Теория пар, не лежащих в одной плоскости в теоретической механике

Теория пар, не лежащих в одной плоскости:

Пусть дана пара сил (Р,— Р), действующая в плоскости V, расположенной как угодно в пространстве (рис. 107).

Рис. 107.

Вычислим сумму моментов

Отсюда следует, что момент пары не зависит от положения тонки О и представляет собой вектор, направленный перпендикуляр но к плоскости действия пары в такую сторону, чтобы, смотря с конца стрелки этого вектора, вращение пары представлялось происходящим против часовой стрелки.

Модуль этого вектора: 

Покажем теперь, что пару сил можно переносить параллельно самой себе.

Пусть имеется пара (Р, — Р) с плечом АВ, расположенная в плоскости (рис. 108). Возьмем любую плоскость  ,  параллельную, с отрезком CD, равным и параллельным АВ, и приложим в точках С и D взаимно-уравновешивающиеся силы Р и —Р.

Рис. 108.

Соединяя точки С с В и А с D, замечаем, что AO=OD и ВО=ОС в силу свойств диагоналей параллелограмма; поэтому в результате сложения параллельных сил, отчеркнутых один раз и два раза, получаем силы 2Р и —2Р, взаимно уравновешивающиеся; данная нам пара оказалась перенесенной в плоскость. 

Отсюда следует, что момент пары является вектором свободным и его можно переносить в любую точку твердого тела параллельно самому себе.

При сложении пар в пространстве могут встретиться два случая.

• 1. Пары расположены в параллельных плоскостях. В этом случае все пары можно' перенести в одну плоскость и сложить их моменты алгебраически (см. § 8).
• 2. Пары расположены в пересекающихся плоскостях. Рассмотрим сначала случай сложения двух пар (рис. 109). Приведя пары, расположенные в плоскостях , и к одному плечу , перенесем их затем так, чтобы их плечи совпадали с линией пересечения плоскостей.

Рис. 109.

Складывав затем силы перенесенных пар  по правилу параллелограмма, имеем:

Складывая почленно полученные равенства, найдем:

откуда

т. е. момент равнодействующей, пары равен геометрической сумме моментов пар составляющих. Если имеется пар, расположенных как угодно в пространстве, то

Может оказаться, что ; в этом случае многоугольник моментов пар будет замкнут и пары будут взаимно уравновешиваться, а поэтому

т. е. пары расположенные как угодно в пространстве, взаимно уравновешиваются, если их геометрическая сумма моментов равна нулю.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача:

На вал MN перпендикулярно к его оси насажены четыре шкива, радиусы которых соответственно равны , , и (рис. 110). К ободьям шкивов I, II и III приложены пары, направление вращения которых показано на чертеже. Каковы должны быть величина и направление сил, приложенных к ободу шкива IV, чтобы вал находился в равновесии, если

Рис. 110.

Решение. Пары расположены в параллельных плоскостях, поэтому по формуле (33) имеем: откуда ; так как

Направление же вращения пары обратно направлению вращения данных пар.

Задача:

Найти момент равнодействующей пары т четырех пар (рис. 111, а), линии действия сил которых совпадают с ребрами куба. Известно, что сторона куба  и

Рис. 111.

Решение. Перенесем моменты всех пар в любую точку О (рис. 111, б) и вычислим их модули 

Проекции момента равнодействующей пары на координатные оси найдем по формуле (3): 

Проекции момента равнодействующей пары  на координатные оси найдем по формуле (3):

откуда