, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х0) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0).

Поскольку непрерывные в точке х0 функции f (x) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x) имеют пределы, равные f (х0) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0), то по теореме 1 (п. 3.7) пределы функций (27) существуют и соответственно равны f (х0) ± Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х0), f(х0) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х0), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но эти величины равны значениям соответствующих функций. Следовательно, функции (27) по первому определению непрерывности являются непрерывными в точке х0.

Доказанная теорема справедлива для алгебраической суммы и произведения
произвольного конечного числа непрерывных в точке х0 функций.

Теорема 2. Если функция u = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х) непрерывна в точке х0, а функция у = f (u) непрерывна в точке u0 = f (х0), то составная функция у = f (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)) непрерывна в точке х0.

Для доказательства теоремы достаточно установить, что
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку функция u = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х)  по условию непрерывна в точке х0, то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому вследствие непрерывности функции f (u)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как известно (п. 2.4), элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций основных элементарных функций.

Поскольку основные элементарные функции непрерывные во всех точках,
в которых они определены, то из теорем 1 и 2 следует следующая теорема.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Если функция непрерывна в каждой точке интервала (а, b), то она называется непрерывной на этом интервале.
Функция называется непрерывной на отрезке [а; b], если она непрерывна на интервале (а; b) и, кроме того, непрерывная справа в точке а и слева в точке b.

Примеры:

  • 1. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 4.52) непрерывна на промежутках (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2)  [2; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). В точке х = 2 она непрерывна справа.
  • 2. Функция у = [х] (рис. 4.8) непрерывна на каждом из промежутков [n; n + 1), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В точках х = n она непрерывна справа.
  • 3. Функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывная на отрезке [–1; 1]. В точке х = –1 она непрерывная справа, а в точке х = 1 — слева.

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.
Сформулируем некоторые из них без доказательства [12].

Теорема 1. (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [а; b] и на его концах имеет значения различных знаков, то внутри отрезка [а; b] найдется хотя бы одна точка х = с, в которой функция равна нулю:       f (с) = 0,  а < с < b.
Геометрический смысл этой теоремы такой (рис. 4.56): непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости в другую, границей между которыми является ось Ох, пересекает эту ось.
Теорема 1 применяется при решении уравнений и лежит в основе так называемого метода половинного деления (его называют также методом «вилки»).

Пример №114

Доказать, что на отрезке [0; 1] уравнение х4 + х3 – 1 = 0 имеет корень, найти его
с точностью до 0,1.
Пусть f (х) = х4 + х3 – 1. Эта функция непрерывна на всей числовой оси, а следовательно, и на отрезке [0; 1]. Поскольку f (0) = –1 < 0, f (1) = 1 > 0, то по теореме
1 данное уравнение на отрезке [0; 1] имеет корень. Точкой х1 = 0,5 делим отрезок [0; 1] пополам и находим f (0,5) = –0,81. Поскольку f (1) = 1, то корень лежит на отрезке [0,5; 1].
Точкой х2 = 0,75 делим отрезок [0,5; 1] пополам и находим f (0,75) = –0,12; следовательно, корень находится на отрезке [0,75; 1].
Точкой х3 = 0,875 делим отрезок [0,75; 1] пополам. Поскольку f (0,875) = 0,27 > 0, а f(0,75) < 0, то корень находится на отрезке [0,75; 0,875]. При этом
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому, если за корень уравнения взять произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач [0,75; 0,875],  то это число будет корнем с точностью до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Следующая точка разделения  х4 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (0, 75 + 0,875) = 0,8125, будет корнем с точностью до  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, с точностью до 0,1 корнем данного уравнения является число 0,81.
Продолжая этот процесс, можно найти корень с любой наперед заданной
точностью.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна
на отрезке [а; b] и приобретает, на его концах различные значения: f (а) = А, f (b) = В, А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В. Тогда для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется такое число
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому приобретает также все промежуточные значения.
Смысл теоремы 2 иллюстрируется на рис. 4.57.
Отметим, что теорему 1 можно рассматривать как частный случай теоремы 2: если А и В противоположны по знаку, то число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет лежать между числами А и В.

Теорема 3 (Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [а; b], то среди ее значений на этом отрезке существует наименьшее и наибольшее.
Итак, непрерывная на отрезке [а; b] функция f (x) достигает на этом отрезке наибольшее значение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и наименьшее значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.58).

Дифференциальное исчисление функций с одной переменной

Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором рассматривается исследование функций с помощью производных и дифференциалов.
Некоторые задачи дифференциального исчисления решены еще в древности.
Так, Евклид решил задачу о параллелограмме наибольшей площади, который можно вписать в данный треугольник; Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя, а Аполлоний — касательную к эллипсу, гиперболе и параболе.
Общие методы дифференциального исчисления разработаны Ньютоном и Лейбницем в конце 17 в., но только в 19 в. Коши обосновал эти методы на основе теории пределов.

Производная

Центральное понятие дифференциального исчисления — производная — широко используется при решении многих задач по математике, физике и другим наукам, а также при изучении различных процессов. Если ход того или иного процесса описывается некоторой функцией, то исследование данного процесса сводится к изучению свойств этой функции и ее производной.

Задачи, которые приводят к понятию производной

1. Задача о скорости прямолинейного движения. Пусть материальная точка движется неравномерно вдоль некоторой прямой (рис. 5.1) и за время t проходит расстояние S, равное отрезку ОМ. Тогда разным моментам времени t будут соответствовать различные положения точки М, то есть расстояние S движущейся точки М является некоторой функцией времени tS = S (t)). Нужно найти скорость движения точки М.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть с момента t  прошло некоторое время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач> 0 — приращение времени). За время М подвижная точка перейдет в положение М1 и пройдет путь, который обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — приращение пути, равное отрезку ММ1). Следовательно, за время  t + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальная точка пройдет путь S (t) + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = S (t + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = S (t + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) – S (t).
Средней скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач движения точки за промежуток времени [t; t +Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач]
называют отношение приращения пути к приращению времени;
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Средняя скорость зависит от значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем чем меньше промежуток Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после момента времени t, тем точнее средняя скорость отражает скорость движения точки в данный момент времени t. Истинную же (мгновенную) скорость движения точки получим как предел, к которому следует средняя скорость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этот предел называют скоростью движения точки в момент времени (или мгновенной скоростью) и обозначают
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                         (1)

Пример №115

Найти среднюю Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  мгновенную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорости точки, движущейся равномерно
ускоренно с ускорением а и с нулевой начальной скоростью.

Из курса физики известно, что для данного случая закон движения выражается формулой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Найдем приращение пути Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее имеем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач      Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №116

Пусть закон движения точки выражается формулой S = t3 + Зt + 1, где S измеряется в метрах. Найти среднюю скорость движения на промежутке времени от t0 = 1 с до t1 = 5 с и от t0 до t2 = 2 с и скорость в момент времени t0 = 1 с.

Найдем приращение пути Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач за промежуток времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Средняя скорость за время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Промежуток времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = t1t0 = 5 – 1 = 4 с, поэтому
Vс = 3 (12 + 1) + 3 · 1 · 4 + 42 = 34 м/с.
Промежуток времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = t2 – t0 = 2 – 1 = 1 с, поэтому
Vc = 3 (12 + 1) + 3 · 1 · 1 + 12 = 10 м/с.
Найдем мгновенную скорость в любой момент времени t:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В частности, при t0 = 1 с имеем:
V = 3 (12 + 1) = 6 м/с.

2. Задача о плотности неоднородного стержня. Рассмотрим тонкий прямолинейный неоднородной стержень длины l (рис. 5.2) и разместим его на оси Ох так, чтобы левый конец стержня совпадал с началом координат (материальное тело называется неоднородным, если его плотность не является постоянной, а изменяется от точки к точке). Обозначим через m массу стержня между точками О и М с координатами 0 и х. Поскольку масса отрезка ОМ зависит от его длины, то является функцией от х:
m = m (х).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Необходимо найти плотность стержня в точке М. Как и в предыдущей задаче
кроме точки М возьмем еще точку М1 с координатой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — приращение
длины х) и обозначим через  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  массу отрезка ОМ(Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — приращение массы, равное массе отрезка ММ1):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отрезок стержня между точками М и М1 имеет длину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и массу
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Средней плотностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  стержня на отрезке [х;  х +Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач] называют отношение приращения массы к приращению длины:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Предел средней плотности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют линейной плотностью
стержня в точке х
и обозначают

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (2)

3. Задача о силе тока. Пусть Q = Q (t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, надо найти силу тока в момент времени t. Средней силой тока Iс за промежуток времени [t; t + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач] называют отношение приращения количества электричества к приращению времени:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Предел средней силы тока Iс при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть сила тока в момент времени t:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                          (3)

4. Задача о теплоемкости. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество теплоты, которую получает тело при нагревании его до температуры Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Нужно найти теплоемкость тела при температуре Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Средней теплоемкостью  Сс  тела на промежутке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют
отношение приращения теплоты к приращению температуры:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Предел средней теплоемкости Сс при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют теплоемкостью тела при температуре Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                         (4)

5. Задача о скорости химической реакции. Пусть N = N (t) количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t. Нужно найти скорость реакции. Средней скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции за промежуток времени [t; t +Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач] называют отношение приращения количества вещества к приращению времени:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Предел средней скорости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является скоростью реакции
в момент времени t:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                     (5)

6. Задача о касательной к кривой. Известно, что касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью одну общую точку. Это определение
касательной нельзя применить к незамкнутым кривым. Действительно, парабола у = х2 имеет с осью Оу только одну общую точку (0; 0), но прямая x = 0 не является касательной к этой параболе в указанной точке. С другой стороны, прямая у = 1 имеет множество общих точек с кривой у = sin х и является
касательной к этой кривой.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дадим общее определение касательной. Рассмотрим кривую L и на ней точки М, М1 (рис. 5.3). Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка М1, двигаясь вдоль кривой, приближается к точке М. Тогда секущая ММ1 будет вращаться вокруг точки М, а длина отрезка ММстремится к нулю.
Если при этом и величина угла М1МТ стремится к нулю, то прямую МТ  называют предельным положением секущей ММ1.
Прямую МТ, которая является предельным положением секущей ММ1, называют
касательной к кривой L в точке М.
Из этого определения следует, что существование касательной не зависит от того, с какой стороны точка М1 стремится к точке М. В любом случае секущая ММ1 должны стремиться к одной и той же прямой МТ.
Если секущая ММ1 стремится к различным прямых (рис. 5.4) или вообще не стремится ни к какой прямой, то считают, что в точке М касательной не существует.
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай, когда кривая в прямоугольной системе координат (рис. 5.5) задана уравнением у = f (х) и имеет в точке М (х; у) не вертикальную касательную. Рассмотрим задачу о нахождении углового коэффициента этой касательной. Дадим аргументу х приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , тогда значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут соответствовать значения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = f (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и точка М1 (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; у + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) на кривой.
Проведем секущую ММ1 и обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол, образованный этой секущей
с положительным направлением оси Ох. Из графика видно, что угловой коэффициент секущей ММ1 равен

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка М1  стремится  к точке М вдоль кривой y = f (x), а секущая ММ1, поворачиваясь вокруг точки М, переходит в касательную МТ. Угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом стремится к некоторому предельному значению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Следовательно, угловой коэффициент касательной равен

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (6)

Рассмотренные задачи, несмотря на различное содержание, приводят нас к нахождению предела (1) – (6) одного и того же вида — предела отношения приращения функции к приращению аргумента.
Эту границу в математике называют производной. Переходим к точному определению.

Определение производной. Механический, физический и геометрический
смысл производной

Пусть на некотором промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  задана функция у = f (х). Возьмем любую точку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и дадим х произвольное приращениеВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, чтобы точка х + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также принадлежала промежутку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем приращение функции: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производной функции у = f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этой точке к приращению аргумента Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производная функции у = f (x) в точке х обозначается одним из таких
символов:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, по определению

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                        (7)
Если в некоторой точке х  предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то производную f '(x) в этой точке называют бесконечной.
Если предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в некоторой точке х не существует, то не существует в этой точке и производной f '(х).
Значение производной функции у = f (x) в точке х = х0 обозначается одним из таких символов:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из определения производной следует такой способ ее нахождения. Чтобы найти производную функции у = f (x) в некоторой точке х, надо:
1) придать значению х произвольное приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и найти соответствующее
приращение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ;
2) найти отношение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) найти предел этого отношения:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если этот предел существует, то он и равен производной f '(х).
Операция нахождения производной от функции f (x) называется дифференцированием этой функции.

Пример №117

Найти производную функции у = х2:  а) в произвольной точке х;  б) в точке х = 5.

а) Дадим аргументу х приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислим приращение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, (х2)'= 2х.
6) Подставив в общее выражение для производной значение х = 5, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №118

Доказать, что функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем произвольную точку х и дадим ей приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда функция будет иметь приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Применяя к выражению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач формулу бинома Ньютона
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   (8)
при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдя в последнем равенстве к пределу при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (9)
Пользуясь определением производной, решения задач 1–6 п. 1.1 можно толковать так.

1. Скорость в данный момент времени — это производная от пройденного пути S (t) по времени t:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это механический смысл производной. Обобщая, можно сказать: если функция у = f (x) описывает некоторый физический процесс, то производная  у '= ' (х) является скоростью изменения этого процесса. В этом заключается физический
смысл
производной. Иначе говоря, какую бы зависимость не отражала функция  у = f (х), отношение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать как среднюю скорость изменения функции относительно аргумента х, а производную f '(х) — мгновенную скорость изменения функции.

2. Линейная плотность неоднородного стержня — это производная от массы
m (х) по длине х: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Сила тока — это производная от количества электричества Q (t) по времени t : I = Q '(t).

4. Теплоемкость — это производная от количества теnлоты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по температуре
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Скорость химической реакции — это производная от количества вещества N (t), вступившего в реакцию, по времени tВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. Угловой коэффициент касательной к кривой у = f (x) в точке М0 (х0; у0) или тангенс угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.6),  образованный касательной к кривой в данной точке с положительным направлением оси Ох, — это производная f '(х0)  в этой точке:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В этом состоит геометрический смысл производной.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем уравнение касательной. Поскольку касательная проходит через точку М0 (х0; у0) в направлении, которое определяется углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, положив в формуле (9)  k = f '(х0), имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                       (10)
Уравнение (10) называется уравнением касательной к кривой у = f (x) в точке М0 (х0; у0).
В частности, если функция в точке М0 имеет бесконечную производную, то касательная в этой точке параллельна оси Оу, а ее уравнение следующее: х = х0.

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно к касательной.
Поскольку угловые коэффициенты касательной и нормали связаны между собой
условием перпендикулярности (24),, то уравнение нормали к кривой у = f (x) в точке М0 (х0; у0) имеет вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (11)
С помощью уравнения (10) можно найти длину отрезка АМ0  (рис. 5.6), которая называется длиной отрезка касательной (как расстояние между точками М0 и С), и длину отрезка АВ, которая называется подкасательной (как расстояние между точками А и В). Аналогично с помощью уравнения (11) находят длину отрезка нормали М0С и поднормали ВС. Эти отрезки часто встречаются в задачах.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем некоторые утверждения, которые вытекают из геометрического смысла производной. 
Пусть на интервале (а, b) задано (рис. 5.7) непрерывную функцию f (х). Если производная  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  положительная, то касательная к графику функции f (x) в точке (х1; f (х1)) образует с осью Ох острый угол. Если производная   f '(х2) = 0, то касательная в точке (х2; f (х2)) параллельна оси Ох: если производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то касательной к графику в точке (х3; f (х3)) образует с осью Ох тупой угол; если производная f '(х4) не существует, то в точке (х4; f (х4)) не существует и касательной, то есть график в этой точке имеет излом (говорят также, что график имеет угловую точку); если производная f '(х5) равна бесконечности, то касательная в соответствующей точке графика параллельна оси Оу. Справедливо и обратные утверждения. Например, если касательная к графику функции у = f (x) в точке (х1; f (х1)) образует с осью Ох острый угол, то f '(x1) > 0; если касательная к графику в точке (х2; f (х2)) параллельна оси Ох, то f '(х2) = 0 и т. д.
Такая связь между производной и касательной, как и связь между производной
и скоростью, помогает интуитивному восприятию многих математических
фактов.

Пример №119

Составить уравнение касательной и нормали к кривой у = хЗ в точке А (2; 8). Найти длины отрезка касательной и поднормали в этой точке.

По формуле (9) при n = 3 имеем у '= (хЗ)' = Зх2, откуда f '(2) = 12.
Положив в формулах (10) и (11) х0 = 2, у0 = 8, f '(х0) = 12, получим уравнение касательной (рис. 5.8)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
и уравнение нормали

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Длину отрезка АВ касательной найдем как расстояние между точками А и В. Координаты точки В определим из системы уравнений у = 12– 16; у = 0 (точка пересечения касательной и оси Ох). Имеем А (2; 8), В Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому длина отрезка касательной
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Положив в уравнении нормали у = 0, найдем xD = 98. Поскольку хС = хА = 2,
то поднормаль CD = 96.

Пример №120

Найти углы между параболами у = х2, у = x3 в точках их пересечения.

Решая систему уравнений у = х2;у = x3,  найдем точки О (0; 0) и А (1; 1) пересечения данных кривых.
По формуле (9)                     Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отметим, что углом между кривыми в точке их пересечения считают (по определению) угол между касательными к данным кривым в этой точке. Поскольку при х = 0 эти производные одинаковы (равны нулю), то это означает, что в точке О (0; 0) касательные имеют одинаковые угловые коэффициенты, то есть параболы у = х2  и  у = x3  в точке О (0; 0) имеют одну и ту же касательную, поэтому угол между кривыми в этой точке равен нулю. Этот же результат получим, когда в формуле (9)  положим k1 = k2 = 0.
Найдем угловые коэффициенты касательных к данным кривым в точке А (1; 1). Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графическое дифференцирование

Приведем еще одно применение геометрического смысла производной.
Графическим дифференцированием называется приближенное построение
графика производной у '= f ' (x) по данному графику функции у = f (х).
Пусть задан график функции у = f (x),   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.9).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Разобьем отрезок [а; b] точками х0 = а < х1х2 < ··· < хn-1 < хn = b на n частей и обозначим соответствующие им точки М0, М1, М2, ...,  Мn-1, Мn графика. В каждой из этих точек проведем касательную. Через точку А (–1; 0) проведем параллельные этим касательным прямые до пересечения с осью Оу в точках B0, B1, B2, ...,  Bn-1, Bn  ,  тогда

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно,  например из Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем через точку B1  прямую, параллельную оси  Ох, а через М1 — прямую, параллельную оси Оу. Точка N1 их пересечения принадлежит графику
производной у = f '(x), поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично находят точки N0, N2, ...,  Nn . Соединив плавной линией все эти точки, получим приближенный график производной у '= f ' (х). Этот график тем точнее, чем больше число n разделения отрезка [а; b] на части.

Некоторые применения частных производных

В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл
дифференциала функции двух переменных

Пусть задана поверхность
F (x, y, z) = 0.                                                                      (23)
Точка М0 (х0; у0; z0) принадлежит этой поверхности, и функция F (x, y, z) дифференцируема в точке М0, причем не все частные производные в точке Мравны нулю, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим произвольную кривую L, которая проходит через точку М0, лежит
на поверхности (23) и задается уравнением
х = х (t),  у = у (t),  z = z (t),
где точке М0 соответствует параметр t0.
Поскольку кривая лежит на поверхности, то координаты ее точек удовлетворяют уравнение (23):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                     (24)
Дифференцируя равенство (24), имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                               (25)
Это равенство показывает, что векторы (рис. 6.10)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
ортогональны, причем второй из них есть направляющим вектором касательной
к кривой L в точке М0 .
Кроме того, из равенства (25) следует, что касательные ко всем кривым, которые проходят через точку М0 и лежат на поверхности (23), ортогональны к одному и тому же вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда все эти касательные лежат в одной и той же плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке М0.
Найдем уравнение касательной плоскости. Поскольку эта плоскость проходит через точку М0 перпендикулярно вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то ее уравнение имеет вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач               (26)

Нормалью к поверхности в точке М0 называют прямую, проходящую через точку М0 перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Поскольку нормаль проходит через точку М0 и имеет направляющий вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то канонические уравнения нормали имеют следующий вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                        (27)
Если уравнение поверхности задано в явной форме z = f (x, y), то, положив F (x, y, z) = f (x, y) – z = 0, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
тогда уравнение (26) и (27) примут вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                 (28)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                            (29)
Выясним геометрический смысл полного дифференциала функции z = f (x, y). Если в формуле (28) положить хх0 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач у – у0 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,
то эта формула запишется в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Правая часть этого равенства является полным дифференциалом функции z = f (x, y) в точке (х0; у0 ), поэтому  zz0 = dz.
Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке (х0; у0 )равен приращению аппликаты точки на касательной плоскости к поверхности в точке М0 (х0; у0; f (х0у0)), если от точки (х0; у0) перейти к точке (х0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; у0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) (рис. 6.11).

Замечание 1. Мы рассмотрели случай, когда функция (19) дифференцируема в точке М0  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если эти условия не выполняются в некоторой точке (ее называют особенной), то касательная и нормаль в такой точке могут не существовать.

Замечание 2. Если поверхность (23) является поверхностью уровня для
некоторой функции u = u (x, y, z), то есть F (x, y, z) = u (x, y, z) – с = 0,
то вектор
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
будет направляющим вектором нормали к этой поверхности уровня.

Пример №121

Написать уравнения нормали и касательной плоскости эллипсоида 2х2+у2 + z2= = 15 в точке М0 (1; 2; 3).

Воспользуемся уравнениями (26) и (27). Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, искомые уравнения нормали и касательной плоскости имеют вид
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №122

Написать уравнение нормали и касательной плоскости к параболоиду zх2+у2  в точке М0 (1; –2; 5).

Воспользуемся формулами (28) и (29). Имеем:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  — уравнение нормали,  2х – 4уz – 5 = 0 – уравнение касательной плоскости.

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Область пространства, каждой точке М которой поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины u (М), называют скалярным полем. Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция u (М) вместе с областью ее определения.
Примерами скалярных полей являются поле температуры данного тела, поле плотности данной неоднородной среды, поле влажности воздуха, поле атмосферного давления, поле потенциалов заданного электростатического поля Для того чтобы задать скалярное поле, достаточно задать скалярную функцию
u (М) точки М и область ее определения.
Если функция u (М) не зависит от времени, то скалярное поле называют стационарным, а скалярное поле, которое меняется со временем, — нестационарным. В дальнейшем будем рассматривать только стационарные поля.
Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат Оху, то точка М в этой системе будет иметь определенные координаты (х, у; z), и скалярное поле
u станет функцией этих координат:
u = u (М) = u (x, y, z).
Если скалярная функция u (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле u (x, y) называют плоским; если же функция u (М) зависит от трех переменных: х, у и z, то скалярное поле u (x, y, z) называют пространственным.
Геометрически плоские скалярные поля изображают с помощью линий уровня, а пространственные — с помощью поверхностей уровня (п. 1.1).
Для характеристики скорости изменения поля в заданном направлении введем понятие производной по направлению.
Пусть задано скалярное поле u (x, y, z). Возьмем в нем точку М (х; у; z) и проведем из этой точки вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач направляющие косинусы которого Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 6 12).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На векторе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от его начала возьмем точку М1 (х + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; у + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; z + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач).
Тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Вычислим теперь приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  функции u (x, y, z) при переходе от точки М к точке М1 в направлении вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если существует предел отношения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то эту границу называют производной функции u (x, y, z) в точке (x; y; z) по направлению вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  , то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Допустим,
что функция u (x, y, z) дифференцируема в точке М. Тогда ее полное приращение в этой точке можно записать так:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малые функции при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Перейдя к пределу при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим формулу для вычисления
производной по направлению
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                            (30)
Из формулы (30) следует, что частные производные являются отдельными случаями производной по направлению. Действительно, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с одним из ортов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то производная по направлению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с соответствующей частной производной. Например, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Подобно тому, как частные производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач показывает скорость изменения скалярного поля u (x, y, z) в точке (x; y; z) по направлению вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Абсолютная величина производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует значению скорости, а знак производной определяет характер изменения функции u (x, y, z) в направлении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (возрастание или убывание).
Очевидно, что производная по направлению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  противоположному направлению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  равна производной по направлению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, взятой с противоположным знаком.
Действительно, при изменении направления на противоположное углы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяются на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Физический смысл этого результата таков: изменение направления на противоположное не влияет на значение скорости изменения поля, а только на
характер изменения поля. Если, например, в направлении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поле возрастает, то в направлении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оно убывает, и наоборот.
Если поле плоское, то есть задается функцией u (x, y), то направление вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачполностью определяется углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, положив в формуле (30 ) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №123

Найти производную функции u = х2 – 2xz  + y2 в точке А (1; 2; –1) по направлению от точки А до точки В (2; 4; –3). Выяснить характер изменения поля в данном направлении.

Находим вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и его направляющие косинусы:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теперь вычислим значение частных производных в точке А и воспользуемся формулой (30):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, то заданная функция в данном направлении возрастает.
Пусть задано поле u (x, y, z) и точка М (х; у; z). В каком направлении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач производная  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет наибольшее значение? Ответ на этот вопрос имеет важное практическое значение и дается на основе понятия градиента поля.

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции u (x, y, z) в точке М  (х; у; z), называют градиентом функции в этой точке и обозначают grad u. Итак,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                     (31)
Связь между градиентом и производной в данной точке по произвольному направлению показывает такая теорема.
Теорема. Производная функции u (x, y, z) в точке М  (х; у; z) по направлению вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна проекции градиента функции в этой точке на вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                          (32)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между градиентом (31) и единичным вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач =
= Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.13), тогда из свойств скалярного произведения получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим некоторые свойства градиента:

1°. Производная в данной точке по направлению вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет большее
значение, если направление вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с направлением градиента,
причем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                   (33)
Действительно, из формулы (32) следует, что производная по направлению достигает максимального значения (33), если cos Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то есть если
направление вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с направлением градиента. Таким образом, скорость возрастания скалярного поля в произвольной точке является максимальной в направлении градиента. Понятно, что в направлении, противоположном направлению градиента, поле будет максимально быстро убывать.

2°. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к градиенту, равна нулю. Иначе говоря, скорость изменения поля в направлении, перпендикулярном градиенту, равна нулю, то есть скалярное поле остается постоянным.
Действительно, по формуле (32) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3°. Вектор-градиент в каждой точке поля u (x, y, z) перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Это утверждение вытекает из того, что направляющий вектор нормали к поверхности уровня u = u (М0), которая проходит через точку М0, имеет координаты (п. 3.1)
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

4°. Справедливы равенства:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Докажем, например, третье равенство. Имеем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Остальные равенства доказываются аналогично.

Пример №124

Найти значение и направление градиента функции  u = х2 + y2 + z2 – 2xyz  в
точке М0 (0; 1; 2).

Найдем частные производные в точке М0:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
По формуле (31) имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Пример №125

Найти наибольшую скорость возрастания поля uхуz в точке М0 (1; 2; 3).

Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Наибольшую скорость возрастания поля находим по формуле (33) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Тейлора для функции двух переменных

Как известно, если функция одной переменной F (t) имеет на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывные производные до (n + 1) -го порядка включительно, то справедлива формула Тейлора: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач          (34)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому формулу (34) можно записать в виде: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (35)

В аналогичном виде формулу Тейлора можно получить и для функции многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных.
Пусть функция z = f (x, y) в области D имеет непрерывные частные производные до n + 1-го порядка включительно. Возьмем две точки М0 (х0; у0) и М1 (х0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; у0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) такие, чтобы отрезок М0М1 принадлежал области D.
Введем новую переменную t:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (36)
При t = 0 по этим формулам получим координаты точки М0, а при t = 1 — координаты точки М1. Если t меняться на отрезке [0; 1], то точка М (х0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; у0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) опишет весь отрезок М0М1. Тогда вдоль этого отрезка функция будет функцией одной переменной t:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                  (37)
Запишем формулу (35) для функции (37) при t = 0,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    (38)
Вычислим дифференциалы, входящих в формулу (38). Из равенств
(36) и (37) имеем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку dt = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1, то:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                           (39)
Аналогично
 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                         (40)
Продолжая этот процесс, найдем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                      (41)
Кроме того, приращение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                            (42)
Подставив выражения (39–42) в формулу (36), получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач      (43)
 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (44)
Формулу (43) называют формулой Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом Rn + 1 в форме Лагранжа. Эту формулу используют для приближенных вычислений. Для разных значений n из формулы (43) можно получить равенства для приближенного вычисления значений функции f (x, y).
Абсолютную погрешность этих приближенных равенств оценивают через остаточный член (44).
Формула Тейлора (43) для функции двух переменных напоминает формулу Тейлора (35) для функции одной переменной. Но на самом деле, если раскрыть выражения для дифференциалов в формуле (43), то получим более сложную формулу, чем для функции одной переменной. Например, при n = 1 формула
(43) имеет вид:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                           (45)

Локальные экстремумы функции двух переменных

Пусть функция z = f (x, y) определена в области D,  а точка М0 (х0; у0) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач D. Если существует окрестность точки М0 , которая принадлежит области D и для всех, отличных от М0, точек М этой окрестности выполняется неравенство f (М) < f (М0) (f (М) > f (М0)), то точку М0 называют точкой локального максимума (минимума) функции f (x, y), а число f (М0) — локальным максимумом (минимумом) этой функции (рис. 6 14). Точки максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Это определение можно перефразировать так. Положим х = х0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачу = у+ Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если приращение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0, у0) < 0 (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0, у0) > 0) при всех достаточно малых по абсолютной величине приращения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то функция f (x, y) в точке М0 (х0; у0) достигает локального максимума zmaxf (х0, у0) (локального минимума zmin = f (х0, у0)). Иначе говоря, в окрестности экстремальной точки приращения функции имеют один и тот же знак.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция z = f (x, у) имеет в точке (х0 ; у0) локальный экстремум, то в этой точке частные производные первого порядка по переменным х и у равны нулю или не существуют.

Пусть (х0 ; у0) — точка экстремума. Тогда функция f (x, у0) будет функцией одной переменной. Эта функция имеет экстремум в точке х = х0 , поэтому ее производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю или не существует.
Аналогично, рассмотрев функцию f (х0, у), получим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0у0) равна нулю или не существует.

Подобная теорема справедлива для функции n переменных. Точку (х0 ; у0), в которой частные производные первого порядка функции f (x, у) равны нулю, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, называют стационарной точкой функции f (x, у).
Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют,
называются критическими точками.
Таким образом, если функция в какой-либо точке достигает экстремума, то это может произойти только в критической точке. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума, то есть теорема 1 устанавливает только необходимые, но не достаточные условия экстремума. Например, частные
производные функции z = х2у2 (рис. 3.71) равны нулю в точке (0; 0). Но эта функция в указанной точке экстремума не имеет, потому что в достаточно малой окрестности точки (0; 0) она приобретает как положительные (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), так и отрицательные (при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) значения.
Следует отметить, что в задачах с практическим содержанием, как правило,
известно, что функция имеет экстремум. Если такая функция имеет только
одну критическую точку, то эта точка и будет точкой экстремума.

Пример №126

Открытый прямоугольный бассейн должен иметь объем V. Найти размеры бассейна, при которых на его облицовку пойдет наименьшее количество материала.

Пусть х — длина, y — ширина, z — высота бассейна, тогда V = xyz, откуда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Количество материала, необходимого для облицовки бассейна, определяется формулой
S = ху + 2yz + 2xz
или
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Надо найти минимум функции S (x, y), если х > 0, у > 0. Найдем стационарные точки функции S (x, y). Имеем:

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, функция S (x, y) имеет только одну стационарную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая и есть ее точкой минимума, так как, согласно условию задачи, минимум функции S (x, y) существует.
Вычислив соответствующее значение z, получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Таким образом, бассейн должен иметь высоту, равную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и квадратное основание со стороной, равной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке М00; у0) и некоторой ее окрестности функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Если
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то функция f (x, y) имеет в точке 0 экстремум, причем максимум при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) < 0 и минимум при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0, то в точке М0 функция f (x, y) экстремума не имеет.

Запишем формулу Тейлора (45) для функции f (x, y) в окрестности стационарной точки М0. Учитывая, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач= 0,  получим:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
В случае минимума для произвольных достаточно малых значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  правая часть этого равенства должна быть положительной, а в случае максимума — отрицательной.
Вследствие непрерывности вторых частных производных для этого
достаточно, чтобы дифференциал второго порядка в точке М0
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
сохранял знак для малых значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Введем следующие обозначения: А = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВ = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, СВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = АСB2.
Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между отрезком М0М = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где М  точка с координатами
(х0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач; у0 + Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и осью Ох; тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому при А Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь пять возможных случаев:

1) Пусть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х; у0) > 0 и А < 0, тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0, поэтому при достаточно
малых значениях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х; у0) < 0, то есть функция f (x, у) имеет в точке М0 максимум.

2) Аналогично доказываем, что когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х; у0) > 0 и А > 0, то функция f (x, у) в точке М0 имеет минимум.

3) Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х; у0) < 0 и А > 0. Если из точки М0 двигаться вдоль луча Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Если взять Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таким, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Следовательно, при малых значениях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приращение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0, у0) в окрестности точки Мне сохраняет знак, поэтому эта точка не является точкой экстремума функции f (x, y).

4) Аналогично устанавливаем, что когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х; у0) < 0 и А < 0, то функция f (x, y) в точке Мтакже не имеет экстремума.

5) Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х; у0) = АСB2 < 0 и А = 0, тогда В Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0 и
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
При достаточно малых углах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач знак величины cos Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач + С sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает со знаком В, поэтому знак величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет зависеть от знака множителя sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но знак величины sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0, так как sin(–Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) =       –sin Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, в достаточно малой окрестности точки М0 знак Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х0 , у0) не сохраняется, то есть функция f (x, y) в этой точке экстремума не имеет.

Замечание. Из доказательства теоремы 2 вытекают так называемые вторые
достаточные условия экстремума
: функция f (x, y) имеет минимум в стационарной точке М0 (х0 ; у0), если дифференциал второго порядка в этой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (М0) > 0, и максимум — если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (М0) < 0.
Можно доказать, что вторые достаточные условия экстремума справедливы для функций произвольного числа переменных.
На основе теорем 1 и 2 получим правило исследования дифференцируемых функций двух переменных на экстремум. Чтобы найти экстремум
дифференцируемой функции z = f (x, y), необходимо:
1) найти стационарные точки функции из системы уравнений:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) в каждой стационарной точке (х0 ; у0) вычислить выражение
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(х0 , у0) > 0, то (х0 ; у0) — точка экстремума, причем точка максимума при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0 , у0) < 0 и минимума при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0 , у0) > 0; если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0 ; у0) < 0, то точка (х0 ; у0) не является точкой экстремума функции;
3) вычислить значение функции f (x, y) в точках максимума и минимума.
Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х0 ; у0) = 0, то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, и требуется дополнительное исследование.

Пример №127

Найти экстремумы функции z = х4 + у4 – 2х2 + 4ху –2у2.

Находим частные производные
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Стационарные точки функции определим из системы
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Добавляя эти уравнения, найдем х3 + у3 = 0, откуда у = –х.
Подставляя у = –х в первое уравнение, получим х3 — 2х = 0, откуда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, функция имеет три стационарные точки:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найдем величину  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y). Поскольку 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Вычислим величину   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y) в каждой стационарной точке:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, точки М2 и М3 — точки минимума. В этих точках zmin = –8.
В точке М1 значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(М1) = 0, поэтому теорему 2 применить нельзя. Убедимся, что в этой точке экстремум отсутствует. Действительно, если у = 0, то z = х4 – 2х2 = = х2 (х2 – 2) < 0 в окрестности точки М1. Если у = х, то z = 2х> 0. Следовательно, в
окрестности точки М1 значения z могут быть как положительные, так и отрицательные, а это значит, что точка М1 не является экстремальной. Отметим, что других экстремумов задана функция не имеет, поскольку точки, в которых производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существуют, отсутствуют.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Известно, что функция z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, достигает в этой области наибольшего и наименьшего
значений. Во внутренних точках области дифференцируема функция может приобретать эти значения только в точках локального экстремума. Поэтому надо найти все стационарные точки функции, которые принадлежат области D, решив систему уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислить значения функции в этих точках. Затем нужно исследовать функцию на экстремум на границе области D. Используя уравнение границ, эту задачу сводят к нахождению абсолютного экстремума функции одной переменной. Среди полученных таким образом значений функции внутри и на границе области выбирают наибольшее и наименьшее значения.
Отметим, что общего метода нахождения наибольшего и наименьшего значений
для произвольной непрерывной функции в замкнутой и ограниченной области D нет.

Пример №128

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  z = х2у (2 – х – у) в замкнутой области D, ограниченной прямыми х = 0, у = 0, х + у = 6 (рис. 6.15).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находим стационарные точки. Имеем
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Приравнивая производные к нулю и сокращая их на ху  и х2 (внутри треугольника ОАВ  хВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0, у Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 0), получаем систему уравнений:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда х = 1, у = 1/2.
Стационарная точка М (1; 1/2) принадлежит области D, поэтому вычисляем значение
z (М) = 1/4.
Уравнениями сторон ОВ и ОА треугольника являются х = 0 и у = 0, поэтому значение функции z = 0 во всех точках отрезков ОВ  и  ОА, в частности z (0) = z (А) = z (В) = 0.
Найдем стационарные точки на стороне АВ треугольника ОАВ. Уравнение этой
стороны у = 6 – х, поэтому z = х2 (6– х) (2 – х – 6 + х) = –4х2 (6 – х), 0 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачх Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач6.
Далее получим: 
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
откуда х1 = 0, х2 = 4. Поскольку  у = 6 – х, то у1 = 6, у2 = 2.
Находим точки В (0; 6) и С (4; 2) и вычисляем значение z (С) = –128.
Сравнивая значения заданной функции в точках А, В, С, О, М, находим наибольшее и наименьшее значения:   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №129

(Задача об экстракцию уксусной кислоты из разбавленного бензолом водяного
раствора)
. Общий объем бензола V делится на три части: V1, V2, V3 для трех
последовательных экстракций кислоты из водного слоя. При каких условиях состоится максимальное выделение кислоты при экстракции?

Экстракция (от лат. extraho — вытягиваю, изымаю) — это разделение смеси веществ с помощью растворителя, в котором составные части смеси растворяются неодинаково. Ее применяют для получения чистых веществ в химической, а чаще всего в пищевой (главным образом, в сахарной) промышленности.

Пусть х0 — начальная концентрация уксусной кислоты в объеме  а  водяного слоя. Будем считать, что при перемешивании объем не меняется и после каждой экстракции выполняется закон распределения у = kx, то есть у1 = kx1, у2 = kx2, у3 = kx3, где х — концентрация кислоты в водном растворе; k — коэффициент распределения; у — концентрация кислоты в бензоле, а индексы 1, 2, 3 показывают порядковый номер экстракции.

Из материального баланса для первой экстракции получим:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   откуда:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

аналогично для второй и третьей экстракции соответственно имеем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Извлечение кислоты для заданного количества бензола максимальное при минимальном значении х3. Поскольку  а3х0 — постоянная величина, то х3 будет минимальным, если знаменатель (V1, V2, V3) = (а + V1k) (а + V2k) (а + V3k) будет максимальным при условии, что V+ V2 + V= V.
Исключив переменную V3, получим задачу на нахождение экстремума двух переменных:

(V1, V2) = (а + V1k) (а + V2k) (а + Vk – V1k – V2k).

Поскольку

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то из системы уравнений

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеем V1 = V2 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть функция (V1, V2) имеет только одну стационарную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   которая и является ее точкой максимума, так как согласно условию задачи максимум функции (V1, V2) существует. Вычислив значение V3 = V – V– V2 = Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , видим, что V= V2 V3 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При таких условиях произойдет максимальное выделение уксусной кислоты.
Можно показать, что найденный результат является общим: для максимального извлечения веществ при экстракции надо пользоваться равным количеством растворителя в виде отдельных порций независимо от того, на сколько частей разделено общее количество растворителя V.

Условный экстремум

Пусть в области D заданы функция  z = f (x, y) и линия L, которая определяется
уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y) = 0 и лежит в этой области.
Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую ​​точку М (x; y), в которой значение функции f (x, y) является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в других точках линии L. Такие точки М называют точками условного экстремуму функции f (x, y) на линии L. В отличие от обычного экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями этой функции не во всех точках области D (или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки М), а только в точках, лежащих на линии L.
Название «условный экстремум» связано с тем, что переменные х и у имеют дополнительное условие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y) = 0.
Уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y) = 0 называется уравнением связи; если это уравнение можно решить относительно одной переменной, например yуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х), то, подставляя вместо у значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х) в функцию z = f (x, y), получаем функцию одной переменной z = f (x, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х)). Поскольку дополнительное условие учтено, то задача нахождения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной.
Однако не всегда можно решить уравнение связи относительно у  или х. Тогда решают поставленную задачу так.
Рассмотрим функцию z = f (x, y), где уВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (х), как сложную функцию. Из необходимого условия экстремума следует, что в точках экстремума
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (46)
В этом случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  означает производную неявной функции y, заданной уравнениями связи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y) = 0:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  поэтому   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Обозначив последние отношения через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (знак минус взят для удобства, а само число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может иметь произвольный знак), найдем, что в точке условного экстремума выполняются условия
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, стационарные точки условного экстремума должны удовлетворять систему уравнений
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                                               (47)
Анализируя эту систему, замечаем, что нахождение условного экстремума функции z = f (x, y) свелось к нахождению обычного экстремума функции
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач                                                      (48)
Функция (48) называется функцией Лагранжа, а число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачмножителем
Лагранжа
.
Условия (47) является лишь необходимым. Они позволяют найти стационарные
точки условного экстремума. Из теоремы 2 (п. 3.4) следует, что характер условного экстремума (достаточные условия) можно установить по знаку дифференциала второго порядка функции Лагранжа: если в стационарной точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач> 0 (Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0), то эта точка является точкой условного минимума (максимума).
Для функции u = f (x, y, z) с уравнениями связи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y, z) = 0,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (x, y, z) = 0 функция Лагранжа записывается в виде
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Стационарные точки условного экстремума находятся из системы уравнений
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
а достаточные условия существования условного экстремума в этих точках можно определить по знаку дифференциала Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассмотренный метод можно распространить на исследования условного
экстремума функции произвольного числа переменных.

Пример №130

Найти наибольшее значение функции z = ху, если х и у — положительные и удовлетворяют уравнения связи
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Составляем функцию Лагранжа (48):
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пользуясь системой (47), находим стационарные точки этой функции:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда х = 2, у = 1, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –2. Итак, имеем одну стационарную точку М (2; 1; –2).
Чтобы определить характер условного экстремума в этой точке, найдем с помощью формулы (18) второй дифференциал функции Лагранжа при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = –2:
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найдя из уравнения связи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим
Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому точка (2; 1) является точкой условного максимума функции z = ху. При этом zmax = 2.
Этот результат легко проверить, найдя обычный экстремум функции:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Интегральное вычисление функций с одной переменной

Интеграл - одно из центральных понятий математического анализа и всей математики. Оно возникло в связи с двумя основными задачами: 1) про восстановление функции по заданной ей погрешности; 2) про вычисления плоскости, ограниченной графиком функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (подобные задачи есть в вычислении многих других величин, например работы, что выполняет сила на протяжении некоторого времени). Термин "интервал" ввел Я. Бернулли в 1690г. Интересно, что в истории математики этот термин связывают с двумя латинскими словами: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - восстанавливать и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - целый. 

Указанные две задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов: неопределенного и определенного. Изучения свойств и вычисление этих интегралов и составляют основную задачу интегрального вычисления.

Элементы интегрального вычисления заложено в трудах математиков Древней Греции. Основные понятия и начало теории интегрального вычисления, прежде всего связь с дифференциальными вычислениями, а также использование их в решении практических задач, разработаны в конце 17 века Ньютоном и Лейбницем. Дальнейшее историческое развитие интегрального вычисления связан с именами Л. Ейлера, О. Коши, Б. Римана и других ученых. 

Неопределенный интеграл 

Основной задачей дифференциального вычисления является нахождение производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Одно из возможных физических трактовок этой задачи - обозначение скорости движения по функции, которая задает пройденный путь за час движения. Из практической точки зрения естественной является обратная задача, а именно, обозначение пройденного пути по известной скоростью движения как функция времени. Более формально, остальная задача является нахождением функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по известной ее производной  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решается эта задача с помощью неопределенного интеграла. 

Понятие первичной функции и неопределенного интеграла

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется первичной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцирована на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Например: 1) первичной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (на самом деле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач); очевидно, что первичными будут также функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи вообще Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная постоянная, поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет первичную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотренные примеры показывают, что задача нахождения первичной решается неоднозначно. Иначе говоря, если для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует первичная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эта первичная не одна. Возникает вопрос: как найти все первичные данной функции, если известна хотя бы одна из них? Ответ дает такая теорема. 

Теорема. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - первичная функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то любая другая первичная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом самом промежутке имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - некоторая другая, отличная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, первичная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а это означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой теоремы получается, что множество функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - одна из первичных функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная постоянная обозначает совокупность первичных заданной функции. 

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - первичная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная постоянная, выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется неопределенным интегралом функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом промежутке и обозначаются символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, символ Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает множеству всех первичных функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Знак Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который ввел Лейбниц, называют интегралом  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - подынтегральным выражением, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - подынтегральной функцией, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - переменной интегрирование. Следует, по определениям, 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Операцию нахождения неопределенного интеграла от функции называют интегрированием этой функции. 

С точки зрения геометрии неопределенный интеграл является множеством кривых, каждая из которых называется интегральной кривой и выполняется смещением одной из них параллельных самой себе вдоль оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.1). Чтобы их этого множества выделить определенную интегральную кривую Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно задать ее значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в какой нибудь точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенств (1) получаются такие свойства неопределенного интеграла. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иначе говорят, знаки производной и неопределенного интеграла взаимно уничтожаются. Это естественно, потому что операции дифференцирования и интегрирования - взаимно обратные. Вследствие этого правильность выполнения операции интегрирования проверяется дифференцированием. Например, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегрального выражения:  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Постоянный множитель  можно вынести за знак интеграла: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций алгебраической суммы интегралов от этих функций: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проверяются дифференцированием на основе свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Свойство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо для произвольного ограниченного числа множителей. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная функция, что имеет непрерывную производную, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вследствие инвариантности формы первого дифференциала  и свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это свойство (ее называют инвариантностью формулы интегрирования) очень важна. Она обозначает, является ли формула неопределенного интеграла справедливой, является ли сменная интегрирования независимой или нет, есть ли произвольная функция от нее. Таким образом, количество интегралов, которые вычисляются, неограниченно увеличивается. Например,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь инвариантностью этой формулы, получим формулу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная функция, что имеет непрерывную производную. Кроме Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

естественно, возникает вопрос:  существует ли для любой функции неопределенный интеграл? Отрицательный ответ на этот вопрос дает такой пример: пусть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет первоначальной. Предположим противоположное. Пусть существует такая функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда из теоремы Лагранжа на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - правая производная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач). Полученное противоречие означает, что заданная функция первичной не имеет. 

Этой пример показывает, что нужна теорема, которая гарантировала существование неопределенного интеграла. 

В п. 2.4 будет доказано, что любая непрерывная на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет на этом промежутке первичную. В связи с ним далее получим, что подынтегральная функция рассматривается только на тех промежутках, где она непрерывна. 

Таблица основных интегралов

Часть формул таблицы основных интегралов непосредственно получается из определения интегрирования как операции, обратной к операции дифференцирования, таблицы производных и формулы (2). Справедливость других формул можно проверить дифференцированием. 

Интегралы этой таблицы называют табличными. Их нужно знать на память по двум причинам. Во-первых, вместо существующих методов интегрирования состоит в том, чтобы свести искомый интеграл к табличному. Следует, табличный интервал нужно уметь распознавать. Во-вторых, как обозначено в конце предыдущего пункта, вследствие инвариантности каждый табличный интеграл "порождает" множество интегралов, что легко вычисляются на основе табличного.  

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная функция, что имеет на некотором промежутке непрерывную производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда на этом промежутке справедливы такие формулы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные методы интегрирования 

Операция интегрирования намного сложнее, чем операция дифференцирования. В дифференцированном численная таблица производных  и правила дифференцирования функции дают возможность найти производную произвольной дифференцированной функции. В интегральном вычислении таких простых и универсальных правил не существует. Отсутствует, например, общее правило интегрирования произведения двух функций, даже если каждая из них известна. То же относиться и к делению и складыванию двух функций. Интегрирование  обязывает, так сказать, к индивидуальному  подходу к каждой подынтегральной функции. 

Основными методами интегрирования является непосредственное интегрирование, метод подстановки и интегрирования частями. 

Метод непосредственного  интегрирования

Вычисления интегралов с помощью основных свойств неопределенных интегралов и таблицы интервалов называют непосредственным интегрированием. 

Пример №131

Найти интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При каждом интегрировании выполняются  произвольные постоянные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в итоге записывают только одну постоянную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также являются произвольной постоянной. Потому в дальнейшем постоянная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим сумму всех произвольных постоянных

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод подстановки (смены переменной) 

Суть этого метода предполагает введение новой переменной интегрирования. Он основывается на следующей теореме. 

Теорема. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - первичная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена и дифференцирована на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем множество значений этой функции является промежуток Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда справедлива формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На самом деле, согласно с правилом дифференцирования сложной функции получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и формула (3) получается по свойству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказанная теорема выполняется, как правило, одним из двух способов: 

1) Интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачзаписывают  в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в котором для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач известна первичная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда по формуле (3) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

на практике удобнее запись в таком виде: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображают в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют обратную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  известна первичная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим, что формулы (4) и (5) отличаются "промежуточными" интегралами: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первом из этих интегралов и формулы (4) говорится про "введение функции под знак дифференциалаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а во втором и формулы (5) - про "выведение функции из под знака дифференциал": Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общими в формулах (4) и (5) является обратный переход в результаты интегрирования от переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Иначе говоря, после вычисления неопределенного интеграла методом подстановки нужно от введенной переменной интегрирования перейти к заданной. 

Таким образом, при интегрировании заменой переменной выполняются подстановка двух видов:Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач И подстановки подбирают так, чтобы полученные после подстановки новые интегралы в формулах (4) и (5) были табличными, или были известными. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно обозначить подстановку набивается со временем. 

Рассмотрим примеры на использование формул (4) и (5), с простейшими из них мы уже встречались в п. 1.1

Примеры 

1. Найти интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод интегрирования частями

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - функции, что имеют на некотором промежутке непрерывные производные. ТогдаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя обе части данного равенства, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (6) называется формула интегрирования частями. Она дает возможность вести вычисления интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачк интегралу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как правило, подынтегральное выражение, который складывает произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разделить на множители Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач несколькими способами. Умение представить подынтегральную функцию через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы интеграл справа в формуле (6) был простым, чем интеграл слева, получается в процессе вычисления интегралов. 

Обозначим, что во время нахождения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с дифференциалом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считают, что постоянная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку на конечный результат эта постоянная не влияет. На самом деле, подставив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (6), получаем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда формула (6) приходится использовать несколько раз. Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования частями:

1) интегралы вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительное число. В этих интегралах за Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует взять множитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а за Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- выражением, что осталось;

2) интегралы вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен. В этих интегралах следует взять Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) интегралы вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа. Тут после двукратного использования формулы (6) выполняется линейное уравнение относительно искомого интеграла. Решая эти уравнения, находят интеграл. 

Пример №132

Найти интегралы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получали уравнения, из которого получаем искомый интеграл: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №133

Вывести рекуррентную формулу для интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для полученного интеграла используем формулу (6): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (7) дает возможность найти интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого натурального число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислим, например, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим : Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя приведенные здесь методы интегрирования, перейдем к интегрированию некоторых видов функций. Для этого будут нужны определенные сведений из алгебры.

Понятия про комплексные числа

Комплексным числом называется выражение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа, а символ Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - мнимая единица, которая вычисляется условием Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется действительной частью комплексного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - мнимая часть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (от франц. слов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительный, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - мнимый). 

Выражение, что стоит справа в формуле (8), называют алгебраической формой записи комплексного числа. 

Два комплексные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые отличаются только знаком мнимой части, называют спряженными

Два комплексные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считаются равными Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда равные их действительные части и равные их мнимой части: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Комплексное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Комплексные числа можно изображать на плоскости. Если пользоваться декартовой системой координат, то число (8) изображается точкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такая плоскость условно называется комплексной плоскости переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ось Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительной осью, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - мнимой

Комплексное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соприкасается с действительным числом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому действительным числом является отдельным случаем комплексных, они изображаются точками оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Комплексные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют подлинными; такие числа изображаются точками оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полярные координаты точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на комплексной плоскости и называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2) то из формулы (8) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение, которое состоит справа в формуле (9), называется тригонометрической формой комплексного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач комплексного числа обозначается однозначно, а аргумент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - с точностью до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тут под Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подразумевают общее значение аргумента; в отличие от него, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - главное значение аргумента, оно находится на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывается от положительного направление оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач против часовой (иногда рассматривают и отрицательные аргументы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач )

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то считают, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неопределенный 

Основные действия над комплексными числами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданными в алгебраической форме, обозначаются такими равенствами: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, арифметические действия над комплексными числами выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учетом того, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несложно проверить, что когда в равенствах 1) - 4) каждое комплексное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменить спряженным Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то и результаты указанных действий заменяются спряженными числами. Отсюда получается такое утверждение: если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен с действительными коэффициентами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 то есть если в многочлен вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставить спряженные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то результаты этих подстановок также будут взаимно сопряженными. 

Увеличение числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до целой натуральной степени выполняется по формуле бинома Ньютона  с учетом того, что для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливы равенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №134

Выполнить действия 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пару слов о рациональной функции

Как известно, многочленом (полиномом или целой рациональной функцией) называется функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - натуральное число, которое называется степенью многочлена,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициенты многочлена, действительные или комплексные числа; независимая переменная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так же может быть как действительной так и комплексной. 

Далее рассмотрим только многочлены с действительными коэффициентами. 

Корнем многочлена (13) называется такое числовое значение переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором многочлен превращается в ноль, то есть такое, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на разницу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При делении многочлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ой степени на двучлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определенной степени оставим некоторый многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ной степени и остаток Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - определенное действительное число. Потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это тождество справедливо для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если в равенстве (14) перейти к границе при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - корень многочлена, то согласно с теоремой Безу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подчеркнем, что равенство (15) имеет место только по условию, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - корень многочлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В связи с этим возникает вопрос: имеет ли всякий многочлен имеет корни? Положительный ответ не эти вопросы дает такие утверждения. 

Теорема 2. (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный. 

Примем эту теорему без доказательства. 

Из теоремы 2 получается, что многочлен (13) всегда можно записать в виде (15). Неважно отметить (например, из процедуры деления многочлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на двучлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач "в столбик" ), что главный коэффициент многочлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть коэффициент при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Если степень многочлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равно нулю, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то до этого многочлена можно использовать теорему 2. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - корень многочленаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачой степени с главным коэффициентом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенств (15) и (16) получим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продолжая этот процесс, приходим к такому утверждению. 

Теорема 3. Всякий многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ой степени можно преподнести в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - корни многочлена, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент многочлена при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для проверки этих тождеств достаточно умножить их правые части.

Множители Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формуле (17) называют линейными множителями. Если некоторые из линейных множителей одинаковы, то их можно объединить и тогда формула (17) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - число разных корней, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае корень Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется корнем кратности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-кратным корнемВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - корнем кратности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т.д. Корень  кратности единица называется простым корнем. 

Пусть теперь число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - комплексный корень многочлена (13) то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из равенства (10) получается, что спряженное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так же является корнем многочлена (13). Умножив линейные множители, что соответствуют этим корням, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа. 

Таким образом, произведение линейных множеств, что соответствуют взаимно сопряженными комплексными корнями, можно заменить квадратичным трехчленом с действительными коэффициентами и с отрицательным дискриминантом. 

Объединяя в формуле (18) множеств с взаимно спряженными корнями, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратности действительных корней; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- кратности комплексно спряженных корней: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами. 

Замечание 1. Если многочлен  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тождество равно нулю, то есть равно нулю при произвольных значениях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то все его коэффициенты равны нулю.

 Действительно, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней: если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - один корень и т.д. В условии сказано, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет множество корней, ибо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2.  Если многочлены тождеств равны один одному, но равные их степени и равны между собой коэффициенты при одинаковых степенях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, разница данных многочленов тождества равны нулю, потому из предыдущего замечания получается, что все коэффициенты этой разницы - нули, то есть коэффициенты данных многочленов одинаковые. Например, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношения двух Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач многочленов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется рациональной функцией или рациональной дробью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рациональная дробь называется правильным, если степень числителя меньшей степени знаменателя Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в другом случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рациональная дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, выполнив деление, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлены Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-нной и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - нной степени, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть дробь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - правильный. Например, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Элементарными рациональными дробями называются правильные рациональные дроби таких четырех видов:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа, а трехчлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет действительных корней, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители по формуле (19):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда эта дробь можно преподнести в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

некоторые действительные числа (12). 

Выражение (21) называют разделением правильной рациональной дроби на элементарные дроби.

Для нахождения чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно вычислить методом уравнивания коэффициентов. Суть его такая. Умножим обе части равенства (21) на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вследствие чего получим два тождественно равные многочлены: известный многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и многочлен с неизвестными коэффициентами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приравнивая их коэффициенты при одинаковых степенях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (замечание 2), получим систему линейных уравнений, с которой обозначим неизвестные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №135

Выразить через элементарные дроби, дробь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (9) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножив обе части этого равенства на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим тождество 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой части, получим систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

решая которую получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме метода уравнивания коэффициентов, пользуются также методом отдельных значений аргумента. Пусть после умножения обеих частей равенства (21) получим два тождества равны многочлены, один из которых - известный, а другой с неизвестными коэффициентами. Система уравнений значительно упрощается, если переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дать значения действительных корней знаменателя Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Иногда удобно пользоваться комбинированным методом, то есть некоторые из неизвестных коэффициентов обозначить, подставляя в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения действительных корней знаменателя, а другие - обозначить методом уравнения. 

Пример №136

Выразить через элементарные дроби дробь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в этом тождестве поместить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №137

Выразить через элементарные дроби дробь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приравнивая коэффициенты при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ибо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование рациональных функций 

Рациональные функции складывают важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. 

Пусть нужно найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая равенство (20), этот интеграл можно предоставить как сумма интеграла от многочлена и правильной рациональной дроби: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интеграл от многочлена находят непосредственно, как мы уже рассмотрели ранее, а интеграл от правильной рациональной дроби находиться с помощью формулы (21).

Рассмотрим эти интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый интеграл находят так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а второй является табличным (формула 19 табл. ), поскольку по условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что подстановка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач "подсказанная" тем, что квадратичный трехчлен в знаменателе можно записать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В общем случае получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Знак плюс и минус берется в зависимости от того, какими будут корни знаменателя: комплексными или действительными. Отсюда получается, что интегралы вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляются подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интеграл вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводиться к двум интегралам: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый из этих интегралов вычисляется как обычно, а второй - по рекуррентной формуле (7).

Следовательно, установлено, что интегрирование произвольной рациональной функции приводятся к интегрированию многочлена и ограниченного числа элементарных дробей, интегралы от который выражаются через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иначе говоря, любая рациональная функция интегрируются в элементарных функциях. 

Пример №138

Найти интегралы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №139

Найти интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку разделение подынтегральной функции на элементарной дроби уже известен, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для вычисления оставшегося интеграла используем формулу (7): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №140

Найти интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Под знаком интеграла имеем неправильную дробь, потому сначала выделим целую его часть  

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделив правильную дробь на элементарные, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись комбинированным методом нахождения коэффициентов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций

Наперед заметим, что интегралы от иррациональных и трансцендентных функций не всегда вычисляют с элементарных функциях. Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые с помощью определенных подстановок можно привести до интегралов от рациональных функций. 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - рациональная функция от переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть такая функция, в которой над обозначенными переменными и действительными числами выполняется ограниченное количество четырех арифметических действий: складывание, вычитание, умножение и деление. 

Например, рациональной относительно переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если переменные  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, в свою очередь, являются функциями от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является рациональной относительно функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является рациональной функцией от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых иррациональных функций и покажем, что в ряде случаев они приводятся в интегралам от рациональных функций (но, как говорят, становятся рациональными). 

1. Интегралы вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

становятся рациональными подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общий знаменатель дробей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, если 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражаются через рациональные функции от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку, каждая степень дроби Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается через целую степень Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то подынтегральная функция преобразуется в рациональной функцией от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №141

Найти интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Интегрирование дифференциальных биномов. Выражение вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные числа, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные числа, называется дифференциальным биномом. Справедливая такая теорема Чебишева. 

Теорема. Интеграл от дифференциального бинома 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается через интеграл от рациональной функции относительно новой переменной, если:

1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - целое число (положительное, отрицательное или 0) и сделать подстановку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - наименьший общий знаменатель дробей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - целое число (положительное, отрицательное или 0)  и сделать подстановку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - знаменатель дроби Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач целое число (положительное, отрицательное или 0) и сделать подстановку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - знаменатель дроби Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В других случаях интеграл от дифференциального бинома через элементарные функции не выражается (12).

Пример №142

Найти интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку в интеграле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то применим второй случай теоремы Чебишева. 

Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Интегралы вида  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач становится рациональным подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая называется универсальной. 

Действительно, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Потому, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - рациональная функция от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №143

Найти интервал Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что универсальная подстановка всегда рационализирует интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На практике она часто приводит  к рациональным дробям с большими степенями. Потому в многих случаях используются другими подстановками. Приведем некоторые из них . 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рационализируется подстановкой  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрационализируется подстановкой  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрационализируется подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрационализируется подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если функция непарная относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарная относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач парная относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находиться подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - целое положительное непарное число, или подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- целое положительное непарное число, а также с помощью формулы понижения степени 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - целые положительные парные числа, если хоть одно из них отрицательное, то данный интеграл рационализируется подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такая же подстановка используется и в случае, если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - целые непарные и отрицательные. 

е) интегралы  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляются с помощью известных формул: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №144

Найти интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а) поскольку подынтегральная функция непарная относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то воспользуемся подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Интеграл вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью подстановки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится к одному из таких интегралов 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Несложно предположить что с помощью подстановок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

соответственные интегралы приводятся к интегралу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Необходимо обозначить, что в интеграле вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражаются через рациональные функции так же с помощью так называемых подстановок Ейлера

1) если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - корень трехчлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первую подстановку ми использовали при решении примера 2б, п. 1.3. Покажем на примере использование другой подстановки. 

Пример №145

Найти интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись другой подстановкой Ейлера, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Интеграл вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рационализирован подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Действительно, поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №146

Найти интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1.8 Интегралы, что "не берутся" 

Как видно было из дифференциального вычисления, производная элементарной функции так же является элементарной функции. Иначе говоря, операция дифференцирования не выводит наз из класса элементарных функций. Этого не можно сказать про интегрирование - операцию, обратную к дифференцированию. Интегрирование элементарной функции не всегда снова приводит к элементарной функции. Подобное происходит и для других взаимно обратных операций: сумма произвольный натуральных чисел является всегда натуральным, а разница - нет; произведение двух целых чисел всегда является целым числом, а частность - нет и т. д. Строго доказано, что существуют элементарные функции, интегралы от которых не являются элементарными функциями. Про такие интегралы говорят, что они не вычисляются в оконченном виде, то есть "не берутся".  

Например, доказано, что "не берутся" два интеграла: 

  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интеграл Пуассона;
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интеграл Френеля;
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интегральный логарифм;
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интегральный косинус;
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интегральный синус;
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - эллиптический интеграл;
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачряда других интервалов. 

Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. В подобных случаях первичная представляет собой некоторую новую, не элементарную функцию, то есть функцию, которая не выражается через оконченное число арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями. Не элементарные функции расширяют множество элементарных функций. 

Получается, что интеграл, который не числится в классе элементарных функций. может выявиться тем, что числится в расширенном классе функций. 

Таким образом, интегрирование в уравнении с дифференцированием - операция сложная. Потому нужно твердо выделить основные методы интегрирования и четко знать виды функций, интегралы от которых находятся этими методами. Кроме того, выявляется, что нужно разделить также интегралы, которые "не берутся". Потому в инженерной практике широко пользуются справочниками, в которых содержатся в таблице интегралов, что выражается через элементарные и не элементарные функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определенный интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла.

Задачи, что приводят к определенному интегралу

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Задача про плоскость криволинейной трапеции. Пусть на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Фигура Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.4) ограниченная графиком данной функции и отрезками прямых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется криволинейной трапецией. Вычислить площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  этой трапеции: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С уменьшением всех величин всех величин Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точность этой формулы увеличивается, потому естественно плоскость криволинейной трапеции считать границу плоскостей ступенчатых фигур по условии, что максимальная длина частичных отрезков направляется к нулю: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Задача  про работу переменной силы. Пусть на материальную точку действует сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая изменяет направление и непрерывно изменяется в соответствии с силой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пусть под действием этой силы точка переместилась вдоль оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислить работу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой силы отрезка  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В каждой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая по условию является непрерывной функцией от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разобьем отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частичных отрезков Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что каждый из частичных отрезков такой маленький, что силу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на нем можно считать постоянной и равной значению функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой произвольно выбранной точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Работа, выполненной этой силой на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно произведению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На самом деле, на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется, поэтому выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает только приближенное значение работы на этом отрезке.

Поскольку работа на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны сумме работ на всех частичных отрезках, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

  Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому за работу силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на пути Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считается граница полученной суммы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Задача про пройденный путь. Пусть точка движется по прямой со скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная функция от времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нужно обозначить путь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который пройдет точка на промежуток времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от момента  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к моменту Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разобьем отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частичных промежутков времени  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой маленький, что скорость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при постоянной и равной, например Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что движение точки на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считается равномерным, потому путь, пройденный точкой за время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно промежутку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а путь, пройденный за время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается приближенной формулой: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Эта приближенное равенство тем точнее, чем меньше величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому, естественно, за путь считается границей найденной суммы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Задача про массу неоднородного стержня. Пусть имеем прямолинейный стержень, который лежит на оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в пределах отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нужно найти массу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этого стержня, если его плотность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является некоторой непрерывной функцией от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разобьем стержень на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных частей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно малый, то функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на нем меняется мало, потому масса части стержня Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая соответствует этому отрезку, приблизительно равно произведению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а масса всего стержня Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точное значение массы найдем как границу этой суммы, когда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все рассмотренные задачи привели нас до одной и той же математической операции - нахождения границы определенного вида сумм. Но границы (22) - (25) не совсем случайны. На самом деле, суммы под знаком границы зависят не только заданной функции, а и от точек разбития Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и от точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Число точек направляется к бесконечности, когда длина максимального частичного отрезка направляется к нулю. Иначе говоря, в каждом случае, то есть для каждой заданной функции, говорится про нахождении границы суммы неограниченного большого числа неограниченное количество малых множителей. 

К такой же математической операции над функциями приводят много других задач, потому возникает нужда всестороннего изучения этой операции, независимо от конкретной цели той или иной задачи. 

Определения и условия существования определенного интеграла

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разобьем этот отрезок на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных частей точками: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Совокупность точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и назовем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-разделением отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

На каждом частичном отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и строим сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - длина отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумма (26) называется интегральной суммой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая соответствует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-разделением отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на частичном отрезке и данном выборе промежуточных точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрическая цель интегральной суммы: если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно площади ступенчатой фигуры (рис. 7.4), то есть суммы площади Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпрямоугольников с основами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длину большего частичного отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-разделением и назовем его диаметром этого разделения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если существует оконченная граница интегральной суммы (26) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая не зависит не от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-разделения, не от выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эта граница называется определенным интегралов функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначаются символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, согласно с определением  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 В этом случае функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется интегрированной на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования; функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется подынтегральной функцией; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - подынтегральным выражением; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - переменной интегрирования; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - промежутком интегрирования. 

Возвращаясь к задачам п. 21 на основе равенств (22) - (27), можно сказать, что:

1) площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейной трапеции, ограниченной прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и графиком функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен обозначенному интегралу от этой функции:

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом заключается геометрическое содержание определенного интеграла: определенный интеграл от отрицательной функции равно площади соответственной криволинейной трапеции; 

2) работа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменной силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая действует на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно значению интеграла от силы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) путь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пройденный точкой за промежуток времени от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно определенному интегралу от скорости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула характеризует физическое содержание определенного интеграла; 

4) масса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неоднородного стержня на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачравно определенному интегралу от плотности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В определение определенного интеграла функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не обязательно непрерывна и отрицательна на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это определение не подтверждает так же существование определенного интеграла для любой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, обозначенной на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Оно только говорит про то, что когда граница интегральной суммы существует для заданной на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при произвольном разделении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произвольном выборе точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач она одна и та же, то эта граница называется определенным интегралом функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует так же иметь ввиду, что когда говорят, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрирована на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то понимают, что существует ограниченная граница (27) и эта граница не зависит ни от способа разделения отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на частичные отрезки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ни от выбора промежуточных точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в каждом из них. 

Сформулируем условия интеграции функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.  Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрирована на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она ограничена на этом отрезке. 

Следует обозначить, что обратное утверждение неправильное: существуют функции, которые ограниченны на отрезке, или не интегрированы на нем. 

Примером такой функции является функция Дирихле: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта функция на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является ограниченной: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но не интегрированной. На самом деле, если на каждом частичном отрезке на промежутке точки  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  взять рациональные числа, то из формулы (26) получается, что сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - иррациональные числа, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что величина границы интегральной суммы, построенной для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Потому функция Дирихле не интегрирована на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она интегрирована на этом отрезке. 

Условие непрерывности функции является достаточным условием ее интеграции. Однако это не означает, что определенный  интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегральных функций значительно широкий. Так, существует определенный интеграл от кусочно-непрерывных функций, то есть функций, которые имеют ограниченное число точек разделения первого рода. Это утверждает следующая теорема. 

Теорема 3. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченна на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и непрерывна в нем везде, кроме ограниченного числа точек, то она интегрирована на этом отрезке. 

Более того, справедлива такая теорема (9). 

Теорема 4. Всякая ограниченная и монотонная на отрезке функция интегрирована на этом отрезке. 

Эта теорема значительно расширяет класс интегрированных функций, поскольку монотонная функция может иметь не только ограниченное,  но и неограниченное количество точек разделения первого рода. 

Далее, как правило, будем рассматривать только непрерывные функции. 

Свойства определенного интеграла 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Величина определенного интеграла не зависит от значения переменного интегрирования:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегральная сумма (26), а следовательно, и ее граница (27) не зависит от того, какой буквой обозначает аргумент функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это обозначает, что определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. 

Определенный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач введенный для случая, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обобщим понятие интеграла в случае, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равны нулю :

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач От перестановки между интегрированием интегралов, интеграл изменяет знак на противоположный:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимают как определения. Обозначим, что эти определения полностью оправдывает приведенная далее формула Ньютона - Лейбница (п. 2.4). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрирована на максимальном из отрезков Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то справедливо равенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим сначала, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку граница интегральной суммы не принадлежит от способа разделения отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на частичные отрезки, то разобьем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач была точкой разбития (разделения). Если, например, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то интегральную сумму можно разбить на две суммы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переходя в этом равенстве к границе при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим формулу по формулам (33) и (34) (если например Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 7.5 показана геометрически это свойство для случая, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь трапеции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны сумме площади трапеции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - знакопеременная непрерывная функция на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач например, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользуемся аддитивностью и геометрическим содержанием интеграла, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - площадь соответственных криволинейных трапеций. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в общем случае, со стороны геометрии определенный интеграл (27) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно алгебраической сумме площади соответственных криволинейных трапеций, причем такие площади трапеций, размещенных над осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют знак плюс, а ниже оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - знак минус. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то все формулируется наоборот. 

Обозначим, что площадь заштрихованной на рис. 7.6 фигуры выражается интегралом 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Постоянный множитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачможно вынести за знак определенного интеграла: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определенный интеграл от суммы интегрированных функций равен сумме определенных интегралов от этой функции:  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачДля произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разделения получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда, переходя к границе при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем формулу (36). Это свойство имеет место быть для произвольного ограниченного числа множителей. 

Свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются линейностью определенного интеграла. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если повсюду на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то любая интегральная сумма и ее граница при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже не отрицательная. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если повсюду на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(монотонность определенного интеграла)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из неравенства (37) получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

воспользовавшись свойством Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим неравенство (38) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то свойство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно изобразить геометрически (рис. 7.7): площадь криволинейной трапеции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не менее чем площадь криволинейной трапеции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрирована на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя формулу (38) к неравенству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда получается неравенство (39). Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (39) и (35), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда и получаем неравенство (40), поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - соответственно наименьшее и наибольшее значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому из свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись крайними интегралами формулы (35) и (41), получим неравенство (42).  

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то свойство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иллюстрируется геометрически на рисунке 7.8 : площадь криволинейной трапеции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не меньше площади прямоугольника Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи не больше площади прямоугольника Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то на этом отрезке найдется такая точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная на отрезке, то она достигает своего наибольшего значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наименьшего Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда из оценок (42) получим (если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

предположим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то она приобретает все промежуточные значения отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следует, существует точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ибо 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда и получается данное свойство. 

Для случая, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводим эти самые понятия для интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом, переставив границы, приходим к предыдущей формуле. 

Равенство (44) называется формулой среднего значения, а величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - средним значением функции на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Данная теорема при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет геометрическое содержание (рис. 7.9): значения ограниченного интеграла равно площади прямоугольника с высотой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и основой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если, например, в формуле (44) интеграл обозначает пройденный путь за промежуток времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то среднее значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает среднюю скорость, то есть ту скорость, при которой точка, двигаясь равномерно, за этот де промежуток времени прошла бы тот же путь, что и при непрерывном движении со скоростью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если заменить значения интегрированной функции в ограниченном количестве точек, то интеграция ее не нарушиться, а значение интеграла при этом не измениться. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это свойство дает возможность говорить про интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  только тогда, когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не определена в ограниченном количестве точек отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом в этих точках функции можно подставить произвольные значения и величина интеграла не изменяются. 

Интеграл с переменной верхнего предела. Формула Ньютона - Лейбница

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда она интегрирована на любом отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть для произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заданный интеграл, очевидно, является функцией от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим эту функцию через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и назовем интегралом с переменной верхнего предела

Геометрически (рис. 7.10) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно площади заштрихованной криволинейной трапеции. Рассмотрим основное свойство функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1. Производная определенного интеграла с переменной верхнего предела до верхний предел равен значению подынтегральной функцией для этого предела:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дадим аргументу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции (45) прирост Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда, учитывая аддитивность интеграла, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя для  этого интеграла теорему про средние значения, найдем, что  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится между Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому из непрерывности функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для всякой непрерывной на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует первичная функция. При этом одной из первичных в определенный интеграл (45). 

На самом деле, поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая удовлетворяет условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является первичной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, согласно с формулой (46), функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является первичной. Но любая другая первичная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может отличатся от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач только на постоянную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является некоторой первичной от непрерывной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то справедлива формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - некоторая первичная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку интеграл (45) является так же первичной. то согласно с формулой (47) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив в этом равенстве Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из формулы (32) получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используем формулу (48). 

Разницу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач условно обозначают символами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпотому формула Ньютона - Лейбница записывается еще и так: 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Ньютона - Лейбница дает практический удобный способ вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разнице значений произвольной ее первичной, вычисленных для верхнего и нижнего предела интегрирования. 

Обозначим, что формула (48) сама по себе не является ни  решением задачи, ни нахождением первичной, ни задачи вычисления границ интегральных сумм. Ее ценность в том, что она устанавливает связь между этими задачами. 

Архимед решил задачу нахождения площади параболического сегмента методом, что предполагает вычисление границ интегральных сумм. Потом на протяжении нескольких столетий, именно этим способом решались подобные задачи, но только в 17 в. Ньютон и Лейбниц показали, что вычисления определенного интеграла от произвольной непрерывной функции приводится к поиску ее первичной. Например, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Теорема 3 (п. 2.2) утверждает существование определенного интеграла от кусочно - непрерывной функции, которая имеет ограниченное число точек разрыва первого рода. Вычисления интеграла от такой функции можно провести на основе свойств интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (п.2.3)

 На рис. 7.11 изображен график кусочно-непрерывной функции, заданной на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Она интегрирована на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №147

пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №148

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

подынтегральная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не определена в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разобьем отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на два: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На первом отрезке поставим непрерывную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач), тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На втором отрезке поставим  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) и снова получим интеграл от непрерывной функцииВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2 Вычисление определенного интеграла от кусочно-непрерывной функции можно проводить непосредственно с помощью формулы (48). Для этого дадим расширенное значение первичной. 

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется первичной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если:

1) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках непрерывности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Очевидно, для непрерывной функции это определение первичной сходится с общепринятыми. Кроме того, справедливо такое утверждение: 

Кусочно-непрерывная на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет первичную на этом отрезке в понимании широкого значения: одной из первичных является функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и справедлива формула Ньютона - Лейбница: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку по расширенным определением функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет первичную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2.5 Методы вычисление определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов, как и неопределенных, широко пользуются методом замены переменной (или методом подстановки) и методом интегрирования частями. 

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1)функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда выполняется равенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то она имеет первичную. Обозначим ее через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из теоремы про замену переменной в неопределенном интеграле получается, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  будет первичной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя формулу Ньютона - Лейбница, получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (49) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. 

Замечание 1. Если при вычислении неопределенного интеграла переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в первичной функции необходимо было от переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вернутся к переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то при  вычислении определенного интеграла вместо этого нужно изменить пределы интегрирования. Нижний предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится как ответ уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно неопределенной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а верхний предел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - из уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не монотонна, то может получится, что это уравнение даст несколько разных пар Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые выполняют условия теоремы 1. В этом случае можно взять любую из таких пар. 

Замечание 2.  Часто вместо подстановки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используют подстановку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае новые пределы интегрирования определяются непосредственно: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но тут следует учесть, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратная к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может как и ранее, выполнять условия теоремы 1. Кроме функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в пределах интегрирования может быть означенной непрерывной дифференцированной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при смене Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменная может отличаться от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Удобнее выполнять замену монотонно дифференцированными функциями. Такие функции гарантируют однозначность как прямой, так и обратной функций. 

Пример №149

Вычислить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Убеждаемся, что функция выполняет все условия теоремы 1, причем если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачоткуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее получим, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №150

Вычислить интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то новая переменная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется от 0 до 2. Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратная к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является монотонной и непрерывной вместе с производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом отрезке. Получаем,

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №151

Можно ли вычислить подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нет, потому что переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует переменная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №152

Доказать, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - парная функция: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- непарная функция: 

Получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первом интеграле выполняем подстановку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция парная, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а если непарная, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найденные функции очень полезные. Можно, например, сразу, не выполняя вычисления, сказать, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2. Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные производные, то справедлива формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является первичной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле Ньютона - Лейбница получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись линейностью определенного интеграла (п. 2.4), получим формулу (50). 

Формула (50) называется формулой интегрирования частями определенного интеграла. 

Все замечания относительно формулы (6) интегрирования частями неопределенного интеграла переносятся и на формулу (50) 

Пример №153

Вычислить интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили рекуррентную формулу, по которой интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач последовательно приводится к интегралу 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или к интегралу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Методом индукции можно доказать, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Символ Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачозначает произведение натуральных чисел, которые не превышают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одной с ним парности.)

Так, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несобственные интегралы 

Мы ввели определенный интеграл, как границу интегральных сумм, предусматривая при этом, что отрезок интегрирования оконченный, а подынтегральная функция на этом отрезке ограничена. Если хотя бы одна из этих условий не выполняется, то приведенное выше определения определенного интеграла становится не принятым: в случае незаконченного промежутка интегрирования его не можно разбить на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частичных отрезков законченной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма явно не имеет законченной границы. Обобщая понятия определенного интеграла на эти случаи, приходим к несобственного интеграла - интеграла от функции на неограниченном промежутке или от неограниченной функции. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачНесобственные интегралы с незаконченными пределами интегрирования. 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и интегрирована на любом отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда если существует законченная граница 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ее называют несобственным интегралом первого рода и обозначают так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по признакам 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае интеграл (52) называют сходящимся, а подынтегральную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интегрированной на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если же граница (51) не существует или незаконченная, то интеграл (52) называется так же несобственным, но расходящимся, а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - не интегрированной на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично интеграла (53) обозначается несобственным интегралом на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несобственным интегралом с двумя незаконченными пределами обозначается равенством 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольное действительное число. Следовательно, интеграл слева в формуле (55) существует но является не совпадающими только тогда, когда являются не совпадающими оба интеграла справа. Можно доказать, что интеграл, обозначенный формулой (55), не зависит от выбора числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из приведенных определений видно, что несобственный интеграл не является границей интегральных сумм, а является границей определенного интеграла с переменным пределом интегрирования. 

Заметим, что когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна и отрицательная на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а когда интеграл (53) сходится , то естественно считать, что он выражает площадь неограниченной области (рис. 7.12). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №154

Вычислить несобственный интеграл или установить его расхождение : 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) по формуле (53) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно интеграл а) сходятся 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку эта граница не существует при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то интеграл б) расходится 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует интеграл в) расходится 

г) Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует интеграл г) является сходящимися при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходящимися при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В рассмотренных примерах вычисления несобственного интеграла основывается на его определении. Но в некоторых случаях нет необходимости вычисления интеграла, а достаточно знать, сходящийся он или нет. Приводим без доказательства некоторые определения схождения. 

Теорема 1. Если на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные и удовлетворяют условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из схождения интеграла 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получается схождение интеграла 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а из расхождения интеграла (57) получается расхождение интеграла (56). 

Приведенная теорема имеет простое геометрическое содержание (рис. 7.13); если площадь большой по размерам неограниченной области является законченное число, то площадь меньшей области является также оконченным числом; если площадь меньшей области незаконченная большая величина, то площадь большей области является также незаконченной большей величины. 

Пример №155

Исследовать на схождение интеграла: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 и интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то по теореме 1 заданный интеграл также сходится. 

б) этот интеграл расходится, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2. Если существует граница 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то интегралы (56) и (57) но одновременно сходятся, или одновременно расходятся. 

Этот признак иногда выявляется легче чем теорема 1, ибо не требуется проверки неравенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №156

Доказать на схождение интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то заданный интеграл также сходится. 

В теоремах 1 и 2 рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. В случае, если подынтегральная функция является знакопеременной, справедлива такая теорема. 

Теорема 3. Если интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то сходится ее интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №157

Доказать на схождение интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тут подынтегральные функции знакопеременные. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то заданный интеграл сходится. 

Следует заметить, что из схождению интеграла  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не получается, в целом, схождение интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Это обстоятельство оправдывает такие определения. 

Если вместе с интегралом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится и интеграл  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют абсолютно сходящимся, а функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - абсолютно интегрированной на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходятся, а интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится, то интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют условно сходящимися. 

Теперь теорему 3 можно перефразировать так: абсолютно сходящийся интеграл сходиться. 

Следует, для знакопеременной функции приведенные здесь рассуждения дают возможность установить только абсолютное схождение интеграла. Если не собственный интеграл сходится условно, то используют более глубокие определения схождения. 

Пример №158

Доказать схождение интеграла

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то по теореме 3 интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходятся. Следовательно, сходится, причем абсолютно и заданный интеграл, а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является абсолютно интегрированной. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода). 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач назовем особенной точкой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.14). Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачинтегрирована на отрезке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при произвольном Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач таком, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда, что существует законченная граница 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ее называют несобственным интегралом второго рода и обозначают так:  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, по определениям 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае говорят, что интеграл (59) существует и сходится. Если же граница (58) незаконченная или не существует, то интеграл (59) также называют несобственным интегралов, или расходятся. 

Аналогично, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - особенная точка (рис. 7.15), то несобственный интеграл обозначается так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач незаконченная около какой-нибудь внутренней точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по условию существования обоих несобственных интегралов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по определениям кладут (рис. 7.16). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наконец, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - особенные точки, то по условию существования обоих несобственных интегралов  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по определению кладут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная точка интервала Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №159

Вычислить несобственные интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует, интеграл а) сходящийся 

б) Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, интеграл б) сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сформулируем теперь признаки схождения для несобственных интегралов второго рода. 

Теорема 4. Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют особенную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выполняют условие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из схождения интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается схождение интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из расхождения интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается расхождение интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №160

Доказать схождение интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заданный интеграл сходится, ибо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сходится интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 5. Пусть функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные, положительные и имеют особенность в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда если существует граница 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №161

Доказать сходство интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеют особенность в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится, то заданный интеграл тоже расходятся. 

Теорема 6. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- особенная точки функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также сходится. 

Пример №162

Доказать сходиться ли интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заданный интеграл сходится, потому что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сходился интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приближенное вычисление определенных интегралов

Пусть нужно вычислить определенный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция. Если можно найти первичную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то этот интеграл вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же первичная не является элементарной функцией, и функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана графиком или таблицей, то формулой Ньютона - Лейбница воспользоваться уже нельзя. Тогда определенный интеграл вычисляют приблизительно. Приблизительно вычисляют определенный интеграл и тогда, когда первичная функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач хоть и является элементарной, точнее ее значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  достаточно не просто.  

Приблизительные методы вычисления определенного преимущественно основывается на геометрическом содержанием определенного интеграла: если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Идея приблизительного вычисления интеграла состоит в том, что заданная кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменяется новой линией, "близкой" к заданной. Тогда искомая площадь приближенно равно площади фигуры, ограниченной сверху этой линией. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формулы прямоугольников. Пусть нужно вычислить определенный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от непрерывной на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поделим отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равных частей точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и найдем значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этих точках: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменим заданную криволинейную трапецию (рис. 7.17) ступенчатой фигурой, что складывается из Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямоугольников. Основания этих прямоугольников одинаковые и равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а высоты сходятся из значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в начальных точках частичных интервалов. Площадь ступенчатой фигуры и будет приблизительным значением определенного интеграла: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если высоты прямоугольников является значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в конечных точках частичных интервалов (рис. 7.18), то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно доказать, что погрешность приближенной формулы уменьшается, если высотами прямоугольников взять значение функции в точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (середины отрезков Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.19); тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (61) - (63) называются формулами прямоугольников. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формула трапеции. Заменим кривую Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не ступенчатой линией, как в предыдущем случае, а ломанной (рис. 7.20), получив соседние точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда площадь криволинейной трапеции приблизительно равно сумме площадей прямоугольных трапеций, ограниченных сверху отрезками этой ломанной.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ной трапеции равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - основы трапеции, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ее высота. Потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (64) называется формулой трапеции. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формула Симпсона. Во время выведения формулы трапеции кривую, которая является графиком функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменить ломанной линией. Чтобы получить точный результат, заменим эту кривую другой кривой, например параболой. 

Покажем сначала, что через три разные точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые не принадлежат на одной прямой, можно провести только одну параболу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На самом деле, подставляя в уравнение параболы координаты этих дочек, получим систему уравнений:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

определитель которой 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поскольку числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию разные. Следовательно, эта система имеет единственное решение то есть коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параболы обозначаются одинаково. 

Кроме того, решая систему (65) для точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейной трапеции, ограниченной параболой, которая проходит через точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.21): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.22). Если через точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой кривой  провести параболу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто по формуле (66) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Однако, если отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно значительный, то формула (67) дает большую погрешность. Чтобы увеличить точность, разобьем отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на парное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаковых частей, а криволинейную трапецию - на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частичных криволинейных трапеций. 

Используя к каждой из этих трапеций формулу (67), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложим почленно эти приблизительные равенства: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. Формулы (61), (62), (63), (64) и (68) называют квадратурными

Разницу между левой и правой частью квадратурной формулы называют ее остаточным членом и обозначают через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Абсолютная погрешность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач квадратурной формулы, очевидно, зависят от числа  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - количества частичных отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приведем формулы, которые позволяют, во-первых, оценивать абсолютные погрешности квадратурных формул если задано Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и во-вторых, обозначать число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы вычислить заданный интеграл с наперед заданной точностью. 

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнепрерывную  производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то абсолютная погрешность приближенных равенств (61) - (64) оценивается формулой 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые имеют вторую непрерывную производную и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается неравенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которое справедливо для формул прямоугольников и трапеций. 

Абсолютная погрешность в приблизительной равенстве (68) оценивается формулой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач четвертую непрерывную производную и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для формулы Симпсона справедлива оценка: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №163

Вычислить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этих точках:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле прямоугольников (61) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то остаточный член формулы прямоугольников Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (64) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то остаточный член формулы трапеций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле Симпсона Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то остаточный член формулы Симпсона Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть формула Симпсона значительно точнее формулы прямоугольников и формулы трапеций.

Пример №164

На сколько частей нужно разбить отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы по формуле прямоугольников вычислить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с точностью до 0,001? 

Поскольку для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Если взять Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, по формуле прямоугольников вычислить заданный интеграл с точностью до 0,001 достаточно отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разбить на 13 равных частей.

Некоторые применения определенного интеграла

Существуют две основные схемы применения определенного интеграла. 

Первая схема, или так названный метод интегральных сумм, основывается на значении определенного интеграла. Искомая величина сначала приближенно изображается в виде интегральной суммы, а потом точно выражается через границу этой суммы через определенный интеграл. Этим методом мы пользовались для решения задач п. 2.1.

Другая схема, или так названный метод дифференциала, состоит в том, что сначала складывается дифференциал искомой величины, а сама искомая величина находится интегрированием этого дифференциала в соответственных пределах. Особенно широко метод дифференциала используется в дифференциальных уравнениях. 

Рассмотрим использование определенного интеграла к решению некоторых геометрических и физических задач.  

Вычисление площадей плоских фигур

Как уже обозначалось (п. 2.2), если на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.4) находят по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Часто бывает, что фигура, площадь которой нужно найти, не является криволинейной трапецией. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то фигура Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит под осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.23). Площадь этой фигуры равна площадь криволинейной трапеции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая ограничена сверху кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда по формуле (69) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (69) и (70) можно объединять в одну: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула остается справедливой, если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченное число раз изменяет знак (рис. 7.24): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если нужно вычислить площадь фигуры Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 7.25), то по формуле (69) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть площадь фигуры, ограниченной кривыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле (72).

Если площадь фигуры имеют сложную форму (рис. 7.26), то прямыми, параллельными оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее нужно разбить на оконченную сумму (разницу) криволинейных трапеций. Тогда площадь фигуры равняется алгебраической суммы площадей образованных трапеций. 

Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывные функции, которые имеют на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является монотонной, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то для вычисления площади криволинейной трапеции достаточно в интеграле (69) сделать замену переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим формулу 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь рассмотрим плоскую фигуру Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченной кривой, заданной в полярной системы координат непрерывной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и лучами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.27). Такую фигуру называют криволинейным сектором. 

Вычислим площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разобьем отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точками 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и на каждом из них возьмем произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Элемент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площади, ограниченной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и промежутками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближенно равно площади кругового сектора, ограниченного теми самыми лучами и дугой круга радиуса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна площади ступенчатого сектора и является интегральной суммой для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда естественно считать, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №165

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и параболой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.28). 

Найдем абсциссы точек пересечения данных линий. Решая систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это и есть пределом интегрирования. 

По формуле (72) находим площадь:

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №166

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку эллипс симметричный относительно обоих координатных осей, то искомая площадь равна поделенной на четыре части площади фигуры, которая находится в первой четверти.  По формуле (73)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №167

Вычислить площадь, ограниченной " трехлистной розой" Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.4).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим площадь половины лепестка и умножим на шесть. Потому по формуле (74) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина дуги

Как известно дифференциал Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины дуги гладкой кривой, заданной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому длина дуги 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если кривая задана параметрически:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому ее длина 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть теперь гладкая кривая задана уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в полярных координатах. Если в равенствах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параметром считать угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому из формулы (76) находим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длину дуги гладкой пространственной кривой, заданной уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

вычисляют по формуле, аналогично формуле (76): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №168

Найти длину дуги параболы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле (75) получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №169

Найти длину одной арки циклоиды (рис. 3.6): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Воспользуемся формулой (76): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №170

Найти длину кардиоиды (рис. 3.8, б): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Изменяя полярный угол от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим половину искомой длины. Потому по формулой (77) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объем тела

Пусть нужно найти объем тела, если известны площади Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечений этого тела площадями, перпендикулярными к некоторой оси, например Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.29). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пересечем тело двумя плоскостями, которые проходят через точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярной к оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда полученную между пересечениями фигуру можно считать цилиндром с основанием Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому дифференциал объема Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то объем тела 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (78) называется формулой объема тела площадями параллельных пересечений

Рассмотрим также, объем тел вращения. Пусть криволинейная трапеция ограничена сверху графиком непрерывной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если эту трапецию вращать около оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получится пространственная фигура, которая называется телом вращения (рис. 7.30). Поскольку площадь параллельного пересечения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, согласно с формулой (78), объем тела, выполненного вращением данной трапеции около оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то объем тела, полученного вращением данной трапеции около оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №171

Найти объем эллипсоида (рис. 3.66) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В пересечении эллипсоида площадью, параллельной площади Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от нее, получается эллипс 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с полуосями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Площадь такого эллипса (п. 4.1) равно 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтогда по формуле (79) получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эллипсоид превращается в шар, в этом случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №172

Найти объем тела, полученного вращению параболы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач около: а) оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач б) оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (79) и (80) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь поверхности вращения 

Пусть кривая, задана непрерывной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается около оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пересечем поверхностью вращения двумя плоскостями, которые проходят через точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Заменим полученную между пересечениями фигуру срезанным конусом образующего которой равнаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  а радиусы основ равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.31). Если высота конуса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач довольно мала, то площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач боковой поверхности этой фигуры равны площади боковой поверхности срезанного конуса, то есть получим дифференциал площади Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя, найдем всю площадь поверхности вращения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №173

Вычислить площадь поверхности части параболоида, полученного вращением около оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параболы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

по формуле (81) находим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление работы

Пусть под действием силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальная точка движется вдоль прямой линии. Если направление движения соприкасается в направлением силы, то как известно (п. 2.1), а работа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполнена с этой силой при перемещении точки на отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №174

Вычислить работу, которую нужно выполнить, чтобы тело с массой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поднять с поверхности Земли вертикально вверх на высоту Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если  радиус Земли равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с законом Ньютона, сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач притяжения тела Землей равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - масса Земли; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - гравитационная постоянная; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - расстояние от центра тела до центра Земли. Положим постоянную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна весу тела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (82) получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №175

Какая работа выполняется во время сжимания винтовой пружины на 5 см, если для сжимания пружины на 1 см тратится сила 4 Н. Сжатие винтовой пружины пропорциональной приложенной силы. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сжатие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию пропорциональные: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянная. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому из равенства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому  по формуле (82) получаем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №176

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем (рис. 7.32) находится некоторое количество газа. Предположим, что этот газ расширяется и двигает поршень вправо. Какую работу выполняет при этом газ?

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - начальное и конечное расстояние поршня от левого дна цилиндра; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - путь, на который переместиться поршень; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - давление газа на единицу площади поршня; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - площадь поршня. Поскольку вся сила, что действует на поршень, равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

выполнена при  выталкивании поршня работы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выразится интегралом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначая объем данного количества газа через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Переходя в интегралы от переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к новой переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выразим работу через объем:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - начальное и конечное определение объемаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Кроме, если говорится про изометрический процесс расширения газа, то согласно с законом Бойля - Мариотта, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи тогда работа  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если рассматривается адиабатический процесс расширения идеального газа, то по закону Пуассона имеем  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - характерная для каждого газа постоянная, откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому работа 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №177

Найти работу, которую необходимо потратить, чтобы выкачать жидкость из резервуара, перевернутого вершиной вниз. Радиус и высота конуса равны соответственно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считаем элементарный шар жидкости, что находится на глубине Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндром, который имеет высоту Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи радиус Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из подобии треугольников  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Элементарная работа, которую необходимо затратить чтобы поднять этот шар жидкости на высоту Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление давления жидкости на вертикальную пластину

Как известно, давление жидкости на горизонтальную площадь, погруженную в жидкость, обозначается по закону Паскаля: давление Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач жидкости на площади равны ее площади Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач умноженной на глубину погружения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач густоты жидкости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и на ускорение свободного падения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в жидкость погрузить не горизонтальную площадку, то ее разные точки лежат на разных глубинах и этой формулой пользоваться нельзя. Если площадь очень мала, то все ее точки лежат на одной глубины, которую считают за глубину погружения площади. Это дает возможность найти дифференциал давления на элементарную площадку, а потом давление на всю поверхность. 

Пример №178

Найти давление жидкости на вертикально погруженный в жидкость полукруг, диаметр которого равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и находится на поверхности жидкости. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть элементарная площадь находиться на глубине Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.34). Считая ее прямоугольником с основой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем по закону Паскаля дифференциал давления: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегралы, зависимые от параметров. Гамма и бета - функции 

Интегралы, зависимые от параметров:

Рассмотрим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач двух переменных, обозначенному для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторого множества Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если при каждом фиксированном значении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачинтегрирована на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто определенный интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

является функцией параметра Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, от параметра может зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования, то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегралы вида (83) и (84) называют интегралами, зависимыми от параметра. Эти интегралы могут быть и несобственными. 

Теория интегралов, зависимых от параметров, имеет не только теоретическое, но и практичное значение. Не имея возможности предоставить эту теорию детально, рассмотрим только непрерывность, дифференцирование и интегрирование интеграла (83) по параметру (12) и приведем примеры. 

Теорема 1. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена и непрерывна как функция двух переменных в прямоугольнике Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то интеграл (83) непрерывный по параметру Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №179

Доказать, что интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывный по параметру Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто заданный интеграл, согласно с теоремой 1, непрерывный по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при произвольном значении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

К такому же выводу модно прийти, вычислив интеграл. Интегрируя частями, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда и получается непрерывность интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом действительном значении параметра Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь дифференцирование интеграла по параметру. 

Теорема 2. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливая формула Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (85) называется формулой Лейбница. Если такая формула допустима, то говорят, что функцию (83) можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. 

Пример №180

Найти производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные для произвольных значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеет место формула (85). Дифференцируя подынтегральную функцию по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и интегрируя частями, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предлагаем убедиться, что таким же будет результат, если сначала вычислить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом найти производную по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним условия, по каким функцию (83) можно интегрировать по параметру Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач под знаком интеграла. 

Теорема 3. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то справедлива функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №181

Вычислить несобственный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач гдеВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Введем в прямоугольнике Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Условия теоремы 3 получены, согласно с формулой (86), получим: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откудаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Сформулируем теперь аналоги теорем 1-3 зависимых от параметра несобственных интегралов. Для этого введем понятие равномерного схождения несобственных интегралов. 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена и непрерывна при всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует законченная граница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то она называется несобственным интегралом, сходящимся относительно параметра Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интеграл (87) называется равномерно сходящимся относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачесли для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется независимое от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4. Путь функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если существует функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая интегрирована по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и удовлетворяет при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неравенствуВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 5. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена и непрерывна как функция двух переменных при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и интеграл (87) сходятся равномерно относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то:

1) интеграл (87) непрерывный по параметру Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) справедлива формула Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) если, кроме того, производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна по обеим переменным при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится равномерно относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при выполнении условий теоремы 4 можно переставлять два интеграла, из которых один имеет незаконченный промежуток интегрирования, а второй - законченный. Во многих случаях, приходится переставлять интегралы, в которых оба промежутка интегрирования являются незаконченными, то есть пользоваться формулой: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основываясь на функции (90) - справа слишком сложная, для одного класса функций имеет место такое утверждение. 

Теорема 6. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не отрицательная и непрерывная по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция, и пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывна по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда если существует один из интегралов (90), то существует и другой, и эти интегралы равны. 

Пример №182

1. Вычислить интеграл Пуассона Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя подстановку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - некоторая производная, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку подынтегральная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется условие теоремы 6, то согласно с формулой (90), получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим, что неопределенный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в окончательном виде не интегрируется (п. 1.8). 

Приведем еще интегралы, при которых соответственные неопределенные интегралы в элементарных функциях не вычисляются. 

Бета - функция, или интеграл Ейлера первого рода, обозначается формулой 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Гамма- функцией, или интегралом Ейлера второго рода, называется интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что несобственный интеграл (92) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый интеграл в правой части этого равенства сходится, потому что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второй интеграл также сходится. На самом деле, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - произвольное натуральное число такое, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в чем можно убедиться, вычисляя остальной интеграл частями и учитывая, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, интеграл (92) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится и означает некоторую функцию, которую и называют гамма-функцией Г(а). 

Вычислим значение Г(а) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИнтегрирования частями, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенств (93) и (94) получается, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, гамма - функция для целых значений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но она обозначена и для нецелых положительных значений аргумента, то есть продолжает факториальную функцию из дискретных значений аргумента на непрерывной. Гамма - функция не является элементарной функцией. График этой функции изображен на рисунке 7.35. Свойства гамма - функции достаточно хорошо изучены и показаны в виде таблиц во многих учебниках. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем без доказательства формулу Стирлинга для гамма - функции: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если в этом равенстве положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и умножить ее на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Бета и гамма - функции связанны между собой соотношением 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №183

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с формулой (96), при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №184

Вычислить интеграл Ейлера - Пуассона Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая результат предыдущего примера, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №185

Выразить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через бета- функцию и вычислить его приближенно при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно с формулой (960 получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обычные дифференциальные уравнения

При исследовании разнообразных процессов и явлений что содержат элементы движения, часто используются математическими моделями в виде уравнений, до которых, кроме независимых величин и зависимых от них искомых функций, входят также производные от искомых функций. Такие уравнения называют дифференциальными. 

Дифференциальные уравнения называют обычными, если неизвестная функция является функцией одной переменной и дифференциальными уравнениями в частичных производных, если неизвестная функция является функцией нескольких переменных. В дальнейшем, говоря про дифференциальные уравнения, будем иметь в виду только дифференциальные уравнения. 

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнением вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которое связывает независимую переменную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (1) может не содержать Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но обязательно должно содержать производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения (1), неразрешимое относительно производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются неявным дифференциальным уравнениям. Если уравнения (1) можно решить относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то его записывают а виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и называют уравнением первого порядка, решением относительно производной, или уравнением в нормальной форме. Мы в основном рассмотрим именно такие  уравнения. 

Уравнение (2) можно записать еще и так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим остальное уравнение на некоторую функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение первого порядка, записанное в дифференциальной форме: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - известные функции. Уравнение (3) удобно тем, что переменные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в нем равноправны, то есть каждую из них можно рассмотреть как функцию другой. Привести дифференциальных уравнений вида (1), (2) и (3): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение неизвестной функции, что входит в дифференцирование уравнения, называют решением или интегрированием этого уравнения. Решением дифференциального уравнения (2) на некотором интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дифференцированная на этом интервале функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая при подстановке в уравнении (2) обращает его в тождество по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, подставляя эту функцию и ее производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данное уравнение, получим тождество Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несложно догадаться, что решением данного уравнения является также функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- произвольная постоянная. Представляя Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное действительное значение, каждый раз получаем решение данного уравнения, то есть получаем незаконченное множество решений. 

График решений дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. 

Ответ на вопрос про то, по каким условиям уравнение (2) имеет решение, дает теорема Коши (26). 

Теорема 1. Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее частичная производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определены и непрерывны в открытой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда существует единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (2), который удовлетворяет условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта теорема дает достаточные условия существования единственного решения уравнения (2).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрически теорема Коши утверждает, что через каждую точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит единственная интегральная кривая. Если зафиксировать Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи изменить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не выходя при этом из области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим разные интегральные кривые.Это наглядно показывает, что уравнение (2) имеет множество разных решений (рис. 8.1). 

Условие (4), согласно с которой решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает ранее заданное значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в заданной точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют начальным условием решения и записывают так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача нахождения решения уравнения (2), который удовлетворяют начальному условию (5), называют задачей Коши. С геометрической стороны, решить задачу Коши - означает выделить из множества интегральных кривых ту, которую проходит через заданную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точки плоскости, в которых не выполняются условия теоремы Коши называются особенными. Через  каждую из этих точек проходит несколько интегральных кривых или не проходит не одной. 

Решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого выполняется условие единственности, называют особенным решением. 

График особенного решения называют особенной интегральной кривой. Чтобы выяснить ее геометрическое содержание, введем понятие обводной. Пусть задано уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - переменные декартовые координаты, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - параметр. Это уравнение обозначает группу кривых, которые зависят от одного параметра, или, как часто говорят однопараметрическую группу кривых. 

Линия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется обводной однопараметрической группы кривых (6),  если она в каждой своей точке соприкасается с одной из кривых и если в разных точках она соприкасается к разным кривым (рис. 8.2).

Получается, что особенная интегральная кривая геометрически является обводной группы интегральных кривых дифференциальных уравнений, определенных его общим решением. 

Примеры:

  1. Уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет перечень решений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.3) - эта группа парабол. Правая часть уравнения удовлетворяет условия теоремы Коши на всей плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. 
  2. Уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем группу интегральных кривых, парабол, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того, очевидно, что это уравнение может также решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это решение особенное, потому что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывная. Прямая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикасается к группе парабол и ее обводной. 

Рассмотренные примеры показывают, что дифференциальные уравнения могут иметь бесконечное множество решений или группу интегральных кривых. По определенным условиям из этой группы можно выделить единственную кривую, которая проходит через заданную точку. В связи с этим дадим определение частичного решения дифференциального уравнения. 

Пусть правая часть дифференциального уравнения (2) удовлетворяет в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач условия теоремы Коши. 

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая зависит от аргумента Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произвольной постоянной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются общим решением уравнения (2) в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если она удовлетворяет два условия:

  1. функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением уравнения при любом значении постоянной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из некоторого множества;
  2. для произвольной точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти такое значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют начальному условию: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частичным решением уравнения (2) называется функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая удовлетворена из общего решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпри определенному значению постоянной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если общее решение дифференциального уравнению найдено в неявном виде, то есть вид уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то такое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения. Равенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом случае называют частичным интегралом уравнения. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дадим геометрическое толкование уравнение (2). Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- множество точек плоскости  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которых заданы и непрерывные функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и пусть точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставив координаты точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в правую часть уравнения (2), найдем значение производной в этой точке: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит интегральная кривая уравнения (2), то из геометрического содержание производной получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- угол между касательной к интегральной кривой в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и положительным направлением оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (2) ставят в соответствие значение угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Аналогично, точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (2) ставят а соответствие направление Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, каждой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференциальное уравнение (2) ставит в соответствие определение угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому уравнение (2) геометрически задает так называемое поле направлений. На рис. 8.5 это поле изображено стрелками (иногда это поле отображают маленькими отрезками). Каждой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует определенная стрелка с угловым коэффициентом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Понятно, что практично мы можем построить только несколько стрелок, но можно выяснить, что стрелки проведены в каждой точке области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь интегральную кривую уравнения (2). Поскольку направление дотической к интегральной кривой в данной точке соприкасается с направлением поля в этой точке, то геометрическую задачу интегрирования дифференциального уравнения можно толковать так: найти такие кривые, направление дотичных  к которым сходится с направлением поля в соответственных точках. 

Таким образом, со стороны геометрии уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет на плоскости поле направлений, а решение этого уравнения - интегральную кривую, которая в каждой своей точке соприкасается к поле направлений. 

Зная поле направлений дифференциального уравнения, можно приближенно построить поле направлений, пользуясь методом изоклина. Изоклина - кривая на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в каждой точке которой дотичные к интегральным кривых имеют одно и то же направление. Следует, все интегральные кривые, которые пересекают изоклину, в точках пересечения наклонные к оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач под одним и тем же углом. Отсюда и получается "изоклина" - линия одинакового наклона. 

Очевидно, для дифференциального уравнения (2) уравнения изоклины, которая соответствует угловому коэффициенту Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разным значением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разные изоклины. При этом направление каждой изоклины обозначается углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №186

Найти направление дифференциального уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и интегральную кривую, которая проходит через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Изоклиной тут будет группа концентричных кругов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач например, изоклиной есть круг Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач направление поля этой изоклины обозначается углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет изоклину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач направление поля которой определяется углом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и т.д. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этому уравнению соответствует единственная точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть изоклина содержит только одну точку. Чтобы изобразить интегральную кривую, через начальную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим кривую, которая в каждом своей точке направление поля, то есть соприкасалась к соответственной стрелке. 

Переходим теперь к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Если задачу про нахождение всех решений дифференциального уравнения удается взвести в вычислению ограниченного числа интегралов и производных от известных функций и алгебраических операций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах (или взводится до квадратур). Получили, что далеко не всякое дифференциальное уравнение, которое интегрируется в квадратурах, имеет решение, которое выражается через элементарные функции. Более того, очень часто дифференциальные уравнения дифференциальные уравнения нельзя проинтегрировать не только в элементарных функциях, а и в квадратурах. Но существуют типы дифференциальных уравнений, для которых это возможно. 

Рассмотрим такие уравнения. К сожалению, класс интегрированных в квадратурах дифференциальных уравнений достаточно узкий. 

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Уравнения вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные и непрерывны на некотором интервале функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. 

Правая часть уравнения (7) являет собой сумму двух множителей, каждый из которых является функцией только одной переменной. Для этого заменим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поделим обе части уравнения (7) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (учитываем, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и умножим на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда уравнение (7) запишется в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения вида (8), в котором множитель при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией, которая зависит только от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. 

Поскольку уравнении (8) содержит тождество равные дифференциалам, то соответственно обозначенные интегралы различаются между собой на постоянную величину, то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, уравнение (7) решено в квадратурах. 

Дифференциальное уравнение (7) является отдельным вариантом уравнения вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для разделения переменных в этом уравнении достаточно обоих его частей поделить на функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что при делении обоих частей уравнения (7) на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно потерять некоторые решения. Действительно, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то постоянная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является решением уравнения (7), поскольку превращает это уравнение в тождество. Это решение может быть как частичными, так и особенными. 

Аналогично замечание касается корней функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (9). 

Пример №187

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку эти уравнения можно записать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то оно является уравнением с разделенными переменными. Поделив обе его части на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя остальное уравнение, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим общий интеграл заданного уравнения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №188

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Преобразим левую часть уравнения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделив обе части этого уравнения на функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение с  разделенными переменными

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

интегрируя которое, находим общий интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому прямые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются интегральными кривыми данного уравнения. Следует, решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является особенными и их следует выписывать дополнительно к общему интегралу. 

Пример №189

Найти частичное решение уравнения  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое удовлетворяют начальному условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим переменные и проинтегрируем данное уравнение: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили общий интеграл. используя начальное условие, найдем постоянную  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив найденную постоянную в общий интеграл, получим искомое частичное решение: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные числа, и покажем, что переменной 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (10) вводится к уравнению  с  разделенными переменными.

На самом деле, дифференцируя равенство (11) по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, согласно с (10) получим уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разделяются переменные: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрируя эти уравнения и заменяя  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим общий интеграл уравнения (10). 

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, что тоже самое, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, согласно с уравнением (11) , уравнение (10) может иметь решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №190

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя эти уравнения, находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общий интеграл уравнения. Других решений этот интеграл не имеет, потому что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Однородные дифференциальные уравнения

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется однородной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-го измерения относительно переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется тождество Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - однородная функция другого измерения, поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - однородная функция нулевого измерения, поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальное уравнения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется однородным, если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является однородной функцией нулевого измерения. Очевидно, уравнение вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

будет однородным тогда и только тогда, когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут однородными функциями одного и того же измерения. 

Покажем, что однородные уравнения взводятся к уравнением отделяемыми переменными подстановкой 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестная функция: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция (14) является решением дифференциального уравнения (12)  и 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

по условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - однородная функция нулевого измерения, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положив в этом тождестве Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому уравнение (15) получается вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение с отделяемыми переменными. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, отделяя переменные, получим уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проинтегрировав, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим после интегрирования вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отношения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим интеграл уравнения (12). Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнения (16) запишется в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае уравнения (12) и (13) могут иметь еще решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №191

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Правая часть этого уравнения является однородной функцией нулевого измерения, потому что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует, дифференциальные уравнения являются однородными. Используя подстановку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим общий интеграл данного уравнения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач превращаем данное уравнение в тождество, потому является его решением. Это решение является особенным и его следует считать дополнительно к найденному интегралу. 

Пример №192

Найдем кривую, которая, которая проходит через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если известно, что треугольник, созданный осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дотичной к кривой в произвольной ее точке и радиусом - вектором точке дотику, равнобедренный, причем его основой его является отрезок дотичной от точки дотики до оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - искомая кривая. Проведем дотичную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в произвольной точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривой к пересечению с осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.7). 

По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задача отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачнайдем как ординату Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачиз уравнения дотичной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпри Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получили уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это однородное уравнение. Возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим общий интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя начальное условие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, уравнение искомой кривой имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Рассмотрим теперь уравнения, которые можно взвести к однородным. Пусть  имеем уравнение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные производные. 

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (17) взводится с уравнению с отделяемыми переменными. 

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можно сделать такую замену переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задаччто в линейных функциях исчезнут свободные члены, то есть выполняется равенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После такой замены уравнение будет однородным.

Пример №193

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем так, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, заменой переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданное уравнение взводится до однородного: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью подстановки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим общий интеграл этого уравнения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда, учитывая, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим общий интеграл заданного уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейные дифференциальные уравнения

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называют уравнения вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные и непрерывные на некотором промежутке функции.

Термин "линейные уравнения" объясняется тем, что известная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач входят в уравнения в первой степени, то есть линейной. 

Есть несколько методов интегрирования уравнения (18). Один из них (метод Бернулли) состоит в том, что решение этого уравнения ищут в виде произведения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - известные функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем одна из этих функций произвольная (или не равна тождественно нулю). 

Находя производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставляя значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (18) получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь произвольностью в выборе функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подберем ее так, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим эти уравнения. Отделяя в уравнении (20) переменные и интегрируя, найдем его общее решение: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем за Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач какой-нибудь частичные решение уравнения (20), например 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, из уравнения (21) находим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя функции (22) и (23) в (19), находим общее решение уравнений (18) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №194

Найти общее решение уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это линейное уравнение вида (18), а котором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подберем функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрируя первое из этих уравнений, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в другое уравнение, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

после чего найдем общее решение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №195

Найти решение уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который удовлетворяет условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общее решение данного уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем значение постоянной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором частичное решение удовлетворяет заданное начальное условие: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, искомое частичное решение имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения, которые доводятся к линейных. Уравнение Бернулли и Риккати

Рассмотрим классы уравнений, которые с помощью определенных преображений можно довести к линейным.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнения вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные функции, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно довести к линейным, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считать функцией, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - аргументом: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из равенств (24) и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получим линейное уравнение относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение этого уравнения ищем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №196

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим уравнение вида (24). Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считать функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эти уравнения станет линейным: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим это уравнение: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданы функцией, заменой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится к линейного относительно переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На самом деле, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестная функция, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  потому уравнение (25) получает вид уравнения (26). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнением Бернуллы называется уравнение вида 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач это уравнение - линейное, а при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - с отделяемыми переменными. Допуская Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поделим уравнение (27) на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получаем уравнение вида (25): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, заменой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения Бернулли приводится к линейному уравнению. Но на практике решение уравнения Бернулли удобнее искать методом Бернулли в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не приводя его к линейному уравнению. Следует обозначить, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Бернулли имеет решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №197

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПреобразим уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачоткуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим уравнение Бернулли относительно переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем его решения

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные функции, называются уравнением Риккаты. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные числа, то это уравнение интегрируется отделяемыми переменными: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение (28) остается линейным, а в случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнением Бернулли. В общем случае уравнение (28) не интегрируется в квадратурах. Но если известное его частичное решение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по заменой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения Рикатти приводится к уравнению Бернулли. 

Пример №198

Решить в квадратурах уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заданное уравнение является уравнением Риккати. Несложно понять, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решение этого уравнения, потому замена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводить его к уравнению Бернулли: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует, решением данного уравнения является: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае общий интеграл уравнения (29) имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная постоянная. Для того чтобы уравнения (29) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используем методику интегрирования уравнений в полных дифференциалах. Если для уравнения (29) условие (30) выполняется, но неизвестная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет равенству 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя равенство (31) по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим функцию  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с точностью к произвольной дифференцированной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - первичная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дифференцируя равенство (33) к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывая (320, получим уравнение для нахождения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другой способ решения уравнения в полных дифференциалах.

Пример №199

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В данном случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то левая часть заданного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

интегрируя, например, первое из уравнений (34) к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная дифференцированная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя равенство (35) к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно со вторым уравнением (34), получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная дифференцирования функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя равенство (35) к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно с вторым уравнением (34), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, общий интеграл заданного уравнения выражается равенством Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом уравнения в полных дифференциалах интегрируется довольно просто. В связи с этим возникает вопрос, можно ли умножением на определенный множитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное уравнение в дифференциальной функции (3) привести к уравнению в полных дифференциалах? Получается, что по определенным условиям это целиком не возможно. 

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется интегрированным множителем уравнения (29), если после умножения на нее этого уравнения оно становится уравнением в полных дифференциалах. Можно доказать, что всякое дифференциальное уравнение первого порядка, которое удовлетворяет условиям теоремы Коши, имеет перечень интегрированных множителей. 

Потому, согласно с условием (30), получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, чтобы получить интегральный множитель, нужно найти какое - нибудь частичное решение уравнения (36). Это уравнение является дифференциальным уравнением с частичными производными относительно неизвестной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В общем случае задача нахождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с уравнение (36) значительно сложнее, чем решение самого уравнения (29). 

Рассмотрим два случая, когда уравнение (36) упрощается и интегрированный множитель уравнения (29) можно найти. Допустим, что уравнение (29) имеет интегрированный множитель, который зависит только от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть в уравнении (36) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для нахождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим случайное дифференциальное уравнение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с которой одной квадратурой обозначается Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем, что уравнение (37) имеет смысл только в том случае, если выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а зависит только от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, если выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит только от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не зависит от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то интегрированный множитель является функцией одной переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его находят из уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Про другие способы построения интегрирования множителя можно узнать из (35). 

Пример №200

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку равенство (30) не выполняется, то заданное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому уравнение имеет интегрированный множитель, который зависит только от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Сложим уравнения (37) и решим его: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем интегрированный множитель - функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и умножим обе части заданного уравнения на этот множитель. Получим уравнение в полных дифференциалах

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эти уравнения, найдем, что общий интеграл заданного уравнения имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения, нерешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро

Пусть имеем уравнение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которое сложно или невозможно решить относительно производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим некоторые интегрированные в квадратурах классы таких уравнений. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть уравнение (39) зависит только от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если алгебраическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет хотя бы один действительный корень Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение (40) имеет общий интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач = произвольная постоянная. 

На самом деле, поскольку уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрируется Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то подставив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в (40) получим равенство (41). Можно показать что уравнение (40) особенных решений не имеет. 

Пример №201

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку алгебраическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет действительный корень Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то согласно с (41), общий интеграл заданного уравнения имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть уравнение (39) не зависит от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если ввести параметр Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то уравнение (42)  можно заменить двумя уравнениями 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такими, что   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачоткуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, искомые интегральные кривые обозначаются параметрическими уравнениями 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №202

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, параметрические уравнения искомых интегральных кривых имеют вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если уравнение (42) можно решить относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то за параметр удобно брать Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На самом деле, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- параметрические уравнения интегральных кривых. 

Пример №203

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим уравнение относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поставим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - параметрические уравнения интегральных кривых. 

Пример №204

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим уравнение относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поставим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находим параметрическое уравнение интегральных кривых:  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Параметр Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тут легко вычислить. Для этого из первого уравнения обозначим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

подставим во второе уравнение. Найдем общее решение заданного уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть уравнение (39) не зависит от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как и предыдущем случае, можно ввести параметр и заменить уравнение (43) двумя уравнениями: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такими, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, интегральные кривые обозначаются параметрическими уравнениями 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если уравнение (43) легко решается относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто за параметр берут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - известные функции, называется уравнением Лагранжа.

Кроме того, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение (44) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и называется уравнением Клеро.

Введем параметр Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда уравнение (44) записывают так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Делаем дифференциацию (46) к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (48) является линейным относительно неизвестной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решая его, найдем общее решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который вместе с уравнением (46) обозначает искомые интегральные кривые. 

Переходя к уравнению (48), мы делили обе части уравнения (47) на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом могут потеряться решения, для которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянной, увидим, что уравнение (47) выполняется в том случае, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является корнем уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следует, если уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеет действительные корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то найденные выше решения (44) нужно дополнить решениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если эти решения не удовлетворяют из общего ни одно из значений произвольной постоянной, то они являются особенными решениями. 

Рассмотрим уравнение Клеро. Положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя уравнение (49) к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому из (49) имеем общее решение уравнения (45): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим частичное решение в параметрической форме: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно доказать, что уравнение (51) - особенное решение уравнения Клеро, а именно, уравнение обводной группы прямых (50). 

Пример №205

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем уравнение Клеро. Общее решение, согласно (50), имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Особенное решение заданного уравнения получим с (51): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это уравнение обходной группы прямых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Ейлера

Мы рассмотрели некоторые классы дифференциальных уравнений, которые интегрируются в квадратурах. Есть еще несколько редких типов уравнений, которые можно решить. Но большинство уравнений не интегрируются приближенными методами. Познакомимся с простейшими из них - методом Ейлера. 

Пусть нужно найти решение дифференциального уравнения  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

начальным условием Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Допустим, что правая часть данного уравнения удовлетворяет условию теоремы Коши про существование и единственность решения. Тогда на некотором отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который удовлетворяет данному начальному условию (рис. 8.8). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разобьем отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равных частей. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближенные значения решения в точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проведем через точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямые, параллельные оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и последовательно получим такие однотипные операции. Подставим значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в правую часть данного уравнения и вычислим угловой коэффициент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближенного значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач искомого решения заменим на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегральную кривой отрезком ее касательной в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в правую часть данного уравнения вычисляя угловой коэффициент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  дотической к интегральной в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заменив на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегральную кривую отрезком касательной, находим приближенное значение решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и далее. Таким образом, приближена интегральная кривая построена в виде ломанной линии, которую называют ломанной Ейлера, а метод ее построения - методом Ейлера. Приближенные значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решения в точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляют по формуле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая является основой решения метода Ейлера. Точность этой формулы чем выше, тем меньше разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Существуют и другие приближенные методы решения задачи Коши (35). 

Некоторые использования дифференциальных уравнений первого порядка

Как уже говорилось, в разных сферах людской деятельности характер задач, которые взводятся к дифференциальных уравнений и методику их решения можно схематично описать так. Строиться некоторый процесс, например, физический, химический, биологический. Нас интересует определенная функциональная характеристика данного процесса, то есть зависимости от времени, температуры тела, которое охлаждается, или количество вещества, которая получается в результате химической реакции, или количество бактерий, которые выращиваются по определенным условиям. Если полная информация в ходе этого процесса является достаточной, то можно попробовать построить его математическую модель. Во многих случаях, такой моделью построения дифференциального уравнения, одним из решением которого и есть искомая функциональная зависимость. 

Таким образом, первый этап решения задач с практическим содержанием заканчивается сложением дифференциального уравнения  для искомой функции. Это творческая важнейшая часть решения, потому что существует универсальный метод складывания дифференциальных уравнений. Каждая задача требует индивидуального подхода, который основывается на знании соответственных законов (физики, химии и биологии) и умении перенести задачу на условия математики. Математическая зрелость инженера характеризуется а основном тем, насколько правильно он может математически сформулировать практические задачи, которые связаны с его специальностью. 

Если задача взведена к дифференциального уравнения, методы решения которого известны, то второй этап решения, то есть интегрирования уравнения, не создает затруднений. 

Рассмотрим несколько конкретных примеров. 

Пример №206

В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач бактерий. Найти зависимость увеличения числа бактерий от времени, если скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество бактерий в момент времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость размножения по условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коэффициент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от вида бактерий и условий, в которых они находятся. Его обозначают экспериментально. Интегрируя найденное уравнение, получим его общее решение: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №207

Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества пропорциональна его количеству в данный момент времени. Указать закон изменения массы вещества от времени, если при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  масса вещества была равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - масса вещества в момент времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент пропорциональности. Знак  минус берется потому, что с временем количество вещества уменьшается. Решая найденное уравнение, получим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №208

Согласно с законом Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разнице между температурой тела и температурой окружающей среды.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Известно, что нагретое до температуры Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тело поместили в среду, температура которой постоянная и равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти зависимость температуры тела от времени. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть в момент времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач температуры Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (знак минус указывает на уменьшение температуры). Отделяя переменные и интегрируя получим: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №209

Цилиндрический резервуар, на дне которого есть отверстие, заполненный жидкостью. Найти время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  за который жидкость вытечет из резервуара, если высота столба жидкости равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус цилиндра - Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь отверстия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Воспользуемся законом Торичелли, согласно с которым для маленьких отверстий скорость вытекания жидкости находят по формуле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - высота столба жидкости над отверстием,  - Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ускорение свободного падения. 

Пусть в момент времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач высота жидкости равнялась Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и за время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уменьшалась на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая, в течении времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость вытекания была постоянной и равнялась Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем объем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач жидкости, которая вытекла за время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.9). 

С другой стороны, уровень жидкости снизился на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приравнивая элементарные объемы, получим дифференциальное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрируя, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из условия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим постоянную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула выражает зависимость времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от высоты столба жидкости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем время, за которое вытечет вся жидкость 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №210

Вследствие химической реакции между жидкостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачмассами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается третья жидкость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Установить зависимость массы этой жидкости  от времени, если скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - количество жидкости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая получилась за время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после начала реакции. Тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - скорость получения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент пропорциональности. Отделяя  переменные и интегрируя, получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из начального условия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №211

В резервуаре находится Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач литров водяного раствора соли, причем в растворе содержится Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач килограммов соли. В некоторый момент времени включается пристрой, который непрерывно подает в резервуар Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач литров чистой воды за секунду и одновременно забирает из него ежесекундно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач литров раствора, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом жидкость постоянно перемешивается. Как изменяется с временем количество соли в резервуаре?

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как известно, концентрацией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач данной жидкости называется его количество, которое содержится в единице объема. Если концентрация равномерна, то количество жидкости в объеме Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - количество соли, которое остается в растворе после того, как пристрой работал Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач секунд. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому концентрация Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

За время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из резервуара вытекает  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач литров раствора, который содержит Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач килограммов соли. Потому переменная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач количества соли в резервуаре характеризуется уравнениям 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это есть искомое дифференциальное уравнение. Отделяя переменные и интегрируя, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Постоянную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим из начального условия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, количество соли в резервуаре изменяется с законом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №212

Нужно найти зависимость силы тока Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в контуре, который имеет электродвижущую силу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сопротивление Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и индуктивность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с законом Ома, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая это линейное уравнение заменой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим общее решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная постоянная. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Откуда видно, что сила тока при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближается к своему стационарному значению  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №213

Найти формулу зеркала, которое собирает в одну точку  пучок лучей, которые падают на него параллельно, если известно, что форма его поверхности является поверхностью вращения. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы лучи были параллельны оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а точкой, к которую собираются все лучи, была точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.10).  Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - уравнение осевого пересечения зеркала плоскостью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - точка падения луча Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на зеркало: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - точка пересечения касательной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по закону отбивания Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует дифференциальное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решая его относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим два однородных уравнения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим решение первого уравнения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это уравнение в плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает группу парабол, симметричных относительно оси  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  фокусы которых находятся в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Поскольку форма поверхности зеркала является поверхностью вращения, то, фиксируя постоянную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вращая параболу около оси, получим искомую поверхность в виде параблоида вращения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, которые содержат производные высших порядков. Порядок наивысшей производной неизвестной функции, что входят в дифференциальные уравнения, называется порядком этого уравнения. Кроме того, дифференциальные уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ого порядка имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - независимая переменная, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестная функция, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - известная функция. 

В уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -го порядка (52) производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ого порядка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может на самом деле сходить, тогда как наличие в нем прочих переменных, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  необязательна. 

Уравнение (52), не решенное относительно главной производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется неявным дифференциальным уравнением. 

Нормальным или явным дифференциальным уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-го порядка называется уравнение (52), решенное относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим в основном такие же уравнения. 

Решением уравнения (53) на некотором интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз непрерывного дифференцирования на этом интервале функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  которая при подстановке в данное уравнение превращает его в тождество по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График решения дифференциального уравнения (52) или (53) называется его интегральной кривой. 

Для дифференциальных уравнений высших порядков, как и для уравнений первого порядка, рассматривается задача Коши или задача с начальными условиями. Для уравнения (53) эта задача ставится так: среди всех решений уравнения (53) найти такое решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  которое при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет такому условию: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - произвольные наперед заданные действительные числа. 

Условия (54) называют начальными условиями уравнения (53). Кроме того, для уравнения второго порядка 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

начальные условия при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Существование и единственность решения задачи Коши обозначаются теоремой Коши. 

Теорема 2. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее части производной к аргументам Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывны в некоторой открытой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для всякой точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  существует единственная связь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  уравнения (53), который удовлетворяет начальному условию (54). 

Примем данную теорему без доказательства. Следует обратить внимание на то, что в этой теореме говорится про единственность решения в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач измерительному пространству: иначе говоря, единственность решения уравнения (53) с условиями (54) в отличие от дифференциального уравнения первого порядка не означает, что через данную точку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит только одна интегральная кривая уравнения (53).  Так, для уравнения (55) единственное решение с условиями (56) означает, что через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит только одна интегральная кривая уравнение (55) с угловым коэффициентом касательной в этой точке, который равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.11). Но через эту точку могут проходить и другие интегральные кривые, но с другим направлением касательной.  Наконец, остановимся на понятиях начального и частичного решения уравнения (53). Как мы уже видели, общее решение уравнения первого порядка находится с помощью операции интегрирования и содержат одну произвольную постоянную. В общем случае решение дифференциального уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - го порядка находится в результате Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач последовательных интегрирований, потому общее решение уравнения (53) содержит Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных постоянных, то есть имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если общее решение находится в неявной форме: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

то его называют общим интегралом уравнения (53). 

Частичное решение или частичный интеграл находят из общего, если в соотношении (57) или (58) каждой произвольной постоянной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дать конкретное числовое значение. Со стороны  геометрии общим решением уравнения (53) является Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параметрическая группа интегральных кривых, зависимых от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параметров Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а частичное решение - отдельная кривая из этой группы. 

Заметим, что не каждое решение уравнения (53), который содержит Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных постоянных, является общим решением. Решение (57) дифференциального уравнения (53), который содержит Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных постоянных, называется общим решением,  если можна найти такие единственные постоянные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что частичное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет начальному условию (54). 

Таким образом, решить дифференциальные уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - го порядка - это означает: 1) найти его общее решение; 2) с общего решения выделить частичное решение, который удовлетворяет начальному условию, если такие условия заданы. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения n - го порядка, которые интегрируются в квадратурах

Уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- го порядка интегрируются в квадратурах очень редко. Рассмотрим некоторые классы таких уравнений. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданная непрерывная функция, интегрируется в квадратурах. На самом деле, записав эти уравнения в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

и интегрируя, получим

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянная интегрирования.

Аналогично найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачотсюда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные интегрирования. Продолжая далее, после интегрирования найдем общее решение уравнения (59): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №214

Найти общее решение уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Последовательно получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.2. Материальная точка массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач падает вертикально под действием силы земного притяжения. Найти закон движения точки, если в начальный момент времени точка имела скорость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Падение считать свободным, то есть сопротивлением среды. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - путь, который прошла точка за время  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - соответственно скорость и ускорение движения.  На тело действует сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ускорение свободного падения. Тогда по второму закону Ньютона 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем дифференциальные уравнения вида (59) относительно неизвестной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с условием задачи начального условия имеют вид

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательно интегрируя, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись начальными условиями, находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, получаем известные из физики формулы для скорости и пути при свободном падении тела 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим уравнение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если заданное уравнение можно решить относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим уже рассмотренный случай Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что уравнение (60) можно решить относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение (61) получит вид: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в тождество Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя уравнение (62) тем же методом, что и уравнение (59) учитывая сразу, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим решение уравнения (60) в параметрической форме. 

Пример №215

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, начальное решение данного уравнения в параметрической форме имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения, которые допускают понижение порядка

Одним из методов решения дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка. Суть его состоит в том, что с помощью соответственной замены переменной данное дифференциальное уравнение взводится к уравнению нижнего порядка. 

Рассмотрим два типа дифференциальных уравнений, которые допускают понижение порядка. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть задано дифференциальное уравнение вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

которое не содержит явно искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить, если за новую неизвестную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвзять самую низкую из производных данного уравнения, то есть положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому получаем уравнение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, порядок уравнения понижается на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц. Кроме случая уравнения (63) является уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

которое с помощью новой переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взводится уравнение первого порядка: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

 Если для этого уравнения удается найти общее решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то приходим к уравнению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  вида (59),  которое интегрируется в квадратурах. 

Пример №216

Решить уравнение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим линейное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решив это уравнение, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №217

Тело массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач падает вертикально с некоторой высоты без начальной скорости. При падении тело подвергается сопротивлению ветра, пропорционального квадрату скорости Найти закон движения тела. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - путь, пройденной телом на время Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от начала движения, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - скорость и ускорение. На тело действуют силы: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вес тела и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - сопротивление ветра. По второму закону Ньютона получаем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент пропорциональности. 

Получим дифференциальные уравнения второго порядка, которое не содержит явно неизвестной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с условие задачи получим такие начальные условия: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Отделяя переменные и интегрируя, находим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, для обозначения неизвестной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  

Интегрируя, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому искомый закон движения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим дифференциальное уравнение вида 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которое не содержит явно зависимой переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (64) допускают понижение порядка на единицу. На самом деле положим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где новой неизвестной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функция от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда по правилу дифференцирования сложенной функции получаем: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть порядок другой производной понизился на единицу. Аналогично получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Методом индукции можно доказать, что порядок всех следующих производных также понижается на единицу. 

Таким образом, от уравнения (64)  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - го порядка приходим к уравнению Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отдельным случаем уравнения (64) является уравнение

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

которое подстановкой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взводится к дифференциального уравнения первого порядка: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №218

Решить уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем уравнения вида (65). Положив 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Эти уравнение распадается на два: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Из первого получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В другом уравнении отделяются 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем второе решение данного уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует заданное уравнение имеет решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №219

Найти наименьшую скорость, с которой нужно метнуть тело вертикально вверх, чтобы оно не вернулось на Землю, сопротивляясь ветру. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно массе Земли и массе тела. Согласно закону притяжения Ньютона, сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач притяжения, что действует на тело, равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - расстояние между центром Земли и центром массы тела; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - гравитационная постоянная. 

Учитывая, что на тело действует только сила инерции и сила тяжести, запишем дифференциальные уравнения движения тела: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знак минус берем потому, что со временем скорость движения уменьшается, а это означает, что ускорение отрицательное. 

Найденное дифференциальное уравнение не содержит аргументу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть это уравнение вида (65). Решим его начальными условиями: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - радиус Земли; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - скорость кидания. 

Положим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - скорость движения тела. 

Подставляя эти величины в уравнения, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отделяя переменные и интегрируя, находим общее решение этого уравнения:  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно с начальными условия на поверхности Земли Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив найденное значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а общее решение, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи выход тела из гравитационного поля Земли означает, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то полученное неравенство выполняется для произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач только в случае, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Из закона притяжения получается, что ускорение свободного падения равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На поверхности Земли Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Следует скорость метания должна удовлетворять неравенству  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то наименьшая скорость метания, которая обеспечит выход тела из гравитационного поля Земли равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения вида  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные функции, называют линейным дифференциальным уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- ого порядка. 

Термин "линейные уравнения" связан с тем, что уравнение (66) содержит неизвестную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и все ее производные только в первой степени. 

Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются коэффициентами данного уравнения,  а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - его свободным членом. Если свободный член Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тождественно равен нулю, то уравнение (66) называется однородным, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение (66) называется неоднородным. Коэффициент  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв своей области определения, или в противном случае уравнение (66) не было бы уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ого порядка. Поделив данное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получимВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

таким образом, дифференциальное уравнение вида (66) всегда можно привести к виду (67). В связи с этим мы далее рассмотрим только такие уравнения. 

Если в некотором интеграле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вольный член Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - это непрерывные функции, то уравнения (67) при любых начальных условиях 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеет единственное решение, которое выполняет эти условия. 

На самом деле, записав уравнение (67) в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач увидим, что оно удовлетворяет всем условиям теоремы 2. Можно доказать, что решение уравнения (67), которое удовлетворяет условию (68), существует и единственный на этом интеграле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Далее будем считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (67) на некотором интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются непрерывными функциями. 

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и установим некоторые свойства его решений. 

Очевидно, одним из решений уравнения (69) является Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это решение называют нулевым или тривиальным. Далее под задачей решения однородного дифференциального уравнения будем подразумевать задачи, в которых будем искать его нетривиальные решения. 

Теорема 1. Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решения уравнения (69), то с решением этого уравнения является также функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставив функцию (70) в уравнение (69), получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - решения уравнения (69), то выражения в квадратных скобках тождественно равны нулю, а это значит, что функция (70) является решением уравнения (69) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция (70) содержит две произвольные постоянные и являются решением уравнения (69), потому естественно возникает вопрос: является ли решение (70) общим решением уравнения (69)?  Чтобы ответить на эти вопросы, введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функции. 

Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются линейно независимыми на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если тождество 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа, сбывается тогда и только тогда, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Если хотя бы одно из чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличное от нуля  выполняется тождество (71), то функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называются линейно зависимыми на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несложно представить, что функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда линейно зависимы на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда существует такое постоянное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Иначе говоря, две функции тогда и только тогда линейно зависимы, когда они пропорциональны. Например, пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач линейно зависимы, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - линейно независимы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - функции от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим определитель

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется определителем Вронського этих функций обозначаются символом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Теорема 2. Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - дифференцированные и линейные зависят от промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то определитель  Вронського на этом промежутке тождественно равно нулю. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть,  например, в тождестве (71) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3. Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - линейно независимые уравнения (69) на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определитель Вронського этих функций в каждой точке данного промежутка не равны нулю. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приведем теорему методом от противного. Допустим, что существует  точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  которой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Сложим систему уравнений: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные числа, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решение уравнения (69). Поскольку определитель системы (72) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то она имеет ненулевое решение. Обозначим его через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и введем функцию 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта функция по теореме 1 является решением уравнения (69), причем согласно с системой (72), удовлетворяет  начальные условия 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но функцию, которая удовлетворяет и уравнение (69), и начальные условия (73), является также функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку для дифференциального уравнения (69) выполняются все условия теоремы Коши про существование единственного решения, то решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соприкасаются, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство означает, что решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачявляются линейно зависимыми промежутку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПришли  к противоречию. Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из теорем 2 и 3 получается такой критерий линейной независимости решений дифференциального уравнения: для того, чтобы решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачуравнения (69) были линейно независимыми на заданном промежутке необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронського не равнялся нулю хотя бы в одной точке данного промежутка. 

Теперь мы можем дать ответ на поставленный ранее вопрос. Установим отличия, по которым функция (70) будет общим решением уравнения (69). 

Теорема 4. Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - два линейно независимые на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решения уравнения (69), то функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные, является общим решением. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с теоремой 2 функция (74) является решением уравнения (69), а любых значений постоянных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы доказать, что это решение общее, покажем что из него можно выделить такой единственное частичное решение, которое удовлетворяет произвольно заданному начальному условию. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Подставив начальные условия (75) в равенство (74), получим систему линейных алгебраических уравнений: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в которой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- неизвестные числа. Определителем этой системы является определитель Вронського Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - линейно независимые функции, то согласно с теоремой 2 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому данная система имеет единственное решение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и является тем частичным решением уравнения (69), которое удовлетворяет начальному условию (75). 

Как уже говорилось, далеко не любое дифференциальное уравнение второго порядка решается в квадратурах. То же самое происходит и с линейными уравнениями (69) с переменными коэффициентами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но если известный одно частичное решение уравнения (69), то можно найти и общее его решение. 

Теорема 5. Если известное какое-нибудь частичное ненулевое решение уравнения (69), то эти уравнения решаются в квадратурах. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ненулевое решение уравнения (69). Возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестная функция от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (69), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решение уравнения (69), то выражения в фигурных скобках равно нулю, потому остальное уравнение имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачгде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - новая неизвестная функция от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приходим к уравнению с отделяемыми переменными: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №220

Доказать, что функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются линейно независимыми решениями уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти общее решение этого уравнения. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в заданное уравнение, убеждаемся, что каждое из них обращает равнение в тождество, следует, является его решением. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - линейно независимы. Тогда, согласно с теоремой 3, общее решение этого уравнения запишется в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные. 

Пример №221

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое имеет частичное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с теоремой 5 возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   Подставим вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его значение и решим относительно функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение второго порядка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные и непрерывные на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции. Линейное однородное уравнение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

левая часть которого соприкасается с левой частью неоднородного уравнение (76), далее будем называть соответственным ему однородным уравнением. 

Теорема. Общим решением уравнения (76) является сумма его произвольного частичного  решения и общего решения соответственного однородному уравнению (77). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичное решение уравнения (76), а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общее решение уравнения (77). Убедимся, что функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

- решение уравнения (76). Подставляя функцию (78) в уравнении (76), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем теперь, что функция (78) - общее решение уравнения (76), который удовлетворяет заданному начальному условию 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив условия (79) в функцию (78), получим систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестны. 

Определителем этой системы будет определитель Вронського Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку эти функции линейно независимы, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, система имеет единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, получили решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (76), который удовлетворяет начальному условию (79). Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из теоремы получается, что для нахождения общего решения уравнения (76) нужно найти какое-нибудь его частичное решение, а так же общее решение соответственного однородного уравнения. Оба этих значения являются сложными. Но если известное общее решение однородного уравнения (77), то частичное решение уравнения (76) можно нати, используя так называемым методом вариации произвольных постоянных, который принадлежит Лагранжу. 

Метод вариации произвольных постоянных 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

- начальное решение однородного уравнения (77), соответственно уравнению (76). Заменит в формуле (80) постоянные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестными функциями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подберем эти функции так, чтобы функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Была решением уравнения (76). Найдем производную (76). Найдем производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положим на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач условие, чтобы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С учетом условия (82) производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получит вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем вторую производную 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив значения  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (76), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решение однородного уравнения (77), то выражение в квадратных скобках равно нулю, а потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, функция (81) будет тогда частичным решением уравнения (76), когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  удовлетворяет систему уравнений (82) и (83): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определителем этой системы будет определитель Вронського Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля линейно независимых решений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (77), потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда система (84) имеет единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - некоторые функции от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Интегрируя эти функции, находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потом по формуле (81) сложим частичное решение уравнения (76). 

При нахождении частичных решений может стать полезной следующая теорема. 

Теорема. Если правая часть уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна сумме двух функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решение уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет решением данного уравнения. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это означает, что когда можно найти решения уравнений, правыми частями которых являются отдельные слагаемые заданной правой части, то можно очень прости - в виде суммы решений - найти решение данного уравнения. 

Пример №222

Уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет частичное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти частичное решение уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с теоремой, искомое решение имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №223

Найти общее решение неоднородного уравнения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

общее решение соответственного однородного уравнения. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач запишем частичное решение данного уравнения в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения неизвестных функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сложим систему уравнений вида (84): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, найдем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрируя получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем частичное решение данного уравнения:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

- общее решение данного неоднородного уравнения. Таким же будет результат, если во время интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ввести произвольные постоянные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Как уже говорилось, основной задачей в дифференциальных уравнениях является нахождение их общего решения. Эта задача лучше изучена для линейных уравнений с постоянными коэффициентами. 

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа. 

Ейлер предложить искать частичные решения этого уравнения в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянная, которую нужно найти. Подставив функцию (86) в уравнение (85), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет корнем уравнения (87), то функция (86) будет решением уравнения (85). Квадратное уравнение (87) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (85). 

Обозначим корни характеристического уравнения через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возможно три случая: 

  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные и разные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - комплексные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач действительные и равные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим каждый из случаев отдельно. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корни характеристического уравнения  действительные и разные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв этом случае частичными решениями (85) является функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти решения линейно независимы, потому что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Согласно с теоремой 4 (п. 3.2) общее решение уравнения (85) находят по формуле

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачКорни характеристического уравнения комплексно - сопряженные: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (86), найдем решения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле Ейлера Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, подставив функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (85) получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее тождество возможно, если выражения в скобках равны нулю . Это означает, что функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - решения уравнения (85). Согласно с этим замечанием частичными решениями уравнения (85) являются функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти решения линейно независимые, поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому общее решение уравнения (85) запишется в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корни характеристического уравнения действительные и равные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (86) получим одно из решений: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второе решение ищем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестная функция от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдя Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставив их в уравнения (85) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - корень уравнения (87), то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по теореме Виета Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные. Возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем второе частичное решение уравнения (85): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - линейно независимые, потому общее решение уравнения (85) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №224

Найти общее решение уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложим характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем его корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (88) искомое решение имеет вид: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №225

Решение уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет комплексные корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Общее решение получим по формуле (89): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с специальной правой частью

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданные действительные числа,Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - заданная функция, непрерывная на некотором промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно с теоремой п. 3.3, общее решение такого уравнение представляет собой сумму частичного решения уравнения  (91) и общего решения соответственного однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже находить умеем, потому рассмотрим детальные вопросы про нахождение частичного решения неоднородного уравнения. 

Наперед следует обозначить, что частичное решение неоднородного дифференциального уравнения (91) можно найти в квадратурах методом вариации произвольных постоянных (п. 3.4). Но для уравнений с специальной правой  частью частичного решения можно найти значительно проще, не вдаваясь к операции интегрирования. 

1. Пусть правая чать в уравнении (91) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительное число, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возможны такие случаи:

а) число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является корнем характеристического уравнения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда дифференциальное уравнение (91) имеет частичное решение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неопределенные коэффициенты. 

На самом деле, подставляя функцию (94) в уравнение (91), после укорочения на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач -многочлен степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, слева и справа в тождестве (95) стоят многочлены степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приравнивая коэффициенты про одинаковых степенях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим систему Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач линейных алгебраических уравнений, с которой обозначим  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестных коэффициентов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач многочлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Не останавливаясь далее на доказательствах, укажем форму, в которой нужно искать частичное решение уравнения (91), зависит от вида правой части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этого уравнения; 

б) если число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соприкасается с одним корнем характеристического уравнения (93) то есть является простым корнем этого уравнения, то частичное решение уравнения (91) нужно искать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) если число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является двукратным корнем уравнения (93), то частичное решение (91) ищут в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объединяя случаи а) - в): если правая часть уравнения (91) имеет вид (92), то частичное решение этого уравнения нужно искать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен с неопределенными коэффициентами этой же степени, что и многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - число корней характеристического уравнения, которое равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является корнем характеристического уравнения, то получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть правая часть в уравнении (91) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа. Частичное решение уравнения (91) нужно искать вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлены степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с неопределенными коэффициентами; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - высшая степень многочленов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - число корней характеристического уравнения, которые равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Кроме того, если правая часть уравнения (91) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - известные действительные числа, то частичное решение этого уравнения нужно искать в виде

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные коэффициенты, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - число корней характеристического уравнения (93), которые равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Замечание 1. Искомые многочлены  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулах (94), (96) и (97) могут быть полными, то есть содержать все степени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от 0 к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач независимо от того, является ли полным заданный многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это же выполняется для многочленов могут быть, как говорят, разными. 

Замечание 2.  Если правая часть уравнения (91) является суммой нескольких разных по структуре функций вида (92) или (98), то для вычисления частичного решения нужно использовать теорему про наложение решений (п. 3.4). 

Замечание 3. Использованные метод подбора отдельного частичного решения уравнения (91) можно использовать только для определенных дифференциальных уравнений, а именно для линейных уравнений с постоянными коэффициентами и с специальной правой частью вида (92) или (98). В других случаях частичное решение нужно искать методом вариации произвольных постоянных. 

Пример №226

Решить уравнение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корень Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общее решение однородного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку правой частью данного уравнения является функция вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле (94) частичное решение искомое в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные коэффициенты. Найдя производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставив их в уравнения, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, частичное решение данного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

искомое общее решение. 

Пример №227

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общее решение соответственное однородное уравнение. 

Правая часть данного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то частичное решение ищем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные коэффициенты. Найдя производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставив их в данное уравнение, получим после взведения подобных членов и укорочения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - частичное решение данного уравнения, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общее решение. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пример №228

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое  уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общее решение однородного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку правой частью данного уравнения является функция вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является простым корнем характеристического уравнения то согласно с формулой (96) частичное решение нужно искать в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а именно: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные коэффициенты. 

Найти Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и подставив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данном уравнении упрощенно находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичное решение данного уравнения; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - начальное решение. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №229

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  потому общее решение соответственного однородного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Правая часть данного уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией вида (100), где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соприкасается с одним из корней характеристического уравнения, потому согласно с формулой (101) частичное решение ищем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правая часть данного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то частичное решение ищем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные коэффициенты. Найдя производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставив их в данное уравнение, получим после взведения подобных членов и упрощения на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичное решение данного уравнения, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - общее решение. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №230

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общее решение однородного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку правой частью данного уравнения является функция вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является простым корнем характеристического уравнения, то согласно с формулой (96) частичное решение нужно искать в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а именно: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные коэффициенты. 

Найдя и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данное уравнение, после упрощения находим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Далее получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичное решение данное уравнение: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общее решение. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №231

Найти решение уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое удовлетворяет начальным условиям: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общее решение соответственного однородного уравнения имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Правая часть уравнения является суммой двух разных по структуре функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  потому по теореме про накладывание решений частичных решений данного уравнения равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичные решения уравнений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. 

Частичное решение первого из этих уравнений ищем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поставив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачв первое уравнение, после сокращения получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частичное решение второго уравнения ищем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общее решение данного уравнения. 

Найдем частичное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию. Дифференцируем начальное решение:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив в начальное решение и его производную начальные условия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - искомое решение.Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №232

Решить уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общее решение соответственного однородного уравнения. Правая часть  уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является функцией специального вида (92) или (98), потому частичное решение данного уравнения методом подбора искать нельзя. 

Найдем это решение методом Лагранжа. Сложим систему вида (84) и решим ее 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим частичное решение: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- общее решение данного уравнения. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  

Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка

Используем методы нахождения решений дифференциальных уравнений второго порядка к уравнениям высших порядков. Беспрерывно детально по теории (см. (26)), сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры. 

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные действительные числа. 

Характеристическими для уравнения (102) называется алгебраическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ой степени вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестное действительное или комплексное число. 

Как известно , уравнения (103) имеет Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач корней. Обозначим эти корни через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Каждому простому корню Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (103) соответствует частичное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (102), а каждому корню Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кратности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частичных решений вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждой паре Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпростых комплексно - спряженных корней уравнения (103) соответствует два частичных решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (102), а каждой паре Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачкомплексно - спряженных корней кратности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частичных уравнений вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общая сумма кратности всех корней уравнения (103) равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому количество всех частичных решений уравнения (102), сложенных согласно с этой теоремой, равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть соприкасается с порядком уравнения (102). Обозначим эти частичные решения через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Можно показать, что найденные частичные решения являются линейно независимыми, и общее решение уравнения (102) находится по формуле

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть теперь задано неоднородное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные действительные числа, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная на некотором промежутке функция. 

Как и для уравнений второго порядка, общим решением уравнения (105) является функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - общее решение соответственного однородного уравнения (102), а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичное решение уравнения  (105). 

Построение общего решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  уравнения (102) выяснено. Проанализируем нахождение частичного решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если правая часть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  уравнения (105) является функцией специального вида (98), то для нахождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач используют метод вариации произвольных постоянных. Согласно уравнению (105) суть этого метода такова. 

Пусть функция (104) является общим решением соответственного однородного уравнения (102). Находим частичное решение уравнения (105) по той же формуле (104), учитывая, что величины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  функции от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные функции. 

Сложим систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, находим производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом интегрируем и сами функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если взять все постоянные интегрирования равными нулю и подставить функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в равенство (106), то получим частичное  решение уравнение (105), если в равенство (106) подставить функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные, то сразу получим общее решение. 

Пример №233

Решить уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с теоремой имеем частичные решения: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Начальное решение данного уравнения находим по формуле (104): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пример №234

Найти решение уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое выполняет начальное условие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем неоднородное  линейное уравнение третьего порядка. Характеристическое уравнение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Общее решение соответственного однородного уравнения  имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Правой частью данного уравнения является функция вида (100), где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является корнем характеристического уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то отделяемое решение искомое в виде (101): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неведомые коэффициенты. Найдя производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставив их в данное уравнение, после упрощение получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  отсюда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичное решение неоднородного уравнения, а 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

- - общее решение. Продифференцировав его дважды, найдем: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись начальными условиями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим систему уравнений:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, искомое решение имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №235

Задача про битье вала. Для быстрого вращения тонкого и долгого вала характерно, как показывает опыт, такое явление: при увеличении угловой скорости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач она достигает такого значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором вал не сохраняет прямолинейную форму, а начинают, как говорят, биться: если и далее увеличивается скорость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то битье сначала прекращается, а потом снова возникает при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Скорость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют критическими скоростями вращения вала. Вычислить эту скорость. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Видим, что величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач прогиба вала, закрепленного в точкахВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет уравнению 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент упругости; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- момент инерции поперечного пересечения вала: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - вес единицы длины вала и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-- ускорение свободного падения. 

Положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

получим уравнение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Его характеристическое уравнение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общее решение данного дифференциального уравнение имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На концах вал закреплен, поэтому получим начальные условия

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  этой системы соответствует случаю, если вал сохраняет прямолинейную форму: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь те значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых система уравнений имеет ненулевые решения. Из первых двух уравнений получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Подставляя эти значения в остальные два уравнения, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись значением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем искомые критические скорости: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения колебаний

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка широко используют при изучении явлений, связанных с разнообразными колебаниями. 

Пусть в некоторой среде вдоль оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется материальная точка массой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что на эту точку действуют такие силы: сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент восстановления), которая пытается повернуть точку к началу координат; сила сопротивления Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент сопротивления); внешняя сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач направление которой соприкасается с направлением движения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то дифференциальное уравнение (107) называют уравнением вынужденных колебаний, а при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнением вольных колебаний. 

Заметим, что уравнение вида (107) описывают механические колебания груза на пружинной рессоре, малые колебания математического или физического маятника, вертикальны и бортовые колебания корабля, электрические, звуковые колебания и много других. 

Вольные гармоничные колебания

Рассмотрим уравнение вольных колебаний 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет два корня:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возможно три случая. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Коэффициент сопротивления больше чем коэффициент восстановления Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда общее решение уравнения (108) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График его в определенных начальных условиях показан на рис. 8.12, из которого видно, что никаких колебаний не происходит,Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть материальная точка направляется к равновесию. Такое движение называют  затухающим колебанием.  

Объяснить это можно тем, что влияние силы сопротивления, которое затормаживает движение, настолько преобладает над влиянием силы восстановления, которая создает движение, что движение затухает раньше, чем материальная точка перейдет в положение равновесия. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Коэффициент сопротивления равен коэффициенту восстановления: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда общее решение уравнения (108) имеет вид (рис. 8.13) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такое движение называется апериодическим. Он не отличается от предыдущего в том понимании, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачКоэффициент сопротивления меньше коэффициента восстановления: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда общее решение уравнения (108) имеет вид: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

преобразим решение (109) до вида  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь уже точка на самом деле происходит колебание - так названные затухающие гармоничные колебания. Величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется начальной амплитудой, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частотой, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - периодом, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - начальной фазой затухающих гармоничных колебаний. 

Если коэффициент опоры Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда материальная точка выполняет случайные гармоничные колебания. В случае, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач амплитуда колебаний равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в отличии от случайных гармоничных колебаний,  не является постоянной величиной: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует точка направляется к равновесию, но не монотонно, как в предыдущих случаях, а колебаясь около положения равновесия с постепенно затихающими амплитудами. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Схематический график затухания гармоничного колебания при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  изображено на рис. 8.13.

Значение постоянных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формуле (109) или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формуле (110) обозначаются из начальных условий - начального отклонения точки и ее скорости. 

Вынужденные колебания. Резонанс

Пусть в уравнении (107) внешняя сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда движение точки описываем линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Начальное решение этого уравнения в квадратурах можно найти методом вариации произвольных постоянных. 

Рассмотрим случай, когда движение происходит в  среде без сопротивления и на колебании систему деятельность переодичная внешняя сила 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда уравнение (107) получает вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начальным решением этого уравнения является сумма начального решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственного однородного уравнения и какого-нибудь частичного решения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (112).

 Из формулы (111) получается, что общее решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Чтобы найти частичное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, рассмотри два случая. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нерезонансный случай: предположим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть частота внешней силы отлична от частоты вольных колебаний. Поскольку число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не сходится с корнями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач характеристического уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то согласно с формулой (101) частичное решение нужно искать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдя коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач известными способами (п. 4.2), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда общее решение уравнения (112) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, частичное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает колебание точки, обусловленное внешней силой, начальное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - вольные колебания, а начальное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - движение колебания, что получается вследствие складывания двух колебаний с разными частотами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В случае, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач близки по величине, материальная точка выполняет колебание с большей постоянной амплитудой. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Резонансный случай: пусть теперь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть частота внешней силы равна частоте вольных колебаний. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соприкасается с корнем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачхарактеристического уравнения, частичное решение нужно искать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находя коэффициенту Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общее решение уравнения (112) имеет вид

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Из этой формулы получается, что как и в предыдущем случае, имеем колебательное движение, которое выполняется вследствие складывания двух колебаний, но с одинаковыми частотами. Второе слагаемое решения показывает, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть материальная точка через некоторое время выполняется колебание с очень большой амплитудой, даже если амплитуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач внешней силы совсем мала. Это явление называется резонансом. Резонанс играет важную роль в технике и физики. Каждое упругое тело имеет свою определенную частоту колебаний, которая зависит только от свойств тела. Если происходит резонанс, то действие силы, насколько бы маленькая она не была, можно произвести к построении колебательной системы. Потому про проектировании разнообразных сооружений  (зданий, машин, мостов, самолетов, кораблей и т.д) особенно важно относятся к расчетам прочности сооружения, связанного с резонансом. Резонансом объясняют хорошо известное явление, когда небольшое "раскачивание" упругого тела (например, моста) вызывает его разрушение. 

Системы дифференциальных уравнений 

В многих научно - технических задачах бывает необходимо найти не одну, а сразу несколько неизвестных функций, которые связаны между собой несколькими дифференциальные уравнения. Совокупность таких уравнений образует систему дифференциальных уравнений. 

Пример №236

Пусть материальная точка массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Нужно обозначить закон движения точки, то есть принадлежит координатам Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от времени  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда на нее действует сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Когда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

- радиус - вектор движимой точки, то ее скорость и ускорение находится по формулам: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач под действием которой двигается точка, обычно говорят, является функцией времени, координат точки и проекции скорости на оси координат: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому согласно с вторым законом Ньютона дифференциальные уравнения движение точки имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это векторное уравнение эквивалентное системы трех скалярных уравнений: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведенные дифференциальные уравнения образуют систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех неизвестных функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №237

Рассмотрим два электрических контура. Допустим, что эти контуры. Допустим, что эти контуры находятся в электромагнитной связи: смена тока в одном контуре индуцирует электродвижущую силу во втором (рис. 8.14). 

Из физики известно, что по определенным условиям индуктивное напряжение в первом контуре равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а во втором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - коэффициент взаимной индуктивности, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила тока соответственно в первом и втором контурах. Если в обоих контурах отсутствует внешняя электродвижущая сила, но изменения тока в контурах регулируется дифференциальными уравнениями: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

но после дифференцирования по Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили систему линейных дифференциальных уравнений порядка с постоянными коэффициента относительно двух известных функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим некоторые простейшие системы дифференциальных уравнений. В этой лекции независимую переменную обозначим буквой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задача неизвестные функции - через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нормальные системы уравнений

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, если в левой части уравнений системы (80) стоят производные первого порядка, а правые части уравнений совсем не содержат производных, то такая система называется нормальной. Решением системы (113) называется совокупность функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые удовлетворяют каждому из уравнений этой системы. 

Важность изучения нормальной системы состоит в том, что во многих случаях взводятся системы и уравнения высших порядков. Например, систера второго порядка 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

введение новых переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится к нормальной степени 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким же образом - введением новых переменных - любое дифференциальное уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ого порядка, решенное относительно главной производной, приводится к эквивалентной нормальной системы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнений первого порядка. 

На самом деле, пусть задано уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ого порядка

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили нормальную систему 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

эквивалентную заданному уравнению. 

Покажем, что возможный и обратный переход: нормальную систему уравнений можно заменить одним уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы. Пусть задана нормальная система (113). Продифференцируем к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач любое, например, первое уравнение: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив в это равенство производных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с системами (113), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Аналогично находим производные к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-го порядка включительно: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если из первых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - 1 уравнений системы (114) найти переменные 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

подставив их значения в остальное уравнение, то получим уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ого порядка относительно переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольные постоянные - решение уравнения (116). Продифференцировав его Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - 1 раз и подставив значения производных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнения (115), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

можно доказать, что совокупность функций (117), (118) будет общим решением системы (114). 

Для нормальной системы (114) выполняется теорема Коши про существование и единственность решения: если в некоторой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы (114) непрерывные вместе со всеми производным Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для любой точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует единственное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое удовлетворяет начальному условию: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для интегрирования системы (114) можно использовать метод, с помощью которого эта системы была приведена к уравнению (116). Этот метод называют методом исключения переменной. 

Пример №238

Решить систему уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПродифференцируем первое уравнение: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив в это уравнение значение производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с второго уравнения системы: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдя из первого уравнения значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставим его в найденное уравнение, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Интегрируя его, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, общее решение данной системы имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть задана нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для удобства ограничимся тремя уравнениями 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные. Эту систему методом исключения переменных всегда можно привести к одному линейному однородному уравнению третьего порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим еще один метод решения системы (119). 

Ищем отдельные решения системы в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - неопределенные постоянные, которые нужно найти. 

Подставив функции (120) в систему (119) и укоротив на слагаемое Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили алгебраические однородную систему линейных уравнений. Чтобы эта система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскрыв определитель, получим алгебраическое уравнение третьей степени относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  которое называется характеристическими уравнениями системы (119). 

Рассмотрим случай, когда уравнение (122) имеет три действительные разные корни Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для каждого из этих корней запишем систему (121) и обозначим неизвестные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно доказать, что общее решение системы (119) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Случаи, когда уравнения (122) имеет кратные или комплексные корни, сложные и мы их не рассмотрим. В связи с этим заметим, что характеристическое уравнение (122) системы (119) соприкасается с характеристическими уравнениями дифференциального уравнения третьего порядка, до которого приводится система (119). Таким образом, если известные корни уравнения (122), то всегда можно найти общее решение уравнения третьего порядка, к которому приводится система (119), а потом и общее решение самой системы (119).

Следовательно, независимо от структуры корней характеристического уравнения, систему (119) всегда можно решить, если только известные корни. 

Ряды

ряды очень широко используются в математике, особенно при исследовании разнообразных технических проблем, связанных с приблизительным интегрированием дифференциальных уравнений, вычислением  значений функций и интегралов, решением трансцендентных и алгебраических уравнений  и далее. 

Простейшие ряды - сумма членов неограниченной геометрической прогрессии  - впервые ввели ученые Древней Греции, Архимед использовал такой ряд для вычисления плоскости параболического сегмента. 

Систематическими ряды начали пользоваться, начиная с 17 века, но теория строев была создана только в 19 веке по основным понятиям в работах К. Гаусса, О. Коши и многих других ученых. 

Числовые ряды 

Пусть задана последовательность действительных чисел

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рядом называют выражение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этому выражению мы не приписываем числа, потому что незаконченное число складываний выполнить нельзя. Для каждого Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ым членом, а число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ой частичной суммой ряды (1). 

Если последовательность частичных сумм Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется суммой ряды (1), а ряд называется совпадающими. Символично это записывается так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач оконченной границы не имеет, то строка (1) называется расходящимися

Пример №239

Исследовать, сходящиеся ли ряды: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а) Рассмотрим частичную сумму Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то строка а) расходящаяся 

б) Выпишем последовательность частичных сумм: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта последовательность границы не имеет, потому ряд б) расходящийся 

в) Найдем сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ряд в) сходящийся и сумма его Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

г) Это геометрическая прогрессия с первым членом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и знаменателем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точнее было бы сказать - срока, сложенная из членов геометрической прогрессии. Но для краткости ряды г) далее называем геометрической прогрессией. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач строка г) сходится, а при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - расходится. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть строка расходится. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим строку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при непарном Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при парном Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует, потому строка сходится. 

Таким образом, геометрическая прогрессия сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

д) Эту строка называется гармоничной. Покажем, что он расходится. 

Известно, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая почленно левые и правые части неравенств, получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, гармоничная строка расходится. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простейшие свойства числовых строк

Рассмотрим некоторые свойства числовых рядов. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачЕсли ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится и имеет сумму Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так же сходится и его сумма равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Другими словами, сходящуюся строку можно умножить почленно на одно и тоже число. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

- частичные суммы данных строк. По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, строка  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится и его сумма равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ряды, которые сходятся, можно почленно складывать и отнимать, то есть если ряды Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходятся и имеют сумму соответственно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то сходятся также ряды Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и суммы их равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичные суммы соответственных рядов. 

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На складываемость ряды не влияет отбрасывание и присоединение к ней  ограниченного количества членов. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичная сумма ряда (1), Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откинутых членов, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - сумма членов ряды, которые содержатся в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не содержатся в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с найденные  равенством, границы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, то есть строка (1) сходящийся (расходящийся) тогда и только тогда, когда строка сходиться и расходится без ее Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач членов. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Рассмотрим строку (1) и положим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Величину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ым остатком ряды (1), ее можно рассматривать как сумму ряды, который образуется в строке (1) после откидывания первых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его членов. 

Если строка сходится и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Справедливое и более общее утверждение. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ряд (1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда их произвольные остатки сходятся (расходятся).

Это свойство является последствием свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- сумма заданного ряда, тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условие Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является только необходимой для схождения ряды, но не достаточной. Это означает, что существуют ряды которые расходятся, для которых это условие выполняется. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то строка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится. 

Действительно, если бы данная строка была сходящимися, то по свойству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его общий член направлялся бы к нулю при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что противоречит условию. 

Пример №240

Исследовать на схождение ряды: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тут используется необходимое условие схождения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но ряд расходится. Действительно,

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, строка а) расходится.

б) Тут используется достаточное условие расхождения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому ряд б) расходится. 

в) Ряд сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то никакого вывода про схождение и расхождение ряда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сделать нельзя. 

Нужное положительное исследование, которое выполняется с помощью достаточных условий схождения ряда. Если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ряд расходится. 

Знакоположительные ряды. Достаточные оценки схождения

При исследовании на схождение знакоположительных рядов, то есть рядов с отрицательными членами, чаще используют такими достаточными условиями (признаками) схождения, как признаки сравнения, признаки Д`Аламбера и Коши и интегральный признак Коши. 

Теорема 1. Пусть задано два ряда с  неотъемлемыми членами

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

и для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда, если ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2). Если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (3). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть ряд (3) сходится и 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 - частичные суммы рядов (2) и (3). 

Поскольку ряд (3) сходится, то существует граница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач его частичных сумм. Кроме того, члены ряда (2) неотъемлемы, потому частичные суммы не спадают. Тогда по теореме 4 последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет границу, то есть ряд (2) сходится. Если же ряд (2) расходится, то ряд (3) также расходится, или когда бы ряд (3) сходился, а это противоречит условию.Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Признаки сравнения можно использовать и тогда, когда неравенство (4) выполняется не для всех членов ряда (2) и (3), а начиная с некоторого номера Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это получается из свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2.  При исследовании рядов с помощью признака сравнения необходимо знать, какие ряды сходятся, а какие нет. 

Для сравнения часто пользуются рядами: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый из этих рядов, как известно, называется геометрической прогрессией. Второй из рядов называется рядом Дирихле, или обобщенным гармоническим рядом. Его мы исследуем позже. Кроме того, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим гармонический ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

который, как известно, расходится. 

Пример №241

Исследовать на схождение ряда: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используем признаки сравнения. 

а) Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ряд а) тоже сходится. 

б) Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится как гармоничный, то ряд б) также расходится. 

Теорема 2. Если задано два ряда положительными членами

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем существует ограниченная, отличная от нуля граница 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то ряды или одновременно сходятся, или одновременно расходятся. 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда для производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется такой номер Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получится неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если ряд (5) сходится, то из неравенства (7) и теоремы 1 получается, что ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также сходится. Тогда, согласно с свойством Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ряд (6) сходится. 

Если ряд (5) расходится, то из неравенства (7), теоремы 1 и свойства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получается расхождение ряда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и ряда (6). Аналогично, если ряд (6) сходится (расходится), то сходится (расходится) будет и ряд (5). 

Пример №242

Исследовать на схождение ряда: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используем предельный признак сравнения. 

а) поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и гармонический ряд, а) также расходится. 

б) Сравним этот ряд с схождением ряда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, данный ряд сходится. 

Теорема 3. Если для ряда с положительными членами

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

существует граница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то:  

1) ряд сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) ряд расходится Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда для произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такой номер Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выбрать так, чтобы число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда из правой части неравенства (9) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Даем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с последнего неравенства получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 то есть члены ряда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

меньшие соответственные членов ряда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот ряд сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому по определению сравнения ряда (10) также сходится. Ряд (8) получается из ряда (10), если к последнему присоединить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач член Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому по свойству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ряд (8) сходится. 

2) Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из левой части неравенств (9) получается, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть члены ряда возрастают с возрастанием их номера. Потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и ряд (8) расходится (свойство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ряд (8) расходится, потому существует номер Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачтакой, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ряд может как сходится, так и расходится. В этом случае ряд нужно исследовать с помощью других признаков. 

Пример №243

Исследовать на сходимость ряда: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Воспользуемся определением Д'Аламбера: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

заданный ряд сходится.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует, ряд расходится. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ряд расходится. 

Теорема 4. Если для ряда (8) с положительными членами существует граница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то этот ряд сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует номер Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Допустим, что  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Выберем число  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из неравенства (11) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из неравенств Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по признаку сравнения ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится. Тогда сходятся будет и ряд (8), который образуется в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач присоединением к нему Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач членов: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из неравенств (11) получается, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ибо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следует, ряд расходится (свойство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач\

Пример №244

Исследовать на схождение ряды: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используем признак Коши 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть заданный рад разбегается 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть заданный рад разбегается. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 5 Пусть задан ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

члены которые являются значениями непрерывной, положительной и монотонно спадающей функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда ряд (12) сходится, если сходящийся несобственный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходится, если этот интеграл расходится. 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.1) Плоскость ее равна интегралу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Впишем в эту трапецию и опишем около нее ступенчатые фигуры, образованы из прямоугольников, основами которых являются промежутки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а высоты равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - частичная сумма ряда (12). 

Пусть интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходятся. Это означает, что существует граница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастают с возрастанием Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена сверху своей границей: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из неравенства (13) получается, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена. 

Таким образом, монотонно возрастающая последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачограничена сверху, а потому имеет границу  Следует, ряд (12) сходится. 

Пусть теперь интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится, тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и из неравенства (14) получается, что ряд (12) тоже расходится.  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №245

Исследовать на схождение ряда (см. п. 1.3): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используем интегральную признака Коши 

а) Возьмем функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несобственный интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот интеграл расходится потому и данный ряд расходится 

б) возьмем функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислим несобственный интеграл: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач\

Несобственный интеграл сходящийся при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже сходящийся. 

Расхождение ряда при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получается из того, что в этом случае Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Гармоничный ряд расходится, потому по признаку сравнения заданный ряд, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже расходится. Таким образом, обобщенный гармоничный ряд схождения при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи расходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряды, в которых знаки членов строго чередуются. Признак Лейбница

В предыдущем пункте мы рассмотрели ряды с положительными членами. Ряды с неположительными членами можно исследовать аналогично, поскольку от знакоположительных они отличаются множителем -1, который на схождение ряда не влияет. 

Рассмотрим теперь ряд, знаки членов которого строго чередуются, то есть ряд, произвольные два соседние члены которого имеют разные признаки: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот ряд  отслеживается на сходство с помощью такого достаточного признака. 

Теорема 1. Ряд (15) сходится, если 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом сумма ряда положительная и не превышает первого его члена. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим частичную сумму с парным числом членов: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С условием (16) получается, что каждая разница в скобках положительна, потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает с возрастанием Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть последовательность ограничена сверху. 

Следует,  последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  монотонно возрастает и ограничена, потому имеет границу. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим границу сумм с непарными индексом. Учитывая условие (17) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенств Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

получается, что ряд (15) сходится и его сумму Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим, что к рядам, знаки которых строго чередуются, принадлежит также ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

.Если для такого ряда выполняется условия 1) и 2), то он сходящийся, его сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрицательна и выполняет неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Таким образом, для рядов (15) и (18) признака Лейбница формируется так: если модуль Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач-ого члена ряда (15) или (18) с возрастанием Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач спадает и направляется к нулю, то ряд сходится, причем модуль первого члена.

Ряды (15) и (18), для которых выполняется признак Лейбница, называются рядами  Лейбница.  

Вывод. Абсолютная погрешность от замены суммы сходящегося ряда (15) его частичной суммой не превышает модуля первого из откинутых членов ряда, то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, остаток сходящегося ряда (15) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

-- это сходящийся ряд, члены которого строго чередуются. По доказательству абсолютная величина его суммы не превышает абсолютной величины первого члена, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот вывод широко используется при приблизительных вычислениях. 

Пример №246

Доказать, что ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится  и найти его сумму с точностью до 0,001. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, все три условия признака Лейбница выполняются: 1) знаки членов данного ряда строго чередуются; 2) модули его членов монотонно спадают; 3) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ный член ряда направляется к нулю при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, ряд сходится и имеет определенную сумму Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того, чтобы вычислить эту сумму с точностью до 0,001, нужно взять столько его членов, чтобы первый из следующих членов был по модулю меньше чем 0,001. Тогда весть остаток ряда, начина с этого члена, будет меньше от 0,001. В данном случае получим, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть чтобы найти сумму данного уравнения  с точностью до 0,001, достаточно оставить первые два члены ряда, а остальные откинуть. Таким образом, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как отрицательные, так и положительные. Рассмотренные в предыдущем пункте ряды,  в которых знаки чередуются, являются, отдельным случаем знакопеременных рядов. 

Возьмем произвольный знакопеременный ряд

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут иметь произвольный знак. Одновременно рассмотрим ряд, образованный из модулей ряда (19):

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для знакопеременных рядов справедлива такой признак сходимости. 

Теорема. Если ряд (20) сходится, то сходится и ряд (19).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВозьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию ряд (20) сходится, потому из остальных неравенств и признаков сравнения получается, что ряды Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач также сходятся. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то согласно со свойством Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ряд (19) тоже сходится. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта теорема показывает, что при исследовании на сходимость знакопеременных рядов можно воспользовавшись признаками схождения знакопеременных рядов. 

Пример №247

Исследовать на схождение ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольное действительное число. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложим ряд из модулей членов заданного ряда

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходятся как обобщенный гармоничный (п. 1.3), то по признаку рядов из модулей схождения, потому сходится и заданный ряд. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что доказанная теорема дает только достаточному условию схождения и не является условием схождения знакопеременного ряда, поскольку существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды образованные из модулей их членов, расходятся. Например, ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится по признаку Лейбница, а ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образованный из модулей его членов, расходятся. В связи с этим все ряды, которые сходятся, можно разделить на абсолютные и условные. 

Знакопеременный ряд (19) называют абсолютно сходившимися, если ряд (20), образованный из модулей его членов, являются сходящимися. 

Если же ряд (19) сходится, а ряд (20), полученный из модулей его членов, расходится, то ряд (19) называют условно сходящимся. Так, ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является сходящимся, а ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - условно сходящимися. 

Понятие про числовые ряды с комплексными членами 

Пусть  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - последовательность комплексных чисел. Комплексное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют оконченной границей последовательности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует номер Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и записывают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательность, которая имеет оконченную границу, называют сходящейся, а последовательность, которая не имеет оконченную границу - расходящейся. Связь между границей последовательности комплексных чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и границами последовательности действительных чисел Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается такая теорема: для того, чтобы последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имела оконченную границу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо и достаточно, чтобы последовательности  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имели оконченные границы, которые равны соответственно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - комплексные числа, называют числовым рядом с комплексными членами. 

Суммы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют частичными суммами ряда (21).

Ряд (21) называют сходящимися, если сходящая последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходящимися, если эта последовательность расходящаяся. 

Введем теперь ряды с действительными членами: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и построим их частичные суммы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выполняется такая теорема. 

Теорема 1. Для того чтобы ряд (21) был сходящимся к числу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимой и достаточной, чтобы ряды (22) и (23) были сходящимися соответственно к числам Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При доказательстве на сходимость рядов с комплексными членами используют также достаточным признаком сходимости. 

Теорема 2. Если ряд, образованный из модулей членов ряда (21)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  сходится, то сходится, причем абсолютно, ряд (21)

Пример №248

Исследовать на сходимость ряды: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а) рассмотрим соответственные ряды с действительными членами 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первый из них сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второй сходится с признаком Лейбница. Следует, по теореме 1 данный ряд сходится 

б) Рассмотрим соответственные ряды с действительными числами 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью, например, интегрального признака Коши можно удостовериться, что первый из этих рядов сходится, а другой расходится. Следует, по теореме 1 данный ряд сходится. 

в) воспользуемся теоремой 2. Сложим ряд из модулей членов данного ряда: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот ряд сходится, потому что является геометрической прогрессией, в которой знаменатель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, ряд абсолютно сходится. 

Степенные ряды 

Перейдем теперь к изучению функциональных рядов, то есть ряд членами которого не являются числами,  а функции, обозначенные на некотором множестве.  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если взять произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и в ряде (24) положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим числовой ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот ряд может как сходится, так и расходится. Если ряд (25) сходится, то точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется точкой схождения функционального ряда (24). Если ряд (25) расходится, то точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется точкой расхождения функционального ряда (24). 

Множество всех точек сходимости функционального ряда называют областью его сходимости. Область схождения функционального ряда может сходится с множеством Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на котором обозначены члены ряда, или содержать некоторую часть этого множества. 

Частичная сумма функционального ряда является функцией от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначатся аналогично с числовыми рядами: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В каждой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая принадлежит области схождения ряда (24), существует законченная граница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую называют суммой ряда (24) и записывают 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена в области схождения функционального ряда. Если функциональный ряд (24) сходится к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то разница Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - ым остатком ряда: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получается, что для всех значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из области сходимости ряда: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Известно, что для всех значений числа непрерывных функций является непрерывной функцией. Кроме того, сумму оконченного числа функций можно почленно дифференцировать и интегрировать. Получается, что эти свойства не всегда выполняются для сумм неоконченного числа функций, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть для функциональных рядов. Эти свойства сохраняются и для так называемых равномерно сходящихся рядов. 

Функциональный ряд (24) называется равномерно сходящимся на множестве Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если для произвольного числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которое зависит  только от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не зависит от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим понятия равномерного и неравномерного схождения функционального ряда со стороны геометрии. 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - это Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ая часть суммы, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - сумма ряда (24). Возьмем произвольное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и построим кривые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 9.2). Остальные две кривые образуют полосу шириной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можно найти номер Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач начиная с которого для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач графики частичных сумм ,Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разместятся по всему промежутку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач посередине полосы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.2, а)

 Практически, это означает, что сумму Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно приблизительно (с известной заданной точностью), заменить одной и той же частичной суммой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если ряд неравномерно сходится на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то такого номера не существует: графики частичных сумм Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выходят за грани полосы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что для разных значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисления суммы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью определенной частичной суммы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с одной и той же точностью невозможно. Такое вычисление можно сделать, но для разных значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно будет брать частичные суммы, то есть разное число членов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сумах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Равномерно сходящиеся функциональные ряды имеют ряд важных свойств. Сформулируем некоторые из них без доказательства. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Суммой членов равномерно сходящегося на некотором промежутке ряда непрерывных функций является функция, непрерывная на этом промежутке. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функциональный ряд (24) равномерно сходится и члены ряда непрерывны на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то его можно найти почленно и интегрировать в границах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функциональный ряд (24) сходится на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, его члены имеют непрерывные производные   Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно сходится на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то заданный ряд можно почленно дифференцировать, то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для исследования функционального ряда на равномерность схождения используют таким достаточным условием равномерного схождения. 

Теорема (признак Вейэрштрасса). Функциональный ряд (24)  абсолютно и равномерно сходится на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, если существует знакоположительный числовой ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

такой, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из условия (27) и признака сравнения получится, что ряд (24) абсолютно сходится в произвольной точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из абсолютного схождения ряда (24) получим абсолютное схождение его остатка. Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где остаток ряда (26) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому для произвольного Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует независимый от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач номер Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №249

Найти область схождения функционального ряда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждый член ряда, обозначенный на множестве Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На этом множестве ряд является геометрической прогрессией с знаменателем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданный рад сходится. Следовательно, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - область схождения этого ряда. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №250

Исследовать на равномерное схождение ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Воспользуемся признаком Вейэрштрасса. Поскольку при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

сходящийся (по признаку Д'Аламбера), то заданный функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на всей числовой оси. 

Пример №251

Найти сумму ряда

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то по признаку Вейэрштрасса ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот ряд образуется почленным дифференцированием геометрической прогрессии 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По свойству Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно сходящихся рядов получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал  и радиус схождения степенного ряда 

Степенным рядом, называется функциональный ряд вида

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа, которые называют коэффициентами ряда

 Степенным рядом по степени двучлена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительное число, называют функциональным рядом вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд (29) изменением переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводят к ряду вида (28), потому далее рассмотрим только степенные ряды вида (28).

Всякий степенной ряд вида (28) сходится в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к сумме Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому область схождения степенного ряда всегда содержит по крайней мере одну точку. Детальные свойства про область схождения (28) получим из следующей, очень важной в теории рядов теореме. 

Теорема Абеля. Если степенной ряд (28) сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то он абсолютно сходится для всех значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что удовлетворяет неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ряд (28) расходится, то от расходится везде, где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку по условию ряд (28) сходится в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то сходится и числовой ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда получается, что последовательность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ограничена, то есть существует такое число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что для Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть модуль каждого члена ряда (28) не превышает соответственного члена схождения геометрической прогрессии. Тогда по признаку сравнения при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ряд (28) абсолютно сходится.

 Пусть теперь ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится при  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда ряд (28) будет расходится и для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что удовлетворяет неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

На самом деле, если допустить, что он сходится в какой нибудь точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что удовлетворяет это неравенство, то по доказательству он будет сходится и в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач А это противоречит потому, что в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ряд сходится. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Абеля, по рис. 9.3, следует, для области схождения степенного ряда возможно три случая: 1) ряд  (28) сходится только в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) ряд (28) сходится при всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 3) существует такое оконченное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач степенной ряд абсолютно сходится, а при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - расходится (рис. 9.4). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют  радиусом схождения степенного ряда, а интервал Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интервал схождения

Укажем способ определения радиуса схождения степенного ряда. Возьмем ряд из модулей членов ряда (28): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что существует граница 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно с признаком Д'Аламбера, ряд (28) является абсолютно сходящимся при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходящимися при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следует, интервал Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является интервалом абсолютного схождения ряда (28), а число 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

его радиусом схождения.

Аналогично воспользовавшись признаком Коши, можно установить, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Несложно получить, что когда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то ряд (28) является абсолютным сходящимся на всей числовой оси. В этом случае, считают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и степенной ряд имеет только одну точку схождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2. Вопрос про схождения ряда при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач решается для каждого ряда отдельно. таким образом, область схождения степенного ряда можно разделять от интервала Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не больше между двумя точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Радиус схождения ряда (29) обозначается теми же формулами (30) и (31), что и у (28) ряда. 

Интервал схождения ряда (29) находят из неравенств Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть имеет вид Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4.  На практике интервал схождения степенного ряда часто находят по признаку Д'Аламбера или признаком Коши, используя их к ряду, сложенному из модулей членов заданного ряда. 

Пример №252

Найти область схождения рядов: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач воспользуемся формулой (30): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - следует, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть данный ряд сходится только в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  следует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интервал схождения этого ряда. Исследуем схождение ряда на концах интервала. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим числовой ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

который сходится по признаку Лейбница. При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

который расходится про признаку уравнения с гармоничным рядом. Таким образом, областью схождения данного ряда является промежуток Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

г) Воспользуемся признаком Д'Аламбера. Для данного ряда получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

по признаку Д'Аламбера ряд будет абсолютно сходящимся, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - интервал схождения данного ряда и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - его радиус схождения. 

Рассмотрим схождение этого ряда на концах интервала схождения.

При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

который сходится по признаку Лейбница. 

При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим обобщенный гармонический ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

который также сходится Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, областью схождения данного ряда является отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства степенных рядов

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Степенной ряд

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

абсолютно и равномерно сходится на произвольном отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который целиком содержится в интервале схождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Абеля ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится. Для произвольной точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому по признаку Вейэрштрасса ряд (28) абсолютно и равномерно сходятся. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих свойств и свойств Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функциональных рядов (п. 2.1) получаются такие утверждения. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сумма степенного ряда (28) непрерывна в середине его интервале схождения. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если грани интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат посередине интервала схождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ряда (24), то на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этот ряд можно почленно интегрировать. 

Кроме того, если ряд (28) интегрировать на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в результате получим степенной ряд, который имеет тот самый интервал схождения, что и ряд (28); при этом, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - сумма ряда (28): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если ряд (28) имеет интервал схождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ряд, образованный дифференцированием ряда (28), имеет тот же интервал схождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - сумма ряда (28), то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, ряд (28) на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз в каждой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом интервалом схождения каждого ряда является тот же интервал Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сформулированные свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приблизительных вычислениях.

Пример №253

Найти сумму ряда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачОбозначим сумму данного ряда через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту сумму можно рассмотреть как геометрическую прогрессию с первым членом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и знаменателем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем сумму прогрессии получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это равенство на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд Тейлора

До сих пор мы изучали свойства суммы заданного степенного ряда. Будем считать теперь, что функция задана и выясним, по каким условиям эту функцию можно показать в виде степенного ряда и как найти этот ряд. 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является суммой степенного ряда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае говорят, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложена в степенной ряд около точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но по степеням Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем коэффициенты ряда (32). Для этого, согласно с свойством Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (п. 2.3) последовательно дифференцируем ряд (32) и подставляем в найденные произвольные значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим коэффициенты 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим значение этих коэффициентов в равенство (32), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется рядом Тейлора функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, получена такая теорема.

Теорема 1. Если функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно преобразовать в степенной ряд, то этот ряд единственный и является рядом Тейлора данной функции.

Пусть теперь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольное неоконченное число раз дифференцированная функция. Сложим из него ряд (33). Получается, что сумма ряда (33) не всегда сходится с функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачИначе говоря, ряд (33) может сходится с другой функцией, а не с функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачдля которой его формально сложили. Установим условие, по котором сумма ряда (33) сходится с функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2. Для того, чтобы ряд Тейлора (33) сходится с функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

является необходимой и достаточной, чтобы в этом интервале функция имела производные всех порядков и остаточный член ее формулы Тейлора направлялся к нулю при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этого интервала: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Известно, что для функции, которая имеет производные всех порядков, справедлива формула Тейлора 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Если обозначить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ю часть суммы ряда (33) через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то формула (35) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - сумма ряда (33), то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда из формулы (37) получится условие (34). Если выполняется условие (34), то из формулы (37) получается равенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Непосредственная проверка этих условий нередко выполняется непростой задачей. Приведем теорему, которая дает достаточно простые достаточные условия раскладывания функции в ряд Тейлора. 

Теорема 3. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производные всех порядков и существует число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить в ряд Тейлора. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответственно с теоремой 2 достаточно проверить условие (34). В силу неравенств (38) остаточный член формулы Тейлора (34) удовлетворяет неравенству 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим степенной ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то по признаку Д'Аламбера ряд (40) сходится на всей числовой оси. 

Для схождение ряда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда из равенств (39) находим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Рядом Маклорена функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют степенной ряд в степенях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который можно получить из ряда (38) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из пункта 2.4 получается такое правило разложении функции в ряд: чтобы функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачразложить в ряд Маклорена, нужно: 

  • а) найти производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • б) вычислить значения производных в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • в) записать ряд Маклорена (41) для данной функции и найти интеграл его схождения;
  • г) обозначить интервал Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а котором остаточный член формулы Маклорена Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если такой интервал существует, то в этом интервале функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сумма ряда Маклорена сходятся:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим ряды Маклорена некоторых элементарных функций (они используются часто, поэтому нужно их запомнить): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем формулы (42) - (48).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 1. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, найденный ряд сходится в интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому по теореме 3 (п. 2.4) функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить в степенной ряд на произвольном интервале  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а следует, и на всем интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формула (42) доказана. 

2. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть формула (43) доказана. 

3. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формулу (44) можно доказать так же, как и формулу (43). Но это можно сделать значительно проще, продифференцировать почленно ряд (43). 

4. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть найденный ряд сходится в интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Доказательство,  что на этом интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач опустим. 

Ряд (45) называют биномиальным. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим известный расклад двучлена, который называют биномом Ньютона.  

Зависимость биномиального ряда в конечных точках интервала Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд (45) сходится к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в таких случаях: 

при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем эти утверждения без доказательства. 

5. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формулу (46) выводим тремя способами: воспользовавшись правилом разложения в ряд; используя формулу (45) и положив в ней Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматривая ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как геометрическую прогрессию, первый члек которой равен единице, а знаменатель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Известно (п. 1.1), что данный ряд сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сумма его равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. Не останавливаясь на деталях, обозначим, что когда в формуле (46) поставить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найденные ряды проинтегрировать, что разложим в степенной ряд функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (функции 47, 48). Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряды (42) - (48) используются при нахождении степенных рядов для других функций. 

Пример №254

Разложить в ряд функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачПоставив в формуле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №255

Разложить в ряд по степеням Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поставив в формуле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №256

Разложив в ряд по степеням Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрируя найденный в предыдущем примере ряд в границах от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно доказать, что это равенство справедливо и в точках  

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Пусть нужно вычислить значение функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Если функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить в степенный ряд в интервале Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то точное значение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны сумме этого ряда при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а приближенное - частичной суммы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Погрешность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти, оценивая остаток ряда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для рядов  лейбницева типа

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для знакосменных и знакоположительных рядов величину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как правило, оценивают так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - определенный знакоположительный сходящийся ряд, сумма которого Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач легко вычисляется (например, геометрическая прогрессия) и для которого 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №257

Вычислить с точностью к 0,001:

а) значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач д) число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а) воспользовавшись формулой (43) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получили ряд лейбницева типа. Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то с точностью до 0,001 получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) подставив в ряд (42) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем знакопостоянный ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оценим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач остаток этого ряда: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Остается подобрать наименьшее натуральное число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы выполнялось неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Несложно вычислить, что это неравенство выполняется при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому с точностью до 0,001 получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приблизительное вычисление определенных интегралов. Пусть нужно найти интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который или не выражается через элементарные функции, или сложный и неудобный для вычисления. Если функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить в степенной ряд, что равномерно сходится на некотором отрезке, то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться на некотором отрезке, то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством про почленное интегрирование этого ряда. Погрешность вычисления обозначают так же, как и при вычислении значения функций. 

Пример №258

Вычислить с точностью до 0,001 интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формула Ньютона - Лейбница тут не использована, потому что первичная от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в элементарных функциях не выражается.

воспользовавшись рядом (42) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот ряд равномерно сходится на всей числовой оси, потому его можно почленно интегрировать на любом оконченном сегменте, кроме отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили ряд лейбницева типа. Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то с точностью до 0,001 получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как уже обозначалось, первичная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является элементарной функцией. Но ее легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав ряды для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в границах от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений. Если интегрирование дифференциального уравнения не приводится к квадратурам, то для приближенного интегрирования можно воспользоваться теоремой Тейлора.

Пусть нужно найти частичное решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которое удовлетворяет начальному условию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что искомое решение уравнения (49) около точкиВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой заданы начальные условия, можно разложить в ряд 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нам нужно найти  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано начальным условием. Чтобы найти производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение (49) можно поставить  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим дифференцированием уравнения (49) к  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поставим в этом уравнении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продифференцировав уравнения (51) и и поставив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее. Процесс или обрывается на некотором коэффициенте, или завершается нахождением общего закона построения коэффициентов. 

Замечание 1. По формуле (50) можно находить приближенное решение уравнение любого порядка: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с начальными условиями

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2.  Вопрос про то, по каким условиям дифференциального уравнения можно искать в виде ряда Тейлора (50), а также погрешность этого решения, мы не рассматриваем. 

Пример №259

Найти три первых члена разложения в ряду решений уравнения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а) Ищем решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде ряда Маклорена: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тут Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательно дифференцировав данное уравнение, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя найденные производные в ряд Маклорена, получим искомое решение

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Ищем решение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде ряда Тейлора: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение и функции Бесселя

Уравнение Бесселя имеет вид: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого уравнения приводится много задач математической физики, небесной механики тоже. 

Ищем решение уравнения (52) в виде ряда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя ряд (53) дважды и подставляя значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (52) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим систему уравнений: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем считать, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из первого уравнения (54) получим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из второго уравнения (54) находим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому и все коэффициенты с непарными индексами равны нулю Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Получили 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  таким же образом находим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формул  (53) и (55) получим решение уравнения (52)  при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

демо гамма-функции Ейлера 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Видим, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и для целых значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для отрицательных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется иначе, только свойство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняется.

Если взять произвольную постоянную 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то решение (57) запишется так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из (53) и (56) аналогично получим еще одно решение уравнения (52): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются функциями Бесселя первого рода порядка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Ряд (58) сходится при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ряд (59) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не целое число, то функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач линейно независимы, потому что их ряды начинаются с разных степеней Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Общее решение уравнения (52) в этом случае имеет вид

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - целое число, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть функции (58) и (59) линейно зависимые. 

Другое частичное решение в этом случае ищут в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя это выражение в уравнении (52) обозначают коэффициент Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с определенными коэффициентами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач умножена на некоторую постоянную, называется функцией Бесселя второго рода Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка. 

Общее решение уравнения (52) получаем вид

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №260

Решить уравнение Бесселя при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из формулы (57) найдем одно частичное решение: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второе частичное решение нужно искать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общее решение заданного уравнения имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятия про степенные ряды в комплексной области. Формулы Ейлера

Ряд вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - комплексная переменная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные комплексные числа, называется степенным рядом в комплексной области 

При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из ряда (60) получим ряд со степенями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сходимость рядов (60) и (61) соответственно в точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидна. Во время исследования этих рядов на сходимость в других точках комплексной плоскости пользуются теоремой Абеля. Сформулируем ее.

Теорема. Если ряд (61) сходится в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то он абсолютно сходящийся и при всех значениях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если ряд (61) расходится в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то он абсолютно расходящийся и при всех значениях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство этой теоремы такое же, как и для степенных рядов в действительной области (п. 2.2). Рассмотрим геометрическое толкование теоремы Абеля для ряда (61). Поскольку для переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  в комплексной плоскости обозначает совокупность точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые содержаться посередине круга радиусом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в начале координат (рис. 9.5).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично неравенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач геометрически обозначает совокупность точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач комплексной плоскости, которые лежат за пределами круга радиусом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в начале координат. Следует, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - точка схождения ряда (61), то этот ряд будет абсолютно сходится во всех внутренних точках круга Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка расхождения ряда (61), то этот ряд будет расходится во всех внешних точках круга Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С теоремой Абеля получается существование такого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач степенной ряд (61) сходится, а при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачрасходится. 

Круг радиусом  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в начале координат, посередине которого степенной ряд (61) абсолютно сходится, а снаружи которого расходятся, называют кругом схождения этого ряда , а число Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - радиусом схождения. Если ряд (61) сходится только в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то считают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а если ряд (61) сходится во всей плоскости, то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумма степенного ряда в круге его схождения является некоторой комплексной функцией комплексной переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такие функции называют аналитическими

Пример №261

Исследовать на сходимость степенной ряд Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то по признаку Д'Аламбера ряд сходится на круге Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем сходящийся ряд, поскольку ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

является сходящимся. Следует, область схождения заданного ряда является значением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью рядов в комплексной области обобщим понятия показательных и тригонометрических функций на случай комплексной переменной и докажем формулу Ейлера, которые уже встречались.

Рассмотрим разложение в степенной ряд функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если действительную переменную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменить комплексной переменной  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то ряд (63) абсолютно сходится на всей комплексной плоскости. Обозначим его сумму через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, по определению для произвольного комплексного числа 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумма ряда (64) является комплексной функцией комплексной переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично обозначаются тригонометрические функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Между показательной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тригонометрическими функциями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существует простое решение. Подставим в ряд (64) значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач место Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сгруппируем отдельно слагаемые, которые содержат множитель Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и которые этого множителя не содержат: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая ряды в скобках с рядами (65) и (66), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, подставляя в ряд (64) вместо Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (67) и (68) называют формулами Ейлера. Если почленно сложить (отнять) равенства (67) и (68), то получим другую форму записи формул Ейлера: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряды Фурье

В природе и технике очень распространенные процессы, которые через определенные промежутки времени повторяются. Такие процессы называют периодическими. Примерами периодичных процессов могут быть механические и электромагнитные колебания, периодические движения в теории упругости, акустики, радиотехники, электротехники.  

Моделируются периодические процессы с помощью периодических функций. Напомним, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  называется периодической

Периодическая функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображает периодическое движение, или колебание точки, что имеет во времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координату Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простыми колебаниями является простым гармоническим колебанием, которое как известно, задается функцией

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - амплитуда колебания; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - цикличная частота; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - начальная фаза. Основным периодом функции (69) является Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть одно полное колебание выполняется за промежуток времени Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция (69) называется простой гармоникой. 

Простую гармонику изображает также функция

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Колебания, образованные вследствие наложения некоторых гармоник, называют сложными гармоническими колебаниями. Например, функция 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

задает сложное гармоническое колебание и является результатом накладывания простых гармоник. Первая из этих гармоник имеет период Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вторая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, третьяВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и далее Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общий период Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График сложного гармонического колебания, которое складывается с нескольких простых гармоник, может значительно отличаться от графиков для гармоник.

Пример №262

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 9.6 сплошной линией показан график функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая является суммой трех простых гармоник: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, наложением простых гармоник можно получит разнообразные периодические колебания, которые совсем не похожи на простые гармоничные колебания. 

Естественно, предстает обратная задача: можно ли периодическое движение заданной некоторой периодической функцией, предоставить как сумму простых гармоник? Получается, что этого сделать нельзя. Если  же ввести неоконченные суммы простых гармоник, то есть тригонометрические ряды, то практически каждую периодическую функцию можно разложить на простой гармонике. 

Тригонометрический  ряд Фурье. Коэффициенты Фурье 

Ряд вида 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется тригонометрическим рядом, а действительные числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - его коэффициентами. Свободный член в сумме (71) для удобства записывают в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Предположим, что ряд (71) на отрезкеВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно сходятся к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку члены ряда (71) являются непрерывными функциями то его сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является также непрерывной функцией (п. 2.1). Проинтегрировав почленно ряд (72) на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим обе части равенства (72) на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачи проинтегрируем полученный ряд на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому из равенства (74) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, умножив равенство (72) на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проинтегрировав почленно на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тригонометрический ряд (71), коэффициентами которого является коэффициенты Фурье функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют рядом Фурье этой функции и записывают

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знак соответствия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что интегрированный на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поставили в соответствие ее ряда Фурье. Сформируем теоремы:

Теорема 1. Если функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачможно обозначить на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде равномерно сходящегося на этом отрезке тригонометрического ряда (76), то этот тригонометрической ряд единственный и является рядом Фурье для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выясним условия, при которых соответственности в формуле (77) можно заменить знаком равенства, то есть, по которым ряд Фурье функции сходится и имеет свою сумму именно функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 2. Пусть периодическая функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с периодом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является кусочно - монотонной и ограниченной на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда ряд Фурье функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится на всей числовой оси. Сумма Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найденного ряда равна значению функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач во всех точках непрерывности функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - точка функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть сумма ряда Фурье в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна среднему значению арифметически односторонних границ функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этой точке; в конечных точках отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сумма ряда Фурье получает значение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем эту теорему без доказательства. 

Замечание 1. Если ряд Фурье сходится к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эта функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - периодичная, потому такими является все члены ряда (72). Потому если ряд (72) сходится к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то он сходится к этой самой функции на всей числовой оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, функцию, заданную на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то она периодически продолжается на всю числовую прямую, можно подать через сумму ряда Фурье. 

Замечание 2. При периодичном продолжении функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на всю числовую ось найдена функция будет или непрерывной  в точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но разрывной в этих точках. 

Непрерывность возможна, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.7). В этом случае сумма ряда Фурье равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то мы можем оставить без изменения значения функции на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и периодически с периодом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач продолжить ее на всю числовую ось. 

При этом в точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут возникнуть точки разрыва первого рода (рис. 9.8), в которых сумма ряда Фурье равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Для произвольной интегрированной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач периодичной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство (рис. 9.9) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для любого числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В связи с этим коэффициенты равенства  Фурье можно найти, вычисляя интегралы (73), (75), (76) то по произвольному отрезку, длина 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач периодичная функция заданная на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эти формулы упрощают задачу нахождения коэффициентов ряда Фурье. 

Замечание 4. Условия, которые накладываются на функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачпри разложении ее в степенной ряд. Действительно, если функция раскладывает в ряд Тейлора, то она на всем интервале схождения является не только непрерывной, а и сколько угодно раз продифференцированной. Для разложения функции в ряд Фурье в этом случае не нужно. Согласно с теоремой 2, достаточно, чтобы только функция была непрерывной или была на отрезке оконченное число точек разрыва первого рода. 

Замечание 5. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раскладывается в ряд Фурье, то частичные суммы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  этого ряда дают возможность найти приближенное этой функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Погрешность этой формулы уменьшается с увеличением числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Но оценить эту погрешность сложнее, чем для многочленов Тейлора, и мы этим заниматься не будем. 

Пример №263

Разложить в ряд Фурье Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - периодичную функцию: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заданные функции кусочно - монотонные на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому можно изображать рядом Фурье. Следует, задача приводится к нахождению коэффициентов Фурье. 

а) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив найденные коэффициенты в ряд (72), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство справедливо для всех точек непрерывности заданной функции,  то есть при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сумма ряда Фурье равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначим, что заданная периодичная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится с функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач только на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вне промежутка  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эти функции разные. 

б) Находим коэффициенты Фурье функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, ряд Фурье заданной функции имеет вид

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найденный ряд сходится к функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сумма ряда равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что если 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то найденный в этом примере ряд Фурье был сходящимся к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на всей числовой оси. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд Фурье для парных и непарных функций 

Пусть функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно подать в виде отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач рядом Фурье. 

Покажем, что вычисление коэффициентов этого ряда упрощается если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является парной или непарной. 

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач парная, то ее ряд Фурье имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непарная, то ее ряд Фурье имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для доказательства формул (78) - (81) обозначим сначала, что когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрирована на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач парная (рис. 9.12, а) и 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарная (рис. 9.12, б).

Из формул (82) и (83) получаем формулы (79) и (81)Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим, что ряды (78) и (80) отображают характер функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Ряд Фурье для парной функции содержит только косинусы (парные функции), а ряд  Фурье для непарной функции содержит только синусы (непарные функции). 

Пример №264

Разложить в ряд Фурье Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - периодические функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заданная функция является кусково - монотонной, потому могут быть разложенной в ряд Фурье. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Поскольку функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач парная, то воспользовавшись формулами (78) и (79), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство выполняется на всей числовой оси, потому что заданная функция непрерывная для всех действительных значений Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарная, потому согласно с формулами (80) и (81), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство справедливо во всех точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме точек разрыва. В точках разрыва Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сумма найденного ряда равна нулю. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд Фурье для Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - периодичной функции:

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначения на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет период Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и является на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кусочно - монотонной. 

Рассмотрим ее в ряд Фурье. Выполним изменение переменной по формуле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта функция обозначена на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и кусочно - монотонной на этом отрезке. 

Разложим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ряд Фурье: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вернемся к переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач При Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач формулы (85)  и (86) получает вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд (87) является рядом Фурье для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с периодом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Коэффициенты этого ряда находят по формуле (88). Заметим, что все теоремы, которые выполняются для рядов Фурье Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - периодичных функций. 

Пример №265

Изобразить рядом Фурье функцию (рис. 9.15)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция непрерывна на всей числовой оси, парная имеет период Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому ее можно подать через ряд Фурье вида (87). Учитывая, что заданная функция парная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно с формулами (87) и (88), получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряды Фурье для функций заданных на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Пусть нужно разложить в ряд Фурье функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданную на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Мы можем произвольным способом продолжить функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но так, чтобы образованная на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач новая функция сходится с функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и была кусочно - монотонная. 

Разложив функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ряд Фурье на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим искомый ряд функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того, функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно продолжить парным способом на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 9.16). Тогда график функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет симметричным относительно оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ее 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ряд Фурье содержит только косинусы. Если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач продолжить на отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарным способом (рис. 9.17), то график функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет симметричным относительно точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ее ряд Фурье содержит только синусы. 

Таким образом, если функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая задана на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить в ряд Фурье, то таких рядов существует множество. Особенно важными для использования являются расклады функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ряд синусов и ряд косинусов. 

Когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то задача преподнесения такой функции через ряд Фурье приводится к рассмотренной выше. 

Пример №266

Разложить в ряд Фурье к синусам функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Продолжим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарным способом на промежуток Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом найденную функцию продолжим периодично на всю числовую ось (рис. 9.18). 

Воспользовавшись формулами (80) и (81), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство справедливо во всех точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой сумма ряда равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ряд является на всей числовой оси к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - периодической функции

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если в ряде Фурье положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим известный ряд 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Комплексная форма ряда Фурье 

Пусть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулы Ейлера (п. 2.7), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формул (89) и (91) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая формулы (90)  и (93), запишем ряд (89), в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коэффициенты этого ряда, согласно с формулами (92) и (94), можно записать в виде

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство (95) называют комплексной формой ряда Фурье, а числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдены по формуле (96) - комплексными коэффициентами Фурье. 

Аналогично можно найти комплексную форму ряда Фурье на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Члены этого ряда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют гармониками, коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - комплексными амплитудами гармоник, а числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - волновыми числами функций 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Совокупность волновых чисел называется спектром. Если эти точки выложить на числовой оси, то получим касательное множество точек. Соответственный этому множеству спектр называют касательным спектром 

Пример №267

Написать ряд Фурье в комплексной форме для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с периодом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле  (97) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку задана функция кусочно - монотонная, то у всех точках непрерывности этой функции справедливо равенство 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд Фурье по ортогональной системе функций

Пусть на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана неоконченная система функций

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что для произвольных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

система функций (98) называется ортогональной на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примеры:

1. Система функций 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ортогональна на отрезке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Система функций 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ортогональна на отрезке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Система функций 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ортогональна на отрезке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Система функций 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ортогональна на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Система функций 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ортогональна на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно, вычислим для каждой из приведенных систем интегралов (99) и (100).

6. Не стоит думать, что свойства ортогональности имеют только системы тригонометрических функций. 

Построим систему Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ортогональных многочленов. Рассмотрим систему функций

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первые две функции ортогональны на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тому положим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уже не ортогональный 1, потому что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как линейную комбинацию первых точек функции системы (101) 1, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда положим  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подберем коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач был ортогональным к многочленам Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач- произвольная постоянная. 

Подбирают ее, как правило, так, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Многочлен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ищем как линейную комбинацию первых четырех функций системы (101): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из системы уравнений 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находим, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично строим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда эти многочлены ортогональны на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Они называются многочленами Лежандра и широко используется в математике и физике. 

Последовательность действий ортогонализации, подобно к той, которую мы выполняем над системой функций (101) на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно повторить для произвольной системы линейно независимо функций на произвольном интервале, если интегралы от квадратов этих функций на взятом интеграле будут сходится. 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач раскладывается в ряд по функциям ортогональной системы (98) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем считать ряд (102) равномерно сходящимся на отрезкеВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим обе части равенства (101) на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач результат почленно проинтегрируем. Учитывая равенства (99) и (100), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ряд (102) называется рядом Фурье функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по системе ортогональных функций (98), а коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этого ряда, вычислены по формулам (103) - коэффициентами Фурье функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по системе функций (98). 

Ряды Фурье по системам ортогональных функций используются при решении многих практичных задач, кроме задач математической физики. 

Интеграл и его превращение Фурье

В пункте 3.2 было показано, что всякую кусочно - монотонную функцию, обозначенную на произвольном оконченном промежутке, можно разложить в ряд Фурье, то есть изобразить неоконченной сумме простых гармоник. Получается, это можно предоставить с помощью интеграла Фурье.

Интеграл Фурье 

Пусть непериодическая кусочно - монотонная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана н неоконченном промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсолютно интегрирована на нем, то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда на произвольном оконченном промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эту функцию можно разложить в ряд Фурье (87). Подставляя в этот ряд значения коэффициентов Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из формулы (89) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - волновые числа функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда формула (105) получит вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем в этой формуле к границе при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачне зависит от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачто 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из условия (104) получается, что первое слагаемое в правой части формулы (106) направляется к нулю при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение в квадратных скобках формулы (106) при произвольном фиксированном Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функция от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найденная сумма напоминаем интегральную сумму для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  При очень больших значениях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач величина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач становится очень маленькой, а спектр волновых чисел - очень плотным. Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тоВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть волновые числа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретают всех возможных значений от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дискретный спектр волновых чисел станет непрерывным, потому естесственно считать, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найденный интеграл называется интегралом Фурье для функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Фурье получил его в 1811 году 

Точного доказательства этой формулы мы не приводим. Обозначим только, что формула (107) справедлива для всех точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которых функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна. Если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - точка разрыва, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена и абсолютно интегрирована на числовой оси и кусочно - монотонная на произвольном оконченном промежутке, то для нее существует интеграл Фурье. В точках непрерывности функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство (107), а в точках разрыва данной функции интеграл Фурье  равен среднему арифметическому ее односторонних границ. 

Запишем интеграл Фурье в другом виде: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем обозначения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интеграл Фурье в формуле (110) подобный ряду Фурье: знак суммы ряда Фурье заменено знаком интеграла, коэффициенты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ряду заменено функциями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По аналогии с рядом Фурье говорят, что формула (110) дает расклад функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на гармоники с частотами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что непрерывно изменяются от 0 до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Закон смены амплитуд зависит от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначаются формулами (109). 

Пример №268

Изобразить интегралом Фурье функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция кусочно - монотонная на любом законченной отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку складывается из трех непрерывных частей (рис. 9.19): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Она также абсолютно интегрирована на всей числовой оси: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, такую функцию в точках ее непрерывности можно преподать через интеграл Фурье. 

Согласно с формулой (107) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В точках разрыва Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интеграл Фурье равен 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, найденный интеграл Фурье изображает данную функцию на всей числовой оси. Кроме того, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы вычислили интеграл, который по формуле Ньютона - Лейбница не вычисляется, поскольку первичная от функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  не выражается через элементарные функции. 

Интеграл Фурье для парных и непарных функций

Предположим, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач парная, тогда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  так же парная, а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарная. Потому формула (108) получаем вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарная функция, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись выражениями (109), запишем интегралы (111) и (112) в виде: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач парная функция, то она изображается интегралом Фурье вида (111) или (112). Если же Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непарная функция, то ее изображают интегралом Фурье имеет вид (112) или (114). 

Когда функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана только на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ее можно продолжить на промежуток Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разными способами, только парных и непарных. Это означает, что такую функцию можно изобразить разными интегралами Фурье, кроме интегралов (111) и (112). 

Обозначим, что интегралы Фурье (113) и (114) аналогичны соответственно рядам Фурье (78) и (80) для парных и непарных функций. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №269

Изобразить интегралом Фурье функцию 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция задана на всей оси и кусочно - монотонна на произвольном оконченном отрезке  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку складывается из двух непрерывных частей и имеет одно решение первого рода при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.20). 

Убедимся, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсолютно интегрирована: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, заданную функцию можно изобразить интегралом Фурье. Поскольку эта функция непарная, то по формуле (112) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя частями, находим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображается интегралом Фурье по формуле (110). Воспользуемся формулами Ейлера, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем обозначения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с формулами (109) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая формулы (116) и (117), запишем интеграл (115) в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразим интеграл от второго слагаемого, выполняя замену переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда формула (118) получит вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формул (116) и (119) получается, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правая часть формулы (120) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая обозначается формулой (116), называется преобразованием Фурье функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач: в свою очередь, функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображена по формуле (119), называется обратным преобразованием Фурье для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач парная, то из формул (111) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично для непарной функции получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется соответственно косинус - преобразованием и синус - преобразованием Фурье для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется также спектральной плотности функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теория преобразований Фурье широко используется для решения многих практических задач. Существуют таблицы преобразований Фурье, в которых приведены соответственные пары функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №270

Изобразить интегралом Фурье в комплексной формы функцию 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (116) найдем преобразование Фурье заданной функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Комплексная форма (120) интеграла Фурье в данном случае имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Обобщим на функции некоторых переменных основные идеи и методы интегрального вычисления функций одной переменной 

Двойной интеграл 

Задачи, что приводят к понятию двойного интеграла:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Задачи, про объем цилиндрического тела. Пусть имеем тело, ограниченное сверху поверхностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач снизу - замкнуто ограниченной областью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по бокам - цилиндрической поверхностью, направление которой соприкасается с гранью области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а параллельные оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.1). Такое тело называют цилиндрическими

Вычислим его объем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого произвольным способом разобьем область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые не имеют общих внутренних точек и плоскости которых равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В каждой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем значение функции в этой точке и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислим произведение  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это произведение равно объему цилиндрического столбца с образующими, параллельными оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  основой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Всего таких столбиков есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и сумма их объемов 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

приближенно равно объему цилиндрического тела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Назовем диаметром Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнутой ограниченной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наибольшее расстояние между двумя точками граней этой области. Обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач наибольший из диаметров областей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда естественно объем данного тела обозначить как границу суммы (1) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Задача про массу пластины. Пусть имеем плоскую неоднородную материальную пластину, формой которой является область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.2). В области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана непрерывная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая обозначает плотность пластины в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем массу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пластин. Для этого произвольным способом разобьем область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые не имеют общих внутренних точек, и плоскости которых равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В каждой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем какую-нибудь  точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем плотность в этой точке: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда произведение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приблизительно обозначает массу той части пластины, которая занимает область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а сумма 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

является приблизительном значение массы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей пластины. Точное значение массы получим как границу суммы (3) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, разные по содержанию задачи мы привели к нахождению границ (2) и (4) одного и того же вида. В связи с этим возникает потребность в изучении свойств этих граний, независимо от содержания той или иной задачи. Дадим точные определения. 

Понятие двойного интеграла. Условие его существования и свойств 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена в замкнутой ограниченной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что грань области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач складывается из ограниченного числа непрерывных кривых, каждая из которых обозначается функцией вида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  В каждой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и образуем сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которую назовем интегральной суммой для функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - наибольший из диаметров областей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если интегральная сумма (5) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет оконченную границу, которая не зависит ни от способа разбития области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на часте области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ни от выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в них, то эта граница называется двойным интегралом и обозначается одним из таких символом: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по определениям 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется интегрированной в область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - областью интегрирования; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - переменными интегрирования; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) - элементом плоскости. 

Вернемся к задачам п. 1.1. Если границы в равенств (2) и (4) существуют, то из этих равенств и формулы (6) получим формулы для вычисления объема цилиндрического тела 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и массы пластинки 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если в формуле (7) положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим формулу для вычисления плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Если функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная в замкнутой ограниченной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то она интегрирована в этой области.

Есть еще и другие условия существования двойного интеграла, но далее мы будем считать, что подынтегральная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в области интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является непрерывной. 

Сравнивая определения двойного интеграла (6) и определения определенного интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

видим, что конструктивно эти определения в целом аналогичны: в обоих случаях рассматривается некоторая функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но в первом случае эта функция одной переменной, обозначена на одномерной области - отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а во втором - эта функция двух переменных, обозначенная в двумерной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  В обоих случаях область определения разбивается на части, в каждой из которых берется произвольная точка и в ней находится значение функции. После этого найденное значение функции умножается на меру соответственной части области определения. В случае одной переменной такой мерой была длина Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае двух переменных - плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В связи с этим, свойства двойного интеграла аналогично соответственным свойствам определенного интеграла. Сформулируем эти свойства (рекомендуем читателю повторить материал, доказать эти свойства самостоятельно и лать им геометрическую интерпретацию). 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от этих функций: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это свойство имеет место быть для суммы оконченного числа функций.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначены в одной и той же области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если область интегрирования функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разбить на области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые не имеют общие внутренние точки, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это свойство называется аддитивностью двойного интеграла и справедлива для произвольного оконченного числа областей, которые складывают область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не имеют общих внутренних точек. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функция непрерывная в ограниченной замкнутой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая имеет плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная в замкнутой ограниченной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая имеет плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в этой области существует такая точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величину 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется средним значением функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вычисление двойного интеграла 

Вычисление двойного интеграла по формуле (6) как границы интегральной суммы, как же как и в случае определенного интеграла, связанные с значительными трудностями. Чтобы избежать их, вычисления двойного интеграла приходится к вычислению как называемого повторного интеграла - двух случайных определенных интегралов. 

Покажем, как это делается. Предположим, что при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, согласно с формулой (7), двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела (рис. 10.3) с основой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченного сверху поверхностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислим этот объем с помощью метода параллельных пересечений: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - плоскость пересечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - уравнение плоскости, которые ограничивают данное тело. Перед этим, как вычислять плоскость сделаем определенные предположения относительно области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначенная таким образом область называется правильной в направлении оси  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Иначе говоря, область  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется правильной в направлении оси  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если произвольная прямая, которая проходит через внутреннюю точку области  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает грани области не более, чем в двух точках. 

Найдем теперь плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого проведем через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости, перпендикулярную оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.3). в пересечении этой плоскости и цилиндрического тела образуется трапеция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Аппликата Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  точка линии  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при фиксированном Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией только Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется в гранях от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач трапеции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна определенному интегралу 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив найденное значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывая формулу (7), получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или в удобной форме 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть искомая формула для вычисления двойного интеграла. Правую часть формулу (10) называют повторным интегралом от функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В двойном интеграле (10) интегрирования выполнения сначала по переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потом по переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В результате вычисления внутреннего интеграла получим определенную функцию от одной переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрируя эту функцию в границах от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть вычисляя внешний интеграл, получаем некоторое число - значение двойного интеграла. 

Замечание 1. Приведенные геометрические измерения про получении формулы (10) возможны в случае, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но формула (10) считается справедливой и в общем случае. Строгое доказательство этой формулы мы опустим. 

 Замечание 2. Если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена двумя непрерывными кривыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и двумя прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная в направлении оси  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.5), то справедлива формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тут внутренним является интеграл по переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычисляя его в границах от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим некоторую функцию от одной переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3.  Если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная в обоих направлениях то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (10), так и по формуле (11). Результаты получим одинаковые. 

Замечание 4. Если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неправильная ни в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ни в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то такую область необходимо разбить на части, каждая из которых является правильной областью в направлении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачили Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вычисляя двойные интегралы в правильных областях и складывая результаты, находим искомый двойной интеграл по области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для случая, изображенного на рис. 10.6), при интегрировании в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  нужно было бы вычислить повторные интегралы по семи областям.

Замечание 5. Повторные интегралы в правых частях формулы (10) и (11) называются интегралами с разным порядком интегрирования. Чтобы изменить порядок интегрирования, нужно от формулы (10) перейти к формуле (11). 

В каждом конкретном случае, зависит от вида области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подынтегральной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно избирать тот порядок интегрирования, который приводит к простейшим вычислениям. 

Замечание 6. Правильная в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач коротко обозначим так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

- область правильная в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №271

Вычислить двойные интегралы:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена параболами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержится в первой четверти и ограничена линиями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задача) область интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображено на рис. 10.7. Эта область правильная в направлении как оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для вычисления данного интеграла можно использовать как формулой (10), так и формулой (11), ибо функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная во всей плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, кроме того, в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому по формуле (10) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Область интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображена на рис. 10.8. Поскольку функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывная в данной области, то для вычисления заданного двойного интеграла можно воспользоваться как формулой (10), так и формулой (11). 

Область правильная в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда по формуле (10) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим этот интеграл другим способом, воспользовавшись формулой (11). Область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач но ее нужно разбить на две части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку линия Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на которых содержатся точки выхода из области, задается двумя разными уравнениями. Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, при вычислении этого интеграла выгоднее использовать формулой (10). 

в) Область интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображено на рис. 10.9. Эта область правильная в обоих направления, только вычислить данный интеграл можно только по формуле (10). 

Если бы мы использовали формулу (11), то нам нужно было бы вычислить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который, как известно, в элементарных функциях не вычисляется. 

Следует, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №272

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тут нужно перейти от повторного интеграла вида (11) к интегралу вида (10).

 Область интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена линиями: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.10). Если внутренние интегрирования провести к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а внешне - 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то заданную область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно рассмотреть как правильную в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку линия, на которой содержаться точки входа в область, заданная двумя разными уравнениями, то данную область нужно разбить на две части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изменение переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывная в некоторой замкнутой и ограниченной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда существует интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что с помощью формулы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

мы переходим в интегралы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к новым переменным Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что из формул (12) однозначно можно обозначить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно с формулами (13), каждой точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  ставиться в соответствие некоторая точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатной плоскости с прямоугольными координатами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть множество всех точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует ограниченную замкнутую область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формулы (12) называется формулами преобразования координат, а формулы (13) - формулами обратного преобразования. 

Справедлива такая теорема. 

Теорема. Если преобразование (13) переводить замкнутую ограниченную область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнутую ограниченную область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и является взаимно однозначными и если функции (12) имеют в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные частичные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то справедлива такая формула замены переменных: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функциональный определитель (14) называется определителем Якоби или якобианом

Таким образом, выполняя замену переменных в интеграле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по формулам (12), мы имеем элемент плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в координатах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменить элементом плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в координатах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и старую область интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменить соответственной ее областью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим замену декартовых координат Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач полярными Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по известным формулам Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то формула (15) получается вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана в декартовой системе координат Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - соответственна ее область в полярной системе координат. 

Замечание 1. Во многих случаях формулу (16) целесообразно использовать тогда, когда подынтегральная функция или уравнение границы области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит сумму Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку эта сумма в полярных координатах имеет довольно простой вид: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2.  Если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.11, а) ограничена лучами, которые образуют с полярной осью угла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и кривыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то полярные координаты области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  изменяются в гранях Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому формулу (16) можно записать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач охватывает начало координат, то точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является внутренней точкой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - полярное уравнение границ области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №273

Вычислить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - параллелограмм, ограниченный прямыми  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.12). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Непосредственное вычисление этого интеграла слишком громоздкое, потому как в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно сначала разбить на три области, а потом вычислить при двойных интеграла. 

Выполним такое изменение переменных: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда прямые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач переходят в прямые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.13), а прямые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно в прямые Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Таким образом, область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (параллелограмм) переходит в системе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в прямоугольник Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

по формуле (15)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №274

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - круг радиуса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в начале координат. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку грань области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в полярных координатах задается уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формулам (18) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №275

Вычислить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена кругами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.14). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем уравнение границ области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в полярных координатах Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - полярное уравнение большего круга. Если угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяются в границах от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то переменная  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим грани от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, по формуле (17) получаем

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение двойных интегралов к задачам геометрии

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Площадь плоской фигуры. Если в плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана функция, что имеет форму ограниченной замкнутой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой фигуры находится, как известно (п. 1.2), по формуле (9): Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Объем тела. Объем цилиндрического тела, образующие которого параллельны на оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и которое ограничено внизу областью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площади Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а сверху - поверхностью  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная и не отрицательная в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, находится по формуле  (7) (п. 1.2): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Площадь поверхности. Если поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана уравнением 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

проектируется на плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.15) и функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны в этой области, то плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выведем эту формулу. Разобьем произвольным способом область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  которые не имеют общих точек и площадь равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В каждой части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ей соответствует точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Через точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем касательную плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач : 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выделим ту ее часть, которая проектируется на плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим эту часть касательной плоскости через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ее площадь - через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложим сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Границу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  суммы (21)  когда больший из диаметров областей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач направляется к нулю, назовем площадью поверхности (19), то есть по определениям положим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим эту границу. Поскольку область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая имеет площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проектируется в область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с площадью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  угол между плоскостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 10.15), потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но острый угол Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен углу между осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нормалью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то к касательной плоскости, то есть углу между векторами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (36)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (23), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Под знаком границы имеем интегральную сумму, сложенную для непрерывной в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функций  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция интегрирована в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому граница в формуле (23) существует и равен двойному интегралу (20). Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №276

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.16). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем ординату точек пересечения данных линий. Из системы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (9) находим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №277

Найти объем тела, ограниченного цилиндром Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Областью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тут является параболический сегмент (рис. 10. 17, б.) потому Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (7) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №278

Найти часть площади конуса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая вырезается цилиндром Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из уравнения конуса получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тут является круг Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (20) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь круга радиуса 1. Действительно, перейдя к полярной системе ординат (см. п. 1.4, пример 3), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Использование двойного интеграла в задачах механики

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Масса пластины. Пусть на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеется материальная пластина, которая имеет форму ограниченной замкнутой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в каждой точке которой плотность обозначается непрерывной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Как известно (п. 1.2), масса такой пластины обозначается формулой (8) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Центр массы пластины. Статичные моменты. Пусть материальная пластина в плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет форму области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плотность пластины в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная функция области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разобьем область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачвыберем на каждой из них произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приближенно будем считать, что масса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - плоскость области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если считать, что каждая из этих масс усреднена в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то пластину можно рассмотреть как систему этих материальных точек. Тогда координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра массы пластин приближенно обозначим равенствами 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы найти точные значения координат, перейдем в этих формулах к границе при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда интегральные суммы преобразятся в двойные интегралы и координаты центра массы пластины обозначатся формулами 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величины 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называются статичными моментами пластины относительно оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая формулы (8), (24) и (25) координаты центра масс можно записать в виде

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если пластина однородная, то есть имеет постоянную плотность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в формулах  (8), (24) и (25) следует подставить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Моменты инерции пластины. Известно, что момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния от этой оси, а момент инерции системы материальных точек относительно одной и той же оси равен сумме моментов инерции всех точек системы.

Пусть материальная пластина имеет форму области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а непрерывная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает плотность в каждой точке этой пластины. Разобьем область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости которых равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выберем каждый из этих частей произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заменит пластину системой материальных точек с массами Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если пластину рассмотреть как систему этих материальных точек, то моменты инерции пластины относительно Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач приближенно обозначаются по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переходя к границе в каждой из сумм при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим точные формулы для вычисления моментов инерции рассматриваемой пластины относительно координатных осей: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем момент инерции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пластины относительно началу координат. Учитывая, что момент инерции материальной точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с массой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно началу координат равен Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  аналогично получим, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №279

Найти массу пластины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченной линиями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если плотность пластины в каждой точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле (8) получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №280

Найти центр массы однородной пластины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.20). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вследствие симметрии пластины относительно оси  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для нахождения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач воспользуемся второй из формул (24). В данном случае, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, центр массы данной пластины содержится в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №281

Найти момент инерции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пластины Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченной прямыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если плотность в каждой точке пластины равна ординате этой точки (рис. 10.21). 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по первой формуле (26) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тройной интеграл 

В предыдущем параграфе мы рассмотрели понятие двойного интеграла от функции двух переменных. Обозначим интеграл от функции трех переменных - так называемый тройной интеграл. 

Понятие тройного интеграла. Условия его существования и свойства

Схема построения тройного интеграла такая же, как и обычного определенного интеграла и двойного интеграла. 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена в ограниченной замкнутой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Разобьем область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сеткой поверхностей на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач У каждой части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем произвольную к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и образуем сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая называется интегральной суммой для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - больший из диаметров областей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если интегральная сумма (28) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет оконченную границу, которая не зависит ни от способа  разбития области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ни от выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то эта граница называется тройным интегралом  и обозначается одним из таких символов: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом,  по определению 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - функция, интегрированная в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - область интегрирования  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - переменные интегрирования; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ( или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач) - элементы объема .

Если по телу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разделена масса с объемной плотностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то масса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этого тела находится по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (30) аналогична формуле (8) и может рассматриваться как механическое содержание тройного интеграла, когда подынтегральная функция неотрицательная в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Если повсюду в области положить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из формулы (29) получается формула для вычисления объема Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тройной интеграл является непосредственным обобщением двойного интеграла на трехмерном пространстве. Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла, потому в большинстве случаев мы ограничимся только формированием утверждений и короткими пояснениями. 

Теорема. Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в ограниченной замкнутой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то она в этой области интегрирована.

Свойства тройных интегралов. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Постоянный множитель можно вынести за знак тройного интеграла 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тройной интеграл от суммы нескольких интегрированных функций равен сумме тройных интегралов от произведения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если в области интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначены в одной и той же области  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если область интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач разбить на части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые не имеют общих внутренних точек, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в ограниченной замкнутой области  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая имеет объем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - соответственно наименьшее и наибольшее значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в ограниченной и замкнутой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая имеет объем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в этой области существует такая точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется средним значением функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вычисление тройного интеграла

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройного интеграла приводят к вычислению повторных, то есть к интегрированию к каждой переменной отдельно. 

Пусть область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена снизу и сверху поверхностями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим проекцию области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.22) и будем считать что функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывно в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если при этом область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является правильной, то область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется правильной в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что каждая прямая, которая проходит через каждую  внутреннюю точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  параллельно оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  пересекает границу области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется точкой входа в область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - точкой выхода из области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а их аппликаты обозначим соответственно через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для любой непрерывной в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет место формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Содержание формулы (32) такое. Чтобы вычислить тройной интеграл, нужно сначала вычислить интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач считая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянными. Нижней гранью этого интеграла является аппликата точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач входа Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а верхней - аппликатаВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки выхода Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вследствие интегрирования получим функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, например, ограничена кривыми Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывные функции, то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то переходя от двойного интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к повторному (п. 1.3), получим формулу 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая приводит к вычислению тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, то есть переменные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в правой части формулы (33) при определенных условиях можно менять местами. 

Если, например, область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывные функции, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если областью интегрирования является параллелепипед: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае интегрирование выполняется в любом порядке, поскольку область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная в направлении всех трех координатных осей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №282

Вычислить тройной интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена плоскостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку область интегрирования Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - параллелепипед: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле (34) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №283

Вычислить тройной интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если область  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена плоскостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.23). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проектируется на плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в треугольник Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле (33) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замена переменной в тройном интеграле 

Замена переменной в тройном интеграле выполняется по такому правилу: если ограниченная замкнутая область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно однозначно отображается на область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью непрерывно дифференцированных функций  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач якобиан Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен нулю: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то справедлива формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На практике важнейшими являются цилиндрические и сферичные координаты. При переходе от прямоугольных координат  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к цилиндрическим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.24), связанных с Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соотношениями 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

якобиан преобразования 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

из формулы (35) получим тройной интеграл в цилиндрическим координатам: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Название "цилиндрические координаты" связана с тем, что координатная поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть цилиндр, прямолинейные образующие которого параллельны оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При переходе от прямоугольных координат Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к сферичным Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.25), которые связаны с Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач формулы

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

якобиан преобразования 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (35) находим тройной интеграл в сферичных координатах: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Название "сферичные координаты" связана с тем, что координатная поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является сферой. При вычислении тройного интеграла в цилиндрических или сферичных координатах область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач как правило не строят, а границы интегрирования находят непосредственно с области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач пользуясь геометрическим содержанием новых координат. При этом уравнения поверхностей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые ограничивают область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают в новых координатах. 

Кроме того, область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена цилиндрической поверхностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то все грани интегрирования в цилиндрической системе координатной постоянной: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и не изменяются при изменении порядка интегрирования. То же будет в сферических координатах в случае, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - шар: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или кольцо. Например, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - кольцо с внутренней сферой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение этой сферы в сферичных координатах имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Аналогично Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - уравнение внешней сферы, потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае, когда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - шар Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в этой формуле следует поставить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Других каких - нибудь общих рекомендаций, когда нужно перейти к той или иной системы координат, дать невозможно. Это зависит и от области интегрирования, и от подынтегральной функции. Иногда нужно записать интеграл в разных системах координат и только после этого решить, в какой из них вычисления будут простейшими. 

Пример №284

Вычислить тройной интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  если область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена плоскостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и цилиндром Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.26). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Введем цилиндрические координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Поскольку в цилиндрической системе координат Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а уравнение круга Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое лежит в основе цилиндра, имеет вид  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то по формуле (36) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №285

Вычислить тройной интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перейдем к сферичным координатам: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку подынтегральная функция  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле (37) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Некоторые использование тройного интеграла

1. Вычисление объемов. Если некоторое тело является ограниченной и замкнутой областью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что имеет объем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то согласно с формулой (31) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Использование в механике. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ограничена замкнутой область пространства Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  которую занимает некоторое материальное тело с плотностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная функция в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда: 

а) масса этого тела 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) моменты инерции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела относительно координатных осей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно равны 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Моменты инерции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела относительно координатных плоскостей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляются по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент инерции тело относительно начала координат 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) статичные моменты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  тела относительно координатных плоскостей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляют по формулам 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

г) координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра массы тела обозначаются по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство формулы (38), как уже обозначалось, получается из определения тройного интеграла: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство формул (39) - (44) - аналогично доказательству соответственных формул для материальной пластины (п. 1.5). Предлагаем читателю выполнить их самостоятельно. 

Пример №286

Найти объем тела, ограниченного поверхностями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.27). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Данное тело ограничено снизу параболоидом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сверху плоскостью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проектируется в круг Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя цилиндрические координаты, находим уравнение параболоида Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (38) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №287

Найти центр массы однородной полушария Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченной поверхностями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что полушарие симметрично относительно оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По третьей из формул (44) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При вычислении интеграла в числителе мы воспользовались сферичными координатами. Значение интеграла в знаменателе не вычисляя, как объем полушария. Следует, центр массы данного полушария размещен в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Криволинейные интегралы

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, если областью интегрирования является некоторая кривая. Такие интегралы называют криволинейными. Разделяют два вида криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого рода и криволинейные интегралы второго рода. 

Понятия криволинейного интеграла первого рода

Пусть в плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана гладкая или кусочно - гладкая кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.28) и на этой кривой обозначена ограниченная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 (Непрерывная кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется гладкой на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач если функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют на этом отрезке непрерывны производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые одновременно не равны нулю. Если непрерывная кривая складывается из ограниченного числа гладких кривых, ее называют кусочно - гладкой). Разобьем кривую Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных частей, на каждой отдельной дуге Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем какую нибудь точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сложим сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длина дуги Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сумма (45) называется интегральной суммой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - наибольшая из длин отдельных дуг Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегральные суммы (45) имеют оконченную границу, которая не зависит от разбития кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эту границу называют криволинейным интегралом первого рода от функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по  кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по определению 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если граница (46) существует, то функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется интегрированной на кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, сама кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - контуром интегрированияВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - начальной, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - конечной точкой интегрирования. 

Приведем криволинейный интеграл первого рода к определенному интегралу. Для этого на кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач примем за параметр длину дуги  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая учитывается от точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к произвольной точке кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в параметрической форме:  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - длина кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определена на кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач преобразуется в сложенную функцию одной переменной - параметра Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение параметра Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое соответствует точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - которое соответствует точки  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда сумма (45) имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сумма (47) является интегральной суммой для определенного интеграла от функций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку суммы (45) и (47) равны между собой, то равны и соответственные им интегралы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (48) не только приводит криволинейный интеграл к обычному, но не доказывает существование криволинейного интеграла для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая непрерывна на кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Кроме того, из формулы (48) получается, что свойства криволинейного интеграла первого рода аналогичны свойствам определенного интеграла, потому мы снова не будем их формулировать. Отметим только, что по определению криволинейного интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - длина дуги, потому всегда  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач У определенном же интеграле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

величина  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть как положительной, так и отрицательной. В связи с этим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть границы интегрирования в криволинейном интеграле первого рода всегда нужно брать от меньшей к большой. 

Рассмотрим физическое содержание криволинейного интеграла первого рода. Если вдоль неоднородной материальной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена масса Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с линейной плотностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть из физической точки зрения криволинейный интеграл первого рода от неотрицательной функции вдоль некоторой кривой равен массе этой кривой.

Криволинейный интеграл первого рода имеет так же и геометрическое содержание. 

Если определенный интеграл (49) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл (46) при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач численно равен площади части цилиндрической поверхности, образующие которой имеют длину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельны оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а направление сходится с кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.29). Кроме того, если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - не кривая, а отрезок Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что лежит на оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и формула (46) превращается в формулу (49) - цилиндрическая поверхность "выравнивается" и становится криволинейной трапецией, то есть криволинейный интеграл первого рода становится обычно-определенным интегралом. 

Если взять Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то площадь цилиндрической поверхности численно равен длине дуги Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому длину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дуги Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Формула (48), которая приводит криволинейный интеграл к обычному не является удобной для вычисления, ибо не всегда можно найти уравнение кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - длина дуги. Упростим эту формулу. 

Пусть кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а значение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместе с производными Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывны на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная вдоль кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для произвольной точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач длину дуги Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно рассмотреть как функцию параметра: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда, согласно с правилом дифференцирования определенного интеграла верхней границы, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполняя изменение переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в правой части формулы (48), получаем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в декартовых координатах задана уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна вместе с своей производной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то формула (50) получает вид 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   в декартовых координатах заданным уравнениям Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

До этого мы считали, что криволинейный интеграл первого рода рассматривается для плоскости кривой  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найденные результаты легко перевести просторных кривых. 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена и непрерывна на пространственной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая задана уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда существует криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и выполняется формула 

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №288

Вычислить криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - отрезок прямой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислить криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - дуга кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то формуле (53) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Использование криволинейного интеграла первого рода

1. Использование в геометрии. Пусть в плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана кусочно - гладкая кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач замкнутую или  незамкнутую и на этой кривой определенной непрерывной функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда: 

а) площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности, обозначенной функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  находят по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) длину Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Использование в механике. Пусть вдоль неоднородной материальной кривой  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  разделена массе с линейной плотностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда: 

а) масса кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  вычисляется по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) координаты Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра массы кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - статистические моменты кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно осей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и начала координат соответственно равны 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае, если кривая однородна, то есть имеет постоянную плотность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулах (56) - (58) следует считать Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, нужно найти момент инерции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач однородной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач дуги круга Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  которая содержится в первой четверти. 

Воспользовавшись первой из формул (58), получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (54), (53) получаются из геометрического содержания криволинейного интеграла первого рода (п. 3.1). 

Формулы (56) - (58) можно доказать тем самым методом, каким были названы соответственные формулы для материальной пластины (п. 1.6).

Формулы (55) - (58) можно записать и для случая, когда подынтегральная функция рассматривается на пространственной кривой. 

Понятие криволинейного интеграла второго рода ( по координатам). Физическое содержание

Криволинейный интеграл второго рода обозначается так же, как интеграл первого рода.  Пусть в плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана гладкая или кусочно - гладкая кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.30) и на этой кривой обозначено ограниченную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В отличие от интегралов первого рода будем считать криво направленную линию, в которой точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются соответственно начальными и конечными точками. Разобьем кривую Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных частей, на каждой частичной дуге Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сложим сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекция вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Различие сумм (45) и (59) очевидная. 

Если при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  интегральные суммы (59) имеют оконченную границу, которая не принадлежит ни от разбития кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ни от выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эту границу называют криволинейным интегралом от функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по координате Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично приводиться криволинейный интеграл от функцииВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  к  координате Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекция вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.30). Сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называют криволинейным интегралом по координатам или криволинейном интегралом второго рода от функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают символом 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач иногда обозначаем через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а криволинейный интеграл записываем в виде Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы дать физическую интерпретацию криволинейного интеграла второго ряда, рассмотрим задачу про работу переменной силы на криволинейно - линейного пути.  Пусть материальная точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач под действием переменной силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекции силы на оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нужно вычислить работу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при перемещении точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.31).

Разобьем кривую  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач точками Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей и каждый отдельный дуге Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач На эту точку действует сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Работу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую выполняет эта сила при перемещении точки по вектору Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти с помощью скалярного произведения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта работа приближенное значение искомой работы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перейдя к границе при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем точке ее значения: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, с вида физики криволинейный интеграл второго рода вдоль которой кривая равна работе переменной силы при перемещении материальной точки вдоль этой кривой. 

Вычисление и использование криволинейного интеграла второго рода 

Приведем криволинейный интеграл второго рода к определенного интеграла. Пусть кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана параметрическим уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные вместе с своими производными Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривая, соответствует параметр Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - параметр Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная на кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по определениям 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но, согласно с формулой Лагранжа, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выберем точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда интегральная сумма в формуле (63) получит вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта интегральная сумма для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично доказываются формулы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее производная Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле (66) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, если кривая Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задана уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  причем функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывные на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятие криволинейного интеграла второго рода можно расширить на пространственной кривой. Пусть функции  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначены и непрерывны на пространственной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая задана уравнениями

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и их производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная на промежутке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда существовал криволинейный интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и выполняется формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (64) - (69) используются для вычисления криволинейных интегралов. Из этих формул получается, что криволинейный интеграл второго рода имеет свойства, аналогичные свойствам определенного интеграла. 

В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от направления пути интегрирования и при изменении этого направления изменяет свой знак: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачЭто связано с тем, что при смене направления движения, изменяются знаки проекций Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в суммах (60) и (61). 

Часто приходится рассматривать криволинейные интегралы в замкнутом контуре, то есть контуре интегрирования, в котором начальная и конечная точки сходятся. Для замкнутого контура существует только два направления обхода: против часовой стрелки (отрицательная ориентация контура) и по часовой стрелке. Другими словами, контур считается положительно ориентированной, если при его обходе область, ограниченная этим контуром, остается слева. Криволинейный интеграл по положительно ориентированном контуре Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим для использования криволинейного интеграла второго порядка. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычисление площади плоской фигуры. Пусть на плоскости (рис. 10.32) дана правильная (п. 1.3) область 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Границу области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть кривую Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будем считать положительно ориентированной. Рассмотрим интеграл  - Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приведем его к определенным интегралам: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - площадь области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, площадь Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограниченной кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно доказать, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая формулы (70) и (71) почленно, получим еще одну формулу для вычисления площади: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычисление работы. Пусть сила Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняет работу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при перемещении материальной точки вдоль кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные на кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда, как известно (п. 3.4), 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №289

Вычислить криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - замкнутый контур, образованный линиями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.33).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя аддитивность криволинейного  интеграла, получим  

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач линии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач линии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач линии Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №290

Найти плоскость области, ограниченной эллипсом Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (72)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №291

Найти работу силы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при перемещении материальной точки по прямой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач из точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (73) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №292

Вычислить криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  по линии: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.34). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №293

Вычислить криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по кривым а), б), в), которые заданы в примере 4: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим, что в примере 4 интегрирования по трем разным кривым, что включают одни и те же точки, дает один и тот же результат. В примере 5 интегрирование к таким же точкам дает разные результаты. Причина этого разъяснена в п. 3.8.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач углы, которые образуются осями координат образующая, направляющаяся к прямой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 10.35). За положительное направление образующей берем то, которое соответствует направлению движения точки по кривой от Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая геометрическое содержание дифференциальной функции и дифференциала дуги, получим

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменяя в криволинейных интегралах второго рода Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач их значениями (74), преобразим эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (75) выражают криволинейные интегралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения по кривой формулы (75) не изменяются, поскольку при этом изменяют знак Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Грина 

Формула Грина связывает двойной интеграл к области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с криволинейным интегралов по границе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой области. Она широко используется в математическом анализе. 

Докажем эту формулу для правильной области, контур которой ограничен гладкими или кусочно - гладкими кривыми. 

Теорема. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - некоторая правильная область, ограниченная замкнутым контуром Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, и функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны вместе с своими частичными производными Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этой области. Тогда выполняется формула Грина 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.32) ограничена положительно ориентированным контуром Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - границей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Покажем, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого приведем двойной интеграл к повторному, выполняем интегрирование по переменной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и до найденных определенных интегралов используем формулу (67): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, учитывая, что область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная в направлении оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно убедится, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если от равенства (79) отнимем равенство (78), то получим формулу (76) Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Мы считали, что область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная. Формула Грина будет справедливой и для произвольной области, которую можно разбить на законченное число правильных областей. Пусть, например, область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.36) складывается из двух правильных областей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Слева получим двойной интеграл по всей области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач , а справа - криволинейный интеграл, по границе этой области, поскольку криволинейный интеграл по дополнительной (средней) кривой берется дважды,  и противоположных направлениях  при складывании взаимно уничтожается. 

Замечание 2 Из формулы Грина легко получить формулы для вычисления площади плоской фигуры: если в формулу (76) подставить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим формулу (70); если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - формулу (71). 

Пример №294

Вычислить криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - круг: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) непосредственно; б) по формуле Грина.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а) воспользуемся параметрическими уравнениями круга:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Такой же результат получим по формуле Грина: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условие независимости криволинейного интеграла от формы интегрирования

Как уже обозначалось, значение криволинейного интеграла может зависеть от того, как получены точки движения интегрирования, а может и не зависеть. Если значение криволинейного интеграла остается одинаковым к всем возможным кривым, которые образуются конечными точками кривой интегрирования, то говорят, что криволинейный интеграл не зависит от формы  пути интегрирования. 

Выявим условия, по которым существует такая независимость. Напомним, что односвязной называют область, граница которой складывается из одной переменной без точек пересечения непрерывной кусочно - гладкой кривой. На рис. 10.37 показано: а - односвязную область; б) двусвязную область; в) - трехсвязную область.

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1. Пусть функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определенные и непрерывные со своими частичными производными Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой замкнутой односвязной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда следующие четыре условия эквивалентны то есть выполнение одной из них следует за собой выполнение остальных трех: 

1) для произвольной замкнутой кусочно - гладкой кривой, что принадлежит области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) для произвольных двух точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач значение интеграла 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

не зависит от формы путя интегрирования, которое лежит на области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является полным дифференциалом некоторой функции, обозначенной в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иными словами, существует такая функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначенная в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) во всех точках области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем теорему по схеме Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть покажем, что из первого условия вытекает второе, из второго - третье,  из третьей - четвертое, а из четвертого - снова первое. Этим эквивалентность всех условий будет доказана. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - две произвольные кривые, которые принадлежат области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.38) и образуют в сумме замкнутую кривую Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно с первым условием 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть другое условие выполняется. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от формы кривой, которое соединяет точки  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а зависит только от точек  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач зафиксировать: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то этот интеграл будет некоторой функцией Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач координат Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что полный дифференциал функции (81) сходится с подынтегральным выражением: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого достаточно показать, что в каждой части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач существуют частичные производные, причем 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию непрерывны в Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то с (83) получается дифференцированность функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равенств (82). 

Докажем, например, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Прирост Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен (рис. 10.39) 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По второму условию интеграл не зависит  от формы кривой, потому путь от  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно считать прямолинейным; тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применяя к остальному интегралу теорему про среднее получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поскольку по условию функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная. Аналогично докажем, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, условие 3 выполняется. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть существует функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по теореме про смешанные производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть получили равенство (80).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть выполняется четвертое условие и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная замкнутая кусочно - гладкая кривая, которая принадлежит области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ограничивает некоторую область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применяя к области  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач формулу Грина и используя четвертое условие, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Из эквивалентности условий 1-4 доказанной теоремы получается, что условия 3 и 4 являются необходимыми и достаточными условиями, по которым криволинейный интеграл не зависит от формы путя интегрирования. Но для вычислений наиболее удобной, необходимой и достаточной является равенство (80).

Замечание 2. аналогичная теорема справедлива для криволинейных интегралов второго рода вдоль пространственных кривых. Для ее формирования введем понятия поверхностно - односвязной области. 

Трехмерная область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется поверхностно - односвязной, если на любом кусочно - гладком  замкнутом контуре, который принадлежит области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не имеет точек пересечения, можно "натянуть пленка" которая полностью принадлежит области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поверхностно - односвязными областями являются шар, эллипсоид, многогранник и так далее, не односвязной - тороид ("бублик"). 

Теорема 2. Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная вместе со своими производными первого порядка в поверхностью односвязной области. Тогда эквивалентны такие утверждения: 

1) для произвольной точки замкнутой кусочно - гладкой кривой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач что принадлежит области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) криволинейный интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

не зависит от формы кривой интегрирования, которая обозначает точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежит в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) выражение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является полным дифференциалом некоторой функции, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определенной в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) во всех точках области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняются равенства 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №295

Объясните результаты интегрирования в примерах 4 и 5 (п. 3.5). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В примере 4 (п. 3.5) значение криволинейного интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

зависит от формы путя интегрирования, или выполняется равенство (80); действительно: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому результаты интегрирования а), б), в) были одинаковыми. 

У примере 5 (п. 3.5) равенство (80) не выполняется, потому значения интеграла зависят от формы контура интегрирования. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №296

Вычислить криволинейный интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по произвольной кривой, которая образует точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проверим выполнение равенства (80): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, значение интеграла не зависит от того, какой кривой образованы точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим интеграл по прямой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая образует эти точки, тогда

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование полных дифференциалов. Первичная функция 

Пусть в некоторой односвязной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и их частичные производные Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные, причем Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Зафиксируем точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим функцию 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда, согласно с п. 3.8, полный дифференциал этой функции

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но, как и для функций одной переменной, существует неоконченное количество функций двух переменных, для которых выражение (86) является полным дифференциалом; все такие функции обозначаются формулой Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - какая нибудь из них, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждую из этих функций называют первичной для полного дифференциала (86). Поскольку функция (85) - первичная, то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (88) называют формулой Ньютона - Лейбница для кривого интеграла от полного дифференциала. 

Рассмотрим способ нахождения первичной. Поскольку криволинейный интеграл (87) не зависит от формы путя интегрирования, то для нахождения первичной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно было бы вычислить этот интеграл по произвольной линии, которую образуют точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но оказывается, что самый удобный способ интегрировать по ломанной линии, которую образуют точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, что стороны ломанной параллельны осям координат. 

Вычислим, например, криволинейный интеграл (87) от точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по ломанной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.40). На отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому из формулы (87) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где первый определенный интеграл вычисляется при постоянном значении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второй - при постоянном значении Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично формуле получим при интегрировании по ломанной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.40): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (89) и (90) дают возможность найти первичную.  Начальную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этих формулах нужно выбрать так, чтобы подынтегральное выражение упрощалась насколько это возможно.  

Замечание 1. Если по формуле (89) или (90) найти первичную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формуле Ньютона - Лейбница (88) можно вычислить интеграл от полного дифференциала. Но на практике проще выполнять интегрирование по ломанной линии, которое образует Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, что стороны ломанной параллельны осям координат. 

Замечание 2. Если для дифференциального уравнения 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

выполняется равенство (80), то такое уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл этого уравнения Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле (89).

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Формула для нахождения функции трех переменных по ее полному дифференциалу Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Она выводится аналогично формуле (89) при вычислении криволинейного интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по ломанной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.41). Эти две подобные формулы можно получить при интегрировании ломанных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №297

Вычислить интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Данный  интеграл не зависит от пути интегрирования потому, что выполняется равенство (80): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на всей плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выполняем интегрирование по ломанной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.42). На отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на отрезке Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Следует: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №298

Убедиться, что выражение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

является полным дифференциалом некоторой функции и найти эту функцию. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач В данном случае, функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

непрерывные с частичными производными Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на всей плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме точки Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку равенство (80) получается, что данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для нахождения функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется формулой (89) где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - некоторая фиксированная точка, например Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - произвольная постоянная. Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поверхностные интегралы

При решении разных задач часто приходится рассматривать функции, определенные на некоторой поверхности. Такими функциями являются, например, плотность распределения электрических зарядов на поверхности проводника, поверхностная плотность массы, распределенной на поверхности, скорость жидкости, что протекает через заданную поверхность, освещение поверхности тоже. 

В этой лекции мы рассмотрим интегралы от функций, заданных на поверхности - это так названные поверхностные интегралы. 

Поверхностные интегралы первого рода 

Поверхностные интегралы первого рода являются обобщением двойных интегралов. 

Пусть в точках некоторой кусочно - гладкой поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена ограниченная функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разобьем поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  произвольных  частей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  без общих внутренних точек (рис. 10.43); пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - площадь, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - диаметр части поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В каждой части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту сумму называют интегральной суммой для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегральной суммы (92) имеют неоконченную границу, которая не зависит ни от способа разбития поверхности, но от выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач эту границу называют поверхностным интегралом первого рода от функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по определениям 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае, Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется интегрированной на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - область интегрирования. 

Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она интегрирована к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление поверхностного интеграла первого рода приводится к вычислению двойного интеграла. 

Пусть гладкая поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, задана уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проектируется на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Вследствие разбивания поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачразбивается на части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые являются соответственными проекциями частей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.44). Если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - площадь области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - площадь поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то (п. 1.5)

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому интегральную сумму (92) можно записать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правая часть этого равенства является интегральной суммой для функции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому из равенств (93) и (94) получается, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (95) выражает поверхности интеграла первого рода через двойной интеграл к проекции поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на площади Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично можно получит формулы, что выражают интеграл к поверхности  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через двойные интегралы к ее проекциям на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задается уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекции поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. 

Если в формуле (93) поставить Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - площадь поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть с помощью верхнего интеграла первого рода можно вычислять площадь поверхности.

Кроме того, поверхностные интегралы первого рода используют при вычислении массы, координат центра массы, моменту инерции материальной поверхности с известной поверхностной плотностью распределения массы. Изучение соответственных формул по сути не отличается от вывода аналогических формул для материальной пластины (п. 1.6). 

Если на кусочно - гладкой поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена масса с поверхностной плотностью  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то:

а) масса материальной поверхности 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) координаты центра массы поверхности: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - статистические моменты поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскостей Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) моменты инерции поверхности относительно осей координат и началу координат: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №299

Найти момент инерции относительно оси Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач части однородной Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.27), которое отсекается плоскостью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Находим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент инерции 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является круг Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Переходя к полным координатам, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Остальной интеграл найдем заменой переменной: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поверхностные интегралы второго рода 

Введем понятия стороны поверхности. Возьмем на гладкой поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольную точку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем в ней нормаль Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач определенного направления и рассмотрим на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольный замкнутый контур, который выходит из точки  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и возвращается в точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач не пересекая при этом границу поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Переместим точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач по замкнутому контуру вместе с вектором Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач все время оставался нормальным к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При обходе заданного контура мы можем вернутся вернутся в точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач с тем самым ил противоположным направлением нормали. 

Если в произвольную точку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач после обхода произвольного замкнутого контура, размещенного на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, который не пересекает ее границу, мы возвращаемся к начальному направлению нормали Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то поверхность называют двусторонней

Если при обходе некоторого контура направление нормали изменяется на противоположный, то поверхность называют односторонней

Примерами двухсторонних поверхностей является плоскость, сфера, произвольная замкнутая поверхность без пересечений, произвольная поверхность, заданная уравнением  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - функции, непрерывные в некоторой области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса (рис. 10.45). Модель этой поверхности можно получить, если прямоугольную полоску бумаги Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач перекрутив один раз, склеить так, чтобы точка Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач сходилась с Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а точка  - Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  с Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Двусторонней поверхностью называют ориентированной, а выбор определенной ее стороны ориентацией поверхности.  Направляя в каждой точке замкнутой поверхности нормали объема, ограниченного поверхностью, получим внутреннюю сторону поверхности и наоборот. Односторонние поверхности не ориентированы. 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ориентирована поверхность, ограниченная контуром 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач который не имеет точек пересечение. Будем считать положительным то направление обхода контура Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором наблюдатель, размещенный так, что направление нормали сходится с направлением от ног до головы при движении, оставляет поверхность слева от себя (рис. 10.46). Противоположное направление обхода называется отрицательным

Выясним теперь понятие поверхностного интеграла второго рода. 

Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - гладкая поверхность, заданная уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ограниченная функция, определенная в точках поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разобьем ее произвольно на Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач частей. Обозначим через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  проекцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - ной части поверхности  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а через Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач взятую со знаком плюс, если выбрана внешняя сторона поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и со знаком минус, если выбрана внутренняя стороны поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выберем в каждой части Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольную точку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и складываем сумму 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение (97) называется интегральной суммой. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - максимальный диаметр поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если при Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач интегральные суммы (97) имеют оконченную границу, которая не зависит ни от способа разбития поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, ни от выбора точек Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эту границу называют поверхностным интегралом второго рода обозначают так: Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач    Следует, по определениям 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По определению поверхностного интеграла второго рода получается, что при смене стороны поверхности на противоположном интеграле изменяет знак, или изменяется знак Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно также проецировать на координаты плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда получим еще два поверхностных интеграла Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - функции, обозначенные в точках поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.47), где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - элемент плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - углы между нормалью к поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и осями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, то справедливы такие формулы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На практике простейшим является поверхностный интеграл, который объединяет все названные, то есть 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если, например, вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  является скорость жидкости, то количество Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач жидкости, которая протекает через поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач за единицу времени, называется потоком вектора Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и находится по формуле Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом состоит физическое содержание верхнего интеграла второго рода. Получается, что когда вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет другую природу, верхний интеграл имеет другое физическое содержание. 

Формула (99) выражает общий верхний интеграл второго рода через верхний интеграл первого рода. 

поверхностные интегралы второго рода вычисляются с помощью двойных интегралов. 

Пусть функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная во всех точках гладкой поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая задана уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  где область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекция поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выберем верхнюю сторону поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, где нормаль к поверхности образует с осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач острый угол, тогда Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то сумму (91) можно записать в виде 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В правой части равенства (100) содержится интегральная сумма для функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция непрерывная в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач потому интегрирована в ней. 

Перейдя к равенству (100) к границе Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим формулу 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая выражает верхний интеграл второго рода при переменных Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач через двойной. Если выбирать нижнюю сторону поверхности, то полученный двойной интеграл берут со знаком "минус", потому, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В формуле (102) гладкую поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формуле (103) - уравнением Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Знак "плюс" берем в формулах тогда, когда нормаль к поверхности образует соответственно с осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач острый угол, а знак "минус" - когда угол тупой; Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекции поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач   соответственно. 

Для вычисления общего интеграла (99) используют формулы (101) - (103), проектируя поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на все три координаты плоскости. Таким образом, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правильность выбора знаков перед двойными интегралами можно проверить с помощью формулы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая обозначает единичный нормальный вектор к поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Двойной знак в этой формуле соответствует двум сторонам поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из формулы (99) получается, что знак перед двойным интегралом сходится с знаком соответственного косинуса нормали  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если поверхность  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач неоднозначно проектируется на какую - нибудь координатную плоскость, то эту поверхность разбивают на части, а интегралы (99) - на сумму интегралов к полученным частям поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №300

Вычислить поверхностный интеграл второго рода 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - внешняя сторона сферы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач размещена в первом октанте. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  - проекции заданной поверхности на координатной плоскости. Эти четверти круга с центром в начале координат и радиусом 1;  тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №301

Вычислить интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - внешняя сторона треугольника, образованного пересечением плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в координатными плоскостями (рис. 10.48). 

Найдем проекции поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатной плоскости: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим нормальный вектор Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач к поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то перед двойным интегралом в формулах (101) и (102) нужно взять знак "плюс" , а перед двойным интегралом в формуле (103) - знак "минус". Следует, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Остроградского - Гаусса

Формула Остроградского - Гаусса устанавливает связь между верхним интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом к пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула является аналогом формулы Грина, которая, как известно, устанавливает связь криволинейного интеграла к замкнутому контуру с двойным интегралом к плоской области, ограниченной этим контуром. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть замкнутая область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена замкнутой поверхностью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  причем снизу и сверху ограничена гладкими поверхностями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения которых Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.49). Предположим, что проекцией области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач является область Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена непрерывную функцию Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую в этой области  имеет непрерывную производную Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Рассмотрим тройной интеграл 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В правой части этого равенства первый двойной интеграл запишем с помощью верхнего интеграла к внешней стороне поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второй двойной интеграл - по внешней стороне поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая углы между нормалью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и осью Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, предположим, что функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач  непрерывные в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можно получить формулы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая почленно равенство (104), (105) и (106), по получим формулы 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которую называют формулой Остроградского - Гаусса. Эта формула справедлива и для произвольной области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую можно разбить на оконченное число областей, для которых выполняется равенства (104) - (106). 

С помощью формулы Остроградского - Гаусса удобно вычислять поверхностные интегралы к замкнутым поверхностям. 

Пример №302

Вычислить верхний интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.23). 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Воспользуемся формулой (10): 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между верхними и криволинейными интегралами. Пусть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - поверхность, заданная уравнениями Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывные в области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - контур, который ограничивает Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - проекция контура Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - граница области Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Выберем верхнюю сторону поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.50). Если функция Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная вместе со своими частичными производными первого порядка на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то справедлива формула 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Преобразуем криволинейный интеграл, который содержится в левой части равенства (108). Поскольку контур Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на поверхности Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, то координаты его точек удовлетворяет уравнение Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по тому значение функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках контура Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны значениям функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач в соответственных точках контура  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда получается, что 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применяем к найденному интегралу формулу Грина, получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тут подынтегральная функция равна частичной производной к Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачот сложенной функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Поскольку  Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - верхняя сторона поверхности, то есть Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач то нормаль имеет проекции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но направляющие косинусы нормали пропорциональные соответственным проекциям, потому 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно доказать, что при соответственных условиях справедливы формулы: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая почленно равенства (108), (109) и (110), получим формулу 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая называется формулой Стокса. С помощью формулы (99), которая связывает поверхностные интегралы первого и второго рода, эту формулу можно записать так: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Стокса дает возможность вычислять криволинейный интеграл в замкнутых контурах с помощью поверхностных интегралов. 

Пример №303

Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - круг Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а поверхность Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач - верхняя сторона полусферы Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задачВысшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обход контура Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется в положительном направлении. 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то с помощью формулы Стокса (111) получим 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы Стокса получается, что когда выполняются равенства 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю: 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

А это означает, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от формы контура интегрирования. 

При выполнении условий (112) или (113) подынтегральное выражение 

Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

является полным дифференциалом некоторой функции Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти эту функцию можно по формуле (91). 

Кстати вы всегда можете заказать решение задач по высшей математике.

Лекции по предметам:

  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Геометрия
  6. Аналитическая геометрия
  7. Дискретная математика
  8. Математический анализ
  9. Теория вероятностей
  10. Математическая статистика
  11. Математическая логика

Учебник онлайн:

  1. Рациональная дробь
  2. Функция в математике
  3. Наибольшее и наименьшее значения функции
  4. Раскрытие неопределенностей
  5. Дробно-рациональные уравнения
  6. Дробно-рациональные неравенства
  7. Прогрессии в математике - арифметическая, геометрическая
  8. Единичная окружность - в тригонометрии
  9. Определение синуса и косинуса произвольного угла
  10. Определение тангенса и котангенса произвольного угла
  11. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  12. Функция y=sin x и её свойства и график
  13. Функция y=cos x и её свойства и график
  14. Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики
  15. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
  16. Тригонометрические уравнения
  17. Тригонометрические неравенства
  18. Формулы приведения
  19. Синус, косинус, тангенс суммы и разности
  20. Формулы двойного аргумента
  21. Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
  22. Корень n-й степени из числа и его свойства
  23. Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N)
  24. Иррациональные уравнения
  25. Иррациональные неравенства
  26. Производная в математике
  27. Как найти производную функции
  28. Асимптоты графика функции
  29. Касательная к графику функции и производная
  30. Предел и непрерывность функции
  31. Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
  32. Предел функции на бесконечности
  33. Применение производной к исследованию функции
  34. Приложения производной
  35. Производные высших порядков
  36. Дифференциал функции
  37. Дифференцируемые функции
  38. Техника дифференцирования
  39. Дифференциальная геометрия
  40. Логарифмическая функция, её свойства и график
  41. Логарифмические выражения
  42. Показательная функция, её график и свойства
  43. Производные показательной и логарифмической функций
  44. Показательно-степенные уравнения и неравенства
  45. Показательные уравнения и неравенства
  46. Логарифмические уравнения и неравенства
  47. Степенная функция - определение и вычисление
  48. Степень с целым показателем
  49. Корень n-й степени
  50. Тождества с корнями, содержащие одну переменную
  51. Действия с корнями нечетной степени
  52. Действия с корнями четной степени
  53. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
  54. Периодические дроби
  55. Степень с рациональным показателем
  56. Степень с действительным показателем
  57. Логарифм - формулы, свойства и примеры
  58. Корень из числа - нахождение и вычисление
  59. Теория множеств - виды, операции и примеры
  60. Числовые множества
  61. Вектор - определение и основные понятия
  62. Прямая - понятие, виды и её свойства
  63. Плоскость - определение, виды и правила
  64. Кривые второго порядка
  65. Евклидово пространство
  66. Матрица - виды, операции и действия с примерами
  67. Линейный оператор - свойства и определение
  68. Многочлен - виды, определение с примерами
  69. Квадратичные формы - определение и понятие
  70. Системы линейных уравнений с примерами
  71. Линейное программирование
  72. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  73. Исследование функции
  74. Пространство R"
  75. Неопределённый интеграл
  76. Методы интегрирования неопределенного интеграла
  77. Определённый интеграл
  78. Кратный интеграл
  79. Ряды в математике
  80. Дифференциальные уравнения с примерами
  81. Обратная матрица - определение и нахождение
  82. Ранг матрицы - определение и вычисление
  83. Определители второго и третьего порядков и их свойства
  84. Метод Гаусса - определение и вычисление
  85. Прямая линия на плоскости и в пространстве
  86. Плоскость в трехмерном пространстве
  87. Функция одной переменной
  88. Производная функции одной переменной
  89. Приложения производной функции одной переменной
  90. Исследование поведения функций
  91. Предел и непрерывность функции двух переменны
  92. Дифференцируемость функции нескольких переменных
  93. Несобственные интегралы
  94. Дифференциальные уравнения первого порядка
  95. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
  96. Системы дифференциальных уравнений
  97. Числовые ряды
  98. Знакопеременные ряды
  99. Степенные ряды
  100. Элементы матричного анализа
  101. Уравнение линии
  102. Функции нескольких переменных
  103. Комплексные числ
  104. Координаты на прямой
  105. Координаты на плоскости
  106. Линейная функция
  107. Квадратичная функция
  108. Тригонометрические функции
  109. Производные тригонометрических функции
  110. Производная сложной функции
  111. Пределы в математике
  112. Функции многих переменных
  113. Уравнения прямых и кривых на плоскости
  114. Плоскость и прямая в пространстве
  115. Определитель матрицы
  116. Критерий совместности Кронекера-Капелли
  117. Формулы Крамера
  118. Матричный метод
  119. Экстремум функции
  120. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  121. Скалярное произведение и его свойства
  122. Векторное и смешанное произведения векторов
  123. Преобразования декартовой системы координат
  124. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  125. Замечательные пределы
  126. Непрерывность функций и точки разрыва
  127. Точки разрыва и их классификация
  128. Дифференциальное исчисление
  129. Исследование функций с помощью производных
  130. Формула Тейлора и ее применение
  131. Интегрирование рациональных дробей
  132. Интегрирование тригонометрических функций
  133. Интегрирование тригонометрических выражений
  134. Интегрирование иррациональных функций
  135. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
  136. Линии второго порядка
  137. Полярные координаты
  138. Непрерывность функции
  139. Уравнения поверхности и линии в пространстве
  140. Общее уравнение плоскости
  141. Угол между плоскостями
  142. Понятие о производной вектор-функции
  143. Криволинейные интегралы
  144. Двойные и тройные интегралы
  145. Делимость чисел в математике
  146. Обыкновенные дроби
  147. Отношения и пропорции
  148. Рациональные числа и действия над ними
  149. Делимость натуральных чисел
  150. Выражения и уравнения
  151. Линейное уравнение с одной переменной
  152. Целые выражения
  153. Одночлены
  154. Многочлены
  155. Формулы сокращенного умножения
  156. Разложение многочленов на множители
  157. Системы линейных уравнений с двумя переменными
  158. Рациональные выражения
  159. Квадратные корни
  160. Квадратные уравнения
  161. Неравенства
  162. Числовые последовательности
  163. Предел числовой последовательности
  164. Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
  165. Функции, их свойства и графики
  166. Параллельность в пространстве
  167. Перпендикулярность в пространстве
  168. Векторы и координаты в пространстве
  169. Множества
  170. Рациональные уравнения
  171. Рациональные неравенства и их системы
  172. Геометрические задачи и методы их решения
  173. Прямые и плоскости в пространстве
  174. Интеграл и его применение
  175. Первообразная и интегра
  176. Уравнения и неравенства
  177. Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  178. Уравнение
  179. Метод математической индукции
  180. Система координат в пространстве
  181. Иррациональные числа
  182. Действительные числа
  183. Решение уравнений высших степеней
  184. Системы неравенств
  185. Квадратные неравенства
  186. Точка, прямая и плоскость в пространстве
  187. Тригонометрические функции произвольного угла
  188. Теоремы синусов и косинусов
  189. Система показательных уравнений
  190. Непрерывные функции и их свойства
  191. Правило Лопиталя
  192. Вычисления в Mathematica с примерами