Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция - одно из важнейших понятий математики, она даёт возможность исследовать и моделировать не только состояния, но и процессы. Исследование процессов и явлений с помощью функций — один из основных методов современной науки. Вы будете изучать функции во всех последующих классах и в высших учебных заведениях.

Содержание:

Функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

В различных процессах, которые происходят в природе, можно увидеть, как одни величины изменяются в зависимости от других. Например, путь, пройденный пешеходом, зависит от времени, стоимость покупки зависит от её количества. Путь и время, стоимость и количество, переменные величины. Одна из этих величин независимая, другая изменяется в зависимости от первой. Так, время является независимой переменной, путь - величина, зависимая от времени, количество купленного товара - независимая величина, стоимость покупки зависит от количества. Понятно, что каждая из переменных величин принадлежит какому-то определённому множеству.

Если каждому элементу х из множества X, по определённому правилу ставится в соответствие определённое и единственное значение у из множества У, то такое соответствие называется функцией. Здесь х называется независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или функцией. Обычно функцию обозначают так

Множество значений, которые может принимать аргумент, называется областью определения и обычно обозначается множество значений, которая может принимать функция для заданных значений переменной, называется множеством значений функции (областью значений) и обычно обозначается .

Подробное объяснение функции:

Напомним, что зависимость переменной от переменной называется функцией, если каждому значению соответствует единственное значение .

В курсе алгебры и начал анализа пользуются определением числовой функции.

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу из множества D ставится в соответствие единственное число .

Понятие числовой функции:

Числовой функцией с областью определения называется зависимость, при которой каждому числу из множества (области определения) ставится в соответствие единственное число .

Записывают это соответствие так:

Обозначения и термины:

• — область определения
• — область значений
• — аргумент (независимая переменная)
• — функция (зависимая переменная)
• — функция
• — значение функции в точке

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию Число соответствующее числу (на рисунке к пункту 1 табл. 3 это показано стрелкой), называют значением функции в точке и обозначают

Область определения функции — это множество тех значений, которые может принимать аргумент . Она обозначается

Область значений функции — это множество, состоящее из всех чисел , где принадлежит области определения. Ее обозначают .

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой , то ее область определения: то есть а область значений: то есть

Иногда функция может задаваться разными формулами на разных множествах значений аргумента. Например,

Функцию можно задать не только с помощью формулы, но и с помощью таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке графически задана функция с областью определения и множеством значений

График функции:

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами где первая координата «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции в точке

Значение, которое принимает функция в некоторой точке множества , на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим на этом множестве), если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. То есть для всех выполняется неравенство (соответственно для наименьшего значения).

Иногда это записывают так:  (соответственно ). Например, для м функции , графически заданной на отрезке на рисунке 16, наименьшее значение равно 1, а наибольшее — 4. То есть

Что такое функция

Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Каждому значению длины стороны квадрата соответствует единственное значение его площади (рис. 53).

Масса куска мела зависит от его объёма. Каждому значению объёма V куска мела соответствует единственное значение его массы m.

Каждому значению массы груза, подвешенного на пружине, соответствует определённая длина пружины (рис. 54).

Каждому значению температуры воздуха t соответствует единственное значение высоты h столбика жидкости в термометре.

Каждому значению переменной х соответствует единственное значение выражения 2х - 1.

Примеров зависимостей и соответствий между переменными можно привести много» Для науки и практики важно уметь исследовать такие соответствия. Их называют функциональными соответствиями, или функциями.

В рассмотренных примерах речь идёт о связи между двумя переменными. Одну из них, значения которой выбирают произвольно, называют независимой переменной, или аргументом. Другую переменную, зависящую от аргумента, называют зависимой переменной, или функцией.

Независимыми переменными (аргументами) в приведённых выше примерах являются: длина стороны квадрата, объём куска мела, масса груза, температура воздуха. Их значения можно выбирать произвольно. Зависимыми переменными будут: площадь квадрата, масса мела, длина пружины, высота столбика жидкости в термометре.

Если каждому значению переменной х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у, то переменную у называют функцией от х.

При таких условиях переменную х называют аргументом функции у, множество D — областью определения функции, а соответствие между х и у — функциональным соответствием, или функцией.

Все значения, которые может принимать аргумент функции, — её область определения. А все соответствующие значения функции — область значений функции (Е).

Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а. Здесь S — функция, а — аргумент. Область определения этой функции — множество всех положительных чисел.

Высота h столбика жидкости в термометре — функция от температуры t. Здесь h — функция, t — аргумент. Пусть, например, на протяжении суток температура воздуха повышалась от -5° до 7°, а высота столбика жидкости в термометре — от 20 до 32 см. Этому изменению соответствует некая функция, областью определения которой является промежуток от -5° до 7°, а областью значений — промежуток от 20 до 32 см.

Задавать функциональные соответствия можно разными способами. Часто их задают формулами. Например, соответствие между длиной а стороны квадрата и -его площадью S можно задать формулой

Соответствие между радиусом окружности r и её длиной С можно задать формулой

Соответствие между значениями переменной х и значениями у выражения 2х - 1 можно задать формулой у = 2х - 1.

Задание функции формулой удобно, так как это даёт возможность находить значение функции для произвольного значения аргумента. Такое задание функции довольно экономно: в основном формула занимает одну строку.

Если функцию задают формулой и ничего не говорят об области её определения, то считают, что эта область — множество всех значений переменной, при которых формула имеет смысл. Например, область определения функции у = 2х-1 — множество всех чисел, а функции — множество всех чисел, кроме 1, так как на 0 делить нельзя.

Областью определения функции, которая задаётся многочленом

Областью определения функции, которая задаётся многочленом с одной переменной, есть множество всех чисел.

Задавать функции можно и в виде таблицы. Например, функцию у = 2х - 1 для первых десяти натуральных значений х можно задать в виде такой таблицы.

Здесь:

• область определения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10;
• область значений: 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19.

Табличный способ задания функции удобен тем, что для определённых значений аргумента в таблицу уже занесены соответствующие значения функции, поэтому не нужно проводить вычисления. Неудобен он тем, что таблица занимает больше места. Вдобавок, как правило, содержит значения функции не для всех значений аргумента, а только для некоторых.

Функцию можно задавать и словесно. Например, если каждому целому числу поставить в соответствие его квадрат, то получим функцию, областью определения которой является множество целых чисел, а областью значений — множество квадратов натуральных чисел и число 0.

Слово функция имеет и другое значение: деятельность, выполнение. Например, говорят о функциях старосты класса, функции печени в организме человека.

И слово аргумент нередко используют в другом значении. В логике под словом аргумент понимают доказательство, основание, на основе которого устанавливают истинность или ошибочность того или иного суждения.

Обратите внимание на соотношение понятий «функциональная зависимость» и «функциональное соответствие» (рис. 55). Из рисунка видно, что существуют соответствия, не являющиеся зависимостями. Например, формулы задают функции, но в них переменные у не зависят от х.

На координатной прямой кроме точек с рациональными координатами существует множество таких точек, координаты которых — числа не рациональные. Их называют иррациональными.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел (R). Подробнее с действительными числами и их свойствами вы ознакомитесь в 8 классе. А пока, имея в виду множество действительных чисел, будем использовать термин «все числа».

Пример №1

Найдите значения функции, заданной формулой у = 2х + 7, соответствующие таким значениям аргумента: 0; 4; 0,8; - 125; 105. Результаты сведите в таблицу.

Решение:

Пример №2

Найдите область определения функции:

Решение:

а)Формула, с помощью которой задаётся функция, — многочлен, а потому область её определения — множество всех чисел;

б)переменная х может иметь любые значения, кроме тех, при которых знаменатель дроби равен нулю. Чтобы их найти, решим уравнение

Итак, область определения функции — множество всех чисел, кроме х = 3, х = -3.

График функции

Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные прямые х и у, пересекающиеся в начале отсчёта — точке О (рис. 60).

Плоскость, на которой заданы такие координатные прямые, называют координатной плоскостью, прямую х — осью абсцисс, прямую у — осью ординат, точку О — началом координат.

Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел. Например, точке А соответствует пара (3; 2), так как прямая перпендикулярная оси х, пересекает её в точке с координатой 3, а прямая перпендикулярная оси у, пересекает её в точке с координатой 2 (рис. 61). Говорят, что точка А имеет координаты 3 и 2. Записывают: А (3; 2). Здесь 3 — абсцисса, 2 — ордината точки А. Первой всегда пишут абсциссу. Начало координат — О (0; 0).

Каждой паре чисел на координатной плоскости соответствует единственная точка. На рисунке 61 показано, как обозначить, например, точки Пусть имеем функцию у- 2х-3, где Составим таблицу значений этой функции для целых значений аргумента.

Нанесём на координатную плоскость точки, координаты которых представлены в этой таблице. Абсциссы точек равны значениям аргумента x; данной функции, а-ординаты — соответствующим значениям функции у, то есть А (- 1; - 5), В (0; - 3) и т. д. Получим 7 точек (рис. 62, а), все они лежат на одной прямой.

Дадим аргументу х ещё несколько дробных значений и вычислим соответствующие им значения функции:

Дополним рисунок 62, а точками, координаты которых представлены в этой таблице (рис. 62, б). Они также размещены на той же прямой. Если придавать аргументу х другие значения и обозначать на координатной плоскости соответствующие точки, то эти точки образуют отрезок (рис. 62, в). Этот отрезок — график функции у = 2x - 3. Её область определения — промежуток а область значений

Если построенный отрезок мысленно продолжить в обе стороны, то получим прямую. Эта прямая — график функции, заданной той же формулой (у = 2х - 3), но на множестве всех чисел (рис. 63).

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, ординаты - соответствующим значениям функции.

Если описанным способом построить график функции условии, что то получим кривую линию, изображённую на рисунке 64.

Имея график функции, можно для любого значения аргумента (из области определения) указать соответствующее значение функции. Для примера найдём значение функции на графике находим точку М с абсциссой 4, а на оси ординат — ординату точки М; она равна 1,5. Следовательно, пользуясь графиком функции, можно составить таблицу её значений, то есть график задаёт функцию. Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Видя перед собой график, можно сразу выяснить свойства функции, заданной им. В частности, можно установить такие её характеристики:

• область определения и область значений функции;
• при каких значениях аргумента значения функции положительны, при каких — отрицательны, при каких — равны нулю;
• на каких промежутках функция возрастает, а на каких — убывает.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему-значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В современной математике функции играют важную роль. Их часто используют для создания математических моделей разных процессов, явлений. Когда растёт ребенок, то изменяются его рост, объём, масса; когда взлетает самолёт — изменяются его скорость, расстояние от поверхности земли, масса горючего в баках; когда строят высотный дом — изменяются его высота, масса, стоимость и т. п. Все такие процессы (а их — миллиарды) удобно моделировать с помощью функций. Функция — математическая модель реальных процессов. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

Существуют приборы, сами вычерчивающие графики функций: барографы, термографы, кардиографы и т. п. Например, кардиограф чертит график-кардиограмму (рис. 65), характеризующий работу сердца. Прибор термограф отмечает изменение температуры за сутки, неделю, месяц. Специалистам надо уметь читать такие графики.

Пример №3

Является ли графиком функции линия, изображённая на рисунке 66?

Решение:

На данной линии есть три разных точки с абсциссами 4. Если бы такая функция у от аргумента х существовала, то одному значению х = 4 соответствовали бы три разных значения функции. По определению функции такого быть не может.

Ответ. Данная линия не является графиком функции.

Пример №4

Определите, принадлежат ли графику функции точки

Решение:

Если точка принадлежит графику функции, то её координаты должны удовлетворять равенство, задающее данную функцию. Проверим это для каждой точки А, В, С и D этого графика.

Подставим координаты точки А (-4; -4) в равенство

Имеем: Значит, точка А принадлежит графику функции

Для точки

Значит, точка В не принадлежит графику функции

Для точки точка С принадлежит графику.

Для точки

точка D принадлежит графику.

Ответ. Точки А, В и D принадлежат графику функции а точка В не принадлежит этому графику.

Линейная функция её свойства и график

Многие функции, которые приходится исследовать, можно задать формулой — данные числа. Например, если масса пустой бочки равна 30 кг, а плотность бензина — то зависимость между массой m бочки с бензином и объёмом V л бензина в ней можно выразить формулой m = 0,8V+ 30.

Если масса 1 м провода равна 50 г, а катушки без провода — 200 г, то зависимость между массой m. катушки с проводом и длиной l м намотанного на неё провода можно выразить формулой (рис. 76). Такие функции называют линейными.

Линейною называют функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где х — аргумент, k и b — данные числа.

Рассмотрим две линейные функции, заданные формулами

на множестве всех чисел (R). Описанным в предыдущем параграфе способом построим графики данных функций (рис. 77 и 78).

Видим, что график каждой из приведённых функций — прямая. Можно обобщить примеры и доказать такое утверждение.

График каждой линейной функции — прямая. И каждая прямая на координатной плоскости, не перпендикулярная оси абсцисс, — график некоторой линейной функции.

Для построения прямой, являющейся графиком любой линейной функции, достаточно знать координаты двух точек. Чтобы построить график функций у = 1,5х + 3, надо составить таблицу для двух любых значений аргумента. Например:

Обозначим на координатной плоскости точки с координатами 0 и 3, 2 и 0 и проведём через них прямую (рис. 79). Это и есть график функции

Свойства линейной функции для разных значений k можно определить по графикам, представленным, например, на рисунках 77 и 78. Представим их в виде таблицы.

Свойства линейной функции при условии, что k = 0, предлагаем сформулировать самостоятельно.

Рассмотрим частные случаи линейных функций.

Если k = 0, то функция

имеет вид у = b. График такой функции — прямая, параллельная оси х (рис. 80).

Если то линейная функция имеет вид

Эту функцию называют прямой пропорциональностью, так как любые (отличные от нуля)

Значение такой функции пропорциональны соответствующим значениям аргумента. Для примера составим таблицу значений функции

Здесь числа 12 и 15 пропорциональны числам 4 и 5, ведь 12:15=4:5; числа - 6 и 9 пропорциональны числам - 2 и 3, ведь - 6:9 = -2:3ит. д.

График прямой пропорциональности— прямая, проходящая через начало координат. На рисунке 81 изображены графики функций

Пример №5

Постройте график функции, заданной формулой

Решение:

Данная функция — линейная, её график — прямая. Определим координаты двух точек этой прямой, составив таблицу.

Нанесём на координатную плоскость точки А(0; 1) и В(2; 2) и проведём через них прямую (рис. 82). Это и есть график данной функции.

Существуют функции, не являющиеся линейными на всей области определения, но на отдельных промежутках области определения имеют свойства линейных. Их графики — ломаные линии. Рассмотрим одну из таких функций.

Пример №6

Постройте график функции

Решение:

По определению модуля можем записать:

Следовательно,

Это функция, которая на двух разных промежутках задаётся разными формулами линейных функций:

Составим такие таблицы их значений.

Построим график функции (рис. 83).

Исторические сведения:

Некоторые примеры соответствий между переменными, теперь называющимися функциями, учёным были известны очень давно. В Вавилоне ещё более 3000 лет тому назад были составлены таблицы квадратов и кубов натуральных чисел, которые сейчас можно считать табличным заданием функций

Общее понятие функции было введено только в XVII в. Сначала Р. Декарт ввёл понятие переменной величины и систему координат, начал рассматривать зависимость ординат точек графика от их абсцисс. Слово «функция» (с латинского — действие, выполнение) впервые ввёл немецкий математик Г. Лейбниц.

Функциями он называл абсциссы, ординаты и некоторые отрезки, связанные с точкой, которая в процессе движения описывает определённую линию.

Г. Лейбниц — выдающийся немецкий учёный. По образованию — юрист. Работал библиотекарем, историографом, организовал Берлинскую академию наук. Исследовал проблемы математики, философии, языковедения, химии, геологии, конструировал вычислительные машины.

Усилиями многих математиков (И. Бернулли, Л. Эйлера, Н. Лобачевского, Б. Больцано и др.) понятие функции уточнялось, расширялось и наполнялось новым смыслом. Наиболее общее современное определение функции предложила в XX в. группа математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки: «Функция — это отношение, при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия». Под отношением они понимают соответствие , под областью отправления (областью определения функции) и областью прибытия (областью её значений) — любые множества, а не только числовые. С таким общим понятием функции вы ознакомитесь в старших классах.

Напомню:

Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то переменную у называют функцией от х, переменную х называют независимой переменной, или аргументом функции. Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а.

Функции можно задавать с помощью формул, таблиц, графиков и т. п. Графики функций чаще всего строят в декартовой системе координат, состоящей из двух взаимно перпендикулярных координатных осей — горизонтальной оси абсцисс, или оси х, и вертикальной оси ординат, или оси у (рис. 88). Плоскость с системой координат называют координатной плоскостью, каждой её точке соответствует одна пара чисел. Например, на рисунке 88 точке А соответствует пара чисел (3; 2), её координаты записывают так: А (3; 2). То есть 3 — абсцисса точки А, а 2 — ордината точки А.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Все значения, которые может принимать аргумент функции, образуют её область определения, а все соответствующие значения функции — область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой у = kx + b, где х — аргумент, a k и Ъ — данные числа. Если b = 0, то линейную функцию называют прямой пропорциональностью.

График каждой линейной функции — прямая. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. На рис. 88 прямая КР — график линейной функции у = 2х - 2, прямая MN — график прямой пропорциональности y = - 0,5х.

Дополнительное объяснение графиков функции:

Рассмотрим функцию где Составим таблицу значений этой функции с шагом 1:

Рассмотрим пары чисел, записанные в каждом столбце этой таблицы, как координаты точек координатной плоскости. При этом значение аргумента является абсциссой точки, а соответственное значение функции — ее ординатой.

Эти точки изображены на рисунке 14.

Очевидно, что, придавая аргументу другие значения из области определения и находя соответственные значения функции, можно отметить все больше и больше точек на координатной плоскости (рис. 15, 16).

Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким образом, образуют график функции.

Определение. Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответственным значениям функции .

Очевидно, что описанный метод построения графика функции на практике реализовать невозможно. Ведь точек, которые следовало бы отметить, бесконечно много. Однако, если отметить достаточно много точек, а затем соединить их плавной линией, то полученная кривая (рис. 17) будет тем меньше отличаться от искомого графика, чем больше точек мы отметим.

Поскольку описанный метод построения графика функции требует значительной технической работы, то существенную ее часть может взять на себя компьютер. Сегодня существует много программ, предназначенных для построения графиков. Так, на экране монитора (рис. 18) изображен график функции где

Подчеркнем, что если какая-то фигура является графиком функции , то выполняются два условия:

1. если — некоторое значение аргумента, a — соответственное значение функции, то точка с координатами обязательно принадлежит графику;
2. если — координаты произвольно выбранной точки графика, то и — соответственные значения независимой и зависимой переменных функции , т. е.

Неверно считать, что график функции — это непременно какая-то линия. На рисунке 19 изображен график функции, заданной таблицей:

Он состоит всего лишь из двух точек. Рассмотрим пример построения графика функции, заданной описательно.

Область определения данной функции — все числа. Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно -1; если аргумент равен нулю, то значение функции равно нулю. График этой функции изображен на рисунке 20.

Он состоит из трех частей: точки О (0; 0) и двух лучей, у каждого из которых «выколото» начало.

Далеко не всякая фигура, изображенная на координатной плоскости, может служить графиком некоторой функции. Например, окружность не может являться графиком функции (рис. 21). Здесь по заданному значению аргумента не всегда однозначно находится значение переменной .

Фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой не более одной общей точки.

Рисунок, схема, фотография какого-то объекта или процесса дают о нем наглядное представление. Ту же роль играет для функции ее график. Так, изучая график, изображенный на рисунке 22, можно, например, найти:

1. область определения функции: все такие, что
2. область значений функции: все такие, что
3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю:
4. значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:
5. значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения: и т. д.

После изучения материала этого пункта становится понятно, почему в технике, медицине, экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы, которые позволяют строить графики различных функциональных зависимостей.

Пример №7

Принадлежит ли графику функции, заданной формулой точка:

Решение:

Чтобы установить, принадлежит ли точка графику функции, найдем значение функции при значении аргумента, равном абсциссе данной точки. Если значение функции будет равно ординате данной точки, то точка принадлежит графику, если не равно — не принадлежит.

имеем Следовательно, точка А принадлежит графику данной функции.

имеем Значит, точка В не принадлежит графику функции

Пример №8

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

Решение:

Точка принадлежит оси абсцисс тогда и только тогда, когда ее ордината равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение Имеем или Следовательно, график данной функции имеет с осью абсцисс две точки пересечения:

Точка принадлежит оси ординат тогда и только тогда, когда ее абсцисса равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при Имеем Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке

Ещё раз повторим пройденное рассмотрев два примера:

Пример №9

В бассейне было 200 л воды. В течение мин в бассейн каждую минуту наливали 80 л воды. Тогда объем воды в бассейне вычисляется по формуле

Эта формула задает функциональную зависимость переменной от переменной .

Пример №10

Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было рабочих. Обозначим количество всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой . Тогда зависимость переменной от переменной выражается формулой где — натуральное число.

В этих примерах мы построили функции, описывающие различные реальные ситуации. Однако они похожи тем, что формулы, их задающие, имеют вид

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида где — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.

Вот примеры линейных функций:

Построим график функции

Составим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента:

Точки принадлежат искомому графику (рис. 28). Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции (рис. 29).

В старших классах вы докажете, что графиком линейной функции, область определения которой — все числа, является прямая.

Поскольку прямая однозначно задается любыми двумя своими точками, то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу, имеющую лишь два числовых столбца.

Пример №11

Постройте график функции

Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости точки (0; 2) и (1; -1) и проведем через них прямую (рис. 30).

Эта прямая и является графиком линейной функции

В формуле задающей линейную функцию, не исключены случаи, когда

Рассмотрим случай, когда Тогда формула приобретает вид Отсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что Эта формула показывает, что для функции при отношение соответственных значений зависимой и независимой переменных остается постоянным и равно .

Напомним, что в б-м классе, изучая прямую пропорциональность, вы уже познакомились с подобными зависимостями между величинами. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой называют прямой пропорциональностью.

Функции — примеры прямых пропорциональностей.

Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции (это выражает схема, изображенная на рисунке 31), то ее график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом проходит через точку Действительно, если в формуле положить то получим Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через эту точку и точку

На рисунке 32 изображены графики прямых пропорциональностей, которые приводились выше в качестве примеров.

Рассмотрим еще один частный случай линейной функции.

В формуле положим Получим Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента.

Пример №12

Постройте график функции

Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например, равные -2 и 0. Остается провести прямую через точки (рис. 33). Эта прямая параллельна оси абсцисс.

Заметим, что графиком функции является ось абсцисс. Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс.

Пример №13

Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 34.

График данной функции пересекает ось ординат в точке (0; 4). Подставив координаты этой точки в формулу получаем откуда

Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3; 0), то, подставив ее координаты в формулу получим:

Ответ:

Свойства и графики основных видов функций

Напомним, что

графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами , где первая координата «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции в точке .

На рисунках к пункту 4 таблицы 3 приведены графики функций и , а на рисунке 17 — график функции .

Приведем также график функции , где — обозначение целой части числа , то есть наибольшего целого числа, не превышающего (рис. 18). Область определения этой — множество всех действительных чисел, а область значений всех целых чисел.

На рисунке 19 приведен график числовой функции , где — обозначение дробной части числа (по определению

Свойства и графики основных видов функций:

Объяснение и обоснование:

Линейная функция y=kx+b

Линейная функция .

Линейной функцией называется функция вида , где и — некоторые числа.

Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.

Область определения — множество всех действительных чисел: поскольку формула имеет смысл при всех действительных значениях (то есть для любого действительного мы можем вычислить значение ) .

Область значений линейной функции будет разной в зависимости от значения коэффициента .

Если , то функция имеет вид , то есть ее область значений состоит из одного числа . В таком случае графиком линейной функции является прямая, параллельная оси , которая пересекает ось в точке (рис. 28).

Если , то (обоснование приведено в примере 3 на с. 35).

Четность и нечетность линейной функции существенно зависит от значений коэффициентов и .

При и функция превращается в функцию , которая является нечетной, поскольку для всех из ее области определения

Таким образом, график функции (рис. 29) симметричен относительно точки .

При получаем функцию , которая является четной, поскольку для всех из ее области определения То есть график функции симметричен относительно оси (рис. 28).

В общем случае при и функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку и также

Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента .

При получаем функцию — постоянную.

При функция возрастает, а при — убывает (обоснование приведено в примере 4 на с. 35).

В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции всегда является прямая линия.

Поскольку при функция принимает значение , то эта прямая всегда пересекает ось в точке . Графики линейных функций приведены в таблице k

Функция y=k/x (k ≠ 0)

Функция .

Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.

Область определения: . Это можно записать также так:

Область значений: . Это можно записать также так:

Для обоснования области значений функции обозначим .

Тогда из этого равенства получим для всех . То есть для всех существует значение , при котором . Таким образом, принимает все действительные значения, не равные нулю.

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество, симметричное относительно точки , и

Таким образом, ее график симметричен относительно начала координат (рис. 30 и 31).

Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента

Если (то есть ), то для сравнения значений

и рассмотрим их разность:

На промежутке значение и , следовательно, На промежутке значение и , значит, Учитывая, что на каждом из промежутков или , при из равенства (1) получаем , а при получаем

При на каждом из промежутков и , если  то , таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.

При на каждом из промежутков и , если , то , следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.

Из курса алгебры известно, что график функции называется гиперболой (она состоит из двух ветвей). При ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, а при — во II и IV четвертях (рис. 30 и 31).

Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции , следует помнить, что, например, функция (рис. 32) убывает на каждом из промежутков и , но на всей области определения эта функция не является убывающей (и не является возрастающей). Действительно, если взять и то но а , то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции, и на всей ее области определения функция не является убывающей.

Поэтому же нельзя сказать, что функция убывает при

Функция y=ax² (a ≠ 0)

Функция

Как известно из курса алгебры, графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при (рис. 33) и вниз при (рис. 34). Поскольку при значение , то график всегда проходит через начало координат.

Область определения: поскольку значение можно вычислить при любых значениях .

Функция четная, поскольку . Таким образом, ее график симметричен относительно оси .

Для описания других свойств воспользуемся графиком функции (рис. 33 и 34). Эти свойства можно обосновать аналитически (проведите такое обоснование самостоятельно) или опираясь на свойства функции и на геометрические преобразования ее графика, которые будут рассмотрены далее в пункте 2.3.

Область значений. При график проходит через начало координат, а все остальные его точки находятся выше оси . Если значение увеличивается до бесконечности, то и значение у также увеличивается до бесконечности , таким образом, , то есть .

Аналогично при график также проходит через начало координат, но все остальные его точки находятся ниже оси . Если значение увеличивается до бесконечности, то значение уменьшается до минус бесконечности , таким образом, , то есть .

Возрастание и убывание. При на промежутке функция убывает, а на промежутке — возрастает.

При на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Квадратичная функция y=ax²+bx+c(a ≠ 0).

Квадратичная функция .

Из курса алгебры 9 класса известно, что функция вида , где — действительные числа, причем , называется квадратичной. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх при и вниз при .

Абсцисса вершины этой параболы . Для обоснования этого достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:

, то есть

( — дискриминант квадратного трехчлена ).

Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта парабола или пересекает ось , или не пересекает , или касается ее .

Основные варианты расположения графика функции  представлены в таблице 5.

Охарактеризуем свойства функции , опираясь на эти известные нам графики (самостоятельно обоснуйте соответствующие свойства аналитически).

Область определения: , поскольку значение можно вычислить при любых значениях .

Область значений. При функция принимает все значения , то есть . При функция принимает все значения , то есть .

Четность и нечетность. При получаем четную квадратичную функцию . Действительно,

В общем случае (если ) функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку (и не равно ).

Возрастание и убывание. При на промежутке функция убывает, а на промежутке — возрастает.

При на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Поскольку при значение , то график всегда пересекает ось в точке .

Соответствующие графики при приведены также в таблице 4.

Примеры решения задач:

Пример №14

Постройте график функции:

1)

2)

3)

Решение:

1) ►График функции - прямая.

2) ►График функции - прямая.

3) ►График функции - прямая, параллельная оси , которая проходит через точку 4 на оси .

Комментарий:

Все данные функции линейные, поэтому их графиками являются прямые.

Чтобы построить прямые в заданиях 1 и 2, достаточно построить две точки этих прямых. Например, можно взять и и найти соответствующие значения . Оформлять эти вычисления удобно в виде таблички:

В задании 3 рассматривается частный случай линейной функции . Для построения этого графика полезно помнить, что прямая — это прямая, параллельная оси (при любом значении значение равно 4).

Пример №15

По приведенному графику функции укажите знаки и .

Решение:

► При значение . По приведенному графику определяем, что . Поскольку изображен график убывающей линейной функции, то .

Ответ:

Комментарий:

График функции — прямая, пересекающая ось в точке . На рисунке эта точка лежит выше нуля, таким образом, . Линейная функция при возрастающая, а при — убывающая. На рисунке изображен график убывающей функции, следовательно, .

Пример №16

Постройте график функции .

Решение:

► График заданной функции - парабола (вида ), ветви которой направлены вверх.

Абсцисса вершины:

Тогда и график имеет вид

Комментарий:

Функция — квадратичная (имеет вид , где ). Таким образом, ее графиком будет парабола (вида ), ветви которой направлены вверх ().

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле , а ордината — это соответствующее значение заданной функции при , то есть .

Если необходимо уточнить, как проходит график, то можно найти координаты нескольких дополнительных точек, например, при получаем .

Построение таких графиков с помощью геометрических преобразований графика функции будет рассмотрено в пункте 2.3.

Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций

Объяснение и обоснование:

Рассмотрим способы построения графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.

Построение графика функции y=-f(x)

Построение графика функции .

Сравним графики функций и (см. первую строку табл. 6). Очевидно, что график функции можно получить из графика функции симметричным отображением его относительно оси . Покажем, что всегда график функции можно получить из графика функции симметричным отображением относительно оси .

Действительно, по определению график функции состоит из всех точек координатной плоскости, которые имеют координаты . Тогда график функции состоит из всех точек координатной плоскости, имеющих координаты Точки и расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси (рис. 38). Таким образом, каждая точка графика функции получается симметричным отображением относительно оси некоторой точки графика . Поэтому график функции можно получить из графика функции его симметричным отображением относительно оси .

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции. Имеем:

Следовательно, график функции графика функции может быть построен так: часть - , лежащая выше оси (и на самой оси), остается без изменений, а часть, лежащая ниже оси , отображается симметрично относительно этой оси.

Например, на рисунке 39 и в таблице 6 (строка седьмая) с использованием этого правила изображен график функции .

Построение графика функции .

Для построения графика функции учтем, что в определении графика функции первая координата для точек графика выбирается произвольно из области определения функции. Если выбрать как первую координату значение , то график функции будет состоять из всех точек координатной плоскости с координатами . Напомним, что график функции состоит из всех точек . Точки и расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси (рис. 40). Таким образом, каждая точка графика функции ) получается симметричным отображением относительно оси некоторой точки графика функции . Поэтому график функции можно получить из графика функции его симметричным отображением относительно оси .

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции . Имеем:

Следовательно, для того чтобы получить график функции при х < 0 (то есть слева от оси ), необходимо отобразить симметрично относительно оси ту часть графика функции , которая лежит справа от оси . То есть часть графика функции , лежащая слева от оси , вообще не используется в построении графика функции . Таким образом, график функции строится так: часть графика функции , лежащая справа от оси (и на самой оси), остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси .

Например, на рисунке 41 и в таблице 6 (строка восьмая) с использованием этого правила изображен график функции .

Построение графика функции y=f(x-a)

Построение графика функции .

Для построения графика функции выберем как первую координату точки этого графика значение . Тогда график функции будет состоять из всех точек координатной плоскости с координатами , а график функции — из всех точек с координатами . Если точка имеет координаты , а точка — координаты , то преобразование точек — это параллельный перенос точки вдоль оси на единиц (то есть на вектор ). Поскольку каждая точка графика функции получается параллельным переносом некоторой точки графика функции вдоль оси на единиц (рис. 42), то график функции можно получить параллельным переносом графика функции вдоль оси на а единиц.

Например, в третьей строке таблицы 6 изображен график функции (выполнен параллельный перенос графика на +2 единицы вдоль оси ) и график функции (выполнен параллельный перенос графика на единицы вдоль оси ).

Построение графика функции y=f(x)+b

Построение графика функции .

График функции состоит из всех точек координатной плоскости с координатами , а график функции состоит из всех точек .

Но если точка имеет координаты , а точка — координаты , то преобразование точек — это параллельный перенос точки вдоль оси на единиц (то есть на вектор ().

Поскольку каждая точка графика функции получается параллельным переносом некоторой точки графика вдоль оси на единиц (рис. 43), то график функции можно получить параллельным переносом графика функции вдоль оси на единиц.

Например, в четвертой строке таблицы 6 изображен график функции (выполнен параллельный перенос графика функции на +2 единицы вдоль оси ) и график функции (выполнен параллельный перенос графика на вдоль оси ).

Построение графика функции y=kf(x)

Построение графика функции .

График функции состоит из всех точек , а график функции состоит из всех точек (рис. 44). Назовем преобразованием растяжения вдоль оси с коэффициентом (где ) такое преобразование фигуры , при котором каждая ее точка переходит в точку .

Преобразование растяжения вдоль оси задается формулами: . Эти формулы выражают координаты точки , в которую переходит точка при преобразовании растяжения вдоль оси (рис. 45). При этом преобразовании происходит растяжение отрезка в раз, и в результате точка переходит в точку . (Заметим, что иногда указанное преобразование графика функции называют растяжением только при , а при его называют сжатием вдоль оси Оу в раз.)

Как видим, каждая точка графика функции получается из точки преобразованием растяжения вдоль оси . При этом общая форма графика не изменяется: он растягивается или сжимается вдоль оси . Например, если графиком функции была парабола, то после растяжения или сжатия график остается параболой. Поэтому график функции получается из графика функции его растяжением (при растяжение в раз) или сжатием (при сжатие в раз) вдоль оси .

Построение графика функции y=f(ax)

Построение графика функции .

Для построения графика функции выберем как первую координату точки этого графика значение . Тогда график функции будет состоять из всех точек с координатами , а

график функции — из всех точек (рис. 46).

Назовем преобразованием растяжения вдоль оси с коэффициентом (где ) такое преобразование фигуры , при котором каждая ее точка переходит в точку .

Преобразование растяжения вдоль оси задается формулами: . Эти формулы выражают координаты точки , в которую переходит точка при преобразовании растяжения вдоль оси (рис. 47). При этом преобразовании происходит растяжение отрезка в раз, и в результате точка переходит в точку . (Заметим, что иногда указанное преобразование называют растяжением (в раз) только при , а при его называют сжатием вдоль оси (в раз)). Как видим, каждая точка графика функции получается из точки графика функции преобразованием растяжения вдоль оси (при этом общая форма графика не изменяется). Поэтому график функции получается из графика функции его растяжением (при растяжение в раз) или сжатием (при сжатие в раз) вдоль оси .

Примеры решения задач:

Пример №17

Постройте график функции

Решение:

Комментарий:

Мы можем построить график функции . Тогда график можно получить параллельным переносом графика функции вдоль оси на единицы (то есть влево).

Пример №18

Постройте график функции .

Решение:

► Последовательно строим графики:

1.

2.

3.

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика заданной функции.

1. Мы можем построить график функции (прямая).

2. Затем можно построить график функции (выше оси график функции остается без изменений, а часть графика ниже оси отображается симметрично относительно оси ).

3. После этого можно построить график функции (симметрия графика функции относительно оси ).

Пример №19

Постройте график функции

Решение:

► Запишем уравнение заданной функции так:

Последовательно строим графики:

1.

2.

3.

4.

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика заданной функции. Для этого ее подкоренное выражение запишем так, чтобы можно было использовать преобразования графиков, представленные в таблице 4:

1. Мы можем построить график функции .

2. Затем можно построить график функции (симметрия графика функции относительно оси ).

3. После этого можно построить график функции

(параллельный перенос графика функции вдоль оси на 4 единицы).

4. Затем уже можно построить график заданной функции

(справа от оси соответствующая часть графика функции остается без изменений, и эта же часть отображается симметрично относительно оси ).

Возрастающие и убывающие функции

Важными характеристиками функций являются их возрастание и убывание.

Функция называется возрастающей на множестве если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых двух значений и , из множества  если , то .

Например, функция возрастающая (на всей области определения — на множестве ), поскольку при имеем , то есть . У возрастающей функции при увеличении аргумента соответствующие точки графика поднимаются (рис. 20).

На рисунке 21 приведен график возрастающей функции . Действительно, при имеем , то есть .

Функция называется убывающей на множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений из множества , если то .

Например, функция убывающая (на всей области определения — на множестве ), поскольку при имеем , то есть . Соответствующие точки графика убывающей функции при увеличении аргумента опускаются (рис. 22).

Рассматривая график функции (рис. 23), видим, что на всей области определения эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей. Однако можно выделить промежутки области определения, где эта функция возрастает и где убывает. Так, на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определениях.

• Если функция возрастает, то большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
• Если функция убывает, то большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Обоснуем первое из этих свойств методом от противного. Пусть функция возрастает и . Допустим, что аргумент не больше аргумента , то есть . Из этого предположения получаем: если и возрастает, то что противоречит условию Таким образом, наше предположение неверно, и если то что и требовалось доказать. Аналогично обосновывается и второе свойство.

Например, если , то есть , то, учитывая возрастание функции , получаем .

4. Четные и нечетные функции. Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть содержат вместе с каждым числом и число . Для таких функций вводятся понятия четности и нечетности.

Функция называется четной, если для любого из ее области определения

Например, функция (то есть функция ) — четная, поскольку

Если функция четная, то ее графику вместе с каждой точкой с координатами принадлежит также и точка с координатами Точки и расположены симметрично относительно оси (рис. 24), поэтому и график четной функции расположен симметрично относительно оси .

Например, график четной функции (рис. 23) симметричен относительно оси

Функция называется нечетной, если для любого из ее области определения

Например, функция (то есть функция ) — нечетная, поскольку

Если функция нечетная, то ее графику вместе с каждой точкой с координатами принадлежит также и точка с координатами Точки и расположены симметрично относительно начала координат (рис. 25), поэтому и график нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Например, график нечетной функции (см. пункт 4 табл. 3) симметричен относительно начала координат, то есть точки

Примеры решения задач:

Пример №20

Найдите область определения функции:

1)

2)

3)

Решение:

1) ► Ограничений для нахождения значений выражения нет, таким образом,

2) ► Область определения функции задается ограничением поскольку знаменатель дроби не может быть равным нулю. Выясним, когда Имеем или Тогда область определения можно задать ограничениями или записать так:

3) ► Область определения функции задается ограничением то есть поскольку под знаком квадратного корня должно стоят неотрицательное выражение. Таким образом,

Комментарий:

Поскольку все функции заданы формулами, то их области определения — это множество всех значений переменной , при которых формула имеет смысл, то есть имеет смысл выражение, которое стоит в правой части формулы .

В курсе алгебры встречались только два ограничения, которые необходимо учитывать при нахождении области определения:

1) если выражение записано в виде дроби то знаменатель

2) если запись выражения содержит квадратный корень то подкоренное выражение

В других случаях, которые вам приходилось рассматривать, областью определения выражения были все действительные числа.

Пример №21

Найдите область значений функции

Решение:

► Составим уравнение Оно равносильно уравнению которое имеет решения, если то есть при Все эти числа и составят область значений функции.

Таким образом, область значений заданной функции

то есть

Комментарий:

Обозначим значение заданной функции (то есть ) через и выясним, для каких можно найти соответствующее значение (при этом значении значение ).

Тогда все числа , для которых существует хотя бы один корень уравнения , войдут в область значений функции . Множество всех таких и составит область значений функции.

В дальнейшем курсе алгебры и начал анализа 10 класса появятся новые выражения с ограничениями: где — нецелое число.

Полезно помнить, что

область значений функции совпадает с множеством тех значений , при которых уравнение имеет решения.

Пример №22

Докажите, что при областью значений линейной функции является множество всех действительных чисел.

Решение

► Если (где ), то решение этого уравнения существует для любого по условию).

Таким образом, значением заданной функции может быть любое действительное число. Итак, ее область значений

Комментарий:

Обозначим значение заданной функции то есть , через и выясним, для каких можно найти соответствующее значение , такое, что

Множество всех таких значений и будет составлять область значений функции

Докажите, что линейная функция при является возрастающей, а при — убывающей.

Решение:

► Пусть (тогда ). Рассмотрим разность

Поскольку то при имеем таким образом, и значит, функция возрастает.

При имеем таким образом, значит, функция убывает.

Комментарий:

Для обоснования возрастания или убывания функции полезно помнить, что для доказательства неравенства или достаточно найти знак разности

Функция будет возрастающей, если из неравенства будет следовать неравенство а для доказательства последнего неравенства достаточно найти знак разности (аналогично рассуждаем и для доказательства убывания функции).

Пример №23

Докажите, что:

1) сумма двух возрастающих на множестве функций всегда является возрастающей функцией на этом множестве;

2) сумма двух убывающих на множестве функций всегда является убывающей функцией на этом множестве.

Решение:

1) ►Пусть функции и являются возрастающими на одном и том же множестве Если то и Складывая почленно эти неравенства, получаем

Это и означает, что сумма функций и является возрастающей функцией на множестве

2) ► Пусть функции и являются убывающими на множестве Тогда из неравенства имеем и . После почленного сложения этих неравенств получаем:

а это и означает, что сумма функций и является убывающей функцией на множестве

Комментарий:

Для доказательства того, что сумма двух возрастающих функций и является возрастающей функцией, достаточно доказать, что на множестве из неравенства следует неравенство

Аналогично для доказательства того, что сумма двух убывающих функций является убывающей функцией, достаточно доказать, что если то

Пример №24

Докажите, что возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.

Решение:

► Пусть функция является возрастающей и

(1)

Допустим, что

Если , то ИЛИ . Учитывая возрастание , в случае имеем , что противоречит равенству (1). В случае имеем что также противоречит равенству (1).

Таким образом, наше предположение неверно, и равенство возможно только при

Комментарий:

Докажем это утверждение методом от противного. Для этого достаточно допустить, что выполняется противоположное утверждение (функция может принимать одно и то же значение хотя бы в двух точках), и получить противоречие. Это будет означать, что наше предположение неверно, а верно данное утверждение.

То есть возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.

Аналогично доказывается утверждение и для убывающей функции.

Пример №25

Исследуйте, какие из данных функций являются четными, какие нечетными, а какие — ни четными, ни нечетными:

1)

2)

3)

Решение:

1) ► Область определения функции , то есть она не симметрична относительно точки (точка принадлежит области определения, а — нет).

Таким образом, заданная функция не является ни четной, ни нечетной.<1

2) ► Область определения функции то есть она симметрична относительно точки .

следовательно, функция четная.

3) ► Область определения функции то есть она симметрична относительно точки .

, значит, функция нечетная.

Комментарий:

Для исследования функции на четность или нечетность достаточно, во-первых, убедиться, что область определения этой функции симметрична относительно точки (вместе с каждой точкой содержит и точку ), и, во-вторых, сравнить значения

Обратная функция

1. Понятие обратной функции

Если функция принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения, то можно задать функцию , которая называется обратной к функции :

для каждого , если , то

Функции и взаимно обратные

2. Свойства обратной функции

1) Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой

2) Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если возрастает, и убывает, если убывает

3. Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции

Алгоритм

1. Выяснить, будет ли функция обратимой на всей области определения: для этого достаточно выяснить, имеет ли уравнение единственный корень относительно переменной .

Если нет, то попытаться выделить промежуток, где существует обратная функция (например, это может быть промежуток, где функция возрастает или убывает).

2. Из равенства выразить через .

3. В полученной формуле ввести традиционные обозначения: аргумент обозначить через , а функцию — через .

Пример №26

Найдите функцию, обратную к функции .

Решение:

► Из равенства можно однозначно выразить через :

Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через , а функция — через .

Обозначим в полученной формуле аргумент через , а функцию — через .

Получаем функцию , обратную к функции .

Объяснение и обоснование:

Понятие обратной функции

Известно, что зависимость пути от времени движения тела, которое движется равномерно с постоянной скоростью , выражается формулой . Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от пройденного пути. Функцию называют обратной к функции . Отметим, что в рассмотренном примере каждому значению соответствует единственное значение и, наоборот, каждому значению соответствует единственное значение .

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде.

Пусть функция принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения (такая функция называется обратимой). Тогда для каждого числа (из области значений функции ) существует единственное значение , такое, что . Рассмотрим новую функцию , которая каждому числу из области значений функции ставит в соответствие число , то есть для каждого числа из области значений функции . В этом случае функция называется обратной к функции , а функция — обратной к функции . Поэтому говорят, что функции и взаимно обратные.

Из определения обратной функции вытекает, что область значений прямой функции является областью определения обратной функции , а область определения прямой функции является областью значений обратной функции . То есть:

Свойства обратной функции

Свойство 1. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой

Учитывая приведенную выше процедуру построения функции, обратной к функции , имеем: если , то по определению графика функции точка с координатами принадлежит графику функции . Аналогично, поскольку , то точка с координатами принадлежит графику функции . Точки и расположены на координатной плоскости симметрично относительно прямой (рис. 50). Действительно, прямая у = х является осью симметрии системы координат.

Таким образом, при симметрии относительно этой прямой ось отображается на ось , а ось — на ось . Тогда (например, при и ) прямоугольник со сторонами и на осях координат отображается на прямоугольник со сторонами на осях координат и . Следовательно, при симметрии относительно прямой точка отображается в точку (а точка — в точку ). Таким образом, при симметрии относительно прямой любая точка , принадлежащая графику функции , имеет соответствующую точку , принадлежащую графику функции , а любая точка , которая принадлежит графику функции , имеет соответствующую точку , принадлежащую графику функции . То есть графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .

Свойство 2. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если возрастает, и убывает, если убывает.

Действительно, если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то по свойству возрастающей (убывающей) функции каждое свое значение она принимает в единственной точке из этого промежутка (см. пример 6 к пункту 2.1), таким образом, она имеет обратную функцию на этом промежутке. Обосновать, что функция возрастает, если возрастает, можно методом от противного.

Пусть числа и входят в область определения функции и

(1)

Обозначим . Если функция возрастает, то , то есть . По определению обратной функции числа и входят в ее область определения и

(2)

Если допустить, что функция не является возрастающей, то из неравенства не может вытекать неравенство (иначе функция будет возрастающей), таким образом, для некоторых и может выполняться неравенство . Но тогда по формулам (2) получаем , что противоречит условию (1). Таким образом, наше предположение неверно, и функция возрастает, если функция возрастает.

Аналогично обосновывается, что в случае, когда функция убывает, обратная к ней функция тоже убывает.

Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции y=f(x)

Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции .

Из определения обратной функции следует, что для получения обратной зависимости необходимо знать, как значение выражается через значение . Это можно сделать, решив уравнение относительно переменной . Если заданная функция обратима, то уравнение будет иметь единственное решение для всех у из области значений функции , и мы получим формулу , которая задает обратную функцию. Но в этой формуле аргумент обозначен через у, а функция — через . Если поменять обозначения на традиционные, то получим запись функции, обратной к функции .

Эти рассуждения вместе с соответствующим алгоритмом приведены в таблице 7 и реализованы в решении следующих задач.

Примеры решения задач:

Пример №27

Найдите функцию, обратную к функции .

Решение:

► Область определения: . Тогда из равенства имеем .

Обозначим аргумент через , а функцию — через и получим

функцию — обратную к заданной.

Комментарий:

На всей области определения заданная функция обратима, поскольку из уравнения можно однозначно выразить через в области значений заданной функции). Полученная формула

задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через , а функция — через . Изменяя обозначения на традиционные, получаем окончательный результат.

Пример №28

Найдите функцию, обратную к функции .

Решение:

► Из равенства при получаем Тогда при одному значению соответствуют два значения Таким образом, на всей области определения функция не является обратимой, и для нее нельзя найти обратную функцию.

Комментарий:

Область значений заданной функции: . Но при из равенства нельзя однозначно выразить через . Например, при получаем . Вследствие этого мы не можем значению поставить в соответствие единственное число, чтобы построить обратную функцию.

Пример №29

Найдите функцию, обратную к функции при .

Решение:

► Из равенства при получаем . Учитывая, что по условию , имеем .

Обозначим аргумент через , а функцию — через и получим, что функцией, обратной к функции , которая задана только при , будет функция .

Комментарий:

Множество значений заданной функции: . При заданная функция возрастает, таким образом, на промежутке она имеет обратную функцию, а значит, на этом промежутке уравнение мы сможем решить однозначно: при имеем .

Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через , а функция — через . Изменяя обозначения на традиционные, получаем окончательный результат.

Замечание. В примерах 2 и 3 мы фактически рассматриваем различные функции (они имеют разные области определения), хотя в обоих случаях эти функции задаются одной и той же формулой. Как известно, графиком функции (пример 2) является парабола, а графиком функции при (пример 3) является только правая ветвь этой параболы (рис. 51).

Связи между величинами функции

Учитель пишет на доске. При этом меняются длина мелового следа, масса, объем и даже температура кусочка мела.

Работает школьная столовая. В течение дня меняются количество посетивших ее учеников, расходы электроэнергии и воды, денежная выручка и т. п.

Вообще, в происходящих вокруг нас процессах многие величины меняют свои значения. Понятно, что некоторые из этих величин связаны между собой, т. е. изменение одной величины влечет за собой изменение другой.

Многие науки, такие как физика, химия, биология и другие, исследуют зависимости между величинами. Изучает эти связи и математика, конструируя математические модели реальных процессов. С понятием математической модели вы уже встречались в п. 3.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №30

Изменяется сторона квадрата. Понятно, что при этом будет меняться и его периметр. Если длину стороны квадрата обозначить , а периметр — , то зависимость переменной от переменной задается формулой

Эта формула является математической моделью связи между такими величинами, как длина стороны квадрата и его периметр.

С помощью этой формулы можно, выбрав произвольную длину стороны, найти соответствующее значение периметра квадрата. Поэтому в этой модели переменную называют независимой переменной, а переменную — зависимой переменной.

Подчеркнем, что эта формула задает правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

Пример №31

Семья положила в банк 10 ООО руб. под 10 % годовых. Тогда через год величина — сумма денег на счету — станет равной

 (руб.)

Через 2 года эта сумма составит

(руб.)

Аналогично можно установить, что через 3 года = 13 310 руб., через 4 года руб., через 5 лет руб.

В таблице показано, как зависит сумма денег, находящихся на счету, от количества прошедших лет:

Эта таблица является математической моделью зависимости величины от величины . Здесь выступает в роли независимой переменной, а — зависимой.

Подчеркнем, что эта таблица задает правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

В старших классах вы докажете, что по количеству лет, которое 10 000 руб. пребывают на счету под 10 % годовых, соответствующее значение суммы можно найти с помощью формулы

Пример №32

На рисунке 8 изображен график зависимости температуры воздуха от времени суток.

Используя этот график, можно, выбрав произвольный момент времени , найти соответствующую температуру воздуха (в градусах Цельсия). Таким образом, величина является независимой переменной, а величина — зависимой.

Этот график можно рассматривать как математическую модель зависимости величины (температуры) от величины (времени).

Подчеркнем, что этот график задает правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

Несмотря на существенные различия приведенных трех примеров, им всем присуще следующее: указано правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной. Такое правило называют функцией, а соответствующую зависимость одной переменной от другой — функциональной.

Не всякая зависимость между переменными величинами является функциональной. Например, пусть длина автобусного маршрута равна 15 км.

Ясно, что переменные величины «стоимость проезда» и «длина пути, который проезжает пассажир» связаны между собой. Однако, если считать стоимость проезда независимой переменной, то описанная зависимость не является функциональной. Действительно, если пассажир заплатил 1 руб., то нельзя однозначно установить, какой путь он проехал.

Если в примере 3 температуру считать независимой переменной, то не всегда возможно по значению величины однозначно найти значение величины . Поэтому приведенная зависимость времени от температуры не является функциональной.

Обычно независимую переменную обозначают буквой , зависимую — буквой , функцию (правило) — буквой . Если переменная у функционально зависит от переменной х, то этот факт обозначают так: (читают: «игрек равен эф от икс»).

Независимую переменную еще называют аргументом функции.

Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Так, в первом примере областью определения функции являются все положительные числа; во втором — натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5; в третьем — все неотрицательные числа, не превосходящие 24.

Для функции каждому значению аргумента соответствует некоторое значение зависимой переменной . Значение зависимой переменной еще называют значением функции и обозначают Например, — это значение функции при

Так, в первом примере во втором в третьем Вообще, запись означает, что аргументу соответствует значение функции .

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

В примере 1 область значений функции — это все положительные числа, в примере 2 — числа, записанные во второй строке таблицы, в примере 3 — все числа, не меньшие -5 и не большие 7.

Понятие функции

Вам известно, что зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией. Уточним определение функции.

Говорят, что задана функция если заданы:

• числовое множество
• правило (закон, зависимость) по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственное число

Множество называют областью определения функции и обозначают

Значения переменной называют значениями аргумента, а значения переменной — значениями функции.

Множество — это множество всех значений аргумента. Множество может быть числовым промежутком, объединением нескольких промежутков, конечным или бесконечным множеством чисел.

Множество всех значений, которые принимает функция называют множеством значений функции и обозначают

Функция y=f(x)

Функция

— аргумент

— область определения

— множество значений

Чтобы задать функцию, нужно:

1. Указать область определения функции.
2. Указать правило, с помощью которого по значению аргумента можно найти соответствующее значение функции

Например, рассмотрим функции если и если

Зависимость между переменными в этих функциях определяется одним и тем же правилом: значение аргумента возводится в квадрат, и получается значение функции. Но, согласно определению, это две разные функции, поскольку у них разные области определения.

Если область определения функции не указана, то в таких случаях подразумевается, что область определения функции состоит из всех тех значений переменной при которых выражение задающее функцию, имеет смысл.

Например, рассмотрим функции и Выражение имеет смысл при так как при этих значениях переменной х подкоренное выражение неотрицательно и корень из числа имеет смысл. Значит,

Выражение имеет смысл для всех значений переменной кроме числа 1. Тогда

Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. поскольку выражение имеет смысл при любом значении переменной

Способы задания функции

Функцию можно задавать различными способами.

Функция считается заданной, если указаны ее область определения и правило, с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной.

Вам не раз приходилось формулировать различные правила. Поскольку функция — это правило, то ее можно задать словами. Такой способ задания функции называют описательным.

Приведем несколько примеров:

Пример №33

Пусть независимая переменная принимает любые значения. Значения зависимой переменной находим по правилу: каждое значение независимой переменной умножим на два и из полученного произведения вычтем единицу. Очевидно, что таким способом значение зависимой переменной находится однозначно. Следовательно, мы задали некоторую функцию , областью определения которой являются все числа. Например,

Пример №34

Пусть независимая переменная принимает любые значения, кроме 0. Соответствующие значения зависимой и независимой переменных — взаимно обратные числа. Здесь задана функция , область определения которой — все числа, кроме 0. Например,

Рассмотрим самый распространенный способ задания функции: задание функции с помощью формулы.

Если в примере независимую переменную обозначить буквой , а зависимую — буквой , то формула где — любое число, задает вышеописанную функцию.

Понятно, что функцию из второго примера задает формула где — любое число, кроме 0.

Замечание. Если функция задана формулой, правая часть которой — целое выражение, и при этом не указана область определения, то будем считать, что областью определения такой функции являются все числа. Например, записи означают, что заданы функции, областью определения каждой из которых являются все числа.

Если, например, функция задана формулой то просто говорят, что задана функция

Если хотят подчеркнуть, что формула, например, задает некоторую функцию, то пишут

Если хотят подчеркнуть, что, например, формула задает функцию с аргументом и зависимой переменной то пишут

Рассмотрим функцию областью определения которой являются числа Имеем:

Полученные результаты занесем в таблицу:

Все числа, записанные в первой строке этой таблицы, составляют область определения данной функции . Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Следовательно, эта таблица — еще один способ задания функции . Его называют табличным.

Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда область определения функции состоит из нескольких чисел.

Пример №35

Функция задана формулой Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 12.

Решение:

Подставив в формулу вместо число 12, получаем уравнение откуда

Ответ: 2.

Пример №36

Функция задана таким образом: если и если Найдите значения функции , соответствующие аргументам:

1) -2; 2) -1; 3) 1.

Решение:

1) Так как -2 < -1, то значение функции вычисляется по формуле Следовательно,

2) Так как -1 < -1, то

3) Так как 1 > -1, то

Заметим, что для задания данной функции используют форму записи с помощью фигурной скобки:

Пример №37

Функции заданы формулами При каком значении аргумента эти функции принимают равные значения?

Решение:

Чтобы найти искомое значение аргумента, решим уравнение

Имеем:

Ответ: при

Более лёгкое объяснение способов задания функции

Пусть сторона квадрата равна см, а его периметр — см. Зная сторону а, по формуле можно найти соответствующее ей значение периметра . Например,

Видим, что значения периметра зависят от того, какие значения мы выбирали для длины стороны квадрата. Заметим также, что каждому значению длины стороны соответствует одно определенное значение периметра. Так, значению соответствует значение значению — значение

В данном примере имеем две зависимые переменные — длину стороны квадрата и его периметр. Значения переменной а можно выбирать произвольно, а значения переменной зависят от выбранных значений . Поэтому называют независимой переменной, а — зависимой переменной.

Рассмотрим еще один пример зависимости между переменными.

Водитель решил проследить по спидометру, какое расстояние он проедет за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 4,5 ч, 5 ч. Результаты наблюдении он записал в таблицу:

В данном примере имеем две зависимые переменные: время и расстояние пройденное за это время. Значения расстояния зависят от значений времени. Так, времени соответствует значение расстояния времени — значение расстояния Каждому значению времени соответствует одно определенное значение расстояния. Поэтому в данном случае является независимой переменной, а — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой а зависимую переменную — буквой В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. При таких условиях для зависимой переменной используют термин «функция».

Определение:

Переменную называют функцией переменной , если каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной .

Для независимой переменной также существует специальный термин: ее называют аргументом. Говорят: является функцией аргумента

Итак, в рассмотренных примерах:

периметр квадрата является функцией длины его стороны ; тут — функция, — аргумент;

расстояние является функцией времени ; тут — функция; — аргумент.

Первая функция задана формулой . Вторая функция задана таблицей.

Область определения и область значений функции:

Все значения, принимаемые независимой переменной (аргументом), образуют область определения функции; все значения, принимаемые зависимой переменной (функцией), образуют область значений функции.

Так, область определения функции, заданной формулой , образуют все значения, которые может принимать переменная . Поскольку эта переменная определяет длину стороны квадрата, то может принимать только положительные значения. Таким образом, область определения этой функции образуют все положительные числа.

Область значений функции, заданной формулой , образуют все значения, которые может принимать зависимая переменная . Периметр не может равняться отрицательному числу или нулю, однако может равняться любому положительному числу. Например, может равняться 2, так как 2 — это периметр квадрата со стороной 0,5. Таким образом, область значений этой функции образуют все положительные числа.

Область определения функции, заданной таблицей, образуют числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа первой строки таблицы); область значений этой функции образуют числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа второй строки таблицы).

Рассмотрим функцию, заданную формулой Такая запись означает, что область определения функции образуют все значения которые удовлетворяют неравенству

Если функция задана формулой и не указано, какие значения может принимать аргумент, то считают, что область определения функции образуют все числа.

Примеры решения заданий:

Пример №38

Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км\ч, проходит за ч расстояние 5 км. Задать формулой как функцию аргумента . Найти значения функции, соответствующие значениям аргумента: 2; 2,5; 4.

Решение:

Функция задается формулой

Пример №39

Начиная с трех часов, через каждый час измеряли атмосферное давление и данные записывали в таблицу:

Зависимость между какими переменными задает таблица? Задаст ли таблица функцию? Какое давление в мм ртутного столбика было в 4 ч; в 8 ч? Какова область определения функции; область значений?

Решение:

Таблица задаст зависимость между временем суток и атмосферным давлением . Переменная является функцией переменной , поскольку каждому значению соответствует единственное значение . Если , то по таблице находим: Итак, в 4 часа атмосферное давление было 748 мм рт. ст. Аналогично в 8 часов — 755 мм рт. ст.

Область определения функции образуют числа 3,4, 5,6, 7, 8 и 9, а область значений — числа 746,748, 751,752, 755 и 756.

Пример №40

Функция задана формулой Составить таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, выбирая для аргумента такие значения: -6; -3; -2; 0; 2; 3; 6.

Пример №41

При каких значениях аргумента значение функции равно -3, если функция задана формулой:

Решение:

Чтобы найти значения , при которых решим уравнение

Итак, значение функция принимает при

Значение -3 функция принимает при

— уравнения корней не имеет. Значение -3 функция не принимает.

График функции:

Рассмотрим функцию, заданную формулой где Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и запишем результаты в таблицу:

Значения мы выбирали так, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Поэтому говорят, что таблица значений функции составлена с шагом 1.

Отметим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны выбранным значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции (рис. 4).

Выбирая другие значения , удовлетворяющие неравенству и вычисляя соответствующие значения , получим другие пары значений и . Каждой из этих пар также соответствует определенная точка на координатной плоскости. Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции, заданной формулой где (рис. 5).

График функции образуют точки координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ задания функции:

Имея график функции, можно находить ее значение при известном значении аргумента и наоборот: находить значения аргумента при известном значении функции.

Рассмотрим, например, функцию, график которой изображен на рисунке 6. (О такой функции говорят, что она задана графически.)

Найдем с помощью графика значение функции при Для этого через точку оси с абсциссой 4 проведем прямую, параллельную оси . Точка ее пересечения с графиком функции имеет координаты (4; 8). Следовательно, при значение функции равно 8. Найдем с помощью этого же графика значения аргумента, при которых значение функции равно 6. Для этого через точку оси у с ординатой 6 проведем прямую, параллельную оси . Получим две точки ее пересечения с графиком функции: (2; 6) и (8; 6). Таким образом, функция принимает значение 6 при

Некоторая линия на координатной плоскости задает функцию, если, пользуясь ею, для каждого значения переменной можно найти только одно значение переменной .

Рассматривая график, изображенный на рисунке 6, можно отметить некоторые свойства функции, заданной этим графиком.

1. Область определения функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству
2. Наибольшее значение функции равно 9 (это значение функция принимает при ).
3. Наименьшее значение функции равно -2 (это значение функция принимает при ).
4. Область значений функции образуют все значения у, удовлетворяющие неравенству
5. Значение функции равно нулю при Те значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции. Следовательно, значение является нулем данной функции.
6. Функция принимает положительные значения, если отрицательные значения — если

Функция как математическая модель реальных процессов:

Рассмотрим рисунок 7, на котором изображен график изменения температуры воды на протяжении 20 мин.

Из графика видно, что начальная температура воды равнялась 20°С; на протяжении первых 8 мин температура воды увеличилась до 100°С, потом на протяжении 6 мин (от 8 мин до 14 мин) температура воды не изменялась, а на протяжении следующих 6 мин температура воды понизилась до 80°С.

Функция, график которой изображен на рисунке 7, описывает реальный процесс изменения температуры воды. Говорят, что эта функция моделирует данный процесс, или что она является математической моделью данного процесса.

Если тело движется равномерно со скоростью 15 м/с, то расстояние м, пройденное ним за время с, можно вычислить по формуле В этом случае функция, заданная формулой является математической моделью равномерного движения.

В седьмом и последующих классах мы познакомимся со многими функциями, которые можно использовать при моделировании реальных процессов и зависимостей между разными величинами.

Примеры решения упражнений:

Пример №42

Построить график функции, заданной формулой:

составив таблицу значений функции с шагом 1;

Составим таблицу значений функции:

Решение:

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Если к этим точкам приложить линейку, то увидим, что все они лежат на одной прямой. Соединим отрезком крайние отмеченные точки. Этот отрезок и является графиком функции (рис. 8).

Составим таблицу значений функции:

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Имеем график функции, заданной формулой (рис. 9). •

Пример №43

Принадлежит ли графику функции точка

Решение:

Точка будет принадлежать графику данной функции, если значение функции при равно 9.

Находим: если , то Значение функции не равно 9. Следовательно, точка графику функции не принадлежит.

Для точки имеем: Точка принадлежит графику функции.

Пример №44

На рисунке 10 изображен график функции. Используя график, заполнить таблицу:

Заполним таблицу:

Разные способы задания функции

Функция может быть задана различными способами: таблицей, парой соответствующих значений, графом зависимости, графиком, формулой и т.д.

Если область определения конечное множество, то зависимость между аргументом и соответствующим значением можно показать стрелками. Такое представление называется графом зависимости.

Пример:

Здесь каждое из соответствий и являются функцией, гак как для каждого числа из множества X ставится в соответствие единственное число из множества Y. Соответствие h не является функцией (почему?). В соответствии с правилом можно написать:

(1) = 15, 2) = 20, (3) = 25 и (0) = 0, (-1) = 1, (1) = 1, (-2) = 4, (2) = 4

Эти функции также можно задать множеством упорядоченных пар аргументов и соответствующих значений. Для функции {(1;15),(2;20),(3; 25)}, для функции {(0; 0), (-1; 1), (1; 1), (-2; 4), (2; 4)}

Функция может быть задана таблицей:

В таблице в одной строке (или в столбце) показаны значения независимой переменной, в другой строке (или в столбце) значения зависимой переменной.

Пример:

Координаты (2009; 3), (2010; 4), (2011; 2), (2012; 3), (20013; 5), (2014; 3),

(2015; 4) показывают изменение количества собранного урожая с 1 гектара в зависимости от года.

Область определения (года): {2009; 2010; 2011; 2012; 2013; 2014; 2015}

Множество значений (количество собранного урожая):{2; 3; 4; 5}

Функция может быть задана аналитически - формулой.

Пример: , . Эта запись показывает, что область определения функции отрезок [1; 3], и каждому числу из данного отрезка ставится в соответствие его квадрат.

Например,

и т.д.

В этом случае запись не имеет смысла, так как число 4 не принадлежит области определения функции, а именно отрезку [1; 3].

Функция может быть задана графически. Зависимость, между двумя величинами, наиболее удобно изображать геометрически на координатной плоскости. Для каждого значения аргумента вычисляется соответствующее значение . Точки, с координатами (х; у), строятся на координатной плоскости. Множество таких точек образует график функции. График функции это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Пример:

На рисунке на промежутке графически задана линейная функция. Точки, являющиеся концами отрезка, имеют координаты , т.е. (-4; -1) и , т.е. (4; 5) и принадлежат графику. На рисунке они закрашены.

Множество значений: [- 1, 5].

Примечание: если концевые точки кривой графика функции (или отрезка прямой) не отмечены специальными точками, то это показывает, что линия может быть продолжена до бесконечности (обычно изображается стрелками на концах).

Является или нет зависимость между двумя величинами функцией, можно определить по множеству точек, координаты которых выражены упорядоченными парами, или по графику.

По координатам точек. Если среди значений аргумента (первое значение) есть повторяющееся, то зависимость не является функцией. Для множества точек {(1; А), (1; В), (2; С), (3; О)} зависимость не является функцией, зависимость {(1; А), (2; В), (3; С), (4; С), (5; О)} является функцией.

По графику. Если любая прямая, проведённая параллельно оси ординат, пересекается с графиком самое большее в одной точке, то эта зависимость является функцией (рис.а ). Если существует прямая, параллельная оси ординат, которая пересекает график в двух (или более точках)(рис.б ), то эта зависимость не является функцией. Это указывает на то, что одним и тем же значениям аргумента (х) соответствует несколько значений функции, что противоречит определению функции.

Аналитический способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции определяется с помощью формулы, то такой способ задания функции называют аналитическим.

Так, функции — заданы аналитически.

Отметим, что одна и та же функция может быть задана разными формулами. Например, формулы и задают одну и ту же функцию.

Словесный способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции описывается словами, т. е. если объясняется, каким образом значению аргумента ставится в соответствие значение функции, то такой способ задания функции — словесный.

Рассмотрим пример функции, заданной словесно: «Функция определена на множестве натуральных чисел, и каждому значению аргумента ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи». Вычислим несколько значений данной функции:

Табличный способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции указывается с помощью таблицы, в первой строке которой указываются значения аргумента, а во второй — соответствующие значения функции, то говорят, что функция задана таблицей.

Например, метеорологи составляют таблицы, которые описывают различные зависимости между значениями наблюдаемых величин.

Таблица 1. Суточные суммы солнечной радиации при отсутствии атмосферы (Северное полушарие, зимнее солнцестояние)

Таблица 1 задает функцию зависимости суточной суммы солнечной радиации от широты, на которой выполняется наблюдение.

С помощью таблицы найдем и выясним, на какой широте значение суточной суммы радиации равно нулю. Для этого найдем значения функции по значениям аргумента: А затем найдем значение аргумента по значениям функции: значение суточной суммы радиации равно нулю на широтах:

Графический способ задания функции

Способ задания функции с помощью множества точек координатной плоскости называется графическим.

Пусть кривая (рис. 2) — некоторое множество точек на координатной плоскости.

Напомним, как по значению аргумента найти значение функции Возьмем на оси абсцисс произвольную точку и проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Она пересечет кривую в некоторой точке Ордината этой точки является значением функции при значении аргумента, равном

Таким образом указывается соответствие между множеством значений аргумента и значениями функции.

Областью определения функции является множество абсцисс точек кривой а множеством значений функции — множество ординат этих точек.

По графику определяем, что

Важно помнить, что не любое множество точек на координатной плоскости задает функцию. Например, кривую, изображенную на рисунке 3, прямая пересекает в двух точках, т. е. значению соответствует не единственное значение Значит, эта кривая не задает функцию.

Произвольная кривая на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, параллельная оси ординат, имеет с этой кривой не более одной общей точки.

Определение: Множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, называют графиком функции.

Со свойствами и графиками некоторых функций вы познакомились в 7—8-х классах. Так, вам известно, что графиком линейной функции является прямая (рис. 4, а), графиком квадратичной функции — парабола (рис. 4, б), графиком обратной пропорциональности — гипербола (рис. 4, в). Кроме того, вы изучали свойства функций графики которых изображены на рисунках 4, г—е.

Пример №45

Найдите значение функции:

а)

б)

в) — если значение аргумента равно

Решение:

а) Значение аргумента подставим в формулу функции и получим:

б)

в)

Пример №46

Найдите, при каком значении аргумента значение функции:

а)

б)

в) — равно 1.

Решение:

а) Решим уравнение:

Таким образом, значение функции равно 1 при значениях аргумента, равных и

б) Значит, значение функции равно 1 при значении аргумента, равном

в) Значение функции равно 1 при значениях аргумента, равных 1 и -1.

Пример №47

Функция задана аналитически на множестве

Задайте ее:

а) таблицей;

б) графически.

Решение:

а) Вычислим по заданным значениям аргумента значения функции и заполним таблицу:

б) Построим точки, координаты которых заданы таблицей.

Пример №48

Найдите и по графику функции, изображенному на рисунке 5.

Рис. 5

Решение:

а) Областью определения данной функции является множество абсцисс точек графика функции, а множеством значений множество ординат этих точек.

По данному графику определяем, что а

б) Областью определения функции, график которой изображен на рисунке 5, б, является отрезок т. е. Поскольку то

в)* Так как на графике функции нет точки с координатами то

а

Пример №49

Найдите область определения функции:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а) Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю, т. е. Тогда

б) Дробь имеет смысл для всех значений переменной кроме а дробь имеет смысл для всех значений переменной кроме Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме чисел и

Таким образом,

в) Областью определения функции является множество всех значений переменной при которых подкоренное выражение неотрицательно, т. е. Решим полученное квадратное неравенство. Нулями функции являются числа и Ветви параболы направлены вверх. Неотрицательные значения функции принимает при Значит,

г) Область определения данной функции совпадает со множеством решений системы неравенств:

Пример №50

Найдите множество значений функций:

а)

б)

в)

Решение:

а) Так как по определению модуля числа для любого числа то Значит,

б) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз Значит, множеством значений данной функции является промежуток Найдем абсциссу вершины параболы:

Тогда

Значит,

в) По определению арифметический квадратный корень из неотрицательного числа является числом неотрицательным. Значит, для всех значений переменной, принадлежащих области определения функции. Поскольку то т. е.

Свойства функции

При изучении функций вы познакомились с их свойствами, например такими как нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции. Обобщим эти свойства для функции числового аргумента заданной графически и аналитически.

Повторим важнейшие сведения о свойтвах функции:

Если каждому значению переменной  из некоторого множества  соответствует единственное значение переменной  то такое соответствие называют функцией.

При этом  называют независимой переменной, или аргументом,  — зависимой переменной, или функцией.

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают буквой 

Множество всех значений  которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой  (рис. 1).

Две функции считаются разными, если у них разные области определения или правила соответствия. Например, функция  заданная на промежутке  и функция  заданная на  разные.  заданные на  функции и  одинаковые, поскольку выражения  и   тождественно равны.

Чтобы задать функцию, достаточно указать её область определения и правило соответствия. Если область определения не указывают, то считают, что она такая же, как и область допустимых значений формулы, которой задаётся функция.

Задавать функции можно разными способами: формулами, таблицами, графиками и т. д.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Определение важнейших свойств функции

Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Глядя на график, сразу можно оценить функцию, которую он задаёт, т. е. выявить её важнейшие свойства:

1. найти область определения, область значений;
2. выяснить, является ли данная функция периодической, чётной или нечётной;
3. найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства;
4. определить промежутки возрастания или убывания.

Если функция задана графически, то область определения функции — проекция её графика на ось  область значений — проекция её графика на ось  (см. рис. 1).

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения  из области определения 

График чётной функции симметричен относительно оси (рис. 2), а нечётной — симметричен относительно начала координат (рис. 3).

Например, из функций, заданных на  чётные,  нечётные, а  ни чётные, ни нечётные.

Функция  называется периодической с периодом  если для любого  из области её определения 

График периодической функции с периодом  отображается на себя параллельным переносом на расстояние  вдоль оси  (рис. 4). Функции  периодические с наименьшим положительным периодом  а функции  — с наименьшим положительным периодом 

Область определения периодической функции — вся числовая прямая, или периодически повторяющееся бесконечное с обеих сторон множество числовых промежутков.

Функция  возрастает (убывает) на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента  из этого промежутка большему значению  соответствует большее (меньшее) значение 

Например, функция  на промежутке  возрастает, на  убывает. Функция  возрастает на всей области определения 

Опишем для примера свойства функции  график которой представлен на рисунке 5.

1. Область определения 
2. Область значений 
3. Функция чётная.
4. Функция не периодическая.
5. График функции с осью  пересекается в точке 
6. Функция имеет пять нулей: 
7. 
8. Функция убывает, если  и  функция возрастает, если  и 
9. Функция имеет наибольшее значение  если  и наименьшее значение  если 

Исследовать функцию можно и без построения графика — с помощью формулы, которая её задаёт, и специальных методов математического анализа. С такими методами исследования функций вы ознакомитесь в следующих разделах.

Функция  называется рациональной, если  — рациональное выражение относительно переменной  Таковыми, в частности, есть линейные, квадратичные и степенные функции с целыми показателями. Из всех рациональных функций только функция  может быть периодической (рис. 6).

Функция задана формулой  (на области, симметричной относительно нуля) — одновременно чётная и нечётная.

Пример №51

Для функции  найдите:

а)    значение функции, если значение аргумента равно 10;

б)    значение аргумента, при котором значение функции равно 10.

Решение:

а) Если 

б) если  отсюда 

Пример №52

Докажите, что функция  — нечётная.

Решение:

Область определения функции  множество всех действительных чисел  — симметричное относительно начала координат. Найдём  учитывая, что  — нечётная функция, а  — чётная функция. Имеем:  Итак, функция   нечётная.

Пример №53

Постройте график функции

Решение:

Раскроем модуль в формуле, задающей функцию:

Графиком функции  если  является часть параболы, которая проходит через точки  и имеет вершину в точке Если  то графиком функции является часть параболы, которая проходит через точки  и имеет вершину в точке 

Графиком данной функции  является объединение обоих графиков (рис. 7).

Нули функции

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

Нулями функции график которой изображен на рисунке 11, являются значения аргумента, равные -2, 4 и 8, так как при значение функции равно нулю.

Рис. 11

В точках с абсциссами -2, 4 и 8 график функции пересекает ось абсцисс.

Найдем нули функции заданной аналитически. Для этого решим уравнение т. е.

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т. е.

Значит, числа -1, 1 и 2,5 являются нулями функции

Напомню:

Самым удобным способом изучения свойств функции является графический способ.

Запомните:

Определив но графику абсциссы точек можно установить область определения функции. В точках пересечения графика функции с осью абсцисс. Поэтому абсциссы этих точек называются нулями функции. Нулями функции называются значения аргумента, которые превращают функцию в нуль.

Нулями функции являются корни уравнения . Нули функции разбивают область определения на несколько промежутков, в каждом из которых функция, сохраняет свой знак, принимая положительные или отрицательные значения. На графике, изображённом на рисунке схематично, представлены промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции

Промежуток, на котором функция принимает значения только одного знака, называется промежутком знакопостоянства функции.

На промежутках и график функции лежит ниже оси абсцисс (рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках отрицательны, т. е. при

На промежутках и график функции лежит выше оси абсцисс (см. рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках положительны, т. е. при

Рис. 12

Промежутки являются промежутками знакопостоянства данной функции.

Обычно при изучении свойств функций рассматривают промежутки знакопостоянства максимальной длины.

Найдем промежутки знакопостоянства функции заданной аналитически. Для этого решим неравенства и т. е. выясним, при каких значениях аргумента значения данной функции отрицательны, а при каких положительны. Получим: т. е. при

Очевидно, что при т. е. на промежутке значения функции положительны.

Промежутки являются промежутками знакопостоянства функции

Монотонность функции

Функция возрастает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента и из этого промежутка, таких, что выполняется неравенство (рис. 13).

Другими словами, функция возрастает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция убывает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента и из этого промежутка, таких, что выполняется неравенство (рис. 14).

Иначе говоря, функция убывает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции, а функцию называют монотонной на промежутке возрастания или убывания.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.

Определим промежутки возрастания функции заданной графически (рис. 15). При увеличении абсциссы от до значения функции увеличиваются (точки на графике «поднимаются вверх»), значит, на отрезке функция возрастает. Функция возрастает еще на двух промежутках: и

При увеличении абсциссы от до значения функции уменьшаются (точки на графике «опускаются вниз»), значит, на отрезке функция убывает. Данная функция убывает также на промежутке

Напомню:

Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть . Тогда функция возрастает на промежутке , если , и убывает, если (см. рис. 5.4).

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями. Рис. 5.4

! Если говорить точнее, то строго монотонными; к монотонным функциям, наряду с возрастающими и убывающими, относятся неубывающие и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых при удовлетворяющих условию , соответственно .

Так, например, функция (см. рис. 5.6) при убывает и при возрастает.

Пример №54

Докажите, что при линейная функция возрастает на области определения, т. е. является возрастающей, а при убывает на области определения, т. е. является убывающей.

Доказательство:

Пусть и — произвольные значения аргумента из области определения функции, причем

Тогда и Рассмотрим разность

Поскольку т. е. то знак произведения зависит от знака числа

Если то тогда т. е.

Значит, для при получим, что т. е. функция при является возрастающей.

Если то тогда т.е.

Значит, для при получим, что т. е. функция при является убывающей.

Пример №55

На рисунке 16 изображен график функции у = f(x). Найдите:

• а) нули функции;
• б) промежутки знакопостоянства функции;
• в) промежутки монотонности функции.

Рис. 16

Решение:

• а) Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс: При этих значениях аргумента значения функции равны нулю, т. е. числа являются нулями функции.
• б) Функция принимает положительные значения (график функции расположен выше оси абсцисс) на промежутках и а отрицательные значения (график функции расположен ниже оси абсцисс) на промежутках и
• в) Функция убывает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика уменьшаются) на промежутках: и

Функция возрастает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика увеличиваются) на промежутках:

Пример №56

Найдите нули функции:

• а)
• б)
• в)*

Решение:

• а) Для того чтобы найти нули данной функции, нужно решить уравнение т.е. Значение аргумента является нулем данной функции.
• б) Нулями данной функции являются корни уравнения Решим квадратное уравнение Воспользуемся теоремой Виета и получим: Числа 1 и 3 являются нулями функции
• в)* Решим уравнение т. е. Поскольку модуль не может быть равен отрицательному числу, то уравнение не имеет корней, а значит, функция не имеет нулей.

Пример №57

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

• а)
• б)
• в)*

Решение:

а) Найдем, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, т. е. решим неравенство:

Таким образом, при Функция принимает отрицательные значения, т. е. при

б) Найдем промежутки знакопостоянства функции

при

при

Таким образом, на промежутках и значения функции положительны, а на промежутке значения функции отрицательны.

в)* Решим неравенство т. е.

Решением полученного неравенства является любое действительное число Значит, функция принимает положительные значения при любых значениях аргумента, т. е. при

Пример №58

Найдите промежутки монотонности функции

Решение:

Покажем, что функция возрастает на каждом из промежутков и

Пусть и — произвольные значения аргумента из промежутка причем По свойству числовых неравенств, если то

и Следовательно, функция возрастает на промежутке

Если и — произвольные значения аргумента из промежутка причем то по свойству числовых неравенств а

Значит, функция возрастает на промежутке

Таким образом, функция возрастает на каждом из промежутков и

Отметим, что функция возрастает на каждом из промежутков и но не возрастает на всей ее области определения

Покажем это, приведя контрпример.

Пусть а тогда

В данном случае для получили что противоречит определению.

Если для любых значений на области определения функции из следует , , т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то этот промежуток называется промежутком возрастания , если же , т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то промежуток называется промежутком убывания . Возрастание функции на промежутке будем показывать стрелкой, а убывание стрелкой.

Если функция возрастает (убывает) на каком го промежутке, то функция на этом же промежутке убывает (возрастает).

Например, функция возрастает на промежутке , а функция на этом же промежутке убывает.

Если знакопостоянная функция возрастает (убывает) на каком - то промежутке, то функция убывает (возрастает) на этом же промежутке.

Например, функция возрастает на промежутке , а

убывает на этом же промежутке.

По знаку углового коэффициента можно определить возрастает или убывает линейная функция.

Если угловой коэффициент положителен, то функция возрастает.

Если угловой коэффициент отрицателен, то функция убывает.

Покажем аналитически что функция при на всей числовой оси возрастающая, а при - убывающая. Возьмём из промежутка аргументы, удовлетворяющие условию и найдём разность :

По условию, при разность имеет одинаковый знак

со знаком . Таким образом при , т.е. функция возрастающая, при , т.е. функция убывающая.

Функции, возрастающие или убывающие на данном промежутке, называются монотонными на этом промежутке. Точки, в которых происходит переход от убывания к возрастанию или от возрастания к убыванию, являются точками максимума или минимума. Любой интервал, содержащий точку хо называется окрестностью точки.

Если для любых точек х в некоторой окрестности точки выполняется условие , то точка называется точкой минимума функции, а называется минимальным значением функции. Если для любых точек х в некоторой окрестности точки выполняется условие , то точка называется точкой максимума функции, а максимальным значением функции.

Точки максимума и минимума обозначаются как и называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Функция в точке имеет минимум, в точке имеет максимум и это записывается так:

Среди всех значений функции на области определения наибольшее обозначается НБЗ, а меньшее НМЗ (если они есть). Если функция непрерывна на заданном отрезке (график сплошная линия), то она принимает все значения между НБЗ и НМЗ.

Пример №59

Перечислите все свойства функции на графике.

Решение:

1. Область определения функции промежуток [-1; 5). Если х = -1, то (соответствующая точка закрашена). Точка (5; 2) не принадлежит графику (она выколота). Множество значений функции промежуток [—3;3]

2. Нули функции. График пересекает ось х в точках с абсциссами: х = 1 и х = 4. То есть, значения х= 1 и х = 4 являются нулями функции: .

Нули функции разбивают область определения функции на три промежутка знакопостоянства: [-1; 1), (1; 4) и (4; 5).

На промежутке (1; 4) функция принимает отрицательные значения, в каждом из промежутков [-1; 1) и (4; 5) положительные значения.

3. Возрастание и убывание функции. По графику видно, что при увеличении значений х от -1 до 0, значения у увеличивается от 1 до 3, а при увеличении значений х от 0 до 2, значения у уменьшаются от 3 до -3, при увеличении х от 2 до 5, у увеличивается от -3 до 2. Функция на каждом из промежутков [-1; 0] и [2; 5) возрастает, а на промежутке [0; 2] убывает.

4. Экстремумы функции - максимумы и минимумы. Точки (0; 3) и

(2; -3) на графике являются точками экстремума. Соответственно эти точки показывают максимум и минимум функции: .

Четные и нечетные функции

Для построения графиков функций, решения уравнений и неравенств вы используете свойства функций. Еще одним свойством, позволяющим найти рациональное решение, является свойство четности (нечетности) функции.

Определение: Функция называется четной, если:

• (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
• (2) для любого выполняется условие

Рассмотрим функцию, область определения которой симметрична относительно точки х = 0.

Если для любого х из области определения функции , то называется чётной функцией.

Если для любого х из области определения функции , то называется нечётной функцией.

Вовсе не все функции бывают чётными или нечётными. Если область определения функции не симметрична относительною точки х = 0, то функция ни чётная и ни нечётная. Аналогично, если для функции, область определения которой симметрична относительною 0, нарушается выполнение условий , то функция также является ни чётной и ни нечётной.

Пример №60

Выясним чётной или нечётной является функция

Решение:

Областью определения данной функции являются множество всех действительных чисел и оно симметрично относительно точки х = 0.

Однако, так как ,

то .

Значит, функция ни чётная и ни нечётная.

Пример №61

Выясним чётной или нечётной является функция .

Решение:

Область определения функции множество всех действительных чисел и

Таким образом данная функция нечётная.

Пример №62

По графику выясним чётной или нечётной является функция.

Напомню:

Функция называется четной, если для любых значений х из области определения и нечетной, если В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция является четной (так как а функция — нечетной (так как

В то же время, например, функция является функцией общего вида, так как и

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции на рис. 5.6), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции на рис. 5.5)

Чётные функции

Рассмотрим отрезок Он не может быть областью определения четной функции, так как значение аргумента, например, равное принадлежит этому отрезку, а противоположное значение не принадлежит.

Условие означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента равны.

Чтобы доказать, что функция является четной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
2. Записать выражение
3. Показать, что

Докажите, что функция является четной.

• (1) симметрична относительно нуля.
• (2)
• (3)

Функция является четной.

Пример №63

Докажите, что функция является четной:

а)

б)

Решение:

а) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является четной.

б) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является четной.

Пример №64

Выясните, является ли функция четной.

Решение:

Областью определения функции является луч он не симметричен относительно нуля. Первое условие определения четной функции не выполнено, значит, данная функция не является четной.

Пример №65

Определите, является ли функция

Решение:

Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю, т.е.

Таким образом, область определения данной функции симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия

Функция является четной.

Пример №66

Докажите, что функция не является четной.

Решение:

Чтобы доказать, что функция не является четной, достаточно привести контрпример, т. е. найти хотя бы одно значение х из ее области определения, для которого не выполняется равенство

Например, пусть тогда Получили, что значит, функция не является четной.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 26).

На рисунке 27 даны примеры графиков четных функций.

Если график некоторой функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция является четной.

Определение:

Функция называется нечетной, если:

• (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
• (2) для любого выполняется условие

Условие означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента противоположны.

Нечетные функции

Чтобы доказать, что функция является нечетной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
2. Записать выражение
3. Показать, что

Докажите, что функция является нечетной.

(1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является нечетной.

Пример №67

Докажите, что функция является нечетной.

Решение:

(1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является нечетной.

Пример №68

Определите, является ли функция нечетной.

Решение:

симметрична относительно нуля.

Функция является нечетной.

Пример №69

Известно, что функция нечетная и Найдите значение выражения

Решение:

Так как функция нечетная, то выполняется условие

Поскольку то Так как то

Тогда

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 28).

На рисунке 29 приведены примеры графиков нечетных функций.

Если график некоторой функции симметричен относительно начала координат, то эта функция является нечетной.

Если необходимо исследовать функцию на четность, то нужно выяснить является ли данная функция четной; нечетной. Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №70

Исследуйте на четность функцию

Решение:

Так как то область определения данной функции симметрична относительно нуля, значит, первое условие четности (нечетности) функции выполнено.

Проверим, верно ли одно из равенств: или

для значит, функция не является четной.

для значит, функция не является нечетной.

Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №71

Определите, может ли областью определения четной или нечетной функции являться множество чисел:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение:

Множества чисел а); в); д) симметричны относительно нуля, значит, они могут быть областью определения четной или нечетной функции. Множества чисел б); г); е) не симметричны относительно нуля, следовательно, они не могут быть областью определения четной или нечетной функции.

Пример №72

Докажите, что функция:

а) является четной;

б) является нечетной.

Решение:

а) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция — четная.

б) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция нечетная.

Пример №73

Какой (нечетной; четной; ни четной, ни нечетной) является функция:

а)

б)

в)

г)

д)

е)*

Решение:

а) — область определения функции симметрична относительно начала координат; -функция нечетная;

б) — область определения функции симметрична относительно начала координат;

—

функция нечетная;

в) — область определения функции не симметрична относительно начата координат, значит, функция не является ни четной, ни нечетной;

г) — область определения функции симметрична относительно начала координат; — функция четная;

д) — область определения функции симметрична относительно начала координат, но функция ни четная, ни нечетная, так как, например, т. е.

е)* — область определения функции симметрична относительно начата координат; — функция четная.

Пример №74

Исследуйте на четность функцию

Решение:

Область определения функции симметрична относительно нуля.

Так как то функция является нечетной.

Пример №75

Известно, что функция является четной и Найдите значение выражения

Решение:

Так как функция является четной, то выполняется условие Тогда и

Найдем значение выражения

Пример №76

Известно, что функция является нечетной и Найдите значение выражения

Решение:

Так как функция является нечетной, то Тогда и Найдем значение выражения

Пример №77

Определите вид функции (четная; нечетная; ни четная, ни нечетная), заданной графически (рис. 30).

Решение:

На рисунках 30, а, г изображены графики четных функций, так как они симметричны относительно оси ординат.

Графики функций на рисунках 30, б, в имеют несимметричные области определения, значит, эти функции не являются ни четными, ни нечетными.

На рисунке 30, д изображен график нечетной функции, так как он симметричен относительно начала координат.

Пример №78

На рисунке 31 изображена часть графика функции с областью определения Изобразите график функции если известно, что она является: а) четной; б) нечетной.

Решение:

Построение графиков функций y=f(x)±b, y=f(x±a)

Ранее вы рассматривали такие преобразования геометрических фигур, как симметрию относительно точки, симметрию относительно прямой и др.

Построение графиков функций

Вам известно, что графики четных функций симметричны относительно оси ординат (например, ), а нечетных — относительно начала координат (например, ).

Геометрические представления можно применять для построения графиков одних функций, используя графики других, уже известных функций.

Рассмотрим функции и Составим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 46).

Сравним расположение точек графиков этих функций, имеющих одинаковые абсциссы. Например, рассмотрим точку (1; 1) на первом графике и точку (1; 5) на втором. Эти точки лежат на прямой, параллельной оси ординат, причем точка (1; 5) находится на 4 единицы выше точки (1; 1). Точка (4; 6) лежит на 4 единицы выше точки (4; 2). Таким же образом расположены все другие точки этих графиков, имеющие одинаковые абсциссы. Можно сделать вывод, что график функции получен сдвигом (параллельным переносом) графика на 4 единицы вверх вдоль оси ординат.

Рассматривая точки графиков функций и с одинаковыми абсциссами (рис. 47), заметим, что график функции получен сдвигом (параллельным переносом) графика на 4 единицы вниз вдоль оси ординат.

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси ординат на единиц вверх, если (рис. 48, а).

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси ординат на единиц вниз, если (рис. 48, б).

Например, на рисунке 49 показано построение графиков функций и

Рассмотрим функции и Составим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 50).

Определим значения аргумента, при которых обе функции принимают одинаковые значения. Например, значение первая функция принимает при а вторая — при Значение первая функция принимает при а вторая — при

Можно заметить, что функция принимает те же значения, что и функция на 4 единицы «позже».

Графически это означает, что график функции получен сдвигом (параллельным переносом) графика функции на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (см. рис. 50).

Рассматривая графики функций и заметим, что вторая функция принимает те же значения, что и первая, на 4 единицы "раньше".

Графически это означает, что для получения графика функции точки графика функции сдвигают на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 51).

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси абсцисс на единиц вправо, если (рис. 52, а).

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси абсцисс на единиц влево, если (рис. 52, б).

Например, на рисунке 53 показано построение графиков функций и

Построение графиков функции :

Пример №79

График функции получен из графика функции сдвигом вдоль оси: а) ординат на 3 единицы вверх; б) абсцисс на 3 единицы вправо; в) абсцисс на 3 единицы влево; г) ординат на 3 единицы вниз. Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как рассматриваются функции и при то график функции получен сдвигом графика функции вдоль оси ординат на 3 единицы вниз.

Правильный ответ г).

Пример №80

График какой из функций получен из графика функции его сдвигом вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо:

а)

б)

в)

г)

Решение:

Рассматриваются функции и при . Сдвигом графика функции вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо получен график функции

Ответ: г).

Пример №81

Установите зависимость между графиками функций (рис. 54) и их аналитическим представлением:

а)

б)

в)

г)

Рис. 54

Решение:

а) Графиком функции является кубическая парабола 2).

б) Так как график функции получается из графика функции сдвигом его на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс, то графиком функции является кубическая парабола 1).

в) Функции соответствует график 4), поскольку график функции получается сдвигом графика функции на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

г) Функции соответствует график 3), поскольку график функции получается сдвигом графика функции на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

Пример №82

С помощью преобразований графика функции постройте график функции:

а)

б)

в)

Решение:

а) Выполним сдвиг графика функции на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и получим график функции

б) Выполним сдвиг графика функции на 4 единицы вниз вдоль оси ординат и получим график функции

в) Выполним сдвиг графика функции на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат и получим график функции

Ограниченность функции

Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число что для любого В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция ограничена на всей числовой оси, ибо для любого

Периодичность функции

Функция называется периодической с периодом , если для любых х из области определения функции

Например, функция имеет период , так как для любых

Под термином «период» подразумевается наименьший положительный период функции, равный ; любой период функции , как известно, равен n, где е Z

Основные элементарные функции

В таблице приводятся наиболее важные свойства и графики основных элементарных функций:

Область определения и множество значений некоторых функций

Если для функции, заданной аналитически, область определения не указана, то под областью определения функции подразумеваются такие значения аргумента, при которых формула, при помощи которой задана функция, имеет смысл (такие значения х называются естественной областью определения функции). В этом случае необходимо выяснить, какие значения не может принимать аргумент.

Найдём область определения некоторых функций, заданных в алгебраической форме.

1. Если функция от независимой переменной задана в виде многочлена, то область определения такой функции множество всех действительных чисел. Например, область определения функции является: .

2. В рациональной функции значение выражения, стоящего в знаменателе не может равняться нулю. Например, для рациональной функции значения аргумента, которые удовлетворяют условию , не входят в область определения функции. Это значения , т.е. функция определена на множестве

3. Подкоренное выражение функции, содержащей квадратный корень не может принимать отрицательных значений. Исследуем это на двух примерах:

1) Область определения функции все значения х удовлетворяющие условию , т.е. промежуток . С другой стороны, если , т.е.. А это значит, что область значений функции промежуток .

2) Найдём область определения и множество значений функции . По определению квадратного корня . Решением данного неравенства является отрезок [-2; 2]. Значит функция определена на отрезке [-2; 2]. Для любого х из области определения . Отсюда , т.е. . Другими словами, множеством значений является отрезок [0; 2].

4. Нахождение области определения и множества значений функции по графику.

На рисунке представлен график линейной функции на определённом промежутке. По графику, запишем область определения и множество значений функции в виде неравенства. Определим, принадлежат ли абсциссы граничных точек области определения, а ординаты множеству значений в соответствии с видом граничной точки (закрашенный кружочек или нет). Так как кружочек граничной точки (2; 1) не закрашен, то это говорит о том, что х = 2 не принадлежит области определения и у = 1 не принадлежит области значений. Область определения: , а множество значений:

Что такое линейная функция

Рассмотрим несколько примеров. Пусть тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 20 м/с и направление его движения совпадает с направлением оси (рис. 22). Если в начальный момент движения тело находилось на расстоянии 35 м от начала отсчета, то через с тело будет находится на расстоянии метров от него.

Пусть в бассейн через трубу вливается каждую минуту 2,5 м³ воды. Если в начальный момент времени в бассейне было 70 м³ воды, то объем воды (в м³), которая будет в бассейне через мин, можно вычислить по формуле

Формулами где — независимая переменная, задаются функции, которые называют линейными.

Определение:

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида где — независимая переменная, — некоторые числа.

В формуле переменная может принимать любые значения, поэтому область определения линейной функции образуют все числа.

График линейной функции

Построим график линейной функции Для этого составим таблицу нескольких значений и соответствующих значений

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости (рис. 23). Приложив линейку, убеждаемся, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Если бы для других значений вычислили соответствующие значения и отметили точки с такими координатами на координатной плоскости, то и они лежали бы на этой прямой.

Через отмеченные точки проведем прямую. Она является графиком линейной функции

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Так, чтобы построить график функции достаточно было взять две точки, например, (0; -1) и (2; 0) и провести через них прямую.

Угловой коэффициент в функции

В формуле линейной функции коэффициент при переменной положителен: График этой функции образует острый угол с положительным направлением оси (см. рис.23). На рисунке 24 изображен график линейной функции Для этой функции и ее график образует тупой угол с положительным направлением оси .

Таким образом, от коэффициента зависит угол, который образует график функции с положительным направлением оси . Поэтому число называют угловым коэффициентом прямой .

Если то прямая образует с положительным направлением оси острый угол, если — тупой угол.

Если то формула, которой задается линейная функция, имеет вид то есть Такая функция при всех значениях принимает одно и то же значение Например, линейная функция при всех значениях принимает значение 2. Поэтому графиком функции является прямая, образованная точками (; 2), где — любое число. Эта прямая параллельна оси (рис.25).

Чтобы построить график функции , достаточно было отметить на оси точку с ординатой 2 и провести через нее прямую, параллельную оси :

Свойства линейной функции y=kx+b.

Свойства линейной функции .

1. Область определения функции образуют все числа.
2. Если то область значений функции образуют все числа; если то функция принимает только одно значение
3. Графиком функции является прямая.
4. График функции образует с положительным направлением оси острый угол, если тупой угол, если Если то график параллельный оси , в частности, если то он совпадает с осью .

Функция y=kx

Функция

В формуле , которой задается линейная функция, положим Получим формулу которой задается функция, являющаяся частным, но очень важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть тело движется со скоростью 20 м/с. Тогда путь м, пройденный им за время с, можно вычислить по формуле Эта формула задает путь как функцию времени .
2. Плотность железа 7,8 г/см³. Массу г железа объемом см³ можно вычислить по формуле Эта формула задает массу как функцию объема .

Перейдя в примерах к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функции, которые задаются формулами и то есть формулами вида где

Функцию, которую можно задать формулой вида где — независимая переменная, — некоторое число, называют еще прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Эта прямая проходит через начало координат (потому что, если ).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Построим график функции Найдем координаты какой-нибудь точки графика, отличной от начала координат: если Отметим на координатной плоскости точку (3; 1) и проведем через нее и через начало координат прямую (рис. 26). Эта прямая является графиком функции

На рисунке 27 изображены графики функций вида при разных значениях .

Если то график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях, а если — во второй и четвертой четвертях.

Точки пересечения графиков функций

На рисунке 28 изображены графики двух линейных функций При функции принимают одно и то же значение Следовательно, графики функций имеют общую точку (4; 3). Еще говорят, что графики пересекаются в точке (4; 3).

Вообще, графики двух функций имеют общую точку, если существует значение , при котором обе функции принимают одно и то же значение.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Рассмотрим две линейные функции формулы которых имеют разные коэффициенты при . Выясним, пересекаются ли графики этих функций (рис. 29). Для этого проверим, существует ли значение , при котором обе функции принимают одни и то же значение; другими словами: существует ли значение , при котором выполняется равенство Решим данное уравнение:

При обе функции принимают одно и то же значение:

Следовательно, графики функций пересекаются в точке (-30; -17).

Рассмотрим две линейные функции , формулы которых имеют одинаковые коэффициенты при . Уравнение не имеет корней. Поэтому прямые, которые являются графиками функций (рис. 30), не имеют общих точек (эти прямые параллельны).

Вообще, графики функций вида пересекаются, если (коэффициенты при разные), и параллельны, если (коэффициенты при одинаковы) и

Примеры решения упражнений:

Пример №83

Построить график функции, заданной формулой Используя график, найти:

а) значение которое соответствует

б) значение , которому соответствует

Решение:

Построим график функции.

а) Пусть Через точку (-1;0) проводим прямую, параллельную оси и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (-1; 3,5). Следовательно, значению соответствует значение

б) Пусть Через точку (0; —2,5) проводим прямую, параллельную оси , и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (3; -2,5). Следовательно, значение соответствует значению

Пример №84

Дана функция Не выполняя построение графика функции, найти координаты точек его пересечения с осями координат и нули функции.

Решение:

Точки пересечения графика с осями координат — это точки графика, абсцисса или ордината которых равна нулю.

(0; -6) — точка пересечения графика с осью

(2,5; 0) — точка пересечения графика с осью .

Значение функции равно нулю если откуда Следовательно, нулем функции является

Пример №85

Найти значения функции при Сравнить данные значения аргумента и соответствующие значения функции.

Решение:

Сравним значения аргумента: 2 < 5; сравним соответствующие значения функции: -6 > -15.

Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сведения из истории функции:

«В одну реку нельзя войти дважды» - эти слова приписывают древнегреческому философу Гераклиту Эфесскому (из города Эфес). Они отображают важную особенность реального мира: все в нем пребывает в процессе изменения и развития. Именно выясняя закономерности в бескрайнем море видоизменений природы, ученые пришли к понятиям переменной величины и функции.

Понятие переменной величины впервые было введено в математику французским математиком Рене Декартом (1596-1650) в его знаменитой работе «Геометрия» в 1637 году. Именно после введения этого понятия начинает формироваться современное представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Следует отметить, что хотя некоторые зависимости между величинами, которые мы называем функциями, использовались еще в древние времена, математика до первой половины XVII в. оставалась наукой о постоянных величинах.

Термин «функция» (от латинского functio — выполнение, свершение) впервые использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1694 году.

Благодаря работам Лейбница и известного английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) сформировалась новая ветвь математики — математический анализ, в котором понятие функции является одним из главных. Лейбницем и Ньютоном были разработаны методы исследования функций, которые уже более 300 лет служат мощным средством изучения окружающего мира с помощью математики.

О весомой роли функций как математических моделей реальных процессов Ньютон писал так: «Я не смог бы получить многие свои фундаментальные результаты, если бы не отказался от непосредственного рассмотрения самих тел и не свел все просто к исследованию функций».

Функция в высшей математике 

При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость - одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.

Пусть X - некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) , по которому каждому числу ставится в соответствие единственное число обозначаемое

Тогда говорят, что на множестве X задана функция и записывают: или Чаще используют более простую терминологию: задана функция

Множество X называют областью определения функции . Множество называют множеством значений функции . При этом л: называют независимой переменной или аргументом функции, - зависимой переменной или значением функции, а - характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву ( и т.д.)- Частное значение функции f(x) при записывается как

В высшей математике функцию можно объяснить вот так:

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении где путь и время — переменные величины, a — параметр.

Перейдем к понятию функции:

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят, что на множестве задана функция

При этом называется независимой переменной (или аргументом), — зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество — областью значений функции.

Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция

Например, область определения функции есть полуинтервал так как если же переменная обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок

Дополнительное объяснение функции:

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и переменными.

Определение: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение (или вообще, или в данном процессе; в последнем случае постоянная величина называется параметром).

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Приведем примеры переменных и постоянных величин.

Пример:

Диаметр и длина окружности, в зависимости от обстоятельств, могут принимать различные значения и, следовательно, вообще говоря, являются величинами переменными, в то время как отношение длины окружности к ее диаметру сохраняет всегда одно и то же значение и, следовательно, есть величина постоянная, называемая числом

Пример:

Объем V и давление р определенной массы газа являются величинами переменными; однако, как известно из курса физики, произведение Vp при неизменной температуре есть величина постоянная. При изменении же температуры произведение Vp, вообще говоря, меняется.

Заметим, что во многих вопросах ради общности формулировок удобно бывает рассматривать постоянную величину как переменную, принимающую одно и то же значение.

Понятие функции в высшей математике

Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные, или функции).

Например, изучая газ, мы интересуемся его объемом V, температурой t, давлением р. Согласно закону Менделеева—Клапейрона, зная объем и температуру газа, мы можем однозначно определить его давление; следовательно, величины Vat можно рассматривать как независимые переменные, а р — как зависимую (функцию).

Дадим теперь определение понятия функции, являющегося центральным понятием высшей математики, причем вначале ограничимся случаем двух переменных величин.

Определение: Переменная величина у называется функцией (однозначной) от переменной величины ху если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х (допустимые значения) соответствует единственное вполне определенное значениевеличины у.

Это определение впервые в общих чертах было сформулировано Н. И. Лобачевским.

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, у иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Совокупность всех значений независимой переменной ху для которых функция у определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Наиболее часто область определения функции представляет собой или интервал (а, b) (рис. 48, а), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

а х b

(подчеркнем, что здесь значения х = а и х = b исключаются!), или отрезок (сегмент) [а, b] (рис. 48, б), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

(здесь значения х = а и х = b включаются!). В некоторых случаях

Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, если не оговорено противное, что величины и числа, которые мы рассматриваем, принимают только действительные значения.

областью определения функции является полуинтервал, закрытый слева, [а, Ь), или закрытый справа, (а, ], т. е. множество чисел х> определяемых условиями а х b или соответственно ах. Множество точек, представляющее собой или интервал, или отрезок, или полуинтервал, будем называть промежутком и обозначать через а, >.

Рассматриваются также бесконечные интервалы: , т. е. множество всех чисел, меньших а; т. е. множество всех чисел, больших множество всех действительных чисел. Аналогичный смысл имеют промежутки .

Тот факт, что у есть функция от х, сокращенно обозначают так:

где символ f называется характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости (1) вместо буквы f можно употреблять любую другую букву (например, g, h, F, ф и т. д.), причем понятно, что различные функции должны обозначаться в одном и том же вопросе различными буквами.

Частное значение функции f(x) при х — а записывается так: Да). Например, если

то

Приведем несколько примеров, поясняющих понятие функции.

Пример:

Из формулы площади круга

следует, что каждому допустимому (т. е. положительному) значению радиуса R соответствует определенное значение площади S. Следовательно, S есть функция от R> определенная в бесконечном интервале:

Пример:

Согласно закону Бойля—Мариотта при постоянной температуре имеем Vp = С, где V — объем газа, р — его давление, С — некоторая постоянная величина. Отсюда

Следовательно, каждому значению давления р соответствует определенный объем газа V. Можно сказать, что объем газа V есть функция давления р. Из физических соображений вытекает, что область определения этой функции есть бесконечный интервал:

Пример №86

Найти область определения функции

Решение:

Эта функция имеет смысл, если . Отсюда , или . Следовательно, область определения функции есть отрезок

Чтобы более наглядно представить поведение функции, строят график функции, рассматривая независимую переменную х и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки М на плоскости Оху.

Определение: Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек М(х9 у) плоскости Оху, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Иначе говоря, график функции — это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.

Например, для функции (2) имеем

графиком, очевидно, является верхняя полуокружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (рис. 49). Из рис. 49 становится ясным, что область определения функции представляет собой отрезок [-2, 2].

Отметим, что, построив график функции у = f(x), мы можем приближенно определить корни уравнения

f(x) = 0

как абсциссы точек пересечения графика с осью

Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то у называется однозначной функцией от х; если же хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три и т. д.) или бесконечное множество значений переменной у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.) функцией от х.

Например, у = х² есть однозначная функция от х. Также у = sin х есть однозначная функция от х. Функция есть двузначная функция от х; у = Arcsinx есть многозначная (бесконечнозначная) функция от х.

В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать однозначную функцию, если явно не оговорено противное.

Способы задания функции в высшей математике

Функция может быть задана одним из следующих способов:

• аналитический, т.е. в виде аналитической формулы (например,
• графический, т.е. в виде графика для всех значений аргумента х из D(x);
• табличный, т.е. в виде таблицы
• словесный, т.е. функция задается на каждом интервале разными аналитическими формулами, графиком или таблицей, например,

Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции:

При аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество X не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

При графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости Оху называется геометрическое место точек координаты которых связаны функциональной зависимостью.

При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:

• Функция называется четной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство . Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная;
• Функция у = f{x) называется нечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций - функция четная;
• Нулями функции у = f(x) называют значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс;
• Функция у = f\x) называется периодической, если существует число Т такое, что для каждого значения аргумента л; из области ее определения выполняется равенство f(x + T) = f(x). Число Т называют периодом этой функции;
• Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. . Функция у = f(х) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными;
• Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу а (вертикальная асимптота);
• Функция у = f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М такое, что для каждого значения аргумента х из области ее определения f(x) < M( f(x) > М). Функция у — f (х) называется ограниченной, если существует число М > О такое, что для каждого значения аргумента x из области ее определения
• Функция называется обратной по отношению к , если при подстановке её вместо аргумента получается тождественное равенство: у =
• Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной y = f(x), то у называется однозначной функцией от x; если хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.) функцией от x.

Более коротко способы задания функции можно объяснить так:

Существует несколько способов задания функции.

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически.

Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

имеет два аналитических выражения:

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например таблица логарифмов.

в) Графический способ состоит в изображении графика функции — множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты — соответствующие им значения функции

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например функция Дирихле: , если — рационально; , если — иррационально.

Аналитический способ задания функции

Если функция выражена при помощи формулы, то говорят, что она задана аналитически. Например, в формуле объема шара

объем V есть функция радиуса R, заданная аналитически. Если функция

задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента х, чтобы получить соответствующее значение функции у [или, что то же самое, значение функции f(x)\ Пусть, например,

Здесь характеристика f обозначает следующую совокупность действий:

1. возведение аргумента х в квадрат;
2. вычитание из полученного результата числа 1;
3. извлечение из соответствующей разности кубического корня.

Зная характеристику f и давая аргументу х различные значения, получим соответствующие значения функции f(x). Так, например, для нашей функции (1) имеем

Аналогичный смысл получают выражения

В некоторых случаях функция может задаваться несколькими формулами.

Пусть, например,

Эта функция вполне определена, так как для каждого значения аргумента х мы можем указать соответствующее значение функции f(x). А именно: если х отрицательно или равно нулю, то f(x) равно нулю, например

Если же х положительно, то f(x) равно значению аргумента, например

Таким образом, две формулы

определяют одну функцию (рис. 55).

Табличный способ задания функции

Предположим, что мы хотим установить зависимость между средней годовой температурой t (°С) и высотой местности h над уровнем моря, выраженной в километрах. Сопоставим результаты наших наблюдений в такой таблице:

Из приведенной таблицы мы видим, что средняя годовая температура изменяется вместе с высотой местности над уровнем моря, причем каждому значению высоты h соответствует определенное значение температуры t. Следовательно, средняя годовая температура t есть функция высоты местности h над уровнем моря, при этом соответствие между переменными t и h устанавливается таблицей. Такой способ задания функции называется табличным.

Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы. Пусть, например, имеем функцию

Давая х ряд числовых значений и вычисляя соответствующие значения у, получим следующую таблицу:

Мы видим, что если функция задана аналитически (т. е. при помощи формулы), то можно построить для нее таблицу, или, как говорят, табулировать функцию.

Табулируются обыкновенно функции, имеющие сложное аналитическое выражение (т. е. выражающиеся сложной формулой), но часто встречающиеся на практике. Так, например, широко известны таблицы тригонометрических функций: sinx, cos* и т. д., таблицы логарифмов и т. п. Для этих функций имеются формулы, выраженные с помощью бесконечных рядов, но эти формулы слишком сложны для практического пользования.

Возникает вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к ее аналитическому выражению, т. е. записать такую функцию формулой?

Для этого заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно (так называемое интерполирование функции). Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя.

Однако всегда можно построить формулу, и притом не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула носит название интерполяционной.

Графический способ задания функции

Аналитический и табличный способы изображения функции страдают отсутствием наглядности. Этого недостатка лишен графический способ задания функции у = /(*), когда соответствие между аргументом х и функцией у устанавливается с помощью графика (рис. 56). Здесь, чтобы для некоторого значения аргумента, например х9 найти отвечающее ему значение у функции, нужно на оси Ох отложить в соответствующем направлении отрезок OA — х, а затем построить перпендикуляр AM до пересечения с графиком. Взяв длину этого перпендикуляра с надлежащим знаком, мы и получим число

Давая х различные значения, мы с помощью этого приема будем иметь соответствующие значения функции , которые, если это нужно, можно записать в виде таблицы.

Примером графического изображения функции является так называемая барограмма (запись самопишущего прибора — барографа), дающая графически изменение атмосферного давления со временем.

Для построения графика функции у = f(x), заданной аналитически, нужно составить таблицу значений х и у данной функции, а затем, рассматривая х как абсциссу, у — как ординату точки, построить систему точек плоскости.

Соединяя эти точки линией, вид которой учитывает по возможности характер промежуточных значений функции, получаем примерное графическое изображение данной функции.

Например, пользуясь данными таблицы на с. 73, строим график функции

(кубическая парабола) (рис. 57).

Кусочное задание функции

Часто, для описания реальных жизненных ситуаций используют не одну, а несколько формул или неравенств.

Задача. Оптовый магазин при покупке не менее 10 и не более 20 спортивных рубашек, реализует их по 3 маната за штуку, при покупке более 20 рубашек - по 2 маната за штуку. Запишите зависимость между двумя величинами: выручкой С и количеством проданных рубашек n.

Решение: Имеем , при и , при и в общем виде функцию можно записать так:

Найдём значения функции при n = 15, n = 20, n = 30, n = 40. Значения n = 15 и n = 20 удовлетворяют условию . Эти значения вычислим по формуле :

Значения n = 30 и n = 40 соответствуют условию :

Если функция задана различными формулами на разных участках области определения, то говорят о кусочном задание функции.

Пример:

Постройте график функции.

График данной функции состоит из части графика прямой слева от точки х = 1 и части графика прямой справа от х = 1. Так как ,то график "ломается" в

вершине (1; -1)." Функция является непрерывной, если её график можно изобразить "не отрывая" карандаша от бумаги. Функция представленная в данном примере непрерывная.

Пример:

Постройте график функции.

График данной функции ступенчатый. Если график имеет разрыв, то функция является разрывной.

Данная функция, каждому числу ставит в соответствие его целую часть, и в общем виде записывается как . График на рисунке соответствует функции целой части числа на промежутке [0; 4).

Степенная функция y=xⁿ (n∈N)

Степенная функция .

Функция вида (n -натуральное число) называется степенной функцией с натуральным показателем. Ниже представлены графики степенных функций при n= 1, n = 2, n = 3

График функции для любого чётного значения n симметричен относительно оси у и похож на параболу . Для любых нечётных значений n график функции симметричен относительно начала координат и для нечётных значений n больше 1, похож на кубическую параболу .

При график функции называется параболой n - го порядка. По рисунку видно, что при на промежутке (0; 1) график функции находится ниже, на промежутке выше графика функции .

Классификация функций в высшей математике

Переменные величины весьма различны. Однако, на первый взгляд различные процессы, могут иметь одинаковую природу и заданы одинаковой зависимостью. Поэтому наиболее часто встречающиеся зависимости объединены в семейства, в соответствии с основной (начальной) функцией. Функции, принадлежащие одному семейству, получаются преобразованиями одной и той же основной функции.

Например, графики функций

получаются преобразованиями параболы . Поэтому эти функции, а также все функции задаваемые формулой , образуют семейство и основной функцией этого семейства считается . В таблице ниже представлены графики некоторых основных функций.

Преобразование графиков функций

Параллельный перенос.

При параллельном переносе все точки графика смещаются в заданном направлении на заданное расстояние. При этом форма графика не изменяется. Произведём параллельный перенос каждой точки графика функции на вектор . Если координаты точки А удовлетворяют равенству , то координаты точки А₁ удовлетворяют равенству . Таким образом, при параллельном переносе графика функции на вектор , получается график функции Заданный график смещается на единиц по горизонтали (при вправо, при влево) и на единиц по вертикали (при вверх, при вниз). В случае график параллельно переносится только но горизонтали и при этом получается новая функция.

Пример:

В случае график параллельно переносится только по вертикали и при этом получается новая функция .

Пример:

Пример:

Постройте графики заданных функций при помощи графика функции .

Решение:

Построим график функции . Область определения функции . Составим таблицу значений, выбрав три значения, которые являются полными квадратами.

Отражение.

Отражение графиков функции.

Сжатие и растяжение графиков.

При растяжении от (сжатии к) оси абсцисс изменяется ордината точки, при этом абсцисса остаётся неизменной: Если точка расположена на графике функции . Тогда точка расположена на графике функции . График функции получается из графика функции растяжением в раз от оси абсцисс при и сжатием к оси абсцисс в раз при

При растяжении от (сжатии к) оси ординат изменяется абсцисса точки, при этом ордината остаётся неизменной:

Если точка расположена на графике функции .

Тогда точка расположена на графике функции .

График функции получается из графика функции растяжением в раз от оси ординат при и сжатием в раз к оси ординат при .

Действия над функциями в высшей математике

Выполняя арифметические действия над двумя функциями можно получить новую функцию. Область определения, которая получается при сложении, вычитании, умножении функций и , является множество действительных чисел, в котором определена каждая из функций. Другими словами, область определения новой функции является множество пересечения областей определения функций и . Отношение двух функций определено для аргументов множества Г) и отличных от нуля значений функции в знаменателе. Над функциями и определенными на множестве действительных чисел, можно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление по следующим правилам.

1. Сумма двух чётных функций является чётной функцией, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.
2. Произведение(частное) двух чётных и произведение(частное)двух нечётных функций является чётной функцией.

Пример:

Найдём для функций и .

Решение:,

Пример:

Найдём для функций и

Решение:

Так как функция в знаменателе , то . Графиком этой функции является прямая с выколотой точкой (1; 2).

Пример:

Известно, что . Найдём область определения функций: а) , б).

Решение: а) Область определения функции - множество всех действительных чисел. Область определения функции находится из неравенства . Область определения функций

.

б) Область определения функции является множество решений неравенства , т.е. промежуток .

Понятие множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если есть элемент множества , то используется запись . Если не является элементом множества , то пишут .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Если множество состоит из части элементов множества или совпадает с ним, то множество называется подмножеством множества и обозначается

Если, например, — множество всех студентов вуза, а — множество студентов-первокурсников этого вуза, то есть подмножество , т.е.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств и , т.е.

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству , т.е.

Пример №87

Даны множества Найти объединение, пересечение и разность множеств и .

Решение:

Очевидно, что объединение двух данных множеств — , их пересечение , а разность

Дополнением множества называется множество , состоящее из всех элементов множества , не принадлежащих .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: — действительных чисел, — рациональных, — иррациональных, — целых, — натуральных чисел. Очевидно, что

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси) (рис. 5.1), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число » говорят «точка ».

Множество элементы которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком (или сегментом) неравенству — интервалом неравенствам называются полуинтервалами соответственно Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток

Абсолютная величина действительного числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа называется само число ,если неотрицательно, и противоположное число -, если отрицательно:

Очевидно, по определению, что

Пример №88

Найти

Решение:

Если

Если

Отметим свойства абсолютных величин:

Абсолютная величина разности двух чисел означает расстояние между точками числовой прямой как для случая так и для (см. рис. 5.2).

Поэтому, например, решениями неравенствабудут точки интервала (рис. 5.3), удовлетворяющие неравенству

Всякий интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки .

Интервал т.е. множество точек таких, что, называется -окрестностью точки .

Понятие числовой последовательности

Числовой последовaтeльностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию = f(n) задать на множестве натуральных чисел N, то множество значений функции будет счетным и каждому номеру a е N ставится в соответствие число е R . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа называют элементами или членами последовательности, а число - общим или n-м членом последовательности. Каждый элемент имеет последующий элемент . Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером n, т.е. указанием формулы ее n -го члена .

Пример №89

Последовательность может быть задана формулой:

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее n -го члена.

Пример №90

Последовательность это последовательность

Множество всех элементов последовательности () обозначается {}.

Пусть () и - две последовательности.

Суммой последовательностей () и называют последовательность , где

Разностью этих последовательностей называют последовательность , где

Если А и В - постоянные, то последовательность называют линейной комбинацией последовательностей () и т.е.

Произведением последовательностей {) и называют последовательность с n -м членом , т.е.

Если , то можно определить частное

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей () и называются их алгебраическими композициями.

Пример №91

Рассмотрим последовательности ( и , где Тогда ( +)= (0), т.е. последовательность ( + ) имеет все элементы, равные нулю.

, т.е. все элементы произведения и частного равны -1.

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности (а„) так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности (). Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности (), то новую последовательность называют остатком.

Последовательность () ограничена сверху (снизу), если множество {} ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность () сходится, если существует число а такое, что для любого существует такое для любого выполняется неравенство:

Число а называют пределом последовательности (). При этом записывают —> а или

Пример №92

Покажем, что . Зададим любое число . Неравенство = — <£ выполняется для такого, что —, что определение сходимости выполняется для ~ £ числа а - 0. Значит,

Иными словами —> а означает, что все члены последовательности () с достаточно большими номерами мало отличается от числа а, т.е. начиная с некоторого номера N* (при ) элементы последовательности находятся в интервалекоторый называется -окрестностью точки а.

Последовательность {}, предел которой равен нулю называется бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

• Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;
• Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела пределу необходимо и достаточно чтобы , где а -постоянная; — бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;
2. Сходящаяся последовательность ограничена;
3. Если
4. При любых постоянных А и В
5. 
6. Если
7. Если
8. Если
9. Если

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней n, предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени п числителя и знаменателя).

Последовательность () называется:

• возрастающей, если
• строго возрастающей, если
• убывающей, если
• строго убывающей, если

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Бесконечный предел

Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно большой если такое, что при

Говорят, что предел последовательности () равен , если для такое, что выполняется неравенство:

В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь преAдела. Например, по модулю неограниченно растет, но сама величина не имеет определенного стремления.

Замечательные пределы

Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

Покажем, что

Для простоты примем, что >0 (см. Рис.1.), причем, так как дуга стремится к нулю при , то можно считать, что — (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины с помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

Площади треугольников и сектора соотносятся следующим образом:

Отсюда и после деления на

(>0), получим для обратных величин

Так как при последовательность , а, следовательно, то видно, что последовательность заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности > О

справедливо равенство

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что Тогда:

Таким образом, так как в каждом слагаемом множители вида имеют меньшую величину по сравнению с при одном и том же m, а также выражение для имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность сверху можно показать следующим образом:

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности имеет предел: который обозначается е (основание натурального логарифма ).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Принцип сходимости

Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

Лемма Кантора. Пусть дана последовательность промежутков Если этом , то последовательности имеют равные пределы:

Теорема Больцано - Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость последовательности () к конечному пределу а означает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числа а и, следовательно, мало отличаются друг от друга.

Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Кош и.

Критерий Коши. Последовательность () сходится тогда и только тогда у когда такое, что выполняется неравенство:

Предел функции. Теорема Гейне

Рассмотрим функцию f, определенную на множестве X. Пусть . Точка называется предельной или точкой сгущения множества х, если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от . В этом случае из множества х можно выделить последовательность , сходящуюся к . К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав х вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел Q, все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые во не входят.

Множество х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество х называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция у = f(x), определенная на множестве X имеет предел С в точке сгущения : если для любого найдется такое , что при

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции задаваемых для различных последовательностей стремящихся к . Можно легко показать, что при любом выборе последовательности если существует предел соответствующих последовательностей то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция у = f(x), имеющая предел А при х —>а, ограничена в некоторой окрестности точки а. Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

• Если С - есть постоянная функция, то limC = С;
• Если существуют , и в некоторой окрестности точки а функция f(x) ограничена, т.е. М < f (х) < N, тогда
• Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;
• Если существуют limf(x) и limg(x) при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула
• Если существуют lim f(x) и при каком-то условии, то (при том же условии);
• Если и существуют limf(x), limg(x) и Iimh(x), то

Односторонние пределы

В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции f при считать, что , то получают односторонний предел справа или правосторонний предел функции в точке . Если же считать, что и , то получают односторонний предел слева или левосторонний предел.

Так, например, односторонние пределы функции y = f{x), изображенной на Рис. 2, соответственно, равны: и

Правосторонний предел обозначают символом левосторонний - символом . Таким образом:

В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения .

Для того, чтобы у функции у = f(x) в точке существовал двусторонний предел , необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы функции у = f(x) в точке , и эти пределы были равны между собой:

Пример №93

Пример №94

Пределы на бесконечности

Кроме предела в точке , можно рассматривать предел в точке, бесконечно удаленной в сторону + или -. В этом случае понятие предела необходимо уточнить.

Говорят, что предел функции f при равен а, если для существует такое, что для, удовлетворяющего условию выполняется неравенство Аналогично, f(x) —>а при , если для существует такое, что для выполняется неравенство

Если функция есть суммы одночленов от переменной то предел отношения при или равен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменной х функций h и g).

Пример №95

, поскольку ДЛЯ выполнено неравенство если только

Пример №96

Пример №97

Бесконечные пределы

Функция a(x) называется бесконечно малой при (или или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство

При функция а(x) называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е.

Теорема: Если функция у = f(x), определенная на множестве х имеет предел С в точке сгущения (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: f(x) = С + а(х).

Справедлива также и обратная теорема: Если функцию y = f(x), определенную на множестве х, можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числа с и бесконечно малой величиныто число с является пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;
3. Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция f(a) называется бесконечно большой при х —>

(или х->-0, или х->.+o) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число что для всех будет верно неравенство

При функция f(x) называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство

Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е.

Свойства бесконечно больших величин:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;
3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция а(х) есть бесконечно малая величина при то функция есть бесконечно большая величина при .

Обратная теорема. Если функция F(x) есть бесконечно большая величина при то функция есть бесконечно малая величина при .

Сравнение бесконечно малых величин:

• Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е.
• Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению , если предел отношения к равен нулю, т.е.
• Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е.
• Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е.

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность . Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

близких к (т.е. ограничена в окрестности точки ), то

Пример №98

Пример №99

Непрерывность функции в высшей математике

Рассмотрим функцию f, определенную на промежутке х. Пусть . Функция f называется непрерывной в точке , если .Функция у = f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция у = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки ,. Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция y = f(x), определенная на интервале (а,b) называется непрерывной на интервале (а.b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала .

Функция y = f(x), определенная на отрезке [a,b] (а<Ь) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a,b), непрерывна справа в точке b и непрерывна слева в точке а.

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b], определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано-Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда, если то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку (m,М),

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда функция у = f(x) является ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция у = f(х) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда функция у = f(x) имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

Отметим, прежде всего, что основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. К основным элементарным функциям относятся:

1. Постоянная функция у = С. Область определения
2. Идентичная функция у = х. Область определения
3. Одночлен
4. Многочлен
5. Рациональная функция - многочлены. Функция определена при всех д\ кроме корней многочлена Q(x).
6. Степенная функция у = х°. Если а> 0, то функция определена, по крайней мере, на . При a<0 определена, по крайней мере, на . (При некоторых а степенная функция может быть определена на более широком множестве. Например, функция имеет область определения . Функция определена на
7. Показательная функция . Определена на ;
8. Логарифмическая функция . Определена на ;
9. Синус у = sinx, косинус у = cosx определены на . Эти функции являются периодическими с периодом , для любого x из ;
10. Арксинус y = arcsinx и арккосинус у = arccosx определены на [- l,+l].

Если f и g - непрерывные функции, то их сумма, разность и произведение являются непрерывными функциями. Частное непрерывных функций будет непрерывно всюду, где оно определено. Таким образом, можно утверждать, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна всюду, где она определена.

Непрерывность композиции функции

Пусть задана функция со значениями в X, и на множестве х определена функция у = f(x) со значениями в Y. Тогда для любого можно вычислить , на Т можно определить функцию h со значениями в Y по правилу: . Говорят, что функция h есть композиция функций ( и f и обозначают . (Функцию h называют также сложной функцией).

Если функция ( непрерывна в точке , а функция f непрерывна в точке , то композиция непрерывна в точке . Говоря короче (хотя и менее строго), композиция непрерывных функций непрерывна.

Пример №100

Функция непрерывна на как композиция непрерывных функций поскольку такая композиция определена для

Tочки разрыва функции в высшей математике

Непрерывность функции f в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела f(-0) и f( + 0) существуют и равны f(), т.е.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции f. Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

Если 1. не выполнено, то называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют точкой конечного скачка. Величина = f( + 0) - f( - 0) называется скачком функции f(x) в точке

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют точкой устранимого разрыва.

Если функция f определена в окрестности точки и не определена в самой точке , то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Элементарные функции. Классификация функций и преобразование графиков функций

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция .

Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция , заданная уравнением . (Заметим, что последнее уравнение задает две функции, при и при )

Обратная функция в высшей математике

Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором. Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений , называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через , а функцию через , то функция, обратная к функции , примет вид . Обратную функцию обозначают также в виде (аналогично с обозначением обратной величины). Например, для функции обратной будет функция или (в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных) .

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (на рис. 5.17 показаны графики взаимно обратных функций и ).

Дополнительное определение:

Пусть задана функция Если график этой функции пересекает ось абсцисс (Ох) в единственной точке, то можно найти такой закон, по которому каждому значению переменной у будет поставлено в соответствие единственное значение переменной х, т.е. Такой закон соответствия называется обратной функцией.

Пример №101

Найти обратную функцию к функции у = 8х + 5.

Решение:

Выразив переменную х из этого равенства, найдем обратную функцию

Дополнительное объяснение:

Исследование:

1)Запишите формулу площади квадрата со стороной .

2)По заданной площади найдите длину стороны квадрата.

3)Расстояние от поверхности земли,до тела, брошенного с начальной скоростью находится по формуле . Можно ли при заданном значении , найти однозначное значение ? На рисунке зависимость между множествами X и Y задана стрелками. Поменяв направление стрелок, получим зависимость - зависимость между множествами Y и X. Соответствие является обратным для . Если для заданной функции обратное соответствие также является функцией, то функция называется обратимой функцией.

Пример:

Пример:

Из множества А = {1, 2, 3, 4} область опре-можно получить множество В = {5, 6, 7, 8} деления f при помощи функции следующим образом:

Функция, обратная для данной функции, обозначается 1 и выражает как, из элементов множества В можно получить элементы множества А.

Функции и называются взаимно обратными функциями. Как из схемы, так и из пар координат, видно,что область определения заданной функции, является множеством значений для обратной функции, а множество значений заданной функции - областью определения для обратной функции и наоборот. Таким образом, . Из определения, и . Для данного примера имеем:

Для любой ли функции существует обратная функция ? Например, из зависимости переменную х можно единственным образом выразить через у и обратная функция имеет вид:

.

Здесь каждому значению у соответствует единственное значение х. В функции одному значению у, например, для у = 9, соответствует два значения аргумента х = 3 и х = -3 и на промежутке для неё не существует обратной функции.

Обратить можно ту и только ту функцию, которая каждое свое значение принимает в единственной точке области, определения. Если любая горизонтальная прямая пересекает график функции как максимум в одной точке, то для неё существует обратная функция.

Другими словами, если различным значениям х соответствуют различные значения у, то для функции существует обратная функция. Так как для монотонной функции при имеем , то:

1. Для возрастающей на области определения функции, существует обратная функция.
2. Для убывающей на области определения функции, существует обратная функция.

Пусть, функция для которой существует обратная функция, т.е. в отношении можно однозначно выразить х через у и записать в виде . Тогда функция называется обратной для функции . Обычно, аргумент обозначается через х , а функция обозначается через у. Поэтому, функция, обратная для записывается как . Если функция, обратная для функции то функция является обратной функцией для функции . Функции и являются взаимно обратными функциями.

Графики взаимно обратных функций:

Если точка (а; b) расположена на заданном графике,то точка (b; а) будет расположена на графике обратной функции.

Заданная функция Обратная функция

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .

Для того, чтобы найти обратную функцию по формуле надо:

1. Выразить переменную х через у.
2. В полученном равенстве вместо х запишем у, вместо у запишем х.

Пример:

Запишем обратную функцию для функции .

Решение: запишем функцию выразим переменную х через

у : поменяем местами х и у :

На всей числовой оси для функции не существует обратной функции. Однако, на промежутках возрастания или убывания для этой функции, обратная функция существует.

Пример:

Для функции зададим обратную функцию, при и построим их графики в одной системе координат. Запишем координаты нескольких точек, расположенных на этом графике.

Решение:

Заданная функция: . Обратная функция: 1) ,

2) Точка (2, 4) расположена на графике функции ,

а точка (4; 2) на графике обратной функции .

Для обратной функции справедлива следующая теорема:

Если функцияс областью определения X и множеством значений Y возрастающая (убывающая), то для неё существует обратная функция, определённая на промежутке Y которая также является возрастающей (убывающей).

Сложная функция в высшей математике

Пусть функция есть функция от переменной и, определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией от переменной , определенной на множестве с областью значений . Тогда заданная на множестве функция называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Например, — сложная функция, так как ее можно представить в виде , где

Дополнительное объяснение:

Исследование. Цена 1 литра бензина 0,95 манат. Автомобиль Фарида расходует 0,08 л бензина на каждый километр.

а)Если Фарид проедет 50 км, то как вы сможете посчитать какую сумму он потратит? За сколько шагов можно выполнить эти вычисления?

б)Зависимость между объёмом бензина и пройденным путём задайте функцией

в) Зависимость между суммой за бензин и объёмом бензина задайте функцией ;

г)Запишите функцию , связывающую путь, который проделал Фарид и сумму, потраченную на бензин, объединив функции пункта б) и в). Какие переменные, в данном случае, формируют аргумент? Во многих случаях значения, которые может принимать аргумент функции, можно определить через значения других функций. Пусть заданы функции и .

Рассмотрим схематическое представление двух ситуаций.

1. Если числа х принадлежат области определения функции , a -принадлежат области определения функции, то в этом случае функция, которая каждому числу ставит в соответствие число , для функцийи называется сложной функцией (композицией) и записывается так будет:

2. Если числа, х принадлежат области определения функции , а -области определения функции, то для функций икомпозицией будет:

Обратите внимание! Запись и , (так же как и запись и выражают две различные функции. Композиция может быть построена, если , а композиция , если .

Из схемы видно, что композиция получается, если в функции аргумент х заменить функцией . Аналогично, композиция получается, если в функции аргумент х заменить функцией .

Пример №102

Для функций:

а) запишите формулы композиций и ;

б) найдите значения композиций и при х = 3.

Решение: а)

Таким образом, и

б)

Пример №103

Дано: , запишите формулы для функции

а)

б)

Решение: а)

б)

Понятие элементарной функции в высшей математике

Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция

является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функция — целая часть (см. рис. 6.9), функция Дирихле (с. 127).

Дополнительные определения:

Основные элементарные функции в высшей математике:

Рассмотрим основные элементарные функции:

1) постоянная у = С

2) линейная у = ах + b

3) квадратичная Пусть а>0 (значения связаны с параметрами а, b и с и определяют расположение параболы относительно координатных осей; отметим, что парабола симметрична относительно прямой

4) степенная

5) показательная

6) логарифмическая

7) тригонометрические

8) обратные тригонометрические

Сложные функции в высшей математике

Пусть дана функция

Определение: Функция вида сложной функцией, а операция ее образования композицией функций или взятием функции от функции.

Определение: Функция называется внутренней, а функция - внешней функциями.

Пример №104

Определить внутреннюю и внешнюю функции:

Решение:

В данном примере внутренней функцией является а внешней функцией будет

Пример №105

Определить внутреннюю и внешнюю функции:

Решение:

Внутренней функцией будет а внешней функцией является возведение в квадрат.

Классификация функций

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

• целая рациональная функция (многочлен или полином):
• дробно-рациональная функция — отношение двух многочленов;
• иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Преобразование графиков

Актуальными остаются приемы построения графиков функций с помощью преобразования графиков основных элементарных функций.

Пусть задан график функции . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. График функции есть график , сдвинутый (при влево, при вправо) на единиц параллельно оси (рис. 5.18).

2. График функции есть график , сдвинутый (при вверх, при - вниз) на единиц параллельно оси (см. рис. 5.18).

3. График функции есть график , растянутый (при ) в раз или сжатый (при) вдоль оси (см. рис. 5.19). При график функции есть зеркальное отображение графика от оси .

4. График функции есть график , сжатый (при ) в с раз или растянутый (при ) вдоль оси (см. рис. 5.20). При график функции есть зеркальное отображение графика от оси .

Пример №106

Построить график функции

Решение:

Строим график функции следующим образом (рис. 5.21).

1. Строим график .

2. сжатие графика в 2 раза вдоль оси

3. зеркальное отражение графика от оси

4. растяжение графика в 3 раза вдоль оси

Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функции весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратичная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной, рассматриваемой в данной и последующих главах. Приведем примеры.

1. Исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода

(функции Л. Торнквиста), мы можем установить уровни доходов, при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения для групп товаров первой и второй необходимости (см. рис. 5.22).

2. Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис. 5.23).

3. Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ одна и та же), например, задаваемые в виде и линию бюджетного ограничения при ценах благ и доходе потребителя , мы можем установить оптимальные количества благ и имеющих максимальную полезность (см. рис. 5.24).

4. Рассматривая функции издержек (полных затрат) и дохода фирмы , мы можем установить зависимость прибыли от объема производства (см. рис. 5.25) и выявить уровни объема производства, при которых производство продукции убыточно и приносит прибыль , дает максимальный убыток и максимальную прибыль и найти размеры этих убытков или прибыли.

Очевидно, что перечень подобных примеров применения функций в экономической теории и практике можно было бы продолжить (о них, в частности, пойдет речь в последующих главах учебника).

Применении таблиц функций

Остановимся еще на одном важном аспекте использования функций в экономике — применении таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции) — приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение х лежит между приведенными в таблице значениями , которым соответствуют значения функции

то считают, что (рис. 5.26)

Величины называются интерполяционными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы или приводятся в дополнении к таблице.

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то необходимо произвести обратное интерполирование.

Пример №107

Функция задана таблицей:

а) Используя линейное интерполирование, найти

б) Чему равен , если

Решение:

а) Имеем

Теперь по интерполяционной формуле (5.1) получим

б) Обратное интерполирование можно провести по той же формуле, в которой поменять местами переменные

где — неизвестное значение обратной функции.

Имеем

Теперь по интерполяционной формуле (5.2) получим

В ряде случаев точность нахождения неизвестных значений с помощью линейного интерполирования оказывается недостаточной и используются другие методы интерполирования, например квадратичное интерполирование.

Пример №108

Найти область определения функций

Решение:

а) Область определения функции найдем из системы неравенств откуда

б) Имеем систему Решая первое неравенство, получим решая второе, найдем откуда С помощью числовой оси (рис. 5.27) находим решение системы неравенств: т.е. область определения функции

в) Область определения найдем из неравенства откуда Так как при любом то перейдем к равносильному неравенству откуда

Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом т.е. область определения функции

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №109

Найти область значений функции:

Решение:

а) Преобразуем функцию

Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. Итак, область значений функции

б) Область значений может быть найдена с помощью производной, рассматриваемой в разделе III. Но можно поступить иначе: найти обратную функцию ее область определения , которая совпадает с областью значений данной функции.

Выразим через . Получим обратную функцию заданную неявно квадратным уравнением Очевидно, область определения этой функции найдется из условия, чтобы дискриминант квадратного уравнения был неотрицателен, т.е. или

Итак, область значений данной функции

Пример №110

Выяснить четность (нечетность) функций:

Решение:

Так как то данная функция нечетная;

(после преобразований).

Так как то данная функция четная.

Так как то данная функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.

Общее определение функции для высшей математики

Мы уже встречались с понятием переменной величины, независимой переменной и функции, но рассматривали лишь простейшие случаи.

Приведем еще примеры переменных и постоянных величин:

1. Наиболее часто встречающаяся переменная величина — время.
2. Переменной величиной является температура воздуха в течение суток.
3. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная — это число .
4. Ускорение силы тяжести есть величина постоянная, однако это верно только при соблюдении определенных физических условий.
5. Температура кипения химически чистой воды постоянна и равна 100° С, но это верно при нормальном атмосферном давлении.

Таким образом, мы наблюдаем величины переменные, постоянные и условно постоянные.

Определение: Две переменные величины называются связанными функциональной зависимостью, если каждому значению одной из них соответствует одно или несколько определенных значений другой. Первая величина называется независимой переменной, а вторая — зависимой переменной или функцией. Если каждому значению независимой переменной соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, в противном случае— многозначной.

Линейная функция, все тригонометрические, показательная и логарифмическая функции являются однозначными.

Неявные функции, определяющие окружность, эллипс и гиперболу, — двузначные, т. е. многозначные.

Приведем еще примеры функций.

Имея электрическую цепь, в которую включены источник постоянного напряжения и сопротивление, мы можем, меняя величину сопротивления, получать различный ток. В этом примере напряжение —постоянная величина, а сопротивление и ток —переменные. Связь между ними устанавливается законом Ома. Зависимость здесь записывается так: .

В предыдущих параграфах мы уже встречались с графиками отдельных функций, но там не было дано общего определения графика функции. Теперь мы имеем возможность дать это определение.

Рассмотрим некоторую функцию. Возьмем любое возможное значение независимого переменного и обозначим его через , а соответствующее ему значение функции — через . Рассмотрим точку, абсцисса которой равна , а ордината , т. е. точку . Если будем менять значение , то будут получаться новые точки. Совокупность всех полученных точек и назовем графиком функции. 

Иначе говоря, графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению независимого переменного, а ординаты — соответствующему значению функции.

Как видно, рассмотренные раньше графики подходят под это определение. На рис. 38 дан график изменения температуры за сутки. Этот график позволяет узнать, какая температура была в определенный момент прошедших суток. Так, например, в 8 часов утра (находим на оси абсцисс точку с координатой 8) температура была 10 градусов по Цельсию (перпендикуляр, восставленный из найденной точки к оси абсцисс, в принятом масштабе имеет длину 10 единиц). Таким образом график, изображенный на рис. 38, устанавливает соответствие между каждым моментом времени и числом, дающим температуру в этот момент.

Замечание. Функцией называется не только зависимое переменное, но и закон или способ, устанавливающий соответствие между зависимым и независимым переменными. Например, если дана функция то можно также сказать, что дана функция

Существует несколько способов задания функций; наиболее часто функции задаются уравнениями, таблицами или графиками. Например, линейная функция задается уравнением; функция, дающая изменение температуры воздуха в течение дня, обычно задается графиком; зависимость угла прицеливания от расстояния дается таблицей.

Подобно тому, как в алгебре для обозначения чисел вводятся буквы, так и для функций в общем виде вводится следующее обозначение. Если —функция, а —независимое переменное, то будем писать

Здесь обозначает набор и порядок математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; нахождение логарифма, нахождение тригонометрических функций и т. д.). В записи около ставят скобки, в которых пишут, над чем надо произвести указанные действия. Запись читают так: есть функция от .

Пример:

Здесь обозначает: 1) возведи в третью степень; 2) прибавь единицу; 3) извлеки квадратный корень.

Пример:

Здесь обозначает: 1) найди значение синуса; 2) умножь на два.

Пример:

Здесь обозначает: 1) возведи в третью степень; 2) возведи во вторую степень; 3) результат, полученный в предыдущем пункте, умножь на 4; 4) числа, полученные в пунктах 1 и 3, сложи; 5) прибавь число пять к полученному ранее.

Пример:

Функция определена так: если , то ; если , то; если, то

Хотя в этом примере не указано, при помощи каких математических действий и операций функция выражается через , тем не менее ее значения можно указать для любого . Например, пусть , в этом случае выполняется неравенство , поэтому . Если , то выполняется неравенство и, следовательно, . Если , то выполнено неравенство , поэтому . Функции такого типа, как только что показанная, встречаются не только в учебниках математики; они часто встречаются в современной физике и технике.

Рассмотрим схему, указанную на рис. 39. Здесь обозначает источник постоянной электродвижущей силы (например, батарея), —выключатель, —амперметр, —сопротивление.

Если выключатель разомкнут, то в цепи тока нет и амперметр показывает 0; если замкнем выключатель, то в цепи появится постоянный ток и амперметр покажет его величину. Стрелка амперметра будет неподвижна все время до выключения выключателя.

Если на горизонтальной оси координат будем откладывать время , а на другой оси величину тока , то график этой функциональной зависимости будет выглядеть так, как указано на рис. 40. На этом рисунке обозначает момент включения тока, a —момент выключения.

Различных функций существует бесконечное множество, поэтому нельзя, да и не нужно, каждой из них давать определенное название. Но, однако, некоторым функциям, встречающимся очень часто, дают названия. Приведем некоторые из них: линейная, квадратичная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции, степенной многочлен (или просто многочлен) вида

Область существования функции

Определение: Совокупность всех значений независимого переменного, для которых установлен закон или правило, позволяющее найти соответствующие значения функции, называется областью существования функции.

Пример:

Область существования функции состоит из всех действительных чисел, кроме нуля, поскольку на нуль делить нельзя.

Пример:

Область существования функции состоит из всех неотрицательных чисел. Отрицательные числа не входят в область существования, так как квадратный корень из отрицательного числа является числом комплексным, а комплексными числами мы не занимаемся.

Пример:

Функция имеет область существования, состоящую из всех положительных чисел, т. е. .

Пример:

. Область существования этой функции—все действительные числа, кроме и . Числа и не входят в область существования, так как при втих значениях знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

Пример:

. Область существования состоит из всех положительных чисел, кроме единицы.

Функция от функции, или сложная функция

Часто при решении целого ряда задач приходится иметь дело с «функцией от функции», которую называют иначе сложной функцией. Поясним на примерах, что под этим понимают.

Пример:

Цель удаляется от орудия, ведущего по ней огонь. Расстояние «орудие—цель» есть функция времени. Наводчик в зависимости от расстояния ставит угол прицеливания. Итак, угол прицеливания является функцией расстояния «орудие—цель». Но так как расстояние «орудие—цель» уже есть функция времени, то и угол прицеливания будет функцией времени. Таким образом, угол прицеливания является сложной функцией, т. е. функцией от функции.

Пример:

Даны функции и . Функцию у можно рассматривать как функцию независимого переменного . Действительно, подставляя вместо и его выражение , получаем

Здесь у есть функция от функции.

Пример:

Рассмотрим функции и . Можно сказать, что есть функция от функции и

Для дальнейшего очень важно уметь представлять сложную функцию в виде цепочки простых функций. Поясним на примерах, что это значит и как это делается.

Пример:

Вычислим значение функции соответствующее значению .

Решение:

Для этого надо: 1) вычислить значение 2) вычислить ; он равен 0.

Для вычисления в этом примере надо было сделать два действия, или, как говорят, две операции. Эти две операции представляют сложную функцию в виде цепочки простых: и . Два последних равенства эквивалентны заданному.

Пример:

. Вычислим значение , соответствующее .

Решение:

Для этого: 1) умножим на 2, получим ; 2) находим ; 3) возводим в куб, получим.

В этом примере для вычисления сделаны три операции, которые позволяют сложную функцию представить в виде цепочки трех функций: .

В общем виде, если имеется сложная функция , ее можно представить в виде цепочки, состоящей из двух функций, а именно: .

Приращение функции

Рассмотрим функцию и дадим независимому переменному определенное значение ; тогда функция примет также определенное значение (рис. 41). Если изменим значение независимого переменного на величину , т. е. дадим ему значение то для этого значения функция примет, вообще говоря, другое значение . Это можно выразить следующими словами: независимому переменному дано приращение , равное . При этом функция получает приращение , которое обычно обозначают через . Таким образом, имеем

Надо отметить, что величина приращения функции зависит как от выбора , так и от выбора приращения т. е. приращение функции зависит от двух величин: и .

Пример №111

Вычислим: 1) приращение функции , если и , и 2) приращение этой же функции, если .

Решение: 1) Если , то ; если , то . Приращение в этом случае равно

2) Если же , то , поэтому

Дополнительные сведения о функции

Определение: Функцией называется закон, по которому каждому значению независимой переменной х, называемой аргументом, ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у, называемой функцией: закон соответствия.

Пример:

Различные функции:

Всё о определении функции

Определение: Областью определения функции (ООФ: называется множество допустимых действительных значений аргумента, при которых функция имеет смысл в области вещественных чисел; множество значений, которые при этом принимает функция, называется ее областью значений ().

Определение: Геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты - значению функции, называется графиком функции.

Определение: Если выполняется равенство то функция называется четной, а при выполнении равенства - нечетной.

Определение: Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида.

Пример:

- четные функции;

- нечетные функции;

- функции общего вида.

Определение: Функция называется периодической, если существует такое вещественное число t, что выполняется равенство , при этом меньшее положительное число T, при котором выполняется указанное равенство, называется периодом функции.

Пример:

Определение: Функция называется возрастающей на интервале который в дальнейшем будем называть сегментом, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (Рис. 82).

Рис. 82. Пример возрастающей на сегменте функции (при выполняется

Определение: Функция называется убывающей на интервале если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (Рис. 83).

Рис. 83. Пример убывающей на сегменте функции (при выполняется

Определение: Возрастающие или убывающие на сегменте функции объединяются под общим названием монотонные функции.

Пример №112

Указать интервалы монотонности функции на сегменте

Решение:

Из рисунка видно, что

Определение: Если на сегменте функция не меняет своего значения, то она называется постоянной (Рис. 84).

Рис. 84. Постоянная функция.

Другие определения теории функций действительной переменной будут вводиться ниже по мере необходимости.

Простейшие функциональные зависимости

Прямая пропорциональная зависимость

Определение: Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении другая изменяется в том же отношении.

Примерами прямо пропорциональных величин служат: длина окружности и ее радиус; путь, пройденный при равномерном движении, и протекшее время; линейное растяжение упругого стержня и нагрузка, и многие другие.

Пусть х и у — прямо пропорциональные величины, и пусть при х = 1 величина у принимает значение, равное k. В силу определения имеем ; отсюда

где постоянная величина k носит название коэффициента пропорциональности, Функция (1) называется однородной линейной функцией; ее графиком является прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом k (рис. 50).

Линейная зависимость

Определение: Две переменные величины х и у связаны линейной зависимостью, если

где k и у0 — некоторые постоянные величины.

Функция (2) называется линейной; ее график есть прямая (рис. 51) с начальным отрезком у0 и угловым коэффициентом k.

Примерами величин, находящихся в линейной зависимости, являются: расстояние прямолинейно равномерно движущейся точки от начала отсчета и время; длина стержня и температура его, и т. д.

Обратная пропорциональная зависимость

Определение: Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении другая изменяется в обратном отношении.

Примерами обратно пропорциональных величин служат: скорость равномерного движения и время, за которое преодолевается данное расстояние; объем, занимаемый газом (при постоянной температуре), и давление; сила тока (при постоянной электродвижущей силе) и сопротивление цепи и т. п.

Пусть х и у — обратно пропорциональные величины, и положим, что когда х = 1, то у = k. Согласно определению, отсюда

График этой функции при k > О представляет собой равностороннюю гиперболу (всю или часть ее) (рис. 52). При k < О мы получаем гиперболу, расположенную во II и IV квадрантах.

Квадратичная зависимость

Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид

где k — некоторая постоянная величина. График функции (3) есть парабола (вся или часть) (рис.53), причем при k > О парабола расположена выше оси Ох, а при k < О — ниже оси Ох.

Примерами величин, между которыми имеется квадратичная зависимость, служат: площадь круга и радиус круга; путь, пройденный телом при свободном падении его, и время, и т. п.

Синусоидальная зависимость

При изучении периодических процессов важную роль играет синусоидальная зависимость

Функция (4) называется гармоникой; соответствующие постоянные (параметры) носят названия: А — амплитуда, — частота, Ф — начальная фаза. Функция у — периодическая с периодом

т. е. значения функции у = у(х) в точках х и х + Т, отличающихся на период, одинаковы. Действительно, имеем

Гармонику (4) можно привести к виду

где . Отсюда получаем, что графиком гармоники является деформированная синусоида с амплитудой А и периодом T, сдвинутая вдоль оси Ох на величину х₀ (рис. 54).

Примерами синусоидальной зависимости могут служить: отклонения частиц воздуха от положения равновесия при распространении в нем звуковой волны постоянной частоты и время; сила однофазного синусоидального тока и время, и т. п.

Понятие функции от нескольких переменных

Понятие функции одной независимой переменной естественно распространяется на случай нескольких переменных.

Определение: Переменная величина называется функцией (iоднозначной) от нескольких переменных, например величина и — функцией от двух переменных х и у9 если каждой рассматриваемой совокупности значений величин х и у (допустимые значения) соответствует одно определенное значение величины и.

Здесь переменные х и у называются независимыми переменными или аргументами; совокупность рассматриваемых значений их называется областью определения или областью существования функции и. Область существования функции двух переменных х и у, вообще говоря, представляет собой некоторое множество точек плоскости Оху.

Тот факт, что и есть функция от х и у, обычно коротко записывается так:

где f называется характеристикой функции. Конечно, вместо буквы f можно употреблять любую другую букву.

Пример:

Площадь S прямоугольника, стороны которого равны х и у выражается формулой

Очевидно, S есть функция двух аргументов х к у, определенная в области х > 0, у > 0.

Пример:

Уравнение состояния газа имеет вид Vp = RT, где V — объем, занимаемый данной массой газа, р — давление, под которым находится газ, Т — термодинамическая температура, R —некоторая постоянная. Разрешая это уравнение относительно V, получим

Мы видим, что объем К есть функция от двух переменных: давления р и абсолютной температуры Т, причем эта функция определена в области р > 0, Т> 0.

Функцию и от трех переменных х, у и г в общем виде можно обозначить так:

Пример:

Объем V = и полная поверхность прямоугольного параллелепипеда с линейными измерениями д:, у и z являются функциями трех аргументов х, у, г, определенными в области .

Понятие неявной функции

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной. Например, функция — явная.

Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением

не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у (у > 0), определяемая уравнением , является неявной.

Чтобы выразить функцию у, определяемую уравнением (1), в явном виде, достаточно это уравнение разрешить относительно у. Так как для данного значения аргумента х уравнение (1) может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней у, то в общем случае неявная функция является многозначной.

Совокупность значений аргумента х, для каждого из которых уравнение (1) имеет хотя бы один действительный корень у, представляет собой область существования соответствующей неявной функции. Следует отметить, что не всякое уравнение (1) определяет неявную функцию. Например, уравнение

,

очевидно, не определяет никакой функции (в действительной области!).

Пример:

Пусть х и у связаны уравнением . Здесь у является неявной функцией от аргумента х. Разрешая это уравнение относительно у, получим. Эта последняя формула дает нам у как явную функцию от х. ,

Иногда разрешение уравнения (1) относительно у затруднительно. Например, уравнение Кеплера

элементарными средствами не может быть разрешено относительно у. В таком случае функцию у приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим эту функцию.

Понятие обратной функции

Пусть у есть функция от аргумента х:

Задавая значения х, будем получать соответствующие значения у. Можно, однако, считая у аргументом, ах— функцией, задавать значения у и вычислять соответствующие значения х. В таком случае уравнение (1) будет определять х как неявную функцию от у. Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции у.

Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно х9 получим явное выражение обратной функции

где функция для всех допустимых значений у удовлетворяет условию

Пример:

В формуле объема шара

радиус R является аргументом, а объем V — функцией. Разрешив уравнение (4) относительно R, получим функцию, обратную данной:

Иногда придерживаются стандартных обозначений: под х понимают независимую переменную, а под у — функцию, т. е. зависимую переменную. В таком случае обратную функцию следует писать в виде

Например, можно говорить, что функции являются взаимно обратными.

Обратная функция однозначной функция может быть многозначной (рис. 58), т.е. данному значению у может соответствовать несколько значений х₁ х₂, х₃, ... обратной функции х — ф(г/) (рис. 58). В некоторых случаях удается сделать обратную функцию однозначной, вводя дополнительные ограничения на ее возможные значения.

Пример:

Двузначная функция является обратной по отношению к функции у = х². Если условимся для корня брать лишь арифметическое значение его, то обратная функция будет однозначной.

Очевидно, что функция, обратная к функции (2), есть функция (1). Поэтому функции с характеристиками / и ф, связанными соотношением (3), являются взаимно обратными. Одна из них называется прямой функцией, а другая — обратной.

Заметим, что одна и та же кривая

представляет собой график данной функции и график обратной ей функции, смотря по тому, на какой из осей, Ох или Оу, откладываются значения аргумента.

Если условиться обозначать независимую переменную через xf а зависимую — через у, то, чтобы из графика данной функции у = f(x) получить график обратной ей функции , очевидно, достаточно первый график зеркально отобразить относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 59).

Классификация функций одного аргумента

В зависимости от характера тех действий, которые надо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции, устанавливается следующая классификация функций.

1)Если над значением аргумента х и некоторыми постоянными выполняются действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую и положительную степень (и притом конечное число раз), то получается целая рациональная функция, или многочлен. Общий вид такой функции следующий:

где — целое положительное или равное нулю число, а коэффициенты — постоянные числа.

2) Функция, представимая в виде частного от деления двух целых рациональных функций:

называется дробной рациональной функцией.

Совокупность целых рациональных и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.

3)Если над аргументом х кроме выше перечисленных первых пяти алгебраических действий производится еще извлечение корня конечное число раз и результат не является рациональной функцией, то получается иррациональная функция. Например,

Здесь под корнем обычно подразумевается его арифметическое значение.

Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций.

4)В более общем случае алгебраической функцией называется многозначная неявная функция у, определяемая уравнением

где п — целое положительное число, а коэффициенты р0(х), — целые рациональные функции от х и сверх того коэффициентр0 (х) не равен тождественно нулю1). Например, корень уравнения есть алгебраическая функция. Заметим, что эта функция не является явной алгебраической функцией, так как алгебраическое уравнение пятой степени и выше, вообще говоря, неразрешимо в радикалах.

5)Всякая неалгебраическая функция называется функцией трансцендентной.

Простейшими трансцендентными функциями (так называемыми элементарными трансцендентными функциями) являются:

• а) показательная функция а^х, где а — положительное число, не равное единице;
• 6) логарифмическая функция ;
• в) тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx;
• г) обратные тригонометрические функции: Arcsin x, Arccos x, Arctg x, Arcctg x, Arcsec x, Arccosec x.

Функции алгебраические, элементарные трансцендентные и их конечные комбинации носят название элементарных функций. Это тот основной запас функций, с которым мы будем иметь дело на протяжении всего курса.

Заметим, что в нашем курсе мы, как правило, будем использовать лишь однозначные элементарные функции, накладывая, если это нужно, на рассматриваемые многозначные функции дополнительные ограничения.

Графики основных элементарных функций

Приведем графики некоторых основных элементарных функций.

Степенная функция

где — целое число.

Функция определена при , если , и при , если .

Если , то графики функций (1) представляют собой параболы соответственно нулевого, первого, второго и т. д. порядков (рис. 60).

Если , то графики функций (1) представляют собой гиперболы различных порядков (рис. 61).

Радикал

где — натуральное число.

Область определения функции: при четном и при нечетном.

Так как , то (2) является обратной функцией по отношению к степенной функции (1). Поэтому графики радикала при различных показателях п есть параболы или части их (рис. 62).

Показательная функция

где а — постоянное число, причем .

Эта функция определена при всех значениях х. Функция имеет положительные значения и монотонно возрастает от 0 до при а > 1 и монотонно убывает от до 0 при 0 < а < 1 (рис. 63).

Логарифмическая функция

Область определения: .

Так как из формулы (3) имеем

то логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции. Цоэтому график логарифмической функции получается из графика показательной с помощью зеркального отображения последнего относительно биссектрис I и III координатных углов (рис. 64).

Тригонометрические функции

В высшей математике аргументом тригонометрической функции является число, которое можно рассматривать как меру соответствующего угла, выраженного в радианах.

Ограничимся обзором наиболее важных тригонометрических функций:

у = sin х

определена для всех значений х. Функция sin х — ограниченная и периодическая, с периодом (т. е. значения функции повторяются при изменении аргумента на ); графиком ее служит синусоида (рис. 65).

у = cos х

обладает сходными свойствами с функцией sin х. График ее — косинусоида, представляющая собой синусоиду, сдвинутую влево на (рис. 65). Действительно, .

y = tgx

определена при ; имеет период п. График функции — тангенсоида (рис. 66).

у = ctg х

определена при ; имеет период я. График функции — котпангенсоида, геометрически тождественная с тангенсоидой (рис. 66).

Обратные тригонометрические функции

у = arcsin х, (4)

т. е. у есть дуга, взятая в пределах

синус которой равен х:

sin у = х (6)

(главное значение). Функция (4) однозначно определена на отрезке [-1, 1]; графиком ее служит часть синусоиды (дуга АВ на рис. 67).

Если обратить равенство (6), не накладывая условия (5), т. е. найти все значения уу синус которых равен х, то получим многозначную функцию

графиком которой служит синусоида, идущая вдоль оси Оу. Из свойств дуг, имеющих одинаковый синус, вытекает формула

т. е. у есть дуга, взятая в пределах

косинус которой равен х:

(главное значение). Функция (7) однозначно определена

на отрезке [-1, 1]; график ее — часть косинусоиды (дуга АВ на рис. 68).

Решая уравнение (9) относительно г/, в общем случае получим многозначную функцию

у = Arccos х,

график которой есть косинусоида, идущая вдоль оси Оу. При этом справедлива формула

т.е. у есть дуга, взятая в пределах

тангенс которой равен х:

(главное значение). Функция (10) определена в промежутке однозначно; график ее — дуга тангенсоиды (рис. 69).

Решая уравнение (12) относительно у, в общем случае будем иметь многозначную функцию

график которой состоит из бесконечного числа смещенных тангенсоид (10). Справедлива формула

т. е. у есть дуга, взятая в пределах

котангенс которой равен х:

Функция (13) однозначно определена в промежутке ; ее графиком служит дуга котангенсоиды (рис.70).

Если в уравнении (15) для каждого х определять все значения у, котангенс которых равен х, то получим многозначную функцию

график которой состоит из бесконечного числа смещенных ко-тангенсоид (13). Имеем

Рассмотренные графики основных элементарных функций следует помнить. Пользуясь ими, можно легко строить большое количество графиков элементарных функций, представляя последние как преобразованные основные элементарные функции.

Пусть график функции

известен (рис. 71).

Рассмотрим важнейшие преобразования этого графика. 1) График

представляет собой исходный график (17), сдвинутый в направлении оси Ох на величину, равную а (рис. 71).

2) График

получается из графика (17) в результате переноса последнего в направлении оси Оу на величину, равную Ъ (рис. 71).

3) График

получается из графика функции f(x) при 0 < с < 1 с помощью сжатия в 1 /с раз ординат последнего, а при 1 < с < с помощью растяжения в с раз ординат его с сохранением соответствующих абсцисс (рис. 72).

Если , то график (18) является зеркальным отображением графика относительно оси Ох (рис. 72).

4)График

получается из графика функции у = f{x) при увеличением в раз абсцисс его точек, а при уменьшением в k раз абсцисс его точек, с сохранением их ординат (рис. 73).

Если , то график (19) представляет собой зеркальное отображение графика у = f(-kx) относительно оси Оу (рис. 73).

Приведенные правила геометрически очевидны, и доказательство их предоставляем читателю.

Комбинируя преобразования 1)—4), получаем возможность, исходя из графиков простых функций, строить графики относительно сложных функций.

Пример №113

Построить график функции у = 3 sin 2х.

Решение:

На основании правил преобразования 3) и 4) этот график представляет собой синусоиду у = sinх, абсциссы точек которой уменьшены в два раза, а ординаты увеличены в три раза (по абсолютной величине, с сохранением знака; рис. 74).

При построении графика функции важно учитывать симметрию графика и периодичность.

Определение: Функция fix) называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т. е. если

Например, четными функциями являются , cos х и т. п.

График четной функции у =f(x), очевидно, симметричен относительно ос и Оу (рис. 75). Поэтому для четной функции достаточно строить лишь правую половину графика (х > 0); левая половина его (х < 0) является зеркальным отображением правой относительно оси ординат.

Определение: Функция f (х) называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный у а числовое значение ее сохраняется, т. е. если

Например, нечетными функциями являются х, хг, sin х, tg х, arcsin х, arctg x и т. п.

График нечетной функции у = f(x), очевидно, симметричен относительно начала координат (рис. 76). Потому, чтобы построить график нечетной функции, достаточно изобразить правую половину его (х > 0); левая половина графика (* < 0) получается в результате поворота правой на 180°.

Определение: Функция f(x) называется периодической, если существует положительное число Т такое, что

Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции (рис. 77). С периодическими функциями мы встречались уже ранее; например, периодическими являются функции sin х (период ), cosх (период ), tg х (период ), ctg х (период ) и т. д.

Для построения графика периодической функции достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду (основная область), а затем построить периодическое продолжение графика, приписав одинаковые значения ординат точкам, абсциссы которых отличаются на число, кратное периоду.

Интерполирование функций

Рассмотрим функцию у = f(x), заданную двумя первыми столбцами таблицы:

Мы будем предполагать, что табличные значения аргумента х — равноотстоящие; иными словами, разность

есть величина постоянная ( — символ разности). Величина h называется шагом таблицы. Для изучения закономерности поведения функции у пополним нашу таблицу разностями А у первого порядка (первые разности):

Если функция у = у₀ + kx — линейная, то ее разность есть величина постоянная.

Аналогично можно составить разности второго порядка Овторые разности):

и т. д.

Если функция у линейная, то ее вторые разности , равны нулю. Для квадратичной функции ее вторые разности постоянны (проверить!).

Под интерполированием понимается приближенное нахождение функции у для нетабличных промежуточных значений аргумента х.

Пусть шаг таблицы h мал и разности почти постояцны. Положим, что х0 есть ближайшее наименьшее табличное значение для данного нетабличного значения х, т. е. х0 < х < хг. На промежутке (х₀, х₁) функцию у приближенно можно считать линейной У такой, что Y(x₀) = у₀ и Y(x₁) = у_2. Геометрически это значит, что мы дугу кривой заменяем соответствующей хордой (рис. 78). Так как угловой коэффициент хорды равен

Вводя величину

(«расстояние между точками х и х₀, измеренное в шагах»), приближенную формулу (4) можно записать в следующем виде:

С помощью формулы (6) можно также производить обратное интерполирование, т. е. по значению функции у находить соответствующее значение аргумента х. Действительно, имеем

Отсюда на основании (5) получаем

Пример №114

Функция у = у(х) задана следующей таблицей:

Применяя линейное интерполирование, найти у (1,005). Чему равен х, если у (х) = 1,5?

Решение:

Здесь шаг h = 0,02. Полагая х₀ - 1, имеем . Отсюда по формуле (6) находим

Для обратного интерполирования полагаем х₀ = 1,02 и У₀ = 1,44. Отсюда . По формулам (7) и (8) находим

Заметим, что для х € (х₀, х₁) получается аналогичная формула линейного интерполирования, если вместо ближайшего наименьшего табличного значения х₀ воспользоваться его ближайшим наибольшим табличным значением х₁, что иногда более выгодно. А именно, имеем

Для получения более точных результатов иногда прибегают к квадратичному интерполированию, заменяя на промежутке (х₀, х₂) Функцию у квадратным трехчленом таким, что

где х₀ — по-прежнему ближайшее наименьшее табличное значение для данного нетабличного значения х. Геометрически это означает (рис. 79), что мы дугу графика функции у = у(х) приближенно заменяем параболой с вертикальной осью, проходящей через точки М₀, М₁, М₂.

Функцию запишем в следующем искусственном виде:

Полагая , в силу (9) получаем ; отсюда

Аналогично, при х =х₁ будем иметь ; отсюда, используя (11) и учитывая, что находим

Наконец, при имеем

Отсюда так как , то, принимая во внимание (11) и (12), получаем

Таким образом, окончательно имеем

(формула квадратичного интерполирования). Полагая

получим более удобную формулу квадратичного интерполирования:

Пример:

Функция у = у(х) задана двумя первыми столбцами следующей таблицы:

Применяя формулу квадратичного интерполирования, найти у (0,27). В качестве начального значения выбираем х0 =0,25 (необходимые элементы таблицы подчеркнуты!). Шаг таблицы h = 0,05.

Находим разности (в таблице для краткости десятичные разряды опускаются). Имеем

Отсюда по формуле (17) получаем

Функция в математическом анализе

Определение: Если дано правило, по которому каждому элементу х множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества то говорят, что на множестве X задана функция

Символическая запись функции

Символическая запись:
Переменная х называется независимой переменной или аргументом, у - зависимой переменной, а буква f- обозначает закон соответствия.

Зависимость переменных х и у называется функциональной зависимостью.

Пример №115

Дана функция

Найти:

Решение:

Пример №116

Дана функция

Вычислить

Решение:

    

Дополнительное определения функции для математического анализа:

Определение 1.8. Пусть X и Y — некоторые непустые множества. Будем говорить, что задана функция, определенная на X со значениями в Y (иными словами: действующая из X в Y ), если по некоторому закону (правилу) каждому элементу x ∈ X ставится в соответствие единственный элемент y ∈ Y , обозначаемый через f (x).

Для записи функции, действующей из X в Y по правилу, приняты следующие обозначения: : X -→ Y, X Y, : ∀ x ∈ X -→ (x) ∈ Y. Если из контекста ясно, откуда и куда действует функция, то используются короткие обозначения: x → (x), y =  (x), (x) или .

В зависимости от природы множеств X и Y термин "функция" в разных разделах математики имеет ряд синонимов: отображение, преобразование, оператор, функционал.

Если задана функция : X → Y , то множество X называют множеством или областью определения функции; символ x — аргументом функции или независимой переменной; соответствующий x0 ∈ X элемент y₀ ∈ Y называют значением функции на элементе x₀ и обозначают через (x₀). При изменении аргумента значение y =  (x) ∈ Y, вообще говоря, меняется. Поэтому величину у называют зависимой переменной.

Как отмечено выше, символ (x) используется для обозначения самой функции, и значения функции в точке x. Однако это не приводит к недоразумению, поскольку в каждом случае ясно, о чем идет речь. Кроме того, при вычислениях обозначение функции в виде (x) удобнее, чем другие.

Множество всех значений функции : X → Y , которые она принимает на элементах x из X , называют множеством значений или областью значений функции на множестве X и обозначают через (X) или E (). Таким образом, (X) = {y ∈ Y| ∃ x ∈ X : y= (x)}.

В случае отображения : X → Y, элемент y = (x) из Y, соответствующий элементу x ∈ X, называют образом элемента x , а сам элемент x — прообразом элемента y, множество (X) — образом множества X, а X — прообразом множества (X). Заметим, что элемент y из (X) может иметь более одного прообраза.

Определение 1.9. Две функции : X₁ → Y₁ и φ : X₂ → Y₂ называют равными (совпадающими), если X₁ = X₂ и на каждом элементе x ∈ X₁ они принимают равные значения, то есть (x) = φ(x), ∀x ∈ X₁, при этом пишут: = φ.

Определение 1.10. Пусть X , : X → Y. Графиком Γ функции называют подмножество декартового произведения X × Y, элементы которого имеют вид (x, f (x)), x ∈ X, то есть

Γ = {(x, (x)) ∈ X × Y | x ∈ X} = {(x, y) ∈ X × Y | x ∈ X, y = (x) }.

Понятие функции в математическом анализе

Пусть и - некоторые числовые множества.

Определение 1.1. Функцией называется множество упорядоченных пар чисел таких, что и каждое входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое  входит по крайней мере в одну пару. При этом говорят, что числу поставлено в соответствие число и пишут Число называется значением функции в точке Переменную называют зависимой переменной, а переменную - независимой переменной (или аргументом); множество - областью определения (или существования) функции а множество  - множеством значений функции

Кроме буквы для обозначения функции используют и другие буквы, например: и т. д. Другими буквами могут обозначаться зависимая и независимая переменные. Иногда зависимую переменную также называют функцией.

На плоскости функция изображается в виде графика - множества точек координаты которых связаны соотношением называемым уравнением графика.

График функции может представлять собой некоторую «сплошную» линию (кривую или прямую), может состоять из отдельных точек, например график функции

Заметим, что не всякая линия является графиком какой-либо функции. Например, окружность не является графиком функции, так как каждое значение входит не в одну, а в две пары чисел  этого множества с разными значениями  и  что противоречит требованию однозначности в определении функции. Однако часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости, является графиком функции , а другая ее часть, лежащая в верхней полуплоскости, - графиком функции 

Функция и её предел в математическом анализе

Математический анализ - раздел математики, в котором изучаются функции. В экономическом анализе часто исследуют, например, зависимости спроса и предложения от цены (функции спроса и предложения), зависимость издержек производства от объема продукции (функцию издержек) и др. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент обозначаемый y=f(x). При этом элементы называются независимыми переменными (или аргументами), а элементы называются зависимыми переменными (или значениями функции). Множество X называют областью определения функции, а множество У - областью значений функции. Функция называется сложной (или композицией функций, или функцией от функций), если ее аргумент в свою очередь является функцией другой переменной: y=f[g(x)].

В школьном курсе изучались следующие функции: постоянная у=с (c=Const), степенная (n=Const), показательная логарифмическая тригонометрические y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx и обратные тригонометрические y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Все эти функции называются основными элементарными функциями. Функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложных функций над основными элементарными функциями называются элементарными. Это класс функций, с которыми мы будем работать на протяжении всего курса.

Одним из основных понятий математического анализа является предел. Примерами применения понятия предела могут служить окружность как предел вписанных и описанных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон или касательная как предельное положение секущей при сближении точек пересечения. Говорят, что функция y=f(x) имеет предел А при х стремящемся к если значения функции f(x) сколь угодно близко приближаются к числу А, когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу

Используя логические символы: (Any) - «для любого», (Exist) - «существует», символ равносильности - «тогда и только тогда, когда», символ следствия - «следует, что», и символ : - «такое, что», определение предела можно записать в виде:

Внимание! Определение предела не требует существования функции в самой предельной точке т.к. рассматривает значения в некоторой окрестности точки

Если функция f(x) определена в некоторой точке и в некоторой ее окрестности существует предел функции при равный значению функции в этой точке:

то функция f(x) называется непрерывной в точке Говорят, что функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Следовательно, в случае непрерывных функций очень просто находятся пределы в любой точке области определения: для этого достаточно вычислить значение функции в данной точке.

Утверждение 1. Любая элементарная функция непрерывна в области определения.

Утверждение 2. Под знаком непрерывной функции можно переходить к

пределу:

Пример №117

Вычислить предел

Решение:

Данная функция элементарная, т.к. получена из основных элементарных функций (постоянной и степенной) с помощью конечного числа арифметических действий. Поскольку х=-1 принадлежит области определения функции, то ее предел в точке х=-1 равен значению функции в этой точке, т.е.

Заметим, что не всякий производственный процесс непрерывен во времени. Аргумент функции может изменяться лишь в отдельные моменты. Так, приняв за область определения функции множество натуральных чисел получим функцию натурального аргумента, которую называют числовой последовательностью. Число называют общим членом числовой последовательности. Например, арифметическая или геометрическая прогрессии -числовые последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности если для любой окрестности точки А все члены последовательности, начиная с некоторого номера N, принадлежат этой окрестности. Обозначение:

(Символ означает «бесконечно большую величину».)

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции на бесконечности, которое на языке логических символов имеет вид:

Замечание. Переменная х может неограниченно стремиться либо в сторону отрицательных значений: либо в сторону положительных значений: Символ является объединением двух символов: Очевидно, что

В общем случае если при стремлении к переменная х принимает лишь значения, меньшие , и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции слева:

И наоборот, если при стремлении х к переменная х принимает лишь значения, большие , и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции справа:

(При на практике вместо 0-0 пишут -0, а вместо 0+0 - +0.)

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции в данной точке. Следовательно,

В следующем параграфе мы познакомимся с основными правилами вычисления пределов при

Основные теоремы о пределах

Внимание! Если предел существует, то он единственный.

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной:

Теорема 2.Пусть и Тогда:

1. предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций:
2. предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
3. в частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:
4. предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю:

Пример №118

Вычислить предел

Решение:

Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы и произведения, получим

Пример №119

Вычислить предел последовательности

Решение:

Теорему о пределе суммы конечного числа функций здесь применить нельзя. Заметим, что является суммой n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом Следовательно,

Тогда по теоремам о пределах функций имеем:

Рассмотрим соотношения пределов суммы, произведения, частного, распространенные на случай бесконечного предела функции.

Если вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида необходимо провести дополнительные исследования, т.е. «раскрыть неопределенность».

Область определения и область значения функции

Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у в силу правила f(х), называется областью определения функции (ООФ) (или областью существования функции). Обозначаются

Множество значений, принимаемых у, называется областью значения функции. Обозначаются

Замечание. Если одному значению х соответствует несколько значений у, то такая функция называется многозначной.

Примеры:

Найти области определения и изменения функции 

7)    функция задана формулой которая имеет смысл только при Область определения есть множество всех чисел от 2 до 7 (включая границы).
 

Способы задания функции в математическом анализе

Функция считается данной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее значение функции.

Наиболее употребительны три способа задания функции.

Табличный способ (таблицы логарифмов, квадратных корней и т.д.) - сразу дает числовое значение функции.

Например, зависимость температуры кипения воды в зависимости от атмосферного давления.

Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значение аргумента, а ординаты - соответствующие значения функции. Для удобства изображения масштабы на осях берутся разными.

Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами т.е. абсциссы которых есть значения аргумента, взятые из области существования функции, а ординаты, соответствующие этим значениям аргумента, - значения функции.

Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами.

Функциональная зависимость может быть задана в явном виде - разрешенном относительно у. Например, у = 5х.

Функция, заданная в виде называется сложной функцией х.

Сложную функцию часто записывают в виде При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

Например,

В первой функции промежуточным аргументом является (х —2).

Во второй функции существует иерархия промежуточных аргументов. Первым промежуточным аргументом является 2х, вторым - (2x+5), третьим - lg(2x + 5). Обозначив третий аргумент получаем простую функцию одного аргумента заданную в явном виде.

Функция, заданная в виде уравнения F(x,y) = 0, не разрешенном относительно у, называется неявной функцией х. Например, и  Если первую функцию можно преобразовать и привести к явной форме, то вторая функция остается неявно заданной после любых преобразований.

Напомню:

Задать функцию  - значит указать, как по каждому значению аргумента находить соответствующее ему значение функции  Существуют три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

Пример:

Формула  задает функцию, область определения которой - числовая прямая а множество значений - полупрямая

Пример:

Формула  задает функцию, область определения которой - отрезок множество значений -отрезок

Пример:

Функция  задана с помощью нескольких формул. Она определена на всей числовой прямой а множество ее значений состоит из трех чисел

Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента.

Например, известны таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений. Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет местоположение поезда в отдельные моменты времени.

Графический способ предполагает задание соответствия между и  посредством графика функции. Во многих случаях такие графики, особенно в практике физических измерений, чертят с помощью автоматических приборов. Например, для измерения давления атмосферы на различных высотах используют специальный самопишущий прибор - барограф.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - неточность.

Основные свойства функций в математическом анализе

Четность и нечетность функции

Если знак аргумента изменить, то возможны три случая.

а)    Значение функции не меняет знак - такая функция называется четной, т.е., для четной функции f(x) = f(-x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Например, функция  является четной функцией.

б)    Значение функции меняет знак - такая функция называется нечетной, т.е., для нечетной функции f(-х) = - f(х). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример:

Нечетной функцией является функция

в)    Если функция не является ни четной, ни нечетной, то такая функция называется общего вида или аморфной.

Пример:

 -  функции общего вида.

Пример:

 Установить четность или нечетность функций

Решение. Заменим х на (-х), получим

т.е. Следовательно, данная функция является нечетной.

Монотонность

Функция f(х) называется возрастающей (убывающей) на множестве если для любых значений аргумента из М выполняется условие

Например,  - возрастающая функция, а у = ctgx - пример убывающей функции.

Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает, называется интервалом возрастания функции, а интервал, в котором функция убывает, называется интервалом убывания. Интервал возрастания и интервал убывания называют интервалами монотонности функции, а функцию в этом интервале - монотонной функцией.

Если на отдельных участках области определения функции, она является только возрастающей или убывающей, то говорят о монотонности функции на промежутке.

Ограниченность

Функция f(х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М>0, что для любого В противном случае функция называется неограниченной.

Например функция y=sin(x) ограничена на всей числовой оси, т.к.  для любого

Периодичность функции

Функцию f(х) называют периодической, если существует такое число что для любых выполняются равенства

Основным периодом функции называют наименьшее положительное число обладающее указанным свойством.

Пример:

Найти основные периоды функции

Решение:

Так как основной период функции cosx есть то основной

период функции
 

Нули функции

Значения аргумента, при которых величина функции приобретает значение равное нулю, называется нулем функции. Например, значение функции обращается в ноль. Значит, нулями данной функции являются точки х = -3 и х = 0. График функции пересекает ось абсцисс в нулях функции.

Наибольшее (наименьшее) значение функции

Значение функции, большее (или меньшее) других ее значений в некотором интервале, называется наибольшим (или соответственно наименьшим) значением функции в этом интервале.

Элементарные функции и их графики в математическом анализе

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида где справа стоящее выражение составлено из
основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и взятия функции от функции (т.е. сложная функция).

Например, функция (функция - не является элементарной, так как количество операций не является ограниченным).

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

К числу трансцендентных функций относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические функции.

Основными элементарными функциями называют следующие: степенную функцию  показательную функцию  логарифмическую функцию   тригонометрические функции  обратные тригонометрические функции  

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции взятия функции от функции называется элементарной функцией.

Пример:

Элементарными функциями являются:

Остановимся подробнее на графиках элементарных функций.

1. Степенная функция 

Рассмотрим частные случаи: (рис. 1.1),  (рис. 1.2),  (рис. 1.3), (рис. 1.4), (рис. 1.5),  (рис. 1.6),  (рис. 1.7).

2. Показательная функция (рис. 1.8, рис. 1.9)

3. Логарифмическая функция  (рис. 1.10, рис. 1.11)

4. Тригонометрические функции  (рис. 1.12), (рис. 1.13), (рис. 1.14), (рис. 1.15).

5. Обратные тригонометрические функции (рис. 1.16),  (рис. 1.17), (рис. 1.18),  (рис. 1.19).

Отдельно обратим внимание на определение и графики гиперболических функций: синус гиперболический  (рис. 1.20),  косинус гиперболический (рис. 1.21)  тангенс гиперболический (рис. 1.22)  котангенс гиперболический (рис. 1.23)  

Классификация функций в математическом анализе

Степенная функция где n - действительное число.

( рисунки 1.1, 1.2)

ООФ: - при n - нечётном;

ООФ:  - при n - чётном.

Функция возрастает на всей области определения при n - нечётном возрастает на промежутке - при n - чётном.

Функция непериодическая; чётная при n - чётном; нечётная при n -нечётном.

Показательная функция (рисунок 1.3)

ООФ: 

ОЗФ:

Функция общего вида.

Возрастает на Убывает на При любом основании кривая проходит через точку (0,1).

Логарифмическая функция где основание логарифмов (рисунок 1.4)

ООФ:

ОЗФ:

Функция общего вида.

Возрастает от на промежутке при а> 1.

Убывает от на промежутке на при 0<а<1.

При любом основании а кривая проходит через точку

Тригонометрические функции

y = sinx (рисунок 1.5)

ООФ:

ОЗФ: 

Нечётная.
Возрастает на 

Убывает на 
Периодическая, положительный период

y = cosx (рисунок 1.6)

ООФ:

ОЗФ:

Чётная.

Возрастает на

Убывает на

Периодическая, наименьший положительный период

у = tgx (рисунок 1.7)

ООФ: 
ОЗФ:

Нечётная.

Возрастает на

Периодическая, наименьший положительный период

у = ctgx (рисунок 1.8)

ООФ

ОЗФ:

Нечётная. Убывает на

Периодическая, наименьший положительный период

Обратные тригонометрические функции

у = arcsinx ( рисунок 1.9), у - есть дуга, взятая в пределах

синус которой равен х:

sin у = х (главное значение).

ООФ: ОЗФ:
Нечётная. Непериодическая.

Возрастает при

у = arcsinx- многозначная функция, графиком которой является синусоида, идущая вдоль оси Оу.

у = arccos х (рисунок 1.10),

т.е. у - есть дуга, взятая в пределах  косинус которой равен х:

cos y = х(главное значение).

ООФ: ОЗФ:

Функция общего вида.

Непериодическая.

Возрастает при
у = arccos х- многозначная функция, графиком которой является косинусоида, идущая вдоль оси Оу.

у = arctgx ( рисунок 1.11), т.е. у есть дуга, взятая в пределах , тангенс которой равен х:  (главное значение).

ООФ: ОЗФ: 

Нечётная. Непериодическая.

Возрастает при

у = Arctgx-многозначная функция, графиком которой является бесконечное количество смещённых относительно оси Оу тангенсоид.

у = arcctg х ( рисунок 1 т.е. у есть дуга, взятая в пределах котангенс которой равен х: (главное значение).

ООФ: ОЗФ:

Функция общего вида.

Непериодическая.

Убывает при
у = arcctg х- многозначная функция, графиком которой является бесконечное количество смещённых относительно оси Оу котангенсоид.

Алгебраические функции

Целая рациональная функция или многочлен

где - постоянные числа, именуемые коэффициентами, n - целое неотрицательное число, именуемое степенью многочлена.

Дробная рациональная функция

Иррациональная функция

Если в правой части у = f(х) есть операции возведения в степень с рациональными нецелыми показателями, то такая функция называется иррациональной.

Преобразование графиков функций в математическом анализе

При построении графиков функций применяются следующие приемы:

• -    построение «по точкам»;
• -    действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков);
• -    преобразование графиков (сдвиг и растяжение).

Для построения графиков функций используется несколько способов, одним из которых является преобразование графика простой подходящей элементарной функции у = f(x) до его совпадения с графиком данной функции.

Основными преобразованиями являются:

1. Горизонтальный сдвиг  (сдвиг графика первоначальной функции вдоль оси Ох). График функции y=f(x) сдвигается на  единиц влево (если а > 0) или вправо (если а < 0).
2. Вертикальный сдвиг (сдвиг функции вдоль оси Оу на величину b). График функции у = f(х)сдвигается на b единиц вверх (если b>0) или вниз (если b<0).
3. Комбинированный сдвиг (сдвиг функции и аргумента). График функции y = f(x) сдвигается влево или вправо (в зависимости от знака ), а также вверх или вниз (в зависимости от знака b).
4. - исходный график, растянутый в А раз вдоль оси Оу.
5. - исходный график, растянутый в  раз вдоль оси Ох. Таким образом, по графику функции у = f(x) можно построить график 

Пример №120

Построить график функции

Решение:

График данной функции построим следующим образом:

1.    Строим график у = cosx.

2.    Путем сжатия графика y = cosx в два раза вдоль оси Ох получим график функции у = cos2x.

3.    Зеркально отразим график y = cos2x от оси Ох и получим график у = -cos2x.

4.    Растягивая график y = -cos2x вдоль оси Оу, получим искомый y = -3cos2x (рисунок 1.13).

Условные обозначения

Простейшая классификация функций

Определение 1.11. Функция : X → Y называется сюръективной (или отображающей X на Y), если множество Y совпадает с множеством (X) — множеством значений функции на X.

Если рассмотреть уравнение y = (x) при y ∈ Y , то сюръективность функции : X→ Y означает, что уравнение y = (x) имеет не менее одного решения во множестве X при каждом y из Y .

Определение 1.12. Если при отображении : X → Y разные элементы множества X имеют разные образы, то отображение называют инъективным (взаимно однозначно отображает X в Y ).

Иными словами, : X -→ Y инъективно, если

∀x₁ , x₂ ∈ X, : x₁ x₂ =⇒ (x₁) 6 (x₂).

Для уравнения (x) = y инъективность отображения : X → Y означает, что для любого y из (X) ⊂ Y уравнение имеет единственное решение во множестве X .

Определение 1.13. Отображение : X -→ Y называют биективным (или взаимно однозначным отображением X на Y ), если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Таким образом, отображение : X → Y биективно тогда и только тогда, когда любой элемент из Y имеет единственный прообраз в X . В этом случае уравнение (x) = y разрешимо в X при любом y из Y и имеет единственное решение.

Композиция функций и обратное отображение

Определение 1.14. Пусть заданы функции : X → Y, φ : Y → Z. Функцию, которая действует из X в Z по правилу

∀x ∈ X→ z = φ( (x)) ∈ Z

называют суперпозицией (композицией) функций , φ и обозначают φ ◦ .

При выполнении определенных условий операцию композиции можно применять несколько раз, при этом полезно иметь в виду, что

g ◦ (φ ◦ ) = (g ◦ φ) ◦.

Вообще говоря, φ ◦ = ◦ φ, даже если обе суперпозиции существуют.

Пусть теперь отображение : X → Y биективно. Значит для любого y ∈ Y существует единственный элемент x ∈ X , являющийся его прообразом, то есть такой, что (x) = y. Естественно возникает отображение, действующее из Y в X , которое каждому элементу y ∈ Y ставит в соответствие его прообраз при отображении f .

Определение 1.15. Пусть отображение : X → Y биективно. Отображение из Y в X , определенное правилом

∀y ∈ Y → x ∈ X : (x) = y,

называют обратным по отношению к и обозначают ^-1 .

Ясно, что отображение ^-1 : Y → X биективно и обратное к нему отображение (^-1)^-1 : X → Y совпадает с . Таким образом, свойство двух отображений быть обратными по отношению друг к другу является взаимным.

Функцию, которая определяется правилом ∀x ∈ X→ x, называют тождественной и обозначают символом e_x или I_x . Тогда, взаимно обратные отображения с помощью введенной функции можно охарактеризовать следующим образом: ◦ ^-1 = e_y, ^-1 ◦ = e_x.

Сужение функции

Определение 1.16. Пусть : X → Y, X1 ⊂ X, X1 . Функцию, которая каждому элементу x ∈ X1 ставит в соответствие элемент (x) ∈ Y, называют сужением (или ограничением) функции на множество X₁ и обозначают |х₁ .

Таким образом, |х₁ : X₁ → Y и |х₁ (x) = (x), ∀ x ∈ X₁ . Часто функцию называют продолжением функции |х₁ на множество X .

Функции действительной переменной

Определение 1.22. Функцию f : X → , X называют действительнозначной, а в случае, когда X ⊂ , действительнозначной функцией действительной переменной или короче, когда это не может вызвать недоразумения, функцией действительной переменной.

Всюду далее рассматриваться будут только такие функции. Сначала приведём несколько примеров.

Пример:

Каждому числу x ∈ поставим в соответствие ординату (абсциссу) точки, полученной поворотом точки (1, 0) координатной плоскости вокруг начала координат на угол x. Это правило задает функцию на , со значениями в отрезке [-1, 1], которую называют тригонометрическим синусом (косинусом) и обозначают sin x ( соответственно cos x).

Пример:

Каждому неотрицательному числу x поставим в соответствие число x, а отрицательному числу x — число (-x). Получим функцию, определенную на , с множеством значений [0, +∞). Эту функцию называют модулем (или абсолютной величиной) числа x и обозначают |x|. 

Перечислим полезные для дальнейшего свойства этой функции.
1.    |a| > 0, ∀a ∈ ;
2.    |a| = 0  a = 0;
3.    | - a| = |a|, ∀ a ∈ ;
4.    -|a| a |a|, ∀ a ∈ v;
5.    |a + b| |a| + |b|, ∀a, b ∈ ;
6.    |a + b| ||a| - |b||, ∀a, b ∈ R.

С помощью функции |x| можно очень коротко записывать некоторые часто используемые множества. Так, если ε > 0, и a ∈ , то

| a | ε K — ε a ε , |a| 6 ε K — ε a ε,
|a| > ε  a > ε или a —ε , |a| ε a > ε или a —ε.

Пример:

Каждому положительному числу x поставим в соответствие 1, числу x = 0 — число 0, каждому отрицательному числу — число —1. Получим функцию, действующую из на множество {—1; 0; 1}. Её называют функцией знака и обозначают sgn x (от латинского — signum),

Многие часто встречающиеся функции, как видно из примеров, имеют определенное символьное обозначение. Используя эти обозначения, задание многих функций можно реализовать в виде формулы (или аналитического выражения), содержащей указания на те операции над числами и значениями аргумента x, которые надо провести, чтобы получить соответствующее y . Такой способ задания функции называют аналитическим. Область определения X этой функции, как правило, не указывается и называется естественной областью определения функции. Она совпадает с множеством тех действительных чисел, для которых указанная формула имеет смысл (в процессе вычислений оперируют только действительными числами). Например, если функция задана формулой , то ее естественной областью определения является множество Z целых чисел, а множеством значений — {0}.

Заметим, что всякая формула является символьной записью некоторого правила, так что, в конце концов, нет принципиального различия между заданием функции с помощью правила или формулы; это различие чисто внешнее.

В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально. Такая функциональная зависимость задается не формулой, а лишь таблицей, где сопоставлены полученные из опыта величины. Примеры табличного задания функции можно найти в любом техническом справочнике.

Наконец, в некоторых случаях с помощью самопишущих приборов (например, сейсмографа) функциональная зависимость между физическими величинами задается графиком. Мы не будем останавливаться на последних способах задания функции, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться. С некоторыми другими способами задания функции мы познакомимся позже.

Поскольку в определены арифметические операции, то их можно определить и для действительно значных функций.

Определение 1.23. Пусть функции f и φ действуют из X в . Функцию, обозначаемую f + φ, определенную правилом:

∀x ∈ X → f (x) + φ(x), называют суммой функций f и φ. Аналогично вводится произведение и частное функций.

Монотонные функции

Определение 1.24.  Функция f : X -→ R называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X, если для любых x₁ , x₂ ∈ X таких, что x₁ x₂, выполняется неравенство f(x₁) f(x₂) (соответственно f(x₁) f(x₂)).

Очевидно, что возрастающая на множестве X функция является неубывающей, а убывающая — невозрастающей.

Функции, которые являются неубывающими или невозрастающими на множестве X , еще называют монотонными функциями на X .

Теорема 1.1 (о существовании обратной функции к строго монотонной). Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то функция f : X → f (X) биективна и обратная к ней возрастает (убывает) на множестве f(X).

Пусть для определенности функция f возрастает на X . Ясно, что она сюръективна. По определению возрастающей функции разные элементы множества X имеют разные образы, поэтому функция f : X → f (X) инъективна. Следовательно, она биективна и определена обратная функция f^-1 : f (X) → X по правилу:

∀y ∈ f (X) → x = f^-1 (y) ∈ X : f (x) = y.

Пусть y₁, y₂ — произвольные элементы множества f (X) и y₁ y₂. Положим f^-1 (y₁) = x₁, f^-1 (y₂) = x₂. Тогда y₁ = f (x₁) и y2 = f (x₂). Так как функция f-1 биективна, то x₁ x₂. Если бы x₁ , x₂ удовлетворяли неравенству x₁ > x₂, то в силу возрастания функции f мы бы получили y₁ > y₂ , чего быть не может в силу выбора элементов. Таким образом

∀y₁, y₂ ∈ f (X) : y₁ y₂ =⇒ f^-1 (y₁) f^-1 (y₂),

что означает возрастание функции f^-1 на множестве f (X).

Замечание. Функция, имеющая обратную, не обязательно монотонна.
Рассмотрим расположение графиков взаимно обратных функций в декартовой системе координат и докажем следующее утверждение.

Лемма 1.1. Если a, b ∈ , то точки M₁(a, b), M₂(b, a) плоскости симметричны относительно прямой y = x.

Если a = b, то точки M₁ , M₂ совпадают и лежат на прямой y = x. Будем считать, что a 6= b. Прямая, проходящая через точки M₁ , M₂ имеет уравнение y = -x + a + b, а потому перпендикулярна прямой y = x. Поскольку середина отрезка M₁ M₂ имеет координаты , то она лежит на прямой y = x.
Следовательно, точки M1, M2 симметричны относительно прямой y = x.

Следствие. Если функции f : X → Y и φ : Y → X взаимно обратные, то их графики симметричны относительно прямой y = x, если они построены в одной системе координат.

Пусть Γ_f = {(x,f (x)) | x ∈ X}, Γ_φ = {(y,φ(y)) | y ∈ Y} — графики функций f и φ соответственно. Так как

(a, b) ∈ Γ_f (b = f (a), a ∈ X) (a = φ(b), b ∈ Y) (b, a) ∈ Γ_φ, то в силу доказанной леммы графики Γf и 1\ симметричны относительно прямой y = x.

Основные характеристики функции в математическом анализе

1.  Функция  определенная на множестве  называется четной, если для и нечетной, если для и

График четной функции симметричен относительно оси  а нечетной - относительно начала координат.

Функции не являющиеся ни четными, ни нечетными, относят к функциям общего вида.

2. Пусть функция определена на множестве и пусть Если для любых значений аргументов  из неравенства  следует неравенство:

• -   то функция называется возрастающей на множестве 
• -    то функция называется неубывающей на множестве
• -   то функция называется убывающей на множестве
• -   то функция называется невозрастающей на множестве

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие - строго монотонными.

Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

3. Функцию  определенную на множестве называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство

Следовательно, график ограниченной функции лежит между прямыми и

4. Функция  определенная на множестве называется периодической на этом множестве, если существует такое число  что при каждом значение и При этом число Т называется периодом функции. Если - период функции, то ее периодами будут также числа где  За основной период берут наименьшее положительное число  удовлетворяющее равенству

Обратная функция в математическом анализе

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений Если каждому значению соответствует единственное значение то определена функция с областью определения и множеством значений Такая функция называется обратной к функции  и записывается в виде:  О функциях и  говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию  обратную к функции достаточно решить уравнение  относительно  если это возможно.

Пример:

Для функции обратной функцией является функция

Пример:

Для функции  обратной функцией является Заметим, что для функции  заданной на отрезке [-1;1], обратной не существует, так как одному значению у соответствуют два значения если то  

Из определения обратной функции следует, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т. е. их графики совпадают. Если же условиться, что независимую переменную обозначить через а зависимую переменную через то функция обратная функции запишется в виде

Это означает, что точка кривой становится точкой кривой Заметим, что точки и симметричны относительно прямой Поэтому графики взаимно обратных функций и  симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция в математическом анализе

Пусть функция определена на множестве а функция - на множестве причем для соответствующее значение  Тогда па множестве определена функция которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Пример:

Функция - композиция трех функций