
Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теоретическая механика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел и их изменение с течением времени положения относительно друг друга. В задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел, так как состояние покоя частный случай механического движения.
Теоретическая механика состоит из трех основных частей: статики, кинематики и динамики.
Страница содержит полный курс лекций по всем темам предмета "Теоретическая механика" с подробными примерами решения задач и выполнением заданий.
Содержание:
Введение в теоретическую механику
Теоретическая механика — раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел, т. е. изменение с течением времени положения их относительно друг друга. Так как состояние покоя есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел.
Движение материи происходит во времени и пространстве. За пространство, в котором происходит движение тел, принимают «обычное» евклидово трехмерное пространство. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей, связанных с этим телом.
Движение тела происходит в результате действия на движущееся тело сил, вызванных другими телами. При изучении механического движения и равновесия материальных тел знание природы сил не обязательно, достаточно знать только их величины. Поэтому в теоретической механике не изучают физическую природу сил, ограничиваясь только рассмотрением связи между силами и движением тел.
Теоретическая механика построена па законах И. Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий (зачастую далеких и вовсе не очевидных) из этих законов, а также многовековой практической деятельностью человека. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. В механике постулируется наличие хотя бы одной такой системы (инерциальная система отсчета). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой отсчета (она называется гелиоцентрической или основной инерциальной системой отсчета).
В дальнейшем будет показано, что если имеется хотя бы одна инерциальная система отсчета, то их имеется бесчисленное множество (очень часто ннерциальные системы отсчета называют неподвижными системами). Во многих задачах за инерциальную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей. Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначительны, что практического значения они не имеют. Но имеются задачи, в которых уже нельзя пренебречь вращением Земли. В этом случае за неподвижную систему отсчета следует принимать введенную гелиоцентрическую систему отсчета.
Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов. Как во всякой естественной науке, в основе механики лежит опыт, практика, наблюдение. Но наблюдая какое-нибудь явление, мы не можем сразу охватить его во всем многообразии. Поэтому перед исследователем возникает задача выделить в изучаемом явлении главное, определяющее, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что менее существенно, второстепенно.
В теоретической механике метод абстракции играет очень важную роль. Отвлекаясь при изучении механических движений материальных тел от всего частного, случайного, менее существенного, второстепенного и рассматривая только те свойства, которые в данной задаче являются определяющими, мы приходим к рассмотрению различных моделей материальных тел, представляющих ту или иную степень абстракции. Так, например, если отсутствует различие в движениях отдельных точек материального тела или в данной конкретной задаче это различие пренебрежимо мало, то размерами этого тела можно пренебречь, рассматривая его как "материальную точку. Такая абстракция приводит к важному понятию теоретической механики—понятию материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем, что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инертности, как обладает этим свойством тело и, наконец, она обладает той же способностью взаимодействовать с другими материальными телами, какую имеет тело. Так, например, планеты в их движении вокруг Солнца, космические аппараты в их движении относительно небесных тел можно рассматривать в первом приближении как материальные точки.
Другим примером абстрагирования от реальных тел является понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело, которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, независимо от действий других тел. Конечно, абсолютно твердых тел нет, так как в результате действия сил все материальные тела изменяют свою форму, т. е. деформируются, но во многих случаях деформацией тела можно пренебречь. Например, при расчете полета ракеты мы можем пренебречь небольшими колебаниями отдельных частей ее, так как эти колебания весьма мало скажутся на параметрах ее полета. Но при расчете ракеты на прочность учет этих колебаний обязателен, ибо они могут вызвать разрушение корпуса ракеты.
Принимая те или иные гипотезы, следует помнить о пределах их применимости, так как, забыв об этом, можно прийти к совершенно неверным выводам. Это происходит тогда, когда условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предположениям и неучитываемые свойства становятся существенными. В курсе при постановке задачи мы всегда будем обращать внимание на те предположения, которые принимаются при рассмотрении данного вопроса.
Приведем некоторые сведения из истории механики. Подобно всем другим наукам механика возникла и развивалась под влиянием практических нужд человеческого общества. Она является одной из древнейших наук и ее история насчитывает приблизительно 25 веков напряженных исканий. В примитивном виде первичные понятия механики, в частности, понятия силы и скорости, появились еще в античный период. Чисто практическое применение катков, наклонной плоскости, рычага, блоков при постройке грандиозных сооружений древности (пирамиды, дворцы и т. п.) накапливало определенный опыт и, очевидно, должно было привести к обобщению этого опыта, к установлению некоторых законов механики (статики). Так, в трактате «Механические проблемы» Аристотель (384 — 322 до н. э.) рассматривает конкретные практические задачи при помощи метода, основанного на законе рычага. Однако первые попытки установления динамических законов оказались неудачными. Аристотель ошибочно полагал, что скорости падающих тел пропорциональны их весам и что равномерное и прямолинейное движение является результатом действия постоянной силы. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы преодолеть эти ошибочные представления и заложить научные основы динамики. К числу бесспорных достижений античной механики следует отнести работы Архимеда (287—212 до н. э.), который был не только выдающимся инженером своего времени, но и дал ряд научных обобщений, относящихся к гидростатике (закон Архимеда), учению о равновесии и центре тяжести.
В течение XIV—XVII столетий под влиянием торгового мореплавания и военного дела возник обширный комплекс задач, связанных с движением небесных тел, полетом снарядов, прочностью кораблей, ударом тел. Решение этих задач не могло быть осуществлено старыми методами и требовало прежде всего установления связи между движением и причинами, вызывающими его изменение.
Созданию основ динамики предшествовал сравнительно длительный период накопления опытных данных и их научного анализа. Здесь необходимо прежде всего отметить работы Н. Коперника (1473—1543), который на основе данных, установленных многовековыми наблюдениями, показал, что планеты обращаются не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Дальнейший шаг к изучению движения небесных тел сделал Иоганн Кеплер (1571—1630). Обрабатывая многочисленные наблюдения своего учителя Тихо Браге, он установил три закона движения планет.
К этому же периоду относятся работы Галелео Галилея (1564—1642). Он сформулировал принцип относительности классической механики и принцип инерции (хотя и не в общем виде), установил законы свободного падения тел. Галилеем была построена количественная теория движения тяжелого тела по наклонной плоскости и теория движения тела, брошенного под углом к горизонту. Кроме того, Галилей занимался изучением прочности стержней и сопротивлением жидкости движущимся в ней телам. Последователем Галилея в области механики был Христиан Гюйгенс (1629—1695), который сформулировал понятия центростремительной и центробежной сил, исследовал колебания физического маятника, заложил основы теории удара.
Успешно преодолевая схоластический стиль античной науки, ученые этого периода с особым вниманием относились к опытным данным и систематически контролировали истинность своих теоретических пЛтроеннй экспериментальными наблюдениями. Таковы, в частности, установленные Галилеем и Гюйгенсом законы движения тел.
В 1687 г. вышла в свет книга Исаака Ньютона (1642—1727) «Математические начала натуральной философии» (в Англии натуральной философией называют физику). Прежде всего в этой книге Ньютон, завершая работы своих предшественников, главным образом Галилея и Гюйгенса, создает стройную систему основных законов динамики. Он впервые вводит понятие массы, устанавливает основной закон динамики, связывающий массу точки, ее ускорение и действующую на нее силу, и закон равенства действия и противодействия.
Исходя из законов Кеплера, он математически установил закон всемирного тяготения, а затем доказал, что если этот закон справедлив, то планеты должны двигаться по законам Кеплера. Закон всемирного тяготения", открытый и доказанный И. Ньютоном, получил за последние десятилетия особо важное значение, так как он лежит в основе расчета межпланетных траекторий космических кораблей и траекторий искусственных спутников Земли.
Ньютон установил также тождественность природы сил взаимного тяготения и силы тяжести на Земле. Он показал, что Земля сплюснута у полюсов, объяснил явления приливов и отливов, заложил основы теории удара.
Установление общих законов механики и закона всемирного тяготения является научным открытием первостепенного значения. Но этим не исчерпывается значение «Математических начал натуральной философии» Ньютона. В своей книге он с предельной ясностью изложил общий метод, которым нужно руководствоваться при физических исследованиях.
Кратко этот метод сводится к следующему. Из опытов следует вывести два или три общих закона (принципы) и затем показать, как из этих простых законов логически вытекают различные свойства (следствия), наблюдаемые на практике. Хотя этот метод исследования не является единственно возможным, а в наши дни он кажется само собой разумеющимся, ясное изложение его и блестящий пример построения механики, данный Ньютоном в его книге, оказал громадное влияние на все последующие поколения физиков. Именно поэтому академик С. И. Вавилов сказал, что в истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона *).
Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707—1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку («динамические уравнения Эйлера»), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении.
К этому же периоду относится глубокая разработка механики свободных и несвободных систем материальных точек. Развитие этого направления было дано работами Ж- Л. Даламбера (1717 — 1783), Ж. Л. Лагранжа (173G— 1813). В «Трактате по динамике» первого из этих авторов показано, «каким образом все задачи динамики можно решать одним и притом весьма простым и прямым методом». Однако законченное развитие этого метода было дано лишь спустя- полвека Лагранжем («уравнения Лагранжа») в замечательном трактате «Аналитическая механика» (1788 г.), где, в частности, содержалось также вполне современное изложение теории линейных колебаний систем с несколькими степенями свободы.
Последующее развитие механики характеризуется углубленным изучением ранее намеченных разделов и появлением ряда ее новых ветвей. Дальнейшее обоснование принципа возможных перемещений, сформулированного Лагранжем, было проведено П. С. Лапласом (1749—1827), который ввел реакции связей, действующие на каждую точку материальной системы, и сделал предположение об идеальности связей. М. В. Остроградский (1801 — 1861) обобщил принцип возможных перемещений, распространив его на неудерживающие связи.
В 1829 г. К. Ф. Гаусс (1.777— 1855) сформулировал дифференциальный вариационный принцип — «Принцип наименьшего принуждения».
Развитие принципа наименьшего действия связано с именами П. Л. Мопертюи (1698—1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби (1804—1851). Существенный вклад в развитие аналитической механики на основе сформулированного им принципа был сделан У. Р. Гамильтоном (1805—1865). Независимо от Гамильтона этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским, который применил его для более широкого класса задач. Этот наиболее важный и общий принцип получил название принципа Гамильтона — Остро градского.
Существенные результаты были достигнуты Остроградским, Гамильтоном, Якоби в области методов интегрирования уравнений динамики.
Дальнейшее развитие получила теория движения тяжелого твердого тела. В эту область после существенных результатов Эйлера и Лагранжа сделала значительный вклад С. В. Ковалевская (1850—1891). Работа Ковалевской послужила толчком для целого ряда исследований по отысканию частных случаев интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки.
Л. Фуко (1819—1868) впервые продемонстрировал во Французской Академии наук гироскоп в кардановом подвесе. Последующее развитие теории гироскопов, обусловленное требованиями навигационных нужд, происходит в конце XIX века и особенно интенсивно в XX веке. Наиболее существенные результаты в этом разделе механики были получены М. Шулером, А. Н. Крыловым (1863- 1945), Б. В. Булгаковым (1900-1952), Б. Н. Кудреви-чем (1884-1953) и др.
Развитие механики неголономных систем связано с именами С. А. Чаплыгина, П. В. Воронца, П. Аппеля, В. Вольтеры и многих других ученых.
Существенное развитие получила теория устойчивости равновесия и движения, начала которой были даны еще Лагранжем; наиболее крупные результаты здесь принадлежат Э. Раусу (1831 — 1907), Н. Ё. Жуковскому (1847—1921), А. Пуанкаре (1854— (912) и в особенности А. М. Ляпунову (1857—1918).
Проблема борьбы с опасными вибрациями машин и сооружений вызвала к жизни углубленную разработку теории колебаний (исследования Рааея (1842—1919), А. Пуанкаре, А. Н. Крылова).
В XX веке особенно интенсивное развитие получила теория нелинейных колебаний, описывающая важные процессы не только в мехами lecKiix, но и в радиотехнических системах. Основополагающими в этой области являются работы Ван-дер-Поля, А. А. Андронова (1901 — 1952), Н. Н. Боголюбова, Л. И. Мандельштама (1879-1944), Н. М. Крылова (1879-1955), Н. Д. Папалекси (1880—1947) и др.
В механике зародилась теория автоматического регулирования (работы И. А. Вышнеградского (1831-1895)); в настоящее время эта теория представляет собой самостоятельную научную дисциплину, которую связывают с механикой, помимо исторических корней, теория устойчивости движения и теория колебаний.
В XIX веке сложилась теория упругости—наука о законах статического и динамического деформирования упругих тел (работы Эйлера, Навье (1785—1836), Коши (1789—1857), Сен-Венана (1797—1886)). В настоящее время ее начинают называть теорией твердого деформируемого тела в связи с расширением представления о законах деформирования и учетом вязких и пластичных свойств реальных тел.
В конце XIX века под сильным влиянием развития надводного и подводного кораблестроения и авиации начата углубленная разработка проблем гидро- и аэродинамики. Наиболее крупные результаты в этих областях связаны с именами Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина (1869 — 1942), Л. Прандтля (1875— 1953), Т. Кармана (1881 — 1963).
В известных работах И. В. Мещерского (1859—1935) заложены основы механики тела переменной массы (переменного состава)—дисциплины, служащей фундаментом изучения реактивного полета. Основополагающими работами в области ракето-динамики являются работы К. Э. Циолковского (1857—1935).
Механика прошла огромный путь развития, но и в наши дни она представляет живо развивающуюся науку. Укажем на одну проблему, возникшую в самое последнее время (за последние десятилетия)—проблему управления движением. Речь идет об установлении характера изменения сил, с помощью которых можно обеспечить движение по заранее выработанной программе. Сюда непосредственно примыкает проблема оптимального управления, например, каким образом управлять движением ракеты, чтобы она вышла на заданную орбиту при минимальном расходе горючего.
Строго говоря, под механикой следует понимать совокупность достаточно обособленных отраслей знаний, базирующихся на законах Ньютона. Круг вопросов, изучаемых механикой, все время расширяется, охватывая все новые и новые области на\ки и техники. Это привело к тому, что ряд разделов теоретической механики вследствие специфики объектов исследования и применяемых математических методов становится вполне самостоятельными науками. К их числу относятся дисциплины: механика жидкостей и газов, теория упругости, теория механизмов и машин, небесная механика, теория регулирования и др. Этот естественный процесс развития науки продолжается и в наши дни.
Сейчас под собственно теоретической механикой обычно понимают сравнительно узкий раздел механики, а именно: механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и их систем. Несмотря на ето, теоретическая механика является одним из важнейших курсов, изучаемых в высшей технической школе; ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других предметов при решении самых разнообразных и сложных технических задач. Все технические расчеты при постройке различных сооружений, при проектировании машин, при изучении полета различных управляемых и неупраатяемых летательных аппаратов и т. п. основаны на законах теоретической механики.
Особое значение механика приобретает сейчас, когда началась эра исследования космоса. Расчеты космических траекторий, разработки методов управления полетом представляют сложные задачи механики.
Отдавая должное значению механики как одного из важнейших разделов физики и фундамента современной техники, следует все же иметь в виду, что классическая механика лишь приближенно описывает законы природы, ибо в ее основе лежат постулаты, не вполне точно отражающие геометрию мира и характер механического взаимодействия тел. Это стало очевидным после создания Л. Эйнштейном специальной теории относительности, на которой основывается релятивистская механика.
Согласно теории относительности не существует абсолютного времени и абсолютного пространства, служащего лишь простым вместилищем тел На самом деле свойства пространства и времени существенно зависят от взаимодействующих в них тел. Более того, механические характеристики, такие как масса, тоже оказываются переменными и зависящими от обстоятельств движения (скорости). Однако становление релятивистской механики отнюдь не привело к отрицанию классической механики. Классическая механика, являясь частным (точнее, предельным) случаем релятивистской механики, не теряет своего значения, ибо ее выводы при скоростях движения, достаточно малых по сравнению со скоростью света, с большой точностью удовлетворяют требованиям многих отраслей современной техники.
В высших технических учебных заведениях теоретическая механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику и динамику. Эта сложившаяся традиция нашла отражение и в настоящем курсе.
В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия.
В кинематике движения тел рассматриваются с чисто геометрической точки зрения, т. е. без учета силовых взаимодействий между телами.
В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями Между телами. Более подробные сведения о задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответствующих разделах курса.
Статика
Статика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.
Основные понятия и аксиомы статики
Как уже отмечалось во введении, в теоретической механике изучается движение материальных тел относительно друг друга. Для этого требуется прежде всего построить модели объектов и дать определение понятий, с которыми имеет дело механика. В теоретической механике рассматривается простейшая модель «обычного» евклидова трехмерного пространства. Постулируется, что в этом пространстве существует хотя бы одна система координат, в которой справедливы законы Ньютона (инерциальная система). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой. В дальнейшем будет показано, что если существует хотя бы одна инерциальная система, то их имеется бесчисленное множество) (инерциальные системы отсчета условно называются неподвижными).
Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела
В статике, не внося никаких погрешностей в вычисления, можно считать, что системы координат, жестко связанные с Землей, неподвижны). Условия относительного равновесия в других, неинерциальных системах отсчета, в частности, в системах, движущихся относительно Земли, будут выяснены в динамике.
Как для статики, так и для динамики одним из основных является понятие силы. Первичное представление о силе дают нам мускульные ощущения. В механике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг другу ускорения или деформироваться (изменять свою форму). Из этого определения сразу вытекают два способа измерения сил: первый, динамический способ, основан на измерении ускорения тела в инерциальной системе отсчета, а второй, статический способ, основан на измерении деформации упругих тел.
В механике не изучают физическую природу сил. Укажем только, что силы могут возникать как при непосредственном контакте тел (например, сила тяги электровоза, передаваемая вагонам, сила трения между поверхностями соприкасающихся тел и т. п.), так и на расстоянии (например, силы притяжения небесных тел, силы взаимодействия электрически заряженных или намагниченных частиц и т. п.).
Сила является векторной величиной — она характеризуется численным значением или модулем, точкой приложения и направлением. Точка приложения силы и ее направление определяют линию действия силы. На рис. 1.1 показана сила
Для измерения модуля силы ее сравнивают с некоторой силой, выбранной в качестве единицы. В международной системе единиц измерения физических величин (СИ) "за единицу силы принят один ньютон (1м), а в технической системе единиц (система МКГСС) —один килограмм силы (1 кГ или \кгс— не следует смешивать с единицей массы в системе СИ — \кг). Напомним, что эти единицы связаны соотношениями
Применяются и более крупные единицы измерения сил, в частности, (меганьютон),
(килоньютон),
(тонна) и т. и.
Силу часто задают непосредственным описанием, например: к концу балки приложена сила численно равная 5 кн и направленная вертикально вниз. Но можно задать силу и способом, которым обычно определяют векторы, а именно, через ее проекции на оси прямоугольной системы координат и точку приложения силы. Если, как обычно, единичные векторы (орты) осей
обозначить через
(рис. 1.2), то. сила
определится
точкой приложения и равенством:
где —проекции силы
на соответствующие координатные оси *).
Рассматривая действие сил на материальные тела, мы будем отвлекаться не только от физической природы сил, но и от многих свойств самих тел. Так, реальные твердые тела обычно мало изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил. Поэтому для решения многих задач механики допустимо вовсе пренебречь малыми деформациями (т. е-, малыми изменениями формы) и пользоваться моделью абсолютного твердого тела, понимая под ним тело, в котором расстояния между двумя любыми точками его остаются неизменными независимо от действия тех или иных сил **). Для краткости мы будем часто пользоваться выражением «твердое тело» или даже просто «тело», имея в виду только что введенное понятие абсолютно твердого тела.
Совокупность нескольких сил называется системой сил. Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил
можно заменить другой системой
и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными. Символически это обозначается следующим образом;
Введенное понятие эквивалентности систем сил не устанавливает условий, при выполнении которых две системы сил будут эквивалентны. Оно означает только, что эквивалентные системы сил вызывают одинаковое состояние тела (одинаковые ускорения или, если тело не абсолютно твердое, одинаковые деформации).
В том случае, когда система сил эквивалентна одной силе
т. е.
последняя называется равнодействующей данной системы сил. Это означает, что одна равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. В дальнейшем будет показано, что не всякая система сил имеет равнодействующую.
Как уже отмечалось, в инерциальной системе координат выполняется закон инерции. Это означает, в частности, что тело, находящееся в начальный момент в покое, останется пребывать в этом состоянии, если на него не действуют никакие силы. (Полная формулировка закона инерции будет дана в лекции по динамике.) Если абсолютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил то последняя называется уравновешенной системой сил или системой сил, эквивалентной нулю:
Часто в этом случае говорят, что тело находится в равновесии *).
В заключение этой лекции обратим внимание на различие между понятием эквивалентности сил и понятием равенства векторов, изображающих эти силы. В математике два вектора считаются равными, если они параллельны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Для эквивалентности двух сил этого недостаточно и из равенства еще не следует соотношение
Из сделанных определений вытекает, что в общем случае две силы эквивалентны, если они геометрически (векторно) равны и приложены к одной точке тела. На рис. 1.3 показаны две геометрически равные, по не эквивалентные силы. В этом проявляется различие между свободными векторами, рассматриваемыми в математике, и силами.
Аксиомы статики и их следствия
В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействущим телам. Эти законы установлены многочисленными непосредственными наблюдениями, а также опытной проверкой следствий (часто далеких и вовсе не очевидных), логически вытекающих из этих аксиом.
Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием одной силы приобретает ускорение и, следовательно, оно не может находиться в покое. Это означает, что одна сила не может составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома устанавливает условия, при выполнении которых простейшая система сил будет уравновешена.
Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.
Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в начальный момент находилось в покое, . то состояние покоя тела сохранится.
На рис. 1.4 показаны уравновешенные силы удовлетворяющие соотношениям:
При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких стержней, весом которых можно пренебречь, причем известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформулированной аксиомы непосредственно следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой проходящей через концы стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю (рис. 1.5, а). Этот вывод сохраняется и в случае, когда ось стержня криволинейная (рис. 1.5, б).
Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.
Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.
Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, действующих по одной прямой и направленных в противоположные стороны.
Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.
Действительно, пусть сила приложена к точке
(рис. 1.6, а). Приложим в точке
на линии действия силы
две уравновешенные силы
и
полагая, что
(рис. 1.6, б). Тогда согласно аксиоме 2 будем иметь
Так как силы образуют также уравновешенную систему сил (аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.6, в). Таким образом,
или
что доказывает следствие.
Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.
Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия меняет напряженно-деформированное состояние тела.
Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).
Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое —две силы (рис. 1.7), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е. эквивалентны одной силе
второе — аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы
Другими словами, равнодействующую можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с
и
Модуль равнодействующей определится равенством
где —угол между данными векторами
Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твердым телам.
Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной.
В частности, они позволяют разложить любую силу на две, три и т. д. составляющие, т. е. перейти к другой системе сил, для которой сила
является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с
в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу
Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составят систему, для которой сила
будет равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы
провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу
и с ребрами, направленными по этим прямым (рис 1.8)
Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам.
Если тело действует на тело
с силой
а тело
действует на тело
с силой
(рис. 1.9), то эти силы равны по модулю
и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е.
Если обозначить через силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же ло модулю, но противоположно направленной силой —
При движении тела по плоскости к нему будет приложена сила трения направленная в сторону, противоположную движению. Это — сила, с которой неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с такой же силой, но ее направление будет противоположно силе
На рис. 1.10 показано тело, движущееся вправо; сила трения
приложена к движущемуся телу, а сила
— к плоскости.
Рассмотрим еще покоящуюся систему, изображенную на рис. 1.11, Она состоит из двигателя установленного на фундаменте
который в свою очередь находится на основании
На двигатель и фундамент действуют силы тяжести
соответственно (он и представляют собой действие Земли на эти тела). Кроме указанных дбух сил, действуют также следующие силы:
— сила действия тела
на тело
(она равна весу тела
— сила обратного действия тела
на тело
— сила действия тел
и
на основание
(она равна суммарному весу тел
— сила обратного действия основания
на тело
Эти силы показаны на рис. 1.11, б, в, г.
Согласно аксиоме 4
причем эти силы взаимодействия определяются заданными- силами
Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела (рис. 1.11, б) должно быть
а значит,
Точно так же из условия равновесия тела (рис. 1.11, в) следует
т. е.
и
Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым.
Этой аксиомой (ее называют иногда принципом отвердевания) пользуются в тех случаях, когда речь идет о равновесии тел, которые нельзя считать твердыми. Приложенные к таким телам внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия твердою тела, однако для нетвердых тел эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. Проиллюстрируем это положение простым примером. На стр. 20 было показано, что для равновесия абсолютно твердого невесомого стержня необходимо и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы и
действовали по прямой, соединяющей его концы, были равны
по модулю и направлены в разные стороны. Эти же условия необходимы и для равновесия отрезка невесомой нити, но для нити они недостаточны —необходимо дополнительно потребовать, чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими (рис. 1.12,6), в то время, как для стержня они могут быть и сжимающими (рис. 1.12, а).
В заключение этой лекции рассмотрим случай эквивалентности нулю трех непараллельных сил, приложенных к твердому телу (рис. 1.13, а).
Теорема о трех непараллельных силах. Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.
Пусть на тело действует система трех сил, причем линии действия сил
пересекаются в точке
(рис. 1.13, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы
можно перенести в точку
(рис. 1.13, б), а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой
причем (рис. 1.13, в)
Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам (рис. 1.13, в). По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме I силы
должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.
Активные силы и реакции связей
Условимся называть тело свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, связями. Как уже упоминалось, в точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. При перечислении всех сил, действующих на данное тело, необходимо, разумеется, учитывать и эти контактные силы (реакции связей).
В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное шло можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу.
В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий или уравнений равновесия тела, которые будут установлены в дальнейшем, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей.
В качестве простейшего примера на рис. 1.14, а представлено тело, точка которого соединена с неподвижной точкой
при помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В данном случае для тела связью служит стержень
стеснение
свободы перемещения точки выражается в том, что она вынуждена находиться на неизменном удалении от точки
Но, как мы видели выше (см. рис. 1.5, б), сила действия на такой стержень должна быть направлена по прямой
и согласно аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция)
должна быть направлена вдоль той же прямой. Таким образом, направление реакции стержня совпадает с прямой
(рис. 1.14,6).
(В случае криволинейного невесомого стержня — по прямой, соединяющей концы стержня; см. рис. 1.5,6).
Аналогично сила реакции гибкой нерастяжимой нити должна быть направлена вдоль нити. На рис. 1.15 показано тело, висящее на двух нитях, и реакции нитей
Возвращаясь к общему случаю, отметим, что силы, действующие па несвободное тело (или на несвободную материальную точку), можно разделить на две категории. Одну категорию образуют силы, не зависящие от связей, а другую категорию — реакции связей. При этом реакции связей, в сущности, носят пассивный характер —они возникают лишь постольку, поскольку на тело действуют те или иные силы первой категории. Поэтому силы, не зависящие от связей, называют активными силами (иногда они называются заданными), а реакции связей — пассивными силами.
На рис. 1.16, а вверху показаны две равные по модулю активные силы растягивающие стержень
внизу показаны реакции
растянутого стержня. На рис. 1.16,6 вверху показаны активные силы
сжимающие стержень, внизу показаны реакции
сжатого стержня.
Рассмотрим еще некоторые типичные виды связей и укажем возможные направления их реакций; конечно, модули реакций определяются актйвными силами и не могут быть найдены, пока последние не заданы определенным образом. При этом мы будем пользоваться некоторыми упрощенными представлениями, схематизирующими действительные свойства реальных связей.
1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям (рис. 1.17, а).
Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие (рис. 1.17,6), то реакция направлена по нормали к поверхности самого тела.
Если твердое тело упирается острием в угол (рис. 1.17, в), то связь препятствует перемещению острия как по горизонтали, так и по вертикали. Соответственно реакция угла может быть представлена двумя составляющими — горизонтальной
и вертикальной
величины и направления которых в конечном счете определяются заданными силами.
2. Сферическим шарниром называется устройство, изображенное на рис. 1.18, а, которое делает неподвижной точку рассматриваемого тела. Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция сферического шарнира имеет направление нормали к этой поверхности. Поэтому единственное, что известно относительно реакции, —это то, что она проходит через центр шарнира
направление реакции может быть любым и определяется в каждом конкретном случае в зависимости от заданных сил и общей схемы закрепления тела. Точно так же нельзя заранее определить направление реакции подпятника, изображенного на рис. 1.18, б.
3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.19, а). Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реакции может быть любым (в плоскости, перпендикулярной оси опоры).
4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис. 1.19, б) препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпендикуляру к плоскости соответственно реакция такой опоры также имеет направление этого перпендикуляра.
На одно и то же тело может быть наложено одновременно несколько связей, возможно, различного типа. Три примера такого рода представлены на рнс. 1.20, а. На рис. 1.20, б изображены соответствующие системы сил; здесь, в соответствии с принципом освобождаемости, связи отброшены и заменены реакциями. Реакции стержней направлены вдоль стержней (верхняя схема); прн этом предполагается, что стержни невесомы и соединены с телом и опорами с помощью шарниров. Реакции идеально гладких опорных поверхностей направлены по нормали к этим поверхностям (две нижние схемы). Кроме того, реакция цилиндрического шарнира в точке (средняя схема) должна -на основании теоремы о трех непараллельных силах проходить через точку пересечения линий действия сил
—точку
Реакция
идеально гибкой нерастяжимой и невесомой нити направлена вдоль нити (нижняя схема).
В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи. В этих случаях иногда мысленно расчленяют систему и заменяют отброшенные не только внешние, но и внутренние связи соответствующими реакциями. Один пример такого рода, в котором два тела соединены шарниром представлен па рис. 1.21. Отметим, что силы
равны друг другу по модулю, но противоположно направлены (по аксиоме 4).
В заключении этой лекции отметим, что силы взаимодействия между отдельными точками данного тела называются внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними. Из этого следует, что реакции связен являются для данного тела внешними силами.
Основные задачи статики
Содержание статики абсолютно твердого тела составляют две основные задачи:
- Задача о приведении системы сил: как данную систему сил заменить другой, в частности наиболее простой, ей эквивалентной?
- Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к данному телу (или материальной точке), чтобы она была уравновешенной системой?
Первая основная задача имеет важное значение не только в статике, но и в динамике.
Вторая задача часто ставится в тех случаях, когда равновесие заведомо имеет место, например, когда заранее известно, что тело находится в равновесии, которое обеспечивается связями, наложенными на тело. При этом условия равновесия устанавливают зависимость между всеми силами, приложенными к телу; во многих случаях с помощью этих условий удается определить опорные реакции. Хотя этим не ограничивается сфера интересов статики твердого тела, но нужно иметь в виду, что определение реакций связей (внешних и внутренних) необходимо для последующего расчета прочности конструкции.
В более общем случае, когда рассматривается система тел, имеющих возможность перемещаться друг относительно друга, одной из основных задач статики является задача определения возможных положений равновесия. Эти вопросы рассматриваются в аналитической статике (см. том II, глава XVIII).
Система сходящихся сил
Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Простейший случай трех сил был рассмотрен в главе 1. Здесь рассматривается общий случай произвольного числа сил, образующих систему.
Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей
Существует немало практических задач, которые требуют исследования систем сходящихся сил; в частности, они возникают ори расчетах шарнирно-стержневых систем (ферм). Кроме того, изучение системы сходящихся сил необходимо для дальнейших обобщений, относящихся к произвольной пространственной системе сил. Прежде всего докажем теорему:
Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодействующей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия.
Пусть задана система сходящихся сил приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1, а). Согласно следствию из аксиомы 1 перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий (рис. 2.1, б). Таким образом, мы получаем систему сил, приложенных в одной точке. Она эквивалентна исходной системе сходящихся сил. Складывая теперь силы
на основании аксиомы 3 получим их равнодействующую:
Индекс в обозначении равнодействующей соответствует номеру добавляемой силы Затем, сложив силу
с силой
найдем
Сила является равнодействующей трех сил,
и равна их сумме. Дойдя, таким образом, до последней силы
получим равнодействующую всей системы
данных сил *)
Этим соотношением и доказывается справедливость сформулированной теоремы.
Построение равнодействующей может быть упрощено, если вместо параллелограммов построить силовой многоугольник. Пусть, например, система состоит из четырех сил (рис. 2.2). Если от конца вектора
отложить вектор
то вектор, соединяющий начало
и конец вектора
будет вектором
Далее отложим вектор помещая его начало в конце вектора
Тогда мы получим вектор
идущий от точки
к концу вектора
Наконец, точно так же добавим вектор
при этом получим, что вектор, идущий от начала первого вектора
к концу вектора
является равнодействующей
Пространственный многоугольник, который получен указанным образом, называется силовым многоугольником.
На рис. 2.2 показан разомкнутый силовой многоугольник (конец последней силы не совпадает с началом первой силы); равнодействующая направлена по замыкающей силового многоугольника. Конечно, при практическом построении силового многоугольника промежуточные равнодействующие
и т. д. строить не нужно.
Если для нахождения равнодействующей при помощи силового многоугольника используются правила геометрии или тригонометрии, то такой способ нахождения равнодействующей называется геометрическим способом.
В случае плоской системы сил можно воспользоваться плоским чертежом, откладывая силы в некотором масштабе; равнодействующая определяется непосредственным измерением по чертежу. Такой способ ее нахождения называется графическим.
Наиболее общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический способ, который также вытекает из основного соотношения (2.1). Поместим, например, начало прямоугольной системы координат в точку пересечения
линий действия сил (см. рис. 2.1); тогда, пользуясь теоремой (она доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получим
где —проекции силы
на указанные оси, a
— проекции равнодействующей на те же оси.
Итак, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси.
С помощью выражений (2.2) можно найти модуль равнодействующей и ее направление в прямоугольной системе координат
Так как составляющие равнодействующей системы сил
взаимно перпендикулярны (рис. 2.1), то модуль равнодействующей равен
Направляющие косинусы равнодействующей соответственно равны
В частном случае, когда все силы расположены в одной плоскости, удобно выбрать систему координат в плоскости расположения сил. Тогда проекции всех сил на ось
равны нулю и вместо формул (2.2), (2.4) и (2.5) будем иметь
Условия равновесия системы сходящихся сил
При приведении системы сходящихся сил было показано, что такая система эквивалентна одной равнодействующей силе
Отсюда следует, что для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая их равнялась нулю:
Следовательно, в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой силы; в этом случае говорят, что силовой многоугольник замкнут (рис. 2.3). Это условие удобно использовать при графическом решении задач для плоских систем сил.
Векторное равенство (2.9) эквивалентно трем скалярным равенствам:
Принимая во внимание равенства (2.2), получаем аналитические условия равновесия:
т. е. для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно равенства нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системы на каждую из координатных осей.
Для частного случая плоскостей системы сходящихся сил, расположенных, например, в плоскости третье условие (2.10) отпадает (т. е. обращается в тождество).
Очевидно, что условия равновесия (как в аналитической, так и в геометрической форме) позволяют проконтролировать, находится ли в равновесии заданная система сил.
Однако еще большее практическое значение имеет другая возможность использования этих условий. Часто
заведомо известно, что вследствие наложенных связей тело находится в равновесии, причем мы знаем только часть действующих сил, а именно, активные силы; при этом опорные реакции известны лишь отчасти (например, известны их направления). Тогда с помощью условий равновесия можно найти остальные неизвестные, определяющие реакции связей. Условия равновесия, в которые входят неизвестные, будут уже служить уравнениями для определения этих неизвестных. Конечно, определение неизвестных возможно лишь в тех случаях, когда число неизвестных составляющих реакций не больше числа уравнений равновесия. Для определенности решения пространственной задачи на равновесие системы сходящихся сил она должна содержать не более трех неизвестных (соответственно трем уравнениям равновесия), а для плоской задачи —не более двух. Если неизвестных реакций больше, чем уравнений равновесия, в которые эти реакции входят, то задача не может быть решена только методами статики твердого тела (статически неопределимая задача) .
Хотя выбор направления координатных осей, на которые проектируются силы, не имеет принципиального значения, однако при решении задач для получения более простых уравнений равновесия рационально иногда направлять координатные оси перпендикулярно неизвестным силам; при этом некоторые уравнения равновесия будут содержать меньшее число неизвестных, чем их содержится в задаче.
Пример №1
Кран состоит из стрелы блоков
троса
и мотора
К концу
стрелы подвешен груз, вес которого равен
С помощью мотора
и троса стрелу можно установить под любым углом
(рис. 2.4, а). Пренебрегая весом троса и стрелы, а также размерами блоков
определить натяжение троса
и усилие
в стреле, если известно расстояние
и длина стрелы
Вычислить найденные величины при
Рассмотрим равновесие стрелы
В точке
к ней приложена активная сила
(сила тяжести груза). В той же точке к ней приложена реакция
троса
направленная от
а в точке
к стреле приложена реакция
опоры
направленная вдоль стрелы. Мысленно освободимся от связей и заменим их реакциями (рис. 2.4, б). Так как все-три силы,
приложенные к стреле, уравновешены и пересекаются в одной точке
то силовой треугольник должен быть замкнут. Построение замкнутого треугольника сил следует начинать с известной силы
Из ее конца проводится направление силы
а из начала силы
проводится прямая, параллельная силе
(или
Точка пересечения этих прямых определяет силы
(рис. 2.4, в).
При отбрасывании связей было заранее предположено, что стрела (стержень) сжата и поэтому реакция опоры
была направлена от
В данном примере это очевидно; в других, более сложных, случаях состояние стержня (растягивается он или сжимается) определяется решением задачи.
Треугольник сил подобен треугольнику
образованному элементами крана (так как соответствующие стороны параллельны). Поэтому
Отсюда
По условию задачи
Пользуясь теоремой косинусов, из треугольника
найдем
Внося значения для получим
При заданных значениях будем иметь
В заключение этого примера отметим, что при хорошем выполнении чертежа (строгое соблюдение масштабов и параллельности линий) приближенные значения усилия и натяжения
можно определить без всяких вычислений простым измерением длин сторон силового треугольника Недостаток графического метода состоит в том, что он не позволяет провести анализ полученного решения, так как численные значения искомых величин отвечают одному фиксированному положению механизма.
Пример №2
Шар веса и радиуса
удерживается нитью
длины
на неподвижной гладкой цилиндрической поверхности радиуса
(рис. 2.5, а). Определить натяжение нити
и давление шара на опорную поверхность, если точка А крепления нити лежит на одной вертикали с центром
цилиндрической поверхности.
Рассмотрим равновесие шара. Мысленно освободим шар от связей и заменим их реакциями (рис. 2.5, б). Реакция нити равная ее натяжению, направлена вдоль нити от
реакция
гладкой цилиндрической поверхности направлена по нормали к поверхности (она приложена к шару в точке
касания шара с опорной поверхностью н направлена по нормали к поверхности шара, т. е. по радиусу
Шар находится в равновесии под действием трех сил:
Построив замкнутый силовой треугольник (из конца известкой силы
проводим прямою, параллельную
а из начала силы
прямую, параллельную
точка пересечения этих прямых определяет конец силы
и начало силы
рис. 2.5, в), мы можем определить модули сил
и
с помощью масштаба простым Измерением их длины. В данном примере использовать аналитические методы. Действительно, из подобия треугольника
(рис. 2.5 а) и силового треугольника
следует
Отсюда найдем
Давление шара на опорную поверхность (аксиома 4) равно по модулю реакции
но направлено в противоположную сторону:
Пример №3
Однородная балка длины и веса
удерживается в равновесии нитью
и шарниром
(рис. 2.0, а).
Найти натяжение нити и реакцию шарнира если
Рассмотрим равновесие системы, состоящей из балки и нити. Мысленно освободим систему от связен в точках и
и приложим в этих точках реакции (рис. 2.С, б). К балке приложены сила тяжести
сила натяжения нити
и реакция шарнира
Эта система сил должна быть эквивалентна нулю. По теореме о трех непараллельных силах реакция
должна проходить через точку
(середину стороны
Построим силовой треугольник {рис. 2.6, в). Из подобия силового треугольника и треугольника
(рис. 2.G, б) следует, что
Подставляя сюда получим
Начало этих рассуждений может быть несколько видоизменено, если рассматривать равновесие балки, отделенной как от стены (в точке так и нити (в точке
см. рис. 2.6, г. Однако последующие выкладки останутся прежними, в частности, тем же останется силовой треугольник на рис. 2.6, в.
Пример №4
Определить реакции опорных шарниров невесомой трехшарнирной арки левая половина которой нагружена силой
(рис. 2.7 а).
Рассмотрим равновесие каждой полуарки отдельно. К правой полуарке приложены две силы: реакция в шарнире и реакция
левой полуарки на правую. Значит, линия действия этих сил проходят через
Левая полу арка (рис. 2.7, б) находится в равновесии, следовательно, силы
образуют уравновешенную систему действия реакции
проходит через точку пересечения линий действия силы
и реакции
(реакции правой полуарки на левую). Так как направления всех сил известны, то можно построить силовой треугольник (рис. 2.7, в) и определить величины искомых реакций. После этого можно построить систему сил для правой полуарки; это сделано на рис. 2 7, г, причем
Пример №5
Однородный цилиндр веса расположен между двумя гладкими наклонными плоскостями, образующими с горизонтом углы
(рис. 2.8, о). Определить силы давления цилиндра на обе опорные плоскости.
Так как плоскости гладкие, то их реакции (рис. 2.8, б) направлены перпендикулярно плоскостям, т. е направлены к оси цилиндра и вместе
с силой образуют сходящуюся систему сил. Запишем уравнения равновесия этой системы сил:
откуда находим
Искомые силы давления будут равны (согласно аксиоме 4) по модулю и противоположны по направлению реакциям
Пример №6
Горизонтальная балка удерживается в равновесии стержнями
Найти усилия в стержнях и балке, если к концу
балки приложена сила
перпендикулярная балке и образующая с вертикалью угол
Дано: Весами балки и стержней пренебречь; крепления шарнинные (рис. 2.9, а).
Заменяя действие стержней и балки на узел реакциями
получим систему четырех сил, приложенных в одной точке
(рис. 2.9,6).
Проекции этих сил на координатные оси (систему координат см. на рис. 2.9, б) равны:
Поэтому в соответствии с условиями (2.11) уравнения равновесия данной системы сил имеют вид
Отсюда
Усилия в стержнях и балке соответственно равны найденным реакциям
Если бы балка поддерживалась большим числом стержней, то задача стала бы статически неопределимой, поскольку число неизвестных превзошло бы число уравнений.
Пример №7
Невесомые стержни соединенные в точке
шарниром, поддерживаются в равновесии нитью
Определить натяжение нити и усилия в стержнях, если
а к точке
приложена горизонтальная сила
линия действия которой образует с плоскостью
угол
(рис. 2.10, а). Концы стержней
закреплены шарнирно. Прямая
горизонтальна.
Заменим действие стержней и нити на узел реакциями
Проекции сил
на оси координат будут (рис. 2.10, б):
Составим уравнения равновесия:
отсюда
Натяжение нити и усилия в стержнях соответственно равны полученным значениям
Если то
При
(знак минус в выражении для означает, что стержень
сжат, а не растянут, как предполагалось при построении реакций).
При усилие в стержне
равно нулю.
Теория пар
Лекция носит вспомогательный характер и необходим для дальнейшего построения теории.
Сложение двух параллельных сил
Пусть параллельные и одинаково направленные силы приложены к точкам
тела и нужно найти их равнодействующую (рис. 3.1). Приложим к точкам
равные по модулю и противоположно направленные силы
(их модуль может быть любым); такое добавление можно делать на основании аксиомы 2. Тогда в точках
мы получим две силы
Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке Перенесем силы
в точку
и разложим каждую на составляющие:
Из построения видно, что следовательно,
и две эти силы согласно аксиоме 2 можно отбросить. Кроме того,
Силы
действуют по одной прямой, и их можно заменить одной силой
которая и будет искомой равнодействующей. Модуль равнодействующей равен
Очевидно, что линия действия равнодействующей параллельна линиям действия слагаемых. Из подобия треугольников и
а, также
получим соотношение
которым определяется точка приложения равнодействующей Таким образом, система двух параллельных сил. направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.
Рассмотрим теперь задачу о сложении двух параллельных сил, направленных в разные стороны и не равных друг другу по модулю. Пусть даны две силы (рис. 3.2.), причем для определенности будем считать, что
Пользуясь формулами (3.1) и (3.2), можно силу разложить на две составляющие,
направленные в сторону силы
Сделаем это так, чтобы сила
оказалась приложенной к точке
и положим
Таким образом, Теперь заметим, что силы
можно отбросить как эквивалентные нулю (аксиома 2), следовательно,
т. е. сила
и является равнодействующей. Определим силу
удовлетворяющую такому разложению силы
Формулы (3.1) и (3.2) дают
Отсюда следует
и так как силы направлены в разные стороны, то
Подставим это выражение во вторую формулу (3.3), получим после простых преобразований
Из двух последних формул следует, что две не равные по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил. внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Заметим, что равнодействующая в этом случае всегда расположена за большей из двух сил.
Прежде чем рассмотреть случай двух равных по модулю, параллельных, но противоположно направленных сил, заметим, что из равенств (3.3) и (3.4) следует
Рассмотрим теперь случай двух параллельных, равных по модулю, но противоположно направленных сил (рис. 3.3). Эта система сил называется парой сил или просто парой и обозначается символом Рассуждения, которыми мы пользовались при выводе соотношений (3.4) и (3.5), здесь непригодны. Формальное применение этих соотношений приводит к заключению, что в данном случае модуль равнодействующей равен нулю, а линия ее действия находится на бесконечном удалении от линий действия слагаемых сил. Чтобы понять природу этого результата, вновь вернемся к отучаю, когда слагаемые силы имеют различные модули, и предположим, что модуль
постепенно возрастает, приближаясь к значению модуля
Тогда разность модулей будет стремиться к нулю, а система сил
— к паре. При этом модуль равнодействующей будет неограниченно приближаться к нулю (см. (3.4)), а линия ее действия — неограниченно удаляться от линий действия слагаемых (см. (3.5)).
Как следует из сказанного, для пары сил понятие равнодействующей лишено смысла, так как она представляет неуравновешенную систему, которая не может быть заменена одной силой. Говорят, что пара сил не имеет равнодействующей*).
Таким образом, пара сил является неприводимым (неупрощаемым) элементом статики; наряду с силой она является вторым самостоятельным элементом статики.
Момент силы относительно точки и относительно оси. Момент пары сил
Прежде чем перейти к исследованию свойств пары сил, введем понятие момента силы, которое необходимо для дальнейшего.
Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда «вращение», совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие.
Если — точка, относительно которой находится момент силы
то момент силы обозначается символом
Покажем, что если точка приложения силы
определяется радиусом-вектором
относительно
то справедливо соотношение
Согласно этому соотношению момент силы равен векторному произведению вектора на вектор
В самом деле, модуль векторного произведения равен
где — плечо силы (рис. 3.4). Заметим также, что вектор
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы
в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора
к направлению вектора
представляется происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы
Иногда формулу (3.7) полезно записывать в виде
где — площадь треугольника
(рис. 3.4).
Пусть — координаты точки приложения силы, а
— проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О находится в начале координат,.момент силы выражается следующим образом:
Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами:
Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.
Пусть даны сила и некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5).
Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость.
Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость то проекцией силы
на эту плоскость будет вектор
(рис. 3.5).
Момент силы относительно точки
(точки пересечения оси
с плоскостью
может быть вычислен но формуле (3.9), если в ней положить
Получим
Таким образом, этот момент направлен вдоль оси а его проекция на ось
в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы
относительно точки
Другими словами,
(3.11)
Очевидно, тот же результат можно получить, если спроектировать силу на любую другую
При этом точка пересечения оси
с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку пересечения через
Однако все входящие в правую часть равенства (3,11) величины
останутся неизменными, и, следовательно, можно записать
Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси. Поэтому в дальнейшем вместо символа будем применять символ
Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси
Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы
на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины
В соответствии с формулой (3.7) и учитывая знак проекции, будем иметь:
Здесь — плечо силы
относительно точки
(рис. 3.6); если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси
что сила
стремится повернуть тело вокруг оси
против хода часовой стрелки, то берется знак «плюс», и в противном случае —знак «минус».
Формула (3.12) дает возможность сформулировать следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно:
- выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси;
- спроектировать на эту плоскость силу;
- определить плечо проекции силы
Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком (см. изложенное выше правило).
Из формулы (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:
- когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллельны;
- когда плечо проекции
равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Оба эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия сит и ось находятся в одной плоскости.
Пример №8
Вычислить относительно точки момент силы
приложенной к точке
и направленной по диагонали грани куба со стороной
(рис. 3.7).
При решении подобных задач рационально сначала вычислить моменты силы относительно координатных осей
Координаты точки
приложения силы
будут
Проекции силы на координатные оси:
Подставляя эти значения в равенства (3.10), найдем
Эти же выражения для моментов силы
относительно координатных осей можно получить, пользуясь формулой (3.12). Для этого спроектируем силу
на плоскости, перпендикулярные осям
(рис. 3 7). Очевидно, что
Применяя изложенное выше правило, получим, как и следовало ожидать, те же выражения:
Модуль момента определится равенством
Введем теперь понятие момента нары. Найдем сначала, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. Пусть —произвольная точка пространства (рис. 3.8), a
— силы, составляющие пару. Тогда
откуда
но так как то
Принимая во внимание равенство окончательно находим:
Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.
Векторное произведение и называется моментом пары. Обозначается момент пары символом
причем
или, короче,
Рассматривая правую часть этого равенства, замечаем, что момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если —плечо пары, то
Из самого определения видно, что момент пары сил представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена (дополнительное обоснование этого замечания следует из теорем 2 и 3 этой главы).
Для того чтобы пара сил составляла уравновешенную систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, то либо
т.е. нет сил, либо плечо пары
равно нулю. Но в этом случае силы пары будут действовать по одной прямой; так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему. Обратно, если две силы,
составляющие пару, уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по одной прямой. Но в этом случае плечо пары
равно нулю и, следовательно,
Теоремы о парах
Докажем три теоремы, с помощью которых становятся возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассуждениях следует помнить, что они относятся к нарам, действующим на какое-либо одно твердое тело.
Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим две пары (рис. 3.9) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линии их действия в точки
соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим
но
Следовательно, т. е. силы
образуют пару. Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой (3.13):
При переносе сил, составляющих пару, вдоль линии их действия ни плечо, ни направление вращения пары не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Значит,
и формула (3.14) примет вид
что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.
Сделаем два замечания к этой теореме.
- Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае, но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сложения параллельных сил.
- После сложения может получиться, что
на основании сделанного ранее замечания из этого следует, что совокупность двух пар
Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.
Пусть на тело в плоскости действует пара
с моментом
Покажем, что эту пару можно заменить другой парой (F2, F2), расположенной в плоскости
если только ее момент
равен
(согласно определению это и будет означать, что пары
эквивалентны). Прежде всего заметим, что плоскости
должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов
(в нашем случае
следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны.
Введем в рассмотрение новую пару и приложим ее вместе с парой
к телу, расположив обе пары в плоскости
Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару
с моментом
так, чтобы приложенная система сил
была уравновешена. Это можно сделать, например, следующим образом: положим
и совместим точки приложения этих сил с проекциями
точек
на плоскость
(см. рис. 3.10). В соответствии с построением будем иметь:
или, учитывая, что
Принимая во внимание второе замечание к предыдущей теореме, получим Таким образом, пары
и
взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нарушает его состояния (аксиома 2), так что
С другой стороны, силы а также
можно сложить по правилу сложении параллельных сил, направленных в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу, поэтому их равнодействующие
должны быть приложены в точке пересечения диагоналей прямоугольника
кроме того, они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это означает, что они составляют систему, эквивалентную нулю. Итак,
Теперь мы можем записать
Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента
В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими эквивалентными преобразованиями нары.
Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.
Пусть пары расположены в пересекающихся плоскостях
соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу
(рис. 3.11), расположенному на линии пересечения плоскостей
Обозначим трансформированные пары через
При этом должны выполняться равенства:
Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках соответственно. Тогда получим
Учитывая, что
получим:
Таким образом, мы доказали, что система двух нар эквивалентна одной паре
Найдем момент этой пары. На основании формулы (3.13) имеем
но
и, следовательно,
или
т. е. теорема доказана.
Заметим, что полученный результат справедлив и для пар, лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары можно привести к одной плоскости, а но теореме 1 их можно заменить одной нарой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар.
Доказанные выше теоремы о нарах позволяют сделать важный вывод: момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело. В самом деле, мы уже доказали, что если две пары имеют одинаковые моменты (следовательно, лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях), то они друг другу эквивалентны (теорема 2). другой стороны, две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, противоположная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так как сумма моментов таких пар отлична от нуля.
Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно полезно, поскольку оно полностью отражает механическое действие нары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое тело.
Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.
Перейдем к решению первой и второй задач статики в случаях, когда на тело действуют только пары сил.
Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы пар
Пусть дана система пар
как угодно расположенных в пространстве, моменты которых равны
На основании теоремы 3 первые две нары можно заменить одной парой
с моментом
Полученную пару сложим с парой
тогда получим новую пару
с моментом
Продолжая и дальше последовательное сложение моментов нар, мы получим последнюю результирующую пару с моментом
Итак, система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар.
Теперь легко решить вторую задачу статики, т. е. найти условия равновесия тела, на которое действует система пар. Для того чтобы система пар была эквивалентна нулю, т. е. приводилась к .двум уравновешенным силам, необходимо и достаточно,
чтобы момент результирующей пары был равен нулю. Тогда из формулы (3.18) по-M(f„f/) лучим следующее условие равновесия в векторном виде:
В проекциях на координатные оси уравнение (3.19) дает три скалярных уравнения.
Условие равновесия (3.19) упрощается, когда все нары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, и поэтому уравнение (3.19) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось, перпендикулярную плоскости пар. Пусть это будет ось (рис. 3.12).
Тогда из уравнения (3.19) получим:
При этом ясно, что если вращение пары видно с положительного направления оси
против хода часовой стрелки, и
при противоположном направлении вращения, эти случая представлены на рис. 3.12.
Пример №9
Один конец балки длиной укреплен в неподвижной шарнирной опоре
а второй ее конец
опирается на гладкую наклонную плоскость, составляющую с балкой угол
На балку действует пара сил с моментом, равным
Пренебрегая весом балки, определить реакции опор (рис. 3. 13).
Действие опор заменим реакциями. Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности. Так как балка находится в равновесии, то система сил, действующих на балку, эквивалентна нулю. Но активная пара сил с моментом
может быть уравновешена только парой сил.
Следовательно, реакция неподвижной опоры
вместе с реакцией плоскости
должны составлять пару сил. Модули реакций найдутся из условия равенства модулей моментов пар:
или
где плечо пары. Отсюда
Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил
В лекции рассматривается вспомогательная задача о параллельном переносе силы. Докажем лемму:
Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
Лемма о параллельном переносе силы
Пусть в точке твердого тела приложена сила
(рис. 4.1). Приложим теперь в точке
тела систему двух сил
эквивалентную нулю, причем выбираем
(следовательно,
Тогда сила
так как
Но, с другой стороны, система сил эквивалентна силе
и паре сил
следовательно, сила
эквивалентна силе
и паре сил
Момент нары
равен
т. е. равен моменту силы относительно точки
Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.
Основная теорема статики
Введем определения. Пусть дана произвольная система сил Сумму этих сил
называют главным вектором системы сил.
Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения) называют главным моментом рассматриваемой системы сил относительно этого полюса.
Пользуясь теперь леммой о параллельном переносе силы, докажем следующую основную теорему статики (теорема Пуансо):
Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной сит, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.
Следовательно, основная теорема статики устанавливает закон эквивалентной замены произвольной системы сил более простои системой, состоящей из одной силы и одной пары.
Пусть — центр приведения, принимаемый за начало координат,
— соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил
составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Прежде всего перенесем силы
в точку
а затем сложим эти силы как сходящиеся; в результате получим одну силу:
которая равна главному вектору (рис. 4.2,6). Но при последовательном переносе сил в точку
мы получаем каждый раз соответствующую пару сил
Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки
На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в)
Итак, систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой
и парой сил с моментом
He следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение и что их можно найти только с помощью вычислений. Очень часто отдельно действующие на тело силы нельзя определить даже опытным путем, в то время как главный вектор или главный момент находятся сравнительно легко. Поясним это примером. Рассмотрим вал, находящийся в подшипниках скольжения. При вращении вала на точки его поверхности действуют со стороны подшипника силы трения. Число точек контакта и модули сил трения, как правило, нам не известны. Не всегда их можно определить и с помощью эксперимента, однако простым измерением находится сумма моментов всех сил трения относительно оси вращения, т. е. главный момент сил трения.
По тем же соображениям момент силы и момент пары сил также не следует рассматривать только как формальные величины, введенные для удобства доказательства. В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует па ротор, а вращающий момент.
Аналитическое определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил
Определим модули и направления векторов Пусть декартова система координат
имеет начало в центре приведения
Тогда проекции силы
на координатные оси найдутся из соотношений:
Модуль силы равен
а направление определяется направляющими косинусами
Для проекции вектора имеем (см. (3.10))
Следовательно, модуль и направление сектора определяются формулами
При приведении пространственной системы сил к одной силе и одной паре сил угол между направлением главного вектора и направлением главного момента может получиться любым в зависимости от действующих сил. Для определения этого угла воспользуемся формулой, выражающей скалярное произведение векторов
Отсюда
или, в соответствии с формулами (4.6) и (4.9),
Выясним, как будут меняться сила и пара сил, к которым приводится рассматриваемая система сил, при перемене центра приведения. Так как сила равна главному вектору, т. е. сумме всех сил системы, то для любого центра приведения она будет одной и той же. Если в качестве нового центра приведения взята точка
то
Для центра приведения момент пары равен главному моменту относительно этого центра приведения
где — радиус-вектор точки приложения силы
проведенный из нового центра приведения
(рис. 4.3). Из рассмотрения рис. 4.3 видно, что
Подставив значение в формулу (4.13), получим
откуда на основании формул (4.2) и (4.3)
т. е. момент пары, а следовательно, и главный момент при перемене центра приведения изменяются на момент силы, равной главному вектору, приложенному в старом центре приведения, относительно нового центpa приведения.
Из формулы (4.14) следует, что если в каком-либо центре приведения, например, точке то и для любого центра приведения
будет
Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил не является единственным способом приведения к простейшему виду (хотя и применяется наиболее часто). Возможен другой вариант приведения; согласно этому варианту система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к двум силам, в общем случае не лежащим в одной плоскости.
В самом деле, пусть произвольная система сил приведена в данном центре к силе
и паре сил с моментом
Выберем силы, составляющие пару,равными
приложим одну из них (например,
в центре приведения (рис. 4.4) и сложим ее с силой
В результате получим силу
уже не лежащую в плоскости действия пары
Таким образом, пространственная система сил приведена к двум силам которые в общем случае не лежат в одной плоскости.
Условия равновесия пространственной системы сил
В этой лекции мы обратимся ко второй задаче статики и установим условия, при которых пространственная система сил эквивалентна нулю, т. е. условия ее равновесия. Докажем теорему.
Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю.
Достаточность сформулированных условии вытекает из того, что при система сходящихся сил, приложенных в центре приведения
эквивалентна нулю, а при
система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.
Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что в нашем случае система сил (рис. 4.4) должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и, кроме того, должно выполняться равенство
Но в рассматриваемом нами случае это может быть, если линия действия силы
проходит через точку
т. е. если
А это значит, что главный момент равен нулю
Далее, так как
то
и, следовательно,
Итак, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил будут иметь вид
или, в проекциях на координатные оси,
Таким образом, при решении задач о равновесии пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем возможность из уравнений (4.16) н (4.17) определить шесть неизвестных величин.
Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей. Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил приводится к равнодействующей
приложенной к какой-либо точке
тела. Тогда эта пара и сила
приложенная в точке
эквивалентны нулю (рис. 4.5). На основании только что доказанного плавный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку
тогда главный момент
и равен моменту пары
главный вектор тоже не равен нулю
Следовательно, предположение о существовании равнодействующей для пары сил несправедливо.
Уравнения равновесия для более частных систем сил могут быть получены из уравнений (4.16) и (4.17).
1. Равновесие пространственной системы параллельных сил. Направим ось параллельно линиям действия сил (рис. 4.6).
Тогда проекции сил на оси
равны нулю
и остается удовлетворить только одному из уравнений группы (4.16):
Во второй группе уравнений (4.17) Рис 4.6. последнее выполняется тождественно, так как силы параллельны оси и остаются только два уравнения:
2.Равновесие плоской системы сил.
Для плоской системы сил из уравнений первой группы останутся два уравнения:
Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями и
(рис. 4.7). Остается только третье уравнение:
3. Равновесие плоской системы параллельных сил. Условия равновесия для этого частного случая следуют из
Уравнений (4.20) и (4.21). Направим ось параллельно линиям действия сил (рис. 4.8). Тогда первое из уравнений (4.20) удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных
сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:
Напомним, что при составлении уравнений равновесия (4.17) за центр приведения может быть выбрана любая точка.
Плоская система сил
Рассмотрим систему сил расположенных в одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое число практических задач техники. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат
и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, согласно основной теореме статики приведем рассматриваемую систему сил к одной силе
равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту
где — момент силы
относительно центра приведения
Приведение плоской системы сил к простейшему виду
Так как силы расположены в одной плоскости, то сила также лежит в этой плоскости. Момент же пары
направлен перпендикулярно этой плоскости, так как сама пара расположена в плоскости действия рассматриваемых сил. Таким образом, для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1).
При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту пары. Момент полностью характеризуется алгебраической величиной равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение» пары происходит против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами, за момент пары в плоских системах принимается проекция вектора момента пары на ось
перпендикулярную плоскости действия сил.
Пусть, например, даны две пары (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем
Аналогично, моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет
Индекс в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов.
Модули же момента пары и момента силы обозначаются следующим образом:
Исходя из этих определений, для нахождения главного момента вместо формулы (5.2) будем пользоваться формулой
Приведение плоской системы сил к простейшему виду
Формула (4.14), определяющая изменение главного момента при перемене центра приведения, примет вид
Для аналитического определения главного вектора применяются формулы:
Согласно формулам (5.5) и (3.11) главный момент равен
где — координаты точки приложения силы
Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Пусть для выбранного центра приведения главный вектор и главный момент не равны нулю, т. е.
(рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с моментом
Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил
равных по модулю главному вектору
т. е.
При этом одну из сил
составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы
(рис. 5.4, б). Тогда система сил
эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе
приложенной к точке
эта сила и является равнодействующей. В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой
т. е.
Очевидно, что расстояние
от прежнего центра приведения
до линии действия равнодействующей можно найти из условия
т. е.
Расстояние
нужно отложить от точки
так, чтобы момент пары сил
совпадал с главным моментом
(рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:
1.
В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.
2.
В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через данный центр приведения.
3.
При этом система сил эквивалентна одной паре сил.
4.
В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т. е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.
Для системы сил, которая приводится к равнодействующей, справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.
Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.
Предположим, что система сил приводится к равнодействующей проходящей через точку
Возьмем теперь в качестве центра приведения другую точку
Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил:
С другой стороны, на основании формулы (5.6) имеем
так как главный момент для центра приведения равен нулю
Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем
это и доказывает сформулированную теорему.
При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая приложена в какой-либо точке
с координатами
(рис. 5.5) и известны главный вектор
и главный момент
при центре приведения в начале координат. Так как
то составляющие равнодействующей по осям
равны
и
Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т. е.
Величины при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты
в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При
его можно переписать в виде
Пример №10
Равнодействующие сил давления воды на гравитационною плотину приложены в вертикальной плоскости симметрии перпендикулярно соответствующим граням на расстояниях
от основания (рис. 5.6). Сила тяжести
прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила тяжести
треугольной части— на расстоянии одной трети от вертикальной грани треугольного сечения.
Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина, если
Прежде всего найдем равнодействующую заданных сил приложенных к плотине Для вычисления главного вектора
и главного момента
относительно начала координат
нам понадобятся значения
и координаты точки
Так как
По условию задачи
Из треугольника
найдем
Следовательно,
Согласно формулам (5.7) и (5.10) имеем
Главный вектор не равен нулю, поэтому система заданных сил
приложенных к плотине, приводится к равнодействующей
модуль которой равен
Уравнение линии действия равнодействующей найдем по формуле (5.14):
На рис. 5.6 показана равнодействующая заданных сил, приложенных к плотине. Равнодействующая реакция грунта действует по той же прямой, но она направлена в сторону, противоположную
. Модули этих сил, конечно, равны между собой.
Условия равновесия плоской системы сил
Как было установлено в главе IV, необходимым и достаточным условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил эти условия получают вид
где — произвольная точка в плоскости действия сил. На основании (5.15) и (5.7) имеем
т. е. для равновесия плоской системы, сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю.
Возможны также другие формы уравнений равновесия.
Второй формой является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой:
где — указанные точки.
Необходимость выполнения этих трех равенств в случае равновесия системы сил вытекает из условий (5.15), и нам остается доказать их достаточность. Предположим, что все равенства (5.17) выполняются. Равенство нулю главного момента при центре приведения в точке возможно, либо если система приводится к равнодействующей
и линия ее действия проходит через точку
либо
аналогично равенство нулю главного момента относительно точек
означает, что либо
и равнодействующая проходит через обе точки, либо
Но равнодействующая не может проходить через все эти три точки
(по условию они не лежат на одной прямой). Следовательно, равенства (5.17) возможны лишь при
т. е. система сил находится в равновесии.
Заметим, что если точки лежат на одной прямой, то выполнение условий (5.17) не будет достаточным условием равновесия, — в этом случае система может быть приведена к равнодействующей, линия действия которой проходит через эти точки.
Третьей формой уравнений равновесия плоской системы сил является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил системы относительно двух любых точек и равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил системы на ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки:
(ось не перпендикулярна отрезку
Необходимость выполнения этих равенств для равновесия сил вытекает непосредственно из условий (5.15). Убедимся в том, что выполнения этих условий достаточно для равновесия сил.
Из первых двух равенств, как и в предыдущем случае, вытекает, что если система сил имеет равнодействующую, то ее линия действия проходит через точки (рис. 5.7). Тогда проекция равнодействующей на ось
не перпендикулярную отрезку
окажется отличной от нуля. Но эта возможность исключается третьим уравнением (5.18) так как
Следовательно, равнодействующая должна равняться нулю и система находится в равновесии. Понятно, что если ось будет перпендикулярна отрезку
то уравнения (5.18) не будут достаточными условиями равновесия, так как в этом случае система может иметь равнодействующую, линия действия которой проходит через точки
Таким образом, система уравнений равновесия может содержать одно уравнение моментов и два уравнения проекций, либо два уравнения моментов и одно уравнение проекций, либо, наконец, три уравнения моментов.
Отметим, что при составлении любой из форм уравнений, равновесия выбор координатных осей и точек, относительно которых берутся моменты сил, вообще говоря, произволен. Однако для получения наиболее простых уравнений равновесия (каждое из которых содержит минимальное число неизвестных) целесообразно координатные оси проводить перпендикулярно неизвестным силам, а указанные точки выбирать на пересечении линий действия неизвестных сил.
При рассмотрении равновесия несвободного твердого тела на основании принципа освобождаемости заменяем действие связей их реакциями. Значит, если число этих заранее неизвестных реакций будет равно числу уравнений равновесия, в которые реакции входят, то задачу их определения можно выполнить. Если же число неизвестных реакций будет больше уравнений равновесия, содержащих реакции, то задача становится статически неопределимой.
Среди плоских задач статики особого рассмотрения заслуживает случай плоской системы параллельных сил. Хотя для этой системы главный вектор и главный момент по-прежнему определяются формулами (5.1) и (5.5), но фактические вычисления значительно упрощаются.
Пусть линии действия всех сил параллельны оси (рис. 4.8). Тогда уравнения равновесия для рассматриваемой системы параллельных сил будут:
В соответствии с (5.17) уравнения равновесия можно также записать в виде
причем точки не должны лежать на прямой, параллельной оси
(если точки
будут лежать на прямой, параллельной оси
то эти уравнения будут удовлетворяться при равнодействующей, отличной от нуля, если ее линия действия проходит через указанные точки).
В заключение этой лекции отметим, что система сил, действующих на твердое тело, может состоять как из сосредоточенных (изолированных) сил, так и распределенных сил. Различают силы, распределенные по линии, по поверхности и по объему тела. Так, например, давление тяжелого цилиндрического катка на горизонтальную опорную поверхность (рис. 5.8, а) представляет собой силы, распределенные вдоль линии (в данном случае — вдоль прямой). Давление газа на стенки сосуда может служить примером сил, распределенных по поверхности (рис. 5.8, б). Действие сил тяжести (рис. 5.8, в) иллюстрирует случай сил, распределенных по объему тела.
Распределенные силы задаются их интенсивностью. Так, например, для объемных сил сначала вводится понятие средней интенсивности силы в окрестности рассматриваемой точки тела
Здесь — объем элемента, выделенного в окрестности точки,
—сила, действующая на этот элемент. Тогда
называется интенсивностью силы, распределенной по объему в данной точке тела.
Аналогично вводится понятие интенсивности для силы, распределенной по поверхности и по длине линии:
где — соответственно элементарная площадь и элемент длины линии.
Очень часто интенсивность силы называют силой, отнесенной к соответствующей геометрической единице — длине, площади или объему. Соответственно этому единицами интенсивности служат
Понятно, что в простейших случаях (см., например, рис. 5.8а) интенсивность определяется простым делением полной силы давления на длину, площадь или объем участка ее приложения.
В ряде случаев силы оказываются неравномерно распределенными. Так, на рис. 5.9, а изображено давление воды на стенку плотины, оно переменно и зависит от глубины, т. е. от координаты На рис. 5.9, б показан случай, когда давление сыпучего тела на основание является функцией двух координат
из-за переменной толщины слоя.
Задачи на применение уравнений равновесия
Пример №11
Однородная гладкая балка весом
закрепленная в точке
при помощи шарнира, опирается в точке
на стену. В точке
подвешен груз
Определить опорные реакции в точках
если балка составляет с горизонтом угол
(рис. 5.10, а).
Образуем силовую схему, заменив действие связей их реакциями. Реакция в точке не известна ни по величине, ни по направлению, поэтому будем
искать эту реакцию через ее проекции реакция в точке
направлена перпендикулярно балке (рис. 5.10, б).
Уравнения равновесия напишем в форме (5.16):
отсюда находим
Пример №12
Ферма опирается на неподвижный шарнир и каток
который может без трения перемещаться по наклонной плоскости. Определить реакции опор
если к ферме приложены силы
(рис. 5.11, а),
Заменяя действие опор реакциями, составляем силовую схему (рис. 5. )1, б). Уравнения равновесия возьмем в форме (5.17). В качестве точек, относительно
которых составляются уравнения моментов, выберем точки Уравнения равновесия при этом будут
отсюда находим
Пример №13
К балке, изображенной на рис. 5 12, а, приложены: сосредоточенная сила и равномерно распределенная нагрузка интенсивности
Вес балки
Определить реакции опор.
Действие опор на балку заменяем реакциями а распределенную нагрузку —ее равнодействующей
приложенной в
середине отрезка (рис. 5.12, б). Уравнения равновесия имеют вид
Решая эти уравнения, получаем
Познакомимся теперь с особым видом связи, которая называется жесткой (или полной) заделкой. Эта связь препятствует не только линейным перемещениям закрепленной точки тела, но и повороту вокруг этой точки.
Такова, например, жесткая заделка левого конца балки на рис. 5.13, а; этот конец оказывается полностью закрепленным — невозможны его вертикальное и горизонтальное перемещения, а также и поворот. Такая связь создает систему реакций, состоящую (рис. 5.13, б) из двух составляющих и пары, момент которой обозначен через
Это следует из того, что на заделанный конец балки действует распределенная нагрузка, которую можно привести к силе, приложенной к точке
и к паре сил с моментом
Пример №14
К однородной балке, вес которой равен и длина
в точке
приложена сила
(рис. 5.14, а). Определить реакции в месте заделки.
Силовая схема изображена на рис. 5.14, б. Уравнения равновесия будут
отсюда имеем
Задачи на равновесие системы тел
Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций трех-шарнирной арки, которая состоит из двух частей, имеющих шарнирные опоры
и соединенных между собой идеальным шарниром С (рис. 5.15, а). Если рассматривать эту систему тел как одно твердое тело (аксиома 5), то будем иметь три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными
(проекции опорных реакций в точках
Тем не менее эта задача статически определенная. Дело в том, что в равновесии находятся два тела соединенных между собой шарниром С, и можно рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число уравнений равновесия будет равно шести — по три уравнения для каждого тела. Действие тела
на тело
передаваемое через идеальный шарнир, может быть заменено одной силой, а действие тела
на тело
может быть заменено такой же по модулю силой, но противоположно направленной (аксиома 4).
Рассмотрим равновесие каждого тела в отдельности. На рис. 5.15, б указаны силы, приложенные к телам причем силы
представляют собой составляющие силы, заменяющие собой действие тела
на тело
— составляющие силы, заменяющие действие тела
на тело
Для каждого тела мы можем составить по три уравнения равновесия, т. е. всего шесть уравнений, неизвестных же тоже будет шесть, так как в силу аксиомы 4
Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например, составить три уравнения равновесия для тела а остальные три —для системы тел
принимая их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия для тела
и уравнения равновесия для системы тел
как для одного твердого тела. Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит от условий конкретной задачи.
Пример №15
Два однородных стержня одинаковой длины соединены шарнирно в точке и шарнирно закреплены в точках
Вес каждого стержня равен
В точке
к системе стержней подвешен груз
Расстояние
Расстояние точки
до горизонтальной прямой
равно
Определить реакции шарниров
(рис. 5.16, а).
Заменяя действие опор реакциями, рассмотрим сначала равновесие этой системы в целом (рис. 5.16, б). Уравнения равновесия (5.16) в этом случае
будут
Из этих уравнений находим
Для нахождения рассмотрим теперь равновесие левого стержня. Сумма
моментов всех сил, приложенных к левому стержню, относительно
должна быть равна нулю, т. е.
отсюда
Пример №16
Определить опорные реакции системы, состоящей из двух балок, сочлененных идеальным шарниром, если Конец
балки
защемлен, конец
балки
укреплен в катковой опоре (рис. 5.17, а).
Рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности. Мы получаем два твердых тела, на которые действуют реакции внешних связей и попарно равные силы взаимодействия
Таким образом общее число неизвестных равно шести.
Запишем уравнения равновесия в форме (5.16) для левой балки (рнс. 5.17, б):
для правой балки (рис. 5.17, в):
На основании аксиомы 4 (третьего закона Ньютона) модули сил а также сил
равны между собой, т. е
Учитывая эти равенства и решая затем полученную систему уравнений, находим
Условия равновесия частично закрепленного тела
В некоторых случаях приходится рассматривать равновесие частично закрепленных тел, т. е. тел, на которые наложены связи, допускающие некоторое перемещение тела. Два примера такого рода изображены на рис. 5.18, а, 6. Очевидно, что при произвольной системе активных сил приложенных к телу, равновесия не будет. Однако возможны и такие случаи, когда равновесие имеет место.
Выясним условия, которым должны удовлетворять активные силы, чтобы тело находилось в равновесии. Прежде всего остановимся на случае твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения; к телу приложена система активных сил расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (рис. 5.18, а). Ось вращения служит связью для рассматриваемого тела; согласно принципу освобождаемости действие связи заменяем реакцией
приложенной к точке
(предполагаем, что трение отсутствует).
Направление реакции зависит от характера приложенных к телу сил
Напишем уравнения равновесия в форме (5.18):
Из первых двух уравнений можно найти обе составляющие реакции В последнее уравнение
не входит. Это уравнение устанавливает зависимость между активными силами, необходимую для равновесия тела.
Таким образом, для рассматриваемого случая активные силы должны удовлетворять одному уравнению
Обратимся теперь ко второму примеру (рис. 5.16, б), где связью служит стержень. Направление реакции фиксировано и совпадает с осью стержня. Выбирая систему координат
как указано на рис. 5.18, б, имеем следующие уравнения равновесия:
Первое уравнение служит для определения реакции Два остальных уравнения накладывают определенные требования на систему активных сил. Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы активные силы в данном случае удовлетворяли двум условиям:
Последнее уравнение записано для точки тела понятно, что его можно видоизменить, записав его для любой точки оси
Определение натяжения тяжелой подвешенной нити
Задача об определении натяжения в подвешенной (рис. 5.19, а) связана с проблемой прочности тросов или электропередачи. Будем считать, что и что провисание нити происходит только из-за различия между ее длиной и расстоянием между опорами
(рис. 5.19,о).
Обозначим через линейный удельный вес нити. Для пологой кривой можно принять, что вес равномерно распределен не по кривой
а по ее проекции
Таким образом, общий вес нити будем считать равным
В соответствии с аксиомой 5 можно рассматривать условия равновесия любой части нити. Рассмотрим, например, правую половину нити; действующие на нее силы изображены на рис. 5.19, б. Заметим, что натяжение в любом сечении нити направлено по касательной к кривой в соответствующем месте (это следует из предположения об идеальной гибкости нити). Поэтому в нижней точке нити принятой за начало координатной системы, натяжение горизонтально. Обозначив через
стрелу провеса (т. е. расстояние по вертикали между нижней точкой и опорами), запишем уравнение моментов относительно точки
Здесь представляет собой вес половины нити. Из этого уравнения находим
отсюда, между прочим, ясно, что чем меньше стрела провеса нити тем больше натяжение
Из двух уравнений для проекций сил на оси можно найти составляющие натяжения в точке
а затем и полное натяжение в точке
Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы, и мы можем воспользоваться приближенной формулой
достаточно точной для малых по модулю значений Тогда будет
Этот результат определяет наибольшее натяжение нити, которое, впрочем, мало отличается от наименьшего натяжения
Для вычисления по найденным формулам необходимо знать стрелу провеса
а для этого требуется располагать уравнением кривой, по которой провиснет нить. С этой целью рассмотрим часть нити, расположенную между началом координат и произвольным сечением с абсциссой
(рис. 5.19, в). Для этой части можно написать следующие уравнения равновесия (для проекций сил на оси
Здесь вес рассматриваемой части нити,
— натяжение на правом конце этой части.
Из первого уравнения можно заключить, что с удалением от нижней точки, т. е. с увеличением угла натяжение нити возрастает и достигает максимума в точках подвеса.
Исключив из этих уравнений получим с учетом формулы (5.23)
Ho и мы приходим к дифференциальному уравнению, определяющему форму нити в положении равновесия:
Интегрируя его, получаем
Постоянную интегрирования найдем из условия, что
отсюда следует
Таким образом, приближенно установлено, что тяжелая нить в положении равновесия принимает форму параболы *). Теперь можно выразить стрелу провеса через
Для этого запишем известное из курса математического анализа выражение длины дуги
и заметим, что для пологой нити Поэтому
Тогда будем иметь
Подставляя сюда выражение (5.25), находим
отсюда получаем
Пример №17
Определить наименьшее и наибольшее натяжение нити, если вес единицы длины составляет 10 кГ, длина пролета а полная длина нити
Прежде всего по формуле (5.26) находим
Наименьшее натяжение нити (в нижней точке) определяется по формуле (5.23):
Наибольшее натяжение (в точках подвеса) находим по формуле (5.24):
Определение реакций упругих опор твердого тела
Если твердое тело опирается на большое число опор, то задача определения реакции может оказаться статически неопределимой. Такова, например, балка, изображенная на рис. 5.20, а. Очевидно, что трех уравнений равновесия недостаточно для определения пяти реакций, т. е. система статически неопределимая (единственная определимая реакция, горизонтальная реакция левой опоры, равна нулю).
Задача определения реакций в таких системах, вообще говоря, выходит за рамки курса теоретической механики и чаще всего требует использования методов сопротивления материалов. При этом приходится отказываться от предположения об абсолютной жесткости балки и исследовать ее изгиб под Действием заданной нагрузки и неизвестных реакций (рис. 5.20, б).
Однако среди статически неопределимых задач встречаются такие, которые требуют привлечения сложных соображений. Здесь мы имеем в виду такие системы, которые можно схематизировать в виде абсолютно твердых тел, покоящихся на упругих опорах. Примером может служить та же балка (в предположении ее абсолютной жесткости), лежащая на упругих опорах, показанных на рис. 5.20, в.
В качестве дополнительного условия примем, что реакции опор пропорциональны их осадкам при одинаковом для всех опор коэффициенте жесткости; по-видимому, это условие приемлемо в тех случаях, когда физические свойства
всех опор одинаковы. Как мы сейчас убедимся, это условие вместе с уравнениями равновесия позволяет легко найти все опорные реакции независимо от их числа. После приложения нагрузки опоры несколько осядут, а балка займет новое положение. Принимая координатные оси, как показано на рис. 5.20, в, мы можем записать уравнение смещенной оси балки в виде
Обоснованный выбор расчетной схемы в виде б) или в) определяется конкретными соотношениями жесткости балки и опор. Однако случай б) мы вынуждены оставить в стороне и будем рассматривать только случай в) соответственно осадки опор через (рис. 5.21), причем
—абсцисса
опоры).
По предположению, величины реакций опор пропорциональны осадкам
где —коэффициент жесткости; для определения реакций значение коэффициента жесткости несущественно. Введем неизвестные параметры
тогда реакции всех опор будут выражены через эти две неизвестные;
Для их определения воспользуемся двумя уравнениями равновесия плоской системы параллельных сил (рис. 5.21):
здесь — число заданных сил,
— число неизвестных реакций, Подставляя выражение (5.27) в систему уравнений (5.28), получим
Отсюда находим
Внося эти значения в формулу (5.27), получим решение задачи. К той же категории относится и следующая задача.
Пример №18
К жесткой плите прикрепленной несколькими болтами к основанию
приложена активная пара сил, действующая в плоскости плиты. Момент пары равен
координаты центров болтов
известны (рис. 5.22, а). Под действием пары произойдут малые деформации болтов и плита повернется вокруг некоторого центра («центра жесткости») на малый угол.
Найти положение центра жесткости и усилия, действующие на каждый болт, считая, что усилия перпендикулярны радиусам-векторам центров болтов, проведенным из центра жесткости. Усилия можно принять пропорциональными модулям этих радиусов-векторов.
Схема сил, действующих на плиту, представлена на рис. 5.22, б, причем через обозначены реакции болтов. Система сил
вместе с моментом
(рис. 5.22, б) находится в равновесии и должна удовлетворять трем уравнениям равновесия. Очевидно, что этих трех уравнений недостаточно для нахождения всех усилий, так как общее число неизвестных равно
(каждое усилие определяется двумя проекциями на координатные оси
Тем не менее нам удастся решить до конца эту задачу, опираясь на указанные выше дополнительные условия.
Обозначим через искомые координаты центра жесткости и через
— радиусы-векторы центров болтов, проведенные из центра жесткости (рис. 5.22,
Усилия
как было сказано, принимаются пропорциональными величинам
т.е
где — коэффициент пропорциональности.
Проекции усилий на оси координат, очевидно, будут
Подставляя сюда выражение (5.29), находим
Заметим, что все неизвестные составляющие реакций выражены всего через три числа: координаты центра жесткости
и коэффициент пропорциональности
Для определения этих величин мы располагаем тремя уравнениями равновесия:
Последнее уравнение представляет собой уравнение моментов всей системы сил относительно центра жесткости причем для момента силы
имеем
Из первых двух уравнений системы (5.31) находим координаты центра жесткости
после чего из третьего уравнения следует
Теперь можно с помощью формул (5.29) найти все усилия
Приложение методов статики к определению усилий в стержнях фермы
При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т. п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами (рис. 5.23). Ферма состоит из большого числа стержней, соединенных в точках схода их осей; соединения стержней называются узлами.
Важной частью инженерного расчета фермы является определение усилий, возникающих в стержнях при действии заданной нагрузки на ферму. При этом обычно исходят из следующих упрощающих предположений:
- внешние силы приложены только в узлах фермы;
- веса стержней пренебрежимо малы;
- узлы представляют собой идеальные шарниры (т. е. силы трения в них не возникают).
При таких допущениях сила, действующая со стороны какого-либо узла на примыкающий к нему стержень (усилие в стержне), всегда направлена вдоль прямой, проходящей через концы этого стержня. Поэтому стержни, если они прямолинейные, либо растягиваются, либо сжимаются под действием этих сил.
Прежде чем обратиться к определению усилий в стержнях, необходимо рассмотреть вопросы структуры ферм.
Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма изображенная на рис. 5.24, а; она содержит три узла. Если к этой конструкции добавить еще один узел
с помощью двух стержней, то вновь получится неизменяемая ферма, содержащая пять стержней и четыре узла (рис. 5.24, б). Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24, б штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм.
Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового узла при помощи двух новых стержней.
Найдем связь между числом стержней и числом
узлов в простой ферме. Число добавляемых узлов в простой ферме равно
а число добавляемых стержней равно
Из способа построения простой фермы видно, что число новых стержней в два раза больше числа новых узлов; следовательно,
т. е.
Простая ферма всегда статически определима, т. е. число независимых уравнений статики достаточно для определения усилия в каждом стержне.
В самом деле, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия, так как на узел действует сходящаяся система сил. Таким образом, всего можно составить уравнений равновесия. Подсчитаем теперь число
содержащихся в них неизвестных. Прежде всего неизвестными будут все
реакций стержней, кроме того, неизвестны три опорные реакции
на рис. 5.23). Таким образом, всего имеем
неизвестных. Воспользовавшись соотношением (5.34), получим
т. е. число неизвестных равно числу уравнений равновесия, поэтому простые фермы всегда статически определимы.
При расчете ферм обычно составляют сначала три уравнения равновесия для всей фермы, определяют из них три опорные реакции, а затем уже приступают к нахождению усилий в стержнях.
Рассмотрим способ расчета фермы, который позволяет найти усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в других стержнях. Согласно этому способу предварительно необходимо определить реакции опор. Для этого следует рассматривать ферму как абсолютно твердое тело и написать соответствующие три уравнения равновесия. Затем мысленно производится полное рассечение фермы на две части; при надлежащем выборе сечения мысленно перерезаются, как правило, три стержня. Поэтому для определения трех неизвестных усилий могут быть записаны три уравнения равновесия сил, приложенных к какой-либо из полученных частей фермы.
Чаще всего пользуются уравнениями в форме (5.17), но иногда пользуются и формой (5.18).
Рассмотрим для примера ферму, изображенную на рис. 5.25, и предположим, что опорные реакции найдены.
Пусть требуется определить усилие в стержне 4. Для этого мысленно рассечем ферму разрезом и рассмотрим равновесие левой части фермы, изображенной на рис. 5.25, а (вместо этого можно рассматривать правую часть фермы —результат от этого не изменится, но вычисления окажутся более громоздкими). На эту часть действуют известные силы
а также три неизвестные по модулю силы
Для определения искомой величины силы
составляем уравнение моментов относительно точки пересечения направлений 1 и 3 (точка
при таком выборе моментной точки усилия
и
в уравнение равновесия не войдут и оно будет содержать только одну неизвестную величину — искомое усилие
(такой выбор точек, относительно которых берут моменты, типичен для рассматриваемого способа). Обычно при оставлении уравнения равновесия величины плеч сил снимаются с чертежа £ Учетом его масштаба. Понятно, что решение полученного уравнения не вызовет никаких затруднений. Совершенно таким же образом составляются уравнения моментов относительно точки
(для определения усилия
и точки
(для определения усилия
Для определения усилий в других стержнях требуются иные рассечения фермы; так, на рис. 5.25, а показано также рассечение необходимое для определения усилий в стержнях 7, 9 и 10. Для определения указанных усилий проще рассматривать равновесие правой части фермы, как это показано на рис. 5.25, е. Через
обозначены точки, относительно которых берутся моменты; мы получим по одному неизвестному усилию в каждом из уравнений моментов. Определение усилия в стержне 9 облагает некоторой особенностью. Дело в том, что точка пересечения усилий
бесконечно удалена и уравнение моментов составить нельзя. В этом случае вместо него можно составить уравнение проекций на ось
что позволит достигнуть той же цели: получить уравнение с одним неизвестным усилием
Способ рассечения весьма удобен для простых схем ферм, образованных путем наращивания последовательных треугольников. В более сложных случаях все же приходится решать громоздкие системы уравнений, так как не удается проводить сечение только через три стержня.
Иногда применяется графический способ определения усилий в стержнях фермы. Предполагая, что опорные реакции фермы определены, для нахождения усилий в стержнях применим способ «вырезания» узлов. Согласно этому способу необходимо поочередно «вырезать» узлы и находить усилия в стержнях из условий замкнутости силовых многоугольников для каждого из узлов. ,
Для определенности рассмотрим ферму, изображенную на рис. 5.26, а, где показаны внешние силы и опорные реакции
Расчет всегда нужно начинать с тоге узла, где сходятся два стержня. Начнем с рассмотрения равновесия узла
на который действуют сила
и неизвестные по величине реакции стержней
Графическим условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника.
При всех дальнейших построениях придерживаемся определенного масштаба сил. На рис. 5.26, б дан силовой многоугольник для узла (в данном случае —треугольник); величины сил
можно определить по масштабу сил. Сила
направлена к узлу, следовательно, на стержень она действует в обратном направлении, т. е. стержень 1 сжат. Сила
направлена от узла, значит, стержень 2 растянут. Заметим, что если начать расчет с узла
то определить усилия в стержнях 1, 3, 4 не удается, так как в узле сходится более двух стержней и силовой многоугольник однозначно не может быть построен.
Но теперь, после определения усилий в стержнях 1 и 2, можно перейти к расчету узла Обходим его по часовой стрелке, начиная с первой известной силы —реакции стержня 1. Из условия равновесия стержня 1 очевидно, что эта реакция по модулю равна
но направлена противоположно
На рис. 5.26, б она обозначена через
Затем от конца
откладываем вектор
и проводим направление
параллельно стержню 4, а из начала вектора
проводим направление реакций
параллельно стержню 3. Получаем замкнутый многоугольник
и тем самым находим силы
Направления векторов
показывают, что стержень 4 сжат («к узлу»), а стержень 3 растянут («от узла»). Рассматривая равновесие узлов
определяем остальные реакции стержней
Из рис. 5.26, б видно, что каждое из усилий в стержнях встречается дважды и т. д.). Оказывается, что, не меняя существа этого метода, можно его несколько усовершенствовать и избежать таких повторений. При этом получается особое построение, называемое «взаимной диаграммой» или диаграммой Максвелла—Кремоны. Метод построения такой взаимной диаграммы проиллюстрируем на только что разобранном примере.
Прежде всего введем единый метод обозначения усилий в стержнях, реакций опор и внешних сил.
Обозначим буквами области, ограниченные внешними силами и стержнями контура фермы (рис. 5.27, а), а внутренние области, ограниченные только стержнями фермы, обозначим буквами
Далее, условимся обходить всю ферму, а также каждый узел по ходу часовой стрелки.
Начало и конец вектора силы, пересекаемой при таком обходе, будем обозначать малыми буквами, которые соответствуют названиям пограничных областей. Например, силу (рис. 5.27, а) теперь обозначим через
(рис. 5.27, б), силу
—через
силы, действующие на узел
т.п.
Теперь построим многоугольник всех внешних сил, откладывая их в определенном масштабе в порядке обхода фермы по часовой стрелке; в результате мы получим многоугольник (рис. 5.27, б). Конечно, этот многоугольник обязательно замкнут, так как ферма находится в равновесии. Мы теперь можем и не ставить на концах векторов стрелки —правило обхода областей по часовой стрелке однозначно определяет, где начало и конец вектора.
Далее воспользуемся способом вырезания узлов. Обойдем узел по часовой стрелке, начиная с известной силы
Эта сила уже имеется в многоугольнике внешних сил, и остается построить две другие силы, действующие на узел
т. е. силу
и силу
Для этого из точек
и
проводим прямые, параллельные стержням I и 2; точка их пересечения даст нам точку
Сила
оказалась направленной к узлу, значит, стержень 1 сжат, сила
направлена от узла, следовательно, стержень 2 растянут.
Обращаясь к узлу обходим его также по часовой стрелке в порядке
Используя уже найденные точки
находим точку
—конец силы
и начало силы
Для этого из с проводим прямую, параллельную стержню 4, а из
— прямую, параллельную стержню 3; точка их пересечения и даст нам искомую точку
Продолжая такое построение дальше, для остальных узлов фермы мы получим фигуру (рис. 5.27, б), называемую взаимной диаграммой или диаграммой Максвелла — Кремоны. Каждому узлу фермы соответствует некоторый многоугольник диаграммы, стороны которого параллельны стержням, сходящимся в этом узле. Наоборот, каждой вершине диаграммы соответствует некоторая область плоскости фермы. Таким образом, любой вершине одной фигуры соответствует многоугольник другой фигуры; такие фигуры называются взаимными (отсюда и название диаграммы). Легко видеть, что эта фигура состоит из тех же многоугольников, которые ранее были построены на рис. 5.26, б. По принятому масштабу сил можно найти численное значение всех усилий в стержнях.
Таким образом, при построении взаимной диаграммы используется, по существу, тот же способ вырезания узлов, но здесь чертеж компактнее и не содержит повторений, в чем легко убедиться, сравнив чертежи на рис. 5.26 и 5.27.
Равновесие тела при наличии трения
Если два тела (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке
то всегда реакцию
действующую, например, со стороны тела
и приложенную к телу
можно разложить на две составляющие:
направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке
лежащую в касательной плоскости.
Равновесие тела при наличии трения скольжения
Составляющая называется нормальной реакцией, сила
называется силой трения скольжения — она препятствует скольжению тела
по телу
В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело
со стороны тела
действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления. Как было сказано выше, сила трения
если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.
Для выяснения основных свойств сил трения произведем опыт по схеме, представленной на рис. 6.2, а. К телу находящемуся на неподвижной плите
присоединена перекинутая через блок
нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой
Если площадку
постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити
которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения
будет удерживать тело
в покое. На рис. 6.2, б изображены действующие на тело
силы, причем через
обозначена сила тяжести, а через
— нормальная реакция плиты
Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:
Отсюда следует, что Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити
Обозначим через
силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело
теряет равновесие и начинает скользить по плите
Следовательно, если тело находится в равновесии, то
Максимальная сила трения зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления
Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. имеет место равенство
Это соотношение носит название закона Амонтона — Кулона.
Безразмерный коэффициент называется коэффициентом трения скольжения. Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.
Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде
Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальном) значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.
Пример №19
Тяжелая плита веса
длины
опирается на идеально гладкую стенку
и шероховатый пол
(рис. 6.3, а). Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен
Составим уравнение равновесия:
Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть
Решая уравнения, получим
Следовательно,
Последнее неравенство и содержит решение задачи, угла определяется из уравнения
Определим теперь критическое значение угла с учетом трения плиты о стенку, если соответствующий коэффициент трения равен также
Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. 6.3, б. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения
и три уравнения равновесия
В этих пяти уравнениях содержатся четыре неизвестные реакции и неизвестное критическое значение угла Решая эту систему уравнений, находим
Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если
то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).
Пример №20
На шероковатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтальной плоскостью, находится тело весом
(рис. 6.4, а). Тело удерживается на плоскости тросом
весом которого можно пренебречь. Определить силу трения
между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса
при двух значениях коэффициента трения:
На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести
сила трения
нормальная составляющая реакции плоскости
и реакция троса
(рис. 6.4, б). Составим условия равновесия тела:
Отсюда найдем:
или, учитывая условия задачи,
Для первого случая будем иметь:
При отсутствии троса
получим
Так как при этом условие
не нарушается, то это означает, что при
тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения
Пусть теперь Тогда должно выполняться условие
При отсутствии троса
это неравенство находится в противоречии с первым уравнением
Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при
сила трения достигает своего максимального значения, равного 3,46 кГ, а натяжение троса будет:
Итак,
Пример №21
К однородной прямоугольной призме веса находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, прислонена под углом
однородная балка веса
и длины
(рис. 6.5, а). Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен
а между призмой и плоскостью
Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить: 1) условия равновесия всей системы; 2) условия, при которых призма останется в покое, а балка начнет двигаться; 3) условия, при которых конец
балки останется в покое, а призма начнет скользить по плоскости влево или опрокидываться вокруг ребра
Расчленим систему и изобразим все силы (активные и реакции связей), действующие на призму (рис. о.5, б) и балку (рис. 6.5, в). На призму действуют сила тяжести сила давления
балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости
приложенная в некоторой точке
и сила трения
На балку действуют сила тяжести
сила давления
призмы на балку, нормальная составляющая
реакции плоскости и сила трения
Конечно, модули сил
равны между собой (аксиома 4).
Будем считать вначале, что вся система находится в покое, и составим условия равновесия балки:
Из уравнений находим
Внеся значения в неравенство, получим условия равновесия балки:
Составим теперь условия равновесия призмы:
Из уравнений находим
Число нам неизвестно, но его можно найти из равенства
или
отсюда
Так как точка приложения силы точка
не может находиться левее точки
или
что дает нам еще одно условие равновесия:
Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы призма не опрокинулась вокруг ребра
(его можно получить из условия, чтобы момент силы
относительно точки
не превосходил по модулю момента силы
относительно той же точки).
Потребуем теперь, чтобы, призма не скользила по плоскости, т. е. чтобы выполнялось неравенство
Имеем: Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем
Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол удовлетворяет трем условиям:
Если будет нарушено только первое из этих неравенств, т. е. при
призма останется в покое, а балка начнет двигаться.
Если будет нарушено только второе условие (6.6), т. е. при
точка балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра
Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6), т. е. при точка
балки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.
Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. 6.6, а показана предельная реакция и ее составляющие
(в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения
направлена влево). Угол
между предельной реакцией
и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. 6.6, а имеем
или, пользуясь выражением (6.4),
Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задавать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).
В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции образует коническую поверхность — конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент трения
во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения
зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым.
Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей составляющей угол
с нормалью к поверхности (рис. 6.6, в). Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая
определяет нормальную составляющую
реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения
а, во-вторых, ее касательная составляющая
стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы
то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы
и определяется только углом
— чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.
Для аналитического решения задачи составим условия равновесия тела:
Из уравнений найдем и, подставляя их в неравенство, получим
или, учитывая (6.7), Следовательно, при равновесии тела
Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя
нарушить равновесие тела; для того, чтобы тело начало движение необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил находилась вне конуса трения.
Пример №22
Найти условие, определяющее размер самотормдзящегося механизма, изображенного на рис. 6.7. Необходимо, чтобы приложенная к узлу
сила
не могла вызвать скольжения ползунов
по вертикальным направляющим. Коэффициент трения
расстояние между направляющими 2 м. Сила
вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия
Но поэтому
Рассмотрим теперь трение гибких тел. Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса достаточную для уравновешивания силы
приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение (рис. G.8 а).
Опыт показывает, что благодаря трению сила может быть во много раз меньше, чем сила
Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила
уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки).
Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата
Обозначим через
значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла
определяющего положение элемента, т. е.
Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией
т. е.
Выделим элемент троса длины На этот элемент действуют две реакции шкива:
а также две силы натяжения,
приложенные к рассматриваемому элементу в точках рассечения (рис. 6.8, б).
Пренебрегая весом троса, запишем условия равновесия выделенного элемента троса, спроектировав силы на направления нормали и касательной
взятые в середине элемента:
При составлении этих уравнений мы воспользовались малостью угла и положили
Подставляя в уравнения равновесия вместо их значения
получаем
Первое из этих уравнений дает а так как
то второе уравнение можно переписать в виде
или
Выполняя интегрирование в пределах от находим
Здесь —натяжение в сечении
т. е. величина силы
— натяжение в сечении
т. е. величина силы
Следовательно,
и, окончательно,
Эта формула (формула Эйлера) позволяет найти наименьшую силу способную уравновесить силу
Можно поставить обратный вопрос: при каком значении наступит скольжение троса против хода часовой стрелки, т. е. какая сила
способна преодолеть сопротивление трения вместе с силой
Для ответа на этот вопрос нет необходимости заново повторять все выкладки; они останутся прежними с тем единственным различием, что сила трения на рис. 6.8, б изменит свое направление. Поэтому в окончательном результате, изменяя знак при коэффициенте трения, получаем
Таким образом, если сила удовлетворяет неравенствам
то трос будет находиться в равновесии.
Пример №23
Найти угол охвата цилиндра тросом, необходимый для того, чтобы удержать силой
груз весом
если коэффициент трения
По формуле (6.8) имеем
т. е. несколько меньше двух полных охватов.
Пример №24
К концу троса подвешен груз весом угол охвата цилиндра тросом
Найти силу, необходимую для подъема груза, если коэффициент трения
В данном случае нужно воспользоваться формулой (6.10)
Сопоставляя этот результат с полученным в задаче 6 5, заключаем, что трос будет находиться в состоянии равновесия, если При
начинается движение в сторону силы
а при
— движение в сторону силы
Пример №25
При причаливании (швартовке) судна матрос удерживает его с помощью каната, накинутого в форме восьмерки на причальные тумбы (кнехты), причем один конец каната укреплен на судне, а второй конец каната
находится в руках матроса (рис. 6.9). Считая, что угол охвата каждой тумбы равен
определить, какое максимальное усилие
судна может выдержать матрос, прикладывая силу
при одной, двух и трех уложенных канатных восьмерках, если коэффициент трения между канатом и причальными тумбами равен 0,2.
При одной восьмерке общий угол охвата а при двух и трех восьмерках соответственно
Применяя формулу (6.10), получаем
или, пользуясь таблицами показательных функций, находим (аналогично получены значения сил
Таким образом, при трех уложенных восьмерках за счет сил трения между канатом и причальными тумбами один матрос может удержать судно, развивающее усилие в 26,4 тонны, т. е. в 528 раз большее силы, прикладываемой матросом.
Равновесие тела при наличии трения качения
Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила кроме нее, действуют сила тяжести
а также нормальная реакция
и сила трения
(рис. 6.10, а). Как показывает опыт, при достаточно малой величине силы
цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр
отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.
Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представлением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание цилиндра с поверхностью происходящим по образующей. Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция
приложена правее точки
(см. точку
на рис. 6.10, б).
Полученная теперь схема действующих сил статически удовлетворительна, так как момент пары может уравновеситься моментом пары
Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. 6.7, в. В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а), к цилиндру приложена пара сил с моментом
Этот момент называется моментом трения качения.
Составим уравнения равновесия цилиндра:
Первые два уравнения дают а из третьего уравнения можно найти
Затем из (6.11) определяем расстояние
между точками
Как видно, с увеличением модуля активной силы растет расстояние
Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы
приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину
буквой
(см. рис. 6.10, б). Экспериментально установлено, что величина
пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.
Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие
Величина называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины.
Условие (6.14) можно также записать в виде
или, учитывая (6.12),
Очевидно, что максимальный момент трения качения пропорционален силе нормального давления.
В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра для различных материалов.
Пример №26
На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии, если
—радиус цилиндра,
—коэффициент трения скольжения
— коэффициент трения качения (рис. 6.11).
Составим уравнения равновесия:
Кроме того, должны выполняться неравенства
Из первых трех уравнений мы можем определить подставив эти величины в последние два неравенства, получим
Эти неравенства должны удовлетворяться одновременно. В тех случаях, когда потеря равновесия происходит путем перехода к качению, так как сначала нарушится неравенство (6.17), если же
то нарушится неравенство (6.16) и цилиндр начнет скользить.
Пространственная система сил
Ранее было установлено, что главный вектор системы сил, как угодно расположенных в пространстве,
не изменяется при перемене центра приведения. Главный же момент при этом изменяется и для нового центра приведения определяется формулой (см. формулу (4.14))
где — главные моменты относительно центров приведения
Второе слагаемое в правой части формулы (7.2) представляет собой момент главного вектора, приложенного в центре приведения
относительно нового центра приведения
Умножим скалярно обе части равенства (7.2) на вектор
Так как вектор перпендикулярен вектору
то их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,
т. е. скалярное произведение главного вектора главный момент не зависит от центра приведения:
Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются главный вектор и скалярное произведение главного вектора на главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны относительно выбора центра приведения.
Статические инварианты. Динамический винт
Первым статическим инвариантом называется главный вектор В более узком смысле этого слова под первым инвариантом понимают квадрат модуля главного вектора
Вторым статическим инвариантом называется скалярное произведение главного вектора на главный момент:
Из второго инварианта вытекает простое геометрическое следствие. Действительно, запишем равенство (7.3) в следующем виде;
Если то
Каждое из этих произведений представляет проекцию главного момента на направление главного вектора. Следовательно, при перемене центра приведения проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется. Заметим, что при это следствие можно принять за определение второго инварианта.
Так как проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется при перемене центра приведения, то можно утверждать, что для центра приведения, в котором главный вектор и главный момент направлены по одной прямой, модуль главного момента будет минимальным. В этом случае модуль главного момента равен величине его проекции на направление главного вектора.
Очевидно, что проекция главного момента на направление главного вектора определяется равенством
или, принимая во внимание значения первого и второго инвариантов,
Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Так как плоскость действия пары перпендикулярна моменту пары, то динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают правый и левый динамические винты. На рис. 7.1, а показан правый динамический винт, составленный из силы равной главному вектору системы, и пары сил с моментом
равным главному моменту; на рис. 7.1, б показан левый винт, составленный из тех же элементов.
Может возникнуть вопрос, в каких случаях данную систему сил можно привести к динаме? На этот вопрос отвечает следующая теорема:
Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему сил можно привести к динаме.
Пусть в произвольной точке (рис. 7.2, а) система приведена к силе, равной главному вектору
и паре сил с моментом, равным главному моменту. Так как по условию теоремы
то оба вектора,
не равны нулю и не
перпендикулярны между собой. Разложим главный момент на две составляющие: одну
направим по главному вектору и другую
направим перпендикулярно главному вектору (рис. 7.2, а). Составляющая
представляет собой момент пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору
Выберем силы
составляющие эту пару, равными по модулю главному вектору
и приложим силу
к центру приведения
(рис. 7.2, б). Система сил
как эквивалентная нулю, может быть отброшена (рис. 7.2, в). Так как момент
— вектор свободный, то его можно перенести из точки
в точку
(рис. 7.2, г). Таким образом, заданная система сил приведена в точке
к силе
и к паре сил с моментом
(рис. 7.2, г), расположенной в плоскости, перпендикулярной силе, т. е. мы получили динамический винт.
Из формулы (7.6) видно, что положительному второму инварианту отвечает правый динамический винт, а отрицательному второму инварианту
— левый динамический винт.
Точка не единственная, где система сил приводится к динаме. В самом деле, силу можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный, следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходящей через точку
и являющейся линией действия силы
Эта прямая называется центральной осью системы сил. Найдем теперь уравнение центральной оси.
Пусть (рис. 7.3)— точка центральной оси. Тогда для этой точки главный вектор и главный момент должны быть колленеарны друг другу. На основании формулы (7.2) главный момент для точки
можно записать в виде
Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки записывается следующим образом:
где — параметр винта, имеющий размерность длины.
Таким образом,
Пусть — соответственно проекции главного вектора и главного момента на оси
тогда
Пусть координаты какой-либо точки центральной оси будут
следовательно,
Подставляя соответствующие выражения получим
Приравнивая коэффициенты при единичных векторах будем иметь
Следовательно,
Это и есть искомые уравнения центральной оси.
Частные случаи приведения пространственной системы сил
Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей.
Выясним, при каких условиях, относящихся к главному вектору и главному моменту
это может быть. Поскольку главный момент динамы
равен составляющей главного момента
направленной по главному вектору, то рассматриваемый случай
означает, что главный момент
перпендикулярен главному вектору, т. е.
Отсюда непосредственно вытекает, что если главный вектор
не равен нулю, а второй инвариант равен пулю, .
то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.
В частности, если для какого-либо центра приведения а
то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.
Обобщим приведенную в главе теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.
Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.
Пусть система сил имеет равнодействующую и точка
лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.
Возьмем какой-либо другой центр приведения тогда
С другой стороны, на основании формулы (4.14) имеем
так как Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учитывая, что в данном случае
получаем
Таким образом, теорема доказана.
Пусть при каком-либо выборе центра приведения Так как главный вектор не зависит от центра приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра приведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным
Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил:
Если все силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости то их проекции на ось
и моменты относительно осей
будут равны нулю. Следовательно;
Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инвариант плоской системы сил равен нулю.
Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси Тогда проекции их на оси
и моменты относительно оси
будут равны нулю. Отсюда
Пользуясь снова формулой (7.5), найдем
На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил в пространстве не приводятся к динамическому винту.
Пример №27
Систему двух сил направленных параллельно осям
как указано на рис. 7.4, а (расстояние между точками приложения сил равно 1,3 м), требуется привести к дннаме, определив главный вектор и главный момент динамы. Найти углы
составляемые центральной осью системы с координатными осями, а также уравнение центральной оси.
Возьмем за центр приведения начало координат
Проекции главного вектора
на оси координат будут
Модуль главного вектора
Направляющие косинусы главного вектора равны
Найдем проекции главного момента на оси координат: На рис. 7.4, б показано расположение главного вектора
и главного момента
для центра приведения
(Проекцию главного момента на направление главного вектора определим по формуле
Уравнение центральной оси (7.8) имеет вид
Отсюда следует, что центральная ось является линией пересечения плоскостей
На рис 7.4, в показано расположение этой оси
Пример №28
По ребрам куба со стороной действуют двенадцать равных по модулю сил, как показано на рис. 7.5, а. Привести систему к простейшему виду.
За центр приведения возьмем начало координат
и вычислим проекции главного вектора
и главного момента на координатные оси. Имеем
где —общее значение модуля заданных сил.
По формулам (7.4) и (7.5) найдем значения статических инвариантов
Так как второй инвариант положителен, то система сил приводится к правому динамическому винту (главный вектор и момент
направлены в одну сторону). Модель момента
найдем по формуле (7.6):
Напишем уравнение центральной оси (7.8):
Отсюда видно, что центральная ось системы представляет линию пересечения плоскостей
Подставляя в эти уравнения сначала а затем
найдем точки пересечения центральной оси с нижней и боковой гранями куба (рис. 7.5, б)
Таким образом, динамический винт, эквивалентный данной системе сил, состоит из силы модуль которой равен
и пары сил с моментом
коллинеарным силе
и численно равным
Центральная ось и составляющие динамического винта показаны на рис. 7.5, б.
Уравнения равновесия пространственной системы сил
Необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проекций (4.16) и трех уравнений моментов (4.17):
Если тело полностью закреплено, то действующие на него силы находятся в равновесии и уравнения (7.13) и (7.14) служат для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рассматривать не будем.
Для пространственной "системы параллельных сил уравнения равновесия принимают следующий вид:
Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь частично, т. е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.
1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря, оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального сферического шарнира.
Поместим в эту точку (см. точку на рис. 7.6, а) начало неподвижной системы координат. Действие связи в точке
заменим реакцией; так как она неизвестна по модулю и направлению, то мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих
направленных соответственно вдоль осей
Уравнения равновесия (7.13) и (7.14) в этом случае запишутся в таком виде: Последние три уравнения не содержат составляющих реакции, так как линия действия этой силы проходит через точку
Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между
активными силами, необходимые для равновесия тела, причем три первых уравнения могут быть использованы для определения составляющих реакции.
Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из алгебраических сумм моментов всех активных сил системы относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела.
2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам при помощи шарниров (рис. 7.6, б).
Выберем начало координат в точке и направим ось
вдоль линии, проходящей через точки
Заменим действие связей реакциями, направив составляющие реакций вдоль координатных осей (рис. 7.G, б). Обозначим расстояние между точками
через
тогда уравнения равновесия (7.13) и (7.14) запишутся в следующем виде:
Последнее уравнение не содержит составляющих сил реакций и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные тонки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через неподвижные точки. Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций
Заметим, что составляющие не могут быть определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только сумма
и, следовательно, задача в отношении каждого из этих неизвестных для твердого тела является статически неопределимой. Однако, если в точке
находится не сферический, а цилиндрический шарнир (т. е. подшипник), не препятствующий продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то
и задача становится статически определимой.
3. Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой оно может скользить без трения. Это значит, что в точках находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем составляющие их резекций вдоль оси вращения равны нулю.
Следовательно, уравнения равновесия примут вид:
Два из уравнений (7.18), а именно, третье и шестое, накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные уравнения служат для определения реакций.
4. Тело опирается в трех точках на гладкую плоскость, причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки через и совместим с плоскостью
координатную плоскость
(рис. 7.7). Заменив действие связей вертикальными реакциями
запишем условия равновесия (7.13) и (7.14) в таком виде:
Третье —пятое уравнения могут служить для определения неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения представляют собой условия, связывающие активные силы и необходимые для равновесия тела. Конечно, для равновесия тела необходимо выполнение условий так как в точках опоры могут возникнуть только реакции принятого выше направления.
Если тело опирается на горизонтальную плоскость более чем в трех точках, то задача становится статически неопределимой, так как при этом реакций будет столько, сколько точек, а уравнений для определения реакций остается по-прежнему только три.
Пример №29
Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рис. 7.8, а; силы приложены к вершинам куба и направлены вдоль его ребер, причем Длина ребра куба равна
Проекции главного вектора находим по формулам (4.4):
Его модуль равен Направляющие косинусы будут
Главный вектор изображен на рис. 7.8, б.
Далее находим проекции главного момента по формулам (4.7):
а модуль главного момента по формуле ( 4.8)
Теперь определим направляющие косинусы главного момента:
Главный момент изображен на рис 7.8, в. Угол между векторами
вычисляется по формуле (4.11)
Следовательно, угол между этими векторами равен
Пример №30
Жесткая конструкция, имеющая форму параллелепипеда прикреплена к основанию шаровым шарниром
и тремя стержнями 1, 2 и 3. Определить реакцию шарнирной опоры и усилия в стержнях, если задана нагрузка в виде двух сил
причем
Весом конструкции пренебречь. Размеры указаны на чертеже (рис. 7.9. а).
Усилия в стержнях обозначим через реакцию шарнира представим в виде трех составляющих
Соответствующая схема сил изображена на рис. 7.9, б. Выбрав координатную систему, как указано на чертеже, составим уравнения равновесия в следующем виде:
Число уравнений равно числу неизвестных, т. е. рассматриваемая задача
статически определимая. Решив полученную систему уравнений, найдем значения усилий
и составляющие реакции шарнира
Пример №31
Прямоугольная пластинка тремя ножками опирается на гладкий пол (рис. 7.10). Вес пластинки приложен в ее центре. Размеры указаны на рисунке. В точке с координатами
к пластинке приложена вертикальная сила
Определить область, внутри которой можно брать точки приложения силы
чтобы пластинка не опрокинулась. Определить также, при каком соотношении между модулями сил
вся поверхность пластинки будет безопасной.
Заменяя действие пола вертикальными реакциями составим уравнения равновесия. Так как все силы, действующие на пластинку, параллельны, то можно воспользоваться уравнениями (7.15):
Отсюда
Для того чтобы пластинка не опрокинулась, необходимо выполнение условий:
Границы искомой области найдем из условий:
Отсюда находим
На рис. 7.10, б искомая область, построенная при заштрихована. При
вся поверхность пластинки будет безопасной.
Пример №32
Тонкий стержень весом которого можно пренебречь, шарнирно закреплен в точке
и удерживается в горизонтальной плоскости нитями
(рис. 7.11). Точка
находится в середине стержня
На стержень действует вертикальная сила
приложенная в точке
стержня. Дано:
Найти натяжение нитей
и
Стержень шарнирно укреплен в точке
для определения натяжения нитей воспользуемся уравнениями моментов.
Заменяем действие нитей реакциями Так как имеется лишь две неизвестные величины, то составим уравнения моментов сил, действующих на стержень, только относительно осей
Отсюда следует:
Мы не составляем уравнения моментов относительно оси так как оно удовлетворится найденными значениями
Это уравнение может служить для проверки решения задачи.
Определив силы можно найти и реакцию шарнира
Для этого составим уравнения проекций, заменив действие шарнира реакциями
Следовательно,
Пример №33
Прямоугольная пластинка удерживается в горизонтальном положении при помощи петель в точках и однородного стержня
имеющего шарниры в точках
Стержень имеет длину
и вес
Размеры пластинки указаны на рис. 7.12, a, Определить реакции в точках
если сила тяжести
действующая на пластинку, приложена в точке с координатами
В данном случае мы имеем дело с равновесием двух сочлененных тел: пластинки и стержня.
Рассмотрим каждое тело в отдельности. Заменяя связи в точках реакциями
составим уравнения
равновесия пластинки (рис. 7.12, б):
Выбрав систему координат составим теперь уравнения равновесия для стержня. Освобождаясь от связей в точках
и вводя реакции
(рис- 7.12, в), получим следующие уравнения:
Мы не составляли уравнения моментов относительно оси так как оно будет содержать только неизвестную
определяемую из уравнения
Так как
Решая полученные уравнения, найдем:
Как и следовало ожидать, мы не смогли определить реакции а нашли только их сумму.
Отметим, что если то, как легко проверить, реакции шарниров
и
будут направлены вдоль стержня
Пример №34
Однородная балка длины
и веса
опирается верхним концом
на угол, образованный двумя вертикальными гладкими взаимно перпендикулярными плоскостями. Нижний конец балки
находясь па горизонтальной шероховатой плоскости, упирается в прямолинейный выступ
отстоящий от оси
на расстоянии
(рис. 7.13). Пренебрегая поперечными размерами балки, определить, при каком угле
между балкой и горизонтальной плоскостью возможно равновесие, если коэффициент трения между концом
балки и углом, .образованным горизонтальной плоскостью и выступом
равен
Прежде чем перейти к составлению уравнений равновесия, введем вспомогательный угол (см. рис. 7.13). Легко видеть, что между углами
и
имеется простая связь. Действительно, отрезок
по условию равен
с другой стороны, из прямоугольного треугольника
имеем
а из треугольника
найдем
Таким образом,
или
Перейдем к рассмотрению сил, действующих на балку. Прежде всего к пей приложена одна активная сила —сила тяжести
кроме того, на балку действуют реакции гладких вертикальных стенок
нормальные составляющие
реакции угла, образованного выступом и горизонтальной плоскостью, и сила трения
(она направлена влево, так как под действием силы тяжести
конец балки
стремится переместиться вправо).
При равновесии балки перечисленные силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (7.13) и (7.14). Имеем:
Пользуясь этими уравнениями, легко найдем
(другие величины нас не интересуют).
Для того чтобы балка находилась в равновесии, сила трения должна удовлетворять условию — полная нормальная составляющая реакции угла, в который упирается конец балки
Внося в это неравенство найденные значения для
получим
или, возводя в квадрат и сокращая на
Из равенства (7.20) найдем
Внесем это значение для в предыдущее неравенство. Тогда после несложных преобразований получим
Таково условие, которому должен удовлетворять угол чтобы при заданных условиях балка находилась в равновесии. Как и следовало ожидать, при
это условие совпадает с соответствующим неравенством, полученным при решении задачи 6.1 (стр. 97).
Центр параллельных сил и центр тяжести
В этой главе рассматриваются такие системы параллельных сил, которые приводятся к равнодействующей. Прежде всего нужно отметить, что условия приведения системы параллельных сил к равнодействующей сводятся к одному неравенству
Действительно, уже было показано, что второй инвариант системы параллельных сил тождественно равен нулю (стр. 114). Поэтому единственным условием приведения пространственной системы параллельных сил к равнодействующей является неравенство нулю главного вектора этой системы
Считая это условие выполненным, выясним, что происходит с равнодействующей
при одновременном повороте линий действия данных параллельных сил на один и тот же угол, если точки приложения этих сил сохраняются неизменными и повороты линий действия сил происходят вокруг параллельных осей.
При этих условиях равнодействующая заданной системы сил также.одновременно поворачивается на тот же угол, причем поворот происходит вокруг некоторой фиксированной точки, которая называется центром параллельных сил. Перейдем к доказательству этого утверждения.
Центр параллельных сил
Предположим, что для рассматриваемой системы параллельных сил главный вектор не равен нулю, следовательно, данная система сил приводится к равнодействующей. Пусть точка
есть какая-либо точка линии действия этой равнодействующей. Пусть теперь
— радиус-вектор точки
относительно выбранного полюса
— радиус-вектор точки приложения силы
(рис. 8.1).
Согласно теореме Вариньона сумма моментов всех сил системы относительно точки равна нулю:
так как точка лежит на линии действия равнодействующей. Полученное равенство можно переписать в следующей форме:
Введем теперь в рассмотрение единичный вектор параллельный линиям действия сил. Тогда любая сила
может быть представлена в виде
где если направление силы
и вектора
совпадают, и
если
направлены противоположно друг другу. Очевидно, что при этом
Подставляя выражения (8.4) и (8.5) в соотношение (8.3), получим
откуда
Последнее равенство удовлетворяется при любом направлении сил (т. е. направлении единичного вектора только при условии, что первый множитель равен нулю:
В свою очередь это равенство имеет единственное решение относительно радиуса-вектора определяющего такую точку приложения равнодействующей, которая не меняет своего положения при повороте линий действия сил. Такой точкой и является центр параллельных сил, чем и доказывается его существование. Обозначив радиус-векТор центра параллельных сил через
из равенства (8.7) получим
Пусть
— координаты центра параллельных сил, a
— координаты точки приложения произвольной силы
тогда координаты центра параллельных сил найдутся из формул:
Выражения
называются соответственно статическими моментами заданной системы сил относительно координатных плоскостей
Отметим, что если начало координат выбрано в центре параллельных сил, то
и статические моменты заданной системы сил равны нулю.
Центр тяжести
Тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести, можно разбить сечениями, параллельными координатным плоскостям, на элементарные объемы (рис. 8.2). Если пренебречь размерами тела по сравнению с радиусом Земли, то силы тяжести, действующие на каждый элементарный объем, можно считать параллельными друг другу. Обозначим через объем элементарного параллелепипеда с центром в точке
(см. рис. 8.2), а силу тяжести, действующую на этот элемент, — через
Тогда средним удельным весом элемента объема называется отношение
Стягивая параллелепипед в точку
получим удельный вес в данной точке тела, как предел среднего удельного веса
Таким образом, удельный вес является функцией координат, т. е. Будем считать, что вместе с геометрическими характеристиками тела задан также и удельный вес в каждой точке тела.
Вернемся к разбиению тела на элементарные объемы. Если исключить объемы тех элементов, которые граничат с поверхностью тела, то можно получить ступенчатое тело, состоящее из совокупности параллелепипедов. Приложим к центру каждого параллелепипеда силу тяжести — удельный вес в точке тела, совпадающей с центром параллелепипеда. Для системы
параллельных сил тяжести, образованной таким образом, можно найти центр параллельных сил
Формула (8.11) определяет положение некоторой точки
Центром тяжести называется точка, являющаяся предельной для (точек при
Другими словами, центром тяжести тела называется такая точка,-радиус-вектор которой определяется следующим пределом:
или, переходя к удельному весу,
При таком предельном переходе предполагается, что размеры всех параллелепипедов стремятся к нулю. Пределы знаменателей в формулах (8.12) и (8.13) равны весу тела
Поскольку пределы интегральных сумм в числителе и знаменателе формулы (8.13) представляют собой определенные интегралы, распространенные по объему тела, то можно представить в следующем виде:
Координаты центра тяжести определяются формулами:
Тело называется однородным, если В этом случае величина
выносится в формулах (8.14) за знаки интегралов в числителе и знаменателе и сокращается. Знаменатели в формулах (8.14) после Сокращения их на
равны объему тела
Таким образом, получим
Центр тяжести однородного тела часто называют центром тяжести объема.
В ряде случаев тело можно считать тонкой пластиной или оболочкой (рис. 8.3, а).
Найдем центр тяжести однородной оболочки, предполагая, что вес элемента ее поверхности пропорционален площади этого элемента
и, следовательно, вес тела — площадь рассматриваемой части поверхности). Из определения центра тяжести в соответствии с формулами (8.15) получим при
Центр тяжести однородной оболочки называют центром тяжести поверхности.
Как следует из формул (8.16), определение координат центра тяжести поверхности связано с вычислением интегралов по поверхности.
Для плоской однородной пластины (рис. 8.3, б) получим
Наконец, рассмотрим криволинейный стержень —тело удлиненной формы, один из характерных размеров которого значительно больше двух других (рис. 8.4). Полагая, что вес элемента такого стержня, заключенного между двумя сечениями, нормальными к его оси, пропорционален длине дуги этой оси, получим
где — длина стержня.
Величину называют «погонным» весом. При сделанном предположении
— величина постоянная. Тогда в соответствии с формулами (8.15) координаты центра тяжести однородного стержня имеют вид
Центр тяжести однородного криволинейного стержня называют центром тяжести линии.
Методы нахождения центра тяжести
Во многих случаях центр тяжести тела можно определить с помощью весьма простых методов. Мы рассмотрим некоторые из них.
Симметрия. Если тело однородно и имеет плоскость симметрии (рис. 8.5, а), то задача определения центра тяжести несколько
упрощается. Совместим с этой плоскостью симметрии координатную плоскость
Тогда каждому элементу объема тела
положение которого определяется координатами
будет соответствовать элемент объема тела
с координатами
причем
Следовательно,
так как в сумме все члены попарно уничтожаются. Поэтому, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.
Пусть, далее, однородное тело имеет ось симметрии. Выберем эту ось за ось (рис. 8.5, б); тогда каждому элементу объема тела
с координатами
будет соответствовать элемент объема тела
с координатами
причем
Следовательно,
так как в суммах все члены попарно уничтожаются.
Таким образом, если однородное тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси.
Аналогично можно показать, что если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела будет совпадать с этой точкой. Так, например, для пластинки, имеющей прямоугольную форму, центр тяжести лежит в центре прямоугольника.
Разбиение. Иногда представляется возможным разбить тело на такие части, для которых вес и положение центра тяжести заранее известны. Пусть — радиусы-векторы центра тяжести каждой части, а
— веса соответствующих частей. У Из формулы (8.8) следует, что
где
Для однородной пластинки, например, из формулы (8.19) следует
где
—площади частей плоской фигуры;
— координаты центров тяжести этих частей.
Пример №35
Способом разбиения найти координаты центра тяжести площади поперечного сечения неравнобокого угольника, размеры которого указаны на рис. 8.6.
Разобьем угольник на два прямоугольника, площади которых равны
На основании (8.20) формулы для координат центра тяжести угольника имеют вид
где — координаты центра тяжести первого прямоугольника, а
-координаты центра тяжести второго прямоугольника. Очевидно, что
таким образом имеем:
Отрицательные веса. Этот способ применяют при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные (т. е. пустые) полости. Пусть дано тело, у которого имеется свободных полостей (рис. 8.7), причем
— вес тела,
— искомый радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести этого тела.
Если бы тело не имело полостей, то его вес очевидно, равнялся бы сумме
где — веса частей тела, которыми мы мысленно заполняем полости.
Обозначим через —радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести тела, не имеющего полостей, а через
— радиусы-векторы, определяющие соответственно центры тяжести частей тела, заполняющих полости. На основании формулы (8.19) для тела, не имеющего полостей, можно записать
Находя из этой формулы радиус-вектор центра тяжести тела, имеющего полости, получим
Таким образом, при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять способ разбиения, но считать, что полости имеют отрицательные веса.
Пример №36
Найти центр тяжести однородной круглой пластинки радиуса у которой вырезано отверстие в виде прямоугольника со сторонами
и
(рис. 8.8), использовав способ отрицательных весов.
Пластинка симметрична относительно оси следовательно,
Остается найти лишь одну координату
Согласно (8.21) будем иметь
где
Таким образом,
Центры тяжести простейших фигур
Центр тяжести треугольника. Воспользуемся способом разбиения и разделим треугольник (рис. 8.-9) на элементарные полоски, проведя линии, параллельные стороне
треугольника. Каждую такую полоску можно принять за прямоугольник; центры тяжести этих прямоугольников находятся в их серединах, т. е. на медиане
треугольника. Следовательно, центр тяжести треугольника должен лежать на этой же медиане
Разбивая теперь треугольник на элементарные полоски линиями, параллельными стороне заключаем, что центр тяжести треугольника должен быть расположен на медиане
Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Эта точка, как известно, делит каждую из медиан на отрезки в отношении т. е.
Центр тяжести трапеции. Аналогично предыдущему, разобьем трапецию (рис. 8.10) на элементарные полоски, параллельные основаниям
и
Центры тяжести полосок расположатся на прямой
соединяющей середины оснований трапеции. Следовательно, и центр тяжести трапеции лежит на этой прямой. Для того чтобы найти его расстояние
от нижнего основания, разобьем трапецию на
треугольники Для этих треугольников соответственно имеем
Используя формулу (8.20), получаем
Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу окружности радиуса
с центральным углом
Поместим начало координат в центре окружности и направим ось
перпендикулярно хорде
Так как вследствие симметрии фигуры относительно оси
центр тяжести будет лежать на этой оси
, т.е.
то остается найти только абсциссу центра тяжести
для этого воспользуемся формулой (8.18). Согласно рис. 8.11, а имеем
и, следовательно,
где —половина центрального угла в радианах.
В частности, для дуги полуокружности будем иметь
Центр тяжести кругового сектора. Для определения положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элементарные секторы, как показано на рис. 8.11,6. Каждый элементарный сектор можно принять за равнобедренный треугольник с высотой, равной Но высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой; следовательно, центр тяжести каждого элементарного треугольника лежит на расстоянии
от начала координат
Соответственно геометрическим местом центров тяжести всех элементарных треугольников является дуга окружности радиуса
Это означает, что центр тяжести площади кругового сектора можно искать как центр тяжести материальной линии, по которой непрерывно и равномерно распределен вес этого сектора. Применив формулу (8.22), получим координату центра тяжести площади сектора
где —половина центрального угла в радианах. В частности, для сектора в виде полукруга
получим
Пример №37
Пластинка, изображенная на рис. 8.12, получена из квадрата, сторона которого равна после того как из него была вырезана часть, составляющая четверть круга радиуса
с центром в вершине
квадрата. Определить центр тяжести пластинки.
Ось
проведем по диагонали квадрата, взяв начало оси в вершине
Так как ось
является осью симметрии пластинки, то центр тяжести ее находится на этой оси. Площадь квадрата без выреза
абсцисса его центра тяжести
площадь вырезанной части
абсцисса центра тяжести ее определяется формулой (8.23), в которой
Центр тяжести пластинки определим по формуле
или, подставляя соответствующие величины,
На рис. 8.12 показан центр тяжести пластинки. Приведем без вывода формулы, - определяющие положения центров тяжести некоторых простейших однородных тел. Поверхность шарового сегмента (рис. 8.13)
Пирамида и конус (рис. 8.14).
Центр тяжести находится на прямой, соединяющей вершину с центром тяжести площади основания, на расстоянии
ее длины, считая от основания
Шаровой сектор (рис. 8.15).
где — радиус шара и
— высота сферической части сектора.
Пример №38
Определить центр тяжести колонны, состоящей из однородного цилиндра веса высоты
и радиуса
на который установлена половина однородного шара веса
и того же радиуса
(рис. 8.16).
Разделим колонну на цилиндрическую и шаровую части.
Центр тяжести всей системы лежит на оси симметрии. Абсцисса центра тяжести цилиндра Расстояние от центра полушара до его центра тяжести найдем по формуле (8.27) при
что дает
Следовательно,
Пользуясь равенством (8 19), найдем центр тяжести колонны
Кинематика
Кинематика — это раздел механики, изучающий математическое описание движения идеализированных тел например: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость, без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время.
В этой лекции мы приступим к изучению движения материальных тел. Когда говорят о движении тела, то подразумевают под этим изменение его положения с течением времени по отношению к какому-либо другому телу. Это значит, что при изучении движения тела мы всегда должны указать, относительно какого другого тела рассматривается его движение. С телом, по отношению к которому изучается движение (тело отсчета), связывают систему координатных осей и часы. Эту совокупность тела отсчета и связанной с ним системой координатных осей (системы координат) и часов, как было уже сказано во введении, называют системой отсчета.
Так как в теоретической механике считается, что время, являясь непрерывно изменяющейся величиной, не зависит от движения тел и одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета, то, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей (системы координат), связанных с этим телом. В кинематике движение тел изучается с чисто геометрической точки зрения и связь между движением и движущими силами не рассматривается. В кинематике движение считается заданным, т. е. считаются заданными как функции времени параметры, определяющие положение тела по отношению к выбранной системе координат.
В кинематике безразлично, какое движение совершает выбранная система координат по отношению к каким-то иным телам, не входящим в рамки нашего рассмотрения. Однако всегда следует иметь в виду, что характер наблюдаемого движения существенно зависит от выбора тела (системы координат), относительно которого изучается движение. Так, .поршень автомобильного двигателя совершает относительно корпуса автомобиля прямолинейное колебательное движение, а относительно дороги, по которой движется автомобиль с постоянной,скоростью, поршень перемещается по синусоиде.
Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Так как покой и движение тела мы рассматриваем лишь относительно выбранной системы координат, которая в свою очередь может перемещаться произвольным образом, то понятия «покой» и «движение» являются относительными понятиями. Однако в кинематике часто пользуются терминами «абсолютное движение», «абсолютная скорость» и т. п., имеющими, конечно, условный характер. В частности, если нет специальной оговорки, под выражением «неподвижная система координат» следует понимать систему осей, относительно которых рассматривается движение.
Кинематика точки
Рассматривая движение, мы связываем изменение положения тела (или точки) с течением времени (будем обозначать его через
При изучении движения всегда устанавливается начало отсчета времени (во многих задачах будем полагать
Под промежутком времени понимают разность между значениями времени в какой-либо момент времени
и момент времени
При движении тела все его точки в общем случае совершают различные движения, например, при качении колеса по прямому рельсу центр колеса движется по прямой линии, а точки обода движутся по циклоидам. Поэтому изучению движения тела, естественно, должно предшествовать изучение движения точки. Кроме того, некоторые практические задачи о движении тел могут быть решены непосредственно на основании изучения движения точки.
Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем движении, называют траекторией точки. В задачах небесной механики траекторию именуют также орбитой. Если траектория точки является прямой линией, то движение точки называют прямолинейным. Если же траектория — кривая линия (не обязательно плоская), то движение точки называется криволинейным.
Мы сразу начнем с изучения криволинейного движения точки, так как прямолинейное движение представляет собой частный случай криволинейного. Приступая к изучению движения точки, мы должны сформулировать те задачи, которые решаются в кинематике. Исходя из того, что основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение, мы можем сформулировать эти задачи следующим образом: найти способы задания движения и, исходя из них, найти методы определения скорости и ускорения.
Способы задания движения
Прежде всего определим, что значит задать движение.
Движение точки по отношению к избранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Следовательно, задать движение точки это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить ее положение по отношению к выбранной системе отсчета.
Векторный способ. Положение точки в пространстве будет вполне- определено, если ее радиус-вектор проводимый из какого-либо заданного центра, известен как функция времени, т. е.
Следует, однако, иметь в виду, что задать вектор как функцию времени значит уметь находить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо определенная система координат, т. е. задание радиуса-вектора как функции времени обязательно предполагает наличие системы координат, но в то же время не конкретизирует ее. Считая, что радиус-вектор задан, мы тем самым должны предполагать, что умеем определять его модуль и направление в избранной нами системе координат.
То обстоятельство, что введением радиуса-вектора, определяющего положение точки, мы не связываем себя с конкретной системой координат, позволяет широко использовать задание радиуса-вектора как функции времени для получения основных кинематических характеристик движения. Для решения же конкретных задач обычно переходят от векторного способа к координатному .и естественному способам задания движения.
Введем еще одно полезное для дальнейшего понятие о годографе вектора, рассматриваемого как функция скалярного аргумента (например, времени).
Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора (предполагается, что начало вектора находится все время в одной и той же точке) при изменении его аргумента.
Следовательно, годографом радиуса-вектора, определяющего положение точки, будет траектория точки.
Перейдем теперь к рассмотрению координатного и естественного способов задания движения.
Координатный способ. Положение точки по отношению к какой-либо системе координат полностью определяется координатами точки. Поэтому задание координат точки в виде известных функций времени дает возможность определить ее положение в любой момент времени. Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известных функций времени, называется координатным способом задания движения и требует выбора конкретной системы координат. Этот выбор определяется содержанием решаемой задачи; конечно, предпочтительнее та система координат, использование которой наиболее целесообразно для данной задачи.
При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат указанный способ заключается в задании координат точки
(рис. 9.1) как известных функций времени, т. е.
Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать цилиндрические или сферические координаты.
В цилиндрических координатах (рис. 9.1, а) положение точки определяется радиусом углом
(азимут) и аппликатой
Следовательно, движение будет задано, если
будут известными функциями времени
В сферических координатах (рис. 9.1, б) положение точки определяется полярным радиусом углом
и углом
(полюсный угол). Движение будет задано, если
— известные функции времени.
Формулы, связывающие цилиндрические и сферические координаты с декартовыми, соответственно будут -
При движении точки в плоскости иногда целесообразно использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать в виде функций времени координаты (рис. 9.2):
Связь этих координат с декартовыми дается формулами
Уравнения (9.1) движения точки представляют одновременно и уравнения траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время Если требуется определить уравнение траектории у в координатной форме, то нужно исключить каким-либо образом из этих уравнений время
Пример №39
Движение точки в плоскости (рис. 9.3) задано при помощи уравнений
и движение начинается в момент Найти уравнение траектории в координатной форме.
Из первого уравнения следует, что поэтому уравнение траектории будет
Это—уравнение параболы. Однако траекторией будет не вся парабола, а только часть, показанная на рис. 9.3 сплошной линией. Это следует из того обстоятельства, что от начального момента движения (когда
координата
будет увеличиваться (время
положительно и непрерывно возрастает). Направление движения точки по траектории определяется из уравнений (9.4) и показано на рис. 9.3 стрелкой.
В рассмотренном примере исключение времени из уравнений движения было произведено путем нахождения времени из уравнения для
и подстановки в уравнение для
Такой прием не всегда удобен, поэтому исключение времени можно производить и другими способами.
Пример №40
Движение точки в плоскости задано уравнениями
Найти уравнение траектории в координатной форме. Уравнения
следует возвести в квадрат и сложить. Тогда получим уравнение траектории
Она представляет собой эллипс (рис. 9.4). Из уравнений (9.5) следует, что движение начнется в точке с координатами
и будет происходить в направлении, указанном стрелкой (предполагается, что движение начинается в момент времени
Естественный способ. При естественном способе задания движения указываются траектория точки и закон ее движения по этой траектории.
Пусть точка движется по отношению к выбранной системе отсчета по заданной траектории (рис. 9.5), определяемой уравнениями
Пусть — какая-либо фиксированная точка на траектории. Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории,
мы определим положение точки
в любой момент времени, если будем знать, как изменяется дуга
(см. рис. 9.5) со временем
Эта зависимость называется законом движения.
Кривая, построенная на плоскости выражающая зависимость
называется графиком движения.
Если движение происходит в сторону возрастания дуги то дифференциал дуги *)
будет положительным, если же движение происходит в сторону убывания дуги, то дифференциал дуги будет отрицательным.
Отметим, что путь проходимый точкой, всегда будет возрастать и, следовательно, положителен, т. е.
Пример №41
Закон движения точки по траектории имеет вид
Построить и исследовать график движения.
Графиком движения будет кривая, изображенная на рис. 9.6. Из рассмотрения этого графика следует, что дуга увеличивается до значения
при
а затем начинает уменьшаться. Ход графика движения в области отрицательных а характеризует увеличение абсолютного значения дуги при движении точки от начала отсчета
в сторону, противоположную положительному отсчету дуги.
На рис. 9.6 показана и кривая представляющая график функции
— путь, пройденный точкой. До значения
кривая
совпадает с кривой
для
показана пунктиром.
Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны. Пусть, например, движение задано координатным способом в виде (9.1). Очевидно, что при этом проекции радиуса-вектора
(рис. 9.7) на оси координат равны координатам точки
и, следовательно, можно записать
где —единичные векторы осей
Модуль найдется по формуле
а направление определится направляющими косинусами
Рассмотрим еще переход от координатного способа к естественному.
Пусть движение задано уравнениями (9.1). Исключая из этих уравнений время получим уравнения траектории (9.6). Найдем теперь закон движения
Дифференциал дуги может быть найден по формуле (рис. 9.8)
где — дифференциалы координат точки
Формулу для можно переписать в виде
Интегрируя это выражение в промежутке от (начало движения) до какого-либо момента времени
получим закон движения
Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от выбора направления положительного отсчета дуги; если движение точки начинается в сторону выбранного положительного отсчета дуги, то следует брать знак «плюс», в противном случае —знак «минус».
Понятие о производной вектора по скалярному аргументу
При рассмотрении задач кинематики и динамики мы встретимся с необходимостью вычисления производных векторов, имеющих различный физический смысл и являющихся функциями различных скалярных аргументов (времени, дуги и пр.). Поэтому в начале этой лекции мы определим понятие производной вектора по скалярному аргументу в общем виде, не придавая конкретного физического значения вектору и аргументу.
Пусть вектор задан в какой-либо системе координат как непрерывная функция скалярного аргумента
При изменении аргумента будут меняться как модуль вектора
так и его направление. Конец вектора
при изменении аргумента
описывает кривую — годограф вектора
(рис. 9.9). Пусть
— некоторое фиксированное значение аргумента, а
— его приращение. Тогда при значении аргумента
вектор
будет иметь другой модуль и другое направление, чем при значении аргумента, равном
Разность
называется приращением вектора
Предел oтношения
при если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу и обозначается через
т. е.
Заметим, что вектор всегда направлен по секущей годографа вектора
(рис. 9.9), а значит, и вектор
направлен также по секущей. При
секущая займет предельное положение, совпадающее с касательной к годографу вектора
Следовательно, производная вектора по скалярному аргументу всегда направлена по касательной к годографу этого вектора.
Приведем без доказательства свойства производной вектора по скалярному аргументу:
1. Производная постоянного по величине и направлению вектора равна нулю.
2. Производная суммы векторов равна сумме производных, т. е.
3. Производные скалярного и векторного произведений векторов соответственно определяются выражениями:
Пусть вектор задан в неподвижной прямоугольной системе координат; тогда
где — проекции вектора
на оси
(рис. 9.9). Так как векторы
постоянные, то
С другой стороны, вектор можно записать через его проекции следующим образом:
Сравнивая оба выражения, найдем проекции производной вектора на координатные оси
Эти равенства можно прочитать следующим образом: проекции производной вектора на неподвижные оси равны производным от соответствующих проекций вектора.
Модуль производной определяется из равенства
Если модуль вектора остается постоянным при изменении аргумента
то годографом вектора
будет кривая, расположенная на сфере радиуса
Следовательно, производная
направленная по касательной к годографу вектора
будет в этом случае перпендикулярна вектору
Скорость точки
Перейдем теперь к определению понятия скорости точки и методам ее нахождения.
Пусть в момент времени положение точки определяется радиусом-вектором
а в момент
— радиусом-вектором
Вектор
будем называть вектором перемещения точки за время (рис. 9.10).
Отношение вектора к промежутку времени
называется средней скоростью точки за промежуток времени
Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к который произошло это перемещение, времени стремится к нулю, т. е.
Размерность скорости будет
Единицами измерения могут быть м/сек, см/сек, км/час.
Из этого определения видно, что скорость точки равна производной радиуса-вектора точки по времени. На рис. 9.10 показаны средняя скорость и скорость
точки
Как следует из общей теории, скорость точки
— этот вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.
Скорость точки при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, принятой за неподвижную, т. е. пусть заданы координаты точки как функции времени
Согласно выражению (9.8) имеем
Так как единичные векторы выбранной системы координат постоянны, то на основании формулы (9.11) получаем
На рис. 9.11 показано разложение скорости на составляющие по осям координатной системы
Таким образом, проекции скорости на координатные оси будут
т. е. проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.
Так как производную по времени мы условились обозначать точкой сверху, то полученные формулы можно переписать в виде
Модуль скорости является формулой
а направление скорости — направляющими косинусами
Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.
Пример №42
Движение точки задано уравнениями
Найти скорость точки.
В соответствии с выражениями (9 12) получим проекции скорости
Модуль скорости определится формулой (9.13):
Направление скорости найдем, используя формулы (9.14):
Из этих соотношений видно, что точка движется равномерно но направление скорости изменяется с течением времени.
Исследуем траекторию точки. Из первых двух уравнений движения найдем
Это —уравнение цилиндра радиуса ось которого совпадает с осью
(рис. 9.12).
Опустим теперь из точки на плоскость
перпендикуляр
и обозначим угол между осью
и прямой
через
Координаты точки
будут
Сравнивая эти соотношения с уравнениями движения, найдем
Таким образом, угол изменяется пропорционально времени. Из этого следует, что прямая
равномерно вращается, а точка
в это время равномерно перемещается по образующей
Следовательно, точка движется по винтовой линии. Уравнения винтовой линии в параметрической форме совпадают с уравнениями движения, а в координатной форме имеют вид
Рассмотрим теперь движение, заданное в полярных координатах, т. е. пусть даны как функции времени полярный радиус и угол
определяющие положение точки.
Введем в рассмотрение единичные векторы: направленный по радиусу-вектору в сторону возрастания
повернутый относительно
на угол
в сторону возрастания угла
(рис. 9.13). Единичные векторы
могут быть представлены через единичные векторы
координатных осей:
В дальнейшем нам будут нужны выражения для производных по времени от единичных векторов
Дифференцируя по времени, получим
Аналогично
Радиус-вектор определяющий положение точки, может быть представлен в виде
(рис. 9.13). При движении точки меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора
следовательно, и
являются функциями времени. На основании равенства (9.11) имеем
Используя соотношение (9.15), будем иметь
Полученная формула дает разложение вектора скорости взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную поперечную
(Рис. 9.14).
Проекции скорости на радиальное и поперечное направления
называются соответственно радиальной и поперечной скоростями. Модуль скорости находится по формуле
Формулу (9.18) можно также получить, используя связь между декартовыми и полярными координатами,
Продифференцировав эти соотношения по времени и используя равенство (9.13), получим
Нахождение скорости при естественном способе задания движения. Пусть точка движется по какой-либо кривой (рис. 9.15). За промежуток времени
точка переместится по кривой из положения
в положение
Дуга
если движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги (рис. 9.15, а), и
если движение происходит в противоположную сторону (рис. 9.15, б). На основании (9.11) имеем
Перепишем это равенство в виде
Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен
по модулю единице, а предельное положение секущей
совпадает с направлением касательной к кривой в точке
то
где —единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.
Действительно, если то вектор
направлен в сторону
(см. рис. 9.15, а), а при
вектор
направлен в сторону, противоположную
(см. рис. 9.15, б). В обоих случаях этот вектор, а следовательно, и его предел
направлены в сторону возрастания дуги
(на рис. 9.15 положительное направление отсчета дуги а выбрано вправо от начала отсчета
Принимая во внимание, что
имеем
Обозначая получим
Из формулы (9.20) следует, что Очевидно, что
если движение происходит в сторону положительного отсчета дуги, и
если движение происходит в противоположную сторону.
Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути
и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле
Пример №43
Если ось направить горизонтально, а ось
вертикально вверх, то движение тяжелой точки (например, артиллерийского снаряда) у поверхности Земли в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально скорости точки, будет описываться уравнениями
где —постоянные величины.
Найти модуль и направление скорости в начальный момент времени. Найти также наибольшую высоту подъема точки над уровнем ее начального положения, дальность
по горизонтали от начального положения точки до ее наивысшего положения.
На основании (9.12) имеем
При a модуль
скорости будет
Направление начальной скорости определим, найдя направляющие косинусы при
Следовательно, начальная скорость, равная по модулю направлена под углем
к горизонту.
Так как точка траектории, где соответствует наибольшей высоте подъема движущейся точки, то из уравнения
мы определим момент времени достижения точкой наибольшей высоты. Имеем
отсюда
Подставляя найденное значение в выражение для
получим искомую высоту (рис. 9.16)
Найдем теперь расстояние по горизонтали от начального положения точки до ее положения в наивысшей точке. Для этого подставим время в выражение для
Пример №44
Точка движется так, что ее радиус-вектор образует со скоростью постоянный угол. Определить уравнение траектории в полярных
координатах, если угол, образуемый скоростью с радиусом-вектором, равен
(рис. 9 17).
Согласно формуле (9.17) проекции скорости на радиальное и поперечное направления будут
По условию задачи
Следовательно,
Отсюда
Интегрируя это уравнение и приняв при угол
получим
Тогда Где
—модуль радиуса-вектора
в момент времени
Таким образом, траектория представляет собой логарифмическую спираль.
Если угол то траектория будет прямолинейной—движение будет происходить вдоль радиуса-вектора. Если угол
то движение будет происходить по окружности, так как
Ускорение точки
Предположим, что в момент времени скорость точки равна
а в момент времени
будет
(рис. 9.18). Изменение вектора скорости за промежуток времени
найдем как разность векторов
если параллельно перенесем вектор
в точку
(рис. 9.18). Вектор
представляет собой приращение вектора скорости за промежуток времени
Отношение вектора к промежутку времени
называется средним ускорением точки за промежуток времени
Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости
к приращению времени
при условии, что последнее стремится к нулю, т. е.
так как Можно также пользоваться следующей формой записи:
Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.
Годографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки (рис. 9.19).
Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости, будет равна т. е. ускорению точки при ее движении по траектории. Размерность ускорения
Единицами измерения могут быть
Нахождение ускорения при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:
Так как вектор скорости точки можно представить в виде:
то на основание (9.21) будем иметь:
Пусть
— проекции ускорения на координатные оси
тогда
т. е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки.
Выражения (9.22) на основании (9.12) можно переписать в виде
Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты.
Модуль ускорения определяется по формуле
Зная проекции ускорения и его модуль, легко находим направляющие косинусы вектора ускорения:
Найдем теперь ускорение в полярных координатах. Пусть координаты точки заданы как функции времени
Согласно (9.17) имеем
На основании (9.21) получим
но так как [см. (9.15) и (9.16)]
то
Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления
Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам
Нахождение ускорения при естественном способе задания движения. Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть —единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке
этой кривой (рис. 9.20). Возьмем теперь на кривой точку
близкую к точке
и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через
Параллельно перенеся вектор
в точку
проведем плоскость через векторы
приложенные в точке
При стремлении точки к точке
эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке
Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.
Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке
Плоскость, проведенную через точку
перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 9.21 соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами
и
Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль к кривой.
Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно-перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.
Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор
направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали
определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами
образовывали правую систему осей. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы
являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 9.21).
Обозначим через величину угла между вектором
проведенным в точке
и вектором
проведенным в точке
близкой к точке
Этот угол называется углом смежности (рис. 9.22, а).
Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги
т. е.
Радиусом кривизны кривой в точке называется величина, обратная кривизне
Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности.. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса радиус кривизны равен радиусу окружности
Если через точку кривой
и две близкие к ней точки провести окружность, то при стремлении этих точек к
в пределе получится окружность, которая называется кругом кривизны. Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус этого круга равен радиусу кривизны кривой в точке
Центр круга кривизны лежит на главной нормали и называется центром кривизны *).
Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно представить в виде
где — проекция скорости на направление
На основании формулы (9.21) имеем
Определим величину и направление вектора
Пусть в момент времени точка находится в положении
на траектории, а в момент времени
положении
Перенося вектор
в точку
найдем приращение вектора
за промежуток времени
(рис. 9.22, а)
Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 9.22, а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 9.22, б). Найдем производную вектора
Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 9.22, а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку
и векторы
(плоскость
Следовательно, вектор
лежит в соприкасающейся плоскости, так как при
плоскость
совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке
Дифференцируя тождество по
получим
т. е. скалярное произведение на
равно нулю, а это значит, что вектор
перпендикулярен
Таким образом, вектор
лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен
следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.
Определим теперь модуль вектора Из равнобедренного треугольника
(см. рис. 9.22, а) найдем
или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим
Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь
Значит
и, следовательно,
так как
Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.
Составляющие ускорения по направлениям соответственно равны
Проекция ускорения на направление
называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль
называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен
Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость
достигает экстремальных значений.
Если одного знака, то модуль скорости
точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же
разных знаков, то модуль скорости
точки убывает и движение будет замедленным. При
модуль скорости остается постоянным — движение равномерное.
Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, в которые скорость точки обращается в нуль.
Отметим, что для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство
так как
Если движение точки задано координатным способом, то в случае задания движения в декартовых координатах будем иметь
для полярных координат получим
Частные случаи движения точки
Прямолинейное движение. Если траектория точки является прямой линией, то, направляя одну из координатных осей, например, ось вдоль этой прямой, мы полностью определим положение точки заданием ее абсциссы как функции времени, т. е.
Проекции скорости и ускорения на ось согласно формулам (9.12) и (9.23) будут
Модули скорости и ускорения соответственно равны
Если то движение точки происходит в сторону положительного направления оси
Если при этом
то движение ускоренное, если же
то движение замедленное.
При точка движется в направлении, противоположном положительному направлению оси
Если при этом
то движение замедленное, если же
то движение ускоренное.
В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение, происходящее по закону
где —постоянные величины.
Движение точки по такому закону называют гармоническим. Величина равная максимальному отклонению точки от положения
называется амплитудой колебаний;
называется фазой и
—начальной фазой колебаний.
Скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, соответственно будут
Из формулы для следует, что ускорение точки всегда направлено к началу координат и по модулю пропорционально отклонению точки от начала координат.
С помощью закона движения и формулы для скорости нетрудно установить, что если для какого-либо момента времени координата
а скорость
то в момент времени
при котором имеет место равенство
где —скорость точки и ее положение будут такими же, как и в момент
Значит, гармоническое движение будет периодическим *), т. е. через промежутки времени, равные
движение будет полностью повторяться.
Наименьший промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом колебаний. Очевидно, что период гармонических колебаний будет равен
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний и равно Если время измеряется в секундах, то частота измеряется в герцах. Величина
называется круговой частотой. Круговая частота равна числу колебаний за
единиц времени. График движения приведен на рис. 9.23.
Движение точки по окружности. При движении точки по окружности удобно задать ее движение в полярных координатах, так как при этом координата является постоянной величиной, равной радиусу
окружности (рис. 9.24). Положение точки вполне определяется углом
Так как — постоянная величина, то проекция скорости на радиальное направление
Поперечная проекция скорости равна
Модуль скорости будет
где
В соответствии с формулами (9.26) проекции ускорения на радиальное и поперечное направления определяются равенствами
Модуль ускорения равен
где
Если выбрать направление положительного отсчета дуги, проходимой точкой, как указано на рис. 9.24, то очевидно, что касательное ускорение точки будет равно а нормальное
(это ускорение называют центростремительным ускорением) .
Заметим, что определяет угловую скорость вращения радиуса
—соответствующее угловое ускорение.
Пример №45
Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям Определить скорость и ускорение снаряда в начальный момент времени, высоту траектории, дальность полета, а также радиус кривизны в начальной и наивысшей точках траектории. Ось
направлена горизонтально, ось
— вертикально вверх (рис. 9.25).
Траекторией снаряда, очевидно, будет парабола
Определим сначала скорость движения снаряда. Имеем
Следовательно,
В момент времени величина скорости
Направление скорости определяется по формулам
При получим
т. е. скорость в начальный момент образует с осью угол
Проекции ускорения на координатные оси будут
следовательно, модуль ускорения равен
и оно направлено по вертикали вниз (ускорение силы тяжести). Под высотой траектории понимается максимальное значение ординаты Очевидно, что
принимает максимальное значение при
т. е. когда
Находя отсюда и подставляя его в уравнение для
получим
Дальность полета определяется из условия Из уравнения
найдем
Момент соответствует начальному положению снаряда. Подставляя
в уравнение для
найдем дальность полета
Максимальная дальность полета будет при и равна
Найдем теперь радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей ее точках. Из формулы имеем
Таким образом, задача нахождения радиуса кривизны траектории сводится к нахождению скорости и проекции ускорения точки на нормаль. Согласно (9.33) имеем
Так как движение точки происходит все время в сторону возрастания дуги, и, следовательно,
При и, следовательно, радиус кривизны траектории в начальной точке равен
Для момента времени соответствующего наивысшей точке траектории,
Поэтому
Скорость точки в этот момент равна
и радиус кривизны в наивысшей точке траектории будет
Отметим, что в данной задаче проекцию ускорения на нормаль в начальной н наивысшей точках траектории можно легко найти и простым проектированием (рис. 9.26).
Пример №46
Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Скорость центра колеса постоянна и равна
Найти уравнения движения точки
лежащей на ободе колеса, ее траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории как функцию времени.
По условию, колесо катится без скольжения, следовательно, дуга равна отрезку
при предположении, что в начальный момент времени точка
находилась в точке
(рис. 9.27).
Так как дуга
Координаты точки будут:
Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения траек. тории, которая представляет собой циклоиду.
Проекции скорости точки на оси равны
Модуль скорости равен
.
Заметим, что угол изменяется от нуля до
и поэтому
Направляющие косинусы вектора скорости будут
Отсюда следует, что вектор скорости все время проходит через верхнюю точку колеса.
Проекции ускорения на оси равны
и, следовательно,
а так как
то вектор ускорения точки всегда проходит через центр колеса. Радиус кривизны траектории найдем из выражения
Так как то
Следовательно,
где длина отрезка от рассматриваемой точки колеса до его нижней точки.
Пример №47
Движение точки задано в полярных координатах уравнениями
(рис. 9.28), где
— постоянные величины.
Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиуса
Исключая из уравнений время
получим уравнение траектории
Это—уравнение логарифмической спирали.
Согласно формуле (9.17) радиальная и поперечная составляющие скорости соответственно будут
Следовательно, скорость точки равна
Согласно формулам (9.26) будем иметь
т. е. ускорение точки
Определим теперь радиус кривизны траектории. На основании (9.32) получим
Скорость нами уже определена. Найдем
Согласно (9.33)
имеем
Таким образом.
Итак, радиус кривизны траектории будет
Пример №48
Радар установленный на берегу, непрерывно следит за движением судна
определяя в каждый данный момент времени расстояние
и угол
между меридианом и направлением от радара на судно, а также скорости изменения этих величин. Пренебрегая кривизной земной поверхности, определить модуль скорости судна
относительно Земли, его курс (угол
между меридианам и скоростью
и расстояние
от радара до направления скорости
(рис. 9.29).
Для решения задачи построим прямоугольную систему координат направив ось
по касательной к меридиану на север, а ось
по касательной к параллели па запад. Величины
которые непрерывно измеряет радар, суть полярные координаты судна и их скорости. Поэтому модуль скорости судна будет (см. формулу (9.18))
Для определения курса (угла разложим вектор скорости судна
на радиальную
и поперечную
составляющие. Имеем (см. »рис. 9.29):
(углы — соответственные при параллельных прямых
a
— внешний для треугольника
Из треугольника
найдем
или, учитывая значения проекций поперечной и радиальной
составляющих скорости
Отсюда
Из треугольника найдем параметр
С помощью счетно-решающих устройств скорость судна его курс
и параметр
определяются по формулам (9.18), (9.35) и (9.36) или им эквивалентным непрерывно»
Если судно идет постоянным курсом т. е. движется по прямой линии
то равенство (9.36) определяет уравнение траектории судна в полярных координатах. Покажем, что при
это уравнение может быть получено из равенства (9.34). Действительно, умножая числитель я знаменатель правой части равенства (9.34) на
получим
или
Интегрируя обе части этого равенства и учитывая, что по предположению получим
где —произвольная постоянная интегрирования. При
—расстояние
от радара до судна будет равно т. е.
Подставляя эти значения в (9.37), найдем
или
Внося это значение для в равенство (9.37), получаем
откуда следует равенство (9.36);
Пример №49
Угол между неподвижной осью
и кривошипом
изменяется по закону
где
—постоянное положительное число. С кривошипом в точке
шарнирно соединен стержень
проходящий все время через качающуюся муфту
Найти уравнения движения точки
стержня
отстоящей от точки
на расстоянии
ее траекторию, скорость и ускорение, если
(рис, 9,30, а).
Положение точки проще всего определяется полярными координатами: радиусом
и полярным углом
Так как треугольник
равнобедренный, то
сторона
Из рис. 9.30, а имеем
следовательно, уравнения движения точки
будут:
Исключая отсюда время найдем уравнение траектории точки
в полярных координатах:
(Для сравнения рекомендуем читателям самостоятельно найти уравнения движения и траекторию точки в декартовых координатах.)
На рис. 9.30, б показана траектория точки построенная по точкам *) для случая
(при
получается обычная кардиоида). Точка
— начальная точка траектории, соответствующая моменту времени
Направление движения точки
показано стрелками. Отметим, что точка
попадет в свое начальное положение
не через один оборот кривошипа
а через два оборота, когда угол
изменится на
а угол
на
радиана (это произойдет в момент времени
Найдем проекции скорости точки на радиальное и поперечное направления. Имеем
Теперь найдем модуль скорости точки
или, подставляя найденные значения для и произведя очевидные преобразования,
Для ускорения будем иметь:
Модуль ускорения
В начальной точке при
Через один оборот кривошипа точка
попадет в положение
(рис. 9.30, б) и ее скорость и ускорение будут соответственно равны
Криволинейные координаты
Положение точки в трехмерном пространстве, как известно, можно однозначно определить тремя числами. Так, например, в декартовой системе координат такими числами будут координаты точки, в цилиндрической и сферической системах координат такими числами соответственно будут
. Очевидно, что можно ввести в рассмотрение и другие системы координат, в которых определен закон выбора трех чисел, однозначно определяющих положение любой точки. В этой лекции мы рассмотрим так называемые криволинейные координаты.
Предположим, что для однозначного определения положения любой точки нами установлен закон выбора трех чисел
тем самым нами введена в рассмотрение определенная система координат. Эти числа называются криволинейными координатами, а введенная система координат — криволинейной. Пусть радиус-вектор, определяющий положение точки
заданной координатами
проведен из произвольно выбранного полюса
Этот радиус-вектор будет функцией координат
Проекции радиуса-вектора на оси декартовой системы координат также будут функциями
т. е.
Возьмем какую-либо точку с координатами
тогда уравнения
в которых переменной является только одна координата определяют кривую, проходящую через точку
Эту кривую называют координатной линией, соответствующей изменению координаты
Аналогично определяются координатные линии, соответствующие изменению
Касательные к координатным линиям, проведенные в точке в сторону возрастания соответствующих координат, называются координатными осями
(рис. 9.31).
Координатными поверхностями называются поверхности, определяемые уравнениями (9.39) при изменении двух координат и при одной фиксированной координате. Так, например, поверхность определяется следующими уравнениями:
Касательные плоскости, проведенные в точке к координатным поверхностям, называются координатными плоскостями.
Определим теперь единичные векторы координатных осей. Рассмотрим движение точки по координатной линии, соответствующей изменению координаты
Пусть в момент времени
точка находится в положении
(рис. 9.32). Вектор , вычисленный в точке
направлен по касательной к координатной линии
т. е. он направлен по координатной оси
в сторону возрастания
Так как
Таким образом, единичный вектор
равен
Аналогично можно получить
где
Коэффициенты
называются коэффициентами Ламе.
Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты, т. е. такие, у которых координатные оси взаимно перпендикулярны. Условием ортогональности является
Скорость точки может быть найдена посредством дифференцирования соотношения (9.38)
но так как
то
Учитывая, что по предположению взаимно перпендикулярны, для модуля скорости имеем
Проекции скорости на координатные оси определяются выражениями