Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - это математическая наука, которая изучает закономерности случайных явлений. Случайные явления определяются как явления с неопределенным исходом, возникающие при многократном воспроизведении определенного набора условий.

На данной странице находится курс лекций по теории вероятности по всем темам предмета "Теория вероятностей".

Лекции по теории вероятностей содержат большое количество примеров решения задач и выполнения заданий.

Содержание:

Основные понятия о теории вероятностей

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Случайные явления определяются как явления с неопределенным исходом, возникающие при многократном воспроизведении (повторении) одного и того же опыта в одних и тех же условиях.

В природе и технике, экономике и спорте нет ни одного физического явления, не содержащего элементов случайности. Разработка и изучение методов теории вероятностей и вероятностных моделей позволяет понять различные свойства случайных явлений на абстрактном и обобщенном уровне, не прибегая к экспериментам.

Цель вероятностных методов - обойти чрезмерно сложное (и часто невозможное) изучение одного случая, исследовать закономерности массовых случайных явлений, предсказать их характеристики, повлиять на ход этих явлений, контролировать их, ограничить масштаб случайности.

Фундамент каждой науки  - ее важные понятия, основа красивого здания, которое пригодится на всю жизнь.

Предмет теории вероятностей

Рассмотрим некоторый эксперимент, в результате которого может появиться или не появиться событие А. Примерами такого эксперимента могут быть:

  • а) эксперимент - изготовление определенного изделия, событие А - стандартность этого изделия;
  • б) эксперимент - подкидывание монеты, событие А - выпал герб;
  • в) эксперимент - стрельба пятью выстрелами в мишень, событие А - выбито 30 очков;
  • г) эксперимент - введение программы в компьютер, событие А - безошибочный ввод.

Общим для всех экспериментов является то, что каждый из них может реализовываться в определенных условиях сколько угодно раз. Такие эксперименты называют испытаниями.

События бывают достоверные, случайные и невозможные

Достоверным называют такое событие, которое при рассмотренных условиях обязательно случится.

Невозможным называют такое событие, которое при рассмотренных условиях не может случится.

Случайным называют такое событие, которое при рассмотренных условиях может случится, а может и не случится. 

например, если в урне есть только белые шары, то добывание белого шара из урны - достоверное событие, а добывание из этой урны шара другого цвета  -невозможное событие.

Если бросить монету на плоскость, то появление герба будет случайным событием, потому что вместо герба может появиться надпись. 

Случайные события обозначают большими буквами, например

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое случайное событие является следствием многих случайных или неизвестных нам причин, которые влияют на событие. Поэтому невозможно предсказать исход однофакторного испытания.

Но если рассматривать случайное событие много раз при одинаковых условиях, то можно выявить определенную закономерность его появления или не появления. Такую закономерность называют возможной закономерностью массовых случайных событий.

В теории вероятностей под массовыми однородными случайными событиями понимают такие события, которые осуществляются многократно при одинаковых условиях или много одинаковых событий. 

Например, бросить одну монету 1000 раз или 1000 одинаковых монет бросить один раз в теории вероятностей считают одинаковыми событиями. 

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. 

Основные понятия, методы, теоремы и формулы теории вероятностей эффективно применяются в науке, технике, экономике, в теориях надежности и массового обслуживания, в планировании и организации производства, в страховом и налоговом делах, в социологии и политологии, в демографии и охране здоровья. 

Краткая история о теории вероятностей

Первые работы, в которых возникли основные понятия теории вероятностей, появились в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следующий этап (конец Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - начало Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) развития теории вероятностей связан с работами Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса, К. Гаусса, Я. Бернулли, С. Пуассона, А. Муавра, П. Лапласа, Т. Байеса. 

Я. Бернулли сделал первые теоретические обоснования накопленных ранее фактов.

В Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач теорию вероятностей начали успешно использовать в стразовом деле, артиллерии, статистике.

Только в конце Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач П.Л. Чебышев и его ученики А.А. Марков и А.М. Ляпунов превратили теорию вероятностей в математическую науку. 

Дальнейшим развитием теории вероятностей и случайных процессов обязаны таким математикам, как С.Н. Бернштейн, А.М. Колмогоров, Б.В. Гниденко, А.В. Скороход, В.С. Королюк, Ю. Нейман, И.И. Гихман, И.М. Коваленко.

Алгебра случайных событий

сначала познакомимся с разновидностями случайных событий.

Определение 1. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример №1

Среди однородных деталей есть стандартные и нестандартные. Наугад берут из ящика одну деталь.

События

А - взята стандартная деталь,

В - взята нестандартная деталь

несовместны потому, что взята только одна деталь, которая не может быть одновременно стандартной и нестандартной.

Определение 2. События называют совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления других (не обязательно одновременно).

Пример №2

Два стрелка стреляют в мишень.

События 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - первый стрелок попал в цель,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - второй стрелок попал в цель

будут совместными случайными событиями.

Определение 3. Случайные события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют полную группу событий, сели вследствие испытания хотя бы одно из них появится обязательно. 

Пример №3

Бросают шестигранный кубик. Обозначим события так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - выпала грань 1; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - выпала грань 2; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- выпала грань 3; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- выпала грань 4; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- выпала грань 5; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- выпала грань 6.

События Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют полную группу.

В примере 2 события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач не образуют полную группу. Но если обозначить Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач событие, при котором никто из стрелков не попал в цель, тогда события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют полную группу.

Определение 4. События называют равновозможными, если нет причин утверждать, что любое из них вероятнее другого.

Пример №4

События - появление 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при бросании шестигранного кубика - равновозможные, при условии, что центр его тяжести не смещенный.

Определение 5. Два несовместных события , которые образуют полную группу , называют противоположными.

Событие, противоположное событию А, обозначается Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №5

Если обозначить через А событие, при котором при стрельбе по мишени выбито 8 очков, то событие - при котором при стрельбе по мишени выбито любое другое число очков. 

 Теперь рассмотрим важное понятие пространства элементарных исходов.

Путь выполняется некоторый эксперимент, который имеет элементы случайности. Каждое испытание может иметь разные исходов.

Так, при бросании монеты могут быть два возможных исхода: герб или надпись

При бросании игрального кубика могут быть шесть возможных исходов. 

В испытании "выстрел в мишень" можно рассматривать такие исходы, как попадание в цель, или количество выбитых очков, или координаты точки попадания.

Следовательно, что принимать за исход испытания, зависит от условия задачи.

Определение 6. Элементарными исходами называют такие события, которые невозможно разделить на более простые.

Множество всех возможных элементарных исходов называют  пространством элементарных исходов.

Пространство элементарных исходов может содержать конечное, счетное, или несчетное множество элементов.

В роли элементарных исходов можно рассматривать точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-мерного пространства, отрезок некоторой линии, точки поверхности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или объема Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач трехмерного пространства, функцию одной или многих переменных.

В большинстве случаев, которые рассматриваются, допускают, что элементарные исходы равновозможные.

Пример №6

а) При двукратном бросании монеты пространство элементарных исходов содержит 4 точки

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач означает появление герба, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - появление надписи.

б) Пусть в мишень стреляют одиночными выстрелами до первого попадания. Возможные такие элементарные события:

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач {попадание при первом выстреле},

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач {попадание при втором выстреле},

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач {попадание при третьем выстреле}

и т.д.

В этом случае пространство элементарных исходов может иметь бесконечное количество точек, которые можно путем нумерации перечислить. Поэтому пространство элементарных исходов будет счетным.

в) При производстве кинескопов возникают неодинаковые условия технологического процесса, поэтому время работы кинескопа отличается от его номинального значения, то есть будет случайным событием.

Пространство элементарных исходов в этом случае будет бесконечным несчетным множеством, элементы которого невозможно пронумеровать.

Теперь ознакомимся с алгеброй случайных событий. 

Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - случайные события.

Объединением (суммой) случайных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое случайное событие, которое заключается в появлении событий.

А или В

или 

А и В.

Если А и В - несовместимы, то Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач означает появление события А или события В.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1а и 1б. Событие В и противоположное ему Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1г. Заштрихованная площадь - произведение событий АВ.

Рис. 1д. Заштрихованная площадь - сумма событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1е. Заштрихованная площадь - разность событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично определяют объединение (сумму) большего количества случайных событий.

Определение 7. Объединением (суммой) случайных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое случайное событие, которое заключается в появлении хотя бы одного из 'mnb[ событий.

Если события парно несовместимы, то их сумма заключается в том, что должно появиться событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Бесконечную сумму случайных событий обозначают

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №7

Стрелок совершает один выстрел в мишень, разделенную на три области. Обозначим

событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - попадание в первую область;

событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- попадание во вторую область;

событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - попадание в третью область;

событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - нет попадания в мишень;

событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - попадание в первую или вторую области;

событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач = попадание хотя бы в одну область мишени.

Тогда получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - несовместимые.

Определение 8. Разностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) двух случайных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют все исходы, которые заключаются в том, что событие А не появляется.

Произведением  (пересечением) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (илиТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) случайных событий А, В называют такое случайное событие, которое заключается в появлении событий А и В одновременно.

Если А и В - несовместимые, то произведение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, в случае несовместимости событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 9. Произведением (пересечением) конечного количества случайных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое случайное событие, которое заключается в появлении всех этих событий одновременно.

Событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что рассматриваются все события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно.

Указанные соотношения между событиями являются обычными соотношениями между множествами, которые можно представить графически (см. рис.1).

Пример №8

Стрелок стреляет дважды в мишень. Описать пространство элементарных исходов. Записать, событие, которое заключается в том, что:

а) стрелок попал в мишень хотя бы один раз (событие С); б) стрелок попал ровно один раз (событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач); в) стрелок не попал в мишень (событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Решение.

Обозначим

Событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - попадание с первого выстрела;

событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - попадание со второго выстрела.

Пространство элементарных исходов состоит из четырех событий

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Если стрелок попал в мишень хотя бы один раз, то это означает, что он попал или с первого выстрела Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или со второго выстрела Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или с обоих Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) Ровно одно попадание может быть только тогда, когда стрелок с первого выстрела попал, а со второго - нет, или с первого выстрела не попал, а со второго - попал.

Поэтому,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

в) Если стрелок не попал в мишень, то это означает, что он не попал с обоих выстрелов,

То есть,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение и свойства вероятности и частоты

Для сравнения случайных событий по степени их возможности необходимо каждое событие связать с определенным числом, которое должно быть тем больше, чем более возможно событие. Такое число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вероятностью события. Существует несколько определений вероятности. Ознакомимся с ними.

Определение 1. Вероятностью события является мера степени объективной возможности этого события.

Это определение вероятности определяет философскую суть вероятности, но не показывает закон нахождения вероятности любого события.

Определение 2 (классическое). Вероятность события А равна отношению числа элементарных исходов, которые способствуют появлению события А, к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов.

Вероятность события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению 2

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число элементарных исходов, которые способствуют событию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число всех единственно возможных и равновозможных исходов.

Пример №9

В урне 6 одинаковых по размеру шаров: 2 красных, 3 синих, 1 белый. Найти вероятность появления красного шара, если берут один шар из урны наугад.

Решение. Пусть событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - наугад взяты красный шар. Из урны можно взять любой шар из шести, поэтому всех возможных исходов 6 Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Появлению красного шара будут способствовать только два шара, поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле (1) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. При решении многих задач нахождение чисел Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет определенные трудности, предотвратить которые помогают принципы и формулы комбинаторики, с которыми ознакомимся ниже.

Замечание 2. Классическое определение вероятности имеет место только тогда, когда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачконечные, все элементарные исходы равновозможные (именно это положение в большинстве азартных игр, которые осуществляются без мошенничества) .

Если множество элементарных исходов бесконечно или элементарные исходы не равновозможные, то формулой (1)  пользоваться нельзя.

Если множество всех элементарных исходов бесконечно и, как следствие, занимает некоторую область Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а событию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач способствует только часть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то вычисление вероятности события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняют в соответствии с геометрическим определением вероятности.

Определение 3 (геометрическое). Вероятность случайного события А равна отношению меры Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач к мере Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Если область Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - промежуток, поверхность или пространственное тело, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - часть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда мерой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет длина, площадь или объем соответствующей области. Если  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач промежутки времени, тогда их мерой будет время.

В общем случае меры области определяют аксиомами.

Пример №10

Два туристических парохода должны причалить к одному причалу. Время прибытия обоих пароходов равновозможное в течение суток. 

Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго - двум часам.

Решение. Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - время прибытия пароходов. 

Возможные значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Благоприятные значения:

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим эту область (см. рис. 2)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение площади заштрихованной фигуры Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач к площади квадрата, сторона которого равна 24, согласно формуле (2) равно искомой вероятности

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4. Относительной частотой или частостью события А называют отношение числа испытаний, в которых событие А появилось, к числу фактически выполненных испытаний.

Относительную частоту события А обозначают  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - количество испытаний, в которых появилось событие А,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - количество всех испытаний.

Пример №11

Отдел технического контроля среди 100 изделий выявил 8 нестандартных. Чему равна относительная частота появления нестандартных изделий?

Решение. Обозначим через Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач такое событие, как появление нестандартного изделия. Тогда по определению частоты  события А, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4. Подчеркнем, что вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач события А вычисляется до испытания, а частота Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется после испытания. 

Частота имеет свойство стойкости: при большом количестве испытаний частота изменяется очень мало, колеблясь около некоторого постоянного числа - вероятности появления этого события, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5. Статистическая вероятность - это относительная частота (частость) или число, близкое к ней.

Теперь рассмотрим основные свойства вероятности, используя формулу (1) классического определения вероятности события А.

  1. Если событие А достоверно, то его вероятность равна единице, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Если событие А невозможно, то его вероятность равна нулю, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Если событие А случайное, то его вероятность удовлетворяет соотношениеТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, при рассматриваемых условиях достоверное событие обязательно появится, как вследствие, все возможные элементарные исходы способствуют событию А, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи по формуле (1) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если при условиях, которые рассматриваются, событие А невозможно, тогда среди всех возможных исходов нет тех, которые способствуют событию А, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и по формуле (1) получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если событие А случайное то среди всех Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач возможных исходов существует Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач исходов, которые способствуют событию АТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому, согласно формуле (1) получим соотношение (3).

Замечание 5. Последнее свойство вероятности случайных событий используется для осуществления самоконтроля при решении  многих задач теории вероятностей.

Основные понятия и принцип комбинаторики

Часто для нахождения чисел Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые входят в классическое определение вероятности события, необходимо знать количество разнообразных соединений, которые можно получить из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементарных исходов.

Классификация и свойства таких соединений, а также формулы для вычисления количества разных соединений разработаны математиками и содержатся в разделе "Комбинаторика" курса алгебры.

Ознакомимся с основными понятиями и формулами комбинаторики.

Определение 1. Разные группы, составленные из любых элементов, которые отличаются элементами или порядком этих элементов, называют соединениями или комбинациями этих элементов. 

Пример №12

Из цифр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачможно составить много разных соединений по Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач цифр. Некоторые из них будут отличаться количеством цифр, а некоторые будут отличаться только порядком цифр. Например, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все возможные соединения целесообразно классифицировать. Соединения бывают трех видов:

- перестановка;

- размещение;

- сочетание.

Определение 2. Соединения из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, которые отличаются только порядком элементов, называют перестановкой этих элементов. 

Количество перестановок из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементов обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач проговаривают "Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач факториал".

По определению Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №13

Сколько пятизначных чисел можно записать, используя пять разных цифр (кроме нуля)?

Решение. Соединения, которые образуют из пяти разных цифр пятизначные числа, могут отличаться только порядком цифр, поэтому такие соединения будут перестановкой из 5 элементов. Согласно формуле (1) их количество будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3. Размещением из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такие комбинации, которые состоят из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, взятых из данных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и отличаются как порядком, так и элементами.

Количество размещений из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №14

Студенты второго курса согласно учебного плана изучают 10 дисциплин. На один день можно планировать занятия по 4 дисциплинам. Сколькими способами можно составить расписание занятий на один день?

Решение. Все возможные расписания занятий на один день - это соединения из 10 по 4, которые могут отличаться дисциплинами или их порядком, то есть эти соединения - размещение. Количество таких размещений согласно формуле (2) будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 4. Сочетанием из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют комбинации, которые состоят из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, взятых из данных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов и отличаются хотя бы одним элементом. 

Количество сочетаний из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов по Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Перестановку можно рассматривать как частный случай размещения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Между количеством перестановок, размещений и сочетаний сцуществует простая связь

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Часто целесообразно использовать такие свойства соединений:

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №15

В ящике 10 изделий, из которых 2 нестандартные. Наугад берут 6 изделий. Какая вероятность того, что все взятые изделия будут стандартными?

Решение. Обозначим событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - взято 6 стандартных изделий. Согласно условию задачи, нет значения, в каком порядке берт 6 изделий, то есть это будут сочетания.

Поэтому количество всех возможных элементарных исходов будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Событию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач способствуют только соединения по 6 изделий из 8 стандартных в любом порядке то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, согласно классическому определению вероятности события А, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь ознакомимся с основными принципами комбинаторики.

Принцип суммы. Если множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, а множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов иТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов.

Доказательство. Осуществляется простым подсчетом элементов множества Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сначала считаем все элементы множества А. Они получат номера от 1  до Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Среди них нет элементов множества Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому чтоТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь будем считать элементы множества Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Они получат номера от Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку множество В по условию имеет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов.

Таким подсчетом все элементы множества Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут вычерпаны. Они поучат номера от 1 до Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов.

Замечание 2. Принцип суммы имеет место для суммы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач множеств, то есть для

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принцип произведения. Если множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, а множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачсодержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, то множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач всех возможных парТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов.

Доказательство. Множество С разобьем на подмножества

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит только из пар, которые содержат Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит только их пар, которые содержат Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично получаем, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь докажем, что

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачлюбая пара. Она входит в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно определению множества Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Она также входит и в множество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждое подмножество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачмножества Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, поэтому согласно определению принципа суммы, число элементов в их объединении равноТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №16

В корзине 4 яблока первого сорта и 5 яблок второго сорта. Наугад берут 2 яблока. Найти вероятность  того, что будут взяты яблоки разных сортов.

Решение. Пусть событие А - наугад взятые 2 яблока разных сортов.

Всего яблок 9, из них сочетаний по 2 будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть количество всех возможных исходов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Событию А будут способствовать сочетания, созданные из пар, элементами которых будут яблоки разных сортов. Согласно принципу умножения, количество таких пар будет равно Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя классическое определение  вероятности, получим искомую вероятность события А

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные теоремы теории вероятностей

Основными теоремами теории вероятностей являются две: теорема сложения вероятностей и  теорема умножения вероятностей. Обе эти теоремы являются теоремами и могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев.

Сложение вероятностей несовместных событий

Теорема 1. Вероятность объединения двух случайных несовместных событий равна сумме их вероятностей

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть число всех возможных элементарных исходов появления событий А и В  равно Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число исходов, которые способствуют событиям А и В  соответственно. Тогда событиям Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут способствовать Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачисходов. Следовательно, по классическому определению вероятности, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть утверждение теоремы доказано.

Совсем аналогично можно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если случайные события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач попарно несовместны, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна сумме их вероятностей

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №17

Вероятность попадания стрелком в первую область мишени равна 0,45, во вторую область - 0,35,  в третью - 0,15. Найти вероятность того, что с одного выстрела стрелок попадет в первую или вторую область мишени. 

Решение. Обозначим событием Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - попадание в первую область мишени; событием Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- попадание во вторую область мишени.

С одного выстрела события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач несовместны. Поэтому вероятность попадания в первую или вторую область мишени будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3. Сумма вероятностей полной группы случайных событий равна единице

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Если случайные события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют полную группу, то они попарно несовместны, а их объединение будет достоверным событием. По Теореме 2 получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность достоверного события равна единице, поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Левые части равенств (2) и (3) одинаковые, поэтому правые части будут равными, то есть имеет место равенство (1). Теорема доказана.

Следствие. Два противоположных события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачобразуют полную группу, поэтому имеет место равенство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

из которого получаем формулу

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

нахождения вероятности противоположного события.

Пример №18

Вероятность получить сообщение от определенного лица в течение суток равна 0,25. Найти вероятность того, что сообщение в течение суток от этого лица не будет получено.

Решение. Обозначим событием А - сообщение от этого лица в течение суток поступит. По условию задачи имеет место соотношение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачПротивоположное событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что в течение суток от этого лица сообщение не поступит. По формуле (4) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В страховом деле необходимо высчитывать, например, такую задачу.

Пример №19

По статистическим показателям государства можно сделать вывод, что 68% мужчин, которые достигли 60-тилетия, достигают также и 70-тилетия. Какая вероятность того, что 60-тилетний мужчина не достигнет своего 70-тилетия?

Решение. Если событие А - 60-тилетний мужчина достигает своего 70-тилетия, то противоположное событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- 60-тилетний мужчина не достигает своего 70-тилетия. По условию задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому по формуле (4) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, используя статистические данные государства, можно вычислить вероятность того, что 32% 60-тилетних мужчин умрет в течение 10 лет.

Зависимые и независимые события, условные вероятности

Определение 1. Случайные события А и В называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления второго события.

Если вероятность появления одного события не зависит от появления или непоявления второго, то такие события называют независимыми.

Определение 2. Вероятность события В, вычисленная при условии появления События А, называют условной вероятностью события В и обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №20

В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Наугад берут два шара. Пусть событие А - взят белый шар; событие В - взят черный шар.

Если шар, который взяли первым, возвращают в урну, то вероятность появления второго шара не зависит от того, какой взят первый шар.

Если первый шар не возвращается в урну, то вероятность второго события зависит от результата первого испытания.

Если первым взяли белый шар, то в урне осталось 2 белых  шара и 7 черных, поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если первым взяли черный шар, то в урне осталось 3 белых шара и 6 черных шаров, поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, вероятность события В зависит от появления или непоявления события А.

Замечание. Если события А и В независимые, то условная вероятность равна безусловной вероятности, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение вероятностей

Теорема 4. Вероятность совместного появления двух случайных событий А и В равна произведению вероятностей одного из этих событий и условной вероятности второго события при условии, что первое событие появилось

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Все элементарные исходы изобразим в виде точек (рис. 3).

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть появлению события А способствуют Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач исходов, а появлению события ВТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач исходов. Всех возможных исходов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а событиям Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут способствовать Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач исходов.

Так как

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

что и требовалось доказать.

Соотношения (1) называют формулой умножения вероятностей зависимых случайных событий.

Следствие. В случае независимых случайных событий А и В формула (1) принимает вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и называется формулой умножения вероятностей независимых случайных событий.

В случае конечного количества независимых случайных событий Формула (2) принимает вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №21

В некотором сообществе людей 70% курят, 40% болеют раком легких и  25% курят и имеют рак легких. Найти вероятность того, что наугад взятое человек из этого общества:

а) не курит, но имеет рак легких;

б) курит, но не имеет рак легких;

в) никогда не курит и не имеет рак легких;

г) или курит или имеет рак легких.

Решение. Обозначим события: А - человек курит; В - человек болеет раком легких. Тогда по условию задачи получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №22

Привести иллюстративную диаграмму свойства

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. См. рис. 4.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность появления хотя бы одного случайного события

Пусть существует Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач совместных случайных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим А - событие, которое заключается в том, что появится хотя бы одно из этих событий. Тогда событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачзаключается в том, что события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач СобытияТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют полную группу событий, поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По этой формуле необходимо вычислять вероятность появления хотя бы одного случайного события из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач совместных событий.

Пример №23

Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,7, второго стрелка - 0,8, а третьего стрелка - 0,9. Найти вероятность попадания в мишень хотя бы одного стрелка.

Решение. Обозначим события

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - в мишень попал первый стрелок;

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- в мишень попал второй стрелок;

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - в мишень попал третий стрелок;

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - в мишень попал хотя бы один стрелок.

По условию задачи события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимые, поэтому события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач также независимые.

Согласно формуле (1) и формуле умножения вероятностей независимых событий получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то по формуле (2) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема 5. Если случайные событие А и В совместные, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то сеть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Согласно условию теоремы события А и В совместные, поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач появится, если появится одно из трех несовместных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Событие А появится, если появится одно из двух несовместных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно теореме сложения вероятностей несовместных событий

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим (3) и (4) в формулу (2), тогда получим равенство (1), которое требовалось доказать.

Замечание. Если события А и В независимые, то формула (1) принимает вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для зависимых случайных событий получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №24

В зависимости от  наличия сырья предприятие может производить и отправлять заказчикам ежедневно количество определенной продукции от 1 до 100. Какая вероятность того, что полученное количество продукции можно распределить без остатка

а) трем заказчикам;

б) четырем заказчикам;

в) двенадцати заказчикам;

г) трем или четырем заказчикам?

Решение. Обозначим события

А - полученное количество изделий делится на 3 без остатка;

В - полученное количество изделий делится на 4 без остатка.

Используя классическое определение вероятности, находим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

События А и В - совместные, поэтому по формуле (1) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Надежность системы

Определение 1. Надежностью системы называют вероятность ее безотказной работы в определенное время Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач(гарантийный срок).

Системы состоят из элементов, соединенных последовательно

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

или параллельно

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При вычислении надежности систем необходимо выразить надежность системы через надежность элементов и блоков.

Надежность элементов считается известной, так как она связана с технологией их производства.

Обозначим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач надежность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачтого элемента, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- вероятность выхода из строя за время Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачтого элемента, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - надежность блока.

Рассмотрим блок, все элементы которого независимые и соединенные последовательно (см. рис. 5).

Такой блок будет работать безотказно только в то время, когда все элементы работают безотказно. Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач безотказной работы такого блока будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь рассмотрим блок, элементы которого соединенные параллельно (см. рис. 6).

Такой блок будет работать безотказно, если хотя бы один элемент не выйдет из строя. Поэтому вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач безотказной работы будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любую сложную систему можно рассматривать как последовательное или параллельное соединение блоков, надежность которых вычисляют по формулам (1) и (2).

Пример №25

Прибор собран из двух блоков, соединенных последовательно и независимо работающих. Вероятность отказа блоков равна 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа прибора.

Решение. Отказом прибора является событие противоположное его безотказной работе. Вероятности безотказной работы блоков составят

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность безотказной работы прибора составит согласно формуле (1)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому вероятность отказа прибора составит

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы полной вероятности и Байеса 

Теорема 6. Если случайное событие А может появится только совместно с одним из несовместных между собой событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые образуют полную группу, тогда вероятность события А вычисляется по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. По условию теоремы появление события А означает появление одного из событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

События Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач несовместные, поэтому и события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач также несовместные. Согласно теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

События А и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - зависимые, поэтому для вычисления Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно использовать теорему умножения вероятностей зависимых событий, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим (3) в формулу (2) и получим равенство (1), которое требовалось доказать.

Формулу (1) называют формулой полной вероятности.

Пример №26

В первом ящике 20 деталей, из которых 15 стандартных. Во втором ящике 0 деталей, из которых 9 стандартных. Из второго ящика берут наугад одну деталь и перекладывают ее в первый ящик. Найти вероятность того, что взятая после этого наугад деталь из первого ящика стандартная.

Решение. Обозначим такие события: А - из первого ящика взята стандартная деталь; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - из второго ящика переложили в первый стандартную деталь; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- из второго ящика переложили в первый нестандартную деталь.

Согласно условия задачи, из первого ящика модно взять деталь только после того, как произойдет событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачили событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

События Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач несовместны, а событие А может появится только совместно с одним из них. Поэтому для нахождения вероятности события А можно использовать формулу полной вероятности (1), которая в данном случае примет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем нужные вероятности

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим эти значения в формулу (4) и получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь познакомимся с формулами Байеса. 

По условиям Теоремы 1 неизвестно, с каким событием из несовместных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  появится событие А. Поэтому каждое из событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачможно считать гипотезой. Тогда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачтой гипотезы.

Если испытание проведено и в результате его событие А появилось, то условная вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть не равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнение вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач позволяет переоценить вероятность гипотезы при условии, что событие А появилось.

Для получения условной вероятности используем теорему умножения вероятностей зависимых событий

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим в формулу (5) вместо Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач ее значение из формулы полной вероятности. Получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (6) называют формулами Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез. Это важно при контроле или ревизиях. 

Пример №27

Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их стандартности к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что пригодная деталь будет признана стандартной первым контролером равна 0,94, а вторым - 0,98.

Пригодная деталь при проверке признана стандартной. Найти вероятность того, что деталь проверял первый контролер.

Решение. Обозначим такие события: А - пригодная деталь признана стандартной; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- деталь проверял первый контролер; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- деталь проверял второй контролер. По условию примера

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле Байеса (6) при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что до появления события А вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а после появления события А вероятность проверки детали первым контролером Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач уменьшилась.

Пример №28

Вероятность уничтожения самолета с одного выстрела для первой пушки равна 0,2, а для второй пушки - 0,1. Каждая пушка делает по одному выстрелу, причем было одно попадание в самолет. Какая вероятность того, что попала первая пушка?

Решение. Обозначим такие события: А - уничтожение самолета с первого выстрела первой пушкой; В - уничтожение самолета с первого выстрела второй пушкой; С - одно попадание в самолет. Имеем четыре гипотезы

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

которые образуют полную группу событий. Вероятностями этих гипотез будут

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как сумма

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

является достоверным событием, то

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условные вероятности события С будут

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь по формуле Байеса находим искомую вероятность

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательности испытаний

Схемой Бернулли или последовательностью независимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемой испытаний называют последовательность n испытаний, удовлетворяющих условиям.

Схема и формула Бернулли

Во многих задачах теории вероятностей, статистике и повседневной практике необходимо исследовать последовательность (серию) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачиспытаний. Например, испытание "брошено 1000 одинаковых монет" можно рассматривать как последовательность 1000 более простых испытаний - "брошена одна монета". При бросании 1000 монет вероятность появления герба или надписи на одной монете не зависит от того, что появится на других монетах. Поэтому можно говорить, что в этом случае испытание повторяется 1000 раз независимым образом.

Определение 1. Если все Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаний проводить в одинаковых условиях и вероятность появления события А во всех испытаниях одинаковая и не зависит от появления или непоявления  А в других испытаниях, то такую последовательность независимых испытаний называют схемой Бернулли. 

Пусть случайное событие А может появится в каждом испытании с вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или не появится с вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поставим задачу: найти вероятность того, что при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях событие А появится Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз и не появится Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз. Искомую вероятность обозначим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сначала рассмотрим появление события А три раза в четырех испытаниях. Возможны такие события 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть их Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если событие А появилось 2 раза в 4 испытаниях, то возможны такие события

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

их Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В общем случае, когда событие А появляется Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях, таких сложных событий будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим вероятность одного сложного события, например

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность совместного появления Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнезависимых событий равна произведению вероятностей этих событий согласно теореме умножения вероятностей, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Количество таких сложных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и они несовместные. Поэтому, согласно теореме сложения вероятностей несовместных событий, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулу (1) называют формулой Бернулли .Она позволяет находить вероятность появления события А Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраз при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях, которые образуют схему Бернулли. 

Замечание 1. Вероятность появления события А в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях схемы Бернулли менее Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность появления события А не менее Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз можно найти по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

или по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность появления события А хотя бы один раз в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях целесообразно находить по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2. Во многих случаях необходимо находить наиболее вероятное значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач числа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач появления новых событий А. Это значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется соотношениями

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач должно быть целым. Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - целое число, тогда наибольшее значение вероятность имеет при двух числах

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Если вероятность появления события А в каждом испытании равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то количество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаний, которые необходимо провести, чтобы с вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно было утверждать, что событие А появится хотя бы один раз, находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

Прибор собран из 10 блоков, надежность каждого из них 0,8. Блоки могут выходить из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что 

а) откажут два блока;

б) откажет хотя бы один блок;

в) откажут не менее двух блоков.

Решение. Обозначим событием А отказ блока. Тогда вероятность события А по условию примера будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно условию задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачИспользуя формулу Бернулли и Замечание 1, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №30

За один час автомат производит 20 деталей. За сколько часов вероятность производства хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,952, если вероятность брака любой детали равна 0,01?

Решение. Используя формулу (2), найдем сначала такое количество произведенных деталей, чтобы с вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно было утверждать о наличии хотя бы одной бракованной детали, если вероятность брака по условию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, за время Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (часов) автомат с вероятность. 0,952 произведет хотя бы одну бракованную деталь. 

Пример №31

При новом технологическом процессе 80% всей произведенной продукции имеет наивысшее качество. Найти наиболее вероятное число произведенных изделий наивысшего качества среди 250 произведенных изделий.

Решение. Обозначим искомое число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно Замечанию 2

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию примера Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач должно быть целым числом, поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Нахождение вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле Бернулли усложняется при достаточно больших значениях Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и при малых Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач В таких случаях часто можно использовать вместо формулы Бернулли приближенные асимптотические формулы.

Укажем без доказательства три предельных теоремы, которые содержат приближенные формулы для вероятностей

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1 (Теорема Пуассона). Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачтак , чтоТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

для любого постоянного Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Вероятность появления события А Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях схемы Бернулли можно находить по приближенной формуле Пуассона

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулу (1) целесообразно применять при больших Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи при малых Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №32

Учебник напечатан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность неправильной брошюровки учебника равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж имеет 5 бракованных учебников.

Решение. Брошюровку каждого учебника можно рассматривать как испытание. Испытания независимые и имеют одинаковую вероятность неправильной брошюровки, поэтому задача укладывается в схему Бернулли. Согласно условию задачи

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно большое; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач малое; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулу Пуассона (1), получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для приведения еще двух предельных теорем необходимо сначала определить локальную и интегральную функции Лапласа и ознакомится с их основными свойствами. 

Определение 1. Локальной функцией Лапласа называют функцию вида

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта функция часто используется, поэтому ее значение для разных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачприведены в учебниках и пособиях по теории вероятностей. Она табулирована для положительных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Основные свойства локальной функции Лапласа

  1. Функция Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач четная, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Функция Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач определена для всех Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3.  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4.  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

График локальной функции Лапласа имеет вид, показанный на рис. 7.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 2.  Интегральной функцией Лапласа называют функцию

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Легко увидеть, что между локальной функцией Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и интегральной функцией Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач существует простоя связь

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные свойства интегральной функции Лапласа

  1. Интегральная функция Лапласа является нечетной функциейТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2.  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3.  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

График интегральной функции Лапласа изображен на рис. 8.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегральная функция Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач табулирована для Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2 (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли количество испытаний Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачдостаточно большое, а вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпоявления события А во всех испытаниях одинаковая, то вероятность появления события А Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз может быть найдена по приближенной формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Формулу (2) целесообразно использовать при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №33

Игральный кубик бросают 800 раз. Какая вероятность того, что  количество очков, кратное трем, появится 267 раз.

Решение. В данном случае Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно большие. Поэтому для нахождения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачможно использовать формулу (2). Получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, по формуле (2) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачвзято из таблицы. Так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3 (Интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли в каждом из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнезависимых испытаний событие А может появится с постоянной вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда вероятность появления события А не меньше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи не больше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз может быть найдена по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - интегральная функция Лапласа,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №34

Игральный кубик бросают 800 раз. Какая вероятность того, что  количество очков, кратное трем, появится не меньше 260 и не больше 274 раз?

Решение. Для нахождения вероятности

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

используем формулы (4) и (3). Получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение интегральной функции Лапласа взято из таблицы и применяется свойство нечетности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачфункции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательность испытаний с разными вероятностями

В схеме Бернулли вероятность появления события А во всех испытаниях одинаковая. Но на практике иногда встречаются и такие случаи, когда в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимых испытаниях вероятности появления события А разные, например, они равны Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда вероятности непоявления события А также будут разными

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае нельзя вычислять по формуле Бернулли вероятность появления события А Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях, а необходимо использовать производную функцию

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило. Искомая вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равна коэффициенту, который стоит при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №35

Вероятности отказа каждого из 4 приборов в 4 независимых испытаниях  разные и равны

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти вероятность того, что вследствие испытаний

а) не откажет ни один прибор;

б) откажут один, два, три, четыре прибора;

в) откажет хотя бы один прибор;

г) откажут не менее двух приборов.

Решение. Вероятности отказа приборов в испытаниях разные,  поэтому используем производную функцию (1), которая в данном случае имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскроем скобки и приведем подобные члены. Тогда получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно Правилу, отсюда получаем ответы на вопросы примера

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №36

Работник обслуживает три станка, которые работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания работника, равна 0,9, а для второго и третьего станков - 0,8 и 0,85 соответственно. Какой является вероятность того, что в течение часа

а) ни один станок не потребует внимания работника;

б) все три станка потребуют внимания работника;

в) хотя бы один станок потребует внимания работника?

Решение. Этот пример можно решить с использованием теорем умножения и сложения вероятностей (смотри упражнение 15 Раздела 2). Решим теперь этот пример с использованием производной функции, которая в данном случае принимает вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, коэффициент при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равен вероятности того, что в течение час внимания работника не потребуют Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачстанков. Поэтому получим ответы на вопросы этого примера:

а) вероятность того, что все три станка не потребуют внимания работника равна коэффициенту при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь теории вероятностей с ее практическим использованием. Она была доказана Я. Бернулли в конце Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а опубликована в 1713 году.

Теорема 4 (Я. Бернулли). Если в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимых испытаниях вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач появления события А одинакова и событие А появилась Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз, то для любого положительного числа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет место равенство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

  • то есть предел вероятности отклонения относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач события А от его вероятности на величину, которая больше или равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю. 

Согласно определению предела равенство (1) означает, что 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - бесконечно малая величина.

Это означает, что событие 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

практически невозможно. Но тогда противоположное событие

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

практически достоверно для любого положительного числа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие теоремы Бернулли

Равенство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

может отличаться от практически достоверного события

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач на бесконечно малую величину.

Это значит, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть относительная частота (частость) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач события А отличается от вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачсобытия А на бесконечно малую величину, которую практически можно не учитывать.

Другую формулировку и доказательство теоремы Бернулли смотри в подразделе 4.4.3 Раздела 4.

Замечание. Формулу (1) можно записать, используя интегральную функцию Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим важную формулу

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая позволяет решать много задач.

Пример №37

Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления события отклоняется от вероятности по абсолютной величине не больше чем на 0,04.

Решение. По условию примера Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Нужно найти Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (2) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы значений функции Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, искомая вероятность приближенно равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №38

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытания Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпри котором с вероятностью 0,7698 модно ожидать, что частота появления события отклоняется от его вероятности по абсолютной величине не больше чем на 0,02.

Решение. По условию задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используем формулу (2). Тогда согласно условию получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По таблице значений интегральной функции Лапласа найдем

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, искомая вероятность испытаний Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №39

Отдел технического контроля проверяет стандартность 900 изделий. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,9544 границы интервала, который содержит число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачстандартных изделий среди проверенных.

Решение. По условию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, с вероятностью 0,9544 отклонение частоты количества стандартных изделий от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из последних соотношений следует, что искомое число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачстандартных изделий среди 900 проверенных с вероятностью 0,9544 принадлежит интервалу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простой поток событий

Определение 1. Потоком событий называют последовательность таких событий, которые появляются в случайные моменты времени.

Например, заявление в диспетчерский пункт по вызову такси.

Определение 2. Поток событий называется пуассоновским, если он:

  1. Стационарный, то есть зависит от количества Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач появлений событий и времени Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и не зависит от момента своего начала.
  2. Имеет свойство отсутствия последействия, то есть вероятность появления события не зависит от появления или не появления события раньше и влияет на ближайшее будущее.
  3. Ординарный, то есть вероятностью появления больше одного события за малый промежуток времени является величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления события один раз  в  этот промежуток времени.

Определение 3. Среднее число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпоявлений события А в единицу времени называют интенсивностью потока.

Теорема 5. Если поток событий пуассоновский, то вероятность появления события А Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз за время Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- интенсивность потока.

Замечание 1. Формулу (1) иногда называют математической моделью простого потока событий. 

Пример №40

Среднее количество заказов, которые поступают в комбинат бытового обслуживания каждый час, равно 3. Найти вероятность того, что за два часа поступят

а) 5 заказов;

б) меньше 5 заказов;

в) не меньше 5 заказов.

Решение. Имеем простой поток событий с интенсивностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачПо формуле (1) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2. Примерами простого потока могут быть: появление вызовов на АТС, на пункты скорой медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт или клиентов на предприятие бытового обслуживания, серия отказов элементов или блоков приборов и так далее.

Случайны величины

Случайные величины бывают:

  • непрерывные – значения которых непрерывно заполняют какой-либо промежуток (например: давление крови человека, температура его тела или состав крови);
  • дискретные – принимающие отдельные друг от друга значения (например: число звонков на станцию скорой помощи в течение часа или количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика).

Виды случайных величин и способы их задания

При исследовании многих проблем возникают такие случайные события, исходом которых является появление некоторого числа, заранее неизвестного. Поэтому такие числовые значения - случайные.

Примером такого события является: количество очков, которое выпадает при бросании игрального кубика; количество студентов, которые придут на лекцию; количество сахарной свеклы, которое ожидают получить с одного гектара.

Случайной величиной называют такую величину, которая вследствие испытания может принять только одно числовое значение, заранее неизвестное и обусловленное случайными причинами.

Случайные величины целесообразно обозначать большими буквами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задача их возможные значения - соответствующими малыми буквами с индексами. Например,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Определение 1. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, которая может принимать отдельные изолированные друг от друга числовые значения (их можно пронумеровать) с соответствующими вероятностями.

Пример:

Количество попаданий в мишень при трех выстрелах будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать четыре изолированных числовых значения с разными вероятностями. Поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - дискретная случайная величина.

Количество вызовов такси Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач на диспетчерском пункте также будет дискретной случайной величиной, но при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачзначения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач также увеличиваются, то есть их количество стремится к бесконечности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 2. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют величину, которая может принимать любое числовое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Количество возможных значений такой величины является бесконечным.

Пример:

Величина погрешности, которая может быть при измерении расстояния; время безотказной работы прибора; рост человека; размеры детали, которую производит станок-автомат.

Пример:

Рассмотрим случайные величины: количество очков, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые могут появится при бросании правильного игрального кубика и неправильного игрального кубика. Их возможные значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаковые.

Вероятность появления любого значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач одинакова для всех возможных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задача вероятности появления возможных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут разными. Следовательно, случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач не равны, поэтому при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачполучим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, для полной характеристики случайной величины необходимо указать не только все ее возможные значения, а и закон, по которому находят вероятности каждого значения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3. Законом распределения случайной величины называют такое соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. 

В случае дискретной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачфункциональную зависимость можно задавать в виде таблицы, аналитически или графически.

В экономических дисциплинах все эти способы задания ДСВ имеют другие названия, поэтому ознакомимся с ними более детально в следующем разделе.

Определение 4. Интегральной функцией распределения (функцией распределения) называют вероятность того, что случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач примет значение меньше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функцию распределения обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может принимать любое значение из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулу (1) часто называют основной формулой теории вероятностей.

Замечание. Непрерывная случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая принимает значение в промежутке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет бесконечное количество возможных значений, поэтому приобретение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач определенных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет практически невозможным событием. Это означает, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачбудут бесконечно малыми величинами, которые в практических расчетах можно не учитывать. Поэтому имеют место равенства

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение интегральной функции распределения и свойства вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач позволяют получить такие свойства функции распределения:

  • Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - возрастающая функция, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

График функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может иметь вид, изображенный, например, на рис. 9.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5. Дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятностей непрерывной случайной величины называют производную первого порядка от ее интегральной функции распределения и обозначают

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Название "плотность вероятностей" следует из равенства

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (2) следует, что функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является первоначальной для дифференциальной функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач примет значение из интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Интегральная функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - первоначальная для Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому согласно формуле  Ньютона-Лейбница получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правые части равенств (1) и (4) равные, поэтому и левые их части равные, то есть имеет место равенство (3), которое и требовалось доказать.

Следствие. Если дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач известна, то интегральную функцию распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальная функция распределения НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет следующие свойства:

  • 1) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что она является производной возрастающей функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 2) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому что является производной Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 3) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпотому что событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- достоверное.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

График плотности вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют кривой распределения. Он может иметь вид, изображенный, например, на рис. 10.

Пример №41

Случайная величина имеет плотности вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи функцию распределения.

Решение. Параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнаходим, используя свойство 3 дифференциальной функции распределения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функцию распределения найдем по формуле (5)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №42

Случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачзадана функцией распределения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определить область значений случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи вероятность того, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Согласно свойствам функции распределения получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому должны выполняться условия

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если область значений случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачПодставим в (6) вместо Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но в промежутке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно областью значений НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачСобытие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет противоположным, поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенства (6) получаем

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь по формуле (7) находим 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Законы распределения и числовые характеристики дискретных случайных величин

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными на опыте значениями этой величины и их вероятностями.

Способы задания и законы распределения

Пусть случайная дискретная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпринимает значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачс соответствующими вероятностями Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задать закон распределения такой случайной величины - это задать равенство Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторое можно рассматривать как функцию.

Поэтому закон распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачможно задавать аналитически, в виде таблицы, графически. Функция распределения для дискретной случайной величины имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чаще всего используют табличный способ задания ДСВ, который называют рядом распределения и изображают в виде

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первом ряду записаны все возможные значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а во втором ряду - соответственные вероятности, которые имеют свойство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №43

Условиями лотереи предусмотрены: один выигрыш - 100 рублей, два - 50 рублей, восемь - 10 рублей, девятнадцать - 1 рубль. Найти закон распределения суммы выигрыша владельцем одного лотерейного билета, если продано 1000 билетов.

Решение. Будем искать закон распределения суммы выигрыша Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачв виде ряда распределения. Тогда 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Если случайная дискретная величина может принимать бесконечное количество значений, то ее ряд распределения (таблица) будет иметь бесконечное количество элементов в каждом ряду, причем ряд Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач должен сходится, а его сумма должна быть равна единице.

Графический способ. Возьмем прямоугольную систему координат. На оси абсцисс будем откладывать возможные значения ДСВ, а на оси ординат - соответствующие значения вероятности. Получим точки с координатами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соединив эти точки прямыми, получим график (см. рис. 11) в виде многоугольника распределения случайной дискретной величины

Значение ДСВ, вероятность которой самая большая, называют модой. На рисунке 11 мода - Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналитический способ задания дискретной случайной величины основан на задании определенной функции, по которой можно найти вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующего значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Укажем некоторые важнейшие законы распределения ДСВ и задачи, в которых они встречаются.

Биномиальный закон распределения

Этот закон имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и используется в схеме Бернулли, то есть в случае Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнезависимых повторяющихся испытаний, в каждом из которых некоторое событие появляется с вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Закон распределения Пуассона

ДСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает счетное множество значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачс вероятностями

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это распределение используют в задачах статистического контроля качества, в теории надежности, теории массового обслуживания, для вычисления: количества требований на выплату стразовых сумм за год, количества дефектов одинаковых изделий.

Если в схеме независимых повторяющихся событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно большое, а Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к нулю, то биномиальное распределение аппроксимирует распределение Пуассона, параметр которого Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач причем при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач эта аппроксимация дает хорошие результаты независимо от величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2. Если в формулу Пуассона поставить Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - интенсивность течения случайных событий в единицу времени, то формула примет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрическое распределение

Это распределение имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - вероятность появления события А в каждом испытании, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  - количество испытания до появления события А в серии независимых повторяющихся испытаний.

Ряд вероятностей этого распределения бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач сумма которой равна единице.

Геометрическое распределение используют в разнообразных задачах статистического контроля качества приборов, в теории надежности и в страховых расчетах. 

Гипергеометрическое распределение

Это распределение имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оно показывает вероятность появления Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачэлементов с определенным свойством среди Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, взятых из совокупности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов, которая содержит Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов именно с таким свойством.

Это распределение используют во многих задачах статистического контроля качества.

Замечание 3. Если объем выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач маленький по сравнению с объемом Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач совокупности, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то вероятности в гипергеометрическом распределении будут близки к соответствующим вероятностям биномиального распределения с Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В статистике это означает, что расчеты вероятностей для бесповторной выборки будут мало отличаться от расчетов вероятностей для повторной выборки.

Полиномиальное распределение

Это распределение имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оно применяется тогда, когда вследствие каждого из проведенных повторяющихся независимых испытаний может появится Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач разных событий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовые характеристики

Законы распределения ДСВ полностью характеризуют случайные величины и позволяют решать все связанные с ними задачи.

Но в практической деятельности не всегда удается получить закон распределения, или закон слишком сложный для практических расчетов. Поэтому появилась необходимость характеризовать ДСВ с помощью числовых характеристик, которые достаточно характеризуют особенности  случайных величин.

Чаще всего используют три числовых характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение от математического ожидания.

Ознакомимся с этими числовыми характеристиками и их свойствами.

Математическое ожидание и его основные свойства

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнаpsdf.n число, которое равно сумме произведений всех возможных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание  ДСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачобозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпринимает бесконечное количество значений, то

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математическое ожидание  ДСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач характеризует среднее значение случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с учетом вероятностей его возможных значений. В практической деятельности под математическим ожиданием понимают центр распределения случайной величины. 

Основные свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из Определения 1.

3. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых дискретных случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то сеть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Если две величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределены по законам

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

(для упрощения выкладок взято только по 2 возможных значения), тогда закон распределения произведения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (1) получим математическое ожидание

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае трех случайных величин получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Методом математической индукции  теперь не сложно завершить доказательство.

Аналогично, но немного сложнее, можно доказать следующее свойство.

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №44

Независимые случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределены так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти математическое ожидание случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала найдем математические ожидания каждой их этих величин. По формуле (1) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимые, поэтому  согласно свойства  3 математического ожидания получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №45

Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут появиться при бросании двух игральных кубиков.

Решение. Обозначим количество очков, которые могут появиться на первом кубике Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задача на втором - Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Возможные значения этих величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаковые, вероятность каждого из этих значений равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно свойства  4 математического ожидания, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, математическое ожидание суммы числа очков, которые могут появиться при бросании  двух игральных кубиков равно 7. 

Дисперсия и ее свойства

Математическое ожидание характеризует центр распределения дискретной случайной величины. Но этой характеристики недостаточно, так как возможно значительное отклонение возможных значений от центра распределения. Для характеристики рассеивания возможных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно центра распределения введем новую числовую характеристику.

Определение 2. Дисперсией дискретной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число, которое равно математическому ожиданию квадрата отклонения ДСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач от ее математического ожидания.

Дисперсию величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Это определение математически выглядит так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные свойства Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Дисперсия любой ДСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач не отрицательная

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач не отрицательная, поэтому согласно определению математического ожидания и свойств вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач также не отрицательная.

2. Дисперсия постоянной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачравна нулю

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Постоянный множитель Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выносить за знак дисперсии, при этом постоянный множитель необходимо возвести в квадрат

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянный множитель Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно выносить за знак математического ожидания, поэтому из формулы (2) следует нужное равенство (3).

4. Дисперсия  ДСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачравна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи квадрата ее математического ожидания

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4. Формула (2) определяет дисперсию случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а по формуле (4) ее целесообразно находить. 

5 Дисперсия алгебраической суммы ДСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равна сумме их дисперсий

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Сначала докажем это свойство для Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно формуле (4) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь рассмотрим дисперсию разности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 5. Пятое свойство дисперсии имеет место для алгебраической суммы не только двух, а и конечного числа дискретных случайных величин.

Пример №46

Найти дисперсия случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая задана законом

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Будем искать Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с использованием формулы (4). Математическим ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно формуле (1) будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы найти математическое ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач запишем закон распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде таблицы

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что все значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получены путем возведения в квадрат соответствующих значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачЭлементы второго ряда - вероятности этих значений - не изменяются.

По формуле (1) находим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формуле (4) теперь получаем

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины

В большинстве случаев случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет размерность, например, метр, миллиметр, грамм, поэтому ее дисперсия Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет измеряться в квадратных единицах этой размерности.

В практической деятельности целесообразно знать величину рассеивания случайной величины в размерности этой величины. Для этого используют среднеквадратическое отклонение, которое равно квадратом у корню из дисперсии и обозначается

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятия моментов распределения

Определение 3. Начальным моментом Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-того порядка случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают математическое ожидание величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центральным моментом Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-того порядка случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают математическое ожидание величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начальные и центральные моменты порядка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпозволяют лучше учитывать влияние на математическое ожидание (центр распределения случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) тех возможных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые большие и имеют маленькую вероятность.

Пример №47

Дискретная случайная величина задана законом

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математическим ожиданием Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Законом распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач значительно больше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а это означает, что роль значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выросла.

Замечание 6. Целесообразно знать числовые характеристики основных законов распределения дискретных случайных величин, которые можно представить в виде следующей таблицы.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовые характеристики законов распределения непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин:

В случае непрерывных случайных величин (НСВ) математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение имеют такой же смысл и свойства, как и для дискретных случайных величин, но вычисляют их по другим формулам.

Пусть возможные значения непрерывной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач заполняют отрезок Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Разделим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач на Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач частей длиной

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В каждой части возьмем точку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда плотность вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачв точке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - вероятность того, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач примет значения. Получим распределение НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вида

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумма

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

характеризует математическое ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тем точнее, чем меньше будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачЭта сумма будет равна математическому ожиданию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач если перейти к пределу при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно определению определенного интеграла получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом доказана

Теорема 2. Если непрерывная случайная величина принимает значение на отрезке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет плотность вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то ее математическое ожидание находится по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично доказывается

Теорема 3. Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является плотностью вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнепрерывная случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда математическое ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находится по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Если возможные значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат отрезку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то центр распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находится на этом промежутке, потому что из неравенств

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и условия нормирования Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач следуют соотношения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если плотность вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - четная функция, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачто центр распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с началом. Если график функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричный относительно прямой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачто Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как и в случае дискретных случайных величин, дисперсию непрерывных случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

а вычисляют по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если возможные значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат только конечному промежутку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачто равенства (2) и (3) принимают вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяют и вычисляют так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №48

Найти числовые характеристики случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторая задана функцией распределения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сначала найдем дифференциальную функцию распределения, то есть плотность вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь по формуле (1) найдем математическое ожидание

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дисперсию найдем по формуле (4)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Среднеквадратическое отклонение получим по формуле (5)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Законы распределения НСВ и их числовые характеристики

Основные законы распределения непрерывных случайных величин разделяют по виду их дифференциальных функций распределения (плотности вероятностей) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чаще всего используют следующие законы распределения

Равномерное распределение

Определение 1. Величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена равномерно в промежутке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач если все ее возможные значения принадлежат этому промежутку и плотность ее вероятностей на этом промежутке постоянная, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина постоянной Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачопределяется условием нормирования

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно распределена в промежутке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то вероятность принадлежности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачлюбому интервалу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорциональна длине этого интервала

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, вероятность попадания Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачв интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равна отношению длины этого  интервала к длине всего промежутка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этому распределению отвечают, например, погрешности округления разнообразных расчетов.

График равномерного распределения НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рис. 12.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовыми характеристиками НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая распределена по равномерному закону, будут

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Показательное распределение

Определение 2. Случайную величину Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют распределенной по показательному закону, если плотность ее вероятностей имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - параметр.

Показательному распределению отвечают: время телефонного разговора, время ремонта техники, время безотказной работы компьютера.

Числовыми характеристиками показательного распределения будут

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, если НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраспределена по показательному закону. то она имеет равные математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

Пример №49

Найти числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В данном случае случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена по показательному закону с параметром Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно формулам (6) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 2. Если случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраспределена по показательному закону, то ее функция распределения (интегральная функция распределения) имеет вид Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому основная формула теории вероятностей примет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №50

Величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена по закону

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти вероятность того, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач попадет в интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраспределена по показательному закону с параметром Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя формулу (7) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соответствующее значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно взять из таблицы значений этой функции.

Нормальное распределение

Определение 3. Случайную величину Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают распределенной нормально, если плотность ее вероятностей имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - параметры распределения.

График этой функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают нормальной кривой или кривой Гаусса.

Полное исследование этой функции методами дифференциального исчисления позволяет построить график нормальной кривой, который изображен на рис. 13.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальную кривую называют нормированной, ее уравнение будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

То сеть это табулированная функция Лапласа.

Замена переменной Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач использование интеграла Пуассона

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и формул (1), (2) и (5) позволяют получить числовые характеристики нормально распределенной НСВ Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, математическое ожидание нормального распределения равно параметру Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач этого распределения, а среднеквадратическое отклонение равно параметру Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Если случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраспределена по нормальному закону с параметрами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет распределена по нормированному нормальному закону и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегральной функцией нормального закона распределения будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

а для нормированного нормального закона

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность попадания в интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнормально распределенной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где функция Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет вид (8).

Пример №51

Случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраспределена по нормальному закону, ее математическое ожидание равно 30, а среднеквадратическое отклонение  - 10. Найти вероятность того, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь значения с интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Согласно условию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому по формуле (2) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь использованы свойства нечетности интегральной функции Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач из таблицы значений этой функции.

Пример №52

Рост студентов распределен по нормальному закону. Математическое ожидание роста студентов равно 175 см., а среднеквадратическое отклонение - 6 см. Найти вероятность того, что хотя бы один из пяти вызванных студентов будет иметь рост от 170 до 180 см.

Решение. Рост студента Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - случайная величина, которая по условию задачи распределена нормально с математическим ожиданием Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и среднеквадратическим отклонением - Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим события: А- из 5 вызванных студентов рост хотя бы одного принадлежит промежутку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- рост всех 5 вызванных студентов не принадлежит промежутку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена нормально, поэтому по формуле (9) найдем вероятность того, что рост одного вызванного студента принадлежит промежутку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя табличное значение интегральной функции Лапласа, получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятность того, что рост одного из вызванных студентов не принадлежит промежутку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, найдем вероятность события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, вероятность искомого события А будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило трех сигм

Если случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраспределена нормально, то

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть вероятность того, что абсолютная величина отклонения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачот ее математического ожидания больше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к 0, а это означает, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - практически достоверное событие.

На практике это правило используют так:

Если закон распределения случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестен, но Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачтогда можно допустить, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена нормально.

Распределение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач(хи-квадрат)

Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - нормальные нормированные, независимые величины, то есть их математическое ожидание равно нулю, среднеквадратическое отклонение равно единице и каждая из них распределена по нормальному закону. Тогда сумма квадратов этих величин

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

распределена по закону Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачс Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач степенями свободы

Если величиныТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны одним линейным соотношением, например, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то число степеней свободы будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальная функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- гамма-функция, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что распределение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется параметром - числом степеней свободы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Когда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается, распределение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к нормальному распределению очень медленно.

Распределение Стьюдента

Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - нормальная нормированная случайная величина, а Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - независимая от Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач величина, которая распределена по закону хи-квадрат с Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач степенями свободы. Тогда величина

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеет распределение, которое называют Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-распределением или распределением Стьюдента (это псевдоним английского статиста Уильяма Госсета) с Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  степенями свободы. 

При увеличении Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачраспределение Стьюдента быстро приближается к нормальному распределению.

Закон больших чисел и центральная предельная теорема

Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают соответствие между теоретическими и исследовательскими характеристиками случайных величин или случайных событий при большом количестве испытаний. Предельные теоремы описывают также предельные законы распределения. В подразделах 3.2 и 3.4 мы ознакомились с некоторыми предельными  теоремами схемы Бернулли.

Предельные теоремы, которые устанавливают соответствие между теоретическими и исследовательскими характеристиками случайных событий, объединяют общим называнием - закон больших чисел.

Закон больших чисел играет важную роль в разных процессах, связанных с массовым производством.

Предельные теоремы, которые устанавливают предельные законы распределения случайных величин, объединяют общим называнием - центральная предельная теорема.

Необходимость предельных теорем обусловлена потребностью решения, например, таких задач:

  1. Когда сумма многих случайных величин мало отличается от постоянной величины, то сеть почти перестает быть случайной величиной и поэтому ее поведение может прогнозироваться со значительной вероятностью?
  2. При каких условиях можно со значительной вероятностью прогнозировать число появлений некоторого случайного события при большом количестве независимых испытаний?
  3. При каких ограничениях сумма многих случайных величин будет распределена по нормальному закону?

Неравенство Чебышева

При доказательстве разных предельных теорем, а также при решении разных задач важную роль играет неравенство Чебышева, которое имеет две формы.

Первая форма неравенства Чебышева

Для произвольной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая принимает неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- дискретная случайная величина, то

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- непрерывная случайная величина, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - плотность ее вероятностей, то

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпринимает только неотрицательные значения, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно,

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неравенство (1) иногда называют неравенством Маркова.

Вторая форма неравенства Чебышева

Если случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачимеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для произвольного Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет место неравенство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Сначала рассмотрим противоположное событие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Легко увидеть, что это событие эквивалентно событию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому к нему можно применить первую форму неравенства Чебышева

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь вероятность противоположного события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет неравенство (2), что и требовалось доказать.

Пример №53

Дисперсия случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачравна 0,001. Какая вероятность того, что случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачотличается от ее математического ожидания Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач больше, чем на 0,1?

Решение. По неравенству Чебышева (3) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Неравенства Чебышева позволяют доказать предельную теорему Бернулли (см. подраздел 3.4) и другие важные предельные теоремы про устойчивость средних.

Важные предельные теоремы

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события А в каждом из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимых повторяющихся испытаний равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число появлений события А (частота события) в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач испытаниях. Тогда

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Частость Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачможно рассматривать как неотрицательную случайную величину Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем ее математическое ожидание

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, необходимо оценить вероятность отклонения случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач от ее математического ожидания. Для этого найдем дисперсию этой случайной величины

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По неравенству Чебышева (2) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда предельным переходом при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем (4), что и требовалось доказать.

Теорема Чебышева. Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- последовательность попарно независимых случайных величин, которые удовлетворяют условиям

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

для всех Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Найдем математическое ожидание и дисперсию средней случайных величин, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим для случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач неравенство Чебышева (2)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел этой вероятности при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равен единице, то есть равенство (5) доказано.

Центральная предельная теорема. Пусть задана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим случайную величину Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач функция распределения 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть сумма Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства этой теорему нужно найти предел характеристической функции, построенной для нормированной случайной величины

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределение суммы одинаково распределенных случайных величин мало отличается от нормального распределения. 

Теорема Ляпунова. Пусть задана последовательность независимых случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач таких, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим сумму случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Если выполняется условие равномерной малости величин, которые образуют сумму

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то сумма Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет распределена нормально с математическим ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и дисперсией Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство этой теоремы достаточно сложное, но отметим, что в случае, когда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачВеличины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут удовлетворять условию теоремы Ляпунова.

Пример №54

Сколько приложений нужно взять в теореме Чебышева, чтобы с надежностью 96% и точностью до 0,01 выполнялось приближенное равенство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В этом примере Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачЧтобы получить надежность 96% согласно формуле (6) достаточно подобрать такое Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторое удовлетворяет неравенство

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 1. Пример 2 показывает, что даже в случае не очень больших точности и надежности, нужно брать значительное количество приложений (Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- достаточно большое число). Это означает, что оценки, полученные с использованием неравенства (6), - завышенные. Более точные оценки можно получить с помощью теоремы Ляпунова.

Закон распределения и числовые характеристики двумерных случайных величин

Выше рассмотрены случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые при каждом испытании определялись одним возможным числовым значением. Поэтому такую случайную величину Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют одномерной.

Если возможные значения случайной величины определяются в каждом испытании Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач числами, то такие величины называют соответственно, двух, трех, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-мерными соответственно.

Двумерную случайную величину будем обозначать Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом будут компонентами. Величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые рассматриваются одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично можно рассматривать систему Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачслучайных величин.

Определение 1. Совокупность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачодновременно рассматриваемых случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают системой случайных величин

Систему Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачможно рассматривать как случайную точку в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-мерном пространстве с координатами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачили как случайный вектор, направленный из начала систему координат в точку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачполучим систему двух случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторую можно изобразить как случайную точку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачна плоскости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачили как случайный вектор Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач(см. рис. 14).

Многомерные случайные величины бывают дискретными и непрерывными (компоненты этих величин соответственно будут дискретными и непрерывными).

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Определение 2. Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи их вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чаще всего закон распределения двумерной дискретной случайной величины задают в виде таблицы с двумя входами.

В первом ряду таблицы записывают все возможные значения компоненты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачВ первом столбце таблицы записывают все возможные значения компоненты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач На пересечении Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-того ряда и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-того столбца записывают вероятностьТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач того, что двумерная случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпринимает значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

События Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачобразуют полную группу, поэтому сумма вероятностей таблицы равна единице, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Закон распределения двумерной случайной величины позволяет получить законы распределения каждой компоненты. 

Действительно, события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач несовместны, поэтому вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачтого, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач примет значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по теореме сложения вероятностей будет

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть равен сумме вероятностей, которые расположены в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-том столбце таблицы распределения.

Аналогично, сложением вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-того ряда таблицы, получим вероятность

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №55

Найти законы распределения компонент двумерной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Законы распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут иметь вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вероятности соответствующих значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнаходим так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3. Интегральной функцией функцией распределения (функцией распределения) двумерной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют функцию двух переменных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторая определяет для каждой пары чисел Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вероятность выполнения неравенств Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично определяют функцию распределения системы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач случайных величин

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Определение 3 функции распределения позволяют доказать такие свойства функции распределения, которые в случае двумерной случайной величины выглядят

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач не убывающая функция по каждому аргументу, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Имеют место предельные соотношения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

можно найти по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрический смысл функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - это вероятность того, что случайная точка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач попадет в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и размещенный ниже и левее этой вершины (см. рис. 15).

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №56

Найти вероятность попадания случайной точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в прямоугольник, ограниченный линиями

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

если задана функция распределения вида

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В заданном случае 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формуле (1) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Непрерывная двумерная случайная величина

Двумерную случайную величину можно задавать функцией распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или дифференциальной функцией распределения.

Определение 4. Дифференциальной функцией распределения (двумерной плотностью вероятностей) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач двумерной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют смешанную частную производную второго порядка от интегральной функции распределения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично определяют плотность вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-мерной случайной величины, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, если функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач двумерной случайной величины известна, то по формуле (2) можно найти дифференциальную функцию распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач этой случайной величины.

Если известна плотность вероятностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач двумерной случайной величины, то ее функцию распределения находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то сеть с использованием несобственного двукратного интеграла.

Вероятность попадания случайной точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в произвольную область Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальная функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачудовлетворяет свойствам:

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть она не отрицательная;

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зависимые и независимые случайные величины

Две случайные величины независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая величина.

Случайные величины зависимы, если закон распределения одной величины зависит от того, какие значения приняла другая величина.

В теории вероятностей доказано такое утверждение.

Теорема. Чтобы случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы интегральная функция системы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачбыла равна произведению интегральных функций каждой из них

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Чтобы непрерывные случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная функция системы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач была равна произведению дифференциальных функций составляющих

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числовые характеристики двумерной случайной величины

Математическое ожидание двумерной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачхарактеризует координаты центра распределения случайной величины. Эти координаты в случае непрерывных величин находят по формулам

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дисперсии Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач характеризуют рассеивание случайной точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачвдоль координатных осей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, их находят по формулам

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для описания двумерной случайной величины кроме математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичных отклонений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач используют также другие характеристики, а именно корреляционный момент (или ковариация)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для непрерывных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коэффициент корреляции

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коэффициент корреляции является количественной характеристикой зависимости случайных величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и часто используется в статистике.

Если случайные величины  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачдискретные, то в формулах (3)-(6) знаки интервалов заменяют знаками суммы по всем возможным значениям случайных величин.

Определение 5. Случайные величины  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют некоррелированными, если их корреляционный момент или коэффициент корреляции равен нулю.

Свойства коэффициента корреляции

  • Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 2) если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимые, то Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • 3) если между Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач есть линейная зависимость Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачгде Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - постоянные, то Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Если момент корреляции или коэффициент корреляции не равен нулю, тогда случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - коррелированные. Две коррелированные величины обязательно зависимы. Но две зависимые случайные величины могут быть коррелированными или некоррелированными, то есть их коэффициент корреляции может быть равен нулю, а может быть и не равен нулю.

Из независимости двух величин следует  их некоррелированность, но из некоррелированности еще не  следует независимость этих величин. В случае нормального распределения величин из некоррелированности случайных величин следует их независимость.

Функции случайной величины и их характеристики

Понятие функции:

Во многих случаях нужно рассматривать две случайные величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачиТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Так, например, при анализе деятельности предприятия нужно учитывать количество всех работников Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи количество всех произведенных изделий Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачПо разным причинам количество работников и произведенных изделий каждый день может быть разным, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачиТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут случайными величинами. 

Определение 2. Если указан закон, по которому каждому возможному значению случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач отвечает определенное значение случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют функцией Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что иногда разным возможным значениям случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачотвечают одинаковые значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то значениям -3 и 3 случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач отвечает одно значение случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Одной из возможных задач теории вероятностей является определение законов распределения и числовых характеристик функций случайного аргумента, закон распределения которого известен. Укажем основные формулы для решения этой задачи.

Закон распределения и числовые характеристики функции дискретного случайного аргумента

Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - дискретная случайная величина с возможными значениями Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вероятности которых равны Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачсоответственно, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачзадана законом

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач также дискретная случайная величина с возможными значениями Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из события "величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач приняла значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач" следует событие "величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачприняла значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач", поэтому вероятности возможных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач также будут иметь вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляют по формулам

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начальные и центральные моменты распределения находят по формулам

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №57

Дискретная случайная величина задана законом распределения 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти математическое ожидание функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Возможными значениями Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (1) находим математическое ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Закон распределения и числовые характеристики функции непрерывного случайного аргумента

Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - непрерывная случайная величина, закон распределения которой задан дифференциальной функцией распределения (плотность вероятностей) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачслучайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- дифференцированная функция, монотонная на всем промежутке возможных значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то плотность распределения функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачопределяют так

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- функция, обратная по отношению к функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- производная первого порядка.

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- не монотонная функция в области определения аргумента Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то обратная функция неоднозначна и плотность распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачопределяется как сумма приложений, количество которых равно количеству значений обратной функции, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - обратные функции при заданном Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №58

Случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю. Найти закон распределения функции  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Согласно определению нормального распределения непрерывной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи условия примера дифференциальная функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Функция Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - дифференцирована, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому она возрастает для всех Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачСледовательно, можно применить формулу (2) для нахождения дифференциальной функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В данном случае из равенства

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому формула (2) принимает вид

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения математического ожидания от Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно сначала найти Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - дифференциальную функцию распределения величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле (2) или (3), а потом использовать формулу

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но более целесообразно находить математическое ожидание функции непрерывного случайного аргумента Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач непосредственно по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- плотность вероятностей величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачможет принимать значения только в промежутке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то формула (4) упрощается

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №59

Непрерывная случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачзадана дифференциальной функцией распределения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти математическое ожидание функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В данном случае Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому по формуле (5) получим

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя частями два раза, получим необходимое математическое ожидание

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, получили

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дисперсия функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнепрерывного случайного аргумента Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют обычным образом Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задача вычисляют по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае, когда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач меняется только в промежутке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач дисперсию функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В формулах (6) и (7) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - это плотность вероятностей непрерывной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (дифференциальная функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач)

Основные понятия о статистическом распределение

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительныхчастот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений).

Желание и внимательность всегда помогают начать изучение любой науки. 

Предмет математической статистики и короткая историческая справка:

Цель каждого научного исследования - выявление закономерности явлений, которые наблюдают, и использование этих закономерностей в повседневной практической деятельности. Для установления этих закономерностей проводят специальные опыты и наблюдают единичные случаи. Далее делают обобщенный вывод в виде закона. 

В тех случаях, когда явление находится под воздействием многих факторов и невозможно выявить влияние всех этик факторов,  используют другой метод изучения - статистический, то есть систематизация и обработка статистических данных однородных опытов. 

Обычно систематический метод изучения используют в экономике, социологии и политологии. 

Пусть, например, темп роста промышленного производства за первый период времени равен 5%. Это означает, что в среднем для всей совокупности предприятий показатель 5% является статистической закономерностью роста промышленного производства. Этот средний показатель не исключает, а, наоборот, допускает, что на отдельных предприятиях темп прироста может быть больше или меньше 5%. 

Предмет математической статистики заключается в разработке методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практичных выводов. 

Укажем основные задачи, которые решает математическая статистика:

  1. указать способы сбора и группировки (если данных слишком много) статистических сведений;
  2. определим закон распределения случайной величины или системы случайных величин по симметрическим данным;
  3. определить неизвестные параметры распределения;
  4. проверить правдоподобность предположений про закон распределения случайной величины, про форму связи между случайными величинами или про определения параметра, который оценивают. 

Можно сказать, что основная задача математической статистики  - разработка методов анализа статистических данных в зависимости от цели исследования. 

Методы математической статистики эффективно использовать для решения многих задач науки, организации технологического процесса, планирования, управления и ценообразования. 

Математическая статистика возникла (Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в.) и начала развиваться параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшим развитием (конец Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - начало Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачв.) математическая статистика обязана П.Л. Чебишову, А.А. Маркову, О.М. Ляпунову, а так же К. Гауссу, Ф. Гальтону, К. Пирсону и другим.

В Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в. наибольший вклад в математическую статистику внесли В.И. Романовский, Е.Е. Слуцкий, А.Н. Ляпунов, Стьюдент (псевдоним У. Госсета), Е. Пирсон, Ю. Нейман, А. Вальд, А.В. Скороход, В.С. Королюк и другие ученые. 

Генеральная и выборочная совокупности 

Пусть нужно изучить совокупность объектов относительно некоторого качественного или количественного значения, которые характеризуют эти объекты. Любой объект, который наблюдают, имеет несколько признаков. Рассматривая только один признак каждого объекта, мы допускаем, что другие признаки равноправные, или что множество объектов однородно. 

Такие множества однородных объектов называют статистической совокупностью

Например, если исследуют партию деталей, то качественным признаком может быть стандартность или нестандартность каждой детали, а количественным признаком - размер детали. Количественные признаки бывают прерывными и дискретными

Проверку совокупности деталей можно совершить двумя способами:

  1. выполнить проверку (контроль) всех деталей;
  2. проверить только первую часть деталей. 

Если деталей слишком много или проверка связана с разрушением детали (например, испытание детали на прочность), тогда первый способ проверки нецелесообразен. Если исследовать все детали невозможно,тогда выбирают из всей совокупности ограниченное количество деталей и проверяют только их. 

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно выбранных объектов.  

Генеральной называют совокупность объектов, из которых сделана выборка. 

Объемом совокупности ( выборки или генеральной) называют количество объектов этой совокупности. 

Например, если из 5000 изделий для исследования взяты 50, тогда объем генеральной совокупности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а объем выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем примеры выборок. 

Первичным результатом статистического наблюдения является перечень членов совокупности и соответственных им значений. 

Пример №60

Наблюдают величину урожая пшеницы на 10 исследовательских участках. Результаты наблюдения представлены в таблице  1 (признак Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - номер участка, признак Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - урожай в центнерах в га)

Таблица 1. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

  Такие сведения называют рядом вариант или простым статистическим рядом

Выборки бывают повторные или бесповторные. Повторной называют выборку, при которой выбранный объект возвращается к генеральной совокупности перед выбором другого объекта. Выборку называют бесповторной, если выбранный объект к генеральной совокупности не возвращаются. Чаще используют бесповторные выборки. 

Альтернативой выборки является перепись. Переписью называют обследования, у которых цель исследования - изучение каждого элемента совокупности (генеральной совокупности). 

Образцами переписи являются перепись населения в стране, отчет о всех производственных показателей всех предприятий в одной отрасли (например, шахт угольной промышленности). 

Преимущества изучения выборки по сравнению с переписью: малые затраты, оборудования и времени. 

Выборку можно эффективно использовать для изучения общего признака генеральной совокупности только тогда, когда данные выборки верно отображают этот признак. Вкратце это условие формируется таким образом - выборка должна быть репрезентативной, то есть представительской

Согласно с законом больших чисел теории вероятностей можно утверждать, что выборка будет репрезентативной только тогда, когда ее осуществляют случайно.

В большинстве случаев для математической статистики наиболее подходящим способом использования случайного выбора является простой случайный.

Определение 1. Простым случайным является такой отбор из генеральной совокупности, при котором каждый объект, что выбирается, имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Выборка, которая сделана с помощью простого случайного отбора, называется простой случайной. Способы выполнения простого случайного отбора рассмотрены в параграфе 5.5. 

Важно отметить, что альтернативой для простой случайной выборки в статистике является расслоенная случайная выборка. 

Способы выполнения рассмотрены в параграфе 5.4.

Источники данных в статистике

Исследователи и менеджеры получают данные, необходимые для принятия решения в основном из трех источников:

Выборочные обследования, специально поставленные эксперименты и действия, являющиеся результатом повседневной работы в бизнесе. 

Рассмотрим примеры использования вышеупомянутых источников. 

При случайном обследовании способа выбора данных выборка могут быть индивидуальные опросы (интервью), опросы по почте, телефонные интервью и так далее. Способы организации выборки описаны в параграфе 5.4. Приведем пример выборки. 

Пример:  Издательство газеты выбирает 1000 потенциальных избирателей для опроса с целью изучения рейтинга первого кандидата на выборах.  

На специально спланированном эксперименте у исследователя есть возможность, в определенных рамках, управления процессом. Приведем пример планирования эксперимента и использования его как источника в статистике. 

Пример: В одной из японских фирм разработали следующий бланк для оценки по бальной системе способностей руководителя (см. таблицу 2). 

Собрав данные про каждом руководящем сотруднику в виде таблицы 2 согласно тестированию, руководитель фирмы может использовать эти данные для объективной оценки работы руководящего состава, для оценки влияния реформы системы управления внедряемое фирмой, на прибыль и так далее. 

Часто источником являются данные, что собираются в повседневной, рутинной работы и бизнесе. Приведем примеры. 

Пример: Руководитель магазина, анализируя данные уровня продажи "Вид товара - сезон года", можно более оптимально планировать свою работу для получения большей прибыли за счет увеличения объема продаж  ходовых видов товаров, уменьшения расходов, которые тратятся на излишки запаса товаров на складе магазина и так далее. 

Вторым примеров источников такого рода данных являются разнообразные официальные источники статистических данных.

Пример:

Книга: Народное государство Украины в 1994 году. Статистический ежегодник Украины: ответственный за выпуск В.В. Самченко - Изд.: Техника 1994, 494 ст. 

               Оценка способностей руководителя. 

1. Потенциал (возможность совершенствовать способности и результаты работы) Гибкость мышления, активность, наличие потенциала внутреннего роста. Постоянное стремление к совершенствованию, не останавливается при достигнутом, Желание принять на себя более высокую ответственность  3-15       
2. Лидерство, мотивация подчиненных  Хороший контакт  с подчиненными  5-25
3. Результативность работы, прогноз на следующий год Отношение к планам на продажу, прибыли 4-20
4. Умение вести переговоры и взаимодействовать с партнерами Умение хорошо говорить и слушать. Стремление понять других. Спокойная манера речи, выдержка. Способность к взаимодействию с партнерами 3-15
5. Креативность (способность к творчеству в будущем). Постоянное стремление к решению сложных проблем. Творческий подход к решению проблем 2-10
Знания и осведомленность Обеспечение необходимой информацией. Умение работать по плану, вовремя реагируя на изменения. Умение оценивать и прогнозировать ситуацию 3-15
Всего  20 -100

Источники данных бывают первичными и вторичными. 

Первичные данные собираются специально для статистического исследования. Для этих данных есть сведения про методы сборки, точность данных и так далее. 

Вторичными данными являются данные, что используются в статистике, но изначально собирались для других целей. 

Очевидно, что рутинные записи про деятельность фирм, официальные статистические отчеты являются вторичными данными. 

Безусловно, более ценными данными в статистике являются первичные данные, но их не всегда возможно получить, потому часто используются вторичные данные. 

Способы отбора

У практичной деятельности используют разнообразные способы отбора объектов из генеральной совокупности. Все способы отбора можно поделить на два вида:

1. Выбор, который не требует разделения генеральной совокупности на части. Для этого вида отбора относят:

  • - простой случайный бесповторный отбор;
  • - простой случайный повторный отбор.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разделяется на части ( расслоенный случайный отбор). Для этого вида отбора относят:

  • - типовой отбор;
  • - механический отбор;
  • - серийный отбор. 

Типовым называют отбор, при котором объекты выбирают не из всей генеральной совокупности, а только из ее типовых частей. Например, если изделия изготовлены на разных станках, то отбор проводят только из изделий каждого станка по-отдельности. 

Типовой отбор целесообразно использовать тогда, когда одинаковые изделия изготавливают на станках, среди которых есть большие или меньшие изделия, или в случае изготовления одинаковых, сделанных разными предприятиями. 

Механическим называют отбор, при котором генеральная совокупность механично разделяется на столько частей, сколько может быть объектов в выборке. В каждой части случайным образом выбирают один объект. Например, если нужно проверить 25% всех изготовленных станком - автоматом изделий, то выбирают каждое четвертое изделие. Чтобы механический отбор был репрезентативным, нужно учитывать специфику технологического процесса.

Серийным называют отбор, при котором объекты из генеральной совокупности отбирают не по одному, а сериями, которые и исследуются. Серийный отбор используют тогда, когда признак, который исследуют, мало изменяется в разных сериях. 

В экономических исследованиях иногда используют комбинированный отбор. Например, сначала используют генеральную совокупность на серии с одинаковым объемом, случайным образом отбирают несколько серий и, в конце, из каждой серии случайным образом отбирают отдельные объекты.

Простая случайная выборка

В этом разделе детально рассматривается попытка построения простой случайной выборки с помощью таблицы случайных чисел. Решение этой задачи с помощью электронной таблицы Excel 97 рассмотрено в параграфе 8.2 раздела 8. 

Условия осуществления простой случайной выборки

Для осуществления простой случайной выборки необходима наличие основы выборки, то есть такого представления генеральной совокупности, при котором ее элементы были хотя бы перечислены. Приведем примеры основ выборки. 

Пример:

а) Генеральная совокупность - все покупатели магазина. Основой выборки могут быть рабочие списки покупателей, что вел магазин.

б) Генеральная совокупность - все жители города, которые имеют телефон. Основой выборки может быть справочная телефонная книга.

Как правило, данные для образования случайной выборки представляются в виде некоторой таблицы и потому основой выборки является нумерация элементов этой таблицы. 

Основа выборки должна полностью отражать признаки генеральной совокупности, что изучается. Нарушение этого условия может сделать выборку не репрезентативной. Объясним это на примере. 

Пример:

Нужно проверить все молодые семьи небольшого города  на предмет наличия и количества детей дошкольного возраста. 

С этой целью, специальный работник отдела. что занимается данным вопросом, случайным образом с помощью телефонного справочника обзванивает семьи с 18:00 до 21:00 каждый день. 

Будет ли выборка данных, полученная таким образом, репрезентативной? 

Основой выборки в этом случае является телефонный справочник. Простая случайная выборка, что сложенная из этой основы, не будет репрезентативной по целому ряду причин: не все семьи города, что исследуются, имеют телефон, некоторые семьи в этот период не будут находиться дома, или члены этих семей не смогут подойти к телефону, некоторые семьи пользуются телефонами, номера которых не записаны в телефонный справочник и так далее. 

Приведем примеры, где может быть использована простая случайная выборка. 

Пример:

а) Телефонная компания проверяет счета 10% всех международных телефонных переговоров с целью выявления средней их величины.

б) Аудиторская проверка накладных 20% фирм региона с целью контроля правильности уплаты налогов. 

Случайные выборочные числа

Общеизвестно, что кратчайшим способом осуществления простой выборки является использование выборочных чисел. 

Эти числа складываются из цифр от 0 до 9, генерируются случайным образом (как правило, с помощью компьютера) и записываются в специальной таблице. 

Выражение "генерируется случайным образом" отбивает тот факт, что шанс появления любой цифры в любом месте таблицы не больше и не меньше шанса появления любой другой цифры из десяти названных цифр. 

В приложении 4 приведена типовая таблица случайных чисел (таблица 8) что сгруппированы; для удобства при чтении, в блоке по пять цифр. 

Использование таблиц случайных чисел гарантирует, что не будет сделана систематическая ошибка (то есть ошибка, что делает данные не репрезентативными).

В следующем подразделе подробно рассмотрена попытка использования таблицы случайных чисел для осуществления, простые случайные выборки. 

Осуществление простой случайной выборки и использованием случайных чисел

Опишем процедуру получения простой случайной выборки на следующем примере. 

Пример:

В таблице А приведен результат тестирования 180 специальных работников фирмы по первому методу с целью принятия решения про очередное повышение зарплаты. В ней перечислены 180 двузначных цифр - число баллов, что собрал каждый, кто исследовался. Необходимо выполнить простую случайную выборку по таблице А. 

Построение простой случайной выборки выполняется в такой последовательности.

  1. Генеральная совокупность - данные таблицы А. Основы выборки - нумерация элементов таблицы. Объем генеральной совокупности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Зададим числом Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач элементов простой случайной выборки, например, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Для обеспечения случайного выбора используем таблицей  8 приложения 4. Выберем в ней любой ряд или столбец, например, начнем с шестого ряда. Представим тут его часть 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Числа баллов, набранных при тестировании 180 сотрудников фирмы мы будем выбирать из этого ряда числа, что образованы тремя цифрами, поскольку нумерация элементов таблицы А не превышает число 180. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Таблица А

По этому принципу удобнее в ряд (1) переписать по три цифры в группе 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Выбираем из ряда (2) только те числа, что входят в основу выборки, то есть все числа больше 180 игнорируются. (В ряду (2) существует четыре таких числа - они подчеркнуты). 

Отобрав таким способом 10 случайных чисел, мы составим простую случайную выборку, приведенную в таблице 3. 

Простая случайная выборка объема Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач что получена из таблицы А результатов тестирования 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

     таблица 3

В этой таблице каждому случайному числу (первый столбец) ставиться в соответствие число баллов (третий столбец) соответственно таблицы А. Для удобства использования все элементы простой случайной выборки пронумерованы (второй столбец). 

Организация данных: статистическое распределение выборки

Упорядочивание данных:

Данные в статистике, полученные с помощью специальных исследований или из обычных (рутинных) записей в бизнесе, приходят к исследователю или менеджеру в виде неорганизованной массы, независимо от того, являются ли они выборочными данными, или данными генеральной совокупности. 

В математической статистике вместо слова "данные" вводится термин "варианты". Числовую характеристику вариантов при этом называют признаками

Пусть из генеральной совокупности взята выборка объектов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач объема Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для вычисления признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач являются вариантами признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первым шагом обработки является упорядочение вариант. Рассмотрим этот процесс на примере. 

Пример №61

В таблице В приведена выборка среднемесячной оплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Нужно упорядочить выборку. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   Таблица В. 

В нашем примере признаков является число, что выражает среднемесячную зарплату сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, в таблице В приведено 100 значений вариант. 

Разместим данные Таблицы Б в порядке возрастания (см. таблицу В.1).

Упорядоченная выборка среднемесячной оплаты 100 сотрудников фирмы ( в порядке возрастание)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Таблица В.1

Варианты, что записаны в таблице по возрастанию (убыванию), называют вариационным рядом. То есть, таблица В.1 с вариационным рядом, что насчитывает 100 вариант. 

После упорядочения можно получить больше информации, например, что границы изменения среднемесячной оплаты. 

Распределение частот

Пусть в нашей выборке из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вариант Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач принял значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз, значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз.

Положительное число, что показывает, сколько раз та или иная варианта встречается в таблице данных, называется частотой.

 РядТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачназывается рядом частот. Отметим, что сумма всех частот должно равняться объему выборки 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Статистическое разделение выборки устанавливает связь между рядом вариант, что возрастает или убывает и соответственными частотами. Он может быть представлен таблицей 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - объем выборки, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Статистическое разделение выборки, заданный этой таблицей, также называют простым или не группированным статистическим распределением или распределением частоты варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач ( рядом распределения частоты варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Пример №62

Для изучения потребностей в определенных размерах обуви, проданного на протяжении дня:  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Статистическое разделение этой выборки (разделение частоты размера обуви) будет иметь такой вид 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Контроль: Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Свойство элементов ряда частот (смотреть формулу (1)) используют для контроля полученного статистического раздела выборки. 

Приведем дальше доскональную выборку, что фигурирует в примере 1 (таблица В.1), преобразив ее в раздел частот среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (таблица В.2)

Разделение частоты среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Всего: 100.

Таблица В.2

Следующий шаг в обработки данных, что приводит к существенному упрощению исследования, является их группировка. 

Как видно в таблице В.2 максимальным и минимальным значениями варианты будут Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разницей этих чисел Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется размахом вариант. В нашем случае Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Введем для варианты интервалы изменения оплаты 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждый интервал называется классом интервалов или классом. всего получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач классов оплаты. 

Используя данные таблицы В.2, просчитаем частоты для каждого класса интервалов (1), причем значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач что находится на границе классов, заносим к тому классу, что является следующим к классу, где это число встречается впервые встречались впервые. Результат выпишем в виде таблицы В.3.

Сгруппированное разделение частоты среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таблица вида В.3, которая устанавливает связь между сгруппированным рядом вариант, что возрастает или убывает, и суммами их частот по классам, называется сгруппированным разделом частоты варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для каждого класса получаем верхнюю и нижнюю границы 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

шириной класса Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число единиц измерения,то есть разница Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введены величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - размах вариант, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- число классов,  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - ширина класса, из этого следует Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем другой пример сгруппированного разделения частоты выборки. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Использовали данные таблицы 1. 

Сгруппированное распределение накопленной частоты

Часто, наряду с распределением частоты варианты необходимо иметь разделение накопленной (кумулятивной) частоты. Распределение накопленной частоты получают последовательным добавлением частот очередного интервала, начиная с первого и заканчивая последним (см. таблицу В.4).

Распределение накопленной частоты (обозначается F) позволяет ответить на вопрос: “сколько существует вариантов, которые меньше чем, например, 350?” Из таблицы В.4 находим: таких вариантов 87, что можно записать так:  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сгруппированное разделение накопленной частоты среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   Таблица В.4

Распределение относительной частоты выборки

Нередко вместо значений частот используют относительные частоты. Пусть существует Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач частот Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отношение частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач к объему выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
называется относительной частотой или частотностью, причем сумма всех относительных частот

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зависимость между упорядоченным рядом вариант и соответствующим им относительными частотами также называют статистическим распределением выборки, то есть получим табличное представление распределения.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - объем выборки и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №63

Задано разделение частоты выборки 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти распределение частот. 

Решение. Объем выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Частотами будут

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому распределение частот этой выборки будет 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Свойство элементов ряда частот (смотреть формулу (2)) используют для контроля полученного статистического распределения выборки

Проведем дальше организацию выборки, что задана таблицей В.

Рассмотрим таблицу В.4. Если поделить частоты (второй столбик) и накопленной частоты (четвертый столбик) на объем выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим соответственно распределение относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и накопительной относительной частотой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки (смотреть таблицу В.5).

Сгруппированное разделение накопленной частоты среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Таблица В.5

Распределение накопленной относительной частоты получается последовательным складыванием  относительных частот дежурного интервала, начиная с первого и заканчивая последним. 

Распределение накопленной относительной частоты позволяет ответить на вопрос: "Какая пропорция вариант, что меньше чем, например, 350?". 

Из таблицы В.5 находим: пропорция этих вариант будет 0,88 то есть это доля среднемесячной оплаты, что меньше 350. 

Ряды распределения частоты с переменной шириной классов интервалов 

Иногда невозможно, или неудобно выбирать ширину классов интервалов одинаковой. Неровная ширина классов желательна, например, если значения частоты одного или нескольких классов намного больше (меньше) значений частоты других интервалов. Как правило, ширина интервалов возрастает (или убывает) и может содержать интервалы открытого типа "более чем...", "менее чем...".

Например распределение частоты из возрастающей шириной интервалов приведенный в таблице 4. 

распределение частоты возраста 30 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   Таблица 4.

 Сгруппированное разделение плотности частоты и плотности относительной частоты 

Если поделить все частоты (второй столбик) таблицы В.3 на ширину интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим распределение плотности частоты выборки

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если поделить все относительные частоты (второй столбик) таблицы В.5 на ширину интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим распределение относительной плотности частоты выборки

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы вычислить результаты, которые получены в примере 1, приведем сразу в одной таблице В.6 рассмотренные выше таблицы В.4 и В.5 и основу введенного распределения. 

Сгруппированное распределение частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач плотности частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач плотности относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач накопительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и накопительной относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки среднемесячной оплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таблица В.6

Эта таблица знакомит со всеми важными статистическими распределениями выборки. 

Распределение частоты и относительной частоты будут использовать в построении полигонов частот и гистограмм (смотреть параграф 5.8).

Распределение накопительной частоты и накопительной относительной частоты будут использованы в построении полигонов накопительных частот и эмпиричной функции распределения (смотреть параграф 5.8). 

Приведенные понятия распределения плотности частоты и распределения плоскости относительной частоты выборки имеют глубокое вероятное содержание и будут также использованы в графическом представлении распределений (смотреть пункт 5.8.3 параграфа 5.8). 

Общая схема построения сгруппированного распределения частоты

Изложенный алгоритм группировки данных выборки можно предоставить в виде следующей общей схемы последовательности действий:

  1. Обозначить наибольшее Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и наименьшее Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач значения варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначить размах вариант Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  2. Зададим первым числом классов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Число классов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач следует принимать непарным, и при общем числе замеров Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач целесообразно брать Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а приТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно брать Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. Обозначить ширина класса Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Для упрощения расчетов, полученное значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач округлили в любую сторону. 
  4. Вставить границы классов и рассчитать количество вариант Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач каждого класса. При расчете числа вариант значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач что находится на границе классов, следует относить к одному и тому же классу, например, к тому классу, что является к следующему классу, где это число встречалось ранее. Оно, таким образом, станет нижней границей класса. 
  5. Обозначить частоту для каждого класса и записать ряд распределения. 

Эмпирическая функция распределения и ее свойств

Пусть есть статистическое распределение частоты некоторого признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач общее количество наблюдений, при которых объем выборки; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - количество наблюдений; при которых наблюдались признаки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Тогда относительная частота (или частность) события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  равна  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется, то может изменятся относительная частота, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является функция от Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция находиться эмпирическим путем, потому ее называют эмпиричной

Определение 1. Эмпиричной функцией распределения (или функцией распределения выборки) называют функцию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая обозначает для каждого значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач частотность действия  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Математически это определение имеет вид Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - количество вариант, которые меньше от Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - объем выборки.

Таким образом, чтобы найти, например, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно количество вариант, что меньше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поделить на объем выборки, то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание. Интегральную функцию распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности в математической статистике называют теоретической функцией распределения. Она отличается от эмпиричной функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тем, что означает вероятность события  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а не частность этого события. 

Из теоремы Бернулли выходит, что частность 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач события Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

направляется к вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачэтого события. Потому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач мало отличаются одна от другой. 

Целесообразно использовать Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для ближайшего представления функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности. 

Эмпирическая функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет такие свойства: 

  • Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастающая функция. 
  • Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - наименьшая варианта,  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - наименьшая варианта. 

Пример №64

Найти эмпиричную функцию распределения с статистическом распределением выборки 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   Таблица 5

и построить ее график. 

Решение. Объем этой выборки будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Наименьшая варианта равна 2, потому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  для Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Наибольшая варианта равна 10, потому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач наблюдались 12 разов, потому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  при  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач наблюдались Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач раз, потому Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

То есть, простой статистическое распределение частоты, что заданны таблицей 5, заменяется сгруппированным распределением частоты (смотреть таблицу 6). 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   Таблица 6

Тут же построить распределение накопительной частоты. Таким образом, получим эмпиричную функцию распределения вида 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

График этой функции изображено на рис. 18.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Рисунок 18.

Этот график можно рассмотреть как и приближенный график теоретической функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Установим связь между эмпиричной функцией распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и функцией накопительных частот Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач как следует из определения 1, примера 1 и таблицы 6 эмпиричная функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначается как кусочно - заданная функция, равна значению накопительной относительной частоты 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

на каждом классе интервалов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Графическое изображение статистических распределений 

Все статистические распределения, что изучались в параграфе 5.6, могут быть представлены графически. Благодаря этому мы можем посмотреть характерные переменные ряда распределения, не пользуясь анализом цифровых данных. 

Графическое изображение статистических распределений нужно рассмотреть отдельно для не сгруппированных и сгруппированных данных. 

Не сгруппированные данные: полигоны частот и частностей, гистограмма

Если в результате выборки мы получили статистическое распределение признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые нужно исследовать, то будем иметь перечень вариант признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответственных им частот Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или частностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значение вариант и частот или частностей можно рассмотреть как координаты точек Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 1. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой объединяют точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полигоном относительной частоты (частностей) называют ломанную, отрезки которой проходят через точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полигоны частот и частностей являются аналогами плотности вероятностей. 

Для построения полигона частот на оси абсцисс ставят варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а на оси ординат - соответственные им частоты. Точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач объединяют отрезками прямых и получают полигон частот. 

Для построения полигона относительных частот (частностей) на оси ординат ставят частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач объединяют отрезками прямых. 

Пример №65

В результате выборки получили такие значения признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построить полигон частот этой выборки. 

Решение. В этом случае вариантами будут Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соответственные им частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поставив в системе координат Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач точки 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и соединяем их отрезками прямых, получим полигон частот этой выборки (смотреть рис. 19).

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   рисунок 19

Определение 2. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, которая складывается из прямоугольников, основами которых является долевые интервалы вариант длиной Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а высоты равняются  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (плотность частоты). 

Гистограммой относительных частот (частностей) называют ступенчатую фигуру, которая складывается из прямоугольников, основами которых является долевые интервалы вариант, а высоты равны отношению Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (плотности частности). 

 Плоскость гистограмм частот равны объему выборки, а плоскость гистограммами частностей - единицы. 

Для построения гистограмм частот (частностей) промежуток вариант Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть от наименьшего значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач что наблюдается, до наибольшего значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач разбивают на несколько отрезков равной длины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Потом рассчитывают сумму частот (частностей) этих значений вариант признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые принадлежат каждому из полученных отрезков. Если на Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-ом отрезке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач количества вариант, что рассматривали, с учетом их частот, равны Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то строят прямоугольник Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач основой которого будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - тый отрезок длиной Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а высотой будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  ( для частностей высота - Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Плоскость такого прямоугольника равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (в случае частностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач).  Потому плоскость всех прямоугольников будет равна сумме Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - объем выборки. 

В случае гистограмм частностей плоскость прямоугольников будет равны сумме всех частностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №66

В результате наблюдения получили распределение признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки в виде таблицы 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построить гистограмму частот этого распределения. 

Решение. В данном случае наименьшее значение варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а наибольшее значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому длина промежутка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 9. Разобьем этот отрезок на 4 равные части длиной Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построении гистограмм целесообразно сложить таблицу 7: в первой ряд таблицы записывают полученные отрезки, во второй ряд таблицы записывают сумму частот вариант, что принадлежат соответственному отрезку, в третий ряд записывают высоты соответственных прямоугольников. В этом случае эта таблица будет выглядеть так: 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   таблица 7.

Отсюда видим, что 

  • отрезку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат 9 значений вариант (-2 четыре раза и 0 пять раз);
  • отрезку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат 15 значений вариант ( 1 - семь раз и 2 - восемь раз);
  • отрезку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпринадлежат 6 значений вариант (3 - шесть раз);
  • отрезку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпринадлежат 3 значения вариант (5 - 2 раза и 7 - один раз). 

По данным таблицы 7 строим соответственную гистограмму частот (см. рисунок 20).

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

    рисунок 20. 

Замечание 1. Иногда для построения гистограмм первые два ряда распределения виды таблицы 7 уже заданы. В этом случае нужно учитывать элементы третьего ряда таблицы и построить соответственную гистограмму. 

Пример №67

Построить гистограмму частностей заданного распределения 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В этом случае объем выборки 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

длина долевого интервала варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  находим частности каждого интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построения гистограммы частностей по определению 2, найдем плотность частности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, нужна гистограмма частностей будет иметь вид, который изображен на рисунке 21. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

    рисунок 21.

Замечание 2. При наблюдении практичных проблем часто выборка имеет значительное количество вариант. Рассмотрим в следующем примере способ их обработки. 

Пример №68

Контрольные измерения радиуса 200 цилиндров дали следующие результаты 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построить гистограмму распределения частот выборки. 

Решение. В заданном виде варианты не пригодны для контроля. Эти варианты нужно как-либо упорядочить. Простейший способ упорядочения - представить варианты графически: на оси абсцисс поставить результаты измерений, а над каждым значением варианты поставить столько точек, сколько раз встречается эта варианта. 

В результате мы получим точечную диаграмму, которая позволяет сложить некоторые представления про выборку и может быть поставлена в основу дальнейшей обработки результатов контроля (см. рисунок 22). 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

      рисунок 22. 

Чтобы упростить построение гистограмм, в таблице распределения используют не отрезки, в которых сгруппированы результаты измерений, а их середины.  Эти середины обозначают отрезки и отдалены одна от другой на расстоянии Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая равна длине отрезков.

Действительно, если длина отрезка равно Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а его серединой будет число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то отрезок будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построения гистограммы частот выборки из рисунка 22 при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим таблицу вида 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По данным таблицы строим гистограмму частот выборки. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

           рисунок 23. 

Сгруппированные данные: гистограмма и полигон частот

Для сгруппированного распределения частоты, относительной частоты, плотности частоты и плотности относительной частоты могут быть построены специальные диаграммы, сложенные из прямоугольником ступенчатые фигуры, что называются гистограммами

Для построения гистограмм на горизонтальную ось наносятся классы интервалов. На каждом классе строиться прямоугольник, высота которого равна значению частоты (или относительной частоты, или плотности частоты или плотности относительной частоты) на этом интервале. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

      рисунок 24. Гистограмма частот среднемесячной          зарплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сгруппированное распределение частоты, относительной частоты, плотности частоты и плотности относительной частоты

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 24 изображена гистограмма частот согласно данным таблицы 8, что построена по таблице В.6 параграфу 5.6. 

Далее изобразим заштрихованные контуры гистограмм для плоскости частоты и относительной плотности частоты согласно данных таблицы 8 (смотреть рисунок 25 и 26). 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

       рисунок 25. Контур гистограмм для плотности частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  Плоскость гистограммы 5  равна объему выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

рисунок 26. Контур гистограмм для плотности относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Плоскость гистограммы равна 1.

Рассматривая рисунки 24, 25, 26 легко увидеть, что все три гистограммы геометрически подобны и отличаются лишь масштабом вертикальной оси. 

Вид способа избрания ширины класса интервалов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит внятность гистограммы. Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач довольно маленькое, то гистограмма содержит много случайного.  Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач довольно большое, то в гистограмме возникают индивидуальные особенности выборки. 

На рисунке 27 и 28 изображены гистограммы для примера 1 при значениях ширины классов интервалов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно распределения частот, что приведены в таблице 9.

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

     рисунок 27. Гистограмма частот среднемесячной зарплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (ширина классов интервалов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

рисунок 28. Гистограмма частот среднемесячной зарплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (ширина классов интервалов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач )

Сгруппированное распределение частоты среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для двух значений ширины классов интервалов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   таблица 9. 

Альтернативой гистограммы для распределения частот является полигон частот. Для построения этого графика над серединой каждого интервала вариант ставится точка на высоте, соответственной частоты этого интервала. После этого эти точки получаются отрезками прямых (смотреть рисунки 29). 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

         рисунок 29. Полигон частот среднемесячной оплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

На графике, где размещена гистограмма частот (рис. 29), полигон частот изображенный так, что конечные точки графика касаются горизонтальной оси в точках 275 и 395. 

Совмещение двух типов графиков на одном рисунке сделано с целью подчеркнуть разное геометрическое содержание этих двух графических изображений распределения частот. Обычно же полигон частот изображается на отдельном чертеже, как это показано на рисунке 30.  

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

  рисунок 30. Полигон частот среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

рисунок 31. медиана сгруппированного распределения частот, заданного таблицей 8.

С помощью гистограмм удобно обозначить следующее важное понятие. 

Определение 3. Медианой сгруппированного распределения частот при постоянной ширине классов интервалов) называется значение или точка на горизонтальной оси гистограммы распределения частот такая, в которой перпендикулярная линия, что проходит через нее, делит эту плоскость гистограммы на две равные части. 

Алгоритм нахождения медианы будет рассмотрено в конце этого раздела. 

Вероятностное содержание гистограмм и полигона частот

Чтоб выяснить, какое вероятное содержание гистограмм и полигона частот, изобразим на одном рисунке (см. рисунок 32) контур гистограмм для плотности относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и полигон плотности относительных частот. 

Плоскость фигуры, ограниченна полигоном плотности относительных частот приблизительно равна плоскости контура диаграммы, что в свою очередь равна 1. Следует, полигон плоскости относительных частот является приблизительным изображением функции плотности вероятности генеральной совокупности. 

Если увеличить объем выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то полигон плотности относительных частот будет более точно изображен функцией плотности вероятности генеральной совокупности. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

рисунок 32. Контур гистограмм для плотности относительной частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и полигон плотности относительных частот. Плоскость гистограммы равна 1.0

Полигоны накопительных частот и частности. Нахождение их медианы 

Для накопительной частоты и накопительной относительной частоты могут быть построены графики похожие на полигон частот. Эти графики называют полигоном накопительной частоты или полигоном накопительной относительной частности. В статистике их так же называют огивой и кумулятивной кривой. Полигон накопительной частоты удобно использовать в целом ряде задач статистики. 

Рассмотрим построение полигона накопительной относительной частоты на примере распределения накопительной относительной частоты выборки среднемесячной оплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (смотреть таблицу 10, которая была построена по данным таблицам В.6). 

Сгруппированное распределение накопительной частоты и накопительной относительной выборки среднемесячной оплаты 100 сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для построения полигона мы ставим точку над нижней границей каждого класса интервалов на горизонтальной оси на высоте, что соответствует величины накопительной относительной частоты на предыдущих интервалов. 

Так на верхней границе Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач поставлена точка на высоте 0, накопительная относительная частота на предыдущих интервалах равна 0 (смотреть 3-ий столбик таблицы 10).

На верхней границе Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпоставлена точка на высоте 0,01, накопительная относительная частота на предыдущих интервалах равна 0,01 (смотреть 3-ий столбик таблицы 10) и так далее. Окончательный вид построенного полигона накопительной относительной частности приведен на рисунке 33. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   рисунок 33. Полигон накопительной относительной частоты

В заключение параграфа рассмотрим, как строится медиана сплоченного распределения частоты выборки. Существуют два способа: по формуле и графически. 

Рассмотрим графический способ построения медианы сгруппированного распределения частоты выборки. 

Вернемся к рисунку 32. В верхней части рисунка изображен полигон накопленной относительной частоты, а в нижней части - гистограмма частот. 

Из точки с ординатой 0,5 на оси Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  проводим горизонтальную линию до пересечения с ломанной полигона накопленной относительности частот в точке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

      рис. 34 Графическое построение медианы группированного распределения частот с помощью полигона накопительных относительных частот. 

Далее из точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим вертикальную линию до пересечения оси Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач графика гистограммы частот в точке Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач что и является медианой. По графику на рисунке 34 можно только приблизительно обозначить значение координаты точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим построение медианы сгруппированного распределения частоты выборки по формуле. 

Точное значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно зайти по следующей интерполяционной формуле. Пусть медиана принадлежит интервалу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - нижняя граница интервала Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - значение функции накопительных относительных частот на предыдущем интервале Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - относительная частота варианты в интервале Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - ширина интервала.

Интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач это тот класс интервалов, что содержит число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - объем выборки. В нашем случае Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Вернемся в таблице В.4  и воспользуемся функцией накопительной частоты. Из таблицы видно, что числу 50 соответствует интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

После подстановки этих значений в формулу (1) получаем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая два способа построения медианы объединенного распределения частоты выборки по формуле или графический, приходим к следующего вывода. 

Графическое нахождение медианы группированного распределения частот более наглядное, но дает только приблизительное значение медианы и показывает тот класс интервалов, где находится медиана. Этим обстоятельством можно воспользоваться для нахождения ее точного значения по интерполяционной формуле, что приведена выше. 

График эмпиричной функции распределения

Пользуясь данными таблицы 9, запишем эмпиричную функцию распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для нашего примера  (теорию смотреть параграф 5.7). 

Очевидно, что функция Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначает относительную частоту действия "значение варианты меньше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач", то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

График эмпиричной функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (смотреть рисунок 35) является близким изображением графика теоретичной функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач из элементов которой составлена выборка. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

       рисунок 35. Эмпиричная функция распределения

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

      рисунок 36. Полигон накопительной относительной частоты (кусковая линия) и эмпиричная функция распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (ступенчатая линия). 

На рисунке 36 совмещены графики полигона накопительной относительной частности (рис. 33) и эмпиричной функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 35). 

Из этого графика видно, что распределение накопительной относительной частности может быть изображен двумя разными графиками: ступенчатым графиком или ломанной прямой.

Первому изображению соответствует эмпиричная функция распределения, а во втором - полигон накопительной относительной частоты.

В то же время, ясно, что оба эти графика являются разными, но близкими изображениями теоретичной функции распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач показано выше.

Раздел 6. Статистические оценки параметров распределения

Использование математики для обработки выборки позволяет найти числовые характеристики. 

Основные требования к статистическим оценкам

В большинстве случаях нужно отследить количественный признак Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности, используют результаты выборки. Часто для этого достаточно найти приближенные значения математического ожидания Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, дисперсии Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач среднеквадратичное отклонение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, начальные или центральные моменты случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда из некоторых рассуждений получается закон распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда нужно уметь оценивать параметры этого закона распределения. 

Например, известно, что случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена равномерно; нужно по данным выборки приблизительно найти отрезок, в котором находятся значения случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена в генеральной совокупности по нормальному закону, то ее плотность вероятностей имеет вид Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Необходимо оценить (найти приближенные значения) параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач который равен Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач который равен Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти параметры полностью обозначают нормальное распределение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределена по закону Пуассона, то необходимо оценивать только один параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которым это распределение обозначается. 

Исследователь имеет в своем распоряжении только данные выборки полученные в результате наблюдений. Именно через эти данные и нужно выразить нужный параметр случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности.

Определение 1. Статистической оценкой неизвестного параметра случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности (теоретичного распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) называют функцию от случайных величин (результатов выборки), что наблюдаются. 

Чтобы статистические оценки давали лучшее приближение параметров, они должны соответствовать определенным требованиям. Рассмотрим эти требования. 

Пусть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является статистической оценкой неизвестного параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач теоремой распределения. 

Предположим, что по выборке с объемом Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач найдена оценка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач При других случаях того же объема получим некоторые другие оценки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Саму оценку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассмотреть как случайную величину, а числа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач как и ее возможные значения. 

Если числа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будут больше значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда оценка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач дает приближенные значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с излишком. В этом случае математическое исследование случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет больше Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач дают оценку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с недостачей, тогда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, использование статистической оценки, математическое исследование которой не равняется параметру Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, приводят к систематическим погрешностям. 

Условие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач предостерегает от систематических погрешностей. 

Определение 2. Статистическую оценку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют не сдвигаемым параметром, если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оценку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют параметром сдвига, если это равенство не выполняется. 

Условие про не сдвигаемую оценку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является недостаточной, потому что возможные значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач могут быть сильно рассеяны от своего среднего значения, дисперсия Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть слишком большой. Тогда найденная по данным одной выборки оценка, например, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может намного отличаться от среднего значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно и от параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет маленькой, тогда возможность допустить большую погрешность будет исключена. Потому для статической оценки получается условие про ее эффективность. 

Определение 3. Эффективной называют такую статистическую оценку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая при заданном объеме Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет наименьшую возможную дисперсию. 

При рассматривании выборки большого объема  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач к статистических оценках предъявляют условие их обоснованности. 

Определение 4. Обоснованностью называют статистическую оценку, которая при  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачнаправляется из вероятности к оценке параметра. 

Например, если дисперсия не сдвигаемой оценки при Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач направляется к нулю, то оценка будет и обоснованной. 

Числовые характеристики выборочной совокупности

Выборочные характеристики:

В дополнение к табличным и графическим методам представления данных следующим важнейшим способом обработки данных являются вычисление их числовых характеристик. Важнейшие из них: среднее значение, дисперсия, среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение). 

Эти характеристики могут быть вычислены по данным, что находятся в выборке или по данным, что входят в конечную генеральную совокупность.  

Числовые характеристики, вычисленные по выборке или те, что используются для описания данных выборки, называют статистиками

Числовые характеристики, вычисленные по генеральной совокупности или те, что используются для описания данных генеральной совокупности, называют параметрами

По аналогии с математическими наблюдениями, дисперсию и среднеквадратичным отклонение дискретной случайной величины обозначают выборочные характеристики, изменяя при этом вероятности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач частотами выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но в статистике используют и другие числовые характеристики. 

Определение 1. Простой среднеарифметической выборкой называют сумму вариант выборки, поделенную на объем выборки. Ее обозначают 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - вариант выборки, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- объем выборки.

Определение 2. Выборочной средней или взвешенной среднеарифметическая называют среднеарифметическую варианту выборки с отклонением их частот и обозначают

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- объем выборки, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число разных вариант, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - частоты вариант Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач -нной варианты. 

Выборочная средняя является аналогом математического наблюдения и выполняется очень часто. Она может принимать разные числовые значения при разных выборках одинакового объема. 

Потому можно рассмотреть распределения (теоретический и эмпиричный) выборочной средней и числовые характеристики этого распределения (это распределение называют выборочным). 

Основные свойства выборочной средней

1. при умножении всех вариант выборки на одинаковый множитель выборочное среднее также умножается на этот множитель 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Если прибавить (отнять) к всем вариантам выборки одинаковое число, то выборочная средняя возрастает (уменьшается) на это число 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти свойства можно объединить в одну формулу, которую называют формулой момента 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и используют в статистике. 

Замечание 1. Если ввести условную варианту Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то формула момента (2) принимает простой вид Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3. Степенной средней выборки называют такую среднюю, которую находят по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим формулу (1), то есть выборочной средней.

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим среднеквадратичную выборку 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим среднюю гармоническую 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Среднюю гармоническую применяют в том случае, когда искомый показатель является величиной, что обратный среднему значению признака. 

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение (3) будет неопределенным. Используя логарифмы и правило Лопиталя раскрытия неопределенности, получаем среднюю геометрическую Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта средняя вычисляется только при условии, что все варианты являются положительными Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Средняя геометрическая используется в статистике для обозначения темпа возрастания при наблюдении изменения признаков с течением времени

Замечание 2. Обратная той или иной средней для характеристики распределения связанно с качественным анализом этого распределения. 

Замечание 3. Кроме указанных степенных средних, в статистике используются еще структурные средние, которые не зависят от значений варианты, что расположены на краях распределения, и связанны с рядом частот. 

К структурным средним относят моду и медиану. Напомним, что модой называют значения варианты, которая имеет наибольшую частоту. Определение медианы и способы ее построение смотреть параграф 5.8.

Определение 4. Выборочной дисперсией Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют среднюю квадратов отклонения вариант от выборочной средней с отклонениями соответственных частот  

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4.  Вычисления выборочной дисперсии упрощается, если находить по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 5. Выборочным среднеквадратичным отклонением (стандартом) называют квадратичный корень из выборочной дисперсии 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 5. Выборочная дисперсия дает заниженные значения для дисперсии Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности, она будет сдвигаемой оценкой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач. Или математические ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Потому выборочную дисперсию целесообразно исправить таким образом, чтобы она стала не сдвигаемой оценкой. Для этого достаточно Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач умножить на дробь Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

исправленную выборочную дисперсию обозначают 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда исправленным среднеквадратичным отклонением выборки будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Из формул (4) и (7) получается, что при больших Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (объем выборки) выборочная дисперсия Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и исправленная выборочная дисперсия Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  мало отличаются. Потому в практичных задачах исправленную дисперсию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и исправленное среднеквадратичное отклонение выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач используют только при объеме выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №69

Выборочная совокупность задана таблицей 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти выборочные характеристики. 

Решение. В данном случае объем выборки равен Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (1) находим выборочную среднюю Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (4) находим выборочную дисперсию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (6) находим выборочные среднеквадратичные отклонения (стандарт) Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисления выборочных характеристик методом произведений

Как правило, вычисления Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач   и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формулам (1) и (4) или (5) проводится с использованием компьютерной техники. Часто расчеты можно упростить, используя метод произведений, в основе которого лежат равноудаленные варианты и следующая расчетная таблица. 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дадим необходимые пояснения для этого метода

Алгоритм метода произведений

1) В первый столбец таблицы записывают равноудаленные варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки, размещая их в возрастающем порядке. 

2) Во второй столбец таблицы записывают соответственные частоты  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вариант. Сумму всех вариантов этого столбца (объем выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) записывают в последнюю клетку этого столбца. 

3) Третий столбец содержит условия варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки. Для нахождения условных вариант выборки нужно: 

а) значения варианты выборки с наибольшей частотой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач избранный за условный ноль. Эти значения варианты называют модой. 

б) найти разницу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач между любыми двумя соседними вариантами;

в) вычислить условные варианты выборки по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что условные варианты всегда будут целыми числами. 

4) В четвертый столбец записывают произведения частот и соответственных условных вариант Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Сумму элементов столбца записывают в последнюю клетку этого столбца. 

5) Находят произведения частот и квадратов условных вариант Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и записывают их в пятый столбик. Сумму элементов столбца Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают в последнюю клетку этого столбца.

6) Находят произведение частот и квадратов условных вариант, увеличенных на единицу, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и записывают из в шестой столбец. Сумму элементов столбца Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают в последнюю клетку этого столбца. 

7) Проверяют вычисления так: сумма элементов шестого столбца должна удовлетворять тождество 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

8) Вычисляют условные моменты по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

9) Вычисляют выборочную среднюю и дисперсию по формуле  

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №70

Найти методом произведения выборочной средней Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и дисперсию Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач заданной выборки

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Будем использовать расчет таблицы методом произведения. В этом случае: варианты выборки равноудалены Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач наибольшая частота 40 в варианте 19,8. Потому условным нулем будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первые для столбца расчетной таблицы записываем варианты и частоты заданной выборки, а элементы третьего столбца вычисляем по формуле (8) при указанных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для контроля проверяем условие (9)

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем условия момента по формуле (10) 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (11) находим искомую выборочную середину и выборочную дисперсию 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Статистические моменты распределения

Обозначим аналогично начальному и центральному распределению из теории вероятностей некоторые числовые характеристики выборки. 

Определение 6. Моментом порядка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют среднее значение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - ой степени разницы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим начальный момент порядка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим центральный момент порядка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Моменты порядка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и условные моменты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые вычисляют по формуле (10), часто используют в статистике. 

Примеры нахождения статистики выборки

В случае сгруппированной выборки допускается, что всякое значение варианты, что попали в данный класс интервалов, равно среднему значению варианты в этом классе. 

1. Выборочное среднее вычисляется по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - объем выборки, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - среднее значение варианты класса, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - частота Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-ного класса интервалов, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - количество классов. 

2. Для дисперсии получаем формулу 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и формулу для вычислений 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для исправленной дисперсии получаем формулу 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и формулу для вычислений 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №71

Вычислить числовые характеристики выборки сгруппированного распределения частот среднемесячной оплаты сотрудников фирмы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач (смотреть таблицу 11). 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   таблица 11                                                 таблица 12

Перейдем из таблицы 11 к таблице 12, заменяя классы интервалов на средние значения вариант в классе. Пользуясь данными из таблицы 12, по формуле (12) получаем 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая полученное значение выборочной средней Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и точным значением Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач видим, что они отличаются незначительно. 

Погрешность возникла на счет округления всех вариант в классе к среднему значению. Как показывает практика, погрешность, что получилась ранее, незначительная. 

Далее по формулам (13), (14) получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для среднеквадратичного отклонения получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно приведенным выше терминам Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является статистиками. 

Как видно из формул (13) и (14) дисперсия является мерой рассеивания варианты в выборке вокруг их среднего значения. Объясним это на следующем примере. 

Пример №72

Обследованы по 65 случаев выплаты страховых сумм двумя страховыми компаниями Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач за некоторый период времени. За единицу отплаты принята некоторая стандартная сумма. Выплата может принимать любые значения от 0 до 4. Знак "минус" перед числом обозначает, что выплату вносит страховая компания, а знак "плюс" - что компания получит страховой взнос. Нужно рассчитать числовые  характеристики этих выборок. 

Распределение частот выплат страховых сумм обоих компаний приведено в таблицах 13 и 14. 

Рассчитаем выборочное среднее Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для обоих компаний Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассчитаем выборочные дисперсии Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   таблица 13                                              таблица 14

Полигон частот обоих распределений изображений на рисунке 37. Из рисунка 37 видно, что чем меньше дисперсия, тем в большем узком интервале данные выборки группируются около среднего значения ( в нашем случае Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач). 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

   рисунок 37

Точечные и интервальные оценки

Определение 1. Точечными оценками параметров распределение генеральной совокупности называют такие оценки, которые обозначаются одним числом. 

Например, выборочная средняя Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратичное Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - точечные оценки соответственных числовых характеристик генеральной совокупности. 

Точечные оценки параметров распределения являются случайными величинами, их можно считать первичными результатами обработки выборки потому, что неизвестно, с какой точностью каждая из них оценивает соответственную числовую характеристику генеральной совокупности. 

Если объем выборки достаточно большой, то точечные оценки удовлетворяют практичной потребности точности. 

Если объем выборки маленький, то точечные оценки могут давать значительные погрешности, потому вопрос точности оценок в этом случае очень важное и используют интервальные оценки. 

Определение 2. Интервальной называют оценку,  которая обозначается двумя числами - концами интервала. 

Интервальные оценки позволяют установить точность  и надежность оценок. Познакомьтесь с этими понятиями. 

Пусть найдена по данным выборки статистическая оценка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет оценкой неизвестного параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ясно, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а точнее обозначает Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, тем меньше абсолютная величина разницы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда меньшему Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует более точная оценка. Потому число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач характеризует точность оценки. 

Но статистические методы не позволяют категорично утверждать, что оценка Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют неравенство Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такое утверждения можно сделать только с вероятностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вероятностью 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

с которой выполняется неравенство Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Частое число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач задается изначально и в зависимости от обстоятельств, равно 0.95 или 0.99 или 0.999.

Формулу (1) можно записать в виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого равенства получается, что интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит неизвестный параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности. 

Определение 4. Интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют доверительным, если он покрывает неизвестный параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с заданной надежностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Замечание 1. Концы доверительного интервала являются случайными величинами.  

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения

Пусть количественный признак Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности распределена по нормальному закону, среднеквадратичное отклонение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач известно. Нужно найти доверительный интервал, что покрывает математическое ожидание Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности с заданной надежностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Согласно свойству нормально распределенной случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку интегральная функция Лапласа Ф. является непарной, то получим 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Только Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач случайная величина Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому при замене Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач на Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулы (3) и (2), получим 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть надежностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач доверительный интервал 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

покрывает неизвестный параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Точность оценки будет 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

с использованием таблицы значений интегральной функции Лапласа. 

Замечание 2. Из формулы (5) получается, что при возрастании объема выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач уменьшается, а это означает, что точность оценки увеличивается. Если надежность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается, функция Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач возрастает и согласно с ее свойствами,  возрастает Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  , как следствие, возрастает Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, увеличение надежности оценки уменьшает ее точность. 

Пример №73

Случайная величина распределена по нормальному закону с параметром Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Сделана выборка объема Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач С надежностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач найти доверительный интервал неизвестного параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач этого распределения. 

Решение. Из равенства Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы интегральной функции Лапласа Ф найдем число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по формуле (5) точность оценки будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, доверительный интервал будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, то с надежностью 95% интервал Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач покрывает параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с точностью до Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 3. Нахождение объема выборки. Пусть признак Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности распределена по нормальному закону с параметром Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и нужно найти объем выборки  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач который с заданной точностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и надежностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач позволит найти оценку параметра Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Из формулы (5) получим равенство 

 Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач из которой получается 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для надежности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач воспользовавшись (6) и таблицей значений  интегральной функции Лапласа, найдем соответственное число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач известны, тогда по формуле (7) можно найти нужный объем выборки. 

Пример №74

Случайная величина распределена по нормальному закону с параметром Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти минимальный объем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выборки, чтобы с надежностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и точностью Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач использовалось равенство Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Для Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно с формулой (6) получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулу (7), найдено Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  и заданы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, минимальный объем выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечание 4. Если неизвестное среднеквадратичное отклонение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач генеральной совокупности, то используют распределение Стьюдента (смотреть параграф 16 работы (4)), можно также в формулах (3) - (4), (7) вместо Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач используя Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обработка выборки методом наименьших квадратов

Предположим, что нам известна функциональная зависимость между случайными величинами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач вида Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с неизвестными параметрами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, можно рассмотреть зависимость между себестоимостью продукции (признак Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) и объем продукции (признак Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач) некоторого количества однотипных предприятий.

Обычно, при возрастании объема продукции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач себестоимость Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач должна спадать. Только эта зависимость не является однозначной. Вследствие, разные причины при выпуске одинакового объема продукции себестоимость ее на разных предприятий будет неодинаковой. 

Пусть  вследствие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимых  испытаний получены варианты признака Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые оформлены в статистической таблице вида 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения оценок, параметров функциональной зависимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по данным выборки используем метод наименьших квадратов. Этот метод основывается на том, что верные значения параметров Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач должны давать минимум функции  

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если функция Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет непрерывные частные производные относительно параметров Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то необходимым условием существования минимум функции Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач будет система Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнений с  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестными 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение функциональной зависимости между случайными величинами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач из использованием данных испытаний (или выборки) называют выравниванием эмпиричных данных вдоль кривой  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ниже рассмотрим детальнее оценки параметров линейной и параболической функциональной зависимостей, которые используются чаще всего. 

Оценка параметров линейной функции 

Пусть между случайными величинами  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач существует линейная функциональная зависимость

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

параметры Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которой неизвестны. 

Согласно формуле (1) получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта функция Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач непрерывно дифференцирована, потому согласно с необходимыми условиями существования минимума Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обязаны выполняться равенства Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В нашем случае эти равенства имеют вид 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выписанная система является неоднородной линейной системой двух уравнений относительно двух неизвестных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач По правилу Крамера можно  найти единственное решение этой системы в виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если  количество значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач велика, то вычисления параметров Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формулам (3), (4) выполняется . Для упрощения вычислений начало расчета величин Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач переносят в среднее значение всех, то есть в точку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда после некоторых промежуточных выкладок получаем 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (5) позволяют обозначить параметры Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  линейной функциональной зависимости (2) путем вычисления более простым, чем по формулам (3), (4). 

Оценка параметров параболической функциональной зависимости

Пусть между случайными величинами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач существует функциональная зависимость вида Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Методом наименьших квадратов на основе данных исследований найдем значения неведомых параметров Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  Теперь формула (1) будет иметь вид Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Необходимые условия существования минимума функции  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является равенства нулю частичных производных первого порядка 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту систему можно записать в виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система (7) является неоднородной линейной системы трех уравнений с неизвестными Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Решением этой системы можно найти разными методами ( матричным по правилу Крамера, методом Гаусса - Жордана) а его вид будет громоздким при слишком большом количестве исследований Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система (7)  и ее решение намного упрощается, если значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равноудалены Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и выполняется условие Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которое можно получить с помощью нового аргумента Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что указанные условия выполняется, тогда вместо системы (7) получим систему 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение этой системы можно найти по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №75

Используя метод наименьших квадратов, сложить уравнение параболы (6), которая проходит близко к точкам 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В этом случае значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач равноудалены

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

и выполняются условия, которые позволяют найти параметры Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с упрощенными формулами. Потому, подставив значения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач из таблицы в эти формулы, получим 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

потому что 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, уравнением искомой параболы будет 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Статистическая проверка гипотез

Гипотезы полезны в многих случаях. Они бывают разные. Как их проверить?

Статистические гипотез и из разновидности

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестный, только есть рассуждения для предположение его определенного вида Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач например, распределение равномерный, показательный или нормальный, тогда выдвигают гипотезу:

  • генеральная совокупность распределена по закону Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этой гипотезе идет речь про вид неизвестного распределения. 

Иногда закон распределения генеральной совокупности известный , но его параметры (числовые характеристики) неизвестны. Если есть рассуждение, допустим, что неведомый параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  равны определенному значению Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то используют гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта гипотеза показывает предположенную величину параметра известного распределения. 

Возможны так же другие гипотезы: про равенство параметром двух разных распределений, про независимость выборок, про то, что в ноябре 2000 года будет конец света, и много других. 

Определение 1. Статистическими называют гипотезы про вид распределения генеральной совокупности или про параметры известных распределений. 

Например, статистическими будут гипотезы:

  • генеральная совокупность распределена по нормальному закону;
  • дисперсии двух совокупностей, распределенных по закона Пуассона, равны между собой. 

Известно, что на творческие возможности людей влияют не только гены и условия жизни, но и космос. Рассмотрим гипотезы: 

  • значительная часть рожденных в первом полугодии имеет более развитую левую часть мозга, которая отвечает за логичное мышление. 
  • значительная часть людей, рожденных в другом полугодии, имеет более развитую часть мозга, которая отвечает за образное мышление. 

Эти гипотезы не статистические, ибо в них идет речь не об  вид и не об параметры распределения. Но для указанной ситуации можно сформулировать несколько статистических гипотез. 

Вместе с предположенной гипотезой всегда можно рассмотреть противоположной ее гипотезу. Если предположенная гипотеза будет отклонена, то имеет место быть противоположная гипотеза. Следовательно, эти гипотезы значительно отличаются. 

Определение 2. Основой (нулевой) называют предположительную гипотезу и обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение 3. Альтернативной (конкурентной) называют гипотезу, что противоречит основной, ее обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Гипотезы могут содержать только одну или больше одного предположения. 

Определение 4. Гипотезу зовут простой, если она содержит только одно предположение.

Например, если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - параметр показательного распределения, то гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  будет простой. 

Определение 5. Гипотезу называют сложной, если она складывается из ограниченного или не ограниченного количества простых гипотез. 

Например, гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач : математическое исследование нормального распределения равна 2 - сложная гипотеза тому, что среднеквадратичное  отклонение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестное и может принимать любые значения. 

Гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач показательное распределение имеет параметр Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач складывается из неограниченного множества гипотез Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Погрешности проверки гипотез

Статистическая гипотеза, которая смещена, может быть правильной или неправильной, потому возникает необходимость ее проверки. 

Проверка гипотеза выполняется по данным выборки, то есть статистическими методами. Потому проверку гипотезы по данным выборки называют статистической

При проверке статистической гипотезы по данным случайной выборки можно сделать ложный вывод. При этом могут быть погрешности первого и второго рода. 

Определение 1. Если в выводе была отклонена правильная гипотеза, то говорят, что это погрешность первого рода.

Определение 2. Если в выводе была принята не правильная гипотеза, то говорят, что это погрешность второго рода.

Отметим, что последствия этих погрешностей могут быть разными. Например, если откинуть правильную гипотезу "продолжить постройку мясокомбината", то эта погрешность первого рода будут способствовать материальным тратам. 

Если принять неправильную гипотезу "продолжить постройку, не учитывая возможность обвала объекта", то в последствии погрешности второго рода могут погибнуть люди. 

Определение 3. Вероятность сделать погрешность первого рода обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и называют уровнем значимости. 

Чаще всего уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если принят уровень значимости равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из 100 мы рискуем получить погрешность первого рода (отклонили правильную гипотезу).

Замечание. При контроле качества продукции вероятность признать нестандартные стандартные изделия называют риском производителя, а вероятность признать пригодным бракованные изделия называют риском потребителя

Критерии координирования проверки гипотез

Статистический критерий проверки основной гипотезы:

Проверку статистической гипотезы можно проверить с использованием данных выборки. Для этого следует выбрать, некоторую случайную статистическую характеристику (выборочная функция), точное или приближенное распределение. который известен, и с помощью этой характеристики проверить основную гипотезу. 

Определение 1. Статистическим критерием координирования проверки гипотезы (или просто критерием) называют случайную величину Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач распределение которой (точное или приближенное) известен и которая используется для проверки основной гипотезы. 

Замечание 1. В определении 1 не учитывается вид распределения статистической характеристики. 

Если статистическая характеристика распределена нормально, то критерий обозначают не буквой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а буквами Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач или Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачЕсли статистическая характеристика распределена по законом Фишера - Снедекора, то ее обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В случае распределения статистической характеристики по закону Стьюдента и обозначают Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а в случае закона Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, для проверки гипотез про равенство дисперсии двух нормальных генеральных совокупностей в статистической характеристике Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач выбирают отношения исправленных выборочных дисперсий 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

В разных опытах дисперсия будет принимать разные, изначально известные значения, потому эта величина случайная. Она распределена по закону Фишера-Снедекора. 

Определение 2. Наблюдаемым значением критерия согласования называют значение соответственное критерию, вычисленное по данным выборки. 

Например, если по данным выборок их двух нормальных генеральных совокупностей найдем исправленные выборочные дисперсии Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда наблюдаемым значением критерия согласования будет 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Существует много критериев согласования. Например, наиболее точный (асимптотически) критерий Неймана - Пирсона используются неравенства или отношения функции правдоподобности. 

Критическая область 

После избрания первого критерия согласования, множество всех его возможных значений делят на две подмножества, что не пересекаются: одна из них содержит значения критерия, при которых основная гипотеза отклоняется, а вторая - при которых она принимается. 

Определение 3. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых основная гипотеза отклоняется. 

Определение 4. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют множество значений критерия, при которых гипотезу принимают. 

Критерий согласования Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Потому критическая область и область принятия гипотезы также будут интервалами, а это означает, что существуют точки, которые эти интервалы отделяют. 

Определение 5. Критическими точками критерия Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач называют точки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которые отделяют критическую область от области принятия гипотезы. 

Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области. 

Определение 6. Правосторонней называют критическую область, что обозначается неравенством Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач положительное число. 

Определение 7. Левосторонней называют критическую область, что обозначается неравенством Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач отрицательное число. 

Нахождение критических областей

Чтобы найти одностороннюю критическую область нужно найти критическую точку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого задают достаточно маленькую вероятность - уровень значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а потом ищут критическую точку с учетом условия 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

в случае правосторонней критической области, или 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

в случае левосторонней критической области

В случае двусторонней критической области должно получится тождество Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для каждого критерия согласования являются соответственные таблицы, которые позволяют находить такую точку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая удовлетворяет нудное условие.

При нахождении критической области целесообразно учитывать мощность критерия. 

Определение 8. Мощность критерия называют вероятность принадлежности критерия критической области при условии, что является правильная альтернативная гипотеза. 

Другими словами, мощность критерия является вероятность того, что основная гипотеза будет отклонена, если альтернативная гипотеза правильная. 

Если уровень значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач уже избрано то критичную область целесообразно строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого условия обеспечивает минимальную вероятность погрешности второго рода. 

Замечание 2. Единственный способ одновременного уменьшения погрешностей первого и второго рода - увеличение объема выборки. 

Порядок действий при проверке статистических гипотез 

Для проверки правильности основной статистической гипотезы  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо:

  1. обозначить гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач альтернативную к гипотезе Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач;
  2. выбрать статистическую характеристику проверки;
  3. обозначить допустимую вероятность погрешности первого рода, то есть уровень значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач
  4. найти по соответственной таблице критическую область (критическую точку) для выбранной статистической характеристики. 

К критической области принадлежат такие значения статистической характеристики, при которых гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачотклоняется в пользу альтернативной гипотезы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подчеркнем, что между уровнем значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и критической областью существует такая связь: если гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачправильная, то вероятности значения выборочной функции будут принадлежать критической области. 

Так, при проверке гипотезы про равенство дисперсий двух нормальных совокупностей при альтернативной Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно найти соответственное значение критерия Фишера-Снедекора, то есть

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

а потом из таблицы критических точек этого распределения по заданному уровню значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и степенях вольности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач найти Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач принимается, если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач отклоняется. 

Некоторые критерии проверки статистических гипотез 

Проверка гипотезы про равенство математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей:

Пусть две нормально распределенные генеральные совокупности имеют равные дисперсии, а математические ожидания могут быть разными. 

Из совокупностей сделали выборку объема Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нашли выборочные средние Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а также исправленные дисперсии Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. 

Нужно проверит гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач: разница математических ожиданий этих совокупностей равна числу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Альтернативная гипотеза будет 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для проверки гипотезы в качества статистической характеристики (выборочной функции) возьмем функцию 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая распределена по закону Стьюдента со степенями вольности, что равны Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для заданного уровня значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти критическую область для статистической характеристики Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с учетом альтернативной гипотезы Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №76

Предприятие изготовляет одинаковые детали двумя способами. Первым способом изготовлено 10 деталей, траты сырья были такими Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вторым способом изготовлено 6 деталей, траты сырья были такими Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что дисперсия трат сырья одинаковая, при уровне значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач проверить гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач при альтернативной гипотезе Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Нужно проверить гипотезу про равенство математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей. Согласно с гипотезой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач критическая область будет двусторонней и обозначается условием Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач где статистическая характеристика Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена формулой (1). Степень вольности равна Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы критических значений Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для 14 степеней вольности получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По данным выборки можно найти Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь по формуле (1) получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит  критической области, потому гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть принята. 

Критерий дисперсионного анализа 

Пусть есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нормального распределения генеральных совокупностей с равными дисперсиями и , возможно, с разными математическими ожиданиями. 

Из каждой совокупности делаем выборку объема 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - объем всей выборки. 

Обозначим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач варианты случайной величины Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач из Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-нной совокупности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда средняя арифметическая выборка из  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач-нной совокупности  будет 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

а средняя всей выборки будет 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При уровне значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно проверить основную гипотезу про равенство математических ожиданий рассматриваемых совокупностей Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

При равенстве дисперсий статистическая характеристика будет  иметь распределение Фишера с Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач степенями вольности. Потому качество статистической характеристики для проверки этой гипотезы возьмем функцию 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Критическую область в этом случае находят с учетом условия Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач критическое значение распределения Фишера. 

Пример №77

Есть данные про стоимость (пример приведен в тысячах гривен) проданных трех видов изделий первым магазином в некоторые дни недели 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предполагая нормальный закон распределения полученной суммы каждого дня и равенство дисперсий, проверить гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач:Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач при уровне значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Условие примера позволяют использовать для решения задачи критерий дисперсионного анализа.

В этом случае получаем:Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формулам (2) и (3) находим:

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сделаем вычисление сумм, что исходят из формулы (4) 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь по формуле (4) найдем значения статистической характеристики 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы критических значений распределения значений Фишера со степенями вольности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и уровнем значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получили, что Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, гипотеза Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть принята.

Критерий согласования Пирсона x2

Критерий согласования Пирсона Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Критерий согласования Пирсона Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач эффектно используют для проверки гипотезы про распределение генеральной совокупности, то есть распределение случайной величины имеет функциональное выражение. 

Ограничимся применением этого критерия для проверки гипотезы про нормальное распределение генеральной совокупности. 

Пусть выборка имеет такое распределение объема Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

или 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

нужно с уровнем значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачпроверить основную гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач: генеральная совокупность распределена нормально. 

Критерием проверки этой гипотезы берут случайную величину Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая в разных исследованиях принимает разные, изначально неизвестные значения. 

Критическое значение этой случайной величины зависят от уровня значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и степени вольности ее распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти критические значения представлены в виде таблицы (таблица 5 в приложении) для разных Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

для распределения генеральной совокупности по нормальному закона степень вольности будет Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - количество вариант выборки или частотных интервалов вариант. 

Правило Пирсона. Чтобы при заданном уровне значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач проверить основную гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач: генеральная совокупность распределена нормально, нужно 

1)вычислить теоретическую частоту Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для вариант выборки;

2) вычислить наблюдаемое  значение критерия Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) найти степень вольности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле (5);

4) найти из таблицы критическую точку Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач которая соответствует заданному уровню значимости Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и степени вольности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) уравнять Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач сделать вывод:

  • если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно принять;
  • если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачто гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно отклонить. 

Пример №78

При равной значимости проверить 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач гипотезу про нормальное распределение генеральной совокупности, если известны эмпиричные и теоретические частоты 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. В данном случае теоретические частоты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач заданы, количество вариант выборки Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому по формуле (5) находим степень вольности Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из таблицы критических точек распределения Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач для Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач находим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для вычисления Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле (6) используем расчетную таблицу 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому по правилу Пирсона гипотезу Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач следует принять. Следовательно, данные выборки согласуются с гипотезой Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому разногласие эмпиричных и теоретических частот незначительное. 

Нахождение теоретических частот нормального распределения

Согласно с классическим определением вероятности 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно для нахождения теоретических частот Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

нужно найти вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

соответственно. 

Вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти, пользуясь локальной функцией Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и данные выборки по формуле Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

варианты Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачравноудалены. 

Вероятность Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти, используя интегральную функцию Лапласа Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

б) если число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач сходится с одним корнем характеристического уравнения (93), то есть является простым корнем этого уравнения, то частичное решение (91) нужно искать в виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

в)  если число Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач является двукратным корнем уравнения (93), то частичное решение уравнения (91) ищут в виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Объединим случаи а) - в): если правая часть уравнения (91) имеет вид (92), то частичное решение этого уравнения нужно искать в виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен с неопределенными коэффициентами той же степени, что и многочлен Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач а Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число корней характеристического уравнения, которые равны Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач не является корнем характеристического уравнения, то принимаем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть правая часть в уравнении (91) имеет вид 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- многочлен степени  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен степениТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - действительные числа. Частичное решение уравнения (91) нужно искать  виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

 где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - многочлен степени Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач с неопределенными коэффициентами; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - высшая степень многочленов Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число корней характеристического уравнения, которые равны Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, если правая часть уравнения (91) имеет вид 

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - известные действительные числа, то частичное решение этого уравнения нужно искать в виде 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - неизвестные коэффициенты; Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач - число корней характеристического уравнения (93), которые равны Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Замечание. 1. Искомые многочлены Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулах (94), (96) и (97) могут быть полными, то есть содержат все степени Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач от нуля до Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач независимо от того, является ли полным заданный многочлен Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач То же используется и к многочленам Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в формуле (99), причем неопределенные коэффициенты при одних и тех же степенях  Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач в этих многочленах должны быть, как говорят, разными. 

Замечание 2. Если правая часть уравнения (91) является суммой нескольких разных по структуре функций вида (92) или (98), то для поиска частичного решения нужно искать теорему про наложение решений (п. 3.4). 

Замечание 3. Использованный метод подбора отдельного частичного решения уравнения (91) можно использовать только в определенных дифференциальных уравнений, а именно для линейных уравнений с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида (92) или (98). В других случаях частичное решение нужно искать методом вариации произвольных постоянных.  

Пример №79

Решить уравнение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Характеристическое уравнение Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет корни Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому общее решение однородного уравнения имеет вид Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поскольку правой частью данного уравнения является функция вида Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  то по формуле (94) частичное решение ищем в виде Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач- неизвестные коэффициенты. Найдя производные Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставив их в уравнения, получим Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, частичное решение данного уравнения имеет вид Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задачТеория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач потому 

Теория вероятностей - примеры с решением заданий и выполнением задач

искомое общее решение.

Лекции по предметам:

  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Геометрия
  6. Аналитическая геометрия
  7. Высшая математика
  8. Дискретная математика
  9. Математический анализ
  10. Математическая статистика
  11. Математическая логика

Учебник онлайн:

  1. Комбинаторика - правила, формулы и примеры
  2. Классическое определение вероятности
  3. Геометрические вероятности
  4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
  5. Формула полной вероятности
  6. Повторные независимые испытания
  7. Простейший (пуассоновский) поток событий
  8. Случайные величины
  9. Числовые характеристики случайных величин
  10. Нормальный закон распределения
  11. Основные законы распределения вероятностей
  12. Асимптотика схемы независимых испытаний
  13. Функции случайных величин
  14. Центральная предельная теорема
  15. Ковариация в теории вероятности
  16. Функциональные преобразования двухмерных случайных величин
  17. Правило «трех сигм» в теории вероятности
  18. Производящие функции
  19. Теоремы теории вероятностей
  20. Основные законы распределения дискретных случайных величин
  21. Непрерывные случайные величины
  22. Закон больших чисел
  23. Генеральная и выборочная совокупности
  24. Интервальные оценки параметров распределения
  25. Алгебра событий - определение и вычисление
  26. Свойства вероятности
  27. Многомерные случайные величины
  28. Случайные события - определение и вычисление
  29. Системы случайных величин
  30. Вероятность и риск
  31. Определения вероятности событий
  32. Предельные теоремы теории вероятностей