Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здравствуйте, данная страница содержит полный курс лекций по предмету "Математический анализ". В курс лекций входят все темы по математическому анализу и излагаются они в сокращенном виде. Основные понятия и теоремы, предоставлены с доказательствами, рассматривается большое количество примеров с решением и задач и заданий которые бывают на экзаменах. Лекции по математическому анализу могут быть полезны при изучении всеми специальностями ВУЗов.

Эта страница по математическому анализу состоит из семи глав. В первую главу вошли понятия функции, предела функции, непрерывности, а также дифференциальное исчисление функции одного переменного и его приложения к исследованию функций. Во второй и третьей главах излагаются основы интегрального исчисления. Даются основные приемы интегрирования, а также определенный интеграл и его приложения и несобственный интеграл. Четвертая глава посвящена функциям нескольких переменных: частные производные, дифференциал, производная по направлению, локальный и условный экстремум, метод наименьших квадратов. В пятой главе рассматривается кратный интеграл и его приложения. В шестой главе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Седьмая глава посвящена изучению числовых и степенных рядов.

Содержание:

Список обозначений и сокращений

  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — открытый промежуток или интервал
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — замкнутый промежуток или отрезок
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — для любого (для любых)
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — существует
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — для такого, что (для таких, что)
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач следует
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — тогда и только тогда
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — принадлежит
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — содержится
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — объединение
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — пересечение
  • Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечность

Дифференциальное исчисление функций одного переменного

Понятие функции, предел функции

Напомним понятия интервала и отрезка на числовой прямой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.1.1. Интервалом Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество всех действительных чисел, заключенных между данными числами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, при этом сами эти числа не принадлежат рассматриваемому множеству чисел.

Определение 1.1.2. Отрезком Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется множество всех действительных чисел, заключенных между данными числами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем оба числа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат рассматриваемому множеству чисел.

Определение 1.1.3. Окрестностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется произвольный интервал, содержащий эту точку.

Сформулируем определение понятия числовой функции.

Определение 1.1.4. Если каждой точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащей некоторому множеству Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач из Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует одно значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что у есть функция от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.1.5. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ограниченной на некотором множестве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если существует константа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предел функции

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена в некоторой окрестности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(за исключением может быть самой точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Определение 1.1.6. Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется пределом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любого положительного числа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач существует положительное число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что для всех Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющих неравенству Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Символически это определение записывается следующим образом: Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется пределом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел функции обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.1.7. Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется пределом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в бесконечности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот предел обозначается следующим образом Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дадим определения односторонних пределов функции в точке.

Определение 1.1.8. Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется пределом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач слева в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.1.9. Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется пределом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач справа в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим следующее свойство предела функции.

Теорема 1.1.1. Если существует конечный предел функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция ограничена в некоторой окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Зафиксируем некотороеМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда но определению предела найдется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для всех Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач из Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачв этой окрестности, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — ограничена.

Теоремы о пределах

Сформулируем теорему об основных свойствах пределов функции в точке и в бесконечности.

Теорема 1.1.2 (Арифметические операции над пределами). Если существуют Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то существуют

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы. Остальные доказываются аналогично. Зафиксируем некоторое Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из существования пределов функций Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач следует выполнение следующих утверждений:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такое, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда для всех Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющих условию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет выполняться

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Что и доказывает первое утверждение теоремы.

Пример 1.1.1.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.2.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.1.3. Если существуютМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и в некоторой окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тo Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Из неравенства Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возьмем произвольное Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда из определения предела функции следует, что для этого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично для этого же Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Что и доказывает утверждение теоремы.

Теорема 1.1.4. Если существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, в некоторой окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.1.5. Если существуют Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач иМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предел числовой последовательности

Определение 1.1.10. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, или если каждому натуральному числу Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач поставлено в соответствие некоторое действительное число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что задана числовая последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть даны две числовые последовательности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда определены сумма последовательностей — Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, разность — Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, произведение — Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и частное — Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Дадим некоторые определения, касающиеся числовых последовательностей.

Определение 1.1.11. Числовая последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ограниченной сверху, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и числовая последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ограниченной снизу, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Определение 1.1.12. Числовая последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется монотонно возрастающей, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Числовая последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется монотонно убывающей, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.1.3.

Последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является ограниченной и монотонно убывающей, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.1.4.

Последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является ограниченной последовательностью, но не является монотонной.

Пример 1.1.5.

Последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является монотонно возрастающей и ограниченной снизу последовательностью.

Определение 1.1.13. Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется пределом числовой последовательности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. начиная с некоторого номера Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач все члены последовательности попадают в Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Числовая последовательность имеющая предел называется сходящейся.

Теорема 1.1.6. Монотонно возрастающая, ограниченная сверху (или монотонно убывающая, ограниченная снизу) числовая последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет предел, т.е. она сходится.

Теоремы 1.1.2-1.1.5 верны и для числовых последовательностей.

Пример 1.1.6.

Так как числовая последовательность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является монотонно убывающей и ограниченной, то она имеет предел. Очевидно, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.1.7.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.8.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечательные пределы

1. Докажем первый замечательный предел:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть значение центрального угла Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построим вспомогательный прямоугольный треугольник Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис.1.1).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда высота Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в треугольнике Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, дуга Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и сторона Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значения этих площадей:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из предыдущего неравенства получим: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим это неравенство почленно на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то но теореме 1.1.3 получим, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично доказывается более общий случай первого замечательного предела, где вместо Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стоит произвольная функция, стремящаяся к нулю:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.9.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.10.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.11.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Приведем без доказательства второй замечательный предел:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и в более общей форме

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.12.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.13.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.14.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.15.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем второй замечательный предел в логарифмической форме

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложные проценты

Показательная функция с основанием Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возникает при выводе количественных законов, которым подчиняются многие естественные процессы: рост народонаселения, рост количества древесины, радиоактивный распад. Рассмотрим формулу сложных процентов

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — сумма, наращенная за Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач лет, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная сумма, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — процентная такса (прирост суммы в процентах за год). При этом предполагается, что проценты присоединяются в конце года.

Если ввести условие присоединение процентов но отдельным частям года, например, равным Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач доли года, а процентную таксу относить ко всему году, то но истечении каждой его части наращенные суммы соответственно составят:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

По прошествии года начальная сумма Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач перейдет в Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач но прошествии двух лет в Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, но прошествии Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач лет в Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если предположить, что прирост процентов происходит непрерывно, т.е. когда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то величина наращенной суммы будет

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.1.16.

Найти приблизительное количество населения Земли в 2000 году, предполагая, что в 1900 году население было около 1 миллиарда человек и ежегодный прирост составлял 2%.

Имеем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Это означает, что в 2000 году население Земли составит около 7 миллиардов человек.

Бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых

Определение 1.2.1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечно малой при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечно малой при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.2.1.

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно малая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.2.2.

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно малая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Докажем следующую теорему о существовании предела функции в точке.

Теорема 1.2.1. Для того, чтобы функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имела предел при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равный Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо и достаточно, чтобы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция бесконечно малая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1. Достаточность. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач покажем, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и но определению бесконечно малой функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а это и означает, что существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Необходимость. Наоборот, пусть существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а это значит, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малая функция при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Дадим определение бесконечно большой функции.

Определение 1.2.2. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечно большой при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично, функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечно большой при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

Теорема 1.2.2. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно малая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функцияМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно большая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обратно.

Доказательство. Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда следует, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Теорема 1.2.3. Сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Докажем эту теорему для случая двух функций. Пусть функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, покажем, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Зафиксируем некоторое Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда для

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих двух утверждений мы получаем, что для произвольного

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Что и доказывает теорему.

Теорема 1.2.4. Произведение любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Доказательство этой теоремы очевидно.

Теорема 1.2.5. Произведение бесконечно малой функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченную при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, есть функция бесконечно малая при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Из ограниченности функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возьмем произвольное Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда из бесконечной малости функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда для этого

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следствие 1.2.1. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.2.6. Частное бесконечно малой функции и функции, имеющей предел отличный от нуля при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть функция бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых

Определение 1.2.3. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малые при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то бесконечно малые Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называются бесконечно малыми одного порядка при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.2.3.

Функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малые одного порядка при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.2.4. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малые при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то бесконечно малая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечно малой более высокого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. А Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечно малой более низкого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.2.4.

Рассмотрим функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малая более высокого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.2.5. Бесконечно малая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется бесконечно малой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка относительно бесконечно малой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно малые одного порядка, т.е. если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.5.

Рассмотрим функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть бесконечно малая 3 порядка относительно Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.2.6. Бесконечно малые Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называются эквивалентными бесконечно малыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.6.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.7.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.8.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.9.

1 Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.10.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.2.7. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — эквивалентные бесконечно малые при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малая более высокого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. И обратно, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть бесконечно малая более высокого порядка чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентно Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1. Предположим, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно малая более высокого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда легко получить,что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Обратно. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малая более высокого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично доказывается и для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следствие 1.2.2. Сумма конечного числа бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой самого низкого порядка малости из всех слагаемых.

Пример 1.2.11.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малая более низкого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.2.12.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — бесконечно малая более низкого порядка чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.2.13.

Рассмотрим бесконечно малые Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично доказывается и для бесконечно малой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.2.8. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существует и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры вычисления пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых.

Пример 1.2.14.

Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.2.15.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.2.16.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач следующие функции эквивалентны:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена в окрестности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.3.1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется непрерывной в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.3.1.

Покажем, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в произвольной точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда вытекает, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в произвольной точке области определения.

Определение 1.3.2. Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена на множестве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена на множестве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда говорят, что задана сложная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предложение 1.3.1. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Таким образом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и т.д. непрерывны в каждой точке области определения.

Теорема 1.3.1. Если функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в соответствующей точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то сложная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы. Пусть функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда существуют Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. По теореме 1.1.2 имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.3.2.

Используя эту теорему, а также предложение 3.1 легко показать, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в каждой точке из области определения.

Определение 1.3.3. Всякая функция непрерывная в каждой точке области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется непрерывной в этой области (непрерывной на этом интервале).

Пример 1.3.3.

Рассмотрим функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Она непрерывна на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.3.4. Если существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна слева в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то говорят, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна справа в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Дадим определение функции непрерывной на отрезке.

Определение 1.3.5. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и непрерывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач справа, а в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — слева, то говорят, что она непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Предложение 1.3.2. Для того, чтобы функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач была непрерывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Без доказательства.

Точки разрыва

Определение 1.3.6. Рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

  1. в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не определена или
  2. не существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или
  3. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или
  4. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то говорят, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим следующие примеры функций, разрывных в точке.

Пример 1.3.4.

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.3.5.

Функция

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

разрывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.3.6.

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, a Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.3.7. Если существуют конечные пределы функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач справа и слева в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и либо

  1. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо
  2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, но функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не определена в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

то говорят, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрыв I рода (конечный разрыв).

В противном случае, т.е. если хотя бы один предел равен бесконечности или не существует, то говорят, что точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачточка разрыва II рода.

В примерах 1.3.4 и 1.3.6 функции имели разрыв II рода, а в примере 1.3.5 функция имела разрыв I рода.

Пример 1.3.7.

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, она не определена в 0, но Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка разрыва I рода.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Дадим без доказательства теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1.3.2. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она ограничена на нем. То есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.3.3. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на нем. То есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.3.4. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется точка, в которой функция равна нулю. То есть пусть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.3.5. Непрерывная на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями на этом отрезке. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьшее и наибольшее значения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная функции

Пусть дана функцияМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.4.1. Производной данной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач но аргументу Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется предел отношения приращения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к приращению аргумента Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда последний стремится к нулю, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Попользуются следующие обозначения для производной функции:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение некоторой материальной точки. Пусть в некоторый начальный момент времени Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние точки от начала отсчета было Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда за время Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точка пройдет расстояние Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Средняя скорость движения точки будет Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда мгновенная скорость движения точки будет определяться как предел средней скорости движения точки при условии, что приращение времени стремится к нулю:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, механический смысл производной заключается в том, что она является мгновенной скоростью любого движения.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(см. рис. 1.2.). На этом графике возьмем две точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем секущую Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач через точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если при неограниченном приближении точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется касательной к кривой в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим угол наклона с положительным направлением оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач касательной через Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а секущей через Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Устремим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач но кривой к точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда секущая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач устремится к касательной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а угол Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к углу Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Очевидно, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда но определению производной получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, значение производной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при данном значении Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач касательной к графику функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в соответствующей точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируемость функций

Определение 1.4.2. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то будем говорить, что при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция дифференцируема.

Определение 1.4.3. Если существует, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то он называется левой производной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то он называется правой производной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.4.4. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема в каждой точке интервала Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференцируема справа в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и слева в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она называется дифференцируемой на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.4.1. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. По определению производной

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда но теореме 1.2.1 будем иметь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом мы получили, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обратное неверно, т.е. из непрерывности функции в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не следует ее дифференцируемость в этой точке. Приведем пример подтверждающий это.

Пример 1.4.1.

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Легко найти, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит у данной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует производной в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, хотя она непрерывна в этой точке.

Теорема 1.4.2. Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является существование пределов:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производные элементарных функций

Пример 1.4.2.

Покажем, что производная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.3.

Аналогично предыдущему примеру легко получить, что производная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.4.

Покажем, что производная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таблица производных основных элементарных функций

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная постоянной, суммы, произведения и частного функций

Теорема 1.4.3. Производная константы равна нулю.

Доказательство. Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.4.4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Для этой функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.4.5. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Доказательство. Рассмотрим случай суммы двух функций. Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.5.

Пусть функция

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.4.6. Производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции на вторую функцию и производной второй функцию на первую, т.е. если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.4.7. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат второй функции, а числитель есть разность между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, т.е. если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта теорема доказывается аналогично предыдущей.

Пример 1.4.6.

Найдем производную функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме 1.2.1 получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.4.8. Производная сложной функции равна произведению производной данной функции но промежуточному аргументу на производную этого промежуточного аргумента но переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при соответствующем значении Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то сложная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач производную, которая равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Рассмотрим сложную функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют производную в точках х и и, соответственно, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные функции и поэтому, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то но теореме 1.2.1 имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит и при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда легко получить, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.7.

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда следует, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.8.

Рассмотрим функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Не будем как в предыдущем примере вводить промежуточные функции, вычислим производную этой функции сразу, используя правило дифференцирования сложной функции и теоремы об арифметических операциях над производной. Тогда получим, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная неявной функции

Неявные функции задаются уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Примером неявной функции может служить уравнение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим правило дифференцирования неявной функции: дифференцируем обе части уравнения, считая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функцией от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции. Получим уравнение, из которого можно выразить Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.9.

Рассмотрим неявную функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Продифференцируем обе части этого уравнения, считая у функцией от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.10.

Найдем производную показательной функции. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возьмем производную от обеих частей

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логарифмическая производная

Рассмотрим показательно-степенную функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.4.9. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Прологарифмируем обе части функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем производную от обеих частей

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.11.

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прологарифмируем ее и возьмем производную от обеих частей, получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная обратной функции

Рассмотрим строго возрастающую (строго убывающую) функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то для строго возрастающей функции будет выполняться Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а для строго убывающей— Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Другими словами различным значениям аргумента Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствуют различные значения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что можно задать функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая называется обратной к функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.4.10. Если строго возрастающая или убывающая функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то определена и непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, обратная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Без доказательства.

Докажем теорему о производной обратной функции.

Теорема 1.4.11. Если для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач существует обратная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая в точке у имеет производную Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную равную

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

в соответствующей точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Рассмотрим приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующее ему приращение функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.12.

Найдем производную функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как обратной функцией для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тоМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.13.

Аналогично получим производную функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим функцию, заданную параметрически

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют производные и, кроме того, функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет обратную Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая также имеет производную. Тогда, определенную параметрическим уравнением (1.1), функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать как сложную функцию: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач— промежуточный аргумент. Тогда но правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку но теореме о производной обратной функции выполняется

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

То мы получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.4.14.

Рассмотрим параметрическую функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциал

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач существует

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.5.1. Для того, чтобы функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач была дифференцируема в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо и достаточно, чтобы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при фиксированном Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда но теореме 1.2.1

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при фиксированном Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Достаточность. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, покажем, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет производную в фиксированной точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Что вносит основной вклад в приращение функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач? Рассмотрим первое слагаемое в Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. В общем случае почти всегдаМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть бесконечно малая 1 порядка но сравнению с Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим второе слагаемое. Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачто поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть величина более высокого порядка малости но сравнению с Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно при фиксированном Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, основной вклад в Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вносит первый член Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.5.1. Выражение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, называемое главной линейной частью приращения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и называют дифференциалом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.5.1.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и следовательно Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — независимое переменное. Отсюда получаем выражение для дифференциала функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть производная Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Рассмотрим примеры вычисления дифференциала функции.

Пример 1.5.2.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.5.3.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства дифференциала

Поскольку дифференциал функции это производная функции умноженная на дифференциал независимого переменного, то все свойства производной переносятся и на дифференциал. Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 1.5.2. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференцируемые функции, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Докажем второе утверждение теоремы. Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачтак как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.5.4.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.5.5.

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциал сложной функции

Рассмотрим сложную функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то естьМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда но определению дифференциала имеем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но поскольку производная сложной функции равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя равенство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы 1 дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее график. Проведем в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач касательную к этой кривой. Возьмем на графике точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(см.рис. 1.3). Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, мы получили

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.5.2. Дифференциал функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответствующий данным значениям точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и приращения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, равен приращению ординаты касательной к кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Рассмотрим приращение функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентные бесконечно малые при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

при достаточно малых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это и есть формула приближенного вычисления значения функции.

Пример 1.5.6.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, найти приближенно значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Возьмем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле приближенного вычисления имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому мы получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.5.7.

Найти приближенно значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач зависят от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть производная Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть опять функция от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому ее также можно дифференцировать.

Определение 1.6.1. Производная от первой производной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется производной второго порядка или второй производной, то есть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначения второй производной: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.6.1.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.6.2. Производной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется производная от производной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка и обозначается Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.6.2.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.6.1. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз дифференцируемые функции, тогда

1. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(.формула Лейбница).

Доказательство. Докажем второе утверждение теоремы но индукции. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть утверждение теоремы выполняется для производной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка, докажем, что оно верно и для порядка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом утверждение теоремы верно.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируемая функция, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.6.3. Дифференциал от первого дифференциала функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вторым дифференциалом этой функции и обозначают

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем выражение для второго дифференциала функции.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно дать определение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференциала функции. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.6.3.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем второй дифференциал Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач этой функции. Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неинвариантность формы второго дифференциала

Дифференциал функции второго и более высокого порядков свойством инвариантности не обладает. Покажем это. Пусть дана сложная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Второй дифференциал функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач как функции независимого переменного Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем второй дифференциал этой же функции как функции зависимого переменного Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — зависит от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, мы видим, что форма или вид второго дифференциала сложной функции не обладает свойством инвариантности.

Высшие производные неявной и параметрической функций

Правило. Чтобы найти вторую производную неявной функции, нужно выражение для первой производной еще раз продифференцировать но Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, считая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функциями от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и выразить из него Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.6.4.

Найдем вторую производную функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возьмем первую производную, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим функцию, заданную параметрически:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то мы можем рассмотреть новую параметрическую функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда но правилу дифференцирования параметрической функции, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получаются формулы для нахождения второй производной параметрической функции:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач илиМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приложение дифференциального исчисления

Теоремы о среднем

Теорема 1.7.1 (Ролля). Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Так как функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то но теореме 1.3.3 она достигает на этом отрезке своего наибольшего Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и наименьшего Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач значений.

  1. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. И поэтому теорема доказана.
  2. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то одно из значений Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач достигается внутри отрезка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть на интервале. Будем считать, что это значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку теперь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач это наибольшее значение, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачдля любых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существуют

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание 1.7.1. Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на графике функции, в которой касательная параллельна оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не обязательно равное 0 (см.рис. 1.4).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.7.2 (Лагранжа). Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрический смысл теоремы (см. рис. 1.5.).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть тангенс угла наклона хорды, соединяющей точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на графике функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. А Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку но теореме Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то это значит, что найдется точка с такая, что касательная в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна хорде, проходящей через точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Введем функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая равна разности значений функции в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующего значения на хорде. Очевидно, что эта функция непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И теорема доказана.

Теорема 1.7.3 (Коши). Если функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференцируемы на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то найдется точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Без доказательства.

Правило Лопиталя

Теорема 1.7.4 (Неопределенность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач) Пусть функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференцируемы на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда если существует предел

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то существует и предел

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Возьмем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Применим теорему Коши к функциям Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим, что существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то существует и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И теорема доказана.

Замечание 1.7.2. Точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть равна и бесконечности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание 1.7.3. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют условиям теоремы, наложенным на функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

то применяя правило Лопиталя к отношению Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, приходим к формуле

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И т. д.

Пример 1.7.1.

Рассмотрим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.7.5 (Неопределенность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач) Пусть функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны и дифференцируемы при всех Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и существует

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Без доказательства.

Пример 1.7.2.

Вычислим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.7.3.

Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

К предыдущим случаям сводятся неопределенности вида:

1). Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, 2). Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, 3). Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, 4). Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, 5). Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1. Рассмотрим неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

По правилу Лопиталя получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Рассмотрим неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прологарифмируем функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющую неопределенность указанного вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющую неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Рассмотрим неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прологарифмируем функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющую неопределенность указанного вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющую неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Рассмотрим неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прологарифмируем функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющую неопределенность указанного вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач получим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеющую неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Рассмотрим неопределенность вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем считать, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя правило Лопиталя, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.7.4.

Вычислим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Прологарифмируем эту функцию получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула Тейлора

Формула Тейлора позволяет решать проблему приближенного вычисления значения функции, путем замены самой функции более простой функцией, в некотором смысле близкой к данной функции. В случае формулы Тейлора этой вспомогательной функцией является многочлен.

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз дифференцируема. Найдем многочлен Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач степени не выше Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, значение которого в некоторой точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равны значению функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и все производные до порядка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и многочлена Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач также совпадают:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем искать многочлен Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

но степеням Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определим коэффициенты в (1.3) так, чтобы выполнялись условия (1.2). Найдем производные многочлена Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя условия (1.2) и подставляя в (1.4) Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя (1.5) в (1.3), получим выражение для многочлена Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Определение 1.8.1. Многочлен

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется многочленом Тейлора функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.8.2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — называется остаточным членом между функцией Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее многочленом Тейлора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — достаточно мал, то многочлен Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач приближает функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (достаточно близок к ней). Оценим остаток Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.8.1 (Формула Тейлора). Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз дифференцируема в некоторой окрестности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда найдется точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Остаточный член в форме Лагранжа.)

Доказательство. Чтобы доказать формулу Тейлора, надо найти такую точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, чтобы выполнялось условие (1.7). Зафиксируем точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Запишем остаточный член в виде

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и найдем функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Введем вспомогательную функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — фиксированное, a Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференцируема пo Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференцируема Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз и тогда каждый член в (1.8) имеет хотя бы одну производную. Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Видно, что все слагаемые кроме двух последних сокращаются.

Покажем, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Действительно,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

в силу (1.2),

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

в виду (1.6).

Тогда но теореме Ролля, существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя это, мы получим остаточный член в форме Лагранжа:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И теорема доказана.

Запишем остаточный член в форме Лагранжа в другом виде. Пусть точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Остаточный член также можно получить и в форме Коши:Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1.8.3. Формулой Тейлора функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется формула

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем формулу Лагранжа.

Определение 1.8.4. Если в формуле Тейлора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получаем формулу Маклорена для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложение функций но формуле Маклорена

1. Найдем разложение но формуле Маклорена для функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому формула Маклорена для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач но этой формуле можно приближенно вычислять значение числа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Покажем, что в формуле (1.9) остаток Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого числа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Зафиксируем некоторое Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. В остатке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при фиксированном Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сомножитель Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому осталось показать, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторое натуральное число. Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Оценим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как 0 < q < 1.

Следовательно, функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач можно приближать многочленом Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач с любой степенью точности для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя это, можно написать разложение Маклорена для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то, аналогично предыдущему, легко показать, что для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 1.8.1.

Найдем приближенно значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач с точностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Возьмем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оценим ошибку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Аналогично предыдущему пункту напишем формулу Маклорена для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И также мы получаем, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Напишем формулу Маклорена для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач легко получить, что остаток Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому он стремиться к Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

5. Напишем формулу Маклорена для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — действительное число:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач получим формулу бинома Ньютона:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что в этой формуле при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стоит биномиальный коэффициент Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно написать и более общий вид предыдущей формулы: (а + х)п = a" (l + " =

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций

Напомним определение возрастающей и убывающей функции на отрезке:

функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает (убывает) на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач таких, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1.9.1. 1. (Необходимость) Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и возрастает на нем, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. (Достаточность) Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач].

Доказательство. 1. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, докажем, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на нем.

Рассмотрим выражение

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда но теореме 1.4

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, докажем, что функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает.

Возьмем произвольные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такие, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. К функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач применим теорему Лагранжа на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим, что существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что выполняется

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как но условию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и поэтому функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Сформулируем аналогичную теорему для убывающей функции

Теорема 1.9.2. 1. (Необходимость) Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и убывает на нем, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2.(Достаточность) Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференцируема на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Максимум и минимум функций

Определение 1.9.1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет максимум (max), т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любых достаточно малых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет минимум (min,), т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любых достаточно малых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1.9.1. Максимумы и минимумы не обязательно наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Максимумы и минимумы определяются в достаточно малой окрестности точки.

Определение 1.9.2. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами или экстремальными значениями функции.

Теорема 1.9.3 (Необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — максимум или минимум, то производная в этой точке обращается в ноль, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач у функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет максимум, тогда для достаточно малых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда но теореме 1.4, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично теорема доказывается и для минимума функции.

Замечание 1.9.2. Обратное неверно. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то отсюда не следует, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — экстремальная точка.

Пример 1.9.1.

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. В точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач производная этой функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, но эта точка не является экстремальной для этой функции.

Замечание 1.9.3. Экстремум функции может существовать и в тех точках, в которых производная этой функции не существует.

Пример 1.9.2.

Примером такой функции может служить функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая имеет минимум в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, но не дифференцируема в этой точке.

Определение 1.9.3. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует, называются критическими точками функции.

Теорема 1.9.4 (Достаточное условие существования экстремума). Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — критическая точка и пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема во всех точках этого интервала за исключением быть может точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если при переходе через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач слева направо производная меняет знак с Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка максимума (max), если меняет знак с Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка минимума (min).

Доказательство. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Покажем, что в этой точке у функции будет максимум. Имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теорему Лагранжа на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и значит Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и значит Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда но определениюМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка максимума.

Аналогично доказывается и для точки минимума.

Схема исследования функции на экстремум, возрастание и убывание.

  1. Находим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Находим критические точки: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует.
  3. Определяем интервала знакопостоянства Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и экстремальные точки.
  4. Вычисляем значения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в экстремальных точках.

Пример 1.9.3.

Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1. Найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Найдем критические точки:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Заполним таблицу:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Найдем экстремальные значения функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

Сформулируем теорему, которая позволяет исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

Теорема 1.9.5. Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет max, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и функция имеет min, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Докажем первую часть теоремы.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то найдется достаточно малый интервал Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, содержащий точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, в котором Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но тогда функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач убывает на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что первая производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому у функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач максимум.

Аналогично теорема доказывается и для точки минимума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, поэтому рассмотрим схему нахождения этих значений.

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  1. Находим все критические точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащие отрезку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Находим значение функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в этих точках.
  3. Находим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Находим наибольшее и наименьшее среди всех найденных значений.

Пример 1.9.4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1. Найдем критические точки:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих критических точек отрезку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба

Рассмотрим кривую Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, являющуюся графиком дифференцируемой функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 1.10.1. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх, на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Говорят, что кривая обращена выпуклостью вниз, на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз — вогнутой.

Теорема 1.10.1 (Достаточное условие). Если на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вторая производная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач отрицательна, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то кривая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выпукла на этом интервале, т.е. обращена выпуклостью вверх.

Доказательство. Пусть точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем касательную к кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Надо показать, что все точки кривой лежат ниже этой касательной, т.е. что ордината любой точки кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше ордината Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач касательной при одном и том же значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(см.рис. 1.6).

Напишем уравнение касательной к кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычтем из уравнения кривой почленно уравнение касательной, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теорему Лагранжа к функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

К первой производной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач опять применим теорему Лагранжа на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку но условию теоремы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то в (1.10) получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть теперь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому теперь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку, по-прежнему, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то в (1.10) опять получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, мы получили, что ордината любой точки кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше ординаты Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач касательной при одном и том же Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. А значит касательная лежит выше кривой и она выпукла вверх.

Теорема 1.10.2. Если на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вторая производная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач положительна, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то кривая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вогнута на этом интервале.

Точки перегиба

Определение 1.10.2. Точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется точкой перегиба кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если существует окрестность точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

Замечание 1.10.1. Заметим, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 1.10.3 (Необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки с и график функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет перегиб в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Предположим, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и пусть для определенности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, в силу непрерывности функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, найдется достаточно малая окрестность точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому но теореме 10.1, кривая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет выпукла на этом интервале, что противоречит условию теоремы. Аналогично теорема доказывается в случае, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.10.4 (Достаточное условие существования точки перегиба). Пусть кривая определяется уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или не существует и при переходе через значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вторая производная Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач меняет знак, то точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка перегиба.

Доказательство очевидно.

Асимптоты кривой. Полное исследование функции

Определение 1.11.1. Прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется асимптотой кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если расстояние Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от переменной точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач кривой до этой прямой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, при удалении точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач но кривой в бесконечность, стремиться к нулю.

Вертикальные асимптоты

Предложение 1.11.1. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикальная асимптота кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда либо Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и обратно, если выполняется одно из написанных равенств, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикальная асимптота.

Пример 1.11.1.

Найти вертикальные асимптоты функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты

Будем считать в дальнейшем, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, аналогичные утверждения справедливы и для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Лемма 1.11.1. Для того, чтобы прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач была наклонной асимптотой к графику функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо и достаточно чтобы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач наклонная асимптота к графику функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (см.рис. 1.7).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка кривой, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние до асимптоты. Тогда но условию теоремы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач нo Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда но теореме 1.2.1

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Наоборот, пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач— асимптота к графику кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 1.11.1. Для того, чтобы график функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имел наклонную асимптоту Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Необходимость. Пусть график функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач наклонную асимптоту Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда но лемме 10.1 для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо представление Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используя это представление, легко получить, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Достаточность. Пусть существуют пределы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго предела но теореме 1.2.1 следует, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и но лемме 10.1 отсюда следует, что прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная асимптота к графику функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Полное исследование функции

Схема исследования функции:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти область изменения функции (по возможности).
  3. Найти нули функции.
  4. Определить четность, нечетность функции.
  5. Определить периодичность функции.
  6. Исследовать на непрерывность и точки разрыва.
  7. Исследовать на возрастание, убывание и точки экстремума.
  8. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
  9. Найти вертикальные и наклонные асимптоты.
  10. Нарисовать график функции.

Пример 1.11.2.

Провести полное исследование и нарисовать график функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Область определения: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Область изменения: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Функция ни четная, ни нечетная, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Функция не периодическая.

6. Функция непрерывна при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач как частное двух элементарных функций. Рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка разрыва II рода.

7. Найдем первую производную данной функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем критические точки

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заполним таблицу

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем минимальное значение функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

8. Найдем вторую производную данной функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем критические точки

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — не существуетМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заполним таблицу

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем значение функции в точке перегиба

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

9. Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка разрыва второго рода с бесконечными пределами, то прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты этой кривой

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — горизонтальная асимптота данной кривой.

4 + х

10. Нарисуем график кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1.11.3.

Исследовать функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и построить ее график.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Область определения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Область изменения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Функция в ноль не обращается.

4. Функция четная, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

5. Функция не периодическая.

6. Функция непрерывна при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач как сложная функция элементарных функций.

Рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка разрыва II рода.

Теперь рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка разрыва II рода.

7. Найдем первую производную этой функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем критический точки, где производная равна нулю или не существует:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заполним таблицу

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем максимальное значение функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

8. Найдем вторую производную данной функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем критические точки второй производной

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заполним таблицу

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем значение функции в точках перегиба

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

9. Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки разрыва второго рода с бесконечным разрывом, то прямые Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальные асимптоты данной кривой.

Найдем наклонные асимптоты этой кривой

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — горизонтальная асимптота функции.

10. Построим график этой функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неопределенный интеграл

Первообразная, ее свойства

Определение 2.1.1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется первообразной от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (отрезкеМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач), если для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач - первообразная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 2.1.1. Любые две первообразные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач отличаются друг от друга на константу, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет теореме Лагранжа, поэтому для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Неопределенный интеграл

Определение 2.1.2. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является первообразной для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная константа, называется неопределенным интегралом от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь символ Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — знак интеграла; Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — подынтегральная функция; Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — подынтегральное выражение.

Неопределенный интеграл существует не для всех функций, но есть класс функций, который можно интегрировать всегда — это непрерывные функции.

Теорема 2.1.2. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то для нее существует на этом отрезке первообразная, а значит неопределенный интеграл.

Рассмотрим элементарные свойства неопределенного интеграла.

Теорема 2.1.3. (Элементарные свойства неопределенного интеграла)

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Самостоятельно.

Поскольку для сложной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется свойство инвариантности формы первого дифференциала Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то таблицу неопределенных интегралов мы запишем в более общем виде, когда аргументом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет являться функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая, в частности, может быть равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таблица неопределенных интегралов

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства неопределенного интеграла

Теорема 2.1.4. Справедливы следующие соотношения:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Докажем первое и третье утверждения. Второе доказывается аналогично. По первому элементарному свойству имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку равны правые части этих выражений, то равны и левые. Значит, первое утверждение верно.

Докажем третье утверждение

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И теорема доказана.

Рассмотрим вычисление некоторых интегралов.

Пример 2.1.1.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.2.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.3.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод непосредственного интегрирования

Рассмотрим метод непосредственного интегрирования или метод внесения функции под знак дифференциала. Будем использовать определение дифференциала функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем использование этого приема на примерах.

Пример 2.1.4.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.5.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.6.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замена переменной в неопределенном интеграле

1. Рассмотрим первый тип замены в неопределенном интеграле. Пусть дан интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и мы хотим сделать в этом интеграле замену Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывно дифференцируема и имеет обратную функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, что это равенство верно. Действительно,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

аналогично

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку правые части равны, то равны и левые.

Пример 2.1.7.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.8.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Второй тип замены в неопределенном интеграле — это, по сути, метод непосредственного интегрирования, рассмотренный выше. А именно: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.9.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.10.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.11.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование по частям

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывно дифференцируемые функции. Тогда дифференциал произведения этих функций равен Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проинтегрировав это равенство, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее равенство есть формула интегрирования по частям. Она применяется, если интеграл в правой части является либо табличным, либо вычисляется проще интеграла в левой части.

Рассмотрим основные типы неопределенных интегралов, которые вычисляются по частям. Отметим, что есть еще и другие интегралы, которые берутся по частям.

Обозначим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

многочлен степени Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее интегрируем по частям еще Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее интегрируем по частям еще Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее интегрируем по частям еще Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее интеграл в правой части еще раз берется по частям, и мы приходим к исходному интегралу. Перенося его в левую часть, решаем уравнение относительно этого интеграла.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее поступаем как в предыдущем примере.

Рассмотрим некоторые примеры вычисления интегралов по частям.

Пример 2.1.12.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.13.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.1.14.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь перенесем интеграл из правой части равенства в левую, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Или, окончательно,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим пример, который не относится к приведенным выше типам интегралов.

Пример 2.1.15.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование рациональных функций

Определение 2.2.1. Функция вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — многочлены степени Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, называется рациональной функцией или рациональной дробью.

Определение 2.2.2. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и называется неправильной, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, мы можем представить эту дробь в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение 2.2.3. Рациональные дроби вида:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

называются простейшими рациональными дробями.

Рассмотрим интегрирование всех четырех типов этих дробей.

1. Рассмотрим первый тип дробей

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Рассмотрим второй тип дробей

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Третий тип дробей разобьем на два случая. При интегрирование в знаменателе будем выделять полный квадрат.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во втором случае также выделим полный квадрат, сделаем аналогичную замену переменной и разделим интеграл на два.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Рассмотрим последний тип простейших дробей. Аналогично третьему случаю выделим полный квадрат в знаменателе и сделаем такую же замену переменной:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оставшийся интеграл со степенью в знаменателе на 1 меньше вычисляется аналогично исходному интегралу, постепенно мы дойдем до интеграла, у которого знаменатель будет в первой степени.

Рассмотрим примеры вычисления интегралов от простейших рациональных дробей третьего и четвертого типа.

Пример 2.2.1.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.2.2.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование рациональных дробей

Теорема 2.2.1. Любой многочлен Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разлагается на произведение линейных множителей вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и квадратных трехчленов с отрицательным дискриминантом вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2.2.2. Правильная рациональная дробь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, может быть представлена в виде суммы простейших дробей, причем

  • множителю Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует дробь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,
  • множителю Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует сумма Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дробей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • множителю Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует дробь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • множителю Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует сумма Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дробей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коэффициенты Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся no методу неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

  • (1) Разлагаем правильную дробь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами, получим равенство вида (2.1).
  • (2) Приводим правую часть равенства (2.1) к общему знаменателю.
  • (3) Числитель полученной дроби приравниваем к числителю Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим тождество.
  • (4) Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в левой и правой частях полученного тождества, получим систему уравнений для определения неопределенных коэффициентов.
  • (5) Решая эту систему, найдем все неопределенные коэффициенты.

Рассмотрим пример разложения дроби по методу неопределенных коэффициентов на простейшие дроби.

Пример 2.2.3.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравняем числители исходной и полученной дробей

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим систему

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находить неопределенные коэффициенты можно приравнивая не только коэффициенты при одинаковых степенях Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач левой и правой частей последнего тождества в пункте 3, но и значения левой и правой частей этого тождества при одинаковых значениях Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этим удобно пользоваться, если у знаменателя исходной дроби есть действительные корни. Рассмотрим следующий пример.

Пример 2.2.4.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — это корни знаменателя и еще, например, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Схема интегрирования рациональной дроби

Пусть нам дан интеграл от рациональной функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • (1) Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. дробь неправильная, то выделить целую часть: Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • (2) Разложить знаменатель Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на линейные множители и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом.
  • (3) Дробь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разложить на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.
  • (4) Найти эти неопределенные коэффициенты по методу неопределенных коэффициентов.
  • (5) Проинтегрировать функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и полученные простейшие дроби.

Пример 2.2.5.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку исходная дробь неправильная, то выделим целую часть:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разложим дробь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на простейшие:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вычислим исходный интеграл:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.2.6.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку рациональная дробь правильная и квадратный трехчлен в знаменателе имеет отрицательный дискриминант, то исходная дробь раскладывается на простейшие следующим образом:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравняем числители этих дробей:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим систему

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, найдем коэффициенты Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогдаМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим некоторые типы интегралов от тригонометрических выражений. Пусть в дальнейшем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональная функция двух переменных.

I. Рассмотрим интеграл первого типа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не удовлетворяет никаким специальным условиям, то делают универсальную тригонометрическую подстановку:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и мы получили интеграл от рациональной функции. Далее он решается стандартным методом.

Пример 2.3.1.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим частные случаи интеграла первого типа.

1. Пусть исходная рациональная функция нечетна по функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда в интеграле делается следующая замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Пусть исходная рациональная функция нечетна по функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда в интеграле делается следующая замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Пусть исходная рациональная функция четна по функциям Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда в интеграле делается следующая замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.3.2.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подынтегральная функция нечетна no Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.3.3.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подынтегральная функция четна по функциям Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно, так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

II. Рассмотрим интеграл второго типа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — целые числа.

1. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное число, то в интеграле делается замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — нечетное число, то в интеграле делается замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное отрицательное число, то в интеграле делается замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — неотрицательные числа и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число, то применяются формулы понижения степени:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.3.4.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подынтегральная функция удовлетворяет условию, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач четное отрицательное число. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.3.5.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подынтегральная функция удовлетворяет условию, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — неотрицательные числа и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — четное число. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

III. Рассмотрим интеграл третьего типа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональные числа. В этом интеграле тогда делают замену

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта замена приводит к довольно сложным интегралам от иррациональных выражений.

IV. Рассмотрим интегралы четвертого типа.

1.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.3.6.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим первую подстановку:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование иррациональных функций

I. В первом типе интегралов рассмотрим три случая.

1. Рассмотрим интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — символ рациональной функции. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий знаменатель дробей —Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда в интеграле делается замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Рассмотрим интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Делаем следующую замену:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий знаменатель дробей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Рассмотрим интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и в нем делаем следующую замену:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий знаменатель дробей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры.

Пример 2.4.1.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это интеграл первого типа, общий знаменатель Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дробей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 4, поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.4.2.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

II. Второй тип интегралов — это интегралы от дифференциального бинома вида

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — рациональные числа. Этот интеграл вычисляется только в трех случаях.

1. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, то в интеграле делается следующая замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий знаменатель дробей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, то в интеграле делается замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — знаменатель Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — целое число, то в интеграле делается замена:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — знаменатель Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 2.4.3.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

III. Рассмотрим два вида интегралов третьего типа.

1. Рассмотрим интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выделим в знаменателе полный квадрат

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда в исходном интеграле делается следующая замена

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Рассмотрим интеграл второго вида:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот интеграл с помощью замены сводится к интегралу предыдущего типа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.4.4.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.4.5.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

IV. Рассмотрим интегралы четвертого типа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — символ рациональной функции.

В этом интеграле аналогично предыдущему пункту выделяется полный квадрат:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы эти интегралы вычислить, применяются следующие тригонометрические замены.

1. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.4.6.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2.4.7.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определенный интеграл и его приложения. Несобственный интеграл

Вычисление площади плоской фигуры

Зададим на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач неотрицательную непрерывную функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, осью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислить эту площадь (рис. 3.1). Произведем разбиение отрезка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач частей

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выберем на каждом полученном отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольную точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вычислим значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и составим сумму

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая называется интегральной суммой. Сумма Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна сумме площадей прямоугольников с основанием Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Будем все Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стремить к нулю так, чтобы max Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если при этом величина Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к определенному пределу, то этот предел Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется площадью фигуры

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

II. Работа.

Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой оси переменная сила Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть непрерывная функция от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — абсциссы движущейся точки. Работа силы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при передвижении точки от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где разбиение отрезка и выбор точек происходит как в предыдущем пункте.

III. Масса стержня переменной плотности.

Будем считать, что отрезок Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет массу с переменной плотностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывная на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция. Общая масса этого стержня равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где разбиение отрезка и выбор точек происходит аналогично.

Понятие определенного интеграла

Во всех предыдущих задачах мы пришли к понятию интегральной суммы. Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

  1. Разобьем отрезок Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач частей:
  2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Вычислим длину каждого отрезка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Возьмем произвольную точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Вычислим значение функции в этих точках Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  6. Составим интегральную сумму

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.1.1. Если при любых разбиениях отрезка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач частей, таких, что max Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и при любом выборе точек Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач интегральная сумма Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к одному и тому же пределу Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то этот предел называют определенным интегралом от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называют нижним пределом интеграла, а Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — верхним пределом интеграла.

Определение 3.1.2. Если для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач предел (3.1) существует, то функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называют интегрируемой на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 3.1.1. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она ограничена на нем.

Сформулируем основную теорему для класса интегрируемых функций.

Теорема 3.1.2. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она интегрируема на этом отрезке.

Из этих двух теорем видно, что класс функций, ограниченных на отрезке, шире класса интегрируемых функций, а этот класс, в свою очередь, шире класса непрерывных функций.

Основные свойства определенного интеграла

Теорема 3.1.3. Пусть функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрируемы на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда:

  1. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Докажем четвертое утверждение этой теоремы, остальные доказываются аналогично. По определению определенного интеграла имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Утверждение 1 последней теоремы говорит о том, что при перемене пределов интегрирования в определенном интеграле надо сменить знак перед интегралом, свойство 3 — о том, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, а последнее утверждение — о том, что определенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов от каждой функции.

Теорема 3.1.4. Если на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют условию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Рассмотрим разность интегралов

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку по условию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то каждое слагаемое суммы неотрицательно. Тогда неотрицательна и вся сумма, отсюда следует, что и предел есть величина неотрицательная, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Что и доказывает теорему.

Теорема 3.1.5. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьшее и наибольшее значения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. По условию теоремы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда по теореме 1.4 имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то мы получаем нужное неравенство.

Теорема 3.1.6 (Теорема о среднем).Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то на этом отрезке найдется такая точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она достигает на нем своего наименьшего Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и наибольшего Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач значений. По теореме 1.5 имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, отсюда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим, поэтому существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.1.7. Для любых трех чисел Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

если эти три интеграла существуют.

Доказательство. Рассмотрим только случай Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Составим интегральную сумму для функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то будем считать, что точка с принадлежит каждому разбиению. Всю интегральную сумму разобьем на две суммы: сумму, соответствующую отрезку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и сумму, соответствующую отрезку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переходя к пределу при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим нужное равенство.

Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Пусть на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана интегрируемая функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заметим, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, будем в интеграле Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач менять верхний предел, получим функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то значение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач численно равно площади криволинейной трапеции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.2).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.2.1. (Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу). Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывная функция на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.)

Доказательство. По определению производной мы должны получить

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дадим аргументу Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теорему о среднем к Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отметим, что при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

поскольку функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Мы получили, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следствие 3.2.1. Из теоремы 3.2.1 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Доказательство. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по теореме 3.1.2 она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач а значит, существует функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по теореме 3.2.1 Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть первообразная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 3.2.2. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть какая-либо первообразная от непрерывной на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то справедлива формула

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторая первообразная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. По теореме 3.2.1 функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть также первообразная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство справедливо для всех Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Положим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И теорема доказана.

Введем обозначения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.2.1.

Вычислим определенный интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.2.2.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.2.3.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.2.4.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3.2.3. Пусть дан интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и выполняется

  1. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,
  3. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач первообразная функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле замены переменной в неопределенном интеграле имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

а

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как равны правые части двух последних равенств, то равны и левые. Теорема доказана.

Пример 3.2.5.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.2.6.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 3.2.4. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывно дифференцируемые функции на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Для дифференцируемых функций справедливо равенство

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проинтегрируем обе части этого равенства на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то мы получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.2.7.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.2.8.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

1. Пусть на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана непрерывная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.3). Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, осью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда площадь криволинейной трапеции будет равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. В случае, когда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач конечное число раз меняет знак на отрезкеМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, будет состоять из суммы интегралов, взятых со знаком Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на соответствующем отрезке, и со знаком Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на соответствующем отрезке. Например, площадь может быть равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач положительна на отрезках Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и отрицательна на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 3.3.1.

Вычислить площадь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры, ограниченной кривыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.4). Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.5). Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.2.

Найти площадь фигуры (рис. 3.6), ограниченной кривыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем точки пересечения кривых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

Пусть криволинейная трапеция ограничена замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть эта параметрическая функция определяет явную функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.3.

Найти площадь фигуры (рис. 3.7), ограниченной одной аркой циклоиды

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и прямой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

Полярная система координат задается началом координат — точкой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и полярной полуосью, выходящей из точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Координаты точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости задаются длиной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса-вектора и углом наклона Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса- вектора к полярной оси. Рассмотрим кривую, заданную непрерывной функцией Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в полярной системе координат.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем площадь криволинейного сектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченного кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиус-векторами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.8).

  1. Разобьем данный сектор радиус-векторами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач углы между радиус-векторами.
  3. Возьмем угол Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Вычислим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач длину радиус-вектора, соответствующего углу Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Вычислим площадь кругового сектора с радиусом Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и центральным углом Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. Составим интегральную сумму

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая дает площадь ступенчатого сектора.

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная функция, то существует предел интегральной суммы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, площадь криволинейного сектора равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.9). Эта фигура — двухлепестковая роза, площадь будем искать по наименьшей симметричной части. ТогдаМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина дуги кривой

Найдем длину дуги кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в прямоугольных координатах. Пусть кривая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана функцией Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, непрерывно дифференцируемой на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.10).

1. Возьмем разбиение отрезка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач частей точками

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

им соответствуют точки на кривой

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Проведем хорды Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Длины этих хорд обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3. Найдем длину ломаной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.3.1. Длиной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дуги кривой называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.3.1. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывно дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то предел (3.2) существует и длина дуги кривой равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Введем обозначения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда по теореме Пифагора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по теореме Лагранжа имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывная функция, то предел интегральных сумм Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач существует и

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.5.

Найти длину дуги полукубической параболы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от начала координат до точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.11). Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Пусть задана кривая

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывно дифференцируемы на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на этом отрезке. Найдем длину дуги этой кривой:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.6.

Найти длину дуги одной арки циклоиды (рис. 3.7)

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда длина дуги равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина дуги кривой в полярных координатах

Пусть задана кривая в полярной системе координат Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда в параметрическом виде кривая будет задаваться уравнениями

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем формулу длины дуги в полярной системе координат

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.7.

Найти длину кардиоиды Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построим эту кривую (рис. 3.12). Найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисление объема тел по площадям параллельных сечений

Пусть есть тело Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и известна площадь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.13) Эта площадь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет зависеть от координаты Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывная функция на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вычислим интегральную сумму.

  1. Проведем плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти плоскости разобьют тело Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на слои.
  2. Выберем точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Вычислим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Построим цилиндры: с основанием, являющимся сечением тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, плоскостью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Найдем объем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндра Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  6. Найдем объем всех цилиндров Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывная функция, то существует предел интегральных сумм Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и он равен объему тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объем тела вращения

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим тело Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, образованное вращением вокруг оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейной трапеции, ограниченной кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.14). Тогда произвольное сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, есть круг, и его площадь будет равна

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому объем тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.3.8.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составлением специальной интегральной суммы можно получить объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая ограничена кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а именно,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна на луче Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и является непрерывной функцией на этом промежутке.

Определение 3.4.1. Если существует конечный предел

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то он называется несобственным интегралом от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (несобственным интегралом первого типа) и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично определяются несобственные интегралы:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.4.2. Если конечный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, если конечный предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда несобственный интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выражает площадь неограниченной фигуры, задаваемой кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.15)

Пример 3.4.1.

Исследовать на сходимость интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому данный интеграл сходится.

Пример 3.4.2.

Исследовать на сходимость интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим случай, когда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому данный интеграл расходится при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и сходится при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 3.4.3.

Исследовать на сходимость

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то данный интеграл сходится.

Теорема 3.4.1. Если для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач также сходится и выполняется неравенство

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Поскольку для определенного интеграла верно неравенство

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то, применяя предельный переход, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.4.4.

Исследовать на сходимость интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. И поскольку интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

сходится, то сходится и исходный интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.4.2. Если для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится, то интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач также расходится.

Пример 3.4.5.

Исследовать на сходимость интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

расходится, то и исходный интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится.

Теорема 3.4.3. Если интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то сходится и интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3.4.3. Если интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется абсолютно сходящимся.

Пример 3.4.6.

Исследовать на сходимость интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то сходится интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а поэтому исходный интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится абсолютно.

Несобственный интеграл от неограниченной функции

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна на интервале Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция либо разрывна, либо не определена. Тогда определенный интеграл на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач может не существовать.

Определение 3.4.4. Если существует конечный предел

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то он называется несобственным интегралом (несобственным интегралом второго типа) от разрывной в точке с функции и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если конечный предел существует, то интеграл от разрывной функции называется сходящимся, в противном случае называется расходящимся. Аналогично даются определения: если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.4.7.

Исследовать на сходимость интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Особенность подынтегральной функции в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, данный интеграл сходится.

Пример 3.4.8.

Исследовать на сходимость интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку особенность подынтегральной функции в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для несобственных интегралов второго типа верны теоремы о сравнении, как и для интегралов первого типа.

Теорема 3.4.4. Если на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывны в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачи интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то сходится и интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.4.5. Если на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функцииМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывны в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачи интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач расходится, то расходится и интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3.4.6. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разрывна в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, то сходится и интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 3.4.9.

Исследовать на сходимость интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай, когда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случай, когда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому данный интеграл сходится при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и расходится при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 3.4.10.

Исследовать на сходимость интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку для Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется неравенство

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

а интеграл Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится, так как Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то исходный интеграл также сходится.

Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных, предел функции нескольких переменных

Рассмотрим пространство Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.1.1. Если каждой точке (вектору) Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащей некоторому множеству Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, соответствует определенное действительное число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то будем называть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач— функцией Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и писать Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — модуль вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.1.2. Окрестностью точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будем называть множество Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач— это Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач-мерный шар радиуса Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

На плоскости окрестность точки — это открытый круг, в пространстве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — шар без границы.

В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и функции трех переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.1.3. Под областью на плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будем понимать часть плоскости, ограниченной линиями.

Определение 4.1.4. Линия, ограничивающая область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, называется границей этой области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек называется открытой. Если к области относится граница, то область называется замкнутой.

В открытую область каждая точка входит с некоторой своей окрестностью.

Определение 4.1.5. Область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется ограниченной, если найдется такое число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, что для любой точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично, для пространства Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач под областью будем понимать некоторое тело, ограниченное поверхностями.

Определение 4.1.6. Совокупность точек Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, для которых определяется значение функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, называется областью определения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрическое изображение функции 2-х переменных

Графиком функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является некоторая поверхность в пространстве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это точки с координатами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.1.1.

Например, графиком функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач является эллиптический параболоид (см. рис. 4.1).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частное и полное приращения функции нескольких переменных

На примере функции двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрим понятия частного и полного приращения функции нескольких переменных. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задает поверхность в Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит этой поверхности.

Рассмотрим пересечение поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящую через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(см. рис. 4.2). В пересечении получим кривую Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. На этой кривой изменяется только переменное Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Дадим этому переменному приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач получит приращение

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

называемое частным приращением по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, дав переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим частное приращение по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если одновременно дать приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим полное приращение

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично дается определение частного и полного приращений для функции нескольких переменных, например, частное приращение по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где все переменные, кроме Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач-ого, равны константам. Полное приращение есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел функции нескольких переменных

Пусть дана функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. И пусть точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач-окрестность точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.1.7. Число Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется пределом функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стремящемся произвольным образом к Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольным образом, оставаясь в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачприращение переменного Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.1.8. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется непрерывной в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

  1. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольным образом, оставаясь в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач либо
  2. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо
  3. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то все Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, если все Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.1.9. Точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется точкой разрыва функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

  1. функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не определена в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо
  2. функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, но не существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, либо
  3. функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и существует Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области

Теорема 4.1.1. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значений, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4.1.2. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач наибольшее и наименьшее значения этой функции в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то для любого числа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такого, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 4.1.3. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и принимает в ней как положительные, так и отрицательные значения, то найдется точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Частные производные функции нескольких переменных

Рассмотрим понятие частных производных на примере функции двух переменных.

Определение 4.2.1. Частной производной по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется предел отношения частного приращения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к приращению Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другие обозначения для частной производной по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частная производная по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется в предположении, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.2.2. Частной производной по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется предел отношения частного приращения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к приращению Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, когда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другие обозначения для частной производной по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частная производная по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется в предположении, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.2.1.

Найти частные производные функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.2.2.

Найти частные производные функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частные производные функции большего числа переменных определяются аналогично. Например, частная производная по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции трех переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется в предположение, что два других переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач константы.

Пример 4.2.3.

Найти все частные производные функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрическая интерпретация частных производных

Пусть дана функция двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задающая некоторую поверхность в пространстве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит этой поверхности. Проведем плоскость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда в сечении с поверхностью получим кривую Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Частная производная Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна тангенсу угла наклона, образованного касательной, проведенной в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, с положительным направлением оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично, пусть через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач проведена плоскость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая в сечении с поверхностью дает кривую Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда частная производная Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, с положительным направлением оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис.4.2).

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть она имеет непрерывные частные производные по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выразим полное приращение

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

этой функции через частные производные. Пусть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

По переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач ко второй разности применим теорему Лагранжа, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично, применяя теорему Лагранжа к первой разности по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, подставляя данные выражения в (4.1), получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как частные производные непрерывные функции и при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач то существуют пределы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме 1.2.1 о пределе функции из (4.3) и (4.4) получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно малые функции при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставляя (4.5) и (4.6) в выражение (4.2) для полного приращения функции, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величины Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач являются бесконечно малыми более высокого порядка по сравнению с Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и с Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.2.3. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, полное приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач которой в данной точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, может быть представлено в виде двух слагаемых: выражения линейного относительно Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и величины бесконечно малой высшего порядка по сравнению с Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из (4.7) следует, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

из этой формулы видно, что если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то полное приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентно полному дифференциалу этой функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку для независимых переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то мы получим следующее выражение для полного дифференциала функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, для функции трех переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение для полного дифференциала функции имеет вид

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.2.4.

Найти полный дифференциал функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем сначала частные производные этой функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда полный дифференциал этой функции есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная сложной функции нескольких переменных

Пусть дана сложная функция двух переменных

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Найдем выражения для частных производных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Дадим приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач получат частные приращения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Так как функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то она получит полное приращение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Используем для него формулу полного приращения (4.7)

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим все на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Перейдем в равенстве (4.8) к пределу при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих равенств следует формула для частной производной по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач сложной функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично получается и формула для частной производной по переменному Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя этот принцип, можно получить формулы частных производных для любой сложной функции. Например, пусть дана сложная функция

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полная производная функции нескольких переменных

Пусть дана сложная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач —функция одного переменного Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и у нее существует обычная производная по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая и называется полной производной. Используем формулу (4.9), получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

но поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то окончательно получим следующую формулу полной производной

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.3.1.

Найти частные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем частные производные

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим искомые частные производные

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.3.2.

Найти полную производную функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частные производные высших порядков

Пусть дана функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Частные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач являются функциями переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому их можно дифференцировать и по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим четыре производных второго порядка функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируется два раза по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируется два раза по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируется сначала по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — функция f(x, у) дифференцируется сначала по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называются смешанными производными. Производные второго порядка можно опять дифференцировать, получим производные третьего порядка:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И так далее, например, в производной

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач - Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.4.1.

Найти частные производные второго порядка функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.4.1. Функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называют Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач раз дифференцируемой в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если все частные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка являются дифференцируемыми функциями в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 4.4.1. Если функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее частные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определены и непрерывны в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то в этой точке равны смешанные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Рассмотрим выражение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку частная производная Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Применим к Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач теорему Лагранжа на этом отрезке, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Из выражения (4.11) найдем производную

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Применим теорему Лагранжа к разности (4.13), тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Подставляя это выражение в (4.12), получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

В выражении (4.10) поменяем местами средние слагаемые, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем функцию

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим к этой разности теорему Лагранжа, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. В силу равенства (4.15) имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена и непрерывна в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дифференцируема на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому мы можем опять применить теорему Лагранжа к выражению (4.16) на этом отрезке, будем иметь

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку выражение (4.17) равно выражению (4.14), то мы получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

А поскольку смешанные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывные функции в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то существуют пределы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому окончательно мы имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, мы показали, что смешанные производные равны между собой.

Отсюда следует, что смешанные производные более высокого порядка равны между собой, если у них одинаковое число раз бралось производных по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач неважно в каком порядке. Например,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

для любого Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

Не нарушая общности, рассмотрим опять функцию двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть она дважды непрерывно дифференцируема в окрестности некоторой точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим дифференциал первого порядка этой функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач независимые переменные, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные, независящие от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому дифференциал Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — это функция переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в достаточно малой окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Определим дифференциал второго порядка.

Определение 4.4.2. Вторым дифференциалом функции называется дифференциал от первого дифференциала этой функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем выражение для второго дифференциала функции двух переменных.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но поскольку по теореме (4.4.1) смешанные производные равны между собой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение для второго дифференциала функции имеет вид

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем понятие дифференциального символа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применяя эти дифференциальные символы к функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим обычные выражения для первого и второго дифференциала функции. Например,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично получается и выражение для второго дифференциала.

Определение 4.4.3. Дифференциалом Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка функции называется дифференциал от дифференциала Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач-ого порядка

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно ввести понятие дифференциального символа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач порядка

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где выражение для него получается с помощью формулы бинома Ньютона. Например,

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для функции большего числа переменных тоже можно ввести понятие дифференциального символа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда дифференциал порядка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции нескольких переменных можно записать в виде

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.4.2.

Найти выражение для третьего дифференциала функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем сначала все частные производные третьего порядка.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Пусть в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда говорят, что в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задано скалярное поле.

Определение 4.5.1. Поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называются поверхностями уровня функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.5.1.

Пусть дана функция и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда поверхностями уровня Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач этой функции являются эллипсоиды с центром в начале координат.

Пусть задана функция двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости.

Определение 4.5.2. Линии Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называются линиями уровня функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.5.2.

Пусть дана функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда линиями уровня этой функции являются Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач параболы, сдвигаемые по оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Производная по направлению

Рассмотрим в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем из точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, с направляющими косинусами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если вектор Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим на расстоянии Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на векторе Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда полное приращение этой функции будет

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разделим выражение (4.18) на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.5.3. Предел отношения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется производной от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.5.3.

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.5.4.

Найти производную функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в направлении вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем частные производные функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Градиент функции

Пусть в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.5.4. Вектор, проекции на оси координат которого являются значениями частных производных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, называется градиентом этой функции в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если градиент функции находится не в фиксированной точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то этот вектор называется полем градиента функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 4.5.1. Пусть дано скалярное поле Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Определим поле градиента

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда производная Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равна проекции вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство этого утверждения тривиально.

Следствие 4.5.1. Производная в данной точке по направлению вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет наибольшее значение, если направление вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с направлением градиента в этой точке. Это наибольшее значение равно Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наименьшее значение производная по направлению имеет в направлении противоположном градиенту, т.е в направлении - Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Следствие 4.5.2. Производная по направлению вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярного вектору градиента Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, равна нулю.

Доказательство. Поскольку скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, то Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому и производная по направлению равна пулю.

Теорема 4.5.2. Вектор Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно к поверхности уровня Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящей через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для функции двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно к линии уровня этой функции.

Доказательство. Докажем это утверждение для функции двух переменных. Уравнение Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач неявно задает функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач есть

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловой коэффициент вектора Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и касательная к кривой перпендикулярна вектору Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Значит, вектор градиента направлен перпендикулярно линии уровня в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.5.5.

Пусть дана функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач , найти Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть задана поверхность Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в пространстве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.5.5. Прямая линия называется касательной к поверхности в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если она является касательной к какой-нибудь кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Так как кривых, проходящих через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно много, то и касательных в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к поверхности бесконечно много.

Определение 4.5.6. Если в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач все три частные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачравны нулю или хотя бы одна из них не существует, то точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется особой точкой этой поверхности. Если все три частные производные существуют и хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется обыкновенной точкой поверхности.

Теорема 4.5.3. Все касательные к данной поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в ее обыкновенной точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат в одной плоскости.

Определение 4.5.7. Плоскость, в которой лежат все касательные прямые к кривым на поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящим через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, называется касательной плоскостью к этой поверхности в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим функцию (см. рис. 4.3)

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — поверхность уровня функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Напишем уравнение касательной плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в обыкновенной точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка касательной плоскости. Тогда вектор Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в касательной плоскости. Но по теореме 4.5.2 вектор

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

перпендикулярен поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому скалярное произведение

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого условия мы получаем уравнение касательной плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если уравнение поверхности задано явным уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получаем уравнение касательной плоскости в виде

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4.5.8. Прямая, проведенная через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к этой поверхности.

Вектор Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет направляющим вектором этой прямой, поэтому уравнение нормали Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, проведенной через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 4.3) будет иметь вид

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если поверхность задана уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то уравнение нормали имеет вид

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.5.6.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем частные производные в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение касательной плоскости будет иметь вид Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а нормали

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Локальный экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана на множестве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение 4.6.1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет локальный максимум в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если для любой точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащей некоторой окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, выполняется

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет, в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач локальный минимум, если для любой точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащей некоторой окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, выполняется

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Локальные минимумы и максимумы функции называются локальными экстремумами этой функции.

Теорема 4.6.1. (Необходимое условие существования локального экстремума) Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет, в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач локальный экстремум. Тогда если в этой точке существуют частные производные первого порядка, то все они равны нулю:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Докажем, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть переменные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач зафиксированы и равны соответственно Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач одной переменной. Поскольку функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач локальный экстремум и существуют частные производные, то как для функции одного переменного выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогично доказывается, что и все остальные производные равны нулю

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Естественно, эта теорема не является достаточной.

Пример 4.6.1.

Пусть задана функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. В точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач частные производные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет экстремума в этой точке. Это седловая точка.

Определение 4.6.2. Точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которых частные производные функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю или не существуют, называются критическими точками или стационарными точками функции.

Теорема 4.6.2. (Достаточное условие существования локального экстремума) Пусть точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач— критическая точка функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда если в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач второй дифференциал Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых значений Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, одновременно не обращающимся в нуль, то в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет локальный максимум, а если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых значений Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, также одновременно не обращающихся в нуль, то в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет локальный минимум. Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает как положительные так и отрицательные значения для различных значений дифференциалов Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция не имеет локального экстремума.

Замечание 4.6.1. Для установления знакоопределенности второго дифференциала существует критерий Сильвестра. Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, для того, чтобы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо и достаточно, чтобы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того, чтобы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо и достаточно, чтобы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть дана функция двух переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Сформулируем теорему о достаточном условии существования локального экстремума в случае двух переменных.

Теорема 4.6.3. Пусть в некоторой области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, содержащей точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет непрерывные частные производные до второго порядка и пусть точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — критическая точка, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет локальный максимум в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет локальный минимум в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет экстремума в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач может иметь или не иметь экстремума в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 4.6.2.

Найти локальные экстремумы функцииМатематический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Найдем критические точки функции

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим уравнение

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда критические точки будут

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.

4. Рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функция имеет минимум

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условный экстремум функции нескольких переменных

Пусть требуется найти максимум и минимум функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1 способ. Выражаем, если можно, переменное Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач из уравнения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставляем в функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим функцию одного переменного Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. И решаем задачу обычными методами для функции одного переменного.

2 способ. Составляем функцию Лагранжа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находим частные производные функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по переменным Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и приравниваем их к нулю. Таким образом найдем критические точки функции Лагранжа.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что эта система возникает, если использовать определение критических точек функции одного переменного, а именно, если производная равна нулю. Рассмотрим функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и условие Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая неявно задает Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач как функцию от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Приравняем полную производную функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к нулю, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим это равенство на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и прибавим к предыдущему, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда легко получить систему (4.19), поскольку дифференциал равен нулю, если равны нулю коэффициенты при Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение связи в эту систему мы добавили сами.

Система (4.19) это необходимое условие существования условного экстремума. Решая ее мы получим условно критические точки функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для выяснения характера критических точек необходимы дальнейшие исследования. Рассмотрим критическую точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Лагранжа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то второй дифференциал функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

при условии, что дифференциалы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны соотношением

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

  1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет условный максимум в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет условный минимум в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Второй способ исследования критических точек для функции двух переменных. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач критическая точка, рассмотрим определитель

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач условный максимум, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и условный минимум, если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пример 4.7.1.

Найти экстремум функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Напишем функцию Лагранжа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем частные производные

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим систему

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему, найдем

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда критические точки будут

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем вторые производные функции Лагранжа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задачусловный минимум

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Рассмотрим точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач для любых Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач условный максимум

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что переменные Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнениями

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим функцию Лагранжа

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравняем к нулю частные производные по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Лагранжа, получим систему уравнений

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой системы найдем критические точки функции Лагранжа. Затем исследуем второй дифференциал функции Лагранжа Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в найденных критических точках при условии, что дифференциалы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны между собой системой

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области

Теорема 4.7.1. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, дифференцируемая в замкнутой ограниченной области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, достигает своего наибольшего и наименьшего значений или в критических точках или в точках границы области.

Пусть граница области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задается одним уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или несколькими такими уравнениями.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:

  1. Найти все критические точки функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Найти критические точки, которые лежат внутри области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Найти в этих точках значение функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Найти условно критические точки функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на границе области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  5. Найти значение функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в этих точках.
  6. Выбрать из всех найденных значений функции наибольшее и наименьшее.

Пример 4.7.2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

1. Найдем критические точки функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащие области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим систему

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая последнюю систему, получим критическую точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежащую области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем значение функции в этой точке

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Найдем критические точки на границе Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Поэтому критическая точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значения функции в угловых точках Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Найдем критические точки на границе Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому критическая точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значения функции в угловой точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Найдем критические точки на границе Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому критическая точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем значение функции в этой точке

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Выберем из найденных значений наибольшее и наименьшее Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получение функции на основе экспериментальных данных по методу наименьших квадратов

Пусть на основе эксперимента требуется установить функциональную зависимость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от величины Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть в результате эксперимента получено Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач значений функции у при соответствующих значениях аргумента.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вид функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач подбирается или на основе теоретических соображений или на основе расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным данным (см. рис. 4.4).

Функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач можно искать в виде линейной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, в виде квадратичной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и т.д.

Пусть мы выбрали некоторую функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, зависящую от параметров Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач Надо подобрать эти параметры так, чтобы функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач описывала процесс в некотором смысле наилучшим образом.

Метод наименьших квадратов

Рассмотрим сумму квадратов разностей значений Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, даваемых экспериментом и функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в соответствующих точках Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подберем параметры Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач имела минимальное значение. Из необходимого условия экстремума следует тогда, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этой системе уравнений ровно столько сколько параметров Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему найдем критические точки, которые надо исследовать на минимум.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач линейная зависимость. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя систему (4.21), получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач это числа, то эта система есть система двух линейных уравнений с двумя неизвестными Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Решая ее, найдем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что в этой точке будет локальный минимум. Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

то определитель

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

И поэтому в найденной критической точке будет минимум функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Рассмотрим квадратичную зависимость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система (4.21) для этой зависимости имеет вид

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразуя эту систему, получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая систему относительно Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем эти параметры. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь минимум в этой точке.

Пример 4.8.1.

Пусть функциональная зависимость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана экспериментальными данными

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

здесь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Требуется найти функцию вида Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач аппроксимирующую функцию Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для этого используем систему (4.22). Составим таблицу

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

По таблице составим систему

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эту систему найдем, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому мы получим следующую линейную зависимость

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Построим на графике найденную линейную зависимость и нанесем на него исходные данные (см. рис. 4.5.).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кратный интеграл и его приложения

Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла

Найти объем тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченного сверху непрерывной поверхностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, снизу ограниченной замкнутой областью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и с боков прямой цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а образующая параллельна оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.1). Построим интегральную сумму для вычисления объема этого тела.

1. Разобьем основание Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач элементарных ячеек (площадок) Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2. Вычислим длину диаметра Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач ячейки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. длину ее наибольшей хорды.

3. В каждой ячейке выберем точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4. Обозначим площадь каждой элементарной ячейки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Вычислим объем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач прямого цилиндрического столбика с основанием Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. Найдем сумму объемов всех цилиндрических столбиков

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5.1.1. Объемом данного тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач назовем предел, если он существует, к которому стремится интегральная сумма Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач при стремлении к нулю наибольшего из диаметров Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

К составлению аналогичных сумм приводят многие прикладные задачи.

Понятие двойного интеграла

Определение 5.1.2. Двумерной интегральной суммой от данной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется сумма произведений площадей элементарных ячеек Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на значения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в выбранных точках этих ячеек

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5.1.3. Двойным интегралом от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется предел двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5.1.4. Функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется интегрируемой по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если существует двойной интеграл по этой области.

Сформулируем основную теорему для двойных интегралов.

Теорема 5.1.1. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — замкнутая ограниченная область с кусочно-гладкой границей и функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в этой области, тогда функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрируема по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Таким образом, класс интегрируемых по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функций шире класса непрерывных в этой области функций.

Значение интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, поэтому область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разбивать на элементарные ячейки прямыми параллельными осям координат. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — номер вертикальной полосы Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — номер горизонтальной Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда в пересечении этих полос будет элементарная ячейка (прямоугольник) Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Площадь элементарных ячеек будет равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, дифференциал площади Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства двойных интегралов

Сформулируем все свойства в виде одной теоремы, поскольку они аналогичны свойствам определенного интеграла.

Теорема 5.1.2. 1. Аддитивность относительно подынтегральных выражений

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Аддитивность относительно областей. Пусть области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеют общих внутренних точек и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

4- Если для любой точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач интегрируема по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач также интегрируема по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно наименьшее и наибольшее значения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

7. Теорема о среднем значении. Пусть функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда существует точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, такая, что

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все свойства доказываются аналогично определенному интегралу.

Вычисление двойного интеграла

Рассмотрим область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченную прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и кривыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывные на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции (рис. 5.2).

Определение 5.1.5. Область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется правильной относительно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Прямая, проходящая через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, пересекает границу области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач только в двух точках Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничена прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и кривыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — непрерывные на отрезке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач функции.

Определение 5.1.6. Область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется правильной относительно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Прямая, проходящая через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, пересекает границу области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач только в двух точках Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 5.1.3. Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — область, правильная относительно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

т.е. двойной интеграл может быть вычислен в результате двух последовательно проведенных простых интегрирований.

Доказательство. Проведем доказательство только в случае, когда функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — объем тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченного снизу областью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, сверху поверхностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и с боков прямой цилиндрической поверхностью. Пересечем это тело плоскостью, перпендикулярной оси ОХ, которая проходит через точку Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.3).

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач— это сечение, а Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — его проекция на плоскость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь сечения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, очевидно, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

как площадь криволинейной трапеции, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь переменного сечения тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью перпендикулярной оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует утверждение теоремы

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 5.1.1. Внутренний интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

вычисляется в предположении, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Аналогичная теорема справедлива и для правильной области относительно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 5.1.4. Пусть область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная относительно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывна по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 5.1.2. Внутренний интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

вычисляется в предположении, что Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание 5.1.3. Если область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач неправильная ни по какой оси, то ее разбивают на конечное число правильных областей и берут сумму интегралов.

Пример 5.1.1.

Вычислить Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — треугольник с вершинами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 5.4 ). Область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач правильная по обеим осям. Будем ее рассматривать как правильную по оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задается уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнением Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач нижней границей будет являться прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а верхней — Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, по оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач нижняя граница Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а верхняя — Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 5.1.2.

Вычислить Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задается уравнениями Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта область правильная по оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.5). Границами по оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач являются Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где последняя граница находится как точка пересечения кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Границами по оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будут нижняя — кривая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и верхняя — прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приложения двойного интеграла

Объем тела

1. По определению из предыдущего пункта объем тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченного сверху поверхностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, снизу — областью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, с боков — цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а образующая параллельна оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, равна двойному интегралу от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Пусть тело Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничено снизу поверхностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, сверху поверхностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем проекцией на плоскость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач обеих поверхностей является область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.6), тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 5.2.1.

Найти объем тела Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченного поверхностями Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 5.7). Тело Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничено сверху плоскостью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, снизу областью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, задаваемой уравнениями Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку прямая Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и парабола Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь плоской фигуры

Пусть Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда двойной интеграл от этой функции по данной области будет равен площади области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 5.2.2.

Вычислить площадь области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченной параболой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.8). Решая систему

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем точки пересечения Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач дана область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченная линией Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 5.9). Рассмотрим двойной интеграл по этой области

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сделаем замену переменных:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывны и имеют непрерывные частные производные по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторой области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач переменных (Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач). Будем считать, что каждой паре значений Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует по (формулам (5.1) единственная пара значений Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, и наоборот. Т.е. каждой точке Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственная точка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Координаты Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называются криволинейными координатами точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, формулы (5.1) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками областей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрим прямые Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. По (формулам (5.1) в плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач им соответствуют кривые

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, прямым Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствуют кривые

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач этими прямыми разобьется на прямоугольники, соответственно, кривыми область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разобьется на криволинейные четырехугольники. Рассмотрим в плоскости Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач прямоугольник Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченный прямыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, его площадь равна Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этому прямоугольнику соответствует криволинейная площадка Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ее площадь обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Каждому значению функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует значение этой функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим площадь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейного четырехугольника Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Координаты его вершин будут следующими:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

В выражениях (5.3) заменим приращение функций соответствующими дифференциалами, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, чем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач криволинейного четырехугольника приближенно равна площади параллелограмма с вершинами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая равна модулю векторного произведения векторов Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формул (5.4) найдем вектор

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

аналогично найдем вектор

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5.2.1. Обозначим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

определитель Якоби функций Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач или якобиан перехода от переменных Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач к переменным Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Подставляя Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в равенство (5.2), получим

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переходя к пределу в последнем равенстве, получим формулу замены переменных в двойном интеграле:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Двойной интеграл в полярной системе координат

Рассмотрим двойной интеграл в декартовой системе координат

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем в этом интеграле в полярную систему координат

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем предполагать, что область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.10) при этой замене перейдет в область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, заданную лучами Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и кривыми Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Вычислим якобиан перехода от декартовой системы координат к поярной системе координат. Поскольку

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач,

то

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, двойной интеграл в полярной системе координат будет иметь вид

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 5.2.3.

Вычислить интеграл

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — круг единичного радиуса. Перейдем в полярную систему координат

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда граница круга будет задаваться уравнением

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

или Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Внутри круга Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будет изменяться от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а угол Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 5.2.4.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольное число. Перейдем в полярную систему координат, получим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда фигура в полярной системе координат будет ограничена кривой Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта фигура есть два лепестка в первой и четвертой четвертях (рис. 5.11). Поэтому мы вычислим площадь одного лепестка и умножим ее на два, пределы интегрирования по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач будут от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, а по Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач до Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тройной интеграл

Пусть в пространстве Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач задана замкнутая область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, ограниченная поверхностью Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач определена непрерывная функция Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построим интегральную сумму.

  1. Разобьем область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на элементарные области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  2. Вычислим объем Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач подобластей Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  3. Выберем точки Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в подобластях Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.
  4. Составим интегральную сумму

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач диаметр подобласти Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. ее наибольший линейный размер.

Определение 5.3.1. Если существует предел интегральных сумм

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

не зависящий от способа разбиения области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и выбора точек Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то он называется тройным интегралом по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5.3.2. Область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач называется правильной относительно оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, если:

  1. всякая прямая, параллельная оси Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает границу Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач только в двух точках;
  2. область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач проектируется на плоскость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в правильную область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правильная область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.12) задается уравнениями

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, проекция области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, может задаваться одним из двух способов:

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач либо Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5.3.3. Выражения

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

называются трехкратным интегралом от функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства тройного интеграла

Теорема 5.3.1. Если область Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач разбить на две области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то тройной интеграл по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равен сумме интегралов по областям Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 5.3.2 (Теорема об оценке). Если Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач и Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьшее и наибольшее значения функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач в области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выполняется неравенство

Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач — объем области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема 5.3.3 (Теорема о среднем). Тройной интеграл от непрерывной функции Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач по области Математический анализ - примеры с решением заданий и выполнением задач равен произведению объема