Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Содержание:

Основные понятия:

Множество - одно из важнейших понятий математики. Вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия.

Кантор описывает множество следующим образом:

Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов пашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S

Термин «множество» характеризует совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы - элементов множества, которые обладают каким-либо общим для них свойством (признаком). Этот общий признак содержится в самом названии (задании) множества. Множество состоит из элементов и считается заданным, если о каждом из рассматриваемых объектов известно, входит он во множество или нет. Множество может быть задано либо перечислением его элементов, либо описанием свойств его элементов. Символическая записьТеория множеств - виды, операции и примеры с решением

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Рис. 2.1. Множество А называют подмножеством другого множества U или множество А включено во множество U, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества U. Это обозначается Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Выделение подмножеств из множеств можно провести по различным признакам. В результате могут получиться как непересекающиеся подмножества (например, А и В ) так и подмножества, имеющие общие элементы ( В и С). Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. При этом число элементов множества может быть очень велико или вообще неизвестно. Множество может состоять также из бесконечного количества элементов, тогда оно называется бесконечным.

Свойства включения:

  1. Каждое множество есть подмножество самого себя Теория множеств - виды, операции и примеры с решением;
  2. Если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением;
  3. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, т.е. множества А и В равны тогда и только тогда, когда эти множества состоят из одних и тех же элементов;
  4. Каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А:Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

  1. Любое множество содержит Теория множеств - виды, операции и примеры с решением в качестве подмножества.
  2. Каждое множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением имеет, по крайней мере, два различных подмножества: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными или истинными. В этом случае, когда Теория множеств - виды, операции и примеры с решением говорят, что В строго включено в А (обозначается Теория множеств - виды, операции и примеры с решением):

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степеньюТеория множеств - виды, операции и примеры с решениеммножества А.

Если А не содержит элементов, т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, то его единственным подмножеством является Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Если А - одноэлементное множество, т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, то его подмножествами являются А и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Число этих подмножеств равно 2.

Если А - двухэлементное множество, т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, то его подмножествами являются Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Число этих подмножеств равно 4.

Несложно убедиться в том, что множество-степень Теория множеств - виды, операции и примеры с решением конечного n-элементного множества (А) состоит из 2" подмножеств.

Основные операции над множествами

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, то множества А и В называются непересекающимися.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества А называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества А, что каждый элемент множества А является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.

Разностью множеств А и В или дополнением В до А называется множество, состоящее только из тех элементов А, которые не входят в В. Эта операция над множествами обозначается знаком \.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

А\ В Рис. 2.4.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества U. В таком случае разность U \ А (дополнение А до U) обозначают, какТеория множеств - виды, операции и примеры с решением, а операцию называют взятием дополнения.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Обозначается симметрическая разность: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Для подмножеств данного множества U выполняются следующие законы:

Закон коммутативности (переместительный закон):

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств - операцию умножения, универсальному множеству U - единицу, а пустому множеству - ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции - операции объединения и пересечения.

Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменойТеория множеств - виды, операции и примеры с решением на Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, U на Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.

Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.

Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.

Большое значение в современной математике имеет множественная операция декартово произведение. Если заданы два множества А и то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем -элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств А и В называется множество С, составленное из упорядоченных пар (а,b). Декартово произведение множеств А и В обозначаетсяТеория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Очевидно, что Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.

Отображения

Отображение - одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть X и Y - произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением множества X на множество Y (запись: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением или Теория множеств - виды, операции и примеры с решением) если каждому элементу х множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент Теория множеств - виды, операции и примеры с решением множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Элемент Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется образом элемента х при отображении Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, а элемент Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется прообразом элемента у при этом отображении. Образом множества X элементов х при отображенииТеория множеств - виды, операции и примеры с решением называется множество всех элементов видаТеория множеств - виды, операции и примеры с решением, принадлежащих области значений Y. Множество X всех элементовТеория множеств - виды, операции и примеры с решением, образы которых Теория множеств - виды, операции и примеры с решением составляют область значений Y называется прообразом множества Y элементов Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Множество X называется областью определения отображения Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Отображение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется сюръективным, когда каждый элемент y множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением имеет хотя бы один прообраз х множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением .

Отображение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется инъективным, когда каждый элемент Теория множеств - виды, операции и примеры с решением множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением является образом лишь одного элемента х множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, т.е. образы любых двух различных элементов множества X различны, т.е. из Теория множеств - виды, операции и примеры с решением следует Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

ОтображениеТеория множеств - виды, операции и примеры с решением называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно ипъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X.

Равенство двух отображений Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением означает по определению, что их соответствующие области совпадают (X = U и Y= V), причемТеория множеств - виды, операции и примеры с решением .

Произведение двух отображений Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением можно определить как отображение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, которое каждому элементу х множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением ставит в соответствие элемент Теория множеств - виды, операции и примеры с решением множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Отображение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением множества X на множество Y иначе называется функцией на множестве X со значениями во множестве Y. Если множества X и Y совпадают, то биективное отображение множества X на себя Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется преобразованием множества X. Простейшее преобразование множества X - тождественное Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - определяется так:Теория множеств - виды, операции и примеры с решением . Тождественное отображение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, переводящее каждый элемент Теория множеств - виды, операции и примеры с решением в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, то преобразование Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, а затем и преобразования g, называется произведением преобразований Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Для преобразований Теория множеств - виды, операции и примеры с решением одного и того же множества X справедливы следующие законы:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными. Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение А = В), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет большую мощность.

Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу а множества А был поставлен в соответствие его порядковый номер Теория множеств - виды, операции и примеры с решением„ Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Отношения эквивалентности и упорядоченности

В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар {х,у), где Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

  • Отношение называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении сам с собой (Теория множеств - виды, операции и примеры с решением).
  • Отношение называется симметричным, если оно обладает свойством коммутативности (Теория множеств - виды, операции и примеры с решением).
  • Отношение называется транзитивным, если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением
  • Отношение называется антисимметричным, если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Часто приходится рассматривать несколько элементов множества как эквивалентные, потому что по определенным признакам один элемент может быть заменен другим. Так, например, по признаку величины дроби Теория множеств - виды, операции и примеры с решением эквивалентны. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Понятие эквивалентности подразумевает выполнение следующих условий:

  • каждый элемент эквивалентен самому себе;
  • высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым;
  • два элемента, эквивалентные первому, эквивалентны между собой.

Пусть А - множество, в котором определено отношение эквивалентности. Подмножество элементов, эквивалентных элементу а, называется классом эквивалентности: все элементы этого класса эквивалентны между собой и всякий элемент а из А находится в одном и только в одном классе (если элементов, эквивалентных а, не существует, то а может быть и единственным элементом класса). Отношение эквивалентности в А определяет на А разбиение на классы эквивалентности, т.е. А становится объединением непересекающихся классов.

Особенности природы элементов множества в большинстве случаев позволяют установить между ними отношения полного (или совершенного) порядка. Это отношение по определению обладает следующими свойствами:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Если между элементами множества определено также и отношение эквивалентности, то между элементами устанавливается отношение неполного или нестрогого порядка:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Возможны случаи, когда некоторые элементы множества не сравнимы. Такие множества называются частично упорядоченными.

Способы задания множеств

Как в повседневной, так и в научной жизни часто говорят о чертах какого-либо коллектива, совокупности некоторых объектов. Так, например, можно говорить о студентах группы некоторого института, о совокупности точек внутри некоторого круга и т.д.

Понятие множества в математике выведено из понятия совокупностей, образуемых из предметов, сведенных в одно целое. Предметы, собранные во множество, называются элементами множества. Понятие множество и элемент считаются основным понятиями и не сведены к другим понятиям путем применения формального определения. Таким образом, под множеством, мы будем понимать любое объединение в одно целое М определенных вполне различимых объектов m из нашего восприятия или мысли, которые называются элементами М

Каждое множество считается самостоятельной осмысленной вещыо, как бы осмысленной оболочкой его элементов. Множество

считается известным, если заданы его элементы; множество определяется раз и навсегда заданием его элементов; множества не зависят or времени.

Следовательно, множество однозначно определяется его элементами.

Множество, у которого ни один предмет не является элементом, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается символом Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Для обозначения множеств обычно применяются заглавные латинские буквы. Выражение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением обозначает, что объект m является элементом М (читается: «m является элементом М или m принадлежит М»).

Выражение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением: «m не является элементом М или m не принадлежит М». Элементами множества могут быть и множссгва.

Справедлива следующая

Теорема 1.1.1. Два множества тождественны (равны) тогда и только тогда. если их элементы одинаковы.

Доказательство. Если два множества тождественны (равны), то на основе понятия тождественности элементы обоих множеств одинаковы.

С другой стороны, если о двух множествах нам известно, что их элементы тождественны, то эти два множссгва тождественны, так как множество однозначно определяется его элементами. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

В определениях, касающихся геометрических мест, всегда присутствует отождествление множеств, заданных двумя разнымиопределениями.

Например. Перпендикулярная липия, пересекающая отрезок прямой, является геометрическим местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от двух концов озрезка. Это означает следующее: В плоскости множество точек перпендикулярной линии, пересекающей в середине отрезок прямой, тождественно множеству точек, расположенных на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка.

Множество часто задается в следующем виде: элементы множества заключаются внутри фигурных скобок: {...}. Подобной записью может быть конкретное перечисление элементов множества или задание такого определения, которым элементы множества однозначно задаются.

Например:

  • а) {гласные звуки слова «МАТЕМАТИКА»} - множество задано путем определения;
  • б) {E, О, И, Я, О, Е}, {О, А, Е} - множество задано путем перечисления элементов.

Заметим, что один предмет в одном множестве является элементом только один раз, даже если предмет повторяется несколько раз.

Тождественные множества связываются знаком равенства (=):

{А, А, Е, Е|={А, Е}.

Множество А считается подмножеством В, если каждый элемент А является и элементом В, что обозначается выражением Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Понятие части (подмножества) в теории множеств отличается от обычного понятия части. В обычном понимании часть всегда меньше целого. А по понятию части в теории множеств целое также входит в понятие части, т.е. каждое множество является элементом самого себя, гак как каждый элемент А является элементом А, значит Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Пустое множество является частью каждого множества.

Множество А является действительным подмножеством множества B, если А является частью В, но не тождественно с ним, что обозначается Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Примеры:

  1. Множество N неотрицательных целых чисел является действительной частью множества Z произвольных целых чисел: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  2. Множество Z действительная часть множества Q рациональных чисел: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением
  3. Множество Q действительная часть множества R вещественных чисел Теория множеств - виды, операции и примеры с решением
  4. Множество R действительная часть множества С комплексных чисел: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Не существует никакого ограничения в отношении того, насколько много (или мало) элементов может быть в одном множеств: в одном множестве может быть любое, даже бесконечное количество элементов.

Сравнивать множества можно, используя понятие взаимно однозначного соответствия между элементами.

Если каждому элементу множества А по некоторому закону ставится в соответствие определенный элемент множества В и если при этом каждый элемент множества В оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Если между множествами А и В установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются равиомощны-ми. Множество А называется бесконечным, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его действительных подмножеств, в противном случае А - конечное множество. Бесконечное множество А счётно, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел.

Например, множество всех действительных чисел R и множество натуральных чисел N имеют разные мощности. Первое множество имеет мощность континуума, а второе - счетное множество.

Особую роль в теории множеств играет универсальное множество, которое часто называют просчранством. Это некоторое множество, фиксированное в рамках данной математической теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории.

Алгебраические операции над множествами

Определим операции, выполняемые над множествами.

а) Пересечением множеств Ми N называется множество, которое будет обозначаться М Теория множеств - виды, операции и примеры с решением N, состоящее из элементов, принадлежащих как М, так и N, т.е. М Теория множеств - виды, операции и примеры с решением N = Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Эта запись означает, что пересечение MТеория множеств - виды, операции и примеры с решениемN двух множеств состоит из элементов х, одновременно принадлежащих как М, так и

N. Например, если М = {0,1,2,3}, а N = {1,4,3,6}, то МТеория множеств - виды, операции и примеры с решениемN = {1,3}. Основные тождества этой операции состоят в следующем:

  • 1. А Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В = В Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемА (коммутативность).
  • 2. АТеория множеств - виды, операции и примеры с решениемА = А (идемпотснция).
  • 3. А Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Теория множеств - виды, операции и примеры с решением = Теория множеств - виды, операции и примеры с решением .
  • 4. (А Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В)Теория множеств - виды, операции и примеры с решением С = А Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемТеория множеств - виды, операции и примеры с решением С) (ассоциативность).

Если А Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В = А, то действительны следующие соотношения: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением,

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением,

АТеория множеств - виды, операции и примеры с решением В.

Вели Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, т.е. если А и В не имеют общих элементов, то

А и Б называются посторонними множествами.

Если есть совокупность множеств Теория множеств - виды, операции и примеры с решением ,то пересечение всех множеств Теория множеств - виды, операции и примеры с решением есть множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением , которое состоит из элементов,

принадлежащих одновременно всем множествам совокупности Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

6) Объединением двух множеств А и В называется множество A Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В, состоящее из элементов, по крайней мере, одного из множеств А и В, т. е.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Эта запись означает, что объединение A Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В двух множеств А и В состоит из элементов х, принадлежащих множеству А или множеству В, или множеством А и В одновременно. Например, если A={0,1,2,3} а B={4,5,6,}, то A Теория множеств - виды, операции и примеры с решением B = {0,1,2,3,4,5,6}.

Легко увидеть, что если А и В являются ограниченными множествами без общих элементов, то количество элементов AТеория множеств - виды, операции и примеры с решениемB = (количество элементов А) + (количество элементов В). На основе этих соотношений операция объединения часто называется суммированием множеств. Для операции объединения справедливы следующие тождества:

  1. A Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В = В Теория множеств - виды, операции и примеры с решением А (коммутативность).
  2. A Теория множеств - виды, операции и примеры с решением А = А (идемпотснция).
  3. A Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Теория множеств - виды, операции и примеры с решением= А.
  4. (AТеория множеств - виды, операции и примеры с решениемB)Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемC = AТеория множеств - виды, операции и примеры с решением(BТеория множеств - виды, операции и примеры с решениемC) (ассоциативность).

Так же действительны соотношения: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, тогда и только тогда, если A Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемВ=В.

В общем случае, когда имеется совокупность множеств Теория множеств - виды, операции и примеры с решением ,то объединение всех множеств Теория множеств - виды, операции и примеры с решением есть множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением , которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств совокупности Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

в) Множество элементов Е, не принадлежащих некоторой его части А, называется дополнением (разностью) к А в Е и обозначается через Теория множеств - виды, операции и примеры с решением или СА или Е\А, т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Например. Если областью существования функции Теория множеств - виды, операции и примеры с решением является А, а множество ее корней - В, то область существования функцииТеория множеств - виды, операции и примеры с решением-множество А\В.

Для операции разности справедливы следующие соотношения:

  • 1°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 2°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 3°.Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 4°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 5°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 6°.Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 7°.Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 8°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Два любых предмета а и b представляют собой упорядоченную пару, если предварительно задано, какой из них считается первым и какой вторым. Упорядоченные пары обозначаются символом (a, b), где а - первый элемент, b - второй {а и b могут быть тождественны).

г) Произведением А х В двух множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар (а, Ь), образованных из элементов а множества А и элементов b множества В, т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Пары (а, b) и (b, а) с Теория множеств - виды, операции и примеры с решением считаются различными. Это особенно важно иметь в виду, когда множества Aw В совпадают.

Пример:

Если А ={a,е,i}, а В={b,с}, то

А х В = {(a,b), (а,с), (e,b), (e,c), (i,b), (i,с)},

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

В координатной геометрии точки плоскости характеризуются парами чисел, а точки пространства - тремя числами. Это означает, что если R обозначает множество точек числовой оси, то R х R -множество точек плоскости, а (RxR)xR- множество точек пространства. Отсюда возникло обозначение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением для произведения n множеств, идентичных множеству R всех вещественных чисел. Точка из Теория множеств - виды, операции и примеры с решением является, следовательно, упорядоченной системой произвольных вещественных чисел Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Справедливы следующие операции для декартового произведения множеств:

  • 1°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 2°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.
  • 3°. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, т.к. пустое множество не имеет элементов.

Понятие множества широко используется в экономических исследованиях. Так при изучении системы производства одного предприятия или нескольких, которые потребляют продукты: сырьё, энергию и трудовые ресурсы и производят в соответствии с некоторой технологией другие продукты-изделия, составляется математическая модель, где используется множество

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, которое характеризует производственный процесс. Элементами этого множества являются векторы Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемописывающие количество любого продукта, находящегося в системе.

Выпуклые множества. Пересечение выпуклых множеств

В первом пункте мы определили множество, указали способы его задания. Теперь мы укажем некоторые дополнительные свойства множеств. Для этого введем ряд определений.

Окрестностью точки Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется множество

точек Теория множеств - виды, операции и примеры с решением удовлетворяющих условию: Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемилиТеория множеств - виды, операции и примеры с решением

Таким образом, окрестность образуют все точки х, удаленные от точки а на расстояние меньшее r.

Точка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением некоторого множества называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит множеству вместе с некоторой её окрестностью.

Точка пространства называется внешней по отношению к некоторому множеству точек, если она с некоторой окрестностью не принадлежит этому множеству.

Точка пространства называется граничной, если в любой её окрестности имеются точки как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество, содержащее все граничные точки, называется замкнутым.

Например, отрезок является замкнутым множеством.

Множество (тело) называется выпуклым, если оно вместе со своими двумя любыми точками Р и Q содержит все точки отрезка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Примером выпуклого множества может служить отрезок. Из геометрии известны фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, круг, эллипс. Множества точек, ограниченные эти фигурами, являются выпуклыми. В пространстве выпуклыми множествами являются: шар, эллипсоид, конус, цилиндр и другие.

Для выпуклых множеств, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пересечение выпуклых множеств (тел) есть выпуклое множество, если оно не пусто.

Доказательство. Пусть имеется не пустое пересечение выпуклых множеств. Возьмём две произвольные точки Р u Q, принадлежащие этому пересечению. По определению пересечения эти точки принадлежат каждому из множеств, а так как эти множества выпуклы, то вместе с точками Р и Q им принадлежат и все точки отрезка PQ. Следовательно, все точки отрезка PQ принадлежат и пересечению, что и доказывает его выпуклость. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Точка множество называется крайней, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего множеству.

Так у выпуклого многоугольника крайними точками являются его вершины. Их конечное число. В пространстве многогранником называется множество с конечным числом крайних точек. Следовательно. выпуклый многогранник является замкнутым выпуклым множеством.

Высказывание

Математическая логика является современной формой так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. В формальной логике и, соответственно, математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся, без практических исследований. Рассмотрим пример вывода:

Предпосылки: Если будет раздача премии, то мы выполним план.

Будет раздача премии.

Окончательные выводы: Мы выполним план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и правильность окончательного вывода. Обычно вместо предложений могут быть записаны любые такие изъявительные предложения, значения которых может быть правильно или ложно; следует оставить неизменённым только расположение слов «если» и «то» и расположение предложений, то есть структуру вывода. Структуру вывода можно выразить следующей схемой:

Если А, то В.

Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики. Важнейшими главами математической логики является калькуляция высказываний и калькуляция предикатов.

Определение 1.4.1. Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным.

Высказывание удовлетворяет условиям:

  • а) оно не может быть одновременно и правильным и ложным (принцип непротиворечивости);
  • б) исключено, чтобы оно было и неправильным и нсложным (принцип исключения третьей возможности).

Следовательно, каждое высказывание имеет значение 1 (истинно) или 0 (ложно).

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями.

Определение 1.4.2. Под термином калькуляция высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний получается такое высказывание, правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложсностью членов.

Операции над высказываниями

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Простейшими примерами операций калькуляции высказываний является отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и т.д.

Определение 1.5.1. Под отрицанием высказывания А подразумевается высказывание «Неправильно, что А» или некоторая грамматически преобразованая форма данного высказывания.

По значению выражения «неправильно» отрицание А правильно тогда и только тогда, если самоё А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний.

Например: отрицание предложения «мотор работает» является предложение «мотор не работает».

Отрицание является (унарной) одночленной операцией. Отрицание А обозначается символом Теория множеств - виды, операции и примеры с решением (читается «не А»). Таблица истинности для операции отрицания имеет вид: Таблица 1

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Закон двойного отрицания: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Здесь и в дальнейшем свойство высказываний «правильное» и «ложное» называется логическими значениями и обозначается 1 и О (п. и л.). Тогда операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значений вводятся логические переменные; они обозначаются символами Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Следовательно, логические переменные могут принимать два значения 1 или 0. При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операций обозначается скобками.

В общем случае, n-члснной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений 1 и 0 с длиной выражения n, а значением её является одно из двух логических значений 1 и 0.

Определение 1.5.2. Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А и В».

По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба её члена правильны, т.е. используя логические переменные можно записать:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Таблица значений конъюнкции имеет вид:

Таблица 2

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Справедлива следующая

Теорема 1.5.1. Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

В области логических операций для контроля любого тождества составляется общая таблица операций, представленных по обеим сторонам знака =. Результат операций указывается в столбцах.

Пример:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Решение:

Доказательство данного равенства проведём в табл. 3:

Таблица 3

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Определение 7.5.3. Под дизъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А или В».

По значению союза «или» дизъюнкция является ложной, если оба её члена ложны, т.е. используя логические переменные можно записать:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Дизъюнкция выражается с помощью операции конъюнкции и отрицания б следующей форме:Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Таблица значений дизъюнкции имеет следующий вид:

Таблица 4

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

По аналогии с теоремой 3 можно сформулировать следующую теорему

Теорему 1.5.2. Каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания.

Например, операция конъюнкции выражается с помощью операций дизъюнкции и отрицания в виде: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Определение 1.5.4. Операция, обозначаемая Теория множеств - виды, операции и примеры с решением,

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим q).

Иначе её обозначение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Она выражается в следующем виде:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и читается: если р, то q из p следует q.

Таблица значений импликации имеет следующий вид: Таблица 5

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

И конъюнкция, и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением,

Поэтому любая логическая операция может быть выражена ( помощью операций импликации и отрицания.

Выражения вида: «если А, то В», «неправильно, что: А и не В» «В если только А», «только тогда А, если В», «Достаточным условием В является А», «Необходимым условием А является В» соответственно обозначаются А Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В или А Теория множеств - виды, операции и примеры с решением В.

Определение 1.5.5. Операция, обозначаемаяТеория множеств - виды, операции и примеры с решением,

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

называется эквивалентностью (читается р эквивалентно q). Выражениями данной операции являются следующие: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Так как высказывание Теория множеств - виды, операции и примеры с решением тогда и только тогда, когда

p=q, то данная логическая операция соответствует образованию

сложного предложения вида «А тогда и только тогда, когда В». Таблица значений эквивалентности имеет вид:

Таблица 6

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Рассматриваются ещё:

операция Шеффера - отрицание операции конъюнкции Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемТеория множеств - виды, операции и примеры с решением, обозначаемаяТеория множеств - виды, операции и примеры с решением (р штрих q).

1) операция взаимоисключающего или (р или же q): Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Например, или ты вылечишься до завтрашнего дня, или мы тебя отвезём в больницу;

2) операция «ни-ни» (обозначается Теория множеств - виды, операции и примеры с решением) «ни А ни В»: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Предикаты и кванторы

Мри анализе вывода следует отмстить, что применяемые высказывания могут быть приведены из так называемых открытых предложений или предикатов, примерами которых служат: ... является неделимым числом; ... является столицей; ... купил ... за ... рублей.

Если в эти схемы предложений вставить названия соответственно подобранных предметов (вместо пунктира), то получатся замкнутые предложения, высказывания. Такие предикаты выражаются однозначно в некоторых случаях, если вместо пунктира записываются буквы: x, у,z, ... .

Кроме заполнения оставленных свободных мест названиями имеется и другой способ образования высказываний из предикатов: квантификация. Например, из открытого предложения «если х представляет собой дифференцируемую функцию, то функция х-непрерывная функция», подставив перед предложением «Для каждого л», получим следующее: Для каждого х, если х представляет собой дифференцируемую функцию, то x представляет собой непрерывную функцию. Текст «Для каждого x» обозначается символом Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и называется универсальным квантором.

Существует ещё экзистенциальный квантор, который заменят текст «Имеется такое х» или «Существует такое х» и обозначается Теория множеств - виды, операции и примеры с решением.

Для точного анализа вводятся следующие понятия:

Определение 1.6.1. n-мерным предикатом Теория множеств - виды, операции и примеры с решением, определённым на непустом множестве H, называется такая функция, областью существования которой является множество упорядоченных n - членных знаков, образованных из элементов множества H, а значениями - логические значения.

Предикаты обозначаются символами Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и т.д.

Жирными буквами обозначаются предикаты, а строчными буквами- аргументы предиката как функции; количеством последних определяется размерность предиката.

Например. Пусть Н- множество натуральных чисел, тогда предикат неделимого числа Fx определяется следующим образом:

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Множества, операции над ними

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система», «объединение» и другие являются синонимами слова «множество». Например, можно говорить о множестве студентов в институте, множестве букв в алфавите, множестве целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать как конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Принадлежность элемента Теория множеств - виды, операции и примеры с решением множеству Теория множеств - виды, операции и примеры с решением обозначают следующим образом: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением не является элементом множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением то пишут: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - некоторые элементы, то запись Теория множеств - виды, операции и примеры с решением означает, что множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением состоит из элементов Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Два множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (обозначение: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением). Множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется подмножеством множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением если все элементы множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением являются одновременно и элементами множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением (обозначение: Теория множеств - виды, операции и примеры с решениеммножество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением содержится в множестве Теория множеств - виды, операции и примеры с решением») или Теория множеств - виды, операции и примеры с решениеммножество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением содержит множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением»). Например, так как всякое натуральное число Теория множеств - виды, операции и примеры с решением является целым, то Теория множеств - виды, операции и примеры с решением где Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - множество натуральных чисел, Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - множество целых чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, будет называться пустым множеством и обозначаться Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Это множество является подмножеством любого множества. Пусть Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - множество, а Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - какое-либо свойство элементов этого множества. Тогда запись Теория множеств - виды, операции и примеры с решением означает совокупность тех элементов множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением которые обладают свойством Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Например, если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - два числа и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением то встречавшиеся в элементарной математике отрезок, интервал и полуинтервалы можно записать в следующем виде: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - отрезок; Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - интервал;

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - полуинтервалы. Здесь Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - множество действительных (вещественных) чисел.

Множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением всех чисел называется также числовой прямой или числовой осью, а любое число - точкой этой прямой.

Пересечением множеств Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как Теория множеств - виды, операции и примеры с решением так и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Объединением множеств Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух данных множеств, т. е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением или Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Разностью множеств Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением состоящее из тех элементов множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением которые не принадлежат множеству Теория множеств - виды, операции и примеры с решением т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Пусть Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - некоторое основное множество, тогда дополнением множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемназывается множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением состоящее из всех элементов Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и не принадлежащих Теория множеств - виды, операции и примеры с решением т. е.

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Таким образом, все элементы, которые не принадлежат множеству Теория множеств - виды, операции и примеры с решением образуют множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Следовательно, Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Логические символы

Многие математические понятия удобно записывать, пользуясь логической символикой. Так, символ Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называемый квантором общности, используется вместо слов «для любого», «для всех», «для каждого», «какого бы ни было» и т. д., символ Теория множеств - виды, операции и примеры с решением - квантор существования - вместо слов «существует», «найдется», «имеется» и т. д. 

Часто используются также логические символы следствия Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и равносильности Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Грани числовых множеств

Говорят, что множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением ограничено сверху (снизу), если существует такое число Теория множеств - виды, операции и примеры с решением что Теория множеств - виды, операции и примеры с решением для любого Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Число Теория множеств - виды, операции и примеры с решением в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным, т. е. существуют два числа Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением такие, что Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Теория множеств - виды, операции и примеры с решением Эти неравенства показывают, что множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на некотором конечном отрезке числовой прямой. Очевидно, что множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением ограничено тогда и только тогда, когда существует положительное число Теория множеств - виды, операции и примеры с решением такое, что

Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Множество, не ограниченное сверху или снизу, называется неограниченным.

Если число Теория множеств - виды, операции и примеры с решением является верхней гранью множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением то и любое число больше Теория множеств - виды, операции и примеры с решением тоже является верхней гранью, и, если число Теория множеств - виды, операции и примеры с решением -нижняя грань множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением то всякое число, меньше Теория множеств - виды, операции и примеры с решением будет нижней гранью Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) граней называется точной верхней (нижней) гранью множества и обозначается символом Теория множеств - виды, операции и примеры с решением («супремум Теория множеств - виды, операции и примеры с решением) (Теория множеств - виды, операции и примеры с решением «инфимум Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Точные верхняя и нижняя грани множества могут принадлежать или не принадлежать этому множеству. Если множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением не ограничено сверху (снизу), то иногда используют обозначение Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Теорема 1*. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Предельные точки числового множества. Открытые и замкнутые множества

Множество вещественных чисел Теория множеств - виды, операции и примеры с решением удовлетворяющих неравенству Теория множеств - виды, операции и примеры с решением т.е. Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестностью точки Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Множество вещественных чисел Теория множеств - виды, операции и примеры с решением удовлетворяющих неравенству Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется проколотой  Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестностью точки Теория множеств - виды, операции и примеры с решением (точка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением исключена из своей Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестности).

Геометрически Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестность точки Теория множеств - виды, операции и примеры с решением есть интервал Теория множеств - виды, операции и примеры с решением длиной Теория множеств - виды, операции и примеры с решением серединой которого является точка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением числовой прямой.

Точка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется предельной точкой множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением если в любой Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестности точки Теория множеств - виды, операции и примеры с решением находятся точки из Теория множеств - виды, операции и примеры с решением отличные от Теория множеств - виды, операции и примеры с решением. Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Точка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестности нет точек из Теория множеств - виды, операции и примеры с решением отличных от Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Точка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется внутренней, если существует некоторая Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестность этой точки, целиком содержащаяся в множестве Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Открытым множеством является, например, интервал Теория множеств - виды, операции и примеры с решением замкнутым множеством - отрезок Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Точка Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется граничной точкой множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением если любая Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемокрестность этой точки содержит точки, как принадлежащие множеству Теория множеств - виды, операции и примеры с решениемтак и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением называется границей этого множества. Например, если Теория множеств - виды, операции и примеры с решением то все точки интервала Теория множеств - виды, операции и примеры с решением являются внутренними точками множества Теория множеств - виды, операции и примеры с решением а граница этого множества состоит из двух точек: Теория множеств - виды, операции и примеры с решением и Теория множеств - виды, операции и примеры с решением

Если множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением представляет собой область (открытое множество), то множество Теория множеств - виды, операции и примеры с решением полученное присоединением к Теория множеств - виды, операции и примеры с решением всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.