Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории в теоретической механике

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории:

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны р (или

Отсюда
Скорость  точки определяется по формуле
Следовательно,

Числовое значение нормального ускорения а„ входит в выражение полного ускорения точки
откуда

где квадрат полного ускорения

и касательное ускорение

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями

то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1.    Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:

2.    Подставив в (б’) выражения найти

3.    Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б'), найти касательное ускорение  а затем а?.

4.    Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения

5.    Подставив в (г) выражения

6. Подставить в (в) значения

7. Подставив в (а) найденные значения получить радиус кривизны р.

Задача:

Движение точки задано уравнениями

(х, у—в см, t — в сек). Определить радиус кривизны траектории в те моменты, когда она пересекает ось Ох.

Решение.

1.    В те моменты, когда траектория пересекает ось Ох, ордината у—0. Поэтому, подставив во второе уравнение движения значение у = 0, получим

Отсюда [решая уравнение относительно находим, что траектория пересекает ось Ох в моменты времени

2.    Находим выражения проекций скорости:

Как видно, проекция скорости на ось Ох - постоянная величина (не зависит от времени).

3.    Определяем значение этих проекций в моменты пересечения траекторией оси Ох:

4.    Числовое значение скорости точки в моменты пересечения траекторией оси Ох в данном случае одинаковы

5.    Находим касательное ускорение точки. Для этого получим общее выражение (уравнение) скорости, воспользовавшись зависимостью (б):

6.    Находим проекции полного ускорения точки:

Следовательно, в данном случае полное ускорение точки — постоянная величина. Причем

7.    Определяем нормальное ускорение точки. Как при

так и при

8.    Зная, что в моменты пересечения траекторией оси 5 см:сек и находим радиусы кривизны траектории в этих точках:

Решение этой задачи рекомендуется самостоятельно иллюстрировать чертежом, изобразив на нем траекторию точки, векторы скорости и ускорения а в местах пересечения траектории с осью Ох (эти векторы легко построить при помощи найденных проекций), а также радиусы