Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Вам уже известно, что уравнение

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

при неотрицательном значении а имеет два корня:

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

где выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения обозначает арифметический квадратный корень из числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, т. е. такое неотрицательное число, квадрат которого равен Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим уравнение

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

где Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — некоторое действительное число, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — натуральное число. Корень этого уравнения называют корнем Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени из числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Корнем Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени из числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения называется такое число, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-я степень которого равна Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Теоремы и доказательства

Теорема 1.

Из положительного числа существует единственный положительный корень степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Доказательство:

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — положительное число. Нужно доказать, что существует такое единственное положительное число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, что

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Доказательство существования искомого числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения выходит за пределы тех возможностей, которые теперь у нас есть. Покажем на примере, как можно найти приближенное значение положительного корня Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени из положительного числа с любой степенью точности.

Пусть нужно найти значение корня третьей степени из числа 6. Приближенными значениями этого корня с точностью до единицы являются число 1 с недостатком и число 2 с избытком, так как

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти нужное значение с точностью до десятой, следует испытать числа

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Поскольку

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

то нужное значение находится между числами 1,8 и 1,9. Испытав числа

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

найдем, что значение корня третьей степени из числа 3 находится между числами 1,81 и 1,82.

Если этот процесс продолжать далее, то мы будем получать искомое значение корня с все большей точностью.

Докажем единственность положительного корня степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения из положительного числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Пусть есть два таких положительных числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, что Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения Тогда Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Допустим, что Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, тогда по соответствующему свойству числовых неравенств получим, что Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, а это противоречит отношению Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Также ведет к противоречию и допущение о том, что Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Поэтому для Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения остается единственная возможность: Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Неотрицательный корень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени.

Корень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени из числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения обозначают Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения называют показателем корня, число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решенияподкоренным выражением. Если подкоренное выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения неотрицательно, то Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения обозначает арифметический корень.

Действие нахождения корня Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени из числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения называется извлечением корня степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Это действие является обратным для действия возведения в натуральную степень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения (рис. 49). Корень второй степени называют еще квадратным корнем, корень третьей степени — кубическим корнем.

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Пример №1

а) Запись Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения означает корень четвертой степени из числа 81.

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

б) Запись Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения означает корень шестой степени из числа 64.

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

в) Запись Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения означает корень пятой степени из числа -32.

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

г) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

д) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Теорема 2.

Из положительного числа:

  • а) не существует отрицательного корня нечетной степени;
  • б) существует единственный отрицательный корень четной степени, причем он противоположен положительному корню из данного числа.

Доказательство:

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — положительное число.

Пусть степень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения корня — нечетное число. Допустим, что есть такое отрицательное число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, для которого истинно равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Поскольку по условию Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — отрицательное число, то число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения также отрицательное как произведение нечетного количества отрицательных чисел. Получается, что левый компонент Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения равенства Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — отрицательное число, а его правый компонент Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — положительное число. Но такое невозможно. Поэтому допущение о существовании отрицательного корня нечетной степени из положительного числа нужно отклонить и признать, что отрицательного корня нечетной степени из положительного числа не существует.

Пусть степень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения корня — четное число. По теореме 1 существует единственный положительный корень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения уравнения Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. А если истинно равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то истинно и равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. А это означает, что Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — отрицательный корень уравнения Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Единственность отрицательного корня устанавливается так же, как и единственность положительного корня.

Теорема 3.

Из отрицательного числа:

  • а) не существует корней четной степени;
  • б) существует единственный корень нечетной степени, причем это отрицательное число.

Доказательство:

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — отрицательное число.

Пусть степень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения корня — четное число. Допустим, что есть такое число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, для которого истинно равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Тогда число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения неотрицательно как произведение четного количества равных чисел Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Получается, что левый компонент Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения равенства Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — неотрицательное число, а его правый компонент Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — отрицательное число. Получили противоречие. Поэтому допущение о существовании корня четной степени из отрицательного числа нужно отклонить и признать, что не существует корней четной степени из отрицательного числа.

Пусть степень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения корня — нечетное число. Тогда корень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения из отрицательного числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения не может быть неотрицательным, так как в противном случае в равенстве Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения левый компонент Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения был бы неотрицательным, а правый компонент Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения отрицательным.

Поскольку Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — число отрицательное, то противоположное число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения положительное. В соответствии с теоремой 1 существует положительный корень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения уравнения Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, т. е. истинно равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Тогда Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Поскольку по условию число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения нечетное, то Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Значит, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. А это и означает, что отрицательное число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения есть корень нечетной степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения из отрицательного числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Единственность отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа устанавливается так же, как и единственность положительного корня.

Таким образом, если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеет значение при любом натуральном значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, как четном, так и нечетном, а если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеет значение только при нечетном натуральном значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

По определению корня, при каждом значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, при котором выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеет значение, истинно равенство

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Следствие 1.

Корни нечетной степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения из противоположных чисел являются противоположными числами:

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — нечетное число.

Действительно, если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — нечетное число, то истинное равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решенияозначает, что число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения является значением корня степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения из числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Следствие 2.

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим примеры решения уравнений вида Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Пример №2

Решим уравнение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Уравнение имеет единственный корень. Он является положительным числом, пятая степень которого равна 11, т. е. числом Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения иррациональное. С помощью калькулятора находим, что с точностью до тысячной оно равно 1,615.

Пример №3

Решим уравнение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами. Положительный корень — это положительное число, четвертая степень которого равна 21, т. е. число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Отрицательный корень — число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения иррациональные. С помощью калькулятора находим, что с точностью до десятитысячной они равны 2,1407 и -2,1407.

Пример №4

Решим уравнение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Уравнение имеет единственный корень. Он является отрицательным числом, девятая степень которого равна -373, т. е. числом Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, или, используя представление с помощью арифметического корня, числом Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Число Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения иррациональное. Его десятичное приближение с точностью до десятитысячной равно -1,9308.

Свойства арифметического корня

Мы знаем, что квадратный корень имеет такие свойства:

  • если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;
  • если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;
  • если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то неравенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения равносильно неравенству Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Аналогичные свойства имеет корень Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-й степени и при Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Теорема 4.

При любом натуральном значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения:

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Докажем, что Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Для этого в соответствии с определением арифметического корня нужно доказать, что:

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Поскольку Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеет значение и это значение неотрицательно. Так же поскольку Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то выражение имеет неотрицательное значение. Поэтому и выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеет неотрицательное значение.

Далее по свойству натуральной степени произведения и определению корня получим

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Доказательство равенства Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения проводится аналогично.

Следствие 1.

При любом нечетном натуральном значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения:

  • а) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — любые числа;
  • б) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — любое число и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Действительно, если, например, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Здесь использованы (1) и (4) — следствие 1 из параграфа 3, (2) — теорема 4, (3) — свойство дроби.

Теорема 4 дает правила извлечения корня из произведения и из дроби:

  • чтобы найти корень из произведения, можно найти корни из отдельных множителей и полученные числа перемножить;
  • чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Прочтение тождеств из теоремы 4 справа налево:

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

дает правила умножения и деления корней с одинаковыми показателями:

  • чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, можно перемножить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного произведения.
  • чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, можно разделить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного частного.

Пример №5

а) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;

б) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;

в) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;

г) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Теорема 5.

Если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то при любых натуральных значениях Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения истинны равенстваКорень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Доказательство:

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Тогда:

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Докажем второе тождество. Выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеет значение, причем это значение неотрицательно. Поскольку

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

то выражение Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения является значением корня степени Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения из числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Следствие 2.

Если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — нечетные числа, то при любом значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения истинны равенства Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Действительно, если, например, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — нечетные числа, то

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Теорема 5 позволяет сформулировать правило возведения корня в степень и правило извлечения корня из корня:

  • чтобы возвести корень в степень, можно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним;
  • чтобы извлечь корень из корня, можно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.

Пример №6

a) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;

б) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;

в) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Следствие 3.

Если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то при любых натуральных значениях Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения истинно равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Действительно:

Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Доказанное утверждение выражает основное свойство корня:

  • если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Пример №7

а) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения;

б) Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Можно доказать, что если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — нечетные числа, то при всех значениях Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения истинно равенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Теорема 6.

Если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то неравенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения равносильно неравенству Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения при любом натуральном значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Доказательство:

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Тогда выражения Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеют значения при любом значении Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Допустим, что Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-ю степень, получим Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Но это противоречит условию Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Пусть Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения-ю степень, получим Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Следствие 4.

Если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения — нечетное число, то неравенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения равносильно неравенству Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения при любых значениях Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Действительно, если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Неравенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения по уже доказанному равносильно неравенству Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, или неравенству Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, или неравенству Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения. Получили, что если Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения, то неравенство Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения равносильно неравенству Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения.

Равносильность неравенств в случаях, когда числа Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения и Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения имеют разные знаки и когда одно из чисел равно нулю, устанавливается аналогично.