Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел и их изменение с течением времени положения относительно друг друга. В задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел, так как состояние покоя частный случай механического движения.

Теоретическая механика состоит из трех основных частей: статики, кинематики и динамики.

Страница содержит полный курс лекций по всем темам предмета "Теоретическая механика" с подробными примерами решения задач и выполнением заданий.

Содержание:

Введение в теоретическую механику

Теоретическая механика — раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел, т. е. изменение с течением времени положения их относительно друг друга. Так как состояние покоя есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел.

Движение материи происходит во времени и пространстве. За пространство, в котором происходит движение тел, принимают «обычное» евклидово трехмерное пространство. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей, связанных с этим телом.

Движение тела происходит в результате действия на движущееся тело сил, вызванных другими телами. При изучении механического движения и равновесия материальных тел знание природы сил не обязательно, достаточно знать только их величины. Поэтому в теоретической механике не изучают физическую природу сил, ограничиваясь только рассмотрением связи между силами и движением тел.

Теоретическая механика построена па законах И. Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий (зачастую далеких и вовсе не очевидных) из этих законов, а также многовековой практической деятельностью человека. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. В механике постулируется наличие хотя бы одной такой системы (инерциальная система отсчета). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой отсчета (она называется гелиоцентрической или основной инерциальной системой отсчета).

В дальнейшем будет показано, что если имеется хотя бы одна инерциальная система отсчета, то их имеется бесчисленное множество (очень часто ннерциальные системы отсчета называют неподвижными системами). Во многих задачах за инерциальную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей. Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначительны, что практического значения они не имеют. Но имеются задачи, в которых уже нельзя пренебречь вращением Земли. В этом случае за неподвижную систему отсчета следует принимать введенную гелиоцентрическую систему отсчета.

Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов. Как во всякой естественной науке, в основе механики лежит опыт, практика, наблюдение. Но наблюдая какое-нибудь явление, мы не можем сразу охватить его во всем многообразии. Поэтому перед исследователем возникает задача выделить в изучаемом явлении главное, определяющее, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что менее существенно, второстепенно.

В теоретической механике метод абстракции играет очень важную роль. Отвлекаясь при изучении механических движений материальных тел от всего частного, случайного, менее существенного, второстепенного и рассматривая только те свойства, которые в данной задаче являются определяющими, мы приходим к рассмотрению различных моделей материальных тел, представляющих ту или иную степень абстракции. Так, например, если отсутствует различие в движениях отдельных точек материального тела или в данной конкретной задаче это различие пренебрежимо мало, то размерами этого тела можно пренебречь, рассматривая его как "материальную точку. Такая абстракция приводит к важному понятию теоретической механики—понятию материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем, что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инертности, как обладает этим свойством тело и, наконец, она обладает той же способностью взаимодействовать с другими материальными телами, какую имеет тело. Так, например, планеты в их движении вокруг Солнца, космические аппараты в их движении относительно небесных тел можно рассматривать в первом приближении как материальные точки.

Другим примером абстрагирования от реальных тел является понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело, которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, независимо от действий других тел. Конечно, абсолютно твердых тел нет, так как в результате действия сил все материальные тела изменяют свою форму, т. е. деформируются, но во многих случаях деформацией тела можно пренебречь. Например, при расчете полета ракеты мы можем пренебречь небольшими колебаниями отдельных частей ее, так как эти колебания весьма мало скажутся на параметрах ее полета. Но при расчете ракеты на прочность учет этих колебаний обязателен, ибо они могут вызвать разрушение корпуса ракеты.

Принимая те или иные гипотезы, следует помнить о пределах их применимости, так как, забыв об этом, можно прийти к совершенно неверным выводам. Это происходит тогда, когда условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предположениям и неучитываемые свойства становятся существенными. В курсе при постановке задачи мы всегда будем обращать внимание на те предположения, которые принимаются при рассмотрении данного вопроса.

Приведем некоторые сведения из истории механики. Подобно всем другим наукам механика возникла и развивалась под влиянием практических нужд человеческого общества. Она является одной из древнейших наук и ее история насчитывает приблизительно 25 веков напряженных исканий. В примитивном виде первичные понятия механики, в частности, понятия силы и скорости, появились еще в античный период. Чисто практическое применение катков, наклонной плоскости, рычага, блоков при постройке грандиозных сооружений древности (пирамиды, дворцы и т. п.) накапливало определенный опыт и, очевидно, должно было привести к обобщению этого опыта, к установлению некоторых законов механики (статики). Так, в трактате «Механические проблемы» Аристотель (384 — 322 до н. э.) рассматривает конкретные практические задачи при помощи метода, основанного на законе рычага. Однако первые попытки установления динамических законов оказались неудачными. Аристотель ошибочно полагал, что скорости падающих тел пропорциональны их весам и что равномерное и прямолинейное движение является результатом действия постоянной силы. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы преодолеть эти ошибочные представления и заложить научные основы динамики. К числу бесспорных достижений античной механики следует отнести работы Архимеда (287—212 до н. э.), который был не только выдающимся инженером своего времени, но и дал ряд научных обобщений, относящихся к гидростатике (закон Архимеда), учению о равновесии и центре тяжести.

В течение XIV—XVII столетий под влиянием торгового мореплавания и военного дела возник обширный комплекс задач, связанных с движением небесных тел, полетом снарядов, прочностью кораблей, ударом тел. Решение этих задач не могло быть осуществлено старыми методами и требовало прежде всего установления связи между движением и причинами, вызывающими его изменение.

Созданию основ динамики предшествовал сравнительно длительный период накопления опытных данных и их научного анализа. Здесь необходимо прежде всего отметить работы Н. Коперника (1473—1543), который на основе данных, установленных многовековыми наблюдениями, показал, что планеты обращаются не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Дальнейший шаг к изучению движения небесных тел сделал Иоганн Кеплер (1571—1630). Обрабатывая многочисленные наблюдения своего учителя Тихо Браге, он установил три закона движения планет.

К этому же периоду относятся работы Галелео Галилея (1564—1642). Он сформулировал принцип относительности классической механики и принцип инерции (хотя и не в общем виде), установил законы свободного падения тел. Галилеем была построена количественная теория движения тяжелого тела по наклонной плоскости и теория движения тела, брошенного под углом к горизонту. Кроме того, Галилей занимался изучением прочности стержней и сопротивлением жидкости движущимся в ней телам. Последователем Галилея в области механики был Христиан Гюйгенс (1629—1695), который сформулировал понятия центростремительной и центробежной сил, исследовал колебания физического маятника, заложил основы теории удара.

Успешно преодолевая схоластический стиль античной науки, ученые этого периода с особым вниманием относились к опытным данным и систематически контролировали истинность своих теоретических пЛтроеннй экспериментальными наблюдениями. Таковы, в частности, установленные Галилеем и Гюйгенсом законы движения тел.

В 1687 г. вышла в свет книга Исаака Ньютона (1642—1727) «Математические начала натуральной философии» (в Англии натуральной философией называют физику). Прежде всего в этой книге Ньютон, завершая работы своих предшественников, главным образом Галилея и Гюйгенса, создает стройную систему основных законов динамики. Он впервые вводит понятие массы, устанавливает основной закон динамики, связывающий массу точки, ее ускорение и действующую на нее силу, и закон равенства действия и противодействия.

Исходя из законов Кеплера, он математически установил закон всемирного тяготения, а затем доказал, что если этот закон справедлив, то планеты должны двигаться по законам Кеплера. Закон всемирного тяготения", открытый и доказанный И. Ньютоном, получил за последние десятилетия особо важное значение, так как он лежит в основе расчета межпланетных траекторий космических кораблей и траекторий искусственных спутников Земли.

Ньютон установил также тождественность природы сил взаимного тяготения и силы тяжести на Земле. Он показал, что Земля сплюснута у полюсов, объяснил явления приливов и отливов, заложил основы теории удара.

Установление общих законов механики и закона всемирного тяготения является научным открытием первостепенного значения. Но этим не исчерпывается значение «Математических начал натуральной философии» Ньютона. В своей книге он с предельной ясностью изложил общий метод, которым нужно руководствоваться при физических исследованиях.

Кратко этот метод сводится к следующему. Из опытов следует вывести два или три общих закона (принципы) и затем показать, как из этих простых законов логически вытекают различные свойства (следствия), наблюдаемые на практике. Хотя этот метод исследования не является единственно возможным, а в наши дни он кажется само собой разумеющимся, ясное изложение его и блестящий пример построения механики, данный Ньютоном в его книге, оказал громадное влияние на все последующие поколения физиков. Именно поэтому академик С. И. Вавилов сказал, что в истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона *).

Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707—1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку («динамические уравнения Эйлера»), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении.

К этому же периоду относится глубокая разработка механики свободных и несвободных систем материальных точек. Развитие этого направления было дано работами Ж- Л. Даламбера (1717 — 1783), Ж. Л. Лагранжа (173G— 1813). В «Трактате по динамике» первого из этих авторов показано, «каким образом все задачи динамики можно решать одним и притом весьма простым и прямым методом». Однако законченное развитие этого метода было дано лишь спустя- полвека Лагранжем («уравнения Лагранжа») в замечательном трактате «Аналитическая механика» (1788 г.), где, в частности, содержалось также вполне современное изложение теории линейных колебаний систем с несколькими степенями свободы.

Последующее развитие механики характеризуется углубленным изучением ранее намеченных разделов и появлением ряда ее новых ветвей. Дальнейшее обоснование принципа возможных перемещений, сформулированного Лагранжем, было проведено П. С. Лапласом (1749—1827), который ввел реакции связей, действующие на каждую точку материальной системы, и сделал предположение об идеальности связей. М. В. Остроградский (1801 — 1861) обобщил принцип возможных перемещений, распространив его на неудерживающие связи.

В 1829 г. К. Ф. Гаусс (1.777— 1855) сформулировал дифференциальный вариационный принцип — «Принцип наименьшего принуждения».

Развитие принципа наименьшего действия связано с именами П. Л. Мопертюи (1698—1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби (1804—1851). Существенный вклад в развитие аналитической механики на основе сформулированного им принципа был сделан У. Р. Гамильтоном (1805—1865). Независимо от Гамильтона этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским, который применил его для более широкого класса задач. Этот наиболее важный и общий принцип получил название принципа Гамильтона — Остро градского.

Существенные результаты были достигнуты Остроградским, Гамильтоном, Якоби в области методов интегрирования уравнений динамики.

Дальнейшее развитие получила теория движения тяжелого твердого тела. В эту область после существенных результатов Эйлера и Лагранжа сделала значительный вклад С. В. Ковалевская (1850—1891). Работа Ковалевской послужила толчком для целого ряда исследований по отысканию частных случаев интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки.

Л. Фуко (1819—1868) впервые продемонстрировал во Французской Академии наук гироскоп в кардановом подвесе. Последующее развитие теории гироскопов, обусловленное требованиями навигационных нужд, происходит в конце XIX века и особенно интенсивно в XX веке. Наиболее существенные результаты в этом разделе механики были получены М. Шулером, А. Н. Крыловым (1863- 1945), Б. В. Булгаковым (1900-1952), Б. Н. Кудреви-чем (1884-1953) и др.

Развитие механики неголономных систем связано с именами С. А. Чаплыгина, П. В. Воронца, П. Аппеля, В. Вольтеры и многих других ученых.

Существенное развитие получила теория устойчивости равновесия и движения, начала которой были даны еще Лагранжем; наиболее крупные результаты здесь принадлежат Э. Раусу (1831 — 1907), Н. Ё. Жуковскому (1847—1921), А. Пуанкаре (1854— (912) и в особенности А. М. Ляпунову (1857—1918).

Проблема борьбы с опасными вибрациями машин и сооружений вызвала к жизни углубленную разработку теории колебаний (исследования Рааея (1842—1919), А. Пуанкаре, А. Н. Крылова).

В XX веке особенно интенсивное развитие получила теория нелинейных колебаний, описывающая важные процессы не только в мехами lecKiix, но и в радиотехнических системах. Основополагающими в этой области являются работы Ван-дер-Поля, А. А. Андронова (1901 — 1952), Н. Н. Боголюбова, Л. И. Мандельштама (1879-1944), Н. М. Крылова (1879-1955), Н. Д. Папалекси (1880—1947) и др.

В механике зародилась теория автоматического регулирования (работы И. А. Вышнеградского (1831-1895)); в настоящее время эта теория представляет собой самостоятельную научную дисциплину, которую связывают с механикой, помимо исторических корней, теория устойчивости движения и теория колебаний.

В XIX веке сложилась теория упругости—наука о законах статического и динамического деформирования упругих тел (работы Эйлера, Навье (1785—1836), Коши (1789—1857), Сен-Венана (1797—1886)). В настоящее время ее начинают называть теорией твердого деформируемого тела в связи с расширением представления о законах деформирования и учетом вязких и пластичных свойств реальных тел.

В конце XIX века под сильным влиянием развития надводного и подводного кораблестроения и авиации начата углубленная разработка проблем гидро- и аэродинамики. Наиболее крупные результаты в этих областях связаны с именами Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина (1869 — 1942), Л. Прандтля (1875— 1953), Т. Кармана (1881 — 1963).

В известных работах И. В. Мещерского (1859—1935) заложены основы механики тела переменной массы (переменного состава)—дисциплины, служащей фундаментом изучения реактивного полета. Основополагающими работами в области ракето-динамики являются работы К. Э. Циолковского (1857—1935).

Механика прошла огромный путь развития, но и в наши дни она представляет живо развивающуюся науку. Укажем на одну проблему, возникшую в самое последнее время (за последние десятилетия)—проблему управления движением. Речь идет об установлении характера изменения сил, с помощью которых можно обеспечить движение по заранее выработанной программе. Сюда непосредственно примыкает проблема оптимального управления, например, каким образом управлять движением ракеты, чтобы она вышла на заданную орбиту при минимальном расходе горючего.

Строго говоря, под механикой следует понимать совокупность достаточно обособленных отраслей знаний, базирующихся на законах Ньютона. Круг вопросов, изучаемых механикой, все время расширяется, охватывая все новые и новые области на\ки и техники. Это привело к тому, что ряд разделов теоретической механики вследствие специфики объектов исследования и применяемых математических методов становится вполне самостоятельными науками. К их числу относятся дисциплины: механика жидкостей и газов, теория упругости, теория механизмов и машин, небесная механика, теория регулирования и др. Этот естественный процесс развития науки продолжается и в наши дни.

Сейчас под собственно теоретической механикой обычно понимают сравнительно узкий раздел механики, а именно: механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и их систем. Несмотря на ето, теоретическая механика является одним из важнейших курсов, изучаемых в высшей технической школе; ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других предметов при решении самых разнообразных и сложных технических задач. Все технические расчеты при постройке различных сооружений, при проектировании машин, при изучении полета различных управляемых и неупраатяемых летательных аппаратов и т. п. основаны на законах теоретической механики.

Особое значение механика приобретает сейчас, когда началась эра исследования космоса. Расчеты космических траекторий, разработки методов управления полетом представляют сложные задачи механики.

Отдавая должное значению механики как одного из важнейших разделов физики и фундамента современной техники, следует все же иметь в виду, что классическая механика лишь приближенно описывает законы природы, ибо в ее основе лежат постулаты, не вполне точно отражающие геометрию мира и характер механического взаимодействия тел. Это стало очевидным после создания Л. Эйнштейном специальной теории относительности, на которой основывается релятивистская механика.

Согласно теории относительности не существует абсолютного времени и абсолютного пространства, служащего лишь простым вместилищем тел На самом деле свойства пространства и времени существенно зависят от взаимодействующих в них тел. Более того, механические характеристики, такие как масса, тоже оказываются переменными и зависящими от обстоятельств движения (скорости). Однако становление релятивистской механики отнюдь не привело к отрицанию классической механики. Классическая механика, являясь частным (точнее, предельным) случаем релятивистской механики, не теряет своего значения, ибо ее выводы при скоростях движения, достаточно малых по сравнению со скоростью света, с большой точностью удовлетворяют требованиям многих отраслей современной техники.

В высших технических учебных заведениях теоретическая механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику и динамику. Эта сложившаяся традиция нашла отражение и в настоящем курсе.

В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия.

В кинематике движения тел рассматриваются с чисто геометрической точки зрения, т. е. без учета силовых взаимодействий между телами.

В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями Между телами. Более подробные сведения о задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответствующих разделах курса.

Статика

Статика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

Основные понятия и аксиомы статики

Как уже отмечалось во введении, в теоретической механике изучается движение материальных тел относительно друг друга. Для этого требуется прежде всего построить модели объектов и дать определение понятий, с которыми имеет дело механика. В теоретической механике рассматривается простейшая модель «обычного» евклидова трехмерного пространства. Постулируется, что в этом пространстве существует хотя бы одна система координат, в которой справедливы законы Ньютона (инерциальная система). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой. В дальнейшем будет показано, что если существует хотя бы одна инерциальная система, то их имеется бесчисленное множество) (инерциальные системы отсчета условно называются неподвижными).

Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела

В статике, не внося никаких погрешностей в вычисления, можно считать, что системы координат, жестко связанные с Землей, неподвижны). Условия относительного равновесия в других, неинерциальных системах отсчета, в частности, в системах, движущихся относительно Земли, будут выяснены в динамике.

Как для статики, так и для динамики одним из основных является понятие силы. Первичное представление о силе дают нам мускульные ощущения. В механике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг другу ускорения или деформироваться (изменять свою форму). Из этого определения сразу вытекают два способа измерения сил: первый, динамический способ, основан на измерении ускорения тела в инерциальной системе отсчета, а второй, статический способ, основан на измерении деформации упругих тел.

В механике не изучают физическую природу сил. Укажем только, что силы могут возникать как при непосредственном контакте тел (например, сила тяги электровоза, передаваемая вагонам, сила трения между поверхностями соприкасающихся тел и т. п.), так и на расстоянии (например, силы притяжения небесных тел, силы взаимодействия электрически заряженных или намагниченных частиц и т. п.).

Сила является векторной величиной — она характеризуется численным значением или модулем, точкой приложения и направлением. Точка приложения силы и ее направление определяют линию действия силы. На рис. 1.1 показана сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для измерения модуля силы ее сравнивают с некоторой силой, выбранной в качестве единицы. В международной системе единиц измерения физических величин (СИ) "за единицу силы принят один ньютон (1м), а в технической системе единиц (система МКГСС) —один килограмм силы (1 кГ или \кгс— не следует смешивать с единицей массы в системе СИ — \кг). Напомним, что эти единицы связаны соотношениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применяются и более крупные единицы измерения сил, в частности, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (меганьютон), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (килоньютон), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (тонна) и т. и.

Силу часто задают непосредственным описанием, например: к концу балки приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач численно равная 5 кн и направленная вертикально вниз. Но можно задать силу и способом, которым обычно определяют векторы, а именно, через ее проекции на оси прямоугольной системы координат и точку приложения силы. Если, как обычно, единичные векторы (орты) осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначить через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.2), то. сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определится

точкой приложения и равенством:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на соответствующие координатные оси *).

Рассматривая действие сил на материальные тела, мы будем отвлекаться не только от физической природы сил, но и от многих свойств самих тел. Так, реальные твердые тела обычно мало изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил. Поэтому для решения многих задач механики допустимо вовсе пренебречь малыми деформациями (т. е-, малыми изменениями формы) и пользоваться моделью абсолютного твердого тела, понимая под ним тело, в котором расстояния между двумя любыми точками его остаются неизменными независимо от действия тех или иных сил **). Для краткости мы будем часто пользоваться выражением «твердое тело» или даже просто «тело», имея в виду только что введенное понятие абсолютно твердого тела.

Совокупность нескольких сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется системой сил. Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно заменить другой системой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными. Символически это обозначается следующим образом;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введенное понятие эквивалентности систем сил не устанавливает условий, при выполнении которых две системы сил будут эквивалентны. Оно означает только, что эквивалентные системы сил вызывают одинаковое состояние тела (одинаковые ускорения или, если тело не абсолютно твердое, одинаковые деформации).

В том случае, когда система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна одной силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

последняя называется равнодействующей данной системы сил. Это означает, что одна равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. В дальнейшем будет показано, что не всякая система сил имеет равнодействующую.

Как уже отмечалось, в инерциальной системе координат выполняется закон инерции. Это означает, в частности, что тело, находящееся в начальный момент в покое, останется пребывать в этом состоянии, если на него не действуют никакие силы. (Полная формулировка закона инерции будет дана в лекции по динамике.) Если абсолютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то последняя называется уравновешенной системой сил или системой сил, эквивалентной нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Часто в этом случае говорят, что тело находится в равновесии *).

В заключение этой лекции обратим внимание на различие между понятием эквивалентности сил и понятием равенства векторов, изображающих эти силы. В математике два вектора считаются равными, если они параллельны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Для эквивалентности двух сил этого недостаточно и из равенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще не следует соотношение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из сделанных определений вытекает, что в общем случае две силы эквивалентны, если они геометрически (векторно) равны и приложены к одной точке тела. На рис. 1.3 показаны две геометрически равные, по не эквивалентные силы. В этом проявляется различие между свободными векторами, рассматриваемыми в математике, и силами.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аксиомы статики и их следствия

В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействущим телам. Эти законы установлены многочисленными непосредственными наблюдениями, а также опытной проверкой следствий (часто далеких и вовсе не очевидных), логически вытекающих из этих аксиом.

Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием одной силы приобретает ускорение и, следовательно, оно не может находиться в покое. Это означает, что одна сила не может составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома устанавливает условия, при выполнении которых простейшая система сил будет уравновешена.

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в начальный момент находилось в покое, . то состояние покоя тела сохранится.

На рис. 1.4 показаны уравновешенные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяющие соотношениям: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких стержней, весом которых можно пренебречь, причем известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформулированной аксиомы непосредственно следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой проходящей через концы стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю (рис. 1.5, а). Этот вывод сохраняется и в случае, когда ось стержня криволинейная (рис. 1.5, б).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.

Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.

Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, действующих по одной прямой и направленных в противоположные стороны.

Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.

Действительно, пусть сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.6, а). Приложим в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на линии действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач две уравновешенные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полагая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.6, б). Тогда согласно аксиоме 2 будем иметь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют также уравновешенную систему сил (аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.6, в). Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что доказывает следствие.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.

Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия меняет напряженно-деформированное состояние тела.

Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое —две силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.7), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е. эквивалентны одной силе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

второе — аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, равнодействующую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль равнодействующей определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угол между данными векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твердым телам.

Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной.

В частности, они позволяют разложить любую силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на две, три и т. д. составляющие, т. е. перейти к другой системе сил, для которой сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составят систему, для которой сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и с ребрами, направленными по этим прямым (рис 1.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам.

Если тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.9), то эти силы равны по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если обозначить через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же ло модулю, но противоположно направленной силой — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении тела по плоскости к нему будет приложена сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная в сторону, противоположную движению. Это — сила, с которой неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с такой же силой, но ее направление будет противоположно силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 1.10 показано тело, движущееся вправо; сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена к движущемуся телу, а сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — к плоскости.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще покоящуюся систему, изображенную на рис. 1.11, Она состоит из двигателя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач установленного на фундаменте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач который в свою очередь находится на основании Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На двигатель и фундамент действуют силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (он и представляют собой действие Земли на эти тела). Кроме указанных дбух сил, действуют также следующие силы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачсила действия тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она равна весу тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сила обратного действия тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сила действия тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на основание Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она равна суммарному весу тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сила обратного действия основания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти силы показаны на рис. 1.11, б, в, г.

Согласно аксиоме 4

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем эти силы взаимодействия определяются заданными- силами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.11, б) должно быть

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а значит, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точно так же из условия равновесия тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.11, в) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым.

Этой аксиомой (ее называют иногда принципом отвердевания) пользуются в тех случаях, когда речь идет о равновесии тел, которые нельзя считать твердыми. Приложенные к таким телам внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия твердою тела, однако для нетвердых тел эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. Проиллюстрируем это положение простым примером. На стр. 20 было показано, что для равновесия абсолютно твердого невесомого стержня необходимо и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действовали по прямой, соединяющей его концы, были равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

по модулю и направлены в разные стороны. Эти же условия необходимы и для равновесия отрезка невесомой нити, но для нити они недостаточны —необходимо дополнительно потребовать, чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими (рис. 1.12,6), в то время, как для стержня они могут быть и сжимающими (рис. 1.12, а).

В заключение этой лекции рассмотрим случай эквивалентности нулю трех непараллельных сил, приложенных к твердому телу (рис. 1.13, а).

Теорема о трех непараллельных силах. Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть на тело действует система трех сил, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем линии действия сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.13, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно перенести в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.13, б), а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем (рис. 1.13, в)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.13, в). По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме I силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.

Активные силы и реакции связей

Условимся называть тело свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, связями. Как уже упоминалось, в точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. При перечислении всех сил, действующих на данное тело, необходимо, разумеется, учитывать и эти контактные силы (реакции связей).

В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное шло можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу.

В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий или уравнений равновесия тела, которые будут установлены в дальнейшем, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей.

В качестве простейшего примера на рис. 1.14, а представлено тело, точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которого соединена с неподвижной точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В данном случае для тела связью служит стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стеснение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

свободы перемещения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается в том, что она вынуждена находиться на неизменном удалении от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но, как мы видели выше (см. рис. 1.5, б), сила действия на такой стержень должна быть направлена по прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и согласно аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть направлена вдоль той же прямой. Таким образом, направление реакции стержня совпадает с прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.14,6).

(В случае криволинейного невесомого стержня — по прямой, соединяющей концы стержня; см. рис. 1.5,6).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично сила реакции гибкой нерастяжимой нити должна быть направлена вдоль нити. На рис. 1.15 показано тело, висящее на двух нитях, и реакции нитей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возвращаясь к общему случаю, отметим, что силы, действующие па несвободное тело (или на несвободную материальную точку), можно разделить на две категории. Одну категорию образуют силы, не зависящие от связей, а другую категорию — реакции связей. При этом реакции связей, в сущности, носят пассивный характер —они возникают лишь постольку, поскольку на тело действуют те или иные силы первой категории. Поэтому силы, не зависящие от связей, называют активными силами (иногда они называются заданными), а реакции связей — пассивными силами.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 1.16, а вверху показаны две равные по модулю активные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растягивающие стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач внизу показаны реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растянутого стержня. На рис. 1.16,6 вверху показаны активные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжимающие стержень, внизу показаны реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжатого стержня.

Рассмотрим еще некоторые типичные виды связей и укажем возможные направления их реакций; конечно, модули реакций определяются актйвными силами и не могут быть найдены, пока последние не заданы определенным образом. При этом мы будем пользоваться некоторыми упрощенными представлениями, схематизирующими действительные свойства реальных связей.

1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям (рис. 1.17, а).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие (рис. 1.17,6), то реакция направлена по нормали к поверхности самого тела.

Если твердое тело упирается острием в угол (рис. 1.17, в), то связь препятствует перемещению острия как по горизонтали, так и по вертикали. Соответственно реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угла может быть представлена двумя составляющими — горизонтальной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вертикальной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач величины и направления которых в конечном счете определяются заданными силами.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Сферическим шарниром называется устройство, изображенное на рис. 1.18, а, которое делает неподвижной точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматриваемого тела. Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция сферического шарнира имеет направление нормали к этой поверхности. Поэтому единственное, что известно относительно реакции, —это то, что она проходит через центр шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направление реакции может быть любым и определяется в каждом конкретном случае в зависимости от заданных сил и общей схемы закрепления тела. Точно так же нельзя заранее определить направление реакции подпятника, изображенного на рис. 1.18, б.

3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.19, а). Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реакции может быть любым (в плоскости, перпендикулярной оси опоры).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис. 1.19, б) препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпендикуляру к плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно реакция такой опоры также имеет направление этого перпендикуляра.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На одно и то же тело может быть наложено одновременно несколько связей, возможно, различного типа. Три примера такого рода представлены на рнс. 1.20, а. На рис. 1.20, б изображены соответствующие системы сил; здесь, в соответствии с принципом освобождаемости, связи отброшены и заменены реакциями. Реакции стержней направлены вдоль стержней (верхняя схема); прн этом предполагается, что стержни невесомы и соединены с телом и опорами с помощью шарниров. Реакции идеально гладких опорных поверхностей направлены по нормали к этим поверхностям (две нижние схемы). Кроме того, реакция цилиндрического шарнира в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (средняя схема) должна -на основании теоремы о трех непараллельных силах проходить через точку пересечения линий действия сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач идеально гибкой нерастяжимой и невесомой нити направлена вдоль нити (нижняя схема).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи. В этих случаях иногда мысленно расчленяют систему и заменяют отброшенные не только внешние, но и внутренние связи соответствующими реакциями. Один пример такого рода, в котором два тела соединены шарниром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представлен па рис. 1.21. Отметим, что силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны друг другу по модулю, но противоположно направлены (по аксиоме 4).

В заключении этой лекции отметим, что силы взаимодействия между отдельными точками данного тела называются внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними. Из этого следует, что реакции связен являются для данного тела внешними силами.

Основные задачи статики

Содержание статики абсолютно твердого тела составляют две основные задачи:

  1. Задача о приведении системы сил: как данную систему сил заменить другой, в частности наиболее простой, ей эквивалентной?
  2. Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к данному телу (или материальной точке), чтобы она была уравновешенной системой?

Первая основная задача имеет важное значение не только в статике, но и в динамике.

Вторая задача часто ставится в тех случаях, когда равновесие заведомо имеет место, например, когда заранее известно, что тело находится в равновесии, которое обеспечивается связями, наложенными на тело. При этом условия равновесия устанавливают зависимость между всеми силами, приложенными к телу; во многих случаях с помощью этих условий удается определить опорные реакции. Хотя этим не ограничивается сфера интересов статики твердого тела, но нужно иметь в виду, что определение реакций связей (внешних и внутренних) необходимо для последующего расчета прочности конструкции.

В более общем случае, когда рассматривается система тел, имеющих возможность перемещаться друг относительно друга, одной из основных задач статики является задача определения возможных положений равновесия. Эти вопросы рассматриваются в аналитической статике (см. том II, глава XVIII).

Система сходящихся сил

Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Простейший случай трех сил был рассмотрен в главе 1. Здесь рассматривается общий случай произвольного числа сил, образующих систему.

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей

Существует немало практических задач, которые требуют исследования систем сходящихся сил; в частности, они возникают ори расчетах шарнирно-стержневых систем (ферм). Кроме того, изучение системы сходящихся сил необходимо для дальнейших обобщений, относящихся к произвольной пространственной системе сил. Прежде всего докажем теорему:

Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодействующей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия.

Пусть задана система сходящихся сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1, а). Согласно следствию из аксиомы 1 перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий (рис. 2.1, б). Таким образом, мы получаем систему сил, приложенных в одной точке. Она эквивалентна исходной системе сходящихся сил. Складывая теперь силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на основании аксиомы 3 получим их равнодействующую:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Индекс в обозначении равнодействующей соответствует номеру добавляемой силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем, сложив силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является равнодействующей трех сил, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равна их сумме. Дойдя, таким образом, до последней силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим равнодействующую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач данных сил *)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этим соотношением и доказывается справедливость сформулированной теоремы.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построение равнодействующей может быть упрощено, если вместо параллелограммов построить силовой многоугольник. Пусть, например, система состоит из четырех сил (рис. 2.2). Если от конца вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отложить вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор, соединяющий начало Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее отложим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач помещая его начало в конце вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда мы получим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач идущий от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к концу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Наконец, точно так же добавим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом получим, что вектор, идущий от начала первого вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к концу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пространственный многоугольник, который получен указанным образом, называется силовым многоугольником.

На рис. 2.2 показан разомкнутый силовой многоугольник (конец последней силы не совпадает с началом первой силы); равнодействующая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена по замыкающей силового многоугольника. Конечно, при практическом построении силового многоугольника промежуточные равнодействующие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д. строить не нужно.

Если для нахождения равнодействующей при помощи силового многоугольника используются правила геометрии или тригонометрии, то такой способ нахождения равнодействующей называется геометрическим способом.

В случае плоской системы сил можно воспользоваться плоским чертежом, откладывая силы в некотором масштабе; равнодействующая определяется непосредственным измерением по чертежу. Такой способ ее нахождения называется графическим.

Наиболее общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический способ, который также вытекает из основного соотношения (2.1). Поместим, например, начало прямоугольной системы координат в точку пересечения

линий действия сил (см. рис. 2.1); тогда, пользуясь теоремой (она доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на указанные оси, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции равнодействующей на те же оси.

Итак, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси.

С помощью выражений (2.2) можно найти модуль равнодействующей и ее направление в прямоугольной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как составляющие равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы сил

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

взаимно перпендикулярны (рис. 2.1), то модуль равнодействующей равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направляющие косинусы равнодействующей соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частном случае, когда все силы расположены в одной плоскости, удобно выбрать систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в плоскости расположения сил. Тогда проекции всех сил на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю и вместо формул (2.2), (2.4) и (2.5) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия равновесия системы сходящихся сил

При приведении системы сходящихся сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач было показано, что такая система эквивалентна одной равнодействующей силе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая их равнялась нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой силы; в этом случае говорят, что силовой многоугольник замкнут (рис. 2.3). Это условие удобно использовать при графическом решении задач для плоских систем сил.

Векторное равенство (2.9) эквивалентно трем скалярным равенствам:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание равенства (2.2), получаем аналитические условия равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно равенства нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системы на каждую из координатных осей.

Для частного случая плоскостей системы сходящихся сил, расположенных, например, в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач третье условие (2.10) отпадает (т. е. обращается в тождество).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что условия равновесия (как в аналитической, так и в геометрической форме) позволяют проконтролировать, находится ли в равновесии заданная система сил.

Однако еще большее практическое значение имеет другая возможность использования этих условий. Часто

заведомо известно, что вследствие наложенных связей тело находится в равновесии, причем мы знаем только часть действующих сил, а именно, активные силы; при этом опорные реакции известны лишь отчасти (например, известны их направления). Тогда с помощью условий равновесия можно найти остальные неизвестные, определяющие реакции связей. Условия равновесия, в которые входят неизвестные, будут уже служить уравнениями для определения этих неизвестных. Конечно, определение неизвестных возможно лишь в тех случаях, когда число неизвестных составляющих реакций не больше числа уравнений равновесия. Для определенности решения пространственной задачи на равновесие системы сходящихся сил она должна содержать не более трех неизвестных (соответственно трем уравнениям равновесия), а для плоской задачи —не более двух. Если неизвестных реакций больше, чем уравнений равновесия, в которые эти реакции входят, то задача не может быть решена только методами статики твердого тела (статически неопределимая задача) .

Хотя выбор направления координатных осей, на которые проектируются силы, не имеет принципиального значения, однако при решении задач для получения более простых уравнений равновесия рационально иногда направлять координатные оси перпендикулярно неизвестным силам; при этом некоторые уравнения равновесия будут содержать меньшее число неизвестных, чем их содержится в задаче.

Пример №1

Кран состоит из стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач блоков Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и мотора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач К концу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стрелы подвешен груз, вес которого равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач С помощью мотора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и троса стрелу можно установить под любым углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.4, а). Пренебрегая весом троса и стрелы, а также размерами блоков Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определить натяжение троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в стреле, если известно расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длина стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислить найденные величины при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим равновесие стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к ней приложена активная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (сила тяжести груза). В той же точке к ней приложена реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к стреле приложена реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная вдоль стрелы. Мысленно освободимся от связей и заменим их реакциями (рис. 2.4, б). Так как все-три силы, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенные к стреле, уравновешены и пересекаются в одной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то силовой треугольник должен быть замкнут. Построение замкнутого треугольника сил следует начинать с известной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из ее конца проводится направление силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из начала силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводится прямая, параллельная силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка пересечения этих прямых определяет силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.4, в).

При отбрасывании связей было заранее предположено, что стрела (стержень) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжата и поэтому реакция опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была направлена от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В данном примере это очевидно; в других, более сложных, случаях состояние стержня (растягивается он или сжимается) определяется решением задачи.

Треугольник сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подобен треугольнику Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образованному элементами крана (так как соответствующие стороны параллельны). Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь теоремой косинусов, из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При заданных значениях будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В заключение этого примера отметим, что при хорошем выполнении чертежа (строгое соблюдение масштабов и параллельности линий) приближенные значения усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и натяжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить без всяких вычислений простым измерением длин сторон силового треугольника Недостаток графического метода состоит в том, что он не позволяет провести анализ полученного решения, так как численные значения искомых величин отвечают одному фиксированному положению механизма.

Пример №2

Шар веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удерживается нитью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на неподвижной гладкой цилиндрической поверхности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.5, а). Определить натяжение нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и давление шара на опорную поверхность, если точка А крепления нити лежит на одной вертикали с центром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндрической поверхности.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим равновесие шара. Мысленно освободим шар от связей и заменим их реакциями (рис. 2.5, б). Реакция нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равная ее натяжению, направлена вдоль нити от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач гладкой цилиндрической поверхности направлена по нормали к поверхности (она приложена к шару в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач касания шара с опорной поверхностью н направлена по нормали к поверхности шара, т. е. по радиусу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Шар находится в равновесии под действием трех сил: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построив замкнутый силовой треугольник (из конца известкой силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямою, параллельную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из начала силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, параллельную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка пересечения этих прямых определяет конец силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и начало силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рис. 2.5, в), мы можем определить модули сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью масштаба простым Измерением их длины. В данном примере использовать аналитические методы. Действительно, из подобия треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.5 а) и силового треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Давление шара Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на опорную поверхность (аксиома 4) равно по модулю реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но направлено в противоположную сторону: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №3

Однородная балка длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удерживается в равновесии нитью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и шарниром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.0, а).

Найти натяжение нити и реакцию шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим равновесие системы, состоящей из балки и нити. Мысленно освободим систему от связен в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложим в этих точках реакции (рис. 2.С, б). К балке приложены сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила натяжения нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта система сил должна быть эквивалентна нулю. По теореме о трех непараллельных силах реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должна проходить через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (середину стороны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построим силовой треугольник {рис. 2.6, в). Из подобия силового треугольника и треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.G, б) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начало этих рассуждений может быть несколько видоизменено, если рассматривать равновесие балки, отделенной как от стены (в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и нити (в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач см. рис. 2.6, г. Однако последующие выкладки останутся прежними, в частности, тем же останется силовой треугольник на рис. 2.6, в.

Пример №4

Определить реакции опорных шарниров невесомой трехшарнирной арки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач левая половина которой нагружена силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.7 а).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим равновесие каждой полуарки отдельно. К правой полуарке приложены две силы: реакция в шарнире Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач левой полуарки на правую. Значит, линия действия этих сил проходят через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Левая полу арка (рис. 2.7, б) находится в равновесии, следовательно, силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют уравновешенную систему действия реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через точку пересечения линий действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (реакции правой полуарки на левую). Так как направления всех сил известны, то можно построить силовой треугольник (рис. 2.7, в) и определить величины искомых реакций. После этого можно построить систему сил для правой полуарки; это сделано на рис. 2 7, г, причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №5

Однородный цилиндр веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположен между двумя гладкими наклонными плоскостями, образующими с горизонтом углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.8, о). Определить силы давления цилиндра на обе опорные плоскости.

Так как плоскости гладкие, то их реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.8, б) направлены перпендикулярно плоскостям, т. е направлены к оси цилиндра и вместе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют сходящуюся систему сил. Запишем уравнения равновесия этой системы сил:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Искомые силы давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны (согласно аксиоме 4) по модулю и противоположны по направлению реакциям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №6

Горизонтальная балка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удерживается в равновесии стержнями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти усилия в стержнях и балке, если к концу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярная балке и образующая с вертикалью угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дано: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Весами балки и стержней пренебречь; крепления шарнинные (рис. 2.9, а).

Заменяя действие стержней и балки на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим систему четырех сил, приложенных в одной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.9,6).

Проекции этих сил на координатные оси (систему координат см. на рис. 2.9, б) равны:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому в соответствии с условиями (2.11) уравнения равновесия данной системы сил имеют вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Усилия в стержнях и балке соответственно равны найденным реакциям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если бы балка поддерживалась большим числом стержней, то задача стала бы статически неопределимой, поскольку число неизвестных превзошло бы число уравнений.

Пример №7

Невесомые стержни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шарниром, поддерживаются в равновесии нитью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить натяжение нити и усилия в стержнях, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена горизонтальная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач линия действия которой образует с плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.10, а). Концы стержней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач закреплены шарнирно. Прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач горизонтальна.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменим действие стержней и нити на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекции сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси координат будут (рис. 2.10, б):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Натяжение нити и усилия в стержнях соответственно равны полученным значениям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(знак минус в выражении для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сжат, а не растянут, как предполагалось при построении реакций).

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач усилие в стержне Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю.

Теория пар

Лекция носит вспомогательный характер и необходим для дальнейшего построения теории.

Сложение двух параллельных сил

Пусть параллельные и одинаково направленные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложены к точкам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела и нужно найти их равнодействующую (рис. 3.1). Приложим к точкам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равные по модулю и противоположно направленные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (их модуль может быть любым); такое добавление можно делать на основании аксиомы 2. Тогда в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы получим две силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перенесем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и разложим каждую на составляющие:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из построения видно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и две эти силы согласно аксиоме 2 можно отбросить. Кроме того, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действуют по одной прямой, и их можно заменить одной силой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая и будет искомой равнодействующей. Модуль равнодействующей равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что линия действия равнодействующей параллельна линиям действия слагаемых. Из подобия треугольников Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а, также Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим соотношение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которым определяется точка приложения равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, система двух параллельных сил. направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.

Рассмотрим теперь задачу о сложении двух параллельных сил, направленных в разные стороны и не равных друг другу по модулю. Пусть даны две силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.2.), причем для определенности будем считать, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь формулами (3.1) и (3.2), можно силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложить на две составляющие, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленные в сторону силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сделаем это так, чтобы сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оказалась приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и положим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теперь заметим, что силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно отбросить как эквивалентные нулю (аксиома 2), следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и является равнодействующей. Определим силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяющую такому разложению силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формулы (3.1) и (3.2) дают

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и так как силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в разные стороны, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим это выражение во вторую формулу (3.3), получим после простых преобразований

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из двух последних формул следует, что две не равные по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил. внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Заметим, что равнодействующая в этом случае всегда расположена за большей из двух сил.

Прежде чем рассмотреть случай двух равных по модулю, параллельных, но противоположно направленных сил, заметим, что из равенств (3.3) и (3.4) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь случай двух параллельных, равных по модулю, но противоположно направленных сил (рис. 3.3). Эта система сил называется парой сил или просто парой и обозначается символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассуждения, которыми мы пользовались при выводе соотношений (3.4) и (3.5), здесь непригодны. Формальное применение этих соотношений приводит к заключению, что в данном случае модуль равнодействующей равен нулю, а линия ее действия находится на бесконечном удалении от линий действия слагаемых сил. Чтобы понять природу этого результата, вновь вернемся к отучаю, когда слагаемые силы имеют различные модули, и предположим, что модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постепенно возрастает, приближаясь к значению модуля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда разность модулей будет стремиться к нулю, а система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — к паре. При этом модуль равнодействующей будет неограниченно приближаться к нулю (см. (3.4)), а линия ее действия — неограниченно удаляться от линий действия слагаемых (см. (3.5)).

Как следует из сказанного, для пары сил понятие равнодействующей лишено смысла, так как она представляет неуравновешенную систему, которая не может быть заменена одной силой. Говорят, что пара сил не имеет равнодействующей*).

Таким образом, пара сил является неприводимым (неупрощаемым) элементом статики; наряду с силой она является вторым самостоятельным элементом статики.

Момент силы относительно точки и относительно оси. Момент пары сил

Прежде чем перейти к исследованию свойств пары сил, введем понятие момента силы, которое необходимо для дальнейшего.

Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда «вращение», совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка, относительно которой находится момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то момент силы обозначается символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Покажем, что если точка приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то справедливо соотношение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно этому соотношению момент силы равен векторному произведению вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В самом деле, модуль векторного произведения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — плечо силы (рис. 3.4). Заметим также, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к направлению вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляется происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда формулу (3.7) полезно записывать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.4).

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки приложения силы, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О находится в начале координат,.момент силы выражается следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.

Пусть даны сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5).

Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость.

Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то проекцией силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на эту плоскость будет вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.5).

Момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (точки пересечения оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть вычислен но формуле (3.9), если в ней положить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, этот момент направлен вдоль оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а его проекция на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Другими словами,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(3.11)

Очевидно, тот же результат можно получить, если спроектировать силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на любую другую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом точка пересечения оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку пересечения через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Однако все входящие в правую часть равенства (3,11) величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач останутся неизменными, и, следовательно, можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси. Поэтому в дальнейшем вместо символа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем применять символ Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулой (3.7) и учитывая знак проекции, будем иметь:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — плечо силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.6); если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится повернуть тело вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач против хода часовой стрелки, то берется знак «плюс», и в противном случае —знак «минус».

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (3.12) дает возможность сформулировать следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно:

  1. выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси;
  2. спроектировать на эту плоскость силу;
  3. определить плечо проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком (см. изложенное выше правило).

Из формулы (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

  1. когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллельны;
  2. когда плечо проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Оба эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия сит и ось находятся в одной плоскости.

Пример №8

Вычислить относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направленной по диагонали грани куба со стороной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.7).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При решении подобных задач рационально сначала вычислить моменты силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно координатных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные оси:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя эти значения в равенства (3.10), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти же выражения для моментов силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно координатных осей можно получить, пользуясь формулой (3.12). Для этого спроектируем силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачна плоскости, перпендикулярные осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3 7). Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применяя изложенное выше правило, получим, как и следовало ожидать, те же выражения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль момента определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем теперь понятие момента нары. Найдем сначала, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—произвольная точка пространства (рис. 3.8), a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— силы, составляющие пару. Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание равенство Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окончательно находим:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.

Векторное произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и называется моментом пары. Обозначается момент пары символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, короче,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассматривая правую часть этого равенства, замечаем, что момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —плечо пары, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из самого определения видно, что момент пары сил представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена (дополнительное обоснование этого замечания следует из теорем 2 и 3 этой главы).

Для того чтобы пара сил составляла уравновешенную систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.е. нет сил, либо плечо пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. Но в этом случае силы пары будут действовать по одной прямой; так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему. Обратно, если две силы, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющие пару, уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по одной прямой. Но в этом случае плечо пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоремы о парах

Докажем три теоремы, с помощью которых становятся возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассуждениях следует помнить, что они относятся к нарам, действующим на какое-либо одно твердое тело.

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим две пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 3.9) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линии их действия в точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют пару. Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой (3.13):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При переносе сил, составляющих пару, вдоль линии их действия ни плечо, ни направление вращения пары не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Значит,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и формула (3.14) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.

Сделаем два замечания к этой теореме.

  1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае, но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сложения параллельных сил.
  2. После сложения может получиться, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на основании сделанного ранее замечания из этого следует, что совокупность двух пар Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.

Пусть на тело в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует пара Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Покажем, что эту пару можно заменить другой парой (F2, F2), расположенной в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если только ее момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (согласно определению это и будет означать, что пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны). Прежде всего заметим, что плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в нашем случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны.

Введем в рассмотрение новую пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложим ее вместе с парой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к телу, расположив обе пары в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы приложенная система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была уравновешена. Это можно сделать, например, следующим образом: положим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и совместим точки приложения этих сил с проекциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 3.10). В соответствии с построением будем иметь: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание второе замечание к предыдущей теореме, получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нарушает его состояния (аксиома 2), так что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно сложить по правилу сложении параллельных сил, направленных в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу, поэтому их равнодействующие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны быть приложены в точке пересечения диагоналей прямоугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме того, они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это означает, что они составляют систему, эквивалентную нулю. Итак,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь мы можем записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими эквивалентными преобразованиями нары.

Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Пусть пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположены в пересекающихся плоскостях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.11), расположенному на линии пересечения плоскостей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим трансформированные пары через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом должны выполняться равенства:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Тогда получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, мы доказали, что система двух нар эквивалентна одной паре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой пары. На основании формулы (3.13) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. теорема доказана.

Заметим, что полученный результат справедлив и для пар, лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары можно привести к одной плоскости, а но теореме 1 их можно заменить одной нарой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказанные выше теоремы о нарах позволяют сделать важный вывод: момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело. В самом деле, мы уже доказали, что если две пары имеют одинаковые моменты (следовательно, лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях), то они друг другу эквивалентны (теорема 2). другой стороны, две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, противоположная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так как сумма моментов таких пар отлична от нуля.

Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно полезно, поскольку оно полностью отражает механическое действие нары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое тело.

Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.

Перейдем к решению первой и второй задач статики в случаях, когда на тело действуют только пары сил.

Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы пар

Пусть дана система Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пар Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как угодно расположенных в пространстве, моменты которых равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На основании теоремы 3 первые две нары можно заменить одной парой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученную пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сложим с парой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим новую пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продолжая и дальше последовательное сложение моментов нар, мы получим последнюю результирующую пару Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с моментом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар.

Теперь легко решить вторую задачу статики, т. е. найти условия равновесия тела, на которое действует система пар. Для того чтобы система пар была эквивалентна нулю, т. е. приводилась к .двум уравновешенным силам, необходимо и достаточно,

чтобы момент результирующей пары был равен нулю. Тогда из формулы (3.18) по-M(f„f/) лучим следующее условие равновесия в векторном виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В проекциях на координатные оси уравнение (3.19) дает три скалярных уравнения.

Условие равновесия (3.19) упрощается, когда все нары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, и поэтому уравнение (3.19) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось, перпендикулярную плоскости пар. Пусть это будет ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.12).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда из уравнения (3.19) получим:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом ясно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если вращение пары видно с положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач против хода часовой стрелки, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при противоположном направлении вращения, эти случая представлены на рис. 3.12.

Пример №9

Один конец балки длиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укреплен в неподвижной шарнирной опоре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второй ее конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опирается на гладкую наклонную плоскость, составляющую с балкой угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На балку действует пара сил с моментом, равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пренебрегая весом балки, определить реакции опор (рис. 3. 13).

Действие опор заменим реакциями. Реакция гладкой поверхности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена по нормали к поверхности. Так как балка находится в равновесии, то система сил, действующих на балку, эквивалентна нулю. Но активная пара сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть уравновешена только парой сил.

Следовательно, реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижной опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместе с реакцией плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны составлять пару сил. Модули реакций найдутся из условия равенства модулей моментов пар:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плечо пары. Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил

В лекции рассматривается вспомогательная задача о параллельном переносе силы. Докажем лемму:

Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Лемма о параллельном переносе силы

Пусть в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.1). Приложим теперь в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела систему двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентную нулю, причем выбираем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но, с другой стороны, система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Момент нары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. равен моменту силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Основная теорема статики

Введем определения. Пусть дана произвольная система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сумму этих сил

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называют главным вектором системы сил.

Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения) называют главным моментом рассматриваемой системы сил относительно этого полюса.

Пользуясь теперь леммой о параллельном переносе силы, докажем следующую основную теорему статики (теорема Пуансо):

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной сит, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Следовательно, основная теорема статики устанавливает закон эквивалентной замены произвольной системы сил более простои системой, состоящей из одной силы и одной пары.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — центр приведения, принимаемый за начало координат, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Прежде всего перенесем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем сложим эти силы как сходящиеся; в результате получим одну силу:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которая равна главному вектору (рис. 4.2,6). Но при последовательном переносе сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы получаем каждый раз соответствующую пару сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и парой сил с моментом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

He следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение и что их можно найти только с помощью вычислений. Очень часто отдельно действующие на тело силы нельзя определить даже опытным путем, в то время как главный вектор или главный момент находятся сравнительно легко. Поясним это примером. Рассмотрим вал, находящийся в подшипниках скольжения. При вращении вала на точки его поверхности действуют со стороны подшипника силы трения. Число точек контакта и модули сил трения, как правило, нам не известны. Не всегда их можно определить и с помощью эксперимента, однако простым измерением находится сумма моментов всех сил трения относительно оси вращения, т. е. главный момент сил трения.

По тем же соображениям момент силы и момент пары сил также не следует рассматривать только как формальные величины, введенные для удобства доказательства. В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует па ротор, а вращающий момент.

Аналитическое определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил

Определим модули и направления векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть декартова система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет начало в центре приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные оси найдутся из соотношений:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а направление определяется направляющими косинусами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для проекции вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем (см. (3.10))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, модуль и направление сектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются формулами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При приведении пространственной системы сил к одной силе и одной паре сил угол между направлением главного вектора и направлением главного момента может получиться любым в зависимости от действующих сил. Для определения этого угла воспользуемся формулой, выражающей скалярное произведение векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, в соответствии с формулами (4.6) и (4.9),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним, как будут меняться сила и пара сил, к которым приводится рассматриваемая система сил, при перемене центра приведения. Так как сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна главному вектору, т. е. сумме всех сил системы, то для любого центра приведения она будет одной и той же. Если в качестве нового центра приведения взята точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач момент пары равен главному моменту относительно этого центра приведения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенный из нового центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.3). Из рассмотрения рис. 4.3 видно, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (4.13), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда на основании формул (4.2) и (4.3)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. момент пары, а следовательно, и главный момент при перемене центра приведения изменяются на момент силы, равной главному вектору, приложенному в старом центре приведения, относительно нового центpa приведения.

Из формулы (4.14) следует, что если в каком-либо центре приведения, например, точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то и для любого центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил не является единственным способом приведения к простейшему виду (хотя и применяется наиболее часто). Возможен другой вариант приведения; согласно этому варианту система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к двум силам, в общем случае не лежащим в одной плоскости.

В самом деле, пусть произвольная система сил приведена в данном центре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выберем силы, составляющие пару,равными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложим одну из них (например, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в центре приведения (рис. 4.4) и сложим ее с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В результате получим силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уже не лежащую в плоскости действия пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, пространственная система сил приведена к двум силам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые в общем случае не лежат в одной плоскости.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия равновесия пространственной системы сил

В этой лекции мы обратимся ко второй задаче статики и установим условия, при которых пространственная система сил эквивалентна нулю, т. е. условия ее равновесия. Докажем теорему.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю.

Достаточность сформулированных условии вытекает из того, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач система сходящихся сил, приложенных в центре приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна нулю, а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что в нашем случае система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.4) должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и, кроме того, должно выполняться равенство Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но в рассматриваемом нами случае это может быть, если линия действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач А это значит, что главный момент равен нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил будут иметь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, в проекциях на координатные оси,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при решении задач о равновесии пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем возможность из уравнений (4.16) н (4.17) определить шесть неизвестных величин.

Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей. Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к какой-либо точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела. Тогда эта пара и сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны нулю (рис. 4.5). На основании только что доказанного плавный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равен моменту пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный вектор тоже не равен нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, предположение о существовании равнодействующей для пары сил несправедливо.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения равновесия для более частных систем сил могут быть получены из уравнений (4.16) и (4.17).

1. Равновесие пространственной системы параллельных сил. Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно линиям действия сил (рис. 4.6).

Тогда проекции сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и остается удовлетворить только одному из уравнений группы (4.16):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во второй группе уравнений (4.17) Рис 4.6. последнее выполняется тождественно, так как силы параллельны оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и остаются только два уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2.Равновесие плоской системы сил.

Для плоской системы сил из уравнений первой группы останутся два уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.7). Остается только третье уравнение:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Равновесие плоской системы параллельных сил. Условия равновесия для этого частного случая следуют из

Уравнений (4.20) и (4.21). Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно линиям действия сил (рис. 4.8). Тогда первое из уравнений (4.20) удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что при составлении уравнений равновесия (4.17) за центр приведения может быть выбрана любая точка.

Плоская система сил

Рассмотрим систему сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположенных в одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое число практических задач техники. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, согласно основной теореме статики приведем рассматриваемую систему сил к одной силе

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Так как силы расположены в одной плоскости, то сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач также лежит в этой плоскости. Момент же пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно этой плоскости, так как сама пара расположена в плоскости действия рассматриваемых сил. Таким образом, для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту пары. Момент полностью характеризуется алгебраической величиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение» пары происходит против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами, за момент пары в плоских системах принимается проекция вектора момента пары на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярную плоскости действия сил.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть, например, даны две пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Индекс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модули же момента пары и момента силы обозначаются следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исходя из этих определений, для нахождения главного момента вместо формулы (5.2) будем пользоваться формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Формула (4.14), определяющая изменение главного момента при перемене центра приведения, примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для аналитического определения главного вектора применяются формулы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формулам (5.5) и (3.11) главный момент равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть для выбранного центра приведения главный вектор и главный момент не равны нулю, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равных по модулю главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом одну из сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.4, б). Тогда система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта сила и является равнодействующей. В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от прежнего центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до линии действия равнодействующей можно найти из условия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно отложить от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы момент пары сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадал с главным моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:

1. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.

2. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через данный центр приведения.

3. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом система сил эквивалентна одной паре сил.

4. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т. е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.

Для системы сил, которая приводится к равнодействующей, справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем теперь в качестве центра приведения другую точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, на основании формулы (5.6) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как главный момент для центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

это и доказывает сформулированную теорему.

При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена в какой-либо точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.5) и известны главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при центре приведения в начале координат. Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то составляющие равнодействующей по осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №10

Равнодействующие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сил давления воды на гравитационною плотину приложены в вертикальной плоскости симметрии перпендикулярно соответствующим граням на расстояниях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от основания (рис. 5.6). Сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольной части— на расстоянии одной трети от вертикальной грани треугольного сечения.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде всего найдем равнодействующую заданных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к плотине Для вычисления главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главного момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно начала координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам понадобятся значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачПо условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно формулам (5.7) и (5.10) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Главный вектор не равен нулю, поэтому система заданных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к плотине, приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль которой равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение линии действия равнодействующей найдем по формуле (5.14):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 5.6 показана равнодействующая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданных сил, приложенных к плотине. Равнодействующая реакция грунта действует по той же прямой, но она направлена в сторону, противоположную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Модули этих сил, конечно, равны между собой.

Условия равновесия плоской системы сил

Как было установлено в главе IV, необходимым и достаточным условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил эти условия получают вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка в плоскости действия сил. На основании (5.15) и (5.7) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. для равновесия плоской системы, сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю.

Возможны также другие формы уравнений равновесия.

Второй формой является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — указанные точки.

Необходимость выполнения этих трех равенств в случае равновесия системы сил вытекает из условий (5.15), и нам остается доказать их достаточность. Предположим, что все равенства (5.17) выполняются. Равенство нулю главного момента при центре приведения в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач возможно, либо если система приводится к равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и линия ее действия проходит через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач аналогично равенство нулю главного момента относительно точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равнодействующая проходит через обе точки, либо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но равнодействующая не может проходить через все эти три точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (по условию они не лежат на одной прямой). Следовательно, равенства (5.17) возможны лишь при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. система сил находится в равновесии.

Заметим, что если точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на одной прямой, то выполнение условий (5.17) не будет достаточным условием равновесия, — в этом случае система может быть приведена к равнодействующей, линия действия которой проходит через эти точки.

Третьей формой уравнений равновесия плоской системы сил является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил системы относительно двух любых точек и равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил системы на ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не перпендикулярна отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Необходимость выполнения этих равенств для равновесия сил вытекает непосредственно из условий (5.15). Убедимся в том, что выполнения этих условий достаточно для равновесия сил.

Из первых двух равенств, как и в предыдущем случае, вытекает, что если система сил имеет равнодействующую, то ее линия действия проходит через точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.7). Тогда проекция равнодействующей на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не перпендикулярную отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется отличной от нуля. Но эта возможность исключается третьим уравнением (5.18) так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, равнодействующая должна равняться нулю и система находится в равновесии. Понятно, что если ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет перпендикулярна отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнения (5.18) не будут достаточными условиями равновесия, так как в этом случае система может иметь равнодействующую, линия действия которой проходит через точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, система уравнений равновесия может содержать одно уравнение моментов и два уравнения проекций, либо два уравнения моментов и одно уравнение проекций, либо, наконец, три уравнения моментов.

Отметим, что при составлении любой из форм уравнений, равновесия выбор координатных осей и точек, относительно которых берутся моменты сил, вообще говоря, произволен. Однако для получения наиболее простых уравнений равновесия (каждое из которых содержит минимальное число неизвестных) целесообразно координатные оси проводить перпендикулярно неизвестным силам, а указанные точки выбирать на пересечении линий действия неизвестных сил.

При рассмотрении равновесия несвободного твердого тела на основании принципа освобождаемости заменяем действие связей их реакциями. Значит, если число этих заранее неизвестных реакций будет равно числу уравнений равновесия, в которые реакции входят, то задачу их определения можно выполнить. Если же число неизвестных реакций будет больше уравнений равновесия, содержащих реакции, то задача становится статически неопределимой.

Среди плоских задач статики особого рассмотрения заслуживает случай плоской системы параллельных сил. Хотя для этой системы главный вектор и главный момент по-прежнему определяются формулами (5.1) и (5.5), но фактические вычисления значительно упрощаются.

Пусть линии действия всех сил параллельны оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.8). Тогда уравнения равновесия для рассматриваемой системы параллельных сил будут:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с (5.17) уравнения равновесия можно также записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не должны лежать на прямой, параллельной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (если точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут лежать на прямой, параллельной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эти уравнения будут удовлетворяться при равнодействующей, отличной от нуля, если ее линия действия проходит через указанные точки).

В заключение этой лекции отметим, что система сил, действующих на твердое тело, может состоять как из сосредоточенных (изолированных) сил, так и распределенных сил. Различают силы, распределенные по линии, по поверхности и по объему тела. Так, например, давление тяжелого цилиндрического катка на горизонтальную опорную поверхность (рис. 5.8, а) представляет собой силы, распределенные вдоль линии (в данном случае — вдоль прямой). Давление газа на стенки сосуда может служить примером сил, распределенных по поверхности (рис. 5.8, б). Действие сил тяжести (рис. 5.8, в) иллюстрирует случай сил, распределенных по объему тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Распределенные силы задаются их интенсивностью. Так, например, для объемных сил сначала вводится понятие средней интенсивности силы в окрестности рассматриваемой точки тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — объем элемента, выделенного в окрестности точки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —сила, действующая на этот элемент. Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется интенсивностью силы, распределенной по объему в данной точке тела.

Аналогично вводится понятие интенсивности для силы, распределенной по поверхности и по длине линии:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно элементарная площадь и элемент длины линии.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очень часто интенсивность силы называют силой, отнесенной к соответствующей геометрической единице — длине, площади или объему. Соответственно этому единицами интенсивности служат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятно, что в простейших случаях (см., например, рис. 5.8а) интенсивность определяется простым делением полной силы давления на длину, площадь или объем участка ее приложения.

В ряде случаев силы оказываются неравномерно распределенными. Так, на рис. 5.9, а изображено давление воды на стенку плотины, оно переменно и зависит от глубины, т. е. от координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 5.9, б показан случай, когда давление сыпучего тела на основание является функцией двух координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из-за переменной толщины слоя.

Задачи на применение уравнений равновесия

Пример №11

Однородная гладкая балка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач закрепленная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи шарнира, опирается в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на стену. В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвешен груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить опорные реакции в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если балка составляет с горизонтом угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.10, а).

Образуем силовую схему, заменив действие связей их реакциями. Реакция в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не известна ни по величине, ни по направлению, поэтому будем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

искать эту реакцию через ее проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакция в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена перпендикулярно балке (рис. 5.10, б).

Уравнения равновесия напишем в форме (5.16):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №12

Ферма опирается на неподвижный шарнир Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и каток Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач который может без трения перемещаться по наклонной плоскости. Определить реакции опор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если к ферме приложены силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.11, а),

Заменяя действие опор реакциями, составляем силовую схему (рис. 5. )1, б). Уравнения равновесия возьмем в форме (5.17). В качестве точек, относительно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

которых составляются уравнения моментов, выберем точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнения равновесия при этом будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №13

К балке, изображенной на рис. 5 12, а, приложены: сосредоточенная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равномерно распределенная нагрузка интенсивности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вес балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить реакции опор.

Действие опор на балку заменяем реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а распределенную нагрузку —ее равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной в

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

середине отрезка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.12, б). Уравнения равновесия имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эти уравнения, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Познакомимся теперь с особым видом связи, которая называется жесткой (или полной) заделкой. Эта связь препятствует не только линейным перемещениям закрепленной точки тела, но и повороту вокруг этой точки.

Такова, например, жесткая заделка левого конца балки на рис. 5.13, а; этот конец оказывается полностью закрепленным — невозможны его вертикальное и горизонтальное перемещения, а также и поворот. Такая связь создает систему реакций, состоящую (рис. 5.13, б) из двух составляющих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пары, момент которой обозначен через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это следует из того, что на заделанный конец балки действует распределенная нагрузка, которую можно привести к силе, приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к паре сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №14

К однородной балке, вес которой равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.14, а). Определить реакции в месте заделки.

Силовая схема изображена на рис. 5.14, б. Уравнения равновесия будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задачи на равновесие системы тел

Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций трех-шарнирной арки, которая состоит из двух частей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеющих шарнирные опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соединенных между собой идеальным шарниром С (рис. 5.15, а). Если рассматривать эту систему тел как одно твердое тело (аксиома 5), то будем иметь три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (проекции опорных реакций в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тем не менее эта задача статически определенная. Дело в том, что в равновесии находятся два тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединенных между собой шарниром С, и можно рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число уравнений равновесия будет равно шести — по три уравнения для каждого тела. Действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач передаваемое через идеальный шарнир, может быть заменено одной силой, а действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть заменено такой же по модулю силой, но противоположно направленной (аксиома 4).

Рассмотрим равновесие каждого тела в отдельности. На рис. 5.15, б указаны силы, приложенные к телам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляют собой составляющие силы, заменяющие собой действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — составляющие силы, заменяющие действие тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для каждого тела мы можем составить по три уравнения равновесия, т. е. всего шесть уравнений, неизвестных же тоже будет шесть, так как в силу аксиомы 4

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например, составить три уравнения равновесия для тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а остальные три —для системы тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимая их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия для тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и уравнения равновесия для системы тел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как для одного твердого тела. Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит от условий конкретной задачи.

Пример №15

Два однородных стержня одинаковой длины соединены шарнирно в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и шарнирно закреплены в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вес каждого стержня равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к системе стержней подвешен груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до горизонтальной прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить реакции шарниров Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.16, а).

Заменяя действие опор реакциями, рассмотрим сначала равновесие этой системы в целом (рис. 5.16, б). Уравнения равновесия (5.16) в этом случае

будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих уравнений находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрим теперь равновесие левого стержня. Сумма

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач моментов всех сил, приложенных к левому стержню, относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должна быть равна нулю, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №16

Определить опорные реакции системы, состоящей из двух балок, сочлененных идеальным шарниром, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач защемлен, конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укреплен в катковой опоре (рис. 5.17, а).

Рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности. Мы получаем два твердых тела, на которые действуют реакции внешних связей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и попарно равные силы взаимодействия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом общее число неизвестных равно шести.

Запишем уравнения равновесия в форме (5.16) для левой балки (рнс. 5.17, б):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для правой балки (рис. 5.17, в):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании аксиомы 4 (третьего закона Ньютона) модули сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны между собой, т. е Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая эти равенства и решая затем полученную систему уравнений, находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия равновесия частично закрепленного тела

В некоторых случаях приходится рассматривать равновесие частично закрепленных тел, т. е. тел, на которые наложены связи, допускающие некоторое перемещение тела. Два примера такого рода изображены на рис. 5.18, а, 6. Очевидно, что при произвольной системе активных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к телу, равновесия не будет. Однако возможны и такие случаи, когда равновесие имеет место.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним условия, которым должны удовлетворять активные силы, чтобы тело находилось в равновесии. Прежде всего остановимся на случае твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения; к телу приложена система активных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (рис. 5.18, а). Ось вращения служит связью для рассматриваемого тела; согласно принципу освобождаемости действие связи заменяем реакцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (предполагаем, что трение отсутствует).

Направление реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от характера приложенных к телу сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Напишем уравнения равновесия в форме (5.18):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первых двух уравнений можно найти обе составляющие реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В последнее уравнение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не входит. Это уравнение устанавливает зависимость между активными силами, необходимую для равновесия тела.

Таким образом, для рассматриваемого случая активные силы должны удовлетворять одному уравнению

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обратимся теперь ко второму примеру (рис. 5.16, б), где связью служит стержень. Направление реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач фиксировано и совпадает с осью стержня. Выбирая систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как указано на рис. 5.18, б, имеем следующие уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое уравнение служит для определения реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Два остальных уравнения накладывают определенные требования на систему активных сил. Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы активные силы в данном случае удовлетворяли двум условиям:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее уравнение записано для точки тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач понятно, что его можно видоизменить, записав его для любой точки оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение натяжения тяжелой подвешенной нити

Задача об определении натяжения в подвешенной (рис. 5.19, а) связана с проблемой прочности тросов или электропередачи. Будем считать, что и что провисание нити происходит только из-за различия между ее длиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расстоянием между опорами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.19,о).

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач линейный удельный вес нити. Для пологой кривой можно принять, что вес равномерно распределен не по кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а по ее проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, общий вес нити будем считать равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с аксиомой 5 можно рассматривать условия равновесия любой части нити. Рассмотрим, например, правую половину нити; действующие на нее силы изображены на рис. 5.19, б. Заметим, что натяжение в любом сечении нити направлено по касательной к кривой в соответствующем месте (это следует из предположения об идеальной гибкости нити). Поэтому в нижней точке нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принятой за начало координатной системы, натяжение горизонтально. Обозначив через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стрелу провеса (т. е. расстояние по вертикали между нижней точкой и опорами), запишем уравнение моментов относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой вес половины нити. Из этого уравнения находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда, между прочим, ясно, что чем меньше стрела провеса нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тем больше натяжение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из двух уравнений для проекций сил на оси можно найти составляющие натяжения в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а затем и полное натяжение в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы, и мы можем воспользоваться приближенной формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

достаточно точной для малых по модулю значений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот результат определяет наибольшее натяжение нити, которое, впрочем, мало отличается от наименьшего натяжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для вычисления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по найденным формулам необходимо знать стрелу провеса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а для этого требуется располагать уравнением кривой, по которой провиснет нить. С этой целью рассмотрим часть нити, расположенную между началом координат и произвольным сечением с абсциссой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.19, в). Для этой части можно написать следующие уравнения равновесия (для проекций сил на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вес рассматриваемой части нити, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натяжение на правом конце этой части.

Из первого уравнения можно заключить, что с удалением от нижней точки, т. е. с увеличением угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач натяжение нити возрастает и достигает максимума в точках подвеса.

Исключив из этих уравнений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим с учетом формулы (5.23)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ho Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и мы приходим к дифференциальному уравнению, определяющему форму нити в положении равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя его, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянную интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из условия, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, приближенно установлено, что тяжелая нить в положении равновесия принимает форму параболы *). Теперь можно выразить стрелу провеса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого запишем известное из курса математического анализа выражение длины дуги

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и заметим, что для пологой нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда выражение (5.25), находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №17

Определить наименьшее и наибольшее натяжение нити, если вес единицы длины составляет 10 кГ, длина пролета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а полная длина нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде всего по формуле (5.26) находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наименьшее натяжение нити (в нижней точке) определяется по формуле (5.23):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наибольшее натяжение (в точках подвеса) находим по формуле (5.24):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение реакций упругих опор твердого тела

Если твердое тело опирается на большое число опор, то задача определения реакции может оказаться статически неопределимой. Такова, например, балка, изображенная на рис. 5.20, а. Очевидно, что трех уравнений равновесия недостаточно для определения пяти реакций, т. е. система статически неопределимая (единственная определимая реакция, горизонтальная реакция левой опоры, равна нулю).

Задача определения реакций в таких системах, вообще говоря, выходит за рамки курса теоретической механики и чаще всего требует использования методов сопротивления материалов. При этом приходится отказываться от предположения об абсолютной жесткости балки и исследовать ее изгиб под Действием заданной нагрузки и неизвестных реакций (рис. 5.20, б).

Однако среди статически неопределимых задач встречаются такие, которые требуют привлечения сложных соображений. Здесь мы имеем в виду такие системы, которые можно схематизировать в виде абсолютно твердых тел, покоящихся на упругих опорах. Примером может служить та же балка (в предположении ее абсолютной жесткости), лежащая на упругих опорах, показанных на рис. 5.20, в. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В качестве дополнительного условия примем, что реакции опор пропорциональны их осадкам при одинаковом для всех опор коэффициенте жесткости; по-видимому, это условие приемлемо в тех случаях, когда физические свойства

всех опор одинаковы. Как мы сейчас убедимся, это условие вместе с уравнениями равновесия позволяет легко найти все опорные реакции независимо от их числа. После приложения нагрузки опоры несколько осядут, а балка займет новое положение. Принимая координатные оси, как показано на рис. 5.20, в, мы можем записать уравнение смещенной оси балки в виде Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обоснованный выбор расчетной схемы в виде б) или в) определяется конкретными соотношениями жесткости балки и опор. Однако случай б) мы вынуждены оставить в стороне и будем рассматривать только случай в) соответственно осадки опор через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.21), причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —абсцисса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опоры).

По предположению, величины реакций опор пропорциональны осадкам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —коэффициент жесткости; для определения реакций значение коэффициента жесткости несущественно. Введем неизвестные параметры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда реакции всех опор будут выражены через эти две неизвестные;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для их определения воспользуемся двумя уравнениями равновесия плоской системы параллельных сил (рис. 5.21):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число заданных сил, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число неизвестных реакций, Подставляя выражение (5.27) в систему уравнений (5.28), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося эти значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (5.27), получим решение задачи. К той же категории относится и следующая задача.

Пример №18

К жесткой плите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикрепленной несколькими болтами к основанию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена активная пара сил, действующая в плоскости плиты. Момент пары равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координаты центров болтов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известны (рис. 5.22, а). Под действием пары произойдут малые деформации болтов и плита повернется вокруг некоторого центра («центра жесткости») на малый угол.

Найти положение центра жесткости и усилия, действующие на каждый болт, считая, что усилия перпендикулярны радиусам-векторам центров болтов, проведенным из центра жесткости. Усилия можно принять пропорциональными модулям этих радиусов-векторов.

Схема сил, действующих на плиту, представлена на рис. 5.22, б, причем через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначены реакции болтов. Система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вместе с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.22, б) находится в равновесии и должна удовлетворять трем уравнениям равновесия. Очевидно, что этих трех уравнений недостаточно для нахождения всех усилий, так как общее число неизвестных равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (каждое усилие определяется двумя проекциями на координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тем не менее нам удастся решить до конца эту задачу, опираясь на указанные выше дополнительные условия.

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач искомые координаты центра жесткости и через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— радиусы-векторы центров болтов, проведенные из центра жесткости (рис. 5.22, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как было сказано, принимаются пропорциональными величинам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.е

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент пропорциональности.

Проекции усилий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси координат, очевидно, будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда выражение (5.29), находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что все Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестные составляющие реакций выражены всего через три числа: координаты центра жесткости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и коэффициент пропорциональности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения этих величин мы располагаем тремя уравнениями равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее уравнение представляет собой уравнение моментов всей системы сил относительно центра жесткости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем для момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первых двух уравнений системы (5.31) находим координаты центра жесткости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

после чего из третьего уравнения следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь можно с помощью формул (5.29) найти все усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приложение методов статики к определению усилий в стержнях фермы

При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т. п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами (рис. 5.23). Ферма состоит из большого числа стержней, соединенных в точках схода их осей; соединения стержней называются узлами.

Важной частью инженерного расчета фермы является определение усилий, возникающих в стержнях при действии заданной нагрузки на ферму. При этом обычно исходят из следующих упрощающих предположений:

  1. внешние силы приложены только в узлах фермы;
  2. веса стержней пренебрежимо малы;
  3. узлы представляют собой идеальные шарниры (т. е. силы трения в них не возникают).

При таких допущениях сила, действующая со стороны какого-либо узла на примыкающий к нему стержень (усилие в стержне), всегда направлена вдоль прямой, проходящей через концы этого стержня. Поэтому стержни, если они прямолинейные, либо растягиваются, либо сжимаются под действием этих сил.

Прежде чем обратиться к определению усилий в стержнях, необходимо рассмотреть вопросы структуры ферм.

Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображенная на рис. 5.24, а; она содержит три узла. Если к этой конструкции добавить еще один узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью двух стержней, то вновь получится неизменяемая ферма, содержащая пять стержней и четыре узла (рис. 5.24, б). Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24, б штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм.

Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового узла при помощи двух новых стержней.

Найдем связь между числом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержней и числом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач узлов в простой ферме. Число добавляемых узлов в простой ферме равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а число добавляемых стержней равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из способа построения простой фермы видно, что число новых стержней в два раза больше числа новых узлов; следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простая ферма всегда статически определима, т. е. число независимых уравнений статики достаточно для определения усилия в каждом стержне.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В самом деле, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия, так как на узел действует сходящаяся система сил. Таким образом, всего можно составить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнений равновесия. Подсчитаем теперь число

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач содержащихся в них неизвестных. Прежде всего неизвестными будут все Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакций стержней, кроме того, неизвестны три опорные реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачна рис. 5.23). Таким образом, всего имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестных. Воспользовавшись соотношением (5.34), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. число неизвестных равно числу уравнений равновесия, поэтому простые фермы всегда статически определимы.

При расчете ферм обычно составляют сначала три уравнения равновесия для всей фермы, определяют из них три опорные реакции, а затем уже приступают к нахождению усилий в стержнях.

Рассмотрим способ расчета фермы, который позволяет найти усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в других стержнях. Согласно этому способу предварительно необходимо определить реакции опор. Для этого следует рассматривать ферму как абсолютно твердое тело и написать соответствующие три уравнения равновесия. Затем мысленно производится полное рассечение фермы на две части; при надлежащем выборе сечения мысленно перерезаются, как правило, три стержня. Поэтому для определения трех неизвестных усилий могут быть записаны три уравнения равновесия сил, приложенных к какой-либо из полученных частей фермы.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чаще всего пользуются уравнениями в форме (5.17), но иногда пользуются и формой (5.18).

Рассмотрим для примера ферму, изображенную на рис. 5.25, и предположим, что опорные реакции найдены.

Пусть требуется определить усилие в стержне 4. Для этого мысленно рассечем ферму разрезом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим равновесие левой части фермы, изображенной на рис. 5.25, а (вместо этого можно рассматривать правую часть фермы —результат от этого не изменится, но вычисления окажутся более громоздкими). На эту часть действуют известные силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также три неизвестные по модулю силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения искомой величины силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляем уравнение моментов относительно точки пересечения направлений 1 и 3 (точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при таком выборе моментной точки усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение равновесия не войдут и оно будет содержать только одну неизвестную величину — искомое усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (такой выбор точек, относительно которых берут моменты, типичен для рассматриваемого способа). Обычно при оставлении уравнения равновесия величины плеч сил снимаются с чертежа £ Учетом его масштаба. Понятно, что решение полученного уравнения не вызовет никаких затруднений. Совершенно таким же образом составляются уравнения моментов относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для определения усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (для определения усилия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения усилий в других стержнях требуются иные рассечения фермы; так, на рис. 5.25, а показано также рассечение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимое для определения усилий в стержнях 7, 9 и 10. Для определения указанных усилий проще рассматривать равновесие правой части фермы, как это показано на рис. 5.25, е. Через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначены точки, относительно которых берутся моменты; мы получим по одному неизвестному усилию в каждом из уравнений моментов. Определение усилия в стержне 9 облагает некоторой особенностью. Дело в том, что точка пересечения усилий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно удалена и уравнение моментов составить нельзя. В этом случае вместо него можно составить уравнение проекций на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что позволит достигнуть той же цели: получить уравнение с одним неизвестным усилием Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Способ рассечения весьма удобен для простых схем ферм, образованных путем наращивания последовательных треугольников. В более сложных случаях все же приходится решать громоздкие системы уравнений, так как не удается проводить сечение только через три стержня.

Иногда применяется графический способ определения усилий в стержнях фермы. Предполагая, что опорные реакции фермы определены, для нахождения усилий в стержнях применим способ «вырезания» узлов. Согласно этому способу необходимо поочередно «вырезать» узлы и находить усилия в стержнях из условий замкнутости силовых многоугольников для каждого из узлов. ,

Для определенности рассмотрим ферму, изображенную на рис. 5.26, а, где показаны внешние силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и опорные реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расчет всегда нужно начинать с тоге узла, где сходятся два стержня. Начнем с рассмотрения равновесия узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на который действуют сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и неизвестные по величине реакции стержней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Графическим условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника.

При всех дальнейших построениях придерживаемся определенного масштаба сил. На рис. 5.26, б дан силовой многоугольник для узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в данном случае —треугольник); величины сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить по масштабу сил. Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена к узлу, следовательно, на стержень она действует в обратном направлении, т. е. стержень 1 сжат. Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена от узла, значит, стержень 2 растянут. Заметим, что если начать расчет с узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то определить усилия в стержнях 1, 3, 4 не удается, так как в узле сходится более двух стержней и силовой многоугольник однозначно не может быть построен.

Но теперь, после определения усилий в стержнях 1 и 2, можно перейти к расчету узла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обходим его по часовой стрелке, начиная с первой известной силы —реакции стержня 1. Из условия равновесия стержня 1 очевидно, что эта реакция по модулю равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но направлена противоположно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 5.26, б она обозначена через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем от конца Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач откладываем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводим направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно стержню 4, а из начала вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим направление реакций Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно стержню 3. Получаем замкнутый многоугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тем самым находим силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направления векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показывают, что стержень 4 сжат («к узлу»), а стержень 3 растянут («от узла»). Рассматривая равновесие узлов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяем остальные реакции стержней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из рис. 5.26, б видно, что каждое из усилий в стержнях встречается дважды Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.). Оказывается, что, не меняя существа этого метода, можно его несколько усовершенствовать и избежать таких повторений. При этом получается особое построение, называемое «взаимной диаграммой» или диаграммой Максвелла—Кремоны. Метод построения такой взаимной диаграммы проиллюстрируем на только что разобранном примере.

Прежде всего введем единый метод обозначения усилий в стержнях, реакций опор и внешних сил.

Обозначим буквами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач области, ограниченные внешними силами и стержнями контура фермы (рис. 5.27, а), а внутренние области, ограниченные только стержнями фермы, обозначим буквами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее, условимся обходить всю ферму, а также каждый узел по ходу часовой стрелки.

Начало и конец вектора силы, пересекаемой при таком обходе, будем обозначать малыми буквами, которые соответствуют названиям пограничных областей. Например, силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.27, а) теперь обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.27, б), силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы, действующие на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.п.

Теперь построим многоугольник всех внешних сил, откладывая их в определенном масштабе в порядке обхода фермы по часовой стрелке; в результате мы получим многоугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.27, б). Конечно, этот многоугольник обязательно замкнут, так как ферма находится в равновесии. Мы теперь можем и не ставить на концах векторов стрелки —правило обхода областей по часовой стрелке однозначно определяет, где начало и конец вектора.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее воспользуемся способом вырезания узлов. Обойдем узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по часовой стрелке, начиная с известной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта сила уже имеется в многоугольнике внешних сил, и остается построить две другие силы, действующие на узел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямые, параллельные стержням I и 2; точка их пересечения даст нам точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оказалась направленной к узлу, значит, стержень 1 сжат, сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена от узла, следовательно, стержень 2 растянут.

Обращаясь к узлу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обходим его также по часовой стрелке в порядке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Используя уже найденные точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —конец силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и начало силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого из с проводим прямую, параллельную стержню 4, а из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямую, параллельную стержню 3; точка их пересечения и даст нам искомую точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продолжая такое построение дальше, для остальных узлов фермы мы получим фигуру (рис. 5.27, б), называемую взаимной диаграммой или диаграммой Максвелла — Кремоны. Каждому узлу фермы соответствует некоторый многоугольник диаграммы, стороны которого параллельны стержням, сходящимся в этом узле. Наоборот, каждой вершине диаграммы соответствует некоторая область плоскости фермы. Таким образом, любой вершине одной фигуры соответствует многоугольник другой фигуры; такие фигуры называются взаимными (отсюда и название диаграммы). Легко видеть, что эта фигура состоит из тех же многоугольников, которые ранее были построены на рис. 5.26, б. По принятому масштабу сил можно найти численное значение всех усилий в стержнях.

Таким образом, при построении взаимной диаграммы используется, по существу, тот же способ вырезания узлов, но здесь чертеж компактнее и не содержит повторений, в чем легко убедиться, сравнив чертежи на рис. 5.26 и 5.27.

Равновесие тела при наличии трения

Если два тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то всегда реакцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действующую, например, со стороны тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложенную к телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить на две составляющие: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежащую в касательной плоскости.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равновесие тела при наличии трения скольжения

Составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется нормальной реакцией, сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется силой трения скольжения — она препятствует скольжению тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач со стороны тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления. Как было сказано выше, сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

Для выяснения основных свойств сил трения произведем опыт по схеме, представленной на рис. 6.2, а. К телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находящемуся на неподвижной плите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач присоединена перекинутая через блок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если площадку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет удерживать тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в покое. На рис. 6.2, б изображены действующие на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы, причем через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена сила тяжести, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — нормальная реакция плиты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач теряет равновесие и начинает скользить по плите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, если тело находится в равновесии, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Максимальная сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. имеет место равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это соотношение носит название закона Амонтона — Кулона.

Безразмерный коэффициент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется коэффициентом трения скольжения. Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.

Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальном) значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Пример №19

Тяжелая плита Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опирается на идеально гладкую стенку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и шероховатый пол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.3, а). Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим уравнение равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая уравнения, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее неравенство и содержит решение задачи, угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим теперь критическое значение угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с учетом трения плиты о стенку, если соответствующий коэффициент трения равен также Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. 6.3, б. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и три уравнения равновесия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих пяти уравнениях содержатся четыре неизвестные реакции и неизвестное критическое значение угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решая эту систему уравнений, находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Пример №20

На шероковатой наклонной плоскости, составляющей угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с горизонтальной плоскостью, находится тело весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.4, а). Тело удерживается на плоскости тросом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при двух значениях коэффициента трения: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальная составляющая реакции плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.4, б). Составим условия равновесия тела:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая условия задачи,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для первого случая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При отсутствии троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как при этом условие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не нарушается, то это означает, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть теперь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда должно выполняться условие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При отсутствии троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это неравенство находится в противоречии с первым уравнением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила трения достигает своего максимального значения, равного 3,46 кГ, а натяжение троса будет: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №21

К однородной прямоугольной призме веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, прислонена под углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач однородная балка веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.5, а). Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а между призмой и плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить: 1) условия равновесия всей системы; 2) условия, при которых призма останется в покое, а балка начнет двигаться; 3) условия, при которых конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки останется в покое, а призма начнет скользить по плоскости влево или опрокидываться вокруг ребра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расчленим систему и изобразим все силы (активные и реакции связей), действующие на призму (рис. о.5, б) и балку (рис. 6.5, в). На призму действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная в некоторой точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На балку действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач призмы на балку, нормальная составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции плоскости и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конечно, модули сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны между собой (аксиома 4).

Будем считать вначале, что вся система находится в покое, и составим условия равновесия балки:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внеся значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в неравенство, получим условия равновесия балки:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим теперь условия равновесия призмы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам неизвестно, но его можно найти из равенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как точка приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не может находиться левее точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что дает нам еще одно условие равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач призма не опрокинулась вокруг ребра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (его можно получить из условия, чтобы момент силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не превосходил по модулю момента силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно той же точки).

Потребуем теперь, чтобы, призма не скользила по плоскости, т. е. чтобы выполнялось неравенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет трем условиям:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если будет нарушено только первое из этих неравенств, т. е. при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

призма останется в покое, а балка начнет двигаться.

Если будет нарушено только второе условие (6.6), т. е. при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6), т. е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. 6.6, а показана предельная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ее составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена влево). Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между предельной реакцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. 6.6, а имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, пользуясь выражением (6.4),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задавать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует коническую поверхность — конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым.

Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющей угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с нормалью к поверхности (рис. 6.6, в). Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет нормальную составляющую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а, во-вторых, ее касательная составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и определяется только углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.

Для аналитического решения задачи составим условия равновесия тела:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из уравнений найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, подставляя их в неравенство, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая (6.7), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, при равновесии тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя

нарушить равновесие тела; для того, чтобы тело начало движение необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находилась вне конуса трения.

Пример №22

Найти условие, определяющее размер Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач самотормдзящегося механизма, изображенного на рис. 6.7. Необходимо, чтобы приложенная к узлу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не могла вызвать скольжения ползунов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по вертикальным направляющим. Коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние между направляющими 2 м. Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь трение гибких тел. Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточную для уравновешивания силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение (рис. G.8 а).

Опыт показывает, что благодаря трению сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть во много раз меньше, чем сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющего положение элемента, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выделим элемент троса длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На этот элемент действуют две реакции шкива: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также две силы натяжения, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенные к рассматриваемому элементу в точках рассечения (рис. 6.8, б).

Пренебрегая весом троса, запишем условия равновесия выделенного элемента троса, спроектировав силы на направления нормали Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и касательной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взятые в середине элемента:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При составлении этих уравнений мы воспользовались малостью угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и положили

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя в уравнения равновесия вместо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач их значения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое из этих уравнений дает Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то второе уравнение можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выполняя интегрирование в пределах от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —натяжение в сечении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. величина силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — натяжение в сечении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. величина силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, окончательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула (формула Эйлера) позволяет найти наименьшую силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач способную уравновесить силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно поставить обратный вопрос: при каком значении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач наступит скольжение троса против хода часовой стрелки, т. е. какая сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач способна преодолеть сопротивление трения вместе с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для ответа на этот вопрос нет необходимости заново повторять все выкладки; они останутся прежними с тем единственным различием, что сила трения на рис. 6.8, б изменит свое направление. Поэтому в окончательном результате, изменяя знак при коэффициенте трения, получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, если сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет неравенствам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то трос будет находиться в равновесии.

Пример №23

Найти угол охвата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндра тросом, необходимый для того, чтобы удержать силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач груз весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По формуле (6.8) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. несколько меньше двух полных охватов.

Пример №24

К концу троса подвешен груз весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол охвата цилиндра тросом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти силу, необходимую для подъема груза, если коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В данном случае нужно воспользоваться формулой (6.10)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сопоставляя этот результат с полученным в задаче 6 5, заключаем, что трос будет находиться в состоянии равновесия, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начинается движение в сторону силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — движение в сторону силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №25

При причаливании (швартовке) судна матрос удерживает его с помощью каната, накинутого в форме восьмерки на причальные тумбы (кнехты), причем один конец каната Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укреплен на судне, а второй конец каната Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в руках матроса (рис. 6.9). Считая, что угол охвата каждой тумбы равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определить, какое максимальное усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач судна может выдержать матрос, прикладывая силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при одной, двух и трех уложенных канатных восьмерках, если коэффициент трения между канатом и причальными тумбами равен 0,2.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При одной восьмерке общий угол охвата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а при двух и трех восьмерках соответственно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применяя формулу (6.10), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, пользуясь таблицами показательных функций, находим (аналогично получены значения сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при трех уложенных восьмерках за счет сил трения между канатом и причальными тумбами один матрос может удержать судно, развивающее усилие в 26,4 тонны, т. е. в 528 раз большее силы, прикладываемой матросом.

Равновесие тела при наличии трения качения

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме нее, действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также нормальная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.10, а). Как показывает опыт, при достаточно малой величине силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представлением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание цилиндра с поверхностью происходящим по образующей. Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена правее точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 6.10, б).

Полученная теперь схема действующих сил статически удовлетворительна, так как момент пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может уравновеситься моментом пары Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. 6.7, в. В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а), к цилиндру приложена пара сил с моментом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот момент называется моментом трения качения.

Составим уравнения равновесия цилиндра:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первые два уравнения дают Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из третьего уравнения можно найти Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем из (6.11) определяем расстояние

между точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как видно, с увеличением модуля активной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растет расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 6.10, б). Экспериментально установлено, что величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины.

Условие (6.14) можно также записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая (6.12),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что максимальный момент трения качения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорционален силе нормального давления.

В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для различных материалов.

Пример №26

На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндр будет находиться в равновесии, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус цилиндра, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—коэффициент трения скольжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— коэффициент трения качения (рис. 6.11).

Составим уравнения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме того, должны выполняться неравенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первых трех уравнений мы можем определить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставив эти величины в последние два неравенства, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти неравенства должны удовлетворяться одновременно. В тех случаях, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач потеря равновесия происходит путем перехода к качению, так как сначала нарушится неравенство (6.17), если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то нарушится неравенство (6.16) и цилиндр начнет скользить.

Пространственная система сил

Ранее было установлено, что главный вектор системы сил, как угодно расположенных в пространстве,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

не изменяется при перемене центра приведения. Главный же момент при этом изменяется и для нового центра приведения определяется формулой (см. формулу (4.14))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — главные моменты относительно центров приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Второе слагаемое в правой части формулы (7.2) представляет собой момент главного вектора, приложенного в центре приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно нового центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим скалярно обе части равенства (7.2) на вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скалярное произведение главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный момент не зависит от центра приведения:

Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются главный вектор и скалярное произведение главного вектора на главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны относительно выбора центра приведения.

Статические инварианты. Динамический винт

Первым статическим инвариантом называется главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В более узком смысле этого слова под первым инвариантом понимают квадрат модуля главного вектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вторым статическим инвариантом называется скалярное произведение главного вектора на главный момент:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго инварианта вытекает простое геометрическое следствие. Действительно, запишем равенство (7.3) в следующем виде;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое из этих произведений представляет проекцию главного момента на направление главного вектора. Следовательно, при перемене центра приведения проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется. Заметим, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это следствие можно принять за определение второго инварианта.

Так как проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется при перемене центра приведения, то можно утверждать, что для центра приведения, в котором главный вектор и главный момент направлены по одной прямой, модуль главного момента будет минимальным. В этом случае модуль главного момента равен величине его проекции на направление главного вектора.

Очевидно, что проекция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главного момента на направление главного вектора определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, принимая во внимание значения первого и второго инвариантов,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Так как плоскость действия пары перпендикулярна моменту пары, то динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают правый и левый динамические винты. На рис. 7.1, а показан правый динамический винт, составленный из силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равной главному вектору системы, и пары сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равным главному моменту; на рис. 7.1, б показан левый винт, составленный из тех же элементов.

Может возникнуть вопрос, в каких случаях данную систему сил можно привести к динаме? На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему сил можно привести к динаме.

Пусть в произвольной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, а) система приведена к силе, равной главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и паре сил с моментом, равным главному моменту. Так как по условию теоремы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то оба вектора, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равны нулю и не Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны между собой. Разложим главный момент на две составляющие: одну Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим по главному вектору и другую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим перпендикулярно главному вектору (рис. 7.2, а). Составляющая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой момент пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выберем силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющие эту пару, равными по модулю главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приложим силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к центру приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, б). Система сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как эквивалентная нулю, может быть отброшена (рис. 7.2, в). Так как момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вектор свободный, то его можно перенести из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, г). Таким образом, заданная система сил приведена в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к паре сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.2, г), расположенной в плоскости, перпендикулярной силе, т. е. мы получили динамический винт.

Из формулы (7.6) видно, что положительному второму инварианту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отвечает правый динамический винт, а отрицательному второму инварианту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — левый динамический винт.

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не единственная, где система сил приводится к динаме. В самом деле, силу можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный, следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и являющейся линией действия силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта прямая называется центральной осью системы сил. Найдем теперь уравнение центральной оси.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.3)— точка центральной оси. Тогда для этой точки главный вектор и главный момент должны быть колленеарны друг другу. На основании формулы (7.2) главный момент для точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывается следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — параметр винта, имеющий размерность длины.

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно проекции главного вектора и главного момента на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть координаты какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центральной оси будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя соответствующие выражения получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть искомые уравнения центральной оси.

Частные случаи приведения пространственной системы сил

Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей.

Выясним, при каких условиях, относящихся к главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главному моменту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это может быть. Поскольку главный момент динамы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен составляющей главного момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленной по главному вектору, то рассматриваемый случай Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен главному вектору, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда непосредственно вытекает, что если главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен нулю, а второй инвариант равен пулю, .

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.

В частности, если для какого-либо центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.

Обобщим приведенную в главе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.

Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.

Пусть система сил имеет равнодействующую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.

Возьмем какой-либо другой центр приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, на основании формулы (4.14) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учитывая, что в данном случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, теорема доказана.

Пусть при каком-либо выборе центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как главный вектор не зависит от центра приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра приведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если все силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то их проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и моменты относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны нулю. Следовательно;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инвариант плоской системы сил равен нулю.

Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда проекции их на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и моменты относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны нулю. Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь снова формулой (7.5), найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил в пространстве не приводятся к динамическому винту.

Пример №27

Систему двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленных параллельно осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как указано на рис. 7.4, а (расстояние между точками приложения сил равно 1,3 м), требуется привести к дннаме, определив главный вектор и главный момент динамы. Найти углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляемые центральной осью системы с координатными осями, а также уравнение центральной оси.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Возьмем за центр приведения начало координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекции главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси координат будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль главного вектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направляющие косинусы главного вектора равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем проекции главного момента на оси координат: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 7.4, б показано расположение главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главного момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Проекцию главного момента на направление главного вектора определим по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение центральной оси (7.8) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что центральная ось является линией пересечения плоскостей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис 7.4, в показано расположение этой оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №28

По ребрам куба со стороной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действуют двенадцать равных по модулю сил, как показано на рис. 7.5, а. Привести систему к простейшему виду. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач За центр приведения возьмем начало координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычислим проекции главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и главного момента на координатные оси. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —общее значение модуля заданных сил.

По формулам (7.4) и (7.5) найдем значения статических инвариантов

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как второй инвариант положителен, то система сил приводится к правому динамическому винту (главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в одну сторону). Модель момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем по формуле (7.6):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напишем уравнение центральной оси (7.8):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда видно, что центральная ось системы представляет линию пересечения плоскостей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя в эти уравнения сначала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем точки пересечения центральной оси с нижней и боковой гранями куба (рис. 7.5, б)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, динамический винт, эквивалентный данной системе сил, состоит из силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль которой равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пары сил с моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарным силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и численно равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Центральная ось и составляющие динамического винта показаны на рис. 7.5, б.

Уравнения равновесия пространственной системы сил

Необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проекций (4.16) и трех уравнений моментов (4.17):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если тело полностью закреплено, то действующие на него силы находятся в равновесии и уравнения (7.13) и (7.14) служат для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рассматривать не будем.

Для пространственной "системы параллельных сил уравнения равновесия принимают следующий вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь частично, т. е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.

1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря, оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального сферического шарнира.

Поместим в эту точку (см. точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 7.6, а) начало неподвижной системы координат. Действие связи в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменим реакцией; так как она неизвестна по модулю и направлению, то мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленных соответственно вдоль осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения равновесия (7.13) и (7.14) в этом случае запишутся в таком виде: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Последние три уравнения не содержат составляющих реакции, так как линия действия этой силы проходит через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач активными силами, необходимые для равновесия тела, причем три первых уравнения могут быть использованы для определения составляющих реакции.

Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из алгебраических сумм моментов всех активных сил системы относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела.

2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам при помощи шарниров (рис. 7.6, б).

Выберем начало координат в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль линии, проходящей через точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заменим действие связей реакциями, направив составляющие реакций вдоль координатных осей (рис. 7.G, б). Обозначим расстояние между точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда уравнения равновесия (7.13) и (7.14) запишутся в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее уравнение не содержит составляющих сил реакций и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные тонки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через неподвижные точки. Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не могут быть определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только сумма Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, задача в отношении каждого из этих неизвестных для твердого тела является статически неопределимой. Однако, если в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится не сферический, а цилиндрический шарнир (т. е. подшипник), не препятствующий продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и задача становится статически определимой.

3. Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой оно может скользить без трения. Это значит, что в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем составляющие их резекций вдоль оси вращения равны нулю.

Следовательно, уравнения равновесия примут вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два из уравнений (7.18), а именно, третье и шестое, накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные уравнения служат для определения реакций.

4. Тело опирается в трех точках на гладкую плоскость, причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и совместим с плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатную плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.7). Заменив действие связей вертикальными реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач запишем условия равновесия (7.13) и (7.14) в таком виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Третье —пятое уравнения могут служить для определения неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения представляют собой условия, связывающие активные силы и необходимые для равновесия тела. Конечно, для равновесия тела необходимо выполнение условий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как в точках опоры могут возникнуть только реакции принятого выше направления.

Если тело опирается на горизонтальную плоскость более чем в трех точках, то задача становится статически неопределимой, так как при этом реакций будет столько, сколько точек, а уравнений для определения реакций остается по-прежнему только три.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №29

Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рис. 7.8, а; силы приложены к вершинам куба и направлены вдоль его ребер, причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Длина ребра куба равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции главного вектора находим по формулам (4.4):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Его модуль равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направляющие косинусы будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Главный вектор изображен на рис. 7.8, б.

Далее находим проекции главного момента по формулам (4.7):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а модуль главного момента по формуле ( 4.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь определим направляющие косинусы главного момента:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Главный момент изображен на рис 7.8, в. Угол между векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляется по формуле (4.11)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, угол между этими векторами равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №30

Жесткая конструкция, имеющая форму параллелепипеда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикреплена к основанию шаровым шарниром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тремя стержнями 1, 2 и 3. Определить реакцию шарнирной опоры и усилия в стержнях, если задана нагрузка в виде двух сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Весом конструкции пренебречь. Размеры указаны на чертеже (рис. 7.9. а).

Усилия в стержнях обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакцию шарнира представим в виде трех составляющих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответствующая схема сил изображена на рис. 7.9, б. Выбрав координатную систему, как указано на чертеже, составим уравнения равновесия в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число уравнений равно числу неизвестных, т. е. рассматриваемая задача

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач статически определимая. Решив полученную систему уравнений, найдем значения усилий

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и составляющие реакции шарнира

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №31

Прямоугольная пластинка тремя ножками опирается на гладкий пол (рис. 7.10). Вес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пластинки приложен в ее центре. Размеры указаны на рисунке. В точке с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к пластинке приложена вертикальная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить область, внутри которой можно брать точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы пластинка не опрокинулась. Определить также, при каком соотношении между модулями сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вся поверхность пластинки будет безопасной. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменяя действие пола вертикальными реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составим уравнения равновесия. Так как все силы, действующие на пластинку, параллельны, то можно воспользоваться уравнениями (7.15):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы пластинка не опрокинулась, необходимо выполнение условий:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Границы искомой области найдем из условий:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 7.10, б искомая область, построенная при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заштрихована. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вся поверхность пластинки будет безопасной.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №32

Тонкий стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач весом которого можно пренебречь, шарнирно закреплен в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и удерживается в горизонтальной плоскости нитями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.11). Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в середине стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На стержень действует вертикальная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня. Дано: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти натяжение нитей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шарнирно укреплен в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для определения натяжения нитей воспользуемся уравнениями моментов.

Заменяем действие нитей реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как имеется лишь две неизвестные величины, то составим уравнения моментов сил, действующих на стержень, только относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы не составляем уравнения моментов относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как оно удовлетворится найденными значениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это уравнение может служить для проверки решения задачи.

Определив силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти и реакцию шарнира Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого составим уравнения проекций, заменив действие шарнира реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №33

Прямоугольная пластинка удерживается в горизонтальном положении при помощи петель в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и однородного стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеющего шарниры в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Стержень имеет длину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Размеры пластинки указаны на рис. 7.12, a, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить реакции в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действующая на пластинку, приложена в точке с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В данном случае мы имеем дело с равновесием двух сочлененных тел: пластинки и стержня.

Рассмотрим каждое тело в отдельности. Заменяя связи в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составим уравнения

равновесия пластинки (рис. 7.12, б):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выбрав систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составим теперь уравнения равновесия для стержня. Освобождаясь от связей в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вводя реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис- 7.12, в), получим следующие уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы не составляли уравнения моментов относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как оно будет содержать только неизвестную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяемую из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая полученные уравнения, найдем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как и следовало ожидать, мы не смогли определить реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а нашли только их сумму.

Отметим, что если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, как легко проверить, реакции шарниров Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут направлены вдоль стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №34

Однородная балка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опирается верхним концом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол, образованный двумя вертикальными гладкими взаимно перпендикулярными плоскостями. Нижний конец балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находясь па горизонтальной шероховатой плоскости, упирается в прямолинейный выступ Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отстоящий от оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.13). Пренебрегая поперечными размерами балки, определить, при каком угле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между балкой и горизонтальной плоскостью возможно равновесие, если коэффициент трения между концом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки и углом, .образованным горизонтальной плоскостью и выступом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде чем перейти к составлению уравнений равновесия, введем вспомогательный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 7.13). Легко видеть, что между углами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеется простая связь. Действительно, отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с другой стороны, из прямоугольного треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перейдем к рассмотрению сил, действующих на балку. Прежде всего к пей приложена одна активная сила —сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме того, на балку действуют реакции гладких вертикальных стенок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальные составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции угла, образованного выступом и горизонтальной плоскостью, и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она направлена влево, так как под действием силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач конец балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится переместиться вправо).

При равновесии балки перечисленные силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (7.13) и (7.14). Имеем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь этими уравнениями, легко найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(другие величины нас не интересуют).

Для того чтобы балка находилась в равновесии, сила трения должна удовлетворять условию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — полная нормальная составляющая реакции угла, в который упирается конец балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внося в это неравенство найденные значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, возводя в квадрат и сокращая на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из равенства (7.20) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем это значение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в предыдущее неравенство. Тогда после несложных преобразований получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таково условие, которому должен удовлетворять угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы при заданных условиях балка находилась в равновесии. Как и следовало ожидать, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это условие совпадает с соответствующим неравенством, полученным при решении задачи 6.1 (стр. 97).

Центр параллельных сил и центр тяжести

В этой главе рассматриваются такие системы параллельных сил, которые приводятся к равнодействующей. Прежде всего нужно отметить, что условия приведения системы параллельных сил к равнодействующей сводятся к одному неравенству Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, уже было показано, что второй инвариант системы параллельных сил тождественно равен нулю (стр. 114). Поэтому единственным условием приведения пространственной системы параллельных сил к равнодействующей является неравенство нулю главного вектора этой системы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считая это условие выполненным, выясним, что происходит с равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при одновременном повороте линий действия данных параллельных сил на один и тот же угол, если точки приложения этих сил сохраняются неизменными и повороты линий действия сил происходят вокруг параллельных осей.

При этих условиях равнодействующая заданной системы сил также.одновременно поворачивается на тот же угол, причем поворот происходит вокруг некоторой фиксированной точки, которая называется центром параллельных сил. Перейдем к доказательству этого утверждения.

Центр параллельных сил

Предположим, что для рассматриваемой системы параллельных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный вектор не равен нулю, следовательно, данная система сил приводится к равнодействующей. Пусть точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть какая-либо точка линии действия этой равнодействующей. Пусть теперь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно выбранного полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.1). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно теореме Вариньона сумма моментов всех сил системы относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на линии действия равнодействующей. Полученное равенство можно переписать в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем теперь в рассмотрение единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельный линиям действия сил. Тогда любая сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть представлена в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если направление силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены противоположно друг другу. Очевидно, что при этом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя выражения (8.4) и (8.5) в соотношение (8.3), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее равенство удовлетворяется при любом направлении сил (т. е. направлении единичного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач только при условии, что первый множитель равен нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В свою очередь это равенство имеет единственное решение относительно радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющего такую точку приложения равнодействующей, которая не меняет своего положения при повороте линий действия сил. Такой точкой и является центр параллельных сил, чем и доказывается его существование. Обозначив радиус-векТор центра параллельных сил через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из равенства (8.7) получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты центра параллельных сил, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки приложения произвольной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда координаты центра параллельных сил найдутся из формул:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выражения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называются соответственно статическими моментами заданной системы сил относительно координатных плоскостей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что если начало координат выбрано в центре параллельных сил, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и статические моменты заданной системы сил равны нулю.

Центр тяжести

Тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести, можно разбить сечениями, параллельными координатным плоскостям, на элементарные объемы (рис. 8.2). Если пренебречь размерами тела по сравнению с радиусом Земли, то силы тяжести, действующие на каждый элементарный объем, можно считать параллельными друг другу. Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач объем элементарного параллелепипеда с центром в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 8.2), а силу тяжести, действующую на этот элемент, — через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда средним удельным весом элемента объема называется отношение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Стягивая параллелепипед в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим удельный вес в данной точке тела, как предел среднего удельного веса

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, удельный вес является функцией координат, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что вместе с геометрическими характеристиками тела задан также и удельный вес в каждой точке тела.

Вернемся к разбиению тела на элементарные объемы. Если исключить объемы тех элементов, которые граничат с поверхностью тела, то можно получить ступенчатое тело, состоящее из совокупности параллелепипедов. Приложим к центру каждого параллелепипеда силу тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — удельный вес в точке тела, совпадающей с центром параллелепипеда. Для системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельных сил тяжести, образованной таким образом, можно найти центр параллельных сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формула (8.11) определяет положение некоторой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центром тяжести называется точка, являющаяся предельной для (точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Другими словами, центром тяжести тела называется такая точка,-радиус-вектор которой определяется следующим пределом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, переходя к удельному весу,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При таком предельном переходе предполагается, что размеры всех параллелепипедов стремятся к нулю. Пределы знаменателей в формулах (8.12) и (8.13) равны весу тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку пределы интегральных сумм в числителе и знаменателе формулы (8.13) представляют собой определенные интегралы, распространенные по объему тела, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координаты центра тяжести определяются формулами:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тело называется однородным, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выносится в формулах (8.14) за знаки интегралов в числителе и знаменателе и сокращается. Знаменатели в формулах (8.14) после Сокращения их на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны объему тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести однородного тела часто называют центром тяжести объема.

В ряде случаев тело можно считать тонкой пластиной или оболочкой (рис. 8.3, а).

Найдем центр тяжести однородной оболочки, предполагая, что вес элемента ее поверхности пропорционален площади этого элемента

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, вес тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь рассматриваемой части поверхности). Из определения центра тяжести в соответствии с формулами (8.15) получим при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести однородной оболочки называют центром тяжести поверхности.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как следует из формул (8.16), определение координат центра тяжести поверхности связано с вычислением интегралов по поверхности.

Для плоской однородной пластины (рис. 8.3, б) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наконец, рассмотрим криволинейный стержень —тело удлиненной формы, один из характерных размеров которого значительно больше двух других (рис. 8.4). Полагая, что вес элемента такого стержня, заключенного между двумя сечениями, нормальными к его оси, пропорционален длине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач дуги этой оси, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина стержня.

Величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют «погонным» весом. При сделанном предположении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — величина постоянная. Тогда в соответствии с формулами (8.15) координаты центра тяжести однородного стержня имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести однородного криволинейного стержня называют центром тяжести линии.

Методы нахождения центра тяжести

Во многих случаях центр тяжести тела можно определить с помощью весьма простых методов. Мы рассмотрим некоторые из них.

Симметрия. Если тело однородно и имеет плоскость симметрии (рис. 8.5, а), то задача определения центра тяжести несколько

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач упрощается. Совместим с этой плоскостью симметрии координатную плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда каждому элементу объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положение которого определяется координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет соответствовать элемент объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как в сумме Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач все члены попарно уничтожаются. Поэтому, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Пусть, далее, однородное тело имеет ось симметрии. Выберем эту ось за ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.5, б); тогда каждому элементу объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет соответствовать элемент объема тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как в суммах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач все члены попарно уничтожаются.

Таким образом, если однородное тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси.

Аналогично можно показать, что если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела будет совпадать с этой точкой. Так, например, для пластинки, имеющей прямоугольную форму, центр тяжести лежит в центре прямоугольника.

Разбиение. Иногда представляется возможным разбить тело на такие части, для которых вес и положение центра тяжести заранее известны. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиусы-векторы центра тяжести каждой части, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — веса соответствующих частей. У Из формулы (8.8) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для однородной пластинки, например, из формулы (8.19) следует Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —площади частей плоской фигуры; Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты центров тяжести этих частей.

Пример №35

Способом разбиения найти координаты центра тяжести площади поперечного сечения неравнобокого угольника, размеры которого указаны на рис. 8.6.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разобьем угольник на два прямоугольника, площади которых равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании (8.20) формулы для координат центра тяжести угольника имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты центра тяжести первого прямоугольника, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач-координаты центра тяжести второго прямоугольника. Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

таким образом имеем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отрицательные веса. Этот способ применяют при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные (т. е. пустые) полости. Пусть дано тело, у которого имеется Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач свободных полостей (рис. 8.7), причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вес тела, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомый радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести этого тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если бы тело не имело полостей, то его вес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидно, равнялся бы сумме

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — веса частей тела, которыми мы мысленно заполняем полости.

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести тела, не имеющего полостей, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиусы-векторы, определяющие соответственно центры тяжести частей тела, заполняющих полости. На основании формулы (8.19) для тела, не имеющего полостей, можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находя из этой формулы радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра тяжести тела, имеющего полости, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять способ разбиения, но считать, что полости имеют отрицательные веса.

Пример №36

Найти центр тяжести однородной круглой пластинки радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач у которой вырезано отверстие в виде прямоугольника со сторонами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.8), использовав способ отрицательных весов.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пластинка симметрична относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Остается найти лишь одну координату Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно (8.21) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центры тяжести простейших фигур

Центр тяжести треугольника. Воспользуемся способом разбиения и разделим треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.-9) на элементарные полоски, проведя линии, параллельные стороне Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника. Каждую такую полоску можно принять за прямоугольник; центры тяжести этих прямоугольников находятся в их серединах, т. е. на медиане Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника. Следовательно, центр тяжести треугольника должен лежать на этой же медиане Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разбивая теперь треугольник на элементарные полоски линиями, параллельными стороне Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заключаем, что центр тяжести треугольника должен быть расположен на медиане Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Эта точка, как известно, делит каждую из медиан на отрезки в отношении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести трапеции. Аналогично предыдущему, разобьем трапецию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.10) на элементарные полоски, параллельные основаниям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Центры тяжести полосок расположатся на прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединяющей середины оснований трапеции. Следовательно, и центр тяжести трапеции лежит на этой прямой. Для того чтобы найти его расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от нижнего основания, разобьем трапецию на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

треугольники Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этих треугольников соответственно имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулу (8.20), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центральным углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поместим начало координат в центре окружности и направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно хорде Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как вследствие симметрии фигуры относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центр тяжести будет лежать на этой оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач, т.е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то остается найти только абсциссу центра тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для этого воспользуемся формулой (8.18). Согласно рис. 8.11, а имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —половина центрального угла в радианах.

В частности, для дуги полуокружности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести кругового сектора. Для определения положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элементарные секторы, как показано на рис. 8.11,6. Каждый элементарный сектор можно принять за равнобедренный треугольник с высотой, равной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой; следовательно, центр тяжести каждого элементарного треугольника лежит на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от начала координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соответственно геометрическим местом центров тяжести всех элементарных треугольников является дуга окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это означает, что центр тяжести площади кругового сектора можно искать как центр тяжести материальной линии, по которой непрерывно и равномерно распределен вес этого сектора. Применив формулу (8.22), получим координату центра тяжести площади сектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —половина центрального угла в радианах. В частности, для сектора в виде полукруга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №37

Пластинка, изображенная на рис. 8.12, получена из квадрата, сторона которого равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач после того как из него была вырезана часть, составляющая четверть круга радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в вершине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрата. Определить центр тяжести пластинки.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем по диагонали квадрата, взяв начало оси в вершине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является осью симметрии пластинки, то центр тяжести ее находится на этой оси. Площадь квадрата без выреза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсцисса его центра тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь вырезанной части Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсцисса центра тяжести ее определяется формулой (8.23), в которой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр тяжести пластинки определим по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, подставляя соответствующие величины,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 8.12 показан центр тяжести пластинки. Приведем без вывода формулы, - определяющие положения центров тяжести некоторых простейших однородных тел. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поверхность шарового сегмента (рис. 8.13)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пирамида и конус (рис. 8.14).

Центр тяжести находится на прямой, соединяющей вершину с центром тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач площади основания, на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее длины, считая от основания

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Шаровой сектор (рис. 8.15).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус шара и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — высота сферической части сектора.

Пример №38

Определить центр тяжести колонны, состоящей из однородного цилиндра веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач высоты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на который установлена половина однородного шара веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и того же радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.16).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделим колонну на цилиндрическую и шаровую части.

Центр тяжести всей системы лежит на оси симметрии. Абсцисса центра тяжести цилиндра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние от центра полушара до его центра тяжести найдем по формуле (8.27) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что дает Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь равенством (8 19), найдем центр тяжести колонны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кинематика

Кинематика — это раздел механики, изучающий математическое описание движения идеализированных тел например: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость, без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время.

В этой лекции мы приступим к изучению движения материальных тел. Когда говорят о движении тела, то подразумевают под этим изменение его положения с течением времени по отношению к какому-либо другому телу. Это значит, что при изучении движения тела мы всегда должны указать, относительно какого другого тела рассматривается его движение. С телом, по отношению к которому изучается движение (тело отсчета), связывают систему координатных осей и часы. Эту совокупность тела отсчета и связанной с ним системой координатных осей (системы координат) и часов, как было уже сказано во введении, называют системой отсчета.

Так как в теоретической механике считается, что время, являясь непрерывно изменяющейся величиной, не зависит от движения тел и одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета, то, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей (системы координат), связанных с этим телом. В кинематике движение тел изучается с чисто геометрической точки зрения и связь между движением и движущими силами не рассматривается. В кинематике движение считается заданным, т. е. считаются заданными как функции времени параметры, определяющие положение тела по отношению к выбранной системе координат.

В кинематике безразлично, какое движение совершает выбранная система координат по отношению к каким-то иным телам, не входящим в рамки нашего рассмотрения. Однако всегда следует иметь в виду, что характер наблюдаемого движения существенно зависит от выбора тела (системы координат), относительно которого изучается движение. Так, .поршень автомобильного двигателя совершает относительно корпуса автомобиля прямолинейное колебательное движение, а относительно дороги, по которой движется автомобиль с постоянной,скоростью, поршень перемещается по синусоиде.

Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Так как покой и движение тела мы рассматриваем лишь относительно выбранной системы координат, которая в свою очередь может перемещаться произвольным образом, то понятия «покой» и «движение» являются относительными понятиями. Однако в кинематике часто пользуются терминами «абсолютное движение», «абсолютная скорость» и т. п., имеющими, конечно, условный характер. В частности, если нет специальной оговорки, под выражением «неподвижная система координат» следует понимать систему осей, относительно которых рассматривается движение.

Кинематика точки

Рассматривая движение, мы связываем изменение положения тела (или точки) с течением времени (будем обозначать его через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При изучении движения всегда устанавливается начало отсчета времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (во многих задачах будем полагать Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Под промежутком времени понимают разность между значениями времени в какой-либо момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении тела все его точки в общем случае совершают различные движения, например, при качении колеса по прямому рельсу центр колеса движется по прямой линии, а точки обода движутся по циклоидам. Поэтому изучению движения тела, естественно, должно предшествовать изучение движения точки. Кроме того, некоторые практические задачи о движении тел могут быть решены непосредственно на основании изучения движения точки.

Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем движении, называют траекторией точки. В задачах небесной механики траекторию именуют также орбитой. Если траектория точки является прямой линией, то движение точки называют прямолинейным. Если же траектория — кривая линия (не обязательно плоская), то движение точки называется криволинейным.

Мы сразу начнем с изучения криволинейного движения точки, так как прямолинейное движение представляет собой частный случай криволинейного. Приступая к изучению движения точки, мы должны сформулировать те задачи, которые решаются в кинематике. Исходя из того, что основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение, мы можем сформулировать эти задачи следующим образом: найти способы задания движения и, исходя из них, найти методы определения скорости и ускорения.

Способы задания движения

Прежде всего определим, что значит задать движение.

Движение точки по отношению к избранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Следовательно, задать движение точки это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить ее положение по отношению к выбранной системе отсчета.

Векторный способ. Положение точки в пространстве будет вполне- определено, если ее радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводимый из какого-либо заданного центра, известен как функция времени, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует, однако, иметь в виду, что задать вектор как функцию времени значит уметь находить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо определенная система координат, т. е. задание радиуса-вектора как функции времени обязательно предполагает наличие системы координат, но в то же время не конкретизирует ее. Считая, что радиус-вектор задан, мы тем самым должны предполагать, что умеем определять его модуль и направление в избранной нами системе координат.

То обстоятельство, что введением радиуса-вектора, определяющего положение точки, мы не связываем себя с конкретной системой координат, позволяет широко использовать задание радиуса-вектора как функции времени для получения основных кинематических характеристик движения. Для решения же конкретных задач обычно переходят от векторного способа к координатному .и естественному способам задания движения.

Введем еще одно полезное для дальнейшего понятие о годографе вектора, рассматриваемого как функция скалярного аргумента (например, времени).

Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора (предполагается, что начало вектора находится все время в одной и той же точке) при изменении его аргумента.

Следовательно, годографом радиуса-вектора, определяющего положение точки, будет траектория точки.

Перейдем теперь к рассмотрению координатного и естественного способов задания движения.

Координатный способ. Положение точки по отношению к какой-либо системе координат полностью определяется координатами точки. Поэтому задание координат точки в виде известных функций времени дает возможность определить ее положение в любой момент времени. Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известных функций времени, называется координатным способом задания движения и требует выбора конкретной системы координат. Этот выбор определяется содержанием решаемой задачи; конечно, предпочтительнее та система координат, использование которой наиболее целесообразно для данной задачи.

При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат указанный способ заключается в задании координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.1) как известных функций времени, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать цилиндрические или сферические координаты.

В цилиндрических координатах (рис. 9.1, а) положение точки определяется радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (азимут) и аппликатой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, движение будет задано, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут известными функциями времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В сферических координатах (рис. 9.1, б) положение точки определяется полярным радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (полюсный угол). Движение будет задано, если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

— известные функции времени.

Формулы, связывающие цилиндрические и сферические координаты с декартовыми, соответственно будут -

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении точки в плоскости иногда целесообразно использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать в виде функций времени координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.2):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Связь этих координат с декартовыми дается формулами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения (9.1) движения точки представляют одновременно и уравнения траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если требуется определить уравнение траектории у в координатной форме, то нужно исключить каким-либо образом из этих уравнений время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №39

Движение точки в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.3) задано при помощи уравнений

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и движение начинается в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти уравнение траектории в координатной форме.

Из первого уравнения следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому уравнение траектории будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это—уравнение параболы. Однако траекторией будет не вся парабола, а только часть, показанная на рис. 9.3 сплошной линией. Это следует из того обстоятельства, что от начального момента движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет увеличиваться (время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительно и непрерывно возрастает). Направление движения точки по траектории определяется из уравнений (9.4) и показано на рис. 9.3 стрелкой.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В рассмотренном примере исключение времени из уравнений движения было произведено путем нахождения времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из уравнения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подстановки в уравнение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такой прием не всегда удобен, поэтому исключение времени можно производить и другими способами.

Пример №40

Движение точки в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти уравнение траектории в координатной форме. Уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следует возвести в квадрат и сложить. Тогда получим уравнение траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Она представляет собой эллипс (рис. 9.4). Из уравнений (9.5) следует, что движение начнется в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет происходить в направлении, указанном стрелкой (предполагается, что движение начинается в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Естественный способ. При естественном способе задания движения указываются траектория точки и закон ее движения по этой траектории.

Пусть точка движется по отношению к выбранной системе отсчета по заданной траектории (рис. 9.5), определяемой уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— какая-либо фиксированная точка на траектории. Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы определим положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в любой момент времени, если будем знать, как изменяется дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.5) со временем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта зависимость называется законом движения.

Кривая, построенная на плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражающая зависимость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется графиком движения.

Если движение происходит в сторону возрастания дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то дифференциал дуги *)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

будет положительным, если же движение происходит в сторону убывания дуги, то дифференциал дуги будет отрицательным.

Отметим, что путь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходимый точкой, всегда будет возрастать и, следовательно, положителен, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №41

Закон движения точки по траектории имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Построить и исследовать график движения.

Графиком движения будет кривая, изображенная на рис. 9.6. Из рассмотрения этого графика следует, что дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается до значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем начинает уменьшаться. Ход графика движения в области отрицательных а характеризует увеличение абсолютного значения дуги при движении точки от начала отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону, противоположную положительному отсчету дуги.

На рис. 9.6 показана и кривая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляющая график функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — путь, пройденный точкой. До значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показана пунктиром.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны. Пусть, например, движение задано координатным способом в виде (9.1). Очевидно, что при этом проекции радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.7) на оси координат равны координатам точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичные векторы осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а направление определится направляющими косинусами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще переход от координатного способа к естественному.

Пусть движение задано уравнениями (9.1). Исключая из этих уравнений время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнения траектории (9.6). Найдем теперь закон движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциал дуги может быть найден по формуле (рис. 9.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференциалы координат точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулу для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это выражение в промежутке от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (начало движения) до какого-либо момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим закон движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от выбора направления положительного отсчета дуги; если движение точки начинается в сторону выбранного положительного отсчета дуги, то следует брать знак «плюс», в противном случае —знак «минус».

Понятие о производной вектора по скалярному аргументу

При рассмотрении задач кинематики и динамики мы встретимся с необходимостью вычисления производных векторов, имеющих различный физический смысл и являющихся функциями различных скалярных аргументов (времени, дуги и пр.). Поэтому в начале этой лекции мы определим понятие производной вектора по скалярному аргументу в общем виде, не придавая конкретного физического значения вектору и аргументу.

Пусть вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задан в какой-либо системе координат как непрерывная функция скалярного аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При изменении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут меняться как модуль вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и его направление. Конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при изменении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач описывает кривую — годограф вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.9). Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторое фиксированное значение аргумента, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его приращение. Тогда при значении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь другой модуль и другое направление, чем при значении аргумента, равном Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разность

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется приращением вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел oтношения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу и обозначается через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда направлен по секущей годографа вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.9), а значит, и вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен также по секущей. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач секущая займет предельное положение, совпадающее с касательной к годографу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, производная вектора по скалярному аргументу всегда направлена по касательной к годографу этого вектора.

Приведем без доказательства свойства производной вектора по скалярному аргументу:

1. Производная постоянного по величине и направлению вектора равна нулю.

2. Производная суммы векторов равна сумме производных, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Производные скалярного и векторного произведений векторов соответственно определяются выражениями:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задан в неподвижной прямоугольной системе координат; тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.9). Так как векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянные, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать через его проекции следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая оба выражения, найдем проекции производной вектора на координатные оси

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти равенства можно прочитать следующим образом: проекции производной вектора на неподвижные оси равны производным от соответствующих проекций вектора.

Модуль производной определяется из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если модуль вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач остается постоянным при изменении аргумента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то годографом вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет кривая, расположенная на сфере радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, производная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная по касательной к годографу вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет в этом случае перпендикулярна вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки

Перейдем теперь к определению понятия скорости точки и методам ее нахождения.

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положение точки определяется радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

будем называть вектором перемещения точки за время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.10).

Отношение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к промежутку времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется средней скоростью точки за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к который произошло это перемещение, времени стремится к нулю, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Размерность скорости будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Единицами измерения могут быть м/сек, см/сек, км/час.

Из этого определения видно, что скорость точки равна производной радиуса-вектора точки по времени. На рис. 9.10 показаны средняя скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как следует из общей теории, скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — этот вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, принятой за неподвижную, т. е. пусть заданы координаты точки как функции времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно выражению (9.8) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбранной системы координат постоянны, то на основании формулы (9.11) получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 9.11 показано разложение скорости на составляющие по осям координатной системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, проекции скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные оси будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.

Так как производную по времени мы условились обозначать точкой сверху, то полученные формулы можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости является формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а направление скорости — направляющими косинусами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.

Пример №42

Движение точки задано уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти скорость точки.

В соответствии с выражениями (9 12) получим проекции скорости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости определится формулой (9.13):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление скорости найдем, используя формулы (9.14):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих соотношений видно, что точка движется равномерно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но направление скорости изменяется с течением времени.

Исследуем траекторию точки. Из первых двух уравнений движения найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это —уравнение цилиндра радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ось которого совпадает с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.12).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Опустим теперь из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикуляр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначим угол между осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая эти соотношения с уравнениями движения, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется пропорционально времени. Из этого следует, что прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно вращается, а точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в это время равномерно перемещается по образующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, точка движется по винтовой линии. Уравнения винтовой линии в параметрической форме совпадают с уравнениями движения, а в координатной форме имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь движение, заданное в полярных координатах, т. е. пусть даны как функции времени полярный радиус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющие положение точки.

Введем в рассмотрение единичные векторы: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленный по радиусу-вектору в сторону возрастания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач повернутый относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону возрастания угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.13). Единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач могут быть представлены через единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатных осей:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В дальнейшем нам будут нужны выражения для производных по времени от единичных векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющий положение точки, может быть представлен в виде Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.13). При движении точки меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются функциями времени. На основании равенства (9.11) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя соотношение (9.15), будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученная формула дает разложение вектора скорости взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поперечную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Рис. 9.14). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции скорости на радиальное и поперечное направления

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называются соответственно радиальной и поперечной скоростями. Модуль скорости находится по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулу (9.18) можно также получить, используя связь между декартовыми и полярными координатами,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продифференцировав эти соотношения по времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и используя равенство (9.13), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение скорости при естественном способе задания движения. Пусть точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по какой-либо кривой (рис. 9.15). За промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка переместится по кривой из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги (рис. 9.15, а), и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение происходит в противоположную сторону (рис. 9.15, б). На основании (9.11) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем это равенство в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по модулю единице, а предельное положение секущей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с направлением касательной к кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.

Действительно, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен в сторону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.15, а), а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен в сторону, противоположную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.15, б). В обоих случаях этот вектор, а следовательно, и его предел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в сторону возрастания дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (на рис. 9.15 положительное направление отсчета дуги а выбрано вправо от начала отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Принимая во внимание, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (9.20) следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение происходит в сторону положительного отсчета дуги, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если движение происходит в противоположную сторону.

Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №43

Если ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направить горизонтально, а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикально вверх, то движение тяжелой точки (например, артиллерийского снаряда) у поверхности Земли в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально скорости точки, будет описываться уравнениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—постоянные величины.

Найти модуль и направление скорости в начальный момент времени. Найти также наибольшую высоту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачподъема точки над уровнем ее начального положения, дальность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по горизонтали от начального положения точки до ее наивысшего положения.

На основании (9.12) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач a модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорости будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление начальной скорости определим, найдя направляющие косинусы при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, начальная скорость, равная по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена под углем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к горизонту.

Так как точка траектории, где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует наибольшей высоте подъема движущейся точки, то из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

мы определим момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достижения точкой наибольшей высоты. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя найденное значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим искомую высоту (рис. 9.16)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь расстояние по горизонтали от начального положения точки до ее положения в наивысшей точке. Для этого подставим время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №44

Точка движется так, что ее радиус-вектор образует со скоростью постоянный угол. Определить уравнение траектории в полярных

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатах, если угол, образуемый скоростью с радиусом-вектором, равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9 17).

Согласно формуле (9.17) проекции скорости на радиальное и поперечное направления будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это уравнение и приняв при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —модуль радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТаким образом, траектория представляет собой логарифмическую спираль.

Если угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то траектория будет прямолинейной—движение будет происходить вдоль радиуса-вектора. Если угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение будет происходить по окружности, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение точки

Предположим, что в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость точки равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.18). Изменение вектора скорости за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем как разность векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если параллельно перенесем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.18). Вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

представляет собой приращение вектора скорости за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к промежутку времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется средним ускорением точки за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к приращению времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что последнее стремится к нулю, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Можно также пользоваться следующей формой записи: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.

Годографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки (рис. 9.19).

Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости, будет равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. ускорению точки при ее движении по траектории. Размерность ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Единицами измерения могут быть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение ускорения при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор скорости точки можно представить в виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то на основание (9.21) будем иметь:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции ускорения на координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки.

Выражения (9.22) на основании (9.12) можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты.

Модуль ускорения определяется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная проекции ускорения и его модуль, легко находим направляющие косинусы вектора ускорения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь ускорение в полярных координатах. Пусть координаты точки заданы как функции времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно (9.17) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании (9.21) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как [см. (9.15) и (9.16)]

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нахождение ускорения при естественном способе задания движения. Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой кривой (рис. 9.20). Возьмем теперь на кривой точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач близкую к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Параллельно перенеся вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость через векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При стремлении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Плоскость, проведенную через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 9.21 соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль к кривой.

Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно-перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нами уже был введен. Единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образовывали правую систему осей. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 9.21).

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач величину угла между вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенным в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенным в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач близкой к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот угол называется углом смежности (рис. 9.22, а).

Кривизной кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Радиусом кривизны кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется величина, обратная кривизне

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности.. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус кривизны равен радиусу окружности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если через точку кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и две близкие к ней точки провести окружность, то при стремлении этих точек к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в пределе получится окружность, которая называется кругом кривизны. Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус этого круга равен радиусу кривизны кривой в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Центр круга кривизны лежит на главной нормали и называется центром кривизны *).

Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно представить в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция скорости на направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На основании формулы (9.21) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим величину и направление вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка находится в положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на траектории, а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перенося вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем приращение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.22, а)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 9.22, а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 9.22, б). Найдем производную вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 9.22, а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в соприкасающейся плоскости, так как при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя тождество Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скалярное произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю, а это значит, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из равнобедренного треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 9.22, а) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекция ускорения на направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Касательное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигает экстремальных значений.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач одного знака, то модуль скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач разных знаков, то модуль скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки убывает и движение будет замедленным. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль скорости остается постоянным — движение равномерное.

Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, в которые скорость точки обращается в нуль.

Отметим, что для вычисления касательного ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно использовать равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если движение точки задано координатным способом, то в случае задания движения в декартовых координатах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для полярных координат получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частные случаи движения точки

Прямолинейное движение. Если траектория точки является прямой линией, то, направляя одну из координатных осей, например, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль этой прямой, мы полностью определим положение точки заданием ее абсциссы как функции времени, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции скорости и ускорения на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно формулам (9.12) и (9.23) будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модули скорости и ускорения соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение точки происходит в сторону положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если при этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение ускоренное, если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение замедленное.

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка движется в направлении, противоположном положительному направлению оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если при этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение замедленное, если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то движение ускоренное.

В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение, происходящее по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянные величины.

Движение точки по такому закону называют гармоническим. Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равная максимальному отклонению точки от положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется амплитудой колебаний; Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется фазой и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачначальной фазой колебаний.

Скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, соответственно будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что ускорение точки всегда направлено к началу координат и по модулю пропорционально отклонению точки от начала координат.

С помощью закона движения и формулы для скорости нетрудно установить, что если для какого-либо момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором имеет место равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—скорость точки и ее положение будут такими же, как и в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значит, гармоническое движение будет периодическим *), т. е. через промежутки времени, равные

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

движение будет полностью повторяться.

Наименьший промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом колебаний. Очевидно, что период гармонических колебаний будет равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний и равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если время измеряется в секундах, то частота измеряется в герцах. Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется круговой частотой. Круговая частота равна числу колебаний за Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач единиц времени. График движения приведен на рис. 9.23.

Движение точки по окружности. При движении точки по окружности удобно задать ее движение в полярных координатах, так как при этом координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является постоянной величиной, равной радиусу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности (рис. 9.24). Положение точки вполне определяется углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная величина, то проекция скорости на радиальное направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поперечная проекция скорости равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулами (9.26) проекции ускорения на радиальное и поперечное направления определяются равенствами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль ускорения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если выбрать направление положительного отсчета дуги, проходимой точкой, как указано на рис. 9.24, то очевидно, что касательное ускорение точки будет равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а нормальное Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (это ускорение называют центростремительным ускорением) .

Заметим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет угловую скорость вращения радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —соответствующее угловое ускорение.

Пример №45

Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить скорость и ускорение снаряда в начальный момент времени, высоту траектории, дальность полета, а также радиус кривизны в начальной и наивысшей точках траектории. Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена горизонтально, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикально вверх (рис. 9.25).

Траекторией снаряда, очевидно, будет парабола

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим сначала скорость движения снаряда. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач величина скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направление скорости определяется по формулам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скорость в начальный момент образует с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекции ускорения на координатные оси будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно, модуль ускорения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и оно направлено по вертикали вниз (ускорение силы тяжести). Под высотой траектории понимается максимальное значение ординаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает максимальное значение при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. когда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Находя отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставляя его в уравнение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дальность полета определяется из условия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует начальному положению снаряда. Подставляя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем дальность полета

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Максимальная дальность полета будет при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей ее точках. Из формулы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, задача нахождения радиуса кривизны траектории сводится к нахождению скорости и проекции ускорения точки на нормаль. Согласно (9.33) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как движение точки происходит все время в сторону возрастания дуги, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, радиус кривизны траектории в начальной точке равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующего наивысшей точке траектории, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Скорость точки в этот момент равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиус кривизны в наивысшей точке траектории будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что в данной задаче проекцию ускорения на нормаль в начальной н наивысшей точках траектории можно легко найти и простым проектированием (рис. 9.26).

Пример №46

Колесо радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Скорость центра колеса постоянна и равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти уравнения движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежащей на ободе колеса, ее траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории как функцию времени.

По условию, колесо катится без скольжения, следовательно, дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при предположении, что в начальный момент времени точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находилась в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.27).

Так как дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения траек. тории, которая представляет собой циклоиду.

Проекции скорости точки на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется от нуля до Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направляющие косинусы вектора скорости будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что вектор скорости все время проходит через верхнюю точку колеса.

Проекции ускорения на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то вектор ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда проходит через центр колеса. Радиус кривизны траектории найдем из выражения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длина отрезка от рассматриваемой точки колеса до его нижней точки.

Пример №47

Движение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано в полярных координатах уравнениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.28), где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные величины.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исключая из уравнений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение траектории

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это—уравнение логарифмической спирали.

Согласно формуле (9.17) радиальная и поперечная составляющие скорости соответственно будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формулам (9.26) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим теперь радиус кривизны траектории. На основании (9.32) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нами уже определена. Найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно (9.33)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, радиус кривизны траектории будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №48

Радар Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач установленный на берегу, непрерывно следит за движением судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяя в каждый данный момент времени расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между меридианом и направлением от радара на судно, а также скорости изменения этих величин. Пренебрегая кривизной земной поверхности, определить модуль скорости судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Земли, его курс (угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между меридианам и скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от радара до направления скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.29).

Для решения задачи построим прямоугольную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направив ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по касательной к меридиану на север, а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по касательной к параллели па запад. Величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые непрерывно измеряет радар, суть полярные координаты судна и их скорости. Поэтому модуль скорости судна будет (см. формулу (9.18))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения курса (угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложим вектор скорости судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на радиальную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поперечную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющие. Имеем (см. »рис. 9.29):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственные при параллельных прямых Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — внешний для треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая значения проекций поперечной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиальной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем параметр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью счетно-решающих устройств скорость судна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его курс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и параметр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются по формулам (9.18), (9.35) и (9.36) или им эквивалентным непрерывно»

Если судно идет постоянным курсом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. движется по прямой линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то равенство (9.36) определяет уравнение траектории судна в полярных координатах. Покажем, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это уравнение может быть получено из равенства (9.34). Действительно, умножая числитель я знаменатель правой части равенства (9.34) на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя обе части этого равенства и учитывая, что по предположению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —произвольная постоянная интегрирования. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —расстояние

от радара до судна будет равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя эти значения в (9.37), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося это значение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в равенство (9.37), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда следует равенство (9.36);

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №49

Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между неподвижной осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и кривошипом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянное положительное число. С кривошипом в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шарнирно соединен стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящий все время через качающуюся муфту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти уравнения движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отстоящей от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее траекторию, скорость и ускорение, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис, 9,30, а). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проще всего определяется полярными координатами: радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и полярным углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачравнобедренный, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сторона Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из рис. 9.30, а имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, уравнения движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исключая отсюда время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем уравнение траектории точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в полярных координатах:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(Для сравнения рекомендуем читателям самостоятельно найти уравнения движения и траекторию точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в декартовых координатах.)

На рис. 9.30, б показана траектория точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач построенная по точкам *) для случая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получается обычная кардиоида). Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная точка траектории, соответствующая моменту времениТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направление движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показано стрелками. Отметим, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач попадет в свое начальное положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не через один оборот кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а через два оборота, когда угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменится на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиана (это произойдет в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем проекции скорости точки на радиальное и поперечное направления. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, подставляя найденные значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и произведя очевидные преобразования,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для ускорения будем иметь:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В начальной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Через один оборот кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач попадет в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.30, б) и ее скорость и ускорение будут соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Криволинейные координаты

Положение точки в трехмерном пространстве, как известно, можно однозначно определить тремя числами. Так, например, в декартовой системе координат такими числами будут координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки, в цилиндрической и сферической системах координат такими числами соответственно будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что можно ввести в рассмотрение и другие системы координат, в которых определен закон выбора трех чисел, однозначно определяющих положение любой точки. В этой лекции мы рассмотрим так называемые криволинейные координаты.

Предположим, что для однозначного определения положения любой точки нами установлен закон выбора трех чисел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тем самым нами введена в рассмотрение определенная система координат. Эти числа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются криволинейными координатами, а введенная система координат — криволинейной. Пусть радиус-вектор, определяющий положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданной координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведен из произвольно выбранного полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот радиус-вектор будет функцией координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси декартовой системы координат также будут функциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возьмем какую-либо точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в которых переменной является только одна координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяют кривую, проходящую через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эту кривую называют координатной линией, соответствующей изменению координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Аналогично определяются координатные линии, соответствующие изменению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Касательные к координатным линиям, проведенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону возрастания соответствующих координат, называются координатными осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.31).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координатными поверхностями называются поверхности, определяемые уравнениями (9.39) при изменении двух координат и при одной фиксированной координате. Так, например, поверхность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется следующими уравнениями:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Касательные плоскости, проведенные в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к координатным поверхностям, называются координатными плоскостями.

Определим теперь единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатных осей. Рассмотрим движение точки по координатной линии, соответствующей изменению координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачточка находится в положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.32). Вектор , вычисленный в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен по касательной к координатной линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. он направлен по координатной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону возрастания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично можно получить

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Коэффициенты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются коэффициентами Ламе.

Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты, т. е. такие, у которых координатные оси взаимно перпендикулярны. Условием ортогональности является

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки может быть найдена посредством дифференцирования соотношения (9.38)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по предположению взаимно перпендикулярны, для модуля скорости имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции скорости на координатные оси определяются выражениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекция ускорения точки на координатную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидно, будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Взяв частную производную от выражения (9.46) по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как производная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя теперь обе части равенства (9.46) по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая оба выражения, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя полученные равенства (9.51) и (9.52) в формулу (9.50), имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится по формуле (9.48). Аналогично получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №50

Найти скорость и ускорение точки в цилиндрической системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Координатные линии и координатные оси показаны на рис. 9.33. Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то согласно формулам (9.40) и (9.44)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в соответствии с формулами (9.48) и (9.49), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для полярной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имея в виду, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, по формулам (9.53), (9.54) и (9.55) получим fp = Р - Pf2.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для полярной системы координат

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №51

Найти скорость и ускорение точки в сферической системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.34). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Декартовы координаты связаны со сферическими зависимостями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то согласно формуле (9.40) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычисляя далее

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и используя формулы (9.44), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, проекции скорости на координатные оси сферической системы координат равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислив производные

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем проекции ускорения на оси сферических координат:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №52

Найти скорость и ускорение точки, движущейся равномерно по винтовой линии.

Так как в этом случае в цилиндрической системе координат

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянны), то в силу формул (9.56) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя формулы (9.57), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Радиус кривизны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №53

Точка движется по земной поверхности (принимаемой за сферу радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имея северную и восточную составляющие скорости соответственно равными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти ускорение точки относительно Земли, не учитывая ее вращения. Составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач считать известными функциями времени. Из условия задачи находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулами (9.55) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основные движения твердого тела

При движении твердого тела отдельные его точки движутся в общем случае по различным траекториям и имеют в каждый момент времени различные скорости и ускорения. Вместе с тем имеются кинематические характеристики, одинаковые для всех точек твердого тела. Основными задачами кинематики твердого тела являются установление способа задания его движения и изучение кинематических характеристик, присущих телу, а также определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела.

Задание движения твердого тела

Необходимо сначала уточнить понятие «задание движения твердого тела». Мы будем говорить, что движение твердого тела задано, если имеется способ определения положения любой его точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе координат.

Может сначала показаться, что для задания движения твердого тела требуется задать движение каждой его точки, т. е. необходимо иметь бесконечное множество уравнений движения. На самом деле это не так, ибо перемещения отдельных точек связаны условием неизменяемости расстояний между ними.

Покажем, что положение твердого тела в общем случае вполне определяется заданием шести независимых параметров. Для этого возьмем в теле три не лежащие на одной прямой точки (рис. 10.1) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как расстояния Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между точками твердого тела не изменяются, то координаты точек должны удовлетворять трем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнениям:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, из девяти координат (10.1) независимых только шесть, остальные три определяются из уравнений (10.2). Если взять еще одну точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эти координаты должны будут удовлетворять трем уравнениям вида (10.2), выражающим неизменность расстояния до ранее выбранных точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, положение твердого тела относительно произвольно выбранной системы координат вполне определяется шестью независимыми параметрами.

Если твердое тело будет закреплено в какой-либо точке, то его положение будет определяться уже только тремя независимыми параметрами.

Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение твердого тела в пространстве, называется числом степеней свободы твердого тела.

Заметим, что задание шести декартовых координат, например, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не является наилучшим способом задания движения твердого тела. Как будет позднее выяснено, существуют более удобные параметры, определяющие положение тела в пространстве. В каждом отдельном случае мы будем стараться выбирать независимые параметры, определяющие движение твердого тела, исходя из соображений простоты и удобства решения основных задач кинематики.

Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение твердого тела. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения параллельной своему первоначальному положению.

Пусть твердое тело движется поступательно относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.2), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор, определяющий положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в подвижной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанной с телом (на рис. 10.2 эта система не показана). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как рассматриваемое тело абсолютно твердое и его движение поступательное, то вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при движении тела не меняет модуля и направления.

Из рассмотрения рис. 10.2 следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тело занимало положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.2). Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет вектором перемещения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —вектором перемещения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во время движения вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не изменяется, значит, отрезки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны и параллельны и, следовательно, фигура Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллелограмм.

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. при поступательном движении абсолютно твердого тела перемещения всех его точек геометрически равны между собой.

Из равенства (10.3) и условия постоянства вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач также следует, что траектории точек тела, движущегося поступательно, одинаковы и получаются друг из друга параллельным смещением.

Продифференцировав выражение (10.3) по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. при поступательном движении твердого тела скорости всех его точек в каждый момент времени равны между собой.

Дифференцируя полученное соотношение по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны между собой.

Таким образом, при поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и ускорения геометрически равны.

Следовательно, для определения движения твердого тела, движущегося поступательно, нет необходимости рассматривать движение всех точек тела, а достаточно рассмотреть движение одной точки тела, иначе говоря, поступательное движение твердого тела определяется движением одной точки этого тела, координаты которой должны быть заданы как функции времени.

Пользуясь понятием поступательного движения, докажем теорему о сложении скоростей точки, совершающей сложное движение *).

Предположим, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по отношению к системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая жестко связана с телом, перемещающимся поступательно по отношению к неподвижной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положение точки относительно неподвижной системы координат определяется радиусом-вектором (рис. 10.3)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор начала подвижной системы координат, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—радиус-вектор, определяющий положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в подвижной системе координат.

Дифференцируя это равенство по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом равенстве Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть скорость точки относительно неподвижной системы координат, которая называется скоростью точки в сложном движении или абсолютной скоростью и обозначается через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое слагаемое в правой части равенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется поступательно, то это одновременно будет скоростью той точки тела, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта скорость называется переносной скоростью точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выясним смысл производной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определен в подвижной системе координат, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичные векторы этих осей.

Так как подвижная система координат перемещается поступательно, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянные векторы и их производные по времени равны нулю, поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство определяет скорость точки по отношению к подвижной системе координат и называется относительной скоростью точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим эту скорость через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное равенство выражает теорему о сложении скоростей: скорость точки в сложном движении равна сумме переносной и относительной скоростей.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. При движении твердого тела с двумя неподвижными точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.4) все точки на прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач остаются неподвижными. Это следует из условия неизменяемости расстояний между точками твердого тела. Прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется осью вращения, а движение тела называется вращательным. Нетрудно видеть, что все точки тела описывают дуги окружностей с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения.

Возьмем на оси вращения две точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и введем систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.5).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как положение точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам известно, то положение тела будет полностью определено, если мы будем знать в любой момент времени положение какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела (не лежащей на оси вращения). Из трех координат этой точки независимой будет только одна, так как расстояния Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянны и координаты точки связаны двумя уравнениями:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что положение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром.

Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по оси вращения тела. Введем подвижную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанную с телом, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которой так же направим по оси вращения (рис. 10.6). Положение тела будет полностью определено, если задан угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между неподвижной плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подвижной плоскостью (жестко связанной с телом) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.6). Этот угол называется углом, поворота тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для однозначного определения положения тела необходимо знать не только величину, но и направление отсчета угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Условимся считать положительным направлением отсчета направление против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Характер вращательного движения твердого тела целиком определяется заданием угла его поворота как функции времени. Главными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом будут угловая скорость и угловое ускорение, к определению которых мы и перейдем.

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол между неподвижной полуплоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подвижной полуплоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачЭто значит что за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижная плоскость следовательно, и тело повернулись на угол

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение угла поворота Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к промежутку времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за который тело повернулось на этот угол, называется средней угловой скоростью тела за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел этого отношения при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется угловой скоростью тела в данный момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Введенная таким образом угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от закона изменения угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Абсолютное значение угловой скорости будем обозначать через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если угол поворота измеряется в радианах, а время —в секундах, то единицей измерения угловой скорости будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В технике часто при равномерном вращении тела пользуются числом оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту определяется по следующей формуле:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— число оборотов в минуту.

Пусть теперь в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловая скорость вращения равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приращение угловой скорости будет равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Средним угловым ускорением тела за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем называть отношение приращения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел этого отношения при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется угловым ускорением тела в данный момент времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловое ускорение, характеризующее изменение угловой скорости с течением времени, равно производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота.

Единица измерения углового ускорения — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Весьма полезным для дальнейшего изучения кинематики твердого тела является введение в рассмотрение вектора угловой скорости и вектора углового ускорения.

Вектором угловой скорости твердого тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, мы будем называть вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

Учитывая ранее введенное определение направления положительного отсчета угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор угловой скорости можно определить по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичный вектор оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы следует, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направление вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с направлением вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен в сторону, противоположную направлению вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектором углового ускорения будем называть вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из формулы (10.8) следует, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен, как и вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль оси вращения.

Величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляют проекции векторов угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и углового ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось вращения.

Перейдем к нахождению скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Пусть единичные векторы координатных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.7). Радиус-вектор произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки (постоянные величины). Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижен, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что же касается производных векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то мы уже вычисляли их, рассматривая движение точки в полярной системе координат. Если обозначить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то формулы (9.15) и (9.16) примут вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя в формулу (10.10) эти производные и учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что проекции вектора скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как векторное произведение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеет те же проекции на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что и вектор скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

иначе говоря, скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Из формулы (10.13) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т.е. модуль скорости любой точки твердого тела равен произведению модуля угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения. Направлен же вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону ее движения.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства (10.13), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловое ускорение, а

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен по касательной к траектории точки (к окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. параллельно скорости (так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен по оси вращения (рис. 10.8)). Эта составляющая ускорения является касательным ускорением точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела..В дальнейшем будем называть эту составляющую вращательным ускорением, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это название связано с тем, что с такой составляющей ускорения мы встретимся при изучении более сложного движения тела, когда вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уже не будет являться касательным ускорением точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Численное значение вращательного ускорения равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен в плоскости окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. направлен к оси вращения по нормали к траектории и является нормальным ускорением точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

направленный к оси вращения, будем называть осестремительным ускорением.

Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то численное значение осестремительного ускорения равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль полного ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образованный векторами полного и осестремительного ускорений, определяется из формулы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №54

Стрелка гальванометра длиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угол максимального отклонения стрелки от положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—период колебаний. Найти модуль и направление ускорения конца стрелки гальванометра в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловая скорость и угловое ускорение соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль вращательного ускорения будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а модуль осестремительного ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. стрелка доходит до своего крайнего положения. В этот момент времени скорость конца стрелки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а ускорение будет равно модулю вращательного ускорения.

Плоское движение твердого тела

Движение твердого тела называется плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Примером плоского движения тела может служить качение цилиндра по горизонтальной плоскости, при котором его основание остается все время параллельным плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.1).

Задание движения

Рассмотрим произвольное плоское движение твердого тела. Пусть все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.2). Из определения плоского движения и из свойств твердого тела (углы между любыми прямыми, фиксированными в твердом теле, сохраняются неизменными) следует, что любая прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенная в теле перпендикулярно плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет перемещаться поступательно, т. е. траектории, скорости и ускорения всех точек этой прямой будут одинаковы.

Таким образом, для определения движения тела необходимо знать движение лишь одной точки на каждой прямой, проведенной перпендикулярно плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Взяв точки в одной плоскости, параллельной плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы можем утверждать, что плоское движение твердого тела вполне определяется движением плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельной плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(см. рис. 11.2).

Итак, задание движения твердого тела сводится к заданию движения одного его сечения. Поэтому в дальнейшем будем изображать только плоскую фигуру— сечение тела и изучать движение точек этого сечения в его плоскости.

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — Две точки плоской фигуры, находящейся в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.3, а). Так как расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между этими точками остается неизменным

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то из четырех координат независимых только три. Присоединение третьей точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не увеличивает числа независимых

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координат, ибо две новые координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должны удовлетворять двум равенствам, выражающим неизменность расстояний до ранее выбранных точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, для описания плоского движения тела требуется знать три независимые координаты как функции времени.

Свяжем жестко с плоской фигурой систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда положение системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вместе с ней и положение плоской фигуры относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет вполне определено заданием координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — см. рис. 11.3, б (оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно параллельны осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и перемещаются при движении фигуры поступательно). Следовательно, три функции времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

определяют положение плоской фигуры в любой момент времени. Равенства (11.1) называются уравнениями движения плоской фигуры или уравнениями плоского движения твердого тела.

Скорости точек тела при плоском движении

Найдем формулы, позволяющие при заданных .функциях (11.1) определить координаты любой точки плоской фигуры.

Пусть система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является неподвижной системой, а система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеющая начало в произвольно выбранной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоской фигуры, движется поступательно. Систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко свяжем с плоской фигурой.

Радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющий положение точки В относительно неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.4), можно задать при помощи двух векторов: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющего положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющего положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по формулам: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Напомним, что координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные величины. Продифференцировав по времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем проекции скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на координатные оси: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач К этому же результату можно прийти, дифференцируя непосредственно тождество (11.2),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачЧто же касается Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то это есть скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно подвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. относительная скорость. Введем для нее обозначение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение тела относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачпредставляет собой вращение тела вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленной перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 11.4) на читателя. Таким образом,- скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при вращении тела вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения этой скорости мы уже получили формулу

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

гдеТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— угловая скорость вращения фигуры вокруг точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую в дальнейшем будем называть полюсом. Формула (11.5) принимает теперь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скорость какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при вращении плоской фигуры вокруг полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что угловая скорость вращения фигуры не зависит от выбора полюса. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —две какие-нибудь точки плоской фигуры. Пусть полюсу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а полюсу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приняв за полюс точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приняв теперь за полюс точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложив оба равенства, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен плоскости фигуры, и, значит, полученное равенство может выполняться только при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, нет надобности в дальнейшем сохранять индекс полюса в обозначении вектора угловой скорости, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (11.6) может быть записана теперь в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если заметить, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то из (11.7) после проектирования на оси координат можно получить уже ранее выписанные формулы (11. 4).

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то модуль скорости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ибо вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен плоскости чертежа. Отметим, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен также Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направление вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

плоской фигуры вокруг полюса зависит только от знака проекции угловой скорости на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращение происходит против хода часовой стрелки и при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —по ходу часовой стрелки.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 11.5, а и б показано, как, зная скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (11.7) следует одна полезная теорема:

При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.

Выберем положительное направление для оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как указано на рис. 11.6. Воспользуемся далее формулой (11.7)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проектируя это равенство на направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее слагаемое в этом соотношении равно нулю, так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №55

Определить скорость ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривошипно-шатуиного механизма, изображенного на рис. 11.7, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и известна угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент времени, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны. На основании доказанной теоремы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определения и теоремы этой лекции можно использовать для графического нахождения скоростей точек плоской фигуры.

План скоростей

Приступая к графическому нахождению скоростей точек плоской фигуры, будем считать заданными модуль и направление скорости одной точки и направление скорости другой точки.

Пусть, например, известны вектор скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направление скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.8, а). Определим сначала модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач, а затем векторы скоростей точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется формулой (11.7)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как нам известны вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направления векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (напомним, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можно получить графическое решение уравнения (11.7). Для этого из произвольно выбранногоТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (11.8, б) в произвольно выбранном масштабе отложим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если бы нам была известна скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, отложив от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы получили бы точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, очевидно, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач был бы равен вектору скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Но нам известно лишь направление вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому поступим следующим образом- через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую, перпендикулярную отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен лежать на этой прямой. Проведем теперь из полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, параллельную вектору скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пересечение этих прямых и определит точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная теперь векторы скоростей точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На основании формул

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

можно записать:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую перпендикулярно отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен лежать на этой прямой. Из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую перпендикулярно отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на этой прямой. Следовательно, точка пересечения прямых, проведенных нами из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определит точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в соответствии с равенством (11.8) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соединяя точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для нахождения скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует использовать формулы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и провести аналогичные построения.

Фигура Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.8, б) представляет собой графическую картину распределения скоростей точек плоской фигуры называется планам скоростей. Точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются вершинами, а точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — полюсом плана скоростей; векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются лучами и представляют собой скорости соответствующих точек. Векторы, соединяющие вершины плана скоростей т. е. векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны скоростям точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при вращении фигуры вокруг соответствующих полюсов.

Легко показать, что треугольник относительных скоростей на плане скоростей подобен соответствующему треугольнику плоской фигуры и повернут по отношению к нему на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а следовательно, треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подобен треугольнику Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и повернут по отношению к нему на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построив план скоростей можно определить угловую скорость плоской фигуры. Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т.д., то, приняв во внимание принятый масштаб построения плана скоростей, угловую скорость найдем по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №56

Определить скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач механизма, изображенного на рис. 11.9, а, путем построения плана скоростей, если известно, что угловая скорость стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлена, как показано на рисунке. Направление скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы сначала должны найти скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежащей как стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отложим от полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую, перпендикулярную стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.9, б). Прямая, проведенная из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно направлению скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечет прямую, проведенную из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плане скоростей получить путем нахождения точки пересечения прямых

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач линий, проведенных из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя, так как эти линии сливаются. Поэтому для нахождения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач воспользуемся соотношениями (11.9):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это значит, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в том же отношении, что и точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, находим точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь проведем из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, параллельную направлению скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, перпендикулярную стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пересечение этих прямых определит точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мгновенный центр скоростей. Центроиды

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Докажем теорему о существовании мгновенного центра скоростей: если угловая скорость плоской фигуры отлична от нуля, то мгновенный центр скоростей существует.

Пусть скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольной точки плоской фигуры отлична от нуля (в противном случае точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была бы мгновенным центром скоростей).

По знаку угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяем направление вращения плоской фигуры вокруг точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в этом направлении откладываем от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 11.10 предполагается, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач повернут относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач против хода часовой стрелки.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем, что скорость полученной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю т. е. эта точка и есть мгновенный центр скоростей.

В соответствии с формулой (11.7) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как скорость перпендикулярна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллелен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, в соответствии с правилом построения отрезка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют противоположные направления. Модуль скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два вектора, равных по величине и противоположно направленных, в сумме равны нулю. Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю.

Выберем теперь за полюс точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда скорость произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоской фигуры найдется по формуле (рис. 11.11)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что скорости точек тела при его плоском движении распределяются точно так же, как и при вращательном движении. Роль неподвижной оси играет мгновенная ось, проходящая через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения. Таким образом, скорости всех точек фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а модули скоростей пропорцинальны расстояниям до мгновенного центра скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная положение мгновенного центра скоростей, можно найти скорости всех точек плоской фигуры, если известна скорость какой-либо ее '.очки.

В самом деле, пусть известна, например, скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда из равенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорость любой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соединив конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим эпюру распределения скоростей вдоль отрезка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 11.11).

Используя основные свойства мгновенного центра скоростей, можно определить его положение и в других случаях. На рис. 11.12, а показано, как находится эта точка, когда известны направления скоростей двух точек. Из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач восставлены перпендикуляры к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится на их пересечении. Если скорости точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для определения мгновенного центра скоростей следует воспользоваться свойством пропорциональности модулей скоростей расстояниям точек до мгновенного центра скоростей. На рис. 11.12, б и в показано, как находится мгновенный центр в этих случаях. На рис. 11.12, г показан случай, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не перпендикулярна отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что в этом случае прямые, перпендикулярные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в бесконечности и мгновенного центра скоростей не существует. В самом деле на основании теоремы о проекциях скоростей имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из формулы (11.7) следует что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. угловая скорость фигуры равна нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значит, в данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры равны по модулю и направлению и, следовательно, точки, линейная скорость которой равна нулю, не существует.

При качении без скольжения одного тела по поверхности другого (рис. 11.12, д) мгновенный центр скоростей совпадает с точкой соприкосновения тел (так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю).

Использование мгновенного центра скоростей очень часто упрощает решение задачи.

Пример №57

В двухползунковом кривошипном механизме кривошип Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачвращается вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачс постоянной угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.13). Длины шатунов равны между собой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При горизонтальном (Правом) положении кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определить: 1) угловые скорости шатунов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) скорость ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В рассматриваемом механизме звенья Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совершают плоское движение. Определим положение мгновенных центров скоростей шатунов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Восставляя перпендикуляры к направлениям скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по горизонтальной прямой), убеждаемся, что мгновенный центр скоростей шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данный момент времени совпадает с точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.13).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как точки кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с другой стороны, модуль скорости этой же точки как точки шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как скорости точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в бесконечности и угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю. Значит, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В отличие от чисто вращательного движения, при плоском движении мгновенный центр скоростей меняет, вообще говоря, свое положение на плоскости. Если наклеить на фигуру, совершающую плоское движение, лист бумаги и в каждый момент-времени прокалывать иглой мгновенный центр скоростей, то получатся две серии отметок: одна на неподвижной плоскости, другая на листе, связанном с фигурой.

Геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центро-идой.

Геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на плоскости, жестко связанной с фигурой, называется подвижной центроидой.

При качении цилиндра по горизонтальной плоскости (рис. 11.12; д) неподвижная центроида— горизонтальная прямая, а подвижная — окружность.

В каждый момент времени подвижная и неподвижная центроиды имеют общую точку касания—мгновенный центр скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. точку, скорость которой равна нулю. Поэтому плоское движение можно представить, как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной.

Пример №58

Определить центроиды подвижного звена Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач антипараллелограмма Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач у которого звено Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач закреплено неподвижно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изобразим в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перпендикуляры к ним пересекаются в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.14) —мгновенном центре скоростей звена Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Треугольники Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны по трем сторонам. Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнобедренный. Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда вытекает, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижной плоскости , жестко связанной со звеном Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач описывает эллипс с фокусами в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в подвижной плоскости, связанной со звеном Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —эллипс с фокусами в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Первая кривая является неподвижной центроидой (она заштрихована), вторая —подвижной.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений

Для определения ускорения точки плоской фигуры продифференцируем равенство (11.7) по времени:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом соотношении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно ускорения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —вектор углового ускорения. Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как и вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно плоскости фигуры и определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, ускорения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны между собой соотношением

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два последних слагаемых в равенстве (11.11) определяют ускорение точки В при закрепленной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому их сумма

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

дает ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач во вращательном движении относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При изучении вращательного движения мы уже выяснили, как направлены составляющие вектора ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Легко еще раз убедиться, пользуясь правилом составления векторного произведения, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет направление, совпадающее с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (от точки к полюсу), а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сохраним за этими составляющими старые названия —■ осестремительного (или центростремительного) и вращательного ускорений, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модули этих составляющих будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 11.15 геометрически сложены три вектора и определено ускорение точки В при помощи формулы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким, образом, ускорение любой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоской фигуры геометрически складывается из ускорения полюса и осестремительного и вращательного ускорений во вращательном движении фигуры относительно полюса.

Заметим, что при решении задач, прежде чем устроить ускорение точки по формуле (11.13), необходимо вычислить угловую скорость тела, его угловое ускорение и выбрать полюс. За полюс выбирается обычно такая точка, ускорение которой легко находится из условия задачи. Иногда, зная, например, направление искомого ускорения точки, угловое ускорение можно определить по формуле (11.13).

Из (11.12) найдем угол, составленный вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с направлением на полюс (рис. 11.15),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда видно, что этот угол, во-первых, не зависит от выбора полюса и, во-вторых, для всех точек при фиксированном времени одинаков.

Модуль ускорения точки при вращении фигуры вокруг полюса также находится из равенства (11.12)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Он зависит от расстояния точки до полюса.

Введем понятие мгновенного центра ускорений. Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

Для построения мгновенного центра ускорений будем предполагать, что нам известны ускорение одной из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угловое ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем предполагается, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равны нулю одновременно. Из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отложим под углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к ускорению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то угол откладывается против хода часовой стрелки (рис. 11.16), при противоположном знаке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — по ходу часовой стрелки.

Убедимся в том, что ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. Выбрав за полюс точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как мы уже отметили ранее, угол между ускорением точки относительно полюса и направлением на полюс не зависит от выбора полюса. Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляет с направлением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такой же угол составляет и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны (рис. 11.16). В ciftiy принятого правила отсчета угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачбудут всегда противоположно направлены. Остается теперь установить, что они равны по модулю. Вспоминая (11.14) и подставляя (11.15), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, мы доказали, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—мгновенный центр ускорений. Ускорение любой точки в данный момент времени теперь может быть определено так же, как и при вращении вокруг неподвижной оси:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(поскольку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует иметь в виду, что мгновенный центр ускорений и мгновенный центр скоростей,— вообще говоря, разные точки. В этом легко убедиться, рассмотрев простой пример. Допустим, диск катится по горизонтальной плоскости без скольжения (рис. 11.12, д) и скорость его центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянна. Как мы уже знаем, мгновенный центр скоростей находится в точке касания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как вектор скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянен, то ускорение центра диска равно нулю. Таким образом, мгновенный центр ускорений совпадает с центром диска, а мгновенный центр скоростей — с точкой касания.

План ускорений

В этой лекции мы рассмотрим методы графического определения ускорений точек плоской фигуры.

Пусть заданы скорости точек плоской фигуры (рис. 11.17) (построен план скоростей), ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определим ускорения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоской фигуры. На основании формулы (11.13) для данных точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом уравнении вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известен по модулю и направлению, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известен по направлению —направлен от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а его модуль определяется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—вдоль линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому уравнение (11.13) можно графически решить следующим образом.

Выбирая соответствующий масштаб, из произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (полюса построения) проводим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач геометрически равный вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач К вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикладываем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач геометрически равный вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямую, перпендикулярную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (параллельно вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на этой прямой будет лежать конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —последнего слагаемого векторной суммы, а следовательно, и конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения модуля вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, параллельную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На этой прямой лежит конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет лежать в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямых, проведенных параллельно векторам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, мы построили векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можем написать следующие два уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первом уравнении нам известен вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по модулю и направлению, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы знаем по направлению (он направлен от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а модуль его определяется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известен только по направлению (он перпендикулярен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не известен ни по модулю, ни по направлению. Поэтому первое уравнение графически решить нельзя. Точно так же нельзя решить и второе уравнение, так как в него входит искомый вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизвестный по модулю.

Из уравнений (11.16) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом уравнении вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль же вектора определится из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, в уравнение (11.17) входят известные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известные по направлению. Следовательно, уравнение (11.17) можно решить графически.

К построенному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикладываем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямую, перпендикулярную вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вдоль этой прямой будет направлен вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, на этой прямой будет лежать конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач К построенному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикладываем вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проводим прямую. Вдоль этой прямой будет направлен вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, и на этой прямой будет лежать конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен лежать на прямых, перпендикулярных векторам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и то он лежит в точке их пересечения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, полученный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет вектором ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, мы определили графически ускорения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выходящие из полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут векторами ускорений точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Фигура Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.17, в), представляющая собой графическую картину распределения ускорений точек в плоской фигуре, называется планом ускорений.

На плане ускорений векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач суть ускорения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обусловленные вращением фигуры вокруг соответствующих полюсов, причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построив план ускорений, легко показать, что фигура Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подобна фигуре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и повернута по отношению к ней на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, согласно формулам (П. 18) отрезки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорциональны отрезкам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляют с отрезками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если из плана скоростей мы можем определить угловую скорость плоской фигуры, то из плана ускорений можно определить угловое ускорение плоской фигуры. Действительно, так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует заметить, что при всех вычислениях нужно принимать во внимание принятый масштаб построения планов скоростей и ускорений.

Пример №59

Определить ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач механизма, изображенного на рис. 11.18, а.

План скоростей для этого механизма нами уже построен (рис. 11.9, б). Полное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачтак как угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянна, а модуль ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Модуль и направление ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам неизвестны. Определить ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно, например, следующим образом. Согласно формуле (11.13) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам известен, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а его модуль равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач берем из плана скоростей), вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из какой-либо произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.18,6) отложим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в произвольно выбранном масштабе), к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую, перпендикулярную отрезку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен лежать на этой прямой.

Так как стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можно представить вектор ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач -осестремительное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленное к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равное по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач берется из плана скоростей), a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вращательное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленное перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отложим теперь от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач векгор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую, перпендикулярную стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен лежать на этой прямой. Следовательно, конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в точке пересечения прямых, проведенных из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построив вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы можем перейти к определению ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют с направлением стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач один и тот же угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут лежать на одной прямой. Для нахождения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач воспользуемся зависимостями (11.18). Из них следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач внешним образом на части, пропорциональные отрезкам, на которые точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, построив точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы только что нашли, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по модулю равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направление ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известно (точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совершает прямолинейное движение). Из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отложим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (параллельно стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проведя теперь из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, перпендикулярную стержню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем ее точку пересечения с прямой, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельной направлению ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта точка пересечения и будет точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №60

В двойном кривошипно-шатунном механизме, изображенном на рис. 11.19, размеры звеньев следующие: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние между ползунами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Оси кривошипов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположены на одной прямой с направляющей ползунов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить угловую скорость ведомого кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда кривошип Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен направляющей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если угловая скорость кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этот момент равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из рис. 11.19 следует:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорости точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оказались параллельными. Следовательно, на основании равенства проекций скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, их соединяющую, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что ползуны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляют одно тело и движутся поступательно, поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем мгновенный центр скоростей для шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Восставим перпендикуляры к скоростям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка их пересечения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—мгновенный центр скоростей шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорости точек относятся как их расстояния до мгновенного центра скоростей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует (по условию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Искомая угловая скорость кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №61

Стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется в вертикальной плоскости так, что его нижний конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скользит по горизонтальной прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а сам стержень все время опирается в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на выступ, высота которого равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.20).

Найти неподвижную и подвижную центроиды. Начало неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (у основания выступа), а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим по прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Начало подвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем в нижнем конце Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня и ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим вдоль стержня.

Так как скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена горизонтально, а точки стержня, совпадающей сточкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— вдоль стержня, то мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к направлениям скоростей этих точек.

Вводя в рассмотрение угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между стержнем и горизонтальной прямой, получим для координат мгновенного центра скоростей в неподвижной системе координат следующие выражения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исключая из этих уравнений угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим уравнение неподвижной центроиды:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это —уравнение параболы. На рис. 11.20 неподвижная центроида заштрихована. Координаты мгновенного центра скоростей в подвижной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исключая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из этих уравнений, получим уравнение подвижной центроиды

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подвижная центроида является кривой четвертого порядка.

Пример №62

Коромысло Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длиной 40 см, качаясь вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводит в движение шатун Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длиной 80 см. Ползун Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скользит по направляющей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющей с горизонтальной линией угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти ускорение ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угловое ускорение шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент, когда угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.21), если в этот момент угловая скорость кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а его угловое ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формуле (11.13) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Осестремительиое ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и мгновенный центр скоростей шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач который лежит в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этого тела; следовательно, мгновенный центр скоростей звена Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в данный момент в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 11.21) Треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольный и равнобедренный:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определится по формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор направлен вдоль прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вращательное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выберем в указанном положении ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач две взаимно перпендикулярные оси, одну ось направим вдоль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а другую —перпендикулярно к ней; тогда, проектируя обе части исходного векторного равенства на выбранные оси, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловое ускорение шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №63

Кривошип Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривошипно-шатунного механизма (рис. 11.22) делает 3000 оборотов в минуту. Определить угловую скорость и угловое ускорение шатуна, скорость и ускорение поршня и средней точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шатуна, а также положения мгновенных центров скоростей и ускорений в моменты времени, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим искомые величины в момент, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 11.22, а). Скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, следовательно, угловая скорость шатуна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из условий задачи следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и направлено к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначая через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловое ускорение шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положение мгновенного центра ускорений шатуна определим с помощью формул: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, мгновенный центр ускорений лежит на прямой, перпендикулярной ускорению точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проходящей через эту точку. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Одновременно мгновенный центр ускорений лежит на прямой, проведенной через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно ускорению точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено параллельно оси цилиндра (вдоль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то мгновенный центр лежит в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как точки, принадлежащей шатуну, равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

a ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим искомые величины во втором положении, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.22, 6). Мгновенный центр скоростей шатуна будет находиться в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угловая скорость шатуна найдется из формулы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, а скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения положения мгновенного центра ускорений необходимо найти угловое ускорение шатуна. Для этого воспользуемся формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом уравнении вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен вдоль линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллелен двум слагаемым векторам Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор перпендикулярный вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю. Но Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловую скорость и угловое ускорение шатуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можем найти положение мгновенного центра ускорений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шатуна:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на продолжении прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач слева от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определится по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до мгновенного центра ускорений, равное 1,05 м.

Пример №64

Шестерня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится в движение кривошипом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращающимся вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижной шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить ускорения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и положение мгновенного центра ускорений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.23).

Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кривошип Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна кривошипу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равна по модулю

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит одновременно шестерне Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ее скорость определяется равенством (точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является мгновенным центром скоростей)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнивая оба выражения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя это соотношение по времени, найдем угловое ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Осестремительиое ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как точки кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по модулю равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вращательное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачперпендикулярно прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 11.23 направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показано в предположении, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем искать по формуле (11.13), приняв точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за полюс Для точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уже найдено через составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачОсестремительное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 11.23), модуль этого ускорения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вращательное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и модуль этого ускорения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как, по предположению, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому вращательное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет иметь направление, указанное на рис. 11.23.

Проектируя обе части равенства (11.20) на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 11.23) и принимая во внимание формулы (11.19), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих выражений видно, что ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач формула (11.13) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вращательное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по модулю равно, конечно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его направление указано на рис. 11.23. Осестремительное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по модулю равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проектируя последнее равенство на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично находится ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

направление ускорений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показано на рис. 11.23. Проектируя равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до мгновенного центра ускорений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в соответствии с формулой (11.15) равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и отрезком Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач воспользуемся формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. свободное твердое тело

Движение тела, имеющего одну неподвижную точку, называют иногда сферическим движением или вращением тела вокруг неподвижной точки. Первый термин объясняется тем, что все точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр которых совпадает с неподвижной точкой.

Задание движения. Углы Эйлера

В главе 10 мы установили, что твердое тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы. Три параметра, определяющих положение такого тела относительно неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.1), могут быть выбраны различными способами. В теоретической механике положение тела с одной неподвижной точкой, как правило, определяют при помощи углов Эйлера, которые вводятся следующим образом.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свяжем жестко с телом подвижную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбрав начало координат в неподвижной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.1). пересекается с неподвижной плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая называется линией узлов. Угол, составляемый неподвижной осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с линией узлов, называется утлом прецессии и обозначается буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угол, составляемый линией узлов с подвижной осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач носит название угла собственного вращения и обозначается буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угол между осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется углом нутации и обозначается буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Все углы отсчитываются соответственно от осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач против хода часовой стрелки, как показано на рис. 12.1.

Покажем, что, зная три функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно всегда найти положение системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а следовательно, и положение тела, скрепленного с ней. Действительно, откладывая от оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол прецессии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы найдем линию узлов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проведем через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость, перпендикулярную линии узлов, и от оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (эта ось должна лежать в построенной плоскости) отложим угол нутации Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, будет определено положительное направление оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость, перпендикулярную оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта плоскость пройдет через линию узлов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отложим теперь в построенной плоскости от линии узлов угол собственного вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и определим положительное направление оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должна лежать в той же плоскости и составлять вместе с осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач правую систему координат. Таким образом, углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полностью определяют положение осей подвижной системы.

Углы, определяющие положение тела, можно ввести и другим способом. Например, положение корабля относительно его центра тяжести С определяется корабельными углами, введенными А. Н. Крыловым. Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанной с кораблем системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направляется от кормы к носу, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — к левому борту, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположена в диаметральной плоскости корабля. В положении равновесия корабля оси системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают с осями неизменного направления системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и линией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образованной пересечением плоскостей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.2), называется углом дифферента, угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между линией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется углом рыскания. Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и линией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения плоскостей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется углом крена.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость

Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Свяжем жестко с телом систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.3). Система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач однозначно определяет положение рассматриваемого тела по отношению к неподвижной системе отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач . Положение произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела определяется радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в подвижной системе координат, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичные векторы осей этой системы координат, то радиус-вектор можно представить в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в подвижной системе отсчета являются постоянными величинами, а единичные векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут функциями времени, так как система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется вместе с твердым телом.

Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поэтому, дифференцируя (12.1) по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножая обе части равенства (12.2) скалярно на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя эти равенства по времени, найдем две группы формул:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражения (12.3) при этом примут вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (12.7) содержат три скалярные функции времени,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для которых введем обозначения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем теперь формулы (12.7) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то, в соответствии с выражением (12.9), имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если теперь ввести вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с проекциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то скорость точки можно представить векторным произведением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, скорость точки тела, совершающего сферическое движение, определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрическое место точек, скорость которых равна нулю, определяется из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

представляющего собой условие коллинеарности векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это векторное уравнение в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения (12.12) определяют прямую линию, направляющие косинусы которой пропорциональны проекциям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В общем случае вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются функциями времени, поэтому положение прямой (12.12) изменяется как относительно тела, так и относительно неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямая (12.12), в каждой точке которой скорости точек тела в данный момент равны нулю, называется мгновенной осью вращения. (Она также называется мгновенной осью скоростей.)

Введенный нами вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен по мгновенной оси вращения.

Как уже было установлено, скорость любой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела определяется формулой (12.10), совпадающей по своей форме с выражением для скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. формулу (10.13)). Следовательно, скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, распределяются так, как если бы тело вращалось вокруг оси, совпадающей в данный момент с мгновенной осью вращения. В частности, модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данный момент определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до мгновенной оси вращения. Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через ее радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и мгновенную ось вращений (рис. 12.4).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По аналогии с вращением тела вокруг неподвижной оси назовем в рассматриваемом нами случае сферического движения тела вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектором угловой скорости. При этом следует иметь в виду, что при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой вектор, всегда направленный по неподвижной оси вращения и характеризующий изменение во времени реального угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поворота тела. Для тела, имеющего одну неподвижную точку, выражение «угловая скорость» имеет условный характер, так как положение тела определяется не одним, а тремя углами и, следовательно, нет такого одного угла, скорость изменения которого представил бы введенный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, этот вектор может меняться и по модулю и по направлению. Проекции этого вектора на координатные оси являются функциями умов Эйлера и их первых производных.

Отметим, что из формул (12.8) для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, например, вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если известны направления скоростей двух точек тела, то мгновенную ось вращения можно найти графически. Как следует из картины распределения скоростей точек тела в данный момент времени, мгновенная ось вращения лежит в плоскости, перпендикулярной направлению скорости точки тела, и проходит через неподвижную точку тела. Следовательно, если через точки тела, направления скоростей которых известны, провести плоскости, перпендикулярные этим скоростям, то линия пересечения этих плоскостей и будет мгновенной осью вращения.

Мгновенную ось вращения можно определить и в том случае, когда известна одна точка тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Соединяя эту точку с неподвижной точкой тела, найдем мгновенную ось вращения.

К понятию о мгновенной оси вращения можно прийти и другим путем. Для этого сначала докажем теорему Эйлера—Даламбера:

Всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно заменить одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку.

Возьмем в теле две точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отстоящие от неподвижной точки на одинаковом расстоянии, но не лежащие с ней на одной прямой. Проведем через эти две точки сферу с центром в неподвижной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.5). Пусть в момент времени положение тела определяется точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач К моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эти точки переместятся и займут положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что поворотом тела вокруг некоторой оси, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно добиться совмещения точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Соединим точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач дугами больших кругов. Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как в твердом теле расстояния между точками сохраняются. Соединим теперь также дугами больших кругов точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.5). Из середины дуг Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проведем сферические перпендикуляры—дуги больших кругов, плоскости которых перпендикулярны плоскостям кругов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти сферические перпендикуляры пересекаются в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на сфере (см. рис. 12.5).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим сферические треугольники (треугольники, составленные дугами больших кругов) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этих треугольниках дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна дуге Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна дуге Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как наклонные дуги, имеющие равные проекции. Отсюда следует, что сферические треугольники Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны (по трем сторонам) и, следовательно, при повороте вокруг их общей вершины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совместится с треугольником Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При таком повороте остаются неподвижными две точки тела: точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, перемещение тела может быть осуществлено при помощи одного поворота вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют осью конечного вращения, а угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется углом конечного вращения.

Положение оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит от начального и конечного положений тела.

Зафиксируем начальный момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и рассмотрим близкий к нему момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сравнивая положение тела в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с его положением в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы всегда можем найти ось конечного вращения. Если теперь промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач устремить к нулю, то ось конечного вращения будет менять положение, стремясь к своему предельному положению. Предельное положение оси конечного вращения при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется мгновенной осью вращения для момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для каждого промежутка времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с фиксированным начальным моментом времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить угол конечного поворота Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Введем в рассмотрение вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угла конечного поворота, равный по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направленный по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону, откуда конечный поворот виден происходящим против хода часовой стрелки Средней угловой скоростью будем называть вектор, равный

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предел средней угловой скорости, когда промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется мгновенной угловой скоростью тела (рис. 12.6) *). Из этого определения следует, что вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси вращения.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела в неподвижной системе координат определяется координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, в соответствии с формулой (12.10), проекции скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на неподвижные оси координат будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение мгновенной оси вращения в неподвижной системе координат имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрическое место мгновенных осей вращений, построенных в неподвижной системе координат, называется неподвижным аксоидом, а в подвижной системе координат — подвижным аксоидом.

Из уравнений (12.14) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученные уравнения дают уравнение неподвижного аксоида в параметрическом виде; параметром служит время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Исключая из этих уравнений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить уравнение конической поверхности (неподвижного аксоида)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, исключая время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из уравнений

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

полученных из формул (12.12), найдем уравнение подвижного аксоида

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №65

Коническая шестерня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.7) обкатывает неподвижную коническую шестерню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить угловую скорость шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и неподвижный и подвижный аксоиды, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а скорость центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как движение шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит без скольжения, то скорость ее точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю. Неподвижной точкой является точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерен. Следовательно, прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является мгновенной осью вращения шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрическое место мгновенных осей вращений, которое образуется при качении шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — конус с вершиной в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач основанием которого является неподвижная шестерня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В системе же координат, связанной с подвижной шестерней наблюдатель, следящий за мгновенной осью вращения, заметит, что эта ось описывает боковую поверхность конуса, имеющего вершину в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и основанием подвижную шестерню Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь перейдем к определению направления и модуля угловой скорости. В соответствии с формулой (12.10), скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен по мгновенной оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Далее имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку

Введем прежде всего понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется производная угловой скорости по времени, т.е

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения видно, что вектор углового ускорения можно рассматривать как скорость конца вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.8). Угловое ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено по касательной к годографу вектора угловой скорости (рис. 12.8), поэтому его направление может быть каким угодно в зависимости от закона изменения вектора угловой скорости. Заметим попутно, что годограф вектора угловой скорости — кривая, лежащая на неподвижном аксоиде (рис. 12.8).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем теперь к определению ускорения произвольной точки тела. Исходя из определения ускорения и используя равенство (12.10), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть представлено как сумма двух ускорений:Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется вращательной составляющей ускорения. Модуль этого ускорения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направлено это ускорение перпендикулярно плоскости векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ту сторону, откуда кратчайший переход от вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к вектору виден против хода часовой стрелки. Заметим, что вследствие несовпадения направлений угловой скорости и углового ускорения вращательная составляющая ускорения может быть направлена по отношению к направлению скорости под любым углом, оставаясь перпендикулярной вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом существенное различие между вращением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением тела, имеющего одну неподвижную точку.

Ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено по перпендикуляру к плоскости векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. по направлению вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.9), имеющего начало в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и конец в основании перпендикуляра, опущенного из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на мгновенную ось вращения. Модуль векторного произведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это ускорение называется осестремительной составляющей ускорения. Итак, ускорение любой точки тела равно сумме вращательной и осестремительной составляющих ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №66

Найти скорость и ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач конического катка, равномерно катящегося без скольжения по горизонтальной конической кольцевой опоре (рис. 12.10, а). Диаметр катка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость центра катка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлена перпендикулярно плоскости чертежа на читателя.

Прежде всего необходимо определить величину и направление угловой скорости и углового ускорения катка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении катка точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач остается неподвижной. Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю (качение без скольжения), поэтому мгновенная ось вращения проходит по прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угловая скорость также направлена по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Модуль угловой скорости можно определить из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на читателя.

Конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач описывает окружность с центром в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вертикальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.10, б). Найдем теперь угловое ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется как скорость конца вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен по касательной к окружности, описываемой вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. перпендикулярно плоскости чертежа на читателя. Найдем модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как конец вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по окружности, то имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость вращения плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой расположен вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг вертикальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда имеем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем к определению ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор ускорения направлен перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и составляет с ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение свободного твердого тела

Рассмотрим движение свободного твердого тела. Введем, кроме неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач еще подвижную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещающуюся поступательно относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и связанную с телом только в одной точке— точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подвижную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанную с телом (рис. 12.11). В подвижной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тело имеет одну закрепленную в ней точку —точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, тело в этой системе координат участвует в движении. Для того чтобы задать положение тела в подвижной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно ввести три угла Эйлера Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а для определения положения относительно неподвижной системы координат нужно, кроме того, задать положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для чего потребуется знать еще три величины: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, положение свободного твердого тела определяется шестью независимыми параметрами: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем к определению скоростей точек свободного тела. Скорость произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна производной от ее радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по времени. Пользуясь рис. 12.11, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кроме того, вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно подвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой тело имеет одну закрепленную точку. Следовательно, согласно формуле (12.10)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, формулу (12.19) можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость вращения тела относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (Так же как и для плоского движения, можно показать, что угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от выбора полюса.)

Формулу (12.20) можно прочитать следующим образом: скорость любой точки свободного твердого тела геометрически складывается из скорости произвольно выбранного полюса и скорости этой точки во вращательном движении тела относительно полюса.

Пользуясь формулой (12.20), можно доказать следующую теорему:

Проекции скоростей двух точек свободного твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

Согласно равенству (12.20) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определим ускорения точек свободного твердого тела. Для этого продифференцируем по времени равенство (12.20):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Замечая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловое ускорение тела в подвижной системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя (12.17), можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вектор, имеющий начало в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а конец в основании перпендикуляра, опущенного из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.12).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В окончательном виде ускорение точки свободного тела выражается следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два последних члена дают ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ее движении вокруг полюса.

Таким образом, ускорение точки свободного тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее движении вокруг полюса.

Пример №67

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела движется со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по пространственной кривой. Определить угловою скорость естественного трехгранника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач траектории точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор любой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизменно связанной с естественным трехгранником Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.13). Так как производная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач во вращательном движении координатной системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость естественного трехгранника. Положив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач затем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или. вводя в рассмотрение длину дуги и применяя очевидное тождество Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользуемся теперь формулами Френе, вывод которых можно найти в любом курсе дифференциальной геометрии:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих равенствах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус кривизны, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — кручение кривой в данной точке, определяемые формулами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что первая формула Френе была получена нами ранее при выводе формулы (9.30). Теперь последние две формулы (12.23) можно записать в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножая первое из этих равенств слева векторно на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вторсе — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывая при этом, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или *)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно.

Вычитая из первого равенства второе, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, пользуясь первым равенством (12.25), найдем искомую угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач естественного трехгранника:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, зная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движущейся точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус кривизны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и кручение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач траектории, можно по формуле (12.26) определить угловую скорость естественного трехгранника. Заметим, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в спрямляющей плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложное движение точки

В главе IX мы изучали основные характеристики движения точки по отношению к заданной системе отсчета (системе координат). Однако в некоторых случаях бывает целесообразно изучать движение точки одновременно по отношению к двум системам координат, одна из которых совершает заданное движение по отношению к другой (основной), принимаемой за неподвижную. Случай, когда подвижная система координат совершала поступательное движение, был нами частично рассмотрен (приведено доказательство теоремы о сложении скоростей).

Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора

В этой главе рассматривается общий случай, когда движение подвижной системы координат может происходить по любому заданному закону.

Изучение движения точки по отношению к каждой из этих координатных систем производится методами, изложенными в главе IX. Нашей задачей является установление связи между основными характеристиками этих движений.

Будем называть сложным или «абсолютным» движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную. Движение точки по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным.

Под переносным движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.

Установление связи между сложным, относительным и переносным движениями позволит решать разнообразные задачи по определению кинематических характеристик сложного и составляющих движений.

В этой главе мы встретимся с необходимостью дифференцирования вектора, определенного в системе координат, которая может двигаться произвольным образом. В связи с этим мы введем понятия абсолютной и относительной производных вектора. Пусть даны основная система координат и подвижная система координат, которая совершает произвольное движение. Пусть какой-либо вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определен в подвижной системе координат, т. е. проекции этого вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси подвижной системы— заданные функции времени. Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичные векторы подвижной системы координат, то вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть представлен в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Установим теперь правило нахождения производной в неподвижной системе координат (абсолютной производной) от этого вектора. Дифференцируя обе части равенства (13.1) по времени, будем иметь в виду, что векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вследствие движения подвижной системы координат меняют свое направление, т. е. являются функциями времени.

Таким образом, абсолютная производная вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по времени будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сумма первых трех слагаемых представляет собой производную от вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в подвижной системе координат. В самом деле, если бы мы поставили задачей изучить изменение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач только по отношению к подвижной системе координат, то мы учитывали бы при этом только изменение проекций вектора на оси этой системы координат. Движение же самой системы нас бы не интересовало.

Назовем сумму первых трех слагаемых в (13.2) относительной или локальной производной и обозначим ее через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменяя в формулах (9.11) и (12.10) радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач последовательно на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому сумма последних трех слагаемых

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

может быть представлена в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость подвижной системы координат.

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, абсолютная производная вектора равна сумме относительной производной этого вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на этот вектор.

Теорема о сложении скоростей

Выбирая систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за основную, предположим, что система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по отношению к основной системе произвольным образом (рис. 13.1). Движение какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть изучено как по отношению к основной, так и по. отношению к подвижной системам координат методами, изложенными ранее. В данной лекции мы поставим задачу о нахождении связи между скоростями точки по отношению к выбранным нами системам координат.

Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по отношению к основной системе координат называется абсолютной скоростью.

Скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки по отношению к подвижной системе координат называется относительной скоростью.

Важным понятием является о переносной скорости. Переносной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

Остановимся на этом определении несколько подробнее. Рассматриваемая точка при своем движении относительно подвижного тела, с которым жестко связана подвижная система координат, проходит через разные точки этого тела, имеющие в общем случае отличные друг от друга скорости. Поэтому переносной скоростью точки в данный момент будет скорость именно той точки подвижного тела (подвижной системы координат), через которую в данный момент проходит движущаяся точка.

Если радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по отношению к системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет положение начала системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в системе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в соответствии с рис. 13.1 имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть координаты точки в подвижной системе координат будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единичные векторы осей подвижной системы координат.

По определению абсолютная производная радиуса-вектора по времени будет абсолютной скоростью точки. Следовательно, дифференцируя равенство (13.6) по времени, найдем абсолютную скорость точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определен в подвижной системе координат, то для нахождения абсолютной производной от него воспользуемся формулой (13.5):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость подвижной системы координат, а

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

представляет собой относительную производную от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по времени. Согласно определению это буде. относительная скорость точки, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя выражения (13.8) и (13.9) в соотношение (13.7), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость начала подвижной системы координат по отношению к основной.

Для определения переносной скорости точки закрепим ее в подвижной системе координат, т. е. положим в формуле (13.10) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для того чтобы найти абсолютное ускорение точки, т. е. ее ускорение по отношению к основной системе координат, продифференцируем формулу (13.10) по времени:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Абсолютную производную вектора относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем по формуле (13.5):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом соотношении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть относительная производная вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по времени и, следовательно, представляет собой относительное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. ускорение точки по отношению к подвижной системе координат

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя равенства (13.8), (13.9), (13.14) и (13.15), преобразуем формулу (13.13) к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ускорение начала подвижной системы координат, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее угловое ускорение.

Для того чтобы найти переносное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка!), закрепим точку в подвижной системе координат, т. е. положим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае согласно формуле (13.16) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. переносное ускорение представляет собой ускорение точки свободного твердого тела, с которым жестко связана подвижная система координат. Таким образом, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение, определяемое членом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется поворотным или кориолисовым ускорением и обозначается через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула выражает содержание теоремы Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

При использовании формулы (13.20) полезно иметь в виду, что переносное ускорение следует определять по правилам нахождения ускорения точек твердого тела. При нахождении относительного ускорения подвижную систему координат следует считать неподвижной и использовать правила, изложенные в главе IX. Остановимся несколько подробнее на кориолисовом ускорении

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль этого ускорения, очевидно, равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление кориолисова ускорения определяется направлением

векторного произведения векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ту сторону, откуда кратчайший переход от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 13.2). Если векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежат в одной плоскости, удобно бывает мысленно перенести вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно самому себе в начало вектора скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и применить указанное выше правило.

Иногда нахождение кориолисова ускорения облегчается применением следующего правила Н. Е. Жуковского (рис. 13.3): проекцию относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость, перпендикулярную угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижной системы координат, равную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует умножить на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и повернуть на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в направлении вращения. Вектор, равный по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеющий найденное направление, и будет кориолисовым ускорением.

На основании формулы (13.21) можно указать, что кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:

  1. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это будет при поступательном перемещении подвижной системы координат;
  2. угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижной системы параллельна относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач
  3. в момент времени, когда относительная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки равна нулю.

Пример №68

Круговой спутник пролетает над экватором. Его скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Плоскость орбиты наклонена к плоскости экватора под углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить скорость движения спутника, видимую с Земли на экваторе, и видимое направление движения полярного спутника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Радиус Земли Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.4).

Скорость движения по орбите является абсолютной скоростью в системе координат, движущейся поступательно с началом в центре Земли. Земля в этой системе координат вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отложим от оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач касательной к экватору, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Он составляет с направлением на восток угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переносная скорость точки на экваторе равна скорости точки, участвующей во вращательном движении Земли. Следовательно, переносная скорость направлена по касательной к экватору на восток и равна по модулю

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная абсолютную и переносную скорости точки, можно определить и относительную скорость. Для этого разложим вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на две составляющие, из которых одна равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определим проекции относительной скорости на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.4):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составленный относительной скоростью с меридианом, определится из соотношения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а модуль относительной скорости —из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для полярного спутника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соответствующий угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Знак минус указывает на то, что при направлении абсолютного движения на север видимое с Земли направление скорости отклонено на северо-запад.

Модуль относительной скорости для полярного спутника мало отличается от модуля абсолютной скорости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №69

Стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг оси, проходящей через его конец Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с постоянной угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ползун Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется вдоль стержня от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с постоянной относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить величину и направление переносного, относительного и кориолисова ускорений ползуна в тот момент, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.5, а).

Для того чтобы определить переносное ускорение, мысленно закрепим ползун на стержне. Переносным ускорением ползуна будет ускорение той Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки стержня, в которой ползун закреплен. Так как стержень вращается с постоянной угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то ускорение этой точки (переносное ускорение ползуна) будет направлено к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и по модулю равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Относительное движение ползуна равномерное и прямолинейное, поэтому его относительное ускорение равно нулю, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно формуле (13.19) кориолисово ускорение численно будет равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны. Направлено же кориолисово ускорение перпендикулярно стержню в сторону вращения стержня.

В рассматриваемом примере достаточно просто можно показать причину возникновения кориолисова ускорения. В самом деле, при нахождении переносного и относительного ускорений мы не учитывали следующих обстоятельств: во-первых, относительная скорость при вращении стержня меняет свое направление по отношению к неподвижной системе координат; во-вторых, переносная скорость ползуна меняет свою величину вследствие перемещения ползуна из точек стержня с меньшей скоростью в точки стержня с большей скоростью.

Учтем теперь эти обстоятельства.

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оно составляет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач За промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержень повернется на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.5, б). Вектор относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач повернется также на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приращение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за промежуток Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач очевидно, равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — относительная скорость в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из рассмотрения рис. 13.5, б следует, что для достаточно малых Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделив обе части равенства на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнобедренный, то при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет направлен перпендикулярно стержню в сторону его вращения.

В момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переносная скорость ползуна равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приращение величины переносной скорости равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, поделив на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач учитывающий изменение величины переносной скорости, будет, очевидно, направлен по переносной скорости, т. е. перпендикулярно стержню в сторону его вращения.

Складывая теперь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть кориолисово ускорение, найденное нами ранее при помощи формулы (13.19).

Итак, в рассматриваемом случае кориолисово ускорение появляется, во-первых, вследствие изменения направления относительной скорости по отношению к неподвижной системе координат за счет вращения подвижной системы координат, во-вторых, вследствие перемещения точки из-за относительного движения в сторону больших переносных скоростей.

Пример №70

По ободу диска радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращающегося с постоянной угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с постоянной по модулю относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.6, а). Найти абсолютное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как диск вращается с постоянной угловой скоростью, то переносное ускорение будет равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и направлено к центру диска. Относительное ускорение равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и также направлено к центру диска.

Согласно формуле (13.21) модуль кориолисова ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направлено же кориолисово ускорение также к центру диска (при относительном движении точки, направленном в сторону, обратную вращению диска, ускорение Кориолиса направлено в противоположную сторону). Таким образом, абсолютное ускорение точки равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту формулу можно получить и иначе. Абсолютная скорость точки равна по модулю

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а так как траекторией является окружность, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Появление кориолисова ускорения в этом примере связано с двумя причинами: изменением направления относительной скорости вследствие вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач диска (подвижной системы координат) и изменением' направления переносной скорости из-за относительного (по отношению к диску) перемещении точки.

Пусть система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижная, а система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связана с диском. За промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач диска вследствие его вращения переместится в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка же, движущаяся по диску за этот же промежуток времени, переместится в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.6, б, в).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приращение относительной скорости, обусловленное вращением диска, обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из рис. 13.6, б следует, что при достаточно малых Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стремится к направлению соответствующего радиуса диска. Модуль же этого вектора стремится к

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приращение вектора переносной скорости, обусловленное относительным перемещением точки, будет равно (рис. 13.6, в)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как дуга Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на который повернется переносная скорость из-за относительного перемещения, определится из выражения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому имеем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по направлению также будет стремиться совпасть с радиусом, а по величине приближается к

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, полное приращение вектора скорости, связанное с двумя указанными причинами, приводит к появлению ускорения, перпендикулярного относительной скорости, направленного к центру диска и равного по величине

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. к ускорению Кориолиса.

Пример №71

Диск вращается с постоянной угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 13.7). По прямолинейному пазу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется ползун Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние от центра диска до паза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить скорость и ускорение ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент, когда он достигнет середины паза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Абсолютная скорость ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется по формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В рассматриваемой задаче подвижная система координат, относительно которой происходит движение ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связывается с диском. Следовательно, переносной скоростью ползуна, когда он совпадает с точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач диска, будет скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач диска, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Относительное движение точки является прямолинейным. Относительная скорость равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в одну сторону, следовательно, абсолютная скорость ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прохождения ползуна через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определится из соотношения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Абсолютное ускорение ползуна определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Диск вращается с постоянной угловой скоростью, поэтому ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач диска (в которой в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится ползун) равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен к центру Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач диска. Относительное ускорение, как ускорение точки в прямолинейном движении, будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен вдоль прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как вектор угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны, то кориолисово ускорение равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач указано на рис. 13.7.

Абсолютное ускорение ползуна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №72

Равнобедренный прямоугольный треугольник Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг катета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.8) с постоянным угловым ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начальная угловая скорость треугольника равна нулю. По гипотенузе треугольника от вершины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к основанию движется точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить абсолютное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подвижная система координат в рассматриваемой задаче жестко связывается с треугольником Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть в рассматриваемый момент времени точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в положении, указанном на рис. 13.8. Так как угловое ускорение треугольника постоянно, то угловая скорость треугольника равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (начальная угловая скорость по условию задачи равна нулю).

Переносное ускорение, т. е. ускорение той точки гипотенузы, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть разложено на вращательное и осестремительное. Модули этих ускорений равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направление ускорений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач указано на рис. 13.8. Относительное движение точки прямолинейное. Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение Кориолиса определится по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач-угловая скорость треугольника (переносная угловая скорость). Направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач указано на рис. 13.8 (Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Модуль корнолисова ускорения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль абсолютного ускорения точки в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №73

Определить проекции абсолютного ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движущейся по меридиану Земли на юг с постоянной по величине относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.9), на оси системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена по касательной к меридиану на север, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — по касательной к параллели на запад, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — по радиусу Земли).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как абсолютное ускорение точки определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то его проекции на оси координат будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Земли постоянна, и, следовательно, переносное ускорение равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус Земли, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —геоцентрическая широта той точки Земли, с которой в данный момент совпадает точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направлено Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к оси вращения Земли. Так как точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по меридиану с постоянной скоростью, то относительное ускорение точки будет по модулю равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и направлено к центру Земли.

Кориолисово ускорение согласно (13.19) по модулю равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и направлено в сторону, противоположную направлению оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проектируя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси координат, получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №74

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по поверхности Земли по произвольной траектории. Определить горизонтальную составляющую кориолисова ускорения точки, если ее скорость относительно Земли равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим географически ориентированную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направив ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по касательной к меридиану на север, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по касательной к параллели на запад и ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по радиусу Земли вверх (рис. 13.10, а). Обозначим курс точки через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (угол между относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на север, т. е. осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.10, б)). Тогда проекции относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращения Земли на те же оси определяются равенствами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—широта места точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данный момент (см. рис. 13.10, а).

Кориолисово ускорение найдем по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее находим проекции кориолисова ускорения на горизонтальные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим модуль горизонтальной составляющей кориолисова ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого выражения видно, что модуль горизонтальной составляющей кориолисова ускорения зависит только от относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и широты места движения точки и не зависит от направления движения.

Покажем, что в северном полушарии горизонтальная составляющая кориолисова ускорения направлена всегда перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач влево от движения, т. е. влево от направления относительной скорости (в южном полушарии вправо). Действительно, составим проекцию горизонтальной составляющей кориолисова ускорения на направление относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем (см. рис. 13.10, б)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, подставляя найденные значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что и доказывает сделанное замечание.

Пример №75

Принимая поверхность Земли за сферу радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и считая, что движение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно вращающейся Земли задано, определить скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно системы координат, движущейся поступательно и имеющей начало в центре Земли.

Пусть положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно Земли определяется долготой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач широтой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и высотой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач над уровнем поверхности Земли. Введем в рассмотрение подвижную систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим по радиусу Земли так, чтобы она проходила через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим по касательной к меридиану на север, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—по касательной к параллели на запад. Начало координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой системы располагаем на земной поверхности (рис. 13.11). Единичными векторами осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту задачу можно решить различными методами, в частности, с помощью теоремы о сложении ускорений. Однако мы воспользуемся не методом разложения движения на простейшие, а используем формулу, связывающую абсолютную производную вектора с относительной производной, так как в данном примере это приводит быстрее всего к цели.

Пусть система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется поступательно, а система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связана с Землей. Будем считать заданными проекции скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно вращающейся Земли на оси системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— проекции скорости на меридиан, параллель и вертикаль — соответственно равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вращении Земли система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совершает вращение вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вокруг оси вращения Земли с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорости Земли (рис. 13.11). Следовательно, проекции угловой скорости системы координат

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ее оси будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая (13.22), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти формулы имеют самостоятельное значение в различных прикладных вопросах.

Радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно центра Земли в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляется в следующем виде:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Абсолютная скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (скорость по отношению к системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание формулы (13.23), получаем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определив вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсолютное ускорение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В соответствии с формулой (13.26) имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то, учитывая соотношения (13.23) и (13.25), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть проекции абсолютного ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложное движение твердого тела

Постановка задачи:

Пусть твердое тело движется относительно подвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а последняя в свою очередь перемещается относительно основной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимаемой за неподвижную. В этом случае говорят, что тело совершает сложное движение, которое состоит из двух составляющих движений.

Сложное движение может состоять из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих движений. В этом случае имеется Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач систем координат и задается Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движений: движение тела относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движение системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д., наконец, задается движение системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно основной системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Движение тела или движение какой-либо одной системы координат относительно другой в общем случае ничем не ограничено. Задача заключается в нахождении зависимости между основными характеристиками составляющих движений и сложного движения.

В главе XII было установлено, что движение свободного твердого тела можно представить как сложное движение, состоящее из совокупности сферического движения тела вокруг некоторого полюса и поступательного движения тела вместе с системой координат, связанной с полюсом. Таким образом, основными кинематическими характеристиками движения тела являются скорость и ускорение поступательного движения и угловые скорости и ускорения. Следовательно, задача изучения сложного движения тела, заключающаяся в нахождении зависимости между основными характеристиками составляющих движений и сложного движения, сводится к установлению связи между поступательными и угловыми скоростями и ускорениями составляющих движений. В настоящем курсе мы ограничимся лишь установлением связи между поступательными и угловыми скоростями.

Рассмотрение начнем с простейших случаев.

Сложение поступательных движений

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость поступательного движения тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.1), a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость поступательного движения системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, чтобы найти абсолютную скорость какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно применить теорему о сложении скоростей (глава 13):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В нашем случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, у всех точек тела абсолютные скорости оказались одинаковыми, следовательно, при сложении поступательных движений твердого тела результирующее движение будет также поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений.

В случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поступательных движений, применяя последовательно формулу (14.1), можно показать, что результирующее движение также будет поступательным и его скорость будет равна сумме скоростей составляющих движений, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возможен случай, когда скорости всех точек тела только в данный момент времени оказываются равными между собой. Этот случай называют мгновенно-поступательным движением. Однако следует иметь в виду, что ускорения точек при этом различны (см. случай а) в задаче 11.9).

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера

Пусть тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижной системы с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.2). Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач остается неподвижной, поэтому результирующее движение тела будет сферическим. Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловую скорость этого движения. Наша задача состоит в том, чтобы найти угловую скорость абсолютного движения тела, зная угловые скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющих вращений.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем абсолютную скорость произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела. Для этого в формулу (14.1) следует подставить

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С другой стороны, скорость той же точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в абсолютном движении будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая оба равенства, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а следовательно, и ее радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольны, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (14.3) следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг пересекающихся осей, эквивалентна одному вращению, происходящему с мгновенной угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

Замечание. В случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из (14.3) следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, совокупность двух вращений вокруг одной и той же оси, происходящих с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями, эквивалентна покою. Такую совокупность движений всегда можно присоединять к любому сложному движению тела.

Совокупность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращений вокруг пересекающихся в одной точке осей эквивалентна одному вращению с мгновенной угловой скоростью

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное правило сложения вращений вокруг пересекающихся осей позволит нам теперь выразить проекции мгновенной угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через углы Эйлера и их производные.

Напомним, что положение подвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанной с телом, полностью определяется относительно неподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач углами Эйлера (рис. 14.3). Тело участвует в трех вращениях: первое вращение, соответствующее изменению угла прецессии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит вокруг неподвижной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач второе вращение, соответствующее изменению угла нутации Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит вокруг линии узлов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единичный вектор линии узлов; наконец, третье вращение,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующее изменению угла собственного вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, абсолютная угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим таблицу направляющих косинусов единичных векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе подвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поясним составление первой строки этой таблицы (вторая и третья строки непосредственно следуют из рис. 14.3, а). Разложим единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на две взаимно перпендикулярные составляющие, направив одну из них по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач см. рис. 14.3,6); тогда вторая составляющая, равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — единичный вектор вспомогательной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет находиться в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вспомогательная ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляет с осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач углы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проектируя единичный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим (напомним, что проекции единичных векторов равны соответствующим направляющим косинусам)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти выражения и составляют первую строку таблицы направляющих косинусов.

Проектируя теперь обе части равенства (14.4) на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывая таблицу косинусов, найдем проекции вектора угловой скорости тела на оси, жестко связанные с телом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера.

Модуль угловой скорости определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таблица направляющих косинусов между единичными векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе неподвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы получить последнюю строку, мы разложили вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на две составляющие, направив одну из них по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (она равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рис. 14.4); тогда вторая, равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичный вектор новой вспомогательной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет находиться в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Третья строка второй таблицы получена проектированием этого равенства на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проектируя теперь обе части равенства (14.4) на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и пользуясь второй таблицей направляющих косинусов, найдем ^проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси координат:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кинематические уравнения Эйлера (14.6) и (14.8) устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на соответствующие оси, углами Эйлера Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и их первыми производными по времени.

Пример №76

Планетарный редуктор с коническими шестернями передает вращение вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вал Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.5). Определить число оборотов в минуту вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и число оборотов в минуту в абсолютном и относительном вращении сателлитов, если дано: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подвижная шестерня 3 вращается вокруг своей оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вместе с.этой осью вращается вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мгновенная ось абсолютного движения шестерни 3 проходит через точку пересечения осей слагаемых вращений, т. е. через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (так как шестерня 1 неподвижна). Для определения числа оборотов абсолютного движения шестерни 3 и числа оборотов при относительном вращении ее вокруг своей оси воспользуемся формулой (14.3), которая в рассматриваемом случае принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — абсолютная угловая скорость шестерни 3, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость вала I, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — относительная угловая скорость шестерни 3.

Из рассмотрения подобных треугольников Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 14.5) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —число оборотов в минуту шестерни 3 в относительном движении, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —число оборотов в минуту вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Абсолютная угловая скорость шестерни 3 равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначено число оборотов в минуту шестерни 3 в абсолютном движении.

В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит зацепление шестерен 2 и 3, поэтому скорости точек шестерен 2 и 3, совпадающих с точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны между собой. Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни 3 равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни 2 равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пара вращений

Рассмотрим сложное движение, состоящее из двух вращений относительно параллельных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.6).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть угловые скорости относительного Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и переносного Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движений равны по модулю, но противоположно направлены Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такая совокупность движений называется парой вращений.

Найдем абсолютную скорость какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В нашем случае

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависят от положения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому из (14.9) вытекает, что скорости всех точек тела одинаковы. Этим свойством обладает только поступательное движение.

Из (14.9) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (14.10)

Векторное произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется моментом пары вращений. Таким образом, тело, участвующее в паре вращений, движется поступательно со скоростью, равной моменту пары вращений.

Легко видеть, что совокупность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пар вращений эквивалентна одной паре, т. е. поступательному движению. Заметим, что любое мгновенно-поступательное движение можно представить как мгновенную пару вращений.

Пример №77

Велосипедист едет со скоростью 21 км/час, диаметр колес 700 мм, передаточное число равно трем. Определить, сколько оборотов в минуту делает педаль вокруг своей оси, если велосипед движется без свободного хода.

Педаль велосипеда в результирующем движении перемещается поступательно. Это поступательное движение образуется из поступательного движения вместе с велосипедом и поступательного движения педали относительно велосипеда (последнее движение будет поступательным потому, что велосипедист с1'упней своей ноги держит педаль все время параллельно поверхности дороги). Поступательное движение педали относительно велосипеда осуществляется ее вращением относительно своей оси и вращением вместе с осью вокруг оси шатуна. При таком движении педали ее угловая скорость при вращении вокруг своей оси будет равна и противоположно направлена ее угловой скорости при движении вокруг оси шатуна (пара вращений).

Так как велосипед движется без свободного хода, то движение колеса велосипеда зависит от движения шатуна. Определим число оборотов кривошипа вокруг своей оси из условия, что передаточное число равно трем. Обозначая через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач число оборотов колеса, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —число оборотов кривошипа, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предполагая, что колесо катится по поверхности дороги без скольжения, найдем зависимость между скоростью велосипеда и числом оборотов колеса. Очевидно, это будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус колеса. Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, число оборотов шатуна равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и число оборотов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач педали

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение вращений вокруг параллельных осей

Из содержания предыдущих лекций видно, что введенные выше простейшие кинематические элементы — угловые скорости вращения тела (или системы координат) и скорости поступательных движений подчиняются тем же законам, что и силы и пары в статике. В самом деле, пары вращений или поступательные движения аналогичны парам сил.- Как и в статике, совокупность кинематических пар эквивалентна паре, момент которой (или скорость результирующего поступательного движения) равен сумме моментов слагаемых пар. Угловые скорости вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке, заменяются одной угловой скоростью так же, как и сходящаяся система сил в статике приводится к одной силе (равнодействующей). Аналогия между угловыми скоростями

составляющих вращений и силами этим не ограничивается. Мы сейчас установим, что сложение вращений вокруг параллельных осей совершенно аналогично сложению параллельных сил.

Предположим, что тело вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг осиТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а последняя вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны (рис. 14.7).

Тогда абсолютная скорость любой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположены в плоскости, перпендикулярной осям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, и абсолютная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в плоскости, перпендикулярной этим осям. Так как точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольна, то это означает, что тело участвует в плоском движении. Найдем в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мгновенный центр скоростей в случае, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены в одну сторону (рис. 14.7, а).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежащей на прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, но направлены в разные стороны. Для того чтобы их геометрическая сумма была равна нулю, должно выполняться равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей составляющих вращений.

Перейдем теперь к сложению вращений, имеющих противоположные направления. Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом случае имеют противоположные направления в точках на прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположенных вне отрезка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.7, б). Найдем точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой эти скорости равны:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Такую точку всегда можно найти, если только Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В каждом из рассмотренных случаев точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет скорость, равную нулю, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь скорость произвольной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно мгновенного центра скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Раскрывая скобки в правой части и используя равенство (14.13), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось которого делит внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих движений.

Если угловые скорости направлены в одну сторону, то мгновенная ось вращения расположена между, осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и модуль результирующей угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В случае противоположно направленных вращений мгновенная ось расположена за осью, вокруг которой вращение происходит с большей угловой скоростью и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Результирующая угловая скорость направлена в сторону большей из угловых скоростей.

Пример №78

В редукторе (рис. 14.8) водило Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач делает Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а подвижные шестерни 2 и 3 вращаются вокруг своей оси относительно поводка в том же направлении с угловой скоростью, соответствующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить радиус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижного колеса 1 и число оборотов вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус шестерни 4).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подвижные шестерни 2 и 3 совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно поводка и вместе с этой осью вокруг оси вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Радиус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижного колеса 1 найдем из условия, что мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3, параллельная оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через точку касания неподвижного колеса 1 и подвижной шестерни 2. На

основании соотношения (14.11) можем записать:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость шестерен 2 и 3 при их вращении вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Между угловой скоростью и числом оборотов в минуту существует зависимость вида

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Абсолютная угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерен 2 и 3 при вращении вокруг мгновенной оси на .основании (14.14) равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Характеризуя угловую скорость числом оборотов, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения числа оборотов шестерни 4, а следовательно, и вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач воспользуемся тем обстоятельством, что абсолютные скорости точек шестерен 3 и 4 в точке В их зацепления равны между собой (нет относительного проскальзывания):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №79

Сколько оборотов в минуту должен делать ведущий вал Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач редуктора (рис. 14.9), чтобы ведомый вал Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совершал Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Первое колесо с внутренними зубьями неподвижно. Дано: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подвижные шестерни 2 и 3 как одно целое совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно поводка и вместе с ней вращаются вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мгновенная ось абсолютного вращения этих шестерен проходит через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —точку зацепления подвижной шестерни 2 и неподвижной шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта ось параллельна оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3 лежит вне осей слагаемых движений, то вращение этих шестерен вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит в сторону, противоположную направлению вращения вала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании формул (14.12) и (14.14) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость вращения шестерен 2 и 3 вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— абсолютная угловая скорость этих шестерен.

Из полученных соотношений следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорости точек зацепления шестерен 3 и 4 равны, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда следует:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вал Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается в ту же сторону, что и вал Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложение поступательных и вращательных движений

Первый случай. Рассмотрим сначала следующий случай сложного движения: тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется поступательно с постоянной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а она в свою очередь вращается вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачнеподвижной системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с постоянной угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поступательного движения. Найдем абсолютную скорость некоторой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела (рис. 14.10):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, абсолютная скорость точки может быть разложена на две составляющие: одну Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и другую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярную плоскости, проходящей через ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по боковой поверхности кругового цилиндра с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Касательная к винтовой траектории образует с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус цилиндра (см. рис. 14.10).

Время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач одного оборота тела в винтовом движении

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любая точка тела переместится за это время параллельно оси на расстояние, равное

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называемое шагом винта. Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется параметром винта.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотренное сложное движение тела называется кинематическим винтом.

Если скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переменны, то движение тела будет мгновенно винтовым движением. Естественно, что параметр винта в общем случае также будет переменным.

Второй случай. Скорость поступательного движения перпендикулярна угловой скорости вращательного движения. Мгновенное поступательное движение можно рассматривать как сложное движение — пару вращений. При этом момент пары вращений должен быть равен скорости данного поступательного движения. Плоскость пары вращений должна быть перпендикулярна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —проведем ее через ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.11). Поступательное движение со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно заменить вращением тела с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно некоторой новой системы и вращением этой новой системы относительно системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для упрощения чертежа плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведена перпендикулярно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть одно из вращений, составляющих пару, имеет угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и происходит вокруг оси, совпадающей с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда другое вращение имеет угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и происходит вокруг параллельной оси, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению тела достаточно, чтобы было выполнено условие

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 14.11), то отсюда следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, совокупность поступательного и вращательного движений нами приведена к трем вращениям Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом два последних вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны покою, так как угловые скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, результирующее движение эквивалентно только одному вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью, равной угловой скорости заданного вращения.

Третий случай. Скорость поступательного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена под углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращательного движения (рис. 14.12).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот случай легко приводится к первому. В самом деле, поступательное движение со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно сначала представить как совокупность двух поступательных движений со скоростями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.12) и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поступательное движение со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (в соответствии со вторым случаем) можно заменить парой вращений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получилась система четырех движений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом два последних движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эквивалентны покою, следовательно, остается мгновенно-винтовое движение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянны, то движение будет винтовым. При этом ось винта отстоит от оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Шаг винта равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общий случай сложения движений твердого тела

Продолжим установленную аналогию между угловыми скоростями и силами, приложенными к твердому телу,

еа также между скоростью поступательного движения и моментом пары сил. Эта аналогия объясняется тем, что угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела и сила, приложенная к твердому телу, являются скользящими векторами. Можно показать (мы не будем останавливаться на доказательстве *)), что любая система скользящих векторов, независимо от их физической природы, эквивалентна одному скользящему вектору (главному вектору) и одной паре скользящих векторов, момент которой равен главному моменту.

Применительно к сложению движений твердого тела это означает следующее: если тело участвует одновременно в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращениях с угловыми скоростями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поступательных движениях, скорости которых равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (моменты пар вращений), то вся система этих движений эквивалентна совокупности одного вращательного и одного поступательного движений. Угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач результирующего вращения равна сумме (главному вектору) составляющих угловых скоростей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач результирующего поступательного движения равна сумме (главному моменту) моментов угловых скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поступательных движений (моментов пар вращения):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем ось вращения проходит через выбранный центр приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 14.13 показаны результирующая угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращательного движения (главный вектор) и результирующая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (главный момент) поступательного движения. Векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно рассматривать так же, как скорость полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угловую скорость вращения тела относительно полюса.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что имеются два кинематических инварианта, аналогичных статическим инвариантам. Действительно, из равенства (14.15) следует, что главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от выбора центра приведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, представляет собой первый кинематический инвариант. По существу, инвариантность главного вектора тождественна с ранее доказанным утверждением о независимости угловой скорости тела от выбора полюса. В более узком смысле под первым инвариантом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем понимать квадрат модуля главного вектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде чем перейти ко второму инварианту, заметим, что при переходе к новому центру приведения, например точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет связан с главным моментом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно старого полюса формулой (рис. 14.14)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эту формулу можно получить непосредственно из равенства (14.16). Она также следует из того, что главный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела и определяется формулой (12.20). Умножим скалярно обе части равенства (14.18) на вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то их скалярное произведение равно нулю. Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. скалярное произведение главного вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на главный момент не зависит от центра приведения, иначе говоря, скалярное произведение скорости точки твердого тела на угловую скорость тела в каждый момент времени одинаково для всех точек тела.

Вторым кинематическим инвариантом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется скалярное произведение скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач любой точки тела на его угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем равенство (14.19) в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждое из этих произведений представляет проекцию главного момента относительно соответствующей точки (скорости соответствующей точки) на направление главного вектора (угловой скорости тела). Следовательно, если угловая скорость тела (главный вектор) не равна нулю, то проекция скорости точки тела (главного момента) на направление угловой скорости тела не зависит от выбора точки.

Покажем, что если второй кинематический инвариант не равен нулю, У то совокупность всех движений, в которых участвует тело, может быть сведена к мгновенному винтовому движению. Действительно, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач любой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела и угловая скорость его отличны от нуля; кроме того, в этом случае угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На стр. 264 было показано, что в этом случае имеется такая точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость которой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела (рис. 14.15). Для этой точки должно выполняться равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая формулу (14.18),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторый скаляр, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанной с телом; Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что равенству (14.21) удовлетворяет радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач любой точки, лежащей на прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельной вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, равенство (14.21) представляет векторное уравнение прямой линии, все точки которой в данный момент времени имеют скорости, параллельные угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется мгновенной винтовой осью тела; совокупность угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела и скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач любой точки мгновенной винтовой оси называется кинематическим винтом, а число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в равенстве (14.21) — параметром кинематического винта. Происхождение этих названий очевидно: винтовое движение состоит из вращения вокруг некоторой оси и одновременного поступательного перемещения вдоль этой оси. Таким образом, в самом общем случае скорости точек твердого тела распределяются так, как если бы тело совершало мгновенно-винтовое движение.

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются причины изменения механического движения. В классической механике этими причинами являются силы. Динамика оперирует также такими понятиями, как масса, импульс, момент импульса, энергия.

Введение в динамику. Динамика материальной точки

Два предыдущих раздела курса механики— статика и кинематика—в сущности, мало связаны между собой. Каждому из них •соответствует свой особый круг понятий, задач и методов их решения. В статике рассматриваются задачи о равновесии, а также задачи об эквивалентных преобразованиях систем сил; при таких преобразованиях даже не ставится вопрос о том, какое движение тела вызывают приложенные силы. В кинематике изучается движение «само по себе», вне связи с теми силами, под действием которых оно происходит.

Изолированное рассмотрение двух указанных проблем вызывается чисто методическими соображениями построения курса механики и. строго говоря, не вытекает из существа задач механики. Дело в том, что между действующими силами и движением существует глубокая внутренняя связь, которая отмечается уже в самом определении понятия силы. Зта связь принимается во внимание в динамике, предметом которой является изучение движения с учетом действующих сил.

Среди практических задач механики лишь небольшое число допускает чисто статическое или чисто кинематическое исследование: в большинстве случаев необходимо полное, т. е. динамическое изучение тех или иных механических явлений. При этом используются установленные в статике способы приведения сил, а также разработанные в кинематике методы описания и изучения движения; поэтому статику и кинематику можно рассматривать как введение в динамику, хотя они имеют и самостоятельное значение.

При всем разнообразии динамических задач выделяют две их категории. К первой категории относятся задачи, в которых движение тела (или механической системы) является заданным, и требуется найти силы, под действием которых это движение происходит (первая задача). В другую категорию входят задачи противоположного характера: в них силы являются заданными, а движение — искомым (вторая задача). Эти задачи называются основными задачами динамики.

При формулировании основных законов динамики пользуются понятием материальной точки. Под материальной точкой понимают тело конечной массы, размерами и различием в движении отдельных точек которого по условиям задачи можно пренебречь. В дальнейшем будет показано, что поступательно движущееся тело можно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Инерциальные системы отсчета. Основное уравнение динамики точки

В основании динамики лежат законы, впервые в наиболее полном и законченном виде сформулированные Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).

В качестве первого закона Ньютон принял принцип инерции, открытый Галилеем, который можно сформулировать следующим образом: изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения.

Под изолированной материальной точкой понимается материальная точка, которая не взаимодействует с другими телами или когда силы, действующие на точку, взаимно уравновешиваются.

Важнейшим обстоятельством при изучении движения тел относительно друг друга является выбор системы отсчета, что в свою очередь связано с принятым представлением о пространстве и времени. Естественно поставить вопрос: по отношению к какой же системе отсчета справедлив принцип инерции?

Ньютон, формулируя законы динамики, ввел в рассмотрение модель пространства и времени, которая предполагает наличие абсолютного неподвижного евклидова трехмерного пространства и абсолютного времени, т. е. времени, одинаково текущего для всех наблюдателей, где бы они ни находились и каково бы ни было их движение.

Исходя из этого представления о пространстве и времени,. Ньютон и предполагал возможность существования абсолютной, неподвижной системы отсчета (системы координат), не связанной с материальными телами; для такой системы отсчета он и считал справедливым принцип инерции.

Последующее развитие представлений о пространстве привело к полному отрицанию понятия абсолютного пространства. Поэтому понятия «покой», «постоянная скорость» и т. п. лишены объективного смысла: пользуясь этим термином, необходимо указать, в какой системе отсчета рассматривается движение. Но движение, происходящее с постоянной скоростью в одной системе отсчета, может представляться ускоренным в другой системе отсчета; поэтому принцип инерции не обладает универсальностью, хотя, как показывают наблюдения, в некоторых системах отсчета принцип инерции оказывается справедливым.

Введем определение: системы отсчета, в которых справедлив принцип инерции, называются инерциальными системами отсчета (инерциальными системами координат). Подчеркнем, что об инерциальности или неинерциальности той или иной системы отсчета можно судить только на основе опыта. В частности, установлено, что гелиоцентрическая система координат (т. е. система координат с началом в центре Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды) весьма близка к инерциальной системе.

Следует, однако, иметь в виду, что гелиоцентрическая система отсчета может считаться инерциальной только для движений внутри Солнечной системы, ибо центр масс Солнечной системы движется по криволинейной траектории относительно центра нашей Галактики с относительной скоростью, примерно равной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ускорением порядка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Легко видеть, что система отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая движется относительно инерциальной системы отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поступательно и начало которой имеет постоянную по модулю и направлению скорость, также является инерциальной. Это вытекает из того, что ускорение точки в системе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не отличается от ускорения точки в системе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом утверждении состоит принцип относительности Галилея.

Наоборот, в системах отсчета, движущихся относительно инерциальной системы отсчета не поступательно или не равномерно, принцип инерции не имеет места; такие системы называются неинерциальными. Если движение некоторой системы отсчета происходит с относительно малыми ускорениями относительно инерциальной системы отсчета, то при решении практических задач иногда можно пренебречь малой неинерциальностью (например, неьнерциальностью геоцентрической системы, связанной с Землей); при этом приближенно принимают, что принцип инерции выполняется и в такой системе отсчета.

Развитие физики привело к концу XIX и началу XX века к необходимости создания других моделей пространства и времени. Так, например, в специальной теории относительности, в которой рассматриваются только инерциальные системы отсчета, моделью пространства и времени является четырехмерное пространство-время, т. е. пространство и время уже не считаются независимыми друг от друга.

Еще более сложная модель пространства и .времени используется в общей теории относительности (теории тяготения), в которой рассматриваются неинерциальные системы отсчета. Эта модель уже предполагает зависимость пространства и времени от тяготеющих масс и полей.

Выводы как специальной, так и общей теории относительности при скоростях тел, значительно меньших скорости света, совпадают с выводами классической механики, а это значит, что классическая механика (механика Ньютона) является предельным случаем механики, основанной на принципах теории относительности.

Фундаментальное значение для всей динамики имеет следующий основной закон динамики (второй закон Ньютона): сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы. В аналитической форме этот закон представляется в виде основного уравнения динамики

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —сила, действующая на материальную точку, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —ее ускорение, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —масса материальной точки, являющаяся мерой ее инертных свойств.

Из формулировки основного закона динамики вовсе не вытекает, что в динамике исследуются движения, происходящие только в инер-циальных системах. В главе VI мы будем рассматривать движение в неинерциальных системах, однако таких, движение которых относительно инерциальной системы задано; на языке кинематики задача сведется к выражению относительных ускорений через абсолютные ускорения.

Отметим, что равенство действия и противодействия двух материальных точек (третий закон Ньютона), о котором уже говорилось в начале курса статики, является общим законом всей механики и справедливо не только в задачах статики, но и в 'задачах динамики.

Приведем еще одно фундаментальное положение механики — закон независимости действия сил: если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности.

Это значит, что при действии на материальную точку сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач каждая из которых сообщает точке соответственно ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ускорение материальной точки будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании (1.1) можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая между собой эти равенства, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, на основании закона независимости сил,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке.

Таким образом, движение материальной точки под действием сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет таким же, как и при действии одной силы, равной их геометрической сумме (равнодействующей).

В принципе основные законы динамики играют роль постулатов, из которых как следствие вытекают все результаты, полученные ранее в статике, и даже некоторые из аксиом статики. '

В сжатом виде законы динамики можно сформулировать следующим образом:

  1. Существует такая система отсчета, в которой материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы. Такая система отсчета называете инерциальной (иногда ее условно называют неподвижной).
  2. В инерциальной системе отсчета вектор ускорения материальной тонки пропорционален вектору силы, действующей на эту точку.
  3. Две материальные точки взаимодействуют друг с другом так, что силы их взаимодействия равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия.
  4. При действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно сумме ускорений, которые имела бы точка при действии каждой силы в отдельности.

Отсюда следует, что систему сил, действующих на точку, можно заменить их равнодействующей.

Из основного уравнения динамики следует линейная зависимость между модулем силы и модулем ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта зависимость дает возможность опытного определения массы материальной точки. Здесь имеются два подхода.

Массу некоторой материальной точки можно принять за единичную массу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, измеряя ускорения, приобретаемые под действием одной и той же силы двумя различными материальными точками (одна из них единичной массы), получим из (1.2)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Масса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач установлена. Величина отношения ускорений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет количество эталонных единиц массы, содержащихся в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При таком способе измерения массы сила выражается через единицы массы и единицы ускорения по формуле (1.2).

В международной системе единиц СИ эталоном массы служит 1 кг. Единицы длины и времени — 1 м и 1 сек.

Единица силы называется ньютоном. Из (1.2) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что часто применяется и более мелкая единица силы — дина.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично вводится один килоньютон (кн), который равен 1000 ньютонов.

Рассмотрим теперь другую возможность использования основного закона динамики. Можно, как и в статике, назначить эталон силы. Для измерения сил могут, например, служить пружинные весы. За эталон силы часто принимают силу тяжести на поверхности Земли одного килограмма массы. Такую единицу называют килограммом, но, в отличие от килограмма —массы, записывают при помощи символа кГ. Здесь масса измеряется в производных единицах, имеющих размерность

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если оставить без изменения масштабы длин и времени, то получим техническую систему единиц. Единица массы называется в ней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (техническая единица массы),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ниже при решении задач мы будем пользоваться как международной (СИ), так и технической системой единиц. Разумеется, масштабы всех единиц в пределах той или другой системы будут выбираться, исходя из соображений удобства решения той или иной задачи.

Масса, определяемая из основного уравнения динамики (1.2), называется инертной массой.

Однако существует и другой путь измерения массы.

Из закона всемирного тяготения следует, что между двумя материальными точками массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отстоящими друг от друга на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач возникают силы взаимодействия, определяемые формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения открывает новую возможность измерения массы. Пусть, например, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса Земли, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — эталонная единичная масса, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — измеряемая масса. Тогда из (1.4) можно получить два соотношения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предполагается, что обе массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач помещены в одной и той же точке пространства.

Поделив одно из уравнений (1.5) на другое, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус Земли, то очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — силы притяжения на поверхности Земли. Как будет выяснено в главе VI, эти силы мало отличаются от сил тяжести. Масса, вычисляемая по формуле (1.6), называется «тяжелой» массой.

Таким образом, отношение масс равно отношению сил притяжения.

Итак, масса одной и той же материальной точки может быть вычислена из двух совершенно различных опытов по формулам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точные эксперименты, проведенные для проверки равенства инертной и тяжелой масс, показали совпадение этих величин. Они послужили отправной точкой для создания Эйнштейном теории тяготения.

В специальной теории относительности показывается, что масса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела зависит от его скорости:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — так называемая масса покоя, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость тела, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—скорость света. В классической механике рассматриваются движения тел, скорости которых значительно меньше скорости света. Поэтому, пренебрегая отношением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по сравнению с единицей *), считают массу тела постоянной.

За метим, что если записать в обозначениях дифференциального исчисления второй закон Ньютона в том виде, как он его сформулировал, то основное уравнение динамики (1.1) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта форма основного уравнения динамики точки, ч отличие от уравнения (1.1), применима не только для тела постоянной массы, но и тел, масса которых зависит от скорости.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Положение материальной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в инерциальной системе отсчета будем определять ее радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действующая на точку, может зависеть от положения точки, т. е. от радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (например, сила тяготения), скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки (например, сила сопротивления) и времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, в общем случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и основное уравнение динамики точки (1.1) можно записать в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство, представляющее физический закон, устанавливающий связь между массой точки, ее ускорением и действующей на точку силой, можно рассматривать одновременно как дифференциальное уравнение, в котором радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является функцией, а время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — аргументом. Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

Дифференциальное уравнение в векторной форме, естественно, эквивалентно трем скалярным уравнениям. В зависимости от выбора осей координат, на которые проектируется основное уравнение динамики (1.1), можно получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Так, например, если спроектировать обе части уравнения (1.1) на неподвижные оси декартовых координат, то будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —проекции ускорения точки на координатные оси, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции силы, действующей на точку, на те же оси.

Если пользоваться описанием движения в естественной форме, то нужно спроектировать основное уравнение динамики (1.1) на оси естественного трехгранника; в результате получим соотношения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции силы на касательную, главную нормаль и бинормаль. Вспоминая известные из кинематики выражения для проекций ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на те же направления, получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус кривизны в текущей точке траектории. Из последнего уравнения следует, что сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач под действием которой движется материальная точка, лежит в соприкасающейся к траектории точки плоскости.

В случае плоского движения точки, рассматриваемого в полярных координатах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции силы на направление радиуса-вектора и перпендикулярное к нему направление (в сторону увеличения полярного угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы ограничились наиболее употребительными случаями; аналогично можно получить записи дифференциальных уравнений движения материальной точки в других системах криволинейных координат (цилиндрической, сферической и т. д.).

Первая задача динамики

В практике возникают различные постановки динамических задач. Прежде всего остановимся на первой задаче, когда движение задано и необходимо найти силу, под действием которой происходит это движение.

"Эта задача решается следующим образом: закон движения подставляется в дифференциальные уравнения (1.7), (1.9) или (1.10) (в зависимости от способа задания движения) и с помощью дифференцирования соответствующих функций определяются проекции силы. Проследим за ходом решения на примерах.

Пример №80

Материальная точка массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем закон движения задан в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —любые постоянные параметры. Найти силу, под действием которой происходит это движение.

В данном случае движение задано в декартовых координатах. Поэтому выражение координат из закона движения нужно подставить в дифференциальное уравнение (1.7). При этом находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, приняв во внимание закон движения, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, сила, действующая на материальную точку, будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичные векторы осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, материальная точка движется под действием силы притяжения к началу координат, пропорциональной расстоянию от начала координат до материальной точки, и постоянной силы, параллельной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №81

Материальная точка массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с постоянной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти силу, под действием которой происходит такое движение.

Здесь движение задано естественным способом; поэтому согласно (1.9) находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. заданное движение материальной точки происходит под действием силы, постоянной по модулю и направленной по радиусу к ее центру.

Пример №82

Материальная точка массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по гладкой плоскости. Ее полярные координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяются по закону (рис. 1.1)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — положительные постоянные. Определить силу, под действием которой происходит это движение. Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то согласно первому уравнению (1.10) получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. составляющая силы, действующая на материальную точку вдоль радиуса, направлена к полюсу н ее модуль растет пропорционально Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно второму уравнению (1.10) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. составляющая силы, действующая на материальную точку по перпендикуляру к радиусу, постоянна. Модуль силы, действующей на точку, определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вторая задача динамики

Для определенности изложения будем рассматривать движение в декартовой системе координат, опираясь на уравнения (1.7). Как уже отмечалось ранее, сила (и ее проекции), действующая на материальную точку, в общем случае может зависеть от положения точки, ее скорости и времени.

Приведем несколько примеров переменных сил. На упругой балке установлен (рис. 1.2, о) не вполне уравновешенный двигатель. При заданном режиме работы двигателя сила давления на конструкцию, обусловленная неуравновешенностью, является функцией времени; заметим, что эта сила принимается нами не зависящей от того, как под ее воздействием колеблется конструкция. В этих условиях на конструкцию действует сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданная как явная функция времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (здесь мы не касаемся вопроса о том, каким образом указанная конструкция схематизируется в виде материальной точки). Обратимся к другому примеру.

С Земли произведен пуск космического корабля. После некоторого, сравнительно короткого промежутка времени двигатели выключаются и корабль продолжает движение под действием практически единственной силы —силы притяжения Земли (рис. 1.2,6); притяжение других небесных тел в начале движения пренебрежимо мало. Согласно закону всемирного тяготения эта сила не постоянна и постепенно убывает с увеличением расстояния Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач корабля от Земли. Здесь сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач притяжения зависит от положения корабля, т. е. определяется его координатами.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В качестве третьего примера рассмотрим силы, под действием которых происходит падение материальной точки в вязкой жидкости (рис. 1.2, в). На материальную точку действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила сопротивления жидкости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как показывает опыт, сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит только от скорости падения, т.е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В начале процесса, когда скорость мала, эта сила также невелика, но с возрастанием скорости растет и сила сопротивления.

Таким образом, зависимости, определяющие изменение переменных сил, весьма разнообразны по своей природе; можно указать три простейших типа переменных сил:

  • а) силы, заданные как явные функции времени и не зависящие от движения материальной точки;
  • б) силы, зависящие от координат материальной точки;
  • в) силы, зависящие от скорости материальной точки.

Но возможны случаи, когда сила, действующая на точку, может быть одновременно функцией от нескольких аргументов. Например, действующая на космический корабль сила аэродинамического сопротивления при его движении в атмосфере (при взлете или снижении) зависит и от положения корабля, и от его скорости, так как плотность атмосферы убывает с высотой над поверхностью Земли.

Чаще всего на материальную точку одновременно действует несколько сил .различных типов.

На рис. 1.3, а представлен пример, иллюстрирующий одновременное действие сил различной природы. Неуравновешенный двигатель Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач установлен на массивном фундаменте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач который в свою очередь установлен на амортизаторах (на рисунке они схематично изображены одной пружиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и гидравлическими амортизаторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В такой конструкции фундамент может иметь малые вертикальные поступательные перемещения (за счет деформации пружин), а при работе двигателя возникают колебания системы.

На фундамент действуют силы четырех типов. Во-первых, сила тяжести самого фундамента, обозначенная на рис. 1.3, б через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во-вторых, сила действия двигателя на фундамент, обозначенная на рисунке через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта сила, меняющаяся во времени заданным образом, представляет переменное динамическое давление на

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

фундамент, зависящее от величины неуравновешенных масс двигателя и угловой скорости вращения его ротора:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В-третьих, на фундамент действует реакция пружины, которая в любой момент времени определяется деформацией пружины (т. е. перемещением фундамента):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вертикальное перемещение фундамента в данный момент).

Наконец, в-четвертых, на фундамент действуют реакции гидравлических амортизаторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Опыт показывает, что их реакции полностью определяются скоростью движения поршня в цилиндре амортизатора, т. е. скоростью самого фундамента:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При поступательном движении фундамента его можно рассматривать как материальную точку; дифференциальное уравнение движения этой точки (в проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую будем считать направленной вниз) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы найти движение фундамента, необходимо решить это дифференциальное уравнение.

Подобным же образом дело обстоит и в других задачах.. Следовательно, в общем случае вторая задача динамики приводит к необходимости решения системы трех дифференциальных уравнений:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в которые искомые функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач входят вместе со своими первыми и вторыми производными по времени. Уравнения (1.16) представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, как уже отмечалось, называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки.

Предположим, что нам удалось проинтегрировать систему уравнений (1.16) и получить общее решение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольные постоянные интегрирования. В каждую из функций (1.17) могут входить все шесть постоянных, так как в общем случае уравнения (1.16) не являются независимыми друг от друга.

Если теперь в соотношениях (1.17) постоянным интегрирования давать различные числовые значения, то можно получить совокупность различных решений. Это значит, что под действием одних и тех же сил, действующих на материальную точку, она может совершать различные движения.

Например, тело, отпущенное без начальной скорости, будет падать под действием силы тяжести вертикально вниз по прямой линии. Это же тело, брошенное под углом к горизонту, будет двигаться под действием той же силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем) по некоторой кривой.

Таким образом, задания одних сил, действующих на материальную точку, еще недостаточно для определения конкретного закона ее движения. Для того чтобы выбрать из многообразия решений (1.17) то, которое соответствует решаемой нами конкретной задаче, нужно задать еще начальные условия движения. Начальное состояние движения точки определяется ее положением и ее скоростью в начальный момент времени, т. е. радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В декартовой системе координат нужно задать соответствующие проекции:

при: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Совокупность этих данных называется начальными условиями движения.

Для выбора значений шести постоянных интегрирования, входящих в общее решение (1.17) и соответствующих решаемой конкретной задаче, используются начальные условия движения (1.18). Это делается следующим образом: во-первых, требуем, чтобы при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяемые выражениями (1.17), равнялись соответственно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач во-вторых, продифференцировав по времени выражения (1.17):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач требуем, чтобы при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнялись соответственно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, мы получим шесть уравнений для определения постоянных интегрирования:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эти уравнения относительно постоянных Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя найденные значения постоянных в общее решение (1.17), получим решение задачи, соответствующее данным начальным условиям:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В курсах математики доказывается, что при определенных условиях, накладываемых на правые части уравнений (1.16) (если задача механики поставлена правильно, то эти условия обычно выполняются), решение (1.21) единственное. Это значит, что при данных начальных условиях и данных силах движение точки полностью и единственным образом определено.

Следует заметить, что наибольшие затруднения обычно представляет первый этап — получение общего решения (1.17); после этого постоянные интегрирования определяются без особых трудностей.

Покажем на примере решение чем ограничимся тем случаем, действует постоянная сила.

Пример №83

Исследовать движение материальной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач под действием силы тяжести; сопротивлением атмосферы пренебречь (рис. 1.4).

Выберем систему координатных осей так, чтобы ее начало Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадало с начальным положением точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим вертикально вверх, а оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —горизонтально. Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим так, чтобы начальная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была расположена в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из рассмотрения рис. 1.4 следует, что проекции действующей на точку силы тяжести на оси координат равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, дифференциальные уравнения движения (1.16) чае будут иметь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, после сокращения на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя эти уравнения получим общее решение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения постоянных интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимо указать начальное состояние движения точки, т. е. ввести соответствующие начальные условия. Пусть начальная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляет с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в силу выбора координатной системы будем иметь следующие начальные условия;

при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с (1.23) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя теперь начальные условия, найдем постоянные интегрирования

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя эти значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в общее решение (1-23), получим уравнения движения материальной точки, брошенной под углом к горизонту:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из этих уравнений следует, что движение точки под действием силы тяжести происходит в вертикальной плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Траекторией точки будет парабола:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, задача решена Дальнейшее исследование траектории (1 26) позволит определить дальность бросания и наибольшую высоту подъема После этого можно поставить задачу об оптимальных условиях бросания, например, выяснить, при каком угле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигается максимальная дальность (если считать значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданным).

Прямолинейное движение материальной точки

Выясним, при каких условиях материальная точка совершает прямолинейное движение.

Пусть материальная точка движется по прямой линии, которую мы примем за ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда во все время движения будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, на основании уравнений (1.16) должны тождественно выполняться равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. если точка совершает прямолинейное движение, то сила, под действием которой происходит это движение, должна иметь линию действия, совпадающую с прямой, вдоль которой движется точка.

Однако необходимое условие (1.27) прямолинейного движения не является достаточным. Например, при движении точки под действием силы тяжести проекции силы на координатные оси, лежащие в горизонтальной плоскости, равны нулю, а точка движется не по прямой, а по параболе.

Для того чтобы материальная точка двигалась по прямой линии, необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила была все время параллельна начальной скорости точки. Если же начальная скорость равна нулю, то движение будет происходить по прямой, параллельной направлению силы.

В самом деле, если направить координатные оси так, чтобы ось х была направлена по начальной скорости точки, а начало координат было совмещено с начальным положением точки, то условия (1 27) будут соблюдены и, следовательно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем начальные условия- при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. траектория движения точки —прямая линия —ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, показана и достаточность условий прямолинейности движения.

Ниже рассматриваются некоторые задачи о прямолинейном движении материальной точки, причем во всех случаях координатную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы будем совмещать с прямой, вдоль которой происходит движение. В таких задачах вектор действующей на точку силы полностью определяется его единственной проекцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несколько случаев прямолинейного движения материальной точки, в которых можно заранее указать методы интегрирования дифференциальных уравнений движения, каждый из случаев относится к определенному характеру действующей силы.

1. Прямолинейное движение материальной точки под действием силы, зависящей только от времени. Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где под Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач понимается первообразная функция. Интегрируя далее, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Прямолинейное движение материальной точки под действием силы, зависящей только от положения точки. В этом случае дифференциальное уравнение движения будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вводя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, дифференциальное уравнение примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После интегрирования найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, переходя к проекции скорости,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это уравнение, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вводя обозначение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая это уравнение относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем зависимость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от времени и постоянных интегрирования:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, задача решается при помощи двух квадратур.

3. Прямолинейное движение точки под действием силы, зависящей только от скорости точки. Дифференциальное уравнение движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

с помощью замены Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач преобразуется к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это уравнение, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если ввести обозначение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то последнее равенство примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая это уравнение относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если уравнение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нельзя решить относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то поступим следующим образом: вводя преобразование

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

перепишем дифференциальное уравнение (1.33) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из этого уравнения находим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и после интегрирования будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда и определим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как функцию времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №84

На покоящуюся материальную точку массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начинает действовать сила, проекция которой на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается зависимостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти закон движения и сравнить решение со случаем, когда указанная проекция изменяется по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Совмещая начало оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с начальным положением точки, получим дифференциальное уравнение движения в виде (1.29):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно (1.30) записываем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подчиняя решение начальным условиям:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, материальная точка движется вдоль оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из графика функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображенного на рис. 1.5, а, видно, что точка постепенно удаляется от начального положения, совершая колебания около режима постоянной скорости.

Если на материальную точку действует косинусоидальная сила, то дифференциальное уравнение движения (1.29) будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и в соответствии с (1.30) общее решение имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из предыдущих начальных условий находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому закон движения выражается при помощи соотношения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 1.5, б изображен график этой функции; движение носит колебательный характер, причем точка не удаляется от начального положения дальше чем на

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы получили на первый взгляд неожиданный результат. В обоих случаях на точку действовала периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону; начальные условия также совпадали, однако отклонения точки от начального положения имеют различный характер. В первом случае наблюдается систематическое удаление точки от ее начального положения, во втором — удаления нет, движение имеет периодический характер.

С формально математической точки зрения ничего удивительного здесь нет. Периодичность изменения ускорения (второй производной от координаты) вовсе не влечет за собой периодичности изменения скорости (первой производной) и тем более самой координаты. Применительно к разобранному примеру можно привести следующие физические соображения. В первом случае сила, а значит, и ускорение меняются по синусоидальному закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что в течение полупериода Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ускорение было положительно и точка набирала скорость. Затем направление силы и, следовательно, ускорение изменялись и скорость начинала убывать, так что к концу периода Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач она достигла нуля. Таким образом, проекция скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была все время одного знака Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда ясно, что координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за это время могла только возрастать и к началу следующего цикла изменения силы она получила конечное приращение. Такое же приращение отклонения произойдет за второй и последующие периоды.

Во втором же случае к концу первого полупериода проекция скорости окажется равной нулю, в течение последующего полупериода она окажется отрицательной и, изменяясь по синусоидальному закону, в конце периода станет равной нулю. Такая знакопеременность скорости приводит к периодичности отклонения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №85

На материальную точку массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует сила отталкивания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорциональная координате Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равная

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —коэффициент пропорциональности. Найти движение точки, если в начальный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальное уравнение имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение движения имеет ту же форму, что и (1.31), однако здесь целесообразнее воспользоваться не общим приемом, а учесть то обстоятельство, что дифференциальное уравнение является линейным. Перенесем все члены этого уравнения в левую часть и разделим его на массу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно общей теории линейных однородных дифференциальных уравнений будем искать решение в форме

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем эти значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в дифференциальное уравнение и сократим его на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в результате чего получим характеристическое уравнение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая характеристическое уравнение, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как оба корня оказались вещественными, то общее решение дифференциального уравнения будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольные постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий движения. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив в эти выражения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим эти значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где гиперболический синус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определен равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Полученное решение удовлетворяет выбранным начальным условиям (при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если начальные условия будут при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то точка будет двигаться по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач гиперболический) косинусу. График этой функции изображен на рис. 1.6 сплошной линией.

При относительно больших значениях времени второй член Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач становится пренебрежимо малым и можно принять

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(см. штриховую линию на рис. 1.6).

Заметим, что это приближенное решение не удовлетворяет начальным условиям.

Пример №86

Считая, что при прямолинейном движении корабля возникает сила сопротивления, пропорциональная квадрату его скорости, определить путь, который пройдет корабль после остановки двигателей за время, в течение которого скорость корабля уменьшится в два раза.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массу корабля и через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его скорость в момент остановки двигателей. На корабль действуют три силы: сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач архимедова сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянный коэффициент жидкостного сопротивления. Первые две силы вертикальны, а сила сопротивления горизонтальна и направлена в сторону, противоположную скорости корабля (рис, 1,7).

Напишем основное уравнение динамики (1,1) для рассматриваемого примера:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В проекции на горизонтальную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем это уравнение в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После интегрирования получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условимся отсчитывать время с момента остановки двигателей корабля, Тогда при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение (1.35) теперь может быть записано в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

И, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из условия: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от и равенство (1.37) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив сюда соотношение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получаемое из формулы (1.36), окончательно имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полагая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем путь, который пройдет корабль за время, в течение которого его скорость уменьшится вдвое:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №87

Точка массы m падает на Землю из состояния покоя под действием постоянной силы тяжести. Найти скорость и закон движения точки, если сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная).

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. соответствует форме (1.33).

Последуем указанному выше пути решения и обозначим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это позволит привести уравнение движения к уравнению первого порядка

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После интегрирования получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как движение начинается из состояния покоя, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. скорость падения стремится к определенному пределу.

Перейдем теперь к нахождению закона движения. Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Даже при сравнительно небольших значениях времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому, пренебрегая слагаемым Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим приближенно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. движение по истечении некоторого промежутка времени становится практически равномерным.

Как и в предыдущем примере, это решение вследствие своей приближенности не удовлетворяет начальным условиям; это можно понять, рассматривая рис.1.8, где графически представлены точное и приближенное решения.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №88

Материальная точка начинает движение в вязкой жидкости с горизонтальной скоростью, равной по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Движение начинается из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.9). На точку действуют сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент пропорциональности). Найти закон движения точки.

В качестве координатной плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач примем вертикальную плоскость, проходящую через направление начальной скорости точки; ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим вертикально вверх.

Силы, действующие на точку, равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальные уравнения движения имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система уравнений движения распадается на три линейных уравнения, общие решения которых будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то при начальных условиях:

при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что движение точки будет происходить в вертикальной плоскости.

Для получения закона движения при отсутствии сопротивления среды следует Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач устремить к нулю; тогда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прямолинейные колебания материальной точки

Среди различных сил, которые могут действовать на материальную точку, особое место занимают восстанавливающие силы, т. е. силы, стремящиеся вернуть точку в положение равновесия. Такие силы зависят от отклонения точки от положения равновесия и направлены к положению равновесия.

Как мы увидим ниже, восстанавливающие силы придают движению материальной точки колебательный характер. Природа этих сил весьма разнообразна. Три случая показаны на рис. 2.1.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В первом случае (рис. 2.1, а) восстанавливающая сила обусловлена упругими свойствами пружины и возникает вследствие деформации пружины. Во втором случае (рис. 2.1, б) при вертикальных отклонениях плавающего понтона от положения равновесия возникает дополнительная (архимедова) сила, также направленная против отклонения и играющая роль восстанавливающей силы. В третьем случае (рис. 2.1, в) имеется в виду материальная точка, находящаяся в прямолинейном сквозном канале, который проходит внутри Земли. Если тело отклонено от положения равновесия, возникает составляющая силы притяжения, направленная к положению равновесия.

Однако, кроме восстанавливающих сил, в подобных случаях одновременно действуют, как правило, также силы сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависящие от скорости движения; таково в схеме рис. 2.1, а трение между телом и горизонтальной поверхностью, в схеме рис. 2.1, б — зависящее от скорости сопротивление воды, в схеме рис. 2.1, в —сопротивление воздуха и трение скольжения. Наконец, возможно, что к материальной точке приложена возмущающая сила, т. е. сила, являющаяся заданной функцией времени.

Настоящая глава посвящена систематическому исследованию всех вариантов сочетания указанных сил в случае прямолинейного движения материальной точки. Хотя эта задача представляет практический интерес и сама по себе, но еще более важно, что ее решение можно почти без всяких изменений использовать для многих других случаев колебаний.

Дело в том, что различные по своему физическому содержанию колебательные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому выводы, полученные при изучении колебательного движения в какой-либо одной области, могут быть использованы и в других областях.

Наиболее просты для исследования те случаи колебательных движений, когда восстанавливающая сила пропорциональна отклонению точки от положения равновесия, а сила сопротивления пропорциональна скорости точки. Соответственно проекции восстанавливающей силы и силы сопротивления на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих случаях дифференциальные уравнения движения линейны, соответственно такие колебания также называются линейными *).

В зависимости от того, какая комбинация сил действует на материальную точку, колебательное движение приобретает те или иные типичные особенности. В следующей таблице дана сводка различных изучаемых в дальнейшем типов линейных колебаний: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возможны и более сложные случаи, когда сила зависит одновременно от координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не может быть представлена в виде суммы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также когда сила зависит от координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем силу нельзя представить как сумму Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эти случаи здесь не рассматриваются.

Свободные колебания

Рассматриваемая задача характеризуется тем, что на материальную точку действует только восстанавливающая сила в линейных задачах ее модуль пропорционален отклонению точки от положения равновесия. Проекция восстанавливающей силы на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент пропорциональности, а дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, движение материальной точки под действием восстанавливающей силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как его корни —чисто мнимые числа:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то общим решением диффереициальиого уравнения (2.2) будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные интегрирования.

Для большего удобства анализа этого решения введем новые постоянные интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положив

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это можно сделать, так как из этих соотношений постоянные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью формул

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или постоянные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются заданными начальными условиями — начальным положением и начальной скоростью движущейся точки.

Таким образом, под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т. е. гармоническое колебательное движение. Такие колебания называются свободными колебаниями.

Из уравнения (2.4) видно, что наибольшее отклонение материальной точки от положения равновесия (амплитуда колебаний) равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аргумент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется фазой колебаний, а величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачначальной фазой.

Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется угловой частотой колебаний и определяет число колебаний, совершаемых точкой за Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач секунд. В дальнейшем величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для краткости будем называть просто частотой. Частота колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависит от начальных условий и определяется только параметрами системы (величинами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По этому признаку частоту свободных колебаний называют также собственной частотой.

Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний воспользуемся начальными условиями, которые должны быть заданы (в противном случае колебательный процесс не полностью определен). Пусть в начальный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известны начальное положение материальной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и начальная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда, подставив в уравнение движения (2.4) и в выражение для скорости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим для определения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач два уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и поэтому закон движения точки определяется следующим уравнением:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

График свободных колебаний материальной точки представлен на рис. 2.2; здесь отмечены начальное отклонение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач амплитуда колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в течение которого происходит одно полное колебание. Этот наименьший промежуток времени, по истечении которого движение точки полностью повторяется, называется периодом колебаний. Зависимость между периодом колебаний и частотой определится из условия периодичности движения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, период колебаний, так же как и частота, не зависит от начальных условий. Это свойство колебаний называется изохронностью. Как видно из (2.8), период и частота колебаний определяются величиной колеблющейся массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и коэффициентом пропорциональности с, причем с увеличением массы и уменьшением коэффициента с период колебаний увеличивается.

Пример №89

Груз массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвешен на пружине, массой которой можно-пренебречь (рис. 2.3). На колеблющийся груз действуют две силы: сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила упругости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач создаваемая пружиной. Составить дифференциальное уравнение движения.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим на рис. 2.3 три положения: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —положение нижнего конца пружины в ее недеформированном состоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—длина пружины в неинформированном состоянии), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —положение равновесия груза, висящего на пружине, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —текущее положение груза при его движении. Обозначим расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (статическая деформация пружины) и направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикально вниз, выбрав начало отсчета в положении равновесия груза (точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По закону Гука при относительно небольших перемещениях модуль силы упругости пропорционален деформации пружины. В нашем случае деформация пружины равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины. Очевидно, что коэффициент жесткости численно равен силе, которую нужно приложить к концу пружины, чтобы деформировать ее на единицу длины. Проекция силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если груз находится в равновесии, то сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравновешивается силой упругости, которая в положении равновесия равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (так как в этом случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая это во внимание, приведем дифференциальное уравнение движения груза к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением (2.2). Поэтому груз, подвешенный к пружине, совершает гармонические колебания с частотой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если начало координат взять в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или в верхнем неподвижном конце Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пружины, то дифференциальное уравнение движения усложнится. Так, если начало координат выбрано в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и уравнение движения груза примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если начало координат выбрать в неподвижном конце Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пружины, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина пружины в недеформированном состоянии, Дифференциальное уравнение движения груза

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

после упрощения приводится к форме

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, рациональным выбором начала отсчета можно упростить форму дифференциального уравнения движения и, следовательно, его решение,

Пример №90

На понтон (рис. 2.1, б) действует его вес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и архимедова выталкивающая сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Исследовать вертикальную качку понтона.

В состоянии равновесия вес понтона Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравновешивается архимедовой силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если это состояние по какой-либо причине нарушается и понтон дополнительно погрузится в воду, то согласно закону Архимеда выталкивающая сила возрастет, т. е. получит приращение, направленное вверх- Понятно, что при любых отклонениях понтона от положения равновесия приращение силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет направлено против отклонения. Если понтон прямостенный (в первом приближении это можно принять), то приращение архимедовой силы пропорционально отклонению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и определяется соотношением

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — удельный вес воды, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь, ограниченная ватерлинией (площадь сечения понтона горизонтальной плоскостью на уровне поверхности воды). Действительно, произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяет дополнительно вытесненный объем воды, так что произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно «потере веса» по закону Архимеда, т. е. приращению модуля силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Допустим, что после нарушения состояния равновесия понтон будет предоставлен самому себе. В любой момент последующего движения на понтон действуют две силы: сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (направленная вниз) и архимедова сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (направленная вверх). Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное дифференциальное уравнение совпадает с подробно исследованным уравнением (2.2). Поэтому, независимо от начальных условий, можно сразу найти период (2.8) вертикальной качки понтона:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть, например, площадь ватерлинии понтона равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его вес составляет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда находим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведенное решение грубо приближенное, гак как выталкивающая сила определялась по закону Архимеда, справедливому лишь для условий покоя. В данном случае следовало бы рассмотреть более сложные явления гидродинамического характера, связанные с движением воды при качке. Как показывают более подробные исследования, эти дополнительные обстоятельства можно учесть, условно добавляя некоторую массу воды («присоединенную массу») к массе понтона.

В заключение рассмотрим еще одну задачу.

Пример №91

Для определения коэффициента сухого трения может быть использована установка, изображенная на рис. 2.4. Она состоит из двух валов, вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями в разные стороны, на которые кладется пластина. При совпадении центра тяжести пластины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с серединой расстояния между осями (точкой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пластина находится в равновесии под действием равных и противоположно направленных сил трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Исследовать движение пластины, если в начальный момент ее равновесие было нарушено.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если каким-либо способом нарушить состояние равновесия пластины, то она придет в движение в горизонтальной плоскости. Вследствие смещения центра тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач давления на диски окажутся неодинаковыми. Соответственно нарушится равенство сил трения, причем равнодействующая сил трения окажется направленной к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. в сторону положения равновесия, и будет восстанавливающей силой. Благодаря действию этой силы возникает процесс свободных колебаний, период которых зависит от свойств трения между пластиной и валами. Это позволяет по опытным значениям периода колебаний определить коэффициент трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для вывода соответствующей формулы составим дифференциальное уравнение горизонтальных колебаний пластины. Вдоль оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действуют сила трения, приложенная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направленная вправо, и сила трения, приложенная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направленная влево. Если центр тяжести пластины смещен от положения равновесия на величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —вес пластины, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние между осями валов *). Дифференциальное уравнение движения пластины имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда сразу следует, что период колебаний равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разрешая последнее уравнение относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим окончательную формулу

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определив из опыта период колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и зная расстояние между осями колес Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем отсюда коэффициент трения скольжения.

Свободные колебания при линейно-вязком сопротивлении

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы и линейной силы сопротивления. Совместим начало координат с положением равновесия точки. Проекция восстанавливающей силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТак как сила сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда направлена в сторону, противоположную направлению скорости точки, то проекция силы сопротивления на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент пропорциональности, характеризующий сопротивление среды (рис. 2.5).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, дифференциальное уравнение движения точки запишется следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вводя обозначения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это —линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и его корни равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Характер движения точки существенно зависит от соотношения величин Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (случай малого сопротивления), то корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (случай большого сопротивления), то корни вещественные. Рассмотрим подробно каждый из этих случаев.

1. Случай малого сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корни характеристического уравнения будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянные интегрирования.

Для большей наглядности введем новые постоянные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при помощи формул

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого уравнения видно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. движение является затухающим. Это затухающее движение носит колебательный характер, так как, приближаясь (при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к состоянию равновесия, система будет проходить через это состояние бесконечное число раз в моменты времени, равные

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.6).

Движение, описываемое формулой (2.13), не является периодическим, так как с течением времени последовательные максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Важно, что максимальные отклонения точки от положения равновесия хотя и уменьшаются с течением времени, но промежуток времени между двумя любыми последующими отклонениями (например, в сторону положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть постоянная величина, равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эту величину условно называют периодом затухающих колебаний.

Рассмотрим подробнее график движения (см. рис. 2.6). На этом рисунке кривые Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач являются границами области, внутри которой располагается график движения.

Вычислим моменты времени, соответствующие максимальным отклонениям точки от положения равновесия. С этой целью найдем скорость точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и приравняем ее нулю. Будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (наименьший корень полученного уравнения) соответствует первому максимальному отклонению в положительном направлении оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то последующие максимальные отклонения в положительном направлении оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут достигаться в следующие моменты времени:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы видно, что при вязком трении период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний, равного Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Максимальные отклонения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующие моментам времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом учтено, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формул для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач видно, что отношение последующего максимального отклонения вдоль положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к предыдущему постоянно и равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, амплитуды затухающих колебаний при вязком сопротивлении убывают в геометрической прогрессии. Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (знаменатель геометрической прогрессии) называется декрементом колебаний (или фактором затуханий), а модуль натурального логарифма этой величины

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется логарифмическим декрементом колебаний *).

Заметим, что если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является положительным корнем уравнения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то моменты времени, в которые график движения касается кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Декремент колебаний можно определить как отношение отклонения при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к отклонению при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя эти условия в уравнения (2.13) и (2.14), получим уравнения для определения постоянных Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Граничный случай Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Корни характеристического уравнения в этом случае будут вещественными и кратными:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, общее решение уравнения движения (2.11) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные интегрирования. Принимая во внимание, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим при начальных условиях: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следующие уравнения для определения постоянных интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, для заданных начальных условий уравнение движения точки запишется в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой зависимости следует, что в рассматриваемом случае движение точки уже не носит колебательного характера, но остается затухающим движением, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такое движение называется апериодическим. Для построения графиков этого движения найдем момент времени, соответствующий максимальному отклонению точки от положения равновесия, и момент времени прохождения точки через положение равновесия.

Приравнивая производную по времени от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из условия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и график движения имеет вид, показанный на рис. 2.7, а.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. экстремальных точек нет и график движения имеет вид, показанный на рис. 2.7, б; при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что точка, получив начальную скорость, пройдет в дальнейшем движении положение равновесия (при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигнет положения, соответствующего максимальному отклонению точки от положения равновесия. Далее точка будет асимптотически приближаться к положению равновесия. График движения для этого случая показан на рис. 2.7, в.

Отметим, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач характер графиков не изменится.

3. Случай большого сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае корни характеристического уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

являются действительными и отрицательными. Общее решение уравнения движения (2.11) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то при начальных условиях: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения для определения постоянных интегрирования будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдя отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и подставив эти Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение (2.20), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение описывает апериодическое затухающее движение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрицательны).

Продифференцировав выражение (2.21) по времени и приравняв полученный результат нулю, получим значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующее максимальному отклонению точки от положения равновесия:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —это выражение можно переписать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет больше нуля для тех значений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в который координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяемая формулой (2.21), обращается в нуль, найдем по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет больше нуля при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Виды графиков движения для рассматриваемого случая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представлены соответственно

для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 2.7, а;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №92

При наблюдении колебаний груза весом 3 кГ по виброграмме *) было установлено, что «огибающая» графика затухающих колебаний имеет вид графика показательной функции (экспоненты), причем за один период амплитуда колебаний уменьшается вдвое. По той же виброграмме определено, что период колебаний равен 0,3 сек. Определить коэффициент жесткости пружины и коэффициент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы вязкого сопротивления.

Для решения задачи используем следующие соотношения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив в эти формулы числовые данные, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эти уравнения относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №93

Пользуясь данными предыдущей задачи, определить, во сколько раз следует уменьшить массу груза, чтобы свободное движение системы стало апериодическим.

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — новая масса, тогда, вводя обозначение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия задачи будут удовлетворены, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя данные предыдущей задачи, получим, что массу следует уменьшить в

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №94

Материальная точка совершает затухающие колебания под действием линейной восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, причем постоянная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачсоставляет одну десятую от частоты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач незатухающих колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить разность между периодами затухающих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и незатухающих Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач колебаний, а также во сколько раз уменьшится амплитуда затухающих колебаний через восемь полных колебаний.

Составим отношение периодов колебаний

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как по условию задачи число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мало, то, пользуясь хорошо известной приближенной формулой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливой при малых значениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и любых Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим с достаточно хорошей точностью

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, период затухающих колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач превышает период незатухающих колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всего на 0,005 = 0,5% (по условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь ряд последовательных амплитуд затухающих колебаний: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как эти амплитуды убывают по закону геометрической прогрессии, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—декремент колебаний, определяемый формулой (2.16). Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменив период затухающих колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на его приближенное значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внеся сюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при относительно небольшом значении сил сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач период затухающих колебаний мало отличается от периода незатухающих колебаний, но колебания гасятся весьма интенсивно —через восемь колебаний амплитуда уменьшается в 152 раза, т. е. колебания практически прекращаются.

Свободные колебания при трении скольжения

Для простоты рассуждений рассмотрим движение прикрепленного к пружине тела весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по шероховатой горизонтальной плоскости. Совместим начало координат с точкой, соответствующей положению тела при недеформированном состоянии пружины (рис. 2.8).

Дифференциальное уравнение движения тела имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы, действующей на точку со стороны пружины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—коэффициент жесткости пружины), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—проекция на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы сухого трения. Сила сухого трения направлена в сторону, противоположную направлению скорости тела, и по модулю равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент трения.

Таким образом, окончательно дифференциальное уравнение движения тела распадается на два знакомых нам линейных уравнения: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где по-прежнему Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Допустим, что груз смещен от исходного положения вправо на расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и затем свободно, без начальной скорости, отпущен. Тогда движение начнется при следующих условиях:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предполагается, что в указанном смещенном положении восстанавливающая сила больше силы трения, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При нарушении этого условия движение не начнется. Для интегрирования уравнения (2.22) введем новую переменную

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общее решение этого уравнения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянные интегрирования. Для их определения воспользуемся приведенными начальными условиями, тогда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, груз будет двигаться по закону:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Однако это справедливо лишь до тех пор, пока скорость

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

остается отрицательной, т. е. до момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующее крайнему левому положению, равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Амплитуда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач первого отклонения влево определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В рассмотренном интервале времени тело совершит половину колебательного цикла относительно среднего положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дальнейшее (обратное) движение возможно, если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Допустим, что это условие соблюдается; тогда начнется движение вправо прн новых начальных условиях

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальное уравнение движения на этом участке имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение дифференциального уравнения (2.27) при указанных начальных условиях запишется следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В конце второго участка движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда следует, что промежуток времени, в течение которого происходит движение во втором этапе, равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (2.28), получим наибольшее отклонение в конце второго этапа:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если при этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вновь начнется движение влево. Здесь нужно снова обратиться к дифференциальному уравнению (2.22) и решать его при следующих начальных условиях:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятно, что при этом вновь приходим к уравнениям (2.24) —(2.26), в которых Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует заменить на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Легко заметить, что на каждый полупериод максимальное отклонение тела от начала координат уменьшается на величину, равную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем длительность каждого полупериода равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имея в виду сказанное, можно записать следующую последовательность максимальных отклонений через каждый полупериод:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая почленно все равенства, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при сухом трении последовательные амплитуды колебаний убывают по закону арифметической прогрессии, разность которой равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач период затухающих колебаний при сухом трении равен периоду незатухающих колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Напомним, что при вязком трении амплитуды колебаний убывают по геометрической прогрессии, а период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний.

Колебания будут происходить до тех пор, пока сила упругости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в одном из крайних положений не сделается меньше силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь выражением для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это неравенство может служить . для определения числа полуколебаний до или начального отклонения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по известному числу полукоколебаний груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 2.9 построен график колебаний. Параллельно оси времени проведены две прямые: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Около верхней прямой располагаются косинусоиды, соответствующие движению влево (нечетные полупериоды), а около нижней прямой —косинусоиды, соответствующие движению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

вправо (четные полупериоды). Если какой-либо полупериод заканчивается в полосе, расположенной между двумя прямыми, то движение прекращается; эта полоса называется зоной застоя. «Огибающие» графика движения имеют вид наклонных прямых.

Пример №95

В системе, изображенной на рис. 2.8, коэффициент жесткости пружины с = 2 кГ/см, вес груза 3 кГ и коэффициент сухого трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Какому условию должно удовлетворять начальное отклонение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач груза, чтобы до полной остановки он совершил не более 10 полных колебаний?

По условию задачи должно выполняться неравенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —число полу периодов. Подставляя сюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вынужденные колебания

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием восстанавливающей силы и внешней возмущающей силы. Возмущающая сила может быть произвольной функцией времени, однако мы ограничимся простейшим, но практически весьма важным случаем, когда сила изменяется по гармоническому закону. Пусть проекция возмущающей силы на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —амплитуда и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач- частота возмущающей силы, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —начальная фаза. Тогда дифференциальное уравнение движения материальной точки вдоль оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив дифференциальное уравнение (2.29), мы определим закон движения материальной точки. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (2.29) равно сумме решений: частного решения уравнения (2.29) и общего решения однородного уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общее решение последнего уравнения мы уже знаем:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные интегрирования. Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то частное решение уравнения (2.29) будем искать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—неизвестная постоянная. Для ее определения подставим выражения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (2.29):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для тождественного выполнения этого равенства должно быть

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частное решение имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, общее решение уравнения (2.29) запишется в форме

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависят от начальных условий. Таким образом, искомое движение материальной точки является суммой гармонических колебаний, происходящих с собственной частотой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и гармонических колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подробно исследуем второе слагаемое в (2.31), описывающее чисто вынужденные колебания и не зависящее от начальных условий.

Амплитуда чисто вынужденных колебаний равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем решение (2.30), используя формулу (2.32):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из полученных соотношений следует, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы; при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вынужденные колебания сдвинуты по фазе от возмущающей силы на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проследим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения частот Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого преобразуем выражение амплитуды вынужденных колебаний

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — величина статического отклонения точки от положения равновесия при действии силы, равной максимальному значению возмущающей силы. Обозначим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой коэффициент динамичности; он показывает, во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение. Из графика (рис. 2.10) видно, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициент динамичности резко возрастет.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вернемся теперь к общему решению (2.31). Записав его в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

определим постоянные интегрирования, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив начальные условия в уравнение (2.34) и в выражение для скорости движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в соотношение (2.34), будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такая запись решения позволяет установить, что даже при нулевых начальных условиях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка будет совершать колебания, происходящие с собственной частотой; они определяются членом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем амплитуда этих колебаний не зависит от начальных условий.

При частоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач близкой к собственной частоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач благодаря сложению двух колебаний близкой частоты, одинаковой амплитуды и противоположных по фазе, наступает своеобразное явление, называемое биением.

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда выражение (2.35) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач примет вид (приближенно полагаем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач График этого движения представлен на рис. 2.11.

Показанные здесь биения представляют собой колебания, происходящие с частотой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач возмущающей силы, причем амплитуда этих колебаний медленно меняется, следуя также периодическому закону. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим теперь случай, когда собственная частота совпадает с частотой возмущающей силы, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Частное решение уравнения (2.29) в этом случае нужно искать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив выражение (2.37) в дифференциальное уравнение (2.29), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введя обозначение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем это соотношение в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство будет тождественно удовлетворено, если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общее решение имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При начальных условиях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем*)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 2.12 показан график функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как видно, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач происходит неограниченное возрастание амплитуды колебаний, причем рост амплитуды линеен во времени. Это явление носит название резонанса.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №96

Груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прикреплен к нижнему концу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикально расположенной пружины, жесткость которой равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а длина в ненапряженном состоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Верхний конец пружины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещают по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в вертикальном направлении (рис. 2.13).

Определить вынужденные колебания груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приняв Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выберем начало координат в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проведем ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикально вниз. Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина пружины в ненапряженном состоянии, то удлинение пружины равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, сила, действующая на груз со стороны пружины, равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Введем новую переменную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно равенству Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда дифференциальное уравнение движения преобразуется к следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введение новой переменной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равносильно переносу начала координат в положение равновесия груза. Вынужденные колебания груза определяются формулой (2.30):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда числовые значения параметров, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае амплитуда колебаний груза (4 см) вдвое больше амплитуды колебаний точки подвеса пружины. Заметим, что груз колеблется около среднего положения, удаленного от верхнего конца пружины на 40 см\ этому положению соответствует состояние равновесия груза.

Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления

Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач под действием линейной восстанавливающей силы, вязкой силы сопротивления и возмущающей силы, проекция которой на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение дифференциального уравнения (2.39) складывается из двух решений: общего решения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующего однородного уравнения и частного решения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнения (2.39).

Как показано, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач решение однородного уравнения записывается в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные интегрирования, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Частное решение уравнения (2.39) будем искать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — неопределенные постоянные величины. Таким образом, мы предполагаем, что частное решение описывает колебания постоянной амплитуды, происходящие с частотой возмущающей силы.

Находя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и подставляя значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (2.39), получив

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и воспользовавшись соотношением

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

для определения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь следующие уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив найденные значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в частное решение, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.39) имеет следующий вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения закона движения материальной точки нужно найти постоянные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь начальными условиями: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим значения постоянных

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачамплитуда вынужденных колебаний.

Подставив значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (2.43), найдем закон движения материальной точки в рассматриваемом случае:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, движение материальной точки складывается: из свободных затухающих колебаний (первое слагаемое), обусловленных начальными условиями; из затухающих колебаний (второе слагаемое), имеющих собственную частоту, но вызванных действием вынуждающей силы, и чисто вынужденных колебаний (третье слагаемое). Так как первые два движения с течением времени затухают, то основным колебанием, определяющим характер движения материальной точки, является чисто вынужденное колебание с амплитудой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и частотой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следует заметить, что при наличии сопротивления вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вводя обозначения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем формулу (2.41) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой статическое перемещение, вызываемое постоянной силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем в рассмотрение коэффициент динамичности

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

который характеризует динамический эффект, вызываемый вынуждающей силой.

Исследуем зависимость коэффициента динамичности от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — отношения частот вынуждающей силы и собственных колебаний в среде без сопротивления, а также от коэффициента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач характеризующего сопротивление среды. Очевидно, что, найдя зависимость коэффициента динамичности от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мы тем самым определим и зависимость от них амплитуды вынужденных колебаний.

Найдем экстремум функции

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого приравняем нулю производную

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Корнями этого уравнения будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то корень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должен быть отброшен. Найдем вторую производную от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, функция у имеет минимум, а коэффициент динамичности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —максимум. Других действительных корней при этих значениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение (2.47) не имеет.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом имеет минимум. Для корня же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициент динамичности имеет максимум.

Заметим, что всегда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, только когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (среда без сопротивления), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ранее было показано, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач решение (2.40) не имеет смысла и его нужно искать в виде (2.37).

Максимальное значение коэффициента динамичности найдем, подставив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формулу (2.45):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 2.14 показаны кривые, определяющие зависимость коэффициента динамичности от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Каждой из кривых соответствует определенное значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пунктирная линия проходит через точки максимума.

Из рассмотрения этого рисунка следует, что амплитуда вынужденных колебаний при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно большом и достаточно малом по сравнению с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач очень мало зависит от сопротивления среды. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач близких к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач влияние сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний весьма существенно.

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач амплитуда вынужденных колебаний асимптотически стремится к нулю. Это значит, что при большой частоте возмущающей силы по сравнению с собственной частотой амплитуда вынужденных колебаний весьма мала.

На рис. 2.15 представлена зависимость сдвига фазы вынужденных колебаний относительно возмущающей силы в зависимости от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отметим, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сдвиг фазы равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом значении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Резонансом при колебаниях в среде с сопротивлением называют вынужденные колебания при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что отвечает примерно максимальному значению амплитуды вынужденных колебаний.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №97

Под двигатель Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.16) требуется подвести фундамент. Нбобходимо определить такую толщину кладки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы коэффициент динамичности не превышал единицы для всех частот вынужденных колебаний, передаваемых от двигателя фундаменту. Сопротивление грунта можно схематизировать как реакцию упругих сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вязких сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вызванных внутренними силами сопротивления. Отнесенные к единице площади фундамента, коэффициенты жесткости и вязкости соответственно равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Плотность фундамента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбрав ее начало Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положении равновесия центра тяжести фундамента.

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь основания и представим проекцию вынуждающей силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в виде Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда уравнение движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь мы воспользовались очевидными равенствами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —статическая осадка фундамента.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приведем уравнение движения к нормальному виду. Для этого разделим его на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и воспользуемся равенством Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая с уравнением (2.39), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, безразмерный коэффициент вязкости равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Коэффициент динамичности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при всех частотах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не будет превосходить единицы, если потребовать, чтобы кривая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имела максимума при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, должно выполняться неравенство Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим толщину кладки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя в это неравенство данные числовые значения параметров, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Электродинамические аналогии. Понятие об исследовании колебаний материальных систем с помощью электронных аналоговых машин

Колебательные процессы, происходящие в различных физических системах, описываются часто одинаковыми математическими уравнениями. Это обстоятельство дает возможность установить аналогию между системами различной физической природы. Наиболее полно эта аналогия установлена между механическими и электрическими системами. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, движение которой описывается следующим дифференциальным уравнением:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координата, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —масса точки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент сопротивления среды, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент жесткости пружины, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач - возмущающая сила. Символически систему, отвечающую уравнению (2.50), изображают обычно схемой, показанной на рис. 2.17.

Рассмотрим теперь электрический контур, в котором индуктивность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачомическое сопротивление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач конденсатор емкостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и внешний источник энергии э. д. с. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соединены последовательно (рис. 2.18). Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных участках цепи равна разности потенциалов на концах зажимов, т. е. э. д. с. источника энергии. Падение напряжения от индуктивности равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сила тока, падение напряжения от омического сопротивления равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а падение напряжения в конденсаторе определяется равенством Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — заряд конденсатора. Следовательно, по второму закону Кирхгофа будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая с уравнением (2.50), видим, что колебания механической системы с одной степенью свободы и изменение заряда в электрической цепи описываются с точностью до обозначений совершенно одинаковыми дифференциальными уравнениями. Следовательно, между этими системами можно провести аналогию, сопоставив заряд Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач индуктивность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с массой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач омическое сопротивление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с коэффициентом сопротивления среды, величину, обратную емкости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с коэффициентом жесткости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и электродвижущую силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с возмущающей силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для электрического контура с параллельно соединенными элементами (рис. 2.19) на основании первого закона Кирхгофа будем иметь (складываются токи)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —напряжение.

Дифференцируя по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь мы имеем другую систему аналогий, в которой координате Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует напряжение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует емкость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач конденсатора, коэффициенту сопротивления среды Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отвечает проводимость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициенту жесткости пружины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — величина, обратная индуктивности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и возмущающей силе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— скорость изменения тока Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сведем результаты в таблицу электродинамических аналогий. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы электродинамическими аналогиями можно было пользоваться без употребления переходных коэффициентов, достаточно выразить все величины в международной системе единиц СИ.

Пользуясь электродинамической аналогией можно для каждой механической системы построить соответствующую электрическую цепь, уравнения которой будут с точностью до обозначений совпадать с уравнениями движения механической системы. Электрическая цепь, в отличие от механической системы, компактна; кроме того, процессы, происходящие в ней, хорошо наблюдаются на осциллографе. Эти соображения лежат в основе конструкции электронных аналоговых (моделирующих) машин *).

Аналоговые машины имеют набор смонтированных быстро настраиваемых элементов индуктивностей, емкостей, сопротивлений или других элементов, создающих аналогичный эффект. Соединяя эти элементы в соответствующие цепи, можно определить все параметры, характеризующие движение механической системы, для которой собранная цепь является аналогом. В частности, весьма просто определяются частоты собственных колебаний системы. Для этого достаточно включить в цепь э. д. с. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и увеличивать частоту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до тех пор, пока не наступит резонанс.

Соответствующая частота— собственная частота системы. Эта работа не требует высокой квалификации (сложность работы на собранной схеме примерно та же, что и сложность настройки радиоприемника) и может быть выполнена за сравнительно короткий промежуток времени с относительно большой точностью.

С помощью электронных аналоговых машин можно решать нелинейные задачи, когда линеаризация дифференциальных уравнений движения по каким-либо причинам недопустима, а также задачи, приводящие к линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами. В заключение отметим, что в современных аналоговых машинах устанавливается, как правило, не электродинамическая, а электроматематическая аналогия, когда математическим операциям сложения, умножения, дифференцирования, интегрирования и т. п. отвечает соответствующий электрический элемент. Такие машины более универсальны.

Общие теоремы динамики точки

При интегрировании дифференциальных уравнений движения в конкретных задачах эти уравнения подвергаются различным однотипным преобразованиям, зависящим от характера действующих сил. Поэтому целесообразно проделать такие преобразования в общем виде. Общие теоремы динамики точки и представляют собой цреобразования дифференциальных уравнений движения, причем в различных теоремах выделены и связаны между собой те или иные характеристики движений. В результате получаются удобные зависимости, широко используемые для решения конкретных задач динамики.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Заметим, что в основном уравнении динамики

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

масса материальной точки — величина постоянная и что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это позволяет переписать уравнение (3.1) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равный произведению массы точки на ее скорость, называется количеством движения материальной точки.

Произведение силы на элементарный промежуток времени ее действия, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называемся элементарным импульсом силы.

Уравнение (3.2) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:

  • элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке.

Рассмотрим теперь движение материальной точки на конечном промежутке времени. Пусть в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость точки

равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, интегрируя уравнение (3.2), можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интеграл, входящий в правую часть этого соотношения, называется импульсом силы за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом,

изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно импульсу силы, приложенной в точке, за тот же промежуток времени.

Если воспользоваться декартовой системой координат, то будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —координаты точки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — компоненты ее скорости, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции силы, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичные векторы осей координат. Тогда, проектируя векторное равенство (3.3) на оси декартовой системы координат, получим три скалярных соотношения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь, как и ранее, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции скорости материальной точки на оси координат в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — те же проекции в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как отмечалось, в общем случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть функцией координат точки, ее скорости и времени, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, проекции силы также являются функциями этих величин:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому для фактического вычисления интегралов, стоящих в правых частях уравнений (3.4), нужно знать координаты материальной точки как функции времени. Но определение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как функций времени и есть то, к чему мы стремимся, решая вторую задачу динамики. Если эти функции откуда-либо известны, то отпадает необходимость пользоваться уравнениями (3.4). Таким образом, в общем случае теорема об изменении количества движения новых возможностей для решения задачи не открывает.

Однако, если сила является функцией только времени, интегралы в правых частях уравнений (3.4) могут быть вычислены и можно получить первые интегралы уравнений движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

— проекции импульса силы на оси координат.

Дальнейшее интегрирование также не представляет принципиальных трудностей:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальные значения координат в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если сила постоянна, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные величины), то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частном случае при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. материальная точка совершает равнопеременное прямолинейное движение вдоль оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №98

Определить промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимый для того, чтобы материальная точка веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движущаяся по горизонтальной прямой под действием постоянной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличила свою начальную скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз.

Примем прямую, вдоль которой движется точка, за ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда на основании (3.6) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Вновь вернемся к основному уравнению динамики (3.1) и умножим его векторно слева на радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющий положение материальной точки относительно какой-либо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которую будем называть центром:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач преобразуем левую часть этого уравнения следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ho Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и векторное произведение параллельных векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и уравнение (3.8) можно записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется моментом количества движения материальной точки относительно центра (точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нам известен из курса статики и представляет собой момент силы, приложенной к точке, относительно центра.

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение выражает собой теорему об изменении момента количества движения материальной точки:

производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра.

Векторное уравнение (3.10) эквивалентно трем скалярным равенствам.

Принимая точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за начало системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и записывая векторные произведения в виде определителей третьего порядка, вместо (3.10) получаем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученный результат можно сформулировать следующим образом: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же самой оси.

Как видно из уравнений (3.11), при их интегрировании необходимо вычисление интегралов от правых частей. Однако вычисление этих интегралов возможно только тогда, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач известны как функции времени, но тогда отпадает вообще надобность в применении равенств (3.11).

Тем не менее существуют случаи, когда теорема об изменении момента количества движения дает возможность эффективно решать задачи динамики.

К ним относится прежде всего случай действия центральной силы. Этим термином мы будем пользоваться применительно к любой силе, линия действия которой проходит через некоторую фиксированную точку пространства*) (полюс). Так, например, при изучении движения Земли в Солнечной системе на Землю действует сила притяжения Солнца, все время направленная к центру Солнца.

Изучим действие центральной силы. Момент силы относительно точки, через которую проходит линия действия, тождественно равен нулю. Следовательно, согласно равенству (3.10) момент количества движения материальной точки относительно полюса является постоянной величиной:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, мы получим сразу три первых интеграла движения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании этих результатов можно сделать некоторые общие выводы о характере движения материальной точки.

Для этой цели введем понятие секторной скорости. Секторная скорость вводится как вектор, характеризующий быстроту изменения площади поверхности, описываемой радиусом-вектором.

Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальная точка находится в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач траектории, а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.1). Площадь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна половине модуля векторного произведения радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на вектор перемещения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделив обе части этого соотношения на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и переходя к пределу при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость точки в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формула (3.14) определяет модуль секторной скорости. Заметим, что величина секторной скорости может быть вычислена как площадь треугольника, построенного на векторах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач За направление вектора секторной скорости примем направление векторного произведения радиуса-вектора на скорость точки. Тогда вектор секторной скорости равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. секторная скорость равна половине векторного произведения радиуса-вектора точки на ее скорость.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая (3.15) с основным выражением для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можем написать интеграл (3.12) в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в случае действия центральной силы секторная скорость точки есть постоянная величина, т. е. радиус-вектор точки описывает равные площади в любые одинаковые промежутки времени. Этот результат называется законом площадей. Но, кроме того, из (3.16) следует, что траектория точки является плоской кривой. В самом деле, вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняет постоянное направление в пространстве, поэтому на основании формулы (3.15) можно утверждать, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет все время расположен в плоскости, перпендикулярной к вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. траектория точки лежит в этой плоскости *).

Предположим, что движение происходит в плоскости и положение точки определяется полярными координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и формула (3.15) может быть записана в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой происходит движение.

Если вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является постоянной величиной, то его проекция на направление, определяемое направлением вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач также постоянная величина, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянная величина.

Соотношение (3.18) называется законом площадей. Это соотношение может быть получено и другим путем. Если плоскость, в которой расположена траектория, будет плоскостью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вместо векторного равенства (3.16) можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянная величина.

Так как в полярных координатах

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то, принимая во внимание, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №99

Траектория наиболее удаленной от Солнца планеты Плутон имеет вид эллипса, причем расстояние от Солнца до Плутона меняется от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач км (рис. 3.2). Определить отношение между максимальной и минимальной скоростью Плутона.

Секторные скорости точки, движущейся по эллипсу, в моменты прохождения через положения максимального и минимального удаления одинаковы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, искомое отношение составляет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т.е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №100

Шарик, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью и в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние между шариком и отверстием равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.3).

На шарик действует сила, направленная вдоль нити. Так как эта сила центральная, то момент количества движения шарика относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является постоянной величиной и справедливо соотношение (3.18).

Постоянную с найдем из начальных условий: при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя эти выражения в (3.18), находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, для всего последующего процесса движения имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи скорость, с которой втягивается нить, равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Приняв во внимание начальные условия, после интегрирования получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда уравнение для определения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя и имея в виду, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Чтобы построить траекторию шарика, исключим из уравнений для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда получим величину радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в функции полярного угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Траектория шарика представляет собой свертывающуюся спираль. С приближением шарика к началу координат угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растет все быстрее и быстрее, т. е. скорость вращения радиуса-вектора возрастает. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта скорость стремится к бесконечности.

Работа силы. Мощность

Перейдем к понятию работы, с помощью которой мы получим еще одну общую теорему динамики материальной точки.

В элементарном курсе физики понятие работы вводится следующим образом. Пусть материальная точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по прямой линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторая постоянная по модулю и направлению сила, приложенная к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется в одном направлении от положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим наименьший угол между силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.4). Тогда работой постоянной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на прямолинейном отрезке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют произведение модуля силы на величину перемещения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и на косинус угла между ними

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Конечно, это равенство можно записать в форме скалярного произведения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вектор перемещения точки.

Напомним, что единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж=1 нм), а в технической системе —1 кГм. (1 кГмт Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач 9,81 дж).

Приведенное определение работы силы применимо только в том случае, если сила постоянна по модулю и направлению, а точка приложения силы перемещается прямолинейно.

Перейдем к общему определению работы силы, считая, что сила может изменяться по модулю и направлению, а точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещается по любой криволинейной траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.5, а). Разобьем отрезок кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных, но малых участков, обозначив длину участка с номером Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Не внося больших погрешностей в вычисление, можно считать каждый участок прямолинейным отрезком и что при перемещении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль этого участка сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач остается постоянной по модулю и направлению. Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно формуле (3.19), работа силы на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач участке будет приближенно равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а на всем пути от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — сумме работ на отдельных участках

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точное значение работы получим, переходя к пределу, при условии, что число участков Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неограниченно возрастает, а длина каждого участка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачнеограниченно убывает:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой предел называется криволинейным интегралом первого рода по дуге Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается следующим образом *):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы, пользуясь формулой (3.21), вычислить работу силы, нужно выразить произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как функцию длины дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В подавляющем большинстве случаев это очень трудно выполнить, поэтому обычно пользуются криволинейным интегралом второго рода. Для того чтобы сделать этот переход, введем в рассмотрение элементарную работу силы (это понятие имеет самостоятельное значение, и мы будем неоднократно пользоваться им).

Под элементарной работой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач понимается выражение, стоящее под знаком интеграла (3.21):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В кинематике было показано, что дифференциал пути Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен модулю дифференциала радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, элементарную работу силы можно представить следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, через скалярное произведение векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь, сравнивая выражения (3.23) и (3.20), можно определить элементарную работу силы как работу ее на прямолинейном перемещении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что величина и направление силы на этом перемещении не меняются. Напомним, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает по направлению с вектором скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки (рис. 3.5, б).

Запишем выражение (3.23) через проекции векторов, входящих в скалярное произведение:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Даже в тех случаях, когда сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит только от положения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. от координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач правая часть этого равенства не представляет, как правило, полный дифференциал некоторой функции координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому в обозначение элементарной работы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач после буквы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ставится наверху знак «штрих» *) (рассмотрен особый класс сил, для которых правая часть равенства равна полному дифференциалу функции координат).

Все три выражения (3.22), (3.23) и (3.24) для элементарной работы силы эквивалентны. Поэтому, пользуясь равенствами (3.21), (3.22) и (3.24), получим другую формулу для вычисления работы силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на отрезке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правая часть этого равенства называется криволинейным интегралом второго рода (все функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисляются на кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а дифференциалы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны между собой через ее уравнение).

Если сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит только от положения точки, т. е. от координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачточки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложения силы, то работа вычисляется непосредственно по формуле (3.25) и при этом совершенно не нужно знать закон движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по кривой. Если же сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит не только от координат точки приложения, но и от ее скорости и от времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то для вычисления работы силы нужно знать уравнения движения точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив в формулу (3.25) вместо координат точки их значения из (3.26), вместо проекций скорости производные по времени от этйх величин и вместо дифференциалов координат их значения из (3.27), мы сведем криволинейный интеграл (3.25) к обычному определенному интегралу

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — моменты времени, в которые точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (см. рис. 3.5, а).

Пусть теперь на материальную точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует несколько сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Легко доказать (читатель без труда сделает это самостоятельно), что работа равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, на некотором перемещении равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде чем перейти к примерам, рассмотрим один частный случай, когда действующая на точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила сохраняет постоянное направление и модуль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вычислим работу такой силы при перемещении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по некоторой траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.6, а). Для этого воспользуемся формулой (3.21), учтя, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вынесем постоянный множитель Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за знак интеграла и примем во внимание, что при движении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач меняется от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 3.6, а). Тогда последовательно получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между неизменным направлением силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вектором перемещения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как последнее равенство совпадает с (3.19), то это означает, что при постоянной силе формулу (3.19) можно применять при перемещении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по любому криволинейному пути, если только под Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач понимать кратчайшее расстояние между начальным и конечным положениями точки приложения силы.

Применим полученный вывод к вычислению работы силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сила тяжести направлена вертикально вниз; произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно по модулю вертикальному перемещению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.6, б). Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. работа силы тяжести равна произведению модуля этой силы на вертикальное перемещение точки, взятому со знаком «плюс», если точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опускается, и со знаком «минус», если точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поднимается. Формулой (3.29) для вычисления работы силы тяжести мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.

Рассмотрим две задачи на непосредственное применение полученных ранее формул.

Пример №101

Проекции силы определены равенствами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —некоторое положительное число, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки приложения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить работу силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при движении точки приложения ее от начала координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в трех случаях: !) точка приложения силы перемешается от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по кратчайшему'пути; 2) точка приложения силы перемещается сначала по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем по прямой, параллельной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач 3) точка приложения силы перемещается сначала по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем по прямой, параллельной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.7).

Прежде всего заметим, что сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к радиусу-вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки приложения силы. Для того чтобы доказать это, достаточно составить скалярное произведение векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны *). Отсюда следует, что при движении точки по первому пути от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач работа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна нулю. Покажем это аналитически, пользуясь формулой (3.25). Для этого напишем прежде всего уравнение прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловой коэффициент. Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теперь формулу (3.25), учтя при этом заданные проекции сил, уравнение прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Последовательно получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во втором случае разобьем весь путь интегрирования на два участка: от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 3.7). На первом участке от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на втором участке от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В третьем случае разобьем весь путь интегрирования тоже на два участка: от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 3.7). На участке от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на втором участке от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, работа рассматриваемой силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на первом пути равна нулю, на втором пути Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и на третьем пути — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Этот пример наглядно показывает, что в общем случае работа силы зависит не только от начального и конечного положений точки приложения силы, но также и от пути, по которому эта точка перемещается. Отметим еще, что во всех трех случаях данного примера для вычисления работы силы не нужно знать закона движения точки, ее массу и скорость.

Пример №102

Вычислить работу силы сопротивления, действующей на корабль, за время, в течение которого скорость корабля после остановки двигателей уменьшится вдвое (см. задачу 1.7).

Так как сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению корабля, то угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь формулой (3.21) и значением

модуля силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — значение времени, при котором скорость корабля уменьшилась вдвое.

Для дальнейших вычислений нужно знать закон движения корабля. Воспользуемся результатами задачи 1.7 (стр. 31). При решении этой задачи была установлена следующая зависимость скорости корабля от времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. равенство (1-36)):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив это выражение для скорости в последнее равенство, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После интегрирования получим выражение для работы как функции времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь выражением для скорости, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь равенство (3 30) приводится к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы найти работу силы за время, в течение которого скорость уменьшится вдвое, нужно в последнем равенстве положить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В отличие от предыдущей задачи, здесь работа силы зависит от массы и скорости тела.

Формула (3.31), полученная здесь путем анализа конкретной задачи, является общей для любых сил, действующих на материальную точку.

Остановимся теперь кратко на понятии мощности силы. В элементарном курсе физики мощность определяется как количество работы, производимой в единицу времени. Это определение применимо, конечно, только в том случае, если в равные промежутки времени сила производит равные работы. Нам остается распространить это определение на общий случай, когда работа производится не равномерно.

Вычислим работу силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от некоторой фиксированной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(см. рис. 3.5а)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач работа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет с течением времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач меняться. Для того чтобы получить работу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как явную функцию времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достаточно воспользоваться формулой (3.28), заменив в ней фиксированный верхний предел интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на переменный предел Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь мощность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач легко определяется как скорость изменения работы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматривается как функция времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Легко видеть, что полный дифференциал работы, выраженной как функция времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле (3.32), равен элементарной работе силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, если рассматривать работу как функцию времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то, пользуясь формулой (3.32), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что совпадает с выражением (3.24) для элементарной работы. Таким образом, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, пользуясь равенством (3.23),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих равенствах предполагается, что правые части выражены с помощью соотношений (3.26) и (3.27) через время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теперь мощность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. мощность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна скалярному произведению силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки приложения силы.

Теперь под знак интеграла в формулу (3.28) можно внести мощность:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если изменение работы происходит равномерно, т. е. мощность постоянна, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае, как уже отмечалось, мощность равна количеству работы, производимой в единицу времени.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт = 1 дж/сек), а в технической системе — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В технике применяются также более крупные единицы мощности: 1 кет — 1 ООО вт и так называемая лошадиная сила (1 л. с.— Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении кинетической энергии

Найдем связь между работой сил, приложенных к материальной точке, и изменением скорости точки. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке. Умножим обе части этого равенства скалярно на дифференциал радиуса-вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В правой части стоит элементарная работа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке; левую часть можно представить в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом учтено, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теперь равенство (3.39) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (3.40) дает дифференциальную связь между кинетической энергией и элементарной работой: полный дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе всех действующих на эту точку сил.

Будем рассматривать все члены, входящие в равенство (3.40), как функции времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, учитывая соотношения (3.33), (3.34) и деля обе части равенства (3.40) на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. полная производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна суммарной мощности всех действующих на точку сил.

Пусть теперь материальная точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещается по кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 3.5, а). Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно и проинтегрируем обе части равенства (3.40)-по кривой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Правая часть этого равенства равна работе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на пути Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при вычислении левой части следует иметь в виду», что криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции равен самой функции. Таким образом, будем иметь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. изменение кинетической энергии материальной точки при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме, работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

С помощью только что доказанной теоремы об изменении кинетической энергии можно решать следующие две основные задачи. В первой определяется скорость материальной точки в конце или начале движения. Решение этой задачи с помощью равенства (3.43) имеет смысл, конечно, только в том случае, если работу всех сил, приложенных к материальной точке, можно вычислить, не зная закона движения, т. е. не интегрируя уравнения движения. К задачам второго типа относится вычисление работы силы по заданной скорости. Использование формулы (3.43) для решения задач такого рода особенно полезно в тех случаях», когда трудности, связанные с определением закона движения и вычислением интеграла (3.28), сравнительно велики (см. задачи 3.12 и 3.13) или когда неизвестна аналитическая зависимость силы (см. задачу 10.4).

Силовое поле. Потенциальная энергия

В этой лекции рассматриваются позиционные силы, которые зависят только от положения материальной точки в пространстве.

Будем называть силовым полем область (часть пространства), в каждой точке которой на помещенную в ней материальную точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени. Таким образом, в силовом поле должна быть известна одна векторная функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависящая от радиуса-вектора точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или три скалярные функции — проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —координаты точки.

Силовое поле называется нестационарным, если сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит явно от времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и стационарным, если сила не зависит от времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач явно. В дальнейшем будем рассматривать только стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки, т. е. от ее радиуса-вектора

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а ее проекции являются функциями координат точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим два общих свойства таких полей:

1. Работа сил стационарного поля зависит в общем случае от начального Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и конечного Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положений и траектории, но не зависит от закона движения материальной точки по траектории.

2. Имеет место равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — работа сил стационарного поля при движении материальной точки от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —работа сил поля при движении точки по той же траектории в обратном направлении от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое свойство следует непосредственно из формулы (3.25), а второе —из формулы (3.21) (модуль и направление силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в каждой точке траектории не зависят от направления движения и времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при изменении направления движения перейдет в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что для нестационарных силовых полей эти свойства не имеют места.

Рассмотрим какое-нибудь стационарное поле и вычислим работу сил поля при перемещении материальной точки из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по двум различным траекториям (рис. 3.8). Работу сил поля при движении по первой траектории обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а работу сил поля при движении по второй траектории обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В общем случае эти работы не равны между собой:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(см. задачу 3.4).

Среди стационарных силовых полей важное место занимают поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения материальной точки и определяется только положением начальной и конечной точек пути. Такие силовые поля называются потенциальными (консервативными). Согласно определению' для потенциальных сил работа не зависит от пути и, следовательно, для них имеет место равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —любые пути, по которым материальная точка может перейти от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — общее значение работы.

Пусть точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является точкой в области заданного потенциального силового поля. Выберем в этом же силовом рис 3g поле произвольную точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зафиксируем ее положение и назовем нулевой точкой. При движении материальной точки от положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до нулевой точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач работа сил потенциального поля будет зависеть только от положения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т.е. от ее координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизменно, а работа сил потенциального поля не зависит от пути. Следовательно, работа сил потенциального поля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при движении материальной точки от точки поля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является некоторой функцией координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта функция называется потенциальной энергией и обозначается греческой буквой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом предполагается, что функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач однозначна и непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно.

Из приведенного определения потенциальной энергии вытекает, что нулевая точка —это точка, в которой потенциальная энергия условно принимается равной нулю.

Покажем, что потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Действительно, выберем вместо точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач другую нулевую точку —точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначим соответствующую потенциальную энергию через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как работа сил потенциального поля не зависит от пути, то выберем путь от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы он проходил через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.9). Разбивая весь путь от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на два участка: от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первое слагаемое равно потенциальной энергии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при старой нулевой точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второе слагаемое постоянно (не зависит от координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначая это слагаемое через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что и доказывает сделанное замечание.

Предположим, что потенциальная энергия силового поля известна, т. е. известно значение функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в каждой точке области существования силового поля. Найдем, чему равна работа сил

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потенциального поля при переходе материальной точки из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для вычисления работы выберем путь от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящим через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.10). Разбивая путь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на два участка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По определению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — потенциальная энергия в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — потенциальная энергия в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. работа сил потенциального поля при перемещении материальной тонки равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути.

Силовое поле задается обычно проекциями силы на оси координат, т. е. функциями (3.44).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы решить вопрос о том, является ли это данное силовое-поле потенциальным, докажем предварительную теорему: Для того чтобы силовое поле (3.44) было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая непрерывная-однозначная функция координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называемая потенциальной энергией поля, частные производные от которой удовлетворяют равенствам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Докажем сначала необходимость этих условий. Предположим, что силовое поле является потенциальным, т. е. работа от пути не зависит.

Вычислим работу сил поля на перемещении точки из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положение с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.11), выбрав за путь прямолинейный отрезок,, соединяющий точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (он параллелен оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь формулами (3.48) и (3.25), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как при выбранном пути координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не меняются, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и полученное выражение примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме о среднем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет условию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно после деления на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переходя к пределу при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично получаются и два других равенства (3.49).

Перейдем к доказательству достаточности условий (3.49). Предположим, что условия (3.49) выполнены.

Используя условия (3.24) и (3.49), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как потенциальная энергия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит только от координат точки, то выражение, стоящее в скобках, равно полному дифференциалу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть точка переместилась из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что совпадает с формулой (3.48). Это доказывает достаточность условий (3.49) (работа зависит только от значений потенциальной энергии в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и не зависит от пути).

Условие (3.49) часто берут в качестве определения потенциального поля. Тогда из соотношения (3.51) вытекает независимость работы от пути.

Перейдем теперь к решению поставленной задачи: как, зная только проекции силы (3.49), определить, является ли силовое поле потенциальным. Продифференцируем первое равенство (3.49) частным образом по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второе по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то из равенства правых частей следует равенство и левых частей; иначе говоря, если поле потенциально, то проекции сил должны удовлетворять условию (два других равенства получены аналогичным методом)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Справедливо обратное утверждение (мы не будем останавливаться на доказательстве его): если условие (3.52) выполнено, то силовое поле потенциально.

При решении задач на исследование силовых полей вначале по условию (3.52) проверяют, является ли заданное поле потенциальным, а затем, если окажется, что условие (3.52) выполнено, то определяют потенциальную энергию поля, пользуясь определением (3.47): потенциальная энергия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в данной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна работе сил поля на перемещении от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до нулевой точки, в которой потенциальная энергия условно принимается равной нулю. Так как путь интегрирования не имеет значения, то его выбирают обычно так, чтобы все вычисления свести к минимуму.

Проиллюстрируем сказанное двумя простыми задачами чисто методического' характера.

Пример №103

Проверить является ли силовое поле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

потенциальным.

Воспользуемся первым равенством (3.52). Имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как первое равенство условия (3.52) не выполнено, то заданное поле не потенциально (в задаче 3.4 непосредственными вычислениями было показано, что работа такой силы зависит от пути движения и, следовательно, сила не потенциальна).

Пример №104

Проверить, потенциально ли силовое поле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и если оно потенциально, то найти потенциальную энергию поля. Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то условие (3.52) выполнено и заданное поле потенциально.

Для определения потенциальной энергии поля нулевую точку выберем в начале координат, а путь интегрирования построим следующим образом: из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем двигаться сначала параллельно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположенной в плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач затем из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —параллельно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находящейся на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до начала координат (рис. 3.12). Пользуясь определением (3.47), последовательно получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На первом пути Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач меняется от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до 0; на втором пути Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач меняется от у до 0; на третьем участке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач меняется от х до 0. Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(в третьем интеграле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрируя и учитывая, что во-втором интеграле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Легко проверить, что если вычислить от этой потенциальной энергии частные производные по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач затем по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим заданные проекции сил с обратным знаком, что соответствует равенствам (3 49).

Наряду с потенциальной энергией многие авторы вводят в рассмотрение силовую функцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая отличается от потенциальной энергии только знаком, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия потенциальности силового поля (3.49) в этом случае имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Потенциальное силовое поле допускает удобную и наглядную геометрическую интерпретацию.

Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия сохраняет постоянное значение, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образует поверхность, которая называется эквипотенциальной поверхностью. Через каждую точку потенциального поля можно провести только одну такую поверхность (рис. 3.13).

Ясно, что работа сил поля при перемещении материальной точки из начального положения в конечное, когда оба эти положения находятся на одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю, так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эквипотенциальные поверхности обладают еще одним интересным свойством. Допустим, что материальная точка перемещается вдоль произвольной кривой на эквипотенциальной поверхности,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и пусть закон движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда для любого момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должно «выполняться равенство Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продифференцируем обе части этого тождества по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно (3.49) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в любой момент времени действующая на точку сила перпендикулярна к скорости точки. Но вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в касательной плоскости к эквипотенциальной поверхности, поэтому сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальна к эквипотенциальной поверхности (см. рис. 3.13).

Введем понятие силовой линии как кривой, в каждой точке которой касательная коллинеарна с силой данного силового поля. Очевидно, что уравнение такой линии может быть записано так:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения (3.53) выражают условия пропорциональности проекций двух векторов: силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и дифференциала радиуса-вектора силовой линии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (этот вектор всегда направлен по касательной линии).

Из уравнений (3.53) следует система двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Через каждую точку силового поля проходит одна и только одна силовая линия, являющаяся решением системы (3.54), кроме особых точек— состояний равновесия, где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения силовых линий следует, что они пересекают все эквипотенциальные поверхности ортогонально (см. рис. 3.13).

В заключение остановимся на понятии градлента силового поля. Если задана какая-либо скалярная функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуемый по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется градиентом функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обычно пользуются таким обозначением:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение для силы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в случае потенциального поля с помощью (3.49) можно преобразовать к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, в потенциальном поле силу можно рассматривать как взятый с обратным знаком градиент функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, как вычисляется потенциальная энергия для некоторых часто встречающихся силовых полей.

1. Потенциальная энергия поля силы тяжести. Совмещая плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с какой-либо горизонтальной плоскостью (рис. 3.14), для проекций силы тяжести будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно проверить, что условия (3.51) выполняются. Элементарная работа равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, работа силы тяжести при перемещении материальной точки из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в какую-либо точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна согласно (3.25)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но так как потенциальная энергия в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поля равна работе, которую совершает сила при перемещении точки из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эквипотенциальные поверхности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образуют семейство горизонтальных плоскостей, а силовым» линиями являются прямые, параллельные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Потенциальная энергия поля центральных сил. Центральной силой будем называть силу, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку поля (центр), причем модуль силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит только от расстояния Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки до центра.

Если этот центр выбрать за начало координат, то для центральной силы можно написать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (знак « + » для силы отталкивания, а знак « —» для силы притяжения).

Проверим, выполняется ли условие (3.52). Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, кроме того,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Остальные равенства (3.52) также выполняются.

Для вычисления потенциальной энергии найдем работу центральной силы при перемещении точки из некоторого произвольного положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в фиксированное положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Элементарная работа имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда потенциальная энергия будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь эквипотенциальные поверхности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —сферы с центром в начале координат, а силовые линии образуют пучок прямых, выходящих из начала координат.

В частности, центральной силой является гравитационная сила. Согласно закону всемирного тяготения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная тяготения, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — массы притягивающихся материальных точек, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—расстояние между ними.

Примем за точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач бесконечно удаленную точку; тогда, применяя (3.58), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины.

Примем за фиксированную точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в которой потенциальная энергия равна нулю, положение конца недеформированной пружины (положение самой пружины не играет роли). Пусть длина пружины в недеформировапном состоянии равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.15). Тогда величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач входящая в равенства (3.57) и (3.58), имеет вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачупругая сила пружины является по отношению к центру (точке крепления) отталкивающей, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — притягивающей.

Подставляя Fr(r) в (3.58), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — модуль приращения длины пружины.

Из формул (3.51) и (3.60) следует, что работа восстанавливающей силы пружины при перемещении конца пружины из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.

Интеграл энергии

Понятие о рассеивании полной механической энергии

Предположим, что все силы, действующие на материальную точку, потенциальны. Тогда элементарная работа сил, приложенных к точке, будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равенство (3.40) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя обе части этого равенства, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная интегрирования (она называется постоянной энергии).

Равенсво (3.62) называется интегралом энергии. Интеграл энергии показывает, что при движении точки в потенциальном поле сил сумма кинетической и потенциальной энергий (полная механическая энергия) есть величина постоянная (закон сохранения механической энергии).

Равенству (3.62) можно придать и такой вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —значения кинетической и потенциальной энергий в положениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно.

Интеграл энергии (3.62) справедлив при условии, что все силы, действующие на материальную точку, потенциальны. Если хотя бы одна из сил не потенциальна, то равенство (3.62) будет нарушено. Рассмотрим, какое влияние оказывают силы сопротивления (они, как правило, имеются всегда) на полную механическую энергию. Итак, будем считать, что на материальную точку действуют потенциальные силы (их потенциальная энергия равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силы сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Относительно последних мы не будем делать никаких ограничений: они могут быть постоянны по модулю (сухое трение), пропорциональны любой степени скорости (вязкое трение) или любым иным образом зависеть от скорости точки, ее положения и времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Единственное предположение (оно для сил сопротивления естественно) состоит в том, что сила сопротивления всегда направлена противоположно скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки (рис. 3.16).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Элементарная работа потенциальной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а элементарная работа силы сопротивления будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Равенство (3.40) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перегруппируем члены, разделим обе части равенства на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учтем, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угол между силой сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 180°; скалярное произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как производная по времени отрицательна, то полная механическая энергия под действием сил сопротивления убывает или рассеивается, переходя, конечно, в другие формы энергии, например в тепловую.

Модуль мощности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы сопротивления может служить мерой убывания полной механической энергии. Если модуль силы сопротивления равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (линейно-вязкое сопротивление), то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется диссипативной функцией Релея, удвоенная величина которой в данном случае служит мерой рассеивания (диссипации) энергии.

Пример №105

Какова длина разбега самолета, вес которого Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тяга, развиваемая двигателем, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач общая сила сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач взлетная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теорему об изменении кинетической энергии

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полагая начальную скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №106

Самолет, вес которого Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совершает посадку, имея вертикальную скорость снижения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подъемная сила при посадке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жесткость амортизационной системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сопротивление в амортизационных стойках шасси при прямом ходе постоянно и равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить наибольшую осадку самолета, считая, что за время срабатывания стойки горизонтальная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач остается неизменной (рис. 3.17).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теорему об изменении кинетической энергии. В начальный момент вертикальная составляющая скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в конечный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Работу восстанавливающей силы пружины определим по формуле (3.61). Полагая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим для работы всех сил (силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подъемной силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силы упругости амортизаторов)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина полной начальной скорости равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач величина скорости в конце процесса сжатия амортизационной системы равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому приращение кинетической энергии составляет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме об изменении кинетической энергии имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для крайнего нижнего положения следует перед корнем взять знак сплюс». Тогда, после подстановки численных значений, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №107

На какую высоту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач над поверхностью Земли поднимется ракета, запущенная в вертикальном направлении с поверхности Земли, если ее начальная скорость равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Какую начальную скорость надо сообщить ракете, чтобы она неограниченно удалялась от Земли? Сопротивлением атмосферы пренебречь. Радиус Земли Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис, 3.18).

Применим закон сохранения механической энергии, имея в виду, что конечная скорость ракеты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а потенциальная энергия силы тяготения определяется по формуле (3.59):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса ракеты, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса Земли, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — гравитационная постоянная. От двух последних постоянных можно избавиться, заметив, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (т.е. на поверхности Земли) сила притяжения приближенно равна силе тяжести

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разрешая уравнение относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь нетрудно ответить на второй вопрос. Согласно условию задачи должно быть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №108

С какой скоростью должна быть запущена с поверхности Земли ракета, чтобы она могла достигнуть той точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между Землей и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Луной (рис. 3.19), где силы притяжения Земли и Луны равны. Расстояние между центрами Луны и Земли Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а отношение их масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 1/80. Радиус Земли Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач должно выполняться равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Потенциальная энергия силы притяжения Луны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применим закон сохранения механической энергии (полагая, что в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость ракеты равна нулю) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя равенство Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №109

Сани спускаются с горы. Начиная с точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.20), их притормаживают силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач таким образом, что до конца спуска (точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость саней остается постоянной. Определить работу, совершаемую силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если вес саней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а высота горы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В отличие от предыдущих задач, здесь наряду с потенциальной силой — силой тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — действует непотенциальная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На основании теоремы об изменении кинетической энергии имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как начальная и конечная скорости саней одинаковы, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для работы силы тяжести имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем эту работу путем непосредственного вычисление. Так как скорость саней постоянна, то сумма проекций сил на направление скорости равна нулю, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим мощность силы торможения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь мы приняли во внимание, что сила торможения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют противоположные направления. Работа силы торможения за время спуска саней выражается следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №110

Материальная точка совершает прямолинейные затухающие колебания под действием линейной восстанавливающей силы, создаваемой пружиной жесткости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить работу силы сопротивления за одно полное колебание материальной точки, а также максимальную работу этой силы при неограниченной продолжительности колебаний.

В момент времени, когда материальная точка достигает максимального отклонения, скорость ее равна нулю. Поэтому, применяя теорему об изменении кинетической энергии для перемещения от начального до последующего максимального отклонения, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — работа упругой силы пружины, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — работа силы сопротивления. Так как деформация пружины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при максимальных отклонениях материальной точки равна соответствующей амплитуде, то согласно формуле (3.60) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — последующая амплитуды.

Следовательно, работа силы сопротивления за один период будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если выразить последующую амплитуду Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через предыдущую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью фактора затухания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по формуле (2.16), то последнее равенство примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —масса точки) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — период затухающих колебаний. За Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полных колебаний работа силы сопротивления будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такова максимальная работа, которую совершат силы сопротивления при неограниченной продолжительности колебаний.

Работу силы сопротивления можно, конечно, вычислить и путем непосредственного применения формулы (3.25). Для этого нужно воспользоваться решением (2.13) дифференциального уравнения затухающих колебаний материальной точки:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда нужно найти Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а затем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач После чего работа силы сопротивления определится путем вычисления интеграла

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот путь непосредственного вычисления работы по общим формулам требует, очевидно, значительно большей затраты труда, чем применение теоремы об изменении кинетической энергии.

Движение материальной точки в центральном силовом поле

Выше были установлены свойства движения точки в поле центральной силы. Напомним эти свойства.

Во-первых, траектория движения точки — плоская кривая. Центр, через который всегда проходит линия действия силы, лежит в плоскости траектории. Удобно описывать движение такой материальной точки в полярной системе координат с полюсом в центре силового поля. Полярную ось направим пока произвольно. Тогда положение точки в плоскости ее движения будет определяться полярными координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для центральной, силы имеем выражение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— проекция силы на радиус-вектор точки.

Во-вторых, имеет место закон площадей (секторная скорость остается постоянной). В полярных координатах соблюдается равенство (3.18): Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференциальное уравнение траектории точки, движущейся в центральном поле сил

Перейдем к составлению дифференциального уравнения движения материальной точки в центральном поле.

Воспользовавшись найденным в кинематике (том I, глава IX) выражением для радиального ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач запишем общее уравнение динамики

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в проекции на радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с интегралом площадей (4.2) уравнение (4.3) может быть переписано в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения траектории движения в полярных координатах перейдем в этом уравнении от независимой переменной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к полярному углу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В силу интеграла площадей (4.2) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продифференцируем это выражение по времени и вновь воспользуемся интегралом площадей (4.2):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приняв во внимание соотношение (4.5), перепишем этот результат в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя это выражение в уравнение (4.4), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вводя теперь новую искомую функцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное соотношение (4.8) и есть дифференциальное уравнение траектории материальной точки, движущейся под действием центральной силы (уравнение Бинэ).

Наиболее важным случаем центральной силы является гравитационная сила планеты или любого другого небесного тела.

Ньютоновская сила притяжения планеты, принимаемой за шар с радиальным распределением плотности, действующая на материальную точку, находящуюся вне пределов шара, равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — гравитационная постоянная, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса материальной точки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса планеты, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —расстояние точки от центра планеты.

Можно избавиться от произведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если известна сила притяжения на поверхности планеты, т. е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для Земли эта сила притяжения равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —ускорение свободного падения тела относительно невращающейся Земли. Аналогично определяется Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и для других планет.

Таким образом, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из равенства (4.9) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

после чего (4.9) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в данном случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении точки вне пределов земной атмосферы, но в достаточной близости к ее поверхности, можно пренебречь действием гравитационных сил со стороны других небесных тел и считать, что на точку действует только сила (4.10). В этом случае дифференциальное уравнение траектории (4.8) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Виды траекторий. Круговая и параболическая скорости

Исследуем решение основного дифференциального уравнения (4.11). Общее решение этого уравнения можно представить в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянные интегрирования. Вспоминая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем уравнение (4.12) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянная величина.

Уравнение (4.13) определяет траекторию материальной точки, движущейся под действием ньютоновской силы притяжения.

Для упрощения анализа введем новую переменную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что теперь угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет отсчитываться не от первоначально взятого фиксированного направления, а от некоторого нового направления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач повернутого относительно первого на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.1). Конечно, вид траектории от такой формальной замены переменных не может измениться.

Теперь уравнение (4.13) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, вид траектории определяется единственным образом через постоянные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Несколько дальше будет показано, как определить эти постоянные по начальным условиям.

Из курса аналитической геометрии известно, что кривые (4.14) представляет собой конические сечения *). Тип траектории определяется значением величины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называемой эксцентриситетом конического сечения.

В дальнейшем примем, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это соответствует выбору положительного направления полярной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач) от центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ближайшую к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точку траектории, называемую перицентром (для земных спутников —перигеем).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то знаменатель в правой части (4.14) никогда не обращается в нуль, следовательно, кривая второго порядка не имеет бесконечно удаленных точек. Это может быть только эллипс. В частном случае, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. эллипс превращается в окружность.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то появляются бесконечно удаленные точки при двух значениях угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полученных из уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким свойством обладает только гипербола.

Наконец, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач знаменатель обращается в нуль при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кривой второго порядка, имеющей бесконечно удаленную точку только при одном значении полярного угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является парабола.

На рис. 4.2 изображены возможные траектории при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и одинаковом для всех траекторий расстоянии от центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до перицентра. Это расстояние в соответствии с уравнением (4.14) равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Установив, что тип траектории определяется значением эксцентриситета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем зависимость эксцентриситета от начальных условий.

Сначала сделаем это, отнеся начальные условия к тому моменту времени, когда точка пересекает ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 4.1), т. е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулой (4.14) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полярный радиус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигает экстремума Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и любом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость точки перпендикулярна к радиусу-вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющему положение точки.

Имея в виду, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поперечная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем интеграл площадей в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть теперь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этих начальных условий в соответствии с уравнением (4.14) будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как для рассматриваемых начальных условий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это соотношение является основным и позволяет найти интервалы, скоростей, которым соответствуют те или иные виды траекторий. Эллиптические траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются неравенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частности, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то траекторией будет окружность; при этом начальная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет значение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и называется круговой скоростью. Круговая скорость, вычисленная из условий движения вблизи Земли Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется первой космической скоростью:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Параболической траектории соответствует значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. по формуле (4.16) скорость

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найденное значение скорости называется параболической скоростью. Если начальная скорость задана-вблизи Земли» то параболическая скорость

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется второй космической скоростью.

При сообщении такой начальной скорости точка неограниченно удалялась бы от Земли.

Гиперболические траектории характеризуются неравенством Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которому соответствуют начальные скорости

Определение параметров околоземной траектории по начальным условиям

Найдем теперь зависимость эксцентриситета от начальных условий в случае, когда материальная точка в некоторый момент времени начинает движение из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вне пределов атмосферы (рис. 4.3).

Пусть материальная точка в некоторый момент времени начинает движение из точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вне пределов атмосферы только под действием силы притяжения Земли (рис. 4.3).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим параметры траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если известны: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от центра Земли до точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —величина скорости

материальной точки в положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угол наклона вектора скорости к местному горизонту, т. е. к плоскости, перпендикулярной к радиусу-вектору точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдя параметры траектории, мы затем легко определим начальный полярный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 4.3) и тем самым узнаем пока не известное направление оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то согласно формуле (4.2) секторная скорость равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя это выражение в формулу для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — круговая скорость в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (4.14) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После дифференцирования этого выражения по времени получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание равенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (радиальная скорость), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем полученное выражение в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для рассматриваемых начальных условий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.4) выражения (4.19) и (4.20) с учетом формул

(4.17) и (4.18) примут вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Зная параметры траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти из формулы (4.19) начальный полярный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. положение полярной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда удобно ввести дополнительный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 4.3), для которого

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, траектория точки полностью определяется тремя параметрами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и формула (4.14) может быть записана в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это значит, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть только при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. орбита будет окружностью, а необходимая начальная скорость равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для параболической траектории

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что выполняется при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и любом угле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Начальная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач необходимая для движения по параболической траектории, равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Траектории искусственных спутников Земли

Пусть рассматривается движение материальной точки из положения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом положении точка расположена на высоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач над земной поверхностью и обладает начальной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленной под углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к местному горизонту.

Как установлено, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач траектория материальной точки есть эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли.

Из уравнения траектории (4.14) видно, что максимальное расстояние материальной точки от центра Земли достигается при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соответствующая точка траектории называется апогеем. Минимальное расстояние точки от центра Земли достигается в перигее и равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, максимальное расстояние точки от поверхности Земли составляет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а минимальное расстояние равняется

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В зависимости от конкретных значений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач траектории могут оказаться пересекающимися либо не пересекающимися с поверхностью Земли. Найдем, при каком значении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и фиксированном значении угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач траектории не будут пересекать поверхность Земли, т. е. могут быть траекториями искусственных спутников Земли.

Для траектории, не пересекающей поверхности Земли, должно выполняться неравенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. согласно (4.28)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание (4.22), получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После небольших преобразований и подстановки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из соотношения (4.30) получаем значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором траектории точки не будут пересекать поверхность Земли:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это условие имеет смысл только при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим величины большой и малой полуосей эллипса (4.14). Величина большой полуоси

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая соотношение (4.22),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (4.32) следует, что величина большой полуоси не зависит от угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и определяется только величиной начальной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем теперь расстояние между фокусами эллипса 2с:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда, кстати, видно, что эксцентриситет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Малая полуось эллипса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач связана простым соотношением с величинами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изучим характер изменения траекторий спутников в зависимости от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачпри Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для простоты положим- что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из (4.20) тогда следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имея в виду, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно (4-23) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, кроме того, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прежде всего остановимся на случае, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из (4.36) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и положительное на-правление полярной оси совпадает с направлением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.5). Напомним, что мы условились считать Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это эквивалентно выбору положительного направления полярной оси от притягивающего центра через перигей.

На рис. 4.5 показаны три траектории спутников при различных значениях начальной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это семейство эллипсов с общим фокусом в точке О и перигеем в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обратимся теперь к случаю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в соответствии с (4.36)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, направление на перигей противоположно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач становится апогеем, и семейство эллипсов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет вид, изображенный на рис. 4.6.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения эллипсов (4.14) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимают вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перигейное расстояние находится из (4.37) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметив, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полагая в последней формуле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определим апогейное расстояние

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Большая полуось эллипса определяется по формуле (4.32), а малая из (4.34); при этом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем теперь период обращения спутника по эллиптической орбите. Исходя из интеграла площадей, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —площадь, описываемая радиусом-вектором точки за время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — секторная скорость.

За время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полного оборота спутника радиус-вектор опишет полную площадь эллипса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, должно выполняться равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вспомним, что согласно (4.18) и (4.34)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, для двух спутников, движущихся по различным эллиптическим орбитам с большими полуосями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и периодами обращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда выводится известное соотношение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эга формула справедлива не только для задач о движении спутников Земли, но и вообще для -случаев движения материальной точки по эллиптической орбите вокруг любого притягивающего центра. Применительно к Солнечной системе эту формулу установил путем обработки наблюдений И. Кеплер (третий закон Кеплера).

Определение времени полета по эллиптической орбите (уравнение Кеплера)

Пусть движение спутника происходит по эллипсу с полуосями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.7). Опишем из центра эллипса окружность радиусом, равным большой полуоси. Через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на эллипсе проведем линию, перпендикулярную к линии апсид (оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть точка пересечения этого перпендикуляра с окружностью будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между отрезком Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и линией апсид называется эксцентрической аномалией. Найдем связь между углами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (истинной аномалией). Из рассмотрения рис. 4.7 следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—половина фокусного расстояния. Подставляя в это выражение (см. формулу (4.14))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если теперь в уравнении траектории (4.14) заменить угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью выражения (4.41) на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для дальнейшего нам необходимо определить еще и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству эллипса имеем (см. рис. 4.7)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В соответствии с рис. 4.7 получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя выражение (4.42), будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем теперь к определению времени полета спутника. Для этого воспользуемся интегралом площадей (4.2):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В соответствии с формулой (4.42) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На основании зависимости (4.41) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда, учтя соотношение (4.43), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, выражение (4.44) может быть переписано в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—момент времени прохождения через перигей,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После интегрирования найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное уравнение носит название уравнения Кеплера. Уравнение Кеплера устанавливает связь между эксцентрической аномалией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и временем движения точки.

Для того чтобы определить положение точки в данный момент времени, следует по уравнению Кеплера определить угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствующий данному моменту времени, затем по найденному Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. используя формулы (4.41) и (4.42), определить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решению уравнения Кеплера посвящено много работ. Изложение способов его приближенного решения можно найти в курсах небесной механики.

В качестве примера применения уравнения Кеплера определим период обращения точки по эллиптической орбите.

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач момент времени прохождения через перигей, то при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —период обращения, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из уравнения Кеплера получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В заключение этой лекции найдем выражения для проекций скорости и ускорения точки на радиальное и поперечное направления при ее движении по эллиптической траектории через эксцентрическую аномалию.

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то в соответствии с формулой (4.42) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ранее было найдено

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а из уравнения (4.45) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Косинус угла между вектором скорости и радиусом-вектором материальной точки равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для получения проекций ускорения на радиальную и поперечную оси используем равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль ускорения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Траектории, пересекающие земную поверхность

В этой лекции мы ограничимся рассмотрением только тех эллиптических траекторий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которые пересекают земную поверхность.

Условием пересечения траектории с земной поверхностью является неравенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это условие будет выполнено, если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то все траектории (эллипсы) пересекут земную поверхность.

Если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то земную поверхность пересекут только те траектории для которых начальная скорость удовлетворяет неравенству Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим траекторию, которая изображена на рис. 4.8. Найдем угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 4.8) между прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и большой осью эллипса. Для апогея Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач значит,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выразим длину дуги окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В силу симметрии эллипса относительно его большой оси имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание формулу (4.48), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Длина дуги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эту величину будем считать дальностью полета на пассивном участке траектории (см. рис. 4.8).

Исследуем характер зависимости угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при различных фиксированных Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем формулу (4.48) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач формула (4.51) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь значение угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет максимальное значение при данном фиксированном Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Введя в формуле (4.51) замену Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продифференцировав это выражение по Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Приравняв нулю числитель правой части этого равенства, получим уравнение для определения того значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет максимальное значение:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет экстремум только при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Формулу для определения максимального значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем, подставив результат (4.53) в выражение (4.52):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определив из выражения (4.53) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подставив это в формулу (4.54), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой зависимости вытекает, что угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет максимальным при заданном Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 4.9 построены зависимости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при различных значениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пунктиром показана линия максимумов (4.55). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предполагая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач задано, определим угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для получения необходимого угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии пересечения траекторией земной поверхности.

Рассмотрим сначала случай Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По формуле находим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (заметим, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач близок к нулю). Из рассмотрения рис. 4.10 видно, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заданный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть достигнут при двух значениях угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обе траектории пересекут земную поверхность только при (см. условие (4.46))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

ЕслиТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то траектория, полученная при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечет земную

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обе траектории пересекут земную поверхность,

Этот же заданный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть достигнут при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но уже при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. при меньшей начальной скорости (см. рис. 4.10). Значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором заданное значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигается при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем, используя формулу (4.53):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует- что начальная скорость должна быть равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (4.57) и (4.58) дают возможность по заданному углу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найти угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и минимальную начальную скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обеспечивающие получение этого угла

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае заданное Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть достигнуто только при одном значении угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см-рис. 4.10). При этом, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то траектория пересечет земную поверхность при любом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то пересечение-произойдет только при выполнении условия (4.46).

Пример №111

Спутник движется по круговой орбите на высоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач oт поверхности Земли. Какую дополнительную скорость нужно сообщить спутнику, чтобы он перешел на параболическую орбиту?

Спутник, двигаясь по окружности вокруг Земли на высоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеет круговую скорость, равную

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для того чтобы спутник перешел на параболическую орбиту, он должен приобрести параболическую скорость, соответствующую высоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, спутнику нужно сообщить дополнительную скорость, равную

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус Земли Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №112

На какой высоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует запустить спутник по круговой орбите, чтобы период обращения его равнялся периоду обращения Земли вокруг своей оси (24 часам) *).

Из формулы для периода обращения (4.39) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как орбита круговая, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №113

Найти начальную скорость, необходимую для того, чтобы траектория спутника представляла собой эллипс с заданным отношением между максимальным и минимальным расстоянием от центра Земли. Принять, что во Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. в начальный момент спутник находится на главной фокальной оси (линии апсид).

При решении будем различать два случая: 1) начальная скорость больше круговой скорости, т. е. начальная точка является перигеем орбиты; 2) начальная скорость меньше круговой скорости, т. е. начальная точка является апогеем орбиты.

В первом случае, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—заданное число. Пользуясь формулой (4.37), имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то искомая начальная скорость равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Большая и малая полуоси соответственно равняются Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 4.5 возле каждого эллипса указаны соответствующие значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Во втором случае, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач удобно обозначить

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является заданным числом, меньшим единицы. Пользуясь формулой (4.37), найдем, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При этом, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эллипсы не пересекают поверхность Земли (см. рис. 4.6); если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эллипсы пересекаются с поверхностью Земли (такие траектории могут быть использованы для так называемых суборбитальных полетов). Соответствующие эллипсы изображены на рис. 4.11 при. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №114

Спутник, движущийся по круговой орбите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переводят на круговую орбиту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для этого сначала переводят спутник с круговой орбиты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на эллиптическую орбиту, апогей которой расположен на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от центра Земли (рис. 4.12); а затем, сообщив дополнительную скорость, переводят на круговую орбиту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить величины дополнительных скоростей, которые следует сообщить спутнику на орбите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и в апогее переходного эллипса, чтобы выполнить предполагаемый переход с орбиты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на орбиту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При движении по орбите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач спутник имеет скорость

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для перевода спутника на эллиптическую орбиту, расстояние апогея которой от центра Земли равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его скорость должна быть увеличена. Величина необходимой скорости была найдена в задаче 4.3 и равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, добавочная скорость, которую нужно сообщить спутнику, будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Скорость спутника Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в апогее эллипса найдем из интеграла площадей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как на орбите Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач круговая скорость спутника должна быть равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то величина дополнительной скорости, которую следует сообщить спутнику для перехода на орбиту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Суммарное увеличение скорости спутника при переходе с орбиты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на орбиту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется соотношением

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Несвободное движение

В первой главе при формулировке основных задач динамики точки мы исходили из предположения, что на движение точки не наложено никаких ограничений, т. е. все ее три координаты могут меняться любым образом. Надлежащим выбором закона изменения силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и начальных условий можно заставить материальную точку двигаться по любой траектории. Примером может служить движение управляемого космического корабля.

В подобных случаях материальная точка называется свободной, а ее движение — свободным движением.

В других случаях на движение могут быть наложены те или иные ограничения. Рассмотрим, например, материальную точку, находящуюся на конце нерастяжимого стержня длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач другой конец которого с помощью шарнира закреплен в неподвижной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.1).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При любых силах, приложенных к материальной точке, она совершает движение по поверхности сферы, радиус которой равен длине стержня. Координаты точки не будут независимыми, так как он» должны удовлетворять уравнению сферы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого уравнения одна из координат, например координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть выражена через остальные две:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость точки всегда располагается в касательной плоскости, проведенной к сфере в точке, где находится в данный момент материальная точка.

Таким образом, в рассматриваемом примере начальные условия не могут быть выбраны произвольно, так как координаты начального положения должны удовлетворять уравнению (5.1), а начальная скорость должна быть расположена в касательной плоскости, проведенной к сфере в точке начального положения материальной точки.

Итак, существуют случаи движения материальной точки, когда некоторые ограничения вынуждают точку совершать движение по строго фиксированной поверхности (в рассматриваемом примере таким ограничением является стержень). Можно привести примеры, когда ограничения принуждают материальную точку двигаться по строго определенной линии (например, кольцо, насаженное на изогнутую проволоку, будет двигаться только вдоль проволоки). Ограничения также вынуждают материальную точку двигаться лишь в некоторой части пространства. Во всех этих случаях независимо от действующих сил координаты точки определенным образом связаны между собой и выбор начальных условий не может быть произвольным.

Будем называть материальную точку несвободной, если вследствие тех или иных ограничений она при действии на нее любых сил совершает движение по строго фиксированной линии, поверхности или находится все время в строго фиксированной части пространства. Движение такой точки называется несвободным, движением.

Ограничения, благодаря которым материальная точка вынуждена совершать несвободное движение, называются связями; это понятие уже встречалось в курсе статики.

При изучении несвободного движения пользуются также знакомым из курса статики принципом освобождаемости, который заключается в следующем, при рассмотрении несвободного движения следует действие связей на материальную точку заменить реакциями этих связей и рассматривать материальную точку как свободную, но находящуюся под действием как сил активных, так и реакций связей. Если обозначить через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнодействующую всех активных сил, приложенных к точке, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —равнодействующую всех реакций связей, то основное уравнение динамики примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует иметь в виду, что реакция связи неизвестна и может возникнуть задача об определении этой силы.

В проекциях на оси системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в соответствии с уравнением (5.3) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти уравнения позволяют решать задачи, когда заданы движение и активные силы и требуется определить реакции, а также когда заданы активные силы и требуется определить закон движения и реакции.

Уравнения связей. Классификация связей

Независимо от фактической реализации тех или иных связей, наложенных на материальную точку, они могут быть заданы аналитически. Уравнения линии или поверхности, по которым совершает движение точка, называются уравнениями связи. Если точка принуждена оставаться в некоторой области пространства, то связь аналитически задается в виде неравенств.

Если материальная точка движется по линии, то уравнения связи имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —уравнения тех поверхностей, линией пересечения которых является траектория точки. В случае плоского движения по заданной кривой уравнение связи можно записать в форме Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, в кривошипно шатунном механизме (рис. 5.2) точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шатуна движется по окружности радиуса, равного длине кривошипа. Уравнение связи получает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ползун Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по прямой, и для него уравнение связи имеет вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Неизменность расстояния между Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается уравнением

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении точки по поверхности уравнением связи является уравнение этой поверхности

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение сферы (5.1) в рассмотренном выше примере и является уравнением связи. Заметим, что если в этом примере вместо стержня взята гибкая нерастяжимая нить, то точка получит возможность совершать движение не только по поверхности, но и внутри сферы радиуса, равного длине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нити. Вместо уравнения связь в этом случае аналитически задается неравенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, если'какая-либо поверхность, определяемая уравнением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ограничивает область движения точки, то вместо уравнения связи следует взять одно из неравенств:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем теперь к классификации связей. Если связь со временем не меняется, т. е. время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач явно в уравнение связи не входит, то связь называется стационарной (склерономной). Таковы, например, связи, удовлетворяющие условиям (5.4), (5.5) и (5.7).

Если же связь изменяется во времени заданным образом, то уравнение связи содержит явно время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Такие связи называются нестационарными (реономными).

Например, если длина стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 5.1 будет изменяться по какому-либо заданному закону, в частности, пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнение связи будет иметь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в общем случае при изменении связей во времени они могут быть заданы следующим образом: при движении точки по поверхности

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при движении точки по кривой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при движении точки в ограниченной области

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Связь называется удерживающей, если уравнение связи имеет вид равенства, как, например, уравнения (5.4). Это означает, что при любых условиях точка движется по заданной поверхности или кривой. Связи, которые задаются с помощью неравенств, например, в виде (5.7) или (5.10), называются неудерживающими.

Примером неудерживающей связи служит связь, определяемая неравенством (5.6). Следовательно, связь является неудерживающей, если точка может покидать ее в какую-либо одну сторону.

Наконец, введем еще понятие об идеальной связи. При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Очевидно, что чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция будет направлена по нормали.

Для точки идеальными связями будем называть связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих *).

Движение точки по гладкой неподвижной поверхности

Для изучения движения материальной точки по поверхности используем уравнение (5.3).

В проекциях на оси системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти три уравнения содержат шесть неизвестных: три координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и три неизвестные проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакции. Но, как мы видели, координаты точки должны также удовлетворять уравнению поверхности, по которой движется точка. Это дает четвертое уравнение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Конечно, четырех уравнений для определения шести неизвестных недостаточно. Для получения двух недостающих уравнений используем условие идеальности связи.

Так как поверхность, по которой движется точка, идеально гладкая, то реакция направлена по нормали к поверхности. Градиент

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

представляет собой вектор, который также направлен по нормали к поверхности.

Условие коллинеарности реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и дает недостающие два уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, уравнения (5.11) —(5.13) в принципе дают возможность решить задачу о движении точки по гладкой неподвижной поверхности. Из уравнений (5.11) и (5.13) можно исключить реакции связей. Для этого обозначим равные Отношения (5.13) через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и уравнения (5.11) теперь примут такой вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Присоединяя к этим уравнениям уравнения связи (5.12), получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач После отыскания этих неизвестных по формулам (5.14) можно определить проекции реакции. Модуль реакции равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Реакция определяется выражением

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения (5.15) называются уравнениями Лагранжа первого рода.

Пример №115

Рассмотрим движение тяжелой материальной точки массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ко внутренней поверхности цилиндра радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ось цилиндра горизонтальна (рис. 5.3). Совместив начало координат с какой-либо точкой оси цилиндра, направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикально вниз, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — горизонтально по радиусу цилиндра, а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —по оси цилиндра.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примем, что в начальный момент положение точки определяется координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положим также, что начальная скорость направлена параллельно оси цилиндра и равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это значит, что в начальный момент

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На материальную точку действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленная по радиусу. Уравнение связи (цилиндрической поверхности) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнения (5.15). В результате получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из третьего уравнения системы (5.17) после интегрирования и использования начальных условий получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. расстояние от начальной плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач растет пропорционально времени.

Умножая первое уравнение системы (5.17) на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач второе уравнение —на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вычитая из первого уравнения второе, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножая теперь первое уравнение системы (5.17) на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и складывая его со вторым уравнением, умноженным на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем к цилиндрическим координатам

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то уравнения (5.17) и (5.18) примут вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Записав уравнение (5.19) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

после интегрирования получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого уравнения видно, что при выбранных начальных условиях движение будет происходить в области, где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя выражение (5.21) в уравнение (5.20), будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулами (5.14) получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль реакции равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Реакция равна нулю при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Максимальное значение реакции будет при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения закона изменения угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно проинтегрировать уравнение (5.19).

Движение точки по гладкой неподвижной кривой

При движении материальной точки по кривой уравнения связей имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —уравнения поверхностей, линия пересечения которых является траекторией точки (рис. 5.4). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае в уравнении (5.3) реакцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует рассматривать как сумму реакций, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—реакции, заменяющие действие соответственно первой и второй связи, уравнения которых имеют вид (5.22). Поэтому дифференциальные уравнения движения запишутся в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти уравнения содержат девять неизвестных: три координаты и шесть проекций реакций.

Присоединяя к уравнениям (5.24) два уравнения связи (5.22) и условия идеальностей связей

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим девять уравнений с девятью неизвестными. Из этих уравнений можно исключить проекции реакций. Для этого отношения в выражениях (5.25) и (5.26) соответственно обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, уравнения (5.24) примут следующий вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Система (5.29) совместно с уравнениями связи (5.22) образует систему пяти уравнений с пятью неизвестными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяются формулами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модули этих реакций равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №116

По проволоке, имеющей форму параболы, движется колечко; уравнения связи (параболы) имеют вид (рис. 5.5)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти реакцию связи при нулевых начальных условиях. Подставляя

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в уравнения (5.29), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго уравнения связи имеем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножая теперь второе уравнение на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и складывая его с первым уравнением, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как согласно уравнениям (5.32) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим полученное выражение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение (5,34):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменив

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение в полных дифференциалах, и его решение имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—постоянная интегрирования.

При нулевых начальных условиях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продифференцировав выражение (5.35) по времени, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда на основании второго уравнения системы (5.33) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Конечно, это же выражение можно получить и из первого уравнения системы (5.33). На основании формул (5.27) можно выразить проекции реакций через абсциссу колечка:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем скорость колечка в зависимости от его абсциссы. Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, принимая во внимание равенство (5.35),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этот результат можно было получить и сразу, применяя теорему об изменении кинетической энергии. Действительно, так как работа реакции, направленной по нормали к кривой, равна нулю, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотренный пример показывает, что нахождение реакций с помощью уравнений Лагранжа первого рода (уравнений (5.29)) приводит к громоздким выкладкам. Поэтому этот метод и не нашел широкого практического применения.

Естественные уравнения движения. Математический маятник

При изучении несвободного движения материальной точки по неподвижной кривой иногда удобно использовать уравнение (5.3) в проекциях на оси естественного трехгранника. Эти уравнения имеют вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя сюда проекции ускорения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения (5.36) называются естественными уравнениями движения. Из третьего уравнения следует, что бинормальная составляющая реакции определяется статически через бинормальную составляющую активной силы и от закона движения точки не зависит.

При заданных активных силах и известных уравнениях связи уравнения (5.36) позволяют определить закон движения точки и реакции связей. Заметим, что между проекциями реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обычно существует простая связь.

При движении точки по шероховатой кривой проекция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой силу трения скольжения. Модуль силы трения скольжения равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент трения скольжения.

Сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если движение происходит по идеально гладкой кривой, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и естественные уравнения движения принимают вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что в этом случае первое уравнение служит для определения закона движения, а второе и третье —для определения реакции связи.

При движении точки по плоской, неподвижной шероховатой кривой уравнения (5.36) запишутся в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для примера, рассмотренного в предыдущей лекции, второе уравнение системы (5.38) можно записать следующим образом (см. рис. 5.5):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угол, образуемый касательной к параболе с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исходя из уравнения параболы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из курса высшей математики известно, что радиус кривизны кривой находится по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая соотношение (5.39), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теперь уравнения (5.38) для изучения движения математического маятника.

Математическим маятником называется материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по гладкой окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически это можно, например, осуществить, подвесив материальную точку к невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. При этом начальная скорость подвешенной точки должна располагаться в вертикальной плоскости перпендикулярно к радиусу.

Положение точки будем определять углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач образованным нитью с вертикалью (рис. 5.6). Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса точки, то действующая на точку сила тяжести равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть длина нити равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то уравнения (5.37) будут иметь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом учтено, что реакция направлена вдоль нити и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перепишем эти уравнения в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (5.41) служит для определения закона движения маятника, а уравнение (5.42) —для определения реакции нити.

Пусть в начальный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нить отклонена от вертикали на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и отпущена с начальной угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определим реакцию в зависимости от угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а также и закон движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно уравнению (5.42) для определения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в зависимости от угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно выразить величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через этот угол.

Представив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (5.41) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вспоминая, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можем записать так:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя этот результат в уравнение (5.42), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная скорость точки; тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частности, формула (5.44) позволяет найти угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором для заданных начальных условий связь перестает быть удерживающей (нить сомнется). Это произойдет, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если потребовать, чтобы связь была удерживающей вплоть до значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то начальная скорость должна равняться

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом маятник будет совершать круговое движение. В частности, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если начальная скорость равна нулю, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и формула (5.43) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, во все время движения должны выполняться неравенства Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем к определению закона движения маятника. Вводя обозначение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перепишем уравнение (5.41) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим сначала случай малых отклонений, когда можно принять

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае дифференциальное уравнение движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

совпадает по форме с дифференциальным уравнением свободных линейных колебаний.

Следовательно, угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач меняется по гармоническому закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Период малых колебаний маятника равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. при малых углах отклонения период не зависит от начального отклонения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (колебания маятника изохронны).

Теперь найдем период колебаний маятника при любых углах отклонения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим случай, когда колебания начинаются вследствие начального отклонения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем начальная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю. Из уравнения (5.43) следует

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При возрастании угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач здесь должен быть взят знак «плюс», а при обратном движении —знак «минус».

При указанных начальных условиях движение начинается от значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в сторону уменьшения угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В течение первого полупериода скорость отрицательна и в последнем выражении должен быть взят знак «минус». Если длительность полупериода обозначить через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из выражения для скорости следует равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда находим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При обратном движении, т. е. при изменении угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от значения —Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, значит,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач время движения.

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Период колебаний Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Входящий сюда интеграл не относится к числу элементарных. Преобразуем его следующим образом. Так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Введем новую переменную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интеграл Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Значения этого интеграла зависят только от начального угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и могут быть найдены в таблицах специальных функций.

Приближенное значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при достаточно малых значениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачможно найти путем разложения подынтегрального выражения в ряд

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ограничиваясь двумя написанными членами, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если можно принять Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы (5.46) и (5.48) для периода колебаний различаются множителем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значение этой поправки зависит от начального угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приведено в следующей таблице: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим задачу о движении точки по шероховатой кривой.

Пример №117

Лыжник спускается с горы, причем его траекторию можно принять за окружность радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.7). Коэффициент трения скольжения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачОпределить скорость лыжника в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если в начальной точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его скорость равнялась нулю.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как в данном примере нормальная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то уравнения (5.38) будут иметь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для исключения реакции умножим второе уравнение на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сложим с первым уравнением:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

но так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение (5.50) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Общее решение однородного уравнения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—постоянная интегрирования.

Частное решение уравнения (5.50) будем разыскивать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—неопределенные коэффициенты. Для их определения подставим выражение (5.52) в дифференциальное уравнение (5.50); тогда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для тождественного удовлетворения этого равенства необходимо, чтобы коэффициенты при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в обеих частях равенства выли соответственно равны друг другу. Это позволяет получить два уравнения относительно неизвестных Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая решения (5.51) и (5.53), получим общее решение дифференциального уравнения (5.50):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим постоянную

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя полученное выражение в формулу (5.54) и учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окончательно получаем следующую зависимость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нормальная составляющая реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В последний момент рассматриваемого интервала движения, т, е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если трением пренебречь и принять Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то по формулам (5.57) и (5.58) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении кинетической энергии для несвободного движения

Пользуясь принципом освобождаемости, запишем соотношение (3.4G) длп случая несвободного движения в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — реакция связи.

Результат (5.59) формулируется следующим образом: элементарное изменение кинетической энергии при несвободном движений равно элементарной работе как активных сил, так и реакции связи.

Но при наличии идеальной стационарной связи работа реакции на перемещении точки равна нулю и теорема об изменении кинетической энергии для несвободного движения имеет тот же вид, что и для свободного движения.

Если же связь идеальная, но нестационарная, то вектор перемещения dr может быть не перпендикулярен к реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае реакция направлена перпендикулярно к вектору относительной скорости. Поэтому при нестационарных связях работу реакции следует учитывать.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №118

Тяжелое кольцо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — может скользить без трения по дуге окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящая через гладкое неподвижное кольцо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и закрепленная в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дано, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в точке а коэффициент жесткости нити равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.8).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В начальный момент кольцо находится в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет скорость, равную нулю. Определить давление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач производимое кольцом на окружность. На кольцо действуют сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила натяжения нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Выразим модуль силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 5.8). По условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — удлинение упругой нити). Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второе уравнение системы (5.36) в данном случае имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используем теорему об изменении кинетической энергии для нахождения скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимая во внимание, что начальная скорость кольца Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно работа сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию задачи связь стационарная и идеальная, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заметим, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значит,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — удлинения нити при положении кольца в точках Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи длина нити в нерастянутом положении равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С помощью выражений (5.62) и (5.63) преобразуем соотношение (5.61) к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя найденное значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение (5.60), найдем нормальную реакцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Метод кинетостатики для точки (принцип Даламбера)

Наряду с рассмотренными методами изучения несвободного движения точки удобным для решения первой задачи динамики несвободной точки является метод кинетостатики. Особенно удобен этот способ, когда требуется определить реакцию связи при заданных законе движения точки и активных силах.

Содержание этого метода заключается в следующем. Перепишем уравнение (5.3) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введя обозначение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения, называется силой инерции.

Равенство (5.66) представляет собой уравнение движения материальной точки,-записанное в форме условия равновесия сил. В этом и заключается существо метода кинетостатики.

На основании уравнения (5.66) можно утверждать, что в каждый момент движения сумма активной силы, реакции связей и силы инерции равна нулю. При этом следует иметь в виду, что к материальной точке приложены только силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. активная сила и реакция. Сила же инерции к точке не приложена.'Поэтому на уравнение (5.66) нельзя смотреть как на условие равновесия активной силы, реакции и силы инерции.

Метод кинетостатики является лишь формальным приемом сведения уравнения динамики к уравнению статики, однако при решении практических задач такой прием может обладать рядом достоинств.

Реакция связи в соответствии с уравнением (5.66) равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задачи на применение метода кинетостатики

Пример №119

Самолет, двигаясь в вертикальной плоскости, выходит из пикирующего полета на горизонтальный полет по окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.9). Скорость самолета в момент выхода на горизонтальный полет максимальна и равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить, каким должен быть радиус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы реакция связи, действующая на летчика, была в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз больше нормального веса летчика (число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется перегрузкой).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На летчика, находящегося в самолете, действует сила притяжения к Земле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нормальное ускорение самолета (и летчика) равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлено к центру окружности. Сила инерции, равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена по радиусу окружности в сторону, противоположною нормальному ускорению.

Запишем уравнение (5.66) в проекции на вертикаль самолета:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если например Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае давление тела летчика на сиденье в пять раз больше его нормального веса и летчик будет чувствовать себя так, как если бы его вес возрос в пять раз.

Любопытен другой частный случай, относящийся к условиям, имитирующим ощущение невесомости. Для этого нужно, чтобы реакция сиденья равнялась нулю; при этом давление летчика на сиденье также равно нулю. Здесь следует принять Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тогда по полученной выше формуле найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Знак «минус» означает, что траектория полета должна иметь выпуклость сверху, как это показано на рис. 5.9, б.

Пример №120

Летчик на самолете выполняет правильный вираж со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угол крена равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить радиус виража Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правильным виражом называется полет самолета без скольжения по дуге окружности в горизонтальной плоскости с неизменным углом крена.

Будем рассматривать самолет как материальную точку, к которой приложены следующие силы: сила притяжения к Земле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подъемная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила тяги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила лобового сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.10). Согласно (5.66) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение центра тяжести самолета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а модуль силы инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В проекциях на оси координат уравнение (5.67) дает Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из последнего уравнения следует, что при выполнении правильного виража Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. сила тяги уравновешивается силой лобового сопротивления. Из второго уравнения можно найти, что сила притяжения к Земле уравновешивается вертикальной составляющей подъемной силы;

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из первого уравнения определяется радиус виража

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если будет нарушено какое-нибудь из равенств (5.68), то правильный вираж станет неосуществимым (возникает скольжение, а также снижение или подъем самолета). Следует иметь в виду, что данному углу крена Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует определенная скорость полета (она определяет подъемную силу).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №121

Шарнирно-стержневая система (рис. 511) вращается вокруг вертикальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Стержни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач считать невесомыми и имеющими длину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач каждый. Определить усилия в стержнях, если в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится сосредоточенная масса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ускорение массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлено по горизонтали к оси вращения. Соответственно сила инерции равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлена по горизонтали от оси вращения. Обозначая через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач усилия в стержнях, напишем уравнение (5.60):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В проекциях на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив эту систему, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что при малых значениях угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отрицательно, т. е. нижний стержень сжат (силой тяжести). При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач усилие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю, а при больших значениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оно положительно.

Явление невесомости

В этой лекции рассматривается явление, которое по установившейся традиции, хотя и не вполне точно, называется невесомостью.

Предположим, что платформа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется по вертикали с заданным ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем на платформе установлены пружинные весы, на которых лежит груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Стрелка весов фиксирует силу, с которой груз давит на весы (рис. 5.12). Когда платформа находится в покое (или движется равномерно), стрелка весов устанавливается против деления шкалы, соответствующего весу груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В дальнейшем это показание пружинных весов будем называть истинным весом. Выясним, какое давление оказывает груз на весы, если платформа движется вниз с ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На груз действуют две силы: сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.13) со стороны чашки весов. Уравнение движения груза имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, в проекции на вертикальную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (положительное направление— вниз),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, величина реакции весов равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такую же величину имеет направленное вниз давление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое тело оказывает на весы.

Понятно, что деформация пружины под действием силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется меньше, чем в состоянии покоя. Стрелка весов остановится против деления шкалы, на котором мы прочтем новый «вес» груза; он окажется равным Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Его отношение к истинному весу составляет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент перегрузки). Конечно, сила притяжения тела к Земле не изменилась, так как гравитационное поле Земли не зависит от того, движется ли груз или находится в покое. Изменились лишь силы взаимодействия между грузом и чашкой весов

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Продолжим опыт далее и будем увеличивать ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом реакция, как это видно из (5.70), уменьшается. Наконец, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач она станет равной нулю и стрелка весов установится на нулевом делении шкалы. Взаимодействие между грузом и чашкой весов исчезает. Говорят, что наступила «невесомость».

Если ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач превзойдет значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то груз оторвется от весов и будет свободно падать. Платформа, опускающаяся с большим ускорением, будет удаляться от падающего груза. Если же груз связан с весами, то платформа будет увлекать его вниз, причем перегрузка станет отрицательной и сила действия груза на весы окажется направленной вверх.

Вернемся к состоянию видимой невесомости, когда перегрузка равна нулю. Это состояние приводит к непривычным ощущениям у человека, находящегося в лифте, в космическом корабле или самолете. Он действительно перестает чувствовать вес своего тела.

Для того чтобы объяснить смысл этого явления, разберемся в причине ощущения веса (или весомости), к которому привыкает человек в обычных земных условиях.

В обычных условиях между отдельными частями человеческого тела существуют силы взаимодействия. Рассмотрим, например, силы, действующие на голень стоящего на полу человека (рис. 5.14).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На голень, кроме силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная в коленном суставе, и реакция пола Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (речь идет о весьма схематичном представлении действительных сил).

Силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравновешены. Аналогичная картина распределения усилий может быть изображена и для всех других мысленно выделенных частей тела.

Таким образом, массовые силы (силы тяжести) и поверхностные силы (реакция пола), приложенные к сложной системе материальных точек — человеческому телу, вызывают появление многочисленных внутренних сил.

Именно появление этих внутренних сил (натяжение мышц, реакции суставов, давление на нервные окончания вестибулярного аппарата и т. п.) вызывает у человека ощущение весомости. Человек привыкает к ощущению всей этой совокупности сил.

Предположим теперь, что человек опускается вниз с ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как было установлено выше, при этом исчезает реакция со стороны опоры, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, уравнение движения голени примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассматривая уравнения движения других мысленно выделенных частей человеческого тела, придем к аналогичному результату: исчезают внутренние силы взаимодействия между отдельными частями тела. Исчезает и ощущение весомости. В этих условиях теряют смысл привычные понятия «верх» и «низ».

Оттолкнувшись от опоры, человек приобретает дополнительную скорость и движется до тех пор, пока не натолкнется на преграду.

Конечно, внутренние силы могут возникнуть и в таких условиях. Однако их происхождение на этот раз не связано с тяготением. Человек может, например, взять в руки эспандер и растягивать его обеими руками. При этом обязательно возникнут внутренние силы —силы натяжения многочисленных мышц, которые будут возрастать по мере растяжения пружины эспандера.

На каплю воды (рис. 5.15) продолжают действовать силы поверхностного молекулярного натяжения, и они не дадут ей разрушиться. Эти внутренние силы вызовает появление давления в капле, т. е. опять возникнут силы взаимодействия между отдельными материальными точками механической системы.

Перейдем теперь к выяснению более общих условий, при которых возможно появление невесомости. Для этого определим, пользуясь полученным уже представлением, более точно понятие невесомости.

Представим себе, что тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.16) движется поступательно с ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно инерциальной системы координат в поле массовых сил, т. е. сил, действующих на все точки тела. Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнодействующую этих массовых сил, действующих на точки тела.

Выделим в теле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольный объем массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На этот объем будет действовать две силы: внешняя сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и равнодействующая всех внутренних сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим состояние невесомости следующим образом: тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в невесомости, если равнодействующая всех внутренних сил, приложенных к любому элементу, выделенному в теле, равна нулю.

Найдем, каким условиям должны удовлетворять силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы тело находилось в состоянии невесомости.

Напишем уравнения движения для всего тела и для выделенной части тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачмассу всего тела примем равной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя условие невесомости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из (5.72) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условие (5.73) должно выполняться для любой массы вТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выделенной в теле. Это условие является также и достаточным. Используя условие (5.73), получаем из уравнения (5.72)

Этими замечательными качествами как раз и обладают силы гравитации. Они пропорциональны массам тех тел, на которые действуют, и если тела достаточно малых размеров, то направления сил можно считать для всех точек одинаковыми.

Таким образом, тело будет находиться в состоянии невесомости, если равнодействуюищая всех внутренних сил, обусловленных наличием сил гравитации, приложенных к любому элементу, выделенному в теле, равна нулю.

Напомним, что равнодействующая внутренних сил, обусловленных наличием других причин (не силами гравитации), может быть при этом и ие равна нулю.

При полете стабилизированного космического аппарата с выключенным двигателем и вне пределов атмосферы его экипаж находится в условиях, близких к невесомости. Условие (5.73), если пренебречь размерами тел, для него выполняется, так как единственные активные силы, действующие на аппарат и его экипаж, — гравитационные. Разумеется, это условие соблюдается только при

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

поступательном движении аппарата (иначе ускорения всех точек нельзя считать одинаковыми и условие (5.73) оказывается несправедливым).

Предположим теперь, что включен реактивный двигатель, развивающий силу тяги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.17). Тогда к космическому кораблю, кроме силы тяготения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена еще сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В то же время активные силы, действующие на тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не изменились. Нарушено условие невесомости (5.73).

При включении двигателей все тела, не закрепленные в кабине, переместятся в сторону, противоположную вектору тяги. Опять возникнет ощущение «весомости», хотя при этом сила тяготения может и не действовать.

Такое же явление возникает и при торможении аппарата в атмосфере. Сила сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис.5.18) действует только на аппарат и приложена к его поверхности. К человеку, находящемуся в кабине, она не приложена, поэтому нарушается условие невесомости — космонавта отбрасывает в сторону, противоположную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. в направлении вектора скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.18).

Следует отметить, что на участке торможения реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может достигать значительной величины. Ее можно определить, исходя из обычного уравнения движения (5.72), если только пренебречь силой тяготения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая мала по сравнению с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из (5.72) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отношение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к весу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (перегрузка) здесь окажется равным

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перегрузки нередко достигают величин порядка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В предыдущей главе было показано, что при маневре самолета в вертикальной плоскости может быть достигнута нулевая перегрузка или невесомость. Для этого должен быть осуществлен маневр типа «горки» с радиусом кривизны траектории в верхней точке, определяемым по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус кривизны должен быть равен 4,08 км.

В окрестности этой точки условие невесомости строго не будет соблюдаться, тем не менее состояние человека окажется близким к невесомости Такой имитацией явления невесомости пользуются при тренировках летчиков-космонавтов.

Совершенно аналогичное явление может наступить и в земных условиях —при движении автомобиля по мосту. В средней точке моста при соответствующей скорости

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

определяемой в зависимости от кривизны пролета по формуле (5.74), наступит мгновенное состояние невесомости.

Состояние, довольно близкое к невесомости, испытывает парашютист при свободном падении с большой высоты с нераскрытым парашютом. Пока сопротивление атмосферы мало (в начальный период и на большой высоте), ускорение падения близко к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому состояние парашютиста мало отличается от невесомости.

Более длительное состояние невесомости можно получить при помощи так называемого «баллистического броска» самолета. Для этого самолет должен выдерживать строго скорость и траекторию полета тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте.

Динамика относительного движения материальной точки

В предыдущих главах мы опирались на основное уравнение динамики точки (второй закон Ньютона), которое справедливо только в инерциальных системах отсчета. Напомним, что инер-циальной называется такая система отсчета, в которой справедлив принцип инерции (первый закон Ньютона). Во многих случаях задачи динамики сводятся к исследованию движения в той или иной неинерциальной системе. В сущности, неинерциальной является и привычная для нас система отсчета, связанная с Землей. Впрочем, только весьма тонкие опыты (например, наблюдения за отклонением падающих тел к востоку, за вращением плоскости качания маятника) могут обнаружить неинерциальность геоцентрической системы отсчета. В большинстве приложений систему координат, жестко связанную с Землей, можно считать инерциальной.

Значительно заметнее проявляется неинерциальность систем отсчета, связанных с ускоренно движущимися техническими объектами—от ускоренно поднимающегося лифта до искусственного спутника или космического корабля, совершающего взлет с Земли. Если связать систему отсчета с кораблем, автомобилем или самолетом, движущимися по криволинейным путям или тем более с ротором быстроходной турбины, то неинерциальность окажется столь значительной, что основное уравнение динамики окажется неверным. Значит, окажутся неверными и многочисленные следствия из этого уравнения, доказанные в предыдущих главах.

Переносная и кориолисова силы инерции

Настоящая глава посвящена изучению движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета Ниже будет дан метод составления уравнений движения материальной точки е неинерциальной системе отсчета. В этом, собственно, и состоит основная задача, которую предстоит решить.

Главная идея, которая положена в основу вывода соответствующих динамических уравнений, связана с задачей чисто кинематического характера, которую мы рассматривали в кинематике:

по заданному относительному движению точки и при известном движении подвижной системы координат определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки. Мы воспользуемся этими результатами для того, чтобы научиться составлять уравнения

движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета.

Предположим, что известны силы, которые действуют на материальную точку, а также задано движение подвижной системы координат относительно некоторой инерциальной системы (в дальнейшем будем называть ее неподвижной системой).

Поставим своей задачей найти относительное движение точки, т. е. движение в не иерциальной системе отсчета.

Напомним, что задать движение подвижной системы координат можно при помощи трех координат ее начала (рис. 6.1): Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и трех углов Эйлера: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В неподвижной системе справедливо основное уравнение динамики

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь, как и выше, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнодействующая всех активных сил, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —равнодействующая реакций связей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса материальной точки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —ее ускорение.

Используем теперь теорему Кориолиса и выразим абсолютное ускорение через относительное, переносное и кориолисово:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя (6.2) в (6.1), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перенося часть членов в правую часть, придем к векторному уравнению

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда ясно, что произведение массы материальной точки на ее относительное ускорение не равно сумме равнодействующей всех активных сил, действующих на нее, и равнодействующей реакций связей.

Последние два вектора в правой части уравнения (6.3) должен ввести наблюдатель, находящийся в неинерциальной системе отсчета, для того, чтобы в этой системе отсчета основное уравнение динамики сохранило форму второго закона Ньютона.

Векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются «силами инерции». Первый называется переносной силой инерции, второй — кориолисовой силой инерции.

Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость переносного движения.

Таким образом, уравнение (6.3) приобретает привычную форму основного уравнения динамики (второго закона Ньютона):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мы получили следующее правило:

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение движения материальной точки в неинерциальной системе координат в форме второго закона Ньютона, необходимо к действующим на точку активным силам и реакциям связей присоединить переносную и кориолисову силы инерции.

В неинерциальной системе координат силы инерции проявляют себя как обычные силы, с которыми мы имеем дело в инерциаль-ной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции вызывают относительное ускорение, они могут деформировать тело и даже разрушать его, они совершают работу и т. п. Вместе с тем необходимо помнить, что, в отличие от обычных сил, например силы тяготения, величина и направление которых зависят только от характера взаимодействия тел и не зависят от выбора неинерциальной системы отсчета, переносная и кориолисова силы инерции определяются выбором неинерциальной системы координат.

Кроме того, мы не можем указать внутри Солнечной системы, с которой связана гелиоцентрическая инерциальная система, тела, в результате взаимодействия с которыми возникают силы инерции.

В общей теории относительности согласно принципу эквивалентности, выдвинутому А. Эйнштейном, природа сил тяготения и массовых сил инерции в относительном движении тождественна.

Остановимся на способах определения сил инерции и напомним правила вычисления соответствующих ускорений.

Для того чтобы найти переносное ускорение, необходимо знать движение подвижной системы координат. Формула для определения переносного ускорения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость и угловое ускорение подвижной системы координат, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —ускорение ее начала и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус-вектор точки в подвижной системе координат (см. рис. 6.1).

Во всех случаях вычисления переносного ускорения и переносной силы инерции полезно представлять переносное ускорение как абсолютное ускорение точки, закрепленной в подвижной системе координат.

Для определения кориолисова ускорения каждый раз необходимо перемножать два вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис-6.2) так как

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При составлении уравнении движения материальной точки относительно поступательно движущихся систем отсчета следует иметь в виду, что кориолисовы силы инерции отсутствуют Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а переносные силы инерции не зависят от положения, занимаемого точкой в подвижной системе отсчета.

Пример №122

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижна в неподвижной системе отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис 6.3) и находится на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от ее начала. Система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается равномерно против хода часовой стрелки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составить уравнение движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в подвижной (вращающейся) системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижна, то ее абсолютная скорость равна нулю. Переносная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в относительном движении точка движется по окружности с центром в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но (в направлении, противоположном вращению подвижной системы координат. Для наблюдателя она будет двигаться по ходу часовой стрелки В соответствии с этим изобразим вектор относительной скорости (см. рис. 6 3) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переносное ускорение найдем, закрепив мысленно точку в подвижной

системе координат. Тогда точка будет вынуждена участвовать во вращательном движении подвижной системы. Поскольку вращение равномерное, то вращательное ускорение равно нулю и остается только осестремительное ускорение, равное по величине

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Оно направлено к точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переносная сила инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена в противоположную сторону (от центра), ее часто называют центробежной силой инерции. Величина этой силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем теперь к определению кориолисовой силы инерции. Вектор угловой скорости вращения системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлен перпендикулярно к плоскости рисунка на читателя. Следовательно, векторное произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлено в ту же сторону, что и переносная сила инерции. Однако кориолисова сила инерции противоположна по направлению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому направлена к центру Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Величина кориолисовой силы инерции определяется из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, кориолисова сила инерции оказалась противоположной переносной силе инерции. Равнодействующая этих сил направлена к центру и равна по величине Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение относительного движения принимает вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №123

Трубка, изогнутая по окружности радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг вертикальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.4). Внутри трубки находится материальная точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пренебрегая трением, составить дифференциальное уравнение движения материальной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в трубке и определить характер этого движения, если в начальный момент точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находясь на одной горизонтали с центром трубки, была отпущена без начальной скорости.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свяжем с трубкой координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выбрав начало координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач трубки в ее центре. Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем горизонтально так, чтобы она пересекла трубку, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач построим перпендикулярно к трубке (на рис. 6.4 ось не показана —она направлена на читателя), а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совместим с осью вращения. Положение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем определять углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 6.4).

Выбранная система координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является неинерциальной системой отсчета, поэтому движение точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно трубки следует написать в виде уравнения (6.5). Так как на точку действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нормальная реакция трубки то уравнение движения будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При равномерном вращении трубки переносное ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач состоит только из одной осестремителыюй составляющей, модуль которой равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, переносная сила инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач численно равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена перпендикулярно к оси вращения от нее (см. рис. 6.4). Так как относительная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то кориолисово ускорение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

направлено параллельно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, и кориолисова сила инерции

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

направлена параллельно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачв сторону, противоположную направлению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Нормальную реакцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач разложим на две составляющие: одну Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим по главной нормали к относительной траектории от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вторую —Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачперпендикулярно плоскости трубки (на рис. 6.4 силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не показаны).

Уравнение движения теперь можно записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем это уравнение движения в проекциях на направление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач учитывая, что проекция относительного ускорения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на касательную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а проекции на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, после деления на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это и есть дифференциальное уравнение движения точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач внутри вращающейся трубки. Заметив, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После интегрирования имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Значит, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Значения угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при которых скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обращается в нуль, получим из условия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим два случая.

1. Угловая скорость вращения трубки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мала и удовлетворяет условию

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и только второй множитель может обратиться в нуль:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(индекс «два» временно пропускаем).

Корень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует начальному положению точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из выражения (6.7) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это означает, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет совершать во вращающейся трубке колебания от одной до другой горизонтали.

2.Угловая скорость трубки удовлетворяет условию

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае уравнение (6.8) имеет три корня:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно уравнению (6.7) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совершает во вращающейся трубке колебания только в первой четверти от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №124

Балка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно вращается с- угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Одновременно по балке движется с постоянной относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ползун Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6:5). Определить: 1) изгибающий момент относительно оси вращения, действующий на балку; 2) закон изменения движущей силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обеспечивающей равномерное движение ползуна по балке, если коэффициент трения между ними равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанную с балкой: ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим по балке, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — горизонтально, перпендикулярно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — по вертикальной оси вращения вниз.

На ползун действуют движущая сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальная реакция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач балки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эту нормальную реакцию балки разложим на вертикальную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и горизонтальную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляющие.

Основное уравнение динамики относительного движения (6.5) в нашем случае имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи ползун движется равномерно по прямолинейной балке следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действие кориолисовой силы инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач передается на балку, в результате чего создается изгибающий момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно вертикальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль которого равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —расстояние от оси вращения до ползуна (см. рис. 6.5). Модуль кориолисова ускорения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, модуль изгибающего момента относительно оси вращения будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— начальное расстояние ползуна от оси вращения.

Перейдем к определению силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого запишем полученное ранее уравнение в проекциях на оси координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем (см. рис. 6,5)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго и третьего уравнений найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем полную нормальную реакцию балки и силу трения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль переносной силы инерции при равномерном вращении балки определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая полученные значения для силы трения и переносной силы инерции, найдем '

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По такому закону должна изменяться движущая сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы в сделанных предположениях ползун равномерно двигался по вращающейся балке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условия относительного покоя

Из основного уравнения (6.5), в частности, вытекают условия относительного покоя. В этом случае относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, и кориолисова сила инерции обращается в нуль (так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение относительного покоя приобретает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если выполняется условие равновесия (6.9), то отсюда вовсе не следует, что после придания материальной точке начальной скорости точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, как это имеет место в инерциальных системах. Дело в том, что при сообщении точке относительной скорости, во-первых, появляется кориолисово ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, во-вторых, может измениться переносное ускорение (оно зависит от положения точки в подвижной системе отсчета) и, следовательно, изменится переносная сила инерции.

Из уравнения (6.5) можно вывести еще одно следствие. Найдем такие системы координат, в которых выполняется первый закон Ньютона. Для этого достаточно потребовать, чтобы при отсутствии сил точка двигалась равномерно и прямолинейно. Из (6.5) следует, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда ясно, что условие (6.10) будет выполняться, если переносная сила инерции в любой точке равна нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно, в этом случае подвижная система отсчета должна двигаться поступательно равномерно и прямолинейно, но тогда ее угловая скорость равна нулю и кориолисова сила инерции также обращается в нуль. Уравнение (6.10) выполняется.

Другими словами, для того чтобы подвижная система координат была инерциальной, достаточно, чтобы ее начало двигалось с постоянной скоростью, а угловая скорость системы все время равнялась нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом случае всегда равны нулю обе силы инерции и основное уравнение (6.5) приобретает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в этом случае соблюдается и второй закон Ньютона.

Таким образом, если существует хотя бы одна система отсчета, в которой выполняются законы Ньютона, то существует бесчисленное множество таких систем. Все они движутся друг относительно друга поступательно равномерно и прямолинейно.

Применение уравнений относительного движения и покоя

1. Вращающийся космический аппарат. Создание искусственного поля тяготения. Космонавты недалекого будущего, находясь в продолжительном межпланетном полете, будут испытывать известные трудности физиологического характера, в частности, из-за явления невесомости. Имеются проекты космических кораблей, в которых предполагается использовать вращение вокруг центра масс всего аппарата или его кольцевой кабины для создания искусственного поля тяготения (рис. 6.6).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определим, с какой угловой скоростью должна вращаться кольцевая кабина, наружный радиус которой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы имитировать силу земного тяготения.

Предполагаем, что аппарат вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач некоторой инерциальной системы координат и летит с выключенными двигателями.

Тогда во вращающейся кабине на человека, находящегося в относительном покое, действует сила реакции опоры Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, необходимо согласно уравнению (6.9) приложить переносную силу инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим уравнение равновесия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —центробежная сила инерции. Если пренебречь размерами человека по сравнению с радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Реакция опоры должна быть направлена к оси вращения.

Отсюда ясно, что человека будет прижимать к наружной боковой стенке корабля. Эта стенка станет для него «полом». Величина реакции на основании выражений (6.11) и (6.12) равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Потребуем, чтобы эта величина была равна весу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в земных условиях:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем угловую скорость вращения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть, например, наружный радиус кольца Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, один полный оборот будет совершаться примерно за девять секунд.

2. Измерение ускорений движущихся тел. Для управления движением ракеты на активном участке, самолета, подводной лодки и т. п. необходимо знать положение и скорость какой-либо точки аппарата, а также угловые координаты аппарата. По вектору ускорения некоторой точки аппарата можно путем интегрирования найти скорость, а затем и координаты этой точки.

Рассмотрим принцип действия простейшего измерителя ускорений — акселерометра (рис. 6.7).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Допустим, что аппарат поднимается вертикально вверх. Тогда на груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укрепленный на пружине, ось которой (ось чувствительности) совпадает с направлением движения аппарата, действуют две силы: я сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила упругости пружины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если аппарат поднимается равномерно, то эти силы взаимно уравновешиваются и стрелка акселерометра устанавливается на делении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач указывая вес груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При ускоренном движении, когда ускорение направлено вверх, в уравнение относительного покоя необходимо включить еще переносную силу инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда уравнение равновесия согласно (6.9) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В проекции на вертикаль Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач это дает

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Стрелка установится против соответствующего деления, измеряя силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется кажущимся ускорением. Шкалу можно градуировать не в масштабе сил, а в масштабе ускорений, так как кажущееся ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорционально силе, действующей на пружину:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда ясно, что при непрерывном измерении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить из (6.13) ускорение аппарата относительно Земли

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь, чтобы получить текущее значение скорости, нужно проинтегрировать сигнал Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начиная с момента начала движения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта операция может выполняться электронным прибором. С помощью второго такого прибора интегрируется скорость и определяется координата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки крепления акселерометра:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для получения трех координат аппарата, очевидно, необходимо иметь три акселерометра. Их можно расположить по трем взаимно перпендикулярным осям. Измеряя кажущееся ускорение по каждой из осей, определяют затем проекции скорости и координаты движущегося аппарата.

Следует, однако, заметить, что при повороте тела на ось чувствительности акселерометра проектируется только часть ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для определения проекций этого вектора необходимо знать угловые координаты (например, углы Эйлера) аппарата. Такую информацию могут дать другие бортовые приборы — гироскопы.

3. Размыв берегов рек. Замечено, что в северном полушарии правые берега рек обрывистые, а левые пологие. Это явление может быть объяснено следующим образом (правило Бэра).

На некоторый объем воды, заключенный между двумя сечениями реки, текущей с юга на север (рис. 6.8), действуют три силы: сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакция дна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач реакция берега Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для записи уравнения динамики в неинерциальной геоцентрической системе координат, которая равномерно вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (один оборот в сутки), необходимо ввести в уравнение переносную и кориолисову силы инерции. Тогда согласно (6.5) получим уравнение движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переносное ускорение направлено к оси вращения Земли. Следовательно, переносная сила инерции направлена в противоположную сторону. Кориолисово ускорение находится по правилу векторного произведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому направлено по параллели на запад. Кориоли-сова сила инерции направлена в противоположную сторону — на восток.

Если спроектировать (6.15) на направленную на запад касательную к параллели, то получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь мы воспользовались тем, что относительное ускорение расположено в плоскости меридиана. Оно направлено при равномерном течении к центру Земли.

Из (6.16) получим (см. рис. 6.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —геоцентрическая широта места (угол между радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и экваториальной плоскостью).

Итак, реакция берега направлена налево, если смотреть по течению реки. Значит, сила давления воды на берег по третьему закону Ньютона должна быть направлена противоположно, т. е. она действует на правый берег реки.

Заметим, что это правило справедливо для всех рек, текущих в северном полушарии. Это объясняется тем, что в северном полушарии при любом движении точки по поверхности Земли горизонтальная составляющая кориолисова ускорения всегда направлена влево от относительной скорости (см. том I, задачу 13.7).

В южном полушарии размываются левые берега рек. Формулу (6.17) можно привести к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние между сечениями реки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вес выделенного объема воды. Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется секундным сбросом реки. Величину Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач назовем погонным давлением. Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для реки со сбросом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на широте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если правый берег считать отвесным с подводной частью глубиной в 10 м, то на каждый квадратный метр будет действовать сила

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В результате длительного воздействия таких сравнительно небольших сил берег с течением времени размывается. Река «наступает» на правый берег, оставляя слева по течению низменные луга, а справа крутые обрывы.

4. Уклонение линии отвеса от направления радиуса Земли. Рассмотрим силы, действующие на материальную точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвешенную на нити (рис. 6.9). Будем предполагать, что точка находится в покое относительно Земли.

Обозначим силу тяготения через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — гравитационное ускорение), переносную силу инерции, обусловленную вращением Земли, через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силу натяжения нити через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда условием равновесия точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет векторное равенство (6.9). В нашем случае

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 6.9 геоцентрическая широта обозначена через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между линией отвеса и экваториальной плоскостью называется географической широтой. Из чертежа ясно, что угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между радиусом Земли и линией отвеса связан Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соотношением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Спроектируем (6.18) на направление нити и на перпендикуляр к этому направлению:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пренебрегая малой величиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по сравнению с геоцентрической широтой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из первого уравнения получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус географической параллели.

Силу, равную по модулю и направленную противоположно натяжению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называют силой тяжести и обозначают через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из этого определения следует, что сила тяжести равна геометрической сумме силы притяжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силы инерции переносного движения, вызванной вращением Земли.

Из равенства (6.19) можно найти ускорение силы тяжести на поверхности Земли

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— переменная величина, зависящая от широты места.

Наименьшее значение она имеет на экваторе:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго уравнения можно найти угол отклонения у отвесной линии от радиуса Земли, т. е. разность между географической и геоцентрической широтами:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, на широте Ленинграда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Максимальное отклонение наблюдается на широте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Переносной силой инерции, вызванной вращением Земли, объясняется также и сжатие Земли. Земля имеет форму геоида, т. е. тела, ограниченного поверхностью, в каждой точке которой потенциальная энергия силы тяжести (равнодействующая силы притяжения и силы инерции переносного движения Земли при ее вращении вокруг своей оси) имеет постоянную величину. Такой поверхностью будет поверхность океанов и морей в равновесном положении. Поверхность геоида заменяют обычно эллипсоидом вращения, сжатие которого по данным измерений равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как правило, сжатием Земли пренебрегают и считают, что сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена вдоль радиуса к центру Земли.

5. Маятник Фуко. В 1851 году Фуко продемонстрировал в Пантеоне опыт с маятником, подвешенным на длинной нити. Плоскость качания маятника медленно вращалась в направлении, противоположном вращению Земли.

Для объяснения эффекта Фуко воспользуемся уравнениями относительного движения в системе координат, связанной с Землей. Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по линии отвеса в данной точке Земли вверх, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендекулярно к оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на восток и ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач - по мередиану на север.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекции угловой скорости Земли на оси прямоугольной системы координат выражаются через географическую широту места Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.10):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение движения маятника имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —реакция нити, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —сила притяжения Земли, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — кориолисова сила инерции, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— переносная сила инерции.

Выше было показано, что сила притяжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачскладываясь с переносной силой инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач дает силу тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленную параллельно линии отвеса, т. е. параллельно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем цилиндрическую систему координат (рис. 6.11) и будем определять положение маятника при помощи трех координат: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. В положении равновесия маятник находится в начале координат.

Спроектируем на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловую скорость вращения Земли

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проекции линейной скорости будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому кориолисова сила инерции принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Реакция нити Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет проекции на оси цилиндрической системы, определяемые равенствами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запишем теперь уравнение (6.20) в проекциях на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом воспользуемся тем, что сумма Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно, проекции ее на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю. Используя (6.21), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ускорения на оси цилиндрической системы координат будут

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения (6.23) содержат три неизвестные функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выражается через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Интегрирование этой системы в общем виде оказывается довольно сложным. Поэтому мы ограничимся приближенным интегрированием. При отклонениях маятника по вертикали, малых по сравнению с его длиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно считать Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда из второго уравнения получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда следует первый интеграл (интеграл площадей)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что в какой-нибудь момент времени маятник проходил через начало координат; тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда видно, что плоскость качания маятника вращается в сторону, противоположную вращению Земли, но с меньшей угловой скоростью.

6. Отклонение падающих тел к востоку. При падении материальной точки вблизи поверхности Земли на нее действует сила тяготения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачПрисоединяя к ней переносную и кориолисову силы инерции, напишем дифференциальное уравнение относительного движения для свободной материальной точки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Сумму переносной силы инерции | и силы тяготения можно заменить силой тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачВектор скорости свободно падающего тела близок к вертикали места. Поэтому кориолисова сила инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач почти перпендикулярна к плоскости меридиана (рис. 6.12) и направлена на восток. Спроектируем последнее уравнение на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленную по вертикали вверх, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленную на восток, и ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленную на север:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —географическая широта места, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ускорение силы тяжести на широте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование системы проведем сначала для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Полагая, что в начальный момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь поправки к этому приближенному решению, полагая

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После подстановки в (6.24) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда при нулевых начальных условиях имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При падении с высоты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач время падения связано с Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полное отклонение на восток получим, подставляя в (6.25) время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении

Все общие теоремы динамики точки сохраняют свою форму и в относительном движении. Не надо только забывать присоединять в разряд действующих на точку сил переносную и кориолисову силы инерции. Некоторое исключение составляет теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении. Покажем, что при ее использовании нет необходимости учитывать кориолисову силу инерции.

Уравнение движения имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножим левую и правую части (6.26) скалярно на относительную скорость

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее слагаемое равно нулю, так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен к векторному произведению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — мощность активных сил, сил реакции и переносной силы инерции. Знак относительного дифференцирования теперь опущен, так как дифференцируется скалярная функция времени.

Обозначив кинетическую энергию относительного движения через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

перепишем (6.27):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя по времени (6.28) от некоторого начального момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до текущего Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но интеграл, стоящий справа, — работа всех сил при перемещении точки из начального положения в конечное. Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изменение кинетической энергии в относительном движении равно сумме работ всех действующих сил и переносной силы инерции. В некоторых случаях переносные силы инерции могут быть консервативны (поле однородных сил инерции, поле центробежных сил).

Доставка груза на стационарный спутник. Спутник, движущийся по круговой экваториальной орбите в направлении вращения Земли с периодом, равным одним суткам, называется стационарным (рис 6.13). Такой спутник «висит» над экваториальной точкой Земли. Он может быть использован для решения задач глобальной связи, а также удобен в качестве межпланетной станции.

Ранее был найден радиус орбиты стационарного спутника. Оказалось, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если теперь из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычесть радиус Земли, то получим высоту орбиты над поверхностью Земли

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим следующую задачу.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №125

Какую работу необходимо затратить, чтобы доставить груз с поверхности Земли

на стационарный спутник, полагая, что движение ракеты с грузом происходит в экваториальной плоскости? .

Свяжем с Землей и спутником вращающуюся систему координат. К грузу следует приложить силу тяготения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силу инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переносного ускорения и силу тяги Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что в начальный и конечный моменты относительная скорость равна нулю. Тогда на основании теоремы об изменении кинетической энергии в относительном движении можно записать

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — работа силы тяготения, она отрицательна, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —работа центробежной силы инерции — положительная величина. Отсюда работа силы тяги

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для гравитационных сил потенциальная энергия была вычислена ранее:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем потенциальную энергию центробежной силы инерции. В условиях задачи (спутник «висит» над Землей, ракета движется в экваториальной плоскости) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти силы центральные, поэтому их поле консервативно.

Примем в качестве фиксированной точки для вычисления потенциальной энергии центр Земли, тогда, по определению потенциальной энергии,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда работа силы тяги окажется равной

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для подъема одного килограмма груза потребуется затратить работу

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общие теоремы динамики материальной системы

В первой части курса динамики мы изучали законы движения одной материальной точки, находящейся под действием приложенных к ней сил. В практике чаще встречаются более сложные случаи, когда движение одной материальной точки или одного тела нельзя изучать изолированно от движения других материальных точек (тел). Так, например, движение Луны относительно Земли существенным образом зависит от движения Земли относительно Солнца, вращение коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания зависит от движения его поршней и т. п. Эти и многочисленные другие примеры заставляют нас перейти от изучения движения одной материальной точки к изучению движения материальных систем.

Материальная система. Центр масс

В механике под материальной системой понимают совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны. Твердое тело рассматривается как неизменяемая материальная система с распределенной по объему массой. Эта модель представляет, конечно, некоторую идеализацию твердого тела, так как при этом не учитываются расстояния между молекулами или кристаллами тела. Однако эти расстояния настолько малы по сравнению с размерами самого тела, что предположение о сплошном распределении массы не вносит сколько-нибудь заметных погрешностей в вычисления.

Массой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной системы называется сумма масс всех точек, входящих в систему:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса материальной точки с номером Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —число всех точек системы.

Центром масс или центром инерции материальной системы называется геометрическая точка, радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которой определяется равенством Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. точка с декартовыми координатами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этих формулах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно радиус-вектор и координаты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной точки.

При непрерывном распределении массы суммы, стоящие в правых частях формул (7.2) и (7.3), переходят в соответствующие интегралы.

Легко видеть, что центр масс твердого тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, совпадает с его центром тяжести. Действительно, умножим числитель и знаменатель правой части формулы (7.2) на модуль ускорения силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно весу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачтела, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— весу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной точки, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач что совпадает с выражением для радиуса-вектора центра тяжести твердого тела (том I, глава VIII).

В динамике следует говорить о центре масс материальной системы, а не о центре тяжести. При определении центра масс материальной системы можно пользоваться методами, установленными в статике для определения центра тяжести (метод симметрии, метод расчленения, метод отрицательных масс и т. п.). Необходимо отметить, что положение центра масс твердого тела не меняется относительно точек тела. Если же система состоит из перемещающихся друг относительно друга материальных точек, то положение центра масс системы относительно ее точек может изменяться.

Внешние и внутренние силы

В курсе статики мы делили все силы, приложенные к твердому телу или к системе тел, на активные силы и реакции связей, понимая под первыми силы, не зависящие от связей. Там же было показано, что силы можно разделить и на две другие группы, а именно на внешние и внутренние.

Напомним еще раз определения внешних и внутренних сил. Силы, действующие на точки системы, называются внешними, если они вызваны действием тел, не входящих в систему. Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему, называются внутренними. Обозначаются внешние силы верхним индексом «е», а внутренние — верхним индексом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (oт начальных букв французских слов exterieur — внешний и interieur — внутренний):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — внешняя сила, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— внутренняя сила.

Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим силы, приложенные к движущемуся прямолинейно по горизонтальной дороге автомобилю (рис. 7.1). Прежде всего на автомобиль действует сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта сила внешняя, так как она вызвана действием Земли—тела, не входящего в рассматриваемую материальную систему (автомобиль). Она одновременно является и активной, так как не зависит от связей. К активным внешним силам относится также аэродинамическая сила сопротивления воздуха Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта сила непосредственно не зависит от связен и вызвана сопротивлением окружающей среды. Применим теперь принцип освобождаемости и заменим действие связи (дороги) ее реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Первые две силы представляют равнодействующие нормальных составляющих реакций дороги к передним и задним колесам, а силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнодействующие сил трения, вызванных вращением ведомых и ведущих колес (см. раздел Статика, стр. 95). Силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —внешние, так как они обусловлены действием дороги, которая в систему не входит. Таким образом, к автомобилю приложены шесть внешних сил: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сила давления газов на поршни двигателя, силы давления поршней на шатуны и шатунов на кривошипы коленчатого вала, силы трения на осях колес и т. п. — это все внутренние силы системы.

Отметим, что в некоторых случаях внешние силы появляются за счет действия внутренних сил. Так, например, внешняя сила трения скольжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между задними колесами автомобиля и дорогой (см. рис. 7.1) не может возникнуть без внутренних сил, передающих вращающий момент на ведущие колеса. Точно так же внешние силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между подошвами ботинок и полом не могут возникнуть без внутренних мускульных усилий человека (на рис. 7.2 показаны все внешние силы, действующие на идущего вправо человека)/ Если выключить двигатель автомобиля или если человек не будет создавать мускульных усилий, то соответствующие внешние силы трения обратятся в нуль.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим еще один пример. Если пренебречь силами притяжения звезд, то нашу Солнечную систему можно рассматривать как изолированную механическую систему, на которую не действуют никакие внешние силы. Силы притяжения между отдельными телами всей Солнечной системы являются активными внутренними силами.

Свойства внутренних сил

Из третьего закона Ньютона следует, что внутренние силы входят попарно, причем, если точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует на точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой а точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует на точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 7.3):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого следуют два свойства внутренних сил системы.

Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнодействующая внутренних сил, приложенных к точке с номером Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Второе свойство. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства (главный момент внутренних сил) равна нулю.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для системы, состоящей из двух точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с силами взаимодействия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 7.3), это свойство очевидно. Действительно, так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а плечи относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач у обеих сил равны, то моменты этих сил численно равны, но направлены в противоположные стороны. Доказательство первого и второго свойств для любого количества внутренних сил следует теперь из того, что они входят в систему попарно.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство нулю главного вектора и главного момента внутренних сил материальной системы не означает, что эти силы уравновешены. Это объясняется тем, что внутренние силы приложены к разным материальным точкам, которые в общем случае могут перемещаться друг относительно друга. Хорошим примером, иллюстрирующим сделанное замечание, может служить Солнечная система, планеты которой и их спутники совершают весьма сложные движения под действием одних внутренних сил.

Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из га материальных точек. Применим принцип освобождаемости и заменим связи их реакциями. Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной точке. Тогда каждую точку можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применим к каждой точке второй закон Ньютона:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, в проекциях на неподвижные оси декартовых координат,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторные уравнения (7.7) или эквивалентные им скалярные уравнения (7.8) представляют дифференциальные уравнения движения материальных точек всей системы. Число дифференциальных уравнений в векторной форме равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задача число дифференциальных уравнений в координатной форме равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, общее решение зависит от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольных скалярных постоянных. Конечно, если все точки движутся параллельно одной плоскости или одной прямой, то число дифференциальных уравнений (7.8) в первом случае будет равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а во втором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проиллюстрируем методы составления дифференциальных уравнений (7.8) на элементарном примере.

Пример №126

Два тела веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач связаны между собой тросом, перекинутым через блок (рис. 7.4.) Пренебрегая рис. 7.4 силами трения, а также массой троса и блока, определить закон движения грузов и натяжения троса.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Система состоит из двух материальных точек (оба тела перемещаются поступательно), движущихся параллельно одной прямой. Следовательно, мы будем иметь два дифференциальных уравнения движения в проекциях на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что правый груз движется с ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вниз; тогда левый груз будет двигаться вверх с ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Мысленно освободимся от связи (троса) и заменим ее реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считая теперь оба тела свободными, составим дифференциальные уравнения движения в проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учтем теперь, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (так как силами трения, а также массой троса и блока пренебрегаем; строго последнее равенство будет доказано в примере); тогда получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решая эти уравнения относительно ускорения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и натяжения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач троса, найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого решения видно, что правый груз движется равноускоренно вниз, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и вверх, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оба груза находятся в покое или движутся равномерно (это зависит от начальных условий). Отметим, что натяжение троса при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не равно весу соответствующего груза.

Задача двух тел

В качестве второго примера на составление дифференциальных уравнений движения материальной системы рассмотрим следующую задачу. Две свободные материальные точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с массами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно движутся под действием сил ньютоновского притяжения. Определить закон движения системы.

В небесной механике и теории движения искусственных спутников Земли эта задача является одной из основных (она называется задачей двух тел). В главе IV решалась аналогичная задача в предположении, что тело, обладающее большей массой, неподвижно (в теории движения больших планет —это Солнце, в теории движения искусственных спутников — небесное тело, вокруг которого движется искусственный спутник).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Введем инерциальную систему отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиусы-векторы соответствующих точек, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачотносительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Из рис. 7.5 видно, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По закону всемирного тяготения имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где —Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачгравитационная постоянная.

Направление силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется единичным вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —единичным вектором — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (обе силы направлены по одной прямой в противоположные стороны).

Дифференциальные уравнения движения в векторной форме (7.7) для рассматриваемой системы будут таковы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определен равенством (7.9), а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим первое уравнение (7.11) на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а второе на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и после этого вычтем почленно из второго уравнения первое:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, сокращая на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и преобразовывая левую часть,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учтем теперь равенство (7.9):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого уравнения видно, что материальная точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как относительно неподвижного центра, масса которого равна не Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, пренебрежение движением точки большей массы вносит в расчеты погрешность, относительная величина которой определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —масса искусственного спутника, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —масса Земли, то относительную погрешность е можно только вычислить, но не измерить (так как мы не располагаем столь чувствительными приборами). Если же Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса планеты, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса Солнца, то эта ошибка для Земли равна 0,000003, а для Юпитера (самой большой планеты Солнечной системы) —0,001.

Перейдем теперь к исследованию движения двух тел относительно их центра масс. Для этого прежде всего покажем, что центр масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматриваемой системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Действительно, сложив почленно оба уравнения (7.11), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, интегрируя, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольный постоянный вектор (скалярный множитель Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач введен для удобства).

Воспользуемся формулой (7.2) и найдем радиус-вектор центра масс системы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя по времени, получим скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая с первым интегралом уравнения (7.13), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда последнее равенство примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. центр масс находится в покое (если в начальный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или движется равномерно и прямолинейно (если в начальный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что центр масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматриваемых точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится на прямой, соединяющей эти точки (рис. 7.6). Будем теперь откладывать радиусы-векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда дифференциальные уравнения движения (7.11) примут вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Центр масс делит расстояние между точками Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на части, обратно пропорциональные массам:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим из этой пропорции две производные пропорции

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем эти равенства в дифференциальные уравнения движения (7.14):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих уравнений видно, что движение каждой точки относительно их центра масс происходит как движение вокруг неподвижного притягивающего центра с массой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для первой точки и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —для второй. При соответствующих начальных условиях обе точки движутся по эллипсам, имеющим общий фокус Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадающий с центром масс системы (рис. 7.7). В частности, траектория планеты представляет эллипс, фокус которого совпадает не с центром Солнца, а с центром масс системы

Солнце — планета (влиянием других небесных тел пренебрегаем). Эта точка отстоит от центра Солнца на небольшом расстоянии, которым в первом приближении можно пренебречь.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На первый взгляд может показаться, что изучение движения материальной системы можно свести к составлению и анализу дифференциальных уравнений (7.7) или (7.8). В принципе эта точка зрения справедлива, но практически реализовать такой путь исследования удается только для систем, состоящих из небольшого числа материальных точек (свободных или имеющих сравнительно простые связи, как это имело место в рассмотренных примерах). Сложность использования дифференциальных уравнений движения (7.7) или (7.8) состоит прежде всего в том, что, как правило, мы не знаем аналитического выражения внутренних сил и реакций связей.

В теоретической механике разработаны методы, которые позволяют обойти основные трудности, возникающие при использовании дифференциальных уравнений движения материальной системы в форме (7.7) и (7.8). С этой целью прежде всего вводятся некоторые векторные и скалярные величины, характеризующие в какой-то степени движение всей материальной системы (так называемые меры движения). К ним относятся вектор количества и вектор момента количеств движения, а также кинетическая энергия материальной системы. Зная характер изменения этих величин, можно составить частичное, а иногда и полное представление о движении материальной системы.

Теорема об изменении количества движения материальной системы

В конце предыдущей главы было отмечено, что о движении материальной системы можно составить частичное, а иногда и полное, представление по характеру изменения некоторых векторных или скалярных величин, называемых мерами движения. В качестве первой такой меры мы рассмотрим вектор количества движения материальной системы.

Количество движения материальной системы

Количеством движения материальной точки называется, как известно, векторная величина, равная произведению массы точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ее скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Количеством движения материальной системы называется вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равный сумме количеств движения (главный вектор количеств движения) точек, входящих в систему:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки, проведенный из начала инерциальной системы отсчета, то равенство (8.1) можно преобразовать следующим образом (массы точек постоянны):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь выражением (7.2), сумму, стоящую под знаком производной, заменим произведением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса всей системы, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор центра масс:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Производная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач есть скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра масс системы. Окончательно имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. количество движения материальной системы равно массе всей системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Равенство (8.2) можно прочитать также следующим образом: количество движения материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы.

Пример №127

Однородный полый цилиндр массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (конечно, это скорость центра цилиндра; рис. 8.1). Определить количество движения цилиндра.

Количества движения отдельных точек цилиндра имеют различные направления. Их главный вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (количество движения всего цилиндра) совпадает по направлению со скоростью центра масс цилиндра, а его модуль определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор количества движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть задан своими проекциями, выражения для которых непосредственно следуют из формул (8.1) и (8.2) и теоремы о проекции суммы векторов:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кроме инерциальной системы отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач построим поступательно перемещающуюся систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начало которой совпадает с центром масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.2). Теперь движение каждой материальной точки можно рассматривать как сложное движение: переносное вместе с осями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и движение относительно этих осей. Поэтому количество движения можно представить как сумму количеств переносного и относительного движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как в относительном движении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (центр масс системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с началом координат подвижной системы отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то согласно формуле (8.2) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, количество движения материальной системы характеризует ее поступательное движение вместе с центром масс.

Теорема об изменении количества движения материальной системы

Теорема. Производная по времени вектора количества движения системы материальных точек равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.

Для доказательства теоремы перепишем дифференциальные уравнения движения (7.7) материальной системы в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и сложим почленно все уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первая сумма, стоящая в правой части равенства, равна главному вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всех внешних сил, а последняя сумма по первому свойству внутренних сил равна нулю (см. формулу (7.5)). После преобразовании левой части получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая равенство (8.1),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что доказывает теорему.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат векторное равенство (8.5) эквивалентно трем скалярным:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

  1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение количества движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы;).
  2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор количества движения материальной системы остается постоянным по величине и направлению.

Действительно, по условию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда из равенства (8.5) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —начальное значение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Если проекция глазного вектора всех внешних сил, приложенных к системе, на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция количества движения материальной системы на эту ось остается постоянной.

Пусть проекция главного вектора всех внешних сил на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда из первого равенства (8.6) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач - начальное значение проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первые интегралы (8.7) и (8.8), определяющие второе и третье следствия, называются законами сохранения количества движения материальной системы.

Пользуясь введенным ранее понятием импульса силы, преобразуем равенство (8.5). Для этого умножим обе части на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и проинтегрируем в пределах от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим количество движения материальной системы в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и воспользуемся выражением (3.3) для импульса силы. Тогда окончательно получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — главный вектор импульсов всех внешних сил.

Таким образом, приходим к теореме об изменении количества движения материальной системы в интегральной форме (теорема импульсов) изменение количества движения материальной системы за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно главному вектору импульсов всех внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

Векторное уравнение (8.9) эквивалентно трем скалярным равенствам в проекциях на оси инерциальной системы координат:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих формулах Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекции главного вектора импульсов всех внешних сил на оси координат, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач значения проекций количества движения материальной системы в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема импульсов широко применяется в теории удара.

Теорема о движении центра масс

Внесем в равенство (8.5) выражение для количества движения материальной системы (8.2):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая, что масса системы постоянна, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равен тво по виду совпадает со вторым законом Ньютона, записанным для точки с массой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к которой приложена сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Равенство (8.11) представляет математическую запись теоремы о движении центра масс: центр масс материальной системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Напомним, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе.

Векторное равенство (8.11) эквивалентно трем скалярным:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь предполагается, что оси декартовых координат неподвижны.

Необходимо помнить, что центр масс представляет геометрическую точку (см. рис. 8.1). Кроме того, внешние силы фактически приложены не к центру масс, а к точкам системы. Вместе с тем эта геометрическая точка при движении системы перемещается по закону, определенному приведенной теоремой.

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

  1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы. Внутренние силы могут оказать косвенное влияние на движение центра масс только через внешние силы.
  2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Действительно, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из равенства (8.11) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сокращая на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и интегрируя, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальная скорость центра масс.

3. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется

В самом деле, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то из первого уравнения (8.12) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение его центра масс (она может вызвать только вращение тела).

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.

Пример 1. Движение с помощью сил трения. На человека, стоящего на горизонтальном полу, действуют две внешние силы: сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нормальная реакция пола Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для движения в горизонтальном направлении (перемещения центра масс человека) этих сил недостаточно. В начале движения при перемещении одной ноги вперед за счет мускульных усилий вторая нога стремится переместиться назад, так как центр масс человека должен остаться в покое. В результате этого между подошвой второй ноги и полом возникает сила трения, направленная вперед (см. рис. 7.2). Эта сила трения является движущей для человека. Если пол будет абсолютно гладким, то одними мускульными усилиями человек не сможет перемещаться.

Точно так же движение автомобиля по горизонтальной дороге осуществляется с помощью внешних сил трения скольжения, которые возникают между полотном дороги и ведущими колесами автомобиля (см. рис. 7.1). Эти внешние силы трения возникают за счет внутренних сил, создающих вращающий момент на оси ведущих колес, и наличия шероховатой связи (дороги). Если полотно дороги достаточно гладкое (например, при гололеде), то даже при большом вращающем моменте, создаваемом внутренними силами, автомобиль не сможет начать движение.

Спортсмен, опускаясь на парашюте, может управлять движением центра масс своего тела, в частности, при известном опыте он может приземлиться в «заданном круге. Осуществляется это управление за счет изменения внешних сил сопротивления воздуха. Это достигается подтягиванием с помощью мускульных усилий (внутренних сил) строп парашюта.

Пример 2. Движение тел Солнечной системы в неподвижной системе координат. Пренебрегая притяжением далеких звезд, нашу Солнечную систему можно считать изолированной, т. е. считать, что на тела Солнечной системы действуют только внутренние силы. По второму следствию теоремы о движении центра масс центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра Солнца, находится в покое или двигается прямолинейно и равномерно. Наблюдения показывают, что он перемещается со скоростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы, расположенной вблизи звезды Беги и называемой апексом. Таким образом, движение планет Солнечной системы является сложным: их траектории относительно системы отсчета, связанной с центром масс Солнечной системы,— эллипсы (если пренебречь силами взаимного тяготения планет), а траектории относительно далеких звезд — пространственнее эллиптические спирали.

Пример 3. Движение искусственного спутника Земли при выходе из его кабины космонавта. Пусть центр масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (искусственного спутника Земли вместе с находящимися в нем космонавтами) движется под действием сил тяготения Земли по некоторой траектории Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 8.3, положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При выходе космонавта из кабины спутника их общий центр масс будет перемещаться с той же скоростью и по той же траектории (так как внешние силы не изменились), но спутник и космонавт разойдутся по разные стороны от нее (см. рис. 8.3, положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Когда космонавт возвратится в кабину спутника, последний перейдет на прежнюю траекторию (положение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Конечно, эти явления будут происходить только в том случае, если космонавт не пользуется микрореактивными двигателями.

Теорема Эйлера

Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике сплошной среды. Рассмотрим одно, самое простое, но очень интересное приложение *).

Пусть некоторая сплошная среда (жидкость, газ) движется внутри трубы переменного сечения. Выделим часть трубы объемом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.4). Будем считать, что этот объем ограничен боковой поверхностью трубы и двумя ее поперечными сечениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач означают одновременно и площади поперечных сечений (см. рис. 8.4). Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач средние скорости частиц среды, протекающих соответственно через сечения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и некоторое среднее сечение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в единицу времени через сечение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет протекать масса жидкости, равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а через сечения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — плотность среды в соответствующих сечениях.

Будем считать, что движение среды установившееся. Это означает, что скорости отдельных частиц среды и ее плотность в каждом сечении не изменяются с течением времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом предположении (оно является основным) через каждое сечение в единицу времени будут протекать равные количества массы среды, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена секундная масса —масса среды, протекающей через любое сечение трубы в единицу времени. Размерность секундной массы в системе СИ равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в технической системе — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем теперь к вычислению изменения количества движения среды, заполняющей объем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматриваемая среда занимала объем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заключенный между сечениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эта же масса среды занимает объем, ограниченный сечениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 8.4). Тогда изменение количества движения рассматриваемой массы среды произойдет только за счет потери количества движения в объеме между сечениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и возрастания количества движения в объеме между сечениями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как при установившемся движении в единицу времени через сечения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходят одинаковые массы, равные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то за время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через эти сечения пройдут массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Их количества движения будут Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а изменение количества движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассматриваемой массы среды за то же время определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом равенстве произведения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называются секундными количествами движения среды в сечениях Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внешние силы, действующие на среду, можно разбить на две категории:

  1. силы массовые, или объемные, т. е. такие, которые действуют на каждую частицу рассматриваемой среды независимо от того, находятся ли эти частицы внутри выделенного объема или на его поверхности;
  2. силы поверхностные — силы, действующие только на частицы, лежащие на поверхности объема.

К массовым силам относятся прежде всего силы тяжести. Поверхностные силы — это силы давления стенок на среду, силы трения выделенного объема среды о стенки и т. п.

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач главный вектор всех внешних объемных сил, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — главный вектор всех внешних поверхностных сил. Тогда, применяя к рассматриваемой массе среды теорему об изменении количества движения материальной системы в ее дифференциальной форме (8.5), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, пользуясь соотношением (8.16) и перенося все члены в одну сторону,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство представляет математическую запись теоремы Эйлера, которую можно прочитать следующим образом: сумма главных векторов объемных и поверхностных сил, а также секундных количеств движения среды, протекающей через два поперечных сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств движения направить внутрь выделенного сечениями объема.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат векторное равенство (8.17) дает

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №128

На корме находящейся в покое баржи установлен автомобиль. В некоторый момент времени автомобиль начал перемещаться по палубе, направляясь к носу баржи. Пренебрегая сопротивлением воды движению баржи, определить ее скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в зависимости от скорости автомобиля и относительно баржи (учет сил сопротивления будет дан в следующей задаче 8.3). Масса баржи равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а масса автомобиля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим систему, состоящую из баржи и автомобиля. В условии задачи внешними силами, действующими на систему, будут вертикальные силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и архимедова сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.5). Проекция этих сил на горизонтальную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, и, следовательно, проекция количества движения всей системы на эту ось сохраняет постоянное значение, равное начальному:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Количество движения баржи равно miv, а количество движения автомобиля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (при вычислении нужно иметь в виду, что количество движения определяется для абсолютных скоростей). Считая, что баржа движется в сторону, противоположную автомобилю (см. рис. 8.5), найдем проекцию количества движения всей системы на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем отсчитывать время с начала движения автомобиля. Тогда при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внося эти значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что проекция на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач количества движения системы не меняется, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем скорость движения баржи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как функцию скорости автомобиля

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как полученное выражение для скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительно, то сделанное предположение о том, что баржа движется в сторону, противоположную движению автомобиля, является верным.

Из формулы (8.20) видно, что в условиях задачи (отсутствие сил сопротивления) скорость баржи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прямо пропорциональна относительной скорости автомобиля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В частности, в момент остановки автомобиля остановится и баржа. При отсутствии сил сопротивления эта остановка баржи должна произойти в результате динамического эффекта, вызванного взаимодействием внутренних сил между баржей и автомобилем. Заметим, что за все время движения количество движения системы не изменяется, а происходит перераспределение скоростей тел, входящих в систему.

В заключение этого примера отметим, что сделанное предположение отсутствии сил сопротивления движению несущего тс.-.а (баржи) является, конечно, идеализированным и на практике, за исключением аналогичной ситуации в космосе, оно не оправдано. Поэтому формула (8.20) справедлива только при сделанных предположениях и в реальных земных условиях она дает весьма приближенное решение, которым не всегда можно пользоваться. В частности, вывод, что баржа остановится одновременно с прекращением движения автомобиля, не подтверждается наблюдениями — после остановки автомобиля баржа, изменив предварительно направление движения на противоположное, будет продолжать движение в сторону перемещения автомобиля. Это явление, вызываемое взаимодействием внутренних сил системы с внешними силами сопротивления, будет разобрано в следующей задаче.

Пример №129

В условиях предыдущей задачи определить скорость движения баржи, считая, что при ее движении возникает сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, а автомобиль перемещается относительно баржи по закону, график которого изображен на рис. 8.6, б (в начальном промежутке времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач автомобиль движется равноускоренно, затем в промежутке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равномерно и, наконец, на третьем этапе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равноэамедленно).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В отличие от предыдущей задачи, теперь, кроме внешних вертикальных сил тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и архимедовой силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенных к системе, на баржу действует еще одна внешняя сила —сила сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент пропорциональности. Эта сила направлена в сторону, противоположную скорости баржи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.6, а). Проекция количества движения системы на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была определена в предыдущей задаче —см. формулу (8.19):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося это выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в первое уравнение (8.6) и учитывая значение силы сопротивления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом уравнении коэффициент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определены равенствами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что автомобиль движется относительно баржи сначала равноускоренно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач затем равномерно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и, наконец, равнозамедленно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где положительное число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пропорционально ускорению автомобиля на первом интервале Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач времени его движения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач видно на рис. 8.6, б). Для простоты мы считаем, что время разгона автомобиля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно времени его торможения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому на третьем этапе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для первого промежутка времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение движения (8.21) согласно (8.22) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами решается очень легко и его общее решение можно записать в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(читателю полезно самостоятельно получить это решение).

Произвольную постоянную интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из начальных условий: в начале движения при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость баржи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставим эти значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в общее решение (8.26):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внеся это значение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (8.26), получим скорость баржи на первом интервале времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В конце этого промежутка времени скорость баржи будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На участке равномерного движения автомобиля дифференциальное уравнение (8.21) на основании равенства (8.22) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Общее решение этого уравнения запишем в следующей форме *):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Постоянную интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из условия: при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач После подстановки получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, на втором интервале времени скорость баржи изменяется по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определено равенством (8.28).

В конце этого периода скорость баржи будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На третьем интервале времени (участок торможения автомобиля) дифференциальное уравнение (8.21) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Его общее решение запишем в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произвольную постоянную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из условия: при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач После подстановки получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, на третьем интервале времени скорость баржи изменяется по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость баржи в конце этого периода (при остановке автомобиля) будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем в это равенство значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из (8.31), затем учтем значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из (8.28) и примем во внимание равенство (8.24). После элементарных преобразований получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого выражения видно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что на участке торможения автомобиля баржа изменяет направление движения на противоположное и начинает двигаться в сторону движения автомобиля, причем в момент остановки автомобиля баржа не останавливается, а продолжает движение, Момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда баржа изменяет направление движения, можно найти. из равенства (8.32), положив в нем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем к определению закона изменения скорости баржи после остановки автомобиля Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Уравнение (8.21) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В общем решении этого уравнения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

произвольную постоянную интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из условия: при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорость баржи будет изменяться по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 8.7 по равенствам (8.27), (8.30), (8.32) и (8.34) построен график закона изменения скорости баржи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (на графике учтено, что за положительное направление движения баржи принято направление, противоположное направлению движения автомобиля).

Рассмотрим теперь случай, когда промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач очень мал и его практически можно считать равным нулю (автомобиль за пренебрежимо малый промежуток времени набирает скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и так же быстро останавливается— рис. 8.8, а). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользуемся равенством (8.28) и подставим в него значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из (8.23)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имеется неопределенность вида 0:0. Для раскрытия ее воспользуемся правилом Лопиталя:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После набора автомобилем этой скорости баржа будет двигаться по закону (8.30), если положить в нем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость баржи перед началом торможения автомобиля определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скорость движения баржи в конце торможения автомобиля найдем из равенства (8.33) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определены равенствами (8.35) и (8.37).

График скорости баржи при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показан на рис. 8.8,6.

Явления, описанные в этом примере, читатель может наблюдать самостоятельно; при переходе человека с кормы лодки к ее носовой части (или наоборот) лодка сначала начнет двигаться в сторону кормы, а затем при остановке человека движение лодки будет происходить в обратном направлении.

В заключение этого примера отметим, что качественная сторона закона изменения скорости движения не зависит от сделанных предположений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачЧитатель может убедиться в этом самостоятельно, разобрав для примера случай, когда сила сопротивления воды пропорциональна не первой, а второй степени скорости движения баржи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент пропорциональности).

Пример №130

Груз веса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скользит вниз по наклонной эстакаде, свободно лежащей на земле. Вес эстакады Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коэффициент трения скольжения между грузом и эстакадой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол наклона Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При каких условиях эстакада остается неподвижной?

Эстакада будет находиться в покое до тех пор, пока сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между землей и эстакадой не достигнет своего предельного значения, равного Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—коэффициент трения покоя, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —сила нормального давления. Для определения силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и нормального давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач рассмотрим систему, состоящую из груза и эстакады. На эту систему действуют следующие внешние силы: сила тяжести груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила тяжести эстакады Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальная реакция земли Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила трения между землей и эстакадой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.9, а).

Обозначим скорость движения груза через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачнаправлена параллельно наклонной плоскости и поэтому проекции количества движения груза, а следовательно, и всей системы (количество движения эстакады равно нулю, так как она находится в покое) на координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут (рис. 8.9, а)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применим теперь теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме и равенства (8.6). Пользуясь выражениями для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью рис. 8.9, а получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем силу нормального давления

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эстакада будет находиться в покое, если сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не превышает своего предельного значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из полученных соотношений найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для полного решения задачи необходимо определить ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого рассмотрим движете одного груза (рис. 8.9, б). На груз действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальная составляющая реакции наклонной плоскости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по модулю равная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекциях на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из второго уравнения найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внесем это выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в первое уравнение и определим из него ускорение груза:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После подстановки в неравенство, определяющее Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Этому условию должен удовлетворять Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — коэффициент трения покоя между землей и эстакадой, чтобы последняя не пришла в движение. В условиях примера Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В главе XVI мы решим эту задачу другим методом.

Пример №131

Электромотор прикреплен с помощью четырех болтов к горизонтальному основанию. В результате затяжки каждый болт создает вертикальное давление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Коэффициент трения покоя между мотором и основанием Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить величину бокового давления на болты, если ротор электромотора, имея небольшой эксцентриситет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачравномерно вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вес статора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вес ротора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.10).

При вращении ротора центр тяжести его (точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет описывать окружность, радиус которой равен эксцентриситету Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В результате этого корпус электромотора будет стремиться совершать горизонтальные колебания. Этому

стремлению препятствуют болты и сила трения между электромотором и основанием (фундаментом).

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силу трения между основанием и статором мотора, через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —суммарную горизонтальную составляющую силы давления болтов на статор мотора и через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнодействующую сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как последние направлены всегда в одну сторону, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Нужно иметь в виду следующее: если сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по модулю меньше своего предельного значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— величина нормального давления, то корпус мотора будет удерживаться в покое только за счет сил трения. В этом случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Как только сила трения достигнет своего предельного значения, в работу вступят болты, причем модуль силы можно будет определить из последнего равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь систему, состоящую из статора и ротора. Количество движения статора равно нулю (он неподвижен), а количество движения ротора

равно — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость его центра тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а проекции вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут (рис. 8.10)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, проекции количества движения всей системы равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внешними силами для системы будут: сила тяжести статора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила тяжести ротора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач четыре силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач затяжки болтов (их равнодействующую обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нормальная составляющая реакции основания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и боковые составляющие давления болтов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в дифференциальной форме и применим уравнения (8.6). Пользуясь полученными выражениями для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью рис. 8.10 получим (рассматриваем первый полуоборот, в течение которого сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет направлена влево)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, выполняя дифференцирование и умножая первое уравнение на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

.Найдем из второго уравнения силу нормального давления

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем считать, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда положительно, и введем в рассмотрение функцию

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что входящая в это выражение предельная сила трения покоя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является величиной переменной (так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется). Учитывая соотношение (8.38), найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразуем функцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользуемся равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

в котором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угол трения. Функцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно привести теперь к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Максимальное значение функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигается при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если это выражение неположительно, то при любом значении угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В этом случае сила трения не превосходит своего предельного значения и болты не оказывают давления на мотор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это имеет место при условии

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если же неравенство (8.41) будет иметь обратный смысл, то при некотором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обратится в нуль. Угол поворота Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач легко находится из уравнения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач или, после очевидных преобразований,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начнет возрастать и сделается положительной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — наименьший корень уравнения (8.42)). С этого же момента Болты начнут оказывать давление на мотор, равное Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При угле Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяемом уравнением

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач опять сделается равной нулю, давление болтов прекратится и мотор снова будет удерживаться одной силой трения. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач характер распределения сил будет повторяться в обратном порядке,

В данном примере

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Условие (8.41) не выполняется и, следовательно, одной силы трения недостаточно для удержания в горизонтальном положении мотора. Значение угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из уравнения (8.42):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач мотор удерживается одной силой трения. Начиная с момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в работу вступают болты, действие которых прекращается в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством (8.43):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В промежутке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач суммарная сила давления болтов найдется из равенств (8.39) и (8.40):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач снова обращается в нуль. График проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изображен на рис. 8.11.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Максимальное давление, приходящееся на один болт (сила давления мотора на болты равна по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлена в сторону, противоположную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 5,75 кГ, а при отсутствии трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач оно составляет 15,75 кГ. Следовательно, сила трения снимает в данной системе две трети всей нагрузки на болты л существенно облегчает условия их работы.

При большом эксцентриситете сила давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач меняющая свое направление с каждом полуоборотом ротора (в нашем примере 3000 раз в минуту), может достигнуть величины, прн которой болты будут сломаны.

Если увеличить затяжку болтов, т. е. увеличить силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то можно создать такое нормальное давление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором мотор будет удерживаться в горизонтальном положении одной силой трения и болты не будут испытывать горизонтальных давлений. Критическое значение для силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из неравенства (8.41):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В рассматриваемом примере будем иметь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, каждый болт нужно затянуть с силой 42,5 кГ (напомним, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — суммарная сила затяжки всех четырех болтов), т. е. затяжку болтов нужно увеличить в 3,4 раза.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №132

Горизонтальный участок трубопровода земснаряда имеет изогнутое под углом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач колено. Определить динамическое давление Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пульпы на изогнутую часть трубопровода, если его диаметр равен 60 см, удельный вес пульпы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и скорость ее течения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим изогнутую часть трубопровода и обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач площади поперечных сечений его в начале и конце изгиба, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —векторы соответствующих скоростей пульпы (рис. 8.12, а). Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направим вдоль оси симметрии изогнутой части трубопровода, а ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — перпендикулярно к ней. По условию задачи модули Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач составляют с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач углы, равные Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Силы тяжести направлены вертикально, и их проекции на оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю (на рис. 8.12, а показан вид сверху). Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проекции главного вектора сил давления стенок трубопровода на пульпу и составим первые два уравнения (8.18):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, главный вектор поверхности сил направлен по оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (это очевидно из соображений симметрии). Сила добавочного динамического давления Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на трубопровод равна по модулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и направлена в противоположную сторону (рис. 8.12, б):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По определению имеем (см. формулу (8.15))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Плотность пульпы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач связана с ее удельным весом равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а площадь поперечного сечения трубопровода Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося выражения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в равенство (8.44), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После подстановки численных значений Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

найдем динамическое давление пульпы на трубопровод:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы

В предыдущей главе было показано, что, исследуя вектор количества движения материальной системы, можно составить представление о ее поступательном движении. Вращательное движение материальной системы характеризуется другой векторной величиной, а именно — моментом количеств движения. В этой главе мы рассмотрим способы вычисления этой величины и ее связи с другими динамическими характеристиками системы, с помощью которых можно составить частичное, а иногда и полное описание вращательных движений материальной системы.

Момент количеств движения материальной системы

Момент количества движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач одной материальной точки определяется равенством Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Моментом количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной системы относительно центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется сумма моментов (главный момент) количеств движения всех материальных точек, входящих в систему, относительно тога же центра:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом равенстве Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор материальной точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом в центре Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса и скорость этой точки. Если материальная система представляет непрерывно распределенную материальную среду, заполняющую некоторый объем, то сумма, конечно, переходит в соответствующий интеграл.

Как всякий вектор, момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть задан своими проекциями. В частности, равенство (9.1) в проекциях на оси системы координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач записывается следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По этим формулам можно определить проекции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (моменты количеств движения материальной системы относительно координатных осей), а следовательно, и сам вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В этом примере нас интересует не момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела как вектор, а только одна его проекция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на ось вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг неподвижной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.1). Выделим в теле элемент объема Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с массой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и будем рассматривать его как материальную точку. При вращении тела вокруг неподвижной оси элемент объема Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет двигаться по окружности с центром в точке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом, равным расстоянию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до оси вращения. Проекция скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач элемента объема Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на касательную к окружности равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задача проекция количества движения на ту же ось будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как плечо вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси вращения равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то момент количества движения элемента объема Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачДля всего тела будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где интегрирование распространено на массу всего тела.

Проекция угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач одинакова для всех точек тела, и, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получившийся интеграл зависит только от характера распределения массы в теле и не зависит от его кинематического состояния

Он называется моментом инерции тела относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и обозначается символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (момент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном движении):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этих обозначениях будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на проекцию угловой скорости тела на ту же ось.

Краткие сведения о моментах инерции

Теории моментов инерции будет посвящена специальная глава XII. Здесь же мы весьма кратко остановимся на основных определениях и сообщим некоторые формулы, не останавливаясь на их выводах.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этой точки на квадрат ее расстояния Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до оси, т. е. величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Моментом инерции материальной системы относительно оси называется сумма моментов инерции всех точек системы относительно той же оси.

Так, например, момент инерции материальной системы относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки с номером Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При непрерывном распределении массы сумма переходит в интеграл (9.3).

По определению момент инерции представляет существенно положительную величину. В нуль момент инерции может обратиться только в одном частном случае, когда все точки системы расположены на оси, относительно которой вычисляется момент инерции.

Размерность момента инерции в системе СИ равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в технической системе — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для примера определим момент инерции однородного тонкого стержня массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и длины относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец (рис. 9.2). Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вдоль стержня и выделим на нем элемент длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от этого элемента до оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач масса единицы длины стержня равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а масса выделенного элемента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внесем эти значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение (9.3) и учтем, что переменная интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяется от 0 до Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, интегрируя,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таково значение момента инерции однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец.

Момент инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач однородного тонкого стержня длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей перпендикулярно к стержню через его центр тяжести С, будет равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Не останавливаясь на выводе, заметим, что момент инерции однородного кругового цилиндра массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач цилиндра (рис. 9.3) определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это выражение для момента инерции не зависит от высоты цилиндра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поэтому оно справедливо и для однородного кругового диска.

Очень часто вводят радиус инерции тела относительно оси, понимая под ним расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от оси до точки, в которой нужно сосредоточить массу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всего тела, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси. По определению имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —масса материальной системы, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— ее момент инерции относительно данной оси, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —радиус инерции системы относительно этой же оси.

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы

Рассмотрим материальную систему, состоящую из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальных точек. Мысленно освободимся от связей, заменим их действие реакциями и разобьем все силы (включая реакции связей) на внешние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и внутренние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда все точки системы можно считать свободными и к каждой из них применима теорема об изменении момента количества движения (см. (3.10)):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Складывая почленно, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В левой части равенства вынесем знак производной за знак суммы; в правой части равенства первая сумма равна главному моменту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всех внешних сил относительно центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а вторая сумма, на основании второго свойства внутренних сил, равна нулю (см. формулу (7.6)). Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая выражение (9.1),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение представляет математическую запись теоремы об изменении момента количеств движения материальной системы: полная производная по времени вектора момента количеств движения материальной системы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна главному моменту всех внешних сил относительно того же центра.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат, начало которых совпадает с центром Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач векторное равенство (9.9) эквивалентно трем скалярным:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение момента количеств движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы) .

2.Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то момент количеств

движения материальной системы относительно того же центра не изменяется по модулю и направлению.

Действительно, если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то равенство (9.9) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальное значение вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси (например, оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен нулю, то момент количеств движения материальной системы относительно этой оси не изменяется в процессе движения.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то согласно первому равенству (9.10) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Первые интегралы (9.11) и (9.12), определяющие второе иг третье следствия, называются законами сохранения момента количеств движения материальной системы.

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы имеет очень интересные и практически важные приложения. В этой лекции мы рассмотрим примеры и задачи, иллюстрирующие применение теоремы и ее следствия, причем некоторые из них имеют самостоятельное значение.

1. Плоскость Лапласа. Солнечная система является изолированной (если пренебречь влиянием других звезд), и ее движение определяется только внутренними силами притяжения. Так как внешние силы отсутствуют, то пол на основании второго следствия момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей Солнечной системы сохраняет постоянное направление относительно далеких «неподвижных»-звезд. Поэтому сохраняет неизменное положение и плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярная к вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.4). Эта плоскость (ее называют плоскостью Лапласа) имеет большое значение в астрономии, так как относительно нее ориентируют орбиты планет.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Скамейка Н. Е. Жуковского. Для демонстрации теоремы об изменении момента количеств движения материальной системы и ее следствий Н. Е. Жуковский построил прибор, состоящий из горизонтальной платформы, которая может вращаться вокруг вертикальной оси с пренебрежимо малым трением. Мы опишем два опыта, хорошо иллюстрирующих теорему.

а) В примере 1 было показано, что при отсутствии внешних сил человек не может изменить положения своего центра тяжести. Покажем, что, находясь в аналогичных условиях, человек может повернуться. Предположим, что человек стоит на скамейке Н. Е. Жуковского и держит над головой колесо или какой-нибудь другой предмет, который может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 9.5).

Будем считать, что вся система, состоящая из человека, платформы и колеса, сначала находилась в покое; затем внутренними силами колесо раскручивается ( это можно сделать например второй рукой). Так как моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения равны нулю ( силы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тяжести параллельны оси вращения, а линии действия реакций опор платформы пересекают ее), то момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей системы относительно этой оси должен сохранять постоянное значение, равное начальному:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — моменты количеств движения относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач колеса и человека с платформой.

Равенство (9.13) должно сохраняться все время. Поэтому, если одно из слагаемых, например Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительно, то второе слагаемое отрицательно. Это означает, что при вращении колеса в одном направлении человек вместе с платформой будет вращаться в обратном направлении. Если, повернув колесо на некоторый угол, затем прекратить его вращение, то платформа с человеком, повернувшись в обратном направлении на некоторый другой угол, также прекратит свое вращение.

Будет показано, как используется этот метод космонавтами для поворота и ориентации при свободном полете в космосе.

б) Второй опыт, хорошо демонстрируемый на скамейке Жуковского, состоит в следующем. Человек стоит на платформе, держа в руках гантели. Его раскручивают, после чего вращение происходит по инерции. Моменты внешних сил, действующих на систему «человек — платформа», относительно вертикальной оси вращения равны нулю. Поэтому момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Предположим, что человек, держа руки с гантелями по швам, вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.6, а). Обозначим момент инерции всей системы в этом положении через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда согласно формуле (9.4) будем иметь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачЕсли человек, расставив руки с гантелями, будет держать их на уровне плеч (рис. 9.6, б), то момент инерции всей системы относительно оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличится (увеличатся расстояния от гантелей до оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим новый момент инерции через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и новую угловую скорость через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Согласно той же формуле (9.4) в новом положении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Так как момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси вращения не изменяется, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого равенства следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, человек, поднимая руки до уровня плеч, уменьшает свою угловую скорость, а при опускании рук увеличивает ее.

Пример №133

Тележка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поворотного подъемного крана движется с постоянной по модулю скоростью и относительно стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач крана. Мотор, вращающий кран, создает относительно оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач крана постоянный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращения крана в зависимости от расстояния Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тележки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач до оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если вес тележки вместе с грузом равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а момент инерции крана (без тележки и груза) относительно оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачВращение крана начинается в момент времени, когда тележка находилась на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.7).

Рассмотрим систему, состоящую из вращающейся части крана и тележки с грузом. Для решения задачи применим теорему об изменении момента количеств движения системы относительно неподвижной оси вращения крана (см. третье уравнение (9.10)):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рассматриваемую систему действуют следующие внешние силы и моменты: сила тяжести тележки с грузом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила тяжести крана Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращающий момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакции опор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач крана (на рис. 9.7 показаны их составляющие). Моменты относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сил тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакций опор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю (силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а линии действия реакций пересекают ее). Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем теперь к определению момента количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы относительно оси вращения крана. Система состоит из двух движущихся тел: вращающегося крана и тележки с грузом (тележка и груз движутся одинаково, и их можно рассматривать как одно тело). Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — моменты количеств движения относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач крана и тележки соответственно.

Кран представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Поэтому согласно формуле (9.4) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тележка участвует в сложном движении Ее относительная скорость равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а модуль переносной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от тележки до оси вращения (размерами тележки пренебрегаем). Абсолютная скорость тележки

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

а количество ее движения

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — моменты количеств относительного и переносного движений тележки относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Вектор количества переносного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находится в горизонтальной плоскости и перпендикулярен к оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося найденные значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в (9.16), найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставив выражения (9.15) и (9.17) в равенство (9.14), получим дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом уравнении величина s является переменной, причем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция относительной скорости и тележки на ось стрелы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если тележка удаляется от оси вращения крана, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в противном случае). Так как по условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — величина постоянная, то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя уравнение (9.18), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В начальный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому из формулы (9.19) следует, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Заменим в равенстве (9.19) время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач через расстояние Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловая скорость может быть выражена также как функция времени:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частности, при неподвижной тележке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из соотношений (9 20) и (9 21) видно, что знак Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает со знаком Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что направление вращения крана всегда совпадает с направлением вращающего момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — факт физически очевидный.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси обеспечивается специальным» приспособлениями (подшипниками и подпятниками). Освободимся мысленно от связей и, заменив их соответствующими реакциями, будем в дальнейшем считать вращающееся тело свободным. Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач момент инерции этого тела относительно оси вращения и через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —проекцию его угловой скорости на ту же ось. Тогда момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела относительно оси вращения будет равен (см. формулу (9.4))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося это выражение в третье равенство (9.10), получим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При вычислении главного момента всех внешних сил, приложенных к твердому телу, относительно оси вращения нужно учитывать, что реакции идеальных (без трения) опор в уравнение 9.22) не войдут, так как линии их действия пересекают ось вращения и, следовательно, их моменты относительно этой оси равны нулю. Если же опоры создают моменты трения, то последние необходимо учитывать.

Сравним дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с дифференциальным уравнением прямолинейного поступательного движения твердого тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая уравнения (9.22) и (9.23), видим, что между ними можно провести глубокую аналогию: линейной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поступательного движения тела соответствует его угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при вращении вокруг неподвижной оси (в уравнениях рассматриваются соответствующие проекции скоростей); силам, вызывающим поступательное движение тела, соответствуют моменты сил, вызывающих его вращение; массе тела в уравнении (9.23) соответствует момент инерции в уравнении (9.22). Так как масса тела представляет меру его инерции в поступательном движении, то из сделанного сопоставления следует, что момент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном движении.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (9.22) полезно сопоставить с формулировкой второго закона Ньютона: произведение массы точки на ее ускорение равно сумме всех сил, приложенных к точке. Аналогично можно прочитать и уравнение (9.22): произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу.

Пример №134

К ротору электромотора приложен вращающий момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач изменяющийся по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторые положительные постоянные, характеризующие двигатель (постоянная Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется крутизной характеристики мотора), а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— угловая скорость ротора. Определить закон изменения угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в период разгона ротора, если его момент инерции относительно оси вращения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Совместим положительное направление оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач с направлением вращающего момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (направление вектора угловой скорости в период разгона ротора совпадает, конечно, с направлением вращающего момента).

Силы трения учтены постоянными Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому сумма моментов всех внешних сил, приложенных к ротору, будет равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дифференциальное уравнение вращения твердого тела (9.22) в данном случае принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для определения закона изменения угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от времени нужно решить это дифференциальное уравнение. Для этого разделим переменные

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и проинтегрируем обе части равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В начале разгона при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставляя это условие в полученный первый интеграл, найдем постоянную интегрирования

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем это значение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в последнее равенство

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Группируя члены с логарифмами, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Это равенство и определяет закон изменения угловой скорости. С ростом времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач второй член в скобках стремится к нулю. Поэтому угловая скорость ротора, монотонно увеличиваясь, стремится к своему предельному значению, соответствующему установившемуся режиму:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Процесс разгона двигателя называется переходным процессом (его график показан на рис. 9.8). Переходный процесс считается для большинства электродвигателей законченным, когда угловая скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач достигнет 0,95 своего предельного значения. Продолжительность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переходного процесса легко определить, пользуясь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент инерции ротора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и крутизну характеристики двигателя Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подбирают из условия, чтобы время переходного процесса находилось в заданных пределах (для электроприводов большинства механизмов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачне превышает 2 — 3 секунд).

Момент количеств движения системы, участвующей в сложном движении

Во многих случаях движение материальной системы относительно инерциальных осей рационально представить как сложное и разложить его на простейшие движения. При этом очень часто удается упростить вычисление момента количеств движения.

Введем подвижные координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещающиеся поступательно относительно инерциальных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начало отсчета подвижных осей совместим с центром масс С материальной системы (рис. 9.9). Будем рассматривать движение материальной системы как относительно неподвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачтак и относительно поступательно перемещающихся Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одна из точек материальной системы. Введем обозначения: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее радиус-вектор, проведенный из начала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижных осей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор той же точки, проведенный из начала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижных осей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор начала подвижных осей (т. е. центра масс) в системе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из кинематики известно, что скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно неподвижных осей складывается из переносной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к относительной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скоростей:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что подвижные оси перемещаются поступательно, будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Момент количеств абсолютного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной системы относительно неподвижного центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогичным образом определяется момент количеств относительного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной системы относительно начала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (абсолютная скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач заменяется относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач абсолютный радиус-вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее радиусом-вектором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в подвижной системе координат):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Установим два тождества, которым должны удовлетворять радиусы-векторы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и относительные скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Положение центра масс системы в осях определяется равенством (см. формулу (7.2))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как начало подвижной системы координат совпадает с центром масс, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя это соотношение по времени и принимая во внимание, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, движение любой материальной системы в поступательно перемещающихся осях, начало которых совпадает с центром масс системы, удовлетворяет тождествам (9.33) и (9.34).

Преобразуем теперь выражение для момента количеств абсолютного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для этого внесем в формулу (9.31) значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из равенств (9.29) и (9.30):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Раскроем в правой части скобки и разобьем все выражение на четыре суммы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учтем следующие обстоятельства; а) множители Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависят от индекса суммирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и их можно вынести за знак суммы; б) скалярный множитель Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно отнести к любому векторному множителю; в) последняя сумма в правой части в соответствии с (9.32) равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На этом основании выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно представить в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно тождествам (9.33) и (9.34) второе и третье слагаемые равны нулю, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса всей системы. Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство можно прочитать следующим образом: момент количеств абсолютного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно неподвижного центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен сумме момента относительно того же центра количества движения центра масс системы, в предположении, что в нем сосредоточена вся ее масса, и момента относительно центра масс количеств относительного движения системы, причем последнее движение рассматривается по отношению к поступательно перемещающимся координатным осям, начало которых совпадает с центром масс системы.

В проекциях на неподвижные оси координат векторное равенство (9.36) эквивалентно трем скалярным:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №135

Эпициклический механизм состоит из неподвижной шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривошипа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сателлита Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.10). Кривошип Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг оси, проходящей через центр Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиусом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Считая сателлит Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач однородным диском массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а кривошип однородным тонким стержнем длины Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определить момент количеств движения механизма относительно неподвижной оси вращения кривошипа.

Построим две системы координат: неподвижную Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и поступательно перемешающуюся систему Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начало которой совпадает с центром тяжести сателлита Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлены на читателя. Так как шестерня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижна, то момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач эпициклического механизма относительно неподвижной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач моменты количеств движения относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач кривошипа и сателлита соответственно.

Кривошип представляет твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач На основании формулы (9.4) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проекция угловой скорости кривошипа на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—его момент инерции относительно той же оси. Для однородного тонкого стержня согласно формуле (9.5)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подвижная шестерня участвует в сложном движении. Поэтому для вычисления момента количеств движения сателлита относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

воспользуемся третьей формулой (9.37):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим в центре тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор количества движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см- Рис- 9.10). Плечо вектора Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение шерстени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет вращение вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому согласно формуле (9.4)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом равенстве Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — момент инерции относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. формулу (9-7)) и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее угловая скорость.

Внося Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для полного решения задачи нам осталось вычислить модуль скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачи ее угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит одновременно и кривошипу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мгновенный центр скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с точкой касания обеих шестерней. Скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач как точки шестерни Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравнивая оба выражения для скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставим значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и сгруппируем члены:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь найдем момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всего механизма относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это выражение можно записать в форме (9.4):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где величина

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется приведенным к оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач моментом инерции механизма.

Заметим, что приведение момента инерции механизма к одной и той же оси можно производить различными методами. В данном примере это приведение выполнено при вычислении момента количеств движения системы.

Теорема об изменении момента количеств «относительного движения материальной системы

Доказанная теорема относилась к абсолютному движению, т. е. к движению материальной системы относительно инерциальных осей. Кроме того, предполагалось, что точка, относительно которой вычислялся момент количеств движения, неподвижна. Эти ограничения вносят известные неудобства при изучении вращательных движений тел, не имеющих неподвижных точек -(самолеты, корабли, ракеты, приборы, установленные на них и т. п.). В этой лекции мы рассмотрим, какой вид принимает теорема об изменении момента количеств движения для относительного движения.

Будем изучать движение материальной системы относительно подвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещающихся поступательно относительно инерциальных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Напомним, что все законы динамики, установленные для материальной точки, движущейся в инерциальной системе отсчета, остаются справедливыми для ее относительного движения, если только к силам, действующим на точку, присоединить переносную и кориолисову сильгиперции (см. главу VI).

Подвижные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещаются по условию поступательно. Поэтому ускорения Кориолиса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и соответствующие. Силы инерции, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равны нулю. Кроме того, при поступательном движении подвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переносные ускорения всех точек одинаковы и равны ускорению Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,переносная сила инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса точки.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 9.11 показаны координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ускорение полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точка материальной системы, к внешней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и внутренней Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силам которой присоединена переносная сила инерции — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно считать неподвижными. В применении к теореме об изменении момента количеств движения это означает, что в равенстве (9.9) момент количеств абсолютного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачвычисленный относительно неподвижной точки, нужно заменить на момент количеств относительного движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычисленный относительно начала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижных осей; Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и к моментам внешних сил нужно присоединить моменты переносных сил инерции всех точек системы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно (9.40) имеем (см. рис. 9.11)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скалярный множитель Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отнесем к вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а общий множитель— Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вынесем за знак суммы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулой (7.2) сумма, стоящая в скобках, равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса всей системы, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор центра масс в подвижной системе координат. Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведение — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач назовем переносной силой инерции центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей системы. (При поступательном движении осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переносное ускорение центра масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно ускорению полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что сила инерции — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена в центре масс. Тогда произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой момент силы — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно подвижного центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая введенные обозначения, равенству (9.41) можно придать следующий вид:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение представляет математическую запись в векторной форме теоремы об изменении момента количеств относительного движения. В проекциях на поступательно перемещающиеся оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Дает следующие три скалярных уравнения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В частном, но весьма важном случае, когда начало Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поступательно перемещающихся осей совмещено с центром масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач материальной системы, уравнение (9.43) существенно упрощается. Действительно, в этом случае Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и уравнение (9.13) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В проекциях на поступательно перемещающиеся оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сравним уравнение (9.9) с уравнениями (9.43) и (9.45). В первом из них при вычислении момента количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач учитываются абсолютные скорости точек материальной системы и за центр выбирается неподвижная точка. В уравнениях (9.43) и (9.45) при вычислении момента количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач учитываются скорости точек материальной системы относительно поступательно перемещающихся осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (или Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и за

центр выбирается начало подвижной системы координат.

В правой части уравнения (9.43) к моментам внешних сил нужно присоединить момент относительно подвижного центра переносной силы инерции — Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отметим, что если за полюс выбрать центр масс, то теорема об изменении момента количеств относительного движения (уравнение (9.45)) по своей форме полностью совпадает с аналогичной теоремой об изменении момента количеств абсолютного движения (уравнение (9.9)).

Остановимся подробнее на уравнении (9.45). Так как оно по своей форме в точности совпадает с уравнением (9.9), то движение материальной системы относительно ее центра масс происходит так же,как если бы последний был неподвижен. Все следствия теоремы моментов количеств движения относительно неподвижной

точки остаются справедливыми и для момента количеств движения относительно центра масс. В частности, если сумма моментов всех внешних сил относительно центра масс равна нулю, то момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачсохраняет постоянную величину и направление; если сумма моментов всех внешних сил относительно оси, проходящей через центр масс и перемещающейся поступательно, равна нулю, то момент количеств движения относительно этой оси сохраняет свое первоначальное значение.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих доказанные теоремы.

Пример 1. Поворот космонавта. Предположим, что космонавт вышел из космического корабля и совершает свободный полет. Будем считать, что космонавт отделился от корабля без вращения и что силы тяготения небесных тел (например, Земли), действующие на космонавта, сводятся к одной равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через его центр масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда момент сил тяготения относительно центра масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равен нулю и, следовательно, момент количеств движения относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняет постоянную величину и направление. Возникает вопрос: может ли космонавт без применения реактивных микродвигателей повернуться в нужном направлении?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним первый опыт на скамейке Жуковского, в котором поворот человека достигался поворотом колеса (или руки). Так как движение материальной системы относительно центра масс происходит по тем же законам, что и относительно неподвижной точки, то любая прямая, проходящая через центр масс космонавта и перемещающаяся поступательно, играет ту же роль, что и ось скамейки Жуковского. Поэтому поворотом руки космонавт может повернуть свое тело в противоположном направлении.

Пример 2. Изменение угловой скорости спортсмена. Рассмотрим вращение спортсмена, совершающего прыжок с вышки в воду. Во время прыжка на спортсмена действует одна внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебрегаем)— сила тяжести. Эта сила приложена к центру масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач спортсмена и, следовательно, она не создает момента относительно точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому момент количеств движения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач спортсмена относительно горизонтальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через его центр масс перпендикулярно к плоскости движения, остается без изменения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение спортсмена относительно поступательно перемещающейся оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой вращение вокруг этой оси. Тогда согласно формуле (9.4)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — момент инерции относительно горизонтальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость спортсмена (направление оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем так, чтобы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачВ начале прыжка спортсмен, отталкиваясь от трамплина, сообщает телу угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач имея момент инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Затем в процессе прыжка он группируется (складывается), уменьшая тем самым момент инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач- Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. в середине прыжка, когда спортсмен группируется, его угловая скорость увеличивается.

Перед входом в воду спортсмен снова выпрямляется, увеличивая момент инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и уменьшая тем самым свою угловую скорость.

Весь процесс изменения угловой скорости спортсмена за счет изменения его момента инерции совпадает со вторым опытом на скамейке Жуковского. Роль оси скамейки играет горизонтальная ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящая через центр масс спортсмена.

Пример 3. Методы стабилизации вращения космического аппарата. В силу различных случайных причин космический аппарат при отделении от последней ступени ракеты получает небольшую угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для выполнения различных работ (фотографирования Земли и небесных тел, изменения орбиты, стыковки с другим космическим аппаратом, торможения перед посадкой и т. п.) космический аппарат необходимо надлежащим образом ориентировать, для чего прежде всего необходимо прекратить его вращение.

Рассмотрим два метода, с помощью которых можно остановить вращательное движение аппарата.

а) Первый метод основан на введении реактивного момента Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что космический аппарат вращается вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через его центр масс и перемещающейся поступательно относительно инерциальных осей координат. Два параллельно расположенных сопла реактивного микродвигателя устанавливаются на некотором расстоянии друг от друга (на рис. 9.12 ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена на читателя, а сопла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся в плоскости рисунка). При отделении продуктов сгорания создается момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. главу XI), управляя которым можно сначала остановить вращение космического аппарата, а затем повернуть его таким образом, чтобы ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач жестко связанная с ним, приняла нужное направление (например, была бы направлена по вектору -скорости центра масс или на какое-нибудь небесное тело).

Так как вращение космического аппарата может происходить вокруг любой оси, то он должен иметь три пары таких реактивных двигателей, расположенных в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

б) Второй метод основан на применении вращающихся масс. Пусть по прежнему космический аппарат вращается с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вокруг поступательно перемещающейся оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через центр масс аппарата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем считать, что силы притяжения, действующие на космический аппарат, приводятся к одной равнодействующей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда момент внешних сил (сил притяжения) относительно центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равен нулю.

Поместим внутри космического аппарата небольшой маховичок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для простоты будем считать, что жестко связанная с аппаратом ось вращения маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совмещена с осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.13).

Рассмотрим систему, состоящую из маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и космического аппарата (без маховичка). Так как сумма моментов всех внешних сил, относительно поступательно перемещающейся оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, то момент количеств движения всей системы относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Поэтому, если заставить вращаться маховичок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в ту же сторону, что и космический аппарат,- вращение последнего начнет тормозиться.

Остановимся на этом явлении несколько подробнее.

Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг поступательно перемещающейся оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Момент количеств движения всей системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равен сумме моментов количеств движения относительно этой же оси космического аппарата и маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В соответствии с формулой (9.4) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — моменты инерции относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач космического аппарата (без маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость космического аппарата относительно системы осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещающихся поступательно в инерциальной системе отсчета, и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно космического аппарата; при этом предполагаем, что оба тела вращаются в одну сторону, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —начальные значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будем отсчитывать время с момента запуска маховичка. Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Решим теперь полученное уравнение относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Положив Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, для того чтобы остановить вращение космического аппарата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач маховичку Г необходимо сообщить угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачопределяемую равенством (9 49), причем вращение маховичка должно происходить в ту же сторону, что и вращение космического аппарата (знаки со и й0 одинаковы). Отметим, что торможение космического корабля происходит не за счет сил трения, а путем использования динамического эффекта, при котором осуществляется перераспределение угловых скоростей тел, входящих в систему. Конечно, так же как и в первом методе, на космическом аппарате нужно установить три маховичка, оси вращения которых должны быть взаимно перпендикулярны.

Первый способ стабилизации, в отличие от второго, требует одновременной затраты энергии. В этом состоит основное его преимущество.

Покажем, что с помощью маховичков космический аппарат можно повернуть на заданный угол.

Предположим, что до запуска маховичка Г космический аппарат не вращался Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда равенство (9.47) примет вид Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— угол поворота космического аппарата, отсчитываемый в поступательно перемещающейся системе отсчета Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—угол поворота маховичка относительно аппарата. '

Интегрируя последнее равенство, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —начальные значения углов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. для того, чтобы повернуть космический аппарат на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно повернуть маховичок в противоположную сторону на угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №136

Для поворота космического аппарата используется электродвигатель—маховик, уравнение вращения которого на движущемся аппарате имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — относительная угловая скорость ротора электродвигателя (маховика), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—его постоянная времени*), Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —управляющее воздействие, принимающее значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определить продолжительность разгона Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и торможения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач маховика, если первоначально невращающнйся космический аппарат при неподвижном маховике требуется повернуть на заданный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и остановить. Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответственно равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя уравнение (9.50) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (период разгона) и начальных условиях: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим (см. решение уравнения (8.25))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В конце разгона угловая скорость маховика будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя уравнение (9.50) при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(период торможения) и учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим (см, решение (8.32))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В конце торможения маховик останавливается. Внося в равенство (9.53) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В условиях задачи космический аппарат и маховик должны вращаться в разные стороны, поэтому из уравнения моментов будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом учтено, что в начальный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость космического аппарата). Полагая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— заданный угол поворота аппарата.

Разобьем промежуток интегрирования Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на два промежутка: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачи Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач В первом промежутке Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством (9.51), а во .втором — равенством (9.53). Следовательно, равенство (9.55) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, после интегрирования,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь (9.52) и (9.54), найдем из последнего равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внесем значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач из (9.56) в равенство (9.52) и полученное значение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим в (9.54). Тогда после сокращения на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решим это квадратное уравнение относительно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

(перед радикалом взят знак «минус», так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последнее равенство преобразуем к следующему виду:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, умножая и деля на сопряженное выражение,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Логарифмируя это равенство, найдем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач затем из (9.56) получим Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эти равенства определяют время, в течение которого электродвигатель —маховик должен работать в режиме разгона Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и режиме торможения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач для того, чтобы повернуть космический аппарат на заданный угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Как известно, кинетической энергией одной материальной точки называется половина произведения массы т точки на квадрат ее скорости. Кинетической энергией материальной системы называется сумма кинетических энергий всех точек, входящих в систему. Обозначается кинетическая энергия символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач По определению имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Стоящие в этом выражении скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точек материальной системы определяются относительно инерциальной системы отсчета.

Кинетическая энергия материальной системы и способы ее вычисления

Во многих случаях движение материальной системы относительно инерциальных осей целесообразно представить как сложное и разложить его на простейшие движения. При этом очень часто удается упростить вычисление кинетической энергии системы.

Введем подвижные координатные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещающиеся поступательно относительно инерциальных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Будем

рассматривать движение материальной системы как относительно неподвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так и относительно поступательно перемещающихся осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — одна из точек материальной системы массы Введем обозначения: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведенный из начала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неподвижных осей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор той же точки, проведенный из начала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижных осей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—радиус-вектор начала подвижных осей в системе Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.1).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В соответствии с формулой (9.30)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость начала Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач подвижных осей, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно поступательно перемещающихся осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Под кинетической энергией относительного движения будем понимать выражение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получающееся из (10.1) заменой абсолютной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учтем теперь, что скалярный квадрат любого вектора равен квадрату его модуля, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому выражение (10.1) для кинетической энергии можно записать следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, пользуясь равенством (10.2),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возведем скобку в квадрат и разобьем сумму на три части:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последняя сумма равна кинетической энергии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительного движения; в первой и второй суммах множители Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не зависят от индекса суммирования и их можно вынести за знаки сумм:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выражение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно массе всей системы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость центра масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно поступательно перемещающихся осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем последнее утверждение.

В соответствии с формулой (7.2) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — относительный радиус-вектор центра масс.

Дифференцируя по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что и доказывает справедливость сделанного замечания.

На этом основании последнее выражение для кинетической энергии можно привести к следующему виду:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если начало подвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с центром масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы, то В этом случае последнее равенство упрощается:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Словами его можно прочитать следующим образом (теорема Кенигау. кинетическая энергия материальной системы в ее абсолютном движении складывается из кинетической энергии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач системы в ее движении относительно поступательно перемещающихся в инерциальном пространстве вместе с центром масс осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кинетическая энергия твердого тела

Очень часто материальная система представляет твердое тело или' совокупность твердых тел. В связи с этим нужно уметь определять кинетическую энергию твердого тела при различных видах его движения.

Так как твердое тело рассматривается как непрерывно распределенная масса, то все суммы, входящие в выражения для кинетической энергии, материальной системы, переходят в интегралы, а масса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отдельной точки заменяется дифференциалом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому для твердого тела формула (10.1) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где интегрирование производится по массе всего тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно. При поступательном движении твердого тела скорости всех его точек одинаковы (рис. 10.2). Вынося Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в формуле (10.6) за знак интеграла, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— масса всего тела,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Формула (10.7) применима также для случая, когда скорости всех точек материальной системы равны между собой по модулю. Например, по такой формуле можно вычислить кинетическую энергию ремня, участвующего в передаче вращения от одного шкива к другому.

2. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Модуль скорости любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —модуль угловой скорости твердого тела, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки до оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.3). Подставляя в формулу (10.6) значение скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, вынося за знак интеграла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (угловая скорость одинакова для всех точек тела и от переменной интегрирования не зависит),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученный интеграл согласно формуле (9.3) представляет момент инерции тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси вращения. Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Кинетическая энергия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. При сферическом движении твердого тела модуль скорости любой его точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством (рис. 10.4)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость тела, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач расстояние от точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела до его мгновенной оси вращения. Сравнивая с предыдущим случаем, когда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим выражение для кинетической энергии твердого тела при его сферическом движении

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

Заметим, что, несмотря на внешнее сходство формул (10.8) и (10.9), между ними имеется и существенное различие. Положение оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач неизменно относительно тела, поэтому момент инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачв формуле (10.8) с течением времени не меняется. Положение мгновенной оси вращения в общем случае меняется относительно тела, вследствие чего момент инерции в формуле (10.9) есть величина переменная.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося произвольным образом. Пусть твердое тело движется произвольным образом относительно инерциальных осей. Введем поступательно перемещающуюся систему координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач начало которой совместим с центром масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела, и воспользуемся теоремой Кенига (формула (10.5)): Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение тела относительно поступательно перемещающихся осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой вращение с угловой скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.5). Поэтому кинетическая энергия относительного движения определится формулой (10.9):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и совпадающей с вектором угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачв выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это равенство представляет математическую запись теоремы Кенига для свободного твердого тела, которую можно прочитать следующим образом: кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии в его движении относительно центра масс.

В общем случае момент инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет переменную величину.

5. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении. При плоском движении твердого тела вектор угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда перпендикулярен к плоскости движения, совпадая с поступательно перемещающейся координатной осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (на рис. 10.6 оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не показаны).

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заменив в моменте инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач формулы (10.10) нижний индекс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим выражение для кинетической энергии твердого тела в случае плоского движения:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не меняет своего положения относительно тела, и, следовательно, момент инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не меняется с течением времени. Это обстоятельство существенно упрощает все вычисления.

Прежде чем перейти к примерам,'сделаем два замечания.

а) При вычислении кинетической энергии твердого тела, движущегося произвольным образом или участвующего в плоском движении, формулы (10.10) и (10.11) не всегда являются самыми простыми. Иногда удобнее пользоваться более общей формулой (10.4).

б) Если материальная система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна сумме кинетических энергий Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всех тел, входящих в систему (это непосредственно вытекает из определения):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим примеры на вычисление кинетической энергии материальной системы.

Пример №137

Каток Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на горизонтальной плоскости. Каток обмотан тросом, перекинутым через блок Б радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач К свободному концу троса прикреплен груз Г массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При опускании груза со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач трос, разматываясь, приводит в качение без скольжения каток Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.7). Определить кинетическую энергию системы, если момент инерции блока Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси вращения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач каток считать однородным круглым цилиндром, массой троса пренебречь*

Система состоит из трех тел: катка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач блока Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому ее кинетическая энергия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —кинетические энергии катка, блока и груза соответственно. Груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется поступательно. Его кинетическая энергия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач согласно формуле (10.7) будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Блок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг неподвижной оси. Согласно формуле (10.8) его кинетическая энергия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость блока.

Скорость точки касания блока с тросом равна скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Каток Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач участвует в плоском движении. Кинетическую энергию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катка найдем по теореме Кеиига (см. формулу (10.11)):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость центра Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катка, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—угловая скорость катка, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его момент инерции относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (иа рис. 10.7 ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена на читателя).

Скорость верхней точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач касания катка с горизонтальной плоскостью является, мгновенным центром скоростей. Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем из равенства

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус катка. Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Момент инерции катка относительно его оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач после очевидных преобразований получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь находим кинетическую энергию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всей системы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где величина

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется приведенной массой системы.

Рассмотрим задачу на применение формулы (10.4).

Пример №138

Твердое тело массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается вокруг горизонтальной оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к плоскости рис. 10.8); момент инерции тела относительно оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Определить кинетическую энергию тела, если ось подвеса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещается горизонтально со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(эта скорость может быть переменной).

Построим неподвижные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и подвижные оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Движение тела относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет вращение вокруг оси- Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначив через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угол между осью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — центр тяжести тела, найдем кинетическую энергию в относительном движении

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (считаем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направление скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач показано на рис. 10.8. Скалярное произведение векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пользуясь формулой (10.4), найдем кинетическую энергию тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Применение теоремы Кенига потребовало бы больших выкладок, так как нужно было бы определить абсолютную скорость точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и перейти от момента инерции относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач к заданному моменту инерции относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Работа сил, приложенных к материальной системе

В дальнейшем нам нужно будет вычислять суммарную работу внешних и внутренних сил, приложенных к материальной системе. При этом возникает ряд особенностей, на которых полезно остановиться подробнее.

Предположим, что при своем движении материальная система перешла из одного положения, которое она занимала в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в другое положение, соответствующее моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим Через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полную работу, которую совершают при этом перемещении системы все приложенные к ней силы, причем работы внешних и внутренних сил будем обозначать соответственно через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так что

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначить работу, которую совершают внешние и внутренние силы, приложенные к Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точке системы, при переходе ее из первого положения во второе, то по определению будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Работа сил тяжести. Если материальная система находится в однородном поле тяжести, то на каждую ее точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует внешняя сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементарная работа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которой равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Направим ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вертикально вверх.

Тогда проекции силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь сумму элементарных работ всех сил тяжести, приложенных к системе:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая третье равенство (7.3), будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —масса всей системы, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — аппликата ее центра тяжести.

Полная работа сил тяжести при переходе системы из первого положения во второе определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом равенстве Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — значения аппликаты центра тяжести системы в ее конечном и начальном положениях, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — вес всей системы.

Таким образом, полная работа сил тяжести системы равна весу всей системы, умноженному на вертикальное перемещение ее центра тяжести.

2. Работа внутренних сил твердого тела. Докажем, что сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— внутренние силы взаимодействия точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач твердого тела (рис. 10.9). По третьему закону Ньютона они равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составим сумму мощностей этих сил:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —скорости точек Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно.

Примем точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за полюс. Тогда согласно известной формуле кинематики

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость тела. Внося это значение для скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в последнее равенство, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю (так как вектор Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен к вектору Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарному с силой Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачПоэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

причем полную мощность можно распространить, конечно, на все внутренние силы твердого тела (они входят попарно).

Так как сумма мощностей внутренних сил твердого тела равна нулю, то будет равна нулю и сумма работ этих сил: Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

что доказывает сделанное утверждение.

Аналогично можно доказать (мы не будем останавливаться на этом), что сумма работ внутренних сил абсолютно гибкой и нерастяжимой нити равна нулю.

3. Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Пусть сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложена к некоторой точке тела, отстоящей от неподвижной оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на расстоянии Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка приложения силы описывает при движении тела окружность радиуса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Разложим силу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по осям естественного трехгранника и обозначим ее составляющие через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.10). Работа составляющих сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, так как эти силы перпендикулярны к перемещению точки их приложения. Следовательно, работа силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна работе ее касательной составляющей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Для элементарной работы будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференциал дуговой координаты точки приложения силы, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — дифференциал угла поворота тела.

Учитывая, что произведение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равно моменту силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси вращения тела, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна моменту этой силы относительно оси вращения, умноженному на дифференциал угла поворота тела.

Работа силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на конечном угле поворота определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —начальное и конечное значения угла Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяющего положение тела (если момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач зависит не только от угла поворота Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач но также от угловой скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то нужно перейти к новой переменной интегрирования).

Если момент внешней силы не изменяется во время движения тела, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Деля обе части равенства (10.20) на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим, выражение для мощности силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Работа потенциальных сил. Понятие потенциальных, или консервативных, сил, действующих на систему материальных точек, вводится как естественное обобщение понятия потенциальной силы для одной материальной точки.

Позиционные силы, зависящие только от положения системы, называются потенциальными, если работа их на перемещении системы из начального положения в конечное положение не зависит от пути, по которому происходит это перемещение.

Потенциальная энергия определяется как работа всех сил при переходе системы из данного положения в положение, условно принимаемое за нулевое (положение, при котором Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач символически обозначают положения системы в данном и нулевом положениях.

Так же как и для одной точки, легко показать, что работа потенциальных сил при перемещении системы из одного положения в другое определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —значения потенциальной энергии системы в ее начальном и конечном положениях.

Потенциальная энергия зависит от координат материальных точек, составляющих систему, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предполагается, что функция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач однозначна и непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно.

Легко показывается, что частные производные от потенциальной энергии, взятые с обратным знаком, равны соответствующим проекциям сил:Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Часто можно найти потенциальную энергию отдельных сил, входящих в систему. В этом случае потенциальная энергия системы будет равна сумме потенциальных энергий:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наконец, во многих случаях полезно разделить потенциальную энергию на энергию внутренних и внешних сил. Общая потенциальная энергия будет равна их сумме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так же как и для одной точки, рационально иногда пользоваться силовой функцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которая отличается от потенциальной энергии только знаком:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Работа внутренних сил трения скольжения сочлененных тел.

В различных устройствах между движущимися телами возникают силы трения скольжения, и силы приложены к обоим трущимся телам. Вычислим полную работу внутренних сил трения сочлененных тел.

Предположим, что тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется поступательно со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а тело Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скользит по нему с относительной скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.11). Между этими телами возникают силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач работу которых нужно определить.

При указанном на рис. 10.11 направлении относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет приложена к телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —к телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачКонечно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мощность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач этих сил будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при этом учтено, что абсолютная скорость тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (направление скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет значения).

Принимая во внимание равенство (10.29), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приложенная к телу Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена всегда в сторону, противоположную относительной скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, угол между векторами Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и их скалярное произведение будет равно Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е. полная мощность внутренних сил трения скольжения двух сочлененных тел равна взятому со знаком минус произведению модуля силы трения на модуль относительной скорости.

Из равенства (10.30) найдем сумму элементарных работ Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач внутренних сил трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— элементарное относительное перемещение.

Аналогично доказывается, что для вращающихся сочлененных тел (рис. 10.12) полная мощность и элементарная работа всех внутренних сил трения определяются равенствами

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —модуль момента сил трения относительно оси вращения, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — модуль относительной угловой скорости и Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — элементарное относительное угловое перемещение тела Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Рассмотрев методы вычисления работы сил, приложенных к материальной системе, и ее кинетической энергии, перейдем к установлению зависимостей, связывающих эти величины. Для этого освободимся мысленно от связей, заменив их соответствующими реакциями. Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальной точке системы. Рассмотрим два момента времени: начальный Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и текущий (или конечный) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть модуль скорости точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равняется Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда для каждой точки материальной системы будет справедлива теорема об изменении кинетической энергии:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— работа сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на действительном перемещении точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Складывая почленно все равенства, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, учитывая выражение для кинетической энергии (10.1),

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— начальное значение кинетической энергии, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — работа всех внешних и внутренних сил системы.

Равенство (10.34) представляет математическую запись теоремы об изменении кинетической энергии материальной системы: изменение кинетической энергии материальной системы при переходе ее из начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы.

Продифференцируем равенство (10.34) по времени:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что производная от работы по времени равна мощности Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение представляет собой аналитическую запись теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: полная производная кинетической энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

Необходимо подчеркнуть, что в правую часть равенства (10.34) входит работа (в равенство (10.35)— мощность) всех внутренних и внешних сил, приложенных к системе. Рассмотрим несколько простых примеров. При движении автомобиля, оснащенного двигателем внутреннего сгорания, движущей силой является сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач между ведущими колесами и полотном шоссе (см. рис. 7.1). Без этой силы движение автомобиля осуществить нельзя.

Однако сила трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при отсутствии проскальзывания колес работу не производит (так как эта сила приложена в мгновенном центре скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ведущего колеса, элементарное перемещение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которого равно нулю). Полезную работу при перемещении автомобиля производят внутренние силы давления газов, образовавшиеся при сгорании горючей смеси.

Точно так же при движении человека по горизонтальному полу или при его подъеме по лестнице движущими силами являются силы трения между полом и подошвами ног человека или реакции ступеней лестницы. Однако полезную работу производят не эти внешние силы, а внутренние мускульные усилия человека.

Прежде чем перейти к задачам, отметим два класса сил, которые не нужно учитывать при применении теоремы об изменении кинетической энергии системы (так как их работа равна нулю):

  1. реакции связей без трения;
  2. внутренние силы абсолютно твердого тела и абсолютно гибкой и нерастяжимой нити.

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме определяют:

скорости точек материальной системы (в тех случаях, когда, зная перемещение системы, можно вычислить работу всех приложенных к ней сил);

работу одной из сил, приложенных к системе (когда по условию задачи скорости точек материальной системы известны или их можно определить другими методами).

Дифференциальная форма теоремы об изменении кинетической энергии системы применяется для составления дифференциальных уравнений движения, а также для определения ускорений (линейных или угловых).

Мы начнем с задачи, иллюстрирующей метод определения скоростей.

Пример №139

В системе, груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач под действием силы тяжести опускается из состояния покоя вниз. Определить скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при опускании его на высоту Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Трением качения катка и трением на оси блока пренебречь.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. На груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действует сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на блок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакция опоры (на рис. 10.13 показаны ее составляющие Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на каток Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач действуют сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачи реакция горизонтальной плоскости, которая разложена на нормальную составляющую Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силу трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (без силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачкаток не катился бы, а скользил). Внутренние силы учитывать не нужно, так как согласно сумма их работ равна нулю.

Применим теорему о конечном изменении кинетической энергии материальной системы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользуемся выражением для кинетической энергии рассматриваемой системы (10.13):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где приведенная масса определяется равенством (10.14):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Движение начинается из состояния покоя, поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Перейдем к вычислению работ сил, приложенных к системе. Работа сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, так как точка их приложения неподвижна. Работа силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, так как эта сила перпендикулярна к перемещению точки ее приложения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Работа нормальной реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и силы трения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, так как эти силы приложены в мгновенном центре скоростей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач катка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач элементарное перемещение которого Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, осталась одна сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач работа которой равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося выражения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение энергии и учитывая, что получим

.Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда находим скорость груза в зависимости от высоты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Простота решения задачи объясняется прежде всего тем, что все элементы, входящие в уравнение (10.34) (работа сил и кинетическая энергия системы), вычисляются без интегрирования дифференциальных уравнений. •

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда с помощью теоремы о конечном изменении кинетической энергии материальной системы вычисляется работа сил.

Пример №140

Космический аппарат вращается вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через его центр масс и перемещающейся поступательно относительно инерциальной системы координат. Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы с помощью вращающегося маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач прекратить вращение космического аппарата (см. рис. 9.13). Угловая скорость вращения космического аппарата до запуска маховичка равнялась Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его момент инерции (без маховичка) относительно оси вращения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач маховик вращается относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его момент инерции относительно этой оси равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Маховичок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращается под действием внутренних сил для системы «космический аппарат —маховичок». Характер этих сил нам неизвестен, поэтому вычислить их работу непосредственно мы не можем. Так как работа сил входит в уравнение (10.34), которое при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то будет естественно воспользоваться им для определения искомой величины.

Внутренние силы, под действием которых вращается маховичок Г, не изменяют движение центра масс С системы, поэтому при вычислении кинетической энергии достаточно учесть только ее вращательное движение.

Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Ее кинетическая энергия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь первое слагаемое — кинетическая энергия аппарата, второе —кинетическая энергия маховичка, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость аппарата относительно инерциальной системы координат, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —угловая скорость маховичка относительно аппарата. В начальный момент до запуска маховичка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В момент прекращения вращения космического аппарата Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, для этого момента времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Внося эти выражения в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где —искомая работа внутренних сил системы.

Для полного решения задачи необходимо знать величину угловой скорости которую нужно сообщить маховичку, чтобы остановить вращение космического аппарата. Для этого достаточно воспользоваться теоремой об изменении момента количеств движения относительно оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач. Воспользуемся полученной там формулой (9.49):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После подстановки значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и элементарных преобразований найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такую работу должны совершить внутренние силы системы, приводящие во вращательное движение маховичок, чтобы прекратить вращение космического аппарата (конечно, здесь учтена только полезная работа).

Отметим, что применение теоремы об изменении кинетической энергии позволило вычислить работу внутренних сил, несмотря на то, что нам не известна их аналитическая структура.

В заключение этой лекции рассмотрим задачу на составление дифференциального уравнения движения материальной системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Пример №141

Груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач весом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач поднимается с помощью электрической лебедки (рис. 10.14). Барабан Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приводится во вращение электромотором, который создает вращающий момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачизменяющийся по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —положительные постоянные, характеризующие мотор, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— угловая скорость барабана.

Моменты инерции блока В и барабана Б относительно их осей вращения соответственно равны Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус блока равен, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач радиус барабана Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачОпределить закон движения груза и натяжение троса. В начальный момент система находилась в покое; массой троса пренебречь.

Для того чтобы определить характер движения груза, нужно прежде всего составить дифференциальное уравнение движения всей системы. Конечно, для этого можно расчленить систему, мысленно разрезав трос, ввести силы натяжения троса и затем составить три дифференциальных уравнения движения: одно для вращения барабана, второе для вращения блока и третье для прямолинейного движения груза. Все уравнения нужно решать совместно, причем прежде всего необходимо исключить силы натяжения троса. Такой метод решения задачи требует хотя и не сложных, но утомительных преобразований.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы в дифференциальной форме

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

представляет большие удобства, так как в это уравнение не войдут силы натяжения троса (сумма работ, а следовательно, и мощностей реакций троса и других внутренних сил равна нулю).

Воспользуемся этим уравнением. Кинетическая энергия рассматриваемой системы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —кинетические энергии барабана, блока и груза соответственно.

Барабан Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и блок Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому согласно формуле (10.8)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — угловая скорость блока. Очевидно, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется прямолинейно и поступательно со скоростью Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его кинетическая энергия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя значения в выражение для кинетической энергии системы, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где приведенный к оси вращения барабана момент инерции системы определяется равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем к вычислению мощностей. Мощность сил тяжести барабана и блока, а также реакций их опор равна нулю, так как точки приложения этих сил неподвижны. Мощность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач груза Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Мощность Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сил, создающих вращающий момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач вычислим по формуле (10.23):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и учитывая, что в данном примере Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или, сокращая на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это дифференциальное уравнение движения системы отличается от рассмотренного ранее уравнения (9.24) только значением входящих в него постоянных. Поэтому воспользуемся решением (9.26) уравнения (9.24), сделав в нем соответствующие замены:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет подниматься со скоростью

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По прошествии некоторого промежутка времени член Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач сделается ничтожно малым и движение груза будет происходить практически с постоянной скоростью

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Перейдем к вычислению сил натяжения троса на участке груз —блок. Мысленно разрежем трос и заменим его действие реакцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теперь груз Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачдвижется под действием силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и натяжения троса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.15, а). Груз движется вверх с ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Состарим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направленную вертикально вверх.

Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вычислим производную скорости по времени

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и подставим ее в выражение для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для вычисления силы натяжения троса на участке барабан — блок мысленно разрежем трос в двух местах (на участке барабан —блок и на участке блок — груз), заменив его реакциями Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.15,6). Составим дифференциальное уравнение вращения блока вокруг неподвижной оси

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пользуясь выражением для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем натяжение троса на участке барабан — блок

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

С течением времени множитель Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач станет достаточно малым и в установившемся режиме Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Закон сохранения полной механической энергии материальной системы

Из теоремы об изменении кинетической энергии материальной системы вытекает закон сохранения полной механической энергии.

Предположим, что все силы (внешние и внутренние), действующие на систему, консервативны. Пусть система под действием

этих сил перешла из начального в некоторое текущее положение. Обозначим значение кинетической энергии системы в начальном положении через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а в рассматриваемом через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применим к этой системе теорему о конечном изменении кинетической энергии:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как по условию силы, действующие на систему, консервативны, то будет справедливо равенство (10.25):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — значения потенциальной энергии в начальном и текущем положениях.

Тогда будем иметь первый интеграл

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где постоянная

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

равна начальному значению полной механической энергии (напомним, что полной механической энергией называется сумма потенциальной и кинетической энергий).

Уравнение (10.36) называется интегралом энергии и оно выражает закон сохранения полной механической энергии системы: если система движется под действием одних консервативных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. Интеграл энергии (10.36) и некоторые его обобщения имеют большое значение в теории устойчивости движения *).

Рассмотрим пример на применение интеграла энергии.

Пример №142

Однородный тонкий стержень Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач длиной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач движется в вертикальной плоскости, скользя своим концом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач по гладкой горизонтальной прямой (рис. 10.16). Определить угловую скорость движения стержня, если в начальный момент она равнялась Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и стержень составлял с горизонтом угол Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Освободимся мысленно от связи (гладкой горизонтальной плоскости) и заменим ее реакцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Теперь можно считать стержень свободным, находящимся под действием двух вертикально направленных сил: силы тяжести стержня Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Работа реакции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, а сила тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—консервативная сила. Поэтому будет справедлив интеграл энергии (10.36):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Выбрав за нулевое положение горизонтальную плоскость, по которой движется точка Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня, найдем потенциальную энергию силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ордината центра тяжести стержня.

Имеем (см. рис. 10.16)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кинетическую энергию стержня найдем, пользуясь теоремой Кенига для плоского движения твердого тела (см. формулу (10.11)):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость центра масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — его момент инерции относительно оси, проходящей через точку Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярно плоскости движения.

Согласно формуле (9.6) Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Кроме того, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —абсцисса центра масс стержня. Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Внося эти значения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в выражение для кинетической энергии, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая полученные выражения для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем интеграл энергии для рассматриваемой системы

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —постоянная энергии, которую можно найти из начальных условий:

при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — начальное значение проекции скорости центра масс стержня на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (эта величина по условию задачи не задана).

Внося начальные условия в интеграл энергии, получимТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После подстановки найденного значения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в интеграл энергии, приведем последний к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Покажем, что проекция Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач стержня остается постоянной во время движения. Действительно, сумма проекций всех внешних сил на неподвижную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю. Поэтому согласно третьему следствию теоремы о движении центра масс (см. формулу (8.14))

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда последнее выражение для интеграла энергии упрощается и принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда найдем угловую скорость стержня

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В момент падения на горизонтальную плоскость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач угловая скорость стержня будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Любопытно отметить, что угловая скорость стержня не зависит от начальной скорости его центра масс (если бы горизонтальная плоскость была не абсолютно гладкой, то это было бы несправедливо).

В заключение этой лекции сделаем одно замечание.

Интеграл энергии в форме (10.36) имеет место для систем, движение которых определяется только консервативными силами. Если, помимо консервативных сил, система подвержена действию сил сопротивления, то происходит убывание полной механической энергии; если же материальная система соединена с источником энергии (например, двигателем), то полная механическая энергия возрастает.

Теорема об изменении кинетической энергии относительного движения

Если движение материальной системы рассматривается в системе координат Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещающейся по данному закону относительно инерциальной системы отсчета, то в правую часть уравнения энергии (10.34) необходимо ввести работу переносных и кориолисовых сил инерции, а в левую часть должна входить кинетическая энергия относительного движения системы. Тогда вместо уравнения (10.34) получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — работа переносных и кориолисовых сил инерции. Но в соответствии с результатами работа кориолисовых сил инерции равна нулю. Поэтому уравнение- энергии примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если подвижные оси координат перемещаются поступательно относительно инерциальной системы отсчета, то последнюю сумму в (10.37) можно упростить. Действительно, в этом случае переносные ускорения всех точек будут одинаковы и равны ускорению начала подвижных осей О, т. е. Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем (для поступательно движущихся осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как ускорение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач полюса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от индекса суммирования не зависит, то его можно вынести за знак суммы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из формулы (7.2) следует Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса всей системы, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус-вектор ее центра масс в подвижной системе координат. Поэтому

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При переходе системы из начального положения в текущее положение сумма работ переносных сил инерции будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где символом Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначена работа переносной силы инерции центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы.

Уравнение (10.37) можно записать теперь в следующей форме:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В этом равенстве кинетическая энергия и работа всех сил, включая переносную силу инерции центра масс, вычисляются для движения системы относительно подвижных осей Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач перемещающихся поступательно относительно инерциальной системы отсчета.

В дифференциальной форме уравнение (10.38) принимает вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — относительная скорость центра масс.

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. ускорение полюса постоянно по модулю и направлению, то сила инерции переносного ускорения центра масс будет консервативна с потенциальной энергией

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если, кроме того, силы, приложенные к системе, тоже потенциальны, то будем иметь интеграл энергии

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — потенциальная энергия всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

Пример №143

К потолку железнодорожного вагона подвешен физический маятник (твердое тело, имеющее горизонтальную ось вращения, вокруг которой

оно колеблется под действием силы тяжести). В начальный момент маятник удерживался в положении, при котором прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была горизонтальна (см. рис. 10.17; Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —ось вращения, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—центр масс маятника). Затем маятник был отпущен без начальной скорости. Определить угловую скорость маятника в момент прохождения его центра масс через вертикаль, если масса маятника равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач его момент инерции относительно оси вращения равен Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а железнодорожный вагон движется прямолинейно с постоянным ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач укреплена на движущемся вагоне (на рис. 10.17 вагон не показан). Направим подвижную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач горизонтально в сторону ускорения вагона а подвижную ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачвертикально вниз. Мысленно будем считать вагон неподвижным, введя одновременно переносную силу инерции центра масс маятника - Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачКинетическая энергия Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач относительного движения маятника вычисляется по формуле (10.8) как кинетическая энергия твердого тела,, вращающегося вокруг оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В начальный момент прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач была горизонтальна, в конечный момент—, вертикальна. Работа силы тяжести Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач на заданном перемещении будет равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а работа силы инерции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (знак Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач если в начальный момент центр

масс Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач находился на положительной части оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачи знак Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в противоположном случае). Поэтому Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда найдем угловую скорость маятника в момент прохождения им вертикали

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для рассматриваемой системы имеет место интеграл энергии (10.41). Примем положение маятника, при котором прямая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач горизонтальна и ордината точки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач положительна, за нулевое. Тогда при перемещении маятника из данного положения в нулевое работа сил Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, интеграл энергии (10.41) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Динамика тела переменной массы

В теоретической механике, как правило, рассматривается движение материальных систем и твердых тел, масса которых предполагается постоянной. Однако можно привести большое количество примеров, когда при движении тела его масса вследствие присоединения или отделения от него материальных частиц значительно изменяется. Например, на активном участке движения ракеты от нее отделяются продукты сгорания топлива, составляющего значительную часть исходной массы заправленной ракеты на старте. Решение задачи о движении ракеты как о движении тела постоянной массы в этом случае будет неверным.

В связи с этим возникает проблема разработки методов решения задач на движение тел с переменной массой, т. е. задач механики тела переменной массы *).

Понятие тела переменной массы

Перейдем теперь к определению понятия «тела переменной массы».

Будем считать массу материальных точек, из которых состоит тело, постоянной. Исходя из этого, под телом переменной массы будем понимать тело, масса которого изменяется вследствие процесса отделения от него или присоединения к нему материальных точек.

Это значит, что точки, изменяющие массу тела, не возникают и не исчезают, а лишь вводятся в рассмотрение или исключаются из него.

Введенное определение тела переменной массы позволяет; рассматривать механику тела переменной массы как один из разделов механики системы материальных точек, так как все исследования движения такого тела можно выполнить методами классической механики.

В дальнейшем рассматривается только тот случай, когда весьма малы как масса каждой отделяющейся или присоединяющейся точки, так и время между последовательными отделениями или присоединениями точек. Это предположение делает возможным такую предельную идеализацию процесса изменения массы, при которой последняя может быть принята непрерывной и дифференцируемой функцией времени.

Хотя при мгновенном изменении массы тела на величину массы отделяющейся или присоединяющейся частицы скорость тела меняется скачкообразно, величина этого изменения также будет убывать с убыванием массы этой точки и в пределе скорость тела можно считать также непрерывной и дифференцируемой функцией времени.

Пусть масса тела в начальный момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачравна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массу отделившихся частиц к моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — массу присоединившихся к телу частиц к этому же моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При непрерывном присоединении и отделении частиц от тела функции Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут возрастающими положительными и при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, массу тела в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач можно определить по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то происходит только процесс присоединения частиц; если Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — только процесс отделения.

Уравнение движения точки переменной массы

Рассмотрим простейший случай, когда тело движется поступательно и, следовательно, его можно принять за материальную точку. Предположим также, что происходит процесс только отделения.

Пусть масса тела в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а скорость равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Количество движения тела в этот момент времени равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как рассматривается случай отделения частиц, то масса тела будет уменьшаться. Следовательно, изменение массы за промежуток времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Предположим, что к моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач отделившаяся

от тела частица массы Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач приобрела скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Скорость же тела переменной массы к моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Количество движения тела и отделившейся частицы в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно теореме об изменении количества движения имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— равнодействующая всех сил, приложенных к телу. Перепишем это выражение, используя формулы (11.2) и (11.3):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда получаем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ускорение точки, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — относительная скорость отделяющейся частицы, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —скорость отделяющейся частицы в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется реактивной силой.

Уравнение (11-4) получено, независимо друг от друга, различными авторами. Обычно это уравнение называют уравнением Мещерского, так как его работа *) оказала наибольшее влияние на развитие механики тела переменной массы.

Количество движения тела переменной массы

Рассмотрим общий случай и не будем считать тело переменной массы материальной точкой. Кроме того, будем считать, что частицы не только отделяются, но и присоединяются к телу.

Переменная масса тела в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется равенством (11.1).

Согласно формуле (8.2) количество движения любой системы материальных точек постоянной массы, а следовательно, и твердого тела вычисляется по формуле

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса материальной системы, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —скорость центра масс этой системы.

Рассмотрим теперь тело переменной массы. Благодаря процессу присоединения и отделения частиц в теле происходит перераспределение масс и поэтому центр масс тела может не оставаться в какой-либо фиксированной точке тела. Он будет совершать сложное движение: будет двигаться со всем телом (переносное движение) и будет перемещаться по отношению к телу (относительное движение). Так например, по мере выгорания топлива центр масс ракеты перемещается относительно ее корпуса.

Итак, абсолютную скорость центра масс можно представить формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач переносная скорость центра масс тела, т. е. скорость той точки тела, с которой в данный момент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает центр масс, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость центра масс по отношению к телу, т. е. по отношению к системе координат, жестко связанной с телом.

Рассмотрим наряду с телом переменной массы тело постоянной массы и предположим, что в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач массы точек, их расположение и скорости для обоих тел одинаковы. Тогда количество движения определится равенством

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число точек, составляющих тело, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач точки, a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее скорость. Так как, по предположению, массы и скорости точек обоих тел одинаковы, то количества движения этих тел также будут равны.

Поэтому количество движения тела переменной массы будет определяться формулой (8.2), но вместо скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следует поставить Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как для тела переменной массы это и есть скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент времени центр масс тела. Следовательно, количество движения тела переменной массы будет равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула, конечно, верна и для тела постоянной массы, так как для этого случая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Если тело движется поступательно, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— скорость тела, и, следовательно, количество движения определится формулой

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об изменении количества движения тела переменной массы

Для системы материальных точек постоянной массы теорема об изменении количества движения (см. формулу (8.5)) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество движения, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —главный вектор всех внешних сил. Эту формулу можно записать в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим теперь тело переменной массы. Предположим, что в процессе движения этого тела к нему присоединяются и одновременно отделяются от него частицы. Одновременно с этим телом рассмотрим систему постоянной массы, причем предположим, что в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач обе эти системы совпадают, т. е. массы и скорости точек этих систем одинаковы.

Следовательно, количества движения тел переменной и постоянной масс в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будут равны

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество движения тела переменной массы.

Пусть к моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач от тела отделятся частицы с общей массой, равной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и присоединятся частицы с общей массой, равной Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач масса тела будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если обозначить через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач количество движения в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачвсех частиц, отделившихся за время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество движения в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач всех частиц, присоединившихся за время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то количество движения системы постоянной массы в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равно

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — количество движения тела переменной массы в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач скорость в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач центра масс отделившихся частиц, а через Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — скорость в тот же момент времени центра масс присоединившихся частиц; тогда на основании формулы (118), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Используя эти выражения, перепишем равенство (11.13) в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя теперь это выражение в формулу (11.10) и учитывая равенство (11.11), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —скорости центров масс соответственно отделяющихся и присоединяющихся частиц в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соотношение (11.14) и представляет собой математическую запись теоремы об изменении количества движения тела переменной массы.

Для случая только одного отделения частиц тела

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда уравнение (11.14) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для случая только присоединения частиц

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

уравнение (11-14) будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для случая равенства секундного расхода и секундного прироста масс

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

В заключение этой лекции отметим, что вывод теоремы об изменении количества движения тела переменной массы нами получен в предположении, что отделившиеся частицы сразу же после отделения прекращают свое взаимодействие с точками тела переменной массы,. а влияние присоединившихся частиц начинается только с момента их присоединения к телу.

Уравнение Мещерского

Пусть тело переменной массы движется поступательно, тогда согласно формуле (11.8) имеем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дифференцируя это соотношение по времени, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как согласно соотношению (11.1)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

a Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя это выражение в уравнение (11.14), будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение получено И. В. Мещерским и носит его имя. Вектор

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

называется реактивной силой.

В дальнейшем будем рассматривать только случай отделения частиц, имеющий наибольший технический интерес. Для него уравнение (11.19) сводится к виду

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— уесть относительная скорость отделяющихся частиц, а

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то предыдущее уравнение движения можно записать следующим образом:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определяется формулой (11.5). Так как при отделении частиц Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то реактивная сила Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена в сторону, противоположную направлению скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача Циолковского

Рассмотрим движение ракеты, запущенной с поверхности Земли вертикально вверх (рис. 11-1). Будем предполагать, что ракета движется поступательно. Движение ракеты будем рассматривать в системе координат с началом в точке пуска, ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которой направлена вертикально вверх.

В проекции на ось Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение (11.21) будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Здесь Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой результирующую силу земного притяжения и силу аэродинамического сопротивления атмосферы. Реактивная сила

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

будет направлена в сторону положительного направления оси Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как уже было сказано, при доказательстве теоремы об изменении количества движения предполагалось, что отделившиеся частицы между собой и телом не взаимодействуют. Но в действительности в отбрасываемой газовой струе частицы взаимодействуют Друг с другом и с ракетой.

Кроме того, «на ракету действует сила атмосферного давления, зависящая от высоты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач над поверхностью Земли. Эта сила не входит в состав силы аэродинамического сопротивления и не зависит от скорости ракеты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—-площадь выходного сечения сопла, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — давление в газовом потоке на срезе сопла, а Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— статическое атмосферное давление. Тогда сила, обусловленная давлением газового потока и статическим давлением атмосферы, будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Прибавляя эту силу к реактивной силе, получим тягу двигателя

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При движении в пустоте Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и тяга будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это соотношение записывают в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Величина Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется эффективной скоростью истечения Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, при решении задачи о движении ракеты нужно вместо уравнения (11 .22) взять следующее:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение этого уравнения в общем виде представляет значительные трудности из-за сложности .закона изменения аэродинамического сопротивления, входящего в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и находится за рамками курса теоретической механики.

При отсутствии атмосферы это уравнение примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач представляет собой силу тяготения.

Если пренебречь силой притяжения Земли и сопротивлением атмосферы, то уравнение (11.23) упрощается:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поставленную таким образом задачу впервые решил К. Э. Циолковский.

Предположим, что масса ракеты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач является непрерывной функцией времени, а эффективная скорость истечения постоянна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Отметим, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — стартовая масса ракеты.

Перепишем уравнение движения ракеты в виде

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя это уравнение, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —произвольная постоянная интегрирования.

По условию, при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачтогда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, скорость ракеты в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула называется формулой Циолковского.

Пусть к моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач произошло полное сгорание топлива в ракете. Скорость ракеты в этот момент времени будет

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — масса ракеты без топлива.

Введем в рассмотрение число Циолковского

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда формула для скорости ракеты в момент сгорания всего топлива примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта формула также называется формулой Циолковского.

Из рассмотрения формулы (11.24) следует, что скорость ракеты в момент, когда весь запас топлива будет израсходован, пропорциональна эффективной скорости истечения газов и натуральному логарифму от числа Циолковского.

Формула Циолковского (11.24) указывает на два возможных пути увеличения скорости ракеты к моменту сгорания топлива. Первый путь —это увеличение эффективной скорости истечения газов, второй путь — увеличение числа Циолковского.

В настоящее время для используемых в ракетах химических топлив эффективная скорость истечения газов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и несколько выше. Получение химических топлив, позволяющих получить более высокую эффективную скорость истечения газов, связано с большими трудностями. Увеличение числа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач также представляет трудную техническую задачу.

Найдем, каким должно быть Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы ракета к моменту сгорания топлива при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач получила первую космическую скорость Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При рассмотрении этой задачи, запуская ракету с Земли, нужно иметь в виду, что вследствие земного тяготения, сопротивления атмосферы, затрат на осуществление программного движения ракеты фактическая скорость ракеты после сгорания топлива будет меньше скорости, даваемой формулой (11.24). По некоторым данным потери в скорости составляют 10 — 15%. Поэтому определение числа Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем, исходя из необходимости получения скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Согласно формуле (11.24) найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это значит, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. стартовая масса ракеты должна быть в 42,5 раза больше массы ракеты без топлива. Иначе говоря, вес топлива должен составлять примерно 98% от стартового веса ракеты. Для современных ракет число Циолковского значительно меньше 42,5.

Как следует из приведенного расчета, получение космических скоростей с помощью одноступенчатой ракеты в настоящее время

вряд ли возможно. Для этих целей используются многоступенчатые ракеты.

Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты

На рис. 11.2 приведена примерная схема многоступенчатой ракеты. Многоступенчатая ракета состоит из нескольких ступеней и полезного груза.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

После израсходования топлива в ступени она отделяется от остальной конструкции.

Введем понятие субракеты. Под субракетой понимается совокупность работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е. каждая субракета рассчитывается как одноступенчатая ракета. На рис. 11.2 указана нумерация ступеней и субракет.

Применяя формулу Циолковского (11.24) к каждой субракете, получим:

после полной отработки первой ступени скорость второй субракеты

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — эффективная скорость истечения в первой ступени, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— число Циолковского для первой субракеты;

после отработки второй ступени скорость третьей субракеты

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— эффективная скорость истечения во второй ступени, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —число Циолковского для второй субракеты;

наконец, после отработки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ступени скорость полезного груза

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — эффективная скорость истечения из Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ступени, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — число Циолковского для Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач субракеты.

Если приближенно считать, что для всех ступеней относительная скорость истечения одинакова:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то согласно формуле (11.22) будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для упрощения выкладок положим, что у всех субракет числа Циолковского также одинаковы:

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

тогда формула (11.26) примет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда видно, что конечная скорость полезного груза пропорциональна числу ступеней (конечно, при условии, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач одинаковы).

Найдем число Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач которое должна иметь каждая ракета для достижения полезным грузом скорости Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачТеоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач(одноступенчатая ракета)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (двухступенчатая ракета)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (трехступенчатая ракета)

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этих данных видно, что при реальных числах Циолковского космических скоростей можно достигнуть, применяя только многоступенчатые ракеты.

Пример №144

Ракета движется в однородном поле сил тяжести вертикально вверх с постоянным ускорением Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 11.1). Сопротивлением атмосферы пренебрегаем. Эффективную скорость истечения газов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач считаем постоянной. Определить: 1) закон изменения массы ракеты; 2) время Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач за которое массаракеты уменьшится вдвое. Определить также закон изменения массы при отсутствии поля тяготения.

В рассматриваемой задаче Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—ускорение силы тяжести), иен этому уравнение (11.23) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Разделяя в этом уравнении переменные, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя и принимая во внимание, что стартовая масса ракеты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для момента времени T по условию задачи

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и, следовательно.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если ракета движется вне поля тяготения, то Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №145

Ракета движется вертикально вверх в однородном поле тяжести. Эффективная скорость истечения газов Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянна. Изменение массы ракеты происходит по закону

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные величины).

К моменту времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач топливо сгорает. Определить, при каком значении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ракета достигает максимальной высоты подъема *).

Уравнение движения ракеты (11.23) для рассматриваемого случая имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя, получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач— начальная скорость ракеты. Считая, что при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач найдем

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Полученное выражение описывает движение ракеты при работающем двигателе.

Пусть масса ракеты после сгорания топлива равна Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда момент времени сгорания Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачнайдется из условия

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач —число Циолковского).

Скорость ракеты в момент времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач определится из формулы (11.29):

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

К этому моменту времени высота подъема ракеты согласно уравнению (11.30) будет равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Начиная с момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ракета будет двигаться только под действием силы притяжения Земли. Высота, на которую поднимется ракета после момента времени Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, полная высота подъема ракеты будет Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем теперь максимальную высоту подъема, считая Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач функцией Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Применяя обычный способ отыскания максимума функции, т. е. находя производную от Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и приравнивая ее нулю, мы определим значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач при котором достигается максимальная высота подъема. Эта максимальная высота равна

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

и достигается при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач т. е. при мгновенном сгорании топлива. .Мгновенное сгорание топлива влечет за собой бесконечно большое ускорение ракеты в начале движения, и, следовательно, полученное условие максимального подъема ракеты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задачпрактически невыполнимо и недопустимо.

При постепенном сгорании топлива ускорение ракеты будет конечным, но при этом неизбежен проигрыш в достигаемой высоте. Коэффициент Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач называется коэффициентом перегрузки (давление любого груза в ракете на свою опору точно в Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач раз превосходит величину силы притяжения груза к Земле) *).

Зададимся каким-либо фиксированным значением коэффициента перегрузки Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом значении Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач высота подъема ракеты будет.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этой формулы (формулы Космодемьянского) следует, что уменьшение коэффициента перегрузки влечет за собой уменьшение максимальной высоты подъема ракеты. При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач она будет на 25% меньше, чем Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №146

Ракета движется вертикально вверх с постоянной скоростью «о (см. рис. 11.1); Эффективная скорость истечения газов постоянна. Сила притяжения к Земле обратно пропорциональна квадрату расстояния от ракеты до центра Земли. Сопротивлением атмосферы пренебречь. Определить закон изменения массы ракеты.

Так как для рассматриваемой задачи

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

то уравнение (11.23) будет иметь вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

По условию задачи скорость ракеты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач постоянна, т. е.

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

откуда

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

При Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя это выражение в соотношение (11.31), получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрирование дает

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как при Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Подставляя это значение Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач в предыдущее равенство, найдем после очевидных преобразований за коп изменения массы ракеты

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример №147

Ракета движется в поле земного тяготения вертикально вверх так, что ее масса изменяется по закону Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач — постоянные величины. Эффективная скорость истечения газов постоянна. Начальная скорость равна нулю Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить скорость ракеты как функцию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач где Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач—высота подъема ракеты над поверхностью Земли (см. рис. 11.1).

По условию Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение движения ракеты (11.23) имеет вид

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так как Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач то после подстановки получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Принимая во внимание, что Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач и умножая обе части полученного уравнения на Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач будем иметь

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Интегрируя уравнение

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

получим

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

отсюда найдем закон изменения скорости ракеты от высоты Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач ее подъема

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

или

Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Кстати вы всегда можете заказать решение задач по теоретической механике.

Учебник онлайн:

  1. Аксиомы и теоремы статики
  2. Система сходящихся сил
  3. Моменты силы относительно точки и оси
  4. Теория пар сил
  5. Приведение системы сил к простейшей системе
  6. Условия равновесия системы сил
  7. Плоская система сил
  8. Трение
  9. Пространственная система сил
  10. Центр тяжести
  11. Кинематика точки
  12. Плоское движение твердого тела
  13. Мгновенный центр скоростей
  14. Мгновенный центр ускорений
  15. Мгновенный центр вращения
  16. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
  17. Сложное движение точки
  18. Сложение движение твердого тела
  19. Кинематика сплошной среды
  20. Аксиомы классической механики
  21. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
  22. Две основные задачи динамики точки
  23. Прямолинейное движение точки
  24. Криволинейное движение материальной точки
  25. Движение несвободной материальной точки
  26. Относительное движение материальной точки
  27. Геометрия масс
  28. Свойства внутренних сил системы
  29. Дифференциальное уравнение движения системы
  30. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс
  31. Теорема об изменении кинетического момента
  32. Теорема об изменении кинетической энергии
  33. Потенциальное силовое поле
  34. Закон сохранения механической энергии
  35. Принцип Даламбера
  36. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
  37. Векторное исчисление
  38. Виды связей
  39. Параллельные силы
  40. Произвольная плоская система сил
  41. Равновесие системы, состоящей из нескольких тел
  42. Графостатика в теоретической механике
  43. Расчет ферм
  44. Пространственная система сходящихся сил
  45. Момент силы относительно точки и относительно оси
  46. Теория пар, не лежащих в одной плоскости
  47. Произвольная пространственная система сил
  48. Центр параллельных сил и центр тяжести
  49. Поступательное движение твердого тела
  50. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
  51. Сферическое движение твердого тела
  52. Плоско-параллельное движение твердого тела
  53. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку
  54. Движение твердого тела
  55. Сложение движений точки
  56. Сложение движений твердого тела в теоретической механике - формулы и определения с примерами
  57. Динамика материальной точки
  58. Движение материальной точки
  59. Аналитическая статика
  60. Теорема о движении центра инерции
  61. Теорема количества движения
  62. Теорема моментов количества движения
  63. Теорема кинетической энергии
  64. Условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме
  65. Условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме
  66. Приведение двух параллельных сил к равнодействующей
  67. Пара сил в теоретической механике
  68. Приведение системы сил к данной точке
  69. Система сил на плоскости
  70. Естественный и векторный способы определения движения точки
  71. Координатный способ определения движения точки
  72. Касательное и нормальное ускорения точки
  73. Основные законы динамики
  74. Колебания материальной точки
  75. Количество движения
  76. Момент количества движения
  77. Мощность и работа силы
  78. Потенциальная энергия
  79. Обобщенные координаты системы
  80. Сложение двух сил
  81. Разложение силы на две составляющие
  82. Определение равнодействующей сходящихся сил
  83. Равновесие сходящихся сил
  84. Равновесие трех непараллельных сил
  85. Сочлененные системы
  86. Равновесие пространственной системы сходящихся сил
  87. Определение положения центра тяжести тела
  88. Равномерное прямолинейное движение точки
  89. Равномерное криволинейное движение точки
  90. Равнопеременное движение точки
  91. Неравномерное движение точки по любой траектории
  92. Определение траектории, скорости и ускорения точки
  93. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории
  94. Равномерное вращательное движение
  95. Равнопеременное вращательное движение
  96. Неравномерное вращательное движение
  97. Плоскопараллельное движение тела
  98. Определение передаточных отношений различных передач
  99. Задачи на поступательное движение тела
  100. Задачи на вращательное движение тела
  101. Равновесие тяжелой рамы
  102. Расчет составной конструкции
  103. Момент силы относительно оси
  104. Равновесие вала
  105. Определение усилий в стержнях, поддерживающих плиту
  106. Тело на сферической и стержневых опорах
  107. Приведение системы сил к простейшему виду
  108. Плоское движение тела
  109. Принцип виртуальных перемещений