Перпендикулярность геометрических объектов в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Проецирование прямого угла:

В общем случае плоский угол проецируется на плоскость проекций с искажением.  

Теорема о проецировании прямого угла:

Прямой угол на плоскость проекций проецируется без искажения, если, по крайней мере, один из его лучей параллелен этой плоскости проекций.

Пусть прямые

1) 

2) 

3) 

Все прямые, лежащие в плоскости  на горизонтальную плоскость проекций проецируются перпендикулярно следу плоскости

Линия наибольшего наклона плоскости

Прямая, лежащая в плоскости и образующая с плоскостью проекций наибольший угол, называется линией наибольшего наклона плоскости.

Линии наибольшего наклона перпендикулярны к соответствующим линиям уровня.

Угол между линией наибольшего наклона и плоскостью проекций равен углу наклона самой плоскости к этой плоскости проекций. Поэтому с помощью этой линии определяют двухгранные углы между заданной плоскостью и соответствующими плоскостями проекций.

Теорема:

Прямые, лежащие в плоскости и перпендикулярные соответствующим линиям уровня плоскости, являются линиями наибольшего наклона..

Возьмем плоскость общего положения  наклоненную под углом  к горизонтальной плоскости проекций  Проведем в ней горизонталь h и две линии общего положения – прямую АВ, перпендикулярную горизонтали, и произвольно наклоненную прямую АС.

В результате построений угол  прямой. Линию АВ повернем вокруг проецирующего луча  до совмещения с плоскостью угла  Из рисунка видно, что  Значит прямая АВ наклонена к плоскости проекций  под большим углом. Поэтому именно она называется линией наибольшего наклона.

Пример: Определить действительную величину угла наклона плоскости  к горизонтальной плоскости проекций.

Аналогично находятся углы наклона плоскости к фронтальной и профильной плоскостям проекций: л.н.н. к фронтальной плоскости проекций перпендикулярна фронтали плоскости, а л.н.н. к профильной плоскости проекций – профильной прямой плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Из курса элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Но, исходя из теоремы о проецировании прямого угла, перпендикуляр, проведенный к прямым общего положения, на КЧ проецируется с искажением. Поэтому применительно к начертательной геометрии признак перпендикулярности прямой и плоскости формулируется следующим образом:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся линиям уровня этой плоскости.

Это связано с тем, что только к линиям уровня на плоскостях проекций можно построить прямой угол без искажения (см. § 4.1). В качестве линий уровня плоскости, при решении задач на перпендикулярность геометрических объектов, обычно выбирают горизонталь и фронталь. Возьмем плоскость общего положения  и проведем в ней горизонталь и фронталь. Затем из точки пересечения линий уровня плоскости восстановим перпендикуляр АК.

На основании теоремы о проецировании прямого угла горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости общего положения на КЧ располагается перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а, следовательно, и к ее горизонтальному следу, а фронтальная проекция перпендикуляра – фронтальной проекции фронтали и фронтальному следу.

Пример: Из точки А провести перпендикуляр к плоскости  и найти его основание.

• Заказать чертежи

Перпендикулярность плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей:

Плоскость перпендикулярна другой, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости.

Итак, зная, как располагаются проекции прямой, перпендикулярной плоскости, легко строить взаимно-перпендикулярные плоскости. Исходя их признака перпендикулярности плоскостей можно:

1. построить перпендикуляр к заданной плоскости и через него провести искомую плоскости или
2. в заданной плоскости взять прямую и перпендикулярно ей провести искомую плоскость.

В любом из этих случаев задача будет иметь бесчисленное множество решений, если на искомую плоскость не наложены дополнительные условия. Рассмотрим два примера построения перпендикулярных плоскостей.

Пример: Через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости 

Новая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых отвечает условию перпендикулярности плоскостей (прямая  в зависимости от выбора второй прямой, искомая плоскость может занимать различное положение в пространстве. В данном случае прямая  - профильно- проецирующая, следовательно, сама плоскость является профильно- проецирующей плоскостью.