Пространственная система сходящихся сил в теоретической механике

Пространственная система сходящихся сил:

До сих пор мы рассматривали силы, которые были расположены в одной плоскости. Пусть к точке О (рис. 91) приложены три силы

Из рисунка 92 видно, что равнодействующая трех сил и , не лежащих в одной плоскости, равна по величине и направлению диагонали параллелепипеда, построенного на этих силах. Такое правило сложения трех сил называется правилом параллелепипеда.

Нетрудно видеть (рис. 91), что равнодействующая Р трех сил ,  и , не лежащих в одной плоскости, является также замыкающей пространственного многоугольника, построенного на этих силах.

Рис. 92.                   Рис. 91.                                   Рис. 93.                   

Вообще же, если на точку О действуют сил (рис. 93), расположенных не в одной плоскости, то, складывая эти силы геометрически по правилу сложения векторов, получим пространственный многоугольник, замыкающая которого и будет равнодействующей данных сил.

Обозначая равнодействующую через Р, имеем:

Проектируя равнодействующую и составляющие на координатные оси х, у и z, получим:

Величина и направление равнодействующей определяется по формулам (6) и (7):

Если многоугольник сил окажется замкнутым, то и силы, приложенные к точке, взаимно уравновешиваются; в этом случае , а для этого необходимо, чтобы:

или более сокращенно:

Уравнения (39) называются уравнениями равновесия сил, приложенных к точке.   

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача:

Определить величину и направление равнодействующей пяти сил , приложенных к точке О, если концы сил совпадают с вершинами куба и 2 т (рис. 94).

Рис. 94.

Решение:

Величины сил и найдутся соответственно как диагонали квадрата и куба:

Проекции равнодействующей на координатные оси х, у и z:

Для нахождения проекции на ось х проектируем сначала силу на плосхость хОу и полученную проекцию вновь проектируем уже на ось х. Обозначив через углы, которые составляет сила с осями и , найдем: 

Величина равнодействующей Направление равнодействующей определится косинусами углов, которые она составляет с осями:

Решение. Освобождаемся от связей и рассматриваем равновесие точки В (рис. 95, б):

откуда находим: 

Рис. 95.

Задача:

Для транспортировки груза Q = 6 т устроена подвесная дорога, состоящая из троса АВС и столбов AD и СЕ, удерживаемых стальными тягами AN, AM, CF и СО, так, что вертикальная плоскость ALDEKC делит двугранные углы AMDN и CFEO пополам (рис. 98, а).

Определить усилие S в столбах и натяжения и в тягах, удерживающих столбы, если АВ = ВС = 5 м.

Рис. 98.

Решение:

Определим сначала натяжения и , в частях троса АВ и ВС, для чего построим треугольник равновесия для точки В (рис. 98, б).

Из чертежа видно, что , откуда

Составляя уравнения равновесия (39) для точки А (рис. 98, в), имеем:

Решая полученные уравнения, находим: и