Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция - одно из важнейших понятий математики, она даёт возможность исследовать и моделировать не только состояния, но и процессы. Исследование процессов и явлений с помощью функций — один из основных методов современной науки. Вы будете изучать функции во всех последующих классах и в высших учебных заведениях.

Содержание:

Функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

В различных процессах, которые происходят в природе, можно увидеть, как одни величины изменяются в зависимости от других. Например, путь, пройденный пешеходом, зависит от времени, стоимость покупки зависит от её количества. Путь и время, стоимость и количество, переменные величины. Одна из этих величин независимая, другая изменяется в зависимости от первой. Так, время является независимой переменной, путь - величина, зависимая от времени, количество купленного товара - независимая величина, стоимость покупки зависит от количества. Понятно, что каждая из переменных величин принадлежит какому-то определённому множеству.

Если каждому элементу х из множества X, по определённому правилу ставится в соответствие определённое и единственное значение у из множества У, то такое соответствие называется функцией. Здесь х называется независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или функцией. Обычно функцию обозначают такФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Множество значений, которые может принимать аргумент, называется областью определения и обычно обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множество значений, которая может принимать функция для заданных значений переменной, называется множеством значений функции (областью значений) и обычно обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Подробное объяснение функции:

Напомним, что зависимость переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением от переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется функцией, если каждому значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

В курсе алгебры и начал анализа пользуются определением числовой функции.

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из множества D ставится в соответствие единственное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Понятие числовой функции:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Числовой функцией с областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется зависимость, при которой каждому числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (области определения) ставится в соответствие единственное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Записывают это соответствие так:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Обозначения и термины:

  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения
  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область значений
  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — аргумент (независимая переменная)
  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — функция (зависимая переменная)
  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — функция
  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— значение функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствующее числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (на рисунке к пункту 1 табл. 3 это показано стрелкой), называют значением функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это множество тех значений, которые может принимать аргумент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Она обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это множество, состоящее из всех чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежит области определения. Ее обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то ее область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а область значений: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Иногда функция может задаваться разными формулами на разных множествах значений аргумента. Например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функцию можно задать не только с помощью формулы, но и с помощью таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке графически задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и множеством значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График функции:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется множество всех точек координатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где первая координата Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значение, которое принимает функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в некоторой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим на этом множестве), если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. То есть для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для наименьшего значения).

Иногда это записывают так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Например, для м функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, графически заданной на отрезке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на рисунке 16, наименьшее значение равно 1, а наибольшее — 4. То есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Что такое функция

Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Каждому значению длины стороны квадрата соответствует единственное значение его площади (рис. 53).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Масса куска мела зависит от его объёма. Каждому значению объёма V куска мела соответствует единственное значение его массы m.

Каждому значению массы груза, подвешенного на пружине, соответствует определённая длина пружины (рис. 54).

Каждому значению температуры воздуха t соответствует единственное значение высоты h столбика жидкости в термометре.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Каждому значению переменной х соответствует единственное значение выражения 2х - 1.

Примеров зависимостей и соответствий между переменными можно привести много» Для науки и практики важно уметь исследовать такие соответствия. Их называют функциональными соответствиями, или функциями.

В рассмотренных примерах речь идёт о связи между двумя переменными. Одну из них, значения которой выбирают произвольно, называют независимой переменной, или аргументом. Другую переменную, зависящую от аргумента, называют зависимой переменной, или функцией.

Независимыми переменными (аргументами) в приведённых выше примерах являются: длина стороны квадрата, объём куска мела, масса груза, температура воздуха. Их значения можно выбирать произвольно. Зависимыми переменными будут: площадь квадрата, масса мела, длина пружины, высота столбика жидкости в термометре.

Если каждому значению переменной х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у, то переменную у называют функцией от х.

При таких условиях переменную х называют аргументом функции у, множество D — областью определения функции, а соответствие между х и у — функциональным соответствием, или функцией.

Все значения, которые может принимать аргумент функции, — её область определения. А все соответствующие значения функции — область значений функции (Е).

Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а. Здесь S — функция, а — аргумент. Область определения этой функции — множество всех положительных чисел.

Высота h столбика жидкости в термометре — функция от температуры t. Здесь h — функция, t — аргумент. Пусть, например, на протяжении суток температура воздуха повышалась от -5° до 7°, а высота столбика жидкости в термометре — от 20 до 32 см. Этому изменению соответствует некая функция, областью определения которой является промежуток от -5° до 7°, а областью значений — промежуток от 20 до 32 см.

Задавать функциональные соответствия можно разными способами. Часто их задают формулами. Например, соответствие между длиной а стороны квадрата и -его площадью S можно задать формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Соответствие между радиусом окружности r и её длиной С можно задать формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Соответствие между значениями переменной х и значениями у выражения 2х - 1 можно задать формулой у = 2х - 1.

Задание функции формулой удобно, так как это даёт возможность находить значение функции для произвольного значения аргумента. Такое задание функции довольно экономно: в основном формула занимает одну строку.

Если функцию задают формулой и ничего не говорят об области её определения, то считают, что эта область — множество всех значений переменной, при которых формула имеет смысл. Например, область определения функции у = 2х-1 — множество всех чисел, а функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — множество всех чисел, кроме 1, так как на 0 делить нельзя.

Областью определения функции, которая задаётся многочленом

Областью определения функции, которая задаётся многочленом с одной переменной, есть множество всех чисел.

Задавать функции можно и в виде таблицы. Например, функцию у = 2х - 1 для первых десяти натуральных значений х можно задать в виде такой таблицы.Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Здесь:

  • область определения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10;
  • область значений: 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19.

Табличный способ задания функции удобен тем, что для определённых значений аргумента в таблицу уже занесены соответствующие значения функции, поэтому не нужно проводить вычисления. Неудобен он тем, что таблица занимает больше места. Вдобавок, как правило, содержит значения функции не для всех значений аргумента, а только для некоторых.

Функцию можно задавать и словесно. Например, если каждому целому числу поставить в соответствие его квадрат, то получим функцию, областью определения которой является множество целых чисел, а областью значений — множество квадратов натуральных чисел и число 0.

Слово функция имеет и другое значение: деятельность, выполнение. Например, говорят о функциях старосты класса, функции печени в организме человека.

И слово аргумент нередко используют в другом значении. В логике под словом аргумент понимают доказательство, основание, на основе которого устанавливают истинность или ошибочность того или иного суждения.

Обратите внимание на соотношение понятий «функциональная зависимость» и «функциональное соответствие» (рис. 55). Из рисунка видно, что существуют соответствия, не являющиеся зависимостями. Например, формулы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задают функции, но в них переменные у не зависят от х.

На координатной прямой кроме точек с рациональными координатами существует множество таких точек, координаты которых — числа не рациональные. Их называют иррациональными.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел (R). Подробнее с действительными числами и их свойствами вы ознакомитесь в 8 классе. А пока, имея в виду множество действительных чисел, будем использовать термин «все числа».

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №1

Найдите значения функции, заданной формулой у = 2х + 7, соответствующие таким значениям аргумента: 0; 4; 0,8; - 125; 105. Результаты сведите в таблицу.

Решение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №2

Найдите область определения функции:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а)Формула, с помощью которой задаётся функция, — многочлен, а потому область её определения — множество всех чисел;

б)переменная х может иметь любые значения, кроме тех, при которых знаменатель дроби Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равен нулю. Чтобы их найти, решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Итак, область определения функции — множество всех чисел, кроме х = 3, х = -3.

График функции

Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные прямые х и у, пересекающиеся в начале отсчёта — точке О (рис. 60).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Плоскость, на которой заданы такие координатные прямые, называют координатной плоскостью, прямую х — осью абсцисс, прямую у — осью ординат, точку О — началом координат.

Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел. Например, точке А соответствует пара (3; 2), так как прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемперпендикулярная оси х, пересекает её в точке с координатой 3, а прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемперпендикулярная оси у, пересекает её в точке с координатой 2 (рис. 61). Говорят, что точка А имеет координаты 3 и 2. Записывают: А (3; 2). Здесь 3 — абсцисса, 2 — ордината точки А. Первой всегда пишут абсциссу. Начало координат — О (0; 0).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Каждой паре чисел на координатной плоскости соответствует единственная точка. На рисунке 61 показано, как обозначить, например, точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Пусть имеем функцию у- 2х-3, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Составим таблицу значений этой функции для целых значений аргумента.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Нанесём на координатную плоскость точки, координаты которых представлены в этой таблице. Абсциссы точек равны значениям аргумента x; данной функции, а-ординаты — соответствующим значениям функции у, то есть А (- 1; - 5), В (0; - 3) и т. д. Получим 7 точек (рис. 62, а), все они лежат на одной прямой.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Дадим аргументу х ещё несколько дробных значений и вычислим соответствующие им значения функции:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Дополним рисунок 62, а точками, координаты которых представлены в этой таблице (рис. 62, б). Они также размещены на той же прямой. Если придавать аргументу х другие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и обозначать на координатной плоскости соответствующие точки, то эти точки образуют отрезок (рис. 62, в). Этот отрезок — график функции у = 2x - 3. Её область определения — промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а область значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если построенный отрезок мысленно продолжить в обе стороны, то получим прямую. Эта прямая — график функции, заданной той же формулой (у = 2х - 3), но на множестве всех чисел (рис. 63).

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, ординаты - соответствующим значениям функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если описанным способом построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемусловии, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то получим кривую линию, изображённую на рисунке 64.

Имея график функции, можно для любого значения аргумента (из области определения) указать соответствующее значение функции. Для примера найдём значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на графике находим точку М с абсциссой 4, а на оси ординат — ординату точки М; она равна 1,5. Следовательно, пользуясь графиком функции, можно составить таблицу её значений, то есть график задаёт функцию. Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Видя перед собой график, можно сразу выяснить свойства функции, заданной им. В частности, можно установить такие её характеристики:

  • область определения и область значений функции;
  • при каких значениях аргумента значения функции положительны, при каких — отрицательны, при каких — равны нулю;
  • на каких промежутках функция возрастает, а на каких — убывает.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему-значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В современной математике функции играют важную роль. Их часто используют для создания математических моделей разных процессов, явлений. Когда растёт ребенок, то изменяются его рост, объём, масса; когда взлетает самолёт — изменяются его скорость, расстояние от поверхности земли, масса горючего в баках; когда строят высотный дом — изменяются его высота, масса, стоимость и т. п. Все такие процессы (а их — миллиарды) удобно моделировать с помощью функций. Функция — математическая модель реальных процессов. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

Существуют приборы, сами вычерчивающие графики функций: барографы, термографы, кардиографы и т. п. Например, кардиограф чертит график-кардиограмму (рис. 65), характеризующий работу сердца. Прибор термограф отмечает изменение температуры за сутки, неделю, месяц. Специалистам надо уметь читать такие графики.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №3

Является ли графиком функции линия, изображённая на рисунке 66?

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

На данной линии есть три разных точки с абсциссами 4. Если бы такая функция у от аргумента х существовала, то одному значению х = 4 соответствовали бы три разных значения функции. По определению функции такого быть не может.

Ответ. Данная линия не является графиком функции.

Пример №4

Определите, принадлежат ли графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Если точка принадлежит графику функции, то её координаты должны удовлетворять равенство, задающее данную функцию. Проверим это для каждой точки А, В, С и D этого графика.

Подставим координаты точки А (-4; -4) в равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Имеем: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, точка А принадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Для точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значит, точка В не принадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Для точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемточка С принадлежит графику.

Для точкиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точка D принадлежит графику.

Ответ. Точки А, В и D принадлежат графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а точка В не принадлежит этому графику.

Линейная функция её свойства и график

Многие функции, которые приходится исследовать, можно задать формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— данные числа. Например, если масса пустой бочки равна 30 кг, а плотность бензина —Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то зависимость между массой m бочки с бензином и объёмом V л бензина в ней можно выразить формулой m = 0,8V+ 30.

Если масса 1 м провода равна 50 г, а катушки без провода — 200 г, то зависимость между массой m. катушки с проводом и длиной l м намотанного на неё провода можно выразить формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 76). Такие функции называют линейными.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Линейною называют функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где х — аргумент, k и b — данные числа.

Рассмотрим две линейные функции, заданные формулами

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

на множестве всех чисел (R). Описанным в предыдущем параграфе способом построим графики данных функций (рис. 77 и 78). Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Видим, что график каждой из приведённых функций — прямая. Можно обобщить примеры и доказать такое утверждение.

График каждой линейной функции — прямая. И каждая прямая на координатной плоскости, не перпендикулярная оси абсцисс, — график некоторой линейной функции.

Для построения прямой, являющейся графиком любой линейной функции, достаточно знать координаты двух точек. Чтобы построить график функций у = 1,5х + 3, надо составить таблицу для двух любых значений аргумента. Например:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Обозначим на координатной плоскости точки с координатами 0 и 3, 2 и 0 и проведём через них прямую (рис. 79). Это и есть график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля разных значений k можно определить по графикам, представленным, например, на рисунках 77 и 78. Представим их в виде таблицы.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при условии, что k = 0, предлагаем сформулировать самостоятельно.

Рассмотрим частные случаи линейных функций.

Если k = 0, то функция

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

имеет вид у = b. График такой функции — прямая, параллельная оси х (рис. 80).

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то линейная функция имеет вид

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Эту функцию называют прямой пропорциональностью, так как любые (отличные от нуля)

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значение такой функции пропорциональны соответствующим значениям аргумента. Для примера составим таблицу значений функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Здесь числа 12 и 15 пропорциональны числам 4 и 5, ведь 12:15=4:5; числа - 6 и 9 пропорциональны числам - 2 и 3, ведь - 6:9 = -2:3ит. д.

График прямой пропорциональности— прямая, проходящая через начало координат. На рисунке 81 изображены графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №5

Постройте график функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Данная функция — линейная, её график — прямая. Определим координаты двух точек этой прямой, составив таблицу.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Нанесём на координатную плоскость точки А(0; 1) и В(2; 2) и проведём через них прямую (рис. 82). Это и есть график данной функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Существуют функции, не являющиеся линейными на всей области определения, но на отдельных промежутках области определения имеют свойства линейных. Их графики — ломаные линии. Рассмотрим одну из таких функций.

Пример №6

Постройте график функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

По определению модуля можем записать:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Это функция, которая на двух разных промежутках задаётся разными формулами линейных функций:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Составим такие таблицы их значений.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Построим график функции (рис. 83).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Исторические сведения:

Некоторые примеры соответствий между переменными, теперь называющимися функциями, учёным были известны очень давно. В Вавилоне ещё более 3000 лет тому назад были составлены таблицы квадратов и кубов натуральных чисел, которые сейчас можно считать табличным заданием функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Общее понятие функции было введено только в XVII в. Сначала Р. Декарт ввёл понятие переменной величины и систему координат, начал рассматривать зависимость ординат точек графика от их абсцисс. Слово «функция» (с латинского — действие, выполнение) впервые ввёл немецкий математик Г. Лейбниц.

Функциями он называл абсциссы, ординаты и некоторые отрезки, связанные с точкой, которая в процессе движения описывает определённую линию.

Г. Лейбниц — выдающийся немецкий учёный. По образованию — юрист. Работал библиотекарем, историографом, организовал Берлинскую академию наук. Исследовал проблемы математики, философии, языковедения, химии, геологии, конструировал вычислительные машины.

Усилиями многих математиков (И. Бернулли, Л. Эйлера, Н. Лобачевского, Б. Больцано и др.) понятие функции уточнялось, расширялось и наполнялось новым смыслом. Наиболее общее современное определение функции предложила в XX в. группа математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки: «Функция — это отношение, при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия». Под отношением они понимают соответствие , под областью отправления (областью определения функции) и областью прибытия (областью её значений) — любые множества, а не только числовые. С таким общим понятием функции вы ознакомитесь в старших классах.

Напомню:

Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то переменную у называют функцией от х, переменную х называют независимой переменной, или аргументом функции. Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а.

Функции можно задавать с помощью формул, таблиц, графиков и т. п. Графики функций чаще всего строят в декартовой системе координат, состоящей из двух взаимно перпендикулярных координатных осей — горизонтальной оси абсцисс, или оси х, и вертикальной оси ординат, или оси у (рис. 88). Плоскость с системой координат называют координатной плоскостью, каждой её точке соответствует одна пара чисел. Например, на рисунке 88 точке А соответствует пара чисел (3; 2), её координаты записывают так: А (3; 2). То есть 3 — абсцисса точки А, а 2 — ордината точки А.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Все значения, которые может принимать аргумент функции, образуют её область определения, а все соответствующие значения функции — область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой у = kx + b, где х — аргумент, a k и Ъ — данные числа. Если b = 0, то линейную функцию называют прямой пропорциональностью.

График каждой линейной функциипрямая. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. На рис. 88 прямая КР — график линейной функции у = 2х - 2, прямая MN — график прямой пропорциональности y = - 0,5х.

Дополнительное объяснение графиков функции:

Рассмотрим функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Составим таблицу значений этой функции с шагом 1:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим пары чисел, записанные в каждом столбце этой таблицы, как координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точек координатной плоскости. При этом значение аргумента является абсциссой точки, а соответственное значение функции — ее ординатой.

Эти точки изображены на рисунке 14.

Очевидно, что, придавая аргументу другие значения из области определения и находя соответственные значения функции, можно отметить все больше и больше точек на координатной плоскости (рис. 15, 16). Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким образом, образуют график функции.

Определение. Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответственным значениям функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Очевидно, что описанный метод построения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на практике реализовать невозможно. Ведь точек, которые следовало бы отметить, бесконечно много. Однако, если отметить достаточно много точек, а затем соединить их плавной линией, то полученная кривая (рис. 17) будет тем меньше отличаться от искомого графика, чем больше точек мы отметим.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Поскольку описанный метод построения графика функции требует значительной технической работы, то существенную ее часть может взять на себя компьютер. Сегодня существует много программ, предназначенных для построения графиков. Так, на экране монитора (рис. 18) изображен график функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Подчеркнем, что если какая-то фигура является графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то выполняются два условия:

  1. если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — некоторое значение аргумента, a Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — соответственное значение функции, то точка с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением обязательно принадлежит графику;
  2. если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — координаты произвольно выбранной точки графика, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— соответственные значения независимой и зависимой переменных функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Неверно считать, что график функции — это непременно какая-то линия. На рисунке 19 изображен график функции, заданной таблицей:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Он состоит всего лишь из двух точек. Рассмотрим пример построения графика функции, заданной описательно.

Область определения данной функции — все числа. Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно -1; если аргумент равен нулю, то значение функции равно нулю. График этой функции изображен на рисунке 20.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Он состоит из трех частей: точки О (0; 0) и двух лучей, у каждого из которых «выколото» начало.

Далеко не всякая фигура, изображенная на координатной плоскости, может служить графиком некоторой функции. Например, окружность не может являться графиком функции (рис. 21). Здесь по заданному значению аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не всегда однозначно находится значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой не более одной общей точки.

Рисунок, схема, фотография какого-то объекта или процесса дают о нем наглядное представление. Ту же роль играет для функции ее график. Так, изучая график, изображенный на рисунке 22, можно, например, найти:

  1. область определения функции: все Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением такие, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  2. область значений функции: все Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением такие, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  4. значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  5. значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и т. д.

После изучения материала этого пункта становится понятно, почему в технике, медицине, экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы, которые позволяют строить графики различных функциональных зависимостей.

Пример №7

Принадлежит ли графику функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точка:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Чтобы установить, принадлежит ли точка графику функции, найдем значение функции при значении аргумента, равном абсциссе данной точки. Если значение функции будет равно ординате данной точки, то точка принадлежит графику, если не равно — не принадлежит.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Следовательно, точка А принадлежит графику данной функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, точка В не принадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №8

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с осями координат.

Решение:

Точка принадлежит оси абсцисс тогда и только тогда, когда ее ордината равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Следовательно, график данной функции имеет с осью абсцисс две точки пересечения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Точка принадлежит оси ординат тогда и только тогда, когда ее абсцисса равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Ещё раз повторим пройденное рассмотрев два примера:

Пример №9

В бассейне было 200 л воды. В течение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением мин в бассейн каждую минуту наливали 80 л воды. Тогда объем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением воды в бассейне вычисляется по формуле

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Эта формула задает функциональную зависимость переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением от переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Пример №10

Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением рабочих. Обозначим количество всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда зависимость переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением от переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выражается формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — натуральное число.

В этих примерах мы построили функции, описывающие различные реальные ситуации. Однако они похожи тем, что формулы, их задающие, имеют вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — некоторые числа, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — независимая переменная, называют линейной.

Вот примеры линейных функций:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Построим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Составим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежат искомому графику (рис. 28). Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 29).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В старших классах вы докажете, что графиком линейной функции, область определения которой — все числа, является прямая.

Поскольку прямая однозначно задается любыми двумя своими точками, то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу, имеющую лишь два числовых столбца.

Пример №11

Постройте график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отметим на координатной плоскости точки (0; 2) и (1; -1) и проведем через них прямую (рис. 30).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Эта прямая и является графиком линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задающей линейную функцию, не исключены случаи, когда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим случай, когдаФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда формула приобретает вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Отсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Эта формула показывает, что для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отношение соответственных значений зависимой и независимой переменных остается постоянным и равно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Напомним, что в б-м классе, изучая прямую пропорциональность, вы уже познакомились с подобными зависимостями между величинами. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют прямой пропорциональностью.

Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — примеры прямых пропорциональностей.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции (это выражает схема, изображенная на рисунке 31), то ее график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением проходит через точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Действительно, если в формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением положить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через эту точку и точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

На рисунке 32 изображены графики прямых пропорциональностей, которые приводились выше в качестве примеров.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим еще один частный случай линейной функции.

В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением положим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента.

Пример №12

Постройте график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например, равные -2 и 0. Остается провести прямую через точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 33). Эта прямая параллельна оси абсцисс.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Заметим, что графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является ось абсцисс. Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является прямая, параллельная оси абсцисс.

Пример №13

Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 34.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График данной функции пересекает ось ординат в точке (0; 4). Подставив координаты этой точки в формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением откуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3; 0), то, подставив ее координаты в формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Ответ: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства и графики основных видов функций

Напомним, что

графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется множество всех точек координатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где первая координата Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

На рисунках к пункту 4 таблицы 3 приведены графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а на рисунке 17 — график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Приведем также график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— обозначение целой части числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть наибольшего целого числа, не превышающего Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 18). Область определения этой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — множество всех действительных чисел, а область значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением всех целых чисел.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

На рисунке 19 приведен график числовой функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — обозначение дробной части числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (по определению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства и графики основных видов функций:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Объяснение и обоснование:

Линейная функция y=kx+b

Линейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Линейной функцией называется функция вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — некоторые числа.

Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.

Область определения — множество всех действительных чисел: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поскольку формула Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет смысл при всех действительных значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (то есть для любого действительного Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением мы можем вычислить значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) .

Область значений линейной функции будет разной в зависимости от значения коэффициента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то функция имеет вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть ее область значений состоит из одного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В таком случае графиком линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является прямая, параллельная оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 28).

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (обоснование приведено в примере 3 на с. 35).

Четность и нечетность линейной функции существенно зависит от значений коэффициентов Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением превращается в функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая является нечетной, поскольку для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из ее области определения

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 29) симметричен относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая является четной, поскольку для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из ее области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением То есть график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметричен относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 28).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В общем случае при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является ни четной, ни нечетной, поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и также Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — постоянную.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — убывает (обоснование приведено в примере 4 на с. 35).

В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвсегда является прямая линия.

Поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция принимает значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то эта прямая всегда пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Графики линейных функций приведены в таблице k

Функция y=k/x (k 0)

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.

Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Это можно записать также так:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Область значений: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Это можно записать также так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Для обоснования области значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением обозначим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Тогда из этого равенства получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. То есть для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением существует значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает все действительные значения, не равные нулю.

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество, симметричное относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, ее график симметричен относительно начала координат (рис. 30 и 31).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), то для сравнения значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением рассмотрим их разность:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

На промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением На промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Учитывая, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением , при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из равенства (1) получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.

Из курса алгебры известно, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется гиперболой (она состоит из двух ветвей). При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — во II и IV четвертях (рис. 30 и 31).

Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, следует помнить, что, например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 32) убывает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, но на всей области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением эта функция не является убывающей (и не является возрастающей). Действительно, если взять Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением но Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции, и на всей ее области определения функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является убывающей.

Поэтому же нельзя сказать, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция y=ax2 (a 0)

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Как известно из курса алгебры, графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 33) и вниз при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 34). Поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то график всегда проходит через начало координат.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поскольку значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно вычислить при любых значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция четная, поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, ее график симметричен относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для описания других свойств воспользуемся графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 33 и 34). Эти свойства можно обосновать аналитически (проведите такое обоснование самостоятельно) или опираясь на свойства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и на геометрические преобразования ее графика, которые будут рассмотрены далее в пункте 2.3.

Область значений. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график проходит через начало координат, а все остальные его точки находятся выше оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением увеличивается до бесконечности, то и значение у также увеличивается до бесконечности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Аналогично при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график также проходит через начало координат, но все остальные его точки находятся ниже оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением увеличивается до бесконечности, то значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением уменьшается до минус бесконечности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Возрастание и убывание. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция убывает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — возрастает.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция возрастает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — убывает.

Квадратичная функция y=ax2+bx+c(a 0).

Квадратичная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Из курса алгебры 9 класса известно, что функция вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — действительные числа, причем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, называется квадратичной. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх при и вниз при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Абсцисса вершины этой параболы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Для обоснования этого достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — дискриминант квадратного трехчлена Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением парабола или пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, или не пересекает Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, или касается ее Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Основные варианты расположения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением представлены в таблице 5.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Охарактеризуем свойства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, опираясь на эти известные нам графики (самостоятельно обоснуйте соответствующие свойства аналитически).

Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поскольку значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно вычислить при любых значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Область значений. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция принимает все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция принимает все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Четность и нечетность. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем четную квадратичную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Действительно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В общем случае (если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является ни четной, ни нечетной, поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением (и не равно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Возрастание и убывание. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция убывает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — возрастает.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция возрастает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — убывает.

Поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то график всегда пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Соответствующие графики при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением приведены также в таблице 4.

Примеры решения задач:

Пример №14

Постройте график функции:

1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

1) ►График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - прямая.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) ►График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - прямая.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3) ►График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - прямая, параллельная оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая проходит через точку 4 на оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Все данные функции линейные, поэтому их графиками являются прямые.

Чтобы построить прямые в заданиях 1 и 2, достаточно построить две точки этих прямых. Например, можно взять Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и найти соответствующие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Оформлять эти вычисления удобно в виде таблички:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В задании 3 рассматривается частный случай линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Для построения этого графика полезно помнить, что прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это прямая, параллельная оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (при любом значении Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равно 4).

Пример №15

По приведенному графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением укажите знаки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

► При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. По приведенному графику определяем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поскольку изображен график убывающей линейной функции, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Ответ: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — прямая, пересекающая ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. На рисунке эта точка лежит выше нуля, таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Линейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастающая, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — убывающая. На рисунке изображен график убывающей функции, следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Пример №16

Постройте графикФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

► График заданной функции - парабола (вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), ветви которой направлены вверх.

Абсцисса вершины:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и график имеет вид

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — квадратичная (имеет вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Таким образом, ее графиком будет парабола (вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), ветви которой направлены вверх (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а ордината Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это соответствующее значение заданной функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Если необходимо уточнить, как проходит график, то можно найти координаты нескольких дополнительных точек, например, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПостроение таких графиков с помощью геометрических преобразований графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет рассмотрено в пункте 2.3.

Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Объяснение и обоснование:

Рассмотрим способы построения графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.

Построение графика функции y=-f(x)

Построение графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Сравним графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (см. первую строку табл. 6). Очевидно, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметричным отображением его относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Покажем, что всегда график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Действительно, по определению график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением координатной плоскости, которые имеют координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением координатной плоскости, имеющих координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположены на координатной плоскости симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 38). Таким образом, каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением некоторой точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением его симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Имеем:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Следовательно, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции может быть построен так: часть - Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, лежащая выше оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (и на самой оси), остается без изменений, а часть, лежащая ниже оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, отображается симметрично относительно этой оси.

Например, на рисунке 39 и в таблице 6 (строка седьмая) с использованием этого правила изображен график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Построение графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для построения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением учтем, что в определении графика функции первая координата для точек графика выбирается произвольно из области определения функции. Если выбрать как первую координату значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет состоять из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением координатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Напомним, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 40). Таким образом, каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) получается симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением некоторой точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением его симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Имеем:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Следовательно, для того чтобы получить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при х < 0 (то есть слева от оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), необходимо отобразить симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ту часть графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая лежит справа от оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. То есть часть графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, лежащая слева от оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, вообще не используется в построении графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением строится так: часть графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, лежащая справа от оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (и на самой оси), остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Например, на рисунке 41 и в таблице 6 (строка восьмая) с использованием этого правила изображен график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Построение графика функции y=f(x-a)

Построение графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для построения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выберем как первую координату точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением этого графика значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет состоять из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением координатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то преобразование точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это параллельный перенос точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц (то есть на вектор Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Поскольку каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается параллельным переносом некоторой точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц (рис. 42), то график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить параллельным переносом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на а единиц.

Например, в третьей строке таблицы 6 изображен график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (выполнен параллельный перенос графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на +2 единицы вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (выполнен параллельный перенос графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единицы вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Построение графика функции y=f(x)+b

Построение графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением координатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Но если точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то преобразование точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это параллельный перенос точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц (то есть на вектор (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Поскольку каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается параллельным переносом некоторой точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц (рис. 43), то график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить параллельным переносом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц.

Например, в четвертой строке таблицы 6 изображен график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (выполнен параллельный перенос графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на +2 единицы вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (выполнен параллельный перенос графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Построение графика функции y=kf(x)

Построение графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 44). Назовем преобразованием растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с коэффициентом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) такое преобразование фигуры Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором каждая ее точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением переходит в точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Преобразование растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задается формулами: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эти формулы выражают координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, в которую переходит точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при преобразовании растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 45). При этом преобразовании происходит растяжение отрезка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз, и в результате точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением переходит в точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. (Заметим, что иногда указанное преобразование графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют растяжением только при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением его называют сжатием вдоль оси Оу в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз.)

Как видим, каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается из точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением преобразованием растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При этом общая форма графика не изменяется: он растягивается или сжимается вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Например, если графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением была парабола, то после растяжения или сжатия график остается параболой. Поэтому график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением его растяжением (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением растяжение в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз) или сжатием (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением сжатие в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз) вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Построение графика функции y=f(ax)

Построение графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для построения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выберем как первую координату точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением этого графика значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет состоять из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а

график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 46).

Назовем преобразованием растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с коэффициентом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) такое преобразование фигуры Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором каждая ее точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпереходит в точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Преобразование растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задается формулами: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эти формулы выражают координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, в которую переходит точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при преобразовании растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 47). При этом преобразовании происходит растяжение отрезка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз, и в результате точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением переходит в точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. (Заметим, что иногда указанное преобразование называют растяжением (в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз) только при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением его называют сжатием вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз)). Как видим, каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается из точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпреобразованием растяжения вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (при этом общая форма графика не изменяется). Поэтому график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением его растяжением (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением растяжение в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз) или сжатием (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением сжатие в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз) вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Примеры решения задач:

Пример №17

Постройте график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Мы можем построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда график Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить параллельным переносом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единицы (то есть влево).

Пример №18

Постройте график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

► Последовательно строим графики:

1. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика заданной функции.

1. Мы можем построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (прямая).

2. Затем можно построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(выше оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением остается без изменений, а часть графика ниже оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отображается симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

3. После этого можно построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (симметрия графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Пример №19

Постройте график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

► Запишем уравнение заданной функции так:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Последовательно строим графики:

1.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

4.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика заданной функции. Для этого ее подкоренное выражение запишем так, чтобы можно было использовать преобразования графиков, представленные в таблице 4:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

1. Мы можем построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

2. Затем можно построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (симметрия графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

3. После этого можно построить график функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (параллельный перенос графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 4 единицы).

4. Затем уже можно построить график заданной функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(справа от оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствующая часть графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением остается без изменений, и эта же часть отображается симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Возрастающие и убывающие функции

Важными характеристиками функций являются их возрастание и убывание.

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется возрастающей на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых двух значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, из множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастающая (на всей области определения — на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. У возрастающей функции при увеличении аргумента соответствующие точки графика поднимаются (рис. 20).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

На рисунке 21 приведен график возрастающей функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Действительно, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется убывающей на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывающая (на всей области определения — на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Соответствующие точки графика убывающей функции при увеличении аргумента опускаются (рис. 22).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассматривая график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 23), видим, что на всей области определения эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей. Однако можно выделить промежутки области определения, где эта функция возрастает и где убывает. Так, на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — убывает.

Отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определениях.

  • Если функция возрастает, то большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
  • Если функция убывает, то большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Обоснуем первое из этих свойств методом от противного. Пусть функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Допустим, что аргумент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не больше аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Из этого предположения получаем: если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением что противоречит условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Таким образом, наше предположение неверно, и если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением что и требовалось доказать. Аналогично обосновывается и второе свойство.

Например, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то, учитывая возрастание функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

4. Четные и нечетные функции. Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть содержат вместе с каждым числом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Для таких функций вводятся понятия четности и нечетности.

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется четной, если для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из ее области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (то есть функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) — четная, поскольку

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением четная, то ее графику вместе с каждой точкой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежит также и точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположены симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 24), поэтому и график четной функции расположен симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Например, график четной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 23) симметричен относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется нечетной, если для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из ее области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (то есть функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) — нечетная, поскольку

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нечетная, то ее графику вместе с каждой точкой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежит также и точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположены симметрично относительно начала координат (рис. 25), поэтому и график нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, график нечетной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (см. пункт 4 табл. 3) симметричен относительно начала координат, то есть точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Примеры решения задач:

Пример №20

Найдите область определения функции:

1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

1) ► Ограничений для нахождения значений выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нет, таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) ► Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задается ограничением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поскольку знаменатель дроби не может быть равным нулю. Выясним, когда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда область определения можно задать ограничениями Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или записать так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3) ► Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задается ограничением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поскольку под знаком квадратного корня должно стоят неотрицательное выражение. Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Поскольку все функции заданы формулами, то их области определения — это множество всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которых формула имеет смысл, то есть имеет смысл выражение, которое стоит в правой части формулы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

В курсе алгебры встречались только два ограничения, которые необходимо учитывать при нахождении области определения:

1) если выражение записано в виде дроби Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то знаменатель Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) если запись выражения содержит квадратный корень Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то подкоренное выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В других случаях, которые вам приходилось рассматривать, областью определения выражения были все действительные числаФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Пример №21

Найдите область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

► Составим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Оно равносильно уравнению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением которое имеет решения, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Все эти числа и составят область значений функции.

Таким образом, область значений заданной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Обозначим значение заданной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и выясним, для каких Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно найти соответствующее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (при этом значении Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Тогда все числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, для которых существует хотя бы один корень уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, войдут в область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Множество всех таких Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и составит область значений функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВ дальнейшем курсе алгебры и начал анализа 10 класса появятся новые выражения с ограничениями: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — нецелое число.

Полезно помнить, что

область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением совпадает с множеством тех значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которых уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет решения.

Пример №22

Докажите, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением областью значений линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является множество всех действительных чисел.

Решение

► ЕслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением (где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), то решение этого уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением существует для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением по условию).

Таким образом, значением заданной функции может быть любое действительное число. Итак, ее область значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Обозначим значение заданной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и выясним, для каких Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно найти соответствующее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, такое, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Множество всех таких значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и будет составлять область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Докажите, что линейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является возрастающей, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — убывающей.

Решение:

► Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Рассмотрим разность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и значит, функция возрастает.

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значит, функция убывает.

Комментарий:

Для обоснования возрастания или убывания функции полезно помнить, что для доказательства неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением достаточно найти знак разности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет возрастающей, если из неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет следовать неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а для доказательства последнего неравенства достаточно найти знак разности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (аналогично рассуждаем и для доказательства убывания функции).

Пример №23

Докажите, что:

1) сумма двух возрастающих на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функций всегда является возрастающей функцией на этом множестве;

2) сумма двух убывающих на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функций всегда является убывающей функцией на этом множестве.

Решение:

1) ►Пусть функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются возрастающими на одном и том же множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Складывая почленно эти неравенства, получаем

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Это и означает, что сумма функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является возрастающей функцией на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) ► Пусть функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются убывающими на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда из неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. После почленного сложения этих неравенств получаем:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

а это и означает, что сумма функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является убывающей функцией на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Для доказательства того, что сумма двух возрастающих функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является возрастающей функцией, достаточно доказать, что на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением следует неравенство

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Аналогично для доказательства того, что сумма двух убывающих функций является убывающей функцией, достаточно доказать, что если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №24

Докажите, что возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.

Решение:

► Пусть функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является возрастающей и

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (1)

Допустим, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ИЛИ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Учитывая возрастание Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, в случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что противоречит равенству (1). В случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением что также противоречит равенству (1).

Таким образом, наше предположение неверно, и равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возможно только при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Комментарий:

Докажем это утверждение методом от противного. Для этого достаточно допустить, что выполняется противоположное утверждение (функция может принимать одно и то же значение хотя бы в двух точках), и получить противоречие. Это будет означать, что наше предположение неверно, а верно данное утверждение.

То есть возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.

Аналогично доказывается утверждение и для убывающей функции.

Пример №25

Исследуйте, какие из данных функций являются четными, какие нечетными, а какие — ни четными, ни нечетными:

1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

1) ► Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть она не симметрична относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежит области определения, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — нет).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, заданная функция не является ни четной, ни нечетной.<1

2) ► Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть она симметрична относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением следовательно, функция четная.

3) ► Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть она симметрична относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, значит, функция нечетная.

Комментарий:

Для исследования функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на четность или нечетность достаточно, во-первых, убедиться, что область определения этой функции симметрична относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (вместе с каждой точкой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением содержит и точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), и, во-вторых, сравнить значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Обратная функция

1. Понятие обратной функции

Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения, то можно задать функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая называется обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

для каждого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением взаимно обратные

2. Свойства обратной функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

1) Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает (убывает) на некотором промежутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, и убывает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает

3. Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Алгоритм

1. Выяснить, будет ли функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением обратимой на всей области определения: для этого достаточно выяснить, имеет ли уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единственный корень относительно переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Если нет, то попытаться выделить промежуток, где существует обратная функция (например, это может быть промежуток, где функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает или убывает).

2. Из равенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выразить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

3. В полученной формуле ввести традиционные обозначения: аргумент обозначить через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функцию — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Пример №26

Найдите функцию, обратную к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

► Из равенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно однозначно выразить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функция — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Обозначим в полученной формуле аргумент через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функцию — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Получаем функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, обратную к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Объяснение и обоснование:

Понятие обратной функции

Известно, что зависимость пути от времени движения тела, которое движется равномерно с постоянной скоростью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, выражается формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от пройденного путиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Отметим, что в рассмотренном примере каждому значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и, наоборот, каждому значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде.

Пусть функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения (такая функция называется обратимой). Тогда для каждого числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (из области значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) существует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, такое, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Рассмотрим новую функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая каждому числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из области значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ставит в соответствие число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для каждого числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из области значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В этом случае функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому говорят, что функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением взаимно обратные.

Из определения обратной функции вытекает, что область значений прямой функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является областью определения обратной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а область определения прямой функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является областью значений обратной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. То есть:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства обратной функции

Свойство 1. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Учитывая приведенную выше процедуру построения функции, обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, имеем: если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то по определению графика функции точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Аналогично, поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположены на координатной плоскости симметрично относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 50). Действительно, прямая у = х является осью симметрии системы координат.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, при симметрии относительно этой прямой ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отображается на ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — на ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда (например, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) прямоугольник Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением со сторонами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на осях координат отображается на прямоугольник Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением со сторонами на осях координат Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Следовательно, при симметрии относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отображается в точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (а точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — в точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Таким образом, при симметрии относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением любая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, принадлежащая графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, имеет соответствующую точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, принадлежащую графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а любая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая принадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, имеет соответствующую точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, принадлежащую графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. То есть графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Свойство 2. Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает (убывает) на некотором промежутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, и убывает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает.

Действительно, если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает (убывает) на некотором промежутке, то по свойству возрастающей (убывающей) функции каждое свое значение она принимает в единственной точке из этого промежутка (см. пример 6 к пункту 2.1), таким образом, она имеет обратную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на этом промежутке. Обосновать, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, можно методом от противного.

Пусть числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением входят в область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (1)

Обозначим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. По определению обратной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением входят в ее область определения и

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (2)

Если допустить, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является возрастающей, то из неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не может вытекать неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (иначе функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет возрастающей), таким образом, для некоторых Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может выполняться неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Но тогда по формулам (2) получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что противоречит условию (1). Таким образом, наше предположение неверно, и функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает.

Аналогично обосновывается, что в случае, когда функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает, обратная к ней функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением тоже убывает.

Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции y=f(x)

Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Из определения обратной функции следует, что для получения обратной зависимости необходимо знать, как значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыражается через значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Это можно сделать, решив уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением относительно переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если заданная функция обратима, то уравнение будет иметь единственное решение для всех у из области значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и мы получим формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая задает обратную функцию. Но в этой формуле аргумент обозначен через у, а функция — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если поменять обозначения на традиционные, то получим запись функции, обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Эти рассуждения вместе с соответствующим алгоритмом приведены в таблице 7 и реализованы в решении следующих задач.

Примеры решения задач:

Пример №27

Найдите функцию, обратную к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

► Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда из равенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Обозначим аргумент через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функцию — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и получим

функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — обратную к заданной.

Комментарий:

На всей области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданная функция обратима, поскольку из уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно однозначно выразить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в области значений заданной функции). Полученная формула

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функция — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Изменяя обозначения на традиционные, получаем окончательный результат.

Пример №28

Найдите функцию, обратную к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

► Из равенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением одному значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствуют два значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Таким образом, на всей области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является обратимой, и для нее нельзя найти обратную функцию.

Комментарий:

Область значений заданной функции: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Но при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из равенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нельзя однозначно выразить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Например, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Вследствие этого мы не можем значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поставить в соответствие единственное число, чтобы построить обратную функцию.

Пример №29

Найдите функцию, обратную к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

► Из равенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Учитывая, что по условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Обозначим аргумент через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функцию — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и получим, что функцией, обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая задана только при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, будет функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Комментарий:

Множество значений заданной функции: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, таким образом, на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением она имеет обратную функцию, а значит, на этом промежутке уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением мы сможем решить однозначно: при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функция — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Изменяя обозначения на традиционные, получаем окончательный результат.

Замечание. В примерах 2 и 3 мы фактически рассматриваем различные функции (они имеют разные области определения), хотя в обоих случаях эти функции задаются одной и той же формулой. Как известно, графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (пример 2) является парабола, а графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(пример 3) является только правая ветвь этой параболы (рис. 51).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Связи между величинами функции

Учитель пишет на доске. При этом меняются длина мелового следа, масса, объем и даже температура кусочка мела.

Работает школьная столовая. В течение дня меняются количество посетивших ее учеников, расходы электроэнергии и воды, денежная выручка и т. п.

Вообще, в происходящих вокруг нас процессах многие величины меняют свои значения. Понятно, что некоторые из этих величин связаны между собой, т. е. изменение одной величины влечет за собой изменение другой.

Многие науки, такие как физика, химия, биология и другие, исследуют зависимости между величинами. Изучает эти связи и математика, конструируя математические модели реальных процессов. С понятием математической модели вы уже встречались в п. 3.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №30

Изменяется сторона квадрата. Понятно, что при этом будет меняться и его периметр. Если длину стороны квадрата обозначить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а периметр — Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то зависимость переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением от переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задается формулой

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Эта формула является математической моделью связи между такими величинами, как длина стороны квадрата и его периметр.

С помощью этой формулы можно, выбрав произвольную длину стороны, найти соответствующее значение периметра квадрата. Поэтому в этой модели переменную Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют независимой переменной, а переменную Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависимой переменной.

Подчеркнем, что эта формула задает правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

Пример №31

Семья положила в банк 10 ООО руб. под 10 % годовых. Тогда через год величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— сумма денег на счету — станет равной

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (руб.)

Через 2 года эта сумма составит

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(руб.)

Аналогично можно установить, что через 3 года Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением = 13 310 руб., через 4 года Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением руб., через 5 лет Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемруб.

В таблице показано, как зависит сумма денег, находящихся на счету, от количества прошедших лет:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Эта таблица является математической моделью зависимости величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением от величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Здесь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выступает в роли независимой переменной, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — зависимой.

Подчеркнем, что эта таблица задает правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

В старших классах вы докажете, что по количеству лет, которое 10 000 руб. пребывают на счету под 10 % годовых, соответствующее значение суммы можно найти с помощью формулы

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №32

На рисунке 8 изображен график зависимости температуры воздуха от времени суток.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Используя этот график, можно, выбрав произвольный момент времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, найти соответствующую температуру воздуха Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (в градусах Цельсия). Таким образом, величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является независимой переменной, а величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — зависимой.

Этот график можно рассматривать как математическую модель зависимости величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (температуры) от величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (времени).

Подчеркнем, что этот график задает правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

Несмотря на существенные различия приведенных трех примеров, им всем присуще следующее: указано правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной. Такое правило называют функцией, а соответствующую зависимость одной переменной от другой — функциональной.

Не всякая зависимость между переменными величинами является функциональной. Например, пусть длина автобусного маршрута равна 15 км. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Ясно, что переменные величины «стоимость проезда» и «длина пути, который проезжает пассажир» связаны между собой. Однако, если считать стоимость проезда независимой переменной, то описанная зависимость не является функциональной. Действительно, если пассажир заплатил 1 руб., то нельзя однозначно установить, какой путь он проехал.

Если в примере 3 температуру Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением считать независимой переменной, то не всегда возможно по значению величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением однозначно найти значение величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому приведенная зависимость времени от температуры не является функциональной.

Обычно независимую переменную обозначают буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, зависимую — буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, функцию (правило) — буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если переменная у функционально зависит от переменной х, то этот факт обозначают так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (читают: «игрек равен эф от икс»).

Независимую переменную еще называют аргументом функции.

Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Так, в первом примере областью определения функции являются все положительные числа; во втором — натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5; в третьем — все неотрицательные числа, не превосходящие 24.

Для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением каждому значению аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует некоторое значение зависимой переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Значение зависимой переменной еще называют значением функции и обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНапример, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это значение функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Так, в первом примере Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением во втором Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в третьем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Вообще, запись Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением означает, что аргументу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

В примере 1 область значений функции — это все положительные числа, в примере 2 — числа, записанные во второй строке таблицы, в примере 3 — все числа, не меньшие -5 и не большие 7.

Понятие функции

Вам известно, что зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией. Уточним определение функции.

Говорят, что задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если заданы:

  • числовое множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • правило (закон, зависимость) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением по которому каждому элементу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ставится в соответствие единственное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значения переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют значениями аргумента, а значения переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — значениями функции.

Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — это множество всех значений аргумента. Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может быть числовым промежутком, объединением нескольких промежутков, конечным или бесконечным множеством чисел.

Множество всех значений, которые принимает функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют множеством значений функции и обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция y=f(x)

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— аргумент

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — множество значений

Чтобы задать функцию, нужно:

  1. Указать область определения функции.
  2. Указать правило, с помощью которого по значению аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно найти соответствующее значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, рассмотрим функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Зависимость между переменными в этих функциях определяется одним и тем же правилом: значение аргумента возводится в квадрат, и получается значение функции. Но, согласно определению, это две разные функции, поскольку у них разные области определения.

Если область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не указана, то в таких случаях подразумевается, что область определения функции состоит из всех тех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при которых выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задающее функцию, имеет смысл.

Например, рассмотрим функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет смысл при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением так как при этих значениях переменной х подкоренное выражение неотрицательно и корень из числа имеет смысл. Значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет смысл для всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением кроме числа 1. Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является множество всех действительных чисел, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поскольку выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет смысл при любом значении переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Способы задания функции

Функцию можно задавать различными способами.

Функция считается заданной, если указаны ее область определения и правило, с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной.

Вам не раз приходилось формулировать различные правила. Поскольку функция — это правило, то ее можно задать словами. Такой способ задания функции называют описательным.

Приведем несколько примеров:

Пример №33

Пусть независимая переменная принимает любые значения. Значения зависимой переменной находим по правилу: каждое значение независимой переменной умножим на два и из полученного произведения вычтем единицу. Очевидно, что таким способом значение зависимой переменной находится однозначно. Следовательно, мы задали некоторую функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, областью определения которой являются все числа. Например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №34

Пусть независимая переменная принимает любые значения, кроме 0. Соответствующие значения зависимой и независимой переменных — взаимно обратные числа. Здесь задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, область определения которой — все числа, кроме 0. Например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим самый распространенный способ задания функции: задание функции с помощью формулы.

Если в примере независимую переменную обозначить буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а зависимую — буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то формула Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — любое число, задает вышеописанную функцию.

Понятно, что функцию из второго примера задает формула Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — любое число, кроме 0.

Замечание. Если функция задана формулой, правая часть которой — целое выражение, и при этом не указана область определения, то будем считать, что областью определения такой функции являются все числа. Например, записи Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением означают, что заданы функции, областью определения каждой из которых являются все числа.

Если, например, функция задана формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то просто говорят, что задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если хотят подчеркнуть, что формула, например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задает некоторую функциюФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то пишут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если хотят подчеркнуть, что, например, формула Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задает функцию с аргументом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и зависимой переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то пишут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением областью определения которой являются числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Имеем:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Полученные результаты занесем в таблицу:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Все числа, записанные в первой строке этой таблицы, составляют область определения данной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Следовательно, эта таблица — еще один способ задания функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Его называют табличным.

Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда область определения функции состоит из нескольких чисел.

Пример №35

Функция задана формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 12.

Решение:

Подставив в формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вместо Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением число 12, получаем уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением откуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Ответ: 2.

Пример №36

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задана таким образом: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдите значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, соответствующие аргументам:

1) -2; 2) -1; 3) 1.

Решение:

1) Так как -2 < -1, то значение функции вычисляется по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСледовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

2) Так как -1 < -1, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3) Так как 1 > -1, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Заметим, что для задания данной функции используют форму записи с помощью фигурной скобки:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №37

Функции заданы формулами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением При каком значении аргумента эти функции принимают равные значения?

Решение:

Чтобы найти искомое значение аргумента, решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Имеем:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Ответ: при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Более лёгкое объяснение способов задания функции

Пусть сторона квадрата равна Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением см, а его периметр — Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением см. Зная сторону а, по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно найти соответствующее ей значение периметра Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Например,

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Видим, что значения периметра зависят от того, какие значения мы выбирали для длины стороны квадрата. Заметим также, что каждому значению длины стороны соответствует одно определенное значение периметра. Так, значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В данном примере имеем две зависимые переменные Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— длину стороны квадрата и его периметр. Значения переменной а можно выбирать произвольно, а значения переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением зависят от выбранных значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют независимой переменной, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависимой переменной.

Рассмотрим еще один пример зависимости между переменными.

Водитель решил проследить по спидометру, какое расстояние он проедет за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 4,5 ч, 5 ч. Результаты наблюдении он записал в таблицу:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В данном примере имеем две зависимые переменные: время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и расстояниеФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением пройденное за это время. Значения расстояния зависят от значений времени. Так, времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует значение расстояния Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — значение расстояния Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Каждому значению времени соответствует одно определенное значение расстояния. Поэтому в данном случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является независимой переменной, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а зависимую переменную — буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. При таких условиях для зависимой переменной используют термин «функция».

Определение:

Переменную Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют функцией переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если каждому значению переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует единственное значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для независимой переменной также существует специальный термин: ее называют аргументом. Говорят: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется функцией аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Итак, в рассмотренных примерах:

периметр Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением квадрата является функцией длины его стороны Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; тут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— функция, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — аргумент;

расстояние Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является функцией времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; тут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — функция; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — аргумент.

Первая функция задана формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Вторая функция задана таблицей.

Область определения и область значений функции:

Все значения, принимаемые независимой переменной (аргументом), образуют область определения функции; все значения, принимаемые зависимой переменной (функцией), образуют область значений функции.

Так, область определения функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, образуют все значения, которые может принимать переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поскольку эта переменная определяет длину стороны квадрата, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может принимать только положительные значения. Таким образом, область определения этой функции образуют все положительные числа.

Область значений функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, образуют все значения, которые может принимать зависимая переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Периметр Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не может равняться отрицательному числу или нулю, однако может равняться любому положительному числу. Например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может равняться 2, так как 2 — это периметр квадрата со стороной 0,5. Таким образом, область значений этой функции образуют все положительные числа.

Область определения функции, заданной таблицей, образуют числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа первой строки таблицы); область значений этой функции образуют числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа второй строки таблицы).

Рассмотрим функцию, заданную формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Такая запись означает, что область определения функции образуют все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением которые удовлетворяют неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если функция задана формулойФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением и не указано, какие значения может принимать аргумент, то считают, что область определения функции образуют все числа.

Примеры решения заданий:

Пример №38

Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км\ч, проходит за Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ч расстояние 5 км. Задать формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением как функцию аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Найти значения функции, соответствующие значениям аргумента: 2; 2,5; 4.

Решение:

Функция задается формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №39

Начиная с трех часов, через каждый час измеряли атмосферное давление и данные записывали в таблицу: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Зависимость между какими переменными задает таблица? Задаст ли таблица функцию? Какое давление в мм ртутного столбика было в 4 ч; в 8 ч? Какова область определения функции; область значений?

Решение:

Таблица задаст зависимость между временем суток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и атмосферным давлением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является функцией переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поскольку каждому значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то по таблице находим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Итак, в 4 часа атмосферное давление было 748 мм рт. ст. Аналогично в 8 часов — 755 мм рт. ст.

Область определения функции образуют числа 3,4, 5,6, 7, 8 и 9, а область значений — числа 746,748, 751,752, 755 и 756.

Пример №40

Функция задана формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Составить таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, выбирая для аргумента такие значения: -6; -3; -2; 0; 2; 3; 6.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №41

При каких значениях аргумента значение функции равно -3, если функция задана формулой:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Чтобы найти значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которых Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Итак, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значение -3 функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — уравнения корней не имеет. Значение -3 функция не принимает.

График функции:

Рассмотрим функцию, заданную формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и запишем результаты в таблицу:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением мы выбирали так, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Поэтому говорят, что таблица значений функции составлена с шагом 1.

Отметим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны выбранным значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции (рис. 4).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Выбирая другие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и вычисляя соответствующие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, получим другие пары значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Каждой из этих пар также соответствует определенная точка на координатной плоскости. Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 5).

График функции образуют точки координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ задания функции:

Имея график функции, можно находить ее значение при известном значении аргумента и наоборот: находить значения аргумента при известном значении функции.

Рассмотрим, например, функцию, график которой изображен на рисунке 6. (О такой функции говорят, что она задана графически.)

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Найдем с помощью графика значение функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Для этого через точку оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с абсциссой 4 проведем прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точка ее пересечения с графиком функции имеет координаты (4; 8). Следовательно, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение функции равно 8. Найдем с помощью этого же графика значения аргумента, при которых значение функции равно 6. Для этого через точку оси у с ординатой 6 проведем прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Получим две точки ее пересечения с графиком функции: (2; 6) и (8; 6). Таким образом, функция принимает значение 6 приФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Некоторая линия на координатной плоскости задает функцию, если, пользуясь ею, для каждого значения переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно найти только одно значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Рассматривая график, изображенный на рисунке 6, можно отметить некоторые свойства функции, заданной этим графиком.

  1. Область определения функции образуют все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  2. Наибольшее значение функции равно 9 (это значение функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).
  3. Наименьшее значение функции равно -2 (это значение функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).
  4. Область значений функции образуют все значения у, удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  5. Значение функции равно нулю при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТе значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции. Следовательно, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нулем данной функции.
  6. Функция принимает положительные значения, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отрицательные значения — если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция как математическая модель реальных процессов:

Рассмотрим рисунок 7, на котором изображен график изменения температуры воды на протяжении 20 мин.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Из графика видно, что начальная температура воды равнялась 20°С; на протяжении первых 8 мин температура воды увеличилась до 100°С, потом на протяжении 6 мин (от 8 мин до 14 мин) температура воды не изменялась, а на протяжении следующих 6 мин температура воды понизилась до 80°С.

Функция, график которой изображен на рисунке 7, описывает реальный процесс изменения температуры воды. Говорят, что эта функция моделирует данный процесс, или что она является математической моделью данного процесса.

Если тело движется равномерно со скоростью 15 м/с, то расстояние Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением м, пройденное ним за время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с, можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением В этом случае функция, заданная формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является математической моделью равномерного движения.

В седьмом и последующих классах мы познакомимся со многими функциями, которые можно использовать при моделировании реальных процессов и зависимостей между разными величинами.

Примеры решения упражнений:

Пример №42

Построить график функции, заданной формулой:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением составив таблицу значений функции с шагом 1;

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Составим таблицу значений функции:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Если к этим точкам приложить линейку, то увидим, что все они лежат на одной прямой. Соединим отрезком крайние отмеченные точки. Этот отрезок и является графиком функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 8).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Составим таблицу значений функции:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Имеем график функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 9). •

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №43

Принадлежит ли графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет принадлежать графику данной функции, если значение функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равно 9.

Находим: если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значение функции не равно 9. Следовательно, точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графику функции не принадлежит.

Для точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежит графику функции.

Пример №44

На рисунке 10 изображен график функции. Используя график, заполнить таблицу:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Заполним таблицу:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Разные способы задания функции

Функция может быть задана различными способами: таблицей, парой соответствующих значений, графом зависимости, графиком, формулой и т.д.

Если область определения конечное множество, то зависимость между аргументом и соответствующим значением можно показать стрелками. Такое представление называется графом зависимости.

Пример:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Здесь каждое из соответствий Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются функцией, гак как для каждого числа из множества X ставится в соответствие единственное число из множества Y. Соответствие h не является функцией (почему?). В соответствии с правилом можно написать:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(1) = 15, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением2) = 20, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(3) = 25 и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(0) = 0, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(-1) = 1, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(1) = 1, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(-2) = 4, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(2) = 4

Эти функции также можно задать множеством упорядоченных пар аргументов и соответствующих значений. Для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением {(1;15),(2;20),(3; 25)}, для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением{(0; 0), (-1; 1), (1; 1), (-2; 4), (2; 4)}

Функция может быть задана таблицей:

В таблице в одной строке (или в столбце) показаны значения независимой переменной, в другой строке (или в столбце) значения зависимой переменной.

Пример:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Координаты (2009; 3), (2010; 4), (2011; 2), (2012; 3), (20013; 5), (2014; 3),

(2015; 4) показывают изменение количества собранного урожая с 1 гектара в зависимости от года.

Область определения (года): {2009; 2010; 2011; 2012; 2013; 2014; 2015}

Множество значений (количество собранного урожая):{2; 3; 4; 5}

Функция может быть задана аналитически - формулой.

Пример: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эта запись показывает, что область определения функции отрезок [1; 3], и каждому числу из данного отрезка ставится в соответствие его квадрат.

Например,

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и т.д.

В этом случае записьФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением не имеет смысла, так как число 4 не принадлежит области определения функции, а именно отрезку [1; 3].

Функция может быть задана графически. Зависимость, между двумя величинами, наиболее удобно изображать геометрически на координатной плоскости. Для каждого значения аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вычисляется соответствующее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точки, с координатами (х; у), строятся на координатной плоскости. Множество таких точек образует график функции. График функции это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример:

На рисунке на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графически задана линейная функцияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точки, являющиеся концами отрезка, имеют координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. (-4; -1) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. (4; 5) и принадлежат графику. На рисунке они закрашены.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Множество значений: [- 1, 5].

Примечание: если концевые точки кривой графика функции (или отрезка прямой) не отмечены специальными точками, то это показывает, что линия может быть продолжена до бесконечности (обычно изображается стрелками на концах).

Является или нет зависимость между двумя величинами функцией, можно определить по множеству точек, координаты которых выражены упорядоченными парами, или по графику.

По координатам точек. Если среди значений аргумента (первое значение) есть повторяющееся, то зависимость не является функцией. Для множества точек {(1; А), (1; В), (2; С), (3; О)} зависимость не является функцией, зависимость {(1; А), (2; В), (3; С), (4; С), (5; О)} является функцией.

По графику. Если любая прямая, проведённая параллельно оси ординат, пересекается с графиком самое большее в одной точке, то эта зависимость является функцией (рис.а ). Если существует прямая, параллельная оси ординат, которая пересекает график в двух (или более точках)(рис.б ), то эта зависимость не является функцией. Это указывает на то, что одним и тем же значениям аргумента (х) соответствует несколько значений функции, что противоречит определению функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Аналитический способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции определяется с помощью формулы, то такой способ задания функции называют аналитическим.

Так, функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — заданы аналитически.

Отметим, что одна и та же функция может быть задана разными формулами. Например, формулы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзадают одну и ту же функцию.

Словесный способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции описывается словами, т. е. если объясняется, каким образом значению аргумента ставится в соответствие значение функции, то такой способ задания функции — словесный.

Рассмотрим пример функции, заданной словесно: «Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением определена на множестве натуральных чисел, и каждому значению аргумента ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи». Вычислим несколько значений данной функции: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Табличный способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции указывается с помощью таблицы, в первой строке которой указываются значения аргумента, а во второй — соответствующие значения функции, то говорят, что функция задана таблицей.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, метеорологи составляют таблицы, которые описывают различные зависимости между значениями наблюдаемых величин.

Таблица 1. Суточные суммы солнечной радиации при отсутствии атмосферы (Северное полушарие, зимнее солнцестояние)

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таблица 1 задает функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением зависимости суточной суммы солнечной радиации от широты, на которой выполняется наблюдение.

С помощью таблицы найдем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и выясним, на какой широте значение суточной суммы радиации равно нулю. Для этого найдем значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением по значениям аргумента: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением А затем найдем значение аргумента по значениям функции: значение суточной суммы радиации равно нулю на широтах: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Графический способ задания функции

Способ задания функции с помощью множества точек координатной плоскости называется графическим.

Пусть кривая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 2) — некоторое множество точек на координатной плоскости.

Напомним, как по значению аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением найти значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВозьмем на оси абсцисс произвольную точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Она пересечет кривую Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в некоторой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Ордината Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением этой точки является значением функции при значении аргумента, равном Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом указывается соответствие между множеством значений аргумента и значениями функции.

Областью определения функции является множество абсцисс точек кривой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а множеством значений функции — множество ординат этих точек.

По графику определяем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Важно помнить, что не любое множество точек на координатной плоскости задает функцию. Например, кривую, изображенную на рисунке 3, прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением пересекает в двух точках, т. е. значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует не единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, эта кривая не задает функцию.

Произвольная кривая на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, параллельная оси ординат, имеет с этой кривой не более одной общей точки.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Определение: Множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, называют графиком функции.

Со свойствами и графиками некоторых функций вы познакомились в 7—8-х классах. Так, вам известно, что графиком линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является прямая (рис. 4, а), графиком квадратичной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — парабола (рис. 4, б), графиком обратной пропорциональности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — гипербола (рис. 4, в). Кроме того, вы изучали свойства функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением графики которых изображены на рисунках 4, г—е.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №45

Найдите значение функции:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— если значение аргумента равно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а) Значение аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением подставим в формулу функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и получим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №46

Найдите, при каком значении аргумента значение функции:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— равно 1.

Решение:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Решим уравнение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равно 1 при значениях аргумента, равных Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равно 1 при значении аргумента, равном Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равно 1 при значениях аргумента, равных 1 и -1.

Пример №47

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задана аналитически на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Задайте ее:

а) таблицей;

б) графически.

Решение:

а) Вычислим по заданным значениям аргумента значения функции и заполним таблицу:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Построим точки, координаты которых заданы таблицей.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №48

Найдите Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением по графику функции, изображенному на рисунке 5.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рис. 5

Решение:

а) Областью определения данной функции является множество абсцисс точек графика функции, а множеством значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множество ординат этих точек.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

По данному графику определяем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Областью определения функции, график которой изображен на рисунке 5, б, является отрезок Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в)* Так как на графике функции нет точки с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №49

Найдите область определения функции:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

г) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а) Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не равен нулю, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Дробь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет смысл для всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением кроме Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а дробь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет смысл для всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением кроме Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется множество всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при которых подкоренное выражение неотрицательно, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемРешим полученное квадратное неравенство. Нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Ветви параболы направлены вверх. Неотрицательные значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

г) Область определения данной функции совпадает со множеством решений системы неравенств:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №50

Найдите множество значений функций:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а) Так как по определению модуля числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для любого числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является парабола, ветви которой направлены вниз Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, множеством значений данной функции является промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдем абсциссу вершины параболы: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) По определению арифметический квадратный корень из неотрицательного числа является числом неотрицательным. Значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для всех значений переменной, принадлежащих области определения функции. Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства функции

При изучении функций вы познакомились с их свойствами, например такими как нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции. Обобщим эти свойства для функции числового аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданной графически и аналитически.

Повторим важнейшие сведения о свойтвах функции:

Если каждому значению переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из некоторого множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует единственное значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то такое соответствие называют функцией.

При этом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют независимой переменной, или аргументом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — зависимой переменной, или функцией.

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Множество всех значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 1).
Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Две функции считаются разными, если у них разные области определения или правила соответствия. Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданная на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданная на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением разные. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданные на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением одинаковые, поскольку выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением  тождественно равны.

Чтобы задать функцию, достаточно указать её область определения и правило соответствия. Если область определения не указывают, то считают, что она такая же, как и область допустимых значений формулы, которой задаётся функция.

Задавать функции можно разными способами: формулами, таблицами, графиками и т. д.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Определение важнейших свойств функции

Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Глядя на график, сразу можно оценить функцию, которую он задаёт, т. е. выявить её важнейшие свойства:

  1. найти область определения, область значений;
  2. выяснить, является ли данная функция периодической, чётной или нечётной;
  3. найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства;
  4. определить промежутки возрастания или убывания.

Если функция задана графически, то область определения функции — проекция её графика на ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением область значений — проекция её графика на ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (см. рис. 1).

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График чётной функции симметричен относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 2), а нечётной — симметричен относительно начала координат (рис. 3).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, из функций, заданных на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением чётные, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нечётные, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ни чётные, ни нечётные.

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется периодической с периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из области её определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График периодической функции с периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отображается на себя параллельным переносом на расстояние Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 4). Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением периодические с наименьшим положительным периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — с наименьшим положительным периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Область определения периодической функции — вся числовая прямая, или периодически повторяющееся бесконечное с обеих сторон множество числовых промежутков.

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает (убывает) на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из этого промежутка большему значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует большее (меньшее) значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает, на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на всей области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Опишем для примера свойства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график которой представлен на рисунке 5.

  1. Область определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  2. Область значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  3. Функция чётная.
  4. Функция не периодическая.
  5. График функции с осью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением пересекается в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  6. Функция имеет пять нулей: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  7. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  8. Функция убывает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция возрастает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  9. Функция имеет наибольшее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и наименьшее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Исследовать функцию можно и без построения графика — с помощью формулы, которая её задаёт, и специальных методов математического анализа. С такими методами исследования функций вы ознакомитесь в следующих разделах.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется рациональной, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — рациональное выражение относительно переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Таковыми, в частности, есть линейные, квадратичные и степенные функции с целыми показателями. Из всех рациональных функций только функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может быть периодической (рис. 6).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция задана формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (на области, симметричной относительно нуля) — одновременно чётная и нечётная.

Пример №51

Для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением найдите:

а)    значение функции, если значение аргумента равно 10;

б)    значение аргумента, при котором значение функции равно 10.

Решение:

а) Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №52

Докажите, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — нечётная.

Решение:

Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множество всех действительных чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — симметричное относительно начала координат. Найдём Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением учитывая, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — нечётная функция, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — чётная функция. Имеем: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Итак, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением  нечётная.

Пример №53

Постройте график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Раскроем модуль в формуле, задающей функцию:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является часть параболы, которая проходит через точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением и имеет вершину в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЕсли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то графиком функции является часть параболы, которая проходит через точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и имеет вершину в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Графиком данной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является объединение обоих графиков (рис. 7).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Нули функции

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

Нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график которой изображен на рисунке 11, являются значения аргумента, равные -2, 4 и 8, так как при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значение функции равно нулю.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рис. 11

В точках с абсциссами -2, 4 и 8 график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением пересекает ось абсцисс.

Найдем нули функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданной аналитически. Для этого решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т. е.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значит, числа -1, 1 и 2,5 являются нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Напомню:

Самым удобным способом изучения свойств функции является графический способ.

Запомните:

Определив но графику абсциссы точек можно установить область определения функции. В точках пересечения графика функции с осью абсциссФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому абсциссы этих точек называются нулями функции. Нулями функции называются значения аргумента, которые превращают функцию в нуль. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются корни уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Нули функции разбивают область определения на несколько промежутков, в каждом из которых функция, сохраняет свой знак, принимая положительные или отрицательные значения. На графике, изображённом на рисунке схематично, представлены промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции

Промежуток, на котором функция принимает значения только одного знака, называется промежутком знакопостоянства функции.

На промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением лежит ниже оси абсцисс (рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках отрицательны, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

На промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением лежит выше оси абсцисс (см. рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках положительны, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рис. 12

Промежутки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются промежутками знакопостоянства данной функции.

Обычно при изучении свойств функций рассматривают промежутки знакопостоянства максимальной длины.

Найдем промежутки знакопостоянства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданной аналитически. Для этого решим неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. выясним, при каких значениях аргумента значения данной функции отрицательны, а при каких положительны. Получим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Очевидно, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значения функции положительны.

Промежутки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются промежутками знакопостоянства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Монотонность функции

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из этого промежутка, таких, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 13).

Другими словами, функция возрастает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из этого промежутка, таких, чтоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 14).

Иначе говоря, функция убывает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции, а функцию называют монотонной на промежутке возрастания или убывания.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.

Определим промежутки возрастания функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заданной графически (рис. 15). При увеличении абсциссы от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением до Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значения функции увеличиваются (точки на графике «поднимаются вверх»), значит, на отрезке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает еще на двух промежутках: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При увеличении абсциссы от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением до Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значения функции уменьшаются (точки на графике «опускаются вниз»), значит, на отрезке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает. Данная функция убывает также на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Напомню:

Монотонность. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется возрастающей (убывающей) на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда функция возрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и убывает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (см. рис. 5.4).

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями. Рис. 5.4

! Если говорить точнее, то строго монотонными; к монотонным функциям, наряду с возрастающими и убывающими, относятся неубывающие и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемудовлетворяющих условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением , соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Так, например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.6) при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает и при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №54

Докажите, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением линейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на области определения, т. е. является возрастающей, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает на области определения, т. е. является убывающей.

Доказательство:

Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — произвольные значения аргумента из области определения функции, причем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Рассмотрим разность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то знак произведения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением зависит от знака числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значит, для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получим, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является возрастающей.

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значит, для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получим, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является убывающей.

Пример №55

На рисунке 16 изображен график функции у = f(x). Найдите:

  • а) нули функции;
  • б) промежутки знакопостоянства функции;
  • в) промежутки монотонности функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рис. 16

Решение:

  • а) Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением При этих значениях аргумента значения функции равны нулю, т. е. числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются нулями функции.
  • б) Функция принимает положительные значения (график функции расположен выше оси абсцисс) на промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а отрицательные значения (график функции расположен ниже оси абсцисс) на промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • в) Функция убывает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика уменьшаются) на промежутках: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция возрастает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика увеличиваются) на промежутках: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №56

Найдите нули функции:

  • а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • в)* Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

  • а) Для того чтобы найти нули данной функции, нужно решить уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значение аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нулем данной функции.
  • б) Нулями данной функции являются корни уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Решим квадратное уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Воспользуемся теоремой Виета и получим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Числа 1 и 3 являются нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • в)* Решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Поскольку модуль не может быть равен отрицательному числу, то уравнение не имеет корней, а значит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не имеет нулей.

Пример №57

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

  • а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • в)* Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а) Найдем, при каких значениях аргумента функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает положительные значения, т. е. решим неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция принимает отрицательные значения, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Найдем промежутки знакопостоянства функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, на промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значения функции положительны, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значения функции отрицательны.

в)* Решим неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решением полученного неравенства является любое действительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значит, функция принимает положительные значения при любых значениях аргумента, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №58

Найдите промежутки монотонности функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Покажем, что функция возрастает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — произвольные значения аргумента из промежутка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением причем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением По свойству числовых неравенств, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Следовательно, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — произвольные значения аргумента из промежутка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением причем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то по свойству числовых неравенств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отметим, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением но не возрастает на всей ее области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Покажем это, приведя контрпример.

Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В данном случае для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением что противоречит определению.

Если для любых значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на области определения функции из Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением следует , Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением , т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то этот промежуток называется промежутком возрастания Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если же Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то промежуток называется промежутком убывания Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Возрастание функции на промежутке будем показывать стрелкойФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а убывание стрелкойФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает (убывает) на каком го промежутке, то функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна этом же промежутке убывает (возрастает).

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на этом же промежутке убывает.

Если знакопостоянная функцияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает (убывает) на каком - то промежутке, то функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает (возрастает) на этом же промежутке.

Например, функцияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением возрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением убывает на этом же промежутке.

По знаку углового коэффициента можно определить возрастает или убывает линейная функция.

Если угловой коэффициент положителен, то функция возрастает. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если угловой коэффициент отрицателен, то функция убывает.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Покажем аналитически что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на всей числовой оси возрастающая, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - убывающая. Возьмём из промежутка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемаргументы, удовлетворяющие условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и найдём разность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

По условию, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемразность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет одинаковый знак

со знаком Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. функция возрастающая, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. функция убывающая.

Функции, возрастающие или убывающие на данном промежутке, называются монотонными на этом промежутке. Точки, в которых происходит переход от убывания к возрастанию или от возрастания к убыванию, являются точками максимума или минимума. Любой интервал, содержащий точку хо называется окрестностью точки.

Если для любых точек х Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в некоторой окрестности точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется точкой минимума функции, аФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется минимальным значением функции. Если для любых точек х Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением в некоторой окрестности точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется точкой максимума функции, аФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением максимальным значением функции.

Точки максимума и минимума обозначаются как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Функция в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет минимум, в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет максимум и это записывается так:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Среди всех значений функции на области определения наибольшее обозначается НБЗ, а меньшее НМЗ (если они есть). Если функция непрерывна на заданном отрезке (график сплошная линия), то она принимает все значения между НБЗ и НМЗ.

Пример №59

Перечислите все свойства функции на графике.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

1. Область определения функции промежуток [-1; 5). Если х = -1, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(соответствующая точка закрашена). Точка (5; 2) не принадлежит графику (она выколота). Множество значений функции промежуток [—3;3]

2. Нули функции. График пересекает ось х в точках с абсциссами: х = 1 и х = 4. То есть, значения х= 1 и х = 4 являются нулями функции: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Нули функции разбивают область определения функции на три промежутка знакопостоянства: [-1; 1), (1; 4) и (4; 5).

На промежутке (1; 4) функция принимает отрицательные значения, в каждом из промежутков [-1; 1) и (4; 5) положительные значения.

3. Возрастание и убывание функции. По графику видно, что при увеличении значений х от -1 до 0, значения у увеличивается от 1 до 3, а при увеличении значений х от 0 до 2, значения у уменьшаются от 3 до -3, при увеличении х от 2 до 5, у увеличивается от -3 до 2. Функция на каждом из промежутков [-1; 0] и [2; 5) возрастает, а на промежутке [0; 2] убывает.

4. Экстремумы функции - максимумы и минимумы. Точки (0; 3) и

(2; -3) на графике являются точками экстремума. Соответственно эти точки показывают максимум и минимум функции: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Четные и нечетные функции

Для построения графиков функций, решения уравнений и неравенств вы используете свойства функций. Еще одним свойством, позволяющим найти рациональное решение, является свойство четности (нечетности) функции.

Определение: Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется четной, если:

  • (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
  • (2) для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим функцию, область определения которой симметрична относительно точки х = 0.

Если для любого х из области определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается чётной функцией.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если для любого х из области определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется нечётной функцией.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Вовсе не все функции бывают чётными или нечётными. Если область определения функции не симметрична относительною точки х = 0, то функция ни чётная и ни нечётная. Аналогично, если для функции, область определения которой симметрична относительною 0, нарушается выполнение условий Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то функция также является ни чётной и ни нечётной.

Пример №60

Выясним чётной или нечётной является функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Областью определения данной функции являются множество всех действительных чисел и оно симметрично относительно точки х = 0.

Однако, так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением,

то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Значит, функция ни чётная и ни нечётная.

Пример №61

Выясним чётной или нечётной является функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

Область определения функции множество всех действительных чисел и

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТаким образом данная функция нечётная.

Пример №62

По графику выясним чётной или нечётной является функция.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Напомню:

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется четной, если для любых значений х из области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением и нечетной, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением В противном случае функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется функцией общего вида.

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной (так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— нечетной (так какФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В то же время, например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является функцией общего вида, так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна рис. 5.6), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна рис. 5.5)

Чётные функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим отрезок Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Он не может быть областью определения четной функции, так как значение аргумента, например, равное Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принадлежит этому отрезку, а противоположное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не принадлежит.

Условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента равны.

Чтобы доказать, что функция является четной, нужно:

  1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
  2. Записать выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  3. Показать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Докажите, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной.

  • (1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.
  • (2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • (3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной.

Пример №63

Докажите, что функция является четной:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а) (1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.

(2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной.

б) (1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.

(2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной.

Пример №64

Выясните, является ли функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением четной.

Решение:

Областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является луч Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением он не симметричен относительно нуля. Первое условие определения четной функции не выполнено, значит, данная функция не является четной.

Пример №65

Определите, является ли функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, область определения данной функции симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция является четной.

Пример №66

Докажите, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является четной.

Решение:

Чтобы доказать, что функция не является четной, достаточно привести контрпример, т. е. найти хотя бы одно значение х из ее области определения, для которого не выполняется равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Получили, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является четной.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 26).

На рисунке 27 даны примеры графиков четных функций.

Если график некоторой функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция является четной. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Определение:

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется нечетной, если:

  • (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
  • (2) для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента противоположны.

Нечетные функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Чтобы доказать, что функция является нечетной, нужно:

  1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
  2. Записать выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  3. Показать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Докажите, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной.

(1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.

(2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной.

Пример №67

Докажите, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной.

Решение:

(1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.

(2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной.

Пример №68

Определите, является ли функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нечетной.

Решение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной.

Пример №69

Известно, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нечетная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдите значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Так как функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нечетная, то выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 28).

На рисунке 29 приведены примеры графиков нечетных функций.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если график некоторой функции симметричен относительно начала координат, то эта функция является нечетной.

Если необходимо исследовать функцию на четность, то нужно выяснить является ли данная функция четной; нечетной. Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №70

Исследуйте на четность функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то область определения данной функции симметрична относительно нуля, значит, первое условие четности (нечетности) функции выполнено.

Проверим, верно ли одно из равенств: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является четной.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является нечетной.

Таким образом, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является ни четной, ни нечетной.

Пример №71

Определите, может ли областью определения четной или нечетной функции являться множество чисел:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

г) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

д) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

е) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Множества чисел а); в); д) симметричны относительно нуля, значит, они могут быть областью определения четной или нечетной функции. Множества чисел б); г); е) не симметричны относительно нуля, следовательно, они не могут быть областью определения четной или нечетной функции.

Пример №72

Докажите, что функция:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной;

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной.

Решение:

а) (1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.

(2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— четная.

б) (1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметрична относительно нуля.

(2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением нечетная.

Пример №73

Какой (нечетной; четной; ни четной, ни нечетной) является функция:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

г) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

д) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

е)*Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения функции симметрична относительно начала координат; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением -функция нечетная;

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения функции симметрична относительно начала координат;

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

функция нечетная;

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения функции не симметрична относительно начата координат, значит, функция не является ни четной, ни нечетной;

г) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения функции симметрична относительно начала координат; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением — функция четная;

д) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения функции симметрична относительно начала координат, но функция ни четная, ни нечетная, так как, например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

е)* Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — область определения функции симметрична относительно начата координат; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением — функция четная.

Пример №74

Исследуйте на четность функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Область определения функции симметрична относительно нуля.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то функция является нечетной.

Пример №75

Известно, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдите значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Так как функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является четной, то выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Найдем значение выражения

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №76

Известно, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдите значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Так как функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является нечетной, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдем значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №77

Определите вид функции (четная; нечетная; ни четная, ни нечетная), заданной графически (рис. 30).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

На рисунках 30, а, г изображены графики четных функций, так как они симметричны относительно оси ординат.

Графики функций на рисунках 30, б, в имеют несимметричные области определения, значит, эти функции не являются ни четными, ни нечетными.

На рисунке 30, д изображен график нечетной функции, так как он симметричен относительно начала координат.

Пример №78

На рисунке 31 изображена часть графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Изобразите график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если известно, что она является: а) четной; б) нечетной.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Построение графиков функций y=f(x)±b, y=f(x±a)

Ранее вы рассматривали такие преобразования геометрических фигур, как симметрию относительно точки, симметрию относительно прямой и др.

Построение графиков функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Вам известно, что графики четных функций симметричны относительно оси ординат (например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), а нечетных — относительно начала координат (например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Геометрические представления можно применять для построения графиков одних функций, используя графики других, уже известных функций.

Рассмотрим функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Составим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 46).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Сравним расположение точек графиков этих функций, имеющих одинаковые абсциссы. Например, рассмотрим точку (1; 1) на первом графике и точку (1; 5) на втором. Эти точки лежат на прямой, параллельной оси ординат, причем точка (1; 5) находится на 4 единицы выше точки (1; 1). Точка (4; 6) лежит на 4 единицы выше точки (4; 2). Таким же образом расположены все другие точки этих графиков, имеющие одинаковые абсциссы. Можно сделать вывод, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получен сдвигом (параллельным переносом) графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 4 единицы вверх вдоль оси ординат.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассматривая точки графиков функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс одинаковыми абсциссами (рис. 47), заметим, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получен сдвигом (параллельным переносом) графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 4 единицы вниз вдоль оси ординат.

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси ординат на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц вверх, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 48, а).

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси ординат на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц вниз, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 48, б).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, на рисунке 49 показано построение графиков функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Составим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 50).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Определим значения аргумента, при которых обе функции принимают одинаковые значения. Например, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением первая функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а вторая — при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением первая функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением а вторая — при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Можно заметить, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает те же значения, что и функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 4 единицы «позже».

Графически это означает, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получен сдвигом (параллельным переносом) графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (см. рис. 50).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассматривая графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заметим, что вторая функция принимает те же значения, что и первая, на 4 единицы "раньше".

Графически это означает, что для получения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точки графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением сдвигают на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 51).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси абсцисс на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц вправо, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 52, а).

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси абсцисс на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц влево, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 52, б).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, на рисунке 53 показано построение графиков функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Построение графиков функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

Пример №79

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получен из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением сдвигом вдоль оси: а) ординат на 3 единицы вверх; б) абсцисс на 3 единицы вправо; в) абсцисс на 3 единицы влево; г) ординат на 3 единицы вниз. Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как рассматриваются функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получен сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси ординат на 3 единицы вниз.

Правильный ответ г).

Пример №80

График какой из функций получен из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением его сдвигом вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

г) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Рассматриваются функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо получен график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Ответ: г).

Пример №81

Установите зависимость между графиками функций (рис. 54) и их аналитическим представлением:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

г) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рис. 54

Решение:

а) Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является кубическая парабола 2).

б) Так как график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением сдвигом его на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс, то графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является кубическая парабола 1).

в) Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует график 4), поскольку график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

г) Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует график 3), поскольку график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

Пример №82

С помощью преобразований графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением постройте график функции:

а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

а) Выполним сдвиг графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и получим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Выполним сдвиг графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 4 единицы вниз вдоль оси ординат и получим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

в) Выполним сдвиг графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат и получим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Ограниченность функции

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается ограниченной на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если существует такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ограничена на всей числовой оси, ибо Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Периодичность функции

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется периодической с периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если для любых х из области определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет период Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, так как для любых Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Под термином «период» подразумевается наименьший положительный период функции, равный Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; любой период функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, как известно, равен Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемn, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением е Z

Основные элементарные функции

В таблице приводятся наиболее важные свойства и графики основных элементарных функций:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Область определения и множество значений некоторых функций

Если для функции, заданной аналитически, область определения не указана, то под областью определения функции подразумеваются такие значения аргумента, при которых формула, при помощи которой задана функция, имеет смысл (такие значения х называются естественной областью определения функции). В этом случае необходимо выяснить, какие значения не может принимать аргумент.

Найдём область определения некоторых функций, заданных в алгебраической форме.

1. Если функция от независимой переменной задана в виде многочлена, то область определения такой функции множество всех действительных чисел. Например, область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

2. В рациональной функции значение выражения, стоящего в знаменателе не может равняться нулю. Например, для рациональной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением значения аргумента, которые удовлетворяют условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, не входят в область определения функции. Это значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением определена на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

3. Подкоренное выражение функции, содержащей квадратный корень не может принимать отрицательных значений. Исследуем это на двух примерах:

1) Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением все значения х удовлетворяющие условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. С другой стороны, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е.Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. А это значит, что область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

2) Найдём область определения и множество значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. По определению квадратного корня Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Решением данного неравенства является отрезок [-2; 2]. Значит функция определена на отрезке [-2; 2]. Для любого х из области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Отсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением , т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Другими словами, множеством значений является отрезок [0; 2].

4. Нахождение области определения и множества значений функции по графику.

На рисунке представлен график линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на определённом промежутке. По графику, запишем область определения и множество значений функции в виде неравенства. Определим, принадлежат ли абсциссы граничных точек области определения, а ординаты множеству значений в соответствии с видом граничной точки (закрашенный кружочек или нет). Так как кружочек граничной точки (2; 1) не закрашен, то это говорит о том, что х = 2 не принадлежит области определения и у = 1 не принадлежит области значений. Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением , а множество значений: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Что такое линейная функция

Рассмотрим несколько примеров. Пусть тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 20 м/с и направление его движения совпадает с направлением осиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 22). Если в начальный момент движения тело находилось на расстоянии 35 м от начала отсчета, то через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с тело будет находится на расстоянии Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением метров от него.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пусть в бассейн через трубу вливается каждую минуту 2,5 м3 воды. Если в начальный момент времени в бассейне было 70 м3 воды, то объем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением воды (в м3), которая будет в бассейне через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением мин, можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Формулами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — независимая переменная, задаются функции, которые называют линейными.

Определение:

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — независимая переменная, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — некоторые числа.

В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может принимать любые значения, поэтому область определения линейной функции образуют все числа.

График линейной функции

Построим график линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Для этого составим таблицу нескольких значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и соответствующих значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости (рис. 23). Приложив линейку, убеждаемся, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Если бы для других значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвычислили соответствующие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и отметили точки с такими координатами на координатной плоскости, то и они лежали бы на этой прямой.

Через отмеченные точки проведем прямую. Она является графиком линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Так, чтобы построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением достаточно было взять две точки, например, (0; -1) и (2; 0) и провести через них прямую.

Угловой коэффициент в функции

В формуле линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением коэффициент при переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением положителен: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением График этой функции образует острый угол с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (см. рис.23). На рисунке 24 изображен график линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Для этой функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и ее график образует тупой угол с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, от коэффициента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением зависит угол, который образует график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют угловым коэффициентом прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением образует с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением острый угол, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — тупой угол.

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то формула, которой задается линейная функция, имеет вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Такая функция при всех значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает одно и то же значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Например, линейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при всех значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает значение 2. Поэтому графиком функции является прямая, образованная точками (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; 2), где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — любое число. Эта прямая параллельна оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис.25).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Чтобы построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, достаточно было отметить на оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением точку с ординатой 2 и провести через нее прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

Свойства линейной функции y=kx+b.

Свойства линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

  1. Область определения функции образуют все числа.
  2. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то область значений функции образуют все числа; если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то функция принимает только одно значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  3. Графиком функции является прямая.
  4. График функции образует с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением острый угол, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением тупой угол, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то график параллельный оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, в частности, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то он совпадает с осью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция y=kx

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которой задается линейная функция, положим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Получим формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением которой задается функция, являющаяся частным, но очень важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов.

Рассмотрим примеры:

  1. Пусть тело движется со скоростью 20 м/с. Тогда путь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением м, пройденный им за время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с, можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Эта формула задает путь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением как функцию времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.
  2. Плотность железа 7,8 г/см3. Массу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемг железа объемом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением см3 можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Эта формула задает массу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением как функцию объема Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Перейдя в примерах к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функции, которые задаются формулами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то есть формулами вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функцию, которую можно задать формулой видаФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнезависимая переменная, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — некоторое число, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют еще прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Эта прямая проходит через начало координат (потому что, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Построим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найдем координаты какой-нибудь точки графика, отличной от начала координат: если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Отметим на координатной плоскости точку (3; 1) и проведем через нее и через начало координат прямую (рис. 26). Эта прямая является графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

На рисунке 27 изображены графики функций вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при разных значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположен в первой и третьей координатных четвертях, а если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — во второй и четвертой четвертях.

Точки пересечения графиков функций

На рисунке 28 изображены графики двух линейных функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функции принимают одно и то же значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Следовательно, графики функций имеют общую точку (4; 3). Еще говорят, что графики пересекаются в точке (4; 3).

Вообще, графики двух функций имеют общую точку, если существует значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором обе функции принимают одно и то же значение.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Взаимное расположение графиков линейных функций

Рассмотрим две линейные функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением формулы которых имеют разные коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Выясним, пересекаются ли графики этих функций (рис. 29). Для этого проверим, существует ли значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором обе функции принимают одни и то же значение; другими словами: существует ли значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором выполняется равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Решим данное уравнение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением обе функции принимают одно и то же значение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Следовательно, графики функций пересекаются в точке (-30; -17).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Рассмотрим две линейные функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, формулы которых имеют одинаковые коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не имеет корней. Поэтому прямые, которые являются графиками функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 30), не имеют общих точек (эти прямые параллельны).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Вообще, графики функций вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением пересекаются, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением разные), и параллельны, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемодинаковы) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Примеры решения упражнений:

Пример №83

Построить график функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Используя график, найти:

а) значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением которое соответствует Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которому соответствует Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Построим график функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

а) Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Через точку (-1;0) проводим прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (-1; 3,5). Следовательно, значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Через точку (0; —2,5) проводим прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (3; -2,5). Следовательно, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №84

Дана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Не выполняя построение графика функции, найти координаты точек его пересечения с осями координат и нули функции.

Решение:

Точки пересечения графика с осями координат — это точки графика, абсцисса или ордината которых равна нулю.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(0; -6) — точка пересечения графика с осью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(2,5; 0) — точка пересечения графика с осью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Значение функции равно нулю Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением откуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Следовательно, нулем функции является Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №85

Найти значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Сравнить данные значения аргумента и соответствующие значения функции.

Решение:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Сравним значения аргумента: 2 < 5; сравним соответствующие значения функции: -6 > -15.

Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сведения из истории функции:

«В одну реку нельзя войти дважды» - эти слова приписывают древнегреческому философу Гераклиту Эфесскому (из города Эфес). Они отображают важную особенность реального мира: все в нем пребывает в процессе изменения и развития. Именно выясняя закономерности в бескрайнем море видоизменений природы, ученые пришли к понятиям переменной величины и функции.

Понятие переменной величины впервые было введено в математику французским математиком Рене Декартом (1596-1650) в его знаменитой работе «Геометрия» в 1637 году. Именно после введения этого понятия начинает формироваться современное представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Следует отметить, что хотя некоторые зависимости между величинами, которые мы называем функциями, использовались еще в древние времена, математика до первой половины XVII в. оставалась наукой о постоянных величинах.

Термин «функция» (от латинского functio — выполнение, свершение) впервые использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1694 году.

Благодаря работам Лейбница и известного английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) сформировалась новая ветвь математики — математический анализ, в котором понятие функции является одним из главных. Лейбницем и Ньютоном были разработаны методы исследования функций, которые уже более 300 лет служат мощным средством изучения окружающего мира с помощью математики.

О весомой роли функций как математических моделей реальных процессов Ньютон писал так: «Я не смог бы получить многие свои фундаментальные результаты, если бы не отказался от непосредственного рассмотрения самих тел и не свел все просто к исследованию функций».

Функция в высшей математике 

При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость - одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.

Пусть X - некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, по которому каждому числуФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением ставится в соответствие единственное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначаемое Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Тогда говорят, что на множестве X задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и записывают: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Чаще используют более простую терминологию: задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Множество X называют областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют множеством значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При этом л: называют независимой переменной или аргументом функции, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением- зависимой переменной или значением функции, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и т.д.)- Частное значение функции f(x) при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением записывается как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В высшей математике функцию можно объяснить вот так:

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где путьФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением и время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — переменные величины, a Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — параметр.

Перейдем к понятию функции:

Определение. Если каждому элементу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ставится в соответствие вполне определенный элемент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то говорят, что на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При этом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется независимой переменной (или аргументом), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависимой переменной, а буква Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает закон соответствия.

Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется областью определения (или существования) функции, а множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобластью значений функции.

Если множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. множество таких значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которых функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Например, область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть полуинтервал Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если же переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением областью определения функции будет отрезок Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Дополнительное объяснение функции:

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и переменными.

Определение: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение (или вообще, или в данном процессе; в последнем случае постоянная величина называется параметром).

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Приведем примеры переменных и постоянных величин.

Пример:

Диаметр и длина окружности, в зависимости от обстоятельств, могут принимать различные значения и, следовательно, вообще говоря, являются величинами переменными, в то время как отношение длины окружности к ее диаметру сохраняет всегда одно и то же значение и, следовательно, есть величина постоянная, называемая числом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример:

Объем V и давление р определенной массы газа являются величинами переменными; однако, как известно из курса физики, произведение Vp при неизменной температуре есть величина постоянная. При изменении же температуры произведение Vp, вообще говоря, меняется.

Заметим, что во многих вопросах ради общности формулировок удобно бывает рассматривать постоянную величину как переменную, принимающую одно и то же значение.

Понятие функции в высшей математике

Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные, или функции).

Например, изучая газ, мы интересуемся его объемом V, температурой t, давлением р. Согласно закону Менделеева—Клапейрона, зная объем и температуру газа, мы можем однозначно определить его давление; следовательно, величины Vat можно рассматривать как независимые переменные, а р — как зависимую (функцию).

Дадим теперь определение понятия функции, являющегося центральным понятием высшей математики, причем вначале ограничимся случаем двух переменных величин.

Определение: Переменная величина у называется функцией (однозначной) от переменной величины ху если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х (допустимые значения) соответствует единственное вполне определенное значениевеличины у.

Это определение впервые в общих чертах было сформулировано Н. И. Лобачевским.

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, у иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Совокупность всех значений независимой переменной ху для которых функция у определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Наиболее часто область определения функции представляет собой или интервал (а, b) (рис. 48, а), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением х Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением b

(подчеркнем, что здесь значения х = а и х = b исключаются!), или отрезок (сегмент) [а, b] (рис. 48, б), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(здесь значения х = а и х = b включаются!). В некоторых случаях

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, если не оговорено противное, что величины и числа, которые мы рассматриваем, принимают только действительные значения.

областью определения функции является полуинтервал, закрытый слева, [а, Ь), или закрытый справа, (а, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением], т. е. множество чисел х> определяемых условиями а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением х Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением b или соответственно аФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемхФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Множество точек, представляющее собой или интервал, или отрезок, или полуинтервал, будем называть промежутком и обозначать через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением>.

Рассматриваются также бесконечные интервалы: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т. е. множество всех чисел, меньших а; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением т. е. множество всех чисел, больших Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммножество всех действительных чисел. Аналогичный смысл имеют промежутки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Тот факт, что у есть функция от х, сокращенно обозначают так:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

где символ f называется характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости (1) вместо буквы f можно употреблять любую другую букву (например, g, h, F, ф и т. д.), причем понятно, что различные функции должны обозначаться в одном и том же вопросе различными буквами.

Частное значение функции f(x) при х — а записывается так: Да). Например, если

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Приведем несколько примеров, поясняющих понятие функции.

Пример:

Из формулы площади круга

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

следует, что каждому допустимому (т. е. положительному) значению радиуса R соответствует определенное значение площади S. Следовательно, S есть функция от R> определенная в бесконечном интервале: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример:

Согласно закону Бойля—Мариотта при постоянной температуре имеем Vp = С, где V — объем газа, р — его давление, С — некоторая постоянная величина. Отсюда

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Следовательно, каждому значению давления р соответствует определенный объем газа V. Можно сказать, что объем газа V есть функция давления р. Из физических соображений вытекает, что область определения этой функции есть бесконечный интервал:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №86

Найти область определения функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Эта функция имеет смысл, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Отсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Следовательно, область определения функции есть отрезок

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Чтобы более наглядно представить поведение функции, строят график функции, рассматривая независимую переменную х и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки М на плоскости Оху.

Определение: Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек М(х9 у) плоскости Оху, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Иначе говоря, график функции — это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.

Например, для функции (2) имеем

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

графиком, очевидно, является верхняя полуокружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (рис. 49). Из рис. 49 становится ясным, что область определения функции представляет собой отрезок [-2, 2].

Отметим, что, построив график функции у = f(x), мы можем приближенно определить корни уравнения

f(x) = 0

как абсциссы точек пересечения графика с осью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то у называется однозначной функцией от х; если же хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три и т. д.) или бесконечное множество значений переменной у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.) функцией от х.

Например, у = х2 есть однозначная функция от х. Также у = sin х есть однозначная функция от х. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть двузначная функция от х; у = Arcsinx есть многозначная (бесконечнозначная) функция от х.

В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать однозначную функцию, если явно не оговорено противное.

Способы задания функции в высшей математике

Функция может быть задана одним из следующих способов:

  • аналитический, т.е. в виде аналитической формулы (например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • графический, т.е. в виде графика для всех значений аргумента х из D(x);
  • табличный, т.е. в виде таблицыФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • словесный, т.е. функция задается на каждом интервале разными аналитическими формулами, графиком или таблицей, например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции:

При аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество X не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

При графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости Оху называется геометрическое место точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением координаты которых связаны функциональной зависимостью.

При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:

  • Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется четной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная;
  • Функция у = f{x) называется нечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций - функция четная;
  • Нулями функции у = f(x) называют значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс;
  • Функция у = f\x) называется периодической, если существует число Т такое, что для каждого значения аргумента л; из области ее определения выполняется равенство f(x + T) = f(x). Число Т называют периодом этой функции;
  • Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция у = f(х) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемКак возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными;
  • Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу а (вертикальная асимптота);
  • Функция у = f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М такое, что для каждого значения аргумента х из области ее определения f(x) < M( f(x) > М). Функция у — f (х) называется ограниченной, если существует число М > О такое, что для каждого значения аргумента x из области ее определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется обратной по отношению к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если при подстановке её вместо аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается тождественное равенство: у = Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной y = f(x), то у называется однозначной функцией от x; если хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.) функцией от x.

Более коротко способы задания функции можно объяснить так:

Существует несколько способов задания функции.

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением , рассматриваемая выше, задана аналитически.

Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

имеет два аналитических выражения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и соответствующие значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, например таблица логарифмов.

в) Графический способ состоит в изображении графика функции — множества точекФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а ординаты — соответствующие им значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например функция Дирихле: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — рационально; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — иррационально.

Аналитический способ задания функции

Если функция выражена при помощи формулы, то говорят, что она задана аналитически. Например, в формуле объема шара

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

объем V есть функция радиуса R, заданная аналитически. Если функция

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента х, чтобы получить соответствующее значение функции у [или, что то же самое, значение функции f(x)\ Пусть, например,

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Здесь характеристика f обозначает следующую совокупность действий:

  1. возведение аргумента х в квадрат;
  2. вычитание из полученного результата числа 1;
  3. извлечение из соответствующей разности кубического корня.

Зная характеристику f и давая аргументу х различные значения, получим соответствующие значения функции f(x). Так, например, для нашей функции (1) имеем

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Аналогичный смысл получают выражения

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В некоторых случаях функция может задаваться несколькими формулами.

Пусть, например,

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Эта функция вполне определена, так как для каждого значения аргумента х мы можем указать соответствующее значение функции f(x). А именно: если х отрицательно или равно нулю, то f(x) равно нулю, например

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если же х положительно, то f(x) равно значению аргумента, например

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, две формулы

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

определяют одну функцию (рис. 55).

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Табличный способ задания функции

Предположим, что мы хотим установить зависимость между средней годовой температурой t (°С) и высотой местности h над уровнем моря, выраженной в километрах. Сопоставим результаты наших наблюдений в такой таблице:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Из приведенной таблицы мы видим, что средняя годовая температура изменяется вместе с высотой местности над уровнем моря, причем каждому значению высоты h соответствует определенное значение температуры t. Следовательно, средняя годовая температура t есть функция высоты местности h над уровнем моря, при этом соответствие между переменными t и h устанавливается таблицей. Такой способ задания функции называется табличным.

Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы. Пусть, например, имеем функцию

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Давая х ряд числовых значений и вычисляя соответствующие значения у, получим следующую таблицу:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Мы видим, что если функция задана аналитически (т. е. при помощи формулы), то можно построить для нее таблицу, или, как говорят, табулировать функцию.

Табулируются обыкновенно функции, имеющие сложное аналитическое выражение (т. е. выражающиеся сложной формулой), но часто встречающиеся на практике. Так, например, широко известны таблицы тригонометрических функций: sinx, cos* и т. д., таблицы логарифмов и т. п. Для этих функций имеются формулы, выраженные с помощью бесконечных рядов, но эти формулы слишком сложны для практического пользования.

Возникает вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к ее аналитическому выражению, т. е. записать такую функцию формулой?

Для этого заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно (так называемое интерполирование функции). Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя.

Однако всегда можно построить формулу, и притом не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула носит название интерполяционной.

Графический способ задания функции

Аналитический и табличный способы изображения функции страдают отсутствием наглядности. Этого недостатка лишен графический способ задания функции у = /(*), когда соответствие между аргументом х и функцией у устанавливается с помощью графика (рис. 56). Здесь, чтобы для некоторого значения аргумента, например х9 найти отвечающее ему значение у функции, нужно на оси Ох отложить в соответствующем направлении отрезок OA — х, а затем построить перпендикуляр AM до пересечения с графиком. Взяв длину этого перпендикуляра с надлежащим знаком, мы и получим число

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Давая х различные значения, мы с помощью этого приема будем иметь соответствующие значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которые, если это нужно, можно записать в виде таблицы.

Примером графического изображения функции является так называемая барограмма (запись самопишущего прибора — барографа), дающая графически изменение атмосферного давления со временем.

Для построения графика функции у = f(x), заданной аналитически, нужно составить таблицу значений х и у данной функции, а затем, рассматривая х как абсциссу, у — как ординату точки, построить систему точек плоскости.

Соединяя эти точки линией, вид которой учитывает по возможности характер промежуточных значений функции, получаем примерное графическое изображение данной функции.

Например, пользуясь данными таблицы на с. 73, строим график функции

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(кубическая парабола) (рис. 57).

Кусочное задание функции

Часто, для описания реальных жизненных ситуаций используют не одну, а несколько формул или неравенств.

Задача. Оптовый магазин при покупке не менее 10 и не более 20 спортивных рубашек, реализует их по 3 маната за штуку, при покупке более 20 рубашек - по 2 маната за штуку. Запишите зависимость между двумя величинами: выручкой С и количеством проданных рубашек n.

Решение: Имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и в общем виде функцию можно записать так:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Найдём значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при n = 15, n = 20, n = 30, n = 40. Значения n = 15 и n = 20 удовлетворяют условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эти значения вычислим по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Значения n = 30 и n = 40 соответствуют условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если функция задана различными формулами на разных участках области определения, то говорят о кусочном задание функции.

Пример:

Постройте график функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График данной функции состоит из части графика прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемслева от точки х = 1 и части графика прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением справа от х = 1. Так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением,то график "ломается" в

вершине (1; -1)." Функция является непрерывной, если её график можно изобразить "не отрывая" карандаша от бумаги. Функция представленная в данном примере непрерывная.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример:

Постройте график функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График данной функции ступенчатый. Если график имеет разрыв, то функция является разрывной.

Данная функция, каждому числу ставит в соответствие его целую часть, и в общем виде записывается как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. График на рисунке соответствует функции целой части числа на промежутке [0; 4).

Степенная функция y=xn (n∈N)

Степенная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (n -натуральное число) называется степенной функцией с натуральным показателем. Ниже представлены графики степенных функций при n= 1, n = 2, n = 3

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для любого чётного значения n симметричен относительно оси у и похож на параболу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Для любых нечётных значений n график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением симметричен относительно начала координат и для нечётных значений n больше 1, похож на кубическую параболу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется параболой n - го порядка. По рисунку видно, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на промежутке (0; 1) график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением находится ниже, на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выше графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Классификация функций в высшей математике

Переменные величины весьма различны. Однако, на первый взгляд различные процессы, могут иметь одинаковую природу и заданы одинаковой зависимостью. Поэтому наиболее часто встречающиеся зависимости объединены в семейства, в соответствии с основной (начальной) функцией. Функции, принадлежащие одному семейству, получаются преобразованиями одной и той же основной функции.

Например, графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

получаются преобразованиями параболы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому эти функции, а также все функции задаваемые формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, образуют семейство и основной функцией этого семейства считается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В таблице ниже представлены графики некоторых основных функций.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Преобразование графиков функций

Параллельный перенос.

При параллельном переносе все точки графика смещаются в заданном направлении на заданное расстояние. При этом форма графика не изменяется. Произведём параллельный перенос каждой точки графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на вектор Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если координаты точки А удовлетворяют равенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то координаты точки А1 удовлетворяют равенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, при параллельном переносе графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на вектор Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, получается график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Заданный график смещается на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц по горизонтали (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вправо, приФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением влево) и на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц по вертикали (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вверх, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением вниз). В случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график параллельно переносится только но горизонтали и при этом получается новая функцияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Пример:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением график параллельно переносится только по вертикали и при этом получается новая функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Пример:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример:

Постройте графики заданных функций при помощи графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Построим график функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением . Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Составим таблицу значений, выбрав три значения, которые являются полными квадратами.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отражение.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отражение графиков функции.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Сжатие и растяжение графиков.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При растяжении от (сжатии к) оси абсцисс изменяется ордината точки, при этом абсцисса остаётся неизменной: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЕсли точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается из графика функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением растяжением в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз от оси абсцисс при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и сжатием к оси абсцисс в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При растяжении от (сжатии к) оси ординат изменяется абсцисса точки, при этом ордината остаётся неизменной: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Тогда точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением расположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением .

График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением получается из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением растяжением в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз от оси ординат при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и сжатием в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением раз к оси ординат при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Действия над функциями в высшей математике

Выполняя арифметические действия над двумя функциями можно получить новую функцию. Область определения, которая получается при сложении, вычитании, умножении функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, является множество действительных чисел, в котором определена каждая из функций. Другими словами, область определения новой функции является множество пересечения областей определения функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Отношение двух функций определено для аргументов множества Г) и отличных от нуля значений функции в знаменателе. Над функциямиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределенными на множестве действительных чисел, можно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление по следующим правилам.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

  1. Сумма двух чётных функций является чётной функцией, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.
  2. Произведение(частное) двух чётных и произведение(частное)двух нечётных функций является чётной функцией.

Пример:

Найдём Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример:

Найдём Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Так как функция в знаменателе Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Графиком этой функции является прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с выколотой точкой (1; 2).

Пример:

Известно, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Найдём область определения функций: а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, б)Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение: а) Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - множество всех действительных чисел. Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнаходится из неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Область определения функций

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

б) Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является множество решений неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Понятие множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть элемент множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то используется запись Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не является элементом множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то пишут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Например, множество действительных корней уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть пустое множество.

Если множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением состоит из части элементов множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили совпадает с ним, то множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется подмножеством множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если, например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— множество всех студентов вуза, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— множество студентов-первокурсников этого вуза, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть подмножество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пересечением двух множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением , т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Разностью множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которые не принадлежат множеству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №87

Даны множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Найти объединение, пересечение и разность множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение:

Очевидно, что объединение двух данных множеств — Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, их пересечение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а разность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Дополнением множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, не принадлежащих Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — действительных чисел, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — рациональных, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — иррациональных, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — целых, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— натуральных чисел. Очевидно, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Геометрически множество действительных чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением изображается точками числовой прямой (или числовой оси) (рис. 5.1), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением» говорят «точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением».

Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением элементы которого удовлетворяют: неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется отрезком (или сегментом)Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеминтервалом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением неравенствам Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называются полуинтервалами соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Абсолютная величина действительного числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется само число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением,если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением неотрицательно, и противоположное число -Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением отрицательно:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Очевидно, по определению, чтоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №88

Найти Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отметим свойства абсолютных величин:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Абсолютная величина разности двух чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемозначает расстояние между точкамиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением числовой прямой как для случая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением так и для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (см. рис. 5.2).

Поэтому, например, решениями неравенстваФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудут точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением интервала Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (рис. 5.3), удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Всякий интервал, содержащий точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, называется окрестностью точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Интервал Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт.е. множество точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением таких, чтоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, называется Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-окрестностью точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Понятие числовой последовательности

Числовой последовaтeльностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением = f(n) задать на множестве натуральных чисел N, то множество значений функции будет счетным и каждому номеру a е N ставится в соответствие число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением е R . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют элементами или членами последовательности, а число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - общим или n-м членом последовательности. Каждый элемент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет последующий элемент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером n, т.е. указанием формулы ее n -го члена Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Пример №89

Последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может быть задана формулой: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Обычно последовательности обозначаются так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми т.п., где в скобках указывается формула ее n -го члена.

Пример №90

Последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемэто последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Множество всех элементов последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) обозначается {Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением}.

Пусть (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - две последовательности.

Суммой последовательностей (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Разностью этих последовательностей называют последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если А и В - постоянные, то последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают линейной комбинацией последовательностей (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и т.е.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Произведением последовательностей {Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют последовательность с n -м членом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то можно определить частное Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называются их алгебраическими композициями.

Пример №91

Рассмотрим последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, гдеФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением +Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением)= (0), т.е. последовательность (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением + Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) имеет все элементы, равные нулю.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. все элементы произведения и частного равны -1.

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности (а„) так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), то новую последовательность называют остатком.

Последовательность (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) ограничена сверху (снизу), если множество {Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением} ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) сходится, если существует число а такое, что для любогоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением существует такое Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Число а называют пределом последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). При этом записывают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением —> а или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №92

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Покажем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Зададим любое число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Неравенство = — <£ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением такого, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением —, что определение сходимости выполняется для ~ £ числа а - 0. Значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Иными словами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением —> а означает, что все члены последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) с достаточно большими номерами мало отличается от числа а, т.е. начиная с некоторого номера N* (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) элементы последовательности находятся в интервалеФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторый называется Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-окрестностью точки а.

Последовательность {Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением}, предел которой равен нулю Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

  • Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;
  • Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имела пределу необходимо и достаточно чтобы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где а -постоянная; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей

  1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;
  2. Сходящаяся последовательность ограничена;
  3. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  4. При любых постоянных А и В Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  5. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  6. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  7. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  8. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  9. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней n, предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени п числителя и знаменателя).

Последовательность (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) называется:

  • возрастающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • строго возрастающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • убывающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • строго убывающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Бесконечный предел

Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется бесконечно большой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением еслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением такое, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Говорят, что предел последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) равен Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением такое, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь преAдела. Например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением по модулю неограниченно растет, но сама величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не имеет определенного стремления.

Замечательные пределы

Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Покажем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Для простоты примем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением >0 (см. Рис.1.), причем, так как дуга Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением стремится к нулю при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то можно считать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Площади треугольников Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и сектора Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соотносятся следующим образом:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Отсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми после деления на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением>0), получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля обратных величин Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Так как при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а, следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то видно, что последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением > О

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением справедливо равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Тогда: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением так как в каждом слагаемом множители вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеют меньшую величину по сравнению с Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при одном и том же m, а также выражение для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением сверху можно показать следующим образом:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет предел: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторый обозначается е (основание натурального логарифма Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Принцип сходимости

Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

Лемма Кантора. Пусть дана последовательность промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Если этом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеют равные пределы: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Теорема Больцано - Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) к конечному пределу а означает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числа а и, следовательно, мало отличаются друг от друга.

Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Кош и.

Критерий Коши. Последовательность (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) сходится тогда и только тогда у когда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением такое, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Предел функции. Теорема Гейне

Рассмотрим функцию f, определенную на множестве X. Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется предельной или точкой сгущения множества х, если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В этом случае из множества х можно выделить последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, сходящуюся к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав х вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел Q, все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые во не входят.

Множество х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество х называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция у = f(x), определенная на множестве X имеет предел С в точке сгущения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением: если для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением найдется такое Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задаваемых для различных последовательностей Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением стремящихся к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Можно легко показать, что при любом выборе последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если существует предел соответствующих последовательностей Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция у = f(x), имеющая предел А при х —>а, ограничена в некоторой окрестности точки а. Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

  • Если С - есть постоянная функция, то limC = С;
  • Если существуют Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и в некоторой окрестности точки а функция f(x) ограничена, т.е. М < f (х) < N, тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • Если существуют Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при каком-то условии, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;
  • Если существуют limf(x) и limg(x) при каком-то условии, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • Если существуют lim f(x) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при каком-то условии, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (при том же условии);
  • Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и существуют limf(x), limg(x) и Iimh(x), то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Односторонние пределы

В определении предела функции предполагалось, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением произвольным образом. Если при вычислении предела функции f при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением считать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то получают односторонний предел справа или правосторонний предел функции в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если же считать, чтоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то получают односторонний предел слева или левосторонний предел.

Так, например, односторонние пределы функции y = f{x), изображенной на Рис. 2, соответственно, равны: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Правосторонний предел обозначают символом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением левосторонний - символом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для того, чтобы у функции у = f(x) в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением существовал двусторонний предел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функции у = f(x) в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и эти пределы были равны между собой: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №93

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №94

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пределы на бесконечности

Кроме предела в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, можно рассматривать предел в точке, бесконечно удаленной в сторону +Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или -Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В этом случае понятие предела необходимо уточнить.

Говорят, что предел функции f приФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением равен а, если для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением существует Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением такое, что дляФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, удовлетворяющего условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Аналогично, f(x) —>а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсуществует Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением такое, что для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть суммы одночленов от переменной то предел отношения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменной х функций h и g).

Пример №95

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поскольку ДЛЯ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполнено неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением если только Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №96

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №97

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Бесконечные пределы

Функция a(x) называется бесконечно малой при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) если для сколь угодно малого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением найдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция а(x) называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением найдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что для всехФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Теорема: Если функция у = f(x), определенная на множестве х имеет предел С в точке сгущения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: f(x) = С + а(х).

Справедлива также и обратная теорема: Если функцию y = f(x), определенную на множестве х, можно представить в точке сгущения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (или на бесконечности) в виде суммы числа с и бесконечно малой величиныФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто число с является пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
  2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;
  3. Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция f(a) называется бесконечно большой при х —> Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

(или х->Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-0, или х->.Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением+o) если для сколь угодно большого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением найдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением что для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением функция f(x) называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением найдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Свойства бесконечно больших величин:

  1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;
  2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;
  3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция а(х) есть бесконечно малая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь бесконечно большая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Обратная теорема. Если функция F(x) есть бесконечно большая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть бесконечно малая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Сравнение бесконечно малых величин:

  • Две бесконечно малые величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • Величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если предел отношения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением равен нулю, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • Величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если предел отношения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется бесконечно большой величиной, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  • Две бесконечно малые величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

близких к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ограничена в окрестности точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №98

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример №99

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Непрерывность функции в высшей математике

Рассмотрим функцию f, определенную на промежутке х. Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция f называется непрерывной в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением .Функция у = f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Естественно, при этом функция у = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки ,Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Непрерывность функции в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция y = f(x), определенная на интервале (а,b) называется непрерывной на интервале (а.b), если она непрерывна в каждой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением этого интервала Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция y = f(x), определенная на отрезке [a,b] (а<Ь) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением интервала (a,b), непрерывна справа в точке b и непрерывна слева в точке а.

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b], определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано-Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку (m,М), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда функция у = f(x) является ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция у = f(х) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда функция у = f(x) имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

Отметим, прежде всего, что основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. К основным элементарным функциям относятся:

  1. Постоянная функция у = С. Область определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  2. Идентичная функция у = х. Область определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  3. Одночлен Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  4. Многочлен Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  5. Рациональная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением- многочлены. Функция определена при всех д\ кроме корней многочлена Q(x).
  6. Степенная функция у = х°. Если а> 0, то функция определена, по крайней мере, на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При a<0 определена, по крайней мере, на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. (При некоторых а степенная функция может быть определена на более широком множестве. Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеет область определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением определена на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
  7. Показательная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Определена на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением;
  8. Логарифмическая функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Определена на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением;
  9. Синус у = sinx, косинус у = cosx определены на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эти функции являются периодическими с периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, для любого x из Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением;
  10. Арксинус y = arcsinx и арккосинус у = arccosx определены на [- l,+l].

Если f и g - непрерывные функции, то их сумма, разность и произведение являются непрерывными функциями. Частное непрерывных функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением будет непрерывно всюду, где оно определено. Таким образом, можно утверждать, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна всюду, где она определена.

Непрерывность композиции функции

Пусть задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением со значениями в X, и на множестве х определена функция у = f(x) со значениями в Y. Тогда для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно вычислить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, на Т можно определить функцию h со значениями в Y по правилу: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Говорят, что функция h есть композиция функций (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и f и обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. (Функцию h называют также сложной функцией).

Если функция (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением непрерывна в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функция f непрерывна в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то композицияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением непрерывна в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Говоря короче (хотя и менее строго), композиция непрерывных функций непрерывна.

Пример №100

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением непрерывна на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкак композиция непрерывных функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поскольку такая композиция определена для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Tочки разрыва функции в высшей математике

Непрерывность функции f в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела f(Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-0) и f(Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением + 0) существуют и равны f(Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), т.е.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если условие (4) не выполнено, то точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют точкой разрыва функции f. Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если 1. не выполнено, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют точкой конечного скачка. Величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением = f(Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением + 0) - f(Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - 0) называется скачком функции f(x) в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют точкой устранимого разрыва.

Если функция f определена в окрестности точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и не определена в самой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Элементарные функции. Классификация функций и преобразование графиков функций

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется неявной, если она задана уравнением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, заданная уравнением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. (Заметим, что последнее уравнение задает две функции, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением)

Обратная функция в высшей математике

Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением есть функция от независимой переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, определенной на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с областью значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поставим в соответствие каждому Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которомФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда полученная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, определенная на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением с областью значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функцию через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то функция, обратная к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, примет вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением . Обратную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением обозначают также в виде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (аналогично с обозначением обратной величины). Например, для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением обратной будет функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили (в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (на рис. 5.17 показаны графики взаимно обратных функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

Дополнительное определение:

Пусть задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Если график этой функции пересекает ось абсцисс (Ох) в единственной точке, то можно найти такой закон, по которому каждому значению переменной у будет поставлено в соответствие единственное значение переменной х, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Такой закон соответствия называется обратной функцией.

Пример №101

Найти обратную функцию к функции у = 8х + 5.

Решение:

Выразив переменную х из этого равенства, найдем обратную функцию

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Дополнительное объяснение:

Исследование:

1)Запишите формулу площади квадрата со стороной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

2)По заданной площади найдите длину стороны квадрата.

3)Расстояние от поверхности земли,до тела, брошенного с начальной скоростью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением находится по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением . Можно ли при заданном значении Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, найти однозначное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением? На рисунке зависимость Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммежду множествами X и Y задана стрелками. Поменяв направление стрелок, получим зависимость Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением - зависимость между множествами Y и X. Соответствие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является обратным для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если для заданной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобратное соответствие также является функцией, то функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается обратимой функцией.

Пример:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Пример:

Из множества А = {1, 2, 3, 4} область опре-можно получить множество В = {5, 6, 7, 8} деления f при помощи функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемследующим образом:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция, обратная для данной функции, обозначаетсяФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением 1 и выражает как, из элементов множества В можно получить элементы множества А.Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

ФункцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназываются взаимно обратными функциями. Как из схемы, так и из пар координат, видно,что область определения заданной функции, является множеством значений для обратной функции, а множество значений заданной функции - областью определения для обратной функции и наоборот. Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Из определения, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Для данного примера имеем:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Для любой ли функции существует обратная функция ? Например, из зависимости Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением переменную х можно единственным образом выразить через у и обратная функция имеет вид:

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Здесь каждому значению у соответствует единственное значение х. В функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением одному значению у, например, для у = 9, соответствует два значения аргумента х = 3 и х = -3 и на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением для неё не существует обратной функции.

Обратить можно ту и только ту функцию, которая каждое свое значение принимает в единственной точке области, определения. Если любая горизонтальная прямая пересекает график функции как максимум в одной точке, то для неё существует обратная функция.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Другими словами, если различным значениям х соответствуют различные значения у, то для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением существует обратная функция. Так как для монотонной функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то:

  1. Для возрастающей на области определения функции, существует обратная функция.
  2. Для убывающей на области определения функции, существует обратная функция.

Пусть, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция для которой существует обратная функция, т.е. в отношении Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением можно однозначно выразить х через у и записать в виде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называется обратной для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Обычно, аргумент обозначается через х , а функция обозначается через у. Поэтому, функция, обратная для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением записывается как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция, обратная для функцииФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением то функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением является обратной функцией для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением иФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением являются взаимно обратными функциями.

Графики взаимно обратных функций:

Если точка (а; b) расположена на заданном графике,то точка (b; а) будет расположена на графике обратной функции.

Заданная функция Обратная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для того, чтобы найти обратную функцию по формуле надо:

  1. Выразить переменную х через у.
  2. В полученном равенстве вместо х запишем у, вместо у запишем х.

Пример:

Запишем обратную функцию для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Решение: запишем функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выразим переменную х через

у : Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением поменяем местами х и у : Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

На всей числовой оси для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением не существует обратной функции. Однако, на промежутках возрастания или убывания для этой функции, обратная функция существует.

Пример:

Для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением зададим обратную функцию, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и построим их графики в одной системе координат. Запишем координаты нескольких точек, расположенных на этом графике.

Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

Решение:

Заданная функция: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Обратная функция: 1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением,

2)Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Точка (2, 4) расположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением,

а точка (4; 2) на графике обратной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

Для обратной функции справедлива следующая теорема:

Если функцияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс областью определения X и множеством значений Y возрастающая (убывающая), то для неё существует обратная функция