Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Повторные независимые испытания:

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократных повторяющихся испытаний, проводимых при определенном комплексе условий. В этом случае интерес представляет вероятность числа m наступлений некоторого события А в n испытаниях. Например, необходимо определить вероятность определенного числа попаданий в мишень при нескольких выстрелах, вероятность некоторого числа бракованных изделий в данной партии и т.д. Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Такая последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Повторные независимые испытания

Элементы комбинаторики:

Рассмотрим совокупность п различных элементов Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

будем называть соединением.

Например, при бросании монеты 10 раз выпадение герба (Г) и выпадение решетки (Р) могут дать соединение

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Размещениями из Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения элементов тo Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения называются их соединения, каждое из которых содержит ровно т различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Определим число Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения размещений из Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения элементов Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения — всевозможные размещения, содержащие т элементов. Будем эти размещения строить последовательно. Сначала определим aai — первый элемент размещения. Очевидно, из данной совокупности п элементов его можно выбрать п различными способами. После выбора первого элемента Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, для второго элемента Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения остается Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения способов выбора и т. д.

Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Вводя обозначение факториала Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, формулу (1) можно записать в следующем виде:

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Соединения из п элементов9 каждое из которых содержит все п элементов и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками.

Очевидно, число перестановок из п элементов равно

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Условно считают 0! = 1.

Определение: Сочетаниями из п элементов no т называются такие их соединения, каждое из которых содержит ровно т данных элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Обозначим через Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения число сочетаний из Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения элементов по Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим все допустимые сочетания наших элементов

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Делая в каждом из них m! возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения элементов по m. Таким образом, имеем формулу

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

отсюда

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Формулу (4) можно представить также в виде

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Символ Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения обладает очевидным свойством

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

которое будет верно также и при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения = О, если принять Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения = 1.

Числа Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

и поэтому часто называются биномиальными коэффициентами.

Пример:

Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие А)?

Решение:

Здесь число всех случайных выборок Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, а число выборок, благоприятствующих событию А, есть Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения . Таким образом, искомая вероятность равна

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Биномиальный закон распределения вероятностей

Событие А называется независимым в данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исходов других испытаний.

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А) = р, не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли.

Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеется только два исхода: 1) событие А («успех») и 2) событие А («неудача») с постоянными вероятностями Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения причем, очевидно, р + q = 1.

Рассмотрим задачу: в условиях схемы Бернулли определить вероятность Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения того, что при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения испытаниях событие А, имеющее одну и ту же вероятность Р(А) = р для каждого отдельного испытания, появится ровно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз.

Благоприятные серии испытаний здесь имеют вид

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

где Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, причем событие А встречается ровно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз, а событие А — ровно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз. Так как испытания независимы, то вероятность реализации одной такой благоприятной серии равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения где Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения. Все благоприятные серии получаются в результате выбора различных Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения номеров испытаний из общего количества Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения номеров и, следовательно, число их равно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда, применяя теорему сложения вероятностей для случая несовместных событий, для вероятности появления события А точно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения испытаниях получим формулу Бернулли

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Эта формула называется также биномиальной, так как ее правая часть представляет собой Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения-й член бинома Ньютона

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем биномиальное распределение вероятностей числа появлений события А при п независимых испытаниях:

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №1

Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты герб выпадет ровно 5 раз.

Решение:

Здесь вероятность выпадения герба при одиночном испытании р = 1/2, отсюда q = 1 - р = 1/2.

По формуле Бернулли имеем

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Локальная теорема Лапласа

Если число испытаний Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения появления события А точно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз, если Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения — достаточно большое число.

Теорема Лапласа: Пусть р = Р(А) — вероятность события А, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз, выражается приближенной формулой Лапласа.

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

где

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Доказано, что относительная погрешность формулы (1) стремится к нулю при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Доказательство этой теоремы имеется в полных курсах теории вероятностей.

В статистическом смысле Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения представляет собой среднее значение числа появлений т события А при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения испытаниях; таким образом, Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения есть отклонение числа появлений события

А от его среднего значения. Что касается выражения Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения то теоретико-вероятностный смысл его будет выяснен позднее. Рассматривая а как некий масштаб для отклонений при п испытаниях, число t можно наглядно представить себе как отклонение числа появлений события А от его среднего значения, измеренное в этом масштабе.

Введя функцию

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

(эта функция табулирована), формулу (1) можно переписать в виде

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Так как функция Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения монотонно убывает при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, то для одной и той же серии испытаний (Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения фиксировано) большие, по абсолютной величине, отклонения Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения менее вероятны, чем меньшие. Это утверждение, понятно, справедливо при достаточно большом числе испытаний Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, так как лишь в этом предположении была получена приближенная формула Лапласа.

Пример №2

В условиях схемы Бернулли найти вероятность того, что отклонение относительной частоты Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения события А от его вероятности Р(А) = р (0 < р < 1) по абсолютной величине не превышает заданного числа е > 0.

Эту вероятность мы будем обозначать так:

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Из неравенства

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

получаем равносильное неравенство

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда, полагая Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения будем иметь

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

В силу формулы (8'), учитывая нечетность функции Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения находим

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Так как Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения то

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, в условиях схемы Бернулли, было Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения > 0, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что при достаточно большом числе испытаний п отклонение (9) относительной частоты появления события А от его вероятности по абсолютной величине будет меньше Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения (закон больших чисел в форме Бернулли).

Теорема Пуассона

Пусть производится серия п независимых испытаний (Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения — 1, 2, 3, ...), причем вероятность появления данного события А в этой серии Р(А) = рп > 0 зависит от ее номера Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения и стремится к нулю при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения (последовательность «редких событий»). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т. е.

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

отсюда

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

На основании биномиальной формулы для вероятности появления события А в Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения-й серии ровно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз имеем выражение

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения фиксировано и Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения. Тогда

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Кроме того, учитывая, что

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

и, следовательно,

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

имеем

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

если Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, переходя к пределу в формуле (3) при Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, получаем

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Если Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения велико, то вероятность Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения сколь угодно мало отличается от своего предела (4). Отсюда при больших п для искомой вероятности Рп(т) имеем приближенную формулу Пуассона

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

где Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения (теорема Пуассона).

Вообще, формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число испытаний Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения «велико», вероятность события Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения «мала», a Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения «не мало и не велико».

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Пример №3

При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность, что в партии 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными?

Решение:

Здесь вероятность р = 0,01 мала, а число Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения = 100 велико, причем

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Используя закон Пуассона для искомой вероятности, получаем следующее значение:

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Формула Бернулли

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятностьПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Вероятность поражения мишени в отдельном выстреле равна p = 0,8. Найти вероятности возможного числа попаданий при 5 выстрелах.

Решение:

По условию р = 0,8, q = 1 – 0,8 = 0,2. По формуле Бернулли находим: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Полученные вероятности изобразим графически (рис. 3.1) точками с координатами (m; Pn(m)). Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распределения вероятностей. ◄

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей, мы видим, что есть такое значение Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, которое обладает наибольшей вероятностью Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения. Число Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решениянаступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения по крайней мере не меньше вероятностей других событий Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения при любом m. Наивероятнейшее число наступления события А находится из двойного неравенства Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Отметим, что всегда существует целое число Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяющее этому неравенству. При этом, если np + p – целое число, то наивероятнейших чисел два: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

Мы нашли наивероятнейшее число попаданий Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения непосредственно вычисляя и сравнивая вероятности. Найдем наивероятнейшее число попаданий m0, используя неравенство (3.2): Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияпоявления события А при большом числе испытаний n, например,Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияПо формуле Бернулли Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более, если учесть, что сами p и q – числа дробные. Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно.

Существуют более простые приближенные формулы для вычисления при большом числе испытаний n. Такие формулы называют асимптотическими. Они определяются локальной теоремой Муавра-Лапласа, интегральной теоремой Лапласа, теоремой Пуассона.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения где Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Эта приближенная формула тем точнее, чем больше n и чем ближе к 0,5 значения p и q. Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия npq ≥ 20, хотя допустимым можно считать выполнение условия npq > 10.

Для упрощения расчетов, связанных с применением локальной формулы Муавра-Лапласа, составлена таблица значений функции φ(x) (см. Приложение 1).

Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду следующие свойства функции φ(x): 1. Функция φ(x) является четной, т.е. φ(–x) = φ(x). 2. Функция φ(x) – монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при x → ∞ φ(x) → 0 (практически можно считать, что уже при x ≥ 5 φ(x)≈0).

Пример №6

По результатам многолетних наблюдений известно, что экзамен по теории вероятностей с первого раза успешно сдают в среднем 80% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов 2-го курса 300 успешно сдадут экзамен с первого раза.

Решение:

По условию n = 400, m = 300, p = 0,8, q = 0,2. Так как npq=400·0,8·0,2 = 64 > 20, то условие применимости локальной формулы Муавра-Лапласа (npq ≥ 20) выполняется.

Вначале определяем Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения По таблице значений функции φ(x) находим φ(– 2,5) = 0,0175. Находим вероятность того, что ровно 300 студентов из 400 успешно сдадут экзамен с первого раза: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Относительно малое значение вероятности не должно вызывать сомнений, так как кроме события «ровно 300 студентов успешно сдадут экзамен с первого раза» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400» и т.д. Каждое из этих событий обладает своей вероятностью, а все вместе они образуют полную группу событий и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице. ◄

Пусть в условиях этого примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 студентов (включительно) успешно сдадут экзамен с первого раза. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения В принципе каждое слагаемое можно вычислить по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое число слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется интегральная теорема Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе испытаний n приближенно равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, где

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения функция (или интеграл вероятностей) Лапласа; Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Интегральная формула Лапласа, также как и локальная формула Муавра- Лапласа, тем точнее, чем больше n и чем ближе к 0,5 значения p и q. Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия npq ≥ 20, хотя допустимым можно считать выполнение условия npq > 10.

Функция Ф(x) табулирована.

Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Ф(x):

  1. Функция Ф(x) – нечетная, т.е. Ф(–x) = – Ф(x).
  2. Функция Ф(x) – монотонно возрастающая, причем при x → +∞ Ф(x) → 0,5 (практически можно считать, что уже при x ≥ 5 Ф(x) ≈ 0,5).

Пример №7

Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) студентов успешно сдадут экзамен с первого раза.

Решение:

Применяем интегральную теорему Лапласа (npq ≥ 20). Вычисляем: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Учитывая свойства функции Ф(x) и пользуясь таблицей ее значений, находим: Ф(5,0) = 0,5; Ф(–2,5) = – Ф(2,5) = – 0,4938. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Запишем следствия интегральной теоремы Лапласа.

Следствие 1. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что число m наступления события А отличается от произведения np не более, чем на величину ε > 0 (по абсолютной величине) равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №8

Найти вероятность того, что от 280 до 360 студентов успешно сдадут экзамен по теории вероятностей с первого раза.

Решение:

Вычислить вероятность Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияможно аналогично предыдущему примеру по основной интегральной формуле Лапласа. Но проще это сделать, если заметить, что границы интервала 280 и 360 симметричны относительно величины np =320. Тогда на основании следствия 1 получаем Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения т.е. практически достоверно, что от 280 до 360 студентов успешно сдадут экзамен с первого раза. ◄

Следствие 2. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что частость m/n события А заключена в пределах от α до β (включительно) равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет заключена в пределах от 0,9 до 0,95.

Решение:

Вероятность того, что новорожденный доживет до 50 лет равна р = 0,87. Так как n = 1000 велико (т.е. условие npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 выполнено), то используем следствие 2 интегральной теоремы Лапласа. Находим:

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 3. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что частость m/n события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ > 0 (по абсолютной величине) равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №10

По условиям предыдущей задачи найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Решение:

Используя следствие 3 интегральной теоремы Лапласа, находим: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Так как неравенствоПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияравносильно неравенству Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияполученный результат означает, что практически достоверно, что от 83 до 91% новорожденных из 1000 доживут до 50 лет. ◄

Ранее мы установили, что для независимых испытаний вероятность числа m появлений события А в n испытания находится по формуле Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р ≤ 0,1). В этом случае (n велико, р мало) применяют теорему Пуассона 3.4. Формула Пуассона

Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (p → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n→ ∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np → λ), то вероятность Pn(m) того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Строго говоря, условие теоремы Пуассона (p → 0 при n → ∞, так что np → λ) противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании p = const. Однако, если вероятность p – постоянна и мала, число испытаний n – велико и число λ = np – незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №11

На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение:

Вероятность того, что день рождения студента приходится на 1 сентября, равна р = 1/365. Так как вероятность р = 1/365 – мала, а число испытаний n = 1825 – велико и λ = np = 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то условие применимости формулы Пуассона выполняется. По формуле (3.13) получаем:

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Формула Бернулли с решениями

Опыты называются независимыми, если вероятность каждого исхода любого опыта не изменяется от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть производится Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения независимых опытов и известна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения – вероятность появления события Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения в каждом из опытов Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Тогда вероятность того, что в Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения независимых опытах событие Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения появится ровно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз, равна по формуле Бернулли

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Число Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения при котором вероятность Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом появления события.

Если Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения – число дробное, то Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения равно целой части числа Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Если же Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения – число целое, то Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения принимает два значения: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения и Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №12

Предположим, что 30% студентов нашего института занимаются спортом. Какова вероятность того, что среди первых пяти встречных студентов окажется только один спортсмен? Какова вероятность того, что среди них есть хотя бы один спортсмен? Каково наиболее вероятное число спортсменов среди них?

Решение. Так как студентов в институте много (несколько тысяч), то по мере опроса нескольких из них пропорции в оставшейся части практически не изменяются. Поэтому можно считать опрос каждого студента независимым опытом. Всего опытов производится Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения а вероятность положительного ответа Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения По формуле Бернулли (2.6.1) имеем Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Вероятность хотя бы одного правильного ответа проще вычислять, если перейти к противоположному событию: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияТак как Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения (целая часть числа равна 1), то наиболее вероятное число спортсменов среди пяти опрошенных Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №13

На каждый вопрос предлагается три возможных ответа, из которых следует выбрать один правильный. Задано пять вопросов. Какова вероятность того, что путем простого угадывания удастся правильно ответить на четыре вопроса? Какова вероятность угадать правильный ответ хотя бы на один вопрос?

Решение. Выбор ответа на вопрос можно рассматривать как независимый опыт. Всего таких опытов производится Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения а вероятность успеха в каждом опыте равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Тогда вероятность путем простого угадывания правильно ответить на четыре вопроса равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения 

Вероятность угадать хотя бы один правильный ответ равна

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №14

Вероятность попадания в цель при выстреле равна 0,3. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность поражения цели была больше 0,9?

Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как независимое испытание, и в каждом из них вероятность появления события (попадания в цель) равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Цель будет поражения, если в Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения выстрелах будет хотя бы одно попадание, вероятность чего равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №15

Монету подбрасывают до тех пор, пока герб не выпадет три раза. Какова вероятность того, что до этого цифра выпадет пять раз?

Решение. Всего должно состояться восемь подбрасываний монеты. Чтобы опыт закончился именно на восьмом броске, необходимо при восьмом подбрасывании получить герб, вероятность чего равна 1/2, и до этого при семи подбрасываниях герб должен выпасть ровно два раза, вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равна

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

В силу независимости опытов искомая вероятность равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №16

Из начала координат начинает движение точка. На каждом шаге она с вероятностью Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения сдвигается на единицу вверх или вероятностью Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения сдвигается на единицу вправо. Какова вероятность того, что после восьми шагов частица окажется в точке A (5;3)? Какова вероятность того, что за эти восемь шагов частица поднимется не менее, чем на пять единиц вверх?

Решение. Каждый шаг частицы можно считать независимым испытанием. Частица после восьми шагов окажется в точке A(5;3), если из восьми шагов три будут сделаны вверх (а остальные пять – вправо), вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равна

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Частица поднимется не менее чем на пять единиц вверх, если не менее пяти шагов из восьми будут сделаны вверх. Вероятность этого равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №17

Каждый из двух стрелков четыре раза стреляет в цель. Вероятности попасть в цель при каждом выстреле равны для них соответственно 0,6 и 0,8. Какова вероятность того, что у первого будет два промаха, а у второго только один? Какова вероятность того, что у стрелков будет равное число попаданий?

Решение. Каждый выстрел можно считать независимым опытом. Первый стрелок должен в четырех выстрелах попасть два раза, вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равна

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Второй должен попасть три раза, вероятность чего равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность двух промахов у первого стрелка и одного промаха у второго стрелка равна, в силу независимости опытов, Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность того, что у каждого стрелка будет Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения попаданий равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому вероятность равного числа попаданий равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №18

Среди 300 изделий 15 бракованных. Для проверки наугад выбрали пять изделий. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных? Сравнить точное значение вероятности с приближенным, найденным по формуле Бернулли.

Решение. Пусть A – интересующее нас событие. Выбрать пять изделий из 300 можно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения способами. Событию A благоприятствуют те способы выбора, при которых пять изделий выбирается из 285 годных. Число таких способов равно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Точное значение искомой вероятности (с точностью до одной десятитысячной) равно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Так как партия изделий велика, то выбор одного за другим нескольких изделий не меняет заметно пропорции в этой партии. Поэтому можно считать, что производится пять независимых опытов и что вероятность выбора бракованного изделия в каждом опыте примерно равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения По формуле Бернулли (2.6.1) приближенное значение равно:

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Точное значение 0,7724; приближенное по формуле Бернулли 0,7738.

Пример №19

Два игрока А и В подбрасывают монету. Если монета выпадает гербом вверх, то А получает очко. Если выпадает решка, то очко получает игрок В. а) Какова вероятность того, что после 10 бросков монеты счет будет равным? б) Какова вероятность того, что после этих бросков у игрока А будет на два очка больше?

Решение. Каждый бросок монеты можно считать независимым опытом, и таких опытов производится 10. Счет будет равным, если в результате десяти бросков герб выпадет пять раз. Вероятность этого по формуле Бернулли (2.6.1) равна

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Игрок А получит на два очка больше, если в десяти бросках герб выпадет шесть раз, вероятность чего равна

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №20

Вероятность того, что в пяти опытах событие A появится хотя бы один раз, равна 0,92224. Какова вероятность того, в трех опытах это событие появится не более одного раза?

Решение. Пусть вероятность появления события в одном опыте равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения По условию,

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Откуда Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 0,648.

Пример №21

Вероятность того, что в четырех независимых опытах событие A произойдет два раза, рана 3/8. Какова вероятность того, что в шести независимых опытах событие тоже произойдет два раза?

Решение. Пусть вероятность события A равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения  По формуле Бернулли (2.6.1)

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

откуда Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения или Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

В итоге имеем равенство Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения из которого следует, что Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Тогда Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №22

В цехе шесть станков, которые работают независимо друг от друга. В течение рабочего дня (восемь часов) каждый станок простаивает в сумме два часа. Какова доля времени, в течение которой в цехе работает не менее пяти станков?

Решение. Наблюдение над состоянием каждого станка можно рассматривать как независимый опыт, число которых Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Вероятность застать станок работающим равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения (в соответствии с геометрическим определением вероятности). Тогда вероятность застать работающими не менее пяти станков равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Обобщенная формула Бернулли с решениями

Формулу Бернулли (2.6.1) можно обобщить на случай независимых опытов, каждый из которых имеет более двух возможных исходов.

Пусть в результате опыта происходит одно из Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения попарно несовместных событий Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения с вероятностями Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения соответственно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Тогда вероятность того, что в результате независимых опытов событие Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения наступит Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз, событие Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения наступитПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раза, …, событие Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения наступит Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения раз, причем Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения равна: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №23

В крупной партии изделий 60% изделий первого сорта, 30% – второго, 10% – третьего сорта. Для проверки взяли наугад шесть изделий. Какова вероятность того, что среди них три изделия первого сорта, два изделия второго сорта и одно изделие третьего сорта?

Решение. Так как партия изделий велика, то последовательный выбор из нее нескольких изделий практически не меняет пропорции в партии и, значит, не меняет вероятности выбора изделия данного сорта. Поэтому можно в качестве математической модели взять схему независимых опытов. Будем считать, что производится шесть независимых опытов, в каждом из которых вероятность выбора изделия первого сорта равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения = 0,6, второго – 0,3, третьего – 0,1. В соответствии с формулой (2.6.2) Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №24

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p = 0,2. Подбрасывают игральный кубик. Если выпадает Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения очков, то стрелок получает право на Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения выстрелов. Какова вероятность поражения цели?

Решение. При Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения выстрелах вероятность поражений цели (вероятность хотя бы одного попадания) равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Так как вероятность выпадения каждой грани равна 1/6, то полная вероятность поражения цели равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность независимых испытаний

Пример:

Проводятся испытания 10-ти телевизоров на надежность в течение времени Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Вероятность выхода телевизора из строя в течении времени Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения равна 0,2. Считая, что телевизоры выходят из строя независимо друг от друга, найти:

а) вероятность выхода из строя 3-х телевизоров из 10;

б) вероятность выхода из строя не менее 3-х телевизоров и не более 6;

в) вероятность выхода из строя хотя бы одного телевизора.

Решение.

а) применим формулу Бернулли (1.21): Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

б) используем теорему сложения независимых событий: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

в) здесь вероятность того, что выйдет из строя или 1, или 2, ..., или 10 телевизоров, удобно определить через противоположное событие - Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний

Пример:

Вероятность поражения самолета одним осколком при подрыве вблизи нею зенитной ракеты равна 0,01. Боеголовка ракеты при подрыве разлетается на тысячу осколков. Найти наивероятнейшее число попавших в самолет осколков и вероятность поражения самолета.

Решение.

Обозначим Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Подставляя данные значения в (1.24), имеем

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность поражения самолета

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность испытаний

Практические задачи, связанные с оценкой вероятности наступления события в результате нескольких равноценных попыток могут анализироваться с применением формулы Бернулли или (при большом количестве таких попыток) с применением приближенной формулы Пуассона. Для работы с этим материалом Вам снова потребуется знание основ комбинаторики (Раздел 1.2).

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события А одна и та же и равна р. Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события А в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события А обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения при данном п сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения а затем уменьшается при изменении Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения от то до n. Поэтому Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения, называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число то, заключено между числами Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения (или, что то же самое, между числами Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решенияПовторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения. Если число Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения - целое число, то наивероятнейших чисел два: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Важное замечание. Если Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Пример №25

Игральная кость бросается 4 раза. При каждом броске нас интересует событие А = {выпала шестерка}.

Решение:

Здесь четыре испытания, и т.к. кубик симметричен, то Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность того, что в 4 независимых испытаниях успех наступит ровно m раз (m < 4), выражается формулой Бернулли: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Посчитаем эти значения и запишем их в таблицу. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Самое вероятное число успехов в нашем случае Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20.

Решение:

При n = 19 находим

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, максимальная вероятность достигается для двух значений Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения равных 11 и 12. Эта вероятность равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения При n=20 максимальная вероятность достигается только для одного значения Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения т.к. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

не является целым числом. Наивероятнейшее число наступлений успеха Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения равно 12. Вероятность его появления равна Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения Совпадение чисел Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения вызвано лишь сочетанием значений n и р и не имеет общего характера.

На практике в случае, когда n велико, а р мало (обычно Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Пример №27

Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение:

Будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. Обозначим А = {отказ элемента за год}. Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

По формуле Пуассона

Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим через Р1000( > 2) вероятность отказа не менее двух элементов за год. Переходя к противоположному событию, вычислим Р1000( > 2) как: Повторные независимые испытания - определение и вычисление с примерами решения