Геометрические вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Геометрические вероятности:

Область применения классического определения вероятности – испытания с конечным числом равновозможных исходов. Существенным является условие равновозможности. От конечности числа исходов опыта можно отказаться и определять вероятности не с помощью числа исходов, 27 а с помощью отношения длин, площадей и т.д., но при сохранении условия равновозможности.

Геометрическое определение вероятности

Пусть область

Если равновозможно попадание точки в любую точку области G, то вероятность попасть в область равна отношению меры области к мере области G:

где «мера» – означает: 1) длину, если область G часть прямой или кривой линии; 2) площадь, если G часть плоскости; 3) объем, если G часть пространства, и т.д. в зависимости от характера области G.

Пример:

Две радиостанции течение часа независимо друг от друга должны передать сообщения длительностью 10 мин. и 20 мин. соответственно. Какова вероятность того, что сообщения не перекроются по времени.

Решение. Пусть – момент начала сообщения первой радиостанции, а – момент начала второго сообщения. Для того чтобы сообщения уложились в отведенный час, должны выполняться условия:  Сообщения не перекроются во времени, если выполнятся условия: и у Этим условиям удовлетворяют точки заштрихованных областей, изображенных на рис. 2.2.2.

Так как все положения точки в прямоугольнике равновозможны, то искомая вероятность равна отношению заштрихованной площади, которая равна к площади прямоугольника. Поэтому

Ответ.

Пример:

В треугольник с вершинами A(0;0), B(4;0) и C(0;2) наугад брошена точка, причем все положения точки в этом треугольнике равновозможны. Найдите вероятность того, что координаты точки X и Y будут удовлетворять неравенству

Решение. Полагая в квадратном трехчлене переменной величиной X, а Y коэффициентом, найдем корни трехчлена X=Y и  Тогда неравенство можно записать в виде или Последнее неравенство равносильно совокупности неравенств:

Точки плоскости, координаты которых удовлетворяют этой совокупности систем неравенств, на рис. 2.2.3 выделены штриховкой. Часть из них содержится в треугольнике ABC.

Так как по условию все положения точки в треугольнике ABC равновозможны, то по геометрическому определению вероятности искомая вероятность равна отношению площади заштрихованного треугольника AEC к площади треугольника ABC.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения AB на AC, т.е. равна 4. Линия BC имеет уравнение а линия AE определяется уравнением

Их точка пересечения имеет координаты E(4/3;4/3). Абсцисса точки E равна высоте треугольника AEC, опущенной на сторону AC. Поэтому площадь треугольника AEC равна Поэтому искомая вероятность равна

Ответ. 1/3.

Пример:

Координаты случайной точки в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой  служат коэффициентами квадратного уравнения Полагая все положения случайной точки в указанном треугольнике равновозможными, найти вероятность того, что уравнение имеет два действительных корня.

Решение. Пусть А – интересующее нас событие. Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант Это неравенство будет выполнено, если случайная точка М попадет в треугольнике ниже кривой (на рис. 2.2.4 заштрихованная область). Точка пересечения линий имеет координаты (2;1). Поэтому площадь заштрихованной фигуры на рис. 2.2.4 равна

Так как площадь всего треугольника равна то по геометрическому определению вероятности

Ответ.

Пример:

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние Острый угол ромба равен 60°, а наибольшая диагональ равна Ромб наугад бросают на плоскость. Какова вероятность того, что ромб пересечет одну из прямых?

Решение. Бросание ромба «наугад» подразумевает, что центр ромба с равными шансами может оказаться на любом расстоянии (в пределах от 0 до ) от ближайшей прямой, а значения угла между наибольшей диагональю и ближайшей прямой равновозможны в пределах от до при этом и независимы. Заметим, что расстояние от центра ромба до его стороны равно

Если то ромб несомненно пересечет ближайшую прямую. Если же то для пересечения ближайшей прямой необходимо и достаточно, чтобы т.е. проекция половины наибольшей диагонали на перпендикуляр к прямой должна быть больше расстояния от центра ромба до прямой (см. рис. 2.2.5).

Названные условия выполняются в заштрихованной области на рис. 2.2.6. Графики функций и пересекаются в точках, в которых т.е. при и Поэтому заштрихованная площадь равна

Любое положение ромба относительно ближайшей прямой можно охарактеризовать точкой в прямоугольнике со сторонами и Поскольку все положения ромба относительно ближайшей прямой равновозможны, то по геометрическому определению вероятности искомая вероятность равна

Ответ.

Пример:

Наудачу взяты два положительных числах  причем  Найти вероятность того, что  если 

Подставляя значения коэффициентов в неравенства, получаем

Строим на рис. 1.8 оси координат и область, которая определяет пространство элементарных событий  она задается неравенствами  и отображается на рисунке 1.8 прямоугольником.

Площадь прямоугольника  [условных единиц]. Область благоприятствующих исходов определяется неравенствами  поэтому строим на рисунке прямые, которые задаются из неравенств  Заштрихованная на рисунке 1.8 область описывает благоприятствующие исходы (с учетом всех возможных значений) и является трапецией, площадь которой [условных единиц]. Тогда вероятность события 

Пример:

Найти вероятность того, что на экране радиолокатора отметка от цели появится в кружке радиусом  на азимуте  ноль градусов, на расстоянии  от центра экрана, если радиус экрана равен 30 см.

Экран радиолокатора, рис. 1.9, представляет собой электронно-лучевую трубку с радиальной разверткой, в которой от центра до края экрана движется электронный луч и после достижения края движение луча опять начинается от центра к краю, но с некоторым смещением по азимуту. Это перемещение луча от центра экрана соответствует началу излучения радиоимпульса антенного радиолокатора, который укреплен на боковой стенке кабины с передающим устройством, а кабина, в свою очередь, вращается вокруг вертикальной оси, что соответствует смещению луча на экране по азимуту. И когда радиоимпульс отражается от цели, на экране радиолокатора вспыхивает яркая точка. По положению этой точки на экране легко определить расстояние до цели и ее азимут. 

Зная геометрическое определение вероятности, можно сразу сказать, что вероятность появления отметки от цели в кружке радиусом  зависит только от отношения площадей и не зависит ни от формы области благоприятствующих исходов, ни от места ее расположения. Поэтому в этой задаче есть избыточная информация - расстояние  и азимут 

Определяем область благоприятствующих исходов, которой является кружок радиусом  и площадью -  Пространство элементарных событий  - это область экрана, его площадь  Тогда