Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач:

Передаточное отношение — основная кинематическая характеристика любой передачи.

Передаточные отношения определяются при помощи тех или иных геометрических элементов звеньев передачи. Найденное его значение выражает отношение угловых скоростей Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Даны формулы, при помощи которых определяются передаточные отношения различных простейших передач, составленных из пары звеньев.

Передаточное отношение сложной передачи — передачи, составленной из нескольких простейших передач, равно произведению передаточных отношений простейших передач:

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Передаточное отношение между двумя элементами передачи считается положительным, если оба элемента вращаются в одну сторону, например пара зубчатых колес с внутренним зацеплением.

Передаточное отношение между двумя элементами считается отрицательным, если оба элемента вращаются в противоположные стороны, например пара зубчатых цилиндрических колес с внешним зацеплением.

Задача №1

На каком расстоянии х необходимо установить каток 2 лобовой фрикционной передачи (см. эскиз к лобовой передаче в табл. 6), чтобы при угловой скорости Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике = 400 об/мин катка 1 каток 2 вращался со скоростью Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике= 500 об/мин? Диаметры катков Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определить также, какие наименьшую и наибольшую угловые скорости может получить вал катка 2 при различных положениях последнего.

Решение.

1.    Необходимое значение х (расстояние от катка 2 до оси катка I) найдем непосредственно из формулы передаточного отношения любой передачи:Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

2.    Если начать передвигать каток 2 ближе к краю катка 1 (увеличить х), то точки на ободе катка 2 будут вступать в контакт с точками на торцовом поверхности катка 1, имеющими возрастающую скорость (по зависимостиОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеи в данном случае Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике и благодаря силе трения станут приобретать такую же большую скорость.

Если в выражениеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
вместо х подставить наибольшее, теоретически возможное значение х — Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике(практически xmas несколько меньше Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике то

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

3.    Если каток 2 установить у противоположного края катка 1, то угловая скорость у катка 2 также получится 10000 об/мин, но он будет вращаться в обратную сторону.

Таким образом, приОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Благодаря способности изменять направление вращения вала, на котором укреплен каток 2, лобовую фрикционную передачу называют фрикционным вариатором (передача, способная варьировать направлением вращения).

4.    При х = 0 (положение катка 2 совпадает с осью катка 1)

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Точки на ободе катка 2 касаются практически неподвижных точек на торце катка 1 и поэтому не двигаются.

Иначе говоря, если в выражении Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикепринять Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике то

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеНо так какОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Задача №2

Передача вращательного движения между валами I и II осуществляется при помощи четырех зубчатых колес, два из которых помещены на промежуточных валах (рис. 232, а). Числа зубьев колес:  Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеМодуль зубчатых колес m = 5 мм. Определить передаточное отношение Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике межосевое расстояние А и габариты передачи L. Как изменятся габариты, если передачу осуществить при помощи лишь двух колес того же модуля?

Решение.

1.    Передаточное отношениеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механикев данном случае равно произведению трех передаточных отношений между соседними колесами:
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Как видно, зубчатые колеса, находящиеся на промежуточных осях, не влияют на величину передаточного отношения; поэтому их иногда называют «паразитными».

2.    Находим межосевое расстояние А (см. рис. 232, а):
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
где Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике — диаметры начальных окружностей зубчатых колес.

Подставляем вместо значений диаметров их выражения через модуль m и соответствующие числа зубьев:

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Откуда

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

3.    Находим габариты передачи L (см. рис. 232, а):Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

4.    Если осуществить передачу при помощи двух колес с числами зубьев Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикетого же модуля, оставляя при этом межосевое расстояние передачи неизменным, то оно выразится так (рис. 232, б):

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Здесь имеются два неизвестных Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике но учтя, что передаточное отношение остается неизменным, получаем второе уравнение:

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Из уравнения (2)

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

(как уже известно, Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Подставим найденное значениеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике в уравнение (1)
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
откуда
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Теперь, зная число зубьев, легко определить габариты двухколесного варианта передачи:Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Как видно, габариты увеличиваются на 300 мм, т. е почти в 1,5 раза (на 47,5%).

Отсюда следует сделать вывод, что при значительных межосевых расстояниях, которые по конструктивным причинам нельзя уменьшить, целесообразнее (для уменьшения габаритов) применять рядовое соединение нескольких зубчатых колес.

Задача №3

Какую угловую скорость л, нужно сообщить валуОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механикечтобы при помощи передачи, показанной на рис. 233, вал IV вращался со скоростью Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике—450 об/мин? Числа зубьев колес: коническихОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механикецилиндрическогоОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механикес внутренним зацеплениемОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механикедиаметры шкивов Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Решение.

1.    Передаточное отношение от вала I к валу IV равно в данном случае произведению трех передаточных отношений:

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

где Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике — передаточное отношение конической зубчатой пары: г,

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикепередаточное отношение цилиндрической пары с внутренним зацеплением;

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике— передаточное отношение ременной передачи.

2.    Таким образом,

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

После подстановки в эту формулу числовых значений получаем, что угловая скорость первого вала

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
 

Задача №4

Изображенный на рис. 234 механизм лебедки при вращении рукоятки, имеющей длину I, в вертикальном на-

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

правлении перемещает груз Р. Диаметр барабана d = 200 мм, число зубьев зубчатых колес механизма:Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определить: 1) с какой скоростью поднимается груз Р, если рукоятка / вращается с угловой скоростью я, =60 об/мин.

2) угловую скорость Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике рукоятки, если груз должен подниматься со скоростью Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике= 0,2 м/сек.

Решение.

1.    Если рукоятка l, жестко соединенная с колесом Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеделает Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике об/мин, то колесо Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеа также жестко соединенный с ним бара бан получают в минуту число оборотов, равноеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

гдеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике- передаточное отношение от колеса Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикек колесу Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике причем Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике и, следовательно,

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

2. Так как барабан, вращаясь, делает Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеоб/мин, то окружная скорость точек на поверхности барабана Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Скорость подъема груза Р равна окружной скорости и, следовательно,
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
3.    Если нужно поднимать груз со скоростью Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике то и барабан должен вращаться так, чтобы его точки двигались с окружной скоростьюОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике при этом число оборотов в минуту барабана

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

4.    Если же барабан и вместе с ним колесо Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике имеют Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеоб/мин, то колесо Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикес рукояткой делают Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике об/мин, причем

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Такая угловая скорость рукоятки при ручном приводе, конечно, неосуществима.

Следующие две задачи рекомендуется решить самостоятельно.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношении простейших планетарных и дифференциальных передач

Планетарными называются передачи, в которых оси одного или нескольких колес закреплены в подвижном звене—водиле.

Любая планетарная передача состоит из трех групп элементов. Первая группа - центральные колеса (колеса, расположенные на неподвижных осях), вторая группа - сателлиты (колеса, расположенные на подвижном звене - водиле) и третья группа — водила.

На рис. 237 показана схема передачи, состоящей из нейтрального колеса 1, сателлита 2 и водила H.

В общем случае центральное колесо и водило могут получать вращение от двух источников независимо друг от друга Такая

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

передача имеет две степени свободы и называется дифференциальной.

Если закрепить центральное колесо, то получается передача с одной степенью свободы — движение можно передавать либо от водила к сателлиту, либо от сателлита к водилу-• такая передача называется простой планетарной (рис. 238).

Чтобы в процессе решения задач глубже проанализировать кинематику планетарных передач, целесообразно не пользоваться готовыми выведенными в учебниках формулами, а применять метод сложения двух движений.

Сателлиты планетарных передач совершают сложное вращательное движение. Движение сателлитов относительно Земли (относительно неподвижной системы координат) складывается из вращения их вместе с водилом — переносного движения и вращения их вокруг осей, закрепленных в водиле, — относительного движения.

Метод сложения двух движений можно распространить и на центральные колеса. Так, например, закрепленное центральное жолесо простой планетарной передачи можно считать вращающимся вместе с воднлом и одновременно поворачивающимся на их общей оси в обратную сторону с такой же скоростью, что и водило.

Поэтому метод, который подробно изложен в решениях задач, включает следующие четыре этапа:

  • 1. Мысленно закрепляем все колеса на водиле и придаем ему вращение с угловой скоростью водила относительно его собственной неподвижной оси - получаем первое движение.
  • 2. Освобождаем колеса от водила. Водило мысленно закрепляем (превращаем планетарную передачу в обычную зубчатую передачу с неподвижными осями) и поворачиваем центральное колесо с угловой скоростью —Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике т. е. с угловой скоростью, равной разности абсолютных скоростей водила и центрального колеса, но в обратную сторону относительно направления вращения водила. В результате этого движения центрального колеса все остальные колеса передачи получают соответствующие угловые скорости, определяемые при помощи передаточных отношений. Так получается второе движение.
  • 3. Угловые скорости всех элементов передачи, получившиеся в первом и втором движениях, складываем.
  • 4. Из получившихся в результате сложения действительных зависимостей между угловыми скоростями определяем неизвестные в задаче величины.

Введем такие обозначения:

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике-угловые скорости, выраженные в об/мин (рад/сек), зубчатых колес (центральных или сателлитов), дифференциальных передач, индексы соответствуют нумерации колес; Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике — угловая скорость водила в дифференциальной передаче;

угловые скорости колес или водила в простой планетарной передаче (с закрепленным колесом) обозначим теми же буквами, но с верхними индексами в скобках, соответствующих закрепленному колесу, напримерОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике- угловая скорость второго колеса при закрепленном первом;Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике- угловая скорость водила при закрепленном первом и т. д.

Аналогично обозначим и передаточные отношения:

  • Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикепередаточное отношение от колеса 1 к колесу 2 при неподвижном водиле;
  • Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике—передаточное отношение от колеса 2 к водилу при неподвижном первом колесе;
  • Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике— передаточное отношение от колеса 1 к водилу в дифференциальной передаче и т. д.

При решении задач с планетарными передачами необходимо очень внимательно следить за правильностью определения знаков передаточных отношений между отдельными элементами передачи. 

Задача №5

Определить передаточное отношение от сателлита 2 к водилу Н для простой планетарной передачи, показанной на рис. 238, если числа зубьев колесОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Решение.

1.    Осуществим первое движение. Закрепим колеса 1 и 2 на водиле и сообщим водилу вместе с колесами вращательное движение с угловой скоростью Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеСледовательно, в этом движении колеса 1 и 2 также получают угловую скорость Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

2.    Осуществим второе движение. Освободим колеса от водила. Закрепим водило, т. е. превратим простую планетарную передачу в обычную зубчатую передачу, состоящую в данном случае из пары зубчатых колес.

3.    Угловая скорость центрального колеса в механизме Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механикетак как колесо 1 закреплено. Поэтому во втором движении колесу 1 сообщаем скорость
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
В результате вращения колеса1 колесо 2 приобретет угловую скорость

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
так как передаточное отношение от колеса 1, вращающегося со скоростью Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

ко второму колесу при закрепленном водиле отрицательное и равно

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Приведенные результаты заносим в табл. 7, в нижней графе которой затем осуществляем третий этап — сложение обоих значений.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике


4.    Находим передаточное отношение отсателлита 2 к водилу:

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Таким образом,Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Так как в данном случае передаточное отношение от колеса 2 к колесу 1 при закрепленном водиле имеет отрицательное значение

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

то окончательно

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике(a)

Но при помощи передачи, изображенной на рис. 238, неудобно передавать вращательное движение, так как необходимо дополнительное приспособление, чтобы сообщить угловую скорость сателлиту.

Аналогичная, но несколько видоизмененная простая планетарная передача рассматривается в следующей задаче.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Задача №6

Определить передаточное отношение от колеса 2 к водилу Н простой планетарной передачи с закрепленным колесом внутреннего зацепления (рис. 239), если Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Решение:

1.    Так же как и в предыдущей задаче, осуществим сначала первое движение, и тогда все элементы механизма (водило H, колеса 1,. 2 и 3) получат угловую скорость Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

2.    Превратим планетарную передачу в обычную, закрепив водило. Освободим колеса и осуществим

второе движение--сообщим колесу 3 угловую скорость — Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике. Тогда колесо 2 приобретет угловую скорость
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
а колесо / - угловую скорость
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
3.    Сведем результаты обоих движений в табл. 8 и произведем сложение угловых скоростей.

4.    Найдем передаточное отношение Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Подставим в (б) числовые значения чисел зубьев: Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Таким образом, если к передаче подвести угловую скорость слева (к колесу 1), то справа (у водила Н) угловая скорость уменьшится в шесть раз.

Если в выражении передаточного отношения (б) заменитьОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике-обозначением -Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике то

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Сравнивая выражение (в) с выражением (а) из предыдущей задачи, замечаем, что они аналогичны.

Как видно, эти передачи не дают большого кинематического эффекта по сравнению с обычными передачами с неподвижными осями: передаточные отношения отличаются только на единицу.

Чтобы увеличить передаточное отношение, передачи, рассмотренные в задаче 202-40, соединяют последовательно.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Задача №7

Определить передаточное отношениеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике для простой планетарной передачи, показанной на рис. 241, если числа зубьев колес Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Решение.

1.    Осуществим первое движение (см. табл. 9).

2.    Осуществим второе движение при закрепленном водиле, сообщив вращение колесу 3 (см. табл. 9).
3 Записав угловые скорости каждого элемента в первом и втором движении, сложим их (табл. 9).

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

4. Находим передаточное отношениеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Особенно большим получается передаточное отношение, если
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

близко к единице. Так, например, при Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Следовательно, простая планетарная передача, состоящая всего из четырех колес, уменьшает угловую скорость в 10 тысяч раз.

Такие передачи создают большой кинематический эффект, но они имеют и крупный недостаток — крайне низкий коэффициент полезного действия (около 0,5%).

В следующей задаче рассматривается дифференциальная передача.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Задача №8

Определить угловую скорость водила Н и колеса 2 дифференциального зубчатого механизма (рис. 242), если число зубьев колес Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеугловая скорость колеса Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике = 120об/мин, угловая скорость колесаОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике при направлении вращения в обратную сторону относительно колеса 1 Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Решение.

1 Осуществим первое движение. Закрепив жестко все колеса на водиле, сообщим последнему угловую скорость Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике тогда все три колеса получат ту же самую угловую скорость.

2. Освободив колеса от водила и закрепив его, сообщаем колесу 1 угловую скорость —Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механикеоб/мин. Тогда колесо 2 получит скорость

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
а колесо 3
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
3.    Сведем все результаты в табл. 10.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

4. Число оборотов в минуту водила найдем из равенства
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
откуда
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Водило И вращается с угловой скоростью 15 об/мин в ту же сторону, что и колесо 3.

5. Число оборотов в минуту колеса 2 определяем из равенстваОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

но предварительно необходимо определить число зубьев Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Из рис. 242 ясно, что
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

или

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

Так как модули всех колес равны между собой, то

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

откуда
Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике

и теперьОпределение передаточных отношений различных передач в теоретической механике
Таким образом, бегающее колесо (сателлит) вращается вокруг своей оси со скоростью 150 об/мин в ту же сторону, что и водило, и колесо 3.

Определение передаточных отношений различных передач в теоретической механике