Черчение - примеры с решением заданий и выполнением чертежей

Здравствуйте на странице собран курс лекций по всем темам предмета «Черчение», целью черчения является формирование навыков чтения чертежей и выполнения графических изображений. Многие науки изучаются и объясняются при помощи чертежей, потому что чертеж обеспечивает наглядность видов любых изделий или предметов.

Черчение познакомит вас с разными видами графических изображений, построением предметов на плоскости чертежными инструментами в соответствии с принятыми государственными стандартами (ГОСТ), возможностями выполнения чертежей с применением современных компьютерных программ. Это поможет вам овладеть умением выполнять и читать графические изображения, повысит уровень графической культуры.

Курс лекций по черчению разделен на три раздела: «Геометрическое черчение», «Проекционное черчение», «Машиностроительное черчение» — и содержит теоретическую и практическую части с примерами решения задач и выполнением чертежей и заданий. 

Содержание:

Геометрическое черчение

Виды графических изображений

• Вы узнаете: о графическом языке; видах графических изображений и их роли в передаче информации о предметном мире; о графических изображениях, предназначенных для передачи технической и технологической информации об изделиях.
• Вы научитесь: распознавать виды графических изображений.

Виды графических изображений

Изображения сопутствовали человеку на всех этапах его исторического развития. Еще в глубокой древности люди научились изображать различных животных, предметы быта, труда, охоты. Яркий пример таких изображений — наскальные рисунки сцен охоты (рис. 1).

Рис. 1. Охота на бизона. Рисунок эпохи верхнего палеолита в пещере Альтамира (Испания)

Используя рисунок 1, расскажите, на каком материале и какими инструментами выполнено это изображение. Приведите примеры видов настенной росписи. Какую информацию передавали эти изображения?

Потребность людей в передаче друг другу информации привела к появлению графического языка. C его помощью стало возможным передавать и сохранять информацию изобразительными и знаковыми средствами — рисунками, символами, пиктограммами, цифрами, буквами и др.

Рисунки и пиктограммы как средства общения между людьми появились задолго до создания письменности. Пиктограмма — один из первых видов письма в виде знаков, схематически отображающих важнейшие узнаваемые черты объекта, предмета или явления. Именно в рисунках и пиктограммах берет начало, зарождается и формируется графический язык.

Графический язык сейчас является языком делового международного общения, т. к. его изобразительную и знаковую систему составляют графические изображения. В современной жизни человек сталкивается с разнообразными графическими изображениями: рисунками, чертежами, схемами, планами, картами, графиками, логотипами, инфографикой и др. Они используются в различных сферах его жизнедеятельности.

C помощью рисунков или фотографий можно изобразить все окружающие нас предметы, машины, здания и сооружения такими, какими мы их обычно видим. В черчении графические изображения предназначены для передачи геометрической, технической и технологической информации о каком-либо предмете или изделии. К таким видам изображений относятся технические рисунки, эскизы, чертежи, сборочные чертежи, развертки, архитектурно-строительные и топографические чертежи, схемы и др.

Рассмотрим основные виды изображений. Пространственные формы предметов на бумаге можно изобразить в виде технического рисунка, эскиза или чертежа. Техническим рисунком пользуются в тех случаях, когда необходимо быстро пояснить форму рассматриваемого предмета, показать его наглядно.

Технический рисунок — это наглядное изображение объекта, выполненное от руки, на глаз, с соблюдением его конструктивной формы и пропорций (рис. 3).

Рис. 3. Технический рисунок

Эскизы предназначены для временного или разового использования. По эскизам могут изготавливаться изделия в опытном производстве, при ремонте.

Эскиз — чертеж, выполненный, как правило, от руки (без применения чертежных инструментов), с со-хранением пропорций элементов де-тали, а также в соответствии со все-ми правилами и условностями, установленными стандартами (рис. 4).

Рис. 4. Эскиз детали (пример)

По эскизам и техническим рисункам можно судить о геометрической форме детали. Такое изображение наглядно, однако оно не может дать полного представления о внутренней форме и истинных размерах предмета. Поэтому при производстве изделий применяют другой, более точный способ изображения — чертеж. Чертежи являются основными графическими документами для изготовления различных изделий на производстве.

Чертеж — один из видов конструкторских документов, содержащий изображение изделия, определяющий его конструкцию, взаимодействие составных частей и другие данные, необходимые для изготовления, контроля, монтажа, эксплуатации и ремонта изделия (рис. 5).

Рис. 5. Чертеж детали (пример)

Для сборки готовых изделий, состоящих из нескольких деталей, пользуются сборочным чертежом.

Сборочный чертеж — конструкторский документ, содержащий изображение сборочной единицы и другие данные, необходимые для ее сборки (изготовления) и контроля (рис. 6).

Рис. 6. Сборочный чертеж (пример)

Также для изготовления изделий используют чертежи разверток — изображение поверхности предмета, по особым правилам совмещенное с плоскостью, развернутое на плоскость (рис. 7).

Рис. 7. Изображение развертки коробки

Кроме чертежей, на производстве используют схемы для определения принципа действия различных устройств.

Схема — конструкторский документ, где показаны в виде условных изображений или обозначений составные части изделия и связи между ними (рис. 8).

Рис. 8. Схема (пример)

При строительстве зданий и сооружений пользуются архитектурно-строительными чертежами (рис. 9), в сельском хозяйстве, промышленности, военном деле используют топографические карты, на которых изображен рельеф местности, нанесены населенные пункты, дорожная сеть, различные объекты (рис. 10).

Рис. 9. Архитектурно-строительный чертеж (пример)

Рис. 10. Топографическая карта (пример)

Чтобы графические, конструкторские документы (чертежи, карты, схемы и др.) были понятны всем специалистам, их необходимо выполнять по определенным правилам. Правила выполнения и оформления графических документов отражаются в государственных стандартах (ГОСТах), которые объединены в Единую систему конструкторской документации (ЕСКД) и используются во всех сферах производства, научных, учебных организациях. Стандарты периодически проверяются, пересматриваются и обновляются.

Единая система конструкторской документации (ЕСКД) — комплекс стандартов, устанавливающих правила, требования и нормы по разработке, оформлению и обращению конструкторской документации (при проектировании, изготовлении, контроле, приемке, эксплуатации, ремонте, утилизации изделия).

В 1946 г. создана Международная организация по стандартизации ИСО (ISO), целью которой являет-ся расширение технического, научного и экономического сотрудничества. При выборе ее названия было решено использовать греческое слово ίσος (исос) — равный. Поэтому на всех языках мира Международная организация по стандартизации имеет краткое название ИСО. Для облегчения обмена технической документацией каждая страна приводит свои стандарты в соответствие со стандартами Международной организации.

Логотип ИСО (ISO)

Чертежные материалы, инструменты и принадлежности

Вспомните, на чем выполняли графические изображения наши предки.

Вы узнаете: какими чертежными инструментами, материалами и принадлежностями пользуются при выполнении чертежей, как подготовить инструменты и принадлежности к работе.

Вы научитесь: подготавливать чертежные материалы и настраивать чертежные инструменты и принадлежности, пользоваться ими.

Графические изображения могут выполняться вручную чертежными инструментами или на компьютере. Качество выполненных графических изображений в значительной степени зависит от наличия и качества инструментов, принадлежностей и материалов.

Чертежные материалы. Основным материалом, на котором выполняются графические изображения, является бумага.

Бумага. Существуют различные типы бумаги, используемые для выполнения технического графического изображения. Основным типом является белая плотная чертежная бумага.

При выполнении чертежа на чертежной бумаге следует помнить, что все изображения выполняются на гладкой стороне бумаги. Свободное поле чертежа можно закрыть чистым листом бумаги, чтобы графитная пыль от карандаша не пачкала поверхность.

Для выполнения чертежей не пригодна бумага для рисования, т. к. на ее поверхности остаются шероховатости и загрязнения от использования ластика, что не дает возможности повторного проведения линий нужного качества.

Чертежные инструменты. К ним относятся линейки, рейсшины, угольники, циркули, трафареты, лекала, транспортиры.

Линейки. Для черчения используются пластиковые или деревянные линейки длиной не менее 30 см. Для проведения параллельных линий удобно пользоваться линейкой с роликом (инерционной рейсшиной).

Инерционная рейсшина

Рабочая поверхность линейки, на которую нанесена шкала, должна быть гладкой и прямо-линейной. Для проверки качества линейки про-ведите прямую линию. Перевернув линейку, со-вместите ее рабочую поверхность с проведенной линией и проведите вторую линию. Линии, про-веденные качественной линейкой, совпадут.

Угольники чертежные. Для черчения применяются два вида угольников: с углами 30°, 60°, 90° и 45°, 45°, 90°; деревянные или пластиковые.

Циркули. Различают циркули круговые (предназначены для вычерчивания окружностей и дуг) и разметочные (циркули-измерители — предназначены для переноса размеров с линейки на чертеж). Для вычерчивания окружностей и дуг малого диаметра при-меняется кронциркуль (его еще называют балеринка). Для хранения циркулей используется специальный футляр — готовальня.

Правила использования циркуля

• игла и графитовый стержень циркуля должны находиться на одном уровне; графитовый стержень должен быть длиной не менее 8—10 мм. графитовый стержень должен быть заточен под углом и вставлен заточенной стороной наружу;
• при проведении окружностей и дуг игла и графитовый стержень должны быть перпендикулярны плоскости чертежа;
• при работе циркуль держат двумя пальцами за рифленую головку, слегка наклонив циркуль вперед примерно на 15°.

Трафареты и лекала. Трафареты — пластмассовые пластинки с прорезями в виде геометрических фигур, облегчающие и ускоряющие выполнение графических изображений. Лекало представляет собой тонкую пластину из пластмассы с криволинейными кромками и предназначено для выполнения лекальных (не циркульных) кривых.

Транспортир. Представляет собой инструмент в виде дуги, разделенной на градусы от 0 до 180° (в некоторых моделях — от 0 до 360°) для измерения углов и нанесения их на чертеже.

Круговые транспортиры на 360° удобны в работе и значительно расширяют возможность их использования.

Чертежные принадлежности. К основным чертежным принадлежностям относятся карандаши чертежные и ластики.

Карандаши чертежные. Для черчения используются деревянные и цанговые (автоматические — диаметр грифеля 2 мм или микроавтоматические — диаметр грифеля 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 мм) карандаши с грифелем различной твердости, указанной на карандаше буквами и цифрами.

Шкала твердости:

• М — мягкий;
• Т — твердый;
• ТМ — твердо-мягкий.

Европейская шкала твердости:

• В — мягкий, от blackness (чернота);
• H — твердый, от hardness (твердость);
• F — средний тон между НВ и Н (от англ. fine point — тонкость);
• HB — твердо-мягкий (Hardness Blackness — твердость-чернота).

Степень мягкости (твердости) обозначается цифрами. Чем выше цифра, тем грифель мягче или тверже.

Выполнение чертежа начинают карандашом с твердостью Т, 2Т, а обводку выполняют более мягким карандашом с твердостью М. Карандаш для работы должен быть хорошо заточен. Затачивать карандаш нужно на конус. Графитовый стержень должен выступать из деревянной оправы на 8—10 мм. Заострить грифель можно на наклеенной на кар-тон шлифовальной шкурке на бумажной основе.

Во время работы карандаш держите под небольшим наклоном к чертежному инструменту. Чтобы грифель карандаша во время работы оставался острым, периодически поворачивайте его вокруг своей оси.

Ластики. Лишние линии на чертеже удаляют мягкими ластиками для карандашей. Ластики необходимо выбирать мягкие, белого или светло-серого цвета, а не цветные, т. к. чаще всего цветные ластики не стирают, а размазывают карандаш, оставляя грязные следы на бумаге. Периодически следует чистить ластик о твердую поверхность, тогда он не будет оставлять следов. Помните, ластиком, предназначенным для удаления чернил шариковой ручки, пользоваться нельзя, т. к. он делает бумагу ворсистой.

Чертежи можно выполнять не только карандашом, но и тушью. Тушь бывает жидкая и сухая (в виде палочек или плиток). Черная тушь высокого качества имеет густой черный цвет, легко сходит с пера или с рейсфедера. Рейсфедер — это чертежный инструмент для проведения линий и знаков на бумаге тушью или краской. Состоит из двух створок, соединенных в одной точке ручкой. Промежуток между ними заполняется тушью или краской. Ширина линии рейсфедера регулируется поворотом гайки.

Организация рабочего места. Выполнение чертежей — трудоемкий процесс, поэтому постоянно разрабатываются инструменты и приспособления, ускоряющие и облегчающие эту работу. Современные рабочие места конструкторов оснащаются модернизированными столами, компьютерами с установленными специальными программами (графическими редакторами, расчетными и моделирующими программами), принтерами и плоттерами (рис. 11), что значительно ускоряет выполнение проектно-конструкторских работ. В настоящее время программы, используемые конструкторами при разработке изделий, объединяются в системы автоматизированного проектирования (САПР) или CAD-системы.

Для выполнения чертежей высокого качества рабочее место должно быть правильно организовано. Его необходимо правильно освещать. Свет должен падать на чертеж сверху и слева (для левшей справа). При таком положении глаза не будут уставать, а на чертеж не будет падать тень. Во время работы следует сидеть прямо, подняв голову и выпрямив спину, не-много наклонившись вперед. Расстояние от глаз до чертежа должно быть не менее 300—350 мм.

Рис. 11. Современные рабочие места для выполнения чертежей

Название карандаш пришло с Востока и в переводе означает «черный камень» или «черный сланец». Счита-ется, что история создания карандаша началась с XIV в., когда появился итальянский карандаш, который представлял собой глинистый черносланцевый стержень, завернутый в кожу. Позднее сланец был заменен порошком из жженой кости, замешанным с растительным клеем.

А вот прародителями карандаша считаются свинцово-цинковые и серебряные палочки, состоящие из куска проволоки, которую иногда припаивали к ручке. Они назывались серебряными карандашами. Писать ими было тяжело, т. к. невозможно было стереть и исправить надписи. Такими карандашами пользовались А. Дюрер и С. Ботичелли.

Правила оформления чертежей: форматы листов чертежей, масштабы

Вы узнаете: какие форматы листов бумаги используют для выполнения чертежей, какие масштабы применяют для графических изображений.

Вы научитесь: выполнять внутреннюю рамку и основную надпись чертежа, использовать масштаб при выполнении чертежей.

Как вам уже известно, при выполнении и оформлении чертежей руководствуются едиными правилами, обязательными для всех предприятий, организаций, учебных заведений. Поэтому чертежи изделий нельзя по-разному читать или выполнять. Чертежи должны понимать все специалисты, которые участвуют в изготовлении и ремонте изделий. Правила выполнения и оформления чертежей объединены в единую систему конструкторской документации (ЕСКД). В процессе изучения черчения вы будете знакомиться с различными стандартами (например, на масштабы, линии чертежа, форматы, шрифты и др.). Каждому стандарту присваивается свой номер и год регистрации (напри-мер, ГОСТ 2.109-73 ЕСКД. Основные тре-бования к чертежам).

Познакомимся с основными стандартами ЕСКД, устанавливающими правила оформления чертежей.

Форматы листов чертежей. Для удобства хранения чертежей их выполняют на листах бумаги определенного размера, называемого форматом. Формат листа определяется размерами его сторон. Стандартом ГОСТ 2.301-68 ЕСКД. Форматы установлен ряд основных и дополнительных форматов (рис. 12). Форматы листов определяются размерами внешней рамки и обозначаются заглавной буквой А и цифрой. На уроках черчения вы будете использовать формат А4, размеры сторон которого 210 х 297 мм или А3 с размерами 420 х 297 мм.

Рис. 12. Форматы листов чертежей

Основная надпись чертежа (штамп). Каждый чертеж оформляется рамкой и основной надписью. Рамка ограничивает поле чертежа. Ее проводят сплошной толстой линией на расстоянии 20 мм от левой границы формата и на расстоянии 5 мм от верхней, нижней и правой границ (рис. 13).

Рис. 13. Оформление рамки чертежа

Согласно стандарту ГОСТ 2.301-68 формат А4 чаще всего располагают верти-кально. Листы других форматов могут располагаться как вертикально, так и горизонтально. Однако в учебных целях мы будем располагать формат А4 как вертикально, так и горизонтально.

В правом нижнем углу формата над рамкой размещают основную надпись. Форму, размеры и содержание основной надписи устанавливает стандарт ГОСТ 2.104-68 ЕСКД. Основные надписи. Для производственных чертежей основная надпись выглядит следующим образом (рис. 14).

Рис. 14. Основная надпись производственного чертежа (штамп)

Рис. 15. Размеры основной надписи учебного чертежа

Для учебных чертежей размеры основной надписи стандартами не ре-гламентируются. Основная надпись учебного чертежа, которую выполняют на уроках черчения, имеет размеры, указанные на рисунке 15. Рамка основной надписи также выполняется сплошной толстой линией.

В основной надписи чертежным шрифтом (его мы рассмотрим позже) указывается: наименование изделия, фамилия учащегося и учителя, дата приемки чертежа, масштаб изображения, обозначение материала детали, школа и класс, номер задания (рис. 16).

Буквы и цифры в основной надписи, как и на всем чертеже, выполняют чертежным шрифтом.

Рис. 16. Пример заполнения основной надписи учебного чертежа

Масштабы. Часто необходимо выполнить чертежи больших или мелких деталей. Большие по размерам детали невозможно изобразить на листе бумаге, не уменьшив их размеры в несколько раз. Также чертежи мелких деталей трудно выполнить без увеличения их размеров. Таким образом, изображение детали на чертежах может быть больше или меньше, чем сама деталь. Про такое изображение говорят, что оно выполнено в масштабе.

Когда 10 миллиметров на бумаге равно 10 миллиметрам величины объекта, то чертеж имеет масштаб натуральной величины (1:1).

Масштаб — это отношение линейных размеров изображаемого на чертеже предмета к его действительным размерам.

При изображении крупных деталей пользуются масштабом уменьшения, мелких — масштабом увеличения (рис. 17).

Рис. 17. Масштабы изображения

Стандартом ГОСТ 2.302-68 ЕСКД. Масштабы установлены следующие виды масштабов для чертежей:

Масштаб натуральной величины: 1:1.

Масштаб уменьшения: 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000 и др.

Масштаб увеличения: 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1 и др.

Помните! При использовании масштаба уменьшения или увеличения изменяется только величина изображения объекта, а числовые значения размеров всегда указываются натуральные (действительные). Величины угла остаются без изменения при любом масштабе.

Обозначение масштаба. Масштаб записывается в основной надписи в специальной графе (см. рис. 16). Если одно из изображений на черте-же выполнено не в том масштабе, который указан в основной надписи, над этим изображением записывают масштаб: указывают непосредствен-но после надписи, относящейся к изображению, например: А–А (1:1); Б (5:1); А (2:1).

Линии чертежа

Вы узнаете: какими линиями выполняют графические изображения, почему необходимо использовать разные типы линий. Вы научитесь: выполнять разные типы линий в соответствии с ГОСТ.

Основными элементами любого чертежа являются линии. Чтобы чертеж был более выразителен и понятен для чтения, его выполняют разными линиями, начертание и основные назначения которых установлены стандартом ГОСТ 2.303-68 ЕСКД. Линии. Толщина линий обозначается буквой s. Толщина других линий выбирается в зависимости от s. Каждо-му типу линии соответствует свое назначение на чертеже (табл. 1).

Таблица 1. Линии чертежа

Наименование линий	Толщина (s)	Марка карандаша	Назначение
Сплошная толстая основная	От 0,5 до 1,4 мм	М (В), ТМ (НВ)	Линии видимого контура, рамка и основная надпись чертежа
Сплошная тонкая	От s/3 до s/2	Т (Н), 2Т (2Н)	Линии выносные, размерные, штриховки
Штриховая	s/2, длина штриха от 2 до 8 мм, рассто-яние между штри-хами 1—2 мм	М (В), ТМ (НВ)	Линии невиди-мого контура
Штрихпунктирная	От s/3 до s/2, дли-на штрихов от 5 до 30 мм, расстояние между ними от 3 до 5 мм	Т (Н), 2Т, (2Н)	Осевые и центровые линии
Штрихпунктирная с двумя точками	От s/3 до s/2, дли-на штриха от 5 до 30 мм. Расстояние между штрихами от 4 до 6 мм	Т (Н), 2Т, (2Н)	Линии сгиба на развертках
Сплошная волнистая	От s/2 до s/3	Т (Н), 2Т, (2Н)	Линия обры-ва ограничения вида и разреза
Разомкнутая	От s до 1,5 s, длина штриха 8—20 мм	Т (Н), 2Т (2Н)	Линия сечений

На уроках черчения чаще всего вы будете применять четыре основные типы линий: сплошная толстая основная, сплошная тонкая, штриховая и штрихпунктирная (рис. 20).

Рис. 20. Пример использования линий чертежа разных типов

Правила начертания линий

• Каждый чертеж рекомендуется предварительно выполнять сплошными тонкими линиями.
• Вычерчивание чертежа начинают с проведения осевых и центровых ли-ний, от которых ведутся последующие построения.
• Толщина линий одного типа на чертеже должна быть одинаковой. При начертании штриховой и штрихпунктирной линий штрихи и про-межутки между штрихами должны быть одинаковой длины. Штриховая и штрихпунктирная линии пересекаются и заканчиваются только штрихами.
• Штрихпунктирная линия выводится за контур изображения на 2 мм.

Помните! Центр окружности изображается не точкой, а пересечением штрихов. Штрихи выступают за контур окружности на 2 мм. Если диаметр окружности меньше 12 мм, центровые штрихи изображают сплошной тонкой линией (рис. 21).

Рис. 21. Правила выполнения центровых линий

Компоновка чертежа

Вы узнаете: что называется компоновкой чертежа, как на листе представить равновесное расположение всех элементов чертежа.

Вы научитесь: гармонично выполнять компоновку отдельных элементов изображения в выбранном масштабе на определенном формате.

Когда вы впервые начинаете выполнять чертеж, может возникнуть проблема размещения чертежа на площади листа бумаги. В итоге чертеж либо не помещается в отведенном ему поле, либо занимает только его часть. Чтобы избежать этих ошибок, необходимо выполнить компоновку чертежа, т. е. разместить изображения, размеры и надписи на поле чертежа (внутри рамки).

Так как мы воспринимаем изображение предмета не изолированно, а вместе с листом, на котором оно расположено, то между величинами изображения и листом бумаги должна существовать определенная пропорциональная зависимость — композиционное равновесие. Одной из основ компоновки является принцип равновесия изображений с листом, на ко-тором они расположены. Изображения на чертеже должны быть расположены таким образом, чтобы была возможность правильно нанести размеры и выполнить необходимые надписи.

Простейший способ достижения равновесия на чертеже — это равно-мерное распределение изображений. По возможности они должны уравновешивать формат листа, т. е. располагаться на нем равномерно, без концентрации в одном месте.

Приступая к компоновке чертежа, целесообразно предварительно на-нести тонкими линиями габаритные прямоугольники, соответствующие габаритным размерам будущих изображений (a, b, c) (рис. 22), и после уточнения их расположения вписать в них изображения детали, нанести размеры.

При правильной компоновке чертежа габаритные прямоугольники изображения должны отстоять от линий рамки справа и слева на одинаковом расстоянии m; сверху от рамки и снизу от основной надписи (штампа) также на одинаковом расстоянии n (см. рис. 22). При компоновке чертежа необходимо учитывать размеры его изображения. Если изображение предмета очень простое, а его габаритные раз-меры велики, можно применить масштаб уменьшения. При изображении сложного по форме предмета, но очень мелкого по размерам, следует применить масштаб увеличения.

Помните! При компоновке чертежа нельзя нарушать проекционные связи.

Рис. 22. Компоновка чертежа

Законы композиции проявляются во всех видах искусств: в архитектуре, скульптуре, живописи, музыке, фотографии и т. п. Известно ли вам, что такое золотое сечение? Это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему: c : b = b : a или a : b = b : c.

Шрифты чертежные

Вы узнаете: для чего нужны шрифты, какие они бывают. Вы научитесь: выполнять чертежным шрифтом простые надписи и размерные числа на изображениях предмета.

Шрифты. Вы уже обратили внимание, что изображения на чертежах всегда сопровождают надписями. Все надписи на чертежах должны быть выполнены чертежным шрифтом.

Буквы и цифры чертежного шрифта отличаются от тех, которыми вы обычно пишете.

Шрифт (от нем. Schrift) — это рисунок, начертание букв какого-либо алфавита, цифр и знаков. Шрифты чертежные предназначены для выполнения надписей, начертания условных знаков и размерных чисел на чертежах.

Правила выполнения чертежных шрифтов определяются стандартом ГОСТ 2.304-81 ЕСКД. Шрифты чертежные. Стандарт устанавливает начертание, размеры двух видов букв русского, латинского и греческого алфавита — прописных (заглавных) и строчных, а также арабских и римских цифр и некоторых знаков для условных обозначений на чертеже.

Шрифт может быть выполнен с на-клоном 75° и без наклона. Угол наклона букв и цифр можно построить с помощью двух угольников. В тетради в клетку нужный угол можно получить, проведя диагональ прямоугольника, образованного четырьмя клетками (рис. 25).

Рис. 25. Угол наклона шрифта

Параметры чертежного шрифта. При начертании букв и цифр чертежного шрифта используются следующие параметры.

• Размер шрифта определяется высотой (h) прописных (заглавных) букв в миллиметрах по вертикали (рис. 26). Надписи на чертежах выполняют шрифтами следующих размеров: 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40 мм.

Рис. 26. Параметры чертежного шрифта

• Толщина линий шрифта определяется в зависимости от высоты шрифта. Она равна 0,1 h и обозначается d.
• Ширина (g) букв в основном равна 0,6 h или 6d. Буквы бывают широкие и узкие.
• Элементы букв, которые выступают из строки (прописные Д, Щ, строчные б, в, д, р, у, ц, ф, щ), выполняются за счет расстояний между строками.
• Высота цифр равна высоте прописных букв h. Ширина цифр равна h/2 (исключение цифры 1 и 4).
• Расстояние между буквами и цифрами (а) в словах 0,2 h, или 2d, между словами и цифрами (e) — 0,6 h, или 6d.

Для удобства определения параметров шрифта можно воспользовать-ся таблицами 2 и 3.

Таблица 2. Параметры чертежного шрифта

Параметр шрифта	Обозначение	Относительный размер		Размер, в мм
Размер шрифта — высота прописных букв	h	h	10d	2,5	3,5	5,0	7,0	10,0
Высота строчных букв	c	(7/10)h	7d	1,8	2,5	3,5	5,0	7,0
Расстояние между буквами и цифрами	a	(2/10)h	2d	0,5	0,7	1,0	1,4	2,0
Минимальное рас-стояние между словами и цифрами	e	(6/10)h	6d	1,5	2,1	3,0	4,2	6,0
Толщина линий шрифта	d	(1/10)h	d	0,25	0,35	0,5	0,7	1,0

Таблица 3. Размеры ширины букв и цифр

Буквы	Цифры и буквы, ширина которых равняется
	3d	4d	5d	6d	7d	8d	9d
Прописные			Г,Е,З,С	Б,В,И,Й,К, Л,Н,О,П, Р,Т,У,Ч,Ь,Э,Я	А,Д,М,Х, Ц,Ы,Ю	Ж, Ф, Ш, Ъ	Щ
Строчные		з,с	б,в,г,д,е, и,й,к,л,н, о,п,р,у	а,м,ц,ъ,ы,ю	ж, т, ф, ш	щ
Цифры	1		2,3,5,6,7, 8,9,0	4

Высота строчных букв соответствует высоте прописных букв предшествующего размера шрифта (табл. 2). Определите высоту строчных букв для шрифта размера 7.

Буквы и цифры не вычерчивают с помощью чертежных инструментов, а пишут от руки карандашом TM (НВ), M (В). Чтобы надписи были аккуратными, используют вспомогательные сетки, ограничивающие буквы и цифры по высоте, среднюю линию и линию наклона (рис. 27).

Оформляя чертеж, при заполнении основной надписи графу «Наименование работы» выполняют размером шрифта 7 (рис. 28). Все остальные графы основной надписи заполняют размером шрифта 5.

Рис. 27. Сетка для чертежного шрифта

Рис. 28. Пример заполнения основной надписи (штампа)

Считается, что впервые алфавит изобрели финикийцы в XI в. до н. э. Он со-стоял из 22 знаков. Греческий алфавит является прямым наследником финикийского. Шрифт, используемый для начертания его знаков, был предельно прост и весьма выразителен. Его построение осуществлялось с помощью элементарных геометрических форм — квадратов, кругов и треугольников. Существует мнение, что именно от греческого алфавита произошла латиница, которая сегодня является международной системой письма.

Основные правила нанесения размеров

Вы узнаете: для чего необходимо наносить размеры на чертежах деталей, каковы правила их нанесения, какие ошибки встречаются в нанесении размеров. Вы научитесь: рационально наносить размеры на чертежах деталей.

Для того чтобы наиболее точно и качественно изготовить изделие или деталь, на чертеже проставляют (наносят) размеры. Нанесение размеров на чертежах является очень ответственной операцией, т. к. это существенно влияет на легкость чтения чертежа и качество выполнения изделия на производстве. Размеры на чертежах изделий наносятся по определенным правилам. Эти правила установлены стандартом ГОСТ 2.307-2011 ЕСКД. Нанесение размеров. Размеры бывают линейные (мм) — длина, ширина, толщина, высота, радиус, диаметр и угловые (°) — размеры углов.

Размер — числовое значение линейной величины (диаметра, длины и т. п.) в выбранных единицах измерения.

Помните! Общее количество размеров на чертеже должно быть мини-мальным, но достаточным для изготовления и контроля изделия.

Общие правила нанесения размеров. Процесс нанесения размеров складывается из двух этапов: проведение выносных и размерных линий и написание размерных чисел (рис. 29).

Рис. 29. Правила нанесения размеров

• Границы измерения размера указывают выносными и размерными линиями, линиями-выносками. Линии наносят с помощью тонких сплошных линий.
• Выносную линию наносят перпендикулярно отрезку контура изображения, размер которого измеряют (А).
• Размерную линию проводят параллельно отрезку, размер которого определяют (Б).
• Размерная линия с обеих сторон ограничена стрелками (В) (рис. 30).

Рис. 30. Изображения стрелки на чертеже

• Если длина размерной линии небольшая и стрелки не помещаются между выносными линиями, их наносят с внешней стороны от выносных линий (Г).
• Выносная линия должна выходить за стрелку на 1,5—2 мм (Д). Минимальное расстояние между размерной линией и измеряемым отрезком — 10 мм, между параллельными размерными линиями — 7 мм (Е).
• Размерные числа наносят над размерной линией ближе к середине, на расстоянии 0,5—1 мм от нее. Размер шрифта для размерного числа 3,5 (Ж).
• Если на чертеже несколько параллельных размерных линий, то размерные числа наносят в шахматном порядке (З).
• При изображении детали в одной проекции указывают ее толщину (И).
• Величину диаметра окружности показывают размерной линией, проведенной через центр окружности. Стрелки размерной линии упираются в окружность с внутренней или наружной стороны (К). Размеры повторяющихся одинаковых окружностей наносят один раз с указанием их количества. Например, « 10 2 отв.» означает: 2 отверстия диаметром 10 мм.
• Каждый предмет имеет габаритные (наибольшие) размеры — длину, высоту и ширину (толщину). Габаритные размеры всегда больше других, поэтому на чертеже их располагают дальше от изображения, чем остальные (Л).

Помните!

• По возможности размерные линии должны располагаться вне контура изображения. Необходимо избегать пересечения размерных и выносных линий.
• Размерные числа при вертикально расположенной размерной линии пишут слева от нее снизу вверх. Они не должны касаться размерной линии или пересекать ее.
• Каждый размер наносится на чертеже один раз и как можно ближе к тому элементу, величину которого он определяет.
• Линейные размеры указываются в миллиметрах без указания едини-цы измерения.

Условности и упрощения при нанесении размеров

Обозначение окружностей. Для обозначения окружностей пользуются специальным зна-ком диаметра. Он проставляется перед размерным числом.

Если диаметр окружности 40 мм и более, то раз-мерные числа и стрелки наносят внутри окружности

Если диаметр окружности менее 40 мм, но более 12 мм, то стрелки и размерные числа можно наносить вне окружности

Если диаметр менее 12 мм, то размерные числа и стрелки наносят вне окружности

Если необходимо указать несколько диаметров из одного центра, то раз-мерные линии располагают по диагонали через центр окружности (а). Также размерную линию диаметра можно показать с обрывом. При этом обрыв размерной линии делают дольше центра окружности (б).

Обозначение дуг окружностей

Для обозначения окружностей пользуются специальным знаком радиуса (12). Он наносится так же, как и диаметр, перед размерным числом. Размерную линию проводят по направлению к центру дуги и ограничивают одной стрелкой, упирающейся в дугу.

Если дуга радиуса более 20 мм

Если радиус дуги от 6 до 40 мм

Если радиус дуги менее 6 мм

Иногда поверхность предмета может иметь форму сферы. В этом случае пе-ред знаком диаметра или радиуса добавляют надпись «Сфера» или специальный знак .

Обозначение угловых размеров. Угловые размеры указывают в гра-дусах, минутах и секундах.

Обозначение квадрата

Если деталь или элемент детали имеет форму квадрата, то обо-значения сторон квадрата наносят следующим образом: перед размерным числом наносят знак квадрата, а на самой детали вычерчивают тонкие сплошные линии по диагонали.

Детали цилиндрической формы имеют фаски — скошенные кромки стержня, бруска, отверстия. Их обозначают упрощенно, когда размерная линия проводится параллельно оси конуса, а подпись выполняется по типу «2 х 45°» (рис. 31 а, б).

Рис. 31. Обозначение фаски

Последовательность нанесения размеров

1. Сначала наносятся размеры мелких элементов чертежа (выступов, окружностей и др.), затем крупных (рис. 32). 2. Завершают нанесение размеров габаритные размеры: длина, высота, ширина детали.

Рис. 32. Нанесение размеров

На чертежах иногда наносят справочные размеры. Это размеры, которые не подлежат выполнению по данному графическому документу и служат для удобства пользования этим документом. Они обозначаются знаком *. На месте расположения технических требований (над основной надписью) делают запись: * — Размер для справок.

Деление отрезка на равные части. Построение и деление углов

Вы узнаете: как разделить отрезок и угол на равные части, используя только цир- куль и линейку; как построить угол, не имея под рукой транспортира. Вы научитесь: делить отрезок, угол на равные части; строить параллельные и перпендикулярные прямые при помощи угольников.

При разработке графических доку-ментов выполняют различные геометрические построения, например делят отрезок или угол на равное количество частей, строят перпендикуляр к прямой линии, сопряжения и т. п. (рис. 33). Многие из этих построений вам уже знакомы из уроков математики или других предметов. При этом вы использовали транспортир, угольники, линейки с делениями и калькулятор для расчетов. Особенность геометрических построений в черчении заключается в том, что при этом можно обойтись без математических расчетов. Все подчиняется определенным алгоритмам, каждый из которых представляет собой совокупность графических операций, выполняемых в строгой последовательности.

Рис. 33. Примеры геометрических построений на изображении

Деление отрезка на две, четыре равные части при помощи циркуля Последовательность деления

1. Из точек А и В радиусом R (радиус должен быть больше половины длины отрезка) проводят дуги до их взаимного пересечения (в точках n и m).
2. Точки пересечения n и m соединяют прямой, которая является перпендикуляром к АВ. Точка пересечения С делит отрезок АВ на две равные части.

Деление отрезка на n равных частей Последовательность деления

1. Из точки А под произвольным острым углом к отрезку АВ проводят вспомогательную прямую АС.
2. На прямой АС циркулем откладывают равные отрезки произвольной величины (то количество отрезков, на которое необходимо разделить отрезок АВ), например на 4.
3. Последнюю точку n соединяют с точкой В.
4. Из каждой точки прямой АС (1, 2, 3, n) проводят прямые, параллельные отрезку nВ, которые делят отрезок АВ на равные n части.

Отложить равное количество отрезков на вспомогательной прямой можно циркулем (с неизменным раствором). При проведении параллельных прямых, соединяющих отрезки Аn и АВ, воспользуйтесь линейкой и треугольником.

Построение перпендикуляра

Последовательность построения перпендикуляра из точки, лежа-щей вне прямой линии

1. Из точки А (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла прямую в двух точках В и С.
2. Из точек В и С, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они пересеклись в точке D.
3. Соединяем точку пересечения дуги D с точкой А.

Последовательность построения перпендикуляра из точки, лежа-щей на прямой линии

1. Из любой точки А (лежащей на прямой), как из центра, одинаковым радиусом описываем дуги так, чтобы они пересекали прямую в двух точках В и С.
2. Из точек В и С, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они пересеклись в точке D.
3. Соединяем точку пересечения дуг D с точкой А.

Построение углов. Самый простой способ построения углов — воспользоваться транспортиром.

Угол также можно построить при помощи угольников и линейки (см. Памятку 3, с. 170). Если этих инструментов нет, можно воспользоваться циркулем.

Последовательность построения угла 60°

1. Из точки О произвольным радиусом R проводят дугу до ее пересечения прямой в точке А.
2. Из точки А этим же радиусом R проводят вторую дугу так, чтобы она пересекла первую дугу в точке В.
3. Соединяют точки В и О и получают угол 60°.

Деление угла на две равные части

Последовательность деления

1. Из вершины угла А произвольным радиусом проводят дугу до пересечения со сторонами угла ВАС. Получают точки n и k.
2. Из полученных точек n и k проводят дуги радиусом R, несколько большим половины длины дуги nk, до взаимного пересечения в точке m.
3. Вершину угла А соединяют с точкой m прямой, которая делит угол ВАС на две равные части.

Деление окружности на равные части

Вы узнаете: как разделить окружность на равные части с помощью циркуля и угольника. Вы научитесь: делить окружности на равные части.

Для выполнения чертежей некоторых изделий необходимо овладеть приемами деления окружностей на равные части и построения много-угольников, вписанных в окружность (рис. 34, 35).

Рис. 34. Детали

Рис. 35. Примеры использования делений окружности при выполнении чертежей деталей

Деление окружности на 2 и 4 равные части

Любой диаметр делит окружность на две равные части. Два взаимно перпендикулярных диаметра делят ее на четыре равные части.

Последовательность деления окружности на 4 равные части:

1. Проводят окружность с радиусом R.
2. Из точек С и В тем же радиусом R, что и радиус окружности, проводят дуги до их взаимного пересечения.
3. Точку пересечения соединяют прямой с центром окружности. Получают точки 1 и 3.
4. Аналогично выполняют построение из точек А и С.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей

Последовательность деления окружности:

1. Проводят окружность с заданным радиусом R.
2. Из точки А тем же радиусом R проводят дугу до пересечения с окружностью в точках 2 и 3.
3. Точки пересечения 2 и 3 соединяют прямыми линиями, получают вписанный треугольник.

При делении окружности на 6 равных частей выполняется то же построение, что и при делении окружности на 3 части, но дугу описывают не один, а два раза, из точек 1 и 4 радиусом окружности R.

Выполнять деление окружности на равные части можно не только с помощью циркуля, но и используя угольник. Разделить окружность на число частей n можно, используя формулу расчета длины хорды (см. Па-мятку 4, с. 171).

Деление окружности на 5 равных частей

Последовательность деления окружности

1. Из точки А радиусом окружности R проводят дугу до пересечения окружности в точках n и m. Соединяют полученные точки n и m прямой линией. На пересечении с горизонтальной осевой линией получают точку В.
2. Из точки В радиусом, равным отрезку ВС, проводят дугу, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D.
3. Соединив точки С и D, получаем отрезок СD, который и является длиной стороны пятиугольника. Из точки С проводят дугу радиусом, равным СD, и получают точки 5 и 2. Из полученных точек 5 и 2 проводят еще по одной дуге R = CD и находят точки 3 и 4.

Знаете ли вы, что не все кривые линии могут быть вычерчены с помощью циркуля и их построение выполняется по ряду точек? При вычерчивании кривой полученный ряд точек соединяют по лекалу, поэтому ее называют лекальной кривой линией. Точность по-строения лекальной кривой повышается с увеличением числа промежуточных точек на ее участке. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, которые получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью.

К лекальным кривым также относят эвольвенту, синусоиду, спираль Архимеда, циклоидальные кривые.

Архимедова спираль была открыта Архимедом в III в. до н. э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигалась на ту же величину, на которую поворачивался ком-пас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние. Спираль Архимеда встречается не только в природе, ее используют в архитектуре, технике. Например, по спирали Архимеда идет звуковая дорожка или строится круговая лестница.

С помощью деления окружности на равные части составляются круговые орнаменты — узоры, украшающие различные сооружения, утварь, оружие и т. д. Основа создания орнамента — геометрические построения. На рисунок орнамента могут влиять технические, растительные, текстовые мотивы. Круговые орнаменты могут быть как простыми, например для геометрической резьбы, так и очень сложными, требующими серьезных геометрических построений.

Способы построения сопряжения

Вы узнаете: что такое сопряжения предметов, их элементы и принципы построения. Вы научитесь: выполнять сопряжения двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей.

Понятие о сопряжении. Контуры большинства предметов и объектов состоят из сочетаний различных линий (прямых, дуг, окружностей), пересекающихся между собой и плавно переходящих одна в другую (рис. 36). Такие плавные переходы называются сопряжением.

Сопряжение — плавный переход одной линии контура изображения к другой.

Рис. 36. Примеры сопряжений в природе, изделиях и сооружениях

Все сопряжения на чертежах выполняют дугами окружностей за-данных размеров. Чтобы построить сопряжение, необходимы следующие элементы: радиус сопряжения, центр сопряжения, точки сопряжения (рис. 37).

Рис. 37. Элементы сопряжения

Центр сопряжения — точка, из которой проводят дугу плавного перехода одной линии к другой. Радиус сопряжения — радиус дуги сопряжения, с помощью которой происходит сопряжение. Точка сопряжения — общая точка сопрягаемых линий. В точках сопряжений происходит плавный переход (касание) линий.

Общий алгоритм построения сопряжения

1. Найти центр сопряжения.
2. Найти точку сопряжения.
3. Построить сопряжение.

Способы построения сопряжений Рассмотрим построение сопряжений различных типов.

Построение сопряжения угла или двух прямых дугой заданного радиуса

Последовательность построения 1. Проводят вспомогательные прямые параллельно заданным, удаленные на расстоянии, равном заданному радиусу R. На пересечении вспомогательных прямых отмечают центр сопряжения О.

2. Из центра сопряжения О опускают перпендикуляры к прямым. Получают точки сопряжения А и В. 3. Из точки О проводят дугу сопряжения заданным радиусом R, соединяя точки сопряжения А и В.

Построение сопряжения двух параллельных прямых

Последовательность построения 1. На прямой В берут произвольную точку С. 2. В точке С восстанавливают перпендикуляр до пересечения его с прямой А в точке D.

3. Разделив отрезок DC пополам, находят центр сопряжения О. 4. Из центра сопряжения О радиусом сопряжения R = OD = OC проводят дугу, соединяя точки сопряжения D и С.

Построение сопряжения прямой и окружности

Последовательность построения 1. Проводят вспомогательную прямую, параллельную прямой а и удаленную от нее на расстоянии R1. 2. Из центра окружности О проводят вспомогательную дугу радиусом, равным сумме радиусов окружности R и дуги сопряжения R1, до пересечения в точке О1.

3. Из точки О1 опускают перпендикуляр до пере-сечения его с прямой аb в точке В. Соединяют точки О и О1. Находят точку сопряжения А. 4. Из центра сопряжения О1 радиусом сопряжения R1 проводят дугу сопряжения, соединив точки сопряжения А и В.

Помните! Сначала сплошной толстой основной линией обводят дугу сопряжения, затем — дугу окружности и прямую.

Построение касательной к окружности из заданной точки

1. Соединяют точку А с центром окружности О. Полученный отрезок ОА делят пополам и получают точку О₁.
2. Из точки О1 радиусом R равным О₁А строят вспомогательную окружность. Точка пересечения вспомогательной окружности и заданной окружности В является точкой сопряжения.
3. Соединив точки В и А, получим касательную к окружности.

Построение сопряжения двух окружностей

Сопряжение двух окружностей осуществляется по внутреннему и внешнему контурам или может быть смешанным (см. Памятку 5, с. 172). Рассмотрим примеры сопряжения двух окружностей с радиусами R₁ и R₂ дугой радиусом R.

Последовательность построения сопряжения по внешнему контуру

1. Из центра окружностей О₁ и О₂ проводят вспомогательные дуги радиусом, равным сумме радиусов окружностей R + R₁ и R + R₂.
2. Точку пересечения вспомогательных дуг О соединяют с центром окружностей О₁ и О₂. Находят точки сопряжения А и В.
3. От центра сопряжения О радиусом сопряжения R проводят дугу сопряжения, соединив точки А и В.

Последовательность построения сопряжения по внутреннему контуруПостроение сопряжения двух окружностей по внутреннему контуру схоже с построением сопряжения по внешнему контуру. Разница со-стоит лишь в том, что из центров окружностей О₁ и О₂ проводят вспомогательные дуги ради-усом, равным разности радиусов окружностей R − R₁ и R − R₂.

Сегодня сложно представить, что когда-то люди рисовали, чертили и создавали шедевры без помощи графических редакторов и программ для моделирования. Именно поэтому работы современного художника из Венесуэлы Рафаэ-ля Араужо кажутся особенно интересными. Мастер без помощи компьютера и современных технологий создает чертежи и расчеты полета бабочек или раковины моллюска наутилуса с помощью циркуля, лекала, линейки и карандаша, используя геометрические построения на основе принципа золотого сечения.

Проекционное черчение

Проецирование формы предмета. Прямоугольное проецирование на одну плоскость проекций

Вы узнаете: что такое проецирование, каковы его виды, каким образом выполняется проецирование предметов. Вы научитесь: выполнять проецирование предмета на одну плоскость проекций.

В основу построения графических изображений на чертежах положен метод проецирования. Он состоит в том, что изображение предмета на плоскости получают с помощью проецирующих лучей. Проецирование напоминает образование тени объекта (рис. 38). При освещении солнечными лучами (или искусственным светом, например фонарем) любой объект отбрасывает тень, похожую на очертания самого предмета.

Рис. 38. Образование тени человека

Проецирование — процесс получения изображения предметов на плоскости с помощью проецирующих лучей.

Образование проекций

Рассмотрим образование проекций на примере кленового листа. Если на кленовый лист направить источник света (центр проецирования), то воображаемые лучи от этого источника, проведенные через каждую точку листа до пересечения с плоскостью, дадут нам его проекцию (рис. 39). Проекция в переводе с латинского означает «бросать (отбрасывать) вперед».

Рис. 39. Образование проекций

Элементы проецирования

• Центр проецирования — точка, из которой производится проецирование.
• Объект проецирования — изображаемый предмет.
• Плоскость проекции — плоскость, на которую производится проецирование.
• Проецирующие лучи — воображаемые прямые, с помощью которых производится проецирование.
• Проекция — изображение объекта на плоскости, образованное методом проецирования.

Виды проецирования

В зависимости от направления проецирующих лучей различают центральное, параллельное прямоугольное и параллельное косоугольное проецирование (рис. 40).

Рис. 40. Виды проецирования

Обратите внимание на размер проекций разных видов проецирования. При центральном проецировании полученное изображение всегда больше объекта проецирования; при параллельном косоугольном может быть меньше, больше или равно ему; при параллельном прямоугольном — всегда равно объекту проецирования. На ваш взгляд, почему для выполнения чертежей используют параллельное прямоугольное проецирование?

Прямоугольное проецирование

Плоскости проекций в пространстве могут располагаться: горизонтально (а), вертикально (б) и наклонно (в) (рис. 41). Если плоскость располагается горизонтально, она называется горизонтальной и обозначается латинской заглавной буквой Н. Изображение объекта на горизонтальной плоскости проекцией носит название горизонтальная проекция объекта.

Рис. 41. Прямоугольное проецирование

Если плоскость расположена вертикально и перпендикулярно взгляду, она называется фронтальной и обозначается латинской заглавной буквой V. Перпендикулярно к горизонтальной и вертикальной плоскостям располагается еще одна вертикальная плоскость — профильная, которая обозначается W.

Прямоугольное проецирование на одну плоскость проекций

Проецирование точки

Рассмотрим проецирование точки на одну плоскость проекций. Через точку А на плоскость Н проведен проецирующий луч. В результате пересечения проецирующего луча с плоскостью Н получена проекция точки А — а.

Условия:

1. Проекция точки на выбранную плоскость проекций всегда есть точка.
2. Любая проецируемая точка имеет только одну проекцию на выбранной плоскости проекций.
3. Проекция точки, лежащей на плоскости проекций, совпадает с самой точкой.

Проецирование отрезка

Положение отрезка прямой линии в пространстве определяется положением двух ее точек. Поэтому для построения проекций отрезка прямой достаточно построить проекции двух точек, принадлежащих ей, и соединить их между собой.

Условия:

1. Проекция отрезка прямой, полученная при прямоугольном проецировании на плоскость проекций, не может быть больше самого отрезка.
2. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на нее он спроецируется в натуральную величину.
3. Если отрезок прямой перпендикулярен плоскости проекций, то на нее он спроецируется в точку а(b).
4. Если в пространстве отрезок прямой наклонен к плоскости проекций, то он на нее спроецируется с искажением (т. е. размер проекции от-резка будет меньше действительного).

Отрезок прямой проецируется на плоскость в виде точки. Определите его положение по отношению к данной плоскости проекции.

Проецирование плоского предмета

Проецированием на одну плоскость проекций получают проекции плоских предметов. Чтобы получить проекцию предмета, его располагают параллельно плоскости проекций и через все его вершины проводят мысленно проецирующие лучи по направлению к плоскости проекции до пересечения с ней.

Прямоугольное проецирование на две плоскости проекций. Метод Монжа

Вы узнаете: принцип проецирования на две плоскости проекций, сущность метода Монжа. Вы научитесь: выполнять двухпроекционные чертежи предметов.

Одна проекция не всегда однозначно определяет форму изображаемого предмета. Различные по форме предметы могут образовывать одинаковые проекции (см. рис. вверху справа).

Проецирование на две плоскости проекций. Для того чтобы получить представление о форме объемного пред-мета, проецирование выполняют на две плоскости проекций: горизонтальную Н и фронтальную V (рис. 42). Плоскости проекций Н и V в пространстве размещают под прямым углом друг к другу. Линию пересечения этих плоскостей (ее обозначают х) называют осью проекций.

Рис. 42. Проецирование на две плоскости проекций

Чтобы получить чертеж предмета на плоскости, обе плоскости Н и V совмещают в одну. Для этого горизонтальную плоскость проекций поворачивают на угол 90° так, чтобы она совпала с фронтальной плоскостью проекций. Плоскости проекций пересекаются осью проекций х (рис. 43, а).

Помните! При построении чертежа горизонтальную проекцию предмета Н всегда располагают под фронтальной V (рис. 43, б). Соединяют эти проекции линиями проекционной связи, которые являются проекциями проецирующих лучей.

Рис. 43. Расположение проекций

Прямоугольное проецирование еще называют ортогональным. Основоположником ортогонального проецирования считается французский ученый Гаспар Монж (рис. 44). Метод Монжа — это метод прямоугольного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Линия пересечения двух плоскостей проекций называется осью проекций. Получаемые при этом ортогональные проекции, помещенные в одну плоскость, образуют комплексный чертеж, или эпюр Монжа.

Рис. 44. Гаспар Монж (1746-1818)

«Начертательная геометрия». Изложенный Монжем метод ортогонально-го проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

Построение двухпроекционного чертежа точки

Рассмотрим при-мер построения двухпроекционного чертежа точки (см. Памятку 6, с. 173—174).

1. Из точки А на плоскости V и H опускают перпендикуляры и полу-чают проекции точки А: а′ — горизонтальная проекция и а″ — фронтальная проекция.
2. Мысленно удаляют точку А и поворачивают плоскость Н вокруг оси Ох на угол 90° вниз до совмещения с плоскостью V.
3. Проекции а′ и а″ расположились на одной прямой а′а″. Линия а′а″ называется линией проекционной связи.

Помните! Фронтальная и горизонтальная проекции точки всегда находятся на перпендикуляре к оси проекций ох. Отрезок а′ах — расстояние точки А до плоскости V. Отрезок а″а_х — расстояние точки А до плоскости Н.

Основы начертательной геометрии возникли еще в глубокой древности. Греческий геометр Евклид и римский архитектор Витрувий внесли большой вклад в развитие методов построения изображений пространственных форм на плоскости. Бурное развитие архитектуры, живописи и скульптуры в эпоху Воз-рождения создало условия для развития методов построения изображений пространственных форм на плоскости. В это время вводится целый ряд основных понятий: центральное проецирование, картинная плоскость, дистанция, главная точка, линия горизонта, дистанционные точки и т. д. Одним из первых, кто применял перспективу в своих работах, был итальянский архитектор и ученый Ф. Брунеллески. В трактате по перспективе Леонардо да Винчи приводятся примеры применения перспективных изображений, сведения о воздушной и линейной перспективе и теории светотени. Большой вклад в теорию пер-спективы внесли Альбрехт Дюрер , Гвидо Убальди, Жерар Дезарг. Но только в 1798 г. французский инженер и ученый Гаспар Монж сформулировал главные элементы теории построения графических изображений.

Прямоугольное проецирование на три плоскости проекций

Вы узнаете: принцип проецирования на три плоскости проекций. Вы научитесь: проецировать предметы на три плоскости проекций, выполнять трехпроекционные комплексные чертежи.

Проецировать предметы можно не только на две, но и на три взаимно перпендикулярные плоскости; при этом наиболее точно передается форма изображаемого предмета. В этом случае к двум известным вам плоско-стям проекций прибавляют еще одну — третью. Эта плоскость перпендикулярна фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций и называется профильной плоскостью проекций. Она обозначается заглавной латинской буквой W.

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций образуют трехгранный угол (рис. 45). Плоскости проекций пересекаются осями проекций х, у, z и точкой их пересечения О.

Рис. 45. Три плоскости проекций

Проецирование на три плоскости проекций. В случае, когда для определения формы предметов двух проекций недостаточно, возникает потребность в третьей проекции (профильной) (рис. 46).

Рис. 46. Проецирование на три плоскости проекций

Построение третьей проекции

На чертеже перенос линий связи с горизонтальной проекции на профильную (между осями у и у₁) осуществляется дугами с центром в точке О при помощи циркуля (рис. а) или с помощью постоянной прямой, проведенной под углом 45° (рис. б).

Помните! На чертеже все три проекции располагают в проекционной связи: горизонтальную проекцию размещают под фронтальной, а профильную — по правую сторону от нее. При этом фронтальная и профильная проекции расположены на одной высоте (рис. в), линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций. По двум проекциям вполне можно определить положение третьей проекции (см. Памятку 7, с. 175).

Построение трехпроекционного чертежа точки

Рассмотрим пример построения трехпроекционного чертежа точки.

1. Из точки А опускают на плоскости V, H и W перпендикуляры и получают проекции точки А: а′ — горизонтальная проекция, а″ — фронтальная проекция, а″′ — профильная проекция.
2. Мысленно удаляют точку А и поворачивают плоскость Н вокруг оси проекций х до совмещения с плоскостью V. Плоскость W поворачивают на угол 90° вправо до совмещения с плоскостью V.
3. Проекции а′, а″ и а′″ находятся на линиях проекционной связи.

Виды чертежа. Расположение видов на чертеже

Вы узнаете: что называется видом чертежа, каково количество основных видов и их расположение на чертеже, что такое комплексный чертеж. Вы научитесь: правильно располагать предмет при построении комплексного чертежа, определять необходимое количество видов предмета.

Вид — изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета.

Вы уже знакомы с прямоугольным проецированием предмета на горизонтальную, фронтальную и профильную плоскости проекций. Виды образуются при проецировании предмета на основные плоскости проекций (рис. 47). За основные плоскости проекций принимают шесть граней куба. Изображаемый предмет располагают внутрь куба. После разворота граней куба получают схему расположения видов на чертеже.

Рис. 47. Основные плоскости видов на чертеже.

Виды чертежа

Изображение на фронтальной плоскости проекций принимается на чертеже в качестве главного. Главный вид должен содержать наибольшую информацию о предмете, его формах, размерах. Предмет необходимо располагать относительно фронтальной плоскости проекций так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета.

Стандарт ГОСТ 2.305-68 ЕСКД. Изображения — виды, разрезы, сечения устанавливает шесть основных видов (рис. 48).

1. Вид спереди (главный вид) — располагается на фронтальной плоскости проекций.
2. Вид сверху — на месте горизонтальной плоскости.
3. Вид слева (на месте профильной плоскости).
4. Вид справа.
5. Вид снизу.
6. Вид сзади.

Рис. 48. Расположение основных видов

Названия видов зависят от того, с какой стороны рассматривают предмет при проецировании. Основные виды так же, как и проекции, располагаются в проекционной связи.

Помните! На чертеже выбирается минимальное количество видов изображений, однако оно должно быть достаточным, чтобы дать полное и однозначное представление о внешней и внутренней форме предмета.

Для выбора количества изображений необходимо мысленно расчленить деталь на составляющие ее простые геометрические тела: призмы, пирамиды, конусы, цилиндры и т. п. После анализа фоpмы детали необходимо определить, какие изобpажения необходимы для полной пеpедачи внешних и внутpенних фоpм этой детали. Для большинства де-талей достаточно выполнить два или три вида.

Комплексный чертеж

На плоскости V располагается фронтальная проекция предмета (вид спереди), на плоскости H — горизонтальная проекция (вид сверху), на плоскости W — профильная проекция предмета (вид слева) (рис. 49). Развернув плоскости проекции, получают комплексный чертеж (рис. 50).

Рис. 49. Комплексный чертеж

Рис. 50. Образование комплексного чертежа

Комплексный чертеж — изображение предмета на совмещенных плоскостях проекций.

Условности и упрощения на чертежах. Для уменьшения количества изображений предмета используют условные знаки, поставленные у размерного числа:

• знак диаметра ∅ обозначает тело вращения (рис. а);
• знак квадрата обозначает форму квадрата (рис. б);
• символ s (толщина) заменяет вторую проекцию детали, имеющую форму параллелепипеда (рис. в).

Проекции геометрических тел на чертежах

Вы узнаете: как образуются геометрические тела, каковы проекции геометрических тел, как проецируются грани и ребра предметов на плоскости проекций. Вы научитесь: выполнять комплексный чертеж геометрических тел.

Если внимательно посмотреть на окружающие нас предметы, то можно заметить, что почти все они являются знакомыми нам геометрическими фигурами и геометрическими телами (рис. 51).

Используя рисунок 51, определите, какие геометрические тела можно увидеть в природных объектах.

Рис. 51. Формы геометрических тел в природе

Многогранники — геометрические тела, поверхность которых состо-ит из конечного числа многоугольников. Тела вращения — геометрические тела, образованные вращением плоской геометрической фигуры или ее части вокруг оси.

Для того чтобы выполнить чертеж сложной детали, ее нужно мысленно разложить на простые геометрические тела, к которым относятся многогранники и тела вращения. Рассмотрим пять основных геометрических тел — призму, куб, пирамиду, конус, цилиндр.

Призма — многогранник, имеющий два основания (равные и параллельные многоугольники) и боковые грани (четырехугольники).

Куб — многогранник, ограниченный шестью квадратами, или правильная прямая четырехугольная призма, в основании которой лежит квадрат.

Пирамида — многогранник, у которого основание является многоугольником, а боковые грани представлены треугольниками, имеющими общую вершину.

Конус — тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, совмещенной с од-ним из его катетов.

Цилиндр — тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, совмещенной с одной из его сторон.

Геометрические тела могут быть правильными и неправильными, прямыми и наклонными. В основании правильных тел лежат правильные многоугольник или круг, неправильных — неправильные многоугольник или круг. Тела будут прямыми, если их боковые грани перпендикулярны основаниям; наклонными — если не перпендикулярны.

Геометрические тела состоят из сочетания элементов: оснований; боковых поверхностей; боковых граней, имеющих ребра; образующих; вершин (рис. 52).

Рис. 52. Элементы геометрических тел: многогранников (слева), тел вращения (справа)

При изображении на чертеже граней и ребер предмета необходимо помнить правила проецирования отрезков и плоскостей предмета (табл. 4).

Таблица 4. Правила проецирования ребер и граней

Параллельно плоскости проекций	Перпендикулярно плоскости проекций	Наклонно к плоскости проекций
Грань
Проецируется в натураль-ную величину (без искаже-ния формы и размеров)	Проецируется в виде от-резка прямой, равного одному из отрезков грани	Проецируется с искажением размеров (размеры наклонных элементов уменьшаются)
Ребро
Проецируется отрезком в натуральную величину	Проецируется в точку	Проецируется отрезком с искажением размера (размер изображения ребра уменьшается)

Форма большинства предметов представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей. Следовательно, для чтения и выполнения чертежей нужно знать характерные особенности проекций геометрических тел.

Проецирование цилиндра. Фронтальная и профильная проекция цилиндра представляет собой прямоугольники, а горизонтальная проекция — круг.

Проецирование призмы. Построение комплексного чертежа призмы начинается с построения горизонтальной проекции основания, например с правильного шестиугольника. Фронтальная и профильная проекции призмы — прямоугольники, которые строятся в проекционной связи из вершин шестиугольника. Основание призмы на фронтальной проекции — горизонтальный отрезок, от которого откладывают высоту ребер до верх-него основания.

Проецирование конуса

Фронтальная и профильная проекция ко-нуса представляет собой треугольник, а горизонтальная проекция — круг.

Проецирование призмы

Построение комплексного чертежа призмы начинается с построения горизонтальной проекции основания, например с правильного шестиугольника. Фронтальная и профильная проекции призмы — прямоугольники, которые строятся в проекционной связи из вершин шестиугольника. Основание призмы на фронтальной проекции — горизонтальный отрезок, от которого откладывают высоту ребер до верх-него основания.

Проецирование конуса

Фронтальная и профильная проекция ко-нуса представляет собой треугольник, а горизонтальная проекция — круг.

Проецирование пирамиды

Построение комплексного чертежа пирамиды начинается с построения основания, например ромба. Фронтальной и профильной проекцией пирамиды являются равнобедренные треугольники.

С давних времен ученых интересовали идеальные или правильные много-угольники, составляющие правильные многогранники. Их завораживала красота, совершенство и гармония этих фигур. Существует множество правильных многоугольников, но правильных многогранников всего пять. Их названия пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: тетра — 4, гекса — 6, окта — 8, додека — 12, икос — 20. Эти правильные многогранники получили название платоновых тел в честь древнегреческого философа Платона, который придавал им мистический смысл. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; ико-саэдр — воду, потому что обтекаемый; гексаэдр (куб) — землю, так как это самая устойчивая фигура; а октаэдр — воздух. В настоящее время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества: твердым, жидким, газо-образным и пламенным. Додекаэдр отождествлялся со всей Вселенной и считался главнейшим.

Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Вы узнаете: каким образом спроецировать точку, находящуюся на поверхности предмета. Вы научитесь: выполнять проецирование точек, находящихся на поверхностях геометрических тел.

Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.

Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки.

Рассмотрим проекции точки на геометрических телах.

Проецирование точек на поверхности цилиндра

Последовательность проецирования точек Заданы фронтальные проекции а″ и b″ точек А и В, лежащие на боковой поверхности цилиндра. Проекция а″ находится на видимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана без скобок), b″ находится на невидимой z части поверхности цилиндра (на плоскости V показана в скобках).

1. Находят горизонтальные проекцииточек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью.

2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).

Проецирование точек на поверхности призмы

Последовательность проецирования точек

Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности шестигранной призмы.

1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы).

2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Проецирование точек на поверхности пирамиды

Построение проекции точки, лежащей на ребре

Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо вы-полнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.

Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности про-водят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.

Построение проекции точки, лежащей на грани

Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.

Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.

Способ I.

1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″.

2. Проводят вертикальную линию связи из проекции f″ до пересечения с основанием на плоскости H в точке f′.

3. Точку f′ соединяют с вершиной пирамиды s′. На нее проводят вертикальную линию связи из проекции а″ до пересечения в точке а′.

4. Проекции точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи

.

Способ II.

1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″.

2. Опустив из точки 1″ вертикальную линию связи до пересечения с соответствующим ребром на плоскости H, получают горизонтальную проекцию точки 1′.

3. Для нахождения проекции 2′ проводят из точки 1′ вспомогательную прямую, параллельную основанию до пересечения с ребром.

4. Горизонтальную проекцию а′ определяют, опустив вертикальную линию связи из точки а″ до пересечения со вспомогательной прямой 1′2′.

5. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Проецирование точек на поверхности конуса

На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами.

Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А.

В способе II через точку А проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Основные положения аксонометрического проецирования

Вы узнаете: что такое аксонометрия, какие бывают виды аксонометрических проекций, как построить аксонометрические оси. Вы научитесь: строить аксонометрические оси различными способами.

Проецирование предмета на плоскости проекций дает нам представление о форме самого предмета только с одной стороны. Чтобы получить представление о форме предмета в целом, нужно проанализировать и сравнить между собой отдельные его проекции. Предмет можно спроецировать на плоскость проекций таким образом, чтобы на созданном изображении было видно сразу несколько его сторон. Полученное таким об-разом изображение называется наглядным. Его используют для реализации технического замысла автора при выполнении проектирования и конструирования разных объектов (рис. 53). Для получения наглядного изображения предмета используют аксонометрическую проекцию (рис. 54).

Рис. 53. Наглядные изображения Большого театра Беларуси и автомобиля

Рис. 54. Аксонометрическая проекция

Аксонометрическая проекция — это изображение, полученное при параллельном проецировании предмета вместе с осями прямоугольных координат на произвольную плоскость.

Слово аксонометрия — греческое. В переводе оно означает «измерение по осям» (аксон — ось, метрео — измеряю).

Проецируемый предмет располагают относительно координатных осей х, у, z и вместе с ними проецируют его на произвольную плоскость. Эта плоскость называется плоскостью аксонометрических проекций. Проекции координатных осей называются аксонометрическими осями (см. рис. 54).

Виды аксонометрических проекций

Аксонометрическое изображение предмета получается прямоугольным (а) и косоугольным (б) проецированием.

Проецирующие лучи в прямоугольной аксонометрической проекции перпендикулярны плоскости проекции. К прямоугольным аксонометриеским проекциям относятся изометрическая и диметрическая проекции.

Проецирующие лучи в косоугольной аксонометрической проекции направлены под углом к плоскости проекций. К косоугольным аксонометрическим проекциям относятся фронтальная изометрическая, горизонтальная изометрическая и фронтальная диметрическая проекции.

Коэффициент искажения. Все виды аксонометрических проекций характеризуются двумя параметрами: направлением аксонометрических осей и коэффициентами искажения по этим осям.

Коэффициент искажения (k) — отношение аксонометрической единицы измерения к натуральной.

В зависимости от расположения координатных аксонометрических осей относительно аксонометрических проекций получаются различные аксонометрические проекции: прямоугольная изометрическая проекция (сокращенно — изометрия), прямоугольная диметрическая проекция (или диметрия), косоугольные фронтальная и горизонтальная изометрия и фронтальная диметрия.

Например, в прямоугольной изометрической проекции оксонометрические оси располагаются по отношению друг к другу под углом 120°.

Коэффициенты искажения различны в изометрических и диметрических аксонометрических проекциях. В изометрической проекции коэффициент (k) равен единице, т. е. по осям х, y, z выполняют проекцию без искажения. Диметрическая проекция выполняется с коэффициентом искажения (k) по оси y, равным 0,5, а по осям z и х — равным единице.

Прямоугольная изометрия kx = k y = kz = 1	Прямоугольная диметрия kx = kz = 1; k y = 0,5

Изометрия переводится как равное измерение по осям, а диметрия — двойное измерение.

Косоугольная фронтальная изометрия kx = k y = kz = 1	Косоугольная горизонтальная изометрия kx = k y = kz = 1	Косоугольная фронтальная диметрия kx = kz = 1; k y = 0,5

В зависимости от величины коэффициента искажения выделяют также три-метрические аксонометрические проекции (коэффициенты искажения по всем осям разные).

Наиболее распространенными являются прямоугольная изометрическая (прямоугольная изометрия) и косоугольная фронтальная диметрическая (фронтальная диметрия) проекции, в которых объект изображается в трех проекциях так, чтобы можно было хорошо увидеть его форму с трех сторон.

Способы построения аксонометрических осей

При построении аксонометрических осей прямоугольной изометрии используют один из трех способов.

1-й способ (при помощи угольников)	2-й способ (при помощи циркуля)	3-й способ (по клеткам в тетради)

Правила построения аксонометрических проекций:

1. Длина откладывается по оси х, высота — по оси z, ширина — по оси у.
2. Все измерения выполняются только по аксонометрическим осям или прямым, параллельным им.
3. Все прямые линии, параллельные друг другу или осям x, y, z, на комплексном чертеже в аксонометрических проекциях остаются парал-лельными между собой и соответствующим аксонометрическим осям.

В начале 80-х гг. XX в. в компьютерных играх стала активно применяться изометрическая проекция. Это быстрая и эффективная симуляция трехмерного пространства, которая дает иллюзию глубины без большого количества дорого-стоящих вычислений. Раньше большинство игр имели вид сверху или вид сбоку. Первыми играми, которые использовали изометрию, были Zaxxon и Qbert. Сейчас, несмотря на развитие 3D-технологий, игры с изометрическим видом все еще очень популярны, особенно ролевые и стратегии.

Построение аксонометрических проекций плоских фигур и окружностей

Вы узнаете: как выполняется построение аксонометрических проекций плоских фигур и окружностей. Вы научитесь: строить фронтальную диметрию и прямоугольную изометрию плоских фигур, выполнять прямоугольную изометрию окружности.

Построение аксонометрических проекций мы начнем с построения аксонометрических проекций плоских геометрических фигур. Знание приемов построения плоских фигур (квадрата, треугольника, прямоугольника, круга) необходимо для построения аксонометрических проекций геометрических тел, предметов и т. д.

Плоская фигура — фигура, все точки которой находятся в одной плоскости.

В качестве примера рассмотрим алгоритм построения аксонометрической проекции квадрата. По такому же алгоритму строятся аксонометрические проекции других плоских многоугольников.

Построение аксонометрических проекций квадрата

Фронтальная диметрия	Прямоугольная изометрия
1. Построение горизонтальной проекции квадрата. Вдоль оси х откладывают отрезок а, равный стороне квадрата
Вдоль оси у откладывают от-резок, равный величине сто-роны квадрата, умноженной на коэффициент искажения (k = 0,5). Через полученные засечки проводим отрезки, параллельные осям х и у	Вдоль оси у откладывают отрезок, равный величине стороны квадрата. Через полученные засечки проводим отрезки, параллельные оси х и у
2. Построение фронтальной и профильной проекций квадрата в натуральную величину (k = 1) с учетом горизонтальной проекции

Построение аксонометрических проекций плоских фигур

Плоская фигура	Фронтальная диметрия	Прямоугольная изометрия

Кроме многоугольников, к плоским фигурам относят и окружности. В изометрической проекции окружность проецируется в замкнутую кривую линию — эллипс (рис. 55). Для его построения пользуются лекалами, поэтому эллипсы называют лекальными кривыми. Прием построения эллипса сложный и требует длительной работы, поэтому для упрощения построений эллипсы заменяют овалами.

Рис. 55. Эллипс

Овал — замкнутая кривая, состоящая из четырех дуг окружностей, плавно переходящих друг в друга (рис. 56).

Рис. 56. Овал

Для удобства построения овала в аксонометрической проекции сначала изображают аксонометрическую проекцию квадрата, построение которой вам уже известно.

Общее построение аксонометрической проекции окружности

1. Выполняют построение осей аксонометрической проекции. Затем a от точки О откладывают отрезки, равные радиусу окружности (R = O_a = O_b = O_c = O_d). Через точки а, b, c и d проводят прямые, параллельные осям, получают ромб. Большая b ось овала располагается на большой диагонали ромба.

2. Выполняют построение больших дуг овала. Из вершин А и В описывают дуги радиусом R, равные расстоянию от вершины (А или В) до точек a, b, c, d (R = Ad = Bb).

3. Строят малые дуги овала. Через точки B и a, B и b проводят прямые. На пересечении прямых Вa и Вb с большой диагональю ромба находят точки 1 и 2. Они будут центрами малых дуг. Их радиус R₁ равен 1а или 2b.

Построение фронтальной и профильной проекций окружности

Фронтальная и профильные проекции окружности выполняются по такому же алгоритму, как и горизонтальная проекция.

Фронтальная плоскость проекций	Профильная плоскость проекций
Определение диаметра окружности. Построение центра окружности
Построение проекции квадрата со сторонами, параллельными осям
Построение больших дуг овала

Помните! Большая ось овала всегда перпендикулярна аксонометрической оси, не участвующей в образовании плоскости, на которой ведется построение. Малая ось — продолжение аксонометрической оси.

Эллипсограф, или Сеть Архимеда, — механизм, который способен преобразовывать возвратно-поступательное движение в эллипсоидное. Применяется в качестве чертежного инструмента для вычерчивания эллипсов, а также в качестве приспособления для разрезания стекла, бумаги, картона. История этого механизма точно не определена, но считается, что эллипсографы существовали еще во времена Архимеда.

Аксонометрические проекции геометрических тел. Нахождение точек, лежащих на поверхности геометрических тел

Вы узнаете: как построить прямоугольные изометрические проекции геометрических тел, как найти точки на их поверхностях. Вы научитесь: выполнять прямоугольные изометрические проекции геометрических тел, находить точки на их поверхностях.

Геометрические тела правильной формы (многогранники и поверхности вращения) часто встречаются в конструкции деталей машин и механизмов. Правильные геометрические тела характеризуются наличием в них различных осей и плоскостей симметрии, что позволяет строить аксонометрические изображения этих тел по принципу симметрии.

Построение аксонометрических проекций геометрических тел начинают с построения горизонтальной проекции его нижнего основания, к которому достраиваются другие его элементы (грани, ребра, верхнее основание).

Аксонометрические проекции многогранников

Прямоугольная изометрическая проекция призмы

Основание призмы — правильный многоугольник (например, шестиугольник). Высота призмы совпадает с осью z, а основание расположено в плоскости осей x и y. Размеры призмы определяются их высотой и размерами фигуры основания.

1. Проводят оси изометрической проекции. Затем строят нижнее основание призмы.
2. Из каждой вершины проводят перпендикуляры, на которых откладывают отрезки, равные высоте призмы.
3. Через полученные точки про-водят прямые, параллельные ребрам основания. Определяют видимость ребер.

Определение расположения точки А:

1. От центра основания по оси х проводят прямую х_А = n. Из точки n проводят прямую, параллельную оси у, до пересечения с основанием призмы.
2. Из полученной точки параллельно оси z проводят прямую z_А = h.

Прямоугольная изометрическая проекция пирамиды

Прямоугольная изометрическая проекция пирамиды (например, четырехгранной). Основание пирамиды — ромб. Высота пирамиды (OS) совпадает с осью z, а основание расположено в плоскости осей x и y.

1. Проводят оси изометрической проекции. Размеры пирамиды определяются размерами ее основания и высотой. Затем строят нижнее основание пирамиды, параллельное горизонтальной плоскости.
2. Из центра основания О восстанавливают перпендикуляр, на котором откладывают высоту пирамиды.
3. Соединяют полученную точку S с вершинами основания. Определяют видимость ребер.

Определение расположения точки А 1. От центра основания О по оси х откладывают расстояние х_А = m. 2. На оси у откладывают расстояние у_А = n. 3. Параллельно оси z проводят отрезок z_A = h.

Аксонометрические проекции поверхностей вращения

Окружности, лежащие в основаниях цилиндра и конуса, расположены параллельно горизонтальной плоскости проекций. Построение проекций цилиндра и конуса начинают с проведения осей симметрий и построения нижнего основания. Нижнее основание аксонометрических проекций цилиндра и конуса — эллипс.

Прямоугольная изометрическая проекция цилиндра

Основание цилиндра — эллипс. Высота цилиндра совпадает с осью z, а основание расположено в плоскости осей x и y. Размеры определяются высотой и диаметром основания.

1. Проводят оси изометрической проекции. Затем строят нижнее основание цилиндра.
2. Из центра основания восстанавливают перпендикуляр и откладывают высоту цилиндра. Строят верхнее основание (эллипс).
3. Проводят боковые образующие цилиндрической поверхности, определяют видимость нижнего основания.

Определение расположения точки А:

1. От центра основания по оси х проводят прямую х_А= m. Из точки m проводят прямую, параллельную оси у до пересечения с основанием.
2. Из полученной точки параллельно оси z проводят прямую z_А= h.

Прямоугольная изометрическая проекция конуса

Основание конуса — эллипс. Построение проекции конуса схоже с построением проекции цилиндра. Определение расположения точек на поверхности конуса подобно построениям точек на пирамиде.

Технический рисунок

Вы узнаете: что такое технический рисунок, принципы и методы построения технического рисунка, правила применения аксонометрических проекций в рисунке.

Вы научитесь: выполнять технические рисунки плоских фигур, геометрических тел; передавать на рисунке объем, используя разные способы оттенений.

Для того чтобы сконструировать новое изделие, необходимо сначала мысленно представить его, а затем выполнить его графическое изображение — технический рисунок (рис. 57).

Рис. 57. Технические рисунки

Технический рисунок — это наглядное графическое изображение объекта, выполненное от руки на глаз с соблюдением его конструктивной формы и размеров.

При выполнении технического рисунка используются методы центрального проецирования изображения предмета (рисунок в перспективе) или параллельного проецирования (аксонометрические проекции).

Необходимо помнить, что при выполнении технического рисунка все по-строения выполняются только от руки, без использования чертежных инструментов (линеек, циркулей). Поэтому, прежде чем приступить к выполнению технического рисунка, следует научиться изображать оси аксонометрических проекций, окружности, геометрические фигуры и тела, выполнять деления отрезков и окружностей на равные части. Кроме того, необходимо уметь правильно определять на глаз размеры и соотношения частей, разделять линии и плоскость листа на равные части.

Правила выполнения технического рисунка

Технический рисунок можно выполнять с натуры (с реального предмета), по чертежу, представленному одним или несколькими видами, по описанию. В любом случае при выполнении технических рисунков соблюдаются те же правила, что и во время построения аксонометрических проекций.

1. Сначала выбирается вид аксонометрической проекции, на основе которой будет выполняться технический рисунок. Выбор вида зависит от формы изображаемого предмета. Если деталь состоит преимущественно из окружностей, параллельных горизонтальной плоскости проекций, то целесообразно применить прямоугольную изометрию. Если дана деталь, у которой в центре квадратная форма, то при изображении ее в прямо-угольной изометрии она не дает наглядного представления. В этом случае деталь следует изобразить в прямоугольной диметрии.
2. Проводятся аксонометрические оси.
3. Изображается плоская фигура, лежащая в основании предмета.
4. Достраивается плоская фигура до геометрического тела.
5. Уточняются конструкция и геометрическая форма предмета.
6. Выбирается способ оттенения, выполняется дорисовка и обводка изображенного предмета.

Технические рисунки удобно выполнять на бумаге в клетку. Это облегчает рисование линий. Построение аксонометрических осей по клеткам было показано выше.

Умение выполнять технические рисунки плоских фигур дает возможность в дальнейшем рисовать объемные предметы. Рассмотрим построение технических рисунков плоских фигур квадрата и окружности, как наиболее часто встречающихся в практике.

Построение технического рисунка квадрата

1. Рисуют две взаимно перпендикулярные оси.Точка их пересечения — точка О. 2. От точки О на осях откладывают отрезки О1, О2, О3 и О4, равные половине стороны квадрата L. Через полученные точки проводят прямые, параллельные осям.

Построение квадрата в прямо-угольной изометрии (рисунок квадрата условно принимают за ромб). 1. Рисуют изометрические оси и откладывают от точки О отрезки О1, О2, О3 и О4, равные половине стороны квадрата L. 2. Через точки 2 и 4 проводят прямые, параллельные оси х, через точки 1 и 3 — параллельные оси y.

Построение технического рисунка окружностей

Рисунок окружности начинается с построения квадрата, в который она вписывается. Это позволяет быстрее получить более правильное изображение окружности. В изометрической проекции окружность изображают в виде эллипса, сторона квадрата (ромба) равна диаметру окружности. Существуют два способа.

Способ I. Построение по клеткам

1. На осевых линиях от центра О на расстоянии, равном радиусу окружно-сти, наносят 4 штриха. Между штриха-ми наносят еще четыре штриха.
2. Штрихи соединяют и проводят окружность.

Способ II. Геометрическое построение

1. Строят квадрат. Затем строят промежуточные точки окружности: разделяют отрезки В2 и Е2 пополам, получают соответственно точки Е и F.
2. Далее разделяют отрезок В1 на две равные части точкой Q и соединяют прямой точку Q с точкой F. Прямая QF пересечет диагональ BD в точке 5. Точка 5 будет удалена от центра квадрата на расстояние радиуса окружности.

Аналогично строят точки 6, 7, 8. Затем точки 1—8 соединяют для по-лучения окружности.

Технический рисунок геометрического тела или детали необходимо изображать изолированно от окружающей среды (например, подставку, на которой стоит предмет, не показывают).

На основании последовательности построения квадрата и окружности выполняют технические рисунки геометрических тел и предметов.

Построение технического рисунка куба

1. Основание куба — квадрат со стороной, равной l. Проводят линии сторон квадрата величиной l параллельно построенным осям.
2. Из вершин основания восстанавливают перпендикуляры и на них откладывают отрезки, примерно равные высоте многогранника h (для куба она равна h = l). Соединяют вершины.

Выявление объема предмета на техническом рисунке детали

Для придания техническому рисунку большей наглядности, объемности и рельефности на него наносят светотень различными способами. Наиболее распространенными способами передачи светотени являются штриховка, шраффировка, оттенение точками.

Светотень — это распределение света на поверхностях предмета. Способствует восприятию объемной формы предмета.

В техническом рисовании условно принято считать, что источник света находится сверху слева и сзади рисующего. Таким образом, свет всегда будет слева, а тень справа, независимо от того, как рисуется предмет — с натуры или по чертежу. Объемность рисунка предмета достигается путем градации (перехода) света и тени: наиболее освещенные поверхности оттеняются светлее, чем поверхности, удаленные дальше от света.

Штриховка. Это наиболее распространенный способ оттенения изображения сплошными параллельными линиями различной толщины. Способ выполнения штриховки имеет свои особенности.

1. Вертикальные плоскости предмета штрихуют вертикальными прямыми; горизонтальные — прямыми, параллельными аксонометрическим осям x и y; наклонные — прямыми, параллельными линии ската плоскости.
2. В теневой части штриховые линии наносят толще (гуще) и расстояние между ними меньше; на световой части штрихи — тоньше (светлее) и реже.
3. Горизонтальные поверхности оттеняются светлее по сравнению с вертикальными.
4. На цилиндрической поверхности штриховку наносят в виде образующих различной толщины следующим образом: начинают штриховку с самой темной части предмета, постепенно переходя к более светлым. Место для блика не заштриховывают.

Техническим рисунком люди пользовались давно и в самых разных его видах. Инженеры-конструкторы чаще всего использовали реалистические рисунки (перспективные). Их примерами могут служить многочисленные рисунки Леонардо да Винчи. Этот человек обладал также великим инженерным умом, который его современники оценить, к сожалению, не могли. Большинство изобретений да Винчи невозможно было воплотить в жизнь с помощью инструментов XV—XVI вв. Все технические идеи гения остались только на бумаге — в рисунках, чертежах и подробных описаниях. Только через пять веков энтузиасты, прочитав рукописи, попытались воплотить идеи ученого в жизнь, сконструировав механизмы по его чертежам и техническим рисункам. Только представьте себе, все эти машины исправно работали!

Шраффировка

Это штриховка в виде сетки, или двойной штриховки. Шраффировку наносят на многогранниках и поверхностях вращения аналогично штриховке, учитывая форму предмета. Оттенение шраффировкой оснований геометрических тел выполняют наклонными штрихами, параллельными осям x и y.

Оттенение точками

При точечном способе светотень наносят точками. На темные части пред-мета точки наносят ближе друг к другу, с увеличением освещенности поверхности расстояния меж-ду ними увеличивают. Оттенение следует наносить так, чтобы точки не сливались. Оттенение точка-ми выполняют пером, наполненным тушью или краской.

Машиностроительное черчение

Местные и дополнительные виды

Вы узнаете: для чего служат и в каких случаях используют местные и дополнительные виды, особенности их обозначения. Вы научитесь: выполнять и обозначать местные и дополнительные виды.

Местные виды. Для упрощения построения предмета на чертеже достаточно показать только его часть, уточняющую форму предмета. В этом случае используют местные виды. Применение местного вида дает возможность показать на чертеже форму и размеры только отдельных эле-ментов предмета.

Местный вид — изображение отдельного ограниченного места поверхности предмета.

Местный вид получают проецированием на одну из основных плоскостей проекций. Изображение местного вида может быть ограничено линией обрыва (рис. 58, а), а если изображение однозначно, то допускается отображать только часть вида (рис. 58, б).

Рис. 58. Изображение детали и местные виды

Рис. 59. Проецирование предмета с искажением

Дополнительные виды. Некоторые элементы предметов проецируются на основные плоскости проекций с искажением формы и размеров (рис. 59). Чтобы этого избежать, применяют дополнительную плоскость проекций, не параллельную основным (рис. 60, а). Ее располагают параллельно той части предмета, которая на основных плоскостях изображается с искажением. Полученное на дополнительной плоскости изображение совмещают с основной плоскостью проекций. Это и есть дополнительный вид (рис. 60, б). Он дает полное представление о форме и размерах наклонной части предмета, показанного на рис. 60, а.

Рис. 60. Образование дополнительного вида (а) и его чертеж (б)

Дополнительный вид — изображение, полученное проецированием предмета или его части на дополнительную плоскость проекций, не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций.

Обозначение видов

Местные и дополнительные виды наиболее часто располагают в проекционной связи с другими изображениями на черте-же. В этом случае виды не обозначаются. В других случаях направление проецирования, по которому получают местный и дополнительный виды, указывается стрелкой возле соответствующего изображения.

Направление проецирования (направление взгляда), по которому полу-чают дополнительный вид, указывают стрелкой.

Над стрелкой и над полученным изображением (видом) наносят одну и ту же прописную букву русского алфавита. Буква всегда должна быть вертикальной. При обозначении буква назначается в алфавитном порядке по возрастанию (А, Б, В, Г и т. д.) (рис. 61).

Рис. 61. Обозначение видов, расположенных вне проекционной связи: местный (слева) и дополнительный (справа)

Дополнительный вид можно поворачивать, при условии сохранения положения, принятого для данного предмета на главном изображении. При этом обозначение вида должно быть дополнено графическим изображением «Повернуто» . Например, А .

Понятие о разрезе. Выполнение и обозначение разреза

Вы узнаете: что такое разрезы, их классификацию и обозначение, что такое местный разрез и в каких случаях используют. Вы научитесь: выполнять и обозначать разрезы.

Многие предметы имеют внутренние пустоты, очертания которых на чертежах показывают штриховыми линиями (линиями невидимого контура) (рис. 62, а). Количество этих линий зависит от сложности формы предмета.

Рис. 62. Изображение внутренних невидимых линий контуров детали: а — штриховыми линиями, б — после рассечения плоскостью

Большое количество этих линий, их наложение и пересечение ухудшает ясность графического изображения и затрудняет чтение чертежа. Поэтому, чтобы четко показывать на чертежах очертания внутренних контуров предмета, применяют разрезы. Их получают, рассекая предмет одной или несколькими воображаемыми плоскостями (рис. 63, а). Передняя часть предмета удаляется, часть предмета, которая находится в секу-щей плоскости, на разрезе выделена штриховкой. При этом изображение разреза, совмещенное с плоскостью чертежа, содержит не только фигуру, полученную в секущей плоскости, но и те контуры предмета, которые находятся за ней (рис. 63, б).

Рис. 63. Образование разреза: рассечение предмета секущей плоскостью (слева), изображение предмета в секущей плоскости (справа)

Помните! Мысленный разрез предмета секущей плоскостью не влияет на другие изображения этого предмета. Например, на рисунке 63, б на главном виде показан разрез, а вид сверху остался без изменений.

Разрез — это изображение предмета, мысленно рассеченного одной или несколькими секущими плоскостями. На разрезе показывают то, что находится в секущей плоскости и что расположено за ней.

Классификация разрезов

Разрез может быть образован одной или не-сколькими секущими плоскостями. В зависимости от количества секущих плоскостей разрезы делят на простые и сложные (рис. 64).

Рис. 64. Классификация разрезов

Рассмотрим, какие разрезы относятся к простым.

Простые разрезы

При выполнении разрезов секущая плоскость относительно горизонтальной плоскости проекций может занимать вертикальное, горизонтальное или наклонное положения. В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к горизонтальной плоскости проекции простые разрезы разделяют на вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Простой разрез — разрез, полученный при мысленном рассечении предмета одной секущей плоскостью.

Наклонный разрез образуется секущей плоскостью, которая расположена под любым (но не прямым) углом к горизонтальной плоскости проекций (рис. 68).

Наклонный разрез должен строиться и располагаться в соответствии с направлением взгляда, который указан стрелками на линии сечения. Положение секущей плоскости отмечается линией сечения со стрелка-ми, указывающими направление взгляда. Над разрезом выполняется надпись, соответствующая секущей плоскости, например А—А.

Рис. 68. Образование наклонного разреза

Обозначение разрезов

На одном чертеже может быть показано не-сколько разрезов, но их количество должно быть оправдано.

Правила обозначения разрезов

1. Положение секущей плоскости указывают на чертеже линиейсечения.
2. Если секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии пред-мета, разрез располагается на месте одного из видов (рис. 69, а). При этом положение секущей плоскости на чертеже не указывают и сам разрез не обозначают.
3. Если секущая плоскость не совпадает с плоскостью симметрии детали (рис. 69, б), то линию сечения изображают разомкнутой линией со стрелками, которые указывают направление взгляда. Толщина разомкнутых линий в 1,5 раза больше сплошной толстой основной линии.

Рис. 69. Обозначение разрезов

Разомкнутые линии чертят на концах линии сечения с внешней стороны кон-тура изображения. С внешней стороны стрелок наносят одинаковые прописные буквы русского алфавита. Над разрезом пишут те же буквы через тире, которые указывают положение секущей плоскости (например, А—А, Б—Б и т. д.).

Графическое обозначение материалов. Рассекая предметы одной или несколькими плоскостями, линии на внутренних контурах, изображенные на чертеже штриховыми линиями, становятся видимыми. Их изображают сплошной толстой основной линией. Фигуру сечения, входящую в разрез, штрихуют.

Если на фигуре сечения хотят показать, из какого материала изготовлена деталь, то пользуются их графическими обозначениями (рис. 70).

Линии штриховки наносятся тонкими линиями под углом 45° в одну сторону (вправо или влево) на всех проекциях одной и той же детали. Рас-стояние между параллельными прямыми линиями штриховки должно быть одинаковым (1—10 мм). Рекомендовано на форматах А 4 расстояние между параллельными штрихами использовать от 1 до 2 мм.

Рис. 70. Графическое обозначение материалов в разрезе

Местный разрез. Чтобы показать на чертежах внутреннее строение предметов в отдельных ограниченных местах (например, в сплошной детали необходимо показать небольшое углубление или отверстие), применяют разрезы, которые называют местными. Выполнять полные разрезы для таких деталей нецелесообразно

.

Поэтому достаточно условно разрезать только ту часть детали, которая требует дополнительного выявления ее формы. Местный разрез выделяют на чертежах сплошной тонкой волнистой линией, проводимой от руки. Местный разрез не обозначается.

Помните! Волнистая линия, ограничивающая местный разрез, не должна совпадать с какими-либо другими линиями на виде или быть их продолжением.

Разрезы в аксонометрических проекциях

На аксонометрических проекциях, так же как и на изображениях предметов, применяют разрезы, с помощью которых показывают внутренее устройство: отверстия, углубления, и т. д. Секущие плоскости, как правило, выбирают так, чтобы они совпадали с плоскостью симметрии детали или отдельного ее элемента (рис. 71, а) (см. Памятку 8, с. 176).

Линии штриховки сечений наносят параллельно диагоналям проекций квадратов, построенных на осях х и z, х и у, у и z (рис. 71, б). Например, в изометрической проекции на фронтальном и профильном разрезах линии штриховки располагают под углом 45°.

Рис. 71. Разрезы в аксонометрических проекциях: а — последовательность выполнения разреза; б — направление линии штриховки

Соединение на чертеже части вида и части разреза

Вы узнаете: как соединяют часть вида частью соответствующего разреза, какие применяют условности и упрощения при выполнении разрезов. Вы научитесь: выполнять соединение части вида с частью соответствующего разреза.

Многие детали имеют форму, которая не может быть выявлена только видом или только разрезом (рис. 72, а, б).

Рис. 72. Варианты чертежа детали: а — вид; б — разрез

При этом выполнять два изображения — вид и разрез — нерационально. В этом случае вместо двух отдельных изображений (вида и разреза) прибегают к соединению (совмещению) двух изображений: части вида с частью соответствующего разреза (рис. 73). Если вид и соединяемый разрез предмета симметричны, то объединяют половину вида с половиной соответствующего разреза.

На изображении, показывающем половину вида, линии невидимого контура не наносятся, так как внутреннее строение детали показано на разрезе.

Для симметричной детали вид, объединенный с разрезом, отделяют друг от друга штрихпунктирной линией, которая является одновременно и осью симметрии изображенной детали (см. рис. 73).

Рис. 73. Образования соединения половины вида и половины разреза

В несимметричных фигурах вид и разрез можно разделить сплошной тонкой волнистой линией (рис. 74). Разрез располагают справа от вертикальной оси симметрии или ниже горизонтальной оси симметрии.

Рис. 74. Расположение части вида и части разреза

Правила соединения половины вида и половины разреза

1. Граница между видом и разрезом —ось симметрии (рис. 75).
2. Разрез на чертеже всегда располагают справа от оси симметрии (если ось симметрии вертикальная), а вид — слева. При совмещении по горизонтальной оси симметрии — вид располагается сверху, а разрез снизу.
3. На половине вида штриховые линии, изображающие контур внутренних очертаний, не проводят.
4. Размерные линии, относящиеся к элементу детали, вычерченному только до оси симметрии (например, отверстия), ограничивают с одной стороны стрелкой, разрывая размеренную линию за осью симметрии на расстоянии 2—5 мм. Размер указывают полный.
5. Размеры внутренних элементов детали предпочтительно наносить со стороны разреза, внешних — со стороны вида.

Рис. 75. Правила выполнения соединения вида и разреза

Условности и упрощения

При соединении части вида и части разреза допускаются некоторые условности и упрощения:

• тонкие стенки и ребра жесткости при выполнении разрезов вдоль показываются не рассеченными;
• при соединении половины вида и половины разреза, если с осевой линией совпадают ребра предмета, то часть вида и часть разреза разделяют сплошной волнистой линией. Эта линия должна быть расположена так, чтобы ребро было показано на изображении. Если оно расположено на внутренней поверхности, то дают больше половины разреза (а), если наружной — больше половины вида (б).

Понятие о сечении. Выполнение и обозначение сечений

Вы узнаете: что такое сечение и для чего его применяют, виды, правила выполнения и обозначения сечений на чертежах. Вы научитесь: выполнять и обозначать сечения.

Любой чертеж должен давать наиболее полное представление о форме изображаемого на нем предмета. Вам уже известно, как на чертежах изображают предметы с помощью видов и разрезов. Бывают также другие изображения, которые дают возможность лучше понять форму предмета. К таким изображениям относятся сечения. Сечения наиболее часто применяют для того, чтобы показать поперечную форму предмета и форму отверстий, углублений, срезов и вырезов на поверхностях округлых деталей. Сечение может являться составной частью разреза или самостоятельным изображением.

Сечение — изображение фигуры, получающейся при мысленном рас-сечении предмета секущей плоскостью. На сечении показывают только ту фигуру, которая получается в секущей плоскости.

Для получения сечения предмет мысленно рассекают секущей плоскостью в том месте, где необходимо уточнить форму предмета (рис. 76). В секущей плоскости получают фигуру сечения. Линии контура предмета, находящиеся за секущей плоскостью, не показывают.

Рис. 76. Образование сечения

Классификация сечений. В зависимости от размещения относительно вида изображаемого на чертеже пред-мета различают вынесенные и наложенные сечения (рис. 77).

Рис. 77. Сечения

Вынесенными называют сечения, расположенные вне контура изображений детали. Вынесенное сечение допускается располагать на свободном поле чертежа. Оно может быть размещено:

• непосредственно в проекционной связи (рис. 78, а);
• на продолжении линии сечения (если предмет симметричен). При этом линию сечения показывают штрихпунктирной линией (рис. 78, б). в разрыве между частями вида; при этом условный разрез на виде ограничивают тонкой волнистой линией (рис. 78, в).
• Контур вынесенного сечения обводят сплошной толстой основной линией.

Рис. 78. Вынесенные сечения

Наложенными называют сечения, расположенные непосредственно на видах чертежа и именно там, где проходит секущая плоскость (рис. 80). Контур наложенного сечения обводят сплошной тонкой линией. Контурные линии вида в месте, где на него накладывается фигура сечения, не должны прерываться.

Рис. 80. Наложенное сечение

Вынесенным сечениям следует отдавать предпочтение перед наложенными, так как последние затемняют виды чертежа и неудобны для нанесения размеров.

Обозначение сечений. Положение секущей плоскости на чертеже указывают линией сечения. Для этого применяют разомкнутую линию в виде двух штрихов. Направление, в котором нужно смотреть на мысленную секущую плоскость, указывают стрелками.

Сечение по построению и расположению должно соответствовать направлению, указанному стрелками.

Вынесенным сечениям следует отдавать предпочтение перед наложенными, так как последние затемняют виды чертежа и неудобны для нанесения размеров.

Обозначение сечений. Положение секущей плоскости на чертеже указывают линией сечения. Для этого применяют разомкнутую линию в виде двух штрихов. Направление, в котором нужно смотреть на мысленную секущую плоскость, указывают стрелками.

Сечение по построению и расположению должно соответствовать на-правлению, указанному стрелками.

Если фигура сечения симметричная, то вынесенное сечение может располагаться на продолжении линии сечения, которую показывают штрихпунктирной линией. Стрелками и буквами такое сечение не образуют (см. рис. 78, б, в).

Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающей отверстие или углубление, то на фигуре сечения контур отверстия или углубления в сечении показывают полностью (рис. 81).

Рис. 81. Обозначение сечений

Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве вида (рис. 82, а) или наложенных (рис. 82, б), линию сечения указывают с помощью разомкнутой прямой со стрелками, но без буквенных ее обозначений.

Рис. 82. Обозначение несимметричных сечений

На фигуре сечения, как и на других изображениях на чертеже, в случае необходимости наносят размеры.

Графические обозначения материалов в сечениях. Для придания чертежу большей наглядности и выразительности, для обозначения материалов в сечениях так же, как и разрезах, введены графические обозначения.

Металлы и твердые сплавы
Неметаллические материалы, в т. ч. волокни-стые, монолитные и плитные материалы
Керамика и силикатные материалы для кладки
Стекло и другие светопрозрачные материалы

Графическое обозначение материалов в сечениях выполняют тонкими параллельными линиями, которые проводят под углом 45° к линии контура изображения или его оси (рис. 83).

Рис. 83. Направление линий штриховки в сечениях

Если линии штриховки, проведенные к линиям рамки чертежа под углом 45°, совпадают по направлению с линиями контура или осевыми линиями, то вместо угла 45° следует брать угол 30° или 60°.

Расстояние между параллельными прямыми линиями штриховки должно быть одинаковое для всех выполняемых в одном и том же масштабе сечений данной детали в пределах от 1 до 10 мм.

Линии штриховки наносят с наклоном влево или вправо, но в одну и ту же сторону на всех сечениях, относящихся к данному чертежу. Узкие площади сечений, ширина которых на чертеже менее 2 мм, допускается показывать зачерненными, так как на них трудно наносить и читать штриховку.

Изображение и обозначение резьбы

Вы узнаете: какие имеются виды резьбы, каковы ее размеры, элементы, как изображается и обозначается резьба на чертежах. Вы научитесь: выполнять чертежи стандартных крепежных изделий (болта, винта,гайки, шпильки), имеющих резьбу.

Многие изделия состоят из двух и более деталей, соединенных между со-бой определенным образом. Наиболее распространенными соединениями деталей являются резьбовые. Детали соединяют с помощью резьбы, образованной на их поверхностях, а также с помощью крепежных деталей, имеющих резьбу (рис. 84).

Рис. 84. Детали с резьбой

Резьба представляет собой совокупность винтовых выступов и впадин, нанесенных по винтовой линии на внутреннюю и внешнюю боковую поверхность некоторых тел вращения.

Образуется резьба следующим образом. При вращении патрона токарного станка равномерно вращается и закрепленный на нем стержень. Подведенный к поверхности стержня резец при равномерном движении вдоль оси стержня прочертит на его поверхности винтовую линию. Если его углубить в равномерно вращающуюся заготовку, то на ее поверхности образуется винтовая канавка — резьба (рис. 85). Фигура сечения винтовой канавки и выступа резьбы плоскостью, проходящей через ось резьбы, называется профилем резьбы.

Рис. 85. Образование резьбы В зависимости от расположения резьбы на поверхности стержня или отверстия она бывает наружной или внутренней. В резьбовом соединении наружная резьба наносится на болт, винт и др. Внутренняя резьба наносится на поверхность отверстия в гайке, гнезде и др.

Классификация резьбы, ее основные элементы и параметры. По форме профиля резьба бывает треугольная, трапецеидальная, прямоугольная, упорная и др. (рис. 86).

Рис. 86. Виды резьбы по профилю

Выделяют основные элементы и параметры резьбы: наружный и внутренний диаметры, шаг, угол профиля (рис. 87). Наружный (внешний, номинальный) диаметр резьбы D — диаметр, описанный около резьбовой поверхности, условно характеризующий раз-меры резьбы и используемый при ее обозначении. Внутренний диаметр резьбы d — диаметр воображаемого прямого кругового цилиндра, вписанного в резьбовую поверхность. Шаг резьбы P — расстояние между параллельными сторонами или вершинами двух рядом лежащих витков, измеренное вдоль оси резьбы. Угол профиля β — угол между смежными боковыми сторонами профиля.

Рис. 87. Основные элементы резьбы

Также важным параметром является длина резьбы — длина участка поверхности, на котором образована резьба.

Обозначение резьбы на чертеже. Резьба на чертеже изображается не так, как мы ее видим, а упрощенно (условно) в соответствии с правилами стандарта ГОСТ 2.311-68 ЕСКД. Изображение резьбы. Независимо от профиля резьбы ее условное изображение всегда одинаково.

На внешней поверхности (на стержне) по наружному диаметру резьбу изображают сплошными толстыми основными линиями, по внутреннему диаметру — сплошными тонкими линиями (рис. 88). На виде слева резьбу показывают сплошной тонкой линией в виде дуги, примерно равной 3/4 окружности.

Рис. 88. Изображение резьбы: внешней (вверху) и внутренней (внизу)

На внутренней поверхности (в отверстии) резьбу показывают сплошными толстыми основными линиями по внутреннему диаметру и сплошными тонкими — по наружному (см. рис. 88). Сплошную тонкую линию проводят на расстоянии не менее 0,8 мм от основной линии и не более величины шага резьбы.

Штриховку в разрезах доводят до линии наружного диаметра резьбы на стержне и до линии внутреннего диаметра в отверстии. Чтобы указать резьбу на чертеже, к ее изображению добавляют надпись в виде условного обозначения.

Метрическая резьба и ее обозначение

Основным типом резьбы, применяемой для крепежных целей, является метрическая резьба. Профилем метрической резьбы является равносторонний треугольник с углом 60° при вершине (рис. 89). В условное обозначение резьбы входят: буква М, наружный (номинальный) диаметр резьбы в миллиметрах (рис. 90).

Рис. 89. Изображение метрической резьбы

Рис. 90. Условное обозначение метрической резьбы

Метрическую резьбу выполняют с крупным и мелким шагом. В обозначении метрической резьбы крупный шаг не указывают, например М20. Мелкий шаг указывают через знак умножения, например M 20 х 1,5 (где 1,5 — шаг резьбы).

Многие изделия собирают с применением резьбовых деталей — винтов, болтов, гаек, шпилек и др. Они соединяют отдельные детали в единое изделие, поэтому их называют крепежными. Для удобства использования в производстве такие детали стандартизированы и взаимозаменяемы.

Болт — цилиндрический стержень с наружной резьбой на одном конце и головкой на другом. Образует соединение при помощи гайки или резьбового отверстия в одном из соединяемых изделий. Существуют различные типы болтов, отличающиеся друг от друга по форме и размерам головки (шестигранная, полукруглая, потайная) и стержня, по шагу резьбы. Наиболее распространены болты с шестигранной головкой.

Пример условного обозначения болта: Болт M 12 х 60 ГОСТ 7798-70 — с шестигранной головкой, резьбой M 12, шаг резьбы крупный, длина стержня 60 мм.

Винт — цилиндрический стержень с наружной резьбой на одном конце и конструктивным элементом для передачи крутящего момента на другом. По назначению винты разделяются на крепежные и установочные. Крепежи винтов применяются для соединения деталей путем ввертывания винта резьбовой частью в одну из соединяемых деталей.

В зависимости от условий работы винты изготовляются с цилиндрической, полукруглой, полупотайной или потайной головкой со шлицем, под отвертку, а также с головкой под ключ и с рифлением.

Пример условного обозначения винта: Винт М12 х 50 ГОСТ 1491-80 — с цилиндрической головкой, резьбой М12, шаг резьбы крупный, длина стержня 50 мм.

Шпилька — цилиндрический стержень с резьбой на обоих концах или по всей длине стержня. Служит для соединения двух или нескольких деталей. Один конец шпильки ввинчивается в резьбовое отверстие детали, а на другой конец навинчивается гайка. Конструкция и размеры шпилек определяются стандартами в зависимости от длины резьбового конца.

При изображении шпильки вычерчивают только один вид на плоскости, параллельной оси шпильки, и указывают размеры резьбы, длину шпильки и ее условное обозначение.

Пример условного обозначения шпильки: Шпилька М8 х 60 ГОСТ 22038-76 — с крупной метрической резьбой диаметром 8 мм, длина стержня 60 мм, предназначена для ввертывания в легкие сплавы, длина резьбового конца 16 мм.

Гайка — крепежная деталь с резьбовым отверстием и конструктивным элементом для передачи крутящего момента. Применяется для навинчивания на болт или шпильку до упора в одну из соединяемых деталей. В зависимости от конструкции и условий применения гайки выполняют шестигранными, круглыми, барашковыми, фасонными и т. д.

Наибольшее применение имеют гайки шестигранные.

Пример условного обозначения гаек: Гайка М12 ГОСТ 5915-70 — с диаметром резьбы 12 мм, шаг резьбы крупный.

Винтовая линия (поверхность) была известна человеку с очень давних времен. Еще в Древнем Египте применялось водоотливное приспособление, представляющее собой гладкое бревно с прикрепленными на его поверхности облегающими планками, образовывающими спираль.

При вращении бревна вода по этой спирали поднималась вверх. В дошедших до нашего времени описаниях имеются сведения о таком же винте, изобретение которого приписывается Архимеду.

Однако современная история резьбы начинается только в XIX в. Британский изобретатель Генри Модели считается одним из создателей токарновинторезного станка, с помощью которого стало возможным нарезание точной резьбы. В середине XIX в. другой британский инженер-механик и изобретатель Джозеф Витворт в 1841 г. предложил профиль винтовой канавки и разработал систему стандартизации резьбы. Дату появления резьбы можно считать датой начала промышленной революции.

Соединения деталей. Чертежи резьбовых соединений деталей

Вы узнаете: на какие группы делятся соединения деталей в изделии, какие существуют типовые соединения, как изображаются некоторые типовые соединения деталей на чертежах. Вы научитесь: выполнять чертежи резьбовых соединений.

Соединения деталей. Многие изделия (например, машины) состоят из множества самых разнообразных деталей, которые соединяются различными способами. Способ соединения деталей зависит от материала самих деталей. В зависимости от характера выполнения соединений их разделяют на разъемные и неразъемные (рис. 91).

Рис. 91. Виды соединений

Разъемными называют соединения, которые можно разбирать и вновь собирать без разрушений и повреждений деталей. К таким соединениям относят: болтовые, винтовые, шпилечные и т. д.

К неразъемным относят соединения, которые нельзя разобрать без нарушения или повреждения деталей (соединения деталей заклепками, пайкой, сваркой и т. д.).

Разъемные резьбовые соединения. Резьбовое соединение состоит из двух деталей: стержня, на конце которого нарезана резьба, и детали с глухим резьбовым отверстием (рис. 92).

В резьбовых соединениях, изображенных на разрезе, резьба стержня закрывает резьбу отверстия. В отверстии показывают только ту часть резьбы, которая не закрыта резьбой стержня. Штриховка доводится до сплошных основных толстых линий.

Рис. 92. Пример резьбового соединения

Рассмотрим примеры разъемных резьбовых соединений — болтового, винтового и шпилечного.

Болтовое соединение

Такое соединение состоит из двух деталей, соединенных с помощью болта и гайки. В деталях просверливают отверстие, диаметр которого немного больше, чем диаметр болта. Чтобы предотвратить разрушение детали при завинчивании гайки, на стержень болта надевается шайба. Чертеж такого соединения состоит из изображений деталей, которые входят в его состав.

Болт, гайка и шайба в разрезах показываются не рассеченными. Часто на чертежах резьбовое соединение показывают упрощенно (условно).

Рассмотрим последовательность построения болтового соединения.

1. Сначала вычерчивают соединение детали.
2. Затем дочерчивают болт, вспомогательное отверстие в деталях. Далее чертят шайбу, надетую на болт, и затем — гайку.

В соединении длина болта связана с толщиной соединяемых деталей. Если толщина одной из соединяемых деталей составляет I₁ = 25 мм, второй — I₂ = 35 мм, то для них толщина шайбы составляет s, высота гайки — Ни запас выходящего из гайки резьбового конца болта — к = 0,25 d, т. е. длина болта I = l₁ + l₂+ s + H + k.

Винтовое соединение

Соединение винтом включает соединяемые детали и винт с шайбой. Резьбовая часть винта ввинчивается в резьбовое отверстие детали. В соединениях винтами с потайной головкой шайбу не ставят.

Если применяется винт с потайной или полупотайной головкой, то на соответствующей стороне отверстия детали должна быть выполнена раззенковка (рассверливание отверстий) под головку винта.

Если диаметр головки винта меньше 12 мм, то шлиц рекомендуется изображать одной утолщенной линией.

Шпилечное соединение

Такое соединение состоит из шпильки, шайбы, гайки и соединяемых деталей. Соединение деталей шпилькой применяется тогда, когда нет места для головки болта или когда одна из соединяемых деталей имеет значительную толщину.

Помните! При упрощенном изображении резьбовых соединений:

• зазоры между стержнем болта и отверстием под него не показывают;
• дуги скругления фасок на головке болта и гайке, а также фаски на стержне не вычерчивают;
• линию границы резьбы на стержне не показывают, а тонкую линию внутреннего диаметра резьбы проводят по всей длине стержня;
• на виде сверху резьбу на стержне болта, винта, шпильки не изображают.

Первые болты с резьбой появились в XV в., болты без нарезки, имеющие весьма ограниченное применение, начали использоваться значительно раньше. Такие болты применялись еще в Древнем Риме в дверных устройствах в качестве осевых стержней и установочных болтов, представляющих собой стержень с прорезью, в которую вставлялся клин, который препятствовал смещению болта. Не исключено, что римляне первыми стали использовать винты для дерева (шурупы), которые изготовлялись из бронзы или из серебра. Резьба на винтах нарезалась вручную или ее заменяла проволока, накрученная на стержень и припаянная к нему. Очевидно, это изобретение было утрачено с исчезновением Римской империи, поскольку первое упоминание о винтах встречается в книге, относящейся лишь к началу XV в.

Задумывались ли вы о том, почему крепежные детали (болты, гайки, винты и т. д.) выпускаются определенных размеров и типов? В качестве классического примера необходимости стандартизации служит пожар, случившийся в Балтиморе (США) в феврале 1904 г. В пожаре, возникшем в деловом центре города из-за непотушенной сигареты, пострадало около 1,5 тыс. офисных зданий. Жилые кварталы, к счастью, уцелели, и человеческих жертв не было. Огонь бушевал более 30 часов, местные пожарные не могли с ним справиться. Власти города обратились за помощью в Вашингтон и Нью-Йорк. Однако, когда из этих городов подоспела помощь, оказалось, что их пожарные рукава несовместимы с пожарными гидрантами Балтимора. Было установлено, что в стране используются более 600 видов пожарных гидрантов различных размеров. В 1905 г. Национальная противопожарная ассоциация утвердила обязательный федеральный стандарт, который вошел в историю стандартизации как «стандарт Балтимора», действующий и в настоящее время.

Выполнение эскиза детали

Вы узнаете: какие бывают виды изделий, какие еще графические документы применяют при конструировании изделий, чем эскиз отличается от чертежа. Вы научитесь: выполнять эскизы изделий.

Все предметы окружающей нас действительности, выполненные человеком, называют изделиями. Большинство изделий изготавливают на различных промышленных предприятиях. В разработке и изготовлении сложного изделия принимают участие разные специалисты, которые в своей деятельности руководствуются требованиями ГОСТа. Стандартом ГОСТ 2.10Г2016 ECKД. Виды изделий установлено определение изделиям, изготовленным производственным способом.

Изделие — это предмет или набор предметов производства, подлежащих изготовлению в организации (на предприятии) по конструкторской документации.

Изделиями могут быть средства, машины, агрегаты, аппараты, приспособления, оборудования, инструменты, механизмы и др.

Устанавливаются следующие виды изделий: детали, сборочные единицы, комплексы и комплекты. Основными видами изделий являются детали и сборочные единицы (изделия, собранные из отдельных деталей).

Деталь — это изделие, изготовленное из однородного по наименованию и марке материала без применения сборочных операций, например болт, гайка, вал, литой корпус, рельс, уголок, швеллер и др.

Все детали можно разделить на три группы: стандартные; сходные по форме, но отличающиеся по размерам; оригинальные (рис. 93).

Рис. 93. Группы деталей

Общие требования к эскизам. Детали выполняют по чертежам. Конструктор при составлении чертежей обычно не имеет ни готовых деталей, ни наглядных изображений. Эти детали он конструирует, отображая на бумаге в первую очередь их форму. В процессе конструирования какого-либо изделия сначала разрабатывают эскиз, дающий общее представление об устройстве и принципе работы проектируемого изделия (рис. 94). Обычно эскиз служит основой для построения рабочего чертежа изделия. Иногда деталь можно изготовить по эскизу, например, при ремонте оборудования, если необходимо взамен вышедшей из строя детали изготовить новую. В этом случае с натуральной детали снимают размеры для выполнения эскиза.

Как вам уже известно, эскиз — это чертеж, выполняемый, как правило, от руки (без применения чертежных инструментов), с сохранением пропорций элементов детали, а также в соответствии со всеми правилами и условностями, установленными стандартами (рис. 94).

Рис. 94. Эскиз детали (пример)

Правила выполнения эскизов

• Эскизы должны быть выполнены в соответствии со Стандартами ЕСКД на чертежи.
• Линии на эскизе должны быть ровными и четкими. Надписи выполняются чертежным шрифтом.
• Выполняют эскизы обычно на бумаге в клетку. Сетка бумаги помогает быстрее проводить горизонтальные и вертикальные линии от руки, соблюдать проекционную связь между видами.
• Окружности и их дуги следует проводить тонкими линиями циркулем с последующей обводкой от руки.

Последовательность выполнения эскиза

Приступая к выполнению эскиза, следует соблюдать следующую последовательность:

1. Внимательно рассмотрите деталь, проанализируй-те ее форму и форму отдельных ее частей. Деталь рекомендуется рассматривать как совокупность простых геометрических тел. 2. Определите необходимое количество видов для полного выявления формы и размеров детали.
Помните! Количество видов должно быть наименьшим, но обеспечивающим полное представление о детали. Выберите главный вид детали.
5. Определив на глаз соотношения размеров, нанесите на видах внешние (видимые) контуры детали. Нанесите невидимые части и мелкие элементы детали.
6. Нанесите выносные и размерные линии. Обведите линии кон-тура сплошной толстой основной линией.	7. Обмерьте деталь, нанесите раз-мерные числа.
. Заполните основную надпись (наименование детали и материал, из которого она изготовлена).

Технические измерения являются одной из важнейших основ производства. Ни одна техническая операция не выполняется без измерения размеров. Поэтому в зависимости от точности измерений применяются соответственно и измерительные инструменты, наиболее употребительные из которых: линейка стальная, кpонциpкуль, нутpомеp, штангенциркуль, микpометp, угломер, pадиусомеp и pезьбомеp.

Назначение и особенности чертежей общего вида и сборочного чертежа изделия

Вы узнаете: что называется чертежом общего вида, сборочным чертежом, в чем их различия. Вы научитесь: определять по чертежу общего вида или сборочному чертежу количество деталей, входящих в состав сборочной единицы.

Вы уже знаете, что многие предметы, которыми пользуется человек, невозможно изготовить сплошными. Поэтому большинство изделий состоят из отдельных частей — деталей, определенным образом соединенных между собой. Изделие, собранное из отдельных деталей, называется сборочной единицей (рис. 95).

Рис. 95. Сборочная единица и детали, входящие в нее

Сборочная единица — изделие, составные части которого подлежат соединению между собой на предприятии-изготовителе сборочными операциями (свинчивание, сварка, пайка, склеивание, клепка и т. д.).

Чертеж общего вида. Создавая сборочную единицу, разработчик, прежде всего, отображает на бумаге форму изделия (эскиз). В процессе создается чертеж общего вида, на котором все детали изображены во взаимной связи и отображена форма всех элементов. По чертежу общего вида составляется конструкторская документация: рабочие чертежи деталей, сборочные чертежи, спецификация. Все эти документы оформляются по правилам стандартов ЕСКД.

Чертеж общего вида должен содержать: изображения изделия (виды, разрезы, сечения), номера позиций составных частей изделия, текстовую часть и надписи, необходимые для понимания конструктивного устройства изделия, размеры, техническую характеристику изделия.

Чертеж общего вида сборочной единицы — документ, определяющий конструкцию изделия, взаимодействие его основных составных частей и поясняющий принцип работы изделия (рис. 96).

Рис. 96. Чертеж общего вида

На главном изображении чертежа общего вида изделие обычно показывают в рабочем положении. Основные изображения изделия располагают в проекционной связи относительно главного. В отдельных случаях для более рационального использования поля чертежа часть их помещают на свободном поле и отмечают соответствующими надписями, указывающими направление взгляда.

Изображения на чертеже общего вида выполняются с упрощениями. Мелкие конструктивные элементы, используя дополнительные виды, сечения или выносные элементы, выполняют в увеличенном масштабе.

Количество изображений должно быть наименьшим, но достаточным, чтобы по ним можно было однозначно определить форму и размеры всех входящих в сборочную единицу деталей. На чертеже общего вида составные части изделия указывают в таблице, размещенной на чертеже над основной надписью чертежа, и нумеруют. Эти номера называют позициями (см. рис. 96). В таблице каждой детали сборочной единицы присваивается номер позиции. Эти номера должны соответствовать номерам на полка хвыносках на изображениях.

Линии-выноски проводят на том изображении, где данная составная часть представлена наиболее наглядно. Линии-выноски выполняются тонкими сплошными линиями и заканчиваются токами на изображении детали. По возможности они не должны пересекаться с размерными и выносными линиями. Номера позиций располагают на полке линии-выноски параллельно основной надписи чертежа вне контура изображения. Чтобы легче было находить номера позиций, полки группируют в строку или столбик на одной линии.

Нумерацию деталей устройства начинают с его основной детали (корпуса, основания, шасси и т. п.). Сведения об изделиях записываются в следующем порядке: стандартные изделия, новые разработанные изделия.

Номер позиции наносят на чертеже один раз. Если в устройстве содержится несколько одинаковых деталей, то линией-выноской и номером позиции отмечают только одну из них, а количество таких деталей указывают в таблице составных частей устройства в соответствующей графе.

После того как выполнен чертеж общего вида, приступают к разработке рабочих чертежей каждой детали и сборочных чертежей.

Сборочный чертеж

После того как по чертежу общего вида конструктор выполнил чертежи деталей и на производстве их изготовили, следует процесс сборки изделия. Для этого необходим сборочный чертеж.

Сборочный чертеж — изображение сборочной единицы с необходимыми данными для ее сборки (изготовления) и указанием расположения деталей, способа их соединений и др.

Сборочный чертеж разрабатывается на основе чертежа общего вида и предназначается для производства. На сборочном чертеже изделия изображают в собранном виде со всеми деталями, которые в него входят.

Сборочный чертеж должен содержать изображение сборочной единицы, дающее представление о расположении и взаимной связи составных частей и способах их соединения, обеспечивающих возможность сборки и контроля сборочной единицы. Правила выполнения сборочного чертежа имеют много общего с правилами составления и выполнения чертежей общего вида. Со сборочным чертежом выполняется спецификация (рис. 97, с. 139—140).

Рис. 97. Сборочный чертеж (с. 139) и спецификация (с. 140)

Спецификация и номера позиций

Спецификация — это текстовый документ, который определяет состав сборочной единицы. Спецификация выполняется на чертежной бумаге формата А 4. В упрощенном виде (используется в учебных целях) спецификация состоит из следующих разделов: «Документация», «Детали», «Стандартные изделия».

В спецификацию заносят номера позиций деталей изделия.

В спецификации записывают в графе «Поз.» (позиции) порядковые номера (позиции) деталей изделия. В графе «Кол.» (количество) указывают количество каждого изделия, входящего в сборочную единицу. В графе «Примечание» указывают дополнительные сведения об издании, записанные в спецификацию.

На сборочных чертежах наносят только габаритные, присоединительные и установочные размеры в соответствии с требованиями стандарта. Габаритные размеры определяют расстояние между точками очертания изделия по трем координатным направлениям. Присоединительные и установочные размеры определяют координаты и размеры элементов или составных частей изделия, с помощью которых к данному изделию присоединяют другие изделия, работающие с ним в комплексе.

Упрощения на чертежах общего вида и сборочных чертежах:

1. Виды, расположенные в проекционной связи, не обозначают и не подписывают.
2. Штриховка одной детали (или одинаковых деталей) на всех ее изображениях выполняется с наклоном 45° в одну строну с одинаковым расстоянием между линиями. Штриховка сечений смежных деталей выполняется с наклоном в разные стороны или с разной частотой.
3. Дополнительные и местные виды обозначают стрелкой с буквой.
4. На симметричных изображениях соединяют половину вида с половиной разреза (или их части).
5. На чертежах не показываются фаски, скругления, углубления, выступы и другие мелкие элементы, зазоры между стержнем и отверстием.

Чтение чертежей деталей на основе анализа формы и их пространственного расположения

Вы узнаете: последовательность чтения сборочных чертежей. Вы научитесь: определять по чертежу принцип работы изделия, анализировать форму и положение составных деталей, выявлять процесс сборки и разборки изделия на основании чертежа общего вида, выполнять деталирование.

Чтение чертежей

Порядок чтения чертежа общего вида и сборочного чертежа схожи между собой. Прочитать чертеж общего вида (сборочный чертеж) — это значит выяснить строение изображенного изделия, определить его назначение и принцип работы, а также процесс его сборки и разборки. Чтение чертежей общего вида и сборочных чертежей выполняют в определенной последовательности.

Правила чтения чертежа общего виды и сборочного чертежа:

1. Ознакомление с основной надписью.
2. Ознакомление с изображением. Устанавливают назначение и принцип работы изделия, его технические характеристики, требования к эксплуатации. Определяют, какие на чертеже имеются виды, разрезы, сечения. Выясняют положение секущих плоскостей, с помощью которых выполнены сечения и разрезы.
3. Изучение составных частей изделия. Определяют по спецификации названия деталей, находят их на изображении (на виде, разрезе). Сравнивая изображения каждой детали, определяют ее форму.
4. Изучение конструкции изделия. Выясняют, как соединены друг с другом детали, находят крепежные детали (для разъемных соединений).
5. Ознакомление с другими сведениями (размерами, надписями, условными обозначениями).
6. Установление характера взаимодействия составных частей изделия, их функциональные особенности и взаимодействие.
7. Изучение формы и положения конкретной детали, определение ее номера на чертеже и в таблице (спецификации). При этом необходимо учитывать общую конструкцию изделия, проекционную связь изображений, а также направление штриховки.
8. Определение процесса сборки и разборки изделия.

Для примера рассмотрим порядок чтения чертежа общего вида ручки (рис. 98, 99).

Рис. 98. Изделие — ручка

Рис. 99. Чертеж общего вида ручки

• 1-й этап. Название изделия можно найти в соответствующей графе основной надписи чертежа, оно раскрывает и назначение детали. Так, в нашем случае на сборочном чертеже изображена дверная ручка в масштабе 1:1.
• 2-й этап. Назначение ручки: аксессуар для ручного открывания двери. Устанавливается путем ввинчивания винтов в соответствующие отверстия в основании. На чертеже представлены два изображения: главный вид и вид сверху. Главный вид выявляет конструкцию ручки 2 и основания 1. Вид сверху позволяет выявить форму основания, отверстий в нем, форму ручки и форму отверстия в ней для винта 4.
• 3-й этап. Изделие состоит из оригинальных деталей (рис. 100). Каждая деталь в количестве 1 шт.
• 4-й этап. Соединение деталей ручки разъемное, выполнено при помощи винта M 8 и шайбы.
• 5-й этап. Габаритные размеры: высота 60 мм, длина 93 мм, ширина 44 мм. Установочные размеры между отверстиями по длине 55 мм, по ширине 26 мм.
• 6-й этап. Основание — основная деталь, на базе которой собирается вся дверная ручка, а также крепится по месту назначения.

Рис. 100. Устройство изделия (ручки): 1 — основание, 2 — ручка, 3 — кольцо; стандартные изделия: 4 — винт, 5 — шайба

Кольцо может являться как декоративным элементом, так и деталью, предотвращающей деформации ручки. Винт — деталь, с помощью которой детали собираются в единое изделие. По обозначению винта (Винт М8 х 50 ГОСТ 10339-80) можно определить, что винт с потайной головкой с диаметром резьбы 8 мм с крупным шагом резьбы длиной 50 мм.

Шайба необходима для предотвращения повреждений основания во время сборки изделия. По обозначению шайбы (Шайба 8 ГОСТ 28848-90) можно определить, что это шайба плоская, 8 в обозначении шайбы — это наименьший размер резьбы болта, вставляемого в отверстие шайбы.

• 7-й этап. Изделие состоит из трех деталей: основания, ручки и кольца (рис. 101). Основание представляет собой пластину толщиной 5 мм, в которой просверлено 5 отверстий: одно отверстие имеет резьбу M 8 для крепления ручки, четыре технологических отверстия для крепежных изделий. По всему периметру основания выполнена фаска шириной 1,5 мм. Ручка имеет форму усеченного конуса, диаметр у нижнего основания 26 мм, верхнего — 45 мм. В ручке имеется отверстие диаметром 9 мм для крепления с помощью винта. Отверстие раззенковано под полупотайную головку винта. Ручка имеет выступ для крепления кольца. Кольцо полое цилиндрической формы диаметром 21 мм.

• 8-й этап. Изделие следует разбирать следующим образом: вывинчиваем винт 4 из основания 1; отсоединяем от ручки 2 сначала основание 1, затем шайбу 5 и кольцо 3; извлекаем винт 4 из отверстия в ручке 2.

Деталирование

После прочтения чертежа общего вида и сборочного чертежа выполняются чертежи отдельных деталей, входящих в изделие. Этот процесс называется деталированием.

Процесс деталирования предусматривает условное разделение изделия на отдельные детали и выполнение чертежей каждой из них. Любое изделие состоит из оригинальных деталей, предназначенных для данного изделия, и стандартных. В процессе деталирования выполняются чертежи только оригинальных деталей. На стандартные детали чертежи выполнять не нужно, так как эти детали изготавливаются на предприятиях.

При выполнении деталирования рекомендуется соблюдать следующий порядок

1. Чтение сборочного чертежа.
2. Мысленное разделение изделия на отдельные детали, из которых оно состоит.
3. Определение деталей, чертежи которых нужно выполнить. Начинать деталирование целесообразно с простых по форме деталей, так как мысленное удаление этих деталей облегчит определение формы более сложных.
4. Определение необходимых изображений, которые нужны для чертежа каждой детали. Помните! Количество изображений должно быть минимальным, но достаточным для полного изучения формы и размеров детали.
5. Выбор масштаба изображений. В процессе деталирования нужно ориентироваться на размер деталей. Небольшие детали, особенно сложной формы, изображают в большем масштабе.
6. Компоновка и последовательное построение изображения. На чертежах деталей изображают те элементы, которые на сборочном чертеже не показывают или показывают упрощенно.
7. Нанесение размеров. Их измеряют на изображениях сборочного чертежа с учетом масштаба.
8. Выбор масштаба изображений. В процессе деталирования нужно ориентироваться на размер деталей. Небольшие детали, особенно сложной формы, изображают в большем масштабе.
9. Компоновка и последовательное построение изображения. На чертежах деталей изображают те элементы, которые на сборочном чертеже не показывают или показывают упрощенно.
10. Нанесение размеров. Их измеряют на изображениях сборочного чертежа с учетом масштаба.

Каждую деталь чертят на отдельном формате. На чертежах выполняют основную надпись. Данные для основной надписи (название детали, материал) берут из спецификации сборочного чертежа.

Помните! Количество изображений должно быть минимальным, но достаточным для полного изучения формы и размеров детали.

Строительные чертежи. Последовательность чтения строительных чертежей

Вы узнаете: какие чертежи называют строительными, какие бывают виды строительных чертежей, виды документов при проектировании здания или сооружения. Вы научитесь: читать простые строительные чертежи.

Строительный чертеж — чертеж, на котором изображают строительные объекты: здания, мосты, эстакады, тоннели, дороги, гидротехнические сооружения и т. д., а также отдельные элементы указанных объектов.

Строительные чертежи. Здания и сооружения возводят по строительным чертежам (рис. 102).

Рис. 102. Изображение Национальной библиотеки Беларуси (фото и строительный чертеж)

Строительные чертежи разделяют на архитектурно-строительные (чертежи жилых, общественных и производственных зданий) и инженерностроительные (чертежи мостов, железных дорог, путепроводов и др.). По назначению строительные чертежи делят на чертежи строительных изделий (чертежи самих сооружений и отдельных их частей и деталей) и строительно-монтажные (чертежи, по которым осуществляют сборку и возведение сооружений).

До начала строительства разрабатывается проектное задание. На основании проектного задания подготавливаются следующие документы: генеральный (главный) план строительного участка, план здания, разрезы и фасады. Строительные чертежи, как и машиностроительные, выполняют методом прямоугольного проецирования на основные плоскости проекций. Однако строительные чертежи имеют свои особенности. Изображениям на строительных чертежах присваиваются следующие названия: вид спереди называют главным фасадом; вид слева — торцевым (боковым) фасадом; вид сверху — планом крыши; горизонтальный разрез — планом этажа (рис. 103). Над изображениями делают надписи: «Фасад», «План первого этажа», «Разрез» и т. д.

Рис. 103. Строительный чертеж жилого дома (пример)

Генеральный план строительного участка — план местности, по которому можно судить о размещении проектируемого здания, планировке самого участка, зеленых насаждения и т. д.

План здания — разрез здания горизонтальной плоскостью на уровне немного выше подоконника. Для многоэтажного здания планы выполняют для каждого этажа.

Разрез — изображение здания, мысленно рассеченного вертикальной плоскостью.

Фасад — изображение внешней стороны здания.

Масштабы строительных чертежей

Масштаб строительного чертежа зависит от размеров изображаемого объекта и назначения чертежа.

Для небольших домов и для фасадов применяют масштабы 1:50. Это дает возможность лучше выявить на фасаде архитектурные детали. Для генеральных планов — 1:500, 1:1000; для планов этажей — 1:100, 1:200

На чертеже плана показывают то, что получается в секущей плоскости и что расположено ниже за ней (рис. 104). При необходимости отдельные участки плана изображают в более крупном масштабе на чертежах элементов плана. По плану можно определить размеры и форму здания, размеры и взаимное расположение помещений, оконных и дверных проемов, колонн, стен, перегородок и других частей.

Построение плана начинают с проведения разбивочных осей — линий, которые проходят вдоль внешних и внутренних капитальных стен.

Рис. 104. План первого этажа

Вертикальные оси на плане обозначают арабскими цифрами, взятыми в окружности, горизонтальные — заглавными (прописными) буквами также в окружности.

Сечения стен, выполненные из материала, который является для дома основным, не штрихуют. Отдельные участки из другого материала штрихуют. Для каждого помещения в плане отмечают площадь (в м²). Площадь указывают цифрой без обозначения единицы измерения и подчеркивают линией.

Обратите внимание, что на строительных чертежах размерные линии ограничены не стрелками, а короткими штрихами размером 2—4 мм под углом 45° к этим линиям. Размеры наносят замкнутой цепью. Допускается повторение размеров.

На фасадах показывают расположение окон и дверей, а также архитектурные детали здания. На фасадах не наносят размеров, за исключением высотных отметок.

Высотной отметкой называют число, указывающее высоту горизонтальной площадки над нулевой плоскостью (рис. 105). За нулевую отметку обычно принимают уровень пола первого этажа. Отметки наносят в метрах, числа записывают на полке.

Рис. 105. Числовые отметки высоты

Это число показывает, насколько выше или ниже (со знаком минус) нулевой отметки находится отмеченный уровень. Нулевую метку записывают числом 0,000.

Разрезы выполняют для того, чтобы показать внутренний вид (интерьер) помещений, их высоту и выявить конструкции (рис. 106). В разрезах показывают элементы, которые получаются в секущей плоскости, и те, что видны за ней. Элемент, попадающий в секущую плоскость (контуры стен и перекрытий между этапами), показывают сплошной толстой основной линией, а элемент, находящийся за этой плоскостью, — тонкой линией. Секущие плоскости, как правило, проходят по оконным и дверным проемам. В разрезах наносят размеры между осями.

Рис. 106. Разрез одноэтажного дома

К каждому строительному чертежу составляется экспликация — пояснение к архитектурному проекту, эскизу, чертежу или отдельной его части в виде перечня с указанием некоторых количественных, качественных, технических характеристик помещения (например, перечень помещений, строительных материалов и др.).

Последовательность чтения строительных чертежей

1. Определите названия здания, изображенного на чертеже.
2. Установите виды изображений (фасады, планы, разрезы).
3. Рассмотрите надписи и изображения на чертеже.
4. Изучите взаимное расположение и конструкцию всех частей здания.
5. Определите площадь и высоту помещений, общие размеры здания.

Системы автоматизированного проектирования для создания 2D-чертежей и ЗD-моделирования

Вы узнаете: что такое система автоматизированного проектирования, какие преимущества в изготовлении чертежа она предоставляет специалистам, возможности наиболее распространенных систем автоматизирован-ного проектирования (AutoCAD, Компас-ЗD, ArchiCAD, SolidWorks). Вы научитесь: отличать автоматизированные системы от неавтоматизированных.

Понятие об автоматизированном проектировании. В настоящее время при изготовлении чертежей и другой конструкторской документации применяют систему автоматизированного проектирования (САПР). Использование компьютера предоставляет конструкторам и технологам значительные преимущества в изготовлении чертежей, освобождает их от объемных графических операций, а также повышает производительность труда.

Благодаря САПР удается автоматизировать самую трудоемкую часть работы (в процессе традиционного проектирования на разработку и оформление чертежей приходится около 70 % от общих трудозатрат конструкторской работы, 15 % — на организацию и ведение архивов и 15 % — на проектирование, включающее в себя разработку продукта, расчеты, согласования и т. д.). Объектом проектирования являются промышленные изделия и процессы, объекты и документация. В процессе автоматизированного проектирования создается электронный эквивалент чертежа, а вместо бумаги и чертежных инструментов используется экран компьютера, клавиатура и манипулятор — мышь.

Появление первых программ для автоматизации проектирования относится ко второй половине XX в. В начале 1960-х гг. на заре вычислительной техники в компании General Motors была разработана интерактивная графическая система подготовки производства, а в 1971 г. ее создатель — доктор Патрик Хэн-ретти (его называют отцом САПР) — основал компанию Manufacturing and Consulting Services (MCS), оказавшую огромное влияние на развитие этой отрасли и составившую основу современных САПР.

Проектирование — это процесс создания описания, необходимого для построения в заданных условиях еще не существующего объекта.

Система автоматизированного проектирования (САПР) — комплекс средств автоматизации, взаимосвязанных с подразделениями проектной организации или коллективом специалистов (пользователем системы), выполняющий автоматизированное проектирование.

Основная функция САПР — выполнение автоматизированного проектирования на всех или отдельных стадиях проектирования объектов и их составных частей. САПР объединяет технические средства, различные виды обеспечения, параметры и характеристики которых выбирают, учитывая особенности задач инженерного проектирования объектов.

САПР имеет свои преимущества и недостатки:

Преимушества	Недостатки
♦ более быстрое выполнение чертежей; ♦ повышение точности выполнения; ♦ повышение качества; ♦ возможность многократного использования чертежа; ♦ ускорение расчетов и анализа при проектировании (мощные средства компьютерного моделирования позволяют выполнять на компьютерах часть проектных расчетов)	♦ высокая стоимость программного обеспечения и обновлений; ♦ высокие затраты на компьютерное оборудование; ♦ необходимость обучения и переобучения; ♦ необходимость модификации бизнес-процессов предприятий под САПР

В отличие от неавтоматизированных систем автоматизированные обеспечивают возможность производить геометрические построения, выполнять стандартное нанесение размеров, трехмерное моделирование, пользоваться библиотекой графических и текстовых объектов, работать с технической документацией. Классификация САПР. По функциональному назначению САПР разделяют в зависимости от решаемых задач. Они могут значительно отличаться структурой, интерфейсом, быстродействием и т. д. (рис. 107)

Рис. 107. Виды САПР

Рассмотрим некоторые наиболее распространенные системы автоматизированного проектирования.

AutoCAD — программное обеспечение автоматизированного проектирования, созданное компанией Autodesk, с помощью которого архитекторы, инженеры и строители могут выполнять чертежи, необходимые в разнообразных областях технического проектирования, создавать точные двухмерные (2D) чертежи и трехмерные (3D) модели (рис. 108).

Рис. 108. Чертеж в AutoCAD (пример)

Система AutoCAD включает средства проектирования, моделирования и визуализации пространственных конструкций, доступа к внешним базам данных, интеллектуальные средства нанесения размеров на чертежи и др. Доступны, например, автоматизация выполнения планов этажей, сечений деталей, рисование трубопроводов и электрических цепей с помощью библиотек деталей, автоматическое создание аннотаций, спецификации (рис. 109). Кроме этого, возможно просматривать, создавать и редактировать чертежи AutoCAD как на компьютере, так и на мобильных устройствах.

Рис. 109. ЗD-модель в AutoCAD (пример)

КОМПАС-3D — система трехмерного моделирования компании АСКОН, разработанная специально для операционной среды MSWindows. Эта система стала стандартом для тысяч предприятий благодаря сочетанию простоты освоения и легкости работы с мощными функциональными возможностями твердотельного и поверхностного моделирования.

Рис. 110. Чертежи в Компас-3D (примеры)

Широкие возможности системы обеспечивают проектирование машиностроительных деталей и сборочных единиц любой сложности в соответствии с передовыми методиками проектирования (рис. 110). В КОМПАС-3D присутствует богатый инструментарий по проектированию изделий из листового металла, позволяющий создавать самые сложные конструкции из листа, с последующим автоматическим получением развертки на спроектированные детали.

Проектируя в КОМПАС-3D , можно получить электронную модель, которая будет содержать в себе данные, необходимые для ее изготовления и последующего изменения. При этом документацию на построенное изделие можно получить автоматически. Спецификация формируется по ЗD-модели сборочной единицы, а создание чертежей заключается в расположении на формате чертежа ассоциативных видов с ЗD-модели. Система имеет простой и понятный интерфейс, благодаря которому можно быстро освоить функционал программы и приступить к работе.

ArchiCAD — программный пакет, созданный фирмой Graphisoft, основанный на технологии информационного моделирования (Building Information Modeling — BIM).

Предназначен для проектирования архитектурно-строительных конструкций, а также элементов ландшафта, мебели и т. п.

Система ArchiCAD на начальных этапах работы с проектом фактически «строит» здание, используя при этом инструменты, имеющие свои полные аналоги в реальности: стены, перекрытия, окна, лестницы, разнообразные объекты и т. д. После завершения работ над «виртуальным зданием» проектировщик получает возможность извлекать разнообразную информацию о спроектированном объекте: поэтажные планы, фасады, разрезы, экспликации, спецификации, презентационные материалы и пр. Программа позволяет увидеть планируемый объект в реальности (рис. 111).

Рис. 111. Чертежи в ArchiCAD (примеры)

SolidWorks — программный комплекс САПР разработан компанией SolidWorks Corporation для автоматизации работ промышленного предприятия на этапах конструкторской и технологической подготовки производства.

В SolidWorks используется принцип трехмерного твердотельного и поверхностного параметрического проектирования, что позволяет создавать объемные детали и компоновать сборку в виде трехмерных электронных моделей, по которым создаются двухмерные чертежи и спецификации в соответствии с требованиями ЕСКД (рис. 112).

Рис. 112. Чертеж в SoIidWorks (пример)

Процесс построения ЗD -модели основывается на создании объемных геометрических элементов и выполнения различных операций между ними. Подобно конструктору LEGO модель собирается из стандартных элементов (блоков) и может быть отредактирована путем добавления (удаления) этих элементов или изменения характерных параметров блоков. ЗD -модель несет в себе наиболее полное описание физических свойств объекта (объем, масса, моменты инерции) и дает проектировщику возможность работы в виртуальном ЗD -пространстве, что позволяет на самом высоком уровне приблизить компьютерную модель к облику будущего изделия, исключая этап макетирования.

Современные САПР дают возможность изменить подход создания чертежа на основе трехмерного моделирования. ЗD-технологии представляют иной подход к созданию чертежа и направлены на создание реалистичной, наглядной, визуальной модели, не прибегая к построению чертежа. Чертежи получают на основе ЗD-модели в автоматиеском режиме (рис. 113).

Рис. 113. 3D-модель (пример)

Активное внедрение САПР не уменьшает значимость теоретических основ построения чертежа, а, наоборот, требует от специалиста более глубоких знаний методов работы с изображениями, свойств графических объектов, навыков преобразования и компоновки геометрических фигур.

Справочный материал

Алгоритм проведения вертикальных и горизонтальных линий при помощи угольника и линейки

Установите линейку и треугольник. Придерживая линейку левой рукой, правой переместите угольник параллельно заданной линии

Алгоритм проведения вертикальных и горизонтальных линий при помощи двух угольников

Проведение вертикальных линий
1. Установите угольник с углами 90°, 45°, 45° гипотенузой к заданной прямой	Придерживая угольник левой рукой, подведите второй угольник (с углами 90°, 30°, 60°) и проведи-те вертикальную линию. Не отпуская первого треугольника, переместите второй параллельно за-данной линии
Проведение горизонтальных линий
Установите угольник с углами 90°, 45°, 45° катетом к заданной прямой	Придерживая угольник левой ру-кой, подведите второй угольник (с углами 90°, 30°, 60°). Не отпу-ская второго треугольника, пере-местите первый параллельно за-данной линии
Проведение наклонных линий
Установите угольник под заданным углом. Приложите к нему второй угольник гипотенузой к катету	Придерживая второй угольник левой рукой, переместите первый угольник параллельно заданной линии

Горизонтальные и наклонные линии проводите по кромке линейки или треугольника слева направо, вертикальные линии — снизу вверх. Карандаш ставьте перпендикулярно листу бумаги и наклоняйте в сторону его движения. Давление на карандаш должно быть равномерным.

Алгоритм написания букв и цифр русского алфавита чертежного шрифта

Стрелка указывает направление движения рук. Начертание букв выполняйте по частям. Движение руки при выполнении прямолинейных элементов букв сверху вниз или слева направо, закругленных — вниз и влево или вниз и вправо.

Алгоритмы построения углов с помощью двух треугольников и линейки

Деление окружности на равные части

При помощи угольников
Угольником с углами 30° и 60°. Гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности
Угольником с углом 45°. Гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности
Таблица коэффициентов для подсчета длины хорды
Зная, на какое число (п) следует разделить окружность, находят по та-блице коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр окружности D получают длину хорды l, которую циркулем откладывают на окружности п раз

Построение сопряжений

Построение касательной к окружности без использования дуг с помощью угольника и линейки

Построение смешанного сопряжения

Алгоритм построения двухпроекционного комплексного чертежа детали

Для того чтобы облегчить понимание последовательности проецирования на две плоскости проекций, построение двухпроекционного чертежа детали будет показано на бумаге в клетку
Сначала выполняется проецирование детали на фронтальную плоскость V. На наглядном изображении эта грань окрашена в голубой цвет 1. В соответствии с размерами проводятся вспомогательные линии 2. Сплошной основной толстой линией обозначается контур детали
3. Чтобы проекции находились одна под другой, проводятся линии проекционной связи, перпендикулярные к оси х, и определяется длина детали
4. Затем выполняется проецирование детали на фронтальную плоскость H (светло-голубая плоская и голубая наклонная грани). Они имеют одинаковую ширину. Ширина детали 15 мм, ее ограничивают по бокам две грани голубого цвета, которые при взгляде сверху будут проецироваться в прямую линию
5. Если посмотреть сверху на деталь, то можно увидеть две грани под углом (голубую и светло-голубую), которые разделяет линия. Опускается соответствующая линия проекционной связи с фронтальной проекции на горизонтальную 6. Обводятся контуры детали сплошной основной толстой линией 7. Наносится осевая линия и проставляются размеры детали

Алгоритм построения трехпроекционного комплексного чертежа детали

Для того чтобы облегчить понимание последовательности проецирования на три плоскости проекций, построение трехпроекционного чертежа детали будет показано на бумаге в клетку
1. Строится фронтальная проекция по размерам и на расстоянии 5 мм от оси г: длина основания 15 мм, высота 5 мм, высота выступа 5 мм, ширина выступа 5 мм
2. Для построения горизонтальной проекции опускаются 3 линии проекционной связи с фронтальной проекции 3. По оси у откладываются три значения: от оси х (плоскости V) 5 мм, ширина основания детали 15 мм и ширина выступа 10 мм
4. Проводятся линии проекционной связи на профильной проекции основания детали третьей проекции
5. Обводятся контуры детали сплошной основной толстой линией 6. Проставляются размеры детали

Алгоритм построения аксонометрической проекции детали с вырезом одной четверти

Строят изометрическую проекцию детали
Удаляют 1/4 часть детали
Строят отверстия детали в вырезе
Уточняют построения: строят отверстия и скругления в основании детали

Условные обозначения сечений

Условные обозначения на строительных чертежах

Графическое обозначение материалов

Оборудование рабочего места чертежника

Для выполнения чертежей необходимы следующие материалы, чертежные инструменты и приспособления:

Бумага чертежная марки О (обычная) и В (высшего качества).

Для составления эскизов пользуются писчей бумагой — простой или линованной в клетку.

При копировании чертежей тушью для последующего их размножения с помощью светокопирования применяется бумажная или полотняная калька.

Карандаши для чертежных работ применяют графитные разной степени твердости. Последняя обозначается на карандашах буквами М, 2М (мягкий), Т. 2Т (твердый) или ТМ, СТ (средней твердости).

На карандашах иностранных марок букве М соответствует буква В, а букве Т — буква Н.

Для проведения тонких линий (осевых, размерных) пользуются карандашами ТМ, Т, 2Т, которые затачивают на конус (рис. 1), а для обводки утолщенных линий (линии видимого и невидимого контура и др.) —карандашами М, 2М.

Чтобы обеспечить при обводке одинаковую толщину линии, рекомендуется мягкие карандаши затачивать «лопаткой» (рис. 2).

Рис. I. Пример заточки карандаша                 Рис. 2. Пример заточки карандаша

Затачивать графит удобно на мелкой наждачной бумаге, наклеенной на картон или дощечку.

Для удаления карандашных линий используется мягкая резинка, а для удаления линий, обведенных тушью,— жесткая. Ошибочно проведенные тушью линии можно также соскоблить лезвием безопасной бритвы или удалить специальным скребком.

Для надписей тушью применяют специальные чертежные перья, имеющие на конце круглую пластинку, или стеклянные трубочки.

Для работы необходима чертежная доска, изготовленная из древесины мягких пород, к которой прикалывают кнопками чертежную бумагу.

Необходимо также иметь перочинный нож для заточки карандашей и тушь с подставкой для флакона.

Набор инструментов для черчения собран в готовальне. Для выполнения учебных чертежей достаточно иметь готовальню У14 или У9. Числа 9 и 14 указывают на количество инструментов в готовальне.

Горизонтальные прямые линии на чертежах проводят по рейсшине, а вертикальные или наклонные — по угольнику, приложенному к рейсшине.

На рис. 3 показана рейсшина с головкой, которая скользит в процессе работы по боковой прямолинейной кромке доски.

Удобна для работы также плавающая рейсшина, которая перемещается параллельно самой себе с помощью натянутых на ролики нитей.

Рис. 3. Чертежные принадлежности

Производительность труда чертежника значительно повышается при использовании чертежных приборов — механических рейсшин.

Основным составным элементом любой механической рейсшины является головка с прикрепленными к ней взаимно перпендикулярными линейками, на рабочих кромках которых имеется шкала в мм (рис. 4). Головка рейсшины в процессе работы может быть повернута на любой угол, величина которого обозначена на угловой шкале.

Система рычагов позволяет перемещать головку в любую точку чертежной доски, при этом направление рабочих кромок линеек не меняется.

Существуют чертежные приборы различных типов. Наибольшее распространение получили приборы пантографного типа (см. рис. 4).

Угольники бывают двух типов: с углами 45, 90, 45° и с углами 30, 90, 60° (см. рис. 3).

С помощью двух угольников можно построить углы в 15, 75, 105°.

При пользовании угольником из пластмассы рекомендуется на нижнюю сторону наклеить кусочки картона толщиной 1—1,5 мм. Это предохранит от подтекания туши при обводке.

Для измерения длины применяется мерительная линейка (см. рис. 3).

Мерительная линейка в поперечном сечении имеет форму трапеции. Скошенные края линейки располагаются близко к поверхности бумаги, что дает возможность более точно измерять длину отрезка прямой. Пользоваться этой линейкой для проведения линий не рекомендуется.

Для измерения и построения на чертежах углов применяют транспортир.

При обводке кривых (не циркульных) линий используются лекала (см. рис. 3).

Организация рабочего места и приемы работы чертежными инструментами

Приступая к выполнению чертежей, необходимо правильно организовать рабочее место. Стол следует расположить так, чтобы свет (естественный или искусственный) падал на рабочее место слева сверху.

Pиc. 4. Механическая рейсшина

При искусственном освещении лампу рекомендуется размешать на расстоянии 1—2 м от чертежа. Лампа должна быть достаточной мощности 60—100 Вт. Желательно иметь лампу дневного света. Не рекомендуется пользоваться при работе лампами с красными и желтыми абажурами и сочетать дневной свет с искусственным.

Важное значение имеет правильная посадка учащегося. Не надо прислоняться грудью к столу или доске, наклонять близко голову к чертежу, чтобы не портить зрение.

Инструменты и принадлежности должны быть подготовлены перед началом работы. На столе должны находиться только те инструменты, которые нужны для выполнения данного чертежа. Располагать их рекомендуется в правом верхнем углу стола.

При работе чертежную доску надо наклонить на угол 10—15°. Это можно сделать при помощи подкладок.

Перед началом работы рейсфедером его створки протирают сырым, а затем сухим куском мягкого полотна. Рейсфедер наполняют тушью на высоту не более 5—6 мм. При большем наполнении линия получается не одинаковой по толщине, так как вначале тушь стекает быстрее.

Наполнять рейсфедер рекомендуется гусиным или обычным пером, вставленным снизу в пробку флакона с тушью. В этом случае перо всегда находится в туши и при наполнении рейсфедера в него не попадает загустевшая тушь. Для заправки рейсфедера можно также использовать специальные баллончики с тушью.

Чтобы толщина соответствующих линий чертежа была одинаковой, рекомендуется после каждого наполнения рейсфедера тушью проводить штрих около контрольной линии, нанесенной на отдельном листе бумаги, чтобы убедиться в правильности взятой толщины.

Можно также на гайке рейсфедера нанести метку. После наполнения рейсфедера тушью гайку с меткой ставят в одно и то же положение относительно оси рейсфедера. Этим также достигается постоянство толщины линий.

Регулирование расстояния между створками рейсфедера на глаз не дает хороших результатов.

При проведении линий рейсфедером мизинец служит скользящей опорой руки, что обеспечивает одинаковый наклон рейсфедера. Чтобы не изменить толщину линии, не следует поворачивать кисть руки при проведении линий, а также изменять скорость движения рейсфедера.

При работе чертежным циркулем карандашную ножку заправляют стержнем карандаша более мягкого, чем тот, которым чертят прямые линии. Конец карандашного стержня затачивают на конус или делают срез с внешней стороны стержня под углом 70— 75°. Стержень карандашной ножки должен выступать на 4—5 мм.

Иглу и рейсфедер чертежного циркуля (или карандашную ножку) устанавливают перпендикулярно поверхности бумаги. Игла, установленная наклонно, образует на бумаге большое отверстие, что может привести к неточности при проведении нескольких окружностей из одного центра. Наружная створка рейсфедера, установленного наклонно, не соприкасается с листом бумаги, из-за чего на наружной кромке линии будут неровности. При проведении большого числа концентрических окружностей пользуются центриком, чтобы избежать рассверливания бумаги иглой циркуля.

Для проведения окружностей и дуг радиусом до 225 мм применяют удлинитель к чертежному циркулю. Дуги большего радиуса проводят специальным циркулем. Окружности малых диаметров вычерчивают кронциркулем.

Обводку линий чертежа рекомендуется производить в такой последовательности:

• обводят осевые и центровые линии;
• обводят линии видимого контура: окружности и дуги окружностей, при помощи рейсшины горизонтальные прямые линии, затем при помощи угольника и рейсшины вертикальные прямые и, наконец, обводят наклонные линии;
• в такой же последовательности обводят линии невидимого контура;
• проводят выносные и размерные линии;
• наносят размерные стрелки и цифры;
• делают штриховку в разрезах и сечениях;
• выполняют на чертеже все надписи.

Прямые линии проводят слева направо, снизу вверх; окружности чертят в одном направлении — по часовой стрелке.

Некоторые кривые обводят по лекалам по заранее отмеченным точкам. Для этого от руки, на глаз, карандашом проводят через точки плавную кривую.

Лекало подбирают так, чтобы его кромка совпала не менее чем с четырьмя точками кривой, затем соединяют карандашом две из них (рис. 5).

Ряс. 5. Пользование лекалом

При наличии разнообразных лекал обводка кривых ускоряется. При больших расстояниях между точками кривой следует строить дополнительные промежуточные точки.

Симметричные участки кривых следует обводить по одной и той же кромке лекала (перевернув его на 180°). Чтобы тушь не подтекала под лекало, на его плоскости с обеих сторон наклеивают кусочки картона толщиной 1—2 мм.

После обводки чертежа тушью ненужные карандашные линии удаляют. При этом нужно убедиться в том, что тушь хорошо просохла.

Графическое оформление чертежей

При выполнении чертежей следует руководствоваться правилами и условностями черчения, установленными Государственными .стандартами Союза ССР (ГОСТ)—«Единой системой конструкторскои документации».

Форматы чертежей. Основная надпись (штамп]. Линии чертежа

Чертежи выполняют на листах стандартного формата. Форматы листов определяются размерами внешней рамки чертежа, которую обводят тонкой линией (рис. 6).

Рис. 6. Лист формата 12

Государственным    стандартом (ГОСТ 2.301—68) установлены основные и дополнительные форматы чертежей. Размеры основных форматов и их обозначения указаны в табл. 1.

Таблица 1. Основные форматы (ГОСТ 2.301—68)

Допускается применение дополнительных форматов, образуемых увеличением сторон основных форматов на величину, кратную размерам формата 11. Схема построения дополнительных форматов показана на рис. 7.

Рис. 7. Размеры листов чертежей

Коэффициент увеличения п — целое число.

Обозначение форматов составляется из двух цифр: первая указывает кратность одной стороны формата к величине 297 мм, а вторая — кратность другой стороны к величине 210 мм. Произведение цифр, составляющих обозначение формата, определяет количество форматов 11 (297х210), которое содержится в данном формате. Например, формат 44 состоит из 4х4 = 16 форматов 11.

Если число, указывающее кратность £дной из сторон формата 11, будет двузначным, то его отделяют от другого числа точкой, например, формат 2.11 (594Xх2313 мм) или формат 11.4 (3270х841).

При обозначении форматов строительных чертежей допускается добавлять к обозначению формата дополнительные индексы: для форматов, у которых основная надпись (угловой штамп) расположена вдоль короткой стороны, — индекс В, а при расположении углового штампа вдоль длинной стороны — индекс Г, например 12В; 12Г.

В комплектах строительных чертежей зданий и сооружений все листы, как правило, должны быть одного и того же формата. В необходимых случаях для отдельных листов допускается применять другие форматы за счет изменения длины листа.

Рамки на чертежах наносят на расстоянии 5 мм от внешней рамки. С ле-

вой стороны для брошюровки линию рамки проводят на расстоянии 20 мм от внешней рамки (см. рис. 6).

Основную надпись (штамп) располагают в правом нижнем углу чертежа. На листах формата 11 основную надпись помешают вдоль короткой стороны листа. На листах остальных форматов основную надпись рекомендуется располагать вдоль длинной стороны листа.

Форма, содержание и размер граф основной надписи должны соответствовать ГОСТ 2.104—68.

На учебных чертежах допускается применять упрощенный штамп. Его форма приводится в заданиях на контрольные работы.

Линии чертежа, их начертание, толщина и назначение установлены ГОСТ 2.303—68.  

На рис. 8 н 9 показаны различные типы линий:

/ — сплошная основная — ее толщина принимается равной s. Назначение этой линии — показать видимый контур изображаемых на чертеже изделий, контур сечений, вынесенных и вводящих в состав разреза, изображать видимые линии перехода.

2    — сплошная тонкая линия. Толщина ее принимается в пределах от s/2 до s/3. Эта линия используется как размерная и выносная для обозначения размеров. Такими линиями делают штриховку в разрезах и сечениях, проводят линии выноски и полки выносок, подчеркивают надписи, ограничивают выносные элементы, обводят контур наложенного сечения, показывают контуры пограничных деталей, изображают линии перехода, а также линии сгиба на развертках, проводят оси проекций, следы плоскостей, линии построения характерных точек при специальных построениях.

3    — сплошная волнистая линия — толщина ее от s/2 до s/З. С помощью этой линии разграничивают вид и разрез, а также показывают линию обрыва.

4    — штриховая линия — ее толщина принимается в пределах от s/2 до s/3. Применяется как линня невидимого контура. С ее помощью изображают также невидимые линии перехода. Длина штрихов у этой линии 2—8 мм, а расстояния между штрихами должны быть 1—2 мм.

5 — штрихпунктирная линия тонкая— толщина ее от s/2 до s/З. С ее помощью показывают осевые и центро- вые линии, линии сечений, являющиеся осями симметрии для наложенных или вынесенных сечений. Эти линии применяются для изображения частей изделий в крайних или промежуточных положениях, а также для изображения развертки, совмещенной с видом. Длина штрихов в штрихпунктирной тонкой линии колеблется в пределах от 5 до 30 мм, а расстояние между штрихами, включая точку, должно быть 3—5 мм.

6 — штрихпунктирная утолщенная линия — толщина ее от s/2 до s/З. Применяется для обозначения поверхностей, подлежащих термообработке или покрытию, а также для изображения элементов, расположенных перед секущей плоскостью («наложенная проекция»), Длина штрихов должна быть 3—8 мм, а расстояние между штрихами 3—4 мм.

7 — разомкнутая линия — толщина ее от s до I,5s. Длина штриха — 8— 20 мм. Применяется для обозначения положения секушей плоскости («линия сечения»).

Рис. 9. Пример обводки линий строительного чертежа

8 — сплошная тонкая с изломами — толщина от s/2 до s/З. Назначение - показывать длинные линии обрыва.

Толщина основной сплошной линии s установлена стандартом в пределах от 0,6 до 1,5 мм в зависимости от величины и сложности изображения, а также от формата чертежа. Для чертежей, выполняемых по курсу черчения, рекомендуется принимать значение s = 0,8—1 мм.

Принятую толщину нужно выдерживать одинаковой для всех однотипных линий данного чертежа.

Минимальная толщина осевых, центровых, размерных и других тонких линий принимается в зависимости от формата чертежа, а также в туши или карандаше он выполнен.

Для всех чертежей, выполненных в карандаше, минимальная толщина линий 0,3 мм. В случаях, когда толщина тонких линий s/З получается меньше 0,3 мм, следует значение толщины таких линий принимать s/2. На чертежах, выполненных в туши на листах, большая сторона которых меньше 841 мм, минимальная толщина линий установлена 0,2 мм.

Длина штрихов и размеры промежутков между штрихами в штриховых и штрихпунктирных линиях принимаются в зависимости от величины изображения. На одном и том же чертеже принятые длина штрихов и размеры промежутков между ними должны быть одинаковыми. Штрихпунктирные линии должны пересекаться и заканчиваться штрихами.

Центровые линии в окружности диаметром менее 12 мм проводят тонкими сплошными (рис. 10, а). Центр окружности во всех случаях нужно определять пересечением штрихов (рис. 10, б). Концы центровых линий должны выступать за линию окружности на 3—5 мм.

Рис. 10. Проведение центровых линий в окружности

Шрифты чертежные

Надписи и размерные числа на чертеже должны быть четкими и ясными и выполнены чертежным шрифтом.

Рис. 11. Стандартный чертежный шрифт

Рис. 12. Группы букв чертежного шрифта

Чертежный шрифт как обязательный для надписей на чертежах установлен ГОСТ 2.304—68. Этот шрифт отличается четкостью, однородностью очертаний соответствующих групп букв алфавита, простотой выполнения и при определенном навыке выполняется от руки, на глаз, без применения чертежных инструментов.

Форма букв русского алфавита и арабских цифр показана на рис. 11. Размер шрифта определяется высотой h прописных (заглавных) букв в мм. Установлены следующие размеры шрифтов (высота прописных букв): 2,5; 3,5; 5; 7; 10 и 14 мм.

ГОСТ 2.304—68 предусматривает два типа букв русского и латинского алфавита: основной и широкий шрифт. Широкий шрифт отличается от основного только несколько большей шириной букв и цифр. В этом стандарте указаны также буквы греческого алфавита, римские цифры и условные знаки, применяющиеся в текстах.

Соотношения элементов букв и цифр показаны на рис. 12. Ширина букв определяется в зависимости от принятой высоты буквы h (размера шрифта). Так ширина b всех букр и цифр, кроме А, Ж, М, Ф, Ш, Щ Ы, Ю и цифры 1, равна 4/7 h. Ширина тех же букв широкого шрифта . Ширина , букв Ж, Ф, Ш, Щ. Ы, Ю равна , а широких букв .

Ширина  букв А и М . Те же широкие буквы имеют ширину . Цифра 1 имеет ширину .

Высота строчных букв . Строчные буквы б, в, д. р, у и ф имеют высоту, равную И.

Все строчные буквы, кроме ж, м, т, ф, ш, щ, ы, ю. имеют ширину . Те же широкие буквы на  шире - . Строчные буквы ж, т, ф, ш, щ, ы, ю имеют ширину , а широкие буквы . Ширина строчной буквы . Обводятся буквы линией толщииой .

Расстояния между буквами . Расстояния между словами и числами должно быть не менее ширины букв текста. Расстояние между основаниями строк принимается не менее .

По однородности начертания прописные буквы на рис. 12 разделены на три группы, а строчные — на две. Размеры элементов букв указаны относительно высоты прописной буквы.

Навыки в выполнении надписей чертежным шрифтом приобретаются в процессе упражнений. Буквы и цифры следует писать на первых порах по сетке, сделанной по трафарету, с помощью инструментов.

   

Рис. 13. Архитектурный узкий шрифт

Обводку тушью букв и цифр размеров 7—14 мм производят обычно специальными перьями Redis или стеклянными трубочками. Шрифт размера 5 и 3,5 можно выполнять пером № 23 («копиручет») или пером от авторучки, которые при отсутствии нажима дают одинаковую толщину линий во всех направлениях, а шрифт размера 2,5 и 3,5—чертежным пером № 2350.

Надписи на рабочих строительных чертежах следует также выполнять чертежным шрифтом, предусмотренным ГОСТ 2.304—68. Однако в чертежах архитектурно-строительных (планы, фасады, перспективы зданий, генеральные планы и т. п.) допускается применять художественные шрифты: архитектурный узкий, шрифт зодчего.

На рис. 13 показан архитектурный узкий шрифт. Шрифт прямой, буквы узкие.

Ширину букв рекомендуется принимать равной 1/5 их высоты.

На рис. 14 изображен шрифт зодчего (архитектурный шрифт), форма букв и цифр этого шрифта сложнее.

Толщина обводки толстых участков линий равна 1/9 высоты букв (модулю), а тонких участков — 1/18 высоты (половине модуля).

Шрифт зодчего применяют на титульных листах проектов промышленных и гражданских зданий.

Рис. 14. Шрифт зодчего

Деление отрезка прямой. Построение и измерение линейных углов. Уклон и конусность

При выполнении чертежей производят обычно ряд геометрических построений. Рассмотрим некоторые из этих построений.

Деление отрезка прямой на две и четыре равные части показано на рис. 15. Для деления отрезка прямой АВ на две равные части из точек А и В радиусом, большим половины отрезка, проводят дуги выше и ниже данного отрезка. Полученные от пересечения дуг точки С и D соединяют прямой, которая в точке Е разделит пополам отрезок АВ (в то же время проведенная прямая CD перпендикулярна к АВ).

Рис. 15. Деление отрезка на 2 и 4 части

Чтобы разделить отрезок АВ на четыре равные части, делят каждую половину пополам тем же приемом.

Деление отрезка прямой на любое число равных частей рассмотрим на примере рис. 16, где отрезок АВ разделен на семь равных частей.

Рис. 16. Деление отрезка на равные части

Из конца А отрезка под произвольным углом проводят прямую линию, на которой из точки А откладывают семь равных отрезков .произвольной длины. Точку 7 соединяют с точкой В и через точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 проводят прямые, параллельные отрезку 7В. Пересекаясь с отрезком АВ, прямые разделят его на семь равных частей.

Построение и измерение углов производят с помощью транспортира.  

Рис. 17. Уклон

Некоторые углы можно построить, пользуясь треугольником и линейкой. Так, с помощью треугольника с углами 30x90x60° и линейки можно получить углы 150, 30, 90, 120 и 60°, а при помощи треугольника с углами 45, 90 и 45° строят углы 135, 45 и 90°. При сочетании двух указанных треугольников и линейки можно построить углы 105, 75 и 15°.

В чертежах часто встречаются прямые, расположенные к горизонтальной или вертикальной линии под некоторым углом а, величина наклона линии определяется уклоном.

Уклоном прямой АВ (рис. 17) называется отношение катета ВС, противолежащего углу , к катету АС, прилежащему к этому углу. Численно уклон равен . Величину уклона обычно обозначают дробью (рис. 17,а), числитель которой показывает, сколько единиц измерения содержит катет ВС, а знаменатель — количество таких же единиц на другом катете АС. Иногда уклон обозначают в сотых (рис. 17, б) или в тысячных долях.

Рис. 18. Конусность

При выполнении рабочих чертежей некоторых деталей (пробки кранов, клапаны и др.) чертят усеченный конус. Для станочника, обрабатывающего такую деталь, необходимо указать конусность.

Конусностью К называется отношение диаметра основания прямого кругового конуса к его высоте: К =D/H (рис. 18). Для усеченного конуса конусность выражается отношением разности диаметров окружностей оснований к его высоте: К= (D — d)/h. На чертежах конусность обозначают в виде дроби с числителем, равным 1. В деталях машнн конусность нельзя принимать произвольно, величина конусности должна соответствовать стандарту.

Деление угла ABC на две равные части показано на рис. 19, а. Из вершины угла В проводят дугу DE произвольным радиусом. Из точек D и Е делают засечки дугами радиуса, большего половины дуги DE. Линия BF (биссектриса) делит угол пополам. Таким же приемом данный угол можно разделить на 4, 8, 16 частей.

Рис. 19. деление угла на равные части

Чтобы разделить прямой угол на три равные части, из точки В — вершины угла (рис. 19, б)—проводят дугу произвольного радиуса, которая пересекает стороны угла в точках Е и F.

Из точек Е и F тем же радиусом делают засечки на проведенной дуге. Точки D и К соединяют прямыми с точкой В и получают три равных угла по 30° каждый.

Построение углов и плоских многоугольников, равных заданным

Для построения угла, равного заданному углу ABC (рис. 20, а), проводят прямую  (рис. 20, б). Из точек и проводят дуги одним и тем же произвольным радиусом R, затем из точки радиусом , равным NM, проводят дугу, которая пересечет ранее проведенную дугу в точке .

Рис. 20. Построение угла, равного заданному

Прямая линия , проходящая через точку , является стороной угла , равного углу .

Треугольник , равный заданному треугольнику (рис. 21, а), можно построить применяя способ засечек. Для этого достаточно провести одну из его сторон, например , равную , и из точек и сделать засечки дугами радиусов, равных и . В пересечении этих дуг будет точка — вершина треугольника , равного треугольнику .

Этим же способом можно построить любой многоугольник, равный данному. Для этого заданный многоугольник нужно разбить предварительно на треугольники и последовательно с помощью засечек строить треугольники, равные заданным (метод триангуляции).

Рис. 21. Построение фигуры, равной заданой

На рис. 21, б пятиугольник разбит диагоналями на три треугольника, а затем на рис. 21, в засечками построен треугольник , равный треугольнику К стороне пристроен треугольник , за ним треугольник . Полученный пятиугольник равен заданному.

Пятиугольник , равный пятиугольнику , можно построить используя метод координат (рис. 21, г). Через вершины пятиугольника (см. рис. 21, б) проведены взаимно перпендикулярные прямые — оси координат х и у и определены координаты (расстояния до осей х и у всех вершин заданного пятиугольника.

Затем построены оси координат (см. рис. 21, г) и от начала координат точки отложены соответствующие координаты вершин пятиугольника. Так, например, чтобы построить вершину , от начала координат отложен отрезок и . Из полученных точек 1 и 2 проведены прямые, параллельные и , в пересечении этих прямых расположена вершина .

Аналогично построены остальные вершины пятиугольника.

Деление окружности. Построение правильных многоугольников. Нахождение центра дуги окружности

Окружность можно построить как по заданному радиусу и центру, так и по трем точкам, принадлежащим окружности.

Рис. 22. Построение окружности, проходящей через три заданные точки

На рис. 22 показано, как найти центр окружности, проведенной через точки А, В и С. Центр окружности— точка О — будет в пересечении перпендикуляров к хордам АВ и ВС, проведенных через середины хорд.

На рис. 23, а показано деление окружности на три и шесть равных частей и построение вписанных в окружность правильных треугольника и шестиугольника.

Если разделить дугу 4—5 пополам, можно получить одну двенадцатую дуги окружности и построить вписанный двенадцатиугольник. Можно также разделить окружность на 12 равных частей путем деления прямого угла на три равные части (см. рис. 19, б).

Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре части.

Приемом деления прямого угла пополам можно разделить окружность на восемь равных частей.

На рис. 23, б показан способ деления окружности на пять равных частей и построения правильного вписанного пятиугольника.

Проводят два взаимно перпендикулярных АВ н 5d диаметра окружности. Из середины отрезка ОВ точки С проводят дугу радиусом С5 до пересечения в точке N с диаметром АВ.

Полученный отрезок 5N, равный стороне вписанного в окружность правильного пятиугольника, разделит окружность на пять равных частей.

Делением каждой пятой части окружности пополам можно разделить окружность на десять равных частей и построить вписанный десятиугольник (см. рис. 23, б).

С помощью таблицы хорд (табл.2) можно разделить окружность на любое число равных частей.

Рис. 23. Деление окружности на равные части

Таблица 2. Таблица хорд

Длину хорды, делящей окружность на заданное число частей, определяют путем умножения диаметра окружности на коэффициент, соответствующий заданному числу делений.

Например, чтобы разделить на шестнадцать частей окружность диаметром 30 мм, находят по табл. 6 коэффициент 0,195, соответствующий числу делений окружности 16. Длина хорды (стороны шестнадцатиугольиика, вписанного в окружность) 30х0,195=5,85 мм.

Масштабы

Масштабом чертежа называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к действительным размерам предмета.

Масштабы бывают численные, линейные, поперечные (десятичные) и угловые (пропорциональные).

Численный масштаб (ГОСТ 2.302— 68) обозначается дробью, которая показывает кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже.

В зависимости от сложности и величины изображения, его назначения, стадии проектирования на чертежах применяются:

1) Масштабы уменьшения: 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1: 15; 1:20; 1:25; 1:40; 1: 50; 1:75; 1: 100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000.

При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы: 1:2000; 1:5000; 1:10000; 1:20000; 1:25000; 1:50000.

2)    Масштабы увеличения: 2:1; 2,5: 1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1.

В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения 100-n : 1, где n — целое число.

3)    Натуральная величина: 1 : 1.

Масштаб должен указываться на всех чертежах, кроме некоторых строительных, а также чертежей, воспроизводимых путем клиширования или фотографирования.

Рис. 24. Масштабы

Если на листе все чертежи выполнены в одном масштабе, то его значение проставляют в соответствующей графе основной надписи по типу 1:1; 1:2; 2:1 и т.д.

Если на одном листе помешены чертежи разного масштаба, то масштаб указывают под названием соответствующего чертежа по типу Ml :1. Ml:2 и т. д.

Линейный масштаб на чертеже имеет вид линии с делениями, означающими какую-нибудь меру длины, например метр, километр и т. п. На рис. 24, а изображен линейный масштаб 1:100, по которому сантиметр на чертеже равен одному метру в натуре. Линейные масштабы удобны тем, что с их помощью можно без вычисления определять по чертежу действительные размеры предмета. По линейному масштабу отсчет размеров можно производить с точностью до 0,1 принятой единицы длины. С этой целью левое крайнее деление разделено на 10 частей.

Поперечный масштаб, позволяющий измерять размеры на чертеже с точностью до 0,01 принятой единицы длины, применяется в топографическом черчении.

Поперечный масштаб изображен на рис. 24, б.

На этом рисунке показано измерение отрезков прямых, равных 2,57 и 3,19 единицы длины (концы отрезков отмечены крестиками).

Десятые доли на поперечном масштабе берутся на горизонтальной линии, а сотые — на вертикальной.

Угловые (пропорциональные) масштабы (рис. 24, в) применяются для построения изображений r уменьшенном или увеличенном в несколько раз виде.

Угловой масштаб строится в виде прямоугольного треугольника, отношение катетов которого равно кратности изменения величины изображения.

Например, если требуется изображение уменьшить в два раза, то АВ/ВС = 1/2 (см. рис. 24, в).

Чтобы с помощью данного углового масштаба определить 1/2 отрезка длины l, откладываем этот отрезок от точки С на катете СВ. Из полученной точки D проводим прямую, параллельную катету АВ, до пересечения с гипотенузой в точке Е. Полученный отрезок DE равен 1/2.

Угловым масштабом целесообразно пользоваться, когда масштаб чертежа неопределенный — 1 : n, где n может быть любое целое или дробное число и при ограниченном количестве размеров на чертеже. Например, при выполнении рабочих чертежей деталей по заданному сборочному чертежу.

На рис. 24. г показано определение с помощью углового масштаба неизвестной высоты х детали, изображенной на рис. 30. С этой целью построен прямоугольный треугольник ABC. Катет АВ этого треугольника равен длине детали, взятой в масштабе рис. 30, а другой катет ВС имеет длину 50 мм, т. е. длину той же детали, взятую в установленном стандартом масштабе 1 : 2 (обычно берут такой масштаб, в котором деталь должна быть начерчена).

Чтобы определить размер детали, не обозначенный на заданном чертеже (в данном случае на рис. 30), например высоту детали х, нужно указанный отрезок х отложить на угловом масштабе между гипотенузой и катетом ВС параллельно катету АВ (см. отрезок DE на рис. 24, г). Расстояние от вершины С до точки D — отрезок = 30 мм (в Ml :2) —будет искомая высота детали.

Нанесение размеров

О величине изображенного на чертеже предмета или отдельных его частей независимо от масштаба и точности изображения судят по размерным числам. Размерные числа указывают на чертежах.

В отдельных случаях размерные числа помещают в таблицах (например, в спецификациях), в тексте (выносных надпигях, примечаниях и т. п.), при необходимости могут применяться буквенные обозначения размеров.

Правила нанесения размеров на чертежах устанавливаются ГОСТ 2.307—68.

Размеры на чертежах указываются размерными числами и размерными линиями.

Линейные размеры и предельные отклонения на чертежах, как правило, указывают в мм, единицы измерения (мм) при этом не указывают.

Если размеры необходимо указать в других единицах измерения (сантиметрах, метрах и т. п.), то соответствующие размерные числа записывают с обозначением единицы измерения (см, м) или указывают их в технических требованиях.

Так, размеры на чертежах зданий индустриального изготовления, а также производственных зданий, как правило, указывают в мм, размеры на планах и разрезах жилых и общественных каменных или деревянных зданий принято проставлять в см. Отметки ставят в м. размеры деталей дают в мм.

В этих случаях размер принятой на чертеже единицы измерения оговаривают в примечании к чертежу.

Угловые размеры указывают в градусах, минутах и секундах.

На машиностроительных чертежах каждый размер указывают на чертеже лишь один раз.

Размерные линии проводят параллельно измеряемым отрезкам, а выносные линии — перпендикулярно размерным.

В отдельных случаях размерные и выносные линии проводят так, чтобы они вместе с измеряемым отрезком образовывали параллелограмм.

Размерные линии допускается проводить между линиями контура, центровыми, осевыми и другими линиями.

Выносные линии должны выходить за концы стрелок размерной линии на 1—5 мм.

Расстояния между параллельными размерными линиями, а также расстояния от размерных линий до линий контура, центровых и выносных должны быть в пределах 6—10 мм.

Линии контура, осевые, центровые и выносные не должны использоваться в качестве размерных.

Размерная линия не должна служить продолжением линии контура, осевой, центровой или выносной, ее проводят параллельно тому отрезку, размер которого указывается.При разрыве изображения размерная линия должна проводиться полностью (рис. 25, а). Если вид (или разрез) вычерчен только до оси симметрии или с обрывом, то размерная линия должна проводиться несколько дальше оси или линии обрыва (рис. 25, б).

На строительных чертежах в подобных случаях все размеры допускается указывать только до оси симметрии, а размерные линии на пересечении с осью симметрии ограничивать крестиком из засечек.

Для указания длины дуги окружности размерные линии следует проводить в виде концентрической дуги, а выносные линии проводят или параллельно биссектрисе угла, или радиально. В последнем случае, если имеются еще концентрические дуги, необходимо указывать, к какой дуге относится размер (рис. 25, виг).

Рис. 25. Примеры нанесения размеров

Размерные линии ограничивают стрелками, величина которых выбирается в зависимости от толщины линий видимого контура и должна быть одинаковой для всех размеров, нанесенных на чертеже.

Форма стрелки показана на рис. 26, а.

Рис. 26. Размерные сетки и засечки

В строительных чертежах размерные линии принято ограничивать засечками (штрихами), которые проводят на пересечении размерных и выносных линий под углом 45° к размерной линии, при этом размерные линии должны выступать за крайние выносные линии на 1—3 мм (рис. 26, б). Стрелками на строительных чертежах ограничивают размерные линии диаметров и радиусов.

Размерные числа наносятся над размерной линией, параллельно ей и возможно ближе к ее середине, за исключением размера диаметра внутри окружности, который смешают относительно середины. При нанесении нескольких параллельных или концентрических размерных линий на небольшом расстоянии друг от друга размерные числа над ними рекомендуется располагать в шахматном порядке.

Размерные числа линейных размеров располагают так, как показано на рис. 27, а. В пределах заштрихованной зоны размерное число — на полке линии-выноски (рис. 27, а, справа), на строительных чертежах допускается проводить одни линии-выноски без полок.

Рис. 27. Примеры нанесения размеров

Размерные числа угловых размеров нужно наносить, как показано на рис. 27, б.

Размеры, расположенные выше горизонталной центровой линии, помешают со стороны выпуклости размерной линии, а расположенные ниже центровой линии — со стороны вогнутой части размерной линии.

Рис. 28. Примеры нанесения размеров

В месте нанесения размерного числа линии штриховки или осевую линию прерывают.

На рис. 28 показано нанесение размеров в случаях, когда на чертеже недостаточно места для размерных чисел и стрелок.

Размерные числа для радиусов нужно дополнять буквой R, например R10. При малых радиусах на чертеже стрелки рекомендуется располагать с внешней стороны дуги.

Перед размерным числом для обозначения диаметра наносится условный знак .

Перед размерным числом радиуса или диаметра шара (сферы) также наносят знак . В тех случаях, когда на чертеже трудно отличить сферу от других поверхностей, допускается добавлять слово  .

Перед размерным числом, характеризующим конусность, наносят знак >, острый угол которого направлен в сторону вершины конуса (рис. 29).

Рис. 29. Обозначение конусности

Перед размерным числом уклона наносят знак , вершина угла которого направлена в сторону "уклона (рис. 30).

Рис. 30. Обозначение уклона

Размеры сторон квадрата при отсутствии проекции, определяющей его конфигурацию, допускается указывать записью типа , где 30 — номинальный размер сторон квадрата.

Конические фаски с углом между образующей и осью конуса, равным 45°, следует обозначать, как на рис. 31, а; а фаски с углом, отличным от 45°, — как на рис. 31, б.

Рис. 31. Примеры нанесения размеров фасок

Вместо многократного повторения размеров одинаковых элементов предмета (например, отверстий, пазов, фасок) рекоменауется наносить размеры очного элемента с указанием их количества на полке линии-выноски (рис. 32).

Рис. 32. Примеры нанесения размеров

Рис. 33. Двутавр

Рис. 34. Пробка

Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход одной линии (прямой или кривой) в другую — кривую или прямую. Переход будет плавным, если обе сопрягающиеся линии в точке сопряжения имеют общую касательную. При сопряжении кривой и прямой линии прямая должна являться одновременно касательной к кривой.

Рис. 35. Построение касательных к окружностям

На рис. 35, а показан способ проведения касательной к окружности при условии, что эта касательная прохбЯит через точку К.

Заданную точку К соединяют прямой с центром О. Через точки О и К проводят окружность, диаметром которой служит отрезок ОК.

Вспомогательная окружность пересекает данную окружность в точке В. Эта точка и будет точкой сопряжения (касания), так как угол ОВК — прямой, как опирающийся на диаметр ОК. Точка построена аналогично.

На рис. 35, б даны две окружности с радиусами и и центрами и . Прямая DE — внешняя касательная к заданным окружностям — будет параллельна прямой , проведенной из точки касательно к вспомогательной окружности радиуса с центром в точке .

Точка В построена так же, как и на рис. 35, а, с помощью окружности, проведенной из точки радиусом .

Точка касания D расположена на продолжении радиуса , а точка Е  - на радиусе , параллельном радиусу .

На рис. 35, в показано построение внутренней касательной к двум окружностям. Прием построения сходен с предыдущим, только здесь .

Плавный переход одной линии в другую часто осуществляется с помощью дуги окружности заданного радиуса.

Независимо от формы сопрягаемых линий (прямых или кривых) построение сопряжения дугой заданного радиуса выполняется по следующему плану.

1. Находят центр сопрягающей дуги окружности, который расположен в пересечении вспомогательных линий. Вспомогательные линии являются геометрическим местом точек, удаленных от заданных сопрягаемых линий на расстояние R, равное радиусу сопряжения. (Все точки вспомогательных линий находятся на расстоянии R от заданных линий.)

2. Определяют точки сопряжения (касания). 

На рис. 36, а и б приведены примеры построения сопряжений дугой заданного радиуса R двух прямых, образующих острый и тупой углы.

Рис. 36. Построение сопряжений

Центр сопряжения О определяется как точка пересечения вспомогательных прямых, параллельных сопрягаемым прямым и проведенным на расстоянии R от них. Перпендикуляры, опущенные из центра на сопрягаемые прямые, определяют точки сопряжения (касания) D и Е.

На рис. 37 показано построение сопряжения дугой заданного радиуса R

Рис. 37. Построение сопряжений

прямой с дугой окружности радиуса . Центром сопряжения О будет точка пересечения вспомогательной прямой, параллельной заданной и расположенной на расстоянии R, со вспомогательной дугой радиуса , проведенной из центра . Точка сопряжения D будет основанием перпендикуляра, спущенного из точки О на сопрягаемую

Рис. 38. Построение сопряжений

прямую, а точка сопряжения Е получена в пересечении сопрягаемой дуги с линией, соединяющей центры и .

На рис. 38, а дано построение сопряжений дугой заданного радиуса R двух дуг, проведенных из центров  и радиусами и .

Сопрягающая дуга касается данных окружностей внешней стороной.

Центр сопрягающей дуги О находится в точке пересечения окружностей радиусов и . Точки сопряжения расположены на прямых, соединяющих центры.

Рис. 39. Построение сопряжений

На рис. 38, б приведен случай, когда сопрягающая дуга радиуса R касается заданных окружностей внутренней стороной. Центр сопрягающей дуги О будет в пересечении дуг окружностей, радиусы которых равны разностям и .

На рис. 38, в показано сопряжение дугой радиуса R двух окружностей разных диаметров. При этом одной окружности сопрягающая дуга касается внешней стороной, а другой — внутренней. Центр сопряжения О в этом случае будет в точке пересечения окружностей радиусов и .

На рис. 39 показано построение сопряжения двух параллельных линий АЕ и DB двумя дугами. При этом точки сопряжений D, Е и М заданы. Такая задача может встретиться, например, при построении профиля карниза. Центры сопрягающих дуг и будут расположены в пересечении перпендикуляров к заданным прямым, проведенных из точек D и Е, и прямых, делящих отрезки DM и ME пополам и перпендикулярных к прямой DE

При построении данного сопряжения может быть несколько решений в зависимости от выбора положения точки М на прямой DE.

Коробовые кривые

Коробовой кривой называется кривая линия (замкнутая или незамкнутая), состоящая из сопряженных дуг окружностей разных радиусов. Примером замкнутой коробовой кривой может служить овал.

Рис. 40. Построение овала

На рис. 40 .изображен овал с двумя осями симметрии, который состоит из дуг двух окружностей радиуса , сопряженных дугами окружностей радиуса .

На рис. 41 приведено построение овала по заданным большой и малой осям, которые перпендикулярны друг к другу. Из точки О как из центра чертят дугу АЕ, которая на продолжении малой оси ОС отметит разность СЕ между большой н малой полуосями. На прямой АС откладывают отрезок FC = CE. Перпендикуляр, проведенный

Рис. 41. Построение овала

через середину прямой AF, пересекает большую ось в точке 1 и малую ось (или ее продолжение) — в точке 2.

Указанные точки будут центрами дуг окружностей, составляющих овал. Так как овал — симметричная фигура, то два других центра — точки 3 и 4— будут расположены на осях симметрично точкам 1 и 2. Из центров 1 и 3 проводят дуги окружностей радиусом а из центров 2 и 4 — дуги окружностей радиусом .

Рис. 42. Построение овала

На рис. 42 изображен овал с одной осью симметрии. Построение такого овала ясно из чертежа.

Построение коробовой кривой пологого свода с тремя центрами показано на рис. 43.

Для вычерчивания контура свода заданы: — стрела, или подъем, свода; — отверстие, или пролет свода; точки и — пяты свода; С — вершина кривой или замок; ТС — замковая прямая (касательная к контуру свода в вершине).

На как на диаметре, строят полуокружность и делят ее на три равные части (точки ). Чертят хорды . Через точку С проводят прямые ВС и CD, параллельные NF и FM, а через полученные на прямых и точки В и D проводят прямые, параллельные NО и МО, которые пересекутся в точке 2 и отметят точки 1 и 3 на линии . Точки 1 и 3 являются центрами пятовых дуг и проведенных радиусом R, точка 2 будет центром замковой дуги , проведенной радиусом

Рис. 43. Построение контура свода

На рис. 44 приведено построение коробовой кривой для подъемистого свода по пролету и подъему СО.

Сначала строят прямоугольник и в нем проводят диагональ АС.

Рис. 44. Построение контура свода

Затем делят пополам углы FAC и ACF и из точки пересечения биссектрис В проводят перпендикуляр к прямой АС. Пересечение перпендикуляра с дает центр (точку 1) пятовой дуги АВ, а пересечение с СО — центр (точку 2) замковой дуги BCD. Точку 3 можно получить, отложив на линии от центра О расстояние О3—О1. Остается провести дуги и из центров 1 и 3 радиусом R и дугу BCD из центра 2 радиусом .

На рис. 45 дано построение коробовой кривой для «ползучего свода».

По заданным размерам построен четырехугольник ADCB. Из точки С опускают перпендикуляр на биссектрису угла ADC, который пересечет прямую АВ в точке N.

Рис. 45. Построение контура свода

Из той же точки С проводят дугу радиусом , чтобы отметить точку Е. Из точки N чертят дугу радиусом , равным NB, а из точки D — дугу радиусом DE. Через полученную точку К проводят прямую КМ параллельно АВ до пересечения с биссектрисой угла ADC в точке М, из которой чертят дугу КЕ радиусом R = KM.

Рис. 46. Контуры архитектурных обломов

На рис. 46 изображен контур архитектурного облома — «скоция», построение которого видно из чертежа. Архитектурными обломами называются элементы профилей карнизов, капителей (верхней венчающей части) и баз (оснований) колонн и т. п.

Рис. 47. Контуры архитектурных обломов

На рис. 47 дано построение контура облома «гусек».

Задана окружность . Угол COD делят пополам. Из точек А и В проводят дуги радиусом R=AO, которые пересекаются с окружностью в точках М и N. Из этих точек проводят дуги радиусом R (NA и MB), ограничивающие контур «гуська».

Лекальные кривые

В отличие от коробовых кривых, которые строят и обводят с помощью циркуля, для построения лекальной кривой необходимо определить ряд принадлежащих ей точек и соединить их затем с помощью лекала.

К лекальным кривым относятся так называемые конические сечения: эллипс, парабола и гипербола, которые получаются в результате сечения поверхности кругового конуса плоскостями.

При построении профиля зуба зубчатых колес и реек применяются лекальные кривые: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, эвольвента окружности. В технике находят применение и другие лекальные кривые: синусоида, косинусоиде и пр.

Рассмотрим построение некоторых лекальных кривых.

Эллипс. Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от каждой точки, лежащей на этой кривой, до двух данных точек есть величина постоянная, равная большой оси эллипса (рис. 48, а). Точки называются фокусами эллипса, расстояние между ними — фокусным расстоянием, а отрезки прямых и — радиусами-векторами.

Рис. 48. Построение эллипса

Эллипс получается сечением кругового конуса или кругового цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси и пересекающей все его образующие (рис. 48, б).

Для нахождения фокусов эллипса (см. рис. 48, а) из точки В (или ) проводят дугу радиусом, равным половине большой оси , до пересечения с большой осью эллипса.

Обычно эллипсы строят по заданным большой и малой осям. Одно из таких построений показано на рис. 48,е. Из точки О — центра эллипса — проводят две окружности: одну радиусом, равным большой полуоси, другую радиусом, равным малой полуоси.

Окружности делят радиусами на несколько равных частей (например, на 12). Из точек делений на большой окружности проводят вертикальные линии, а из точек делений на малой окружности — горизонтальные. Пересечения этих линий определяют точки эллипса.

Парабола. Параболой называется плоская незамкнутая кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой , называемой директрисой (направляющей), и точки , называемой фокусом параболы (рис. 49, а).

На оси симметрии х находится точка А — вершина параболы и точка F — ее фокус. Вершина параболы А расположена в середине между фокусом и директрисой.

Парабола получится, если конус рассечь плоскостью, параллельной одной из его образующих (рис. 49,6).

Существует несколько графических способов построения параболы.

Построение точек параболы по заданным фокусу F и директрисе MN производится, как показано на рис. 49,а. Через фокус F проводят прямую, перпендикулярную к директрисе, — ось параболы; чтобы получить точку А — вершину параболы, отрезок EF от фокуса до направляющей делят пополам. (ЕА = EF/2). На оси параболы от ее вершины откладывают несколько отрезков произвольной длины с постепенным увеличением расстояния между ними. Через точки деления проводят перпендикуляры к оси и на этих перпендикулярах делают засечки (дуги) из фокуса F радиусами, равными расстоянию от направляющей до соответствующего перпендикуляра. Например, взяв перпендикуляр к оси параболы на расстоянии L от направляющей MN, из точки F проводят дугу радиусом R = L;

Рис. 49. Построение параболы

в пересечении дуги с перпендикуляром находят точку параболы М и симметричную ей точку, принадлежащую параболе. Так же находят и другие точки параболы (К, С и пр.). Полученные точки соединяют по лекалу.

Если заданы вершина параболы А, точка М, принадлежащая параболе, и направление оси параболы, то ее точки находят следующим образом (рис. 49, в). Строят прямоугольник АВМО. Его стороны АВ и ВМ делят на одинаковое количество равных частей. Через точки деления на стороне АВ проводят прямые, параллельные оси параболы. Прямые проводят также и через точки деления стороны ВМ и вершину параболы А. Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат параболе.

На рис. 49, г показано построение параболы, для которой заданы положения двух точек — М и N и двух касательных к параболе, проходящих через эти точки. Параболу вписывают в ломаную линию, образуемую пересечением прямых, проводимых через точки деления сторон заданного угла.

Гипербола. Гиперболой называется плоская кривая, у которой разность расстояний от каждой ее точки до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами , гиперболы; { (рис. 50, а).

Гипербола состоит из двух симметричных ветвей и имеет две оси симметрии. Каждая ветвь получается сечением поверхности кругового конуса плоскостью, параллельной двум его образующим или, в частном случае, оси конуса (рис. 50. б).   

Ось, на которой расположены фокусы (см. рис. 50, а), называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная к ней ось - мнимой. Точка О — пересечение двух осей гиперболы — называется центром гиперболы (центром симметрии). Отрезки , соединяющие любую точку гиперболы с фокусами, называются радиусами-векторами гиперболы.

Прямые , проходящие через центр гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимптотами.

На рис. 50, в показано построение гиперболы по заданным фокусному расстоянию и положению вершин .

Проводят две взаимно перпендикулярные оси гиперболы х и у, в пересечении которых лежит точка О. На действительной оси х отмечают фокусы , а таюке вершины гиперболы — точки .

На оси х справа от точки О наносят ряд произвольных точек 1, 2, 3 (желательно, чтобы расстояния между этими точками последовательно увеличивались). Из точек проводят дуги радиусом . Из тех же точек и чертят дуги радиусом . Пересечения полученных дуг отметят точки гиперболы 1. В самом деле, разность расстояний от этих точек до фокусов равна расстоянию между вершинами гиперболы, так как . Точки и т. д. найдены тем же приемом.

Часто в черчении приходится строить гиперболу, у которой асимптоты взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов между действительной и мнимой осями. Чтобы в этом случае вычертить гиперболу, должна быть задана одна из ее точек, например А (рис. 50,г). Построение других точек гиперболы видно из чертежа. Точки 1, 2, 3, 4, расположенные на вертикальной прямой, взяты произвольно.

Эвольвента.

Эвольвентой, или разверткой, окружности называется плоская кривая, которая является траекторией движения любой точки прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности.

Чтобы представить указанную кривую (рис. 51), вообразим, что на цилиндре намотана нить, один конец которой закреплен на нем неподвижно, а на другом конце (в точке А) помещено острие карандаша.

Рис. 51. Построение эвольвенты круга

Натягивая конец нити (точку А) и одновременно сматывая ее с цилиндра, опишем карандашом плоскую кривую, которая и будет эвольвентой окружности.

Для построения эвольвенты (развертки) окружности заданного радиуса окружность делят на несколько равных частей (например, на 12). В точках деления 1, 2, 3. 4 и т. д. проводят касательные к окружности. На касательной. проведенной через точку 12, откладывают длину окружности, равную , которую делят также на 12 равных частей. Каждая из этих частей равна длине одной двенадцатой дуги окружности.

Последовательно на касательных откладывают размеры одной, двух, трех и т. д. дуг и получают точки  и т. д. Соединяя эти точки кривой при помощи лекала, получают эвольвенту окружности.

Синусоида

Синусоидой называется плоская кривая, показывающая изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла .

Построение синусоиды показано на рис. 52.

Через центр О заданной окружности проводят ось х. От произвольно взятой точки на оси х откладывают отрезок, равный длине заданной окружности .

Отрезок и окружность делят на одинаковое число равных частей (например, на 12).

Через полученные точки окружности проводят прямые, параллельные оси х, а через точки деления отрезка — перпендикуляры к оси х.

Рис. 52. Построение синусоиды

Соединяя полученные в пересечении этих прямых точки 1, 2, 3, ....., 12 плавной кривой при помощи лекала, получают синусоиду. Отрезок называется периодом синусоиды (длиной волны). Наибольшее отклонение точки синусоиды от оси называется амплитудой (размахом) синусоиды и равно радиусу окружности ОЕ.

Спираль Архимеда

Спиралью Архимеда называется плоская кривая, которую опишет точка, равномерно вращающаяся вокруг заданного центра и равномерно удаляющаяся от него.

Построение спирали Архимеда изображено на рис. 53.

Для получения первого витка спирали проводят окружность радиуса R, равного перемещению точки от центра за время одного ее оборота. Проведенную окружность делят на несколько равных частей (например, на 8). На такое же число равных частей должен быть разделен радиус окружности . В точке О будет начало витка. Точка

Рис. 53. Построение спирали Архимеда

будет расположена на прямой на расстоянии от центра О, точка II — на прямой на расстоянии и т. д.

В результате получаются точки спирали (конец первого витка).

При построении следующего витка откладывают отрезок , равный О1 отрезок , равный , и т. д. Точки будут принадлежать второму витку спирали.

Циклоидальные кривые. Циклоидальной называется плоская кривая, являющаяся траекторией движения точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или по дуге окружности.

Окружность, на которой расположена точка, образующая циклоидальную кривую, называется производящей. Линия, по которой катится окружность, называется направляющей.

При качении по прямой направляющей точка окружности опишет линию, которая называется циклоидой (рис. 54).

Рис. 54. Построение циклоиды

Для построения циклоиды чертят производящую окружность диаметра D и касательную к ней направляющую .

Задача сводится к тому, чтобы зафиксировать ряд последовательных положений точки А при качении окружности по прямой. Для этого производящая окружность разделена на 12 равных частей; на столько же частей разделен отрезок направляющей

За оборота центр окружности переместится на и займет положение ; точка А переместится в то же время по аз<ружности на оборота и займет положение . Аналогично отмечают положения точек и т. д. Через полученные точки с помощью лекала проводят кривую линию — циклоиду.

Плоская кривая, которую опишет точка производящей окружности, катящейся без скольжения по наружной стороне другой, неподвижной, направляющей окружности, называется эпициклоидой (рис. 55).

Рис. 55. Построение эпициклоиды

Для построения эпициклоиды проводят производящую окружность радиуса R с центром О и направляющую дугу радиуса с центром в точке .

На направляющей дуге окружности откладывают отрезок дуги , равный длине производящей окружности (). Эту дугу можно построить, определив центральный угол по формуле

где R — радиус производящей окружности; — радиус направляющей дуги.

Отрезок направляющей дуги, а также производящую окружность делят на несколько равных частей (например, на 12).

Через центр О производящей окружности и точки деления на ней проводят дуги из центра направляющей дуги, а через точки 1, 2, 3 и т. д. на направляющей дуге — радиусы из того же центра, которые пересекут дугу в точках

При качении производящей окружности по дуге центр О будет перемещаться по дуге .

Как и при построении циклоиды, точки  пересечения окружностей, проведенных из полученных центров , с соответствующими дугами, проведенными из центра  через деления на окружности, будут являться точками эпициклоиды.

Точка производящей окружности, катящейся без скольжения по внутренней стороне другой направляющей окружности, опишет кривую, которая называется гипоциклоидой (рис. 56). Построение гипоциклоиды аналогично построению эпициклоиды.

Рис. 56. Построение гипоциклоиды

Способы графических изображений

Способы графических изображений изучает наука —начертательная геометрия.

Методы начертательной геометрии позволяют изобразить на плоском чертеже существующие и проектируемые предметы, а также по готовому графическому изображению представить форму предметов, т. е. читать чертеж.

В практике мы постоянно встречаемся с большим количеством изображений: фотографии и иллюстрации в книгах и газетах, картины художников, изображения на экранах кино и телевизоров, планы и карты местности, чертежи машин, зданий или инженерных сооружений и т. п.

Ограничимся изучением только некоторых способов изображения на плоскости, применяющихся в технике, - способов построения чертежей.

Рис. 60. Центральные и параллельные проекции

Изображение пространственных тел на плоскости основано на методе проекций, который заключается в следующем.

Условимся плоскость, на которой строится изображение предмета, называть плоскостью проекций. Обозначим эту плоскость буквой К (рис. 60). Отдельные точки предмета в пространстве будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д. Проведем через точку А (рис. 60, а) прямую Аа параллельно заданной прямой MN до пересечения в точке а с плоскостью проекций К; точка а будет проекцией точки А на плоскости К. Проекции точек условимся обозначать строчными буквами.

Прямая, с помощью которой строится проекция точки, называется проецирующей прямой или проецирующим лучом.

Изображение треугольника abc на плоскости К, построенное с помощью параллельных проецирующих лучей (см. рис. 60, а), называется параллельной проекцией. Прямая MN, параллельно которой проведены проецирующие лучи, называется направлением проецирования.

Проекцию называют прямоугольной, если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций, и косоугольной, если они не перпендикулярны к ней.

Изображение, построенное с помощью проецирующих прямых, проходящих через заданную точку  — центр проецирования (рис. 60,6), называется центральной проекцией.

В техническом черчении применяются как параллельные, так и центральные проекции.

Изображения, применяемые в технике, должны быть наглядными и удобоизмеряемыми. Более наглядны центральные проекции.

Центральными проекциями, например, являются фотоснимки или изображения на киноэкране — в этом случае центр проецирования находится в оптическом центре объектива фото- ила киноаппарата. В техническом черчении по методу центрального проецирования строят перспективные изображения проектируемых объектов (зданий, мостов и других инженерных сооружений). На рис. 61 изображена перспектива пятиугольной призмы.

Перспективные изображения наглядны, но по ним трудно определять размеры изображенных предметов, так как при изменении положения предмета в пространстве изменяются размеры его изображения. Чем ближе  предмет расположен к плоскости проекций, тем менее размеры его изображения будут отличаться от действительных размеров предмета.

Рис. 61. Пример перспективной проекции

Поэтому в техническом черчении, где наряду с представлением о формах изображаемого предмета важно знать его размеры, широко применяется способ параллельного проецирования, который лежит в основе аксонометрических, ортогональных проекций и проекций с числовыми отметками.

На рис. 62 приведены ортогональные проекции той же призмы, что и на рис. 61.

 

Рис. 62. Пример ортогональной (комплексной) проекции

Чертеж, выполненный в ортогональных проекциях, менее нагляден, но все элементы изображаемого предмета на таком чертеже показаны в одном и том же масштабе, что позволяет легко определить их размеры и взаимное расположение.

На рис. 63 та же призма изображена в аксонометрических проекциях.

Аксонометрические проекции по степени наглядности занимают промежуточное положение: они менее наглядны, чем перспективные, но в то же время меньше искажают размеры изображаемых предметов.

Рис. 63. Пример аксонометрической проекции

С некоторыми из видов аксонометрических проекций — фронтальной диметрией (кабинетной проекцией) и косоугольной (фронтальной) изометрией учащиеся знакомились, изучая геометрию в средней школе. Эти виды аксонометрии мы будем применять для наглядного изображения построений.

На рис. 64 изображена та же призма в проекциях с числовыми отметками. Числовые отметки при каждой букве показывают высоту отдельных точек и ребер призмы от плоскости проекций Н (плоскости нулевого уровня).

     

Рис. 64. Пример проекции с числовыми отметками

Способы изображения предметов на плоскости, иллюстрированные рис. 61—64, подробнее будут изложены ниже.

Проекции точки

При заданном направлении проецирования каждой точке пространства соответствует определенная проекция. Проецирующий луч, проведенный через заданную точку А (рис. 65), может пересечь плоскость проекций Н в одной единственной точке а, которая будет

Рис. 65. Проекции точки

проекцией точки А на плоскость Н. В то же время по одной проекции точки невозможно определить ее положение в пространстве, так как одной проекции точки будет соответствовать бесчисленное количество точек пространства, расположенных на проецирующем луче. Так, например, проекции b (см. рис. 65) будут соответствовать точки и др., расположенные на проецирующей прямой, проходящей через b. Такое изображение называют метрически неопределенным.

Метрической определенности можно достигнуть, если точку проецировать не на одну, а на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, перпендикулярными к плоскостям проекций.

В некоторых случаях при изображении более сложных, чем точка объектов, пользуются тремя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций. Полученные таким образом изображения называют ортогональными (прямоугольными) проекциями точки.

Условимся называть (рис. 66):

• плоскость Н — горизонтальной плоскостью проекций,
• плоскость V — фронтальной плоскостью проекций,
• плоскость W — профильной плоскостью проекций.

Плоскости Н, V и W взаимно перпендикулярны. Они образуют трехгранный угол и составляют пространственную систему плоскостей проекций.

Прямые линии х, y и z, по которым пересекаются плоскости Н, V и W называются осями прямоугольных координат, а точка их пересечения О — началом координат.

Рис. 66. Проекции точки на 3 плоскости проекции

Прямые , перпендикулярные к плоскостям Н, V и W будем называть соответственно горизонтально проецирующей, фронтально проецирующей и профильно проецирующей прямой (лучом). Эти лучи, проходя через точку А пространства, в пересечении с плоскостями проекций образуют горизонтальную проекцию а, фронтальную проекцию а' и профильную а" точки А.

Прямые соединяющие проекции точки, называются линиями связи. Линии связи перпендикулярны к соответствующим осям координат.

Чтобы по заданным проекциям точки определить ее положение в пространстве, необходимо, как минимум, иметь две проекции, поскольку (как указывалось выше) одна проекция не определяет положения точки в пространстве. На рис. 66 показано, как по заданным горизонтальной и фронтальной проекциям построена точка в пространстве. Для этого из проекций точки проведены проецирующие прямые и , в пересечении которых и получена точка .

Изображениями (проекциями), полученными на взаимно перпендикулярных плоскостях, пользоваться неудобно. Поэтому после получения проекций условились плоскости проекций путем поворота вокруг осей координат совмещать в одну плоскость (рис. 67,а). При этом, мысленно рассекая по оси у плоскости Н и W, вращаем плоскость Н вокруг оси х, так, чтобы она, опускаясь, совместилась с плоскостью V. Плоскость W также совмещаем с плоскостью V путем поворота вправо вокруг оси z.

Полученный после совмещения плоскостей проекций чертеж, состоящий из нескольких связанных между собой проекций изображаемого предмета, называется эпюром (французское название чертежа), или комплексным чертежом.

На рис. 67, б показан эпюр точки А.

Так как систему плоскостей проекций рассекли по оси у, последняя на эпюре изображается два раза: она переместится вместе с плоскостью Н вниз и будет перпендикулярна к оси х, а с плоскостью W — вправо и будет перпендикулярна к оси z. Дважды изображается и точка , которая расположена на оси у.

Линии связи на эпюре сливаются в одну прямую, перпендикулярную к оси х. В прямую, перпендикулярную к оси , сливаются и линии связи . Таким образом, горизонтальные и фронтальные проекции точек будут расположены на прямых, перпендикулярных к оси х, а фронтальные и профильные проекции точек — на прямых, перпендикулярных к оси .

В дальнейшем мы не будем отмечать точек пересечения линий связи с осями координат.

Из рис. 67, а следует, что отрезок , так как каждый из этих отрезков равен отрезку . Иными словами, расстояние от профильной проекции точки до оси равно расстоянию от горизонтальной проекции до оси х.

По эпюру можно судить о положении точки в пространстве относительно плоскостей проекций.

Рис. 67. Образование эпюра точки

Для этого мысленно нужно проделать операцию, обратную получению эпюра: поднять плоскость Н и повернуть влево плоскость W, чтобы плоскости Н, V и W стали взаимно перпендикулярными, а затем из проекций точки восставить перпендикуляры к плоскостям проекций. В пересечении этих перпендикуляров (проецирующих лучей) получим точку пространства.

Следует указать, что для решения ряда задач достаточно иметь две проекции — фронтальную и горизонтальную. Так, например, чтобы определить относительное положение двух точек А и В (рис. 68), достаточно иметь две проекции этих точек. Сравнивая фронтальные проекции и можно видеть, что точка А будет расположена выше точки В. По горизонтальным проекциям и можно судить о том, что точка В будет находиться дальше от плоскости V, чем точка А, так как ее горизонтальная проекция будет дальше от оси х, чем а.

Если заданы две какие-либо проекции точки, то можно построить и третью ёе проекцию. На рис. 69 показано, как по заданным горизонтальной и фронтальной проекциям точки С построена ее профильная проекция с". Для этого из с' перпендикулярно к оси z проведена линия связи, на которой будет лежать искомая профильная проекция с".

Рис. 68. Взаимное положение двух точек

Расстояние от профильной проекции с" до оси z равно расстоянию от горизонтальной проекции с до оси х. Это расстояние отмеряют или с помощью дуги окружности (рис. 69, а), или с помощью прямой ОР (рис 69, 6), проведенной через точку О под углом 45° к осям координат. Эта прямая носит название постоянной прямой чертежа.

Рис. 69. Построение третьей проекции точки по двум заданным

Рис. 70. Координаты точки

Положение точки в пространстве можно задать числами единиц длины, определяющими расстояние от точки до плоскостей проекций. Эти числа называются координатами точки.

Расстояние от точек до плоскости W (рис. 70) принято обозначать буквой X и называть абсциссой.

Расстояние до плоскости V обозначают буквой Y и называют ординатой.

Расстояние до плоскости Н обозначают буквой Z и называют аппликатой.

Координаты принято писать в скобках рядом с обозначением точки. Например, запись В (3 ,2, 3) означает, что координаты точки В следующие: Х = 3; Y = 2 и Z = 3.

Рис. 71. Построение проекций точки по заданным координатам

На рис. 71 показаны построения на аксонометрическом изображении и на эпюре точки В по заданным координатам.

Необходимо научиться по эпюру четко представлять положение точки в пространстве.

Различные положения точки относительно плоскостей проекций показаны в табл. 3.

Таблица 3. Положение точки относительно плоскостей проекций

Проекции прямой

Всякую линию, в том числе и прямую, можно рассматривать как совокупность бесконечно большого количества последовательных положений движущейся в пространстве точки, а прямоугольную проекцию прямой АВ на плоскость Н  (рис. 72) —как совокупность проекций точек прямой.

Рис. 72. Проекция прямой

Все проецирующие лучи, проходящие через точки прямой АВ, будут расположены в плоскости , проведенной через заданную прямую АВ и перпендикулярной к плоскости Н. Линия пересечения ab плоскостей и Н будет горизонтальной проекцией прямой АВ на плоскость Н. Так как плоскости пересекаются по прямой, то проекция прямой в общем случае также прямая. (В частном случае проекцией прямой может быть точка, если прямая перпендикулярна плоскости проекций.)

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, называется проецирующей. Различают горизонтально проецирующую, фронтально проецирующую и профильно проецирующую плоскости в зависимости от того, к какой плоскости проекций проецирующая плоскость перпендикулярна.

Положение прямой в пространстве определяется двумя точками. Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Чтобы построить проекции отрезка АВ (рис. 73, а), достаточно построить и соединить прямой одноименные проекции его крайних точек.

Положение отрезка прямой в пространстве определяется двумя его проекциями. Чтобы найти третью проекцию отрезка, необходимо построить третьи проекции ограничивающих его точек. На рис. 73, б стрелками показан ход построения профильной проекции отрезка АВ по заданным горизонтальной ab и фронтальной проекциям.

Прямая в пространстве относительно плоскостей проекций может занимать любое положение: если она не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то такую прямую называют прямой общего положения; если же параллельна одной или двум плоскостям проекций, то такая прямая занимает частное положение в пространстве. Прямые, параллельные плоскости Н, называют горизонтальными; прямые, параллельные плоскости V, — фронтальными; прямые, параллельные плоскости W, — профильными. Профильная прямая называется восходящей, если, приближаясь к фронтальной плоскости V, она поднимается, и нисходящей, если, приближаясь к плоскости V, опускается.

Отрезок прямой, параллельной одной из плоскостей проекций, проецируется на эту плоскость без искажения; его проекция на эту плоскость будет параллельна данному отрезку прямой. Другие проекции такого отрезка будут параллельны соответствующим осям координат.

Рис. 73. Проекция прямой на 3 плоскости проекций

Прямая, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций — проецирующая, проецируется на эту плоскость в точку, а на две другие плоскости проекций — в прямые, перпендикулярные к соответствующим осям координат и равные действительной длине прямой.

В практике строительства мы чаще встречаемся с прямыми частного положения: горизонтальные линии цоколя, поясков, карнизов зданий, горизонтальные ряды каменной кладки или швов панелей и блоков, вертикальные линии углов, откосов, проемов в зданиях и т. п. По проекциям прямой на чертеже необходимо четко представлять, какое положение в пространстве она занимает.

В табл. 4 приведены различные случаи расположения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций.

Таблица 4. Положение прямой в пространстве относительно плоскостей проекций

Рассматривая частные случаи расположения прямой в пространстве, следует правильно применять принятую терминологию и отличать, например, горизонтальную прямую, параллельную плоскости Н, от горизонтально проецирующей, перпендикулярной к этой плоскости.  

Взаимное расположение точки и прямой и двух прямых

Проекции точки, принадлежащей прямой линии, расположены на соответствующих проекциях прямой. Изображенная на рис. 74, а и б точка С принадлежит прямой АВ, так как проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой. Хотя фронтальная проекция d' точки D расположена на фронтальной проекции прямой, точка D не принадлежит АВ, поскольку горизонтальная проекция точки d не принадлежит горизонтальной проекции прямой ab.

Рис. 74. Точка, принадлежащая прямой

Известно, что параллельные прямые, пересекаясь с прямой, делят ее на отрезки, пропорциональные расстоянию между параллельными прямыми. Так как проецирующие прямые и параллельны (рис. 74, а и б), то

Рассуждая аналогично, можно убедиться, что и для фронтальной проекции прямой справедливо отношение

Итак, если точка в пространстве делит отрезок в данном отношении , то ее проекции делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении .

Относительно друг друга прямые могут быть параллельны, пересекаться и скрещиваться.

Параллельные прямые. Если прямые АВ и CD (рис. 75) параллельны, то проведенные через них проецирующие плоскости и  Т также будут параллельны и пересекутся с плоскостью Н  по параллельном прямым ab и cd, т. е. горизонтальные проекции параллельных прямых будут параллельны. Эти выводы справедливы и для других проекций параллельных прямых. Иными словами, одноименные проекции параллельных прямых параллельны. Справедливо и обратное утверждение: если одноименные проекции прямых параллельны, то и прямые в пространстве параллельны.

О параллельности прямых можно судить по двум проекциям. Так, например, для прямых общего положения достаточно, чтобы были параллельны две любые одноименные проекции. Для горизонтальных прямых необходимо, чтобы были параллельны их горизонтальные проекции, для фронтальных прямых — фронтальные проекции, для профильных прямых — профильные проекции.

О параллельности проецирующих прямых можно судить ло одной проекции на плоскость, к которой прямая перпендикулярна. На эту плоскость проецирующая прямая проецируется в точку.

В табл. 5, п. 1 приведен эпюр параллельных прямых АВ и CD.

Таблица 5. Взаимное положение двух прямых

Пересекающиеся прямые. Пересекающиеся прямее имеют общую точку (пересечения). Проекции точки пересечения (так же, как проекции любой точки пространства) располагаются на линиях связи, перпендикулярных к осям координат (табл. 5, п. 2). Проекции пересекающихся прямых пересекаются, за исключением случая, когда обе прямые расположены в одной проецирующей плоскости. Так, например, изображенные в табл. 5, п. 3 пересекающиеся прямые АВ и CD расположены в одной горизонтально проецирующей плоскости , и поэтому их горизонтальные проекции ab и cd сливаются.

Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны. На эпюре проекции таких прямых в общем случае могут пересекаться, но точки пересечения их проекций не будут лежать на общем перпендикуляре к оси координат, так как скрещивающиеся прямые не имеют общей точки (табл. 5, п. 5).

В отдельных случаях проекции скрещивающихся прямых на одну или две плоскости проекций могут быть параллельны, но на одной из плоскостей проекции прямых должны пересекаться (табл. 5, п. 6 и 7).

Определение действительного размера отрезка прямой и угла наклона ее к плоскостям проекций. Проекции линейного угла

Прямые общего положения проецируются на плоскости проекций с искажением. Прямоугольные проекции таких прямых меньше действительных размеров.

Иногда возникает необходимость по заданным проекциям отрезка прямой определить его действительные размеры.

Пусть ab— горизонтальная проекция отрезка АВ (-рис. 76,а).

Если через точку А провести прямую параллельную ab, то получим прямоугольный треугольник с прямым углом при вершнне , 

Рис. 76. Определение действительной длины отрезка прямой

Катет равен горизонтальной проекции ab. Катет  равен разности расстояний от концов отрезка В и А до плоскости Н, т. е. разности координат—. Отрезок АВ — гипотенуза треугольника .

Прямоугольный треугольник, равный треугольнику , можно построить на эпюре (рис. 76,6). Один катет этого треугольника — горизонтальная проекция отрезка ab, другой равен разности координат —, которую определяют графически как разность расстояний от концов фронтальной проекции отрезка и а' до оси х. Гипотенуза полученного прямоугольного треугольника равна действительной длине отрезка АВ.

Угол между прямой и ее горизонтальной проекцией определяет угол между прямой и плоскостью проекций H.

Очевидно, рассуждая аналогично, можно действительную длину отрезка определить построением прямоугольного треугольника на фронтальной проекции (рис. 76, в и г). Построенный при вершине а' угол  равен углу наклона прямой к фронтальной плоскости проекций V. 

Приведенный выше способ построения действительной длины отрезка получил название способа прямоугольного треугольника.

Линейный угол ABC проецируется без искажения, если обе его стороны параллельны плоскости проекций (рис. 77).

Рис. 77. Проекции линейного угла

Прямой угол проецируется в истинную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекций (рис. 78). В самом деле, все прямые, перпендикулярные в точке В  к прямой ВС. будут расположены в плоскости , перпендикулярной к ВС.

Рис. 78. Проекции прямого угла

Так как прямая ВС параллельна плоскости Н, то плоскость  будет перпендикулярна к плоскости Н. Такая плоскость называется горизонтально проецирующей (проецирует на плоскость Н  все принадлежащие этой плоскости прямые). Плоскость пересекается с плоскостью Н по прямой ab. Так как проекция bc параллельна прямос ВС, а прямая ВС перпендикулярна к плоскости , то и проекция bc будет перпендикулярна к той же плоскости . Отсюда следует, что горизонтальная проекция ab стороны АВ прямого угла будет перпендикулярна к проекции другой стороны - bc . Таким образом, прямой угол АВС спроецируется на плоскость Н без искажения.

Следы прямой

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой.

Рис. 79. Следы прямой

Прямая общего положения (рис. 79.а), пересекая три плоскости проекций, имеет соответственно три следа: горизонтальный М, фронтальный N и профильный N.

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости проекций. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций, имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой перпендикулярна прямая.

Горизонтальный след M прямой АВ (рис. 79) принадлежит плоскости Н и совпадает со своей горизонтальной проекцией. Фронтальная проекция горизонтального следа М будет расположена на оси х (как фронтальная проекция любой точки, лежащей на плоскости Н).

Горизонтальный след М прямой АВ, заданной проекциями (рис.79,б), целесообразно строить по его фронтальной проекции , которая определяется как точка пересечения фронтальной проекции прямой АВ с осью х.

Горизонтальный след М и его горизонтальная проекция будут лежать на линии связи (перпендикуляре к оси x), проведенной из проекции  до пересечения с горизонтальной проекцией ab, которую нужно соответственно продлить.

Фронтальный след N лежит на плоскости V и совпадает со своей фронтальной проекцией .

Горизонтальная проекция n фронтального следа N расположена на оси х.

На эпюре фронтальный след прямой удобно строить по его горизонтальной проекции. Для этого нужно продлить горизонтальную проекцию прямой ab до пересечения с осью х  и из полученной точки n провести линию связи до пересечения с продолжением фронтальной проекции прямой a'b'.

Полученная точка N будет фронтальным следом прямой АВ; там же находится и фронтальная проекция этой точки.

Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости

Из курса элементарной геометрии известно, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. Таким образом, положение плоскости в пространстве можно определить (задать) тремя точками (точки А, В и С, табл. 6, п. 1).

Кроме этого, положение плоскости в пространстве определяют: прямая АВ и точка С, не лежащая на прямой (табл. 6, п. 2), две пересекающиеся прямые АВ и CD (табл. 6, п. 3), две параллельные прямые АВ и CD (табл. 6, п. 4).

Часть плоскости, ограниченная линиями, называется плоской фигурой (треугольник, квадрат, ромб, круг и т. п.).

На эпюре (табл. 6) плоскость может быть задана соответственно проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, прямой и точки, не лежащей на прямой, двух пересекающихся или параллельных прямых. Плоскости условимся обозначать прописными латинскими буквами, следующими за буквой Р по алфавиту: R, S, Т и т. д.

Положение плоскости в пространстве может быть определено ее следами. Следами плоскости называются прямые линии, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций. В общем случае плоскость имеет три следа — горизонтальный, фронтальный и профильный. На рис. 81, а и втабл. 6, п. 5 они обозначены соответственно и (буквой Р обозначена заданная плоскость, а индексы Н, V и W означают, с какой из плоскостей проекций пересекается плоскость Р).

В точках и , лежащих на осях координат, следы плоскостей пересекаются. Эти точки называются точками схода следов плоскости.

Следы плоскости всегда можно построите, если положение плоскости в пространстве задано одним из перечисленных выше способов.

Если прямая АВ (рис. 81, а и б) лежит в плоскости Р, то она пересечет плоскость Н в точке М, расположенной на линии Рн, т. е. горизонтальный след прямой, лежащей в плоскости, расположен на горизонтальном следе плоскости.

Рис. 81. Следы плоскости  

Таблица 6. Способы задания положения плоскости в пространстве и на эпюре

Плоскость V прямая АВ пересечет в точке N, расположенной на линии .

Иными словами, следы прямой, лежащей в плоскости, расположены на одноименных следах плоскости.

Отсюда следует, что следы плоскости должны проходить через одноименные следы прямых, лежащих в плоскости.

Чтобы построить след плоскости, необходимо определить следы двух прямых, лежащих в плоскости.

На рис. 81, б плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ н CD. Чтобы построить горизонтальный след плоскости , находим горизонтальный след прямой АВ — точку М и прямой CD — точку . Горизонтальный след плоскости будет проходить через точки .

Фронтальный след плоскости строится аналогично. Следует отметить, что для построения следа достаточно иметь фронтальный след только одной прямой, так как второй точкой, определяющей положение следа , будет точка схода следов (точка пересечения ранее построенного следа с осью х).

Расположение плоскости относительно плоскостей проекций

Различают частные и общие случаи расположения плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций.

Если плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций, ее называют плоскостью общего положения. Такая плоскость изображена на рис. 81: ее следы не параллельны ни одной из осей координат.

В технике чаше встречаются плоскости, перпендикулярные одной или двум плоскостям проекций — плоскости частного положения.

Рис. 82. Частные случаи расположения плоскости в пространстве  

На рис. 82 изображено здание. Плоскости, ограничивающие это здание, занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Плоскость передней стены здания Т параллельна фронтальной плоскости проекций V (перпендикулярна плоскостям Н и W). Такую плоскость называют фронтальной. Плоскость U боковой стены, расположенную параллельно плоскости W, называют профильной. Плоскость R козырька над входом, которая параллельна горизонтальной плоскости проекций Н, называют горизонтальной.

Плоскость бокового ската крыши (вальма) , перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей. Плоскость S переднего ската крыши, перпендикулярная к плоскости W, называется профильно проецирующей. Плоскость входной двери Р, которая перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций Н, называется горизонтально проецирующей (если дверь закрыть, то ее плоскость станет фронтальной, а если она займет положение, параллельное плоскости W, то станет профильной).

Таблица 7. Положение плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций

 

В табл. 7 приведены различные случаи положения плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций и указано положение следов плоскости.

Проекции прямой и точки, принадлежащих плоскости

Прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости, или через одну точку и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости или ей параллельной.

На рис. 83, а изображены проекции треугольника АВС. Чтобы провести по треугольнику прямую, отметим на его сторонах две точки — на стороне АВ и на стороне ВС. Прямая MN лежит в плоскости треугольника ABC.

На рис. 83, б плоскость Р задана следами. Чтобы построить проекции прямой, расположенной в плоскости Р, на горизонтальном следе плоскости отметим точку М; фронтальная проекция ее будет на оси х. Вторую точку N возьмем на фронтальном следе плоскости : ее фронтальная проекция будет расположена на фронтальном следе , а горизонтальная — на оси х. Прямая MN будет принадлежать плоскости Р, так как она проходит через две точки М и N, принадлежащие этой плоскости.

Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные в то же время одной из плоскостей проекции, получили название линий уровня плоскости, а вместе с линиями наибольшего уклона называются главными линиями плоскости.

Линией наибольшего уклона называется прямая, лежащая в плоскости и составляющая наибольший угол с плоскостью проекций.

Линию, составляющую наибольший угол с горизонтальной плоскостью проекцией Н, принято называть линией наибольшего ската плоскости (уклона к плоскости Н).

Прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н, называется горизонталью (табл. 8, пп. 1 и 2), параллельная фронтальной плоскости проекций V - фронталью (табл. 8, пп. 3 и 4), а параллельная профильной плоскости проекций W - профильной прямой (табл. 8, пп. 5 и 6).

Рис. 83. Прямая, принадлежащая плоскости

На рис. 84 изображена плоскость Р. Построим в этой плоскости горизонталь. Для этого через точку , расположенную на фронтальном следе плоскости, проведем прямую, параллельную горизонтальному следу .

Рис. 84. Горизонталь плоскости

Эта прямая будет горизонталью плоскости Р, так как она расположена в плоскости Р и параллельна плоскости проекций Н. Горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ) параллельна горизонтальному следу , а фронтальная проекция горизонтали (ФПГ) параллельна оси х.

На рис. 85 заданы проекции треугольника ABC. Построение горизонтали плоскости треугольника начинаем с ее фронтальной проекции, которую проводим через фронтальную проекцию точки А параллельно оси х. Фронтальная проекция горизонтали пересечет фронтальную проекцию стороны ВС в точке .

Таблица 8. Главные линии плоскости

Горизонтальная проекция d этой точки будет лежать на горизонтальной проекции стороны ВС. Горизонтальную проекцию горизонтали — ad проводим через горизонтальные проекции a, d точек А и D.

Проекции фронтали целесообразно начинать строить с горизонтальной проекции, которая параллельна оси х.

Профильную прямую начинают строить с фронтальной проекции, параллельной оси , или с горизонтальной, параллельной оси у.

Расположение проекций главных линий показано в табл. 8.

Из всех линий, расположенных в плоскости, прямая, идущая под прямым углом к горизонталям (рис. 86, а), наклонена к плоскости Н под наибольшим углом — линия наибольшего ската плоскости (ЛНС). Ее горизонтальная проекция составляет прямой угол с горизонтальным следом плоскости и с горизонтальными проекциями горизонталей. Поэтому линию наибольшего ската следует начинать строить с горизонтальной проекции (рис. 86, б), которая расположена под прямым углом к следу и к горизонтальной проекции горизонтали. Отметив на горизонтальной проекции линии наибольшего ската (ГПЛНС) две точки — и , строим их фронтальные проекции.

Рис. 85. Построение горизонтали плоскости

Фронтальная проекция линии наибольшего ската (ФПЛНС) пройдет через точки и . Построение линии наибольшего ската на плоскости, заданной треугольником ABC, показано на рис. 86, в, где сначала перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали проведена горизонтальная проекция , а затем фронтальная проекция этой линии.

Угол наклона линии наибольшего ската к плоскости Н определяет наклон плоскости Р к плоскости Н.

Рис. 86. Линия наибольшего ската плоскости

Чтобы построить проекции точки, принадлежащей плоскости, нужно сначала по плоскости провести какую-либо прямую, на которой затем отметить проекцию точки.

Рис. 87. Точка, принадлежащая плоскости

Так, на рис. 87 заданы проекции треугольника ABC и фронтальная проекция d' точки D, принадлежащей плоскости треугольника. Чтобы построить горизонтальную проекцию этой точки, проведем через нее по заданной плоскости прямую, фронтальная проекция которой пересечет проекцию в точке . Затем строим горизонтальную проекцию а1 этой прямой и на ней отмечаем при помощи линии связи горизонтальную проекцию d точки D.

Если плоскость задана следами, то для решения аналогичной задачи рекомендуется пользоваться главными линиями плоскости.

На рис. 88, а по заданной фронтальной проекции а' точки А, принадлежащей плоскости Р, построена ее горизонтальная проекция а. Для этого через фронтальную проекцию а' проведена фронтальная проекция горизонтали (ФПГ) плоскости Р, которая пересечет фронтальный след в точке N. Горизонтальная проекция точки N будет на оси х. Через п параллельно горизонтальному следу проведена горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ), на которой и отмечена искомая горизонтальная проекция а точки А.

Та же задача на рис. 88, б решена с помощью фронтали, фронтальная проекция которой (ФПФ) проходит через а' параллельно фронтальному следу Pv плоскости Р, а горизонтальная (ГПФ)—параллельно оси х. Таким образом, если задана одна проекция точки и плоскость, в которой точка расположена, можно построить другие проекции этой точки.

Но данная задача имеет определенное решение не всегда. На рис. 89 задана фронтально проецирующая плоскость Р и фронтальная проекция а' точки А.

Если через а'  в плоскости Р провести горизонталь, то любая точка этой горизонтали  и т. д. будет иметь фронтальную проекцию в точке  т. е. задача в данном случае не имеет определенного решения. 

Это свойство проецирующей плоскости справедливо не только для точки, но и для любой линии — прямой или кривой, любой плоской фигуры, расположенной в проецирующей плоскости.

Рис. 88. Точка, принадлежащая плоскости

Рис. 89. Проекци точек, принадлежащих проецирующей плоскости

Фронтальная проекция любой точки, лежащей на фронтально проецирующей плоскости, будет расположена на фронтальном следе плоскости. Чтобы построить по заданной горизонтальной проекции точки В, лежащей в плоскости Р (см. рис. 89), фронтальную проекцию , через проводят линию связи до фронтального следа , на котором будет расположена искомая фронтальная проекция точки В.

Проекции геометрических элементов, расположенных в проецирующей плоскости, сливаются с ее следом, расположенным в плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость (или с соответствующей проекцией проецирующей плоскости).

На рис. 90, а и б показаны проекции четырехугольника ABCD, расположенного в горизонтально проецирующей плоскости Р. Его горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом . На рис. 90, в горизонтальная проекция треугольника ABC слилась с горизонтальной проекцией четырехугольника 1, 2, 3, 4, плоскость которого, так же как и Р, перпендикулярна к плоскости Н.

Рис. 90. Плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости

Параллельные и пересекающиеся плоскости

Могут встретиться два случая взаимного расположения плоскостей: когда плоскости пересекаются и когда они не пересекаются, т. е. параллельны. Рассмотрим подробнее каждый из этих случаев.

Плоскости пересекаются. Линия пересечения двух плоскостей — прямая. Положение прямой в пространстве определяют две точки. Чтобы найти линию пересечения плоскостей, достаточно знать две точки, принадлежащие как одной, так и другой плоскости.

На рис. 91, а показано построение линии пересечения плоскости треугольника ABC с фронтально проецирующей плоскостью

Так как линия пересечения принадлежит фронтально проецирующей плоскости, то ее фронтальная проекция совпадает с фронтальным следом плоскости . Горизонтальная проекция искомой линии пройдет через точки , расположенные на горизонтальных проекциях ас и bс соответствующих сторон АС и ВС треугольника.

На рис. 91, б треугольник ABC пересекается с горизонтальной плоскостью R. Линия пересечения плоскостей (горизонталь) будет проходить через точки М и N. в которых стороны треугольника АС и ВС пересекаются с плоскостью R. Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным следом , а горизонтальная проходит через горизонтальные проекции  и , расположенные на горизонтальных проекциях соответствующих сторон треугольника.

На рис. 92, а изображены две плоскости общего положения: Р — треугольника ABC и — треугольника DEF. Чтобы построить точку, общую для этих плоскостей, рассекают заданные плоскости вспомогательной горизонтальной плоскостью. Строят линию пересечения плоскостей Р и — прямую 1—2 и плоскостей и S — прямую 3—4. Прямые 1—2 и 3—4 пересекаются в точке М, которая будет общей для заданных плоскостей Р и .

Рис. 91. Линия пересечения плоской фигуры с проецирующей плоскостью

Затем проводят вторую вспомогательную горизонтальную плоскость Т и таким же путем находят вторую общую для Р и Q точку N. Прямая MN будет искомой линией пересечения плоскостей Р и Q.

Решение этой задачи в ортогональных проекциях (на эпюре) приведено на рис. 92, б, где и — фронтальные следы вспомогательных горизонтальных плоскостей, которые пересекают заданные треугольники по прямым 1—2, 3—4, и 5—6, 7—8. В пересечении этих линий будут точки и , принадлежащие линии пересечения заданных плоскостей.

Та же задача решается проще, если плоскости заданы следами и если одноименные следы пересекаются в пределах чертежа.

На рис. 93, а и б заданы следами две плоскости общего положения Р и Q. Линия их пересечения MN пойдет через точки пересечения одноименных следов плоскостей.

Рис. 93. Построение линии пересечения плоскостей, заданных следами

В точке N пересекаются фронтальные следы плоскостей, а в точке М — горизонтальные. Проекциями линии пересечения будут прямые и .

На рис. 93, в построена линия пересечения плоскости общего положения Р с горизонтально проецирующей плоскостью Q. Линия пересечения плоскостей MN проведена также через точки пересечения одноименных следов. Горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей сливается с горизонтальным следом , так как плоскость перпендикулярна к плоскости Н.

Плоскости параллельны. Одна плоскость параллельна другой, если две пересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

Рис. 94. Параллельные плоскости

По плоскости Р, изображенной на рис. 94, проведены прямые АВ и CD, которые соответственно параллельны прямым и , расположенным в плоскости Q. Плоскости Р и Q  параллельны. Из курса геометрии известно, что параллельные плоскости пересекают плоскость по параллельным прямым.

Рис. 95. Параллельные плоскости

Рис. 96. Параллельные плоскости

Отсюда следует, что параллельные плоскости Р и Q (рис. 95, а) пересекут плоскости проекций по параллельным прямым, т. е. одноименные следы параллельных плоскостей параллельны.

И наоборот, если одноименные следы плоскостей на эпюре параллельны, то такие плоскости также параллельны.

Плоскости общего положения будут параллельны, если два любых одноименных следа параллельны между собой. Так, плоскости Р и Q (рис. 95, б), у которых след параллелен , а след параллелен, параллельны.

Проецирующие плоскости будут параллельны, если соответственно параллельны одноименные следы при общих точках схода. Например, будут параллельны изображенные на рис. 96, а горизонтально проецирующие плоскости Р и Q, на рис. 96, б — фронтально проецирующие плоскости R и S, на Рис. 96, в — профильно проецирующие плоскости Т и U.

Параллельны или нет профильно проецирующие плоскости М н N (рис. 96, г) сказать нельзя, хотя они имеют соответственно параллельные фронтальные и горизонтальные следы.

Для этого нужно построить профильные следы и ; если они окажутся параллельными, то плоскости М и N параллельны. Учащимся предлагается решить этот вопрос самостоятельно.

Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая может лежать в плоскости, пересекать ее и быть ей параллельна или перпендикулярна. Случай, когда прямая лежит в плоскости, был рассмотрен выше (см. § 21).

Рис. 97. Пересечение прямой с плоскостью

Прямая пересекает плоскость. При пересечении прямой с плоскостью особый интерес представляет задача определения точки пересечения. Эта задача очень часто встречается в начертательной геометрии и входит как элемент в решение других, более сложных задач.

Указанная задача может быть решена несколькими способами. В зависимости от условий задачи необходимо научиться выбирать самый короткий путь ее решения, так как в графических задачах самый короткий путь будет в то же время и самым точным (чем больше построений в решениях задач, тем больше может быть ошибок и неточностей).

Точку пересечения прямой с проецирующей плоскостью нужно только отметить, так как любая точка, принадлежащая проецирующей плоскости, будет проецироваться на соответствующий след такой плоскости. Так, например, горизонтальная проекция К точки пересечения прямой АВ с горизонтально проецирующей плоскостью Р будет расположена на горизонтальном следе плоскости (рис. 97, а).

На рис. 97, б задана фронтально проецирующая плоскость. Точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью находим по ее фронтальной проекции .

Чтобы построить точку пересечения прямой АВ с профильно проецирующей плоскостью (рис. 97, в), отмечаем сначала профильную проекцию искомой точки, которая принадлежит профильному следу заданной плоскости.

Точку пересечения прямой с плоскостью общего положения определяют, используя вспомогательную плоскость.

Пусть заданы плоскость общего положения Р и прямая АВ (рис. 98, а). Требуется найти их точку пересечения.

Через прямую АВ проводим вспомогательную плоскость Q, которая пересечет заданную плоскость Р по прямой 1—2. Искомая точка пересечения К будет там, где прямая АВ пересечет прямую 1—2.

В таком же порядке решается эта задача и на эпюре, следует только указать, что в качестве вспомогательной плоскости целесообразно применять проецирующую, один след которой будет совпадать с проекцией данной прямой, а другой будет составлять угол 90° с осью х.

На рис. 98, б, где показано построение точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р, заданной следами, в качестве вспомогательной применена горизонтально проецирующая плоскость Q.

Горизонтальный след ее сливается с ab, а фронтальный расположен перпендикулярно к оси х.

Плоскость Q пересекается с заданной плоскостью Р по прямой 1—2 (в точках 1 и 2 пересекаются одноименные следы плоскостей Р и Q). Искомая точка пересечения К будет на прямой 1—2 там, где она пересекается с заданной прямой АВ.

Для определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника CDE (рис. 98, в) использована фронтально проецирующая плоскость R. Фронтальный след ее совпадает с фронтальной проекцией . Плоскость R пересекается с треугольником CDE по прямой 1—2, на которой расположена искомая точка пересечения К.

Прямая перпендикулярна к плоскости. Пусть прямая АВ (рис. 99, а)

Рис. 99. Прямая, перпендикулярная плоскости

перпендикулярна к плоскости Р и пересекает ее в точке В. Известно, что прямая, перпендикулярная к плоскости, расположена под углом 90° к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и к горизонтали CD плоскости Р, проходящей через основание перпендикуляра—точку В, т. е. АВ перпендикулярна к ВС. Прямой угол ABC проецируется на плоскость Н без искажения, так как его сторона ВС параллельна плоскости Н. Таким образом, между горизонтальной проекцией ab перпендикуляра к плоскости и горизоитальной проекцией ей горизонтали будет прямой угол. Горизонтальная проекция перпендикуляра будет расположена под прямым углом также и к горизонтальному следу плоскости.

Рис. 99. Прямая, перпендикулярная плоскости

Рассуждая аналогично, можно доказать, что фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости будет перпендикулярна фронтальной проекции фронтали и фронтальному следу плоскости.

Профильная проекция перпендикуляра к плоскости будет перпендикулярна профильной проекции профильной прямой и профильному следу плоскости.

Рис. 100. Прямая, параллельная плоскости

На рис. 99, б плоскость Р задана следами. Проекции перпендикуляра, проведенного из точки А на плоскость Р, будут перпендикулярны соответствующим следам плоскости.

Чтобы построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки А на плоскость треугольника CDE (рис. 99, в), нужно предварительно построить проекции горизонтали и фронтали плоскости треугольника.

Горизонтальная проекция перпендикуляра пройдет через точку а перпендикулярно к горизонтальной проекции cl горизонтали (ГПГ), а фронтальная проекция перпендикуляра — через точку а' перпендикулярно фронтальной проекции фронтали (ФПФ).

Основанием перпендикуляра будет точка его пересечения с заданной плоскостью. Учащимся предлагается самостоятельно найти эту точку.

Прямая, параллельная плоскости. Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, расположенной в этой плоскости. Так, например, прямая (рис. 100) будет параллельна плоскости Р, так как она параллельна прямой АВ, расположенной в плоскости Р.

Способы вращения и перемены плоскостей проекций

Решение ряда задач начертательной геометрии упрощается при условии, что исследуемые геометрические элементы занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Например, отрезок прямой проецируется без искажения, если он параллелен плоскости проекций. Проще найти точку пересечения прямой и плоскости, если плоскость проецирующая.

Любой геометрический элемент (прямую, плоскость и т. п.), занимающий в пространстве относительно плоскостей проекций общее положение, можно привести в такое частное положение, которое целесообразно для решения данной задачи. Например, чтобы определить действительную длину отрезка прямой общего положения, нужно привести его в положение, параллельное одной из плоскостей проекций. Для решения такого рода задач обычно используют два способа:

1. Изменяют в пространстве положение исследуемого элемента. Например, вращают отрезок АВ (рис. 101, а) вокруг оси , перпендикулярной к плоскости Н, до положения, когда отрезок АВ станет параллельным плоскости V (положение ). Новая фронтальная проекция отрезка будет равна отрезку АВ.

Этот способ получил название способа вращения.

2. Оставляя неподвижным исследуемый геометрический элемент, изменяют в пространстве положение плоскостей проекций, например, ставят плоскость V в положение , когда фронтальная плоскость будет параллельна отрезку АВ (рис. 101, б). Новая фронтальная проекция будет равна отрезку АВ.

Такой способ получил название способа перемены плоскостей проекций.

Рассмотрим подробно каждый из этих способов.

Способ вращения

Изображенную на рис. 102 прямую принимаем за ось вращения.

Точка А, вращаясь вокруг оси , опишет окружность радиуса R, которая будет расположена в плоскости вращения Q. Плоскость Q перпендикулярна к оси вращения и пересекается с ней в точке О, которую называют центром вращения.

Ось вращения располагают обычно или перпендикулярно, или параллельно одной из плоскостей проекций.

Рис. 101. Способы преобразования проекций

При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н (рис. 103, а и б), плоскость вращения будет параллельна горизонтальной плоскости проекций и окружность, по которой будет перемещаться точка А, спроецируется на плоскость Н без искажения, а на фронтальную плоскость проекций — в отрезок прямой, параллельный оси х и равный по длине диаметру окружности. Таким образом, у точки, вращающейся вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н, горизонтальная проекция будет перемещаться по окружности радиуса R, а фронтальная— по прямой, параллельной оси х.

Рис. 102. Вращение точки вокруг оси

Рис. 103. Вращение точки вокруг оси

Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: у точки, вращающейся вокруг оси, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций V, фронтальная проекция перемещается по окружности, а горизонтальная— по прямой, параллельной оси х (рис. 103, виг).

Пример. Способом вращения определить действительную длину отрезка АВ.

Через точку А (рис. 104) проводим ось вращения, перпендикулярную к плоскости V, и вращаем отрезок АВ до положения, когда он станет параллельным плоскости Н. В этом положении его фронтальная проекция будет параллельна оси х, а горизонтальная равна действительной длине отрезка.

При вращении отрезка вокруг указанной оси точка А перемещаться не будет, так как она лежит на оси вращения. Фронтальная проекция точки В будет перемещаться по окружности радиуса а горизонтальная  — по прямой, параллельной оси х. Когда точка В переместится в положение , отрезок АВ станет параллельным плоскости Н и будет проецироваться на нее без искажения.

Угол между новой горизонтальной проекцией отрезка и осью х равен углу наклона прямой АВ к плоскости V.

Приведенную задачу можно было решить вращением отрезка вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н, до положения параллельного плоскости V.

Решите самостоятельно эту задачу путем вращения отрезка вокруг оси, перпендикулярной плоскости Н, и определите при этом угол а наклона прямой к плоскости Н.

Рис. 104. Вращение прямой

Совмещение. Частным случаем способа вращения является совмещение.

Совмещением называется вращение плоскости вокруг одного из ее следов до совмещения этой плоскости с плоскостью проекций. Этот прием целесообразно применять для определения действительных размеров плоских фигур, расположенных в плоскостях, заданных следами.Если фронтально проецирующую плоскость Р (рис. 105) повернуть вокруг ее горизонтального следа на угол , то она совместится с горизонтальной плоскостью проекций Н. Расположенный в плоскости Р треугольник ABC также совместится с плоскостью Н и изобразится на ней без искажения. Фронтальный след при совмещении Р с Н займет положение — сольется с осью х. Так как в данном случае вращение осуществляется вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций V (след перпендикулярен к плоскости ), то фронтальные проекции точек, лежащих в плоскости Р, будут перемещаться по окружности, а их горизонтальные проекции a, b — по прямым, перпендикулярным к оси вращения .

Рис. 105. Способ совмещения

При совмещении плоскостей Р и Н  фронтальные проекции точек расположатся на оси , а горизонтальные займут положение . Получившаяся при этом фигура равна треугольнику ABC, расположенному в плоскости Р.

Рис. 106. Способ совмещения

Указанную задачу можно решить вращением плоскости Р вокруг ее фронтального следа до совмещения с плоскостью V (рис. 106). Так как у проецирующих плоскостей следы расположены в пространстве под прямым углом, то совмещенный с плоскостью V горизонтальный след составит угол 90° со следом . Новые фронтальные проекции вершин треугольника  после совмещения будут расположены на расстояниях от следа . Координаты определяют по горизонтальным проекциям .

На рис. 107 изображена плоскость общего положения Р, заданная следами. Вращая ее вокруг горизонтального следа , можно совместить плоскость Р с горизонтальной плоскостью проекций Н, для чего необходимо найти прежде всего положение следа , совмещенного с плоскостью .

На фронтальном следе плоскости берут произвольную точку N. Ее горизонтальная проекция лежит на оси х. При вращении вокруг точка N опишет окружность, которая на плоскость Н проецируется в прямую , перпендикулярную к оси вращения , по этой прямой при вращении будет перемещаться горизонтальная проекция точки .

При совмещении плоскости Р с плоскостью Н отрезок фронтального следа будет проецироваться на плоскость Н  без искажения.

Рис. 107. Способ совмещения

Таким образом, совмещенное положение точки будет в пересечении прямой линии, проведенной из точки перпендикулярно к , и засечки, сделанной из точки  радиусом, равным . Фронтальный след плоскости Р, совмещенный с плоскостью Н будет проходить через точку и полученную точку . На рис. 107 эта прямая обозначена .

Чтобы определить положение точки А, принадлежащей плоскости Р после ее совмещения с Н. нужно через эту точку провести какую-либо линию по плоскости Р (удобнее одну из главных), а затем построить ту же линию в совмещенном положении и на ней отметить положение искомой точки. На рис. 107 через точку А проведена горизонталь, которая пересекает фронтальный след плоскости в точке N. В совмещенном положении указанная горизонталь пойдет через точку параллельно  . При совмещении горизонтальная проекция точки А перемещалась по прямой, перпендикулярной к оси вращения пересечении этой прямой с совмещенной горизонталью будет искомая точка .

Рис. 108. Способ совмещения

Определение истинных размеров треугольника DBC, расположенного в плоскости общего положения, приемом совмещения приведено на рис. 108. Совмещенное положение вершин треугольника найдено аналогично точке (см. рис. 107).

Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций изложена на стр. 76.

Рассмотрим подробнее на примере точки, что происходит с ее проекциями при перемене плоскостей проекций.    точки А. На рис. 109, а изображены точка А  и ее проекции а и а'. Допустим, что для решения задачи необходимо переменить фронтальную плоскость проекций V на . Новая фронтальная плоскость проекций перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций Н и пересекает ее по прямой , которая будет новой осью координат. 

Рис. 109. Способ переиены плоскостей проекций

Новая фронтальная проекция точки А будет в пересечении проецирующего луча, проведенного через точку А, с новой фронтальной плоскостью проекций .

Из сравнения прямоугольников и следует, что отрезок , т. е. расстояние от новой фронтальной проекции точки а' , до новой оси равно расстоянию от старой фронтальной проекции а' до старой оси х.

Указанные отрезки определяют координату Z точки А, которая остается неизменной, так как плоскость проекций Н, расстояние до которой определяет координата Z, не изменила своего положения в пространстве.

Если совместить плоскость с плоскостью Н, то получим новый эпюр точки А. При этом новая фронтальная проекция  и горизонтальная проекция а точки А расположатся на общем перпендикуляре (линии связи) к новой оси х, (рис. 109, б), а отрезки и (координаты Z отмечены фигурными скобками) будут равны.

При необходимости можно переменить горизонтальную плоскость проекций Н, расположив новую плоскость перпендикулярно к фронтальной плоскости проекций V (рис. 110).

В этом случае величина координаты Z точки В изменится, а неизменной останется координата точки В, так как плоскость V не изменяет своего положения в пространстве, а значит не изменится и расстояние от точки В до плоскости V.

Новая горизонтальная проекция точки В будет отстоять от новой оси на расстоянии , равном расстоянию от старой горизонтальной проекции  до старой оси х (на эпюре эти отрезки отмечены фигурными скобками).

Положение в пространстве новой плоскости проекций принимают в зависимости от условий задачи, но обязательно перпендикулярно к одной из старых плоскостей проекций.

Пример 1. Способом перемены плоскостей проекций определить действительную длину отрезка АВ   (рис. 111).    

Рис. 110. Способ перемены плоскостей проекций

Отрезок АВ принадлежит прямой общего положения и поэтому проецируется с искажением на плоскости Н  и V. 

Чтобы проекция равнялась действительной длине отрезка, переменим плоскость проекций V на (рис. 111, а), расположив последнюю так, чтобы она была параллельна отрезку АВ. В этом случае новая ось проекций будет параллельна горизонтальной проекции ab отрезка АВ. Строим новые фронтальные проекции и точек А и В . Для этого через а и b проводим линии связи перпендикулярно к новой оси проекций  и от нее откладываем

расстояния, равные расстояниям от старых фронтальных проекций и до старой оси (построения показаны стрелками).

Новая фронтальная проекция равна действительной длине отрезка АВ.

На рис. 111, б та же задача решена путем перемены горизонтальной плоскости проекций Н на новую , параллельную отрезку АВ.

Рис. 112. Способ перемены плоскостей проекций

Следует отметить, что одновременно с определением действительной длины отрезка были найдены углы наклона его к плоскостям проекций: угол (см. рис. 111, а) к плоскости Н и угол (см. рис. 111, б) к плоскости V.

Пример 2. Определить действительные размеры треугольника ABC (рис. 112), расположенного в горизонтально проецирующей плоскости.

Плоскость треугольника ABC расположена под прямым углом к плоскости Н, поэтому горизонтальная его проекция abc — прямая. К плоскости V треугольник расположен под углом и, следовательно, фронтальная его проекция не равна действительной величине треугольника ABC.

Заменим фронтальную плоскость проекций V па , расположив ее параллельно плоскости треугольника ABC. В этом случае новая ось проекций будет параллельна горизонтальной проекции abc треугольника ABC, а новая фронтальная проекция   равна действительным размерам треугольника.

Аксонометрические проекции

Аксонометрическими проекциями называют изображение, полученное в результате проецирования параллельными лучами предмета вместе с осями прямоугольных координат, к которым отнесен предмет, на одну плоскость проекций.

На рис. 114 показаны:

Рис. 114. Аксонометричекие проекции

— плоскость аксонометрических проекций (плоскость картины);

— оси прямоугольных координат;

— аксонометрические оси (аксонометрические проекции осей координат);

— проецируемый предмет, в данном случае прямоугольный параллелепипед;

— аксонометрическая проекция предмета (параллелепипеда).

Прямые и т. д. — проецирующие лучи.

Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций К, то аксонометрия называется прямоугольной. Аксонометрическая проекция называется косоугольной, когда проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций. Направление проецирования выбирают так, чтобы проецирующие лучи не были параллельны ни одной из плоскостей, образованных осями координат. Поэтому на аксонометрическом изображении предмета видны все три его главные измерения: высота, измеряемая вдоль оси , ширина, измеряемая вдоль оси у, и длина, измеряемая вдоль оси х. В результате аксонометрическое изображение предмета получается более наглядным, чем изображение его в ортогональных проекциях, так как на ортогональной проекции предмета видны только два его измерения.

Рис. 115. Аксонометрия деревянного шипа

Для примера на рис. 115 изображен деревянный шип в ортогональных проекциях (рис. 115, а) и в аксонометрии (рис. 115,6).

Отрезки осей координат проецируются на плоскость аксонометрических проекций в общем случае с искажением. Искажаются и размеры проецируемых предметов.

Изменение линейных размеров вдоль осей характеризуется показателями искажения по осям.

Показателем искажения называется отношение длины отрезка на аксонометрической оси к длине такого же отрезка на соответствующей оси прямоугольной системы координат в пространстве.

Условимся показатель искажения по оси х обозначать буквой , по оси у — буквой m и по оси у — буквой . Тогда (см. рис. 114)

Показатели искажения могут быть меньше, больше, равны единице, их величина зависит от взаимного положения осей координат и плоскости аксонометрических проекций, а также от принятого направления проецирования.

Аксонометрические проекции называют изометрическими, или изометрией, если показатели искажения по всем осям равны, т. е. .

Если показатели искажения равны только по двум осям, т. е. или , или , то проекции называют диметрическими, или димет-рией.

Аксонометрия называется триметрической, или триметрией, если все показатели искажения различны.

Изометрия, диметрия и триметрия могут быть прямоугольными или косоугольными.

Для наглядного изображения предметов в соответствии с ГОСТ 2.317—69 в техническом черчении применяют следующие виды аксонометрических проекций:

а)    прямоугольную изометрическую;

б)    прямоугольную диметрическую;

в)    косоугольную (фронтальную) диметрическую;

г)    косоугольную (фронтальную) изометрическую;

д)    косоугольную (горизонтальную) изометрическую.

Между показателями искажения существует следующая зависимость:

где — угол между плоскостью аксонометрических проекций и проецирующими лучами. Для прямоугольной аксонометрии, где угол = 90°, эта зависимость упрощается, так как .

Решая систему уравнений и . можно определить величину показателя искажения для прямоугольной изометрии:

В прямоугольной диметрии, где , а , показатели искажения будут по осям х и у: :, а по оси у:: .

В соответствии с ГОСТ 2.317—69 изометрическую проекцию рекомендуется строить без сокращения по осям , а диметрическую — без сокращения по осям и с сокращением в два раза по оси . Тем самым в изометрии все размеры, измеряемые вдоль аксонометрических осей, увеличиваются в , а в диметрии в раза. В косоугольной (фронтальной) диметрической проекции показатели искажения по осям и равны 1, а по оси — 0,5.

В строительном черчении применяют косоугольные (фронтальную и горизонтальную) изометрические проекции.

В этом виде аксонометрии показатели искажения по всем осям принимаются равными единице.

Схемы расположения аксонометрических осей, показатели искажения и примеры аксонометрических изображений даны в табл. 9.

Таблица 9. Виды аксонометрических проекций, применяемых в инженерно-строительном черчении

 

Аксонометрические проекции точек, прямой и плоской фигуры

В ортогональных проекциях было показано, что одна проекция положения точки в пространстве не определяет. Это справедливо и для аксонометрических проекций точки.

На рис. 116, а изображена аксонометрия точки А. Имея только аксонометрию точки, невозможно определить ее положение в пространстве. Чтобы судить о положении точки в пространстве, необходимо, кроме аксонометрической проекции точки, иметь еще ее вторичную проекцию.

Вторичной проекцией точки называется аксонометрия одной из ее ортогональных проекций (чаще горизонтальной).

На рис. 116, б, в и г аксонометрия точки А занимает одно и то же положение, однако в первом случае (рис. 116, б) точка расположена над плоскостью Н и перед плоскостью V, так как вторичная проекция а находится перед осью х.

Во втором случае (см. рис. 116, в) точка принадлежит плоскости V, поскольку вторичная проекция а расположена на оси х.

Наконец, в последнем случае (см. рис. 116, г) точка А принадлежит плоскости Н и находится за плоскостью V; при этом аксонометрия и вторичная проекция точки совпадают.

На рис. 116 и в последующих аксонометрических проекциях в обозначениях точек и аксонометрических осей индексы опущены.

Построение аксонометрии точки (рис. 117, б) по заданным ее ортогональным проекциям (рис. 117, а) начинают с определения вторичной проекции.

Для этого на аксонометрической оси х от начала координат О откладывают величину координаты X точки ; по оси у — отрезок , так как показатель искажения по этой оси . (Построение ведется в прямоугольной диметрии.)

В пересечении линий связи, проведенных параллельно осям из концов отмеренных отрезков, получают точку  — вторичную проекцию точки А.

Аксонометрия точки А будет находиться на расстоянии от вторичной проекции . Это расстояние откладывают параллельно оси .

Аналогично строят аксонометрию отрезка прямой АВ (рис. 118).

Сначала находят вторичные проекции точек. Для этого откладывают вдоль осей х и у соответствующие координаты точек А и В. Затем отмечают на прямых, проведенных из вторичных проекций параллельно оси , аксонометрии точек А и В, ограничивающие заданный отрезок.

На рис. 119 показано построение в прямоугольной изометрии треугольника ABC по его ортогональным проекциям. Построение начинают с определения вторичных проекций и вершин треугольника. Затем строят аксонометрические проекции А, В и С вершин того же треугольника и соединяют прямыми точки А, В и С и a, b и с. Треугольник ABC будет аксонометрией заданного треугольника, а треугольник abc — вторичной проекцией его.

Рис. 116. Различные положения точки, изображенной в аксонометрии

Рис. 117. Построение аксонометрии точки по заданным ортогональным

Рис. 118. Построение аксонометрии отрезка прямой

Рис. 119. Построение аксонометрии плоской фигуры

Если плоская фигура расположена в плоскости проекций, то аксонометрия такой фигуры совпадает с ее вторичной проекцией.

В табл. 10 показано построение в прямоугольной изометрии, диметрии и косоугольной диметрии различных плоских фигур, расположенных в плоскостях проекций и параллельных им плоскостях.

В техническом черчении часто возникает необходимость изображать в аксонометрических проекциях окружности.

Рис. 120. Прямоугольная иэометрия окружностей

В общем случае окружность в аксонометрии изображается в виде эллипса. Длина большой оси эллипса равна 1,2 d, где d — диаметр окружности. Малая ось составляет 0,7 d.

Таблица 10. Аксонометрические проекция плоских фигур

Для упрощения построения государственный стандарт рекомендует взамен эллипса применять овалы, очерченные дугами окружностей.

Построение овала в прямоугольной изометрии показано на верхней грани куба (см. рис. 120). Овал обводят дугой радиуса из центра и дугой радиуса из центра .

Рис. 121. Прямоугольная диметрия окружностей

На рис. 121 показано построение окружностей в прямоугольной диметрии. Окружности, расположенные в верхней и боковой гранях, проецируются в виде эллипсов с осями, равными 1,06 d и 0,35 d. Большая ось горизонтального эллипса перпендикулярна к оси . Большая ось эллипса, расположенного в боковой грани, перпендикулярна к оси х. Окружность, расположенная в передней грани куба, проецируется в виде эллипса с осями, равными 1,06 d и 0,94 d. Большая ось этого эллипса перпендикулярна к оси у.

Построение овала взамен эллипса на передней грани куба показано на том же рис. 121. Этот овал обведен дугами радиусов и . 

Центры этих дуг, точки и , расположены на окружности диаметра 0,2 d в том месте, где окружность пересекают диагонали грани куба. Взамен эллипсов, вписанных в верхнюю и боковую грани куба, рекомендуется вычерчивать овалы. Овал, расположенный в боковой грани куба (см. рис. 121), обводят радиусами 0,09 d и 1,23 d из центров и , расположенных на большой и продолжении малой осей овала. Центр  расположен на расстоянии 1,06 d от центра овала.

Рис. 122. Косоугольная диметрия окружностей

Изображение окружностей в косоугольной (фронтальной) диметрии приведено на рис. 122.

Окружность, расположенная во фронтальной плоскости, проецируется без искажения (как и любая другая фигура, принадлежащая такой плоскости).

Окружности, которые лежат в верхней и боковой гранях куба, проецируются в виде эллипсов. Размеры и положение осей этих эллипсов указаны на рис. 122; там же показано и построение овала, заменчюшего эллипс. Центр дуги большого радиуса овала находится на расстоянии 1,06 d от центра овала, а центр дуги радиуса , точка , находится на пересечении прямой с большой осью овала.

Построение аксонометрии геометрических тел, машиностроительных деталей, узлов строительных конструкций и т. п. будет рассмотрено далее.

Геометрические поверхности и тела

Геометрическая поверхность образуется как совокупность всех последовательных положений линии, движущейся определенным образом в пространстве.

Линия, которая при своем движении образует поверхность, называется образующей.

Образующая может быть прямой линией, в этом случае поверхность называется линейчатой.

Рис. 123. Образование поверхностей скольжения

Примером линейчатой поверхности является плоскость Р (рис. 123). Она образована движением прямой линии АВ, скользящей по двум параллельным прямым CD и EF. Линейчатой поверхностью будет и цилиндр (рис. 124), образованный вращением прямой линии АВ вокруг оси , параллельной образующей.

Поверхности, у которых образующие не могут быть прямыми линиями, называются нелинейчатыми. К таким поверхностям относится, например, сфера. Образующая поверхности может быть неизменяемой, а может в процессе движения деформироваться.

Ограничимся изучением поверхностей с неизменяемой образующей.

Поверхность, полученная вращением образующей вокруг оси, называется поверхностью вращения.

В технике такие поверхности встречаются очень часто: поверхности вращения ограничивают валы, шкивы, ролики, шарики, ступицы и т. п. Многие детали, обрабатываемые на токарных станках, также имеют поверхности вращения.

Примерами геометрических поверхностей вращения являются поверхности кругового цилиндра, конуса, шара, кольца и т. п.

Поверхность, образованная перемещением (скольжением) образующей по некоторой линии или линиям (направляющим), называется поверхностью скольжения.

Примерами таких поверхностей являются: плоскость, косая плоскость (гиперболический параболлоид), цилиндроид, коноид и т. п.

Рис. 124. Образование поверхностей вращения

Детальное изучение свойств такого рода поверхностей относится к соответствующим разделам высшей математики и начертательной геометрии.

Часть пространства, ограниченная геометрическими поверхностями, называется геометрическим телом.

Все геометрические тела можно подразделить на две группы: многогранники и криволинейные тела.

Рассмотрим подробнее свойства и проекции некоторых геометрических тел.

Многогранники

Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется многогранником (рис. 125).

Плоские фигуры, ограничивающие многогранник, называются гранями (1). Грани пересекаются между собой по прямым линиям, которые называются ребрами (2) многогранника. Ребра пересекаются в точках — вершинах (3) многогранника. В каждой вершине сходятся не менее трех ребер.

Рис. 125. Многогранник

Многогранники различают в зависимости от формы и количества граней.В технике чаще встречаются следующие многогранники: Призма — многогранник, у которого боковые грани — прямоугольники или параллелограммы, а основаниями служат два равных многоугольника.

Призма может быть прямой, если боковые ребра перпендикулярны к основанию (табл. 11, п. 1), и наклонной, если ребра не перпендикулярны к основанию (табл. 11, п. 2).

Прямая призма называется правильной, если в основании у нее правильный многоугольник (табл. 11, п. 3).

В зависимости от количества сторон основания призмы бывают треугольные, четырехугольные и т. д.

Призма с основаниями в виде параллелограммов называется параллелепипедом (табл. 11, п. 4 и 5). Параллелепипед также может быть прямой и наклонный. Прямой параллелепипед, у которого основаниями являются прямоугольники, называется прямоугольным (табл. 11, п. 5).

Пирамида — многогранник, у которого боковые грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину. В основании у пирамиды — многоугольник. В зависимости от количества сторон основания пирамида называется трех-, четырех-, пятиугольной и т. д.

Пирамида называется правильной, если в основании ее — правильный многоугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники (табл. 11, п. 6). У правильной пирамиды высота проходит через центр основания. В противном случае пирамида будет неправильной (табл. 11, п. 7).

Рис. 126. Способ конкурирующих точек для решения вопросов видимости

Построение проекций многогранника начинают с изображения всех его вершин. Соединив соответствующим образом одноименные проекции вершин, получают проекции ребер и граней многогранника.

Таблица 11. Многогранники

При этом принято считать, что грани многогранника непрозрачные и поэтому отдельные ребра невидимы и обводятся штриховой линией.

При решении вопроса видимости принимается следующее взаимное расположение: глаз наблюдателя, проецируемые элементы, плоскость проекций. Отсюда следует, что видимым будет тот элемент, который будет дальше от плоскости проекций и тем самым ближе к наблюдателю. Из двух точек А и В (рис. 126), расположенных на одном фронтально проецирующем луче, видимой является точка А; точка В расположена за точкой А и, следовательно, невидима.На рис. 127, а показаны проекции наклонной призмы . Построение проекций призмы рекомендуется начинать с оснований. В данном случае нижнее основание призмы ABC лежит на плоскости Н, поэтому фронтальная проекция основания   расположена на оси х. Затем проводят боковые ребра, параллельные между собой. Верхнее основание призмы параллельно нижнему, фронтальная проекция его представляет собой прямую линию, параллельную оси х, а горизонтальная— треугольник , равный abc и с соответственно параллельными сторонами.

Сравнивая по горизонтальной проекции положения ребра и грани , можно сделать вывод, что грань расположена от плоскости V дальше, чем ребро , поэтому фронтальная проекция этого ребра будет невидима, так как ребро будет закрыто указанной гранью.

Чтобы решить, какое из ребер, 

или , видимо на горизонтальной проекции, на ребре возьмем точку , а на ребре  — точку , расположенные на одном горизонтально проецирующем луче (горизонтальные проекции  и точек М и N сливаются).

Рис. 127. Призма

Фронтальная проекция точки N, расположенная на  будет выше фронтальной проекции точки , которая лежит на , поэтому горизонтальная проекция невидима и обведена штриховой линией.

Эпюр пирамиды (рис. 128, а) также рекомендуется начинать строить с проекций основания. Затем строят вершину S пирамиды. Соединив прямыми проекции вершины пирамиды с одноименными проекциями вершин основания, получим проекции боковых ребер. Фронтальные проекции ребер и будут невидимыми.

На рис. 127, б и 128, б показано построение прямоугольной изометрии призмы н пирамиды.

Вершины А, В и С нижнего основания призмы построены по двум координатам и , которые отложены соответственно по осям  и . Значение координат взято с ортогональных проекций (см. построение аксонометрии точки А). Для построения аксонометрической проекции верхнего основания призмы строят предварительно вторичную проекцию треугольника.

Рис. 128. Пирамида

С этой целью вдоль осей х и у откладывают соответствующие координаты точек . Аксонометрии точек будут на расстоянии от соответствующих вторичных проекций указанных точек (см. на рис. 127, б пример построения точки ). Построение прямоугольной изометрии пирамиды производится аналогично. Вершины основания, расположенные на плоскости Н, строят по двум координатам X и Y (координата Z этих точек равна 0). Аксонометрическая проекция вершины пирамиды S находится на расстоянии от вторичной проекции этой точки s. Точки D и расположенные на поверхности призмы и пирамиды, в аксонометрии строят также по трем координатам, значение которых берут с ортогональных проекций.

При изображении геометрических тел систему осей координат нередко связывают с изображаемым телом, совмещая оси координат с соответствующими осями симметрии геометрических тел или с соответствующими ребрами многогранников. Такая система координат называется внутренней. Так. например, в чертежах многогранников (табл. 11, пп. 3 и 6) оси х и у совпадают с осями симметрии оснований призмы и пирамиды, а ось г проведена через центр основания. На эпюре параллелепипеда (табл. 11, п. 5) оси совпадают с его ребрами.

Такое расположение координатных осей удобно для построения аксонометрических проекций тел.

В ряде случаев, когда не требуется устанавливать расстояния от плоскостей проекций до точек изображаемого предмета, оси координат на чертеже можно не изображать. Для построения профильной проекции в этом случае используют постоянную прямую чертежа. В случаях, когда необходимо отметить координаты точек, например для построения аксонометрической проекции предмета по ортогональным проекциям, применяют внутреннюю систему координат.

В технических чертежах оси координат, как правило, не показывают. В дальнейшем оси координат будут изображаться только в случае необходимости.

Криволинейные тела

Криволинейные тела, ограниченные кривыми поверхностями, отличаются большим разнообразием. Ограничимся изучением только некоторых тел вращения.

Таблица 12. Тела вращения

Прямой круговой цилиндр. Боковая поверхность прямого кругового цилиндра образована вращением вокруг оси цилиндра отрезка , параллельного этой оси. Основания цилиндра— круги (табл. 12, п. 1). Прямые линии, проведенные по боковой поверхности цилиндра параллельно его оси, называются образующими. В ортогональных проекциях показывают только проекции очерковых (крайних) образующих цилиндра.

В табл. 12, п. 1 показаны проекции цилиндра, ось которого перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций Н. Такой цилиндр на эту плоскость проецируется в виде круга, а фронтальная и профильная его проекции представляют собой прямоугольники.

Прямой круговой конус. Боковая поверхность прямого кругового конуса образована вращением отрезка прямой вокруг оси . Образующая пересекается с осью вращения в точке S, которая называется вершиной конуса (табл. 12, п. 2). Основание прямого кругового конуса — круг. В ортогональных проекциях изображают проекции очерковых образующих конуса и его основания.

Основание конуса, изображенного в табл. 12, п. 2, расположено параллельно плоскости Н. Горизонтальная проекция конуса — круг, а фронтальная и профильная.— равнобедренные треугольники.

Шар. Поверхность шара образована вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и проходящей через ее центр (табл. 12, п. 3). В ортогональных проекциях все три проекции шара — круги.

Тор. Поверхность тора (табл. 12, п. 4) образована вращением окружности вокруг оси , лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр. Ось вращения тора, изображенного в табл. 12, п. 4, перпендикулярна к плоскости Н. Его горизонтальная проекция — две концентрические окружности, расстояние между которыми равно диаметру образующей окружности. На фронтальной и профильной проекциях изображают крайние левое и правое положения образующей окружности. Сверху и снизу проекции тора ограничены прямыми линиями.

Поверхности всех рассмотренных тел вращения обладают общими свойствами:

1. Поверхности вращения пересекаются плоскостями, перпендикулярными к оси вращения, по окружностям, которые называют параллелями.
2. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по образующим, называемым меридианами.

Указанные свойства поверхностей вращения используются для решения некоторых задач, связанных с поверхностями вращения.

В табл. 12 цилиндр, конус, шар и тор изображены также в аксонометрии.

В аксонометрических проекциях цилиндра и конуса, как и в ортогональных, показывают только очерковые (крайние) образующие, касательные к окружностям оснований этих тел (окружности в аксонометрии изображаются в виде эллипсов; их построение рассмотрено в гл. 8).

В прямоугольной изометрической проекции шар проецируется в виде круга, диаметр которого в этой проекции равен 1,2 d, где d — диаметр шара в ортогональных проекциях (если прямоугольная изометрия шара построена с показателем искажения 0,82, то диаметр круга будет равен d).

В прямоугольной диметрии диаметр круга составит 1,06 d.

Для придания большей наглядности аксонометрическому изображению тора на его поверхности показан ряд положений образующей окружности, а также проведены его параллели.

Построение проекций точек, принадлежащих поверхностям геометрических тел

Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо предварительно по поверхности провести какую-либо линию, а затем на соответствующих проекциях линии отметить проекции точки. По плоскости проводят прямую линию, а по поверхности вращения— или одну из образующих, или окружность (параллель).

На рис. 127 изображена наклонная призма и задана фронтальная проекция точки ), расположенной на грани . Чтобы построить горизонтальную проекцию d этой точки, через d' параллельно фронтальным проекциям ребер проводим фронтальную проекцию вспомогательной прямой . Точка 1 лежит на стороне основания АВ. Горизонтальная проекция проведенной через D прямой пройдет через горизонтальную проекцию точки 1 параллельно горизонтальным проекциям ребер призмы. Через d' проводим линию связи и отмечаем на горизонтальной проекции 1d вспомогательной прямой искомую горизонтальную проекцию d точки D.

Рис. 129. Конус

На рис. 128, а с помощью прямой S1 построены проекции точки , расположенной на поверхности пирамиды. Вспомогательная прямая в данном случае проходит через вершину пирамиды S и точку 1, лежащую на стороне основания АВ.

На рис. 129, а приведено решение аналогичной задачи для поверхности конуса, когда задана фронтальная проекция d' точки D.

Чтобы построить горизонтальную проекцию d точки D, через фронтальную проекцию s' вершины конуса S и точку d' проводят проекцию образующей , находят ее горизонтальную проекцию  и на ней отмечают искомую горизонтальную проекцию d точки D.

Та же задача на рис. 129, 6 решена с помощью вспомогательной окружности (параллели), построенной на поверхности конуса. Сначала через d' проводят фронтальную проекцию окружности: она проецируется в отрезок прямой, параллельной оси х. Длина этого отрезка равна диаметру окружности. На горизонтальную плоскость проекций указанная окружность проецируется без искажения; на ней будет лежать горизонтальная проекция d точки D.

В табл. 12, помимо конуса, приведены решения подобных задач для цилиндра, шара и тора. Учащимся предлагается разобрать самостоятельно указанные задачи.

Для прямой призмы и прямого цилиндра вспомогательные линии строить не требуется, так как боковые поверхности этих тел проецируются в виде многоугольника у призмы и окружности у цилиндра (см. табл. 11 и 12).

Чтобы построить точку, расположенную на поверхности тела, изображенного в аксонометрии, по поверхности проводят какую-либо линию, например образующую S1 (рис. 129,в), и отмечают на ней необходимую точку.

Если требуется построить аксонометрию точки D, заданной на поверхности в ортогональных проекциях, то по ортогональным проекциям определяют координаты точки и откладывают их вдоль соответствующих аксонометрических осей. В результате получают искомую аксонометрию точки D (рис. 127,6, 128,6 и 129,в).  

Построение разверток поверхностей геометрических тел

Плоская фигура, которая получается, если поверхность тела разрезать по некоторой линии и совместить с плоскостью, называется разверткой поверхности данного тела. Развертка многогранника получается последовательным совмещением с плоскостью всех его граней.

Рис. 130. Развертка призмы

На рис. 130 изображена прямая треугольная призма . Разрежем поверхность призмы по ребрам и и совместим основания призмы и боковые грани и с плоскостью грани . Полученная фигура будет разверткой призмы.

Рис. 131. Развертка пирамиды

На рис. 131 показано построение развертки правильной прямой треугольной пирамиды SABC. Поверхность пирамиды разрезана по ребрам SC; СА; ВС. Основание и боковые грани SАC и SBC совмещены с гранью SAB. Полученная плоская фигура SCACBC будет разверткой треугольной пирамиды. Боковые грани пирамиды — треугольники построены на развертке способом засечек.

Действительные размеры боковых ребер пирамиды определены способом вращения. Так, например, ребро SC  повернуто вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершину S, до положения . В этом положении ребро будет параллельно плоскости V и фронтальная проекция равна действительным размерам ребра. Стороны основания пирамиды проецируются в действительную величину на плоскость Н.

Поверхности криволинейных геометрических тел подразделяются на развертывающиеся, которые можно, разрезав по образующей, совместить с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся.

Рис. 132. Развертка цилиндра

К развертывающимся относятся, например, поверхности цилиндра и конуса. Примерами неразвертывающихся поверхностей могут служить поверхности шара и тора. Развертки этих поверхностей строят приближенно.

На рис. 132 показано построение развертки прямого кругового цилиндра. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания , а другая— высоте цилиндра Н.

На рис. 133 показано построение развертки прямого кругового конуса. Боковая поверхность конуса развертывается в круговой сектор. Радиус сектора равен длине образующей конуса L. Угол при вершине сектора можно подсчитать по формуле , где D — диаметр основания конуса.

Чтобы на развертке построить какую-либо точку, принадлежащую развертываемой поверхности тела, необходимо предварительно через заданную точку по поверхности провести линию. Затем эту линию нанести на развертку и на ней отметить заданную точку.

На грани призмы лежит точка К (см. рис. 130). Прямая, проведенная через эту точку параллельно ребрам призмы, пересекает сторону основания АВ в точке 1.

Рис. 133. Развертка конуса

Отмечают точку 1 на развертке. Для этого от точки В в сторону точки А откладывают отрезок длиной Через точку 1 параллельно ребрам призмы проводят прямую, на которой на расстоянии от точки 1 отмечают заданную точку К.

На развертке пирамиды (см. рис. 131) аналогичная задача решена с помощью прямой , проходящей через вершину пирамиды. Следует отметить, что отрезок 1К проецируется на плоскости проекций с искажением Действительная длина этого отрезка определена способом вращения.

Положение точки К на развертке цилиндра (см. рис. 132) найдено с помощью образующей, проведенной по поверхности цилиндра через точку 1. Отрезок прямой на развертке равен длине дуги окружности основания цилиндра.

Положение точки К на развертке боковой поверхности конуса (см. рис. 133) найдено с помощью образующей S1, проведенной по поверхности конуса через точку К. Эта образующая проходит через точку 1, отстоящую на расстоянии от точки А, измеренном вдоль дуги окружности основания. Действительная длина отрезка 1К определена способом вращения: образующая S1 повернута вокруг оси конуса до совмещения с образующей SА. которая параллельна плоскости V и проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения.

Рассмотренные задачи имеют важное значение, так как в техническом черчении часто приходится прибегать к построению разверток с нанесением на них различных кривых линий, которые строят по отдельным точкам.

Пересечение тел плоскостями

В результате пересечения поверхности тела плоскостью получается замкнутая кривая или ломаная линия (одна или несколько).

В техническом черчении часто прибегают к построению такой линии. Например. для лучшего выявления форм изображаемых предметов строят сечения.

«Сечение — изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями. На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости» (ГОСТ 2.305—68).

В практике встречается построение линии среза, которая получается на поверхности предмета в результате его обработки (среза) (см. рис. 142).

Построение линии пересечения тела плоскостью входит составной частью в решение других задач, например при определении точки пересечения прямой и поверхности тела или при построении линии пересечения поверхностей двух геометрических тел. Линии пересечения поверхности тела плоскостью находят иногда при построении разверток, при конструировании деталей трубопроводов и т. п.

Пересечение плоскостью многогранника

В результате пересечения плоскостью многогранника получается плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, многоугольник. Вершинами полученного многоугольника будут точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами многоугольника будут линии пересечения его граней с секущей плоскостью. Таким образом, задача на построение линии пересечения многогранника с плоскостью сводится к известным уже задачам на определение точек пересечения прямых с плоскостью {ребер многогранника с секущей плоскостью) или к построению линии пересечения плоскостей (граней многогранника с секущей плоскостью).

На рис. 134, а и б показано построение линии пересечения трехгранной прямой призмы  с фронтально проецирующей плоскостью Р. Искомая линия пересечения пройдет через точки 1 и 2 пересечения боковых ребер и с плоскостью Р и через точки 3 и 4, в которых плоскость Р пересекается со сторонами верхнего основания.

Так как в данном случае секущая плоскость фронтально проецирующая, фронтальные проекции точек будут расположены на фронтальном следе секущей плоскости . Горизонтальные и профильные проекции вершин фигуры сечения будут на соответствующих проекциях ребер многогранника.

Действительная величина сечения найдена способом перемены плоскостей проекций. Сечение спроецировано на плоскость , параллельную сечению.

Построение линии пересечения пирамиды с фронтально проецирующей плоскостью показано на рис. 135, а и б. Плоскость Р пересекает основание пирамиды по прямой 1 —4, а боковую поверхность— по прямым 1—2, 2—3 и 3—4. Фронтальные проекции и точек пересечения ребер с плоскостью расположены на следе , а горизонтальные и профильные проекции— на соответствующих проекциях ребер пирамиды. Действительная величина сечения найдена способом перемены плоскостей проекций. Для этого плоскость Н заменена на , расположенную параллельно плоскости сечения (новая ось проекций проведена параллельно ).

На рис. 134, в и 135, в показано построение разверток усеченной части поверхностей призмы и пирамиды. Построения производятся в такой последовательности: сначала строят развертки полных поверхностей призмы и пирамиды; затем на соответствующих ребрах многогранников отмечают точки 1, 2, 3 и 4, в которых ребра многогранников пересекают секущую плоскость.

Рис. 134. Сечение призмы плоскостью

К развертке примыкает также фигура сечения, взятая без искажения с проекции на плоскость . Развертка усеченной части многогранников на рис. 134, в и 135, в обведена сплошной линией, а отсеченной (верхней) части — штрихпунктирной.

В табл. 13 приведены примеры построения линии пересечения призмы и пирамиды с плоскостями, занимающими частное положение в пространстве, а также определены действительные размеры фигур сечения.

Учащимся рекомендуется самостоятельно разобрать выполненные в табл. 13 построения.

В этой же таблице приведены изображения усеченных многогранников в аксонометрических проекциях. Призмы пп. 1, 2 и 3 изображены в прямоугольной изометрии. Полученные в ортогональных проекциях вершины сечений — точки 1, 2, 3 и 4 — отмечены на соответствующих ребрах призм в аксонометрических проекциях.

Пирамиды (пп. 4—8) построены в прямоугольной диметрии. Чтобы на соответствующих ребрах пирамид отметить вершины фигуры сечения, предварительно построены вторичные проекции этих точек, например точка 1 (п. 4) или точка 2 (табл. 13, п. 6) и т. д.

Рис. 135. Сечение пирамиды плоскостью

Затем из вторичных проекций параллельно оси z проведены линии связи до пересечения с соответствующими ребрами.

Пересечение плоскостью тел вращения

Линия пересечения плоскости с поверхностями тел вращения в общем случае представляет собой замкнутую кривую (или несколько замкнутых кривых).  

Когда секущая плоскость проходит через прямолинейные образующие или пересекает плоские основания, линия пересечения будет включать прямолинейные участки.

Таблица 13. Пересечение многогранников проецирующими плоскостями

Положение кривой линии в пространстве определяется рядом ее точек. Чем больше точек кривой будет известно, тем точнее она будет построена. Чтобы построить линию пересечения, необходимо найти точки, общие для секущей плоскости и поверхности геометрического тела. Эти точки можно определить, используя вспомогательные секущие плоскости. Например, чтобы найти точки, общие для поверхности конуса и заданной секущей плоскости Р (рис. 136, а), рассекают и конус и плоскость Р вспомогательной плоскостью Q, перпендикулярной к оси конуса. Напомним, что плоскость, перпендикулярная к оси поверхности вращения, пересекается с последней по окружности. Плоскость Q пересечет конус по окружности 1—1, а заданную секущую плоскость Р — по прямой 2—2. Линии 1—1 и 2—2 пересекаются, так как лежат в общей плоскости Q. Точки К и L пересечения этих линий — общие для конуса и плоскости Р, принадлежат искомой линии пересечения.

Рис. 136. Сечение конуса плоскостью

На рис. 136, б те же построения выполнены в ортогональных проекциях.

Проводя вспомогательные плоскости на разных уровнях и повторяя указанные построения, можно получить достаточное количество точек, принадлежащих искомой линии пересечения.

Рис. 137. Сечение конуса плоскостью

Вспомогательную плоскость Q можно расположить иначе, проведя ее через ось вращения конуса (рис. 136,в). В этом случае она пересечет конус по двум образующим , а заданную плоскость Р — по прямой 2—2. В пересечении указанных линий лежат точки К и L, принадлежащие искомой линии.

На рис. 136, г это построение выполнено в ортогональных проекциях.

Выбор положения вспомогательных плоскостей зависит от конкретных условий задачи; при этом нужно стремиться к тому, чтобы количество вспомогательных построений было минимальным, а линии пересечения вспомогательных плоскостей с заданной поверхностью— простыми (прямые или окружности).

Построение линии пересечения следует начинать с характерных (опорных) точек. К ним относятся высшая и низшая точки; крайние — левая и правая; точки, разграничивающие видимость линии пересечения; точки, расположенные на очерковых (крайних) образующих; точки, принадлежащие осям фигуры сечения, п т. п.

Таблица 14. Пересечение цилиндра, конуса и шара проецирующими плоскостями

Построение линии пересечения конуса с плоскостью общего положения Р (рис. 137) начинают с определения высшей и низшей точек. Для этого через ось конуса перпендикулярно к следу проводят вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость . Эта плоскость пересечет конус по двум образующим и , а плоскость Р — по прямой . В пересечении прямой CD с образующей SА будет низшая точка 1, а с образующей SB — высшая точка 2. Точки, разграничивающие видимость, определяют с помощью фронтальной плоскости Т, проведенной через ось и очерковые (крайние правую и левую) образующие конуса. Плоскость Т пересекает заданную плоскость Р по фронтали, проходящей через точку .

Фронталь пересекает очерковые образующие конуса в точках , которые делят фронтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.

Промежуточные точки искомой линии определяют, используя горизонтальные вспомогательные плоскости, которые располагают между высшей и низшей точками сечения.

Вспомогательная плоскость Q пересекает конус по окружности радиуса , а заданную плоскость Р — по горизонтали, проходящей через точку . В пересечении окружности и горизонтали лежат точки 5 и 6, принадлежащие искомой линии. Аналогично находят и другие точки (на рис. 137 эти построения не даны, чтобы не усложнять чертеж). Условимся считать плоскость Р непрозрачной, поэтому часть конуса, расположенная под плоскостью Р (включая основание конуса), изображена невидимой.

Если заданная секущая плоскость занимает частное положение (перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей проекций, табл. 14), решение задачи построения линии пересечения упрощается, так как одна проекция линии пересечения будет отрезком прямой, совпадающей с соответствующим следом секущей плоскости. Например, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом (табл. 14, пп. 1, 2, 5, 6 и 7) или горизонтальная проекция линии пересечения совпадает со следом (табл. 14, пп. 3 и 8).

Проводя вспомогательные линии по поверхности тел (см. прямые SI, S2, S3 и т. д., табл. 14, п. 6), можно построить другие проекции точек искомой линии пересечения (подробнее о построении проекций точек, лежащих на поверхности геометрических тел, см. § 31).

Вид линии пересечения плоскости с цилиндром и конусом изменяется в зависимости от угла ф наклона секущей плоскости к оси вращения (табл. 14).

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра может пересекаться плоскостью по окружности (), эллипсу ().

Боковая поверхность прямого кругового конуса в зависимости от положения секущей плоскости может пересекаться по окружности (), эллипсу ( — угол наклона образующей к оси конуса), параболе (), гиперболе () и двум прямым, если плоскость проходит через вершину конуса.

Поверхность шара пересекается по окружности независимо от положения секущей плоскости (табл. 14, пп. 9— 12).

Примеры построения линии пересечения плоскостью поверхностей тел вращения

Рассмотрим некоторые примеры построения линии пересечения плоскостью поверхностей тел вращения, а также развертки усеченной части их поверхности.

Пример 1. Построить линию пересечения прямого кругового цилиндра с фронтально проецирующей плоскостью Р. Определить действительный вид сечения и построить развертку усеченной части цилиндра (рис. 138). Плоскость Р наклонена к оси цилиндра и поэтому пересекает его боковую поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого совпадает со следом секущей плоскости, а горизонтальная— с окружностью (горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра).

В данном случае эллипс будет неполным, так как секущая плоскость пересекает верхнее основание цилиндра по прямой АВ.

Рис. 138. Сечение цилиндра плоскостью

Чтобы построить профильную проекцию, а также действительный вид фигуры сечения и развертку, на линии пересечения намечают ряд точек — 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., горизонтальные проекции которых для удобства построения берут на одинаковых расстояниях одна от другой (делят окружность на 12 равных частей). По горизонтальной и фронтальной проекциям строят профильные проекции отмеченных точек линии пересечения. Действительный вид сечения определяют способом совмещения.

Развертку получают так.

Сначала строят полную развертку поверхности цилиндра. Затем на нее наносят образующие цилиндра, проведенные через отмеченные ранее точки линии пересечения, и на каждой из образующих откладывают расстояния от нижнего основания цилиндра до соответствующих точек сечения — координаты Z (см. построение на развертке точки 2). Соединяя по лекалу отмеченные точки, наносят линию пересечения на развертку.

К развертке боковой поверхности цилиндра примыкает нижнее основание цилиндра, усеченная часть верхнего основания и фигура сечения.

На рис. 138, слева, показано построение прямоугольной изометрии усеченной части цилиндра. Линию пересечения на поверхности цилиндра строят по точкам. На нижнем основании цилиндра иаходят положение вторичных проекций точек линии пересечения, через них проводят образующие цилиндра, на которых отмечают аксонометрии точек, принадлежащих искомой линии. Они находятся на расстоянии Z от нижнего основания цилиндра (от своих вторичных проекций). Значение координат Z берут с ортогональных проекций (см. пример построения точки 2; рис. 138).

Пример 2. Построить линию пересечения прямого кругового конуса фронтально проецирующей плоскостью. Определить действительный вид сечения и построить развертку усеченной части конуса (рис. 139).

Рис. 139. Сечение конуса плоскостью

Рис. 140. Определение действительной длины образующей конуса

Угол наклона секущей плоскости Р к оси конуса больше угла наклона образующей к оси, но меньше 90°, поэтому плоскость Р пересекает боковую поверхность конуса по эллипсу, фронтальная проекция которого сливается с фронтальным следом секущей плоскости .

Чтобы построить горизонтальную проекцию линии пересечения, по поверхности конуса проводят ряд образующих через точки и т. д., расположенные на основании конуса. В данном случае эти точки делят основание конуса на 12 равных частей.

Построив фронтальные проекции образующих, отмечают на них проекции точек, принадлежащих линии пе-

ресечения, — 1', 2', 3' и т. д. Проводя линии связи до горизонтальных проекций образующих, строят горизонтальные проекции 1, 2, 3,... точек линии пересечения, а на профильных проекциях образующих— профильные проекции тех же точек. Действительный вид сечения построен способом совмещения.

Чтобы на развертку конуса нанести линию пересечения, через точки   и т. д. проводят образующие, на которых откладывают отрезки, равные действительным расстояниям от основания конуса до точек линии пересечения. Действительные размеры отрезков образующих определяют способом вращения. Образующую вращают вокруг оси конуса (рис. 140) до положения , когда она совместится с крайней (очерковой) образующей, т. е. станет параллельной плоскости V.

Фронтальная проекция равна действительной длине отрезка АВ. Аналогично найдены на рис. 139,6 размеры отрезков и т. д.

Построение линии пересечения на аксонометрическом изображении (см. рис. 139, а) начинают со вторичной проекции, которая пройдет через точки 1, 2, 3, 4, .... построенные по координатам X и Y. Отложив вверх вдоль оси от вторичных проекций координаты Z соответствующих точек, получим аксонометрии точек 1, 2, 3 и т. д., принадлежащие аксонометрии линии пересечения. Те же точки можно получить, если провести через вторичные проекции точек сечения вертикальные линии до пересечения с соответствующими образующими конуса.

Пример 3. Построить линию пересечения тела вращения, изображенного на рис. 141, с фронтально проецирующей плоскостью. Найти действительный вид сечения.

Нижняя часть показанного на рис. 141 тела вращения ограничена цилиндрической поверхностью, которая с плоскостью Р будет пересекаться по эллипсу (неполному). Верхняя часть ограничена поверхностью тора.

Построение линии пересечения начинают с определения характерных (опорных) точек. Окружность нижнего основания цилиндра пересекается плоскостью Р в точках 1 и 2, а верхнего — в точках 3 и 4.

Высшая точка сечения 5 будет в пересечении правой (на фронтальной проекции) очерковой образующей тора с плоскостью Р.

Рис. 141. Сечение тела вращения плоскостью

Точки 6 и 7 лежат на очерковых образующих профильной проекции.

Промежуточные точки 8, 9, 10 и 11 находят, используя вспомогательные горизонтальные плоскости и , которые пересекают поверхность тора по окружностям, а плоскость Р — по горизонталям. В пересечении этих линий будут расположены указанные выше точки.

Промежуточные точки 12 и 13 дуги эллипса построены по горизонтальным проекциям, расположенным на окружности основания цилиндра.

Действительный вид сечения найден способом совмещения.

Пример 4. Построить линию среза, полученную в результате пересечения поверхности тела вращения, изображенного на рис. 142, с фронтальными плоскостями и .

Построение рекомендуется вести в следующем порядке. Расчленить заданное тело вращения на составляющие его геометрические тела (справа налево): сферу, тор, цилиндр, конус и цилиндр. Затем отметить характерные точки линии среза и построить участки линии, не требующие дополнительных построений.

Сферу плоскость пересечет по окружности радиуса R, которая пройдет через крайнюю правую точку 1 линии среза. Окружность проецируется на плоскость V без искажения. Границами окружности будут точки 2 и 3, находящиеся на границе поверхностей тора и сферы.

Цилиндр, расположенный между тором и конусом, будет пересекаться по образующим 4—6 и 5—7, профильные проекции которых представляют собой точки пересечения профильных следов и с окружностью — профильной проекцией цилиндра.

Крайняя левая точка 8 линии среза является вершиной гиперболы, по которой плоскость Р пересекает конус.

Промежуточные точки линии среза 9 и 10, расположенные на поверхности тора, строят, используя вспомогательную профильную плоскость Q, перпендикулярную к оси тела вращения, а точки 11 и 12, лежащие на конусе,— с помощью плоскости . Эти плоскости пересекут поверхности вращения по окружностям радиусов и , которые проецируются на плоскости W без искажения. Профильные проекции указанных окружностей пересекают профильные следы и секущих

Рис. 142. Построение линии среза

плоскостей в точках 9", 10" и 11", 12", которые будут профильными проекциями точек искомой линии среза. Проводя линии связи до соответствующих фронтальных следов и вспомогательных плоскостей, отмечают на них фронтальные проекции и точек искомой линии среза.

Повторяя приведенные выше построения несколько раз, можно построить необходимое количество точек искомой кривой линии.

Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел

В машиностроении и в строительном деле часто встречаются случаи взаимного пересечения геометрических тел. Сложную комбинацию пересекающихся геометрических тел представляют, например, устройства трубопроводов химических заводов, доменных печей, нефтеперерабатывающих заводов и т. п.

В результате пересечения поверхностей получаются замкнутые пространственные кривые или ломаные линии.

Точки искомых линий определяют, применяя вспомогательные поверхности, которыми рассекают заданные поверхности. В качестве вспомогательных поверхностей используют плоскости (способ секущих плоскостей) или сферы (способ секущих сфер). Выбор способа построения линии пересечения поверхностей зависит от вида заданных геометрических тел и их расположения в пространстве.

В некоторых случаях для построения точек, принадлежащих искомой линии пересечения, нужно находить точки пересечения прямых с геометрической поверхностью.

Пересечение прямой с поверхностью геометрических тел

Чтобы найти точку (точки) пересечения прямой АВ с поверхностью Р (рис. 143), через заданную прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Q, затем строят линию пересечения 1—2 данной поверхности Р с вспомогательной плоскостью Q.

Искомая точка К пересечения прямой АВ с поверхностью Р будет расположена на линии 1—2. Форма линии пересечения 1—2 зависит от заданной поверхности Р и положения в пространстве вспомогательной плоскости Q. Нужно по возможности располагать вспомогательную плоскость так, чтобы линия пересечения ее с данной поверхностью была графически простой — прямой или окружностью.

Определение точек пересечения прямой с поверхностью некоторых геометрических тел приведено в табл.15.

Рис. 143. Определение точек пересечения прямой с поверхностью

Обычно в качестве вспомогательной используют проецирующую плоскость. Так, например, точки пересечения прямой АВ с заданными поверхностями (табл. 15, пп. 1, 2, 3, 4, 6 и 7) найдены с помощью горизонтально или фронтально проецирующих плоскостей. Однако иногда для этой цели целесообразнее использовать плоскость общего положения. В п. 5 табл. 15 приведена задача определения точек пересечения поверхности конуса с прямой общего положения АВ. Если через заданную прямую АВ провести фронтально проецирующую плоскость, то она пересечет конус по эллипсу. Горизонтально проецирующая плоскость будет пересекать конус по гиперболе. Поэтому в данном случае в качестве вспомогательной использована плоскость общего положения Q. проведенная через данную прямую и вершину конуса S.

Таблица 15. Пересечение прямой с поверхностью геометрических тел

Такая плоскость пересечет поверхность конуса по образующим.

Иногда линии, которые получаются при пересечении заданных поверхностей с вспомогательной плоскостью, проецируются на плоскости проекций с искажением. Например, окружность, которая получается в пересечении вспомогательной фронтально проецирующей плоскости Q с шаром (табл. 15, п. 7), проецируется на плоскости проекций Н и W в виде эллипсов. В таких случаях, применяя один из способов преобразования проекций — способ вращения или способ перемены плоскостей проекций, приводят полученную линию пересечения в такое положение относительно плоскости проекций, чтобы линия пересечения проецировалась без искажения.

Задача, приведенная в п. 7 табл. 15, решена способом перемены плоскостей проекций.

Учащимся предлагается самостоятельно разобрать все приведенные в табл. 15 примеры.

Построение линий пересечения поверхностей при помощи вспомогательных секущих плоскостей

Пусть заданы две геометрические поверхности — I и II (рис. 144). Чтобы определить точки, общие для этих поверхностей, рассекают их вспомогательной секущей плоскостью Q (способ секущих плоскостей). Строят линию пересечения 1—1 вспомогательной плоскости Q с заданной поверхностью I  и линию пересечения 2—2 плоскости Q с поверхностью II . Линии 1—1 и 2—2 пересекаются, так как лежат в обшей плоскости Q. Точки К и L пересечения этих линий будут общими для поверхностей I и II : они принадлежат линии пересечения заданных поверхностей I и II .

Чтобы с достаточной точностью построить линию пересечения поверхностей, нужно определить необходимое количество точек, проводя вспомогательные плоскости на разных уровнях.

Положение вспомогательных плоскостей в пространстве следует выбирать так, чтобы линии пересечения их с заданными поверхностями были графически простыми (прямые или окружности).

Рис. 144. Построение линий пересечения поверхностей

Построение линии пересечения поверхностей нужно начинать с определения характерных (опорных) точек линии пересечения. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые обычно делят линию пересечения на видимую и невидимую части (границы видимости). Нужно определить также высшую и низшую точки линии пересечения или крайние — правую и левую.

Затем находят промежуточные точки искомой линии.

На рис. 145, 6 задана цилиндрическая поверхность и коническая II. Характерными (опорными) точками линии пересечения указанных поверхностей будут точки А и В, расположенные на очерковых образующих, ограничивающих фронтальную проекцию конуса, и точки и , расположенные на очерковых образующих, ограничивающих профильную проекцию конуса. Эти точки легко определить по их профильным проекциям: они расположены на окружности радиуса R, в которую проецируется на плоскость W боковая поверхность цилиндра. Низшими точками линии пересечения будут С и , а точки В и А в данном случае будут высшими. Между этими точками проводят вспомогательную горизонтальную плоскость Q: поверхность цилиндра она пересечет по образующим 1—1, горизонтальные проекции которых легко построить по профильным проекциям. Та же плоскость Q пересечет поверхность конуса II по окружности 2—2 радиуса ; последняя на плоскость Н будет проецироваться без искажения.

Рис. 145. Построение линии пересечения цилиндра и конуса

В пересечении образующих 1—1 и окружности 2—2 будут точки К и М, принадлежащие искомой линии. Сначала строят горизонтальные проекции и этих точек; затем на фронтальном следе отмечают положение фронтальных проекций и тех же точек. Аналогично строят и другие точки искомой линии. Чтобы не усложнять чертеж, ограничимся построением только указанных точек.

Построение прямоугольной изометрической проекции пересекающихся тел (рис. 145, а) начинают с изображения заданных тел. Затем на поверхности цилиндра строят точки А, В, С, К и М, через которые проходит линия пересечения конуса и цилиндра. Для этого по поверхности цилиндра проводят образующие и отмечают на них указанные точки. Например, чтобы построить на аксонометрическом изображении точки К и М, по поверхности цилиндра проведена образующая 1—1. Эта образующая находится на высоте , значение которой берут с ортогонального чертежа. Отложив на образующей расстояния 1K и 1М, получают точки К и М. Аналогично строят и другие точки линии пересечения.

На рис. 145, в и г показано также построение разверток поверхностей цилиндра и конуса, на которые нанесена линия пересечения. Развертка цилиндра— прямоугольник со сторонами, равными L — длине образующей цилиндра и — длина дуги полуокружности основания. На соответствующих образующих цилиндра, проведенных на развертке, отмечают точки А, В, С, К и М, через которые проходит линия пересечения. Порядок построения линии пересечения на развертке конуса следующий. Сначала строят развертку конуса, у которого в основании окружность радиуса . Через точки А, В, С, К к М, заданные проекциями, проводят образующие конуса и находят их положение на развертке. Затем на этих образующих отмечают точки линии пересечения, откладывая от вершины конуса отрезки и т. д. Точки К и М будут лежать на дуге окружности основания.

Построение линии пересечения поверхностей двух многогранников — треугольных призмы и пирамиды — приведено на рис. 146,6. Линия пересечения многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию (или две замкнутых ломаных линии), которая проходит через точки пересечения ребер одного многогранник? с гранями другого и ребер другого с гранями первого.

Точки пересечения ребер пирамиды SА и SC с гранями призмы в данном случае можно определить по их профильным проекциям 1", 2", 3" и 4'', так как боковые грани призмы на профильную плоскость проекций проецируются в виде прямых линий. Проведя линии связи до фронтальных и горизонтальных проекций соответствующих ребер пирамиды, отмечают на них фронтальные и горизонтальные проекции этих точек.

Чтобы определить точки пересечения ребер призмы и с гранями пирамиды, через эти ребра проводят вспомогательные горизонтальные плоскости и , которые пересекут пирамиду по треугольникам, горизонтальные проекции которых и будут подобны основанию пирамиды. Ребро призмы пересечет пирамиду в точках 5 и б, где оно пересекает треугольник GHI. Ребро пересечет пирамиду в точках 7 и 8, в которых оно пересекает треугольник KLM. Отметив горизонтальные проекции точек 5, 6, 7 и 8, затем строят их фронтальные проекции. Точки, расположенные на общих гранях призмы и пирамиды, соединяют отрезками прямых, которые будут принадлежать искомой линии пересечения многогранников. Участки линии пересечения, расположенные на невидимых гранях многогранников, обведены линией невидимого контура.

Построение фронтальной диметрической проекции пересекающихся многогранников (рис. 146, а) начинают с определения вторичных проекций заданных тел. Аксонометрические оси проводят так, чтобы ось z проходила через вершину пирамиды S, а ось х была параллельна ребрам призмы. Аксонометрии вершин основания пирамиды— точки А, В и С — совпадают с вторичными проекциями тех же точек. Вторичными проекциями вершин призмы будут точки .

Отложив вдоль оси г отрезки fF, dD, еЕ, получают аксонометрии вершин основания призмы — точки F, D и Е. Аналогично строят точки  и . На ребрах и отмечают точки 5, 6 и 7, 8. Точки 1, 2 и 3, 4, расположенные на ребрах пирамиды и . строят по их вторичным проекциям 1, 2 и 3, 4, которые находят на вторичных проекциях и соответствующих ребер пирамиды.

На рис. 146, в и г приведены развертки призмы и пирамиды, на которых показаны линии пересечения.

На развертке призмы (см. рис. 146, в) точки 5, 6, 7 и 8 отмечены на соответствующих ребрах. Расстояния  и взяты с ортогональных проекций. Для построения точек 1, 2, 3 и 4 через них на ортогональных проекциях призмы проведены параллельно ребрам вспомогательные прямые, затем эти прямые найдены на развертке, после чего на них отмечены точки линии пересечения.

Для построения развертки пирамиды (см. рис. 146, г) предварительно способом вращения найдены действительные размеры ребер и (ребра повернуты вокруг оси, проходящей через вершину S и перпендикулярной к плоскости Н. до положения, параллельного плоскости ). Точки 1, 2, 3 и 4 линии пересечения будут лежать на ребрах SC и SА. Точки 5. 6, 7 и 8 найдены с помощью вспомогательных прямых, проведенных через указанные точки параллельно сторонам основания пирамиды.

Рис. 146. Построение линии пересечения призмы и пирамиды

Рис. 147. Построение линии пересечения призмы и сферы

Так, например, точка 8 будет расположена на прямой LM, а точка 7 —на прямой KL.

На рис. 147, а и б приведен пример построения линии пересечения четырехугольной призмы с шаром. В данном случае линия пересечения будет иметь два замкнутых контура. Характерными (опорными) точками будут точки пересечения ребер призмы с поверхностью шара. Чтобы построить эти точки, через ребра и проводят вспомогательную горизонтальную плоскость , которая пересечет шар по окружности радиуса R. Горизонтальные проекции 1 и 2 точек пересечения ребер и с шаром будут там, где проекция окружности радиуса R пересечет горизонтальные проекции указанных ребер.

Грань призмы совпадает с вспомогательной горизонтальной плоскостью Q и поэтому пересекает шар по дуге 1—2 окружности радиуса R. Аналогично строят точки 3 и 4, в которых ребра призмы и пересекают поверхность шара. Для этого через ребра проведена вспомогательная плоскость . Участки линии пересечения 1—2 и 3—4 проецируются на плоскость Н в виде дуг окружности радиуса .

Грани призмы и шар также будут пересекать по дугам окружности, но на плоскость Н эти окружности будут проецироваться с искажением в виде дуг эллипсов. Точки 5 и 6; расположенные на этом участке линии пересечения, построены с помощью горизонтальной плоскости , которая пересекает шар по окружности радиуса , а призму — по прямым и , горизонтальные проекции их и  пересекут окружность радиуса в точках 5 и 6.

Отмеченные на дугах 1—3 точки и на дугах 2—4 точки М будут характерными (опорными), так как они ограничивают большие оси эллипсов — горизонтальных и профильных проекций окружностей, по которым с шаром пересекаются грани и призмы. Сначала построены фронтальные проекции и точек N и М. для чего из центра шара проведены перпендикуляры на

фронтальные проекции и граней призмы. Горизонтальные проекции лит точек N и М построены аналогично точкам 5 и 6.

Чтобы не усложнять чертеж, построение других промежуточных точек не показано.

Построение линий пересечения поверхностей вращения при помощи вспомогательных концентрических сфер

Применение вспомогательных концентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей основано на свойстве сферы пересекаться с поверхностью вращения по окружности, если центр сферы расположен на оси поверхности вращения.

На рис. 148 изображены поверхности вращения: конус, цилиндр, тор. Сферы, центры которых расположены на осях поверхностей вращения, пересекают указанные поверхности по окружностям 1 — 1 и 2—2, которые будут проецироваться на плоскость проекций V в виде отрезков прямых, так как плоскости окружностей будут перпендикулярны к осям вращения поверхностей и плоскости V.

Если две поверхности вращения, например два конуса (рис. 149, а и б), расположены так, что их оси параллельны одной из плоскостей проекций и пересекаются в точке С, то точки, общие для заданных поверхностей, целесообразно строить, используя вспомогательные концентрические сферы. Проводят сферу радиуса R с центром в точке пересечения осей . Указанная сфера пересечет конус 1 по двум окружностям 1—1 и 2—2, которые на плоскость V спроецируются в виде отрезков прямых и , параллельных оси х. Та же сфера пересечет конус по двум окружностям 3—3 и 4—4, которые на плоскость V также будут проецироваться в виде отрезков прямых 3'—3' и 4'—4'. перпендикулярных к оси х. В пересечении указанных окружностей получим точки , принадлежащие заданным поверхностям. Горизонтальная проекция b точки В будет расположена на окружности 1—1, а горизонтальные проекции а и d точек А и D — на окружности 2—2. Эти окружности на плоскость Н будут проецироваться без искажения.

Рис. 148. Способ сфер

Рис. 149. Построение способом сфер линии пересечения двух конусов

Проводя сферы других радиусов и повторяя указанные построения, можно получить необходимое количество точек, принадлежащих линии пересечения заданных поверхностей.

Характерными (опорными) точками линии пересечения в данном случае будут точки и . лежащие на очерковых образующих фронтальной проекции конусов , точки и , принадлежащие очерковым образующим горизонтальной проекции конуса II, а также точки и , которые получены с помощью сферы радиуса касательной к поверхности конуса.

Точки будут крайними правой и левой точками линии пересечения, а радиус — наименьшим для вспомогательных сфер.

Линия пересечения конусов на горизонтальной проекции будет частично невидима. Границы видимости точки и найдены с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости , проведенной через ось конуса и пересекающей его по очерковым образующим, а конус та же плоскость пересекает по окружности.

Применение для построения линии пересечения поверхностей вспомогательных концентрических сфер возможно при соблюдении следующих условий:

1. должны быть заданы поверхности вращения;
2. оси заданных поверхностей должны пересекаться;
3. оси поверхностей вращения должны быть параллельны одной из плоскостей проекций.

Если оси заданных поверхностей или одной из заданных поверхностей не параллельны плоскости проекций, можно применить способ вращения или способ перемены плоскостей проекций, чтобы оси стали параллельны одной из плоскостей проекций.

Рис. 150. Построение способом сфер линии пересечения конуса и цилиндра

Конусы и цилиндры пересекаются по эллипсам, если они касаются одной и той же сферы. Для лучшей наглядности заданные поверхности на рис. 150 приняты прозрачными.

Фронтальные проекции линии пересечения в этом случае будут представлять собой отрезки прямых.

Горизонтальная проекция линии пересечения построена по точкам, горизонтальные проекции которых можно определить, если по поверхности конуса провести образующие (см. построение точки , рис. 150) или окружности (см. построение точки ).

Чертежи учебных моделей

Построение трех видов (проекций) учебных моделей

В техническом черчении фронтальную проекцию предмета называют видом спереди, горизонтальную — видом сверху и профильную — видом слева (справа).

Рис. 152. Проекции учебных моделей

Виды на чертеже располагают в проекционной связи: вид сверху — под видом спереди, а вид слева — справа от него (подробнее о расположении видов на чертеже изложено в разделе V).

Обычно предметы, изображаемые на чертежах, представляют комбинацию геометрических тел, изображение которых в ортогональных проекциях подробно рассмотрено в предыдущих параграфах.

Зная способы проецирования геометрических тел, нетрудно построить чертеж модели, состоящей из сочетания нескольких геометрических тел. Необходимо научиться составлять чертежи учебных моделей, как по аксонометрическим проекциям их, так и с натуры.

Приступая к составлению чертежа по аксонометрии модели (рис. 152 и 153), учащийся должен мысленно расчленить ее на составляющие геометрические тела. Так, например, изображенная на рис. 152 модель представляет прямоугольный параллелепипед с ребрами 28, 40 и 62 мм. В верхней его части имеется сквозной призматический вырез. Основание призмы — трапеция высотой 32 мм. Если смотреть сверху на эту модель, мы увидим прямоугольник со сторонами 28 и 40 мм.

Рис. 153. Проекции учебных моделей  

Вырез на виде сверху изобразится двумя сплошными линиями (видимого контура) и двумя штриховыми линиями (невидимого контура).

Вид спереди модели представляет прямоугольник со сторонами 40 и 62 мм. Наклонные линии и отрезок прямой, равный 26 мм, являются проекциями боковых граней призматического выреза. На виде слева вырез виден не будет, поэтому он показан невидимым контуром (штриховой линией).

На рис. 153 изображена более сложная модель: на основании в виде прямоугольного параллелепипеда высотой 10 мм расположен усеченный конус, имеющий сквозное призматическое отверстие. Две (боковые) грани призмы пересекают поверхность конуса по образующим, а две другие грани (горизонтальные) — по окружностям. К верхнему основанию усеченного конуса примыкает цилиндр.

На чертеже параллелепипед на всех видах изображается прямоугольниками.

Усеченный конус на видах спереди и слева проецируется в трапеции высотой 30 мм, а на виде сверху — в две концентрические окружности диаметром 30 и 50 мм.

Линия пересечения призматического отверстия и боковой поверхности конуса на виде сверху изображена двумя дугами и двумя прямыми, направленными к центру, а на виде слева — двумя наклонными прямыми, совпадающими с образующими конуса и отрезками горизонтальных прямых, в которые проецируются дуги окружностей. На виде спереди отверстие проецируется в трапецию.

Цилиндрическая часть модели на виде спереди и слева ограничена прямоугольниками, а на виде сверху проецируется в окружность, совпадающую с проекцией верхнего основания конуса.

При выполнении чертежа с натуры рекомендуется также предварительно мысленно расчленить изображаемую модель на составляющие ее геометрические тела.

Модель нужно расположить так, чтобы вид спереди давал наиболее полное представление о ее форме и размерах.

Построение третьего вида модели по двум заданным видам. Построение сечения модели наклонной проецирующей плоскостью

Положение в пространстве точки, прямой, плоской фигуры и т. п. определяют две их проекции, зная которые, можно построить третью.

В техническом черчении, где обычно не обозначают все характерные точки изображаемого предмета, для построения его третьего вида необходимо по двум заданным видам прочитать чертеж, представить форму и размеры изображенного предмета. При этом рекомендуется мысленно расчленить изображенный на чертеже предмет на составляющие его элементы — геометрические тела (призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, сферы и т. п.), правила изображения которых изучает начертательная геометрия. Уяснив четко форму, размеры, устройство изображенного в двух проекциях предмета и отдельных его частей, приступают к построению третьей проекции, используя при этом известный из начертательной геометрии способ построения по двум проекциям третьей. Виды предмета (проекции) должны располагаться в проекционной связи (проекции одних и тех же точек располагаются на линиях связи, перпендикулярных к соответствующим осям координат).

На рис. 154 заданы вид спереди и вид сверху модели. Читая чертеж по двум проекциям, определяем, что модель представляет комбинацию следующих геометрических тел: основанием ее служит правильная шестиугольная призма высотой 20 мм, на которой расположен цилиндр диаметром 50 мм. В цилиндре имеется квадратное призматическое сквозное отверстие шириной 20 мм.

На цилиндре располагается четырехугольная призма высотой 10 мм, а на ней — четырехугольная пирамида, основание которой вписано в основание призмы. На виде слева обе призмы проецируются в прямоугольники, высоту которых определяют по виду спереди, а ширину — по виду сверху. На ось будут проецироваться ребра призмы. Цилиндрическая часть модели на виде слева изображается квадратом со стороной 50 мм, так как высота цилиндра равна его диаметру. Пирамида проецируется в виде треугольника. Отверстие в цилиндре на виде слева невидимо.

Рис. 154. Проекции учебных моделей

Поэтому его контуры обведены штриховой линией за исключением линии пересечения отверстия с боковой поверхностью цилиндра.

Задача построения по двум проекциям предмета третьей не всегда имеет определенное решение. Например, на рис. 155 заданы две проекции предмета: вид спереди — квадрат и вид сверху — квадрат.

Можно предположить, что заданные проекции изображают куб, тогда вид слева будет также квадрат (рис. 155, а). Но можно предположить, что изображена треугольная призма, имеющая в основании равнобедренный треугольник (рис. 155, б). Можно также предположить, что изображен цилиндр, тогда вид слева будет круг (рис. 155, в) и т. д. (Учащимся рекомендуется самостоятельно разобрать, что изображено на рис. 155, г, а также предложить другие варианты вида слева в приведенной задаче.) Задача в этом случае не имеет определенного решения. Но в учебной практике задачи на построение третьей проекции модели по двум заданным обычно имеют определенное единственное решение.

На рис. 154 показано также построение сечения модели фронтально проецирующей плоскостью. Положение фронтального следа этой плоскости отмечено линией сечения А—А. Секущая плоскость последовательно пересекает геометрические тела, составляющие данную модель: пирамиду, призму, цилиндр, призматическое отверстие в цилиндре и шестиугольную призму. Построение линии пересечения поверхностей отдельно взятых геометрических тел подробно рассматривалось в гл. 11. Фигуры сечения данной модели представляют комбинацию сечений отдельных геометрических тел.

Истинный вид сечения построен способом перемены плоскостей проекций. Ось симметрии сечения проведена параллельно А—А — следу секушей плоскости. Размеры сечения, измеряемые вдоль оси симметрии, берут с вида спереди, размеры по ширине сечения — с вида сверху.

Рис. 155. Построение третьего вида по двум заданным

Например, нижнее основание шестиугольной призмы секущая плоскость пересекает по отрезку ВС. Этот отрезок проецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения, поэтому истинную длину его bс берем с вида сверху. Аналогично определяют длину отрезка DE и т. п.

Действительный вид сечения можно определить также приемом совмещения.

Построение разрезов на чертежах

Чертеж предмета, имеющего сложные внутренние очертания, показанные линиями невидимого контура, читается с трудом. Если такой предмет мысленно разрезать плоскостью или несколькими плоскостями и изобразить то, что получается в секущей плоскости, и часть предмета, расположенную за секушей плоскостью, то по такому изображению (разрезу) легче представить внутреннее устройство предмета.

При этом мысленное рассечение предмета не влечет за собой изменения других изображений этого предмета, оно относится только к данному разрезу.

Изображенную на разрезе часть предмета, расположенную в секущей плоскости, выделяют штриховкой. Тип штриховки устанавливается ГОСТ 2.306—68 в зависимости от материала изображаемого предмета (см. табл. 21, стр. 221).

Разрез, выполненный одной секущей плоскостью, называется простым, а несколькими — сложным.

В данной главе ограничимся рассмотрением простых разрезов; со сложными разрезами учащийся, познакомится при изучении основ машиностроительного черчения (раздел V).

В зависимости от положения секущей плоскости относительно плоскостей проекций разрезы могут быть: горизонтальные, если секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекции; вертикальные, если секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции; наклонные, когда секущая плоскость наклонена к горизонтальной плоскости проекций под углом, отличным от прямого.

Таблица 16. Простые разрезы

В свою очередь вертикальные разрезы подразделяют на фронтальные (табл. 16, п. 2), если секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций V; профильные (табл. 16, п. 3), если секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций W. Если секущая плоскость направлена вдоль длины или высоты предмета, то разрез называют продольным, а если перпендикулярно длине или высоте —поперечным.

Фронтальный разрез располагают обычно на месте вида спереди, профильный— на месте вида слева, горизонтальный — на месте вида сверху.

Когда секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета, а соответствующие изображения предмета расположены на одном и том же листе в непосредственной проекционной связи и не разделены какими-либо другими изображениями, то положение секущей плоскости для горизонтальных, фронтальных и профильных разрезов не отмечают на чертеже (табл. 16, пп. 2 и 3).

В остальных случаях положение секущей плоскости показывают на чертеже линией сечения, для которой применяют разомкнутую линию. При сложном разрезе штрих проводят также у перегибов линии сечения. На начальном и конечном штрихах ставят стрелки (табл. 16, пп. 4 и 5), указывающие направление взгляда. Стрелки располагают на расстоянии 2—3 мм от конца штриха.

Начальный и конечный штрихи не должны пересекать контур изображения. У начала и конца линии сечения, а при необходимости и у перегибов этой линии ставят одну и ту же прописную букву русского алфавита, например А. Буквы наносят у стрелок, указывающих направление взгляда, и в местах перегиба со стороны внешнего угла. Этими же буквами через тире А—А с тонкой чертой внизу обозначают разрез.

Если разрез представляет симметричную фигуру, целесообразно вычерчивать его не весь, а половину, совмещая с половиной соответствующего вида: фронтальный — с видом спереди, профильный — с видом слева, горизонтальный— с видом сверху (табл. 16, п. 5). Границей вида и разреза при этом служит осевая линия.

Рис. 156. Разрезы

Рис. 157. Разрезы

Если на ось проецируется линия видимого контура, то вид и разрез должна разделять сплошная волнистая линия, проведенная рядом с осью симметрии с таким расчетом, чтобы была видна линия видимого контура, проецирующаяся на ось.

Так, на рис. 156 линия разграничения вида и разреза проведена справа от оси, чтобы видимым было ребро шестиугольной призмы, а на рис. 157 — слева, чтобы видимым было ребро четырехугольного призматического отверстия.

Допускается также соединять раз рез с соответствующим видом несимметричных предметов, разграничивая вид и разрез сплошной волнистой линией.

Приступая к выполнению чертежа модели, надо установить, какие необходимы разрезы, чтобы выявить внутреннее строение этой модели. Следует помнить, что количество разрезов и сечений при этом должно быть наименьшим.

Приведенные в данном параграфе сведения о разрезах не являются исчерпывающими. К вопросу о разрезах учащиеся вернутся при изучении основ машиностроительного и строительного черчения.

Построение теней в ортогональных и аксонометрических проекциях. Перспективные проекции. Проекции с числовыми отметками

Построение теней

Расположенный на пути света предмет отбрасывает на находящуюся за ним поверхность падающую тень. Неосвещенная часть поверхности предмета также находится в тени, которая называется собственной. На архитектурно-строительных чертежах иногда изображают падающие и собственные тени.

Рис. 162. Тени на фасаде

Тени придают чертежам наглядность. Чертеж, на котором построены собственные п падающие тени, легче читается, приобретает объемность.

На рис. 162, а и 162, б изображена одна и та же часть фасада здания. На рис. 162, б построены тени козырька над входом, карниза и откоса дверного и оконного проемов. Рис. 162, б нагляднее рисунка 162, а. Построенные на рис. 162, б тени позволяют судить о размерах козырька, вылете карниза, глубине оконной и дверной ниш (углублений в стене).

Рис. 163. Направление лучей света  

При построении теней в ортогональных проекциях лучи света направляют параллельно диагонали куба, прислоненного гранями к плоскостям проекций (рис. 163, а). На эпюре проекции лучей света будут располагаться под углом 45° к оси проекций. При этом они могут быть направлены сверху вниз, налево (рис. 163, б) или сверху вниз, направо (рис. 163, в).

В аксонометрии направление луча света и его вторичной проекции выбирают с таким расчетом, чтобы наглядность была наибольшей.

Тень от точки

Тень от точки будет там, где луч света, проходящий через точку, пересечет поверхность, на которую падает тень.

Рис. 164. Тень от точки

Если тень от точки падает на плоскость проекций, то тенью является горизонтальный или фронтальный след луча света, проходящего через данную точку. Луч света, проведенный через точку А (рис. 164, а и б), пересечет прежде плоскость Н. Таким образом, тень от точки А упадет на горизонтальную плоскость проекций. Луч, проведенный через точку В. пересечет сначала плоскость V. Следовательно, тень от точки В упадет на фронтальную плоскость.

Условимся тени от точек обозначать прописной буквой с индексом, указывающим, на какую поверхность падает тень. Например, — тень от точки А на плоскость Н или — тень от точки В на плоскость V.

На рис. 164, а приведено построение теней точек А и В в аксонометрии. Чтобы построить тень от точки А на плоскость Н, через А проведена аксонометрия луча, через вторичную проекцию — вторичная проекция луча. Тень находится в пересечении аксонометрии и вторичной проекции луча света. В этой точке луч света пересекает плоскость Н. Тень от точки В на плоскость V будет в пересечении аксонометрии луча, проведенного через В, с вторичной проекцией того же луча на плоскость V, проведенной через .В дальнейшем вопросы, связанные с построением теней в аксонометрии, выделяться не будут, так как при определении теней в ортогональных проекциях и в аксонометрии в принципе выполняются одни и те же построения.

Чтобы найти тень от точки А на плоскость общего положения Р, заданную четырехугольником BCDE. находим точку пересечения луча света, проходящего через точку А, с плокостью Р (рис. 165). Для этого через луч света проводим вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость Q и находим линию пересечения плоскостей Р и Q — прямую 1—2. Искомая тень от точки А на плоскость Р — точка  — находится в пересечении луча с прямой 1—2.

На рис. 166 показано, как тем же приемом построена тень от точки Е на прямоугольник ABCD, принадлежащий горизонтально проецирующей плоскости Т.

Аналогично строится тень от точки на любую поверхность. Так, при построении тени от точки А на поверхность цилиндра R (рис. 167) использована горизонтально проецирующая плоскость Q, которая пересекла цилиндр по образующей 1—2. В пересечении этой образующей и луча света находится искомая тень .

Рис. 165. Тень от точки на плоскость общего положения

Рис. 166. Тень от точки на проецирующую плоскость

Рис. 167. Тень от точки на цилиндр

Тень от отрезка прямой линии и от плоской фигуры

Чтобы построить тень от прямой линии, нужно через все точки прямой провести лучи и определить, где они пересекутся с поверхностью, на которую падает тень (рис. 168).

Рис. 168. Тень от прямой

Лучи, проходящие через прямую, образуют плоскость , которая называется лучевой. Тени от прямой на плоскости проекций совпадают со следами лучевой плоскости. Так как две плоскости пересекаются по прямой, то линия пересечения лучевой плоскости с плоскостью, на которую падает тень (в данном случае ), будет прямая. Иными словами, тень от прямой на плоскость в общем случае прямая. Следовательно, чтобы построить тень от отрезка прямой, достаточно построить тени от двух его точек, например от концов отрезка, так как положение прямой определяют две точки.

На рис. 169 приведено построение тени от отрезка АВ на плоскость Н н от отрезка CD на плоскость V.

Прямая EF (рис. 170) параллельна лучам света, и, следовательно, тень от нее превратится в точку , совпадающую со следом данной прямой.

Тень от прямой, параллельной плоскости проекций, параллельна прямой, бросившей тень (прямые АВ и CD: табл. 17, пп. 1 и 2). В табл. 17 луч света направлен справа сверху.

Тень от прямой, перпендикулярной к плоскости проекций, совпадает с проекцией луча света, проведенного через проекцию данной прямой (прямые EF и KL, табл. 17, пп. 3 и 4).

Рис. 169. Тень от прямой

Если прямая пересекает плоскость, на которую падает тень, то тень проходит через точку пересечения прямой с указанной плоскостью (прямая MN, табл. 17, п. 5).

Таблица 17. Тени от прямых

Если тень от прямой падает одновременно на две или несколько плоскостей, то она будет преломляться на линиях пересечения данных плоскостей. Так, на рис. 171 показано построение тени от прямой АВ, одновременно падающей на плоскости V и Н. Тень преломляется на оси х — линии пересечения V и Н. Тень от точки В падает на плоскость Н в точке , а от точки А — на плоскость V в точке

Рис. 170. Тень от прямой

Рис. 171. Тень от прямой

Чтобы найти направление тени от отрезка АВ на плоскости Н, мысленно уберем плоскость V и построим тень от точки А на плоскость . Такая тень получила название мнимой (воображаемой), так как фактически этой тени нет. Отмечаем точку пересечения с осью х полученной тени от прямой на плоскость — точку , которую называют точкой перелома. Тень от прямой по плоскости V пойдет через тень от точки А на плоскость и точку .

Построение тени от многоугольника сводится к построению тени от всех его сторон. На рис. 172 построена тень от треугольника ABC. Тень от данного треугольника падает одновременно на плоскости V и Н. Чтобы найти точки перелома, строят мнимую тень от точки С на плоскость , хотя фактически тень от точки С падает на плоскость V.

Тень от плоской фигуры на параллельную ей плоскость равна этой фигуре. Изображенный на рис. 173 квадрат ABCD параллелен плоскости Н. Тень от него на плоскость Н имеет вид квадрата , равного квадрату ABCD. Стороны квадратов соответственно параллельны.

Аналогично строится тень от квадрата EFGK на параллельную ему плоскость V.

Прямоугольник ABCD, изображенный на рис. 174, перпендикулярен к плоскости Н. Тени от сторон AD и ВС совпадают с горизонтальными проекциями лучей света, а тень от стороны равна и параллельна стороне АВ. Аналогично строится тень от четырехугольника EFGK, перпендикулярного к плоскости V.

Рис. 172. Тень от плоской фигуры

Рис. 173. Тень от плоской фигуры

Рис. 174. Тень от плоской фигуры

На рис. 175 построена тень на плоскость Н от круга радиуса R. Так как круг расположен в горизонтальной плоскости, тень от него на плоскость Н будет ограннчена окружностью того же радиуса. Для построения тени от круга достаточно найти тень от его центра С и радиусом R провести окружность — контур падающей тени.

Тень от круга, расположенного во фронтальной плоскости, на горизонтальную плоскость проекций Н (рис. 176) ограничена эллипсом. Построение тени в данном случае ведут в такой последовательности. Сначала строят тени от сторон и диагоналей квадрата, описанного вокруг заданной окружности. Точки 1, 2, 3 и 4, в которых окружность касается квадрата, делят его стороны пополам.

Рис. 175. Тень от плоской фигуры

Рис. 176. Тень от плоской фигуры

В точках 5, 6, 7 и 8 окружность пересекает диагонали квадрата: тени от этих точек будут в пересечении теней диагоналей квадрата и вспомогательных прямых АВ и CD, проведенных через указанные точки. Эллипс, ограничивающий контур падающей тени круга, проходит через полученные восемь точек.

Тени от геометрических тел

Как уже указывалось, различают собственную и падающую тени (рис. 177). Собственная тень будет на неосвещенной части поверхности тела. Граница между освещенной и неосвещенной частями поверхности называется контуром собственной тени.

Контуром собственной тени призмы, изображенной на рис. 177, является пространственная ломаная линия BCDEFB. Контуром собственной тени шара будет окружность, которая получится, если шар пересечь плоскостью, проходящей через центр и перпендикулярной к лучам света.

Рис. 177. Тень от геометрического тела

Рис. 178. Тень от призмы

На плоскости расположены падающие тени, которые получаются из-за того, что на пути лучей света расположены геометрические тела. Линию, ограничивающую падающую тень, называют контуром падающей тени. Контур падающей от призмы тени проходит через точки , которые являются тенями от соответствующих вершин призмы.

Таким образом, контур падающей от тела тени — это тень от контура собственной тени.

Рис. 179. Тень от цилиндра

Рис. 180. Тень от пирамиды

Построение тени от призмы ABCDEFGK (рис. 178) начинают с определения контура собственной тени. Верхнее основание призмы и боковые грани ADKE и ABFE освещены. Контур собственной тени проходит через точки DCBFEKD. Через тени от этих точек будет проходить контур падающей тени . На участке FEK контуры собственной и падающей теней совпадают.

На рис. 179 показано построение тени от цилиндра. Падающая тень верхнего основания цилиндра ограничена окружностью, проведенной из центра радиусом R. Тень нижнего основания совпадает с основанием цилиндра. Тень, падающая от боковой поверхности цилиндра, ограничена касательными к окружностям — контурам падающих теней верхнего и нижнего оснований. Контур собственной тени ограничен образующими