Произвольная пространственная система сил в теоретической механике

Произвольная пространственная система сил:

Если надо осуществить параллельный перенос силы Р (рис. 112) в любую точку О, то, приложив к точке О две силы Р и —Р, мы замечаем, что данная нам сила Р оказалась перенесенной в точку О, но .зато присоединилась пара сил (Р, — Р), момент которой

Если имеется п сил, расположенных как угодно в пространстве (рис. 113), то, выбрав произвольную точку О (центр приведения), осуществим параллельный перенос всех сил в точку О.

Рис. 112.                                                      Рис. 113.             

В результате такого переноса заданная нам система сил привелась к системе пар и к силам приложенным в точке О. Обозначив момент равнодействующей всех пар через , а результирующую сил, приложенных в точке О, через Р, можем написать:

Таким образом, силы, расположенные как угодно в пространстве, при сложении их приводятся, к некоторому моменту , называемому главным моментом и равному геометрической сумме моментов всех сил относительно центра приведения, и к некоторой силе Р, называемой главным вектором, равной геометрической сумме данных сил.

Проектируя главный момент и главный вектор на координатные оси, имеем:

откуда найдем величины главного вектора и главного момента:

Направление же Р и М определится косинусами углов [см. формулы (6)].

Если бы мы выбрали центр приведения не в точке , а в какой-либо другой точке (рис. 114), то от этого главный вектор не изменится и , главный же момент М, вообще говоря, изменится, так как изменятся радиусы-векторы, проведенные из центра моментов к началу каждой силы. Так, для силы новый радиус-вектор , где — радиус-вектор, проведенный из старого центра приведения в новый .

Рис. 114.

Для всех же сил новый главный момент будет:

Как постоянный для всех сил, вектор вынесен за знак суммы.

Рассмотрим теперь скалярное произведение ; имеем:

смешанное произведение обращается в нуль, так как векторы коллинеарны (см. § 1). Отсюда следует, что , или t, откуда , т. е. проекция главного момента на направление главного вектора для системы сил постоянна и не зависит от выбора центра приведения. Величины, неизменяющиеся при определенных операциях, называются инвариантами. В нашем случае инвариантами по отношению к центру приведения являются главный вектор и проекция главного момента на направление главного вектора или скалярное произведение:

При сложении пространственной системы сил возможны следующие случаи.

1.    Если , то силы приводятся к равнодействующей. Следует заметить, что равнодействующая равна и параллельна главному вектору сил. Разница же между равнодействующей сил и их главным вектором заключается в том, что равнодействующая имеет определенное положение линии действия; положение же линии действия главного вектора определяется выбором центра приведения.

2.    Если , то силы приводятся к паре.

3. Если , то силы, расположенные как угодно в пространстве, взаимно уравновешиваются и , а также .

Следовательно, а для этого необходимо, чтобы

Уравнения (52) называются уравнениями равновесия сил, расположенных как угодно в пространстве.

4. Если , то силы опять же приводятся к равнодействующей.

В самом деле, представляя момент М в виде пары (рис. 115) с силами Р и — Р, замечаем, что силы, приложенные в точке О,. взаимно уравновешиваются и остается только одна равнодействующая сила Р, расположенная от центра приведения на расстоянии .

Рис. 115.

Момент полученной равнодействующей относительно центра приведения О равен М, а М, в свою очередь равняется:

т. е. момент равнодействующей относительно равен геометрической сумме моментов сил составляющих относительно той же точки.

Проектируя равенство (53) на какую-либо ось, например z, имеем:

т. е. момент равнодействующей относительно оси z равен алгебраической сумме моментов сил составляющих относительно той же оси.

5. Если и не , то силы приводятся к динаме.

Разложим главный момент М на , из которых совпадает с , а  (рис. 116).

Рис. 116.

Вектор представим в виде пары с силами Р  и — Р и плечом , тогда силы Р  и — Р в точке О взаимно уравновешиваются и мы получаем силу Р, проходящую через точку , и момент . Перенося момент как свободный вектор, в точку , мы в результате преобразования имеем совокупность векторов — силы Р и момента направленных по одной прямой. Эта совокупность называется динамой. Если представить в виде пары с плоскостью действия, перпендикулярной к силе Р, то совокупность усилий, получаемых от , будет такая же, как и при завинчивании винта, поэтому часто динаму называют винтовым усилием, а линию, вдоль которой направлены векторы Р и винтовой или центральной осью. Упростить динаму не представляется возможным, поэтому в подобных случаях говорят, что силы, расположенные как угодно в пространстве, приведены к канонической форме.

Найдем теперь уравнение центральной оси. Мы знаем, что при переходе от одного центра приведения к другому (рис. 114 и 116), главный момент изменится и согласно формуле (50) будет: 

Для того чтобы точка лежала на центральной оси, должно быть выполнено условие , где — скалярная величину знак которой определяет одинаковое или противоположное направление векторов и Р.

Далее получим: . Обозначив координаты радиуса вектора а через х, у и z и принимая во внимание равенства (11), будем иметь:

Определяя из каждого полученного равенства , имеем:

Уравнение (55) и является уравнением центральной оси.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача:

Привести к каноническому виду систему трех сил , если силы совпадают с ребрами куба, сторона которого равна 1 м (рис. 117).

Решение. Найдем проекции главного вектора на координатные оси и его величину по формулам (49 и 49а):

Углы, которые образует главный вектор с осями координат будут:

откуда 

Эти же углы составляет и центральная ось с координатными осями.

Рис. 117

Проекции главного момента на координатные оси найдутся по равенствам (49):

Составляя выражение для инварианта по уравнению (51), получим:

Обозначая проекцию главного момента на направление главного вектора через , имеем:

откуда

Знак минус у указывает на то, что направления главного момента и главного вектора противоположны. Так как второй инвариант не равен нулю, то система заданных сил приводится к динамическому винту и уравнение центральной оси (55) примет вид:

Исключая из первого и второго, а также из второго и третьего уравнений z и у, получим:

Задача:

Однородный прямоугольный параллелепипед (рис. 119) весом Q= 100 кГ удерживается в равновесии шестью стержнями, па-' раллельными соответствующим ребрам параллелепипеда. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 и 6 при действии на параллелепипед силы , параллельной стержням 1 и 6.

Рис. 119.

Решение. Освободившись от связей (рис. 119), выбираем координатные оси и составляй для параллелепипеда уравнения равновесия (52):

Решая полученные уравнения, имеем:

Задача:

Однородный навес ABCD весом Q = 200 кГ наклонен под углом к горизонтальной плоскости и удерживается в равновесии при помощи шарниров А и В и цепи ED. В точке С приложена вертикальная сила Р = 100 кГ. Определить реакцию шарниров и натяжение цепи Т (рис. 121, а).

Рис. 121.

Решение. Введем вместо связей их реакции (рис. 121, б)\ тогда по уравнениям (52) получим:

Отсюда находим, что