Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел и их изменение с течением времени положения относительно друг друга. В задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел, так как состояние покоя частный случай механического движения.

Теоретическая механика состоит из трех основных частей: статики, кинематики и динамики.

Страница содержит полный курс лекций по всем темам предмета "Теоретическая механика" с подробными примерами решения задач и выполнением заданий.

Содержание:

Введение в теоретическую механику

Теоретическая механика — раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел, т. е. изменение с течением времени положения их относительно друг друга. Так как состояние покоя есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел.

Движение материи происходит во времени и пространстве. За пространство, в котором происходит движение тел, принимают «обычное» евклидово трехмерное пространство. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей, связанных с этим телом.

Движение тела происходит в результате действия на движущееся тело сил, вызванных другими телами. При изучении механического движения и равновесия материальных тел знание природы сил не обязательно, достаточно знать только их величины. Поэтому в теоретической механике не изучают физическую природу сил, ограничиваясь только рассмотрением связи между силами и движением тел.

Теоретическая механика построена па законах И. Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий (зачастую далеких и вовсе не очевидных) из этих законов, а также многовековой практической деятельностью человека. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. В механике постулируется наличие хотя бы одной такой системы (инерциальная система отсчета). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой отсчета (она называется гелиоцентрической или основной инерциальной системой отсчета).

В дальнейшем будет показано, что если имеется хотя бы одна инерциальная система отсчета, то их имеется бесчисленное множество (очень часто ннерциальные системы отсчета называют неподвижными системами). Во многих задачах за инерциальную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей. Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначительны, что практического значения они не имеют. Но имеются задачи, в которых уже нельзя пренебречь вращением Земли. В этом случае за неподвижную систему отсчета следует принимать введенную гелиоцентрическую систему отсчета.

Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов. Как во всякой естественной науке, в основе механики лежит опыт, практика, наблюдение. Но наблюдая какое-нибудь явление, мы не можем сразу охватить его во всем многообразии. Поэтому перед исследователем возникает задача выделить в изучаемом явлении главное, определяющее, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что менее существенно, второстепенно.

В теоретической механике метод абстракции играет очень важную роль. Отвлекаясь при изучении механических движений материальных тел от всего частного, случайного, менее существенного, второстепенного и рассматривая только те свойства, которые в данной задаче являются определяющими, мы приходим к рассмотрению различных моделей материальных тел, представляющих ту или иную степень абстракции. Так, например, если отсутствует различие в движениях отдельных точек материального тела или в данной конкретной задаче это различие пренебрежимо мало, то размерами этого тела можно пренебречь, рассматривая его как "материальную точку. Такая абстракция приводит к важному понятию теоретической механики—понятию материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем, что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инертности, как обладает этим свойством тело и, наконец, она обладает той же способностью взаимодействовать с другими материальными телами, какую имеет тело. Так, например, планеты в их движении вокруг Солнца, космические аппараты в их движении относительно небесных тел можно рассматривать в первом приближении как материальные точки.

Другим примером абстрагирования от реальных тел является понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело, которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, независимо от действий других тел. Конечно, абсолютно твердых тел нет, так как в результате действия сил все материальные тела изменяют свою форму, т. е. деформируются, но во многих случаях деформацией тела можно пренебречь. Например, при расчете полета ракеты мы можем пренебречь небольшими колебаниями отдельных частей ее, так как эти колебания весьма мало скажутся на параметрах ее полета. Но при расчете ракеты на прочность учет этих колебаний обязателен, ибо они могут вызвать разрушение корпуса ракеты.

Принимая те или иные гипотезы, следует помнить о пределах их применимости, так как, забыв об этом, можно прийти к совершенно неверным выводам. Это происходит тогда, когда условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предположениям и неучитываемые свойства становятся существенными. В курсе при постановке задачи мы всегда будем обращать внимание на те предположения, которые принимаются при рассмотрении данного вопроса.

Приведем некоторые сведения из истории механики. Подобно всем другим наукам механика возникла и развивалась под влиянием практических нужд человеческого общества. Она является одной из древнейших наук и ее история насчитывает приблизительно 25 веков напряженных исканий. В примитивном виде первичные понятия механики, в частности, понятия силы и скорости, появились еще в античный период. Чисто практическое применение катков, наклонной плоскости, рычага, блоков при постройке грандиозных сооружений древности (пирамиды, дворцы и т. п.) накапливало определенный опыт и, очевидно, должно было привести к обобщению этого опыта, к установлению некоторых законов механики (статики). Так, в трактате «Механические проблемы» Аристотель (384 — 322 до н. э.) рассматривает конкретные практические задачи при помощи метода, основанного на законе рычага. Однако первые попытки установления динамических законов оказались неудачными. Аристотель ошибочно полагал, что скорости падающих тел пропорциональны их весам и что равномерное и прямолинейное движение является результатом действия постоянной силы. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы преодолеть эти ошибочные представления и заложить научные основы динамики. К числу бесспорных достижений античной механики следует отнести работы Архимеда (287—212 до н. э.), который был не только выдающимся инженером своего времени, но и дал ряд научных обобщений, относящихся к гидростатике (закон Архимеда), учению о равновесии и центре тяжести.

В течение XIV—XVII столетий под влиянием торгового мореплавания и военного дела возник обширный комплекс задач, связанных с движением небесных тел, полетом снарядов, прочностью кораблей, ударом тел. Решение этих задач не могло быть осуществлено старыми методами и требовало прежде всего установления связи между движением и причинами, вызывающими его изменение.

Созданию основ динамики предшествовал сравнительно длительный период накопления опытных данных и их научного анализа. Здесь необходимо прежде всего отметить работы Н. Коперника (1473—1543), который на основе данных, установленных многовековыми наблюдениями, показал, что планеты обращаются не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Дальнейший шаг к изучению движения небесных тел сделал Иоганн Кеплер (1571—1630). Обрабатывая многочисленные наблюдения своего учителя Тихо Браге, он установил три закона движения планет.

К этому же периоду относятся работы Галелео Галилея (1564—1642). Он сформулировал принцип относительности классической механики и принцип инерции (хотя и не в общем виде), установил законы свободного падения тел. Галилеем была построена количественная теория движения тяжелого тела по наклонной плоскости и теория движения тела, брошенного под углом к горизонту. Кроме того, Галилей занимался изучением прочности стержней и сопротивлением жидкости движущимся в ней телам. Последователем Галилея в области механики был Христиан Гюйгенс (1629—1695), который сформулировал понятия центростремительной и центробежной сил, исследовал колебания физического маятника, заложил основы теории удара.

Успешно преодолевая схоластический стиль античной науки, ученые этого периода с особым вниманием относились к опытным данным и систематически контролировали истинность своих теоретических пЛтроеннй экспериментальными наблюдениями. Таковы, в частности, установленные Галилеем и Гюйгенсом законы движения тел.

В 1687 г. вышла в свет книга Исаака Ньютона (1642—1727) «Математические начала натуральной философии» (в Англии натуральной философией называют физику). Прежде всего в этой книге Ньютон, завершая работы своих предшественников, главным образом Галилея и Гюйгенса, создает стройную систему основных законов динамики. Он впервые вводит понятие массы, устанавливает основной закон динамики, связывающий массу точки, ее ускорение и действующую на нее силу, и закон равенства действия и противодействия.

Исходя из законов Кеплера, он математически установил закон всемирного тяготения, а затем доказал, что если этот закон справедлив, то планеты должны двигаться по законам Кеплера. Закон всемирного тяготения", открытый и доказанный И. Ньютоном, получил за последние десятилетия особо важное значение, так как он лежит в основе расчета межпланетных траекторий космических кораблей и траекторий искусственных спутников Земли.

Ньютон установил также тождественность природы сил взаимного тяготения и силы тяжести на Земле. Он показал, что Земля сплюснута у полюсов, объяснил явления приливов и отливов, заложил основы теории удара.

Установление общих законов механики и закона всемирного тяготения является научным открытием первостепенного значения. Но этим не исчерпывается значение «Математических начал натуральной философии» Ньютона. В своей книге он с предельной ясностью изложил общий метод, которым нужно руководствоваться при физических исследованиях.

Кратко этот метод сводится к следующему. Из опытов следует вывести два или три общих закона (принципы) и затем показать, как из этих простых законов логически вытекают различные свойства (следствия), наблюдаемые на практике. Хотя этот метод исследования не является единственно возможным, а в наши дни он кажется само собой разумеющимся, ясное изложение его и блестящий пример построения механики, данный Ньютоном в его книге, оказал громадное влияние на все последующие поколения физиков. Именно поэтому академик С. И. Вавилов сказал, что в истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона *).

Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707—1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку («динамические уравнения Эйлера»), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении.

К этому же периоду относится глубокая разработка механики свободных и несвободных систем материальных точек. Развитие этого направления было дано работами Ж- Л. Даламбера (1717 — 1783), Ж. Л. Лагранжа (173G— 1813). В «Трактате по динамике» первого из этих авторов показано, «каким образом все задачи динамики можно решать одним и притом весьма простым и прямым методом». Однако законченное развитие этого метода было дано лишь спустя- полвека Лагранжем («уравнения Лагранжа») в замечательном трактате «Аналитическая механика» (1788 г.), где, в частности, содержалось также вполне современное изложение теории линейных колебаний систем с несколькими степенями свободы.

Последующее развитие механики характеризуется углубленным изучением ранее намеченных разделов и появлением ряда ее новых ветвей. Дальнейшее обоснование принципа возможных перемещений, сформулированного Лагранжем, было проведено П. С. Лапласом (1749—1827), который ввел реакции связей, действующие на каждую точку материальной системы, и сделал предположение об идеальности связей. М. В. Остроградский (1801 — 1861) обобщил принцип возможных перемещений, распространив его на неудерживающие связи.

В 1829 г. К. Ф. Гаусс (1.777— 1855) сформулировал дифференциальный вариационный принцип — «Принцип наименьшего принуждения».

Развитие принципа наименьшего действия связано с именами П. Л. Мопертюи (1698—1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби (1804—1851). Существенный вклад в развитие аналитической механики на основе сформулированного им принципа был сделан У. Р. Гамильтоном (1805—1865). Независимо от Гамильтона этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским, который применил его для более широкого класса задач. Этот наиболее важный и общий принцип получил название принципа Гамильтона — Остро градского.

Существенные результаты были достигнуты Остроградским, Гамильтоном, Якоби в области методов интегрирования уравнений динамики.

Дальнейшее развитие получила теория движения тяжелого твердого тела. В эту область после существенных результатов Эйлера и Лагранжа сделала значительный вклад С. В. Ковалевская (1850—1891). Работа Ковалевской послужила толчком для целого ряда исследований по отысканию частных случаев интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки.

Л. Фуко (1819—1868) впервые продемонстрировал во Французской Академии наук гироскоп в кардановом подвесе. Последующее развитие теории гироскопов, обусловленное требованиями навигационных нужд, происходит в конце XIX века и особенно интенсивно в XX веке. Наиболее существенные результаты в этом разделе механики были получены М. Шулером, А. Н. Крыловым (1863- 1945), Б. В. Булгаковым (1900-1952), Б. Н. Кудреви-чем (1884-1953) и др.

Развитие механики неголономных систем связано с именами С. А. Чаплыгина, П. В. Воронца, П. Аппеля, В. Вольтеры и многих других ученых.

Существенное развитие получила теория устойчивости равновесия и движения, начала которой были даны еще Лагранжем; наиболее крупные результаты здесь принадлежат Э. Раусу (1831 — 1907), Н. Ё. Жуковскому (1847—1921), А. Пуанкаре (1854— (912) и в особенности А. М. Ляпунову (1857—1918).

Проблема борьбы с опасными вибрациями машин и сооружений вызвала к жизни углубленную разработку теории колебаний (исследования Рааея (1842—1919), А. Пуанкаре, А. Н. Крылова).

В XX веке особенно интенсивное развитие получила теория нелинейных колебаний, описывающая важные процессы не только в мехами lecKiix, но и в радиотехнических системах. Основополагающими в этой области являются работы Ван-дер-Поля, А. А. Андронова (1901 — 1952), Н. Н. Боголюбова, Л. И. Мандельштама (1879-1944), Н. М. Крылова (1879-1955), Н. Д. Папалекси (1880—1947) и др.

В механике зародилась теория автоматического регулирования (работы И. А. Вышнеградского (1831-1895)); в настоящее время эта теория представляет собой самостоятельную научную дисциплину, которую связывают с механикой, помимо исторических корней, теория устойчивости движения и теория колебаний.

В XIX веке сложилась теория упругости—наука о законах статического и динамического деформирования упругих тел (работы Эйлера, Навье (1785—1836), Коши (1789—1857), Сен-Венана (1797—1886)). В настоящее время ее начинают называть теорией твердого деформируемого тела в связи с расширением представления о законах деформирования и учетом вязких и пластичных свойств реальных тел.

В конце XIX века под сильным влиянием развития надводного и подводного кораблестроения и авиации начата углубленная разработка проблем гидро- и аэродинамики. Наиболее крупные результаты в этих областях связаны с именами Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина (1869 — 1942), Л. Прандтля (1875— 1953), Т. Кармана (1881 — 1963).

В известных работах И. В. Мещерского (1859—1935) заложены основы механики тела переменной массы (переменного состава)—дисциплины, служащей фундаментом изучения реактивного полета. Основополагающими работами в области ракето-динамики являются работы К. Э. Циолковского (1857—1935).

Механика прошла огромный путь развития, но и в наши дни она представляет живо развивающуюся науку. Укажем на одну проблему, возникшую в самое последнее время (за последние десятилетия)—проблему управления движением. Речь идет об установлении характера изменения сил, с помощью которых можно обеспечить движение по заранее выработанной программе. Сюда непосредственно примыкает проблема оптимального управления, например, каким образом управлять движением ракеты, чтобы она вышла на заданную орбиту при минимальном расходе горючего.

Строго говоря, под механикой следует понимать совокупность достаточно обособленных отраслей знаний, базирующихся на законах Ньютона. Круг вопросов, изучаемых механикой, все время расширяется, охватывая все новые и новые области на\ки и техники. Это привело к тому, что ряд разделов теоретической механики вследствие специфики объектов исследования и применяемых математических методов становится вполне самостоятельными науками. К их числу относятся дисциплины: механика жидкостей и газов, теория упругости, теория механизмов и машин, небесная механика, теория регулирования и др. Этот естественный процесс развития науки продолжается и в наши дни.

Сейчас под собственно теоретической механикой обычно понимают сравнительно узкий раздел механики, а именно: механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и их систем. Несмотря на ето, теоретическая механика является одним из важнейших курсов, изучаемых в высшей технической школе; ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других предметов при решении самых разнообразных и сложных технических задач. Все технические расчеты при постройке различных сооружений, при проектировании машин, при изучении полета различных управляемых и неупраатяемых летательных аппаратов и т. п. основаны на законах теоретической механики.

Особое значение механика приобретает сейчас, когда началась эра исследования космоса. Расчеты космических траекторий, разработки методов управления полетом представляют сложные задачи механики.

Отдавая должное значению механики как одного из важнейших разделов физики и фундамента современной техники, следует все же иметь в виду, что классическая механика лишь приближенно описывает законы природы, ибо в ее основе лежат постулаты, не вполне точно отражающие геометрию мира и характер механического взаимодействия тел. Это стало очевидным после создания Л. Эйнштейном специальной теории относительности, на которой основывается релятивистская механика.

Согласно теории относительности не существует абсолютного времени и абсолютного пространства, служащего лишь простым вместилищем тел На самом деле свойства пространства и времени существенно зависят от взаимодействующих в них тел. Более того, механические характеристики, такие как масса, тоже оказываются переменными и зависящими от обстоятельств движения (скорости). Однако становление релятивистской механики отнюдь не привело к отрицанию классической механики. Классическая механика, являясь частным (точнее, предельным) случаем релятивистской механики, не теряет своего значения, ибо ее выводы при скоростях движения, достаточно малых по сравнению со скоростью света, с большой точностью удовлетворяют требованиям многих отраслей современной техники.

В высших технических учебных заведениях теоретическая механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику и динамику. Эта сложившаяся традиция нашла отражение и в настоящем курсе.

В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия.

В кинематике движения тел рассматриваются с чисто геометрической точки зрения, т. е. без учета силовых взаимодействий между телами.

В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями Между телами. Более подробные сведения о задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответствующих разделах курса.

Статика

Статика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

Основные понятия и аксиомы статики

Как уже отмечалось во введении, в теоретической механике изучается движение материальных тел относительно друг друга. Для этого требуется прежде всего построить модели объектов и дать определение понятий, с которыми имеет дело механика. В теоретической механике рассматривается простейшая модель «обычного» евклидова трехмерного пространства. Постулируется, что в этом пространстве существует хотя бы одна система координат, в которой справедливы законы Ньютона (инерциальная система). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой. В дальнейшем будет показано, что если существует хотя бы одна инерциальная система, то их имеется бесчисленное множество) (инерциальные системы отсчета условно называются неподвижными).

Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела

В статике, не внося никаких погрешностей в вычисления, можно считать, что системы координат, жестко связанные с Землей, неподвижны). Условия относительного равновесия в других, неинерциальных системах отсчета, в частности, в системах, движущихся относительно Земли, будут выяснены в динамике.

Как для статики, так и для динамики одним из основных является понятие силы. Первичное представление о силе дают нам мускульные ощущения. В механике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг другу ускорения или деформироваться (изменять свою форму). Из этого определения сразу вытекают два способа измерения сил: первый, динамический способ, основан на измерении ускорения тела в инерциальной системе отсчета, а второй, статический способ, основан на измерении деформации упругих тел.

В механике не изучают физическую природу сил. Укажем только, что силы могут возникать как при непосредственном контакте тел (например, сила тяги электровоза, передаваемая вагонам, сила трения между поверхностями соприкасающихся тел и т. п.), так и на расстоянии (например, силы притяжения небесных тел, силы взаимодействия электрически заряженных или намагниченных частиц и т. п.).

Сила является векторной величиной — она характеризуется численным значением или модулем, точкой приложения и направлением. Точка приложения силы и ее направление определяют линию действия силы. На рис. 1.1 показана сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для измерения модуля силы ее сравнивают с некоторой силой, выбранной в качестве единицы. В международной системе единиц измерения физических величин (СИ) "за единицу силы принят один ньютон (1м), а в технической системе единиц (система МКГСС) —один килограмм силы (1 кГ или \кгс— не следует смешивать с единицей массы в системе СИ — \кг). Напомним, что эти единицы связаны соотношениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применяются и более крупные единицы измерения сил, в частности, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (меганьютон), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (килоньютон), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (тонна) и т. и.

Силу часто задают непосредственным описанием, например: к концу балки приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач численно равная 5 кн и направленная вертикально вниз. Но можно задать силу и способом, которым обычно определяют векторы, а именно, через ее проекции на оси прямоугольной системы координат и точку приложения силы. Если, как обычно, единичные векторы (орты) осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначить через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.2), то. сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определится

точкой приложения и равенством:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на соответствующие координатные оси *).

Рассматривая действие сил на материальные тела, мы будем отвлекаться не только от физической природы сил, но и от многих свойств самих тел. Так, реальные твердые тела обычно мало изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил. Поэтому для решения многих задач механики допустимо вовсе пренебречь малыми деформациями (т. е-, малыми изменениями формы) и пользоваться моделью абсолютного твердого тела, понимая под ним тело, в котором расстояния между двумя любыми точками его остаются неизменными независимо от действия тех или иных сил **). Для краткости мы будем часто пользоваться выражением «твердое тело» или даже просто «тело», имея в виду только что введенное понятие абсолютно твердого тела.

Совокупность нескольких сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется системой сил. Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно заменить другой системой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными. Символически это обозначается следующим образом;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введенное понятие эквивалентности систем сил не устанавливает условий, при выполнении которых две системы сил будут эквивалентны. Оно означает только, что эквивалентные системы сил вызывают одинаковое состояние тела (одинаковые ускорения или, если тело не абсолютно твердое, одинаковые деформации).

В том случае, когда система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна одной силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

последняя называется равнодействующей данной системы сил. Это означает, что одна равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. В дальнейшем будет показано, что не всякая система сил имеет равнодействующую.

Как уже отмечалось, в инерциальной системе координат выполняется закон инерции. Это означает, в частности, что тело, находящееся в начальный момент в покое, останется пребывать в этом состоянии, если на него не действуют никакие силы. (Полная формулировка закона инерции будет дана в лекции по динамике.) Если абсолютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то последняя называется уравновешенной системой сил или системой сил, эквивалентной нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Часто в этом случае говорят, что тело находится в равновесии *).

В заключение этой лекции обратим внимание на различие между понятием эквивалентности сил и понятием равенства векторов, изображающих эти силы. В математике два вектора считаются равными, если они параллельны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Для эквивалентности двух сил этого недостаточно и из равенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще не следует соотношение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из сделанных определений вытекает, что в общем случае две силы эквивалентны, если они геометрически (векторно) равны и приложены к одной точке тела. На рис. 1.3 показаны две геометрически равные, по не эквивалентные силы. В этом проявляется различие между свободными векторами, рассматриваемыми в математике, и силами.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аксиомы статики и их следствия

В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействущим телам. Эти законы установлены многочисленными непосредственными наблюдениями, а также опытной проверкой следствий (часто далеких и вовсе не очевидных), логически вытекающих из этих аксиом.

Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием одной силы приобретает ускорение и, следовательно, оно не может находиться в покое. Это означает, что одна сила не может составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома устанавливает условия, при выполнении которых простейшая система сил будет уравновешена.

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в начальный момент находилось в покое, . то состояние покоя тела сохранится.

На рис. 1.4 показаны уравновешенные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяющие соотношениям: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких стержней, весом которых можно пренебречь, причем известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформулированной аксиомы непосредственно следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой проходящей через концы стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю (рис. 1.5, а). Этот вывод сохраняется и в случае, когда ось стержня криволинейная (рис. 1.5, б).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.

Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.

Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, действующих по одной прямой и направленных в противоположные стороны.

Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.

Действительно, пусть сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.6, а). Приложим в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на линии действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач две уравновешенные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полагая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.6, б). Тогда согласно аксиоме 2 будем иметь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют также уравновешенную систему сил (аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.6, в). Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что доказывает следствие.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.

Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия меняет напряженно-деформированное состояние тела.

Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое —две силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.7), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е. эквивалентны одной силе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

второе — аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, равнодействующую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль равнодействующей определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угол между данными векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твердым телам.

Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной.

В частности, они позволяют разложить любую силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на две, три и т. д. составляющие, т. е. перейти к другой системе сил, для которой сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составят систему, для которой сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и с ребрами, направленными по этим прямым (рис 1.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам.

Если тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.9), то эти силы равны по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если обозначить через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же ло модулю, но противоположно направленной силой — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении тела по плоскости к нему будет приложена сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная в сторону, противоположную движению. Это — сила, с которой неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с такой же силой, но ее направление будет противоположно силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 1.10 показано тело, движущееся вправо; сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена к движущемуся телу, а сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — к плоскости.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще покоящуюся систему, изображенную на рис. 1.11, Она состоит из двигателя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач установленного на фундаменте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач который в свою очередь находится на основании Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На двигатель и фундамент действуют силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (он и представляют собой действие Земли на эти тела). Кроме указанных дбух сил, действуют также следующие силы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачсила действия тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она равна весу тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сила обратного действия тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сила действия тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на основание Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она равна суммарному весу тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сила обратного действия основания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти силы показаны на рис. 1.11, б, в, г.

Согласно аксиоме 4

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем эти силы взаимодействия определяются заданными- силами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.11, б) должно быть

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а значит, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точно так же из условия равновесия тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.11, в) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым.

Этой аксиомой (ее называют иногда принципом отвердевания) пользуются в тех случаях, когда речь идет о равновесии тел, которые нельзя считать твердыми. Приложенные к таким телам внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия твердою тела, однако для нетвердых тел эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. Проиллюстрируем это положение простым примером. На стр. 20 было показано, что для равновесия абсолютно твердого невесомого стержня необходимо и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действовали по прямой, соединяющей его концы, были равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

по модулю и направлены в разные стороны. Эти же условия необходимы и для равновесия отрезка невесомой нити, но для нити они недостаточны —необходимо дополнительно потребовать, чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими (рис. 1.12,6), в то время, как для стержня они могут быть и сжимающими (рис. 1.12, а).

В заключение этой лекции рассмотрим случай эквивалентности нулю трех непараллельных сил, приложенных к твердому телу (рис. 1.13, а).

Теорема о трех непараллельных силах. Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть на тело действует система трех сил, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем линии действия сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.13, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно перенести в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.13, б), а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем (рис. 1.13, в)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.13, в). По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме I силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.

Активные силы и реакции связей

Условимся называть тело свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, связями. Как уже упоминалось, в точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. При перечислении всех сил, действующих на данное тело, необходимо, разумеется, учитывать и эти контактные силы (реакции связей).

В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное шло можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу.

В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий или уравнений равновесия тела, которые будут установлены в дальнейшем, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей.

В качестве простейшего примера на рис. 1.14, а представлено тело, точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которого соединена с неподвижной точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В данном случае для тела связью служит стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стеснение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

свободы перемещения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается в том, что она вынуждена находиться на неизменном удалении от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но, как мы видели выше (см. рис. 1.5, б), сила действия на такой стержень должна быть направлена по прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и согласно аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть направлена вдоль той же прямой. Таким образом, направление реакции стержня совпадает с прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.14,6).

(В случае криволинейного невесомого стержня — по прямой, соединяющей концы стержня; см. рис. 1.5,6).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично сила реакции гибкой нерастяжимой нити должна быть направлена вдоль нити. На рис. 1.15 показано тело, висящее на двух нитях, и реакции нитей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаясь к общему случаю, отметим, что силы, действующие па несвободное тело (или на несвободную материальную точку), можно разделить на две категории. Одну категорию образуют силы, не зависящие от связей, а другую категорию — реакции связей. При этом реакции связей, в сущности, носят пассивный характер —они возникают лишь постольку, поскольку на тело действуют те или иные силы первой категории. Поэтому силы, не зависящие от связей, называют активными силами (иногда они называются заданными), а реакции связей — пассивными силами.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 1.16, а вверху показаны две равные по модулю активные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растягивающие стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач внизу показаны реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растянутого стержня. На рис. 1.16,6 вверху показаны активные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжимающие стержень, внизу показаны реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжатого стержня.

Рассмотрим еще некоторые типичные виды связей и укажем возможные направления их реакций; конечно, модули реакций определяются актйвными силами и не могут быть найдены, пока последние не заданы определенным образом. При этом мы будем пользоваться некоторыми упрощенными представлениями, схематизирующими действительные свойства реальных связей.

1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям (рис. 1.17, а).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие (рис. 1.17,6), то реакция направлена по нормали к поверхности самого тела.

Если твердое тело упирается острием в угол (рис. 1.17, в), то связь препятствует перемещению острия как по горизонтали, так и по вертикали. Соответственно реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угла может быть представлена двумя составляющими — горизонтальной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вертикальной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач величины и направления которых в конечном счете определяются заданными силами.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Сферическим шарниром называется устройство, изображенное на рис. 1.18, а, которое делает неподвижной точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматриваемого тела. Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция сферического шарнира имеет направление нормали к этой поверхности. Поэтому единственное, что известно относительно реакции, —это то, что она проходит через центр шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направление реакции может быть любым и определяется в каждом конкретном случае в зависимости от заданных сил и общей схемы закрепления тела. Точно так же нельзя заранее определить направление реакции подпятника, изображенного на рис. 1.18, б.

3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.19, а). Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реакции может быть любым (в плоскости, перпендикулярной оси опоры).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис. 1.19, б) препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпендикуляру к плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно реакция такой опоры также имеет направление этого перпендикуляра.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На одно и то же тело может быть наложено одновременно несколько связей, возможно, различного типа. Три примера такого рода представлены на рнс. 1.20, а. На рис. 1.20, б изображены соответствующие системы сил; здесь, в соответствии с принципом освобождаемости, связи отброшены и заменены реакциями. Реакции стержней направлены вдоль стержней (верхняя схема); прн этом предполагается, что стержни невесомы и соединены с телом и опорами с помощью шарниров. Реакции идеально гладких опорных поверхностей направлены по нормали к этим поверхностям (две нижние схемы). Кроме того, реакция цилиндрического шарнира в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (средняя схема) должна -на основании теоремы о трех непараллельных силах проходить через точку пересечения линий действия сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач идеально гибкой нерастяжимой и невесомой нити направлена вдоль нити (нижняя схема).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи. В этих случаях иногда мысленно расчленяют систему и заменяют отброшенные не только внешние, но и внутренние связи соответствующими реакциями. Один пример такого рода, в котором два тела соединены шарниром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представлен па рис. 1.21. Отметим, что силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны друг другу по модулю, но противоположно направлены (по аксиоме 4).

В заключении этой лекции отметим, что силы взаимодействия между отдельными точками данного тела называются внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними. Из этого следует, что реакции связен являются для данного тела внешними силами.

Основные задачи статики

Содержание статики абсолютно твердого тела составляют две основные задачи:

  1. Задача о приведении системы сил: как данную систему сил заменить другой, в частности наиболее простой, ей эквивалентной?
  2. Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к данному телу (или материальной точке), чтобы она была уравновешенной системой?

Первая основная задача имеет важное значение не только в статике, но и в динамике.

Вторая задача часто ставится в тех случаях, когда равновесие заведомо имеет место, например, когда заранее известно, что тело находится в равновесии, которое обеспечивается связями, наложенными на тело. При этом условия равновесия устанавливают зависимость между всеми силами, приложенными к телу; во многих случаях с помощью этих условий удается определить опорные реакции. Хотя этим не ограничивается сфера интересов статики твердого тела, но нужно иметь в виду, что определение реакций связей (внешних и внутренних) необходимо для последующего расчета прочности конструкции.

В более общем случае, когда рассматривается система тел, имеющих возможность перемещаться друг относительно друга, одной из основных задач статики является задача определения возможных положений равновесия. Эти вопросы рассматриваются в аналитической статике (см. том II, глава XVIII).

Система сходящихся сил

Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Простейший случай трех сил был рассмотрен в главе 1. Здесь рассматривается общий случай произвольного числа сил, образующих систему.

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей

Существует немало практических задач, которые требуют исследования систем сходящихся сил; в частности, они возникают ори расчетах шарнирно-стержневых систем (ферм). Кроме того, изучение системы сходящихся сил необходимо для дальнейших обобщений, относящихся к произвольной пространственной системе сил. Прежде всего докажем теорему:

Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодействующей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия.

Пусть задана система сходящихся сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1, а). Согласно следствию из аксиомы 1 перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий (рис. 2.1, б). Таким образом, мы получаем систему сил, приложенных в одной точке. Она эквивалентна исходной системе сходящихся сил. Складывая теперь силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на основании аксиомы 3 получим их равнодействующую:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Индекс в обозначении равнодействующей соответствует номеру добавляемой силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем, сложив силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является равнодействующей трех сил, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равна их сумме. Дойдя, таким образом, до последней силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим равнодействующую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач данных сил *)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этим соотношением и доказывается справедливость сформулированной теоремы.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построение равнодействующей может быть упрощено, если вместо параллелограммов построить силовой многоугольник. Пусть, например, система состоит из четырех сил (рис. 2.2). Если от конца вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отложить вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор, соединяющий начало Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее отложим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач помещая его начало в конце вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда мы получим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач идущий от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к концу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Наконец, точно так же добавим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом получим, что вектор, идущий от начала первого вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к концу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пространственный многоугольник, который получен указанным образом, называется силовым многоугольником.

На рис. 2.2 показан разомкнутый силовой многоугольник (конец последней силы не совпадает с началом первой силы); равнодействующая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена по замыкающей силового многоугольника. Конечно, при практическом построении силового многоугольника промежуточные равнодействующие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. строить не нужно.

Если для нахождения равнодействующей при помощи силового многоугольника используются правила геометрии или тригонометрии, то такой способ нахождения равнодействующей называется геометрическим способом.

В случае плоской системы сил можно воспользоваться плоским чертежом, откладывая силы в некотором масштабе; равнодействующая определяется непосредственным измерением по чертежу. Такой способ ее нахождения называется графическим.

Наиболее общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический способ, который также вытекает из основного соотношения (2.1). Поместим, например, начало прямоугольной системы координат в точку пересечения

линий действия сил (см. рис. 2.1); тогда, пользуясь теоремой (она доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на указанные оси, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции равнодействующей на те же оси.

Итак, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси.

С помощью выражений (2.2) можно найти модуль равнодействующей и ее направление в прямоугольной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как составляющие равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы сил

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

взаимно перпендикулярны (рис. 2.1), то модуль равнодействующей равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направляющие косинусы равнодействующей соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частном случае, когда все силы расположены в одной плоскости, удобно выбрать систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в плоскости расположения сил. Тогда проекции всех сил на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю и вместо формул (2.2), (2.4) и (2.5) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия равновесия системы сходящихся сил

При приведении системы сходящихся сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач было показано, что такая система эквивалентна одной равнодействующей силе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая их равнялась нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой силы; в этом случае говорят, что силовой многоугольник замкнут (рис. 2.3). Это условие удобно использовать при графическом решении задач для плоских систем сил.

Векторное равенство (2.9) эквивалентно трем скалярным равенствам:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание равенства (2.2), получаем аналитические условия равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно равенства нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системы на каждую из координатных осей.

Для частного случая плоскостей системы сходящихся сил, расположенных, например, в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач третье условие (2.10) отпадает (т. е. обращается в тождество).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что условия равновесия (как в аналитической, так и в геометрической форме) позволяют проконтролировать, находится ли в равновесии заданная система сил.

Однако еще большее практическое значение имеет другая возможность использования этих условий. Часто

заведомо известно, что вследствие наложенных связей тело находится в равновесии, причем мы знаем только часть действующих сил, а именно, активные силы; при этом опорные реакции известны лишь отчасти (например, известны их направления). Тогда с помощью условий равновесия можно найти остальные неизвестные, определяющие реакции связей. Условия равновесия, в которые входят неизвестные, будут уже служить уравнениями для определения этих неизвестных. Конечно, определение неизвестных возможно лишь в тех случаях, когда число неизвестных составляющих реакций не больше числа уравнений равновесия. Для определенности решения пространственной задачи на равновесие системы сходящихся сил она должна содержать не более трех неизвестных (соответственно трем уравнениям равновесия), а для плоской задачи —не более двух. Если неизвестных реакций больше, чем уравнений равновесия, в которые эти реакции входят, то задача не может быть решена только методами статики твердого тела (статически неопределимая задача) .

Хотя выбор направления координатных осей, на которые проектируются силы, не имеет принципиального значения, однако при решении задач для получения более простых уравнений равновесия рационально иногда направлять координатные оси перпендикулярно неизвестным силам; при этом некоторые уравнения равновесия будут содержать меньшее число неизвестных, чем их содержится в задаче.

Пример №1

Кран состоит из стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач блоков Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и мотора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач К концу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стрелы подвешен груз, вес которого равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач С помощью мотора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и троса стрелу можно установить под любым углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.4, а). Пренебрегая весом троса и стрелы, а также размерами блоков Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определить натяжение троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в стреле, если известно расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длина стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислить найденные величины при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим равновесие стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к ней приложена активная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (сила тяжести груза). В той же точке к ней приложена реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к стреле приложена реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная вдоль стрелы. Мысленно освободимся от связей и заменим их реакциями (рис. 2.4, б). Так как все-три силы, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенные к стреле, уравновешены и пересекаются в одной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то силовой треугольник должен быть замкнут. Построение замкнутого треугольника сил следует начинать с известной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из ее конца проводится направление силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из начала силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводится прямая, параллельная силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка пересечения этих прямых определяет силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.4, в).

При отбрасывании связей было заранее предположено, что стрела (стержень) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжата и поэтому реакция опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была направлена от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В данном примере это очевидно; в других, более сложных, случаях состояние стержня (растягивается он или сжимается) определяется решением задачи.

Треугольник сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подобен треугольнику Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образованному элементами крана (так как соответствующие стороны параллельны). Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь теоремой косинусов, из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При заданных значениях будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В заключение этого примера отметим, что при хорошем выполнении чертежа (строгое соблюдение масштабов и параллельности линий) приближенные значения усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и натяжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить без всяких вычислений простым измерением длин сторон силового треугольника Недостаток графического метода состоит в том, что он не позволяет провести анализ полученного решения, так как численные значения искомых величин отвечают одному фиксированному положению механизма.

Пример №2

Шар веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удерживается нитью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на неподвижной гладкой цилиндрической поверхности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.5, а). Определить натяжение нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и давление шара на опорную поверхность, если точка А крепления нити лежит на одной вертикали с центром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим равновесие шара. Мысленно освободим шар от связей и заменим их реакциями (рис. 2.5, б). Реакция нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равная ее натяжению, направлена вдоль нити от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач гладкой цилиндрической поверхности направлена по нормали к поверхности (она приложена к шару в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач касания шара с опорной поверхностью н направлена по нормали к поверхности шара, т. е. по радиусу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Шар находится в равновесии под действием трех сил: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построив замкнутый силовой треугольник (из конца известкой силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямою, параллельную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из начала силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, параллельную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка пересечения этих прямых определяет конец силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и начало силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рис. 2.5, в), мы можем определить модули сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью масштаба простым Измерением их длины. В данном примере использовать аналитические методы. Действительно, из подобия треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.5 а) и силового треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Давление шара Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на опорную поверхность (аксиома 4) равно по модулю реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но направлено в противоположную сторону: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №3

Однородная балка длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удерживается в равновесии нитью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и шарниром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.0, а).

Найти натяжение нити и реакцию шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим равновесие системы, состоящей из балки и нити. Мысленно освободим систему от связен в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложим в этих точках реакции (рис. 2.С, б). К балке приложены сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила натяжения нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта система сил должна быть эквивалентна нулю. По теореме о трех непараллельных силах реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должна проходить через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (середину стороны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построим силовой треугольник {рис. 2.6, в). Из подобия силового треугольника и треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.G, б) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начало этих рассуждений может быть несколько видоизменено, если рассматривать равновесие балки, отделенной как от стены (в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и нити (в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач см. рис. 2.6, г. Однако последующие выкладки останутся прежними, в частности, тем же останется силовой треугольник на рис. 2.6, в.

Пример №4

Определить реакции опорных шарниров невесомой трехшарнирной арки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач левая половина которой нагружена силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.7 а).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим равновесие каждой полуарки отдельно. К правой полуарке приложены две силы: реакция в шарнире Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач левой полуарки на правую. Значит, линия действия этих сил проходят через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Левая полу арка (рис. 2.7, б) находится в равновесии, следовательно, силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют уравновешенную систему действия реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через точку пересечения линий действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (реакции правой полуарки на левую). Так как направления всех сил известны, то можно построить силовой треугольник (рис. 2.7, в) и определить величины искомых реакций. После этого можно построить систему сил для правой полуарки; это сделано на рис. 2 7, г, причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №5

Однородный цилиндр веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположен между двумя гладкими наклонными плоскостями, образующими с горизонтом углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.8, о). Определить силы давления цилиндра на обе опорные плоскости.

Так как плоскости гладкие, то их реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.8, б) направлены перпендикулярно плоскостям, т. е направлены к оси цилиндра и вместе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют сходящуюся систему сил. Запишем уравнения равновесия этой системы сил:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Искомые силы давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны (согласно аксиоме 4) по модулю и противоположны по направлению реакциям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №6

Горизонтальная балка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удерживается в равновесии стержнями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти усилия в стержнях и балке, если к концу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярная балке и образующая с вертикалью угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дано: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Весами балки и стержней пренебречь; крепления шарнинные (рис. 2.9, а).

Заменяя действие стержней и балки на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим систему четырех сил, приложенных в одной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.9,6).

Проекции этих сил на координатные оси (систему координат см. на рис. 2.9, б) равны:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому в соответствии с условиями (2.11) уравнения равновесия данной системы сил имеют вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Усилия в стержнях и балке соответственно равны найденным реакциям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если бы балка поддерживалась большим числом стержней, то задача стала бы статически неопределимой, поскольку число неизвестных превзошло бы число уравнений.

Пример №7

Невесомые стержни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шарниром, поддерживаются в равновесии нитью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить натяжение нити и усилия в стержнях, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена горизонтальная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач линия действия которой образует с плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.10, а). Концы стержней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач закреплены шарнирно. Прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач горизонтальна.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменим действие стержней и нити на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекции сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси координат будут (рис. 2.10, б):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Натяжение нити и усилия в стержнях соответственно равны полученным значениям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(знак минус в выражении для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжат, а не растянут, как предполагалось при построении реакций).

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач усилие в стержне Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю.

Теория пар

Лекция носит вспомогательный характер и необходим для дальнейшего построения теории.

Сложение двух параллельных сил

Пусть параллельные и одинаково направленные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложены к точкам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела и нужно найти их равнодействующую (рис. 3.1). Приложим к точкам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равные по модулю и противоположно направленные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (их модуль может быть любым); такое добавление можно делать на основании аксиомы 2. Тогда в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы получим две силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перенесем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и разложим каждую на составляющие:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из построения видно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и две эти силы согласно аксиоме 2 можно отбросить. Кроме того, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действуют по одной прямой, и их можно заменить одной силой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая и будет искомой равнодействующей. Модуль равнодействующей равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что линия действия равнодействующей параллельна линиям действия слагаемых. Из подобия треугольников Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а, также Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим соотношение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которым определяется точка приложения равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, система двух параллельных сил. направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.

Рассмотрим теперь задачу о сложении двух параллельных сил, направленных в разные стороны и не равных друг другу по модулю. Пусть даны две силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.2.), причем для определенности будем считать, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь формулами (3.1) и (3.2), можно силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложить на две составляющие, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленные в сторону силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сделаем это так, чтобы сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оказалась приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и положим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теперь заметим, что силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно отбросить как эквивалентные нулю (аксиома 2), следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и является равнодействующей. Определим силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяющую такому разложению силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формулы (3.1) и (3.2) дают

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и так как силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в разные стороны, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим это выражение во вторую формулу (3.3), получим после простых преобразований

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из двух последних формул следует, что две не равные по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил. внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Заметим, что равнодействующая в этом случае всегда расположена за большей из двух сил.

Прежде чем рассмотреть случай двух равных по модулю, параллельных, но противоположно направленных сил, заметим, что из равенств (3.3) и (3.4) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь случай двух параллельных, равных по модулю, но противоположно направленных сил (рис. 3.3). Эта система сил называется парой сил или просто парой и обозначается символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассуждения, которыми мы пользовались при выводе соотношений (3.4) и (3.5), здесь непригодны. Формальное применение этих соотношений приводит к заключению, что в данном случае модуль равнодействующей равен нулю, а линия ее действия находится на бесконечном удалении от линий действия слагаемых сил. Чтобы понять природу этого результата, вновь вернемся к отучаю, когда слагаемые силы имеют различные модули, и предположим, что модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постепенно возрастает, приближаясь к значению модуля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда разность модулей будет стремиться к нулю, а система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — к паре. При этом модуль равнодействующей будет неограниченно приближаться к нулю (см. (3.4)), а линия ее действия — неограниченно удаляться от линий действия слагаемых (см. (3.5)).

Как следует из сказанного, для пары сил понятие равнодействующей лишено смысла, так как она представляет неуравновешенную систему, которая не может быть заменена одной силой. Говорят, что пара сил не имеет равнодействующей*).

Таким образом, пара сил является неприводимым (неупрощаемым) элементом статики; наряду с силой она является вторым самостоятельным элементом статики.

Момент силы относительно точки и относительно оси. Момент пары сил

Прежде чем перейти к исследованию свойств пары сил, введем понятие момента силы, которое необходимо для дальнейшего.

Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда «вращение», совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка, относительно которой находится момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то момент силы обозначается символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Покажем, что если точка приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то справедливо соотношение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно этому соотношению момент силы равен векторному произведению вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В самом деле, модуль векторного произведения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — плечо силы (рис. 3.4). Заметим также, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к направлению вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляется происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда формулу (3.7) полезно записывать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.4).

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки приложения силы, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О находится в начале координат,.момент силы выражается следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.

Пусть даны сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5).

Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость.

Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то проекцией силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на эту плоскость будет вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.5).

Момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (точки пересечения оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть вычислен но формуле (3.9), если в ней положить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, этот момент направлен вдоль оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а его проекция на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Другими словами,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(3.11)

Очевидно, тот же результат можно получить, если спроектировать силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на любую другую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом точка пересечения оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку пересечения через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Однако все входящие в правую часть равенства (3,11) величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач останутся неизменными, и, следовательно, можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси. Поэтому в дальнейшем вместо символа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем применять символ Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулой (3.7) и учитывая знак проекции, будем иметь:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — плечо силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.6); если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится повернуть тело вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач против хода часовой стрелки, то берется знак «плюс», и в противном случае —знак «минус».

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (3.12) дает возможность сформулировать следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно:

  1. выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси;
  2. спроектировать на эту плоскость силу;
  3. определить плечо проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком (см. изложенное выше правило).

Из формулы (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

  1. когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллельны;
  2. когда плечо проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Оба эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия сит и ось находятся в одной плоскости.

Пример №8

Вычислить относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направленной по диагонали грани куба со стороной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.7).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При решении подобных задач рационально сначала вычислить моменты силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно координатных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные оси:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя эти значения в равенства (3.10), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти же выражения для моментов силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно координатных осей можно получить, пользуясь формулой (3.12). Для этого спроектируем силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачна плоскости, перпендикулярные осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3 7). Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применяя изложенное выше правило, получим, как и следовало ожидать, те же выражения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль момента определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем теперь понятие момента нары. Найдем сначала, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—произвольная точка пространства (рис. 3.8), a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— силы, составляющие пару. Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание равенство Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окончательно находим:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.

Векторное произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и называется моментом пары. Обозначается момент пары символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, короче,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассматривая правую часть этого равенства, замечаем, что момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —плечо пары, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из самого определения видно, что момент пары сил представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена (дополнительное обоснование этого замечания следует из теорем 2 и 3 этой главы).

Для того чтобы пара сил составляла уравновешенную систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.е. нет сил, либо плечо пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. Но в этом случае силы пары будут действовать по одной прямой; так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему. Обратно, если две силы, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющие пару, уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по одной прямой. Но в этом случае плечо пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоремы о парах

Докажем три теоремы, с помощью которых становятся возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассуждениях следует помнить, что они относятся к нарам, действующим на какое-либо одно твердое тело.

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим две пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.9) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линии их действия в точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют пару. Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой (3.13):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При переносе сил, составляющих пару, вдоль линии их действия ни плечо, ни направление вращения пары не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Значит,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и формула (3.14) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.

Сделаем два замечания к этой теореме.

  1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае, но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сложения параллельных сил.
  2. После сложения может получиться, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на основании сделанного ранее замечания из этого следует, что совокупность двух пар Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.

Пусть на тело в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует пара Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Покажем, что эту пару можно заменить другой парой (F2, F2), расположенной в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если только ее момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (согласно определению это и будет означать, что пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны). Прежде всего заметим, что плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в нашем случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны.

Введем в рассмотрение новую пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложим ее вместе с парой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к телу, расположив обе пары в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы приложенная система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была уравновешена. Это можно сделать, например, следующим образом: положим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и совместим точки приложения этих сил с проекциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 3.10). В соответствии с построением будем иметь: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание второе замечание к предыдущей теореме, получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нарушает его состояния (аксиома 2), так что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно сложить по правилу сложении параллельных сил, направленных в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу, поэтому их равнодействующие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны быть приложены в точке пересечения диагоналей прямоугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме того, они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это означает, что они составляют систему, эквивалентную нулю. Итак,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь мы можем записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими эквивалентными преобразованиями нары.

Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Пусть пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположены в пересекающихся плоскостях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.11), расположенному на линии пересечения плоскостей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим трансформированные пары через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом должны выполняться равенства:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Тогда получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, мы доказали, что система двух нар эквивалентна одной паре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой пары. На основании формулы (3.13) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. теорема доказана.

Заметим, что полученный результат справедлив и для пар, лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары можно привести к одной плоскости, а но теореме 1 их можно заменить одной нарой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказанные выше теоремы о нарах позволяют сделать важный вывод: момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело. В самом деле, мы уже доказали, что если две пары имеют одинаковые моменты (следовательно, лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях), то они друг другу эквивалентны (теорема 2). другой стороны, две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, противоположная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так как сумма моментов таких пар отлична от нуля.

Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно полезно, поскольку оно полностью отражает механическое действие нары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое тело.

Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.

Перейдем к решению первой и второй задач статики в случаях, когда на тело действуют только пары сил.

Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы пар

Пусть дана система Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пар Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как угодно расположенных в пространстве, моменты которых равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На основании теоремы 3 первые две нары можно заменить одной парой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученную пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сложим с парой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим новую пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продолжая и дальше последовательное сложение моментов нар, мы получим последнюю результирующую пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар.

Теперь легко решить вторую задачу статики, т. е. найти условия равновесия тела, на которое действует система пар. Для того чтобы система пар была эквивалентна нулю, т. е. приводилась к .двум уравновешенным силам, необходимо и достаточно,

чтобы момент результирующей пары был равен нулю. Тогда из формулы (3.18) по-M(f„f/) лучим следующее условие равновесия в векторном виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В проекциях на координатные оси уравнение (3.19) дает три скалярных уравнения.

Условие равновесия (3.19) упрощается, когда все нары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, и поэтому уравнение (3.19) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось, перпендикулярную плоскости пар. Пусть это будет ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.12).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда из уравнения (3.19) получим:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом ясно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если вращение пары видно с положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач против хода часовой стрелки, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при противоположном направлении вращения, эти случая представлены на рис. 3.12.

Пример №9

Один конец балки длиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укреплен в неподвижной шарнирной опоре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второй ее конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опирается на гладкую наклонную плоскость, составляющую с балкой угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На балку действует пара сил с моментом, равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пренебрегая весом балки, определить реакции опор (рис. 3. 13).

Действие опор заменим реакциями. Реакция гладкой поверхности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена по нормали к поверхности. Так как балка находится в равновесии, то система сил, действующих на балку, эквивалентна нулю. Но активная пара сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть уравновешена только парой сил.

Следовательно, реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижной опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместе с реакцией плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны составлять пару сил. Модули реакций найдутся из условия равенства модулей моментов пар:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плечо пары. Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил

В лекции рассматривается вспомогательная задача о параллельном переносе силы. Докажем лемму:

Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Лемма о параллельном переносе силы

Пусть в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.1). Приложим теперь в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела систему двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентную нулю, причем выбираем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но, с другой стороны, система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Момент нары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. равен моменту силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Основная теорема статики

Введем определения. Пусть дана произвольная система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сумму этих сил

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называют главным вектором системы сил.

Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения) называют главным моментом рассматриваемой системы сил относительно этого полюса.

Пользуясь теперь леммой о параллельном переносе силы, докажем следующую основную теорему статики (теорема Пуансо):

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной сит, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Следовательно, основная теорема статики устанавливает закон эквивалентной замены произвольной системы сил более простои системой, состоящей из одной силы и одной пары.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — центр приведения, принимаемый за начало координат, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Прежде всего перенесем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем сложим эти силы как сходящиеся; в результате получим одну силу:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая равна главному вектору (рис. 4.2,6). Но при последовательном переносе сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы получаем каждый раз соответствующую пару сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и парой сил с моментом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

He следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение и что их можно найти только с помощью вычислений. Очень часто отдельно действующие на тело силы нельзя определить даже опытным путем, в то время как главный вектор или главный момент находятся сравнительно легко. Поясним это примером. Рассмотрим вал, находящийся в подшипниках скольжения. При вращении вала на точки его поверхности действуют со стороны подшипника силы трения. Число точек контакта и модули сил трения, как правило, нам не известны. Не всегда их можно определить и с помощью эксперимента, однако простым измерением находится сумма моментов всех сил трения относительно оси вращения, т. е. главный момент сил трения.

По тем же соображениям момент силы и момент пары сил также не следует рассматривать только как формальные величины, введенные для удобства доказательства. В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует па ротор, а вращающий момент.

Аналитическое определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил

Определим модули и направления векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть декартова система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет начало в центре приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные оси найдутся из соотношений:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а направление определяется направляющими косинусами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для проекции вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем (см. (3.10))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, модуль и направление сектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются формулами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При приведении пространственной системы сил к одной силе и одной паре сил угол между направлением главного вектора и направлением главного момента может получиться любым в зависимости от действующих сил. Для определения этого угла воспользуемся формулой, выражающей скалярное произведение векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, в соответствии с формулами (4.6) и (4.9),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним, как будут меняться сила и пара сил, к которым приводится рассматриваемая система сил, при перемене центра приведения. Так как сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна главному вектору, т. е. сумме всех сил системы, то для любого центра приведения она будет одной и той же. Если в качестве нового центра приведения взята точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач момент пары равен главному моменту относительно этого центра приведения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенный из нового центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.3). Из рассмотрения рис. 4.3 видно, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (4.13), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда на основании формул (4.2) и (4.3)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. момент пары, а следовательно, и главный момент при перемене центра приведения изменяются на момент силы, равной главному вектору, приложенному в старом центре приведения, относительно нового центpa приведения.

Из формулы (4.14) следует, что если в каком-либо центре приведения, например, точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то и для любого центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил не является единственным способом приведения к простейшему виду (хотя и применяется наиболее часто). Возможен другой вариант приведения; согласно этому варианту система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к двум силам, в общем случае не лежащим в одной плоскости.

В самом деле, пусть произвольная система сил приведена в данном центре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выберем силы, составляющие пару,равными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложим одну из них (например, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в центре приведения (рис. 4.4) и сложим ее с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В результате получим силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уже не лежащую в плоскости действия пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, пространственная система сил приведена к двум силам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые в общем случае не лежат в одной плоскости.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия равновесия пространственной системы сил

В этой лекции мы обратимся ко второй задаче статики и установим условия, при которых пространственная система сил эквивалентна нулю, т. е. условия ее равновесия. Докажем теорему.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю.

Достаточность сформулированных условии вытекает из того, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач система сходящихся сил, приложенных в центре приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна нулю, а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что в нашем случае система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.4) должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и, кроме того, должно выполняться равенство Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в рассматриваемом нами случае это может быть, если линия действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач А это значит, что главный момент равен нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил будут иметь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, в проекциях на координатные оси,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при решении задач о равновесии пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем возможность из уравнений (4.16) н (4.17) определить шесть неизвестных величин.

Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей. Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к какой-либо точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела. Тогда эта пара и сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны нулю (рис. 4.5). На основании только что доказанного плавный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равен моменту пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный вектор тоже не равен нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, предположение о существовании равнодействующей для пары сил несправедливо.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения равновесия для более частных систем сил могут быть получены из уравнений (4.16) и (4.17).

1. Равновесие пространственной системы параллельных сил. Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно линиям действия сил (рис. 4.6).

Тогда проекции сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и остается удовлетворить только одному из уравнений группы (4.16):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во второй группе уравнений (4.17) Рис 4.6. последнее выполняется тождественно, так как силы параллельны оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и остаются только два уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2.Равновесие плоской системы сил.

Для плоской системы сил из уравнений первой группы останутся два уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.7). Остается только третье уравнение:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Равновесие плоской системы параллельных сил. Условия равновесия для этого частного случая следуют из

Уравнений (4.20) и (4.21). Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно линиям действия сил (рис. 4.8). Тогда первое из уравнений (4.20) удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что при составлении уравнений равновесия (4.17) за центр приведения может быть выбрана любая точка.

Плоская система сил

Рассмотрим систему сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположенных в одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое число практических задач техники. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, согласно основной теореме статики приведем рассматриваемую систему сил к одной силе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Так как силы расположены в одной плоскости, то сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач также лежит в этой плоскости. Момент же пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно этой плоскости, так как сама пара расположена в плоскости действия рассматриваемых сил. Таким образом, для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту пары. Момент полностью характеризуется алгебраической величиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение» пары происходит против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами, за момент пары в плоских системах принимается проекция вектора момента пары на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярную плоскости действия сил.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть, например, даны две пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Индекс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модули же момента пары и момента силы обозначаются следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исходя из этих определений, для нахождения главного момента вместо формулы (5.2) будем пользоваться формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Формула (4.14), определяющая изменение главного момента при перемене центра приведения, примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для аналитического определения главного вектора применяются формулы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формулам (5.5) и (3.11) главный момент равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть для выбранного центра приведения главный вектор и главный момент не равны нулю, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равных по модулю главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом одну из сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.4, б). Тогда система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта сила и является равнодействующей. В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от прежнего центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до линии действия равнодействующей можно найти из условия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно отложить от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы момент пары сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадал с главным моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:

1. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.

2. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через данный центр приведения.

3. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом система сил эквивалентна одной паре сил.

4. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т. е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.

Для системы сил, которая приводится к равнодействующей, справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем теперь в качестве центра приведения другую точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, на основании формулы (5.6) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как главный момент для центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

это и доказывает сформулированную теорему.

При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена в какой-либо точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.5) и известны главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при центре приведения в начале координат. Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то составляющие равнодействующей по осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №10

Равнодействующие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сил давления воды на гравитационною плотину приложены в вертикальной плоскости симметрии перпендикулярно соответствующим граням на расстояниях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от основания (рис. 5.6). Сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольной части— на расстоянии одной трети от вертикальной грани треугольного сечения.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде всего найдем равнодействующую заданных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к плотине Для вычисления главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главного момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно начала координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам понадобятся значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачПо условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно формулам (5.7) и (5.10) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Главный вектор не равен нулю, поэтому система заданных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к плотине, приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль которой равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение линии действия равнодействующей найдем по формуле (5.14):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 5.6 показана равнодействующая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданных сил, приложенных к плотине. Равнодействующая реакция грунта действует по той же прямой, но она направлена в сторону, противоположную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Модули этих сил, конечно, равны между собой.

Условия равновесия плоской системы сил

Как было установлено в главе IV, необходимым и достаточным условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил эти условия получают вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка в плоскости действия сил. На основании (5.15) и (5.7) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. для равновесия плоской системы, сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю.

Возможны также другие формы уравнений равновесия.

Второй формой является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — указанные точки.

Необходимость выполнения этих трех равенств в случае равновесия системы сил вытекает из условий (5.15), и нам остается доказать их достаточность. Предположим, что все равенства (5.17) выполняются. Равенство нулю главного момента при центре приведения в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач возможно, либо если система приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и линия ее действия проходит через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач аналогично равенство нулю главного момента относительно точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равнодействующая проходит через обе точки, либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но равнодействующая не может проходить через все эти три точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по условию они не лежат на одной прямой). Следовательно, равенства (5.17) возможны лишь при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. система сил находится в равновесии.

Заметим, что если точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на одной прямой, то выполнение условий (5.17) не будет достаточным условием равновесия, — в этом случае система может быть приведена к равнодействующей, линия действия которой проходит через эти точки.

Третьей формой уравнений равновесия плоской системы сил является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил системы относительно двух любых точек и равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил системы на ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не перпендикулярна отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Необходимость выполнения этих равенств для равновесия сил вытекает непосредственно из условий (5.15). Убедимся в том, что выполнения этих условий достаточно для равновесия сил.

Из первых двух равенств, как и в предыдущем случае, вытекает, что если система сил имеет равнодействующую, то ее линия действия проходит через точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.7). Тогда проекция равнодействующей на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не перпендикулярную отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется отличной от нуля. Но эта возможность исключается третьим уравнением (5.18) так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, равнодействующая должна равняться нулю и система находится в равновесии. Понятно, что если ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет перпендикулярна отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнения (5.18) не будут достаточными условиями равновесия, так как в этом случае система может иметь равнодействующую, линия действия которой проходит через точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, система уравнений равновесия может содержать одно уравнение моментов и два уравнения проекций, либо два уравнения моментов и одно уравнение проекций, либо, наконец, три уравнения моментов.

Отметим, что при составлении любой из форм уравнений, равновесия выбор координатных осей и точек, относительно которых берутся моменты сил, вообще говоря, произволен. Однако для получения наиболее простых уравнений равновесия (каждое из которых содержит минимальное число неизвестных) целесообразно координатные оси проводить перпендикулярно неизвестным силам, а указанные точки выбирать на пересечении линий действия неизвестных сил.

При рассмотрении равновесия несвободного твердого тела на основании принципа освобождаемости заменяем действие связей их реакциями. Значит, если число этих заранее неизвестных реакций будет равно числу уравнений равновесия, в которые реакции входят, то задачу их определения можно выполнить. Если же число неизвестных реакций будет больше уравнений равновесия, содержащих реакции, то задача становится статически неопределимой.

Среди плоских задач статики особого рассмотрения заслуживает случай плоской системы параллельных сил. Хотя для этой системы главный вектор и главный момент по-прежнему определяются формулами (5.1) и (5.5), но фактические вычисления значительно упрощаются.

Пусть линии действия всех сил параллельны оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.8). Тогда уравнения равновесия для рассматриваемой системы параллельных сил будут:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с (5.17) уравнения равновесия можно также записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не должны лежать на прямой, параллельной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут лежать на прямой, параллельной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эти уравнения будут удовлетворяться при равнодействующей, отличной от нуля, если ее линия действия проходит через указанные точки).

В заключение этой лекции отметим, что система сил, действующих на твердое тело, может состоять как из сосредоточенных (изолированных) сил, так и распределенных сил. Различают силы, распределенные по линии, по поверхности и по объему тела. Так, например, давление тяжелого цилиндрического катка на горизонтальную опорную поверхность (рис. 5.8, а) представляет собой силы, распределенные вдоль линии (в данном случае — вдоль прямой). Давление газа на стенки сосуда может служить примером сил, распределенных по поверхности (рис. 5.8, б). Действие сил тяжести (рис. 5.8, в) иллюстрирует случай сил, распределенных по объему тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Распределенные силы задаются их интенсивностью. Так, например, для объемных сил сначала вводится понятие средней интенсивности силы в окрестности рассматриваемой точки тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — объем элемента, выделенного в окрестности точки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —сила, действующая на этот элемент. Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется интенсивностью силы, распределенной по объему в данной точке тела.

Аналогично вводится понятие интенсивности для силы, распределенной по поверхности и по длине линии:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно элементарная площадь и элемент длины линии.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очень часто интенсивность силы называют силой, отнесенной к соответствующей геометрической единице — длине, площади или объему. Соответственно этому единицами интенсивности служат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятно, что в простейших случаях (см., например, рис. 5.8а) интенсивность определяется простым делением полной силы давления на длину, площадь или объем участка ее приложения.

В ряде случаев силы оказываются неравномерно распределенными. Так, на рис. 5.9, а изображено давление воды на стенку плотины, оно переменно и зависит от глубины, т. е. от координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 5.9, б показан случай, когда давление сыпучего тела на основание является функцией двух координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из-за переменной толщины слоя.

Задачи на применение уравнений равновесия

Пример №11

Однородная гладкая балка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач закрепленная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи шарнира, опирается в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на стену. В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвешен груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить опорные реакции в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если балка составляет с горизонтом угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.10, а).

Образуем силовую схему, заменив действие связей их реакциями. Реакция в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не известна ни по величине, ни по направлению, поэтому будем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

искать эту реакцию через ее проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакция в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена перпендикулярно балке (рис. 5.10, б).

Уравнения равновесия напишем в форме (5.16):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №12

Ферма опирается на неподвижный шарнир Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и каток Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач который может без трения перемещаться по наклонной плоскости. Определить реакции опор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если к ферме приложены силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.11, а),

Заменяя действие опор реакциями, составляем силовую схему (рис. 5. )1, б). Уравнения равновесия возьмем в форме (5.17). В качестве точек, относительно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которых составляются уравнения моментов, выберем точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнения равновесия при этом будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №13

К балке, изображенной на рис. 5 12, а, приложены: сосредоточенная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равномерно распределенная нагрузка интенсивности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вес балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить реакции опор.

Действие опор на балку заменяем реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а распределенную нагрузку —ее равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной в

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

середине отрезка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.12, б). Уравнения равновесия имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эти уравнения, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Познакомимся теперь с особым видом связи, которая называется жесткой (или полной) заделкой. Эта связь препятствует не только линейным перемещениям закрепленной точки тела, но и повороту вокруг этой точки.

Такова, например, жесткая заделка левого конца балки на рис. 5.13, а; этот конец оказывается полностью закрепленным — невозможны его вертикальное и горизонтальное перемещения, а также и поворот. Такая связь создает систему реакций, состоящую (рис. 5.13, б) из двух составляющих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пары, момент которой обозначен через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это следует из того, что на заделанный конец балки действует распределенная нагрузка, которую можно привести к силе, приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к паре сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №14

К однородной балке, вес которой равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.14, а). Определить реакции в месте заделки.

Силовая схема изображена на рис. 5.14, б. Уравнения равновесия будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задачи на равновесие системы тел

Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций трех-шарнирной арки, которая состоит из двух частей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеющих шарнирные опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соединенных между собой идеальным шарниром С (рис. 5.15, а). Если рассматривать эту систему тел как одно твердое тело (аксиома 5), то будем иметь три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (проекции опорных реакций в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тем не менее эта задача статически определенная. Дело в том, что в равновесии находятся два тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединенных между собой шарниром С, и можно рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число уравнений равновесия будет равно шести — по три уравнения для каждого тела. Действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач передаваемое через идеальный шарнир, может быть заменено одной силой, а действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть заменено такой же по модулю силой, но противоположно направленной (аксиома 4).

Рассмотрим равновесие каждого тела в отдельности. На рис. 5.15, б указаны силы, приложенные к телам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляют собой составляющие силы, заменяющие собой действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — составляющие силы, заменяющие действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для каждого тела мы можем составить по три уравнения равновесия, т. е. всего шесть уравнений, неизвестных же тоже будет шесть, так как в силу аксиомы 4

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например, составить три уравнения равновесия для тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а остальные три —для системы тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимая их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия для тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и уравнения равновесия для системы тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как для одного твердого тела. Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит от условий конкретной задачи.

Пример №15

Два однородных стержня одинаковой длины соединены шарнирно в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и шарнирно закреплены в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вес каждого стержня равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к системе стержней подвешен груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до горизонтальной прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить реакции шарниров Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.16, а).

Заменяя действие опор реакциями, рассмотрим сначала равновесие этой системы в целом (рис. 5.16, б). Уравнения равновесия (5.16) в этом случае

будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих уравнений находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрим теперь равновесие левого стержня. Сумма

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач моментов всех сил, приложенных к левому стержню, относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть равна нулю, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №16

Определить опорные реакции системы, состоящей из двух балок, сочлененных идеальным шарниром, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач защемлен, конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укреплен в катковой опоре (рис. 5.17, а).

Рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности. Мы получаем два твердых тела, на которые действуют реакции внешних связей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и попарно равные силы взаимодействия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом общее число неизвестных равно шести.

Запишем уравнения равновесия в форме (5.16) для левой балки (рнс. 5.17, б):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для правой балки (рис. 5.17, в):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании аксиомы 4 (третьего закона Ньютона) модули сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны между собой, т. е Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая эти равенства и решая затем полученную систему уравнений, находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия равновесия частично закрепленного тела

В некоторых случаях приходится рассматривать равновесие частично закрепленных тел, т. е. тел, на которые наложены связи, допускающие некоторое перемещение тела. Два примера такого рода изображены на рис. 5.18, а, 6. Очевидно, что при произвольной системе активных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к телу, равновесия не будет. Однако возможны и такие случаи, когда равновесие имеет место.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним условия, которым должны удовлетворять активные силы, чтобы тело находилось в равновесии. Прежде всего остановимся на случае твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения; к телу приложена система активных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (рис. 5.18, а). Ось вращения служит связью для рассматриваемого тела; согласно принципу освобождаемости действие связи заменяем реакцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (предполагаем, что трение отсутствует).

Направление реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от характера приложенных к телу сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Напишем уравнения равновесия в форме (5.18):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первых двух уравнений можно найти обе составляющие реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В последнее уравнение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не входит. Это уравнение устанавливает зависимость между активными силами, необходимую для равновесия тела.

Таким образом, для рассматриваемого случая активные силы должны удовлетворять одному уравнению

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обратимся теперь ко второму примеру (рис. 5.16, б), где связью служит стержень. Направление реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач фиксировано и совпадает с осью стержня. Выбирая систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как указано на рис. 5.18, б, имеем следующие уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое уравнение служит для определения реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Два остальных уравнения накладывают определенные требования на систему активных сил. Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы активные силы в данном случае удовлетворяли двум условиям:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее уравнение записано для точки тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач понятно, что его можно видоизменить, записав его для любой точки оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение натяжения тяжелой подвешенной нити

Задача об определении натяжения в подвешенной (рис. 5.19, а) связана с проблемой прочности тросов или электропередачи. Будем считать, что и что провисание нити происходит только из-за различия между ее длиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расстоянием между опорами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.19,о).

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач линейный удельный вес нити. Для пологой кривой можно принять, что вес равномерно распределен не по кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а по ее проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, общий вес нити будем считать равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с аксиомой 5 можно рассматривать условия равновесия любой части нити. Рассмотрим, например, правую половину нити; действующие на нее силы изображены на рис. 5.19, б. Заметим, что натяжение в любом сечении нити направлено по касательной к кривой в соответствующем месте (это следует из предположения об идеальной гибкости нити). Поэтому в нижней точке нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принятой за начало координатной системы, натяжение горизонтально. Обозначив через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стрелу провеса (т. е. расстояние по вертикали между нижней точкой и опорами), запишем уравнение моментов относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой вес половины нити. Из этого уравнения находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда, между прочим, ясно, что чем меньше стрела провеса нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тем больше натяжение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из двух уравнений для проекций сил на оси можно найти составляющие натяжения в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а затем и полное натяжение в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы, и мы можем воспользоваться приближенной формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

достаточно точной для малых по модулю значений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот результат определяет наибольшее натяжение нити, которое, впрочем, мало отличается от наименьшего натяжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для вычисления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по найденным формулам необходимо знать стрелу провеса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а для этого требуется располагать уравнением кривой, по которой провиснет нить. С этой целью рассмотрим часть нити, расположенную между началом координат и произвольным сечением с абсциссой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.19, в). Для этой части можно написать следующие уравнения равновесия (для проекций сил на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вес рассматриваемой части нити, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натяжение на правом конце этой части.

Из первого уравнения можно заключить, что с удалением от нижней точки, т. е. с увеличением угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач натяжение нити возрастает и достигает максимума в точках подвеса.

Исключив из этих уравнений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим с учетом формулы (5.23)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ho Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и мы приходим к дифференциальному уравнению, определяющему форму нити в положении равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя его, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянную интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из условия, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, приближенно установлено, что тяжелая нить в положении равновесия принимает форму параболы *). Теперь можно выразить стрелу провеса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого запишем известное из курса математического анализа выражение длины дуги

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и заметим, что для пологой нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда выражение (5.25), находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №17

Определить наименьшее и наибольшее натяжение нити, если вес единицы длины составляет 10 кГ, длина пролета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а полная длина нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде всего по формуле (5.26) находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наименьшее натяжение нити (в нижней точке) определяется по формуле (5.23):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наибольшее натяжение (в точках подвеса) находим по формуле (5.24):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение реакций упругих опор твердого тела

Если твердое тело опирается на большое число опор, то задача определения реакции может оказаться статически неопределимой. Такова, например, балка, изображенная на рис. 5.20, а. Очевидно, что трех уравнений равновесия недостаточно для определения пяти реакций, т. е. система статически неопределимая (единственная определимая реакция, горизонтальная реакция левой опоры, равна нулю).

Задача определения реакций в таких системах, вообще говоря, выходит за рамки курса теоретической механики и чаще всего требует использования методов сопротивления материалов. При этом приходится отказываться от предположения об абсолютной жесткости балки и исследовать ее изгиб под Действием заданной нагрузки и неизвестных реакций (рис. 5.20, б).

Однако среди статически неопределимых задач встречаются такие, которые требуют привлечения сложных соображений. Здесь мы имеем в виду такие системы, которые можно схематизировать в виде абсолютно твердых тел, покоящихся на упругих опорах. Примером может служить та же балка (в предположении ее абсолютной жесткости), лежащая на упругих опорах, показанных на рис. 5.20, в. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В качестве дополнительного условия примем, что реакции опор пропорциональны их осадкам при одинаковом для всех опор коэффициенте жесткости; по-видимому, это условие приемлемо в тех случаях, когда физические свойства

всех опор одинаковы. Как мы сейчас убедимся, это условие вместе с уравнениями равновесия позволяет легко найти все опорные реакции независимо от их числа. После приложения нагрузки опоры несколько осядут, а балка займет новое положение. Принимая координатные оси, как показано на рис. 5.20, в, мы можем записать уравнение смещенной оси балки в виде Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обоснованный выбор расчетной схемы в виде б) или в) определяется конкретными соотношениями жесткости балки и опор. Однако случай б) мы вынуждены оставить в стороне и будем рассматривать только случай в) соответственно осадки опор через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.21), причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —абсцисса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опоры).

По предположению, величины реакций опор пропорциональны осадкам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —коэффициент жесткости; для определения реакций значение коэффициента жесткости несущественно. Введем неизвестные параметры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда реакции всех опор будут выражены через эти две неизвестные;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для их определения воспользуемся двумя уравнениями равновесия плоской системы параллельных сил (рис. 5.21):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число заданных сил, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число неизвестных реакций, Подставляя выражение (5.27) в систему уравнений (5.28), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося эти значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (5.27), получим решение задачи. К той же категории относится и следующая задача.

Пример №18

К жесткой плите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикрепленной несколькими болтами к основанию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена активная пара сил, действующая в плоскости плиты. Момент пары равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координаты центров болтов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известны (рис. 5.22, а). Под действием пары произойдут малые деформации болтов и плита повернется вокруг некоторого центра («центра жесткости») на малый угол.

Найти положение центра жесткости и усилия, действующие на каждый болт, считая, что усилия перпендикулярны радиусам-векторам центров болтов, проведенным из центра жесткости. Усилия можно принять пропорциональными модулям этих радиусов-векторов.

Схема сил, действующих на плиту, представлена на рис. 5.22, б, причем через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначены реакции болтов. Система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместе с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.22, б) находится в равновесии и должна удовлетворять трем уравнениям равновесия. Очевидно, что этих трех уравнений недостаточно для нахождения всех усилий, так как общее число неизвестных равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (каждое усилие определяется двумя проекциями на координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тем не менее нам удастся решить до конца эту задачу, опираясь на указанные выше дополнительные условия.

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач искомые координаты центра жесткости и через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— радиусы-векторы центров болтов, проведенные из центра жесткости (рис. 5.22, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как было сказано, принимаются пропорциональными величинам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.е

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент пропорциональности.

Проекции усилий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси координат, очевидно, будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда выражение (5.29), находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что все Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестные составляющие реакций выражены всего через три числа: координаты центра жесткости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и коэффициент пропорциональности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения этих величин мы располагаем тремя уравнениями равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее уравнение представляет собой уравнение моментов всей системы сил относительно центра жесткости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем для момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первых двух уравнений системы (5.31) находим координаты центра жесткости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

после чего из третьего уравнения следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь можно с помощью формул (5.29) найти все усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приложение методов статики к определению усилий в стержнях фермы

При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т. п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами (рис. 5.23). Ферма состоит из большого числа стержней, соединенных в точках схода их осей; соединения стержней называются узлами.

Важной частью инженерного расчета фермы является определение усилий, возникающих в стержнях при действии заданной нагрузки на ферму. При этом обычно исходят из следующих упрощающих предположений:

  1. внешние силы приложены только в узлах фермы;
  2. веса стержней пренебрежимо малы;
  3. узлы представляют собой идеальные шарниры (т. е. силы трения в них не возникают).

При таких допущениях сила, действующая со стороны какого-либо узла на примыкающий к нему стержень (усилие в стержне), всегда направлена вдоль прямой, проходящей через концы этого стержня. Поэтому стержни, если они прямолинейные, либо растягиваются, либо сжимаются под действием этих сил.

Прежде чем обратиться к определению усилий в стержнях, необходимо рассмотреть вопросы структуры ферм.

Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображенная на рис. 5.24, а; она содержит три узла. Если к этой конструкции добавить еще один узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью двух стержней, то вновь получится неизменяемая ферма, содержащая пять стержней и четыре узла (рис. 5.24, б). Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24, б штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм.

Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового узла при помощи двух новых стержней.

Найдем связь между числом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержней и числом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач узлов в простой ферме. Число добавляемых узлов в простой ферме равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число добавляемых стержней равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из способа построения простой фермы видно, что число новых стержней в два раза больше числа новых узлов; следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простая ферма всегда статически определима, т. е. число независимых уравнений статики достаточно для определения усилия в каждом стержне.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В самом деле, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия, так как на узел действует сходящаяся система сил. Таким образом, всего можно составить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнений равновесия. Подсчитаем теперь число

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержащихся в них неизвестных. Прежде всего неизвестными будут все Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакций стержней, кроме того, неизвестны три опорные реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачна рис. 5.23). Таким образом, всего имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестных. Воспользовавшись соотношением (5.34), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. число неизвестных равно числу уравнений равновесия, поэтому простые фермы всегда статически определимы.

При расчете ферм обычно составляют сначала три уравнения равновесия для всей фермы, определяют из них три опорные реакции, а затем уже приступают к нахождению усилий в стержнях.

Рассмотрим способ расчета фермы, который позволяет найти усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в других стержнях. Согласно этому способу предварительно необходимо определить реакции опор. Для этого следует рассматривать ферму как абсолютно твердое тело и написать соответствующие три уравнения равновесия. Затем мысленно производится полное рассечение фермы на две части; при надлежащем выборе сечения мысленно перерезаются, как правило, три стержня. Поэтому для определения трех неизвестных усилий могут быть записаны три уравнения равновесия сил, приложенных к какой-либо из полученных частей фермы.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чаще всего пользуются уравнениями в форме (5.17), но иногда пользуются и формой (5.18).

Рассмотрим для примера ферму, изображенную на рис. 5.25, и предположим, что опорные реакции найдены.

Пусть требуется определить усилие в стержне 4. Для этого мысленно рассечем ферму разрезом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим равновесие левой части фермы, изображенной на рис. 5.25, а (вместо этого можно рассматривать правую часть фермы —результат от этого не изменится, но вычисления окажутся более громоздкими). На эту часть действуют известные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также три неизвестные по модулю силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения искомой величины силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляем уравнение моментов относительно точки пересечения направлений 1 и 3 (точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при таком выборе моментной точки усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение равновесия не войдут и оно будет содержать только одну неизвестную величину — искомое усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (такой выбор точек, относительно которых берут моменты, типичен для рассматриваемого способа). Обычно при оставлении уравнения равновесия величины плеч сил снимаются с чертежа £ Учетом его масштаба. Понятно, что решение полученного уравнения не вызовет никаких затруднений. Совершенно таким же образом составляются уравнения моментов относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для определения усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для определения усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения усилий в других стержнях требуются иные рассечения фермы; так, на рис. 5.25, а показано также рассечение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимое для определения усилий в стержнях 7, 9 и 10. Для определения указанных усилий проще рассматривать равновесие правой части фермы, как это показано на рис. 5.25, е. Через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначены точки, относительно которых берутся моменты; мы получим по одному неизвестному усилию в каждом из уравнений моментов. Определение усилия в стержне 9 облагает некоторой особенностью. Дело в том, что точка пересечения усилий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно удалена и уравнение моментов составить нельзя. В этом случае вместо него можно составить уравнение проекций на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что позволит достигнуть той же цели: получить уравнение с одним неизвестным усилием Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ рассечения весьма удобен для простых схем ферм, образованных путем наращивания последовательных треугольников. В более сложных случаях все же приходится решать громоздкие системы уравнений, так как не удается проводить сечение только через три стержня.

Иногда применяется графический способ определения усилий в стержнях фермы. Предполагая, что опорные реакции фермы определены, для нахождения усилий в стержнях применим способ «вырезания» узлов. Согласно этому способу необходимо поочередно «вырезать» узлы и находить усилия в стержнях из условий замкнутости силовых многоугольников для каждого из узлов. ,

Для определенности рассмотрим ферму, изображенную на рис. 5.26, а, где показаны внешние силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и опорные реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расчет всегда нужно начинать с тоге узла, где сходятся два стержня. Начнем с рассмотрения равновесия узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на который действуют сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и неизвестные по величине реакции стержней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Графическим условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника.

При всех дальнейших построениях придерживаемся определенного масштаба сил. На рис. 5.26, б дан силовой многоугольник для узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в данном случае —треугольник); величины сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить по масштабу сил. Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена к узлу, следовательно, на стержень она действует в обратном направлении, т. е. стержень 1 сжат. Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена от узла, значит, стержень 2 растянут. Заметим, что если начать расчет с узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то определить усилия в стержнях 1, 3, 4 не удается, так как в узле сходится более двух стержней и силовой многоугольник однозначно не может быть построен.

Но теперь, после определения усилий в стержнях 1 и 2, можно перейти к расчету узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обходим его по часовой стрелке, начиная с первой известной силы —реакции стержня 1. Из условия равновесия стержня 1 очевидно, что эта реакция по модулю равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но направлена противоположно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 5.26, б она обозначена через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем от конца Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач откладываем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводим направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно стержню 4, а из начала вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим направление реакций Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно стержню 3. Получаем замкнутый многоугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тем самым находим силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направления векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показывают, что стержень 4 сжат («к узлу»), а стержень 3 растянут («от узла»). Рассматривая равновесие узлов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяем остальные реакции стержней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из рис. 5.26, б видно, что каждое из усилий в стержнях встречается дважды Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.). Оказывается, что, не меняя существа этого метода, можно его несколько усовершенствовать и избежать таких повторений. При этом получается особое построение, называемое «взаимной диаграммой» или диаграммой Максвелла—Кремоны. Метод построения такой взаимной диаграммы проиллюстрируем на только что разобранном примере.

Прежде всего введем единый метод обозначения усилий в стержнях, реакций опор и внешних сил.

Обозначим буквами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач области, ограниченные внешними силами и стержнями контура фермы (рис. 5.27, а), а внутренние области, ограниченные только стержнями фермы, обозначим буквами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее, условимся обходить всю ферму, а также каждый узел по ходу часовой стрелки.

Начало и конец вектора силы, пересекаемой при таком обходе, будем обозначать малыми буквами, которые соответствуют названиям пограничных областей. Например, силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.27, а) теперь обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.27, б), силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы, действующие на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.п.

Теперь построим многоугольник всех внешних сил, откладывая их в определенном масштабе в порядке обхода фермы по часовой стрелке; в результате мы получим многоугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.27, б). Конечно, этот многоугольник обязательно замкнут, так как ферма находится в равновесии. Мы теперь можем и не ставить на концах векторов стрелки —правило обхода областей по часовой стрелке однозначно определяет, где начало и конец вектора.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее воспользуемся способом вырезания узлов. Обойдем узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по часовой стрелке, начиная с известной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта сила уже имеется в многоугольнике внешних сил, и остается построить две другие силы, действующие на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямые, параллельные стержням I и 2; точка их пересечения даст нам точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оказалась направленной к узлу, значит, стержень 1 сжат, сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена от узла, следовательно, стержень 2 растянут.

Обращаясь к узлу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обходим его также по часовой стрелке в порядке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя уже найденные точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —конец силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и начало силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого из с проводим прямую, параллельную стержню 4, а из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямую, параллельную стержню 3; точка их пересечения и даст нам искомую точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продолжая такое построение дальше, для остальных узлов фермы мы получим фигуру (рис. 5.27, б), называемую взаимной диаграммой или диаграммой Максвелла — Кремоны. Каждому узлу фермы соответствует некоторый многоугольник диаграммы, стороны которого параллельны стержням, сходящимся в этом узле. Наоборот, каждой вершине диаграммы соответствует некоторая область плоскости фермы. Таким образом, любой вершине одной фигуры соответствует многоугольник другой фигуры; такие фигуры называются взаимными (отсюда и название диаграммы). Легко видеть, что эта фигура состоит из тех же многоугольников, которые ранее были построены на рис. 5.26, б. По принятому масштабу сил можно найти численное значение всех усилий в стержнях.

Таким образом, при построении взаимной диаграммы используется, по существу, тот же способ вырезания узлов, но здесь чертеж компактнее и не содержит повторений, в чем легко убедиться, сравнив чертежи на рис. 5.26 и 5.27.

Равновесие тела при наличии трения

Если два тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то всегда реакцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действующую, например, со стороны тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложенную к телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить на две составляющие: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежащую в касательной плоскости.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равновесие тела при наличии трения скольжения

Составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется нормальной реакцией, сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется силой трения скольжения — она препятствует скольжению тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач со стороны тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления. Как было сказано выше, сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

Для выяснения основных свойств сил трения произведем опыт по схеме, представленной на рис. 6.2, а. К телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находящемуся на неподвижной плите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач присоединена перекинутая через блок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если площадку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет удерживать тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в покое. На рис. 6.2, б изображены действующие на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы, причем через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена сила тяжести, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нормальная реакция плиты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач теряет равновесие и начинает скользить по плите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, если тело находится в равновесии, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Максимальная сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. имеет место равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это соотношение носит название закона Амонтона — Кулона.

Безразмерный коэффициент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется коэффициентом трения скольжения. Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.

Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальном) значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Пример №19

Тяжелая плита Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опирается на идеально гладкую стенку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и шероховатый пол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.3, а). Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим уравнение равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая уравнения, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее неравенство и содержит решение задачи, угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим теперь критическое значение угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с учетом трения плиты о стенку, если соответствующий коэффициент трения равен также Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. 6.3, б. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и три уравнения равновесия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих пяти уравнениях содержатся четыре неизвестные реакции и неизвестное критическое значение угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решая эту систему уравнений, находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Пример №20

На шероковатой наклонной плоскости, составляющей угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с горизонтальной плоскостью, находится тело весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.4, а). Тело удерживается на плоскости тросом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при двух значениях коэффициента трения: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальная составляющая реакции плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.4, б). Составим условия равновесия тела:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая условия задачи,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для первого случая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При отсутствии троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как при этом условие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не нарушается, то это означает, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть теперь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда должно выполняться условие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При отсутствии троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это неравенство находится в противоречии с первым уравнением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила трения достигает своего максимального значения, равного 3,46 кГ, а натяжение троса будет: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №21

К однородной прямоугольной призме веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, прислонена под углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач однородная балка веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.5, а). Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а между призмой и плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить: 1) условия равновесия всей системы; 2) условия, при которых призма останется в покое, а балка начнет двигаться; 3) условия, при которых конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки останется в покое, а призма начнет скользить по плоскости влево или опрокидываться вокруг ребра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расчленим систему и изобразим все силы (активные и реакции связей), действующие на призму (рис. о.5, б) и балку (рис. 6.5, в). На призму действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная в некоторой точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На балку действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач призмы на балку, нормальная составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции плоскости и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конечно, модули сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны между собой (аксиома 4).

Будем считать вначале, что вся система находится в покое, и составим условия равновесия балки:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внеся значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в неравенство, получим условия равновесия балки:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим теперь условия равновесия призмы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам неизвестно, но его можно найти из равенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как точка приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не может находиться левее точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что дает нам еще одно условие равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач призма не опрокинулась вокруг ребра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (его можно получить из условия, чтобы момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не превосходил по модулю момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно той же точки).

Потребуем теперь, чтобы, призма не скользила по плоскости, т. е. чтобы выполнялось неравенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет трем условиям:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если будет нарушено только первое из этих неравенств, т. е. при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

призма останется в покое, а балка начнет двигаться.

Если будет нарушено только второе условие (6.6), т. е. при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6), т. е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. 6.6, а показана предельная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена влево). Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между предельной реакцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. 6.6, а имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, пользуясь выражением (6.4),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задавать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует коническую поверхность — конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым.

Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющей угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с нормалью к поверхности (рис. 6.6, в). Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет нормальную составляющую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а, во-вторых, ее касательная составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и определяется только углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.

Для аналитического решения задачи составим условия равновесия тела:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, подставляя их в неравенство, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая (6.7), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, при равновесии тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя

нарушить равновесие тела; для того, чтобы тело начало движение необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находилась вне конуса трения.

Пример №22

Найти условие, определяющее размер Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач самотормдзящегося механизма, изображенного на рис. 6.7. Необходимо, чтобы приложенная к узлу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не могла вызвать скольжения ползунов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по вертикальным направляющим. Коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние между направляющими 2 м. Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь трение гибких тел. Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточную для уравновешивания силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение (рис. G.8 а).

Опыт показывает, что благодаря трению сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть во много раз меньше, чем сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющего положение элемента, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выделим элемент троса длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На этот элемент действуют две реакции шкива: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также две силы натяжения, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенные к рассматриваемому элементу в точках рассечения (рис. 6.8, б).

Пренебрегая весом троса, запишем условия равновесия выделенного элемента троса, спроектировав силы на направления нормали Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и касательной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взятые в середине элемента:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При составлении этих уравнений мы воспользовались малостью угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и положили

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя в уравнения равновесия вместо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач их значения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое из этих уравнений дает Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то второе уравнение можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполняя интегрирование в пределах от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —натяжение в сечении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. величина силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натяжение в сечении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. величина силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, окончательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула (формула Эйлера) позволяет найти наименьшую силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач способную уравновесить силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно поставить обратный вопрос: при каком значении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач наступит скольжение троса против хода часовой стрелки, т. е. какая сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач способна преодолеть сопротивление трения вместе с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для ответа на этот вопрос нет необходимости заново повторять все выкладки; они останутся прежними с тем единственным различием, что сила трения на рис. 6.8, б изменит свое направление. Поэтому в окончательном результате, изменяя знак при коэффициенте трения, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, если сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет неравенствам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то трос будет находиться в равновесии.

Пример №23

Найти угол охвата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндра тросом, необходимый для того, чтобы удержать силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач груз весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (6.8) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. несколько меньше двух полных охватов.

Пример №24

К концу троса подвешен груз весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол охвата цилиндра тросом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти силу, необходимую для подъема груза, если коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В данном случае нужно воспользоваться формулой (6.10)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сопоставляя этот результат с полученным в задаче 6 5, заключаем, что трос будет находиться в состоянии равновесия, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начинается движение в сторону силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — движение в сторону силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №25

При причаливании (швартовке) судна матрос удерживает его с помощью каната, накинутого в форме восьмерки на причальные тумбы (кнехты), причем один конец каната Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укреплен на судне, а второй конец каната Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в руках матроса (рис. 6.9). Считая, что угол охвата каждой тумбы равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определить, какое максимальное усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач судна может выдержать матрос, прикладывая силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при одной, двух и трех уложенных канатных восьмерках, если коэффициент трения между канатом и причальными тумбами равен 0,2.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При одной восьмерке общий угол охвата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а при двух и трех восьмерках соответственно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применяя формулу (6.10), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, пользуясь таблицами показательных функций, находим (аналогично получены значения сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при трех уложенных восьмерках за счет сил трения между канатом и причальными тумбами один матрос может удержать судно, развивающее усилие в 26,4 тонны, т. е. в 528 раз большее силы, прикладываемой матросом.

Равновесие тела при наличии трения качения

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме нее, действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также нормальная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.10, а). Как показывает опыт, при достаточно малой величине силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представлением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание цилиндра с поверхностью происходящим по образующей. Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена правее точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 6.10, б).

Полученная теперь схема действующих сил статически удовлетворительна, так как момент пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может уравновеситься моментом пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. 6.7, в. В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а), к цилиндру приложена пара сил с моментом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот момент называется моментом трения качения.

Составим уравнения равновесия цилиндра:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первые два уравнения дают Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из третьего уравнения можно найти Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем из (6.11) определяем расстояние

между точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как видно, с увеличением модуля активной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растет расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 6.10, б). Экспериментально установлено, что величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины.

Условие (6.14) можно также записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая (6.12),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что максимальный момент трения качения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорционален силе нормального давления.

В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для различных материалов.

Пример №26

На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндр будет находиться в равновесии, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус цилиндра, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—коэффициент трения скольжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— коэффициент трения качения (рис. 6.11).

Составим уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, должны выполняться неравенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первых трех уравнений мы можем определить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставив эти величины в последние два неравенства, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти неравенства должны удовлетворяться одновременно. В тех случаях, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач потеря равновесия происходит путем перехода к качению, так как сначала нарушится неравенство (6.17), если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то нарушится неравенство (6.16) и цилиндр начнет скользить.

Пространственная система сил

Ранее было установлено, что главный вектор системы сил, как угодно расположенных в пространстве,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

не изменяется при перемене центра приведения. Главный же момент при этом изменяется и для нового центра приведения определяется формулой (см. формулу (4.14))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — главные моменты относительно центров приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Второе слагаемое в правой части формулы (7.2) представляет собой момент главного вектора, приложенного в центре приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно нового центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим скалярно обе части равенства (7.2) на вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скалярное произведение главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный момент не зависит от центра приведения:

Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются главный вектор и скалярное произведение главного вектора на главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны относительно выбора центра приведения.

Статические инварианты. Динамический винт

Первым статическим инвариантом называется главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В более узком смысле этого слова под первым инвариантом понимают квадрат модуля главного вектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вторым статическим инвариантом называется скалярное произведение главного вектора на главный момент:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго инварианта вытекает простое геометрическое следствие. Действительно, запишем равенство (7.3) в следующем виде;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое из этих произведений представляет проекцию главного момента на направление главного вектора. Следовательно, при перемене центра приведения проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется. Заметим, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это следствие можно принять за определение второго инварианта.

Так как проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется при перемене центра приведения, то можно утверждать, что для центра приведения, в котором главный вектор и главный момент направлены по одной прямой, модуль главного момента будет минимальным. В этом случае модуль главного момента равен величине его проекции на направление главного вектора.

Очевидно, что проекция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главного момента на направление главного вектора определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, принимая во внимание значения первого и второго инвариантов,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Так как плоскость действия пары перпендикулярна моменту пары, то динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают правый и левый динамические винты. На рис. 7.1, а показан правый динамический винт, составленный из силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равной главному вектору системы, и пары сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равным главному моменту; на рис. 7.1, б показан левый винт, составленный из тех же элементов.

Может возникнуть вопрос, в каких случаях данную систему сил можно привести к динаме? На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему сил можно привести к динаме.

Пусть в произвольной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, а) система приведена к силе, равной главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил с моментом, равным главному моменту. Так как по условию теоремы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то оба вектора, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равны нулю и не Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны между собой. Разложим главный момент на две составляющие: одну Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим по главному вектору и другую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим перпендикулярно главному вектору (рис. 7.2, а). Составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой момент пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выберем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющие эту пару, равными по модулю главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложим силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к центру приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, б). Система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как эквивалентная нулю, может быть отброшена (рис. 7.2, в). Так как момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вектор свободный, то его можно перенести из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, г). Таким образом, заданная система сил приведена в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к паре сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, г), расположенной в плоскости, перпендикулярной силе, т. е. мы получили динамический винт.

Из формулы (7.6) видно, что положительному второму инварианту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отвечает правый динамический винт, а отрицательному второму инварианту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — левый динамический винт.

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не единственная, где система сил приводится к динаме. В самом деле, силу можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный, следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и являющейся линией действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта прямая называется центральной осью системы сил. Найдем теперь уравнение центральной оси.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.3)— точка центральной оси. Тогда для этой точки главный вектор и главный момент должны быть колленеарны друг другу. На основании формулы (7.2) главный момент для точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывается следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — параметр винта, имеющий размерность длины.

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно проекции главного вектора и главного момента на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть координаты какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центральной оси будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя соответствующие выражения получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть искомые уравнения центральной оси.

Частные случаи приведения пространственной системы сил

Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей.

Выясним, при каких условиях, относящихся к главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главному моменту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это может быть. Поскольку главный момент динамы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен составляющей главного момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленной по главному вектору, то рассматриваемый случай Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен главному вектору, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда непосредственно вытекает, что если главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен нулю, а второй инвариант равен пулю, .

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.

В частности, если для какого-либо центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.

Обобщим приведенную в главе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.

Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.

Пусть система сил имеет равнодействующую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.

Возьмем какой-либо другой центр приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, на основании формулы (4.14) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учитывая, что в данном случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, теорема доказана.

Пусть при каком-либо выборе центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как главный вектор не зависит от центра приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра приведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если все силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то их проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и моменты относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны нулю. Следовательно;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инвариант плоской системы сил равен нулю.

Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда проекции их на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и моменты относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны нулю. Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь снова формулой (7.5), найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил в пространстве не приводятся к динамическому винту.

Пример №27

Систему двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленных параллельно осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как указано на рис. 7.4, а (расстояние между точками приложения сил равно 1,3 м), требуется привести к дннаме, определив главный вектор и главный момент динамы. Найти углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляемые центральной осью системы с координатными осями, а также уравнение центральной оси.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем за центр приведения начало координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекции главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси координат будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль главного вектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направляющие косинусы главного вектора равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем проекции главного момента на оси координат: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 7.4, б показано расположение главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главного момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Проекцию главного момента на направление главного вектора определим по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение центральной оси (7.8) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что центральная ось является линией пересечения плоскостей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис 7.4, в показано расположение этой оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №28

По ребрам куба со стороной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действуют двенадцать равных по модулю сил, как показано на рис. 7.5, а. Привести систему к простейшему виду. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач За центр приведения возьмем начало координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислим проекции главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главного момента на координатные оси. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —общее значение модуля заданных сил.

По формулам (7.4) и (7.5) найдем значения статических инвариантов

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как второй инвариант положителен, то система сил приводится к правому динамическому винту (главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в одну сторону). Модель момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем по формуле (7.6):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напишем уравнение центральной оси (7.8):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда видно, что центральная ось системы представляет линию пересечения плоскостей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя в эти уравнения сначала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем точки пересечения центральной оси с нижней и боковой гранями куба (рис. 7.5, б)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, динамический винт, эквивалентный данной системе сил, состоит из силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль которой равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пары сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарным силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и численно равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Центральная ось и составляющие динамического винта показаны на рис. 7.5, б.

Уравнения равновесия пространственной системы сил

Необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проекций (4.16) и трех уравнений моментов (4.17):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если тело полностью закреплено, то действующие на него силы находятся в равновесии и уравнения (7.13) и (7.14) служат для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рассматривать не будем.

Для пространственной "системы параллельных сил уравнения равновесия принимают следующий вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь частично, т. е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.

1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря, оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального сферического шарнира.

Поместим в эту точку (см. точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 7.6, а) начало неподвижной системы координат. Действие связи в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменим реакцией; так как она неизвестна по модулю и направлению, то мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленных соответственно вдоль осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения равновесия (7.13) и (7.14) в этом случае запишутся в таком виде: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Последние три уравнения не содержат составляющих реакции, так как линия действия этой силы проходит через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач активными силами, необходимые для равновесия тела, причем три первых уравнения могут быть использованы для определения составляющих реакции.

Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из алгебраических сумм моментов всех активных сил системы относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела.

2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам при помощи шарниров (рис. 7.6, б).

Выберем начало координат в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль линии, проходящей через точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заменим действие связей реакциями, направив составляющие реакций вдоль координатных осей (рис. 7.G, б). Обозначим расстояние между точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда уравнения равновесия (7.13) и (7.14) запишутся в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее уравнение не содержит составляющих сил реакций и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные тонки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через неподвижные точки. Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не могут быть определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только сумма Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, задача в отношении каждого из этих неизвестных для твердого тела является статически неопределимой. Однако, если в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится не сферический, а цилиндрический шарнир (т. е. подшипник), не препятствующий продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и задача становится статически определимой.

3. Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой оно может скользить без трения. Это значит, что в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем составляющие их резекций вдоль оси вращения равны нулю.

Следовательно, уравнения равновесия примут вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два из уравнений (7.18), а именно, третье и шестое, накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные уравнения служат для определения реакций.

4. Тело опирается в трех точках на гладкую плоскость, причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и совместим с плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатную плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.7). Заменив действие связей вертикальными реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач запишем условия равновесия (7.13) и (7.14) в таком виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Третье —пятое уравнения могут служить для определения неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения представляют собой условия, связывающие активные силы и необходимые для равновесия тела. Конечно, для равновесия тела необходимо выполнение условий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как в точках опоры могут возникнуть только реакции принятого выше направления.

Если тело опирается на горизонтальную плоскость более чем в трех точках, то задача становится статически неопределимой, так как при этом реакций будет столько, сколько точек, а уравнений для определения реакций остается по-прежнему только три.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рис. 7.8, а; силы приложены к вершинам куба и направлены вдоль его ребер, причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Длина ребра куба равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции главного вектора находим по формулам (4.4):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Его модуль равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направляющие косинусы будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Главный вектор изображен на рис. 7.8, б.

Далее находим проекции главного момента по формулам (4.7):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а модуль главного момента по формуле ( 4.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь определим направляющие косинусы главного момента:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Главный момент изображен на рис 7.8, в. Угол между векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется по формуле (4.11)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, угол между этими векторами равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №30

Жесткая конструкция, имеющая форму параллелепипеда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикреплена к основанию шаровым шарниром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тремя стержнями 1, 2 и 3. Определить реакцию шарнирной опоры и усилия в стержнях, если задана нагрузка в виде двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Весом конструкции пренебречь. Размеры указаны на чертеже (рис. 7.9. а).

Усилия в стержнях обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакцию шарнира представим в виде трех составляющих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответствующая схема сил изображена на рис. 7.9, б. Выбрав координатную систему, как указано на чертеже, составим уравнения равновесия в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число уравнений равно числу неизвестных, т. е. рассматриваемая задача

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач статически определимая. Решив полученную систему уравнений, найдем значения усилий

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и составляющие реакции шарнира

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №31

Прямоугольная пластинка тремя ножками опирается на гладкий пол (рис. 7.10). Вес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пластинки приложен в ее центре. Размеры указаны на рисунке. В точке с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к пластинке приложена вертикальная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить область, внутри которой можно брать точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы пластинка не опрокинулась. Определить также, при каком соотношении между модулями сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вся поверхность пластинки будет безопасной. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменяя действие пола вертикальными реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составим уравнения равновесия. Так как все силы, действующие на пластинку, параллельны, то можно воспользоваться уравнениями (7.15):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы пластинка не опрокинулась, необходимо выполнение условий:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Границы искомой области найдем из условий:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 7.10, б искомая область, построенная при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заштрихована. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вся поверхность пластинки будет безопасной.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №32

Тонкий стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач весом которого можно пренебречь, шарнирно закреплен в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и удерживается в горизонтальной плоскости нитями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.11). Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в середине стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На стержень действует вертикальная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня. Дано: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти натяжение нитей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шарнирно укреплен в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для определения натяжения нитей воспользуемся уравнениями моментов.

Заменяем действие нитей реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как имеется лишь две неизвестные величины, то составим уравнения моментов сил, действующих на стержень, только относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы не составляем уравнения моментов относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как оно удовлетворится найденными значениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это уравнение может служить для проверки решения задачи.

Определив силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти и реакцию шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого составим уравнения проекций, заменив действие шарнира реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №33

Прямоугольная пластинка удерживается в горизонтальном положении при помощи петель в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и однородного стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеющего шарниры в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Стержень имеет длину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Размеры пластинки указаны на рис. 7.12, a, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить реакции в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действующая на пластинку, приложена в точке с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В данном случае мы имеем дело с равновесием двух сочлененных тел: пластинки и стержня.

Рассмотрим каждое тело в отдельности. Заменяя связи в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составим уравнения

равновесия пластинки (рис. 7.12, б):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выбрав систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составим теперь уравнения равновесия для стержня. Освобождаясь от связей в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вводя реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис- 7.12, в), получим следующие уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы не составляли уравнения моментов относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как оно будет содержать только неизвестную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяемую из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая полученные уравнения, найдем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как и следовало ожидать, мы не смогли определить реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а нашли только их сумму.

Отметим, что если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, как легко проверить, реакции шарниров Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут направлены вдоль стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №34

Однородная балка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опирается верхним концом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол, образованный двумя вертикальными гладкими взаимно перпендикулярными плоскостями. Нижний конец балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находясь па горизонтальной шероховатой плоскости, упирается в прямолинейный выступ Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отстоящий от оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.13). Пренебрегая поперечными размерами балки, определить, при каком угле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между балкой и горизонтальной плоскостью возможно равновесие, если коэффициент трения между концом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки и углом, .образованным горизонтальной плоскостью и выступом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде чем перейти к составлению уравнений равновесия, введем вспомогательный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 7.13). Легко видеть, что между углами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеется простая связь. Действительно, отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с другой стороны, из прямоугольного треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перейдем к рассмотрению сил, действующих на балку. Прежде всего к пей приложена одна активная сила —сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме того, на балку действуют реакции гладких вертикальных стенок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальные составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции угла, образованного выступом и горизонтальной плоскостью, и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она направлена влево, так как под действием силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач конец балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится переместиться вправо).

При равновесии балки перечисленные силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (7.13) и (7.14). Имеем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь этими уравнениями, легко найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(другие величины нас не интересуют).

Для того чтобы балка находилась в равновесии, сила трения должна удовлетворять условию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — полная нормальная составляющая реакции угла, в который упирается конец балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внося в это неравенство найденные значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, возводя в квадрат и сокращая на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенства (7.20) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем это значение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в предыдущее неравенство. Тогда после несложных преобразований получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таково условие, которому должен удовлетворять угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы при заданных условиях балка находилась в равновесии. Как и следовало ожидать, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это условие совпадает с соответствующим неравенством, полученным при решении задачи 6.1 (стр. 97).

Центр параллельных сил и центр тяжести

В этой главе рассматриваются такие системы параллельных сил, которые приводятся к равнодействующей. Прежде всего нужно отметить, что условия приведения системы параллельных сил к равнодействующей сводятся к одному неравенству Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, уже было показано, что второй инвариант системы параллельных сил тождественно равен нулю (стр. 114). Поэтому единственным условием приведения пространственной системы параллельных сил к равнодействующей является неравенство нулю главного вектора этой системы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считая это условие выполненным, выясним, что происходит с равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при одновременном повороте линий действия данных параллельных сил на один и тот же угол, если точки приложения этих сил сохраняются неизменными и повороты линий действия сил происходят вокруг параллельных осей.

При этих условиях равнодействующая заданной системы сил также.одновременно поворачивается на тот же угол, причем поворот происходит вокруг некоторой фиксированной точки, которая называется центром параллельных сил. Перейдем к доказательству этого утверждения.

Центр параллельных сил

Предположим, что для рассматриваемой системы параллельных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный вектор не равен нулю, следовательно, данная система сил приводится к равнодействующей. Пусть точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть какая-либо точка линии действия этой равнодействующей. Пусть теперь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно выбранного полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.1). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно теореме Вариньона сумма моментов всех сил системы относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на линии действия равнодействующей. Полученное равенство можно переписать в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем теперь в рассмотрение единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельный линиям действия сил. Тогда любая сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть представлена в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если направление силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены противоположно друг другу. Очевидно, что при этом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя выражения (8.4) и (8.5) в соотношение (8.3), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее равенство удовлетворяется при любом направлении сил (т. е. направлении единичного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач только при условии, что первый множитель равен нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В свою очередь это равенство имеет единственное решение относительно радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющего такую точку приложения равнодействующей, которая не меняет своего положения при повороте линий действия сил. Такой точкой и является центр параллельных сил, чем и доказывается его существование. Обозначив радиус-векТор центра параллельных сил через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из равенства (8.7) получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты центра параллельных сил, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки приложения произвольной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда координаты центра параллельных сил найдутся из формул:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выражения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называются соответственно статическими моментами заданной системы сил относительно координатных плоскостей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что если начало координат выбрано в центре параллельных сил, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и статические моменты заданной системы сил равны нулю.

Центр тяжести

Тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести, можно разбить сечениями, параллельными координатным плоскостям, на элементарные объемы (рис. 8.2). Если пренебречь размерами тела по сравнению с радиусом Земли, то силы тяжести, действующие на каждый элементарный объем, можно считать параллельными друг другу. Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач объем элементарного параллелепипеда с центром в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 8.2), а силу тяжести, действующую на этот элемент, — через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда средним удельным весом элемента объема называется отношение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Стягивая параллелепипед в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим удельный вес в данной точке тела, как предел среднего удельного веса

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, удельный вес является функцией координат, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что вместе с геометрическими характеристиками тела задан также и удельный вес в каждой точке тела.

Вернемся к разбиению тела на элементарные объемы. Если исключить объемы тех элементов, которые граничат с поверхностью тела, то можно получить ступенчатое тело, состоящее из совокупности параллелепипедов. Приложим к центру каждого параллелепипеда силу тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — удельный вес в точке тела, совпадающей с центром параллелепипеда. Для системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельных сил тяжести, образованной таким образом, можно найти центр параллельных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формула (8.11) определяет положение некоторой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центром тяжести называется точка, являющаяся предельной для (точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Другими словами, центром тяжести тела называется такая точка,-радиус-вектор которой определяется следующим пределом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, переходя к удельному весу,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При таком предельном переходе предполагается, что размеры всех параллелепипедов стремятся к нулю. Пределы знаменателей в формулах (8.12) и (8.13) равны весу тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку пределы интегральных сумм в числителе и знаменателе формулы (8.13) представляют собой определенные интегралы, распространенные по объему тела, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координаты центра тяжести определяются формулами:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тело называется однородным, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выносится в формулах (8.14) за знаки интегралов в числителе и знаменателе и сокращается. Знаменатели в формулах (8.14) после Сокращения их на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны объему тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести однородного тела часто называют центром тяжести объема.

В ряде случаев тело можно считать тонкой пластиной или оболочкой (рис. 8.3, а).

Найдем центр тяжести однородной оболочки, предполагая, что вес элемента ее поверхности пропорционален площади этого элемента

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, вес тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь рассматриваемой части поверхности). Из определения центра тяжести в соответствии с формулами (8.15) получим при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести однородной оболочки называют центром тяжести поверхности.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как следует из формул (8.16), определение координат центра тяжести поверхности связано с вычислением интегралов по поверхности.

Для плоской однородной пластины (рис. 8.3, б) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наконец, рассмотрим криволинейный стержень —тело удлиненной формы, один из характерных размеров которого значительно больше двух других (рис. 8.4). Полагая, что вес элемента такого стержня, заключенного между двумя сечениями, нормальными к его оси, пропорционален длине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач дуги этой оси, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина стержня.

Величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют «погонным» весом. При сделанном предположении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — величина постоянная. Тогда в соответствии с формулами (8.15) координаты центра тяжести однородного стержня имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести однородного криволинейного стержня называют центром тяжести линии.

Методы нахождения центра тяжести

Во многих случаях центр тяжести тела можно определить с помощью весьма простых методов. Мы рассмотрим некоторые из них.

Симметрия. Если тело однородно и имеет плоскость симметрии (рис. 8.5, а), то задача определения центра тяжести несколько

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач упрощается. Совместим с этой плоскостью симметрии координатную плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда каждому элементу объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положение которого определяется координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет соответствовать элемент объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как в сумме Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач все члены попарно уничтожаются. Поэтому, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Пусть, далее, однородное тело имеет ось симметрии. Выберем эту ось за ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.5, б); тогда каждому элементу объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет соответствовать элемент объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как в суммах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач все члены попарно уничтожаются.

Таким образом, если однородное тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси.

Аналогично можно показать, что если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела будет совпадать с этой точкой. Так, например, для пластинки, имеющей прямоугольную форму, центр тяжести лежит в центре прямоугольника.

Разбиение. Иногда представляется возможным разбить тело на такие части, для которых вес и положение центра тяжести заранее известны. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиусы-векторы центра тяжести каждой части, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — веса соответствующих частей. У Из формулы (8.8) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для однородной пластинки, например, из формулы (8.19) следует Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —площади частей плоской фигуры; Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты центров тяжести этих частей.

Пример №35

Способом разбиения найти координаты центра тяжести площади поперечного сечения неравнобокого угольника, размеры которого указаны на рис. 8.6.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разобьем угольник на два прямоугольника, площади которых равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании (8.20) формулы для координат центра тяжести угольника имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты центра тяжести первого прямоугольника, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач-координаты центра тяжести второго прямоугольника. Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

таким образом имеем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отрицательные веса. Этот способ применяют при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные (т. е. пустые) полости. Пусть дано тело, у которого имеется Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач свободных полостей (рис. 8.7), причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вес тела, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомый радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести этого тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если бы тело не имело полостей, то его вес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидно, равнялся бы сумме

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — веса частей тела, которыми мы мысленно заполняем полости.

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести тела, не имеющего полостей, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиусы-векторы, определяющие соответственно центры тяжести частей тела, заполняющих полости. На основании формулы (8.19) для тела, не имеющего полостей, можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находя из этой формулы радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра тяжести тела, имеющего полости, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять способ разбиения, но считать, что полости имеют отрицательные веса.

Пример №36

Найти центр тяжести однородной круглой пластинки радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач у которой вырезано отверстие в виде прямоугольника со сторонами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.8), использовав способ отрицательных весов.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пластинка симметрична относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Остается найти лишь одну координату Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно (8.21) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центры тяжести простейших фигур

Центр тяжести треугольника. Воспользуемся способом разбиения и разделим треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.-9) на элементарные полоски, проведя линии, параллельные стороне Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника. Каждую такую полоску можно принять за прямоугольник; центры тяжести этих прямоугольников находятся в их серединах, т. е. на медиане Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника. Следовательно, центр тяжести треугольника должен лежать на этой же медиане Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разбивая теперь треугольник на элементарные полоски линиями, параллельными стороне Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заключаем, что центр тяжести треугольника должен быть расположен на медиане Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Эта точка, как известно, делит каждую из медиан на отрезки в отношении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести трапеции. Аналогично предыдущему, разобьем трапецию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.10) на элементарные полоски, параллельные основаниям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Центры тяжести полосок расположатся на прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединяющей середины оснований трапеции. Следовательно, и центр тяжести трапеции лежит на этой прямой. Для того чтобы найти его расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от нижнего основания, разобьем трапецию на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

треугольники Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этих треугольников соответственно имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулу (8.20), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центральным углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поместим начало координат в центре окружности и направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно хорде Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как вследствие симметрии фигуры относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центр тяжести будет лежать на этой оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то остается найти только абсциссу центра тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для этого воспользуемся формулой (8.18). Согласно рис. 8.11, а имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —половина центрального угла в радианах.

В частности, для дуги полуокружности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести кругового сектора. Для определения положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элементарные секторы, как показано на рис. 8.11,6. Каждый элементарный сектор можно принять за равнобедренный треугольник с высотой, равной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой; следовательно, центр тяжести каждого элементарного треугольника лежит на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от начала координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответственно геометрическим местом центров тяжести всех элементарных треугольников является дуга окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это означает, что центр тяжести площади кругового сектора можно искать как центр тяжести материальной линии, по которой непрерывно и равномерно распределен вес этого сектора. Применив формулу (8.22), получим координату центра тяжести площади сектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —половина центрального угла в радианах. В частности, для сектора в виде полукруга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №37

Пластинка, изображенная на рис. 8.12, получена из квадрата, сторона которого равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач после того как из него была вырезана часть, составляющая четверть круга радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в вершине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрата. Определить центр тяжести пластинки.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем по диагонали квадрата, взяв начало оси в вершине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является осью симметрии пластинки, то центр тяжести ее находится на этой оси. Площадь квадрата без выреза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсцисса его центра тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь вырезанной части Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсцисса центра тяжести ее определяется формулой (8.23), в которой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести пластинки определим по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, подставляя соответствующие величины,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 8.12 показан центр тяжести пластинки. Приведем без вывода формулы, - определяющие положения центров тяжести некоторых простейших однородных тел. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поверхность шарового сегмента (рис. 8.13)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пирамида и конус (рис. 8.14).

Центр тяжести находится на прямой, соединяющей вершину с центром тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач площади основания, на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее длины, считая от основания

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Шаровой сектор (рис. 8.15).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус шара и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — высота сферической части сектора.

Пример №38

Определить центр тяжести колонны, состоящей из однородного цилиндра веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач высоты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на который установлена половина однородного шара веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и того же радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.16).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделим колонну на цилиндрическую и шаровую части.

Центр тяжести всей системы лежит на оси симметрии. Абсцисса центра тяжести цилиндра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние от центра полушара до его центра тяжести найдем по формуле (8.27) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что дает Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь равенством (8 19), найдем центр тяжести колонны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кинематика

Кинематика — это раздел механики, изучающий математическое описание движения идеализированных тел например: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость, без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время.

В этой лекции мы приступим к изучению движения материальных тел. Когда говорят о движении тела, то подразумевают под этим изменение его положения с течением времени по отношению к какому-либо другому телу. Это значит, что при изучении движения тела мы всегда должны указать, относительно какого другого тела рассматривается его движение. С телом, по отношению к которому изучается движение (тело отсчета), связывают систему координатных осей и часы. Эту совокупность тела отсчета и связанной с ним системой координатных осей (системы координат) и часов, как было уже сказано во введении, называют системой отсчета.

Так как в теоретической механике считается, что время, являясь непрерывно изменяющейся величиной, не зависит от движения тел и одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета, то, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей (системы координат), связанных с этим телом. В кинематике движение тел изучается с чисто геометрической точки зрения и связь между движением и движущими силами не рассматривается. В кинематике движение считается заданным, т. е. считаются заданными как функции времени параметры, определяющие положение тела по отношению к выбранной системе координат.

В кинематике безразлично, какое движение совершает выбранная система координат по отношению к каким-то иным телам, не входящим в рамки нашего рассмотрения. Однако всегда следует иметь в виду, что характер наблюдаемого движения существенно зависит от выбора тела (системы координат), относительно которого изучается движение. Так, .поршень автомобильного двигателя совершает относительно корпуса автомобиля прямолинейное колебательное движение, а относительно дороги, по которой движется автомобиль с постоянной,скоростью, поршень перемещается по синусоиде.

Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Так как покой и движение тела мы рассматриваем лишь относительно выбранной системы координат, которая в свою очередь может перемещаться произвольным образом, то понятия «покой» и «движение» являются относительными понятиями. Однако в кинематике часто пользуются терминами «абсолютное движение», «абсолютная скорость» и т. п., имеющими, конечно, условный характер. В частности, если нет специальной оговорки, под выражением «неподвижная система координат» следует понимать систему осей, относительно которых рассматривается движение.

Кинематика точки

Рассматривая движение, мы связываем изменение положения тела (или точки) с течением времени (будем обозначать его через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При изучении движения всегда устанавливается начало отсчета времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (во многих задачах будем полагать Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Под промежутком времени понимают разность между значениями времени в какой-либо момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении тела все его точки в общем случае совершают различные движения, например, при качении колеса по прямому рельсу центр колеса движется по прямой линии, а точки обода движутся по циклоидам. Поэтому изучению движения тела, естественно, должно предшествовать изучение движения точки. Кроме того, некоторые практические задачи о движении тел могут быть решены непосредственно на основании изучения движения точки.

Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем движении, называют траекторией точки. В задачах небесной механики траекторию именуют также орбитой. Если траектория точки является прямой линией, то движение точки называют прямолинейным. Если же траектория — кривая линия (не обязательно плоская), то движение точки называется криволинейным.

Мы сразу начнем с изучения криволинейного движения точки, так как прямолинейное движение представляет собой частный случай криволинейного. Приступая к изучению движения точки, мы должны сформулировать те задачи, которые решаются в кинематике. Исходя из того, что основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение, мы можем сформулировать эти задачи следующим образом: найти способы задания движения и, исходя из них, найти методы определения скорости и ускорения.

Способы задания движения

Прежде всего определим, что значит задать движение.

Движение точки по отношению к избранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Следовательно, задать движение точки это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить ее положение по отношению к выбранной системе отсчета.

Векторный способ. Положение точки в пространстве будет вполне- определено, если ее радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводимый из какого-либо заданного центра, известен как функция времени, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, однако, иметь в виду, что задать вектор как функцию времени значит уметь находить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо определенная система координат, т. е. задание радиуса-вектора как функции времени обязательно предполагает наличие системы координат, но в то же время не конкретизирует ее. Считая, что радиус-вектор задан, мы тем самым должны предполагать, что умеем определять его модуль и направление в избранной нами системе координат.

То обстоятельство, что введением радиуса-вектора, определяющего положение точки, мы не связываем себя с конкретной системой координат, позволяет широко использовать задание радиуса-вектора как функции времени для получения основных кинематических характеристик движения. Для решения же конкретных задач обычно переходят от векторного способа к координатному .и естественному способам задания движения.

Введем еще одно полезное для дальнейшего понятие о годографе вектора, рассматриваемого как функция скалярного аргумента (например, времени).

Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора (предполагается, что начало вектора находится все время в одной и той же точке) при изменении его аргумента.

Следовательно, годографом радиуса-вектора, определяющего положение точки, будет траектория точки.

Перейдем теперь к рассмотрению координатного и естественного способов задания движения.

Координатный способ. Положение точки по отношению к какой-либо системе координат полностью определяется координатами точки. Поэтому задание координат точки в виде известных функций времени дает возможность определить ее положение в любой момент времени. Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известных функций времени, называется координатным способом задания движения и требует выбора конкретной системы координат. Этот выбор определяется содержанием решаемой задачи; конечно, предпочтительнее та система координат, использование которой наиболее целесообразно для данной задачи.

При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат указанный способ заключается в задании координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.1) как известных функций времени, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать цилиндрические или сферические координаты.

В цилиндрических координатах (рис. 9.1, а) положение точки определяется радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (азимут) и аппликатой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, движение будет задано, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут известными функциями времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В сферических координатах (рис. 9.1, б) положение точки определяется полярным радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (полюсный угол). Движение будет задано, если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

— известные функции времени.

Формулы, связывающие цилиндрические и сферические координаты с декартовыми, соответственно будут -

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении точки в плоскости иногда целесообразно использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать в виде функций времени координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.2):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Связь этих координат с декартовыми дается формулами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения (9.1) движения точки представляют одновременно и уравнения траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если требуется определить уравнение траектории у в координатной форме, то нужно исключить каким-либо образом из этих уравнений время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №39

Движение точки в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.3) задано при помощи уравнений

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и движение начинается в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти уравнение траектории в координатной форме.

Из первого уравнения следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому уравнение траектории будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это—уравнение параболы. Однако траекторией будет не вся парабола, а только часть, показанная на рис. 9.3 сплошной линией. Это следует из того обстоятельства, что от начального момента движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет увеличиваться (время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительно и непрерывно возрастает). Направление движения точки по траектории определяется из уравнений (9.4) и показано на рис. 9.3 стрелкой.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В рассмотренном примере исключение времени из уравнений движения было произведено путем нахождения времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из уравнения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подстановки в уравнение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такой прием не всегда удобен, поэтому исключение времени можно производить и другими способами.

Пример №40

Движение точки в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти уравнение траектории в координатной форме. Уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует возвести в квадрат и сложить. Тогда получим уравнение траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Она представляет собой эллипс (рис. 9.4). Из уравнений (9.5) следует, что движение начнется в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет происходить в направлении, указанном стрелкой (предполагается, что движение начинается в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Естественный способ. При естественном способе задания движения указываются траектория точки и закон ее движения по этой траектории.

Пусть точка движется по отношению к выбранной системе отсчета по заданной траектории (рис. 9.5), определяемой уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— какая-либо фиксированная точка на траектории. Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы определим положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в любой момент времени, если будем знать, как изменяется дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.5) со временем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта зависимость называется законом движения.

Кривая, построенная на плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражающая зависимость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется графиком движения.

Если движение происходит в сторону возрастания дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то дифференциал дуги *)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

будет положительным, если же движение происходит в сторону убывания дуги, то дифференциал дуги будет отрицательным.

Отметим, что путь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходимый точкой, всегда будет возрастать и, следовательно, положителен, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №41

Закон движения точки по траектории имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построить и исследовать график движения.

Графиком движения будет кривая, изображенная на рис. 9.6. Из рассмотрения этого графика следует, что дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается до значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем начинает уменьшаться. Ход графика движения в области отрицательных а характеризует увеличение абсолютного значения дуги при движении точки от начала отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону, противоположную положительному отсчету дуги.

На рис. 9.6 показана и кривая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляющая график функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — путь, пройденный точкой. До значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показана пунктиром.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны. Пусть, например, движение задано координатным способом в виде (9.1). Очевидно, что при этом проекции радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.7) на оси координат равны координатам точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичные векторы осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а направление определится направляющими косинусами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще переход от координатного способа к естественному.

Пусть движение задано уравнениями (9.1). Исключая из этих уравнений время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнения траектории (9.6). Найдем теперь закон движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциал дуги может быть найден по формуле (рис. 9.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференциалы координат точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулу для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это выражение в промежутке от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (начало движения) до какого-либо момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим закон движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от выбора направления положительного отсчета дуги; если движение точки начинается в сторону выбранного положительного отсчета дуги, то следует брать знак «плюс», в противном случае —знак «минус».

Понятие о производной вектора по скалярному аргументу

При рассмотрении задач кинематики и динамики мы встретимся с необходимостью вычисления производных векторов, имеющих различный физический смысл и являющихся функциями различных скалярных аргументов (времени, дуги и пр.). Поэтому в начале этой лекции мы определим понятие производной вектора по скалярному аргументу в общем виде, не придавая конкретного физического значения вектору и аргументу.

Пусть вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задан в какой-либо системе координат как непрерывная функция скалярного аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При изменении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут меняться как модуль вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и его направление. Конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при изменении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач описывает кривую — годограф вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.9). Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое фиксированное значение аргумента, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его приращение. Тогда при значении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь другой модуль и другое направление, чем при значении аргумента, равном Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разность

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется приращением вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел oтношения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу и обозначается через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда направлен по секущей годографа вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.9), а значит, и вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен также по секущей. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач секущая займет предельное положение, совпадающее с касательной к годографу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, производная вектора по скалярному аргументу всегда направлена по касательной к годографу этого вектора.

Приведем без доказательства свойства производной вектора по скалярному аргументу:

1. Производная постоянного по величине и направлению вектора равна нулю.

2. Производная суммы векторов равна сумме производных, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Производные скалярного и векторного произведений векторов соответственно определяются выражениями:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задан в неподвижной прямоугольной системе координат; тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.9). Так как векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянные, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать через его проекции следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая оба выражения, найдем проекции производной вектора на координатные оси

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти равенства можно прочитать следующим образом: проекции производной вектора на неподвижные оси равны производным от соответствующих проекций вектора.

Модуль производной определяется из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если модуль вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач остается постоянным при изменении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то годографом вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет кривая, расположенная на сфере радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, производная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная по касательной к годографу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет в этом случае перпендикулярна вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки

Перейдем теперь к определению понятия скорости точки и методам ее нахождения.

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положение точки определяется радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

будем называть вектором перемещения точки за время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.10).

Отношение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к промежутку времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется средней скоростью точки за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к который произошло это перемещение, времени стремится к нулю, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Размерность скорости будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Единицами измерения могут быть м/сек, см/сек, км/час.

Из этого определения видно, что скорость точки равна производной радиуса-вектора точки по времени. На рис. 9.10 показаны средняя скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как следует из общей теории, скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — этот вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, принятой за неподвижную, т. е. пусть заданы координаты точки как функции времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно выражению (9.8) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбранной системы координат постоянны, то на основании формулы (9.11) получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 9.11 показано разложение скорости на составляющие по осям координатной системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, проекции скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные оси будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.

Так как производную по времени мы условились обозначать точкой сверху, то полученные формулы можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости является формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а направление скорости — направляющими косинусами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.

Пример №42

Движение точки задано уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти скорость точки.

В соответствии с выражениями (9 12) получим проекции скорости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости определится формулой (9.13):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление скорости найдем, используя формулы (9.14):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих соотношений видно, что точка движется равномерно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но направление скорости изменяется с течением времени.

Исследуем траекторию точки. Из первых двух уравнений движения найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это —уравнение цилиндра радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ось которого совпадает с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.12).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Опустим теперь из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикуляр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначим угол между осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая эти соотношения с уравнениями движения, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется пропорционально времени. Из этого следует, что прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно вращается, а точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в это время равномерно перемещается по образующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, точка движется по винтовой линии. Уравнения винтовой линии в параметрической форме совпадают с уравнениями движения, а в координатной форме имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь движение, заданное в полярных координатах, т. е. пусть даны как функции времени полярный радиус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющие положение точки.

Введем в рассмотрение единичные векторы: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленный по радиусу-вектору в сторону возрастания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач повернутый относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону возрастания угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.13). Единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут быть представлены через единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатных осей:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В дальнейшем нам будут нужны выражения для производных по времени от единичных векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющий положение точки, может быть представлен в виде Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.13). При движении точки меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются функциями времени. На основании равенства (9.11) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя соотношение (9.15), будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученная формула дает разложение вектора скорости взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поперечную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Рис. 9.14). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции скорости на радиальное и поперечное направления

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называются соответственно радиальной и поперечной скоростями. Модуль скорости находится по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулу (9.18) можно также получить, используя связь между декартовыми и полярными координатами,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продифференцировав эти соотношения по времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и используя равенство (9.13), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение скорости при естественном способе задания движения. Пусть точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по какой-либо кривой (рис. 9.15). За промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка переместится по кривой из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги (рис. 9.15, а), и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение происходит в противоположную сторону (рис. 9.15, б). На основании (9.11) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем это равенство в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по модулю единице, а предельное положение секущей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с направлением касательной к кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.

Действительно, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен в сторону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.15, а), а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен в сторону, противоположную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.15, б). В обоих случаях этот вектор, а следовательно, и его предел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в сторону возрастания дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (на рис. 9.15 положительное направление отсчета дуги а выбрано вправо от начала отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Принимая во внимание, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (9.20) следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение происходит в сторону положительного отсчета дуги, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение происходит в противоположную сторону.

Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №43

Если ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направить горизонтально, а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикально вверх, то движение тяжелой точки (например, артиллерийского снаряда) у поверхности Земли в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально скорости точки, будет описываться уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—постоянные величины.

Найти модуль и направление скорости в начальный момент времени. Найти также наибольшую высоту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачподъема точки над уровнем ее начального положения, дальность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по горизонтали от начального положения точки до ее наивысшего положения.

На основании (9.12) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач a модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорости будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление начальной скорости определим, найдя направляющие косинусы при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, начальная скорость, равная по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена под углем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонту.

Так как точка траектории, где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует наибольшей высоте подъема движущейся точки, то из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

мы определим момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достижения точкой наибольшей высоты. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя найденное значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим искомую высоту (рис. 9.16)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь расстояние по горизонтали от начального положения точки до ее положения в наивысшей точке. Для этого подставим время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №44

Точка движется так, что ее радиус-вектор образует со скоростью постоянный угол. Определить уравнение траектории в полярных

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатах, если угол, образуемый скоростью с радиусом-вектором, равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9 17).

Согласно формуле (9.17) проекции скорости на радиальное и поперечное направления будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это уравнение и приняв при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —модуль радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТаким образом, траектория представляет собой логарифмическую спираль.

Если угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то траектория будет прямолинейной—движение будет происходить вдоль радиуса-вектора. Если угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение будет происходить по окружности, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение точки

Предположим, что в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость точки равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.18). Изменение вектора скорости за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем как разность векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если параллельно перенесем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.18). Вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

представляет собой приращение вектора скорости за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к промежутку времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется средним ускорением точки за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к приращению времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что последнее стремится к нулю, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Можно также пользоваться следующей формой записи: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.

Годографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки (рис. 9.19).

Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости, будет равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. ускорению точки при ее движении по траектории. Размерность ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Единицами измерения могут быть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение ускорения при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор скорости точки можно представить в виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то на основание (9.21) будем иметь:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции ускорения на координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки.

Выражения (9.22) на основании (9.12) можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты.

Модуль ускорения определяется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная проекции ускорения и его модуль, легко находим направляющие косинусы вектора ускорения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь ускорение в полярных координатах. Пусть координаты точки заданы как функции времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно (9.17) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании (9.21) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как [см. (9.15) и (9.16)]

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение ускорения при естественном способе задания движения. Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой кривой (рис. 9.20). Возьмем теперь на кривой точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач близкую к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Параллельно перенеся вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость через векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При стремлении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Плоскость, проведенную через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 9.21 соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль к кривой.

Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно-перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нами уже был введен. Единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образовывали правую систему осей. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 9.21).

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач величину угла между вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенным в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенным в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач близкой к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот угол называется углом смежности (рис. 9.22, а).

Кривизной кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Радиусом кривизны кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется величина, обратная кривизне

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности.. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус кривизны равен радиусу окружности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если через точку кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и две близкие к ней точки провести окружность, то при стремлении этих точек к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в пределе получится окружность, которая называется кругом кривизны. Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус этого круга равен радиусу кривизны кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Центр круга кривизны лежит на главной нормали и называется центром кривизны *).

Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно представить в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция скорости на направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На основании формулы (9.21) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим величину и направление вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка находится в положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на траектории, а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перенося вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем приращение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.22, а)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 9.22, а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 9.22, б). Найдем производную вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 9.22, а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в соприкасающейся плоскости, так как при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя тождество Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скалярное произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю, а это значит, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из равнобедренного треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.22, а) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекция ускорения на направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Касательное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигает экстремальных значений.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач одного знака, то модуль скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач разных знаков, то модуль скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки убывает и движение будет замедленным. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль скорости остается постоянным — движение равномерное.

Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, в которые скорость точки обращается в нуль.

Отметим, что для вычисления касательного ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно использовать равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если движение точки задано координатным способом, то в случае задания движения в декартовых координатах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для полярных координат получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частные случаи движения точки

Прямолинейное движение. Если траектория точки является прямой линией, то, направляя одну из координатных осей, например, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль этой прямой, мы полностью определим положение точки заданием ее абсциссы как функции времени, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции скорости и ускорения на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно формулам (9.12) и (9.23) будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модули скорости и ускорения соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение точки происходит в сторону положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если при этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение ускоренное, если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение замедленное.

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка движется в направлении, противоположном положительному направлению оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если при этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение замедленное, если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение ускоренное.

В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение, происходящее по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянные величины.

Движение точки по такому закону называют гармоническим. Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равная максимальному отклонению точки от положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется амплитудой колебаний; Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется фазой и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачначальной фазой колебаний.

Скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, соответственно будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что ускорение точки всегда направлено к началу координат и по модулю пропорционально отклонению точки от начала координат.

С помощью закона движения и формулы для скорости нетрудно установить, что если для какого-либо момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором имеет место равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—скорость точки и ее положение будут такими же, как и в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значит, гармоническое движение будет периодическим *), т. е. через промежутки времени, равные

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

движение будет полностью повторяться.

Наименьший промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом колебаний. Очевидно, что период гармонических колебаний будет равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний и равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если время измеряется в секундах, то частота измеряется в герцах. Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется круговой частотой. Круговая частота равна числу колебаний за Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц времени. График движения приведен на рис. 9.23.

Движение точки по окружности. При движении точки по окружности удобно задать ее движение в полярных координатах, так как при этом координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является постоянной величиной, равной радиусу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности (рис. 9.24). Положение точки вполне определяется углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная величина, то проекция скорости на радиальное направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поперечная проекция скорости равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулами (9.26) проекции ускорения на радиальное и поперечное направления определяются равенствами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль ускорения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если выбрать направление положительного отсчета дуги, проходимой точкой, как указано на рис. 9.24, то очевидно, что касательное ускорение точки будет равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а нормальное Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (это ускорение называют центростремительным ускорением) .

Заметим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет угловую скорость вращения радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —соответствующее угловое ускорение.

Пример №45

Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить скорость и ускорение снаряда в начальный момент времени, высоту траектории, дальность полета, а также радиус кривизны в начальной и наивысшей точках траектории. Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена горизонтально, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикально вверх (рис. 9.25).

Траекторией снаряда, очевидно, будет парабола

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим сначала скорость движения снаряда. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач величина скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направление скорости определяется по формулам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скорость в начальный момент образует с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекции ускорения на координатные оси будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно, модуль ускорения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и оно направлено по вертикали вниз (ускорение силы тяжести). Под высотой траектории понимается максимальное значение ординаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает максимальное значение при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. когда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находя отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставляя его в уравнение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дальность полета определяется из условия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует начальному положению снаряда. Подставляя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем дальность полета

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Максимальная дальность полета будет при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей ее точках. Из формулы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, задача нахождения радиуса кривизны траектории сводится к нахождению скорости и проекции ускорения точки на нормаль. Согласно (9.33) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как движение точки происходит все время в сторону возрастания дуги, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, радиус кривизны траектории в начальной точке равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующего наивысшей точке траектории, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Скорость точки в этот момент равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиус кривизны в наивысшей точке траектории будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что в данной задаче проекцию ускорения на нормаль в начальной н наивысшей точках траектории можно легко найти и простым проектированием (рис. 9.26).

Пример №46

Колесо радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Скорость центра колеса постоянна и равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти уравнения движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежащей на ободе колеса, ее траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории как функцию времени.

По условию, колесо катится без скольжения, следовательно, дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при предположении, что в начальный момент времени точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находилась в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.27).

Так как дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения траек. тории, которая представляет собой циклоиду.

Проекции скорости точки на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется от нуля до Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направляющие косинусы вектора скорости будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что вектор скорости все время проходит через верхнюю точку колеса.

Проекции ускорения на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то вектор ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда проходит через центр колеса. Радиус кривизны траектории найдем из выражения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длина отрезка от рассматриваемой точки колеса до его нижней точки.

Пример №47

Движение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано в полярных координатах уравнениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.28), где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные величины.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исключая из уравнений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение траектории

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это—уравнение логарифмической спирали.

Согласно формуле (9.17) радиальная и поперечная составляющие скорости соответственно будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формулам (9.26) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим теперь радиус кривизны траектории. На основании (9.32) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нами уже определена. Найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно (9.33)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, радиус кривизны траектории будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №48

Радар Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач установленный на берегу, непрерывно следит за движением судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяя в каждый данный момент времени расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между меридианом и направлением от радара на судно, а также скорости изменения этих величин. Пренебрегая кривизной земной поверхности, определить модуль скорости судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Земли, его курс (угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между меридианам и скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от радара до направления скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.29).

Для решения задачи построим прямоугольную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направив ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по касательной к меридиану на север, а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по касательной к параллели па запад. Величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые непрерывно измеряет радар, суть полярные координаты судна и их скорости. Поэтому модуль скорости судна будет (см. формулу (9.18))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения курса (угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложим вектор скорости судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на радиальную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поперечную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющие. Имеем (см. »рис. 9.29):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственные при параллельных прямых Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — внешний для треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая значения проекций поперечной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиальной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем параметр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью счетно-решающих устройств скорость судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его курс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и параметр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются по формулам (9.18), (9.35) и (9.36) или им эквивалентным непрерывно»

Если судно идет постоянным курсом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. движется по прямой линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то равенство (9.36) определяет уравнение траектории судна в полярных координатах. Покажем, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это уравнение может быть получено из равенства (9.34). Действительно, умножая числитель я знаменатель правой части равенства (9.34) на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя обе части этого равенства и учитывая, что по предположению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —произвольная постоянная интегрирования. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —расстояние

от радара до судна будет равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя эти значения в (9.37), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося это значение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в равенство (9.37), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда следует равенство (9.36);

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №49

Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между неподвижной осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и кривошипом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянное положительное число. С кривошипом в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шарнирно соединен стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящий все время через качающуюся муфту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти уравнения движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отстоящей от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее траекторию, скорость и ускорение, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис, 9,30, а). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проще всего определяется полярными координатами: радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и полярным углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачравнобедренный, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сторона Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из рис. 9.30, а имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, уравнения движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исключая отсюда время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем уравнение траектории точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в полярных координатах:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Для сравнения рекомендуем читателям самостоятельно найти уравнения движения и траекторию точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в декартовых координатах.)

На рис. 9.30, б показана траектория точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач построенная по точкам *) для случая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается обычная кардиоида). Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная точка траектории, соответствующая моменту времениТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направление движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показано стрелками. Отметим, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач попадет в свое начальное положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не через один оборот кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а через два оборота, когда угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменится на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиана (это произойдет в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем проекции скорости точки на радиальное и поперечное направления. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, подставляя найденные значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произведя очевидные преобразования,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для ускорения будем иметь:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В начальной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Через один оборот кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач попадет в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.30, б) и ее скорость и ускорение будут соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Криволинейные координаты

Положение точки в трехмерном пространстве, как известно, можно однозначно определить тремя числами. Так, например, в декартовой системе координат такими числами будут координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки, в цилиндрической и сферической системах координат такими числами соответственно будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что можно ввести в рассмотрение и другие системы координат, в которых определен закон выбора трех чисел, однозначно определяющих положение любой точки. В этой лекции мы рассмотрим так называемые криволинейные координаты.

Предположим, что для однозначного определения положения любой точки нами установлен закон выбора трех чисел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тем самым нами введена в рассмотрение определенная система координат. Эти числа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются криволинейными координатами, а введенная система координат — криволинейной. Пусть радиус-вектор, определяющий положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданной координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведен из произвольно выбранного полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот радиус-вектор будет функцией координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси декартовой системы координат также будут функциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем какую-либо точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в которых переменной является только одна координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют кривую, проходящую через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эту кривую называют координатной линией, соответствующей изменению координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Аналогично определяются координатные линии, соответствующие изменению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Касательные к координатным линиям, проведенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону возрастания соответствующих координат, называются координатными осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.31).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координатными поверхностями называются поверхности, определяемые уравнениями (9.39) при изменении двух координат и при одной фиксированной координате. Так, например, поверхность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется следующими уравнениями:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Касательные плоскости, проведенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к координатным поверхностям, называются координатными плоскостями.

Определим теперь единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатных осей. Рассмотрим движение точки по координатной линии, соответствующей изменению координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачточка находится в положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.32). Вектор , вычисленный в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен по касательной к координатной линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. он направлен по координатной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону возрастания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно получить

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Коэффициенты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются коэффициентами Ламе.

Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты, т. е. такие, у которых координатные оси взаимно перпендикулярны. Условием ортогональности является

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки может быть найдена посредством дифференцирования соотношения (9.38)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по предположению взаимно перпендикулярны, для модуля скорости имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции скорости на координатные оси определяются выражениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекция ускорения точки на координатную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидно, будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Взяв частную производную от выражения (9.46) по