Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начертательная геометрия - это наука, изучающая закономерности изображения пространственных форм на плоскости и решение пространственных задач протекционно-графическими методами.

Начертательная геометрия изучает теорию методов отображения пространств различных структур и размерностей друг на друга, рассматриваются теоретические основы методов отображения трехмерного пространства на плоскость.

Курс лекций по всем темам начертательной геометрии является теоретической основой для изучения и построения чертежей и содержит примеры решения задач и выполнения заданий. Лекции базируются на нормативных документах, государственных стандартах и единой системе конструкторской документации (ЕСКД).

Содержание:

Предмет и метод начертательной геометрии

Начертательная геометрия, являясь одной из ветвей геометрии, имеет ту же цель, что и геометрия «вообще», а именно: изучение форм предметов окружающего нас действительного мира и отношений между ними, установление соответствующих закономерностей и применение их к решению практических задач.

Начертательную геометрию из других ветвей геометрии выделяет то обстоятельство, что она для решения общегеометрических задач использует графический путь, при котором геометрические свойства фигур изучаются непосредственно по чертежу. В то время как в других ветвях геометрии чертеж является вспомогательным средством, так как с его помощью лишь иллюстрируются свойства фигур, в начертательной геометрии он является основным средством изучения свойств фигур.

Разумеется, не всякое изображение может служить таким средством. Для того чтобы чертеж был геометрически равноценным изображаемой фигуре или, как говорят, оригиналу, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. В начертательной геометрии каждый чертеж строится при помощи метода проецирования, поэтому чертежи, применяемые в начертательной геометрии, носят название проекционных. При построении этих чертежей широко используются проекционные свойства фигур, благодаря чему изображение обладает такими геометрическими свойствами, по которым можно судить о свойствах самого оригинала.

Таким образом, содержанием начертательной геометрии является, вопервых, исследование способов построения проекционных чертежей; вовторых, решение геометрических задач, относящихся к пространственным фигурам, в-третьих, приложение способов начертательной геометрии к исследованию практических и теоретических вопросов науки и техники.

В наше время нелегко указать на такой вид человеческой деятельности, где бы в большей или меньшей степени не приходилось прибегать к помощи чертежей. Чертежи кроме технических, значение которых общеизвестно, встречаются в виде планов строений, географических и топографических карт и пр. Все они строятся по правилам проецирования.

Чертеж, как говорил один из создателей начертательной геометрии – французский ученый и инженер Гаспар Монж (1746–1818), является «языком техника». Дополняя это высказывание Монжа, профессор В.И. Курдюмов (1853–1904) – автор классического русского учебника начертательной геометрии – писал: «Если чертеж является языком техника, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками как элементами всякого изображения»*.

Краткие сведения по истории развития начертательной геометрии

Как и всякая другая наука, начертательная геометрия возникла из практической деятельности человечества. Задачи строительства различных сооружений, крепостных укреплений, жилья, храмов и др. требовали предварительного построения изображений этих конструкций. Зародившись в глубокой древности, различные способы построения изображений по мере развития материальной жизни общества претерпевали глубокие изменения. От примитивных изображений, лишь весьма приближенно передававших геометрические формы изображаемых на них объектов, человечество постепенно перешло к составлению проекционных чертежей, отражающих геометрические свойства воспроизводимых объектов.

Выдающуюся роль в развитии начертательной геометрии как науки сыграл знаменитый французский геометр и инженер времен Великой французской революции Гаспар Монж (1746–1818). Монж систематизировал и обобщил накопленные к этому времени практический опыт и теоретические познания в области изображений пространственных фигур на плоскости. В своем труде «Начертательная геометрия», изданном в 1798 г., Монж дает первое научное изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости. Монж предложил рассматривать плоский чертеж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Развитие начертательной геометрии в нашей стране происходило своими путями.

Изучение старинных документов-летописей, планов, карт, чертежей показывает, что проекционные методы построения изображений были известны еще в Древней Руси, об этом свидетельствуют картины Рублева, чертежи И.И. Ползунова (1728–1766), И.П. Кулибина (1735–1818), М.Ф. Казакова (1733–1812).

В 1810 г. в Институте корпуса инженеров путей сообщения (ныне Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта) впервые стал читаться курс начертательной геометрии. Первым профессором, преподававшим этот курс, был ученик Монжа французский инженер К.И. Потье, который издал в 1816 г. свой курс начертательной геометрии на французском языке. Перевел его на русский язык помощник Потье по институту Я.А. Севастьянов (1796–1849). С 1818 г. преподавание начертательной геометрии стал вести Севастьянов, которому вскоре было присвоено звание первого русского профессора начертательной геометрии. В 1821 г. был издан первый в России оригинальный курс начертательной геометрии, написанный Севастьяновым. Он содержал подробное изложение теории начертательной геометрии и находился на уровне лучших европейских курсов. Огромная заслуга Севастьянова состояла также в том, что он ввел русскую терминологию по начертательной геометрии.

В дальнейшем начертательная геометрия как наука получила все условия для своего полного развития. Появилась обширная научная и учебная литература. Большую роль в развитии начертательной геометрии как науки и учебной дисциплины в советский период сыграли проф. Н.Ф. Четверухин, проф. И.И. Котов, проф. А.М. Тевлин и их ученики.

Комплексный чертеж точки, прямой и плоскости

Основные свойства проецирования

Центральная проекция (перспектива)

Пусть дана некоторая плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проецирование можно выполнить для любой точки пространства, за исключением точек, лежащих в плоскости, проходящей через центр проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельной плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рис. 1 показано построение проекций точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, различно расположенных относительно плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и центра проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

* Здесь и дальше для большей выразительности наглядных изображений, иллюстрирующих то пли иное положение курса, они выполнены в условной форме чертежей-моделей. При этом для упрощения таких изображений проекции точек даны в виде кружков.

Обычно проекциями точек, лежащих в плоскости, проходящей через центр проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельной плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принято считать бесконечно удаленные точки* плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как для этих точек проецирующие прямые оказываются параллельными плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Однако для центра проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не может быть построена проекция, так как проецирующая прямая становится при этом неопределенной, вместе с тем становится неопределенной и проекция точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как каждая геометрическая фигура есть некоторая совокупность точек, то будем называть проекцией фигуры совокупность проекций всех ее точек. Однако для построения проекции фигуры совершенно не обязательно проецировать все ее точки. Так, проекция отрезка или прямой линии вполне определяется проекциями двух точек; проекция треугольника или плоскости – проекциями трех точек; проекция какого-либо многогранника – проекциями его вершин.

Изображение предметов при помощи центрального проецирования обладает наглядностью, так как человеческое зрение в геометрическом отношении совпадает с операцией центрального проецирования (оптический центр хрусталика глаза можно считать центром проекций, а участок задней стенки сетчатки может быть принят приближенно за плоскость проекций). Однако метод центрального проецирования слишком сложен и в значительной степени искажает форму и размеры оригинала, так как не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. Поэтому на практике чаще пользуются методом параллельного проецирования (в частности, ортогонального проецирования). Этот метод, являясь частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций находится в бесконечно удаленной точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, дает более простое построение изображения и в большей степени, как это будет показано дальше, сохраняет те свойства оригинала, от которых зависят его форма и размеры.

Параллельная проекция

Пусть даны плоскость проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач' и направление проецирования Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, непараллельное плоскости проекций. Когда мы перемещаем центр проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в бесконечно удаленную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то все проецирующие прямые как пересекающиеся в бесконечно удаленной точке будут параллельны некоторому направлению Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы построить проекцию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач какой-либо точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, через нее проводят проецирующую прямую параллельно направлению проецирования Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем находят точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения этой прямой с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2).

* Введение бесконечно удаленных элементов (точек и прямых) позволяет избежать исключений в геометрических положениях, связанных с понятием параллельности. Так, каждые две прямые одной плоскости всегда пересекаются в одной точке (обыкновенной или бесконечно удаленной). Каждые две плоскости всегда пересекаются по прямой (обыкновенной или бесконечно удаленной).

Таков метод параллельного проецирования точек пространства на плоскость проекций. Рассмотрим некоторые свойства параллельной проекции:

  1. Проекцией точки является точка. Это свойство следует из самого способа построения проекции точки.
  2. Проекцией прямой линии является прямая линия. Все прямые, проецирующие точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2), лежат в одной плоскости, проходящей через прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельной направлению проецирования Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта плоскость, называемая проецирующей плоскостью, пересекает плоскость проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по прямой линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая, согласно определению проекции фигуры как совокупности проекций всех ее точек, и является проекцией данной прямой. Это свойство будем называть свойством прямолинейности.

Очевидно, что если прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет проецирующей прямой, то ее проекция выродится в точку.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой. Это свойство, называемое свойcтвом принадлежности, непосредственно следует из определения проекции фигуры как совокупности проекций всех ее точек. Рассмотренные три свойства имеют место также и в случае центральной проекции. Однако параллельная проекция обладает еще другими свойствами, которых не имеет центральная проекция (рис. 2). Таковы следующие свойства:

4. Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые. Действительно, если прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, то и проецирующие их плоскости будут параллельны как содержащие по паре пересекающихся соответственно параллельных прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Отсюда следует, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как прямые пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью. Это свойство называется свойством сохранения параллельности. Очевидно, что если прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут проецирующими прямыми, то указанное свойство теряет смысл, так как проекциями этих прямых будут две точки.

5. Отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков. Пусть Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – отрезки, лежащие на параллельных прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – их проекции на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 2). Проведем в проецирующих плоскостях отрезки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответственно параллельные отрезкам Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач'. При этом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что треугольники Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подобны, так как их соответственные стороны параллельны. Отсюда получаем: Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . Если данные отрезки лежат на одной прямой, то теми же рассуждениями можно установить, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

6. Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций. В качестве проецируемой фигуры возьмем треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и спроецируем его по направлению Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельные между собой (рис. 3). Так как отрезки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны и конгруэнтны, то четырехугольники Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются параллелограммами, следовательно, треугольники Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конгруэнтны. Очевидно, что эти же рассуждения применимы для проекции любой другой фигуры.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассматривая указанные выше свойства параллельной проекции, можно заметить, что ее свойства 4, 5 и 6 обеспечивают более простое построение изображения, которое вместе с тем меньше искажает форму и размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией.

В самом деле, свойство 4 указывает на сохранение параллельности прямых, поэтому параллельная проекция трапеции есть трапеция, а параллельная проекция параллелограмма есть параллелограмм, в то время как в центральной проекции эти фигуры вообще проецируются в четырехугольники произвольного вида. По свойству 5 мы имеем для проекций двух параллельных отрезков соотношение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 2), т. е. при параллельном проецировании искажение для всех параллельных отрезков постоянно. Отсюда, в частности, следует, что середина отрезка проецируется в середину проекции отрезка. Свойство 6 позволяет переносить плоскость проекций параллельно самой себе, т. е. отказаться от фиксации плоскости проекций. При этом говорят, что положение плоскости проекций определяется лишь с точностью до параллельности. Это обстоятельство весьма удобно и поэтому широко применяется при построении технического чертежа.

Ортогональная проекция

Еще большее упрощение построения чертежа дает применение ортогонального проецирования, являющегося частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования s перпендикулярно плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Если отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач образует с плоскостью проекций угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, проведя Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис.

4), получим из прямоугольного треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах, так как она позволяет наиболее легко судить о размерах изображаемых предметов.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотренные выше методы проецирования позволяют однозначно решать прямую задачу, т. е. по данному оригиналу строить его проекционный чертеж. Однако обратная задача – по данному проекционному чертежу воспроизвести (реконструировать) оригинал – не решается однозначно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, так как каждую точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно считать проекцией любой точки проецирующей прямой, проходящей через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 1, 2 и 4). Таким образом, рассмотренные нами проекционные чертежи не дают возможности определить оригинал, или, как говорят, не обладают свойством «обратимости». Для получения обратимых чертежей дополняют проекционный чертеж необходимыми данными. Существуют различные методы такого дополнения. В данном курсе будут применяться только два вида обратимых чертежей, а именно: комплексные чертежи в ортогональных проекциях и аксонометрические чертежи как получившие наибольшее распространение.

Комплексный чертеж точки

Наибольшее применение в технической практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций 1 располагается вертикально перед наблюдателем и поэтому называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 5а), а другая плоскость 2 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций 1 и 2 какую-нибудь точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда получим две ее проекции: фронтальную проекцию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости 1 и горизонтальную проекцию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости 2.

Проецирующие прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, при помощи которых точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций 1 и 2, будут перпендикулярны к оси проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обратно, каждая пара точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответственно принадлежащих плоскостям 1 и 2 и расположенных на перпендикулярах к оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, восстановленных из одной и той же точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяет в пространстве единственную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В самом деле, если провести через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикуляры Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно к плоскостям 1 и 2, то они, находясь в одной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, пересекутся в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Расстояние Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от горизонтальной плоскости проекций называется высотой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а ее расстояние Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от фронтальной плоскости проекций – глубиной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций 2 c плоскостью 1, вращая плоскость 2 вокруг оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в направлении, указанном на рис. 5а стрелкой. В результате получим комплексный чертеж точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5б), состоящий из двух проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, соединяющая две проекции точки, называется линией связи.

Полученный комплексный чертеж будет обратимым, т. е. по этому чертежу можно определить или, как говорят, реконструировать оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и имея на чертеже ее глубину Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно реконструировать точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил со времен Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако в технической практике нет необходимости в определении положения изображаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций. Основанием этому может служить установленное свойство 6, что проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Образование комплексного чертежа точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при нефиксированных плоскостях проекций показано на рис. 6. В этом случае плоскости проекций 1 и 2 совмещают с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 2 лежали бы на одной прямой (рис. 6б)*. Это возможно сделать и при образовании комплексного чертежа любого множества точек, так как проекции всех проецирующих плоскостей этих точек на обеих плоскостях проекций будут параллельны, а расстояния между проекциями каждых двух из этих плоскостей на плоскостях 1 и 2 равны между собой. Для удобства чтения чертежа плоскость 2 считают расположенной ниже всех точек оригинала, а плоскость 1 – сзади всех точек оригинала.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изображение на плоскости проекции 1 в технической практике называют видом спереди, или, короче, видом 1, отображение же на плоскости проекций 2 называют видом сверху, или видом 2. Реконструирование оригинала по его комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, производят по его виду спереди 1 и измеренным на чертеже глубинам точек оригинала по отношению к фиксированной в произвольном положении плоскости проекции 1 (рис. 6а); на виде сверху эту плоскость обозначим знаком треугольника. Фиксированные плоскости проекций, по отношению к которым производят какие-либо измерения, в дальнейшем будем называть базовыми плоскостями.

* На рис. 6 и на всех последующих чертежах опущены индексы в обозначениях проекций точек и других оригиналов. Расположение видов определяется ГОСТ 2.305-68 ЕСКД.

Таким образом, для реконструкции точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по ее комплексному чертежу (рис. 6б) нужно восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А на виде спереди и отложить на нем от плоскости чертежа глубину Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, измеренную на виде сверху от базовой плоскости, отмеченной на этом виде знаком треугольника (вид сверху этой базовой плоскости будем называть базой отсчета глубин).

Конец этого перпендикуляра определит положение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по отношению к плоскости чертежа. Так как положение базовой плоскости выбирается произвольно, то при реконструкции оригинала по комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, его положение определяется с точностью до параллельного переноса.

Комплексный чертеж прямой

Прямая линия определяется двумя точками, поэтому на комплексном чертеже всякая прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть задана видами спереди и сверху двух ее точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7). Но так как параллельная проекция обладает свойствами прямолинейности и принадлежности, то прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на комплексном чертеже, вообще говоря, можно задать и ее видами спереди и сверху, причем на этих видах она будет проходить через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7б).

Очевидно, и обратно, пара видов прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, из которых ни один не параллелен линиям связи, определяет в пространстве некоторую прямую. В самом деле, виды спереди и сверху прямой задают две проецирующие плоскости, пересечением которых будет линия Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полезно заметить, что у прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображенной на рис. 7а, ближайшая к наблюдателю точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (напоминаем, что наблюдатель предполагается стоящим лицом к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) расположена ниже, чем более удаленная от наблюдателя точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иначе говоря, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, поэтому прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют восходящей. Если же прямая по мере удаления от наблюдателя понижается, то такую прямую называют нисходящей (рис. 8а). Заметим, что на комплексном чертеже виды восходящей прямой наклонены к линиям связи в одну и ту же сторону (см. рис. 7), а виды нисходящей прямой наклонены в разные стороны (рис. 8б). В дальнейшем условимся считать, что на комплексном чертеже восходящая прямая на видах спереди и сверху ориентирована одинаково, а нисходящая – противоположно. Прямую, не параллельную ни одной плоскости проекций, принято называть прямой общего положения.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Профильная прямая

В то время как вид спереди и вид сверху двух каких-либо точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вполне определяют прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 7), не всякие две прямые, заданные на этих видах, могут определять в пространстве некоторую прямую. Если оба вида прямой параллельны линиям связи, не совпадая с одной и той же линией связи (рис. 9), или если на одном виде прямая параллельна линиям связи, а на другом (рис. 10) не параллельна им, то в обоих этих случаях такие виды не определяют прямую в пространстве. В самом деле, в этих случаях нельзя по линиям связи найти для всех точек прямой на виде сверху соответствующие точки на виде спереди.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если же оба вида прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11) находятся на одной линии связи, то проецирующие плоскости, определяемые этими видами, совпадают в одну плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и поэтому этой паре видов соответствует в пространстве бесчисленное множество прямых, лежащих в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная к обеим плоскостям проекций 1 и 2, называется профильной плоскостью, а прямые этой плоскости – профильными прямыми.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, все профильные прямые, расположенные в одной и той же профильной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображаются на комплексном чертеже одной и той же парой видов, расположенных на одной линии связи. Поэтому эта пара видов не определяется единственной профильной прямой. Итак, всякая непрофильная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вполне определяется двумя своими видами, для определения же профильной прямой необходимо задать на обоих видах прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач две ее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 11)*.

Взаимопринадлежность точки и прямой

Деление отрезка в данном отношении. Чтобы задать на данной непрофильной прямой какую-нибудь точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, достаточно задать ее на обоих видах прямой (рис. 12).

Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет принадлежать данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на основании сохранения принадлежности при параллельном проецировании.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как отношение отрезков одной и той же прямой сохраняется на каждом виде этой прямой, то для деления данного отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в данном отношении достаточно разделить в этом отношении один из видов этого отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другой его вид. Отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач разделен точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в отношении 2 : 3, первоначально в этом отношении был разделен вид сверху данного отрезка (рис. 13). Деление отрезка в данном отношении можно использовать для задания точки на профильной прямой. Пусть дана профильная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на которой отмечены две точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14). Чтобы задать какую-нибудь точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на этой прямой, выбираем сначала точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, например, на виде сверху в произвольной точке прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде спереди точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находим на прямой р при помощи деления отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в том же отношении, в котором точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху. Построение удобнее произвести следующим образом: через данные точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху проводим два параллельных луча произвольного направления до пересечения в точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с соответствующими параллельными лучами, проведенными через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди.

Далее через выбранную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху проводим луч, параллельный лучам, проходящим через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом виде до пересечения его в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемой прямой преломления лучей, и через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим луч, параллельный лучам, проходящим через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, до пересечения с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди в искомой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Справедливость указанного построения следует из сохранения отношения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на обоих видах, которое имеет место на основании свойств отрезков прямых, пересеченных параллельными прямыми.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, точки профильной прямой на видах спереди и сверху связаны между собой ломаными линиями связи, вершины которых находятся на прямой преломления. Этот способ построения точек, принадлежащих прямой, рекомендуется применять не только для профильных прямых, но и для таких, виды которых образуют с линиями связи комплексного чертежа весьма острые углы. В этих случаях ломаные линии связи дают большую точность построения, чем обычные линии связи комплексного чертежа.

Определение натуральной величины отрезка прямой и его углов наклона к плоскостям проекций

Эту задачу можно выполнить с помощью так называемого способа прямоугольного треугольника.

Пусть дан отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения (рис. 15а). Зафиксируем плоскость проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы она прошла через один из концов отрезка, например, через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда получим прямоугольный треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором гипотенузой является отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, одним катетом – проекция Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а вторым катетом – расстояние Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от плоскости проекций. Угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, образованный отрезком Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и его проекцией Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, является углом наклона отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Очевидно, что если плоскостью проекций будет горизонтальная или фронтальная плоскость, то одним из катетов будет соответственно вид сверху или вид спереди отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другим – высота или глубина одного конца отрезка относительно другого.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, натуральная величина отрезка является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого одним из катетов будет любой из видов отрезка, а вторым катетом соответственно – высота или глубина одного из концов отрезка относительно другого. Построение натуральной величины отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнено на рис. 15б, его длина обозначена Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом показаны два варианта решения. В одном варианте построен прямоугольный треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху данного отрезка, а в другом – прямоугольный треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на его виде спереди. Гипотенузы этих треугольников Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют натуральную величину отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а углы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – углы наклона этого отрезка к плоскостям проекций 1 и 2. Иногда удобнее строить прямоугольный треугольник не на виде отрезка, а на высоте Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или на глубине Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач одного из концов отрезка относительно другого. Оба варианта этих построений показаны на рис. 15в. Отрезки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют натуральную величину отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Комплексный чертеж плоскости

Плоскость определяют три ее точки, не лежащие на одной прямой, поэтому на комплексном чертеже всякая плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть задана ее тремя точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 16а).

Определение плоскости

Для большей наглядности соединим точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямыми; получим задание плоскости треугольником Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом следует помнить, что плоскость безгранична и поэтому нельзя ограничиваться построениями в пределах треугольника. В общем случае на комплексном чертеже плоскость не может быть задана ее видами, так как виды плоскости на каждой плоскости проекций 1 и 2 занимают полностью всю плоскость проекций. Поэтому в общем случае виды плоскости не определяют ее положения в пространстве.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, если всякая точка и всякая непрофильная прямая могут быть заданы на комплексном чертеже своими видами спереди и сверху, то профильные прямые и, в общем случае, плоскости не определяются этими видами. Как профильные прямые, так и плоскости на комплексном чертеже приходится задавать с помощью точек, их определяющих. Если плоскость по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, то ее называют восходящей. Чтобы избежать недоразумений, удаление надо производить по профильной прямой плоскости*. На комплексном чертеже (рис. 16б) оба вида треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым задана восходящая плоскость, имеют одинаковые обходы (против движения часовой стрелки). Нисходящая плоскость по мере удаления от наблюдателя понижается. Виды треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которым задана нисходящая плоскость, имеют противоположные обходы (вид сверху имеет обход по движению часовой стрелки, а вид спереди – против движения часовой стрелки) (рис. 17).

В дальнейшем будем считать, что на комплексном чертеже виды восходящей плоскости ориентированы одинаково, а нисходящей – противоположно. Задание плоскости тремя точками или, что то же самое, треугольником, не является единственно возможным. Так как плоскость вполне определяется прямой и точкой, взятой вне прямой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми, или, наконец, любой плоской фигурой, то на комплексном чертеже плоскость может быть задана видами этих элементов**. При этом всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому и, в частности, к заданию плоскости тремя точками.

Взаимопринадлежность точки и плоскости

Чтобы иметь возможность выполнять какие-нибудь построения в плоскости, заданной своим комплексным чертежом, необходимо уметь строить в данной плоскости любые ее точки.

Пусть плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задана тремя точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17). Покажем, как задать какую-нибудь точку этой плоскости. Для большей наглядности соединим точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямыми; тогда плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет задана треугольником Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проще всего искомую точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задать на какой-нибудь стороне, например, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого достаточно ее задать на обоих видах стороны Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как принадлежащая прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащей в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет принадлежать и плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для более общего задания точки, принадлежащей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следует провести в этой плоскости произвольную прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выделив на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач две произвольные точки, например, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, мы определим этими точками прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащую плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теперь любая точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет принадлежать плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Так как вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач покрывает все поле чертежа, то на одном из видов точку, принадлежащую плоскости, можно задать произвольно, тогда на другом виде точка определится однозначно. Выберем произвольно точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху. Далее проведем в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач какую-нибудь прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая на виде сверху проходила бы через выбранную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачопределена точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащими плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построив прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди, найдем на нем искомую точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, построение точки в данной плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и точки на этой прямой. При этом можно выбрать точку на одном из видов, а на другом построить ее при помощи вспомогательной прямой, проведенной на данной плоскости так, чтобы на соответствующем виде она проходила бы через выбранную точку.

Комплексный чертеж из трех и более видов и прямоугольная система координат в пространстве

Как было показано, комплексный чертеж, состоящий из видов спереди и сверху*, является обратимым, т. е. по этому чертежу можно реконструировать оригинал.

Профильная плоскость проекций

Однако реконструкция оригинала, у которого имеются профильные элементы и, в частности, профильные прямые или плоскости, становится проще, когда помимо видов спереди и сверху имеется еще и вид на третьей плоскости. В качестве такой плоскости проекций применяется плоскость, перпендикулярная к обеим основным плоскостям 1 и 2, называемая профильной плоскостью проекций**, ее обозначают 3, а изображение на ней называют видом слева. Три плоскости проекций 1, 2 и 3 образуют систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 18а).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

* Комплексный чертеж из двух видов иногда называют двухкартинным чертежом.

* * В начертательной геометрии эту плоскость принято располагать правее оригинала. Однако в технической практике используют и вторые профильную, горизонтальную и фронтальную плоскости проекций, соответственно обозначаемые 4, 5 и 6 и расположенные левее, над и перед оригиналом. Изображение на плоскости проекций 4 называют видом справа, на плоскости 5 - видом снизу, а на плоскости 6 - видом сзади. Будем в дальнейшем называть плоскости проекций 1, 2, 3, 4, 5 и 6 стандартными (ГОСТ 2.305-68).

Трехкартинный комплексный чертеж

Рассмотрим образование такого чертежа некоторой точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при нефиксированных плоскостях проекций. Спроецировав ортогонально на плоскости проекций 1, 2 и 3 данную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачА, получим в дополнение к ее видам спереди и сверху вид слева (рис. 18а). Расстояния точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от фиксированных горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций ранее были названы соответственно высотой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и глубиной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; расстояние же точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от фиксированной профильной плоскости проекций называется широтой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если теперь совместить плоскости проекций 1, 2 и 3 с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 2 оказались на одной вертикальной прямой (вертикальной линии связи), а проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 3 – на одной горизонтальной прямой (горизонтальной линии связи), то получим комплексный чертеж точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в трех видах (рис. 18б). Если зафиксировать плоскость проекции 1 и принять ее за базовую плоскость, то глубина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть измерена на видах сверху и слева от баз отсчета глубин, отмеченных знаком треугольника. Следовательно, для построения точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде слева, заданной на видах спереди и сверху, нужно провести через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди горизонтальную линию связи, на которой отложить от базы отсчета глубин величину, предварительно измеренную на виде сверху от той же базы отсчета. При построении точки на виде слева можно использовать постоянную прямую преломления, обеспечивающую сохранение глубины точки (см. рис. 18б). Постоянная прямая преломления, являясь биссектрисой прямого угла между базами, будет наклонена к вертикальным и горизонтальным линиям связи под одним и тем же углом 450. Итак, три вида какой-либо точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются вершинами прямоугольника, четвертой вершиной которого является точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащая постоянной прямой преломления. При этом виды спереди и сверху связаны вертикальной линией связи, виды спереди и слева – горизонтальной линией связи и виды сверху и слева – ломаной горизонтально-вертикальной линией связи.

Пример, при решении которого будет использован вид слева:

На профильной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданной точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, построить произвольную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19).

Этот пример был уже решен (см. рис. 14) с помощью прямой преломления и ломаных линий связи. Теперь рассмотрим его решение с помощью вида слева прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого проведем постоянную прямую преломления под углом 45° к вертикальным линиям связи. Пользуясь прямой преломления, найдем на виде сверху точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяющие прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если выбрать на виде слева точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольно, то эта точка легко определится и на видах спереди и сверху. Сравнивая решение, приведенное ранее (см. рис. 14), с данным решением, нетрудно заметить, что последнее несколько сложнее первого, независимо от того, будет ли при последнем решении использована постоянная прямая преломления или оно будет выполнено с помощью измерения глубин точек. Единственным преимуществом последнего решения является его большая наглядность.

Дополнительные плоскости проекций

Часто при решении различных задач, а также при необходимости получения новых видов оригинала, помимо его шести видов на основных плоскостях проекций 1, 2, 3, 4, 5 и 6 приходится вводить новые дополнительные плоскости проекций 7, 8, ... . Эти плоскости располагают перпендикулярно любой из стандартных плоскостей проекций. Иначе говоря, новое направление проецирования должно быть параллельно одной из стандартных плоскостей проекций.

Так, например, введем дополнительную плоскость проекций 7, расположив ее перпендикулярно плоскости проекций 1 (рис. 20а). При этом новое направление проецирования будет параллельно плоскости 1, покажем его стрелкой (на рис. 20б эта стрелка изображена только на виде спереди). Спроецируем по этому направлению на плоскость 7 данную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

При новом направлении проецирования сохраняется глубина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно любой фронтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для упрощения изображения на рис. 20а за плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принята фиксированная плоскость проекций 1. Глубина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть измерена как на виде сверху, так и на дополнительном от баз отсчета глубин, отмеченных знаком треугольника.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если теперь совместить плоскость проекций 7 с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости точки А на плоскостях 2 и 7 оказались на одной прямой (наклонной линии связи, имеющей направление стрелки), то получим комплексный чертеж точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в двух стандартных и одном дополнительном видах (рис. 20б).

Аналогичным образом можно ввести дополнительную плоскость проекций 7, перпендикулярную плоскости проекций 2 (рис. 21а). Новое направление проецирования, показанное стрелкой, будет параллельно плоскости проекций 2. При этом проецировании сохраняется высота Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно любой горизонтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на рис. 21а за плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принята фиксированная плоскость проекций 2). Высота Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть измерена на виде спереди или на дополнительном виде от баз отсчета высот, отмеченных знаком треугольника. В результате совмещения плоскости 7 с плоскостью чертежа получим комплексный чертеж точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 21б) в двух стандартных и одном дополнительном видах.

Таким образом, при направлении проецирования, параллельном плоскости проекций 1, сохраняются глубины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно фронтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а при направлении проецирования, параллельном плоскости проекций 2, сохраняются высоты Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно горизонтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иначе говоря, для построения точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на дополнительном виде по направлению проецирования, параллельному плоскости 1 (плоскости 2), нужно провести через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди (виде сверху) линию связи в направлении, соответствующем направлению проецирования, и на этой линии связи следует отложить от базы отсчета дополнительного вида, отмеченного знаком треугольника, глубину Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (высоту Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, предварительно измеренную на виде сверху (спереди) от базы этого вида, отмеченной также знаком треугольника.

Пространственная система прямоугольных координат

Чтобы иметь возможность точной передачи и точного построения комплексных чертежей каких-либо оригиналов, необходимо уметь задавать положение точек на видах комплексного чертежа, при помощи чисел. Для этого, как известно, следует пользоваться координатным методом. Этот метод приходится также применять при построении аксонометрических чертежей (гл. VII).

Пространственная система прямоугольных координат Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 22), употребляемая в координатном методе, состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (осей координат), пересекающихся в одной точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (начало координат), и трех взаимно перпендикулярных плоскостей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (плоскостей координат), попарно пересекающихся по соответствующим осям координат. Положительными направлениями координатных осей будем считать направления, указанные стрелками. Три координатные плоскости делят пространство на восемь частей (октантов). Нумерация октантов показана на рис. 22. Каждому октанту соответствует своя система знаков направлений координатных осей. У первого октанта все три координатные оси имеют положительные направления.

Чтобы отнести данную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к выбранной системе координат Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, спроецируем ее ортогонально на координатную плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим проекцию точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которую, в свою очередь, спроецируем ортогонально на координатную ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В результате этих двух проецирований получим пространственную ломаную линию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (координатную ломаную), отрезки которой параллельны координатным осям и соответственно называются Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – отрезком абсциссы, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – отрезком ординаты и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – отрезком аппликаты.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Измеряя координатные отрезки единицей длины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим три числа, выражающих длины соответствующих координатных отрезков, – координаты точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач: абсциссу Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , ординату Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и аппликату Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как координаты точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выражают также расстояния этой точки от координатных плоскостей, то, рассматривая эти плоскости как плоскости проекций, можно называть координаты точки соответственно Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – ее широтой, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – глубиной и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – высотой.

Если точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задана своим комплексным чертежом (рис. 23), то для отнесения ее к системе координат Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно сначала построить на комплексном чертеже координатные оси. Обычно систему координат располагают так, чтобы координатные плоскости были параллельны соответствующим плоскостям проекций, при этом параллельно горизонтальной плоскости проекций задают координатную плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда координатные оси на комплексном чертеже изобразятся так, как показано на рис. 23. Измеряя единицей длины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач широту Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди или на виде сверху, что все равно, ее глубину Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на виде сверху и высоту Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на виде спереди, получим координаты Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы построить точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, нужно при помощи единицы длины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определить координатные отрезки точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, затем отложить отрезок, соответствующий координате Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а отрезки, соответствующие координатам Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, – параллельно осям Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 22). Конец Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач координатной ломаной и определит искомую точку. В зависимости от знаков координат точка может оказаться в том или другом октанте. Имея координаты точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, единицу длины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и комплексный чертеж системы координат Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, нетрудно построить комплексный чертеж точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №1

Построить комплексный чертеж точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (15, 10, 20) в трех видах, если единица длины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 24).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Если у оригинала нет явно выраженных размерных баз (осей или плоскостей), которые удобно принять за оси или плоскости координат, то после соответствующего выбора системы координат можно принять за плоскости проекций сами координатные плоскости. Тогда получим комплексный чертеж при фиксированных плоскостях проекций, на котором будут совмещены: ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на видах спереди и сверху, а ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на видах спереди и слева. Само построение точки А на трех видах сводится к построению координатных отрезков, соответственно равных 15, 10 и 20 мм. Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху определяется координатами Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на виде спереди – Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и на виде слева – Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Прямые и плоскости частного положения

Прямые и плоскости

Прямые и плоскости, наклоненные к плоскостям проекций, называются прямыми и плоскостями общего положения. Прямые и плоскости, перпендикулярные, либо параллельные плоскости проекций, называются прямыми и плоскостями частного положения. Прямые и плоскости частного положения разделяются на проецирующие* прямые и плоскости, перпендикулярные плоскости проекций, и на прямые и плоскости уровня, параллельные плоскости проекций. Нетрудно видеть, что каждая проецирующая прямая является вместе с тем и прямой уровня, а каждая плоскость уровня – и проецирующей плоскостью.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций

Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная плоскости проекций 2 и называемая вертикальной прямой, проецирует все свои точки на плоскость проекций 2 в одну точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющуюся ее видом сверху (рис. 25). На видах спереди и слева прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна вертикальным линиям связи. Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будучи параллельна плоскостям проекций 1 и 3, проецируется на эти плоскости без искажения, т. е. длина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть измерена на видах спереди и слева. Так как точки вертикальной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (в том числе точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) совпадают на виде сверху, то такие точки будем называть конкурирующими на вид сверху. Аналогично, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная плоскости проекций 1, проецирует все свои точки (в том числе точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) на плоскость проекций 1 в одну точку* Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющуюся ее видом спереди (рис. 26). Эта прямая на виде сверху параллельна вертикальным линиям связи, а на виде слева – горизонтальным.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будучи параллельна плоскостям проекций 2 и 3, проецируется на эти плоскости без искажения, т. е. длина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть измерена на видах сверху и слева. Точки прямой, перпендикулярной плоскости проекций 1 и, в частности, ее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют конкурирующими на виде спереди.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наконец, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная плоскости 3, проецирует все свои точки, в том числе и точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 27), на плоскость проекций 3 в одну точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющуюся ее видом слева; на видах спереди и сверху прямая параллельна горизонтальным линиям связи. Так как прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна плоскостям проекций 1 и 2, то она проецируется на эти плоскости без искажения, т. е. длина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть измерена на видах спереди и сверху. Точки прямой, перпендикулярной плоскости проекции 3 и, в частности, ее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будем называть конкурирующими на виде слева.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Плоскости, перпендикулярные плоскости проекций

Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная к плоскости проекций 2, называется вертикальной. Эта плоскость проецирует все свои точки на плоскость проекций 2 в одну прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая является видом сверху плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На видах спереди и слева плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач занимает всю плоскость чертежа* (рис.28).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

* Если видом прямой является точка, а видом плоскости - прямая, то такой вид будем в дальнейшем называть вырожденным видом.

На виде сверху точка или фигура, лежащие в вертикальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, располагаются на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащая в этой плоскости, на виде сверху совпадает с видом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В связи с этим говорят, что вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач «собирает на себе» точки, прямые и фигуры, расположенные в этой плоскости.

Вертикальная плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вполне определяется ее одним видом сверху. Вместе с этим углы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые образует вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно с прямой, перпендикулярной вертикальным линиям связи, и с самими линиями связи задают углы наклона плоскости Б к плоскостям проекций 1 и 3. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная к плоскости проекций 1, называется наклонной плоскостью, она имеет вырожденный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди, а на видах сверху и слева занимает все поле чертежа (рис. 29). На виде спереди всякие точка, прямая или фигура, лежащие в наклонной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, располагаются на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так, треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащий в этой плоскости, на виде спереди изображается отрезком Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащим прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Иначе говоря, на виде спереди наклонная плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач «собирает на себе» точки, прямые и фигуры, расположенные в этой плоскости.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярная плоскости 1, вполне определяется одним своим видом спереди Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Углы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые образует вид спереди Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно с горизонтальными и вертикальными линиями связи, измеряют углы наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскостям проекций 2 и 3. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная к плоскости проекций 3, на виде слева изображается прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на видах спереди и сверху плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач занимает все поле чертежа (рис. 30). Аналогично предыдущей ее также называют наклонной плоскостью. На виде слева всякая точка, прямая или фигура, лежащие в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, располагаются на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая «собирает на себе» эти оригиналы. Так, прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и перпендикулярные плоскости проекций 3, на виде слева изображаются точка- ми Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащими виду слева Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вполне определяется одним своим видом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Углы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые образует вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответственно с вертикальными и горизонтальными линиями связи, задают углы наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскостям проекций 1 и 2.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В практике очень часто прибегают к помощи плоскостей, перпендикулярных плоскостям проекций, так как различные вопросы с ними решаются весьма просто. Так, чтобы построить произвольную точку, прямую или фигуру в такой плоскости, достаточно один из видов этих фигур взять на прямой, являющейся видом плоскости (см. рис. 28, 29 и 30).

Точку и прямую, а также две прямые, расположенные в одной и той же вертикальной плоскости, называют конкурирующими на вид сверху точкой и прямой или конкурирующими на вид сверху прямыми, так как, в общем случае, на виде сверху они либо взаимно принадлежат друг другу, либо совпадают. Исключение составляют случаи точки и вертикальной прямой, а также двух вертикальных прямых. В этих случаях на виде сверху оригиналы не принадлежат друг другу и не совпадают и поэтому они не являются конкурирующими.

Аналогично точку и прямую, а также две прямые, расположенные в одной и той же плоскости, перпендикулярной плоскости 1 или 3, называют конкурирующими соответственно на вид спереди или слева точкой и прямой или прямыми. Так, каждая вершина и противоположная сторона, а также стороны треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, расположенного в наклонной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 29), являются конкурирующими на вид спереди, в то время как прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, расположенные в одной и той же плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной плоскости проекций 3 (см. рис. 30), конкурирующими называть не следует.

Плоскости уровня

Плоскость, параллельную какой-нибудь плоскости проекций, называют плоскостью уровня, так как все точки этой плоскости одинаково удалены от соответствующей плоскости проекций. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельную горизонтальной плоскости проекций 2, называют горизонтальной плоскостью (рис. 31), а плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельную фронтальной плоскости проекций 1, называют фронтальной плоскостью (рис. 32). Профильная плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, рассмотренная, также является плоскостью уровня по отношению к профильной плоскости проекций 3, которой она параллельна (рис. 33).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как плоскости уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, то на комплексном чертеже они могут быть заданы одним своим вырожденным видом: плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – видом сверху или слева, плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – видом спереди или слева и плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – видом спереди или сверху. При этом каждый из этих видов является прямой, перпендикулярной или параллельной соответствующим линиям связи. Всякая фигура, лежащая во фронтальной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, горизонтальной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или профильной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости, проецируется без искажения соответственно на плоскости проекций 1, 2 или 3.

Прямые уровня

Прямая, параллельная какой-нибудь плоскости проекций, называется прямой уровня. Прямая уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельная горизонтальной плоскости проекций 2, называется горизонталью, а прямая уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельная фронтальной плоскости проекций 1, называется фронталью. Профильная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (§ 3, п. 2) также является прямой уровня по отношению к плоскости проекций 3, которой она параллельна.

Так как горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в соответствующей горизонтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 31), то на видах спереди и слева она соответственно совпадает с вырожденными видами плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому на комплексном чертеже горизонталь на видах спереди и слева совпадает с одной и той же горизонтальной линией связи.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из условия, что фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в соответствующей фронтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 32), следует, что на видах сверху и слева она совпадает соответственно с вырожденными видами плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому на комплексном чертеже фронталь на видах сверху и слева соответственно перпендикулярна вертикальным и горизонтальным линиям связи.

Профильная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, как уже отмечалось, на видах спереди и сверху совпадает с одной и той же вертикальной линией связи (см. рис. 33). Прямые уровня проецируются без искажения на параллельную им плоскость проекций. Поэтому на плоскости проекций 2 горизонтали не искажаются, на плоскости проекций 1 не искажаются фронтали, а на плоскости проекций 3 – профильные прямые.

Отсюда следует, что длина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач горизонтали h может быть измерена на виде сверху, длина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на виде спереди, а длина Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач профильной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на виде слева. Одновременно с этим на виде сверху можно измерить углы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач наклона горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно к плоскостям проекций 1 и 3 (см. рис. 31). Аналогично на виде спереди можно измерить углы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач наклона фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно к плоскостям проекций 2 и 3 (см. рис. 32), а на виде слева – углы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач наклона профильной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно к плоскостям проекций 1 и 2 (см. рис. 33).

Плоскости общего положения

В плоскости общего положения можно провести бесчисленное множество горизонталей, фронталей и профильных прямых, при этом все горизонтали будут параллельны между собой, точно так же будут параллельны между собой фронтали и профильные прямые.

Пример №2

Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задана тремя точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Провести в этой плоскости через одну из данных точек, например, точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – профильную прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Для удобства построения, а также для большей наглядности изображения перезададим плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольником Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 34). Определим горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и вспомогательной точкой 1, причем точка 1 взята на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы на виде спереди она была бы перпендикулярна вертикальным линиям связи. Фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку 2, взятую на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы на виде сверху она была перпендикулярна вертикальным линиям связи.

Таким образом, построение горизонтали начинаем на виде спереди, а построение фронтали – на виде сверху. Профильную прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определим данной точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, взятой на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы она на обоих видах совпадала с одной и той же вертикальной линией связи.

Следует отметить, что так как в системе плоскостей проекций 1 и 2 профильная прямая не определяется ее видами спереди и сверху, точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которыми она определена, являются не вспомогательными, а ее основными точками. Очевидно, что через каждую точку плоскости можно провести в этой плоскости лишь одну горизонталь, одну фронталь и одну профильную прямую.

Задание плоскости следами

Выше были рассмотрены различные формы задания на комплексном чертеже плоскости общего положения. Если комплексный чертеж образован при фиксированных плоскостях проекций, то возможно задание плоскости ее следами, т. е. прямыми ее пересечения с плоскостями проекций (рис. 35). След на горизонтальной плоскости проекций 2 является не чем иным, как горизонталью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной плоскости, а след на фронтальной плоскости проекций 1 – ее фронталью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В общем случае следы плоскости пересекаются, и точка их пересечения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на оси проекций. Задание плоскости ее следами на плоскостях проекций является частным случаем задания плоскости двумя пересекающимися прямыми. Отсюда следует, что решение всевозможных задач с плоскостями, заданными их следами, можно производить так же, как с плоскостями, заданными двумя пересекающимися прямыми уровня. Так, на рис. 35 показано построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданной своими следами Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это построение выполнено при помощи вспомогательной прямой, определяемой точками 1 и 2, выделенными на прямых (следах) Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной плоскости, т. е. так же, как это делалось в случае задания плоскости тремя точками.

Задание плоскости следами не находит применения в технической практике, так как требует фиксации плоскостей проекций, что без нужды вносит дополнительные усложнения. Кроме того, оно может быть и неудобно, например, когда точка схода следов или сами следы оказываются за пределами чертежа.

Прямые наибольшего уклона плоскости

Прямые плоскости, перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости, называются прямыми наибольшего уклона данной плоскости к соответствующей плоскости проекций.

Такое название этих прямых объясняется тем, что среди различных прямых какой-либо плоскости прямые наибольшего уклона, перпендикулярные горизонталям плоскости, образуют наибольший угол с горизонтальной плоскостью, перпендикулярные фронталям плоскости – с фронтальной плоскостью, а перпендикулярные профильным прямым плоскости – с профильной плоскостью.

Действительно, если провести в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой плоскости, и произвольную прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, отличную от прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 36), то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач образует больший угол наклона с горизонтальной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, нежели прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перенесем плоскость проекций 2 параллельно самой себе так, чтобы она совпала с выбранной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и обозначим ее в этом положении через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. При таком переносе углы прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач нe изменятся. Так как угол наклона прямой к плоскости измеряется углом между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость, то углы прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут соответственно измеряться углами Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Покажем, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого рассмотрим два прямоугольных треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с общим катетом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этих треугольниках имеем Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – перпендикуляр, а Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – наклонная по отношению к горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому если совместить вращением вокруг Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости рассматриваемых треугольников, то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач займет положениеНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач внутри треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теперь можно утверждать, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач больше Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как внешний угол треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач больше внутреннего, с ним не смежного. Таким образом, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная к ее горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, является прямой наибольшего уклона к горизонтальной плоскости. На основании обратной и прямой теорем «о трех перпендикулярах» следует, что если Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 36), то Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и обратно, если Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямую наибольшего уклона к горизонтальной плоскости часто называют линией ската, так как материальная частица, находящаяся на плоскости, будет скатываться по этой линии.

Таким образом, на виде сверху линия ската данной плоскости перпендикулярна к любой горизонтали этой плоскости.

Аналогично можно доказать, что прямая плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярная к фронтали или профильной прямой этой плоскости, является соответственно прямой наибольшего уклона к фронтальной или профильной плоскости и что эта перпендикулярность сохраняется на соответствующем виде.

Прямая наибольшего уклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к какой-либо плоскости уровня с соответствующим видом этой прямой образует линейный угол двугранного угла плоскости Б с выбранной плоскостью уровня.

Поэтому измерение двугранного угла между плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения и плоскостью уровня может быть сведено к измерению угла между прямой наибольшего уклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к выбранной плоскости уровня и соответствующим видом этой прямой.

Пример №3

Провести в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения через ее точку В прямые наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к фронтальной и горизонтальной плоскостям уровня (рис. 37).

Решение:

Вначале построим прямую наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к фронтальной плоскости. Для этого предварительно построим в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как прямая наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к фронталям плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а эта перпендикулярность сохраняется на виде спереди, то на этом виде прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач строим перпендикулярно фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведя ее, например, через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде сверху прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим из условия принадлежности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, для чего использованы точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 2.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь построим прямую наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонтальной плоскости. Для этого проводим в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 3. Так как прямая наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна горизонталям плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а эта перпендикулярность сохраняется на виде сверху, то на этом виде прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно к Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде спереди прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находим при помощи точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 4, выделенных на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Условия видимости на комплексном чертеже

Для увеличения наглядности чертежа при его построении прибегают к некоторой условной видимости. При этом невидимые линии либо вовсе не изображаются, либо показываются менее заметными для глаза, чем видимые линии. Обычно невидимые линии вычерчивают штрихами в два раза меньшей толщины, чем толщина сплошных линий, которыми изображают видимые линии.

Будем считать, что направление лучей зрения совпадает с направлением проецирования. Ясно, что если две точки лежат на одном и том же луче зрения, то одна из них закрывается другой, причем точка, расположенная ближе к наблюдателю, будет видимой, а точка, расположенная дальше от наблюдателя, – невидимой.

При рассматривании по направлению стрелки 2 точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующих на вид сверху (рис. 38), точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видимой на этом виде, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – невидимой. Если же рассматривать по направлению стрелки 1 точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующие на виде спереди, то точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видимой на этом виде, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – невидимой. Отсюда получаем следующий критерий видимости для комплексного чертежа: из двух точек, конкурирующих на вид сверху, видна на этом виде та точка, которая расположена выше, а из двух точек, конкурирующих на вид спереди, видна на этом виде та точка, которая расположена ближе (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к плоскости 1).

Аналогично из двух точек, конкурирующих на вид слева, видна на этом виде та точка, которая расположена левее.

На комплексном чертеже (рис. 38б) из двух точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующих на виде сверху, видимой будет на этом виде точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как, сравнивая эти точки на виде спереди, видим, что она расположена выше точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде спереди из двух конкурирующих на этот вид точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач видимой будет точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как, сравнивая эти точки на виде сверху, видим, что она находится ближе точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Критерий видимости может быть применен для определения видимости элементов любых фигур.

Пример №4

Определить видимость ребер тетраэдра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 39).

Решение:

Сначала выясним видимость ребер тетраэдра на виде сверху. При рассматривании тетраэдра по стрелке 2, т. е. принимая направление луча зрения совпадающим с направлением проецирования на плоскость 2, замечаем, что ребра тетраэдра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются контурными, следовательно, эти ребра видимы на виде сверху. Остается выяснить видимость ребер Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим пару конкурирующих на вид сверху точек этих ребер через 1 и 2. Тогда, судя по их расположению на виде спереди, видно, что точка 1 расположена выше точки 2. Поэтому точка 1, а следовательно, и ребро Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которому принадлежит эта точка, видимы на виде сверху, а точка 2 и ребро Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – невидимы.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь установим видимость на виде спереди. При рассматривании тетраэдра по стрелке 1 его ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются контурными ребрами, и поэтому они видимы на виде спереди. Для выяснения видимости ребер Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выделим на этих ребрах пару точек 3 и 4, конкурирующих на вид спереди. Так как на виде сверху точка 4 расположена ближе точки 3, то точка 4, а следовательно, и ребро Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которому она принадлежит, видимы на виде спереди. Точка же 3 и ребро Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут невидимы.

Линии и поверхности

Все точки плоской линии, ломаной или кривой находятся в одной плоскости, определяемой любыми тремя точками этой линии, не лежащими на одной прямой.

Линии и их проекции

Наиболее часто встречающимися на практике плоскими линиями являются правильные замкнутые ломаные линии, а из кривых – кривые второго порядка*: окружность, эллипс, парабола и гипербола, а также различные закономерные кривые, такие как синусоида, циклоида, архимедова спираль и др.

Плоские линии

На основании свойств параллельного проецирования можно установить, какие свойства линий сохраняются у их проекций. Из свойств однозначности, прямолинейности и принадлежности следует, что проекцией ломаной в общем случае будет также ломаная с тем же числом вершин. Из этих свойств следует также, что секущая и касательная к кривой линии проецируются соответственно в секущую и касательную к ее проекции, при этом сохраняется число точек пересечения секущей с кривой**. Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные точки ее проекции. Сохранение этих свойств кривых при параллельном проецировании позволяет утверждать, что окружность и эллипс проецируются в эллипс, парабола проецируется в параболу, а гипербола – в гиперболу. Кривую линию называют гладкой кривой, если в каждой из ее точек имеется единственная касательная Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Точки плоской кривой разделяются на обыкновенные и особые. На рис. 40а показана обыкновенная точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рис. 40б, в, г, д, е – некоторые особые точки (перегиба Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, возврата первого рода Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и второго рода Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, узловая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и излома Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач). При проецировании все эти особенности точек кривой сохраняются, и поэтому по проекции плоской кривой можно судить о характере самой кривой.

Ортогональная проекция окружности

Так как построение проекций окружности на комплексном чертеже будет встречаться в дальнейшем довольно часто, то выясним здесь некоторые свойства ортогональной проекции окружности.

* Кривые, определяемые в декартовых координатах алгебраическими уравнениями» называются алгебраическими, причем степень уравнения является порядкохм кривой. Порядком алгебраической кривой определяется максимальное число точек ее пересечения с прямой. Так, кривая второго порядка пересекается со всякой прямой не более чем в двух точках.

* * Это означает, что порядок плоской алгебраической кривой сохраняется при параллельном проецировании.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Так как ортогональная проекция является частным случаем параллельной проекции, то, проецируя окружность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, расположенную в плоскости общего положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 41), ортогонально на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим эллипс Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем диаметр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пройдет по прямой уровня плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а диаметр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – по прямой наибольшего уклона этой плоскости по отношению к плоскости проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда диаметр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач спроецируется в диаметр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач эллипса, равный диаметру окружности, т. е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а диаметр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – в диаметр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач эллипса.

Так как угол, образованный этими диаметрами, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, обозначив его через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), а это свойство при параллельном проецировании сохраняется, то диаметры Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны, эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плоскости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причем Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – большая ось, а Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – малая ось.

Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, расположенной в некоторой плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельна проекции прямой уровня этой плоскости и равна диаметру окружности, а малая ось параллельна проекции прямой наибольшего уклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и равна диаметру окружности, умноженному на косинус угла наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости проекций.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если обозначить большую ось эллипса через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, малую – через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а диаметр окружности через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то будем иметь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим теперь примеры построения окружности на комплексном чертеже, основанного на свойствах ее ортогональной проекции.

Пример №5

Построить в наклонной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окружность радиуса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 42).

Решение:

На виде спереди окружность выродится в отрезок прямой длиной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, a на виде сверху будет эллипсом. Большая ось этого эллипса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет, как и прежде, параллельна горизонтали плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (в данном случае прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости) и равна диаметру окружности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Малая ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет параллельна горизонтальной проекции прямой наибольшего уклона (в данном случае фронтали) плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет равна Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – угол наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонтальной плоскости. Имея оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач эллипса, легко построить сколько угодно его точек при помощи двух концентрических окружностей, построенных на этих осях, как на диаметрах.

Пример №6

Построить в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачобщего положения окружность радиуса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 43).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Сначала найдем центр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, большую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и малую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач оси эллипса, являющегося видом сверху искомой окружности. Для этого проводим в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ее горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямую наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонтальной плоскости. Тогда центр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и большая ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач легко найдутся на горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Малая же ось СD эллипса найдется на горизонтальной проекции прямой наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для определения ее длины построим прямоугольный треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, одним катетом которого является отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другим – превышение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач над точкой 2. Тогда гипотенуза Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет натуральной величиной отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет измерять угол наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонтальной плоскости. Поэтому если отложить от точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на гипотенузе Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач величину радиуса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то при помощи полученной точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач легко определить сначала точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющуюся одним из концов малой оси эллипса, а затем и точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – второй конец малой оси.

Таким же образом можно построить оси второго эллипса, являющегося видом спереди искомой окружности. На рис. 43 этот эллипс построен по его сопряженным диаметрам Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющимся изображениями на виде спереди взаимно перпендикулярных диаметров Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомой окружности. Как известно, при помощи параллелограмма, построенного на диаметрах Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как на его средних линиях, можно построить сколько угодно точек эллипса.

Пространственные кривые

Кривые, точки которых не лежат в одной плоскости, являются пространственными кривыми.

Если особенности плоских линий при их проецировании сохраняются, то при проецировании пространственных линий дело обстоит иначе. На рис. 44 даны проекции пространственной кривой, каждая из которых имеет узловые точки, однако, сама кривая таких точек не имеет, это видно при совместном рассмотрении двух ее видов.

Таким образом, для изучения свойств пространственной линии необходимо рассматривать оба вида линии. Так, прямая является касательной к пространственной кривой только в том случае, когда она на обоих видах касается кривой в одной и той же ее точке.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь рассмотрим спрямление пространственной кривой для определения длины ее дуги (рис. 44).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сначала спрямим в отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вид сверху дуги Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной кривой. Для этого разбиваем данную дугу на части, мало отличающиеся от стягивающих их хорд, и эти хорды последовательно откладываем на горизонтальной прямой. Затем через полученные точки делений проводим прямые, параллельные линиям связи, на которых откладываем относительные высоты соответствующих точек пространственной кривой. Тогда ломаная Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач после спрямления в отрезок прямой и будет давать приближенную длину данной дуги Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Приведенное спрямление дуги пространственной кривой основано на построении натуральной величины отрезка по способу прямоугольного треугольника.

Из пространственных кривых наиболее часто встречается в практике цилиндрическая винтовая линия, которую и рассмотрим. Если какая-нибудь точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совершает равномерное движение по некоторой прямой, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг параллельной ей оси, то указанная прямая опишет поверхность кругового цилиндра, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач опишет пространственную кривую, называемую цилиндрической винтовой линией. Высота Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на которую поднимается точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при одном полном повороте, называется шагом винтовой линии.

Построение винтовой линии, ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которой расположена перпендикулярно горизонтальной плоскости, показано на рис. 45. В этом случае на виде сверху винтовая линия будет окружностью. Для построения ее вида спереди следует разделить на одинаковое число равных частей окружность, являющуюся видом сверху винтовой линии, и ее шаг; на рис. 45 деление произведено на двенадцать частей. Тогда в пересечении соответствующих горизонтальных и вертикальных прямых, проведенных через одноименные точки деления, получим точки винтовой линии на виде спереди. Соединив эти точки плавной кривой, будем иметь вид спереди винтовой линии, которая является синусоидой, что следует из способа ее построения.

Показанная на рис. 45 винтовая линия является правой, так как она имеет подъем вправо на передней стороне цилиндра. В противном случае винтовая линия является левой.

Если спрямить вид сверху винтовой линии и провести через точки деления прямые, параллельные линиям связи, на которых отложить относительные высоты соответствующих точек винтовой линии, то полученные точки лягут на одну прямую. Это следует из самого способа образования винтовой линии. Обозначив угол наклона этой прямой к горизонтальной прямой через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а диаметр цилиндра, на котором расположена винтовая линия, через Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно написать следующее соотношение: Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Указанное соотношение позволяет определить угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемый углом наклона винтовой линии.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Образование, задание и изображение поверхностей

В начертательной геометрии пользуются, главным образом, кинематическим способом образования поверхностей. При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Линия при своем движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться.

На всякой поверхности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно, в общем случае, провести два таких семейства линий Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 46), которые будут удовлетворять следующему условию: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой и, наоборот, каждая линия одного семейства пересекает все линии другого семейства. В этом случае поверхность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть образована движением линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемой образующей, по неподвижным линиям m второго семейства, которые называются направляющими. Можно поменять местами образующие и направляющие, и при этом получится одна и та же поверхность. Каждая поверхность может быть образована различными способами. Так, например, поверхность кругового цилиндра (рис. 47) может быть образована вращением прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг оси, ей параллельной, или движением образующей окружности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, центр которой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещается по оси цилиндра, а плоскость окружности остается все время перпендикулярной к оси, либо вращением около оси произвольной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, нанесенной на поверхности цилиндра, и т. д.

Из всех возможных способов образования поверхности необходимо выбирать такие, которые являются наиболее простыми и удобными для изображения или решения данной задачи.

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность этих элементов поверхности называют определителем поверхности. Часто поверхность задается проекциями своих направляющих, причем указывается способ построения ее образующих.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для придания чертежу большей наглядности часто строят на нем еще и очерк поверхности, а также ее наиболее важные линии и точки. Когда какая-нибудь поверхность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проецируется параллельно на плоскость проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то проецирующие прямые, касающиеся поверхности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, образуют цилиндрическую поверхность (рис. 48). Эти проецирующие прямые касаются поверхности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках, образующих некоторую линию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемую контурной линией. Очерком поверхности и является проекция контурной линии.

Таким образом, очерком поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекций.

Для удобства изучения поверхности можно разбить на следующие классы:

  1. многогранные поверхности, в частности, призматические и пирамидальные;
  2. поверхности вращения, образуемые вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси;
  3. линейчатые поверхности, образуемые движением прямой линии, в частности, винтовые поверхности, образуемые движением прямой линии по винтовым направляющим;
  4. поверхности второго порядка;
  5. циклические поверхности, образованные движением окружности;
  6. топографические поверхности, которые не могут быть образованы по какому-нибудь простому закону и задаются на чертеже семейством некоторых линий (обычно, линиями уровня).

Необходимо указать, что отдельные поверхности могут быть отнесены не к одному, а к нескольким классам.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Многогранные поверхности

Как известно, многогранной поверхностью называется поверхность, состоящая из ряда плоских многоугольников, в частности, из треугольников или параллелограммов. Элементами многогранной поверхности являются ее вершины, ребра и грани.

Из многогранных поверхностей на практике наиболее часто встречаются призматические и пирамидальные поверхности. Тело, ограниченное замкнутой многогранной поверхностью, называется многогранником. Заслуживают внимания правильные многогранники, состоящие из правильных многоугольников.

На комплексном чертеже многогранники задаются своими вершинами и ребрами, при этом, выполняя условия видимости, невидимые ребра изображают штриховыми линиями. Кроме этого, рекомендуется вершины многогранника отмечать кружками, в отличие от конкурирующих точек на скрещивающихся ребрах, которые оставляют неотмеченными. Для облегчения реконструкции многогранника рекомендуется обозначать его вершины.

Если у многогранника некоторые из его ребер являются профильными прямыми или прямыми, перпендикулярными плоскостям уровня, а вершины не обозначены, то при реконструкции многогранника по комплексному чертежу можно получить не одно, а несколько решений. В самом деле, если задан комплексный чертеж куба (рис. 49а), на котором нет обозначений вершин, то при реконструкции, помимо куба (рис. 49б) можно получить четыре различно расположенные в пространстве треугольные призмы (одна из этих призм изображена на рис. 49в), четверть кругового цилиндра (рис. 49г), фигуру, дополняющую четверть кругового цилиндра до куба (рис. 49д) и др. Для устранения многозначности в этом случае необходимо обозначить все вершины куба.

Таким образом, если у многогранника имеются ребра профильного положения или ребра, перпендикулярные плоскостям уровня, а также при совпадении каких-нибудь вершин или ребер на каком-нибудь виде обратимость чертежа достигается либо введением буквенных обозначений вершин многогранника, либо построением вида слева многогранника или какого-нибудь другого дополнительного его вида*.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой-либо кривой (образующей) при ее вращении вокруг неподвижной оси. Образующая может быть как плоской, так и пространственной кривой. Поверхность вращения определяется заданием своей образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 50).

Каждая точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при вращении описывает окружность с центром на оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачi. Эти окружности называются параллелями.

Наибольшая и наименьшая параллели называются экватором и горлом соответственно. У поверхности, изображенной на рис. 50а, параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются экваторами, а параллель Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – горлом.

Кривые, которые получаются в сечении поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называются меридианами. Все меридианы равны между собой.

При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже обычно поверхность располагают так, чтобы ее ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач была перпендикулярна к плоскости уровня. Ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикальная, тогда все параллели на виде сверху не искажаются, причем экватор Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и горло Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют очерк поверхности на виде сверху (рис. 50б). Меридиан f, расположенный во фронтальной плоскости, не искажается на виде спереди. Этот меридиан называется главным меридианом, он определяет очерк поверхности на виде спереди.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы выделить какую-нибудь точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на поверхности вращения, выбираем ее на виде спереди, после чего при помощи параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенной на уровне точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, легко построить ее и на виде сверху. На рис. 50 точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач предполагается видимой на виде спереди.

Поверхности вращения получили самое широкое применение в деталях различных механизмов и машин. Основными причинами этого является, с одной стороны, распространенность вращательного движения, а с другой – простота обработки поверхностей вращения.

Клапан двигателя, ограниченный поверхностями вращения различных видов, а именно: сферической 1, торовой 2, конической 3 и цилиндрической 4, – показан на рис. 51.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим образование этих и других частных видов поверхностей вращения.

Сначала рассмотрим поверхности, образуемые вращением прямой линии.

  1. Цилиндр вращения образуется вращением прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг параллельной ей оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 52).
  2. Конус вращения образуется вращением прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг пересекающейся с ней оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 53).
  3. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг скрещивающейся с ней оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 54).

При вращении прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач все точки прямой опишут окружности различных радиусов, причем общий перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямых l и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет наименьшим из всех радиусов, и поэтому точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач опишет окружность, являющуюся горлом гиперболоида. Для построения главного меридиана гиперболоида достаточно повернуть вокруг оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ряд точек прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до совмещения их с фронтальной плоскостью, проходящей через ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда получим гиперболу, которая и будет очерком на виде спереди гиперболоида.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотренные поверхности вращения можно отнести и к классу линейчатых поверхностей, так как они образованы движением прямой линии. Кроме того, эти поверхности являются поверхностями второго порядка; максимальное число точек пересечения каждой из этих поверхностей с прямой линией равно двум.

Построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на любой из рассмотренных выше поверхностей вращения (рис. 52–54) можно выполнить либо при помощи параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Все три указанные поверхности вращения применяются при передаче вращения с помощью зубчатых или фрикционных колес. Так, передача вращения производится:

  • при параллельных осях с помощью цилиндрических колес (рис. 55а),
  • пересекающихся – конических колес (рис. 55б),
  • скрещивающихся – гиперболоидальных колес (рис. 55в).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим поверхности, образуемые вращением окружности:

  1. сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  2. тор образуется вращением окружности вокруг оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр (рис. 56). При этом если ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит вне окружности, то тор называют кольцом (рис. 57).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сфера является поверхностью второго порядка, а тор – четвертого, что соответствует максимальному числу точек пересечения этих поверхностей с прямой линией. Построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как на сфере, так и на торе производят с помощью параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В заключение рассмотрим поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка – эллипса, параболы и гиперболы вокруг их осей.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

  1. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 58).
  2. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 59) (параболоид вращения употребляется в качестве отражающей поверхности в прожекторах для получения параллельного светового пучка).
  3. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 60).
  4. Как было показано, однополостный гиперболоид вращения является линейчатой поверхностью и может быть образован вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (см. рис. 54). На рис. 60, помимо гиперболоида, показан его асимптотический конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы, являющейся образующей гиперболоида. Во внешней части этого конуса и расположен однополостный гиперболоид.
  5. Двухполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 61).

При вращении асимптот этой гиперболы получаем асимптотический конус вращения, во внутренней области которого и расположен двухполостный гиперболоид.

Рассмотренные выше четыре поверхности являются поверхностями второго порядка; максимальное число точек пересечения каждой из этих поверхностей с прямой линией равно двум.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на каждой из этих поверхностей производится с помощью их параллелей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 58–61).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейчатые поверхности

Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какому-нибудь закону. В общем случае линейчатая поверхность может быть получена движением прямой линии по трем направляющим.

В самом деле, если выделить на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и принять их за направляющие, то движение образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определится единственным образом. Так, выбрав на направляющей а какую-нибудь ее точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 62), можно будет провести через эту точку бесконечное множество прямолинейных образующих, пересекающих направляющую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этим самым определится коническая поверхность с вершиной в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Предполагая, что она пересечется с направляющей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим образующую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяемую точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач направляющих Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Образующая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечет и направляющую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как принадлежит вспомогательной конической поверхности.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, каждой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач направляющей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, взятой на линейчатой поверхности, будет соответствовать определенная прямолинейная образующая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и поэтому линейчатая поверхность может быть определена заданием трех ее направляющих линий.

Помимо указанного общего способа образования линейчатой поверхности при помощи трех направляющих, существуют и другие способы, определяющие закон движения прямолинейной образующей, описывающей линейчатую поверхность.

Так, имея одну направляющую линию и потребовав, чтобы прямолинейная образующая, двигаясь по ней, в то же время проходила через неподвижную точку (конечную или бесконечно удаленную) или при своем движении она все время являлась касательной к направляющей, мы получим определенную линейчатую поверхность. Точно так же движение прямолинейной образующей по двум направляющим при сохранении определенного положения образующей относительно какой-нибудь неподвижной плоскости (параллельности этой плоскости или постоянного уклона к ней) порождает определенную линейчатую поверхность. Построение какой-либо точки на линейчатой поверхности производят при помощи ее прямолинейной образующей, проходящей через эту точку.

В зависимости от вида направляющих линий и характера движения образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей.

Рассмотрим сначала линейчатые поверхности с одной направляющей:

  1. Коническая поверхность образуется движением прямой линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (образующей) по некоторой кривой линии m (направляющей) и имеет неподвижную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (вершину) (рис. 63).
  2. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (образующей) по некоторой кривой линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (направляющей) и имеет постоянное направление Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 64).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности, у которой вершиной является бесконечно удаленная точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач образующей.

Если направляющей является ломаная линия, то получим частные случаи конической и цилиндрической поверхностей – пирамидальную и призматическую поверхности.

На комплексном чертеже коническая и цилиндрическая поверхности могут быть заданы направляющей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и вершиной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачв случае конической поверхности (см. рис. 63б) или направляющей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлением Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае цилиндрической поверхности (см. рис. 64б). Обычно при задании конической или цилиндрической поверхности в качестве направляющей выбирается какая-нибудь линия уровня, например, горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для увеличения наглядности изображения конической и цилиндрической поверхностей на комплексном чертеже помимо элементов, определяющих эти поверхности, дополнительно строят их очерки. Построение очерков (на обоих видах) конической и цилиндрической поверхностей показано на рис. 65 и 66.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точками 1 и 2 обозначены концы очерковых образующих на виде сверху, а точками 3 и 4 – концы очерковых образующих на виде спереди. При этом на виде сверху точки 1 и 2 являются точками касания к направляющей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач очерковых образующих, а точки 3 и 4 – точками касания к Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач линий связи. Этими очерковыми образующими определяются на обоих видах области, внутри которых могут находиться точки данных поверхностей, а также производится разграничение поверхностей на видимую и невидимую части на каждом виде.

Если направляющей конической или цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то и поверхность будет второго порядка*.

3) Торс образуется движением прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемой ребром возврата (рис. 67).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ребро возврата является направляющей торса, который вполне определяется ее заданием. Торс состоит из двух полостей, граничащих друг с другом по ребру возврата.

Коническую и цилиндрическую поверхности можно рассматривать как частные случаи поверхности торса, когда ее ребро возврата вырождается в точку (конечную или бесконечно удаленную). Конические и цилиндрические поверхности, а также торсы относятся к числу развертывающихся поверхностей (см. гл. VI). Все другие линейчатые кривые поверхности относятся к числу неразвертывающихся. Их также называют косыми.

На рис. 63, 64 и 67 показано построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на конической и цилиндрической поверхностях, а также на поверхности торса при помощи образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Теперь рассмотрим некоторые из линейчатых поверхностей (например, поверхность Каталана) с двумя направляющими, а именно, линейчатые поверхности, у которых все образующие параллельны неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задание плоскости параллелизма заменяет третью направляющую, которая в этом случае является бесконечно удаленной прямой этой плоскости. Действительно, образующие линейчатой поверхности, будучи параллельными плоскости параллелизма, будут пересекаться с ней в бесконечно удаленных точках, совокупность которых и будет бесконечно удаленной прямой этой плоскости.

1) Цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по двум криволинейным направляющим Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 68). Для построения образующих цилиндроида на комплексном чертеже проводят ряд плоскостей, параллельных плоскости параллелизма, и определяют точки их пересечения с направляющими кривыми цилиндроида. На рис. 68 плоскость параллелизма является вертикальной плоскостью. Обычно для удобства построения образующих за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей ypовня, тогда образующие будут соответствующими линиями уровня.

2) Коноид образуется движением прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по двум направляющим, из которых одна является кривой линией Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другая – прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма (рис. 69). Коноид является частным случаем цилиндроида. Если у коноида прямолинейная направляющая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна плоскости параллелизма, то коноид называется прямым.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямой коноид с плоскостью параллелизма Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач показан на рис. 69; его образующие являются горизонталями.

1) Косая плоскость образуется движением прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма (рис. 70).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, косая плоскость может рассматриваться как частный случай цилиндроида или коноида. Если направляющие Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут не скрещивающимися прямыми, а пересекающимися или параллельными, то косая плоскость выродится в обыкновенную плоскость, в которой лежат направляющие Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Косая плоскость, направляющими которой являются прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а плоскостью параллелизма – плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображена на рис. 70. Образующие этой косой плоскости являются горизонталями. Необходимо отметить, что ту же самую косую плоскость можно получить, если принять за направляющие две любые образующие косой плоскости, а за плоскость параллелизма – плоскость, параллельную прямым Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда следует, что у косой плоскости имеются две серии прямолинейных образующих, при этом образующая каждой серии не пересекается ни с одной образующей той же серии и пересекает все образующие второй серии. Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме ее прямолинейных образующих, параболу и гиперболу, то эту поверхность называют также гиперболическим параболоидом. Заметим, что на рис. 70б очерком этой поверхности на виде сверху является парабола. Косая плоскость, или гиперболический параболоид, является поверхностью второго порядка.

4. В заключение рассмотрим линейчатую поверхность, имеющую три прямолинейные направляющие. Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом. Частный случай этой поверхности – однополостный гиперболоид вращения – был рассмотрен в § 4 (см. рис. 54 и 60). Для построения какой-либо образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач однополостного гиперболоида, заданного своими тремя прямолинейными направляющими Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 71), причем прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – скрещивающиеся и не параллельные одной плоскости, выбираем на направляющей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводим через нее и направляющую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вспомогательную плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдя точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения направляющей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определим искомую образующую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта образующая пересечет и направляющую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как принадлежит плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящей через направляющую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В отличие от однополостного гиперболоида вращения у однополостного гиперболоида общего вида в сечении, перпендикулярном к оси, получается не окружность, а эллипс. Однополостный гиперболоид общего вида является поверхностью второго порядка.

Поверхности второго порядка

Так как поверхности второго порядка находят особенно широкое применение в технике, то здесь мы дадим краткую сводку всех поверхностей второго порядка, включая и те из них, которые были рассмотрены как поверхности вращения или линейчатые поверхности.

Поверхность второго порядка можно определить либо как поверхность, пересекающуюся с произвольной плоскостью по кривой второго порядка (иногда распадающейся на пару прямых или мнимой), либо как поверхность, пересекаемую произвольной прямой, не принадлежащей ей, в двух точках (иногда совпадающих или мнимых).

Рассмотрим отдельные типы поверхностей второго порядка:

  1. коническая поверхность: конус вращения (см. рис. 53) и эллиптический конус, который может быть получен из конуса вращения деформацией его параллелей в эллипсы;
  2. цилиндрическая поверхность: цилиндр вращения (см. рис. 52), эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры. Эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы;
  3. эллипсоид – эллипсоид вращения (см. рис. 58), в частности, сфера, а также трехосный эллипсоид, который может быть получен из эллипсоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы;
  4. параболоид: параболоид вращения (см. рис. 59), эллиптический и гиперболический параболоиды. Эллиптический параболоид может быть получен из параболоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы. Гиперболический параболоид (рис. 72) является линейчатой поверхностью; он был рассмотрен в § 5, п. 3 (см. рис. 70);
  5. однополостный гиперболоид: однополостный гиперболоид вращения (см. рис. 60) и однополостный эллиптический гиперболоид. Последний может быть получен из первого деформацией его параллелей в эллипсы, а также непосредственно движением прямолинейной образующей по трем прямолинейным направляющим (см. § 5, п. 4);
  6. двуполостный гиперболоид: двуполостный гиперболоид вращения (см. рис. 61) и двуполостный эллиптический гиперболоид, который может быть получен из первого деформацией его параллелей в эллипсы.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует отметить, что из всех поверхностей второго порядка только конус, цилиндр, однополостный и гиперболический параболоиды являются линейчатыми поверхностями, причем у последних двух поверхностей через каждую их точку проходят две прямолинейные образующие. Отметим также, что все поверхности второго порядка, за исключением параболического и гиперболического цилиндров, а также гиперболического параболоида, могут пересекаться плоскостью по окружности, т. е. имеют круговые сечения.

Винтовые поверхности

Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо линией – образующей при ее винтовом движении. Так как точки образующей при ее винтовом движении описывают соосные цилиндрические винтовые линии, то винтовая поверхность может быть образована движением образующей по соосным цилиндрическим винтовым линиям, которые будут ее направляющими. Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью, или геликоидом. Геликоид может быть прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или наклонна.

Рассмотрим некоторые виды линейчатых винтовых поверхностей. 1) Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по двум направляющим, из которых одна является цилиндрической винтовой линией Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другая – ее осью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем во всех своих положениях образующая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна плоскости параллелизма, перпендикулярной оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обычно за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей уровня (рис. 73). У прямого геликоида образующая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает винтовую ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач под прямым углом. Прямой геликоид может быть отнесен к числу коноидов и назван винтовым коноидом.

2) Наклонный геликоид отличается от прямого тем, что его образующая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает ось геликоида под постоянным углом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, отличным от прямого. Иначе говоря, образующая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач наклонного геликоида при своем движении скользит по двум направляющим, из которых одна является цилиндрической винтовой линией Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другая – ее осью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем во всех своих положениях образующая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна образующим некоторого конуса вращения. У этого конуса угол между образующими и осью, параллельной оси геликоида, равен Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Он называется направляющим конусом наклонного геликоида.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение наклонного геликоида показано на рис. 74. Его направляющими являются цилиндрическая винтовая линия m и ее ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Образующие геликоида параллельны соответствующим образующим направляющего конуса.

3) Развертывающийся геликоид образуется движением прямолинейной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, касающейся во всех своих положениях цилиндрической винтовой линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющейся ребром возврата геликоида (рис. 75). Развертывающийся геликоид как линейчатая поверхность с ребром возврата относится к числу торсов.

Как видно из рис. 75, поверхность развертывающегося геликоида ограничена ребром возврата Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и линией Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от пересечения геликоида с поверхностью соосного цилиндра большего диаметра, чем диаметр винтовой линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Винтовые поверхности имеют большое значение в технике. Чаще всего они используются в крепежных изделиях (винты, болты и др.), домкратах и ходовых винтах, сверлах, червячных передачах и винтовых транспортерах. Тело, ограниченное винтовыми поверхностями, называется винтом. Винт образуется от винтового движения какой-нибудь плоской фигуры-профиля. Профили некоторых винтов изображены на рис. 76. В случае прямоугольного профиля (рис. 76а) винт ограничен поверхностями двух цилиндров вращения и двух прямых геликоидов; в случае треугольного профиля (рис. 76б) – двумя наклонными геликоидами и, наконец, в случае трапецеидального профиля (рис. 76в) – поверхностями двух цилиндров вращения и двух наклонных геликоидов.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Циклические и топографические поверхности

Циклической поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении. Из рассмотренных выше поверхностей к циклическим можно отнести все поверхности вращения, так как они могут быть образованы движением окружности (параллели), центр которой перемещается вдоль оси, а ее плоскость перпендикулярна к оси. Такими поверхностями будут являться те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения, а также каналовые и трубчатые поверхности.

Каналовая поверхность образуется движением окружности переменного радиуса, причем центр окружности О перемещается по заданной кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (направляющей), а ее плоскость остается перпендикулярной к этой кривой (рис. 77).

Трубчатая поверхность отличается от каналовой только тем, что ее образующая окружность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет постоянный радиус (рис. 78). Если направляющая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач трубчатой поверхности является цилиндрической винтовой линией, то образуется трубчатая винтовая поверхность (рис. 79). Она может быть получена и движением сферы постоянного диаметра, центр которой перемещается по цилиндрической винтовой линии. Примером такой поверхности является цилиндрическая винтовая пружина.

Топографической поверхностью называется поверхность, образование которой не подчинено какому-либо геометрическому закону. К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, корпуса судна, обшивки самолета, автомобиля и др.

На чертеже эти поверхности изображают при помощи совокупности некоторых линий: так, земную поверхность – при помощи семейства ее горизонталей (рис. 80), поверхность обшивки самолета и др. – при помощи линий уровня (горизонталей, фронталей и профилей) с последующей их увязкой и согласованием.

Топографические поверхности часто называют каркасными, так как совокупность линий, которыми они задаются, образуют каркас поверхности.

Так называемый теоретический чертеж поверхности фюзеляжа самолета, который обычно выполняется в натуральную величину, показан на рис. 81. На этом чертеже показаны три семейства линий рассматриваемой поверхности, а именно: ее горизонтали, фронтали и профили. При этом, чтобы не затемнять чертеж, на нем не изображены горизонтали на виде спереди и фронтали – на виде сверху.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные позиционные задачи и задачи на пересечение поверхностей с прямой и плоскостью. касательные плоскости

Основные позиционные задачи

Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимопринадлежность (взятие точки на линии или поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через данные линии и т. д.) и задачи на пересечение.

Выше были рассмотрены некоторые из позиционных задач, была рассмотрена взаимопринадлежность точки и прямой, а в § 4, п. 2 – взаимопринадлежность точки и плоскости.

Указанные позиционные задачи относятся к числу прямых позиционных задач. В настоящем же параграфе рассматриваются обратные основные позиционные задачи, в которых определяется взаимное расположение двух точек, точки и прямой, точки и плоскости и двух прямых относительно друг друга.

Взаимное расположение двух точек

Две точки пространства могут совпадать или не совпадать. Если данные точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают, то они совпадают и на каждом виде. Если же данные точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не совпадают, то они не совпадают и на каждом виде (рис. 82) или, по крайней мере, не должны совпадать на одном из видов (рис. 83 и 84).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не совпадают, то возникает вопрос, как они расположены относительно друг друга.

Рассматривая рис. 82, легко определить, что точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не совпадают, причем точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена левее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на a единиц, ближе точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на b единиц и ниже точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на с единиц. На рис. 83 изображены точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующие на виде сверху, а на рис. 84 – конкурирующие на виде спереди. Из двух точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 83), конкурирующих на виде сверху, точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена выше точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на с единиц. При этом говорят, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена «над» точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, или точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена «под» точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде сверху точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видимой, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – невидимой. Из двух точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 84), конкурирующих нa виде спереди, точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена дальше, чем точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на b единиц, т. е. точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится «за» точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится «перед» точкой А. На виде спереди точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видимой, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – невидимой.

Взаимное расположение точек и прямой

Точка может находиться на прямой и вне прямой. Если точка находится на данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, как указывалось в § 3, п. 3, она должна лежать на прямой на обоих видах. Если же данная точка находится вне прямой, то, по крайней мере, на одном из видов она не должна лежать на прямой. Справедливы и обратные предположения, если только прямая, заданная своими видами спереди и сверху, не является профильной. Взаимное расположение точки и профильной прямой будет рассмотрено дальше.

Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся вне прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 85). При этом на виде спереди определяем, что точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится «над» прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как она расположена выше, нежели конкурирующая с ней на виде сверху точка прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на виде спереди эта точка прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отмечена крестиком). Аналогично на виде сверху определяем, что точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится «за» прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как она расположена дальше, нежели конкурирующая с ней на виде спереди точка прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на виде сверху эта точка прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отмечена крестиком).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если сравнивать положение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с положением точки прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая находится в той же профильной плоскости, что и точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (она на обоих видах отмечена крестиком), то легко определить, что точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена ближе и ниже, нежели точка прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, отмеченная на обоих видах крестиком. Для определения взаимного положения точки и профильной прямой приходится пользоваться прямой преломления ломаных линий связи, соединяющих разноименные виды точек профильной прямой, или прибегнуть к построению вида слева.

Пусть дана профильная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи двух точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 86). Определим положение точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построив прямую преломления Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, как это указывалось в гл. I, § 3, п. 3, можно легко определить, что точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – вне прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 86а).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В самом деле, оба вида точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на одной ломаной линии связи, вершина которой находится на прямой преломления. Поэтому отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делится точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на обоих видах в одном и том же отношении, что доказывает принадлежность точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Что касается точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ломаная линия связи, проходящая через нее на виде сверху, не проходит через нее и на виде спереди, поэтому точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится вне прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если бы точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежала на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то на виде спереди она бы находилась в точке, отмеченной крестиком. Но так как на виде спереди точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена выше, то она находится «над» прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведя ломаную линию связи через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди, можно определить положение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по глубине. Проще это сделать непосредственно, исходя из пространственного представления. Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является нисходящей прямой (ее виды спереди и сверху различно ориентированы), и так как точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится «над» прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она в то же время находится и «за» прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Определение взаимного положения точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно прямой р с помощью построения вида слева показано на рис. 86б. При рассмотрении вида слева легко определить, что точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – «над» и «за» ней. Таким образом, определение взаимного положения точки и прямой сводится к определению взаимного положения двух точек.

Взаимное расположение точки и плоскости

Если точка находится в плоскости, перпендикулярной какой-нибудь плоскости уровня, то на соответствующем виде она должна лежать на прямой, являющейся вырожденным видом плоскости (см. гл. I, § 6, п. 3).

Если же точка находится на плоскости общего положения, то она должна лежать на какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости (см гл. I, § 4, п. 2). Справедливо и обратное положение, если только при решении вопроса в системе плоскостей проекций 1, 2 вспомогательная прямая не является профильной.

Для определения взаимного положения точки и плоскости общего положения следует провести на данной плоскости какую-нибудь вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой, и определить взаимное положение данной точки и вспомогательной прямой. Если точка будет принадлежать вспомогательной прямой, то она находится на данной плоскости, если же точка окажется вне прямой, то она расположена и вне данной плоскости. При этом если точка окажется «над» («под») или «перед» («за») прямой, то она точно так же будет расположена и относительно плоскости.

Определим расположение двух точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точек относительно плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданной треугольником ABC (рис. 87).

Сначала найдем положение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующую с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху. Для того чтобы прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач была конкурирующей с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху, нужно, чтобы она на виде сверху проходила через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для того чтобы прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежала плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо, чтобы две ее точки (на рис. 87 этими точками являются точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) принадлежали плоскости. Так как и на виде спереди прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит, и плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теперь определим положение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого проведем на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую m, конкурирующую с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди. Точками плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяющими прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являются точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Тогда на виде сверху определяем, что точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится вне прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит, и вне плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В самом деле, если бы точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежала на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она бы находилась на виде сверху в точке, отмеченной крестиком. Но так как точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена на комплексном чертеже ближе, то она находится «перед» конкурирующей с ней на виде спереди точкой плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит, и «перед» самой плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведя на плоскости Б новую прямую, конкурирующую с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху, можно было бы определить положение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по высоте. Однако проще это сделать непосредственно, исходя из пространственного представления. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является восходящей плоскостью (ее виды одинаково ориентированы), и так как точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится «перед» плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то в то же время она находится и «над» этой плоскостью.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Взаимное расположение двух прямых. Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Если прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то на основании свойства принадлежности (см. гл. I, § 3, п. 2) точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач должна принадлежать прямым Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на обоих видах (рис. 88). Иначе говоря, точки пересечения одноименных видов двух пересекающихся прямых лежат на одной и той же линии связи.

Если прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, то на основании свойства параллельности (см. гл. I, § 3, п. 2) одноименные виды этих прямых также параллельны (рис. 89). Если, наконец, прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач скрещиваются и их одноименные виды соответственно пересекаются в точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то эти точки не должны лежать на одной линии связи (рис. 90), так как в противном случае прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекались бы. Заметим, что на точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху конкурируют две точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащие прямым Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена выше точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то на виде сверху в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач видима прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач невидима. Аналогично на точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди конкурируют две точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответственно принадлежащие прямым Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде спереди в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач видима прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач невидима, так как точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена ближе, чем точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Справедливы и обратные положения, если прямые, заданные в системе плоскостей проекций 1, 2, не являются профильными.

Таким образом, взаимное положение двух непрофильных прямых определяется следующим образом: если одноименные виды двух непрофильных прямых параллельны (см. рис. 89), то и прямые параллельны. Если точки пересечения одноименных видов двух непрофильных прямых лежат на одной линии связи (см. рис. 88), то прямые пересекаются, если же эти точки не лежат на одной линии связи (см. рис. 90), то прямые скрещиваются.

В частном случае, если две непрофильные прямые являются конкурирующими, то, находясь в одной и той же плоскости, перпендикулярной какой-либо плоскости уровня, они не могут быть скрещивающимися. Взаимное расположение таких прямых легко определяется на том виде, на котором прямые не сливаются. Так, по виду спереди определяем, что конкурирующие на виде сверху прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 91), а по виду сверху – что конкурирующие на виде спереди прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны (рис. 92).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения взаимного положения профильных прямых следует воспользоваться прямыми преломления или построить вид слева данных прямых.

Пусть даны две профильные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем первая задана своими точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а вторая – точками Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и пусть обе прямые лежат в одной профильной плоскости (рис. 93). Построив для каждой из данных прямых ее прямую преломления (см. гл. I, § 3, п. 3), можно легко определить взаимное положение прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 93а).

Если прямые преломления Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то данные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из равенства отношений Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на обоих видах следует, что точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит обеим данным прямым, а значит, является их точкой пересечения (равенство указанных отношений определяется из их равенства соответствующим отношениям Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ). Если же прямые преломления Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадут или окажутся параллельными, то и данные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно совпадают или параллельны.

Определение взаимного положения профильных прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи построения их на виде слева показано на рис. 93б. Так как прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются на виде слева, то эти прямые пересекаются и в пространстве в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что если профильные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположены в различных профильных плоскостях (рис. 94), то в случае параллельности прямых преломления А0В0 || С0D0 они также параллельны, а в случае непараллельности прямых преломления профильные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач скрещиваются.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пересечение прямой с плоскостью и поверхностью

Пересечение прямой с плоскостью

Прямая может принадлежать плоскости, пересекаться с плоскостью или быть ей параллельной. Если прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит или параллельна плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или пересекается с ней, то вместе с тем она будет соответственно совпадать (рис. 95а) или пересекаться (рис. 95б) с какой-нибудь прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой плоскости, или будет ей параллельна (рис. 95в).

Справедливы и обратные положения. Поэтому определение взаимного расположения прямой и плоскости, в общем случае, сводится к определению взаимного расположения двух прямых – данной и вспомогательной, принадлежащей данной плоскости. Обычно в качестве вспомогательной прямой выбирают прямую, конкурирующую с данной. Таким образом, чтобы определить взаимное расположение прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, нужно на данной плоскости провести вспомогательную прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующую с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и определить взаимное положение конкурирующих прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. гл. III, § 1, п. 5). Если эти прямые пересекаются в некоторой точке К, то в этой же точке данная прямая пересекается с плоскостью. Если же конкурирующие прямые совпадают или параллельны, то данная прямая соответственно принадлежит или параллельна данной плоскости.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения изображены на рис. 96. Определим их взаимное положение.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вспомогательную прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующую с данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Нами построена прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующая на виде сверху с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого на прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выделены точки 1 и 2, конкурирующие на виде сверху с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точки 1 и 2 определяют прямую а, принадлежащую плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и конкурирующую на виде сверху с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теперь определяем относительное положение прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см гл. III, § 1, п. 5). По виду спереди замечаем, что прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются; при этом вначале определяется точка пересечения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди, а затем на виде сверху. Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет точкой пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с данной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Определяем видимость прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде спереди левее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена «под» прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит, и под плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому на виде сверху прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач левее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет невидимой, а правее этой точки – видимой. Видимость прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди легче всего определить исходя из того факта, что в данном случае плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является нисходящей. Поэтому если нами уже определено, что левее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямая расположена под плоскостью, то она вместе с тем расположена и перед этой плоскостью. Это означает, что на виде спереди прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач левее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач видима, следовательно, правее точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач она невидима. Так как на рис. 96 для увеличения наглядности плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена треугольником Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то вне видов треугольника прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видима.

Если при построении вспомогательной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующей на виде сверху с данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 97), окажется, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди, то это условие совместно с условием Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху означает, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в пространстве, значит, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как, судя по виду спереди, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена «над» прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит, и «над» плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач полностью видима на виде сверху. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – нисходящая, поэтому прямая l, будучи расположена «над» плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет находиться в то же время и «за» плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а это означает, что на виде спереди прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач невидима.

Если же при построении вспомогательной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на обоих видах (рис. 98), то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь случай определения взаимного расположения профильной прямой и плоскости.

Пусть даны профильная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на которой отмечены две точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и плоскость общего положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 99). Как и в общем случае, построим на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вспомогательную прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующую с прямой* Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для чего выделим на прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки 1 и 2, которыми и определится прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет так же, как и прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, профильной прямой. Далее определяем относительное положение двух профильных прямых, данной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и вспомогательной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. гл. III, § 1, п. 5). Для этого строим их прямые преломления Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, или их виды слева. Так как прямые преломления или виды слева пересекаются, то прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также пересекаются, и точка их пересечения является точкой пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

* В данном случае прямая а будет одновременно конкурировать с прямой р на оба вида.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Видимость прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить с помощью прямых преломления, но в данном случае это нетрудно сделать непосредственно из пространственного представления. Так как прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – восходящая (виды прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаково ориентированы), а плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – нисходящая (виды треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач различно ориентированы), то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится «над» и «за» плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому на виде сверху прямая р от точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач видима в сторону точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и невидима в сторону точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде спереди прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, наоборот, видима в сторону точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и невидима в сторону точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если прямые преломления Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или виды слева прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окажутся параллельными или совпадут, то прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут параллельны или совпадут, а это означает, что профильная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или ей принадлежит.

При определении взаимного положения прямой и плоскости, имеющих вырожденные виды, следует воспользоваться вырождением их соответствующих видов в точку или прямую. При этом решение существенно упрощается. Так, если прямая, имеющая вырожденный вид, пересекается с какой-либо плоскостью, то на соответствующем виде точка пересечения совпадает с точкой, в которую вырождается сама прямая. Если же плоскость, имеющая вырожденный вид, пересекается с какой-либо прямой, то на одном из видов точка пересечения определяется в пересечении вырожденного вида плоскости с видом прямой.

Построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения вертикальной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью общего положения Б (ABC) показано на рис. 100. На виде сверху точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с вырожденным видом прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде спереди точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется из условия принадлежности точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, для чего использована вспомогательная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащая плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой общего положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с наклонной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач показано на рис. 101. На виде спереди точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется в пересечении вырожденного вида Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с прямой. На виде сверху точка К находится из условия ее принадлежности прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача о пересечении прямой с плоскостью является одной из важнейших задач курса, так как она используется как вспомогательная при решении более сложных задач на пересечение, в частности, многогранных поверхностей с прямой, плоскостью и друг с другом.

Пересечение прямой с многогранными поверхностями

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника осуществляется тем же приемом, что и построение точки пересечения прямой с плоскостью, но конкурирующая с данной прямой линия проводится не на плоскости, а на поверхности многогранника. Поэтому эта линия будет представлять собой ломаную линию, сторонами которой будут служить отрезки прямых, лежащие в гранях многогранника и конкурирующие с данной прямой. Точки пересечения данной прямой с вспомогательной линией и будут точками пересечения прямой с поверхностью многогранника. Если прямая не будет пересекаться с вспомогательной линией, то это означает, что она не пересекается с многогранником. Таким образом, для определения взаимного положения прямой и поверхности многогранника нужно провести на его поверхности вспомогательную ломаную линию, конкурирующую с данной прямой, и определить взаимное положение этих линий; если они пересекаются, то точки их пересечения и являются точками пересечения данной прямой с поверхностью многогранника. Рассмотрим выполнение указанного построения на комплексном чертеже.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №7

Построить точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с поверхностью треугольной пирамиды Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 102).

Решение:

Построим на поверхности пирамиды вспомогательную ломаную линию, конкурирующую на виде спереди с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта вспомогательная линия определяется точками 1, 2 и 3. Данная прямая пересекается со вспомогательной линией в точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые и будут искомыми точками. При этом вначале точки строятся на виде сверху в пересечении прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач со вспомогательной линией 1–2–3, а затем по свойству их принадлежности прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач они находятся на виде спереди. Установим видимость прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. По виду сверху определяем, что точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат соответственно в гранях Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти грани видимы на виде сверху, поэтому видимы и обе точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет невидима только на отрезке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, находящемся внутри пирамиды. На виде спереди грань Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач невидима, и поэтому прямая l невидима от точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и далее до точки, конкурирующей с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В частных случаях при построении точек пересечения прямой с поверхностью многогранника, когда прямая или грани многогранника имеют вырожденный вид, следует использовать вырождение их соответствующих видов в точку или прямыесоответственно. Рассмотрим это на двух примерах.

Пример №8

Построить точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной фронтальной плоскости, с поверхностью пирамиды Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 103).

Решение:

На виде спереди искомые точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают с вырожденным видом данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде сверху эти точки легко находятся с помощью вспомогательных прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащих граням Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые пересекает прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №9

Построить точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения с поверхностью треугольной призмы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, боковые грани которой являются вертикальными плоскостями, а основания – горизонтальными плоскостями (рис. 104).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекается в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с левой боковой гранью призмы, а в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – с ее верхним основанием. При построении этих точек сначала найдем точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху, а точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди в пересечении прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с вырожденными видами боковой грани и верхнего основания, а затем построим точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди, а точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху по свойству их принадлежности прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пересечение прямой с кривыми поверхностями

Построение точек пересечения прямой с какой-либо кривой поверхностью производится аналогично построению точек пересечения прямой с многогранником. Только если в случае многогранника с прямой конкурировала ломаная линия, проведенная на поверхности многогранника, то в случае кривой поверхности она преобразуется в кривую линию, проведенную на этой поверхности. Поэтому общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью можно сформулировать так: для построения точек пересечения прямой с поверхностью нужно построить на поверхности вспомогательную линию, конкурирующую с данной прямой, и найти точки пересечения этой линии с прямой. При этом, строя вспомогательную линию, следует для определения ее отдельных точек пользоваться графически простыми линиями поверхности. Так, в случае поверхности вращения такими простыми линиями будут параллели (окружности), а в случае линейчатой поверхности – образующие (прямые). Рассмотрим несколько примеров.

Пример №10

Построить точки пересечения поверхности вращения (тора) с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 105).

Решение:

Строим на данной поверхности линию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, фронтально конкурирующую с данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точки 1 и 2 вспомогательной линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находим на главном меридиане Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности, а остальные точки 3, 4, 5, 6, 7 и 8 – на ее параллелях Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, из которых параллель Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является экватором поверхности.

Соединяя найденные точки плавной линией, получим линию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности, конкурирующую с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отметив точки М и N пересечения линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем искомые точки пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с поверхностью. Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видимой на обоих видах, так как она находится над экватором и перед главным меридианом поверхности. Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет невидимой на обоих видах, так как она находится под экватором и за главным меридианом.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №11

Построить точки пересечения линейчатой поверхности эллиптического цилиндра с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 106).

Решение:

Строим на данной поверхности линию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующую на виде спереди с данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точки 1 и 2 вспомогательной линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находим на образующих, составляющих очерк на виде спереди цилиндрической поверхности, а точки 3 и 5 – на образующих, составляющих ее очерк на виде сверху.

Помимо этого находим точки 4 и 6 на образующих, конкурирующих на виде спереди с последними образующими. Далее находим промежуточные точки 7, 8, 9 и 10, привязывая их к поверхности соответствующими образующими. Соединяя полученные точки плавной кривой (эта кривая является эллипсом), получим линию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности, конкурирующую с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отметив точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем искомые точки пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с поверхностью.

Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видимой на обоих видах, так как находится на образующей, видимой на них. Точка же Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет невидимой на обоих видах, так как принадлежит невидимой образующей на этих видах.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №12

Построить точки пересечения сферы с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 107).

Решение:

Строим на поверхности сферы линию Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующую на виде сверху с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как всякая плоская кривая на сфере является окружностью, то и линия Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет окружностью. Чтобы избежать построения эллипса, являющегося видом спереди этой окружности, задаем дополнительный вид прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и окружности t по направлению (показано стрелкой), перпендикулярному прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда на дополнительном виде линия Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач изобразится окружностью. Построив также прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи ее точек 1 и 2 и определив точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения линий Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на дополнительном виде, легко найти точки пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач со сферой на видах сверху и спереди. В частных случаях при построении точек пересечения прямой с кривой поверхностью, когда прямая или поверхность имеют вырожденный вид, следует использовать вырождение их соответствующих видов в точку или кривую линию.

Рассмотрим это на примерах.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №13

Построить точки пересечения поверхности кругового конуса с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной профильной плоскости (рис. 108).

Решение:

На виде слева искомые точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают с вырожденным видом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной прямой. На виде спереди эти точки легко определяются: Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – с помощью образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конуса, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на вырожденном виде основания конуса.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №14

Построить точки пересечения поверхности кругового цилиндра с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 109).

Решение:

Так как образующие данной цилиндрической поверхности являются фронталями, то, построив дополнительный вид по направлению этих образующих, получим вырожденный вид цилиндрической поверхности в виде окружности и прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, построенную по ее точкам 1 и 2.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Указанное решение, в котором использован вырожденный вид цилиндрической поверхности, несравненно проще, а значит, и точнее общего решения с помощью конкурирующей линии, приведенного в примере 5. Его можно использовать и в случае цилиндрической поверхности общего вида, а также в случае конической поверхности. Для этого надо применить способ дополнительных видов. При пользовании этим способом вид проецирования, его направление (при параллельном проецировании) или центр проецирования (при центральном проецировании), а также плоскость, на которую производят проецирование, выбирают так, чтобы на дополнительном виде поверхность выродилась в линию. В этом случае легко определяются точки пересечения прямой с цилиндрической или конической поверхностями. Покажем это на двух примерах.

Пример №15

Построить точки пересечения цилиндрической поверхности с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 110).

Решение:

Построим дополнительный вид цилиндрической поверхности и прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач основания цилиндрической поверхности, приняв за направление проецирования Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач образующие цилиндрической поверхности. Тогда цилиндрическая поверхность спроецируется в кривую линию своего основания, а прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – в прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая построена при помощи точек 1 и 2. Если теперь отметить на виде сверху точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с линией основания цилиндрической поверхности, то точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с этой поверхностью можно будет найти при помощи обратного проецирования.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №16

Построить точки пересечения конической поверхности с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 111).

Решение:

Построим дополнительный вид конической поверхности и прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач основания конической поверхности, приняв ее вершину Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач за центр проецирования. Тогда коническая поверхность спроецируется в кривую линию своего основания, а прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – в прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Отметив на виде сверху точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с основанием конической поверхности и произведя обратное проецирование, получим искомые точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решения последних двух примеров позволяют сделать следующий вывод: при построении точек пересечения прямой с цилиндрической или конической поверхностью целесообразно применять способ дополнительных видов, используя параллельное проецирование для цилиндрической поверхности и центральное – для конической, при этом поверхность на дополнительном виде выродится в линию и решение значительно упрощается.

Пересечение плоскости с плоскостью и поверхностью

Взаимное пересечение двух плоскостей. Две плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач могут совпадать, быть параллельными или пересекаться. Если плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают или параллельны, то соответственно этим случаям для любой прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда найдется на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такая прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая будет совпадать с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 112а) или будет ей параллельна (рис. 112б). Если же плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются, то любая прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет пересекаться с какой-нибудь прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащей прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения плоскостей (рис. 112в, прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач), или прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется параллельной какой-нибудь прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем, в этом случае, прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач должны быть параллельны и прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 112в, прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач). В частности, прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и m могут совпадать, и тогда они совпадут с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как плоскость определяется двумя прямыми (пересекающимися или параллельными), то для установления взаимного расположения двух плоскостей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо установить взаимное расположение по крайней мере двух пар прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этих плоскостей. При этом прямые каждой пары не должны быть скрещивающимися. Обычно в качестве таких прямых выбирают конкурирующие прямые.

Обратные положения, в общем случае, справедливы лишь при определении взаимного расположения двух плоскостей по двум пересекающимся прямым каждой плоскости. При определении же взаимного расположения плоскостей по двум параллельным прямым каждой плоскости не всегда удается выяснить вопрос. В самом деле, если две параллельные прямые одной плоскости окажутся соответственно параллельными двум параллельным прямым другой плоскости, то плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Поэтому если при определении взаимного расположения двух плоскостей прямые первой пары конкурирующих прямых окажутся параллельными, то вторую пару конкурирующих прямых не следует проводить так, чтобы они были параллельны соответствующим прямым первой пары.

Итак, определение взаимного положения двух плоскостей сводится к определению взаимного положения двух пар конкурирующих прямых, проведенных на данных плоскостях (гл. III, § 1, п. 5). Рассмотрим пример определения взаимного расположения двух плоскостей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 113).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим пару конкурирующих прямых так, чтобы первая прямая принадлежала плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а вторая – плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чаще всего пользуются конкурирующими прямыми уровня. B рассматриваемом примере проведены две конкурирующие на виде спереди горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведена на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, для чего на прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выделены точки 1 и 2, а горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведена на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи точек 3 и 4, выделенных на прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Определяем относительное положение горизонталей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (гл. III, § 1, п. 5). На виде сверху определяем, что горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются, при этом вначале определяется точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху, а затем на виде спереди.

Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащая обеим плоскостям Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет принадлежать и прямой их пересечения. Чтобы определить вторую точку прямой пересечения плоскостей, проводим вторую пару конкурирующих горизонталей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи ее точек 5 и 6, а горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи ее точек 7 и 8. Пересечение этих горизонталей определяет вторую точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой пересечения плоскостей. Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенная через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет прямой пересечения плоскостей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. При построении второй пары горизонталей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач каждую из них можно определить при помощи только одной точки. В самом деле, горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть параллельна ранее проведенной горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть параллельна горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется одной точкой 5, а горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – точкой 7.

Таким образом, плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданные на рис. 113, пересекаются, и прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямой их пересечения.

Если при определении взаимного расположения двух плоскостей окажется, что прямые обеих пар конкурирующих прямых совпадают, т. е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 112а), то данные плоскости совпадают.

Если же прямые одной из пар конкурирующих прямых параллельны, т. е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 112б, в), то для выяснения взаимного положения следует другую пару конкурирующих прямых провести так, чтобы прямые этой пары не были параллельны соответствующим прямым первой пары. Тогда, если и прямые этой пары параллельны, т. е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – параллельны (см. рис. 112б). Если же прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то плоскости пересекаются, и прямая пересечения этих плоскостей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пройдет через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно прямым Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 112в).

При определении взаимного положения двух плоскостей, когда одна или обе плоскости имеют вырожденные виды, следует воспользоваться вырождением их соответствующих видов в прямую. При этом решение значительно упростится.

Построение прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения с вертикальной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач показано на рис. 114. На виде сверху прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с вырожденным видом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде спереди прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определена при помощи вспомогательных точек 1 и 2 из условия принадлежности прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пересечение поверхностей с плоскостью

Линия пересечения какой-либо поверхности с плоскостью является плоской линией, которая будет либо ломаной в случае пересечения с многогранной поверхностью, либо кривой линией в случае пересечения с кривой поверхностью. Линия пересечения может распадаться и на прямые линии в случае пересечения плоскости с линейчатой поверхностью по ее образующим.

У ломаной линии пересечения плоскости с многогранной поверхностью вершинами будут точки пересечения ребер многогранной поверхности с секущей плоскостью, а сторонами – отрезки прямых пересечения ее граней с той же плоскостью.

Поэтому построение линии пересечения многогранной поверхности плоскостью сводится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью (см. гл. III, § 1, п. l) или же к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей (см. гл. III, § 3, п. 1). Так как решение первой задачи проще, нежели решение второй, то обычно при построении линии пересечения многогранной поверхности с плоскостью строят вершины сечения как точки пересечения ее ребер с секущей плоскостью. После построения вершин линии пересечения следует соединить отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранной поверхности. При этом стороны линии пересечения, лежащие в видимых гранях, будут видимы, а лежащие в невидимых гранях – невидимы.

Таким образом, построение линии пересечения многогранной поверхности плоскостью сводится к проведению на секущей плоскости вспомогательных прямых, конкурирующих с ребрами многогранника, и определению точек пересечения этих прямых с соответствующими ребрами. Разумеется, что если при построении линии пересечения многогранной поверхности с плоскостью секущая плоскость или грани многогранной поверхности вырождаются на каком-нибудь виде в прямые, то следует использовать вырождение их соответствующих видов в прямые.

Кривую линию пересечения кривой поверхности с плоскостью, обычно строят по ее отдельным точкам. Основным способом построения этих точек является способ конкурирующих линий.

Если при построении прямой пересечения двух плоскостей (см. п. 1), две точки искомой прямой строились с помощью двух пар конкурирующих прямых, проведенных на этих плоскостях, то, очевидно, что при построении точек линии пересечения кривой поверхности с секущей плоскостью следует на секущей плоскости проводить прямые, конкурирующие с какими-либо линиями кривой поверхности, данными или легко строящимися. К последним принадлежат так называемые графически простые линии, которыми являются прямые или окружности. Причем если эти линии являются окружностями, то поверхность должна быть расположена так, чтобы окружности не искажались на одном из видов.

Итак, для построения точек линии пересечения поверхности с данной плоскостью необходимо провести на секущей плоскости прямые, конкурирующие с графически простыми линиями данной поверхности. Тогда точки пересечения каждой прямой и конкурирующей с ней линией поверхности будут точками искомой линии пересечения. Если секущая плоскость имеет вырожденный вид, то точки линии пересечения определяются сразу в пересечении проецирующей плоскости с графически простыми линиями поверхности.

Среди точек линии пересечения имеются такие, которые выделяются из других точек какими-либо своими особыми свойствами. К этим точкам относятся экстремальные точки и точки видимости. Экстремальными точками являются высшая и низшая точки линии сечения, а также самая ближняя, самая дальняя, самая левая и самая правая точки сечения (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости). Точками видимости являются точки, которые расположены на контурной линии поверхности. На каждом виде эти точки лежат на очерке поверхности. Точки видимости разграничивают линию пересечения поверхности с секущей плоскостью на видимую и невидимую части. Экстремальные точки и точки видимости относятся к числу опорных точек, в отличие от которых остальные точки называются произвольными или случайными.

Если все случайные точки могут быть найдены общим приемом, указанным ранее, то для нахождения опорных точек даже для одной и той же поверхности приходится каждый раз искать свой особый прием построения. Однако для построения точек видимости можно указать следующий прием. Если на секущей плоскости построить линию, конкурирующую с соответствующей контурной линией поверхности, то точки пересечения этих линий будут точками видимости линии пересечения поверхности с плоскостью для того или другого вида.

При построении случайных точек линии пересечения поверхности с плоскостью выбор графически простых линий, конкурирующих с прямыми секущей плоскости, зависит от того, к какому классу относится поверхность.

У поверхностей вращения этими линиями будут параллели (окружности); у линейчатых, включая линейчатые винтовые, – образующие (прямые линии), у поверхностей второго порядка – либо их прямолинейные образующие (конус, цилиндр, однополостный гиперболоид, косая плоскость), либо их круговые сечения (конус, эллиптический цилиндр, эллипсоид, параболоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды (см. гл. IV, § 5); у циклических – образующие (окружности); наконец, у топографических – линии, которыми они заданы.

Примеры построения линий пересечения поверхностей с плоскостью

Рассмотрим несколько примеров построения сечений и их натуральных видов поверхностей плоскостью, причем вначале дадим примеры с многогранными поверхностями, а затем уже с кривыми поверхностями.

Пример №17

Построить сечение и его натуральный вид пирамиды Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач наклонной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 115).

Решение:

Так как на виде спереди сечение в данном случае вырождается в отрезок прямой, совпадающей с вырожденным видом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то можно отметить на этом виде вершины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомого сечения. На виде сверху эти вершины находим на соответствующих ребрах; соединив их в последовательном порядке отрезками прямых, получим сечение на виде сверху.

Построение натурального вида сечения проще всего выполнить при помощи непосредственного измерения высот и широт вершин сечения. При этом высотами будем считать отрезки прямой наибольшего уклона и плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая в данном случае является фронталью, и поэтому эти отрезки не искажаются на виде спереди. Широты же вершин не искажаются на виде сверху, так как они располагаются на прямых, перпендикулярных фронтальной плоскости (горизонталях). Этот способ построения натуральных видов плоских фигур будем называть способом размерений.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №18

Построить сечение и натуральный вид сечения треугольной призмы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, боковая поверхность которой на виде сверху имеет вырожденный вид, плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения (рис. 116).

Решение:

Так как боковые ребра данной призмы являются вертикальными прямыми, то на виде сверху вершины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомого сечения совпадают с вырожденными видами самих ребер. На виде спереди вершины сечения легко определяются из условия их принадлежности секущей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, для этого использованы прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Натуральный вид сечения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач легко построить, определив натуры Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сторон Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сечения с помощью трех прямоугольных треугольников, горизонтальные катеты которых равны соответственно этим сторонам на виде сверху, а вертикальные – соответствующим превышениям концов этих сторон друг над другом.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №19

Построить сечение и натуральный вид сечения треугольной призмы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения (рис. 117).

Решение:

Чтобы найти вершины искомого сечения, строим точки пересечения боковых ребер призмы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с данной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим три вспомогательные прямые 1–2, 3–4 и 5–6, конкурирующие на виде спереди с ребрами Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Далее строим точки пересечения вспомогательных прямых с соответствующими ребрами призмы. На ребре Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на ребре Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и на продолжении ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – вспомогательную точку 7. Если бы требовалось найти сечение призматической поверхности, не принимая во внимание оснований призмы, то в сечении был бы получен треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если же учитывать основания призмы, то в сечении получим четырехугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, у которого вершины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются точками пересечения сторон Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач основания Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач призмы с данной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют в пересечении сторон основания призмы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач со сторонами сечения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как боковые ребра призмы параллельны друг другу, то конкурирующие с ними вспомогательные прямые 1–2, 3–4 и 5–6 будут параллельны между собой. Поэтому, построив первую из них – прямую 1–2 – при помощи двух точек 1 и 2, можно каждую из остальных вспомогательных прямых строить при помощи одной точки. Так, прямую 3–4 можно построить при помощи точки 3, а прямую 5–6 – при помощи точки 5, проведя их параллельно прямой 1–2. Для построения натурального вида сечения строим сначала натуральный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, предварительно определив с помощью трех прямоугольных треугольников натуры Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач его сторон, а затем, определив натуры Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сторон Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откладываем их на соответствующих сторонах треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В результате получим натуру Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомого сечения призмы.

Пример №20

Построить сечение и натуральный вид сечения четырехугольной пирамиды Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения, заданной параллельными прямыми Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 118).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

На плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим четыре вспомогательные прямые 1–2, 3–4, 5–6 и 7–8, конкурирующие на виде спереди с боковыми ребрами Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пирамиды. В пересечении вспомогательных прямых с соответствующими ребрами пирамиды находим вершины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомого сечения. Соединяя в последовательном порядке отрезками прямых вершины сечения с учетом видимости, получим сечение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для увеличения наглядности чертежа секущая плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принята непрозрачной и ограниченной параллельными прямыми. Так как боковые ребра пирамиды пересекаются в одной точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то конкурирующие с ними вспомогательные прямые 1–2, 3–4, 5–6 и 7–8 будут также пересекаться в одной точке, обозначенной на чертеже цифрой 9, причем эта точка будет конкурирующей на виде спереди с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда следует, что если первую из вспомогательных прямых – прямую 1–2 – определяем точками 1 и 2, то остальные можно определить точками 3 и 9, 5 и 9, 7 и 9, не строя точек 4, 6 и 8. Построение натурального вида сечения производим способом размерений, т. е. при помощи непосредственного измерения отрезков фронталей, проведенных в плоскости сечения через его вершины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см. правую часть рис. 118) и отрезков, отсекаемых фронталями на прямой наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости сечения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по отношению к фронтальной плоскости. При этом отрезки фронталей измерялись на виде спереди, а отрезки линии наибольшего уклона – на вспомогательном чертеже, полученном с помощью прямоугольного треугольника.

Теперь рассмотрим примеры построения линии пересечения плоскости с поверхностью вращения и линейчатой поверхностью.

Пример №21

Построить линию пересечения поверхности вращения с данной плоскостью и определить натуральный вид сечения.

Решение:

Сначала рассмотрим случай, когда секущая плоскость имеет вырожденный вид, например, является наклонной плоскостью* Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 119). Предварительно строим опорные точки. На главном меридианеНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной поверхности отмечаем низшую точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и высшую точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На экваторе Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отмечаем точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, они являются точками видимости для вида сверху и разделяют на этом виде искомую линию пересечения на видимую и невидимую части.

Для построения случайных точек на поверхности вращения проводим графически простые линии, которыми являются ее параллели, и отмечаем на них точки, принадлежащие секущей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рис. 119 проведена параллель Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющаяся окружностью радиуса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и на ней отмечены точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащие плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, найденные при помощи параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являются точками видимости для вида слева, так как они лежат на профильном меридиане поверхности.

Построение натурального вида сечения проще всего выполнить при помощи способа размерений, измеряя высоты и широты точек сечения. При этом высоты точек следует измерять на виде спереди, так как они располагаются на фронтали и, следовательно, не искажаются на этом виде, а широты – на виде сверху, так как они располагаются на прямых, перпендикулярных фронтальной плоскости (горизонталях), и поэтому не искажаются на виде сверху.

Здесь и в следующих примерах секущую плоскость считаем прозрачной, чтобы не вносить излишних усложнений.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь рассмотрим случай пересечения поверхности вращения плоскостью общего положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 120).

Сначала построим опорные точки. Точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для вида сверху найдем в пересечении горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующей с экватором Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной поверхности. Точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для вида спереди определятся в пересечении фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующей с главным меридианом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности. Одновременно с этим в пересечении фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с осью поверхности вращения находим точку 5 пересечения этой оси с секущей плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для определения высшей и низшей точек линии пересечения проведем через точку 5 прямую наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно горизонтальной плоскости, тогда точки пересечения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой прямой с поверхностью будут экстремальными точками линии пересечения. Для построения этих точек, очевидно, нужно провести на поверхности меридиан, конкурирующий с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и найти его точки пересечения с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы избежать построения этого меридиана, используем свойство, что все меридианы поверхности вращения одинаковы. Поэтому повернем вокруг оси поверхности вращения вертикальную плоскость, в которой находится меридиан и прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, до фронтального положения. При этом меридиан совпадет с фронтальным меридианом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач займет положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это положение легко найти при помощи двух точек: точки 5, расположенной на оси вращения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и поэтому неподвижной, и точки 6, которая после поворота займет положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка 6 при вращении вокруг оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач опишет окружность в горизонтальной плоскости, и поэтому дуга этой окружности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не исказится на виде сверху, а на виде спереди изобразится горизонтальной прямой (подробно вращение вокруг прямых будет рассмотрено позже в гл. V, § 5). Прямая и в своем положении Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет конкурировать с главным меридианом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности, и поэтому точки их пересечения определят экстремальные точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в повернутом положении. После обратного поворота получим высшую точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и низшую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Построение случайных точек линии пересечения выполняется при помощи горизонталей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующих с параллелями поверхности вращения. На рис. 120 проведена горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующая с параллелью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности.

При пересечении линий Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем случайные точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Натуральный вид сечения определяем способом размерений высот и широт точек сечения. При этом высоты точек измеряем на виде спереди по прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, повернутой до фронтального положения прямой наибольшего уклона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости, а широты – на виде сверху по горизонталям этой плоскости.

Пример №22

Построить линию пересечения линейчатой поверхности (цилиндроида), заданной направляющими Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и фронтальной плоскости параллелизма с данной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; определить натуральный вид сечения (рис. 121).

Решение:

Направляющие Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в данном примере являются окружностями, причем окружность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена в горизонтальной плоскости, а окружность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – в наклонной. Поэтому для построения образующих цилиндроида, которые в данном случае являются фронталями, непосредственно можно найти их концы на окружностях Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач либо, чтобы не пользоваться эллипсом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху, построить дополнительный натуральный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой окружности (на рисунке построена только полуокружность).

Для построения точек линии пересечения цилиндроида с данной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует провести на секущей плоскости фронтали, конкурирующие с образующими цилиндроида. На рис. 121 проведена фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующая с двумя образующими Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндроида. В пересечении Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с образующими Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые являются точками видимости для вида спереди. Аналогично находим точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для вида сверху при помощи фронталей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плос-кости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответственно конкурирующих с образующими Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндроида.

В пересечении фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующей с образующими Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, находим случайные точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомой линии пересечения. Натуральный вид сечения определяем способом размерений. При этом высоты точек измеряем на виде сверху по прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, повернутой до горизонтального положения прямой и наибольшего уклона плоскости, а широты – на виде спереди по фронталям плоскости.

Если секущая плоскость имеет вырожденный вид, то построение точек сечения несколько упростится, так как в этом случае нет нужды в построении на плоскости прямых, конкурирующих с образующими линейчатой поверхности.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотренные примеры дают представление об общем методе построения линии пересечения поверхностей вращения и линейчатых поверхностей с какой-либо плоскостью.

Однако весьма часто заранее известен вид кривой, получающейся в сечении поверхности плоскостью. В этом случае линия пересечения может быть построена при помощи основных элементов, определяющих эту кривую. Так, сфера пересекается плоскостью всегда по окружности, цилиндр вращения – по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна или перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении получается соответственно пара параллельных прямых или окружность (рис. 122).

В сечении конуса вращения получаются все виды кривых второго порядка (конические сечения). Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, т. е. пересекает все образующие, то сечение представляет собой эллипс (рис. 123); в частности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается окружность; если она параллельна только одной образующей конуса, то в сечении – парабола, если же двум образующим, то в сечении – гипербола. В частности, если плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара пересекающихся в вершине прямых. Разумеется, что в случае, когда линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой окружность или эллипс, а также когда она распадается на пару прямых, можно избежать кропотливого построения линии пересечения по точкам, а провести его по основным элементам этих линий. Так как проекции окружности и эллипса являются эллипсами, то построение в этих случаях сводится к определению центров эллипсов и их осей или сопряженных диаметров. Покажем на примерах построение таких сечений.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №23

Построить сечение и натуральный вид сечения сферы данной плоскостью.

Решение:

Сначала рассмотрим случай, когда секущая плоскость является наклонной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 124). Так как сфера сечется плоскостью по окружности, а плоскость в данном случае является наклонной, то на виде спереди эта окружность выродится в отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде сверху окружность изобразится эллипсом. Центр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности сечения легко построить, так как на виде спереди центр должен находиться посредине отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, который дает натуральную величину Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диаметра окружности. Поэтому натуральный вид сечения может быть построен сразу как окружность диаметра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эллипс, являющийся изображением окружности на виде сверху, определяется своими осями Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна диаметру Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности сечения, так как диаметр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являясь отрезком прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости, не искажается на виде сверху. Имея оси эллипса, можно его вычертить любым из известных способов. Однако для уточнения чертежа полезно дополнительно построить точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; они легко находятся в пересечении секущей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с экватором Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сферы.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Необходимо заметить, что при построении эллипса не по осям, а при помощи случайных точек, определяемых в пересечении параллелей сферы с секущей плоскостью, все же рекомендуется для уточнения эллипса строить и его оси. Теперь рассмотрим случай пересечения сферы плоскостью общего положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 125).

Этот случай сводится к предыдущему построением дополнительного вида по направлению горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач секущей плоскости. Тогда плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь на дополнительном виде вырожденный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и поэтому сечение и натуральный вид сечения можно построить точно так же, как это сделано на рис. 124.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построения эллипса, являющегося видом спереди сечения, следует построить на виде спереди егo диаметры Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, концы которых легко найти из условия сохранения высот точек при построении дополнительного вида. Эти диаметры эллипса будут его сопряженными диаметрами, так как являются изображениями взаимно перпендикулярных диаметров окружности, обладающих свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании окружности в эллипсе сохраняется. Имея сопряженные диаметры эллипса, можно его вычертить известным способом (с помощью описанного параллелограмма). В дополнение к этому определены точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди. Они построены при помощи фронтали 2–3 плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующей с главным меридианом сферы.

Пример №24

Построить сечение и натуральный вид сечения конуса вращения данной плоскостью.

Решение:

Опять вначале рассмотрим случай, когда секущая плоскость является наклонной плоскостью (рис. 126).

Так как в данном случае наклонная плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает все образующие конуса, то в сечении получится эллипс. На виде спереди эллипс выродится в отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде сверху он будет эллипсом, так как ортогональная проекция эллипса также является эллипсом.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Большая ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач эллипса-сечения является фронталью и поэтому не искажается на виде спереди. Малая же ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости. Поэтому она на виде спереди вырождается в точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, делящую отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пополам (точка 0 – центр эллипса), а на виде сверху не искажается. Для построения малой оси CD на виде сверху достаточно провести на уровне точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллель Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конуса; тогда Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху будет хордой этой параллели. Теперь эллипс, являющийся видом сверху эллипса-сечения, можно построить по его осям Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; при этом большая ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не искажается на виде спереди, а малая ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется при помощи случайных точек, которые можно находить, используя параллели конуса, как в случае поверхности вращения, или образующие конуса, как в случае линейчатой поверхности.

Теперь рассмотрим случай пересечения конуса вращения плоскостью общего положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 127).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если построить дополнительный вид сечения по направлению горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, секущей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то рассматриваемый случай сведется к предыдущему. Сечение на виде сверху, являющееся эллипсом, можно построить по сопряженным диаметрам Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Концы этих диаметров легко находятся из условия сохранения высот относительно базовой плоскости при построении дополнительного вида. Дополнительно следует построить точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди. Эти точки найдены в пересечении с секущей плоскостью контурных образующих Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эллипс, являющийся натуральным видом сечения, построен по его осям, при этом большая ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не искажается на дополнительном виде, а малая ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на виде сверху.

В заключение рассмотрим построение сечений двух технических деталей.

Пример №25

Построить линию среза головки рычага двумя фронтальными плоскостями Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 128).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Данная головка представляет собой некоторое тело вращения, ограниченное поверхностями цилиндра I, конуса II, тора III и сферы IV. После среза головки фронтальными плоскостями Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим переднюю и заднюю части линий пересечения (они на виде спереди совпадают). Точки линии пересечения легко строятся при помощи параллелей поверхности вращения, ограничивающей данную головку. На чертеже показано построение точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая, являясь окружностью, расположенной в профильной плоскости, не искажается на виде слева. На чертеже также показано построение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач– вершины гиперболы, по которой пересекается поверхность конуса. Точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач построена при помощи параллели, касающейся секущих плоскостей. На участке поверхности сферы линия пересечения является дугой окружности, и потому на этом участке построение производится не по точкам, а непосредственно циркулем.

Пример №26

Построить натуральный вид сечения данной детали наклонной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 129).

Решение:

Для построения искомого натурального вида нет нужды в построении сечения на виде сверху, так как высоты и широты точек линий, ограничивающих сечение, непосредственно определяются по чертежу. В самом деле, высоты точек не искажаются на виде спереди, а широты точек располагаются на прямых, перпендикулярных фронтальной плоскости и, следовательно, не искажаются на виде сверху.

На чертеже показано построение точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач натурального вида сечения. Эти точки построены при помощи их высот и широт. Эллипсы, которые получаются в сечениях цилиндров, построены по их осям, при этом малая ось каждого эллипса равна диаметру соответствующего цилиндра, а большая – отрезку вида Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, заключенному между очерковыми образующими цилиндра.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Плоскости, касательные к поверхностям

Если на какой-нибудь кривой поверхности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 130) провести через ее обыкновенную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольные кривые линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и к этим кривым в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач построить касательные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то все касательные прямые будут лежать в одной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемой касательной плоскостью к поверхности*.

* Это положение доказывается в курсе дифференциальной геометрии. Там же рассматриваются особые точки поверхности, в которых касательная плоскость или неопределенная, или же не единственная. Примером такой точки может служить вершина конической поверхности.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, касательная плоскость является геометрическим местом всех касательных, проведенных к данной кривой поверхности, проходящих через одну ее точку. Очевидно, что для построения касательной плоскости к поверхности в ее точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно через эту точку провести на поверхности только две кривые линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и к ним построить касательные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти две касательные прямые и определят касательную плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разумеется, что в качестве таких двух кривых линий поверхности следует выбирать ее простейшие линии. Так, в случае линейчатой поверхности одной из этих кривых может служить ее прямолинейная образующая (она совпадает со своей касательной), а в случае поверхности вращения – ее параллель. В зависимости от вида поверхности касательная плоскость может иметь с поверхностью только одну общую точку, например, в случае сферы (рис. 131), или бесчисленное множество общих точек, составляющих прямую или кривую линии, например, в случае конической поверхности (рис. 132) или поверхности кольца (рис. 133).

В приведенных выше случаях поверхность располагается по одну сторону от касательной плоскости, которая не пересекает поверхности. Однако касательная плоскость может и пересекать поверхность по какой-нибудь линии. Так, например, в случае однополостного гиперболоида касательная плоскость пересекает его по двум образующим Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые вместе с тем будут и касательными Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяющими касательную плоскость (рис. 134).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несколько примеров построения касательной плоскости к различным поверхностям.

Пример №27

Построить плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, касательную к поверхности вращения в ее точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 135).

Решение:

В качестве двух кривых линий поверхности вращения, касательные к которым определяют искомую плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, выберем параллель Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и меридиан а данной поверхности, проходящие через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как параллель Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является окружностью, расположенной горизонтально, то построение касательной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не вызывает затруднений. Для построения же касательной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к меридиану Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач предварительно поворачиваем его вокруг оси поверхности вращения до фронтального положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом данная точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач займет положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если теперь построить касательную Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к фронтальному меридиану a в его точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, произведя обратное вращение, получим искомую касательную Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к меридиану Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, касательная плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определена двумя пересекающимися прямыми Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №28

Построить плоскостьНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, касательную к конической поверхности в ее точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 136).

Решение:

Так как данная поверхность линейчатая, то, проведя через данную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач образующую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющуюся в то же время и своей касательной, получим одну из прямых, определяющих искомую плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Второй прямой, определяющей плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет касательная Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к окружности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в ее точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенной на конической поверхности.

Касательная Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна касательной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенной в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к окружности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач основания конической поверхности. Поэтому искомую касательную плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и касательной Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к окружностиНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач основания конической поверхности, не строя вспомогательной окружности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящей через данную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Необходимо заметить, что касательная плоскость к конической или цилиндрической поверхности и вообще ко всякой поверхности торса касается поверхности по всей образующей.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

Построить плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, касательную к цилиндрической поверхности и проходящую через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданную вне цилиндрической поверхности (рис. 137).

Решение:

Так как искомая касательная плоскость должна содержать в себе образующую цилиндрической поверхности, то в этой плоскости можно провести через данную точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельную образующим цилиндрической поверхности.

Если теперь провести через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – касательные прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к окружности основания цилиндрической поверхности, то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и касательные Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определят две искомые касательные плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти плоскости касаются цилиндрической поверхности по ее образующим Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Кроме указанных выше случаев задания касательной плоскости, ее можно задавать и другими условиями, характер которых зависит от вида поверхности. Так, к сфере можно проводить касательную плоскость, ставя условие, чтобы она проходила через заданную прямую, не пересекающую сферу и была параллельна некоторой заданной плоскости и т. д.

К конусу касательную плоскость можно проводить так, чтобы она проходила через точку, расположенную вне поверхности конуса и была параллельна некоторой прямой и т. д.

Взаимное пересечение поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей, называемая иначе линией перехода, в общем случае представляет собой пространственную кривую, а в случае пересечения многогранных поверхностей – пространственную ломаную линию. В частности, линия пересечения может распадаться на две и более части, которые могут быть и плоскими линиями, если хотя бы одна из поверхностей является многогранной. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам.

Общие сведения о способах построения линии взаимного пересечения двух поверхностей

Основными способами построения точек линии пересечения двух поверхностей являются способы конкурирующих линий, вспомогательных сфер и приближений. Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения. Способ конкурирующих линий следует применять при построении линий пересечения таких поверхностей, на каждой из которых возможно провести серию графически простых линий, т. е. прямых или окружностей, при этом линии одной поверхности должны конкурировать с соответствующими линиями другой поверхности. Кроме того, если в качестве этих линий используются окружности, то поверхности должны быть расположены так, чтобы эти окружности не искажались на одном из видов.

Способ вспомогательных сфер можно применять при построении линии пересечения поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости уровня. При этом каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей.

В частности, способ вспомогательных сфер можно использовать при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны какой-либо плоскости уровня.

Способ приближений весьма универсален и требует для своего применения возможности построения семейства линий на каждой из данных поверхностей.

В некоторых случаях линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на плоские кривые второго порядка. Тогда, если заранее известен вид этих кривых, можно избежать трудоемкого построения линии пересечения по точкам и провести построение этих кривых по их основным элементам.

Заметим также, что если одна из пересекающихся поверхностей имеет вырожденный вид, например, проецирующая цилиндрическая поверхность, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае сразу определяются точки пересечения этой поверхности с графически простыми линиями другой поверхности.

Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения двух поверхностей так же, как и у линии пересечения поверхности с плоскостью, различают точки опорные и случайные. В первую очередь определяют опорные точки, так как они позволяют увидеть, в каких пределах расположена линия пересечения на каждом виде и где между этими точками имеет смысл определять случайные точки для более точного построения линии пересечения поверхностей.

Определение видимости линии пересечения производят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость всего участка совпадает с видимостью какой-нибудь случайной точки этого участка. При построении линии пересечения необходимо иметь в виду, что ее виды всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных видов пересекающихся поверхностей.

Способ конкурирующих линий

Вначале рассмотрим взаимное пересечение многогранников. Вершинами линии пересечения многогранников являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, а также ребер второго многогранника с гранями первого. Сторонами или звеньями линии пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников.

Обычно строят вершины линии пересечения, а стороны определяют соединением соответствующих вершин. Причем отрезками прямых можно соединять только те пары вершин, которые лежат в одной и той же грани первого многогранника и в то же время в одной и той же грани второго многогранника. Если же рассматриваемая пара вершин хотя бы в одном многограннике принадлежит разным граням, то такие вершины не соединяются.

Порядок соединения вершин линии пересечения в большинстве случаев легко определяется, если после построения вершин выяснен вопрос о видимости ребер обоих многогранников, причем для каждого ребра, на котором имеются вершины линии пересечения, отмечена видимость до и после его пересечения с другим многогранником. Разумеется, что окончательно видимыми будут только те видимые ребра каждого многогранника, которые пересекаются с видимыми гранями другого многогранника.

При соединении вершин линии пересечения необходимо учитывать видимость ее звеньев. Видимыми звеньями будут только те, которые принадлежат одновременно видимым граням как первого, так и второго многогранников.

Итак, при построении линии пересечения двух многогранников следует вначале найти вершины этой линии, построение которых сводится к проведению на поверхности каждого многогранника вспомогательных ломаных линий, конкурирующих с ребрами другого многогранника, и определению точек пересечения этих линий с соответствующими ребрами. Стороны линии пересечения находятся последовательным соединением отрезками прямых тех пар найденных вершин, которые лежат в одной и той же грани каждого из данных многогранников. Покажем два примера построения линии пересечения многогранников.

Пример №30

Построить линию пересечения треугольной пирамиды Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и треугольной призмы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 138).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Найдем сначала точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач основания пирамиды не пересекают граней призмы, поскольку эти ребра располагаются вне площади наложения. Поэтому будем искать точки пересечения ребер Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пирамиды с гранями призмы. Для каждого из этих ребер строим на поверхности призмы вспомогательные линии, конкурирующие на виде спереди (рис. 138а). Эти линии образуют треугольники.

Так, линия, конкурирующая на виде спереди с ребром Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, образует треугольник 1–2–3. В пересечении ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач со сторонами 1–2 и 1–3 треугольника 1–2–3 находим точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с поверхностью призмы. Определяем видимость ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как это ребро пересекается в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с гранью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – с гранью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а обе эти грани видимы на виде сверху, то ребро Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет на виде сверху видимым на отрезках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На виде спереди грань Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач видима, а грань Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач невидима, поэтому на виде спереди ребро Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет видимым на отрезке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и на отрезке от точки, конкурирующей с точкой 3, до точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично находим точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения ребер Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с поверхностью призмы, а также определяем видимость этих ребер.

Теперь определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Ребра обоих оснований призмы не пересекают поверхности пирамиды, так как они расположены вне площади наложения. Таким образом, остается определить точки пересечения ребер Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач призмы с поверхностью пирамиды.

Проведя на поверхности пирамиды вспомогательные линии, конкурирующие на вид спереди с рассматриваемыми ребрами призмы (на рис. 138а показана только вспомогательная линия для ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач), выясняем, что ребра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не пересекают поверхности пирамиды, а ребро Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает поверхность пирамиды в точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тут же определяем видимость этих ребер.

Теперь все вершины линии пересечения построены, и остается их соединить в определенном порядке. Так как каждая пара вершин Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в одной и той же грани пирамиды, а все вместе они находятся в грани Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач призмы, что легко обнаружить из рассмотрения вида сверху (рис. 138а), то эти вершины можно соединить попарно, при этом получим треугольник КМР, являющийся сечением пирамиды гранью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 138б).

Остальные пять вершин можно соединить в следующем порядке: Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В самом деле, у вершин Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общие грани Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, у вершин Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общие грани Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, у вершин Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общие грани Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, у вершин Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общие грани Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и, наконец, у вершин Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общие грани Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, линия пересечения состоит из двух замкнутых ломаных линий – из треугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и пространственного пятиугольника Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решая вопрос о видимости звеньев линии пересечения, убеждаемся, что на виде сверху видимыми будут только звенья Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде спереди – звенья Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как эти звенья одновременно лежат на видимых гранях как первого, так и второго многогранников.

Если при построении линии пересечения двух многогранников поверхность хотя бы одного из них имеет вырожденный вид, то следует использовать вырождение соответствующих видов ребер и граней этого многогранника в точки и прямые. При этом задача построения линии пересечения значительно упрощается.

Пример №31

Построить линию пересечения треугольной пирамиды с треугольной призмой, боковая поверхность которой имеет вырожденный вид (рис. 139).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

На виде сверху точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения ребер пирамиды с гранями призмы находятся в пересечении соответствующих ребер с вырожденными видами граней призмы, после чего они определяются на виде спереди на соответствующих ребрах. На виде сверху точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения правого ребра призмы с гранями пирамиды совпадают с вырожденным видом самого ребра, а на виде спереди эти точки построены с помощью прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащих граням пирамиды, которые пересекает ребро призмы.

Теперь перейдем к пересечению кривых поверхностей.

Как было указано выше, построение точек линии пересечения двух поверхностей способом конкурирующих линий сводится к проведению на обеих данных поверхностях графически простых линий (прямых или окружностей), конкурирующих друг с другом. Точки пересечения каждой пары конкурирующих линий и будут точками линии пересечения поверхностей. Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей указанным способом.

Пример №32

Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, у которых оси скрещиваются под прямым углом (рис. 140).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Построение линии пересечения данных поверхностей можно произвести с помощью конкурирующих линий. В самом деле, если провести на цилиндрической поверхности ее образующие (прямые), то каждая из них будет конкурировать с некоторой параллелью (окружностью) конической поверхности, и так как эти параллели являются горизонталями, то они не будут искажаться на виде сверху.

Вначале покажем построение опорных точек. У цилиндрической поверхности точками видимости для вида сверху являются точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, они же будут и наиболее удаленными точками. Эти точки найдены в пересечении контурной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности и конкурирующей с нею параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности. У конической поверхности точек видимости для вида сверху нет, так как вся она на виде сверху видима. Точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности для вида спереди найдены в пересечении контурных образующих цилиндрической поверхности Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответственно конкурирующих с ними параллелей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности. При этом точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут высшими точками, а точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – низшими. Точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности для вида спереди найдены в пересечении контурных образующих Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности и соответственно конкурирующих с ними образующих Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности.

Образующие Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди построены при помощи вида слева. Точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности для вида слева найдены на контурной профильной образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности; при этом предварительно эти точки построены на виде слева в пересечении образующей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с вырожденным видом цилиндрической поверхности.

Теперь можно построить сколько угодно случайных точек. Построение четырех случайных точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач показано на рис. 140. Эти точки найдены в пересечении образующих Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности и конкурирующей с ними параллели Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности*.

Построив достаточное число случайных точек линии пересечения, следует их соединить в определенной последовательности, учитывая условия видимости. В данном случае видимость линии пересечения на обоих видах определяется цилиндрической поверхностью, поэтому видимыми будут только те участки линии пересечения, которые расположены на видимой части цилиндрической поверхности**.

Если при построении линии пересечения двух поверхностей хотя бы одна из них имеет вырожденный вид, то следует использовать вырождение вида этой поверхности в линию. При этом построение линии пересечения поверхностей значительно упрощается, так как на одном из видов любая ее точка принадлежит вырожденному виду поверхности, а на другом виде легко определяется с помощью графически простых линий второй поверхности. Покажем это на следующих примерах.

* Так как цилиндрическая поверхность имеет вырожденный вид, то точки искомой линии пересечения можно найти при помощи образующих конической поверхности. В самом деле, в пересечении на виде слева этих образующих с вырожденным видом цилиндрической поверхности легко определяются искомые точки на виде слева.

На рис. 140 и на последующих рисунках, иллюстрирующих пересечение поверхностей, не изображены элементы каждой из этих поверхностей, расположенные внутри другой поверхности. Иначе говоря, на этих рисунках принято, что каждая из пересекающихся поверхностей «высекает» из другой поверхности ее часть, заключенную внутри первой поверхности.

Пример №33

Построить линию пересечения двух цилиндров вращения со скрещивающимися осями, причем поверхность одного из них является горизонтально проецирующей (рис. 141).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Так как поверхность одного из данных цилиндров имеет вырожденный вид, то на виде сверху искомая линия пересечения совпадает с дугой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности, являющейся вырожденным видом этого цилиндра. Для определения на виде спереди линии пересечения следует построить при помощи графически простых линий, в данном случае образующих второго цилиндра, на виде спереди точки, определяющие линии пересечения поверхностей.

Построение на виде спереди опорных точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (самой дальней и самой ближней), Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (наивысшей и наинизшей; они же являются точками видимости второго цилиндра для вида спереди), Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (самых левых; они же являются точками видимости первого цилиндра для вида спереди) и случайных точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач показано на рис. 141.

Необходимо заметить, что на виде спереди точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и случайные точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удобнее всего находить с помощью дополнительного вида по направлению образующих второго цилиндра. Тогда этот цилиндр на дополнительном виде выродится в окружность и можно построить при помощи глубин Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом виде, после чего они легко определяются на виде спереди. В отдельном круге показан элемент линии пересечения с точками видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в увеличенном виде.

Пример №34

Построить линию пересечения треугольной призмы со сферой (рис. 142).

Решение:

Линия пересечения в рассматриваемом примере состоит из дуг окружностей, являющихся линиями пересечения граней призмы со сферой. Эти дуги соединяются между собой в точках пересечения ребер призмы со сферой. Таким образом, в данном случае, как и в других случаях построения линии пересечения многогранной и кривой поверхностей, задача сводится к последовательному решению задач о пересечении кривой поверхности с прямой и плоскостью (см. гл. III, § 4, 5, гл. IV, § 1). И в том, и в другом случае пользуются методом конкурирующих линий.

Так как ребра призмы являются фронталями, то можно построить дополнительный вид по направлению этих ребер. Тогда боковая поверхность призмы на дополнительном виде выродится в треугольник, что значительно облегчит построение искомой линии пересечения.

На дополнительном виде линия пересечения совпадает с частью вырожденного вида призмы, заключенной внутри очерка сферы. При помощи фронталей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сферы находим точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения ребер призмы со сферой. Построение линии пересечения сферы только с одной из граней призмы, а именно с гранью, видимой на обоих видах, подробно показано на рис. 142.

Сначала находим центр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности, являющейся искомой линией пересечения. Для этого на дополнительном виде опускаем из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикуляр на прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Основание этого перпендикуляра определит центр окружности на дополнительном виде, а отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – величину диаметра искомой окружности. Потом находим центр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на видах спереди и сверху. Эллипс, являющийся видом спереди линии пересечения, определяется своими осями Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна диаметру окружности, т. е. отрезку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на дополнительном виде. Находим также точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для вида спереди.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эллипс, являющийся видом сверху искомой окружности, можно построить по сопряженным диаметрам Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которыми изобразятся на виде сверху взаимно перпендикулярные диаметры окружности. В дополнение к этому следует определить точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для вида сверху.

Они построены при помощи прямой 1–2, принадлежащей рассматриваемой грани и конкурирующей с экватором сферы.

В заключение рассмотрим технический пример на построение линии перехода цилиндров вращения с пересекающимися осями (рис. 143). Так как поверхность среднего цилиндра имеет вырожденный вид сверху, то на этом виде линия перехода совпадает с дугами окружности, которой изображается этот цилиндр. Построение на виде спереди точек линии перехода легко осуществить при помощи дополнительных видов по направлению образующих боковых цилиндров.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ вспомогательных сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер возможны два случая. В первом пользуются сферами, проведенными из одного, общего для всех сфер, центра (способ концентрических сфер), а в другом – сферами, проведенными из разных центров (способ эксцентрических сфер).

Вначале рассмотрим способ концентрических сфер, для этого предварительно остановимся на пересечении соосных поверхностей вращения (так называются поверхности вращения с одной осью).

Две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям, причем число последних равно числу точек пересечения меридианов поверхностей.

В самом деле, если одна поверхность образуется вращением меридиана Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другая – меридиана Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, около общей оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 144), то общие точки меридианов Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будут описывать окружности, общие для данных поверхностей (на рис. 144 показан только вид спереди).

При этом если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-нибудь плоскости уровня, то эти окружности изобразятся на соответствующем виде отрезками прямых.

Необходимо отметить частный случай пересечения двух соосных поверхностей вращения, когда одна из этих поверхностей является сферой. Если центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 145). Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения положено в основу способа концентрических сфер.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ концентрических сфер

Выясним на примерах условия, при которых можно построить линию пересечения двух поверхностей способом концентрических сфер.

Пример №35

Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в некоторой точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельны фронтальной плоскости (рис. 146).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Построение линии пересечения данных поверхностей можно выполнить способом концентрических сфер. В самом деле, если провести из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения осей данных поверхностей как из центра произвольную сферу, пересекающую каждую из данных поверхностей, то эта сфера будет соосна с данными поверхностями. Поэтому она пересечется с каждой из данных поверхностей по окружностям. Эти окружности изобразятся на виде спереди отрезками прямых, что следует из параллельности осей данных поверхностей фронтальной плоскости. В пересечении отрезков прямых, изображающих окружности, получим на виде спереди точки, принадлежащие обеим данным поверхностям, а значит, и искомой линии пересечения.

Вначале должны быть построены некоторые опорные точки. Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости, то их контурные образующие по отношению к фронтальной плоскости пересекаются. Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

Далее следует определить радиусы максимальной и минимальной сфер, пригодных для отыскания точек линии пересечения. Радиус максимальной сферы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен расстоянию от центра сфер Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае до точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы определить радиус наименьшей сферы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо провести через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй – будет пересекаться.

Если же взять в качестве Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач меньший отрезок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется. В данном примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверхности по окружности 1–2, а коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3–4 и 5–6. Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения.

Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем радиус Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этих сфер должен изменяться в пределах Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На рис. 146 проведена одна дополнительная сфера радиуса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Она пересекает цилиндрическую поверхность по окружностям 7–8 и 9–10, а коническую поверхность – по окружностям 11–12 и 13–14. В пересечении этих окружностей получаем точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащие линии пересечения.

Чтобы построить точки линии пересечения на виде сверху, следует воспользоваться окружностями той или иной из данных поверхностей, содержащими искомые точки. В данном примере удобнее использовать окружности конической поверхности, так как они не искажаются на виде сверху.

Если оси данных поверхностей вращения пересекаются, но не параллельны какой-либо плоскости уровня, то можно построением дополнительного вида привести их в положение, параллельное плоскости дополнительного вида.

Пример №36

Построить линию пересечения сферы с произвольной поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с центром сферы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 147).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Так как из любой точки пространства, за исключением центра сферы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно описать концентрические сферы, пересекающие данную сферу по окружностям, и из любой точки оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно описать концентрические сферы, пересекающие данную поверхность вращения по окружностям, то геометрическим местом точек пространства, из которых возможно описать концентрические сферы, пересекающие по окружностям и данную поверхность вращения, и данную сферу, будет ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности.

Таким образом, если из любой точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности вращения описать концентрические сферы, то они пересекут данные поверхности по окружностям. Так, на рис. 147 вспомогательная сфера радиуса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает поверхность вращения по окружности 1–2, а данную сферу – по окружности 3–4 (эти окружности изображаются на виде спереди отрезками прямых). Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения указанных окружностей и будут точками искомой линии пересечения. Для построения точек линии пересечения на виде сверху можно воспользоваться окружностями поверхности вращения, которые не искажаются на виде сверху.

Рассмотренные примеры показывают, что способ концентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, у которых имеется общая плоскость симметрии и каждая из которых содержит семейство окружностей, по которым ее могут пересекать концентрические сферы, общие для обеих поверхностей. В частности, способ концентрических сфер следует применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются.

Способ эксцентрических сфер

Указанный способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры. Для выяснения условий, при которых можно применять этот способ, рассмотрим прежде всего рис. 148. Как было выяснено, в этом примере центры вспомогательных сфер можно брать в любой точке оси поверхности вращения. Поэтому построение линии пересечения в этом случае можно выполнить способом не только концентрических, но и эксцентрических сфер.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение точек линии пересечения данных поверхностей способом эксцентрических сфер показано на рис. 148. Здесь проведены четыре сферы радиусов Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач из различных центров Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, расположенных на оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности вращения. Каждая из этих сфер пересекается с данными поверхностями по окружностям, точки пересечения которых и будут точками линии пересечения поверхностей. Рассмотрим еще один пример.

Пример №37

Построить линию пересечения поверхности тора с конической поверхностью вращения, имеющих общую фронтальную плоскость симметрии (рис. 149).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Вначале отмечаем точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в пересечении контура поверхности тора с контуром конической поверхности. Для построения случайных точек здесь нельзя воспользоваться способом концентрических сфер, так как хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, но их оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не пересекаются. Способом же эксцентрических сфер, центры которых находятся в различных точках оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности, можно найти сколько угодно случайных точек линии пересечения.

В самом деле, у поверхности тора, кроме семейства окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеется семейство окружностей (меридианов), расположенных в плоскостях, проходящих через ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Центры сфер, пересекающих поверхность тора по этим окружностям, будут находиться на перпендикулярах к плоскостям этих окружностей, проведенных через их центры Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, если взять центры эксцентрических сфер в точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения этих перпендикуляров с осью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности, то сферы соответствующих радиусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пересечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих одной и той же сфере, и будут точками искомой линии пересечения.

На рис. 149 проведены три эксцентрические сферы из центров Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведен меридиан 3–4 поверхности тора, расположенный в наклонной плоскости, проходящей через ось Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и из его центра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения этого перпендикуляра с осью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такого радиуса Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, чтобы ей принадлежала окружность 3–4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1–2, определит в пересечении окружностей 1–2 и 3–4 искомые точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точки пересечения на виде сверху можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху построены при помощи параллелей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поверхности тора. Точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конической поверхности для вида сверху построены приближенно, они на виде спереди найдены в пересечении линии пересечения и оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач конуса.

Рассмотренные примеры показывают, что способ эксцентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. Причем каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

Способ приближений

Иногда при построении линии пересечения поверхностей не удается применить ни один из «точных» способов, рассмотренных выше. В этих случаях удобно пользоваться приближенным способом построения точек линии пересечения. Он обладает большой универсальностью, если только данные поверхности заданы семейством каких-либо линий либо они допускают построение таких семейств для обеих поверхностей. Выясним сущность этого способа.

Пусть дана полоса какой-либо поверхности, ограниченная ее линиями Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а также некоторая кривая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 150а). Будем называть первым приближением точки пересечения кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с данной полосой поверхности точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, построенную по схеме, указанной на рис. 150а. По существу, точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является точкой пересечения кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоской кривой, которой заменена, или, как говорят, аппроксимирована кривая данной полосы поверхности, конкурирующая с кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кривая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекается с поверхностью внутри полосы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если ориентация видов полосы и ориентация видов кривой различны и у видов полосы имеется общая часть, в которую включены виды кривой. Виды полосы и кривой на рис. 150а ориентированы по-разному: виды полосы одинаково ориентированы, а виды кривой – противоположно.

Если же виды полосы имеют ту же ориентацию, что и виды кривой, то кривая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет пересекаться с поверхностью внутри полосы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в том случае, когда соответствующий вид кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, например вид сверху (рис. 150б), пересекает противоположные стороны четырехугольника, образованного видами Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и вертикальными линиями связи. Два вида сверху кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач изображены на рис. 150б; один пересекает виды Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а другой – вертикальные линии связи.

Дальнейшие приближения точки пересечения кривой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с данной полосой поверхности можно получить, если удастся построить промежуточные линии Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой полосы. Приближения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, построенные по той же схеме, что и на рис. 150, показаны на рис. 151.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем называть приближенной линией пересечения двух поверхностей, заданных семействами линий, лекальную кривую, наилучшим образом приближающуюся к ломаной, вершинами которой служат приближенные точки пересечения линий одной поверхности с соответствующими полосами другой поверхности или наоборот, линий второй поверхности с полосами первой поверхности. Разумеется, если ограничиться только первыми приближениями, то линия пересечения, построенная с помощью линий первой поверхности и полос второй поверхности, будет несколько отличаться от линии пересечения, построенной с помощью линий второй поверхности и полос первой поверхности. Однако при дальнейших приближениях обе линии пересечения практически совпадут. Рассмотрим пример.

Пример №38

Построить линию пересечения поверхностей двух усеченных конусов, оси которых не пересекаются (на рис. 152 дано изображение только левой половины большого конуса).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Для решения данного примера не применим ни способ конкурирующих линий, ни способ сфер. Выполним решение способом приближений, для чего предварительно проведем образующие обеих поверхностей. На поверхности большого конуса проведем шесть образующих, концы которых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются точками деления окружностей оснований усеченного конуса на 24 равные части. На малом усеченном конусе проведены образующие, концы которых делят окружности его оснований на шесть равных частей. Вначале с помощью горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач большого конуса найдем точки видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач малого конуса для вида сверху. Далее покажем построение случайных точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Виды образующей 7 малого конуса* имеют противоположную ориентацию, а у видов полосы Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач большого конуса ориентация одинаковая. Поэтому по первому признаку образующая 7 пересекается с полосой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая на виде сверху легко находится при помощи диагонали четырехугольника с вершинами, расположенными на образующих большого конуса. При построении точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения образующей 8 малого конуса с полосой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач большого конуса использован второй признак пересечения линии с полосой. В данном случае виды образующей имеют одинаковую ориентацию, и виды полосы также одинаково ориентированы, т. е. виды образующей имеют ту же ориентацию, что и виды полосы. Тогда пересечение будет иметь место, так как образующая 8 пересекает противоположные стороны четырехугольника с вершинами на образующих Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Помимо случайных точек показано построение точек видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач малого конуса для вида спереди и точек видимости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач большого конуса для того же вида.

Эти точки на виде сверху построены с помощью соответствующих диагоналей четырехугольников с вершинами на образующих большого конуса в случае точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и на образующих малого конуса в случае точек Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Взаимное пересечение поверхностей второго порядка. Особые случаи пересечения

Так как поверхности второго порядка часто встречаются в технической практике, то вопрос об их взаимном пересечении заслуживает особого рассмотрения.

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвертого порядка**, т. е. эта кривая пересекается с плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). В частных случаях линия пересечения поверхностей второго порядка может распадаться, причем особый интерес представляет случай ее распадения на пару плоских кривых второго порядка.

* Образующие малого конуса обозначены одной цифрой, соответствующей обозначению одного их конца, а полосы обозначены двумя цифрами, соответствующими обозначениям противоположных концов разных образующих.

* • Как известно, порядок линии пересечения двух алгебраических поверхностей равен произведению порядков поверхностей.

Для примера рассмотрим пересечение сферы с конической поверхностью второго порядка, имеющей круговое основание Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, расположенное на данной сфере (рис. 153). В этом случае линия пересечения распадается на две окружности: данную окружность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и окружность Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые изображаются на виде спереди в виде отрезков прямых, так как плоскость симметрии конической поверхности параллельна фронтальной плоскости.

Выясним условия, при которых линия пересечения двух поверхностей второго порядка распадается на пару плоских кривых второго порядка. Если две поверхности имеют в какой-либо их общей точке одну и ту же касательную плоскость, то они касаются между собой в этой точке. Когда две пересекающиеся поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, то говорят, что такие поверхности имеют двойное прикосновение. Линия пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих двойное прикосновение, распадается на пару кривых второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения*. Рассмотрим пример, иллюстрирующий это положение.

Пример №39

Построить линию пересечения двух цилиндрических поверхностей вращения одинакового диаметра (рис. 154).

Решение:

Данные поверхности имеют двойное прикосновение в точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как в этих точках обе поверхности имеют общие касательные плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому линия их пересечения распадается на пару кривых второго порядка, которые должны проходить через точки прикосновения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения контурных образующих.

Нетрудно видеть, что линия пересечения в данном случае будет представлять собой два одинаковых эллипса, большими осями которых будут Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а малыми – Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти эллипсы изображаются на виде спереди отрезками прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде сверху – окружностью, совпадающей с вырожденным видом цилиндрической поверхности.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема о двойном прикосновении позволяет весьма просто строить круговые сечения тех поверхностей второго порядка, которые их имеют. Для этого следует провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью. Тогда линия их пересечения распадается на пару плоских кривых. Но так как плоские кривые, расположенные на сфере, – окружности, то этим самым будут найдены круговые сечения поверхности второго порядка. Итак, для построения круговых сечений поверхностей второго порядка следует провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью, тогда линия их пересечения даст пару круговых сечений данной поверхности.

Рассмотрим примеры.

Пример №40

Построить круговые сечения эллиптического цилиндра (рис. 155). Из какой-либо точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач оси цилиндра описываем сферу так, чтобы она касалась двух образующих цилиндра и пересекала бы его.

Решение:

Точки касания Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут точками соприкосновения обеих поверхностей, так как в них можно провести общие касательные плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, имеем двойное прикосновение поверхностей второго порядка и, следовательно, линия пересечения распадается на пару плоских кривых, в данном случае – на пару окружностей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, расположенных в наклонных плоскостях. Полученные два круговых сечения цилиндра входят в две серии круговых сечений цилиндра, параллельных между собой.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №41

Построить круговые сечения эллиптического конуса (рис. 156).

Решение:

Как и в предыдущем примере, описываем сферу с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси конуса так, чтобы она имела двойное прикосновение с конусом. В точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач у обеих поверхностей общие касательные плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда линия пересечения распадается на пару окружностей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, расположенных в наклонных плоскостях. Полученные круговые сечения входят в две серии круговых сечений конуса, параллельных между собой.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №42

Построить круговые сечения трехосного эллипсоида (рис. 157).

Решение:

Описываем сферу с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом, равным средней полуоси эллипсоида. Тогда имеем двойное прикосновение в точках Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, линия пересечения распадается на пару окружностей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Полученные два круговых сечения проходят через центр эллипсоида и поэтому называются центральными. Они входят в две серии круговых сечений эллипсоида, параллельных между собой.

Не всегда удается непосредственно обнаружить двойное прикосновение у пересекающихся поверхностей второго порядка, тогда для установления распадения линии их пересечения пользуются следующим положением. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Это положение, известное как теорема Монжа, является следствием из положения о двойном прикосновении. Покажем это на следующем примере.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №43

Построить линию пересечения конической и цилиндрической поверхностей, описанных около одной и той же сферы (рис. 158).

Решение:

Линией прикосновения конической поверхности и сферы будет окружность 1–2, а цилиндрической поверхности и сферы – окружность 3–4. Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения этих окружностей и будут точками двойного прикосновения конической и цилиндрической поверхностей, так как в этих точках у этих поверхностей будет общая касательная плоскость. Таким образом, имеем двойное прикосновение данных поверхностей и, следовательно, линия их пересечения распадается на пару плоских кривых второго порядка. В рассматриваемом примере линия пересечения распадается на пару эллипсов Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые на виде спереди изображаются отрезками прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. 4. В заключение рассмотрим применение теоремы Монжа при конструировании трубопроводов, выполняемых из листового материала.

Пример №44

Построить переходные конические поверхности, соединяющие данные цилиндрические трубы I, II и III, оси которых находятся в одной фронтальной плоскости (рис. 159).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Если вписать в каждую из данных труб сферу, то каждая пара сфер, вписанных в трубы I, II и I, III, определит переходные конические поверхности IV и V, касательные к этим сферам. При построении линий пересечения данных и переходных поверхностей следует учесть теорему Монжа, из которой следует, что искомые линии пересечения будут плоскими кривыми (эллипсами). На виде спереди эти линии будут отрезками прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяемыми точками пересечения очерковых образующих.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метрические задачи. Способы преобразования комплексного чертежа

Помимо позиционных задач, рассмотренных в предыдущих главах, в технической практике часто приходится решать задачи, в которых выясняются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и др. Такие задачи называют метрическими. Некоторые из них уже рассматривались ранее. Так, были рассмотрены вопросы определения натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций построения прямой наибольшего уклона плоскости, а стало быть, и измерения углов наклона плоскости к плоскостям проекций.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Однако при решении некоторых метрических задач необходимо предварительно выяснить, как выполняются на комплексном чертеже условия перпендикулярности прямых и плоскостей. Прежде всего установим свойства ортогональной проекции прямого угла.

Ортогональная проекция прямого угла

Если обе стороны какого-нибудь угла параллельны одной и той же плоскости уровня, то такой угол не искажается на соответствующем виде. Прямой угол будет иметь неискаженный вид и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости уровня, при этом вторая сторона не должна быть перпендикулярна к последней. Например, пусть сторона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямого угла Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна горизонтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на рис. 160 плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для упрощения изображения проведена через параллельную ей сторону Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и принята за плоскость проекций Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач). Тогда вторая сторона Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямого угла является линией ската плоскости этого угла, и поэтому на виде сверху Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ( с м . гл. I, § 7, п. 1).

Имеет место и обратное положение, т. е. если хотя бы одна из сторон угла параллельна плоскости уровня и если соответствующий вид этого угла является прямым углом, то он и сам является прямым углом. Справедливость этого положения следует из того, что если Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 160), то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является линией ската плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ( с м . гл. I, § 7, п. 1) и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Покажем теперь, что если ни одна из сторон прямого угла не параллельна плоскости уровня, то его соответствующий вид не может быть прямым углом.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как ни одна из сторон прямого угла Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не параллельна плоскости уровня, то плоскость этого угла пересечет плоскость уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по некоторой прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В плоскости угла Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем линию ската Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, (рис. 161), тогда ее проекция Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет перпендикулярна Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. гл. I, § 7, п. 1) и, кроме того, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому если совместить Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, вращая его вокруг стороны Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то совмещение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вершины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется на продолжении отрезка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – тупой.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как условия перпендикулярности скрещивающихся прямых сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, проведенных через произвольную точку пространства и соответственно параллельных скрещивающимся прямым, то рассмотренные свойства ортогональной проекции прямого угла распространяются как на пересекающиеся, так и на скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые.

Обобщая указанные выше свойства, можно сформулировать следующее предложение: для того чтобы две данные взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) были перпендикулярны на каком-нибудь виде, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих прямых была бы параллельна, а вторая – не перпендикулярна соответствующей плоскости уровня.

Применяя полученный результат к прямым на комплексном чертеже, получим следующую формулировку.

Две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) тогда и только тогда сохраняют свою перпендикулярность на видах: сверху (рис. 162), спереди (рис. 163) или слева (рис. 164), когда, по крайней мере, одна из этих прямых соответственно является горизонталью, фронталью или профильной прямой.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перпендикулярность прямой и плоскости

Как известно, прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости. Поэтому если некоторая прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к какой-либо плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она перпендикулярна ко всякой горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и ко всякой фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой плоскости, т.е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 165). Эта перпендикулярность, как было установлено в п. 2, сохраняется для фронтали на виде спереди, а для горизонтали – на виде сверху.

Иначе говоря, если прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то на виде спереди Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде сверху Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Справедливо и обратное предложение: если на виде спереди прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна какой-либо фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде сверху она перпендикулярна любой горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В самом деле, из условий, что на виде спереди Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде сверху Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следует, ч то и в пространстве Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а это означает, что прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к двум прямым плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вобще м случае фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач какой-либо плоскости являются пересекающимися прямыми, поэтому прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будучи перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет перпендикулярна и к самой плоскости.

Однако у плоскости, перпендикулярной профильной плоскости, горизонталь и фронталь параллельны между собой. Прямая, перпендикулярная к такой плоскости, будет профильной прямой. В этом случае перпендикулярность прямой и плоскости устанавливается по перпендикулярности их видов слева. Аналогично прямая, перпендикулярная к наклонной или вертикальной плоскости, будет соответственно фронталью или горизонталью, и тогда перпендикулярность прямой и плоскости устанавливается по их перпендикулярности на виде спереди или на виде сверху. Таким образом, прямая и плоскость общего положения взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, когда прямая перпендикулярна на каждом виде соответствующим линиям уровня плоскости, т. е. на виде спереди – фронтали, а на виде сверху – горизонтали. Если плоскость перпендикулярна какой-либо плоскости уровня, то прямая, перпендикулярная к ней, будет линией уровня, и тогда их взаимная перпендикулярность сохраняется между вырожденным видом плоскости и соответствующим видом прямой.

Рассмотрим примеры построения прямой, перпендикулярной плоскости, и плоскости, перпендикулярной прямой.

Пример №45

Через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач провести прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к плоскости (рис. 166).

Решение:

Вначале строим в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольные фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим искомый перпендикуляр n на виде спереди – к фронтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на виде сверх у – к горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если точка, через которую требуется провести перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, находится вне плоскости, то построение перпендикуляра производится точно так же согласно условиям: Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху. При этом для определения основания этого перпендикуляра на плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно построить точку пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №46

Через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач провести плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 167).

Решение:

Проводим через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярные данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого из условий перпендикулярности должно быть так, что Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на виде спереди и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – на виде сверху. Искомая плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется двумя пересекающимися прямыми: фронталью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонталью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №47

Опустить перпендикуляр из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную профильной плоскости, и найти его натуральную величину (рис. 168).

Решение:

Так как данная плоскость перпендикулярна профильной плоскости, то на виде слева она имеет вырожденный вид. Поэтому можно использовать сохранение перпендикулярности между вырожденным видом плоскости и соответствующим видом искомого перпендикуляра. Построив на виде слева вырожденный вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а также точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно опустить перпендикуляр из этой точки на вырожденный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости. Получим искомый перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде слева, который определит и его натуральную величину. После этого легко построить перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сначала на виде спереди, а потом и на виде сверху.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Взаимная перпендикулярность плоскостей

Как известно, если две плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны, то каждая из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. Справедливо и обратное предложение, т. е. две плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Отсюда следуют два способа построения взаимно перпендикулярных плоскостей Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач: либо плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводится через прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо перпендикулярно прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащей плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (см. п. 3). Через произвольную точку пространства можно провести бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных к данной плоскости. Все эти плоскости будут проходить через перпендикуляр к данной плоскости, проведенный через данную точку. Поэтому для определенности решения необходимо иметь дополнительное условие.

Пример №48

Через прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач провести плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к данной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 169).

Решение:

Через произвольную точку 1 прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, для чего предварительно в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач строим произвольные фронталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем проводим на виде спереди Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и на виде сверху Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пересекающиеся прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют искомую плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Взаимная перпендикулярность прямых общего положения

В рассматривался вопрос о перпендикулярности таких прямых, из которых хотя бы одна являлась линией уровня. Теперь выясним этот вопрос в случае, когда обе прямые общего положения.

Так как прямой угол между прямыми общего положения искажается на обоих в и д а х , то перпендикулярность прямых общего положения приходится сводить к перпендикулярности прямой и плоскости. При этом используется известное положение, что две прямые перпендикулярны только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Пример №49

Из данной точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач опустить перпендикуляр на прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения.

Решение:

Если через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач провести вспомогательную плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 170а), затем построить точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и, наконец, соединить точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет перпендикулярна к прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как принадлежащая плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вспомогательную плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяем фронталью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонталью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенными через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, для чего проводим н а виде спереди Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и на виде сверхуНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 170б). Далее при помощи вспомогательной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, конкурирующей на вид спереди с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдем точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Соединив точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с точкой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим искомый перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

О преобразовании комплексного чертежа

Решение задач позиционного и, главным образом, метрического характера значительно облегчается, когда данные элементы располагаются на прямых или на плоскостях частного положения.

В связи с этим в технической практике при изображении какого-нибудь оригинала на комплексном чертеже предпочитают так располагать оригинал по отношению к стандартным плоскостям проекций, чтобы его наиболее важные элементы находились на прямых или плоскостях частного положения.

Разумеется, что не всегда удается выполнить это условие по отношению ко всем элементам оригинала. Тогда могут возникнуть задачи об измерении отрезков и углов, а также об определении натуральной формы плоских фигур тех элементов оригинала, которые расположены неудачно, т. е. элементов, расположенных на прямых или плоскостях общего положения.

Желание упростить решение указанных задач приводит к необходимости такого преобразования комплексного чертежа, при котором прямые и плоскости общего положения, содержащие интересующие нас элементы оригинала, перешли бы соответственно в прямые и плоскости частного положения. Такое преобразование комплексного чертежа может быть осуществлено двумя основными способами:

  1. способом дополнительных видов, при котором, оставляя неизменным положение оригинала в пространстве, вводят помимо стандартных видов виды по новым направлениям проецирования (виды по стрелке) так, чтобы интересующие нас прямые и плоскости оказались бы в частном положении относительно новых направлений проецирования ;
  2. способом вращения, при котором оставляют неизменной систему стандартных видов, а меняют положение оригинала в пространстве путем его вращения вокруг одной или последовательно вокруг двух подходящим образом выбранных осей так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости стали бы прямыми или плоскостями частного положения.

Способ дополнительных видов

Выше было показано построение дополнительных видов либо по направлению проецирования , параллельному фронтальной плоскости (см. рис. 20), либо по направлению, параллельному горизонтальной плоскости (см. рис . 21).

Однако иногда бывает необходимо построить дополнительный вид по направлению Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения. В этом случае приходится вначале строить дополнительный вид на плоскости проекций 7 по направлению какой-нибудь прямой уровня, например, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 171), перпендикулярной направлению Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В этом случае направление Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет направлением прямой уровня относительно плоскости проекций 7, и тогда можно будет построить дополнительный вид по этому направлению на плоскости проекций 8. Последовательное построение новых дополнительных видов 7, 8, 9, … позволяет получить такой вид оригинала, на котором будет удобно решать ту или иную задачу. При решении большинства задач приходится строить только один или последовательно только два дополнительных вида.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как было установлено ранее (см. гл. I, § 5, п. 4), если при построении первого дополнительного вида направление проецирования фронтально (рис. 20), то сохраняются глубины Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачточек относительно фронтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, отмеченной на чертеже знаком треугольника. Если же направление проецирования горизонтально (рис. 21), то сохраняются высоты Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точек относительно горизонтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, отмеченной на чертеже также знаком треугольника.

При последовательном построении двух дополнительных видов на плоскостях проекций 7 и 8 необходимо учитывать, что если при построении первого дополнительного вида на плоскости проекций 7 базовой плоскостью измерения расстояния точек является соответствующая плоскость уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то при построении второго дополнительного вида на плоскости проекции 8 базовой плоскостью измерения расстояний точек является плоскость , перпендикулярная одной из плоскостей проекции 1 или 2, т. е. наклонная или вертикальная плоскость.

В самом деле, базовая плоскость должна быть плоскостью уровня относительно плоскости проекций 7, а последняя перпендикулярна либо плоскости проекций 1, либо 2, поэтому и базовая плоскость будет перпендикулярна соответствующей плоскости проекций 1 или 2.

Последовательное построение двух дополнительных видов 7 и 8 точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач показано на рис. 172. При этом первый дополнительный вид 7 строится по горизонтальному направлению проецирования, а второй – вид 8 по направлению прямой уровня s относительно плоскости проекций 7.

При построении первого дополнительного вида сохраняется высота Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки относительно горизонтальной базовой плоскости, отмеченной на чертеже знаком треугольника. При построении второго дополнительного вида точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняется расстояние Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно вертикальной базовой плоскости, которую в отличие от первой базовой плоскости отмечаем на чертеже зачерненным треугольником. Для простоты изображения базы на виде сверху и первом дополнительном виде совмещены.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично выполняются все построения на комплексном чертеже и тогда, когда первый дополнительный вид на плоскости проекции 7 строится во фронтальном направлении, указанном первой стрелкой (рис. 173). В этом случае сохраняется глубинаНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно фронтальной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, отмеченной на чертеже знаком треугольника. Второй дополнительный вид на плоскости проекций 8 строится в направлении прямой уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскости проекций 7, указанном второй стрелкой. При построении точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует учесть сохранение расстояния точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно базовой плоскости, отмеченной на чертеже зачерненным треугольником. Базы на виде спереди и первом дополнительном виде на рис. 173 не совмещались.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные задачи, решаемые способом дополнительных видов

Рассмотрим четыре основные задачи, к которым сводится решение различных задач способом дополнительных видов .

Первая задача

Построить дополнительный натуральный вид данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения.

Чтобы получить натуральный вид данной прямой, надо сделать эту прямую прямой уровня, а для этого следует построить дополнительный вид прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению какой-нибудь прямой уровня, перпендикулярной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выберем горизонтальное направление проецирования, перпендикулярное данной прямой (это направление показано на рис. 174 стрелкой).

При этом проецировании сохраняются высоты точек относительно горизонтальной плоскости, отмеченной на рисунке знаком треугольника. Поэтому при выполнении построений на комплексном чертеже проводим в выбранном направлении, показанном стрелкой, новые линии связи через две произвольные точки 1 и 2 прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее проводим базы отсчета высот перпендикулярно к старым и новым линиям связи соответственно. Эти базы на рисунке отмечены знаком треугольника. При этом для удобства отсчета высот базовая плоскость проведена на уровне точки 1, поэтому высота этой точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, на новом виде точка 1 будет находиться на базе. Отложив на новой линии связи точки 2 от базы нового вида высоту Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой точки, получим точку 2 на новом виде. Проведя через точки 1 и 2 прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим новый вид этой прямой.

Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно соответствующей вертикальной плоскости будет прямой уровня.

На новом виде прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не искажается, а угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, образованный новым видом прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с базой этого вида, дает натуральный угол наклона прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонтальной плоскости.

Очевидно, что рассмотренную задачу можно решать и с помощью дополнительного вида, построенного по фронтальному направлению проецирования, перпендикулярному прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Соответствующие построения показаны на рис. 175. Новые линии связи здесь проводились в выбранном направлении проецирования, показанном стрелкой, через точки 1 и 2 прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На этих линиях связи строились точки 1 и 2 на новом виде так, чтобы их глубины относительно фронтальной базовой плоскости, отмеченной на чертеже знаком треугольника, не изменились. Прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно соответствующей наклонной плоскости будет прямой уровня, и поэтому на новом виде изобразится без искажения, а угол α, образованный ее новым видом, с базой этого вида дает натуральный угол наклона прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с фронтальной плоскостью.

Вторая задача

Построить дополнительный вырожденный вид данной прямой уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является горизонталью, то, построив ее дополнительный вид по направлению проецирования, совпадающему с направлением прямой, получим на дополнительном виде вырождение прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку. На комплексном чертеже (рис. 176) проводим новые линии связи через две произвольные точки 1 и 2 прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху в выбранном направлении, показанном стрелкой. Эти линии связи в данном случае совпадают на виде сверху с прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее для удобства отсчета высот проводим горизонтальную базовую плоскость на уровне данной горизонтали. На рисунке эта плоскость обозначена знаком треугольника. Так как высоты обеих точек 1 и 2 равны нулю, то на дополнительном виде эти точки расположатся на базе дополнительного вида. Таким образом, получаем дополнительный вырожденный вид прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если данная прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является фронталью, то для получения ее дополнительного вырожденного вида нужно применить фронтальное направление проецирования, при этом сохраняются глубины точек, определяющие прямую, относительно фронтальной базовой плоскости.

Для того чтобы построить дополнительный вырожденный вид прямой общего положения, нужно последовательно решить рассмотренные первую и вторую задачи.

Соответствующие построения на комплексном чертеже показаны на рис. 177. Вначале построен первый дополнительный вид по горизонтальному направлению проецирования , перпендикулярному прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это направление на рисунке показано первой стрелкой. При этом сохраняются высоты точек относительно горизонтальной плоскости, проведенной на уровне точки 1 и отмеченной на чертеже знаком треугольника.

Затем построен второй дополнительный вид по направлению проецирования, совпадающему с данной прямой. При этом сохраняются расстояния точек относительно вертикальной базовой плоскости, отмеченной на чертеже зачерненным треугольником и проведенной для простоты через прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В результате получим второй дополнительный вырожденный вид прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Третья задача

Построить дополнительный выр ожденный вид данной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения .

Если провести в данной плоскости какую-нибудь прямую уровня, например, горизонталь Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 178), то, построив дополнительный вид по направлению проецирования, параллельному этой горизонтали, получим на дополнительном виде вырождение горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку, а плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – в прямую.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На комплексном чертеже проводим новые линии связи через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху в направлении горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, показанном стрелкой. Далее проводим горизонтальную базовую плоскость на уровне горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и отмечаем ее на рисунке знаком треугольника. На соответствующих новых линиях связи строим точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на дополнительном виде так, чтобы их высоты относительно базовой плоскости не изменились. При этом, так как точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находится над горизонтальной базовой плоскостью, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – под ней и, как говорят, на виде спереди точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена в сторону своего вида, а точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – чужого вида (вида сверху), то и на дополнительном виде точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач должны располагаться от базы в сторону своего (дополнительного) вида и чужого вида (вида сверху). На дополнительном виде точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на одной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , которая и будет вырожденным видом плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Угол β, образованный вырожденным видом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с базой отсчета на дополнительном виде, дает натуральный угол наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонтальной плоскости.

Аналогично можно определить и угол наклона плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к фронтальной плоскости, только тогда нужно построить дополнительный вид по направлению проецирования, параллельному фронтали плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Четвертая задача

Построить натуральный вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно какой-нибудь плоскости уровня.

Пусть плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна горизонтальной плоскости (рис. 179), т. е. будет вертикальной плоскостью. Построим ее дополнительный натуральный вид по направлению горизонтали, перпендикулярной плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы решить эту задачу, на комплексном чертеже проводим новые линии связи через точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху в направлении, показанном на чертеже стрелкой.

Затем принимаем за базовую горизонтальную плоскость, отмеченную на чертеже знаком треугольника и проведенную на уровне самой низкой точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда высота этой точки будет равна нулю. Измерив на виде спереди от базы этого вида высоты данных точек, отложив их от базы дополнительного вида на соответствующих новых линиях связи, получим точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на дополнительном виде.

На дополнительном виде треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, определяющий плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, дает натуральный вид этого треугольника.

Если данная плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет наклонной, то для построения ее натурального вида нужно построить ее дополнительный вид по фронтальному направлению проецирования, перпендикулярному плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для того чтобы построить натуральный вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения, нужно последовательно решить рассмотренные третью и четвертую задачи. Соответствующие построения на комплексном чертеже показаны на рис. 180. Вначале построен первый дополнительный вид по направлению проецирования, параллельному горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Б. Это направление на чертеже показано стрелкой.

При этом сохраняются высоты точек относительно горизонтальной плоскости, проведенной на уровне горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и показанной на рисунке знаком треугольника. Затем построен второй дополнительный вид по направлению проецирования, перпендикулярному плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и показанному на рисунке второй стрелкой. При этом сохраняются расстояния точек относительно второй вертикальной базовой плоскости, проведенной через точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и отмеченной на чертеже зачерненным треугольником. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет плоскостью уровня относительно второй дополнительной плоскости проекций, поэтому второй дополнительный вид дает натуральный вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит, треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом виде будет натуральным видом этого треугольника.

Рассмотрим ряд примеров, решение которых сводится к решению указанных четырех основных задач.

Пример №50

Из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач опустить перпендикуляр на прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения (рис. 181).

Решение:

Если сделать прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой уровня, построив дополнительный вид по горизонтальному направлению проецирования, перпендикулярному прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. первую основную задачу), то нетрудно провести искомый перпендикуляр, так как перпендикулярность к прямой уровня сохранится на дополнительном виде. Поэтому, опустив на дополнительном виде из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикуляр на прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим искомый перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом виде. Теперь легко построить этот перпендикуляр на видах сверху и спереди (сравнить указанное решение с решением, приведенным на рис. 170). Натуральную величину перпендикуляра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти способом прямоугольного треугольника.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №51

Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение:

Среди бесчисленного множества прямых, перпендикулярных к двум данным скрещивающимся прямым, имеется только один общий перпендикуляр, пересекающий данные прямые. Отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 182а) между точками пересечения этого перпендикуляра с данными прямыми является кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Если спроецировать прямые Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к одной из данных прямых, например, к прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то эта прямая спроецируется в точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Общий перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будучи перпендикулярен к прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет прямой уровня по отношению к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому прямой угол между прямыми Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач спроецируется на эту плоскость также в прямой угол, т. е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а сам отрезок спроецируется без искажения, т. е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, для решения этого примера нужно для одной из данных прямых, например, прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, построить вырожденный вид (см.первую и вторую основные задачи). Прежде всего определяем прямую а двумя точками 1 и 2, а прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – точками 3 и 4, выбранными для простоты построения так, что на виде спереди 1 = 3, а на виде сверху 2 = 4 (рис. 182б). Теперь построим дополнительный вид по горизонтальному направлению проецирования, перпендикулярному прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и показанному на рисунке первой стрелкой.

Тогда получим натуральный вид прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. первую основную задачу). Затем построим второй дополнительный вид по направлению прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, показанному на рисунке второй стрелкой. На этом виде прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выродится в точку (см. вторую основную задачу). Опустив перпендикуляр на втором дополнительном виде из точки, в которую выродилась прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим общий перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач скрещивающихся прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, который определяет натуральную величину кратчайшего расстояния между этими прямыми.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построения перпендикуляра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на видах сверху и спереди находим сначала на первом дополнительном виде точку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем проводим [KL] перпендикулярно прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 182а, б). Теперь уже нетрудно построить искомый перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на видах сверху и спереди.

Пример №52

Из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач опустить перпендикуляр на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения.

Решение:

Если спроецировать плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то эта плоскость спроецируется в прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 183а).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, опущенный из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет линией уровня по отношению к плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому перпендикуляр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач спроецируется на плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач без искажения, т. е. Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, для решения данного примера нужно построить дополнительный вырожденный вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. третью основную задачу). За направление проецирования выбираем направление какой-либо горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 183б). Тогда на дополнительном виде получим вырожденный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Опустив из точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на дополнительном виде перпендикуляр на вырожденный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим искомый перпендикуляр на этом виде, который определяет натуральную величину перпендикуляра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На виде сверху проводим Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для построения перпендикуляра Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде спереди определяем его основание Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач из условия сохранения высоты точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при построении дополнительного вида. Для контроля точности построения точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на видах сверху и спереди проверяем принадлежность точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример №53

Построить сечение и натуральный вид сечения пирамиды Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения (рис. 184).

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение:

Искомое сечение можно построить, определяя ве ршины сечения как точки пересечения ребер пирамиды с данной плоскостью общего положения. Но так как кроме сечения требуется построить и его натуральный вид, то целесообразно использовать способ дополнительных видов. Сначала следует построить вырожденный вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. третью основную задачу), а затем дополнительный натуральный вид этой плоскости (см. четвертую основную задачу). Тогда виды сверху и спереди сечения проще построить после получения вырожденного вида плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решение данного примера сводится к последовательному применению третьей и четвертой основных задач.

Сначала построим по направлению горизонтали Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дополнительный вырожденный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной плоскости. Одновременно с этим построим дополнительный вид и данной пирамиды. Тогда на дополнительном виде легко построить сечение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, отмечая точки пересечения плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с ребрами пирамиды. После этого можно построить искомое сечение на видах сверху и спереди. Затем построим второй дополнительный натуральный вид плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на котором получим и натуральный вид Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачискомого сечения.

Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной плоскости уровня

Как уже указывалось выше, при применении способа вращения направления проецирования оригинала остаются неизменными, а изменяется положение оригинала в пространстве, что достигается вращением его вокруг некоторой оси. В качестве оси вращения обычно выбирают прямую, перпендикулярную какой-нибудь плоскости уровня, или прямую уровня, так как построения, выполняемые на комплексном чертеже при вращении вокруг этих прямых, значительно проще построений при вращении вокруг прямой общего положения. Если же требуется произвести вращение оригинала вокруг оси, являющейся прямой общего положения, то с помощью построения дополнительных видов сводят это вращение к вращению вокруг прямой, перпендикулярной плоскости уровня относительно одной из новых плоскостей проекций. После выполнения вращения на дополнительных видах возвращают полученные результаты на виды спереди и сверху.

При выполнении вращения вокруг какой-либо оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует помнить, что вращающаяся точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач описывает окружность, расположенную в плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной оси вращения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 185). Центр Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этой окружности является основанием перпендикуляра, опущенного из вращаемой точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось вращения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, или, иначе, точкой пересечения с осью вращения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой вращается точка. Совершенно очевидно, что все точки оригинала при его вращении вокруг оси поворачиваются на один и тот же угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Исключение составляют те точки оригинала, которые расположены на оси вращения; эти точки при вращении остаются неподвижными.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вращение точки вокруг прямой, перпендикулярной плоскости уровня

Пусть дана какая-нибудь точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая вращается вокруг вертикальной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Плоскость Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач описывает окружность, будучи перпендикулярной к вертикальной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет горизонтальной плоскостью уровня (рис. 186 а). Окружность с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которую при вращении описывает точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, изображается на виде сверху без искажения, а на виде спереди – в виде отрезка прямой, перпендикулярной линиям связи. Для упрощения наглядного изображения на рис. 186а плоскость 2 совмещена с горизонтальной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на рис. 187а плоскость 1 совмещена с фронтальной плоскостью Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для примера выполним поворот точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на некоторый угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению, противоположному движению часовой стрелки (если смотреть сверху, рис. 186б). Для этого проводим на виде сверху окружность с центром в точке Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Затем о ткладываем угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, учитывая указанное направление вращения. Получаем новое положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху. На виде спереди новое положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определится на вырожденном виде Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой происходит вращение точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если точка Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости, то она опишет окружность во фронтальной плоскости уровня Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 187а). Эта окружность изобразится без искажения на виде спереди, а на виде сверху она изобразится в виде отрезка прямой, перпендикулярной линиям связи.

На рис. 187б осуществлен поворот точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной фронтальной плоскости на угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению движения часовой стрелки.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной (горизонтальной) плоскости, точка на виде спереди (сверху) перемещается по окружности, а на виде сверху (спереди) – попрямой, перпендикулярной линиям связи.

Вращение прямой линии

Так как прямая линия определяется двумя своими точками, то вращение прямой сводится к вращению точек, определяющих прямую.

Пусть, например, требуется повернуть прямую общего положения вокруг вертикальной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению, противоположному движению часовой стрелки (рис. 188).

Выбрав на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач две произвольные точки 1 и 2, повернем их вокруг оси Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на один и тот же угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по заданному направлению вращения (на виде сверху хордаНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть равна хорде между точками, отмеченными крестиками). Новые положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точек 1 и 2 определят новое положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач после ее поворота на угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в данном направлении. Рассматривая на виде сверху треугольники Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, замечаем, что стороны Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач первого треугольника соответственно равны сторонам Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач второго треугольника, углы, заключенные между этими сторонами, также равны. Поэтому Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и, значит, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом , при вращении на один и тот же угол двух точек вокруг вертикальной прямой расстояние между ними на виде сверху остается неизменным.

Очевидно, что при вращении вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости, остается неизменным расстояние между точками на виде спереди.

Эти свойства позволяют несколько упростить построение нового положения прямой после ее поворота. Поворот прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг вертикальной прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению, противоположному движению часовой стрелки, выполнен с применением упрощенных построений на рис. 189. Так же, как и раньше, прямая Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определена двумя точками. При этом точка 1 выбрана произвольно на прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , а точка 2 является основанием общего перпендикуляра прямых Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точка 2 повернута вокруг прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в заданном направлении. После этого через новое положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки 2 на виде сверху проводим перпендикулярно к отрезку Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач новое положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом виде. Так как отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при вращении не меняет своей длины, то откладываем на Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезок Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, чем определяется новое положение Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки 1 на виде сверху. По точкам Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на виде сверху находим эти точки на виде спереди. Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют прямую Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в новом положении Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вращение плоскости

Так как плоскость определяется тремя своими точками, не лежащими на одной прямой, то вращение плоскости сводится к вращению этих точек. Пусть, например, требуется повернуть плоскостьНачертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач общего положения вокруг прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной фронтальной плоскости на угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению движения часовой стрелки (рис. 190).

Повернув точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , определяющие данную плоскость, на один и тот же угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по заданному направлению вращения (на виде спереди хорда Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть равна хорде между точками, отмеченными черточками, и хорде между точками, отмеченными крестиками), получим новые положения Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данных точек. Точки Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют новое положение плоскости после ее поворота вокруг прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в заданном направлении. Так как н а виде с п е р е ди треугольник Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняет свою величину при вращении вокруг прямой Начертательная геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярной фронтальной плоскости , то можно сначала повернуть одну из сторон треугольника приемом, указанным на рис. 189, тем самым найдутся новые положения двух вершин треугольника. Тогда новое положение третьей вершины можно найти из условия, что на виде спереди