Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Содержание:

Прямая:

Прямая бесконечна (в обе стороны) и разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 24), для которых прямая является границей. Граница принадлежит полуплоскостям. На рисунке 25 точка С лежит на прямой между точками А и В, которые лежат по разные стороны от точки С. Точки С и В лежат по одну сторону от точки А. Из трех точек на прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими.
Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Если на плоскости отметить две точки А и В, то через них всегда можно провести прямую АВ (рис. 26, а). Через одну точку можно провести бесконечно много прямых (рис. 26, б), через три точки не всегда можно провести прямую (рис. 26, в). Через две точки можно провести бесконечно много окружностей (рис. 26, г), а прямую — только одну!

Аксиома прямой. Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

Из аксиомы следует, что если две прямые (Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами) имеют общую точку (М), то это единственная общая точка (рис. 27). Если предположить, что существует еще одна общая точка (К), то тогда через две точки (М и К) пройдут две прямые, что по аксиоме прямой невозможно.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если прямые Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами параллельны, то отрезки, изображающие эти прямые, никогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали (рис. 28).

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Луч:

Определение. Лучом называется часть прямой, ограниченная одной точкой.

Точка, ограничивающая луч, принадлежит лучу и называется началом луча. Луч бесконечен (в одну сторону). Он обозначается одной малой буквой, или двумя большими буквами, где первой всегда записывается начало луча.

При этом вторая точка может быть не отмечена на луче. Она указывает направление луча, например как точка В на луче АВ (рис. 29).

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Определение. Два луча называются дополнительными (противоположными), если они имеют общее начало и лежат на одной прямой.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

На рисунке 30 изображены дополнительные дополнительные лучи ОМ и ОК. Они дополняют друг друга до прямой. Чтобы построить луч, дополнительный данному, достаточно продлить данный луч за его начало вдоль прямой, на которой лежит данный луч. Любая точка прямой разбивает ее на два дополнительных луча.

Отрезок:

Определение. Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Точки, ограничивающие отрезок, принадлежат отрезку и называются концами отрезка, остальные точки отрезка — его внутренними точками. На рисунке 31 изображен отрезок АВ с концами А и В. Точка М — внутренняя точка отрезка АВ.

Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то этот отрезок пересекает прямую, если в одной полуплоскости — то не пересекает. На рисунке 32 концы отрезка АВ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а, и он пересекает прямую Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами. Концы же отрезка CD лежат в одной полуплоскости, и он не пересекает прямую Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Если при наложении отрезков их концы совпадут, то по аксиоме прямой эти отрезки совпадут всеми своими точками.

Определение. Два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением.

Важной характеристикой отрезка является его длина.

Свойства длины отрезка: каждый отрезок имеет длину, выраженную положительным числом; равным отрезкам соответствуют равные длины, большему отрезку — большая длина. И наоборот.

Аксиома измерения отрезков. Если на отрезке взять точку, то она разобьет данный отрезок на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка.

Аксиома откладывания отрезков. На любом луче от его вершины можно отложить отрезок данной длины, и притом только один.
Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

На рисунке 33 точка С лежит на отрезке АВ. По аксиоме измерения отрезков следует, что АС + СВ=АВ.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Серединой отрезка называется точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. На рисунке 34 точка М — середина отрезка EF, то есть ЕМ = MF.

Определение. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

На рисунке 35 расстояние между точками К и N равно длине отрезка KN.

Ломаная:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

На рисунке 36 отрезки АВ, ВС, CD, DE и EF последовательно соединены своими концами: отрезок ВС соединен с отрезком АВ, отрезок CD соединен с отрезком ВС и так далее. Полученная фигура представляет собой ломаную ABCDEF. Указанные отрезки называются звеньями ломаной, а точки А, В, С, D, Е и F — вершинами ломаной.

Определение. Ломаной называется геометрическая фигура, образованная отрезками, последовательно соединенными своими концами, у которой никакие два соседних звена не лежат на одной прямой. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Определение. Ломаная называется замкнутой, если начало ее первого звена совпадает с концом последнего. В противном случае она называется незамкнутой. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений и никакие два ее звена, кроме соседних, не имеют общих точек. В противном случае она называется непростой (рис. 37).
Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Простая замкнутая ломаная на плоскости называется многоугольником. Звенья этой ломаной называются сторонами этого многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника. Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. Часть плоскости, ограниченная многоугольником, называется плоским многоугольником. Слово «плоский» употреблять не будем. Отрезок, соединяющий вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне, называется его диагональю. Если у многоугольника три стороны, то у него три вершины и три угла, и он называется треугольником, если четыре стороны — четырехугольником, если пять — пятиугольником и так далее.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

На рисунке 38 изображен четырехугольник ABCD со сторонами АВ, ВС, CD и AD. У него четыре угла: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами и две диагонали: АС и BD. Периметр этого четырехугольника: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

При записи многоугольника его вершины записываются последовательно, начиная с любой вершины и в любом направлении. Например, СBAD — это тот же четырехугольник ABCD.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Самые известные четырехугольники — это прямоугольник и квадрат. У прямоугольника все углы прямые, а противоположные стороны равны. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. На рисунке 39 ABCD — прямоугольник, MNPK — квадрат. Позже мы дадим определение прямоугольника и квадрата и рассмотрим их свойства подробно. А пока будем пользоваться указанными представлениями.

Пример:

На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка С. Отрезок АС на 6 см больше отрезка СВ. Найти длину отрезка АС.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Решение:

Пусть СВ = Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами см, тогда АС = Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами см.

По аксиоме измерения отрезков Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (рис. 40).

То есть,  Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами
Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами
Ответ: 15 см.

Замечание. В дальнейшем при решении задач не будем ссылаться на аксиому измерения отрезков.

Пример:

На отрезке АВ отмечены точки С и D (рис. 41). Найти длину отрезка CD, если:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамиПрямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Решение:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Если сложить отрезки AD и ВС, то получим отрезок АВ плюс отрезок CD. Отсюда Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Ответ: а) 6 см; б) Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Пример:

На отрезке АВ, равном 42 см, взята точка М. Найти расстояние между серединами отрезков AM и MB.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Решение:

Пусть С — середина отрезка AM, D — середина отрезка MB.

Обозначим Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (рис. 42).

Тогда Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Следовательно, Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамиПрямая - понятие, виды и её свойства с примерами (см).

Ответ: 21 см.

Замечание. В данной задаче мы доказали свойство: «Если на отрезке отмечена точка, то расстояние между серединами полученных отрезков равно половине данного отрезка». Утверждения, которые будут доказаны нами в ключевых задачах, могут в дальнейшем использоваться как известные свойства.

Прямая в высшей математике

Прямая L в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой). Пусть задана такая точка Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамии вектор Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (Рис. 5.1).

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Если М(х, у, z) - произвольная текущая точка прямой L, то вектор Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами коллииеарен вектору Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами и их соответствующие координаты пропорциональны.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой L и только этой прямой. Равенства (5.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами радиус-вектор точки Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами - радиус-вектор точки М. Тогда:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (5.2)

В силу коллинеарности векторов Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами и Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами существует число Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами такое, что Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Тогда из (5.2) получим векторное параметрическое уравнение прямой:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (5-3)

В координатной форме уравнение (5.3) равносильно трем уравнениям:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (5.4)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Исключая из уравнений (5.4) параметр t, легко перейти к каноническим уравнениям прямой (5.1).

Обратный переход от (5.1) к (5.4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (5.1) к t. При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами. Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь рис. 5.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой L будет вектор Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами. Используя (5.1), получаем искомые уравнения в виде:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Прямую L в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линии L в общем виде:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (5.6)

Система двух уравнений первой степени (5.6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами и Прямая - понятие, виды и её свойства с примераминеколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (5.6) носят название «общее уравнение прямой в пространстве».

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (5.6) к ее каноническим уравнениям (5.1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамии определить ее направляющий вектор Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами.

Точку Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами находят, давая произвольное значение одной из переменных х, у или z. Решая систему (5.6), получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами параллелен линии пересечения плоскостей (5.6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Поэтому в качестве Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами можно взять вектор: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Понятие прямой

Нормальным вектором прямой называется любой вектор, перпендикулярный прямой.

Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой.

Взаимное расположение прямых

Пусть даны две прямые: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Эти прямые заданы своими точками Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамии Прямая - понятие, виды и её свойства с примераминаправляющими векторами Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами и Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Поэтому:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна, соответственно, параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Условие параллельности: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:

  • I. Прямые совпадают Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами , т.е. Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами
  • II. Прямые параллельны: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами непараллелен Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами, Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами
  • III. Прямые пересекаются: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами непараллеленПрямая - понятие, виды и её свойства с примерами, Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами - компланарны, т.е. Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами
  • IV. Прямые скрещиваются: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами- некомпланарны, т.е. Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами.

Условие (5.8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.

Уравнения прямой на плоскости

1. Па плоскости Оху составим уравнение прямой l, проходящей через точку Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами с нормальным вектором n=(А,В) (рис.6).

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Возьмем любую точку М(х,у), лежащую на прямой l, и рассмотрим векторПрямая - понятие, виды и её свойства с примерами Векторы Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами и n будут взаимно перпендикулярными по определению нормального вектора: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

В координатной форме это равенство примет вид:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Уравнение Ах+Ву+С=0, где А и В не равны одновременно нулю Прямая - понятие, виды и её свойства с примераминазывается общим уравнением прямой.

Если Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами то это уравнение можно представить в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

притом Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами - угол наклона прямой к оси Ох.

Вывод. Прямая на плоскости однозначно определяется точкой и нормальным вектором.

2. Па плоскости Оху составим уравнение прямой l, проходящей через точку Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамис направляющим вектором Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (рис.7).

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой l, Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами - ее радиус-вектор, а Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами- радиус-вектор точки Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Тогда по правилу треугольника имеем:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Так как векторы Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами коллинеарны, то Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами - некоторое число, называемое параметром. Подставляя это выражение в уравнение, получаем векторное уравнение прямой:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

или в координатной форме параметрические уравнения прямой:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Пусть m и n отличны от нуля. Разрешим каждое из уравнений относительно t: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

откуда получаем каноническое уравнение прямой:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Пусть прямая l проходит через две точки Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамиСоставим уравнение прямой, проходящей через две точки:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Вывод. Прямая однозначно определяется точкой и направляющим вектором.

Пример:

Вершины треугольника находятся в точках А(2,2), В(1,-2), С(-1,0). Найти проекцию точки А на основание ВС.

Решение:

Построим чертеж.

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания ВС с перпендикуляром, опущенным из А на ВС.

Составим уравнение прямой ВС по двум точкам:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами - каноническое уравнение прямой ВС Прямая - понятие, виды и её свойства с примерамиПрямая - понятие, виды и её свойства с примерами- общее уравнение прямой ВС.

Обозначим искомую проекцию точкой Н(х,у). Т.к. Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами то скалярное произведение векторов

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами равно нулю: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами- общее уравнение прямой АН.

Теперь найдем проекцию точки А на основание ВС. Для этого решим систему: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Следовательно, Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами Задача решена.

Замечание. Уравнение прямой АН можно было находить другими способами. Например, из общего уравнения прямой ВС х+у+1=0 можно выписать координаты нормального вектора Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (коэффициенты при х и у соответственно). Т.к. Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами то нормальный вектор прямой ВС будет являться направляющим вектором прямой АН:Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

По нормальному вектору Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами и точке А(2,2) составляем каноническое уравнение прямой АН:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Уравнения прямой в пространстве

Уравнения прямой l, проходящей через точку Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами с направляющим вектором Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами в пространстве Oxyz составляются аналогичным плоскости образом.

Пусть M(x,y,z) - произвольная точка прямой Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами- ее радиус-вектор, a Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами - радиус-вектор точки Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами (рис.8).

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Тогда векторное уравнение прямой останется прежним: Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами где t - параметр.

Параметрические уравнения прямой примут вид:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

В случае Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами выразим канонические уравнения прямой:

Прямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Наконец, составим уравнения прямой, проходящей через две точкиПрямая - понятие, виды и её свойства с примерами

Внимание! В пространстве точка и нормальный вектор однозначным образом определяют плоскость. Поэтому в пространстве общие уравнения прямой будут задаваться линией пересечения двух плоскостей.